Matematici Speciale Volumul Ii - Valeriu Zevedei

MATEMATICI SPECIALE explica¸tii teoretice, interpreta˘ri fizice, aplica¸tii tehnice, exemple, exerci¸tii VOLUMUL II VALERIU ZEVEDEI April 10, 2005

2

CUPRINS III

ELEMENTE DE CALCUL VARIA¸ TIONAL

11 ELEMENTE DE CALCUL VARIA¸ TIONAL

9 11

11.1 Probleme clasice de calcul varia¸tional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 11.2 Func¸tionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 11.3 Spa¸tii de func¸tii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 11.4 Clasificarea extremelor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 11.5 Exerci¸tii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 11.6 Extremele func¸tiilor reale de mai multe variabile . . . . . . . . . . . . . . 24 11.7 Varia¸tia de ordinul întâi a func¸tionalelor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 11.8 Varia¸tia de ordinul doi a func¸tionalelor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 11.9 Condi¸tii necesare de extremum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 11.10Lemele fundamentale ale calculului varia¸tional . . . . . . . . . . . . . . . 43 11.11Ecua¸tiile lui Euler-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 11.12Exerci¸tii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 11.13Condi¸tii naturale, condi¸tii de transversalitate . . . . . . . . . . . . . . . . 51 11.14Exerci¸tii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 11.15Variabile canonice, sistem canonic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 11.16Exerci¸tii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 11.17Ecua¸tia lui Hamilton-Iacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 11.18Teorema lui Iacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 11.19Exerci¸tii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 11.20Extreme pentru func¸tii netede pe por¸tiuni . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 11.21Exerci¸tii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

CUPRINS

4

11.22Condi¸tiile necesare ale lui Legendre ¸si Iacobi . . . . . . . . . . . . . . . . 69 11.23Condi¸tia lui Weirstrass de extremum tare . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 11.24Condi¸tii suficiente de extremum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 11.25Exerci¸tii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 11.26Extreme cu leg˘ aturi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 11.27Exerci¸tii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 11.28Metode varia¸tionale pentru valori proprii . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 11.29Exerci¸tii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 11.30Principiul lui Hamilton, principii varia¸tionale . . . . . . . . . . . . . . . . 87 11.31Alte principii varia¸tionale în elasticitate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 11.32Metode directe în calcul varia¸tional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 11.33Exerci¸tii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

IV

ECUA¸ TII CU DERIVATE PAR¸ TIALE

12 ECUA¸ TII CU DERIVATE PAR¸ TIALE DE ORDINUL INTAI

113 115

12.1 Problema Cauchy, suprafe¸te caracteristice . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 12.2 Ecua¸tii cu derivate par¸tiale de ordinul întâi cvasilineare . . . . . . . . . . 118 12.3 Ecua¸tii lineare omogene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 12.4 Ecua¸tii cu derivate par¸tiale de ordinul întâi nelineare . . . . . . . . . . . 131 12.5 Condi¸tii de compatibilitate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 12.6 Integral˘ a complet˘ a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 13 ECUA¸ TII CU DERIVATE PAR¸ TIALE DE ORDINUL 2

147

13.1 Defini¸tii generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 13.2 Ecua¸tia transferului de c˘ aldur˘ a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 13.3 Ecua¸tia undelor sonore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 13.4 Ecua¸tia oscila¸tiilor transversale ale unei corzi . . . . . . . . . . . . . . . . 160 13.5 Ecua¸tia oscila¸tiilor transversale ale membranei . . . . . . . . . . . . . . . 164 13.6 Ecua¸tia oscila¸tiilor longitudinale ale unei bare . . . . . . . . . . . . . . . 166 13.7 Ecua¸tiile de mi¸scare ale unui fluid perfect . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 13.8 Problema lui Cauchy, clasificarea ecua¸tiilor . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

CUPRINS

5

13.9 Exerci¸tii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 13.10Ecdpo2 cvasilineare în dou˘ a variabile. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 13.11Exerci¸tii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 14 FUNC¸ TII ARMONICE

199

14.1 Scurt istoric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 14.2 Func¸tii armonice, defini¸tii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 14.3 Func¸tii armonice de o variabil˘ a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 14.4 Func¸tii armonice de dou˘ a variabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 14.5 Problema lui Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 14.6 Analiticitatea func¸tiilor armonice de dou˘ a variabile . . . . . . . . . . . . 209 14.7 Invarian¸ta func¸tiilor armonice prin reprezentare conform˘ a . . . . . . . . . 210 14.8 Solu¸tia problemei lui Dirichlet pentru cercul unitate . . . . . . . . . . . . 211 14.9 Teorema cercului ¸si aplica¸tiile sale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 14.10Solu¸tia problemei lui Dirichlet pentru semiplan . . . . . . . . . . . . . . . 216 14.11Problema lui Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 14.12O idee simpl˘ a foarte productiv˘ a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 14.13Formulele lui Green pentru laplacean . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 14.14Propriet˘ a¸tile func¸tiilor armonice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 14.15Transformarea lui Kelvin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 14.16Formula de reprezentare prin poten¸tiali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 14.17Integrala lui Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 14.18Func¸tiile Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 14.19Propriet˘ a¸ti ale poten¸tialului de volum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 14.20Propriet˘ a¸tile poten¸tialilor de simplu ¸si dublu strat . . . . . . . . . . . . . 245 14.21Rezolvarea problemelor la limit˘ a prin ecua¸tii integrale . . . . . . . . . . . 250 15 ECUA¸ TII DE TIP HIPERBOLIC

255

15.1 Unde, caracteristici, fronturi de und˘ a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 15.2 Solu¸tia lui D’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264 15.3 Exerci¸tii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 15.4 Problema lui Cauchy pentru ecua¸tia neomogen˘ a a corzii . . . . . . . . . . 269

CUPRINS

6

15.5 Exerci¸tii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274 15.6 Solu¸tia fundamental˘ a a ecua¸tiei corzii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274 15.7 Ob¸tinerea solu¸tiei ecua¸tiei corzii pe baza formulei lui Green . . . . . . . . 276 15.8 Solu¸tia problemei lui Cauchy pentru ecua¸tia membranei . . . . . . . . . . 278 15.9 Solu¸tia problemei lui Cauchy pentru ecua¸tia undelor . . . . . . . . . . . . 281 15.10Problemele mixte pentru ecua¸tia corzii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284 15.11Rezolvarea unor probleme mixte pentru ecua¸tia corzii . . . . . . . . . . . 289 15.12Oscila¸tii sta¸tionare ¸si problema f˘ ar˘ a condi¸tii ini¸tiale . . . . . . . . . . . . 301 15.13Metoda lui Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305 15.14Exerci¸tii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310 16 ECUA¸ TII DE TIP PARABOLIC

317

16.1 Probleme pentru ecua¸tii parabolice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317 16.2 Principiul de minim-maxim pentru ecua¸tia parabolic˘ a . . . . . . . . . . . 319 16.3 Solu¸tia problemei lui Cauchy pentru ecua¸tia c˘ aldurii . . . . . . . . . . . . 322 16.4 Rezolvarea unor probleme la limit˘ a pentru ecua¸tia c˘ aldurii . . . . . . . . 326 16.5 Aplicarea transformatei Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328 16.6 Aplicarea transformatei Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330 16.7 Metoda lui Fourier pentru ecua¸tia c˘ aldurii . . . . . . . . . . . . . . . . . 333 16.8 Exerci¸tii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342

˘ TILOR S ˘ MATEMV TEORIA PROBABILITA¸ ¸ I STATISTICA ˘ 347 ATICA ˘ TI S ˘ MATEMATICA ˘ 17 PROBABILITA¸ ¸ I STATISTICA

349

17.1 Spa¸tiu probabilistic,defini¸tii, propriet˘ a¸ti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349 17.1.1 Exerci¸tii ¸si probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353 17.2 Variabile aleatoare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355 17.3 Schema lui Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359 17.3.1 Definirea schemei lui Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359 17.3.2 Aliura reparti¸tiei schemei lui Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . 361 17.3.3 Legea numerelor mari sub forma lui Bernoulli . . . . . . . . . . . 362

CUPRINS

7

17.3.4 Teorema limit˘ a a lui Poisson a evenimentelor rare . . . . . . . . . 363 17.3.5 Teorema limit˘ a local˘ a a lui Moivre-Laplace . . . . . . . . . . . . . 365 17.3.6 Teorema limit˘ a integral˘ a a lui Laplace . . . . . . . . . . . . . . . 367 17.3.7 Exerci¸tii ¸si probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369 17.4 Valori medii ale variabilelor aleatoare discrete . . . . . . . . . . . . . . . 370 17.4.1 Legea numerelor mari sub forma lui Markov . . . . . . . . . . . . 370 17.4.2 Valoarea medie, propriet˘ a¸ti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372 17.4.3 Momente, inegalit˘ a¸tile lui Markov ¸si Cebî¸sev . . . . . . . . . . . . 373 17.4.4 Func¸tii generatoare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376 17.4.5 Exerci¸tii ¸si probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379 17.5 Variabile aleatoare oarecare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381 17.5.1 Valori medii ale variabilelor aleatoare oarecare . . . . . . . . . . . 381 17.5.2 Func¸tia caracteristic˘ a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387 17.5.3 Teoreme-limit˘ a centrale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389 17.5.4 Exerci¸tii ¸si probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391 17.6 Convergen¸ta ¸sirurilor de variabile aleatoare . . . . . . . . . . . . . . . . . 392 17.7 Variabile aleatoare vectoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393 17.7.1 Exerci¸tii ¸si probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398 17.8 Opera¸tii cu variabile aleatoare. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401 17.9 Estima¸tii punctuale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406 17.10Intervale de încredere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414 17.10.1 Exerci¸tii ¸si probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418 17.11Verificarea ipotezelor statistice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419 17.12Teste de concordan¸ta˘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427 17.12.1 1. Criteriul de concordan¸ta˘ hi p˘ atrat . . . . . . . . . . . . . . . . 428 17.12.2 2. Testul de concordan¸ta˘ al lui Kolmogorov . . . . . . . . . . . . 430 17.12.3 Exerci¸tii ¸si probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430

8

CUPRINS

PARTEA III ELEMENTE DE CALCUL VARIA¸ TIONAL

CAPITOLUL 11 ELEMENTE DE CALCUL VARIA¸ TIONAL 11.1

Probleme clasice de calcul varia¸tional

Din punct de vedere istoric, prima problem˘ a de calcul varia¸tional este a¸sa numita problem˘ a a lui Dido. Legenda mitologic˘ a spune c˘ a Dido, sau Didona, prin¸tes˘ a a unuia din cet˘ a¸tile vechii Grecii ¸si sor˘ a a lui Pygmalion, era m˘ aritat˘ a cu pontiful Siharbas. Pygmalion îl asasineaz˘ a pe pontif ¸si Dido fuge cu fratele s˘ au ¸si cu averea so¸tului într-o flotil˘ a improvizat˘ a. Debarcând pe ¸ta˘rmul african, localnicii îi ofer˘ a ca loc de ad˘ apost atâta p˘ amânt cât poate cuprinde cu o piele de taur. Dido taie pielea în fâ¸sii înguste pe care le leag˘ a cap la cap ¸si înconjoar˘ a cu ele o bucat˘ a de teren pe care va construi cetatea Cartaginei, a c˘ arei regin˘ a devine Dido. Inc˘ a din antichitate, latura matematic˘ a a legendei a interesat pe matematicieni: cum trebuie dispus firul alc˘ atuit din fâ¸siile înguste pentru ca el s˘ a înconjoare o por¸tiune de arie maxim˘ a? Problema are mai multe variante. Una dintre acestea ar fi urm˘ atoarea: s˘ a presupunem c˘ a axa x0 Ox reprezint˘ a ¸ta˘rmul m˘ arii ¸si c˘ a punctele A(a, 0), B(b, 0) reprezint˘ a capetele firului, graficul func¸tiei y = y(x), definit˘ a ¸si derivabil˘ a pe [a, b], este firul. Aria limitat˘ a de fir ¸si de ¸ta˘rm este S=

Zb a

y(x)dx,

CAPITOLUL 11. ELEMENTE DE CALCUL VARIATIONAL ¸

12

în timp ce lungimea firului este Zb p L= 1 + y 0 (x)2 dx. a

Atunci problema lui Dido revine la determinarea func¸tiei y = y(x), definite ¸si derivabile pe [a, b], care satisface condi¸tiile Zb p y (a) = 0, y (b) = 0, L = 1 + y 0 (x)2 dx a

astfel încât integrala S=

Zb

y(x)dx

a

s˘ a aib˘ a valoarea maxim˘ a. Din motive evidente, o asemenea problem˘ a se nume¸ste problem˘a izoperimetric˘a . Inc˘ a din antichitate se cuno¸stea c˘ a forma c˘ autat˘ a a firului este cea a unui arc de cerc, a¸sa cum vom ar˘ ata ¸si noi mai încolo. d arcul graficului. In rela¸tia Putem ra¸tiona ¸si altfel. Fie AB Z S= y(x)dx d AB

consider˘ am pe x,y ca func¸tii de abscisa curbilinie s ¸si integr˘ am prin p˘ ar¸ti S = yx|B A −

Z

xdy = −

ZL 0

d AB

p x(s) 1 − x0 (s)2 ds.

Problema revine la a determina func¸tia x = x(s) definit˘ a pe intervalul [0, L] cu proprietatea c˘ a x(0) = a, x(L) = b ¸si c˘ a integrala S=

ZL 0

p x(s) 1 − x0 (s)2 ds

are valoare minim˘ a. O alt˘ a variant˘ a a problemei lui Dido ar fi aceea în care presupunem c˘ a firul ar reprezenta o curb˘ a neted˘ a închis˘ a cu ecua¸tiile parametrice   x = x(t) t ∈ [t1 , t2 ],  y = y(t)

11.1. PROBLEME CLASICE DE CALCUL VARIATIONAL ¸

13

func¸tiile x(t), y(t) fiind deci derivabile pe por¸tiuni pe [t1 , t2 ]. Atunci lungimea firului este Zt2 p x0 (t)2 + y 0 (t)2 dt, L= t1

iar aria limitat˘ a de fir este 1 S= 2

Zt2

[y(t)x0 (t) − x(t)y 0 (t)] dt.

t1

Problema revine deci la determinarea celor dou˘ a func¸tii x(t), y(t) definite ¸si derivabile pe por¸tiuni pe intervalul [t1 , t2 ] astfel încât s˘ a aib˘ a loc rela¸tia Zt2 p x0 (t)2 + y 0 (t)2 dt L= t1

¸si ca integrala 1 S= 2

Zt2

[y(t)x0 (t) − x(t)y 0 (t)] dt

t1

s˘ a fie maxim˘ a. S ¸ i aceasta este tot o problem˘ a izoperimetric˘ a ¸si curba care d˘ a solu¸tia este un cerc. O alt˘ a problem˘ a important˘ a care a dus la apari¸tia calculului varia¸tional este problema brahistocronei. Ea a fost propus˘ a în 1696 de c˘ atre Jean Bernoulli ¸si a fost rezolvat˘ a în diferite moduri de Jacob Bernoulli, Leibniz, l’Hospital, Euler. Ea const˘ a în determinarea unei curbe care une¸ste punctele A(0, h) ¸si B(b, 0) pe care se mi¸sc˘ a un punct material de mas˘ a m plecând din A cu vitez˘ a ini¸tial˘ a nul˘ a ¸si ajunge în B sub influien¸ta greut˘ a¸tii dup˘ a un timp T minim. Dac˘ a presupunem c˘ a y = y(x) este ecua¸tia curbei c˘ autate ¸si v(x) este m˘ arimea vitezei punctului în pozi¸tia (x, y(x)), atunci conform legii conserv˘ arii energiei avem gm(h − y) = de unde v(x) = Pe de alt˘ a parte v=

mv(x)2 , 2

p 2g(h − y).

ds p = 1 + y 0 (x)2 dx dt

CAPITOLUL 11. ELEMENTE DE CALCUL VARIATIONAL ¸

14

¸si deci timpul în care mobilul se deplaseaz˘ a din punctul (x, y(x)) în punctul (x+dx, y(x+ dx)) este dt =

s

1 + y 0 (x)2 dx. 2g(h − y)

Rezult˘ a c˘ a timpul în care mobilul ajunge din A în B este T =

Zb s 0

1 + y 0 (x)2 dx. 2g(h − y)

Deci problema brahistocronei revine la determinarea func¸tiei y = y(x), definite ¸si derivabile pe [0, b] astfel încât y(0) = h, y(b) = 0 ¸si astfel încât integrala T =

Zb s 0

1 + y0(x)2 dx 2g(h − y(x))

s˘ a fie minim˘ a. Este evident c˘ a ¸si în acest caz curba poate fi c˘ autat˘ a ca în problema precedent˘ a sub form˘ a parametric˘ a. O problem˘ a asem˘ an˘ atoare este problema opticii geometrice. Intr-un mediu izotrop neomogen lumina se propag˘ a în fiecare punct M(x, y, z) cu o vitez˘ a v(x, y, z) independent˘ a de direc¸tie. Timpul necesar ca lumina s˘ a ajung˘ a din punctul M1 (x1 , y1 , z1 ) în punctul M2 (x2 , y2 , z2 ) de-a lungul curbei de ecua¸tii y = y(x), z = z(x) este Zx2 p 1 + y 0 (x)2 + z 0 (x)2 dx. T = v(x, y(x), z(x) x1

Principiul lui Fermat afirm˘ a c˘ a lumina se propag˘ a de-a lungul acelei curbe pentru care T este minim. Problema opticii geometrice este deci determinarea func¸tiilor y = y(x), z = z(x) definite pe [x1 , x2 ] astfel încât y(x1 ) = y1 , y(x2 ) = y2 , z(x1 ) = z1 , z(x2 ) = z2 ¸si pentru care integrala de mai sus are valoare minim˘ a. O alt˘ a problem˘ a clasic˘ a a calculului varia¸tional este a¸sa numita problem˘a a lui Plateau (Plateau, Antoine Ferdinand Joseph, 1801-1883, belgian, profesor de fizic˘ a ¸si anatomie la Universitatea din Gand). Ea const˘ a în determinarea formei de echilbru a unei pelicule de s˘ apun sus¸tinute de dou˘ a inele (pentru simplitate de aceea¸si raz˘ a R) perpendiculare pe axa comun˘ a Ox în punctele de abscise −b, b. Neglijând greutatea peliculei, din propriet˘ a¸tile tensiunii superficiale rezult˘ a c˘ a pelicula se dispune astfel încât ea s˘ a aib˘ a o suprafa¸ta˘ minim˘ a. Din motive de simetrie evidente, pelicula are forma unei suprafe¸te

11.1. PROBLEME CLASICE DE CALCUL VARIATIONAL ¸

15

de rota¸tie de arie minim˘ a. De aceea problema lui Plateau se mai nume¸ste ¸si problema suprafe¸tei de rota¸tie de arie minim˘a . Dac˘ a not˘ am cu y = y(x), −b ≤ x ≤ b ecua¸tia curbei de sec¸tiune cu planul xoy, atunci aria suprafe¸tei de rota¸tie este

S = 2π

Zb

−b

p y(x) 1 + y 0 (x)2 dx.

Deci, problema lui Plateau revine la determinarea func¸tiei y = y(x) definite ¸si derivabile pe [−b, −b] astfel încât y(−b) = R, y(b) = R ¸si astfel încât integrala S = 2π

Zb

−b

p y(x) 1 + y 0 (x)2 dx

s˘ a fie minim˘ a. Tot problem˘ a clasic˘ a de calcul varia¸tional este problema formei de echilibru a unui fir greu omogen flexibil s¸i inextensibil de lungime dat˘a l fixat la capete. Se vede u¸sor c˘ a la echilibru firul se afl˘ a într-un plan vertical. Considerând acest plan vertical drept planul xOy, unde axa Oy este dirijat˘ a dup˘ a verticala locului, curba de echilibru corespunde la acea curb˘ a pentru care energia poten¸tial˘ a a firului este minim˘ a, adic˘ a la acea curb˘ a pentru care ordonata yG a centrului de greutate al firului este minim˘ a. Dac˘ a punctele A(a, ya ), B(b, yb ) sunt capetele firului, dac˘ a y = y(x), x ∈ [a, b] este ecua¸tia explicit˘ aa curbei de echilibru, cu y(x) func¸tie derivabil˘ a pe [a, b], dac˘ a ρ este densitatea linear˘ aa firului, atunci ordonata centrului de greutate al firului este

yG =

Rb a

p ρy(x) 1 + y 0 (x)2 dx Rb p ρ 1 + y 0 (x)2 dx

Zb a

a

lungimea firului fiind

1 = l

p y(x) 1 + y 0 (x)2 dx

Zb p l= 1 + y 0 (x)2 dx. a

Deci, problema revine la determinarea func¸tiei y(x) definite ¸si derivabile pe [a, b], astfel încât

Zb p y(a) = ya , y(b) = yb , 1 + y 0 (x)2 dx = l a

CAPITOLUL 11. ELEMENTE DE CALCUL VARIATIONAL ¸

16

¸si astfel încât integrala Zb a

p y(x) 1 + y 0 (x)2 dx

s˘ a fie minim˘ a. S ¸ i aici curba de echilibru poate fi c˘ autat˘ a sub form˘ a parametric˘ a luând ca parametru o abscis˘ a curbilinie. A¸sa cum vom vedea, curba de echilibru a firului este o por¸tiune din a¸sa-numitul l˘an¸ti¸sor, un arc de curb˘ a apropiat de un arc de parabol˘ a. Alt˘ a problem˘ a clasic˘ a de calcul varia¸tional este problema geodezicelor pe o suprafa¸t˘a S, adic˘ a problema determin˘ arii pe o suprafa¸ta˘ S a unei curbe care une¸ste dou˘ a puncte de pe acea suprafa¸ta˘ ¸si are lungimea minim˘ a. Dac˘ a suprafa¸ta S este dat˘ a parametric prin ecua¸tia vectorial parametric˘ a ~r = ~r(u, v), (u, v) ∈ Du,v , dac˘ a ds2 = d~r2 = E(u, v)du2 + 2F (u, v)dudv + G(u, v)dv 2 , este prima sa form˘ a fundamental˘ a cu coeficien¸tii E(u, v) = ~ru (u, v) · ~ru (u, v), F (u, v) = ~ru (u, v) · ~rv (u, v), G(u, v) = ~rv (u, v) · ~rv (u, v) ¸si dac˘ a u = u(t), v = v(t), t ∈ [t1 , t2 ], u(t1 ) = u1 , v(t1 ) = v1 , u(t2 ) = u2 , v(t2 ) = v2 sunt ecua¸tiile parametrice ale unei curbe care une¸ste punctele M1 (u1 , v1 ), M2 (u2 , v2 ), atunci lungimea acestei curbe este Zt2 p l= E(u(t), v(t))u0(t)2 + 2F (u(t), v(t))u0(t)v0(t) + G(u(t), v(t))v0(t)2 dt. t1

Deci, problema determin˘ arii geodezicelor pe S revine la determinarea func¸tiilor derivabile u = u(t), v = v(t), t ∈ [t1 , t2 ], u(t1 ) = u1 , v(t1 ) = v1 , u(t2 ) = u2 , v(t2 ) = v2

11.2. FUNCTIONALE ¸

17

astfel încât integrala Zt2 p l= E(u(t), v(t))u0 (t)2 + 2F (u(t), v(t))u0 (t)v0 (t) + G(u(t), v(t))v 0 (t)2 dt t1

s˘ a fie minim˘ a. In cazul în care suprafa¸ta S este planul xOy cu ecua¸tia parametric˘ a ~r = x~i + y~j, (x, y) ∈ R2 cu prima form˘ a fundamental˘ a ds2 = dx2 + dy 2 , problema geodezicei care une¸ste punctele M1 (x1 , y1 ), M2 (x2 , y2 ) revine la determinarea func¸tiilor derivabile x = x(t), y = y(t), t ∈ [t1 , t2 ] cu x(t1 ) = x1 , y(t1 ) = y1 , x(t2 ) = x2 , y(t2 ) = y2 astfel încât integrala Zt2 p x0 (t)2 + y 0 (t)2 dt

t1

s˘ a fie minim˘ a. Dac˘ a alegem ca parametru coordonata x, problema revine la determinarea func¸tiei derivabile y = y(x), x ∈ [x1 , x2 ] cu y(x1 ) = y1 , y(x2 ) = y2 astfel încât integrala Zx2 p 1 + y 0 (x)2 dx

x1

s˘ a fie minim˘ a.

11.2

Func¸tionale

Toate problemele enun¸tate mai sus erau probleme de extremum - determinarea maximului sau minimului - pentru o anumit˘ a integral˘ a, care depinde de o anumit˘ a curb˘ a, deci de una sau mai multe func¸tii definite pe un anumit interval. Spre deosebire de problemele de extremum pentru func¸tiile de o variabil˘ a sau mai multe variable, rezolvate cu mijloacele calculului diferen¸tial, unde aveam de-a face cu probleme cu unul sau mai multe grade de libertate (dar în num˘ ar finit), aici avem de-a face cu probleme cu un num˘ ar infinit de grade de libertate. In cazul extremelor func¸tiilor de n variabile, cele n variabile x1 , x2 , ..., xn erau coordonatele unui element, unui punct x = (x1 , x2 , ..., xn ) din Rn . In Rn avem opera¸tiile de adunare a dou˘ a asemenea elemente ¸si opera¸tia de înmul¸tire a unui element cu un num˘ ar real, Rn fiind astfel un spa¸tiu vectorial n-dimensional, de aceea spuneam c˘ a avem un num˘ar finit de grade de libertate. In plus, în Rn puteam introduce o norm˘ a, deci o distan¸ta˘, astfel încât s˘ a putem vorbi de puncte vecine. In

18

CAPITOLUL 11. ELEMENTE DE CALCUL VARIATIONAL ¸

problemele calculului varia¸tional este vorba de g˘ asirea extremului unei integrale care depinde de una sau mai multe func¸tii ¸si de derivatele acestora. O asemenea integral˘ a este o func¸tie definit˘ a pe o mul¸time de func¸tii ¸si are valori reale. Ea se nume¸ste func¸tional˘a exprimat˘a printr-o integral˘a. Deci calculul varia¸tional studiaz˘ a extremele func¸tionalelor exprimate prin integrale. In continuare, vom conveni ca func¸tionalele s˘ a fie notate prin litere mari latine, marcând argumentele lor, deci func¸tiile de care depind, între paranteze drepte. Vom conveni s˘ a marc˘ am în paranteze rotunde argumentul sau argumentele func¸tiilor, de¸si acestea sunt variabile “mute”, deci pot fi notate oricum. Astfel, func¸tionala din problema lui Dido este I[y(x)] =

Zb

y(x)dx

a

sau

ZL

I[x(s)] =

p x(s) 1 − x0 (s)2 ds

0

sau

Zt2

1 I[x(t), y(t)] = 2

[x(t)y 0 (t) − y(t)x0 (t)]dt

t1

dup˘ a cum folosim reprezentarea explicit˘ a sau parametric˘ a a curbei. In celelalte probleme enun¸tate func¸tionalele sunt: - în problema brahistocronei Zb s

I[y(x)] =

0

1 + y 0 (x)2 dx; 2g(h − y(x))

- în problema suprafe¸tei de rota¸tie minime I[y(x)] = 2π

Zb

−b

p y(x) 1 + y 0 (x)2 dx;

- în problema echilibrului firului greu I[y(x)] =

Zb a

p y(x) 1 + y 0 (x)2 dx;

- în problema geodezicelor în plan Zx2 p 1 + y 0 (x)2 dx. I[y(x)] = x1

11.3. SPATII ¸ DE FUNCTII ¸

11.3

19

Spa¸tii de func¸tii

Domeniul de defini¸tie al unei func¸tionale este o mul¸time de func¸tii reale definite pe un interval în cazul func¸tiilor de o variabil˘ a, sau pe un domeniu în cazul func¸tiilor de mai multe variabile, care satisfac anumite condi¸tii de netezime - derivata continu˘ a sau continu˘ a pe por¸tiuni - în interval sau domeniu ¸si anumite condi¸tii la capetele intervalului sau pe frontiera domeniului. Mul¸timile de func¸tii reale definite pe un interval sau domeniu cu anumite condi¸tii de netezime înzestrate cu opera¸tia de adunare a func¸tiilor ¸si cu opera¸tia de înmul¸tire a func¸tiilor cu numere reale formeaz˘ a spa¸tii vectoriale cu dimensiune infinit˘ a. Se spune c˘ a avem de-a face cu probleme cu un num˘ ar infinit de grade de libertate. Mai mult, aceste spa¸tii vectoriale pot fi înzestrate cu anumite norme, deci cu anumite distan¸te, ¸si putem astfel vorbi despre func¸tii vecine ¸si despre vecin˘ atatea unei func¸tii. Ca peste tot în acest curs, vom nota prin C[a, b] spa¸tiul vectorial normat al func¸tiilor continue pe [a, b] cu norma uniform˘ a ky(x)k0 = max |y(x)| ; x∈[a,b]

a pe [a, b] prin C 1 [a, b] vom nota spa¸tiul vectorial normat al func¸tiilor cu derivata continu˘ cu norma ky(x)k1 = max |y(x)| + max |y 0 (x)| ; x∈[a,b]

x∈[a,b]

mai general prin C m [a, b] vom nota spa¸tiul vectorial normat al func¸tiilor cu derivata de ordinul m continu˘ a pe [a, b] cu norma ky(x)km =

m X k=0

¯ ¯ max ¯y (k) (x)¯ .

x∈[a,b]

Prin C m∗ [a, b] vom nota spa¸tiul vectorial normat al func¸tiilor cu derivata de ordinul m continu˘ a pe por¸tiuni pe [a, b] cu aceea¸si norm˘ a ky(x)km =

m X k=0

¯ ¯ max ¯y (k) (x)¯ .

x∈[a,b]

Dac˘ a y0 (x) ∈ C[a, b] vom numi vecin˘atate de ordin zero sau vecin˘atate tare de l˘argime 2ε a lui y0 (x) mul¸timea tuturor func¸tiilor y(x) ∈ C[a, b] cu proprietatea c˘ a ky(x) − y0 (x)k0 < ε ¸si o vom nota prin V0ε (y0 (x)). Analog, vom numi vecin˘atate de

CAPITOLUL 11. ELEMENTE DE CALCUL VARIATIONAL ¸

20

ordinul întâi sau slab˘a de l˘argime 2ε a lui y0 (x) ∈ C 1 [a, b] mul¸timea tuturor func¸tiilor

y(x) ∈ C 1 [a, b] cu proprietatea c˘ a ky(x) − y0 (x)k1 < ε ¸si o vom nota prin V1ε (y0 (x)).

La fel, vom numi vecin˘ atate slab˘ a de func¸tii cu derivat˘ a discontinu˘ a de l˘ argime 2ε a lui y0 (x) ∈ C 1∗ [a, b] mul¸timea tuturor func¸tiilor y(x) ∈ C 1∗ [a, b] cu proprietatea c˘ a ky(x) − y0 (x)k1 < ε ¸si o vom nota prin V1∗ε (y0 (x)) . Este clar c˘ a o vecin˘ atate slab˘ a de l˘ argime 2ε a lui y0 (x) este con¸tinut˘ a în vecin˘ atatea tare de l˘ argime 2ε a lui y0 (x). Fie I[y(x)] o func¸tional˘ a definit˘ a pe o mul¸time de func¸tii M. Mul¸timea M se nume¸ste ¸si mul¸timea func¸tiilor admisibile. Cum orice func¸tie admisibil˘ a are un grafic, mul¸timea M se mai nume¸ste ¸si mul¸timea liniilor sau curbelor admisibile. In cazul func¸tionalelor care depind de func¸tii de mai multe variabile vom vorbi de mul¸timea suprafe¸telor admisibile. Fie I[y(x)] o func¸tional˘ a definit˘ a pe o mul¸time de func¸tii M ¸si y0 (x) ∈ M. Func¸tionala I[y(x)] este continu˘a în y0 (x) în sensul unei anumite norme dac˘ a pentru orice ε > 0 exist˘ a un δ(ε) > 0 astfel încât pentru orice func¸tie y(x) ∈ M din vecin˘ atatea de ordin δ(ε) a lui y0 (x), ||y(x) − y0 (x)|| < δ(ε), are loc inegalitatea |I[y(x)] − I[y0 (x)]| < ε. Este evident defini¸tia obi¸snuit˘ a a continuit˘ a¸tii în spa¸tii normate. Aceast˘ a defini¸tie este echivalent˘ a cu faptul c˘ a oricare ar fi func¸tia η(x) din vecin˘ atatea lui 0 (func¸tia nul˘ a) are loc rela¸tia lim I[y0 (x) + tη(x)] = I[y0 (x)]. t→0

Dac˘ a func¸tionala I[y(x)] definit˘ a pe mul¸timea de func¸tii M nu este continu˘ a în y0 (x) ∈ M0 , se spune c˘ a ea este discontinu˘ a în y0 (x). Exemplul 1. Func¸tionala I[y(x)] =

Z

1

[y(x) + 2y 0 (x)]dx

0

a în func¸tia y0 (x) = x în sensul normei din C 1 [0, 1] pentru definit˘ a pe C 1 [0, 1] este continu˘ c˘ a oricare ar fi func¸tia y(x) ∈ C 1 [0, 1] cu |y(x) − x| < δ, |y 0 (x) − 1| < δ avem Z 1 |I[y(x)] − I[x]| = | [y(x) + 2y 0 (x) − x − 2]dx| ≤ Z 01 Z 1 ≤ |y(x) − x|dx + 2 |y 0 (x) − 1|dx. 0

Oricare ar fi ε > 0 alegând δ =

ε 3

0

avem |I[y(x)] − I[x]| < ε.

11.4. CLASIFICAREA EXTREMELOR

21

Exemplul 2.Fie func¸tionala I[y(x)] = y 0 (x0 ) definit˘ a pe C 1 [a, b], x0 fiind un punct fixat din [a, b]. Aceast˘ a func¸tional˘ a este discontinu˘ a în orice func¸tie y0 (x) ∈ C 1 [a, b] în

norma uniform˘ a din C[a, b]. Intr-adev˘ ar, fie ϕ(x) ∈ C 1 [a, b] astfel încât ϕ0 (x0 ) = 1 ¸si

|ϕ(x)| < δ, ∀x ∈ [a, b]. Func¸tia y(x) = y0 (x) + ϕ(x) ∈ C 1 [a, b] ¸si are derivata y 0 (x0 ) = y00 (x) + 1. Deci |I[y(x)] − I[y0 (x)]| = 1.

Se vede u¸sor c˘ a aceea¸si func¸tional˘ a este continu˘ a în orice func¸tie y0 (x) ∈ C 1 [a, b] în

norma lui C 1 [a, b].

11.4

Clasificarea extremelor

Fie I[y(x)] o func¸tional˘ a definit˘ a pe o mul¸time de func¸tii M . Vom spune c˘ a func¸tionala I[y(x)] are minim (maxim) pe mul¸timea M0 ⊂ M în y0 (x) ∈ M0 dac˘ a pentru orice y(x) ∈ M0 are loc rela¸tia I[y(x)] − I[y0 (x)] ≥ 0 (≤ 0) . Dac˘ a func¸tionala I[y(x)] are minim (maxim) pe mul¸timea M0 ⊂ M în y0 (x) ∈ M0 a M1 ⊂ M0 , y0 (x) ∈ M1 atunci ea are minim (maxim) în y0 (x) pe orice mul¸time mai mic˘ . Fie I[y(x)] o func¸tional˘ a definit˘ a pe o mul¸time de func¸tii M. Vom spune c˘ a func¸tioa exist˘ a o vecin˘ atate nala I[y(x)] are un minim (maxim) tare în y0 (x) ∈ C[a, b] ∩ M dac˘ tare V0ε (y0 (x)) astfel încât func¸tionala are un minim (maxim) pe V0ε (y0 (x)) ∩ M în y0 (x) . Analog, vom spune c˘ a func¸tionala I[y(x)] are un minim (maxim) slab în y0 (x) ∈

C 1 [a, b] ∩ M dac˘ a exist˘ a o vecin˘ atate slab˘ a V1ε (y0 (x)) astfel încât func¸tionala are un minim (maxim) pe V1ε (y0 (x)) ∩ M în y0 (x) . La fel vom defini minimul (maximul) slab

cu derivat˘ a discontinu˘ a. Dac˘ a func¸tionala I[y(x)] definit˘ a pe mul¸timea de func¸tii M are un minim ( maxim) pe M în y0 (x) ∈ M vom spune c˘ a ea are un minim (maxim) absolut pe M în y0 (x). Minimele (maximele) tari sau slabe se numesc ¸si minime (maxime) relative. Este evident c˘ a un extremum tare este deasemenea ¸si un extremum slab. De asemenea, un extremum absolut este ¸si un extremum relativ. Exemplul 3. Fie func¸tionala I[y(x)] =

Z 0

πy(x)2 (1 − y 0 (x)2 )dx

CAPITOLUL 11. ELEMENTE DE CALCUL VARIATIONAL ¸

22

definit˘ a pe mul¸timea M a func¸tiilor cu derivata integrabil˘ a pe [0, π] astfel încât y(0) = y(π) = 0. Func¸tia nul˘ a pe [0, π] realizeaz˘ a minimul slab al acestei func¸tionale pentru c˘ a pentru |y(x)| + |y 0 (x)| < ε < 1 integrandul este pozitiv ¸si se anuleaz˘ a numai pentru y(x) ≡ 0. Func¸tionala nu î¸si atinge minimul tare pe y(x) ≡ 0 pentru c˘ a luând func¸tiile 1 yn (x) = √ sin nx n avem I[yn (x)] =

π π − 2n 8

¸si deci I[yn (x)] < 0 pentru n > 4. In acela¸si timp kyn (x)k0 → 0, adic˘ a func¸tiile yn (x) sunt în vecin˘ atatea tare a func¸tiei nule. Exemplul 4. Fie func¸tionala I[y(x)] =

Z1

x2 y 0 (x)2 dx

−1

definit˘ a pe mul¸timea M a func¸tiilor cu derivat˘ a integrabil˘ a pe [−1, 1] astfel încât y(−1) = −1, y(1) = 1. Ea este evident pozitiv˘ a pe M. Pentru func¸tiile arctan αx , α > 0, yα(x) = arctan α1 avem I[yα(x)] =

Z1

−1

x2 ya0 (x)2 dx

<

Z1

(x2 + α2 )ya0 (x)2 dx =

−1

2α arctan α1

a ¸si deci I[yα(x)] → 0 pentru α → 0. In C 1 [−1, 1] nu se poate atinge minimul pentru c˘ ar trebui s˘ a avem y 0 (x) = 0 ¸si deci y(x) = const, contradic¸tie cu condi¸tiile la capete. In

C 1∗ [−1, 1] minimul se atinge pentru func¸tia    −1 x ∈ [−1, 0)   y0 (x) = 0 x=0     1 x ∈ (0, 1]

spre care tind func¸tiile yα(x) pentru α → 0.

Defini¸tiile date mai sus se extind în mod natural atât în cazul func¸tionalelor care depind de o func¸tie de mai multe variabile definit˘ a pe un domeniu ¸si de derivatele par¸tiale ale acesteia cât ¸si în cazul func¸tionalelor care depind de mai multe func¸tii de o variabil˘ a

11.5. EXERCITII ¸

23

definite pe un interval ¸si de derivatele acestora. In ultimul caz, în locul func¸tiei y(x) putem considera c˘ a avem de-a face cu o func¸tie vectorial˘ a y(x) cu n componente func¸tii de o singur˘ a variabil˘ a.

11.5

Exerci¸tii

1. S˘ a se arate c˘ a func¸tia y(x) ≡ x realizeaz˘ a minimul tare (chiar absolut) pentru func¸tionala Z1

I[y(x)] =

y 0 (x)dx

0

definit˘ a pe mul¸timea func¸tiilor ª © M = y(x)|y(x) ∈ C 1 [0, 1], y(0) = 0, y(1) = 1. . 2. S˘ a se arate c˘ a func¸tia y(x) ≡ x realizeaz˘ a minimul slab, dar nu tare, pentru func¸tionala I[y(x)] =

Z1

y 0 (x)3 dx

0

definit˘ a pe mul¸timea func¸tiilor ª © M = y(x)|y(x) ∈ C 1 [0, 1], y(0) = 0, y(1) = 1. ¸si c˘ a minimul absolut al func¸tionalei este egal cu −∞. 3. S˘ a se arate c˘ a pentru func¸tionala

I[y(x)] =

Z1

xy 0 (x)2 dx

0

definit˘ a pe mul¸timea func¸tiilor © ª M = y(x)|y(x) ∈ C 1 [0, 1], xy 0 (x)2 integrabil˘ a pe [0, 1], y(0) = 0, y(1) = 1. nu exist˘ a o func¸tie care s˘ a realizeze minimul. Ind. Se va observa c˘ a I[y(x)] = 0 ¸si c˘ a I[x n ] = 1

1 2n

→ 0.

CAPITOLUL 11. ELEMENTE DE CALCUL VARIATIONAL ¸

24

4. S˘ a se arate c˘ a pentru func¸tionala I[y(x)] =

Z1

2

x 3 y 0 (x)2 dx

0

definit˘ a pe mul¸timea func¸tiilor o n 2 M = y(x)|y(x) ∈ C 1 [0, 1], x 3 y 0 (x)2 integrabil˘a pe [0, 1], y(0) = 0, y(1) = 1. 1

minimul absolut se atinge pentru y(x) ≡ x 3 .

11.6

Extremele func¸tiilor reale de mai multe variabile

Calculul varia¸tional clasic rezolv˘ a problema extremelor func¸tionalelor prin mijloace asem˘ an˘ atoare celor folosite de analiza clasic˘ a în rezolvarea problemei extremelor func¸tiilor de una sau mai multe variabile. S ¸ i în analiza clasic˘ a ¸si în calculul varia¸tional clasic, metoda esen¸tial˘ a este metoda varia¸tiilor: studiul extremelor este f˘ acut prin atribuirea de mici varia¸tii argumentului. De aceea vom reaminti pe scurt rezultatele analizei clasice în cazul func¸tiilor reale de n variabile. Notând x = (x1 , x2 , ..., xn ), o asemenea func¸tie se poate scrie sub forma f (x). Func¸tia f (x) definit˘ a într-o vecin˘ atate a lui a are derivat˘ a în a în direc¸tia vectorului h, notat˘ a ∂f , dac˘ a func¸tia de variabil˘ a real˘ a t, f (a + th) are ∂h derivata

∂f ∂h

în t = 0, adic˘ a d ∂f = f (a + th) |t=0 , ∂h dt

sau altfel scris f (a + th) = f (a) + t

∂f + o(t), t → 0. ∂h

Reamintim c˘ a am notat prin o(t) un “infinit mic” neglijabil în raport cu t, adic˘ a lim t→0

|o(t)| |t|

= 0. Derivatele par¸tiale

∂f ∂f , ∂f , ..., ∂x ∂x1 ∂x2 n

sunt derivatele în a în direc¸tia versorilor

bazei canonice e1 = (1, 0, ..., 0) , e2 = (0, 1, 0, ..., 0) , ... , en = (0, ...0, 1). Func¸tia f (x) definit˘ a într-o vecin˘ atate a lui a are derivat˘ a de ordinul doi în a în 2

direc¸tia vectorului h, notat˘ a ∂∂hf2 , dac˘ a func¸tia de variabil˘ a real˘ a t, f (a + th) are derivata de ordinul doi

∂2f ∂h2

în t = 0, adic˘ a d2 ∂ 2f = f (a + th) |t=0 , ∂h2 dt2

11.6. EXTREMELE FUNCTIILOR ¸ REALE DE MAI MULTE VARIABILE

25

sau altfel scris ∂f 1 2 ∂ 2 f + t + o(t2 ), t → 0. 2 ∂h 2 ∂h Func¸tia f (x) definit˘ a într-o vecin˘ atate a lui a este diferen¸tiabil˘ a în a dac˘ a cre¸sterea f (a + th) = f (a) + t

sa în a: f (a + h) − f (a) are o parte principal˘ a linear˘ a în cre¸sterea argumentului h, adic˘ a exist˘ a o aplica¸tie linear˘ a de la Rn la R, deci o form˘ a linear˘ a, derivata de primul ordin

f 0 (a)(h), numit˘ a ¸si diferen¸tiala de primul ordin notat˘ a df (a; h), astfel încât f (a + h) − f (a) = f 0 (a)(h) + o(khk), khk → 0 sau f (a + h) − f (a) = df(a; h) + o(||h||), khk → 0. Dac˘ a func¸tia f (x) este diferen¸tiabil˘ a în a, ea are în a derivate par¸tiale dup˘ a orice vector ¸si componentele derivatei f 0 (a) sunt tocmai derivatele par¸tiale în a

∂f ∂f , ∂f , ..., ∂x ∂x1 ∂x2 n

ale

lui f (x). Rela¸tia de defini¸tie se poate scrie matricial sub forma ∂f ∂f ∂f , , ..., )(h1 , h2 , ..., hn )t + o(khk), ∂x1 ∂x2 ∂xn sau ∂f ∂f ∂f h1 + h2 + ... + hn + o(khk) f (a + h) − f (a) = ∂x1 ∂x2 ∂xn f (a + h) − f (a) = (

unde prin exponentul t am notat opera¸tia de transpunere. Cum pentru func¸tiile f (x) = xi avem df(a; h) = hi este normal s˘ a se noteze dxi în loc de hi ¸si dx în loc de h ¸si expresia diferen¸tialei este ∂f ∂f ∂f dx1 + dx2 + ... + dxn ∂x1 ∂x2 ∂xn O func¸tie definit˘ a ¸si diferen¸tiabil˘ a într-o vecin˘ atate a lui a este diferen¸tiabil˘ a de df (a; dx) =

a în a, în ordinul doi în a dac˘ a diferen¸tiala sa de primul ordin f 0 (x)(h) este diferen¸tiabil˘ raport cu x, deci exist˘ a o aplica¸tie linear˘ a de la spa¸tiul formelor lineare pe Rn la R, adic˘ a o form˘ a bilinear˘ a f 00 (a)(h, k) de la Rn la R, astfel încât f 0 (a + k)(h) − f 0 (a)(h) = f 00 (a)(h, k) + o(kkk). Se arat˘ a c˘ a forma bilinear˘ af 00 (a)(h, k) este simetric˘ a ¸si c˘ a matricea sa în baza canonic˘ a este a¸sa numita matrice hessian˘a a lui f , matricea derivatelor par¸tiale de ordinul doi ale lui f în a, adic˘ a are loc rela¸tia 00

f (a)(h, k) =

n X

∂2f hi kj . ∂x ∂x i j i,j=1

CAPITOLUL 11. ELEMENTE DE CALCUL VARIATIONAL ¸

26

Mai mult, se arat˘ a c˘ a defini¸tia de mai sus este echivalent˘ a cu existen¸ta formulei lui Taylor de ordinul doi f (a + h) = f (a) +

1 0 1 f (a)(h) + f 00 (a)(h, h) + o(khk2 ), khk → 0. 1! 2!

a diferen¸tiala de ordinul doi ¸si se noteaz˘ a prin De obicei f 00 (a)(h, h) este numit˘ d2 f (a; h) sau d2 f (a; dx). Cu nota¸tiile de mai sus 2

d f (a; dx) =

n X

∂ 2f dxi dxj . ∂xi ∂xj i,j=1

Peste tot în aceste rela¸tii, derivatele par¸tiale sunt calculate în a. De asemenea are loc rela¸tia f 00 (a)(h, h) =

d2 f (a + th) |t=0 , dt2

adic˘ a dac˘ a func¸tia este diferen¸tiabil˘ a de dou˘ a ori atunci ea are ¸si derivata de ordinul doi în direc¸tia oric˘ arui vector Pe baza celor de mai sus, se demonstreaz˘ a urm˘ atoarele teoreme: T1. (Condi¸tii necesare de minim) Pentru ca punctul a s˘ a fie punct de minim local al func¸tiei f (x) diferen¸tiabil˘ a de ordinul doi în a sunt necesare condi¸tiile: • f 0 (a) = 0, • f 00 (a) ≥ 0, ultima condi¸tie însemnând c˘ a forma p˘ atratic˘ a f 00 (a)(h, h) ≥ 0 pentru orice h. T2. (Condi¸tii suficiente de minim) Pentru ca punctul a s˘ a fie punct de minim local pentru func¸tia f (x) diferen¸tiabil˘ a de ordinul doi în a sunt suficiente condi¸tiile: • f 0 (a) = 0, • f 00 (a) > 0, ultima condi¸tie însemnând c˘ a f 00 (a)(h, h) > 0 pentru orice h nenul.

11.7. VARIATIA ¸ DE ORDINUL ÎNTÂI A FUNCTIONALELOR ¸

11.7

27

Varia¸tia de ordinul întâi a func¸tionalelor

Având în vedere cele de mai sus, suntem condu¸si s˘ a introducem urm˘ atoarele defini¸tii: Defini¸tia 1. Fie I[y(x)] o func¸tional˘ a definit˘ a pe mul¸timea M a func¸tiilor admisibile y(x). Vom numi derivat˘a de ordinul întâi a func¸tionalei I[y(x)] în punctul y0 (x) ∈ M corespunz˘ atoare func¸tiei η(x), derivata de ordinul întâi în t = 0 a func¸tiei I[y0 (x)+tη(x)], adic˘ a aplica¸tia η(x) → δI[y0 (x); η(x)] definit˘ a prin rela¸tia δI[y0 (x); η(x)] =

∂ I[y0 (x) + tη(x)] |t=0 , ∂t

dac˘ a aceasta exist˘ a pentru y0 (x) + tη(x) ∈ M, pentru t într-o vecin˘ atate V0 a lui 0. Din aceast˘ a defini¸tie, rezult˘ a c˘ a derivata de ordinul întâi δI[y0 (x); η(x)] este o func¸tional˘ a definit˘ a pe o submul¸time M0 = {η(x)|y0 (x) + tη(x) ∈ M, t ∈ V0 } a mul¸timii func¸tiilor admisibile M. Ea depinde atât de func¸tia dat˘ a y0 (x) cât ¸si de func¸tia η(x). Dac˘ a adopt˘ am un limbaj geometric, putem spune c˘ a mul¸timea func¸tiilor {y0 (x) + tη(x)|t ∈ V0 } alc˘ atuiesc direc¸tia η(x) ¸si putem vorbi de derivata întâia a func¸tionalei în direc¸tia η(x). Defini¸tia 2. O func¸tional˘ a L[y(x)] definit˘ a pe un spa¸tiu vectorial real normat de func¸tii M se nume¸ste omogen˘a dac˘ a oricare ar fi constanta real˘ a λ ¸si oricare ar fi func¸tia y(x) ∈ M are loc rela¸tia L[λy(x)] = λL[y(x)]. O func¸tional˘ a L[y(x)] definit˘ a pe un spa¸tiu vectorial real normat de func¸tii M se nume¸ste aditiv˘a dac˘ a oricare ar fi func¸tiile y1 (x), y2 (x) ∈ M are loc rela¸tia L[y1 (x) + y2 (x)] = L[y1 (x)] + L[y2 (x)]. O func¸tional˘ a L[y(x)] definit˘ a pe un spa¸tiu vectorial real normat de func¸tii M se nume¸ste linear˘a dac˘ a este omogen˘ a ¸si aditiv˘ a. Se verific˘ a u¸sor c˘ a o func¸tional˘ a definit˘ a pe un spa¸tiu vectorial real normat de func¸tii M este linear˘ a dac˘ a este continu˘ a ¸si aditiv˘ a.

CAPITOLUL 11. ELEMENTE DE CALCUL VARIATIONAL ¸

28

Vom observa c˘ a derivata de ordinul întâi δI[y0 (x); η(x)] este o func¸tional˘ a omogen˘ a în raport cu η(x) cum rezult˘ a din rela¸tiile ∂ I[y0 (x) + λtη(x)] |t=0 = ∂t ∂(λt) ∂ I[y0 (x) + λtη(x)] |λt=0 = = ∂(λt) ∂t ∂ = λ I[y0 (x) + λtη(x)] |λt=0 = λδI[y0 (x); η(x)]. ∂(λt)

δI[y0 (x); λη(x)] =

Derivata de ordinul întâi fiind func¸tional˘ a omogen˘ a în raport cu direc¸tia δI[y0 (x); tη(x)] = tδI[y0 (x); η(x)], cum tη(x) reprezint˘ a varia¸tia efectiv˘ a a func¸tiei y0 (x) este natural s˘ ao numim pe aceasta varia¸tia func¸tiei y0 (x), s˘ a o not˘ am cu δy(x), iar ca varia¸tie de ordinul întâi a func¸tionalei s˘ a consider˘ am pe tδI[y0 (x); η(x)] = δI[y0 (x); δy(x)]. a, uneori func¸tia y(x, t) : [a, b]× Observa¸tie. Dac˘ a y0 (x) : [a, b] → R este o func¸tie real˘ (−ε, ε) → R cu proprietatea c˘ a y(x, 0) = y0 (x) se nume¸ste variata lui y0 (x). Func¸tia ¯ ¯ δy(x) = ∂y(x,t) t se nume¸ste varia¸tia lui y0 (x). Se verific˘ a u¸sor c˘ a (δy(x))0 = δy 0 (x). Se ∂t ¯ t=0

define¸ste varia¸tia de ordinul întâi a func¸tionalei I[y(x)] în y0 (x) ca fiind δI[y0 (x), δy(x)] = ¯ ∂I[y(x,t)] ¯ amân valabile cu aceste ¯ t. Toate rela¸tiile de mai sus sau care vor urma r˘ ∂t t=0

defini¸tii.

Exemplul 5. S˘ a consider˘ am func¸tionala I[y(x)] =

Z1

y(x)2 y 0 (x)dx

−1

definit˘ a pe mul¸timea func¸tiilor admisibile ª © M = y(x)|y(x) ∈ C 1 [−1, 1], y(−1) = 1, y(1) = 1 .

a ¸si numai dac˘ a η(x) ∈ Cum func¸tia y0 (x) = x2 ∈ M, func¸tia y0 (x) + tη(x) ∈ M dac˘

C 1 [−1, 1] ¸si η(−1) = η(1) = 0. In aceste condi¸tii avem

I[y0 (x) + tη(x)] =

Z1

[x2 + tη(x)]2 [2x + tη 0 (x)]dx.

−1

Sub integral˘ a având un polinom în t, putem deriva sub integral˘ a ¸si avem δI[y0 (x); η(x)] =

∂ I[y0 (x) + tη(x)] |t=0 = ∂t

11.7. VARIATIA ¸ DE ORDINUL ÎNTÂI A FUNCTIONALELOR ¸

= lim t→0

Z1

29

0

[2x + tη 0 (x)][2x2 η(x) + 2tη(x)2 ] + η (x)[x2 + tη(x)]2 dx =

−1

=

Z1

[4x3 η(x) + x4 η 0 (x)]dx.

−1

Din expresia ob¸tinut˘ a se vede c˘ a derivata de ordinul întâi este în acest caz chiar o func¸tional˘ a linear˘ a pe mul¸timea © ª M0 = η(x)|η(x) ∈ C 1 [−1, 1], η(−1) = 0, η(1) = 0 .

Exemplul 6. Fie acum func¸tionala

Z1 p 3 y(x)3 + y 0 (x)3 dx I[y(x)] = −1

definit˘ a pe mul¸timea func¸tiilor admisibile M = {y(x)|y(x) ∈ C 1 [−1, 1], y(−1) = 0, y(1) = 0}. Cum func¸tia y0 (x) = 0 ∈ M pentru ca y0 (x)+tη(x) = tη(x) ∈ M este necesar ¸si suficient ca

Cum

© ª η(x) ∈ M0 = η(x)|η(x) ∈ C 1 [−1, 1], η(−1) = 0, η(1) = 0 . Z1 p I[y0 (x) + tη(x)] = I[tη(x)] = t 3 η(x)3 + η 0 (x)3 dx −1

rezult˘ a c˘ a derivata de ordinul întâi a acestei func¸tionale este Z1 p 3 η(x)3 + η 0 (x)3 dx. δI[y0 (x); η(x)] = −1

Observ˘ am c˘ a în acest caz derivata de ordinul întâi este o func¸tional˘ a nelinear˘ a în raport cu η(x), dar ea este o func¸tional˘ a omogen˘ a în raport cu η(x). Nelinearitatea varia¸tiei de ordinul întâi se explic˘ a prin faptul c˘ a func¸tia de sub integrala func¸tionalei, f (y, y 0 ) = y 3 +y 03 , nu admite derivate par¸tiale de ordinul întâi în punctul (0, 0), unde y = 0, y 0 = 0. Exemplul 7. Fie acum cazul mai general al func¸tionalei I[y(x)] =

Zb a

F (x, y(x), y 0 (x))dx

CAPITOLUL 11. ELEMENTE DE CALCUL VARIATIONAL ¸

30

definit˘ a pe mul¸timea func¸tiilor admisibile M = {y(x)|y(x) ∈ C 1 [a, b], y(a) = y1 , y(b) = y2 }. In ce prive¸ste lagrangeianul func¸tionalei, func¸tia de trei variabile F (x, y, y 0 ), vom admite c˘ a ea este definit˘ a într-un domeniu D3 ⊂ R3 ¸si c˘ a în acest domeniu ea este o func¸tie cu derivate par¸tiale de ordinul întâi Fx , Fy , Fy0 continue în raport cu cele trei variabile. a. Pentru ca y0 (x) + tη(x) ∈ M, ∀t ∈ V0 , este necesar Fie y0 (x) ∈ M o func¸tie admisibil˘ ¸si suficient ca η(x) ∈ M0 = {η(x)|η(x) ∈ C 1 [a, b], η(a) = 0, η(b) = 0}. Pentru o asemenea func¸tie avem

I[y0 (x) + tη(x)] =

Zb

F (x, y0 (x) + tη(x), y00 (x) + tη 0 (x))dx.

a

Cum func¸tia F este de clas˘ a C, putem deriva în raport cu t sub integral˘ a conform cu regulile de derivare în lan¸t (derivarea func¸tiilor compuse): ∂ I[y0 + tη] = ∂t

Zb

[Fy (x, y0 + tη, y00 + tη 0 )η + Fy0 (x, y0 + tη, y00 + tη 0 )η 0 ] dx

a

¸si deci ob¸tinem derivata de ordinul întâi a func¸tionalei

δI[y0 (x); η(x)] =

Zb

[Fy (x, y0 (x), y00 (x))η(x) + Fy0 (x, y0 (x), y00 (x))η 0 (x)] dx.

a

Se vede c˘ a în acest caz, derivata de ordinul întâi este o func¸tional˘ a linear˘ a ¸si continu˘ a în raport cu func¸tia η(x). a Dac˘ a presupunem c˘ a func¸tia F (x, y, y 0 ) are derivate de ordinul doi continue ¸si c˘ func¸tiile admisibile sunt cu derivate de ordinul doi continue, ultimului termen al derivatei de ordinul întâi i se poate aplica integrarea prin p˘ ar¸ti ¸si putem scrie derivata de ordinul întâi sub forma ¸ Zb · d 0 0 δI[y0 (x); η(x)] = Fy (x, y0 (x), y0 (x)) − Fy0 (x, y0 (x), y0 (x)) η(x)dx. dx a

11.7. VARIATIA ¸ DE ORDINUL ÎNTÂI A FUNCTIONALELOR ¸

31

Dac˘ a derivata de ordinul întâi δI[y0 (x); η(x)] a func¸tionalei I[y(x)] este o func¸tional˘ a linear˘ a ¸si continu˘ a în raport cu func¸tia η(x), se mai spune c˘ a aceasta reprezint˘ a derivata sau diferen¸tiala în sensul lui Gateaux în y0 (x) a func¸tionalei I[y(x)] în direc¸tia lui η(x). Dac˘ a folosim varia¸tiile δy(x), δy 0 (x) atunci putem scrie δI[y0 (x); δy(x)] =

Zb · a

¸ ∂F ∂F 0 0 0 (x, y0 (x), y0 (x))δy(x) + 0 (x, y0 (x), y0 (x))δy (x) dx, ∂y ∂y

adic˘ a, formal varia¸tia de ordinul întâi se ob¸tine prin “diferen¸tiere” sub semnul integral˘ a ¸si înlocuirea simbolului de diferen¸tiere “d” prin “ δ ”. Defini¸tia 3. Dac˘ a pentru func¸tionala I[y(x)] definit˘ a pe mul¸timea func¸tiilor admisibile M dintr-un spa¸tiu vectorial normat exist˘ a o func¸tional˘ a L[y0 (x); η(x)] linear˘ a ¸si continu˘ a în raport cu func¸tia η(x) definit˘ a pe mul¸timea func¸tiilor M0 = {η(x)|y0 (x) + η(x) ∈ M} astfel încât I[y0 (x) + η(x)] − I[y0 (x)] = L[y0 (x); η(x)] + o(kη(x)k), kη(x)k → 0, pentru orice func¸tie η(x) ∈ M0 , atunci spunem c˘ a func¸tionala I[y(x)] este diferen¸tiabil˘a Frechet în y0 (x) ¸si func¸tionala linear˘ a L[y0 (x); η(x)] se nume¸ste derivata sau diferen¸tiala în sensul lui Frechet a func¸tionalei I[y(x)] în y0 (x) ¸si o vom nota tot prin δI[y0 (x); η(x)]. Exemplul 8. Fie acum cazul func¸tionalei I[y(x)] =

Zb

F (x, y(x), y 0 (x))dx

a

din Exemplul 7. definit˘ a pe mul¸timea func¸tiilor admisibile M = {y(x)|y(x) ∈ C 1 [a, b], y(a) = y1 , y(b) = y2 }. In ce prive¸ste lagrangeianul func¸tionalei, func¸tia de trei variabile F (x, y, y0), vom admite, a în acest domeniu ca ¸si acolo, c˘ a ea este definit˘ a într-un domeniu m˘ arginit D3 ⊂ R3 ¸si c˘ ea este o func¸tie cu derivate par¸tiale de ordinul doi în raport cu cele trei variabile continue. Fie y0 (x) ∈ M o func¸tie admisibil˘ a. Pentru ca y0 (x) + η(x) ∈ M, este necesar ¸si suficient ca η(x) ∈ M0 = {η(x)|η(x) ∈ C 1 [a, b], η(a) = 0, η(b) = 0}

CAPITOLUL 11. ELEMENTE DE CALCUL VARIATIONAL ¸

32

¸si ca norma lui η(x) s˘ a fie suficient de mic˘ a. Pentru o asemenea func¸tie avem I[y0 (x) + η(x)] =

Zb

F (x, y0 (x) + η(x), y00 (x) + η 0 (x))dx

a

¸si ¸tinând cont de formula lui Taylor F (x, y0 + η, y00 + η 0 ) = F (x, y0 , y00 ) + Fy (x, y0 , y00 )η + Fy0 (x, y0 , y00 )η 0 + o(kηk1 ) putem scrie I[y0 (x) + η(x)] = I[y0 (x)] +

Zb

[Fy (x, y0 , y00 )η + Fy0 (x, y0 , y00 )η 0 ]dx + o(kηk1 ),

a

adic˘ a func¸tionala este diferen¸tiabil˘ a în sensul lui Frechet ¸si diferen¸tiala sa în sensul lui Frechet coincide cu derivata sa în sensul lui Gateaux, adic˘ a cu derivata sa de ordinul întâi. De altfel, acest lucru este general: dac˘ a func¸tionala este diferen¸tiabil˘ a în sensul lui Frechet atunci ea este ¸si diferen¸tiabil˘ a în sensul lui Gateaux ¸si cele dou˘ a diferen¸tiale coincid. In cele ce urmeaz˘ a, vom avea de-a face numai cu func¸tionale care vor fi diferen¸tiabile Frechet ¸si datorit˘ a tradi¸tiei vom vorbi despre varia¸tia de ordinul întâi în loc de diferen¸tiala în sensul lui Frechet.. Mai mult, s˘ a observ˘ am c˘ a dac˘ a ¸tinem cont c˘ a func¸tia cre¸stere η(x) este varia¸tia func¸tiei y0 (x) ¸si deci o not˘ am cu δy(x), η 0 (x) este varia¸tia derivatei y00 (x) ¸si deci o not˘ am cu δy 0 (x), varia¸tia de ordinul întâi a func¸tionalei, ¸si deci diferen¸tiala sa Frechet, se scrie sub forma δI[y0 (x); δy(x)] =

Zb

[Fy (x, y0 (x), y00 (x))δy(x) + Fy0 (x, y0 (x), y00 (x))δy 0 (x)]dx,

a

adic˘ a, ¸si acum formal varia¸tia de ordinul întâi se ob¸tine prin “diferen¸tiere” sub semnul integral˘ a ¸si înlocuirea simbolului de diferen¸tiere “d” prin “ δ ”. Exemplul 9. S˘ a consider˘ am acum func¸tionala I[y(x), b] =

Zb

F (x, y(x), y 0 (x))dx

a

pe mul¸timea func¸tiilor M = {y(x)|y(x) ∈ C 1 [a, B], y(a) = y1 , b ≤ B}

11.7. VARIATIA ¸ DE ORDINUL ÎNTÂI A FUNCTIONALELOR ¸

33

adic˘ a pe mul¸timea func¸tiilor al c˘ aror grafic are cap˘ atul din stânga fixat, iar cap˘ atul din dreapta se poate deplasa liber în semiplanul x ≤ B. In calculul primei varia¸tii trebuie s˘ a ¸tinem cont de faptul c˘ a extremitatea dreapt˘ a se mi¸sc˘ a liber. Vom considera c˘ a abscisa cap˘ atului din dreapta devine b + tβ, iar ordonata devine y(b + tβ) + tη(b + tβ). Vom avea deci Φ(t) = I[y(x) + tη(x), b + tβ] =

b+tβ Z

F (x, y(x) + tη(x), y 0 (x) + tη 0 (x))dx

a

¸si deci

Φ0 (t) =

b+tβ Z

{Fy (x, y0 + tη, y00 + tη 0 )η + Fy0 (x, y0 + tη, y00 + tη 0 )η 0 } dx +

a

+F (b + tβ, y0 (b + tβ) + tη(b + tβ), y00 (b + tβ) + tη 0 (b + tβ))β

0

Φ (0) = δI[y0 ; η] =

Zb ½ a

¾ ∂F ∂F 0 0 0 (x, y0 , y0 )η + 0 (x, y0 , y0 )η dx + ∂y ∂y

+F (b, y0 (b), y00 (b))β integrând prin p˘ ar¸ti ¾ Zb ½ d 0 0 Φ (0) = δI[y0 ; η] = Fy (x, y0 , y0 ) − Fy0 (x, y0 , y0 ) η(x)dx + dx 0

a

+Fy0 (b, y0 (b), y00 (b))η(b) + F (b, y0 (b), y00 (b))β sau în scrierea cu δy(x) ¾ Zb ½ d 0 0 Fy (x, y0 , y0 ) − Fy0 (x, y0 , y0 ) δy(x)dx + δI[y0 ; δy] = dx a

+Fy0 (b, y0 (b), y00 (b))δy(b) + + (F (b, y0 (b), y00 (b)) − y00 (b)Fy0 (b, y0 (b), y00 (b))) δb. Am notat prin δy(b) varia¸tia efectiv˘ a a ordonatei cap˘ atului din b : δy(b) = η(b)t + y00 (b)δb.

CAPITOLUL 11. ELEMENTE DE CALCUL VARIATIONAL ¸

34

Dac˘ a ¸si cap˘ atul din stânga ar fi variabil ar ap˘ area cu semnul minus expresiile corespunz˘ atoare lui. Este de re¸tinut aceast˘ a form˘ a general˘ a a varia¸tiei de ordinul întâi pe care o putem scrie sub forma ¾ Zb ½ d 0 0 δI[y0 ; δy] = Fy (x, y0 , y0 ) − Fy0 (x, y0 , y0 ) δy(x)dx+ dx a

b

+ [Fy0 (x, y0 (x), y00 (x))δy(x) − H(x, y0 (x), y00 (x))δx]a unde am notat H(x, y, y 0 ) = y 0 Fy0 (x, y, y 0 ) − F (x, y, y 0 ) a¸sa numita func¸tie a lui Hamilton. Exemplul 10. Fie func¸tionala

I[y(x)] =

Zb

F (x, y(x), y 0 (x), ..., y (m) (x))dx

a

definit˘ a pe mul¸timea func¸tiilor admisibile M = {y(x)|y(x) ∈ C m [a, b], y (i) (a) = yia , y (i) (b) = yib , i = 0, 1, ..., m − 1} ¸si unde presupunem c˘ a func¸tia F are derivate par¸tiale de ordinul doi în raport cu toate argumentele continue într-un domeniu din Rm+2 . Dac˘ a y0 (x) ∈ M , y0 (x) + η(x) ∈ M dac˘ a ¸si numai dac˘ a η(x) ∈ M0 = {η(x)|η(x) ∈ C m [a, b], η (i) (a) = 0, η (i) (b) = 0, i = 0, 1, ..., m − 1} ¸si norma sa este suficient de mic˘ a. In aceste condi¸tii, func¸tionala are derivata Frechet în y0 (x) dat˘ a de rela¸tia δI[y0 (x); η(x)] =

Zb

[Fy η(x) + Fy0 η 0 (x) + ... + Fy(m) η (m) (x)]dx

a

toate derivatele par¸tiale fiind calculate în punctul corespunz˘ ator lui y0 (x). Dac˘ a presupunem c˘ a func¸tia F are derivate de ordin 2m în raport cu toate argumentele continue ¸si c˘ a func¸tiile admisibile au derivate de ordinul 2m continue pe [a, b], atunci integrând

11.7. VARIATIA ¸ DE ORDINUL ÎNTÂI A FUNCTIONALELOR ¸

35

prin p˘ ar¸ti ¸si ¸tinând cont de rela¸tiile verificate în capete de varia¸tia tη(x) = δy(x) se poate scrie varia¸tia de ordinul întâi sub forma δI[y0 (x); δy(x)] =

Zb

[Fy −

d dm Fy0 + ... + (−1)m m Fy(m) ]δy(x)dx. dx dx

a

Exemplul 11. Fie cazul unei func¸tionale I[y1 (x), y2 (x), ..., yn (x)] =

Zb

F (x, y1 (x), y2 (x), ..., yn (x), y10 (x), y20 (x), ..., yn0 (x))dx,

a

definite pe o mul¸time de n func¸tii de o variabil˘ a derivabile pe intervalul [a, b] : © ª M = yi (x), i = 1, 2, ..., n|yi (x) ∈ C 1 [a, b], yi (a) = yia , yi (b) = yib ,

func¸tia F fiind definit˘ a într-un domeniu ¸si cu derivatele par¸tiale de ordinul întâi continue în acel domeniu. In aceste condi¸tii func¸tionala are derivat˘ a Frechet în (y10 (x), y20 (x), ..., yn0 (x)) ) Zb (X n ¢ ¡ 0 0 δI(yi0 (x), ηi (x)) = (x))ηi (x) + Fyi0 (yi0 (x), yi0 (x))ηi0 (x) dx. Fyi (yi0 (x), yi0 a

i=1

Dac˘ a func¸tia F are derivate de ordinul doi continue ¸si dac˘ a func¸tiile admisibile au derivate de ordin doi atunci se poate scrie ) ¶ Zb (X n µ d 0 0 δI(yi0 (x), ηi (x)) = Fyi (yi0 (x), yi0 (x)) − Fyi0 (yi0 (x), yi0 (x)) ηi (x) dx. dx i=1 a

sau ) ¶ Zb (X n µ d 0 0 Fyi (yi0 (x), yi0 (x)) − Fyi0 (yi0 (x), yi0 (x)) δyi (x) dx. δI(yi0 (x), δyi (x)) = dx i=1 a

Exemplul 12. Consider˘ am acum cazul unei func¸tionale al c˘ arui argument este o func¸tie de dou˘ a variabile definit˘ a pe un domeniu D din planul xOy ZZ I[z(x, y)] = F (x, y, z(x, y), zx (x, y), zy (x, y))dxdy, D

zx (x, y), zy (x, y) fiind derivatele par¸tiale ale func¸tiei z(x, y), func¸tional˘ a definit˘ a pe mul¸timea func¸tiilor admisibile M = {z(x, y)|z(x, y) ∈ C 1 (D), z(x, y)|∂D = dat}.

CAPITOLUL 11. ELEMENTE DE CALCUL VARIATIONAL ¸

36

Presupunând c˘ a func¸tia F are derivate par¸tiale de ordinul doi continue în raport cu toate argumentele sale într-un domeniu m˘ arginit rezult˘ a imediat c˘ a func¸tionala are diferen¸tial˘ a Frechet ¸si c˘ a aceasta este δI[z(x, y); η(x, y)] =

ZZ

[Fz η(x, y) + Fzx ηx (x, y) + Fzy ηy (x, y)]dxdy

D

definit˘ a pe mul¸timea func¸tiilor M0 = {η(x, y)|η(x, y) ∈ C 1 (D), η(x, y)|∂D = 0}. Aici dac˘ a admitem c˘ a func¸tia F are derivate par¸tiale continue în raport cu toate argumentele ¸si c˘ a func¸tiile admisibile au derivate par¸tiale de ordinul doi continue pe D, integrând prin p˘ ar¸ti g˘ asim expresia varia¸tiei de ordinul întâi sub forma ZZ ∂ ∂ δI[z(x, y); η(x, y)] = Fzx − Fzy ]η(x, y)dxdy [Fz − ∂x ∂y D

11.8

Varia¸tia de ordinul doi a func¸tionalelor

Defini¸tia 4. Fie I[y(x)] o func¸tional˘ a definit˘ a pe mul¸timea M a func¸tiilor admisibile y(x). Vom numi derivat˘a de ordinul doi a func¸tionalei I[y(x)] în punctul y0 (x) ∈ M corespunz˘ atoare func¸tiei η(x), derivata de ordinul doi în t = 0 a func¸tiei I[y0 (x) + tη(x)], a prin rela¸tia adic˘ a aplica¸tia η(x) → δ 2 I[y0 (x); η(x)] definit˘ δ 2 I[y0 (x); η(x)] =

∂2 I[y0 (x) + tη(x)] |t=0 , ∂t2

atate V0 a lui 0. dac˘ a aceasta exist˘ a pentru y0 (x) + tη(x) ∈ M, pentru t într-o vecin˘

a omogen˘ a S ¸ i aici, rezult˘ a c˘ a derivata de ordinul doi δ 2 I[y0 (x); η(x)] este o func¸tional˘

a pe o submul¸time de ordinul doi δ 2 I[y0 (x); tη(x)] = t2 δ 2 I[y0 (x); η(x)] definit˘ M0 = {η(x)|y0 (x) + tη(x) ∈ M, t ∈ V0 } a mul¸timii func¸tiilor admisibile M. Introducând varia¸tia δy(x) = tη(x) vom considera varia¸tia de ordinul doi ca fiind δ 2 I[y0 (x); δy(x)] = t2 δ 2 I[y0 (x); η(x)]. Exemplul 13. Fie acum cazul func¸tionalei I[y(x)] =

Zb a

F (x, y(x), y 0 (x))dx

11.8. VARIATIA ¸ DE ORDINUL DOI A FUNCTIONALELOR ¸

37

definit˘ a pe mul¸timea func¸tiilor admisibile M = {y(x)|y(x) ∈ C 1 [a, b], y(a) = y1 , y(b) = y2 }. In ce prive¸ste lagrangeianul func¸tionalei, func¸tia de trei variabile F (x, y, y 0 ), vom admite c˘ a ea este definit˘ a într-un domeniu D3 ⊂ R3 ¸si c˘ a în acest domeniu ea este o func¸tie cu derivate par¸tiale de ordinul doi continue în raport cu cele trei variabile. Fie y0 (x) ∈ M o func¸tie admisibil˘ a.Cum avem ∂ I[y0 + tη] = ∂t

Zb

[Fy (x, y0 + tη, y00 + tη 0 )η + Fy0 (x, y0 + tη, y00 + tη 0 )η 0 ] dx

a

rezult˘ a ∂2 I[y0 + tη] = ∂t2

Zb a

£ Fyy (x, y0 + tη, y00 + tη 0 )η 2 +

¤ +2Fyy0 (x, y0 + tη, y00 + tη 0 )ηη 0 + Fy0 y0 (x, y0 + tη, y00 + tη 0 )η 02 dx

¸si deci derivata de ordinul doi este 2

δ I[y0 ; η] =

Z

b

a

© ª Fyy (x, y0 , y00 )η 2 + 2Fyy0 (x, y0 , y00 )ηη 0 + Fy0 y0 (x, y0 , y00 )η 02 dx

sau înlocuind tη(x) cu δy(x) ¸si tη 0 (x) cu δy 0 (x) 2

δ I[y0 ; δy(x)] =

Z

a

b

© ª Fyy (x, y0 , y00 )δy 2 + 2Fyy0 (x, y0 , y00 )δyδy 0 + Fy0 y0 (x, y0 , y00 )δy 02 dx

S ¸ i aici observ˘ am c˘ a formal varia¸tia de ordinul doi se ob¸tine diferen¸tiind formal cu operatorul δ varia¸tia de ordinul întâi. Defini¸tia 5. O func¸tional˘ a B[y(x), z(x)] definit˘ a pe M × M, M fiind un spa¸tiu vectorial real normat, se nume¸ste bilinear˘a pe M dac˘ a ea este linear˘ a în fiecare din cele dou˘ a argumente ale sale. Dac˘ a B[y(x), z(x)] este o func¸tional˘ a bilinear˘ a pe M, func¸tionala B[y(x), y(x)] se nume¸ste func¸tional˘ a p˘atratic˘a pe M. O func¸tional˘ a patratic˘ a B[y(x), y(x)] de nume¸ste pozitiv definit˘a dac˘ a B[y(x), y(x)] > 0 oricare ar fi func¸tia nenul˘ a y(x). Vom observa c˘ a varia¸tia de ordinul doi a func¸tionalei din exemplul ultim este o form˘ a p˘ atratic˘ a.

CAPITOLUL 11. ELEMENTE DE CALCUL VARIATIONAL ¸

38

Defini¸tia 6. O func¸tional˘ a I[y(x)] are o derivat˘a de ordinul doi în sensul lui Frechet dac˘ a cre¸sterea sa ∆I = I[y(x) + δy(x)] − I[y(x)] se poate scrie sub forma 1 ∆I = L1 [δy(x)] + L2 [δy(x)] + β kδy(x)k2 , 2 a linear˘ a, L2 [δy(x)] este o func¸tional˘ a p˘ atratic˘ a ¸si β → unde L1 [δy(x)] este o func¸tional˘ 0 când kδy(x)k → 0. Vom spune atunci c˘ a L2 [δy(x)] este derivata de ordinul doi a func¸tionalei I[y(x)] ¸si o vom nota prin d2 I[δy(x)]. Exemplul 14. Fie cazul func¸tionalei I[y(x)] =

Zb

F (x, y(x), y 0 (x))dx

a

în cazul în care func¸tia F are derivate par¸tiale de ordinul trei continue într-un domeniu m˘ arginit. Folosind de aceast˘ a dat˘ a formula lui Taylor de ordinul doi se vede imediat c˘ a aceast˘ a func¸tional˘ a admite diferen¸tial˘ a de ordinul doi în sensul lui Frechet ¸si aceasta coincide cu varia¸tia de ordinul doi calculat˘ a mai sus. Exemplul 15. Fie func¸tionala I[y(x)] =

Zb

F (x, y(x), y 0 (x), ..., y (m) (x))dx

a

definit˘ a pe mul¸timea func¸tiilor admisibile M = {y(x)|y(x) ∈ C m [a, b], y (i) (a) = yia , y (i) (b) = yib , i = 0, 1, ..., m − 1} ¸si unde presupunem c˘ a func¸tia F are derivate par¸tiale de ordinul doi în raport cu toate a y0 (x) ∈ M , y0 (x) + η(x) ∈ M argumentele continue într-un domeniu din Rm+2 . Dac˘ dac˘ a ¸si numai dac˘ a η(x) ∈ M0 = {η(x)|η(x) ∈ C m [a, b], η (i) (a) = 0, η (i) (b) = 0, i = 0, 1, ..., m − 1} ¸si norma sa este suficient de mic˘ a. In aceste condi¸tii, func¸tionala are varia¸tia de ordinul a de rela¸tia doi în y0 (x) dat˘ 2

δ I[y0 (x); η(x)] =

Zb X m a

∂ 2F η(x)(k) η(x)(l) dx (k) (l) ∂y ∂y k,l=0

11.8. VARIATIA ¸ DE ORDINUL DOI A FUNCTIONALELOR ¸

39

sau altfel scris 2

δ I[y0 (x); δy(x)] =

Zb X m a

∂ 2F δy(x)(k) δy(x)(l) dx. (k) ∂y (l) ∂y k,l=0

Dac˘ a func¸tia F are are derivate par¸tiale de ordinul trei continue, atunci func¸tionala are diferen¸tial˘ a de ordinul doi în sensul lui Frechet a c˘ arei expresie coincide cu cea de sus. Exemplul 16. Fie cazul unei func¸tionale I[y1 (x), y2 (x), ..., yn (x)] =

Zb

F (x, y1 (x), y2 (x), ..., yn (x), y10 (x), y20 (x), ..., yn0 (x))dx,

a

definite pe o mul¸time de n func¸tii de o variabil˘ a derivabile pe intervalul [a, b] : © ª M = yi (x), i = 1, 2, ..., n|yi (x) ∈ C 1 [a, b], yi (a) = yia , yi (b) = yib ,

func¸tia F fiind definit˘ a într-un domeniu ¸si cu derivatele par¸tiale de ordinul doi continue în acel domeniu. In aceste condi¸tii func¸tionala are varia¸tia de ordinul doi în (y10 (x), y20 (x), ..., yn0 (x)) dat˘ a de δ 2 I[y10 , ..., yn0 ; δy1 , ..., δyn ] = =

Zb " X n a

Fy00i yj δyi δyj +

i,j=1

n X

i,j=1

Fy00i yj0 δyi δyj0 +

n X

#

Fy00i0 yj0 δyi0 δyj0 dx

i,j=1

unde derivatele par¸tiale ale func¸tiei F sunt calculate în (y10 (x), y20 (x), ..., yn0 (x)) . Dac˘ a func¸tia F are derivate par¸tiale de ordinul trei continue, atunci func¸tionala are diferen¸tial˘ a de ordinul doi în sensul lui Frechet a c˘ arei expresie coincide cu cea de sus. Exemplul 17. Consider˘ am acum cazul unei func¸tionale al c˘ arui argument este o func¸tie de dou˘ a variabile definit˘ a pe un domeniu D din planul xOy ZZ I[z(x, y)] = F (x, y, z(x, y), zx (x, y), zy (x, y))dxdy D

definit˘ a pe mul¸timea func¸tiilor admisibile M = {z(x, y)|z(x, y) ∈ C 1 (D), z(x, y)|∂D = dat}. Presupunând c˘ a func¸tia F are derivate par¸tiale de ordinul doi continue în raport cu toate argumentele sale într-un domeniu m˘ arginit rezult˘ a imediat c˘ a func¸tionala are varia¸tia

CAPITOLUL 11. ELEMENTE DE CALCUL VARIATIONAL ¸

40

de ordinul doi dat˘ a de rela¸tia 2

δ I[z(x, y); δz(x, y)] =

ZZ D

£ ¤ Fzz (δz)2 + Fzzx δzδzx + ... + Fzy zy (δzy )2 dxdy.

Dac˘ a func¸tia F are derivate par¸tiale de ordinul trei continue, atunci func¸tionala are diferen¸tial˘ a de ordinul doi în sensul lui Frechet a c˘ arei expresie coincide cu cea de sus.

11.9

Condi¸tii necesare de extremum

Cum orice extremum absolut este ¸si un extremum tare ¸si deci ¸si un extremum slab, rezult˘ a c˘ a orice condi¸tie necesar˘ a de extremum slab va fi ¸si o condi¸tie necesar˘ a pentru extremum tare ¸si totodat˘ a condi¸tie necesar˘ a pentru extremum absolut. Exact ca în cazul extremelor func¸tiilor de mai multe variabile avem urm˘ atoarele teoreme: a extremul func¸tionalei I[y(x)] atunci derivata Teorema 3. Dac˘ a func¸tia y0 (x) realizeaz˘ sa de ordinul întâi δI[y0 (x); η(x)] este nul˘ a. a minimul (maximul) func¸tionalei I[y(x)] Teorema 4. Dac˘ a func¸tia y0 (x) realizeaz˘ atunci derivata sa de ordinul doi este pozitiv˘ a (negativ˘ a). Avem ¸si o teorem˘ a care d˘ a condi¸tii suficiente de extremum. a a func¸tionalei I[y(x)] ¸si dac˘ a exist˘ a Teorema 5. Dac˘ a func¸tia y0 (x) este o extremal˘ constanta C astfel încât δ 2 I[y0 (x); η(x)] > C||η(x)||21 pentru orice η(x) ∈ M0 = {η(x)|η(x) ∈ C 1 [a, b], η(a) = 0, η(b) = 0}, a minimul func¸tionalei. atunci func¸tia y0 (x) realizeaz˘ In adev˘ ar, cum 1 I[y(x) + η(x)] − I[y(x)] = δ 2 I[y0 (x); η(x)] + o(||η(x)||21 ) 2 rezult˘ a c˘ a fiind dat ε > 0 exist˘ a δ(ε) astfel încât pentru ||η(x)||1 < δ(ε) avem 1 I[y(x) + η(x)] − I[y(x)] = δ 2 I[y0 (x); η(x)] + θε||η(x)||21 2

cu θ ∈ [−1, 1].

11.9. CONDITII ¸ NECESARE DE EXTREMUM Atunci pentru ε <

C 2

41

avem

I[y(x) + η(x)] − I[y(x)] ≥

||η(x)||21

µ

C + θε 2

¶

>0

pentru η(x) 6= 0.

Condi¸tia nu poate fi înlocuit˘ a cu condi¸tia mai slab˘ a δ 2 I[y0 (x); η(x)] ≥ 0 cum se vede

în cazul func¸tionalei I[y(x)] =

Z1

y 2 (x)(x − y(x))dx

0

pentru care func¸tia identic nul˘ a exte extremal˘ a, δ 2 I[0; η(x)] =

R1 0

func¸tionala nu are extremum pentru c˘ a pentru o func¸tie   ε − x pentru x < ε yε(x) =  0 pentru x ≥ ε

xη(x)2 dx ≥ 0, dar

4

ia valori negative I[yε(x)] = − ε6 . Din acest motiv aceast˘ a teorem˘ a este greu de aplicat în practic˘ a. In particular vom avea: Teorema 6. Dac˘ a func¸tia y0 (x) realizeaz˘ a extremul slab al func¸tionalei I[y(x)] =

Zb

F (x, y(x), y 0 (x))dx

a

pe mul¸timea func¸tiilor admisibile M = {y(x)|y(x) ∈ C 1 [a, b], y(a) = y1 , y(b) = y2 } atunci varia¸tia întâia a func¸tionalei este nul˘ a δI[y0 (x); η(x)] pentru orice func¸tie η(x) ∈ M0 = {η(x)|η(x) ∈ C 1 [a, b], η(a) = 0, η(b) = 0}. Altfel spus, dac˘ a func¸tia F are derivate par¸tiale de ordinul întâi continue atunci are loc rela¸tia δI[y0 (x); η(x)] =

Zb

[Fy (x, y0 (x), y00 (x))η(x) + Fy0 (x, y0 (x), y00 (x))η 0 (x)]dx = 0,

a

pentru orice func¸tie η(x) ∈ M0 = {η(x)|η(x) ∈ C 1 [a, b], η(a) = 0, η(b) = 0}.

CAPITOLUL 11. ELEMENTE DE CALCUL VARIATIONAL ¸

42

Dac˘ a func¸tia F are derivate par¸tiale de ordinul doi continue ¸si dac˘ a func¸tiile admisibile sunt cu derivat˘ a de ordinul doi atunci are loc rela¸tia ¸ Zb · d 0 0 δI[y0 (x); η(x)] = Fy (x, y0 (x), y0 (x)) − Fy0 (x, y0 (x), y0 (x)) η(x)dx = 0 dx a

pentru orice func¸tie η(x) ∈ M0 = {η(x)|η(x) ∈ C 1 [a, b], η(a) = 0, η(b) = 0}. Aceast˘ a condi¸tie este numai necesar˘ a pentru realizarea extremului, nu ¸si suficient˘ a. Defini¸tia 7.

a a func¸tionalei este nul˘ a Dac˘ a pentru func¸tia y0 (x) prima derivat˘

δI[y0 (x); η(x)] = 0 pentru orice varia¸tie η(x) ∈ M0 = {η(x)|η(x) ∈ C 1 [a, b], η(a) = 0, η(b) = 0} se spune c˘ a func¸tionala este sta¸tionar˘a de-a lungul lui y0 (x). Teorema 7. Dac˘ a func¸tia y0 (x) realizeaz˘ a minimul (maximul) slab al func¸tionalei I[y(x)] =

Zb

F (x, y(x), y 0 (x))dx

a

pe mul¸timea func¸tiilor admisibile M = {y(x)|y(x) ∈ C 1 [a, b], y(a) = y1 , y(b) = y2 } atunci derivata a doua a func¸tionalei este pozitiv˘ a (negativ˘ a) δ 2 I[y0 (x); η(x)] ≥ 0(≤ 0) pentru orice func¸tie η(x) ∈ M0 = {η(x)|η(x) ∈ C 1 [a, b], η(a) = 0, η(b) = 0}. Deci dac˘ a func¸tia F are derivate par¸tiale de ordinul doi continue, atunci Z b © ª 2 δ I[y0 ; η] = Fyy (x, y0 , y00 )η 2 + 2Fyy0 (x, y0 , y00 )ηη 0 + Fy0 y0 (x, y0 , y00 )η 02 dx ≥ 0(≤ 0) a

pentru orice func¸tie

η(x) ∈ M0 = {η(x)|η(x) ∈ C 1 [a, b], η(a) = 0, η(b) = 0}. Teoreme de genul celor de mai sus au loc evident ¸si în cazul celorlalte func¸tionale din exemplele de mai sus.

11.10. LEMELE FUNDAMENTALE ALE CALCULULUI VARIATIONAL ¸

11.10

43

Lemele fundamentale ale calculului varia¸tional

Condi¸tiile necesare de extremum slab stabilite mai sus con¸tin în enun¸tul lor func¸tiile arbitrare η(x) sau δy(x). Pentru a stabili condi¸tii necesare de extremum slab care s˘ a con¸tin˘ a numai func¸tiile care realizeaz˘ a extremul vom da în prealabil câteva propozi¸tii ajut˘ atoare, cunoscute sub numele de lemele fundamentale ale calculului varia¸tional. Lema 1. (lema lui Lagrange, prima lem˘a fundamental˘a ) Fie func¸tia continu˘ a f (x) ∈ b R C 0 [a, b] . Dac˘ a f (x)η(x)dx = 0 pentru orice func¸tie η(x) ∈ C 1 [a, b] care verific˘ a a

condi¸tiile η(a) = η(b) = 0, atunci f (x) = 0 pentru orice x ∈ [a, b] .(In loc de C 1 [a, b]

poate fi C k [a, b] , k = 0, 1, 2, ...) .

Dac˘ a f nu ar fi identic nul˘ a în [a, b] atunci ar exista un punct c ∈ [a, b] unde f (c) 6= 0. In virtutea continuit˘ a¸tii lui f putem presupune c˘ a punctul c este punct interior intervalului. Dar atunci, tot în virtutea continuit˘ a¸tii, exist˘ a un întreg interval (α, β) care îl con¸tine pe c ¸si unde func¸tia nu se anuleaz˘ a, este de exemplu strict pozitiv˘ a. Dac˘ a consider˘ am func¸tia

  (x − α)2 (x − β)2 , x ∈ (α, β), η(x) =  0, x∈ / (α, β)

ea satisface condi¸tiile lemei ¸si avem Zb

f (x)η(x)dx =

a

Z

αβf (x)(x − α)2 (x − β)2 dx > 0

¸si ajungem la o contradic¸tie cu ipoteza lemei. O lem˘ a asem˘ an˘ atoare avem în cazul func¸tiilor de mai multe variabile: Lema 2. (lema lui Lagrange pentru func¸tii de mai multe variabile) Fie func¸tia f (x) ∈

¯ unde D este un domeniu m˘ ¯ = D ∪∂D este închiderea sa. Dac˘ C 0 (D) arginit din Rn ¸si D a R ¯ care verific˘ f (x)η(x)dx = 0 pentru orice func¸tie η(x) ∈ C 1 (D) a condi¸tia η(x)|∂D = 0,

D

atunci func¸tia f este nul˘ a în D.

Aici am notat prin x punctul x = (x1 , x2 , ..., xn ) din Rn ¸si dx = dx1 dx2 ...dxn . Demonstra¸tia este identic˘ a celei de sus, în locul intervalului (α, β) luându-se vecin˘ atatea Vc = {x| kx − ck < α} ¸si în locul func¸tiei η func¸tia   (kxk2 − α)2 , x ∈ V c . η(x) =  0, x∈ /V c

CAPITOLUL 11. ELEMENTE DE CALCUL VARIATIONAL ¸

44

Rb a

Lema 3. (lema lui Paul Du Bois Raymond) Fie func¸tia g(x) ∈ C 0 [a, b]. Dac˘ a g(x)η 0 (x)dx = 0 pentru orice func¸tie η(x) ∈ C 1 [a, b] care verific˘ a condi¸tiile η(a) =

η(b) = 0, atunci g(x) =constant în [a, b]. Intr-adev˘ ar, func¸tia η(x) =

Zx

g(t)dt − C(x − a)

a

1

apar¸tine lui C [a, b], este nul˘ a în a ¸si putem determina constanta 1 C= b−a

Zb

g(x)dx

a

astfel încât ¸si η(b) = 0. Dar atunci avem Zb

0

g(x)η (x)dx =

a

=

Zb

g(x)(g(x) − C)dx =

a

Zb

[g(x)(g(x) − C) − C(g(x) − C)]dx =

a

=

Zb

(g(x) − C)2 dx = 0

a

¸si deci g(x) = C

∀x ∈ [a, b].

Lema 4. (a doua lem˘a fundamental˘a ) Fie func¸tiile f (x), g(x) ∈ C 0 [a, b]. Dac˘ a Zb

[f (x)η(x) + g(x)η 0 (x)]dx = 0

a

a rela¸tiile η(a) = η(b) = 0, atunci func¸tia pentru orice func¸tie η(x) ∈ C 1 [a, b] care verific˘

g este derivabil˘ a pe [a, b] ¸si verific˘ a rela¸tia g 0 (x) = f (x) ∀x ∈ [a, b]. Rx Intr-adev˘ ar, considerând func¸tia F (x) = f (t)dt, F 0 (x) = f (x), integrând prin a

p˘ ar¸ti putem scrie Zb a

¯ ¯ Zb Zb ¯b 0 f (x)η(x)dx = F (x)η(x) ¯¯a − F (x)η (x)dx = − F (x)η 0 (x)dx. ¯

Rela¸tia din lem˘ a devine

a

Rb a

a

[g(x) − F (x)]η 0 (x)dx = 0 ¸si dup˘ a lema 3. rezult˘ a c˘ a g(x) =

F (x) + C. Cum membrul al doilea este o func¸tie derivabil˘ a, rezult˘ a c˘ a ¸si membrul întâi este derivabil ¸si g0 (x) = f (x).

11.11. ECUATIILE ¸ LUI EULER-LAGRANGE

11.11

45

Ecua¸tiile lui Euler-Lagrange

a extremul slab al func¸tionalei Fie y0 (x) func¸tia care realizeaz˘ I[y(x)] =

Zb

F (x, y(x), y 0 (x))dx

a

pe mul¸timea func¸tiilor admisibile M = {y(x)|y(x) ∈ C 1 [a, b], y(a) = y1 , y(b) = y2 }. Atunci conform teoremei 6., dac˘ a func¸tia F are derivate par¸tiale de ordinul întâi continue, atunci are loc rela¸tia δI[y0 (x); η(x)] =

Zb

[Fy (x, y0 (x), y00 (x))η(x) + Fy0 (x, y0 (x), y00 (x))η 0 (x)]dx = 0,

a

pentru orice func¸tie η(x) ∈ M0 = {η(x)|η(x) ∈ C 1 [a, b], η(a) = 0, η(b) = 0}. Conform celei de a doua leme a calculului varia¸tional func¸tia Fy0 (x, y0 (x), y00 (x)) este derivabil˘ a pe [a, b] ¸si are derivata Fy (x, y0 (x), y00 (x)), altfel spus are loc ecua¸tia lui EulerLagrange:

oricare ar f i x ∈ [a, b] d Fy0 (x, y0 (x), y00 (x)) = Fy (x, y0 (x), y00 (x)), dx sau ecua¸tia lui Euler-Lagrange sub form˘a integral˘a

exist˘a C

astf el ˆıncˆat oricare ar f i x ∈ [a, b] Zx Fy (t, y0 (t), y00 (t))dt + C Fy0 (x, y0 (x), y00 (x)) = a

a ecua¸tia lui Euler-Lagrange se nume¸ste Defini¸tia . Orice func¸tie y0 (x) care verific˘ extremal˘a a func¸tionalei I[y(x)].

CAPITOLUL 11. ELEMENTE DE CALCUL VARIATIONAL ¸

46

Teorema 8. Dac˘ a y0 (x) este func¸tia care realizeaz˘ a extremul slab al func¸tionalei I[y(x)] =

Zb

F (x, y(x), y 0 (x))dx

a

pe mul¸timea func¸tiilor admisibile M = {y(x)|y(x) ∈ C 1 [a, b], y(a) = y1 , y(b) = y2 } ¸si dac˘ a func¸tia F are derivate par¸tiale de ordinul întâi continue atunci ea este o extremal˘ a a func¸tionalei care verific˘ a la capetele intervalului condi¸tiile date. Vom observa c˘ a dac˘ a func¸tia F are derivate par¸tiale de ordinul doi ¸si dac˘ a func¸tia y0 (x) are derivat˘ a de ordinul doi, prima din ecua¸tiile lui Euler-Lagrange rezult˘ a din a doua form˘ a a varia¸tiei de ordinul întâi ¸si din lema fundamental˘ a a calculului varia¸tional (lema lui Lagrange). In aceste condi¸tii, prima ecua¸tie a lui Euler-Lagrange este o ecua¸tie diferen¸tial˘ a de ordinul doi: Fxy0 (x, y0 , y00 ) + Fyy0 (x, y0 , y00 )y00 + Fy0 y0 (x, y0 , y00 )y000 − Fy (x, y0 , y00 ) = 0. Dac˘ a func¸tia F are derivate par¸tiale de ordinul doi continue, folosind teorema func¸tiilor implicite se poate ar˘ ata c˘ a în toate punctele în care Fy0 y0 (x, y0 (x), y00 (x)) 6= 0 func¸tia y0 (x) admite derivate de ordinul doi ¸si verific˘ a ecua¸tia diferen¸tial˘ a de ordinul doi de mai sus. Teorema 9. Dac˘ a y0 (x) este o extremal˘ a a func¸tionalei I[y(x)] =

Zb

F (x, y(x), y 0 (x))dx

a

pe mul¸timea func¸tiilor admisibile M = {y(x)|y(x) ∈ C 1 [a, b], y(a) = y1 , y(b) = y2 } ¸si dac˘ a func¸tia F are derivate par¸tiale de ordinul doi continue, atunci în toate punctele în a de ordinul doi ¸si verific˘ a ecua¸tia care Fy0 y0 (x, y0 (x), y00 (x)) 6= 0 func¸tia y0 (x) are derivat˘ lui Euler-Lagrange de ordinul doi: Fxy0 (x, y0 , y00 ) + Fyy0 (x, y0 , y00 )y00 + Fy0 y0 (x, y0 , y00 )y000 − Fy (x, y0 , y00 ) = 0.

11.11. ECUATIILE ¸ LUI EULER-LAGRANGE

47

Vom observa c˘ a la fel ca în cazul extremelor func¸tiilor de mai multe variabile, ecua¸tiile lui Euler-Lagrange reprezint˘ a numai condi¸tii necesare pentru func¸tia care realizeaz˘ a extremul func¸tionalei. Cu alte cuvinte, func¸tia care realizeaz˘ a extremul trebuie c˘ autat˘ a printre func¸tiile care verific˘ a ecua¸tiile lui Euler-Lagrange. Repet˘ am, func¸tiile care realizeaz˘ a extremul func¸tionalei se caut˘ a printre extremalele func¸tionalei; nu orice extremal˘ a realizeaz˘ a extremul func¸tionalei, o extremal˘ a poate fi numai b˘ anuit˘ a c˘ a ar putea realiza extremul. De-a lungul unei extremale putem scrie

d F (x, y0 (x), y00 (x)) = Fx (x, y0 , y00 ) + Fy (x, y0 , y00 )y00 + Fy0 (x, y0 , y00 )y000 = dx d = Fx (x, y0 , y00 ) + Fy0 (x, y0 , y00 )y00 + Fy0 (x, y0 , y00 )y000 = dx d 0 (Fy0 (x, y0 , y00 )y00 ) = Fx (x, y0 , y0 ) + dx adic˘ a ecua¸tiile lui Euler-Lagrange sunt echivalente ¸si cu ecua¸tiile oricare f i x ∈ [a, b] d (F (x, y0 (x), y00 (x)) − Fy0 (x, y0 (x), y00 (x))y00 (x)) = Fx (x, y0 (x), y00 (x)); dx astf el ˆıncˆ at oricare ar f i x ∈ [a, b] Zx F (x, y0 (x), y00 (x)) − Fy0 (x, y0 (x), y00 (x))y00 (x) = Fx (t, y0 (t), y00 (t))dt + C. exist˘ a C

a

Observ˘ am c˘ a exist˘ a situa¸tii când ordinul ecua¸tiilor lui Euler-Lagrange se reduce cu o unitate, adic˘ a exist˘ a integrale prime: Teorema 10. Dac˘ a func¸tia F nu depinde de y, Fy = 0, atunci ecua¸tia lui EulerLagrange admite o integrala prim˘ a exist˘a C

astf el ˆıncˆat oricare ar f i x ∈ [a, b] Fy0 (x, y0 (x), y00 (x)) = C.

.Teorema 11. Dac˘ a func¸tia F nu depinde de x, Fx = 0, atunci ecua¸tia lui EulerLagrange admite o integral˘ a prim˘ a exist˘a C

astf el ˆıncˆat oricare ar f i x ∈ [a, b]

CAPITOLUL 11. ELEMENTE DE CALCUL VARIATIONAL ¸

48

F (x, y0 (x), y00 (x)) − Fy0 (x, y0 (x), y00 (x))y00 (x) = C. Exemplul 17. Fie func¸tionala Zx2 p I[y(x)] = 1 + y 0 (x)2 dx x1

din problema geodezicelor în plan definit˘ a pe mul¸timea © ª M = y(x) : [a, b] → R|y(x) ∈ C 2 [a, b], y(a) = ya , y(b) = yb .

Func¸tia de sub integral˘ aF = Fy0 = C, adic˘ a √y

0

1+y 02

p 1 + y 02 nu depinde de y, deci vom avea integrala prim˘ a

= C, sau renotând constanta, y 0 = C, de unde y = Cx + C1 .

Constantele C, C1 se determin˘ a extremala este a din condi¸tiile y(a) = ya , y(b) = yb , adic˘ segmentul de dreapt˘ a care une¸ste cele dou˘ a puncte. In acest caz, ¸stim din geometrie c˘ a extremala chiar realizeaz˘ a minimul func¸tionalei. Exemplul 18. Fie func¸tionala I[y(x)] =

Zb s 0

1 + y 0 (x)2 dx 2g(h − y(x))

din problema brahistocronei definit˘ a pe mul¸timea © ª M = y(x) : [0, b] → R|y(x) ∈ C 2 [0, b], y(0) = h, y(b) = 0 . q 1+y 02 Func¸tia de sub integral˘ a F = 2g(h−y) nu depinde de x deci vom avea integrala prim˘ a q q 02 02 1 , 1+y = C, F −y 0 Fy0 = C, adic˘ −√ y a, l˘ asând la o parte factorul constant 2g h−y 02 (h−y)(1+y )

de unde y =

C h− 1+y 02 .

2

0

Punând y = tan u, avem y = h−C cos u. Din rela¸tia dy = tan udx

g˘ asim dx = 2C cos2 u = C(1 + cos 2u) ¸si ob¸tinem ecua¸tiile parametrice ale extremalei x = C(u + y = h−

1 sin 2u) + C1 2

C (1 + cos 2u) 2

a din condi¸tiile la Extremala este un arc de cicloid˘ a. Constantele C, C1 se determin˘ capete y(0) = h, y(b) = 0. Fie func¸tionala I[y(x)] =

Zb a

F (x, y(x), y 0 (x), ..., y (m) (x))dx

11.11. ECUATIILE ¸ LUI EULER-LAGRANGE

49

definit˘ a pe mul¸timea func¸tiilor admisibile M = {y(x)|y(x) ∈ C 2m [a, b], y (i) (a) = yia , y (i) (b) = yib , i = 0, 1, ..., m − 1} ¸si unde presupunem c˘ a func¸tia F are derivate par¸tiale de ordinul 2m în raport cu toate argumentele continue într-un domeniu din Rm+2 . Func¸tia y0 (x) este extremal˘ a a acestei func¸tionale dac˘ a satisface ecua¸tia lui Euler-Poisson Fy −

d dm Fy0 + ... + (−1)m m Fy(m) = 0. dx dx

Fie cazul unei func¸tionale

I[y1 (x), y2 (x), ..., yn (x)] =

Zb

F (x, y1 (x), y2 (x), ..., yn (x), y10 (x), y20 (x), ..., yn0 (x))dx,

a

definite pe o mul¸time de n func¸tii de o variabil˘ a derivabile pe intervalul [a, b] : ª © M = yi (x), i = 1, 2, ..., n|yi (x) ∈ C 1 [a, b], yi (a) = yia , yi (b) = yib , func¸tia F fiind definit˘ a într-un domeniu ¸si cu derivatele par¸tiale de ordinul doi continue în acel domeniu. Func¸tiile y10 (x), y20 (x), ..., yn0 (x) constituie extremala acestei func¸tionale dac˘ a satisfac sistemul de ecua¸tii ale lui Euler ∂F d ∂F 0 0 (yi0 (x), yi0 (x)) − (yi0 (x), yi0 (x)) = 0, i = 1, 2, ..., n. ∂yi dx ∂yi0 Dac˘ a se introduc operatorii diferen¸tiali   ∂ ∂y1



∂ ∂y10



         .   .  ∂ ∂     =  , ∂y0 =   ∂y   .   .      ∂ ∂yn

∂ 0 ∂yn

atunci acest sistem se scrie exact ca ecua¸tia lui Euler pentru func¸tionala I[y(x)] = Rb F (x, y(x), y0 (x))dx : a

d ∂F ∂F (y0 (x), y00 (x)) − (y0 (x), y00 (x)) = 0. 0 ∂y dx ∂y

CAPITOLUL 11. ELEMENTE DE CALCUL VARIATIONAL ¸

50

In cazul unei func¸tionale al c˘ arui argument este o func¸tie de dou˘ a variabile definit˘ a pe un domeniu D din planul xOy I[z(x, y)] =

ZZ

F (x, y, z(x, y), zx (x, y), zy (x, y))dxdy

D

definit˘ a pe mul¸timea func¸tiilor admisibile M = {z(x, y)|z(x, y) ∈ C 2 (D), z(x, y)|∂D = dat} presupunând c˘ a func¸tia F are derivate par¸tiale de ordinul doi continue în raport cu toate argumentele sale într-un domeniu m˘ arginit din expresia varia¸tiei de ordinul întâi rezult˘ a c˘ a func¸tia z0 (x, y) este extremal˘ a a func¸tionalei dac˘ a ea verific˘ a ecua¸tia lui EulerOstrogradski ∂F ∂ ∂F ∂ ∂F = 0. − − ∂z ∂x ∂zx ∂y ∂zy

11.12

Exerci¸tii

1. S˘ a se determine extremalele urm˘ atoarelor func¸tionale cu condi¸tiile la capete date: R2 02 a) I[y(x)] = (y − 2xy)dx; y(1) = 0, y(2) = −1. 1

R. y = x6 (1 − x2 ). R3 b) I[y(x)] = (3x − y)ydx; y(1) = 1, y(3) = 92 . 1

R. nu exist˘ a extremal˘ a. 2π R c) I[y(x)] = (y 02 − y 2 )dx; y(0) = 1, y(2π) = 1. 0

R. o infinitate de extremale y = cos x + C sin x. R0 d) I[y(x)] = (12xy − y 02 )dx; y(−1) = 1, y(0) = 0.

R. y = −x3 . e) I[y(x)] =

−1

R1

yy 02 dx; y(0) = 1, y(1) = 41/3 .

0

R. dou˘ a extremale y = (x + 1)2/3 , y = (3x − 1)2/3 . R1 f) I[y(x)] = (y 02 − y 2 − y)e2x dx; y(0) = 0, y(1) = e−1 . 0

R. y = 12 [e−x + (1 + e)xe−x − 1] . R1 g) I[y(x)] = (y 02 − 2xy)dx; y(−1) = −1, y(1) = 1. R. y =

7 x 6

−1 − 16 x3 .

11.13. CONDITII ¸ NATURALE, CONDITII ¸ DE TRANSVERSALITATE

51

R1 h) I[y(x)] = (y 02 + 4y 2 )dx; y(0) = e2 , y(1) = 1. 0 2(1−x)

R. y = e

.

R1

i) I[y(x)] = (360x2 y − y 002 )dx; y(0) = 0, y 0 (0) = 1, y(1) = 0, y 0 (1) = 2.5. 0

R. y = 12 x6 + 32 x3 − 3x2 + x. R1 j) I[y(x)] = (y 2 + 2y 02 + y 002 )dx; y(0) = 0, y(1) = 0, y 0 (0) = 1, y 0 (1) = − sinh 1. 0

R. y = (1 − x) sinh x. R0 k) I[y(x)] = (240y − y 0002 )dx; y(−1) = 1, y(0) = 0, y 0 (−1) = −4.5, y 0 (0) = 0, −1

y 00 (−1) = 16, y 00 (0) = 0. R. y =

x3 (x3 6

+ 6x + 1). R1 l) I[y(x)] = 12 0 y 002 dx, y(0) = 0, y 0 (0) = 0, y 0 (1) = 1. R. y = 12 x2 .

R2 m) I[y(x), z(x)] = (y 02 + z 2 + z 02 )dx; y(1) = 1, y(2) = 2, z(1) = 0, z(2) = 1. R. y = x, z =

1 sinh(x−1) . sinh 1

n) I[y(x), z(x)] =

R 0

π(2yz − 2y 2 + y 02 − z 02 )dx; y(0) = 0, y(π) = 1,

z(0) = 0, z(π) = −1. R. y = C sin x −

x cos x, z π π/2 R 02

o) I[y(x), z(x)] =

0

= C sin x + π1 (2 sin x − x cos x), C arbitrar.

(y + z 02 − 2yz)dx; y(0) = 0, y(π/2) = 1,

z(0) = 0, z(π/2) = 1.

R. y = sin x, z = sin x. R1 p) I[y(x), z(x)] = (y 02 + z 02 + 2y)dx; y(0) = 1, y(1) = 3/2, z(0) = 1, z(1) = 1. 0

R. y =

x2 ,z 2

= 1.

2. S˘ a se g˘ aseasc˘ a extremala func¸tionalei I[z(x, y)] =

R1 R1

ezy sin zy dxdy cu condi¸tiile

0 0

z(x, 0) = 0, z(x, 1) = 1. R. z = y.

11.13

Condi¸tii naturale, condi¸tii de transversalitate

a extremul slab al func¸tionalei Fie y0 (x) func¸tia care realizeaz˘ I[y(x)] =

Zb a

F (x, y(x), y 0 (x))dx

CAPITOLUL 11. ELEMENTE DE CALCUL VARIATIONAL ¸

52

pe mul¸timea func¸tiilor admisibile M = {y(x)|y(x) ∈ C 1 [a, b], y(a) = y1 }, adic˘ a numai cap˘ atul din stânga este fixat, cap˘ atul din dreapta putându-se mi¸sca pe verticala x = b. Relativ la func¸tia F , presupunem c˘ a are derivate par¸tiale de ordinul a a func¸tionalei I[y(x)] pentru c˘ a ea doi continue. Func¸tia y0 (x) este evident o extremal˘ realizeaz˘ a minimul acestei func¸tionale pe mul¸timea func¸tiilor care au acelea¸si capete cu ea. Ea verific˘ a deci ecua¸tia lui Euler-Lagrange d Fy0 − Fy = 0. dx Vom avea prima varia¸tie ¸ Zb · d 0 0 δI[y0 ; η] = Fy (x, y0 , y0 ) − Fy0 (x, y0 , y0 ) ηdx + dx a

+Fy0 (x, y0 (b), y00 (b))η(b). a extremul, trebuie s˘ a avem δI[y0 ; η] = 0 pentru orice func¸tie Cum y0 (x) realizeaz˘ © ª η(x) ∈ M0 = η(x)|η(x) ∈ C 1 [a, b], η(a) = 0, η(b) arbitrar .

a, rezult˘ a c˘ a în cap˘ atul mobil Cum primul termen este nul pentru c˘ a y0 (x) este extremal˘ în mod necesar trebuie s˘ a aib˘ a loc a¸sa numita condi¸tie natural˘a ∂F (b, y0 (b), y00 (b)) = 0. 0 ∂y Exemplu 18. Fie func¸tionala care d˘ a cea mai mic˘ a distan¸ta˘ între punctul A(a, ya ) ¸si dreapta x = b : Zb p I[y(x)} = 1 + y 02 dx. a

a în S ¸ tim c˘ a extremala este un segment de dreapt˘ a y = C1 x + C2 . Condi¸tia natural˘ cap˘ atul x = b se scrie acum

∂F ∂y 0

= √y

0

1+y 02

= 0, sau y 0 = 0,segmentul de dreapt˘ a este

perpendicular pe dreapta x = b. Dac˘ a în locul func¸tionalei de mai sus am fi avut func¸tionala I[y(x)] =

Zb a

F (x, y(x), y 0 (x))dx + ψ(y(b)),

11.13. CONDITII ¸ NATURALE, CONDITII ¸ DE TRANSVERSALITATE

53

ψ fiind o func¸tie oarecare, atunci varia¸tia de ordinul întâi ar fi fost ¸ Zb · d 0 0 Fy (x, y0 , y0 ) − Fy0 (x, y0 , y0 ) ηdx + δI[y0 ; η] = dx a

+Fy0 (x, y0 (b), y00 (b))η(b) + ψ 0 (y0 (b)η(b) ¸si condi¸tia natural˘ a ar fi fost Fy0 (b, y0 (b), y00 (b)) + ψ 0 (y0 (b)) = 0. Dac˘ a lu˘ am ψ(y0 (b)) = K(y0 (b) − y2 )2 avem Fy0 (b, y0 (b), y00 (b)) + K(y0 (b) − y2 ) = 0 ¸si pentru K → ∞ ob¸tinem condi¸tia de cap˘ at fix y0 (b) = y2 . Evident, putem vorbi ¸si de condi¸tii naturale în cap˘ atul din a. Condi¸tiile naturale sunt importante în rezolvarea numeric˘ a a ecua¸tiilor diferen¸tiale sau cu derivate par¸tiale considerate ca ecua¸tii Euler-Lagrange a unei anumite func¸tionale. In acest caz nu trebuie s˘ a se ¸tin˘ a seam˘ a în mod special de condi¸tiile naturale pentru c˘ a ele se realizeaz˘ a automat dac˘ a se rezolv˘ a direct problema de extremum. S˘ a consider˘ am acum problema mai general˘ a a extremului slab al func¸tionalei I[y(x)] =

Zb

F (x, y(x), y 0 (x))dx

a

pe mul¸timea func¸tiilor M = {y(x)|y(x) ∈ C 1 [a, B], y(a) = y1 , y c (b) = y(b), b ≤ B} adic˘ a pe mul¸timea func¸tiilor al c˘ aror grafic are cap˘ atul din stânga fixat, iar cap˘ atul din dreapta se poate deplasa pe o curb˘ a cu ecua¸tia explicit˘ a y = yc (x), a ≤ x ≤ B. Dac˘ a y0 (x) realizeaz˘ a acest extremum, evident ea este o extremal˘ a a func¸tionalei, adic˘ a verific˘ a ecua¸tia Euler-Lagrange d Fy0 − Fy = 0. dx a rezult˘ a Tinând ¸ cont c˘ a y0 (x) este extremal˘ δI[y0 (x); δy(x)} =

∂F (b, y0 (b), y00 (b))δy(b)+ 0 ∂y

CAPITOLUL 11. ELEMENTE DE CALCUL VARIATIONAL ¸

54

¶ µ ∂F 0 0 0 + F (b, y0 (b), y0 (b)) − y0 (b) 0 (b, y0 (b), y0 (b)) δb = 0 ∂y

Punctul (b, y(b)) aflându-se pe curba y = yc (x) avem δy(b) = yc0 (b)δb ¸si deci vom avea condi¸tia F (b, y0 (b), y00 (b)) − (y00 (b) − yc0 (b))

∂F (b, y0 (b), y00 (b)) = 0. ∂y 0

Dac˘ a punctul (b, y(b)) se deplaseaz˘ a pe curba cu ecua¸tia explicit˘ a τ (x, y) = 0 având în vedere rela¸tia

∂τ (b, y0 (b)) δy(b) ∂x = − ∂τ δx(b) (b, y0 (b)) ∂y

vom avea condi¸tia F (b, y0 (b), y00 (b)) −

∂F (b, y0 (b), y00 (b))y00 (b) ∂y 0

∂τ (b, y0 (b)) ∂x

=

∂F (b, y0 (b), y00 (b)) ∂y 0 . ∂τ (b, y (b)) 0 ∂y

Aceste condi¸tii se numesc condi¸tii de transversalitate. Ele trebuie verificate în cap˘ atul mobil. In cazul în care curba pe care se mi¸sc˘ a cap˘ atul din dreapta este x = b reg˘ asim condi¸tia natural˘ a. Exemplul 19. Fie func¸tionala opticii geometrice în plan Zb p 1 + y 0 (x)2 dx. I[y(x)] = v(x, y(x)) b

Cum

p 1 + y 02 F = , v

y0 Fy0 = p , v 1 + y 02

condi¸tia de transversalitate devine

1 y0 p p = ∂τ v 1 + y 02 ∂x 1 + y 02 ∂τ ∂y

1 F − y 0 Fy0 = p v 1 + y 02 sau

1 ∂τ ∂x

=

y0 ∂τ ∂y

,

adic˘ a extremalele ¸si curba τ (x, y) = 0 se taie ortogonal. S˘ a consider˘ am acum func¸tionala ZZ Z I[z(x, y)] = F (x, y, z(x, y), p(x, y), q(x, y))dxdy + ψ(x, y, z)ds D

func¸tia F având derivate de ordinul doi continue, p(x, y) =

∂2 D

∂z , q(x, y) ∂x

=

∂z . ∂y

este definit˘ a pe mul¸timea func¸tiilor admisibile M = {z(x, y)|z(x, y) ∈ C 2 (D), z(x, y)|∂1 D = ϕ(x, y)|∂1 D = dat},

Func¸tionala

11.13. CONDITII ¸ NATURALE, CONDITII ¸ DE TRANSVERSALITATE

55

∂1 D ¸si ∂2 D fiind dou˘ a por¸tiuni complementare ale frontierei ∂D. Vom g˘ asi dup˘ a integrarea prin p˘ ar¸ti ¸si aplicarea formulei flux divergen¸ta˘ pentru varia¸tia de ordinul întâi expresia ZZ

∂ ∂F ∂ ∂F ∂F − − ]δzdxdy + ∂z ∂x ∂p ∂y ∂q D Z Z [Fp nx + Fq ny ] δzds + ψz δzds. +

δI[z; δz] =

[

∂2 D

∂2 D

Varia¸tia δz(x, y) fiind arbitrar˘ a, rezult˘ a ecua¸tia Euler-Ostrogradski ∂ ∂F ∂ ∂F ∂F − − = 0, ∂z ∂x ∂p ∂y ∂q ¸si condi¸tia natural˘ a Fp nx + Fq ny + ψz (x, y, z) = 0 pe ∂2 D. Exemplu 20. In cazul func¸tionalei ZZ Z ¡ 2 ¢ 1 2 I[z(x, y)] = ψ(x, y)zds p + q dxdy − 2 D

∂2 D

definit˘ a pe mul¸timea M = {z(x, y)|z(x, y) ∈ C 2 (D), z(x, y)|∂1 D = ϕ(x, y)|∂1 D = dat}, condi¸tia natural˘ a este pnx + qny = ψ(x, y) pe ∂2 D, cu alte cuvinte, dac˘ a vom rezolva (chiar aproximativ) problema de extremum pentru func¸tionala de mai sus, vom avea solu¸tia (chiar aproximativ˘ a) pentru problema mixt˘ a pentru func¸tii armonice

∂ 2z ∂ 2z + = 0, ∂x2 ∂y 2 = ϕ(x, y)|∂1 D = dat,

∆z =

z(x, y)|∂1 D ∂z = pnx + qny = ψ(x, y) = dat pe ∂2 D. ∂n Aceasta este de fapt una din ideile de baz˘ a ale metodei elementelor finite pentru problema mixt˘ a de mai sus: domeniul D se împarte în domenii mici numite elemente,

CAPITOLUL 11. ELEMENTE DE CALCUL VARIATIONAL ¸

56

se aproximeaz˘ a func¸tia necunoscut˘ a pe fiecare element prin func¸tii simple, de exemplu polinoame de grad mic în x, y, c˘ autând s˘ a fie verificat˘ a condi¸tia pe por¸tiunea de frontier˘ a ∂1 D, func¸tionala de mai sus devine o func¸tie de mai multe variabile, pentru care g˘ asirea extremului revine la rezolvarea unui sistem de ecua¸tii lineare. Aproximarea func¸tiei pe fiecare element se face în a¸sa fel încât matricea acestui sistem s˘ a fie cât mai rar˘ a.

11.14

Exerci¸tii

1. S˘ a se g˘ aseasc˘ a distan¸ta cea mai scurt˘ a între parabola y = x2 ¸si dreapta x−y −5 = 0. Ind. Problema revine la a g˘ asi minimul func¸tionalei I[y(x)] =

Rb p 1 + y 02 dx cu a

condi¸tiile y(a) = a2 , y(b) = b − 5. Extremalele sunt dreptele y = C1 x + C2 . Condi¸tiile la

capete dau C1 a + C2 = a2 , C1 b + C2 = b − 5. Condi¸tiile de transversalitate dau q C1 1 + C12 + (2a − C1 ) p = 0 1 + C12 q C1 1 + C12 + (1 − C1 ) p = 0. 1 + C12

Rezult˘ a C1 = −1, C2 = 3/4, a = 1/2, b = 23/8. Deci extremala este y = −x + 3/4 ¸si 23/8 √ R p 1 + (−1)2 dx = 198 2 . distan¸ta este 1/2

2. S˘ a se g˘ aseasc˘ a distan¸ta cea mai scurt˘ a dintre punctul A(1, 0) ¸si elipsa 4x2 + 9y 2 −

36 = 0. √ R. 4/ 5. 3. S˘ a se g˘ aseasc˘ a distan¸ta cea mai scurt˘ a de la punctul A(1, 1, 1) la sfera x2 +y 2 +z 2 = 1. R.

√ 3 − 1.

4. S˘ a se g˘ aseasc˘ a distan¸ta cea mai scurt˘ a între suprafe¸tele x2 + y 2 + z 2 = 4.

x2 25

+

y2 16

+

z2 9

− 1 ¸si

11.15. VARIABILE CANONICE, SISTEM CANONIC

11.15

57

Variabile canonice, sistem canonic

Consider˘ am func¸tionala I[y(x)] =

Zx2

F (x, y(x), y 0 (x))dx.

x1

Ecua¸tia lui Euler a extremalelor d ∂F ∂F =0 − ∂y dx ∂y 0 este o ecua¸tie diferen¸tial˘ a de ordinul doi care se poate reduce la un sistem de 2 ecua¸tii de a ordinul întâi în diferite moduri, cel mai simplu în y ¸si y 0 . Amintindu-ne forma general˘ a varia¸tiei de ordinul întâi δI[y(x); δy(x)] =

Zx2 ½

x1

s˘ a not˘ am

¾ d ∂F ∂F 0 0 (x, y, y ) − (x, y, y ) δy(x)dx+ ∂y dx ∂y 0

¸x2 ∂F 0 0 (x, y(x), y (x))δy(x) − H(x, y0 (x), y0 (x)δx + ∂y 0 x1 ·

p=

∂F (x, y, y 0 ) ∂y 0

¸si s˘ a presupunem c˘ a ∂ 2 F (x, y, y 0 ) 6= 0, ∂y 02 deci se poate explicita y 0 în func¸tie de x, y, p: y 0 = y 0 (x, y, p). Func¸tia lui Hamilton devine func¸tie numai de x, y, p H(x, y, p) = y 0 (x, y, p)p − F (x, y, p). Putem scrie ∂y 0 ∂F ∂F ∂y 0 ∂F ∂H =p − − 0 =− , ∂y ∂y ∂y ∂y ∂y ∂y ∂H ∂y 0 ∂F ∂y 0 = y0 + p − 0 = y0 ∂p ∂p ∂y ∂p De-a lungul extremalelor p este o func¸tie de x pentru care putem scrie ∂H dp d ∂F ∂F = =− . = 0 dx dx ∂y ∂y ∂y

CAPITOLUL 11. ELEMENTE DE CALCUL VARIATIONAL ¸

58

In locul ecua¸tiei diferen¸tiale de ordinul doi a lui Euler am ob¸tinut un sistem de 2 ecua¸tii de ordinul întâi în variabilele y, p numite variabile canonice. Sistemul ob¸tinut dy ∂H = , dx ∂p ∂H dp = − dx ∂y se nume¸ste sistemul canonic al lui Hamilton al extremalelor. Vom observa c˘ a putem considera c˘ a lagrangeanul func¸tionalei devine func¸tie de x, y, y 0 , p dat de rela¸tia F = y 0 p − H(x, y, p) ¸si c˘ a sistemul canonic poate fi considerat ca sistem de ecua¸tii ale lui Euler pentru func¸tionala Zx2 I[y(x), p(x)] = (y 0 p − H(x, y, p))dx. x1

− H. Pe de alt˘ a parte de-a lungul extremalelor avem F = p ∂H ∂p

11.16

Exerci¸tii

S˘ a se scrie sistemul canonic al extremalelor pentru func¸tionalele: Rb a) I[y(x)] = xyy 03 dx.

q p Ind. Cum F = xyy 03 , Fy0 = 3xyy 02 punând p = 3xyy 02 rezult˘ a y 0 = ± 3xy q p3 ¸si H = [−F + y 0 Fy0 ]y0 =±√ p = ± 3√2 3 xy ¸si se ob¸tin dou˘ a sisteme a

3xy

  

semnele corespunzându-se. Rb √ b) I[y(x)] = xy y 0 dx. R.

dy dx

=

a x2 y 2 dp , 4p2 dx Rb

d) R.

x2 y . 2p

a p dp p2 , = 4xy 2. 2xy dx p Rb p x2 + y 2 1 I[y(x)] = dy dx

dy dx

=

=√

dp dx

xyy 02 dx.

c) I[y(x)] = R.

=

a p

x2 +y2 −p2

dp , dx =√

q p = ± 3xy q p3 = ± 13 3xy 3

dy dx

+ y 02 dx. y

x2 +y2 −p2

.

11.17. ECUATIA ¸ LUI HAMILTON-IACOBI e) I[y1 (x), y2 (x)] =

R 0

59

π(2y1 y2 − 2y12 + y102 − y202 )dx.

Ind. F = 2y1 y2 − 2y12 + y102 − y202 , Fy10 = p1 = 2y10 , Fy20 = p2 = −2y20 , H = −F + y10 Fy10 +

y20 Fy20 = 2y12 − 2y1 y2 +

p21 4

−

p22 . 4

Rezult˘ a sistemul canonic

p2 dy1 p1 dy2 = , =− , dx 2 dx 2 dp1 dp2 = −4y1 + 2y2 , = 2y1 . dx dx R2 f) I[y1 (x), y2 (x)] = (y102 + y22 + y202 )dx. 1

R.

dy1 dx

11.17

=

p1 dp1 , 2 dx

2 = 0, dy = dx

p2 dp2 , 2 dx

= 2y2 .

Ecua¸tia lui Hamilton-Iacobi

Solu¸tia general˘ a a sistemului canonic va depinde de 2 constante arbitrare. Prin fiecare punct al domeniului plan în care este definit˘ a func¸tia F ¸si în care are loc teorema de existen¸ta˘ ¸si unicitate pentru sistemul canonic, putem duce un fascicul de extremale atribuind derivatei y 0 valori arbitrare. Un astfel de fascicul reprezint˘ a o familie de curbe depinzând de o constant˘ a arbitrar˘ a, valoarea derivatei y 0 . In general, vom numi familie de extremale o mul¸time de solu¸tii ale ecua¸tiei lui Euler care depind de o constant˘ a arbitrar˘ a ¸si care umplu f˘ ar˘ a intersec¸tii o por¸tiune din plan în a¸sa fel încât prin fiecare punct al acestei por¸tiuni s˘ a treac˘ a o extremal˘ a ¸si numai una. In prezen¸ta unei asemenea familii de extremale în fiecare punct de coordonate (x, y) al por¸tiunii de plan ob¸tinem pentru y 0 ¸si deci ¸si pentru p valori determinate m(x, y), respectiv p(x, y). Func¸tia m(x, y) este panta familiei de extremale, iar p(x, y) se nume¸ste func¸tia impuls a familiei de extremale. Motiva¸tia celei de a doua denumiri va reie¸si mai târziu. Cum func¸tiile y(x), p(x, y(x)) trebuie s˘ a verifice sistemul canonic vom avea ∂H ∂p ∂p 0 + y =− . ∂x ∂y ∂y Cum y 0 =

∂H ∂p

rezult˘ a c˘ a func¸tia impuls a familiei de extremale p(x, y) verific˘ a ecua¸tia

cu derivate par¸tiale ∂p ∂p ∂H ∂H + =− . ∂x ∂y ∂p ∂y Invers, dac˘ a o func¸tie oarecare p(x, y) verific˘ a aceast˘ a ecua¸tie, atunci exist˘ a o familie de extremale pentru care ea este func¸tia impuls a familiei. In adev˘ ar dac˘ a p(x, y) verific˘ a

CAPITOLUL 11. ELEMENTE DE CALCUL VARIATIONAL ¸

60

aceast˘ a ecua¸tie, înlocuind-o în membrul drept al primei ecua¸tii a sistemului canonic ob¸tinem o ecua¸tie diferen¸tial˘ a din care scoatem pe y ca func¸tie de x ¸si de o constant˘ a y = y(x, C). Prin fiecare punct al domeniului trece una din curbe ¸si numai una. Inlocuind aceasta în p ob¸tinem func¸tia p(x, C) = p(x, y(x, C)) depinzând ¸si ea de constanta C. Avem dp ∂H ∂p ∂p 0 ∂p ∂p ∂H = + y = + =− . dx ∂x ∂y ∂x ∂y ∂p ∂y Deci y = y(x, C) reprezint˘ a o familie de extremale, adic˘ a umplu f˘ ar˘ a intersec¸tii o por¸tiune a planului, p(x, y) reprezint˘ a func¸tia impuls a acestei familii. Dac˘ a not˘ am prin C graficul unei func¸tii y = y(x), x1 ≤ x ≤ x2 vom numi I-lungime a Rx2 lui C valoarea func¸tionalei I(C) = F (x, y(x), y 0 (x))dx. In problema de optic˘ a geometx1

ric˘ a I(C) reprezint˘ a timpul în care lumina parcurge graficul C. Sa consider˘ am fascicolul

de extremale ie¸sind dintr-un punct dat M1 (x1 , y1 ) ¸si s˘ a presupunem c˘ a acest fascicol formeaz˘ a o familie într-o vecin˘ atate a lui M1 . Pe fiecare extremal˘ a consider˘ am punctul M(x, y) astfel încât I-lungimea arcului M1 M s˘ a aib˘ a o valoare dat˘ a ρ. Locul geometric al punctelor M(x, y) va fi o curb˘ a pe care o vom numi I-cercul de centru M1 (x, y) ¸si de raz˘ a ρ. In cazul problemei de optic˘ a geometric˘ a extremalele sunt curbele dup˘ a care se deplaseaz˘ a lumina, deci razele în cazul mediului omogen, iar I-cercul reprezint˘ a frontul de und˘ a la momentul ρ al sursei din punctul M1 , chiar un cerc cu centrul în M1 de raz˘ a ρ în cazul mediului omogen. Func¸tionala r˘ amânând constant˘ a ρ când punctul M se deplaseaz˘ a pe I-cercul de raz˘ a ρ vom avea δI = 0 = [−Hδx + pδy]xx1 = −Hδx + pδy δx, δy fiind deplas˘ arile lui M pe I-cerc. Asta înseamn˘ a c˘ a extremalele familiei taie Icercul transversal. In cazul problemei de optic˘ a geometric˘ a transversalitatea este tot una cu ortogonalitatea. Dac˘ a M(x, y) este un punct dintr-o vecin˘ atate a lui M1 avem o extremal˘ a care une¸ste pe M1 cu M. Valoarea integralei de-a lungul arcului de extremal˘ a M1 M este o func¸tie de punctul M deci de x, y, S(x, y). I-cercul cu centrul în M1 de raz˘ a ρ are ecua¸tia S(x, y) = ρ. In mod tradi¸tional, se spune c˘ a a familia de extremale ie¸sind din M1 formeaz˘ un câmp central de extremale, I-cercurile sunt curbele transversale ale acestui câmp, iar func¸tia S(x, y) este func¸tia fundamental˘a a câmpului.

