Matematici Speciale

Universitatea ,,Constantin Brâncuşi” Tg-Jiu Facultatea de Inginerie

Prof. univ. dr.

MIODRAG IOVANOV

Tg Jiu - 2006 -

CUPRINS CAPITOLUL I

ECUAŢII DIFERENŢIALE

1. Ecuaţii diferenţiale. Soluţia generală.Soluţii particulare. Interpretarea geometrică. Exemple. Problema Cauchy…………………………………………8 2. Ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi rezolvate în raport cu y', integrabile prin metode elementare………………………………………………………………. 9 2.1. Ecuaţii cu variabile separate ………………………………………… 9 2.2. Ecuaţii omogene ………………………………………………………9 2.3. Ecuaţii reductibile la ecuaţii omogene................................................... 9 2 4. Ecuaţii diferenţiale liniare de ordinul întâi……………………………11 2.5. Ecuaţia lui Bernoulli…………………………………………………. 11 2.6. Ecuaţia lui Riccati……………………………………………………. 12 2.7. Ecuaţia lui Lagrange şi Clairaut………………………………………12 3. Ecuaţii diferenţiale de ordin superior…………………………………………. 13 4. Ecuaţii diferenţiale de ordinul n, liniare.Dependenţa liniară. Wronskian. Soluţia generalăa unei ecuaţii diferenţiale liniare…………………………………………14 5. Ecuaţii diferenţiale de ordinul n, liniare şi neomogene.Soluţia generală. Metoda variaţiei constantelor pentrudeterminarea unei soluţii particulare a ecuaţiei neomogene. Exemplu…………………………………………………………… 16 6. Ecuaţii diferenţiale de ordinul n, liniare,cu coeficienţi constanţi…………….. 20 7. Ecuaţii neomogene. Determinarea soluţiei particulare…………………………21 8. Ecuaţia lui Euler. Exemplu……………………………………………………. 23 9. Sisteme de ecuaţii diferenţiale. Exemplu……………………………………

25

10. Sisteme simetrice. Definiţie. Integrale prime.Combinaţii integrabile. Exemple…………………………………………………………………………...27 11. Ecuaţii cu derivate parţiale de ordinul întâi liniare şi omogene. Sistem caracteristic.Soluţie generală. Exemplu………………………………………… 29 12. Ecuaţii cu derivate parţiale de ordinul întâi cvasiliniare. Exemplu………………………………………………………………………… 30 13. Probleme propuse…………………………………………………………… 32

CAPITOLUL II . FUNCŢII COMPLEXE 1. Corpul numerelor complexe.Construcţia şi reprezentarea numerelor complexe. ….....................................................................…... 34 2. Elemente de topologie în corpul numerelor complexe. Proiecţia stereografică. .…...........................................................…..…... 37 3. Şiruri şi serii de numere complexe. .................…………………………….... 42

4. Funcţii complexe de variabilă reală. Limita într-un punct.Continuitate. Derivata şi diferenţiala.Integrala Riemann.Primitivă. ……....…………. 45 5. Funcţii monogene.Derivata unei funcţii complexe.Condiţiile de monogeneitate Cauchy-Riemann.Proprietăţi. ........................…….....................47 6. Determinarea unei funcţii olomorfe pe un domeniu când se cunoaşte partea reală sau partea imaginară.Exemplu. ............………………………………49 7. Interpretarea geometrică a derivatei.Transformarea conformă. Exemplu. ………..............................................................................……………. 52 8. Integrala curbilinie în planul complex.Definiţie.Principiul de calcul . Proprietăţi. ……..............................................................……………………….. 55 9. Teorema lui Cauchy. ..........……………………………………………………58 10.Formula integrală a lui Cauchy. ……………………………………..………. .61 11.Serii de puteri.Teorema lui Abel.Dezvoltări în serie Taylor. ………………… 62 12.Seria lui Laurent.Puncte singulare. ……………………………………….….. 65 13.Reziduu.Teorema reziduurilor.Exemplu. …………………………………..... 68 14.Aplicaţii ale teoremei reziduurilor.Teorema semireziduurilor.Exemple. …… 72 15.Funcţii elementare. ...……………………………………………………….. . 76 16.Probleme propuse. ………………………………………………………......... 80

CAPITOLUL III . FUNCŢII SPECIALE 1. Sisteme de funcţii ortogonale.Polinoamele lui Laguerre. Polinoamele lui Cebîşev. ….............................................................…………. 46 2. Funcţiile lui Euler. .…………………………………………………………. 48 3. Funcţiile lui Bessel. ……………………………………………………….... 51 4. Polinoame Hermite.Relaţia de recurenţă.Ecuaţia diferenţială. Proprietăţi. Funcţia generatoare. ……………………………………………… 54 5. Polinoame Legendre.Relaţia de recurenţă.Ecuaţia diferenţială. Proprietăţi. Funcţia generatoare. ..…………………………………………… 55 6. Probleme propuse. .………………………………………………………….. 57

CAPITOLUL IV . SERII FOURIER 1. Serii Fourier pentru funcţii. Funcţii periodice. Transformata periodică. Dezvoltarea în serie Fourier a unei funcţii periodice cu perioada 2π.Exemplu. ……………………............................................................................................... 59 2. Seria Fourier a funcţiilor pare sau impare. ………………………………….. 61 3. Dezvoltarea în serie Fourier a funcţiilor definite pe (-l,l). Exemplu. ………. 62 4. Dezvoltarea în serie Fourier după cosinusuri sau sinusuri a unei funcţii definite pe intervalul (0,l).Exemplu. ……………………. 63 5. Forma complexă a seriilor Fourier. ………………………………………… 66 6. Dezvoltarea unei funcţii în serie de funcţii ortogonale.Aproximarea funcţiilor în medie pătratică. Relaţia de închidere a lui Parseval. …….. 67

7. Probleme propuse. ………………………………………………………….

70

CAPITOLUL V . TRANSFORMĂRI INTEGRALE 1. Integrala Fourier.Forma complexă şi forma reală a integralei Fourier. Cazul funcţiilor pare sau impare. …………………………………….. 2. Transformata Fourier. ……………………………………………………... 3. Transformata Laplace. Proprietăţi. ………………………………………... 4. Transformarea inversă. Formula Mellin-Fourier. ………………………..... 5. Teoreme de dezvoltare.Exemple. ……………………………………….… 6. Aplicaţii ale transformatei Laplace.Rezolvarea operaţională a ecuaţiilor diferenţiale şi a sistemelor de ecuaţii diferenţiale sau cu coeficienţi constanţi. Exemple. …………………………………………......... 7. Probleme propuse. …………………………………………………………

72 74 77 82 83 86 88

CAPITOLUL VI. ECUAŢIILE FIZICII MATEMATICE 1. Observaţii generale asupra ecuaţiilor cu derivate parţiale………………..... 1.1.Definiţii şi exemple……………………………………………………... 1.2.Clasificarea ecuaşiilor liniare de ordinul al doilea……………………... 1.3.Forma canonică a ecuaţiilor liniare de ordinul al doilea………………... 1.4.Probleme de bază ale teoriei ecuaţiilor cu derivate parţiale. Condiţii la limită şi condiţii Cauchy………………………………....... 1.5.Probleme de fizică ce conduc la ecuaţii cu derivate parţiale de ordinul al doilea……......................................................................... 2. Ecuaţii cu derivate parţiale de ordinul doi.Clasificare. Reducerea la forma canonică. …............................................................ 3. Ecuaţii liniare şi omogene în raport cu derivatele de ordinul al doilea, cu coeficienţi constanţi. ……………………………….......... 4. Coarda infinită.Metoda schimbării variabilelor (metoda lui D’Alambert şi Euler). Formula lui D’Alambert. …….......………… 5. Coarda finită. Metoda separării variabilelor (D.Bernoulli şi Fourier). …...... 6. Ecuaţii de tip eliptic.Formularea problemelor la limită.Soluţii particulare ale ecuaţiei lui Laplace. ………………………………….... 7. Problema lui Dirichlet pentru cerc. Formula lui Poisson. ……………….… 8. Problema lui Neumann pentru interiorul cercului.Formula lui Dini .……… 9. Ecuaţia căldurii. ……………………………………………………….…… 10.Proprietăti ale funcţiilor armonice.Prima formulă a lui Green. A doua formulă a lui Green. …………………………...……………… 11.Probleme propuse. ………………………………………………………….

90 90 91 93 95 98 104 110 113 117 121 125 131 132 135 140

CAPITOLUL VII . ELEMENTE DE CALCUL VARIAŢIONAL 1. Probleme geometrice şi mecanice de calcul variaţional. Funcţională. Funcţii admisibile.Clasificarea extremurilor funcţionalelor (extreme absolute, extreme relative). Lemele fundamentale ale calculului variaţional. ………………............ 2. Condiţii necesare de extrem. Ecuaţia lui Euler. Condiţia lui Legendre. …... 3. Funcţionale conţinând derivate de ordin superior.Ecuaţia Euler-Poisson. Condiţia lui Legendre. Exemplu. ……………………... 4. Funcţionale depinzând de mai multe funcţii.Sistemul Euler-Lagrange. Condiţia Legendre. Exemplu. …………………………………….….... 5. Funcţionale determinate prin integrale multiple.Ecuaţiile lui Euler-Ostrogradski. Exemplu. ……………………………………... 6. Probleme izoperimetrice.Extreme condiţionate ale funcţionalelor. Teorema lui Euler. Problema lui Lagrange. Exemplu. …………..……. 7. Probleme propuse. ………………………………………………………….

144 151 154 156 159 161 165

CAPITOLUL VIII . DISTRIBUŢII 1. Spaţiile de funcţii Lp, K,S,C ……………………………………………...... 2. Spaţiul distribuţiilor. Operaţii cu distribuţii. Exemple. ……………………. 3. Derivarea distribuţiilor. Produsul direct şi produsul de convoluţie. Proprietăţi. ……….................................................................................. 4. Aplicaţii ale teoriei distribuţiilor. …………………………………………... 5. Reprezentarea unui cuplu concentrat. ……………………………………… 6. Calculul variaţional în distribuţii.Probleme discontinue. ………………….. 7. Probleme propuse. ………………………………………………………….

CAPITOLUL IX PROBABILITĂŢILOR

ELEMENTE

DE

167 169 172 173 175 177 180

TEORIA

1.Câmp de evenimente.Cîmp de probabilităţi.Definiţia axiomatică a probabilităţii (A.N.Kolmogorov). ………………………………..….… 2. Probabilităţi condiţionate. ……………….............……………………....…. 3. Probabilitatea evenimentelor rezultate din operaţii cu evenimente. …….…. 3.1. Reuniunea evenimentelor compatibile. ................................................. 3.2. Intersecţia evenimentelor dependente şi independente. ........................ 3.3. Inegalitatea lui Boole. Exemplu. ……………………………………... 3.4. Formula probabilităţii totale. Formula lui Bayes. Exemplu. ................. 4. Scheme probabilistice clasice. ....................................................................... 4.1 Schema urnei cu bile nerevenite. Exemplu. ........................................... 4.2. Schema urnei cu bile revenite. Exemplu ...............................................

182 188 189 189 189 190 191 193 193 194

4.3. Schema urnelor Poisson*. Exemplu. ..................................................... 5. Variabile aleatoare. …………………………………………….................... 5.1. Introducere. Variabile aleatoare. Distribuţia unei variabile aleatoare.... 5.2. Operaţii cu variabile aleatoare. .............................................................. 5.3. Funcţia de repartiţie a unei variabile aleatoare. ..................................... 6. Caracteristici ale variabilei aleatoare. ............................................................. 6.1 Tendinţa centrală de grupare a distribuţiei. ............................................ 6.2 Împrăştierea distribuţiei variabilei aleatoare. ......................................... 7. Funcţia caracteristică ataşată unei variabile aleatoare. ................................... 8. Inegalitatea Bienayme – Cebâşev. .................................................................. 9. Distribuţii clasice. ........................................................................................... 9.1 Legea binomială. …………………………………………………….... 9.2 Distributia normală (Laplace şi Gauss). ……………………………..... 9.3 Distributia Gama. ……………………………………………………… 9.4 Distributia Beta. ……………………………………………………….. 9.5 Distribuţia χ 2 (hi -pătrat)......................................................................... 9.6 Repartiţia Poisson (legea evenimentelor rare). ………………………... 9.7 Repartiţia “t” ( Student ). ……………………………………………… 10. Convergenţa în repartiţie sau în sens Bernoulli. …………………………... 11.Variabile aleatoare bidimensionale (discrete şi continue). Repartiţii marginale. ............................................................................... 12. Convarianţa şi corelaţia a două variabile aleatoare. ..................................... 13. Aplicaţii ale teoriei probabilităţilor în teoria fiabilităţii. .............................. 14. Probleme propuse. …………………………………………………………

196 196 196 198 199 201 202 205 209 211 212 212 213 217 218 218 220 221 223 225 227 228 232

CAPITOLUL X PROBLEME DATE LA CONCURSUL DE MATEMATICĂ “TRAIAN LALESCU”, anul II (politehnică), (fazele naţionale)-1980→1996- (selectiv). …………………………………….. 234

BIBLIOGRAFIE ……………………………………………………. 239

CAPITOLUL I ECUAŢII DIFERENŢIALE 1. Ecuaţii diferenţiale. Soluţia generală. Soluţii particulare. Interpretarea geometrică. Exemple. Problema Cauchy.

Definiţie. Fie F(x,y,y',…,y(n)) o funcţie reală definită pe [a,b] × Y,Y ⊂ R n +1 , având argumente variabila reală x ∈ [ a, b] şi funcţia reală y împreună cu derivatele ei y ' , y ' ' ,..., y (n ) . Relaţia: (1) F(x,y,y',…,y(n))=0 se numeşte ecuaţie diferenţială de ordinul n, dacă se cere să se determine funcţiile y=f(x) definite pe intervalul [a,b], având derivate până la ordinul n inclusiv în orice punct al intervalului [a,b] astfel încât să avem: F(x,f(x),f' (x),…,f(n)(x))=0 pentru orice x ∈ [a, b] . Funcţiile reale f(x) care îndeplinesc condiţiile de mai sus se numesc soluţii ale ecuaţiei diferenţiale (1). Dacă (1) poate fi scrisă: y(n)=f(x,y,y',…,y(n-1))

(2)

atunci (2) se numeşte forma normală a ecuaţiei (1). Dacă n=1, din (1) avem F(x,y,y')=0 care este o ecuaţie diferenţială de ordinul întâi (sau y'=f(x,y) forma explicită). Soluţiile ecuaţiei F(x,y,y')=0 se pot pune sub forma y=φ(x,C), C constantă şi se numesc soluţii generale. Dacă dăm lui C o valoare particulară obţinem o soluţie particulară. 2

Ecuaţia y=xy'+y' are soluţia generală y=Cx+C2şi y = −

x2 numită 4

soluţiesingulară. Din punct de vedere geometric, ecuaţia dy = f ( x, y), ( x, y ) ∈ D reprezintă un câmp de direcţii, graficul unei soluţii dx

y= φ(x) este o curbă situată în D, cu proprietatea că în fiecare punct (x,y) al său, tangenta la curbă reprezentată printr-un vector face cu axa Ox un unghi α, astfel că tgα=f(x,y).

8

2. Ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi rezolvate în raport cu y', integrabile prin metode elementare. 2.1. Ecuaţii cu variabile separate. Ecuaţia diferenţială (1) P(x)dx+Q(y)dy=0 se numeşte ecuaţie cu variabile separate. Soluţia generală se obţine astfel: x

y

x0

y0

∫ P( x)dx + ∫ Q( y )dy = C

2.2. Ecuaţii omogene. Ecuaţiile diferenţiale omogene sunt de forma: (2)

dy ⎛ y⎞ = f⎜ ⎟ . dx ⎝ x⎠

Dacă se face schimbarea de funcţie: y=tx, ecuaţia (2) se transformă într-o ecuaţie cu variabile separate. Într-adevăr, avem: dy dt = x +t dx dx

şi ecuaţia (2) devine: x

dt dx dt = + t = f (t ) sau care este o ecuaţie cu f (t ) − t x dx

variabile separate. y −1 dy x = . Efectuând substituţia Exemplu. Să se rezolve ecuaţia: dx y +1 x y t +1 dx y=tx ecuaţia devine: 2 dt = − de unde integrând şi revenind la t = , x x t +1 y obţinem integrala generală: ln x 2 + y 2 + arctg = C . x

2.3. Ecuaţii reductibile la ecuaţii omogene. Ecuaţia de forma:

9

⎛ a x + b1 y + c1 ⎞ ⎟⎟ y ' = f ⎜⎜ 1 a x b y c + + 2 2 ⎠ ⎝ 2

(3) unde y' =

dy , a k , bk , ck ∈ R (k = 1,2 ) este reductibilă la o ecuaţie omogenă. dx

1)Dacă c1=c2=0, ecuaţia este omogenă de tipul anterior. 2) Dacă c12 + c22 ≠ 0 şi a1b2 − a2 b2 ≠ 0 dreptele a1 x + b1 y + c1 = 0 şi a2 x + b2 y + c2 = 0 nu sunt paralele şi se intersectează în ⎧ x = x0 + u ⎩ y = y0 + v

punctul (x0,y0). În acest caz facem substituţia: ⎨ şi ecuaţia (3) devine:

⎛ a u + b1v ⎞ dv ⎟⎟. Cu ajutorul substituţiei v=u·t se = f ⎜⎜ 1 du a u + b v 2 ⎠ ⎝ 2

obţine o ecuaţie cu variabile separate. 3) Dacă c12 + c22 ≠ 0, a1b2 − a2 b1 = 0, dreptele sunt paralele deoarece a1 b1 1 = = . În acest caz ecuaţia (3) se poate scrie sub forma: a 2 b2 k ⎛ a x + b1 y + c1 ⎞ ⎟⎟ şi dacă facem substituţia z=a1x+b1y y ' = f ⎜⎜ 1 + + k ( a x b y ) c 1 1 2 ⎠ ⎝

ecuaţia devine: 1 ⎛ dz ⎞ ⎜ − a1 ⎟ = b1 ⎝ dx ⎠

⎛ z + c1 ⎞ ⎟⎟, care se poate transforma într-o ecuaţie cu variabile f ⎜⎜ ⎝ kz + c2 ⎠

separate. Exemplu. Să se integreze ecuaţia : y' =

x+ y −3 . x − y +1

Dreptele x+y+3=0, x-y+1=1 se intersectează în punctul (1,2); cu ajutorul schimbării x=u+1, y=v+2 obţinem ecuaţia:

dv u + v (omogenă). = du u − v

Efectuând substituţia v=tu obţinem o ecuaţie cu variabile separate: 1− t du 1 dt = care după integrare dă soluţia: arctgt − ln(1 + t 2 ) = ln u + C sau 2 u 2 1+ t cu ajutorul variabilelor x şi y găsim: arctg

y−2 = ln ( x − 1) 2 + ( y − 2) 2 + C. x −1

10

2.4. Ecuaţii diferenţiale liniare de ordinul întâi. O ecuaţie de forma: (4) y'+P(x)y=Q(x) unde P(x) şi Q(x) sunt funcţii continue pe [a,b], se numeşte ecuaţie diferenţială liniară de ordinul întâi. Pentru rezolvarea ecuaţiei (4) vom rezolva mai întâi ecuaţia y’+P(x)y=0 numită ecuaţia liniară omogenă. Aceasta este cu variabile separate:

dy = − P ( x)dx cu soluţia generală y

− P ( x ) dx y = Ce ∫ . Căutăm pentru ecuaţia neomogenă (4) o soluţie de forma: − P ( x ) dx y = C ( x )e ∫ .

Înlocuind această soluţie în (4) rezultă:

− P ( x ) dx − P ( x ) dx − P ( x ) dx C ' ( x )e ∫ + C ( x )e ∫ ⋅ (− P ( x)) + P ( x)C ( x)e ∫ = Q( x)

sau

C ' ( x ) = Q ( x )e ∫

P ( x ) dx

.

Integrând obţinem funcţia C(x): C ( x) = ∫ Q( x) ⋅ e ∫ dx + C1 , C1 constantă. (5) Rezultă soluţia generală a ecuaţiei (4) sub forma: P )( x ) dx

(6)

− P ( x ) dx ⎡ ∫ P ( x ) dx dx ⎤. + ⋅ y=e ∫ C Q ( x ) e 1 ∫ ⎢⎣ ⎥⎦

Metoda folosită pentru determinarea soluţiei generale (6) se numeşte metoda variaţiei constantei. 2.5. Ecuaţia lui Bernoulli. Ecuaţia lui Bernoulli este de forma: (7) y’+P(x)y= Q(x)· y α unde P(x), Q(x) sunt continue pe [a,b], α este o constantă α ≠ 0 şi α ≠ 1 (altfel avem o ecuaţie liniară). Dacă se efectuează schimbarea de variabilă z=y1-α ecuaţia (7) a lui Bernoulli se reduce la o ecuaţie liniară. Într-adevăr, dacă se împarte cu yα în (7), obţinem 11

(8)

1 1 ⋅ y '+ P ( x) ⋅ α −1 = Q ( x). α y y

Observăm că z ' = (1 − α ) y −α ⋅ y ' de unde

y' z' = şi ecuaţia (8) α (1 − α ) y

devine: z '+ (1 − α ) P ( x ) ⋅ z = (1 − α )Q ( x ) (9) care este o ecuaţie diferenţială liniară de ordinul I în z. Apoi se obţine y din relaţia z=y1-α.

2.6. Ecuaţia Riccati. O ecuaţie diferenţială de forma y '+ P( x) y 2 + Q( x) y + R( x) = 0 (10) cu P(x), Q(x), R(x) funcţii continue pe un interval [a,b] se numeşte ecuaţia Riccati. Dacă se cunoaşte o soluţie particulară a ecuaţiei (10), yp, prin schimbarea de variabilă y = y p +

1 ecuaţia se transformă într-o ecuaţie z

z' şi ecuaţia (10) devine: z2 2 1⎞ 1⎞ z' ⎛ ⎛ y ' p − 2 + P( x) ⋅ ⎜ y p + ⎟ + Q( x)⎜ y p + ⎟ + R( x) = 0 z z⎠ z⎠ ⎝ ⎝

liniară. Avem: y ' = y ' p −

sau y ' p + P( x) y 2p + Q( x) y p + R ( x) −

[

]

1 z '−(2 y p P( x) + Q( x)) z − P ( x) = 0 z

şi pentru că yp este soluţie a ecuaţiei (10) obţinem ecuaţia: z'- (2ypP(x)+Q(x))z-P(x)=0 care este o ecuaţie liniară în z. 2.7. Ecuaţia lui Lagrange şi Clairaut. Ecuaţia lui Lagrange este de forma: y = xϕ ( y ' ) + ψ ( y ' ) (11) Integrarea ecuaţiei lui Lagrange se reduce la integrarea unei ecuaţii liniare în modul următor. În (11) înlocuim y’=p şi obţinem: y = xϕ ( p) + ψ ( p). Derivăm în raport cu x şi obţinem: p = ϕ ( p) + xϕ ' ( p) ⋅ p'+ψ ' ( p) ⋅ p' 12

sau:

p ' ( xϕ ' ( p ) + ψ ' ( p )) = p − ϕ ( p ) dp obţinem ecuaţia liniară: dx dx ϕ '( p) ψ '( p) + x= dp ϕ ( p ) − p p − ϕ ( p)

Dacă p − ϕ ( p) ≠ 0, p' = (12)

Rezolvând ecuaţia liniară (12) obţinem soluţia ecuaţiei (11) sub formă parametrică: (13)

⎧ x = f (C , p ) ⎨ ⎩ y = ϕ ( p ) f (C , p ) + ψ ( p )

parametrul fiind p, iar C o constantă arbitrară. Dacă în (11) considerăm ϕ ( y ') = y ' obţinem ecuaţia y = xy '+ ψ ( y ') (14) numită ecuaţia lui Clairaut. Notăm cu y'=p şi avem y = xp + ψ ( p ). Derivăm în raport cu x şi obţinem: p = p + xp'+ψ ' ( p ) ⋅ p ' sau p ' ( x + ψ ' ( p )) = 0. Sunt două posibilităţi: 1) p'= 0 deci p=C şi înlocuind în (14) obţinem: (15) y = C ⋅ x + ψ (C ) care este o familie de drepte şi este soluţie generală a ecuaţiei Clairaut. 2) x + ψ ' ( p) = 0, pe care dacă o înlocuim în (14) obţinem soluţia: ⎧ x = −ψ ' ( p ) , p ∈ [a,b]. (16) ⎨ ⎩ y = − pψ ' ( p ) + ψ ( p ) numită integrala singulară. Observaţie. Se poate arăta că integrala singulară este înfăşurătoarea familiei de curbe pe care o reprezintă soluţia generală. 3. Ecuaţii diferenţiale de ordin superior. O ecuaţie diferenţială de forma: F ( x, y, y, ' y ' ' ,..., y ( n ) ) = 0 (1) este de ordin superior daca n ≥ 2, n ∈ N. Funcţia y = ϕ ( x, C1 , C 2 ,..., C n ) este soluţie generală a ecuaţiei (1). Problema Cauchy este problema determinării soluţiei y = ϕ ( x ), x ∈ [ a, b] care îndeplineşte condiţiile iniţiale 13

(2) y ( x0 ) = y 0 , y ' ( x0 ) = y '0 ,..., y ( n −1) ( x0 ) = y 0( n −1) valorile y 0 , y ' 0 ,..., y 0( n −1) fiind date. Ecuaţii diferenţiale integrabile prin cuadraturi Ecuaţia y(n)=0 are, ca soluţie generală, un polinom arbitrar de gradul n-1.

Ecuaţia F ( x, y ( k ) , y ( k +1) ,..., y ( n ) ) = 0 se transformă prin substituţia y(k)=u într-o ecuaţie diferenţială de ordinul n − k : F ( x, u , u ' , u ' ' ,..., u ( n −k ) ) = 0 . Ecuaţia F ( x, y , y ' ,..., y ( n ) ) = 0 omogenă în y, y ’,…,y(n), i se reduce y' ordinul cu o unitate prin schimbarea de funcţie = u . Într-adevăr y 2 y ' = yu , y ' ' = y ' u + yu ' = y (u + u ' ) etc. Exemplu. Să se integreze ecuaţia diferenţială x 2 yy ' ' = (2 y + xy ' ) 2 , x ≠ 0 Cu y ' şi y ' ' calculaţi mai sus ecuaţia devine: x 2 y 2 (u 2 + u ' ) = (2 y + xyu) 2 4 4 sau u '− u = 2 care este o ecuaţie liniară în u , u ' cu soluţia: x x 4 u = C1 x 4 − . 5x y' y' 4 = C1 x 4 − rezultă ecuaţia: care este o ecuaţie cu Înlocuind u = y y 5x

variabile separate şi care are soluţia generală: y = C 2 x

4 x5 − C1 5 5

e, x ≠ 0 .

4. Ecuaţii diferenţiale de ordinul n, liniare. Dependenţa liniară. Wronskian. Soluţia generală a unei ecuaţii diferenţiale liniare. O ecuaţie diferenţială de forma: a0 ( x) y ( n ) + a1 ( x) y ( n−1) + ... + an−1 ( x) y'+ an ( x) y = f ( x) (1) se numeşte ecuaţie diferenţială de ordinul n, liniară şi neomogenă; o ecuaţie diferenţială de forma:

14

a0 ( x) y ( n ) + a1 ( x) y ( n−1) + ... + a n−1 ( x) y '+ a n ( x) y = 0 (2) se numeşte ecuaţie diferenţială de ordinul n, liniară şi omogenă. Dacă y1, y2, …,yn sunt soluţii ale ecuaţiei (2) atunci şi y = C1 y1 + C 2 y 2 + ... + C n y n (3) unde C1, C2, …,Cn sunt constante arbitrare, este de asemenea soluţie a ecuaţiei (2). Definiţie. Fie y1(x), y2(x),…,yn(x) n funcţii pe un interval [a,b]. Se spune că aceste funcţii sunt liniar independente pe [a,b] dacă nu există n λ1 , λ 2 ,..., λn nu numere toate nule, astfel încât să avem λ1 y1 ( x) + λ 2 y 2 ( x) + ... + λ n y n ( x ) = 0 pentru orice x ∈ [ a, b] .

Exemplu. Funcţiile 1, x, ex sunt liniar independente pe R deoarece condiţia λ1 +λ 2 x + λ3 e x = 0 pentru orice x ∈ R implică λ1 = λ2 = λ3 = 0. Fie y1(x), y2(x),…,yn(x), n funcţii derivabile continue, până la ordinul n-1 inclusiv, pe intervalul [a,b]; determinatul următor y1 y2 yn ... (4)

W ( y1 , y2 ,..., y n ) = y '1

y '2

y1( n−1)

y 2( n−1)

...

y 'n

... yn( n−1)

se numeşte wronskianul funcţiilor y1, y2,…,yn. Dacă funcţiile y1(x), y2(x),…,yn(x), derivabile continue până la ordinul n-1 inclusiv pe [a,b], sunt liniar dependente pe [a,b], atunci wronskianul lor este nul în orice punct din [a,b]. Are loc: Teorema. Dacă y1, y2,…,yn sunt liniar independente pe [a,b] şi dacă wronskianul: W(y1, y2,…,yn, y)=0 pentru orice x ∈ [ a, b] , atunci y este o combinaţie liniară de funcţiile y1, y2,…,yn adică: (5)

y=C1y1+C2y2+…+Cnyn

unde C1, C2,…,Cn sunt constante. Să considerăm ecuaţia diferenţială de ordinul n, omogenă y ( n ) + a1 ( x) y ( n −1) + ... + a n −1 ( x) y = 0 (6) cu a1(x), a2(x),…,an(x) funcţii continue pe [a,b]. 15

Fie y1, y2,…,yn, n soluţii ale ecuaţiei date, definite pe [a,b], atunci orice soluţie a ecuaţiei (6) pe [a,b] este de forma. (7) y=C1y1+C2y2+…+Cnyn, x ∈ [ a, b] , unde C1, C2,…, Cn sunt constante. Funcţia y din (7) se numeşte soluţie generală a ecuaţiei (6) pe [a,b]. Un sistem de soluţii y1, y2,…,yn ale ecuaţiei (6), definit pe [a,b] cu W(y1, y2,…,yn )≠0 pe [a,b] se numeşte sistem fundamental de soluţii al ecuaţiei (6). Astfel, dacă y1, y2,…,yn, formează un sistem fundamental de soluţii pe [a,b], atunci y=C1y1+C2y2+…+Cnyn, x ∈ [ a, b] , se numeşte soluţie generală a ecuaţiei (6) pe [a,b]. Dacă y1, y2,…,yn formează un sistem fundamental pe [a,b] atunci ele sunt liniar independente pe [a,b] şi reciproc. Fie ecuaţia diferenţială liniară de ordinul n, omogenă: a 0 y ( n ) + a1 ( x) y ( n −1) + ... + a n −1 ( x) y '+ a n ( x) y = 0. (8) Dacă cunoaştem o soluţie particulară y1 a ecuaţiei date, prin schimbarea de variabilă y=y1·z, îi putem micşora ordinul cu o unitate. Obţinem succesiv: y = y1 z , y ' = y1 ' z + y1 z ' , y ' ' = y1 ' ' z + 2 y1 ' z '+ y1 z ' ' ,..., y ( n ) = y1( n ) z + C n1 y1( n −1) z '+... + C nn y1 z ( n ) .

Înlocuind în (8) avem: z[ a 0 ( x) y1( n ) + a1 ( x) y ( n −1) + ... + a n ( x) y1 ] + z '[a1 ( x) y1 + ... + C n ' a 0 ( x) y1( n −1) ] + ... + z ( n ) a 0 ( x) y1 = 0.

Coeficientul lui z este nul pentru că y1 este soluţie a ecuaţiei date. Cu o nouă schimbare de variabilă z'=u, obţinem o ecuaţie diferenţială liniară şi omogenă de ordinul n-1: A0 ( x)u ( n−1) + A1 ( x)u ( n −2 ) + ... + An−1 ( x)u = 0. 5. Ecuaţii diferenţiale de ordinul n, liniare şi neomogene. Soluţia generală. Metoda variaţiei constantelor pentru determinarea unei soluţii particulare a ecuaţiei neomogene. Exemplu. Fie ecuaţia diferenţială de ordinul n, liniară şi neomogenă:

16

(1) Ln ( y ) = a 0 ( x ) y ( n ) + a1 ( x ) y ( n −1) + ... + a n −1 ( x ) y '+ a n ( x ) y = f ( x ) cu coeficienţii a k ( x), k = 0, 1, ... , n şi f ( x) continuie, iar a0 ( x) ≠ 0 [a,b]. Soluţia generală a ecuaţiei (1) se obţine adăugând la soluţia generală a ecuaţiei omogene: (n) ( n −1) + ... + an−1 ( x) y '+ an ( x) y = 0 (2) Ln ( y ) = a0 ( x) y + a1 ( x) y o soluţie particulară (oarecare) a ecuaţiei neomogene (1). Într-adevăr, fie yp(x) o soluţie particulară a ecuaţiei neomogene pe [a,b]. Facem schimbarea y(x)=yp+z. Avem (Ln este liniar) Ln ( y p + z ) = Ln ( y p ) + Ln ( z ) = f ( x); cum Ln ( y p ) = f ( x) rezultă Ln(z)=0; prin urmare, dacă y1, y2,…,yn este un sistem fundamental de soluţii ale ecuaţiei omogene pe [a,b], rezultă că soluţia generală a ecuaţiei neomogene este:

(3) y = C1 y1 + C 2 y 2 + ... + C n y n + y p , x ∈ [ a, b] Are loc următoarea teoremă: Teoremă. Fie ecuaţia (1) şi y1, y2,…,yn un sistem fundamental de soluţii pe [a,b] al ecuaţiei (2). O soluţie particulară yp(x) a ecuaţiei neomogene (1) pe [a,b] este dată de: (4) y p = y1 ∫ C '1 ( x)dx + y 2 ∫ C ' 2 ( x)dx + ... + y n ∫ C ' n ( x)dx unde C'1(x), C'2(x),…,C'n(x) este soluţia sistemului : ⎧ ⎪ y C ' ( x) + y C ' ( x) + ... + y C ' ( x) = 0 n n 2 2 ⎪ 1 1 ⎪ y '1 C '1 ( x) + y ' 2 C ' 2 ( x) + ... + y ' n C ' n ( x) = 0 ⎪ (5) ⎨................................................................... ⎪ ( n−2) ( n−2) ( n−2) ⎪ y1 C '1 ( x) + y 2 C ' 2 ( x) + ... + y n C ' n ( x) = 0 ⎪ ( n −1) f ( x) ( n −1) ( n −1) . ⎪ y1 C '1 ( x) + y 2 C ' 2 ( x) + ... + y n C ' n ( x) = ( ) a x 0 ⎩

Dacă efectuăm cuadraturile :

∫ C'

k

( x)dx = Ak + ϕ k ( x),

k ∈ {1,2,..., n}

şi le înlocuim în (4), obţinem soluţia generală a ecuaţiei neomogene: (6)

y = A1 y1 + A2 y 2 + ... + An y n + y1ϕ1 + y 2ϕ 2 + ... + y nϕ n . 17

Demonstraţie. Fie y1, y2,…,yn un sistem fundamental de soluţii ale ecuaţiei omogene (2). Soluţia generală a ecuaţiei omogene va fi aşadar: (7) y H = C1 y1 + C 2 y 2 + ... + C n y n , unde C1, C2, …,Cn sunt constante arbitrare. Dacă reuşim să arătăm că funcţia y p = y1ϕ1 + y 2ϕ 2 + ... + y nϕ n cu ϕ1 , ϕ 2 ,..., ϕ k determinate pe [a,b], după cum este precizat în enunţul teoremei, este o soluţie particulară a ecuaţiei neomogene, atunci, conform celor spuse la alineatul precedent, funcţia: (8) y=yH+yp este soluţia generală a ecuaţiei neomogene pe [a,b]. Ne rămâne aşadar să verificăm că y0 este o soluţie a ecuaţiei neomogene. În acest scop să considerăm funcţia: y = C1 ( x) y1 + C 2 ( x) y 2 + ... + C n ( x) y n , x ∈ [a, b] (9) care se obţine din soluţia generală a ecuaţiei omogene înlocuind constantele C1, C2,…,Cn, cu funcţiile necunoscute C1(x),C2(x),…,Cn(x) şi să arătăm că funcţia y dată de (9) cu C'1(x), C'2(x),…,C'n(x) verificând sistemul (5). Dacă derivăm pe y din (9) obţinem: y' = C1 y'1 +C2 y '2 +... + Cn y'n +C '1 y1 + C '2 y2 + .... + C 'n yn. însă, conform primei ecuaţii din (5) anume C '1 y1 + C '2 y2 + .... + C 'n yn. = 0 ne mai rămâne (10) y' = C1 y'1 +C2 y'2 +... + Cn y'n . În continuare, dacă derivăm pe (10), obţinem: y ' ' = C1 y ' '1 +C2 y ' '2 +... + Cn y ' 'n +C ' '1 y1 + C ' '2 y2 + .... + C ' 'n yn. însă conform ecuaţiei a doua din (5), anume y '1 C '1 ( x) + y ' 2 C ' 2 ( x) + ... + y ' n C ' n = 0 , ne mai rămâne: y ' ' = C1 y ' '1 +C 2 y ' '2 +... + C n y ' 'n . (11) În mod asemănător obţinem: y ( 3) = C1 y13 + C 2 y 2( 3) + ... + C n y n( 3) .............................................. y n( n−1) = C1 y n( n −1) + C 2 y 2( n −1) + ... + C n y n( n−1) . În ceea ce priveşte derivata de ordinul n, obţinută prin derivare din ultima relaţie, avem: y ( n ) = C1 y1( n ) + C 2 y 2( n ) + ... + C n y n( n ) + C '1 y1( n−1) + C ' 2 y 2( n−1) + ... + C ' n y n( n −1)

sau, ţinând seama de ultima relaţie din (5): (12)

y ( n ) = C1 y1( n ) + C 2 y 2( n ) + ... + C n y n( n ) +

18

f ( x) . a 0 ( x)

Dacă înmulţim acum pe y dat de (9) cu an(x) pe y' dat de (10) cu an(n) dat de (12) cu a0(x), obţinem prin însumare: 1(x) ş.a.m.d., pe y Ln [ y ] = C1 Ln [ y1 ] + C1 Ln [ y 2 ] + ... + C n Ln [ y n ] + f ( x); însă Ln[yk]=0, k=1,2,…,n astfel încât ne mai rămâne Ln[y]=f(x); prin urmare y, date de (9) cu C1,C2,…,Cn, verificând sistemul (5), este soluţie a ecuaţiei (1). Să observăm că determinantul sistemului (5) este W(y1,y2,…,yn) ≠ 0 pe [a,b]. Fie C'1,C'2,…,C'n soluţia sistemului (5) cu

C 'k ( x) = ( −1)

n+k

⋅

y1 y '1

y2 y '2

y1( n−1)

y 2( n−1)

yk +1 y 'k +1

... ...

yn y 'n

... y k( n−1−1) yk( n+1−1) W ( y1 , y2 ,..., yn )

...

yn( n−1)

... ...

yk −1 y 'k −1

⋅

f ( x) . a0 ( x )

Prin n cuadraturi obţinem: C k ( x) = ∫ C ' k ( x)dx = ϕ k ( x) + Ak , k ∈ {1,2,..., n}

unde A1,A2,…,An sunt constante arbitrare. Înlocuind pe Ck(x) în (9) obţinem: y = y1 A1 + y 2 A2 + ... + y n An + ϕ1 y1 + ϕ 2 y 2 + ... + ϕ n y n (13) care este soluţia generală a ecuaţiei neomogene. Funcţia y p = ϕ1 y1 + ϕ 2 y 2 + ... + ϕ n y n , este o soluţie a ecuaţiei liniare neomogene şi este prin urmare soluţia particulară căutată. Teorema este demonstrată Metoda folosită pentru a determina o soluţie particulară a ecuaţiei neomogene (1) se numeşte metoda variaţiei constantelor şi se datorează lui Lagrange. Exemplu. Să se găsească soluţia generală a ecuaţiei: 2 x y ' '−5 xy '+8 y = x. Două soluţii ale ecuaţiei omogene sunt y1=x2, y2=x4 cu W(y1,y2)=2x5≠0 pe R\{0}; soluţia generală a ecuaţiei este y=C1x2+C2x4. Determinăm o soluţie particulară a ecuaţiei neomogene prin metoda variaţiei constantelor. Avem: ⎧C '1 x 2 + C ' 2 x 4 = 0 ⎪ ⎨ 1 cu soluţiile: 3 C ' 2 x + C ' 4 x = 2 ⎪ 1 x ⎩

1 1 şi apoi C = C * + 1 , C = C * − 1 . , 2 2 ' C = 1 1 2 6x3 2x 2x 2 2x 4 Soluţia generală a ecuaţiei este, aşadar:

C '1 = −

19

x y = C1 x 2 + C 2 x 4 + , x ∈R\{0}. 3 * * (am renotat C1 = C1 , C 2 = C 2 ).

6. Ecuaţii diferenţiale de ordinul n, liniare, cu coeficienţi constanţi.

O ecuaţie diferenţială liniară a0 y ( n ) + a1 y ( n −1) + ... + a n −1 y '+ a n y = 0, a0 ≠ 0 (1) unde ak ∈ R, k = 0, n, este o ecuaţie de ordinul n, cu coeficienţi constanţi, omogenă. Pentru această clasă putem determina totdeauna un sistem fundamental de soluţii. V(r1,r2,…,rn)≠0 dacă ri≠rj, i≠j întrucât este determinatul lui Vandermonde. Soluţia generală a ecuaţiei (1) este: y = C1e r x + C 2 e r x + ... + C n e r x , x ∈ R (3) 1

n

2

Exemplu. Să se găsească soluţia ecuaţiei: y(3)+3y″-y-3y=0. Ecuaţia caracteristică r3+3r2-r-3=0 are rădăcinile r1=-1,r2=1,r=-3 deci soluţia generală este: y=C1e-x+C2ex+C3e-3x. Dacă căutăm soluţii de forma y=Aerx, a≠0, obţinem succesiv y'=Arerx, y''=Ar2erx,…, y(n)=Arnerx; dacă le înlocuim în (1) avem: Ae rx ( a 0 r n + a1 r n −1 + ... + a n −1 r + a n ) = 0;

deoarece A≠0, erx nu se anulează pentru x ∈ R, va trebui să avem (2)

a0rn+a1rn-1+…+an-1r+an=0.

Prin urmare, numărul (real sau complex) r trebuie să fie rădăcină a ecuaţiei (2) care se numeşte ecuaţia caracteristică a ecuaţiei diferenţiale (1). Să observăm de la început că dacă ecuaţia caracteristică (2) are toate atunci soluţiile particulare rădăcinile simple r1≠r2≠…≠rn, rn x r1 x r2 x y1 = e , y 2 = e ,..., y n = e formează un sistem fundamental de soluţii ale ecuaţiei (1). Într-adevăr, calculând wronskianul lui y1,y2,…,yn, obţinem:

20

e r2 x

...

r2 e r2 x

...

e r1x W ( y1 , y 2 ,..., y n ) = r1e r1x r1n−1e r1x

r2n−1e r2 x

e rn x rn e rn x = e ( r1 + r2 +...+ rn ) x ⋅ V (r1 , r2 ,..., rn )

... rnn−1e rn x

şi se observă că este diferit de zero pentru orice x ∈ R ,deoarece exponenţiala nu se anulează pe R iar V( r1 , r2 ,..., rn ) ≠ 0 dacă ri ≠ r j , i ≠ j ( V (r1 , r2 ,..., rn ) este determinantul lui Vandermonde). Soluţia generală a ecuaţiei (1) este: (3) y = C1e r x + C 2 e r x + ... + C n e r x . Dacă ecuaţia caracteristică (1) are rădăcinile complexe simple 1

n

2

r1 = α 1 + iβ1 , r2 = α 2 + iβ 2 ,..., rm = α m + iβ m , n = 2m r1 = α 1 − iβ1 , r2 = α 2 + iβ 2 ,..., rm = α m − iβ m

atunci funcţiile y k = eα k x cos β k x, y k* = eα k x sin β k x, k ∈ {1,2,..., m} formează un sistem fundamental de soluţii ale ecuaţiei (1). În acest caz, soluţia generală a ecuaţiei (1) este: m

(4)

y = ∑ eα k x (C k cos β k x + C k* sin β k x) k =1

Observaţie. Dacă ecuaţia caracteristică are rădăcini reale şi complexe, atunci soluţia generală a ecuaţiei (1) este formată dintr-o combinaţie de tipul (3) şi (4). Să considerăm cazul când ecuaţia (1) are rădăcini multiple. Dacă r=a este o rădăcină reală multipla de ordinul p, atunci (5) y=eax(C1+C2x+…+Cpxp-1) este o soluţie a ecuaţiei (1). Dacă r=α+iβ ∈ C este multiplă de ordinul p, atunci: (6) y = eαx [(C1 + C2 x + ... + C p x p−1 ) cos βx + (C1* + C2* x + ... + C *p x p−1 ) sin βx] este o soluţie a ecuaţiei (1). 7. Ecuaţii neomogene. Determinarea soluţiei particulare.