11.17. ECUATIA ¸ LUI HAMILTON-IACOBI

61

Fie acum o curb˘ a oarecare C0 în plan. In fiecare punct al acestei curbe, condi¸tia de transversalitate determin˘ a valori unice pentru derivata y 0 ¸si deci pentru p. Luând aceste valori ca ini¸tiale putem face ca din fiecare punct al lui C0 s˘ a plece o extremal˘ a care s˘ a a lu˘ am pe fiecare extremal˘ a care pleac˘ a din punctul M0 taie transversal curba C0 . Dac˘ a fie al curbei C0 un punct M(x, y) astfel ca valoarea integralei pe arcul M0 M S(x, y)s˘ egal˘ a cu o valoare ρ ob¸tinem o curb˘ a C, locul geometric al punctelor M. Se verific˘ a u¸sor c˘ a ¸si aceast˘ a curb˘ a este t˘ aiat˘ a transversal de extremale. Evident curba C are ecua¸tia S(x, y) = ρ, în timp ce curba C0 are ecua¸tia S(x, y) = 0. Curba C ¸si I-cercul de raz˘ aρ al punctului M0 sunt tangente în punctul corespunz˘ ator M(x, y) în virtutea unicit˘ a¸tii extremalei care pleac˘ a transvesal la C0 din M0 . Deci curba C este înf˘ a¸sur˘ atoarea Icercurilor de raz˘ a ρ ale punctelor curbei C0 . In cazul problemei opticii geometrice acesta este principiul lui Huygens: frontul de und˘ a la momentul ρ al unor surse de pe C0 este înf˘ a¸sur˘ atoarea fronturilor de und˘ a la momentul ρ ale surselor de pe C0 . In fiecare punct al curbei transvesale C coeficien¸tii de pe lâng˘ a δx, δy din condi¸tia de transversalitate sunt propor¸tionali cu componentele normalei la curb˘ a, deci cu derivatele par¸tiale ale lui S(x, y). Este important c˘ a avem nu numai o propor¸tionalitate, ci chiar egalit˘ a¸ti ∂S ∂S = −H(x, y, p), =p ∂x ∂y cum rezult˘ a din expresia general˘ a a varia¸tiei de ordinul întâi a func¸tionalei: la o deplasare δx, δy oarecare a punctului M(x, y) în plan δS = −H(x, y, p)δx + pδy. Rezult˘ a c˘ a func¸tia fundamental˘ a a câmpului de extremale verific˘ a ecua¸tia cu derivate par¸tiale ∂S ∂S + H(x, y, )=0 ∂x ∂y numit˘ a ecua¸tia lui Hamilton-Iacobi. S˘ a ar˘ at˘ am c˘ a ¸si orice solu¸tie S (0) (x, y) a ecua¸tiei Hamilton-Iacobi este func¸tia fundamental˘ a a unui câmp. In adev˘ ar, definim func¸tia p(0) (x, y) =

∂S (0) . ∂y

CAPITOLUL 11. ELEMENTE DE CALCUL VARIATIONAL ¸

62

Dac˘ a deriv˘ am în raport cu y rela¸tia ∂S (0) ∂S (0) + H(x, y, )=0 ∂x ∂y ob¸tinem ∂p(0) ∂H ∂H ∂p(0) + + =0 ∂x ∂y ∂p ∂y Dar atunci, a¸sa cum am v˘ azut, p(0) (x, y) este func¸tia impuls a unei familii de extremale. In virtutea rela¸tiilor ∂S (0) ∂S (0) = −H, = p(0) ∂x ∂y a a func¸tiei S (0) , adic˘ a curbele S (0) (x, y) = rezult˘ a c˘ a −Hdx+p(0) dy este diferen¸tiala total˘ C reprezint˘ a o familie de curbe transversale pentru extremale ¸si deci familia formeaz˘ a un câmp pentru care S (0) (x, y) este func¸tia fundamental˘ a. In cele de mai sus am exprimat derivatele par¸tiale ¸si diferen¸tiala func¸tiei S prin func¸tia lui Hamilton H(x, y, p(x, y)) ¸si prin func¸tia impuls p(x, y) a câmpului. Le putem exprima prin func¸tia F (x, y, m(x, y)) ¸si prin panta câmpului m(x, y) : dS = [F (x, y, m(x, y)) − m(x, y)Fy0 (x, y, m(x, y))] dx + Fy0 (x, y, m(x, y))dy. Vom folosi mai târziu aceast˘ a expresie. Exemplul 21. In cazul opticii geometrice în plan func¸tionala este Zx2 p 1 + y 02 T = dx v(x, y) x1

Variabila canonic˘ a p ¸si func¸tia lui Hamilton se determin˘ a din rela¸tiile p =

y0 p v 1 + y 02

r p 1 + y 02 1 1 =− p H = p =− − − p2 2 02 02 v v v 1+y v 1+y y 02

Ecua¸tiile canonice sunt

y0 = q p0 = 0.

p 1 v2

− p2

11.18. TEOREMA LUI IACOBI

63

Ecua¸tia Hamilton-Iacobi este ∂S − ∂x

s

∂S 2 1 =0 − v2 ∂y

sau 1 ∂S 2 ∂S 2 + = 2. ∂x ∂y v Când planul este omogen, v = k, ¸si extremalele sunt linii drepte. Ele formeaz˘ a un câmp dac˘ a ¸si numai dac˘ a sunt normale la curba C0 . Celelalte curbe transversale C se ob¸tin luând de-a lungul normalelor segmente egale, adic˘ a se confirm˘ a principiul lui Huygens.

11.18

Teorema lui Iacobi

Dac˘ a integr˘ am sistemul canonic, putem construi diferite câmpuri corespunz˘ atoare unei probleme varia¸tionale date ¸si prin acestea putem g˘ asi orice solu¸tie a ecua¸tiei Hamilton-Iacobi. Invers, dac˘ a cunoa¸stem a¸sa numita integral˘a complet˘a a ecua¸tiei Hamilton-Iacobi putem integra sistemul canonic. Numim integral˘a complet˘a a ecua¸tiei Hamilton-Iacobi o solu¸tie a sa care în afara unei constante aditive a mai con¸tine o constant˘ a arbitrar˘ a C1 : S = S(x, y, C1 ) + a cu condi¸tia ca

∂2S ∂y∂C1

6= 0.

Are loc Teorema 11. (Teorema lui Iacobi): Dac˘ a S = S(x, y, C1 )+a este o integral˘ a complet˘ a a ecua¸tiei Hamilton-Iacobi, atunci prin rela¸tiile ∂S = C2 , ∂C1 ∂S = p, ∂y a a sistemului canonic. unde C1 , C2 sunt constante arbitrare, ob¸tinem solu¸tia general˘ Cum

∂2S ∂y∂C1

6= 0, din ecua¸tia

y = y(x, C1 , C2 ). Inlocuind în

∂S ∂C1

∂S ∂y

= C2 putem exprima pe y ca func¸tie de x, C1 , C2 :

= p ob¸tinem p = p(x, C1 , C2 ). Derivând

raport cu x avem ∂ 2S ∂ 2 S dy = 0. + ∂x∂C1 ∂y∂C1 dx Derivând rela¸tia ∂S ∂S + H(x, y, )=0 ∂x ∂y

∂S ∂C1

= C2 în

CAPITOLUL 11. ELEMENTE DE CALCUL VARIATIONAL ¸

64 în raport cu C1 avem

∂H ∂ 2 S ∂ 2S + = 0. ∂x∂C1 ∂p ∂y∂C1 Prin sc˘ adere avem ∂ 2 S dy ∂H ( − ) = 0, ∂y∂C1 dx ∂p adic˘ a prima ecua¸tie a sistemului canonic.Derivând

∂S ∂y

= p în raport cu x ¸si

∂S ∂x

+

H(x, y, ∂S ) = 0 în raport cu y avem ∂y ∂ 2S dp ∂ 2S + 2 y0 = , ∂y∂x ∂y dx ∂H ∂H ∂ 2 S ∂ 2S + + = 0. ∂x∂y ∂y ∂p ∂y 2 Prin sc˘ adere avem ∂ 2 S 0 ∂H ∂H ∂ 2 S dp − . y = − ∂y 2 ∂y ∂p ∂y 2 dx Cum y0 =

∂H ∂p

rezult˘ a ∂H dp =− dx ∂y adic˘ a a doua ecua¸tie a sistemului canonic. Vedem c˘ a orice câmp al unei probleme de extremale poate fi descris fie prin extremalele propriu-zise, fie prin curbele transversale ale câmpului. Exemplul 22. In cazul mediului omogen în problema opticii geometrice ecua¸tia Hamilton-Iacobi este ∂S 2 ∂S 2 1 + = 2 ∂x ∂y v cu v =constant. C˘ aut˘ am solu¸tia cu variabile separate S = f (x) + f (y). Ob¸tinem f 0 (x)2 + f 0 (y)2 =

1 v2

de unde f 0 (x) =

1 1 cos C1 , f 0 (y) = sin C1 v v

11.19. EXERCITII ¸

65

¸si ob¸tinem solu¸tia complet˘ a 1 1 S = x cos C1 + y sin C1 . v v Pentru ob¸tinerea extremalelor scriem ∂S = C2 , ∂C1 ∂S = p, ∂y adic˘ a 1 1 − x sin C1 + y cos C1 = C2 v v 1 sin C1 = p. v Curbele transversale ¸si extremalele sunt dou˘ a familii de drepte ortogonale între ele. Pentru cazul func¸tionalelor depinzând de n func¸tii y1 (x), y2 (x), · · · , yn (x) ¸si de derivatele lor modific˘ arile sunt evidente.

11.19

Exerci¸tii

Folosind integrala complet˘ a a ecua¸tiei Hamilton-Iacobi s˘ a se determine extremalele func¸tionalelor: a) I[y(x)] =

p Rb p x2 + y 2 1 + y 02 dx.

a p Ind. Func¸tia lui Hamilton este H = − x2 + y 2 − p2 . Ecua¸tia lui Hamilton-Iacobi

este

∂S − ∂x

s

x2 + y 2 −

∂S 2 =0 ∂y

sau ∂S 2 ∂S 2 + = x2 + y 2 ∂x ∂y Prin metoda separ˘ arii variabilelor se g˘ ase¸ste S =

¯ 1 p √ C ¯¯ 1 √ 2 ¯ x x − C − ln ¯x + x2 − C ¯ + y y 2 + C + 2 2 2 ¯ p C ¯¯ ¯ + ln ¯y + y 2 + C ¯ + a 2

CAPITOLUL 11. ELEMENTE DE CALCUL VARIATIONAL ¸

66

∂S = C1 adic˘ Prin teorema lui Iacobi trebuie s˘ a scriem ∂C a dup˘ a reduceri ¯ ¯ ¯ y + py 2 + C ¯ ¯ ¯ √ ln ¯ ¯ = 2C2 ¯ x + x2 − C ¯

sau antilogaritmând si renotând constanta

1 − C2 xy − y 2 = C x − C2 2

µ

A2 + 1 2A

¶2

adic˘ a o familie de hiperbole. Rb √ b) I[y(x)] = xy y 0 dx. a

R. y = C1 x3 + C2 . Rb p c) I[y(x)] = y 1 + y 02 dx. a¯ ¯ p ¯ ¯ R. x = C1 ln ¯y + y 2 − C12 ¯ + C2 .

11.20

Extreme pentru func¸tii netede pe por¸tiuni

Consider˘ am func¸tionala I[y(x)] =

Z1

y 2 (1 − y 0 )2 dx

−1

cu condi¸tiile la capete y(−1) = 0, y(1) = 1. Observ˘ am c˘ a oricare ar fi func¸tiile admisibile I[y(x)] = 0, egalitatea atingându-se numai pentru func¸tia y(x) ≡ 0 peste tot nul˘ a; atunci nu mai pot fi satisf˘ acute condi¸tiile la capete. Deci problema minimiz˘ arii func¸tionalei în clasa func¸tiilor netede nu are solu¸tie. Vom observa c˘ a totu¸si pentru func¸tia   0 pentru x ∈ [−1, 0] y(x) =  x pentru x ∈ [0, 1]

avem I[y(x)] = 0, adic˘ a minimul este atins pentru o func¸tie neted˘ a pe por¸tiuni. In unele situa¸tii va trebui s˘ a c˘ aut˘ am extremele unei func¸tionale pe o mul¸time de func¸tii netede pe por¸tiuni. Cum pentru orice func¸tie neted˘ a pe por¸tiuni f (x) func¸tioneaz˘ a formula lui Rx 0 Rb 0 2 Leibniz-Newton f (x) − f (a) = f (t)dt ¸si f (t) dt = 0 implic˘ a f (t) = const pe [a, b], a

a

aplicarea celei de a doua leme a calculului varia¸tional conduce la faptul c˘ a din anularea primei varia¸tii a func¸tionalei pentru orice direc¸tie prin y0 (x) neted˘ a pe por¸tiuni, rezult˘ a

c˘ a au loc ecua¸tiile lui Euler-Lagrange sub forma exist˘a C

astf el ˆıncˆ at oricare ar f i x ∈ [a, b]

11.21. EXERCITII ¸

67

Fy0 (x, y0 (x), y00 (x)) =

Zx

Fy (t, y0 (t), y00 (t))dt + C;

a

exist˘a C

astf el ˆıncˆat oricare ar f i x ∈ [a, b]

F (x, y0 (x), y00 (x)) − Fy0 (x, y0 (x), y00 (x))y00 (x) =

Zx

Fx (t, y0 (t), y00 (t))dt + C.

a

Cum orice func¸tie de forma

Rx

ϕ(t)dt cu ϕ(t) continu˘ a pe por¸tiuni este continu˘ a

a

rezult˘ a c˘ a în orice punct unghiular x0 al lui y0 (x) func¸tiile Fy0 (x, y0 (x), y00 (x)), F (x, y0 (x), y00 (x)) − Fy0 (x, y0 (x), y00 (x))y00 (x) sunt continue, adic˘ a saltul lor în x0 este nul: [Fy0 (x, y0 (x), y00 (x))]x0 = 0

[F (x, y0 (x), y00 (x)) − Fy0 (x, y0 (x), y00 (x))y00 (x)]x0 = 0 Acestea sunt condi¸tiile necesare ale lui Weirstrass-Erdman în punctele unghiulare ale extremalelor continue pe por¸tiuni. Vom re¸tine c˘ a în membrii stângi al acestor rela¸tii apar acelea¸si expresii din forma general˘ a a varia¸tiei func¸tionalei. De altfel puteam deduce aceste rela¸tii desp˘ ar¸tind integrala prin punctul x0 în dou˘ a integrale ¸si scriind c˘ a varia¸tia este nul˘ a. S˘ a mai not˘ am c˘ a puncte unghiulare pot fi numai punctele x0 în care Fy0 y0 (x0 , y0 (x0 ), y00 (x0 )) = 0 pentru c˘ a în punctele în care Fy0 y0 (x0 , y0 (x0 ), y00 (x0 )) 6= 0, y0 (x) are neap˘ arat derivat˘ a continu˘ a. In exemplul cu care am început Fy0 y0 = −2y 2 , deci puncte unghiulare pentru extremale pot fi numai cele unde y(x) se anuleaz˘ a.

11.21

Exerci¸tii

S˘ a se determine extremalele cu un punct de discontinuitate pentru prima derivat˘ a pentru func¸tionalele: R2 a) I[y(x)] = (y 04 − 6y 02 )dx, y(0) = 0, y(2) = 0. 0

CAPITOLUL 11. ELEMENTE DE CALCUL VARIATIONAL ¸

68

Ind. Cum Fy0 y0 = 12y 02 − 12 se poate anula exist˘ a extremale cu puncte de discontinuitaate pentru prima derivat˘ a. Extremalele fiind de forma y = C1 x + C2 caut˘ am extremala cu un punct c de discontinuitate sub forma   m x + n pentru 0 ≤ x ≤ c − − y=  m x + n pentru c ≤ x ≤ 2. +

+

Din condi¸tiile la capete g˘ asim   m x pentru 0 ≤ x ≤ c − y=  m (x − 2) pentru c ≤ x ≤ 2. +

Condi¸tia de continuitate d˘ a m− c = m+ (c − 2). Condi¸tiile Weirstrass-Erdman dau [Fy0 ]c = 4m3− − 12m− − 12m3+ + 12m+ = 0 [F − y 0 Fy0 ]c = −3m4− + 6m2− + 3m4+ − 6m2+ = 0

sau (m− − m+ )(m2− + m− m+ + m2+ − 3) = 0 (m2− − m2+ )(m2− + m2+ − 2) = 0. R˘ amând de rezolvat sistemele m− + m+ = 0 m2− + m− m+ + m2+ = 3 ¸si m2− + m2+ = 2 m2− + m− m+ + m2+ = 3 care au solu¸tilem− =

√ √ √ √ 3, m+ = − 3 ¸si m− = − 3, m+ = 3. In ambele cazuri rezult˘ a

c = 1. Exist˘ a deci dou˘ a extremale care au un punct de discontinuitate pentru prima derivat˘ a

 √  3x pentru 0 ≤ x ≤ 1 y= √  − 3(x − 2) pentru 1 ≤ x ≤ 2

11.22. CONDITIILE ¸ NECESARE ALE LUI LEGENDRE S¸I IACOBI ¸si

69

 √  − 3x pentru 0 ≤ x ≤ 1 y= √  3(x − 2) pentru 1 ≤ x ≤ 2.

R4 b) I[y(x)] = (y 0 − 1)2 (y 0 + 1)2 dx, y(0) = 0, y(4) = 2.  0   −x  x pentru 0 ≤ x ≤ 1 pentru 0 ≤ x ≤ 3 R. y = ¸si y =  x − 2 pentru 1 ≤ x ≤ 4  −x + 6 pentru 3 ≤ x ≤ 4 Rx2 c) I[y(x)] = (y 02 + 2xy − y 2 )dx, y(x1 ) = y1 , y(x2 ) = y2 . x1

R. nu exist˘ a extremale cu prima derivat˘ a discontinu˘ a.

11.22

Condi¸tiile necesare ale lui Legendre ¸si Iacobi

a minimul slab al func¸tionalei Fie y0 (x) func¸tia care realizeaz˘ I[y(x)] =

Zb

F (x, y(x), y 0 (x))dx

a

pe mul¸timea © ª M = y(x)|y(x) ∈ C 1 [a, b], y(a) = ya , y(b) = yb

în ipoteza c˘ a func¸tia F are derivate par¸tiale de ordinul doi continue. Oricare ar fi func¸tia direc¸tie η(x) ∈ M0 = {η(x)|η(x) ∈ C 1 [a, b], η(a) = 0, η(b) = 0}, func¸tia Φ(t) = I[y(x) + tη(x)] are un minim pentru t = 0 ¸si avem condi¸tiile necesare Φ0 (0) = δI[y0 (x); η(x)] = 0, Φ00 (0) = δ 2 I[y0 (x); η(x) ≥ 0. S˘ a ne ocup˘ am de a doua condi¸tie. O putem scrie sub forma δ 2 I[y0 (x); η(x)] = =

Z

a

b©

ª Fyy (x, y0 , y00 )η 2 + 2Fyy0 (x, y0 , y00 )ηη 0 + Fy0 y0 (x, y0 , y00 )η 02 ≥ 0,

oricare ar f i η(x) ∈ M0 = {η(x)|η(x) ∈ C 1 [a, b], η(a) = 0, η(b) = 0}. Integrând al doilea termen prin p˘ ar¸ti, putem scrie

CAPITOLUL 11. ELEMENTE DE CALCUL VARIATIONAL ¸

70

δ 2 I[y0 (x); η(x)] = ¾ ¸ Z b ½· d 2 0 0 0 02 = Fyy (x, y0 , y0 ) − Fyy0 (x, y0 , y0 ) η + Fy0 y0 (x, y0 , y0 )η ≥ 0, dx a

oricare ar f i η(x) ∈ M0 = {η(x)|η(x) ∈ C 1 [a, b], η(a) = 0, η(b) = 0}. sau cu nota¸tii evidente Z

2

δ I[y0 (x); η(x)] =

b

a

P (x)η(x)2 + Q(x)η 0 (x)2 ≥ 0,

oricare ar f i η(x) ∈ M0 = {η(x)|η(x) ∈ C 1 [a, b], η(a) = 0, η(b) = 0}. S˘ a presupunem c˘ a exist˘ a un punct x0 ∈ (a, b) astfel încât Q(x0 ) = −2q < 0. Atunci exist˘ a o întreag˘ a vecin˘ atate (α, β) a lui x0 pe care Q(x) < −q. Atunci luând direc¸tia   sin2 π x−α pentru x ∈ (α, β) β−α η(x) =  0 pentru x ∈ / (α, β) avem cu nota¸tii evidente 2

δ I[y0 (x); η(x)] ≤ M

Z

π2 x−α dx − q αβ sin π β−α (β − α)2 4

β−α = M π

Z1 0

π sin tdt − q β−α 4

Z1

Z

αβ sin2 2π

x−α dx = β−α

sin2 2tdt

0

Ori se vede c˘ a dac˘ a β − α → 0, ultimul termen tinde c˘ atre minus infinit, contradic¸tie cu ipoteza. Am demonstrat a minimul Teorema 13. (Condi¸tia lui Legendre) Dac˘ a y0 (x) este func¸tia care realizeaz˘ (maximul) func¸tionalei I[y(x)] =

Zb

F (x, y(x), y 0 (x))dx

a

pe mul¸timea © ª M = y(x)|y(x) ∈ C 1 [a, b], y(a) = ya , y(b) = yb

în ipoteza c˘ a func¸tia F are derivate par¸tiale de ordinul doi continue, atunci oricare ar f i x ∈ [a, b] Fy0 y0 (x, y0 (x), y00 (x)) ≥ 0(≤ 0).

11.22. CONDITIILE ¸ NECESARE ALE LUI LEGENDRE S¸I IACOBI

71

Direc¸tia η(x) pentru care varia¸tia de ordinul doi se anuleaz˘ a când y0 (x) realizeaz˘ a minimul func¸tionalei I[y(x)] este extremal˘ a a varia¸tiei de ordinul al doilea δ 2 I[y0 (x); η(x)] considerat˘ a ca func¸tional˘ a de η(x). Ea verific˘ a ecua¸tia Euler-Lagrange a acestei func¸tionale: d {Fyy0 (x, y0 , y00 )η + Fy0 y0 (x, y0 , y00 )η 0 } − dx − {Fyy (x, y0 , y00 )η + Fyy0 (x, y0 , y00 )η 0 } = 0 Defini¸tia 8. Ecua¸tia Euler-Lagrange a varia¸tiei de ordinul doi ca func¸tional˘ a de direc¸tie se nume¸ste ecua¸tia lui Iacobi pentru func¸tionala ini¸tial˘a. Vom observa c˘ a ecua¸tia lui Iacobi este o ecua¸tie diferen¸tial˘ a de ordinul doi linear˘ a ¸si omogen˘ a ¸si dac˘ a o direc¸tie η(x) satisface ecua¸tia lui Iacobi ¸si dac˘ a η(a) = η 0 (a) = 0, atunci ea este identic nul˘ a pe tot intervalul. Defini¸tia 9. Dou˘ a puncte x1 < x2 de pe o extremal˘ a a func¸tionalei I[y(x)] =

Zb

F (x, y(x), y 0 (x))dx

a

se numesc conjugate dac˘ a ecua¸tia lui Iacobi admite o solu¸tie η(x) astfel încât η(x1 ) = η(x2 ) = 0, dar η(x) nu este identic nul˘ a pe (x1 , x2 ). Teorem˘ a 12. (Condi¸tia lui Iacobi) Dac˘ a y0 (x) este func¸tia care realizeaz˘ a minimul (maximul) func¸tionalei I[y(x)] =

Zb

F (x, y(x), y 0 (x))dx

a

pe mul¸timea © ª M = y(x)|y(x) ∈ C 1 [a, b], y(a) = ya , y(b) = yb

în ipoteza c˘ a func¸tia F are derivate par¸tiale de ordinul doi continue, atunci pe ea nu exist˘ a nici o pereche de puncte conjugate. Dac˘ a ar exista dou˘ a puncte conjugate x1 < x2 exist˘ a o direc¸tie η(x) cu η(x1 ) = η(x2 ) = 0, dar η(x) nu este identic nul˘ a pe (x1 , x2 ). Atunci direc¸tia   0 pentru x ∈ / (x1 , x2 ) v η (x) =  η(x) pentru x ∈ (x , x ) 1

2

ar fi o extremal˘ a neted˘ a pe por¸tiuni pentru δ 2 I[y0 (x); η(x)]. Condi¸tiile Weirstrass-

Erdman implic˘ a η 0 (x1 ) = 0, ¸si deci η(x) este identic nul˘ a, contradic¸tie cu ipoteza.

CAPITOLUL 11. ELEMENTE DE CALCUL VARIATIONAL ¸

72

Fie acum y0 (x) o extremal˘ a a func¸tionalei I[y(x)] ¸si η(x) o func¸tie astfel încât p˘ atratul ei ¸si al derivatei s˘ a fie neglijabile fa¸ta˘ de η(x), respectiv η 0 (x). Func¸tia y0 (x) + η(x) va fi o extremal˘ a numai dac˘ a verific˘ a ecua¸tia Euler-Lagrange d Fy0 (x, y0 (x) + η(x), y00 (x) + η 0 (x)) = Fy (x, y0 (x) + η(x), y00 (x) + η 0 (x)) dx de unde rezult˘ a d {Fyy0 (x, y0 , y00 )η + Fy0 y0 (x, y0 , y00 )η 0 } − dx − {Fyy (x, y0 , y00 )η + Fyy0 (x, y0 , y00 )η 0 } = 0 adic˘ a tocmai ecua¸tia lui Iacobi. Rezult˘ a c˘ a punctul x2 este conjugat cu punctul x1 a cu extremala y = y0 (x), adic˘ a dac˘ a exist˘ a o extremal˘ a y = y0 (x) + η(x) infinit vecin˘ x2 este punctul de tangen¸ta˘ intre extremala y = y0 (x) ¸si înf˘ a¸sur˘ atoarea unei familii de extremale. Din aceast˘ a interpretare geometric˘ a rezult˘ a teorema: Teorema (Condi¸tia suficient˘a de scufundare).Dac˘ a y = y0 (x) este o extremal˘ a a func¸tionalei I[y(x)] ¸si dac˘ a de-a lungul ei Fy0 y0 (x, y0 (x), y00 (x)) 6= 0 ¸si pe intervalul [a, b] nu exist˘ a puncte conjugate atunci extremala y = y0 (x) poate fi scufundat˘ a într-o familie de extremale, adic˘ a exist˘ a o familie de extremale y = y(x, α) prin fiecare punct din vecin˘ atatea lui y = y0 (x) trecând numai câte o asemenea extremal˘ a ¸si exist˘ a o valoare α0 astfel c˘ a y0 (x) = y(x, α0 ).

11.23

Condi¸tia lui Weirstrass de extremum tare

a minimul tare al func¸tionalei Fie y0 (x) func¸tia care realizeaz˘

I[y(x)] =

Zb

F (x, y(x), y 0 (x))dx

a

pe mul¸timea ª © M = y(x)|y(x) ∈ C 1 [a, b], y(a) = ya , y(b) = yb

în ipoteza c˘ a func¸tia F are derivate par¸tiale de ordinul doi continue. S ¸ tim c˘ a y0 (x) este o extremal˘ a a func¸tionalei I[y(x)]. Presupunem pentru simplitate c˘ a graficul func¸tiei y0 (x) trece prin originea O(0, 0). S˘ a d˘ am în vecin˘ atatea acestui punct o varia¸tie func¸tiei

11.23. CONDITIA ¸ LUI WEIRSTRASS DE EXTREMUM TARE

73

în a¸sa fel încât varia¸tia graficului în vecin˘ atatea originii s˘ a fie în vârf de ac, cu alte cuvinte pentru h > 0 mic consider˘ am func¸tia    pentru x ≤ 0  y0 (x)  y(x, h, m) = mx pentru 0 ≤ x ≤ h     y (x) + mh−y0 (h) (x − b) pentru h ≤ x ≤ b 0 h−b

Pentru h mic func¸tia y(x, h, m), cu derivat˘ a continu˘ a pe por¸tiuni, este în vecin˘ atatea

a func¸tii difer˘ a foarte pu¸tin ca valori, dar nu ¸si ca derivate). tare a lui y0 (x) (cele dou˘ Vom avea ϕ(h, m) = I[y(x, h, m)] − I[y0 (x)] =

Zh

F (x, mx, m)dx +

0

+

Zb

F (x, y(x, h, m),

∂y(x, h, m) )dx. ∂x

h

¸si ∂ϕ(h, m) ∂y(h, h, m) = F (h, mh, m) − F (h, y(h, h, m), )+ ∂h ∂x ¸ Zb · ∂y(x, h, m) ∂ 2 y(x, h, m) + Fy + Fy0 dx. ∂h ∂x∂h h

La limit˘ a pentru h → 0 + 0 vom avea ∂ϕ(0 + 0, m) = F (0, 0, m) − F (0, 0, y 0 (0)) + ∂h ¸ Zb · ∂y(x, 0, m) ∂ 2 y(x, 0, m) Fy + Fy0 dx ∂h ∂x∂h 0

a rezult˘ a unde Fy , Fy0 sunt calculate în punctele (x, y0 (x), y00 (x)). Cum y0 (x) este extremal˘

Dar

∂ϕ(0 + 0, m) = F (0, 0, m) − F (0, 0, y 0 (0)) + ∂h ¯b ∂y(x, 0, m) ¯¯ 0 Fy0 (x, y0 (x), y0 (x)) ¯ . ∂h 0

∂y(x, h, m) (m − y 0 (h))(h − b) − mh + y(h) = (x − b) ∂h (h − b)2 ∂y(x, 0, m) m − y 0 (0) = (x − b) ∂h −b

CAPITOLUL 11. ELEMENTE DE CALCUL VARIATIONAL ¸

74 ¸si ob¸tinem

∂ϕ(0 + 0, m) = F (0, 0, m) − F (0, 0, y 0 (0)) − Fy0 (0, 0, y00 (0))(m − y 0 (0)) ∂h Dac˘ a ar exista o valoare m0 pentru care ϕ(h, m0 ) =

∂ϕ(0+0,m0 ) ∂h

< 0 atunci pentru c˘ a

∂ϕ(0 + 0, m0 ) h + o(h), h > 0 ∂h

rezult˘ a c˘ a ar exista o valoare h0 suficient de mic˘ a ¸si func¸tia y(x, h0 , m0 ) astfel încât ϕ(h0 , m0 ) = I[y(x, h0 , m0 )] − I[y0 (x)] < 0. Putem înlocui func¸tia neted˘ a pe por¸tiuni y(x, h0 , m0 ) cu o func¸tie neted˘ a peste tot y ∗ (x, h0 , m0 ) astfel încât I[y ∗ (x, h0 , m0 )] s˘ a difere pu¸tin de I[y(x, h0 , m0 )] ¸si deci ca inea se men¸tin˘ a. Va rezulta c˘ a extremala y0 (x) nu galitatea I[y ∗ (x, h0 , m0 )] − I[y0 (x)] < 0 s˘ realizeaz˘ a minimul tare al func¸tionalei. Deci oricare ar fi x ∈ [a, b], oricare ar fi m ∈ R trebuie s˘ a avem F (x, y0 (x), m) − F (x, y0 (x), y 0 (x)) − Fy0 (x, y0 (x), y00 (x))(m − y00 (x)) ≥ 0. Defini¸tia 10. Func¸tia E(x, y, y 0 , m) = F (x, y, m) − F (x, y, y 0 ) − Fy0 (x, y, y 0 )(m − y 0 ) se nume¸ste func¸tia lui Weirstrass. Rezult˘ a urm˘ atoarea teorem˘ a: Teorema 13 (Condi¸tia lui Weirstrass). Dac˘ a func¸tia y0 (x) realizeaz˘ a minumul tare al func¸tionalei I[y(x)] =

Zb

F (x, y(x), y 0 (x))dx

a

pe mul¸timea © ª M = y(x)|y(x) ∈ C 1 [a, b], y(a) = ya , y(b) = yb

atunci de-a lungul ei func¸tia lui Weirstrass este pozitiv˘ a E(x, y0 (x), y00 (x), m) =

= F (x, y0 (x), m) − F (x, y0 (x), y00 (x)) − Fy0 (x, y0 (x), y00 (x))(m − y00 (x)) ≥ 0

11.24. CONDITII ¸ SUFICIENTE DE EXTREMUM

75

oricare ar fi m pentru care F (x, y, m) are sens. Din punct de vedere geometric condi¸tia lui Weirstrass revine la faptul c˘ a func¸tia F (x, y, y 0 ) de-a lungul extremalei care realizeaz˘ a minimul func¸tionalei este convex˘ a considerat˘ a ca func¸tie de y 0 . Cum ϕ(p) − ϕ(q) − ϕ0 (p)(p − q) =

Zq

dr

p

Zr

ϕ00 (s)ds

p

rezult˘ a c˘ a dac˘ a Fy0 y0 (x, y0 (x), m) ≥ 0, ∀m ∈ R, atunci condi¸tia lui Weirstrass este îndeplinit˘ a.

11.24

Condi¸tii suficiente de extremum

a minimul tare al func¸tionalei Fie y0 (x) func¸tia care realizeaz˘ I[y(x)] =

Zb

F (x, y(x), y 0 (x))dx

a

pe mul¸timea © ª M = y(x)|y(x) ∈ C 1 [a, b], y(a) = ya , y(b) = yb

în ipoteza c˘ a func¸tia F are derivate par¸tiale de ordinul doi continue. S ¸ tim c˘ a y0 (x) este o extremal˘ a a func¸tionalei I[y(x)]. S˘ a presupunem c˘ a aceast˘ a extremal˘ a poate fi scufundat˘ a într-un câmp central de extremale cu vârful în (a, y0 (a)). Fie m(x, y) func¸tia de pant˘ a a câmpului ¸si fie y = y(x), x ∈ [a, b] o func¸tie din vecin˘ atatea tare a extremalei y0 (x). Prin fiecare punct (x, y(x)) trece o extremal˘ a din câmpul central cu ecua¸tia de = forma y = ψ(t, x), t ∈ [a, b] astfel încât ψ(a, x) = y0 (a), ψ(x, x) = y(x), ∂ψ(x,x) ∂t m(x, y(x)). S˘ a consider˘ am func¸tia

σ(x) = −

Zx

∂ψ(t, x) )dt − F (t, ψ(t, x), ∂t

a

Vom avea σ(a) = −

Zb

F (t, y(t), y 0 (t))dt.

x

Zb a

F (t, y(t), y 0 (t))dt = −I[y(t)],

CAPITOLUL 11. ELEMENTE DE CALCUL VARIATIONAL ¸

76

σ(b) = −

Zb

∂ψ(t, x) )dt = − F (t, ψ(t, x), ∂t

a

Zb

F (t, y0 (t), y00 (t))dt = −I[y0 (t)]

a

¸si deci σ(b) − σ(a) = I[y(t)] − I[y0 (t)] =

Zb

σ 0 (x)dx.

a

Dar ¸ Zx · ∂ψ(t, x) ∂ 2 ψ(t, x) Fy + Fy0 dt σ (x) = F (x, y(x), y (x)) − F (x, y (x), m(x, y(x))) − ∂x ∂t∂x 0

0

0

a

sau ¸tinând cont c˘ a ψ(t, x) este extremal˘ a

Avem

¯x ¯ ∂ψ(t, x) ¯ . σ 0 (x) = F (x, y(x), y 0 (x)) − F (x, y 0 (x), m(x, y(x))) − Fy0 ∂x ¯a

∂ψ(a,x) ∂x

= 0,

∂ψ(x,x) ∂t

+

∂ψ(x,x) ∂x

= y 0 (x) de unde

∂ψ(x,x) ∂x

= y 0 (x) − m(x, y(x)) ¸si deci

σ 0 (x) = F (x, y(x), y 0 (x)) − F (x, y 0 (x), m(x, y(x))) − −Fy0 (x, y(x), m(x, y(x)))(y 0 (x) − m(x, y(x))). A reap˘ arut func¸tia lui Weirstrass ¸si putem scrie I[y(t)] − I[y0 (t)] =

Zb

E(x, y(x), m(x, y(x)), y 0 (x))dx.

a

Puteam stabili aceast˘ a rela¸tie pentru cazul mai general în care extremala y0 (x) poate fi scufundat˘ a într-un câmp de extremale oarecare. In adev˘ ar dac˘ a lu˘ am func¸tia fundamental˘ a a câmpului S(x, y) avem dS = [F (x, y, m(x, y)) − m(x, y)Fy0 (x, y, m(x, y))] dx + Fy0 (x, y, m(x, y))dy ¸si deci integrala curbilinie Z [F (x, y, m(x, y)) − m(x, y)Fy0 (x, y, m(x, y))] dx + Fy0 (x, y, m(x, y))dy C

nu depinde decât de capetele curbei. Dac˘ a lu˘ am odat˘ a curba graficul extremalei y = y0 (x) ¸si alt˘ a dat˘ a graficul unei func¸tii oarecare y = y(x) cu acelea¸si capete vom avea I[y0 (x)] =

11.24. CONDITII ¸ SUFICIENTE DE EXTREMUM Zb

77

{[F (x, y, m(x, y(x))) − m(x, y(x))Fy0 (x, y, m(x, y(x)))] + Fy0 (x, y, m(x, y))y 0 (x)} dx

a

¸si reg˘ asim rela¸tia I[y(x)] − I[y0 (x)] =

Zb

E(x, y(x), m(x, y(x)), y 0 (x))dx.

a

Am ob¸tinut teorema Teorema . (Condi¸tia necesar˘a si suficient˘a de minim tare a lui Weirstrass) Extremala y0 (x) care poate fi scufundat˘ a într-un câmp de extremale realizeaz˘ a minimul tare al func¸tionalei I[y(x)] dac˘ a ¸si numai dac˘ a pentru orice func¸tie y(x) dintr-o vecin˘ atate tare a lui y0 (x) are loc rela¸tia Zb

E(x, y(x), m(x, y(x)), y 0 (x))dx ≥ 0.

a

Aceast˘ a teorem˘ a greu de aplicat în practic˘ a poate fi înlocuit˘ a evident cu urm˘ atoarea teorem˘ a mai practic˘ a: Teorema . (Condi¸tia suficient˘a a lui Weirstrass de minim tare) Extremala y0 (x) care poate fi scufundat˘ a într-un câmp de extremale realizeaz˘ a minimul tare al func¸tionalei I[y(x)] dac˘ a exist˘ a o vecin˘ atate tare a lui y0 (x) astfel încât în orice punct (x, y) al acestei vecin˘ at˘ a¸ti are loc rela¸tia E(x, y, m(x, y), m0 ) ≥ 0 oricare ar fi num˘ arul m0 . Cum E(x, y, m(x, y), m0 ) = 12 Fy0 y0 (x, y, m00 )(m0 − m(x, y))2 cu m00 cuprins între m0 ¸si m(x, y) putem enun¸ta teorema ¸si mai simpl˘ a: Teorema . (Condi¸tia suficient˘a simplificat˘a de minim tare a lui Weirstrass) Extremala y0 (x) care poate fi scufundat˘ a într-un câmp de extremale realizeaz˘ a minimul tare al func¸tionalei I[y(x)] dac˘ a exist˘ a o vecin˘ atate tare a lui y0 (x) astfel încât în orice punct (x, y) al acestei vecin˘ at˘ a¸ti are loc rela¸tia Fy0 y0 (x, y, m00 ) ≥ 0 oricare ar fi num˘ arul m00 . Pentru minimul slab are loc teorema:

CAPITOLUL 11. ELEMENTE DE CALCUL VARIATIONAL ¸

78

Teorema .(Condi¸tiile suficiente de minim slab ale lui Iacobi) Func¸tia y0 (x) realizeaz˘ a minimul slab al func¸tionalei I[y(x)] dac˘ a sunt satisf˘ acute condi¸tiile: • y0 (x) este o extremal˘ a; • de-a lungul s˘ au are loc condi¸tia lui Legendre înt˘ arit˘ a Fy0 y0 (x, y0 (x), y00 (x)) > 0; • de-a lungul s˘ au are loc condi¸tia lui Iacobi înt˘ arit˘ a, adic˘ a pe intervalul [a, b] nu exist˘ a puncte conjugate cu a. In adev˘ ar ultimele dou˘ a condi¸tii asigur˘ a c˘ a extremala y0 (x) poate fi scufundat˘ a întrun câmp de extremale. Din condi¸tia a doua rezult˘ a c˘ a exist˘ a o vecin˘ atate slab˘ a a lui y0 (x) astfel c˘ a în punctele acestei vecin˘ at˘ a¸ti vom avea Fy0 y0 (x, y, y 0 ) > 0. Atunci pentru o func¸tie y(x) din aceast˘ a vecin˘ atate vom avea

I[y(x)] − I[y0 (x)] =

Zb

E(x, y(x), m(x, y(x)), y 0 (x))dx =

a

1 = 2

Zb

(y 0 (x) − m(x, y(x))2 Fy0 y0 (x, y(x), m0 (x))dx > 0

a

m0 (x) fiind cuprins între m(x, y(x)) ¸si y 0 (x). Condi¸tiile suficiente ale lui Iacobi se cer îndeplinite numai de-a lungul extremalei. In cazul maximelor se schimb˘ a semnul inegalit˘ a¸tilor în toate condi¸tiile.

11.25

Exerci¸tii

S˘ a se studieze extremalele func¸tionalelor: R1 02 1. I[y(x)] = (y − 2xy)dx, y(0) = y(1) = 0. 0

Ind. F = y 02 − 2xy, Fy0 = 2y 0 , Fy = −2x, Fy0 y0 = 2, Fyy0 = 0, Fyy = 0. Ecua¸tia lui 3

Euler 2y 00 + 2x = 0 are extremalele y = − x6 + C1 x + C2 . Cea care satisface condi¸tiile la 3

a în câmpul central cu centrul în O(0, 0). capete este y = − x6 + x6 , ea poate fi scufundat˘

De altfel ecua¸tia lui Iacobi este η 00 = 0 cu solu¸tia care verific˘ a condi¸tiile η(0) = 0,

η 0 (0) = 1, η = x care nu se anuleaz˘ a pe (0, 1]. Cum Fy0 y0 = 2 > 0 peste tot, rezult˘ a c˘ a

11.25. EXERCITII ¸

79

extremala realizeaz˘ a minimul tare. De altfel func¸tia lui Weirstrass este E(x, y, m, y 0 ) = F (x, y, y 0 ) − F (x, y, m) − Fy0 (x, y, m)(y 0 − m) = = y 02 − 2xy − m2 + 2xy − 2m(y 0 − m) = = (y 0 − m)2 ≥ 0. 2. I[y(x)] =

R1 0

ex (y 2 + 12 y 02 )dx, y(0) = 1, y(1) = e.

Ind. F = ex (y 2 + 12 y 02 ), Fy0 = ex y 0 , Fy = 2ex y, Fy0 y0 = ex , Fyy0 = 0, Fyy = 2ex . Ecua¸tia lui Euler y 00 + y 0 − 2y = 0 are extremalele y = C1 ex + C2 e−2x , iar cea care satisface

condi¸tiile este y = ex . Ecua¸tia lui Iacobi este η 00 + η 0 − 2η = 0 cu solu¸tia necesar˘ a η = 13 ex (1 − e−3x ) 6= 0 pentru x ∈ (0, 1]. Func¸tia lui Weirstrass este E(x, y, m, y 0 ) = 1 x 0 e (y 2

− u)2 ≥ 0, deci extremala realizeaz˘ a minimul tare. R1 y 02 3. I[y(x)] = e y dx, y(0) = 0, y(1) = ln 4. 0

R. Pe extremala y = 2 ln(x + 1) se realizeaz˘ a un minim tare. R2 x3 4. I[y(x)] = y02 dx, y(1) = 1, y(2) = 4. 1

R. Pe extremala y = x2 se realizeaz˘ a un minim slab pentru c˘ a se g˘ ase¸ste func¸tia lui 3

p x 2 0 0 a numai pentru y 0 în vecin˘ Weirstrass E(x, y, m, y 0 ) = 2 m atatea 2 (y − m) (y + 2 ) pozitiv˘

lui m. 5. I[y(x)] =

Ra 0

dx , y0

y(0) = 0, y(a) = b, a > 0, b > 0.

a un minim slab pentru c˘ a func¸tia lui Weirstrass R. Pe extremala y = ab x se realizeaz˘ 0

2

este E(x, y, m, y 0 ) = (yp−p) pozitiv˘ a numai în vecin˘ atatea extremalei. 2 y0 1 R 6. I[y(x)] = (1 + x)y 02 dx, y(0) = 0, y(1) = 1. 0

se realizeaz˘ a un minim tare. R. Pe extremala y = ln(1+x) ln 2 π/2 R 7. I[y(x)] = (y 2 − y 02 )dx, y(0) = 1, y(π/2) = 1. 0

R. Pe extremala y = sin x + cos x se realizeaz˘ a un maxim tare. R2 0 8. I[y(x)] = y (1 + x2 y 0 )dx, y(−1) = 1, y(2) = 4. −1

R Nu exist˘ a extremum pe func¸tii continue. R1 9. I[y(x)] = (y 03 + y 02 )dx, y(−1) = −1, y(1) = 3. −1

R. Pe extremala y = 2x + 1 se realizeaz˘ a minim slab. R1 03 10. I[y(x)] = (y − αy 0 )dx, y(0) = 0, y(1) = −2, α ∈ R. 0

R. Pe extremala y = −2x se realizeaz˘ a un minim slab.

CAPITOLUL 11. ELEMENTE DE CALCUL VARIATIONAL ¸

80

R2 0 11. I[y(x)] = (ey + 3)dx, y(0) = 0, y(2) = 1. 0

R. Pe extremala y = x2 se realizeaz˘ a un minim tare. 1 R 12. I[y(x)] = (y 02 + x2 )dx, y(0) = −1, y(1) = 1. 0

R. Pe extremala y = 2x − 1 se realizeaz˘ a un minim tare. R2 04 13. I[y(x)] = (xy − 2yy 03 )dx, y(1) = 0, y(2) = 1. 1

R. Pe extremala y = x − 1 se realizeaz˘ a un minim slab. Ra 02 14. I[y(x)] = y dx, y(0) = 0, y(a) = b, a > 0, b > 0. 0

a un minim tare. R. Pe extremala y = ab x se realizeaz˘ Ra 03 15. I[y(x)] = y dx, y(0) = 0, y(a) = b, a > 0, b > 0. 0

a un minim slab. R. Pe extremala y = ab x se realizeaz˘

11.26

Extreme cu leg˘ aturi

a extremul func¸tionalei Fie y0 (x) func¸tia care realizeaz˘ I[y(x)] =

Zb

F (x, y(x), y 0 (x))dx

a

pe mul¸timea func¸tiilor © ª M = y(x)|y(x) ∈ C 1 [a, b], y(a) = ya , y(b) = yb , J[y(x)] = c ,

unde J[y(x)] este func¸tionala

J[y(x)] =

Zb

G(x, y(x), y 0 (x))dx.

a

Presupunem c˘ a func¸tiile F, G au derivate par¸tiale de ordinul doi continue în raport cu argumentele lor. Fie dou˘ a func¸tii direc¸tie η(x), ξ(x) nule în a, b η(a) = η(b) = 0, ξ(a) = ξ(b) = 0. Func¸tia de dou˘ a variabile Φ(t, s) = I[y0 (x) + tη(x) + sξ(x)] cu condi¸tia Ψ(t, s) = J[y0 (x) + tη(x) + sξ(x)] = c

˘ 11.26. EXTREME CU LEGATURI

81

î¸si atinge extremul în punctul (t = 0, s = 0). Atunci exist˘ a multiplicatorul lui Lagrange λ ∈ R astfel încât s˘ a avem ∂ (Φ + λΨ)|t=0,s=0 = 0 ∂t ∂ (Φ + λΨ)|t=0,s=0 = 0 ∂s ceea ce implic˘ a

δI[y0 (x); η(x)] + λδJ[y0 (x); η(x)] = 0, ∀η(x), δI[y0 (x); ξ(x)] + λδJ[y0 (x); ξ(x)] = 0, ∀ξ(x). Am demonstrat teorema a extremul func¸tionalei Teorema 12. Dac˘ a func¸tia y0 (x) realizeaz˘

I[y(x)] =

Zb

F (x, y(x), y 0 (x))dx

a

pe mul¸timea func¸tiilor © ª M = y(x)|y(x) ∈ C 1 [a, b], y(a) = ya , y(b) = yb , J[y(x)] = c , unde J[y(x)] este func¸tionala

J[y(x)] =

Zb

G(x, y(x), y 0 (x))dx,

a

dac˘ a func¸tiile F, G au derivate par¸tiale de ordinul doi continue în raport cu argumentele lor, atunci exist˘ a multiplicatorul lui Lagrange λ ∈ R asfel c˘ a y0 (x) este extremala func¸tionalei I[y(x)] + λJ[y(x)]. Exemplul 23. In problema l˘ an¸ti¸sorului, problema echilibrului unui fir greu, trebuia g˘ asit minimul func¸tionalei

I[y(x)] =

Zb a

p y(x) 1 + y 02 (x)dx

CAPITOLUL 11. ELEMENTE DE CALCUL VARIATIONAL ¸

82

cunoscând lungimea firului Zb p J[y(x)] = 1 + y 02 (x)dx = L. a

Vom c˘ auta extremala func¸tionalei I[y(x)] + λJ[y(x)] cu integrandul f =y

p p p 1 + y 02 + λ 1 + y 02 (x) = (y + λ) 1 + y 02 .

a √y+λ 02 = C. Punând Acesta ne-depinzând de x avem integrala prim˘ a f −y 0 fy0 = C adic˘ 1+y

y 0 = sinh u avem

y+λ=C Din y 0 =

dy dx

p 1 + sinh2 u = C cosh u, y = Ccoshu − λ.

= sinh u rezult˘ a dx = Cdu ¸si du =

1 x x dx, u = + C1 , y = C cosh( + C1 ) − λ. C C C

a din condi¸tiile la capete y(a) = ya , y(b) = yb ¸si din Constantele C, C1 , λ se determin˘ condi¸tia J[y(x)] = L. Fie cazul unei func¸tionale I[y1 (x), y2 (x), ..., yn (x)] =

Zb

F (y1 (x), y2 (x), ..., yn (x), y10 (x), y20 (x), ..., yn0 (x))dx,

a

definite pe o mul¸time de n func¸tii de o variabil˘ a derivabile pe intervalul [a, b] :   1   yi (x), i = 1, 2, ..., n|yi (x) ∈ C [a, b], yi (a) = yia , yi (b) = yib , , M=  G (x, y (x), y (x), ..., y (x), y 0 (x), y 0 (x), ..., y 0 (x)) = c , j = 1, 2, ..., r  1 2 j n j 1 2 n

func¸tia F fiind definit˘ a într-un domeniu ¸si cu derivatele par¸tiale de ordinul întâi continue în acel domeniu, func¸tiile Gj (x, y1 (x), y2 (x), ..., yn (x), y10 (x), y20 (x), ..., yn0 (x)) fiind

date. In acest caz se poate ar˘ ata c˘ a exist˘ a r func¸tii multiplicatori ai lui Lagrange λ1 (x), λ2 (x), ..., λr (x) astfel încât func¸tiile care realizeaz˘ a extremul func¸tionalei I anuleaz˘ a varia¸tia de ordinul întâi al func¸tionalei J = I + λ1 G1 + ... + λr Gr .

11.27

Exerci¸tii

1. S˘ a se g˘ aseasc˘ a minimul integralei I[y(x)] = R 0

R 0

πy 2 dx = 1, y(0) = 0, y(π) = 0.

πy 02 dx cu condi¸tiile J[y(x)] =

11.28. METODE VARIATIONALE ¸ PENTRU VALORI PROPRII

83

Ind. Pentru integrala cu integrandul H = y 02 +λy 2 ecua¸tia lui Euler este y 00 −λy = 0.

Pentru a putea verifica condi¸tiile trebuie ca λ = −k2 , k ∈ N ∗ ¸si g˘ asim extremalele q q y = ± π2 sin kx. Dintre acestea numai y = ± π2 sin x satisfac condi¸tia lui Iacobi. Pe

ele I[y(x)] ia valoarea minim˘ a 1.

2. S˘ a se g˘ aseasc˘ a extremalele func¸tionalei I[y(x)] = R1 0

0

y 02 dx cu condi¸tiile J[y(x)] =

0

ydx = 3, y(0) = 1, y(1) = 6. R. y = 3x2 + 2x + 1. 3. S˘ a se g˘ aseasc˘ a extremalele func¸tionalei I[y(x)] =

R1

R1

R1

y 02 dx cu condi¸tia J[y(x)] =

0

(y − y 02 )dx = 1/12, y(0) = 0, y(1) = 1/4. R. y = 14 (2x − x2 ).

R1 4. S˘ a se g˘ aseasc˘ a extremalele func¸tionalei I[y(x), z(x)] = (y 02 + z 02 − 4xz 0 − 4z)dx

cu condi¸tiile J[y(x), z(x)] =

R1 0

z(1) = 1. R. y =

7x−5x2 , 2

0

(y 02 − xy 0 − z 02 )dx = 2, y(0) = 0, z(0) = 0, y(1) = 1,

z = x.

5 S˘ a se g˘ aseasc˘ a cea mai scurt˘ a lungime a curbei de pe suprafa¸ta 15x−7y +z −22 = 0 care une¸ste punctele A(1, −1, 0), B(2, 1, −1).. Ind. Se caut˘ a extremala func¸tionalei Z1 ³p ´ I[y(x), z(x)] = 1 + y 02 + z 02 + λ(x)(15x − 7y + z − 22) 0

unde λ(x) este func¸tia multiplicator. √ R. y = 2x − 3, z = 1 − x, L = 6.

11.28

Metode varia¸tionale pentru valori proprii

Fie E un spa¸tiu euclidian n-dimensional ale c˘ arui elemente le not˘ am cu litere latine mici x, y, z, ...¸si o form˘ a p˘ atratic˘ a p(x) pozitiv definit˘ a pe E. De la algebr˘ a linear˘ a se ¸stie c˘ a exist˘ a un endomorfism autoadjunct A : E → E astfel încât p(x) =< A(x), x > ¸si c˘ a exist˘ a o baz˘ a ortonormat˘ a e1 , e2 , ..., en format˘ a din vectori proprii ai endomorfismului A asfel încât dac˘ a x = x1 e1 + x2 e2 + ... + xn en

CAPITOLUL 11. ELEMENTE DE CALCUL VARIATIONAL ¸

84 atunci

p(x) = λ1 (x1 )2 + λ2 (x2 )2 + ... + λn (xn )2 , unde λ1 , λ2 , ..., λn sunt valorile proprii ale endomorfismului A. Suprafa¸ta de nivel constant 1 a formei p˘ atratice λ1 (x1 )2 + λ2 (x2 )2 + ... + λn (xn )2 = 1 reprezint˘ a un elipsoid ale c˘ arui semiaxe sunt legate de valorile proprii. De exemplu, cea mai mare semiax˘ a este egal˘ a cu

√1 λ1

dac˘ a λ1 este cea mai mic˘ a valoare proprie. Cum λ1 = p(e1 ) =< A(e1 ), e1 >

aceast˘ a interpretare geometric˘ a duce la a defini cea mai mic˘ a valoare proprie λ1¸si vectorul ei propriu prin rela¸tia λ1 = min p(x) = min < A(x), x >=min <x,x>=1

<x,x>=1

x∈E

p(x) < A(x), x > =min . < x, x > x∈E < x, x >

In adev˘ ar, sfera unitate < x, x >= 1 fiind compact˘ a minimul min x∈E

<x,x>

se atinge

pe un vector x1¸si fie valoarea sa λ1 . Atunci < A(x1 ), x1 > −λ1 < x1 , x1 >= 0 ¸si < A(x), x > −λ1 < x, x >≥ 0 pentru orice vector x din E. S˘ a not˘ am J(x) =< A(x), x > −λ1 < x, x > . Atunci J(x1 ) = 0 ¸si pentru orice t real ¸si orice vector v

func¸tia Φ(t) = J(x + tv) = 2t < A(x1 ) − λ1 x1 , v > +t2 J(v) ≥ 0. Atunci Φ0 (0) = 2 < A(x1 ) − λ1 x1 , v >= 0 pentru orice vector v. Rezult˘ a A(x1 ) − λ1 x1 = 0, adic˘ a x1 este vector propriu corespunz˘ a analogia perfect˘ a cu ator valorii proprii λ1 . Se observ˘ problemele calculului varia¸tional: 2 < A(x1 ) − λ1 x1 , v > poate fi considerat˘ a varia¸tia întâi a func¸tonalei

, <x,x>

numit˘ a câtul lui Rayleigh, iar ecua¸tia A(x1 ) − λ1 x1 = 0

poate fi considerat˘ a ecua¸tia lui Euler-Lagrange pentru aceea¸si func¸tional˘ a. S˘ a consider˘ am func¸tionala p˘ atratic˘ a I[y(x)] =

Zb a

£ ¤ P (x)y 0 (x)2 + Q(x)y(x)2 dx

definit˘ a pe mul¸timea func¸tiilor  ¯  ¯ Zb   ¯ M1 = y(x) ¯¯y(x) ∈ C 2 [a, b], y(a) = y(b) = 0, y(x)dx = 1   ¯ a

cu coeficien¸tii P (x), Q(x) func¸tii continui pe [a, b] astfel încât P (x) > 0 pentru a ≤ x ≤ b. Valorile func¸tionalei I[y(x)] sunt m˘ arginite inferior pentru c˘ a I[y(x)] ≥

Zb a

2

Q(x)y(x) dx ≥ min Q(x) a≤x≤b

Zb a

y(x)2 dx = min Q(x). a≤x≤b

11.28. METODE VARIATIONALE ¸ PENTRU VALORI PROPRII

85

S˘ a presupunem c˘ a am demonstrat c˘ a exist˘ a o func¸tie y1 (x) pentru care func¸tionala este minim˘ a. Atunci dup˘ a teoria extremelor condi¸tionate func¸tia y1 (x) satisface ecua¸tia 0

(P (x)y10 (x)) − [Q(x)y1 (x) − λ1 y1 (x)] = 0. Problema g˘ asirii solu¸tie acestei ecua¸tii care s˘ a verifice condi¸tiile la limit˘ a se nume¸ste problem˘a Sturm-Liouville. Dac˘ a introducem operatorul diferen¸tial 0

L[y(x)] = − (P (x)y 0 (x)) + Q(x)y(x) atunci rela¸tia precedent˘ a se scrie sub forma L[y1 (x)] = λ1 y1 (x), adic˘ a putem spune c˘ a func¸tia y1 (x) este vector propriu, se nume¸ste func¸tie proprie, pentru operatorul L corespunz˘ atoare valorii proprii λ1 . Odat˘ a g˘ asit˘ a func¸tia y1 (x), s˘ a g˘ asim minimul func¸tionalei I[y(x)] pe submul¸timea lui M1

¯   ¯ Zb   ¯ M2 = y(x) ¯¯y(x) ∈ M1 , y1 (x)y(x)dx = 0.   ¯ a

Func¸tia y2 (x) care realizeaz˘ a acest minim va trebui s˘ a verifice rela¸tia L[y2 (x)] = λ2 y2 (x) + µ2 y1 (x). Dar se verific˘ a imediat c˘ a operatorul L este autoadjunct, adic˘ a are loc rela¸tia Zb a

L[u(x)]v(x)dx =

Zb

u(x)L[v(x)]dx,

∀u(x), v(x) ∈ M1 .

a

a µ2 = 0, Inmul¸tind rela¸tia de mai înainte cu y1 (x) ¸si integrând de la a la b ob¸tinem c˘ adic˘ a func¸tia y2 (x) este valoarea proprie a operatorului L corespunz˘ atoare valorii proprii λ2 . atoare valorii proprii λ3 realizeaz˘ A treia func¸tie proprie y3 (x) corespunz˘ a minimul func¸tionalei I[y(x)] pe submul¸timea lui M2 ¯   ¯ Zb   ¯ ¯ M3 = y(x) ¯y(x) ∈ M2 , y2 (x)y(x)dx = 0.   ¯ a

CAPITOLUL 11. ELEMENTE DE CALCUL VARIATIONAL ¸

86

¸si putem continua. Ob¸tinem în acest fel un ¸sir de func¸tii proprii ale operatorului diferen¸tial L y1 (x), y2 (x), y3 (x), ..., yn (x), ... care prin construc¸tie sunt ortogonale dou˘ a câte dou˘ a ¸si sunt normate (apar¸tin lui M1 ). Din construc¸tie rezult˘ a c˘ a I[y1 (x)] ≤ I[y2 (x)] ≤ I[y3 (x)] ≤ ... ≤ I[yn (x)] ≤ .... Mai mult se poate ar˘ ata c˘ a acest ¸sir de valori tinde c˘ atre infinit. Dac˘ a aplic˘ am integrarea prin p˘ ar¸ti primului termen al func¸tionalei I[y(x)] ob¸tinem I[y(x)] =

Zb

b

L[y(x)y(x)dx + P (x)y(x)y 0 (x)|a

a

¸si deci I[yn (x)] =

Zb a

L[yn (x)yn (x)dx =

Zb

λn yn (x)yn (x)dx = λn .

a

Mul¸timea valorilor proprii λn constituie spectrul operatorului L pe mul¸timea M1 . In cazul endomorfismului autoadjunct vectorii proprii constituiau o baz˘ a a spa¸tiului, adic˘ a orice vector din spa¸tiu se descompune în mod unic dup˘ a vectorii proprii. Dac˘ a , ¸si consider˘ am o parti¸tie a = x0 < x1 < x2 < ... < xi < ... < xn = b, xi = a + i b−a n consider˘ am valorile y0 , y1 , ..., yn ale func¸tiei y(x) în nodurile parti¸tiei, putem exprima integrala din func¸tionala I[y(x)] printr-o formul˘ a de cuadratur˘ a ¸si ob¸tinem în locul func¸tionalei un endomorfisn autoadjunct pe subspa¸tiul vectorial definit de y0 = yn = 0. Orice element din acest subspa¸tiu se va exprima în func¸tie de vectorii proprii ai endomorfismului. La limit˘ a pentru n → ∞ rezult˘ a c˘ a orice func¸tie de dou˘ a ori derivabil˘ a pe [a, b] nul˘ a în capetele intervalului se va descompune într-o serie uniform convergent˘ a dup˘ a func¸tiile proprii. Aceasta este proprietatea de completitudine a mul¸timii func¸tiilor proprii.

11.29

Exerci¸tii

S˘ a se g˘ aseasc˘ a valorile proprii ¸si func¸tiile proprii normate ale func¸tionalelor p˘ atratice: R3 1. I[y(x)] = [(2x + 3)2 y 02 − y 2 ]dx, y(0) = 0, y(3) = 0. 0

11.30. PRINCIPIUL LUI HAMILTON, PRINCIPII VARIATIONALE ¸ Ind. Tinând ¸ cont de condi¸tia de normare

R3

87

y 2 dx = 1 ecua¸tia lui Euler este

0

(2x + 3)2 y 00 + 4(2x + 3)y 0 + (λ + 1)y = 0. F˘ acând schimbarea de variabil˘ a 2x + 3 = et aceasta se scrie 4y 00 (t) + 4y 0 (t) + (λ + 1)y(t) = 0. Condi¸tiile la capete nu pot fi satisf˘ acute decât pentru valorile proprii 4n2 π2 , n = 1, 2, 3, ... ln2 3

λn =

pentru care se g˘ asesc func¸tiile proprii nπ ln(2x+3)

2 sin √ ln 3 , n = 1, 2, 3, ... yn (x) = ± √ 2x + 3 ln 3 R1 2. I[y(x)] = (y 2 + y 02 )dx, y(0) = y(1) = 0. 0 √ R. λn = 1 + n2 π 2 , yn (x) = ± 2 sin nπx, n = 1, 2, .... R2 3. I[y(x)] = x2 y 02 dx, y(1) = y(2) = 0. R. λn =

1 ln2 2+4n2 π2 , yn (x) 4 ln2 2

sin

= ±√

nπ ln x ln 2

ln

√ √ ,n 2 x

= 1, 2, 3, ....

4. S˘ a se arate c˘ a pentru orice func¸tie y(x) : [0, π] → R, y(0) = y(π) = 0 are loc R 02 R inegalitatea πy dx ≥ πy 2 dx. 0

0

R. Se g˘ ase¸ste c˘ a egalitatea se atinge pentru y(x) =

11.30

sin √ x. π

Principiul lui Hamilton, principii varia¸tionale

Consider˘ am un sistem de n puncte materiale cu masele m1 , m2 , ..., mn . Not˘ am cu xj , yj , zj coordonatele punctului j. Mi¸scarea sistemului este descris˘ a de ecua¸tiile lui Newton ..

..

..

mj xj = Fjx , mj y j = Fjy , mj z j = Fjz ,

j = 1, 2, ..., n,

unde cele dou˘ a puncte deasupra literei înseamn˘ a derivarea în raport cu timpul, iar − → Fjx , Fjy , Fjz sunt componentele for¸tei Fj care ac¸tioneaz˘ a asupra punctului j. Pre− → a supunem c˘ a for¸tele Fj admit o func¸tie de poten¸tial U = U (x1 , y1 , z1 , ..., xn , yn , zn ), adic˘ au loc egalit˘ a¸tile Fjx = −

∂U ∂U ∂U , Fjy = − , Fjz = − , j = 1, 2, ..., n. ∂xj ∂yj ∂zj

CAPITOLUL 11. ELEMENTE DE CALCUL VARIATIONAL ¸

88

Aceasta înseamn˘ a ¸si c˘ a lucru mecanic efectuat de for¸te asupra sistemului pentru a-l aduce din pozi¸tia ini¸tial˘ a xj (t1 ), yj (t1 ), zj (t1 ), j = 1, 2, ..., n pân˘ a în pozi¸tia xj , yj , zj , j = 1, 2, ..., n este W =

(xjZ ,yj ,zj )

n X j=1

= −

Fjx dxj + Fjy dyj + Fjz dzj =

(xj (t1 ),yj (t1 ),zj (t1 )) (xjZ ,yj ,zj )

n X j=1

∂U ∂U ∂U dxj + dyj + dzj = ∂xj ∂yj ∂zj

(xj (t1 ),yj (t1 ),zj (t1 ))

= −U(x1 , y1 , z1 , ..., xn , yn , zn ) + +U (x1 (t1 ), y1 (t1 ), z1 (t1 ), ..., xn (t1 ), yn (t1 ), zn (t1 )), acând de o constant˘ a lucrul mecanic adic˘ a func¸tia U (x1 , y1 , z1 , ..., xn , yn , zn ) este abstrac¸tie f˘ efectuat de for¸te pentru a aduce sistemul din pozi¸tia final˘ a xj , yj , zj , j = 1, 2, ..., n în pozi¸tia ini¸tial˘ a xj (t1 ), yj (t1 ), zj (t1 ), j = 1, 2, ..., n. Func¸tia U(x1 , y1 , z1 , ..., xn , yn , zn ) se nume¸ste poten¸tialul for¸telor, iar valoarea sa într-o pozi¸tie a sistemului se nume¸ste energia poten¸tial˘a a sistemului în acea pozi¸tie. Func¸tia .

.

.

.

.

.

T = T (x1 , y 1 z 1 , ..., xn y n z n ) =

n ´ X .2 mj ³ . 2 .2 xj + y j + z j 2 j=1

se nume¸ste energia cinetic˘a a sistemului în pozi¸tia de la acel moment. S˘ a consider˘ am dou˘ a func¸tionale I1 [x1 (t), ..., zn (t)] =

Zt2

.

.

.

.

.

.

T (x1 , y 1 z 1 , ..., xn y n z n )dt,

t1

I2 [x1 (t), ..., zn (t)] =

Zt2

U(x1 (t), ..., zn (t))dt

t1

a calcalculate de-a lungul unei traiectorii între momentele t1 , t2 , capetele fiind fixe. S˘ cul˘ am varia¸tiile acestor dou˘ a func¸tionale. Avem δI1 [x1 (t), ..., zn (t); δx1 (t), ..., δzn (t)] = ¸ Zt2 · d ∂T d ∂T =− . δx1 (t) + ... + . δzn (t) dt = dt ∂ x1 dt ∂ z n t1

11.30. PRINCIPIUL LUI HAMILTON, PRINCIPII VARIATIONALE ¸

=−

Zt2

t1

89

¤ £ .. .. m1 x1 δx1 (t) + ... + mn z n δzn (t) dt.

δI2 [x1 (t), ..., zn (t); δx1 (t), ..., δzn (t)] = ¸ Zt2 · ∂U ∂U δx1 (t) + ... + δzn (t) dt = = ∂x1 ∂zn t1

=−

Zt2

[F1x δx1 (t) + ... + Fnz δzn (t)] dt.

t1

In virtutea ecua¸tiilor lui Newton avem δ(I1 [x1 (t), ..., zn (t); δx1 (t), ..., δzn (t)] − I2 [x1 (t), ..., zn (t); δx1 (t), ..., δzn (t)]) = 0, a a sistemului de puncte adic˘ a, vedem c˘ a func¸tiile x1 (t), ..., zn (t) care descriu mi¸scarea real˘ între momentele t1 , t2 fac sta¸tionar˘ a func¸tionala I[x1 (t), ..., zn (t)] =

Zt2

t1

¤ £ . . T (x1 (t), ..., z n (t)) − U(x1 (t), ..., zn (t)) dt

adic˘ a problema de mecanic˘ a este de fapt o problem˘ a de calcul varia¸tional. Acest lucru a fost observat pentru prima dat˘ a în 1835 de c˘ atre Hamilton ¸si de aceea se nume¸ste principiul varia¸tional al lui Hamilton. Defini¸tia 10. Func¸tia .

.

.

.

L[x1 , ..., zn , x1 , ..., z n ] = T (x1 , ..., z n ) − U (x1 , ..., zn ) se nume¸ste func¸tia lui Lagrange a sistemului de puncte. Defini¸tia 11. Func¸tionala I[x1 (t), ..., zn (t)] =

Zt2

.

.

L[x1 , ..., zn , x1 , ..., z n ]dt

t1

se nume¸ste ac¸tiunea sistemului de-a lungul traiectoriei. Dac˘ a sistemul are r grade de libertate, adic˘ a pozi¸tia sa este descris˘ a de r parametri q1 , q2 , ..., qr , numi¸ti coordonate generalizate, xj = xj (q1 , q2 , ..., qr ), yj = yj (q1 , q2 , ..., qr ), zj = zj (q1 , q2 , ..., qr ), j = 1, 2, ..., n

CAPITOLUL 11. ELEMENTE DE CALCUL VARIATIONAL ¸

90 atunci

.

xj = .

yj = .

zj =

r X ∂xj k=1 r X k=1 r X k=1

¸si deci energia cinetic˘ a T = .

generalizate qj : T =

r P

n P

mj 2

j=1 . . aij qj qk

∂qk

.

qk

∂yj . qk ∂qk ∂zj . qk ∂qk

³. ´ .2 .2 2 xj + y j + z j este o form˘ a p˘ atratic˘ a de vitezele

cu coeficien¸tii func¸tii de coordonatele generalizate.

j,k=1

Energia poten¸tial˘ a devine o func¸tie de coordonatele generalizate U = U(q1 , q2 , ..., qr ). .

.

Func¸tia lui Lagrange L = T − U este acum o func¸tie de q1 , q2 , ..., qr , q1 , ..., q r . Func¸tiile

∂L se numesc impulsurile generalizate, iar Qi = ∂q se numesc for¸tele generalizate. i t R2 at˘ a forma Condi¸tia de sta¸tionaritate a ac¸tiunii, func¸tionala Ldt, ecua¸tiile lui Euler , cap˘

pi =

∂L . ∂ qi

t1

∂L d ∂L − . = 0, ∂qj dt ∂ qj

j = 1, 2, ..., r,

adic˘ a a¸sa numitele ecua¸tii ale lui Lagrange de spe¸ta a doua. Rt2 Se poate ar˘ ata c˘ a pe intervale mici de timp, ac¸tiunea Ldt are chiar valoare minim˘ a; t1

de aceea principiul lui Hamilton se mai nume¸ste ¸si principiul minimei ac¸tiuni.

In cazul autonom, când poten¸tialul nu depinde de timp, ecua¸tiile lui Lagrange admit integrala prim˘a a energiei T + U = const de-a lungul traiectoriei, cum rezult˘ a imediat .

din însumarea ecua¸tiilor înmul¸tite cu qj . ∂U . ∂T . d ∂T qj − qj − qj . = ∂qj ∂qj dt ∂ q j ! Ã ∂U . d . ∂T ∂T . ∂T .. qj − qj − qj . = + . qj = ∂qj ∂qj dt ∂ qj ∂ qj

dU d(T + U ) dT dT − −2 =− =0 dt dt dt dt . Am ¸tinut cont c˘ a datorit˘ a omogeneit˘ a¸tii lui T avem q j ∂∂Tq. = 2T. =

j

Exemplul 24. S˘ a consider˘ am mi¸scarea unui punct într-un câmp central în plan în → r de coordonate coordonate polare. S˘ a consider˘ am în punctul de vector de pozi¸tie − → → → r | ¸si ϕ doi versori: − er îndreptat în direc¸tia razei vectoare (¸si deci − r =r polare r = |−

11.30. PRINCIPIUL LUI HAMILTON, PRINCIPII VARIATIONALE ¸

91

→ → ortogonal pe − → − → → er ¸si îndreptat în sensul cre¸sterii lui ϕ. Evident, vectorii − eϕ er , − er ) ¸si − eϕ . . . . → . → . − . → → → − ϕ. − → → − → v =− er =ϕ eϕ, eϕ= r =r − er + ϕ − er . Rezult˘ eϕ se rotesc cu viteza unghiului ϕ: − a− ³. ´ .2 2 ¸si deci energia cinetic˘ a este T = m2 r +r2 ϕ , energia poten¸tial˘ a fiind o func¸tie de r, ³. ´ . 2 2 U = U (r). Func¸tia lui Lagrange este L = T − U = m2 r +r2 ϕ − U(r). Impulsurile generalizate sunt pr = ..

∂L . ∂r

.

= m r,

.

. Cum devine m r= mr2 ϕ − ∂U ∂r

∂L ∂ϕ

.

.

pϕ = mr2 ϕ . Prima ecua¸tie a lui Lagrange pr =

∂L . ∂r

.

= 0, a doua ecua¸tie a lui Lagrange este pϕ= 0, adic˘ a

.

pϕ = mr2 ϕ= const, ea reprezentând legea conserv˘ arii momentului cinetic. .

. In cazul general în care câmpul nu este central U = U (r, ϕ) am fi ob¸tinut pϕ = − ∂U ∂ϕ Cum dU =

∂U ∂U − → → − →→ − →→ dr + dϕ = − F d− r = −F − er dr − r F − eϕ dϕ ∂r ∂ϕ

− → unde F este for¸ta, rezult˘ a −

³ ∂U − →→ − →´ → − →´ → ³− → = rF − eϕ = r − er × F − r ×F − ez . ez = → ∂ϕ

− → → → r ×− v avem Pe de alt˘ a parte, dac˘ a notam cu M = m−

.

. z}|{. . − → . . .. → → → → v = m(2r rϕ +r2 ϕ)− ez = m (r2 ϕ) − ez . M = m− r×−

A doua ecua¸tie a lui Lagrange se scrie . ³ − →´ → − →− → r ×F − ez , M → ez = −

adic˘ a teorema momentului cinetic proiectat˘ a pe Oz. Exemplul de mai sus permite urm˘ atoare generalizare a conserv˘ arii momentului cinetic: Defini¸tia 12. O coordonat˘ a generalizat˘ a qi se nume¸ste ciclic˘a dac˘ a func¸tia lui Lagrange nu depinde de ea

∂L ∂qi

= 0.

Teorema 14. Impulsul generalizat corespunz˘ ator unei coordonate ciclice se conserv˘ a pi = const. Din ecua¸tiile de mi¸scare ob¸tinem condi¸tiile de echilibru ale sistemului de puncte materiale, ¸tinând cont c˘ a la echilibru T = 0. Aceste condi¸tii se reduc la ∂U = 0, ∂qj

j = 1, 2, ..., r,

adic˘ a la condi¸tia de sta¸tionaritate a energiei poten¸tiale.

CAPITOLUL 11. ELEMENTE DE CALCUL VARIATIONAL ¸

92

Teorema 15. In punctul de echilibru al unui sistem, energia poten¸tial˘ a este sta¸tionar˘ a. Se poate ar˘ ata folosind integrala energiei c˘ a dac˘ a energia poten¸tial˘ a are într-un punct minim local, adic˘ a în vecin˘ atatea acelui punct energia poten¸tial˘ a este o func¸tie convex˘ a, atunci acel punct este punct de echilibru stabil (teorema lui Liouville). Printr-o schimbare de coordonate generalizate, putem totdeuna presupune c˘ a punctul de echilibru stabil corespunde originii q1 = q2 = .. = qn = 0. Atunci pentru studiul micilor oscila¸tii în jurul pozi¸tiei de echilibru vom putea înlocui energia cinetic˘ a T = n . . P aij (q1 , ..., qn ) q j qk cu valoarea sa pentru q1 = q2 = .. = qn = 0

j,k=1

T =

n X

. .

aij (0, ..., 0) qj qk

j,k=1

¸si energia poten¸tial˘ a cu partea ei p˘ atratic˘ a pozitiv˘ a n ∂ 2U 1 X bjk qj qk , bjk = (0, ..., 0). U= 2 j,k=1 ∂qj ∂qk

Cum forma p˘ atratic˘ a T este pozitiv definit˘ a rezult˘ a c˘ a exist˘ a o schimbare linear˘ a de coordonate generalizate qi =

n X

cij Qj , i = 1, 2, ..., n

j=1

asfel încât T =

n X

.

Q2i

i=1

1X . 2 λi Qi . 2 i=1 n

U=

atratice U în raport cu forma Numerele λi , i = 1, ..., n sunt valorile proprii ale formei p˘ p˘ atratic˘ a T , adic˘ a sunt r˘ ad˘ acinile ecua¸tiei det (bij − λaij ) = 0. Ecua¸tiile lui Lagrange sunt atunci ..

Qi = −λi Qi , i = 1, ..., n.

11.30. PRINCIPIUL LUI HAMILTON, PRINCIPII VARIATIONALE ¸

93

Cum solu¸tiile acestui sistem sunt de forma Qi = C1 cos ωi t + C2 sin ωi t, ωi =

p λi ,

rezult˘ a c˘ a orice oscila¸tie mic˘ a este o suprapunere de asemenea oscila¸tii periodice, numite oscila¸tii proprii. Numerele ωi se numesc pulsa¸tiile proprii. Not˘ am c˘ a o suprapunere de oscila¸tii periodice poate s˘ a nu fie peridic˘ a. Rezult˘ a c˘ a studiul micilor oscila¸tii în jurul pozi¸tiei de echilibru se reduce la studiul valorilor proprii ¸si al vectorilor proprii ai unei forme p˘ atratice. Principiul lui Hamilton are caracteristica important˘ a c˘ a în formularea sa nu intervine num˘ arul finit de grade de libertate, el formulându-se în func¸tie numai de energia cinetic˘ a ¸si energia poten¸tial˘ a. In mod euristic, suntem condu¸si s˘ a admitem c˘ a orice mediu continuu este un sistem format dintr-un num˘ ar foarte mare, dar finit, de particole, deci s˘ a admitem c˘ a ¸si pentru mediile continue, deci în cazul unui num˘ ar infinit de grade de libertate, este valabil principiul lui Hamilton. Totul este s˘ a ¸stim s˘ a calcul˘ am energia cinetic˘ a ¸si energia poten¸tial˘ a a mediului continuu respectiv. Aceasta depinde de modelul de mediu continuu luat în considerare. Exemplul 25. S˘ a stabilim ecua¸tia micilor oscila¸tii plane transversale ale unei corzi întins˘ a cu for¸ta de tensiune T0 între x = 0 ¸si x = l, asupra corzii ac¸tionând ¸si for¸ta transversal˘ a f (x, t). Vom considera coarda ca un mediu continuu unidimensional care lucreaz˘ a numai la întindere, nu ¸si la încovoiere, fiind perfect flexibil˘ a. Vom considera c˘ a fiecare punct de abscis˘ a x al corzii se deplaseaz˘ a perpendixular pe Ox; vom nota prin u(x, t) ordonata acestui punct. Func¸tia u(x, t) define¸ste ecua¸tia de mi¸scare a corzii, iar graficul ei pentru un t fixat d˘ a forma corzii la momentul t. Ecua¸tia para− → − → − → − → → r = x i + u(x, t) j , i , j fiind versorii axmetric˘ a a corzii la momentul t este − − → − → − → j este un vesor dac˘ elor. Vectorul tangent la coard˘ a r0 = i + ∂u(x,t) a admitem ∂x ³ ´2 − → c˘ a ∂u(x,t) este neglijabil. For¸ta F (x) cu care por¸tiunea din dreapta abscisei x ∂x ac¸tioneaz˘ a asupra por¸tiunii din stânga este dirijat˘ a dup˘ a tangent˘ a ¸si are m˘ arimea ³ ´ − → − → − → T (x) : F (x) = T (x, t) i + ∂u(x,t) j .Alungirea elementului (x, x + dx) al corzii fi∂x p ind 1 + u02 a din legea lui Hooke c˘ a m˘ arimea for¸tei de tensiune x dx − dx ≈ 0 rezult˘ T (x, t) = T (x) nu se modific˘ a în timpul vibra¸tiilor. Din proiec¸tia legii de mi¸scare a

elementului (x, x + dx) pe Ox rezult˘ a c˘ a T (x) = T0 . Componenta pe axa Ou a for¸telor

CAPITOLUL 11. ELEMENTE DE CALCUL VARIATIONAL ¸

94

care ac¸tioneaz˘ a asupra elementului (x, x + dx) este T0

∂u(x + dx, t) ∂u(x, t) ∂ 2 u(x, t) − T0 = T0 dx. ∂x ∂x ∂x2

Puterea necesar˘ a pentru a aduce coarda în pozi¸tia deformat˘ a este P =

Zl

∂ 2 u(x, t) ∂u(x, t) dx = −T0 T0 ∂x2 ∂t

0

Zl

1 ∂ ∂u(x, t) ∂ 2 u(x, t) dx = − T0 ∂x ∂x∂t 2 ∂t

0

Zl µ 0

∂u ∂x

¶2

dt,

unde la integrarea prin p˘ ar¸ti am ¸tinut cont c˘ a extremit˘ a¸tile corzii sunt fixe. Rezult˘ a c˘ a l ¡ ¢ R ∂u 2 dt ¸si deci energia poten¸tial˘ energia poten¸tial˘ a de deforma¸tie a corzii este 12 T0 aa ∂x 0

întregii corzi este

U=

Zl · 0

Energia cinetic˘ a a corzii este T =

¸ T 02 u − f (x, t)u(x, t) dx. 2 x

Rl

ρ 02 u dx, 2 t

0

lui Lagrange este deci L=T −U =

Zl · 0

ρ fiind densitatea linear˘ a a corzii. Func¸tia

¸ ρ 02 T 02 u − ux + f (x, t)u(x, t) dx. 2 t 2

Mi¸scarea corzii este dat˘ a de acea func¸tie u(x, t) care face sta¸tionar˘ a func¸tionala I[u(x, t)] =

Zt1 Z l · 0

0

¸ ρ 02 T 02 u − ux + f (x, t)u(x, t) dxdt 2 t 2

adic˘ a acea func¸tie care satisface ecua¸tia Euler-Ostrogradski f (x, t) − ρu00tt + T u00xx = 0. Evident vom avea în plus condi¸tiile la capete u(o, t) = u(l, t) = 0 ¸si condi¸tiile ini¸tiale u(x, 0) = u0 (x),

u0t (x, 0) = v0 (x),pozi¸tia ¸si viteza ini¸tial˘ a.

In acela¸si mod se poate ar˘ ata c˘ a ecua¸tia micilor oscila¸tii transversale ale unei membrane întinse cu o for¸ta˘ de tensiune pe unitatea de lungime T este f (x, y, t) − ρu00tt + T (u00xx + u00xx ) = 0. Exmplul 26. Consider˘ am acum vibra¸tiile longitudinale ale unei bare dispuse între x = 0 ¸si x = l în pozi¸tia de echilibru. Fie u(x, t) deplasarea sec¸tiunii de abscis˘ a x

11.30. PRINCIPIUL LUI HAMILTON, PRINCIPII VARIATIONALE ¸

95

de-a lungul axei Ox la momentul t. Vom presupune c˘ a asupra barei ac¸tioneaz˘ a for¸ta longitudinal˘ a pe unitatea de lungime f (x, t) ¸si c˘ a extremit˘ a¸tile sunt fixate cu coeficien¸ti de elasticitate α0 , αl . Alungirea elementului (x, x+dx) este u(x+dx)−u(x) =

∂u dx. ∂x

La

, cu aceast˘ a alungire apare for¸ta de elasticitate dat˘ a de legea lui Hooke F (x, t) = SE ∂u ∂x care por¸tiunea din dreapta sec¸tiunii de abscis˘ a x ac¸tioneaz˘ a asupra por¸tiunii din stânga, S fiind sec¸tiunea, E modulul de elasticitate. Asupra elementului (x, x + dx) ac¸tioneaz˘ a 2

for¸tele F (x + dx, t) − F (x, t) = SE ∂∂xu2 dx. Puterea necesar˘ a deform˘ arii este P =

Zl

∂ 2 u ∂u ES 2 dx − ∂x ∂t

0

= −

Zl

∂ ES ∂x

0

Zl

∂ 2 u ∂u dx = − ES ∂x∂t ∂x

0

Zl

µ

¶ ∂u ∂u dx = ∂x ∂t

1∂ ES 2 ∂t

0

Rezult˘ a c˘ a energia poten¸tialde deforma¸tie este

Rl 0

poten¸tial˘ a este U=

Zl · 0

µ

ES 12

∂u ∂x

¶2

¡ ∂u ¢2 ∂x

dx.

dx. Intreaga energie

¸ 1 1 1 02 SEux dx − f (x, t)u dx + α0 u(0, t)2 + αl u(l, t)2 . 2 2 2

Energia cinetic˘ a este T =

Zl

1 ρSu02 t dx, 2

0

ρ fiind densitatea barei. Scriind principiul lui Hamilton rezult˘ a ecua¸tia ρSu00tt − SEu00xx = f (x, t) ¸si condi¸tiile la limit˘ a naturale SEu0x (0, t) − α0 u(0, t) = 0,

SEu0x (l, t) + αl u(l, t) = 0.

a Dac˘ a cap˘ atul x = 0 este liber atunci α0 = 0 ¸si condi¸tia devine u0c (0, t) = 0; dac˘ cap˘ atul x = 0 este fixat rigid atunci α0 = ∞ ¸si condi¸tia devine u(0, t) = 0. Exemplul 27. S˘ a stabilim acum ecua¸tiile de mi¸scare ale unui mediu elastic care în pozi¸tia ini¸tial˘ a ocup˘ a un domeniu D din spa¸tiu raportat la sistemul de coordonate → → → Ox x x cu versorii axelor − e ,− e . In fiecare punct P (x , x , x ) din domeniul D este e ,− 1 2 3

1

2

3

1

2

3

CAPITOLUL 11. ELEMENTE DE CALCUL VARIATIONAL ¸

96

definit un tensor de ordinul doi simetric, tensorul tensiunii: dac˘ a consider˘ am în punctul → → → → n =n − P o suprafa¸ta˘ mic˘ e +n − e +n − e atunci mediul din partea a da de normal˘ a− 1 1

2 2

3 3

spre care este îndreptat˘ a normala ac¸tioneaz˘ a asupra mediului din cealalt˘ a parte cu o for¸ta˘ care depinde de punct ¸si linear de versorul normalei ¸si egal˘ a cu − →− → → → e1 + T2 − e2 + T3 − e3 ) da = T (→ n )da = (T1 − → e1 + = ((σ11 n1 + σ12 n2 + σ13 n3 )− → e2 + +(σ11 n1 + σ12 n2 + σ13 n3 )− → e3 )da +(σ11 n1 + σ12 n2 + σ13 n3 )− sau sub forma matricial˘ a







n  1      n2  da.   n3

σ σ σ  11 12 13 − →−  → → → T (→ n )da = (− e1 , − e2 , − e3 )  σ21 σ22 σ23  σ31 σ32 σ33

→ ei a for¸tei cu care ac¸tioneaz˘ Componenta σij reprezint˘ a componenta pe axa − a mediul → e asupra mediului din cealalt˘ spre care este dirijat − a parte limitat de aria unitate. j

In scrierea cu indici mu¸ti cu conven¸tia ca ori de câte ori un indice literal se repet˘ a → e este s˘ a în¸telegem sumare dup˘ a acel indice, componenta pe − i

Ti = σij nj. Reamintim c˘ a tensorul tensiunilor este simetric σij = σji , i = 1, 2, 3, j = 1, 2, 3 cum → e a for¸telor de tensiune rezult˘ a din teorema momentului cinetic. Componenta medie pe − i

care ac¸tioneaz˘ a asupra unei sfere Dε care se strânge la P este Z Z 3 3 ∂σij ∂σij σij nj da =lim dv = = σij,j . Ri =lim 3 3 ε→0 4πε ε→0 4πε ∂xj ∂xj Dε

∂Dε

(Am folosit nota¸tia cu indici mu¸ti σij,j = notat derivarea par¸tial˘ a

∂σij ∂xj

=

∂σi1 ∂x1

+

∂σi2 ∂x2

+

∂σi3 , ∂x3

prin indicele , j am

∂ ). ∂xj

at˘ a coordonatele x01 = x1 +u1 (x1 , x2 , x3 , t), In mi¸scarea mediului punctul P (x1 , x2 , x3 ) cap˘ x02 = x2 +u2 (x1 , x2 , x3 , t), = x3 +u3 (x1 , x2 , x3 , t), u1 , u2 , u3 fiind componentele deplas˘ arii. Puterea dezvoltat˘ a în deplasare este ¶ Z Z Z µ Z ∂ui ∂ui ∂ui ∂ui σij dv − σij nj da = σij,j dv − σij,j dv = P = ∂t ∂t ∂t ∂t ,j D

∂D

D

D

11.30. PRINCIPIUL LUI HAMILTON, PRINCIPII VARIATIONALE ¸

97

Z

Z Z 1 1 ∂ 2 ui ∂ 2 ui ∂ 2 uj = − σij =− σij dv − σji dv = ∂t∂xj 2 ∂t∂xj 2 ∂t∂xi D D D ¶ µ Z Z ∂ 1 ∂ui ∂uj ∂εij dv = − σij = − σij + dv, ∂t 2 ∂xj ∂xi ∂t D

D

unde ne-a ap˘ arut tensorul de deforma¸tie, evident, tot simetric ¶ µ 1 ∂ui ∂uj . + εij = 2 ∂xj ∂xi Acesta m˘ asoar˘ a deforma¸tia mediului pentru c˘ a dac˘ a consider˘ am în punctul P (x1 , x2 , x3 ) doi vectori dxi , dyi în mi¸scare ei vor deveni dx0i = dxi + ∂ui (x1 ,x2 ,x3 ,t) dyj . ∂xj

dyi0 = dyi +

Vom avea pentru produsele scalare ale celor doi vectori

dx0i dyi0 considerând c˘ a

∂ui (x1 ,x2 ,x3 ,t) dxj , ∂xj

∂ui ∂xj

µ

− dxi dyi =

∂ui ∂uj ∂ui ∂uj + + ∂xj ∂xi ∂xj ∂xi

¶

dxi dxj = 2εij dxi dxj

sunt suficient de mici ca produsele lor s˘ a fie neglijate.

Intr-un mediu elastic izotrop cu mici deforma¸tii tensorul de tensiune este legat de tensorul deforma¸tiilor printr-o rela¸tie linear˘ a biunivoc˘ a σij = λ (εkk ) δij + 2µεij , sau εij =

ν 1+ν σij − (σkk ) δij , E E

între parametrii lui Lame λ, µ ¸si modulul lui Young E ¸si coeficientul lui Poisson existând rela¸tiile λ=

νE E ,µ = , (1 − 2ν)(1 + ν) 2(1 + ν)

1 λ+µ λ = ,ν = . E µ(3λ + 2µ) 2(λ + µ) Pentru puterea dezvoltat˘ a în deplasare putem scrie ¸ Z · Z ∂εij ∂εij ∂εjj λ (εkk ) dv = − + 2µεij dv = P = − [λ (εkk ) δij + 2µεij ] ∂t ∂t ∂t D D Z £ ¤ ∂ 1 = − λ (εkk )2 + 2µεij εij dv, ∂t 2 D

deci energia poten¸tial˘ a de deforma¸tie este

CAPITOLUL 11. ELEMENTE DE CALCUL VARIATIONAL ¸

98

U=

Z

D

¤ 1£ λ (εkk )2 + 2µεij εij dv. 2

Forma p˘ atratic˘ a w(εij ) =

¤ 1£ λ (εkk )2 + 2µεij εij 2

reprezint˘ a densitatea spa¸tial˘ a a energiei poten¸tiale ¸si este pozitiv definit˘ a ca o sum˘ a de p˘ atrate. Vom observa c˘ a σij =

∂w(εij ) ∂εij

¸si dup˘ a teorema lui Euler pentru func¸tii omogene 1 w(εij ) = σij εij . 2 Exprim˘ and pe εij în func¸tie σij g˘ asim exptesia densit˘ a¸tii spa¸tiale a energiei poten¸tiale în func¸tie de σij

¸ · 1 −ν 1+ν 2 w(σij ) = (σkk ) + σij σij 2 E E

Exprimat˘ a în func¸tie de deplasare, densitatea spa¸tial˘ a a energiei poten¸tiale este "µ ¶2 µ ¶2 µ ¶2 # λ ∂u ∂u ∂u 1 2 3 2 → w = (div − + + + u) +µ 2 ∂x1 ∂x2 ∂x3 "µ ¶2 µ ¶2 µ ¶2 # µ ∂u2 ∂u3 ∂u3 ∂u1 ∂u1 ∂u2 . + + + + + + 2 ∂x2 ∂x1 ∂x3 ∂x2 ∂x1 ∂x3 Energia cinetic˘ a este 1 T = 2

Z

D

¯2 ¯ − ¶2 µ ¶2 µ ¶2 # Z "µ ¯ ¯∂ → u 1 ∂u ∂u ∂u 1 2 3 ¯ dv = . ρ ¯¯ ρ + + ∂t ¯ 2 ∂t ∂t ∂t D

Se poate scrie deci expresia func¸tiei lui Lagrange L = T − U. Ecua¸tiile EulerLagrange sunt ρ

∂ 2 ui ∂ ∂ − → → → div − u − µ∇2 ui − µ div − u + ρ F = 0, i = 1, 2, 3, −λ 2 ∂t ∂xi ∂xi

sau scrise pe scurt vectorial ρ

→ u ∂ 2− − → → → = (λ + µ) grad div − u + µ4− u + ρF . 2 ∂t

11.30. PRINCIPIUL LUI HAMILTON, PRINCIPII VARIATIONALE ¸

99

→ u Acestea se numesc ecua¸tiile lui Lame ¸si trebuie integrate când se cunosc deplas˘ arile − ¸si vitezele

→ ∂− u ∂t

la momentul ini¸tial ¸si pe o por¸tiune a frontierei ∂u D la orice moment → u iar pe o alt˘ a por¸tiune complementar˘ a de frontier˘ a ∂σD se cunosc se cunosc vitezele − tensiunile normale σni = σij nj . Exemplul 28. S˘ a consider˘ am acum micile vibra¸tii transversale ale unei bare orizontale

dispus˘ a dup˘ a axa Ox1 , axele Ox2 , Ox3 fiind axe principale de iner¸tie a sec¸tiunii verticale ¸si asupra c˘ areia ac¸tioneaz˘ a o for¸ta˘ transversal˘ a dirijat˘ a dup˘ a vertical˘ a cu densitatea f (x3 , t) . In acest caz bara va lucra numai la încovoiere. Vom adopta modelul din rezisten¸ta materialelor. Experien¸ta arat˘ a c˘ a are loc ipoteza lui Bernoulli-Euler conform c˘ areia sec¸tiunile transversale perpendiculare pe axa barei pân˘ a la încovoiere r˘ amân plane ¸si perpendiculare pe axa deformat˘ a ¸si nu se deformeaz˘ a în planele lor. Dup˘ a încovoiere − → punctul de pe ax˘ a cu vectorul de pozi¸tie ini¸tial x1 i1 se deplaseaz˘ a în punctul cu vectorul − → − → a este de pozi¸tie (x1 + u(x1 , t) i1 + w(x1 , t) i3 . Versorul tangentei la axa deformat˘ − → − → (1 + u0x1 (x1 , t)) i1 + wx0 1 (x1 , t) i3 p . 1 + 2u0x1 (x1 , t) + u0x1 (x1 , t)2 + wx0 1 (x1 , t)2

Derivatele sunt calculate în raport cu x1 . Facem ipoteza c˘ a deplas˘ arile sunt a¸sa de mici c˘ a lungimea axei deformate nu se modific˘ a, adic˘ a wx0 1 (x1 , t) este de un ordin de m˘ arime ε astfel încât ε2 este neglijabil, u0x1 (x1 , t) este de ordinul de m˘ arime ε2 ¸si 2u0x1 (x1 , t) + wx0 1 (x1 , t)2 h 0. In acest fel versorul tangentei la axa deformat˘ a este − → − → − − → → − → t = (1 + u0x1 (x1 , t)) i1 + wx0 1 (x1 , t) i3 ∼ = i1 + wx0 1 (x1 , t) i3 , iar versorul normalei este → − → − → − → − → − → − − → n = t × i2 = −wx0 1 (x1 , t) i1 + (1 + u0x1 (x1 , t)) i3 ∼ = −wx0 1 (x1 , t) i1 + i3 . − → − → − → Dup˘ a ipoteza lui Bernoulli-Euler, punctul cu vectorul de pozi¸tie ini¸tial x1 i1 +x2 i2 +x3 i3 se deplaseaz˘ a în punctul cu vectorul de pozi¸tie − → − → − → → (x1 + u(x1 , t) i1 + w(x1 , t) i3 + x2 i2 + x3 − n, adic˘ a deplasarea este − → − → − → − → → u = u(x1 , t) i1 + w(x1 , t) i3 + x3 (− n − i3 ) = − → − → = (u(x1 , t) − wx0 1 (x1 , t)x3 ) i1 + w(x1 , t) i3 .

100

CAPITOLUL 11. ELEMENTE DE CALCUL VARIATIONAL ¸

(S-au l˘ asat la o parte m˘ arimile negijabile). Singura component˘ a nenul˘ a a tensorului deforma¸tie este ε11 = −x3 wx001 x1 (x1 , t) ¸si deci ¸si singura component˘ a nenul˘ a a tensorului − → tensiune este σ11 = −Ex3 wx001 x1 (x1 , t). Rezultanta tensiunilor din sec¸tiunea x1 este T = RR − → −Ewx001 x1 (x1 , t) x3 dx2 dx3 i1 = 0, iar momentul rezultant este ¯ ¯ ¯ − ¯ → − → − → ¯ ¯ i i i 2 3 ZZ ¯ 1 ¯ − → − → ¯ ¯ 00 i M = −Ewx001 x1 (x1 , t) dx = Ew (x , t)I , dx ¯ x1 x2 x3 2 3 1 3 2 ¯ x1 x1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ −x3 0 0 ¯

adic˘ a la încovoiere în bar˘ a apare un moment de incovoiere dat de legea lui Euler-

Bernoulli cu M = EI3 C, C = wx001 x1 (x1 , t) fiind curbura barei deformate în aproxima¸tia f˘ acut˘ a, I3 momentul de iner¸tie al sec¸tiunii în raport cu axa orizontal˘ a perpendicular˘ a pe bar˘ a . Energia poten¸tial˘ a a unui element ini¸tial cuprins între abscisele x1 ¸si x1 + dx1 este ¡ ¢2 1 EI wx001 x1 (x1 , t dx1 − f (x1 , t)w(x1 , t)dx1 . 2

Se g˘ ase¸ste pentru ac¸tiune expresia I[u(x1 , t)] =

Zt1 Z l · 0

0

¸ 1 1 02 002 ρSwt dx1 − EI3 wx1 x1 + f (x1 , t)w dx1 dt. 2 2

Ecua¸tia Euler-Ostrogradski corespunz˘ atoare este ρSwtt00 + EIwx00001 x1 x1 x1 = f (x1 , t). Condi¸tiile la capete depind de regimul de lucru al acestora. Dac˘ a unul din capete este fixat, atunci în el au loc condi¸tii de forma w = 0,

wx0 = 0; dac˘ a cap˘ atul este liber

00 = 0. Dac˘ atunci au loc condi¸tii de forma w = 0, wxx a în capete se pun anumite leg˘ aturi

elastice, atunci în expresia energiei poten¸tiale trebuie ad˘ auga¸ti termeni de forma ¤ 1£ ¤ 1£ α0 w(0, t)2 + β0 wx02 (0, t) + αl w(l, t)2 + βl wx02 (l, t) 2 2

¸si atunci apar condi¸tiile naturale de forma

EI3 w00 (0, t) − β0 wx0 (0, t) = 0, EI3 w00 (l, t) + βl wx0 (l, t) = 0,

000 EI3 wxxx (0, t) + α0 w(0, t) = 0 000 EI3 wxxx (l, t) − αl w(l, t) = 0.

11.30. PRINCIPIUL LUI HAMILTON, PRINCIPII VARIATIONALE ¸

101

Dac˘ a în capete apar ¸si for¸te exterioare ¸si momente exterioare aceste condi¸tii devin neomogene. Bineîn¸teles, ca un caz limit˘ a avem cazul echilibrului barei la încovoiere, caz în care dispar derivatele în raport cu timpul: 0000 EI3 wxxxx = f (x)

cu condi¸tiile corespunz˘ atoare la capete. In cazul barei (−l, l) fixate rigid la capete sub ac¸tiunea greut˘ a¸tii w(x) = −

EIρSg 2 (x − l2 )2 24

în timp ce pentru bara rezemat˘ a la capete se ob¸tine w(x) = −

EIρSg 2 (x − l2 )(x2 − 5l2 ). 24

Deplasarea pe orizontal˘ a u(x) se poate ob¸tine din rela¸tia u0 (x) = − 12 w0 (x)2 . Exemplul 29. Experien¸ta arat˘ a c˘ a dac˘ a asupra unei bare metalice 0 ≤ x ≤ l, fixat˘ a rigid în x = 0 ¸si astfel încât în x = l s˘ a nu aib˘ a deplas˘ ari laterale, ac¸tioneaz˘ a sta¸tionar în cap˘ atul x = l o for¸ta˘ longitudinal˘ a de compresiune P , de la o anumit˘ a valoare critic˘ a a for¸tei Pc bara se flambeaz˘ a. Ne propunem s˘ a determin˘ am aceast˘ a valoare critic˘ a. Dup˘ a exemplul precedent sec¸tiunea de abscis˘ a x cap˘ at˘ a o deplasare u(x) în lungul barei ¸si o deplasare w(x) perpendicular˘ a pe bar˘ a. In aceea¸si ipotez˘ a c˘ a lungimea liniei centrelor nu se modific˘ a vom presupune c˘ a p˘ atratul lui w0 (x) este neglijabil ¸si c˘ a deplasarea u(x) este astfel c˘ a 2u0 (x) + w02 (x) ∼ a a barei va = 0. Atunci energia poten¸tial˘ fi 1 EI 2

Zl

1 w (x)dx + P (u(l) − u(0)) = 2 002

0

Zl

(EIw002 (x) − P w02 (x))dx.

0

Dup˘ a principiul lui Hamilton problema se reduce la determinarea minimului ac¸tiunii adic˘ a al func¸tionalei 1 I[w(x)] = 2

Zl

(EIw002 (x) − P w02 (x))dx

0

cu condi¸tiile la capete w(0) = w(l) = 0 sau notând α(x) = w0 (x) 1 I[α(x)] = 2

Zl 0

(EIα0 (x)2 − P α2 (x))dx

CAPITOLUL 11. ELEMENTE DE CALCUL VARIATIONAL ¸

102

. Rezult˘ a ecua¸tia lui Euler-Lagrange α00 +

P α=0 EI

Pozi¸tia nedeformat˘ a a barei w(x) ≡ 0 d˘ a extremala α(x) ≡ 0. Problema este dac˘ a aceasta realizeaz˘ a sau nu minimul energiei poten¸tiale. Condi¸tia lui Legendre este îndeplinit˘ a pentru c˘ a Fα0 α0 = EI > 0. Ecua¸tia lui Iacobi este η 00 +

P η = 0. EI

q

q

P sin EI x. Ea se Solu¸tia acesteia cu condi¸tiile η(0) = 0, η (0) = 1 este η(x) = q , n ∈ Z. Extremala α(x) ≡ 0 realizeaz˘ a minimul anuleaz˘ a în punctele x = nπ EI qP . Rezult˘ func¸tionalei numai dac˘ a l < π EI a c˘ a for¸ta critic˘ a de la care poate începe P q 2 P x. a P = Pc avem extremala w(x) = √C2P sin EI flambajul este Pc = πl2 EI. Dac˘ 0

EI P

EI

Puteam demonstra cele de mai sus ¸si ¸tinând cont c˘ a o func¸tie w(x) care verific˘ a

condi¸tiile la capete este de forma w(x) =

∞ X

an sin

n=1

¸si atunci energia poten¸tial˘ a este

nπx l

· ¸ ∞ π 2 X 2 π 2 EI I[w(x)] = a − P n2 . 4l n=1 n l2

Se vede c˘ a dac˘ a P < Pc atunci toate parantezele sunt strict pozitive ¸si minimul lui I[w(x)] este nul atins pentru to¸ti an = 0. Dac˘ a P ≥ Pc atunci se ob¸tine o valoare strict negativ˘ a luând an = 0, n ≥ 2 ¸si a1 oarecare, adic˘ a pozi¸tia nedeformat˘ a nu mai asigur˘ a minimul energiei poten¸tiale. Observ˘ am c˘ a ne¸tinând cont de factorii nelineari putem determina numai forma barei abstrac¸tie de un factor de propor¸tionalitate.

11.31

Alte principii varia¸tionale în elasticitate

S˘ a reconsider˘ am acum cazul elastostaticii ar˘ atând alte func¸tionale care au extreme → u (x , x , x ) în domeniul D pe solu¸tia problemei. Trebuie s˘ a g˘ asim câmpul de deplas˘ ari − 1

x

2

ocupat de mediul elastic pentru care tensiunile corespunz˘ atoare lor σij (x1 , xx , x2 ), adic˘ a date de rela¸tiile σij =

∂w(εij ) ∂εij

11.31. ALTE PRINCIPII VARIATIONALE ¸ ÎN ELASTICITATE

103

w(εij ) fiind densitatea spa¸tial˘ a a energiei poten¸tiale, satisfac ecua¸tiile de echilibru σij,j + Fi = 0, i = 1, 2, 3, ¸si condi¸tiile la limit˘ a ui = udi

pe ∂u D,

d σni = σij nj = σni

pe ∂σD.

a devin˘ a sta¸tionar˘ a în solu¸tia problemei pe Vom c˘ auta o func¸tional˘ a I[ui ] = I[εij ] care s˘ mul¸timea deplas˘ arilor cinematic admisibile, adic˘ a acele deplas˘ ari care satisfac condi¸tia ui = udi

pe ∂u D. Notând cu δui , δεij varia¸tiile deplas˘ arilor admisibile ¸si a deforma¸tiilor

corespunz˘ atoare, vom c˘ auta varia¸tia func¸tionalei în a¸sa fel încât la anularea ei s˘ a fie satisf˘ acute ecua¸tiile de mai sus Z Z ∂w(εij ) δI = k1 (σij,j + Fi )δui dV + k2 (σij − )δεij dV + ∂εij D D Z d (σni − σni )δui dA. +k3 ∂σD

Cum σij,j δui = (σij δui ),j − σij δui,j = (σij δui ),j − σij δεij vom avea Z

σij,j δui dV

=

D

Z

σij nj δui dA −

∂D

=

Z

∂σD

σni δui dA −

Z

ZD

σij δεij dV = σij δεij dV

D

¸si deci ¸ Z · ∂w(εij ) −k1 σij δεij + k2 σij δεij − k2 δεij − Fi δui dV + δI = ∂εij D Z £ ¤ d δui dA. k1 σni δui + k3 σni δui − k3 σni + ∂σD

Dac˘ a alegem k1 = k2 = −1, k3 = 1 atunci ¸ Z · Z ∂w(εij ) d δI = δεij − Fi δui dV − σni δui dA ∂εij D

∂σD

CAPITOLUL 11. ELEMENTE DE CALCUL VARIATIONAL ¸

104 sau

δI = δ

 Z 

Z

[w(εij ) − Fi ui ] dV −

D

∂σD

  d σni ui dA . 

Deci func¸tionala care devine sta¸tionar˘ a pe mul¸timea deplas˘ arilor cinematic admisibile este I[ui ] =

Z

[w(εij ) − Fi ui ] dV −

D

Z

d σni ui dA.

∂σD

Vom observa c˘ a 2

δ I=

Z

∂ 2 w(εij ) δεij δεlm dV = 2 ∂εij ∂εlm

D

Z

w(δεij )dV > 0,

D

adic˘ a func¸tionala este chiar minim˘ a pentru solu¸tia problemei. Func¸tionala I[ui ] se nume¸ste energia poten¸tial˘a a deplas˘arilor cinematic admisibile. Am ob¸tinut urmatorul principiu varia¸tional, numit principiul varia¸tional al energiei poten¸tiale minime pe mul¸timea deplas˘arilor cinematic admisibile: I[ui + δui ] ≥ I[ui ] a. oricare ar fi deplasarea ui + δui cinematic admisibil˘ a devin˘ a sta¸tionar˘ a pe mul¸timea tensiuVom c˘ auta acum o func¸tional˘ a J[σij ] care s˘ nilor static admisibile, adic˘ a acele tensiuni care verific˘ a ecua¸tiile de echilibru σij,j + Fi = 0, i = 1, 2, 3, ¸si condi¸tia la limit˘ a d σni = σij nj = σni

pe ∂σD.

Varia¸tiile acestor tensiuni static admisibile vor trebui s˘ a satisfac˘ a rela¸tiile δσij,j = 0, δσni = δσij nj = 0 pe ∂σD. Cum deplas˘ arile corespunz˘ atoare tensiunilor solu¸tie trebuie s˘ a satisfac˘ a rela¸tiile ∂w(σij ) , ∂σij = udi pe ∂u D

εij = ui

11.31. ALTE PRINCIPII VARIATIONALE ¸ ÎN ELASTICITATE

105

Vom c˘ auta varia¸tia func¸tionalei sub forma ¸ Z · Z ∂w(σij ) δJ = k1 εij − δσij dV + k2 [ui − udi ]δσni dA. ∂σij D

∂u D

Cum εij δσij = ui,j δσij = (ui δσij ),j − ui (δσij ),j = (ui δσij ),j avem

Z

εij δσij dV =

D

Z

Z

ui δσij nj dA =

∂D

ui δσni dA

∂u D

¸si deci δJ = −k1

Z

∂w(σij ) δσij dV + ∂σij

D

Z

[k1 ui δσni + k2 ui δσni − k2 udi δσni ]dA

∂u D

sau alegând k1 = −k2 = 1 δJ = −

Z

∂w(σij ) δσij dV + ∂σij

D

Z

udi δσni dA.

∂u D

Func¸tionala care este sta¸tionar˘ a în solu¸tie pe mul¸timea tensiunilor admisibile este J[σij ] = −

Z

w(σij )dV +

D

Deoarece 2

δ J =−

Z

Z

udi σni dA.

∂u D

∂ 2 w(σij ) δσij δσlm dV = −2 ∂σij ∂σlm

D

Z

w(δσij )dV < 0

D

a energia poten¸tial˘a a tensiunilor static admisibile este maxim˘ a func¸tionala J[σij ] numit˘ pe solu¸tia problemei J[σij + δσij ] ≤ J[σij ]. Acesta este principiul de maxim a energiei poten¸tiale a tensiunilor static admisibile. S˘ a observ˘ am c˘ a I[ui ] − J[σij ] = 2 =

Z

D

Z

D

wdV −

Z

D

σij εij dV −

Fi ui dV − Z

D

Z

d σni ui dA

−

∂σD

Fi ui dV −

Z

∂σD

Z

udi σni dA =

∂u D d σni ui dA

−

Z

∂u D

udi σni dA.

CAPITOLUL 11. ELEMENTE DE CALCUL VARIATIONAL ¸

106

Dar dac˘ a avem o solu¸tie ui , σij prin înmul¸tirea ecua¸tiilor de echilibru cu ui ¸si însumare ¸si integrare ob¸tinem Z (σij,j ui + Fi ui )dV

=

D

Z

[(σij ui ),j − σij ui,j + Fi ui ]dV =

D

=

Z

σni ui dA −

2

Z

wdV =

D

Z

Fi ui dV +

D

[σij εij − Fi ui ]dV = 0,

D

∂D

adic˘ a

Z

Z

d σni ui dA

∂σD

+

Z

udi σni dA.

∂u D

Aceasta rela¸tie, numit˘ a teorema energiei poten¸tiale, arat˘ a c˘ a I[ui ] = J[σij ] pentru solu¸tie ui , σij , deci pentru solu¸tie are loc rela¸tia max J[σij∗ ] = J[σij ] = I[ui ] =

min

u∗ cinematic admisibil˘ a

σ∗ statica dmisibil˘ a

I[u].

Aceste principii varia¸tionale stau la baza metodei elementelor finite de rezolvare a problemelor elasticit˘ a¸tii. Se vede u¸sor c˘ a teorema energiei poten¸tiale arat˘ a c˘ a solu¸tia problemei de elasticitate este unic˘ a.

11.32

Metode directe în calcul varia¸tional

Am v˘ azut c˘ a problema minimiz˘ arii unei func¸tionale I[y(x)] este rezolvat˘ a în mod obi¸snuit în calculul varia¸tional prin reducerea acestei probleme la rezolvarea ecua¸tiei Euler-Lagrange cu condi¸tiile la limit˘ a impuse de problem˘ a. De multe ori aceasta poate fi o problem˘ a destul de complicat˘ a. De aceea se recurge la a¸sa numitele metode directe de rezolvare a problemei minimiz˘ arii func¸tionalelor sau a problemei la limit˘ a la care se reduce aceasta. Metodele directe sunt metode aproximative. Fie de minimizat func¸tionala I[y(x)] despre care se ¸stie c˘ a are o margine inferioar˘ a exact˘ a inf I[y(x)] = m > −∞. S˘ a presupunem c˘ a printr-un mod oarecare reu¸sim s˘ a construim un ¸sir de func¸tii y1 (x), y2 (x), ...,yn (x),... astfel încât lim I[yn (x)] = m.

n→∞

a In cele mai multe situa¸tii practice se întâmpl˘ a c˘ a ¸sirul minimizant {yn (x)} are o limit˘ y(x) astfel c˘ a I[y(x)] = m. In acest fel oricare din func¸tiile yn (x) constituie o aproximare a solu¸tiei problemei ini¸tiale.

11.32. METODE DIRECTE ÎN CALCUL VARIATIONAL ¸

107

Din punct de vedere istoric prima metod˘ a direct˘ a a fost propus˘ a de c˘ atre Euler ¸si se poate numi metoda diferen¸telor divizate. In aceast˘ a metod˘ a pentru g˘ asirea minimului func¸tionalei I[y(x)] =

Zb

F (x, y(x), y 0 (x))dx, y(a) = ya , y(b) = yb ,

a

pentru a ob¸tine un ¸sir minimizant se împarte intervalul [a, b] în n p˘ ar¸ti egale de lungime h=

b−a , n

se înlocuie¸ste func¸tia necunoscut˘ a printr-o func¸tie continu˘ a linear˘ a pe fiecare

por¸tiune, derivata se în locuie¸ste prin panta func¸tiei pe fiecare por¸tiune, iar integrala se înlocuie¸ste printr-o formul˘ a de cuadratur˘ a. In acest fel func¸tionala devine o func¸tie de cele cele n − 1 valori ale func¸tiei în nodurile interioare. Punând condi¸tia de minim a acestei func¸tii rezult˘ a un sistem de n-1 ecua¸tii cu n-1 necunoscute. Rezolvând acest sistem ob¸tinem valorile în noduri ale unei func¸tii yn (x). Pentru diferi¸ti n aceste func¸tii dau un ¸sir minimizant a c˘ arui limit˘ a este func¸tia c˘ autat˘ a. Exemplul 30. Fie de minimizat func¸tionala I[y(x)] =

Z1

(y 02 + y 2 + 2xy)dx, y(0) = y(1) = 0.

0

Lu˘ am n = 5, h =

1−0 5

= 0.2. Not˘ am

y(0) = 0, y(0.2) = y1 , y(0, 4) = y2 , y(0.6) = y3 , y(0.8) = y4 , y(1) = 0. Ca aproxima¸tii pentru derivate vom avea y1 − 0 0 y2 − y1 0 y3 − y2 , y (0.2) = , y (0.4) = , 0.2 0.2 0.2 y4 − y3 0 0 − y4 y 0 (0.6) = , y (0.8) = . 0.2 0.2 y 0 (0) =

Inlocuim integrala func¸tionalei prin formula dreptunghiurilor stângi ¸si ob¸tinem în locul func¸tionalei func¸tia 

Avem

¡ y1 −0 ¢2

¡ y2 −y1 ¢2

y12

¡ y3 −y2 ¢2

+ 0.2 + + 0.4y1 + 0.2 + 0.2  ¡ ¡ ¢ ¢  2 2 −y3 4 Φ(y1 , y2 , y3 , y4 ) =  +y22 + 0.8y2 + y40.2 + y32 + 1.2y2 + 0−y + 0.2  +y42 + 1.6y4 ∂Φ 2(y2 − y1 ) 2y1 − + 2y1 + 0.4 = 0 = ∂y1 0.04 0.04



   0.2 

CAPITOLUL 11. ELEMENTE DE CALCUL VARIATIONAL ¸

108

∂Φ 2(y2 − y1 ) 2(y3 − y2 ) − + 2y2 + 0.8 = 0 = ∂y2 0.04 0.04 ∂Φ 2(y3 − y2 ) 2(y4 − y3 ) − + 2y3 + 1.2 = 0 = ∂y3 0.04 0.04 2y4 ∂Φ 2(y4 − y3 ) − + 2y4 + 1.6 = 0. = ∂y4 0.04 0.04 Rezolvând sistemul g˘ asim y1 = −0.0286, y2 = −0.0503, y3 = −0.0580, y4 = −0.0442. Solu¸tia exact˘ a este y=

e (ex − e−x ) − x e2 − 1

ale c˘ arei valori exacte cu patru zecimale sunt

y(0.2) = −0.0287, y(0.04) = −0.0505, y(0.6) = −0.0583, y(0.8) = −0.0444. Se vede c˘ a ob¸tinem o aproxima¸tie destul de bun˘ a. O alt˘ a metod˘ a direct˘ a este metoda lui Ritz propus˘ a de acesta în 1908. In aceast˘ a metod˘ a pentru g˘ asirea minimului func¸tionalei I[y(x)] =

Zb

F (x, y(x), y 0 (x))dx, y(a) = ya , y(b) = yb ,

a

se consider˘ a ¸sirul de func¸tii y(n, x) = ϕ0 (x) +

n X

ci ϕi (x)

i=1

unde func¸tiile ϕ0 (x), ϕ1 (x), ..., ϕn (x), ... sunt linear independente ¸si alese astfel ca yn (x) s˘ a verifice condi¸tiile la capete, de exemplu ϕ0 (a) = ya , ϕ0 (b) = yb , ϕi (a) = ϕi (b) = 0. Func¸tiile ϕi (x) se numesc func¸tiile coordonate. Valoarea func¸tionalei pe func¸tia y(n, x) este I[y(n, x)] = Φ(c1 , c2 , ..., cn ). a valorile coeficien¸tilor ci . Din condi¸tia de minim a func¸tiei Φ(c1 , c2 , ..., cn ) se determin˘ Func¸tia y(n, x) cu ace¸sti coeficien¸ti o not˘ am cu yn (x). In problemele practice ¸sirul de func¸tii yn (x) este un ¸sir minimizant care tinde c˘ atre solu¸tia problemei de minim.

11.32. METODE DIRECTE ÎN CALCUL VARIATIONAL ¸

109

Exemplul 31. S˘ a se minimizeze func¸tionala din exemplul precedent I[y(x)] =

Z1

(y 02 + y 2 + 2xy)dx, y(0) = y(1) = 0.

0

Alegem func¸tiile de coordonate ϕ0 (x) = 0, ϕ1 (x) = x2 − x, ..., ϕi (x) = xi+1 − xi , ... Pentru n=2 y(2, x) = c1 (x2 − x) + c2 (x3 − x2 ) y 0 (2, x) = c1 (2x − 1) + c2 (3x2 − 2x) I[y(2, x)] = Φ(c1 , c2 ) =

1 1 11 2 11 1 c1 + c1 c2 + c22 − c1 − c2 . 30 30 7 6 10

Punând condi¸tiile de minim avem 11 11 1 c1 + c2 = 15 30 6 11 2 1 c1 + c2 = 30 7 10 ¸si deci c1 =

69 ,c 473 2

=

7 43

¸si y2 (x) =

77x3 − 8x2 − 69x . 473

Compar˘ am solu¸tia exact˘ a cu solu¸tia aproximativ˘ a în tabelul x

y(x)

y2 (x)

0.0

0.0000

0.0000

0.2

−0.0287

−0.0285

0.4

−0.0505

−0.0506

0.5

−0.0566

−0.0568

0.6

−0.0583

−0.0585

0.8

−0.0444

−0.0442

1.0

0.0000

0.0000

Exemplul . S˘ a g˘ asim o solu¸tie aproximativ˘ a a problemei de minimizare a func¸tionalei ¶ ZZ µ 2 ∂z ∂z 2 I[z(x, y)] = + − 2z dxdy ∂x ∂y D

CAPITOLUL 11. ELEMENTE DE CALCUL VARIATIONAL ¸

110

unde D este p˘ atratul −a ≤ x ≤ a, −a ≤ y ≤ a ¸si z = 0 pe frontiera p˘ atratului. Vom alege aproxima¸tia z1 (x, y) = c1 (x2 − a2 )(y 2 − a2 ) care verific˘ a condi¸tia pe frontier˘ a. G˘ asim I[z1 (x, y)] = Condi¸tia de minim d˘ a c1 =

5 16a2

256 8 2 32 6 a c1 − a c1 = Φ(c1 ). 45 9

¸si o valoare aproximativ˘ a este

z1 (x, y) =

5 (x2 − a2 )(y 2 − a2 ). 16a2

Metoda lui Ritz poate fi aplicat˘ a pentru g˘ asirea valorilor aproximative ale valorilor proprii în problemele Sturm-Liouville. Exemplul 32. S˘ a g˘ asim valori aproximative ale primelor dou˘ a valori proprii ale problemei Sturm-Liouville y 00 + λ2 y = 0, y(−1) = y(1) = 0. Aceast˘ a problem˘ a Sturm-Liouville este ecua¸tia Euler-Lagrange pentru func¸tionala I[y(x)] =

Z1

(y 02 − λ2 y 2 )dx, y(−1) = y(1) = 0.

−1

Alegem aproxima¸tia y(2, x) = c1 (1 − x2 ) + c2 (x2 − x4 ). Avem 16 2 16 2 8 16 8 88 I[y(2, x)] = c21 ( − λ2 ) + 2c1 c2 ( − λ ) + c22 ( − λ ) = Φ(c1 , c2 ). 3 15 15 105 105 315 Condi¸tiile de minim sunt 16 2 8 16 8 2c1 ( − λ2 ) + 2c2 ( − λ) = 0 3 15 15 105 16 2 16 2 8 88 2c1 ( − λ ) + 2( − λ ) = 0. 15 105 105 315 Pentru a exista solu¸tie nebanal˘ a a acestui sistem trebuie ca determinantul coeficien¸tilor s˘ a fie nul, adic˘ a λ4 − 28λ2 + 63 = 0

11.33. EXERCITII ¸

111

de unde g˘ asim λ21 = 2.46744, λ22 = 25.53256. Prima ¸si a doua valoare proprie exact˘ a sunt λ21

=

³ π ´2 2

=

2.46740, λ22

=

µ

3π 2

¶2

= 22.20661

adic˘ a prima valoare proprie este dat˘ a suficient de precis, în timp ce a doua este dat˘ a mai pu¸tin precis.

11.33

Exerci¸tii

1. S˘ a se g˘ aseasc˘ a solu¸tii aproximative pentru urm˘ atoarele probleme de minimizare ¸si s˘ a se compare cu solu¸tia exact˘ a: R1 02 a) I[y(x)] = (y + 2y)dx, y(0) = y(1) = 0. 0

2

R. Solu¸tia exact˘ a este y = x 2−x . R2 b) I[y(x)] = (2xy + y 2 + y 02 )dx, y(0) = y(2) = 0. 0

R. Solu¸tia exact˘ a este y =

2 sinh x sinh 2

− x.

2. S˘ a se g˘ aseasc˘ a prima valoare proprie a problemei Sturm-Liouville y 00 + λ(1 + x2 )y = 0, y(−1) = y(1) = 0. ase¸ste pentru prima valoare proprie R. Alegând y(2, x) = c1 (1 − x2 ) + c2 (1 − x4 ) se g˘ aproxima¸tia λ1 = 2.1775.

112

CAPITOLUL 11. ELEMENTE DE CALCUL VARIATIONAL ¸

PARTEA IV ECUA¸ TII CU DERIVATE PAR¸ TIALE

CAPITOLUL 12 ECUA¸ TII CU DERIVATE PAR¸ TIALE DE ORDINUL INTAI 12.1

Problema Cauchy, suprafe¸te caracteristice

Func¸tia u = u(x1 , x2 , ..., xn ), (x1 , x2 , ..., x2 ) ∈ D ⊂ Rn cu derivate par¸tiale continue este solu¸tie a ecua¸tiei cu derivate par¸tiale de ordinul întâi

¶2 n µ ∂u X ∂F , 6 0, = F (x1 , x2 , ..., xn , u, p1 , p2 , ..., pn ) = 0, pi = ∂xi i=1 ∂pi

dac˘ a înlocuind-o în ecua¸tie o transform˘ a într-o identitate în D. Dac˘ a u(x1 , x2 , ..., xn ) este solu¸tie a ecua¸tiei, rela¸tia

u = u(x1 , x2 , ..., xn ), (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ D ⊂ Rn , poate fi considerat˘ a ca ecua¸tie a unei suprafe¸te n-dimensionale în spa¸tiul Rn+1 al varia suprafa¸ta˘ se nume¸ste suprafa¸t˘a integral˘a a ecua¸tiei cu abilelor x1 , x2 , · · · , xn , u. Aceast˘ derivate par¸tiale. Dac˘ a exist˘ a o expresie din care se poate deduce orice solu¸tie a ecua¸tiei cu derivate par¸tiale de ordinul întâi, aceast˘ a expresie se nume¸ste solu¸tia general˘a a ecua¸tiei . Ecua¸tia ∂u ∂x1

= 0 are solu¸tia general˘ a u = ϕ(x2 , x3 , · · · , xn ) unde ϕ este o func¸tie oarecare. In

general solu¸tia general˘ a a unei ecua¸tii cu derivate par¸tiale de ordinul întâi depinde de o func¸tie arbitrar˘ a. Prin problem˘a Cauchy pentru o ecua¸tie cu derivate par¸tiale de ordinul întâi se în¸telege determinarea unei solu¸tii u = u(x1 , x2 , ..., xn ) pentru care se cunosc valorile

¸ CU DERIVATE PARTIALE ¸ DE ORDINUL INTAI 116 CAPITOLUL 12. ECUATII u = u0 (x1 , x2 , ..., xn ) pe o suprafa¸ta˘ S n-1-dimensional˘ a din spa¸tiul variabilelor independente Rn cu ecua¸tia implicit˘ a ¸si a ϕ(x1 , x2 , ..., xn ) = 0. Suprafa¸ta S poate fi dat˘ parametric prin ecua¸tiile xi = x0i (s1 , s2 , ..., sn−1 ), i = 1, 2, ..., n

(12.1)

¸si atunci valorile lui u sunt u = u0 (s1 , s2 , ..., sn−1 ). Valorile date ale func¸tiei necunoscute se numesc datele problemei Cauchy, iar suprafa¸ta S se nume¸ste suprafa¸ta purt˘atoare a datelor Cauchy. S˘ a presupunem c˘ a u = u(x1 , x2 , ..., xn ) este solu¸tia unei probleme Cauchy cu datele Cauchy u = u0 (x1 , x2 , ..., xn ) pe suprafa¸ta purt˘ atoare S de ecua¸tie ϕ(x1 , x2 , ..., xn ) = 0. In ipoteza c˘ a

∂ϕ ∂x1

6= 0 pe S putem face schimbarea de variabile y1 = ϕ(x1 , x2 , ..., xn ) y2 = x2 . yn = xn .

Variabila x1 devine o func¸tie x1 (y1 , y2 , ..., yn ), solu¸tia u devine o func¸tie u(y1 , y2 , ..., yn ), datele devin o func¸tie u0 (y2 , y3 , ..., yn ), iar ecua¸tia devine F (x1 , y2 , ..., yn , u,

∂u ∂ϕ ∂u ∂ϕ ∂u ∂u ∂ϕ ∂u , + , ..., + ) = 0. ∂y1 ∂x1 ∂y1 ∂x2 ∂y2 ∂y1 ∂xn ∂yn

Dac˘ a problema Cauchy are solu¸tie unic˘ a din aceast˘ a ecua¸tie în fiecare punct al suprafe¸tei integrale putem scoate în mod unic valorile derivatei par¸tiale

∂u . ∂y1

Acest lucru se întâmpl˘ a

numai dac˘ a ∂F ∂ϕ ∂F ∂ϕ ∂F ∂ϕ + + ... + 6= 0. ∂p1 ∂x1 ∂p2 ∂x2 ∂pn ∂xn Suprafa¸ta purt˘ atoare ϕ(x1 , x2 , ..., xn ) = 0 a datelor u = u0 (x1 , x2 , ..., xn ) pentru care ∂F ∂ϕ ∂F ∂ϕ ∂F ∂ϕ + + ... + =0 ∂p1 ∂x1 ∂p2 ∂x2 ∂pn ∂xn adic˘ a, pentru care problema Cauchy este nedeterminat˘ a sau imposibil˘ a, se nume¸ste suprafa¸t˘a caracteristic˘ a. Pe o suprafa¸ta˘ purt˘ atoare caracteristic˘ a vectorul normal de ³ ´ ³ ´ ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ ∂F ∂F ∂F , deci ultimul , , ..., , , ..., componente ∂x este ortogonal pe vectorul ∂xn ∂p1 ∂p2 ∂pn 1 ∂x2

12.1. PROBLEMA CAUCHY, SUPRAFETE ¸ CARACTERISTICE

117

vector este în planul tangent la suprafa¸ta purt˘ atoare. Rezult˘ a c˘ a dac˘ a purt˘ atoarea este dat˘ a parametric prin rela¸tiile (12.1) , ea este ¯ ¯ ∂F ∂F ¯ ∂p1 ∂p2 ¯ ¯ ∂x01 ∂x02 ¯ ∂s1 ∂s1 δ = ¯¯ ¯ . . ¯ ¯ ∂x01 ∂x02 ¯ ∂s ∂s n−1

n−1

caracteristic˘ a atunci când ¯ ¯ ∂F ... ∂pn ¯ ¯ ¯ ∂x0n ... ∂s1 ¯ ¯ = 0. ¯ ¯ . . ¯ ∂x0n ¯ ¯ ... ∂s n−1

Ecua¸tia cu derivate par¸tiale de ordinul întâi poate fi considerat˘ a ca o leg˘ atur˘ a între

parametrii normalelor la suprafa¸ta˘ în fiecare punct al suprafe¸tei integrale. In fiecare punct al suprafe¸tei integrale, ecua¸tia define¸ste o familie depinzând de n − 1 parametrii de posibile plane tangente la suprafa¸ta˘ de ecua¸tii n X i=1

pi (Xi − xi ) − (U − u) = 0

F (x1 , ..., xn , u, p1 , ..., pn ) = 0,

a¸sur˘ atoarea acestei unde Xi , U sunt coordonatele curente ale punctelor planelor. Inf˘ familii de posibile plane tangente la suprafa¸ta integral˘ a este un con T cu vârful în punctul considerat. Acest con se nume¸ste conul caracteristic al ecua¸tiei sau conul lui Monge. Ca s˘ a g˘ asim ecua¸tia generatoarelor acestui con, numite raze caracteristice, lu˘ am ca parametri independen¸ti pe p2 , ..., pn ¸si scriem c˘ a planul tangent n X i=1

pi (Xi − xi ) − (U − u) = 0

se intersecteaz˘ a cu oricare din planele infinit vecine (p1 +

∂p1 dpk )(X1 − x1 ) + p2 (X2 − x2 ) + ... + (pk + dpk )(Xk − xk ) + ... ∂pk +pn (Xn − xn ) − (U − u) = 0, k = 2, 3, ..., n.

Rezult˘ a ∂p1 (X1 − x1 ) + (Xk − xk ) = 0, k = 2, 3, ..., n. ∂pk Pe de alt˘ a parte derivând în raport cu pk ecua¸tia dat˘ a avem ∂F ∂p1 ∂F + = 0, k = 2, 3, ..., n. ∂p1 ∂pk ∂pk

¸ CU DERIVATE PARTIALE ¸ DE ORDINUL INTAI 118 CAPITOLUL 12. ECUATII Deci X1 − x1

=

∂F ∂p1

X2 − x2 ∂F ∂p2

= ... =

Xn − xn ∂F ∂pn

Din ecua¸tia planului tangent avem U −u = =

X1 − x1 ∂F ∂p1

(p1

∂F ∂F X2 − x2 ∂F Xn − xn + p2 + ... + pn )= ∂p1 ∂p1 X1 − x1 ∂p1 X1 − x1

n X1 − x1 X ∂F ∂p1

pi

i=1

∂F ∂pi

Ob¸tinem ecua¸tiile generatoarelor rectilinii ale conului caracteristic X1 − x1 ∂F ∂p1

=

X2 − x2 ∂F ∂p2

= ... =

Xn − xn ∂F ∂pn

U −u = P n ∂F pi ∂p i i=1

Ajungem la concluzia c˘ a o ecua¸tie cu derivate par¸tiale de ordinul întâi define¸ste în fiecare punct (x1 , x2 , ..., xn , u) al spa¸tiului Rn+1 un con caracteristic, conuri care joac˘ a acela¸si rol pe care în ecua¸tii diferen¸tiale îl juca câmpul tangentelor la curba integral˘ a. ³ ´ ∂F ∂F ∂F , , ..., ∂p De asemenea observ˘ am c˘ a am reg˘ asit vectorul ∂p de aceast˘ a dat˘ a inden 1 ∂p2

pendent de solu¸tia integral˘ a, asociat oric˘ arui punct (x1 , x2 , ..., xn , u) al spa¸tiului Rn+1 .

12.2

Ecua¸tii cu derivate par¸tiale de ordinul întâi cvasilineare

Defini¸tia 1. Ecua¸tia de forma n X

aj (x1 , x2 , ..., xn , u)

j=1

∂u − b(x1 , x2 , ..., xn , u) = 0 ∂xj

unde func¸tiile a1 , ..., an , b sunt definite ¸si cu derivate de ordinul întâi continue pe un n P a2j 6= 0 în Ω se nume¸ste ecua¸tie cvasilinear˘a. domeniu Ω ⊂ Rn+1 ¸si j=1

a a C 1 cu proprietatea c˘ Defini¸tia 2. O func¸tie u : D ⊂ Rn → R de clas˘ (x1 , x2 , ..., xn , u(x1 , x2 , ..., xn )) ∈ Ω, ∀(x1 , x2 , ..., xn ) ∈ D

¸si n X j=1

aj (x1 , x2 , ..., xn , u(, , ..., ))

∂u(, , ..., ) = b(x1 , x2 , ..., xn , u(, , ..., )), ∂xj

∀(x1 , x2 , ..., xn ) ∈ D

12.2. ECUATII ¸ CU DERIVATE PARTIALE ¸ DE ORDINUL ÎNTÂI CVASILINEARE119 este solu¸tie a ecua¸tiei cvasilineare. Ecua¸tia cvasilinear˘ a semnific˘ a faptul c˘ a vectorul de componente (a1 (x1 , x2 , ..., xn , u), ..., an (x1 , x2 , ..., xn , u), b(x1 , x2 , ..., xn , u)) este un vector tangent la suprafa¸ta integral˘ a, conul caracteristic se reduce la o dreapt˘ a, raza caracteristic˘a, cu ecua¸tiile X1 − x1 Xn − xn U −u X2 − x2 = ... = = = . a1 (x1 , x2 , ..., xn , u) a2 an b Curbele de pe suprafa¸ta integral˘ a care sunt înf˘ a¸sur˘ atoare ale acestor raze caracteristice vor satisface sistemul dx1 dx2 dxn du = = dt. = ... = = a1 (x1 , x2 , ..., xn , u) a2 an b Acesta este un sistem de n + 1 ecua¸tii cu n + 1 necunoscute ¸si poate fi considerat independent de modul în care a fost stabilit. El se nume¸ste sistemul caracteristic asociat ecua¸tiei cvasilineare, orice solu¸tie a sa va fi numit˘ a curb˘a caracteristic˘a. Teorema 1. Dac˘ a γ este o curb˘ a caracteristic˘ a -solu¸tie a sistemului dx1 dxn du = .... = = = dt a1 (x1 , x2 , ..., xn , u) an (x1 , x2 , ..., xn , u) b(x1 , x2 , ..., xn , u) care trece prin punctul P 0 (x01 , x02 , ..., x0n , u0 ) de pe suprafa¸ta integral˘ a S = {(x1 , x2 , ..., xn , u(x1 , x2 , ..., xn ))|(x1 , x2 , ..., xn ) ∈ D} atunci γ se afl˘ a complet pe suprafa¸ta integral˘ a S. In adev˘ ar dac˘ a γ este dat˘ a prin xi = xi (t), i = 1, 2, n, z = z(t) unde dx1 dxn dz = a1 (x1 , x2 , ..., xn , z), ..., = an (x1 , x2 , ..., xn , z), = b(x1 , x2 , ..., xn , z) dt dt dt cu condi¸tiile xi (t0 ) = x0i , z(t0 ) = u0 consider˘ am func¸tia U (t) = z(t) − u(x1 (t), x2 (t), ..., xn (t)). Evident U(t0 ) = 0. Deasemenea X ∂u dU dz X ∂u dxj (t) = − = b(x, z) − aj (x, z) = dt dt j=1 ∂xj dt ∂x j j=1 n

n

¸ CU DERIVATE PARTIALE ¸ DE ORDINUL INTAI 120 CAPITOLUL 12. ECUATII

n X ∂u = b(x, u(x(t)) + U(t)) − aj (x, u(x(t)) + U(t)), ∂xj j=1

adic˘ a am ob¸tinut c˘ a U verific˘ a ecua¸tia diferen¸tial˘ a X dU(t) = b(x, u(x(t)) + U(t)) − ∂j u(x)aj (x, u(x(t)) + U(t)). dt j=1 n

Dar U ≡ 0 este solu¸tie a acestei ecua¸tii, cum rezult˘ a din faptul c˘ a u este solu¸tie

a c˘ a a ecua¸tiei cvasilineare. Din unicitatea solu¸tiei problemei Cauchy U(t0 ) = 0 rezult˘ U ≡ 0 este unica solu¸tie ¸si deci curba γ se afl˘ a pe S, c.c.t.d.. Rezult˘ a urm˘ atoarele consecin¸te Consecin¸ta 1. Dac˘ a dou˘ a suprafe¸te integrale au un punct comun, atunci ele se intersecteaz˘ a dup˘ a curba caracteristic˘ a care trece prin acel punct Consecin¸ta˘ 2. Dac˘ a dou˘ a suprafe¸te integrale se intersecteaz˘ a (f˘ ar˘ a a fi tangente) dup˘ a o curb˘ a, atunci acea curb˘ a este o curb˘ a caracteristic˘ a. Problema Cauchy: s˘ a se determine o solu¸tie u = u(x) a ecua¸tiei cvasilineare n X j=1

aj (x, u)∂j u − b(x, u) = 0

a din Rn cunoscând valorile u0 (x1 , x2 , ..., xn ) ale solu¸tiei pe suprafa¸ta S n-1-dimensional˘ a numai de ecua¸tie ϕ(x1 , x2 , ..., xn ) = 0, u(x) = u0 (x), ∀x ∈ S poate avea solu¸tie unic˘ dac˘ a S este necaracteristic˘ a, adic˘ a dac˘ a vectorul de componente (a1 (x1 , x2 , ..., xn , u0 (x1 , x2 , ..., xn )), ..., an (x1 , x2 , ..., xn , u0 (x1 , x2 , ..., xn ))) nu este tangent la S în (x1 , x2 , ..., xn ), adic˘ a dac˘ a are loc rela¸tia n X j=1

aj (x1 , x2 , ..., xn , u0 (x1 , x2 , ..., xn ))

∂ϕ(x1 , x2 , ..., xn ) 6= 0, ∂xj

a S este dat˘ a parametric prin ecua¸tiile pentru ∀(x1 , x2 , ..., xn ) ∈ S, sau dac˘ xi = x0i (s1 , s2 , ..., sn−1 ), i = 1, 2, ..., n are loc rela¸tia

12.2. ECUATII ¸ CU DERIVATE PARTIALE ¸ DE ORDINUL ÎNTÂI CVASILINEARE121

¯ ¯ ¯ a1 (x, u0 (x)) a2 (x, u0 (x)) ¯ 0 ¯ ∂x1 ∂x02 ¯ ∂s1 ∂s1 ¯ ∆=¯ ¯ . . ¯ 0 ¯ ∂x1 ∂x02 ¯ ∂s ∂s n−1

n−1

Are loc urm˘ atoarea teorem˘ a

¯ ¯ ... an (x, u0 (x)) ¯ ¯ ¯ ∂x0n ¯ ... ∂s1 ¯ 6= 0 ¯ ¯ . . ¯ ¯ ∂x0n ¯ ... ∂sn−1

Teorema 2. Dac˘ a S este o suprafa¸ta˘ în Rn de clas˘ a C 1 necaracteristic˘ a, adic˘ a coeficien¸tii ecua¸tiei cvasilineare sunt func¸tii de clas˘ a C 1 astfel încât vectorul (a1 (x, u0 (x)), ..., an (x, u0 (x))) nu este tangent la S în x, atunci problema Cauchy are solu¸tie unic˘ a. Consider˘ am suprafa¸ta n − 1-dimensional˘ a S ∗ = {(x, u), u = u0 (x), x ∈ S}. Dac˘ a u = u(x) este solu¸tie a problemei Cauchy, atunci graficul ei este alc˘ atuit din curbele caracteristice care se sprijin˘ a pe suprafa¸ta S ∗ . Dac˘ a consider˘ am S dat˘ a parametric, ceea ce se poate presupune totdeauna, rezolv˘ am problema Cauchy pentru sistemul caracteristic ∂xj (s, t) ∂u(s, t) = aj (x, y), j = 1, ..., n, = b(x, u), ∂t ∂t xj (s, 0) = x0j (s), j = 1, ..., n, u(s, 0) = u0 (x0j (s)). Avem

¯ ¯ ∂x1 ¯ ∂t ¯ ¯ ∂x1 ¯ ∂s1 ¯ ¯ ¯ ... ¯ ¯ ∂x1 ¯ ∂s

n−1

∂x2 ∂t

...

∂xn ∂t

∂x2 ∂s1

...

∂xn ∂s1

...

... ...

∂x2 ∂sn−1

...

∂xn ∂sn−1

¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = ∆. ¯ ¯ ¯ ¯ ¯

Cum ∆ 6= 0 rezult˘ a c˘ a din rela¸tiile xj = xj (s, t), j = 1, ..., n, se pot scoate func¸tiile

s = s(x), t = t(x) . Luând u = u(x) = u(s(x), t(x)) avem evident u = u0 pe S ¸si prin derivarea func¸tiilor compuse ne convingem c˘ a u verific˘ a ¸si ecua¸tia cvasilinear˘ a. Deci u = u(x) este ecua¸tia unei suprafe¸te integrale a solu¸tiei problemei Cauchy. Aceasta este unic˘ a pentru c˘ a orice alt˘ a suprafa¸ta˘ integral˘ a care trece prin S ∗ este generat˘ a de curbe caracteristice care trec prin S ∗ ¸si acestea sunt unic determinate ca mai sus.

¸ CU DERIVATE PARTIALE ¸ DE ORDINUL INTAI 122 CAPITOLUL 12. ECUATII S˘ a presupunem acum c˘ a suprafa¸ta purt˘ atoare S este o suprafa¸ta˘ caracteristic˘ a ¸si c˘ a solu¸tia problemei Cauchy u = u(x1 , x2 , ..., xn ) exist˘ a. Atunci pe suprafa¸ta ini¸tial˘ a S ∗ = {(x, u), u = u0 (x), x ∈ S} avem ∂u0 X ∂u ∂x0i = , j = 1, 2, ..., n − 1. ∂sj ∂x ∂s i j i=1 n

a Cum ∆ = 0 rezult˘ a c˘ a exist˘ a parametrii λ1 , λ2 , ..., λn−1 astfel c˘ 0

ai (x, u (x)) =

n−1 X j=1

λj

∂x0i , i = 1, 2, ..., n ∂sj

Din ecua¸tie avem 0

b(x, u (x)) =

n X i=1

n n−1 n−1 X X ∂u ∂u X ∂x0i ∂u0 ai = λj = λj . ∂xi ∂x ∂s ∂s i j j i=1 j=1 j=1

Vedem deci c˘ a vectorul (a1 , a2 , ..., an , b) al razei caracteristice este situat în planul tangent al suprafe¸tei ini¸tiale S ∗ , altfel spus suprafa¸ta ini¸tial˘ a este alc˘ atuit˘ a din înf˘ a¸sur˘ atoare ale razelor caracteristice, adic˘ a din curbe caracteristice. Deci, dac˘ a suprafa¸ta purt˘ atoare este o caracteristic˘ a, atunci pentru ca problema Cauchy s˘ a aib˘ a solu¸tie este necesar ca suprafa¸ta ini¸tial˘ a s˘ a fie generat˘ a de curbe caracteristice. S˘ a presupunem acum c˘ a aceast˘ a condi¸tie este îndeplinit˘ a. Construim o suprafa¸ta˘ n-1-dimensional˘ a S1∗ care s˘ a intersecteze suprafa¸ta ini¸tial˘ a S ∗ dup˘ a o suprafa¸ta˘ n-2dimensional˘ a S ∗∗ ¸si a c˘ arei proiec¸tie S1 pe spa¸tiul variabilelor independente s˘ a nu fie caracteristic˘ a. Acest luctru se poate face într-o infinitate de moduri cum rezult˘ a intuitiv din cazul n = 2 când S ∗ coincide cu o curb˘ a caracteristic˘ a, S ∗∗ reprezint˘ a un punct luat pe aceast˘ a curb˘ a caracteristic˘ a, S1∗ este o curb˘ a oarecare care trece prin S ∗∗ . Cum S1∗ nu este caracteristic˘ a exist˘ a o suprafa¸ta˘ integral˘ a care trece prin ea, suprafa¸ta˘ alc˘ atuit˘ a din curbe caracteristici care trec prin S1∗ . Acele curbe caracteristice care trec prin S ∗∗ vor forma suprafa¸ta S ∗ , ¸si deci suprafa¸ta integral˘ a va trece prin suprafa¸ta ini¸tial˘ a S∗. Am demonstrat deci urm˘ atoarea Teorema 3. Dac˘ a o suprafa¸ta˘ purt˘ atoare de date Cauchy este suprafa¸ta˘ caracteristic˘ a, pentru ca problema Cauchy s˘ a aib˘ a solu¸tie este necesar ca suprafa¸ta ini¸tial˘ a s˘ a fie generat˘ a de curbe caracteristice. In acest caz problema Cauchy are o infinitate de solu¸tii.

12.2. ECUATII ¸ CU DERIVATE PARTIALE ¸ DE ORDINUL ÎNTÂI CVASILINEARE123 Exemplul 1. S˘ a rezolv˘ am problema Cauchy u

∂u ∂u + = 1, ∂x1 ∂x2

cu datele u= Avem

s 2

pe segmentul x1 = x2 = s, 0 < s < 1. ¯ ¯ ¯ ¯ = 1 − s 6= 0, 0 < s < 1. ¯ 2 ¯

¯ ¯ ¯ 1 2s ∆ = ¯¯ ¯ 1 1

Rezolv˘ am problema Cauchy pentru sistemul caracteristic

dx1 dx2 du s = = = dt, x1 (0) = s, x2 (0) = s, u(0) = . u 1 1 2 Ob¸tinem

   x (s, t) =   1

Rezolvând primele dou˘ a g˘ asim

   

t2 2

+

st 2

+s

x2 (s, t) = t + s u(s, t) = t +

s 2

  t(x) = 2(x1 −x2 ) x2−2 x  s(x) = 22 −2x1 x2 −2

¸si deci solu¸tia problemei Cauchy este

u(x) = t(x) +

s(x) x2 − 4x2 + 2x1 = 2 . 2 2(x2 − 2)

Exemplul 2. S˘ a se rezolve problema Cauchy x1

∂u ∂u + x2 = u, u |S = u0 ∂x1 ∂x2

suprafa¸ta purt˘ atoare S fiind mul¸timea S = {(x1 , x2 )|x1 = x2 , x1 > 0} ⊂ R2 .  ¯ ¯  x1 = s, ¯ 1 s In acest caz ecua¸tiile parametrice ale lui S sunt ¸si ∆ = ¯¯  x = s, s > 0 ¯ 1 s 2 adic˘ a S este caracteristic˘ a ¸si deci problema Cauchy nu are solu¸tie decât dac˘ a ini¸tial˘ a

x1 = x2 u = u(x1 , x2 )

¯ ¯ ¯ ¯ = 0, ¯ ¯ curba

¸ CU DERIVATE PARTIALE ¸ DE ORDINUL INTAI 124 CAPITOLUL 12. ECUATII este o curb˘ a caracteristic˘ a . Sistemul caracteristic având solu¸tia x1 = x10 et x2 = x20 et u = u0 et rezult˘ a c˘ a problema Cauchy are solu¸tie numai dac˘ a datele sunt de forma u = Cx1 . In acest caz ea are o infinitate de solu¸tii, de exemplu u = k(x1 − x2 ) + Cx1 .

Vom ar˘ ata c˘ a solu¸tia general˘ a a ecua¸tiei este u(x1 , x2 ) = x1 ϕ( xx12 ) cu ϕ func¸tie arbi-

trar˘ a. Pe S avem u(x1 , x2 ) = ϕ(1)x1 pentru x2 > 0.

12.3

Ecua¸tii lineare omogene

Fie ecua¸tia cu derivate par¸tiale linear˘ a omogen˘ a (e.d.p.l.o.) n X

aj (x1 , x2 , ..., xn )

j=1

∂u = 0, ∂xj

unde a1 (x1 , x2 , ..., xn ), a2 (x1 , x2 , ..., xn ), ..., an (x1 , x2 , ..., xn ) sunt func¸tii cu derivate par¸tiale continue pe un domeniu Ω ⊂ Rn . O suprafa¸ta˘ S din Rn de ecua¸tie ϕ(x) = 0 este suprafa¸t˘a caracteristic˘a pentru ecua¸tia dat˘ a dac˘ a are loc rela¸tia n X

aj (x1 , x2 , ..., xn )

j=1

∂ϕ =0 ∂xj

adic˘ a dac˘ a vectorul ~v(x1 , x2 , ..., xn ) cu componentele (a1 (x1 , x2 , ..., xn ), a2 (, , ..., ), ..., an (, , ..., )) este tangent la suprafa¸ta S. Pe de alt˘ a parte, ecua¸tia dat˘ a semnific˘ a faptul c˘ a derivata func¸tiei u în direc¸tia vectorului ~v este nul˘ a

∂u ∂v

= 0 . Dup˘ a teoria general˘ a de mai sus

suprafe¸tele integrale sunt generate de curbele caracteristice solu¸tii ale sistemulul dx1 dx2 dxn du = = ... = = = dt. a1 (x1 , x2 , ..., xn ) a2 (x1 , x2 , ..., xn ) an (x1 , x2 , ..., xn ) 0 Suntem condu¸si s˘ a consider˘ am numai proiec¸tiile acestora pe spa¸tiul variabilelor independente, liniile vectoriale ale câmpului vectorial ~v , adic˘ a curbele din spa¸tiul variabilelor independente care verific˘ a sistemul

12.3. ECUATII ¸ LINEARE OMOGENE

125

dx1 dx2 dxn = = ... = = dt. a1 (x1 , x2 , ..., xn ) a2 (x1 , x2 , ..., xn ) an (x1 , x2 , ..., xn ) Acest sistem se nume¸ste sistemul caracteristic asociat e.d.p.l.o., iar orice solu¸tie a sa determin˘ a o curb˘a caracteristic˘a a e.d.p.l.o. Este aproape evident˘ a urm˘ atoarea teorem˘ a a ¸si numai dac˘ a ea Teorema 1. Func¸tia u(x1 , x2 , ..., xn ) este solu¸tie a e.d.p.l.o. dac˘ este o integral˘a prim˘a a sistemului caracteristic asociat e.d.p.l.o, adic˘ a este constant˘ a de-a lungul oric˘ arei curbe caracteristice. In adev˘ ar, dac˘ a u(x) este o solu¸tie a e.d.p.l.o. ¸si dac˘ a x = x(t) este o curb˘ a caracteristic˘ a atunci X ∂u(x(t)) dxj X ∂u(x(t)) d aj (x(t)) = 0, u(x(t)) = = dt ∂x dt ∂x j j j=1 j=1 n

n

adic˘ a u(x) este integral˘ a prim˘ a a sistemului caracteristic. Invers, dac˘ a x0 este un punct din domeniul Ω de defini¸tie al e.d.p.l.o., dac˘ a u(x) este o integral˘ a prim˘ a a sistemului caracteristic ¸si dac˘ a x = x(t) este o solu¸tie a sistemului caracteristic cu x(0) = x0 , atunci pentru orice t în vecin˘ atatea lui 0 avem rela¸tia X ∂u(x(t)) dxj X ∂u(x(t)) d = aj (x(t)) 0 = u(x(t)) = dt ∂xj dt ∂xj j=1 j=1 n

¸si luând t = 0 ob¸tinem

n P

j=1

n

0) aj (x0 ) ∂u(x = 0. Cum x0 este arbitrar, rezult˘ a c˘ a u(x) este ∂xj

solu¸tie a e.d.p.l.o., c.c.t.d.

Consecin¸ta˘. Dac˘ a u1 (x), u2 (x), ..., uk (x) sunt k integrale prime ale sistemului caracteristic ¸si dac˘ a F este o func¸tie de k variabile cu derivate par¸tiale continue, atunci u = F (u1 (x), u2 (x), ..., uk (x)) este solu¸tie a e.d.p.l.o. In adev˘ ar, n X j=1

aj (x)

n k ∂u(x) X ∂F X ∂ul = aj = 0. ∂xj ∂u ∂x l j=1 j l=1

a n − 1 integrale prime ale Teorema 2. In orice punct x0 ∈ Ω cu ~v(x0 ) 6= 0 exist˘ sistemului caracteristic asociat e.d.p.l.o. Presupunem c˘ a an (x0 ) 6= 0. Pentru sistemul caracteristic, problema Cauchy x(0) =

ξ, ξ = (ξ1 , ξ2 , ..., ξn−1 , x0n ) apropiat de x0 are solu¸tia x = ϕ(t; ξ) sau scris˘ a pe componente

¸ CU DERIVATE PARTIALE ¸ DE ORDINUL INTAI 126 CAPITOLUL 12. ECUATII

   x = ϕ1 (t; ξ1 , ξ2 , ..., ξn−1 , x0n )   1

.......................................     x = ϕ (t; ξ , ξ , ..., ξ , x0 ) 1 2 n n n−1 n

a x(0) = ξ Interpretând aceste rela¸tii ca un sistem în (t, ξ1 , ..., ξn−1 ) condi¸tia ini¸tial˘ arat˘ a c˘ a acest sistem are solu¸tia (0, x01 , ..., x0n ) ¸si c˘ a în acest punct

D(ϕ1 ,ϕ2 ,...,ϕn ) D(t,ξ1 ,...,ξn−1 )

=

(−1)n an (x0 ) 6= 0. Din teorema func¸tiilor implicite, rezult˘ a c˘ a exist˘ a func¸tiile v, u1 , ..., un−1 de clas˘ a C 1 pe o vecin˘ atate a lui x0 astfel c˘ a t = v(x), ξ1 = u1 (x), ..., ξn−1 = un−1 (x).

Evident acestea nu sunt constante ¸si se vede c˘ a avem D(u1 , u2 , ..., un−1 ) =1 D(x1 , ..., xn−1 ) adic˘ a func¸tiile u1 , ..., un−1 sunt func¸tional independente în vecin˘ atatea lui x0 . S˘ a ar˘ at˘ am c˘ a aceste func¸tii sunt integrale prime ale sistemului caracteristic. Din defini¸tia acestor func¸tii rezult˘ a c˘ a pentru curba caracteristic˘ a x = ϕ(t; ξ) definit˘ a mai sus avem ui (ϕ(t; ξ)) = ξi , deci este integral˘ a prim˘ a pentru aceast˘ a curb˘ a caracteristic˘ a. Dac˘ a x = ψ(t; ς) este curba caracteristic˘ a cu ψ(0; ς) = ς, sistemul fiind autonom avem ψ(t + τ ; ς) = ψ(t; ψ(τ ; ς)). Dar sistemul ς = ψ(τ ; ξ) are conform teoremei func¸tiilor implicite o solu¸tie unic˘ a (τ (ς), ξ1 (ς), ..., ξn−1 (ς)) ¸si deci vom avea ψ(t; ς) = ψ(t + τ (ς); ψ(τ (ς), ξ1 (ς), ..., ξn−1 (ς))) = ϕ(t; ξ). Deci pentru orice solu¸tie ui (ψ(t; ς)) = const . Avem acum Consecin¸ta˘. Sistemul caracteristic asociat e.d.p.l.o are numai n − 1 integrale prime func¸tional independente. In adev˘ ar, dac˘ a u1 , u2 , ..., un−1 sunt cele n − 1 integrale prime date de teorema precedent˘ a ¸si u este o alt˘ a integral˘ a prim˘ a, avem sistemul n X j=1

aj ∂j u = 0,

n X j=1

aj ∂j u1 = 0, ...,

n X

aj ∂j un−1 = 0,

j=1

care poate fi considerat ca un sistem omogen cu necunoscutele nu toate nule a1 , ..., an . Determinantul acestui sistem, chiar iacobianul func¸tiilor u, u1 , ..., un−1 este nul deci

12.3. ECUATII ¸ LINEARE OMOGENE

127

exist˘ a o func¸tie U astfel c˘ a u = U(u1 , ..., un−1 ) . Am ar˘ atat astfel c˘ a ultima expresie u = U(u1 , ..., un−1 ) , cu U func¸tie arbitrar˘ a, este solu¸tia general˘ a a e.d.p.l.o. Integralele prime u1 , u2 , ..., un−1 se determin˘ a formând combina¸tii integrabile prin amplificarea rapoartelor ecua¸tiilor sistemului caracteristic cu func¸tiii convenabile λj (x) astfel încât expresia λ1 dx1 + ... + λn dxn este diferen¸tiala unei func¸tii u(x), iar λ1 a1 + ... + λn an ≡ 0. In acest caz u(x) = const este o integral˘ a prim˘ a. Exemplul 1. S˘ a determin˘ am solu¸tia general˘ a a e.d.p.l.o. care rezult˘ a din formula lui Euler pentru func¸tii omogene de grad zero: x1

∂u ∂u ∂u + x2 + ... + xn = 0. ∂x1 ∂x2 ∂xn

Din sistemul caracteristic dx1 dx2 dxn = = ... = = dt x1 x2 xn se g˘ asesc imediat urm˘ atoarele integrale prime u1 =

x1 x2 xn−1 , u2 = , ..., un−1 = xn xn xn

(în ipoteza xn 6= 0 ). Rezult˘ a c˘ a solu¸tia general˘ a este ¶ µ xn−1 x1 x2 , , ..., u=U xn xn xn adic˘ a expresia general˘ a a func¸tiilor omogene de grad zero. Exemplul 2. Pentru a determina solu¸tia general˘ a a ecua¸tiei y∂x u − x∂y u = 0 observ˘ am c˘ a sistemul caracteristic dx dy = = dt y −x a este u = F (x2 + y 2 ), cu F are integrala prim˘ a x2 + y 2 = const, deci solu¸tia general˘ func¸tie arbitrar˘ a, adic˘ a suprafa¸ta integral˘ a este o suprafa¸ta˘ de rota¸tie în jurul axei Ou. n P aj (x)∂j u = 0, adic˘ S˘ a consider˘ am problema lui Cauchy restrâns˘ a pentru ecua¸tia a j=1

problema determin˘ arii unei solu¸tii u(x) astfel c˘ a dac˘ a S este o mul¸time deschis˘ a din

a an (x1 , x2 , ..., xn−1 , x0n ) 6= hiperplanul xn = x0n s˘ a aib˘ a loc u(x) = u0 (x) pentru x ∈ S. Dac˘

¸ CU DERIVATE PARTIALE ¸ DE ORDINUL INTAI 128 CAPITOLUL 12. ECUATII 0 problema lui Cauchy restrâns˘ a are solu¸tie unic˘ a pentru orice func¸tie cu derivate continue u0 (x). In adev˘ ar, fie u1 , ..., un−1 n − 1 integrale prime ale sistemului caracteristic. Din cele n − 1 rela¸tii u1 (x1 , ..., xn−1 , x0n ) = u¯1 , ..., un−1 (x1 , ..., xn−1 , x0n ) = u¯n−1 u1 , ..., u¯n−1 ), ..., xn−1 = ϕn−1 (¯ u1 , ..., u¯n−1 ) cu derivate se pot scoate func¸tiile x1 = ϕ1 (¯ par¸tiale continue. Atunci func¸tia u = u0 (ϕ1 (u1 , ..., un−1 ), ..., ϕn−1 (u1 , ..., un−1 )) este solu¸tia problemei Cauchy restrânse. Exemplul 3. S˘ a determin˘ am solu¸tia u = u(x, t) în semiplanul t > 0 a ecua¸tiei ∂t u + a∂x u = 0 care verific˘ a rela¸tia u(x, 0) = u0 (x) . Sistemul caracteristic dt =

dx = dτ a

are integrala prim˘ a x − at = const ¸si deci solu¸tia general˘ a este u = F (x − at) , de unde

¸tinând cont de condi¸tie F (x) = u0 (x) ¸si deci solu¸tia c˘ autat˘ a este u = u0 (x − at) .

Observ˘ am de aici c˘ a dac˘ a interpret˘ am pe t drept timp, pe u = u(x, t) drept abaterea în punctul de abscis˘ a x ¸si la momentul t unei m˘ arimi de la m˘ arimea nul˘ a, abatere provocat˘ a de perturba¸tia la momentul ini¸tial u0 (x) de la m˘ arimea nul˘ a, solu¸tia ob¸tinut˘ a u = u0 (x − at) arat˘ a c˘ a perturba¸tia ini¸tial˘ a se propag˘ a în spa¸tiu ¸si timp, deci avem de-a

face cu o und˘ a. Observ˘ am c˘ a dac˘ a perturba¸tia ini¸tial˘ a u0 (x) este nenul˘ a în vecin˘ atatea

punctului de abscis˘ a x0 , u = u0 (x − at) este nenul˘ a în vecin˘ atatea punctului de abscis˘ a x0 + at, adic˘ a unda se propag˘ a în direc¸tia pozitiv˘ a a axei Ox cu viteza a. n P ∂u aj (x) ∂x = 0 const˘ Problema lui Cauchy general˘ a pentru ecua¸tia a în determinarea j j=1

unei solu¸tii u(x) care verific˘ a u(x) = u0 (x), ∀x ∈ S, S fiind o hipersuprafa¸ta˘ n − 1-

dimensional˘ a în Rn . Dac˘ a ϕ(x) = 0 este ecua¸tia lui S, prin schimbarea de variabil˘ a y1 = x1 , ...., yn−1 = xn−1 , yn = ϕ(x) problema Cauchy general˘ a se transform˘ a în problema j=n k=n P P ∂h ∂u ¯ a ¯k ∂y = 0 a ¯ aj ∂xj 6= = 6 0 restrâns˘ a pentru ecua¸tia . Condi¸ t ia este de fapt condi¸ t ia n k k=1

j=1

0 , adic˘ a avem teorema:

Teorema 3. Dac˘ a S nu este o suprafa¸ta˘ caracteristic˘ a pentru e.d.p.l.o. ¸si dac˘ a u0 (x) este o func¸tie de clas˘ a C 1 în vecin˘ atatea lui S, atunci problema Cauchy pentru S cu

12.3. ECUATII ¸ LINEARE OMOGENE

129

datele u0 (x) are solu¸tie unic˘ a, adic˘ a exist˘ a într-o vecin˘ atate a lui S o solu¸tie u a e.d.p.l.o. care verific˘ a rela¸tia u = u0 pe S. S ¸ i acum solu¸tia problemei Cauchy se determin˘ a imediat dac˘ a se cunosc n−1 integrale prime ale sistemului caracteristic u1 , ..., un−1 . Din rela¸tiile u1 (x1 , ..., xn ) = u¯1 , ...., u¯n−1 (x1 , ..., xn ) = u¯n−1 , h(x1 , ..., xn ) = 0 se determin˘ a func¸tiile u1 , ..., u¯n−1 ), ...., xn = ϕn (¯ u1 , ..., u¯n−1 ). x1 = ϕ1 (¯ Atunci func¸tia u = u0 (ϕ1 (u1 , ..., un−1 ), ..., ϕn (u1 , ..., un−1 )) este evident solu¸tia problemei Cauchy. Dac˘ a suprafa¸ta˘ S este dat˘ a parametric x1 = x01 (s1 , ..., sn−1 ), x2 = x02 (s1 , ..., sn−1 ), ...., xn = x0n (s1 , ..., sn−1 ), din rela¸tiile ui (x01 (s1 , ..., sn−1 ), ..., x0n (s1 , ..., sn−1 )) = u¯i , i = 1, ..., n − 1 am ca mai sus. determin˘ am parametrii si ca func¸tiii de u¯i ¸si apoi proced˘ Problema Cauchy poate fi rezolvat˘ a ¸si f˘ ar˘ a determinarea integralelor prime. Anume a problema Cauchy pentru dac˘ a suprafa¸ta˘ S este dat˘ a parametric prin x = x0 (s) se rezolv˘ sistemul caracteristic

dxj dt

= aj (x), x(0) = x0 (s) g˘ asind solu¸tia x = ϕ(t; x0 (s)) . Din

aceasta se g˘ ase¸ste t = t(x), s = s(x) . Solu¸tia problemei Cauchy este u = u0 (x0 (s(x))). Iacobi a ar˘ atat c˘ a ecua¸tiei cvasilineare n X j=1

aj (x, u)∂j u − b(x, u) = 0

i se poate asocia o ecua¸tie linear˘ a omogen˘ a cu un num˘ ar de variabile independente cu o unitate mai mare: n X j=1

aj (x, u)

∂V ∂V = 0. + b(x, u) ∂xj ∂u

Teorema urm˘ atoare arat˘ a leg˘ atura între cele dou˘ a ecua¸tii:

¸ CU DERIVATE PARTIALE ¸ DE ORDINUL INTAI 130 CAPITOLUL 12. ECUATII Teorema 4. a) Dac˘ a V este o solu¸tie a e.d.p.l.o asociat˘ a ecua¸tiei cvasilineare definite ˜ ⊂ Ω iar (x0 , u0 ) ∈ Ω ˜ este astfel c˘ pe Ω a

∂V (x0 , u0 ) ∂u

6= 0 , atunci func¸tia u = u(x) definit˘ a

de ecua¸tia V (x, u) − V (x0 , u0 ) = 0 este solu¸tie a ecua¸tiei cvasilineare. b) Dac˘ a u = u(x) este o solu¸tie a ecua¸tiei cvasilineare, atunci exist˘ a V solu¸tie a e.d.p.l.o. astfel c˘ a V (x, u(x)) ≡ 0. Demonstra¸tie ˜ → R astfel c˘ (x0 , u0 ) 6= 0 exist˘ a o func¸tie u :: D a V (x, u(x))−V (x0 , u0 ) = 0 a) Cum ∂V ∂u ¸si ale c˘ arei derivate par¸tiale sunt date de rela¸tiile ∂V ∂u ∂V (x, u(x)) (x, u(x)) + = 0, j = 1, ..., n. ∂xj ∂u ∂xj Inmul¸tind cu aj (x, u(x)) ¸si adunând avem n n X X ∂V ∂u ∂V (x, u(x)) (x, u(x))aj (x, u(x)) + aj (x, u(x)) (x, u(x)) = 0. ∂xj ∂u ∂xj j=1 j=1

Cum V este solu¸tie a e.d.p.l.o. avem ¸si n X j=1

aj (x, u(x))

∂V ∂V (x, u(x)) + (x, u(x)) b(x, u(x)) = 0. ∂xj ∂u

Rezult˘ a " n # X ∂u ∂V (x, u(x)) aj (x, u(x)) (x, u(x)) − b(x, u(x)) = 0 ∂u ∂x j j=1 ¸si cum

∂V (x, u(x)) ∂u

6= 0 rezult˘ a c˘ a u este solu¸tie a ecua¸tiei cvasilineare.

b) Fie V1 , V2 , ..., Vn n integrale prime ale sistemului caracteristic asociat e.d.p.l.o. dxn du dx1 = .... = = = dt. a1 (x, u) an (x, u) b(x, u) Fie Ui (x) = Vi (x, u(x)) . Avem ¯ ¯ ¯ D(U1 , U2 , ..., Un ) ¯¯ =¯ ¯ D(x1 , x2 , ..., xn ) ¯ ¯

∂V1 ∂x1

+

∂V1 ∂u ∂u ∂x1

... ∂Vn ∂x1

+

∂Vn ∂u ∂u ∂x1

...

∂V1 ∂xn

.... ...

+

∂V1 ∂u ∂u ∂xn

.... ∂Vn ∂xn

+

∂Vn ∂u ∂u ∂xn

¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯

Scriind c˘ a V1 , V2 , ..., Vn sunt integrale prime ¸si c˘ a u este solu¸tie ob¸tinem un sistem de n + 1 ecua¸tii cu n necunoscute a1 , a2 , ..., an . Pentru compatibilitate trebuie s˘ a avem

12.4. ECUATII ¸ CU DERIVATE PARTIALE ¸ DE ORDINUL ÎNTÂI NELINEARE131

¯ ¯ 0=¯

∂V1 ∂x1

...

∂V

¯ ¯ ¯.

Cum b(x, u(x)) 6= 0 rezult˘ a c˘ a func¸tiile U1 , ..., Un sunt func¸tional dependente, deci

exist˘ a Φ de clas˘ a C 1 astfel c˘ a

Φ(U1 , ..., Un ) ≡ 0 . Dar atunci func¸tia V (x, u) = Φ(V1 (x, u), ..., Vn (x, u)) este solu¸tie a e.d.p.l.o. ¸si V (x, u(x)) ≡ 0. Teorema precedent˘ a ne d˘ a o modalitate de a g˘ asi solu¸tia general˘ a a ecua¸tiei cvasilineare. Exemplul 4. S˘ a g˘ asim solu¸tia general˘ a a ecua¸tiei date de formula lui Euler pentru func¸tii omogene de gradul m: x1 ∂1 u + x2 ∂2 u + ... + xn ∂n u = mu. Sistemul caracteristic asociat e.d.p.l.o. dx1 dx2 dxn du = = ... = = x1 x2 xn mu are evident integralele prime x1 x2 xn−1 u = const, = const, ..., = const, m = const xn xn xn xn ´ ³ u = 0 sau ex, ¸si deci solu¸tia general˘ a este dat˘ a implicit prin ecua¸tia Φ xxn1 , ..., xxn−1 xm n n ´ ³ xn−1 x1 plicitând ultimul raport u = xm , adic˘ a forma general˘ a a unei func¸tii n ϕ xn , ..., xn omogene de gradul m.

12.4

Ecua¸tii cu derivate par¸tiale de ordinul întâi nelineare

Consider˘ am ecua¸tia cu derivate par¸tiale de ordinul întâi ¶2 n µ ∂u X ∂F , F (x1 , x2 , ..., xn , u, p1 , p2 , ..., pn ) = 0, pi = 6 0 = ∂xi i=1 ∂pi ¸si o suprafa¸ta˘ integral˘ a a sa u = u(x1 , x2 , ..., xn ), (x1 , x2 , ..., x2 ) ∈ D ⊂ Rn . Prin fiecare punct al acestei suprafe¸te integrale se poate duce conul caracteristic corespunz˘ ator. Unul

¸ CU DERIVATE PARTIALE ¸ DE ORDINUL INTAI 132 CAPITOLUL 12. ECUATII din planele tangente la conul caracteristic va coincide cu planul tangent la suprafa¸ta integral˘ a în vârful conului. In acest plan tangent la suprafa¸ta integral˘ a va exista o generatoare a conului. Pe aceasta o vom numi raza caracteristic˘a a suprafe¸tei integrale în punctul dat. Aceast˘ a raz˘ a caracteristic˘ a este determinat˘ a de coordonatele x1 , x2 , ..., xn , u ale punctului ¸si de m˘ arimile p1 , p2 , ..., pn , −1, parametrii normalei la planul tangent în care se afl˘ a. Curbele de pe suprafa¸ta integral˘ a care sunt înf˘ a¸sur˘ atoare ale razelor caracteristice vor satisface sistemul dx1 ∂F ∂p1

=

dx2 ∂F ∂p2

= ... =

dxn ∂F ∂pn

= P n

du

i=1

= dt,

∂F pi ∂p i

t fiind un parametru real. Derivând ecua¸tia dat˘ a în raport cu variabila xi , i = 1, 2, ..., n avem ∂F ∂p1 ∂F ∂p2 ∂F ∂pn ∂F ∂F pi + + + ... + + = 0, i = 1, 2, ..., n ∂p1 ∂xi ∂p2 ∂xi ∂pn ∂xi ∂u ∂xi sau ¸tinând cont de sistemul de mai sus ¸si de faptul c˘ a

∂pi ∂xj

=

∂pj ∂xi

g˘ asim

∂pi dx1 ∂F ∂pi dx2 ∂pi dxn ∂F = 0, i = 1, 2, ..., n + + ... + + pi + ∂x1 dt ∂x2 dt ∂xn dt ∂u ∂xi sau

¶ µ dpi ∂F ∂F , i = 1, 2, ..., n. =− pi + dt ∂u ∂xi

Deci înf˘ a¸sur˘ atoarele razelor caracteristice de pe suprafa¸ta integral˘ a trebuie s˘ a verifice sistemul dx1 ∂F ∂p1

=

dx2 ∂F ∂p2

= .. =

dxn ∂F ∂pn

= P n

du

i=1

cu condi¸tia

∂F pi ∂p i

dp1 p + ∂u 1

= − ∂F

∂F ∂x1

dpn p + ∂u n

= .. = − ∂F

∂F ∂xn

= dt

F (x1 , x2 , ..., xn , u, p1 , p2 , ..., pn ) = 0. Acest sistem de 2n + 1 ecua¸tii cu 2n + 1 necunoscute x1 , x2 , ..., xn , p1 , p2 , ..., pn poate fi considerat independent de modul în care a fost dedus. El se nume¸ste sistemul caracteristic asociat ecua¸tiei cu derivate par¸tiale nelineare. Dac˘ a derivatele par¸tiale

∂F , ∂pi

i = 1, 2, ..., n, ∂F sunt func¸tii cu derivate par¸tiale de ordinul doi continue atunci pentru ∂u condi¸tii ini¸tiale date sistemul caracteristic are solu¸tie unic˘ a cu derivate de ordinul doi continue. In plus dac˘ a condi¸tiile ini¸tiale sunt func¸tii de dou˘ a ori derivabile continuu de

12.4. ECUATII ¸ CU DERIVATE PARTIALE ¸ DE ORDINUL ÎNTÂI NELINEARE133 ni¸ste parametri, atunci ¸si solu¸tiile vor avea derivate de ordinul doi continue în raport cu acei parametri. Cum dF dt

n n X ∂F dxi ∂F du X ∂F dpi = + + = ∂xi dt ∂u ds i=1 ∂pi ds i=1

=

n n n X ∂F ∂F ∂F X ∂F X ∂F ∂F ∂F pi + + pi ( )=0 − ∂x ∂p ∂u ∂p ∂p ∂u ∂x i i i i i i=1 i=1 i=1

rezult˘ a c˘ a func¸tia membru st˘ ang al ecua¸tiei F (x1 , x2 , ..., xn , u, p1 , p2 , ..., pn ) este integral˘ a prim˘ a a sistemului caracteristic. Orice solu¸tie x1 = x1 (t), x2 = x2 (t), ..., xn = xn (t), u = u(t), p1 = p1 (t), p2 = p2 (t), ..., pn = pn (t) a sistemului caracteristic care verific˘ a rela¸tia F (x1 (t), x2 (t), ..., xn (t), u(t), p1 (t), p2 (t), ..., pn (t)) = 0 se nume¸ste band˘a caracteristic˘a, iar curba x1 = x1 (t), x2 = x2 (t), ..., xn = xn (t), u = u(t), suportul benzii caracteristice se nume¸ste curb˘a caracteristic˘a. Exact ca la ecua¸tii cvasilineare, are loc teorema Teorema 1. Dac˘ a o band˘ a caracteristic˘ a are un element comun cu o suprafa¸ta˘ integral˘ a, atunci ea apar¸tine în întregime suprafe¸tei. Ca o consecin¸ta˘ Consecin¸ta˘. Dac˘ a dou˘ a suprafe¸te integrale sunt tangente într-un punct, atunci ele sunt tangente de-a lungul întregii caracteristici care trece prin acel punct. Fie problema Cauchy cu suprafa¸ta S purt˘ atoare a datelor x1 = x01 (s1 , ..., sn−1 ), x2 = x02 (s1 , ..., sn−1 ), ...., xn = x0n (s1 , ..., sn−1 ), a S ∗ este deci cu datele u = u0 (s1 , s2 , ..., sn−1 ). Curba ini¸tial˘ x1 = x01 (s1 , ..., sn−1 ), x2 = x02 (s1 , ..., sn−1 ), ...., xn = x0n (s1 , ..., sn−1 ), u = u0 (s1 , s2 , ..., sn−1 ). Din rela¸tiile

∂u0 X ∂x0i = pi , j = 1, 2, ..., n − 1. ∂sj ∂sj i=1 n

¸ CU DERIVATE PARTIALE ¸ DE ORDINUL INTAI 134 CAPITOLUL 12. ECUATII F (x01 (s), ..., x0n (s), u0 (s), p1 , ...., pn ) = 0 am solu¸tia sistemului caracteristic definim valorile p01 (s), p02 (s), ..., p0n (s). Consider˘ xi = xi (t, s1 , s2 , ..., sn−1 ), i = 1, 2, ..., n u = u(t, s1 , s2 , ..., sn−1 ) pi = pi (t, s1 , s2 , ..., sn−1 ), i = 1, 2, ..., n cu condi¸tiile ini¸tiale xi (0, s1 , s2 , ..., sn−1 ) = x0i (s1 , s2 , ..., sn−1 ), i = 1, 2, ..., n u(0, s1 , s2 , ..., sn−1 ) = u0 (s1 , s2 , ..., sn−1 ) pi (0, s1 , s2 , ..., sn−1 ) = p0i (s1 , s2 , ..., sn−1 ), i = 1, 2, ..., n Pentru acest sistem func¸tia F va avea valori nule. Vom avea ¯ ¯ ∂x1 ∂x2 n ¯ ∂t ... ∂x ∂t ∂t ¯ ¯ ∂x ∂x2 n ... ∂x D(x1 , x2 , ..., xn ) ¯¯ ∂s11 ∂s1 ∂s1 = D(t, s1 , ..., sn−1 ) ¯¯ . . . . ¯ ¯ ∂x1 ∂x2 n ¯ ∂s ... ∂s∂xn−1 ∂sn−1 n−1 ¯ ¯ ¯ ∂F ¯ ∂F ∂F ¯ ∂p1 ... ∂pn ¯ ∂p2 ¯ ¯ ¯ ∂x1 ¯ ∂x2 ∂xn ¯ ∂s1 ... ∂s1 ¯ ∂s 1 ¯ = δ 6= 0 = ¯¯ ¯ ¯ . ¯ . . . ¯ ¯ ¯ ∂x1 ¯ ∂x ∂x 2 n ¯ ∂s ¯ ... ∂s ∂s n−1

n−1

¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯= ¯ ¯ ¯ ¯ ¯

n−1

dac˘ a suprafa¸ta purt˘ atoare este necaracteristic˘ a. Dup˘ a teorema func¸tiilor implicite se vor putea explicita variabilele t, s1 , s2 , ..., sn−1 ca func¸tii de dou˘ a ori derivabile de vari-

abilele x1 , x2 , ..., xn . Ca urmare ¸si u ¸si pi vor deveni func¸tii de dou˘ a ori derivabile de x1 , x2 , ..., xn : u = u(x1 , x2 , ..., xn ), pi = pi (x1 , x2 , ..., xn ). Pentru a ar˘ ata c˘ a suprafa¸ta u = u(x1 , x2 , ..., xn ) este suprafa¸ta˘ integral˘ a este suficient s˘ a ar˘ at˘ am c˘ a ∂u(x1 , x2 , ..., xn ) = pi (x1 , x2 , ..., xn ). ∂xi Cum sistemul ∂u X ∂u ∂xi − = 0 ∂t ∂xi ∂t i=1 n

∂u X ∂u ∂xi = 0, j = 1, 2, ..., n − 1 − ∂sj ∂xi ∂sj i=1 n

12.4. ECUATII ¸ CU DERIVATE PARTIALE ¸ DE ORDINUL ÎNTÂI NELINEARE135 cu determinantul

D(x1 ,x2 ,...,xn ) D(t,s1 ,...,sn−1 )

6= 0 are solu¸tie unic˘ a

∂u ,i ∂xi

= 1, 2, ..., n este suficient s˘ a

ar˘ at˘ am c˘ a func¸tiile ∂u X ∂xi = − pi ∂t ∂t i=1 n

V

∂u X ∂xi pi , j = 1, 2, ..., n − ∂sj ∂s j i=1 n

Uj =

sunt identic nule pentru orice valori ale lui t, s1 , ..., sn−1 . Din sistemul caracteristic avem V =

n X i=1

∂F X ∂F pi pi − ≡ 0. ∂pi ∂pi i=1 n

Mai departe ∂Uj ∂t

¶ n µ X ∂V ∂pi ∂xi ∂pi ∂xi ∂Uj = − = =− − ∂t ∂sj ∂t ∂sj ∂sj ∂t i=1 µ ¶ n n X ∂F ∂pi X ∂xi ∂F ∂F = pi = + + ∂p ∂s ∂s ∂u ∂x i j j i i=1 ! Ã ni=1 n X ∂F ∂pi ∂F ∂u X ∂F ∂F ∂xi = − = + + Uj + ∂u ∂p ∂s ∂u ∂s ∂x ∂s i j j i j i=1 i=1 = −

∂F Uj ∂u

pentru c˘ a F ≡ 0. Rezult˘ a −

Uj (t, s1 , ..., sn−1 ) = Uj (0, s1 , ..., sn−1 )e

Rt 0

∂F dt ∂u

≡0

în virtutea alegerii valorilor ini¸tiale pentru pi . a o suprafa¸ta˘ integral˘ a care trece prin Rezult˘ a c˘ a u = u(x1 , x2 , ..., xn ) reprezint˘ suprafa¸ta ini¸tial˘ a S ∗ . Ea este unic˘ a pentru c˘ a orice alt˘ a suprafa¸ta˘ integral˘ a trecând prin S ∗ trebuie s˘ a fie alc˘ atuit˘ a din curbe caracteristice trecând prin S ∗ . Pentru acestea valorile lui pi se determin˘ a tot cum le-am determinat noi ¸si deci nu pot exista dou˘ a suprafe¸te integrale care s˘ a treac˘ a prin S ∗ . Am demonstrat teorema Teorema 2. Dac˘ a suprafa¸ta purt˘ atoare a datelor Cauchy cu derivat˘ a de ordinul doi continu˘ a este suprafa¸ta˘ necaracteristic˘ a atunci problema Cauchy pentru ecua¸tia nelinear˘ a cu membru stâng cu derivate par¸tiale de ordinul trei continue are solu¸tie unic˘ a.

¸ CU DERIVATE PARTIALE ¸ DE ORDINUL INTAI 136 CAPITOLUL 12. ECUATII S˘ a presupunem acum c˘ a exist˘ a solu¸tia problemei Cauchy în cazul în care suprafa¸ta purt˘ atoare S a datelor Cauchy este suprafa¸ta˘ caracteristic˘ a. Atunci din condi¸tia ¯ ¯ ¯ ∂F ¯ ∂F ∂F ¯ ∂p1 ¯ ... ∂p ∂p n 2 ¯ 0 ¯ 0 ¯ ∂x1 ¯ ∂x2 ∂x0n ¯ ∂s1 ... ∂s1 ¯ ∂s1 ¯ ¯=δ=0 ¯ ¯ ¯ . ¯ . . . ¯ ¯ 0 0 ¯ ∂x01 ∂x2 ∂xn ¯ ¯ ∂s ¯ ... ∂s ∂s n−1

n−1

n−1

rezult˘ a c˘ a exist˘ a parametri λ1 , λ2 , ..., λn−1 asfel încât X ∂x0 ∂F = λj i . ∂pi ∂sj j=1 n−1

Vom avea

n X i=1

n−1 n n−1 X X ∂F ∂u X ∂x0i ∂u0 pi = λj = λj ∂pi ∂xi j=1 ∂sj ∂sj i=1 j=1

Derivând ecua¸tia ¸si ¸tinând cont de permutabilitatea derivatelor mixte avem −p0k

n X n−1 X ∂F ∂F ∂x0 ∂p0 − = λj i k = ∂u ∂xk ∂sj ∂xi i=1 j=1

=

n−1 X j=1

λj

n X ∂p0 ∂x0 k

i=1

i

∂xi ∂sj

=

n−1 X j=1

λj

∂p0k ∂sj

Ajungem la concluzia c˘ a pentru ca problema Cauchy s˘ a fie posibil˘ a este necesar ca vectorul − → V =

Ã

∂F ∂F ∂F X 0 ∂F ∂F ∂F ∂F − , ..., −p0n − , ..., , pi , −p01 ∂p1 ∂pn i=1 ∂pi ∂u ∂x1 ∂u ∂xn n

!

s˘ a fie combina¸tie linear˘ a a celor n-1 vectori ¶ µ 0 ∂x1 ∂x0n ∂u0 ∂p01 ∂p0n − → Tj = , j = 1, 2, ..., n − 1 , ..., , , , ..., ∂sj ∂sj ∂sj ∂sj ∂sj − → adic˘ a vectorul V este situat în planul tangent al suprafe¸tei Σ n-1-dimensionale din spa¸tiul 2n+1 dimensional al variabilelor x1 , x2 , ..., xn , u, p1 , p2 , ..., pn xi = x0i (s1 , s2 , ..., sn−1 ), i = 1, ..., n, u = u0 (s1 , s2 , ..., sn−1 ) pi = p0i (s1 , s2 , ..., sn−1 ), i = 1, ..., n

12.5. CONDITII ¸ DE COMPATIBILITATE

137

S˘ a presupunem acum c˘ a avem o problem˘ a Cauchy cu suprafa¸ta purt˘ atoare S caracteristic˘ a pentru datele ini¸tiale. Mai presupunem c˘ a pe suprafa¸ta ini¸tial˘ a S ∗ este satisf˘ acut˘ a condi¸tia de mai sus. Construim o nou˘ a suprafa¸ta˘ ini¸tial˘ a S1∗ care s˘ a intersecteze pe S ∗ dup˘ a o suprafa¸ta˘ n-2 dimensional˘ a S ∗∗ ¸si astfel încât proiec¸tia sa S1 s˘ a nu fie caracteristic˘ a. Exist˘ a o suprafa¸ta˘ integral˘ a care trece prin S1∗ generat˘ a de caracteristicile care trec prin S1∗ . Acele caracteristici care trec prin S ∗∗ vor genera în spa¸tiul vari− → abilelor x1 , ..., xn , u, p1 , ..., pn o suprafa¸ta˘ Σ∗ . Vectorul V este tangent atât la suprafa¸ta Σ∗ ,cât ¸si la suprafa¸ta Σ. In virtutea unicit˘ a¸tii solu¸tiilor sistemului caracteristic cele dou˘ a suprafe¸te Σ∗ , Σ vor coincide ¸si proic¸tia lor pe spa¸tiul variabilelor x1 , ..., xn , u coincide ci suprafa¸ta ini¸tial˘ a S ∗ . Asta înseamn˘ a c˘ a suprafa¸ta ini¸tial˘ a este generat˘ a de caracteristici ¸si c˘ a suprafa¸ta integral˘ a care trece prin S1∗ trece ¸si prin S ∗ . Am demonstrat deci Teorema 3. Dac˘ a suprafa¸ta purt˘ atoare este caracteristic˘ a pentru ca problema Cauchy s˘ a aib˘ a solu¸tie este necesar ca suprafa¸ta ini¸tial˘ a s˘ a fie generat˘ a de curbe caracteristice. In aceasta situa¸tie problema Cauchy are o infinitate de solu¸tii.

12.5

Condi¸tii de compatibilitate

In ideea de a c˘ auta o solu¸tie general˘ a pentru ecua¸tia cu derivate par¸tiale de ordinul întâi nelinear˘ a s˘ a ne ocup˘ am mai întâi de problema unui sistem de dou˘ a ecua¸tii diferen¸tiale de ordinul întâi cu o func¸tie necunoscut˘ a: s˘ a se determine func¸tia u(x, y) solu¸tie a sistemului de ecua¸tii F (x, y, u, p, q) = 0 G(x, y, u, p, q) = 0, p =

∂u ∂u ,q = , ∂x ∂y

unde func¸tiile F, G au derivate par¸tiale de ordunul doi în raport cu toate variabilele continue. Dac˘ a

D(F,G) D(p,q)

6= 0 atunci putem explicita p, q ¸si suntem condu¸si la sistemul de

forma p = A(x, y, u) q = B(x, y, u), p =

∂u ∂u ,q = . ∂x ∂y

¸ CU DERIVATE PARTIALE ¸ DE ORDINUL INTAI 138 CAPITOLUL 12. ECUATII Dac˘ a acest sistem are solu¸tia u(x, y) cu derivate par¸tiale de ordinul doi, atunci în virtutea intervertirii derivatelor mixte trebuie s˘ a avem în mod necesar ∂A ∂A ∂B ∂B + B= + A. ∂y ∂u ∂x ∂u S˘ a presupunem aceast˘ a condi¸tie satisf˘ acut˘ a. Prima ecua¸tie ∂u = A(x, y, u) ∂x poate fi considerat˘ a ca o ecua¸tie diferen¸tial˘ a de ordinul întâi în u ¸si x, y fiind considerat ca parametru. Fie u = ϕ(x, y, C) solu¸tia sa general˘ a depinzând de constanta arbitrar˘ a C. Vom avea deci ∂ϕ(x, y, C) = A(x, y, ϕ(x, y, C)), ∀x, ∀y, ∀C ∂x ∂A(x, y, ϕ(x, y, C)) ∂A(x, y, ϕ(x, y, C)) ∂ϕ(x, y, C) ∂ 2 ϕ(x, y, C) = + , ∀x, ∀y, ∀C ∂y∂x ∂y ∂u ∂y ∂A(x, y, ϕ(x, y, C)) ∂ϕ(x, y, C) ∂ 2 ϕ(x, y, C) = . ∂C∂x ∂u ∂C S˘ a facem acum în sistem schimbarea de func¸tie u = ϕ(x, y, v) trecând de la func¸tia u(x, y) la func¸tia v(x, y). Sistemul va deveni ∂ϕ(x, y, v) ∂ϕ(x, y, v) ∂v + = A(x, y, ϕ(x, y, v)) ∂x ∂C ∂x ∂ϕ(x, y, v) ∂ϕ(x, y, v) ∂v + = B(x, y, ϕ(x, y, v)) ∂y ∂C ∂y sau ¸tinând seama de rela¸tiile de mai înainte ∂v =0 ∂x B(x, y, ϕ(x, y, v) − ∂v = ∂ϕ(x,y,v) ∂y

∂ϕ(x,y,v) ∂y

∂C

S˘ a ar˘ at˘ am c˘ a membrul drept al celei de-a doua rela¸tii nu depinde de x. Num˘ ar˘ atorul derivatei în raport cu x al acestui membru este ( =(

∂ 2 ϕ ∂ϕ ∂ 2ϕ ∂ϕ ∂B ∂B ∂ϕ + − ) − (B − )= ∂x ∂u ∂x ∂x∂y ∂C ∂x∂C ∂y

∂A ∂A ∂ϕ ∂ϕ ∂A ∂ϕ ∂ϕ ∂B ∂B + A− − ) − (B − )= ∂x ∂u ∂y ∂u ∂y ∂C ∂u ∂C ∂y

12.5. CONDITII ¸ DE COMPATIBILITATE =

139

∂A ∂A ∂ϕ ∂B ∂B ( + A− − B) = 0. ∂C ∂x ∂u ∂y ∂u

Sistemul se reduce de fapt la o singur˘ a ecua¸tie diferen¸tial˘ a de ordinul întâi dv = R(y, v) dy cu solu¸tia general˘ a v = v(y, a) unde a este o constant˘ a arbitrar˘ a. Rezult˘ a c˘ a solu¸tia general˘ a a sistemului p = A(x, y, u) q = B(x, y, u), p =

∂u ∂u ,q = , ∂x ∂y

cu condi¸tia de compatibilitate ∂A ∂A ∂B ∂B + B= + A ∂y ∂u ∂x ∂u este u = ϕ(x, y, v(y, a)), deci ¸si ea depinde de o constant˘ a arbitrar˘ a. Revenind la sistemul F (x, y, u, p, q) = 0 G(x, y, u, p, q) = 0, p = el poate fi adus la forma de mai sus dac˘ a

D(F,G) D(p,q)

∂u ∂u ,q = , ∂x ∂y

6= 0. Cum prin deriv˘ ari ale celor dou˘ a

ecua¸tii g˘ asim D(F,G)

D(F,G)

D(p,q)

D(p,q)

D(F,G)

D(F,G)

D(p,q)

D(p,q)

∂p D(u,q) ∂q D(u,p) = − D(F,G) , = − D(F,G) ∂u ∂u ∂q D(x,p) ∂p D(y,q) = − D(F,G) , = − D(F,G) ∂x ∂y g˘ asim în final condi¸tia de compatibilitate ¯ ¯ ¯ ¯ ∂F dF ¯ ¯ ¯ ∂p dx ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ∂G dG ¯ + ¯ ¯ ∂p dx ¯ ¯

unde am folosit a¸sa numitele derivate totale

∂F ∂q

dF dy

∂G ∂q

dG dy

¯ ¯ ¯ ¯=0 ¯ ¯

dF ∂F ∂F dG ∂G ∂G = +p , ..., = +q . dx ∂x ∂u dy ∂y ∂u

¸ CU DERIVATE PARTIALE ¸ DE ORDINUL INTAI 140 CAPITOLUL 12. ECUATII Deci sistemul de ecua¸tii F (x, y, u, p, q) = 0 G(x, y, u, p, q) = 0, p =

∂u ∂u ,q = , ∂x ∂y

este compatibil dac˘ a este satisf˘ acut˘ a condi¸tia de compatibilitate ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ∂F dF ¯ ¯ ∂F dF ¯ ¯ ∂p dx ¯ ¯ ∂q dy ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ∂G dG ¯ + ¯ ∂G dG ¯ = 0 ¯ ∂p dx ¯ ¯ ∂q dy ¯

¸si solu¸tia sa general˘ a depinde de o constant˘ a arbitrar˘ a. Expresia din stânga condi¸tiei de compatibilitate se nume¸ste paranteza lui Mayer ¸si se noteaz˘ a prin [F, G]. Dac˘ a func¸tiile F, G nu depind de u paranteza lui Mayer se reduce la a¸sa numita parantez˘a a lui Poisson (F, G).

12.6

Integral˘ a complet˘ a

Fiind dat˘ a ecua¸tia cu derivate par¸tiale de ordinul întâi F (x, y, u, p, q) = 0, p =

∂u ∂u ,q = , ∂x ∂y

se nume¸ste integral˘a complet˘a a sa o rela¸tie de forma V (x, y, u, a, b) = 0 depinzând de dou˘ a constante arbitrare verificat˘ a de o familie de solu¸tii ale ecua¸tiei date. Dac˘ a consider˘ am ¸si rela¸tiile ob¸tinute derivând în raport cu x, y ∂V ∂V +p ∂x ∂u ∂V ∂V +q ∂y ∂u

= 0, = 0,

prin eliminarea constantelor arbitrare a, b, între aceste aceste rela¸tii ob¸tinem ecua¸tia F (x, y, u, p, q) = 0. In adev˘ ar, dac˘ a am ob¸tine ¸si o alt˘ a rela¸tie G(x, y, u, p, q) = 0 am avea o famile de solu¸tii, depinzând de dou˘ a constante arbitrare, comune celor dou˘ a ecua¸tii. Dar am v˘ azut c˘ a aceasta nu se poate pentru c˘ a solu¸tia ar depinde numai de o constant˘ a. Deci ob¸tinem o alt˘ a defini¸tie a integralei complete: o rela¸tie depinzând de

˘ COMPLETA ˘ 12.6. INTEGRALA

141

dou˘ a constante arbitrare astfel încât prin eliminarea constantelor între cele trei rela¸tii de mai sus ob¸tinem ecua¸tia dat˘ a. Lagrange a ar˘ atat c˘ a orice solu¸tie u = u(x, y) a ecua¸tiei F (x, y, u, p, q) = 0 se poate ob¸tine dintr-o integral˘ a complet˘ a a sa prin metoda varia¸tiei constantelor a, b. In adev˘ ar din ecua¸tiile ∂V ∂u ∂V + = 0, ∂x ∂x ∂u ∂V ∂u ∂V + = 0, ∂y ∂y ∂u scoatem func¸tiile a(x, y), b(x, y). Dac˘ a le introducem în prima rela¸tie ¸si deriv˘ am în raport cu x, y ob¸tinem ∂V ∂u ∂V ∂V ∂a ∂V + + + ∂x ∂x ∂u ∂a ∂x ∂b ∂V ∂u ∂V ∂V ∂a ∂V + + + ∂y ∂y ∂u ∂a ∂y ∂b

∂b = 0, ∂x ∂b = 0, ∂y

adic˘ a func¸tiile g˘ asite a(x, y), b(x, y) verific˘ a rela¸tiile ∂V ∂a ∂V + ∂a ∂x ∂b ∂V ∂a ∂V + ∂a ∂y ∂b

∂b = 0, ∂x ∂b = 0. ∂y

Vom distinge mai multe situa¸tii. 1) Dac˘ a func¸tia u = u(x, y) verific˘ a rela¸tiile V (x, y, u(x, y), a(x, y), b(x, y)) = 0, ∂V (x, y, u(x, y), a(x, y), b(x, y)) = 0, ∂a ∂V (x, y, u(x, y), a(x, y), b(x, y)) = 0, ∂b atunci se zice c˘ a integrala u = u(x, y) este o integral˘a singular˘a. Din punct de vedere geometric, suprafa¸ta integral˘ a singular˘ a este înf˘ a¸sur˘ atoarea familiei de suprafe¸te complete depinzând de doi parametri.. 2) Dac˘ a avem a(x, y) = a0 , b(x, y) = b0 , atunci suprafa¸ta u = u(x, y) este una din suprafe¸tele integralei complete. )2 + ( ∂V )2 6= 0, a(x, y) 6= a0 , b(x, y) 6= b0 atunci 3) Dac˘ a ( ∂V ∂a ∂b ¯ ¯ ¯ ∂a ∂b ¯ ¯ ∂x ∂x ¯ ¯ ¯ ¯ ∂a ∂b ¯ ≡ 0 ¯ ∂y ∂y ¯

¸ CU DERIVATE PARTIALE ¸ DE ORDINUL INTAI 142 CAPITOLUL 12. ECUATII ¸si deci avem b(x, y) = ω(a(x, y)), cu ω o func¸tie. Cele dou˘ a rela¸tii se reduc la o singur˘ a rela¸tie ∂V ∂V 0 + ω (a) = 0. ∂a ∂b In acest caz suprafa¸ta integral˘ a u = u(x, y) este înf˘ a¸sur˘ atoarea familiei de suprafe¸te V (x, y, u, a, ω(a)) = 0. Cum din rela¸tiile V (x, y, u, a, ω(a)) = 0, ∂V ∂V 0 + ω (a) = 0 ∂a ∂b cu ω(a) func¸tie arbitrar˘ a, ob¸tinem orice solu¸tie cu excep¸tia solu¸tiei singulare, se zice c˘ a cele dou˘ a rela¸tii definesc solu¸tia general˘a a ecua¸tiei F (x, y, u, p, q) = 0. In metoda lui Lagrange-Charpit pentru g˘ asirea unei integrale complete pentru ecua¸tia F (x, y, u, p, q) = 0 se caut˘ a o func¸tie G(x, y, u, p, g) astfel ca sistemul F (x, y, u, p, q) = 0, G(x, y, u, p, q) = a s˘ a fie compatibil. Atunci integrala sa general˘ a va depinde de dou˘ a constante arbitrare a, b: V (x, y, u, a, b) = 0. Aceasta va fi o integral˘ a complet˘ a pentru ecua¸tia ini¸tial˘ a. Desf˘ acând paranteza lui Mayer din condi¸tia de compatibilitate rezult˘ a pentru func¸tia G ecua¸tia cu derivate par¸tiale în variabilele x, y, u, p, q: ∂F ∂G ∂F ∂G ∂F ∂F ∂G ∂F ∂F ∂G ∂F ∂F ∂G + + (p +q ) −( +p ) −( +q ) = 0. ∂p ∂x ∂q ∂y ∂p ∂q ∂u ∂x ∂u ∂p ∂y ∂u ∂q Altfel spus func¸tia G(x, y, u, p, q) = a este o integral˘ a prim˘ a a sistemului caracteristic asociat ecua¸tiei nelineare dx ∂F ∂p

=

dy ∂F ∂q

=

p ∂F ∂p

du dp dq = − ∂F = − ∂F = dt. ∂F ∂F + q ∂q + p ∂u + q ∂F ∂x ∂y ∂u

Ob¸tinem urm˘ atorul algoritm: Pentru a ob¸tine o integral˘ a complet˘ a a ecua¸tiei F (x, y, u, p, q) = 0 se caut˘ a mai întâi o integral˘ a prim˘ a G(x, y, u, p, q) = a a sistemului caracteristic asociat astfel încât D(F,G) D(p,q)

6= 0; se rezolv˘ a sistemul F = 0, G = 0 în raport cu p, q. Ecua¸tia dz = pdx + qdy,

cu p, q înlocuite, este o diferen¸tial˘ a total˘ a. Integrala general˘ a V (x, y, u, a, b) = 0 a acestei

˘ COMPLETA ˘ 12.6. INTEGRALA

143

ecua¸tii con¸tine dou˘ a constante arbitrare a ¸si b introduse la integrare ¸si deci este integrala complet˘ a. Exist˘ a o serie de cazuri particulare: a) Ecua¸tia F (x, y, p, q) = 0 nu con¸tine pe z. Se poateadmite ¸si c˘ a G nu-l con¸tine pe z ¸si sistemul caracteristic se reduce la forma mai simpl˘ a dx ∂F ∂p

=

dp dq = − ∂F = − ∂F .

dy ∂F ∂q

∂x

∂y

b) Ecua¸tia F (y, p, q) = 0 nu con¸tine pe x ¸si z. Avem dp = 0 ¸si deci integrala prim˘ a p = a. Din sistemul F (y, p, q) = 0, p = a deducem q = f (y, a), deci avem dz = adx + f (y, a)dy de unde ob¸tinem integrala complet˘ a z = ax +

Z

f (y, a)dy + b

printr-o integrare. c) Ecua¸tia F (z, p, q) = 0 nu con¸tine pe x, y. Sistemul caracteristic admite combina¸tia integrabil˘ a dp dq = p q de unde integrala prim˘ a q = ap. Ecua¸tiile F (z, p, q) = 0,q = ap dau p = f (z, a), q = af (z, a) ¸si deci dz = f (z, a)dx + af (z, a)dy de unde printr-o integrare se ob¸tine integrala complet˘ a Z dz = x + ay + b. f (z, a) d) Ecua¸tia F (p, q) = 0 nu con¸tine pe x, y, u. Sistemul caracteristic admite integrala prim˘ a p = a. Din F (a, q) = 0 scoatem q = f (a) ¸si integrala complet˘ a z = ax + f (a)y + b. e) Ecu¸tia f (x, p)−g(y, q) = 0 se nume¸ste cu variabile separate. Sistemul caracteristic se scrie dx ∂f ∂p

=

dy dp dq = − ∂f = ∂g ∂g − ∂q − ∂x ∂y

¸si are combina¸tia integrabil˘ a ∂f ∂f dx + dp = 0 ∂x ∂p

¸ CU DERIVATE PARTIALE ¸ DE ORDINUL INTAI 144 CAPITOLUL 12. ECUATII adic˘ a f (x, p) = a este o integral˘ a prim˘ a. Din ecua¸tie rezult˘ a ¸si g(y, q) = a. Se ob¸tine p = ϕ(x, a), q = ψ(y, a) de unde integrala complet˘ a z=

Z

ϕ(x, a)dx +

Z

ψ(y, a)dy + b.

Fie acum V (x, y, u, a, b) = 0 integrala complet˘ a a ecua¸tiei F (x, y, u, p, q) = 0 ¸si trebuie rezolvat˘ a problema Cauchy x = x0 (s), y = y 0 (s), u = u0 (s) Scriem c˘ a curba ini¸tial˘ a se afl˘ a pe integrala general˘ a V (x, y, u, a, ω(a)) = 0, ∂V (x, y, u, a, ω(a)) ∂V (x, y, u, a, ω(a)) 0 + ω (a) = 0. ∂a ∂ω Prima condi¸tie V (x0 (s), y 0 (s), u0 (s), a, ω(a)) = 0 o putem scrie sub forma U (s, a, ω(a)) = 0. A doua condi¸tie ar fi atunci

∂U (s,a,ω(a)) ∂a

+

∂U(s,a,ω(a)) 0 ω (a) ∂ω

= 0. Dac˘ a func¸tia ω(a) ar fi

cunoscut˘ a atunci prima rela¸tie ar da pe a ca func¸tie de s : a = a(s). Inlocuind în prima ¸si derivând avem ∂U (s, a(s), ω(a(s))) ∂U(s, a(s), ω(a(s))) 0 ∂U(s, a(s), ω(a(s))) 0 + a (s) + ω (a(s))a0 (s) = 0 ∂s ∂a ∂ω ¸si ¸tinând cont de a doua rela¸tie rezult˘ a ∂U(s, a(s), ω(a(s))) = 0. ∂s Din aceast˘ a rela¸tie ¸si din rela¸tia U(s, a, ω(a)) = 0 putem scoate pe a ¸si pe ω ca func¸tii de s. Prin eliminarea acestuia ob¸tinem func¸tia ω(a). Exemplul 1. Ecua¸tia u = px + qy + pq

˘ COMPLETA ˘ 12.6. INTEGRALA

145

are integrala complet˘ a u = ax + by + ab. Pentru a rezolva problema Cauchy x = 0., y = s, u = s2 înlocuim în integrala complet˘ a s2 = a0 + ω(a)s + aω(a). Deriv˘ am aceast˘ a rela¸tie în raport cu s 2s = ω(a). Introducând în prima ob¸tinem s a=− . 2 Deci ω(a) = −4a. Familia de integrale este u = ax − 4ay − 4a2 . Deriv˘ am în raport cu a 0 = x − 4y − 8a. Eliminând pe a între ultimele rela¸tii g˘ asim ecua¸tia suprafe¸tei integrale care trece prin curba dat˘ a u=

(x − 4y)2 . 16

¸ CU DERIVATE PARTIALE ¸ DE ORDINUL INTAI 146 CAPITOLUL 12. ECUATII

CAPITOLUL 13 ECUA¸ TII CU DERIVATE PAR¸ TIALE DE ORDINUL 2 13.1

Defini¸tii generale

Prin ecua¸tie cu derivate par¸tiale de ordin 2 (pe scurt, ecdpo2) în n variabile independente se în¸telege o ecua¸tie care leag˘ a valorile celor n variabile independente de valorile func¸tiei necunoscute ¸si ale unor derivate par¸tiale ale acesteia pân˘ a la ordinul 2. Mai precis, pentru c˘ a avem o func¸tie u, n derivate par¸tiale de ordinul 1 par¸tiale de ordinul 2

∂2u ∂xi ∂xj

=

∂2u , ∂xj ∂xi

∂u n(n−1) , 2 ∂xi

derivate

avem urm˘ atoarea defini¸tie

Defini¸tia 1. Fie F : U × V ⊂ Rn × RN → R o func¸tie de n + N variabile, unde N = 1+n+

n(n−1) . 2

Func¸tia F define¸ste ecua¸tia cu derivate par¸tiale de ordinul 2 în

variabilele independente x1 , x2 , ..., xn cu func¸tia necunoscut˘ a u(x1 , x2 , ..., xn ) F (x1 , x2 , ..., xn , u,

∂u ∂u ∂ 2 u ∂ 2u , ..., , 2 , ..., 2 ) = 0, ∂x1 ∂xn ∂x1 ∂xn

unde presupunem c˘ a apare cel pu¸tin una din derivatele de ordin 2. a) Defini¸tia 2. O func¸tie u = u(x) = u(x1 , x2 , ..., xn ) : D ⊂ U → R ( D deschis˘ se nume¸ste solu¸tie clasic˘a a ecdpo2 definite de func¸tia F dac˘ a u este continu˘ a ¸si toate 2

2

∂u ∂u ∂ u ∂ u , ..., ∂x , 2 , ..., ∂x derivatele care apar în F exist˘ a ¸si sunt continue pe D, (u, ∂x 2 ) ∈ V n ∂x 1 1

pentru orice x ∈ D ¸si ecua¸tia este verificat˘ a în orice punct al lui D, adic˘ a F (x1 , x2 , ..., xn , u,

∂u ∂u ∂ 2 u ∂ 2u , ..., , 2 , ..., 2 ) = 0, ∂x1 ∂xn ∂x1 ∂xn

∀(x1 , ..., xn ) ∈ D.

n

148

CAPITOLUL 13. ECUATII ¸ CU DERIVATE PARTIALE ¸ DE ORDINUL 2

Dac˘ a u = u(x1 , x2 ), x = (x1 , x2 ) ∈ D este o solu¸tie a unei ecua¸tii cu derivate par¸tiale în dou˘ a variabile independente, graficul func¸tiei u, adic˘ a mul¸timea punctelor {(x1 , x2 , u (x1 , x2 ))|(x1 , x2 ) ∈ D} este o suprafa¸ta˘ bidimensional˘ a în R3 numit˘ a suprafa¸t˘a integral˘a a ecua¸tiei. La fel în cazul general, putem spune c˘ a graficul solu¸tiei u = u(x) = u(x1 , x2 , ..., xn ) : D ⊂ U → R , adic˘ a mul¸timea punctelor {(x1 , x2 , ..., xn , u(x1 , x2 , ..., xn ))|(x1 , x2 , ..., xn ) ∈ D} reprezint˘ a o hipersuprafa¸t˘a în Rn+1 , numit˘ a hipersuprafa¸t˘a integral˘a a ecua¸tiei. (Subliniem c˘ a folosim termenul de hipersuprafa¸ta˘ pentru a marca dimensiunea ei (num˘ arul n de parametri, de grade de libertate în raport cu dimensiunea n + 1 a lui Rn+1 ). a dac˘ Defini¸tia 3. Ecua¸tia cu derivate par¸tiale de ordinul 2 se nume¸ste linear˘ a func¸tia 2

2

∂u ∂u ∂ u ∂ u , ..., ∂x , 2 , ..., ∂x F care o define¸ste este o func¸tie linear-afin˘ a în variabilele u, ∂x 2 cu n ∂x 1 1

n

coeficien¸ti func¸tii numai de variabilele independente, adic˘ a ecua¸tia se poate scrie sub forma

n X

X ∂2u ∂u Ai,j (x) + Bi (x) + C(x)u = f (x). ∂xi ∂xj ∂xi i,j=1 i=1 n

Defini¸tia 4. Ecua¸tia cu derivate par¸tiale de ordinul 2 se nume¸ste cvasilinear˘a dac˘ a func¸tia F care o define¸ste este o func¸tie linear-afin˘ a în derivatele par¸tiale de ordinul 2 cu coeficien¸ti func¸tii numai de variabilele independente, adic˘ a ecua¸tia se poate scrie sub forma

n X

Ai,j (x)

i,j=1

∂ 2u ∂u ∂u + f (x1 , x2 , ..., xn , u, , ..., )=0 ∂xi ∂xj ∂x1 ∂xn

Defini¸tia 5. Ecua¸tia cu derivate par¸tiale de ordinul 2 se nume¸ste aproape linear˘a dac˘ a func¸tia F care o define¸ste este o func¸tie linear-afin˘ a în derivatele par¸tiale de ordinul 2 cu coeficien¸ti func¸tii numai de variabilele independente ¸si de derivatele par¸tiale de ordin cel mult 1, adic˘ a ecua¸tia se poate scrie sub forma .

n X

i,j=1

Ai,j (x1 , x2 , ..., xn , u,

∂u ∂u ∂ 2 u ∂u ∂u , ..., ) + f (x1 , x2 , ..., xn , u, , ..., )=0 ∂x1 ∂xn ∂xi ∂xj ∂x1 ∂xn

Uneori pentru o ecua¸tie cu derivate par¸tiale dat˘ a se poate stabili o expresie din care s˘ a rezulte toate sau “aproape” toate solu¸tiile acelei ecua¸tii. O asemenea expresie se nume¸ste solu¸tie general˘a a ecua¸tiei cu derivate par¸tiale. Mult˘ a vreme eforturile matematicienilor au fost îndreptate spre g˘ asirea unor asemenea solu¸tii generale. Cu timpul s-a dovedit

˘ ˘ 13.2. ECUATIA ¸ TRANSFERULUI DE CALDUR A

149

c˘ a o asemenea problem˘ a nu este bine pus˘ a, în sensul c˘ a ea nu are totdeauna solu¸tie. De altfel, a¸sa cum vom vedea, problemele practice cer g˘ asirea unei solu¸tii care s˘ a satisfac˘ a anumite condi¸tii. Exemplul 1. Ecua¸tia cu derivate par¸tiale de ordinul întâi ∂u =0 ∂x1 a arbitrar˘ a. a u(x1 , x2 ) = f (x2 ) unde f este o func¸tie continu˘ în R2 are solu¸tia general˘ Exempul 2. Ecua¸tia cu derivate par¸tiale de ordinul doi ∂ 2u ∂x1 ∂x2 a func¸tii în R2 are solu¸tia general˘ a u(x1 , x2 ) = f (x1 ) + g(x2 ), unde f ¸si g sunt dou˘ arbitrare cu derivate continue. Cele dou˘ a exemple ilustreaz˘ a faptul c˘ a a¸sa cum solu¸tia general˘ a a unei ecua¸tii diferen¸tiale de ordinul k depinde în general de k constante arbitrare, solu¸tia general˘ a a unei ecua¸tii cu derivate par¸tiale de ordinul 2, dac˘ a exist˘ a, depinde de 2 func¸tii arbitrare. Acest fapt este justificat a¸sa cum vom vedea de solu¸tia problemei Cauchy cum se justifica ¸si în cazul ecua¸tiilor diferen¸tiale. In paragrafele urm˘ atoare vom ar˘ ata c˘ a o mul¸time de fenomene fizice conduc la rezolvarea unor ecua¸tii cu derivate par¸tiale de ordinul 2.

13.2

Ecua¸tia transferului de c˘ aldur˘ a

Din punct de vedere microscopic, c˘ aldura este rezultatul mi¸sc˘ arii termice dezordonate a particulelor materiale. La nivel macroscopic, gradul de înc˘ alzire al unui corp este determinat de temperatura punctelor sale. Intre energia mi¸sc˘ arii termice a unui corp care ocup˘ a domeniul D din spa¸tiu raportat la un sistem de coordonate rectangular Oxyz, sau, cum se mai spune, cantitatea de c˘ aldur˘ a Q(D) acumulat˘ a de acel corp ¸si temperatura punctelor sale T (x, y, z, t) este o leg˘ atur˘ a simpl˘ a dat˘ a de rela¸tia ZZZ Q(D) = c(x, y, z, t)ρ(x, y, z, t)T (x, y, z, t)dv, D

unde ρ(x, y, z, t) este densitatea corpului ¸si c(x, y, z, t) este capacitatea caloric˘ a a corpului în punctul (x, y, z) la momentul t.

CAPITOLUL 13. ECUATII ¸ CU DERIVATE PARTIALE ¸ DE ORDINUL 2

150

Vom considera c˘ a transferul de c˘ aldur˘ a de la o por¸tiune la alt˘ a por¸tiune a corpului se realizeaz˘ a numai prin transferul de energie de la o particul˘ a la alt˘ a particul˘ a, neglijând transferul prin radia¸tie, prin procese chimice, etc. Dac˘ a consider˘ am o suprafa¸ta˘ S în interiorul corpului, energia termic˘ a a particulelor situate de o parte ¸si de alta a suprafe¸tei S se modific˘ a în timp fie datorit˘ a ciocnirilor particulelor între ele, fie datorit˘ a trecerii unor particule dintr-o parte în alta. Evident, este de presupus c˘ a prin elementul de arie dσ de normal˘ a ~n se transfer˘ a în timpul dt în sensul lui ~n o cantitate de c˘ aldur˘ a propor¸tional˘ a cu aria dσ ¸si cu timpul dt, factorul de propor¸tionalitate depinzând numai de centrul (x, y, z) al elementului de arie, de normala la elementul de arie ~n ¸si de momentul t : f (x, y, z, t, ~n) . Atunci întreaga cantitate de c˘ aldur˘ a care se transfer˘ a prin S RR în timpul dt în sensul lui ~n este dt f (x, y, z, t, ~n)dσ . S

S˘ a presupunem c˘ a în interiorul corpului sunt distribuite continuu surse de c˘ aldur˘ a RRR idv. cu intensitatea i(x, y, x, t), care în intervalul de timp (t, t + dt) dau c˘ aldura dt D

Scriind conservarea c˘ aldurii, sau cum se mai spune, bilan¸tul c˘ aldurii pentru domeniul D, avem dQ(D) d = dt dt

ZZZ D

cρT dv =

ZZZ

∂(cρT ) dv = − ∂t

D

ZZ

f (x, y, z, t, ~n)dσ +

ZZZ

idv,

D

∂D

unde ~n este normala exterioar˘ a. Evident, domeniul D poate fi orice parte a corpului. Dac˘ a consider˘ am un domeniu cilindric circular cu o baz˘ a centrat˘ a în punctul oarecare (x0 , y0 , z0 ) de raz˘ a suficient de mic˘ a r cu generatoarele paralele cu versorul ~n ¸si cu în˘ al¸timea h ¸si aplic˘ am rela¸tia de mai sus, cu teorema de medie în integrale avem cu nota¸tii evidente

∂(cρT ) ¯¯ 2 n)πr2 − f (x000, y000, z000, t, ~n)πr2 − M0 πr h = −f (x00, y00, z00, t, −~ ∂t −f (x∗ , y ∗ , z ∗ , t, ~n∗ )2πrh + i(x∗∗ , y ∗∗ , z ∗∗ , t)πr2 h acând r → 0, h → 0 astfel încât Imp˘ ar¸tind cu r2 ¸si f˘

h r

→ 0 ob¸tinem rela¸tia care era

de a¸steptat f (x, y, z, t, −~n) = −f (x, y, z, t, ~n). Dac˘ a consider˘ am acum un tetraedru cu vârful în punctul oarecare (x0 , y0 , z0 ) , cu muchiile plecând din acest punct paralele cu axele de coordonate ¸si cu a patra fa¸ta˘ cu aria a ¸si cu normala exterioar˘ a ~n = nx~j + ny~j + nz~k ¸si consider˘ am în˘ al¸timea tetraedrului

˘ ˘ 13.2. ECUATIA ¸ TRANSFERULUI DE CALDUR A

151

care pleac˘ a din vârf h suficient de mic˘ a ¸si aplic˘ am rela¸tia de bilan¸t avem, dup˘ a aplicarea teoremei de medie, ca mai sus ¸si cu h → 0 , −f (x0 , y0 , z0 , t, −~n) − f (x0 , y0 , z0 , t,~i)nx − f (, , , , ~j)ny − f (, , , , ~k)nz = 0 sau ¸tinând cont de proprietatea de mai înainte f (x0 , y0 , z0 , t, ~n) = f (x0 , y0 , z0 , t,~i)nx + f (, , , , ~j)ny + f (, , , , ~k)nz . Suntem astfel condu¸si s˘ a introducem un vector ~q(x, y, z, t) = qx (x, y, z, t)~i + qy (x, y, z, t)~j + qz (x, y, z, t)~k astfel încât f (x, y, z, t, ~n) = ~q(x, y, z, t)~n. Cantitatea de c˘ aldur˘ a care se transfer˘ a prin suprafa¸ta S în unitatea de timp în RR ~q(x, y, z, t)~ndσ. Din acest motiv, direc¸tia normalei ~n este egal˘ a cu fluxul câmpului S

câmpul ~q se nume¸ste câmpul vectorial al fluxului de c˘aldur˘a.

Câmpul vectorial al fluxului de c˘ aldur˘ a într-un corp este evident legat de temperatura punctelor sale. C˘ aldura, arat˘ a experien¸ta, se transfer˘ a de la p˘ ar¸tile cu temperatur˘ a mai ridicat˘ a spre cele cu temperatur˘ a mai joas˘ a. O m˘ asur˘ a a varia¸tiei temperaturii într-un punct este gradientul temperaturii în acel punct. Intr-o prim˘ a aproxima¸tie suficient˘ a pentru cele mai multe aplica¸tii practice se poate presupune c˘ a câmpul fluxului de c˘ aldur˘ a depinde linear de gradientul temperaturii,    k qx  xx       qy  = −  kyx    qz kzx

adic˘ a are loc o rela¸tie de forma   ∂T kxy kxz   ∂x    . kyy kyz   ∂T   ∂y  ∂T kzy kzz ∂z

Considera¸tii de ordin termodinamic arat˘ a c˘ a matricea tensorului termoconductibi-

lit˘ a¸tii k este simetric˘ a. In cazul unui mediu izotrop, matricea acestui tensor se reduce la produsul dintre o func¸tie k, coeficientul de termoconductibilitate al mediului ¸si matricea unitate ¸si deci se poate scrie ~q = −k gradT.

152

CAPITOLUL 13. ECUATII ¸ CU DERIVATE PARTIALE ¸ DE ORDINUL 2

Aceasta este a¸sa numita lege a lui Fourier. In acest caz ecua¸tia de bilan¸t se scrie sub forma ZZZ

∂ (cρT ) dv = ∂t

D

ZZ

∂T dσ + k ∂n

∂D

ZZZ

idv,

D

sau aplicând teorema Gauss-Ostrogradski ZZZ ZZZ ZZZ ∂ (cρT ) div(k gradT )dv + idv. dv = ∂t D

D

D

Cum domeniul D este arbitrar, rezult˘ a c˘ a temperatura trebuie s˘ a verifice ecua¸tia ∂(cρT ) = div(k gradT ) + i. ∂t In cazul unui mediu omogen ¸si izotrop, c, ρ, k sunt constante ¸si ob¸tinem ecua¸tia 1 ∂T = a2 ∆T + i, ∂t ρc unde am notat a2 =

k ρc

1

. Constanta a are dimensiunea LT − 2 . Aceast˘ a ecua¸tie se nume¸ste

ecua¸tia transferului de c˘aldur˘a sau simplu ecua¸tia c˘aldurii. Cum în ecua¸tie apare derivata

∂T ∂t

este clar c˘ a pentru a putea determina temperatura

în orice punct ¸si orice moment este necesar s˘ a cunoa¸stem temperatura la momentul ini¸tial t = 0 : T (x, y, z, 0) = T0 (x, y, z). Pe de alt˘ a parte este necesar s˘ a ¸tinem cont de interac¸tiunea dintre corpul studiat ¸si mediul înconjur˘ ator. Conform unei legii a lui Newton, cantitatea de c˘ aldur˘ a care trece prin por¸tiunea dσ din suprafa¸ta ∂D a unui corp în unitatea de timp este propor¸tional˘ a cu diferen¸ta dintre temperatura corpului T (x, y, z) în centrul por¸tiunii dσ ¸si temperatura Te (x, y, z) a mediului exterior în acela¸si punct considerat ca apar¸tinând exteriorului, factorul de propor¸tionalitate depinzând de gradul de izolare al suprafe¸tei. Acesta poate fi func¸tie de punctul de pe suprafa¸ta˘ sau poate fi constant pe întreaga suprafa¸ta˘. Din bilan¸tul de c˘ aldur˘ a pe orice por¸tiune S a lui ∂D rezult˘ a ZZ ZZ ∂T − k dσ = α (T (x, y, z) − Te (x, y, z, t)) dσ. ∂n S

S

Cum S este arbitrar, rezult˘ a c˘ a pe suprafa¸ta ∂D trebuie s˘ a aib˘ a loc rela¸tia −k

∂T = α (T − Te ) . ∂n

13.3. ECUATIA ¸ UNDELOR SONORE

153

Dac˘ a α = 0 , adic˘ a prin suprafa¸ta ∂D nu se transfer˘ a c˘ aldur˘ a, pe suprafa¸ta ∂D vom avea condi¸tia

∂T ∂n

= 0 , se spune c˘ a avem o problem˘a de tipul lui Neuman. Dac˘ a α = ∞,

adic˘ a suprafa¸ta ∂D nu este deloc izolat˘ a, pe suprafa¸ta ∂D vom avea condi¸tia T = Te , se spune c˘ a avem o problem˘a a lui Dirichlet. Dac˘ a temperatura exterioar˘ a Te ¸si intensitatea i a surselor interioare nu depind de timp, este de a¸steptat c˘ a dup˘ a un anumit timp temperatura în punctele corpului nu se mai modific˘ a în timp, adic˘ a devine, cum se spune, sta¸tionar˘a. In acest caz problema transferului sta¸tionar de c˘ aldur˘ a revine la rezolvarea ecua¸tiei lui Poisson ∆T (x, y, z) = −

1 a2 ρc

i(x, y, z)

cu una din condi¸tiile la frontier˘ a amintite. Se subîn¸telege c˘ a valoarea ini¸tial˘ a a temperaturii nu mai conteaz˘ a. Dac˘ a corpul care ocup˘ a domeniul D este o bar˘ a cilindric˘ a cu generatoarele paralele cu axa Ox, dimensiunile unei sec¸tiuni transversale fiind mici în compara¸tie cu lungimea barei, dac˘ a presupunem c˘ a prin suprafa¸ta˘ lateral˘ a nu are loc transfer de c˘ aldur˘ a, c˘ a intensitatea surselor depinde numai de abscisa x a sec¸tiunii transversale i(x, t), c˘ a temperatura ini¸tial˘ a depinde numai de abscisa sec¸tiunii T0 (x) se poate presupune ¸si c˘ a în toate punctele unei sec¸tiuni transversale temperatura este aceea¸si T (x, t) . In acest caz se ob¸tine ecua¸tia unidimensional˘ a a transferului de c˘ aldur˘ a ∂T ∂ 2T 1 = a2 2 + i. ∂t ∂x ρc Aceasta trebuie rezolvat˘ a ¸tinând cont de condi¸tia ini¸tial˘ a T (x, 0) = T0 (x) ¸si de condi¸tiile la capete în cazul când bara este finit˘ a 0 ≤ x ≤ l. Aceste condi¸tii la capete se deduc u¸sor din condi¸tiile cazului general. Cazul sta¸tionar revine la rezolvarea ecua¸tiei T 00 (x) = −

1 a2 ρc

i(x)

cu condi¸tii la capetele barei.

13.3

Ecua¸tia undelor sonore

O perturba¸tie oarecare, cum ar fi sunetul produs de o persoan˘ a, se propag˘ a în aer sub forma undelor sonore. Dac˘ a într-un cap˘ at al unui tub cu gaz se mi¸sc˘ a un piston,

154

CAPITOLUL 13. ECUATII ¸ CU DERIVATE PARTIALE ¸ DE ORDINUL 2

perturba¸tia produs˘ a de acesta se propag˘ a de-a lungul tubului. Ne propunem s˘ a stabilim ecua¸tiile care guverneaz˘ a un asemenea fenomen. Presupunem c˘ a în starea de echilibru la momentul 0, aerul (gazul) are o densitate ρ0 constant˘ a în întreaga mas˘ a. Dac˘ a consider˘ am în gaz o suprafa¸ta˘ mic˘ a dσ de normal˘ a ~n particulele din partea unde este dirijat˘ a normala ac¸tioneaz˘ a asupra particulelor din partea cealalt˘ a cu o for¸ta˘ −p~ndσ , m˘ arimea p > 0 numindu-se presiune. Ea este nenul˘ a chiar în pozi¸tia de echilibru. Vom presupune c˘ a valoarea acesteia la echilibru p0 este constant˘ a în întreaga mas˘ a. Vom raporta mi¸scarea la un sistem de coordonate rectangular Oxyz cu versorii axelor ~ = X~i + Y ~j + ~i, ~j, ~k. O particul˘ a oarecare are la momentul 0 vectorul de pozi¸tie R Z~k. La momentul t aceea¸si particul˘ a are vectorul de pozi¸tie ~r = x~i + y~j + z~k, unde coordonatele x, y, z sunt evident func¸tii de coordonatele ini¸tiale X, Y, Z ¸si timpul t. ~ = u~i + v~j + w~k este vectorul deplasare al particulei. Viteza ~ = ~r − R Vectorul U particulei este ~v =

∂~ r ∂t

=

~ ∂U . ∂t

Având în vedere c˘ a dou˘ a particule oarecare distincte

trebuie considerate distincte tot timpul mi¸sc˘ arii, func¸tiile amintite mai sus sunt bijec¸tii, adic˘ a se pot explicita ¸si coordonatele ini¸tiale X, Y, Z ca func¸tii de coordonatele x, y, z ¸si timpul t. In acest fel orice m˘ arime caracteristic˘ a a mi¸sc˘ arii poate fi exprimat˘ a fie ca func¸tie de coordonatele ini¸tiale X, Y, Z ¸si timpul t, fie ca func¸tie de coordonatele x, y, z ¸si timpul t . Coordonatele X, Y, Z ¸si timpul t se numesc coordonate materiale sau coordonate lagrangiene; coordonatele x, y, z ¸si timpul t se numesc coordonate spa¸tiale ~ = ~r − R ~ ale particulelor sunt sau coordonate euleriene. In cazul nostru deplas˘ arile U mici de un ordin de m˘ arime ε astfel încât m˘ arimile de ordinul lui ε2 vor fi neglijabile.

Din acest motiv este de preferat s˘ a folosim coordonatele materiale. Datorit˘ a mi¸sc˘ arii, în punctul x, y, z corespunz˘ ator pozi¸tiei la momentul t a particulei care avea pozi¸tia ini¸tial˘ a X, Y, Z, densitatea va avea valoarea ρ(x, y, z, t) = ρ(X, Y, Z, t), în general diferit˘ a de valoarea ρ0 . Deasemenea presiunea va avea o valoare p(x, y, z, t) = p(X, Y, Z, t), în general diferit˘ a de p0 . (Am notat func¸tiile depinzând de x, y, z, t sau X, Y, Z, t cu aceea¸si liter˘ a pentru a nu complica nota¸tia.) Abaterile densit˘ a¸tii ¸si presiunii de la valorile de echilibru ρ˜ = ρ − ρ0 , p˜ = p − p0 vor fi tot mici de ordinul de m˘ arime ε. Intre presiune ¸si densitate exist˘ a o rela¸tie de forma p = p(ρ). Dac˘ a am considera c˘ a

13.3. ECUATIA ¸ UNDELOR SONORE

155

mi¸scarea este izoterm˘ a, cum a considerat Newton, am avea o rela¸tie de forma p=

p0 ρ. ρ0

Experien¸ta arat˘ a c˘ a mi¸scarea nu este izoterm˘ a, ci adiabatic˘ a: deplas˘ arile sunt mici, dar mult mai mari decât drumul liber mijlociu parcurs de moleculele de gaz în mi¸scarea termic˘ a, a¸sa c˘ a în timpul mi¸sc˘ arii nu are loc un schimb de c˘ aldur˘ a. Vom presupune valabil˘ a rela¸tia p=

p0 ργ, ρ0 γ

γ fiind o constant˘ a care pentru aer are valoarea γ = 1.4. Rezult˘ a c˘ a între abaterile presiunii ¸si densit˘ a¸tii de la valorile de echilibru vom avea rela¸tia p˜ = γ

p0 ρ˜. ρ0

(Am ¸tinut cont c˘ a pentru u mic avem (1 + u)γ ∼ = 1 + γu. ) Particulele care la momentul ini¸tial 0 ocup˘ a un domeniu D(0) vor avea masa m(D(0)) = R

ρ0 dV . La momentul t aceste particule vor ocupa un domeniu D(t) ¸si vor avea masa R m(D(t)) = ρ(x, y, z, t)dv. Cum iacobianul

D(0)

D(t)

¯ ¯ ¯ ¯ D(x, y, z) ¯ =¯ D(X, Y, Z) ¯ ¯ ¯

∂x ∂X

∂x ∂Y

∂x ∂Z

∂y ∂X

∂y ∂Y

∂y ∂Z

∂z ∂X

∂z ∂Y

∂z ∂Z

¯ ¯ ¯ ¯ ∂u ∂u ¯ ¯ 1 + ∂X ∂Y ¯ ¯ ¯ ¯ ∂v ∂v ¯ = ¯ ∂X 1 + ∂Y ¯ ¯ ¯ ¯ ∂w ∂w ¯ ¯ ∂X ∂Y

∂u ∂Z ∂v ∂Z

1+

se poate scrie, abstrac¸tie f˘ acând de termenii de ordinul lui ε2

∂w ∂Z

¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯

D(x, y, z) ∂u ∂v ∂w ~ =1+ + + = 1 + DIV U D(X, Y, Z) ∂X ∂Y ∂Z vom avea m(D(t)) =

Z

ρ(x, y, z, t)dv =

D(t)

Z

~ ρ(X, Y, Z, t)(1 + DIV U)dV.

D(0)

Not˘ am cu ini¸tiale mari operatorii diferen¸tiali în raport cu variabilele X, Y, Z. Masa se conserv˘ a în timpul mi¸sc˘ arii ¸si deci vom avea pentru orice domeniu D(0) Z

D(0)

ρ0 dV =

Z

D(0)

~ )dV. ρ(X, Y, Z, t)(1 + DIV U

CAPITOLUL 13. ECUATII ¸ CU DERIVATE PARTIALE ¸ DE ORDINUL 2

156

Rezult˘ a a¸sa numita ecua¸tie de continuitate în coordonate materiale pe care trebuie s˘ ao verifice densitatea ¸si deplasarea: ~ ), ρ0 = ρ(X, Y, Z, t)(1 + DIV U sau în abaterea densit˘ a¸tii ~ = 0. ρ˜ + ρ0 DIV U Particulele care la momentul 0 ocup˘ a domeniul D(0) au la momentul t cantitatea de mi¸scare ~ H(D(0)) =

Z

~ ∂U dv = ρ(x, y, z, t) ∂t

D(t)

Z

ρ(X, Y, Z, t)

Z

ρ0

~ ∂U ~ )dV, (1 + DIV U ∂t

D(0)

sau ¸tinând cont de ecua¸tia de continuitate ~ H(D(0)) =

~ ∂U dV. ∂t

D(0)

For¸tele care ac¸tioneaz˘ a asupra particulelor din domeniul D(0) la momentul t sunt datorate presiunii din partea particulelor exterioare (neglij˘ am for¸tele exterioare cum ar fi de exemplu greutatea gazului) F~ (D(0)) = −

Z

p(x, y, z, t)~ndσ = −

D(t)

Z

grad pdv = −

D(t)

Z

grad p˜dv.

D(t)

Cum avem ∂ p˜ ∂u ∂ p˜ ∂v ∂ p˜ ∂w ∼ ∂ p˜ ∂ p˜ = (1 + )+ + = ∂X ∂x ∂X ∂y ∂X ∂z ∂X ∂x ¸si rela¸tiile analoage, adic˘ a GRAD p˜(X, Y, Z, t) ∼ = grad p˜(x, y, z, t), expresia for¸telor este F~ (D(0)) = −

Z

~ )dV. GRAD p˜(X, Y, Z, t)(1 + DIV U

D(0)

Dac˘ a nu am neglija for¸tele exterioare, ar mai trebui ad˘ augat un termen de forma R

f~(X, Y, Z, t)ρ0 dV , f~ fiind densitatea for¸telor exterioare.

D(0)

Conform teoremei varia¸tiei cantit˘ a¸tii de mi¸scare avem

13.3. ECUATIA ¸ UNDELOR SONORE

157

d ~ H(D(0)) = F~ (D(0)), dt sau Z

Z

~ ∂ 2U ρ0 2 dV = − ∂t

D(0)

~ GRAD p˜(X, Y, Z, t)(1 + DIV U)dV.

D(0)

Domeniul D(0) fiind oarecare, ob¸tinem ecua¸tia de mi¸scare ρ0

~ ∂ 2U ~) ∼ = − GRAD p˜(X, Y, Z, t)(1 + DIV U = − GRAD p˜(X, Y, Z, t), ∂t2

sau ρ0

~ p0 ∂ 2U = −γ GRAD ρ˜. ∂t2 ρ0

Dac˘ a în ultima rela¸tie aplic˘ am operatorul DIV ¸si ¸tinem cont de ecua¸tia de continuitate, ob¸tinem ecua¸tia verificat˘ a de abaterea densit˘ a¸tii ∂ 2 ρ˜ p0 ∆˜ρ − γ ∂t2 ρ0 ¸si ecua¸tia verificat˘ a de abaterea presiunii ∂ 2 p˜ p0 p, − γ ∆˜ 2 ∂t ρ0 unde am notat prin ∆ operatorul DIV GRAD. In cazul unui tub dispus dup˘ a axa Ox = OX acesta devine

∂2 ∂X 2

.

Dac˘ a aplic˘ am ecua¸tiei de mi¸scare ρ0

~ ∂2U p0 = −γ GRAD ρ˜ 2 ∂t ρ0

operatorul ROT ¸si ¸tinem cont c˘ a ROT GRAD ρ˜ = 0 rezult˘ a c˘ a

∂ ∂t

ROT ~v = 0 , adic˘ a

ROT ~v = const. Presupunând c˘ a la momemtul ini¸tial ROT ~v = 0 rezult˘ a c˘ a aceast˘ a rela¸tie va avea loc la orice moment ¸si deci exist˘ a o func¸tie ϕ(X, Y, Z, t) astfel încât ~v = ~ ∂U ∂t

= GRAD ϕ. Func¸tia ϕ(X, Y, Z, t) determinat˘ a abstrac¸tie f˘ acând de o func¸tie de timp

+γ pρ00 ρ˜) = 0, se nume¸ste poten¸tialul mi¸sc˘arii. Din ecua¸tia de mi¸scare rezult˘ a GRAD(ρ0 ∂ϕ ∂t + γ pρ00 ρ˜ = 0. Dac˘ ¸si deci putem scrie ρ0 ∂ϕ a ecua¸tiei de continuitate aplic˘ am ∂t ecua¸tia verificat˘ a de poten¸tialul mi¸sc˘ arii

∂ ∂t

ob¸tinem

158

CAPITOLUL 13. ECUATII ¸ CU DERIVATE PARTIALE ¸ DE ORDINUL 2

∂ 2ϕ p0 ∆ϕ = 0. − γ ∂t2 ρ0 2~

a¸tii prin Dac˘ a în ecua¸tia de mi¸scare ρ0 ∂∂tU2 = −γ ρp00 GRAD ρ˜ înlocuim abaterea densit˘ valoarea dat˘ a de ecua¸tia de continuitate, ob¸tinem ρ0

³ ´ ~ ∂ 2U ~ + ROT ROT U ~ . ~ = γp0 ∆U = γp GRAD DIV U 0 ∂t2

Din rela¸tia ROT ~v =

∂ ∂t

~ = 0 rezult˘ ROT U a c˘ a dac˘ a la momentul ini¸tial avem

~ = 0 vom avea aceea¸si rela¸tie la orice moment ¸si vectorul deplasare verific˘ ROT U a ecua¸tia ~ ∂2U p0 ~ = 0. − γ ∆U 2 ∂t ρ0 Am ob¸tinut faptul c˘ a în fenomenul studiat, abaterile densit˘ a¸tii ¸si presiunii, poten¸tialul mi¸sc˘ arii ¸si componentele vectorului deplasare sau vitez˘ a satisfac o aceea¸si ecua¸tie de forma ∂ 2u − a2 ∆u = 0, ∂t2

unde constanta a =

q γ pρ00 are evident dimensiunea LT −1 a unei viteze. Ea se nume¸ste

viteza sunetului. Ecua¸tia de mai sus se nume¸ste ecua¸tia undelor sonore. Dac˘ a nu am fi neglijat for¸tele exterioare, în dreapta ecua¸tiei ar fi ap˘ arut un termen legat de densitatea − → f . O ecua¸tie asem˘ an˘ atoare se ob¸tine ¸si în cazul undelor electromagnetice, din acest motiv ecua¸tia este numit˘ a pur ¸si simplu ecua¸tia undelor. Pentru aer, unde γ = 1.4, p0 = 1 atm = 1.01 × 105 N/m2 , ρ0 = 1.29kg/m3 g˘ asim

pentru viteza sunetului valoarea a ∼ a = 332 m/s . Newton, presupunând mi¸scarea izoterm˘ ob¸tinuse valoarea a ∼ = 280 m/s. Dac˘ a lu˘ am ca necunoscute abaterea presiunii p˜ ¸si vectorul vitez˘ a ~v vom avea sistemul de ecua¸tii cu derivate par¸tiale de ordinul întâi   ∂ p˜ + ρ a2 DIV ~v = 0 0 ∂t  ∂~v + 1 GRAD p˜ = 0 ∂t

ρ0

Vom semnala acum o important˘ a consecin¸ta˘ a ecua¸tiilor de mi¸scare stabilite. Dac˘ a

înmul¸tim scalar cu ~v =

~ ∂U ∂t

v + GRAD p˜ = 0 , ¸tinem cont de formula ecua¸tia ρ0 ∂~ ∂t

~ = − 1 p˜ ob¸tinem DIV(˜ p~v) = p˜ DIV ~v + ~v · GRAD p˜ ¸si de ecua¸tia de continuitate DIV U γp0

13.3. ECUATIA ¸ UNDELOR SONORE

∂ ∂t

µ

159

¶ 1 2 1 1 2 p~v) = 0, p˜ + DIV (˜ ρ0~v + 2 2 γp0

sau ∂E + DIV(˜ p~v) = 0, ∂t unde 1 1 2 1 p˜ E = ρ0~v 2 + 2 2 γp0 este evident densitatea energiei. Ecua¸tia stabilit˘ a este forma local˘ a a conserv˘ arii energiei. De aici ob¸tinem forma integral˘ a ∂ − ∂t

Z

D

EdV =

Z

p˜~v · ~ndΣ,

∂D

adic˘ a viteza de varia¸tie a energiei oric˘ arui domeniu este egal˘ a cu minus fluxul prin frontiera domeniului al vectorului p˜~v , vector numit vectorul lui Umov. Cum mi¸scarea unui punct material este determinat˘ a de cunoa¸sterea pozi¸tiei ¸si a vitezei sale ini¸tiale, este de a¸steptat ca ¸si aici din ecua¸tia

~ ∂2U ∂t2

~ = 0 ¸si din − γ ρp00 ∆U

~ ~ Y, Z, 0), ∂∂tU (X, Y, Z, 0) s˘ cunoa¸sterea valorilor ini¸tiale U(X, a putem determina valorile

~ Y, Z, t) la orice moment. De aici rezult˘ lui U(X, a c˘ a la fel din ecua¸tia

˜ ∂2ρ ∂t2

− γ ρp00 ∆˜ρ ¸si din

ρ (X, Y, Z, 0) este de a¸steptat ca s˘ cunoa¸sterea valorilor ini¸tiale ρ˜(X, Y, Z, 0), ∂˜ a putem ∂t

determina valorile ρ˜(X, Y, Z, t) la orice moment. La fel în ce prive¸ste abaterea presiunii sau poten¸tialul. Am considerat c˘ a mi¸scarea are loc în întreg spa¸tiul. In cazul unui tub de sec¸tiune S dispus dup˘ a axa OX = Ox toate m˘ arimile considerate mai sus vor fi func¸tii numai de abscisa x a unei sec¸tiuni ¸si de timp ¸si vor verifica ecua¸tii de ordinul doi lineare de forma 2 ∂ 2u 2∂ u = 0. −a ∂t2 ∂x2

La aceast˘ a ecua¸tie trebuie ata¸sate condi¸tii ini¸tiale u(x, 0) = u0 (x),

∂u(x,0) ∂t

= v0 (x).

In cazul unui tub de sec¸tiune S dispus dup˘ a axa OX = Ox între x = 0 ¸si x = l la condi¸tiile ini¸tiale de mai sus trebuie ad˘ augate condi¸tii care s˘ a precizeze comportarea la capete. Aceste condi¸tii se numesc condi¸tii la limit˘a. Dac˘ a de exemplu, capetele tubului sunt închise atunci trebuie verificate condi¸tii de forma

CAPITOLUL 13. ECUATII ¸ CU DERIVATE PARTIALE ¸ DE ORDINUL 2

160

u(0, t) = u(l, t) = 0, v(0, t) = v(l, t) = 0, ∂˜ ρ (0, t) ∂x

=

∂˜ ρ (l, t) ∂x

∂ p˜ = 0, ∂x (0, t) =

∂ϕ (0, t) ∂x

=

∂ϕ (l, t) ∂x

= 0.

∂ p˜ (l, t) ∂x

= 0,

Dac˘ a capetele tubului sunt deschise, atunci trebuie verificate condi¸tii de forma ∂u (0, t) ∂x

=

∂u (l, t) ∂x

∂v = 0, ∂x (0, t) =

∂v (l, t) ∂x

= 0,

ρ˜(0, t) = ρ˜(l, t) = 0, p˜(0, t) = p˜(l, t) = 0, ϕ(0, t) = ϕ(l, t) = 0. Dac˘ a la cap˘ atul x = 0 al tubului avem un piston de mas˘ a neglijabil˘ a sus¸tinut de un arc cu coeficientul de elasticitate χ atunci vom avea condi¸tii de forma ∂u (0, t) ∂x ∂ 2 p˜

−

χ u(0, t) Sγp0

∂v = 0, ∂x (0, t) − ∂2ϕ

χ v(0, t) Sγp0

2

= 0, ∂∂t2ρ˜ (0, t) −

χ ∂˜ ρ (0, t) Sρ0 ∂x

= 0,

∂ p˜ (0, t) − Sρχ0 ∂x (0, t) = 0, ∂t2 (0, t) − Sρχ0 ∂ϕ (0, t) = 0. ∂x La fel pentru cap˘ atul x = l cu deosebirea c˘ a semnul - se înlocuie¸ste cu +. In rela¸tiile ∂t2

scrise, v este componenta vitezei.

13.4

Ecua¸tia oscila¸tiilor transversale ale unei corzi

Prin coard˘a se în¸telege un mediu continuu unidimensional, omogen, elastic, perfect flexibil. Unidimensional înseamn˘ a faptul c˘ a lungimea corzii este mult mai mare în compara¸tie cu dimensiunile sec¸tiunii sale. Omogen înseamn˘ a faptul c˘ a vom presupune c˘ a peste tot sec¸tiunea corzii este aceea¸si σ ¸si c˘ a densitatea corzii-masa unit˘ a¸tii de volumeste o constant˘ a ρ. Perfect flexibil înseamn˘ a faptul c˘ a dac˘ a lu˘ am un punct M pe coard˘ a ac¸tiunea par¸tii din dreapta punctului M asupra p˘ ar¸tii din stânga punctului M poate fi reprezentat˘ a numai printr-o for¸ta˘ (vom ar˘ ata c˘ a aceasta trebuie s˘ a fiedirijat˘ a dup˘ a tangenta la coard˘ a în punctul M), deci coarda nu opune nici o rezisten¸ta˘ la încovoieri. Elastic înseamn˘ a c˘ a acea for¸ta˘ este dup˘ a legea lui Hooke propor¸tional˘ a cu alungirea relativ˘ a a corzii în punctul M. Vom presupune c˘ a în pozi¸tia de echilibru coarda este dispus˘ a dup˘ a axa Ox ¸si c˘ a ea este tensionat˘ a, adic˘ a por¸tiunea din dreapta punctului M − → − → de abscis˘ a x ac¸tioneaz˘ a asupra por¸tiunii din stânga punctului M cu o for¸ta˘ T0 σ i , i fiind versorul axei Ox, T0 o constant˘ a. Vom studia numai oscila¸tiile transversale ale corzii, adic˘ a vom presupune c˘ a punctul M care în pozi¸tia de echilibru avea vectorul de

13.4. ECUATIA ¸ OSCILATIILOR ¸ TRANSVERSALE ALE UNEI CORZI

161

− → − → −−−→ pozi¸tie x i , la momentul t în timpul oscila¸tiilor va avea vectorul de pozi¸tie x i + u(x, t) −−−→ a în punctul unde u(x, t) este un vector perpendicular pe Ox. Vectorul tangent la coard˘ −−→ − → ∂− M la momentul t este i + u(x,t) . Por¸tiunea echilibru ocupa segmentul (x, x+dx) ∂x q care−la −−→ )2 dx. Vom presupune c˘ va avea la momentul t lungimea ds = 1 + ( ∂ u(x,t) a oscila¸tiile ∂x −−−→

)2 este neglijabil˘ sunt în a¸sa fel încât m˘ arimea ( ∂ u(x,t) a. In acest caz ds ≈ dx, adic˘ a în ∂x timpul oscila¸tiilor alungirea relativ˘ a este nul˘ a ¸si deci m˘ arimea for¸tei cu care por¸tiunea din dreapta punctului M ac¸tioneaz˘ a asupra por¸tiunii din stânga nu depinde de timp, −−−−→ ci cel mult de abscis˘ a. S˘ a not˘ am cu F (x, t) for¸ta cu care por¸tiunea din dreapta abscisei x ac¸tioneaz˘ a asupra por¸tiunii din stânga abscisei x. Conform principiului ac¸tiunii ¸si reac¸tiunii, por¸tiunea din stânga abscisei x va ac¸tiona asupra por¸tiunii din dreapta cu −−−→ −−−−→ for¸ta −F (x, t). La momentul t în oscila¸tie punctul M va avea viteza ∂ u(x,t) ¸si acceler∂t a¸tia

−−−→ ∂ 2 u(x,t) . ∂t2

Pentru a g˘ asi ecua¸tiile de mi¸scare vom aplica teoremele fundamentale ale

mecanicii pentru o por¸tiune oarecare de coard˘ a cuprins˘ a între abscisele x1 < x2 . Conform teoremei varia¸tiei cantit˘ a¸tii de mi¸scare, derivata cantit˘ a¸tii de mi¸scare a unui sistem este egal˘ a cu suma for¸telor care ac¸tioneaz˘ a asupra sistemului. In cazul nostru vom avea d dt

Zx2

x1

−−−→ Zx2 −−−→ −−−−→ −−−−→ ∂ u(x, t) ρ σdx = F (x2 , t) − F (x1 , t) + ρf (x, t)σdx. ∂t x1

−−−→ Am notat prin ρf (x, t) densitatea for¸telor exterioare care ac¸tioneaz˘ a în punctul de abscis˘ a x la momentul t asupra corzii. Cum putem scrie Zx2

x1

−−−→ Zx2 −−−−→ Zx2 −−−−→ ∂ F (x, t) ∂ 2 u(x, t) dx + ρf (x, t)σdx ρ σdx = 2 ∂t ∂x x1

x1

a c˘ a trebuie s˘ a avem ¸si cum intervalul (x1 , x2 ) este arbitrar rezult˘ −−−→ −−−−→ −−−→ ∂ 2 u(x, t) ∂ F (x, t) ρσ + ρσ f (x, t). = ∂t2 ∂x Conform teoremei varia¸tiei momentului cinetic, derivata momentului cantit˘ a¸tii de mi¸scare a unui sistem este egal˘ a cu momentul rezultant al for¸telor care ac¸tioneaz˘ a asupra sistemului. In cazul nostru vom avea d dt

Zx2

x1

−−−→ −−−−→ ∂ u(x, t) − → −−−−→ − → −−−→ σdx = (x2 i + u(x2 , t)) × F (x2 , t)− ρ(x i + u(x, t)) × ∂t

CAPITOLUL 13. ECUATII ¸ CU DERIVATE PARTIALE ¸ DE ORDINUL 2

162

−−−−→ − → −−−−→ −(x1 i + u(x1 , t)) × F (x1 , t) +

Zx2

−−−→ − → −−−→ ρ(x i + u(x, t)) × f (x, t)σdx

x1

sau Zx2

x1

−−−→ Zx2 −−−−→´ ∂ 2 u(x, t) ∂ ³ − − → −−−→ → −−−→ ρ(x i + u(x, t)) × σdx = (x i + u(x, t)) × F (x, t) dx+ ∂t2 ∂x x1

+

Zx2

−−−→ − → −−−→ ρ(x i + u(x, t)) × f (x, t)σdx

x1

Cum intervalul (x1 , x2 ) este arbitrar, rezult˘ a −−−→ −−−→ −−−−→ ∂ 2 u(x, t) − → −−−→ − → ∂ u(x, t) ρσ(x i + u(x, t)) × =( i + ) × F (x, t)+ 2 ∂t ∂x −−−−→ −−−→ ∂ F (x, t) − → −−−→ − → −−−→ +(x i + u(x, t)) × + ρσ(x i + u(x, t)) × f (x, t) ∂x Tinând ¸ cont de prima rela¸tie ob¸tinut˘ a avem −−−→ −−−−→ − → ∂ u(x, t) (i + ) × F (x, t) = 0 ∂x −−−−→ a dup˘ a tangent˘ a ¸si dac˘ a not˘ am cu T (x)σ m˘ arimea sa adic˘ a for¸ta F (x, t) este dirijat˘ independent˘ a de timp avem −−−→ −−−−→ − → ∂ u(x, t) F (x, t) = T (x)σ( i + ). ∂x Introducând în prima rela¸tie avem −−−→ −−−→ −−−→ −−−→ ∂ 2 u(x, t) ∂ 2 u(x, t) − → ∂ u(x, t) 0 ) + T (x)σ = T (x)σ( i + + ρσ f (x, t) ρσ 2 2 ∂t ∂x ∂x Presupunând c˘ a for¸ta exterioar˘ a este ¸si ea transversal˘ a rezult˘ a c˘ a T (x) este o constant˘ a a ¸si ea nu poate fi decât tensiunea care era la echilibru T0 . Rezult˘

sau notând a2 =

T0 ρ

−−−→ −−−→ −−−→ ∂ 2 u(x, t) ∂ 2 u(x, t) = T + ρ f (x, t) ρ 0 ∂t2 ∂x2 −−−→ avem ecua¸tia verificat˘ a de u(x, t) −−−→ −−−→ 2 −−−→ ∂ 2 u(x, t) 2 ∂ u(x, t) =a + f (x, t) 2 2 ∂t ∂x

13.4. ECUATIA ¸ OSCILATIILOR ¸ TRANSVERSALE ALE UNEI CORZI

163

−−−→ −−−→ Notând cu u(x, t) ¸si f (x, t) componentele corespunz˘ atoare lui u(x, t) respectiv f (x, t) pe una din direc¸tiile transversale avem pentru fiecare din ele a¸sa numita ecua¸tie a oscila¸tiilor corzii 2 ∂ 2 u(x, t) 2 ∂ u(x, t) = a + f (x, t) ∂t2 ∂x2 q −2 L−2 = TL adic˘ a a unei viteze. M˘ arimea introdus˘ a a are dimensiunea MLT ML−3

Ca s˘ a putem cunoa¸ste oricare component˘ a u(x, t) trebuie s˘ a ¸stim valorile ini¸tiale u(x, 0) = u0 (x),

∂u(x, 0) = v0 (x) ∂t

ale pozi¸tiei ¸si vitezei ini¸tiale. Când coarda este fixat˘ a la capete avem condi¸tiile la capete u(0, t) = 0, u(l, t) = 0. Când capetele corzii se mi¸sc˘ a dup˘ a anumite legi avem condi¸tii la capete de forma u(0, t) = µ1 (t), u(l, t) = µ2 (t). −−−→

)2 , Elementul corzii cuprins în intervalul (x, x+dx) are energia cinetic˘ a dT = 12 ρσdx( ∂ u(x,t) ∂t Rl −−−→ 2 ) dx. Enerdeci întreaga coard˘ a cuprins˘ a în (0, l) are energia cinetic˘ a T = 12 ρσ ( ∂ u(x,t) ∂t 0

gia poten¸tial˘ a a corzii este egal˘ a cu opusul lucrului mecanic necesar aducerii corzii din pozi¸tia de echilibru în pozi¸tia dat˘ a. Asupra elementului (x, x + dx) ac¸tioneaz˘ a for¸ta ´ ´ ³− ³ − − − → − − − − − → − − → 2 → − → u(x,t) T0 σ i + ∂ u(x+dx) − T0 σ i + ∂ u(x) = T0 σ ∂ ∂x dx. In timpul (t, t + dt) elemen2 ∂x ∂x

tul se deplaseaz˘ a cu

−−−→ ∂ u(x,t) dt. ∂t

Deci lucrul mecanic efectuat de for¸tele interioare în acest

interval de timp este Zl 0

¯l −−−→ −−−→ −−−→ −−−→ Zl ∂ 2 u(x, t) ∂ u(x, t) ∂u ∂u ¯¯ ∂ 2 u(x, t) ∂ u(x, t) T0 σ dt − T0 σ dxdt = T0 σ dxdt = ∂x2 ∂t ∂x ∂t ¯0 ∂x∂t ∂x 0

à −−−→ !2 −−−→ −−−→ ¯l Zl 1∂ ∂ u(x, t) ∂ u(x, t) ¯¯ ∂ u(x, t) T0 σ dxdt. = T0 σ ¯ dt − ∂x ∂t ¯ 2 ∂t ∂x 0

0

In intervalul de timp (0, t) lucrul mecanic al for¸telor interioare va fi

¯ Z l à −−−→ !2 ¯t Z t −−−→ −−−→ ¯¯l ¯ ∂ u(x, t) ∂ u(x, t) ¯ 1 ∂ u(x, t) dx¯¯ + T0 σ − T0 σ ¯ dt = 2 ∂x ∂x ∂t ¯ ¯ 0

0

0

0

CAPITOLUL 13. ECUATII ¸ CU DERIVATE PARTIALE ¸ DE ORDINUL 2

164

1 = − T0 σ 2

Z l à −−−→ !2 Z t −−−→ −−−→ ¯¯l ∂ u(x, t) ∂ u(x, t) ¯ ∂ u(x, t) dx + T0 σ ¯ dt ∂x ∂x ∂t ¯ 0

0

0

Am ¸tinut cont c˘ a la echilibru u(x, t) = 0. Când coarda este fixat˘ a la capete −−−→ ∂ u(l,t) ∂t

−−−→ ∂ u(0,t) ∂t

= 0,

= 0 ¸si lucrul mecanic necesar for¸telor interioare s˘ a aduc˘ a coarda din pozi¸tia de

echilibru în pozi¸tia curent˘ a este 1 − T0 σ 2

Z l à −−−→ !2 ∂ u(x, t) dx ∂x 0

Deci enegia poten¸tial˘ a a for¸telor interioare este 1 U = T0 σ 2

Z l à −−−→ !2 ∂ u(x, t) dx ∂x 0

¸si deci energia total˘ a a coardei este 1 E = T + U = T0 σ 2

Z l à −−−→ !2 Z l à −−−→ !2 1 ∂ u(x, t) ∂ u(x, t) dx + ρσ dx. ∂x 2 ∂t 0

13.5

0

Ecua¸tia oscila¸tiilor transversale ale membranei

Prin membran˘a se în¸telege un mediu continuu bidimensional, omogen, elastic, perfect flexibil. Prin bidimensional se în¸telege faptul ca membrana are de fapt forma unei suprafe¸te cu grosimea foarte mic˘ a. Omogen înseamn˘ a faptul c˘ a vom presupune c˘ a peste tot grosimea membranei este aceea¸si ¸si c˘ a densitatea superficial˘ a a membranei-masa unit˘ a¸tii de arie-este o constant˘ a ρ. Perfect flexibil înseamn˘ a faptul c˘ a dac˘ a lu˘ am un punct M pe membran˘ a ¸si în acest punct consider˘ am o sec¸tiune curbilinie, ac¸tiunea par¸tii din dreapta punctului M asupra p˘ ar¸tii din stânga punctului M poate fi reprezentat˘ a numai printr-o for¸ta˘ dirijat˘ a dup˘ a normala la sec¸tiune în punctul M ¸si situat˘ a în planul tangent la membran˘ a în punctul M, deci membrana nu opune nici o rezisten¸ta˘ la încovoieri ¸si la compresiuni. Elastic înseamn˘ a c˘ a acea for¸ta˘ este dup˘ a legea lui Hooke propor¸tional˘ a cu alungirea relativ˘ a a sec¸tiunii în punctul M. Vom presupune c˘ a în pozi¸tia de echilibru membrana este dispus˘ a dup˘ a planul Oxy ¸si c˘ a ea este tensionat˘ a uniform, adic˘ a dac˘ a lu˘ am un punct M pe membran˘ a ¸si în acest punct consider˘ am o sec¸tiune curbilinie de lungime ds, por¸tiunea din dreapta punctului M ac¸tioneaz˘ a asupra por¸tiunii din stânga

13.5. ECUATIA ¸ OSCILATIILOR ¸ TRANSVERSALE ALE MEMBRANEI

165

punctului M cu o for¸ta˘ de m˘ arime T0 ds, T0 o constant˘ a, dirijat˘ a dup˘ a normala la sec¸tiune. Cu o precizie satisf˘ ac˘ atoare membranele de cauciuc reprezint˘ a modelul unor asemenea membrane. Vom presupune c˘ a asupra membranei ac¸tioneaz˘ a o for¸ta˘ normal˘ a la planul de echili− → bru p(x, y, t) k . Vom studia numai oscila¸tiile transversale ale membranei, adic˘ a vom − → − → presupune c˘ a punctul M care în pozi¸tia de echilibru avea vectorul de pozi¸tie x i + y j , − → − → − → la momentul t în timpul oscila¸tiilor va avea vectorul de pozi¸tie x i + y j + u(x, y, t) k − → unde u(x, y, t) k este un vector perpendicular pe Oxy. S˘ a consider˘ am o por¸tiune din membran˘ a care în pozi¸tia de echilibru ocup˘ a în planul Oxy domeniul D cu frontiera − → − → → r = x(s) i + y(s) j , s fiind abscisa curbilinie pe ∂D. La ∂D de ecua¸tie parametric˘ a− momentul t aceast˘ a por¸tiune de membran˘ a va ocupa suprafa¸ta D0 cu ecua¸tia paramet− → − → − → → r = x i + y j + u(x, y, t) k , (x, y) ∈ D. Frontiera acestei por¸tiuni este curba ric˘ a− − → − → − → → ∂D0 cu ecua¸tia parametric˘ r = x(s) i + y(s) j + u(x(s), y(s), t) k . Vom presupune a− c˘ a vibra¸tiile membranei sunt în a¸sa fel încât se pot neglija m˘ arimile de ordinul doi în raport cu

∂u ∂u , . ∂x ∂y

In acest caz elementul de arc pe curba ∂D0 coincide cu elementul de

arc de pe curba ∂D, deci m˘ arimea tensiunii nu va depinde de timp, ea fiind cel mult de forma T (x, y). Deasemenea elementul de arie de pe D0 coincide cu dxdy. Versorul tangentei la curba ∂D0 în punctul de abscis˘ a s este µ ¶ ∂u 0 ∂u 0 − → − → − → 0 0 − → x (s) + y (s) k . τ (s) = x (s) i + y (s) j + ∂x ∂y Versorul normalei la suprafa¸ta D0 în acela¸si punct este ∂u − → → ∂u − → − − → ν (s) = − i − j + k. ∂x ∂y Cei doi versori fiind perpendiculari, tensiunea care ac¸tioneaz˘ a asupra elementului de lungime ds din acest punct va fi · ¶ ¸ µ −−→ → ∂u ∂u − − → 0 0 − → + y (s) k ds = T (x(s), y(s)) τ (s) × ν (s)ds = T (x(s), y(s)) ne (s) + −x (s) ∂y ∂x h−−→ −−→− →i = T (x(s), y(s)) ne (s) + grad u.ne (s) k ds

−−→ ne (s) fiind versorul normalei exterioare la ∂D în punctul de abscis˘ a s. Scriind teorema varia¸tiei cantit˘ a¸tii de mi¸scare, vom avea ZZ 2 Z ZZ h−−→ −−→− − → →i − → ∂ u ρ dxdy k = T (x(s), y(s) n (s) + grad u. n (s) k ds + p(x, y, t)dxdy k e e ∂t2 D

∂D

D

166

CAPITOLUL 13. ECUATII ¸ CU DERIVATE PARTIALE ¸ DE ORDINUL 2

− → unde am notat cu p(x, y, t)dxdy k for¸ta exterioar˘ a care ac¸tioneaz˘ a asupra elementului de arie dxdy al suprafe¸tei ∂D0 . Dup˘ a formula lui Gauss-Ostrogradski vom avea ZZ 2 ZZ ZZ − → − → ∂ u ρ dxdy k = grad T (x, y)dxdy + div (T (x, y) grad u(x, y)) dxdy k + 2 ∂t D D D ZZ − → p(x, y, t)dxdy k . + D

Cum domeniul D este arbitrar, rezult˘ a c˘ a în tot domeniul ocupat de membran˘ a vom avea ∂ 2u = div (T (x, y) grad u(x, y)) + p(x, y, t), ∂t2 grad T (x, y) = 0. ρ

Din a doua rela¸tie rezult˘ a c˘ a T (x, y) este peste tot constant egal evident cu m˘ arimea ini¸tial˘ a a tensiunii T0 . Prima rela¸tie devine ∂ 2u = a2 4u + p(x, y, t), ∂t2 unde am notat a2 =

T0 , ρ

constanta a având dimensiunea unei viteze LT −1 .