Să considerăm ecuaţia neomogenă (1) a0y(n)+a1y(n-1)+…+an-1y’+any=f(x). Soluţia generală a ecuaţiei este: (2) y = yh + y p 21

unde y h este soluţiei omogene ataşate ecuaţiei (1) iar yp este o soluţie particulară a ecuaţiei neomogene. Pentru determinarea lui yp putem folosi metoda variaţiei constantelor, care ne permite, cunoscând soluţia generală a ecuaţiei omogene, să găsim o soluţie particulară a ecuaţiei neomogene prin n cuadraturi. În aplicaţii sunt cazuri frecvente, când în funcţie de forma lui f(x), putem găsi prin identificare pe yp. Enumerăm mai jos aceste cazuri: a) Funcţia f(x) este un polinom Pm(x). Soluţia yp va fi tot un polinom, de acelaşi grad, Qm(x), daca r=0 nu este rădăcină a ecuaţiei caracteristice a0rn+…+an=0. Vom înlocui yp=Qm(x) în (1) şi prin identificare vom găsi soluţia particulară yp. Dacă r=0 este rădăcină a ecuaţiei caracteristice, multiplă de ordinul k (k ∈ N*), atunci vom alege yp=xk·Qm(x) şi prin înlocuire în (1) şi identificare vom găsi yp. b) Funcţia f(x) este un “polinom” de forma de forma eαxPm(x), (Pm(x) polinom de grad m). Dacă r=α nu este rădăcină a ecuaţiei caracteristice, atunci alegem yp=eαxQm(x) şi prin identificare, vom afla pe yp. Dacă r=α este rădăcină multiplă de ordinul k (k ∈ N*) a ecuaţiei caracteristice atunci o soluţie particulară a ecuaţiei (1) o vom căuta sub forma yp=xkeexQm(x) şi vom proceda apoi ca înainte. c) Dacă f(x) este de forma Pm ( x) cos αx + Qm ( x) sin αx atunci dacă ± iα nu este rădăcină a ecuaţiei caracteristice atunci vom alege y p = Pm* ( x) cos αx + Qm* ( x) sin αx, unde m=max(m1,m2) iar Pm* ( x) şi Qm* ( x ) sunt polinoame arbitrare care se determină apoi prin identificare. Dacă ± iα este rădăcină multiplă de ordinul k atunci vom alege y p = x k [ Pm* ( x) cos αx + Qm* ( x ) sin αx ]. 1

2

d) Funcţia f(x) are forma eαx [ Pm ( x) cos βx + Qm ( x) sin βx] . Soluţia particulară yp va avea expresia: y p = eαx [ Pm* ( x) cos β x + Qm* ( x) sin β x] (m=max(m1,m2)) dacă α ± iβ nu sunt rădăcini ale ecuaţiei caracteristice sau va avea expresia: y p = x k eαx [ Pm* ( x) cos β x + Qm* ( x) sin β x] dacă α ± iβ sunt rădăcini multiple de ordinul k, ale ecuaţiei caracteristice. * Polinoamele Pm ( x) şi Qm* ( x ) vor fi determinate prin identificare. Exemplu. Să se găsească soluţia generală a ecuaţiei: y ( 4 ) + 2 y ( 3) + 5 y ' '+8 y '+4 y = cos x + 40e − x . 1

22

2

Ecuaţia caracteristică r4+2r3+5r2+8r+4=0 se scrie (r+1)2(r2+4)=0 cu rădăcina dublă r1=-1 şi rădăcinile simple r2=2i, r3=-2i. Soluţia generală a ecuaţiei omogene este: y h = (C1 + C 2 x )e − x + C 3 sin 2 x + C 4 cos 2 x, x ∈ R. O soluţie particulară a ecuaţiei neomogene o căutăm de forma y p = Ax 2 e − x + B cos x + C sin x. Înlocuind-o în ecuaţie şi identificând obţinem A = 4, B = 0, C =

1 deci soluţia generală a ecuaţiei date este: 6

1 y = (C1 + C 2 x)e − x + C3 sin 2 x + C 4 cos 2 x + sin x + 4 x 2 e − x , x ∈ R. 6

8. Ecuaţia lui Euler. Exemplu.

O ecuaţie diferenţială liniară de ordinul n de forma: a 0 x n y ( n ) + a1 x ( n −1) y ( n −1) + ... + a n −1 xy '+ a n y = f ( x ) (1) cu a0, a1,…, an constante reale, iar f(x) continuă pe un interval [a,b] se numeşte ecuaţia lui Euler. Teoremă. O ecuaţie diferenţială Euler (1), se transformă prin substituţia |x|=et în ecuaţie diferenţială liniară cu coeficienţi constanţi. Demonstraţie. Pentru x>0, punem x=et şi avem: dy dy dt dy dy dy = ⋅ = e −t ⋅ x = , sau dx dt dx dt dx dt 2 2 d 2 y d ⎛ dy ⎞ dy ⎞ d 2 y dy −t d ⎛ −t dy ⎞ −2t ⎛ d y 2 d y = ⎜ ⎟=e = 2 − , ⎜e ⎟ = e ⎜⎜ 2 − ⎟⎟, deci x dt ⎝ dt ⎠ dt ⎠ dx 2 dx ⎝ dx ⎠ dt dt dx 2 ⎝ dt 3

3

2

d y d y dy ⎡ − 2t ⎛ d 2 y dy ⎞⎤ d3y d ⎛ d2y ⎞ 3 d y −t d = 3 −3 2 + 2 . ⎟ ⎜ e = = ⎢e ⎜⎜ 2 − ⎟⎟⎥ sau x 3 3 2 ⎟ ⎜ dt dx dt dt dx ⎝ dx ⎠ dt ⎣ dt ⎠⎦ dx ⎝ dt dky Se observă că toate produsele x ⋅ k se exprimă liniar cu ajutorul dx p d y , p ∈ {1,2,..., k}, k ∈ {1,2,..., n} înmulţite cu factori numerici, derivatelor dt p k

deci dacă îi înlocuim în ecuaţia (1), ea se va transforma într-o ecuaţie cu coeficienţi constanţi : (2) unde

dy dny d n −1 y b0 n + b1 n −1 + ... + bn −1 + bn y = f (e t ) dt dt dt

b0, b1,…,bn sunt constante reale. Ecuaţia omogenă 23

dny d n−1 y dy + + ... + bn−1 + bn y = 0 b (3) n n −1 dt dt dt admite soluţii de forma e rk t , unde rk este o rădăcină a ecuaţiei caracteristice. b0

rk

Revenind la ecuaţia (1) şi observând că e k = (e ) k = x deducem că ecuaţia Euler, omogenă, admite soluţii de forma |x|r. Acest rezultat simplifică mult determinarea soluţiei generale a unei ecuaţii Euler. Fie ecuaţia Euler, omogenă a0 x n y ( n ) + a1 x n −1 y ( n −1) + ... + a n −1 xy '+ a n y = 0 . (4) r Vom căuta soluţii de forma y = A ⋅ x , A este constantă; avem, rt

r −1

t r

r −2

r −n

y ' = Ar x , y ' ' = Ar (r − 1) x ,..., y ( n ) = Ar (r − 1)...(r − n + 1) x , succesiv, derivate pe care dacă le înlocuim în (1), şi observăm că se dă factor comun r A|x|r, obţinem A x ⋅ K n (r ) = 0 unde Kn(r) este ecuaţia caracteristică a ecuaţiEuler: (5) K n (r ) ≡ a0 r (r − 1)...(r − n + 1) + a1r (r − 1)...(r − n + 2) + ... + an−1r + an = 0 Fie r1,r2,…,rn rădăcinile ecuaţiei caracteristice. După natura lor şi ordinul lor de multiplicitate, determinăm, la fel ca şi la ecuaţii diferenţiale liniare cu coeficienţi constanţi, sistemul fundamental de soluţii al ecuaţiei Euler considerate. Exemplu. x2y″+2xy’+y=0. Ecuaţia caracteristică

1 2

r(r-1)+3r+1=r2+r+1=0 are rădăcinile complexe r1, 2 = − ± i diferenţială y2 =

va

avea

soluţiile

particulare

y1 =

3 . Ecuaţia 2

⎛ 3 ⎞ cos⎜⎜ ln x ⎟⎟, x ⎝ 2 ⎠

1

⎛ 3 ⎞ sin ⎜⎜ ln x ⎟⎟, x≠0 şi deci soluţia generală: x ⎝ 2 ⎠

1

u=

⎛ 3 ⎞ ⎛ 3 ⎞⎤ 1 ⎡ ln x ⎟⎟ + C 2 sin ⎜⎜ ln x ⎟⎟⎥, x ≠ 0 . ⎢C1 cos⎜⎜ x ⎣⎢ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠⎥⎦

Observaţie. Pentru determinarea unei soluţii particulare a unei ecuaţii Euler, neomogene, se foloseşte metoda variaţiei constantelor sau determinarea lui yp după forma membrului drept al ecuaţiei.

24

9. Sisteme de ecuaţii diferenţiale. Exemplu. Definiţia 1. Relaţiile ⎧ F1 (t; x, x' ,..., x ( m ) ; y, y ' ,..., y ( n ) ; z, z ' ,..., z ( p ) ) = 0 ⎪ ( m) (n) ( p) ⎨ F2 (t; x, x' ,..., x ; y, y ' ,..., y ; z, z ' ,..., z ) = 0 (1) ⎪ ( m) (n) ( p) ⎩ F3 (t; x, x' ,..., x ; y, y ' ,..., y ; z, z ' ,..., z ) = 0

unde funcţiile F1,F2,F3 sunt definite pe [a,b] × X × Y × Z cu X ⊂ Rm+1, Y ⊂ Rn+1, Z ⊂ Rp+1 formează un sistem de trei ecuaţii diferenţiale cu trei funcţii necunoscute x,y,z, dacă se cere să se determine funcţiile x(t), y(t), z(t), derivabile respectiv până la ordinul m,n,p pentru t ∈ [ a, b] , funcţii care împreună cu derivatele lor verifică (1) pentru orice t ∈ [ a, b] . Definiţia 2. Un sistem de trei funcţii reale x(t), y(t), z(t) care verifică condiţiile de mai sus se numeşte o soluţie a sistemului (1). Observaţii. 1) Dacă m=n=p=1, sistemul (1) se numeşte sistem de ordinul întâi; dacă cel puţin unul dintre numerele m,n,p este mai mare decât unu, sistemul (1) se numeşte sistem de ordin superior. 2) Un sistem rezolvat în raport cu derivatele de ordinul cel mai înalt se numeşte sistem canonic (sau explicit). Dacă sistemul (1) poate fi rezolvat în raport cu derivatele x(m),y(n),z(p), adică: ⎧ x ( m ) = f (t ; x, x' ,..., x ( m−1) ; y, y ' ,..., y ( n−1) ; z, z ' ,..., z ( p−1) ) ⎪ (n) ( m −1) ; y, y ' ,..., y ( n−1) ; z, z ' ,..., z ( p−1) ) ⎨ y = g (t ; x, x' ,..., x (2) ⎪ z ( p ) = h(t ; x, x' ,..., x ( m−1) ; y, y ' ,..., y ( n−1) ; z, z ' ,..., z ( p−1) ) ⎩

se obţine sistemul canonic respectiv. Definiţia 3. Un sistem de n ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi, cu n necunoscute, este de forma:

(3)

⎧ dy1 ⎪ dt = f1 (t , y1 , y 2 ,..., y n ) ⎪ ⎪ dy2 = f (t , y , y ,..., y ) ⎪ 2 1 2 n ⎨ dt ⎪.................................... ⎪ ⎪ dyn = f (t , y , y ,..., y ) 1 2 n n ⎪⎩ dt

25

şi se numeşte sistem sub forma normală a lui Cauchy. Un sistem de ecuaţii diferenţiale de ordin superior este echivalent cu un sistem de ordinul întâi. Aceasta se observă uşor din (2) dacă introducem funcţiile necunoscute: dx dx dx dx = x1 , 1 = x 2 , 2 = x3 ,..., m − 2 = x m−1 dt dt dt dt şi la fel în y şi z obţinem: dxn −1 = f (t , x, x1 ,..., x m−1 ; y, y1 ,..., y n −1 ; z, z1 ,..., z p −1 ) dt şi la fel în y şi z. Un sistem de n ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi este, în general, echivalent cu o singură ecuaţie diferenţială de ordinul n. Observaţie. Un sistem de ordin superior este echivalent cu un sistem de ordinul întâi, iar rezolvarea acestuia se reduce în general la rezolvarea unei ecuaţii diferenţiale de ordinul n. Exemplul 1. Să se rezolve sistemul: ⎧ dx ⎪⎪ dt = y − x , t ∈R ⎨ ⎪ dy = 2 y + 4 x ⎪⎩ dt 2

dy dx d x dx = + Din prima ecuaţie avem y = x + ; derivând, se obţine dt dt dt 2 dt

şi înlocuind în cea de-a doua ecuaţie a sistemului rezultă d 2 x dx dx d 2 x dx ⎞ ⎛ + = 2⎜ x + ⎟ + 4 x sau − − 6x = 0 . dt dt 2 dt ⎠ dt 2 dt ⎝ Aceasta este o ecuaţie de ordinul doi cu coeficienţi constanţi. Ecuaţia caracteristică corespunzătoare r2-r-6=0 are rădăcinile r1=3; r2=-2. Soluţia generală a ecuaţiei este x = C1e 3t + C 2 e −2t , , şi y = 4C1e 3t − C 2 e −2 t

Soluţia generală a sistemului dat este: ⎧⎪ x = C1e 3t + C 2 e −2t , t ∈R ⎨ ⎪⎩ y = 4C1e 3t − C 2 e − 2t 26

şi reprezintă o familie de curbe, ce depinde de două constante arbitrare reale. Pentru rezolvarea sistemelor de ecuaţii diferenţiale, din punct de vedere practic este mai indicată metoda eliminării, care conduce la o ecuaţie diferenţială de ordinul n cu coeficienţi constanţi. Dacă sistemul de ecuaţii este neomogen, aceeaşi metodă este preferabilă. Exemplul 2. Să se rezolve sistemul: ⎧ y '− x = t , t ∈R ⎨ ⎩ x'−4 y = sin t Din prima ecuaţie, x=y'-t şi x'=y″-1. Înlocuind în a doua ecuaţie obţinem: (4) y″-4y=1+sint Soluţia ecuaţiei este y=yh+yp, unde yh este soluţia ecuaţiei y″-4y=0. Ecuaţia caracteristică este r2-4=0 cu r1=2, r2=-2; deci y H = C1e 2t + C 2 e −2t ; yp îl alegem de forma yp=A+Bsint+Ccost. Prin înlocuirea lui yp în (4) şi 1 1 identificând obţinem: y p = − − sin t . Deci : 4 5

y = C1e 2 t + C 2 e − 2 t −

1 1 − sin t 4 5

şi din egalitatea x=y'-t obţinem: 1 x = 2C1e 2t − 2C2 e −2t − cos t − t 5 Soluţia generală a sistemului dat este deci: 1 ⎧ 2t −2t ⎪⎪ x = 2C1e − 2C 2 e − 5 cos t − t ⎨ ⎪ y = C e 2t + C e − 2t − 1 − 1 sin t 1 2 ⎪⎩ 4 5

10. Sisteme simetrice. Definiţie. Integrale prime. Combinaţii integrabile. Exemple. Definiţia 1. Un sistem de ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi se numeşte sistem simetric, dacă are forma 27

(1) unde

dxn dx1 dx2 = = ... = P1 ( x1 , x2 ,..., xn ) P2 ( x1 , x2 ,..., xn ) Pn ( x1 , x2 ,..., xn )

funcţiile

Pk ( x1 , x 2 ,..., x n )

nu

se

anulează

simultan

pentru

n

( x1 , x 2 ,..., x n ) ∈ D ⊂ R .

Soluţia generală a sistemului (1) este de forma: (2)

⎧ F1 ( x1 , x 2 ,..., x n ) = C1 ⎪ F ( x , x ,..., x ) = C ⎪ 2 1 2 n 2 ⎨ ⎪.................................. ⎪⎩ Fn −1 ( x1 , x 2 ,..., x n ) = C n −1

unde F1,F2,…,Fn-1 sunt continue cu derivatele parţiale de ordinul întâi continue în D ⊂ Rn. Orice relaţie Fk(x1,…,xn)=Ck, k = 1, n − 1 se numeşte integrală primă. Din cele de mai sus, rezultă că dacă se cunosc n-1 integrale prime ale sistemului (1), se cunoaşte soluţia generală a sistemului (1). Din (1) avem egalitatea: dx λ dx + λ2 dx2 + ... + λn dxn dx1 dx2 = = ... = n = 1 1 (3) P1 P2 Pn λ1 P1 + λ2 P2 + ... + λn Pn unde λk ( x1 ,..., xn ) sunt funcţii arbitrare continue în D. Definiţia 2. Un sistem de n funcţii λ1 ( x1 , x 2 ,..., x n ),..., λ n ( x1 , x 2 ,..., xn ) continue pe în D care îndeplinesc condiţiile λ1dx1 + λ2 dx2 + ... + λn dxn = dΦ, λ1 P1 + λ2 P2 + ... + λn Pn = 0 pentru orice ( x1 , x2 ,..., xn ) ∈ D , se numeşte o combinaţie integrabilă a sistemului (1) în D. Funcţia Φ ( x1 , x2 ,..., xn ) = C a cărei diferenţială totală în D este λ1dx1 + λ2 dx2 + ... + λn dxn este o integrală primă a sistemului (1). Dacă se determină n-1 combinaţii integrabile distincte, se obţin n-1 integrale prime, care dau soluţia generală a sistemului (1) sub forma (2). Exemplu. Folosind metoda combinaţiile integrabile, să se determine soluţia sistemului dx3 dx1 dx2 = = . determine soluţia sistemului x3 − x2 x1 − x3 x2 − x1

Sistemul dat poate fi scris sub forma: dx3 dx + dx2 + dx3 x1dx1 + x2 dx2 + x3 dx3 dx1 dx2 = = = 1 = x3 − x2 x1 − x3 x2 − x1 0 0 28

De aici rezultă că d(x1+x2+x3) = 0 şi x1dx1+ x2dx2 + x3dx3= 0. Soluţia generală va fi formată din două integrale prime: x1+x2+x3 = C1 şi x12 + x22 + x32 = C2 .

11. Ecuaţii cu derivate parţiale de ordinul întâi liniare şi omogene. Sistem caracteristic. Soluţie generală. Exemplu. Definiţia 1. O relaţie de forma

(1)

P1 ( x1 , x2 ,..., xn )

∂u ∂u ∂u + ... + Pn ( x1 , x2 ,..., xn ) + P2 ( x1 , x2 ,..., xn ) =0 ∂x2 ∂x1 ∂xn

cu Pk ( x1 , x 2 ,..., xn ), k = 1, n continue şi neanulându-se simultan într-un domeniu D ⊂ Rn, se numeşte ecuaţie cu derivate parţiale de ordinul întâi, liniară şi omogenă, dacă se cere să se determine funcţia u=f(x1,x2,…,xn) având derivatele parţiale de ordinul întâi continue, care verifică (1). Definiţia 2. Sistemul simetric (2)

dxn dx1 dx2 = = ... = P1 ( x1 , x2 ,..., xn ) P2 ( x1 , x2 ,..., xn ) Pn ( x1 , x2 ,..., xn )

definit în D se numeşte sistem caracteristic al ecuaţiei cu derivate parţiale (1). Problema integrării ecuaţiei diferenţiale (1) se reduce la problema integrării sistemului caracteristic (2), aşa după cum reiese din următoarea: Teoremă. Fie ϕ ( x1 , x 2 ,..., xn ) = C o integrală primă a sistemului caracteristic (2); funcţia u = ϕ ( x1 , x 2 ,..., xn ) este o soluţie a ecuaţiei cu derivate parţiale (1). Demonstraţie. Integrala primă ϕ ( x1 , x 2 ,..., xn ) = C are diferenţiala nulă de-a lungul unei curbe integrale a sistemului (2): (3)

∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ dx1 + dx2 + ... + dxn = 0 ∂x2 ∂xn ∂x1

Însă de-a lungul unei curbe integrale diferenţialele dx1,dx2,…,dxn, sunt proporţionale cu P1,P2,…,Pn, conform relaţiilor (2) deci egalitatea (3) mai poate fi scrisă şi sub forma: (4)

∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ P1 + P2 + ... + Pn = 0 ∂x2 ∂xn ∂x1

29

valabilă pentru orice ( x1 , x 2 ,..., xn ) situat pe o curbă integrală a sistemului (2). Egalitatea (4) fiind adevărată pentru orice constantă C, este adevărată pentru orice curbă integrală a sistemului (2) situată în D; prin urmare u = ϕ ( x1 , x 2 ,..., xn ) este o soluţie a ecuaţiei (1) în D. Teorema este demonstrată. Are loc urmatoarea: Teoremă. Fie ecuaţia cu derivate parţiale (1). Fie n-1 integrale prime (independente) ale sistemului caracteristic (2), ϕ k ( x1 , x 2 ,..., xn ) = C k , k = 1, n − 1 . u ( x 1 , x 2 ,..., x n ) dată de: Funcţia u ( x1 , x 2 ,..., xn ) = Φ[ϕ1 ( x1 , x 2 ,..., xn ), ϕ 2 ( x1 , x 2 ,..., xn ),..., ϕ n−1 ( x1 , x 2 ,..., xn )] este o soluţie a ecuaţiei cu derivate parţiale (1). Exemplu. Să se determine soluţia generală a ecuaţiei x2

∂u ∂u ∂u − xy + y2 =0 . ∂x ∂y ∂z

Sistemul caracteristic corespunzător este

Din

dx dy dz = = 2 . 2 − xy y x dx dy = rezultă integrala primă xy= C1 ,iar din egalitatea 2 − xy x

dy dz 3 = 2 obţinem ţinând seama de prima integrală y +3xyz=C2. Astfel − xy y

sistemul caracteristic are integralele prime ⎧ xy = C1 . ⎨ 3 ⎩ y + 3xyz = C 2

Soluţia generală a ecuaţiei este u = ϕ ( xy, y 3 + 3 xyz ) , unde ϕ este o funcţie arbitrară derivabilă.

12. Ecuaţii cu derivate parţiale de ordinul întâi cvasiliniare. Exemplu. O ecuaţie diferenţială cu derivate parţiale de ordinul întâi cvasiliniare este de forma: ∂u ∂u ∂u (1) P1(x1, x2,...,xn , u) + P2 (x1, x2,...,xn, u) +...+ Pn (x1, x2,...,xn, u) = Pn+1(x1, x2,...,xn , u) ∂x1 ∂x2 ∂xn

30

Pentru determinarea soluţiilor unei ecuaţii cu derivate parţiale cvasiliniare (1) se procedează astfel: a) Se scrie sistemul caracteristic corespunzător ecuaţiei (1), adică: dx dx1 dx2 du = = ... = n = P1 P2 Pn Pn +1

(2)

b) Folosind metoda combinaţiilor integrale se determină n integrale prime: Fk (u, x1 , x2 ,..., xn ) = C k , k = 1, n (3) c) Soluţia generală a ecuaţiei cvasiliniare (1) este dată sub forma implicită de relaţia: Φ( F1 , F2 ,..., Fn ) = 0 (4) Exemplu. Să se determine soluţia generală a ecuaţiei cu derivate parţiale x

∂u ∂u +y = u − u 2 + x2 + y2 ∂x ∂y

Ataşăm sistemul caracteristic: dx dy du = = 2 x y u − u + x2 + y2

Avem:

xdx + ydy + udu

x +y +u −u u + x + y 2

2

2

2

2

2

=

du u − u + x2 + y2 2

sau xdx + ydy + udu x2+ y2 + u2

de unde

(u

2

+ x2 + y2 − u

xdx + ydy + udu x2+ y2 + u2

)

=

du u − u2 + x2 + y2

= − du

Avem astfel o integrală primă: x 2 + y 2 + u 2 + u = C1 . Din egalitate primelor două rapoarte ale sistemului caracteristic, avem x = C 2 . Soluţia generală este: y ⎛x ⎞ ⎛ x⎞ Φ⎜⎜ , x 2 + y 2 + u 2 + u ⎟⎟ = 0 sau x 2 + y 2 + u 2 + u = f ⎜⎜ ⎟⎟ . ⎝y ⎠ ⎝ y⎠

şi a doua integrală primă:

13. Probleme propuse. 31

1. Să de integreze ecuaţia diferenţială de ordinul întâi liniară:

1 , y( 0 ) = 0 cos x 2. Să se integreze ecuaţia diferenţială omogenă generalizată: y' − y tgx =

( 3x-7 y-3 )y' + 7 x-3 y-7 = 0 . 3. Să se integreze ecuaţia diferenţială a lui Bernoulli: y'-

1 y = - 2 xy 2 , y( 1 ) = 1. x

4. Să se integreze ecuaţia diferenţială a lui Riccati: a) y ′ + y 2 +

a 4 2 y + 2 = 0, y p = ( a > 0). x x x

b) y ′ + y 2 sin x =

2 sin x 1 . , yp = 2 cos x cos x

5. Să se integreze ecuaţia diferenţială a lui Clairaut şi Lagrange: a) y = xy ′ +

1 ; y′

b) y = (1 + y ′) x + y ′ 2 .

6. Să se integreze ecuaţiile diferenţiale liniare de ordin superior cu coeficienţi constanţi omogene: a) y ' '− y = 0 , y( 0 ) = 2 , y ' ( 0 ) = 0; b) y ( 4) − 5 y ' '+4 y = 0; c) y ( 3) -6 y ' '+11 y '−6 y = 0; d) y ( 3) − 3 y ' '+3 y '− y = 0; e) y ( 4 ) − y = 0; f) y ( 5 ) + 4 y ( 3 ) = 0.

7. Să se integreze ecuaţiile diferenţiale liniare de ordin superior cu coeficienţi constanţi neomogene:

32

a) y' '−5 y '+6 y = 6 x 2 − 10 x + 2; b) y ( 4) − y (3) − y '+ y = e x . c) y ( 4) − y = 3e x − 5 cos x + 2 x 2 .

8. Să se integreze ecuaţia de tip Euler: x 2 y'' − 2 xy' + 2 y = x . 9.Folosind metoda variaţiei constantelor,să se integreze ecuaţia: y ′′ − y =

1 . cos x

10.Să se rezolve sistemele de ecuaţii diferenţiale: x′ + 4 x + 4 y = 0

, x(0) = 3, y (0) = 15, x = x(t ), y = y (t ).

a) y′ + 2x + 6 y = 0

x′ = − x + y + z b)

y′ = x − y + z

,

x(0)=0,y(0)=1,z(0)=1, x = x(t ), y = y (t ), z = z (t ).

z′ = x + y − z

11.Folosind metoda combinaţiilor integrabile să se determine soluţia sistemelor simetrice: a)

dx3 dx1 dx 2 = = ; x1 ( x 2 − x3 ) x 2 ( x3 − x1 ) x3 ( x1 − x 2 )

b)

dx3 dx1 dx 2 = = 2 2 2 x1 x2 x3 − x1 + x 2 + x3

c)

dx1 2

2

x1 − x 2 − x3

2

=

;

dx3 dx 2 . = 2 x1 x 2 2 x1 x3

12.Să se integreze sistemul de ecuaţii diferenţiale cu derivate parţiale cvasiliniare: 2 xu

∂u ∂u + 2 yu = u 2 − x2 − y2 ,u ∂x ∂y

33

y =1

= x.

CAPITOLUL II FUNCŢII COMPLEXE 1. Corpul numerelor complexe. Construcţia şi reprezentarea numerelor complexe. Imposibilitatea rezolvării unor ecuaţii algebrice în corpul numerelor reale R a condus pe algebriştii italieni în secolul XVI să introducă noi expresii de forma a + b − 1 , a, b ∈ R, numite numere imaginare. Numerele "imaginare" apar pentru prima oară în lucrările lui Cardan (sec. XVI). Denumirea de numere imaginare a fost atribuită datorită faptului că în epoca respectivă nu s-a putut da o reprezentare intuitivă a acestor numere. În 1763, Euler întreprinde pentru prima oară un studiu sistematic al acestor numere introducând şi simbolul " i ". În 1797, Gauss dă interpretarea geometrică a numerelor complexe, ca puncte ale unui plan. Fie R2 produsul cartezian al perechilor ordonate (x,y) de numere reale. Definim pe R2 operaţiile de adunare şi înmulţire prin : (1) (x,y) + (x',y') = (x+x', y+y') ; (2) (x,y) (x',y') = (xx'- yy', xy'+x'y). Prin definiţie, mulţimea numerelor complexe C este mulţimea R2 dotată cu operaţiile de adunare şi înmulţire (R2,+,.); mulţimea C înzestrată cu cele două operaţii are o structură de corp comutativ. Elementele corpului C se numesc numere complexe. Fie A mulţimea numerelor complexe de forma (x, 0), deci A={( x,0), x ∈ R}. A ⊂ C şi A este un subcorp al lui C deoarece: (x, 0) + (y, 0) = (x + y, 0) ∈ A, şi (x, 0)(y, 0) = (xy, 0) ∈ A . Să definim aplicaţia f : R → A prin f(x) = (x, 0), x ∈ R. Această aplicaţie este o bijecţie şi conservă operaţiile de adunare şi înmulţire : f(x+y) = f(x) + f(y) şi f(xy)=f(x)f(y) . Rezultă că f este un izomorfism de corpuri de la R pe A. Acest lucru permite identificarea mulţimii A cu R. Astfel vom nota numărul complex (x,0) cu x deci (x, 0) = x. În particular, zeroul (0,0) şi unitatea (1,0) din corpul numerelor complexe se identifică cu numărul real 0 şi unitatea reală 1. În consecinţă putem scrie (0,0) = 0 şi (1,0) = 1.

34

Fie B = {(0. y), y ∈ R } ⊂ C. Observăm că B se poate identifica cu punctele din R2 situate pe axa Oy. Observăm că : (0, y) + (0,y') = (0, y+y') ∈ B şi (0,y) (0,y') = (-yy', 0) ∉ B. Aceasta arată că B nu este un subcorp al corpului numerelor complexe C. În particular, (0,1) (0,1) = (-1,0) = -1 . Vom nota i = (0,1) şi astfel i2 = -1, xi = (0, x), x R. Numărul complex i se mai numeşte şi unitate imaginară, iar numerele complexe de forma xi (x ∈ R), numere pur imaginare. Dacă z = (x,y) este un număr complex oarecare, atunci : z = (x,y) = (x,0) + (0,y) = x + iy, care reprezintă expresia algebrică a numerelor complexe. În această scriere, x = Re z şi y = Im z reprezintă respectiv partea reală şi partea imaginară a numărului complex z. Prin modulul numărului complex z = x + iy se înţelege numărul nenegativ definit prin relaţia : z = x2 + y2 . Prin conjugatul unui număr complex z = x + iy se înţelege numărul z = x - iy. În afară de această reprezentare geometrică punctuală mai este cunoscută şi reprezentarea vectorială a numerelor complexe. Astfel, numărului complex z = x + iy, i se ataşează vectorul liber ale cărui componente pe axele de coordonate sunt x şi y . În acest fel se realizează o bijecţie între corpul C şi mulţimea vectorilor liberi. Scrierea numerelor complexe sub formă trigonometrică. Operaţii cu numere complexe. În calculul cu numere complexe este foarte utilă scrierea acestora sub formă trigonometrică. Numărul complex z = x + iy se poate scrie sub formă trigonometrică : (1)

z = ρ (cos θ + i sin θ ) unde ρ = z , tgθ =

y , x = ρ cos θ , y = ρ sin θ . x

Unghiul făcut de vectorul corespunzător lui z cu sensul pozitiv al axei Ox se numeşte argument şi se notează : θ = arg z

35

y y

M(x,y) z ρ

θ

0

x

x

Aceluiaşi număr complex z, z ≠ 0, îi corespund o infinitate de determinări ale argumentului, care diferă între ele printr-un multiplu de 2π. Vom numi determinare principală a argumentului lui z, z≠ 0, notată arg z, acea determinare care verifică inegalităţile : - π < arg z ≤ π. Adunarea (respectiv scăderea) numerelor complexe z1 = x1 + iy1 şi z 2 = x2 + iy 2 se definesc prin : z1 ± z 2 = ( x1 ± x 2 ) + i( y1 ± y 2 ) (2) Aceste operaţii au ca semnificaţie geometrică adunarea respectiv scăderea vectorilor corespunzători : y y z2 z1 + z 2

z1

z1

0

z2

x 0

x − z2

z1 − z 2

Se observă că z1 − z 2 reprezintă distanţa dintre punctele z1 şi z 2 z1 = ρ1 (cosθ1 + i sin θ1 ) z 2 = ρ 2 (cosθ 2 + i sin θ 2 ) . şi Înmulţirea Fie numerelor complexe z1 şi z 2 se defineşte astfel :

36

z1 z 2 = ρ1 ρ 2 [cos(θ1 + θ 2 ) + i sin(θ1 + θ 2 )] . (3) z1 z 2 = z1 z 2 şi arg( z1 z 2 ) = arg z1 + arg z 2 . Observăm că Dacă z k ∈ C, z k = ρ k (cos θ k + i sin θ k ) , k ∈ {1,2,..., n) atunci : (4) z1 z 2 ...z n = ρ1 ρ 2 ...ρ n [cos(θ1 + θ 2 + ... + θ n ) + i sin(θ1 + θ 2 + ... + θ n )] . Dacă z1 = z 2 = ... = z n = z = ρ (cos θ + i sin θ ) atunci : z n = ρ n (cos nθ + i sin nθ ) . (5) Dacă luăm pe ρ = 1 se obţine formula lui Moivre : (6) (cos θ + i sin θ ) n = cos nθ + i sin nθ . Împărţirea numerelor complexe z1 , z 2 se efectuează după regula :

(7)

z1 ρ1 = [cos(θ1 − θ 2 ) + i sin(θ1 − θ 2 )] z2 ρ2

Observăm că :

z1 z2

=

z1 z2

şi

arg

.

z1 = arg z1 − arg z 2 . z2

Rădăcina de ordinul n se defineşte astfel : n z = n ρ (cos θ + n2 kπ + i sin θ + n2 kπ ) , k ∈ {0,1,2,..., n − 1}. (8) Din punct de vedere geometric, cele n rădăcini ale lui z sunt vârfurile unui poligon regulat cu n laturi înscris în cercul cu centrul în origine şi de rază n ρ . O formă importantă de reprezentare a numerelor complexe se datorează lui Euler. Notând cos θ + i sin θ = e iθ ( formula lui Euler ), numărul complex z se poate scrie sub forma: z = ρe iθ , ρ = z ,θ = arg z numită forma exponenţială a numerelor complexe. 2. Elemente de topologie în corpul numerelor complexe.Proiecţia stereografică. Fie C mulţimea numerelor complexe. Aplicaţia d : CXC → R definită prin : d ( z1 , z 2 ) = z1 − z 2 , ∀z1 , z 2 ∈ C , (1) se numeşte metrică sau distanţă pe mulţimea C. În continuare nu vom face deosebire între numărul complex z şi punctul M(z), imaginea lui geometrică din planul Gauss. Definiţia 1 . Vom numi disc deschis cu centrul în punctul a∈C şi de rază r >0 mulţimea : (2) ∆ ( a, r ) = {z ∈ C, z − a
37

Prin disc închis cu centrul în a ∈C şi de rază r > 0 vom înţelege mulţimea : (3) ∆ ( a, r ) = {z ∈ C, z − a ≤r } . Definiţia 2. Numim cerc cu centrul în a şi de rază r >0 mulţimea : (4) S(a,r) = {z ∈ C, z − a =r } . Mai jos sunt reprezentate cele trei mulţimi: y

y * *z * * * *

* * *a * * r * *

* * *z * * a * * * * r *

0

x

0

x ∆ ( a, r )

∆ ( a, r )

y

*

*z

*

a r *

* *

0

x S ( a, r )

38

Mulţimea C pe care s-a definit metrica d este un spaţiu metric. Pe mulţimea C, relativ la distanţa d vom introduce topologia τ d , numită topologia asociată distanţei d. Mulţimea de părţi τ d a spaţiului metric (C, d) definită prin : (5) τ d = {U ∈ Ρ(C ); ∀z ∈ U , ∃r > 0, ∆( z , r ) ⊂ U } , unde Ρ (C) reprezintă mulţimea tuturor părţilor mulţimii C, este o topologie pe (C,d), numită topologia asociată distanţei d .

y ∆( z 0 , r ) z0

r V 0

x

Definiţia 3. Submulţimea V se numeşte vecinătate a unui punct z 0 ∈ C dacă există discul ∆( z 0 , r ) ⊂ V ( figura de mai sus).` Dacă V ⊂ C este o vecinătate a lui z 0 ∈ C , atunci punctul z 0 se numeşte punct interior lui V. Mulţimea punctelor interioare ale unei mulţimi V se 0

numeşte interiorul lui V şi se notează cu V sau IntV . Punctul z 0 este un punct de acumulare pentru mulţimea V dacă orice disc ∆( z 0 , r ) conţine un punct z ≠ z 0 astfel încât : V ∩ (∆( z 0 , r ) \ {z 0 }) ≠ ∅ . Mulţimea punctelor de acumulare o vom nota cu V' şi o vom numi mulţimea derivată a lui V. Dacă z 0 ∈ V şi există ∆( z 0 , r ) astfel încât ∆( z 0 , r ) ∩ V = {z 0 } , atunci punctul z 0 este un punct izolat al mulţimi V. ___

Închiderea mulţimi V reprezintă mulţimea V = V ∪ V / . O mulţime V 0

este deschisă dacă V= V . Mulţimea V este închisă dacă V ⊃ V / . Se poate arăta că V este închisă ___

⇔V = V .

39

Mulţimea V ⊂ C este o mulţime mărginită dacă există discul ∆ (0, r ) astfel încât V ⊂ ∆(0, r ) . O mulţime mărginită şi închisă se numeşte compactă. Un punct z 0 ∈ C se numeşte punct frontieră pentru mulţimea A ⊂ C dacă orice vecinătate V a punctului z 0 conţine puncte atât din mulţimea A cât şi din complementara sa C(A). Mulţimea punctelor frontieră a mulţimii A se notează Fr A şi se numeşte frontiera lui A. Dacă cel puţin unul din numerele x =Re z , y =Im z este infinit, vom scrie z = ∞ şi vom spune că reprezintă punctul de la infinit al planului complex. Definiţia 4. Numim vecinătate a punctului z = ∞ exteriorul unui cerc cu centrul în origine, adică mulţimea : (6) V∞ = {z ∈ C , z > r} . Pentru a obţine imaginea geometrică a punctului z = ∞ al planului complex vom defini proiecţia stereografică, care stabileşte o corespondenţă biunivocă între punctele unei sfere şi punctele planului complex al lui Gauss. Această corespondenţă a fost indicată de B. Riemann. Să considerăm o sferă S de diametru 1 tangentă în punctul O la planul euclidian raportat la sistemul de axe rectangulare Oxy în care am reprezentat numerele complexe . Fie N punctul de pe sfera S diametral opus lui O. Vom considera spaţiul euclidian tridimensional raportat la sistemul de axe rectangulare Oξης unde Oξ şi Oη coincid cu Ox respectiv cu Oy, iar axa Oς se suprapune peste diametrul ON, N (0,0,1). Fie M un punct oarecare din planul Oxy de afix z = x + iy şi să notăm cu P = P( ξ ,η , ς ) punctul diferit de N unde dreapta MN taie sfera S : z N P* y O x

M

40

În acest fel, fiecărui punct M din plan (sau fiecărui număr complex z ∈ C ) îi va corespunde un punct unic P al sferei S, P ≠ N. Invers, dându-se un punct P, P ∈ S, P ≠ N, dreapta care trece prin N şi P va intersecta planul Oxy într-un punct unic M. Vom spune că punctul M este proiecţia stereografică (din N) al punctului P. Relaţiile dintre coordonatele punctului P( ξ ,η , ς ) şi coordonatele punctului M(x, y) sunt : (7)

ξ=

x 1+ x2 + y2

;η =

y 1+ x2 + y2

;ς =

x2 + y2 . 1+ x2 + y2

Când z → ∞ , atunci P → N deci proiecţia stereografică a polului nord N este punctul de la infinit z = ∞ al planului complex ξ = 0 . Mulţimea numerelor complexe C împreună cu punctul z = ∞ reprezintă închiderea lui __

C , deci C = C ∪ {∞} . Definiţia 5. Mulţimea E ⊂ C este convexă, dacă pentru orice descompunere în două mulţimi disjuncte şi nevide A şi B cel puţin una din aceste mulţimi are un punct de acumulare în cealaltă mulţime, deci : A ∪ B = E , A ∩ B = ∅, A ∩ B / ≠ ∅ sau A / ∩ B ≠ ∅ . Dacă o mulţime este deschisă şi convexă, vom spune că acea mulţime este un domeniu. O mulţime deschisă este convexă dacă şi numai dacă oricare două puncte ale sale pot fi unite printr-o linie poligonală conţinută în acea mulţime. Definiţia 6. Un domeniu D ⊂ C este simplu conex,dacă orice curbă simplă închisă Γ , conţinută în D, delimitează un domeniu mărginit ∆ având frontiera Γ ,este inclus în D,adică ∆ ⊂ D : y D Γ ∆ ∆

0

x

41

Un domeniu care nu este simplu conex vom spune că este multiplu conex. Prin introducerea unor tăieturi, adică noi frontiere, domeniul poate deveni simplu conex. Ordinul de conexiune se obţine adăugând o unitate la numărul minim de tăieturi pentru ca domeniul respectiv să devină simplu conex. Exemplu. Domeniul D din figura de mai jos este triplu conex : D

( C3 ) T2

B1

( C1 )

B2

* A2

( C2 ) T1 A1

Prin tăieturile T1 şi T2 el devine un domeniu simplu conex având ca frontieră mulţimea : ∩

∩

∩

∩

Γ = (C1 ) ∪ (C 2 ) ∪ (C 3 ) ∪ ( A1 B1 ) ∪ ( B1 A1 ) ∪ ( A2 B2 ) ∪ ( B2 A2 ). .

3. Şiruri şi serii de numere complexe. A. Şiruri de numere complexe. Definiţia1.

Numim

şir

de numere complexe aplicaţia f : N → C , f ( n) = x n + iy n , x n ∈ R, y n ∈ R. Vom nota : ( z n ) n∈N sau simplu ( z n ). Spunem că şirul ( z n ) este mărginit dacă ∃c ∈ R+ astfel încât : z n ≤ c, ∀n ∈ N*. Definiţia 2. (cu vecinătăţi) Spunem că şirul ( z n ) este convergent dacă există un z ∈ C astfel încât în afara oricărei vecinătăţi V a lui z se află un număr finit de termeni ai şirului. Notăm lim z n = z sau z n → z , n → ∞ . *

*

n →∞

Definiţia 3. (cu ε ) Spunem că ( z n ) este convergent dacă există un z ∈ C astfel încât pentru orice ε > 0 există un rang nε ∈ N cu proprietatea că pentru orice n ∈ N, n ≥ nε să avem :

42

zn − z < ε .

Geometric definiţia 3 are următoarea interpretare : toţi termenii z n cu n ≥ nε se află în interiorul cercului cu centrul în z şi de raza ε . Teorema 1. Un şir z n = x n + iy n este convergent dacă şi numai dacă ( x n ) şi ( y n ) sunt convergente; în plus, lim z n = lim x n + i lim y n . n→∞

n →∞

n→∞

Demonstraţie. Dacă z n este convergent, atunci ∃z = x + iy ∈ C astfel încât pentru ∀ε > 0, ∃nε ∈ N astfel încât ∀n ≥ nε să avem z n − z < ε . Dar xn − x ≤ z n − z < ε şi y n − y ≤ z n − z < ε , de unde urmează că x n şi y n sunt convergente către x şi respectiv y şi deci z n → x + iy . Reciproc, dacă x n → x şi y n → y obţinem z n → z . Definiţia 4. Şirul ( z n ) de numere complexe se numeşte şir Cauchy (fundamental), dacă pentru orice ε > 0 , există un număr natural n (ε ) astfel încât pentru orice n > n(ε ) şi orice p ∈ N , să avem : (1) z n+ p − z n < ε . Are loc: Teorema 2. Condiţia necesară şi suficientă ca un şir ( z n ) să fie şir Cauchy este ca şirurile ( x n ) şi ( y n ) să fie şiruri Cauchy. Necesitatea condiţiei rezultă din inegalităţile : şi y n + p − y n ≤ z n + p − z n xn+ p − xn ≤ z n+ p − z n iar suficienţa din inegalitatea : z n+ p − z n ≤ xn+ p − xn + y n+ p − y n . B. Serii de numere complexe. Prin serie de numere complexe înţelegem suma termenilor unui şir ( wn ) de numere complexe şi se notează : ∞

∑w n =1

n

= w1 + w2 + ... + wn + ... .

Seriei de numere complexe

∞

∑w n =1

n

i se asociază şirul sumelor parţiale

( S n ), definit astfel : S n = w1 + w2 + ... + wn , n ∈ {1,2,3...} .

43

Dacă şirul sumelor parţiale ( S n ) este convergent şi are limita S spunem că seria

∞

∑ wn este convergentă şi are suma S adică: n =1

şirul ( S n ) este divergent spunem că seria

∞

∑w n =1

n

∞

∑w n =1

n

= S . Dacă

este divergentă.

O serie de numere complexe poate fi scrisă : ∞

∞

∞

n =1

n =1

n =1

∑ wn = ∑ u n + i∑ vn , unde u n , vn ∈ R . Are loc : Teorema 1. O serie de numere complexe ∑ wn este convergentă dacă şi numai dacă

∑u

n

şi

∑v

Demonstraţie.

n

sunt convergente.

Notăm

S n = w1 + w2 + .. + wn , s n = u1 + u 2 + ... + u n şi

τ n = v1 + v 2 + ...v n . Avem S n = s n + iτ n

. Dar

∑w

n

este convergentă dacă şi

numai dacă şirul ( S n ) este convergent ceea ce are loc dacă şi numai dacă şirurile ( s n ) şi ( τ n ) sunt convergente adică, dacă şi numai dacă seriile şi

∑v

n

n

n

sunt convergente.

Definiţia 1. Seria

∑w

∑u

∑w

n

se numeşte absolut convergentă dacă seria

este convergentă. Definiţia 2. Dacă seria

divergentă, seria

∑w

n

∑w

n

este convergentă iar

∑w

n

este

se numeşte semi-convergentă.

Observaţie. O serie absolut convergentă este convergentă dar reciproca nu este în general valabilă . O serie de numere complexe este absolut convergentă dacă şi numai dacă atât seria părţilor reale cât şi seria părţilor imaginare sunt absolut convergente.

44

Observaţie. Pentru studiul convergenţei absolute a seriilor de numere complexe se utilizează criteriile de convergenţă pentru serii cu termenii pozitivi. Pentru studiul naturii seriilor de numere complexe pot fi utilizate criteriile de convergenţă pentru seriile de numere reale. 4. Funcţii complexe de o variabilă reală. Limita într-un punct. Continuitate. Derivata şi diferenţiala. Integrala Riemann. Primitivă. Fie E ⊂ R . Definiţia 1. Numim funcţie complexă de variabilă reală , aplicaţia : (1) f : E ⊂ R → C sau (2) f(t) = x(t) + i y(t) , t ∈ R unde x(t)= Re f(t) şi y(t) = Im f(t) . Rezultă că o funcţie complexă de variabilă reală este determinată de o pereche ordonată x = x(t) şi y = y(t), t ∈ E de funcţii reale de variabilă reală. Definiţia 2. Spunem că un număr complex l ∈ C este limita funcţiei f(t) în punctul t 0 ∈ E' dacă pentru orice ε > 0 există un număr η (ε ) > 0 astfel încât oricare ar fi t ∈ E , t ≠ t 0 , dacă t − t 0 < η (ε ) atunci f (t ) − l < ε . Se scrie lim f (t ) = l t →t 0

Are loc: Propoziţia 1.

lim f (t ) = l ⇔ lim x(t ) = Re l t →t 0

t →t 0

y(t ) = Im l . şi lim t →t 0

Definiţia 3. Spunem că funcţia complexă f(t) este continuă în punctul t 0 ∈ E ⊂ R , dacă pentru orice ε > 0 există η (ε ) > 0 astfel încât pentru t − t 0 < η (ε ), t ∈ E să avem : f (t ) − f (t 0 ) < ε Dacă t 0 ∈ E ∩ E / , atunci funcţia complexă f(t) este continuă în punctul t 0 ⇔ lim f (t ) = f (t 0 ) . t →t 0

Propoziţia 2. Condiţia necesară şi suficientă pentru ca funcţia complexă f(t) = x(t) + i y(t) să fie continuă în punctul t 0 ∈ E ⊂ R este ca funcţiile reale x(t)şi y(t) să fie continue în t 0 . Fie f : E ⊂ R → C şi t 0 ∈ E ∩ E / Definiţia 4. Spunem că funcţia complexă f este derivabilă în punctul t 0 dacă există şi este finită limita : t

(3)

lim t →t 0

f (t ) − f (t 0 ) . t − t0

45

Valoarea acestei limite se notează f / (t 0 ) sau

df (t 0 ) şi se numeşte dt

derivata funcţiei f în punctul t 0 ∈ E . Propoziţia 3. Condiţia necesară şi suficientă ca o funcţie complexă f să fie derivabilă într-un punct este ca funcţiile reale x(t) şi y(t) să fie derivabile în acel punct. Se poate scrie : y (t ) − y (t 0 ) f (t ) − f (t 0 ) x(t ) − x(t 0 ) , t ∈ E \ {t 0 } , de unde +i = t − t0 t − t0 t − t0

trecând la limită când t → t 0 , obţinem egalitatea : (4) f / (t 0 ) = x / (t 0 ) + iy ′(t 0 ) . Menţionăm că regulile de derivare pentru funcţiile reale se păstrează şi în cazul funcţiilor complexe de variabilă reală. Fie f o funcţie complexă derivabilă pe E ⊂ R . Prin diferenţiala lui f în punctul t 0 ∈ E vom înţelege numărul complex: (5) df (t 0 ) = f / (t 0 ) ⋅ dt , dt = t − t 0 . Explicitând, relaţia (5) poate fi scrisă şi astfel : (6) df (t ) = dx (t ) + idy (t ) , unde dx (t ) = x / (t )dt şi dy (t ) = y / (t )dt Regulile de diferenţiere cunoscute pentru sumă, produs şi cât se păstrează şi pentru funcţiile complexe. Definiţia integralei Riemann pentru funcţiile complexe de variabilă reală este analoagă cu cea dată pentru funcţiile reale. Fie funcţia complexă f (t ), t ∈ [a, b] ⊂ R. Să considerăm o diviziune d a lui [a, b] prin punctele: d : t 0 = a < t1 < t 2 < ... < t k −1 < t k < ... < t n = b . Notăm δ k = [t k −1 , t k ] , unde k ∈ {1,2,3,..., n} . Prin norma diviziunii d, notată γ (d ) , se înţelege numărul real : (7) γ (d ) = max (t k − t k −1 ) . 1≤ k ≤ n

Funcţiei complexe f şi diviziunii d a compactului [a ,b] li se asociază numărul complex τ d , numit sumă integrală Riemann, având expresia : (8)

n

τ d ( f ) = ∑ f (ξ k )(t k − t k −1 ) k =1

unde

punctele

ξ k ∈ [t k −1 , t k ]

k ∈ {1,2,3,..., n} se numesc puncte intermediare ale diviziunii d a lui [a, b].

Definiţia 5. Funcţia complexă f(t), t ∈ [a, b] este integrabilă pe [a, b], dacă există un număr complex I cu proprietatea următoare : pentru orice

46

ε > 0 există un număr η (ε ) > 0 , astfel încât, oricare ar fi diviziunea d cu υ ( d ) < η (ε ) şi oricare ar fi alegerea punctelor intermediare ξ k , să avem : I −τ d ( f ) < ε . (9)

Numărul I se notează

b

∫ f (t )dt

şi se numeşte integrala funcţiei f(t) pe

a

intervalul [a, b]. În cazul când integrala există vom scrie : (10)

b

I = ∫ f (t )dt = lim τ d ( f ) υ ( d )→0

a

Propoziţia 4. Funcţia complexă f(t) este integrabilă pe [a, b] dacă şi numai dacă funcţiile reale x(t) şi y(t) sunt integrabile pe [a, b].Aceasta rezultă imediat din inegalităţile : Re I − τ d ( x(t )) ⎫⎪ ⎬ ≤ I − τ d ( f ) ≤ Re I − τ d ( x(t )) + Im I − τ d ( y (t )) , deoarece Im I − τ d ( y (t )) ⎪⎭ τ d ( f ) = τ d ( x(t )) + iτ d ( y (t )) .