Dac˘ a renot˘ am cu D domeniul ocupat de proiec¸tia membranei pe planul Oxy problema determin˘ arii vibra¸tiilor membranei revine la determinarea func¸tiei u(x, y, t) care în domeniul D verific˘ a ecua¸tia de mai sus. Trebuie s˘ a ne mai d˘ am pozi¸tia ini¸tial˘ a u(x, y, 0) = u0 (x, y), (x, y) ∈ D ¸si viteza ini¸tial˘ a

¯ ∂u ¯¯ = v0 (x, y), (x, y) ∈ D. ∂t ¯t=0

Dac˘ a pe frontiera domeniului D membrana este fixat˘ a, atunci vom avea ¸si condi¸tia la limit˘ a u(x, y, t)|(x,y)∈∂D = 0.

13.6

Ecua¸tia oscila¸tiilor longitudinale ale unei bare

Studiem acum oscila¸tiile longitudinale ale unei bare elasice omogene dispus˘ a dup˘ a segmentul (0, l) al axei reale. Punctele sec¸tiunii de abscis˘ a x vor suferi deplas˘ ari de

13.6. ECUATIA ¸ OSCILATIILOR ¸ LONGITUDINALE ALE UNEI BARE

167

m˘ arime u(x, t) de-a lungul barei. Elementul de bar˘ a din intervalul ini¸tial (x, x + dx) se va g˘ asi la momentul t în intervalul (x + u(x, t), x + dx + u(x + dx, t)) = (x + u(x, t), x + dx + u(x, t) +

∂u(x, t) dx). ∂x

Alungirea specific˘ a a acestui element va fi [x + dx + u(x, t) +

∂u(x,t) dx ∂x

dx

− (x + u(x, t))] − dx

=

∂u(x, t) . ∂x

Ca atare dup˘ a legea lui Hooke, por¸tiunea de bar˘ a din dreapta sec¸tiunii de abscis˘ a x va ac¸tiona asupra por¸tiunii din stânga sec¸tiunii de abscis˘ a x cu o for¸ta˘ egal˘ a cu ES ∂u(x,t) ∂x dirijat˘ a dup˘ a Ox, E fiind modulul lui Young corespunz˘ ator materialului barei, S fiind aria sec¸tiunii barei. Pentru a fi în condi¸tiile de linearitate cerute de legea lui Hooke vom presupune c˘ a

∂u(x,t) ∂x

este a¸sa de mic încât putem neglija p˘ atratul s˘ au ¸si produsele în care

apare el împreun˘ a cu alte derivate. In aceste condi¸tii sec¸tiunea S este practic constant˘ a. Dac˘ a not˘ am cu ρ0 densitatea în starea neperturbat˘ a într-o sec¸tiune oarecare ¸si cu ρ(x, t) densitatea în sec¸tiunea de absciis˘ a x la momentul t scriind c˘ a masa se conserv˘ a vom avea ρ(x, t)(dx +

∂u(x, t) dx)S = ρ0 dxS ∂x

de unde ρ(x, t) =

ρ0 1+

∂u(x,t) ∂x

µ ¶ ∂u(x, t) ≈ ρ0 1 − ∂x

Dac˘ a aplic˘ am teorema cantit˘ a¸tii de mi¸scare por¸tiunii de bar˘ a cuprins˘ a între sec¸tiunile x1 < x2 vom avea d dt

Zx2

x1

µ ¶ Zx2 ∂u(x, t) ∂u(x, t) ∂u(x2 , t) ∂u(x1 , t) ρ0 1 − S dx = ES − ES + ρ0 Sf (x, t)dx ∂x ∂t ∂x ∂x x1

sau neglijând produsele despre care am amintit Zx2

x1

∂ 2 u(x, t) ρ0 S dx = ES ∂t2

Zx2

x1

∂ 2 u(x, t) dx + ∂x2

Zx2

ρ0 Sf (x, t)dx.

x1

Am notat prin f (x, t) m˘ arimea for¸tei exterioare dirijat˘ a dup˘ a Ox care ac¸tioneaz˘ a asupra unit˘ a¸tii de mas˘ a ini¸tial˘ a a barei. Cum intervalul (x1 , x2 ) este arbitrar rezult˘ a ∂ 2 u(x, t) E ∂ 2 u(x, t) = + f (x, t), ∂t2 ρ0 ∂x2

CAPITOLUL 13. ECUATII ¸ CU DERIVATE PARTIALE ¸ DE ORDINUL 2

168

sau notând a2 =

E ρ0

2 ∂ 2 u(x, t) 2 ∂ u(x, t) = a + f (x, t). ∂t2 ∂x2 q −2 L−2 = LT −1 , adic˘ a dimensiunea unei Constanta a introdus˘ a are dimensiunea MLT ML−3

viteze.

Dac˘ a deriv˘ am rela¸tia de mai sus în raport cu x avem 2 ∂u(x,t) ∂ 2 ∂u(x,t) ∂f (x, t) 2∂ ∂x ∂x =a + 2 2 ∂t ∂x ∂x

¸si cum ρ0 − ρ(x, t) ∂u(x, t) = ∂x ρ0 ob¸tinem c˘ a densitatea verific˘ a o ecua¸tie de acea¸si form˘ a 2 ∂ 2 ρ(x, t) ∂f (x, t) 2 ∂ ρ(x, t) = a . − ρ0 2 2 ∂t ∂x ∂x

Func¸tia u(x, t) trebuie determinat˘ a când cunoa¸stem valorile ini¸tiale u(x, 0) = u0 (x), ∂u(x,0) ∂t

= v0 (x) ¸si anumite rela¸tii la capete. Dac˘ a extremitatea stâng˘ a x = 0 este fixat˘ a

atunci u(0, t) = 0. Dac˘ a extremitatea stâng˘ a se mi¸sc˘ a dup˘ a o anumit˘ a lege atunci u(0, t) = µ1 (t). Dac˘ a extremitatea dreapt˘ a x = l este liber˘ a ¸si nu exist˘ a nici o for¸ta˘ = 0, exterioar˘ a atunci tensiunea în aceast˘ a sec¸tiune este nul˘ a ¸si deci avem −ES ∂u(l,t) ∂x

= F (t). Dac˘ dac˘ a asupra cap˘ atului x = l ac¸tioneaz˘ a o for¸ta˘ F (t) atunci −ES ∂u(l,t) a ∂x = extremitatea dreapt˘ a x = l este legat˘ a elastic la un sistem mobil atunci −ES ∂u(l,t) ∂x

−k(u(l, t) − θ(t)), k fiind coeficientul de elasticitate, iar θ(t) dând mi¸scarea sistemului.

13.7

Ecua¸tiile de mi¸scare ale unui fluid perfect

Prin fluid perfect se în¸telege un mediu continuu în care au loc deforma¸tii mari ¸si în care dac˘ a consider˘ am într-un punct M(x, y, z) un element de suprafa¸ta˘ dσ de versor al → n atunci ac¸tiunea fluidului din partea în care este dirijat˘ a normala asupra normalei − → n dσ. p(x, y, z, t) fluidului din cealalt˘ a parte se reduce la o for¸ta˘ egal˘ a cu −p(x, y, z, t)− se nume¸ste presiune ¸si este nenul˘ a chiar în starea de echilibru a fluidului. Altfel spus în fluidele perfecte nu exist˘ a vâscozitate. − → − → − → O particul˘ a fluid˘ a care la momentul ini¸tial are vectorul de pozi¸tie R = X i +Y j + − → − → − → − → → Z k va avea la momentul t vectorul de pozi¸tie − r = x i + y j + z k unde x, y, z sunt

13.7. ECUATIILE ¸ DE MI¸ SCARE ALE UNUI FLUID PERFECT

169

func¸tii de X, Y, Z, t x = x(X, Y, Z, t) y = y(X, Y, Z, t) z = z(X, Y, Z, t) Având în vedere c˘ a dou˘ a particule oarecare distincte trebuie considerate distincte tot timpul mi¸sc˘ arii, func¸tiile amintite mai sus sunt bijec¸tii, adic˘ a se pot explicita ¸si coordonatele ini¸tiale X, Y, Z ca func¸tii de coordonatele x, y, z ¸si timpul t X = X(x, y, z, t) Y

= Y (x, y, z, t)

Z = Z(x, y, z, t). In acest fel orice m˘ arime caracteristic˘ a a mi¸sc˘ arii poate fi exprimat˘ a fie ca func¸tie de coordonatele ini¸tiale X, Y, Z ¸si timpul t, fie ca func¸tie de coordonatele x, y, z ¸si timpul t . Coordonatele X, Y, Z ¸si timpul t se numesc coordonate materiale sau coordonate lagrangiene; coordonatele x, y, z ¸si timpul t se numesc coordonate spa¸tiale sau coordonate euleriene. Determinantul func¸tional J=

D(x, y, z) D(X, Y, Z)

va p˘ astra semn constant ¸si cum la momentul t = 0 el este egal cu 1, rezult˘ a c˘ a va fi totdeuna strict pozitiv. Dat fiind c˘ a în fluide deforma¸tiile sunt mari sunt de preferat coordonatele euleriene. Viteza unei particole fluide care la momentul ini¸tial ocupa pozi¸tia (X, Y, Z) va fi în coordonale lagrangiene → → ∂x(X, Y, Z, t) − ∂− r − → → ∂y(X, Y, Z, t) − → dz(X, Y, Z, t) − = i + j + k. V (X, Y, Z, t) = ∂t ∂t ∂t ∂t Inlocuind X, Y, Z ca func¸tii de x, y, z ob¸tinem pentru vitez˘ a expresia în coordonate euleriene − → − → − → − → V (x, y, z, t) = u(x, y, z, t) i + v(x, y, z, t) j + w(x, y, z, t) k .

170

CAPITOLUL 13. ECUATII ¸ CU DERIVATE PARTIALE ¸ DE ORDINUL 2

Dac˘ a cunoa¸stem componentele euleriene ale vitezei atunci cunoa¸stem mi¸scarea particolelor fluide pentru c˘ a traiectoria particolei care la momentul ini¸tial se g˘ asea în (X, Y, Z) este solu¸tia sistemului de ecua¸tii diferen¸tiale de ordinul întâi dx dy dz = = = dt u(x, y, z, t) u(x, y, z, t) u(x, y, z, t) care verific˘ a condi¸tia ini¸tial˘ a x(0) = X, y(o) = Y , z(0) = Z. Prin linii de curent, respectiv suprafe¸te de curent se în¸teleg liniile respectiv suprafe¸tele care la un moment dat sunt tangente la vectorul vitez˘ a. Evident suprafe¸tele de curent sunt generate de linii de curent. O linie de curent este solu¸tie a sistemului dy dz dx = = u(x, y, z, t) u(x, y, z, t) u(x, y, z, t) în care t este un parametru. Coordonatele euleriene permit s˘ a definim mi¸sc˘ arile sta¸tionare sau permanente. Anume, mi¸scare sta¸tionar˘ a sau permanent˘ a este acea mi¸scare în care viteza în orice punct legat rigid de sistemul de referin¸ta˘ nu depinde de timp, altfel spus conponentele vitezei depind numai de x, y, z ¸si nu de timp. In cazul mi¸sc˘ arilor sta¸tionare liniile de curent coincid cu traiectoriile. In cazul coordonatelor lagrangeiene derivata unei m˘ arimi în raport cu timpul pentru o particol˘ a fixat˘ a este pur ¸si simplu o derivat˘ a par¸tial˘ a în raport cu timpul. Derivata unei m˘ arimi în raport cu timpul pentru o particol˘ a fixat˘ a se nume¸ste derivat˘a total˘a sau derivat˘a material˘a. Dac˘ a o m˘ arime scalar˘ a f (x, y, z, t) este exprimat˘ a în coordonate euleriene derivata sa material˘ a este df ∂f ∂f ∂f ∂f = + u(x, y, z, t) + v(x, y, z, t) + w(x, y, z, t) dt ∂t ∂x ∂y ∂z sau ∂f − df → = + V grad f. dt ∂t In cazul m˘ arimilor vectoriale trebuie aplicat˘ a aceast˘ a rela¸tie pentru fiecare component˘ a. In particular, pentru accelera¸tia unei particole, derivata material˘ a a vitezei particolei, ob¸tinem

− → − → dV ∂V − →− →− → − → a = = + (V ∇)V dt ∂t

13.7. ECUATIILE ¸ DE MI¸ SCARE ALE UNUI FLUID PERFECT

171

− → unde am introdus operatorul de derivare în direc¸tia lui V − →∂ ∂ ∂ ∂ − → − − →− → − →∂ − → − → →∂ + j + k )=u +v +w . V ∇ = (u i + v j + w k )( i ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z Cum − →− →− → 1 − → − → − → ( V ∇ ) V = (grad V 2 ) + rot V × V 2 rezult˘ a pentru accelera¸tie − → − → dV ∂V 1 − → − → − → − → a = = + (grad V 2 ) + rot V × V . dt ∂t 2 Dac˘ a consider˘ am o suprafa¸ta˘ variabil˘ a Σ(t) de ecua¸tie G(x, y, z, t) = 0 − → → → n, − n fiind normala la suprafa¸ta˘ ale c˘ arei puncte se deplaseaz˘ a cu o vitez˘ a W = W− scriind c˘ a la momentul t + dt punctul se afl˘ a pe suprafa¸ta˘ vom avea neglijând termenii de ordin superior lui dt G(x + Wx dt, y + Wy dt, z + Wz dt, t + dt) = = G(x, y, z, t) +

∂G ∂G ∂G ∂G dt + Wx dt + Wy dt + Wz dt = 0 ∂t ∂x ∂y ∂z

¸si deci ∂G − → + W grad G = 0 ∂t adic˘ a m˘ arimea vitezei de deplasare este W =−

∂G ∂t

|grad G|

.

Pentru particolele care se afl˘ a tot timpul pe suprafa¸ta˘ vom avea dG ∂G − → − → − → = + V grad G = ( V − W ) grad G = 0 dt ∂t adic˘ a avem condi¸tia − →− − →→ V → n = W− n. In cazul unei suprafe¸te fixe vom avea condi¸tia − →− V → n = 0.

172

CAPITOLUL 13. ECUATII ¸ CU DERIVATE PARTIALE ¸ DE ORDINUL 2

De asemenea vom avea formule speciale pentru calculul derivatei în raport cu timpul pentru integralele pe domenii materiale sau pe suprafe¸te materiale. Pentru integrala Z I(t) = ϕ(x, y, z, t)dv D(t)

vom avea într-o deducere euristic˘ a   Z Z dI(t) 1   =lim ϕ(x, y, z, t0 )dv − ϕ(x, y, z, t)dv   0 t0 →t t − t dt D(t0 )

D(t)

Domeniile D(t0 ), D(t) vor avea o por¸tinune comun˘ a DI = D(t0 ) ∩ D(t) ¸si dou˘ a por¸tiuni

DII = D(t0 ) \ D(t), DIII = D(t) \ D(t0 ). Neglijând termeni de ordinul doi în t0 − t se − → → n V dσ(t0 − t), iar elementul de volum al vede c˘ a elementul de volum al lui DII este − − → → n V dσ(t0 − t), unde dσ este elementul de arie pe frontiera ∂D(t). Avem lui DIII este −− deci Z ∂ϕ(x, y, z, t) − → → ϕ(x, y, z, t)− n V dσ = dv + ∂t D(t) ∂D(t) ¶ Z µ ∂ϕ − → + div(ϕ V ) dv. = ∂t

dI(t) = dt

Z

D(t)

O demonstra¸tie riguroas˘ a a acestei rela¸tii pleac˘ a de la formula de schimbare de variabile în integral˘ a. Vom avea nevoie de derivata determinantului func¸tional J=

D(x, y, z) . D(X, Y, Z)

Conform regulii de derivare a unui determinant avem dJ D(u, y, z) D(x, v, z) D(x, y, w) = + + dt D(X, Y, Z) D(X, Y, Z) D(X, Y, Z) ¸si deci 1 dJ D(u, y, z) D(x, v, z) D(x, y, w) ∂u ∂v ∂w − → = + + = + + = div V J dt D(x, y, z) D(x, y, z) D(x, y, z) ∂x ∂y ∂z Acum vom putea scrie Z Z Z d(Jϕ) 1 d(Jϕ) d dI(t) = dXdY dZ = dxdydz = JϕdXdY dZ = dt dt dt J dt D(0) D(0) D(t) ¶ ¶ Z µ Z µ dϕ ∂ϕ − → − → + ϕ div V dv = + div(ϕ V ) dv. = dt ∂t D(t)

D(t)

13.7. ECUATIILE ¸ DE MI¸ SCARE ALE UNUI FLUID PERFECT

173

Observ˘ am c˘ a în expresia derivatei apare un termen datorat varia¸tiei în timp a func¸tiei ¸si un termen datorat varia¸tiei domeniului. Acest ultim termen se nume¸ste termenul convectiv. O aplica¸tie imediat˘ a a formulei stabilite este stabilirea a¸sa numitei ecua¸tii de continuitate prin care exprim˘ am faptul c˘ a masa unui domeniu material se conserv˘ a în mi¸scare. In adev˘ ar putem scrie pentru orice domeniu material D(t), ρ(x, y, z, t) fiind densitatea fluidului d dt

Z

ρ(x, y, z, t)dv =

D(t)

Z µ

D(t)

¶ ∂ρ − → + div(ρ V ) dv = 0. ∂t

Cum domeniul D(t) este arbitrar rezult˘ a ecua¸tia de continuitate ∂ρ − → + div(ρ V ) = 0 ∂t sau dρ − → + ρ div V = 0. dt a ecua¸tia de continuitate pentru fluide In cazul unui fluid incompresibil ρ = ρ0 rezult˘ incompresibile − → div V = 0 Folosind ecua¸tia de continuitate rezult˘ a formula de derivare a integralelor care con¸tin densitatea ρ d dt

Z

ρ(x, y, z, t)f (x, y, z, t)dv =

D(t)

Z

ρ(x, y, z, t)

df(x, y, z, t) dv. dt

D(t)

Ca s˘ a g˘ asim ecua¸tiile de mi¸scare vom scrie pentru un domeniu material oarecare D(t) teoremele varia¸tiei cantit˘ a¸tii de mi¸scare ¸si a momentului cantit˘ a¸tii de mi¸scare Z Z Z − → d − → − → ρ V dv = − p n dσ + ρ f dv dt D(t)

d dt

Z

∂D(t)

− → → ρ− r × V dv = −

D(t)

Z

D(t)

→ → p− r ×− n dσ +

∂D(t)

Z

− → − → r × ρ f dv.

D(t)

− → Am notat prin f densitatea masic˘ a a for¸telor exterioare- for¸ta exterioar˘ a care ac¸tioneaz˘ a asupra unit˘ a¸tii de mas˘ a a fluidului. Dup˘ a formulele de derivare de mai sus rezult˘ a Z Z − → dV − → dv = − ρ (grad p + ρ f )dv dt D(t)

D(t)

174

CAPITOLUL 13. ECUATII ¸ CU DERIVATE PARTIALE ¸ DE ORDINUL 2 Z

D(t)

Z − → − → dV − → − → r ×ρ r × (grad p + ρ f )dv. dv = − dt D(t)

Am ¸tinut cont c˘ a

Z

→ p− n dσ =

∂D(t)

Z

Z

grad pdv

D(t)

→ → p− r ×− n dσ = −

∂D(t)

Z

→ rot(p− r )dv

D(t)

¸si c˘ a → → → → r × grad p r × grad p = −− rot(p− r ) = p rot − r −− Cum domeniul D(t) este arbitrar rezult˘ a c˘ a în fiecare punct al domeniului mi¸sc˘ arii are loc ecua¸tia lui Euler

sau

− → dV − → ρ = − grad p + ρ f dt

− → − → 1 1 ∂V − → − → − → + (grad V 2 ) + rot V × V = − grad p + f . ∂t 2 ρ

Am ob¸tinut astfel un sistem de patru ecua¸tii cu derivate par¸tiale - ecua¸tia de continuitate ¸si cele trei proiec¸tii ale ecua¸tiei lui Euler- cu cinci necunoscute- presiunea, densitatea ¸si cele trei componente ale vitezei. Dac˘ a fluidul este incompresibil atunci avem patru ecua¸tii cu patru necunoscute. In cazul fluidului compresibil mai trebuie ad˘ augat˘ a o ecua¸tie. Fluidul se cheam˘ a barotrop dac˘ a exist˘ a o rela¸tie între presiune ¸si densitate. O asemenea rela¸tie este de forma p=

p0 ργ, ρ0 γ

γ fiind o constant˘ a care pentru aer are valoarea γ = 1.4. Dac˘ a consider˘ am c˘ a suntem în cazul unui fluid barotrop asupra c˘ aruia ac¸tioneaz˘ ao − → for¸ta˘ exterioar˘ a poten¸tial˘ a f = − grad F ¸si aplic˘ am rotorul ecua¸tiei de mi¸scare a lui − → → ω = rot V ob¸tinem Euler ¸si not˘ am − → ∂− ω − → → + rot(− ω × V ). ∂t Cum →→ − →− − → − →− → → − → − → → → → rot(− ω × V ) = ( V ∇)− ω − (− ω ∇) V + − ω div V − V div − ω

13.7. ECUATIILE ¸ DE MI¸ SCARE ALE UNUI FLUID PERFECT

175

− → ¸si div rot V = 0 rezult˘ a → − →− d− ω → → − → → − (− ω ∇) V + − ω div V = 0 dt sau ¸tinând cont ¸si de ecua¸tia de continuitate − →

d ωρ

→− 1 →− → − (− ω ∇) V = 0 dt ρ

sau pe componente cu folosirea indicilor mu¸ti d ωρi

1 ∂Vi = ωj . dt ρ ∂xj

F˘ acând o schimbare de variabile ∂xi ωi = cj ρ ∂Xj rezult˘ a ∂Vi ∂xj ∂Vi ∂Vi dcj ∂xi + cj = ck = ck dt ∂Xj ∂Xj ∂Xk ∂xj ∂Xk adic˘ a

dcj ∂xi dt ∂Xj

= 0 ¸si deci cj =constant. Rezult˘ a ωj0 ∂xi ωi = 0 ρ ρ ∂Xj

adic˘ a, dac˘ a la momentul 0 mi¸scarea este irota¸tional˘ a ea va fi tot timpul irota¸tional˘ a. Suntem astfel condu¸si s˘ a studiem mi¸sc˘ arile irota¸tionale în care va exista o func¸tie ϕ(x, y, z, t) astfel încât − → V = grad ϕ(x, y, z, t). O asemenea mi¸scare se mai nume¸ste ¸si poten¸tial˘a ¸si func¸tia ϕ(x, y, z, t) se nume¸ste poten¸tialul mi¸sc˘arii.In cazul mi¸sc˘ arii poten¸tiale ale unui fluid incompresibil ecua¸tia de continuitate conduce la ecua¸tia lui Laplace 4ϕ(x, y, z, t) = 0. Aceasta trebuie rezolvat˘ a ¸tinând cont de condi¸tiile pe suprafe¸tele obstacol ¸si de alte condi¸tii care definesc mi¸scarea (condi¸tii la mari distan¸te, diferite singularit˘ a¸ti ale mi¸sc˘ arii, etc). Dac˘ a ne situ˘ am în cazul mi¸sc˘ arii fluidului barotrop sau incompresibil în prezen¸ta − → unor for¸te exterioare poten¸tiale ¸si înmul¸tim scalar cu V ecua¸tia lui Euler − → ∂V 1 1 − → − → − → + (grad V 2 ) + rot V × V = − grad p − grad F ∂t 2 ρ

176

CAPITOLUL 13. ECUATII ¸ CU DERIVATE PARTIALE ¸ DE ORDINUL 2

ob¸tinem

µ ¶ Z − → 1− dp − →∂ V − → →2 V + V grad V + +F =0 ∂t 2 ρ

Dac˘ a not˘ am 1− → B= V 2+ 2

Z

dp +F ρ

în cazul mi¸sc˘ arii sta¸tionare ob¸tinem dB =0 dt adic˘ a avem prima teorem˘ a a lui Bernoulli In cazul mi¸sc˘ arii sta¸tionare a unui fluid perfect asupra c˘ aruia ac¸tioneaz˘ a for¸te exR − → + F r˘ terioare poten¸tiale, func¸tia lui Bernoulli B = 12 V 2 + dp amâne constant˘ a de-a ρ lungul traiectoriilor.

De exemplu, dac˘ a aplic˘ am aceast˘ a teorem˘ a în cazul unui fluid care se scurge dintrun vas cu suprafa¸ta liber˘ a printr-un orificiu situat sub suprafa¸ta liber˘ a la distan¸ta h, presiunea la suprafa¸ta liber˘ a ¸si la ie¸sirea prin orificiu fiind p0 , dac˘ a orificiul este mic în compara¸tie cu suprafa¸ta liber˘ a putem presupune c˘ a la suprafa¸ta liber˘ a viteza este nul˘ a. dac˘ a not˘ am cu V viteza la ie¸sirea din orificiu vom avea pentru func¸tia lui Bernoulli valorile: la suprafa¸ta liber˘ a B1 =

p0 , ρ

la ie¸sirea din orificiu B2 = √ egalare rezult˘ a formula lui Torricelli V = 2gh.

p0 ρ

+

V2 2

− gh. Din

Din rela¸tia − → − → − → div(ρB V ) = B div(ρ V ) + ρ V grad B ¸si din ecua¸tia de continuitate avem " − →2 # − →2 µZ ¶ ∂ V2 ∂ρ V2 ∂ρ dp ∂ρ − → div(ρB V ) = − B +ρ =− − +F . ∂t ∂t ∂t ρ ∂t Integrând pe un domeniu oarecare D(t) din fluid de suprafa¸ta˘ ∂D(t) avem µZ ¶ # Z " −→ Z V2 ∂ρ dp ∂ρ − →− 2 ρB( V → n )dσ = − + +F dv. ∂t ρ ∂t ∂D(t)

D(t)

Dac˘ a mi¸scarea este sta¸tionar˘ a atunci membrul drept este nul ¸si deci fluxul func¸tiei lui Bernoulli prin orice suprafa¸ta˘ închis˘ a este nul. Acesta este enun¸tul formei integrale a teoremei lui Bernoulli.

13.8. PROBLEMA LUI CAUCHY, CLASIFICAREA ECUATIILOR ¸

177

Dac˘ a mi¸scarea este irota¸tional˘ a atunci − → ∂V ∂ grad ϕ ∂ϕ = = grad ∂t ∂t ∂t ¸si ecua¸tia de mi¸scare a lui Euler în cazul fluidului barotrop sau incompresibil în prezen¸ta for¸telor exterioare poten¸tiale devine ! Ã − →2 Z dp V ∂ϕ + + + F = 0, grad ∂t 2 ρ de unde

− →2 Z ∂ϕ dp V + + + F = C(t) ∂t 2 ρ

în întreg domeniul mi¸sc˘ arii. In cazul mi¸sc˘ arii sta¸tionare − →2 Z dp V + + F = C. 2 ρ Aceasta este a doua teorem˘ a a lui Bernoulli.

13.8

Problema lui Cauchy, clasificarea ecua¸tiilor

Prin problema lui Cauchy pentru ecua¸tia cu derivate par¸tiale de ordinul 2 F (x1 , x2 , ..., xn , u,

∂u ∂u ∂ 2 u ∂ 2u , ..., , 2 , ..., 2 ) = 0 ∂x1 ∂xn ∂x1 ∂xn

se în¸telege problema determin˘ arii unei solu¸tii u = u(x1 , x2 , ..., xn ) pentru care se cunosc valorile sale u ¸si ale derivatei normale

∂u ∂n

pe o hipersuprafa¸ta˘ S din spa¸tiul variabilelor

independente de ecua¸tie ϕ(x1 , x2 , ..., xn ) = 0 u(x1 , x2 , ..., xn )|S = ϕ0 (x1 , x2 , ..., xn ), ¯ ∂u ¯¯ = ϕ1 (x1 , x2 , ..., xn ) ∂n ¯ S

Din punct de vedere geometric problema lui Cauchy revine la determinarea unei hipera treac˘ a prin suprafa¸ta n—1-dimensional˘ a suprafe¸te integrale u = u(x1 , x2 , ..., xn ) care s˘ din Rn+1 u = ϕ0 (x1 , x2 , ..., xn ) ϕ(x1 , x2 , ..., xn ) = 0

178

CAPITOLUL 13. ECUATII ¸ CU DERIVATE PARTIALE ¸ DE ORDINUL 2

¸si pentru care se cunosc planele tangente. O ecua¸tie cu derivate par¸tiale de ordinul doi se nume¸ste normal˘a în raport cu variabila independent˘a x1 dac˘ a ecua¸tia este de form˘ a explicit˘ a în raport cu derivata

∂2u ∂x21

∂ 2u ∂u ∂u ∂ 2u ∂2u = Φ(x , x , ..., x , u, , ..., , , ..., ). 1 2 n ∂x21 ∂x1 ∂xn ∂x1 ∂x2 ∂x2n De exemplu, ecua¸tia corzii vibrante 2 ∂ 2u 2∂ u = f (x, t) − a ∂t2 ∂x2

poate fi adus˘ a la form˘ a normal˘ a atât în raport cu variabila t cât ¸si cu variabila x; ecua¸tia c˘ aldurii ∂u ∂ 2u − a2 2 = f (x, t) ∂t ∂x poate fi adus˘ a la form˘ a normal˘ a în raport cu variabila x, dar nu poate fi adus˘ a la form˘ a normal˘ a în raport cu variabila t; ecua¸tia ∂ 2u = f (x, y) ∂x∂y nu poate fi adus˘ a la form˘ a normal˘ a nici în raport cu variabila x, nici în raport cu variabila y. Prin problem˘ a a lui Cauchy pentru o ecua¸tie cu derivate par¸tiale normal˘ a în raport arii solu¸tiei u = u(x1 , x2 , ..., xn ) pentru cu variabila x1 se în¸telege problema determin˘ care se cunosc valorile sale ¸si ale derivatei normale pe hiperplanul x1 = x01 : u(x1 , x2 , ..., xn )|x1 =x01 = ϕ0 (x2 , ..., xn ), ¯ ∂u(x1 , x2 , ..., xn ) ¯¯ = ϕ1 (x2 , ..., xn ). ¯ ∂x1 0 x1 =x1

O problem˘ a a lui Cauchy pentru o ecua¸tie cu derivate par¸tiale normal˘ a în raport cu o variabil˘ a se mai nume¸ste ¸si problem˘a cu date ini¸tiale. Observ˘ am c˘ a dac˘ a într-o problem˘ a a lui Cauchy pentru o ecua¸tie cu derivate par¸tiale normal˘ a în raport cu variabila x1 func¸tiile Φ, ϕ0 , ϕ1 sunt analitice în vecin˘ atatea punctului (x01 , x02 , ..., x0n ) atunci în acest punct putem calcula: • din prima condi¸tie ini¸tial˘ a toate derivatele par¸tiale • din a doua condi¸tie ini¸tial˘ a toate derivatele

∂ i2 +i3 +...+in u ; i i ∂x22 x33 ...xinn

∂ 1+i2 +...+in u ; i ∂x1 ∂x22 ...∂xinn

13.8. PROBLEMA LUI CAUCHY, CLASIFICAREA ECUATIILOR ¸

179

• din ecua¸tie ¸si din primele doua tipuri de calcule toate derivatele. Bazându-ne pe aceste calcule se poate demonstra Teorema lui Cauchy-Kovalevskaia: Dac˘ a func¸tiile Φ, ϕ0 , ϕ1 sunt analitice în vecin˘ aa în tatea punctului (x01 , x02 , ..., x0n ) atunci problema lui Cauchy pentru ecdpo2 normal˘ raport cu variabila x1 admite într-o vecin˘ atate a acestui punct o solu¸tie analitic˘ a unic˘ a. S˘ a consider˘ am acum ecdpo2 cvasilinear˘ a n X

Ai,j (x)

i,j=1

∂ 2u ∂u ∂u + f (x1 , x2 , ..., xn , u, , ..., ) = 0, Aij (x) = Aji (x). ∂xi ∂xj ∂x1 ∂xn

S˘ a facem o schimbare de variabile trecând de la vechile variabile independente x1 , x2 , ..., xn la noile variabile independente ξ1 , ξ2 , ..., ξn prin rela¸tiile ξ1 = ξ1 (x1 , x2 , ..., xn ) ξ2 = ξ2 (x1 , x2 , ..., xn ) ..... ξn = ξn (x1 , x2 , ..., xn ) respectiv x1 = x1 (ξ1 , ξ2 , ..., ξn ) x2 = x2 (ξ1 , ξ2 , ..., ξn ) ..... xn = xn (ξ1 , ξ2 , ..., ξn ) cu func¸tii cu derivate par¸tiale de ordinul doi continue ¸si cu iacobianul nenul în vecin˘ aator lui (x01 , x02 , ..., x0n ). S˘ a ne punem mai întâi tatea punctului (ξ10 , ξ20 , ..., ξn0 ) corespunz˘ problema în ce se transform˘ a ecua¸tia dat˘ a prin aceast˘ a schimbare de variabile. Vom nota cu u(ξ) = u(x(ξ)) noua func¸tie. Cum avem

X ∂u ∂ξp ∂u = , i = 1, 2, ..., n, ∂xi ∂ξ ∂x p i p=1 n

X X ∂ 2 u ∂ξp ∂ξq X ∂u ∂ 2 ξp ∂ 2u = + ∂xi ∂xj ∂ξ ∂ξ ∂x ∂x ∂ξp ∂xi ∂xj p q i j p=1 q=1 p=1 n

n

n

180

CAPITOLUL 13. ECUATII ¸ CU DERIVATE PARTIALE ¸ DE ORDINUL 2

ecua¸tia dat˘ a devine n X

A∗p,q (ξ)

p,q=1

∂ 2u ∂u ∂u + f ∗ (ξ1 , ξ2 , ..., ξn , u, , ..., ) = 0, ∂ξp ∂ξq ∂ξ1 ∂ξn

unde A∗p,q (ξ)

n X

=

Ai,j

i,j=1

∂ξp ∂ξq . ∂xi ∂xj

Suntem condu¸si s˘ a introducem forma patratic˘ a 4(l1 , l2 , ..., ln ) =

n X

Ai,j (x01 , x02 , ..., x0n )li lj

i,j=1

numit˘ a forma p˘atratic˘a caracteristic˘a a ecua¸tiei cvasilineare în punctul (x01 , x02 , ..., x0n ). S˘ a presupunem c˘ a trecem de la variabilele l1 , l2 , ..., ln la noile variabile l1∗ , l2∗ , ..., ln∗ prin rela¸tiile li = lj =

n X p=1 n X

sip lp∗ , sjq lq∗ .

q=1

Forma p˘ atratic˘ a devine n X

4∗ (l1∗ , l2∗ , ..., ln∗ ) =

Ai,j

n X

sip lp∗

p=1

i,j=1

unde A∗p,q

=

n X

n X

sjq lq∗ =

q=1

n X

A∗p,q lp∗ lq∗

p,q=1

Ai,j sip sjq

i,j=1

Observ˘ am c˘ a dac˘ a lu˘ am si,p

¯ ∂ξp ¯¯ = ∂xi ¯(x0 ,x0 ,...,x0n ) 1

2

atunci formulele de schimbare a coeficien¸tilor formei p˘ atratice ¸si formulele de schimbare a coeficien¸tilor eccdpo2 coincid. S ¸ tim de la algebr˘ a linear˘ a c˘ a pentru orice form˘ a p˘ atratic˘ a exist˘ a cel pu¸tin o schimbare de variabile astfel c˘ a forma p˘ atratic˘ a se reduce la sum˘ a de p˘ atrate. Alegând o asemenea schimbare de variabile -coeficien¸tii si,p - forma p˘ atratic˘ a va deveni ∗

4

(l1∗ , l2∗ , ..., ln∗ )

=

n X p=1

εp lp∗2

13.8. PROBLEMA LUI CAUCHY, CLASIFICAREA ECUATIILOR ¸

181

unde numerele εp au una din valorile -1,0,1. Conform teoremei de iner¸tie oricum am face reducerea la sum˘ a de p˘ atrate num˘ arul coeficien¸tilor εp pozitivi r˘ amâne constant, num˘ arul coeficien¸tilor εp negativi r˘ amâne constant ¸si num˘ arul coeficien¸tilor εp nuli r˘ amâne constant. Aleg˘ and derivatele par¸tiale ale schimb˘ arii de variabil˘ a astfel încât ¯ ∂ξp ¯¯ = si,p ∂xi ¯(x0 ,x0 ,...,x0n ) 1

în punctul

(ξ10 , ξ20 , ..., ξn0 ) n X

2

ecdpo2 va avea forma

εp

p=1

∂2u ∂u ∂u 0 ∗ 0 0 + f (ξ , ξ , ..., ξ , u, , ..., )=0 1 2 n ∂ξp2 ∂ξ1 ∂ξn

Invarian¸ta celor trei numere de mai sus permite o clasificare ecdpo2 aproape lineare. Dac˘ a to¸ti coeficien¸tii εp sunt strict pozitivi sau strict negativi ecua¸tia se nume¸ste de tip eliptic în punctul (x01 , x02 , ..., x0n ). Dac˘ a nu exist˘ a coeficien¸ti εp nuli ¸si numai unul este de semn contrar celorlal¸ti ecua¸tia se nume¸ste de tip hiperbolic. Dac˘ a nu exist˘ a coeficien¸ti εp nuli dar exist˘ a mai mul¸ti de semn contrar celorlal¸ti ecua¸tia se nume¸ste de tip ultrahiperbolic. Dac˘ a exist˘ a coeficien¸ti εp nuli ecua¸tia se nume¸ste de tip parabolic. Dac˘ a în toate punctele unui domeniu D ecdpo2 are acela¸si tip se spune c˘ a ecdpo2 are acel tip în domeniul D. In cazul ecdpo2 aproape lineare cu coeficien¸ti constan¸ti prin schimbarea de variabile ξi =

n X

sip xp

p=1

ecdpo2 devine

n X p=1

εp

∂ 2u ∂u ∂u + f ∗ (ξ1 , ξ2 , ..., ξn , u, , ..., )=0 2 ∂ξp ∂ξ1 ∂ξn

adic˘ a are tip constant în toate punctele. Exemplul 1. Fie ecdpo2 linear˘ a cu coeficien¸ti constan¸ti ∂ 2u ∂2u ∂2u ∂ 2u ∂ 2u ∂u ∂u + 2 + 2 + 4 + 5 + + = 0. 2 2 2 ∂x1 ∂x1 ∂x2 ∂x2 ∂x2 ∂x3 ∂x3 ∂x1 ∂x2 Forma p˘ atratic˘ a asociat˘ a este 4 = l12 + 2l1 l2 + 2l22 + 4l2 l3 + 5l32 . Prin procedeul lui Gauss de reducere la form˘ a canonic˘ a g˘ asim 4∗ = l1∗2 + l2∗2 + l3∗2

182

CAPITOLUL 13. ECUATII ¸ CU DERIVATE PARTIALE ¸ DE ORDINUL 2

unde l1∗ = l1 + l2 l2∗ = l2 + 2l3 l3∗ = l3 sau invers l1 = l1∗ − l2∗ + 2l3∗ l2 = l2∗ − 2l3∗ l3 = l3∗ Dac˘ a vom face schimbarea de variabile ξ1 = x1 ξ2 = −x1 + x2 ξ3 = 2x1 − 2x2 + x3 ecua¸tia devine ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂u + 2+ 2+ = 0. 2 ∂ξ1 ∂ξ2 ∂ξ3 ∂ξ1 adic˘ a este peste tot de tip eliptic. Ecua¸tia lui Poisson ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u + + ... + = f (x1 , x2 , ..., xn ) ∂x21 ∂x22 ∂x2n este de tip eliptic în tot Rn . Ecua¸tiile undelor sonore, vibra¸tiilor membranei sau corzii sunt de tip hiperbolic în R4 , R3 , R2 respectiv. Ecua¸tia c˘ aldurii este de tip parabolic în R4 , R3 , R2 dup˘ a cum suntem în spa¸tiul tridimensional, în plan sau pe axa real˘ a. Pentru ecdpo2 cvasilinear˘ a în dou˘ a variabile x, y A11 (x, y)

∂2u ∂2u ∂ 2u ∂u ∂u + A + 2A (x, y) (x, y) + f (x, y, u, , ) = 0 12 22 2 2 ∂x ∂x∂y ∂y ∂x ∂y

forma p˘ atratic˘ a caracteristic˘ a este 4(l, m) = A11 (x, y)l2 + 2A12 (x, y)lm + A22 (x, y)m2

13.8. PROBLEMA LUI CAUCHY, CLASIFICAREA ECUATIILOR ¸

183

Discriminantul acestei forme p˘ atratice este δ(x, y) = A12 (x, y)2 − A11 (x, y)A2 (x, y) In domeniul în care δ(x, y) > 0 forma p˘ atratic˘ a este o diferen¸ta˘ de p˘ atrate ¸si deci ecdpo2 este de tip hiperbolic; în domeniul în care δ(x, y) = 0 forma p˘ atratic˘ a se reduce la un singur p˘ atrat ¸si deci ecdpo2 este de tip parabolic; în domeniul în care δ(x, y) < 0 forma p˘ atratic˘ a se reduce la o sum˘ a de p˘ atrate ¸si deci ecdpo2 este de tip eliptic. Relu˘ am ecdpo2 cvasilinear˘ a general˘ a n X

Ai,j (x)

i,j=1

∂ 2u ∂u ∂u + f (x1 , x2 , ..., xn , u, , ..., ) = 0. ∂xi ∂xj ∂x1 ∂xn

¸si facem o schimbare de variabile trecând de la vechile variabile independente x1 , x2 , ..., xn la noile variabile independente ξ1 , ξ2 , ..., ξn prin rela¸tiile ξ1 = ξ1 (x1 , x2 , ..., xn ) ξ2 = ξ2 (x1 , x2 , ..., xn ) ..... ξn = ξn (x1 , x2 , ..., xn ) respectiv x1 = x1 (ξ1 , ξ2 , ..., ξn ) x2 = x2 (ξ1 , ξ2 , ..., ξn ) ..... xn = xn (ξ1 , ξ2 , ..., ξn ) cu func¸tii cu derivate par¸tiale de ordinul doi continue ¸si cu iacobianul nenul în vecin˘ atatea punctului (ξ10 , ξ20 , ..., ξn0 ) corespunz˘ ator lui (x01 , x02 , ..., x0n ). S˘ a ne punem acum problema cum trebuie aleas˘ a schimbarea de variabile astfel încât noua ecua¸tie s˘ a fie normal˘ a în raport cu variabila ξ1 în vecin˘ atatea punctului (ξ10 , ξ20 , ..., ξn0 ). Conform rela¸tiilor stabilite mai sus este necesar ca func¸tia ξ1 (x1 , x2 , ..., xn ) s˘ a verifice în vecin˘ atatea punctului (x01 , x02 , ..., x0n ) rela¸tia A∗11

=

n X

i,j=1

Ai,j (x)

∂ξ1 ∂ξ1 6= 0. ∂xi ∂xj

184

CAPITOLUL 13. ECUATII ¸ CU DERIVATE PARTIALE ¸ DE ORDINUL 2

Suntem condu¸si s˘ a introducem urm˘ atoarele defini¸tii O func¸tie ϕ(x1 , x2 , ..., xn ) se nume¸ste variabil˘a caracteristic˘a pentru ecdpo2 cvasilinear˘ a dac˘ a satisface ecua¸tia variabilelor caracteristice n X

Ai,j (x)

i,j=1

cu condi¸tia

∂ϕ ∂ϕ =0 ∂xi ∂xj

¶2 n µ X ∂ϕ i=1

∂xi

6= 0.

a caracteristic˘ a, hipersuprafa¸ta din Rn de Dac˘ a func¸tia ϕ(x1 , x2 , ..., xn ) este o variabil˘ a) se nume¸ste suprafa¸t˘a caracteristic˘a. De ecua¸tie ϕ(x1 , x2 , ..., xn ) = ξ10 (ξ10 o constant˘ aceea ecua¸tia variabilelor caracteristice este numit˘ a ¸si ecua¸tia suprafe¸telor caracteristice. Dac˘ a în ecua¸tia caracteristicilor punem li =

∂ϕ ∂xi

ob¸tinem aceea¸si form˘ a p˘ atratic˘ a de mai

sus 4(l1 , l2 , ..., ln ) = n X i=1

n X

Ai,j (x01 , x02 , ..., x0n )li lj ,

i,j=1

li2 6= 0.

Hiperplanul de ecua¸tie n X i=1

li (xi − x0i ) = 0,

4(l1 , l2 , ..., ln ) = 0, n X λ2i 6= 0 i=1

este hiperplanul tangent suprafe¸tei caracteristice în punctul dat, l1 , l2 , ..., ln fiind parametrii directori ai normalei la suprafa¸ta caracteristic˘ a. No¸tiunea de suprafa¸ta˘ caracteristic˘ a este evident legat˘ a de problema Cauchy. Intradev˘ ar, dac˘ a suprafa¸ta ϕ(x1 , x2 , ..., xn ) = ξ10 este o suprafa¸ta˘ necaracteristic˘ a con¸tinând n P ∂ϕ ∂ϕ Ai,j (x) ∂x 6= atatea acestui punct vom avea punctul (x01 , x02 , ..., x0n ) atunci în vecin˘ i ∂xj i,j=1

0 ¸si alegând o schimbare de variabile în care ξ1 = ϕ(x1 , x2 , ..., xn ) ecdpo2 devine o ecdpo2 normal˘ a în raport cu variabila ξ1 ¸si în condi¸tiile teoremei lui Cauhy-Kovalevskaia problema lui Cauchy va avea o solu¸tie unic˘ a analitic˘ a în vecin˘ atatea punctului (x01 , x02 , ..., x0n ). Dac˘ a suprafa¸ta ϕ(x1 , x2 , ..., xn ) = ξ10 este o suprafa¸ta˘ caracteristic˘ a printr-o schimbare de

13.8. PROBLEMA LUI CAUCHY, CLASIFICAREA ECUATIILOR ¸

185

variabile în care ξ1 = ϕ(x1 , x2 , ..., xn ) ecdpo2 devine în vecin˘ atatea ξ1 = ξ10 a punctului (ξ10 , ξ20 , ..., ξn0 ) de forma n X

X ∂ 2u ∂ 2u ∂u ∂u + A∗1j + f ∗ (ξ10 , ξ2 , ..., ξn , u, , ..., )=0 ∂ξi ∂ξj j=2 ∂ξ1 ∂ξj ∂ξ1 ∂ξn n

A∗ij

i,j=2

sau, ¸tinând cont de condi¸tiile ini¸tiale

u|ξ1 =ξ0 = ϕ0 (ξ2 , ..., ξn ) 1 ¯ ∂u ¯¯ = ϕ1 (ξ2 , ..., ξn ) ∂ξ1 ¯ 0 ξ1 =ξ1

n X

X ∂ϕ0 ∂ 2 ϕ0 ∂ϕ1 + A∗1j + f ∗ (ξ10 , ξ2 , ..., ξn , ϕ0 , ϕ1 , ..., )=0 ∂ξi ∂ξj j=2 ∂ξj ∂ξn n

A∗ij

i,j=2

Observ˘ am c˘ a datele ini¸tiale nu mai pot fi arbitrare. Dac˘ a ele verific˘ a rela¸tia de mai sus solu¸tia problemei lui Cauchy poate s˘ a nu fie unic˘ a, dac˘ a datele ini¸tiale nu verific˘ a rela¸ta de mai sus problema lui Cauchy este imposibil˘ a. Dac˘ a func¸tia u este cunoscut˘ a de-a lungul suprafe¸tei caracteristice u|ξ1 =ξ0 = ϕ0 (ξ2 , ..., ξn ) 1

atunci ecua¸tia cu derivate par¸tiale ini¸tial˘ a devine o ecua¸tie cu derivate par¸tiale de ordinul ¯ ∂u ¯ = ϕ1 (ξ2 , ..., ξn ). Aceasta este o proprietate întâi relativ la func¸tia necunoscut˘ a ∂ξ ¯ 1 0 ξ1 =ξ1

foarte important˘ a a suprafe¸telor caracteristice.

Exemplul 2. S˘ a l˘ amurim situa¸tia în cazul problemei lui Cauchy pentru ecdpo2 ¯ ∂ 2u ∂u ¯¯ = 0, u(x, y)|x=0 = ϕ0 (y), = ϕ1 (y). ∂x∂y ∂x ¯ x=0

Ecua¸tia caracteristicilor este

∂ϕ ∂ϕ = 0, ∂x ∂y deci caracteristicile sunt dreptele x = x0 sau y = y0 . Problema lui Cauchy dat˘ a este o problem˘ a a lui Cauchy pe o caracteristic˘ a x = 0. Observ˘ am c˘ a pe caracteristic˘ a avem ¯ ¯ ∂2u ¯ ¯ = ϕ1 (y) ¸si deci ∂x∂y = ϕ01 (y). Pe de alt˘ din data ini¸tial˘ a ∂u a parte ecua¸tia ¯ ∂x x=0 x=0 ¯ 2 ∂ u ¯ = 0, adic˘ implic˘ a ∂x∂y a ecua¸tia dat˘ a se reduce la ecua¸tia ϕ01 (y) = 0. Deci problema ¯ x=0

lui Cauchy este posibil˘ a numai dac˘ a ϕ1 (y) = k=constant. Dar solu¸tia general˘ a a ecua¸tei

date este u(x, y) = α(x) + β(y) cu α, β func¸tii arbitrare. Din datele ini¸tiale avem ¯ ¯ u(0, y) = α(0) + β(y) = ϕ0 (y) ¸si deci β(y) = ϕ0 (y) − α(0). Dar avem ¸si ∂u = α0 (0) = ∂x x=0

ϕ1 (y). Reg˘ asim condi¸tia ϕ1 (y) = k = constant. Dac˘ a aceasta condi¸tie este îndeplinit˘ a atunci solu¸tia este u(x, y) = α(x) + ϕ0 (y) − α(0)

186

CAPITOLUL 13. ECUATII ¸ CU DERIVATE PARTIALE ¸ DE ORDINUL 2

unde α(x) este func¸tie supus˘ a la condi¸tia α0 (0) = k. Dac˘ a nu avem ϕ1 (y) = k = constant problema lui Cauchy este imposibil˘ a. In concluzie, putem spune c˘ a suprafe¸tele caracteristice sunt acele suprafe¸te pentru care problema lui Cauchy este sau imposibil˘ a sau nedeterminat˘ a. Pentru ecua¸tia lui Poisson tridimensional˘ a ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u + + = f (x, y, z) ∂x2 ∂y 2 ∂z 2 suprafe¸tele caracteristice ar trebui s˘ a fie date de rela¸tiile µ ¶2 µ ¶2 µ ¶2 ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ + + = 0, ∂x ∂y ∂z µ ¶2 µ ¶2 µ ¶2 ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ + + 6= 0, ∂x ∂y ∂z adic˘ a suprafe¸te caracteristice reale nu exist˘ a. Pentru ecua¸tia c˘ aldurii în spa¸tiu µ 2 ¶ ∂ u ∂ 2u ∂ 2u ∂u 2 = f (x, y, z, t) −a + + ∂t ∂x2 ∂y 2 ∂z 2 caracteristicile sunt date de rela¸tiile

µ

∂ϕ ∂x

¶2

µ

+

µ

∂ϕ ∂x ∂ϕ ∂y

¶2 ¶2

+ +

µ µ

∂ϕ ∂y ∂ϕ ∂z

¶2 ¶2

+ +

µ µ

∂ϕ ∂z ∂ϕ ∂t

¶2

¶2

= 0, 6= 0,

adic˘ a suprfe¸tele caracteristice sunt tangente planelor t − t0 = 0, aceste plane fiind si ele suprafe¸te caracteristice. Pentru ecua¸tia undelor în spa¸tiu µ 2 ¶ ∂ 2u ∂ u ∂2u ∂ 2u 2 = f (x, y, z, t) + + −a ∂t2 ∂x2 ∂y 2 ∂z 2 caracteristicile sunt date de rela¸tiile õ ¶ µ ¶2 µ ¶2 µ ¶2 ! 2 ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ = 0 + + − a2 ∂t ∂x ∂y ∂z µ ¶2 µ ¶2 µ ¶2 µ ¶2 ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ + + + 6= 0, ∂x ∂y ∂z ∂t

13.8. PROBLEMA LUI CAUCHY, CLASIFICAREA ECUATIILOR ¸

187

adic˘ a suprafe¸tele caracteristice sunt tangente hiperplanelor ale c˘ aror normale fac cu axa a Ot unghiuri egale cu arccos √1+a te caracteristice sunt aceste hiperplane ¸si 2 , deci suprafe¸

hiperconurile de rota¸tie în jurul paralelelor la axa Ot înf˘ a¸suratoare ale hiperplanelor cu a unghiul din vârf egal cu 2arccos √1+a 2.

Pentru ecua¸tia vibra¸tiilor membranei µ 2 ¶ ∂ 2u ∂ u ∂ 2u 2 = f (x, y, t) + −a ∂t2 ∂x2 ∂y 2 suprafe¸tele caracteristice vor fi planele din spa¸tiul xyt ale c˘ aror normale fac cu axa Ot a si conurile de rota¸tie în jurul paralelelor la axa Ot cu unghiuri egale cu arccos √1+a 2 ¸ a unghiul din vârf egal cu 2arccos √1+a 2.

Pentru ecdpo2 în dou˘ a variabile A11 (x, y)

∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂u ∂u + A , )=0 + 2A (x, y) (x, y) + f (x, y, u, 12 22 ∂x2 ∂x∂y ∂y 2 ∂x ∂y

vom avea în planul xOy curbe caracteristice de ecua¸tie ϕ(x, y) = C func¸tia ϕ(x, y) verificând rela¸tiile µ

∂ϕ A11 (x, y) ∂x

¶2

µ ¶2 ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ + A22 (x, y) + 2A12 (x, y) = 0, ∂x ∂y ∂y µ ¶2 µ ¶2 ∂ϕ ∂ϕ + 6= 0. ∂x ∂y

De-alungul unei asemenea curbe caracteristice vom avea ∂ϕ ∂ϕ dx + dy = 0 ∂x ∂y ¸si deci vom avea A11 (x, y)dy 2 − 2A12 (x, y)dxdy + A22 (x, y)dx2 = 0. Rezult˘ a c˘ a orice curb˘ a caracteristic˘ a este linia de nivel constant a unei integrale prime a ecua¸tiei diferen¸tiale de mai sus. Aceasta se nume¸ste ¸si ea ecua¸tia caracteristicilor. Notând y 0 =

dy dx

ecua¸tia caracteristicilor se scrie A11 (x, y)y 02 − 2A12 (x, y)y 0 + A22 (x, y) = 0

ecua¸tie ale c˘ arei r˘ ad˘ acini sunt reale distncte, reale egale sau imaginar conjugate dup˘ a cum realizantul δ(x, y) = A12 (x, y)2 − A11 (x, y)A22 (x, y) este pozitiv, nul sau negativ.

188

CAPITOLUL 13. ECUATII ¸ CU DERIVATE PARTIALE ¸ DE ORDINUL 2

Rezult˘ a c˘ a ecdpo2 aproape linear˘ a în dou˘ a variabile admite dou˘ a familii de caracteristice reale în domeniul de hiperbolicitate, o singur˘ a familie de caracteristici reale în domeniul de parabolicitate sau dou˘ a familii de caracteristici imaginar conjugate în domeniul de elipticitate. Pentru ecua¸tia vibra¸tiilor corzii 2 ∂ 2u 2∂ u = f (x, t) − a ∂t2 ∂x2

ecua¸tia caracteristicilor este dx2 − a2 dt2 = 0 sau (dx − adt)(dx + adt) = 0 ¸si deci avem dou˘ a familii de caracteristici date de familiile de drepte x ± at = C. Observa¸tie. Puteam g˘ asi ecua¸tia caracteristicilor pentru ecdpo2 aproape linear˘ a în dou˘ a variabile ra¸tionând astfel: Fie curba plan˘ a C de ecua¸tii parametrice x = x(s), y = y(s), s fiind o abscis˘ a curbilinie. Atunci versorul tangentei la curb˘ a are componentele x0 (s), y 0 (s), iar versorul normalei are componentele −y 0 (s), x0 (s). Datele problemei lui Cauchy sunt u(x(s), y(s)) = ϕ0 (s) ¯ du ¯¯ = −ux |C y 0 (s) + uy |C x0 (s) = ϕ1 (s) dn ¯C

Cum din prima rela¸tie rezult˘ a

ux |C x0 (s) + uy |C y 0 (s) = ϕ00 (s) rezult˘ a c˘ a din datele problemei lui Cauchy putem determina în mod unic valorile pe curba C ale derivatelor de primul ordin ux |C , uy |C . Derivând aceste valori de-alungul curbei C avem d ux |C ds d uxy |C x0 (s) + uyy |C y 0 (s) = uy |C ds

uxx |C x0 (s) + uxy |C y 0 (s) =

13.9. EXERCITII ¸

189

In plus de-alungul curbei C ecua¸tia se scrie A11 (x(s), y(s))uxx |C + 2A12 (x(s), y(s))uxy |C + A22 (x(s), y(s))uyy |C + f |C = 0. a probUltimele trei rela¸tii constituie un sistem în necunoscutele uxx |C , uxy |C , uyy |C . Dac˘ lema lui Cauchy are solu¸tie unic˘ a determinantul coeficien¸tilor acestui sistem ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ A11 (x(s), y(s)) 2A12 (x(s), y(s)) A22 (x(s), y(s)) ¯ ¯ ¯ ¯ 0 ¯ 0 ¯ x (s) ¯ y (s) 0 ¯ ¯ ¯ ¯ 0 0 ¯ 0 ¯ x (s) y (s)

este nenul, când curba C este o curb˘ a caracteristic˘ a determinantul este nul. Reg˘ asim ecua¸tia curbelor caracteristice A11 (x, y)dy 2 − 2A12 (x, y)dxdy + A22 (x, y)dx2 = 0.

13.9

Exerci¸tii

S˘ a se reduc˘ a la form˘ a canonic˘ a ecua¸tiile lineare cu coeficien¸ti constan¸ti: 1.

∂2u ∂x2

R.

∂2u ∂ξ 2

2

2

2

∂ u ∂ u + 2 ∂x∂z + 4 ∂∂yu2 + − 4 ∂x∂y

−

∂2u ∂η 2

−

∂2u ∂ζ 2

∂2u ∂z 2

= 0.

= 0, ξ = x + 12 y − z, η = − 12 y, ζ = z.

2. uxx + utt + uyy + uzz − 2utx + uxz + uty − 2uyz = 0.

R. ut0 t0 − ux0 x0 − uy0 y0 − uz0 z0 = 0, t0 = 12 t + 12 x − 12 y − 12 z,

x0 = 12 t + 12 x + 12 y + 12 z, y 0 = − 2√1 3 t +

z 0 = − 2√1 5 t +

13.10

1 √ x 2 5

−

1 √ y 2 5

+

1 √ x 2 3

+

1 √ y 2 3

1 √ z. 2 5

−

1 √ z, 2 3

Ecdpo2 cvasilineare în dou˘ a variabile.

Am v˘ azut c˘ a o ecdpo2 cvasilinear˘ a în n variabile cu coeficien¸ti constan¸ti poate fi redus˘ a la forma canonic˘ a. In cazul coeficien¸tilor variabili pentru a reduce la form˘ a canonic˘ a, func¸tiile ξi (x), i = 1, 2, ..., n care dau schimbarea de variabile ar trebui s˘ a verifice •

n(n−1) 2

condi¸tii A∗p,q = 0, p 6= q, p, q = 1, 2, ..., n;

• n − 1 condi¸tii A∗pp = εp A∗11 , p = 1, 2, ..., n − 1.

190

CAPITOLUL 13. ECUATII ¸ CU DERIVATE PARTIALE ¸ DE ORDINUL 2

Problema va fi posibila numai dac˘ a num˘ arul total de condi¸tii este mai mic decât num˘ arul de func¸tii necunoscute

n(n−1) 2

+ n − 1 ≤ n adic˘ a n ≤ 2. Vom ar˘ ata c˘ a în cazul

ecdpo2 cvasilineare cu doua variabile x, y putem stabili anumite forme canonice. Fie o asemenea ecua¸tie A11 (x, y)

∂2u ∂2u ∂ 2u ∂u ∂u + 2A (x, y) (x, y) + f (x, y, u, , ) = 0. + A 12 22 2 2 ∂x ∂x∂y ∂y ∂x ∂y

Ecua¸tia curbelor caracteristice ca linii de nivel constant este µ ¶2 µ ¶2 ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ + 2A12 (x, y) = 0, + A22 (x, y) A11 (x, y) ∂x ∂x ∂y ∂y µ ¶2 µ ¶2 ∂ϕ ∂ϕ + 6= 0, ∂x ∂y iar în diferen¸tiale este A11 (x, y)dy 2 − 2A12 (x, y)dxdy + A22 (x, y)dx2 = 0. Discriminantul care d˘ a tipul ecua¸tiei este δ(x, y) = A12 (x, y)2 − A11 (x, y)A2 (x, y). Dac˘ a ambii coeficien¸ti A11 (x, y), A22 (x, y) sunt nuli în domeniu atunci ecdpo2 este în domeniu de tip hiperbolic ¸si dup˘ a împ˘ a¸tire cu 2A12 se scrie ∂ 2u ∂u ∂u + f ∗ (x, y, u, , ) = 0 ∂x∂y ∂x ∂y sau cu schimbarea de variabile ξ = x + y, η = x − y ∂u ∂u ∂ 2u + f ∗∗ (ξ, η, u, , ) = 0. ∂ξ∂η ∂ξ ∂η In cazul general putem presupune A11 (x, y) nenul în domeniu. Prin schimbarea de variabile ξ = ξ(x, y), η = η(x, y) unde ξ(x, y), η(x, y) sunt func¸tii oarecare cu derivate par¸tiale de ordinul 2 continue ¸si cu iacobianul nenul ecua¸tia devine A∗11 (ξ, η)

∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂u ∂u ∗ ∗ + A + 2A (ξ, η) (ξ, η) + f ∗ (ξ, ξ, u, , ) = 0, 12 22 2 2 ∂ξ ∂ξ∂η ∂η ∂ξ ∂η

˘ VARIABILE. 13.10. ECDPO2 CVASILINEARE ÎN DOUA unde

191

µ ¶2 ∂ξ ∂ξ ∂ξ + A22 (x, y) + 2A12 (x, y) ∂x ∂y ∂y µ ¶ ∂ξ ∂η ∂ξ ∂η ∂ξ ∂η ∂ξ ∂η A∗12 = A11 (x, y) + A12 (x, y) + + A22 (x, y) ∂x ∂x ∂x ∂y ∂y ∂x ∂y ∂y µ ¶2 µ ¶2 ∂η ∂η ∂η ∂η A∗22 = A11 (x, y) + A22 (x, y) + 2A12 (x, y) . ∂x ∂x ∂y ∂y A∗11

µ

∂ξ = A11 (x, y) ∂x

¶2

Intre discriminan¸ti are loc rela¸tia µ

D(ξ, η) δ (ξ, η) = δ(x, y) D(x, y) ∗

¶2

In ipoteza A11 (x, y) 6= 0 ecua¸tia caracteristicilor se scrie p A12 (x, y) ± δ(x, y) 0 y = A11 (x, y) Dac˘ a suntem într-un domeniu de hiperbolicitate δ(x, y) > 0 acestea reprezint˘ a dou˘ a ecua¸tii diferen¸tiale ¸si dac˘ a coeficien¸tii sunt continui cele dou˘ a ecua¸tii admit dou˘ a integrale prime ξ(x, y) = C, η(x, y) = C date prin func¸tii cu derivate de ordinul doi continue. Ele satisfac ecua¸tia caracteristicilor ¸si ecua¸tiile p A12 (x, y) + δ(x, y) ∂ξ ∂ξ = − ∂x A11 (x, y) ∂y p A12 (x, y) − δ(x, y) ∂η ∂η = − ∂x A11 (x, y) ∂y de unde rezult˘ a p δ(x, y) ∂ξ ∂η ∂ξ ∂η ∂η ∂ξ D(ξ, η) = − = −2 . D(x, y) ∂x ∂y ∂x ∂y A11 (x, y) ∂y ∂y Cum derivatele par¸tiale ale ale fiec˘ arei func¸tii ξ(x, y), η(x, y) nu se pot anula simultan rezult˘ a c˘ a iacobianul este nenul ¸si putem considera schimbarea de variabile ξ = ξ(x, y), η = η(x, y). Atunci avem A∗11 (ξ, η) = 0, A∗22 (ξ, η) = 0 ¸si A∗12 (ξ, η) 6= 0 pentru c˘ a

δ ∗ (ξ, η) = A∗12 (ξ, η)2 6= 0. Dup˘ a împar¸tire cu A∗12 (ξ, η) ecua¸tia devine ∂ 2u ∂u ∂u + f ∗ (ξ, η, u, , ) = 0. ∂ξ∂η ∂ξ ∂η

Dac˘ a facem schimbarea de variabile ξ 0 = ξ + η, η 0 = ξ − η ecua¸tia cap˘ at˘ a forma ∂ 2u ∂2u ∂u ∂u + f ∗∗ (ξ 0 , η 0 , u, 0 , 0 ) = 0. − 02 02 ∂ξ ∂η ∂ξ ∂η

192

CAPITOLUL 13. ECUATII ¸ CU DERIVATE PARTIALE ¸ DE ORDINUL 2

Oricare din aceste forme se nume¸ste forma canonic˘a a ecdepo2 cvasilineare în dou˘a variabile de tip hiperbolic. Dac˘ a ecdpo2 este de tip parabolic δ(x, y) = 0 atunci avem o singur˘ a familie de caracteristici y0 =

A12 (x, y) A22 (x, y) = . A11 (x, y) A12 (x, y)

Când coeficien¸tii sunt continui avem o integral˘ a prim˘ a ξ(x, y) = C dat˘ a printr-o func¸tie de dou˘ a ori derivabil˘ a care verific˘ a rela¸tiile A12 (x, y) ∂ξ ∂ξ = − ∂x A11 (x, y) ∂y A22 (x, y) ∂ξ ∂ξ = − ∂x A12 (x, y) ∂y Alegând schimbarea de variabile ξ = ξ(x, y), η = η(x, y) unde func¸tia η(x, y) este supus˘ a numai condi¸tiei

D(ξ,η) D(x,y)

6= 0, totdeauna posibil˘ a, coeficien¸tii noi ecua¸tii vor fi astfel încât

A∗11 (ξ, η) = 0. Rezult˘ a ¸si A∗12 (ξ, η) = 0 ¸si A∗22 (ξ, η) 6= 0. Dup˘ a împ˘ ar¸tire cu A∗22 (ξ, η) ecdpo2 devine ∂ 2u ∂u ∂u + f ∗ (ξ, η, u, , ) = 0, 2 ∂η ∂ξ ∂η form˘ a numit˘ a forma canonic˘a a ecdpo2 cvasilineare în dou˘a variabile de tip parabolic.

In cazul ecdpo2 de tip eliptic δ(x, y) < 0 ecua¸tia caracteristicilor se descompune în dou˘ a ecua¸tii complex conjugate p A12 (x, y) ± i −δ(x, y) y = A11 (x, y) 0

De aceea vom c˘ auta integralele prime tot sub form˘ a complex˘ a conjugat˘ a ϕ(x, y) = ξ(x, y) ± iη(x, y). Inlocuind în rela¸tia

p A12 (x, y) + i −δ(x, y) ∂ϕ ∂ϕ =− ∂x A11 (x, y) ∂y

¸si separând par¸tile real˘ a ¸si imaginar˘ a ob¸tinem √ A12 ∂ξ −δ ∂η ∂ξ = − + ∂x A11 ∂y A ∂y √ 11 A12 ∂η ∂η −δ ∂ξ = − − ∂x A11 ∂y A11 ∂y

˘ VARIABILE. 13.10. ECDPO2 CVASILINEARE ÎN DOUA

193

Se poate ar˘ ata, ca la teorema lui Cauchy-Kovalesckaia, c˘ a dac˘ a coeficien¸tii ecdpo2 sunt func¸tii analitice atunci acest sistem are solu¸tie dat˘ a de func¸tii analitice, ceea ce îndrept˘ a¸te¸ste ipoteza cu privire la integrala prim˘ a ϕ(x, y). Observ˘ am c˘ a √ √ µ 2 ¯ ¯2 ¶ D(ξ, η) −δ ∂ξ −δ ¯¯ ∂ϕ ¯¯ ∂ξ ∂η ∂η ∂ξ ∂η 2 = = − = + 6= 0 D(x, y) ∂x ∂y ∂x ∂y A11 ∂y ∂y A11 ¯ ∂y ¯

Deci se poate face schimbarea de variabile ξ = ξ(x, y), η = η(x, y). Dac˘ a separ˘ am p˘ ar¸tile

real˘ a ¸si imaginar˘ a în ecua¸tia verificat˘ a de ϕ(x, y) = ξ(x, y) + iη(x, y) ob¸tinem rela¸tiile A∗11 (ξ, η) = A∗22 (ξ, η) 6= 0, A∗12 (ξ, η) = 0. Imp˘ ar¸tind cu A∗11 (ξ, η) ecua¸tia devine ∂ 2u ∂ 2u ∂u ∂u + 2 + f ∗ (ξ, η, u, , ) = 0, 2 ∂ξ ∂η ∂ξ ∂η

form˘ a numit˘ a forma canonic˘a a ecdpo2 cvasilineare în dou˘a variabile de tip eliptic. Exemplul 1. S˘ a reducem la form˘ a canonic˘ a ecdpo2 2 ∂ 2u ∂2u ∂u 2 ∂ u + 2 cos x x − sin = 0. − sin x 2 2 ∂x ∂x∂y ∂y ∂y

Avem în întreg planul xOy δ(x, y) = 1, adic˘ a în întreg planul ecua¸tia este de tip hiperbolic.Din ecua¸tia caracteristicilor în diferen¸tiale dy 2 − 2 cos xy 0 − sin2 x = 0 a familii de caracteristici avem y 0 = cos x ± 1 de unde ob¸tinem cele dou˘ y − sin x − x = C, y − sin x + x = C. E u¸sor de observat c˘ a prin fiecare punct al planului trece o câte o curb˘ a din fiecare familie. F˘ acând schimbarea de variabile ξ = y − sin x − x, η = y − sin x + x vom putea scrie 0

∂u ∂x

=

∂u (− cos x ∂ξ

− sin x

∂u ∂y

=

∂u ∂ξ

1 2 cos x − sin2 x

∂2u ∂x2

=

+

∂u ∂η

∂2u (1 ∂ξ 2

+ ∂u sin x + ∂ξ ∂2u ∂x∂y ∂2u ∂y2

=

=

∂2u ∂ξ 2

∂2u ∂ξ 2

− 1) +

∂u (− cos x ∂η

+ 1)

2

∂ u + cos x)2 + 2 ∂ξ∂η (− sin2 x) + ∂u ∂η

∂2u (1 ∂η2

− cos x)2 +

sin x

(− cos x − 1) + 2

∂ u + 2 ∂ξ∂η +

∂2u ∂η2

∂2u (−2 cos x) ∂ξ∂η

+

∂2u (− cos x ∂η 2

+ 1)

CAPITOLUL 13. ECUATII ¸ CU DERIVATE PARTIALE ¸ DE ORDINUL 2

194

Introducând în ecua¸tie (de asta am scris în stânga coeficien¸tii cu care intr˘ a în ecua¸tie fiecare derivat˘ a) vom avea forma canonic˘ a ∂ 2u = 0. ∂ξ∂η De aici g˘ asim solu¸tia general˘ a a ecdpo2 u(ξ, η) = α(ξ) + β(η), cu α, β func¸tii arbitrare de dou˘ a ori derivabile. Revenind la vechile variabile avem u(x, y) = α(y − sin x − x) + β(y − sin x + x). S˘ a presupunem c˘ a pentru ecdpo2 dat˘ a trebuie s˘ a rezolv˘ am problema lui Cauchy: s˘ a se determine acea solu¸tie a ecdpo2 pentru care cunoa¸stem u(x, y)|y=sin x = ϕ0 (x) ¯ ∂u ¯¯ = ϕ1 (x) ∂y ¯ y=sin x

a a lui Cauchy pentru c˘ a unde ϕ0 (x), ϕ1 (x) sunt func¸tii date. Aceasta este o problem˘ din cuno¸sterea func¸tiei u ¸si a derivatei sale

∂u ∂y

de-alungul curbei y = sin x rezult˘ a ¸si

cunoa¸sterea derivatei normale de-alungul curbei. Curba y = sin x nefiind curb˘ a caracteristic˘ a, aceast˘ a problem˘ a are solu¸tie unic˘ a. In adev˘ ar din prima condi¸tie folosind solu¸tia general˘ a ob¸tinem α(−x) + β(x) = ϕ0 (x). Din a doua condi¸tie avem α0 (−x) + β 0 (x) = ϕ1 (x) pe care integrând-o devine −α(−x) + β(x) =

Zx

ϕ1 (t)dt + C.

0

Rezult˘ a 

Zx





Z0



1 1 ϕ0 (x) − ϕ1 (t)dt + C  , α(x) = ϕ0 (−x) + ϕ1 (t)dt + C  , 2 2 0 −x   x Z 1 β(x) = ϕ0 (x) + ϕ1 (t)dt − C  2

α(−x) =

0

˘ VARIABILE. 13.10. ECDPO2 CVASILINEARE ÎN DOUA

195

¸si deci g˘ asim singura solu¸tie 1 1 u(x, y) = (ϕ0 (−y + sin x + x) + ϕ0 (y − sin x + x)) + 2 2

y−sin Z x+x

ϕ1 (t)dt.

−y+sin x+x

Exemplul 2. S˘ a reducem la form˘ a canonic˘ a ecdpo2 x2

2 ∂ 2u ∂ 2u 2∂ u + 2xy = 0. + y ∂x2 ∂x∂y ∂y 2

Discriminantul este δ(x, y) = x2 y 2 −x2 y 2 = 0, deci ecua¸tia este de tip parabolic în întreg planul xoy. Ecua¸tia caracteristicilor x2 y 02 − 2xyy 0 + y 2 = 0 se mai scrie xdy − ydx = 0 adic˘ a avem singura familie de curbe caracteristice y =C x definite în semiplanele x > 0 sau x < 0. Facem schimbarea de variabile y , x η = x. ξ =

Prin fiecare punct al fiec˘ aruia din semiplanele de mai sus trece câte o dreapt˘ a din fiecare familie ξ =constant, η = constant. Vom avea 0

|

0

|

x2

|

2xy | y2

|

¡ y¢ − x2 +

∂u ∂x

=

∂u ∂ξ

∂u ∂y

=

∂u 1 ∂ξ x

∂2u ∂x2

∂2u ∂y2

∂ 2 u y2 ∂ξ 2 x4

2

2

2y ∂ u + ∂∂ηu2 + ∂u − 2 xy2 ∂ξ∂η ∂ξ x3 ¢ ∂ 2 u 1 ∂u ¡ 1 ¢ 2 ¡ = ∂∂ξu2 − xy3 + ∂ξ∂η + ∂ξ − x2 x

=

∂2u ∂x∂y

∂u ∂η

=

∂2u 1 ∂ξ 2 x2

Introducând în ecua¸tie ob¸tinem forma canonic˘ a ∂ 2u = 0. ∂η 2

196

CAPITOLUL 13. ECUATII ¸ CU DERIVATE PARTIALE ¸ DE ORDINUL 2

Putem ob¸tine solu¸tia general˘ a u(ξ, η) = α(ξ) + ηβ(ξ) sau în vechile variabile u(x, y) = α

³y ´ x

+ xβ

α, β fiind func¸tii arbitrare de dou˘ a ori derivabile.

³y´ x

,

Dac˘ a not˘ am cu θ(x, y), r(x, y) coordonatele polare ale punctului (x, y), observ˘ am c˘ a θ(x, y) = constant sunt caracteristici ale ecua¸tiei de mai sus. Dac˘ a facem schimbarea de variabile θ = θ(x, y), r = r(x, y) vom ob¸tine forma canonic˘ a ∂ 2u =0 ∂r2 din care ob¸tinem solu¸tia general˘ a u(x, y) = α(θ(x, y)) + r(x, y)β(θ(x, y)) tot cu α, β func¸tii arbitrare. Exemplul 3. Fie ecdpo2 2 u 2∂ u +y = 0. x ∂x2 ∂y 2 2∂

2

Discriminantul δ(x, y) = −x2 y 2 este strict negativ în fiecare cadran al planului, deci aici ecua¸tia este de tip eliptic. Ecua¸tia caracteristicilor x2 y 02 + y 2 = 0 se poate scrie xdy = iydx cu integrala prim˘ a complex˘ a ln |y| − i ln |x| = C. Facem schimbarea de variabile ξ = ln |y|, η = ln |x|.

13.11. EXERCITII ¸

197

Avem 0

|

0

|

x2 |

y2 |

∂u ∂x

=

∂u 1 ∂η x

∂u ∂y

=

∂u 1 ∂ξ y

∂2u ∂x2

=

∂2u 1 ∂η2 x2

∂2u ∂y2

=

∂2u 1 ∂ξ 2 y 2

Inlocuind în ecua¸tie ob¸tinem forma canonic˘ a

¡ 1¢ − 2 ³ x ´ − y12 + ∂u ∂ξ +

∂u ∂η

∂ 2 u ∂ 2 u ∂u ∂u − = 0. + − ∂ξ 2 ∂η 2 ∂η ∂ξ

13.11

Exerci¸tii

1. S˘ a se reduc˘ a la forma canonic˘ a urmatoarele ecua¸tii ¸si s˘ a se g˘ aseasc˘ a solu¸tia lor general˘ a: a. x2 uxx − y 2 uyy = 0.

R. uξη − 12 uη = 0, ξ = xy, η = xy ; u = ϕ(xy) +

√ xyψ( xy ).

b. x2 uxx + 2xyuxy + y 2 uyy = 0.

R. uηη = 0, ξ = xy , η = y; u = ϕ( xy ) + yψ( xy ). c. uxx − 2 sin xuxy − cos2 xuyy − cos xuy = 0. R. uξη = 0, ξ = x + y − cos x, η = x − y + cos x; u = ϕ(x + y − cos x) + ψ(x − y + cos x). 2. S˘ a se g˘ aseasc˘ a solu¸tia ecua¸tiei 1 (a − x)uxx − ux − uyy = 0, 0 < x < a, 2 cu condi¸tiile u(x, 0) = f (x), uy (x, 0) = g(x). R √ (β) + 12 αβ √g(z) dz, α = x − a − x − 14 y 2 , unde R. u = f (α)+f 2 a−z √ β = x + a − x − 14 y 2 .

3. S˘ a se arate c˘ a solu¸tia u(x, t) a ecua¸tiei utt − a2 uxx = 0 cu condi¸tiile u(vt, t) = 0,

ux (vt, t) = f (t) este t+ x a

u(x, t) =

a(1 − β 2 ) 2

Z1+β

t− x a 1−β

v f (z)dz, unde β = . a

198

CAPITOLUL 13. ECUATII ¸ CU DERIVATE PARTIALE ¸ DE ORDINUL 2

4. S˘ a se reduc˘ a la forma canonic˘ a ecua¸tiile: a. uxx − 2 cos xuxy − (3 + sin2 x)uyy − yuy = 0. R. uξη +

η−ξ (uξ 32

− uη) = 0, ξ = 2x + sin x + y, η = 2x − sin x − y.

b. uxx − 2xuxy + x2 uyy − 2uy = 0. R. uηη − uξ = 0, ξ =

x2 2

+ y, η = x.

c. (1 + x2 )uxx + (1 + y 2 )uyy + xux + yuy = 0. p √ R. uξξ + uηη = 0, ξ = ln(x + 1 + x2 ), y = ln(y + 1 + y 2 ).

CAPITOLUL 14 FUNC¸ TII ARMONICE 14.1

Scurt istoric

Vom încerca în acest paragraf s˘ a prezent˘ am pe scurt cum au ap˘ arut func¸tiile armonice în istoria ¸stiin¸tei. Facem acest lucru pentru c˘ a ideile lui Laplace s-au dovedit deosebit de folositoare, ele punând bazele apari¸tiei ecua¸tiilor lui Maxwell ale câmpului electromagnetic ¸si mai târziu ale ecua¸tiilor câmpurilor legate de particulele elementare. Cred c˘ a nu gre¸sim dac˘ a afirm˘ am c˘ a marea aventur˘ a a ¸stiin¸tei a început odat˘ a cu formularea de c˘ atre Kepler între anii 1609 ¸si 1618, pe baza observa¸tiilor lui Ticho Brache, a legilor care îi poart˘ a numele: • planetele asimilate cu puncte materiale descriu în jurul soarelui traiectorii plane ¸si anume elipse, soarele fiind plasat în focarul elipsei; • mi¸scarea se face dup˘ a legea ariilor, adic˘ a raza vectoare a planetei în raport cu soarele m˘ atur˘ a arii egale în intervale de timp egale; • raportul dintre cubul axei mari a elipsei ¸si p˘ atratul timpului de revolu¸tie este acela¸si pentru toate planetele. Din aceste legi frumoase, dar complicate, Newton a dedus o lege mult mai simpl˘ a, dar ¸si surprinz˘ atoare, legea numit˘ a a atrac¸tiei universale: între orice dou˘ a corpuri ac¸tioneaz˘ a for¸te de atrac¸tie direct propor¸tionale cu masele lor ¸si invers propor¸tionale cu p˘ atratul distan¸tei dintre ele. Cunoscând azi legile lui Newton ale mecanicii putem stabili u¸sor

CAPITOLUL 14. FUNCTII ¸ ARMONICE

200

legea atrac¸tiei universale plecând de la legile lui Kepler. S˘ a presupunem c˘ a planeta descrie o elips˘ a cu semiaxa mare a, cu distan¸ta de la focar la centru c ¸si axa mic˘ a √ b = a2 − c2 . Raportând planul elipsei la un sistem de coordonate rectangular cu originea în focarul F ¸si cu axa F x dup˘ a dreapta care une¸ste centrul elipsei cu focarul, coordonatele planetei M(x, y), func¸tii de timp, vor verifica ecua¸tia c b2 (∗) r + x = , a a

r=

p x2 + y 2 .

(Am scris c˘ a elipsa este locul punctelor pentru care raportul dintre distan¸ta la focar si distan¸ta la directoarea focarului, dreapta perpendicular˘ a pe axa focarelor de ecua¸tie b2 , c

este constant egal cu excentricitatea e = −−→ In timpul dt raza vectoare F M m˘ atur˘ a aria ¯ ¯ ¯ 0 0 1 1 ¯¯ dA = ¯ x y 1 2¯ ¯ ¯ x + dx y + dy 1

x=

¸si deci dup˘ a a doua lege a lui Kepler vom avea

c ). a

¯ ¯ ¯ ¯ 1 ¯ ¯ = (xdy − ydx) ¯ 2 ¯ ¯

dA 1 1 = (xy˙ − y x) ˙ = C. dt 2 2 (Prin x˙ am notat derivata lui x în raport cu t, etc). RT dt = 12 CT = πab rezult˘ Cum aria total˘ a a elopsei este A = dA aC= dt 0

2πab T

¸si deci pe

traiectorie vom avea rela¸tia

(∗∗) xy˙ − y x˙ =

2πab . T

a asupra planetei, vom avea dup˘ a Dac˘ a not˘ am cu F~ = X~i + Y ~j for¸ta care ac¸tioneaz˘ a dou˘ a lege a mecanicii a lui Newton x¨ =

X Y , y¨ = , m m

m fiind masa planetei. Derivând în raport cu timpul rela¸tia (∗∗) avem x¨ y − y¨ x = 0 ¸si deci avem X = xΦ, Y = yΦ , adic˘ a for¸ta este central˘ a (trece prin origine). Derivând de dou˘ a ori rela¸tia (∗) ob¸tinem 4π2 a2 b2 1 Φ³ c ´ + r + x =0 T 2 r3 m a

14.1. SCURT ISTORIC

201

sau 4π 2 a2 b2 1 Φ b2 =0 + T 2 r3 m a 3

de unde Φ = −4π 2 Ta 2 m r13 . Tinând ¸ cont ¸si de legea a treia a lui Kepler rezult˘ a c˘ a for¸ta cu

care ac¸tioneaz˘ a soarele de mas˘ a M asupra planetei de mas˘ a m are m˘ arimea F = Km r12 , K fiind o constant˘ a care depinde numai de soare. Dup˘ a legea ac¸tiunii-reac¸tiunii a lui

Newton, planeta ac¸tioneaz˘ a asupra soarelui cu o for¸ta˘ egal˘ a în m˘ arime, dar ¸si egal˘ a cu kM r12 , k depinzând numai de planet˘ a, ¸si deci Km = kM. Rezult˘ a poate fi oricare, rezult˘ a c˘ a raportul f =

K M

K M

=

k . m

Cum planeta

este o constant˘ a universal˘ a ¸si deci m˘ arimea

for¸tei cu care un corp de mas˘ a M ac¸tioneaz˘ a asupra unui corp de mas˘ a m situat la distan¸ta r este F = f Mm

1 r2

adic˘ a legea lui Newton a atrac¸tiei universale. In legea lui Newton a atrac¸tiei universale este surprinz˘ atoare ac¸tiunea instantanee la distan¸ta˘ între cele dou˘ a corpuri. Acest lucru l-a surprins ¸si pe Laplace. Pentru a explica acest lucru, Laplace ajunge la concluzia c˘ a prezen¸ta în punctul (x0 , y0 , z0 ) a oric˘ arui corp de mas˘ a M implic˘ a apari¸tia în întreg spa¸tiu a ceva substan¸tial, material, ceva pe care ast˘ azi îl numim câmp ¸si c˘ aruia îi asociem ca ¸si Laplace un poten¸tial, adic˘ a o func¸tie 1 u(x, y, z) = f M q (x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z − z0 )2

al c˘ arui gradient este for¸ta de atrac¸tie cu care corpul ac¸tioneaz˘ a asupra unui corp de mas˘ a unitate plasat în (x, y, z) . Ideea genial˘ a a lui Laplace a fost aceea de a considera nu numai poten¸tialul u ¸si gradientul s˘ au ci ¸si ecua¸tia cu derivate par¸tiale pe care o verific˘ a poten¸tialul. Ori dac˘ a not˘ am r =

q (x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z − z0 )2 se vede imediat c˘ a x − x0 ∂r = ∂x r

¸si deci ∂u x − x0 = −f M . ∂x r Mai derivând odat˘ a 2

"

2

(x − x0 ) ∂ u 1 = −f M − 3 + 3 2 ∂x r r5

#

.

CAPITOLUL 14. FUNCTII ¸ ARMONICE

202 Adunând formulele analoage ultimei g˘ asim

∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u + + = 0, ∂x2 ∂y 2 ∂z 2 adic˘ a ceea ce ast˘ azi numim ecua¸tia lui Laplace. Ideea lui Laplace de a înlocui formula explicit˘ a care d˘ a ac¸tiunea la mare distan¸ta˘ prin câmp ¸si prin ecua¸tia cu derivate par¸tiale verificat˘ a de poten¸tialul câmpului, adic˘ a prin ac¸tiunea la mic˘ a distan¸ta˘ dintre domeniile vecine ale câmpului, a fost deosebit de fructuoas˘ a.

14.2

Func¸tii armonice, defini¸tii

Vom începe prin a generaliza defini¸tia dat˘ a func¸tiilor armonice în capitolul de teoria func¸tiilor de variabil˘ a complex˘ a. Defini¸tia 1. Fie D un domeniu în spa¸tiul n-dimensional Rn . O func¸tie real˘ a u(M) = u(x1 , x2 , ..., xn ) definit˘ a în punctele M(x1 , x2 , ..., xn ) ale domeniului D se nume¸ste armonic˘a în acest domeniu dac˘ a ea este continu˘ a în D, admite derivate par¸tiale continue în D pân˘ a la ordinul doi inclusiv ¸si satisface în D ecua¸tia cu derivate par¸tiale a lui Laplace ∆u =

n X ∂ 2u k=1

∂x2k

=

∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u + + ... + = 0. ∂x21 ∂x22 ∂x2n

¯ închiderea unui domeniu D în spa¸tiul n-dimensional Rn . O Defini¸tia 2. Fie D ¯ se a în punctele M(x1 , x2 , ..., xn ) ale lui D func¸tie real˘ a u(M) = u(x1 , x2 , ..., xn ) definit˘ ¯ dac˘ ¯ ¸si este armonic˘ nume¸ste armonic˘a în D a ea este continu˘ a în D a în D. Defini¸tia 3. O func¸tie real˘ a u(M) = u(x1 , x2 , ..., xn ) definit˘ a în punctele unui domeniu D se nume¸ste armonic˘ a în punctul M0 ∈ D dac˘ a ea este armonic˘ a într-o vecin˘ atate a lui M0 (deci ¸si într-o sfer a˘ cu centrul în M0 ).

14.3

Func¸tii armonice de o variabil˘ a.

Dac˘ a n = 1, domeniul D este un interval (a, b) ¸si deci o func¸tie armonic˘ a în D este o func¸tie real˘ a u(x) definit˘ a în punctele M(x) ale intervalului, continu˘ a în acest interval,

˘ . 14.3. FUNCTII ¸ ARMONICE DE O VARIABILA

203

cu derivata de ordinul doi continu˘ a ¸si nul˘ a u00 (x) = 0 în acest interval. Func¸tia u(x) poate fi interpretat˘ a ca temperatura sta¸tionar˘ a, independent˘ a de timp, în sec¸tiunea de abscis˘ a x a unei bare dispuse dup˘ a intervalul [a, b], în bar˘ a neexistând surse de c˘ aldur˘ a. O asemenea func¸tie este o func¸tie linear˘ a u(x) = αx + β. Vom observa acum c˘ a aceste func¸tii lineare - func¸tiile armonice de o variabil˘ a - au o serie de propriet˘ a¸ti caracteristice. Dac˘ a u(x) este o func¸tie linear˘ a pe un interval, atunci valoarea sa în mijlocul oric˘ arui subinterval [c, d] este media valorilor func¸tiei pe acest interval ¸si totodat˘ a media aritmetic˘ a a valorilor func¸tiei în capetele intervalului: µ

c+d u 2

¶

1 = d−c

Zd

u(x)dx =

u(c) + u(d) . 2

c

Dac˘ a se ia ca direc¸tie a normalei exterioare ~n la frontiera segmentului [c, d] pe axa Ox în d direc¸tia acestui segment ¸si în c - direc¸tia opus˘ a, atunci suma valorilor derivatelor dup˘ a direc¸tia lui ~n în capetele segmentului [c, d] ( u0(d) − u0(c) = 0 ) ale oric˘ arei func¸tii lineare este nul˘ a. Vom observa c˘ a aceste propriet˘ a¸ti sunt caracteristice func¸tiilor lineare de o variabil˘ a: orice func¸tie continu˘ a pe un interval cu una din aceste propriet˘ a¸ti este func¸tie lineara. S˘ a mai observ˘ am c˘ a dac˘ a o func¸tie este linear˘ a pe intervalul [a, b], atunci ea nu-¸si poate atinge valoarea minim˘ a sau maxim˘ a in interiorul intervalului, exceptând cazul când este constant˘ a în acest interval. Dac˘ a o func¸tie este linear˘ a pe [a, b] atunci valorile sale pe acest interval sunt perfect determinate de valorile în capetele intervalului (frontiera intervalului): u(x) = u(a)

b−x x−a + u(b) . b−a b−a

Rela¸tia de mai sus poate fi interpretat˘ a ca dând temperatura sta¸tionar˘ a în bar˘ a când se cunosc valorile sale la capete, în bar˘ a neexistând surse de c˘ aldur˘ a. Dac˘ a am considera c˘ a în bar˘ a exist˘ a ¸si surse de intensitate dat˘ a f (x) am avea de determinat func¸tia u(x) solu¸tie a ecua¸tiei u00 (x) = f (x) care în capete are valorile u(a), u(b). Dup˘ a formula lui Taylor cu rest integral avem 0

u(x) = u(a) + u (a)(x − a) +

Zx a

(x − y)u00 (y)dy.

CAPITOLUL 14. FUNCTII ¸ ARMONICE

204

Punând x = b determin˘ am necunoscuta u0 (a) ¸si dup˘ a înlocuire ob¸tinem x−a b−x + u(b) + u(x) = u(a) b−a b−a +

Za x

a

(b − x) (a − y) f (y)dy + b−a

(a − x) (b − y) f (y)dy, b−a

sau notând G(x, y) = vom avea

Zx

  

(b−x)(a−y) , b−a (a−x)(b−t) , b−a

pentru y ≤ x, pentru y ≥ x,

b−x x−a u(x) = u(a) + u(b) + b−a b−a

Zb

G(x, y)f (y)dy.

a

Pentru a vedea semnifica¸tia formulei stabilite s˘ a proced˘ am altfel. Anume, plecând de la rela¸tiile evidente Zβ

00

u (y)v(y)dy +

α

Zβ α

Zβ α

v00 (y)u(y)dy +

Zβ α

¯ u0 (y)v 0 (y)dy = u(y)v 0 (y) ¯βα ¯ u0 (y)v 0 (y)dy = v(y)u0 (y) ¯βα ,

prin sc˘ adere ob¸tinem rela¸tia de reciprocitate Zβ α

¯ ¯ ¯ β 00 00 0 0 . (u (y)v(y) − v (y)u(y)) dy = (u(y)v (y) − v(y)u (y)) ¯¯ ¯ α

Aplicând aceast˘ a rela¸tie func¸tiilor u(y), v(x, y) pe intervalele [a, x − ε], [x + ε, b] ¸si f˘ acând ε → 0 se vede c˘ a dac˘ a ¸si numai dac˘ a func¸tia v(x, y) satisface condi¸tiile ∂2v (x, y) = 0, y ∈ (a, x) ∪ (x, b), ∀x ∈ (a, b), ∂y 2 v(x, a) = 0, v(x, b) = 0, v(x, x − 0) = v(x, x + 0),

∂v ∂v (x, x + 0) − (x, x − 0) = 1, ∂y ∂y atunci ∂v ∂v u(x) = −u(a) (x, a) + u(b) (x, b) + ∂y ∂y

Zb a

v(x, y)f (y)dy.

˘ VARIABILE 14.4. FUNCTII ¸ ARMONICE DE DOUA

205

Dar se vede u¸sor c˘ a singura func¸tie v(x, y) care satisface condi¸tiile de mai sus este func¸tia G(x, y) definit˘ a mai sus ¸si c˘ a cele dou˘ a rela¸tii care dau pe u(x) coincid. Condi¸tiile verificate de G(x, y) arat˘ a c˘ a aceasta ca func¸tie de y este temperatura în sec¸tiunea y datorat˘ a unei surse unitare plasate în x, capetele fiind men¸tinute la temperatur˘ a nul˘ a. Distribu¸tia generat˘ a de G(x, y) verific˘ a evident ecua¸tia ∆y G(x, y) = δ(y − x), care atest˘ a înc˘ a odat˘ a cele spuse mai sus. Func¸tia G(x, y) se nume¸ste func¸tia de surs˘a sau func¸tia Green pentru cazul unidimensional. Vom ar˘ ata c˘ a propriet˘ a¸ti asem˘ an˘ atoare celor de mai sus sunt caracteristice func¸tiilor armonice de oricâte variabile.

14.4

Func¸tii armonice de dou˘ a variabile

Dac˘ a n = 2, o func¸tie armonic˘ a în domeniul D este o func¸tie real˘ a u(x, y) definit˘ a în punctele M(x, y) ale domeniului D, continu˘ a în D, cu derivate par¸tiale pân˘ a la ordinul doi inclusiv continue în D ¸si satisf˘ acând în D ecua¸tia lui Laplace în dou˘ a variabile ∆u =

∂ 2u ∂ 2u + = 0. ∂x2 ∂y 2

Am v˘ azut c˘ a exist˘ a o foarte strâns˘ a leg˘ atur˘ a între func¸tiile armonice în domeniul D ¸si func¸tiile olomorfe sau mai general func¸tiile analitice în domeniul D: dac˘ a u(x, y) este o func¸tie armonic˘ a în domeniul simplu conex D atunci exist˘ a o func¸tie w(z) = u(x, y) + iv(x, y) olomorf˘ a în D, determinat˘ a abstrac¸tie f˘ acând de o constant˘ a aditiv˘ a imaginar˘ a ¸si a c˘ arei parte real˘ a este func¸tia armonic˘ a u(x, y); dac˘ a u(x, y) este o func¸tie armonic˘ a în domeniul multiplu conex D atunci exist˘ a o func¸tie w(z) = u(x, y) + iv(x, y) analitic˘ a în D, în general multiform˘ a, a c˘ arei parte real˘ a este func¸tia armonic˘ a u(x, y). Pe baza acestui fapt putem demonstra u¸sor c˘ a func¸tiile armonice de dou˘ a variabile au propriet˘ a¸ti de genul celor de la func¸tiile lineare de o variabil˘ a. Fie u(x, y) o func¸tie armonic˘ a într-un domeniu D ¸si fie z0 = x0 + iy0 un punct din D. Dac˘ a cercul |z − z0 | ≤ r este complet con¸tinut în D, atunci exist˘ a conjugata armonic˘ a v(x, y) astfel încât func¸tia w(z) = u(x, y) + iv(x, y) este olomorf˘ a în acest cerc. Conform

CAPITOLUL 14. FUNCTII ¸ ARMONICE

206 formulei lui Cauchy avem

Z

1 w(z0 ) = 2πi

|z−z0 =r|

w(z) dz, z − z0

sau notând z − z0 = reiϕ , 0 ≤ ϕ ≤ 2π, ds = rdϕ, Z Z2π ¢ ¡ 1 1 iϕ w (z0 ) = w z0 + re dϕ = w(z)ds. 2π 2πr 0

|z−z0 |=r

Luând partea real˘ a ob¸tinem 1 u (x0 , y0 ) = 2πr

Z

u(x, y)ds,

|z−z0 |=r

adic˘ a am demonstrat prima proprietate întâlnit˘ a la func¸tiile lineare: T1. (Teorema de medie a lui Gauss) Dac˘ a o func¸tie u(x, y) este armonic˘ a într-un domeniu D, atunci ea are proprietatea de medie, adic˘ a valoarea sa în orice punct este media valorilor sale pe orice cerc cu centrul în acest punct ¸si complet con¸tinut în D. Fie acum u(x, y) o func¸tie armonic˘ a într-un domeniu ¸si un subdomeniu m˘ arginit simplu conex D cu frontier˘ a ∂D neted˘ a pe por¸tiuni. Atunci exist˘ a o func¸tie v(x, y) - conjugata armonic˘ a a func¸tiei u(x, y) în D. Func¸tia v(x, y) este uniform˘ a ¸si func¸tia w(z) = u(x, y) + iv(x, y) este olomorf˘ a în D . In virtutea rela¸tiilor lui Cauchy-Riemann vom putea scrie

Z

∂D

∂u ds = − ∂n

Z

∂v ds = − var v(x, y) = 0. ∂D ∂s

∂D

Dac˘ a acum D este un domeniu m˘ arginit multiplu conex cu frontier˘ a ∂D neted˘ a pe ˜ , ob¸tinut din D prin por¸tiuni, aplicând rezultatul de mai sus domeniului simplu conex D practicarea de t˘ aieturi, ¸si ¸tinând cont c˘ a sensurile pe cele dou˘ a borduri ale t˘ aieturilor sunt opuse, rezult˘ a urm˘ atoarea proprietate asem˘ an˘ atoare celei de a dou˘ a propriet˘ a¸ti a func¸tiilor lineare: T2. Dac˘ a u(x, y) este o func¸tie armonic˘ a într-un domeniu, atunci oricare ar fi subdomeniul marginit D cu frontier˘ a ∂D neted˘ a pe por¸tiuni, integrala pe frontiera ∂D a R ∂u ds = 0 . derivatei normale a lui u(x, y) este nul˘ a: ∂n ∂D

Componentele frontierei ∂D sunt aici parcurse în a¸sa fel încât domeniul D s˘ a r˘ amân˘ a

la stânga.

˘ VARIABILE 14.4. FUNCTII ¸ ARMONICE DE DOUA

207

Din teorema de medie a lui Gauss rezult˘ a o alt˘ a proprietate important˘ a a func¸tiilor armonice: T3. (Principiul de maxim s¸i minim pentru func¸tii armonice) Dac˘ a func¸tia u(x, y) este armonic˘ a în domeniul D ea nu-¸si poate atinge nic˘ aieri în interiorul domeniului cea mai mic˘ a ¸si cea mai mare valoare cu excep¸tia cazului când este constant˘ a. Presupunem prin absurd c˘ a exist˘ a un punct M0 interior domeniului D astfel încât oricare ar fi M ∈ D s˘ a avem u(M) ≤ u(M0 ). Exist˘ a un cerc cu centrul în M0 de raza ε. Ar˘ at˘ am ca în toate punctele acestui cerc valoarea func¸tiei coincide cu u(M0 ). Dac˘ a ar exista pe cerc un punct M ∗ astfel c˘ a a u(M ∗ ) < u(M0 ) atunci ar exista o întreag˘ vecin˘ atate a sa în care s˘ a aib˘ a loc inegalitatea strict˘ a; atunci pe cerc exist˘ a dou˘ a mul¸timi de puncte: una s1 în care are loc inegalitatea strict˘ a, alta s2 în care are loc inegalitatea nestrict˘ a. Dup˘ a proprietatea de medie Z 1 1 u(M0 ) = (u(M0 )l(s1 ) + u(M0 )l(s2 )) = u(M0 ). u(m)dsM < 2πε 2πε s1 +s2

a c˘ a Am ajuns la o contradic¸tie. Deci pe tot cercul func¸tia are valoarea u(M0 ). Rezult˘ de fapt în interiorul cercului func¸tia are aceea¸si valoare. Dac˘ a M este un alt punct al domeniului D, îl unim pe M0 cu M printr-o curb˘ a C con¸tinut˘ a în domeniu. Fie ε un num˘ ar mai mic decât distan¸ta dela C la ∂D. In interiorul cercului cu centrul în M0 de a punctul M se afl˘ a în acest cerc atunci raz˘ a ε func¸tia are valoare constant˘ a u(M0 ). Dac˘ U(M) = u(M0 ). Dac˘ a nu, lu˘ am un cerc cu centrul într-un punct M1 din primul cerc de a M se afl˘ a in acest al doilea cerc, raz˘ a ε. In acest cerc func¸tia ia valoarea u(M0 ). Dac˘ u(M) = u(M0 ), dac˘ a nu, continu˘ am ra¸tionamentul. Cum curba C are o lungime finit˘ a, ea este acoperit˘ a cu un num˘ ar finit de cercuri de raz˘ a ε ¸si la sfâr¸sit ajungem la concluzia c˘ a u(M) = u(M0 ). Deci în tot domeniul func¸tia este o constant˘ a. Din principiul de maxim ¸si minim rezult˘ a T4. (Teorema maximului s¸i minimului func¸tiilor armonice). Dac˘ a func¸tia u(x, y) este armonic˘ a în domeniul m˘ arginit D, continu˘ a pân˘ a la frontier˘ a ¸si neconstant˘ a în D, atunci maximul ¸si minimul s˘ au se ating numai pe frontier˘ a. De aici rezult˘ a c˘ a dac˘ a func¸tia u(x, y) este armonic˘ a în domeniul m˘ arginit D, continu˘ a pân˘ a la frontier˘ a ¸si dac˘ a m, M sunt marginea inferioar˘ a, respectiv superioar˘ a a lui u pe frontiera ∂D , atunci peste tot în domeniul D au loc inegalit˘ a¸tile m ≤ u(x, y) ≤ M,

CAPITOLUL 14. FUNCTII ¸ ARMONICE

208

pentru c˘ a în caz contrar, maximul ¸si minimul lui u s-ar atinge în interiorul lui D. In particular, dac˘ a m = M = 0 atunci u(x, y) = 0 în D. Deci T5. Dou˘ a func¸tii armonice în domeniul m˘ arginit D, continue pân˘ a la frontier˘ a coincid în D dac˘ a au acelea¸si valori pe frontiera lui D. In cazul unui domeniu nem˘ arginit inegalitatea m ≤ u(x, y) ≤ M nu are totdeauna loc. De exemplu func¸tia u(x, y) = x armonic˘ a în semiplanul x ≥ 0 fiind nem˘ arginit˘ a în acest semiplan ia valori nule pe frontier˘ a. Are totu¸si loc urm˘ atoarea teorem˘ a: T6. Dac˘ a func¸tia u(x, y) este armonic˘ a în domeniul nem˘ arginit D ¸si este continu˘ a ¸si m˘ arginit˘ a în închiderea domeniului D atunci are loc rela¸tia m = inf

(x,y)∈∂D

u(x, y) ≤ u(x, y) ≤ sup

u(x, y) = M.

(x,y)∈∂D

/ D. Fie DεR domeniul m˘ arginit de cercurile Pentru demonstra¸tie fie P0 ∈ D ¸si P ∗ ∈

cu centrul în P ∗ de raze ε < dist(M ∗ , ∂D) respectiv R > dist(P ∗ , P0 ). Pentru punctele P de pe frontiera intersec¸tiei D ∩ DεR are loc rela¸tia u(P ) − M ≤ 2 sup u(P ) P ∈D

ln rPε∗ P = v(P ). ln Rε

Am notat prin rP ∗ P distan¸ta de la P ∗ la P . Cum v(P ) este o func¸tie armonic˘ a din principiul de maxim rezult˘ a r

∗

ln P εP0 u(P0 ) − M ≤ 2 sup u(P ) = v(P0 ), ln Rε P ∈D acând R → ∞ rezult˘ a u(P0 ) ≤ M. inegalitate valabil˘ a oricare ar fi R > dist(P ∗ , P0 ). F˘ Considerând func¸tia −u(P ) avem u(P0 ) ≥ m, cctd. Avem evident teorema T7. Dou˘ a func¸tii armonice în domeniul nem˘ arginit D, continue ¸si m˘ arginite în închiderea domeniului, coincid în D dac˘ a au acelea¸si valori pe frontiera lui D.

14.5

Problema lui Dirichlet

Problema determin˘ arii unei func¸tii armonice într-un domeniu D când se cunosc valorile sale pe frontier˘ a se nume¸ste problema lui Dirichlet pentru func¸tii armonice. Teoremele precedente se pot enun¸ta ¸si sub forma

˘ VARIABILE 209 14.6. ANALITICITATEA FUNCTIILOR ¸ ARMONICE DE DOUA T8. Solu¸tia problemei lui Dirichlet pentru domenii m˘ arginite ¸si date continue pe frontier˘ a este unic˘ a. T9. Solu¸tia m˘ arginit˘ a a problemei lui Dirichlet pentru domenii nem˘ arginite ¸si date continue pe frontier˘ a este unic˘ a. Dac˘ a nu se impune condi¸tia de m˘ arginire în cazul domeniilor nem˘ arginite solu¸tia poate s˘ a nu fie unic˘ a. De exemplu func¸tia u(x, y) = y este armonic˘ a în semiplanul y > 0, este continu˘ a pân˘ a la frontier˘ a ¸si este nul˘ a pe frontier˘ a; în acela¸si timp func¸tia nul˘ a peste tot satisface acelea¸si condi¸tii. La fel în cazul domeniilor m˘ arginite dac˘ a nu se impune condi¸tia de m˘ arginire chiar în cazul unui singur punct de discontinuitate solu¸tia ¡ 1+z ¢ 1−x2 −y2 = <e poate s˘ a nu fie unic˘ a; de exemplu, func¸tia u(x, y) = (x−1) este armonic˘ a 2 2 1−z +y

în cercul unitate, continu˘ a pân˘ a la frontier˘ a cu excep¸tia punctului (1, 0), este nul˘ a în

toate punctele cercului cu excep¸tia punctului (1, 0); func¸tia peste tot nul˘ a este armonic˘ a în cercul unitate ¸si e nul˘ a pe frontier˘ a.

14.6

Analiticitatea func¸tiilor armonice de dou˘ a variabile

Dat fiind c˘ a o func¸tie armonic˘ a într-un domeniu plan este în vecin˘ atatea oric˘ arui punct din domeniu partea real˘ a a unei func¸tii olomorfe în acel punct, rezult˘ a o proprietate a func¸tiilor armonice care nu se putea pune în eviden¸ta˘ în cazul func¸tiilor lineare din cauza banalit˘ a¸tii sale: analiticitatea sa. Anume, are loc urm˘ atoarea teorem˘ a: T10. Dac˘ a o func¸tie u(x, y) este armonic˘ a într-un domeniu, atunci în vecin˘ atatea oric˘ arui punct (x0 , y0 ) din domeniu ea se scrie ca o serie absolut ¸si uniform convergent˘ a de puteri ale diferen¸telor x − x0 , y − y0 :

u(x, y) =

∞ X

m=0,n=0

cm,n (x − x0 )m (y − y0 )n

CAPITOLUL 14. FUNCTII ¸ ARMONICE

210

14.7

Invarian¸ta func¸tiilor armonice prin reprezentare conform˘ a

Vom ar˘ ata acum c˘ a prin reprezentare conform˘ a o func¸tie armonic˘ a se transform˘ a tot într-o func¸tie armonic˘ a; mai precis: T11. Fie u(x, y) o func¸tie armonic˘ a în domeniul Dz din planul complex z = x + iy ¸si fie func¸tia z = z (ς) = x(ξ, η) + iy(ξ, η) olomorf˘ a în domeniul Dς din planul complex ς = ξ + iη ¸si care reprezint˘ a conform domeniul Dς pe domeniul Dz . Atunci func¸tia compus˘ a u˜(ξ, η) = u (x(ξ, η), y(ξ, η)) este armonic˘ a în domeniul Dς . ˜ ς al lui Dς el este transformat Intr-adev˘ ar, oricare ar fi subdomeniul simplu conex D ˜ z al lui Dz . Dac˘ prin func¸tia z = z(ς) în subdomeniul simplu conex D a w(z) este func¸tia olomorf˘ a în Dz a c˘ arei parte real˘ a este u(x, y), atunci func¸tia compus˘ a w (z(ς)) este ˜ ς . Cum subdomeniul ˜ ς ¸si deci partea sa real˘ a u˜(ξ, η) este armonic˘ a în D olomorf˘ a în D ˜ ς este arbitrar rezult˘ D a c˘ a u˜(ξ, η) este armonic˘ a în domeniul Dς . Aceast˘ a proprietate de invarian¸ta˘ a func¸tiilor armonice prin reprezentarea conform˘ a permite s˘ a rezolv˘ am problemele pentru func¸tii armonice într-un domeniu dac˘ a ¸stim s˘ a rezolv˘ am acelea¸si probleme pentru func¸tii armonice într-un domeniu “canonic“, cercul unitate sau semiplanul superior sau un alt domeniu simplu, ¸si dac˘ a ¸stim func¸tia de reprezentare conform˘ a a domeniului dat pe domeniul canonic. Exemplul 1. S˘ a consider˘ am urm˘ atoarea problem˘ a a lui Dirichlet: s˘ a se determine func¸tia u(x, y) = u(z) armonic˘ a în domeniul D = {z| =m(z) ≤ 0} ∩ {z| |z + il| ≥ r} ¯ ¯ ¸stiind c˘ a u(z) ¯=m(z)=0 = 0 , u(z) ¯||z+il|=r = T =constant . Aceasta este problema sta¸tionar˘ a plan˘ a a disip˘ arii c˘ aldurii în sol - semiplanul =m(z) < 0 - dintr-un canal

termic circular - |z + il| ≤ r - când se presupune c˘ a temperatura la suprafa¸ta˘ solului este nul˘ a, - este luat˘ a ca temperatur˘ a de referin¸ta˘-, ¸si temperatura la suprafa¸ta canalului este T ; u(z) este temperatura în punctul z din sol. Func¸tia ς = ς(z) = cu α =

z + iα z − iα

√ l2 − r2 reprezint˘ a conform domeniul D pe coroana circular˘ a r1 =

r−l−α ≤ |ς| ≤ 1, r+l+α

14.8. SOLUTIA ¸ PROBLEMEI LUI DIRICHLET PENTRU CERCUL UNITATE 211 axa real˘ a =m(z) = 0 trecând în cercul |ς| = 1 , cercul |z + il| = r trecând în cercul |ς| = r1 . (Punctele z = ±iα sunt simetrice atât fa¸ta˘ de dreapta =m(z) = 0 cât ¸si fa¸ta˘ de cercul |z + il| = r). Problema noastr˘ a revine la determinarea func¸tiei armonice în ¯ coroan˘ a u˜(ς) = u(z(ς)), z = z(ς) fiind inversa func¸tiei ς = ς(z), ¸stiind c˘ a u˜(ς) ¯|ς|=1 = 0 ¯ a trecem la coordonatele polare ς = ξ + iη = ρeiθ , ξ = ρ cos θ, ¸si c˘ a u˜(ς) ¯|ς|=r1 = T . Dac˘ η = ρ sin θ, ecua¸tia lui Laplace se scrie

˜ ∂2u ∂ρ2

+

1 ∂u ˜ ρ ∂ρ

+

1 ∂2u ˜ ρ2 ∂θ2

= 0. Din cauza simetriei,

func¸tia c˘ autat˘ a nu va depinde de θ, ¸si deci ca func¸tie numai de ρ, va verifica ecua¸tia u˜00(ρ) + ρ1 u˜0(ρ) = 0. Solu¸tia general˘ a a acestei ecua¸tii este u˜(ρ) = A + B ln ρ. Cum u˜(1) = 0, u˜(r1 ) = T rezult˘ a u˜(ς) =

T ln r1

ln ρ =

T ln r1

ln |ς|. Revenind la vechile variabile

g˘ asim u(x, y) = u(ς) = =

T ln ln r1

T ln(|ς(z)|) = ln r1 q (x2 + y 2 − α2 )2 + 4α2 x2 x2 + (y − α)2

.

Din aceast˘ a expresie se poate calcula cantitatea de c˘ aldur˘ a care se disip˘ a în sol din canal. Intre problema lui Dirichlet pentru un domeniu simplu conex D ¸si problema reprezent˘ arii conforme a acestui domeniu pe cercul unitate exist˘ a o strâns˘ a leg˘ atur˘ a. Dac˘ a w = w(z) este func¸tia care reprezint˘ a conform domeniul D pe cercul unitate |w| < 1 astfel încât punctul z0 ∈ D s˘ a corespund˘ a centrului cercului w = 0, atunci w(z) =

˜ (z), unde w(z) ˜ este o func¸tie olomorf˘ (z − z0 ) w a ¸si nenul˘ a în D. Deci w(z) = (z − z0 ) ew

∗ (z)

w∗ (z) fiind olomorf˘ a în D. Pe frontiera lui D avem <e (w∗ (z)) = − ln (|z − z0 |), adic˘ a determinarea func¸tiei de reprezentare conform˘ a revine la rezolvarea unei probleme a lui Dirichlet.

14.8

Solu¸tia problemei lui Dirichlet pentru cercul unitate

Ne propunem acum s˘ a rezolv˘ am problema lui Dirichlet pentru cercul unitate, adic˘ a s˘ a determin˘ am o func¸tie armonic˘ a u(x, y) = u(z) în cercul unitate |z| ≤ 1, ¸stiind valorile

sale pe frontier˘ a u (eiϕ ). Din teorema de medie, cunoa¸stem valoarea func¸tiei în centrul

,

CAPITOLUL 14. FUNCTII ¸ ARMONICE

212 cercului: u(0) =

1 2π

R2π

u (eiϕ ) dϕ.

0

Pentru a g˘ asi valoarea func¸tiei u într-un punct oarecare z0 = r0 eiϕ0 , 0 ≤ r0 < 1 din interiorul cercului unitate, vom reprezenta conform cercul |z| < 1 pe cercul |ς| < 1 astfel încât punctul z = z0 s˘ a treac˘ a în punctul ς = 0. Punctul z =

1 , z¯0

simetricul lui z = z0

fa¸ta˘ de cercul |z| = 1, se va duce în punctul ς = ∞, simetricul lui ς = 0 fa¸ta˘ de cercul |ς| = 1. Vom avea deci func¸tia de reprezentare conform˘ a ς = ς(z) =

z − z0 . 1 − z¯ z0

Inversa acesteia este ς + z0 . 1 + ς z¯0 Func¸tia u(z) armonic˘ a în |z| ≤ 1 devine func¸tia u˜(ς) = u(z(ς)) armonic˘ a în |ς| ≤ 1. z = z(ς) =

Aplicând teorema de medie acesteia, vom avea 1 u (z0 ) = u˜ (0) = 2π

Z2π 0

¡ ¢ u˜ eiψ dψ.

Dar leg˘ atura între ς = eiψ ¸si z = eiϕ este eiψ =

eiϕ − z0 . 1 − eiϕ z¯0

¡ ¢ Atunci u˜ eiψ = u (ς (eiϕ )) = u (eiϕ ). Diferen¸tiind rela¸tia de mai sus, avem dψ =

1 − |z0 |2 1 − r02 dϕ = dϕ. (eiϕ − z0 ) (e−iϕ − z¯0 ) 1 − 2r0 cos (ϕ0 − ϕ) + r02

Inlocuind, ob¸tinem ¡ ¢ 1 u (z0 ) = u r0 eiϕ0 = 2π

Z2π 0

¡ ¢ u eiϕ

1 − r02 dϕ. 1 − 2r0 cos (ϕ0 − ϕ) + r02

Aceasta se nume¸ste formula lui Poisson pentru cercul unitate. Se poate ar˘ ata c˘ a întradev˘ ar formula lui Poisson rezolv˘ a efectiv problema lui Dirichlet. Mai mult, aceasta are loc ¸si în cazul solu¸tiei m˘ arginite în cercul unitate a problemei lui Dirichlet cu date continue pe por¸tiuni. Deci are loc: T12. Solu¸tia armonic˘ a m˘ arginit˘ a a problemei lui Dirichlet pentru cercul unitate cu date continue pe por¸tiuni este dat˘ a de formula lui Poisson: ¡ ¢ 1 u (z0 ) = u r0 eiϕ0 = 2π

Z2π 0

¡ ¢ u eiϕ

1 − r02 dϕ. 1 − 2r0 cos (ϕ0 − ϕ) + r02

14.8. SOLUTIA ¸ PROBLEMEI LUI DIRICHLET PENTRU CERCUL UNITATE 213 Prelucrând nucleul formulei lui Poisson ¶ µ iϕ 1 − r02 1 − |z0 |2 e + z0 = = <e iϕ 1 − 2r0 cos (ϕ0 − ϕ) + r02 e − z0 |eiϕ − z0 |2 se poate scrie formula lui Poisson sub forma 

u (z0 ) = <e 

1 2π

Z2π 0

 ¡ iϕ ¢ eiϕ + z0 u e dϕ , eiϕ − z0

ar˘ a nici o leg˘ atur˘ a cu ς de mai înainte), de unde dϕ = sau punând eiϕ = ς (f˘ loc de z0 :



De aici rezult˘ a

 1 u(z) = <e  2πi

Z

u (ς)

|ς|=1

dς , iς

¸si z în



ς + z dς  . ς −z ς

T13. Dac˘ a func¸tia w(z) este olomorf˘ a în cercul unitate |z| < 1 ¸si partea sa real˘ a u(z) = <e (w (z)) este continu˘ a pe por¸tiuni pe frontiera |z| = 1, atunci are loc formula lui Schwartz-Villat: 1 w(z) = 2πi

Z

u(ς)

|ς|=1

ς + z dς + i=m (w (0)) , |z| < 1. ς −z ς

Se putea stabili formula lui Schwartz-Villat ¸si pornind de la formula integral˘ a a lui Cauchy: 1 w(z) = 2πi

Z

|ς|=1

1 = πi

Z

|ς|=1

w(ζ) 1 dζ = ζ −z 2πi

1 u(ζ) dζ + ζ −z 2πi

Z

|ς|=1

Z

|ς|=1

2u(ζ) + w(ζ) dζ = ζ −z

w

³ ´ 1 ζ

ζ −z

dζ.

Dar dac˘ a func¸tia w(z) este olomorf˘ a în cercul unitate w(z) = c0 + c1 z + c2 z 2 + ..., func¸tia

c0 = w(0),

µ ¶ 1 1 1 = c¯0 + c1 + c2 2 + ..., w ¯ς ς ς

CAPITOLUL 14. FUNCTII ¸ ARMONICE

214

este olomorf˘ a în exteriorul cercului unitate ¸si deci ultima integral˘ a este egal˘ a cu à ¡ ¢! w 1¯ς − rez = −¯ c0 = −u(0) + i=m (w (0)) = ς=∞ ς −z Z 1 dς u(ς) + i=m (w (0)) . = − 2πi ς |ς|=1

Inlocuindu-i valoarea ¸si f˘ acând calculele, reg˘ asim formula lui Schwartz-Villat. Formulele lui Poisson ¸si Schwartz-Villat permit rezolvarea problemei lui Dirichlet pentru cerc. Ele sunt efective mai ales în cazul datelor ra¸tionale pe frontier˘ a, când integralele se pot u¸sor calcula cu ajutorul teoremei reziduurilor. Not˘ am c˘ a datele pe frontiera cercului unitate pot fi date fie ca valori ale unor func¸tii de x, y pe cercul unitate, fie ca func¸tii de cos(ϕ), sin(ϕ) , fie ca func¸tii de variabila complex˘ a ς = eiϕ . Exemplul 2. S˘ a se rezolve problema lui Dirichlet: 2

2

u(x, y) |x2 +y2 =1

∆u = 0, x + y < 1; Punând pe cerc ς = eiϕ avem x = cos (ϕ) =

ς2 + 1 , 2ς

y ¯¯ = . ¯ 5 + 4x x2 +y2 =1

y = sin (ϕ) =

ς2 − 1 2iς

¸si deci valoarea func¸tiei u pe cerc este u (ς) =

ς2 − 1 . 2i (2ς 2 + 5ς + 2)

Pentru a rezolva problema prin aplicarea formulei lui Schwartz-Villat trebuie s˘ a calcul˘ am integrala 1 I= 2πi

Z

|ς|=1

(ς 2 − 1) (ς + z) dς. 2i (2ς 2 + 5ς + 2) (ς − z) ς

Cum func¸tia de sub integral˘ a F (ς) are în interiorul cercului unitate poli de ordinul întâi în punctele ς = 0, ς = z, ς = − 12 rezult˘ a c˘ a I =rez F (ς)+ rez F (ς)+ rez1 F (ς). ς=0

G˘ asim în modul obi¸snuit:

ς=z

ς=− 2

14.9. TEOREMA CERCULUI S¸I APLICATIILE ¸ SALE

215

z2 − 1 rez F (ς) = , ς=z i (2z 2 + 5z + 2) 2z − 1 z rez1 F (ς) = − , I= 4i (2z + 1) 2i (z + 2) ς=− 2 1 rez F (ς) = , ς=0 4i

. Rezult˘ a c˘ a solu¸tia c˘ autat˘ a a problemei lui Dirichlet este µ

z u(x, y) = <e 2i (z + 2)

14.9

¶

=

r sin ϕ y = 2 . 2 r + 4r cos ϕ + 4 (x + 2) + y 2

Teorema cercului ¸si aplica¸tiile sale

In cazul datelor ra¸tionale o solu¸tie rapid˘ a a problemei lui Dirichlet este dat˘ a de urm˘ atoarele teoreme: T14. (Teorema cercului) Dac˘ a R(z) este o func¸tie ra¸tional˘ a real˘ a pe cercul unitate |z| = 1 f˘ ar˘ a poli pe frontier˘ a ¸si dac˘ a M(z) este suma p˘ ar¸tilor sale principale relative la ¡1¢ polii din interiorul cercului atunci R(z) = M(z) + M z¯ + k, k fiind o constant˘ a real˘ a.

Intr-adev˘ ar, dac˘ a M(z) este suma p˘ ar¸tilor sale principale relative la poli din interiorul ¡1¢ cercului atunci M z¯ este o func¸tie olomorf˘ a în interiorul cercului unitate. Func¸tia ¡1¢ R(z) − M(z) − M z¯ este o func¸tie olomorf˘ a în cercul unitate, cu parte imaginar˘ a nul˘ a pe frontier˘ a, deci ea este o constant˘ a real˘ a k, ceea ce trebuia demonstrat.

Exemplu 3. Valorile pe frontiera cercului unitate ale func¸tiei armonice din Exemplul 1. sunt R(ς) =

ς 2 −1 . 2i(2ς 2 +5ς+2)

Aceast˘ a func¸tie ra¸tional˘ a are un singur pol în interiorul

cercului unitate ς = − 12 cu partea principal˘ a M(ς) = − 8i1 ς+1 1 . Dup˘ a teorema cercului 2

trebuie s˘ a avem R (ς) = −

1 1 8i ς +

1 2

+−

1 1 8i 1¯ς +

1 2

+k =−

1 1 8i ς +

1 2

+

1 2ς + k, 8i 2 + ς

sau f˘ acând calculele R(ς) = −

1 1 1 ς + + k. 4i 2ς + 1 4i ς + 2

Punând ς = 1 g˘ asim k = 0. Rela¸tia se verific˘ a imediat. T15. Dac˘ a R(ς) este o func¸tie ra¸tional˘ a real˘ a pe frontiera cercului unitate |ς| = 1 ¸si este valoarea pe frontiera a par¸tii reale a unei func¸tii w(z) olomorfe în interiorul cercului

CAPITOLUL 14. FUNCTII ¸ ARMONICE

216 unitate, atunci w(z) = 2M

¡1¢ z¯

+ k + ik0,

k ∈ R, k0 ∈ R, M (ς) fiind suma p˘ ar¸tilor

principale ale lui R(ς) relative la polii din interiorul cercului unitate. ¡ ¢ Cum dup˘ a teorema cercului R(ς) = M(ς) + M 1¯ς + k , putem scrie

µ ¶ µ ¶! 1 1 − k + M(ς) − M = 0. <e w(ς) − M(ς) − M ¯ς ¯ς Ã

Am adunat pe M (ς) pentru a avea sub parantez˘ a o func¸tie olomorf˘ a, am sc˘ azut ¡1¢ M ¯ς pentru a nu modifica partea real˘ a. Rezult˘ a c˘ a paranteza este o func¸tie olomorf˘ a în interiorul cercului unitate, cu parte real˘ a nul˘ a pe frontier˘ a deci o constant˘ a pur

imaginar˘ a ik0 . Exemplu 4. Dac˘ a relu˘ am problema lui Dirichlet de la Exemplul 1., tinând cont de Exemplul 2. avem imediat w(z) =

z 2i(z+2)

+ ik0, k0 ∈ R ¸si reg˘ asim rezultatul din

Exemplul 1.

14.10

Solu¸tia problemei lui Dirichlet pentru semiplan

Fie cu ajutorul reprezent˘ arii conforme a semiplanului superior =m (z) > 0 pe cercul a se duc˘ a în centrul cercului ¸si apoi unitate astfel încât punctul z0 = x0 + iy0 , y0 > 0 s˘ aplicând teorema de medie, fie cu ajutorul formulei integrale a lui Cauchy, se poate rezolva problema lui Dirihlet pentru semiplanul superior: S˘ a se determine func¸tia u(x, y) armonic˘ a în semiplanul superior =m (z) > 0, m˘ arginit˘ a la infinit, cunoscând valorile sale u˜(x) = u(x, 0) pe frontier˘ a. Adoptând a dou˘ a cale, fie cazul când u(x, y) este nul˘ a la infinit ¸si fie w(z) func¸tia olomorf˘ a în semiplanul superior, nul˘ a la infinit, a c˘ arei parte real˘ a este u(x, y). Dac˘ a z este un punct oarecare din semiplanul superior, considerând R suficient de mare ca z s˘ a fie interior semicercului cu diametrul[−R, R], dup˘ a formula integral˘ a a lui Cauchy putem scrie 1 w(z) = 2πi

ZR

−R

w(ζ)dζ 1 + ζ −z 2πi

Z

CR

w(ζ)dζ = ζ −z

14.10. SOLUTIA ¸ PROBLEMEI LUI DIRICHLET PENTRU SEMIPLAN 1 = πi

ZR

−R

1 u e(ζ)dζ − ζ −z 2πi

ZR

−R

1 w(ζ)dζ + ζ −z 2πi

Z

CR

217

w(ζ)dζ . ζ −z

z ) este olomorf˘ a în semiCum w(z) este olomorf˘ a în semiplanul superior, func¸tia w(¯ planul inferior ¸si vom putea scrie 1 w(z) = πi

ZR

−R

1 u e(ζ)dζ − ζ −z 2πi

1 + 2πi

Z

CR

ZR

−R

1 w(ζ)dζ − ζ −z 2πi

w(ζ)dζ 1 + ζ −z 2πi

Z

0 CR

Z

0 CR

w(ζ)dζ + ζ −z

w(ζ)dζ , ζ −z

unde am notat cu CR0 semicercul inferior de diametru [−R, R] parcurs în sens invers trigonometric. Suma integralelor a doua ¸si a treia este nul˘ a conform teoremei integrale z ) olomorfe în semiplanul inferior. R˘ amâne deci a lui Cauchy aplicat˘ a func¸tiei w(¯ 1 w(z) = πi

ZR

−R

u˜(ς)dς 1 + ς −z 2πi

Z

CR

w(ς)dς 1 + ς −z 2πi

Z

C0R

w(¯ς )dς . ς −z

Trecând la limit˘ a, R → ∞, ultimele integrale tind c˘ atre infinit, integranzii lor comprtându-se ca

1 o(1). R

Avem deci 1 w(z) = πi

Z∞

−∞

u˜(ς) dς, ς −z

integrala fiind în¸teleas˘ a în sens principal, adic˘ a limitele de integrare tind simetric spre u(x) − u˜(∞)| < infinit. Dac˘ a func¸tia u˜(x) = u(x, 0) se comport˘ a la infinit astfel încât |˜ C ,α |x|α

> 0 , atunci aplicând cele de mai sus func¸tiei u(x, y) − u˜(∞) avem 1 w(z) = πi

Z∞

−∞

u˜(ς) − u˜(∞) dς + u˜(∞), ς −z

cu aceea¸si precizare asupra integralei. Avem deci: T16. Solu¸tia m˘ arginit˘ a în semiplanul superior =m (z) > 0 a problemei lui Dirichlet pentru acest semiplan este dat˘ a de formula   Z∞ 1 u˜(ς) − u˜(∞)  u(z) = <e  dς + u˜(∞), πi ς −z −∞

CAPITOLUL 14. FUNCTII ¸ ARMONICE

218

sau, de a¸sa numita formul˘a a lui Poisson pentru semiplan 1 u(z) = π

Z∞

−∞

y (˜ u(ς) − u˜(∞)) dς + u˜(∞). (ς − x)2 + y 2

unde z = x + iy, y > 0. Când u˜(x) = u(x, o) este ra¸tional˘ a , integrala din formule se calculez˘ a cu ajutorul teoremei reziduurilor. Exemplu 5. S˘ a se rezolve problema lui Dirichlet pentru semiplanul superior: ∆u = 0, y > 0; u(x, 0) =

1 . 1 + x2

Aplicând formula de mai sus avem   ¶ µ Z∞ 1 dς   u(z) = <e = <e 2 rez F (ς) + 2 rez F (ς) = ς=z ς=i πi (1 + ς 2 ) (t − z) −∞ ¶ µ = <e −2 rez F (ς) , ς=−i

unde am notat F (ς) =

1 (1+ς 2 )(ς−z)

. Se g˘ ase¸ste imediat

µ

1 u(z) = −2<e 2i (z + i)

¶

=

x2

y+1 . + (y + 1)2

S ¸ i în cazul problemei lui Dirichlet pentru semiplan în cazul datelor ra¸tionale are loc o teorem˘ a care d˘ a solu¸tia imediat: T17. Dac˘ a R (ς) este o func¸tie ra¸tional˘ a, reprezentând valorile la limit˘ a pe axa real˘ a ale p˘ ar¸tii reale a unei func¸tii w(z) olomorfe în semiplanul superior, atunci w(z) = 2M(¯ z ) + k + ik0, k ∈ R, k0 ∈ R , M(z) fiind suma p˘ ar¸tilor principale ale lui R(z) relative la polii din semiplanul superior. Exemplul 5. In exemplul precedent, func¸tia ra¸tional˘ a R(z) =

1 z 2 +1

cipal˘ a relativ˘ a la singurul pol z = i din semiplanul superior M(z) = 1 = w(z) = 2 2i1 z¯−i

i z+i

are partea prin-

1 1 . 2i z−i

Deci avem

+ k + ik0. Luând punctul frontier˘ a z = o se g˘ ase¸ste k = 0 ¸si avem

rezultatul precedent. Problema lui Dirichlet pentru func¸tii armonice pentru un domeniu oarecare se poate rezolva folosind reprezentarea conform˘ a a domeniului pe unul din domeniile canonice: cercul unitate sau semiplanul superior.

14.11. PROBLEMA LUI NEUMANN

219

Exemplul 7. S˘ a se rezolve problema lui Dirichlet pentru banda 0 < y < π cu datele pe frontier˘ a

  1, u(x, 0) =  0,

pentru x > 0

, u(x, π) = 0.

pentru x < 0

Func¸tia ς = ez , ς = ξ + iη, reprezint˘ a conform banda 0 < y < π pe semiplanul superior η > 0 . Condi¸tiile la limit˘ a devin   1, pentru ξ > 1 u˜(ξ, 0) =  0, pentru ξ < 1. Rezolvând aceast˘ a problem˘ a Dirichlet g˘ asim 1 u˜(ς) = π

Z∞ 1

ηdt 1 1 = − arctg 2 2 2 π (ξ − t) + η

µ

1−ξ η

¶

.

Inlocuind ξ = ex cos (y) , η = ex sin (y) ob¸tinem solu¸tia problemei ini¸tiale: 1 1 u(x, y) = − arctg 2 π

14.11

µ

¶ e−x − cos (y) . sin (y)

Problema lui Neumann

Prin problema lui Neumann pentru func¸tii armonice se în¸telege problema determin˘ arii unei func¸tii u(x, y) = u(z), armonic˘ a într-un domeniu D, continuu diferen¸tiabil˘ a pân˘ a la frontiera lui D, când se cunosc valorile derivatei sale normale pe frontier˘ a ∂u | ∂n z∈∂D

= f (z) . In cazul domeniilor nem˘ arginite se presupune c˘ a func¸tia ¸si derivatele

sale par¸tiale de primul ordin sunt m˘ arginite în domeniul D. Din teorema T2. rezult˘ a c˘ a pentru ca problema lui Neumann s˘ a aib˘ a solu¸tie, este R ∂u R ds = f (z)dsz = 0 necesar ca datele pentru derivata normal˘ a s˘ a verifice condi¸tia ∂n ∂D

∂D

. Se poate ar˘ ata c˘ a dac˘ a aceast˘ a condi¸tie este îndeplinit˘ a, atunci problema lui Neuman are solu¸tie unic˘ a, abstrac¸tie f˘ acând de o constant˘ a aditiv˘ a. Rezolvarea problemei lui Neuman poate fi redus˘ a în mai multe moduri la rezolvarea problemei lui Dirichlet. Exemplul 8. S˘ a rezolv˘ am problema lui Neuman pentru semiplanul superior y ≥ 0, adic˘ a s˘ a determin˘ am func¸tia u(x, y) armonic˘ a în semiplanul superior cunoscând valorile

CAPITOLUL 14. FUNCTII ¸ ARMONICE

220

derivatei sale normale pe frontier˘ a f (x), func¸tie continu˘ a pe R, astfel încât f (x) = ∞ R O(|x|−1−ε pentru |x| → ∞, ε > 0 . Presupunem c˘ f (x)dx = 0 . a Cum

∂u | ∂ne y=0

=

− ∂u | ∂y y=0

¸si cum derivata

∂u ∂y

−∞

a unei func¸tii armonice este tot armon-

ic˘ a, problema Neuman revine la o problem˘ a a lui Dirichlet. Aplicând formula stabilit˘ a pentru problema lui Dirichlet pentru semiplan, putem scrie Z∞

1 ∂u =− ∂y π

−∞

¸si deci 1 u(x, y) = − 2π

Z∞

−∞

yf (t) dt, (t − x)2 + y 2

£ ¤ f (t) ln (t − x)2 + y 2 dt + C(x).

Condi¸tia verificat˘ a la ∞ de f (x) asigur˘ a existen¸ta˘ integralei ¸si deci aceast˘ a integral˘ a va

a C(x) = C1 + C2 x. Putem scrie fi o func¸tie armonic˘ a. Rezult˘ a c˘ a C 00 (x) = 0 adic˘ 1 u(x, y) = − 2π

Z∞

−∞

£ ¤ f (t) ln (t − x)2 + y 2 dt+ Z∞

1 + ln(x + y ) · 2π 2

2

f (t)dt + C1 + C2 x =

−∞

1 =− 2π

Z∞

f (t) ln

(t − x)2 + y 2 dt + C1 + C2 x. x2 + y 2

−∞

Ultima integral˘ a în modul este mai mic˘ a ca

1 2π

R∞

−∞

|f (t)| ln (|t| + 1)2 dt, integral˘ a con-

vergent˘ a, deci m˘ arginit˘ a. Rezult˘ a c˘ a C2 = 0 ¸si putem scrie formula final˘ a

1 u(x, y) = u(z) = − 2π = −

1 π

Z∞

Z∞

−∞

£ ¤ f (t) ln (t − x)2 + y 2 dt + C1 =

f (t) ln |t − z| dt + C1 ,

−∞

adic˘ a func¸tia c˘ autat˘ a este partea real˘ a a func¸tiei olomorfe 1 w(z) = − π

Z∞

−∞

f (t) ln (t − z) dt + C1 .

14.11. PROBLEMA LUI NEUMANN

221

Formulele stabilite se numesc formulele lui Dini de rezolvare a problemei lui Neuman pentru semiplan. Dac˘ a func¸tia ς = ς(z), ς = ξ + iη reprezint˘ a conform domeniul simplu conex D pe semiplanul η ≥ 0 ¸si z = z(ς) este inversa sa, atunci problema lui Neuman pentru domeniu D se reduce la o problem˘ a a lui Neuman pentru semiplanul superior pentru ˜ ς trece în func¸tia u˜(ς) = u(z(ς)) . Cum prin reprezentare conform˘ a direc¸tia normalei n direc¸tia normalei nz ¸si coeficientul de conformitate este |z0(ξ)| vom putea scrie ∂ u˜ ¯¯ ∂ u˜ ˜ |ς=ξ = z=z(ξ) |z0(ξ)| = f (z(ξ)) |z0(ξ)| = f (ξ) |z0(ξ)| ∂nς ∂nz

¸si deci vom avea

1 u˜(ς) = − π

Z∞

f˜(t) |z0(t)| ln |t − ς| dt + C.

−∞

Revenind la vechea variabil˘ a, punând ς = ς(z), t = ς(τ ) ¸si ¸tinând cont c˘ a ς0(τ ) = g˘ asim formula de rezolvare a problemei lui Neuman pentru domeniul D Z ς0(τ ) 1 f (τ ) ln |ς(τ ) − ς(z)| · u(z) = − dτ + C. π |ς0(τ )| ∂D

Exemplul 9. S˘ a rezolv˘ am problema lui Neuman pentru cercul unitate |z| ≤ 1 .

In acest caz punând z = reiϕ , valoarea derivatei normale este ∂u ∂u |z=eiϕ = f (eiϕ ), |z=eiϕ = ∂nz ∂r cu condi¸tia

R2π

f (eiϕ )dϕ = 0 . Func¸tia

0

z = z(ς) =

ς −i ς +i

reprezint˘ a conform semiplanul =m(ς) ≥ 0 pe cercul |z| ≤ 1 ¸si are inversa ς = ς(z) =

1+z i. 1−z

Cum ς0(z) =

2i (1 − z)2

vom putea scrie expresia solu¸tiei ¯ ¯ Z ¯1 + τ 1 1 + z ¯¯ i |1 − τ |2 ¯ u(z) = − i− i f (τ ) ln ¯ dτ + C, π 1−τ 1 − z ¯ (1 − τ )2 |τ |=1

1 z0(t)

CAPITOLUL 14. FUNCTII ¸ ARMONICE

222 sau punând τ = eiθ ¸si f˘ acând calculele 1 u(z) = − π

Z2π 0

¯ ¯ f (eiθ ) ln ¯eiθ − z ¯ dθ + I1 + I2 + C,

unde

I1

1 2 = − ln π |1 − z|

I2 =

1 π

Z2π 0

Z2π

f (eiθ )dθ = 0,

0

¯ ¯ f (eiθ ) ln ¯1 − eiθ ¯ dθ = cons tan t

Putem scrie formula lui Dini de rezolvare a problemei lui Neuman pentru cercul unitate 1 u(z) = − π

Z2π 0

¯ ¯ f (eiθ ) ln ¯eiθ − z ¯ dθ + C,

care arat˘ a c˘ a u(z) este partea real˘ a a func¸tiei olomorfe 1 w(z) = − π

Z2π 0

sau 1 w(z) = − πi

¡ ¢ f (eiθ ) ln eiθ − z dθ + C,

Z

f (ς) ln (ς − z)

dς + C. ς

|ς|=1

Not˘ am c˘ a aceast˘ a integral˘ a, ca ¸si cea de la semiplan, se poate calcula cu teorema reziduurilor numai dup˘ a aplicarea integr˘ arii prin p˘ ar¸ti. ¯ Evident puteam stabili aceast˘ a formul˘ a observând c˘ a zw0(z) ¯z=eiϕ =

¸si deci avem dup˘ a formula lui Schwartz-Villat 1 zw0(z) = 2πi

Z

|ς|=1

¸si a¸sa mai departe.

f (ς)

ς + z dς + iC ς −z ς

∂u | ∂r r=1

+ i ∂v | ∂r r=1

˘ FOARTE PRODUCTIVA ˘ 14.12. O IDEE SIMPLA

14.12

223

O idee simpl˘ a foarte productiv˘ a

Prezent˘ am acum o idee foarte simpl˘ a, dar foarte productiv˘ a în multe domenii ale matematicii ¸si ale aplica¸tiilor acesteia. Fie A o matrice p˘ atratic˘ a de ordinul n ¸si X, Y coloanele componentelor a doi vectori dintr-un spa¸tiu vectorial n-dimensional. Cum produsul matricilor Y t AX reprezint˘ a un num˘ ar, prin transpunere ob¸tinem acela¸si num˘ ar, deci are loc rela¸tia Y t AX = X t At Y. Dac˘ a interpret˘ am coloanele X, Y , ca fiind coloanele componentelor unor deplas˘ ari în spa¸tiul a n coordonate generalizate, AX ca fiind coloana componentelor unei for¸te generalizate care apare datorit˘ a deplas˘ arii X prin matricea A ¸si At Y ca fiind coloana componentelor unei for¸te care apare datorit˘ a deplas˘ arii Y prin matricea transpus˘ a At , atunci rela¸tia de mai sus poate fi interpretat˘ a ca o rela¸tie de reciprocitate: lucrul mecanic efectuat de for¸ta AX pe deplasarea Y este egal cu lucrul mecanic al for¸tei At Y pe deplasarea X . S˘ a presupunem acum c˘ a avem de rezolvat ecua¸tia AX = F , adic˘ a vrem s˘ a g˘ asim deplasarea X = (x1 , x2 , ..., xi , ..., xn )t care genereaz˘ a for¸ta F prin matricea A. S˘ a not˘ am cu D(i) coloana componentelor deplas˘ arii care genereaz˘ a prin matricea At o for¸ta˘ E (i) = (0, 0, ..., 1, 0, ...0)t cu singura component˘ a nenul˘ a egal˘ a cu unitatea pe locul i : At D(i) = E (i) . Scriind rela¸tia de reciprocitate pentru X, D(i) avem D(i)t AX = X t At D(i) sau D(i)t F = X t E (i) = xi sau xi = F t D(i) . Rezult˘ a c˘ a dac˘ a cunoa¸stem toate solu¸tiile D(i) ale ecua¸tiilor At D(i) = E (i) , i = 1, 2, ..., n, solu¸tii numite solu¸tiile fundamentale ale matricei At ob¸tinem o reprezentare “integral˘a” a solu¸tiei c˘ autate X,

sau

¡ ¢ X t = (x1, ..., xi , ...xn ) = F t D(1) , ..., D(i) , ...D(n) ¡ ¢t X = D(1) , ..., D(i) , ...D(n) F = A−1 F.

Ob¸tinem astfel semnifica¸tia liniilor matricei inverse: transpusele liniilor matricei ina pe o cale oarecare verse A−1 sunt solu¸tiile fundamentale ale matricei At . Evident, dac˘ este mai u¸sor de determinat solu¸tiile fundamentale sau dac˘ a avem nevoie numai de

CAPITOLUL 14. FUNCTII ¸ ARMONICE

224

o component˘ a xi ¸si putem determina solu¸tia fundamental˘ a D(i) , aceast˘ a cale este de preferat fa¸ta˘ de g˘ asirea inversei A−1 . Mai not˘ am c˘ a în multe aplica¸tii, datorit˘ a principiului ac¸tiunii ¸si reac¸tiunii, matricea A este simetric˘ a ¸si deci va fi vorba de solu¸tiile fundamentale ale matricei A. A¸sa se întâmpl˘ a, de exemplu în rezisten¸ta materialelor, când matricea A va fi matricea de rigiditate, iar rela¸tia de reciprocitate se va numi principiul de reciprocitate al lui Betti. S˘ a mai observ˘ am c˘ a dac˘ a X este solu¸tie a ecua¸tiei AX = F ¸si dac˘ a Y este o solu¸tie a ecua¸tiei At Y = 0, atunci în mod necesar Y t F = 0. Deci dac˘ a ecua¸tia At Y = 0, are solu¸tii nebanale, atunci ecua¸tia AX = F are solu¸tii numai dac˘ a F este ortogonal pe orice solu¸tie nebanal˘ a a ecua¸tiei At Y = 0. Ideea expus˘ a este folosit˘ a în multe probleme cu foarte mult profit. Evident, în locul matricei A apare un operator diferen¸tial, în locul sumelor vor apare integrale. A¸sa va fi folosit˘ a în paragraful urm˘ ator.

14.13

Formulele lui Green pentru laplacean

In cazul func¸tiilor armonice de dou˘ a variabile, pentru a studia propriet˘ a¸tile lor, am folosit din plin leg˘ atura dintre acestea ¸si func¸tiile analitice. Pentru func¸tii de mai multe variabile va trebui s˘ a folosim o alt˘ a idee ¸si anume s˘ a folosim o proprietate de reciprocitate a operatorului lui Laplace. Pentru simplitatea scrierii vom nota punctele din spa¸tiu prin vectorii lor de pozi¸tie în raport cu un sistem de coordonate rectangular. Astfel vom nota prin x punctul al c˘ arui vector de pozi¸tie este x cu compnentele x1 , x2 , x3 . Deci vectorii vor fi nota¸ti prin caractere bold. Dac˘ a U (x) ¸si V (x) sunt dou˘ a func¸tii cu derivate par¸tiale de ordinul doi într-un domeniu D, atunci putem scrie rela¸tia grad U grad V = div (U grad V ) − U ∆V, ob¸tinut˘ a imediat ¸tinând cont de formula de derivare a produsului. Schimbând între ele pe U ¸si V , avem ¸si rela¸tia grad U grad V = div (V grad U ) − V ∆U.

14.13. FORMULELE LUI GREEN PENTRU LAPLACEAN

225

Sc˘ azând cele dou˘ a rela¸tii ob¸tinem identitatea lui Green-Lagrange pentru operatorul lui Laplace: div (U grad V − V grad U ) = U ∆V − V ∆U. Dac˘ a acum aplic˘ am formula flux-divergen¸ta˘ ZZ ZZZ divvdv = vne dσ, D

∂D

~ continu˘ a pân˘ a la frontiera lui D, derivabil˘ a în valabil˘ a pentru orice func¸tie vectorial˘ aV D, ne fiind normala exterioar˘ a la frontier˘ a, ob¸tinem formula ZZZ D

¶ ZZ µ ∂V ∂U U dσ, (U ∆V − V ∆U) dv = −V ∂ne ∂ne ∂D

numit˘ a formula de reciprocitate a lui Green pentru func¸tii armonice. Este evident c˘ a formulele de mai sus r˘ amân valabile cu modific˘ arile de rigoare pentru orice num˘ ar de variabile. Dac˘ a func¸tia V este o func¸tie armonic˘ a în domeniul D, atunci ob¸tinem rela¸tia ¶ ZZZ ZZ µ ∂U ∂V V dσ. V ∆Udv = −U ∂ne ∂ne D

∂D

In particular, pentru V = 1, ob¸tinem ZZ ZZZ ∂U ∆U dv = dσ. ∂ne D

∂D

Aceast˘ a rela¸tie ne d˘ a o defini¸tie intrinsec˘ a a laplaceanului func¸tiei U RR ∂U dσ ∂ne ∂d , 4U(x) = lim vol(d) limita fiind luat˘ a când domeniul d con¸tinând în interior punctul x se strânge la x. Dac˘ a func¸tia U este ¸si ea armonic˘ a atunci ZZ ∂U dσ = 0, ∂ne ∂D

adic˘ a, reg˘ asim ¸si pentru func¸tii de mai multe variabile proprietatea referitoare la derivata normal˘ a pe frontier˘ a întâlnit˘ a la func¸tii armonice de o variabil˘ a ¸si la func¸tii armonice

CAPITOLUL 14. FUNCTII ¸ ARMONICE

226

de dou˘ a variabile. Mai mult, acum rezult˘ a u¸sor c˘ a dac˘ a U este o func¸tie cu derivate ˜ al lui D are par¸tiale de ordinul doi continue în D ¸si dac˘ a pentru orice subdomeniu D RR ∂U dσ = 0, atunci func¸tia U este armonic˘ loc rela¸tia a în D. Deci proprietatea este ∂ne ˜ ∂D

caracteristic˘ a func¸tiilor armonice.

Din proprietatea stabilit˘ a rezult˘ a c˘ a problema lui Neumann pentru func¸tii armonice, adic˘ a problema determin˘ arii unei func¸tii armonice într-un domeniu m˘ arginit D când se cunosc valorile derivatei sale normale pe frontier˘ a, nu este posibil˘ a decât dac˘ a integrala derivatei normalei date pe frontiera domeniului este nul˘ a. Din formula grad U grad V = div (V grad U) − V ∆U în cazul U = V prin integrare rezult˘ a rela¸tia Z

grad U grad U dv +

D

Z

U ∆Udv =

D

Z

U

∂U dσ. ∂n

∂D

Din aceasta, aplicat˘ a diferen¸tei a dou˘ a solu¸tii, rezult˘ a c˘ a problema lui Dirichlet pentru domeniul m˘ arginit D are solu¸tie unic˘ a ¸si c˘ a problema lui Neumann pentru domeniul m˘ arginit D are solu¸tie unic˘ a abstrac¸tie f˘ acând de o constant˘ a aditiv˘ a.

14.14

Propriet˘ a¸tile func¸tiilor armonice

S˘ a determin˘ am acum func¸tiile armonice cu simetrie sferic˘ a, deci func¸tiile armonice p care depind numai de distan¸ta |x| = x21 + x22 + x23 de la punct la originea sistemului de axe: U = U(|x|). Cum

¶ µ x21 ∂U x1 ∂ 2 U x21 1 0 00 0 = U (|x|) , 2 = U (|x|) 2 + U (|x|) − ∂x1 |x| ∂x1 |x| |x| |x|3 rezult˘ a 4U = U 00 (|x|) + U 0 (|x|) Deci U 0 (|x|) =

C1 |x|2

2 = 0. |x|

de unde U = − C|x|1 + C2 , C1 , C2 fiind constante reale oarecare. O

asemenea func¸tie este definit˘ a ¸si armonic˘ a în întreg spa¸tiul f˘ ar˘ a origine. Cum grad U = C1 x , |x|2 |x|

x |x|

fiind versorul direc¸tiei care une¸ste originea O cu punctul curent x, rezult˘ a c˘ a

o asemenea func¸tie armonic˘ a cu simetrie sferic˘ a este poten¸tialul unui câmp vectorial a c˘ arui m˘ arime este invers propor¸tional˘ a cu p˘ atratul distan¸tei de la punct pân˘ a la origine ¸si este dirijat dup˘ a direc¸tia vectorului de pozi¸tie al lui x dac˘ a C1 > 0. Func¸tia U fiind

˘ TILE 14.14. PROPRIETA ¸ FUNCTIILOR ¸ ARMONICE

227

armonic˘ a în orice domeniu care nu con¸tine originea, fluxul prin frontiera unui asemenea domeniu va fi nul. Fluxul acestui câmp prin suprafa¸ta unei sfere S cu centrul în origine de raz˘ a R este ZZ S

C1 x x dσ = C1 4π. R2 |x| |x|

Dac˘ a vom considera un domeniu D care con¸tine în interiorul s˘ au originea 0 ¸si vom aplica proprietatea relativ˘ a la derivata normal˘ a a func¸tiilor armonice domeniului limitate de o sfera Sρ cu centrul în 0 ¸si raza ρ ¸si suprafa¸ta ∂D vom avea ZZ ZZ ∂ −C1 C1 x dσP = nex dσx = C1 4π. ∂nex |x| |x|2 |x| Sρ

∂D

Mai putem scrie

ZZ ∂D

Rezult˘ a c˘ a

1 1 4 4π |x|

∂ 1 1 dσx = −1. ∂nex 4π |x|

este o func¸tie nul˘ a peste tot exceptând originea ¸si cu proprietatea c˘ a

integrala sa pe orice domeniu care con¸tine în interior originea este −1. Ori o asemenea func¸tie în sensul obi¸snuit nu exist˘ a, ea exist˘ a în sensul teoriei distribu¸tiilor fiind ”func¸tia” lui Dirac −δ(x). Putem spune c˘ a func¸tia U(x) =

1 4π|x|

verific˘ a ecua¸tia în distribu¸tii

4U(x) = −δ(x). Se poate spune c˘ a func¸tia armonic˘ a Ω(x, 0) =

1 1 4π |x|

este poten¸tialul

unei surse unitate plasate în origine. Analogul în plan este func¸tia armonic˘ a Ω(x, 0) = ³ ´ 1 1 ln |x| . Se poate reg˘ asi acest lucru procedând ca mai sus, folosind coordonatele 2π

polare.

Func¸tia armonic˘ a în întreg spa¸tiul f˘ ar˘ a punctul ξ, Ω(x, ξ) =

1 1 , 4π |x − ξ|

unde am notat cu |x − ξ| distan¸ta de la punctul ξ la punctul x, este poten¸tialul în x al unei surse unitate plasate în punctul ξ. Atât în plan cât ¸si în spa¸tiu, putem spune c˘ a func¸tia Ω(x, ξ) reprezint˘ a solu¸tia fundamental˘a a operatorului lui Laplace −∆, adic˘ a −4x Ω(x, ξ) = δ(x − ξ). Observa¸tie. Uneori prin poten¸tialul unui câmp vectorial V(x) se în¸telege o func¸tie ϕ(x), astfel încât lucrul mecanic necesar pentru a duce din punctul x1 în punctul x2

CAPITOLUL 14. FUNCTII ¸ ARMONICE

228

unitatea de ”sarcin˘ a” a câmpului este independent de drum ¸si este egal cu diferen¸ta ϕ(x1 ) − ϕ(x2 ). In acest caz V(x) = − grad ϕ(x). Intr-o asemenea interpretare func¸tia Ω(x, ξ) poate fi interpretat˘ a, de exemplu, ca poten¸tialul câmpului electric creat de o sarcin˘ a unitate plasat˘ a în punctul ξ într-un mediu cu constanta dielectric˘ a unitate, unit˘ a¸tile fiind luate în a¸sa numitul sistem ra¸tional. n P Qk 1 Func¸tia U (x) = este armonic˘ a în întreg spa¸tiul cu excep¸tia punctelor 4π |x−ξ | k=1

k

ξk , k = 1, 2, ..., n; ea poate fi interpretat˘ a ca poten¸tialul câmpului creat de sursele de

m˘ arime Qk plasate în punctele ξk , k = 1, 2, ..., n. In particular, func¸tia Ω(x, ξ0 ) − Ω(x, ξ) ∂Ω(x, ξ) = = e.gradξ Ω(x, ξ) V (x, ξ) = lim 0 0 ξ →ξ ∂eξ |ξ −ξ| este armonic˘ a în tot spa¸tiul, exceptând ξ ¸si poate fi interptretat˘ a ca poten¸tialul unui dipol cu intensitate unitate plasat în ξ ¸si având axa e , direc¸tia dup˘ a care ξ0 → ξ, sau pe scurt cu momentul (vector) e. Mai general se spune c˘ a V (x, ξ) = p · gradξ Ω(x, ξ) = −p · gradx Ω(x, ξ) reprezint˘ a poten¸tialul unui dipol cu momentul (vector) p plasat în ξ . Un câmp E(x)de aceea¸si natur˘ a ac¸tioneaz˘ a asupra unui dipol cu momentul p cu un cuplu de m˘ arime M = p × E(ξ) ¸si cu o for¸ta˘ F = (pgradξ ) E(ξ). Din acest motiv, prin ace¸sti dipoli se poate modela starea de polarizare electric˘ a a unor dielectrici într-un câmp electric sau starea de polarizare magnetic˘ a a unor materiale într-un câmp magnetic. Dac˘ a vom considera c˘ a în domeniul D avem dispus˘ a o sarcin˘ a continu˘ a astfel c˘ a în elementul de volum dvξ centrat în ξ avem sarcina ρ(ξ)dvξ , ρ(ξ) fiind densitatea R volumic˘ a a acestei sarcini, sarcina total˘ a fiind ρ(ξ)dvξ , poten¸tialul într-un punct x al D

acestei sarcini va fi

U(x) =

Z

ρ(ξ)Ω(x, ξ)dvξ .

D

O asemenea func¸tie exist˘ a ca integral˘ a improprie ¸si în punctele domeniului D ¸si se nume¸ste poten¸tial de volum cu densitatea volumic˘a ρ(ξ). Ea este evident o func¸tie armonic˘ a în punctele x care nu apar¸tin domeniului D. Din acest punct de vedere al densit˘ a¸tii volumice putem spune c˘ a o sarcin˘ a q în punctul ξ este dat˘ a de o densitate volumic˘ a qδ(x−ξ).

˘ TILE 14.14. PROPRIETA ¸ FUNCTIILOR ¸ ARMONICE

229

Consider˘ am c˘ a o sarcin˘ a continu˘ a este suprapunerea unor sarcini punctiforme pentru c˘ a R ρ(ξ) = ρ(ζ)δ(ζ − ξ)dvζ . D

Fie acum o suprafa¸ta˘ Σ neted˘ a. Consider˘ am domeniul Dε constituit din punctele

situate la distan¸ta˘ cel mult

ε 2

de suprafa¸ta Σ de o parte ¸si de alta a sa. Consider˘ am c˘ a în

punctele ζ ale domeniului Dε avem o sarcin˘ a cu densitatea volumic˘ a ρε(ζ) =

µ(ξ) ε

unde

ξ este cel mai apropiat punct de pe Σ de ζ. Vom putea scrie c˘ a în punctele din exteriorul lui Dε densitatea volumic˘ a este nul˘ a. Dac˘ a consider˘ am por¸tiunea din cilindrul care se sprijin˘ a pe elementul de arie dσξ centrat în ξ con¸tinut˘ a în Dε în aceast˘ a por¸tiune avem a aceast˘ a sarcin˘ a este concentrat˘ a sarcina µ(ξ)dσξ . Pentru ε → 0 putem evident spune c˘ în elementul de arie dσξ . Dac˘ a vom considera o func¸tie oarecare ϕ(ζ) definit˘ a în întreg spa¸tiu vom putea scrie pentru integrala luat˘ a pe întreg spa¸tiul lim

ε→0

Z

ϕ(ζ)ρε(ζ)dvζ =lim

ε→0

Z

ϕ(ζ)ρε(ζ)dvζ =

Z

ϕ(ξ)µ(ξ)dσξ .

Σ

Dε

In particular pentru ϕ(ζ) = 1 vom g˘ asi limita întregii sarcini

R

µ(ξ)dσξ , adic˘ a reg˘ asim

Σ

c˘ a func¸tia µ(ξ) poate fi considerat˘ a ca densitatea superficial˘ a a sarcinii limit˘ a. Limita densit˘ a¸tii ρε(ζ) în sensul obi¸snuit nu exist˘ a, dar o putem considera în sensul distribu¸tiilor ca fiind o distribu¸tie delta pe suprafa¸ta Σ, µ(ξ)δΣ caracterizat˘ a prin rela¸tia de filtrare valabil˘ a pentru orice func¸tie Z

ϕ(ζ)µ(ζ)δΣ dvζ =

Z

ϕ(ξ)µ(ξ)dσξ ,

Σ

integrala din stânga fiind luat˘ a pe tot spa¸tiul. Dac˘ a vom considera un sistem de coa normala la Σ atunci ordonate local cu originea în punctul ξ de pe Σ cu axa ξ3 dup˘ a de mai sus în distribu¸tia µ(ξ)δΣ va avea expresia µ(ξ)δ(ξ3 ). Poten¸tialul sarcinii limit˘ punctele x neapar¸tinând lui Σ va fi U (x) =

Z

µ(ξ)Ω(x, ξ)dσξ .

Σ

O asemenea func¸tie se nume¸ste poten¸tial de simplu strat cu densitatea superficial˘a µ(ξ) ¸si este o func¸tie armonic˘ a în toate punctele x neapar¸tinând lui Σ. Fie din nou o suprafa¸ta˘ Σ neted˘ a. Consider˘ am domeniul Dε constituit din punctele situate la distan¸ta˘ cel mult ε de suprafa¸ta Σ de o parte ¸si de alta a sa. Consider˘ am

CAPITOLUL 14. FUNCTII ¸ ARMONICE

230

c˘ a în punctele ζ ale domeniului Dε avem sarcin˘ a cu densitatea volumic˘ a ρε(ζ) =

µ(ξ) ε2

unde ξ este cel mai apropiat punct de pe Σ de ζ dac˘ a ζ este de acea parte în spre care este dirijat˘ a normala ¸si cu densitatea volumic˘ a ρε(ζ) = − µ(ξ) dac˘ a ζ este de cealalt˘ a ε2 parte. Vom putea scrie c˘ a în punctele din exteriorul lui Dε densitatea volumic˘ a este nul˘ a. Putem consider˘ a c˘ a în por¸tiunea din cilindrul care se sprijin˘ a pe elementul de arie dσξ centrat în ξ con¸tinut˘ a vom lua a în Dε avem un dipol cu momentul µ(ξ)nξdσξ . Dac˘ o func¸tie ϕ(ζ) definit˘ a în întreg spa¸tiu vom putea scrie pentru integrala luat˘ a pe întreg spa¸tiul lim

ε→0

=lim

ε→0

Z Σ

Z

ϕ(ζ)ρε(ζ)dvζ =lim

ε→0

Z

ϕ(ζ)ρε(ζ)dvζ =

Dε

 0  Z Z  −µ(ξ) (ϕ(ξ) + t ∂ϕ + o(t))dt + ε µ(ξ) (ϕ(ξ) + t ∂ϕ + o(t))dt dσξ = ε2 ∂nξ ε2 ∂nξ 0

−ε

=

Z

µ(ξ)

∂ϕ dσξ . ∂nξ

Σ

Limita densit˘ a¸tii ρε(ζ) în sensul obi¸snuit nu exist˘ a, dar o putem considera în sensul a prin distribu¸tiilor ca fiind o distribu¸tie delta pe suprafa¸ta Σ, − ∂n∂ ζ µ(ζ)δΣ caracterizat˘ rela¸tia de filtrare valabil˘ a pentru orice func¸tie −

Z

∂ µ(ζ)δΣ dvζ = ϕ(ζ) ∂nζ

Z

µ(ξ)

∂ϕ dσξ . ∂nξ

Σ

Dac˘ a vom considera un sistem de coordonate local cu originea în punctul ξ de pe Σ cu axa ξ3 dup˘ a normala la Σ atunci distribu¸tia − ∂n∂ ζ µ(ζ)δΣ va avea expresia µ(ξ)δ 0 (ξ3 ).Poten¸tialul sarcinii limit˘ a de mai sus în punctele x neapar¸tinând lui Σ va fi U(x) =

Z

µ(ξ)

∂Ω(x, ξ) dσξ . ∂nξ

Σ

O asemenea func¸tie se nume¸ste poten¸tial de dublu strat cu densitatea superficial˘a µ(ξ) ¸si este o func¸tie armonic˘ a în toate punctele x neapar¸tinând lui Σ. Fie U (x) o func¸tie armonic˘ a în domeniul D ¸si fie Ω(x, ξ) =

1 1 4π |x−ξ|

poten¸tialul unei

surse unitate plasate în punctul ξ din domeniul D. Ultima func¸tie este armonic˘ a în domeniul D, exceptând punctul ξ . Aplic˘ am formula lui Green func¸tiilor U(x), Ω(x, ξ) în coroana sferic˘ a DR1 ,R2 cu centrul în ξ cu razele R1 , R2 , con¸tinut˘ a în D:

˘ TILE 14.14. PROPRIETA ¸ FUNCTIILOR ¸ ARMONICE

231

¶ ZZ µ ∂Ω(x, ξ) ∂U(x) U (x) dσx = − Ω(x, ξ) ∂nxe ∂nxe

∂DR1 ,R2

¶ ZZ µ 1 ∂U (x) 1 U(x) dσx − = − 4πR2 4πR2 ∂nxe SR2

¶ ZZ µ 1 ∂U(x) 1 U(x) dσx = 0, − − 4πR1 4πR1 ∂nxe SR1

sau ¸tinând cont de proprietatea derivatei normale aplicat˘ a func¸tiei U: 1 4πR22

ZZ

SR2

1 U(x)dσx = 4πR12

F˘ acând R1 → 0 , avem 1 U (ξ) = 4πR2

ZZ

ZZ

U(x)dσx .

SR1

U(x)dσx ,

SR

SR fiind o sfer˘ a cu centrul în ξ, con¸tinut˘ a în D. Rela¸tia fiind valabil˘ a pentru r ≤ R putem scrie 1 U(ξ)r = 4π 2

ZZ

U (x)dσx

ZZZ

U(x)dvx

|ξ−x|=r

¸si integrând între 0 ¸si R avem U(ξ) =

1

4πR3 3 |ξ−x|≤R

Am ob¸tinut deci proprietatea de medie a lui Gauss pentru func¸tii armonice de trei variabile: valoarea unei func¸tii armonice într-un punct este media valorilor pe orice sfer˘ a sau în orice sfer˘ a cu centrul în punct con¸tinut˘ a în domeniul de armonicitate. Din proprietatea de medie se deduce proprietatea de maxim ¸si minim: Dac˘ a func¸tia U(x) este armonic˘ a în domeniul D ea nu-¸si poate atinge nic˘ aieri în interiorul domeniului cea mai mic˘ a ¸si cea mai mare valoare cu excep¸tia cazului când este constant˘ a. Intradev˘ ar, s˘ a presupunem c˘ a o func¸tie armonic˘ a în D ¸si-ar atinge valoarea maxim˘ a într-un punct ξ interior lui D: oricare ar fi x în D, U(x) ≤ U(ξ). ξ fiind interior lui D exist˘ a o sfer˘ a SR cu cemtrul în ξ de raz˘ a R con¸tinut˘ a în D. Dac˘ a pe aceast˘ a sfer˘ a ar exista

CAPITOLUL 14. FUNCTII ¸ ARMONICE

232

0

un punct x∗ astfel c˘ a por¸tiune SR pe sfer˘ a U (x∗ ) < U(ξ) atunci ar exista o întreag˘ a cu aceast˘ a proprietate. Aplicând proprietatea de medie avem   ZZ ZZ 1   U(ξ) = U (x)dσx + U(x)dσx  <  2 4πR 0

0

SR −SR

SR

´ 1 ³ 0 0 < U (ξ)aria(SR ) + U(ξ) aria(SR − SR ) = U(ξ) 4πR2 Rezult˘ a c˘ a pe întreaga sfer˘ a SR , ¸si în interiorul s˘ au, func¸tia U este constant˘ a. Procedând ca la demonstra¸tia principiului pentru func¸tii armonice în plan deducem c˘ a func¸tia U este constant˘ a în D. Principiul de maxim ¸si minim este echivalent cu afirma¸tia c˘ a dac˘ a m ¸si M sunt valorea minim˘ a, respectiv maxim˘ a a lui U pe frontiera domeniului m˘ arginit D, atunci pentru orice punct x din D are loc inegalitatea m ≤ U(x) ≤ M . Aceast˘ a afirma¸tie rezult˘ a u¸sor ¸si altfel: dac˘ a ar exista un punct interior ξ unde func¸tia ar avea un maxim M ∗ > M , luând pe ξ ca origine, posibil totdeauna, vom considera func¸tia U ∗ (x) = U(x) +

¢ M∗ − M ¡ 2 x1 + x22 + x23 2 2d

unde am notat cu d diametrul domeniului D. In ξ avem U ∗ (ξ) = M ∗ , în timp ce pe a un punct de maxim frontiera lui D avem U ∗ (x) ≤ M + 12 (M ∗ − M) < M ∗ , deci exist˘

local al lui U ∗ în interiorul lui D. In acest punct vom avea

∂U ∗ ∂U ∗ ∂2U ∗ ∂ 2U ∗ ∂ 2U ∗ ∂U ∗ = = = 0, ≤ 0, ≤ 0, ≤0 ∂x1 ∂x2 ∂x3 ∂x21 ∂x22 ∂x23 contradic¸tie cu faptul c˘ a în acel punct ∆U ∗ =

2(M ∗ −M) d2

> 0.

In cazul domeniilor D nem˘ arginite proprietatea de mai sus are loc dac˘ a func¸tia u(x) este armonic˘ a în D, este continu˘ a în închiderea lui D ¸si are loc proprietatea lim u(x) = x→∞

0. In adev˘ ar, dac˘ a ξ este un punct oarecare din domeniul D nem˘ arginit consider˘ am sfera DR cu centrul în ξ de raz˘ a R. Considerând func¸tia u(x) în intersec¸tia D ∩ DR vom putea scrie m − ε(R) ≤ u(ξ) ≤ M + ε(R)

14.15. TRANSFORMAREA LUI KELVIN

233

unde ε(R) este maximul modulului func¸tiei u(x) pe acea por¸tiune a frontierei lui DR care se g˘ ase¸ste în D. F˘ acând R → ∞ rezult˘ a proprietatea. Din ultima proprietate, rezult˘ a c˘ a dac˘ a dou˘ a func¸tii armonice continue în închiderea lui D coincid pe frontiera lui D, atunci cele dou˘ a func¸tii coincid în D. Altfel spus, dac˘ a problema lui Dirichlet are solu¸tie pentru date continue pe frontier˘ a, atunci solu¸tia este unic˘ a. In cazul domeniilor nem˘ arginite mai trebuie impus˘ a condi¸tia ca la infinit func¸tia s˘ a tind˘ a c˘ atre zero.

14.15

Transformarea lui Kelvin

In cazul func¸tiilor armonice de dou˘ a variabile ne-am putut folosi de teoria func¸tiilor olomorfe, în particular am vazut c˘ a printr-o transformare conform˘ a o func¸tie armonic˘ a se transform˘ a tot într-o func¸tie armonic˘ a. O func¸tie armonic˘ a într-un domeniu plan care con¸tine originea planului z = x + iy se transform˘ a prin transformarea conform˘ a ζ =

1 z

într-o func¸tie armonic˘ a într-un domeniu care con¸tine punctul de la infinit din

planul ζ = ξ + iη care va fi m˘ arginit˘ a la infinit. Am mai întâlnit aceast˘ a condi¸tie. De aici rezult˘ a c˘ a o func¸tie armonic˘ a de dou˘ a variabile m˘ arginit˘ a la infinit are derivatele în orice direc¸tie tinzând c˘ atre zero cel pu¸tin ca

1 . |z|2

In cazul func¸tiilor armonice de trei variabile nu mai avem aparatul func¸tiilor olomorfe, dar avem o transformare punctual˘ a numit˘ a transformarea lui Kelvin care are aceea¸si proprietate: dac˘ a U(x) este o func¸tie armonic˘ a într-un domeniu D atunci func¸tia V (x0 ) =

1 x01 x02 x03 02 02 02 , , ), r = x02 u( 1 + x2 + x3 , |x0 | r02 r02 r02

va fi armonic˘ a în domeniul D0 care se ob¸tine din D prin transformarea x01 =

x1 0 x2 x3 , x2 = 2 , x03 = 2 , r2 = x21 + x22 + x23 . 2 r r r

a transformarea este de fapt inversiunea fa¸ta˘ de sfera unitate. Not˘ am c˘ a rr0 = 1, adic˘ Dac˘ a în coordonate sferice func¸tia U este U (r, θ, ϕ), func¸tia v este V (r0 , θ, ϕ) =

1 1 U ( , θ, ϕ). r0 r0

Cum 4r,θ,ϕ

∂2 1 ∂2 2 ∂ 1 ∂ + 2 2 = 2+ + ∂r r ∂r r sin θ ∂ϕ2 r sin θ ∂θ

µ ¶ ∂ sin θ ∂θ

CAPITOLUL 14. FUNCTII ¸ ARMONICE

234 ¸si

∂2v 2 ∂v + 0 0 = r5 02 ∂r r ∂r

µ

∂ 2 u 2 ∂u + ∂r2 r ∂r

¶

rezult˘ a 4r0 ,θ,ϕ V = r5 4r,θ,ϕ U ceea ce confirm˘ a afirma¸tia de mai sus. Evident rezultatul nu se modific˘ a dac˘ a se consider˘ a în locul sferei unitate o sfer˘ a oarecare. Dac˘ a U (x) este o func¸tie armonic˘ a în vecin˘ atatea originii O a spa¸tiului, prin transformarea lui Kelvin ob¸tinem func¸tia V (x0 ) armonic˘ a în vecin˘ atatea punctului de la infinit. ∂V 02 ∂V 02 ∂V In plus produsele r0 V (x0 ), r02 ∂x amân m˘ arginite pentru r0 → ∞. Invers 0 , r ∂x0 , r ∂x0 r˘ 1

2

3

dac˘ a avem o func¸tie U(x) armonic˘ a în vecin˘ atatea punctului de la infinit ¸si astfel c˘ a produsul rU(x) s˘ a r˘ amân˘ a m˘ arginit pentru r → ∞, prin transformarea lui Kelvin ob¸tinem func¸tia V (x0 ) =

1 U (x) r0

care va fi armonic˘ a în vecin˘ atatea originii. Din ra¸tionamentul

∂v de mai înainte rezult˘ a c˘ a produsele r2 ∂x , r2 ∂v , r2 ∂v r˘ amân m˘ arginite pentru r → ∞. ∂y ∂z

Ne convingem u¸sor c˘ a chiar dac˘ a impunem numai ca func¸tia armonic˘ a în vecin˘ atatea lui infinit s˘ a aib˘ a numai limit˘ a nul˘ a la infinit ea va avea neap˘ arat propriet˘ a¸tile de mai sus. O func¸tie care este armonic˘ a în vecin˘ atatea punctului de la infinit cu limit˘ a nul˘ a la infinit se nume¸ste regulat˘a la infinit. In plan o func¸tie armonic˘ a în vecin˘ atatea punctului de la infinit se nume¸ste regulat˘a la infinit dac˘ a ea are la infinit o limit˘ a finit˘ a. In problemele lui Dirichlet ¸si Neuman pentru domenii nem˘ arginite se caut˘ a solu¸tii regulate la infinit. In plan în problema lui Neuman 4u(P ) = 0, P ∈ D− , u(P )|P ∈∂D = ϕ(P ) a condi¸tia pentru D− exteriorul unui domeniu D este necesar˘

R

f (p)dsP = 0 care

∂D

rezult˘ a din aplicarea propriet˘ a¸tii derivatei normale a func¸tiilor armonice pentru domeniul m˘ arginit de ∂D ¸si un cerc cu centrul în origine de raz˘ a foarte mare R ¸si f˘ acând R → ∞. Integrala pe cerc tinde la zero pentru c˘ a

∂u ∂n

se comport˘ a ca

1 R2

iar lungimea

cercului este 2πR. Odat˘ a îndeplinit˘ a aceast˘ a condi¸tie problema lui Neuman pentru exteriorul domeniului plan are solu¸tie unic˘ a abstrac¸tie f˘ acând de o constant˘ a.

14.16. FORMULA DE REPREZENTARE PRIN POTENTIALI ¸

235

In cazul problemei lui Neuman pentru exteriorul unui domeniu spa¸tial nu mai este necesar˘ a condi¸tia verificat˘ a de date pe frontier˘ a pentru c˘ a nu mai putem aplica procedeul de mai sus: derivata

∂u ∂n

a unei func¸tii armonice regulate la infinit se comport˘ a ca

1 R2

iar aria sferei este 4πR2 . Dar dac˘ a se cere solu¸tia problemei lui Neuman exterioare în¸telegând prin aceasta solu¸tia regulat˘ a la infinit, aceasta este unic˘ a pentru c˘ a în acest caz este valabil˘ a formula ZZZ

2

(grad u) dσ =

D−

14.16

ZZ

u

∂u dσ. ∂n

∂D

Formula de reprezentare prin poten¸tiali

Fie acum U (ξ) o func¸tie cu derivate par¸tiale de ordinul doi continue în D. S˘ a aplic˘ am formula lui Green func¸tiei U(ξ) ¸si func¸tiei V (ξ) = Ω(x, ξ), x un punct arbitrar în D, luând ca domeniu D − Sε domeniul D din care scoatem o sfer˘ a Sε cu centrul în x de raz˘ a ε . Avem ZZZ

(U(ξ)∆Ω(x, ξ) − Ω(x, ξ)∆U ) dvξ =

D−Sε

¶ ZZ µ ∂Ω (x, ξ) ∂U(ξ) = U (ξ) dσξ− − Ω (x, ξ) ∂neξ ∂neξ ∂D

¶ ZZ µ ∂Ω (x, ξ) ∂U(ξ) U (ξ) dσξ − − Ω (x, ξ)) ∂neξ ∂neξ ∂S²

Tinând ¸ cont c˘ a pe ∂Sε Ω (x, ξ) =

1 , ∂Ω(x,ξ) 4πε ∂neξ

1 = − 4πε si c˘ a în D −Sε ∆ξ Ω (x, ξ) = 0, 2 ¸

rezult˘ a −

ZZZ

D−Sε

¶ ZZ µ ∂Ω (x, ξ) ∂U (ξ) U(ξ) dσξ + Ω(x, ξ)∆U dvξ = − Ω (x, ξ) ∂neξ ∂neξ ∂D

1 + 4πε2

ZZ

1 U(ξ)dσξ − 4πε

Sε

Trecând la limit˘ aε→0 −

ZZ

∂U(ξ) dσξ . ∂neξ

Sε

ZZZ D

Ω(x, ξ)∆Udvξ =

CAPITOLUL 14. FUNCTII ¸ ARMONICE

236

¶ ZZ µ ∂Ω (x, ξ) ∂U (ξ) U(ξ) dσξ + U(x). − Ω (x, ξ) = ∂neξ ∂neξ ∂D

Deci

¶ ZZ µ ∂Ω (x, ξ) ∂U(ξ) U(ξ) dσξ − U(x) = − − Ω (x, ξ) ∂neξ ∂neξ Z∂DZ Z Ω (x, ξ) ∆ξ U(ξ)dvξ − D

Aceast˘ a egalitate, numit˘ a identitatea sau formula lui Poisson de reprezentare prin poten¸tiali, arat˘ a c˘ a orice func¸tie cu derivate de ordinul doi continue în D +∂D este suma valorilor a trei func¸tii: a) func¸tia U1 (x) =

RR

∂D

superficial a˘

∂U (ξ) . ∂neξ

b) func¸tia U2 (x) = − superficial˘a −U (ξ). c) func¸tia U3 (x) = − volumic˘ a −∆ξ U (ξ).

(ξ) Ω(x, ξ) ∂U dσξ , un poten¸tial de simplu strat cu densitatea ∂neξ

RR

∂D

RRR

U(ξ) ∂Ω(x,ξ) dσξ, un poten¸tial de dublu strat cu densitatea ∂neξ ∆ξ U(ξ)Ω (x, ξ) dvξ , un poten¸tial de volum cu densitatea

D

Vom observa c˘ a formula lui Poisson are loc ¸si dac˘ a consider˘ am punctul x pe frontiera domeniului D cu condi¸tia ca în loc de U (x) s˘ a consider˘ am 12 U(x) ¸si s˘ a consider˘ am integralele pe frontier˘ a în valoare principal˘ a. (Nu avem decât s˘ a înconjur˘ am punctul cu o ”semisfer˘ a” când suprafa¸ta ∂D este neted˘ a).

14.17

Integrala lui Gauss

Dac˘ a lu˘ am în formula de reprezentare U(x) = 1 avem valoarea a¸sa numitei integrale a lui Gauss Z

∂D

   −1 pentru x ∈ D  

∂Ω (x, ξ) dσξ = − 12 pentru x ∈ ∂D  ∂neξ    0 pentru x ∈ / D ∪ ∂D.

14.18. FUNCTIILE ¸ GREEN

14.18

237

Func¸tiile Green

Consider˘ am din nou formula lui Poisson de reprezentare prin poten¸tiali a unei func¸tii U(x) de dou˘ a ori derivabil˘ a în domeniul D ¶ ZZ µ ∂Ω (x, ξ) ∂U (ξ) U(x) = − U(ξ) dσξ − − Ω (x, ξ) ∂neξ ∂neξ Z∂DZ Z Ω (x, ξ) ∆ξ U (ξ)dvξ . − D

Fie g(x, ξ) o func¸tie armonic˘ a în ξ pentru orice x. Din formula de reciprocitate a lui Green aplicat˘ a func¸tiilor U (ξ) ¸si g(x, ξ) avem ¶ ZZ µ ∂g (x, ξ) ∂U (ξ) 0 = − U(ξ) dσξ − − g (x, ξ) ∂neξ ∂neξ Z∂DZ Z − g(x, ξ)4ξ U(ξ)dvξ D

Adunând cele dou˘ a rela¸tii ¸si notând G(x, ξ) = Ω(x, ξ) + g(x, ξ) avem ¶ ZZ µ ∂G (x, ξ) ∂U (ξ) U(x) = − U(ξ) dσξ − − G (x, ξ) ∂neξ ∂neξ Z∂DZ Z − G (x, ξ) ∆ξ U (ξ)dvξ . D

Dac˘ a func¸tia armonic˘ a g(x, ξ) este astfel încât G(x, ξ)|ξ∈∂D = 0 atunci avem ZZ ZZZ ∂G (x, ξ) U(x) = − U(ξ) dσQ − G (x, ξ) ∆ξ U (ξ)dvξ , ∂neξ ∂D

D

adic˘ a putem g˘ asi solu¸tia problemei lui Dirichlet pentru ecua¸tia lui Poisson 4ξ U (ξ) = f (ξ), ξ ∈ D, U (ξ)ξ∈∂D = ϕ(ξ).| Func¸tia G(x, ξ) se nume¸ste func¸tia de surs˘a sau func¸tia lui Green pentru problema lui Dirichlet pentru domeniul D. Se poate ar˘ ata c˘ a ea este simetric˘ a în cele dou˘ a puncte

CAPITOLUL 14. FUNCTII ¸ ARMONICE

238

x, ξ. Ea poate fi interpretat˘ a ca poten¸tialul unei surse electrice unitate plasate în punctul x din interiorul unui dielectic limitat de frontiera conductoare ∂D legat˘ a la p˘ amânt. Pentru a rezolva problema lui Neumann pentru ecua¸tia lui Poisson ar trebui s˘ a alegem ¯ ¯ = 0, dar asta este imposibil pentru func¸tia armonic˘ a g(x, ξ) astfel încât ∂G(x,ξ) ∂neξ ¯ ξ∈∂D RR ∂G(x,ξ) dσξ = 1. Vom alege func¸tia armonic˘ a g(x, ξ) astfel încât c˘ a oricum avem ∂neξ ∂D ¯ ∂G(x,ξ) ¯ = k = const. Aceasta înseamn˘ a s˘ a rezolv˘ am o problema a lui Neumann ∂neξ ¯ ξ∈∂D RR (k − pentru func¸tia armonic˘ a g(x, ξ) cu datele k − Ω(x, ξ). Cum trebuie s˘ a avem ∂D

∂Ω(x,ξ) )dσξ ∂neξ

= kΣ − 1 = 0 trebuie s˘ a alegem k =

1 Σ

unde Σ este aria frontierei ∂D. Cu

aceast˘ a alegere putem scrie U (x) =

ZZ

∂U(ξ) G (x, ξ) dσξ − ∂neξ

ZZZ

1 G (x, ξ) ∆ξ U(ξ)dvξ − Σ

D

∂D

ZZ

U(ξ)dσξ

∂D

adic˘ a putem rezolva problema lui Neumann pentru ecua¸tia lui Poisson 4ξU(ξ) = f (ξ), ξ ∈ D, ¯ ¯ ∂U(ξ) |ξ∈∂D = ϕ(ξ)¯¯ ∂neξ

aceast˘ a solu¸tie fiind determinat˘ a abstrac¸tie f˘ acând de o constant˘ a. Func¸tia G(x, ξ) astfel determinat˘ a se nume¸ste func¸tia lui Green pentru problema lui Neumann pentru domeniul D. Pentru unele domenii simple func¸tiile lui Green pot fi g˘ asite prin a¸sa numita metod˘ a a imaginilor. Consider˘ am cazul în care domeniul D este o sfer˘ a de raz˘ a R cu centrul în originea 0 a sistemului de coordonate. Dac˘ a x este un punct oarecare în spa¸tiu vom nota prin x∗ inversul s˘ au în raport cu sfera, adic˘ a acel punct situat pe aceea¸si raz˘ a vectoare a (x∗ )∗ = x, adic˘ a inversul inversului unui cu x astfel încât |x| · |x∗ | = R2 . Este evident c˘ punct ini¸tial coincide cu punctul ini¸tial. Fie prin calcul direct, fie pe cale geometric˘ a se verific˘ a rela¸tia valabil˘ a pentru dou˘ a puncte oarecare x, ξ 1 |x||ξ| 1 = , ∗ R2 |ξ − x| |ξ −x | ∗

In particular luând ξ∗ în loc de ξ vom avea 1 |x||ξ∗ | 1 = . R2 |ξ∗ −x| |ξ − x∗ |

14.18. FUNCTIILE ¸ GREEN

239

Dac˘ a ξ ∈ ∂D atunci ξ∗ = ξ ¸si deci

¯ ¯ 1 ¯¯ 1 ¯¯ |x| = . R |ξ − x| ¯ξ∈∂D |ξ − x∗ | ¯ξ∈∂D

Rezult˘ a c˘ a dac˘ a punem

1 G(x, ξ) = 4π

µ

R 1 1 − |ξ − x| |x| |ξ − x∗ |

¶

atunci aceasta va fi o func¸tie armonic˘ a în ξ în sfera D, func¸tie care pe frontier˘ a se anuleaz˘ a. Deci pentru a ob¸tine o func¸tie care se anuleaz˘ a pe frontier˘ a este suficient ca sursei unitate din punctul x s˘ a-i ad˘ aug˘ am o surs˘ a de intensitate

−R |x|

în inversul x∗ al lui

x. Dac˘ a not˘ am cu ϕ(x, ξ) unghiul dintre razele vectoare x, ξ atunci avem q |x − ξ| = |x|2 + |ξ|2 − 2|x||ξ| cos ϕ(x, ξ) s |x|2 |ξ|2 |x| ∗ 2 R + − 2|x||ξ| cos ϕ(x, ξ) |x −ξ| = R R2 ¸si deci G(x, ξ) =

Rezult˘ a



1 1  q − 4π |x|2 + |ξ|2 − 2|x||ξ| cos ϕ(x, ξ)  1 . −q 2 2 |x| |ξ| R2 + R2 − 2|x||ξ| cos ϕ(P, Q)

¯ ∂G(x, ξ) ¯¯ = ∂neξ ¯ξ∈∂D

¯ ∂G(x, ξ) ¯¯ = ∂|ξ| ¯ξ∈∂D

1 R2 − |x|2 = − 4πR ¡R2 + |x|2 − 2R|x| cos ϕ(x, ξ)¢3/2

Rezult˘ a c˘ a solu¸tia problemei lui Dirichlet pentru func¸tii armonice pentru sfera D 4U (ξ) = 0, ξ ∈ D, U(ξ)|ξ∈∂D = Φ(ξ) trebuie s˘ a fie de forma 1 U(x) = 4πR

ZZ ∂D

R2 − |x|2

Φ(ξ) ¡ ¢3/2 dσξ . R2 + |x|2 − 2R|x| cos ϕ(x, ξ)

CAPITOLUL 14. FUNCTII ¸ ARMONICE

240

Se poate ar˘ ata c˘ a în adev˘ ar aceast˘ a formul˘ a numit˘ a formula lui Poisson de rezolvare a problemei lui Dirichlet pentru sfer˘ a rezolv˘ a efectiv problema. Este clar c˘ a procedeul de mai sus se poate aplica ¸si în cazul func¸tiilor de dou˘ a variabile. Pentru cercul D cu centrul în origine de raz˘ a R vom fi condu¸si s˘ a lu˘ am func¸tia lui Green pentru problema lui Dirichlet sub forma µ ¶ 1 |ξ − x∗ ||x| 1 1 1 |x| G(x, ξ) = ln = ln − ln + ln . 2π R 2π |x − ξ| |ξ − x∗ | |ξ − x|R Dac˘ a trecem la afixele punctelor vom avea ¯ 2 ¯ ¯ R − zζ ¯ |z ∗ − ζ||z| 1 1 ¯ ¯. ln = ln G(z, ζ) = 2π R|z − ζ| 2π ¯ R(ζ − z) ¯

Dac˘ a ζ = ρeiθ , z = reiϕ atunci ¯ ¯ ½ ¾ ∂G(z, ζ) ¯¯ R2 − zζ ∂G(z, ζ) ¯¯ 1 iθ d <e e ln = = = ∂neζ ¯ζ∈∂D ∂ρ ¯ζ∈∂D 2π dζ R(ζ − z) ½ µ ¶¾ z 1 1 iθ <e e + = = 2π ζ − z R2 − zζ R2 − r 2 = 2πR(R2 + r2 − 2Rr cos(ϕ − θ))

Deci solu¸tia problemei lui Dirichlet pentru func¸tii armonice pentru cerc ar trebui s˘ a fie 1 U(z) = 2πR

Z2π

Φ(R eiθ )

0

R2 − r 2 dθ, R2 + r2 − 2Rr cos(ϕ − θ)

adic˘ a abstrac¸tie f˘ acând de nota¸tii am reg˘ asit formula lui Poisson de rezolvare a problemei lui Dirichlet pentru func¸tii armonice pentru cerc.

14.19

Propriet˘ a¸ti ale poten¸tialului de volum

Proprietatea 1. S˘ a presupunem c˘ a func¸tia U (ξ) este o func¸tie definit˘ a în întreg spa¸tiul cu derivate de ordinul doi continue în întreg spa¸tiul ¸si astfel încât pe orice sfer˘ a cu centrul în origine de raz˘ a R s˘ a aib˘ a loc rela¸tii de forma |gradU| <

M M , |U | < 1+λ R Rλ

unde λ este un num˘ ar pozitiv. Scriind formula de reprezentare a lui Poisson pentru domeniul DR m˘ arginit de o asemenea sfer˘ a vom avea

˘ TI 14.19. PROPRIETA ¸ ALE POTENTIALULUI ¸ DE VOLUM

241

¶ ZZ µ ∂Ω (x, ξ) ∂U (ξ) U(ξ) dσξ − − Ω (x, ξ) U(x) = − ∂neξ ∂neξ ∂DR ZZZ Ω (x, ξ) ∆ξ U (ξ)dvξ − DR

¸si cum evident pentru x fixat lim

R→∞

|x−ξ| R

= 1 vom avea

¯ ¯ ¯Z Z ¯ 2 ¯ ¯ ∂U(ξ) ¯ ¯ < RM ; Ω(x, ξ)dσ ξ ¯ ¯ ∂nξ RR1+λ ¯ ¯ ∂DR ¯ ¯ ¯Z Z ¯ 2 ¯ ¯ ∂Ω(x, ξ) ¯ ¯ < RM. U(ξ) dσ ξ ¯ ¯ ∂nξ R2 Rλ ¯ ¯ ∂DR

Rezult˘ a c˘ a lim

R→∞

ZZ

∂U (ξ) Ω(x, ξ)dσξ = lim R→∞ ∂nξ

∂DR

ZZ

U(ξ)

∂Ω(x, ξ) dσξ = 0 ∂nξ

∂DR

¸si deci formula de reprezentare devine U(x) = − lim

R→∞

ZZZ

Ω (x, ξ) ∆ξ U(ξ)dvξ = −

ZZZ

Ω (x, ξ) ∆ξ U (ξ)dvξ

R3

DR

ultima integral˘ a fiind extins˘ a la tot spa¸tiul. Proprietatea 2.

Fie acum ρ(ξ) o func¸tie definit˘ a pe un domeniu m˘ arginit sau R nem˘ arginit D astfel încât s˘ a existe poten¸tialul de volum U (x) = ρ(ξ)Ω(x, ξ)dvξ . D

Acesta este evident o func¸tie armonic˘ a în exteriorul lui D.

Proprietatea 3. Fie acum ρ(ξ) o func¸tie definit˘ a ¸si cu derivate de primul ordin R continue pe un domeniu m˘ arginit D. Fie poten¸tialul de volum U (x) = ρ(ξ)Ω(x, ξ)dvξ. D

Pentru x chiar în interiorul lui D putem deriva în raport cu variabilele lui x sub integral˘ a

ob¸tinând 1 gradx U (x) = 4π

Z

D

1 1 ρ(ξ)gradx dvξ = 4π |x − ξ|

Z

D

ρ(ξ)

ξ−x dvξ |ξ − x|3

pentru c˘ a ultima integral˘ a este convergent˘ a, sub integral˘ a fiind un infinit de ordin mai mic ca trei. Nu mai putem deriva mai departe pentru c˘ a se ob¸tin integrale divergente.

CAPITOLUL 14. FUNCTII ¸ ARMONICE

242

Ca s˘ a calcul˘ am laplaceanul func¸tiei U(x) într-un punct x interior lui D vom considera un domeniu d care con¸tine pe x în interior ¸si care este complet con¸tinut în D. Vom putea scrie Z

∂U (ζ) dσζ = ∂nζ

∂d

Z Z

∂Ω(ζ, ξ) ρ(ξ) dvξ dσζ = ∂nζ

∂d ∂D

Z

ρ(ξ)

∂D

Z

∂Ω(ζ, ξ) dσζ dvξ . ∂nζ

∂d

Integrala interioar˘ a este egal˘ a cu −1 pentru ξ în interiorul lui d ¸si cu 0 în exteriorul lui d. Deci

Z

∂U(ζ) dσζ = − ∂nζ

∂d

Z

ρ(ξ)dvξ .

d

Trecând la limit˘ a astfel ca domeniul d s˘ a se strâng˘ a la x avem R ∂U(ζ) dσζ ∂nζ ∂d lim = −ρ(x) d→x vol(d) adic˘ a ob¸tinem teorema: Teorema 1. Un poten¸tial de volum U(ξ) cu o densitate ρ(ξ) continu˘ a pe un domeniu m˘ arginit D este o func¸tie armonic˘ a în exteriorul domeniului D ¸si satisface ecua¸tia lui Poisson ∆x U (x) = −ρ(x) în interiorul domeniului D . a Acum putem g˘ asi solu¸tia ecua¸tiei lui Poisson ∆x U (P ) = −ρ(x) în întreg spa¸tiu dac˘ func¸tia ρ(x) are derivate par¸tiale de ordinul întâi continue în întreg spa¸tiul ¸si pe orice ¯ ¯ sfer˘ a de raz˘ a R cu centrul în origine are loc rela¸tia ¯R2+λ ρ(x)¯ < M cu 0 < λ < 1. Dup˘ a

proprietatea 1., solu¸tia nu poate s˘ a fie decât poten¸tialul de volum cu densitatea ρ(ξ) U(x) =

Z

ρ(ξ)Ω(x, ξ)dvξ .

R3

atate Aceasta este solu¸tie pentru c˘ a dac˘ a lu˘ am un punct x fixat ¸si not˘ am cu D1 o vecin˘ a lui x ¸si cu D2 restul spa¸tiului putem scrie U (x) = U1 (x) + U2 (x) =

Z

D1

ρ(ξ)Ω(x, ξ)dvξ +

Z

ρ(ξ)Ω(x, ξ)dvξ

D2

a proprietatea 3. ¸si ∆x U2 (x) = 0 dup˘ a proprietatea 2. ¸si evident ∆x U1 (x) = −ρ(x) dup˘ Am ob¸tinut teorema Teorema 2. Solu¸tia ecua¸tiei lui Poisson ∆x U(x) = −ρ(x) în întreg spa¸tiu, unde func¸tia ρ(x) este continu˘ a în întreg spa¸tiul ¸si pe orice sfer˘ a de raz˘ a R cu centrul în

˘ TI 14.19. PROPRIETA ¸ ALE POTENTIALULUI ¸ DE VOLUM

243

¯ ¯ origine are loc rela¸tia ¯R2+λ ρ(x)¯ < M cu 0 < λ < 1, este poten¸tialul de volum cu R densitatea ρ(x) , U(x) = − ρ(ξ)Ω(x, ξ)dvξ. R3

Câmpul electric al unor sarcini electrice q1 , q2 , · · ·, qn situate în punctele ξ1 , ξ2 , · · ·, ξ n

în vid are, conform legii lui Coulomb, poten¸tialul u(x) =

1 (q1 Ω(x, ξ 1 ) + q2 Ω(x, ξ2 ) + · · ·qn Ω(x, ξ n )) , ε0

ε0 fiind o constanta dielectric˘ a a mediului, care depinde de sistemul de unit˘ a¸ti. Câmpul electric al unei distribu¸tii continue de sarcini cu densitatea ρ(ξ) în vid are poten¸tialul 1 u(x) = ε0

Z

ρ(ξ)Ω(x, ξ)dvξ

R3

¸si dup˘ a cele demonstrate avem ∆x u(P ) = −

1 ρ(x). ε0

Aceasta este a¸sa numita teorem˘a a lui Gauss relativ˘a la câmpul electric. In ce prive¸ste intensitatea câmpului avem rotx E(x) = 0, divx E(x) =

1 ρ(x), ε0

adic˘ a câmpul electric sta¸tionar este irota¸tional ¸si are surse. Câmpul unei distribu¸tii continue de dipoli cu momentele P(ξ) va avea poten¸tialul 1 u(x) = ε0

Z

P(ξ)gradξ Ω(x, ξ)dvξ =

D

1 =− ε0

Z

1 divξ P(ξ)Ω(x, ξ)dvξ + ε0

D

1 =− ε0

Z

divξ (P(ξ)Ω(x, ξ)) dvξ =

D

Z

D

1 divξ P(ξ)Ω(x, ξ)dvξ + ε0

Z

P(ξ)Ω(x, ξ)nξ dσξ

∂D

arginit sau dac˘ a ultima integral˘ a disp˘ arând dac˘ a P(ξ) |ξ∈∂D = 0 în cazul domeniului m˘ P(ξ) tinde suficient de repede c˘ atre zero la mari distan¸te în cazul domeniului nem˘ arginit. Deci putem spune c˘ a dac˘ a exist˘ a atât surse electrice cu densitatea ρ(ξ) cât ¸si dipoli

CAPITOLUL 14. FUNCTII ¸ ARMONICE

244

electrici cu momentul sau, cum se mai zice, cu polarizarea P(ξ), cum se poate presupune în cazul dielectricilor, poten¸tialul câmpului este dat de Z 1 u(x) = (ρ(ξ) − divξ P(ξ)) Ω(x, ξ)dvξ, ε0 D

¸si deci pentru întensitatea câmpului E(x) = −gradx u(x) vom avea divx E(x) = −∆x u(x) =

1 (ρ(x) − divx P(x)) ε0

¸si avem deci µ ¶ 1 1 divx E(x) + P(x) = ρ(x). ε0 ε0 Vectorul D(x) = E(x) +

1 P(x) ε0

se nume¸ste vectorul induc¸tiei câmpului electric în

dielectrici. Se constat˘ a c˘ a pu¸tini dielectrici au o polarizare permanent˘ a ¸si c˘ a pentru majoritatea polarizarea apare în prezen¸ta˘ câmpului electric, adic˘ a în cazul dielectricilor omogeni ¸si izotropi vom putea scrie în aproxima¸tia linear˘ a P(x) = ε0 χE(x), χ fiind susceptivitatea dielectricului. Dac˘ a punem εr = 1 + χ vom putea scrie D = εr E ¸si vom ob¸tine legile fundamentale ale electrostaticii: div D =

1 ρ, rot D = 0, D = εr E. ε0

εr este permitivitatea electric˘a relativ˘a a mediului. Prin conductori în electrostatic˘ a se în¸teleg acele materiale în care câmpul electric este nul, adic˘ a cele în care permitivitatea electric˘ a relativ˘ a este infinit˘ a. Considera¸tii analoage se pot face în ce prive¸ste câmpul magnetostatic, cu deosebirea c˘ a nu exist˘ a sarcini magnetice, c˘ a poate exista polarizare magnetic˘ a permanent˘ a, c˘ a polarizarea magnetic˘ a depinde mult mai complicat de intensitatea câmpului magnetic. In aproxima¸tia linear˘ a legile fundamentale ale magnetostaticii vor fi div B = 0, rot H = 0, B = µH unde B este induc¸tia magnetic˘ a, H intensitatea câmpului magnetic, µ permeabilitatea magnetic˘ a a mediului.

˘ TILE 14.20. PROPRIETA ¸ POTENTIALILOR ¸ DE SIMPLU S¸I DUBLU STRAT 245

14.20

Propriet˘ a¸tile poten¸tialilor de simplu ¸si dublu strat

O suprafa¸ta˘ S se nume¸ste suprafa¸t˘a de tipul lui Liapunov dac˘ a satisface urm˘ atoarele trei condi¸tii: 1. In orice punct ζ al suprafe¸tei exist˘ a planul tangent. 2. Exist˘ a un num˘ ar d > 0 astfel încât, dac˘ a ζ este un punct pe suprafa¸ta˘ orice sfer˘ a cu centrul în ζ ¸si raza mai mic˘ a decât d, sfera lui Liapunov a punctului ζ, împarte suprafa¸ta în dou˘ a por¸tiuni, una în interiorul sferei ¸si alta în afara ei; dreptele paralele cu normala cu normala la S în ζ taie por¸tiunea din interiorul sferei în cel mult un singur punct. Num˘ arul d se nume¸ste raza sferei lui Liapunov. 3. In orice punct ζ se poate alege un sistem rectangular de coordonate local ζξ1 ξ2 ξ3 , astfel c˘ a versorul lui ζξ3 este versorul normalei nζ, iar planul ζξ1 ξ2 este planul tangent la suprafa¸ta˘ în ζ. Por¸tiunea de suprafa¸ta˘ cuprins˘ a în interiorul sferei lui Liapunov are o ecua¸tie de forma ξ3 = ϕ(ξ1 , ξ2 ) unde func¸tia ϕ(ξ1 , ξ2 ) are derivatele dup˘ a orice direc¸tie t din planul tangent func¸tii hölderiene, adic˘ a exist˘ a constantele a > 0, α ≤ 1 astfel încât ¯ ¯ ¯ ∂ϕ(ξ10 , ξ20 ) ∂ϕ(ξ100 , ξ200 ) ¯ £ ¤ ¯ ¯ ≤ a (ξ10 − ξ100 )2 + (ξ20 − ξ200 )2 α/2 − ¯ ¯ ∂t ∂t

pentru orice dou˘ a puncte din interiorul sferei lui Liapunov a lui ζ.

Dac˘ a ξ este un alt punct pe suprafa¸ta˘ în interiorul sferei lui Liapunov a punctului ζ s˘ a not˘ am r = |ξ − ζ| ¸si ρ = |ξ0 −ζ| unde ξ0 este proiec¸tia lui ξ pe planul tangent în ζ. Evident ρ ≤ r. Avem

¯ ¯ ¯ ∂ϕ(ξ 0 ) ¯ ¯ ¯ ¯ ∂t ¯ ≤ aρα ≤ arα

oricare ar fi direc¸tia t în planul tangent. Deasemenea ¯ ¯ ¯ ¯Z ¯ ¯ a α+1 a α+1 ∂ϕ 0 |ϕ(ξ )| = ¯¯ ρ dρ¯¯ ≤ ρ r = brα+1 , ≤ ∂ρ ¯ α + 1 α+1 ¯ 0

unde am pus b =

unde c =

a . α+1

Cum q p √ r = ρ2 + ξ32 ≤ ρ2 + b2 ρ2α+2 ≤ 1 + b2 d2α ρ = cρ

√ 1 + b2 d2α . Deci ρ ≤ r ≤ cρ. Avem

cos(nζ, ξ − ζ) =

ξ3 |ξ − ζ|

CAPITOLUL 14. FUNCTII ¸ ARMONICE

246 ¸si deci

| cos(nζ , ξ − ζ)| ≤ b|ξ − ζ|α. Schimbând rolul punctelor ζ, ξ avem | cos(nξ , ζ − ξ)| ≤ b|ξ − ζ|α. Mai avem 1 1 1 cos(nξ , nζ ) = p = e. ≥p ≥√ 1 + a2 d2α 1 + |gradξ0 ϕ(ξ 0 )|2 1 + a2 ρ2α ∂ϕ | ∂ξ | k

≤ aρα ≤ arα, k = 1, 2. | cos(nξ , ζξk )| = p 1 + |gradξ0 ϕ(ξ 0 )|2

O defini¸tie analoag˘ a ¸si propriet˘ a¸ti analoage avem în plan pentru curbele lui Liapunov. Dac˘ a S este o suprafa¸ta˘ a lui Liapunov, un poten¸tial de simplu strat cu densitatea µ(ξ) continu˘ a ¸si m˘ arginit˘ a pe suprafa¸ta S ZZ ZZ 1 µ(ξ) V (x) = µ(ξ)Ω(x, ξ)dσξ = dσξ 4π |ξ − x| S

S

are sens ¸si pentru punctele x = ζ de pe suprafa¸ta S ca integral˘ a improprie. In adev˘ ar, dac˘ a lu˘ am o sfer˘ a s cu centrul în ζ cu raza mai mic˘ a decât raza sferei lui Liapunov vom avea ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ZZ ¯ ¯ ZZ ¯ ZZ ¯ ¯1 ¯ ¯ 1 M dξ µ(ξ) µ(ξ) dξ dξ1 dξ2 1 2 ¯ ¯ ¯ ¯ ≤ , dσξ ¯ = ¯ ¯ 4π ¯ ρ |ξ − ζ| ¯ ¯ ¯ 4π 0 |ξ − ζ| cos(nξ , nζ ) ¯ 4πe 0 s

s

s

s0 fiind proiec¸tia lui s pe planul tangent. Ultima integral˘ a poate fi f˘ acut˘ a oricât de mic˘ a. Se vede u¸sor c˘ a poten¸tialul de simplu strat este func¸tie continu˘ a de ζ pe S. Dac˘ a ζ este un punct pe S putem considera derivata poten¸tialului de simplu strat într-un punct x neapar¸tinând lui S dup˘ a direc¸tia normalei în ζ : Z ZZ ∂V (x) µ(ξ) ∂Ω(x, ξ) 1 = µ(ξ) dσξ = (ξ − x)nζ dσξ . ∂x nζ ∂x nζ 4π |ξ − x|3 S

S

Aceast˘ a integral˘ a are sens ¸si pentru x = ζ ca integral˘ a improprie, ea devenind Z ZZ ∂V (ζ) µ(ξ) ∂Ω(ζ, ξ) 1 = µ(ξ) dσξ = cos(nζ , ξ − ζ)dσξ . ∂ζ nζ ∂ζ nζ 4π |ξ − ζ|2 S

S

˘ TILE 14.20. PROPRIETA ¸ POTENTIALILOR ¸ DE SIMPLU S¸I DUBLU STRAT 247 In baza inegalit˘ a¸tilor de mai sus aceasta exist˘ a ca integral˘ a improprie. Aceast˘ a valoare se nume¸ste valoarea direct˘a a derivatei dup˘a normal˘a a poten¸tialului de simplu strat în punctul ζ. Ea nu este valoarea derivatei dup˘ a normal˘ a în sensul obi¸snuit. Ne putem a¸stepta ca poten¸tialul de simplu strat ¸si derivatele sale normale s˘ a prezinte salturi la traversarea suprafe¸tei S. Dac˘ a D este un domeniu care con¸tine în interior suprafa¸ta S ¸si v este un câmp vectorial cu derivate de ordinul întâi în D cu excep¸tia lui S unde prezint˘ a saltul [v]n atunci teorema flux divergen¸ta˘ se scrie Z Z Z vndσ = divvdv + [v]ndσ. D

∂D

S

Pentru func¸tii cu salt se va modifica ¸si formula de reciprocitate pentru laplacean. Scriem aceast˘ a formul˘ a pentru un domeniu D care con¸tine în interior suprafa¸ta S pentru o func¸tie oarecare U(x) de dou˘ a ori derivabil˘ a în D ¸si pentru poten¸tialul de simplu strat V(x):

Z Z

µ(ξ)Ω(x, ξ)dσξ 4U(x)dvx =

D S

  Z Z Z ∂U ∂Ω(x, ξ) =  µ(ξ)Ω(x, ξ)dσξ dσξ  dσx − − U(x) µ(ξ) ∂nx ∂x nx S S ∂D ¸¶ · Z µ ∂U ∂V (x) [V (x)] dσx − U(x) − ∂nx ∂nx S

sau permutând integralele   ¶ Z Z Z µ ∂U ∂Ω(x, ξ) Ω(x, ξ) dσx  dσξ = µ(ξ)  Ω(x, ξ)4U(x)dvx − − U(x) ∂nx ∂x nx S

D

∂D

¸¶ · Z µ ∂U ∂V (ξ) − [V (ξ)] dσξ . − U(ξ) ∂nξ ∂nξ S

Cum ξ este în interiorul lui D rezult˘ a ca prima parantez˘ a este −U(ξ) ¸si deci avem ¸¶ µ · Z Z ∂U ∂V (ξ) dσξ − [V (ξ)] U(ξ) µ(ξ)+ σξ = 0. ∂nξ ∂nξ S

S

Func¸tia U(ξ) fiind arbitrar˘ a rezult˘ a rela¸tiile de salt ·

[V (ξ)] = 0, ¸ ∂V (ξ) = −µ(ξ), ∂nξ

CAPITOLUL 14. FUNCTII ¸ ARMONICE

248

adic˘ a poten¸tialul de simplu strat este continuu la traversarea suprafe¸tei, în timp ce derivata sa normal˘ a sufer˘ a un salt egal cu minus densitatea. In acelea¸si condi¸tii de mai sus poten¸tialul de dublu strat Z ∂Ω(x, ξ) W (x) = µ(ξ) dσξ ∂ξ nξ S

exist˘ a chiar ¸si pentru punctele x = ζ de pe suprafa¸ta S. Ca mai sus se stabilesc rela¸tiile de salt pe suprafa¸ta S ·

[W (ζ)] = µ(ζ), ¸ ∂W (ζ) = 0, ∂nζ

adic˘ a poten¸tialul de dublu strat sufer˘ a la traversarea suprafe¸tei un salt egal cu densitatea în timp ce derivatele sale normale sunt continue. Dac˘ a suprafa¸ta S este frontiera ∂D a unui domeniu putem chiar preciza leg˘ atura între valorile limit˘ a ¸si valorile directe. Anume dac˘ a vom scrie poten¸tialul de dublu strat sub forma W (x) =

Z

µ(ξ)

∂Ω(x, ξ) dσξ = ∂ξ nξ

∂D

=

Z

∂Ω(x, ξ) [µ(ξ) − µ(ζ)] dσξ + µ(ζ) ∂ξ nξ

∂D

Z

∂Ω(x, ξ) dσξ , ∂ξ nξ

∂D

ζ fiind un punct pe frontiera ∂D, prima integral˘ a reprezint˘ a o func¸tie I(x) continu˘ a la a ale poten¸tialului traversarea lui ∂D prin ζ. Notând prin W e (ζ), W i (ζ) valorile limit˘ de dublu strat venind din exterior, respectiv interior ¸si prin W (ζ) valoarea direct˘ a vom avea W e (ζ) = I(ζ), µ(ζ) , 2 W i (ζ) = I(ζ) + µ(ζ). W (ζ) = I(ζ) −

Rezult˘ a formulele de salt ale poten¸tialului de dublu strat µ(ζ) , 2 µ(ζ) . W i (ζ) = W (ζ) − 2

W e (ζ) = W (ζ) +

˘ TILE 14.20. PROPRIETA ¸ POTENTIALILOR ¸ DE SIMPLU S¸I DUBLU STRAT 249 Pentru valorile derivatelor dup˘ a normal˘ a ale poten¸tialului de simplu strat nu mai putem proceda ca mai sus, dar vom observa c˘ a func¸tia ∂V (x) + W (x) ∂x nζ este continu˘ a la traversarea lui ∂D prin ζ. Atunci cu nota¸tii evidente vom putea scrie ∂V (ζ) ∂V i (ζ) ∂V e (ζ) + W e (x) = + W (ζ) = + W i (x) ∂x nζ ∂x nζ ∂x nζ de unde rezult˘ a formulele de salt ale derivatelor normale ale poten¸tialului de simplu strat ∂V (ζ) µ(ζ) ∂V e (ζ) , = − ∂x nζ ∂x nζ 2 ∂V i (ζ) ∂V (ζ) µ(ζ) . = + ∂x nζ ∂x nζ 2 Dac˘ a vom plasa originea sistemului de coordonate în interiorul domeniului D ¸si vom nota prin L diametrul domeniului D, cea mai mare distan¸ta˘ dintre punctele sale, vom |x − ξ| ≥ |x| − |ξ| ≥ |x| − L presupunând |x| > 2L vom avea |x − ξ| >

|x| 2

¸si ob¸tinem pentru poten¸tialul de simplu strat evaluarea la mari distan¸te 2 |V (x)| ≤ 4π|x|

Z

|µ(ξ)|dσξ .

∂D

Pentru poten¸tialul de dublu strat putem scrie 1 |W (x)| ≤ 4π

Z

∂D

1 22 cos(nξ, ξ − x)|dσ |µ(ξ)| ≤ ξ 4π|x|2 |x − ξ|2

Z

|µ(ξ)|dσξ .

∂D

Dac˘ a un poten¸tial de simplu strat pe frontiera unui domeniu D este constant pe frontier˘ a atunci el reprezint˘ a o func¸tie armonic˘ a în întreg spa¸tiu, constant˘ a în interiorul domeniului D ¸si poate fi interpretat ca poten¸tialul unei distribu¸tii de sarcini electrice pe suprafa¸ta conductorului D. Din acest motiv în acest caz densitatea µ(ξ) se nume¸ste în acest caz densitate electrostatic˘a.

CAPITOLUL 14. FUNCTII ¸ ARMONICE

250

In plan se definesc poten¸tiali de simplu strat ¸si dublu strat pe o curb˘ a C prin înlocuirea func¸tiei fundamentale din spa¸tiu cu func¸tia fundamental˘ a din plan Ω(x, ξ) = 1 2π

1 ln |x−ξ| . Se men¸tin propriet˘ a¸tile de mai sus relative la salt. In ce prive¸ste comportarea

la infinit poten¸tialul de simplu strat se comport˘ a ca ln |x| iar poten¸tialul de dublu strat este m˘ arginit.

14.21

Rezolvarea problemelor la limit˘ a prin ecua¸tii integrale

Propriet˘ a¸tile poten¸tialilor de simplu strat ¸si dublu strat conduc la rezolvarea problemelor lui Dirichlet ¸si Neumann cu ajutorul lor. Anume pentru rezolvarea problemelor lui Dirichlet vom folosi poten¸tialul de dublu strat Z ∂Ω(x, ξ) dσξ , W (x) = µ(ξ) ∂nξ ∂D

iar pentru problemele lui Neumann vom folosi poten¸tialul de simplu strat Z V (x) = ν(ξ)Ω(x, ξ)dσξ . ∂D

Scriind c˘ a acestea satisfac condi¸tiile problemelor respective ob¸tinem c˘ a densit˘ a¸tile trebuie s˘ a satisfac˘ a ecua¸tiile integrale: pentru problema lui Dirichlet interioar˘ a Z ∂Ω(ζ, ξ) µ(ζ) − 2 µ(ξ) dσξ = −2U0i (ζ), ζ ∈ ∂D; ∂ξ nξ ∂D

pentru problema lui Dirichlet exterioar˘ a Z ∂Ω(ζ, ξ) dσξ = 2U0e (ζ), ζ ∈ ∂D; µ(ζ) + 2 µ(ξ) ∂ξ nξ ∂D

pentru problema lui Neumann interioar˘ a Z ∂Ω(ζ, ξ) ∂U i (ζ) dσξ = 2 0 , ζ ∈ ∂D; ν(ζ) + 2 ν(ξ) ∂ζ nζ ∂nζ ∂D

pentru problema lui Neumann exterioar˘ a Z ∂Ω(ζ, ξ) ∂U0e (ζ) dσξ = −2 , ζ ∈ ∂D. ν(ζ) − 2 ν(ξ) ∂ζ nζ ∂nζ ∂D

˘ PRIN ECUATII 14.21. REZOLVAREA PROBLEMELOR LA LIMITA ¸ INTEGRALE251 In membrii drep¸ti sunt valorile cunoscute pe frontier˘ a ale func¸tiei sau derivatei normale. Dac˘ a not˘ am K(ζ, ξ) = 2

∂Ω(ζ, ξ) ∂ξ nξ

atunci vom avea 2

∂Ω(ζ, ξ) = K(ξ, ζ). ∂ζ nζ

Aceste func¸tii se numesc nucleele cu singularitate polar˘a ale ecua¸tiilor integrale. Se zice c˘ a aceste nuclee sunt asociate în sensul c˘ a schimbând rolul celor dou˘ a variabile unul trece în cel˘ alalt. Dac˘ a ne imagin˘ am c˘ a pentru integrale folosim o formul˘ a de cuadratur˘ a ¸si scriem c˘ a ecua¸tia este verificat˘ a în nodurile formulei de cuadratur˘ a atunci în locul ecua¸tiilor integrale ob¸tinem sisteme de ecua¸tii lineare cu acela¸si num˘ ar de ecua¸tii ¸si necunoscute, matricea corespunz˘ atoare nucleului K(ξ, ζ) ar fi transpusa matricei corespunz˘ atoare nucleului K(ζ, ξ). Pentru ecua¸tiile integrale are loc a¸sa numita teorem˘a de alternativ˘a a lui Fredholm care generalizeaz˘ a lucrurile care se petrec la sisteme lineare cu acela¸si num˘ ar de ecua¸tii ¸si necunoscute. Ea afirm˘ a c˘ a sau ecua¸tia integral˘ a omogen˘ a admite o solu¸tie unic˘ a ¸si atunci ¸si ecua¸tia omogen˘ a asociat˘ a admite tot numai solu¸tie unic˘ a ¸si ecua¸tiile neomogene admit solu¸tie unic˘ a oricare ar fi termenii liberi sau cele dou˘ a ecua¸tii omogene asociate admit admit acela¸si num˘ ar de solu¸tii nebanale linear independente ¸si o ecua¸tie neomogen˘ a are solu¸tie numai dac˘ a termenul s˘ au liber este ortogonal pe toate solu¸tiile nebanale linear independente ale ecua¸tiei omogene asociate. Observ˘ am c˘ a în sensul de mai sus ecua¸tiile problemelor lui Dirichlet interioare ¸si Neumann exterioare sunt asociate ¸si de asemenea ecua¸tiile problemelor lui Dirichlet exterioare ¸si Neumann interioare sunt asociate. S˘ a consider˘ am c˘ a ν0 (ξ) este solu¸tie a ecua¸tiei omogene a problemei lui Neumann exterioare ν0 (ζ) − 2

Z

ν0 (ξ)

∂Ω(ζ, ξ) dσξ = 0 ∂ζ nζ

∂D

¸si fie poten¸tialul de simplu strat corespunz˘ ator Z V0 (x) = ν0 (ξ)Ω(x, ξ)dσξ . ∂D

Ecua¸tia integral˘ a omogen˘ a arat˘ a c˘ a are loc rela¸tia ∂V0e (ζ) =0 ∂nζ

CAPITOLUL 14. FUNCTII ¸ ARMONICE

252

¸si în virtutea unicit˘ a¸tii solu¸tiei problemei lui Neumann exterioare rezult˘ a V0 (x) = 0, x ∈ / D ∪ ∂D. Poten¸tialul de simplu strat fiind continuu la traversarea frontierei rezult˘ a c˘ a avem ¸si V0 (x) = 0, x ∈ D ¸si deci ¸si ∂V0i (ζ) = 0. ∂nζ Atunci în virtutea rela¸tiei de salt rezult˘ a ν0 (ζ) pentru ζ ∈∂D, adic˘ a ecua¸tia omogen˘ a are numai solu¸tia banal˘ a. Dup˘ a teorema de alternativ˘ a a lui Fredholm rezult˘ a c˘ a ecua¸tiile integrale neomogene admit solu¸tii unice oricare ar fi termenii liberi continui. Avem urmatoarele concluzii: Dac˘ a ∂D este suprafa¸ta˘ a lui Liapunov atunci problema lui Dirichlet interioar˘ a are solu¸tie unic˘ a pentru orice date continue pe frontier˘ a ¸si aceast˘ a solu¸tie poate fi reprezentat˘ a printr-un poten¸tial de dublu strat. Dac˘ a ∂D este suprafa¸ta˘ a lui Liapunov atunci problema lui Neumann exterioar˘ a are solu¸tie unic˘ a pentru orice date continue pe frontier˘ a ¸si aceast˘ a solu¸tie poate fi reprezentat˘ a printr-un poten¸tial de simplu strat. In ce prive¸ste ecua¸tiile corespunz˘ atoare problemelor lui Dirichlet exterioar˘ a ¸si Neumann interioar˘ a observ˘ am c˘ a ecua¸tia omogen˘ a a problemei lui Dirichlet exterioar˘ a admite în baza propriet˘ a¸tii integralei lui Gauss solu¸tia µ0 (ζ) ≡ 1. Atunci ¸si ecua¸tia omogen˘ a a problemei lui Neumann interioar˘ a admite cel pu¸tin o solu¸tie nebanal˘ a ν0 (ζ). R i ∂V0 (ζ) ν0 (ζ)Ω(x, ξ)dσξ va verifica rela¸tia ∂n = 0 Poten¸tialul de simplu strat V0 (x) = ζ ∂D

¸si ca urmare a unicit˘ a¸tii solu¸tiei problemei lui Neumann interioare rezult˘ a V0 (x) = c0

pentru x ∈D. c0 nu poate s˘ a fie nul pentru c˘ a atunci V0 (x) ar fi nul ¸si în exteriorul lui D ¸si dup˘ a rela¸tia de salt ar rezulta ν0 (ζ) ≡0, contradic¸tie cu ipoteza. Dac˘ a ν1 (ζ) ar fi o R alt˘ a solu¸tie nebanal˘ a atunci ¸si poten¸tialul corespunz˘ ator ei V1 (x) = ν1 (ζ)Ω(x, ξ)dσξ ∂D

ar fi egal cu o constant˘ a c1 în D ¸si atunci solu¸tia ν2 (ζ) =c1 ν0 (ζ)−c0 ν1 (ζ) ar da un

a poten¸tial V2 (x) = c1 V0 (x)−c0 V1 (x) nul în D ¸si ca mai înainte ar rezulta ν2 (ζ) ≡ 0 adic˘ ν1 (ζ) ≡ cc10 ν0 (ζ), adic˘ a ecua¸tiile omogene ale problemelor lui Dirichlet exterioare ¸si Neumann interioare nu admit decât câte o singur˘ a solu¸tie nebanal˘ a ν0 (ζ) ≡ 1 repectiv ν0 (ζ).

˘ PRIN ECUATII 14.21. REZOLVAREA PROBLEMELOR LA LIMITA ¸ INTEGRALE253 Deci ecua¸tia neomogen˘ a a problemei lui Neumann interioare admite solu¸tie numai dac˘ a termenul liber este ortogonal pe ν0 (ζ), adic˘ a are loc rela¸tia Z ∂U0i (ζ) dσζ = 0, ∂nζ ∂D

condi¸tie pe care am mai întâlnit-o. Prima concluzie este: Problema lui Neumann interioar˘ a are solu¸tie dac˘ a ¸si numai dac˘ a datele pe frontier˘ a verific˘ a rela¸tia de mai sus ¸si atunci solu¸tia poate fi reprezentat˘ a printr-un poten¸tial de simplu strat. In ce prive¸ste problema lui Dirichlet exterioar˘ a ecua¸tia sa neomogen˘ a admite solu¸tie numai dac˘ a avem

Z

ν0 (ζ)U0e (ζ)dσζ = 0.

∂D

Vom nota c˘ a aceasta este condi¸tia ca problema lui Dirichlet exterioar˘ a s˘ a admit˘ a o solu¸tie care s˘ a poat˘ a fi reprezentat˘ a printr-un poten¸tial de dublu strat care la infinit se comport˘ a ca

1 , |x|2

adic˘ a avem pentru problema lui Dirichlet exterioar˘ a o condi¸tie

suplimentar˘ a. Pentru a rezolva problema lui Dirichlet exterioar˘ a obi¸snuit˘ a presupunem c˘ a originea este în interiorul lui D ¸si putem c˘ auta solu¸tia sub forma Z Z ∂Ω(x, ξ) 1 W (x) = µ(ξ) dσξ + µ(ξ)dσξ . ∂nξ |x| ∂D

∂D

Atunci scriind condi¸tia la limit˘ a vom avea ecua¸tia integral˘ a µ ¶ Z ∂Ω(x, ξ) 1 µ(ζ) + 2 µ(ξ) + dσξ = 2U0e (ζ), ζ ∈ ∂D. ∂nξ |ζ| ∂D

Dac˘ a µ0 (ζ) este o solu¸tie a ecua¸tiei omogene µ ¶ Z ∂Ω(x, ξ) 1 + µ0 (ζ) + 2 µ0 (ξ) dσξ = 0 ∂nξ |ζ| ∂D

func¸tia W0 (x) =

Z

∂D

∂Ω(x, ξ) 1 µ0 (ξ) dσξ + ∂nξ |x|

Z

µ0 (ξ)dσξ

∂D

este armonic˘ a în exteriorul lui D ¸si este nul˘ a pe frontier˘ a. Din unicitatea solu¸tiei problemei lui Dirichlet exterioare rezult˘ a Z Z ∂Ω(x, ξ) 1 dσξ + µ0 (ξ)dσξ = 0, x ∈ / D. W0 (x) = µ0 (ξ) ∂nξ |x| ∂D

∂D

CAPITOLUL 14. FUNCTII ¸ ARMONICE

254

Inmul¸tind aceast˘ a rela¸tie cu |x| ¸si f˘ acând |x| → ∞, din proprietatea poten¸tialului de dublu strat rezult˘ a

Z

µ0 (ξ)dσξ = 0,

∂D

adic˘ a de fapt orice solu¸tie a ecua¸tiei omogene verific˘ a ¸si ecua¸tia Z ∂Ω(x, ξ) µ0 (ζ) + 2 µ0 (ξ) dσξ = 0. ∂nξ ∂D

Dar am v˘ azut c˘ a aceasta are numai solu¸tiile µ0 (ζ) ≡ C = const. Din cealalt˘ a rela¸tie rezult˘ a C = 0, adic˘ a ecua¸tia integral˘ a omogen˘ a are numai solu¸tia banal˘ a. Deci ecua¸tia nomogen˘ a admite solu¸tie unic˘ a oricare ar termenul liber. In concluzie, problema lui Dirichlet exterioar˘ a are totdeauna solu¸tie pentru date continue ¸si aceast˘ a solu¸tie poate fi reprezentat˘ a prin suma între un poten¸tial de dublu R 1 µ0 (ξ)dσξ . strat cu densitatea µ0 (ξ) ¸si o func¸tie de forma |x| ∂D

CAPITOLUL 15 ECUA¸ TII DE TIP HIPERBOLIC 15.1

Unde, caracteristici, fronturi de und˘ a

Prin fenomen ondulatoriu se în¸telege un fenomen în care o perturba¸tie se propag˘ a în timp ¸si spa¸tiu. Prin und˘a se în¸telege un fenomen ondulatoriu în care o perturba¸tie se propag˘ a în spa¸tiu ¸si timp de-alungul unei familii de suprafe¸te variabile în timp. In general un fenomen ondulatoriu este o suprapunere de unde. O famile de suprafe¸te variabile în timp poate fi dat˘ a printr-o ecua¸tie de forma Ω(x, y, z, t) = C unde C este o constant˘ a de care depinde familia de suprafe¸te. Un punct (x, y, z) al → v (x, y, z, t) în familiei de suprafe¸te la momentul t se deplaseaz˘ a în timp cu viteza − direc¸tia normalei la suprafa¸ta˘, la momentul t + dt devenind (x + dx, y + dy, z + dz). Cum putem scrie Ω(x, y, z, t) = C, Ω(x + dx, y + dy, z + dz, t + dt) = C sau Ω(x, y, z, t) +

∂Ω ∂Ω ∂Ω ∂Ω dx + dy + dz + dt = C, ∂x ∂y ∂z ∂t

rezult˘ a ∂Ω → grad Ω.− v (x, y, z, t) + =0 ∂t

CAPITOLUL 15. ECUATII ¸ DE TIP HIPERBOLIC

256 ¸si deci

Dac˘ a

∂Ω ∂t

= −β atunci

∂Ω grad Ω − → v (x, y, z, t) = − . ∂t |grad Ω|2 Ω(x, y, z, t) = ω(x, y, z) − βt

¸si ecua¸tia familiei de suprafe¸te este ω(x, y, z) = βt + C unde ω(x, y, z) este o func¸tie care define¸ste forma suprafe¸telor variabile, β este un num˘ ar real, C este constanta de care depinde familia de suprafe¸te. In acest caz toate suprafe¸tele familiei au aceea¸si form˘ a. Viteza de deplasare a punctelor suprafe¸telor familiei este acum gradω(x, y, z) − → v (x, y, z) = β . |gradω(x, y, z)|2 Dac˘ a β = 0 avem o familie de suprafe¸te sta¸tionare. Dac˘ a ω(x, y, z) = lx + my + nz, l2 + m2 + n2 = 1, avem o familie de plane variabile în timp normale la versorul de componente l, m, n. Dac˘ a ω(x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 avem o familie de suprafe¸te sferice cu centrul în origine variabile în timp. Dac˘ a ω(x, y, z) = x2 + y 2 ¸si suntem în spa¸tiu avem o familie de cilindri circulari drep¸ti cu axa Oz, dac˘ a suntem în plan avem o familie de cercuri cu centru în origine cu raza variabil˘ a în timp. Pe axa real˘ a o familie de puncte variabile în timp se ob¸tine pentru ω = ±x. Fie u m˘ arimea caracteristic˘ a unei unde care se propag˘ a de-a lungul familiei de suprafe¸te variabile Ω(x, y, z, t) = C. La momentul t = 0 valoarea m˘ arimii pe curba din familie corespunz˘ atoare valorii C va fi o func¸tie de constanta curbei F (C). Prin propagare de-alungul familiei la momentul t pe suprafa¸ta deplasat˘ a vom reg˘ asi valoarea F (C) înmul¸tit˘ a eventual cu un factor care depinde de timpul t ¸si de pozi¸tia punctului (x, y, z) adic˘ a g(x, y, z, t). Acest factor se nume¸ste factor de amortizare sau factor de atenuare. Rezult˘ a c˘ a într-un punct oarecare (x, y, z) la momentul t m˘ arimea undei este u(x, y, z, t) = g(x, y, z, t)F (Ω(x, y, z, t). In cazul undelor care se propag˘ a de-a lungul familiei de suprafe¸te variabile ω(x, y, z) = βt + C se poate ca factorul de amortizare, dac˘ a exist˘ a, s˘ a fie produsul între un eventual factor care depinde de timpul t, T (t) ¸si eventual un factor care depinde de pozi¸tia

˘ 15.1. UNDE, CARACTERISTICI, FRONTURI DE UNDA

257

suprafe¸tei adic˘ a de βt + C, X(βt + C). O asemnea und˘ a se nume¸ste und˘a cu factor de amortizare separat. Rezult˘ a c˘ a într-un punct oarecare (x, y, z) din spa¸tiu la momentul t m˘ arimea unei unde cu factor de amortizare separat are valoarea u(x, y, z, t) = F (ω(x, y, z) − βt)T (t)X(ω(x, y, z)). O func¸tie u(x, y, z, t) de una din formele de mai sus reprezint˘ a deci o und˘ a. Func¸tia F se nume¸ste func¸tia de form˘a a undei, func¸tia Ω(x, y, z, t) sau ω(x, y, z)−βt se nume¸ste faza undei. Suprafe¸tele de-alungul c˘ arora are loc propagarea se numesc suprafe¸tele de faz˘a ale undei. Suprafe¸tele de faz˘ a definesc aspectul undei. In acest mod se vorbe¸ste despre unde plane, sferice, cilindrice,etc. Viteza cu care se deplaseaz˘ a suprafe¸tele de faz˘ a se nume¸ste viteza de faz˘a a undei. Dac˘ a

∂Ω ∂t

nenul˘ a ¸si undele se numesc progresive. Dac˘ a

∂Ω ∂t

6= 0 respectiv β 6= 0 viteza de faz˘ a este = 0 respectiv β = 0 viteza de faz˘ a este

nul˘ a, deci de fapt nu are loc o propagare ¸si undele se numesc sta¸tionare. Se folosesc undele sta¸tionare pentru c˘ a o und˘ a sta¸tionar˘ a armonic˘ a în timp ¸si spa¸tiu este suma sau diferen¸ta a dou˘ a unde progresive cum rezult˘ a din identitatea trigonometric˘ a cos λx cos ωt =

1 (cos(λx + ωt) + cos(λx − ωt)) . 2

Vom ar˘ ata c˘ a în general solu¸tiile ecua¸tiilor de tip hiperbolic sunt suprapuneri de unde. Dac˘ a într-un fenomen avem de-a face cu o familie de unde ale c˘ aror viteze de faz˘ a nu depind de forma undelor se zice c˘ a avem de-a face cu o familie de unde nedispersive. Dac˘ a avem de-a face cu o familie de unde unde a c˘ aror vitez˘ a de faz˘ a depinde de forma undei se zice c˘ a avem de-a face cu o familie de unde dispersive. Importan¸ta acestei clasific˘ ari apare mai ales în problemele de transmisie a semnalelor. Dac˘ a semnale cu diferite forme se transmit sub form˘ a de unde dispersive, deci a c˘ aror vitez˘ a depinde de forma lor, la destina¸tie vor ajunge în momente diferite ¸si deci semnalele recep¸tionate vor fi distorsionate. Ne punem problema cum trebuie s˘ a fie ecua¸tia linear˘ a omogen˘ a L[u] =

3 3 ∂ 2u X ∂ 2u ∂u X ∂u a + b bi + cu = 0 + − ij ∂t2 i,j=1 ∂xi ∂xj ∂t ∂x i i=1

pentru a admite ca solu¸tii o familie unde nedispersive de forma

u(x1 , x2 , x3 , t) = g(x1 , x2 , x3 , t)F (Ω(x1 , x2 , x3 , t)).

CAPITOLUL 15. ECUATII ¸ DE TIP HIPERBOLIC

258

Am notat prin g(x1 , x2 , x3 , t) factorul de atenuare. Cum avem ∂Ω 0 ∂g ∂ 2 u ∂Ω ∂g 0 ∂ 2 g ∂u ∂Ω 2 = gF + F, 2 = gF 00 F + 2 F, +2 ∂t ∂t ∂t ∂t ∂t ∂t ∂t ∂t 2 2 ∂u ∂g ∂ u 0 ∂Ω 00 ∂Ω ∂Ω 0 ∂ Ω = gF + F, = gF + gF + ∂xi ∂xi ∂xi ∂xi ∂xj ∂xi ∂xj ∂xi ∂xj µ ¶ ∂g ∂Ω ∂ 2g ∂g ∂Ω 0 +F + +F ∂xi ∂xj ∂xj ∂xi ∂xi ∂xj ob¸tinem

¶ ∂Ω 2 X ∂Ω ∂Ω − L[u] = F g − aij ∂t ∂xi ∂xj · µX ¶ µX ¶¸ X ∂Ω ∂g ∂Ω ∂Ω ∂g ∂2Ω ∂Ω 0 aij −F 2 +g aij + + + bi +b ∂xi ∂xj ∂t ∂t ∂xi ∂xj ∂xi ∂t 00

µ

+F L[g] = 0

Pentru ca L[u] = 0 oricare ar fi func¸tia F trebuie îndeplinite condi¸tiile: ∗ suprafe¸tele de faz˘ a Ω(x, y, z, t) = C trebuie s˘ a fie caracteristice ∂Ω 2 X ∂Ω ∂Ω =0 − aij ∂t ∂xi ∂xj

∗ coeficientul de atenuare trebuie s˘ a verifice ecua¸tiile L[g] = 0, µX

¶ ∂Ω ∂g ∂g ∂Ω 2 aij + − ∂xi ∂xj ∂t ∂t ¶ µX X ∂Ω ∂2Ω ∂Ω =0 +g aij + bi +b ∂xi ∂xj ∂xi ∂t S˘ a lu˘ am câteva ecua¸tii cu coeficien¸ti constan¸ti. 1. Ecua¸tia telegrafi¸stilor L[u] =

2 ∂2u 2∂ u + cu = 0 − a ∂t2 ∂x2

admite caracteristicile x − at = C, −x − at = C adic˘ a ω = ±x. Mai avem pentru coeficientul de atenuare g(t, x) condi¸tiile 2 ∂ 2g 2∂ g + cg = 0, − a ∂t2 ∂x2 ∂g ∂g +a = 0. ±a2 ∂x ∂t

˘ 15.1. UNDE, CARACTERISTICI, FRONTURI DE UNDA

259

Din a doua condi¸tie rezult˘ a g = Aeµ(±x−at) cu A ¸si µ constante. Prima ecua¸tie este verificat˘ a numai dac˘ a c = 0. Deci pentru c 6= 0 ecua¸tia telegrafi¸stilor nu admite ca solu¸tii unde nedispersive. Pentru c = 0 ecua¸tia telegrafi¸stilor devine ecua¸tia corzii ¸si admite unde nedispersive ¸si f˘ ar˘ a atenuare (g = 1) u = F (x − at), u = F (−x − at) cu F func¸tie arbitrar˘ a. 2. Ecua¸tia undelor ∂ 2u − a2 4u = 0 ∂t2 are drept caracteristici familia de plane lx + my + nz − at = C, l2 + m2 + n2 = 1. Luând ω = lx + my + nz, g = 1 condi¸tiile sunt verificate, adic˘ a ecua¸tia undelor admite unde nedispersive ¸si f˘ ar˘ a atenuare de forma u = F (lx + my + nz − at) cu F func¸tie arbitrar˘ a. Acestea se numesc unde plane. Ecua¸tia undelor are ¸si caracteristici de forma r − at = C, −r − at = C

unde r = ±r, g =

p (x − ξ)2 + (y − η)2 + (z − ζ)2 (ξ, η, ζ) fiind un punct arbitrar. Punând ω =

1 4πr

condi¸tiile sunt îndeplinite, adic˘ a ecua¸tia undelor admite unde nedispersive

cu atenuare de forma u=

F (r − at) F (−r − at) ,u = . 4πr 4πr

Acestea se numesc unde sferice. Prima este unda sferic˘ a divergent˘ a care pleac˘ a din punctul (ξ, η, ζ), a doua este unda sferic˘ a convergent˘ a care vine spre punctul (ξ, η, ζ). Ambele se deplaseaz˘ a cu viteza a. Se verific˘ a u¸sor c˘ a ecua¸tia membranei nu admite unde nedispersive. S˘ a presupunem acum c˘ a solu¸tia u(x1 , x2 , ..., xn , t) a ecua¸tiei 3 3 ∂ 2u X ∂2u ∂u X ∂u L[u] = 2 − + aij +b bi + cu = f ∂t ∂x ∂x ∂t ∂x i j i i,j=1 i=1

260

CAPITOLUL 15. ECUATII ¸ DE TIP HIPERBOLIC

este astfel încât la trecerea prin suprafa¸ta S de ecua¸tie t − ω(x1 , x2 , ..., xn ) = 0 func¸tia ¸si toate derivatele sale de primul ordin sunt continuie ¸si derivatele de ordinul doi pot prezenta salturi. Aceasta se poate întâmpla de exemplu când în procesul ondulatoriu descris de ecua¸tia de mai sus la un moment t punctele dintr-o parte a suprafe¸tei sunt în repaus iar cele din partea cealalt˘ a sunt în mi¸scare. S˘ a facem o schimbare de variabile τ = t − ω(x1 , x2 , ..., xn ) ξ1 = x1 ...... ξn = xn Func¸tia u devine func¸tie de noile variabile pe care o not˘ am tot cu u(ξ1 , ξ2 , ..., ξn , τ ). Vom avea ∂u ∂u ∂u ∂ω ∂u ∂ 2 u ∂ 2 u ∂u = , = , 2 = 2, − ∂t ∂τ ∂t ∂τ ∂xi ∂ξi ∂τ ∂ξi ∂ 2u ∂2u ∂ 2 u ∂ω ∂ 2 u ∂ω ∂ 2 u ∂ω ∂ω ∂u ∂ 2 ω = + 2 − − − ∂xi ∂xj ∂ξi ∂ξj ∂τ ∂ξi ∂ξj ∂τ ∂ξj ∂ξi ∂τ ∂ξi ∂ξj ∂τ ∂ξi ∂ξj Derivatele în raport cu variabilele ξi fiind derivate tangen¸tiale la S rezult˘ a c˘ a avem pentru salturile derivatelor de ordinul doi rela¸tiile · 2 ¸ · 2 ¸ ∂ u ∂ u ∂ω ∂ω = . ∂xi ∂xj ∂τ 2 ∂ξi ∂ξj Luând salturile ecua¸tiei de-a lungul suprafe¸tei S, τ = 0, ob¸tinem ! · 2 ¸Ã X ∂ω ∂ω ∂ u =0 1− aij ∂τ 2 ∂ξ ∂ξ i j i,j ¸si deci 1−

X i,j

aij

∂ω ∂ω =0 ∂ξi ∂ξj

adic˘ a suprafa¸ta S trebuie s˘ a fie o suprafat˘ a caracteristic˘ a. O asemenea suprafa¸ta˘ considerat˘ a în spa¸tiul variabilelor x1 , x2 , ..., xn se nume¸ste front de und˘a al discontinuit˘at¸ilor de ordinul doi sau front de und a˘ al dicontinuit˘at¸ilor slabe. Prin derivarea succesiv˘ aa

˘ 15.1. UNDE, CARACTERISTICI, FRONTURI DE UNDA

261

ecua¸tiei se vede c˘ a suprafe¸tele de discontinuitate ale derivatelor de ordin superior lui doi sunt tot suprafe¸te caracteristice. Se poate construi o solu¸tie a ecua¸tiei ale c˘ aror derivate de ordinul întâi s˘ a prezinte salturi de-a lungul unei suprafe¸te oarecare. Dar dac˘ a aceast˘ a solu¸tie este limit˘ a de solu¸tii care tind uniform împreun˘ a cu derivatele de primul ¸si al doilea ordin într-un domeniu exceptând acea suprafa¸ta˘, atunci acea suprafa¸ta˘ trebuie s˘ a fie tot caracteristic˘ a. O asemenea suprafa¸ta˘ considerat˘ a în spa¸tiul variabilelor spa¸tiale se nume¸ste front de und˘a al discontinuit˘at¸ilor de ordinul întâi. La fel se define¸ste frontul de und˘a al discontinuit˘at¸ilor de ordin zero. Suprafe¸tele caracteristice t − ω(x1 , x2 , ..., xn ) = 0 fiind solu¸tii ale unei ecua¸tii cu derivate par¸tiale de ordinul întâi sunt generate de caracteristicile acestei ecua¸tii dx −dp1 dxn dω −dpn dt P 1 =P = ... = P = = ... = P = ∂a ∂a ij ij 2 a1j pj anj pj 2 2 pi pj ∂x1 pi pj ∂xn j

Am notat pi =

j

∂ω , ∂xi

P

i,j

i,j

pi pj = 1. Aceste curbe caracteristice ale caracteristicilor se numesc

i,j

bicaracteristici, iar proiec¸tiile lor pe planul t = 0 se numesc raze. De-a lungul razelor avem

dxi X = ai,j pj , i = 1, 2, ..., n. dt j

Având în vedere ecua¸tia caracteristicii rezult˘ a X dxi i

dt

pi =

X

ai,j pi pj = 1

i,j

adic˘ a razele nu sunt tangente la frontul de und˘ a al discontinuit˘ a¸tilor. In cazul ecua¸tiei a este un membranei sau undelor aij = a2 δij , δij simbolul lui Kronicker, frontul de und˘ cerc respectiv sfer˘ a, iar razele sunt chiar ortogonale la acestea fiind efectiv raze. P → i vr cu comonentele dx = ai,j pj , i = 1, 2, ..., n se nume¸ste vectorul vitezei Vectorul − dt j

de propagare a discontinuit˘at¸ilor pentru c˘ a el reprezint˘ a viteza de propagare a discontinuit˘ a¸tilor în direc¸tia razelor. M˘ arimea sa este v à !2 u uX X − → | vr | = t aij pj i

j

→ vr | = a. în cazul ecua¸tiei membranei sau undelor m˘ arimea este |−

CAPITOLUL 15. ECUATII ¸ DE TIP HIPERBOLIC

262

In vecin˘ atatea suprafe¸tei de discontinuitate, cu schimb˘ arile de variabile de mai sus ecua¸tia cu derivate par¸tiale se scrie L[u] = −2 unde A=

X i,j

X

∂ 2u ∂u + ... = f ai,j pj −A ∂τ ∂ξi ∂τ

ai,j

i,j

X ∂ω ∂ 2ω + bi −b ∂ξi ∂ξj ∂ξ i i

iar prin puncte puncte am notat termenii care nu con¸tin derivate dup˘ a τ. Se poate scrie −2

X i,j

ai,j pj

X ∂ 2u X X ∂ 2 u dxi ∂ 2u = = −2 ai,j pj = −2 ∂τ ∂ξi ∂τ ∂ξi j ∂τ ∂ξi dt i i X ∂ µ ∂u ¶ dxi ∂ ∂u = −2 = −2 . ∂ξi ∂τ dt ∂t ∂τ i

Ecua¸tia se poate deci scrie în vecin˘ atatea suprafe¸tei de discontinuitate L[u] = −2

∂u ∂ ∂u −A + ... = f. ∂t ∂τ ∂τ

a în acea Deriv˘ am aceast˘ a rela¸tie în raport cu τ odat˘ a într-un punct P + situat pe raz˘ parte a suprafe¸tei spre care se propag˘ a discontinuit˘ a¸tile ¸si alt˘ a dat˘ a într-un punct P − situat pe aceea¸si raza dar în cealalt˘ a parte a suprafe¸tei. Sc˘ adem cele dou˘ a rela¸tii ¸si h 2 i facem ca ambele puncte s˘ a tind˘ a c˘ atre acela¸si punct al suprafe¸tei. Notând µ = ∂∂τu2 saltul derivatei de ordinul doi, avem

2

∂µ + Aµ = 0. ∂t

In aceste rela¸tii m˘ arimea A este cunoscut˘ a de-a lungul suprafe¸tei deci ¸si de-a lungul curbelor caracteristice care o genereaz˘ a deci de-a lungul razelor. Atunci rela¸tia de mai sus este o ecua¸tie diferen¸tial˘ a de-a lungul razei a c˘ arei solu¸tie este − 12

µ = µ0 e

Rt

Adt

0

µ0 fiind valoarea saltului la momentul t = 0. Rezult˘ a c˘ a dac˘ a saltul este nenul la momentul t = 0 el va fi nenul la orice alt moment t. Dac˘ a la momentul t = 0 saltul este nenul numai pe o por¸tiune a suprafe¸tei, saltul va fi nenul de-a lungul razelor care pleac˘ a din acea por¸tiune a suprafe¸tei. Aceasta este o explica¸tie a apari¸tiei frontierei petei de umbr˘ a l˘ asat˘ a de lumin˘ a.

˘ 15.1. UNDE, CARACTERISTICI, FRONTURI DE UNDA

263

Apare evident problema determin˘ arii pozi¸tiei frontului de und˘ a când se cunoa¸ste pozi¸tia sa la momentul t = 0. Aceasta este de fapt o problem˘ a a lui Cauchy pentru ecua¸tia caracteristicilor. Ilustr˘ am aceasta în cazul ecua¸tiei membranei µ 2 ¶ ∂ 2u ∂ u ∂ 2u 2 = 0. + −a ∂t2 ∂x2 ∂y 2 Presupunând c˘ a frontul de und˘ a la momentul t = 0 este curba S0 de ecua¸tii parametrice x = x0 (τ ), y = y0 (τ ) trebuie rezolvat˘ a problema lui Cauchy pentru ecua¸tia caracteristicilor a2 (p21 + p22 ) − 1 = 0, p1 =

∂ω ∂ω , p2 = ∂x ∂y

cu condi¸tia ini¸tial˘ a ω(x, y)|x=x0 (τ ),y=y0 (τ ) = 0. Vom avea de rezolvat sistemul caracteristic dx dy dω −dp1 −dp2 ds = 2 = = = = 2 2a p1 2a p2 2 0 0 2 cu condi¸tiile ini¸tiale x|s=0 = x0 (τ ), y|s=0 = y0 (τ ), ω|s=0 = 0 2

2

p01 x00 (τ ) + p02 y00 (τ ) = 0, a2 (p01 + p02 ) − 1 = 0. Rezult˘ a p1 = p01 = const, p2 = p02 = const, x = a2 p01 s + x0 (τ ), y = a2 p02 s + y0 (τ ) Cum din ultimele condi¸ti avem p01 =

y 0 (τ ) −x00 (τ ) 0 p 0 p = , p 2 02 02 ±a x02 ±a x02 0 (τ ) + y0 (τ ) 0 (τ ) + y0 (τ )

g˘ asim ecua¸tia frontului de und˘ a sub form˘ a parametric˘ a

ay00 (τ ) p ω + x0 (τ ), 02 ± x02 0 (τ ) + y0 (τ ) −ax00 (τ ) p y = ω + y0 (τ ). 02 ± x02 0 (τ ) + y0 (τ )

x =

CAPITOLUL 15. ECUATII ¸ DE TIP HIPERBOLIC

264

Dac˘ a de exemplu frontul ini¸tial este cercul x0 = r0 cos τ, y0 = r0 sin τ atunci ecua¸tiile parametrice al frontului vor fi x = ±aω cos τ + r0 cos τ, y = ±aω sin τ + r0 sin τ. Dac˘ a ne intereseaz˘ a frontul de und˘ a care se deplaseaz˘ a în exteriorul cercului ini¸tial, punând ω = t ob¸tinem ecua¸tiile parametrice sub forma x = (at + r0 ) cos τ, y = (at + r0 ) sin τ sau t=

´ 1 ³p 2 x + y 2 − r0 . a

Observ˘ am c˘ a fundament˘ am astfel modul în care la fizic˘ a frontul de und˘ a se ob¸tine ca înf˘ a¸sur˘ atoare a cercurilor cu centrele pe frontul de und˘ a ini¸tial cu raze egale cu viteza de propagare a undelor înmul¸tit˘ a cu timpul.

15.2

Solu¸tia lui D’Alembert

Prin problema lui Cauchy pentru ecua¸tia omogen˘ a a corzii se în¸telege determinarea unei func¸tii u(x, t) definit˘ a în domeniul x ∈ R, t ≥ 0 în care s˘ a verifice ecua¸tia omogen˘ a a corzii 2 ∂ 2u 2∂ u =0 − a ∂t2 ∂x2

¸si s˘ a verifice condi¸tiile ini¸tiale u(x, t)|t=0 = u0 (x), ¯ ∂u ¯¯ = v0 (x). ∂t ¯t=0

Din punct de vedere fizic aceasta înseamn˘ a determinarea vibra¸tiilor unei corzi care se presupune infinit de lung˘ a, adic˘ a practic este suficient de lung˘ a ca s˘ a putem neglija efectele capetelor. Am v˘ azut c˘ a ecua¸tia corzii este de tip hiperbolic ¸si admite familiile de caracteristici x + at = C, x − at = C.

15.2. SOLUTIA ¸ LUI D’ALEMBERT

265

F˘ acând schimbarea de variabile ξ = x + at, η = x − at ecua¸tia devine ∂ 2u = 0, ∂ξ∂η din care g˘ asim solu¸tia general˘ a u = α(ξ) + β(η) cu α, β func¸tii oarecare cu derivate continue. In vechile variabile solu¸tia este u(x, t) = α(x + at) + β(x − at). a dac˘ a punctul x se deplaseaz˘ a spre stânga cu Observ˘ am c˘ a dac˘ a x = x0 + at, adic˘ a ne putem imagina suprafa¸ta u = β(x − at) viteza a atunci β(x − at) = β(x0 ), adic˘ dac˘ a consider˘ am graficul lui u = β(x) ca deplasându-se în timp de-alungul lui Ox spre dreapta cu viteza a. Se zice c˘ a avem o und˘a direct˘a care se deplaseaz˘a spre dreapta cu viteza a. La fel u = α(x + at) reprezint˘ a o und˘a invers˘a care se deplaseaz˘a spre stânga cu viteza a. Deci oscila¸tia corzii este dat˘ a de compunerea celor dou˘ a unde direct˘ a ¸si invers˘ a. Vom determina func¸tiile α, β folosindu-ne de condi¸tiile ini¸tiale u(x, 0) = α(x) + β(x) = u0 (x), ¯ ∂u ¯¯ = aα0 (x) − aβ 0 (x) = v0 (x). ∂t ¯ t=0

Cum a doua rela¸tie se scrie

1 α(x) − β(x) = a

Zx

v0 (ξ)dξ + C

0

rezult˘ a u0 (x) 1 α(x) = + 2 2a

Zx

v0 (ξ)dξ +

C , 2

Zx

v0 (ξ)dξ −

C 2

0

1 u0 (x) − β(x) = 2 2a

0

CAPITOLUL 15. ECUATII ¸ DE TIP HIPERBOLIC

266 ¸si deci solu¸tia trebuie s˘ a fie

u0 (x + at) + u0 (x − at) u(x, t) = + 2

x+at Z

v0 (ξ)dξ.

x−at

Aceast˘ a formul˘ a se nume¸ste formula lui D’Alembert. Se verific˘ a imediat c˘ a dac˘ a u0 (x) este o func¸tie de dou˘ a ori derivabil˘ a pe axa real˘ a ¸si dac˘ a v0 (x) este o func¸tie derivabil˘ a pe axa real˘ a atunci expresia de mai sus furnizeaz˘ a o solu¸tie a ecua¸tiei omogene a corzii. Dac˘ a aceste condi¸tii nu sunt satisf˘ acute atunci formula de mai sus furnizeaz˘ a o func¸tie care trebuie s˘ a aib˘ a o leg˘ atur˘ a cu problema noastr˘ a. O vom numi solu¸tie generalizat˘a a problemei considerând-o ca limit˘ a a solu¸tiilor corespunz˘ atoare unor date care verific˘ a condi¸tiile de mai sus ¸si care tind c˘ atre acele func¸tii u0 (x), v0 (x). Din formula lui D’Alembert se vede c˘ a problema lui Cauchy pentru ecua¸tia omogen˘ a a corzii este corect pus˘a, adic˘ a nu numai c˘ a are solu¸tie unic˘ a, dar solu¸tia depinde continuu de datele ini¸tiale în sensul c˘ a dac˘ a datele ini¸tiale u0 (x), v0 (x) difer˘ a în modul prin cel mult ε solu¸tia difer˘ a în modul prin cel mult (1 + t)ε. Formula lui D’Alembert arat˘ a c˘ a valoarea lui u(x, t) depinde numai de valorile ini¸tiale u0 (ξ), v0 (ξ) în intervalul x − at ≤ ξ ≤ x + at. Acest interval se nume¸ste intervalul de dependen¸t˘a de datele ini¸tiale pentru u în punctul (x, t). Capetele acestui interval sunt intersec¸tiile caracteristicilor care trec prin punctul (x, t) cu axa Ox. Invers valorile u0 (ξ), v0 (ξ) în punctul ξ influien¸teaz˘ a valorile lui u la momentul t pentru acele valori pentru care |x − ξ| ≤ at. Acest domeniu se nume¸ste domeniul de influien¸t˘a al datelor ini¸tiale din punctul (ξ, 0); el este limitat de caracteristicile care trec prin punctul (ξ, 0). Dac˘ a datele ini¸tiale u0 (ξ), v0 (ξ) sunt nenule numai într-un interval I al axei Ox atunci func¸tia u la momentul t va fi nenul˘ a în dou˘ a intervale J1 , J2 cu proprietatea c˘ a distan¸tele punctelor lor la punctele lui I nu dep˘ a¸sesc at. Adic˘ a putem spune c˘ a perturba¸tia dat˘ a de datele ini¸tiale se propag˘ a spre stânga ¸si spre dreapta cu viteza a. S˘ a consider˘ am c˘ a func¸tia u0 (ξ) este nenul˘ a numai în intervalul (−ε, ε), iar func¸tia v0 (ξ) este peste tot nul˘ a, altfel spus coarda a fost scoas˘ a din pozi¸tia ini¸tial˘ a numai pe intervalul (−ε, ε) ¸si a fost l˘ asat˘ a liber˘ a. In acest caz la momentul t func¸tia u(x, t) va fi nenul˘ a pe intervalele AA0 , BB 0 unde punctele au coordonatele A(−ε − at), A0 (−at + ε),

B 0 (−ε + at), B(at + ε). Punctele A, B alc˘ atuiesc frontul anterior de und˘a în sensul c˘ a

15.3. EXERCITII ¸

267

la ele ajunge prima dat˘ a perturba¸tia, iar punctele A0 , B 0 alc˘ atuiesc frontul posterior de und˘a în sensul c˘ a dup˘ a ele dispare perturba¸tia. a peste tot, în schimb func¸tia v0 (ξ) S˘ a consider˘ am acum c˘ a func¸tia u0 (ξ) este nul˘ este nenul˘ a numai pe intervalul (−ε, ε), de exemplu por¸tiunea (−ε, ε) a corzii a fost lovit˘ a cu un cioc˘ anel. In aceast˘ a situa¸tie la momentul t func¸tia u(x, t) va fi nenul˘ a pe intervalul A, B unde punctele au coordonatele A(−ε − at), B(at + ε). Acum punctele A, B alc˘ atuiesc frontul anterior de und˘ a frontul posterior lipsind. In aceast˘ a situa¸tie se zice c˘ a are loc difuzia undelor. Evident în cazul general al perurba¸tiilor are loc fenomenul difuziei undelor corzii. Vom observa c˘ a deoarece ecua¸tia corzii nu se modific˘ a la înlocuirea lui t cu t − t0 vom avea pentru orice t > t0

u1 (x + a(t − t0 )) + u1 (x − a(t − t0 )) 1 u(x, t) = + 2 2a

x+a(t−t Z 0)

v1 (ξ)dξ,

x−a(t−t0 )

unde

u1 (x) = u(x, t0 ), ∂u (x, t0 ) v1 (x) = ∂t

15.3

Exerci¸tii

1. O coard˘ a infinit˘ a cap˘ at˘ a prin ciupire în origine pozi¸tia ini¸tial˘ a dat˘ a de func¸tia    0      h(1 + x ) l u0 (x) = x   h(1 − l )      0

pentru x < −l pentru −l < x < 0 pentru 0 < x < l pentru x > l

S˘ a se scrie forma corzii în diferite momente dac˘ a este l˘ asat˘ a liber˘ a s˘ a oscileze. R. Scriem numai pentru valorile x ≥ 0, coarda fiind simetric˘ a

CAPITOLUL 15. ECUATII ¸ DE TIP HIPERBOLIC

268 a) 0 < t <

b)

l 2a

at l


c) t >

l a

   h(1 − atl )      h(1 − x ) l u(x, t) = h x−at   (1 − l )  2     0

l a

pentru 0 ≤ x ≤ at pentru at < x < l − at pentru l − at < x < l + at pentru x > l + at;

   h(1 − atl )      h (1 + x−at ) 2 l u(x, t) =   h2 (1 − x−at )  l     0    0      h (1 + x−at ) 2 l u(x, t) = h   (1 − x−at )  2 l     0

pentru 0 ≤ x ≤ l − at pentru l − at < x < at pentru at < x < l + at pentru x > l + at;

pentru 0 ≤ x ≤ at − l pentru at − l < x < at pentru at < x < l + at pentru x > l + at.