Din egalitatea de mai sus, găsim formula : (11)

b

b

b

a

a

a

∫ f (t )dt =∫ x(t )dt + i ∫ y(t )dt .

Proprietăţile integralei Riemann au loc şi pentru funcţiile complexe. Definiţia 6. Spunem că funcţia complexă F(t), t ∈ [a, b], este primitiva lui f(t), t ∈ [a, b], dacă F(t) este derivabilă pe [a, b] şi F / (t)=f(t) , t ∈ [a, b]. Dacă o funcţie f are o primitivă F, atunci are o infinitate de primitive, anume mulţimea: F(t)+C, t ∈ [a, b], C ∈ C. Această mulţime a primitivelor lui f se numeşte integrala nedefinită a funcţiei f care se notează : (9) ∫ f (t )dt = F (t ) + C . În particular, dacă funcţia f este continuă pe [a, b], atunci funcţia complexă

t

∫ f (τ )dτ

este primitivă pentru funcţia f pe [a, b] şi F / (t) = f(t),

a

t ∈ [a, b]. Ca şi în cazul funcţiilor reale se arată că : (10)

b

∫ f (t )dt = F (b) − F (a) = F (t )

b a

,

a

care constituie formula Leibniz-Newton pentru integrala definită a unei funcţii complexe. 5. Funcţii monogene. Derivata unei funcţii complexe. Condiţiile de monogeneitate a lui Cauchy-Riemann. Proprietăţi.

47

Definiţia 1. Spunem că funcţia complexă definită în domeniul D ⊂ C este derivabilă în punctul z 0 ∈ D , dacă există şi este unică: (1)

lim

z → z0

f ( z) − f ( z0 ) . z − z0

Valoarea acestei limite se notează f / ( z 0 ) şi se numeşte derivata funcţiei f(z) în punctul z 0 ∈ D . O funcţie derivabilă într-un punct se numeşte monogenă în acel punct. O funcţie monogenă în fiecare punct al domeniului D se numeşte olomorfă pe domeniul D sau monogenă (monos = unul, genos = a da naştere) pe domeniul D. Propoziţia 1. (Condiţiile de monogeneitate a lui Cauchy-Riemann). Pentru ca funcţia complexă f(z) = u(x,y) + iv(x,y) definită în domeniul D să fie monogenă în punctul z 0 = x0 + iy 0 ∈ D , este necesar ca funcţiile u şi v să admită derivate parţiale de ordinul întâi în punctul ( x0 , y 0 ) şi să satisfacă relaţiile: (2)

∂u ∂v ∂u ∂v ( x 0 , y 0 ) = ( x0 , y 0 ), ( x0 , y 0 ) = − ( x0 , y 0 ) ∂y ∂x ∂x ∂y

numite condiţiile de monogeneitate ale lui Cauchy-Riemann. Demonstraţie. Pentru z = x + iy ∈ D, z ≠ z 0 , putem scrie: (3)

f ( z ) − f ( z 0 ) [u ( x, y ) − u ( x0 , y 0 )] + i[v( x, y ) − v( x0 , y 0 )] = z − z0 ( x − x0 ) + i ( y − y 0 )

y

z

y0

0

z

z

z0

x

x0

Să presupunem că z → z 0 pe un drum paralel cu Ox:

x⎯ ⎯→ x 0 şi y = y0

Din (3) obţinem: (4)

⎡ u ( x, y 0 ) − u ( x 0 , y 0 ) v ( x, y 0 ) − v ( x 0 , y 0 ) ⎤ f / ( z 0 ) = lim ⎢ +i ⎥. x → x0 x − x0 x − x0 ⎣ ⎦ Dar existenţa derivatei f'( z 0 ) implică existenţa limitelor:

48

(5)

lim

x → x0

u ( x, y 0 ) − u ( x0 , y 0 ) ∂u ( x0 , y 0 ) = x − x0 ∂x

şi (6)

v( x, y 0 ) − v( x0 , y 0 ) ∂v = ( x0 , y 0 ) . x → x0 x − x0 ∂x lim

Din relaţiile (4), (5) şi (6), obţinem:

∂u ∂v ( x0 , y 0 ) + i ( x0 , y 0 ) . ∂x ∂x Presupunând că z → z 0 , pe un drum paralel cu axa imaginară Oy, atunci

(7)

f / (z0 ) =

⎯→ y 0 . x = x 0 şi y ⎯

Din (3) obţinem: (8)

⎡1 u ( x0 , y ) − u ( x0 , y 0 ) v( x0 , y ) − v( x0 , y 0 ) ⎤ + f / ( z 0 ) = lim ⎢ ⎥ y → y0 i y − y0 y − y0 ⎣ ⎦

care implică existenţa limitelor: (9)

lim

y → y0

şi (10)

lim

y → y0

u ( x0 , y ) − u ( x0 , y 0 ) y − y0

v( x0 , y ) − v( x0 , y 0 ) y − y0

=

∂u ( x0 , y 0 ) ∂y

=

∂v ( x0 , y 0 ) . ∂y

Din (8), (9) şi (10) găsim: (11)

1 ∂u ∂v f / ( z 0 ) = ⋅ ( x0 , y 0 ) + ( x0 , y 0 ) . i ∂y ∂y

Comparând relaţiile(7) şi (11) rezultă necesitatea condiţiilor (2) şi astfel propoziţia este demonstrată. Propoziţia 2. Fie f(z)=u(x,y)+iv(x,y) olomorfă în domeniul D (se notează f ∈ H(D). Dacă u şi v admit derivate parţiale de ordinul doi continue în D atunci funcţiile u(x,y) şi v(x,y) sunt armonice, adică: ∂2 ∂2 ∆u = 0, ∆v = 0 ,unde ∆ = 2 + 2 ,reprezintă operatorul lui Laplace. ∂y ∂x

6. Determinarea unei funcţii olomorfe pe un domeniu când se cunoaşte partea reală sau partea imaginară. Exemplu. Să presupunem că f(z)=u(x,y)+iv(x,y) este o funcţie monogenă pe un domeniu D. Funcţiile u(x,y) şi v(x,y) verifică condiţiile lui CauchyRiemann:

49

∂ v ∂ u ∂ v ∂ u şi . = =− ∂ x ∂ x ∂ y ∂ y

Să presupunem că se cunoaşte funcţia u(x,y). Funcţia u(x,y) fiind partea reală a funcţiei monogene f(z) , este o funcţie armonică în D. Cunoscând funcţia u(x,y), vom calcula derivatele funcţiei v(x,y): ∂ u ∂ v ∂ u ∂ v , =− = ∂ y ∂ y ∂ x ∂ x

şi diferenţiala sa: dv = −

∂ u ∂ u dy . dx + ∂ x ∂ y

În partea dreaptă a egalităţii avem o diferenţială totală exactă, deoarece ∂ ⎛∂ u⎞ ∂ ⎛∂ u⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ = − ⎜ ⎟ ∂ x⎝∂ x⎠ ∂ y ⎜⎝ ∂ y ⎟⎠

u fiind funcţie armonică ,

∂ 2u ∂ 2u = 0 . Funcţia + ∂ x2 ∂ y2

v(x,y) se poate exprima printr-o integrală curbilinie independentă de drum, (1)

v ( x, y ) =

∂ u ∂ u dy dx + ∂ x y

∫ −∂

AM

A( x0 , y 0 ) fiind un punct fix, iar M(x,y) un punct arbitrar din D. Drumul de la

A la M se parcurge de obicei pe două segmente de dreaptă paralele cu axele de coordonate (figura), dacă acestea sunt cuprinse în domeniul D. y

C ( x0 , y )

M ( x , y)

D A( x0 , y 0 )

B ( x, y 0 )

0

x

Calculând integrala pe drumul ABM, se obţine: x

y

∂ u ∂ u (t , y 0 )dt + ∫ ( x, t )dt x0 ∂ y y0 ∂ x

v ( x, y ) = − ∫

iar dacă se alege drumul ACM, 50

y

v ( x, y ) =

x

∂ u ∂ u ∫y ∂ x ( x0 , t )dt − x∫ ∂ y (t , y)dt . 0 0

Integrala (1) determină funcţia v(x,y) în afara unei constante aditive, deci funcţia f(z)=u(x,y)+iv(x,y) va fi determinată în afara unei constante aditive . Se observă uşor că f(z) astfel determinată este monogenă. Întradevăr, deoarece sub semnul de integrală este o diferenţială exactă, avem: dv = −

∂ u ∂v ∂ u ∂v ∂ u ∂ u dy , de unde rezultă , . dx + =− = ∂ y ∂ y ∂ x ∂ x ∂ x ∂ y

În mod analog se arată că, dată fiind o funcţie v(x,y) armonică în D, există o funcţie f(z)=u(x,y)+iv(x,y) monogenă pe D. Funcţia u(x,y) este determinată în afara unei constante aditive prin integrala curbilinie independentă de drum: (2)

u ( x, y ) =

∫

AM

∂ v ∂ v dy dx − ∂ x ∂ y

şi cu aceasta f(z) este determinată în afara unei constante aditive . Exemplu . Se dă v( z, y ) = e x sin y . Să se determine funcţia monogenă f(z)=u(x,y)+iv(x,y) ştiind că f(0)=1. Se verifică uşor că v(x,y) este armonică. Din condiţiile de monogeneitate obţinem: ∂ v ∂ u ∂ u ∂ v = −e x sin y . =− = e x cos y, = ∂ x ∂ y ∂ x ∂ y

Deci: du = e x cos y ⋅ dx − e x sin y ⋅ dy

şi u ( x, y ) =

∫e

x

cos y ⋅ dx − e x sin y ⋅ dy .

AM

Integrând pe drumul ABM din figura de mai sus, obţinem: y

x

u ( x, y ) = ∫ e cos y 0 ⋅dx − ∫ e x sin y ⋅ dy = e x cos y 0 − e xo cos y 0 + e x cos y − e x cos y 0 x

x0

y0

şi deci: u ( x, y ) = e x cos y + C

C - constantă arbitrară

(C = −e cos y 0 ) . x0

Rezultă că: f ( z ) = e x cos y + C + ie x sin y . Din condiţia f(0)=1 găsim C=0. Obţinem funcţia monogenă:

f ( z ) = e x cos y + ie x sin y

51

sau f ( z ) = e x (cos y + i sin y ) = e x ⋅ e iy = e x +iy

şi deci: f ( z) = e z .

7. Interpretarea geometrică a derivatei. Transformarea conformă. Exemplu. Fie f(z)=u+iv o funcţie definită în domeniul D. Presupunem că f(z) este monogenă în punctul z 0 = x0 + iy 0 ∈ D şi f / ( z 0 ) ≠ 0 . Vom nota w=f(z) şi w0 = f ( z 0 ) . Funcţia f determină transformarea: (1) u = u(x,y) , v = v(x,y) între planele (z) şi (w). În planul (z) al variabilei se consideră un arc de curbă (C) care are o extremitate în M 0 ( z 0 ) (figura).

(Γ)

y

(C)

(z) M(z)

v

N(w)

T

α/ α

β/ β

M 0 ( z0 )

0

(w) U

N 0 ( w0 )

x

0

/

u

Vom nota cu (Γ) imaginea curbei (C) prin transformarea punctuală (1) între planele complexe (z) şi (w). Deoarece f / ( z 0 ) ≠ 0 , putem scrie: (2)

⎧ / w − w0 w − w0 ; f / ( z 0 ) = lim , ⎪ f ( z 0 ) = zlim → z0 z − z z → z0 z − z 0 0 ⎪ sau ⎨ ⎪ lim arg⎛⎜ w − w0 ⎞⎟ = arg f / ( z ). 0 ⎪ z → z0 ⎜ z − z ⎟ 0 ⎠ ⎝ ⎩

.

52

Transformatele punctelor M 0 şi M de pe curba (C) sunt respectiv punctele N 0 şi N de pe curba (Γ) . Fie α / şi α unghiurile formate de secanta M 0 M şi tangenta M 0T în M 0 la curba (C) cu axa Ox. Imaginile acestora prin transformarea (1) vor fi unghiurile β / şi β ale secantei N 0 N şi ale tangentei N 0U în N 0 la curba imagine (Γ) din planul (w) cu axa Ou. Observăm că: (3)

_______

z − z 0 = N 0 M ⋅ e iα ' , w − w0 = N 0 N ⋅ e iβ ' _______

_______

şi notând cu ∆s arcul de curbă M 0 M pe (C) şi ∆S arcul N 0 N de pe curba (Γ) , obţinem: ⎛N M ∆S i ( β −α ) ∆s ∆S i ( β '−α ') ⎞⎟ , = lim = lim ⎜⎜ 0 ⋅ ⋅ ⋅e ⎟ z → z 0 ∆s ⋅ e z → z0 M M z → z0 S s ∆ ∆ M M 0 0 ⎠ ⎝ M N N M deoarece lim 0 = 1 şi lim 0 = 1 . M →M 0 N → N 0 ∆S ∆s ( z→z ) ( z→z )

(4) f / ( z 0 ) = lim

N0M

ei(β

/

−α ')

0

0

Din relaţiile (2) şi (4) obţinem: (5)

∆S z → z 0 ∆s

f / ( z 0 ) = lim

şi (6) arg f / ( z 0 ) = β − α . Am obţinut : Propoziţia 1. O funcţie monogenă într-un punct z 0 , având derivata diferită de zero ( f / ( z 0 ) ≠ 0) , transformă elementele de arc din vecinătatea punctului M 0 ( z 0 ) în elemente de arc proporţionale cu modulul derivatei în punctul z 0 . Argumentul derivatei funcţiei în z 0 este unghiul cu care trebuie rotită în sens direct tangenta M 0T pentru a deveni paralelă cu tangenta N 0U la curba (Γ) . [Se admite că axele de coordonate din planele (z) şi (w) sunt paralele]. Definiţia 1. Transformarea punctuală (1) între planele (z) şi (w) se numeşte transformarea conformă dacă păstrează unghiurile. Propoziţia 2. O funcţie f(z) olomorfă într-un domeniu D având derivata diferită de zero în D defineşte o transformare conformă. Demonstraţie. Fie (C1 ), (C 2 ) două curbe din planul (z) ce trec prin punctul M 0 ( z 0 ), z 0 ∈ D şi f / ( z 0 ) ≠ 0 . Imaginile acestor curbe în planul (w) vor fi (Γ1 ) şi (Γ2 ) . 53

Curbele imagine (Γ1 ) , (Γ2 ) trec prin punctul N 0 ( w0 ), w0 = f ( z 0 ) (figura). y

(z) T2

(w)

U2

T1 (C 2 )

ω

α2

v

U1

ω

(C1 )

α1

β2

M 0 ( z0 )

(Γ2 )

/

β1

(Γ1 )

N 0 ( w0 )

0 x 0 u Fie α 1 , α 2 unghiurile pe care le formează tangentele M 0T1 şi M 0T2 în punctul M 0 la curbele (C1 ) şi (C2 ) cu axa Ox şi β 1 , β 2 unghiurile pe care le formează tangentele imagine N 0U 1 , N 0U 2 în punctul N 0 la curbele (Γ1 ) , (Γ2 ) cu axa Ou. Unghiurile ω = α 2 − α1 şi ω / = β 2 − β 1 reprezintă unghiurile sub care se taie respectiv perechile de curbe (C1 , C 2 ) şi (Γ1 , Γ2 ) . Obţinem: de unde: (7) arg f / ( z 0 ) = β 2 − α 2 = β 1 − α 1 (8) ω ′ = β 2 − β1 = α 2 − α 1 = ω , sau ω = ω ′ ,deci curbele (C1 ) şi (C2 ) se taie sub acelaşi unghi ca şi curbele imagine (Γ1 ) şi (Γ2 ) . Cu aceasta propoziţia este demonstrată. Exemplu. Considerăm funcţia w = f ( z ) = z 2 , z ∈ C . Deoarece f / ( z ) ≠ 0 , dacă z ≠ 0 , rezultă că f(z) realizează o transformare conformă în tot planul complex cu excepţia originii. Observăm că u ( x, y ) = x 2 − y 2 , v( x, y ) = 2 xy , şi că f este olomorfă în C ( f / ( z ) = 2 z ) . Imaginile dreptelor x = 1 şi y = 1 din planul (z) vor fi parabolele: (Γ1 ) u = 1 − y 2 , v = 2 y, y ∈ R şi ( Γ2 ) u = x 2 − 1, v = 2 x, x ∈ R : (Γ1 ) v ω / = 90 0 (Γ2 ) y (C1 )

N 0 (0,2)

x=1 u ω = 90

0

M 0 (1,1)

(-1,0)

0

y=1 (C2 ) x

0

'

(0,-2) 54

(1,0)

Imaginea dreptei x = 1 (C1 ) este parabola (Γ1 ) având ecuaţia v = −4(u − 1) , iar imaginea dreptei y = 1 (C 2 ) este parabola (Γ2 ) de ecuaţie v 2 = 4(u + 1) . Aceste două parabole sunt ortogonale şi trec prin N 0 (0,2) din planul (w), imaginea punctului M 0 (1,1) din planul (z). Observăm că se păstrează unghiurile prin transformarea conformă f ( z ) = z 2 (ω = ω ′ = 90 0 ). 2

8. Integrala curbilinie în planul complex. Exemplu. Definiţie. Principiul de calcul. Proprietăţi. _____

Fie AB un arc de curbă în planul complex (z) definit parametric prin ecuaţiile: (1) x = x(t), y = y(t), t ∈ [ a, b] . Vom presupune că funcţiile x(t) şi y(t) sunt continue împreună cu derivatele de ordinul întâi pe [a,b] : y

* D

B( z n ) = M n

*

M2 M1

Pk

* Mk

* A( z 0 ) = M 0

0

x

Să considerăm o diviziune (d) a intervalului [a,b] prin punctele de diviziune (2) a = t 0 < t1 < t 2 < ... < t k −1 < t k ... < t n = b Deoarece ecuaţia în complex a arcului de curbă _____

_____

AB

este

z = x (t ) + iy (t ), t ∈ [ a, b] diviziunea (d) induce pe arcul AB o diviziune (d') prin

punctele de diviziune: A = M 0 ( z 0 ), M 1 ( z1 ),..., M k −1 ( z k −1 ),..., M n ( z n ) = B ,

55

unde z k = z (t k ), k ∈ {0,1,2,...n} . Norma diviziunii (d) a intervalului [a,b] este numărul v(d ) = max (t k − t k −1 ) . În fiecare subinterval [t k −1 , t k ] alegem un punct 1≤ k ≤ n

arbitrar υ k . Acestui punct îi corespunde prin __________ _

M k −1 M k

z = z(t), t ∈ [a, b] , pe arcul

un punct intermediar Pk (α k ) , corespunzător numărului complex

α k = z (υ k ) _____

Arcului AB şi corespunzător diviziunii (d) a intervalului [a,b] îi asociem cu ajutorul funcţiei f(z) numărul complex (2)

n

σ d ( f ) = ∑ f (a k )( z k − z k −1 ) . k =1

_____

Definiţia 1. Funcţia f(z), z ∈ D este integrabilă pe arcul AB ⊂ D , dacă există un număr complex I cu proprietatea că, pentru orice ε > 0 , există un număr η (ε ) > 0 astfel încât, oricare ar fi diviziunea d cu v(d ) < η (ε ) şi oricare ar fi alegerea punctelor intermediare υ k , să avem: σd( f )− I < ε . (3) În acest caz vom scrie: I = lim σ d ( f ) = v ( d )→0

∫ f ( z )dz

____

AB

şi vom spune că I este integrala curbilinie pe arcul C a funcţiei f(z). Propoziţia 1. Dacă funcţia complexă f(z)=u(x,y)+iv(x,y), z ∈ D , este continuă pe arcul de curbă , AB neted pe porţiuni, atunci integrala curbilinie a funcţiei f(z) pe arcul AB există şi are expresia: (4) ∫ f ( z )dz = ∫ u ( x, y)dx − v( x, y)dy + i ∫ v( x, y)dx + u ( x, y)dy. . _____

__) ___

AB

AB

Demonstraţie.

AB

Notăm

z k = x k + iy k = x(t k ) + iy (t k )

a k = ξ k + iη k = x (υ k ) + iy (υ k ), k ∈ {1,2,..., n} . Deoarece:

f (α k ) = u (ξ k ,η k ) + iv (ξ k ,η k ), z k − z k −1 = ( x k − x k −1 ) + i ( y k − y k −1 )

obţinem pentru suma σ d ( f ) expresia: (5) σ d ( f ) = σ d/ ( f ) + iσ d// ( f ) , unde: n

σ d / ( f ) = ∑ [u (ξ k ,η k ) ⋅ ( x k − x k −1 ) − v(ξ k ,η k ) ⋅ ( y k − y k −1 )] . k =1

şi n

σ d // ( f ) = ∑ [v(ξ k ,η k ) ⋅ ( x k − x k −1 ) + u (ξ k ,η k ) ⋅ ( y k − y k −1 )] . k =1

56

şi

Ţinând seama de definiţia integralei curbilinii şi de faptul că funcţiile _____

u(x,y) şi v(x,y) sunt continue pe AB iar x(t), y(t) au derivate continue cu excepţia unui număr finit de puncte, rezultă: b

lim σ ( f ) = ∫ u ( x, y )dx − v( x, y )dy = ∫ {u[ x(t ), y (t )]x / (t ) − v[ x(t ), y (t )] y / (t )}dt ,

v ( d )→0

/ d

a

AB

şi b

v ( d )→0

_____

}

a

AB

Proprietăţi ale integralei curbilinii : ∫ f ( z )dz = − ∫ f ( z )dz; ;

1.

_____

_____

AB

BA

∫ [αf ( z ) + βg ( z )]dz = α ∫ f ( z )dz + β ∫ g ( z )dz, α , β ∈ C ;

2.

AB

∫

3.

4.

{

/ / ∫ v( x, y)dx + u ( x, y)dy =∫ v[ x(t ), y(t )]x (t ) + u[ x(t ), y(t )] y (t ) dt .

lim σ d// ( f ) =

∫

_____

AB

f ( z )dz =

∫

f ( z )dz +

AB

_____

∫

f ( z )dz, C ∈ AB ;

_____

_____

_____

AB

AC

CB _____

f ( z )dz ≤ M ⋅ L , unde M = sup f ( z ) şi L este lungimea arcului AB . _____

_____

z∈ AB

AB

Observaţie. Integralele curbilinii pe contururi închise luate în sens direct se notează ∫ . Exemplu. Să se calculeze integrala: I =∫ C

dz z−a

unde (C) este un cerc cu centrul în punctul a şi de rază r (figura) care este parcurs în sens direct: y M(z) r

θ

a (C) 0

x

57

Punând z = a + re iθ ,θ ∈ [0,2π ] , obţinem: 1 1 = e −iθ , dz = ire iθ dθ z−a r

şi 2π

I=

2π

1 − iθ iθ ∫0 r e ire dθ = i ∫0 dθ = 2πi

9. Teorema lui Cauchy. Pentru a defini integrala curbilinie a unei funcţii f(z) pe o curbă (C) am presupus că f(z) este continuă pe (C) fără alte ipoteze referitoare la existenţa sau comportarea funcţiei în puncte care nu aparţin curbei (C). În cele ce urmează vom presupune că f(z) este olomorfă într-un domeniu D şi că (C) este conţinută în D. Integralele curbilinii au proprietăţi care depind de ordinul de conexiune al domeniului. Vom considera mai întâi cazul domeniului simplu conex. Teorema lui Cauchy. Dacă f(z) este olomorfă într-un domeniu simplu conex D, atunci: (1) ∫ f ( z )dz = 0 C

oricare ar fi curba închisă C conţinută în D. Demonstraţie. Vom presupune în plus că f / ( z ) este continuă pe D (deşi această ipoteză nu este necesară, fapt dovedit de E.Goursat). Fie z = x + iy , f ( z ) = u ( x, y ) + iv ( x, y ) ; avem: (2) ∫ f ( z )dz = ∫ udx − vdy + i ∫ vdx + udy . C

C

C

Să presupunem că (C) este o curbă simplă şi să notăm cu ∆ domeniul care are frontiera ( C )( ∆ ⊂ D ) (figura) : y

D ∆

0

(C) x

58

Integralelor din membrul drept al relaţiei (2) li se poate aplica formula lui Green: ∂P ⎞

⎛ ∂Q

∫ P( x, y )dx + Q( x, y )dy = ∫∫ ⎜⎜⎝ ∂x − ∂y ⎟⎟⎠dxdy ∆

C

∂P ∂Q şi sunt continue pe ∆ . Continuitatea lui f / ( z ) ∂y ∂x ∂u ∂u ∂v ∂v implică continuitatea derivatelor , , , şi aplicând formula lui ∂x ∂y ∂x ∂y

în ipoteza că

Green obţinem: ∂u ⎞

⎛ ∂v

∫ udx − vdy = ∫∫ ⎜⎜⎝ − ∂x − ∂y ⎟⎟⎠dxdy ∆

C

(3)

şi ⎛ ∂u

∂v ⎞

∫ vdx + udy = ∫∫ ⎜⎜⎝ ∂x − ∂y ⎟⎟⎠dxdy

.

∆

C

Dar f(z) este olomorfă în D. Deoarece ∆ ⊂ D , în toate punctele domeniului ∆ sunt satisfăcute condiţiile de monogeneitate CauchyRiemann:

∂u ∂v ∂u ∂v = şi = − ; deci cele două integrale din (3) sunt nule şi ∂x ∂y ∂y ∂x

pe baza relaţiei (2) găsim

∫ f ( z )dz = 0 şi teorema este demonstrată.

C

Teorema lui Cauchy poate fi extinsă şi în cazul când domeniul este multiplu conex. Astfel, fie f(z) o funcţie olomorfă în domeniul ∆ dublu conex delimitat de curbele închise (C1 ) şi (C2 ) conform figurii: y D B

∆

A•

•

(C 2 )

x 0

(C1 )

59

_____

____

Efectuând tăietura AB , obţinem domeniul simplu conex D = ∆ \ { AB} , _____

_____

având ca frontieră curba Γ = (C1 ) ∪ (C 2 ) ∪ ( AB ) ∪ ( BA ) , unde (C1 ) este parcurs în sens direct iar (C2 ) în sens invers. Aplicând teorema lui Cauchy pentrudomeniul simplu conex D delimitat de curba (Γ) , obţinem: (4) ∫ f ( z )dz = ∫ f ( z )dz + ∫ f ( z )dz + ∫ f ( z )dz + ∫ f ( z )dz = 0 . C1+

C

Cum

AB

∫ f ( z )dz + ∫ f ( z )dz = 0

AB

BA

formula (4) ne dă: (5) ∫ f ( z)dz = C1−

C 2−

_____

şi

_____

BA

∫ f ( z )dz = − ∫ f ( z )dz

C2−

C2+

∫ f ( z)dz .

C2+

Prin C1+ ,C 2+ , am notat faptul că (C1 ) şi (C2 ) se parcurg în sens direct. În cazul unui domeniu ∆ multiplu conex delimitat de curbele (C1 ) , (C 2 ) ,…, (C n ) unde (C1 ) , (C 2 ) ,…, (C n ) sunt exterioare între ele şi interioare unei curbe (C), C ⊂ ∆ (figura) avem: dacă f(z) este olomorfă în domeniul ∆ , în mod analog, prin practicarea unor tăieturi între C şi curbele (C1 ) , (C 2 ) ,…, (C n ) obţinem formula lui Cauchy pentru domenii multiple conexe:

y (C1 ) (C 2 ) (C n )

(c3) (C k )

0

(6)

∫

C

∆

(C)

n

f ( z )dz = ∑ ∫ f ( z )dz k =1 C k

60

x

(curbele (C1 ) , (C2 ) ,…, (C n ) sunt parcurse în sens direct). 10. Formula integrală a lui Cauchy. Fie f(z) o funcţie olomorfă într-un domeniu simplu conex D şi C o curbă simplă închisă conţinută în D. Notăm cu ∆ domeniul mărginit care are frontiera C (figura) ( ∆ ⊂ D ) y D

γ

a

∆

(C)

r

*z 0

x

Teorema 1. Dacă se dau valorile funcţiei f(z) pe curba (C), atunci funcţia este complet determinată în ∆ , şi anume: (1)

f (a) =

1 f ( z) dz . 2πi C∫ z − a

Demonstraţie. Fie ( γ ) un cerc cu centrul în punctul a şi de rază r, f ( z) este olomorfă în domeniul dublu z−a conex ∆ delimitat de curba (C) şi cercul ( γ ). Conform teoremei lui Cauchy

interior lui (C) (figura). Funcţia

pentru domeniile dublu conexe, avem: (2)

f ( z)

f ( z)

∫ z − a dz = ∫γ z − a dz = ∫γ

C

Observăm că

f ( z ) − f (a) f (a) dz + ∫ dz z−a γ z−a

f ( z)

∫γ z − a = 2πi .

Funcţia f(z) fiind monogenă în punctul a, este continuă în acest punct şi astfel putem scrie evaluarea f ( z ) − f (a) < ε (3) pentru z − a < η (ε ) , z ∈ D . Considerând r < η (ε ) , pentru z ∈ (γ ) avem z − a < η (ε ) şi pe baza proprietăţii modulului integralei , putem scrie:

61

∫γ

f ( z ) − f (a) f ( z ) − f (a) ε dz ≤ ∫ dz ≤ ∫ ds = 2πε z−a z−a rγ γ

unde ds = dz reprezintă elementul diferenţial de curbă pe arcul ( γ ). Cum ε > 0 este arbitrar, făcând ε → 0 obţinem:

∫γ

f ( z ) − f (a) dz = 0 . z−a

Ţinând seama de relaţiile (2) şi de cele de mai sus, obţinem formula (1) numită formula integrală a lui Cauchy. Formula integrală a lui Cauchy poate fi scrisă şi pentru un domeniu multiplu conex. Astfel, în baza formulei lui Cauchy pentru domenii multiplu conexe, dacă a este un punct din domeniul de olomorfie al funcţiei f(z), avem formula integrală a lui Cauchy pentru domenii multiplu conexe: (4)

f (a) =

1 1 n f ( z) f ( z) dz dz . − ∑ ∫ ∫ 2πi C z − a 2πi k =1 C K z − a

Are loc şi: Teorema 2. Fie f(z) o funcţie olomorfă în domeniul simplu conex D, delimitat de curba închisă (C) netedă pe porţiuni. Atunci funcţia f(z) este indefinit derivabilă în D şi: (5)

f ( n ) (a) =

n! f ( z) dz ∫ 2πi C ( z − a ) n +1

unde a este un punct oarecare situat în interiorul lui (C). Formula (5) se obţine uşor prin inducţie, derivând în raport cu a, sub semnul integralei egalitatea: f (a) =

1 f ( z) dz . 2πi C∫ z − a

Aceasta justifică faptul că o funcţie

olomorfă este indefinit derivabilă şi f ( k ) ( z ) este olomorfă k ∈ {1,2,....} . 11. Serii de puteri. Teorema lui Abel. Dezvoltări în serie Taylor Fie şirul de funcţii ( f n ( z )), z ∈ D, D ⊂ C . Spunem că şirul de funcţii considerat este convergent în punctul z 0 ∈ D dacă şirul de numere complexe ( f n ( z 0 )) este convergent. Definiţia 1. Şirul de funcţii ( f n ( z )), z ∈ D este uniform convergent pe mulţimea A ⊂ D către funcţia f ( z ), z ∈ A , , dacă pentru orice număr ε > 0 există un număr natural n0 (ε ) astfel încât pentru n > n0 (ε ) să avem: f n ( z ) − f ( z ) < ε , ∀z ∈ A .

62

∞

∑f

Fie seria de funcţii

n =1

dacă seria

∞

∑f n =1

n

n

( z ) . Spunem că seria este convergentă în z 0 ∈ D ,

( z 0 ) . este convergentă. Mulţimea punctelor de convergenţă

ale seriei le numim mulţimea de convergenţă. Definiţia 2. Seria de funcţii

∞

∑f n =1

n

( z ) este uniform convergentă pe

mulţimea A ⊂ D şi are suma funcţia S ( z ), z ∈ A , dacă şirul sumelor parţiale ( S n ( z )) al seriei

∞

∑f

n

( z ) , unde:

1

S n ( z ) = f1 ( z ) + f 2 ( z ) + ... + f n ( z ), z ∈ D

converge uniform pe mulţimea A către S(z). Are loc: Propoziţia 1. Fie

∞

∑ n =1

f n ( z ), z ∈ D , o serie de funcţii şi

∞

∑u n =0

n

, un > 0 , o

serie convergentă. Dacă pentru orice z ∈ A ⊂ D , şi ∀n ∈ N , f n ( z ) ≤ u n ,atunci seria de funcţii

∞

∑f n =1

n

( z ) , este uniform convergentă pe mulţimea A ⊂ D .

Dacă f n ( z ) = c n z n , sau c n ( z − a ) n , obţinem seriile de puteri: ∞

∑c n =1

n

∞

∑c n =1

n

z n , sau

( z − a ) n , c n şi a ∈ C .

Are loc: Teorema lui Abel. Pentru orice serie de puteri

∞

∑c n =1

n

z n există un

număr

R ≥ 0 numit rază de convergenţă, căruia îi corespunde în planul complex cercul ΙzΙ=R numit cerc de convergenţă, având următoarele proprietăţi: 1. În interiorul cercului de convergenţă z < R seria de puteri este absolut convergentă; 2. În exteriorul cercului de convergenţă z > R seria este divergentă; 3. În orice disc interior cercului de convergenţă z ≤ r < R seria este uniform convergentă. Ca şi în cazul seriilor de puteri reale, raza de convergenţă se determină conform teoremei Cauchy - Hadamard

63

R=

(1)

1

ω

,ω =

___

lim

n

n →∞

cn

sau ___ c R = , ω = lim n +1 . c ω n →∞ n 1

Dezvoltări în serie Taylor. Fie f(z) o funcţie olomorfă într-un domeniu D şi a un punct interior lui D. Considerăm un cerc (C) cu centrul în punctul a şi de rază r situat în domeniul de olomorfie (figura) y D

r u z a ρ

C x 0 Vom nota cu z un punct interior cercului (C) şi , şi cu u un punct oarecare de pe (C), u − a = r . Conform formulei lui Cauchy putem scrie: 1 f (u ) du .Observăm că : 2πi C∫ u − z

(2)

f ( z) =

(3)

n n +1 1 1 1 1 ⎡ z−a 1 ⎤ ⎛ z−a⎞ ⎛z−a⎞ 1 ... + = ⋅ = + + + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎥ ⎢ u − z u − a 1 − uz −−aa u − a ⎣⎢ u − a ⎝ u − a ⎠ ⎝ u − a ⎠ 1 − uz −−aa ⎦⎥

Înlocuind relaţia (3) în (2), vom obţine: (4) z−a f (u ) f (u ) ( z − a) n 1 du + ... + f ( z) = du + 2πi 2πi C∫ u − a 2πi C∫ (u − a ) 2

unde (5)

Rn =

f (u )du ( z − a ) n +1 . n +1 ∫ 2πi C (u − a ) [(u − a ) − ( z − a )]

64

f (u )

∫ (u − a)

C

n +1

du + Rn

Ţinând seama de expresia derivatelor unei funcţii olomorfe, f ( n ) (a) =

n! f (u )du ∫ 2πi C (u − a) n +1

egalitatea (4) devine:

f / (a) f ( n ) (a) f ( z ) = f (a) + ( z − a) + ... + ( z − a ) n + Rn . (6) 1! n! Notând M = sup f ( z ) , obţinem pentru termenul complementar Rn : z∈C

Rn ≤

adică (7)

z−a

n +1

2π

∫

C

f (u ) d u

M ⎛ρ⎞ ≤ ⎜ ⎟ n +1 u − a ⋅ r − ρ 2π ⎝ r ⎠

Mr ⎛ ρ ⎞ Rn ≤ ⋅⎜ ⎟ r−ρ ⎝r ⎠

n +1

∞

f ( z) = ∑ n =0

. Cum

ρ r

n +1

⋅

< 1 rezultă

1 ⋅ du r − ρ C∫

lim R n →∞

n

= 0 şi din (6) obţinem:

f ( n ) (a) ( z − a) n n!

care reprezintă dezvoltarea în serie Taylor a funcţiei olomorfe f(z) . 12. Seria lui Laurent. Puncte singulare. Fie f(z) o funcţie olomorfă într-o coroană circulară D = {r2 ≤ z − a ≤ r1 } : (γ 1 ) y r1 D *u *z a (γ 2 )

0

r2

*v

x

Vom nota cu γ 1 şi γ 2 cercurile ce delimitează coroana circulară D. Ne propunem să găsim pentru funcţia f(z) o reprezentare sub formă de serie după puterile lui z-a. Dezvoltarea găsită se va numi dezvoltarea funcţiei f(z) în serie Laurent în coroana circulară D. Aceasta ne va conduce la o generalizare a seriilor de puteri, ajungându-se la serii bilaterale, cu ocazia cărora se va introduce şi noţiunea de reziduu. Fie z un punct interior coroanei D. Atunci conform formulei integrale a lui Cauchy pentru domeniile dublu conexe, pentru valoarea funcţiei f(z) avem expresia: (1)

f ( z) =

1 1 f (v)dv f (u )du . − ∫ ∫ 2πi γ 1 v − z 2πi γ 2 u − z

65

Punctul z fiind interior cercului (γ 1 ) , procedând ca şi în cazul seriei Taylor, prima integrală din (1) se poate scrie sub forma unei serii Taylor: 1 f (v)dv ∞ = ∑ c n ( z − a) 2πi γ∫1 v − z n=0

(2)

n

unde: (3)

cn =

1 f (v)dv , n ∈ {0,1,2,...} . ∫ 2πi γ 1 (v − a ) n +1

A doua integrală din (1) se poate scrie sub forma

−

f (u )du f (u ) ⎡ u − a 1 1 1 1 ⎤ f (u )du u − a n +1 u −a n ( ) ( ) 1 ... = = + + + + ⋅ ⎢ ⎥du z a − − − z a z a 2πi γ∫2 u − z 2πi γ∫2 ( z − a) − (u − a) 2πi γ∫2 z − a ⎣ 1 − uz −−aa ⎦

Notând cu u un punct oarecare de pe cercul ( γ 2 ) şi ρ = z − a , avem u −a z −a

=

r2

ρ

< 1.

Deci: (4)

−

(5)

f (u )du n +1 1 1 1 =∑ ⋅ f (u )(u − a) k −1 du + Rn ∫ ∫ k 2 i π 2πi γ 2 u − z ( z a ) − k =1 γ2 Rn =

1 2πi

∫ f (u )(

u − a n +1 z −a

)

⋅ z −1 a du

unde

.

γ2

Aplicând proprietatea modulului integralei în complex şi notând M = sup f ( z ) ,obţinem: z∈γ 2

⎛r ⎞ Rn ≤ M ⋅ ⎜⎜ 2 ⎟⎟ ⎝ρ⎠

n +1

r2 ρ − r2

.

Deoarece r2 < 1 , rezultă lim Rn = 0 şi astfel relaţia (4) devine: n→∞ ρ f (u )du ∞ 1 = ∑ c − n ( z − a) − n , unde 2πi γ∫ z − u n =1 1 (6) c −n = f (u )(u − a) n −1 du . ∫ 2πi γ 2 2

Înlocuind expresiile (2) şi (6) în (1), obţinem pentru funcţia f(z) în coroana

66

circulară D următoarea dezvoltare: (7)

f ( z) =

∞

∑ c n ( z − a) n =

n = −∞

unde (8)

cn =

−1

∞

n = −∞

n =0

∑ c n ( z − a) n + ∑ cn ( z − a) n

,

1 f (u )(u − a ) n du, n ∈ Z , 2πi ∫γ

iar ( γ ) este un cerc oarecare cu centrul în punctul a şi de rază r (r2 < r < r1 ) . −1

Seriile

∑c

n = −∞

∞

n

( z − a ) n , ∑ c n ( z − a ) n se numesc respectiv partea principală şi n =0

partea tayloriană a seriei Laurent. Puncte singulare. Definiţia 1. Fie f(z) o funcţie definită în domeniul D şi a un punct aparţinând domeniului D. Spunem că punctul a ∈ D este un punct ordinar al funcţiei f(z), dacă există o vecinătate V a punctului a inclusă în D , unde f(z) se poate dezvolta în serie Taylor, deci putem scrie: (9)

∞

f ( z ) = ∑ cn ( z − a) n , z ∈ V ⊂ D . n=0

Un punct care nu este punct ordinar pentru funcţia f(z) se numeşte punct singular. Un punct a ∈ D este un zero multiplu de ordinul m al funcţiei f(z), dacă există un cerc cu centrul în punctul a inclus în D astfel încât: (10) f ( z ) = ( z − a ) m [c m + c m +1 ( z − a ) + ...], c m ≠ 0 . Propoziţia 1. Zerourile unei funcţii olomorfe într-un domeniu sunt puncte izolate. Definiţia 2. Un punct a ∈ D este un pol al funcţiei f(z), dacă există un cerc cu centrul în punctul a, inclus în domeniul D, în care funcţia f(z) poate fi scrisă sub forma unei serii Laurent cu un număr finit de puteri negative a lui z-a, adică: (11)

f ( z) =

∞ c −m c −1 + ... + + c n ( z − a) n . ∑ m z − a n =0 ( z − a)

Numărul m reprezintă ordinul polului z = a al funcţiei f(z). Un punct singular care nu este pol pentru o funcţie se numeşte un punct singular esenţial. Observăm că dacă a este un punct singular izolat pentru funcţia f(z), atunci există coroana circulară ∆={0<Ιz- aΙ ≤ r } în care f(z) are o dezvoltare în serie Laurent cu o infinitate de termeni cu puteri negative ale lui z-a. Deci, în acest caz putem scrie seria Laurent:

67

f ( z) =

∞

∑c

n = −∞

n

( z − a) n

partea principală a seriei Laurent având un număr infint de termeni. O funcţie f(z) care într-un domeniu D nu are decât puncte ordinare sau poli se numeşte funcţie meromorfă în D. Propoziţia 2. Dacă f(z) este o funcţie raţională ireductibilă f ( z ) = QP (( zz )) , atunci zerourile de ordinul m a lui Q(z) sunt poli de ordinul m pentru funcţia f(z). 13. Reziduu. Teorema reziduurilor. Exemplu. Fie z = a un pol sau un punct singular esenţial izolat al funcţiei f(z). În coroana circulară ε < z − a < R , cu ε > 0 , arbitrar de mic, funcţia f(z) este olomorfă. Fie Γ , un cerc cu centrul în a şi de rază ρ , conţinut în această coroană circulară, ε < ρ < R , (figura) R ρ a ε (Γ)

(C)

O curbă închisă simplă (C) conţinută în coroana circulară poate înconjura sau nu punctul a. În primul caz, C este echivalentă cu Γ şi avem: ∫ f ( z )dz = ∫ f ( z )dz . C

Γ

În al doilea caz, integrala pe C este nulă. Definiţie. Prin reziduul funcţiei f(z) relativ la polul sau punctul singular esenţial izolat z = a, notat rez f(a) înţelegem: (1)

rezf (a ) =

1 f ( z )dz . 2πi ∫Γ

Reziduul unei funcţii f(z) relativ la a se poate obţine întotdeauna din dezvoltarea în seria Laurent în jurul punctului a. Obţinem : 68

(2)

rezf (a) = c−1

unde c−1 este coeficientul lui

1 z−a

din dezvoltarea în serie Laurent a

funcţiei f(z) în jurul punctului a. Metode de calcul a reziduului unei funcţii. Fie a un pol al funcţiei f(z) şi p ordinul său de multiplicitate. Atunci funcţia ϕ ( z ) = ( z − a) p f ( z ) are în z = a un punct ordinar şi ϕ ( a ) ≠ 0 . Ţinând seama de aceasta, (1) devine: rezf (a ) =

ϕ ( z) 1 dz ∫ 2πi Γ ( z − a ) p

sau, ţinând seama de modul de calcul a derivatelor: rezf (a ) =

1 ϕ ( p −1) (a), p > 1 . ( p − 1)!

Înlocuind pe ϕ (z ) cu expresia sa, obţinem următoarele formule de calcul a reziduului: 1) dacă z = a este un pol multiplu de ordinul p al funcţiei f(z) atunci: (3)

rezf (a ) =

1 [( z − a ) p ⋅ f ( z )](z p=−a1) ( p − 1)!

;

2) dacă z = a este un pol simplu, (4) Dacă f ( z ) =

rezf (a) = [( z − a) f ( z )] z = a . g ( z) şi dacă f(z) are pe a un pol simplu atunci h(a) = 0. În acest h( z )

caz: (5)

rezf (a ) =

g (a ) . h / (a )

Teorema reziduurilor. Exemplu. Fie f(z) o funcţie olomorfă într-un domeniu D şi C o curbă închisă, simplă conţinută în D. Să notăm cu ∆ domeniul mărginit care are frontiera C.

69

Dacă ∆ ⊂ D , adică dacă în ∆ nu există singularităţi ale funcţiei f(z), în virtutea teoremei lui Cauchy ∫ f ( z )dz = 0 . C

Să presupunem acum că în ∆ se află un număr finit de singularităţi ale funcţiei f(z), poli sau puncte singulare esenţiale a1 , a 2 ,..., a n (figura).

y D (Γk ) ak

( Γn )

( Γ2 )

∆

C

a1 ( Γ1 ) a 2

an

O

x

Aceste singularităţi sunt evident izolate. Pentru fiecare punct a k vom considera un cerc ΓK cu centrul în a k şi cu raza ρ k suficient de mică, astfel ca în interiorul lui să nu mai existe o altă singularitate a funcţiei f(z) diferită de. a k Dacă ρ1 , ρ 2 ,..., ρ n sunt suficient de mici, cercurile Γ1 , Γ2 ,..., Γn nu au puncte comune şi sunt conţinute în ∆ . Aplicând teorema lui Cauchy pentru domenii multiplu conexe, ∫ f ( z )dz = ∫ f ( z )dz + ∫ f ( z )dz + ... + ∫ f ( z )dz . Γ1

C

Ţinând seama că

∫ f ( z )dz = 2πirez f (a

Γ2

k

Γn

), k ∈ {1,2,..., n} , obţinem o teoremă

Γ k

importantă prin aplicaţiile sale: Teorema reziduurilor (Cauchy). Dacă în interiorul domeniului mărginit de curba C funcţia f(z) are un număr finit de singularităţi, a1 , a 2 ,..., a n , poli sau puncte singulare esenţiale, atunci: (6)

∫

C

n

f ( z )dz = 2πi ∑ rez f (a k ) . k =1

70

Observăm că în fond teorema reziduurilor este o traducere convenabilă a teoremei lui Cauchy pentru domenii multiplu conexe folosind noţiunea de reziduu. Utilitatea sa constă în faptul că pentru calculul reziduurilor avem mijloace relativ simple. Exemplu. Să se calculeze integrala: 1 + sin πz x2 y2 dz unde C este elipsa + = 1. 4 9 1+ z C

I =∫

În interiorul domeniului mărginit de (C) sunt două singularităţi ale funcţiei f ( z ) =

1 + sin πz , şi anume z = −1 pol simplu şi z=0 punct singular 1+ z

esenţial izolat. Folosind teorema reziduurilor avem: I = 2πi[ rezf ( −1) + rezf (0)] . Observăm că: rezf (−1) = [( z + 1) f ( z )] z = −1 = (1 + sin πz ) z = −1 = 1 .

Pentru a calcula reziduul relativ la punctul singular esenţial z=0, vom dezvolta pe f(z) în serie Laurent în jurul acestui punct:

)

(

1 3 (1 + sin πz ) = (1 − z + z 2 − z 3 + ...) ⋅ 1 + 11! ⋅ πz − 31! ⋅ πz 3 + ... 1+ z valabilă pentru 0 < z < 1 . Din produsul celor două serii reţinem numai f ( z) =

coeficientul lui 1z : rezf (0) = c −1 = π −

π3 3!

+

π5 5!

− ... = sin π = 0 .

I = 2πi . Rezultă Reziduul unei funcţii relativ la punctul de la infinit. Să presupunem că punctul de la infinit z = ∞ este un pol sau punct

singular esenţial al funcţiei f(z). Notând cu z =

1 u

rezultă că u = 0 este un

pol; în vecinătatea originii putem scrie seria Laurent: c c ⎛1⎞ f ⎜ ⎟ = ... + −mm + ... + −1 + c 0 + c1u + c 2 u 2 + ... u u ⎝u⎠

adică c1 c 2 + + ... z z2 valabilă în coroana circulară ∆ = {R ≤ z < ∞}.

(7)

f ( z ) = ...c − m + ... + c −1 z + c0 +

Prin definiţie coeficientul c1 din (7) se numeşte reziduul funcţiei f(z) relativ la punctul de la ∞ : c1 = rez[ f ( z )] z = +∞ .

71

Notând cu (C) o curbă închisă ce conţine originea şi parcursă în sens indirect, obţinem ţinând seama de noţiunea de reziduu (8)

rez[ f ( z )] z =∞ =

1 f ( z )dz . 2πi C∫

Din (6) şi (8) deducem uşor egalitatea: ∞

∑ rezf (a

(9)

k =1

k

) + rez[ f ( z )] z =∞ = 0 .

14. Aplicaţii ale teoremei reziduurilor. Teorema semireziduurilor. Exemple. În cele ce urmează vom da câteva clase de integrale ce pot fi calculate folosind teorema reziduurilor. În cazul când integrala care trebuie calculată nu este o integrală pe o curbă închisă, arcul de curbă pe care se integrează trebuie completat printrun alt arc de curbă convenabil ales. De obicei această completare se face prin arce de cerc sau drepte. Integralele care apar se calculează folosind următoarea Lemă (Jordan) 1. Dacă

lim ( z − a) f ( z ) = 0

şi (C) este un arc de cerc de pe cercul

z →a

z − a = R , astfel încât α ≤ arg( z − a ) ≤ β , atunci

lim ∫ f ( z )dz = 0 . R →0 C

2. Dacă

lim (z − a ) f ( z ) = 0 lim ∫ f ( z )dz = 0 .

atunci

R →∞

R →∞ C

I. Calculul integralelor de forma: +∞

P( x)

∫ Q( x)dx

−∞

unde

P ( x) este ireductibilă. Q( x)

Pentru ca integrala să existe şi să fie convergentă vom presupune că polinomul Q(x) are numai rădăcini complexe şi că gradul polinomului Q(x) este mai mare decât gradul lui P(x) cu cel puţin două unităţi. Considerăm 72

funcţia complexă f ( z ) =

P( z ) Q( z )

unde rădăcinile z1 , z 2, ,..., z n ale polinomului

Q(z) situate în planul complex deasupra axei reale, vor fi poli pentru funcţia f(z). Ducem un semicerc (Γ) de rază R şi cu centrul în origine, situat deasupra axei reale (figura) care cuprinde toţi polii funcţiei f(z):

y (Γ) z2

R

* zn

* z2 * z1

x -R

0

R

Notăm cu (C ) = (Γ) ∪ [− R, R ] parcursă în sens direct. Aplicând teorema reziduurilor obţinem: +R

n P ( x) P( z ) + dx = 2 π i rezf ( z ) z = z K dz ∑ ∫Γ Q( z ) −∫R Q( x) k =1 P( z ) Deoarece lim z ⋅ f ( z ) = 0 avem lim ∫ dz = 0 . Cu acestea, trecând la R →∞ Γ Q ( z ) z →∞

(1)

limită când R → ∞ în (1) obţinem: (2)

∞

n P ( x) dx = 2 π i rezf ( z ) ∑ ∫ Q( x) k =1 −∞

z = zk

,

unde membrul drept reprezintă suma reziduurilor funcţiei P(z)/Q(z) relativ la polii situaţi deasupra axei reale. II. Calculul integralelor de forma:

2π

∫ R(sin θ , cosθ )dθ

unde R este

0

raţională. Dacă se face schimbarea de variabilă z = e iθ , când θ parcurge intervalul [0,2π ] , z descrie cercul z = 1 o dată şi numai o dată, în sens direct. Folosim formulele lui Euler: 73

1⎛ 1⎞ 1⎛ 1⎞ ⎜ z − ⎟, cos θ = ⎜ z + ⎟ . z⎠ z⎠ 2i ⎝ 2⎝ 1 Din relaţia dz = ie iθ dθ rezultă dθ = dz .Integrala devine: I = iz sin θ =

∫ R ( z )dz 1

z =1

după care aplicăm teorema reziduurilor pentru calculul integralei pe z = 1 . π

dθ . 5 + 4 sin θ 0

Exemplu. Să se calculeze: I = ∫

Cu substituţia z = e iθ , integrala devine: I=

1 dz ⋅ ;I = 1 5 + ( z − z ) iz z =1

∫

2 i

dz , 2 z + 5 iz − 2 z =1

∫

2

i 2

Funcţia de sub semnul integrală are polii simplii z1 = − , z 2 = −2i , dintre care numai primul este interiorul cercului z = 1 . Reziduul relativ la acest punct este: rezf ( z ) z = − = 1 3i

1 2π , şi deci I = . 3i 3

Teorema semireziduurilor .Exemplu. Fie (C) o curbă închisă netedă pe porţiuni ce cuprinde în interior un număr finit de puncte singulare izolate z1 , z 2 ,..., z n ale funcţiei f(z) : y D * zn * z2 * z1

Q β B α A z 0 (Γ) P

(C) 0

x

Dacă pe curba (C) se află punctul z 0 , pol al funcţiei f(z) şi în z 0 curba (C) are tangentă unică, atunci: (3)

∫

C

n

f ( z )dz = 2πi ∑ rez f ( z k ) + πi ⋅ rez[ f ( z )] z = z0 k =1

Demonstraţie. Fie (Γ) un cerc cu centrul în punctul z 0 şi de rază R. Conform teoremei reziduurilor putem scrie relaţiile: 74

(4)

∫

f ( z )dz +

∫

____

______

C \ QP

PAQ

∫

f ( z )dz +

∫

____

______

C \ QP

PBQ

f ( z) =

n

f ( z )dz = 2πi ∑ rezf ( z k ) k =1

z = zk

n

f ( z )dz = 2πi ∑ rezf ( z k ) k =1

n

z = zk

+ 2πi ∑ rezf ( z k ) k =1

z = z0

c −1 + c0 + c1 ( z − z 0 ) + ... + c n ( z − z 0 ) n + ... z − z0

Observăm că: (5)

⎤ ⎡ f ( z ) dz f ( z ) dz + ⎥ = 0 ( lim ∫ f ( z )dz = −c −1π , ∫ f ( z )dz = c −1π ) . ⎢ lim ∫ ∫ R →0 ⎢ PAQ R →0 PAQ ⎥⎦ PBQ PBQ ⎣ Pentru R → 0 integralele din seria Tayloriană sunt nule. Adunând relaţiile (4) şi trecând la limită ( R → 0 ), în baza relaţiei (5)

obţinem formula (3). Observaţie. În general, teorema semireziduurilor, poate fi scrisă sub forma:

∫

p

f ( z )dz = 2πi ∑ rez f ( z ) k =1

C

m

z = zK

+ πi ∑ rezf ( z ) j =1

z =a j

_____

_____

unde z k , k = 1, p şi α j , j = 1, m reprezintă respectiv punctele singulare din interiorul lui (C) şi de pe curba (C) ale funcţiei f(z). Exemplu. Să se calculeze integrala: I =

dz z ( z − 1) z =1

∫

Funcţia are polii simplii z = 0 şi z = 1 Cercul (Γ) de ecuaţie z = 1 trece prin polul z = 1. y 0 1

x

Aplicând teorema semireziduurilor, obţinem: I = 2πi ⋅ rezf ( z )

z =0

+ πi ⋅ rezf ( z )

z =1

Avem: rezf ( z ) z =0 = lim zf ( z ) = −1 şi rezf ( z ) z =1 = lim[( z − 1) f ( z )] = 1 . z →0

z →1

75

Deci: I = −πi. 15. Funcţii elementare. a) Funcţia radical: f ( z ) = z . Fie z = ρ ⋅ e i ; obţinem pentru f(z) două valori: i i (1) f1 ( z ) = ρ ⋅ e , f 2 ( z ) = − ρ ⋅ e . Deci funcţia radical este o funcţie multiformă. Funcţiile f1 şi f 2 se numesc ramurile funcţiei f(z). Fie M 0 ( z 0 ) şi M (z ) două puncte din planul complex (w) (figura) având respectiv argumentele θ 0 şi θ . θ 2

θ

θ

2

2

________

Dacă punctul z descrie arcul M 0 M fără să înconjoare originea, atunci argumentul lui variază de la θ 0 la θ , iar valorile funcţiilor şi în punctul M(z) vor fi: i

θ

f1 ( z ) = ρ ⋅ e 2 , f 2 = − ρ ⋅ e

i

θ 2

.

y

M(z)

D

M 0 ( z0 )

θ0

0

θ

x

Dacă punctul z descrie un arc ce uneşte pe M 0 cu M înconjurând originea, atunci argumentul lui variază de la θ 0 la θ 0 + 2π . Valorile funcţiilor f1 şi f 2 în punctul M(z) vor fi:

76

θ i ⎧ * i (θ + 2π ) / 2 2 = ⋅ = − ⋅ = f 2 ( z) f ( z ) ρ e ρ e ⎪ 1 ⎨ θ ⎪ f * ( z ) = − ρ ⋅ e i (θ + 2π ) / 2 = ρ ⋅ e i 2 = f ( z ) 1 ⎩ 2

(2)

Deci valorile funcţiilor f1 şi f 2 se schimbă când punctul z descrie un arc ce înconjoară originea. Din acest motiv punctul z = 0 se numeşte punct de ramificaţie sau punct critic al funcţiei multiforme f ( z ) = z . Dacă în planul complex efectuăm o tăietură după o semidreaptă ce pleacă din origine, atunci argumentul punctului poate lua valori numai între 0 şi 2π , deoarece z nu mai poate descrie arcul care să înconjoare originea. Prin tăietura făcută funcţiile multiforme f1 ( z ) şi f 2 ( z ) devin funcţii uniforme. Funcţia f ( z ) = n z . este o funcţie multiformă, având n ramuri: k ∈ {0,1,2,..., n − 1} . f k +1 ( z ) = n ρ ⋅ e i (θ + 2 kπ ) / n Punctul z = 0 este punctul de ramificaţie sau punct critic al funcţiei f(z). Prin efectuarea unei tăieturi în planul complex printr-o semidreaptă ce pleacă din origine funcţiile f k +1 ( z ) devin uniforme. b) Funcţia exponenţială şi funcţia logaritmică. Definim funcţia exponenţială e z prin: (3)

⎛ e = lim ⎜1 + n →∞ ⎝ z

n

z⎞ x ⎟ = e (cos y + i sin y ) n⎠

Aceasta este o funcţie olomorfă în tot planul C. Funcţia e z ia orice valoare din planul complex în afară de 0. Fie w = ρ ⋅ e iθ , ρ ≠ 0 . Să determinăm pe z astfel încât: e z = w = ρ ⋅ e.iθ . Scriind z = x + iy, obţinem e x = ρ , e.iy = e iθ , de unde: (4) x = ln ρ şi y = θ + 2kπ , k ∈ Z . Soluţia generală a ecuaţiei e z = w se numeşte logaritmul lui w, se notează Ln w şi are expresia: (5) Ln w = ln ρ + i (θ + 2kπ ) sau (6) Ln w = ln w + i(arg w + 2kπ ) unde arg w este argumentul principal al lui w. Pentru k = 0, obţinem Lnw = ln w + i arg w care se numeşte valoarea principală a lui Ln w şi se notează ln w. Deci: (7) ln w = ln w + i arg w . Considerând pe w variabil punând în (6) în locul lui w pe z, obţinem funcţia logaritmică: 77

(8) Ln z = ln z + i(arg z + 2kπ ) iar pentru k = 0 valoarea principală (9) ln z = ln z + i arg z . Funcţia logaritmică este o funcţie multiformă având o infinitate de ramuri. Aceste ramuri devin funcţii uniforme dacă efectuăm o tăietură după o semidreaptă ce pleacă din origine. c) Funcţia f ( z ) = z α . Dacă z ≠ 0 , atunci: (10) z α = e αLnz = e α ln z ⋅ e 2π ⋅iαk În raport cu α . distingem trei cazuri: 1. α ∈ Z , deducem e 2π ⋅iαk = 1 şi din (10) z α = eα ln z este o funcţie uniformă în tot planul complex. 2. α ∈ Q , α = qp p,q întregi, prime între ele, q ≠ 0 . Obţinem funcţia multiformă z α = q z p care are q ramuri şi z = 0 punct de ramificaţie. 3. α ∈ C , funcţia f ( z ) = z α este o funcţie multiformă cu o infinitate de ramuri. d) Funcţii circulare şi inversele lor. Funcţii hiperbolice. Funcţiile circulare sin z, cos z prin definiţie sunt date de relaţiile: (11)

e iz − e − iz e iz + e − iz . , cos z = 2i 2 are perioada 2π , sin z şi cos z au perioada 2π . Dezvoltarea în

sin z =

Deoarece e iz serie de puteri este:

(12)

⎧ z3 z 2 n −1 n +1 + ... + (−1) + ... ⎪sin z = z − 3! (2n − 1)! ⎪⎪ ⎨si ⎪ 2 2n ⎪cos z = 1 − z + ... + (−1) n z + ... ⎪⎩ 2! (2n)!

Funcţia tg z se defineşte astfel: (13)

tgz =

sin z 1 e 2iz − 1 = cos z i e 2iz + 1

şi are perioada π . Funcţia w = f(z), definită de (14) cosw=z se numeşte arccos şi se notează:w =Arccos z. Din (11) şi (14) obţinem: e iw = z ± i 1 − z 2 şi deci: (15)

1 Arc cos z = Ln ( z ± i 1 − z 2 ) i 78

Funcţia (16)

1 arccos z = ln( z ± i 1 − z 2 ) i

se numeşte determinarea principală a funcţiei multiforme Arccos z. Funcţia (15) are o infinitate de ramuri şi două puncte critice z = ±1 . Aceste ramuri devin funcţii uniforme, dacă efectuăm în planul complex două tăieturi de forma: y

-1

0

1

x

Funcţia w = Arcsin z este definită de ecuaţia sin w = z. Obţinem: (17)

1 Arc sin z = Ln (iz ± 1 − z 2 ) i

Funcţia (18)

1 Arc sin z = ln(iz ± 1 − z 2 ) i

se numeşte determinarea principală a lui Arcsin z. Putem scrie: (19)

⎧2kπ + arcsin z Arc sin z = ⎨ ⎩(2π + 1)k − arcsin z

Funcţia w = Arctg z se defineşte prin ecuaţia tg w = z, de unde i−z 1 ⎛i− z⎞ , z ≠ ±i deci Arctgz = ln⎜ ⎟ care este o funcţie multiformă i+z 2i ⎝ i + z ⎠ având o infinitate de ramuri şi ca puncte critice pe ± i . e 2iw =

Determinarea principală a lui Arctg z este :

79

(20) arctgz =

1 ⎛i− z⎞ ln⎜ ⎟. 2i ⎝ i + z ⎠

Funcţiile hiperbolice sh z şi ch z se definesc prin formulele: (21) sh z =

e z − e−z e z + e−z , ch z = 2 2

.

De aici observăm că: cos iz=ch z, sin iz=i sh z,ch 2 z-sh 2 z=1 . Aceste funcţii hiperbolice ca şi e z sunt funcţii periodice de perioadă 2π i. 16. Probleme propuse. 1. Să se studieze seriile următoare: ∞

n a) ∑ ; n n =1 ( 2i )

∞

2

e in c) ∑ 3 . n =1 n

∞

cos in b) ∑ n ; 2 n =1

2. Să se calculeze: 1

3 + 2it dt . 1 − it 0

∫

3. Să se determine funcţia olomorfă f(z) = u(x,y) + iv(x,y) când: a) u ( x, y ) = ln( x 2 + y 2 ), f (1) = 0; R : ( f ( z ) = 2 ln z ); ; b) v( x, y ) = c)

sh 2 y ⎛π ⎞ , f ⎜ ⎟ = 1; R : ( f ( z ) = tgz ) ; cos 2 x + ch 2 y ⎝ 4 ⎠

u ( x, y ) = ϕ ( x + x 2 + y 2 ), f (0) = 0, f / (1) = R : ( f ( z) =

z ).

80

1 ; ϕ derivabilă 2

4. Să se studieze transformarea conformă: 2

⎛ z + 1⎞ w=⎜ ⎟ şi să se afle imaginea cercului z = 1 din planul (z). ⎝ z −1⎠

5. Să se dezvolte în serie Laurent funcţia:

f ( z) =

2z + 3 z − 3z + 2

în domeniile: a) z < 1 ; b) 1 < z < 2 ; c) z > 2 .

2

e iπz 2 2 ∫C z 2 + 1 dz, unde(C ) : 4 x + y = 4 .

6. Să se calculeze :

7. Folosind teorema reziduurilor să se calculeze: 1

a)

ez ∫ z(1 − z)dz ; z =1

b)

∫ ( z − 1)( z

dz

C

c)

2

+ 1)

zdz

∫ ( z − 1)( z

C

2

+ 4)

, undeC : x 2 + y 2 = 2 x + 2 y. ;

, undeC : z = 3. .

81

8. Să se calculeze integralele: ∞

x2 ∫ 6 dx −∞ x + 1

a)

∞

∫e

b)

− ax 2

;

cos bxdx, a > 0, b ∈ R

(integrala lui Poisson);

0

c)

∞

x sin x I1 = ∫ 2 dx şi − ∞ x − 6 x + 13 2π

dθ

∫ (5 + 4 cosθ )

d)

2

∞

I2 =

∫x

−∞

2

x cos x dx ; − 6 x + 13

;

0

2π

cos nθ

∫ 1 − 2a cosθ + a

e)

2

dθ , a > 1, n ∈ N * .

0

9. Să se calculeze : a) z = i i ; b) z = sh (1 − i ) . 10. Să se rezolve ecuaţiile: a)

sin z = 2 ;

b)

tgz =

c)

ch z –sh z=1.

1 − 3i ; 5

82

CAPITOLUL III FUNCŢII SPECIALE 1. Sisteme de funcţii ortogonale. Polinoamele lui Laguerre. Polinoamele lui Cebîşev. Fie ( f n (x) ) n∈N ∈ L2 (Ω), Ω ⊂ R p , un sistem de funcţii (reale sau complexe) de pătrat integrabil pe Ώ. Definiţie. Sistemul de funcţii { f n }n∈N este un sistem ortogonal pe Ω ⊂ R p , dacă: ⎧0, m ≠ n . ⎩C n > 0, m = n

(fm,,fn)= ∫ f m ( x) f n ( x)dx = ⎨ Ω

Dacă pentru orice n ∈ N avem C n = 1 , atunci sistemul de funcţii ( f n (x) ) n∈N se numeşte ortonormat. Propoziţia 1. Fie { f n (x) } k∈N un sistem ortogonal de funcţii din L2 (Ω) . Atunci sistemul de funcţii

⎧⎪ f k ( x) ⎫⎪ ⎨ ⎬ este un sistem ortonormat de funcţii din ⎪⎩ f k ⎪⎭ k∈N

L2 (Ω) .

Propoziţia 2. Sistemul trigonometric: (1) 1, cos πlx , sin πlx , cos 2πl x , sin 2πl x ,..., cos nπl x , sin nπl x ,... intervalul (-l,l) şi (fn(x),,fm(x))=

l

∫f

−l

n

⎧0, m ≠ n ( x) f m ( x)dx = ⎨ unde f k (x) este un element ⎩l , m = n

oarecare al şirului (1) k ∈ N . Demonstraţie. Pentru orice n ∈ N * , avem: l

∫ cos

dx =

1 nπ

(sin )

l −l

= 0;

dx =

1 nπ

(cos )

l −l

= 0;

nπx l

−l

l

∫ sin

−l

nπx l

nπx l

nπx l

este un sistem ortogonal pe

83

l

∫ cos

dx =

1 2

(1 + cos )

dx =

1 2

(1 − cos )

2 nπx l

2 nπx l

l −l

=l;

l −l

= l. ;

−l

l

∫ sin

2 nπx l

2 nπx l

−l

De asemenea, pentru orice m,n întregi, m ≠ n, avem: l

nπx mπx ∫ cos l cos l dx =

−l

l

1 2

∫ [cos(n + m)

πx l

+ cos(n − m) πlx ]dx = 0 etc.

−l

Formulele de mai sus, arată că sistemul (1) este un sistem ortogonal pe intervalul (-l,l) . Normalizând (1) obţinem şirul fundamental ortonormat: (2)

1 2l

,

1 l

cos πlx ,

1 l

sin πlx ,

1 l

Efectuând schimbarea de variabilă (3)

cos 2πl x ,

πx l

1 l

sin 2πl x ,...,

1 l

cos nπl x ,

1 l

sin nπl x ,...

= t , sistemul (1) devine :

1,cos t,sin t, cos 2t, sin 2t, ... , cos nt, sin nt, ... .

Normalizând sistemul trigonometric (3), obţinem sistemul ortonormat : (4)

1 2π

,

1

π

cos t ,

1

π

sin t ,

1

π

sin 2 t ,

1

π

cos 2 t ,...,

1

π

cos nt ,

1

π

sin nt ,... .

Definiţie. Fie { f k (x) } k∈N un sistem de funcţii de pătrat integrabil pe Ω şi p(x) o funcţie reală de pătrat integrabil pe Ω . Sistemul de funcţii { f k (x) } k∈N este ortogonal cu ponderea p(x) pe Ω , dacă : ⎧0, m ≠ n ( f m ( x), p( x) f n ( x)) = ∫ p( x) f m ( x) f n ( x)dx = ⎨ . ⎩C n > 0, m = n Ω

Exemplu. Polinoamele lui Laguerre. Numim polinom Laguerre polinomul definit prin relaţia: (5)

L n(x)= e x

d n n −x ( x e ), n ∈ {0,1,2,...} dx n

unde x ≥ 0 . Polinoamele lui Laguerre reprezintă un sistem ortogonal de funcţii cu ponderea p(x)=e-x pe intervalul (0, ∞) şi

84

∞

( Ln ( x), e Lm ( x)) = ∫ e − x Ln ( x)Lm ( x)dx = {0, pentru, n ≠ m; (n!) 2 , pentru, n = m}. −x

0

Polinoamele lui Laguerre verifică ecuaţia diferenţială: xy '' + (1 − x) y ' + ny = 0 şi 1 x d n n −x ( x e ) formează L n ( x) = e n! dx n intervalul (0, ∞) . *

În

mod 2

Tn ( x) =

π

analog

un

se

şir

ortonormat

arată

cos(n arccos x), n ∈ {0,1,2,...} sunt

că

cu

ponderea

polinoamele

polinoame

ortogonale

e-x

pe

lui

Cebâşev

cu

ponderea

pe intervalul (-1,1); ele verifică ecuaţia (1 − x 2 ) y '' − xy ' + n 2 y = 0 precum şi relaţia de recurenţă: Tn +1 ( x) − 2 xTn ( x) + Tn −1 ( x) = 0, n ∈ {1,2,...}. . p ( x) = 1 1 − x 2

2. Funcţiile lui Euler. Numim funcţia lui Euler de speţa II, sau funcţia gama, funcţia complexă Γ(z ) definită de integrala: ∞

Γ( z ) = ∫ t z −1e −t dt ,

(1)

z = x + iy , x > 0.

0

Observăm că putem scrie: 1

Γ( z ) = ∫ t 0

∞

e dt + ∫ t z −1e −t dt .

z −1 − t

1

Pentru a arăta convergenţa integralei improprii observăm că: 1

∫e

− t z −1

t

a

1

dt ≤ ∫ e t a

−t

z −1

1

dt = ∫ e t

−t x −1

a

1

t dt = ∫ e −t t x −1 dt , a > 0 iy

a

( i iy = 1).

Pentru 0
∫e t a

− t z −1

1

dt ≤ ∫ t x −1 dt = a

1− ax , a > 0, x > 0 . x

Pentru,a → 0 membrul al doilea devine 1

∫t

z −1 − t

e dt este convergentă pentru x>0 .

0

85

1 ceea ce arată că integrala improprie x

Pentru

a

doua

integrală

improprie

∞

∫t

observăm

z −1 − t

e dt

că,

1

b

b

1

1

− t z −1 − t x −1 ∫ e t dt ≤ ∫ e t dt , b > 1 care este convergentă (criteriul integral a lui

n x −1 deoarece seria ∑ u n , u n = n şi integrala e ∞

( ∫ f ( x)dx convergentă ⇔ seria 1

∞

∫e

− t x −1

t

Cauchy)

dt au aceeaşi natură

1

∞

∑ f (n) este convergentă , f ( x) = e

− t x −1

t

).

1

( ∑ u n este convergentă(criteriul raportului)). Deci Γ(z ) este convergentă. Propoziţie. Funcţia Γ(z ) verifică ecuaţia funcţională (2) Γ( z + 1) =z Γ(z ) . Într-adevăr, integrând prin părţi, obţinem: ∞

Γ( z + 1) = − ∫ t z d (e −t ) = −t z e −t 0

∞ 0

∞

+ z ∫ e −t t z −1 dt = zΓ( z ), 0

deci ecuaţia (2). Scriind formula (2) pentru z ∈ {z , z + 1, z + 2,..., z + n} şi apoi înmulţind relaţiile astfel obţinute găsim: (3) Γ ( z + n + 1) = z ( z + 1)...( z + n)Γ( z ) . Pentru z =1 avem: Γ ( n + 2) = (n + 1)!Γ (1) şi deoarece Γ(1) = 1 obţinem: (4) Γ ( n + 1) = n! . Datorită proprietăţilor(3) şi (4) funcţia Γ se mai numeşte funcţie factorial. Dacă x ∈ R+ graficul funcţiei Γ (x ) este: y

1 0

1 x0 2

x

86

∞

( Γ ( x) = ∫ e −t t x −1 (ln t ) 2 dt > 0 deci Γ (x ) este o funcţie convexă). Funcţia Γ(z ) are "

0

proprietatea: Γ(z ) ⋅ Γ (1 − z ) =

(5)

π sin πz

numită ecuaţia complementelor. Între valorile importante ale funcţiei Γ(z ) avem: ∞

∞

−t

2 e ⎛1⎞ Γ⎜ ⎟ = ∫ dt = 2 ∫ e −u du = π . ⎝2⎠ 0 t 0

Înlocuind variabila de integrare t cu t2 în formula (1) obţinem: ∞

Γ( z ) = 2∫ e −t t 2 z −1 dt .

(6)

0

Numim funcţia lui Euler de speţa I funcţia definită prin relaţia: 1

B ( p, q ) = ∫ t p −1 (1 − t ) q −1 dt , Rep>0, Req>0.

(7)

0

Funcţia B ( p, q ) este simetrică în raport cu p şi q adică B ( p, q ) = B (q, p ). Are loc următoarea: Teoremă. Funcţia lui Euler de speţa I, B ( p, q ) verifică relaţia: (8)

B ( p, q ) =

Γ ( p )Γ ( q ) , Rep>0, Req>0. Γ( p + q )

Demonstraţie Folosind formula (6) pentru funcţia, Γ(z ) putem scrie: ∞∞

Γ ( p )Γ ( q ) = 4 ∫ ∫ e − ( u

2

+v 2 )

u 2 p −1v 2 q −1 dudv .

0 0

Trecând de la coordonatele polare u = ρ cos θ , v = ρ sin θ obţinem: π 2

Γ ( p ) Γ(q) = 4∫∫ e − ρ ρ 2 ( p + q )−1 cos 2 p −1 θ sin 2 q −1 θdρdθ = 2Γ( p + q ) ∫ cos 2 p −1 θ sin 2 q −1θdθ . 2

0

ρ ≥ 0,0 ≤ θ ≤

π 2

Pe de altă parte, făcând substituţia t = cos 2 θ observăm că π 2

B(p,q)= 2 ∫ cos 2 p −1 θ sin 2 q −1θdθ

. Cu aceasta, relaţia de mai sus dă formula (8).

0

87

3. Funcţiile Bessel. Fie ν un număr real sau complex. Ecuaţia diferenţială: x 2 y ′′ + xy ′ + ( x 2 − ν 2 ) y = 0

(1)

se numeşte ecuaţia lui Bessel. Definiţia 1. Numim funcţii Bessel sau funcţii cilindrice soluţiilor ecuaţiei lui Bessel. Aceste funcţii apar la rezolvarea ecuaţiilor fizicii matematice, teoria potenţialului, precum şi la studiul vibraţiilor proprii ale membranelor circulare. Vom căuta soluţia ecuaţiei lui Bessel sub forma unei serii de forma: (2)

∞

y(x)=xr ∑ a k x k k =0

unde r şi a k trebuie astfel determinate încât seria (2) să verifice ecuaţia lui Bessel (1). Din (2) obţinem:

(3)

∞ ⎧ ' = y a k (k + r ) x k + r −1 ∑ ⎪ ⎪ k =0 . ⎨ ∞ ⎪ y " = a (k + r )(k + r − 1) x k + r − 2 ∑ k ⎪⎩ k =0

Înlocuind în ecuaţia lui Bessel şi simplificând cu x r obţinem: (4)

∞

∞

k =0

k =0

∑ a k [(k + r ) 2 − v 2 ]x k = −∑ a k x k .

Prin identificare, obţinem relaţiile:

(5)

⎧a 0 (r 2 − v 2 ) = 0, ⎪ 2 2 ⎪a1 [(r + 1) − v ] = 0 ⎨ ⎪.............................., ⎪a [(r + k ) 2 − v 2 ] = − a , k ∈ {2,3,4,...} k −2 ⎩ k

88

Presupunând a0 ≠ 0 (fapt posibil întotdeauna, prin schimbarea indicelui de sumare) obţinem r 2 − v 2 = 0 ,de unde r = v şi r = −v . Cazul 1. Considerăm r = v . Din a doua relaţie din (5) obţinem a1 (2v + 1) = 0 . Cum coeficientul intervine în ecuaţia lui Bessel la pătrat, atunci dacă v este real putem considera v ≥ 0 deci 2v + 1 ≠ 0 de unde a1 = 0 . Dacă v este complex, 2v + 1 ≠ 0 şi a1 = 0 . În concluzie, putem considera a1 = 0 atunci evident întotdeauna . Din relaţia de recurenţă, a k [(ν + k ) 2 − v 2 ] = − a k − 2

( k ≥ 3 ) obţinem:

(6) a1 = a3 = a5 = ... = a 2 k +1 = ... = 0, k ∈ {0,1,2,3,...}. Deci toţi coeficienţii de indici impari ai seriei (2) sunt 0. Pentru coeficienţii de ordin par, considerând k=2n, avem: (7) a 2 n ( 4n 2 + 4nv ) = − a 2 n − 2 , n ∈ {1,2,3,...}, sau (8) 4n( n + v ) a 2 n = - a 2 n − 2 , n ∈ {1,2,3,...}. Făcând pe n din (8) 1,2,...,n şi înmulţind termen cu termen aceste egalităţi, obţinem: (9)

a2n

(−1) n a 0 = 2n . 2 n!(v + 1)(v + 2)...(v + n)

Deoarece Γ( z + n + 1) = z ( z + 1)...( z + n)Γ( z ) şi Γ ( z + 1) = zΓ( z ) observăm că: (10)

a2n =

(−1) n a 0 Γ(v + 1) , n ∈ {0,1,2,...} . 2 2 n n!Γ(v + n + 1)

Deoarece a 0 este arbitrar, considerăm că a 0 Γ(v + 1) = 2 − v şi astfel pentru soluţia ecuaţiei lui Bessel găsim: (11)

⎛ x⎞ y=⎜ ⎟ ⎝2⎠

v ∞

2n

(−1) n ⎛ x⎞ ⎜ ⎟ . ∑ n = 0 n!Γ (v + n + 1) ⎝ 2 ⎠

Cu ajutorul criteriului lui D`Alembert se verifică imediat că seria de puteri (11) are raza de convergenţă infinită. Definiţia 2. Funcţia definită de (11) se numeşte funcţia lui Bessel de speţa I şi de ordin (indice) v şi se notează Iν (x) Deci: v ∞

2n

(−1) n ⎛ x⎞ ⎜ ⎟ ∑ n = 0 n!Γ (v + n + 1) ⎝ 2 ⎠ Cazul 2. Considerăm r=- v . Dacă v ≠ n , n ∈ {1,2,3,...} , deci v nu este număr

(12)

⎛ x⎞ I v ( x) = ⎜ ⎟ ⎝2⎠

întreg şi pozitiv atunci toţi coeficienţii de ordin impar sunt nuli, iar cei de ordin par

89

se obţin din (9) înlocuind pe v cu – v . Luând pentru valoarea, a 0 Γ(−ν + 1) = 2ν obţinem pentru ecuaţia (1) a lui Bessel soluţia: (13)

⎛x⎞ I −v ( x) = ⎜ ⎟ ⎝2⎠

−v ∞

2n

(−1) n ⎛ x⎞ ⎜ ⎟ ,v ≠ n ∑ n = 0 n!Γ ( − v + n + 1) ⎝ 2 ⎠

.

Ca şi în cazul precedent se arată că seria (13) este convergentă pentru orice x. Cele două soluţii sunt liniar independente. În consecinţă, soluţia generală a ecuaţiei lui Bessel va fi: (14) y ( x) = C1 I υ ( x) + C 2 I −υ ( x), v ≠ n . Funcţii Bessel de indice întreg pozitiv. Pentru v = p număr întreg ( p ≥ 1 ) obţinem: ⎛ x⎞ I − p ( x) = ⎜ ⎟ ⎝2⎠ p I − p ( x) = (−1) I p ( x) .

(15)

şi

−p ∞

(−1) n ⎛ x⎞ ⎜ ⎟ ∑ n = p n!Γ ( − p + n + 1) ⎝ 2 ⎠

2n

.

Definiţia 3. Numim funcţia lui Bessel de speţa II sau funcţia lui Neumann de ordinul ν funcţia definită prin relaţia:

cos vπI v ( x) − I −v ( x) ,v ≠ n sin vπ fiind număr întreg. Funcţia N v (x) este soluţie a ecuaţiei lui Bessel.

(16)

N v ( x) =

4. Polinoame Hermite. Relaţia de recurenţă. Ecuaţia diferenţială. Proprietăţi. Funcţia generatoare. Aceste polinoame apar la studiul oscilatorului armonic liniar în mecanica cuantică. Definiţie. Numim polinom Hermite polinomul definit prin relaţia: ⎞ ⎛ H n (x) = (−1) n e x dxd ⎜⎜ e − x ⎟⎟ , n ∈ {0,1,2,3,...}. (1) ⎠ ⎝ 2

n

2

n

Pentru n ∈ {0,1,2,3} găsim: H 0 ( x) = 1, H 1 ( x) = 2 x, H 2 ( x ) = 4 x 2 − 2, H 3 ( x ) = 8 x 3 − 12 x.

90

Observăm că grad H n (x) . Dacă n este impar, atunci polinomul H n conţine numai termeni cu puteri impare ale lui x, iar pentru n par H n(x) conţine numai termeni cu puteri pare ale lui x. Notăm u ( x) = e − x . Avem u ' = −2 xe − x şi aplicând formula lui Leibniz de derivare, obţinem: ( n +1) u ( n + 2 ) ( x ) = − 2 xe − x = −2[(n + 1)u ( n ) ( x ) + xu ( n +1) ( x )] ,de unde (2) u ( n + 2) ( x) + 2 xu ( n +1) ( x) + 2(n + 1)u ( n ) ( x) = 0 . Înmulţind relaţia (2) cu (−1) n+ 2 e x se obţine formula de recurenţă: H n+2(x)-2x H n+1(x)+2(n+1) H n(x)=0 . (3) 2

(

2

2

)

2

2

Observăm că u ( n) ( x) = (−1) n e − x Hn(x). Înlocuind aceasta în (2) obţinem ecuaţia diferenţială a polinoamelor lui Hermite: (4) y ′′ − 2 xy ′ + 2ny = 0. Propoziţie. Polinoamele Hermite sunt funcţii ortogonale cu ponderea p(x)= e − x pe intervalul (−∞, ∞) şi: 2

⎧0, m ≠ n − x2 . e H x H x dx ( ) ( ) = ⎨ n m n ∫ −∞ ⎩2 n! π , m = n ∞

(5)

Demonstraţie. Integrând prin părţi obţinem I=0 pentru m ≠ n ,si pentru m = n , ∞

I= 2 n n! ∫ e − x dx = 2 n n! π . 2

−∞

Polinoamele lui Hermite se pot obţine din funcţia generatoare: (6) f(x,t)= e 2tx −t = e x e − (t − x ) . Dezvoltând în serie Taylor în raport cu t, obţinem: 2

(7)

f(x,t)=

∞

2

∑ H n ( x) n =0

2

tn n!

unde coeficienţii H n (x) ai seriei de puteri (7) reprezintă polinoamele lui Hermite abstracţie făcând de un factor de proporţionalitate. Avem:

∂f ∂f = 2tf , + 2(t − x ) f = 0 de unde găsim relaţia de recurenţă (3). ∂x ∂t

5. Polinoame Legendre. Relaţia de recurenţă. Ecuaţia diferenţială. Proprietăţi. Funcţia generatoare. Polinoamele lui Legendre intervin în studiul ecuaţiei lui Laplace, în teoria potenţialului, etc. 91

Definiţie. Numim polinom Legendre polinomul definit prin relaţia: (1)

[

1 dn Ln ( x ) = n ( x 2 − 1) n n 2 n! dx

]

, n ∈ {0,1,2,...} .

Această formulă se mai numeşte formula lui Rodrigues. Pentru deducerea proprietăţilor acestor polinoame vom nota u(x)=(x2-1)n . Derivând, avem, u’(x)=2nx(x2-1)n-1 de unde: (2) (x2-1)u’(x)-2nxu(x)=0. Derivând relaţia (2) de (n+1) ori după formula lui Leibniz obţinem: (x2-1)u(n+2)(x)+2xu(n+1)(x)-n(n+1)u(n)(x)=0. Înmulţind această ecuaţie cu 1 / (2nn!) şi ţinând seama că

u ( n ) ( x) =

[

dn ( x 2 − 1) n dx n

]

relaţia de mai sus devine: (3) ( x 2 − 1) L"n ( x ) + 2 xL'n ( x ) − n( n + 1) Ln ( x ) = 0 . Deci polinoamele lui Legendre verifică ecuaţia diferenţială: (4)

( x 2 − 1) y " + 2 xy ' − n(n + 1) y = 0 .

Polinomele lui Legendre se pot obţine din funcţia generatoare: (5)

f( ρ , x) =

1 1 + ρ 2 − 2 ρx

, ρ ∈ (0,1), x ∈ [ −1,1] .

Pentru a vedea semnificaţia acestei funcţii vom presupune că în punctul M0 din spaţiu există o sarcină electrică pozitivă egală, cu unitatea. Această sarcină creează un câmp electrostatic a cărui valoare într-un punct M ≠ M0 este E(M)=

1 , R =M0M. R2

Potenţialul câmpului electrostatic se notează cu V(M)=1/R. Notând cu O originea reperului şi cu x = cos θ , θ = ∠ (OM0,OM) obţinem din triunghiul OMM0: R= r 2 + r02 − 2r0 rx , unde r=OM, r0=OM0. În consecinţă, potenţialul corespunzător punctului M va fi: 1 r ⎧1 ,ρ = <1 ⎪r 2 r0 1 ⎪ 0 1 + ρ − 2ρ x V(M)= = ⎨ . r0 R ⎪1 1 ,ρ = <1 ⎪ r 1 + ρ 2 − 2ρ x r ⎩

92

În ambele cazuri apare funcţia generatoare f ( ρ , x) a polinoamelor lui Legendre cu restricţiile x ∈ [ −1,1] şi ρ ∈ [0,1] . Considerând pe ρ suficient de mic putem dezvolta în serie după puterile lui ρ , obţinând:

(6)

( ) ( )( )

1 3 1 − − ⎧ − 2 2 2 2 1 2 2 2 ⎪ f ( x, ρ ) = 1 + ( ρ − 2 ρx) = 1 + ( ρ − 2 ρx) − 2 + 2! ( ρ − 2 ρx) + ... = ⎪ . ⎨ ∞ ⎪= 1 + ρx + ρ 2 3 x 2 − 1 + ρ 3 5 x3 − 3 x + ... = ∑ Ln ( x) ρ n 2 2 2 2 ⎪⎩ n=0

[

]

(

)

(

)

Polinoamele Ln (x) sunt polinoamele lui Legendre. Luând, de exemplu, x=1 obţinem: f (1, ρ ) = 1 + ρ + ρ 2 + ...

adică Ln(1)=1, n ∈ {0,1,2,...}. Polinoamele lui Legendre verifică relaţia de recurenţă: (7)

(n + 1) Ln +1 ( x) − (2n + 1) xLn ( x) + nLn −1 ( x) = 0.

Pentru a obţine relaţia de recurenţă (7) derivăm expresia (5) şi obţinem: (8)

(1 − 2 ρx + ρ 2 )

∂f − (x − ρ) f = 0 . ∂ρ

Substituind în (8) expresia (6) a lui f, obţinem: ∞

∞

n =1

n =0

(1 − 2 ρx + ρ 2 )∑ nLn ( x ) ρ n −1 + ( ρ − x)∑ Ln ( x ) ρ n = 0 .

Egalând cu zero coeficientul lui ρ n obţinem (7). Propoziţie. Polinoamele lui Legendre sunt funcţii ortogonale pe [-1,1] şi 1

∫L

−1

n

⎧0, m ≠ n `. ( x ) Lm ( x) dx = ⎨ ⎩2 ( 2n + 1), m = n

93

6. Probleme propuse.

1. Să se calculeze integrala:

∫

I=

π

2 0

.

sin 6 x cos 4 xdx .

2. Să se calculeze integrala:

I =∫

∞

0

x 2 dx . (1 + x 6 )3

3. Să se calculeze integrala:

I=

∫

∞

0

dx . 1 + x8

4. Să se dezvolte în serie de polinoame Legendre funcţiile: a)

f ( x) = x ;

b)

f ( x) =

1− x 2

.

5. Să se integreze ecuaţia lui Bessel:

(

)

x 2 ⋅ y // + x ⋅ y / + 9 x 2 − 14 ⋅ y = 0 .

94

CAPITOLUL IV SERII FOURIER 1. Serii Fourier pentru funcţii. Funcţii periodice. Transformata periodică. Dezvoltarea în serie Fourier a unei funcţii periodice cu perioada 2 π . Exemplu. Funcţiile periodice constituie una din clasele de funcţii care datorită proprietăţilor lor intervin frecvent în diverse probleme teoretice şi practice. Un mijloc de reprezentare şi studiu al acestor funcţii îl constituie dezvoltarea în serie Fourier. În multe cazuri dezvoltarea în serie Fourier este mai convenabilă decât dezvoltarea în serie Taylor. Termenii unei serii Fourier sunt funcţii periodice cu care putem descrie fenomene oscilatorii. O altă calitate a seriilor Fourier este şi aceea că termenii săi au proprietatea de ortogonalitate. Spunem că funcţia f : R → Γ(Γ = R ∨ C) este o funcţie periodică de perioadă T > 0 dacă: f (x + T ) = f (x ), ∀x ∈ R . Dacă T este perioada funcţiei f(x) atunci şi kT, k ∈ Z , * este perioadă. Fie supp f =[a,b] . Numim transformata periodică a funcţiei f , funcţia ωT f : R → Γ , definită prin relaţia f

~ T

( x) = ωT f ( x) =

∞

∑ f ( x + kT ), x ∈ R

k = −∞

~

, . Transformata periodică f = ωT f ( x) este o

funcţie periodică de perioadă T. Definiţia 1.Prin polinom trigonometric de ordinul n înţelegem funcţia: n a0 + ∑ (a k cos kx + bk sin kx) 2 k =1 a 0 , a k , bk (k ∈ {1,2,..., n}) sunt numere reale.

(1)

Tn ( x) =

unde coeficienţii Observăm că polinomul Tn (x) din (1) este o funcţie periodică de perioadă T = 2π . Definiţia 2. Numim serie trigonometrică seria de forma: ∞ a0 + ∑ (a k cos kx + bk sin kx) 2 k =1

(2)

.

Dacă seria trigonometrică (2) este convergentă , atunci suma ei f(x) va fi o funcţie periodică de perioadă T= 2π . Seria trigonometrică s-a obţinut cu ajutorul sistemului trigonometric fundamental : (3) 1, cos x, sin x, cos 2 x, sin 2 x..., cos nx, sin nx,... Acest sistem este un sistem de funcţii ortogonal şi : π

∫π sin

−

π

2

kxdx = ∫ cos 2 kxdx = π . −π

95

Fiind dată o funcţie f(x), f : R → R , periodică cu perioada 2 π , se cere să se determine condiţiile pe care trebuie să le îndeplinească funcţia periodică f(x) astfel încât să putem construi seria trigonometrică (2) , uniform convergentă pe [− π , π ] , deci şi pe R. În aceste ipoteze putem scrie egalitatea : (4)

∞ a0 + ∑ (a k cos kx + bk sin kx) 2 k =1

f ( x) =

.

Seria fiind uniform convergentă , putem integra termen cu termen şi în baza ortogonalităţii sistemului (3) găsim : (5)

ao =

π

1

π

∫π f ( x)dx

.

−

Înmulţind seria (4) cu cos kx şi integrând , obţinem : π

π

∫ f ( x) cos kxdx = a ∫π cos

kxdx = πa k , de unde:

k

−π

−

(6)

ak =

1

π

π

∫π f ( x) cos kxdx .

−

Procedând analog, prin înmulţire cu sin kx , obţinem : (7)

bk =

1

π

π

∫ f ( x) sin kxdx

.

−π

Coeficienţii a k , bk , k ∈ {1,2,3,...} determinaţi după formulele (6) şi (7) se numesc coeficienţii Fourier pentru funcţia f(x) iar seria trigonometrică (2) cu aceşti coeficienţi se numeşte seria Fourier a funcţiei periodice f(x). Fiind dată o funcţie periodică f cu perioada 2 π şi integrabilă, putem determina coeficienţii Fourier corespunzători funcţiei date precum şi seria Fourier ataşată lui f (x). Nu putem însă să scriem egalitatea (4) deoarece nu ştim dacă seria este convergentă şi chiar în caz de convergenţă , nu ştim dacă suma ei este tocmai funcţia f . Din acest motiv vom scrie : (8)

f ( x) ≈

∞ a0 + ∑ (a k cos kx + bk sin kx) . 2 k =1

Condiţiile suficiente pentru ca o funcţie periodică cu perioada 2 π să poată fi reprezentată prin seria Fourier asociată ei , au fost găsite de Dirichlet. Are loc: Teorema (Condiţiile lui Dirichlet). Dacă funcţia f(x) cu perioada 2 π este monotonă pe porţiuni şi mărginită pe intervalul [− π , π ] , atunci seria Fourier asociată acestei funcţii este convergentă în toate punctele. Suma S(x) a seriei Fourier în fiecare punct de continuitate este egală cu valoarea funcţiei f în acel punct. În punctele de discontinuitate , valoarea sumei S(x) este egală cu media aritmetică a limitelor laterale corespunzătoare punctului de discontinuitate , adică:

96

(9)

f (c − 0) + f (c + 0) 2 f (c − 0) = lim f ( x), f (c + 0) = lim f ( x) . S (c ) =

x →c x
unde

,

x →c x
x2 , x ∈ [− π , π ] , . Funcţia periodică 4 generată de funcţia f(x) va fi transformata periodică f cu perioada 2π al cărei

Exemplu. Considerăm funcţia f ( x) =

grafic este : y

− 3π

− 2π

−π

π

0

2π

3π

~

Funcţia f(x) reprezintă restricţia funcţiei f la intervalul [− π , π ] . Condiţiile teoremei lui Dirichlet sunt îndeplinite, deoarece funcţia f pe intervalul [−π , π ] este monotonă şi este mărginită. Aplicând de două ori integrarea prin părţi obţinem pentru coeficienţii Fourier expresiile : bk = 0, a k =

(−1) k π2 , k ≠ 0 , a = . 0 6 k2

Deci seria Fourier corespunzătoare funcţiei f ( x) =

x2 în intervalul [− π , π ] 4

este : x 2 π 2 ∞ (−1) k π 2 cos x cos 2 x = +∑ − 2 + + ... cos kx = 12 4 12 k =1 k 2 1 22 Considerând x = π obţinem suma: 1 π2 1 1 + + + + = ... ... 6 n2 12 2 2

97

.

x

2.Seria Fourier a funcţiilor pare sau impare. Dacă funcţia f(x) este pară sau impară pe [− π , π ] atunci dezvoltarea în serie Fourier a ei se simplifică. Astfel , dacă funcţia f(x) este pară pe [− π , π ] , atunci f(-x) = f(x) şi în consecinţă funcţia f ( x) cos kx este pară iar funcţia f ( x) sin kx este impară. Ţinând seama de aceasta vom obţine: π π π ⎧ 1 1 2 b = f ( x ) sin kxdx = 0 , a = f ( x ) dx = f ( x)dx ⎪ k 0 π −∫π π −∫π π ∫0 ⎪ ⎨ π π ⎪a = 1 f ( x) cos kxdx = 2 f ( x) cos kxdx ⎪ k π ∫ π ∫0 −π ⎩

(1)

Pentru funcţiile pare pe [− π , π ] seria Fourier va conţine numai termeni în cosinusuri , adică termenii pari. Deci seria Fourier va avea expresia: (2)

f ( x) =

a0 ∞ + ∑ a k cos kx 2 k =1

,

valabilă în punctele de continuitate ale funcţiei f(x) pe (− π , π ) . Acest caz a fost x2 , care este o funcţie ilustrat prin exempulul din paragraful anterior f ( x) = 4 pară pe [− π , π ] (axa Oy axă de simetrie).