2. O coard˘ a infinit˘ a este lovit˘ a în origine cu un cioc˘ anel de l˘ a¸time 2l comunicând acestei por¸tiuni o vitez˘ a v. S˘ a se scrie ecua¸tia vibra¸tiilor corzii. R. u(x, t) = Φ(x + at) − Φ(x − at) unde    −0 pentru x < −l   v(x+l) Φ(x) = pentru −l < x < l 2a     vl pentru x > l. a

3. O coard˘ a infinit˘ a este lovit˘ a în origine cu un cioc˘ anel ascu¸tit comunicând un impuls I. S˘ a se gaseasc˘ a oscila¸tiile corzii . Ind. Se poate folosi problema precedent˘ a considerând la început impulsul distribuit uniform pe (−l, l) deci imprimând acestui interval viteza v = Φ(x) are limit˘ a pe

I h(x), 2aρ

Când l → 0 func¸tia

h fiind func¸tia treapt˘ a. Rezult˘ a

u(x, t) = 4. S˘ a se rezolve ecua¸tia

I . 2lρ

∂2u ∂t2

R. u(x, t) = x + 12 ex sinh 2t.

I [h(x + at) − h(x − at)]. 2aρ 2

− 4 ∂∂xu2 = 0 cu condi¸tiile u(x, 0) = x,

∂u (x, 0) ∂t

= ex .

˘ A CORZII269 15.4. PROBLEMA LUI CAUCHY PENTRU ECUATIA ¸ NEOMOGENA

15.4

Problema lui Cauchy pentru ecua¸tia neomogen˘ a a corzii

Consider˘ am problema lui Cauchy pentru ecua¸tia neomogen˘ a a corzii: s˘ a se determine solu¸tia u(x, t) în domeniul x ∈ R, t ≥ 0 a ecua¸tiei corzii neomogene 2 ∂ 2u 2∂ u = f (x, t) − a ∂t2 ∂x2

care verific˘ a condi¸tiile ini¸tiale u(x, t)|t=0 = u0 (x), ¯ ∂u ¯¯ = v0 (x). ∂t ¯t=0

Cum diferen¸ta a dou˘ a solu¸tii ale acestei probleme este solu¸tie a problemei lui Cauchy pentru ecua¸tia omogen˘ a a corzii cu condi¸tii ini¸tiale nule, adic˘ a dup˘ a cele precedente o func¸tie nul˘ a rezult˘ a c˘ a problema lui Cauchy pentru ecua¸tia neomogen˘ a a corzii admite solu¸tie unic˘ a. In virtutea linearit˘ a¸tii, diferen¸ta w(x, t) dintre solu¸tia problemei lui Cauchy pentru ecua¸tia neomogen˘ a ¸si solu¸tia problemei lui Cauchy pentru problema omogen˘ a cu acelea¸si date ini¸tiale este solu¸tia problemei lui Cauchy pentru ecua¸tia neomogen˘ a cu date nule. Este deci suficient s˘ a rezolv˘ am problema lui Cauchy 2 ∂ 2w 2∂ w = f (x, t) − a ∂t2 ∂x2

cu datele ini¸tiale nule w(x, t)|t=0 = 0, ¯ ∂w ¯¯ = 0. ∂t ¯t=0

Vom încerca s˘ a stabilim în mod euristic forma solu¸tiei w(x, t). Ne amintim c˘ a în deducerea ecua¸tiei corzii, ρσf (x, t)dx reprezenta m˘ arimea for¸tei exterioare verticale care ac¸tiona asupra por¸tiunii corzii de sec¸tiune σ cuprinse între sec¸tiunile de abscise x, x+dx. S˘ a presupunem c˘ a asupra corzii ac¸tioneaz˘ a între momentele τ ¸si τ +dτ for¸ta ρσf (x, τ )dx. Ea comunic˘ a elementului (x, x + dx) al corzii impulsul ρσf (x, τ )dxdτ ¸si deci imprim˘ a

CAPITOLUL 15. ECUATII ¸ DE TIP HIPERBOLIC

270

acestui element viteza f (x, τ )dτ. Dar atunci dup˘ a formula lui D’Alembert acesteia îi va corespunde deplasarea elementar˘ a dτ v(x, t, τ )dτ = 2a

x+a(t−τ Z )

f (ξ, τ )dξ.

x−a(t−τ )

Rezult˘ a c˘ a ac¸tiunea termenului liber f (x, t) trebuie s˘ a fie echivalent˘ a cu suprapunerea deplas˘ arilor de mai sus

w(x, t) =

Zt

v(x, t, τ )dτ =

0

Zt 0

dτ 2a

x+a(t−τ Z )

f (ξ, τ )dξ.

x−a(t−τ )

Vom observa c˘ a func¸tia v(x, t, τ ) este de fapt solu¸tia problemei lui Cauchy pentru ecua¸tia omogen˘ a cu condi¸tiile ini¸tiale v(x, t, τ )|t=τ = 0, ¯ ∂v ¯¯ = f (x, τ ), ∂t ¯ t=τ

adic˘ a prezen¸ta termenului liber a trecut în a doua condi¸tie ini¸tial˘ a pentru timpul t = τ . Acest fapt este cunoscut sub numele de principiul lui Duhamel. S˘ a ar˘ at˘ am c˘ a în adev˘ ar func¸tia w(x, t) este solu¸tie a problemei noastre. Avem evident w(t, 0) = 0. Mai departe ∂w = v(x, t, t) + ∂t

Zt

∂v(x, t, τ ) dτ = ∂t

0

¯ ¯ = 0. Mai departe ¸si deci ∂w ∂t t=0 ∂ 2w ∂v(x, t, t) + = ∂t2 ∂t

Zt

Zt

∂v(x, t, τ ) dτ ∂t

0

∂ 2 v(x, t, τ ) dτ = f (x, t) + ∂t2

0

Zt

∂ 2 v(x, t, τ ) dτ ∂t2

0

∂ 2w = ∂x2

Zt

∂ 2 v(x, t, τ ) dτ ∂x2

0

¸si deci 2 ∂ 2w 2∂ w = f (x, t) + − a ∂t2 ∂x2

Zt µ 0

ceea ce trebuia demonstrat.

¶ 2 ∂ 2 v(x, t, τ ) 2 ∂ v(x, t, τ ) dτ = f (x, t) −a ∂t2 ∂x2

˘ A CORZII271 15.4. PROBLEMA LUI CAUCHY PENTRU ECUATIA ¸ NEOMOGENA Dac˘ a în expresia lui w(x, t) facem schimbarea de variabil˘ a a(t − τ ) = r ¸si scriem c˘ a pân˘ a la momentul t = 0 nu avem mi¸scare se poate scrie h(t) w(x, t) = 2a2

Zat 0

Zx+r r dr f (ξ, t − )dξ a x−r

expresia din dreapta numindu-se poten¸tial întârziat. Prin h(t) am notat func¸tia lui Heaviside. S˘ a presupunem c˘ a func¸tia f (x, t, ε) este nenul˘ a numai pe intervalul x ∈ (−ε, ε) în a¸sa fel încât lim

ε→0

Zε

f (x, t, ε)dx = F (t)h(t)

−ε

Presupunem condi¸tiile ini¸tiale nule. Asta ar însemna c˘ a pân˘ a în momentul ini¸tial coarda se g˘ asea în repaus ¸si din momentul ini¸tial asupra corzii în origine ac¸tioneaz˘ a o for¸ta˘ concentrat˘ a variabil˘ a în timp δ(x)F (t). Vom avea printr-un calcul imediat t−

w(x, t) =lim w(x, t, ε) = ε→0

h(t) 2a

Z

|x| a

F (λ)dλ

0

Dac˘ a F (t)h(t) = cos ωth(t) atunci vom avea µ µ ¶¶ h(t) |x| w(x, t) = sin ω t − 2aω a adic˘ a o und˘ a divergent˘ a, care se îndep˘ arteaz˘ a de origine. Dac˘ a presupunem acum c˘ a în timp for¸ta F (t, σ) este nenul˘ a numai pe un interval mic (0, σ) astfel încât lim

σ→0

Zt

F (τ, σ)dτ = 1

0

ob¸tinem Ω(x, t) = lim

ε→0,σ→0

w(x, t, ε, σ) =

|x| h(t) h(t − ). 2a a

Putem spune c˘ a func¸tia Ω(x, t) =

h(t) |x| 1 h(t − ) = h(at − |x|) 2a a 2a

reprezint˘ a perturba¸tia care corespunde unei impuls unitar de forma ρδ(x)δ(t). Aceasta este concentrat˘ a la momentul t > 0 în intervalul −at ≤ x ≤ at, adic˘ a avem dou˘ a fronturi

CAPITOLUL 15. ECUATII ¸ DE TIP HIPERBOLIC

272

de und˘ a anterioare care se propag˘ a cu viteza a la dreapta respectiv la stânga. Func¸tia Ω(x, t) se nume¸ste solu¸tia fundamental˘a a ecua¸tiei corzii. Formal putem spune c˘ a ea este solu¸tia ecua¸tiei 2 ∂ 2u 2∂ u = δ(x)δ(t). − a ∂t2 ∂x2

Evident unui impuls ρδ(x − ξ)δ(t − τ ) în punctul ξ la momentul τ îi corespunde unda Ω(x − ξ, t − τ ). Se vede u¸sor c˘ a solu¸tia problemei Cauchy cu date ini¸tiale nule pentru ecua¸tia neomogen˘ a 2 ∂ 2w 2∂ w = f (x, t) − a ∂t2 ∂x2

se poate scrie sub forma w(x, t) =

Z∞

dτ

−∞

Z∞

f (ξ, τ )h(τ )Ω(x − ξ, t − τ )dξ

−∞

adic˘ a ea este suprapunerea undelor date de impulsurile elementare ρf (ξ, τ )h(τ )δ(x − ξ)δ(t − τ )dξdτ, ξ ∈ (−∞, ∞), τ ∈ (−∞, ∞) care ar corespunde scrierii f (x, t)h(t) =

Z∞

−∞

dτ

Z∞

f (ξ, τ )h(τ )δ(x − ξ)δ(t − τ )dξ.

−∞

Vom mai observa c˘ a putem scrie solu¸tia problemei lui Cauchy pentru ecua¸tia omogen˘ a cu datele ini¸tiale

sub forma

u(x, t)|t=0 = 0, ¯ ∂u ¯¯ = v0 (x), x ∈ (−∞, ∞) ∂t ¯t=0 u(x, t) =

Z∞

v0 (ξ)Ω(x − ξ, t)dξ,

−∞

adic˘ a solu¸tia este suprapunerea undelor date de suma perturba¸tiilor elementare ρσv0 (ξ)δ(x − ξ)dξδ(t) a cu ceea ce înseamn˘ a c˘ a impunerea unei viteze ini¸tiale v0 (ξ) în punctul ξ este echivalent˘ un impuls elementar ρσv0 (ξ)δ(x − ξ)dξδ(t), lucru acceptabil intuitiv.

˘ A CORZII273 15.4. PROBLEMA LUI CAUCHY PENTRU ECUATIA ¸ NEOMOGENA Vom mai observa c˘ a solu¸tia u(x, t) a problemei lui Cauchy pentru ecua¸tia omogen˘ a cu datele ini¸tiale u(x, t)|t=0 = u0 (x), ¯ ∂u ¯¯ = 0, x ∈ (−∞, ∞) ∂t ¯t=0

este derivata în raport cu timpul a solu¸tiei w(x, t) a problemei lui Cauchy pentru ecua¸tia omogen˘ a cu datele

adic˘ a putem scrie ∂ u(x, t) = ∂t

w(x, t)|t=0 = 0, ¯ ∂w ¯¯ = u0 (x), x ∈ (−∞, ∞) ∂t ¯t=0 Z∞

u0 (ξ)Ω(x − ξ, t)dξ =

−∞

Z∞

u0 (ξ)

∂Ω(x − ξ, t) dξ ∂t

−∞

adic˘ a solu¸tia u(x, t) este suprapunerea undelor date de impulsuri elementare de forma ρσu0 (ξ)δ(x − ξ)δ 0 (t)dξ adic˘ a impunerea unei pozi¸tii ini¸tiale u0 (ξ) a punctului ξ este echivalent˘ a cu un impuls elementar ρσu0 (ξ)δ(x − ξ)δ 0 (t) adic˘ a trebuie s˘ a aplic˘ am un impuls ρσu0 (ξ)δ(x − ξ)δ(t) dξ τ ¸si dup˘ a un timp mic τ aplic˘ am impulsul de semn contrar −

ρσu0 (ξ)δ(x − ξ)δ(t − σ) dξ. τ

Aceasta este în concordan¸ta˘ cu intui¸tia. In concluzie putem spune c˘ a solu¸tia problemei lui Cauchy pentru ecua¸tia neomogen˘ a a corzii cu date ini¸tiale este suprapunerea undelor datorate impulsurilor elementare ρσf (ξ, t)δ(t − ξ)δ(t − τ )dξdτ + ρσv0 (ξ)δ(x − ξ)δ(t)dξ + ρσu0 (ξ)δ(x − ξ)δ 0 (t)dξ. Acesta este sensul matematic al a¸sa numitului principiu al suprapunerii undelor.

CAPITOLUL 15. ECUATII ¸ DE TIP HIPERBOLIC

274

15.5

Exerci¸tii

S˘ a se rezolve ecua¸tiile cu condi¸tiile ata¸sate: 1.

∂2u ∂t2

−

∂2u ∂x2

∂u (x, 0) ∂t

= 16, u(x, 0) = x2 ,

= 6x.

R. u(x, y) = (x + 3t)2 . 2.

∂2u ∂t2

2

− 4 ∂∂xu2 = x2 t, u(x, 0) = sin x,

R. u(x, t) =

15.6

x2 t3 6

+

t5

15

∂u (x, 0) ∂t

= x.

+ xt + sin t cos 2t.

Solu¸tia fundamental˘ a a ecua¸tiei corzii

Vom încerca acum s˘ a deducem pe cale euristic˘ a expresia solu¸tiei fundamentale Ω(x, t) a ecua¸tiei corzii. Aceasta trebuie s˘ a reprezinte unda care ia na¸stere în coard˘ a în urma unui impuls datorat unei for¸te unitare ρσδ(x)δ(t) aplicat˘ a în originea x = 0 la momentul t = 0. Evident aceasta trebuie s˘ a fie o und˘ a divergent˘ a, adic˘ a se deplaseaz˘ a din origine în spre capete în mod simetric, deci trebuie s˘ a depind˘ a de |x| = r. Din teorema impulsului rezult˘ a c˘ a impulsul se va conserva tot timpul, deci va trebui s˘ a avem ρσ

Z∞

∂Ω(x, t) dx = ρσ ∂t

−∞

Z∞

δ(x)dx

−∞

Zt

δ(τ )dτ = ρσ, t > 0.

0

Pe de alt˘ a parte s˘ a observ˘ am c˘ a dac˘ a o func¸tie u(x, t) este solu¸tie a ecua¸tiei corzii 2 ∂ 2u 2∂ u =0 − a ∂t2 ∂x2

atunci func¸tia v(x, t) = u(kx, λt) verific˘ a ecua¸tia 2 2 ∂2v 2λ ∂ v =0 − a ∂t2 k2 ∂x2

¸si deci func¸tia u(kx, kt) verific˘ a aceea¸si ecua¸tie. In cazul nostru odat˘ a cu solu¸tia fundamental˘ a Ω(x, t) vom avea ¸si solu¸tia v(x, t) = Ω(kx, kt) pentru orice num˘ ar k real. Impulsul acestei solu¸tii va fi ρσ

Z∞

−∞

∂v(x, t) dx = ρσk dt

Z∞

−∞

∂Ω(kx, kt) dx = ρσ dt

Z∞

∂Ω(x0 , kt) 0 dx = ρσ dt

−∞

adic˘ a func¸tia Ω(kx, kt) d˘ a acela¸si impuls ca ¸si func¸tia Ω(x, t). Cum ne a¸stept˘ am la unicitate trebuie s˘ a avem Ω(kx, kt) = Ω(x, t) pentru orice k real. In particular pentru

˘ A ECUATIEI 15.6. SOLUTIA ¸ FUNDAMENTALA ¸ CORZII k =

a x

275

) = g( atr ) unde g este o func¸tie ce trebuie determinat˘ a. avem Ω(x, t) = Ω(1, at x

Scriind c˘ a

at 2 ∂ 2 g( atr ) 2 ∂ g( r ) − a ∂t2 ∂r2

rezult˘ a g00 (ζ)(ζ 2 − 1) + 2ζg 0 (ζ) = 0, ζ =

at . r

Integrând aceast˘ a ecua¸tie ob¸tinem g(ζ) =

C ζ −1 ln 2 ζ +1

c˘ areia îi corespunde solu¸tia u(x, t) =

C C at − r ln = (ln(at − r) − ln(at + r)) 2 at + r 2

care nu convine pentru c˘ a are o und˘ a convergent˘ a. Suntem obliga¸ti s˘ a c˘ aut˘ am pentru ecua¸tia diferen¸tial˘ a de mai sus o solu¸tie în distribu¸tii. O asemenea solu¸tie este evident g 0 (ζ) = Cδ(ζ − 1) adic˘ a g(ζ) = Ch(ζ − 1) care ne d˘ a solu¸tia Ω(x, t) = Ch(

at − 1) = Ch(at − r) = Ch(at − |x|) r

h fiind func¸tia lui Heaviside. Acestei solu¸tii îi corespunde impulsul ∂ ρσC ∂t

Z∞

∂ Ω(x, t)dx = ρσC ∂t

−∞

¸si deci C =

1 2a

Zat

dx = ρσC

∂ 2at = 2ρσCa = ρσ ∂t

−at

¸si ob¸tinem expresia solu¸tiei fundamentale Ω(x, t) =

1 h(at − |x|). 2a

In general impulsului ρσδ(x − ξ)δ(t − τ ) îi va corespunde solu¸tia Ω(x − ξ, t − τ ) =

h(t − τ ) h(a(t − τ ) − |x − ξ|). 2a

Evident aceasta este o deducere euristic˘ a. Putem scrie expresia solu¸tiei ecua¸tiei corzii infinite 2 ∂ 2u 2∂ u = f (x, t) − a ∂t2 ∂x2

cu condi¸tiile ini¸tiale u(x, t)|t=0 = u0 (x), x ∈ (−∞, ∞) ¯ ∂u ¯¯ = u0 (x), x ∈ (−∞, ∞) ∂t ¯t=0

CAPITOLUL 15. ECUATII ¸ DE TIP HIPERBOLIC

276

ca fiind suprapunerea undelor datorate impulsurilor elementare ρσf (ξ, τ )δ(t − ξ)δ(t − τ )dξdτ + ρσv0 (ξ)δ(x − ξ)δ(t)dξ + ρσu0 (ξ)δ(x − ξ)δ 0 (t)dξ adic˘ a 1 u(x, t) = 2a

Zt 0

dτ

x+a(t−τ Z )

1 f (ξ, τ )dξ + 2a

x−a(t−τ )

x+at Z

1 ∂ v0 (ξ)dξ + 2a ∂t

x−at

x+at Z

u0 (ξ)dξ,

x−at

ultimul termen fiind evident 1 (u0 (x − at) + u0 (x + at)) 2a Prin faptul c˘ a am reg˘ asit solu¸tia de mai înainte ajungem la concluzia c˘ a au fost îndrept˘ a¸tite considera¸tiile euristice.

15.7

Ob¸tinerea solu¸tiei ecua¸tiei corzii pe baza formulei lui Green

Dac˘ a u(x, t), v(x, t) sunt dou˘ a func¸tii oarecare cu derivate par¸tiale de ordinul doi continue într-un domeniu D putem scrie ¶ µ ¶ µ ¶ µ 2 2 ∂ ∂u ∂u ∂v ∂u ∂v ∂u ∂ u 2∂ u 2 ∂ = v v + a2 v −a −a − 2 2 ∂t ∂x ∂t ∂t ∂x ∂x ∂t ∂t ∂x ∂x ¶ µ ¶ µ ¶ µ 2 2 ∂v ∂u ∂v ∂u ∂ ∂v ∂v ∂ v 2∂ v 2 ∂ = u −a u − + a2 . −a u 2 2 ∂t ∂x ∂t ∂t ∂x ∂x ∂t ∂t ∂x ∂x Prin sc˘ adere ob¸tinem formula lui Green ¶ µ 2 ¶ µ ¶ µ ¶ µ 2 2 2 ∂ v ∂ ∂u ∂v ∂u ∂v ∂ u 2∂ u 2∂ v 2 ∂ −u = v −u −a v −u . v −a −a ∂t2 ∂x2 ∂t2 ∂x2 ∂t ∂t ∂t ∂x ∂x ∂x Integrând pe domeniul D ob¸tinem formula integral˘ a a lui Green pentru ecua¸tia corzii ¶ µ 2 ¶¸ Z · µ 2 2 2 ∂ u ∂ v 2∂ u 2∂ v v −u dxdt = −a −a ∂t2 ∂x2 ∂t2 ∂x2 D

¶ µ ¶¸ Z · µ ∂u ∂v 2 ∂u 2 ∂v = v nt − a nx − u nt − a nx ds ∂t ∂x ∂t ∂x ∂D

→ n (nx , nt ) exterioare la ∂D. unde am notat prin nx , nt componentele versorului normalei −

15.7. OBTINEREA ¸ SOLUTIEI ¸ ECUATIEI ¸ CORZII PE BAZA FORMULEI LUI GREEN277 Dac˘ a lu˘ am cazul a = 1, la care ne putem reduce prin schimbarea de variabile t = at0 , vom avea

¶ µ 2 ¶¸ Z · µ 2 ∂ u ∂ 2u ∂ v ∂ 2v v dxdt = − 2 −u − 2 ∂t2 ∂x ∂t2 ∂x D ¶ µ ¶¸ Z · µ ∂u ∂v ∂u ∂v v nt − nx − u nt − nx ds. = ∂t ∂x ∂t ∂x ∂D

− → a simetricul normalei Dac˘ a acum vom nota cu N versorul cu componentele (nt , −nx ) adic˘ interioare la ∂D fa¸ta˘ de o paralel˘ a la axa x-ilor vom putea scrie formula lui Green sub o form˘ a asem˘ an˘ atoare celei de la operatorul lui Laplace ¸ Z Z · ∂u ∂v v [v¤u − u¤v] dxdt = −u ds, ∂N ∂N D

∂D

unde am introdus operatorul numit dalambertian ¤=

∂2 ∂2 . − ∂t2 ∂x2

− → Versorul N se nume¸ste versorul conormalei interioare la frontiera ∂D . S˘ a consider˘ am un domeniu D din planul xOt a c˘ arui frontier˘ a s˘ a fie alc˘ atuit˘ a din curbe caracteristice ¸si dintr-o curb˘ a C astfel încât oricare din cele dou˘ a caracteristici care pleac˘ a dintr-un punct al domeniului taie curba C într-un singur punct. Un asemenea domeniu este de exemplu semiplanul t ≥ 0, sau domeniul limitat de dou˘ a verticale x = 0, x = l ¸si de axa x-lor, sau domeniul limitat de dou˘ a caracteristici care alc˘ atuiesc conul viitor al unui punct. Fie Q(x0 , t0 ) un punct din domeniul D. S˘ a not˘ am prin DQ domeniul limitat de caracteristicile punctului Q ¸si de curba C. S˘ a mai not˘ am prin CQ por¸tiunea din curba C care este frontier˘ a a domeniului DQ ¸si prin Q1 , Q2 capetele curbei CQ parcurs˘ a în sensul care las˘ a domeniul DQ la stânga. Consider˘ am ca func¸tie v func¸tia egal˘ a cu unitatea propor¸tional˘ a cu Ω(x, t; x0 , t0 ) ¸si scriem formula lui Green pentru domeniul DQ Z Z ¤udxdt = DQ

∂u ds = ∂N

Z

CQ

∂DQ

∂u ds + ∂N

Z

∂u ds + ∂N

Q2 Q

− → Dar pe por¸tiunea Q2 Q N coincide cu direc¸tia lui Q2 Q ¸si deci Z ∂u ds = u(Q) − u(Q2 ), ∂N Q2 Q

Z

QQ1

∂u ds. ∂N

CAPITOLUL 15. ECUATII ¸ DE TIP HIPERBOLIC

278

− → pe por¸tiunea QQ1 N coincide cu direc¸tia lui Q1 Q ¸si deci Z ∂u ds = u(Q) − u(Q1 ). ∂N QQ1

Rezult˘ a c˘ a dac˘ a u(x, t) este solu¸tie ecua¸tiei ¤u = f (x, t) atunci Z Z ∂u 1 u(Q1 ) + u(Q2 ) − ds + f (x, t)dxdt. u(Q) = 2 ∂N 2 CQ

DQ

atuit din In cazul în care domeniul D este semiplanul t ≥ 0 atunci CQ este alc˘ segmentul axei x-lor cuprins între punctele Q1 de abscis˘ a x0 − t0 ¸si Q2 de abscis˘ a x0 + t0 , − → ∂u N este opusul versorului axei t-urilor, adic˘ = − ∂u a ∂N ¸si avem ∂t u(x0 − t0 , 0) + u(x0 + t0 , 0) u(x0 , t0 ) = + 2

xZ 0 +t0

∂u(x, 0) 1 dx + ∂t 2

Zt0

dt

0

x0 −t0

x0 +(t Z 0 −t)

f (x, t)dx

x0 −(t0 −t)

adic˘ a formula ob¸tinut˘ a mai înainte. In cazul în care domeniul este limitat de dou˘ a caracteristici care pleac˘ a din punctul A în sus vom avea cu nota¸tiile de mai sus 1 u(Q) = u(Q1 ) + u(Q2 ) − u(A) + 2

Z

f (x, t)dxdt

DQ

adic˘ a avem solu¸tia problemei lui Gourssat în care se cunosc valorile valorile func¸tiei u de-a lungul celor dou˘ a caracteristici care pleac˘ a din A.

15.8

Solu¸tia problemei lui Cauchy pentru ecua¸tia membranei

S˘ a încerc˘ am s˘ a g˘ asim pe cale euristic˘ a solu¸tia fundamental˘ a Ω(x, y, t) a ecua¸tiei membranei. Ea trebuie s˘ a descrie unda divergent˘ a care ia na¸stere în membran˘ a sub ac¸tiunea impulsului ρδ(x)δ(y)δ(t) al unei for¸te unitare aplicat˘ a în origine x = y = 0 la momentul t = 0. In virtutea simetriei aceasta trebuie s˘ a depind˘ a numai de distan¸ta de p la punct la origine r = x2 + y 2 . Cum impulsul se conserv˘ a în timp va trebui s˘ a avem ρ

Z

∂Ω(x, y, t) dxdy = ρ ∂t

Z

δ(x, y)dxdy

Zt 0

δ(τ )dτ = ρ, t > 0,

15.8. SOLUTIA ¸ PROBLEMEI LUI CAUCHY PENTRU ECUATIA ¸ MEMBRANEI279 integralele fiind extinse la tot planul. S ¸ i aici se verific˘ a u¸sor c˘ a odat˘ a cu solu¸tia Ω(x, y, t) avem ¸si solu¸tia v(x, y, t) = Ω(kx, ky, kt). Impulsul acesteia va fi Z Z Z ∂v(x, y, t) ∂Ω(kx, ky, kt) ρ ∂Ω(x0 , y 0 , kt) 0 ρ ρ dxdy = ρk dxdy = dx dy = . ∂t ∂t k ∂t k Deci func¸tiile Ω(x, y, t) ¸si kΩ(kx, ky, kt) au acela¸si impuls oricare ar fi k real. Cum ne a¸stept˘ am la unicitate rezult˘ a c˘ a trebuie s˘ a aib˘ a loc rela¸tia Ω(x, y, t) = kΩ(kx, ky, kt) oricare ar fi k real, mai exact trebuie s˘ a aib˘ a loc rela¸tia Ω(r, t) = kΩ(kr, kt). In particular pentru k =

a r

ob¸tinem Ω(r, t) = ar Ω(a, atr ) = ar g( atr ) unde g este o func¸tie care trebuie

determinat˘ a din condi¸tia de a verifica ecua¸tia membranei · 2 ¸ ∂ 2Ω 1 ∂Ω 2 ∂ Ω + = 0. −a ∂t2 ∂r2 r ∂r Vom observa c˘ a putem scrie Ω(r, t) =

∂ G( atr ), ∂t

unde vom cere ca numai func¸tia omogen˘ a

G( atr ) s˘ a verifice ecua¸tia membranei. Notând ζ =

at r

g˘ asim c˘ a trebuie verificat˘ a ecua¸tia

G00 (ζ)(ζ 2 − 1) + G0 (ζ)ζ = 0 de unde deducem

Acesteia îi corespunde solu¸tia

1 G0 (ζ) = C p ζ2 − 1

1 a h(at − r) u(r, t) = C q = Ca √ 2 2 2 2 r a t −1 a t − r2 r2

care reprezint˘ a în adev˘ ar o und˘ a divergent˘ a. Impulsul acesteia este ∂ ρ ∂t

Z

∂ u(r, t)rdrdθ = ρCa ∂t

¸si rezult˘ aC=

Z2π 0

1 2πa2

dθ

Zat 0

rdr ∂ √ = 2πρCa at = 2πρCa2 = ρ 2 2 2 ∂t a t −r

astfel c˘ a solu¸tia fundamental˘ a este Ω(x, y, t) =

p 1 h(at − r)h(t) √ , r = x2 + y 2 . 2πa a2 t2 − r2

Deci impulsului ρδ(x)δ(y)δ(t) îi corespunde perturba¸tia Ω(x, y, t) concentrat˘ a la momentul t > 0 în cercul închis de raz˘ a at cu centrul în (0, 0). Exist˘ a deci un front anterior al undei care se propag˘ a în plan cu viteza a f˘ ar˘ a s˘ a existe un front posterior. Se zice c˘ a în acest caz are loc difuzia undelor.

CAPITOLUL 15. ECUATII ¸ DE TIP HIPERBOLIC

280

Unui impuls ρδ(x − ξ)δ(y − η)δ(t − τ ) îi va corespunde unda Ω(x − ξ, y − η, t − τ ) =

p 1 h(a(t − τ ) − r)h(t − τ ) p , r = (x − ξ)2 + (y − η)2 . 2πa a2 (t − τ )2 − r2

Ca ¸si în cazul corzii solu¸tia u(x, y, t) a ecua¸tiei omogene a membranei ∂2u − a2 4xy u = 0 ∂t2 cu condi¸tiile ini¸tiale u(x, y, t)|t=0 = u0 (x, y), ¯ ∂u ¯¯ = v0 (x, y) ∂t ¯ t=0

trebuie s˘ a fie suprapunerea undelor datorate impulsurilor elementare v0 (ξ, η)δ(x − ξ)δ(y − η)δ(t)dξdη + u0 (ξ, η)δ(x − ξ)δ(y − η)δ0 (t)dξdη adic˘ a u(x, y, t) =

Z

v0 (ξ, η)Ω(x − ξ, y − η, t)dξdη + Z ∂ u0 (ξ, η)Ω(x − ξ, y − η, t)dξdη. + ∂t

Aceasta se poate scrie sub forma Z u0 (ξ, η) 1 ∂ p dξdη + u(x, y, t) = 2 2 2πa ∂t a t − (ξ − x)2 − (η − y)2 C Zat 1 v0 (ξ, η) p + dξdη 2πa a2 t2 − (ξ − x)2 − (η − y)2 Cat

a a at : (ξ − x)2 + (η − y)2 ≤ a2 t2 . Se verific˘ unde Cat este cercul cu centrul în (x, y) de raz˘ prin calcule c˘ a dac˘ a datele ini¸tiale u0 (x, y), v0 (x, y) sunt func¸tii de trei ori derivabil˘ a respectiv de dou˘ a ori derivabil˘ a formula de mai sus numit˘ a formula lui Poisson furnizeaz˘ a în adev˘ ar solu¸tia problemei lui Cauchy pentru ecua¸tia omogen˘ a a membranei. Solu¸tia problemei lui Cauchy pentru ecua¸tia membranei neomogene ∂ 2w − a2 4xy w = f (x, y, t) ∂t2 w(x, y, t)|t=0 = 0 ¯ ∂w ¯¯ = 0 ∂t ¯ t=0

15.9. SOLUTIA ¸ PROBLEMEI LUI CAUCHY PENTRU ECUATIA ¸ UNDELOR 281 va fi va fi suprapunerea undelor datorate impulsurilor elementare f (ξ, η, τ )δ(x − ξ)δ(y − η)δ(t − τ )dξdηdτ adic˘ a 1 w(x, y, t) = 2πa

Zt

Z

f (ξ, η, t) p dξdηdτ. a2 (t − τ )2 − (ξ − x)2 − (η − y)2

0 Ca(t−τ )

Se observ˘ a c˘ a func¸tioneaz˘ a principiul lui Duhamel. F˘ acând schimbarea de variabil˘ a a(t − τ ) = r se poate scrie 1 w(x, y, t) = 2πa2

Zat 0

dr √

Z

(ξ−x)2 −(η−y)2
form˘ a numit˘ a poten¸tial întârziat (retardat).

f (ξ, η, t − ar )dξdη p r2 − (ξ − x)2 − (η − y)2

Solu¸tia u(x, y, t) a ecua¸tiei membranei ∂ 2u − a2 4xy u = f (x, y, t) ∂t2 cu condi¸tiile ini¸tiale u(x, y, t)|t=0 = u0 (x, y), ¯ ∂u ¯¯ = v0 (x, y) ∂t ¯ t=0

va fi suprapunerea undelor datorate impulsurilor elementare f (ξ, η, τ )δ(x − ξ)δ(y − η)δ(t − τ )dξdηdτ + v0 (ξ, η)δ(x − ξ)δ(y − η)δ(t)dξdη + +u0 (ξ, η)δ(x − ξ)δ(y − η)δ 0 (t)dξdη adic˘ a u(x, y, t) =

15.9

Z

f (ξ, η, τ )Ω(x − ξ, y − η, t − τ )dξdηdτ + Z ∂ u0 (ξ, η)Ω(x − ξ, y − η, t)dξdη. + ∂t

Z

v0 (ξ, η)Ω(x − ξ, y − η, t)dξdη +

Solu¸tia problemei lui Cauchy pentru ecua¸tia undelor

Vom încerca mai întâi s˘ a deducem pe cale euristic˘ a solu¸tia fundamental˘ a Ω(x, y, z, t) a ecua¸tiei undelor în spa¸tiu. Aceasta va reprezenta unda sonor˘ a care va rezulta în aer

CAPITOLUL 15. ECUATII ¸ DE TIP HIPERBOLIC

282

în urma unui impuls unitar ρδ(x)δ(y)δ(z)δ(t) în origine la momentul t = 0. In virtutea p simetriei aceasta va trebui s˘ a depind˘ a numai de r = x2 + y 2 + z 2 . Cum impulsul se conserv˘ a în timp vom avea

ρ

Z

∂Ω(x, y, z, t) dxdydz = ρ ∂t

integrala fiind extins˘ a la întreg spa¸tiul. S ¸ i aici odat˘ a cu solu¸tia Ω(x, y, z, t) vom avea solu¸tia v(x, y, z, t) = Ω(kx, ky, kz, kt). Impulsul acesteia este Z Z ∂Ω(kx, ky, kz, kt) ∂Ω(x0 , y 0 , z 0 , kt) 0 0 0 ρ ρ dxdydz = 2 dx dy dz = 2 . ρk ∂t k ∂t k Rezult˘ a c˘ a solu¸tia k 2 Ω(kx, ky, kz, kt) are acela¸si impuls ca ¸si solu¸tia Ω(x, y, z, t). Cum ne a¸stept˘ am la unicitate rezult˘ a c˘ a vom avea k2 Ω(kx, ky, kz, kt) = Ω(x, y, z, t) pentru orice k real. Exprimat în func¸tie de r vom avea k2 Ω(kr, kt) = Ω(r, t) pentru orice k real. In particular pentu k =

a r

observa c˘ a putem lua Ω(r, t) =

vom avea Ω(r, t) = ∂2 G( atr ) ∂t2

aceasta rezult˘ a G00 (ζ)(ζ 2 − 1) = 0, ζ =

a2 Ω(a, atr ) r2

=

a2 g( atr ). r2

Mai mult vom

unde G( atr ) verific˘ a ecua¸tia undelor. Scriind

at . r

Rezult˘ a c˘ a G(ζ) = Cζ + C1 . Pentru a avea

asim astfel G(ζ) = C(ζ − 1)h(ζ − 1) pentru ca o und˘ a divergent˘ a neap˘ arat C1 = −C. G˘ ecua¸tia s˘ a fie verificat˘ a ¸si în distribu¸tii. Rezult˘ a c˘ a Ω(r, t) = C

a2 at a2 − 1) = C δ(at − r). δ( r2 r r

Impulsul acesteia va fi ∂3 ρ 3 ∂t

Z

∂3 G(r, t)r sin ϕdrdθdϕ = ρC4π 3 ∂t 2

Zat (at − r)rdr = 0

∂ 3 a3 t3 = 4πρC 3 = 4πρCa3 = ρ ∂t 6 de unde C =

1 4πa3

de unde Ω(x, y, z, t) =

h(t) δ(at − r) . 4πa r

Deci perturba¸tia Ω(x, y, z, t) datorit˘ a impulsului ρδ(x)δ(y)δ(z)δ(t) este localizat˘ a la momentul t > 0 pe suprafa¸ta sferic˘ a de raz˘ a at cu centrul în (0, 0, 0), adic˘ a perturba¸tia se propag˘ a sub forma de und˘ a sferic˘ a cu viteza a. Intr-un punct oarecare (x, y, z) perturba¸tia este nenul˘ a doar la momentul t = ar .

15.9. SOLUTIA ¸ PROBLEMEI LUI CAUCHY PENTRU ECUATIA ¸ UNDELOR 283 Impulsului ρδ(x − ξ)δ(y − η)δ(z − ζ)δ(t − τ ) îi va corespunde unda Ω(x − ξ, y − η, z − ζ, t − τ ) = unde acum r =

h(t) δ(a(t − τ ) − r) 4πa r

p (ξ − x)2 + (η − y)2 + (ζ − z)2 .

Solu¸tia ecua¸tiei undelor

∂ 2u − a2 4xyz u = 0 ∂t2

cu condi¸tiile ini¸tiale u(x, y, z, t)|t=0 = u0 (x, y, z), ¯ ∂u ¯¯ = v0 (x, y, z), ∂t ¯t=0

va fi suprapunerea undelor corespunz˘ atoare impulsurilor elementare v0 (ξ, η, ζ)δ(x − ξ)δ(y − η)δ(z − ζ)δ(t)dξdηdζ + +u0 (ξ, η)δ(x − ξ)δ(y − η)δ(z − ζ)δ 0 (t)dξdηdζ adic˘ a u(x, y, z, t) =

Z

v0 (ξ, η, ζ)Ω(x − ξ, y − η, z − ζ, t)dξdηdζ + Z ∂ u0 (ξ, η, ζ)Ω(x − ξ, y − η, z − ζ, t)dξdηdζ. + ∂t

Cum dξdηdζ = drdσr unde dσr este elementul de arie pe sfera ∂Sr cu centrul în (x, y, z) ¸si raza r putem scrie 1 ∂ u(x, y, z, t) = 4πa2 ∂t

Z

∂Sat

u0 (ξ, η, ζ) 1 dσat + t 4πa2

Z

v0 (ξ, η, ζ) dσat . t

∂Sat

Se verific˘ a prin calcule c˘ a dac˘ a datele ini¸tiale u0 (x, y, z), v0 (x, y, z) sunt func¸tii de trei ori derivabil˘ a respectiv de dou˘ a ori derivabil˘ a atunci formula de mai sus numit˘ a formula lui Kirchhoff-Poisson furnizeaz˘ a efectiv o solu¸tie a ecua¸tiei omogene a undelor. Formula lui Kirchhoff-Poisson arat˘ a c˘ a perturba¸tia u(x, y, z, t) este complet determinat˘ a de valorile datelor ini¸tiale pe sfera ∂Sat cu centrul în (x, y, z) ¸si raza at. S˘ a presupunem c˘ a acestea sunt nenule numai pe o mul¸time compact˘ a C. Intr-un punct a în care nu apar¸tine mul¸timii C perturba¸tia ajunge la momentul t0 = ad , este nenul˘ £d D¤ intervalul de timp a , a , unde d, D sunt distan¸ta minim˘ a respectiv distan¸ta maxim˘ a

CAPITOLUL 15. ECUATII ¸ DE TIP HIPERBOLIC

284

de la punct la mul¸timea C. Pentru timpul t > t1 =

D a

perturba¸tia este din nou nul˘ a.

Prin punctul ales la momentul t0 trece frontul anterior al undei iar la momentul t1 trece frontul posterior al undei. La momentul t frontul anterior de und˘ a este înf˘ a¸sur˘ atoarea extern˘ a a tuturor sferelor de raz˘ a at cu centrul în mul¸timea C iar frontul posterior de und˘ a este înf˘ a¸sur˘ atoarea intern˘ a a acelora¸si sfere. La un moment dat perturba¸tia va fi nenul˘ a numai între frontul anterior ¸si cel posterior. Cele spuse aici constituie principiul lui Huygens. Solu¸tia ecua¸tiei undelor ∂ 2u − a2 4xyz u = f (x, y, z, t) ∂t2 cu condi¸tiile ini¸tiale u(x, y, z, t)|t=0 = u0 (x, y, z), ¯ ∂u ¯¯ = v0 (x, y, z), ∂t ¯ t=0

va fi suprapunerea undelor corespunz˘ atoare impulsurilor elementare f (ξ, η, τ )δ(x − ξ)δ(y − η)δ(t − τ )dξdηdτ + v0 (ξ, η)δ(x − ξ)δ(y − η)δ(t)dξdη + +u0 (ξ, η)δ(x − ξ)δ(y − η)δ 0 (t)dξdη adic˘ a u(x, y, t) =

15.10

Z

f (ξ, η, τ )Ω(x − ξ, y − η, t − τ )dξdηdτ + Z ∂ u0 (ξ, η)Ω(x − ξ, y − η, t)dξdη. + ∂t

Z

v0 (ξ, η)Ω(x − ξ, y − η, t)dξdη +

Problemele mixte pentru ecua¸tia corzii

Pentru coarda finit˘ a suntem condu¸si la probleme în care pe lâng˘ a condi¸tiile ini¸tiale avem ¸si anumite condi¸tii la capete. Asemenea probleme se numesc probleme mixte. Intro problem˘ a mixt˘ a trebuie determinat˘ a în domeniul x ∈ [0, l], t ≥ 0 solu¸tia u = u(x, t) care verific˘ a ecua¸tia 2 ∂ 2u 2∂ u = f (x, t) − a ∂t2 ∂x2

15.10. PROBLEMELE MIXTE PENTRU ECUATIA ¸ CORZII

285

cu condi¸tiile ini¸tiale u(x, t)|t=0 = u0 (x), x ∈ [0.l], ¯ ∂u ¯¯ = v0 (x), x ∈ [0, l], ∂t ¯t=0

¸si una din urm˘ atoarele condi¸tii la limit˘ a: Dac˘ a avem condi¸tiile

u(o, t) = ϕ0 (t), t ≥ 0, u(l, t) = ϕl (t), t ≥ 0 problema se nume¸ste de primul tip sau cu condi¸tii de tip Dirichlet. Dac˘ a avem condi¸tiile ¯ ∂u ¯¯ = ϕ0 (t), t ≥ 0, ∂x ¯x=o ¯ ∂u ¯¯ = ϕl (t), t ≥ 0 ∂x ¯ x=l

problema se nume¸ste de al doilea tip sau cu condi¸tii de tip Neuman. Dac˘ a avem condi¸tiile ¶ ∂u − αu = ϕ0 (t), t ≥ 0, ∂x x=o µ ¶ ∂u − βu = ϕl (t), t ≥ 0 ∂x x=l

µ

problema se nume¸ste de tipul trei sau cu condi¸tii la limit˘a mixte. Printr-o problem˘ a de interpolare totdeauna putem determina o func¸tie u0 (x, t) care s˘ a satisfac˘ a condi¸tiile la capete. Prin schimbarea de func¸tie u(x, t) = u0 (x, t) + w(x, t) ob¸tinem pentru func¸tia w(x, t) o problem˘ a de acela¸si tip cu condi¸tii la limit˘ a omogene. Pentru a demonstra unicitatea solu¸tiei unei probleme mixte folosim identitatea "µ ¶ ¶ µ ¶2 # µ µ ¶ 2 2 ∂ u ∂ ∂u ∂u ∂u ∂ 2 u 1 ∂u ∂ ∂u 2 2 + = +a −a ∂t ∂t2 ∂x2 2 ∂t ∂t ∂x ∂x ∂x ∂t pe care integrând-o într-un domeniu D de existen¸ta˘ a solu¸tiei ob¸tinem rela¸tia µ ¶2 # Z "µ ¶2 ∂u ∂u ∂u ∂u dx − dt = 0 + a2 ∂t ∂x ∂x ∂t ∂D

CAPITOLUL 15. ECUATII ¸ DE TIP HIPERBOLIC

286

Diferen¸ta a dou˘ a solu¸tii ale unei probleme mixte este solu¸tie a acelea¸si probleme mixte pentru ecua¸tia omogen˘ a cu condi¸tii la limit˘ a omogene. Pentru o asemenea diferen¸ta˘ aplic˘ am identitatea de mai sus în dreptunghiul cu vârfurile O(0, 0), A(l, o), A0(l, t), O0(0, t). Vom ob¸tine Z l "µ

∂u ∂t

0

−

Z l "µ 0

¶2

∂u ∂t

2

+a

¶2

µ

2

+a

∂u ∂x

µ

¶2 #

∂u ∂x

+

t=0

¶2 #

t

Zt 0

−

Zt 0

¯ ∂u ∂u ¯¯ dt− ∂x ∂t ¯x=l

¯ ∂u ∂u ¯¯ dt = 0 ∂x ∂t ¯x=0

In virtutea condi¸tiilor ini¸tiale prima integral˘ a este nul˘ a. In problemele la limit˘ a de tipul unu sau doi integralele doi ¸si patru sunt nule. Rezult˘ a c˘ a ¸si integrala a treia este nul˘ a, dar atunci la momentul t oricare ar fi x avem

∂u ∂x

= 0,

∂u ∂t

= 0. Rezult˘ a

u(x, t) =constant ¸si cum la momentul t = 0 este nul˘ a rezult˘ a c˘ a peste tot u(x, t) = 0. Deci am ar˘ atat unicitatea solu¸tiei problemelor mixte de tipul unu sau doi. In cazul ¯ ¯ Rt Rt ¯ dt = β ∂ u2 ¯ = β u(l, t)2 . problemei de tipul trei a doua integral˘ a devine β u ∂u 2 2 ∂t x=l ∂t x=l 0

0

La fel ¸si a patra integral˘ a este α2 u(0, t)2 . Rezult˘ a c˘ a dac˘ a α > 0, β < 0 atunci neap˘ arat u(0, t) = 0, u(l, t) = 0 ¸si a treia integral˘ a trebuie s˘ a fie nul˘ a ¸si deci u(x, t) = 0 peste tot, adic˘ a ¸si problema de tipul trei are solu¸tie unic˘ a. Dac˘ a consider˘ am problema ini¸tial˘ a ¸si integr˘ am rela¸tia " ¶ µ ¶2 # µ µ ¶2 µ ¶ 2 ∂u ∂ 2 u ∂ u 1 ∂u ∂ ∂u ∂u ∂u 2 2 2 ∂ +a = +a −a ∂t ∂t2 ∂x2 2 ∂t ∂t ∂x ∂x ∂x ∂t pe dreptunghiul cu vârfurile O(0, 0), A(l, o), A0(l, t), O0(0, t) ob¸tinem 2

E(0) − E(t) − a

Zt µ 0

unde am notat

¶¯ ¶¯ Zt µ Zt Z l ∂u ∂u ∂u ¯¯ ∂u ∂u ¯¯ 2 dτ + a dτ = f (x, τ )dxdτ ¯ ¯ ∂x ∂t x=l ∂x ∂t x=l ∂t 0

E(t) =

Zl 0

1 2

"µ

∂u ∂t

¶2

0

+ a2

µ

∂u ∂x

¶2 #

0

dx

m˘ arimile de sub integral˘ a fiind calculate la momentul t. Marimea ρE(t) este tocmai energia corzii la momentul t. Rela¸tia de mai sus scris˘ a sub forma E(t) − E(0) =

Zt Z l 0

0

∂u f (x, τ )dxdτ − a2 ∂t

Zt µ 0

¶¯ ¶¯ Zt µ ∂u ∂u ¯¯ ∂u ∂u ¯¯ 2 dτ + a dτ ∂x ∂t ¯x=l ∂x ∂t ¯x=0 0

15.10. PROBLEMELE MIXTE PENTRU ECUATIA ¸ CORZII

287

arat˘ a c˘ a varia¸tia energiei corzii este egal˘ a cu lucrul mecanic al for¸tei exterioare plus lucrul mecanic al leg˘ aturilor. In cazul problemelor de tipul lui Dirichlet sau Neuman lucrul mecanic al leg˘ aturilor este nul. In cazul problemei mixte lucrul mecanic al leg˘ aturilor este

¶¯ ¶¯ Zt µ Zt µ ¯ ∂u ∂u ¯¯ 2 2 ¯ −a βu αu dτ + a dτ = ∂t ¯x=l ∂t ¯x=0 0

=− Rezult˘ a

0

¤ a2 £ ¤ a2 £ β u(l, t)2 − u(l, 0)2 + α u(0, t)2 − u(0, 0)2 2 2

a2 a2 E(t) + βu(l, t)2 − αu(0, t)2 = 2 2

Zt Z l 0

a2 ∂u a2 f (x, τ )dxdτ + βu(l, 0)2 − αu(0, 0)2 ∂t 2 2

0

¸si deci dac˘ a β > 0, α < 0 avem

E(t) ≤ E(0) +

Zt Z l 0

a2 ∂u a2 f (x, τ )dxdτ + βu(l, 0)2 − αu(0, 0)2 ∂t 2 2

0

Folosind inegalitatea lui Schwartz-Cauchy rezult˘ a

E(t) ≤ E(0) +

Zt Z l 0

0

∂u 2 dxdτ + ∂t

Zt Z l

f (x, τ )2 dxdτ +

Zt

E(τ )dτ + F (t)

0

sau înc˘ a E(t) ≤ 2

a2 a2 βu(l, 0)2 − αu(0, 0)2 2 2

0

0

unde am notat F (t) =

Zt Z l 0

f (x, τ )2 dxdτ +

a2 a2 βu(l, 0)2 − αu(0, 0)2 + E(0) 2 2

0

func¸tie cresc˘ atoare de t. Dac˘ a not˘ am Φ(t) =

Zt

E(τ )dτ

0

putem scrie Φ0 (t) ≤ 2Φ(t) + F (t).

CAPITOLUL 15. ECUATII ¸ DE TIP HIPERBOLIC

288 Inmul¸tind cu e−2t rezult˘ a

Φ0 (t)e−2t − 2Φ(t)e−2t ≤ F (t)e−2t sau ¡ ¢0 Φ(t)e−2t ≤ F (t)e−2t

de unde integrând între 0 ¸si t rezult˘ a −2t

Φ(t)e

≤

Zt

F (τ )e−2τ dτ ≤ F (t)(1 − e−2t )

0

adic˘ a Φ(t) ≤ F (t)e2t − F (t) ¸si deci E(t) ≤ F (t)e2t . Rezult˘ a c˘ a dac˘ a u0 (x), u00 (x), v0 (x), f(x, t) sunt mici de ordinul lui ε atunci F (t) este tot de ordinul lui ε ¸si deci ¸si energia E(t) este tot de ordinul lui ε. In cazul problemei lui Dirichlet avem folosind inegalitatea lui Cauchy-Schwartz v u l x Z uZ √ √ p u ∂u 2 ∂u |u(x, t)| ≤ | |dx ≤ lt dx ≤ la 2E(t) ∂x ∂x 0

0

adic˘ a u(x, t) este mic˘ a odat˘ a cu energia.

In cazul problemelor lui Neuman ¸si mixt˘ a avem |u(x, t) − u(0, t)| ≤ Mai departe avem

√ p la 2E(t).

¯ ¯ l ¯ ¯ Z ¯ ¯1 ¯ (u(x, t) − u(x, 0) − u(x, t))dx¯¯ ≤ |u(0, t)| = ¯ ¯ ¯l 0 ¯ l ¯ ¯Z ¯ ¯ ¯ 1√ p ≤ la 2E(t) + ¯¯ u(x, t)dx¯¯ . l ¯ ¯ 0

Din inegalitatea ∂ ∂t

Zl 0

u(x, t)dx =

Zl 0

v u l Z √ p √u u ∂u 2 ∂u dx ≤ la 2E(t) dx ≤ lt ∂t ∂t 0

15.11. REZOLVAREA UNOR PROBLEME MIXTE PENTRU ECUATIA ¸ CORZII289 avem

¯ l ¯ ¯ l ¯ ¯ t ¯ ¯Z ¯ ¯Z ¯ ¯Z ¯ √p ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ u(x, t)dx¯ ≤ ¯ u(x, 0)dx¯ + ¯ a l 2E(τ )dτ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 0

¸si în definitiv

0

0

¯ l ¯ ¯ t ¯ ¯Z ¯ ¯Z ¯ √ p √p ¯ ¯ ¯ ¯ 1√ p |u(x, t)| ≤ la 2E(t) + la 2E(t) + ¯¯ u0 (x)dx¯¯ + ¯¯ a l 2E(τ )dτ ¯¯ . l ¯ ¯ ¯ ¯ 0

In toate cele trei probleme dac˘ a u0 (x),

u00 (x),

0

v0 (x), f(x, t) sunt mici atunci ¸si u(x, t)

este mic, adic˘ a solu¸tia depinde continuu de datele ini¸tiale ale problemei.

15.11

Rezolvarea unor probleme mixte pentru ecua¸tia corzii

1. S˘ a rezolv˘ am mai întâi o problem˘ a mixt˘ a pentru ecua¸tia corzii semiinfinite: s˘ a se determine func¸tia u(x, t) definit˘ a în domeniul x ≥ 0, t ≥ 0 solu¸tie a ecua¸tiei corzii

2 ∂ 2u 2∂ u =0 −a ∂t2 ∂x2 ¯ ¯ = 0, x ≥ 0 ¸si condi¸tia la cap˘ at u|x=0 = ϕ(t), cu condi¸tiile ini¸tiale u(x, 0) = 0, ∂u ∂t t=0

t ≥ 0. Trebuie s˘ a avem condi¸tia de compatibilitate ϕ(0) = 0.

Dac˘ a not˘ am prin h(t) func¸tia lui Heaviside ¸si prelungind func¸tia u(x, t) pentru t < 0 cu valori nule, putem scrie u|x=0 = ϕ(t)h(t), t ∈ R. Cum solu¸tia trebuie s˘ a fie de forma u(x, t) = α(at + x) + β(at − x) condi¸tiile ini¸tiale dau α(x) + β(−x) = 0 aα0 (x) + aβ 0 (−x) = 0, x ≥ 0 din care deducem c˘ a pentru x ≥ 0 avem α(x) = 0, β(−x) = 0. Condi¸tia la cap˘ at d˘ a α(at) + β(at) = ϕ(t)h(t), t ∈ R din care deducem α(x) = 0, x ≤ 0 x x β(x) = ϕ( )h( ), x ∈ R. a a

CAPITOLUL 15. ECUATII ¸ DE TIP HIPERBOLIC

290 Deci solu¸tia problemei este

x x u(x, t) = ϕ(t − )h(t − ), a a adic˘ a o und˘ a care se deplaseaz˘ a spre cap˘ atul liber al corzii cu viteza a. Problema corespunde exemplului clasic dat în cursurile de fizic˘ a. Mai observ˘ am c˘ a x u(x, t + ) = ϕ(t)h(t), a adic˘ a un semnal aplicat în cap˘ atul x = 0 se reg˘ ase¸ste în punctul x la momentul t + xa , ceea ce corespunde transmiterii de semnale. 2. S˘ a determin˘ am acum func¸tia u(x, t) definit˘ a în domeniul x ≥ 0, t ≥ 0 solu¸tie a ecua¸tiei corzii 2 ∂ 2u 2∂ u =0 − a ∂t2 ∂x2 ¯ ¯ = v0 (x), x ≥ 0 ¸si condi¸tia la cap˘ cu condi¸tiile ini¸tiale u(x, 0) = u0 (x), ∂u at u|x=0 = 0, ∂t t=0

t ≥ 0. Trebuie s˘ a avem condi¸tia de compatibilitate u0 (0) = 0.

Ca mai sus condi¸tia la cap˘ at o putem scrie u|x=0 = 0, t ∈ R. Cum solu¸tia trebuie s˘ a fie de forma u(x, t) = α(at + x) + β(at − x) condi¸tiile la cap˘ at dau α(at) + β(at) = 0 ¸si deci u(x, t) = α(at + x) − α(at − x). Condi¸tiile ini¸tiale dau α(x) − α(−x) = u0 (x) aα0 (x) − aα0 (−x) = v0 (x), x ≥ 0 din care deducem c˘ a pentru x ≥ 0 avem 1 1 u0 (x) + α(x) = 2 2a

Zx

v0 (ξ)dξ, x ≥ 0,

0

1 1 α(−x) = − u0 (x) + 2 2a

Zx 0

v0 (ξ)dξ, x ≥ 0.

15.11. REZOLVAREA UNOR PROBLEME MIXTE PENTRU ECUATIA ¸ CORZII291 A doua rela¸tie se mai scrie sub forma primeia 1 1 α(−x) = u∗0 (−x) + 2 2a

Z−x v0∗ (ξ)dξ, x ≥ 0 0

numai dac˘ a punem u∗0 (−x) = −u0 (x), x ≥ 0 Z−x Zx v0∗ (ξ)dξ = v0 (ξ)dξ, x ≥ 0, 0

0

din a doua rezultând prin derivare −v0∗ (−x) = v0 (x), x ≥ 0. Deci dac˘ a prelungim func¸tiile u0 (x), v0 (x) prin imparitate fa¸ta˘ de origine la func¸tiile u∗0 (x), v0∗ (x) atunci avem 1 1 α(x) = u∗0 (x) + 2 2a

Zx

v0∗ (ξ)dξ, x ∈ R,

0

u∗ (x − at) + u∗0 (x + at) 1 u(x, t) = 0 + 2 2a

x+at Z

v0∗ (ξ)dξ.

x−at

ca la formula lui D’Alembert. Exprimat numai prin func¸tiile ini¸tiale u0 (x), v0 (x), 0 ≤ x < ∞ avem u0 (x − at) + u0 (x + at) 1 u(x, t) = + 2 2a

x+at Z

v0 (ξ)dξ, t ≤

x , a

x−at

1 −u0 (at − x) + u0 (x + at) + u(x, t) = 2 2a

x+at Z

v0 (ξ)dξ, t ≥

x a

at−x

Obsrv˘ am c˘ a pentru t ≤

x a

mi¸scarea se compune din dou˘ a unde de aceea¸si form˘ a

care se deplaseaz˘ a spre stânga ¸si spre dreapta cu viteza a. Domeniul de dependen¸ta˘ al unui punct (x, t), t ≤

x a

este segmentul de pe axa x-lor (x − at, x + at). Pentru t ≥

x a

apare influien¸ta cap˘ atului fix, mi¸scarea fiind compunerea a undei inverse u0 (x + at) ¸si a undei directe −u0 (at − x) de form˘ a opus˘ a primeia. Apare deci reflectarea cu semn schimbat a undei în cap˘ atul fixat. Domeniul de dependen¸ta˘ al unui punct (x, t), t ≥

x a

CAPITOLUL 15. ECUATII ¸ DE TIP HIPERBOLIC

292

este segmentul (at − x, x + at) cap˘ atul din stânga fiind simetricul fa¸ta˘ de origine al punctului x − at. 3. Solu¸tia problemei 2 ∂ 2u 2∂ u = 0, x ≥ 0, t ≥ 0 − a ∂t2 ∂x2 ¯ ¯ = v0 (x), x ≥ 0 ¸si condi¸tia la cap˘ at u|x=0 = cu condi¸tiile ini¸tiale u(x, 0) = u0 (x), ∂u ∂t t=0

ϕ(t), t ≥ 0, u0 (0) = ϕ(0) se compune evident din suma solu¸tiilor celor dou˘ a probleme de mai înainte: se consider˘ a func¸tiile u0 (x), v0 (x) prelungite prin imparitate fa¸ta˘ de origine în func¸tiile u∗0 (x), v0∗ (x)¸si x x u∗ (x − at) + u∗0 (x + at) 1 + u(x, t) = ϕ(t − )h(t − ) + 0 a a 2 2a

x+at Z

v0∗ (ξ)dξ.

x−at

4. Solu¸tia problemei 2 ∂ 2u 2∂ u = 0, x ≥ 0, t ≥ 0 − a ∂t2 ∂x2 ¯ ¯ = 0, x ≥ 0 ¸si condi¸tia la cap˘ at cu condi¸tiile ini¸tiale u(x, 0) = 0, ∂u ∂t t=0

t ≥ 0 o vom c˘ auta sub forma

¯

∂u ¯ ∂x x=0

= ϕ(t),

u(x, t) = α(at + x) + β(at − x). Condi¸tiile ini¸tiale conduc la rela¸tiile α(x) = 0, β(−x) = 0 pentru x ≥ 0. Vom scrie condi¸tia la cap˘ at sub forma α0 (at) − β 0 (at) = ϕ(t)h(t), t ∈ R. Rezult˘ a α(x) − β(x) =

Zx

x

ξ x ξ ϕ( )h( )dξ = h( ) a a a

0

Za 0

¸si deci α(x) = 0, x ∈ R,

x

x β(x) = −h( ) a

Za

ϕ(ξ)dξ.

0

Solu¸tia este

x

x u(x, t) = −h(t − ) a

t− a Z 0

ϕ(ξ)dξ.

ϕ(ξ)dξ

15.11. REZOLVAREA UNOR PROBLEME MIXTE PENTRU ECUATIA ¸ CORZII293 5. Solu¸tia problemei 2 ∂ 2u 2∂ u = 0, x ≥ 0, t ≥ 0 − a ∂t2 ∂x2 ¯ ¯ = v0 (x), x ≥ 0 ¸si condi¸tia la cap˘ cu condi¸tiile ini¸tiale u(x, 0) = u0 (x), ∂u at ∂t t=0

0, t ≥ 0 o vom c˘ auta sub forma

u(x, t) = α(at + x) + β(at − x). Condi¸tia la cap˘ at implic˘ a α0 (at) − β 0 (at) = 0, t ∈ R de unde deducem β(x) = α(x) + C ¸si deci u(x, t) = α(at + x) + α(at − x). Am înglobat constanta în α. Condi¸tiile ini¸tiale dau α(x) + α(−x) = u0 (x), x ≥ 0, aα0 (x) + aα0 (−x) = v0 (x), x ≥ 0. Rezult˘ a 1 1 u0 (x) + α(x) = 2 2a

Zx

v0 (ξ)dξ, x ≥ 0,

1 1 u0 (x) − 2 2a

Zx

v0 (ξ)dξ, x ≥ 0.

0

α(−x) =

0

A doua rela¸tie o scriem sub forma primeia 1 1 u(−x) = u∗0 (−x) + 2 2a

Z−x v0∗ (ξ)dξ, x ≥ 0 0

cu condi¸tia ca u∗0 (−x) = u0 (x), x ≥ 0, Z−x Zx ∗ v0 (ξ)dξ = − v0 (ξ)dξ. 0

0

A doua implic˘ a v0∗ (−x) = v0 (x).

¯

∂u ¯ ∂x x=0

=

CAPITOLUL 15. ECUATII ¸ DE TIP HIPERBOLIC

294

Cele dou˘ a rela¸tii sunt echivalente cu prelungirea prin paritate a func¸tiilor u0 (x), v0 (x) fa¸ta˘ de origine în func¸tiile ¸si u∗0 (x), v0∗ (x) 1 u∗ (x − at) + u∗0 (x + at) + u(x, t) = 0 2 2a

x+at Z

v0∗ (ξ)dξ.

x−at

In acest caz mi¸scarea se compune din dou˘ a unde, una spre dreapta, alta spre stânga care se reflect˘ a în origine f˘ ar˘ a schimbare de semn. 6. Solu¸tia problemei 2 ∂ 2u 2∂ u = 0, x ≥ 0, t ≥ 0 − a ∂t2 ∂x2 ¯ ¯ = v0 (x), x ≥ 0 ¸si condi¸tia la cap˘ at cu condi¸tiile ini¸tiale u(x, 0) = u0 (x), ∂u ∂t t=0

¯

∂u ¯ ∂x x=0

=

ϕ(t), t ≥ 0 este suma celor dou˘ a solu¸tii de la ultimele probleme: se consider˘ a prelungite func¸tiile u0 (x), v0 (x) prin paritate fa¸ta˘ de origine în func¸tiile u∗0 (x), v0∗ (x) ¸si x

x u(x, t) = −h(t − ) a

t− a Z

1 u∗ (x − at) + u∗0 (x + at) + ϕ(ξ)dξ + 0 2 2a

0

x+at Z

v0∗ (ξ)dξ.

x−at

7. S˘ a determin˘ am solu¸tia u(x, t) a ecua¸tiei 2 ∂2u 2∂ u = 0, 0 ≤ x ≤ l, t ≥ 0, − a ∂t2 ∂x2

cu condi¸tiile ini¸tiale

¸si condi¸tiile la capete

u(x, t)|t=0 = 0, 0 ≤ x ≤ l, ¯ ∂u ¯¯ = 0, 0 ≤ x ≤ l, t ≥ 0, ∂t ¯t=0 u(x, t)|x=0 = ϕ(t), t ≥ 0, u(x, t)|x=l = 0.

Trebuie s˘ a avem condi¸tia de compatibilitate ϕ(0) = 0. Solu¸tia fiind de forma u(x, t) = α(at + x) + β(at − x) condi¸tiile ini¸tiale dau α(x) = 0, β(−x) = 0 pentru 0 ≤ x ≤ l. Condi¸tiile la capete vor da α(at) + β(at) = ϕ(t)h(t), t ∈ R, α(at + l) + β(at − l) = 0, t ∈ R.

15.11. REZOLVAREA UNOR PROBLEME MIXTE PENTRU ECUATIA ¸ CORZII295 Acestea conduc la rela¸tiile µ

¶ µ ¶ x − 2l x − 2l α(x) = α(x − 2l) − ϕ h , x ∈ R, a a ³x´ ³x´ β(x) = β(x − 2l) + ϕ h , x ∈ R. a a Observând c˘ a avem α(x) = 0, −l ≤ x ≤ l, ³x´ ³x´ β(x) = ϕ h , −l ≤ x ≤ l, a a rezult˘ a c˘ a avem definite prin recursivitate pe întreaga ax˘ a real˘ a cele dou˘ a func¸tii α(x), β(x). Dac˘ a consider˘ am c˘ a x ∈ [(2n − 1)l, (2n + 1)l vom putea scrie ¸sirul de egalit˘ a¸ti µ ¶ µ ¶ x − 2l x − 2l α(x) = α(x − 2l) − ϕ h a a µ ¶ µ ¶ x − 4l x − 4l α(x − 2l) = α(x − 4l) − ϕ h a a .......................................................................... µ

x − 2nl α(x − (2n − 2)l) = α(x − 2nl) − ϕ a

¶ µ ¶ x − 2nl h a

α(x − 2nl) = 0 Prin adunare rezult˘ a ¶ µ ¶ µ ∞ X x − 2nl x − 2nl α(x) = − h ϕ a a n=1 suma con¸tinând un num˘ ar finit de termeni. La fel se g˘ ase¸ste ¶ µ ¶ µ ∞ X x − 2nl x − 2nl h . ϕ β(x) = a a n=0 Rezult˘ a c˘ a putem scrie ¶ µ ¶ µ ∞ ³ x´ X x´ ³ at − x − 2nl at − x − 2nl h t− − h + ϕ u(x, t) = ϕ t − a a a a n=1 ¶ µ ¶ µ ∞ X at + x − 2nl at + x − 2nl + h , ϕ a a n=1 adic˘ a mi¸scarea este suprapunerea undelor care pleac˘ a din x = 0 se reflect˘ a cu schimbare de semn atât în x = l cât ¸si în x = 0.

CAPITOLUL 15. ECUATII ¸ DE TIP HIPERBOLIC

296

8. S˘ a determin˘ am solu¸tia u(x, t) a ecua¸tiei 2 ∂2u 2∂ u = 0, 0 ≤ x ≤ l, t ≥ 0, − a ∂t2 ∂x2

cu condi¸tiile ini¸tiale u(x, t)|t=0 = u0 (x), 0 ≤ x ≤ l, ¯ ∂u ¯¯ = v0 (x), 0 ≤ x ≤ l, t ≥ 0, ∂t ¯t=0

¸si condi¸tiile la capete

u(x, t)|x=0 = 0, t ≥ 0, u(x, t)|x=l = 0, t ≥ 0. Trebuie s˘ a avem condi¸tia de compatibilitate u0 (0) = 0. Solu¸tia fiind de forma u(x, t) = α(at + x) + β(at − x) condi¸tiile la capete ne dau α(at) + β(at) = 0, t ∈ R, α(at + l) + β(at − l) = 0, t ∈ R. Rezult˘ a α(x + 2l) = α(x), x ∈ R, β(x + 2l) = β(x), x ∈ R, adic˘ a func¸tiile α(x), β(x) sunt periodice cu perioada 2l. Putem scrie u(x, t) = α(x + at) − α(at − x). Condi¸tiile ini¸tiale dau 1 1 α(x) = u0 (x) + 2 2a

Zx

v0 (ξ)dξ, 0 ≤ x ≤ l,

0

1 1 α(−x) = − u0 (x) + 2 2a

Zx 0

v0 (ξ)dξ, 0 ≤ x ≤ l.

15.11. REZOLVAREA UNOR PROBLEME MIXTE PENTRU ECUATIA ¸ CORZII297 A doua rela¸tie se poate scrie sub forma primeia 1 1 α(−x) = u∗0 (−x) + 2 2a

Z−x v0∗ (ξ)dξ, 0 ≤ x ≤ l 0

dac˘ a punem u∗0 (−x) = −u0 (−x), 0 ≤ x ≤ l, v0∗ (−x) = −v0 (−x), 0 ≤ x ≤ l, adic˘ a func¸tiile u0 (x), v0 (x) trebuie prelungite prin imparitate fa¸ta˘ de origine în func¸tiile u∗0 (x), v0∗ (x). Func¸tia α(x) fiind periodic˘ a cu perioada 2l vom avea 1 1 α(x + 2l) = u∗0 (x + 2l) + 2 2a

x+2l Z

1 1 v0∗ (ξ)dξ = u∗0 (x) + 2 2a

0

Zx

v0∗ (ξ)dξ = α(x)

0

numai dac˘ a u∗0 (x + 2l) = u∗0 (x), v0∗ (x + 2l) = v0∗ (x) adic˘ a func¸tiile u0 (x), v0 (x) trebuie prelungite prin periodicitate cu perioada 2l în func¸tiile u∗0 (x), v0∗ (x). Atunci vom putea scrie u∗ (x − at) + u∗0 (x + at) 1 u(x, t) = 0 + 2 2a

x+at Z

v0∗ (ξ)dξ

x−at

ca la formula lui D’Alembert. Vom observa c˘ a mi¸scarea este periodic˘ a în timp cu perioada

2l . a

Pentru ca formula de mai sus s˘ a dea o veritabil˘ a solu¸tie este necesar ¸si suficient

ca prelungirile u∗0 (x), v0∗ (x) s˘ a fie efectiv de dou˘ a ori derivabile ceea ce se realizeaz˘ a când func¸tiile u0 (x), v0 (x) sunt de dou˘ a ori derivabile pe [0,l] ¸si satisfac condi¸tiile u0 (0) = u00 (0) = u000 (0) = u0 (l) = u00 (l) = u”0 (l) = 0, v0 (0) = v00 (0) = v000 (0) = v0 (l) = v00 (l) = v”0 (l) = 0, Dac˘ a aceste condi¸tii nu sunt satisf˘ acute formula de mai sus d˘ a o anumit˘ a func¸tie care trebuie s˘ a aib˘ a o leg˘ atur˘ a cu problema noastr˘ a. In acest caz vom spune c˘ a avem o solu¸tie generalizat˘a a problemei noastre.

CAPITOLUL 15. ECUATII ¸ DE TIP HIPERBOLIC

298

Dac˘ a prin punctele (0, 0), (l, 0) ducem caracteristicile x−at = 0, x+at = l acestea se taie în punctul ( 2l , 2al ) ¸si taie dreptele x = 0, x = l în punctele (0, al ) respectiv (l, al ). Prin aceste puncte ducem din nou caracteristicile ¸si a¸sa mai departe. Domeniul fazelor se împarte în acest fel în mai multe subdomenii. Consider˘ am un punct (x1 , t1 ) în domeniul limitat de punctele (0, 0), (l, 0), ( 2l , 2al ). Putem scrie x1Z+at1

u0 (x1 − at1 ) + u0 (x1 + at1 ) 1 u(x1 , t1 ) = + 2 2a

v0 (ξ)dξ

x1 −at1

adic˘ a în acest triunghi mi¸scarea este suprapunerea celor dou˘ a unde direct˘ a ¸si invers˘ a f˘ ar˘ a a se face sim¸tit˘ a prezen¸ta capetelor. Domeniul de dependen¸ta˘ al acestui punct este segmentul (x1 − at1 , x1 + at1 ) determinat pe axa x-lor de caracteristicile care trec prin acel punct. Dac˘ a consider˘ am un punct (x2 , t2 ) în domeniul limitat de punctele (l, 0), (l, al ), ( 2l , 2al ) putem scrie 1 u0 (x2 − at2 ) − u0 (2l − x2 − at2 ) u(x2 , t2 ) = + 2 2a

2l−x Z2 −at2

v0 (ξ)dξ

x2 −at2

adic˘ a mi¸scarea este compus˘ a din unda direct˘ a α(x2 − at2 ) ¸si din unda invers˘ a −α(2l − x2 − at2 ) care provine din unda direct˘ a reflectat˘ a cu semn schimbat în cap˘ atul x = l. Domeniul de dependen¸ta˘ al acestui punct este intervalul (x2 − at2 , 2l − x2 − at2 ), determinat de caracteristicile care trec prin acest punct, una reflectat˘ a de dreapta x = l, cap˘ atul 2l − x2 − at2 fiind simetricul fa¸ta˘ de x = l a punctului x2 + at2 .

Dac˘ a lu˘ am un punct (x3 , t3 ) din domeniul limitat de punctele (0, 0), (0, al ), ( 2l , 2al )

putem scrie 1 u0 (x3 + at3 ) − u0 (at3 − x3 ) u(x3 , t3 ) = + 2 2a

x3Z+at3

v0 (ξ)dξ

at3 −x3

adic˘ a mi¸scarea se compune din unda invers˘ a α(x3 +at3 ) ¸si din unda direct˘ a −α(at3 −x3 ) care provine din unda invers˘ a reflectat˘ a cu schimbare de semn de cap˘ atul x = 0. Domeniul de dependen¸ta˘ al acestui punct este segmentul (at3 − x3 , x3 + at3 ) determinat de caracteristicile duse prin acest punct una reflectat˘ a de dreapta x = 0, cap˘ atul at3 − x3 fiind simetricul fa¸ta˘ de x = 0 al punctului x3 − at3 . In acest mod putem determina mi¸scarea în oricare din domeniile descrise mai sus. Se vede astfel c˘ a fiecare und˘ a ajungând în unul din capete se reflect˘ a cu schimbare de semn.

15.11. REZOLVAREA UNOR PROBLEME MIXTE PENTRU ECUATIA ¸ CORZII299 Prelungirile func¸tiilor u0 (x), v0 (x) prin imparitate fa¸ta˘ de origine ¸si periodicitate cu perioada 2l sunt date de dezvolt˘ arile în serie Fourier de sinu¸si u∗0 (x)

∞ X

nπx 2 , u0n = = u0n sin l l n=1

v0∗ (x) =

∞ X

v0n sin

n=1

nπx 2 , v0n = l l

Zl

u0 (x) sin

nπx dx, l

Zl

v0 (x) sin

nπx dx. l

0

0

Ob¸tinem atunci µ ¶ nπat nπx nπat v0n l u(x, t) = u0n cos − sin sin l l nπa l n=1 ∞ X

adic˘ a ob¸tinem solu¸tia ca o suprapunere de unde sta¸tionare µ ¶ nπat nπx nπat v0n l un (x, t) = sin u0n cos − sin . l l nπa l Vom reg˘ asi aceast˘ a solu¸tie prin metoda lui Fourier ¸si acolo vom analiza semnifica¸tia sa. 9. Pentru a g˘ asi solu¸tia ecua¸tiei 2 ∂2u 2∂ u = f (x, t), 0 ≤ x ≤ l, t ≥ 0, − a ∂t2 ∂x2

cu condi¸tiile ini¸tiale u(x, t)|t=0 = u0 (x), 0 ≤ x ≤ l, ¯ ∂u ¯¯ = v0 (x), 0 ≤ x ≤ l, t ≥ 0, ∂t ¯t=0

¸si condi¸tiile la capete

u(x, t)|x=0 = 0, t ≥ 0, u(x, t)|x=l = 0, t ≥ 0. este suficient acum s˘ a g˘ asim solu¸tia ecua¸tiei 2 ∂ 2w 2∂ w = f (x, t), 0 ≤ x ≤ l, t ≥ 0, − a ∂t2 ∂x2

cu condi¸tiile ini¸tiale nule w(x, t)|t=0 = 0, 0 ≤ x ≤ l, ¯ ∂w ¯¯ = 0, 0 ≤ x ≤ l, t ≥ 0, ∂t ¯t=0

CAPITOLUL 15. ECUATII ¸ DE TIP HIPERBOLIC

300 ¸si condi¸tiile la capete

w(x, t)|x=0 = 0, t ≥ 0, w(x, t)|x=l = 0, t ≥ 0. S ¸ i acum este valabil principiul lui Duhamel, dac˘ a v(x, t, τ ) este solu¸tia 2 ∂ 2v 2∂ v = 0, 0 ≤ x ≤ l, t ≥ 0, − a ∂t2 ∂x2

cu condi¸tiile ini¸tiale

¸si condi¸tiile la capete

v(x, t)|t=0 = , 0 ≤ x ≤ l, ¯ ∂v ¯¯ = f (x, τ ), 0 ≤ x ≤ l, t ≥ 0, ∂t ¯t=0 v(x, t)|x=0 = 0, t ≥ 0, v(x, t)|x=l = 0, t ≥ 0,

atunci vom avea w(x, t) =

Zt

v(x, t, t − τ )dτ.

0

∗

Dac˘ a not˘ am cu f (x, t) prelungirea prin imparitate fa¸ta˘ de 0 ¸si apoi prin periodicitate cu perioada 2l a func¸tiei f (x, t) vom avea 1 v(x, t, τ ) = 2a

x+a(t−τ Z )

f ∗ (ξ, τ )dξ

x−a(t−τ )

¸si deci 1 w(x, t) = 2a

Zt

x+a(t−τ Z )

1 f (ξ, τ )dξdτ = 2 2a ∗

0 x−a(t−τ )

Zat Zx+r r f ∗ (ξ, t − )dξdr. a 0 x−r

Prelungirea f ∗ (x, t) se poate scrie ∞ X

nπx 2 f ∗ (x, t) = fn (t) sin , fn (t) = l l n=1

Zl 0

f (x, t) sin

nπx dx l

˘ A ˘ CONDITII 15.12. OSCILATII ¸ STATIONARE ¸ S¸I PROBLEMA FAR ¸ INITIALE ¸ 301

15.12

Oscila¸tii sta¸tionare ¸si problema f˘ ar˘ a condi¸tii ini¸tiale

Un proces oscilatoriu se nume¸ste sta¸tionar dac˘ a el este periodic în timp. S˘ a presupunem c˘ a asupra unei corzi finite sau infinite ac¸tioneaz˘ a o for¸ta˘ periodic˘ a f (x, t) = f1 (x) cos ωt − f2 (x) sin nωt. Vom avea deci ecua¸tia 2 ∂ 2u 2∂ u = f1 (x) cos ωt − f2 (x) sin nωt. − a ∂t2 ∂x2

Dac˘ a coarda este finit˘ a vom presupune c˘ a la capetele ei avem condi¸tii la limit˘ a neomogene în care membrii drep¸ti sunt tot de forma α cos ωt − β sin ωt. Este de a¸steptat ca dup˘ a o îndelung˘ a ac¸tiune a for¸telor ¸si leg˘ aturilor periodice influien¸ta condi¸tiilor ini¸tiale s˘ a nu mai aib˘ a importan¸ta˘ ¸si mi¸scarea corzii s˘ a devin˘ a un proces sta¸tionar cu aceea¸si perioad˘ a în timp, adic˘ a s˘ a avem solu¸tii de forma u(x, t) = v1 (x) cos ωt − v2 (x) sin ωt. Acestea, dac˘ a vor exista, se numesc oscila¸tiile sta¸tionare ale corzii. S˘ a observ˘ am c˘ a introducând în ecua¸tie avem −(ω2 v1 + a2 v100 ) cos ωt + (ω 2 v2 + a2 v200 ) sin ωt = f1 (x) cos ωt − f2 (x) sin nωt ¸si cum func¸tiile cosωt, sinωt sunt linear independente rezult˘ a ω 2 v1 + a2 v100 = −f1 (x), ω 2 v2 + a2 v200 = −f2 (x) sau notând

ω a

=k f1 (x) , a2 f2 (x) = − 2 . a

v100 + k2 v1 = − v200 + k2 v2

Rezult˘ a c˘ a dac˘ a vom pune F (x) = f1 (x) + if2 (x), v = v1 + iv2 atunci vom avea v 00 + k2 v = −

F (x) . a2

CAPITOLUL 15. ECUATII ¸ DE TIP HIPERBOLIC

302

Invers dac˘ a v = v1 + iv2 este solu¸tie a acestei ecua¸tii atunci prin înmul¸tire cu eiωt vom avea 2 ∂ 2 iωt 2 ∂ ve veiωt = F (x)eiωt . − a ∂t2 ∂x2

Deci <e(veiωt ) = v1 cos ωt − v2 sin ωt va satisface ecua¸tia corzii cu termenul drept <e(F eiωt ) = f1 cos ωt − f2 sin ωt. Vom conveni s˘ a numim func¸tia v = v1 + iv2 am-

plitudinea complex˘a a oscila¸tiei, iar func¸tia F (x) = f1 (x) + if2 (x) o vom numi for¸ta complex˘a. S˘ a ne ocup˘ am mai întâi de cazul corzii finite fixate la capete. In acest caz amplitudinea complex˘ a trebuie s˘ a verifice ecua¸tia v00 + k 2 v = −

F (x) a2

¸si condi¸tiile de fixare v(0) = 0 v(l) = 0. Vom obsrva c˘ a dac˘ a for¸ta complex˘ a este nul˘ a avem solu¸tii de forma v(x) = A cos kx + B sin kx. Vom avea o solu¸tie nenul˘ a care s˘ a verifice condi¸tiile de fixare dac˘ a k = adic˘ aω=

nπa . l

Rezult˘ a c˘ a pulsa¸tiilor ωn =

nπa , l

nπ l

n = 1, 2, ... le corespund amplitudinile

complexe vn (x) = B sin

nπ x l

¸si oscila¸tiile sta¸tionare ³ nπ nπ i nπa t ´ nπat nπat xe l x(B1n cos − B2n sin ) = sin un (x, t) = <e (B1n + iB2n ) sin l l l l

care pot apare în coard˘ a f˘ ar˘ a for¸ta˘ exterioar˘ a. Din acest motiv ele se numesc oscila¸tii

proprii, pulsa¸tiile corespunz˘ atoare ωn =

nπa l

se numesc pulsa¸tiile proprii. Vom nota

c˘ a frecven¸tele acestor oscila¸tii proprii depind numai de lungimea corzii ¸si coeficientul a, adic˘ a de densitatea linear˘ a ρ ¸si tensiunea corzii T0 . Mai observ˘ am c˘ a din expresia solu¸tiei ecua¸tiei corzii finite cu condi¸tii ini¸tiale rezult˘ a c˘ a acea solu¸tie este o suprapunere de oscila¸tii proprii. Revenind la cazul general solu¸tia general˘ a a ecua¸tiei v00 + k 2 v = −

F (x) a2

˘ A ˘ CONDITII 15.12. OSCILATII ¸ STATIONARE ¸ S¸I PROBLEMA FAR ¸ INITIALE ¸ 303 este 1 v = A cos kx + B sin kx − 2 a

Zx

sin k(x − ξ) F (ξ)dξ. k

0

cu A, B constante. Punând condi¸tiile la capete ob¸tinem A = 0 1 B = 2 a sin kl

Zl

sin k(l − ξ) F (ξ)dξ k

0

valabil˘ a numai pentru k 6=

nπ . l

Rezult˘ a c˘ a dac˘ a pulsa¸tia for¸tei perturbatoare este diferit˘ a

de pulsa¸tiile proprii atunci exist˘ a o solu¸tie unic˘ a. Dac˘ ak= x = l se scrie 1 l B.0 − 2 a nπ

Zl

sin

nπ l

atunci condi¸tia la cap˘ atul

nπ (l − ξ)F (ξ)dξ = 0 l

0

sau 1 B.0 − (−1)n nπa2

Zl

sin

nπξ F (ξ)dξ = 0 l

0

¸si deci dac˘ a este verificat˘ a condi¸tia Zl

sin

nπξ F (ξ)dξ = 0 l

0

atunci B este arbitrar ¸si avem o solu¸tie 1 nπx v = B sin − 2 l a

Zx

sin

nπ (x − ξ)F (ξ)dξ l

0

cu B arbitrar. Dac˘ a condi¸tia nu este îndeplinit˘ a atunci are loc fenomenul de rezonan¸ta˘ ¸si nu exist˘ a oscila¸tii sta¸tionare. Pentru coarda infinit˘ a, ne amintim c˘ a dac˘ a asupra ei din pozi¸tia ini¸tial˘ a de pe ax˘ a ¸si cu vitez˘ a ini¸tial˘ a nul˘ a ac¸tiona for¸ta concentrat˘ a în punctul x = ξ armonic˘ a în timp δ(x − ξ)a2 cos ωth(t) atunci mi¸scarea sa era o und˘ a divergent˘ a dat˘ a de rela¸tia µ µ ¶¶ µ ¶ −ik|x−ξ| ah(t) |x − ξ| ω iωt e u(x, t; ξ) = sin ω t − = <e h(t)e ,k = 2ω a 2ik a a-i corespund˘ a oscila¸tia sta¸tionar˘ a Este de a¸steptat ca for¸tei sta¸tionare δ(x−ξ)a2 cos ωt s˘ cu amplitudinea complex˘ a V (x, ξ) =

e−ik|x−ξ| . 2ik

304

CAPITOLUL 15. ECUATII ¸ DE TIP HIPERBOLIC

Aceast˘ a amplitudine este o func¸tie simetric˘ a în x ¸si ξ, este continu˘ a ca func¸tie de x sau ξ pe întreaga ax˘ a real˘ a, are derivate în raport cu x sau ξ continue peste tot cu excep¸tia punctului x = ξ unde prezint˘ a un salt ∂V (x, ξ + 0) ∂V (x, ξ − 0) − = −1, ∂x ∂x peste tot în afar˘ a de x = ξ verific˘ a ecua¸tia ∂ 2 V (x, ξ) + k2 V (x, ξ) = 0. ∂x2 Formal putem spune c˘ a ea verific˘ a ecua¸tia ∂ 2 V (x, ξ) + k2 V (x, ξ) = −δ(x − ξ). ∂x2 In plus func¸tia V (x, ξ) satisface la mari distan¸te a¸sa numitele condi¸tii de radia¸tie V (x, ξ) = O(1), x → ±∞,

∂V (x, ξ) + ikV (x, ξ) = o(1), x → ±∞. ∂x Are loc rela¸tia de reciprocitate

µ 2 ¶ ¡ 00 ¢ ∂ V (x, ξ) 2 2 V (x, ξ) v (x) + k v(x) − v(x) + k V (x, ξ) = ∂x2 µ ¶ ∂ ∂V (x, ξ) 0 = V (x, ξ)v (x) − v(x) ∂x ∂x oricare ar fi func¸tia v(x). Aplicând aceast˘ a rela¸tie pentru func¸tia v(x) solu¸tie a ecua¸tiei v00 + k 2 v = −

F (x) a2

¸si integrând între −l ¸si l cu l suficient de mare ob¸tinem µ ¶¯l Zl ∂V (x, ξ) ¯¯ 1 0 v(ξ) = V (x, ξ)v (x) − v(x) ¯ + a2 V (x, ξ)F (x)dx. ∂x −l −l

Presupunând c˘ a func¸tia v(x) satisface condi¸tiile de radia¸tie ¸si c˘ a func¸tia F (x) este nenul˘ a numai pe un interval (α, β) vom avea f˘ acând l → ∞ Z 1 v(ξ) = 2 αβF (x)e−ik|x−ξ| dx. 2a ki

15.13. METODA LUI FOURIER

305

Se verific˘ a u¸sor c˘ a func¸tia dat˘ a de aceast˘ a rela¸tie satisface ecua¸tia cerut˘ a ¸si condi¸tiile de radia¸tie. Deci faptul c˘ a for¸ta complex˘ a este nenul˘ a pe un interval m˘ arginit ¸si c˘ a cerem satisfacerea condi¸tiilor de radia¸tie asigur˘ a existen¸ta unei solu¸tii unice pentru problema oscila¸tiilor sta¸tionare a corzii infinite. Deci dac˘ a asupra corzii ac¸tioneaz˘ a for¸ta sta¸tionar˘ a f1 (x) cos ωt−f2 (x) sin ωt nenul˘ a numai pe intervalul (α, β) coarda are oscila¸tii sta¸tionare date de rela¸tia 1 u(ξ, t) = 2 2a k

Z

αβ [f2 (x) cos (ωt − k|x − ξ|) + f1 (x) sin (ωt − k|x − ξ|)] dx.

Problemele oscila¸tiilor sta¸tionare se pun în acela¸si mod pentru ecua¸tia membranei sau ecua¸tia undelor. Rezolv˘ arile sunt asem˘ an˘ atoare. Pentru cazurile domeniilor m˘ arginite rezolvarea se face prin reducere la o ecua¸tie integral˘ a, pe care am c˘ autat s-o evit˘ am mai sus. In cazurile nem˘ arginte apar condi¸tii de radia¸tie.

15.13

Metoda lui Fourier

Metoda lui Fourier sau metoda separ˘ arii variabilelor este una din cele mai raspândite metode de rezolvare a problemelor legate de ecua¸tiile cu derivate par¸tiale. Vom ilustra metoda începând cu problema micilor oscila¸tii ale corzii finite fixate la capete. Aceasta revine la g˘ asirea solu¸tiei ecua¸tiei 2 ∂ 2u 2∂ u =0 − a ∂t2 ∂x2

cu condi¸tiile la limit˘ a u(0, t) = 0, u(l, t) = 0, t ≥ 0, ¸si condi¸tiile ini¸tiale u(x, 0) = u0 (x),

∂u(x, 0) = v0 (x), 0 ≤ x ≤ l. ∂t

In metoda lui Fourier se caut˘ a solu¸tii nebanale ale ecua¸tiei de forma produsului u(x, t) = X(x)T (t) care s˘ a satisfac˘ a condi¸tiile la limit˘ a.

CAPITOLUL 15. ECUATII ¸ DE TIP HIPERBOLIC

306 Introducând în ecua¸tie avem

T 00 (t)X(x) − a2 T (t)X 00 (x) = 0 sau T 00 (t) X 00 (x) = . a2 T (t) X(x) Ultima egalitate în care membrul stâng depinde numai de t, iar membrul drept numai de x, este posibil˘ a numai dac˘ a ambii termeni sunt egali cu o constant˘ a pe care o not˘ am cu −λ. Ob¸tinem atunci dou˘ a ecua¸tii diferen¸tiale T 00 (t) + λa2 T (t) = 0, X 00 (x) + λX(x) = 0. Suntem condu¸si la problema g˘ asirii unor solu¸tii nebanale pentru ecua¸tia X 00 (x) + λX(x) = 0 care s˘ a satisfac˘ a condi¸tiile la limit˘ a X(0) = 0, X(l) = 0. O asemenea problem˘ a se nume¸ste problem˘a a lui Sturm-Liouville. Valorile parametrului λ pentru care problema lui Sturm-Liouville are solu¸tie se numesc valori proprii, iar solu¸tiile se numesc func¸tii proprii. Pentru a g˘ asii valorile ¸si func¸tiile proprii ale problemei lui Sturm-Liouville la care am ajuns trebuie s˘ a consider˘ am cele trei cazuri posibile λ < 0, λ = 0, λ > 0. Dac˘ a λ < 0 solu¸tia general˘ a a ecua¸tie în X(x) este √ −λx

√ −λx

+ C2 e−

X(x) = C1 e

.

Scriind c˘ a aceasta satisface condi¸tiile la limit˘ a avem C1 + C2 = 0, √ −λl

C1 e

√ −λl

+ C2 e−

= 0.

Cum determinantul acestui sistem este nenul avem C1 = C2 = 0 ¸si deci X(x) ≡ 0, ceea ce nu convine.

15.13. METODA LUI FOURIER

307

Dac˘ a λ = 0 solu¸tia general˘ a a ecua¸tie în X(x) este X(x) = C1 + C2 x ¸si impunând verificarea condi¸tiilor la limit˘ a avem C1 = 0, C1 + C2 l = 0 din care rezult˘ a C1 = C2 = 0 ¸si deci X(x) ≡ 0, ceea ce nu convine. Dac˘ a λ > 0 atunci

√ √ X(x) = C1 cos λx + C2 sin λx.

Scriind c˘ a sunt verificate condi¸tiile la limit˘ a avem √ C1 = 0, C2 sin λl = 0. √ a a altfel X(x) ≡ 0. Rezult˘ a sin λl = 0 adic˘ Trebuie s˘ a consider˘ am C2 6= 0 pentru c˘ √ λ = nπ unde n este orice num˘ ar natural nenul. l Prin urmare avem solu¸tii nebanale ale problemei lui Sturm-Liouville numai pentru valorile proprii λn =

³ nπ ´2 l

, n = 1, 2, 3, ...

Acestora le corespund func¸tiile proprii

Xn (x) = sin

nπx l

determinate abstrac¸tie f˘ acând de un factor pe care l-am luat egal cu unitatea. a Pentru λ = λn ecua¸tia în T (t) admite solu¸tia general˘ Tn (t) = An cos

nπat nπat + Bn sin l l

cu An , Bn constante arbitrare. In acest fel func¸tiile µ ¶ nπx nπat nπat An cos + Bn sin un (x, t) = Xn (x)Tn (t) = sin l l l satisfac ecua¸tia corzii ¸si condi¸tiile la limit˘ a pentru orice constante An , Bn . In virtutea linearit˘ a¸tii ecua¸tiei orice sum˘ a finit˘ a de solu¸tii este tot o solu¸tie. Acest lucru este adev˘ arat ¸si pentru seria µ ¶ nπx nπat nπat u(x, t) = An cos + Bn sin sin l l l n=1 ∞ X

CAPITOLUL 15. ECUATII ¸ DE TIP HIPERBOLIC

308

dac˘ a ea va converge ¸si o vom putea deriva de dou˘ a ori în raport cu x ¸si t. Cum fiecare termen satisface condi¸tiile la limit˘ a ¸si suma seriei u(x, t) va satisface condi¸tiile la limit˘ a. R˘ amâne numai s˘ a determin˘ am constantele An , Bn astfel ca s˘ a fie satisf˘ acute ¸si condi¸tiile ini¸tiale. Derivând seria în raport cu t avem µ ¶ ∞ ∂u X nπa nπat nπat nπx = sin −An sin + Bn cos . ∂t l l l l n=1 Pentru a satisface condi¸tiile ini¸tiale trebuie s˘ a avem ∞ X

X nπa nπx nπx An sin u0 (x) = , v0 (x) = Bn sin l l l n=1 n=1 ∞

rela¸tii care constituie dezvolt˘ arile în serii se sinu¸si ale func¸tiilor u0 (x), v0 (x). Rezult˘ a 2 An = l

Zl

nπx 2 u0 (x) sin dx, Bn = l nπa

0

Zl

v0 (x) sin

nπx dx. l

0

In acest fel dac˘ a exist˘ a o solu¸tie de forma celei de mai sus, atunci coeficien¸tii s˘ ai sunt da¸ti de rela¸tiile de mai sus. a ori continuu derivabil˘ a, Teorem˘ a. Dac˘ a pe intervalul [0, l] func¸tia u0 (x) este de dou˘ are derivat˘ a de ordinul trei continu˘ a pe por¸tiuni ¸si satisface condi¸tiile u0 (0) = u0 (l) = 0, u000 (0) = u000 (l) = 0, a continu˘ a, are derivat˘ a de ordinul doi continu˘ a pe dac˘ a func¸tia v0 (x) este cu derivat˘ por¸tiuni ¸si satisface condi¸tiile v0 (0) = v0 (l) = 0 atunci func¸tia u(x, t) dat˘ a de seria de mai sus are derivate de ordinul doi continue ¸si satisface ecua¸tia corzii ¸si condi¸tiile la limit˘ a ¸si ini¸tiale. Ea poate fi derivat˘ a termen cu termen de dou˘ a ori ob¸tinând serii absolut ¸si uniform convergente pentru 0 ≤ x ≤ l ¸si pentru orice timp . Integrând prin p˘ ar¸ti integralele care dau coeficien¸tii An , Bn , ¸tinând cont de condi¸tiile amintite avem

µ ¶3 (3) µ ¶3 (2) Bn An l l An = − , B = − n π n3 π n3

15.13. METODA LUI FOURIER unde Bn(3)

2 = l

Zl

u000 0 (x) cos

309

nπx 2 dx, A(2) n = l l

0

Zl

v000 (x) nπx sin dx. a l

0

Din propriet˘ a¸tile seriilor trigonometrice rezult˘ a c˘ a seriile ∞ ∞ (2) (3) X |An | X |Bn | , n n=1 n n=1

sunt convergente. Inlocuind coeficien¸tii în expresia lui u(x, t) avem µ ¶3 X µ ¶ ∞ l nπx nπat nπat 1 (3) (2) u(x, t) = − sin Bn cos + An sin . π n=1 n3 l l l Aceast˘ a serie este majorat˘ a de seria convergent˘ a µ ¶3 X ∞ ¢ 1 ¡ (3) l (2) |B | + |A | n n π n=1 n3 Rezult˘ a c˘ a seria lui u(x, t) este absolut ¸si uniform convergent˘ a ¸si poate fi derivat˘ a termen cu termen de dou˘ a ori în raport cu x ¸si t, ceea ce trebuia demonstrat. Dac˘ a func¸tiile u0 (x), v0 (x) nu satisfac condi¸tiile teoremei, este posibil ca func¸tia u(x,t) dat˘ a de seria de mai sus s˘ a nu fie de dou˘ a ori derivabil˘ a. Totu¸si dac˘ a u0 (x) este cu derivat˘ a continu˘ a pe por¸tiuni ¸si satisface rela¸tiile u0 (0) = u0 (l) = 0 ¸si func¸tia v0 (x) este continu˘ a ¸si satisface condi¸tiile v0 (0) = v0 (l) = 0 atunci seria lui u(x, t) converge uniform pentru 0 ≤ x ≤ l ¸si pentru orice t ¸si define¸ste o func¸tie u(x, t) continu˘ a. Vom numi solu¸tie generalizat˘ a a ecua¸tiei corzii cu condi¸tiile la limit˘ a ¸si condi¸tiile ini¸tiale cu func¸tiile u0 (x), v0 (x) o func¸tie u(x, t) care este limita uniform˘ a a unui ¸sir de solu¸tii un (x, t) ale ecua¸tiei cu condi¸tiile la limit˘ a ¸si cu condi¸tii ini¸tiale în care func¸tiile corespunz˘ atoare u0n (x), v0n (x) satisfac condi¸tiile teoremei de mai sus ¸si în plus lim

n→∞

Zl 0

2

[u0 (x) − u0n (x)] dx = lim

n→∞

Zl

[v0 (x) − v0n (x)]2 dx = 0.

0

a continu˘ a pe por¸tiuni ¸si satisface rela¸tiile u0 (0) = u0 (l) = Dac˘ a u0 (x) este cu derivat˘ 0 ¸si func¸tia v0 (x) este continu˘ a ¸si satisface condi¸tiile v0 (0) = v0 (l) = 0 atunci seria lui u(x, t) define¸ste evident o asemenea solu¸tie generalizat˘ a. Intorcându-ne la expresia g˘ asit˘ a pentru solu¸tie, s˘ a punem An = Cn sin ϕn , Bn = Cn cos ϕn .

CAPITOLUL 15. ECUATII ¸ DE TIP HIPERBOLIC

310 Solu¸tia se poate scrie

¶ µ nπat nπx u(x, t) = sin + ϕn . Cn sin l l n=1 ∞ X

Fiecare termen al seriei reprezint˘ a o und˘ a sta¸tionar˘ a, în care punctele corzii au o mi¸scare oscilatorie armonic˘ a cu amplitudinea Cn sin nπx , depinzând numai de pozi¸tia punctului, l cu o pulsa¸tie ωn =

nπa l

¸si cu aceea¸si faz˘ a ϕn .

Sunetele se pot clasifica în sunete muzicale sau note ¸si sunete nemuzicale sau zgomote. Sunetele muzicale se dispun într-o ordine determinat˘ a în func¸tie de în˘al¸timea lor, calitate pe care o poate aprecia oricine. Acele note care nu mai pot fi distinse prin în˘ al¸time se numesc tonuri. Prin oscila¸tiile corzii apare un sunet a c˘ arui în˘ al¸time depinde q π de pulsa¸tiile oscila¸tiilor. Pulsa¸tia tonului de baz˘ a (cel mai jos) este ω1 = l Tρ0 . Tonurile corespunz˘ atoare pulsa¸tiilor mai înalte se numesc obertonuri. Obertonurile, ale c˘ aror pul-

sa¸tii sunt multipli ai pulsa¸tiei de baz˘ a se mai numesc ¸si armonici. Solu¸tia ecua¸tiei corzii finite se compune din suprapunerea diferitelor armonici ale c˘ aror amplitudini descresc odat˘ a cu num˘ arul armonicii. Din acest motiv influien¸ta lor asupra sunetului corzii se reduce la crearea timbrului sunetului diferit pentru diferitele instrumente muzicale. Armonica de ordin n este astfel încât în punctele l 2l n−1 x = 0, , , ..., l, l n n n amplitudinea oscila¸tiilor este nul˘ a. Aceste puncte se numesc nodurile armonicii de ordin n. Din contr˘ a, în punctele x=

(2k − 1)l l 3l , , ..., 2n 2n 2n

numite ventre, amplitudinea armonicii de ordin n este maxim˘ a.

15.14

Exerci¸tii

1. O surs˘ a sonor˘ a (de exemplu, sirena unui tren) se deplaseaz˘ a cu viteza subsonic˘ a v de-a lungul axei Ox. Ce va sesiza un observator situat într-un punct oarecare al axei Ox? Ind. Cu o aproxima¸tie suficient˘ a putem considera c˘ a avem de-a face cu unde sonore plane perpendiculare pe Ox ¸si dac˘ a not˘ am cu u(x, t) mica deplasare a particolelor de aer,

15.14. EXERCITII ¸

311

cu p0 , ρ0 presiunea ¸si densitatea aerului neperturbat, cu p(x, t), ρ(x, t) micile abateri ale presiunii ¸si densit˘ a¸tii de la valorile de echilibru ¸si vom lua un cilindru cu generatoarele paralele cu Ox cuprins între sec¸tiunile x, x + dx vom putea scrie: • ecua¸tia de conservare a masei (ρ0 + ρ)(x + dx + u(x + dx, t) − x − u(x, t)) = ρ0 dx sau neglijând produsele a dou˘ a m˘ arimi mici ρ0

∂u + ρ = 0; ∂x

• ecua¸tia de mi¸scare (ρ0 + ρ)

∂ 2u dx = −p(x + dx, t) + p(x, t) ∂t2

sau ρ

∂2u ∂p =− ; 2 ∂t ∂x

ecua¸tia isentropic˘ a p0 + p p0 = , pentru aer γ = 1.405, (ρ0 + ρ)γ ρ0 γ sau p=γ

p0 ρ. ρ0

Rezult˘ a c˘ a pentru orice x ∈ (−∞, ∞), t ≥ 0 vom avea ecua¸tia 2 p0 ∂ 2u 2∂ u = 0, a2 = γ − a 2 2 ∂t ∂x ρ0

Avem condi¸tiile ini¸tiale u(x, 0) = 0,

∂u (x, 0) ∂t

= 0. Dac˘ a not˘ am cu p∗ (t) abaterea presiunii

de la p0 generat˘ a de sursa sonor˘ a vom avea condi¸tia 1 ∗ ∂u p (t). (vt, t) = − ∂x γp0 De fapt avem dou˘ a ecua¸tii, una în domeniul x < vt, t ≥ 0 ¸si alta în domeniul x > vt, t ≥ 0. Suntem condu¸si s˘ a lu˘ am u(x, t) = ϕ1 (x + at) + ψ1 (x − at) pentru x < vt, t ≥ 0 u(x, t) = ϕ2 (x + at) + ψ2 (x − at) pentru x > vt, t ≥ 0

CAPITOLUL 15. ECUATII ¸ DE TIP HIPERBOLIC

312 Din condi¸tiile ini¸tiale ob¸tinem

ϕ1 (x) = ψ1 (x) = 0 pentru x < 0, ϕ2 (x) = ψ2 (x) = 0 pentru x > 0. Ultima condi¸tie d˘ a 1 ∗ p (t), pentru t > 0, γp0 1 ∗ ψ20 (t(v − a)) = − p (t), pentru t > 0. γp0 ϕ01 (t(a + v)) = −

Rezult˘ a

u(x, t) =

   0 pentru −∞ < x < −at,    x+at   a+v R ∗    p (τ )dτ pentru −at < x < vt,  − a+v γp0 0

−x+at  a−v R   a−v  p∗ (τ )dτ  γp 0   0     0

pentru vt < x < at,

pentru at < x < ∞.

In cazul p∗ (t) = A cos ωt vom ob¸tine    0      − a+v A sin £ ω (x + at)¤ γp0 a+v u(x, t) = £ ω ¤ a−v   A sin (x − at)  γp0 a−v     0

pentru −∞ < x < −at, pentru −at < x < vt, pentru vt < x < at pentru at < x < ∞.

Se vede c˘ a în sens invers deplas˘ arii sursei se propag˘ a cu viteza sunetului o und˘ a cu o pulsa¸tie ω− =

a ω a+v

adic˘ a mai mic˘ a decât pulsa¸tia sursei, în sensul deplas˘ arii sursei se

propag˘ a cu viteza sunetului o und˘ a cu pulsa¸tia ω+ =

a ω a−v

mai mare decât pulsa¸tia

sursei. Acesta este fenomenul Doppler. 2. O mas˘ a M care cade de la în˘ al¸timea h love¸ste la t = 0 în x = 0 o coard˘ a infinit˘ a întins˘ a cu tensiunea T ¸si se lipe¸ste de coard˘ a. S˘ a se descrie mi¸scarea corzii. Ind. Avem de fapt de rezolvat dou˘ a ecua¸tii u−tt − a2 u−xx = 0, x < 0, u+tt − a2 u+xx = 0, x > 0, cu condi¸tiile ini¸tiale u− (x, 0) = 0,

x < 0, u+ (x, 0) = 0,

x > 0,

u−t (x, 0) = 0, x < 0, u+t (x, 0) = 0, x > 0,

15.14. EXERCITII ¸

313 u− (0, 0) = 0,

u+ (0, 0) = 0 √ √ u−t (0, 0) = − 2gh u+t (0, 0) = − 2gh ¸si condi¸tia Mu−tt (0, t) = Mu+tt (0, t) = −T u−x (0, t) + T u+x (0, t). C˘ aut˘ am solu¸tiile sub forma u− (x, t) = ϕ− (x − at) + ψ− (x + at), x < 0; u+ (x, t) = ϕ+ (x − at) + ψ+ (x + at), x > 0. Condi¸tiile ini¸tiale dau √ 2gh =− ϕ− (x) = ψ− (x), x < 0, ψ− (0) = √ a 2gh ϕ+ (x) = ψ+ (x), x < 0, ϕ+ (0) = 0, ϕ0+ (0) = . a 0 0, ψ− (0)

Ultimele condi¸tii dau 00 0 (at) = Ma2 ϕ00+ (−at) = −T ψ− (at) + T ϕ0+ (−at), t > 0 Ma2 ψ−

¸si deci avem ecua¸tiile 00 0 (z) = −2T ψ− (z), z > 0, Ma2 ψ−

Ma2 ϕ00+ (z) = 2T ϕ0+ (z), z < 0. Rezult˘ a  ³ ´ √ 2T  − Ma 2gh 1 − e− Ma 2 (x+at) pentru x + at > 0, 2T u− (x, t) =  0 pentru x + at < 0,  ³ ´ √  − Ma 2gh 1 − e M2Ta2 (x−at) pentru x − at < 0, 2T u+ (x, t) =  0 pentru x − at > 0.

3. O greutate Q = Mg care se mi¸sc˘ a cu viteza constant˘ a v de-a lungul axei Ox love¸ste la momentul t = 0 cap˘ atul liber al barei semiinfinite 0 ≤ x < ∞ se lipe¸ste de cap˘ atul barei ¸si continu˘ a s˘ a se mi¸ste împreun˘ a cu bara. S˘ a se determine deplasarea u(x, t) în bar˘ a dac˘ a deplas˘ arile ini¸tiale sunt nule iar viteza ini¸tial˘ a este peste tot nul˘ a exceptând cap˘ atul x = 0 unde are valoarea v.

CAPITOLUL 15. ECUATII ¸ DE TIP HIPERBOLIC

314

Ind. Problema revine la rezolvarea ecua¸tiei utt − a2 uxx = 0, 0 < x < ∞, t > 0, cu condi¸tiile Mutt (0, t) = ESux (0, t), 0 < t < ∞, u(x, 0) = 0, 0 < x < ∞,   v pentru x = 0 ut (x, 0) =  0 pentru 0 < x < ∞.

C˘ aut˘ am solu¸tia sub forma

x x u(x, t) = ϕ(t − ) + ψ(t + ). a a Din condi¸tiile ini¸tiale avem ϕ(−z) + ψ(z) = 0, 0 < z < ∞, ϕ0 (−z) + ψ 0 (z) = 0, 0 < z < ∞. Integr˘ am ultima luând constanta nul˘ a −ϕ(−z) + ψ(z) = 0, 0 < z < ∞. Rezult˘ a ψ(z) = 0, ϕ(−z) = 0, 0 < z < ∞. Deci

  ϕ(t − x ) pentru t > x a a u(x, t) =  0 pentru 0 < t < xa .

Introducând în prima condi¸tie avem ϕ00 (z) +

ES 0 ϕ (z) = 0, 0 < z < ∞. aM

Avem ϕ(0) = 0 ¸si din ultima condi¸tie ut (0, 0) = v rezult˘ a ϕ0 (0) = v. Rezult˘ a i ES aMv h − aM z ϕ(z) = 1−e ,0 < z < ∞ ES ¸si deci

  0 pentru 0 < t < xa , h i u(x, t) = ES (t− x )  aMv 1 − e− aM a pentru t > xa . ES

15.14. EXERCITII ¸

315

4. O coard˘ a 0 < x < l fixat˘ a la capete este ciupit˘ a în punctul c pân˘ a când acest punct este adus la în˘ al¸timea h ¸si este l˘ asat˘ a s˘ a oscileze liber. S˘ a se descrie oscila¸tiile sale. R. u0 (x) = u(x, t) =

  

h x c h(l−x) l−c ∞ P

2hl2 π2 c(l−c)

n=1

pentru 0 < x < c

v0 (x) = 0,

pentru c < x < l, 1 n2

sin nπc sin nπx cos nπat . l l l

5. O coard˘ a 0 < x < l fixat˘ a la capete întins˘ a cu tensiuneaT se g˘ ase¸ste în echilibru sub ac¸tiunea unei for¸te concentrate F în punctul c. La momentul t = 0 se înl˘ atur˘ a for¸ta ¸si se las˘ a coarda s˘ a oscileze liber. S˘ a se calculeze u(x, t). Ind. La echilibru avem u000 (x) = 0, u0 (0) = u0 (l) = 0, u0 (c − 0) = u0 (c + 0), −T u00 (c −

0) + T u00 (c + 0) = F de unde

u0 (x) =

  

F (l−c) x lT Fc (l lT

pentru x < c,

− x) pentru x > c,

¸si se procedeaz˘ a ca în exerci¸tiul precedent. 5. O bar˘ a fixat˘ a rigid în cap˘ atul x = 0 se g˘ ase¸ste în echilbru sub ac¸tiunea unei for¸te F în direc¸tia ei la cap˘ atul x = l. La momentul t = 0 se înl˘ atur˘ a for¸ta. S˘ a se descrie oscila¸tiile barei. Ind. Vom avea u0 (x) = u(x, t) =

F x, ES

v0 (x) = 0, u(0, t) = 0, ux (l, t) = 0. Rezult˘ a

∞ (2n + 1)πat (2n + 1)πx 8F l X (−1)n cos . sin 2 2 π ES n=0 (2n + 1) 2l 2l

6. S˘ a se determine oscila¸tiile longitudinale ale unei bare 0 ≤ x ≤ l dac˘ a este fixat˘ a rigid în x = 0 ¸si în x = l începând din timpul t = 0 se aplic˘ a for¸ta longitudinal˘ a F. Ind. Avem de rezolvat ecua¸tia utt − a2 uxx = 0, x ∈ (0, l), t > 0, cu condi¸tiile u(0, t) = 0, ux (l, t) =

F ,t ES

> 0, u(x, 0) = 0, ut (x, 0) = 0, x ∈ (0, l). Rezult˘ a

∞ 8F l X (−1)n (2n + 1)πat (2n + 1)πx F x− 2 cos . sin u(x, t) = 2 ES π ES n=0 (2n + 1) 2l 2l

7. S˘ a se determine oscila¸tiile longitudinale ale unei bare 0 ≤ x ≤ l dac˘ a este fixat˘ a rigid în x = 0 ¸si în x = l începând cu t = 0 se aplic˘ a for¸ta longitudinal˘ a F = At, A fiind constant˘ a.

CAPITOLUL 15. ECUATII ¸ DE TIP HIPERBOLIC

316

Ind. Avem de rezolvat ecua¸tia utt − a2 uxx = 0, x ∈ (0, l), t > 0, cu condi¸tiile u(0, t) = 0, ux (l, t) =

At ,t ES

> 0, u(x, 0) = 0, ut (x, 0) = 0, x ∈ (0, l). Rezult˘ a

∞ X (2n + 1)πat A (2n + 1)πx xt + cos u(x, t) = bn sin ES 2l 2l n=0

unde 4 bn = − (2n + 1)πa

Zl 0

Az (2n + 1)πz sin dz. ES 2l

CAPITOLUL 16 ECUA¸ TII DE TIP PARABOLIC 16.1 Probleme pentru ecua¸tii parabolice Am ar˘ atat c˘ a în cazul unui mediu omogen ¸si izotrop cu capacitatea caloric˘ a c, cu densitatea ρ,cu coeficientul de termoconductibilitate k, toate constante, temperatura u(x, y, z, t) a punctului de coordonate (x, y, z) la momentul t verific˘ a ecua¸tia c˘ adurii ∂u 1 = a2 ∆u + i, ∂t ρc unde am notat a2 =

k ρc

¸si i = i(x, y, z, t) reprezint˘ a intensitatea surselor de c˘ adur˘ a. Ea

este cea mai folosit˘ a ecua¸tie de tip parabolic. Ecua¸tia caracteristicilor sale este µ ¶2 µ ¶2 µ ¶2 ∂ω ∂ω ∂ω + + =0 ∂x ∂y ∂z cu condi¸tia

µ

∂ω ∂x

¶2

+

µ

∂ω ∂y

¶2

+

µ

∂ω ∂z

¶2

+

µ

∂ω ∂t

¶2

6= 0.

Rezult˘ a c˘ a suprafetele sale caracteristice sunt de forma ω(t) = const, adic˘ a rezolvând în raport cu t ob¸tinem suprafe¸tele caracteristice t = const. Cum în ecua¸tie apare derivata

∂u ∂t

este clar c˘ a pentru a putea determina temperatura

în orice punct ¸si orice moment este necesar s˘ a cunoa¸stem temperatura la momentul ini¸tial t = 0: u(x, y, z, 0) = u0 (x, y, z).

CAPITOLUL 16. ECUATII ¸ DE TIP PARABOLIC

318

Dac˘ a ne-am mai da ¸si derivata de ordinul întâi ¯ ∂u ¯¯ = u1 (x, y, z) ∂t ¯t=0

atunci din ecua¸tie am ob¸tine

2

u1 (x, y, z) = a

µ

∂ 2 u0 ∂ 2 u0 ∂ 2 u0 + + ∂x2 ∂y 2 ∂z 2

¶

+

1 i(x, y, z, 0) ρc

adic˘ a se vede c˘ a nu are sens s˘ a se dea ¸si a doua condi¸tie, fiind suficient˘ a prima condi¸tie. Problema determin˘ arii unei solu¸tii u(x, y, z, t) a ecua¸tiei c˘ aldurii în întreg spa¸tiu când se cunoa¸ste valoarea sa la momentul t = 0 se nume¸ste problema lui Cauchy pentru ecua¸tia c˘aldurii. In cazul unui corp finit este necesar s˘ a ¸tinem cont de interac¸tiunea dintre corpul studiat ¸si mediul înconjur˘ ator. Conform unei legii a lui Newton, cantitatea de c˘ aldur˘ a care trece prin por¸tiunea dσ din suprafa¸ta ∂D a unui corp în unitatea de timp este propor¸tional˘ a cu diferen¸ta dintre temperatura corpului u(x, y, z, t) în centrul por¸tiunii dσ ¸si temperatura ue (x, y, z, t) a mediului exterior în acela¸si punct considerat ca apar¸tinând exteriorului, factorul de propor¸tionalitate depinzând de gradul de izolare al suprafe¸tei. Acesta poate fi func¸tie de punctul de pe suprafa¸ta˘ sau poate fi constant pe întreaga suprafa¸ta˘. Din bilan¸tul de c˘ aldur˘ a pe orice por¸tiune S a lui ∂D rezult˘ a −

ZZ S

∂u k dσ = ∂n

ZZ

α (u(x, y, z, t) − ue (x, y, z, t)) dσ.

S

Cum S este arbitrar, rezult˘ a c˘ a pe suprafa¸ta ∂D trebuie s˘ a aib˘ a loc rela¸tia −k

∂u = α (u − ue ) . ∂n

O asemenea problem˘ a se nume¸ste problem˘a de tipul lui Boggio. Dac˘ a α = 0 , adic˘ a prin suprafa¸ta ∂D nu se transfer˘ a c˘ aldur˘ a, pe suprafa¸ta ∂D vom avea condi¸tia

∂u ∂n

= 0, se spune c˘ a avem o problem˘a de tipul lui Neuman. Dac˘ a α = ∞,

adic˘ a suprafa¸ta ∂D nu este deloc izolat˘ a, pe suprafa¸ta ∂D vom avea condi¸tia u = ue , se spune c˘ a avem o problem˘a a lui Dirichlet. Probleme asem˘ an˘ atoare se formuleaz˘ a în cazul ecua¸tiei c˘ aldurii în plan sau pe axa real˘ a.

˘ 16.2. PRINCIPIUL DE MINIM-MAXIM PENTRU ECUATIA ¸ PARABOLICA

16.2

319

Principiul de minim-maxim pentru ecua¸tia parabolic˘ a

Din punct de vedere fizic este evident c˘ a dac˘ a un corp este înc˘ alzit de surse interne pozitive atunci cea mai mic˘ a temperatur˘ a a punctelor corpului se atinge sau în interiorul corpului la momentul ini¸tial sau pe frontiera corpului într-un interval de timp urm˘ ator. Vom demonstra aceasta în cazul unidimensional. Fie u(x, t), A ≤ x ≤ B, 0 ≤ t ≤ T solu¸tie continu˘ a a ecua¸tiei ∂u ∂2u i(x, t) − a2 2 = ∂t ∂x ρc unde i(x, t) ≥ 0 pentru A ≤ x ≤ B, 0 ≤ t ≤ T. S˘ a not˘ am D = {(x, t)|A < x < B, 0 < t < T } . am închiderea acestui domeniu ¸si prin ∂1 D por¸tiunea de frontier˘ a a lui D Prin D not˘ format˘ a din segmentul orizontal al axei x-lor t = 0, A ≤ x ≤ B ¸si din segmentele verticale x = A, 0 ≤ t ≤ T ¸si x = B, 0 ≤ t ≤ T. Prin ∂T D vom nota sementul orizontal t = T, A ≤ x ≤ B. Fie m = min u(x, t) ¸si µ = min

(x,y)∈∂1 D

(x,t)∈D

u(x, t). Evident µ ≥ m. Vrem s˘ a

ar˘ at˘ am c˘ a de fapt µ = m. Prin absurd presupunem c˘ a µ > m. Atunci func¸tia u(x, t) î¸si atinge minimul m într-un punct (x0 , t0 ) situat fie în D fie în ∂T D. Consider˘ am func¸tia ajut˘ atoare v(x, t) = u(x, t) +

µ−m (t − t0 ). 2T

a Pentru (x, t) ∈ D ∪ ∂T D avem t0 − t ≤ t0 ≤ T ¸si deci t − t0 ≥ −T . Rezult˘ v(x, t) ≥ m +

µ−m m+µ (−T ) = > m. 2T 2

Pe de alt˘ a parte v(x0 , t0 ) = u(x0 , t0 ) = m. Rezult˘ a c˘ a func¸tia v(x, t) î¸si atinge minimul pe D într-un punct (x1 , t1 ) situat fie în D fie în ∂T D.

∂v ∂t

∂v ∂v ∂2v = 0, ∂x = 0, ∂x 2 ≥ 0 de ∂t i(x1 ,t1 ) + µ−m > 0. Deci (x1 , t1 ) ∈ / 2T c

Dac˘ a (x1 , t1 ) ∈ D în acest punct vom avea

unde

−

D.

∂2v ∂x2

≤ 0. Dar

∂v ∂t

−

∂2v ∂x2

=

∂u ∂t

−

∂2u ∂x2

+

µ−m 2T

=

CAPITOLUL 16. ECUATII ¸ DE TIP PARABOLIC

320

∂v ∂t

Dac˘ a (x1 , t1 ) ∈ ∂T D în acest punct vom avea −

∂2v ∂x2

≤ 0. Dar la fel ca mai sus avem

∂v ∂t

−

∂2v ∂x2

∂v ∂t

≤ 0,

∂v ∂x

= 0,

∂2v ∂x2

≥ 0 de unde

> 0. Ajungem deci la o contradic¸tie.

Rezult˘ a µ = m. Am demonstrat a¸sa numitul principiu de minim-maxim pentru ecua¸tia c˘aldurii: Teorema 1.(principiul de minim-maxim pentru ecua¸tia c˘ aldurii) Dac˘ a membrul drept al ecua¸tiei c˘ aldurii este pozitiv atunci solu¸tia continu˘ a a ecua¸tiei c˘ adurii î¸si atinge minimul sau în interiorul corpului la momentul ini¸tial sau pe frontiera corpului în intervalul de timp urm˘ ator. Dac˘ a membrul drept al ecua¸tiei c˘ aldurii este negativ atunci solu¸tia continu˘ a a ecua¸tiei c˘ aldurii î¸si atinge maximul sau în interiorul corpului la momentul ini¸tial sau pe frontiera corpului în intervalul de timp urm˘ ator. Solu¸tia continu˘ a a ecua¸tiei c˘ aldurii omogene î¸si atinge atât maximul cât ¸si minimul sau în interiorul corpului la momentul ini¸tial sau pe frontiera corpului în intervalul de timp urm˘ ator. Din principiul de maxim pentru ecua¸tia c˘ aldurii rezult˘ a imediat c˘ a problema lui Dirichlet pentru ecua¸tia c˘ aldurii are solu¸tie continu˘ a unic˘ a ¸si c˘ a aceast˘ a solu¸tie depinde continuu de datele ini¸tiale ¸si de datele pe frontier˘ a. In adev˘ ar, dac˘ a problema lui Dirichlet ar avea dou˘ a solu¸tii continue atunci diferen¸ta lor ar fi solu¸tie continu˘ a a ecua¸tiei omogene a c˘ aldurii care la momentul ini¸tial în interiorul corpului ¸si pe frontiera corpului într-un interval oarecare de timp ar lua valori nule. Deci atât minimul cât ¸si maximul acestei diferen¸te în interiorul corpului la orice moment ar fi nule, deci aceast˘ a diferen¸ta˘ este nul˘ a. Dac˘ a datele ini¸tiale ¸si datele pe frontier˘ a ar diferi prin marimi mai mici în valoare absolut˘ a ca ε atunci în interiorul corpului diferen¸ta ar fi în modul tot mai mic˘ a ca ε, adic˘ a solu¸tia este stabil˘ a. Pentru a ar˘ ata c˘ a ¸si solu¸tia m˘ arginit˘ a a problemei lui Cauchy pentru ecua¸tia c˘ aldurii 2 ∂u i(x, t) 2∂ u −a = 2 ∂t ∂x c

este unic˘ a, este suficient s˘ a ar˘ at˘ am c˘ a singura solu¸tie m˘ arginit˘ a w(x, t) a problemei lui Cauchy pentru ecua¸tia omogen˘ a cu date ini¸tiale nule este solu¸tia nul˘ a w(x, t) ≡ 0. Pentru aceasta vom considera func¸tia ajut˘ atoare 2M vR (x, t) = 2 R

µ

¶ x2 +t . 2

Am notat cu M maximul modulului lui w(x, t). Aceasta este solu¸tie a ecua¸tiei omogene

˘ 16.2. PRINCIPIUL DE MINIM-MAXIM PENTRU ECUATIA ¸ PARABOLICA

321

a c˘ aldurii. Avem Mx2 ≥ w(x, 0) = 0, R2 2M vR (±R, t) = M + 2 ≥ M ≥ w(±R, t) Rt vR (x, 0) =

de unde vR (x, 0) + w(x, 0) ≥ 0, vR (x, 0) − w(x, 0) ≥ 0 vR (±R, t) + w(±R, t) ≥ 0, vR (±R, t) − w(±R, t) ≥ 0 Din principiul de maxim rezult˘ a vR (x, t) + w(x, t) ≥ 0, |x| ≤ R, t ≥ 0 vR (x, t) − w(x, t) ≥ 0, |x| ≤ R, t ≥ 0 de unde 2M |w(x, t)| ≤ 2 R

µ

¶ x2 +t 2

Fixând x ¸si t ¸si f˘ acând R → ∞ rezult˘ a w(x, t) = 0.

Fie acum u(x, y, z, t) solu¸tie a unei probleme a lui Dirichlet sau Neuman pentru ecua¸tia c˘ aldurii în domeniul D ∂u 1 = a2 ∆u + i. ∂t c Inmul¸tind aceast˘ a rela¸tie cu u(x, y, z, t) ¸si integrând pe domeniul D avem Z Z Z ∂ 1 1 2 2 u dxdydz = a u4udxdydz + uidxdydz. ∂t 2 c D

D

D

Dac˘ a în formula lui Gauss-Ostrogradski Z Z − → − → → v n dσ = div − v dxdydz D

∂D

→ v = u grad u avem punem − ¶ Z Z Z µ 2 ∂u du ∂u 2 ∂u 2 dxdydz. u dσ = u4udxdydz + + + dn ∂x ∂y ∂z ∂D

D

D

Rezult˘ a c˘ a putem scrie ¶ Z Z Z µ 2 ∂ 1 du ∂u 2 ∂u 2 ∂u 2 2 2 dxdydz. u dxdydz = a u dσ − a + + ∂t 2 dn ∂x ∂y ∂z D

∂D

D

CAPITOLUL 16. ECUATII ¸ DE TIP PARABOLIC

322

In cazul problemei lui Dirichlet sau Neuman cu date nule rezult˘ a ∂ 1 ∂t 2

Z

u2 dxdydz ≤ 0

D

¸si dac˘ a 1 2

Z

u2 (x, y, z, 0)dxdydz = 0

Z

u2 (x, y, z, t)dxdydz = 0

D

rezult˘ a 1 2

D

adic˘ a u(x, y, z, t) ≡ 0, adic˘ a am demonstrat unicitatea solu¸tiei problemei lui Dirichlet ¸si Neuman. In cazul problemei lui Boggio omogene ¯ ∂u ¯¯ −k ¯ = αu|∂D ∂n ∂D

vom avea

∂ 1 ∂t 2

Z

a2 u dxdydz = − k 2

D

Z

∂D

2

2

αu dσ − a

Z µ

D

¶ ∂u 2 ∂u 2 ∂u 2 dxdydz + + ∂x ∂y ∂z

¸si concluzia se men¸tine.

16.3

Solu¸tia problemei lui Cauchy pentru ecua¸tia c˘ aldurii

Ne propunem s˘ a g˘ asim solu¸tia u(x, t) a problemei lui Cauchy pentru ecua¸tia c˘ aldurii ∂ 2u ∂u − a2 2 = 0, x ∈ R, t ≥ 0, ∂t ∂x cu condi¸tia u(x, 0) = u0 (x). S˘ a presupunem pentru început c˘ a în sec¸tiunea x = 0 la momentul t = 0 se comunic˘ a barei pe unitatea de sec¸tiune c˘ aldura Q. Cu alte cuvinte avem o surs˘ a cu intensitatea i(x, t) = Qδ(x)δ(t). Vom nota cu u(x, t) temperatura dezvoltat˘ a în bar˘ a în aceast˘ a

˘ 16.3. SOLUTIA ¸ PROBLEMEI LUI CAUCHY PENTRU ECUATIA ¸ CALDURII 323 situa¸tie. In virtutea simetriei aceast˘ a func¸tie va depinde de fapt de |x|. Cantitatea de c˘ aldur˘ a comunicat˘ a barei infinite la momentul ini¸tial t = 0 este Z∞ cρ u(x, 0)dx = Q. −∞

Considerând conservarea în timp a cantit˘ a¸tii de c˘ aldur˘ a, vom avea la orice moment t rela¸tia cρ

Z∞

u(x, t)dx = Q.