Dacă funcţia f(x) este impară pe intervalul [− π , π ] , atunci funcţia f ( x ) cos kx este impară , iar f ( x) sin kx este o funcţie pară. În consecinţă coeficienţii seriei Fourier vor fi : (3)

a o = 0, a k = 0

şi

bk =

2

π

π

∫ f ( x) sin kxdx . 0

Seria Fourier pentru funcţiile impare va conţine numai termenii în sinusuri, deci : ∞

f ( x) = ∑ bk sin kx .

(4)

k =1

3. Dezvoltarea în serie Fourier a funcţiilor definite pe (-l , l). Exemplu. Vom considera cazul general al dezvoltării în serie Fourier a unei funcţii periodice cu perioada T = 2l (l >0) . Şirul trigonometric fundamental , va fi : (1)

1, cos

πx l

, sin

πx l

,..., cos

nπx nπx , sin ,... l l

98

Fie f(x) restricţia funcţiei periodice f cu perioada T = 2l pe intervalul (-l, l). Efectuând schimbarea de variabilă x =

lt

π

lt , funcţia f ⎛⎜ ⎞⎟ va fi o funcţie periodică ⎝π ⎠

lt cu perioada 2π . Restricţia ei la intervalul (− π , π ) va fi funcţia f ⎛⎜ ⎞⎟ . Scriind ⎝π ⎠

lt dezvoltarea în serie a funcţiei f ⎛⎜ ⎞⎟ , avem : ⎝π ⎠

∞

⎛ lt ⎞ a f ⎜ ⎟ = 0 + ∑ (a k cos kt + bk sin kt ) , ⎝ π ⎠ 2 k =1 valabilă în orice punct de continuitate t ∈ R . Datorită substituţiei x = lt / π ,

(2)

coeficienţii Fourier vor avea expresiile: π

1 1 π ⎛ lt ⎞ a 0 = ∫ f ⎜ ⎟dt = ∫ f ( x) dx = ∫ f ( x)dx π −π ⎝ π ⎠ π −l l l −l 1

(3)

l

l

1 kπx f ( x) cos dx ∫ l −l l l

ak =

1 kπx dx bk = ∫ f ( x) sin l l −l l

Deci seria Fourier pentru funcţia f(x) pe intervalul (− l, l ) va fi : (4)

f ( x) =

∞ a0 kπx kπx + ∑ (a k cos + bk sin ) 2 k =1 l l

unde coeficienţii sunt daţi de formula (3). Exemplu. Să scriem seria Fourier corespunzătoare funcţiei f(x) = x pe intervalul (-l , l). Funcţia f este impară pe (-l , l) deci seria Fourier va conţine numai termeni în sinus. Avem : 1

1

−1

0

a k = 0, bk = ∫ x sin kπxdx = 2 ∫ x sin kπxdx = (−1) k +1

2 . kπ

Prin urmare, seria Fourier corespunzătoare funcţiei f(x) va fi : ⎞ 2 ⎛ ∞ (−1) k +1 x = ⎜⎜ ∑ sin kπx ⎟⎟ . π ⎝ k =1 k ⎠ 1 Pentru x = , obţinem suma : 2 1 1 1 π 1 − + − + ... = . 3 5 7 4

4. Dezvoltarea în serie Fourier după cosinusuri sau sinusuri a unei funcţi definite pe intervalul (0 , l). Exemplu. Fie f(x) o funcţie definită pe [0, l ]. Deseori este util ca funcţia f(x) să se dezvolte în serie Fourier după cosinusuri sau sinusuri . În acest scop funcţia se

99

prelungeşte pe intervalul [− l ,0] astfel îcât noua funcţie F(x) să fie funcţie pară sau impară pe intervalul [−l , l ] , după cum dezvoltarea în serie Fourier trebuie să fie după cosinusuri sau sinusuri. Să presupunem că dorim să dezvoltăm funcţia f(x), în serie Fourier după cosinusuri (figura): y

f(-x) -l

-x

f(x) 0

x

l

x

Efectuăm prelungirea pară pe intervalul [− l ,0] , deci luăm simetricul graficului funcţiei f în raport cu axa ordonatelor. Obţinem astfel o nouă funcţie F(x) pară pe [− l, l ] . ⎧ f (− x), x ∈ [−l ,0] F ( x) = ⎨ ⎩ f ( x), x ∈ [0, l ]

.

Dacă funcţia dată f(x) îndeplineşte condiţiile lui Dirichlet pe intervalul [0, l ], atunci noua funcţie F(x) va îndeplini aceste condiţii pe intervalul [-l , l]. Prin urmare, seria Fourier corespunzătoare funcţiei F(x) va fi : (1)

F ( x) =

∞ a0 kπx + ∑ a k cos l 2 k =1

unde (2)

l l ⎧ 1 2 = ( ) = a F x dx f ( x)dx ⎪ 0 l −∫l l ∫0 ⎪ ⎨ l l ⎪a = 1 F ( x) cos kπx dx = 2 f ( x) cos kπx dx ⎪ k l∫ l l l ∫0 /l ⎩

, bk = 0 .

Dezvoltarea (1) are loc în toate punctele de continuitate de pe intervalul (-l, l). În particular, pe intervalul (0, l) obţinem dezvoltarea căutată după cosinusuri :

100

(3)

f ( x) =

a0 ∞ kπx + ∑ a k cos l 2 k =1

,

valabilă în punctele de continuitate din intervalul (0, l). Analog pentru a obţine dezvoltarea în serie Fourier după sinusuri a funcţiei f(x) definită pe [0, l), efectuăm o prelungire impară a funcţiei f pe intervalul [-l , 0) (figura) : y

f(x) -l

-x 0

x

l

x

-f(-x)

şi obţinem astfel o nouă funcţie : ⎧− f (− x), x ∈ [−l ,0] F ( x) = ⎨ . ⎩ f ( x), x ∈ [0, l ]

Această funcţie este impară pe intervalul [-l, l] ,graficul ei fiind simetric în raport cu originea sistemului de referinţă. Scriind dezvoltarea în serie Fourier pentru funcţia impară, vom obţine : (4)

∞

F(x)= ∑ bk sin k =1

kπx l

unde: (5)

l ⎧ 1 kπx dx, sau ⎪a k = 0, bk = ∫ F ( x) sin l −l l ⎪ . ⎨ l 2 π k x ⎪b = ⎪ k l ∫ f ( x) sin l dx 0 ⎩

101

În particular, în orice punct de continuitate din intervalul (0, l) avem dezvoltarea după sinusuri a funcţiei date f(x) , anume: ∞

f ( x) = ∑ bk sin

(6)

k =1

kπx . l

Exemplu. Să dezvoltăm în serie Fourier după sinusuri funcţia f(x)=1-x , x ∈ [0, 1). Efectuând o prelungire impară pe intervalul (-1, 0) (l=1) a funcţiei date, vom obţine funcţia: ⎧− 1 − x, x ∈ [−1,0) F ( x) = ⎨ ⎩1 − x, x ∈ [0,1]

Prin periodicizarea funcţiei F(x) se obţine graficul :

y 1 0 -2

2

-1

1

3

4 x

-1

∞

În consecinţă , seria Fourier a funcţiei considerate va fi 1-x = ∑ bk sin kπx k =1

unde : 1

bk = 2∫ (1 − x) sin kπx = 0

Deci: 1-x =

2

2 kπ

.

sin kπx . . k k =1 ∞

∑ π

5. Forma complexă a seriilor Fourier. O formă unitară a seriilor Fourier este forma complexă. Fie f(x) o funcţie care pe intervalul (-l, l) satisface condiţiile teoremei lui Dirichlet. Atunci putem scrie dezvoltarea în serie Fourier :

102

(1)

f ( x) =

a0 ∞ kπx kπx + ∑ ( a k cos + bk sin l l 2 k =1

)

,

unde coeficienţii seriei au expresiile: (2)

l l ⎧ 1 1 kπx = ( ) , = a f x dx a f ( x) cos dx ⎪ 0 k ∫ ∫ l −l l −l l ⎪ ⎨ l ⎪b = 1 f ( x) sin kπx dx ⎪ k l∫ l −l ⎩

.

Utilizând formulele lui Euler: (3)

cos

kπx l

1 i = (e 2

kπx l

+e

−i

kπx l

kπx

), sin

l

1 i = (e 2i

kπx l

−e

−i

kπx l

)

,

seria (1) devine: (4)

f(x)=

a 0 ∞ ak −ibk i +∑ ( 2 e 2 k =1

kπx l

+

ak −ibk 2

e

−i

kπx l

) .

Ţinând seama de expresiile (2) ale coeficienţilor avem : (5)

ck =

l

−i 1 f ( x )e ∫ 2l −l

kπx l

dx

şi (6)

c-k =

ak − ibk 2

l

i 1 =. ∫ f ( x)e 2l −l

kπx l

dx

Remarcăm că în (5) şi (6), k ∈ N*. Primul termen al dezvoltării (1) are expresia : (7)

l a0 1 = ∫ f ( x)dx = c0 2 2l −l

care se obţine din (5) pentru k=0.

Prin urmare, seria (4) se poate scrie sub forma : (8)

∞

f(x)= ∑ c k e

i

kπx l

k =0

∞

+∑ c−k e

−i

kπx l

k =0

sau (9)

f(x)=

∞

∑ ck e

i

kπx l

k = −∞

unde (10)

ck =

l

−i 1 f ( x )e ∫ 2l −l

kπx l

dx , k ∈ Z

Expresia (9) de reprezentare a funcţiei f(x) se numeşte forma complexă a seriei Fourier. 6. Dezvoltarea unei funcţii în serie de funcţii ortogonale. Aproximarea funcţiilor în medie pătratică. Relaţia de închidere a lui Parseval. Analizînd modul de determinare a coeficienţilor seriei Fourier, observăm că raţionamentele folosite nu s-au bazat pe proprietăţile concrete ale funcţiilor 103

trigonometrice din sistemul trigonometric fundamental ci numai pe proprietatea de ortogonalitate. Din acest motiv este natural ca în locul sistemului trigonometric de funcţii ortogonale să luăm un sistem oarecare de funcţii ortogonale. În acest fel o funcţie poate fi reprezentată în serie cu un sistem de funcţii ortogonale, obţinând o serie Fourier generalizată. Fie şirul de funcţii ortogonale (ϕ n ( x)) ∈ L2 (a, b) (de pătrat integrabil pe (a,b) ⊂ R ). Pentru simplificarea calculelor vom presupune că şirul a fost normalizat şi vom nota cu (Ψn ( x)) şirul ortonormat din L2(a,b). Să presupunem că f ∈ L2(a,b) şi că ea se poate reprezenta sub forma unei serii uniform convergente pe (a,b) în raport cu sistemul de funcţii ortonormate (Ψn ( x)) . Conform ipotezelor făcute avem : (1)

f(x)=

∞

∑c Ψ k

k =1

k

( x) .

Pentru determinarea coeficienţilor ck (k ∈ N), înmulţim egalitatea (1) cu conjugatul Ψk al funcţiei Ψk şi integrând termen cu termen pe intervalul (a,b), obţinem : (2)

b

∫ a

b

f ( x)Ψk dx = c k ∫ Ψk Ψk dx = c k Ψk

2

= ck

a

şi deoarece sistemul (Ψk ) este ortonormat, avem : (3)

⎧0, m ≠ n . (Ψm , Ψm ) = ⎨ ⎩1, m = n

Coeficienţii ck determinaţi prin relaţia (2) se numesc coeficienţii Fourier generalizaţi ai funcţiei f ∈ L2(a,b) relativ la sistemul ortonormat de funcţii (Ψk ) pe (a, b). Seria (1) se va numi seria Fourier generalizată a funcţiei relativ la sistemul ortonormat (Ψk ) . Teorema lui Dirichlet rămâne valabilă şi pentru seriile Fourier generalizate. Astfel relaţia (1) are loc în fiecare punct de continuitate a funcţiei f din intervalul (a, b) dacă partea reală şi partea imaginară ale funcţiei complexe f ∈ L2(a,b) satisfac condiţiile teoremei lui Dirichlet. Exemplu. Să dezvoltăm în serie după polinoamele lui Hermite funcţia f(x)= e x , x ∈ R. Polinoamele lui Hermite definite prin relaţia: n (4) H n (x) = (−1) n e x d n (e − x ) n ∈ N , x ∈ R formează un sistem dx 2

2

2

ortogonal cu ponderea p(x)= e − x pe R. Funcţia f(x) e − x ∈ L2 ( R) şi satisface condiţiile teoremei lui Dirichlet , deci : 2

(5)

∞

e x = ∑ c k H k ( x) , x ∈ R . k =0

104

2

Înmulţind această egalitate cu e x H ( x) şi integrând, pe baza proprietăţii de ortogonalitate obţinem : ∞

∫e

− x2 + x

1 2 k! π k

∞

∫e

− x2 + x

H k ( x)dx = c k ∫ e − x H k2 ( x)dx = c k 2 k k! π 2

de unde:

−∞

−∞

ck =

∞

H k ( x)dx .

−∞

Integrînd prin părţi şi ţinând seama de (4) obţinem: ∞

−x ∫e

2

+x

∞

H k ( x)dx =

−∞

−x ∫e

2

+x

∞

H k −1 ( x)dx = ... =

−∞

−x ∫e

2

1

+x

dx = π e 4 .

−∞

Prin urmare, seria Fourier generalizată corespunzătoare funcţiei f(x)=ex este : 1 ∞ 4

H k ( x) , k k = 0 2 k! valabilă pentru orice x ∈ R . Definiţie. Fie f,g ∈ L2 (a, b) . Numim eroare pătratică medie a funcţiei f e =e x

∑

faţă de g numărul 1

⎤2 ⎡ b 1 2 δ = ⎢ b −1 a ∫ f ( x) − g ( x) dx ⎥ = f ( x) − g ( x) . b−a ⎦⎥ ⎣⎢ a

(6)

Numărul δ reprezintă o măsură a erorii ce o facem dacă aproximăm funcţia f prin g sau funcţia g prin f. Această măsură a erorii numită eroare pătratică medie este deosebit de utilă în studiul seriilor Fourier, deoarece este legată direct de norma funcţiilor de pătrat integrabil. Fie funcţia f ∈ L2 (a, b) şi sistemul ortonormat de funcţii complexe ( (Ψk ( x)) de pătrat integrabil pe intervalul (a,b) . Funcţia: n

S n ( x) = ∑ λ k Ψk ( x)

(7)

k =1

se numeşte polinom ortogonal pe intervalul (a, b). Să determinăm coeficienţii λ k ai polinomului (7) astfel încât eroarea pătratică medie faţă de funcţia f să fie minimă. Avem : b

b

n

a

k =1

2

δ (b − a ) = ∫ f ( x) − S n ( x) dx = ∫ f ( x) − ∑ λ k Ψk dx . 2

2 n

a

Ţinînd seama că funcţiile f , Ψk sunt funcţii complexe, iar λ k numere complexe, pentru dezvoltarea expresiei de sub semnul integrală de mai sus vom folosi formula : 2 2 2 α − β = (α − β ) ⋅ (α − β ) = α + β − α β − α β . Obţinem :

105

b b b b n n n n ⎧ 2 2 ⎨δ n (b − a ) = ∫ f dx − ∑ λ k ∫ f Ψx dx − ∑ λ k ∫ f Ψk dx + ∑∑ λi λ j ∫ Ψi Ψ j dx i =1 j =1 k =1 k =1 a a a a ⎩

( 8)

.

Sistemul de funcţii Ψk ( fiind ortonormat şi ţinând seama că coeficienţii Fourier corespunzători funcţiei f relativ la sistemul ortonormat ( Ψk ) sunt b

c k = ∫ f ( x)Ψk dx egalitatea (8) devine: a

n n n n ⎧ 2 2 2 2 − = − − + = − δ ( b a ) f λ c λ c λ λ f ck + ∑ ∑ ∑ ∑ n k k k k k k ⎪ k =1 k =1 k =1 k =1 (9) ⎪⎨ n . n n 2 2 ⎪+ (c − λ )(c − λ ) = f 2 − ck +∑ ck − λk ∑ k k k k ⎪⎩ ∑ k =1 k =1 k =1 Din relaţia (9) rezultă că δ n va fi minimă dacă c k = λ k . Am obţinut astfel :

Teorema 1. Dintre toate polinoamele ortogonale, cel pentru care eroarea pătratică medie faţă de funcţia f∈ L2 (a, b) este minimă este acela ai cărui coeficienţi sunt coeficienţii Fourier generalizaţi relativ la funcţia f. n

∑c Ψ

Aceasta înseamnă că funcţia

k =1

k

k

realizează cea mai bună aproximaţie

în medie pătratică a funcţiei de pătrat integrabil f. Putem scrie: 2

(10) δ n2 (b − a) = f

n

− ∑ ck . 2

k =1

Deoarece δ n ≥ 0 , rezultă inegalitatea: n

∑c

(11)

k =1

(unde f

2

b

2

k

≤ f

2

= ∫ f dx ), numită inegalitatea lui Bessel. Putem astfel enunţa : 2

a

Teorema 2. Suma pătratelor modulelor a n coeficienţi Fourier ai unei funcţii de pătrat integrabil, relativ la un sistem de n funcţii ortonormate, este cel mult egală cu pătratul normei funcţiei f . Dacă considerăm seria cu termeni pozitivi

∞

∑c n =1

2

n

atunci din inegalitatea

lui Bessel deducem că sumele parţiale ale seriei sunt mărginite de f ∞

urmare seria ∑ c n

2

; prin

este o serie convergentă . Din acest motiv în inegalitatea lui

n =1

Bessel putem considera n → ∞ şi se obţine : (12)

2

n

∑c n =1

2

n

≤ f

2

numită inegalitatea lui Parseval .

106

Definiţie. Un şir ortogonal de funcţii (Ψk) de pătrat integrabil este un sistem închis , dacă pentru orice f ∈ L2 (a, b) are loc relaţia : n

∑c

(13)

n =1

2

n

= f

2

numită relaţia de închidere a lui Parseval . Fie f ∈ L2 (−l , l ) l > 0 . Sistemul trigonometric normat : cos π1x sin π1x cos kπ1x sin kπ1x , , ,..., , ,... 2l l l l l

1

(14)

este un sistem închis . În raport cu sistemul ortogonal (14) coeficienţii Fourier sunt : −l

c = /| k

∫

f ( x)

cos kπ1x l

l

dx =

c = bk l si c0 = // k

−l

∫ l

l l

f ( x) 2l

−l

∫ f ( x) cos l

kπx dx = l ⋅ a k , l −l

dx =

l 1 l f ( x) = ⋅ a0 ∫ 2 2l l

Înlocuind c0, ck/ , ck// obţinuţi mai sus în (13) , obţinem relaţia de închidere a lui Parseval . 2

l ∞ a0 1 + ∑ (a n2 + bn2 ) = ∫ f 2 ( x)dx . 2 l −l n =1

(15)

Dacă l = π , (15) devine : π ∞ a0 1 2 2 + ∑ (a n + bn ) = ∫ f 2 ( x)dx . π −π 2 n =1 2

(16)

Exemplu. Să se scrie seria Fourier trigonometrică şi apoi egalitatea lui Parseval pentru funcţia: ⎧⎪1 , pentru x < 1 f ( x) = ⎨ . ⎪⎩0 , pentru 1 ≤ x < π

Să se deducă apoi sumele seriilor:

∞

sin 2 n şi ∑ n2 n =1

∞

cos 2 n . ∑ n2 n =1

Seria Fourier este: (1)

f ( x) =

∞ a0 + ∑ (a n cos nx + bn sin nx ) 2 n =1

unde (2) a0 =

1

π

f ( x )dx, a π ∫π −

n

=

1

π

f ( x ) cos nxdx, şi b π∫π

n

−

107

=

1

π

f ( x ) sin nxdx . π ∫π −

Graficul lui f (x) este:

y 1

-1

-π

Avem a0 = (3)

1

1

dx , de unde rezultă: π∫ −1

a0 =

Apoi, an =

1

2

π

.

1

1

cos nxdx = sin nx π ∫ πn −1

(4) şi: bn =

1

an =

1

π

1

0

1 −1

=

2 sin n ,adică: πn

2 sin n πn 1

sin nxdx = − cos nx π ∫ πn

1 −1

= 0 adică:

−1

(5)

(f(x) pară!) .

bn = 0

Deci seria Fourier ataşată funcţiei f(z) este: (6)

f ( x) =

1

π

+

2

∞

sin n cos nx n n =1

∑ π

Egalitatea lui Parseval este: (7)

π a 02 ∞ 2 1 + ∑ (a n + bn2 ) = ∫ f 2 ( x)dx 2 n =1 π −π

(8)

sin 2 n 1 + = ∫ dx ∑ π 2 π 2 n =1 n 2 π −1

sau 2

4

∞

1

de unde: (9)

sin 2 n + ∑ =1 . π π n =1 n 2 1

2

∞

Rezultă suma cerută: 108

.

x

sin 2 n π − 1 = . ∑ 2 2 n =1 n ∞

(10)

Pentru calcul

cos2 n scriem: ∑ n2 n =1 ∞

∞ cos 2 n ∞ 1 − sin 2 n ∞ 1 sin 2 n = = − . ∑ ∑ ∑ ∑ 2 2 n2 n2 n =1 n =1 n =1 n n =1 n ∞

Ştim că:

1 π2 = ;deci ∑ 2 6 n =1 n ∞

cos2 n π 2 π − 1 = − . ∑ n2 6 2 n =1 ∞

7. Probleme propuse 1) Să se dezvolte în serie Fourier funcţia : ⎧1, x ∈ (−π ,0] a) f ( x) = ⎪⎨ ⎪3, x ∈ (0, π ] ⎩

;

⎧ ⎪ x, x ∈ [0,1] ⎪ b) f ( x) = ⎪⎨1, x ∈ (1,2) ; ⎪ ⎪3 − x , x ∈ [2,3] ⎪⎩

c) f ( x) =

cos x 5 + 4 cos x

,x∈R.

2) Să se dezvolte în serie Fourier de sin şi respectiv cos funcţia : a) f ( x) =

π 4

−

x 2

, x ∈ (0, π ) ;

⎧ x, x ∈ [0,1] b) f ( x) = ⎪⎨ . ⎪− x, x ∈ (1,2] ⎩

109

3) Să se determine seria Fourier trigonometrică a funcţiei periodice f ( x) =

π 2shπ

e x , x ∈ (−π , π )

de perioadă 2π . Din dezvoltarea obţinută şi din

relaţia de închidere a lui Parseval să se calculeze sumele : (−1) n ∑ 2 n =1 n + 1 ∞

şi

∞

∑n n =1

1 2

+1

.

4) Să se scrie seria Fourier trigonometrică şi apoi egalitatea lui Parseval pentru funcţia : ⎧1, x < a ⎪ f ( x) = ⎨ , a >0 . 0 , ≤ ≤ a x π ⎪ ⎩

Să se calculeze apoi sumele seriilor : ∞

sin 2 na ∑ n2 n =1

şi

∞

cos 2 na . ∑ n2 n =1

110

CAPITOLUL V TRANSFORMARI INTEGRALE 1. Integrala Fourier. Forma complexă şi forma reală a integralei Fourier. Cazul funcţiilor pare sau impare. Să considerăm o funcţie f(t) reală sau complexă, definită pe R şi neperiodică. Funcţia f(t) nu mai poate fi dezvoltată în serie Fourier. În schimb, în anumite condiţii, f(t) poate fi reprezentată printr-o integrală dublă improprie care prezintă o oarecare analogie cu seria Fourier. Are loc: Teorema 1. Fie f(t) o funcţie reală sau complexă cu următoarele proprietăţi : 1. Satisface condiţiile lui Dirichlet în orice interval de lungime finită. 2. În fiecare punct c de discontinuitate, valoarea funcţiei este egală cu 1 2

media aritmetică a limitelor laterale în acel punct, f (c) = [ f (c − 0) + f (c + 0)] . 3.

. Este

absolut

integrabilă

pe

( − ∞, ∞ ) .

Cu

alte

cuvinte,

+∞

integrala ∫ f (t ) dt este convergentă. În aceste condiţii există egalitatea: −∞

(1)

1 f (t ) = 2π

+∞

+∞

−∞

−∞

∫ du ∫ f (τ )e

iu ( t −τ )

dτ .

Integrala dublă improprie prin care este reprezentată funcţia f(t) se numeşte integrala Fourier, iar egalitatea (1) se numeşte formula integrală a lui Fourier, forma exponenţială (în (1) se poate lua şi e − in (t −τ ) . ) sau forma complexă. Fie F(t) o funcţie periodică de perioadă 2l, definită prin egalitatea: (2) F(t) = f(t) , t ∈ [−l , l ] . Această funcţie îndeplineşte condiţiile lui Dirichlet, deci poate fi dezvoltată în serie Fourier: 1 +∞ π F (t ) = F (t )e inω (t −τ ) ,ω = ∑ ∫ 2l n = −∞ −l l l

(3)

l

F (t ) =

1 +∞ f (τ )e in (t −τ ) dτ ∑ ∫ 2l n = −∞ −l

sau ţinînd seama de (2), .

Din (3) vom obţine o reprezentare a funcţiei f(t) trecînd la limită pentru l →∞.

111

Să considerăm o nouă variabilă reală u şi să notăm nω = u n . Pentru un l dat , l

putem nota: ϕ (u n , t ) = ∫ f (τ )e in (t −τ ) dτ . −l

π

Observăm că ω = , ω = u n − u n −1 şi (3) devine: l

F (t ) =

+∞

1 2π

∑ ϕ (u

n = −∞

n

, t )(u n − u n −1 ) .

Această serie este asemănătoare cu sumele ce definesc integrala Riemann. Trecînd la limită pentru l → ∞ ultima egalitate devine: f (t ) =

+∞

1 2π

∫ ϕ (u, t )du ,

−∞

unde ϕ (u , t ) =

+∞

∫ f (τ )e

in ( t −τ )

dτ ,

−∞

adică tocmai formula (1). Forma reală (trigonometrică)a integralei Fourier. Cazul funcţiilor pare sau impare. Dacă în (1) se face înlocuirea : e in ( t −τ ) = cos u (t − τ ) + i sin u (t − τ ) , această egalitate se mai scrie:

(4)

⎧ 1 ⎨ f (t ) = 2π ⎩

+∞

+∞

−∞

−∞

i 2π

∫ du ∫ f (τ ) cos u (t − τ )dτ +

+∞

+∞

−∞

−∞

∫ du ∫ f (τ ) sin u (t − τ )dτ .

Observăm că funcţiile : +∞

g (u , t ) =

∫

+∞

f (τ ) cos u (t − τ )dτ , h(u , t ) =

−∞

∫ f (τ ) sin u (t − τ )dτ

,

au

−∞

proprietăţile: g (−u , t ) = g (u , t ), h( −u , t ) = − h(u , t ) , deci: +∞

+∞

+∞

−∞

0

−∞

∫ g (u, t )du = 2 ∫ g (u, t )du, ∫ h(u, t )du = 0

şi (4) se va reduce la: (5)

f (t ) =

1

π

+∞

+∞

0

−∞

∫ du ∫ f (τ ) cos u(t − τ )dτ

.

Egalitatea (5) se numeşte forma reală sau trigonometrică a formulei lui Fourier. Denumirile : "forma reală" respectiv "forma complexă" a integralei Fourier, sunt justificate numai în cazul când f(t) este o funcţie reală ; totuşi acestea se folosesc şi în cazul când f(t) este o funcţie complexă. 112

Observaţie. Să considerăm forma reală (5) a integralei Fourier şi să facem înlocuirea : cos u (t − τ ) = cos ut cos uτ + sin ut sin uτ .

Egalitatea (5) se mai poate scrie: (5')

+∞

+∞

∞

+∞

1 1 ⎧ ⎨ f (t ) = ∫ cos ut ⋅ du ∫ f (τ ) cos uτ ⋅ dτ + ∫ sin utdu ∫ f (τ ) sin uτdτ . . π 0 π0 ⎩ −∞ −∞

Dacă notăm: A(u ) =

+∞

1

∫

π

f (τ ) cos uτ ⋅ dτ , B (u ) =

−∞

1

π

+∞

∫ f (τ ) sin uτ ⋅ dτ ,

−∞

avem: ∞

f (t ) = ∫ [ A(u ) cos ut + B(u ) sin ut ]du. . 0

Analogia cu seria Fourier este evidentă. Are loc: Teorema 2. Dacă f(t) este o funcţie pară , formula lui Fourier se reduce la : (6)

f (t ) =

2

+∞

+∞

0

−∞

∫ cos ut ⋅ du ∫ f (τ ) cos uτ ⋅ dτ . .

π

Dacă f(t) este impară atunci: (7)

f (t ) =

2

+∞

+∞

0

0

π

∫ sin ut ⋅ du ∫ f (τ ) sin uτ ⋅ dτ .

Într-adevăr, dacă f(t) este o funcţie pară, atunci f (τ ) cos uτ ⋅ dτ .este pară în raport cu τ iar f (τ ) sin uτ este impară şi avem : +∞

∫

−∞

+∞

f (τ ) cos uτ ⋅ dτ = 2 ∫ f (τ ) cos uτ ⋅ dτ . 0

şi +∞

∫ f (τ ) sin uτ ⋅ dτ = 0 .

−∞

Egalitatea (5') se reduce la (6). Analog se justifică (7). 2. Transformata Fourier. Integrala Fourier are aplicaţii foarte variate. Unele din acestea sunt legate direct de noţiunea de transformată Fourier. Fie f(t) o funcţie care poate fi reprezentată prin integrala Fourier (1). Egalitatea (1) se mai poate scrie: f (t ) =

1 2π

+∞

+∞

−∞

−∞

iut − iuτ ∫ e du ∫ f (τ )e dτ .

113

Dacă notăm , g (u ) =

+∞

1

∫ f (τ )e

2π

− iuτ

1

dτ =

2π

−∞

+∞

∫ f (t )e

− iut

dt

−∞

avem: f (t ) =

+∞

1

∫ g (u )e

2π

iut

du .

−∞

Definiţia 1. Funcţiile: (8)

⎧ 1 ⎪ g (u ) = 2π ⎪ ⎨ ⎪ f (t ) = 1 ⎪ 2π ⎩

+∞

∫ f (t )e

−iut

dt

−∞ +∞

∫ g (u)e

. −iut

dt

−∞

se numesc una transformata Fourier a celeilalte. Din (8) observăm că putem scrie şi : (8')

⎧ 1 ⎪ g (u ) = 2π ⎪ ⎨ ⎪ f (t ) = 1 ⎪ 2π ⎩

+∞

∫ f (t )e

iut

dt

−∞ +∞

∫ g (u)e

−iut

dt

−∞

care arată că f şi g au roluri simetrice. Analog dacă în (6) se notează : g (u ) =

2

+∞

∫

π

f (τ ) cos uτdτ =

0

2

π

+∞

∫ f (t ) cos ut ⋅ dt . 0

această egalitate devine: f (t ) =

2

+∞

∫ g (u) cos ut ⋅ du .

π

0

iar dacă în (7) se notează : g (u ) =

2

+∞

∫ f (τ ) cos uτdτ =

π

0

egalitatea (7) se scrie: f (t ) =

2

π

+∞

∫ g (u) sin ut ⋅ du . 0

114

2

π

+∞

∫ f (t ) sin ut ⋅ dt 0

Definiţia 2. Funcţiile: +∞ ⎧ 2 g ( u ) f (t ) cos ut ⋅ dt = ⎪ π ∫0 ⎪ ⎨ +∞ ⎪ f (t ) = 2 g (u ) cos ut ⋅ du ⎪ π ∫0 ⎩

(9)

se numesc una transformata Fourier prin cosinus a celeilalte. Exemplu. funcţiei: f (t ) =

Să

se

afle

transformata

Fourier

1 . Din rezultatul obţinut să se găsească: (1 + t 2 ) 2

∞

prin

cosinus

a

t sin ut dt. 2 2 )

∫ (1 + t 0

Transformata Fourier prin cosinus a funcţiei f(t) este: (1)

g (u ) = 2

2

π

∞

∫ f (t ) cos utdt 0

∞

∞

cos ut 1 2 cos ut dt. dt = sau g (u ) = 2 2 ∫ ∫ π 0 (1 + t ) 2 π − ∞ (1 + t 2 ) 2 ∞

cos uz cos ut dt să considerăm funcţia h( z ) = 2 2 2 ) ( z + 1) 2

∫ (1 + t

Pentru calculul integralei: I =

−∞

şi conturul de mai jos: (C ) = [− R, R ] ∪ (Γ)

y (Γ)

D * i z1 = i

-R

Observăm că: (2)

0

R

R

∫ h( z )dz = ∫ h(t )dt + ∫ h( z )dz,

C

−R

Γ

Trecând la lim în relaţia (2) obţinem: R →∞ (2/)

∫ h( z )dz =

C

∞

cos ut dt + lim ∫ h( z )dz. 2 2 R →∞ ) Γ

∫ (1 + t

−∞

115

x

Pe baza teoremei reziduurilor, ∫ h( z )dz = 2πirezh(i) ( z1 = i ∈ D pol dublu; C

z2 = −i ∉ D) şi lim ∫ h( z )dz = 0 , (din lema lui Jordan: lim zh( z ) = 0 ⇒ ∫ h( z )dz → 0 R →∞

R →∞

Γ

z →∞

(când R → ∞ )). Din (2/) obţinem: I = 2πirezh (i ) .

(3)

Observăm că: ′ ⎡ ⎤ cos uz − u sin uz ( z + i ) 2 − 2( z + i ) cos uz 2 = rezh(i ) = lim ⎢( z − i ) lim ⇒ ⎥ z →i z →i ( z − i)2 ( z + i)2 ⎦ ( z + i)4 ⎣ ui sin ui + cos ui ⇒ rezh(i ) = 4i

⎛

sau ⎜⎜ sin w = ⎝

(4)

eiw − e −iw eiw + e − iw ⎞ ⎟⎟ : , cos w = 2i 2 ⎠ rezh (i ) =

− ushu + chu . 4i

Din (3) şi (4) obţinem: (5)

I=

π 2

(chu − ushu )

de unde: (6)

g (u ) =

1 π (chu − ushu) . 2 2

∞

t sin ut dt , derivăm relaţia: 2 2 ( 1 + ) t 0

Pentru calculul integralei: ∫ g (u ) =

2

∞

cos ut dt , în raport cu variabila “u”şi obţinem: 2 2 )

π ∫ (1 + t 0

116

Γ

g ′(u ) = −

2

∞

0

sau folosind (6):

t sin ut dt 2 2 )

π ∫ (1 + t

∞

2 t sin ut 1 π dt , de unde: ( shu − shu − uchu) = − 2 2 π ∫0 (1 + t 2 ) 2 ∞

π t sin ut dt = uchu . 2 2 ) 4

∫ (1 + t

(7)

0

Definiţia 3. Funcţiile: +∞ ⎧ 2 f (t ) sin ut ⋅ dt ⎪ g (u ) = π ∫0 ⎪ ⎨ +∞ ⎪ f (t ) = 2 g (u ) sin ut ⋅ du ⎪ π ∫0 ⎩

(10)

se numesc una transformata Fourier prin sinus a celeilalte. Să considerăm egalitatea a doua din (8): 1

f (t ) =

2π

+∞

∫ g (u ) e

iut

du .

−∞

Această egalitate este o ecuaţie în care funcţia necunoscută g(u) figurează sub semnul de integrare. Soluţia acestei ecuaţii este dată de prima egalitate din (8). În general, dacă într-o ecuaţie funcţia necunoscută figurează sub semnul de integrare, se spune că acea egalitate este o ecuaţie integrală. În cazul de faţă avem o ecuaţie integrală de o formă specială, care uneori se numeşte ecuaţie integrală de tip Fourier. Tot ecuaţii integrale de tip Fourier sunt considerate şi ecuaţiile: f (t ) =

2

π

+∞

∫ g (u ) cos ut ⋅ du

şi

f (t ) =

−∞

2

π

+∞

∫ g (u ) sin ut ⋅ du

−∞

cu f(t) definită pentru t >0 şi îndeplinind condiţiile teoremei 1. Exemplu. Să se rezolve ecuaţia integrală de tip Fourier: +∞

∫ g (u ) cos ut ⋅ du = ϕ (t ) ,

unde :

−∞

⎧1 − t ⎧0 < t ≤ 1 pentru ⎨ . ⎩0 ⎩t > 1

ϕ (t ) = ⎨

Ecuaţia dată se mai poate scrie:

117

2

π

+∞

∫ g (u) cos ut ⋅ du = f (t )

, unde:

0

⎧ 2 (1 − t ) ⎪ ϕ (t ) = ⎨ π f (t ) = π ⎪0 ⎩ 2

pentru

0 < t ≤1 t >1

.

Soluţia ecuaţiei este: 2

g (u ) =

π

1

∫ f (t ) cos ut ⋅ dt + 0

2

π

+∞

∫ f (t ) cos ut ⋅ dt . 1

Deoarece f(t) =0 pentru t >1, a doua integrală este nulă. Ramâne: g (u ) =

2

1

2 1 − cos u . u2

(1 − t ) cos ut ⋅ dt = ⋅ π∫ π 0

3. Transformata Laplace. Original.Transformata Laplace.Proprietăţi. Calculul operaţional se bazează pe realizarea unei corespondenţe între două mulţimi de funcţii: mulţimea funcţiilor numite original şi imaginile lor obţinute printr-o anume transformare. Interesul pe care îl prezintă această corespondenţă se datorează faptului că operaţiilor de derivare şi de integrare aplicate funcţiilor original le corespund anumite operaţii algebrice care se aplică imaginile lor. Definiţie. Se numeşte original o funcţie f(t), reală sau complexă, definită pe mulţimea numerelor reale şi care satisface următoarele condiţii: 1. f(t) = 0 pentru t < 0 ; 2. f(t) este derivabilă pe porţiuni; 3. există două numere M >0 şi s0 ≥ 0 astfel încât: f (t ) ≤ M ⋅ e s t . (1) 0

Numărul s0 se numeşte indice de creştere.

118

S-ar părea că prima condiţie este artificială. Dar metodele operaţionale se referă la rezolvarea unor probleme în care mărimea fizică reprezentată prin f(t) are proprietatea că sau este nulă înainte de momentul iniţial t = 0, sau valorile sale pentru t < 0 nu prezintă interes. Se spune că funcţia f(t), definită pe un interval I, mărginit sau nemărginit, este derivabilă pe porţiuni dacă pentru orice interval , există o diviziune d = (a, x1, x2, ... , xn-1, b) astfel încât f(t) să fie derivabilă pe fiecare interval (xi-1, xi) şi să existe limitele laterale: f ( xi −1 ,+0), f ( xi ,−0), f / ( xi −1 ,+0), f / ( xi ,−0), i ∈ {1,2,..., n}.

A treia condiţie arată că valorile modulului funcţiei pot fi majorate prin valorile unei exponenţiale. Cea mai simplă funcţie original este funcţia unitate: ⎧0, t < 0 ⎪ ⎪⎪ 1 η (t ) = ⎨ , t = 0 ⎪2 ⎪1, t > 0 ⎩⎪

(2)

Fie f(t) o funcţie original(notăm f ∈ O ). Definiţie. Funcţia (3)

∞

F ( p) = ∫ f (t ) ⋅ e − pt dt , p = s + iσ 0

se numeşte imaginea după Laplace a funcţiei f(t) sau transformata Laplace a funcţiei f(t). Domeniul în care funcţia F(p)(notată şi F(p)=L[f](p) ) este definită , este precizat de următoarea: Teoremă. Fie s0 indicele de creştere al funcţiei f(t). Imaginea F(p) a funcţiei f(t) este determinată în semiplanul s > s0 şi este o funcţie olomorfă în acest semiplan ; în plus f(t)

0 (4)

t

∞

F ( p) = ∫ (−tf (t )) ⋅ e − pt dt . /

0

119

Transformata Laplace este o transformare liniară adică: ⎧ L[ f (t ) + g (t )] = L ⋅ [ f (t )] + L[ g (t )] ⎨ , ⎩ L[k ⋅ f (t )] = k ⋅ L ⋅ [ f (t )]

(5)

k o constantă.

Proprietăţi ale transformatei Laplace. 1. Teorema asemănării. Fie f(t) o funcţie original şi α o constantă α > 0 . Funcţia ϕ (t ) = f (αt ) este, de asemenea o funcţie original. Dacă F(p) este imaginea funcţiei f(t), atunci ∀α > 0 , avem: L( f )(αt ) =

(6)

1

α

p F( ) .

α

Vom nota L[f] = Lf. Din (6) obţinem: ∞

( Lϕ )( p) = ∫ f ( βt ) ⋅ e

− pt

dt =

0

1

∞

p − τ

f (τ ) ⋅ e α α∫

dτ =

0

1

α

p F( ) .

α

Exemplu. Să presupunem cunoscută imaginea funcţiei : sin t : L sin t =

1 . p +1 2

Atunci : L sin ωt =

1

⋅

1

ω ( p )2 + 1 ω

=

ω p +ω2 2

,ω > 0 .

2. Teorema întârzierii. Dacă în funcţia original f(t) înlocuim pe t cu t − τ , unde τ este o constantă, obţinem o nouă funcţie original, f( t − τ ), care este nulă pentru t − τ <0 şi ia aceleaşi valori ca f(t), însă cu întârzierea τ (figura). Dacă τ >0 aceasta reprezintă efectiv o întârzie

Întârzierea τ se traduce prin înmulţirea imaginii cu e − pτ : (7)

Lf (t − τ ) = e − pτ Lf (t ) 120

f(t- τ )

f(t)

τ

O

t

O

t

Demonstraţie. Ţinând seama că f( t − τ )=0 pentru t < τ , avem: ∞

∫ 0

∞

f (t − τ ) ⋅ e − pt dt = ∫ f (t − τ ) ⋅ e − pt dt . τ

Cu schimbarea de variabilă t − τ = θ , ultima integrală devine: ∞

∫ f (t − τ ) ⋅ e 0

− pt

∞

dt = ∫ f (θ ) ⋅ e − p (t +θ ) dθ = e − pτ Lf (t ) τ

şi egalitatea (7) este dovedită. 3. Teorema deplasării. Fie f(t) o funcţie original avînd indicele de creştere s0 şi F(p) imaginea sa. Înlocuirea lui p în F(p) cu p-q, unde q este o constantă, poate fi interpretată ca o deplasare care aduce originea în punctul q. Deplasarea originii din planul variabilei p în punctul q se traduce prin înmulţirea originalului cu e qt : (8)

Lf ( p − q)(t ) = L[e qt f (t )] .

Într-adevăr,

121

∞

Lf ( p − q)(t ) = ∫ f (t )e

−( p − q )t

0

∞

dt = ∫ [ f (t )e qt ]e − pt dt = L[ f (t )e qt ] . 0

Funcţia F(p-q) este olomorfă în semiplanul s > s0 +Re(q). Exemplu. L(e λt ⋅ sin ωt ) =

ω . ( p − λ)2 + ω 2

4. Derivarea originalului. Vom presupune că f(t) şi derivatele sale până la ordinul care apar sunt funcţii original. Fie F(p) = Lf(t). Imaginea derivatei este: (9) Lf / (t ) = pF ( p) − f (0) În general, unde , (10) Lf ( n ) (t ) = p n F ( p) − [ p n −1 f (0) + p n− 2 f / (0) + ... + f ( n−1) (0)] (k ) (k ) f (0) = lim f (t ), f (0) = lim f (t ), k ∈ {1,2,3, … ,n-1}. t →∞ t >0

t →0 t >0

În unele probleme, f(0)=f'(0)=...=f(n-1)(0)=0. În egalităţile(9) şi (10) devin: (11) Lf / (t ) = pF ( p), Lf ( n ) (t ) = p n F ( p) şi derivarea originalului se traduce prin înmulţirea imaginii sale cu p. Să demonstrăm mai întâi egalitatea (9). Avem:

acest

caz,

∞

Lf (t ) = ∫ f / (t )e − pt dt /

0

Integrând prin părţi, obţinem: ∞

Lf / (t ) = [ f (t )e − pt ]∞0 + p ∫ f (t )e − pt dt. 0

Primul termen din membrul drept se reduce la -f(0) deoarece: − pt f (t )e − pt = f (t ) e − pt ≤ Me − ( s − s ) t , s > s 0 şi deci lim f (t )e = 0. 0

t →∞

∞

Ramâne: Lf / (t ) = − f (0) + p ∫ f (t )e − pt dt şi egalitatea (9) este demonstrată. 0

Pentru a obţine egalitatea (10), vom înlocui în (9) pe f'(t), succesiv, cu f"(t), ..., f(n)(t). Avem: Lf / (t ) = pF ( p) − f (0) = pLf (t ) − f (0) Lf // (t ) = pLf / (t ) − f / (0) Lf /// (t ) = pLf ′′(t ) − f // (0) ........................................................... Lf

(n)

(t ) = pLf ( n −1) (t ) − f ( n −1) (0)

122

Înmulţim prima egalitate cu pn-1, a doua cu pn-2, a treia cu pn-3 , etc, ultima rămânând neschimbată, adunând apoi obţinem egalitatea (10). Exemplu. Cunoscînd imaginea funcţiei cos ωt , L cos ωt =

p p +ω2 2

să deducem imaginea funcţiei folosind teorema de derivare a originalului. L(−ω sin ωt ) = p ⋅

ω2 p − = − 1 . p2 + ω 2 p2 + ω 2

Datorită proprietăţii de liniaritate, - ω poate fi scos în stânga operatorului L şi simplificînd cu - ω , obţinem: ω

L sin ωt =

p +ω2 2

.

5.Derivarea imaginii. Egalitatea (4) se mai poate scrie: F / ( p) = L[ −tf (t )] . (4') Funcţia F(p) fiind olomorfă în semiplanul s > s0 , din aproape în aproape se obţine: (12) F ( n ) ( p) = L[(−t ) n f (t )] . Realţia (12) exprimă faptul că derivarea imaginii se traduce prin înmulţirea originalului cu -t. 6. Integrarea originalului.Prin integrarea funcţiei original f(t) se înţelege operaţia: t

∫ f (τ )dτ

.

0

Se obţine o nouă funcţie original pe care o notăm cu g(t): t

g (t ) = ∫ f (τ )dτ 0

Integrarea originalului se traduce prin împărţirea imaginii sale cu p: (13)

t

L ∫ f (τ )dτ = 0

1 F ( p) . p

Pentru demonstraţie observăm că : g'(t) = f(t), g(0) =0. Avem : Lg'(t) = Lf(t). Aplicând teorema referitoare la derivarea originalului cu notaţiile de mai sus, obţinem pLg(t)=Lf(t) din care rezultă (13). 123

7. Integrarea imaginii. Fie f(t) o funcţie original şi F(p)=Lf(t). Integrarea imaginii se traduce prin împărţirea originalului corespunzător cu t : ∞

f (t ) . t

∫ f (q)dq = L

(14)

p

8. Produsul a două imagini. Produsul a două originale. Fie f(t) şi g(t) două funcţii original şi fie imaginile lor: F ( p ) = Lf (t ), G ( p ) = Lg (t ).

Atunci: 1. Produsul este tot o imagine şi anume: t

F ( p) ⋅ G ( p) = L ∫ f (τ ) g (t − τ )dτ .

(15)

0

Integrala din membrul drept se notează : t

f ∗ g = ∫ f (τ ) g (t − τ )dτ . 0

şi se numeşte produsul de convoluţie al funcţiilor f şi g. 2. Imaginea produsului f (t ) ⋅ g (t ) este (16)

a + i∞

L[ f (t ) g (t )] =

1 F (q)G ( p − q )dq, a > s 0 . 2πi a −∫i∞

4.Transformarea inversă. Formula Mellin-Fourier. Am văzut că , dată fiind o funcţie original f(t), imaginea sa F(p) prin transformarea Laplace este complet determinată. Se pune problema inversă, să se determine originalul f(t) când se cunoaşte imaginea sa F(p). Răspunsul este dat de următoarea : Teoremă. Dacă f(t) este o funcţie original, avînd indicele de creştere s0 , iar F(p) este imaginea sa , egalitatea: (1)

a + i∞

f (t ) =

1 F ( p)e pt dp, a > s0 2πi a −∫i∞

are loc în toate punctele în care f(t) este continuă. În fiecare punct c de discontinuitate, valoarea funcţiei din membrul drept este egală cu :

124

1 [ f (c − 0) + f (c + 0)]. 2

Egalitatea (1) se numeşte formula lui Mellin-Fourier şi reprezintă inversa transformării: ∞

F ( p) = ∫ f (t )e − pt dt. 0

Notăm : f (t ) = L ( F ( p)). −1

Demonstraţie. Să considerăm funcţia: (2)

ϕ (t ) =

1 − at e [ f (c − 0) + f (c + 0)], 2

egală cu e − at f (t ) pe mulţimea punctelor în care f(t) este continuă. În orice interval mărginit, ϕ (t ) nu poate decât puncte de discontinuitate de speţa întâi în număr finit, acestea fiind punctele în care f(t) este discontinuă. Valoarea funcţiei ϕ (t ) într-un punct de discontinuitate este egală cu media limitelor sale laterale în acel punct. Observăm că funcţia ϕ (t ) are următoarele proprietăţi: 1. Este derivabilă pe porţiuni; 1 2 3. Este absolut integrabilă pe intervalul (−∞,+∞) .Primele două proprietăţi

2. În fiecare punct de discontinuitate, ϕ (c) = [ϕ (c − 0 + ϕ (c + 0)].

sunt evidente. A treia se dovedeşte imediat. Deoarece f(t) este o funcţie original, ϕ (t ) =0 pentru t < 0 şi rămâne să arătăm că ϕ (t ) este absolut integrabilă pe (0, ∞) . Pe acest interval, avem, în toate punctele în care ϕ (t ) este continuă : ϕ (t ) = e − at f (t ) ≤ M ⋅ e

− (a − s 0 )t

− ( a − s 0 )t pe intervalul (0, ∞) este şi pentru a > s0 integrala funcţiei M ⋅e convergentă. De aici rezultă că ϕ (t ) este absolut integrabilă pe (0, ∞) . Datorită celor trei proprietăţi de mai sus , ϕ (t ) poate fi reprezentată printr-o integrală Fourier.

Avem:

ϕ (t ) =

1 +∞ ∞ − aτ ⋅ eσ (t − τ ) dτ , ∫ dσ ∫ f (τ )e 2π − ∞ 0

deoarece ϕ (t ) = 0 pentru t < 0 .De aici rezultă: e at ⋅ ϕ (t ) =

1 + ∞ (a + iσ )t ∞ − (a + iσ )τ dσ ∫ f (τ )e dτ . ∫ e 2π − ∞ 0

Cu schimbarea de variabilă p = a + iσ deducem :

125

1 a + i∞ pt + ∞ 1 − pτ ⋅ dτ = e at ϕ (t ) = [ f (t − 0) + f (t + 0)]. ∫ e dp ∫ f (τ )e 2πi a − i∞ 2 0

Ţinînd seama că , F ( p) =

+∞

∫ f (τ )e

− pt

⋅ dτ ,

această egalitate se reduce la (1) şi

0

teorema este demonstrată. 5. Teoreme de dezvoltare. Exemple. Pentru determinarea originalului f(t) când se cunoaşte imaginea sa F(p), se folosesc deseori teoremele următoare (numite teoreme de dezvoltare): Teorema . Dacă F(p) este o funcţie raţională, F ( p) =

A( p ) , B( p)

în care gradul numărătorului este mai mic cu cel puţin două unităţi decât gradul numitorului, iar numitorul B(p) are rădăcini simple, fie acestea p0 , p1 , p 2 ,..., p n , atunci F(p) este imaginea funcţiei: A( p k ) tpk ⋅e . / k =0 B ( p k ) n

f (t ) = ∑

(1)

Demonstraţie. În ipotezele de mai sus, funcţia F(p) admite o descompunere de forma: F ( p) =

a0 an a1 a2 + + + ... + . p − p 0 p − p1 p − p 2 p − pn

Coeficientul aj se poate calcula integrînd funcţia F(p) pe un cerc Γ j cu centrul în pj şi de rază suficient de mică astfel ca în interiorul său să nu mai conţină alt pol al funcţiei F(p). Avem: n

∫ F ( p)dp = ∑ ak k =0

Γj

dp

∫ p− p

Γj

j

În virtutea teoremei lui Cauchy, dp

∫ p− p Γ

= 0 pentru k ≠ j k

Pe de altă parte, dp

∫ p− p Γ

= 2πi deci k

∫ F ( p)dp = 2πia . j

Γj

126

Folosind teorema reziduurilor şi formula de calcul pentru reziduu relativ la un pol simplu, avem:

∫ F ( p)dp = 2πi ⋅ rezF ( p j ) = 2πi Γj

A( p j ) B/ ( p j )

.

Comparăm cu egalitatea precedentă şi deducem: aj =

A( p j ) B/ ( p j )

.

Cu aceasta, dezvoltarea funcţiei F(p) devine: A( p k ) 1 , ⋅ / k =0 B ( p k ) p − p k n

F ( p) = ∑

iar originalul său are evident expresia (1). Consecinţa 1. Un caz important în aplicaţii este acela în care una din rădăcini este nulă. Fie p0 = 0 . Notăm B(p) = pR(p) şi avem: B / ( p ) = pR / ( p) + R( p).

Deoarece R( pk )=0, k ∈ {1, 2, 3, ... , n} , vom avea : B / ( p 0 ) = B / (0) = R (0), B / ( p k ) = p k ⋅ R / ( p k ).

Descompunerea lui F(p) va lua forma: F ( p) =

A( p k ) A(0) 1 n 1 ⋅ +∑ ⋅ şi (1) devine: / R(0) p k =1 p k ⋅ R ( p k ) p − p k

(2)

f (t ) =

n A( p k ) e p k t A(0) + ∑ ⋅ R(0) k = 1 R / ( p ) p k k

Această egalitate se numeşte formula lui Heaviside. Consecinţa 2. În cazul în care F ( p) =

A( p ) B( p)

fracţie raţională cu grad

A( p ) ≤ gradB ( p ) − 2, iar ecuaţia B(p) = 0 are de exemplu , p k rădăcini multiple avînd

ordinul de multiplicitate λk , atunci : (3)

a + i∞

1 f (t ) = F ( p)e pt dp = ∑ Re zG ( p k ) unde ∫ 2πi a −i∞ k

127

(4)

λ 1 pt (λ − 1) [( p − p ) k F ( p) ⋅ e ] k . cu a > max (Re p k ) şi rezG( p ) = k k p= p (λ − 1)! k k

a > 0. Formula de mai sus se obţine aplicînd teorema reziduurilor funcţiei G(p)= F(p)ept pe curba închisă (Γ ) din figură trecînd la limtă pentru R → ∞ şi ţinând cont de formula lui Mellin-Fourier:

y

A(a+iR)

0

a

x

(C) B(a-iR)

Γ = (C ) ∪ BA .

Exemplu. Se cere originalul funcţiei: F ( p) =

p . ( p + 1) ⋅ ( p 2 + 4) 2

Utilizăm prima teoremă de dezvoltare, în care A(p)= p, B(p) = (p2+1)(p2+4). Polinomul B(p) are numai rădăcini simple ± i,±2i . Cu f (t ) =

1 it (e + e −it ) − 16 (e 2it + e − 2it ) 6

sau cu oaltă scriere 1 f (t ) = (cos t − cos 2t ). 3

128

A( p ) 1 obţinem: = / B ( p ) 2( 2 p 2 + 5)

6.Aplicaţii ale transformatei Laplace . Rezolvarea operaţională a ecuaţiilor diferenţiale şi a sistemelor de ecuaţii diferenţiale cu coeficienţi constanţi.Exemple . Datorită faptului că prin transformata Laplace operaţiilor de derivare şi integrare le corespund , operaţia de înmulţire respectiv de împărţire cu p , este posibilă simplificarea rezolvării unor probleme şi tehnicizarea calculelor . Ansamblul acestor procedee bazate pe utilizarea proprietăţilor transformatei Laplace constituie calculul simbolic sau calculul operaţional . În general , prin aplicarea transformatei Laplace , ecuaţiile diferenţiale devin ecuaţii algebrice , a căror rezolvare este mult mai simplă . Să considerăm problema determinării funcţiei y(x) , x >0 , care verifică ecuaţia diferenţială liniară cu coeficianţi constanţi : (1) a 0 y ( n ) + a1 y ( n −1) + .... + a n −1 y / + a 0 y = f ( x), x > 0 şi condiţiile iniţiale : ( 2)

y (0) = y 0 , y / (0) = y1 ,..., y ( n −1) (0) = y n −1

unde f(x) , y k , k = 1, n sunt date . Vom presupune că f(x) este un original şi că funcţia y(x) care satisface (1) şi (2) îndeplineşte condiţiile impuse originalelor ( astfel înmulţim cu θ (x) ( funcţia lui Heaviside) şi obţinem condiţiile. În aceste condiţii , aplicând transformata Laplace eciaţiei (1) şi ţinând seama de proprietăţile de liniaritate a transformatatei Laplace , vom obţine : (3) a 0 Ly ( n ) + a1 Ly ( n −1) + .... + a n −1 Ly / + a 0 Ly = Lf ( x) Notăm : Ly = Y(p) , Lf(x) = F(p) şi ţinând seama de condiţiile iniţiale (2) precum şi de regula de derivare a unui original , avem egalităţile :

(4)

⎧Ly (n) = p nY ( p) − ( y 0 p n −1 + y1 p n − 2 + ... + y n − 2 p + y n −1 ) ⎪ ( n −1) = p n −1Y ( p ) − ( y 0 p n − 2 + y1 p n −3 + ... + y n −2 ) ⎪ Ly ⎪ ⎨.................................................................................... ⎪ Ly // = p 2Y ( p ) − ( y p + y ) 0 1 ⎪ / ⎪ Ly = pY ( p) − y 0 ⎩

Înlocuind relaţiile (4) în (3) şi ţinând seama de notaţiile făcute , obţinem o ecuaţie de forma : (5) P(p) Y(p) - G(p) = F(p) , 129

unde P ( p ) = a 0 p n + a1 p n −1 + ... + a n −1 p + a 0 , G(p) un polinom în p . Ecuaţia (5) se numeşte ecuaţia operaţională corespunzătoare ecuaţiei (1) cu condiţiile iniţiale (2) (sau problemei Cauchy corespunzătoare ). Din ecuaţia operaţională (5) găsim : (6)

Y ( p) =

F ( p) + G ( p) . P( p)

Soluţia ecuaţiei (1) care satisface condiţiile (2) este : (7) y(x) = L-1(Y(p)) şi se determină fie folosind formulele lui Mellin-Fourier , fie prin descompuneri convenabile ale funcţiei Y(p) . Observaţie. În general , pentru determinarea unor funcţii original când se cunosc imaginile lor se utilizează tabele cu transformata Laplace . Exemplul 1. Să se determine soluţia ecuaţiei y''-7y' + 10y = 3ex , x >0 , y(0) = 1 , y'(0) = -3. Notăm : Ly = Y(p) . Aplicând transformata Laplace , obţinem : (p2-7p + 10)Y(p)-p + 10 = 3/(p-1) de unde Y ( p) =

Găsim : Deci :

A=

p 2 − 11 p + 13 A B C = + + ( p − 1)( p − 2)( p − 5) p − 1 p − 2 p − 5 3 5 17 , B = ,C = − . 4 3 12 y ( x ) = L−1 (Y ( p )) =

3 x 5 2 x 17 5 x e + e − e , x > 0. 4 3 12

Exemplul 2. Să se determine funcţiile x(t) şi y(t) care verifică sistemul : ⎧⎪ x // + 2 x / + x + y // + y / + y = 1 ⎨ / ⎪⎩2 x + 2 x + y // + 2 y / = 2t

şi condiţiile iniţiale : x(0) = 0 , x / (0) = 2 ;y(0) = 1 , y'(0) = -2 . Sistemul operaţional corespunzător este : 1 ⎧ 2 2 ⎪( p + 2 p + 1) X ( p ) + ( p + p + 1) = p + p + 1 ⎪ ⎨ ⎪(2 p + 2) X ( p ) + ( p 2 + 2 p )Y ( p ) = 2 + p ⎪⎩ p2

Soluţia acestui sistem este : 130

X ( p) =

p +1 1 1 1 + . , Y ( p) = − 2 + 2 2 p p ( p + 1) 2 + 1 ( p + 1) + 1

Originalele acestor funcţii vor fi tocmai soluţia sistemului : x(t) = t + e-tsin t , y(t) = -t + e-tcos t. 7. Probleme propuse.

1) Să se afle transformata Fourier prin cosinus a funcţiei f : R+ → R, f (t ) = 2) Să se afle transformata Fourier prin sinus a funcţiei

f : R + → R , f (t ) =

3) Să se afle transformata Fourier prin cosinus a funcţiei

rezultatul obţinut să se găsească :

∞

f (t ) =

1 . ch 2t

1 . t +4 2

1 .. . Din (4 + t 2 ) 2

t sin ut dt. 2 2 )

∫ (4 + t 0

4) Să se rezolve ecuaţia integrală de tip Fourier: ∞

∫ f (t ) cos utdt = u 0

1 , +1

2

u >0 .

5) Să se determine funcţia f(t) care satisface ecuaţia integrală detip Fourier:

∞

∫ 0

⎧π ⎪ 2 , t ∈ (0, π ) ⎪ f (u ) cos utdu = ⎨0, t > π ⎪ π ⎪− , t = π ⎩ 4 131

6) Flosind metoda operaţională să se determine soluţia ecuaţiei diferenţiale , cu condiţiile iniţiale specificate :

a) b)

y // − 4 y = sin 2 x, y (0) = 0, y / (0) = −

1 . 4

1 y /// − y / = cos 2 x, y (0) = 1, y / (0) = , y // (0) = −1. 3

7) Flosind metoda operaţională să se integreze sistemul de ecuaţii diferenţiale cu condiţiile iniţiale specificate :

⎧x / + 4x + 4 y = 0 ⎪ a )⎨ y / + 2 x + 6 y = 0 ; ⎪ x(0) = 3, y (0) = 15 ⎩

⎧x / = − x + y + z ⎪ / ⎪y = x − y + z b) ⎨ ; / ⎪z = x + y + z ⎪ x(0) = 0, y (0) = 1, z (0) = 1 ⎩

unde: x = x (t ); y = y (t );

x = x (t ), y = y (t ), z = z (t )

132

CAPITOLUL VI ECUAŢIILE FIZICII MATEMATICE

1. Observaţii generale asupra ecuaţiilor cu derivate parţiale. 1.1 Definiţii şi exemple. Se numeşte ecuaţie cu derivate parţiale orice ecuaţie de forma: (1.1)

⎛ ⎞ ∂u ∂u ∂u ∂ 2 u ∂mu ⎟ ⎜ , ..., m ⎟ = 0 , F⎜ x, u, , , ..., , ∂x1 ∂x 2 ∂x n ∂x 2 ∂x n ⎟ ⎜ 1 ⎝ ⎠

unde F:ΩxRxRnx …xRs→R este o funcţie dată, Ω ⊂ Rn este un domeniu dat, care se numeşte domeniu de definiţie al ecuaţiei considerate, x=(x1, x2, … xn )∈Ω. Funcţia u:Ω→R este necunoscuta ecuaţiei. Iată câteva exemple de ecuaţii cu derivate parţiale. 1 0 Ecuaţia lui Laplace: (1.2)

n ∂ 2u =0 ∆u = ∑ i=1 ∂x 2 i

sau ecuaţia lui Poisson: (1.3) -∆u = f (x) 2 0 Ecuaţia undelor: (1.4)

unde f:Ω ⊂ Rn→R este o funcţie dată.

∂ 2u − a 2∆u = f (x, u ) 2 ∂t

unde a2 este un număr pozitiv dat, f o funcţie cunoscută, definită pe un domeniu D=ΩXRt, Ω ⊂ Rn. Primele n variabile x=(x1, x2, … xn ) se numesc variabile spaţiale. Ultima variabilă, se notează cu t şi se numeşte temporală (reprezintă timpul). 30) Ecuaţia căldurii:

133

(1.5)

∂u − a 2∆u = f (x, u ) ∂t

în care notaţiile sunt aceleaşi ca şi la ecuaţia undelor. Aceste ecuaţii sunt des întâlnite în aplicaţii. Ecuaţia (1.1) se numeşte liniară, dacă funcţia F este liniară în raport cu variabila u şi în raport cu toate derivatele parţiale ale lui u, care intervin în ecuaţie. Astfel ecuaţia: (1.6)

n ∂u + a 0 (x)u = f ∑ a i (x) ∂x i =1 i

este liniară cu derivatele parţiale de ordinul întâi. În cele ce urmează vom studia numai ecuaţia diferenţială liniară de ordinul al doilea. Forma generală este: (1.7)

n n ∂ 2u ∂u + ∑ a (x) + a (x)u = f ∑ a ij (x) 0 ∂x ∂x i = 1 i ∂x i, j=1 i j i

unde vom presupune că funcţiile aij=aji sunt date şi aij, ai, a0, f : Ω ⊂ Rn→ R. Noţiunea centrală, legată de ecuaţii este cea de soluţie. O funcţie u : Ω → R se numeşte soluţie a ecuaţiei (1) dacă înlocuită în această ecuaţie ne conduce la o egalitate în fiecare punct al domeniului Ω. De exemplu u(x1, x2)=sin x1+cos x2 este soluţie pe R2ecuaţiei: (1.8)

∂ 2u =0 ∂x1∂x 2

iar funcţia u(x1, x2)= x12 − x 22 este o soluţie pe R2 a ecuaţiei lui Laplace. Ecuaţia 2 n ⎛⎜ ∂u ⎞⎟ + 1 = 0 nu are nici o soluţie. ∑ i =1⎜⎝ ∂x i ⎟⎠

1.2 Clasificarea ecuaţiilor liniare de ordinul al doilea. Fie x ∈ Ω un punct oarecare fixat. Ataşăm ecuaţiei (1.7) polinomul: (2.1)

( )

()

n P x, ξ = ∑ a x ξ ξ i j i, j=1 ij

unde ξ = (ξ1, ξ 2 ,..., ξ n )∈ R n , P se numeşte polinomul caracteristic în punctul x al ecuaţiei (1.6). Acest polinom este chiar o formă pătrată.

134

Definiţia 1. Ecuaţia (1.7) se numeşte eliptică în punctul x , dacă P( x ,ξ)>0

sau P( x ,ξ)<0, ∀ξ∈Rn\{0}.

Definiţia 2. Ecuaţia (1.7) se numeşte hiperbolică în punctul x , dacă polinomul caracteristic (2.1) îşi schimbă semnul, adică există cel puţin un vector ξ≠0 şi η≠0 astfel încât să avem P( x ,ξ)>0 sau P( x ,η)<0.

Definiţia 3. Ecuaţia (1.7) se numeşte parabolică în punctul x , dacă

P( x ,ξ)>0, ∀ξ∈Rn sau dacă P( x ,ξ) ≤ 0,∀ξ∈Rn şi există cel puţin un vector ξ0≠0,

astfel încât P( x ,ξ0)=0.

Spunem că ecuaţia (1.7) este eliptică în domeniul Ω, dacă ea este eliptică în fiecare punct al domeniului Ω. Într-un sens analog utilizăm noţiunile de ecuaţie hiperbolică în domeniul Ω sau de ecuaţie parabolică în domeniul Ω. Exemple. 10) Polinomul

caracteristic

al

ecuaţiei

lui

Laplace

(1.2)

este

P(ξ ) = ξ 2 + ξ 2 + .... + ξ 2 ; deci P(ξ)>0, ∀ξ∈R \{0} şi ecuaţia lui Laplace este de tip n 1 2 n

eliptic pe Rn. Pentru ecuaţia lui Poisson P(ξ ) = −⎛⎜ ξ12 + ξ 22 + ... + ξ 2n ⎞⎟ < 0 ∀ξ∈Rn\{0} şi ⎝

⎠

deci ecuaţia este tot de tip eliptic pe Rn. 20) Polinomul caracteristic al ecuaţiei undelor se poate scrie în felul următor 2 P(ξ, δ ) = δ 2 − a 2 ⎛⎜ ξ 2 + ξ 2 + ... + ξ 2 ⎞⎟. Pentru ξ=(1,1,…,1) şi δ =0 avem P(ξ, δ )=-a n<0 2 n⎠ ⎝ 1

iar pentru ξ=0 şi δ =1, P(ξ δ )=1>0, ceea ce înseamnă că ecuaţia undelor este de tip hiperbolic în fiecare punct al domeniului său de definiţie. 30) În cazul ecuaţiei căldurii avem P(ξ, δ ) = a 2 ⎛⎜ ξ12 + ξ 22 + ... + ξ 2n ⎞⎟. Observăm că ⎝

⎠

P(ξ, δ ) ≤ 0, ∀ξ∈Rn iar pentru ξ=0 şi δ =1,P(0,1)=0. Deci ecuaţia este de tip parabolic în fiecare punct al domeniului de definiţie. Un caz particular important al ecuaţiei (1.7) este ecuaţia cu două variabile independente. Vom nota x1=x, y1=y; ecuaţia (1.7) se mai poate scrie şi astfel: (2.2)

⎛ ∂ 2u ∂u ∂u ⎞ ∂ 2u ∂ 2u a (x, y ) + c(x, y ) + d⎜⎜ x, y, u, , ⎟⎟ = 0 + 2b(x, y ) 2 2 ∂x ∂y ⎠ ∂x∂y ∂y ∂x ⎝ 135

Ecuaţia (2.2) se numeşte cvasiliniară (aproape liniară) dacă d≠0; dacă d=0, ecuaţia (2.2) se numeşte liniară. Polinomul caracteristic al ecuaţiei (2.2) este: (2.3)

P(x, y, ξ, η) = a (x, y )ξ 2 + 2b(x, y )ξη + c(x, y )η2 .

Notăm: (2.4)

δ(x, y ) = b 2 (x, y ) − a (x, y )c(x, y ) .

Atunci: 10) Dacă δ (x,y)<0, atunci P(x, y, ξ, η) > 0 sau < 0 ∀(ξ , η)∈R2\{0,0}. În acest caz ecuaţia (2.2) este eliptică în punctul (x,y). 20) Dacă δ (x,y)=0, atunci P(x, y, ξ, η) ≥ 0 sau ≤ 0 ∀(ξ , η)∈R2 şi P(x,y;0,1)=0. Prin urmare în acest caz ecuaţia (2.2) este parabolică în punctul (x,y). 30) Dacă δ (x,y)>0, atunci polinomul (2.3) îşi schimbă semnul, deci ecuaţia (2.2) este hiperbolică în punctul (x,y). 1.3. Forma canonică a ecuaţiilor liniare de ordinul al doilea. Orice ecuaţie de forma: (3.1)

n ∂u ∂ 2u n + a 0 (x) ⋅ u = f ∑ λi 2 + ∑ a i (x) ∂x i =1 ∂x i =1 i i

se numeşte ecuaţie de formă canonică dacă λi∈{-1, 0, 1} pentru fiecare n

i∈{1,2,…,n}.Polinomul caracteristic al ecuaţiei (3.1) este P(ξ ) = ∑ λiξi2 . Deoarece i =1

λi pot fi egali numai cu –1, 0 sau 1, această formă pătratică este de formă canonică

în sensul întâlnit în algebra liniară. Este evident că P(ξ)>0, ∀,ξ≠0⇔λ1=λ2= … =λn=1, iar P(ξ)<0 ∀,ξ≠0⇔λ1=λ2= … =λn=-1. Prin urmare forma canonică a ecuaţiilor eliptice este: n ∂u ± ∆u + ∑ a (x) + a 0 (x)u = f . i ∂x i=1 i

Dacă λ1=λ2= … =λk=1 sau λ1=λ2= … =λk=-1 şi λk+1= … =λn=0 unde k
k ∂ 2u n ∂u + ∑ a (x) + a (x) ⋅ u = f ∑ i 0 ∂x i =1 ∂x 2 i =1 i i

Dacă există cel puţin un coeficient λi egal cu +1 şi cel puţin unul egal cu –1 atunci şi doar atunci ecuaţia (3.1) va fi forma canonică a ecuaţiilor hiperbolice. Prezintă interes să transformăm o ecuaţie dată în forma canonică . Vom prezenta acest lucru pentru ecuaţia (1.7) cu coeficienţi constanţi. Notăm cu matricea A = ⎛⎜ a ⎞⎟ ⎝ ij ⎠i, j∈{1,2,...,n }

polinomului caracteristic

P(ξ ) =

n ∑ a ijξ i ξ j . i, j = 1

algebra liniară se cunoaşte că există, o matrice nesingulară B = ⎛⎜ bij ⎞⎟ ⎝

Din astfel

⎠i, j∈{1,2,...,n }

că după înlocuirea variabilelor ξ1, ξ2,…, ξn cu variabile noi η1, η2,…, ηn date de egalităţile (3.2)

n η = ∑ b ξ , i = 1, n i j=1 ij j

n

polinomul caracteristic se transformă în forma canonică Q(η) = ∑ λ i ηi2 . Între i=1 matricile A şi B şi între numerele λ1, λ2,…, λn există următoarea relaţie: (3.3)

⎛ λ1 0 ... 0 ⎞ ⎟ ⎜ * B*AB = ⎜ 0 λ 2 ... 0 ⎟ unde B este adjuncta lui B. ⎟ ⎜ ⎜ 0 0 ... λ ⎟ n⎠ ⎝

Are loc următoarea teoremă: Teorema 3.1. Dacă coeficinţii aij sunt constanţi, atunci după înlocuirea variabilelor x1, x2,…, xn cu variabilele y1, y2,…, yn date de egalităţile: (3.4)

n y = ∑ b x , i = 1, n i j=1 ij j

ecuaţia (1.7) se transformă în: (3.5)

n ∂u ∂ 2u n + b 0 (y) = g + ∑ b (y) λ ∑ i i 2 ∂y i=1 i=1 ∂y i i

unde: λi∈{-1. 0, 1}. Demonstraţie. Din (3.4) rezultă egalităţile: 137

n n ∂u ∂u ∂u ∂y k = ∑ = ∑ λ ⋅ b i ∂y ∂x ∂y ik ∂x = = k 1 k 1 k i k i

şi n n ∂ 2u ∂ ⎛⎜ ∂u ⎞⎟ ∂ 2u b b = ∑ b ⋅ = . ik ∂x ⎜ ∂y ⎟ k,∑ ik jl ∂y ∂y ∂x ∂y k 1 l = 1 = k l i j j ⎝ k⎠

După înlocuirea acestor egalităţi în ecuaţia (1.7) obţinem: ⎞ ∂ 2u n ⎛ n n ⎛ n ⎞ ∂u ⎜ (3.6) ∑ ⎜ ∑ b ik a ijb jl ⎟⎟ + a 0 (x)u = g . + ∑ ⎜ ∑ a (x)b ⎟ i ik ∂y ∂y ∂y = i 1 = k 1 ⎠ ⎝ k, l = 1⎝ i, j = 1 k l k ⎠

Însă

n * ∑ bik a ijb jl este elementul de pe linia k şi coloana l a matricei B AB. i, j = 1

Deci conform egalităţii (3.3) avem: n ⎧⎪λ , daca k = l . ∑ b a b =⎨ k ik ij jl ⎪0, daca k ≠ l i, j = 1 ⎩

Egalităţile (3.4) le scriem sub formă matricială y=B*x. Rezolvând acest sistem

în

raport

cu

x

obţinem

x=(B*)-1y

.

În

sfârşit,

notând

n −1 −1 −1 b (y) = ∑ a ⎛⎜ (B *) y ⎞⎟b , b0 (y ) = a 0 ⎛⎜ (B *) y ⎞⎟ si g(y) = f ⎛⎜ (B *) y ⎞⎟ din (3.6) obţinem k i ik ⎠ ⎝ ⎠ ⎠ ⎝ i =1 ⎝

forma canonică (3.5). 1.4. Probleme de bază ale teoriei ecuaţiilor cu derivate parţiale. Condiţii la limită şi condiţia Cauchy Problemele cele mai importante ale acestei teorii se formează în mod diferit prin cele trei tipuri de ecuaţii. Formulăm prezentarea problemelor Dirichlet şi Neumann pentru ecuaţiile eliptice şi a problemelor Cauchy pentru ecuaţiile de tip parabolic şi hiperbolic. Considerăm ecuaţia: n

(4.1) D(x,D)u=f unde D(x, D )u = ∑ a ij (x) i, j

n ∂ 2u ∂u + ∑ a (x) + a 0 (x)a ∂x ∂x i =1 i ∂x i j i

definită pe un domeniu mărginit Ω⊂Rn.Presupunem că ecuaţia (4.1) este eliptică în fiecare punct al domeniului Ω.( ∂ Ω frontiera domeniului Ω). 138

PROBLEMA Dirichlet. Fiind date două funcţii f şi h, f: Ω→R, h: ∂ Ω→R să se găsească o funcţie u:Ω→R care să satisfacă următoarele două condiţii: (4.2)

D(x,D)u(x)=f(x), ∀x∈Ω

(4.3)

lim u(x) = h(x 0 ), ∀x 0 ∈ ∂Ω . x →0

şi

Condiţia (4.2) înseamnă că funcţia căutată u trebuie să fie o soluţie a ecuaţiei (4.1) în domeniul Ω. Egalitatea (4.3) se numeşte condiţia la limită a problemei Dirichlet, şi se va nota pe scurt cu u ∂Ω = f . PROBLEMA Neumann. Fiind date două funcţii f: Ω→R, h: ∂ Ω→R să se găsească o funcţie u:Ω→R care să satisfacă următoarele condiţii: (4.4)

D(x,D)u(x)=f(x), ∀x∈Ω

şi (4.5)

du(x) lim = h(x 0 ), ∀x 0 ∈ ∂Ω x →0 dυ

unde (4.6)

(

n du(x) ∂u = ∑ a (x) cos N , x ij ∂x 0 i dυ i, j = 1 j

)

iar N0 este normala exterioară la ∂Ω faţă de Ω în punctul x0. Condiţia (4.5) se numeşte condiţie la limită şi se va nota pe scurt

du = h. dυ ∂Ω

Observăm că în cazul ecuaţiei lui Laplace, condiţia la limită a problemei lui Neumann devine deosebit de simplă:

(

)

n ∂u ∂u du(x) = ∑ cos N , x = 0 i ∂N dυ i = 1 ∂x i 0

adică tocmai derivata funcţiei u în direcţia normalei N0. Pe lângă cele două probleme în practică se mai întâlnesc şi combinaţii ale lor. Să considerăm mai departe, numai ecuaţii parabolice de forma particulară: (4.7)

∂u D(x, D )u = f ∂t

şi ecuaţii hiperbolice de forma particulară: 139

(4.8)

∂ 2u − D(x, D )u = f , ∂t 2

unde D este dat în (1). Presupunem că expresia D(x,D) este eliptică pe tot domeniul de variaţie al variabilei spaţiale x. PROBLEMA Cauchy pentru ecuaţia parabolică (4.7). Fiind date două funcţii f:RnxR+→R şi α:Rn→R să se găsească o funcţie u:RnxR+→R care satisface următoarele condiţii: (4.9)

∂u (x, t ) − D(x, D )u (x, t ) = f (x, t ), ∀(x, t ) ∈ R n xR + ∂t

şi

()

lim u(x, t) = α x , ∀x ∈ R n , (x,t )→⎛⎜⎝ x,0 ⎞⎟⎠

(4.10) unde (x,t)∈Rn×R+.

condiţia (4.10) se numeşte condiţia iniţială a problemei Cauchy. Pe viitor condiţia (4.10) se va nota pe scurt u/t=0=α. PROBLEMA Cauchy pentru ecuaţia hiperbolică (4.8). Articol I.

Fiind date trei funcţii f:Rnx R+→R şi α, β:Rn→R să se găsească o

funcţie u:Rnx R+→R, care satisface următoarele condiţii: (4.11)

∂ 2u − D(x, D )u (x, t ) = f (x, t ), ∀(x, t ) ∈ R n xR + ∂t 2

(4.12)

lim u(x, t) = α x , ∀x ∈ R n ⎛ ⎞ (x,t )→⎜⎝ x,0 ⎟⎠

(4.13)

lim (x,t )→⎛⎜⎝ x,0 ⎞⎟⎠

()

şi

()

∂u(x, t) = β x , ∀x ∈ R n ∂t

unde (x,t)∈Rn×R+. Condiţiile iniţiale (4.12) şi (4.13) le vom nota u t =0 = α si u t =0 = β . Facem o importantă observaţie relativă la toate problemele de mai sus. Pentru ca enunţurile acestor probleme să fie complete trebuie să mai indicăm şi clasele de funcţii din care fac parte coeficienţii aij, ai şi a0, funcţiile f, α, β şi g, 140

respectiv clasele de funcţii în care se caută soluţia u a problemei. Toate aceste precizări se vor face în capitolele ce urmează când se vor studia efectiv aceste probleme. Mai subliniem că la studierea acestor probleme se urmăresc trei aspecte principale. Existenţa soluţiei, unicitatea soluţiei şi găsirea unor metode care să ne permită determinarea efectivă a soluţiei sau a unei aproximaţii a soluţiei. 1.5. Probleme de fizică ce conduc la ecuaţii cu derivate parţiale de ordinul al doilea. Ecuaţiile cu derivate parţiale modelează fenomene din fizică, chimie, tehnică etc. Astfel ecuaţiile hiperbolice se întâlnesc la descrierea fenomenelor ondulatorii. Ecuaţiile parabolice descriu fenomene de transfer cum ar fi transferul de substanţe în procesele de difuzie. Ecuaţiile eliptice se întâlnesc la fenomenele statice, deci la fenomene care nu variază în timp. Vom prezenta câteva exemple de descriere matematică a unor probleme de fizică. Să considerăm o coardă flexibilă de lungime l, fixată la capete care în poziţia de echilibru şi momentul t=0 coarda este scoasă din echilibru şi începe să vibreze. Ne propunem să determinăm poziţiile coardei pentru t > 0 presupunând că se cunoaşte poziţia iniţială a ei şi vitezele punctelor ei la momentul t=0. Facem următoarele ipoteze simplificatoare: asupra coardei acţionează numai tensiunea şi forţele de inerţie. Coarda vibrează într-un plan fix, şi deplasarea coardei de la poziţia de echilibru este mică. O astfel de situaţie se realizează dacă scoteam coarda din poziţia de echilibru şi o lăsăm să vibreze. Transcriem în limbaj matematic problema de mai sus. Alegem axele de coordonate x O u în planul vibraţiei astfel ca intervalul 0 ≤ x ≤ l să coincidă cu poziţia de repaus a coardei. Funcţia u va reprezenta deplasarea coardei de la poziţia de repaus. Pentru determinarea poziţiei coardei va trebui să găsim tocmai funcţia u=u(x,t).

141

∧

Alegem arbitrar un arc M 1M 2 de pe coardă. Fie xi abscisa punctului Mi, i=1,2. Alegerea arcului considerat acţionează tensiunea reprezentată de vectorii →

F ( xi , t ) i=1,2 situaţi pe tangenta în Mi la curba u=u(x,t):

u

→ F x

(

M2

M1

2

,t

)

α2

α1 → F x ,t 1

(

0

)

x1

x

x2

∧

Forţele de inerţie care acţionează asupra lui M 1M 2 sunt paralele cu axa Ox şi valoarea lor absolută este: x 2 ∂ 2u dx − ∫ ρ(x) 2 x t ∂ 1

unde ρ(x) reprezintă densitatea coardei. Din fizică se ştie că suma forţelor care acţionează asupra arcului M1M2 este egală cu zero. Deci proiecţiile acestei sume pe cele două axe este egală cu zero: (5.1)

F(x2,t)cos α2- F(x1,t)cosα1=0

x 2 ∂ 2u (5.2) F(x2,t)sin α2- F(x1,t)sinα1 − ∫ ρ(x) dx =0 2 x ∂ t 1 r (aici am notat cu F(x2;t) modulul forţei F(x i , t) şi au αi unghiul format de tangenta

la M1M2 cu axa Ox.) Avem:

142

cosα 2 =

1 1 + tg 2α

1

=

2 ⎛ ∂u ⎞ 1+ ⎜ ⎟ ⎝ ∂x ⎠ x =x

i

≈1

i

şi

sin α = i

tgα

∂u ∂x

∂u i ≈ = ∂x x = x 2 1 + tg 2α ⎛ ∂u ⎞ i i 1+ ⎜ ⎟ ⎝ ∂x ⎠ x =x i

unde am ţinut cont de faptul că deplasarea coardei de la poziţia de echilibru este 2

∂u ∂u ia valori mici şi atunci ⎛⎜ ⎞⎟ se poate neglija. Astfel din (5.1) foarte mică, deci ∂x ⎝ ∂x ⎠

obţinem egalitatea: F(x1,t)= F(x2,t). Arcul M1M2 fiind ales arbitrar, această egalitate ne arată că F nu depinde de x. Uşor ne putem convinge că funcţia F nu depinde nici de timp. Într-adevăr, legea lui Hooke ne arată că tensiunea variază în timp numai dacă variază lungimea coardei. Însă lungimea coardei este dată de integrala: 2 l ⎛ ∂u ⎞ ∫ 1 + ⎜ ⎟ dx . ⎝ ∂x ⎠ 0

Având în vedere că vibraţiile sunt mici găsim că: 2 l l ⎛ ∂u ⎞ 1 + dx ≈ ⎜ ⎟ ∫ ∫ dx = l . ⎝ ∂x ⎠ 0 0

Deci lungimea coardei se poate considera neschimbată în timpul vibraţiei. Prin urmare F nu depinde de t. Cu aceste observaţii, din (2) rezultă că: ⎛ ⎞ x2 ∂u ∂ 2u ⎜ ∂u ⎟ ρ(x) dx = 0 − F⎜ − ∫ 2 ∂x x =x ⎟⎟ x ⎜ ∂x x =x t ∂ 1⎠ 1 2 ⎝

143

a) Ţinând seama de relaţia x 2 2∂ u ∂u ∂u = ∫ dx − ∂x x =x ∂x x =x x ∂x 2 1 1 2

obţinem egalitatea: x ⎧ 2 2⎪ ∂ u ∂ 2u ⎫⎪ − F ρ(x) dx = 0 ∫ ⎨ 2 ⎬⎪ x ⎪⎩ ∂x 2 ∂ t ⎭ 1

valabilă pentru orice pereche de puncte x1 şi x2 de pe intervalul (0,l) ceea ce este posibil numai atunci când: F

∂ 2u ∂ 2u − ρ(x) = 0. ∂x 2 ∂t 2

Presupunând că densitatea ρ este constantă şi notând a 2 =

F ajungem la ρ

ecuaţia coardei vibrante: (5.3)

∂ 2u ∂ 2u = a2 ∂x 2 ∂t 2

Problema de fizică formată iniţial se poate enunţa matematic în felul următor: Să se găsească funcţia u=u(x,t) definită pentru 0<x0, care satisface următoarele condiţii: 10

∂ 2 u(x, t) ∂ 2 u(x, t) − a2 = 0, 2 2 ∂ x ∂t

20

u (x, t ) t =0 = ϕ(x),

30

u(0,t)=u(l,t)=0, ∀t>0,

∀(x, t) ∈ (0, l) × R

+

∂u(x, t) = ψ(x), ∀x ∈ (0, l) ∂t t =0

unde ϕ şi ψ sunt funcţii date. Funcţia ϕ reprezintă profilul iniţial al coardei iar funcţia ψ - viteza punctelor coardei în momentul iniţial. Deci am ajuns la o problemă Cauchy – Dirichlet pentru ecuaţia coardei vibrante. Trecem la prezentarea unei probleme de fizică care ne va conduce la ecuaţia căldurii. Considerăm o bară subţire, de lungime l, aşezată de-a lungul intervalului 0 ≤ x ≤ l de pe axa ox a sistemului de coordonate x O u. Presupunând că suprafaţa 144

laterală a barei este termic izolată, deci schimb de căldură între bară şi mediul ambiant se produce numai prin cele două capete ale barei şi în orice moment, admiţând că se cunoaşte temperatura fiecăruia punct al barei la momentul t=0 şi temperatura ambelor capete în orice moment. Presupunem că temperatura barei, în secţiunile perpendiculare pe axa ei, este constantă. Adică temperatura u depinde numai de abscisa x a barei şi de timpul t. Considerăm o porţiune oarecare M1M2 din bară, delimitată de abscisele x1 şi x2. Conform legii lui Fourier, cantitatea de căldură care întră în porţiunea M1M2 din capătul x1 este dată de egalitatea:

( )

q x1, t = − kτ

∂u ∂x x = x 1

iar prin capătul x2, de egalitatea:

( )

∂u q x , t = − kτ 2 ∂x x = x

2

aici k este o costantă numită coeficientul de conductibilitate termică iar constanta τ este aria secţiunii perpendiculare a barei. Creşterea cantităţii de căldură în porţiunea M1M2 şi în intervalul de timp (t1,t2) este dată de egalitatea: ⎧ ⎫ ∂u ⎪ ∂u ⎪ t t − Q = ∫t 2 q x 2 , t + q x1 , t dt = ∫t 2 kτ ⎨ ⎬dt ∂x x =x ⎪ 1 ⎪ ∂x x =x 1 1⎭ 2 ⎩

[(

) ( )]

sau x t 2 2 ∂ 2u Q = ∫ ∫ kτ dxdt . 2 x t ∂ x 1 1

Pe de altă parte, această creştere a cantităţii de căldură se mai poate exprima şi cu creşterea temperaturii x 2 Q = ∫ cρσ u x, t 2 − u x, t1 dx x 1

{(

) ( )}

sau cu x t 2 2 ∂u dxdt Q = ∫ ∫ cρσ ∂t x t 1 1

145

unde ρ este densitatea barei, iar c este o constantă numită căldura specifică a barei. Egalând cele două integrale care exprimă pe Q, găsim: x t ⎧ 2 2⎪ ∂u ∂ 2u ⎫⎪ - kρ dxdt = 0 . ∫ ∫ ⎨cρσ 2 ⎬⎪ ∂t x t ⎪ x ∂ 1 1⎩ ⎭

Ţinând seama de faptul că această egalitate este adevărată pentru orice t1>0, t2>0 şi orice x1, x2 ∈ (0,l), găsim că: cρσ

∂u ∂ 2u − kρ =0 ∂t ∂x 2

sau ∂u ∂ 2u = a2 ∂t ∂x 2

(5.4) unde a 2 =

k . Deci temperatura barei satisface ecuaţia (5.4) numită ecuaţia cρ

căldurii. Problema fizică pe care ne-am propus-o o putem transcrie prin următoarea formulare matematică: Să se găsească funcţia u=u(x,t) definită pentru 0<x0 care satisface următoarele condiţii: 1

0

∂ u(x, t) ∂t

∂ 2 u(x, t) 2 −a = 0, ∂x 2

∀(x, t) ∈ (0, l) × R

20

u t =0 = u (x), ∀x ∈ (0, l) 0

30

u x =0 = α(t), u x =l = β(t) ∀t > 0

+

unde u0, α şi β sunt funcţii date. Funcţia u0 reprezintă temperatura barei la momentul t=0, α ne dă temperatura barei la capătul x=0, iar β temperatura barei la capătul x=l, în orice moment t>0. Astfel problema considerată ne-a condus la o problemă Cauchy – Dirichlet pentru ecuaţia căldurii. Ultimul exemplu din fizică pe care îl considerăm ne va conduce la ecuaţia lui Laplace. Să studiem ecuaţia unui fluid într-un domeniu Ω din planul xOy. Formulăm următoarea problemă: cunoscând vitezele fluidului pe frontiera lui Ω să se determine aceste viteze în punctele domeniului Ω. Facem aici nişte ipoteze 146

simplificatoare. Presupunem că mişcarea este staţionară, adică viteza de mişcare nu depinde de timp; deci ea depinde numai de poziţia punctelor din Ω. Notăm cu v( x, y ) această viteză. Presupunem că există potenţial u=u(x,t) al vitezei, adică: v(x, y ) = −grad u(x, y), ∀(x, y) ∈ Ω .

Mai presupunem că în domeniul Ω nu există nici o sursă, deci punctele prin care să apară sau să dispară fluid. Această ipoteză se exprimă prin egalitatea: div v(x, y ) = 0, ∀(x, y) ∈ Ω .

Considerând ultimele egalităţi, obţinem: div grad u (x, y ) = 0, ∀(x, y) ∈ Ω

sau (5.5)

∂ 2u ∂ 2u + = 0, ∀(x, y ) ∈ Ω . ∂x 2 ∂y 2

Prin urmare, potenţialul vitezelor satisface ecuaţia lui Laplace (5.5). Dacă mai ţinem seamă şi de egalitatea

(

∂u du ∂u = cos(N, x ) + cos(N, y ) = v, N1 dN ∂x ∂y

)

unde N este normala la ∂ Ω, exterioară faţă de Ω, iar N1 este vectorul unitar în direcţia lui N, atunci problema fizică considerată se transpune astfel: să se găsească funcţia u=u(x,y) definită în domeniul Ω, care satisface următoarele condiţii: 10

∂ 2 u(x, y) ∂ 2 u(x, y) + = 0, ∂x 2 ∂y 2

20

du =f dN ∂Ω

∀(x, y ) ∈ Ω

unde f:∂Ω→R este o funcţie dată. Problema fizică considerată ne-a condus la o problemă Neumann pentru ecuaţia lui Laplace.

147

2.Ecuaţii cu derivate parţiale de ordinul doi. Clasificare. Reducerea la forma canonică Studiul unor fenomene fizice ca vibraţiile firelor şi membranelor, propagarea căldurii, propagarea undelor electromagnetice ş.a. conduc la ecuaţii diferenţiale cu derivate parţiale de ordinul doi. Deducerea acestor ecuaţii ce descriu în timp şi spaţiu evoluţia fenomenului studiat se realizează prin aplicarea unor legi specifice fenomenului respectiv ţinându-se seama de condiţiile concrete de apariţia şi evoluţia fenomenului respectiv. Din acest motiv, pe lângă ecuaţia diferenţială ce reprezintă rezultatul modelării matematice a fenomenului studiat trebuie date condiţiile suplimentare concrete în care s-a realizat fenomenul, fapt ce asigură în general unicitatea şi existenţa soluţiei problemei cercetate. Rezolvarea diferitelor probleme care conduc la ecuaţii diferenţiale cu derivate parţiale de ordinul doi este strâns legată de reducerea acestor ecuaţii la forme mai simple printr-o schimbare a variabilelor independente. Aceste forme ireductibile la altele mai simple le vom numi forme canonice. Fie ecuaţia cu două variabile independente x şi y: (1)

a (x, y )

∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂u ∂u + 2b(x, y) + c(x, y) + d(x, y, u, , ) = 0 ∂x∂y ∂x ∂y ∂x 2 ∂y 2

unde coeficienţii a, b, c şi funcţia necunoscută u sunt de clasă C2(D), D⊂ R2iar a,b,c nenuli simultan în D. Observăm că ecuaţia (1) este liniară în general numai cu derivatele de ordinul doi. Din acest motiv (1) se numeşte ecuaţie cvasiliniară (aproape liniară). Ecuaţiei (1) îi ataşăm ecuaţia (2)

a(x, y)dy2 − 2b(x, y)dydx + c(x, y)dx2 = 0

numită ecuaţia caracteristică a ecuaţiei (1). Să considerăm schimbarea de variabile: (3)

⎧ξ = ξ(x, y) ⎨ ⎩η = η(x, y)

148

cu proprietatea

D(ξ, η) ≠ 0 ceea ce asigură posibilitatea determinării lui x,y din (3). D(x, y )

(x = Ψ1(ξ, η), y = Ψ2 (ξ, η)). Pentru derivatele funcţiei u vom obţine: ∂u ∂u ∂ξ ∂u ∂η = ⋅ + ⋅ ∂y ∂ξ ∂y ∂η ∂y

(4)

∂u ∂u ∂ξ ∂u ∂η ⋅ ; + ⋅ = ∂x ∂ξ ∂x ∂η ∂x

(5)

2 ⎧ ∂ 2 u ∂ 2 u ∂ξ 2 ∂ 2 u ∂ξ ∂η ∂ 2 u ⎛ ∂η ⎞ ∂u ∂ 2 ξ ∂u ∂ 2 η ⎪ ⎛ ⎞ ⋅ + + ⋅ ⋅ ⋅ ⎜ ⎟ + ⎨ 2 = 2 ⋅⎜ ⎟ + 2 ∂ξ∂η ∂x ∂x ∂η 2 ⎝ ∂x ⎠ ∂ξ ∂x 2 ∂η ∂x 2 ∂ξ ⎝ ∂x ⎠ ⎪⎩ ∂x

(6)

2 2 ⎧ 2 2 ∂u ∂ 2 ξ ∂u ∂ 2 η ∂ 2 u ∂ξ ∂η ∂ 2 u ⎛ ∂η ⎞ ⎪ ∂ u ∂ u ⎛ ∂ξ ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⎨ 2 = 2 ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ + 2 ∂ξ ∂y 2 ∂η ∂y 2 ∂ξ∂η ∂y ∂y ∂η 2 ⎝ ∂y ⎠ ∂ξ ⎝ ∂y ⎠ ⎪⎩ ∂y

(7)

⎧⎪ ∂ 2 u ∂ 2 u ∂ξ ∂ξ ∂ 2 u ⎛ ∂ξ ∂η ∂ξ ∂η ⎞ ∂ 2 u ∂η ∂η ∂u ∂ 2 ξ ⋅ ⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⎜⎜ ⋅ + ⋅ ⎟⎟ + ⎨ ⎪⎩ ∂x∂y ∂ξ 2 ∂x ∂y ∂ξ∂η ⎝ ∂x ∂x ∂y ∂x ⎠ ∂η 2 ∂x ∂y ∂ξ ∂x∂y ∂u ∂ 2 η ⋅ + ∂η ∂x∂y

Înlocuind aceste expresii în (1) aceasta devine tot o ecuaţia cvasiliniară: (1’)

∂u ∂u ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u A(ξ, η) + D(ξ, η, u, , ) = 0 + C(ξ, η) + 2B(ξ, η) 2 2 ∂ξ ∂η ∂ξ∂η ∂η ∂ξ

unde noii coeficienţi au expresiile:

(8)

2 ⎧ 2 ⎪A(ξ, η) = a ⎛⎜ ∂ξ ⎞⎟ + 2b ∂ξ ∂ξ + c⎛⎜ ∂ξ ⎞⎟ ⎪ ∂x ∂y ⎜⎝ ∂y ⎟⎠ ⎝ ∂x ⎠ ⎪ ⎛ ∂ξ ∂η ∂ξ ∂η ⎞ ∂ξ ∂η ∂ξ ∂η ⎪ ⎟⎟ + c ⋅ + b⎜⎜ + ⎨B(ξ, η) = a ∂x ∂y ∂y ∂y ⎝ ∂x ∂y ∂y ∂x ⎠ ⎪ ⎪ 2 2 ∂η ∂η ⎛ ∂η ⎞ ⎛ ∂η ⎞ ⎪ ⎪C(ξ, η) = a ⎜⎝ ∂x ⎟⎠ + 2b ∂x ∂y + c⎜⎜ ∂y ⎟⎟ ⎝ ⎠ ⎩

Vom determina schimbarea de variabile (3) astfel ca ecuaţia (1’) să ia o formă cât mai simplă. Deoarece ecuaţia caracteristică (2) se descompune în două ecuaţii diferenţiale ordinare de ordinul întâi rezultă că cele două familii de curbe integrale pot fi reale, distincte, reale şi confundate sau complex conjugate în funcţie de

149

semnul expresiei δ(x, y ) = b 2 (x, y ) − a (x, y ) ⋅ c(x, y ) . Ecuaţiile diferenţiale de tipul (1) pot fi clasificate în:

I)

I)

Ecuaţii de tip hiperbolic dacă δ(x,y)>0, ∀(x,y)∈∆⊆D

II)

Ecuaţii de tip parabolic dacă δ(x,y)=0, ∀(x,y)∈∆⊆D

III)

Ecuaţii de tip eliptic dacă δ(x,y)<0, ∀(x,y)∈∆⊆D.