−∞

a Pentru t = 0 întreaga c˘ aldur˘ a fiind concentrat˘ a în x = 0 vom avea lim u(x, t) = 0 dac˘ t→0

x 6= 0. E clar c˘ a max u(x, t) trebuie s˘ a tind˘ a c˘ atre ∞ pentru t → 0 ¸si pentru t mici acest x

maxim trebuie s˘ a se ating˘ a în vecin˘ atatea lui x = 0. S˘ a observ˘ am c˘ a dac˘ a u(x, t) este solu¸tia de mai sus a ecua¸tiei c˘ aldurii atunci func¸tia v(x, t) = u(αx, λt) verific˘ a rela¸tia

¶ µ 2 2 2 ∂v ∂u 2∂ v 2α ∂ u −a −a =λ ∂t ∂x2 ∂t λ ∂x2

a aceea¸si ecua¸tie. Canti¸si deci dac˘ a α2 = λ atunci func¸tia v(x, t) = u(αx, α2 t) verific˘ tatea de c˘ aldur˘ a corespunz˘ atoare acestei solu¸tii este ∞ Z Z∞ Z∞ ρc Q ρc v(x, t)dx = ρc u(αx, α2 t)dx = u(x0 , α2 t)dx0 = . α α −∞

−∞

−∞

Rezult˘ a c˘ a odat˘ a cu solu¸tia u(x, t) avem ¸si solu¸tia αu(αx, α2 t) pentru orice α real. Cum ne a¸stept˘ am la unicitate rezult˘ a u(x, t) = αu(αx, α2 t) pentru orice α real. In particular ³ ´ ³ 2´ pentru α = √1t rezult˘ a u(x, t) = √1t u √xt , 1 = √1t g xt cu g o func¸tie care trebuie determinat˘ a. Notând ζ =

x2 t

avem

1 u(x, t) = √ g(ζ) t 1 x2 ∂u = − √ g(ζ) − 2 √ g 0 (ζ) ∂t 2t t t t ∂u 2x = √ g0 (ζ) ∂x t t 2 2 0 4x2 00 ∂ u √ g (ζ) √ = (ζ) + g ∂x2 t t t2 t ¸si deci trebuie s˘ a avem

· ¸ x2 0 1 2 0 4x2 00 2 √ g (ζ) + √ g (ζ) − √ g(ζ) − 2 √ g (ζ) = a 2t t t t t t t2 t

CAPITOLUL 16. ECUATII ¸ DE TIP PARABOLIC

324 sau

¡ ¢ 1 4a2 ζg 00 (ζ) + g 0 (ζ) 2a2 + ζ + g(ζ) = 0. 2

O solu¸tie a acestei ecua¸tii este

ζ

g(ζ) = Ce− 4a2 , C fiind o constant˘ a în raport cu ζ. Cealat˘ a solu¸tie nu convine pentru c˘ a verific˘ a pentru t = 0 ecua¸tia. Rezult˘ a x2

u(x, t) = Ce− 4a2 t Cum 1 ρcC √ t

Z∞

−∞

−

e

x2 4a2 t

dx = ρcC2a

Z∞

´2 ³ − 2ax√t

e

−∞

µ

x √ d 2a t

¶

√ = ρcC2a π = Q

rezult˘ a C=

Q √ 2ρca π

¸si deci u(x, t) =

x2 Q √ e− 4a2 t . 2ρca πt

Vom observa c˘ a func¸tia g˘ asit˘ a satisface ecua¸tia c˘ aldurii pentru t 6= 0 ¸si toate condi¸tiile pe care le ceream mai înainte. Formal putem spune c˘ a func¸tia Ω(x, t) =

h(t) − x22 √ e 4a t 2a πt

este solu¸tia ecua¸tiei ∂ 2Ω ∂Ω − a2 2 = δ(x)δ(t), ∂t ∂x adic˘ a ea corespunde unei surse unitare în x = 0 la momentul t = 0. Ea se nume¸ste solu¸tia fundamental˘a a ecua¸tiei c˘aldurii. Cum pentru t > 0 avem Ω(x, t) > 0 putem spune c˘ a perturba¸tia produs˘ a de sursa unitar˘ a se propag˘ a cu o vitez˘ a infinit˘ a de-a lungul barei. Asta înseamn˘ a c˘ a într-o oarecare m˘ asur˘ a fenomenul nu este bine modelat de ecua¸tia c˘ aldurii. Revenind la solu¸tia g˘ asit˘ a vom nota c˘ a dac˘ a în punctele xi de pe bar˘ a se comunic˘ a caldurile Qi atunci în virtutea linearit˘ a¸tii ecua¸tiei temperatura va fi X (x−xi )2 1 − √ u(x, t) = Qi e 4a2 t . 2aρc πt i

˘ 16.3. SOLUTIA ¸ PROBLEMEI LUI CAUCHY PENTRU ECUATIA ¸ CALDURII 325 Dac˘ a ¸stim temperatura u0 (x) la momentul ini¸tial t = 0 putem considera o parti¸tie a barei prin punctele de diviziune xi ¸si putem considera c˘ a în fiecare asemenea punct se comunic˘ a barei cantitatea de c˘ aldur˘ a Qi = ρcu0 (xi )(xi+1 − xi ) ¸si vom putea scrie u(x, t) =

(x−xi )2 1 X √ u0 (xi )(xi+1 − xi )e− 4a2 t 2a πt i

F˘ acând norma diviziunii s˘ a tind˘ a c˘ atre zero ob¸tinem 1 u(x, t) = √ 2a πt

Z∞

u0 (ξ)e−

(x−ξ)2 4a2 t

dξ.

−∞

arginit˘ a sau chiar cu o cre¸stere exponen¸tial˘ a Se poate ar˘ ata c˘ a dac˘ a func¸tia u0 (x) este m˘ la infinit atunci formula de mai sus, numit˘ a formula lui Poisson pentru ecua¸tia c˘aldurii, d˘ a o solu¸tie a problemei lui Cauchy pentru ecua¸tia c˘ aldurii. S ¸ i aici are loc principiul lui Duhamel: solu¸tia ecua¸tiei neomogene 2 ∂w 2∂ w = f (x, t), x ∈ R, t ≥ 0 −a ∂t ∂x2

cu date ini¸tiale nule w(x, 0) = 0, x ∈ R, este w(x, t) =

Zt

v(x, t, τ )dτ

0

unde v(x, t, τ ) este solu¸tia ecua¸tiei omogene ∂v ∂ 2v − a2 2 = 0 ∂t ∂x cu condi¸tia ini¸tial˘ a v(x, t, τ )|t=τ = f (x, τ ). Cum

rezult˘ a

h(t − τ ) v(x, t, τ ) = p 2a π(t − τ ) 1 w(x, t) = 2a

Zt 0

Z∞

−

f (ξ, τ )e

(x−ξ)2 4a2 (t−τ )

dξ

−∞

1 dτ p π(t − τ )

Z∞

−

f (ξ, τ )e

(x−ξ)2 4a2 (t−τ )

−∞

adic˘ a aceast˘ a solu¸tie se ob¸tine ca ¸si când am scrie f (x, t) =

Z∞ 0

dτ

Z∞

−∞

f (ξ, τ )δ(x − ξ)δ(t − τ )dξ

dξ,

CAPITOLUL 16. ECUATII ¸ DE TIP PARABOLIC

326

¸si apoi am aplica principiul suprapunerii efectelor dup˘ a ce înlocuim efectul corespunz˘ ator lui δ(x − ξ)δ(t − τ ) : Ω(x − ξ, t − τ ). Solu¸tia problemei lui Cauchy pentru ecua¸tia neomogen˘ a ∂u ∂ 2u − a2 2 = f (x, t), x ∈ R, t ≥ 0 ∂t ∂x cu condi¸tia ini¸tial˘ a u(x, 0) = u0 (x), x ∈ R, se ob¸tine suprapunând efectele pertrurba¸tiilor elementare f (ξ, τ )δ(x − ξ)δ(t − τ )dξdτ + u0 (ξ)δ(x)δ(t).

16.4

Rezolvarea unor probleme la limit˘ a pentru ecua¸tia c˘ aldurii

Consider˘ am formula lui Poisson de rezolvare a prolemei lui Cauchy pentru ecua¸tia omogen˘ a a c˘ aldurii 1 u(x, t) = √ 2a πt

Z∞

u0 (ξ)e−

(x−ξ)2 4a2 t

dξ.

−∞

a u0 (−ξ) = −u0 (ξ) vom putea scrie Dac˘ a func¸tia u0 (ξ) este impar˘ 1 u(x, t) = √ 2a πt

Z∞ 0

¸ · (x−ξ)2 (x+ξ)2 − − u0 (ξ) e 4a2 t − e 4a2 t dξ.

Rezult˘ a c˘ a func¸tia u(x, t) verific˘ a rela¸tiile u(0, t) = 0 u(−x, t) = −u(x, t). Rezult˘ a c˘ a pentru a rezolva problema la limit˘ a ∂ 2u ∂u − a2 2 = 0, x ≥ 0, t ≥ 0, ∂t ∂x u(x, 0) = u0 (x), x ≥ 0, u(0, t) = 0, a este suficient s˘ a prelungim prin imparitate func¸tia u0 (x) fa¸ta˘ de originea x = 0 ¸si s˘ aplic˘ am formula stabilit˘ a mai sus.

˘ PENTRU ECUATIA ˘ 16.4. REZOLVAREA UNOR PROBLEME LA LIMITA ¸ CALDURII327 In cazul particular în care u0 (x) = u0 = const f˘ acând schimb˘ arile de variabile ξ−x ξ+x √ ,β = √ 2a t 2a t

α= vom avea



Z∞

u0  u(x, t) = √  π

2

e−α dα −

− 2ax√t

u0 = √ π

e

µ

2  e−β dβ  = x√

−α2

− 2ax√t

= u0 erf

x√ 2a t

x√ t

2a Z



Z∞

2u0 dα = √ π

2a Z

t

2

e−α dα =

0

¶

x √ . 2a t

Am folosit func¸tia erorilor 2 erf(z) = √ π

Zz

2

e−α dα.

0

a fa¸ta˘ de punctul x = l atunci func¸tia Este evident c˘ a dac˘ a func¸tia u0 (x) este impar˘ u(x, t) va fi ¸si ea impar˘ a fa¸ta˘ de x = l. Rezult˘ a c˘ a pentru a rezolva problema la limit˘ a ∂u ∂ 2u − a2 2 = 0, x ∈ [0, l], t ≥ 0, ∂t ∂x u(x, 0) = u0 (x), x ∈ [0, l], u(0, t) = 0, u(l, t) = 0 este suficient s˘ a prelungim func¸tia u0 (x) prin imparitate fa¸ta˘ de origine ¸si apoi prin periodicitate cu perioada 2l ¸si apoi s˘ a aplic˘ am formula lui Poisson. Solu¸tia u(x, t) va fi ¸si ea periodic˘ a cu perioada 2l. Restric¸tia sa la intervalul [0, l] va fi solu¸tia problemei la limit˘ a. Prelungirea func¸tiei u0 (x) este dat˘ a de rela¸tia u0 (x) =

∞ X

An sin

n=1

unde 2 An = l

Zl

u0 (x) sin

nπx l

nπx dx. l

0

Dup˘ a formula lui Poisson avem 1 u(x, t) = √ 2a πt

Z∞ X ∞

−∞ n=1

An sin

2 nπξ − (x−ξ) e 4a2 t dξ. l

CAPITOLUL 16. ECUATII ¸ DE TIP PARABOLIC

328

Presupunând c˘ a se poate interverti integrala cu sumarea avem 1 X u(x, t) = √ An 2a πt n=1 ∞

Z∞

sin

2 nπξ − (x−ξ) e 4a2 t dξ. l

−∞

Notând √ √ ξ−x √ = ζ, ξ = x + 2a tζ, dξ = 2a tdζ 2a t avem

Z∞

−∞

√ Z∞ 2 √ nπξ − (x−ξ) nπx 2anπ tζ 2 e 4a2 t dξ = 2a t sin dζ. sin e−ζ cos l l l −∞

Folosind formula

Z∞

2

e−x cos bxdx =

√ − b2 πe 4

−∞

avem

Z∞

sin

2 √ nπξ − (x−ξ) nπx − n2 π2 a2 t l e 4a2 t dξ = 2a πt sin e l l

−∞

¸si deci u(x, t) =

∞ X

An sin

n=1

nπx − a2 n22π2 t l e , l

formul˘ a pe care o vom ob¸tine ¸si pe o alt˘ a cale. Observa¸tie: Pentru a demonstra formula amintit˘ a mai sus se aplic˘ a teorema integral˘ a 2

a lui Cauchy func¸tiei e−z pe conturul dreptunghiului cu vârfurile −R, R, R+ 2b i, −R+ 2b i, R∞ −x2 √ e dx = π. se face R → ∞ ¸si se folose¸ste formula −∞

16.5

Aplicarea transformatei Fourier

Fie din nou de g˘ asit solu¸tia problemei lui Cauchy pentru ecua¸tia c˘ aldurii ∂ 2u ∂u = a2 2 , x ∈ R, t ≥ 0 ∂t ∂x cu condi¸tia ini¸tial˘ a u(x, 0) = u0 (x),

x ∈ R.

Presupunând c˘ a func¸tia u(x, t) este continu˘ a, m˘ arginit˘ a ¸si absolut integrabil˘ a în raport cu x ∈ R ¸si la orice t ≥ 0 rezult˘ a c˘ a exist˘ a transformata sa Fourier în raport cu variabila spa¸tial˘ ax

16.5. APLICAREA TRANSFORMATEI FOURIER

U(ω, t) =

Fω− [u(x, t)]

1 =√ 2π

Z∞

329

e−iωx u(x, t)dx.

−∞

In particular U(ω, 0) = Fω− [u(x, 0)] = Fω− [u0 (x)]. Vom avea 2 ∂U − ∂ u = , Fω [ 2 ] = −ω 2 U(ω, t). ∂t ∂t ∂x Deci transformata Fourier verific˘ a ecua¸tia diferen¸tial˘ a

∂u Fω− [ ]

∂U (ω, t) = −a2 ω2 U (ω, t) ∂t cu condi¸tia ini¸tial˘ a U(ω, 0) = Fω− [u0 (x)]. Variabila ω joac˘ a rolul de parametru. Acesta este unul din avantajele aplic˘ arii transformatelor integrale în general: ele transform˘ a ecua¸tii cu derivate par¸tiale în ecua¸tii diferen¸tiale, ecua¸tii diferen¸tiale în ecua¸tii pur algebrice mult mai simple de rezolvat. In cazul nostru g˘ asim imediat 2 ω2 t

U (ω, t) = Fω− [u0 (x)]e−a

.

Cum am stabilit c˘ a ω2 1 2 Fω± [e−kx ] = √ e− 4k , 2k

rezult˘ a c˘ a

¸ 2 1 − x2 4a t e e . = Fω √ 2a2 t Dup˘ a teorema produsului de convolu¸tie avem · ¸ 2 1 − x2 − − e 4a t = U(ω, t) = Fω [u0 (x)].Fω √ 2t 2a · ¸ 2 1 1 − x2 − = √ Fω u0 (x) ∗ √ e 4a t . 2π 2a2 t Conform teoremei de inversiune rezult˘ a expresia temperaturii Z∞ 2 (x−ξ)2 1 1 1 − x2 e 4a t = √ u(ξ)e− 4a2 t dξ. u(x, t) = √ u0 (x) ∗ √ 2a πt 2π 2a2 t −a2 ω2 t

−

·

−∞

Am reg˘ asit astfel folosind transformarea Fourier formula lui Poisson.

CAPITOLUL 16. ECUATII ¸ DE TIP PARABOLIC

330

16.6

Aplicarea transformatei Laplace

Uneori problemele pentru ecua¸tii parabolice pot fi rezolvate cu ajutorul transformatei Laplace. Ca exemplu consider˘ am problema determin˘ arii solu¸tiei problemei 2 ∂u 2∂ u = 0, 0 ≤ x < ∞, t ≥ 0, −a ∂t ∂x2 u(x, 0) = 0, 0 ≤ x < ∞,

u(0, t) = u0 (t), u(∞, 0) = 0. Notând transformata Laplace în raport cu variabila temporal˘ at U(x, z) = Lz [u(x, t)] =

Z∞

u(x, t)e−zt dt

0

avem Lz [u(0, t)] = U(0, z) ∂u Lz [ ] = zU(x, z), ∂t ∂ 2u ∂ 2U . Lz [ 2 ] = ∂x ∂x2 Rezult˘ a c˘ a transformata Laplace verific˘ a ecua¸tia a2

∂ 2U = zU (x, z) ∂x2

cu condi¸tiile U(0, z) = Lz [u0 (t)], U(∞, z) = 0. Rezult˘ a x√

U(x, z) = Lz [u0 (t)]e− a Vom ar˘ ata c˘ a are loc rela¸tia  func¸tia

α √ t

2 1 −α√z  e = Lz 1 − √ z π

Z2 0

−τ 2

e



z

.

· µ ¶¸ α  √ dτ  = Lz Erf ,α > 0 2 t

2 erf(x) = √ π

Zx 0

2

e−τ dτ

16.6. APLICAREA TRANSFORMATEI LAPLACE

331

fiind func¸tia erorilor, iar func¸tia Erf(x) = 1 − erf(x) fiind func¸tia complementar˘ a a erorilor. Rezult˘ a c˘ a · µ ¸ ¶ 1 − x √z x √ = Lz [G(x, t)] , G(x, 0) = 0 e a = Lz Erf z 2a t ¸si deci −x a

e

√ z

· ¸ ∂G(x, t) 1 − x √z a =z e = Lz . z ∂t

Dup˘ a proprietatea convolu¸tiei rezult˘ a u(x, t) =

Zt

u0 (τ )

∂G(x, t − τ ) dτ. ∂t

0

Cum x2 3 − ∂G(x, t − τ ) x = √ (t − τ )− 2 e 4a2 (t−τ ) ∂t 2a π

rezult˘ a x u(x, t) = √ 2a π

Zt 0

2 u0 (τ ) − 4a2x(t−τ ) dτ e (t − τ )3/2

√ Fie z ramura olomorf˘ a în planul complex cu t˘ aietur˘ a dup˘ a axa real˘ a negativ˘ a care pe axa real˘ a pozitiv˘ a coincide cu radicalul aritmetic. Fie a > 0. Consider˘ am conturul închis ∂R,r constând din arcele cercului CR |z| = R, <e(z) ≤ a, din coarda acestui cerc √ √ laR : <e(z) = a, − R2 − a2 ≤ =m(z) ≤ R2 − a2 din cercul |z| = r ¸si din bordurile γ± ale t˘ aieturii =m(z) = 0, −R ≤ <e(z) ≤ R. Conform teoremei integrale a lui Cauchy avem 1 2πi

Z

√ 1 ezt e−α z dz = 0 z

∂R,r

sau 1 2πi

√ a+i ZR2 −a2

√ zt 1 −α z

e

√ a−i R2 −a2

z

e

1 dz + 2πi

Z

CR

1 − 2πi

Z

Cr

1 + 2πi

ZR

√ iα ρ −ρt e

e

r

Dup˘ a lema lui Jordan Z

CR

√ 1 ezt e−α z dz → 0 pentru R → ∞, t > 0. z

√ ρ

− e−iα ρ

dρ = 0.

CAPITOLUL 16. ECUATII ¸ DE TIP PARABOLIC

332

Dup˘ a formula de inversiune transformatei Laplace 1 2πi

√ a+i ZR2 −a2

√ zt 1 −α z

e

z

√ a−i R2 −a2

e

R→∞

dz →

L−1 t

·

¸ 1 −α√z . e z

Mai avem 1 2πi

Z

√ zt 1 −α z

e

z

e

1 dz = 2π

Zπ

√ iθ re 2

e−α

dθ → 1 pentru r → 0.

−π

Cr

Rezult˘ a L−1 t √ sau punând ρ = x L−1 t

·

¸ Z∞ √ 1 1 −α√z −ρt sin α ρ =− e dρ + 1, e z π ρ

·

0

¸ Z∞ 2 1 −α√z 2 sin αx =− e dx + 1. e−tx z π x 0

Pentru a calcula integrala I(α, t) =

Z∞

2

e−tx

sin αx dx x

0

prin derivare în raport cu α ∂I = ∂α

Z∞

−tx2

e

1 cos αxdx = 2

0

r

π −α e 4t . t

Cum I(0, t) = 0 rezult˘ a

I(α, t) =

√ π

Zα 0

³ ´ ξ − 2√ t

1 √ e 2 t

de unde L−1 t

·

¸

2 1 −α√z =1− √ e z π

dξ =

√ π

√ α/2 Z t

2

e−τ dτ

0

√ α/2 Z t

−τ 2

e

dτ = Erf

0

µ

α √ 2 t

¶

ceea ce trebuia demonstrat. Puteam rezolva problema f˘ ar˘ a s˘ a facem apel la transformata Laplace dac˘ a observam c˘ a func¸tia v(x, t) = Erf

µ

¶ x √ h(t) 2a t

˘ 16.7. METODA LUI FOURIER PENTRU ECUATIA ¸ CALDURII este solu¸tie a ecua¸tiei omogene a c˘ aldurii satisf˘ acând condi¸tiile v(x, 0) = 0, x ≥ 0 v(0, t) = 1, t > 0. Func¸tia wτ (x, t) = Erf

µ

x √ 2a t − τ

¶

h(t − τ )

va verifica ecua¸tia omogen˘ a a c˘ aldurii cu condi¸tiile wτ (x, 0) = 0, x ≥ 0, wτ (0, t) = 1, t > τ. Func¸tia wτ ∗ (x, t) = wτ (x, t) − wτ +dτ (x, t) = −

∂wτ (x, t) dτ ∂τ

va fi solu¸tie a ecua¸tiei omogene a c˘ aldurii cu condi¸tiile wτ ∗ (x, 0) = 0, x ≥ 0, wτ ∗ (0, t) = 1, τ < t < τ + dτ. Rezult˘ a c˘ a solu¸tia ecua¸tiei omogene a c˘ aldurii cu condi¸tiile u(x, 0) = 0, x ≥ 0, u(0, t) = u0 (t), t > 0, este u(x, t) = −

Zt

∂ u0 (τ ) Erf ∂τ

0

µ

¶ x dτ 2a(t − τ )

¸si reg˘ asim aceea¸si expresie de mai înainte.

16.7

Metoda lui Fourier pentru ecua¸tia c˘ aldurii

1. Fie de rezolvat problema g˘ asirii solu¸tiei u(x, t) a ecua¸tiei c˘ aldurii ∂u ∂ 2u − a2 2 = 0 ∂t ∂x

333

CAPITOLUL 16. ECUATII ¸ DE TIP PARABOLIC

334 cu condi¸tiile la limit˘ a omogene

u(0, t) = 0, u(l, t) = 0, t ≥ 0 ¸si cu condi¸tia ini¸tial˘ a u(x, 0) = u0 (x), 0 < x < l a ¸si cu derivat˘ a continu˘ a pe por¸tiuni. unde func¸tia u0 (x) este continu˘ In metoda lui Fourier se caut˘ a solu¸tii particulare de forma u(x, t) = X(x)T (t). Introducând în ecua¸tie avem X(x)T 0 (t) = a2 T (t)X 00 (x) sau T 0 (t) X 00 (x) = =λ a2 T (t) X(x) de unde ob¸tinem dou˘ a ecua¸tii T 0 (t) + a2 λT (t) = 0 X 00 (x) + λX(x) = 0. Pentru a ob¸tine o solu¸tie nebanal˘ a care s˘ a satisfac˘ a condi¸tiile la limit˘ a trebuie s˘ a g˘ asim o solu¸tie nebanal˘ a a ecua¸tiei X 00 (x) + λX(x) = 0 care s˘ a satisfac˘ a condi¸tiile la capete X(0) = 0, X(l) = 0 adic˘ a am ajuns la aceea¸si problem˘ a Sturm-Liouville a valorilor proprii ca la oscila¸tiile corzii finite. Acolo s-a ar˘ atat c˘ a numai pentru valorile parametrului λ egale cu λn =

³ nπ ´2 l

exist˘ a solu¸tiile nebanale Xn (x) = sin

nπx . l

˘ 16.7. METODA LUI FOURIER PENTRU ECUATIA ¸ CALDURII

335

Valorilor λ = λn ale parametrului le corespund solu¸tiile celeilalte ecua¸tii Tn (t) = An e−(

nπa 2 t l

)

unde An sunt constante arbitrare. Astfel, toate func¸tiile un (x, t) = Xn (x)Tn (t) = An e−(

) sin nπx l

nπa 2 t l

satisfac ecua¸tia c˘ aldurii ¸si condi¸tiile la limit˘ a pentru orice constante An . Alc˘ atuim seria u(x, t) =

∞ X

un (x, t) =

n=1

∞ X

An e−(

) sin nπx . l

nπa 2 t l

n=1

Scriind c˘ a aceasta satisface condi¸tia ini¸tial˘ a, avem u(x, 0) = u0 (x) =

∞ X

An sin

n=1

nπx . l

Seria din dreapta este dezvoltarea în serie de sinu¸si a func¸tiei u0 (x) pe intervalul (0, l). Rezult˘ a c˘ a avem 2 An = l

Zl

u0 (x) sin

nπx dx. l

0

Dac˘ a presupunem c˘ a func¸tia u0 (x) este continu˘ a, are derivate contiunui pe por¸tiuni ¸si se anuleaz˘ a în capetele intervalului [0, l] rezult˘ a c˘ a seria sa de sinu¸si este uniform ¸si absolut convergent˘ a pe [0, l]. Cum pentru t ≥ 0 0 < e−(

nπa 2 t l

) ≤1

rezult˘ a c˘ a seria care define¸ste pe u(x, t) este de asemenea uniform ¸si absolut convergent˘ a pentru t ≥ 0. Deci func¸tia u(x, t) este continu˘ a pentru 0 ≤ x ≤ l, t ≥ 0 ¸si satisface condi¸tiile ini¸tiale ¸si la limit˘ a. Pentru a ar˘ ata c˘ a ea verific˘ a ecua¸tia c˘ aldurii este suficient s˘ a ar˘ at˘ am c˘ a seriile ob¸tinute prin derivare odat˘ a în raport cu t ¸si de dou˘ a ori în raport cu x sunt absolut ¸si uniform convergente în 0 < x < l, t > 0. Ori aceasta rezult˘ a din faptul c˘ a pentru t > 0 0<

³ nπa ´2 l

e−(

³ ´2 2 t ) < 1, 0 < nπ e−( nπa l ) <1 l

nπa 2 t l

pentru n suficient de mare. La fel se arat˘ a existen¸ta derivatelor de orice ordin în raport cu x ¸si cu t ale lui u(x, t).

CAPITOLUL 16. ECUATII ¸ DE TIP PARABOLIC

336

2. S˘ a g˘ asim acum solu¸tia ecua¸tiei c˘ aldurii ∂u ∂ 2u − a2 2 = 0 ∂t ∂x cu condi¸tiile la limit˘ a u(0, t) = ϕ0 (t), u(l, t) = ϕl (t), t ≥ 0 ¸si cu condi¸tia ini¸tial˘ a u(x, 0) = u0 (x), 0 ≤ x ≤ l. Vom c˘ auta solu¸tia sub forma u(x, t) =

∞ X

Tn (t) sin

n=1

unde 2 Tn (t) = l

Zl

u(x, t) sin

nπx l

nπx dx. l

0

Integrând de dou˘ a ori prin p˘ ar¸ti ultima rela¸tie avem 2 2l Tn (t) = [u(0, t) − (−1)n u(l, t)] − 2 2 nπ nπ

Zl

nπx ∂ 2u dx sin 2 ∂x l

0

sau 2l 2 Tn (t) = [ϕ0 (t) − (−1)n ϕl (t)] − 2 2 nπ nπ

Zl

∂ 2u nπx sin dx. 2 ∂x l

0

Pe de alt˘ a parte avem dTn (t) 2 = dt l

Zl

∂u nπx sin dx. ∂t l

0

Eliminând integralele între cele dou˘ a rela¸tii ob¸tinem ecua¸tia verificat˘ a de func¸tia Tn (t) dTn (t) ³ nπa ´2 2nπa2 Tn (t) = [ϕ0 (t) − (−1)n ϕl (t)] + dt l l2 cu solu¸tia general˘ a Tn (t) = e−( unde evident



2 ) C + 2nπa n l2

nπa 2 t l

Zt

e−(

nπa 2 τ l

0

Cn = Tn (0).



) [ϕ (τ ) − (−1)n ϕ (τ )] dτ  0 l

˘ 16.7. METODA LUI FOURIER PENTRU ECUATIA ¸ CALDURII Dar din rela¸tia u(x, 0) =

∞ X

Tn (0) sin

n=1

rezult˘ a

2 Cn = l

Zl

337

nπx dx = u0 (x) l

u0 (x) sin

nπx dx l

0

¸si deci 2

−( nπa t l )

Tn (t) = e

   

2 l 2

+ 2nπa l2

Rt

e−(

Rl

u0 (x) sin

0

nπx dx+ l

nπa 2 τ l

0

) [ϕ (τ ) − (−1)n ϕ (τ )] dτ 0 l



 . 

In cazul particular în care ϕ0 (t) = v0 = const, ϕl (t) = vl = const avem Tn (t) =

h i nπa 2 2 [v0 − (−1)n vl ] 1 − e−( l ) t + nπ Zl 2 2 nπx −( nπa t ) dx. +e l u0 (x) sin l l 0

Inlocuind în expresia lui u(x, t) ¸si ¸tinând cont de rela¸tiile  ∞ π−ξ X sin nξ  2 pentru 0 < ξ < 2π = ,  0 n pentru ξ = 0, ξ = 2π n=1

ob¸tinem

 ∞  ξ pentru −π < ξ < π X 2 n−1 sin nξ (−1) = ,  n 0 pentru ξ = −π, ξ = π n=1

2 x 2 X (−1)n vl − v0 −( nπa nπx e l ) t sin + u(x, t) = v0 + (vl − v0 ) + l π n=1 n l

∞

2 2 X −( nπa nπx + e l ) t sin l n=1 l

∞

Zl

u0 (x) sin

nπx dx l

0

3. S˘ a g˘ asim solu¸tia ecua¸tiei c˘ aldurii ∂ 2u ∂u − a2 2 = 0 ∂t ∂x cu condi¸tiile la capete ¯ ¯ ¯ ¯ ∂u ∂u − αu¯¯ + αu¯¯ = 0 = 0, ∂x ∂x x=0 x=l

CAPITOLUL 16. ECUATII ¸ DE TIP PARABOLIC

338 ¸si condi¸tia ini¸tial˘ a

u(x, 0) = u0 (x), 0 ≤ x ≤ l. Problema corespunde propag˘ arii c˘ aldurii într-o bar˘ a la ale c˘ arei capete are loc schimb de c˘ aldur˘ a cu exteriorul cu temperatur˘ a nul˘ a. α este un coeficient care depinde de gradul de izolare al capetelor barei. Conform metodei lui Fourier, c˘ aut˘ am solu¸tii particulare de forma u(x, t) = X(x)T (t). Ob¸tinem ecua¸tiile T 0 (t) + a2 λ2 T (t) = 0, X 00 (x) + λ2 X(x) = 0. Pentru ca solu¸tia s˘ a verifice condi¸tiile la limit˘ a trebuie satisf˘ acute condi¸tiile X 0 (0) − αX(0) = 0, X 0 (l) + αX(l) = 0. Cum avem X(x) = C1 cos λx + C2 sin λx ob¸tinem condi¸tiile αC1 − λC2 = 0, (αc cos λl − λ sin λl)C1 + (α sin λl + λ cos λl)C2 = 0. Pentru ca acest sistem s˘ a aib˘ a solu¸tii nebanale trebuie ca determinantul ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ α −λ ¯ = 0. ¯ ¯ ¯ ¯ αc cos λl − λ sin λl α sin λl + λ cos λl ¯ Notând

µ = λl, p = αl g˘ asim 2 cot µ =

µ p − . p µ

F˘ acând graficele func¸tiilor y = 2 cot µ, y =

µ p − p µ

˘ 16.7. METODA LUI FOURIER PENTRU ECUATIA ¸ CALDURII

339

vedem c˘ a ecua¸tia de mai sus are în fiecare din intervalele (0, π), (π, 2π), (2π, 3π), ... câte o r˘ ad˘ acin˘ a pozitiv˘ a, iar r˘ ad˘ acinile negative au modulul egal cu al celor pozitive. Fie µ1 , µ2 , µ3 , ... r˘ ad˘ acinile pozitive. Atunci valorile proprii ale problemei Sturm-Liouville vor fi λ2n

=

³ µ ´2 n

l

, n = 1, 2, 3, ...

Fiec˘ arei valori proprii îi corespunde func¸tia proprie Xn (x) = cos

p µn x µn x + sin l µn l

¸si solu¸tia celeilalte ecua¸tii Tn (t) = An e−(

µn a 2 t l

)

unde An este o constant˘ a arbitrar˘ a. Ob¸tinem astfel solu¸tiile particulare µ ¶ 2 µn x µn x p −( µnl a ) t un (x, t) = Xn (x)Tn (t) = An e cos sin + l µn l care satisfac condi¸tiile la limit˘ a pentru orice constante An . Form˘ am seria u(x, t) =

∞ X

2

−( µnl a ) t

An e

n=1

µ ¶ µn x p µn x cos + . sin l µn l

Scriind c˘ a aceasta satisface condi¸tia ini¸tial˘ a avem µ ¶ X ∞ ∞ X µn x µn x p u0 (x) = An cos sin An Xn (x). + = l µ l n n=1 n=1 Func¸tiile proprii sunt ortogonale, adic˘ a Zl

Xn (x)Xm (x)dx = 0, n 6= m.

0

Calculând p˘ atratul normei func¸tiei proprii avem Zl 0

¶2 Zl µ µn x p µn x l p(p + 2) + µ2n cos + Xn (x) dx = sin dx = . l µn l 2 µ2n 2

0

Presupunând c˘ a seria lui u(x, t) converge uniform g˘ asim µ2n 2 An = l p(p + 2) + µ2n

Zl 0

¶ µ p µn x µn x + dx u0 (x) cos sin l µn l

CAPITOLUL 16. ECUATII ¸ DE TIP PARABOLIC

340 ¸si avem astfel solu¸tia ecua¸tiei.

4. S˘ a consider˘ am acum ecua¸tia neomogen˘ a a c˘ aldurii ∂u ∂ 2u − a2 2 = f (x, t) ∂t ∂x cu condi¸tia ini¸tial˘ a u(x, 0) = 0 ¸si condi¸tiile la limit˘ a u(0, t) = 0, u(l, t) = 0. Presupunem c˘ a func¸tia f (x, t) este continu˘ a, are derivat˘ a par¸tial˘ a în raport cu x continu˘ a pe por¸tiuni ¸si pentru t > 0 satisface condi¸tia f (0, t) = f (l, t) = 0. Vom c˘ auta solu¸tia problemei sub forma u(x, t) =

∞ X

Tn (t) sin

n=1

nπx l

în a¸sa fel încât condi¸tiile la limit˘ a s˘ a fie satisf˘ acute automat. Cum vom putea scrie f (x, t) =

∞ X

fn (t) sin

n=1

cu

Zl

2 fn (t) = l

f (x, t) sin

nπx l

nπx dx, l

0

înlocuind în ecua¸tie avem ¸ ∞ · ³ nπa ´2 X nπx 0 Tn (t) + = 0. Tn (t) − fn (t) sin l l n=1 Rezult˘ a c˘ a func¸tiile Tn (t) satisfac ecua¸tiile Tn0 (t)

+

³ nπa ´2 l

Tn (t) = fn (t).

Din condi¸tia ini¸tial˘ a deducem u(x, 0) =

∞ X

Tn (0) sin

n=1

nπx =0 l

adic˘ a Tn (0) = 0. Rezult˘ a Tn (t) =

Zt 0

e−(

nπa 2 (t−τ ) l

)

fn (τ )dτ.

˘ 16.7. METODA LUI FOURIER PENTRU ECUATIA ¸ CALDURII

341

Deci solu¸tia problemei este   t Z ∞ X 2 nπx (t−τ )  e−( nπa l ) . u(x, t) = fn (τ )dτ  sin l n=1 0

Inlocuind expresia lui fn (τ ) se poate scrie u(x, t) =

Zt Z l 0

unde G(x, ξ, t − τ ) =

G(x, ξ, t − τ )f (ξ, τ )dξdτ

0

2 nπξ nπx 2 X −( nπa sin . e l ) (t−τ ) sin l n=1 l l

∞

Func¸tia G(x, ξ, t) este func¸tia de surs˘ a instantanee punctual˘ a sau func¸tia Green a ecua¸tiei c˘ aldurii cu temperaturi nule la capete. Ea corespunde temperaturii care ia na¸stere în punctul x al barei la momentul t când la momentul t = 0 în punctul x = ξ exist˘ a o surs˘ a instantanee care d˘ a c˘ aldura Q = cρ, capetele barei fiind men¸tinute la temperatura nul˘ a. Pe ea o puteam ob¸tine considerând c˘ a în punctul x = ξ avem temperatura δ(x − ξ) ¸si prelungind-o pe aceasta prin imparitate fa¸ta˘ de capete, adic˘ a prin imparitate fa¸ta˘ de x = 0 ¸si apoi prin periodicitate cu perioada 2l. Acea prelungire va fi ∞ X

An sin

n=1

unde 2 An = l

Zl

δ(x − ξ) sin

nπx l

2 nπξ nπx dx = sin l l l

0

adic˘ a func¸tia de surs˘ a corespunde unei temperaturi în bara infinit˘ a dat˘ a de expresia nπξ nπx 2X sin sin l n=1 l l ∞

¸si dup˘ a formula lui Poisson vom avea 1 2 G(x, ξ, t) = √ 2a πt l

Z∞

³ ´2 x−ζ √ − 2a t

e

sin

nπξ nπζ sin dζ l l

−∞

sau dup˘ a un calcul pe care l-am mai f˘ acut 2 2 X −( nπa nπξ nπx G(x, ξ, t) = sin . e l ) t sin l n=1 l l

∞

CAPITOLUL 16. ECUATII ¸ DE TIP PARABOLIC

342

Dac˘ a condi¸tia ini¸tial˘ a este neomogen˘ a atunci solu¸tiei de mai sus trebuie s˘ a se adauge solu¸tia ecua¸tiei omogene ob¸tinut˘ a la punctul 1. 5. Pentru a g˘ asi solu¸tia ecua¸tiei neomogene a c˘ aldurii ∂u ∂ 2u − a2 2 = f (x, t) ∂t ∂x cu condi¸tia ini¸tial˘ a neomogen˘ a u(x, 0) = u0 (x), 0 ≤ x ≤ l, cu condi¸tii la limit˘ a neomogene u(0, t) = ϕ0 (t), u(l, t) = ϕl (t), t ≥ 0 punem u=v+w unde v satisface ecua¸tia omogen˘ a ∂ 2v ∂v − a2 2 = 0 ∂t ∂x a v(0, t) = ϕ0 (t), cu condi¸tia ini¸tial˘ a v(x, 0) = u0 (x), 0 ≤ x ≤ l ¸si condi¸tiile la limit˘ v(l, t) = ϕl (t), t ≥ 0 iar func¸tia w satisface ecua¸tia neomogen˘ a ∂ 2w ∂w − a2 2 = f (x, t) ∂t ∂x cu condi¸tia ini¸tial˘ a nul˘ a w(x, 0) = 0 ¸si condi¸tiile la limit˘ a omogene w(0, t) = w(l, t) = 0, t ≥ 0. Puteam s˘ a c˘ aut˘ am solu¸tia sub forma u(x, t) = ϕ0 (t) + (ϕl (t) − ϕ0 (t))

x + U(x, t) l

func¸tia U (x, t) fiind solu¸tia unei probleme de tipul celei de la punctul precedent.

16.8

Exerci¸tii

a 1. S˘ a se g˘ aseasc˘ a solu¸tia ecua¸tiei ut − a2 uxx = 0, x ∈ R, t ≥ 0 cu condi¸tia ini¸tial˘  0 pentru x < 0 u(x, 0) = unde A = const, α = const > 0.  Ae−αx pentru x > 0,

16.8. EXERCITII ¸ R.

unde Φ(z) =

√2 π

Rz

343

· µ ¶¸ √ A −αx+a2 x2 t x u(x, t) = e 1 − Φ − √ + aα t , 2 2a t 2

e−ξ dξ este func¸tia erorilor.

0

2. S˘ a se g˘ aseasc˘ a solu¸tia   0 pentru   u(x, 0) = u0 = 6 0 pentru     0 pentru R.

ecua¸tiei ut − a2 uxx = 0, x ∈ R, t ≥ 0 cu condi¸tia ini¸tial˘ a x < −l

−l < x < l x > l.

· µ ¶ µ ¶¸ x+l x−l √ −Φ √ u(x, t) = u0 Φ . 2a t 2a t

a 3. S˘ a se g˘ aseasc˘ a solu¸tia ecua¸tiei ut − a2 uxx = 0, x ∈ (0, ∞), t ≥ 0 cu condi¸tia ini¸tial˘ u(x, 0) = u0 , x > 0 ¸si condi¸tia la limit˘ a u(0, t) = 0, t > 0. R. u(x, t) = u0 Φ( 2ax√t ). a 4. S˘ a se g˘ aseasc˘ a solu¸tia ecua¸tiei ut − a2 uxx = 0, x ∈ (0, ∞), t ≥ 0 cu condi¸tia ini¸tial˘ u(x, 0) = 0, x > 0 ¸si condi¸tia la limit˘ a u(0, t) = u0 , t > 0. a, Ind. Se pune u(x, t) = v(x, t) + u0 , se reduce la problema precedent˘ · µ ¶¸ x √ u(x, t) = u0 1 − Φ . 2a t 5. S˘ a se aseasc˘ a solu¸tia ecua¸tiei ut − a2 uxx = 0, x ∈ (0, ∞), t ≥ 0 cu condi¸tia ini¸tial˘ a g˘  u pentru 0 < x < 1 0 u(x, 0) = ¸si condi¸tia la limit˘ a ux (0, t) = 0, t > 0.  0 pentru x > 1 R. · µ ¶ µ ¶¸ x+1 u0 x−1 √ −Φ √ Φ u(x, t) = 2 2a t 2a t a 6. S˘ a se g˘ aseasc˘ a solu¸tia ecua¸tiei ut − a2 uxx = 0, x ∈ (0, ∞), t ≥ 0 cu condi¸tia ini¸tial˘ u(x, 0) = 0, x > 0 ¸si condi¸tia la limit˘ a −ux (0, t) = q, t > 0. R. u(x, t) = 2aq

r

¸ · x t − x22 e 4a t − qx 1 − Φ( √ ) . π 2a t

7. S˘ a se determine temperatura în bara 0 ≤ x ≤ l prin a c˘ arei suprafa¸ta˘ lateral˘ a nu are loc schimb de c˘ aldur˘ a dac˘ a capetele sale sunt men¸tinute la temperatura nul˘ a, iar la momentul t = 0 are loc rela¸tia u(x, 0) = u0 = const, 0 < x < l. S˘ a se verifice conservarea c˘ aldurii.

CAPITOLUL 16. ECUATII ¸ DE TIP PARABOLIC

344 R.

∞ (2k+1)2 π 2 a2 4u0 X 1 (2k + 1)πx t l2 e− . sin π k=0 2k + 1 l

u(x, t) = Se verific˘ a rela¸tia Zl

u(x, T )dx −

0

Zl 0

  T Z ZT ∂u ∂u (l, t)dt − (0, t)dt . u(x, 0)dx = a2  ∂x ∂x 0

0

8. Temperatura ini¸tial˘ a a barei 0 ≤ x ≤ l cu suprafa¸ta lateral˘ a izolat˘ a este u0 = const, iar capetele sunt men¸tinute la temperaturile u(0, t) = u1 = const, u(l, t) = u2 = const. S˘ a se determine temperatura în bar˘ a. R. x u(x, t) = u1 + (u2 − u1 ) + l ∞ ª n2 π2 a2 t nπx 2X1© (u0 − u1 )[1 − (−1)n ] + (−1)n+1 (u1 − u2 ) e− l2 sin . + π n=1 n l

9. S˘ a se determine temperatura în bara 0 ≤ x ≤ l cu suprafa¸ta lateral˘ a izolat˘ a dac˘ a extremitatea x = 0 este izolat˘ a termic, extremitatea x=l este men¸tinut˘ a la temperatura 2

u(x, l) = u0 = const, iar temperatura ini¸tial˘ a în bar˘ a este u(x, 0) = u0 xl2 . 2

Ind. Se caut˘ a solu¸tia de forma u(x, t) = v(x, t) + u0 xl2 unde v(x, t) verific˘ a ecua¸tia 00 vt0 − a2 vxx =

2u0 a2 l2

asesc cu condi¸tia ini¸tial˘ a v(x, 0) = 0 ¸si condi¸tiile omogene vx0 (0, t) = 0, v(x, l) = 0. Se g˘ func¸tiile proprii ale ecua¸tiei omogene Xk (x) = cos

(2k − 1)πx , k = 1, 2, 3, ... 2l

Solu¸tia se caut˘ a de forma v(x, t) =

∞ X k=1

bk (t) cos

(2k − 1)πx 2l

¸si se g˘ asesc ecua¸tiile b0k (t) +

8u0 a2 (2k − 1)2 π 2 a2 k−1 b (t) = (−1) k 4l2 (2k − 1)πl2

a cu condi¸tiile bk (0) = 0. Rezult˘ · ¸ ∞ X (2k−1)2 π 2 a2 t (2k − 1)πx 32u0 (−1)k−1 − 4l2 1 − e cos . v(x, t) = 3π3 (2k − 1) 2l k=1

16.8. EXERCITII ¸

345

10. Temperatura ini¸tial˘ a a barei 0 ≤ x ≤ l cu suprafa¸ta lateral˘ a izolat˘ a este nul˘ a; cap˘ atul x=l este men¸tinut la temperatura nul˘ a, iar la cap˘ atul x=0 temperatura cre¸ste propor¸tional cu timpul u(0, t) = At, A= const. S˘ a se determine temperatura în bar˘ a. R.

l − x X 2Al2 u(x, t) = At − l k3 π 3 a2 k=1 ∞

µ ¶ 2 2 2 kπx − k π 2a t l 1−e sin . l

11. S˘ a se g˘ aseasc˘ a solu¸tia u(x, t) a ecua¸tiei ut − 36uxx =

πx π cos , 0 ≤ x ≤ 2, t ≥ 0, 10 2

cu condi¸tia ini¸tial˘ a u(x, 0) = 0 ¸si condi¸tiile la limit˘ a u(0, t) = 0, u0x (2, t) = 0. R.

∞ X

2k + 1

¡ ¢ × 2 + k − 3 ) 2k+1 π 2 360(k k=0 4 4 i h 2 2k+1 (2k + 1)πx × 1 − e−36( 4 π) t sin 4

u(x, t) =

12. S˘ a se g˘ aseasc˘ a solu¸tia u(x, t) a ecua¸tiei

ut − 3uxx + 6u = 0, 0 ≤ x ≤ 2, t ≥ 0, cu condi¸tiile la limit˘ a u(0, t) = 1, u(2, t) = 2 ¸si condi¸tia ini¸tial˘ a 3 u(x, 0) = x2 − x + 1. 2 R. u(x, t) =

∞ · X 2kπ(1 − cos kπ) k=1

8 + k2 π2

+

¸ kπx 16(−8 + 8 cos kπ − k2 π 2 cos kπ) − 3 (8+k2 π2 )t 4 sin e . k3 π 3 (8 + k 2 π 2 ) 2

346

CAPITOLUL 16. ECUATII ¸ DE TIP PARABOLIC

PARTEA V ˘ TILOR S TEORIA PROBABILITA¸ ¸I ˘ MATEMATICA ˘ STATISTICA

CAPITOLUL 17 ˘ TI S ˘ PROBABILITA¸ ¸ I STATISTICA ˘ MATEMATICA 17.1

Spa¸tiu probabilistic,defini¸tii, propriet˘ a¸ti

Teoria probabilit˘ a¸tilor este analiza matematic˘ a a no¸tiunii de experien¸t˘a aleatoare (sau aleatorie, întâmpl˘ atoare, lat. aleatorius < alea - zar). No¸tiunile fundamentale ale acestei teorii sunt cele de eveniment ¸si de probabilitate. Prin formalizarea acestor no¸tiuni se ajunge la modelul teoretic bazat pe teoria mul¸timilor propus de Kolmogorov în 1929. Fie o experien¸ta˘ aleatoare oarecare. Rezultatul experien¸tei nu poate fi determinat decât în urma realiz˘ arii experien¸tei. Fie Ω = {ω} mul¸timea tuturor rezultatelor posibile ω în experien¸ta dat˘ a ¸si A un eveniment oarecare legat de experien¸ta considerat˘ a, adic˘ a producerea sau neproducerea unui fenomen legat de experien¸ta considerat˘ a. Putem spune c˘ a eveminentul A a avut loc sau nu a avut loc, numai în urma realiz˘ arii experien¸tei. De aceea, evenimentul A poate fi identificat cu o mul¸time de rezultate ω - rezultatele favorabile realiz˘ arii sale- adic˘ a evenimentul A poate fi identificat cu o submul¸time a lui Ω . Elementele ω ∈ Ω se pot numi atunci evenimente elementare. In acest fel opera¸tiile de reuniune, intersec¸tie, complementare (negare, trecere la contrariu) a evenimentelor coincid cu opera¸tiile corespunz˘ atoare asupra mul¸timilor ¸si deci mul¸timea evenimentelor care ne vor interesa trebuie s˘ a fie închis˘ a (stabil˘ a) în raport cu aceste opera¸tii. Probabilitatea este o func¸tie numeric˘ a definit˘ a pe mul¸timea evenimentelor, func¸tie ale c˘ arei propriet˘ a¸ti trebuie s˘ a fie asem˘ an˘ atoare celor ale frecven¸tei de realizare a eveni-

˘ TI ˘ MATEMATICA ˘ CAPITOLUL 17. PROBABILITA ¸ S¸I STATISTICA

350 mentului.

Defini¸tia 1. Fie Ω = {ω} mul¸timea rezultatelor posibile într-o experien¸ta˘ aleatoare. Fie S o mul¸time de p˘ ar¸ti ale lui Ω care formeaz˘ a în raport cu opera¸tiile obi¸snuite cu mul¸timi o σ -algebr˘a , adic˘ a are propriet˘ a¸tile: 1) Ω ∈ S; mul¸timea tuturor rezultatelor posibile face parte din S; 2) A, B ∈ S ⇒ A\B ∈ S; odat˘ a cu dou˘ a mul¸timi S con¸tine ¸si diferen¸ta lor; ∞ [ Ai ∈ S; orice reuniune de mul¸timi din S este din S. 3) Ai ∈ S, i = 1, 2, ... ⇒ i=1

Mul¸timea S se nume¸ste mul¸timea evenimentelor legate de experien¸ta considerat˘a . Din defini¸tia dat˘ a rezult˘ a c˘ a mul¸timea S a evenimentelor este închis˘ a în raport cu opera¸tiile de reuniune, intersec¸tie, diferen¸ta ¸si complementar˘ a. Evenimentul Ω se nume¸ste evenimentul sigur; evenimentul ∅ se nume¸ste evenimentul imposibil; evenimentul A\B se nume¸ste diferen¸ta evenimentelor A ¸si B; evenimentul CA = Ω\A se nume¸ste evenimentul contrariu al lui A; etc. Evenimentele A ¸si B se numesc incompatibile dac˘ a nu se pot realiza în acela¸si timp, adic˘ a dac˘ a A ∩ B = ∅. Orice eveniment ¸si contrariul s˘ au sunt evenimente incompatibile. Un eveniment se nume¸ste compus dac˘ a el este reuniunea a altor dou˘ a evenimente diferite de el. Evenimentele elementare ω sunt diferite de evenimentul imposibil ¸si nu sunt compuse. Defini¸tia 2. O func¸tie p : S → R+ se nume¸ste probabilitate pe mul¸timea evenimentelor dac˘ a are urm˘ atoarele propriet˘ a¸ti: 1) p(Ω) = 1; (evenimentul sigur are probabilitatea egal˘ a cu unitatea); dou˘ a câte dou˘ a 2) dac˘ a Ai ∈ S, i = 1, 2, ...,sunt evenimente ! Ã ∞ incompatibile \ [ ∞ P Ai Aj = ∅, i 6= j = 1, 2, ... atunci p Ai = p (Ai ); (proprietatea de aditivii=1

i=1

tate num˘ arabil˘ a).

Dac˘ a evenimentele sunt incompatibile dou˘ a câte dou˘ a Ai ∞ [ ∞ P Ai în loc de Ai ; la fel în cazul finit. scrie i=1

\

Aj , i 6= j = 1, 2, ..., vom

i=1

Defini¸tia 3. Un triplet (Ω, S, p) se nume¸ste spa¸tiu probabilistic (de probabilitate).

Obiectul studiului teoriei probabilit˘ a¸tilor este spa¸tiul probabilistic. Exemplul 1. Fie într-o experien¸ta˘ aleatoare mul¸timea evenimentelor elementare Ω = ω1 , ω2 , ..., ωN ¸si fie mul¸timea evenimentelor S = P (Ω) , mul¸timea p˘ ar¸tilor lui Ω. Fie p(ωk ) =

1 ,k N

= 1, 2, ..., N, adic˘ a evenimentele elementare sunt egal posibile. Atunci

˘ TI 17.1. SPATIU ¸ PROBABILISTIC,DEFINITII, ¸ PROPRIETA ¸ pentru un eveniment A oarecare legat de experien¸ta˘ p(A) =

351

r N

=

|A| , |Ω|

unde r = |A|

este num˘ arul evenimentelor elementare care compun pe A (rezultatele favorabile lui A). Tripletul (Ω, S, p) este spa¸tiul probabilistic al modelului clasic al lui Laplace al teoriei probabilit˘ a¸tilor. In cazul particular al experien¸tei arunc˘ arii unui zar, N = 6 ¸si ωi = i, i = 1, 2, ..., 6 este evenimentul apari¸tiei fe¸tei i. In experien¸tei arunc˘ arii de n ori a unei monede, mul¸timea evenimentelor elementare este de forma ω = (ε1 , ε2 , ..., εn ) unde εi = 0 sau 1 dup˘ a cum la a i-a aruncare a ie¸sit fa¸ta cu stema sau fa¸ta cu valoarea. In acest caz N = 2n . Evenimentul care const˘ a în apari¸tia de k ori a fe¸tei cu valoarea este A = {(ε1 , ε2 , ..., εn ) |ε1 + ε2 + ... + εn = k}. Atunci |A| = Cnk , p(A) =

k Cn 2n

.

Din defini¸tiile date rezult˘ a u¸sor c˘ a într-un spa¸tiu probabilistic au loc urm˘ atoarele propriet˘ a¸ti: a) p (CA ) = 1 − p(A); (proprietatea probabilit˘ a¸tii evenimentului contrar); b) A ⊂ B ⇒ p(A) ≤ p(B); (probabilitatea este func¸tie cresc˘ atoare); c) 0 ≤ p(A) ≤ 1; (probabilitatea are valori pozitive cel mult egale cu unitatea); S T d) p(A B) = p(A) + p(B) − p(A B) sau mai general

p(A1 =

X

p(Ai ) −

X

(formula includerii ¸si excluderii);

[

p(Ai

A2

\

[

...

Aj ) +

[

An ) =

X

p(Ai

\

Aj

\

Ak ) − ..

a e) dac˘ a An ↓ B adic˘ A1 ⊃ A2 ⊃ ... ⊃ An ⊃ An+1 ⊃ ...B =

∞ \

Ai

i=1

a¸tii) atunci lim p(An ) = p(B) (proprietatea de continuitate la dreapta a probabilit˘ n→∞

f) dac˘ a An ↑ B adic˘ a A1 ⊂ A2 ⊂ ... ⊂ An ⊂ An+1 ⊂ ...B =

∞ [

n=1

An

˘ TI ˘ MATEMATICA ˘ CAPITOLUL 17. PROBABILITA ¸ S¸I STATISTICA

352

atunci lim p(An ) = p(B); ( proprietatea de continuitate la stânga a probabilit˘ a¸tii). n→∞

Dac˘ a A, B sunt dou˘ a evenimente ¸si p(B) > 0 atunci raportul

p(A∩B) p(B)

se numeste

probabilitatea evenimentului A condi¸tionat de B ¸si se noteaz˘ a p(A|B) sau pB (A). Deci p(A|B) =

p(A ∩ B) p(B)

adic˘ a p(A ∩ B) = p(B)p(A|B) = p(A)p(B|A). Când p(A|B) = p(A) adic˘ a dac˘ a ¸si numai dac˘ a p(A ∩ B) = p(A)p(B) evenimentele A, B se numesc independente. In general avem rela¸tia p(A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An ) = = p(A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An−1 )p(An |A1 ∩ ... ∩ An−1 ) = ... = p(A1 )p(A2 |A1 )p(A3 |A1 ∩ A2 )...p(An |A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An−1 ). Dac˘ a Ω =

n P

Hi se spune c˘ a evenimentele Hi , i = 1, 2, ..., n constituie un sistem

i=1

complet de evenimente sau o desfacere a evenimentului sigur. Atunci oricare ar fi A ∈ S, n P A=A∩Ω= (A ∩ Hi ) ¸si deci rezult˘ a i=1

p(A) =

n X

p(Hi )p(A|Hi ),

i=1

rela¸tie numit˘ a formula probabilit˘at¸ii totale. Cum oricare ar fi k = 1, 2, ..., n, p(Hk ∩ A) = p(A)p(Hk |A) = p(Hk )p(A|Hk ) avem p(Hk )p(A|Hk ) p(Hk |A) = P . n p(Hi )p(A|Hi ) i=1

Aceasta este formula lui Bayes. De obicei evenimentele Hk se constituie în “ipoteze” în care are loc evenimentul A sau “cauze” sub a c˘ aror ac¸tiune are loc evenimentul A; de aceea formula se mai nume¸ste ¸si formula ipotezelor sau formula cauzelor. Probabilit˘ a¸tile p(Hk ) sunt probabilit˘ a¸ti a priori, în timp ce probabilit˘ a¸tile p(Hk |A) sunt probabilit˘ a¸ti a posteriori.

˘ TI 17.1. SPATIU ¸ PROBABILISTIC,DEFINITII, ¸ PROPRIETA ¸

17.1.1

353

Exerci¸tii ¸si probleme

1. O ¸tint˘ a este format˘ a din zece cercuri concentrice de raze r1 < r2 < ... < r10 .Not˘ am prin Ak evenimentul de nimerire a cercului cu raza rk , k = 1, 2, ..., 10. Care este 6 10 [ \ Ak ; b) C = Ak ; c) D = A1 ∩ A2 . semnifica¸tia evenimentelor: a) B = k=1

k=1

a în nimerirea cercului R. a) B const˘ a în nimerirea cercului cu raza r6 ; b) C const˘

a în nimerirea coroanei determinate de cercurile cu razele r1 , r2 . de raz˘ ar1 ; c) D const˘ 2. Se execut˘ a trei lovituri asupra unei ¸tinte. Not˘ am prin Ai evenimentul “ lovitura i a nimerit ¸tinta“, i = 1, 2, 3. S˘ a se scrie evenimentele: a) A=“toate loviturile nimeresc ¸tinta“; b) B=“nici o lovitur˘ a nu nimere¸ste ¸tinta“; C=“cel pu¸tin o lovitur˘ a love¸ste ¸tinta“; D=“cel pu¸tin o lovitur˘ a nu nimere¸ste ¸tinta“. R. a) A = A1 ∩ A2 ∩ A3 ;

b) B = CA1 ∩ CA2 ∩ CA3 ;

c) C = A1 ∩ CA2 ∩ CA3 ;

d) D = A1 ∪ A2 ∪ A3 . 3. Se face controlul de calitate asupra unui lot de n piese. Fie Ai =“piesa i este defect˘ a“, i = 1, 2, ..., n. S˘ a se scrie urm˘ atoarele evenimente: a) A=“nici o pies˘ a nu este defect˘ a“; b) B=“cel pu¸tin una din piese este defect˘ a“; c) C=“exact k ≤ n piese sunt defecte“; d) D=“cel mult k ≤ n piese sunt defecte“. = A1Ã∪ A2 ∪ ... R. a) A = CA1 ∩ CA2 ∩ ... ∩ CAn ;Ã b) B ! ! ∪ An ; \ \ \ \ c) ∀J ⊂ 1, 2, ..., n, punem BJ = Ai CAi , C = BJ ; i∈J

d) D =

k [

\

j=0 |J|=j

i∈J /

|J|=k

BJ .( Prin |J| am notat num˘ arul elementelor lui J).

4. S˘ a se arate c˘ a evenimentele A, CA∪B sunt incompatibile. 5. Intr-un compartiment de tren sunt dou˘ a fotolii, fa¸ta˘ în fa¸ta˘, de câte 5 locuri. Din 10 c˘ al˘ atori, 4 doresc s˘ a stea cu fa¸ta la locomotiv˘ a, iar 3 cu spatele la ea. Care este probabiitatea ca doi din cei trei c˘ al˘ atori c˘ arora le este indiferenta pozi¸tia s˘ a stea unul lâng˘ a altul? Sol. Fie A, B, C cei trei c˘ al˘ atori c˘ arora le este indiferent˘ a pozi¸tia. Dac˘ a A st˘ a cu fa¸ta˘ la locomotiv˘ a, atunci împreun˘ a cu el pot sta înc˘ a 4 persoane în 5! moduri. Ceilal¸ti c˘ al˘ atori pe fotoliul din fa¸ta˘ pot sta deasemenea în 5! moduri. Dac˘ a A a ales s˘ a stea cu fa¸ta˘ la locomotiv˘ a, atunci to¸ti c˘ alatori se pot a¸seza în (5!)2 moduri. Acela¸si num˘ ar de moduri se ob¸tine dac˘ a aleg s˘ a stea cu fa¸ta˘ la locomotiv˘ a B sau C. Deci sunt în total

˘ TI ˘ MATEMATICA ˘ CAPITOLUL 17. PROBABILITA ¸ S¸I STATISTICA

354

3 · (5!)2 cazuri egal posibile. Cazuri favorabile vor fi acelea în care doi c˘ al˘ atori da¸ti , de exemplu, B, C vor sta al˘ aturi. Asta este posibil numai dac˘ a B ¸si C stau cu spatele la locomotiv˘ a. Num˘ arul acestor pozi¸tii va fi 5! · 3! · 2 · 4 . Deci probabilitatea cerut˘ a este p=

5!·3!·2·4 3·(5!)2

=

2 . 15

6. Care este probabilitatea ca luna ianuarie a unui an oarecare s˘ a aib˘ a 4 duminici? Sol. Printre primele 28 de zile ale lui ianuarie vor fi neap˘ arat 4 duminici. Rezult˘ a c˘ a în ianuarie nu vor fi decât 4 duminici dac˘ a acestea nu vor fi în zilele de 29, 30, 31, adic˘ a dac˘ a ziua de 29 cade lunea, mar¸tea, miercurea sau joia. Deci p = 47 . 7. Dintr-o partid˘ a de 37 de piese din care 6 sunt defecte se aleg 3 piese. Care este probabilitatea ca; 1) toate trei sunt f˘ ar˘ a defecte; 2) cel pu¸tin una este f˘ ar˘ a defecte? R. 1) p =

3 C31 3 C37

= 0.579;

2) p =

3 +C 1 C 2 +C 2 C 1 C31 6 31 6 31 3 C37

= 0.397

8. Intr-o urn˘ a se afl˘ a bilete cu cifrele 0, 1, 2,..., 9. Se extrag 5 bilete ¸si se a¸seaz˘ a în ordine, ob¸tinând un num˘ ar. Care este probabilitatea ca num˘ arul ob¸tinut s˘ a fie divizibil cu 396? R. p =

96 30240

= 0.0015 .

9. De câte ori trebuie s˘ a arunc˘ am un zar pentru ca s˘ a ne apar˘ a cel pu¸tin o dat˘ a fa¸ta 6 cu o probabilitate mai mare ca 0,5? ¡ ¢n ln 2 ∼ 3, 80. R. p = 1 − 56 > 12 ⇒ n > ln 6−ln 5 =

10. Un tr˘ ag˘ ator nimere¸ste ¸tinta de 7 ori din 10 trageri, iar alt tr˘ ag˘ ator din 9 trageri

nimere¸ste ¸tinta de 8 ori. Tr˘ agând simultan în aceea¸si ¸tint˘ a, care este probabilitatea ca ¸tinta s˘ a fie atins˘ a. R. p =

7 10

+ 89 −

7 8 10 9

=

87 . 90

11. Fie n elemente oarecare într-o anumit˘ a ordine. Ele se permut˘ a aleator. Care este probabilitatea ca, cel pu¸tin un element s˘ a se g˘ aseasc˘ a pe locul s˘ au? R. Dac˘ a Ai =“elementul i este pe locul lui“, atunci evenimentul c˘ aruia trbuie s˘ a-i calcul˘ am probabilitatea este B = A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An . Cum p(Ai ) = (n−2)! , n!

(n−1)! , n!

p(Ai ∩ Aj ) =

+Cn3 (n−3)! −Cn2 (n−2)! −... = 1− 2!1 + 3!1 −...+(−1)n+1 n!1 etc, rezult˘ a p(B) = Cn1 (n−1)! n! n! n!

. 12. S˘ a se determine probabilitatea evenimentului A ¸stiind p (A ∩ B) = p1 , p (A ∩ CB ) = p2 . Sol. Cum A = A ∩ B + A ∩ CB rezult˘ a p(A) = p1 + p2 .

17.2. VARIABILE ALEATOARE

17.2

355

Variabile aleatoare

Defini¸tia 1. Fie (Ω, S, p) un spa¸tiu de probabilitate. O func¸tie ξ : Ω → R se nume¸ste variabil˘a aleatoare sau variabil˘ a eventual˘ a dac˘ a pentru orice x, x ∈ R mul¸timea {ω ∈S|ξ(ω) < x} este din σ -algebra S ¸si p(ω ∈S| − ∞ < ξ(ω) < ∞) = 1. In loc de {ω ∈S|ξ(ω) < x} se scrie simplu {ξ < x} . Prima condi¸tie din defini¸tie cere s˘ a se poat˘ a defini probabilitatea evenimentului {ξ < x}; a doua condi¸tie cere ca func¸tia ξ s˘ a fie efectiv definit˘ a pe întreaga mul¸time a evenimentelor elementare Ω . Dac˘ a A este un eveniment, variabila aleatoare definit˘ a prin rela¸tia   1 pentru ω ∈ A, IA (ω) =  0 pentru ω ∈ / A,

se nume¸ste indicatorul evenimentului A. (In analiz˘ a aceast˘ a func¸tie se nume¸ste func¸tia caracteristic˘ a a lui A, în teoria probabilit˘ a¸tilor prin func¸tie caracteristic˘ a se va în¸telege altceva). Sunt evidente rela¸tiile ICA = 1 − IA , IA∩B = IA .IB , IA∪B = IA + IB − IA∩B . Variabilele aleatoare ξ1 , ξ2 , ..., ξn se numesc variabile aleatoare independente dac˘ a oricare ar fi sistemul de numere reale x1 , x2 , ..., xn avem p (ξ1 < x1 , ξ2 < x2 , ..., ξn < xn ) = p (ξ1 < x1 ) p (ξ2 < x2 ) ...p (ξn < xn ) . O func¸tie vectorial˘ a ξ = (ξ1 , ξ2 , ..., ξn ) : Ω → Rn ale c˘ arei componente ξi (i = 1, 2, ..., n) sunt variabile aleatoare se nume¸ste variabil˘a aleatoare n-dimensional˘a sau vector aleator n-dimensional. Urm˘ atoarele propriet˘ a¸ti ale variabilelor aleatoare sunt frecvent folosite: 1). Dac˘ a ξ este o variabil˘ a aleatoare ¸si c o constant˘ a, atunci ξ + c, cξ, |ξ| , ξ 2 , pentru ξ 6= 0 sunt de asemenea tot variabile aleatoare. Intr-adev˘ ar, avem {ξ + c < x} = {ξ < x − c} ∈ S;

1 ξ

˘ TI ˘ MATEMATICA ˘ CAPITOLUL 17. PROBABILITA ¸ S¸I STATISTICA

356

  {ξ < x } ∈ S pentru c > 0 c {cξ < x} = ;  {ξ > x } ∈ S pentru c < 0 c {|ξ| < x} = {ξ < x} ∪ {ξ > −x} ∈ S; {ξ 2 < x} = {|ξ| <

√ x} ∈ S;

    

{ξ < 0} ∈ S pentru x = 0 1 { < x} = . {ξ < 0} ∩ {ξ > x1 } ∈ S pentru x > 0  ξ    {ξ < 0} ∪ {ξ > 0} ∩ {ξ > 1 } ∈ S pentru x > 0 x

2). Dac˘ a{ξn }n∈N este un ¸sir de variabile aleatoare, atunci ¸si η(ω) = inf {ξn (ω)}, n∈N

ς(ω) =sup {ξn (ω)}, ξ(ω) =lim sup ξn (ω), ξ(ω) =lim inf ξn (ω) sunt de asemenea varin∈N

n∈N

n∈N

abile aleatoare. Intr-adev˘ ar avem {η < x} =

{ς > x} =

[

n∈N

[

n∈N

{ξn < x} ∈ S;

{ξn > x} = C

ξ(ω) =

Ã

\

n∈N

!

{ξn ≤ x}

∈ S;

inf (sup ξm (ω)) ;

m≥n∈N

ξ(ω) = sup (inf ξm (ω)) . m≥n∈N

3). Dac˘ a ξ, η sunt variabile aleatoare atunci {ξ > η} ∈ S, {ξ ≥ η} ∈ S, {ξ = η} ∈ S. 4. Dac˘ a ξ, η sunt variabile aleatoare atunci ¸si ξ − η, ξ + η, ξη, variabile aleatoare. Intr-adev˘ ar avem {ξ − η > x} = {ξ > η + x} ∈ S;

ξ η

sunt deasemenea

17.2. VARIABILE ALEATOARE

ξ + η = ξ − (−η); ξη = etc.

357

¤ 1£ (ξ + η)2 − (ξ − η)2 , 4

Defini¸tia 2. Func¸tia Fξ(x) = p(ξ < x) se nume¸ste func¸tia de reparti¸tie sau func¸tia cumulativ˘a a probabilit˘at¸ii variabilei aleatoare ξ . Func¸tia de reparti¸tie a unei variabile aleatoare are urm˘ atoarele propriet˘ a¸ti: 1) x ≤ y ⇒ Fξ(x) ≤ Fξ(y) ( este nedescresc˘ atoare) pentru c˘ a x ≤ y ⇒ {ξ < y} = {ξ < x} ∪ {x ≤ ξ < y} ¸si deci Fξ(y) = Fξ(x) + p(x ≤ ξ < y) ≥ Fξ(x) ) 2) p(x ≤ ξ < y) = Fξ (y) − Fξ (x) ; 3) Fξ(−∞) = lim Fξ(x) = 0, Fξ(∞) = lim Fξ(x) = 1 . x→−∞

x→∞

Intr-adev˘ ar avem implica¸tiile xn → −∞, yn → ∞ ⇒ {−∞ < ξ < ∞} =

∞ [

{xn ≤ ξ < yn } ⇒

n=1

lim p(xn ≤ ξ < yn ) = p(−∞ < ξ < ∞) = 1 ⇒

n→∞

⇒ Fξ(yn ) − Fξ(xn ) → 1 ⇒ ∀ ε > 0 ∃N a.i.n > N ⇒ Fξ(yn ) − Fξ(xn ) > 1 − ε ⇒ ⇒ Fξ(yn ) > 1 − ε, Fξ(xn ) < Fξ(yn ) − 1 + ε ≤ 1 − 1 + ε ⇒ ⇒ Fξ(xn ) → 0, Fξ(yn ) → 1. 4) p(ξ ≥ x) = 1 − Fξ(x) pentru c˘ a {−∞ < ξ < ∞} = {ξ < x} ∪ {ξ ≥ x} ); 5) Fξ(x − 0) = Fξ(x);

(Fξ(x) este continu˘ a la stânga).

Intr-adev˘ ar avem implica¸tiile xn ↑ x ⇒ {ξ < x} = {ξ < x1 } ∪ {x1 < ξ < x2 } ∪ ...

˘ TI ˘ MATEMATICA ˘ CAPITOLUL 17. PROBABILITA ¸ S¸I STATISTICA

358

p(ξ < x) = p(ξ < x1 ) + p(x1 < ξ < x2 ) + ... ⇒ p(ξ < x) ≤ p(ξ < x1 ) + p(x1 < ξ < x2 ) + ... + p(xn−1 < ξ < xn ) + ε ⇒ Fξ(x) ≤ Fξ(xn ) + ε ⇒ |Fξ(x) − Fξ(xn )| ≤ ε. 6) p(ξ ≤ x) = Fξ (x + 0); 7) p(ξ = x) = Fξ(x + 0) − Fξ(x) . Func¸tia de reparti¸tie Fξ(x) = p(ξ < x) = p fiind cresc˘ atoare pe (−∞, ∞) cu valori în (0, 1) se poate vorbi de inversa sa Qξ(p) definit˘ a pe (0, 1) cu valori în (−∞, ∞) astfel c˘ a Qξ(p) = x dac˘ a Fξ(x) = p = p(ξ < x). Func¸tia Qξ(p) se nume¸ste inversa func¸tiei cumulative de probabilitate sau cuantila de ordin p. Defini¸tia 3. O variabil˘ a aleatoare ξ se nume¸ste discret˘a dac˘ a ea poate lua o mul¸time cel mult num˘ arabil˘ a de valori. Dac˘ a o variabil˘ a aleatoare discret˘ a ia un num˘ ar finit de valori ea se nume¸ste simpl˘a . Fie ξ o variabil˘ a aleatoare discret˘ a care poate lua valorile x1 , x2 , ..., xn , .... Fie Ai = {ω ∈ Ω|ξ(ω) = xi }, i = 1, 2, ..., n, .... Evident Ω = A1 + A2 + ... + An + ..., adic˘ a evenimentele Ai , i = 1, 2, ... constituie un sistem complet de evenimente. Invers dac˘ a se poate scrie Ω = A1 + A2 + ... + An + ..., atunci putem defini o variabil˘ a aleatoare discret˘ a punând ω ∈ Ai ⇒ ξ(ω) = xi . Defini¸tia 4. Prin legea de reparti¸tie a unei variabile aleatoare discrete ξ se în¸telege mul¸timea perechilor (xi , pi = p(ξ = xi )) , expresia pi = p(ξ = xi ) fiind densitatea de reparti¸tie a variabilei. Conform defini¸tiei variabilei aleatoare

P

pi = 1.

i

Legea de reparti¸tie a unei variabile aleatoare discrete poate fi dat˘ a fie printr-un tabel de forma:  

x1 x2 ... xn ... p1 p2 ... pn ...



,

17.3. SCHEMA LUI BERNOULLI

359

Fig. 17.1: Legea de reparti¸tie a unei variabile aleatoare discrete fie printr-o reprezentare grafic˘ a de forma din figura de mai jos, fie printr-o reprezentare grafic˘ a în care segmentele cu s˘ ageat˘ a de înlocuiesc prin dreptunghiuri (bare) . Legea de reparti¸tie a indicatorului evenimentului A este   0 1  . 1 − p(A) p(A)

Func¸tia de reparti¸tie a unei variabile aleatoare discrete este Fξ (x) = p(ξ < x) =

X

pi .

xi <x

Ea este o func¸tie scar˘ a pentru care se p˘ astreaz˘ a propriet˘ a¸tile amintite mai înainte In cazul unei variabile aleatoare discrete, inversa func¸tiei cumulative sau cuantila de ordin p Qξ(p) este definit˘ a pe (0, 1) cu valori mul¸timea valorilor variabilei aleatoare {x1 , x2 , ...} astfel încât Qξ(p) = xi dac˘ a p1 + p2 + ... + pi ≤ p < p1 + p2 + ... + pi + pi+1 .

17.3

Schema lui Bernoulli

17.3.1

Definirea schemei lui Bernoulli

S˘ a presupunem c˘ a se efectueaz˘ a n experien¸te aleatoare independente, fiecare din ele putând avea dou˘ a rezultate: succes cu probabilitatea p ¸si insucces cu probabilitatea

˘ TI ˘ MATEMATICA ˘ CAPITOLUL 17. PROBABILITA ¸ S¸I STATISTICA

360

Fig. 17.2: Func¸tia de reparti¸tie a unei variabile aleatoare discrete q = 1 − p. O asemenea schem˘ a - de fapt, o asemenea experien¸ta˘ aleatoare - se nume¸ste schema lui Bernoulli. arul succeselor în cele n experien¸te. bn este o variabil˘ a aleatoare S˘ a not˘ am cu bn num˘ simpl˘ a. S˘ a not˘ am cu ωi , i = 1, 2, ..., n variabilele aleatoare    1 dac˘ a în a i-a experien¸ta˘ a fost succes   ωi =     0 dac˘ a în a i-a experien¸ta˘ a fost insucces

Fie vectorii ω = (ω1 , ω2 , ..., ωn ). Ace¸stia alc˘ atuiesc evenimentele elementare, deci n P ωi . Cele n experien¸te fiind independente avem p(ω) = mul¸timea Ω. Evident bn = i=1

p(ω1 )p(ω2 )...p(ωn ). Cum p(ωi = 1) = p, p(ωi = 0) = q = 1 − p avem n X p(bn = k) = p( ωi = k) = i=1

X

p(ω1 )p(ω2 )...p(ωn ) = Cnk pk q n−k .

ω1 +ω2 +...+ωn =k

Vom nota pn,k = p(bn = k) = Cnk pk q n−k . a de tabelul Rezult˘ a c˘ a variabila aleatoare simpl˘ a bn are legea de reparti¸tie dat˘   2 .... k .... n 0 1     .    n−1 n 1 2 2 n−2 k k n−k n .... Cn p q .... p Cn p q q Cn pq

17.3. SCHEMA LUI BERNOULLI

361

Defini¸tia 1. Variabila aleatoare bn discret˘ a simpl˘ a cu valori naturale ¸si cu densitatea de reparti¸tie pn,k = p(bn = k) = Cnk pk qn−k se nume¸ste varabil˘a aleatoare binomial˘a . Uneori dac˘ a bn este o variabil˘ a aleatoare binomial˘ a vom scrie bn ∈ binom(n, p) adoptând nota¸tiile din softul MATHCAD. Tot ca acolo, densitatea de reparti¸tie a unei asemenea variabile va fi notat˘ a prin dbinom(k, n, p), func¸tia de reparti¸tie cu pbinom(k, n, p), func¸tia invers˘ a cu qbinom(P, n, p). In MATHCAD func¸tia rbinom(N, n, p) genereaz˘ aN valori ale unor variabile de tipul binom(n,p). n n P P pn,k = 1 cum rezult˘ Cnk pk qn−k . Evident a ¸si din rela¸tia 1 = (p + q)n = k=0

k=0

Exemplul 1. Un aparat este compus din 5 elemente, fiecare putându-se defecta

într-un timp dat cu probabilitatea p = 0, 1. Aparatul func¸tioneaz˘ a normal dac˘ a nu se defecteaz˘ a mai mult de 2 elemente. Care este probabilitatea ca în timpul dat aparatul s˘ a func¸tioneze normal? Solu¸tia este evident p(b5 ≤ 2) = p(b5 = 0) + p(b5 = 1) + p(b5 = 2) =

= C50 .0, 10 .0, 95 + C51 .0, 11 .0, 94 + C52 .0, 12 .0, 93 = = pbinom(2, 5, 0.1) = 0, 9914.

17.3.2

Aliura reparti¸tiei schemei lui Bernoulli

Probabilit˘ a¸tile pnk din schema lui Bernoulli se pot calcula din aproape în aproape pe baza rela¸tiei de recuren¸ta˘ pn,k+1 =

n−k pnk . k+1

Din aceast˘ a rela¸tie rezult˘ a pn,k+1 > pnk ⇔

n−kp > 1 ⇔ k < np − q, k+1q

pn,k+1 < pnk ⇔

n−kp < 1 ⇔ k > np − q, k+1q

adic˘ a numerele pnk cresc cât timp k este mai mic decât np − q, î¸si ating maximul ¸si apoi scad. Dac˘ a np − q este întreg exist˘ a dou˘ a valori maxime ¸si anume pn,np−q = pn,np+p .

362

˘ TI ˘ MATEMATICA ˘ CAPITOLUL 17. PROBABILITA ¸ S¸I STATISTICA

Dac˘ a np − q nu este întreg, atunci exist˘ a o singur˘ a valoare maxim˘ a pentru k cuprins între np − q ¸si np + p. Dac˘ a vom reprezenta grafic densitatea de reparti¸tie dbinom(k, n, p) vom observa c˘ a pe m˘ asur˘ a ce n cre¸ste, diagrama cap˘ at˘ a o form˘ a apropiat˘ a de un clopot simetric fa¸ta˘ de verticala k = np.

17.3.3

Legea numerelor mari sub forma lui Bernoulli

Num˘ arul cel mai probabil de realiz˘ ari ale “succesului“ în cele n experien¸te din schema lui Bernoulli este apropiat de np. Fie ε > 0 un num˘ ar oarecare. S˘ a încerc˘ am s˘ a evalu˘ am ¯ ¡¯ bn ¢ probabilitatea p ¯ n − p¯ ≥ ε , adic˘ a probabilitatea ca modulul diferen¸tei între frecven¸ta

apari¸tiei “succesului“ în cele n experien¸te ¸si probabilitatea “succesului“ într-o experien¸ta˘ s˘ a fie mai mare ca ε . Dup˘ a formula de adunare a probabilita¸tilor avem ¯ µ¯ ¶ X ¯ bn ¯ p ¯¯ − p¯¯ ≥ ε = pnk , n ¯ ¯ unde suma se extinde la acele valori ale lui k pentru care ¯ nk − p¯ ≥ ε, adic˘ a pentru care 2 ( nk −p) ≥ 1. Dar atunci putem scrie ε2 ¢2 ¡k ¯ ¶ µ¯ X ¯ ¯ bn − p n pnk , p ¯¯ − p¯¯ ≥ ε ≤ n ε2 k | n −p|≥ε

¸si cu atât mai mult ¢2 ¯ ¶ X µ¯ n n ¡k ¯ ¯ bn − p 1 X n ¯ ¯ pnk = 2 2 (k − np)2 pnk = p ¯ − p¯ ≥ ε ≤ 2 n ε n ε k=0 k=0 n ¤ 1 X£ = 2 2 k(k − 1) + (1 − 2np)k + n2 p2 Cnk pk q n−k = n ε k=0

=

¢ 1 ¡ pq npq + n2 p2 − 2n2 p2 + n2 p2 = 2 . nε

n2 ε2

Trecând la evenimentul contrar avem ¯ ¶ µ¯ ¯ ¯ bn pq ¯ ¯ p ¯ − p¯ < ε ≥ 1 − 2 . n nε

Am demonstrat deci

T1. (Legea numerelor mari sub forma lui Bernoulli). Ori care ar fi ε > 0, probabilitatea ca modulul diferen¸tei dintre frecven¸ta de realizare a “succesului“ în n experien¸te

17.3. SCHEMA LUI BERNOULLI

363

din schema lui Bernoulli ¸si probabilitatea de realizare a succesului într-o experien¸ta˘ s˘ a fie mai mic˘ a decât ε tinde c˘ atre 1 atunci când n tinde c˘ atre infinit. Exemplul 2. Intr-o localitate s-au n˘ ascut într-un an 400 de copii. Probabilitatea na¸sterii unui b˘ aiat este egal˘ a cu probabilitatea na¸sterii unei fete. S˘ a se evalueze probabilitatea ca num˘ arul b˘ aie¸tilor n˘ ascu¸ti în acel an s˘ a difere de 200 cu cel mult 20. Avem

¯ ¶ µ¯ ¯ b400 1 ¯ 20 p (|b400 − 200| < 20) = p ¯¯ − ¯< ≤ 400 2 ¯ 400 1 2

· 12 1 3 ≤1− ¡ 1 ¢2 = 1 − = . 4 4 400 20

17.3.4

Teorema limit˘ a a lui Poisson a evenimentelor rare

Pentru n mare este greu de calculat probabilit˘ a¸tile pn,k ale variabilei binomiale cu formula stabilit˘ a. S˘ a ¸tinem cont c˘ a Cnk

n(n − 1)...(n − k + 1) nk = = k! k!

µ ¶µ ¶ µ ¶ 1 2 n−1 1− 1− ... 1 − n n n

a prin induc¸tie!) ¸si c˘ a dac˘ a 0 ≤ ai ≤ 1, i = 0, 1, ..., k atunci are loc inegalitatea (se verific˘ (1 − a1 ) (1 − a2 ) ... (1 − ak ) ≥ 1 − (a1 + a2 + ... + ak ) , adic˘ a în cazul nostru ¶µ ¶ µ ¶ µ ¶ µ 2 n−1 1 + 2 + ...k − 1 k(k − 1) 1 . 1− ... 1 − >1− =1− 1− n n n n 2n Rezult˘ a 1−

C k k! k(k − 1) ≤ nk ≤ 1 2n n

√ a ¸si deci dac˘ a k < 0, 14 n atunci are loc formula aproximativ˘ pn,k =

Cnk pk q n−k

1 ≈ k!

µ

np q

¶k

qn

cu o eroare relativ˘ a mai mic˘ a de 1%. Mai mult rezult˘ a ¸si teorema T2. (Teorema limit˘a a lui Poisson a evenimentelor rare) Dac˘ a n → ∞, p → 0, astfel încât np → a, a num˘ ar pozitiv, atunci probabilitatea a k succese în schema lui k

Bernoulli tinde c˘ atre e−a ak! pentru orice k = 0, 1, 2, ....

364

˘ TI ˘ MATEMATICA ˘ CAPITOLUL 17. PROBABILITA ¸ S¸I STATISTICA

Intr-adev˘ ar putem scrie cu evaluarea de mai sus ¸ · k(k − 1) nk k n−k nk p q 1− ≤ pn,k ≤ pk q n−k . 2n k! k! Pentru n → ∞, p → 0, np → a ¸si k fixat 1−

k(k − 1) → 1, (np)k → ak , q −k = (1 − p)−k → 1, 2n

³ np ´n → e−a qn = 1 − n

i deci pn,k →n→∞ e−a

ak k!

Defini¸tia 2. O variabil˘ a aleatoare discret˘ a ξ cu valori naturale cu densitatea de reparti¸tie pξ(ξ = k) = e−a

ak , k = 0, 1, 2, ... k!

se nume¸ste variabil˘a aleatoare repartizat˘a dup˘a legea lui Poisson a evenimentelor rare. Uneori pentru o asemenea variabil˘ a vom scrie ca în MATHCAD ξ ∈ pois(a). In MATHCAD densitatea de reparti¸tie a unei asemenea variabile este dpois(k, a), func¸tia cumulativ˘ a de probabilitate este ppois(k, a), iar func¸tia invers˘ a este qpois(P, a). rpois(N, a) este o func¸tie care d˘ a valorile ale a N variabile aleatoare de acest tip. Evident pentru o asemenea variabil˘ a ∞ X

pξ (ξ = k) = e−a

k=0

∞ X ak k=0

k!

= e−a ea = 1.

Dac˘ a se fac diagramele densit˘ a¸tii de reparti¸tie dpois(k,a) se vede c˘ a maximul se atinge pentru k în jurul valorii lui a ¸si pentru a ceva mai mare graficul seam˘ ana cu un clopot. Exemplul 3. Un sistem const˘ a din 10000 de elemente, fiecare putându-se defecta întrun timp dat cu probabilitatea p = 0, 00005, independent unul de altul. 1) Câte elemente de rezerv˘ a trebuie luate pentru ca toate elementele care se defecteaz˘ a s˘ a fie înlocuite cu altele noi cu o probabilitate de cel pu¸tin 0,95. 2) S˘ a se evalueze probabilitatea ca niciunul din elementele înlocuite s˘ a nu se defecteze (ele având aceea¸si probabilitate de defectare ca ¸si cele de baz˘ a). Cum n = 10000 (este mare), p = 0, 00005 (este mic˘ a), np = 0, 5, avem de-a face cu k

o variabil˘ a aleatoare ξ distribuit˘ a dup˘ a legea evenimentelor rare pξ (ξ = k) = e−0,5 0,5 . k! Dac˘ a m este num˘ arul de piese de schimb, condi¸tia 1) este echivalent˘ a cu dubla inegalitate

17.3. SCHEMA LUI BERNOULLI

365

pξ(ξ = 0) + pξ(ξ = 1) + ... + pξ(ξ = m − 1) < 0, 95 ≤ ≤ pξ(ξ = 0) + pξ(ξ = 1) + ... + pξ(ξ = m), adic˘ a m = qpois(0.95, a). Se g˘ ase¸ste m=2. 2) Probabilitatea ca nici unul din elementele înlocuite s˘ a nu se defecteze este mai mare ca (1 − 0, 00005)2 > 1 − 0, 0001 . Exemplul 4. O central˘ a telefonic˘ a are 1000 de abona¸ti. Intr-un interval dat de timp, fiecare abonat poate apela centrala cu probabilitatea p = 0, 005. Care este probabilitatea ca în intervalul de timp dat s˘ a existe cel mult 7 apeluri în central˘ a. Putem considera c˘ a avem de-a face cu o variabil˘ a aleatoare repartizat˘ a dup˘ a legea evenimentelor rare np = 5 ¸si probabilitatea cerut˘ a este pξ(ξ ≤ 7) = ppois(7, 5) = 0.867. Conform demonstra¸tiei de mai sus, legea lui Poisson se aplic˘ a variabilei binomiale bn dac˘ a n → ∞ ¸si raportul

17.3.5

k2 n

este mic.

Teorema limit˘ a local˘ a a lui Moivre-Laplace

S˘ a presupunem acum c˘ a în cazul variabilei binomiale bn odat˘ a cu n → ∞ ¸si k → ∞

astfel încât n − k → ∞ . S˘ a not˘ am α = nk , β =

n−k n

= 1 − α ¸si s˘ a folosim formula lui

Stirling n! =

√ θn 1 2πnn+ 2 e−n+ 12n , 0 ≤ θn < 1

sau prin logaritmare µ ¶ √ 1 θn ln (n!) = ln 2π + n + ln n − n + . 2 12n Vom avea deci

n! n! = ln = k! (n − k)! (nα)! (nβ)! ¶ µ √ θn 1 = ln 2π + n + ln n − n + − 2 12n

ln Cnk = ln

˘ TI ˘ MATEMATICA ˘ CAPITOLUL 17. PROBABILITA ¸ S¸I STATISTICA

366

¶ µ √ θnα 1 ln nα + nα + − − ln 2π − nα + 2 12nα µ ¶ √ 1 θnβ ln nβ + nβ + = − ln 2π − nβ + 2 12nβ = − ln

p 2πnαβ − n (α ln α + β ln β) + Rn .

Se vede c˘ a dac˘ a n → ∞, k → ∞, n − k → ∞ atunci Rn → 0 uniform în raport cu α, β. Se poate deci scrie pn,k = Dac˘ a

1 k

+

Cnk

1 n+k

¡ α β ¢n p q 1 1 en(α ln α +β ln β ) = √ p q ≈√ 2πnαβ 2πnαβ

µ

pα q β αα β β

¶n

.

≤ 0, 1 atunci eroarea relativ˘ a care se face folosind evaluarea de mai

sus este mic˘ a dec˘ at 1%. Dac˘ a not˘ am ψ(α) = α ln p − α ln α + β ln q − β ln β putem scrie 1 pn,k = √ enψ(α) . 2πnαβ S˘ a observ˘ am c˘ a ψ(p) = 0. Tinem ¸ cont c˘ a β = 1 − α ¸si deriv˘ am ψ 0 (α) = ln p − ln q − ln α + ln β;

ψ00(α) = −

1 α+β 1 1 − =− =− . α β αβ αβ

arginit˘ a, putem scrie Deci ψ 0 (p) = 0, ψ 00 (p) = − pq1 . Cum ψ 000 (p) este m˘ ¡ ¢ ∆2 + ϑ ∆3 (∆ → 0) . 2pq p p = p + x pq , β = 1 − α = q − x pq . Dac˘ a num˘ arul n n

ψ (p + ∆) = − Notând x =

k−np √ npq

avem α =

k n

k variaz˘ a astfel încât |x| ≤ T atunci pentru n → ∞, vom avea α → p, β → q uniform 1 1 în raport cu x ¸si deci √2πnαβ se înlocuie¸ste cu √2πnpq , iar enψ(α) se înlocuie¸ste prin ¡ ¢ p ∆2 3 2 2 e−n 2pq +ϑ(n∆ ) unde ∆ = x pq . Cum n ∆ = x , n∆3 = ϑ 1 rezult˘ a n

2pq

2

x2 1 e− 2 . pn,k ≈ √ 2πnpq

Are loc deci teorema

n

17.3. SCHEMA LUI BERNOULLI

367

T3. (Teorema- limit˘a local˘a a lui Moivre-Laplace) Fie x =

k−np √ ; npq

dac˘ a n → ∞, p

fixat diferit de 0 ¸si 1 ¸si k variaz˘ a astfel încât |x| ≤ T , unde T este un num˘ ar fix, atunci uniform în raport cu x, |x| ≤ T are loc pn,k

lim

= 1.

2

x n→∞ √ 1 e− 2 2πnpq

Variabila x =

k−np √ npq

este, cum vom vedea mai târziu, ceea ce se nume¸ste redusa

variabilei bn . Teorema-limit˘ a local˘ a a lui Moivre-Laplace permite s˘ a evalu˘ am probabilit˘ a¸tile pn,k din distribu¸tia variabilei aleatoare binomiale bn pentru n → ∞ ca func¸tie de valoarea k a variabilei aleatoare.

17.3.6

Teorema limit˘ a integral˘ a a lui Laplace

Teorema urm˘ atoare numit˘ a teorema-limit˘a integral˘a a lui Laplace permite s˘ a evalu˘ am func¸tia de reparti¸tie a variabilei aleatoare binomiale bn . T4. (Teorema-limit˘a integral˘a a lui Laplace) Fie p ∈ (0, 1) fixat. Atunci pentru n → ∞ uniform în raport cu a, b, a ≤ b ¶ µ Zb t2 bn − np 1
S˘ a not˘ am x2 bn − np k − np 1 ξn = √ , xk = √ , ϕ(x) = √ e− 2 , Φ(a, b) = npq npq 2π

Zb

ϕ(x)dx.

a

Vrem s˘ a ar˘ at˘ am c˘ a n→∞

p (a ≤ ξn < b) → Φ(a, b)

a ≤ b ≤ T . Dup˘ a teorema precedent˘ a pn,k = uniform în |xk | ≤ T . Cum xk+1 − xk = p (a ≤ ξn < b) = =

X

a≤xk
X

a≤xk
√1 npq

pn,k =

P

pn,k . S˘ a presupunem c˘ a −T ≤ a≤xk
uniform în raport cu a ¸si b. Dar p (a ≤ ξn < b) =

rezult˘ a c˘ a

X

a≤xk
ϕ (xk ) (xk+1 − xk ) (1 + εn,k ) =

ϕ (xk ) (xk+1 − xk ) + parte neglijabil˘ a

368

˘ TI ˘ MATEMATICA ˘ CAPITOLUL 17. PROBABILITA ¸ S¸I STATISTICA

care difer˘ a foarte pu¸tin de o sum˘ a riemannian˘ a a lui Φ(a, b), ceea ce trebuia demonstrat. Consecin¸ta 1. Fie Fn (x) func¸tia de reparti¸tie a variabilei ξn = n→∞ 1 Fn (x) → √ 2π n→∞

Zx

bn −np √ . npq

Atunci pentru

t2

e− 2 dt

−∞

uniform în raport cu x ∈ R . Consecin¸ta rezult˘ a din teorem˘ a f˘ acând a → −∞, b = x. x 2 R t e− 2 dt se nume¸ste func¸tia de reparti¸tie normal˘a standard. Func¸tia F (x) = √12π −∞

Evident, Φ (a, b) = F (b) − F (a) .

Dac˘ a o variabil˘ a aleatoare ξ are func¸tia cumulativa de probabilitate 1 Fξ(x) = √ 2π

Zx

t2

e− 2 dt

−∞

se zice c˘ a ea este de tipul normal standard. Vom scrie ξ ∈ norm(0, 1). In MATHCAD densitatea sa de distribu¸tie este dnorm(x, 0, 1), func¸tia sa cumulativ˘ a este pnorm(x, 0, 1), inversa func¸tiei cumulative este qnorm(P, 0, 1). Consecin¸ta 2. (O alt˘a de monstra¸tie a legii numerelor mari sub forma lui Bernoulli) Pentru orice ε > 0 ¯ µ¯ ¶ ¯ bn ¯ lim p ¯¯ − p¯¯ ≥ ε = 0 n→∞ n

sau

Intr-adev˘ ar, cum

avem

¯ ¶ µ¯ ¯ ¯ bn lim p ¯¯ − p¯¯ < ε = 1. n→∞ n

r r ¯ ¯ ¯ bn ¯ |bn − np| pq pq |ξn | ¯ − p¯ = √ √ = |ξ < | n ¯n ¯ npq n n 2 n

¯ ¶ µ¯ ¯ bn ¯ ¡ √ √ ¢ p ¯¯ − p¯¯ ≥ ε ≤ p |ξn | > 2ε n = 2Φ(2ε n, ∞) → 0, n

ceea ce trebuia demonstrat.

S˘ a reamintim c˘ a raportul

bn n

din legea numerelor mari este tocmai frecven¸ta medie

de apari¸tie a succesului în schema lui Bernoulli.

17.3. SCHEMA LUI BERNOULLI

369

Exemplul 4. S˘ a relu˘ am exemplul 2., calculând probabilitatea ca printre cei 400 de nou n˘ ascu¸ti, num˘ arul b˘ aie¸tilor s˘ a difere de 200 cu cel mult 20, pe baza teoremei limit˘ a integral˘ a a lui Laplace: vom avea:



|b400 − 200| p (|b400 − 200| < 20) = p  q 400 · 12 · 12

r

400 ·



1 1 · < 20 = 2 2

µ ¶ 20 = p |ζk | < = pnorm(2, 0, 1) − pnorm(−2, 0, 1) = 10 = 2pnorm(2, 0, 1) − 1 = 2 · 0.9772 − 1 = 0.9544

17.3.7

Exerci¸tii ¸si probleme

1. Probabilitatea ca un tr˘ ag˘ ator s˘ a loveasc˘ a o ¸tint˘ a este p=0.3. Tr˘ ag˘ atorul execut˘ a 4 trageri. Care este probabilitatea ca s˘ a loveasc˘ a ¸tnta de 2 ori. R. dbinom(2, 4, 0.3) = 0.265. 2. Pe un canal de transmisie de date se transmit 5 mesaje. Fiecare mesaj independent de celelalte este distorsionat cu probabilitatea de p=0.3. S˘ a se g˘ aseasc˘ a probabilitatea ca: a) din 5 mesaje 3 s˘ a fie distorsionate; b) cel pu¸tin 4 mesaje s˘ a nu fie distorsionate; c) cel mult dou˘ a mesaje s˘ a fie distorsionate; d) toate mesajele s˘ a fie nedistorsionate; e) cel pu¸tin dou˘ a mesaje s˘ a fie distorsionate. R. a) dbinom(3,5,0.3)=0.132; b) 1-pbinom(3,5,0.7)=0.528; c) pbinom(2,5,0.3)=0.837; d) dbinom(5,5,0.7)=0.168; e) 1-pbinom(1,5,0.3)=0.472. 3. Se ¸stie c˘ a

1 45

din piesele produse de o fabric˘ a sunt sub standarde. Fabrica a produs

4500 piese. Care este cel mai probabil num˘ ar de piese standard din acestea? R. 4500 ∗

44 45

−

1 45

≤ k ≤ 4500 ∗

44 45

+

44 , 45

k=4400.

4. Intr-o firm˘ a lucreaz˘ a 100 de salaria¸ti. Probabilitatea ca într-o s˘ apt˘ amân˘ a s˘ a se îmboln˘ aveasc˘ a un salariat este 0.01. S˘ a se g˘ aseasc˘ a probabilitatea ca într-o s˘ apt˘ amân˘ a s˘ a se îmboln˘ avesc˘ a: a) trei salaria¸ti; b) cel mult trei salaria¸ti; c) cel pu¸tin trei salaria¸ti; d) cel pu¸tin un salariat. R. a) λ = np = 100 ∗ 0.01 = 1, dpois(3, 1) = 0.061; b) ppois(2,1)=0.9197; c) 1ppois(2,1)=0.0803; d) 1-dpois(0,1)=0.6321. 5. Din întreaga cantitate de tranzistori f˘ acu¸ti de o fabric˘ a 80% nu au defecte. S˘ a se g˘ aseasc˘ a probabilitatea ca printre 400 de tranzistori lua¸ti la întâmplare 80 s˘ a fie defec¸ti.

˘ TI ˘ MATEMATICA ˘ CAPITOLUL 17. PROBABILITA ¸ S¸I STATISTICA

370

R. n = 400, k = 80, p = 0.2, q = 0.8, x =

k−np √ npq

= 0.

√ 1 dnorm(0, 0, 1) npq

= 0.04986.

6. S˘ a se g˘ aseasc˘ a probabilitatea ca din 10000 de arunc˘ ari ale unei monede valoarea s˘ a apar˘ a: a) de cel pu¸tin 4000 de ori ¸si de cel mult 6000 de ori; b) de cel mult 4000 de ori; c) de cel pu¸tin 6000 de ori. R. a) p = 0.5, q = 0.5, n = 10000, k1 = 4000, k2 = 6000, x1 = x2 =

6000−10000∗0.5 √ 2500

4000−10000∗0.5 √ 2500

= −20,

= 20, pnorm(20, 0, 1) − pnorm(−20, 0, 1) = 1;

b) x1 =

0−5000 50

c) x1 =

10000−5000 50

= −100, x2 =

4000−5000 50

= −20, pnorm(−20, 0, 1)−pnorm(−100, 0, 1) =

0; = 100, x2 =

6000−5000 50

= 20, pnorm(100, 0, 1) − pnorm(20, 0, 1) = 0.

7. Probabilitatea ca o pies˘ a dintr-un lot s˘ a fie nestandard este 0.1. Câte piese trebuie s˘ a se ia astfel încât cu probabilitatea de 0.9544 s˘ a se poat˘ a afirma c˘ a frecven¸ta relativ˘ a de apari¸tie a pieselor nestandard difer˘ a de probabilitatea p=0.1 în valoare absolut˘ a cu cel mult 0.03? R. Avem p = 0.1, q = 0.9, ε = 0.03,

q n p(| nk − p| ≤ ε) = 0.9544 = 2pnorm(ε pq , 0, 1) − 1 √ √ pnorm(0.1 n, 0, 1) = 0.9772, 0.1 n = qnorm(0.9772, 0, 1), n=

qnorm(0.4772,0,1)2 0.01

≈ 400.

17.4

Valori medii ale variabilelor aleatoare discrete

17.4.1

Legea numerelor mari sub forma lui Markov

Dac˘ a ξ este o variabil˘ a aleatoare, vom numi observa¸tie independent˘a a lui ξ orice variabil˘ a aleatoare independent˘ a cu aceea¸si lege de reparti¸tie ca ¸si ξ. Introducem o asemenea defini¸tie pentru c˘ a orice observa¸tie rezulta din observarea variabilei ξ, contând mai mult realizarile acesteia.



Fie variabila aleatoare ξ cu reparti¸tia 

1 0



 asociat˘ a unei experien¸te. Repetând

p q experien¸ ta de n ori ob¸tinem variabilele aleatoare ξi , i = 1, 2, ..., n cu aceea¸si reparti¸tie  1 0  . Acestea sunt observa¸tii independente ale variabilei ξ. Conform legii nup q

17.4. VALORI MEDII ALE VARIABILELOR ALEATOARE DISCRETE

371

merelor mari sub forma lui Bernoulli ¯ ¶ µ¯ ¯ ξ1 + ξ2 + ... + ξn ¯ n→∞ ¯ ¯ p ¯ − p¯ < ε → 1, n

adic˘ a media aritmetic˘ a a rezultatelor observa¸tiilor independente ale lui ξ sunt oricât de apropiate de p pentru n mare cu o probabilitate oricât de apropiat˘ a de 1. De aceea

este natural s˘ a numim probabilitatea  p drept  speran¸t˘a matematic˘a sau valoare medie a 1 0 . variabilei aleatoare ξ cu reparti¸tia  p q Fie acum o variabil˘ a aleatoare simpl˘ a ξ cu legea de reparti¸tie   x x ... xm  1 2  p1 p2 ... pm

a sn = ξ1 + ξ2 + ... + ξn atunci ¸si fie ξ1 , ξ2 , ..., ξn observa¸tii independente ale lui ξ . Dac˘

avem sn = N1 x1 + N2 x2 + ... + Nn xn unde Nj este num˘ arul observa¸tiilor al c˘ aror rezultat tiei i este a fost xj , j = 1, 2, ..., m. Fie ξij indicatorul evenimentului {rezultatul observa¸   1 0 . xj }. ξij reprezint˘ a observa¸tii ale variabilei aleatoare ξ j cu reparti¸tia  pj 1 − pj a legea numerelor mari a lui Bernoulli Evident avem ξ1j + ξ2j + ... + ξij = Nj . Deci dup˘

putem scrie

de unde ¸si

Cum

¯ µ¯ ¶ ¯ Nj ¯ n→∞ p ¯¯ − pj ¯¯ ≥ δ → 0, j = 1, 2, ...m, n

¯ ¶ µ¯ ¯ ¯ Nj xj n→∞ ¯ ¯ − pj xj ¯ ≥ δ |xj | → 0, j = 1, 2, ...m. p ¯ n ¯ ¯ m ¯ m m ¯ ¯ X ¯X N x X ¯ Nj xj ¯ ¯ ¯ j j ¯ ¯ xj pj ¯ ≤ p − − x ¯ j j ¯ n ¯ ¯ ¯ n j=1 j=1 j=1

rezult˘ a ¯ ï m ! ¯ µ¯ ¶ m m m ¯X N x ¯ X X X ¯ ¯ Nj xj n→∞ ¯ ¯ j j ¯ ¯ p ¯ − − xj pj ¯ ≥ δ |xj | → 0. xj pj ¯ ≥ δ p ¯ |xj | ≤ ¯ ¯ n n j=1 j=1 j=1 j=1

Cum δ este arbitrar, rezult˘ a c˘ a ¯ ! ï m ¯ ¯ ξ + ξ + ... + ξ X n→∞ ¯ ¯ 1 2 n − xj pj ¯ ≥ ε → 0, p ¯ ¯ ¯ n j=1 sau trecând la evenimentul contrar ¯ ! ï m ¯ ξ + ξ + ... + ξ ¯ X n→∞ ¯ 1 ¯ 2 n p ¯ − xj pj ¯ < ε → 1. ¯ ¯ n j=1

Aceste rela¸tii constituie legea numerelor mari sub forma lui Markov.

˘ TI ˘ MATEMATICA ˘ CAPITOLUL 17. PROBABILITA ¸ S¸I STATISTICA

372

17.4.2

Valoarea medie, propriet˘ a¸ti

Din legea numerelor mari sub forma lui Markov rezult˘ a c˘ a este natural ca suma m P

xj pj s˘ a se numeasc˘ a valoarea medie sau speran¸ta matematic˘a a variabilei aleatoare ξ

j=1

(expectation în englez˘ a, esperance în francez˘ a). Mai mult introducem urm˘ atoarea Defini¸tia 1. Dac˘ a ξ este o variabil˘ a aleatoare discret˘ a cu densitatea de reparti¸tie   x x ... xm ... ,  1 2 p1 p2 ... pm ... dac˘ a seria

∞ P

xi pi este absolut convergent˘ a atunci suma acestei serii se nume¸ste valoarea

i=1

medie a variabilei aleatoare ¸si se va nota prin E (ξ). Variabila aleatoare ξ − E(ξ) se nume¸ste abaterea variabilei aleatoare ξ . Exemplul 1. Dac˘ a A este un eveniment, atunci valoarea medie a indicatorului lui A este E (IA ) = p(A). Exemplul 2. Fie bn variabila aleatoare binomial˘ a. Cum p (bn = k) = Cnk pk q n−k avem E (bn ) =

n X

kCnk pk q n−k

=

k=0

n X

k−1 Cn−1 npk q n−k = np (p + q)n−1 = np.

k=1

Exemplul 3. Fie ξ o variabil˘ a aleatoare repartizat˘ a dup˘ a legea evenimentelor rare cu k

parametrul a, adic˘ a p (ξ = k) = e−a ak! . Valoarea medie a acestei variabile este −a

E (ξ) = e

∞ X ak k = ae−a ea = a. k! k=0

Valorile medii asociate variabilelor aleatoare discrete au o serie de propriet˘ a¸ti. Teorema 1. Fie ξ o variabil˘ a aleatoare discret˘ a cu reparti¸tia p (ξ = xi ) = pi ¸si f (x) o P |f (xi )| pi < ∞. Atunci func¸tie definit˘ a pe mul¸timea valorilor variabilei ξ astfel încât i P E (f (ξ)) exist˘ a ¸si E (f (ξ)) = f (xi )pi . i

Intr-adev˘ ar, f (ξ) este o variabil˘ a aleatoare. Fie yj valorile sale. Avem X j

|yj |p (f (ξ) = yj ) = =

X

X

j

|yj |

i

|f (xi )|pi

X

pi =

i:f (xi )=yj

Consecin¸ta˘: E (αξ + β) = αE (ξ) + β .

X

j:f (xi )=yj

X i

X

j:f (xi )=yj

1=

X i

|f (xi )|pi

|f (xi )|pi < ∞.

17.4. VALORI MEDII ALE VARIABILELOR ALEATOARE DISCRETE

373

Teorema 2. Dac˘ a ξ, η sunt dou˘ a variabile aleatoare discrete atunci E (ξ + η) = E (ξ) + E (η) . Fie p (ξ = xi ) = pi , p (η = yj ) = qj , p (ξ = xi , η = yj ) = pij . Membrul stâng se scrie X

zp (ξ + η = z) =

z

X

z

=

X

xi

i

X

X X z

(xi + yj ) pij

i,j

=

pij =

xi +yj =z

z

X

X

X

(xi + yj ) pij =

xi +yj =z

1=

xi +yj =z

pij +

j

X j

= E (ξ) + E (η) .

yj

X

pij =

i

X

xi pi +

i

X

yj pj =

j

Defini¸tia 2. Variabilele aleatoare discrete ξ, η se numesc independente dac˘ a evenimentele ξ = xi , η = yj sunt independente oricare ar fi i, j. Analog se define¸ste independen¸ta în totalitate a mai multor variabile aleatoare. Teorema 3. Dac˘ a ξ, η sunt variabile aleatoare discrete independente ¸si cu valori medii finite atunci E (ξη) = E (ξ) E (η) . Intr-adev˘ ar E (ξη) =

X

xi yj p (ξ = xi , η = yj ) =

i,j

=

X i

xi pi

X

X

xi yj pi pj

i,j

yj pj = E (ξ) E (η) .

j

.

17.4.3

Momente, inegalit˘ a¸tile lui Markov ¸si Cebî¸sev

¡ ¢ Defini¸tia 3. Dac˘ a ξ este o variabil˘ a aleatoare num˘ arul νk (ξ) = E ξ k se nume¸ste ³ ´ momentul de ordin k al lui ξ , iar num˘ arul E |ξ|k se nume¸ste momentul absolut de ´ ³ ordin k al lui ξ . Num˘ arul µk (ξ) = E (ξ − E(ξ))k se nume¸ste momentul centrat de ³ ´ k ordin k al lui ξ , iar num˘ arul E |ξ − E(ξ)| se nume¸ste momentul absolut centrat de ¡ ¢ ordin k. In particular pentru k = 2 µ2 (ξ) = E (ξ − E(ξ))2 se nume¸ste dispersia sau p varia¸tia lui ξ ¸si se noteaz˘ a ¸si cu D2 (ξ) sau var (ξ). D (ξ) = var (ξ) se nume¸ste abaterea medie p˘atratic˘a a lui ξ . Not˘ am rela¸tiile ¡ ¢ var (ξ) = E ξ 2 − E (ξ)2

374

˘ TI ˘ MATEMATICA ˘ CAPITOLUL 17. PROBABILITA ¸ S¸I STATISTICA (µ2 = ν2 − ν12 ) var (αξ + β) = α2 var (ξ) .

Dac˘ aξ1 , ξ2 , ..., ξn sunt variabile aleatoare independente atunci var (ξ1 + ξ2 + ... + ξn ) = var (ξ1 ) + var (ξ2 ) + ... + var (ξn ) , aceasta rezultând din defini¸tia dispersiei ¸si multiplicativitatea valorilor medii ale variabilelor aleatoare independente. Dac˘ a ξ, η sunt dou˘ a variabile aleatoare pentru care exist˘ a momentele de ordinul doi E(ξ 2 ), E(η 2 ) atunci are loc inegalitatea lui Schwarz E(ξη) ≤ E(ξ 2 )E(η 2 ). In adev˘ ar avem pentru orice λ ∈ R E((ξ − λη)2 ) = E(ξ 2 ) − 2λE(ξη) + λ2 E(η 2 ) ≥ 0 ¸si deci realizantul trinomului este negativ. Dac˘ a not˘ am cu A evenimentul A = {|ξ|k ≥ ε},pentru ε > 0, atunci |ξ|k ≥ |ξ|k IA ≥ ³ ´ k ε IA ¸si deci E |ξ|k ≥ εk E (IA ) = εk p(A), adic˘ a are loc inegalitatea lui Markov ³ ´ ³ ´ E |ξ|k p |ξ|k ≥ ε ≤ . εk

Pentru k = 2 ¸si înlocuind ξ cu ξ − E (ξ) ob¸tinem inegalitatea lui Cebî¸sev var (ξ) . ε2 ³ ´ p p a p |ξ − E(ξ)| ≤ 3 var(ξ) ≥ 1− 19 = 89 . Aceasta înseamn˘ a Luând ε = 3 var(ξ) rezult˘ p (|ξ − E(ξ)| ≥ ε) ≤

c˘ a majoritatea abaterilor absolute ale lui ξ cu o probabilitate cuprins˘ a intre 8/9 ¸si 1 nu p dep˘ a¸sesc 3 var(ξ), ceea ce justific˘ a denumirea de dispersie. Termenul dispersie provine

din cuvântul latin dispersio cu semnifica¸tia de împr˘ a¸stiere,r˘ aspândire.  Dac˘ a ξ este o variabil˘ a aleatoare cu legea de reparti¸tie 

1 0

p q

 ¸si dac˘ a ξ1 , ξ2 , ..., ξn

sunt observa¸tii independente ale lui ξ, atunci ¶ µ ¶ µ ξ1 + ξ2 + · · · + ξn 1 ξ1 + ξ2 + · · ·ξn pq = p, var = 2 npq = , E n n n n

17.4. VALORI MEDII ALE VARIABILELOR ALEATOARE DISCRETE

375

¸si inegalitatea lui Cebî¸sev devine ¯ µ¯ ¶ ¯ ξ1 + ξ2 + · · ·ξn ¯ pq p ¯¯ − p¯¯ ≥ ε ≤ 2 , n nε

adic˘ a reg˘ asim legea numerelor mari sub forma lui Bernoulli. (De altfel, prima demon-

stra¸tie dat˘ a de noi legii numerelor mari, calchiaz˘ a demonstra¸tia inegalit˘ a¸tii lui Cebî¸sev în cazul particular al variabilei binomiale.)

¯ ©¯ ª S˘ a not˘ am pentru comoditate Sn = ξ1 + ξ2 + · · ·ξn , An = ¯ Snn − p¯ ≥ ε ¸si fie f (x)

o func¸tie continu˘ a pe [0, 1]. Vom putea scrie ¯ ¯ µ µ ¶¶ ¯ ¯ S n ¯≤ ¯E f − f (p) ¯ ¯ n ¯ ¯ ¶ µ¯ µ ¶ ¶ µ¯ µ ¶ ¯ ¯ ¯ ¯ S S n n − f (p)¯¯ · ICAn + E ¯¯f − f (p)¯¯ · IAn ≤ ≤ E ¯¯f n n

≤ sup |f (p + x) − f (p)| + 2F · E (IAn ) ≤ sup |f (p + x) − f (p)| + 2F · |x|<ε

|x|<ε

pq . nε2

Am notat cu F maximul modulului lui f pe [0, 1]. Cum f este uniform continu˘ a pe [0, 1], rezult˘ a c˘ a µ µ ¶¶ Sn unif orm p∈[0,1] E f → f (p). n a, înlocuind p cu x, c˘ a Cum p (Sn = k) = Cnk pk (1 − p)n−k rezult˘ µ ¶ n X k unif orm x∈[0,1] Bn (x) = f Cnk xk (1 − x)n−k → f (x). n k=0 Am ob¸tinut astfel o demonstra¸tie a teoremei lui Weierstrass de aproximare uniform˘ a a func¸tiilor continue pe un interval închis prin polinoame, construind efectiv aceste polinoame. Polinoamele Bn (x) se numesc polinoamele lui Bernstein, c˘ aruia îi apar¸tine demonstra¸tia de mai sus. Defini¸tia 4. Dac˘ a ξ este o variabil˘ a aleatoare, variabila aleatoare

se nume¸ste redusa variabilei ξ.

ξ − E(ξ) ξ − E(ξ) ς= p = D(ξ) var(ξ)

Valoarea medie a variabilei reduse este nul˘ a, iar dispersia sa este egal˘ a cu 1. Defini¸tia 5. Dac˘ a ξ, η sunt dou˘ a variabile aleatoare num˘ arul cov (ξ, η) = E ((ξ − E(ξ)) (η − E(η)))

˘ TI ˘ MATEMATICA ˘ CAPITOLUL 17. PROBABILITA ¸ S¸I STATISTICA

376

se nume¸ste covaria¸tia celor dou˘a variabile aleatoare; num˘ arul cor (ξ, η) =

cov (ξ, η) (var (ξ) var (η))1/2

se nume¸ste corela¸tia celor dou˘a variabile aleatoare. Totdeauna |cor (ξ, η)| ≤ 1. Dac˘ a cor (ξ, η) = 0 variabilele ξ, η se numesc necorelate. Dac˘ a variabilele sunt independente ele sunt necorelate; invers nu este adev˘ arat totdeauna.

17.4.4

Func¸tii generatoare

In cazul variabilelor aleatoare cu valori numere naturale, momentele se pot calcula u¸sor prin intermediul func¸tiei generatoare. Defini¸tia 6. Pentru variabila aleatoare   0 1 ... k ...  ξ= p0 p1 ... pk ...

se nume¸ste func¸tie generatoare func¸tia olomorf˘ a p(z) definit˘ a în cercul unitate |z| ≤ 1 prin p(z) =

X

pk z k = E (zξ) .

k≥0

Teorema 4. Dac˘ a ξ1 , ξ2 , ..., ξn sunt variabile aleatoare independente cu func¸tiile generatoare p1 (z), p2 (z), ..., pn (z) atunci variabila aleatoare ξ = ξ1 + ξ2 + ... + ξn are func¸tia generatoare p(z) = p1 (z)p2 (z)...pn (z) . Intr-adev˘ ar, ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ p(z) = E z ξ1 +ξ2 +...+ξn = E z ξ1 E z ξ2 ...E z ξn = p1 (z)p2 (z)...pn (z).

Vom observa c˘ a dac˘ a variabila ξ are func¸tia generatoare p(z) atunci au loc rela¸tiile:

E (ξ) =

X

kpk = p0(1),

k

In particular

¡ ¢ E ξ (l) = E (ξ(ξ − 1)...(ξ − l + 1)) = p(l) (1). ¡ ¢ E ξ 2 = E (ξ(ξ − 1) + ξ) = p00(1) + p0(1)

17.4. VALORI MEDII ALE VARIABILELOR ALEATOARE DISCRETE

377

¸si deci ¡ ¢ var (ξ) = E ξ 2 − E (ξ)2 = p00(1) + p0(1) − p0(1)2 .

Exemplul 3. Fie bn  variabiladin schema lui Bernoulli; avem bn = ω1 + ω2 + ... + ωn 1 0  au func¸tiile generatoare pi (z) = q + pz ; deci bn are unde variabilele ωi =  p q asim astfel pn,k = Cnk pk qn−k . Avem E (bn ) = func¸tia generatoare p(z) = (q + pz)n . Reg˘ p0(1) = np(q + pz)n−1 |z=1 = np . Cum p00(1) = n(n − 1)p2 rezult˘ a var (bn ) = n(n −

1)p2 + np − n2 p2 = npq . Se verific˘ a u¸sor c˘ a suma a dou˘ a variabile de tip Bernoulli cu aceea¸si probabilitate este tot o variabil˘ a Bernoulli. Exemplul 4. Fie o experien¸ta aleatoare cu dou˘ a rezultate: succesul cu probabilitatea p ¸si insuccesul cu probabilitatea q = 1 − p. Fie 1 + ξ num˘ arul de repet˘ ari al experien¸tei pân˘ a apare succesul. ξ este o variabil˘ a aleatoare cu valorile 0, 1, 2, ....Avem p (ξ = k) = q k p . Deci p(z) = E (zξ) =

p ,E 1−qz

(ξ) = pq , var (ξ) =

q . p2

Dac˘ a not˘ am cu n+b−n num˘ arul de repet˘ ari ale experien¸tei pân˘ a apar n succese putem scrie b−n = ξ1 + ξ2 + ... + ξn unde ξ1 , ξ2 , ..., ξn sunt variabile de tipul celor de mai înainte. ³ ´n p ¸si E (b−n ) = n pq , var (b−n ) = n pq2 . Deci func¸tia generatoare a lui b−n este p(z) = 1−qz

Pentru a calcula p (b−n = k) aplic˘ am formula seriei binomiale n

−n

p(z) = p (1 − qz)

n

=p

∞ X k=0

k C−n

k

k

(−q) z =

∞ X k=0

k C−n pn (−q)k z k .

Deci k n−1 p (b−n = k) = C−n pn (−q)k = Ck+n−1 pn qk .

a dup˘ a schema binomial˘a negativ˘a. Urmând MATCAD Se spune c˘ a b−n este repartizat˘ vom scrie b−n ∈ nbinom(n, p). In MATHCAD densitatea unei asemenea variabile se noteaz˘ a prin dnbinom(k, n, p), func¸tia cumulativ˘ a prin pnbinom(k, n, p) ¸s func¸tia invers˘ a cumulativ˘ a prin qnbinom(P, n, p). Exemplul 5. S˘ a consider˘ am o urn˘ a cu a bile albe ¸si b bile negre. Din urn˘ a se fac n < a + b extrageri succesive f˘ ar˘ a a pune bila extras˘ a înapoi. Fie ξ num˘ arul de bile albe extrase. Aceasta este o variabil˘ a aleatoare cu valorile posibile între max(0, n − b) ¸si min(n, a). Avem p (ξ = k) = pnk =

Cak Cbn−k n Ca+b

. Intr-adev˘ ar, num˘ arul total de evenimente

elementare este egal cu num˘ arul combin˘ arilor care se pot face cu cele a+b bile luate câte n; num˘ arul cazurilor favorabile este dat de num˘ arul grupelor care se pot forma astfel

˘ TI ˘ MATEMATICA ˘ CAPITOLUL 17. PROBABILITA ¸ S¸I STATISTICA

378

încât fiecare grup˘ a s˘ a con¸tin˘ a k bile albe ¸si n − k bile negre: din cele a bile albe se pot forma Cak grupe cu câte k bile albe, cu cele b bile negre se pot forma Cbn−k grupe cu câte

n − k bile negre, deci num˘ arul cazurilor favorabile este Cak Cbn−k . Observând c˘ a pnk =

a(a − 1)...(a − k + 1) n(n − 1)...(n − k + 1) pn0 k! (b − n + 1)(b − n + 2)...(b − n + k)

rezult˘ a c˘ a func¸tia generatoare este p(z) = pn0

n X

Cnk

k=0

Avem E (ξ) =

na , var (ξ) a+b

=

a(a − 1)...(a − k + 1) zk . (b − n + 1)(b − n + 2)...(b − n + k)

nab(a+b−n) (a+b)2 (a+b−1)

.

Exemplul 6. Un lot de 400 de piese, con¸tine 8% piese cu defec¸tiuni. S˘ a se identifice legea de reparti¸tie a num˘ arului ξ de piese cu defec¸tiuni dintr-un e¸santion de 10 piese din lot. Lotul de c = 400 de piese con¸tine a piese defecte ¸si b piese bune astfel încât c = a + b, ac = 0, 08, bc = 0, 92 , deci a = 32, b = 368. Un e¸santion de n = 10 piese con¸tine k piese defecte ¸si n − k = 10 − k piese bune. Cu cele b piese bune se pot ob¸tine 10−k Cbn−k = C368 e¸santioane de n − k piese bune, cu cele a = 32 piese defecte se pot ob¸tine

10−k k k C368 Cak = C32 e¸santioane de k piese defecte; deci exist˘ a Cak Cbn−k = C32 e¸santioane de

n = 10 piese din care k sunt defecte. Rezult˘ a c˘ a probabilitatea ca din e¸santionul de n = 10 piese k s˘ a fie defecte este pk = ξ este E(ξ) =

10.32 400

=

4 5

Cak Cbn−k n Ca+b

=

k C 10−k C32 368 10 C400

, iar dispersia este var(ξ) =

Este de observat c˘ a dac˘ a a + b = r, p = ar , q =

b r

. Valoarea medie a variabilei

10.32.368.390 4002 .399

.

atunci lim pnk = Cnk pk q n−k , rezultat r→∞

firesc. Exemplul 7. Intr-un lac sunt N pe¸sti. Se pescuiesc a pe¸sti, se marcheaz˘ a ace¸sti pe¸sti ¸si se arunc˘ a în lac. In lac sunt acum b = N − a pe¸sti nemarca¸ti. Se pescuiesc din nou n pe¸sti. Dup˘ a exemplul 5 probabilitatea ca printre cei n pe¸sti s˘ a se g˘ aseasc˘ a k pe¸sti marca¸ti este pN,k

Cak CNn−k −a = . n CN

Dac˘ a dup˘ a pescuirea celor n pe¸sti s-au pescuit într-adev˘ ar k pe¸sti marca¸ti, avem posibilitatea s˘ a apreciem num˘ arul num˘ arul total de pe¸sti din lac N pentru c˘ a pescuirea celor

17.4. VALORI MEDII ALE VARIABILELOR ALEATOARE DISCRETE

379

k pe¸sti marca¸ti este cea mai verosimil˘ a atunci când probabilitatea pN,k este maxim˘ a în raport cu variabila N, adic˘ a pN−1,k ≤ pN,k ≤ pN+1,k . Scriind aceasta se g˘ ase¸ste c˘ a N este valoarea întreag˘ a cea mai apropiat˘ a de

17.4.5

na . k

Exerci¸tii ¸si probleme

1. La o tombol˘ a se vând 200 bilete din care unul cu un câ¸stig de 50², dou˘ a cu un câ¸stig de 25², 10 cu un câ¸stig de 1². S˘ a se scrie legea de reparti¸tie a variabilei aleatoare ξ reprezentând câ¸stigul la cump˘ ararea unui bilet. R. ξ 0 p

187 200

1

25

50

10 200

2 200

1 200

a¸tile p(ξ = 2. O variabil˘ a aleatoare ξ ia valorile xk = k, k = 1, 2, ..., cu probabilit˘ k) = 2−k . S˘ a se scrie expresia func¸tiei de reparti¸tie ¸si s˘ a se calculeze probabilitatea p(3 ≤ ξ ≤ 6). R. Fie n − 1 < x ≤ n, n ∈ N. Evenimentul (ξ < x) înseamn˘ a c˘ a ξ ia valorile

1, 2, ..., n − 1 cu probabilit˘ a¸tile corespunz˘ atoare 2−1 , 2−2 , ..., 2−n+1 . Func¸tia de reparti¸tie va fi F (x) =

   0   

pentru x ≤ 1

 n−1  P −k   2 pentru n − 1 < x ≤ n  k=1

Evenimentul (3 ≤ ξ ≤ 6) însemn˘ a valorile 3, 4, 5, 6 cu probabilit˘ a¸tile 2−3 , 2−4 , 2−5 , 2−6 .

Deci p(3 ≤ ξ ≤ 6) = 2−3 + 2−4 + 2−5 + 2−6 =

15 . 64

3. Variabila ξ are legea de reparti¸tie ξ −3 −2 0

2

3

5

p 0.1 0.2 0.3 0.1 0.1 0.2 S˘ a se scrie legea de reparti¸tie a variabilei η = ξ 2 . R. η 0

4

9

25

p 0.3 0.2 + 0.1 = 0.3 0.1 + 0.1 = 0.2 0.2

380

˘ TI ˘ MATEMATICA ˘ CAPITOLUL 17. PROBABILITA ¸ S¸I STATISTICA

4. Variabilele aleatoare ξ, η au legile de reparti¸tie ξ −2 −1 0 p 0.3 0.2 0.5 η 0

1

2

p 0.4 0.5 0.1 S˘ a se scrie legile de reparti¸tie ale variabilelor ξ + η ¸si ξη; în ultimul caz se presupune c˘ a variabilele ξ, η sunt independente. R. ξ + η −2 p

−1

0

1

2

0.12 0.23 0.33 0.27 0.05 ξη −4 p

−2

−1

0

0.03 0.17 0.10 0.70

5. S˘ a se calculeze valoarea medie a câ¸stigului la tombola din problema 1. 10 2 1 + 1. 200 + 25. 200 + 50. 200 = R. E(ξ) = 0. 187 200

11 ² 20

6. S˘ a se calculeze valoarea medie a num˘ arului de puncte realizate la aruncarea a dou˘ a zaruri. R. Dac˘ a ξ, η sunt num˘ arul de puncte de pe primul ¸si al doilea zar avem E(ξ + η) = E(ξ) + E(η) = 2 16 (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = 7. 7. S˘ a se calculeze dispersia variabile cu legea de reparti¸tie ξ 2

3

5

p 0.1 0.6 0.3 R. Avem E(ξ) = 2.0.1 + 3.0.6 + 5.0.3 = 3.5, E(ξ 2 ) = 4.0.1 + 9.0.6 + 25.0.3 = 13.3, var(ξ) = E(ξ 2 ) − E(ξ)2 = 13.3 − 3.52 = 1.05. ¸ tiind c˘ a p(ξ = x1 ) = 0.2, E(ξ) = 3.8, 8. O variabil˘ a aleatoare ia valorile x1 < x2 . S var(ξ) = 0.16 s˘ a se scrie legea de reparti¸tie.

17.5. VARIABILE ALEATOARE OARECARE

381

R. Se rezolv˘ a sistemul x1 + 4x2 = 19, x21 + 4x22 = 73 cu solu¸tia x1 = 3, x2 = 4, p1 = 0.2, p2 = 0.8.

17.5

Variabile aleatoare oarecare

17.5.1

Valori medii ale variabilelor aleatoare oarecare

Fie ξ o variabil˘ a aleatoare oarecare cu func¸tia de reparti¡ie Fξ(x) ¸si s˘ a încerc˘ am s˘ a definim valoarea medie a variabilei aleatoare f (ξ) pe baza unui ¸sir de valori rezultate în urma m˘ asur˘ atorilor efectuate asupra variabilei ξ. Pentru început s˘ a presupunem c˘ a variabila aleatoare este m˘ arginit˘ a, adic˘ a presupunem c˘ a Fξ(x) = 0 pentru x < a ¸si Fξ(x) = 1 pentru x = b, altfel spus, valorile m˘ asurate ale lui ξ se afl˘ a în intervalul [a, b]. Pentru a ob¸tine o aproximare a valorii medii împ˘ ar¸tim intervalul [a, b] în N p˘ ar¸ti prin punctele xi , i = 0, 1, 2, ..., N astfel încât a = x0 < x1 < ... < xN = b. Not˘ am prin x0i un punct oarecare din subintervalul [xi−1 , xi ], i = 1, 2, ..., N. Ponderea valorilor lui ξ din intervalul [xi−1 , xi ] este Fξ(xi ) − Fξ(xi−1 ).. Deci, o valoare aproximativ˘ a a valorii medii N P f (x0i ) (Fξ(xi ) − Fξ(xi−1 )). La limit˘ a, când norma parti¸tiei tinde c˘ atre zero, suma este i=1

tinde c˘ atre a¸sa numita integral˘ a Stieltjes

Rb

f (x)dFξ(x) .

a

Teoria integralei Stieltjes a unei func¸tii continue aproape coincide cu teoria integralei Riemann. Integrala Stieltjes este folosit˘ a în modelarea multor no¸tiuni fizice. Vom prezenta pe scurt defini¸tia ¸si unele propriet˘ a¸ti ale integralei Stieltjes. Fie F (x) o func¸tie cresc˘ atoare pe intervalul [a, b] ¸si f (x) o func¸tie continu˘ a pe intervalul [a, b]. Oric˘ arei diviziuni ∆ : a = x0 < x1 < ... < xN = b a intervalului [a, b] ¸si oric˘ arei mul¸timi asociate ξ = {ξ1 , ξ2 , ..., ξN } cu ξi ∈ [xi−1 , xi ] îi asociem suma Stieltjes S(f ; ∆, ξ) =

N X i=1

f (ξi ) (F (xi ) − F (xi−1 )) .