Reducerea la forma canonică a ecuaţiilor de tip hiperbolic (δ>0). Dacă a şi c nu sunt simultan nuli, de exemplu a≠0 ecuaţia (2) se descompune

în: (9)

dy dy = µ1(x, y ); = µ 2 (x, y ) dx dx

unde µ1 şi µ2 sunt rădăcinile ecuaţiei (2’)

aµ2-2bµ+c=0.

b) Prin integrarea ecuaţiei (9) se obţine (10)

⎧⎪ϕ1(x, y ) = C1 . ⎨ ⎪⎩ϕ 2 (x, y ) = C2

Printr-o deplasare pe una din curbele (10), avem respectiv: ∂ϕ1 ∂x

dx +

∂ϕ1 ∂y

dy = 0;

∂ϕ 2 ∂x

dx +

∂ϕ 2 ∂y

dy = 0 .

Ţinând seama că (10) s-au obţinut prin integrarea ecuaţiilor (9) rezultă: ∂ϕ1

∂ϕ 2

µ1 = − ∂x , µ 2 = − ∂x . ∂ϕ1 ∂ϕ 2 ∂y ∂y

Inlocuind în (2’) avem:

(2``)

2 ⎧ ⎛ ∂ϕ ⎞ 2 ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ ⎪a ⎜ 1 ⎟ + 2b 1 1 + c⎛⎜ 1 ⎞⎟ = 0 ⎜ ∂y ⎟ ⎪⎪ ⎜⎝ ∂x ⎟⎠ ∂x ∂y ⎝ ⎠ . ⎨ 2 2 ⎪ ⎛ ∂ϕ ⎞ ∂ϕ ∂ϕ ⎛ ∂ϕ ⎞ ⎪a ⎜⎜ 2 ⎟⎟ + 2b 2 2 + c⎜⎜ 2 ⎟⎟ = 0 ∂x ∂y ⎪⎩ ⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂y ⎠

150

Comparând (2’’) cu (8) observăm că este indicată următoarea schimbare de variabile: (11)

⎧⎪ξ = ϕ1(x, y ) ⎨ ⎪⎩η = ϕ 2 (x, y )

pentru care avem A≡0, C≡0. Coeficientul B nu poate fi nul. Într-adevăr, cu schimbarea (11) B are expresia: B=

∂ϕ1 ∂ϕ 2 ⋅ aϕ1ϕ 2 − b ϕ1 + ϕ 2 + c ∂y ∂y

[

) ]

(

şi ţinând seama de relaţiile între rădăcinile şi coeficienţii ecuaţiei (2’) rezultă: B=2

∂ϕ1 ∂ϕ 2 ac − b 2 . ⋅ ⋅ a ∂y ∂y

Deoarece prin ipoteză a≠0 (ϕ1 şi ϕ2 depind de y) , b2-ac>0 rezultă B≠0. Ecuaţia (1’) poate fi scrisă (:2B1) sub forma: (12)

⎛ ∂ 2u ∂u ∂u ⎞ + H⎜⎜ ξ, η, u, , ⎟⎟ = 0 . ∂ξ∂η ∂ξ ∂η ⎠ ⎝

Ecuaţia (12) este forma canonică a ecuaţiei de tip hiperbolic. II)

Reducerea la forma canonică a ecuaţiilor de tip parabolic (δ=0)

Cele două ecuaţii diferenţiale (9) se reduc la una singură µ verifică: (14)

⎧⎪aµ 2 − 2bµ + c = 0 . ⎨ ⎪⎩aµ − b = 0

Fie ϕ(x,y)=C integrala generală a ecuaţiei Pentru o deplasare pe una din aceste curbe avem: ∂ϕ ∂ϕ dx + dy = 0 . ∂x ∂y

151

dy = µ(x, y) . dx

dy = µ(x, y) , unde dx

∂ϕ Deducem uşor că µ = − ∂x . Înlocuind în (14) obţinem: ∂ϕ ∂y

2 ⎧ 2 ⎪a ⎛⎜ ∂ϕ ⎞⎟ + 2b ∂ϕ ∂ϕ + c⎛⎜ ∂ϕ ⎞⎟ = 0 ⎜ ∂y ⎟ ⎪ ⎝ ∂x ⎠ ∂x ∂y ⎝ ⎠ . ⎨ ∂ϕ ⎪ ∂ϕ ⎪a ∂x + b ∂y = 0 ⎩

Observăm din (8) că, dacă facem schimbarea de variabile ξ=ϕ(x,y), η=x (sau η=y) găsim A=0, B=0, C=a. Cum a≠0, din (1) obţinem: (15)

⎛ ∂u ∂u ⎞ ∂ 2u + P⎜⎜ ξ, η, u, , ⎟⎟ = 0 . 2 ∂ξ ∂η ⎠ ⎝ ∂η

Ecuaţia (15) este forma canonică a ecuaţiei de tip parabolic. Am presupus a≠0. Dacă a=0, din condiţia b2-ac=0 rezultă b=0 şi ecuaţia (1) ar fi avut de la început forma canonică. III)

Reducerea la forma canonică a ecuaţiilor de tip eliptic (δ<0) Funcţiile µ1 şi µ2 din (9) sunt imaginar conjugate. Aceeaşi proprietate vor avea şi funcţiile ϕ1 şi ϕ2 din (10). Cu schimbarea (11) ecuaţia (1) s-a redus la (12). Pentru a reveni la funcţiile reale, vom face o nouă schimbare de variabile. Din egalităţile: ξ=α+iβ; 1 2

η=α−iβ deducem α = (ξ + η), β =

1 (ξ + η) . 2i

Avem: ∂u 1 ⎛ ∂u ∂u ⎞ ∂ 2 u 1 ⎛⎜ ∂ 2 u ∂ 2 u ⎞⎟ ⎜ ⎟ = − i ⎟ şi = − . ∂ξ 2 ⎜⎝ ∂α ∂β ⎠ ∂ξ∂η 4 ⎜⎝ ∂α 2 ∂β 2 ⎟⎠

Se obţine astfel forma canonică a ecuaţiei de tip eliptic: (16)

⎛ ∂ 2u ∂ 2u ∂u ∂u ⎞ − + E⎜⎜ α, β, u, , ⎟⎟ = 0 . ∂α ∂β ⎠ ⎝ ∂α 2 ∂β 2

Observaţie. Deoarece δ<0, ecuaţia caracteristică (2) are curbele caracteristice complex conjugate: 152

⎧⎪ϕ(x, y ) = α(x, y ) + iβ(x, y ) = C1 . ⎨ ⎪⎩ψ(x, y ) = α(x, y ) − iβ(x, y ) = C 2

Efectuând schimbarea de variabile: ⎧ξ = α(x, y ) ⎨ ⎩η = β(x, y )

(x, y ) ∈ Ω, cu δ(Ω ) < 0

obţinem B(ξ ,η)≡0, A(ξ ,η)= C(ξ ,η) şi ecuaţia (1) primeşte forma canonică: (17)

⎛ ∂ 2u ∂ 2u ∂u ∂u ⎞ − + E*⎜⎜ ξ, η, u, , ⎟⎟ = 0 . ∂ξ ∂η ⎠ ∂ξ 2 ∂η2 ⎝

3. Ecuaţii liniare şi omogene în raport cu derivatele de ordinul al doilea, cu coeficienţi constanţi. Să considerăm ecuaţia: (1)

∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u a + 2b +c =0 ∂x∂y ∂x 2 ∂y 2

unde a, b, c sunt constante. Ecuaţia caracteristică ataşată ecuaţiei (1) este: (2)

2 dy ⎛ dy ⎞ a ⎜ ⎟ − 2b + c = 0. dx ⎝ dx ⎠

Rădăcinile µ1 şi µ2 ale ecuaţiei (2) sunt constante. Ecuaţia (2) se înlocuieşte prin ecuaţiile dy - µ1dx = 0, dy - µ2dx = 0 care prin integrare dau: ⎧⎪ y − µ1x = C1 unde C1 şi C2 sunt constante. ⎨ ⎪⎩ y − µ 2 x = C2

Vom aduce ecuaţia (1) la forma canonică. Cazul I. Dacă δ=b2-ac > 0, ecuaţia (1) este de tip hiperbolic µ1≠µ2 (reale). Cu schimbarea de variabile (3)

⎧⎪ξ = y − µ1x ⎨ ⎪⎩η = y − µ 2 x

153

obţinem: ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u , = µ2 + 2µ µ + µ2 1 2 1 2 ∂ξ∂η 2 2 ∂x 2 ∂ξ ∂η

(

)

∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u , = −µ − µ +µ −µ 1 2 1 2 ∂ξ∂η 2 2 ∂x∂y ∂ξ ∂η ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u . = +2 + 2 2 ξ η ∂y ∂ ∂ ∂ξ ∂η

Înlocuind în (1) şi ţinând seama că µ1 şi µ2 sunt rădăcinile ecuaţiei aµ2-2bµ+c=0, obţinem ecuaţia: ac − b 2 ∂ 2u 4⋅ =0 ⋅ ∂ξ∂η a

de unde obţinem forma canonică: ∂ 2u = 0. ∂ξ∂η

(4)

Ecuaţia (4) se integrează imediat. Într-adevăr, scrisă sub forma: (4’) se obţine

∂ ⎛ ∂u ⎞ ⎜ ⎟=0 ∂ξ ⎜⎝ ∂η ⎟⎠

∂u = ϕ(η) . Integrând această ultimă ecuaţie, obţinem: u = ∫ ϕ (η)dη + f (ξ ) sau ∂η

(5)

u=f(ξ)+g(η).

Revenind la vechile variabile, soluţia generală a ecuaţiei (1) este: (5’)

u(x,y)=f(y-µ1x)+g(y-µ2x).

Cazul II. Dacă δ=0, ecuaţia este de tip parabolic, în ipoteza că a≠0, µ1=µ2=

b a

şi ecuaţia diferenţială (2) se reduce la ady-bdx=0. Integrala generală a acestei ecuaţii este ay-bx=C. Schimbarea de variabile: ⎧ξ = ay − bx ⎨ ⎩η = x

154

aduce ecuaţia (1) la forma canonică (6)

∂ 2u = 0. ∂η2

Într-adevăr în acest caz obţinem: ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u , = b2 − 2b + 2 2 2 ∂ ξ ∂ η ∂x ∂ξ ∂η

∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u , = −ab +a ∂x∂y ∂ξ∂η ∂ξ 2 ∂ 2u ∂ 2u = a2 ∂y 2 ∂ξ 2

şi înlocuind în (1) obţinem ecuaţia ∂ 2u ∂ 2u a ⎛⎜ ac − b 2 ⎞⎟ +a =0 ⎝ ⎠ ∂ξ 2 ∂η2

care se reduce (δ=0) la (6). Am presupus a≠0. În caz contrar, din b2-ac=0, ar rezulta b=0 şi ecuaţia ar fi avut de la început forma canonică. Pentru integrarea ecuaţiei (6) observăm că putem scrie: ∂ ⎛ ∂u ⎞ ⎜ ⎟=0 ∂η ⎜⎝ ∂η ⎟⎠

de unde

∂u = f (ξ ) . ∂η

Integrând încă o dată, obţinem u = η f(ξ)+g(η). Soluţia generală a ecuaţiei (1) se obţine din aceasta revenind la vechile variabile: (7)

u (x, y)= x f (ay - bx)+g (ay - bx) .

Cazul III. În cazul δ<0, ecuaţia (1) este de tip eliptic, forma sa canonică este ecuaţia lui Laplace: (8)

∂ 2u ∂ 2u + = 0. ∂α 2 ∂β 2

155

4. Coarda infinită. Metoda schimbării variabilelor (metoda lui D’Alembert şi Euler). Formula lui D’Alembert. Să considerăm ecuaţia: (1)

∂ 2u 1 ∂ 2u =0 − ∂x 2 c 2 ∂t 2

care se numeşte ecuaţia coardei vibrante sau ecuaţia undelor plane omogene. Prin coardă se înţelege un corp perfect elastic la care două din dimensiunile sale sunt neglijabile în raport cu a treia. Dacă lungimea coardei este mare şi ne interesează numai vibraţiile unei porţiuni, suficient de depărtate de capetele coardei astfel încât aceasta să nu influenţeze porţiunea care nu interesează, coarda se consideră infinită. În studiul vibraţiilor libere ale coardei, parametrii care intervin în această ecuaţie au următoarele semnificaţii: Să considerăm o coardă de lungime l care, în repaus, ocupă poziţia AB pe axa Ox, A şi B având abscisele 0 şi l . M u Fig.1. A(0)

B(l) x

M0(x)

Fig.1 Fie M un punct al coardei şi M0(x) poziţia de repaus a acestui punct. Se presupune că orice punct M al coardei în vibraţie se mişcă într-un plan perpendicular pe Ox. Distanţa M0M o notăm cu u şi este funcţie de x şi de timpul t, u=u(x,t). Mişcarea coardei se consideră cunoscută dacă se cunoaşte această funcţie. Se arată că în absenţa unor forţe exterioare, funcţia u(x,t) verifică ecuaţia (1) (care se mai numeşte ecuaţia oscilaţiilor libere ale coardei). 156

Constanta c2 are expresia c 2 =

ρ T0

, de unde ρ este densitatea specifică liniară

a coardei, iar T0 tensiunea la care este supusă coarda în poziţia de repaus. Ecuaţia (1) se întâlneşte şi în probleme de propagarea undelor când c2 are altă semnificaţie. Problema pentru coarda infinită constă în următoarele: să se determine funcţia u(x,t)∈C2(Ω), Ω=[0,l]×R+ care să verifice ecuaţia (1) şi care satisface condiţiile iniţiale: (2)

u (x,0) = f (x ),

⎛ ∂u ⎞ = g(x), ⎜ ⎟ ⎝ ∂t ⎠ t =0

x ∈ [0.l]

unde f admite derivată de ordinul al doilea iar g admite derivată de ordinul întâi pe [0,l]. Egalitatea u(x,0)=f(x) ne dă poziţia iniţială a fiecărui punct M de pe coardă ∂u iar ⎛⎜ ⎞⎟

⎝ ∂t ⎠ t =0

= g(x),

x ∈ [0.l] viteza iniţială pentru fiecare punct al coardei. ⎛

1

⎞

Ecuaţia (1) este de tip hiperbolic ⎜⎜ δ = 2 > 0 ⎟⎟ . Ecuaţia caracteristică: c ⎝ ⎠ 2 1 ⎛ dt ⎞ = 0, ⎜ ⎟ − 2 ⎝ dx ⎠ c

se descompune în două ecuaţii diferenţiale: dx-cdt=0 şi dx+cdt=0. Soluţiile generale (două familii de curbe caracteristice): x-ct=C1 şi x+ct=C2 . Cu ajutorul schimbării de variabile ⎧ξ = x − ct ⎨ ⎩η = x + ct ∂ 2u = 0. obţinem pentru (1) forma canonică: ∂ξ∂η

Soluţia generală a acestei ecuaţii este: u = ϕ(ξ)+ψ(η), sau prin înlocuirea lui ξ şi η obtinem soluţia generală a ecuaţiei (1) de forma: 157

(3)

u(x,t)=ϕ(x-ct)+ψ(x+ct).

Vom determina aceste funcţii astfel ca u(x,t) să satisfacă condiţiile (2). Avem: ∂u = −cϕ' (x − ct ) + cΨ ' (x + ct ) ∂t

şi cele două condiţii din (2) dau : ⎧ϕ (x) + Ψ(x) = f(x) ⎪ 1 ⎨ ⎪⎩ϕ ' (x) + Ψ' (x) = − c g(x)

sau integrând în a doua egalitate, ⎧ϕ(x) + Ψ(x) = f(x) ⎪⎪ x ⎨ϕ(x) − Ψ(x) = − 1 ∫ g(τ)dτ , ⎪ cx ⎪⎩ 0

unde x0 este o constantă arbitrară x0∈[0.l]. De aici rezultă: ϕ (x ) =

⎤ ⎤ 1⎡ 1 x 1⎡ 1 x ⎢f(x) − ∫ g(τ )dτ ⎥ şi Ψ(x ) = ⎢f(x) − ∫ g(τ )dτ ⎥ 2⎢ cx 2⎢ cx ⎥⎦ ⎥⎦ 0 0 ⎣ ⎣

de unde deducem

(4)

⎧ ⎡ ⎤ ⎪ 1 x - ct 1⎢ ⎥ ⎪ϕ (x - ct ) = 2 ⎢f(x - ct) − c ∫ g(τ )dτ ⎥ x ⎪ ⎢⎣ ⎥⎦ 0 ⎪ ⎨ ⎡ ⎤ ⎪ x + ct 1 1 ⎢ ⎥ ⎪Ψ(x + ct ) = f(x + ct) − ∫ g(τ )dτ ⎥ ⎢ ⎪ c x 2 ⎢⎣ ⎥⎦ ⎪⎩ 0

.

Înlocuind (4) în (3) obţinem:

(5)

u (x, t ) =

x + ct 1 [f (x − ct) + f (x + ct)] + 1 ∫ g(τ)dτ . 2 2c x − ct

Observăm că u(x,t) din (5) verifică condiţiile (2).

158

În ipotezele admise pentru f şi g, funcţia (5) verifică şi ecuaţia (1). Se poate arăta că soluţia este unică. Metoda prin care am obţinut această soluţie se numeşte metoda schimbării variabilelor sau metoda D’Alembert şi Euler. Formula (5) este formula lui d’Alembert. Exemplu: Să presupunem coarda infinită în ambele sensuri şi că în momentul iniţial are poziţia dată de: , x ∈ [0, l] , x ∈ R \ [0, l]

⎧f(x), u (x,0) = ⎨ ⎩0

∂u iar viteza iniţială este nulă, pentru orice punct al coardei ⎛⎜ ⎞⎟

⎝ ∂t ⎠ t =0

= 0 . Mişcarea

1 2

coardei este caracterizată de : u (x, t ) = [f(x - ct) + f(x + ct)] . Observăm că f(x-ct)≠0 numai pentru 0 ≤ x − ct ≤ l adică pentru ct ≤ x ≤ l + ct . Graficul acestei funcţii se obţine din graficul funcţiei f(x) prin translaţia de modul ct în direcţia şi sensul axei Ox. De asemenea, graficul funcţiei f(x+ct) se obţine din graficul funcţiei f(x) prin translaţia –ct, care se face în sens opus. Acest rezultat are următoarea interpretare: perturbarea iniţială a coardei pe un interval [0,l] se propagă de-a lungul coardei în ambele sensuri prin două unde, una directă cu viteza c, alta inversă cu viteza –c.

0

l

0 Fig.2 Iniţial cele două unde sunt suprapuse, apoi se despart şi se îndepărtează una de alta, mergând în sensuri opuse (fig.2).

159

5. Coarda finită. Metoda separării variabilelor (D. Bernoulli şi Fourier). În exemplul studiat anterior al coardei infinite au fost date numai condiţii iniţiale. Vom considera o coardă finită de lungime l care în poziţia de echilibru este situată pe axa Ox, având un capăt în origine şi celălalt capăt în punctul A(l).(fig.1).

Fig.1 Asupra coardei nu acţionează forţe exterioare. Coarda în acest caz execută vibraţii libere, având astfel ecuaţia: (1)

∂ 2u 1 ∂ 2u = 0, − ∂x 2 c 2 ∂t 2

x ∈ [0, l], t ≥ 0

cu condiţiile iniţiale: (2)

⎛ ∂u u (x,0) = f(x), ⎜ ⎝ ∂t

⎞ = g(x), x ∈ [0, l] ⎟ ⎠t = 0

precum şi condiţiile la limită: (3)

u(0,t)=0, u(l,t)=0, t ≥ 0.

Problema pentru coarda finită constă în următoarele: să se determine funcţia u(x,t)∈C2(∆), ∆=[0,l]×R+ care să verifice condiţiile (2) şi (3). Pentru compatibilitatea condiţiilor (2) şi (3) trebuie să avem f(0)=f(l)=0 şi g(0)=g(l)=0.

160

Pentru rezolvarea problemei puse vom folosi metoda Fourier sau metoda separării variabilelor. Aceasta constă în a căuta pentru ecuaţia (1) soluţii de forma: (1)

u(x,t)=X(x)T(t)

care verifică (2) şi (3). Derivăm şi introducem în (1): X' ' (x) ⋅ T(t) =

1 X(x) ⋅ T' ' (t) . c2

Eliminând soluţia banală u(x,t)=0 putem împărţi cu X(x) T(t) şi variabilele se separă: X' ' (x) 1 T' ' (t) = =k. X(x) c 2 T(t)

Valoarea comună a acestor două rapoarte este constantă. În caz contrar între cele două variabile x şi t am avea o relaţie (x şi t nu ar mai fi independente). Avem de integrat ecuaţiile: (5)

X' ' (x) − kX(x) = 0

şi (6)

T' ' (t) − kc 2 ⋅ T(t) = 0 .

Valorile constantei k vor fi precizate prin condiţiile la limită. Funcţia (4) verifică relaţiile (2) şi (3) dacă şi numai dacă: (7)

X(0)=0, X(l)=0

(astfel T(t)=0 care conduce la soluţia banală). Se pune problema de a detrermina valorile lui k astfel ca ecuaţia (5) să admită soluţii nebanale care verifică (7) (problema Sturm-Liouville). Cazul 10 k>0. Ecuaţia caracteristică a ecuaţiei (5) este r2-k=0 care are rădăcini reale şi distincte r1,2=± k . Soluţia generală a ecuaţiei (5) este: X(x) = C1e k x + C2e− k x

Condiţiile (7) dau: C1+C2=0, C1e k l + C2e− k l = 0 , 161

cu soluţia C1=C2=0. Obţinem soluţia banală care nu convine. Cazul 20. k=0. Soluţia generală a ecuaţiei (5) este X(x)=C1x+C2. În acest caz condiţiile la limită (7) dau C2=0, C1l+C2=0. Rezultă C1=C2=0 şi obţinem din nou soluţia banală. Cazul 30. k<0. Notăm k=-λ2, λ>0. Rădăcinile ecuaţiei carcacteristice sunt r1,2=±iλ iar soluţia generală a ecuaţiei (5) este de forma: X(x) = C1cosλx + C 2sinλx . Condiţiile la limită dau:C1=0, C2sinλl=0. Pentru a nu obţine din nou soluţia banală, vom lua C1=0, C2≠0, sin λl=0. Rezultă: π λ = n , n ∈ {1,2,...}. l

Valorile proprii ale problemei sunt (cele care dau valori nebanale): 2 ⎛ nπ ⎞ k n = −⎜ ⎟ , n ∈ {1,2,...}. ⎝ l ⎠

iar funcţiile proprii, în afara unui factor lipsit de importanţă, au expresiile: X n (x) = sin

n πx . l

Deoarece valorile constantei k sunt precizate, ecuaţia (6) devine: 2 ⎛ nπc ⎞ T' ' (t) + ⎜ ⎟ T(t) = 0 . ⎝ l ⎠

Soluţia generală a acestei ecuaţii este: Tn (t) = A n cos

nπct nπct , n ∈ {1,2,...}. + Bn sin l l

Funcţiile de forma (4) care verifică ecuaţia (1) şi condiţiile la limită (3) sunt: u n (x, t) = X n (x) ⋅ Tn (t)

adică, nπx nπct ⎞ nπct (8) u n (x, t) = ⎛⎜ A n cos , + B sin ⋅ sin ⎟ n l l ⎠ l ⎝

n ∈ {1,2,...}.

Conform principiului suprapunerii efectelor , căutăm o soluţie u(x,t) de forma:

162

∞ u(x, t) = ∑ u n (x, t) n =1

(9)

despre care presupunem că este convergentă şi că poate fi derivată termen cu termen de două ori în raport cu x şi de două ori în rapot cu t: ∞ ∂ 2u n ∞ ∂ 2u n ∂ 2u ∂ 2u , . = ∑ = ∑ ∂t 2 n =1 ∂t 2 ∂x 2 n =1 ∂x 2

Se observă uşor că funcţiile u(x,t) din (8) verifică ecuaţia (1) deoarece un(x,t) este soluţie a acestei ecuaţii. Funcţia u(x,t) din (8) , verifică şi condiţiile la limită. Constantele An şi Bn le determinăm impunând ca u(x,t) din (8) să verifice şi condiţiile iniţiale. Avem: ∞ ∞ nπx u(x,0) = ∑ u n (x,0) = ∑ A n sin l n =1 n =1 ∞ ⎛ ∂u ⎞ ∞ nπc nπx ⎛ ∂u ⎞ =∑ . = ∑ ⎜ ⎟ B sin ⎜ ⎟ n l ⎝ ∂t ⎠ t = 0 n =1⎝ ∂t ⎠ t = 0 n =1 l

Folosind condiţiile (2) obţinem: ∞ nπx = f(x) ∑ A sin n l n =1 ∞ nπc nπx B sin = g(x) . ∑ n l n =1 l

Vom presupune că funcţiile f(x) şi g(x) îndeplinesc condiţiile lui Dirichlet, deci pot fi dezvoltate în serie numai de sinusuri pe intervalul (0,l). Perioada prelungirilor acestor funcţii este T=2l. Avem: (10)

An =

2l nπx 2 l nπx dx, Bn = dx ∫ f(x)sin ∫ g(x)sin l0 l nπc 0 l

.

Soluţia problemei (2) este (9) cu coeficienţii (10). Observaţie Funcţia un(x,t) verificând ecuaţia (1) cu condiţiile la limită (3), caracterizează o oscilaţie proprie a coardei. Această oscilaţie are perioada τn =

2π 2l şi amplitudinea = ωn nc

n πx . A 2n + B 2n ⋅ sin l

Înălţimea sunetului datorit unei oscilaţii este cu atât mai mare cu cât perioada este mai mică, iar intensitatea sunetului este cu atât mai mare cu cât 163

amplitudinea vibraţiei este mai mare. Fiecare oscilaţie proprie a coardei corespunde unui ton simplu al coardei. Egalitatea (8) arată că sunetul emis de coardă în vibraţie este o suprapunere de tonuri simple. Ştim că An şi Bn formează un şir strict descrescător. Amplitudinea oscilaţiei caracterizată prin un(x,t) descreşte când n creşte. Tonul fundamental care are intensitatea cea mai mare, deci va corespunde oscilaţiei u1(x,t). Celelalte tonuri simple care au intensitatea mai mică şi înălţimea mai mare, prin suprapunerea lor peste tonul fundamental dau timbrul sunetului. 6. Ecuaţii de tip eliptic.Formularea problemelor la limită.Soluţii particulare ale ecuaţiei lui Laplace. Dintre ecuaţiile de tip eliptic cele mai des întâlnite sunt: (1)

∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u =0 + + 2 2 2 ∂z ∂y ∂x

((∆u = 0) – ecuaţia lui Laplace (1749-1827))

şi

∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u = f(x, y, z) (ecuaţia lui Poisson (1781-1840)) + + (2) ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 Ecuaţiile de tip eliptic intervin în studiul problemelor de teoria potenţialului şi în studiul fenomenelor staţionare (fenomene ce nu depind de timpul t). Astfel temperatura u(x,y,z) a unui câmp termic staţionar verifică ecuaţia (1) , iar dacă există surse de căldură ea verifică ecuaţia lui Poisson (2) unde f = −

F k

, F

densitatea surselor de căldură şi k coeficient de conductibilitate termică. Întrucât cu ajutorul ecuaţiilor de tip eliptic se studiază fenomene ce nu depind de variabila t la aceste ecuaţii nu se impun condiţii iniţiale ci doar condiţii de limită. Pentru a afla funcţia u(x,y,z) a unui câmp termic staţionar ecuaţiei (1) respectiv (2) i se impun una din următoarele condiţii la limită:

164

1). Se dau valorile temperaturii u(x,y,z) în punctele unei suprafeţe S care este frontiera domeniului D ⊂ R3 în care se studiază fenomenul, adică se impune condiţia:

p1) u(x,y,z)⏐S = f1 ( f 1 continuă dată ).

2). Se dă fluxul de căldură prin suprafaţa S care este frontiera domeniului D ⊂ R3 în care se studiază fenomenul , dat prin: p2) du dn →

este →

derivata →

funcţiei →

n = cosα ⋅ i + cos β ⋅ j + cos γ ⋅ k

scalare cu

→

du = f 2 , (f2 continuă dată) unde dn S

u(x,y,z)

n = 1,

după r

direcţia

vectorului

r

r

α =< (n, Ox), β =< (n, Oy ), γ =< (n, Oz ) ,

du du du du = cos α + cos β + cos γ . dn dx dy dz

3). Se dă schimbul de căldură prin suprafaţa S între corpul delimitat de suprafaţa S în care se studiază fenomenul şi mediul înconjurător a cărui temperatură se cunoaste prin: p3) u ⋅ cosα +

du cos β = f 3 (funcţie continuă dată). dn

Condiţia p1) se mai numeşte prima condiţie la limită, sau prima problemă la limită pentru ecuaţia (1) sau (2) sau problema Dirichlet. Condiţia p2) se mai numeşte a doua condiţie la limită pentru ecuaţia (1) sau (2) şi se numeşte problema lui Neumann(1903-1957−matematician de origine maghiară) . Condiţia p3) se numeşte a treia condiţie la limită pentru ecuaţia (1) sau (2) şi se vede că este o combiaţie dintre p1) şi p2). Dacă se cere funcţia u(x,y,z) care verifică ecuţia (1) sau (2) cu una din cele trei condiţii la limită, în interirorul domeniului Ω (se cere u în int Ω ) avem de a face cu problema exterioară corespunzătoare. Să enunţăm primele două probleme interioare şi exterioare: I). Problema lui Dirichlet interioară relativă la domeniul Ω şi ecuaţia (1) . Să se afle funcţia u(x,y,z) 165

ce verifică condiţiile: a) u∈C( Ω ); b) u∈C2(Ω); c) ∆u=0; d) u⏐S=f. II). Problema lui Dirichlet exterioară relativă la domeniul Ω şi ecuaţia (1) . Să se afle funcţia u(x,y,z) ce verifică condiţiile: a) u∈C( Ω* ); b) u∈C2(Ω*); c) ∆u=0; d) u⏐S=f. III). Problema lui Neumann interioară relativă la domeniul Ω şi ecuaţia (1). Să se afle funcţia u(x,y,z) ce verifică condiţiile: a) , b) , c) din I) şi d)

du = f. dn s

IV). Problema lui Neumann exterioară relativă la domeniul Ω_ şi ecuaţia (1). Să se afle funcţia u(x,y,z) ce verifică condiţiile: a) , b) , c) din II) şi d)

du = f dn s

( f în toate cele patru probleme , funcţie continuă dată ). Soluţii particulare ale ecuaţiei lui Laplace. Prezintă interes soluţiile cu simetrie sferică respectiv cu simetrie cilindrică ale ecuaţiei lui Laplace. 1). O soluţie a ecuaţiei lui Laplace se numeşte simetrie sferică dacă este o soluţie a ecuaţiei lui Laplace care depinde numai de distanţa de la un punct oarecare din spaţiu la un punct fix . Astfel se ştie că potenţialul câmpului creat de o sarcină electrică punctiformă, depinde numai de distanţa de la un punct oarecare în spaţiu în care se măsoară câmpul la punctul în care este aşezată sarcina electrică punctiformă. Fie O(0,0,0) şi M(x,y,z); d(M,O)= x 2 + y 2 + z 2 = r. Vom căuta pentru ecuaţia lui Laplace ∆u=0, soluţii de forma u=f(r). Observăm că trebuie să avem: ∂2 f ∂2 f ∂2 f + 2 + 2 = 0. ∂z ∂y ∂x 2

Dar: ∂2 f x2 r 2 − x2 = ⋅ f " ( r ) + ⋅ f ' (r ), r3 ∂x 2 r 2

166

r2 − y2 ∂2 f y2 = ⋅ f " ( r ) + ⋅ f ' (r ) şi r3 ∂y 2 r 2 ∂2 f z2 r2 − z2 = ⋅ f " ( r ) + ⋅ f ' (r ). r3 ∂z 2 r 2

Prin

înlocuirea

şi

efectuarea

2 r

diferenţială: f " (r ) + ⋅ f ' (r ) = 0 sau ln f’(r)=−2ln r+ln c1 şi f ' (r ) = obţinem u=f(r)=

calculelor

f " (r ) 2 =− , f ' (r ) r

obţinem

ecuaţia

de unde, prin integrare:

c1 c . Rezultă f (r ) = − 1 + c 2 . Luând c1= -1 şi c2=0 2 r r

1 care este o soluţie cu simetrie sferică a ecuaţiei lui Laplace ; r

prezintă interes practic întrucât cu aproximaţia unui factor constant ea ne dă potenţialul câmpului creat de o sarcină electrică punctiormă. 2) O soluţie a ecuaţiei lui Laplace se zice cu simetrie cilindrică dacă depinde numai de distanţa de la un punct oarecare din spaţiu la o axă din spaţiu. Câmpul electric creat de

o linie electrică încărcată depinde numai de distanţa de la un

punct din spaţiu în care se măsoară câmpul până la linia încărcată respectivă. Să presupunem că axa fixă din spaţiu este axa Oz. Atunci d(M,Oz)= x 2 + y 2 . Ne propunem să aflăm soluţii de forma u=f(ρ) pentru ∆u=0. ∆u=0 ⇒∆f(ρ)=0 ⇔

∂2 f ∂2 f + 2 = 0. ∂y ∂x 2

Dar: ⎧ ∂2 f x2 ρ 2 − x2 = ⋅ + ⋅ f' ( ρ ) f " ( ) ρ ⎪ ∂x 2 ρ 2 3 ρ ⎪⎪ ⎨şi ⎪ ∂2 f 2 2 2 ⎪ 2 = y 2 ⋅ f " ( ρ ) + ρ −3 y ⋅ f' ( ρ ) ⎪⎩ ∂y ρ ρ

Înlocuind obţinem: f " ( ρ ) + -1,c2= 0 obţinem u=f(ρ)=ln

1

ρ

1

ρ

.

⋅ f ' ( ρ ) = 0 cu soluţia f(ρ)=c1ln ρ+c2. Luând c1=

care prezintă interes teoretic deoarece cu ajutorul ei

se pot obţine alte ecuaţii Laplace şi prezintă interes practic deoarece cu 167

aproximaţia unui factor constant ea ne dă mărimea câmpului creat de o linie electrică încărcată. 7. Problema lui Dirichlet* pentru cerc . Formula lui Poisson. Trebuie să aflăm funcţia u(x,y)

y

Ω y O

care verifică ecuaţia lui Laplace:

M(x,y)

ρ

x

θ x

(1)

C

∂ 2u ∂ 2u + =0 ∂x 2 ∂y 2

cu condiţia:

*

Ω

(2)

u⏐c=f, ( f continuă dată ).

Pentru problema interioară soluţia u trebuie să fie mărginită în origine, iar pentru problema exterioară soluţia u trebuie să fie mărginită la infinit. Pentru a impune mai uşor condiţia la limită (2), vom trece la coordonate polare: (3)

⎧ ρ = x2 + y2 ⎧ x = ρ ⋅ cos θ ⇒ (3’) ⎪⎨ unde k=0 dacă M∈I, k=1 dacă ⎨ y ⎩ y = ρ ⋅ sin θ ⎪θ = arctg x + kπ ⎩

M∈II sau III, k=2 dacă M∈IV. Observăm că:

∂ρ x = , ∂x ρ

∂θ x = 2. ∂y ρ

Obţinem:

y ⎧ ∂u ∂u ∂ρ ∂u ∂θ x ∂u ⎪ ∂x = ∂ρ ⋅ ∂x + ∂θ ⋅ ∂x = ρ ⋅ ∂ρ − ρ 2 ⎪ ⎨ ⎪ ∂u ∂u ∂ρ ∂u ∂θ y ∂u x ⋅ + ⋅ = ⋅ + 2 ⎪ = ⎩ ∂y ∂ρ ∂y ∂θ ∂y ρ ∂ρ ρ

∗

⋅

∂u ∂θ

⋅

∂u ∂θ

Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859)-matematician german. 168

∂ρ y = , ∂y ρ

y ∂θ =− 2 , ∂x ρ

Calculăm apoi: y ∂u ⎞ ∂ 2 u ∂ ⎛ ∂u ⎞ ∂ ⎛ x ∂u ⎟= = ⋅ ⎜ ⎟ = ⋅ ⎜⎜ ⋅ − 2 ⋅ 2 ∂x ⎝ ∂x ⎠ ∂x ⎝ ρ ∂ρ ρ ∂θ ⎟⎠ ∂x ∂ρ ∂ρ ρ − x⋅ 2 yρ ⋅ 2 2 2 ∂x ⋅ ∂u − y ⋅ ⎛⎜ ∂ u ⋅ ∂ρ + ∂ u ⋅ ∂θ ⎞⎟ ∂x ⋅ ∂u + x ⋅ ⎛⎜ ∂ u ⋅ ∂ρ + ∂ u ⋅ ∂θ ⎞⎟ + = ∂θ ρ 2 ⎜⎝ ∂ρ ⋅ ∂θ ∂x ∂θ 2 ∂x ⎟⎠ ∂ρ ρ ⎜⎝ ∂ρ 2 ∂x ∂ρ ⋅ ∂θ ∂x ⎟⎠ ρ2 ρ4 ∂ρ ∂θ de unde după înlocuirea şi şi efectuarea calculelor obţinem: ∂x ∂x

(4)

⎧ ∂ 2 u x 2 ∂ 2 u 2 xy ∂ 2 u y 2 ∂ 2 u ρ 2 − x 2 ∂u 2 xy ∂u = ⋅ − ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ . ⎨ 2 ∂ρ ρ 4 ∂θ ρ 2 ∂ρ 2 ρ 3 ∂ρ ⋅ ∂θ ρ 4 ∂θ 2 ρ3 ⎩ ∂x

În mod analog găsim: (5)

⎧ ∂ 2 u y 2 ∂ 2 u 2 xy ∂ 2 u x 2 ∂ 2 u ρ 2 − y 2 ∂u 2 xy ∂u + ⋅ + ⋅ − ⋅ . ⎨ 2 = 2 ⋅ 2 + 3 ⋅ ∂ρ ρ 4 ∂θ ρ ∂ρ ρ ∂ρ ⋅ ∂θ ρ 4 ∂θ 2 ρ3 ⎩ ∂y

Înlocuim (4) şi (5) în ecuaţia (1), obţinem: ∆u =

∂ 2 u ∂ 2 u x 2 + y 2 ∂ 2 u x 2 + y 2 ∂ 2 u 2 ρ 2 − ( x 2 + y 2 ) ∂u + = ⋅ 2 + ⋅ 2 + ⋅ =0 ∂ρ ρ2 ρ4 ρ3 ∂x 2 ∂y 2 ∂ρ ∂θ

sau ∂ 2u 1 ∂ 2 u 1 ∂u + ⋅ 2 + ⋅ =0 ⋅ ρ2 ⇒ 2 2 ∂ ρ ρ ρ ∂θ ∂ρ

(6)

ρ2 ⋅

∂ 2u ∂u ∂ 2 u + ⋅ + =0 ρ ∂ρ ∂θ 2 ∂ρ 2

cu condiţia la limită (7)

u⏐ρ=a=f.

Pentru rezolvarea problemei (6),(7) vom folosi metoda separării variabilelor. Căutăm o soluţie de forma: (8)

u ( ρ , θ ) = R ( ρ ) ⋅ T (θ ).

Obsevăm că: ∂u = R ′( ρ ) ⋅ T (θ ) ∂ρ

∂ 2u ∂θ 2

şi

∂ 2u = R ′′( ρ ) ⋅ T (θ ) ∂ρ 2

,

iar

∂u = R( ρ ) ⋅ T ′(θ ) ∂θ

= R( ρ ) ⋅ T ′′(θ ).

Înlocuind în (6) obţinem: ρ 2 ⋅ R ′′( ρ ) ⋅ T (θ ) + ρ ⋅ R ′( ρ ) ⋅ T (θ ) + R( ρ ) ⋅ T ′′(θ ) = 0 169

şi

de unde prin împărţire la R ( ρ ) ⋅ T (θ ) ≠ 0 obţinem: (9)

ρ2 ⋅

R ′′( ρ ) R ′( ρ ) T ′′(θ ) . +ρ⋅ =− R( ρ ) R( ρ ) T (θ )

Membrul stâng al ecuaţiei (9) fiind o funcţie numai de ρ, iar membrul drept fiind o funcţie numai de θ , egalitatea lor este posibilă pentru orice ρ şi orice θ ,numai dacă cei doi membrii au aceaşii valoare constantă pe care o notăm cu λ;

obţinem din (9) următoarele ecuaţii: (10)

T ′′(θ ) + λ ⋅ T (θ ) = 0

şi (11)

ρ 2 ⋅ R ′′( ρ ) + ρ ⋅ R ′( ρ ) − λ ⋅ R( ρ ) = 0 .

Funcţia căutată ca soluţie u ( ρ , θ ) trebuie să fie periodică în raport cu θ cu perioada 2π, adică să avem: u (ρ, θ + 2π) = u (ρ, θ) , deoarece u trebuie să aibă aceeaşi valoare în acelaşi punct. Pentru aceasta T (θ ) trebuie să fie periodică cu perioada 2π. Avem, deci de găsit valorile parametrului real λ, pentru care ecuaţia (10) are soluţii nebanale, periodice cu perioada 2π. Ecuaţia (10) este o ecuaţie diferenţială liniară omogenă cu coeficienţi constanţi cu ecuaţia caracteristică : r 2 + λ = 0 ⇒ r1, 2 = ± − λ

Cazul I. λ=0. Avem r1=r2=0 şi T (θ ) = A ⋅ 1 + B ⋅ θ . Vom determina A şi B astfel încât T (θ ) să fie periodică cu perioada 2π, adică: T (θ + 2π ) = T (θ ) ⇒ A + B ⋅ (θ + 2π ) = A + B ⋅ θ ⇒ B = 0 ⇒ T (θ ) = A

−constant

o

soluţie banală inacceptabilă. Cazul II. λ<0. Găsim T (θ ) = A ⋅ eθ ⋅

−λ

+ B ⋅ e −θ ⋅

−λ

care este o soluţie

exponenţială reală şi ca atare nu este periodică. Cazul III. λ>0. Ecuaţia caracteristică are rădăcinile complexe conjugate

{

}

r1, 2 = ± − λ = ±i λ , deci cos(θ λ ), sin(θ λ ) este un sistem fundamental de soluţii

pentru ecuaţia (10), iar soluţia generală este: T (θ ) = A ⋅ cos(θ λ ) + B ⋅ sin(θ λ ) .

Determinăm A şi B astfel încât: T (θ + 2π ) = T (θ ) . 170

Dar: T (θ + 2π ) = A ⋅ cos(θ + 2π ) λ + B ⋅ sin(θ + 2π ) λ .Ţinând seama de faptul că perioada este 2π rezultă că: (θ + 2π ) λ − θ λ = 2nπ sau 2π λ = 2nπ de unde: λn = n 2 ,

(12)

n = 0, 1, 2,...

Deci soluţia generală a ecuaţiei (10) este: (13)

Tn (θ ) = An ⋅ cos nθ + Bn ⋅ sin nθ ,

n = 0, 1, 2,...

Cu valorile proprii (12) găsite, ecuaţia (11) devine: ρ 2 ⋅ R ′′( ρ ) + ρ ⋅ R ′( ρ ) − n 2 ⋅ R( ρ ) = 0

(11′)

care este o ecuaţie de tip Euler. Pentru integrarea ecuaţiei (11′) vom folosi schimbarea de varibilă ρ = e t . Obţinem succesiv: t = ln ρ , R′′( ρ ) =

d 2R d = dρ 2 dρ

dt 1 dR dR dt dR şi = = e −t , R ′( ρ ) = = ⋅ = e −t ⋅ dρ ρ dρ dt dρ dt

⎛ dR ⎞ d ⎛ dR ⎞ dt ⎛ −t dR d 2R ⎞ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⋅ ⎜ e −t ⋅ = ⎜⎜ − e ⋅ + e −t ⋅ 2 ⎟⎟ ⋅ e −t de unde ⎟⋅ dt ⎠ dρ ⎝ dt dt ⎠ ⎝ dρ ⎠ dt ⎝

⎛ d 2 R dR ⎞ ⎟ . Înlocuind R ′( ρ ) şi R ′′( ρ ) ecuaţia (11′) devine: R ′′( ρ ) = e − 2t ⋅ ⎜⎜ 2 − dt ⎟⎠ ⎝ dt d 2R − n 2 R = 0 care este o ecuaţie diferenţială liniară omogenă cu coeficienţi 2 dt

constanţi având ecuaţia caracteristică r2- n2=0 cu rădăcinile r1, 2 = ± n şi deci soluţia generală: R n = C n e nt + Dn e − nt sau : (14)

Rn ( ρ ) = C n ⋅ ρ n + Dn ⋅ ρ − n .

Pentru problema lui Dirichlet interioară trebuie să luăm Dn=0 deoarece în caz contrar ρ − n =

1

ρn

→ ∞ pentru ρ→0 şi soluţia u nu ar fi mărginită în origine.

Pentru problema lui Dirichlet exterioară trebuie să luăm Cn=0, în caz contrar ρn→∞ pentru ρ→∞ şi soluţia n-ar fi mărginită la ∞. Deci am găsit: (14i)

R n ( ρ ) = C n ⋅ ρ n dacă ρ ≤ a (i-interioară)

(14e)

R n ( ρ ) = D n ⋅ ρ − n dacă ρ ≥ a (e-exterioară).

şi

171

Am găsit astfel pentru ecuaţia (6) soluţiile: (15i) u n ( ρ , θ ) = Rn ( ρ ) ⋅ Tn (θ ) = ρ n ⋅ (An ⋅ cos nθ + Bn ⋅ sin nθ ) pentru ρ≤ a unde An = An ⋅ C n şi An = Bn ⋅ C n şi

(15e) u n ( ρ ,θ ) = Rn ( ρ ) ⋅ Tn (θ ) = ρ − n ⋅ (An∗ ⋅ cos nθ + Bn∗ ⋅ sin nθ ) pentru ρ≥ a unde A ∗ n = An ⋅ D n şi B ∗ n = B n ⋅ D n .