Spunem c˘ a func¸tia f (x) este integrabil˘ a Stieltjes în raport cu F (x) pe [a, b] dac˘ a atre zero ¸si pentru orice ¸sir de diviziuni ∆n cu normele |∆n | =max |xi − xi−1 | tinzând c˘ i

˘ TI ˘ MATEMATICA ˘ CAPITOLUL 17. PROBABILITA ¸ S¸I STATISTICA

382

pentru orice ¸sir de mul¸timi ξn asociate ¸sirul sumelor Stieltjes S(f ; ∆n , ξn ) converge c˘ atre o aceea¸si limit˘ a independent˘ a de ¸sirul de diviziuni ¸si mul¸timi asociate. Aceast˘ a limit˘ a Rb se noteaz˘ a cu f (x)dF (x). Se poate ar˘ ata c˘ a dac˘ a func¸tia f (x) este continu˘ a, atunci a

integrala Stieltjes exist˘ a.

Au loc propriet˘ a¸ti asem˘ an˘ atoare integralei Riemann: 1) Dac˘ a f1 (x), f2 (x) sunt integrabile Stieltjes atunci ¸si αf1 (x)+βf2 (x) este integrabil˘ a Stieltjes ¸si Zb

(αf1 (x) + βf2 (x)dF (x) = α

a

Zb

f1 (x)dF (x) + β

a

2) Dac˘ a a < c < b atunci

Rb

f (x)dF (x) =

a

5)

f2 (x)dF (x).

a

Rc

f (x)dF (x) +

a

Rb

f (x)dF (x).

c

Rb 3) Dac˘ a f (x) ≥ 0 pe [a, b] atunci f (x)dF (x) ≥ 0. a ¯ ¯b ¯ ¯R 4) ¯¯ f (x)dF (x)¯¯ ≤ max |f (x)|.(F (b) − F (a)). a Rb

Zb

x∈[a,b]

f (x)d(F1 (x) + F2 (x)) =

a

Rb

f (x)dF1 (x) +

a

Rb

f (x)dF2 (x).

a

6) Dac˘ a F (x) = x atunci integrala Stieltjes a lui f (x) coincide cu integrala Riemann. 7) Dac˘ a func¸tia F (x) este cresc˘ atoare pe [a, b] ¸si derivabil˘ a F 0 (x) = p(x) atunci Rb Rb f (x)dF (x) coincide cu integrala Riemann f (x)p(x)dx, adic˘ a pur ¸si simplu se îna

a

locuie¸ste dF (x) cu expresia sa p(x)dx. 8) Dac˘ a α < β ¸si

atunci

Zb

  α pentru a ≤ x ≤ c F (x) =  β pentru c < x ≤ b

f (x)dF (x) = (β − α)f (c) = (F (c + 0) − F (c − 0))f (c).

a

Cum F (x) = α + (β − α)h(x − c), h fiind func¸tia treapt˘ a, în distribu¸tii putem scrie

F 0 (x) = (β − α)δ(x − c) ¸si dac˘ a ¸tinem cont de proprietatea de filtrare a func¸tiei δ putem

scrie Zb a

f (x)d(α + (β − α)h(x − c)) =

Zb a

f (x)(β − α)δ(x − c)dx = (β − α)f (c).

17.5. VARIABILE ALEATOARE OARECARE

383

9) Dac˘ a func¸tia F (x) este o func¸tie cresc˘ atoare, constant˘ a pe por¸tiuni cu salturile F (ci + 0) − F (ci − 0) în punctele ci , i = 1, 2, ..., n atunci Zb

f (x)dF (x) =

n X i=1

a

f (ci )(F (ci + 0) − F (ci − 0).

10) Dac˘ a func¸tia F (x) cresc˘ atoare pe [a, b] este derivabil˘ a pe por¸tiuni cu derivata p(x) cu salturile F (ci + 0) − F (ci − 0) în punctele ci , i = 1, 2, ..., n atunci Zb

f (x)dF (x) =

a

Zb

f (x)p(x)dx +

n X i=1

a

f (ci )(F (ci + 0) − F (ci − 0),

adic˘ a pur ¸si simplu înlocuim dF (x) prin expresia sa în distribu¸tii n X (F (ci + 0) − F (ci − 0)δ(x − ci ). dF (x) = p(x)dx + i=1

Defini¸tia 1. Dac˘ a ξ este o variabil˘ a aleatoare oarecare cu func¸tia de reparti¸tie Fξ(x) , se nume¸ste valoare medie sau speran¸t˘a matematic˘a a variabilei aleatoare f (ξ) integrala Stieltjes (improprie)

E (f (ξ)) =

Z∞

f (x)dFξ(x) =

−∞

lim a→∞

Zb

f (x)dFξ(x),

a

b→∞ cu condi¸tia ca aceasta s˘ a existe. In cazul particular, în care func¸tia f (x) este o putere natural˘ a a lui x sau a modulului ³ ´ ¡ k¢ a exist˘ a, constituie momentele respectiv momentele lui x, m˘ arimile E ξ , E |ξ|k , dac˘ ´ ³ ¡ ¢ k k absolute de ordin k. M˘ arimile E (ξ − E(ξ)) , E |ξ − M(ξ)| se numesc momentele centrale respectiv momentele centrale absolute de ordinul k. In particular var(ξ) =

E ((ξ − E(ξ))2 ) este dispersia variabilei aleatoare ξ. Propriet˘ a¸tile valorii medii ¸si ale momentelor stabilite în cazul variabilelor aleatoare discrete r˘ amân valabile ¸si în cazul variabilelor aleatoare oarecare. In particular are loc inegalitatea lui Cebî¸sev: p (|ξ − E(ξ)| ≥ ε) ≤ pentru orice ε > 0 .

var (ξ) ε2

384

˘ TI ˘ MATEMATICA ˘ CAPITOLUL 17. PROBABILITA ¸ S¸I STATISTICA

Defini¸tia 2. O variabil˘ a aleatoare ξ se nume¸ste cu reparti¸tie absolut continu˘a dac˘ a exist˘ a o func¸tie integrabil˘ a pξ(x), −∞ < x < ∞ astfel încât în orice punct x Fξ(x) = Rx pξ(t)dt . Func¸tia pξ(x), −∞ < x < ∞ se nume¸ste densitatea de reparti¸tie a variabilei

−∞

ξ sau densitatea func¸tiei de reparti¸tie Fξ(x) .

In cazul unei variabile aleatoare ξ cu reparti¸tie absolut continu˘ a p (ξ = x) = 0 ¸si deci

p (x ≤ ξ ≤ y) = p (x < ξ < y) = p (x ≤ ξ < y) = Zy = p (x < ξ ≤ y) = pξ(t)dt. x

De aici semnifica¸tia densit˘ a¸tii de reparti¸tie p (x < ξ < x + dx) = pξ (x)dx + ϑ (dx) ,

dx → 0.

Exemplul 1. O variabil˘ a aleatoare ξ are o reparti¸tie uniform˘a în intervalul (a, b) (uneori urmând MATHCAD vom scrie ξ ∈ unif (a, b)) dac˘ a are o densitate de reparti¸tie   1 , x ∈ (a, b) b−a pξ(x) = dunif(x, a, b) = .  0, x ∈ / (a, b)

In MATHCAD densitatea de reparti¸tie a acestei variabile este dunif (x, a, b), func¸tia

cumulativ˘ a este punif (x, a, b) iar inversa cumulativ˘ a este qunif (P, a, b). Exemplul 2. O variabil˘ a aleatoare ξ are o reparti¸tie normal˘ a norm(a, σ) (scriem urmând MATHCAD ξ ∈ norm(a, σ)) dac˘ a are densitate de reparti¸tie de forma (x−a)2 1 pξ(x) = dnorm(x, a, σ) = √ e− 2σ2 , x ∈ R. 2πσ 2

Graficul unei asemenea densit˘ a¸ti de reparti¸tie este de forma unui clopot simetric în raport cu dreapta x = a. Am v˘ azut c˘ a pentru n mare p(bn ) tinde c˘ atre un asmenea grafic. Func¸tia de reparti¸tie a unei variabile aleatoare ξ ∈ norm(a, σ) este notat˘ a în MATHCAD prin dnorm(x, a, σ), func¸tia cumulativ˘ a prin pnorm(x, a, σ), iar inversa cumulativ˘ a prin qnorm(P, a, σ). Exemplu 3. Dac˘ a ξ este o variabil˘ a aleatoare cu distribu¸tie continu˘ a cu densitatea de reparti¸tie pξ(x) = 0 pentru x < 0, func¸tia λξ(x) =

pξ(x) ,x 1−Fξ(x)

> 0 se nume¸ste intensitatea

variabilei aleatoare ξ . Denumirea este justificat˘ a de urm˘ atoarea interpretare:

17.5. VARIABILE ALEATOARE OARECARE

385

Fie ξ timpul de func¸tionare f˘ ar˘ a defec¸tiuni al unui aparat. ξ este o variabil˘ a aleatoare cu o densitate de reparti¸tie pξ (x) . S˘ a calcul˘ am probabilitatea p(x, dx) a faptului c˘ a aparatul se defecteaz˘ a în intervalul de timp (x, x + dx) cu condi¸tia ca el s˘ a fi lucrat f˘ ar˘ a defec¸tiuni pân˘ a la momentul x. Avem p(x, dx) = p(x < ξ < x + dx|ξ ≥ x) = Deci avem

Fξ (x + dx) − Fξ (x) . 1 − Fξ (x)

1 Fξ (x + dx) − Fξ (x) pξ (x) p(x, dx) = = = λξ (x). dx 1 − Fξ (x) dx 1 − Fξ (x)

a probabilitatea ca ξ s˘ a ia valori în intervalul elementar (x, x+ Rezult˘ a c˘ a λξ (x) reprezint˘ dx) cu condi¸tia ca ξ > x. In teoria fiabilit˘ a¸tii func¸tia λξ (x) se nume¸ste intensitate sau rat˘a a defect˘arilor aparatului. Cunoa¸sterea func¸tiei λξ (x) implic˘ a cunoa¸sterea func¸tiei de reparti¸tie Fξ (x) din ecua¸tia diferen¸tial˘ a F 0ξ (x) = λξ (x), 1 − Fξ (x)

pe care integr˘ and-o avem ¯ ¯ Zt Zt ¯t F 0ξ (x) dx = − ln (1 − Fξ (x)) ¯¯0 = − ln (1 − Fξ (t)) = λξ (x)dx , 1 − Fξ (x) ¯ 0

0

de unde

Rt

Fξ (t) = 1 − e0

λξ (x)dx

, t ≥ 0.

Experien¸ta arat˘ a c˘ a func¸tia λξ (x) are graficul la dreapta lui Oy de forma unui lighean ca în figura de mai jos. Prima parte corespunde perioadei de rodaj, urm˘ atoarea parte - perioadei de lucru normal ¸si ultima parte - perioadei de îmb˘ atr˘ anire. In perioada de lucru normal se poate presupune c˘ a func¸tia λξ(x) = λ(= const.) Atunci func¸tia de reparti¸tie este

  1 − e−λx , x > 0 Fξ(x) =  0, x ≤ 0

numit˘ a reparti¸tie exponen¸tial˘a de parametru λ . Urmând MATHCAD vom scrie ξ ∈ exp(λ). Densitatea reparti¸tiei este

  λe−λx , x > 0 pξ(x) = dexp(x, λ) = .  0, x ≤ 0

386

˘ TI ˘ MATEMATICA ˘ CAPITOLUL 17. PROBABILITA ¸ S¸I STATISTICA

Fig. 17.3: In MATHCAD aceast˘ a densitate se noteaz˘ a prin dexp(x, λ), func¸tia cumulativ˘ a prin pexp(x, λ), iar func¸tia invers˘ a cumulativ˘ a prin qexp(P, λ). Distribu¸tia exponen¸tial˘ a se caracterizeaz˘ a prin faptul c˘ a pentru x>0 ¸si t>0 p (ξ > x + t|ξ > x) =

e−λ(x+t) p(ξ > x + t) = −λx = e−λt , p(ξ > x) e

adic˘ a restul timpului de lucru f˘ ar˘ a defec¸tiuni nu depinde de cât a lucrat f˘ ar˘ a defec¸tiuni pân˘ a atunci. Dac˘ a ξ este o variabil˘ a aleatoare cu reparti¸tie continu˘ a cu densitatea pξ (x) , atunci R∞ xpξ (x)dx . valoarea medie a sa (sau speran¸ta matematic˘ a) este m˘ arimea M (ξ) = −∞

a¸tii de reparti¸tie Defini¸tia 3. Abscisa Mo (ξ) a punctului de maxim global al densit˘

pξ(x) a variabilei aleatoare ξ se nume¸ste valoarea modal˘a sau moda variabilei aleatoare. Dac˘ a densitatea de reparti¸tie prezint˘ a mai multe maxime locale, se zice c˘ a variabila aleatoare este plurimodal˘a . Defini¸tia 4. Num˘ arul Me (ξ) pentru care p (ξ ≥ Me (ξ)) ≥

1 ≤ p (ξ ≤ Me (ξ)) , 2

sau prin intermediul func¸tiei de reparti¸tie Fξ (Me (ξ) + 0) ≥ se nume¸ste mediana variabilei aleatoare ξ .

1 ≥ Fξ (Me (ξ)) 2

17.5. VARIABILE ALEATOARE OARECARE

387

In cazul variabilelor aleatoare cu reparti¸tie continu˘ a mediana Me (ξ) este unic deterRx R∞ pξ (t)dt = pξ (t)dt = 12 ¸si este de fapt abscisa verticalei care minat˘ a de egalitatea −∞

x

împarte în p˘ ar¸ti egale aria limitat˘ a de graficul densit˘ a¸tii de reparti¸tie ¸si de axa Ox.

Defini¸tia 5. Dac˘ a ξ este o variabil˘ a aleatoare cu densitatea de reparti¸tie pξ(x) , Rx1 Rx2 R∞ pξ(x)dx = pξ(x)dx = ... = pξ(x)dx = n1 numerele x1 , x2 , ..., xn−1 pentru care −∞

x1

xn−1

se numesc cuantile de ordin n. In cazul n = 4 se numesc cuartile, în cazul n = 10 se numesc decile, iar în cazul n = 100 se numesc procentile. Defini¸tia 6. Prin cuantil˘ a de nivel P a variabile aleatoare cu densitatea de reparti¸tie x RP pξ(x) vom în¸telege abscisa xP determinat˘ pξ(x)dx = P, adic˘ a xP este a de ecua¸tia −∞

valoarea func¸tiei inverse cumulative pentru P.

Evident, cuantila x0.5 coincide cu mediana variabilei aleatoare. Observa¸tie. Dac˘ a ξ este o variabil˘ a aleatoare discret˘ a cu reparti¸tia   x1 x2 ... xk ...   p1 p2 ... pk ...

o putem considera ca reparti¸tie cu densitate concentrat˘ a în punctele x1 , x2 , ..., xk , ... . Intr-adev˘ ar func¸tia sa de reparti¸tie se poate scrie sub forma Fξ(x) =

X

pk h (x − xk )

X

pk δ(x − xk ).

k

densitatea de reparti¸tie fiind de fapt pξ(x) =

k

Func¸tia treapt˘ a a lui Heaviside h (x − xk ) apare ca func¸tia de reparti¸tie a unei variabile aleatoare care ia valoarea xk cu probabilitatea 1.

17.5.2

Func¸tia caracteristic˘ a.

¡ ¢ Dac˘ a f (x) = eitx valoarea medie E eitξ exist˘ a totdeauna.

Defini¸tia 7. Dac˘ a ξ este o variabil˘ a aleatoare oarecare cu func¸tia de reparti¸tie Fξ(x), func¸tia complex˘ a de variabila real˘ at ¡ ¢ ϕξ(t) = E eitξ =

Z∞

−∞

eitx dFξ(x),

388

˘ TI ˘ MATEMATICA ˘ CAPITOLUL 17. PROBABILITA ¸ S¸I STATISTICA

se nume¸ste func¸tia caracteristic˘a a variabilei aleatoare ξ . Not˘ am c˘ a func¸tia caracteristic˘ a a fost introdus˘ a de c˘ atre Cauchy sub forma ψξ(θ) = ¡ θξ ¢ E e , θ ∈ R. Aceasta se nume¸ste uneori func¸tia generatoare a momentelor pentru c˘ a are loc rela¸tia

dk ψξ(0) dθk

= E(ξ k ) = νk (ξ). Sub forma din defini¸tia noastr˘ a func¸tia

caracteristic˘ a a fost introdus˘ a de c˘ atre Paul Levy. A¸sa cum arat˘ a denumirea, se poate ar˘ ata c˘ a func¸tia caracteristic˘ a determin˘ a complet reparti¸tia variabilei aleatoare. In cazul variabilei ξ cu densitatea pξ (x) func¸tia caracteristic˘ a este ϕξ(t) =

Z∞

eitx pξ(x)dx,

−∞

adic˘ a este ϕξ(t) =

√ 2πFt+ [pξ(x)]

diferind de transformata Fourier direct˘ a a densit˘ a¸tii numai prin factorul

√ 2π. Evi-

dent, func¸tia caracteristic˘ a determin˘ a reparti¸tia cum rezult˘ a din formula de inversiune a transformatei Fourier 1 pξ(x) = 2π

Z∞

e−itx ϕξ(t)dt.

−∞

Pentru variabila aleatoare cu legea de reparti¸tie   x x ... xk ...   1 2 p1 p2 ... pk ...

func¸tia caracteristic˘ a este

ϕ(t) =

∞ X

pk eitxk .

k=1

Au loc urm˘ atoarele teoreme:

Teorema 1. Dac˘ a variabila aleatoare ξ admite moment de ordinul k atunci exist˘ a ¡ ¢ derivata de ordin k a func¸tiei caracteristice ϕξ (k) (t) ¸si ϕξ (k) (t) = ik M ξ k eitξ ; în particular ϕξ (k) (0) = ik M (ξ r ) .

Teorema rezult˘ a din propriet˘ a¸tile transformatei Fourier. Sunt importante rela¸tiile M (ξ) = −iϕ0ξ (0)

17.5. VARIABILE ALEATOARE OARECARE

389

¡ ¢ M ξ 2 = −ϕ00ξ (0)

var (ξ) = ϕ0ξ (0)2 − ϕ00ξ (0) . Teorema 2. Dac˘ a ξ1 , ξ2 , ..., ξn sunt variabile aleatoare independente, atunci ϕξ1 +ξ2 +...+ξn (t) = ϕξ1 (t) ϕξ2 (t) ...ϕξn (t) . Rela¸tia rezult˘ a din defini¸tia func¸tiei caracteristice.

17.5.3

Teoreme-limit˘ a centrale.

Folosind func¸tia caracteristic˘ a ob¸tinem demonstra¸tii mai simple pentru teorema limit˘ a a lui Moivre-Laplace ¸si teorema limit˘ a integral˘ a a lui Laplace. In adev˘ ar dac˘ aξ este o variabil˘ a aleatoare cu distribu¸tia binomial˘ a  0 1 2 .... k .... n     qn C1n pq n−1 C2n p2 q n−2 .... Ckn pk q n−k .... pn atunci func¸tia sa caracteristic˘ a este ϕξ(t) =

n X k=0



  , 

¡ ¢n Cnk eitk pk q n−k = eit p + q .

Dac˘ a consider˘ am varabila redus˘ a ς=

ξ − M(ξ) ξ − np ξ − np = √ = D(ξ) npq D

func¸tia sa caracteristic˘ a va fi −i tnp D

ϕς(t) = e

³ t ´n iD e p+q .

Logaritmând ¸si ¸tinând cont c˘ a q = 1 − p avem ln ϕς (t) = −

h ³ t ´i itnp + n ln 1 + p ei D − 1 . D

Dezvoltând paranteza rotund˘ a ¸tinând cont c˘ a Dt =

√t npq

→ 0 pentru n → ∞, avem

· µ ¶¸ itnp it 1 t2 + n ln 1 + p − + ... . ln ϕς (t) = − D D 2 D2

390

˘ TI ˘ MATEMATICA ˘ CAPITOLUL 17. PROBABILITA ¸ S¸I STATISTICA

Cum ln(1 + ε) = ε −

ε2 2

+

ε3 3

− ... g˘ asim

· ¸ ¢ ¡ −3 ¢ itnp itp 1 t2 ¡ 2 ln ϕς (t) = − +n − p−p +ϑ D = D D 2 D2 ¡ −3 ¢ ¡ −3 ¢ 1 2 1 np (1 − p) + ϑ nD + ϑ nD t = − . = − t2 2 D2 2

Rezult˘ a c˘ a la limit˘ a pentru n → ∞ variabila redus˘ a ς are func¸tia caracteristic˘ a h i 2 2 2 t t x ϕς(t) = e− 2 ¸si deci are densitatea de reparti¸tie fς(x) = √12π Fx− e− 2 = √12π e− 2 ,

adic˘ a am reg˘ asit teorema limit˘ a local˘ a. Din semnifica¸tia densit˘ a¸tii de reparti¸tie rezult˘ a teorema limit˘ a integral˘ a. Demonstra¸tia de mai sus ne arat˘ a c˘ a teorema limit˘ a integral˘ a poate fi generalizat˘ a sub forma a¸sa numitei teoreme limit˘a central˘a. In adev˘ ar, fie ξn un ¸sir infinit de variabile aleatoare independente cu aceea¸si reparti¸tie cu valoarea medie M ¸si cu dispersia D2 . Variabilele aleatoare ξ0n = ξn − M au valoarea medie nul˘ a ¸si aceea¸si dispersie D2 . Nu cunoa¸stem nimic altceva despre reparti¸tia acestor variabile. Fie ϕ(t) func¸tia caracteristic˘ a a acestor variabile aleatoare. Pentru ea cunoa¸stem prima ¸si a doua derivat˘ a în 0: ϕ0(0) = 0, ϕ00(0) = −D2 ¸si deci putem scrie dezvoltarea Taylor 1 ϕ(t) = 1 − D2 t2 + .... 2 Variabilele aleatoare ηn =

ξ0√n D n

=

ξn −M √ D n

au func¸tia caracteristic˘ a ϕηn (t) = ϕ

cu dezvoltarea Taylor ϕηn (t) = 1 −

³

t √ D n

´

t2 + ..., 2n

3

a n → ∞, variabila aleatoare unde termenii nescri¸si au ordinul lui n− 2 . Trecând la limit˘ η = lim

n→∞

n X i=1

n X ξi − M √ ηi = lim n→∞ D n i=1

are func¸tia caracteristic˘ a µ ¶n t2 t2 ϕη (t) = lim ϕηn (t) = lim 1 − + ... = e− 2 . n→∞ n→∞ 2n n

Rezult˘ a deci Teorema 3. (Teorma-limit˘a central˘a ). Dac˘ a variabilele independente ξn sunt repartizate dup˘ a aceea¸si reparti¸tie cu aceea¸si valoare medie M ¸si aceea¸si dispersie D2 , atunci

17.5. VARIABILE ALEATOARE OARECARE variabila dispersia

1 n

n P

i=1

D2 n

391

ξi pentru n → ∞ este repartizat˘ a dup˘ a legea normal˘ a cu media M ¸si

.

Se poate ar˘ ata c˘ a media variabilelor aleatoare este repartizat˘ a dup˘ a legea normal˘ a chiar în condi¸tii mai slabe decât cele de sus, în particular chiar când nu toate variabilele sunt repartizate dup˘ a aceea¸si reparti¸tie.

17.5.4

Exerci¸tii ¸si probleme

1. Densitatea de reparti¸tie a variabilei aleatoare ξ este   0 pentru x < 0 f (x) =  cx2 e−kx , k > 0 pentru x ≥ 0

S˘ a se determine: a) coeficientul c; b) func¸tia de reparti¸tie F (x); c) probabulitatea ca ξ s˘ a ia valori în (0, 1/k). R. a) c =

k3 ; 2

b) F (x) = 1 −

k2 x2 +2kx+2 −kx e ; 2

c) p(0 < ξ < 1/k) = 1 −

5 . 2e

2. S˘ a se arate c˘ a func¸tia

F (x) =

   0      x2

pentru x < 0

16

  x2 −      1

7 4

pentru 0 ≤ x < 2 pentru 2 ≤ x < pentru x ≥

11 4

11 4

este func¸tia de reparti¸tie a unei variabile aleatoare ξ ¸si s˘ a se determine p(1 ≤ ξ ≤ 1.5). R. 0.0919. 3. Variabila aleatoare ξ are func¸tia de reparti¸tie F (x) ¸si densitatea de reparti¸tie f (x). S˘ a se arate c˘ a variabila η = ξ 2 are func¸tia de reparti¸tie   0 pentru y ≤ 0 G(y) = √ √  F ( y) − F (− y) pentru y > 0

¸si densitatea de reparti¸tie

  0 pentru y ≤ 0 g(y) = ¢ ¡  √1 f (√y) + f (−√y) pentru y > 0 2 y

˘ TI ˘ MATEMATICA ˘ CAPITOLUL 17. PROBABILITA ¸ S¸I STATISTICA

392

4. S˘ a se arate c˘ a dac˘ a variabila aleatoare ξ are func¸tia de reparti¸tie F (x) ¸si densitatea de reparti¸tie f (x) atunci variabila η = aξ + b are func¸tia de reparti¸tie   F ( y−b ) dac˘a a > 0 a G(y) =  1 − F ( y−b ) dac˘a a < 0 a

¸si densitatea de reparti¸tie

g(y) =

1 y−b ). f( a |a|

a se g˘ aseasc˘ a 5. O variabil˘ a aleatoare are func¸tia caracteristic˘ a ϕ(t) = e−αt , α > 0. S˘ densitatea de reparti¸tie. R.

2α . x2 +α2

6. O variabil˘ a aleatoare are func¸tia caracteristic˘ a ϕ(t) =

1 . 1+t2

S˘ a se g˘ aseasc˘ a densi-

tatea de reparti¸tie. R. 12 e−|x| . 7. O variabil˘ a aleatoare are func¸tia caracteristic˘ a ϕ(t) =

eit (1−e−6t ) . 6(1−eit )

S˘ a se arate c˘ a

variabila coincide cu num˘ arul de puncte ie¸sit la aruncarea unui zar.

17.6

Convergen¸ta ¸sirurilor de variabile aleatoare

Teoremele referitoare la ¸siruri de variabile aleatoare demonstrate în paragrafele precedente pot fi exprimate mai clar dac˘ a se definesc anumite moduri de convergen¸ta˘ a ¸sirurilor de variabile aleatoare. Defini¸tia 1. S ¸ irul de variabile aleatoare (ξn )n∈N converge în probabilitate c˘atre variabila aleatoare ξ dac˘ a pentru orice numere ε > 0, δ > 0 exist˘ a num˘ arul natural N(ε, δ) astfel încât pentru orice n > N(ε, δ) avem p (|ξn − ξ| ≥ δ) ≤ ε . Vom scrie în acest caz p

ξn → ξ .

p

Din defini¸tie rezult˘ a c˘ a ξn → ξ dac˘ a lim p (|ξn − ξ| ≥ δ) = 0, ∀δ > 0. n→∞

Cu aceast˘ a defini¸tie legea numerelor mari sub forma lui Bernoulli se poate enun¸ta sub forma:



T1. Dac˘ aξ este o variabil˘ a aleatoare cu legea de reparti¸tie 

sunt observa¸tii independente ale lui ξ , atunci

ξ1 +ξ2 +...+ξ2 n

p

1 0 p q

→p.



 ¸si dac˘ a ξ1 , ξ2 , ..., ξn

De asemenea legea numerelor mari sub forma lui Markov se enun¸ta˘ sub forma:

17.7. VARIABILE ALEATOARE VECTORIALE

393 

T2. Fie ξ este o variabil˘ a aleatoare simpl˘ a cu legea de reparti¸tie 

¸si fie ξ1 , ξ2 , ..., ξn observa¸tii independente ale lui ξ . Atunci

x1 x2 ... xm p1 p2 ... pm

ξ1 +ξ2 +...+ξn n

p

→ M(ξ) .

 

Defini¸tia 2. S ¸ irul de variabile aleatoare (ξn )n∈N converge tare (sau cu probabilitate > 0, δ > 0 exist˘ 1) c˘ atre variabila aleatoare ξ dac˘ a pentru orice numere ε  a num˘ arul [ (|ξn − ξ| ≥ δ) < ε . Vom scrie în acest natural N(ε, δ) astfel încât avem p  n>N (ε,δ)

p=1

caz ξn → ξ .

atre variabila Defini¸tia 3. S ¸ irul de variabile aleatoare (ξn )n∈N converge în reparti¸tie c˘ aleatoare ξ dac˘ a în orice punct x de continuitate al func¸tiei de reparti¸tie Fξ(x) are loc rela¸tia lim Fξn (x) = Fξ(x), Fξn (x) fiind func¸tia de reparti¸tie a lui ξn .Vom scrie în acest n→∞ rep

caz ξn → ξ

Defini¸tia 4. S ¸ irul de variabile aleatoare (ξn )n∈N converge în medie de ordinul r c˘ atre variabila aleatoare ξ dac˘ a exist˘ a momentele de ordinul r ale variabilelor ξn , ξ ¸si med r

lim M (|ξn − ξ|r ) = 0 Vom scrie în acest caz ξn → ξ .

n→∞

Au loc urm˘ atoarele teoreme: p

p=1

rep

a ξn → ξ atunci ξn → ξ . T3. Dac˘ a ξn → ξ sau dac˘ med r

p

T4. Dac˘ a ξn → ξ atunci ξn → ξ . Teorema limita Moivre-Laplace se poate enun¸ta sub forma:



T5. Dac˘ a ξ este o variabil˘ a aleatoare cu legea de reparti¸tie 

ξ1 , ξ2 , ..., ξn sunt observa¸tii independente ale lui ξ , atunci

1 0 p q



 ¸si dac˘ a

ξ1 +ξ2 +...+ξn −np rep √ → npq

ς , unde

ς este o variabil˘ a aleatoare cu reparti¸tie normal˘ a standard. Teorema limit˘ a central˘ a enun¸tat˘ a mai sus se poate enun¸ta sub forma: a aceea¸si reparti¸tie cu T6. Dac˘ a variabilele independente ξn sunt repartizate dup˘ aceea¸si valoare medie M ¸si aceea¸si dispersie D, atunci

rep ξ1 +ξ2 +...+ξ √ n −nM → D n

ς, unde ς este

o variabil˘ a aleatoare cu reparti¸tie normal˘ a standard.

17.7

Variabile aleatoare vectoriale

Dac˘ a într-un anumit proces de produc¸tie se realizeaz˘ a piese caracterizate prin doi parametri, s˘ a zicem lungimea ¸si l˘ a¸timea, ace¸sti parametri se vor încadra cu o anumit˘ a

394

˘ TI ˘ MATEMATICA ˘ CAPITOLUL 17. PROBABILITA ¸ S¸I STATISTICA

precizie în anumite intervale, nici un proces ne fiind ideal. Dac˘ a ξ este lungimea piesei, iar η este l˘ a¸timea piesei, suntem condu¸si la o variabil˘ a aleatoare bidimensional˘ a ς = (ξ, η), adic˘ a un vector aleator ale c˘ arui componente sunt variabile aleatoare. Uneori este mai comod s˘ a consider˘ am vectorul ca o coloan˘ a ζ = (ξ, η)t . Defini¸tia 1. Pentru vectorul aleator ς = (ξ, η)t se nume¸ste func¸tie de reparti¸tie func¸tia Fς (x, y) = p(ξ < x, η < y),

(x, y) ∈ R2 .

Valoarea func¸tiei de reparti¸tie Fς (x, y) reprezint˘ a probabilitatea ca punctul de coordonate (ξ, η) s˘ a se afle în cadranul situat la stânga ¸si mai jos de punctul (x, y). Prin func¸tia de reparti¸tie Fς (x, y) se pot exprima diferite probabilit˘ a¸ti. Este clar c˘ a avem Fς(∞, ∞) = 1,

Fς(x, −∞) = 0 ∀x ∈ R,

Fς(−∞, y) = 0 ∀y ∈ R.

Dac˘ a x1 < x2 , y1 < y2 atunci p (x1 ≤ ξ < x2 , y1 ≤ η < y2 ) = = Fς(x2 , y2 ) − Fς(x1 , y2 ) − Fς (x2 , y1 ) + Fς (x1 , y1 ) . Dac˘ a vom nota cu D domeniul dreptunghiular din stânga egalit˘ a¸tii, vom putea scrie rela¸tia de mai sus sub forma p (ς = (ξ, η) ∈ D) = Fς(D), cu nota¸tia corespunz˘ atoare pentru membrul drept. Condi¸tia de nedescre¸stere din cazul variabilelor aleatoare unidimensionale se va scrie în aceast˘ a situa¸tie prin rela¸tia Fς (D) ≥ 0 pentru orice dreptunghi D de tipul celui de sus. In particular, la limit˘ a cu y1 → −∞, x1 → −∞ func¸tia Fς (x, y) trebuie s˘ a fie nedescresc˘ atoare în fiecare variabil˘ a. In aceste condi¸tii, func¸tia Fς (x, y) se nume¸ste nedescresc˘ atoare în cele dou˘ a variabile. Func¸tia de reparti¸tie a valorilor lui ξ când se ignor˘ a complet valorile lui η este Fς (x, ∞) ¸si se nume¸ste func¸tia de reparti¸tie marginal˘a a lui ξ . Analog, Fς (∞, y) este func¸tia de reparti¸tie marginal˘ a a lui η . Pentru a g˘ asi valoarea medie a unei func¸tii continue ϕ(ξ, η) s˘ a presupunem pentru moment c˘ a variabilele ξ, η sunt m˘ arginite, adic˘ a valorile lor rezultate în urma

17.7. VARIABILE ALEATOARE VECTORIALE

395

experien¸tei aleatoare (x, y) sunt cuprinse în dreptunghiul a < x < b, c < y < d. Imp˘ ar¸tim acest dreptunghi în mai multe dreptunghiuri mai mici Djk prin dreptele x = a = x0 , x1 , ..., xN = b ¸si y = c = y0 , y1 , ..., yM = d . Valoarea medie a func¸tiei ϕ(ξ, η) se va putea aproxima prin suma Riemann-Stieltges X j,k

ϕ (x0j, y0k ) Fς(Djk ), (x0j , y0k ) ∈ Djk

care va tinde când N → ∞, M → ∞ c˘ atre integrala Stieltges notat˘ a

Rb Rd

ϕ(x, y)d2 Fς(x, y).

a c

Dac˘ a în cazul oarecare, exist˘ a limita acestei integrale când b, d → ∞, a, c → −∞ atunci se define¸ste valoarea medie a func¸tiei ϕ(ξ, η) prin integrala E (ϕ(ξ, η)) =

Z∞ Z∞

ϕ(x, y)d2 Fς(x, y).

−∞ −∞

a ¸si continu˘ a pe R2 astfel ca Defini¸tia 2. Dac˘ a exist˘ a o func¸tie fς (x, y) definit˘ Fς(x, y) =

Zx Zy

fς(u, v)dudv

−∞ −∞

atunci func¸tia fς(x, y) se nume¸ste densitatea de reparti¸tie sau densitatea de probabilitate a variabilei aleatoare ς = (ξ, η)t . In acest caz se spune c˘ a variabila aleatoare ς = (ξ, η)t este cu reparti¸tie continu˘a. Semnifica¸tia densit˘ a¸tii de reparti¸tie este dat˘ a de rela¸tia p (x < ξ < x + dx, y < η < y + dy) = fς (x, y)dxdy + ϑ(dxdy). Evident, în aceast˘ a situa¸tie fς(x, y) = ¸si fς(x, y) ≥ 0,

∂ 2 Fς(x, y) ∂x∂y

Z∞ Z∞

fς(x, y)dxdy = 1.

−∞ −∞

Reparti¸tia marginal˘ a a lui ξ are ca densitate func¸tia fξ(x) = reparti¸tia marginal˘ a a lui η are ca densitate func¸tia fη(y) =

R∞

−∞

R∞

fς(x, y)dy, iar

−∞

fς(x, y)dx.

396

˘ TI ˘ MATEMATICA ˘ CAPITOLUL 17. PROBABILITA ¸ S¸I STATISTICA

Conform semnifica¸tiilor densit˘ a¸tilor de reparti¸tie avem p (x ≤ ξ ≤ x + dx, y ≤ η ≤ y + dy) = fς (x, y)dxdy + ϑ(dxdy),

p (−∞ < ξ < ∞, y ≤ η ≤ y + dy) =

Z∞

fς(x, y)dx.dy + ϑ(dy) =

−∞

= fη(y)dy + ϑ(dy). Probabilitatea evenimentului x ≤ ξ ≤ x + dx cu condi¸tia ca y ≤ η ≤ y + dy este deci

fς(x,y) dx fη(y)

+ ϑ(dx). Prin defini¸tie fξ (x|η = y) =

fς(x, y) fς(x, y) = R∞ fη(y) fς(x, y)dx −∞

se nume¸ste densitatea probabilit˘at¸ii condi¸tionate a lui ξ cu condi¸tia η = y. La fel fη (y|ξ = x) =

fς(x, y) fς(x, y) = R∞ fξ(x) fς(x, y)dy −∞

este densitatea probabilit˘ a¸tii condi¸tionate a lui η cu condi¸tia ξ = x. Dac˘ a integr˘ am rela¸tiile fς(x, y) = fη(y)fξ (x|η = y) , fς(x, y) = fξ(x)fη (y|ξ = x) prima în raport cu y, a doua în raport cu x între −∞ ¸si ∞ avem fξ(x) =

fη(y) =

Z∞

−∞ Z∞

fη(y)fξ (x|η = y) dy,

fξ(x)fη (y|ξ = x) dx

−∞

adic˘ a formule ale probabilit˘ a¸tii totale. Vom putea scrie fξ (x|η = y) =

fξ(x)fη (y|ξ = x) fζ(x, y) = R∞ fη(y) fξ(x)fη (y|ξ = x) dx −∞

17.7. VARIABILE ALEATOARE VECTORIALE

397

respectiv fη (y|ξ = x) =

fζ(x, y) fη(y)fξ (x|η = y) = R∞ fξ(x) fη(y)fξ (x|η = y) dy −∞

adic˘ a formulele lui Bayes pentru densit˘ a¸tile variabilelor ξ, η.

Variabilele ξ, η sunt independente dac˘ a fξ (x|η = y) = fξ(x) adic˘ a fς(x, y) = fξ(x)fη(y). Valoarea medie a func¸tiei ϕ(ξ, η) este în cazul reparti¸tiei continue E (ϕ(ξ, η)) =

Z∞ Z∞

ϕ(x, y)fς(x, y)dxdy

−∞ −∞

In cazul în care ϕ(ξ, η) = ξ l η m se ob¸tine momentul de ordin l, m în raport cu originea: µlm

¡ ¢ = E ξ l ηm =

Z∞ Z∞

xl y m fς(x, y)dxdy.

−∞ −∞

Dac˘ a ϕ(ξ, η) = (ξ − a)l (η − b)m se ob¸tine momentul de ordin l, m în raport cu punctul (a, b). Mai interesante sunt momentele în raport cu punctul (E(ξ), E(η)) . Vectorul (E(ξ), E(η))t se nume¸ste media vectorului aleator ζ ¸si e notat uneori E(ζ). a de tipul (n, 2) ¸si b este un vector constant cu Dac˘ a A = (ai,j ) este o matrice constant˘ n componente atunci putem vorbi de vectorul Aζ + b ¸si evident E(Aζ + b) = AE(ζ) + b. Dac˘ a not˘ am m = E(ζ) definim matricea covaria¸tional˘ a a vectorului ζ prin cov(ζ) = E((ζ − m)(ζ − m)t ). Avem 

cov(ζ) = E 

2

(ξ − mξ)

(ξ − mξ)(η − mη)

(η − mη)(ξ − mξ) (η − mη)2   var(ξ) cov(ξ, η)  =  cov(η, ξ) var(η)

Se verific˘ a u¸sor c˘ a au loc rela¸tiile

cov(ζ) = E(ζζ t ) − E(ζ)E(ζ)t ,



=

˘ TI ˘ MATEMATICA ˘ CAPITOLUL 17. PROBABILITA ¸ S¸I STATISTICA

398

cov(Aζ + b) = Acov(ζ)At . Cum





cov (α, β) 

ξ η





 = cov(αξ + βη) = (α, β)cov(ζ) 

α β



≥0

rezult˘ a c˘ a matricea de covarian¸ta˘ este pozitiv definit˘ a exceptând cazul când exist˘ a α, β astfel încât αξ + βη = constant. Dac˘ a matricea covaria¸tional˘ a K a unui vector aleator ζ = (ξ, η)t este pozitiv definit˘ a a vectorul ζ are o reparti¸tie normal˘ a cu media atunci ea are invers˘ a K −1 . Se zice c˘ vectorial˘ a m = (mξ, mη)t ¸si cu matricea varia¸tional˘ a K dac˘ a densitatea sa de reparti¸tie are forma







x − mξ 1 1  p fζ(x, y) = √ exp − (x − mξ, y − mη)K −1  2 ( 2π)2 det(K) y − mη

Cele prezentate mai sus se extind în cazul variabilelor aleatoare multidimensionale.

17.7.1

Exerci¸tii ¸si probleme

1. Vectorul aleator ζ = (ξ, η) are densitatea de reparti¸tie f (x, y) =

π 2 (16

A , x, y ∈ R. + x2 )(25 + y 2 )

S˘ a se determine: a) constanta A; b) func¸tia de reparti¸tie F (x, y); c) probabilitatea ca punctul (ξ, η) s˘ a apar¸tin˘ a dreptunghiului −4 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 5; d) func¸tiile de reparti¸tie marginale; e) densit˘ a¸tile de reparti¸tie marginale. R. a) Se g˘ ase¸ste A din rela¸tia Z∞ Z∞

π 2 (16

A dxdy = 1 + x2 )(25 + y 2 )

−∞ −∞

sau

1 A1 x ¯¯∞ y ¯¯∞ =1 arctg ¯ ∗ arctg ¯ π2 4 4 −∞ 5 5 −∞

de unde A = 20. b) Func¸tia de reparti¸tie este

Zx Zy dudv 20 = F (x, y) = 2 π (16 + u2 )(25 + v2 ) −∞ −∞ ¶µ ¶ µ x 1 1 y 1 1 arctg + arctg + . = π 4 2 π 5 2

17.7. VARIABILE ALEATOARE VECTORIALE

399

c) Avem 20 p(−4 ≤ ξ ≤ 4, 0 ≤ η ≤ 5) = 2 π

Z4 Z5

1 dydx = . (16 + x2 )(25 + y 2 ) 4

−4 0

d) Fξ(x) =

Zx Z∞

−∞ −∞

dudy 1³ x π´ = arctg + , (16 + u2 )(25 + y 2 ) π 4 2

y π´ 1³ arctg + . Fη(y) = π 5 2

e)

fξ(x) = Fξ(x)0 =

4 5 0 ; fη(y) = Fη(y) . = π(16 + x2 ) π(25 + y 2 )

2. Vectorul aleator ζ = (ξ, η) este repartizat cu densitate constant˘ a în p˘ atratul limitat de dreptele y = x ± a, y = −x ± a. S˘ a se determine: a) densitatea; b) densit˘ a¸tile marginale; c) dac˘ a variabilele ξ, η sunt independente. R. a) f (x, y) = b) fξ(x) =

Z∞

 

1 2a2

dac˘a (x, y) ∈ p˘ atratului,

 0

dac˘a (x, y) ∈ / p˘ atratului.

f (x, y)dy =

 

1 (a a2

− |x|) pentru |x| < a

 0 pentru |x| > a  Z∞  1 (a − |y|) pentru |y| < a a2 fη(y) = f (x, y)dx =  0 pentru |y| > a −∞

−∞

c) Cum fξ(x)fη(y) 6= f (x, y) variabilele ξ, η sunt dependente.

3. Variabila aleatoare bidimensional˘ a (ξ, η) este uniform distribuit˘ a în cercul cu centrul în origine de raz˘ a a. S˘ a se determine: a) densitatea; b) densit˘ a¸tile fξ(x), fη(y); c) densit˘ a¸tile fξ(x|η = y), fη(y|ξ = x). R. a) f (x, y) = b) fξ(x) =

Z∞

−∞

 

1 πa2

 0

f (x, y)dy =

pentru x2 + y 2 < a2 , pentru x2 + y 2 > a2 ;

 

2 πa2

 0

√ a2 − x2 pentru |x| < a; pentru |x| > a;

˘ TI ˘ MATEMATICA ˘ CAPITOLUL 17. PROBABILITA ¸ S¸I STATISTICA

400

fη(y) = c)

 

2 πa2

 0

p a2 − y 2 pentru |y| < a

pentru |y| > a;

 p p 1 f (x, y)  2 a2 − y 2 pentru |y| < a, |x| < a2 − y 2 fξ(x|η = y) = = p  0 fη(y) pentru |y| > a, |x| > a2 − y 2  √  1 a2 − x2 pentru |x| < a, |y| < √a2 − x2 2 fη(y|ξ = x) = . √  0 pentru |x| > a, |y| > a2 − x2

4. Densitatea variabilei bidimensionale (ξ, η) este   4xye−(x2 +y2 ) pentru x ≥ 0, y ≥ 0 f (x, y) =  0 pentru x < 0, y < 0 S˘ a se determine matricea de covaria¸tie. R. Avem E(ξ) =

Z∞ Z∞ 0

2

E(ξ ) =

xf (x, y)dxdy =

0

Z∞ Z∞ 0

0

Z∞ Z∞ 0



K=

π , E(η) = E(ξ), 2

x2 f (x, y)dxdy = 1, E(η 2 ) = E(ξ 2 ),

E(ξη) = Deci

r

1

π 4

π 4

1



π . 4

xyf (x, y)dxdy =

0



−

π 4

π 4

π 4

π 4





=

1−

π 4

0 1−

0

π 4

 

5. Densitatea variabilei bidimensionale (ξ, η) este   1 sin(x + y) pentru 0 ≤ x ≤ π , 0 ≤ y ≤ π 2 2 2 f (x, y) = π π  0 pentru x ∈ / [0, 2 ], , y ∈ / [0, 2 ]

S˘ a se determine matricea de covaria¸tie. R.



K=

1

8π−16−π 2 π2 +8π−32

8π−16−π 2 π 2 +8π−32

1



.

17.8. OPERATII ¸ CU VARIABILE ALEATOARE.

17.8

401

Opera¸tii cu variabile aleatoare.

a Fie ξ o variabil˘ a aleatoare cu densitatea pξ (x) ¸si f (ξ) o func¸tie oarecare. Vrem s˘ determin˘ am reparti¸tia variabilei aleatoare η = f (ξ). 1) Fie cazul când   1 pentru ξ ∈ [a ,b ] ∪ [a ,b ].... 1 1 2 2 . f (ξ) =  0 in rest

Evident avem

³ ´ [ p (η = 1) = p (f (ξ) = 1) = p ξ ∈ [ai , bi ] = X

=

i

XZ

bi

p (ξ ∈ [ai , bi ]) =

i

pξ(x)dx.

ai

2) Fie η = f (ξ) o func¸tie cresc˘ atoare ¸si fie ξ = g (η) inversa sa. Avem Fη(x) = p (f (ξ) < x) = p(ξ < g(x)). Deci Fη(x) =

g(x) R

−∞

pξ(t)dt . Cum

g(x) R

d dx

pξ(t)dt = pξ (g(x)) g0(x) rezult˘ a

−∞

Zg(x) Zx Fη(x) = pξ(t)dt = p (g(t)) g0(t)dt. −∞

−∞

Avem deci pη=f (ξ) (x) = pξ (g(x)) g0(x). 2

De exemplu dac˘ a ξ are densitatea pξ (x) =

x √1 e− 2 2π

atunci η = ξ 3 are densitatea

x2/3 1 2 1 pη (x) = √ e− 2 x− 3 3 2π 2

pentru c˘ a g(x) = x1/3 , g0(x) = 13 x− 3 . Dac˘ a η = f (ξ) este descresc˘ atoare, se vede în mod analog ca pη=f (ξ) (x) = pξ (g(x)) |g0(x)| , g(x) fiind ¸si aici inversa lui f (x).

402

˘ TI ˘ MATEMATICA ˘ CAPITOLUL 17. PROBABILITA ¸ S¸I STATISTICA

De exemplu, dac˘ a ξ este o variabil˘ a aleatoare cu p (ξ > 0) = 1 atunci variabila η = are densitatea 1 pη= 1 (x) = 2 pξ ξ x

1 ξ

µ ¶ 1 , x > 0. x

De asemenea are loc rela¸tia 1 pξ pη=aξ+b (x) = |a|

µ

¶ x−b . a

Dac˘ a func¸tia η = f (ξ) nu este monoton˘ a, dar are intervale ∆+ ste ¸si i în care cre¸ intervale ∆− ste, are puncte de extremum izolate ¸si este derivabil˘ a, atunci i în care descre¸ pη=f (ξ) (x) =

X i

pξ (ai (x)) a0i (x) −

X

pξ (bi (x)) b0i (x),

i

unde ai (x) ¸si bi (x) sunt inversele restric¸tiei func¸tiei f (x) pe intervalele ∆+ i , respectiv ∆− i . De exemplu, dac˘ a variabila ξ are densitatea pξ(x), atunci p|ξ| (x) = pξ (x) + pξ (−x), x > 0, ¡ √ √ ¢ 1 pξ2 (x) = pξ ( x) + pξ (− x) √ . 2 x

Dac˘ a ξ este o variabil˘ a aleatoare cu densitatea pξ(x), atunci variabila aleatoare     a, ξ < a  η = f (ξ) = ξ, ξ ∈ [a, b]     b, ξ > b

se nume¸ste t˘aietura variabilei ξ. Ea are distribu¸tia pη (x) =

Zb

δ (t − x) dt.pξ (x) + δ (x − a) Fξ (a) + δ (x − b) (1 − Fξ (b)) .

a

Dac˘ a ξ este o variabil˘ a aleatoare cu densitatea pξ(x), se nume¸ste variabil˘a sec¸tionat˘a variabila η cu densitatea   Cpξ(x), a < x < b pη(x) = ,  0, x ∈ / [a, b]

17.8. OPERATII ¸ CU VARIABILE ALEATOARE.

403

unde evident C=

1 Rb

.

pξ(x)dx

a

a oricare Variabilele aleatoare ξ1 , ξ2 , ..., ξn se numesc independente în totalitate dac˘ ar fi numerele reale x1 , x2 , ..., xn are loc rela¸tia p (ξ1 < x1 , ξ2 < x2 , ..., ξn < xn ) = p (ξ1 < x1 ) .p (ξ2 < x2 ) ...p (ξn < xn ) . Aceasta este echivalent cu faptul c˘ a

p (a1 ≤ ξ1 < b1 , a2 ≤ ξ2 < b2 , ..., an ≤ ξn < bn ) = = p (a1 ≤ ξ1 < b1 ) p (a2 ≤ ξ2 < b2 ) ...p (an ≤ ξn < bn ) Atunci rezult˘ a c˘ a dac˘ a D este un domeniu în Rn atunci Z p ((ξ1 , ξ2 , ..., ξn ) ∈ D) = pξ1 (x1 )pξ2 (x2 )...pξn (xn )dx1 dx2 ...dxn . D

a Fie ξ1 , ξ2 dou˘ a variabile independente cu densit˘ a¸tile pξ1 (x), pξ2 (x) ¸si fie variabila sum˘ η = ξ1 + ξ2 . Vom avea Fη=ξ1 +ξ2 (z) = p(ξ1 + ξ2 < z) =

=

Zz

−∞

Deci densitatea sumei este pξ1 +ξ2 (x) =

 

ZZ

x1 +x2
Z∞

−∞

Z∞

pξ1 (x1 ) pξ2 (x2 ) dx1 dx2 = 

pξ1 (t)pξ2 (x − t)dt dx.

pξ1 (t)pξ2 (x − t)dt = (pξ1 ∗ pξ2 ) (x),

−∞

produsul de convolu¸tie al celor dou˘ a densit˘ a¸ti. Acest lucru rezulta ¸si cu ajutorul func¸tiei caracteristice. De aici rezult˘ a din aproape în aproape c˘ a dac˘ a ξ1 , ξ2 , ..., ξn sunt variabile independente cu densitatea

  λe−λx , x > 0 pξi (x) =  0, x < 0

404

˘ TI ˘ MATEMATICA ˘ CAPITOLUL 17. PROBABILITA ¸ S¸I STATISTICA

atunci suma lor este distribuit˘ a cu densitatea psn =ξ1 +ξ2 +...+ξn (x) = λ

(λx)n−1 −λx e , x > 0, (n − 1)!

aceasta fiind numit˘ a densitatea reparti¸tiei Erlang. S˘ a presupunem c˘ a variabilele aleatoare ξ1 , ξ2 , ..., ξn sunt repartizate normal standard norm(0,1) ¸si c˘ a sunt independente. S˘ a ar˘ at˘ am c˘ a variabila χ2n = ξ12 + ξ22 + ... + ξn2 are a¸sa numita reparti¸tie hi p˘atrat cu n grade de libertate notat˘ a chisq(n), adic˘ a    0 pentru x < 0 2 x p(χn < x) = Gn (x) = R 1  tn/2−1 e−t/2 dt pentru x > 0,  2n/2 Γ(n/2) 0

unde

Γ(x) =

Z∞

e−y y x−1 dy.

0

Vom demonstra prin induc¸tie matematic˘ a. Pentru n = 1 avem χ21 = ξ12 . Cum Rx − t2 e 2 dt rezult˘ a c˘ a χ21 = ξ12 are func¸tia func¸tia de reparti¸tie a lui ξ1 este F (x) = √12π −∞

de reparti¸tie pentru x > 0

√ √ 1 G1 (x) = F ( x) − F (− x) = √ 2π Cum g1 (x) =

G01 (x)

=

r

√

Zx

√ − x

√

r Zx 2 t2 2 − t2 e dt = e− 2 dt. π 0

2 −x 1 1 e 2 √ = 1/2 x−1/2 e−x/2 π 2 Γ(1/2) 2 x

proprietatea se verific˘ a. Presupunem proprietatea adev˘ arat˘ a pentru n − 1, adic˘ a pentru x > 0 avem gn−1 (x) = G0n−1 (x) =

1 2(n−1)/2 Γ((n

a c˘ a Cum χ2n = χ2n−1 + χ21 rezult˘ gn (x) = gn−1 (x) ∗ g1 (x) =

Zx

− 1)/2)

x

n−3 2

gn−1 (t)g1 (x − t)dt =

0

x

=

e− 2 2

n Γ( n−1 )Γ( 12 ) 2 2

Zx 0

t

n−3 2

x

e− 2 .

1

(x − t)− 2 dt

t=xτ,dτ =xdt

=

17.8. OPERATII ¸ CU VARIABILE ALEATOARE. n−2

x

e− 2 x 2 = n/2 n−1 2 Γ( 2 )Γ( 12 ) − x2

Z1

τ

n−1 −1 2

405 1

(1 − τ ) 2 −1 dτ =

0

n−2 2

x

n

B( n−1 , 1 ) e− 2 x 2 −1 = n/2 n−1 2 1 2 = n n 2 Γ( 2 )Γ( 2 ) 2 2 Γ( 2 ) e

x

pentru c˘ a

Γ( n−1 )Γ( 12 ) n−1 1 2 , )= . 2 2 Γ( n2 ) Func¸tia caracteristic˘ a a reparti¸tiei chisq(n) este B(

n

ϕ(t) = (1 − 2it)− 2 . Vom putea calcula momentele reparti¸tiei hi p˘ atrat ∞ Z∞ n +r Z n+2r x n 1 x=2t 2 2 −1 − x 2 e 2 dx = n n t 2 +r−1 e−t dt = νr = n n 2 2 Γ( 2 ) 2 2 Γ( 2 ) 0

0

r

= In particular ν1 = ν2 =

2 n n Γ( + r). Γ( 2 ) 2

2 n n Γ( n2 ) Γ( + 1) = 2 = n, Γ( n2 ) 2 2 Γ( n2 )

22 ( n2 + 1) n2 Γ( n2 ) n 22 Γ( + 2) = = n(n + 2). Γ( n2 ) 2 Γ( n2 )

Rezult˘ a c˘ a E(χ2n ) = n, var(χ2n ) = 2n. a c˘ a pentru n mic Dac˘ a se fac graficele densit˘ a¸tii de reparti¸tie a lui χ2n se constat˘ graficele au o coad˘ a spre dreapta, iar pentru n mare devin aproape simetrice. Uneori aceste curbe se numesc curbele lui Pearson. Fie acum variabilele U, V independente astfel c˘ a U ∈ norm(0, 1) ¸si V ∈ chisq(n). Se p poate ar˘ ata c˘ a variabile T = √UV = U Vn are densitatea n

¢µ ¡ ¶ n+1 2 − 2 t 1 Γ n+1 ¡2¢ 1 + fn (x) = √ . nπ Γ n2 n

Aceast˘ a reparti¸tie se nume¸ste reparti¸tia Student cu n grade de libertate ¸si se noteaz˘ a cu t(n). Densitatea ei de reparti¸tie este simetric˘ a în raport cu axa ordonatelor ¸si deci E(T ) = 0. Dispersia ei este var(T ) =

n . n−2

Se poate ar˘ ata c˘ a pentru n > 30 practic

reparti¸tia t(n) coincide cu reparti¸tia normal˘ a standard norm(0, 1).

˘ TI ˘ MATEMATICA ˘ CAPITOLUL 17. PROBABILITA ¸ S¸I STATISTICA

406

17.9

Estima¸tii punctuale

In multe cazuri func¸tia de distribu¸tie a unei variabile aleatoare ξ este necunoscut˘ a; ea se determin˘ a pe baza rezultatelor observa¸tiilor sau, cum se mai spune, pe baza unei selec¸tii sau a unui e¸santion. Prin selec¸tie sau e¸santion de volum n al variabilei aleatoare ξ se în¸telege o mul¸time de n observa¸tii independente X1 , X2 , ..., Xn ale variabilei aleatoare ξ, sau altfel spus, o mul¸time de n variabile aleatoare independente X1 , X2 , ..., Xn care au aceea¸si func¸tie de reparti¸tie Fξ(x) ca ¸si variabila aleatoare ξ. Ob¸tinerea rezultatelor x1 , x2 , ..., xn ale celor n observa¸tii independente se nume¸ste sondaj. Pentru a nu complica nota¸tia, de multe ori vom nota tot prin X1 , X2 , ..., Xn ¸si rezultatele celor n observa¸tii. Conform acestei conven¸tii pâna la efectuarea sondajului prin X1 , X2 , ..., Xn not˘ am cele n observa¸tii ale variabilei aleatoare ξ, iar dup˘ a efectuarea sondajului acestea devin rezultatele observa¸tiilor. Mul¸timea tuturor observa¸tiilor posibile ale variabilei aleatoare ξ formeaz˘ a popula¸tia general˘a a variabilei aleatoare ξ. Se mai spune c˘ a e¸santionul X1 , X2 , ..., Xn a fost extras din popula¸tia general˘a cu func¸tia de reparti¸tie Fξ(x). Pentru a determina func¸tia de reparti¸tie Fξ(x), adic˘ a probabilitatea evenimentului {ξ < x} vom încerca s˘ a evalu˘ am aceast˘ a probabilitatea prin frecven¸ta de realizare a acestui eveniment. Fie X1 , X2 , ..., Xn o selec¸tie de volum n a lui ξ, x1 , x2 , ..., xn rezularul rezultatelor mai mici tatele unui sondaj ¸si x un num˘ ar real. Vom nota prin νx num˘ ca x. Atunci

νx n

este frecven¸ta de realizare a evenimentului {ξ < x} sau func¸tia empiric˘a

de reparti¸tie Fξ n (x) =

νx n

a variabilei ξ în selec¸tia dat˘ a. Func¸tia Fξ n (x) are toate pro-

priet˘ a¸tile unei veritabile func¸tii de reparti¸tie, fiind o func¸tie în trepte. Pentru un x fixat func¸tia empiric˘ a de reparti¸tie poate fi considerat˘ a ca o variabil˘ a aleatoare - frecven¸ta relativ˘ a în n realiz˘ ari a unui eveniment cu probabilitatea Fξ(x).Valorile acestei variabile fiind 0, n1 , n2 , ..., nn avem n

M(Fξ (x)) =

n X k k=0

n

Cnk (Fξ(x))k (1 − Fξ(x))n−k = Fξ(x). p

Conform legii numerelor mari a lui Bernoulli, pentru x fixat Fξ ∗ (x) −→ Fξ(x). Deci pentru n mare avem o evaluare a func¸tiei de reparti¸tie Fξ(x) a variabilei ξ. Este îns˘ a evident c˘ a procedeul este destul de incomod în practic˘ a.

17.9. ESTIMATII ¸ PUNCTUALE

407

De multe ori, în practic˘ a se ¸stie c˘ a func¸tia de reparti¸tie Fξ(x) respectiv densitatea de reparti¸tie pξ(x) apar¸tine unei anumite clase ¸si c˘ a depinde de unul sau mai mul¸ti parametri: Fξ(x) = F (x, λ1 , λ2 , ..., λk ), pξ(x) = p(x, λ1 , λ2 , ..., λk ) ¸si problema revine la determinarea unor estima¸tii ale acestor parametri λ∗1 (x1 , x2 , ..., xn ), λ∗2 (x1 , x2 , ..., xn ), ..., λ∗k (x1 , x2 , ..., xn ) pe baza rezultatelor x1 , x2 , ..., xn ale selec¸tiei. Acestea se numesc estima¸tii punctuale ale parametrilor. Pân˘ a la realizarea sondajului func¸tiile λ∗1 (X1 , X2 , ..., Xn ), λ∗2 (X1 , X2 , ..., Xn ), ..., λ∗k (X1 , X2 , ..., Xn ) sunt de fapt variabile aleatoare care depind de selec¸tie. O func¸tie oarecare T (X1 , X2 , ..., Xn ) care depinde de o selec¸tie se nume¸ste uneori statistic˘a. Cu aceast˘ a denumire, o estima¸tie punctual˘ a a unui parametru este o statistic˘ a a c˘ arei valoare la realizarea sondajului d˘ a o aproxima¸tie a parametrului. Evident, odat˘ a determinat˘ a o estima¸tie a parametrului trebuie stabilit˘ a precizia acelei estima¸tii. Dac˘ a ξ este o variabil˘ a aleatoare cu valori discrete cu densitatea de reparti¸tie pξ(x) = p(x; λ) atunci probabilitatea ca o selec¸tie s˘ a ia valorile x1 , x2 , ..., xn este p(X1 = x1 , X2 = x2 , ..., Xn = xn ) = p(x1 ; λ)p(x2 ; λ)...p(xn ; λ) = = L(x1 , x2 , ...xn ; λ). Dac˘ a ξ este o variabil˘ a aleatoare continu˘ a cu densitatea de reparti¸tie pξ(x) = p(x; λ) atunci probabilitatea ca o selec¸tie s˘ a ia valori cuprnse între x1 ¸si x1 + dx1 , x2 ¸si x2 + dx2 , ... xn ¸si xn + dxn este p(x1 ≤ X1 ≤ x1 + dx1 , x2 ≤ X2 ≤ x2 + dx2 , ..., xn ≤ Xn ≤ xn + dxn ) = = p(x1 ; λ)p(x2 ; λ)...p(xn ; λ)dx1 dx2 ...dxn = L(x1 , x2 , ...xn ; λ)dx1 dx2 ...dxn . a mai sus se nume¸ste func¸tia de verosimilitate a selec¸tiei. Func¸tia L(x1 , x2 , ...xn ; λ) definit˘ Func¸tia l(x1 , x2 , ...xn ; λ) = lnL(x1 , x2 , ...xn ; λ) se nume¸ste func¸tia de log-verosimilitate a selec¸tiei. Defini¸tia 1. O statistic˘ a T (X1 , X2 , ..., Xn ) se nume¸ste suficient˘a pentru o variabil˘ a aleatoare a c˘ arei reparti¸tie depinde de un parametru (poate fi ¸si un vector) λ dac˘ a toat˘ a informa¸tia referitoare la parametrul λ în selec¸tia X1 , X2 , ..., Xn coincide cu informa¸tia referitoare la λ în statistica T (X1 , X2 , ..., Xn ), cu alte cuvinte pξ(X1 = x1 , X2 = x2 , ..., Xn = xn |T (x1 , x2 ..., xn ) = t)

408

˘ TI ˘ MATEMATICA ˘ CAPITOLUL 17. PROBABILITA ¸ S¸I STATISTICA

nu depinde de parametrul λ. Are loc a¸sa numita teorem˘a de factorizare Teorema 1. Statistica T (X1 , X2 , ..., Xn ) este suficient˘ a dac˘ a ¸si numai dac˘ a exist˘ ao func¸tie g(t; λ) ¸si o func¸tie h(x1 , x2 , ..., xn ) astfel c˘ a L(x1 , x2 , ...xn ; λ) = g(T (x1 , x2 , ..., xn ); λ)h(x1 , x2 , ..., xn ). Exemplul 1. Fie ξ ∈ binom(a, σ02 ) unde σ02 este dat ¸si a este necunoscut. Func¸tia de verosimilitate este L(x1 , x2 , ..., xn ; a) = =

Ã

Ã

1

p 2πσ02 1

p 2πσ02

!n !n

−

n 1 P (x2i −2axi +a2 ) 2 2σ0 i=1

−

1 2 2σ0

e e

µ

na2 −2a

n P

xi +

i=1

=

n P

i=1

x2i

¶

de unde rezult˘ a c˘ a o statistic˘ a suficient˘ a în raport cu parametrul a este suma selec¸tiei n P Xi sau orice alt˘ a func¸tie depinzând de aceasta. i=1

Exemplul 2. Dac˘ a ξ ∈ norm(a0 , σ 2 ) cu a0 cunoscut ¸si σ 2 necunoscut, din expresia n n P P Xi − Xi2 sau de mai sus result˘ a c˘ a o statistic˘ a suficient˘ a în raport cu σ 2 este 2a0 i=1

i=1

orice alt˘ a func¸tie depinzând de aceasta.

Exemplul 3. Dac˘ a ξ ∈ norm(a, σ 2 ) cu a ¸si σ 2 necunoscu¸ti atunci o statistic˘ a suficient˘ a n n P P Xi , T2 = Xi2 sau orice alt˘ pentru (a, σ 2 ) este (T1 , T2 ) cu T1 = a func¸tie vectorial˘ a i=1

i=1

depinzând de aceasta.

Defini¸tia 2: Estima¸tia λ∗ (X1 , X2 , ..., Xn ) a parametrului λ se nume¸ste corect˘a sau nedeplasat˘a dac˘ a media sa este egal˘ a cu valoarea parametrului λ, adic˘ a E (λ∗ (X1 , X2 , ..., Xn )) = λ. In caz contrar estima¸tia se nume¸ste incorect˘a sau deplasat˘a. a dac˘ a Estima¸tia λ∗ (X1 , X2 , ..., Xn ) a parametrului λ este corect˘ E (λ∗ (X1 , X2 , ..., Xn )) = =

Z

λ∗ (x1 , x2 , ..., xn )L(x1 , x2 , ..., xn ; λ)dx1 dx2 ....dxn = λ

Defini¸tia 3: Estima¸tia corect˘ a λ∗ (X1 , X2 , ..., Xn ) a parametrului λ este mai eficient˘a a are loc rela¸tia decât estima¸tia λ∗∗ (X1 , X2 , ..., Xn ) dac˘ ¡ ¢ ¡ ¢ E (λ∗ (X1 , X2 , ..., Xn ) − λ)2 < E (λ∗∗ (X1 , X2 , ..., Xn ) − λ)2 ,

17.9. ESTIMATII ¸ PUNCTUALE

409

adic˘ a dac˘ a dispersia primeia este mai mic˘ a decât dispersia celei de-a doua. Defini¸tia 4: Dac˘ a mul¸timea numerelor E (λ∗ (X1 , X2 , ..., Xn ) − λ)2 are margine infe-

rioar˘ a în raport cu toate estima¸tiile posibile λ∗ (X1 , X2 , ..., Xn ), acea estima¸tie pe care se atinge acea margine inferioar˘ a se nume¸ste estima¸tie eficient˘a. Defini¸tia 5: O estima¸tie λ∗ (X1 , X2 , ..., Xn ) a parametrului λ pentru care are loc rela¸tia lim

n→∞

E (λ∗ (X1 , X2 , ..., Xn ) − λ)2 =1 inf∗ E (λ∗ (X1 , X2 , ..., Xn ) − λ)2 λ

se nume¸ste estima¸tie asimptotic eficient˘a. Defini¸tia 6: O estima¸tie λ∗ (X1 , X2 , ..., Xn ) a parametrului λ care tinde în probabilitate c˘ atre λ când n tinde c˘ atre infinit se nume¸ste consistent˘a. Conform legii numerelor mari lim

n→∞

X1 + X2 + ... + Xn = E(ξ) n

adic˘ a X1 + X2 + ... + Xn =X n este o estima¸tie consistent˘ a a lui E(ξ). Evident ea este ¸si o estima¸tie corect˘ a a lui E(ξ). Aceast˘ a estima¸tie se nume¸ste media selec¸tiei. S˘ a consider˘ am acum dispersia selec¸tiei 1X S = (Xk − X)2 . n k=1 n

2

Notând m = E(ξ) se poate scrie

S2 =

n ¢¤2 ¡ 1 X£ = (Xk − m) − X − m n k=1

n n ¢X ¢2 1X 2¡ n¡ 2 = (Xk − m) − X −m (Xk − m) + X −m = n k=1 n n k=1 n ¢ ¡ ¢ n¡ ¢2 2¡ 1X (Xk − m)2 − X −m n X −m + X −m = = n k=1 n n

=

n ¢2 ¡ 1X (Xk − m)2 − X − m n k=1

410

˘ TI ˘ MATEMATICA ˘ CAPITOLUL 17. PROBABILITA ¸ S¸I STATISTICA

Conform legii numerelor mari, 1X p (Xk − m)2 → E(ξ − m)2 = σ 2 (ξ). n k=1 n

Al doilea termen tinde în probabilitate c˘ atre zero pentru c˘ a ³¡ ´ ¯ √ ¢ ¢2 ¡¯ p X − m > ε = p ¯X − m¯ > ε → 0. p

a dispersia selec¸tiei este o estima¸tie consistent˘ a pentru Rezult˘ a c˘ a S 2 → σ 2 (ξ), adic˘

dispersia variabilei aleatoare. Cum ! Ã n ³ ´ 1 X ¡ 2¢ 1 1 E S E (Xk − m)2 − E (X − m)2 = nσ 2 − σ 2 = = n n n k=1 =

n−1 2 σ 6= σ 2 n

rezult˘ a c˘ a dispersia selec¸tiei este o estima¸tie incorect˘ a a dispersiei variabilei aleatoare. Este îns˘ a evident c˘ a a¸sa numita dispersie modificat˘a a selec¸tiei ¢2 n 1 X¡ S2 = = Xk − X n−1 n − 1 k=1 n

S

∗2

este o estima¸tie corect˘ a ¸si consistent˘ a a dispersiei variabilei aleatoare. Fie λ un parametru de care depinde func¸tia de distribu¸tie Fξ(x, λ). Presupunem c˘ a R a ecua¸tia m1 (λ) = z are solu¸tie unic˘ a este finit momentul m1 (λ) = xdFξ(x, λ) ¸si c˘

pentru orice z. Media selec¸tiei

X=

X1 + X2 + ... + Xn n

este func¸tie de valorile selec¸tiei. Egalând momentul teoretic cu momentul empiric b a acestei ecua¸tii este o posibil˘ a estima¸tie a paraob¸tinem ecua¸tia m1 (λ) = X. Solu¸tia λ

metrului λ. Dac˘ a exist˘ a mai mul¸ti parametrii, atunci se vor egala mai multe momente teoretice cu momentele corespunz˘ atoare ale selec¸tiei. Aceast˘ a metod˘ a de determinare a estima¸tiilor parametrilor se nume¸ste metoda momentelor sau metoda lui K.Pearson. Ea se bazeaz˘ a pe faptul ca momentele selec¸tiei tind în probabilitate c˘ atre momentele teoretice de acela¸si ordin. Exemplul 4. Se ¸stie c˘ a variabila aleatoare ξ este distribuit˘ a uniform într-un interval [a, b] necunoscut. Fie (X1 , X2 , ..., Xn ) o selec¸tie. Vrem s˘ a determin˘ am estima¸tiile punctuale a∗ (X1 , X2 , ..., Xn ), b∗ (X1 , X2 , ...., Xn ) pentru capetele intervalului a, b. Primele

17.9. ESTIMATII ¸ PUNCTUALE

411

dou˘ a momente teoretice ale lui ξ se vor egala cu momentele corespunz˘ atoare ale selec¸tiei a+b 1X Xi , = 2 n i=1 n

a2 + ab + b2 1X 2 = X 3 n i=1 i n

din care deducem estima¸tiile punctuale √ a∗ = X − S 3, √ b∗ = X + S 3, cu nota¸tiile de mai înainte. Exemplul 5. Variabila aleatoare ξ ∈ gamma(λ), adic˘ a are densitatea de reparti¸tie pξ(x) =

1 xλ−1 e−x , x Γ(λ)

> 0. S˘ a gasim o estima¸tie punctual˘ a a parametrului de form˘ aλ

pe baza unei selec¸tii prin metoda momentelor. Vom avea M(ξ) =

Z∞ 0

1X 1 x.xλ−1 e−x dx = λ = Xi = X, Γ(λ) n i=1 n

deci estima¸tia este λ∗ = X. O alt˘ a metod˘ a de determinare a estima¸tiilor punctuale ale parametrilor se bazeaz˘ a pe faptul c˘ a se alege estima¸tia λ∗ pentru care probabilitatea de realizare a selec¸tiei X1 , X2 , ..., Xn s˘ a fie maxim˘ a. Cum probabilitatea de realizare a selec¸tiei este verosimiltatea L(X1 , X2 , ..., Xn , λ), o asemenea estima¸tie se nume¸ste estima¸tie de verosimilitate maxim˘a (EVM). Estima¸tia λ∗ de verosimilitate maxim˘ a se ob¸tine din rezolvarea ecua¸tiei ∂L(X1 , X2 , ..., Xn , λ) =0 ∂λ sau a ecua¸tiei uneori mai simple ∂ ln L(X1 , X2 , ..., Xn , λ) = 0. ∂λ In cazul mai multor parametri condi¸tia de verosimilitate maxim˘ a con¸tine atâtea ecua¸tii câ¸ti parametri. Se poate ar˘ ata c˘ a în metoda verosimilit˘ a¸tii maxime

412

˘ TI ˘ MATEMATICA ˘ CAPITOLUL 17. PROBABILITA ¸ S¸I STATISTICA

• ecua¸tia ob¸tinut˘ a are o solu¸tie care este o estima¸tie consistent˘ a pentru λ; • solu¸tia este distribuit˘ a la limit˘ a asimptotic normal, adic˘ a pentru o normare corespunz˘ atoare distribu¸tia limit˘ a este normal˘ a; • dac˘ a pentru λ exist˘ a o estima¸tie eficient˘ a, atunci metoda verosimilit˘ a¸tii maxime d˘ a aceast˘ a estima¸tie. In leg˘ atur˘ a cu ultima proprietate are loc a¸sa numita teorem˘ a a lui Rao-Cramer: a eficient˘ a a parametrului Teorema 2. Dac˘ a λ∗ (X1 , X2 , ..., Xn ) este o estima¸tie corect˘ λ din densitatea de reparti¸tie pξ(x, λ) a variabilei aleatoare ξ atunci dispersia sa este var(λ∗ (X1 , X2 , ..., Xn ) =

1 In

unde In este informa¸tia lui Fisher dat˘ a de "µ ·µ 2 ¶¸ ¶2 # ∂ ln pξ(ξ, λ) ∂ ln pξ(ξ, λ) = −nM In = nM ∂λ ∂λ2 sau In = n

Z∞ µ

∂ ln pξ(x, λ) ∂λ

−∞

¶2

pξ(x, λ)dx.

In cazul variabilelor discrete integrala se înlocuie¸ste prin seria corespunz˘ atoare. Exemplul 6. Se repet˘ a de n ori o experien¸ta˘ cu dou˘ a rezultate posibile: succesul cu probabilitatea necunoscut˘ a p ¸si insuccesul cu probabilitatea q = 1 − p. Succesul apare de m ori. Func¸tia de verosimilitate este L(X1 , X2 , ..., Xn , p) = pm (1 − p)n−m , l(X1 , X2 , ..., Xn , p) = m ln p + (n − m) ln(1 − p). Vom putea scrie ∂l m n−m = − = 0. ∂p p 1−p

Ob¸tinem astfel estima¸tia de verosimilitate maxim˘ a pentru probabilitatea p: p∗ (X1 , X2 , ..., Xn ) =

m , n

adic˘ a tocmai frecven¸ta de realizare a succesului în cele n repet˘ ari. Acest˘ a frecven¸ta˘

) = p, este o estima¸tie consistent˘ este o estima¸tie nedeplasat˘ a a lui p pentru c˘ a E( m a n pentru c˘ a dup˘ a legea numerelor mare a lui Bernoulli avem

m n

p

→ p când n → ∞. In plus

17.9. ESTIMATII ¸ PUNCTUALE

413

dup˘ a legea lui Moivre-Laplace, frecven¸ta este o estima¸tie asimptotic normal˘ a. Avem succesiv m 1 pq ) = 2 var(m) = 2 , n n n m m n−m pξ(m, p) = Cn p q

var(

Deci

ln pξ(m, p) = ln Cnm + n ln p + (n − m) ln(1 − p), m n − m ∂ 2 ln pξ m ∂ ln pξ n−m = − , = − − ∂p p 1−p ∂p2 p2 (1 − p)2 In

¶ n−m Cnm pm qn−m = = n + 2 2 p (1 − p) ¶ µ=0 np n2 n np = , + = n − p2 q2 q2 pq

)= adic˘ a se verific˘ a var( m n

n µ X m

1 In

¸si deci frecven¸ta relativ˘ a este o estima¸tie eficient˘ a.

Exemplul 7. Pentru a ob¸tine estima¸tii ale parametrilor a ¸si σ din legea normal˘ a scriem func¸tia de verosimilitate −

de unde

1 L(X, X, ...., X, a, σ) = ¡√ ¢n e 2πσ

1 2σ 2

n X i=1

(Xi −a)2

n n n 1 X 2 (Xi − a)2 . l = ln L = − ln(2π) − ln σ − 2 2 2 2σ i=1

Derivând în raport cu a ¸si cu σ 2 ob¸tinem sistemul

n 1 X (Xi − a) = 0, σ 2 i=1 n n 1 X (Xi − a)2 = 0, − 2+ 4 2σ 2σ i=1

de unde ob¸tinem estima¸tiile de verosimilitate maxim˘ a a∗ = b a(X1 , X2 , ..., Xn ) = X = b2 (X1 , X2 , ..., Xn ) = σ ∗2 = σ

X1 + X2 + ... + Xn , n

¢2 1 X¡ Xi − X = S 2 . n i=1 n

Acestea coincid cu estima¸tiile ob¸tinute prin metoda momentelor. A¸sa cum s-a spus, ambele sunt consistente, prima este nedeplasat˘ a, a doua este deplasat˘ a.

414

17.10

˘ TI ˘ MATEMATICA ˘ CAPITOLUL 17. PROBABILITA ¸ S¸I STATISTICA

Intervale de încredere

A stabili un interval de încredere pentru parametrul λ însemn˘ a s˘ a determin˘ am dou˘ a statistici λ1 (X1 , X2 , ..., Xn , α), λ2 (X1 , X2 , ..., Xn , α) asfel încât p(λ1 (X1 , X2 , ..., Xn , α) < λ < λ2 (X1 , X2 , ..., Xn , α)) = 1 − α. Num˘ arul 1 − α se nume¸ste coeficient de încredere ¸si se exprim˘ a uneori în procente de (1 − α)100. Num˘ arul α sau α100% se nume¸ste nivel de semnifica¸tie sau eroarea cu care se determin˘a intervalul de încredere. Intervalul de încredere este aleator de la o selec¸tie la alta, dar dup˘ a realizarea unui sondaj capetele intervalului au valori determinate. Se poate stabili un interval de încredere pentru parametrul λ dac˘ a exist˘ a o statistic˘ a T (X1 , X2 , ..., Xn , λ) continu˘ a ¸si monoton˘ a în λ ¸si c˘ arei densitate de probabilitate nu depinde de λ. In adev˘ ar dac˘ a presupunem c˘ a statistica T (X1 , X2 , ..., Xn , λ) este cresc˘ atoare în func¸tie de λ ¸si P (x) , Q(p) sunt func¸tia cumulativ˘ a de probabilitate respectiv func¸tia invers˘ a cumulativ˘ a ¸si p1 , p2 sunt dou˘ a numere, atunci rela¸tia p(T (X1 , X2 , ..., Xn , λ) ≥ t1 ) ≥ p1 este echivalent˘ a cu rela¸tia λ ≥ λ1 (X, X, ..., X, t1 ) unde t1 = Q(p1 ) ¸si λ1 (X, X, ..., X, t1 ) este solu¸tia ecua¸tiei în λ : T (X1 , X2 , ..., Xn , λ) = t1 . La fel rela¸tia p(T (X1 , X2 , ..., Xn , λ) ≤ t2 ) ≤ p2 este echivalent˘ a cu rela¸tia λ ≤ λ2 (X1 , X2 , ..., Xn , t2 ) unde t2 = Q(p2 ) ¸si λ2 (X1 , X2 , ..., Xn , t2 ) este solu¸tia ecua¸tiei în λ : T (X1 , X2 , ..., Xn , λ) = t2 . Atunci rela¸tia p(t1 ≤ T (X1 , X2 , ..., Xn , λ) ≤ t2 ) = p2 − p1 este echivalent˘ a cu rela¸tia λ1 (X1 , X2 , ..., Xn , t1 ) ≤ λ ≤ λ2 (X1 , X2 , ..., Xn , t1 ). asim un interval de încredere pentru parametru λ cu nivelul Alegând p2 − p1 = 1 − α g˘ de semnifica¸tie α. Statistica T (X1 , X2 , ..., Xn , λ) se poate determina prin a¸sa numitul principiu al raportului de verosimilitate. S˘ a presupunem c˘ a func¸tia de reparti¸tie a popula¸tiei depinde de un singur parametru λ. Consider˘ am raportul r(X1 , X2 , ..., Xn ; λ) =

L(X1 , X2 , ..., Xn ; λ) , max L(X1 , X2 , ..., Xn ; λ) λ

17.10. INTERVALE DE ÎNCREDERE

415

L(X1 , X2 , ..., Xn ; λ) fiind func¸tia de verosimilitate. Maximul de la numitor se atinge pentru estima¸tia lui λ de verosimilitate maxim˘ a λ∗ . Este evident c˘ a valoarea raportului este cuprins˘ a între 0 ¸si 1. Cu cât acest raport este mai apropiat de 1 cu atât este valoarea lui λ este mai apropiat˘ a de λ∗ . Deci vom putea g˘ asi intervale de încredere scriind p(r(X1 , X2 , ..., Xn ; λ) > cα) = 1 − α. Exemplul 1. Interval de încredere pentru media unei variabile aleatoare ξ ∈ norm(a, σ0 ) cu σ0 cunoscut. Func¸tia de verosimilitate este à L=

1

p 2πσ02

de unde func¸tia de log-verosimilitate à l = n ln

Cum

1

p 2πσ02

!n

!

−

−

e

1 2 2σ0

P

(Xi −a)2

1 X (Xi − a)2 . 2σ02

1 X ∂l = 2 (Xi − a) = 0 ∂m σ0

rezult˘ a c˘ a estima¸tia de verosimilitate maxim˘ a a lui a este a∗ = X =

X1 + X2 + ... + Xn . n

Valoarea func¸tiei de verosimilitate pe aceasta este !n à P − 12 (Xi −X)2 1 ∗ 2σ0 e L = p 2πσ02

¸si deci

r=

− 12 [ L 2σ0 = e L∗

P

P (Xi −a)2 − (Xi −X)2 ]

−

=e

1 2 2 (X−a) n 2σ0

Inegalitatea r > cα este echivalent˘ a cu inegalitatea ¯ √ ¯ ¯ (X − a) n ¯ p ¯ < −2 ln cα = cα0 ¯ ¯ ¯ σ0 Statistica

√ (X − a) n T (X1 , X2 , ..., Xn , a) = ∈ norm(0, 1) σ0

este o variabil˘ a normal˘ a standard. Ea este descresc˘ atoare în a.

.

˘ TI ˘ MATEMATICA ˘ CAPITOLUL 17. PROBABILITA ¸ S¸I STATISTICA

416 Vom avea

µ¯ ¶ √ ¯ ¯ (X − a) n ¯ 0 0 0 ¯ ¯ 1−α = p ¯ ¯ < cα = pnorm(cα , 0, 1) − pnorm(−cα , 0, 1) = σ0 = −1 + 2pnorm(cα0 , 0, 1) adic˘ a pnorm(cα0 , 0, 1) = 1 −

α 2

a intervalul de sau cα0 = qnorm(1 − α2 , 0, 1). Rezult˘

încredere α α σ0 σ0 X − √ qnorm(1 − , 0, 1) ≤ a ≤ X + √ qnorm(1 − , 0, 1). 2 2 n n Exemplul 2. Interval de încredere pentru media unei variabile aleatoare normale ξ ∈ norm(a, σ) când nu se cunoa¸ste σ. Vom considera raportul max L(X1 , X2 , ..., Xn ; a, σ) r=

σ

max L(X1 , X2 , ..., Xn ; a, σ)

.

a,σ

Se g˘ ase¸ste

¶n/2 µP (Xi − X)2 . r= P (Xi − a)2

Inegalitatea r > cα este echivalent˘ a cu inegalit˘ a¸tile

P µ ¶2/n (Xi − a)2 1 < P cα (Xi − X)2

sau

P µ ¶2/n (Xi − X)2 + n(X − a)2 1 < P 2 cα (Xi − X)

sau

sau

Am notat

(n − 1)n(X − a)2 < (n − 1) P (Xi − X)2

õ

1 cα

¶2/n

!

−1

v õ ¶ ! ¯ u ¯ 2/n ¯ u ¯√ X − a 1 ¯ < t(n − 1) ¯ n−1 − 1 = cα0 . ¯ S ¯ cα P (Xi − X)2 S = n 2

dispersia de selec¸tie.

17.10. INTERVALE DE ÎNCREDERE

417

2

Se poate ar˘ ata c˘ a variabila V = nS are o reparti¸tie chisq(n − 1). Ar trebui s˘ a se σ2 P în¸teleag˘ a acest lucru din cauz˘ a c˘ a (Xi − X) = 0. Variabila U = X−a satisface rela¸tiile √σ n

E(U) = 0, cov(U) = 1 adic˘ a U ∈ norm(0, 1). Deci variabila r √ σ n−1 X − a√ √ X −a T =U = n−1 n n − 1√ = V σ S nS

este de tipul t(n − 1) cu densitatea de reparti¸tie dt(x, n − 1), cu func¸tia cumulativ˘ a pt(x, n − 1) ¸si cu func¸tia invers˘ a cumulativ˘ a este qt(p, n − 1). Avem ¯ ¶ µ¯ ¯√ ¯ X − a 0 ¯ < cα = pt(cα0 , n − 1) − pt(−cα0 , n − 1) = 1 − α = p ¯¯ n − 1 S ¯ = −1 + 2pt(cα0 , n − 1) ¸si deci 1 −

α 2

= pt(cα0 ) sau cα0 = qt(1 − α2 ). Rezult˘ a intervalul de încredere

S α α S X−√ qt(1 − , n − 1) ≤ a ≤ X + √ qt(1 − , n − 1) 2 2 n−1 n−1 Exemplul 3. Interval de încredere pentru dispersia σ 2 a unei variabile ξ ∈ norm(a, σ). Am v˘ azut c˘ a statistica (n − 1)S ∗2 = T = σ2

P (Xi − X)2 ∈ chisq(n − 1) σ2

este o variabil˘ a aleatoare de a¸sa numitul tip hi-p˘atrat cu n-1 grade de libertate. Densitatea de reparti¸tie a acestei variabile este x ³ x ´ n−1 1 2 , x > 0. dchisq(x, n − 1) = n−1 exp(− ) 2 2 2Γ( 2 ) Func¸tia cumulativ˘ a este pchisq(x, n−1), iar func¸tia invers˘ a cumulativ˘ a este qchisq(p, n− 1). Procedând ca mai sus g˘ asim intervalul de încredere (n − 1)S ∗2 (n − 1)S ∗2 < σ2 < t2 t1 unde α t1 = qchisq( , n − 1), 2 α t2 = qchisq(1 − , n − 1). 2

418

˘ TI ˘ MATEMATICA ˘ CAPITOLUL 17. PROBABILITA ¸ S¸I STATISTICA

Exemplul 4. Interval de încredere pentru parametrul λ pentru ξ ∈ exp( λ1 ). Se arat˘ a c˘ a în cazul unei selec¸tii a unei asemenea variabile, statistica 2X Xk ∈ chisq(2n), λ k=1 n

T =

este de tipul hi-p˘ atrat cu 2n grade de libertate. Rezult˘ a intervalul de încredere 2

n P

k=1

t2

Xk

2 <λ<

n P

Xk

k=1

t1

unde α t2 = qchisq(1 − , 2n), 2 α t1 = qchisq( , 2n). 2

17.10.1

Exerci¸tii ¸si probleme

1. O selec¸tie de volum n = 20 a unei variabile normale despre care se ¸stie c˘ a are σ = 2 d˘ a determin˘ am un interval de încredere pentru a o medie de selec¸tie X = 4.2. S˘ media variabilei cu coeficientul de încredere 95%. R. Avem α = 0.05. G˘ asim t = qnorm(1 − 0.025, 0, 1) = 1.96. X − t √σn = 3.323,

X + t √σn = 5.077. Deci pentru media variabilei se poate lua orice valoare din intervalul (3.323, 5.077) cu o probabilitate foarte mare egal˘ a cu 0.95. 2. O selec¸tie de volum n = 10 ale unei popula¸tii normale este 3.1, 3.3, 2.9, 3.3, 3.1, 3.2, 2.9, 2.9, 3.1, 3.2. S˘ a se g˘ aseasc˘ a un interval de încredere pentru media acestei popula¸tii la un nivel de 2%. R. Avem mean(X) = 3.1, var(X) = 0.022, S =

p var(X) = 0.148,

S mean(X) − qt(1 − 0.01, 9) √ = 2.961, N −1 S mean(X) + qt(1 − 0.01, 9) √ = 3.239. N −1

Deci g˘ asim intervalul de încredere (2.961, 3.239) la nivelul de semnifica¸tie de 2%.

17.11. VERIFICAREA IPOTEZELOR STATISTICE

419

3. Cu datele din exerci¸tiul precedent s˘ a se determine un interval de încredere pentru σ 2 cu nivelul de semnifica¸tie de 2%. R. Avem t2 = qchisq(1 − 0.01, 9) = 21.666, t1 = qchisq(0.01, 9) = 2.088, (n−1)S ∗2 t1

= 0.105369,

(n−1)S ∗2 t2

= 0.010154.

Deci g˘ asim intervalul de încredere (0.010154, 0.105369). 4. Timpul de func¸tionare pâna la defectare al unor dispozitive electronice are o asoar˘ a timpul de func¸tionare pân˘ a la defectare a 12 reparti¸tie exponen¸tial˘ a exp( λ1 ). Se m˘ n P Xk = 800 ore. S˘ astfel de dispozitive ¸si se g˘ ase¸ste durata lor total˘ a de func¸tionare a se k=1

determine cu un nivel de semnifica¸tie de 10% un interval de încredere pentru parametrul reparti¸tiei. Cum t1 = qchisq(0.05, 24) = 13.848, t2 = qchisq(1 − 0.05, 24) = 36.415, 1600 t2

= 43.938,

1600 t1

= 115.537,

rezult˘ a intervalul de încredere (43.938,115.537).

17.11

Verificarea ipotezelor statistice

Fie ξ o variabil˘ a aleatoare cu func¸tia de reparti¸tie F (x; λ) unde λ este un parametru scalar sau vectorial care apar¸tine unei mul¸timi Λ. Vom numi ipotez˘a statistic˘a orice presupunere privind func¸tia de reparti¸tie. Metodele de verificare a ipotezelor statistice se vor numi teste statistice. a Fie Λ0 , Λ1 o parti¸tie a mul¸timii Λ, adic˘ a Λ = Λ0 ∪ Λ1 , Λ0 ∩ Λ1 = ∅. O ipotez˘ statistic˘ a poate fi ipoteza c˘ a parametrul λ apar¸tine mul¸timii Λ0 , λ ∈ Λ0 . Aceasta se noteaz˘ a H0 : λ ∈ Λ0 ¸si se nume¸ste ipoteza nul˘a. Ipoteza H1 : λ ∈ Λ1 se nume¸ste ipoteza alternativ˘a. Cauza separ˘ arii ipotezei nule este aceea c˘ a în mod obi¸snuit aceasta este o afirma¸tie care în problema dat˘ a este mai important s˘ a fie respins˘ a decât admis˘ a. Respingerea unei ipoteze se face pe baza principiului c˘ a o ipotez˘ a trebuie respins˘ a dac˘ a exist˘ a un exemplu care o contrazice, dar nu este obligatoriu s˘ a fie admis˘ a dac˘ a nu exist˘ a un asemenea exemplu. Vom spune c˘ a o ipotez˘ a este acceptat˘ a dac˘ a nu exist˘ a motive ca ea s˘ a fie respins˘ a.

420

˘ TI ˘ MATEMATICA ˘ CAPITOLUL 17. PROBABILITA ¸ S¸I STATISTICA

Fie S mul¸timea valorilor variabilei aleatoare ξ. Atunci S n este mul¸timea valorilor selec¸tiilor de volum n din popula¸tia variabilei aleatoare ξ. O submul¸time Dc a lui S n se nume¸ste regiune critic˘a pentru ipoteza H0 dac˘ a decidem s˘ a respingem ipoteza H0 când valorile unei selec¸tii cad în mul¸timea Dc ¸si accept˘ am ipoteza H0 dac˘ a valorile selec¸tiei a g˘ asirea unei statistici nu apar¸tin mul¸timii Dc . In mod obi¸snuit un test statistic înseamn˘ T (X1 , X2 , ..., Xn ) astfel încât dac˘ a selec¸tia X1 , X2 , ..., Xn apar¸tine regiunii critice atunci ¸si numai atunci valorile statisticii apar¸tin unei anumite mul¸timi. S ¸ i aceast˘ a mul¸time poate fi numit˘ a regiune critic˘ a. Statistica T (X1 , X2 , ..., Xn ) se nume¸ste statistica testului. Verificarea ipotezelor statistice f˘ acându-se pe baza selec¸tiilor aleatoare exist˘ a riscul apari¸tiilor erorilor. Pentru un test bazat pe o regiune critic˘ a Dc exist˘ a eroarea de prima spe¸t˘a care const˘ a în respingerea ipotezei H0 cu toate c˘ a ea este adev˘ arat˘ a ¸si eroarea de a dou˘a spe¸t˘a care const˘ a în acceptarea ipotezei H0 de¸si ea este fals˘ a. Aceste erori pot fi evaluate prin probabilit˘ a¸tile lor α = prob(respinge H0 cˆand H0 este adev˘arat˘ a), β = prob(accept˘ a H0 cˆand H0 este f als˘a. Evident, trebuie s˘ a avem α, β cât mai mici posibile. Putem scrie and H0 este f als˘a), 1 − α = prob(accept˘a H0 cˆ 1 − β = prob(respinge H0 cˆ and H0 este f als˘a). Acestea ar trebui s˘ a fie cât mai mari. Dar nu este posibil s˘ a facem simultan cât mai mici ¸si α ¸si β. Este clar c˘ a putem scrie arat˘a), α = prob((X1 , X2 , ..., Xn ) ∈ Dc cˆand H0 este adev˘ 1 − β = prob((X1 , X2 , ..., Xn ) ∈ Dc cˆ and H1 este adev˘arat˘ a). Probabilitatea 1 − α se nume¸ste coeficient de încredere, α se nume¸ste nivel de semnifica¸tie, iar probabilitatea 1 − β se nume¸ste puterea de testare. O ipotez˘ a statistic˘ a H0 se nume¸ste simpl˘a dac˘ a mul¸timea Λ0 este compus˘ a dintr-un singur punct. O ipotez˘ a se nume¸ste compus˘a dac˘ a nu este simpl˘ a.

17.11. VERIFICAREA IPOTEZELOR STATISTICE

421

Are loc lema lui Neyman-Pearson. Lema lui Neyman-Pearson. Dac˘ a H0 : λ = λ0 este o ipotez˘ a simpl˘ a cu alternativa simpl˘ a H1 : λ = λ1 atunci exist˘ a o cea mai bun˘a regiune critic˘a Dc∗ de nivel α definit˘ a prin ½ ¾ L(X1 , X2 , ..., Xn ; λ0 ) = (X1 , X2 , ..., Xn )| < cα , L(X1 , X2 , ..., Xn ; λ1 prob((X1 , X2 , ..., Xn ) ∈ Dc∗ |λ0 ) = α Dc∗

astfel încât oricare ar fi regiunea critic˘ a Dc de nivel α prob((X1 , X2 , ..., Xn ) ∈ Dc ) = α are loc rela¸tia prob((X1 , X2 , ..., Xn ) ∈ Dc∗ |λ1 ) ≥ prob((X1 , X2 , ..., Xn ) ∈ Dc |λ1 ). Observa¸tie. Este evident c˘ a dac˘ a raportul

L(X1 ,X2 ,...,Xn ;λ0 ) L(X1 ,X2 ,...,Xn ;λ1

dintre verosimilitatea se-

lec¸tiei condi¸tionat˘ a de λ = λ0 ¸si verosimilitatea selec¸tiei condi¸tionat˘ a de λ = λ1 este mic atunci suntem îndrept˘ a¸ti¸ti s˘ a respingem ipoteza H0 . In adev˘ ar fie C = Dc∗ ∩ Dc , A = Dc∗ \C, B = Dc \C. Avem prob(A|λ0 ) = prob(B|λ0 ), prob(A|λ0 ) ≤ cαprob(A|λ1 ), prob(B|λ0 ) ≥ cαprob(B|λ1 ). Rezult˘ a prob(Dc∗ |λ1 ) = prob(A|λ1 ) + prob(B|λ1 ) ≥

1 prob(A|λ0 ) + prob(C|λ1 ) ≥ cα

1 prob(B|λ0 ) + prob(C|λ1 ) ≥ prob(B|λ1 ) + prob(C|λ1 ) = cα = prob(Dc |λ1 ),

≥

ceea ce trebuia demonstrat. Exemplul 1. Fie ξ ∈ norm(0, σ 2 ) cu ipoteza H0 : σ = σ0 contra ipoteza H1 : σ = σ1 . Cea mai bun˘ a regiune criti`ca˘ este definit˘ a de ! Ã µ ¶n n n X X σ1 −1 1 exp Xi2 + 2 Xi2 < cα 2 σ0 2σ0 i=1 2σ1 i=1

˘ TI ˘ MATEMATICA ˘ CAPITOLUL 17. PROBABILITA ¸ S¸I STATISTICA

422 sau

n X

Xi2

i=1

sau dac˘ a σ1 < σ0 n X

Xi2

i=1

1 σ02

Pn

i=1

1 1 − 2σ12 2σ02

¶

< cα − n ln

σ1 σ0

¶µ ¶−1 µ 1 1 σ1 < cα − n ln = cα0 − σ0 2σ12 2σ02

sau înc˘ a

Cum

µ

n 1 1 X 2 Xi < 2 cα0 . 2 σ0 i=1 σ0

Xi2 ∈ chisq(n) rezult˘ a c˘ a nivelul de semnifica¸tie este α = pchisq

µ

¶ 1 0 cα , n σ02

de unde constanta cα0 este dat˘ a de rela¸tia 1 0 cα = qchisq(α, n). σ02 Deci regiunea de acceptare a ipotezei H0 : λ = λ0 la nivelul de semnifica¸tie α este n X i=1

Xi2 ≥ cα0

In cazul σ1 > σ0 se schimb˘ a sensul inegalit˘ a¸tii. Exemplul 2. Fie ξ ∈ norm(a, σ02 ) cu σ0 cunoscut. Consider˘ am ipoteza simpl˘ a H0 : a = a0 contra ipoteza ipoteza simpl˘ a cea mai a H1 : a = a1 cu a1 > a0 . Regiunea critic˘ bun˘ a este dat˘ a de rela¸tia à à n !! n X −1 X 2 2 exp < cα (Xi − a0 ) − (Xi − a1 ) 2σ02 i=1 i=1 sau exp

Ã

−(a1 − a0 ) 2σ02

sau

Dar X ∈ norm(a,

Ã

2

n X i=1

Xi − a0 − a1

!!

< cα

1X X= Xi > cα0 . n i=1 n

σ02 ) n

¸si

√ n(X−a) σ0

∈ norm(0, 1) ¸si regiunea critic˘ a este dat˘ a de

√ √ n(X − a0 ) n(cα0 − a0 ) > σ0 σ0

17.11. VERIFICAREA IPOTEZELOR STATISTICE

423

de unde nivelul de semnifica¸tie este √ n(cα0 − a0 ) α = 1 − pnorm( , 0, 1) σ0 sau

√ n(cα0 − a0 ) = qnorm(1 − α, 0, 1) σ0

sau σ0 cα0 = a0 + √ qnorm(1 − α, 0, 1) n Regiunea de acceptare a ipotezei H0 la nivelul de semnifica¸tie α este X ≤ cα0 . Exemplul 3. Fie ξ ∈ binom(m, p). Fie ipoteza simpl˘ a H0 : p = p0 contra ipoteza a cea mai bun˘ a este dat˘ a de simpl˘ a H1 : p = p1 cu p1 < p0 . Regiunea critic˘ õ ! ¶ n p0 1 − p0 1 − p0 X exp ln − ln < cα Xi + nm ln p1 1 − p1 i=1 1 − p1 sau T =

n X

Xi > cα0

i=1

Cum T ∈ binom(nm, p) rezult˘ a c˘ a nivelul de semnifica¸tie α este dat de α = 1 − pbinom(cα0 , nm, p0 ) de unde constanta cα0 este cα0 = qbinom(1 − α, nm, p0 ). Regiunea de acceptare a ipotezei H0 la nivelul de semnifica¸tie α este T =

n X i=1

Xi ≤ cα0 .

Când ipoteza H0 : λ ∈ Λ0 este compus˘ a contra alternativei compuse H1 : λ ∈ Λ1 =

Λ\Λ0 , o regiune critic˘ a Dc∗ de nivel cel mult α, adic˘ a prob(Dc∗ |λ ∈ Λ0 ) ≤ α, se nume¸ste regiune critic˘a uniform cea mai bun˘a dac˘ a oricare ar fi regiunea critic˘ a Dc de nivel cel mult α are lor rela¸tia prob(Dc∗ |λ ∈ Λ1 ) ≥ prob(Dc |λ ∈ Λ1 ). Testul uniform cel mai bun (cel mai puternic) nu exist˘ a întotdeauna.

424

˘ TI ˘ MATEMATICA ˘ CAPITOLUL 17. PROBABILITA ¸ S¸I STATISTICA

Exemplul 4. Fie ξ ∈ norm(a, 1) ¸si ipoteza H0 : a = a0 contra ipoteza H1 : a > a0 . Regiunea de respingere va fi dat˘ a de µ ¶ 1X 1X 2 2 exp − (Xi − a0 ) + (Xi − a) = 2 2 µ ¶ a0 + a = exp n(a0 − a)(X − ) < cα 2

sau

X > cα0 Mul¸timea © ª Dc = (X1 , X2 , ..., Xn )|X > cα0

va fi regiunea critic˘ a uniform cea mai bun˘ a dac˘ a alegem constanta cα0 din condi¸tia prob(Dc |a = a0 ) = α adic˘ a 1 cα0 = a0 + √ qnorm(1 − α, 0, 1). n aseam Dac˘ a contra ipotezei H0 luam ipoteza H1 : a 6= a0 atunci pentru a > a0 g˘ regiunea critic˘ a uniform cea mai bun˘ a 1 X > a0 + √ qnorm(1 − α, 0, 1), n aseam regiunea critic˘ a uniform cea mai bun˘ a iar pentru a < a0 g˘ 1 X < a0 − √ qnorm(1 − α, 0, 1), n adic˘ a nu putem g˘ asi o regiune critic˘ a uniform cea mai bun˘ a în cazul alternativei H1 : a 6= a0 . In situa¸tia în care nu exist˘ a o regiune critic˘ a uniform cea mai bun˘ a, cum a fost mai sus, ar trebui redefinit ce în¸telegem prin cea mai bun˘ a regiune regiune critic˘ a. Aceasta nefiind un lucru simplu ne limit˘ am numai a prezenta o metod˘ a care d˘ a un test u¸sor de aplicat. O metod˘ a larg utilizat˘ a pentru verificarea ipotezelor statistice este testul raportului de verosimilitate

max L(X1 , X2 , ..., Xn ; λ) r(X1 , X2 , ..., Xn ) =

λ∈Λ0

max L(X1 , X2 , ..., Xn ; λ) λ∈Λ

.

17.11. VERIFICAREA IPOTEZELOR STATISTICE

425

Se caut˘ a regiunea de respingere Dc ca determinat˘ a de rela¸tia r(X1 , X2 , ..., Xn ) < cα unde constanta cα se determin˘ a din nivelul de semnifica¸tie prob((X1 , X2 , ..., Xn ) ∈ Dc |λ ∈ Λ0 ) = α. Se poate ar˘ ata ca variabila −2 ln r(X1 , X2 , ..., Xn ) tinde în reparti¸tie pentru n → ∞ c˘ atre o variabil˘ a repartizat˘ a chisq(r) unde r este diferen¸ta între num˘ arul de dimensiuni al mul¸timii Λ ¸si num˘ arul de dimensiuni al mul¸timii Λ0 . Exemplul 5. Fie ξ ∈ norm(a, σ02 ) ¸si ipoteza H0 : a = a0 contra ipoteza H1 : a 6= a0 .

Presupunem σ02 cunoscut. Fie (X1 , X2 , ..., Xn ) o selec¸tie din popula¸tia variabilei ξ. Se ¸stie n P Xi este estima¸tia de verosimilitate maxim˘ c˘ a media de selec¸tie X = n1 a a parametrului i=1

a. Raportul de verosimilitate este ¸ · n P 1 2 ¸ · exp − 2σ2 (Xi − a0 ) 0 n i=1 2 ¸ = exp − 2 (X − a0 ) · r(X1 , X2 , ..., Xn ) = n P 2σ0 1 2 exp − 2σ2 (Xi − X) 0

i=1

¸si deci

− ln r(X1 , X2 , ..., Xn ) =

n (X − a0 )2 . 2σ02

Regiunea de respingere a ipotezei H0 este n (X − a0 )2 > −2 ln cα 2 σ0 unde

µ

n (X − a0 )2 > −2 ln cα prob 2 σ0

¶

=α

sau prob (chisq(1) > −2 ln cα) = 1 − prob(chisq(1) < −2 ln cα) = α sau −2 ln cα = qchisq(1 − α, 1). Puteam scrie ¸si

√ p n |X − a0 | > −2 ln cα σ0

˘ TI ˘ MATEMATICA ˘ CAPITOLUL 17. PROBABILITA ¸ S¸I STATISTICA

426

sau

´ ³ ´ ³ p p prob norm(0, 1) < −2 ln cα + prob norm(0, 1) > − −2 ln cα = 1 − α prob(norm(0, 1) <

sau

p p −2 ln cα) − 1 + prob(norm(0, 1) < −2 ln cα) = 1 − α prob(norm(0, 1) <

adic˘ a

p α −2 ln cα) = 1 − 2

p α −2 ln cα = qnorm(1 − , 0, 1). 2

Exemplul 6. Fie ξ ∈ norm(a, σ 2 ) ¸si ipoteza H0 : a = a0 contra ipoteza H1 : a 6= a0 . Se presupune σ necunoscut. In acest caz avem Λ = {(a, σ 2 )|a ∈ R, σ ∈ R} Λ0 = {(a0 , σ 2 )|σ ∈ R} Estima¸tiile de maxim˘ a verosimilitate ale lui a ¸si σ 2 în mul¸timea Λ sunt 1X X = Xi , n i=1 n

1X (Xi − X)2 n i=1 n

S2 = iar în mul¸timea Λ0 sunt

Sb2

a0 , n 1X = (Xi − a0 )2 . n n=1

Raportul de verosimilitate va fi ¸ · ³ ´n n P 1 1 2 µ ¶n exp − 2Sb2 (Xi − a0 ) Sb S i=1 ¸ = · = r = n ¡ 1 ¢n P b S 1 2 exp − 2S 2 (Xi − X) S 

i=1

n P

2

n/2

 i=1(Xi − X)   =  n P  (Xi − a0 )2 i=1

¶−n/2 µ T2 = 1+ n−1



−n/2

 n(X − a0 )2   1 + = n   P (Xi − X)2 i=1

=

˘ 17.12. TESTE DE CONCORDANT ¸A

427

unde variabila aleatoare (n − 1)(X − a0 ) S este de tipul Student cu n − 1 grade de libertate t(n − 1). Regiunea de respingere va fi T =

Dc = {(X1 , X2 , ..., Xn )||T | > cα} unde pt(cα, n − 1) − 1 + pt(cα, n − 1) = 1 − α sau α , n − 1). 2 Dac˘ a drept ipotez˘ a alternativ˘ a consider˘ am ipoteza H1 : a < a0 atunci regiunea cα = qt(1 −

critic˘ a pentru ipoteza nul˘ a H0 este Dc = {(X1 , X2 , ..., Xn )|T < cα} unde pt(cα, n − 1) = α sau cα = qt(α, n − 1). a pentru ipoteza nul˘ a H0 este In cazul ipotezei alternative H1 : a > a0 regiunea critic˘ Dc = {(X1 , X2 , ..., Xn )|T > cα} unde 1 − pt(cα, n − 1) = α sau cα = qt(1 − α, n − 1).

17.12

Teste de concordan¸ta ˘

Ipotezele statistice din paragraful precedent se refereau la parametrii reparti¸tiei variabilei aleatoare ξ. Testele prin care se verific˘ a aceste ipoteze se numesc teste parametrice. Exist˘ a situa¸tii când este necesar˘ a testarea unei ipoteze referitoare chiar la func¸tia de reparti¸tie Fξ(x) = p(ξ < x), adic˘ a avem ca ipotez˘ a nul˘ a ipoteza H0 : Fξ(x) = F (x) cu F (x) o func¸tie dat˘ a contra alternativei H1 : Fξ(x) 6= F (x).

˘ TI ˘ MATEMATICA ˘ CAPITOLUL 17. PROBABILITA ¸ S¸I STATISTICA

428

17.12.1

1. Criteriul de concordan¸ta atrat ˘ hi p˘

Pentru a estima concordan¸ta între reparti¸tia datelor de selec¸tie cu reparti¸tia presupus˘ a se consider˘ a o parti¸tie a intervalului [A, B] al valorilor posibile ale variabilei ξ dat˘ a de A = t0 < t1 < t2 < ... < tr−1 < tr = B. Ob¸tinem astfel r subintervale I1 , I2 , ..., Ir . Probabilitatea ca variabila aleatoare ξ s˘ a ia valori în subintervalul Ik este pk = p(ξ ∈ Ik ) = F (tk ) − F (tk−1 ). Dup˘ a realizarea selec¸tiei not˘ am cu nk num˘ arul elementelor selec¸tiei de volum n care r P nk = n. Este de a¸steptat ca valoarea lui nk s˘ cad în subintervalul Ik . a fie egal˘ a cu k=1

npk . Drept m˘ asur˘ a a abaterii reparti¸tiei selec¸tiei de la reparti¸tia ipotetic˘ a este normal s˘ a lu˘ am statistica 2

X =

r X (nk − npk )2 k=1

npk

.

atre o variabil˘ a ζ ∈ chisq(r − 1). Pentru n → ∞ statistica X 2 tinde în reparti¸tie c˘ a cad˘ a în I1 , n2 elemente s˘ a In adev˘ ar probabilitatea ca n1 elemente ale selec¸tiei s˘ cad˘ a în I2 , etc, nr elemente s˘ a cad˘ a în Ir este r n! Y nk P = Q pk . r nk ! k=1 k=1

Dac˘ a consider˘ am r variabile aleatoare independente

η1 ∈ pois(np1 ), η2 ∈ pois(np2 ), ..., ηr ∈ pois(npr ) atunci p(η1 = n1 , η2 = n2 , ..., ηr = nr ) =

r Y (npk )nk

k=1

= e−n nn

r Y pnk k

nk ! k=1

nk !

e−npk =

.

Variabila η = η1 + η2 + ... + ηr ∈ pois(np1 + np2 + ... + npr ) = pois(n) ¸si deci nn −n p(η = n) = e . n!

Rezult˘ a p(η1 = n1 , η2 = n2 , ..., ηr = nr |η = n) = =

r n! Y nk pk = P r Q nk ! k=1

k=1

p(η1 = n1 , η2 = n2 , ..., ηr = nr ) = p(η = n)

˘ 17.12. TESTE DE CONCORDANT ¸A

429

adic˘ a situa¸tia noastr˘ a poate fi descris˘ a fie prin reparti¸tia polinomial˘ a fie prin r variabile aleatoare repartizate Poisson cu valorile medii ¸si dispersiile egale cu npk . In locul variabilelor nk consider˘ am redusele lor uk =

nk − npk √ npk

care au media nul˘ a ¸si dispersia egal˘ a cu unitatea. Dup˘ a teorema limit˘ a central˘ a variabilele uk tind c˘ atre variabile repartizate normal standard. Atunci statistica X2 =

r X (nk − npk )2

=

npk

k=1

r X

u2k

k=1

suma a r p˘ atrate de variabile repartizate normal standard cu condi¸tia suplimentar˘ a r r r X X X √ npk uk = nk − npk = 0 k=1

k=1

k=1

va tinde c˘ atre o variabil˘ a repartizat˘ a chisq(r − 1). Regiunea critic˘ a a ipotezei nule H0 va fi

unde

© ª Dc = (X1 , X2 , ..., Xn )|X 2 > cα α = prob(X 2 > cα) = 1 − pchisq(cα, r − 1)

sau cα = qchisq(1 − α, r − 1). Pân˘ a acum am presupus c˘ a reparti¸tia este complet specificat˘ a. Dac˘ a reparti¸tia depinde de p parametri λ1 , λ2 , ..., λp atunci probabilit˘ a¸tile pk vor fi func¸tii de ace¸sti parametri pk (λ1 , λ2 , ..., λp ). Func¸tia de verosimilitate va fi r n! Y L(λ1 , λ2 , ..., λp ) = Q pk (λ1 , λ2 , ..., λp )nk r nk ! k=1 k=1

¸si pentru determinarea estima¸tiilor parametrilor vom avea sistemul de ecua¸tii X nk ∂pk (λ1 , λ2 , ..., λp ) ∂l = = 0, i = 1, 2, ..., p. ∂λi p ∂λ k i k=1 r

Aceste rela¸tii impun deci p condi¸tii ¸si deci statistica X2 =

r X (nk − npk (λ1 , λ2 , ..., λp ))2 k=1

npk

˘ TI ˘ MATEMATICA ˘ CAPITOLUL 17. PROBABILITA ¸ S¸I STATISTICA

430

va tinde c˘ atre o variabil˘ a repartizat˘ a chisq(r − p − 1). Din punct de vedere practic testul hi p˘ atrat este simplu de aplicat dar trebuie s˘ a se ¸tin˘ a seam˘ a de unele recomand˘ ari: • fiecare interval s˘ a con¸tin˘ a cel pu¸tin 5 elemente ale selec¸tiei; • unii recomand˘ a ca num˘ arul r de intervale s˘ a fie dat de rela¸tia r ≈ 1 + 3.332lg(n),

al¸tii recomand˘ a r ≈ 4[0.75(n − 1)2 ]1/5 , al¸tii recomand˘ a pentru valori moderate ale £n¤ lui n r ≈ 5 .

17.12.2

2. Testul de concordan¸ta ˘ al lui Kolmogorov

Testul de concordan¸ta˘ al lui Kolmogorov pentru ipoteza H0 : Fξ(x) = F (x) contra ipoteza H1 : Fξ(x) 6= F (x), cu F (x) func¸tie continu˘ a, se bazeaz˘ a reparti¸tia variabilei dn =max |F (x) − Fn (x)| x∈R

unde Fn (x) este func¸tia de reparti¸tie de selec¸tie Fn (x) =

nx X ni = . n n i<x

Se demonstreaz˘ a c˘ a prob(dn > cαn ) = α implic˘ a λα cαn = √ n unde λα se afl˘ a din tabele speciale din care d˘ am numai valorile mai folosite α

0.5

0.1

0.05

0.01

λα 0.826 1.224 1.358 1.627 Ipoteza H0 se respinge dac˘ a dn >

17.12.3

λα √ . n

Exerci¸tii ¸si probleme

1. Se fac 100 observa¸tii independente asupra variabile aleatoare ξ. Valorile ob¸tinute sunt cuprinse între 0 ¸si 1 astfel încât dac˘ a not˘ am cu ni num˘ arul valorilor mai mici decât

˘ 17.12. TESTE DE CONCORDANT ¸A

431

pi = 0.1i, i = 1, 2, ..., 10 acestea sunt 7 24 30 34 45 60 69 80 94 100. S˘ a se verifice cu nivelul de semnifica¸tie α = 0.05 dac˘ a variabila ξ ∈ unif (0, 1). R. Dac˘ a aplic˘ am testul hi p˘ atrat avem 2

X =

10 X (ni − 100pi )2

100pi

i=1

= 3.392.

Pe de alt˘ a parte qchisq(0.95, 9) = 16.919 ¸si deci accept˘ am ipoteza c˘ a ξ ∈ unif (0, 1). Dac˘ a aplic˘ am testul lui Kolmogorov ob¸tinem pentru |F (0.1i) −

ni | n

valorile

0.03 0.04 0 0.06 0.05 0 0.01 0 0.04 0 adic˘ a d100 = 0.06. Cum

λ0.05 √ 100

=

1.358 10

= 0.1358 result˘ a c˘ a ¸si acum ipoteza se accept˘ a.

Datele au fost construite cu runif (1000, 0, 1). 2. Un sondaj de volum 1000 asupra unei variabile ξ d˘ a valori întregi cuprinse între 0 ¸si 8 repartizate ca mai jos k

0

1

2

3

4

5

6

7 8

nk 129 271 278 179 89 40 12 1 1 S˘ a se verifice cu nivelul de semnifica¸tie α = 0.01 dac˘ a ξ ∈ pois(λ). R. Estim˘ am parametrul λ prin

λ=

8 P

knk

k=0

1000

= 2.007.

G˘ asim k

0

1

2

3

4

5

6..8

dpois(k, λ) 0.134 0.27 0.271 0.181 0.091 0.036 0.017 Ca s˘ a aplic˘ am testul hi p˘ atrat grup˘ am ultimele trei valori ¸si avem X2 =

5 X (nk − 1000dpois(k, λ))2 k=0

1000dpois(k, λ)

+

(n6 + n7 + n8 − 1000 ∗ 0.017)2 = 10.016. n6 + n7 + n8 − 1000 ∗ 0.017

Cum qchisq(0.99, 1000 − 2) = 13.277 > 10.016 rezult˘ a c˘ a ipoteza ξ ∈ pois(λ) se accept˘ a. Datele au fost ob¸tinute cu rpois(1000, 2).

˘ TI ˘ MATEMATICA ˘ CAPITOLUL 17. PROBABILITA ¸ S¸I STATISTICA

432

Pentru a aplica testul lui Kolmogorov se calculeaz˘ a mi =

i X

nj , i = 0, 1, 2, ..., 8

j=0

¸si d = max |ppois(i, λ) − i=0,...,8

Cum

λ0.01 √ 1000

mi | = 0.0054. 1000

= 0.051 > 0.0054 rezult˘ a c˘ a ¸si pe baza acestui test ipoteza se accept˘ a.

3. Pentru a controla functionarea unei ma¸sini automate se prevaleaz˘ a la fiecare jum˘ atate de or˘ a câte 20 de piese care sunt verificate. Dup˘ a prelevarea a 100 de piese datele se prezint˘ a astfel: xi 0 1 2

3

4

5

6 7 8 9

ni 1 5 16 22 18 22 8 5 2 1 S˘ a se verifice cu ajutorul testului hi p˘ atrat concordan¸ta reparti¸tiei cu o reparti¸tie binomial˘ a la nivelul de semnifica¸tie de 0.05. R. Cum g˘ asim mean(x) = 3.93 rezult˘ a c˘ a valoarea estimat˘ a a lui p este p∗ = 0.1965. Vom grupa primele dou˘ a valori ¸si ultimele trei valori cu probabilit˘ a¸tile nni 6 pi

16

22

18

22

8

8

0.074 0.143 0.209 0.218 0.170 0.104 0.078

Vom calcula 2

X =

7 X (nni − 100pi )2 i=1

100pi

= 3.186

în timp ce qchisq(0.95, 5) = 11.070. Deci ipoteza se accept˘ a.

3.93 20

=

Index abaterea variabilei aleatoare, 372

covarianta a doua variabile aleatoare, 376

actiunea sistemului, 89

cuantila, 358

banda caracteristica, 133 bara elastica, 166 camp central de extremale, 60 campul fluxului de caldura, 151 catul lui Rayleigh, 84 coarda, 160 coeficient de incredere, 414, 420 con caracteristic (Monge), 117 conditia lui Iacobi, 71 conditia lui Iacobi de extremum slsb, 78 conditia lui Weirstrass, 74 conditia lui Weirstrass de extremum tare, 77

curba caracteristica, 119 dalambertian, 277 densitatea de repartitie, 384 derivata (materiala) totala, 170 derivata de ordin doi a functionalei, 36 derivata de ordin intai, 27 diferentiala Frechet, 31 diferentiala Gateaux, 31 difuzia undelor, 267 dispersia, 373, 383 dispersia modificata a selectiei, 410 dispersia selectiei, 409 domeniu de influienta, 266

conditia suficienta de scufundare, 72

ec. cvasilinear, 118

conditie de transversalitate, 54

ec. Euler-Lagrange, 45

conditie naturala, 52

ec. Euler-Ostrogradski, 50

conditii la limita, 159

Ec. Euler-Poisson, 49

conditiile lui Weirstrass-Erdman, 67

ec. Hamilton-Iacobi, 61

convergenta in probabilitate, 392

ec. lui Iacobi, 71

convergenta in repartitie, 393

ecuatia caldurii, 152

convergenta tare (cu probabilitate 1), 393

ecuatia lui Euler, 174

coordonate euleriene, 154, 169

ecuatia lui Laplace, 202

coordonate lagrangeiene, 154, 169

ecuatia undelor, 158

corelatia a doua variabile aleatoare, 376

ecuatie de continuitate, 156, 173

INDEX

434 ecuatie de tip eliptic, 181

formula includerii si excluderii, 351

ecuatie de tip hiperbolic, 181

formula ipotezelor (cauzelor), 352

ecuatie de tip parabolic, 181

formula lui Bayes, 352

ecuatie de tip ultrahiperbolic, 181

formula lui D’Alembert, 266

ecuatie normala, 178

formula lui Green pentru f. armonice,

ecuatii integrale, 251

225

ecuatiile lui Lame, 99

formula lui Kirchhoff-Poisson, 283

energia potentiala a unui sistem, 88

formula lui Poisson pentru cerc, 212

eroare de prima (a doua) speta, 420

formula lui Poisson pentru ec. caldurii,

estimatie consistenta, 409 estimatie corecta (nedeplasata), 408 estimatie de verosimilitate maxima, 411

325, 329 formula lui Poisson pentru ec. membranei, 280

estimatie eficienta, 409

formula lui Poisson pentru semiplan, 218

estimatii punctuale, 407

formula lui Poisson pentru sfera, 240

eveniment, 349

formula lui Schwartz-Villat, 213

evenimente elementare, 349 experienta aleatoare, 349 extremala, 45 extreme cu legaturi, 81 famile de unde (ne)dispersive, 257 familie de extremale, 59 faza undei, 257

formula lui Torricelli, 176 formula probabilitatii totale, 352 formulele de salt ale derivatelor normale ale potentialului de simplu strat, 249 formulele de salt ale potentialului de dublu strat, 248

fenomenul Doppler, 312

formulele lui Dini, 221

fluid barotrop, 174

front anterior (posterior), 266

fluid perfect, 168

front de unda al discontinuitatilor, 260

forma canonica a ecdpo2 eliptice, 193

functia caracteristica a variabilei aleatoare,

forma canonica a ecdpo2 hiperbolice, 192

388

forma canonica a ecdpo2 parabolice, 192

functia cumulativa a probabilitatii, 357

forma patratica caracteristica, 180

functia de repartitie, 357

formula de reprezentare prin potentiali,

functia de repartitie normala standard,

236

368

INDEX

435

functia de verosimilitate a selectiei, 407

integrale prime, 47

functia empirica de repartitie, 406

intensitatea variabilei aleatoare, 384

functia generatoare a momentelor, 388

interval de dependenta, 266

functia lui Bernoulli, 176

interval de incredere, 414

functia lui Green, 205

inversa functiei cumulative, 358

functia lui Green (de sursa), 237

ipoteza lui Bernoulli-Euler, 99

functia lui Green pentru ec. caldurii, 341

ipoteza nula (alternativa), 419

functia lui Hamilton, 34

ipoteza statistica, 419

functia lui Lagrange a unui sistem, 89 functia lui Weirstrass, 74 functie armonica in domeniu, 202 functie armonica regulata la infinit, 234 functie de potential, 87 functie generatoare, 376 functie proprie, 85 functii proprii, 306 functionala bilineara, 37 functionala continua, 20 functionala exprimata prin integrala, 18 functionala patratica, 37 functionala pozitiv definita, 37 functionala stationara, 42

lagrangeianul functionalei, 30 lantisor, 16 lege de repartitie, 358 legea atractiei universale, 199 legea lui Fourier, 152 legea lui Newton, 152 legea lui Poisson a evenimentelor rare, 364 legea numerelor mari sub forma lui Bernoulli, 362, 368 legea numerelor mari sub forma lui Markov, 371 legile lui Kepler, 199 lema lui Neyman-Pearson, 421

hipersuprafata integrala, 148

lemele fundamentale ale calc. variational, 43

indicatorul evenimentului, 355

linii (suprafete) de curent, 170

inegalitatea lui Cebisev, 374 inegalitatea lui Markov, 374

media selectiei, 409

integrala completa, 63, 140

mediana, 386

integrala lui Gauss, 236

membrana, 164

integrala singulara, 141

metoda diferentelor divizate, 107

integrala Stieltjes, 381

metoda lui Fourier, 305, 334

INDEX

436 metoda lui Ritz, 108

principiul lui Huygens, 61

metoda momentelor, 410

principiul raportului de verosimilitate, 414

minim (maxim), 21

principiul suprapunerii undelor, 273

moda, 386

probabilitate, 349

modelul lui Laplace al t. probabilitatilor,

probabilitatea evenimentului conditionat,

351

352

momente, 373, 383

problema brahistocronei, 13

multimea functiilor admisibile, 20

problema Cauchy, 115

nivel de semnificatie, 414, 420

problema cu date initiale, 178 problema de tipul lui Boggio, 318

obsrvatie independenta, 370

problema de tipul lui Neuman, 318

oscilatii proprii, 93, 302

problema echilibrului firului greu, 15

oscilatii stationare, 301

problema geodezicelor, 16 problema izoperimetrica, 12

paranteza lui Mayer, 140 polinoamele lui Bernstein, 375 populatia generala a unei variabile aleatoare, 406 potential de dublu strat, 230 potential de simplu strat, 229 potential de volum, 228 potential intarziat, 281 potentialul miscarii, 157, 175 potentialul unui dipol, 228 presiune, 154, 168 principiul de maxim si minim pentru f. armonice, 207 principiul de minim-maxim pentru ec. caldurii, 320 principiul energiei potentiale minime, 104 principiul lui Duhamel, 270 principiul lui Hamilton, 89

problema lui Cauchy, 177 problema lui Cauchy pentru ec. caldurii, 318 problema lui Dirichlet, 153, 318 problema lui Dirichlet pentru f. armonice, 208 problema lui Gourssat, 278 problema lui Neuman, 153 problema lui Plateau, 14 problema opticii geometrice, 14 problema Sturm-Liouville, 85, 306 probleme mixte pentru ec. corzii, 284 proces ondulatoriu stationar, 301 pulsatii proprii, 302 puncte conjucate, 71 puterea de testare, 420 raze caracteristice, 117

INDEX

437

redusa variabilei aleatoare, 375 regiune critica pentru ipoteza nula, 420 regiune critica uniform cea mai buna, 423 repartitia Erlang, 404 repartitia hi patrat, 404 repartitia normala, 384 repartitia Student (t), 405 repartitia uniforma, 384 repartitie exponentiala, 385

suprafetele de faza ale undei, 257 taietura variabilei aleatoare, 402 teorema Cauchy-Kovalevskaia, 179 teorema cercului, 215 teorema de alternativa a lui Fredholm, 251 teorema de factorizare, 408 teorema de medie a lui Gauss, 206 teorema limita a lui Poisson, 363

schema binomiala negativa, 377

teorema limita centrala, 390

schema lui Bernoulli, 360

teorema limita integrala a lui Laplace,

selectie, 406 sistem canonic, 58 sistem caracteristic, 119, 132 sistem complet de evenimente (desfacere), 352

367 teorema limita locala a lui Moivre-Laplace, 367 teorema lui Gauss relativa la campul electric, 243

solutia fundamentala a ec. caldurii, 324

teorema lui Iacobi, 63

solutia fundamentala a ec. undelor, 281

teste statistice, 419

solutia fundamentala a ecuatiei corzii, 272,

testul de concordanta al lui Kolmogorov,

274

430

solutia fundamentala a laplaceanului, 227

testul de concordanta hi patrat, 428

solutia generala, 115

testul raportului de verosimilitate, 424

solutie generala, 148

transformarea lui Kelvin, 233

sondaj, 406 spatiu probabilistic, 350 speranta matematica, 371, 372, 383 statistica, 407 statistica suficienta, 407

unda, 255 unda directa (inversa), 265 unde sferice, 259 unde stationare, 257

suprafata caracteristica, 116, 184

valoare medie, 371, 372, 383

suprafata de tipul lui Liapunov, 245

valoare proprie, 85

suprafata integrala, 115, 148

valori proprii, 306

INDEX

438 variabila aleatoare, 355 variabila aleatoare discreta (simpla), 358 variabila caracteristica, 184 variabila sectionata, 402 variabile canonice, 58 variatia, 373, 383 variatia de ordinul intai a functionalei, 28 vecinatate de ordin unu (slaba), 20 vecinatate de ordin zero (tare), 19 vector aleator, 394 vectorul inductiei campului electric, 244 vectorul lui Umov, 159 vectorul vitezei de propagare a discontinuitatilor, 261 viteza de faza a undei, 257 viteza sunetului, 158