Conform principiului suprapunerii efectelor, căutăm o soluţie de forma: (16i)

∞

n =0

(16e)

(

)

u ( ρ , θ ) = ∑ ρ n ⋅ An ⋅ cos nθ + B n ⋅ sin nθ , dacă ρ ≤ a şi u ( ρ , θ ) = ∑ ρ − n ⋅ ( An∗ ⋅ cos nθ + B n∗ ⋅ sin nθ ), dacă ρ ≥ a . ∞

n=0

Vom determina coeficinţii ⎯A n,⎯Bn, An∗ , Bn∗ astfel încât soluţia (16i) respectiv(16e) să verifice condiţia u⏐ρ=a=f. Făcând în (16i) şi (16e) pe ρ=a şi ţinând seama că u⏐ρ=a=f, obţinem: (17i) u (a, θ ) = ∑ a n ⋅ (An ⋅ cos nθ + B n ⋅ sin nθ ) = f, dacă ρ ≤ a ∞

n =0

şi (17e) u (a, θ ) = ∑ a − n ⋅ (An∗ ⋅ cos nθ + Bn∗ ⋅ sin nθ ) = f, dacă ρ ≥ a . ∞

n =0

În (17i) şi (17e) avem dezvoltările în serie ale funcţiei f, în serie Fourier trigonometrică, periodică de perioadă 2π, coeficienţii acestor dezvoltări îi obţinem astfel: 2π ⎧ n 1 a A f (t ) ⋅ cos nt ⋅ dt ⋅ = ⋅ ⎪ n π ∫0 ⎪ , ⎨ 2π 1 n ⎪ a ⋅ B = ⋅ f (t ) ⋅ sin nt ⋅ dt n ⎪⎩ π ∫0

de unde: 2π ⎧ 1 ⋅ f (t ) ⋅ cos nt ⋅ dt ⎪ An = 2π 1 π ⋅ a n ∫0 ⎪ A = ⋅ f (t ) ⋅ dt . n ∈ { 1, 2, 3...} (18i) ⎨ şi 0 2π 2π ∫0 ⎪ B = 1 ⋅ f (t ) ⋅ sin nt ⋅ dt ⎪⎩ n π ⋅ a n ∫0

Dacă înlocuim (18i) în (16i) obţinem: 172

u ( ρ ,θ ) =

1

π

∞

⋅∑ n =1

ρ n ⎛⎜ 2π

2π ⎞ ⎟ + A0 ⋅ f ( t ) ⋅ cos nt ⋅ cos n θ ⋅ dt + f ( t ) ⋅ sin nt ⋅ sin n θ ⋅ dt ∫ ∫ n ⎟ a ⎜⎝ 0 0 ⎠

sau u ( ρ , θ ) = A0 +

n

∞ ⎛ρ⎞ ⋅ ∑⎜ ⎟ ⋅ π n =1 ⎝ a ⎠

1

2π

∫ f (t ) ⋅ cos n(t − θ ) ⋅ dt 0

care mai poate fi scrisă şi astfel: (19)

u( ρ ,θ ) =

1 ⋅ 2π

2π

∫ 0

n ∞ ⎡ ⎤ ⎛ρ⎞ f (t ) ⋅ ⎢1 + 2 ⋅ ∑ ⎜ ⎟ ⋅ cos n(t − θ )⎥ ⋅ dt n =1 ⎝ a ⎠ ⎣⎢ ⎦⎥

ρ ⎞ ⎛ ⎜ 0 < < 1⎟ . a ⎝ ⎠

Suma seriei care figurează sub semnul de integrare din relaţia (19) poate fi calculată pornind de la identitatea: n

n

n

∞ ∞ ⎛ρ⎞ ⎛ρ⎞ ⎛ρ⎞ in ( t −θ ) . ⎜ ⎟ ⋅ cos n(t − θ ) + i ⋅ ∑ ⎜ ⎟ ⋅ sin n(t − θ ) = ∑ ⎜ ⎟ ⋅ e ∑ n =1 ⎝ a ⎠ n =1 ⎝ a ⎠ n =1 ⎝ a ⎠ ∞

n

ρ Seria ∑ ⎛⎜ ⎞⎟ ⋅ e in (t −θ ) n =1 ⎝ a ⎠ ∞

este o serie geometrică, convergentă pentru

ρ a

<1

(condiţie îndeplinită) şi având suma: ρ S=

a 1−

⋅ e i ( t −θ )

ρ a

=

⋅ e i ( t −θ )

ρ a⋅e

− i ( t −θ )

−ρ

=

ρ [a ⋅ cos(t − θ ) − ρ + i ⋅ a ⋅ sin(t − θ )] a 2 − 2aρ ⋅ cos(t − θ ) + ρ 2

deci: ρ [a ⋅ cos(t − θ ) − ρ )] ⎛ρ⎞ . ⎜ ⎟ ⋅ cos n(t − θ ) = 2 ∑ a − 2aρ ⋅ cos(t − θ ) + ρ 2 n =1 ⎝ a ⎠ ∞

n

Cu aceasta relaţia (19) devine: u( ρ ,θ ) =

1 ⋅ 2π

2π

⎧

∫ f (t ) ⋅ ⎨⎩1 + a 0

2 ρ [a ⋅ cos(t − θ ) − ρ )] ⎫ ⎬ ⋅ dt − 2aρ ⋅ cos(t − θ ) + ρ 2 ⎭

2

sau după efectuarea calculelor din paranteza {…}obţinem: (20)

a2 − ρ 2 ⋅ u( ρ ,θ ) = 2π

2π

∫a 0

2

f (t ) ⋅ dt . − 2aρ ⋅ cos(t − θ ) + ρ 2

Formula (20) se numeşte formula lui Poisson. Funcţia u ( ρ , θ ) din (20) verifică ecuaţia (1) a lui Laplace şi condiţia la limită (2). Se poate arăta că îndeplineşte şi condiţia de a fi continuă pe Ω∪C dacă f(t) este 173

continuă. Funcţia u ( ρ , θ ) din (20) este soluţia problemei lui Dirichlet pentru interiorul cercului cu centrul în origine şi de rază a. Din (17e) obţinem în mod analog: ⎧ ∗ a n 2π ⋅ f (t ) ⋅ cos nt ⋅ dt ⎪ An = 2π π ∫0 1 ⎪ ∗ A = ⋅ n ∈ { 1 , 2 , 3 ,...} (21e) ⎨ şi n n 2π ∫0 f (t ) ⋅ dt π 2 a ∗ ⎪B = ⋅ f (t ) ⋅ sin nt ⋅ dt ⎪⎩ n π ∫0

Procedând ca în problema Dirichlet interioară din relaţiile (16e), (17e) şi (21e) obţinem în cele din urmă: (22)

u ( ρ ,θ ) =

f (t ) ⋅ dt ρ 2 − a 2 2π ⋅∫ 2 . 2 2π a − 2 a ρ ⋅ cos( t − θ ) + ρ 0

Formula (22) se numeşte formula lui Poisson. Funcţia u ( ρ , θ ) din (22) verifică ecuaţia (1) a lui Laplace şi condiţia la limită (2). Se poate arăta că îndeplineşte şi condiţia de a fi continuă pe Ω*∪C dacă f(t) este continuă. Funcţia u ( ρ , θ ) din (22) este soluţia soluţia problemei lui Dirichlet pentru exteriorul cercului cu centrul în origine şi de rază a.

8. Problema lui Neumann pentru interiorul cercului.

Să se determine funcţia u astfel încât ∆u=0, ( x2+y2=a2) şi

du dn

= f (θ ) . C

Procedând ca în cazul problemei Dirichlet se obţine soluţia (i): ∞

u ( ρ , θ ) = A0 + ∑ ρ n ⋅ ( An ⋅ cos nθ + B n ⋅ sin nθ ) n =1

unde: n ⋅ a n −1 ⋅ An =

1

π

2π

⋅

∫

f (t ) ⋅ cos nt ⋅ dt şi n ⋅ a n −1 ⋅ Bn =

0

1

π

2π

⋅

∫ f (t ) ⋅ sin nt ⋅ dt , 0

după care însumarea se face imediat dacă ţinem seama de agalitatea: ∞

− 2 ⋅ ∑ qn ⋅ n =1

cos nα = ln(1 − 2q ⋅ cos α + q 2 ) n

174

(A0 ramâne nedeterminat). Soluţia problemei Neumann pentru interiorul cercului x2+y2
du dn

a ⋅ 2π

= f (θ ) este: ρ =a 2π

∫

f (t ) ⋅ ln

0

a 2 − 2aρ ⋅ cos(t − θ ) + ρ 2 ⋅ dt . a2

Formula de mai sus se numeşte formula lui Dini. 9. Ecuaţia căldurii. Să considerăm o bară rectilinie situată pe axa Ox şi să notăm cu u(x,t) temperatura în punctul M(x) al barei la momentul t.

În ipoteza că între suprafaţa barei şi mediul înconjurător nu există schimb de căldură, se arată că u(x,t) verifică ecuaţia: (1)

∂ 2 u 1 ∂u , = ⋅ ∂x 2 a 2 ∂t

unde a2 este o constantă pozitivă care depinde de natura materialului din care este făcută bara: a 2 =

k , k-coeficientul de conductibilitate termică, c-este căldura c⋅ρ

specifică şi ρ-densitatea. Bara este presupusă omogenă şi izotropă. Ecuaţia (1) se numeşte ecuaţia căldurii. În R2 şi R3 (1) are forma: (1′)

∂ 2 u ∂ 2 u 1 ∂u + = ⋅ ∂x 2 ∂y 2 a 2 ∂t

şi respectiv: (1′′)

∂ 2 u ∂ 2 u ∂ 2 u 1 ∂u + + = ⋅ ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 a 2 ∂t 175

Ne vom ocupa de ecuaţia (1) la care adăugăm condiţia iniţială: (2)

u ( x,0) = f ( x ), x ∈ R

care precizează distribuţia temperaturilor la momentul t=0. Vom căuta soluţii particulare ale ecuaţiei (1) de forma: (3)

u ( x , t ) = X ( x ) ⋅ T (t ) .

Derivăm şi înlocuind în (1) obţinem: X ′′( x) ⋅ T (t ) =

1 ⋅ X ( x) ⋅ T ′(t ) . a2

Vom elimina soluţia banală u ( x, t ) ≡ 0 şi prin împărţire la X(x)⋅T(t) obţinem: X ′′( x) 1 T ′(t ) = ⋅ =k X ( x ) a 2 T (t )

(k-constantă, deorece x şi t sunt independente). Obţinem ecuaţiile: (4)

T ′(t ) − ka 2 ⋅ T (t ) = 0

(5)

X ′′( x ) − k ⋅ X ( x) = 0 .

şi Din ecuaţia (4) obţinem soluţia generală: 2

T (t ) = C ⋅ e ka t , C-constantă.

Se pot prezenta trei cazuri: 1) k rel="nofollow">0. Când timpul t creşte, T (t ) creşte putând să depăşască orice valoare. Aceeaşi proprietate o va avea şi u( x, t ) , oricare ar fi punctul M(x) al barei. Acest caz este inacceptabil din punct de vedere fizic. 2) k=0.Avem T(t)=C, temperatura în fiecare punct al barei nu depinde de timp. Şi acest caz este inacceptabil. 3) k<0. Notăm k=−λ2, λ>0. Soluţiile generale ale ecuaţiilor (4) şi (5) sunt: 2 2

X ( x) = C1 ⋅ cos λx + C2 ⋅ sin λx şi T (t ) = C ⋅ e − λ a t ,

unde C1, C2, C sunt constante arbitrare. Soluţiile (3) ale ecuaţiei (1) sunt: (6)

u ( x, t , λ ) = [ A(λ ) ⋅ cos λx + B(λ ) ⋅ sin λx] ⋅ e − λ a t 2 2

unde A(λ)=C⋅C1 şi B(λ)=C⋅C2. 176

Deoarece condiţiile la limită lipsesc, toate valorile strict pozitive ale lui λ sunt îndreptăţite. Vom încerca să determinăm soluţia problemei sub forma: ∞

u ( x, t ) = ∫ u ( x, t , λ ) ⋅ dλ

(7)

0

care înlocuieşte seria din cazul când avem valori proprii şi funcţii proprii. Condiţia iniţială (2) dă: ∞

∫ u ( x,0, λ ) ⋅ dλ = f ( x) 0

sau, ţinând seama de (6), ∞

∫ [A(λ ) ⋅ cos λx + B(λ ) ⋅ sin λx] ⋅ dλ = f ( x) .

(8)

0

În relaţia de mai sus, să considerăm pentru funcţia f(x) reprezentarea ei 1

printr-o integrală Fourier: f ( x) =

π

∞

∞

0

−∞

⋅ ∫ dλ ⋅

∫ f (τ ) ⋅ cos λ ( x − τ ) ⋅ dτ .

Această egalitate se mai scrie: f ( x) =

∞ ∞ ∞ ⎤ ⎡ ⋅ ∫ ⎢cos λx ⋅ ∫ f (τ ) ⋅ cos λτ ⋅ dτ + sin λx ⋅ ∫ f (τ ) ⋅ sin λτ ⋅ dτ ⎥ ⋅ dλ . π 0⎣ −∞ −∞ ⎦

1

Comparând cu (8), observăm că: A(λ ) =

1

π

∞

⋅

∫

f (τ ) ⋅ cos λτ ⋅ dτ , B (λ ) =

−∞

1

π

∞

⋅

∫ f (τ ) ⋅ sin λτ ⋅ dτ

−∞

Cu aceasta (6) devine: (9)

1

u ( x, t , λ ) =

π

∞

⋅

∫ f (τ ) ⋅ e

− λ2 a 2 t

⋅ cos λ ( x − τ ) ⋅ dτ .

−∞

Înlocuind relaţia (9) în relaţia (7) obţinem: u ( x, t ) =

1

π

∞

∞

0

−∞

⋅ ∫ dλ ∫ f (τ ) ⋅ e − λ a t ⋅ cos λ ( x − τ ) ⋅ dτ 2 2

sau, schimbând ordinea de integrare: u ( x, t ) =

1

π

∞

⋅

∫

−∞

∞

f (τ ) ⋅ dτ ⋅ ∫ e − λ a t ⋅ cos λ ( x − τ ) ⋅ dλ . 0

177

2 2

.

∞

Integrala ∫ e

− λ2 a 2 t

0

1 π − ⋅ cos λ ( x − τ ) ⋅ dλ = ⋅ ⋅e 2a t

( x −τ ) 2 4 a 2t

, t > 0 (integrala Poisson) , şi

soluţia problemei se mai scrie: (10)

∞

1

u ( x, t ) =

2 a πt

∫ f (τ ) ⋅ e

⋅

−

( x −τ ) 2 4 a 2t

⋅ dτ .

−∞

Această formulă se generalizează pentru R2 şi R3. Astfel, pentru R3, ∆u =

1 ∂u ⋅ cu u(x,y,z,0)=f(x,y,z), M(x,y,z)∈R3 soluţia este: 2 a ∂t

(11)

u ( x, y , z , t ) =

(2a

∞ ∞ ∞

1

∫ ∫ ∫ f (ξ ,η, ζ ) ⋅ e πt ) 3

⋅

−

( x −ξ ) 2 + ( y −η ) 2 + ( z −ζ ) 2 4 a 2t

⋅ dξ ⋅ dη ⋅ dζ

− ∞− ∞− ∞

în ipoteza că f(x,y,z) este continuă, mărginită şi absolut integrabilă. 10. Proprietăţii ale funcţiilor armonice. Prima formulă a lui Green. A doua formulă a lui Green. Prima formulă a lui Green. Fie u şi v două funcţii cu derivate parţiale până la ordinul doi, continue întrun domeniu D⊂R3. Notăm S=Fr(D). În aceste condiţii avem: (1)

∂v

∫∫ u ⋅ ∂n ⋅ ds = ∫∫∫ [u ⋅ ∆v + grad u ⋅ grad v] ⋅ dω , S

D

unde n este normala la suprafaţa S. ((1) este prima formulă a lui Green). Pentru a justifica formula (1) vom scrie formula lui Gauss-Ostrogradschi r

pentru vectorul a = u ⋅ grad v : r r

r

∫∫ a ⋅ n ⋅ ds = ∫∫∫ div a ⋅ dω S

r r

În acest caz a ⋅ n = u ⋅

D

r ∂v r ∂v , deoarece grad vn = , n fiind considerat un versor. ∂n ∂n

r

Pe de altă parte div a = u ⋅ ∆v + grad u ⋅ grad v , ceea ce rezultă prin calcul direct asupra

178

r

lui a = u ⋅

∂v r ∂v r ∂v r ⋅ i + u ⋅ ⋅ j + u ⋅ ⋅ k (sau prin calcul cu nabla). Formula (1) se obţine ∂x ∂y ∂z

apoi prin simplă înlocuire în formula Gauss-Ostrogradschi. A doua formulă a lui Green. În aceleaşi condiţii asupra lui u şi v, avem: (2)

∂v

⎛

∂u ⎞

∫∫ ⎜⎝ u ⋅ ∂n − v ⋅ ∂n ⎟⎠ ⋅ ds = ∫∫∫ (u ⋅ ∆v − v ⋅ ∆u ) ⋅ dω . S

D

Demostraţie. Schimbând rolurile lui u şi v în (1) obţinem: ∂u

∫∫ v ⋅ ∂n ⋅ ds = ∫∫∫ (v ⋅ ∆u + grad u ⋅ grad v ) ⋅ dω . S

D

Scăzând această relaţie din (1) obţinem formula (2). Consecinţă. Dacă u şi v sunt funcţii armonice în domeniul mărginit de suprafaţa S, avem: (3)

∂v

∂u

∫∫ u ⋅ ∂n ⋅ ds =∫∫ v ⋅ ∂n ⋅ ds S

S

şi (4)

∂u

∫∫ ∂n ⋅ ds = 0 . S

Demonstraţie. Aceste proprietăţii ale funcţiilor armonice rezultă direct din formula (2), deoarece ∆u=0 şi ∆v=0. În particular, proprietatea a doua rezultă din prima dacă luăm v=1. Are loc şi Teorema (de reprezentare a funcţiilor armonice în formă integrală). Fie u o funcţie armonică în domeniul D⊂R3 şi S frontiera acestui domeniu. Atunci pentru orice punct M0∈D avem: (5)

⎡ ⎛ 1 ⎞⎤ ∂⎜ ⎟ ⎥ ⎢ 1 1 ∂u ⎝ r ⎠⎥ u(M 0 ) = ⋅ ds , ⋅ ∫∫ ⎢ ⋅ −u⋅ 4π S ⎢ r ∂n ∂n ⎥ ⎥ ⎢ ⎦ ⎣

unde r este distanţa de la M0 la punctul curent M∈S.

179

Demonstraţie. Pornim de la a doua formulă a lui Green (2), în care 1 r

considerăm v = , adică soluţia cu simetrie sferică în raport cu M0, a ecuţiei lui Laplace. Deoarece în punctul M0 funcţia v nu este definită, folosind faptul că acesta este interior mulţimii D, vom izola acest punct cu o vecinătate sferică V(M0,ε), cu cetrul în M0, de rază ε, suficient de mică pentru ca V(M0,ε)⊂D. Vom nota cu Sε suprafaţa (frontiera) sferei V(M0,ε). În domeniul D1= D \V(M0,ε), atât u cât şi v sunt armonice, deci putem aplica formula(2): ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎛1⎞ ⎛1⎞ ⎟ ⎜ ∂⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ∂⎜ ⎟ r ⎠ 1 ∂u ⎟ r ⎠ 1 ∂u ⎟ ⎝ ⎝ ⎜ ⎜ (u ⋅ ∆v − v ⋅ ∆u ) ⋅ dω = ∫∫ ⎜ u ⋅ ⋅ ds . ⋅ ds − ∫∫ u ⋅ − ⋅ − ⋅ ∫∫∫ ⎜ r ∂n ⎟ r ∂n ⎟ ∂n ∂n D1 S Sε ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝

Semnul − apare din cauză că normala n, în integrala pe Sε, se consideră pe exteriorul sferei, în timp ce în formula (2) ar trebui să se considere spre interior. Se observă că deoarece u=

1 1 şi v= sunt armonice pe D1, avem: r r

⎞ ⎛ ⎛1⎞ ⎛1⎞ ⎟ ⎜ ∂⎜ ⎟ ∂⎜ ⎟ 1 ∂u ⎝r⎠ ⎝ r ⎠ 1 ∂u ⎟ ⎜ ∫∫S ⎜ u ⋅ ∂n − r ⋅ ∂n ⎟ ⋅ ds = ∫∫S u ⋅ ∂n ⋅ ds − ∫∫S r ⋅ ∂n ⋅ ds . ε k ⎟ ⎜ ⎠ ⎝

Prin calcul direct al derivatei după normală, găsim: ⎛1⎞ ⎛1⎞ ∂⎜ ⎟ ∂⎜ ⎟ 1 ⎝r⎠ ⎝r⎠ =− 2 , = ∂r ∂n ε

deci, prima integrală pe Sε devine: ⎛1⎞ ∂⎜ ⎟ 1 ⎝r⎠ 2 ∗ ∗ ∫∫S u ⋅ ∂n ⋅ ds = − ε 2 ⋅ 4π ⋅ ε ⋅ u = −4π ⋅ u , ε

unde u* este o valoare medie a lui u pe Sε. În mod analog, pentru a doua integrală pe Sε, găsim: ∗

∗

1 ∂u 1 ⎛ ∂u ⎞ 2 ⎛ ∂u ⎞ ∫∫S r ⋅ ∂n ⋅ ds = ε ⋅ 4π ⋅ ε ⋅ ⎜⎝ ∂n ⎟⎠ = 4π ⋅ ε ⋅ ⎜⎝ ∂n ⎟⎠ , ε

180

∗

∂u ∂u unde ⎛⎜ ⎞⎟ este o valoare medie a lui pe Sε. ⎝ ∂n ⎠

∂n

În concluzie putem scrie că: ⎞ ⎛ ⎛1⎞ ⎟ ⎜ ∂⎜ ⎟ ∗ ⎜ u ⋅ ⎝ r ⎠ − 1 ⋅ ∂u ⎟ ⋅ ds = −4π ⋅ u ∗ + 4π ⋅ ε ⋅ ⎛ ∂u ⎞ . ⎜ ⎟ ∫∫S ⎜ ∂n r ∂n ⎟ ⎝ ∂n ⎠ ⎟ ⎜ ⎠ ⎝

În această egalitate ε este arbitrar; atunci când ε→0, în baza continuităţi ∗

∂u funcţiei u, u tinde la u(M0), iar ⎛⎜ ⎞⎟ are, de asemenea, o limită finită, astfel că ⎝ ∂n ⎠ *

ultimul termen tinde la zero. Se vede că prin această tercere la limtă se obţine tocmai formula (5). Obsevaţii. 1.Teorema precedentă rămâne valabilă dacă D este un subdomeniu al domeniului de armonicitate al funcţiei u. 2.Formula (5) arată că valorile funcţiei armonice u, în punctele M0, interioare lui D, sunt determinate de valorile pe frontiera S, şi de valorile derivatei după normală pe S. Aşa cum am văzut deja în problema lui Dirichlet pentru cerc, în general determinarea lui u nu necesită cunoaşterea ambelor grupuri de valori; cunoaşterea valorilor lui u pe S conduce la o problemă Dirichlet, iar cunoaşterea lui

∂u pe S conduce la o problemă Neumann. ∂n

3.O formulă analoagă cu (5) se poate obţine pentru funcţiile armonice în 1 r

domenii din plan. Pentru aceasta folosim soluţia cu simetrie cilindrică, v = ln , şi gasim în mod analog: ⎡ ⎛ 1 ⎞⎤ ∂⎜ ln ⎟ ⎥ ⎢ 1 r ⎠⎥ ⎛ 1 ⎞ ∂u u(M 0 ) = ⋅ ds , ⋅ ∫ ⎢⎜ ln ⎟ ⋅ −u⋅ ⎝ 2π C ⎢⎝ r ⎠ ∂n ∂n ⎥ ⎥ ⎢ ⎦ ⎣

unde C este o curbă închisă astfel încât M0∈(C)⊆D.

181

În cele ce urmează vom prezenta două consecinţe importante ale formulei (5): teorema de medie şi principiul extremului: Teoremă (de medie pentru funcţiile armonice). Dacă u este o funcţie armonică pe domeniul D, M0∈D şi S este o sferă cu centrul în M0, de rază a, inclusă cu interiorul în D, avem: (6)

u (M 0 ) =

1 ⋅ u ⋅ ds 4πa 2 ∫∫ S

.

Demonstraţie. În formula (5) cosiderăm pe r =a şi observând că: ⎛1⎞ ⎛1⎞ ∂⎜ ⎟ ∂⎜ ⎟ ⎝r⎠ ⎝r⎠ = ∂r ∂n

=−

1 a2

r =a

obţinem: u(M 0 ) =

∂u 1 1 1 ⋅ ∫∫ ⋅ ds + ⋅ u ⋅ ds = ⋅ u ⋅ ds 2 ∫∫ 4πa S ∂n 4πa S 4πa 2 ∫∫ S

(deoarece prima integrală este nulă (relaţia (4))). Deoarece 4πa2 este tocmai aria suprafeţei S, se spune că u(M0) este media valorilor lui u pe S. Teoremă. (principiul extremului pentru funcţii armonice). Valorile extreme ale unei funcţii armonice pe un domeniu D se ating pe frontiera acestui domeniu (cu excepţia constantelor). Demonstraţie. Să presupunem prin reducere la absurd că funcţia u, armonică pe D, îşi atinge maximul într-un punct M0, interior lui D. Fie V(M0,ε) o vecinătate sferică a lui M0, de rază ε, suficient de mică astfel încât V(M0,ε)⊆D, şi fie S frontiera acestei sfere. Dacă u nu este constantă, valoarea medie u*, pe S, este strict mai mică decât u(M0). Pe de altă parte, aplicând teorema de medie integralei duble din formula (6) obţinem:u(M0)=u*. Contradicţia obţinută arată că nu este posibil ca M0 să fie interior domeniului D. Observaţie. Cu toate că în formula (5) sunt exprimate valorile funcţiei armonice u în funcţie de valorile ei pe frontieră şi de valorile derivatei sale după 182

normală, pe frontieră, această formulă nu este de prea mare folos în practică. O metodă eficientă în rezolvarea problemelor Dirichlet şi Neumann, este aceea a funcţiilor lui Green, care constă în reducerea problemei Dirichlet la o problemă particulară, aceasta depinzând numai de formula domeniului D. 10. Probleme propuse. 1. Să se reducă la forma canonică, ecuaţiile cu derivate parţiale de ordinul doi: 10)

∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u =0 +3 +2 ∂x∂y ∂y 2 ∂x 2

20)

∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u +2 + =0 ∂x∂y ∂y 2 ∂x 2

3)

∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂u ∂u 2 2 x + 2xy +y +x +y =0 2 2 ∂x∂y ∂x ∂y ∂x ∂y

40)

x2

∂u ∂u ∂ 2u ∂ 2u =0 −y +x − y2 ∂y ∂x ∂x 2 ∂y 2

50)

y2

∂ 2u ∂ 2u =0 + x2 2 ∂x 2 ∂y

60)

6

70)

y2

0

∂ 2 u ∂ 2u ∂ 2u =0 −5 + ∂x∂y ∂y 2 ∂x 2 ∂u ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u +y =0 + 2xy + 2x 2 ∂y ∂x∂y ∂y 2 ∂x 2

8)

∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂u 2 − 2sinx − cos x − cosx =0 2 2 ∂x∂y ∂y ∂x ∂y

90)

4x 2

0

∂u ∂ 2u 2 ∂ 2u -y =0 + 2x ∂x ∂x 2 ∂y 2

183

2. Să se integreze ecuaţia coardei: ∂ 2u 1 ∂ 2u − =0 ∂x 2 c 2 ∂t 2

cu condiţiile: u(0,t)=0, u(l,t)=0 l ⎧ 2h ⎪ l ⋅ x, 0 ≤ x ≤ 2 u ( x, o ) = ⎨ l 2h ⎪ ⋅ (l − x ), ≤x≤l 2 ⎩ l

şi

∂u ( x,0) = 0 . ∂t n ( − 1) R : u ( x, t ) = 2 ⋅ ∑ π n =0 (2n + 1)2 ∞

8h

⋅ sin

(2n + 1)πx ⋅ cos (2n + 1)πct . l

l

3. Să se integreze ecuaţia coardei: ∂ 2u 1 ∂ 2u =0 − ∂x 2 c 2 ∂t 2

cu condiţiile: u(0,t)=0, u(l,t)=0 u ( x, o ) = − ∂u ∂t

şi

4h ⋅ x( x − l ), x ∈ [o, l ] l2 =0.

t =0

R : u ( x, t ) =

32h

π

3

∞

⋅∑ n =0

1

(2n + 1)

3

⋅ sin

(2n + 1)πx ⋅ cos (2n + 1)πct . l

4. Să se determine u(x,t) care satisface ecuaţia: 2 ∂ 2u ∂u 2 ∂ u +x +x = 0, x ∈ [0, l ], t ∈ (− ∞, ∞ ) 2 2 ∂x ∂t ∂x

cu condiţiile: u(x,t+2π)=u(x,t), x∈[0,l], t∈(-∞,∞) 184

l

u(0,t)=0, u(l,t)=f(t), t∈(-∞,∞) unde f(t) este o funcţie de perioadă 2π definită astfel: f (t ) =

sin t . 5 − 4 cos t n

1 ∞ ⎛ x⎞ R : u ( x, t ) = ⋅ ∑ ⎜ ⎟ ⋅ sin nt . 2 n =1 ⎝ 2l ⎠

5. Să se determine funcţia u(x,t) care verifică ecuaţia: ∂ 2 u 1 ∂u = ⋅ ∂t 2 x ∂x

cu condiţiile: u(x,t+2π)=u(x,t), u(0,t)=f(t), unde f(t) este o funcţie de perioadă 2π definită astfel: f (t ) =

1 , 5 − 4 cos t

x∈[0,l],

t∈(-∞,∞)

1

R : u ( x, t ) =

1 2 ∞ 1 − 2 n2 x2 + ⋅∑ ⋅e ⋅ cos nt . 3 3 n =1 2 n

6. Să se reducă la forma canonică şi să se integreze ecuaţia:

a)

x2

2 ∂ 2u ∂ 2u ∂u 2 ∂ u − 2 xy + y + 2y =0 2 2 ∂x∂y ∂y ∂x ∂y

u = x ⋅ f ( x ⋅ y) + ψ ( x ⋅ y) .

b)

∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u +3 +2 2 =0 ∂x∂y ∂x 2 ∂y ∂u (o, y ) = 3 y 2 . ∂x 3 2 u = ( y − x) + 2( y − x) + (2 x − y ) + 2 x − y

u (0, y ) = y,

185

∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u + 5 + 6 =0 ∂x∂y ∂x 2 ∂y 2

c)

u ( x,2 x) = e − x , u ( x,3x) = e x u = e y −3 x + e y − 2 x − 1

d)

6

.

∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u − 5 + =0 ∂x∂y ∂y 2 ∂x 2 ∂u ( x, o) = 3 cos x − 2 sin x ∂y . u ( x, y ) = sin( x + 3 y ) + cos( x + 2 y ) u ( x,0) = sin x + cos x,

e)

x2 ⋅

2 ∂ 2u ∂u ∂u 2 ∂ u y − ⋅ + x⋅ − y⋅ =0 2 2 ∂x ∂y ∂x ∂y

⎛ ∂u ⎞ u ( x,1) = e x , ⎜⎜ ⎟⎟ = x ⋅ e − x ⎝ ∂y ⎠ y =1 x u ( x, y ) = sh xy + ch y

f)

.

2 ∂ 2u ∂ 2u ∂u ∂u 2 ∂ u x ⋅ 2 − 2 xy ⋅ + y ⋅ 2 + x⋅ − y⋅ =0 . ∂x ⋅ ∂y ∂x ∂y ∂x ∂y 2

186

CAPITOLUL VII ELEMENTE DE CALCUL VARIAŢIONAL

1. Probleme geometrice şi mecanice de calcul variaţional. Funcţională. Funcţii admisibile. Clasificarea extremelor funcţionalelor (extreme absolute, extreme relative). Lemele fundamentale ale calculului variaţional. Vom defini noţiunile de bază ale calculului variaţional pornind de la ideile sugerate de câteva probleme de extremum clasice. 1) Problema brachistocronei. Prima problemă de calcul variaţional a fost problema brachistocronei. Un punct material M porneşte din A fără viteză iniţială şi se mişcă sub acţiunea gravitaţiei pe arcul de curba AB cuprinsă într-un plan vertical (fig.1). Problema brachistocronei constă în următoarele: dintre toate curbele netede ce unesc punctele A şi B să se determine aceea pe care punctul M ajunge din A în B în timpul cel mai scurt. Viteza lui M în fiecare punct al arcului AB este: V=

ds = 2gy . dt

Timpul în care punctul material M descrie arcul AB va fi dat b 1 + y′2 ds ⋅ dx , y=y(x),x∈[a,b]. de: T = ∫ = ∫ V a 2 gy

187

Deci timpul T necesar ca punctul material (mobilul) să ajungă din A în B pe arcul y=y(x), x∈[a,b], are expresia (T[y]): b

T [y] = ∫ a

1 + y′2 2 gy

⋅ dx, y ∈ C 1 [a, b] .

Spunem că timpul este o funcţională de tip integrală care depinde de y şi care verifică condiţiile y(a)=0, y(b)=y1. Funcţionala (1) are ca domeniu de definiţie funcţiile de clasă C1[a,b] care trec prin punctele date A şi B.Aceste funcţii se numesc linii admisibile în cazul problemei brachistocronei sau traiectoriei optimale. Problema revine deci la a determina curba y(x)∈C1[a,b] care trece prin punctele A şi B pentru care funcţionala (1) ia valoarea minimă. 2) Problema geodezicelor. Fie (S) o porţiune netedă de suprafaţă a cărei ecuaţie sub formă implicită este F(x,y,z)=0, iar B (S) A

un arc

de curbă, aparţinând suprafeţei (S) şi care trece prin punctele A şi B de pe suprafaţa (S). (fig.2). Numim curbă geodezică a suprafeţei orice arc de curbă de pe suprafaţa

Fig. 2

(S)

ce

realizează

minimul

distanţei dintre două puncte de

pe

suprafaţă. Dacă y=y(x), z=z(x), x∈[a,b], y,z∈C1[a,b] sunt ecuaţiile parametrice ale unui arc de curbă de pe suprafaţa (S) ce trece prin A şi B, atunci lungimea arcului este dată de: (2)

b

I[y( x ), z( x )] = ∫ 1 + y′ 2 ( x ) + z ′ 2 ( x ) ⋅ dx . a

188

În acest fel, problema geodezicelor constă în determinarea funcţiilor y(x) şi z(x) de clasă C1[a,b] care să treacă prin A, B şi să satisfacă ecuaţia suprafeţei, deci F(x,y(x),z(x))=0 şi să realizeze minimul funcţionalei (2) care depinde de două funcţii necunoscute y(x) şi z(x). Mulţimea liniilor admisibile pentru funcţionala (2) reprezintă totalitatea arcelor de curbă de pe suprafaţa (S) cu tangenta continuă şi care trece prin punctele date A şi B. În plan, geodezicele sunt segmente de dreaptă. 3) Problema suprafeţelor minime(Plateau). Dată fiind o curbă simplă închisă C, situată în spaţiul cu trei dimensiuni, se cere să se determine suprafaţa deschisă (S) mărginită de această curbă şi care are aria minimă. Fie

Γ=prxOyC,

∆=prxOyS

şi

z=z(x,y), (x,y)∈∆ ecuaţia suprafeţei (S) (fig.3) ∆

Aria suprafeţei (S) este dată de egalitatea: (3) I [z ] = AS = ∫∫ ∆

2

2

⎛ ∂z ⎞ ⎛ ∂z ⎞ 1 + ⎜ ⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ dx ⋅ dy ⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂y ⎠

Avem de determinat funcţia z=z(x,y) care face minimă integrala (3) şi ia valorile z=ϕ(x,y) pe curba Γ, frontiera domeniului ∆. 4) Probleme de extremum codiţionat. Cele trei exemple considerate reprezintă probleme tipice de calcul variaţional (extremum necondiţionat). O altă clasă de probleme de calcul variaţional o constituie problemele de extremum condiţionat. a. Problema formei de echilibru unui fir greu flexibil şi inextensibil de lungime dată, fixat la capete (fig.4). 189

Poziţia de echilibru corespunde cazului când ordonata centrului de greutate yG are valoarea minimă. Fie

:y=y(x) ecuaţia de echilibru. Atunci: (4)

b

1 y G = ⋅ ∫ y ⋅ 1 + y ′ 2 ⋅ dx l a b

(l - lungimea AB ) l = ∫ 1 + y ′ 2 ⋅ dx . a

Problema formei de echilibru a lănţişorului

constă

în

determinarea

funcţiei y=y(x)∈C1[a,b] care să treacă prin punctele A şi B, să verifice condiţia b

` l = ∫ 1 + y ′ 2 ⋅ dx şi să realizeze minimul a

funcţionalei (4). b. Problema izoperimetrică. Se cere curba plană închisă, de lungime l care delimitează un domeniu mărginit de arie maximă. Fie x=x (t),y=y(t), t∈[a,b] ecuaţiile parametrice ale unei curbe C. Avem: x(a)= x(b),y(a)= y(b). Condiţia ca lungimea curbei C să fie l se scrie: (5)

b

∫

x ′ 2 + y ′ 2 ⋅ dt = l ,

a

iar aria mărginită de această curbă este dată de integrala: (6)

b

1 A = ⋅ ∫ (yx ′ − xy ′) ⋅ dt 2 a

.

Avem de determinat x= x(t),y=y(t) supuse la codiţiile x(a)= x(b), y(a)= y(b) care verifică (5) şi fac integrala (6) maximă. În exemplele prezentate mai sus s-a pus problema extremelor unor integrale care depind de funcţiile care intervin sub semnul de integrare. Astfel, în primul exemplu, avem o integrală de forma: (7)

b

I [ y ] = ∫ F ( x, y, y ′) ⋅ dx , a

190

în al doilea o integrală: b

I [ y, z ] = ∫ F ( x, y, z , y ′, z ′) ⋅ dx ,

(8)

a

iar în al treilea: (9)

I [u ] = ∫∫ F ( x, y, u , D

∂u ∂u , ) ⋅ dx ⋅ dy . ∂x ∂y

Definiţie. Fie F o mulţime de funcţii. Dacă fiecărei funcţii f∈F facem să-i corespundă un număr real, vom spune că avem o funcţională I[f] definită pe F cu valori în R. Definiţie. Se numeşte vecinătate de ordinul n al funcţiei f0∈F, mulţimea funcţiilor f∈F care pentru orice x∈[a,b] verifică inegalităţile:

(10)

⎧ f ( x) − f 0 ( x) < ε ⎪ ⎪ f ′( x) − f 0′ ( x) < ε ⎨ ⎪ ........................... ⎪ f (n ) ( x) − f (n ) 0 ( x) < ε ⎩

unde ε este un număr strict pozitiv dat (n=0-vecinătate de ordinul zero). Definiţie.

Diferenţa

δf0(x)=f(x)-f0(x),

x∈[a,b]

se

numeşte

variaţia

argumentului funcţionalei I[f] când se trece de la funcţia f0∈F la funcţia f∈F. În exemplele expuse de mai sus am văzut că nu toate funcţiile mulţimii F pe care este definită o funcţională I[f] sunt luate în considerare în problema respectivă (de minim sau maxim). Definiţie. Se numesc funcţii admisibile într-o problemă de extremum a unei funcţionale I[f], f∈F, acele funcţii din F care satisfac condiţiile suplimentare impuse de problema respectivă. Să precizăm ce se înţelege prin maximul sau minimul unei funcţionale. Fie I[f] o funcţională definită pe mulţimea F şi G, mulţimea funcţiilor admisibile într-o problemă de extremum a funcţionalei I[f]. Evident, G⊂F. Definiţie. Se spune că I[f] admite un maxim absolut pentru f0∈G, dacă pentru orice funcţie f∈G avem: I[f0] ≥ I[f]. 191

Dacă pentru orice funcţie f∈G avem: I[f0] ≤ I[f], atunci se spune că f0 realezează un minim absolut al funcţionalei I[f]. Ca şi petru extremele unei funcţii, uneori ne interesează, nu extremele absolute ale unei funcţionale, ci extremele relative în care noţiunea de vecinătate joacă un rol important. Definiţie. Se spune că funcţionala I [f] admite un maxim relativ tare pentru f0∈G dacă există o vecinătate de ordinul zero a funcţiei f0 astfel încât, pentru orice funcţie f∈G, conţinută în această vecinătate, I[f0] ≥ I[f] Dacă această inegalitate are loc numai pentru funcţiile f∈G situate într-o vecinătate de ordinul întâi a funcţiei f0, se spune că I[f] admite pentru f0 un maxim relativ slab. Analog se definesc minimele relative tari şi slabe ale funcţiei I[f]. Maximele şi minimele unei funcţionale se numesc extremele acelei funcţionale. Evident, orice extrem absolut al unei funcţionale este şi extremum relativ tare. De asemenea, orice extremum relativ tare îndeplineşte şi condiţiile unui extremum relativ slab. În cele ce urmează vom determina condiţii necesare de extremum ralativ slab, acestea fiind condiţii necesare şi pentru un extremum relativ tare sau pentru un extremum absolut. Pentru stabilirea unor astfel de condiţii vom utiliza două teoreme ajutătoare care se numesc lemele fundamentale ale calculului variaţional. LEMA 1 (Lagrange). Fie funcţia f∈C[a,b]. Dacă (11)

b

∫ f ( x) ⋅ η ( x) ⋅ dx = 0 a

pentru orice funcţie continuă cu derivata continuă, η∈C1[a,b] şi care verifică condiţiile η(a) = η(b) = 0, atunci f(x)≡0 pe [a,b].

192

Demonstraţie. Să presupunem că într-un punct c∈[a,b] am avea f(c)≠0. Dacă c=a atunci pe baza continuităţii rezultă f(a)≠0. Analog, pentru c=b. De aceea vom admite că f(c)≠0, c∈(a,b). Putem considera f(c)>0 (astfel înmulţim cu(-1) relaţia (11) . Deoarece f∈C[a,b] şi f(c)>0 rezultă că există intervalul (α,β), α < c < β, conţinut în [a,b],

astfel încât să avem: f(x)>0,∀x∈(α,β). Considerăm funcţia: ⎧( x − α ) 2 ⋅ ( x − β ) 2 , x ∈ (α , β ) , x ∉ (α , β ) ⎩0

η ( x) = ⎨

Observăm că η(x) satisface condiţiile lemei (ϕ(a) = η(b) = 0 şi η∈C1[a,b]) şi β

b

∫ f ( x) ⋅ η ( x) ⋅ dx = α∫ f ( x) ⋅ ( x − α )

2

⋅ ( x − β ) 2 ⋅ dx > 0 deoarece f(x)>0 pentru x∈(α,β).

a

Inegalitatea obţinută cotrazice egalitatea (11) din lemă şi lema este astfel demonstrată. LEMA 2 (Du Bois Raymond). Fie funcţia continuă g∈C[a,b]. Dacă (12)

b

∫ g ( x) ⋅ η ′( x) ⋅ dx = 0 a

pentru orice funcţie η∈C1[a,b] care verifică condiţiile η(a) = η(b) = 0, atunci g(x) este constantă în intervalul [a,b], deci g(x)= constant. Prin combinarea celor două leme obţinem o propoziţie de bază conţinând cele două leme şi care se aplică la deducerea condiţiilor necesare de extremum. LEMA FUNDAMENTALĂ A CALCULULUI VARIAŢIONAL. Fie funcţiile continue f,g∈C[a,b]. Dacă (13)

b

∫ [ f ( x) ⋅ η ( x) + g ( x) ⋅ η ′( x)] ⋅ dx = 0 a

193

pentru orice funcţie η∈C1[a,b] care verifică condiţiile η(a) = η(b) = 0, atunci funcţia g este derivabilă pe [a,b] şi g′(x) = f(x). x

Demonstraţie. Considerăm funcţia F ( x) = ∫ f (t ) ⋅ dt .Observăm că F′(x)=f(x) şi a

deci: b

b

a

a

∫ f ( x) ⋅ η ( x) ⋅ dx =∫ η ( x) ⋅ dF ( x) =η ( x) ⋅ F ( x)

b a

b

b

a

a

− ∫ F ( x) ⋅ η ′( x) ⋅ dx = − ∫ F ( x) ⋅ η ′( x) ⋅ dx .

Cu aceasta (13) devine: x

∫ [g ( x) − F ( x)] ⋅ η ′( x) ⋅ dx = 0 . a

Pe baza lemei 2 rezultă g(x)−F(x)= constant, de unde g′(x)=f(x). Cu aceasta lema fundamentală este demonstrată. b

2.Funcţionale de forma I [ y ] = ∫ F ( x, y, y ′) ⋅ dx .Condiţii necesare de extrem. a

Ecuaţia lui Euler. Condiţia lui Legendre. Să considerăm funcţionala: (1)

b

I [ y ] = ∫ F ( x, y, y ′) ⋅ dx a

definită pe o mulţime F de funcţii y(x), x∈[a,b]. Vom determina o condiţie necesară de extremum relativ considerând ca funcţii admisibile funcţiile y∈F, de clasă C2[a,b] şi care verifică în plus condiţiile la limită: (1)

y(a)=y1, y(b)=y2.

Fie y(x) funcţia care realizează un extremum relativ pentru (1) şi η(x) arbitrară de clasă C2[a,b] cu η(a)=0 şi η(b)=0. Funcţia: (3)

Y(x) = y(x) + αη(x),

unde α este un parametru mic în modul, este evident că o funcţie admisibilă şi aparţine unei vecinătăţi de ordinul întâi date a funcţiei y(x) pentru |α| suficient de 194

mic. Înlocuind în (1) pe y(x) cuY(x) şi presupunând η(x) fixă, obţinem o integrală în funcţie de parametrul α: b

ℑ[α ] = ∫ F [x, y ( x) + αη ( x), y ′( x) + αη ′( x)] ⋅ dx . a

Dacă y(x) realizează un extremum relativ al integralei în mulţimea tuturor funcţiilor admisibile, acesta va trebui să fie un extremum relativ şi în mulţimea Y(x) obţinute din (3) pentru diferite valori ale lui α. Condiţia necesară de extremum este ℑ ′(0)=0. Observăm că: b

ℑ [0] = ∫ {Fy [x, y ( x), y ′( x)] ⋅η ( x) + Fy′ [x, y ( x), y ′( x)] ⋅η ′( x)}⋅ dx , '

a

unde F y =

∂F ∂F şi F y′ = .Ultimul termen poate fi integrat prin părţi: ∂y ∂y ′

b

[

∫ Fy′ ( x, y, y ′) ⋅ η ′( x) ⋅ dx = η ( x) ⋅ Fy′ ( x, y, y ′) a

b

] −∫ η( x) ⋅ dxd F b

a

y′

( x, y, y ′) ⋅ dx

a

Datorită faptului că η(a) = η(b) = 0, primul termen din membrul drept al egalităţi de mai sus este nul. Deci, condiţia ℑ' (0)=0 devine: (4)

b

d ⎡ ⎤ ℑ' (0) = ∫ ⎢ Fy ( x, y, y ′) − Fy′ ( x, y, y ′)⎥ ⋅ η ( x) ⋅ dx = 0 , dx ⎦ a ⎣

în care funcţia y=y(x) realizează un extremum al integralei (1), iar y′=y′(x) este derivata sa. Egalitatea (4) are loc pentru orice η(x)∈C2[a,b] supusă condiţiilor η(a)=0, η(b)=0. Cu ajutorul lemei 1, deducem că funcţia y(x) verifică ecuaţia: (5)

F y ( x, y , y ′) −

d F y′ ( x, y , y ′) = 0 . dx

Ecuaţia (5) se numeşte ecuaţia lui Euler corespunzătoare funcţionalei (1) şi se mai poate scrie şi sub forma: (5′) unde Fy′y′ =

Fy′y′; y′′+Fyy;y′+Fxy′ −Fy=0, ∂2F ∂2F ∂2F = F F = , , yy ′ xy ′ ∂y ⋅ ∂y ′ ∂x ⋅ ∂y ′ ∂y ′ 2

Am obţinut astfel următorul rezultat: 195

Teoremă (Euler). Dacă F(x,y,y′)∈C2[a,b] şi dacă y(x) realiuează un b

extremum relativ la integralei I [ y ] = ∫ F ( x, y, y ′) ⋅ dx în mulţimea funcţiilor din clasa a

C2 [a,b] care satisfac condiţiile la limită y(a)=y1, y(b)=y2, atunci y(x) verifică ecuaţia lui Euler (5). Observaţie. Ecuaţia lui Euler este o condiţie necesară, dar nu suficientă pentru funcţia y(x) care realizează un extremum al funcţionalei (1). Definiţie. Orice curbă integrală a ecuaţiei lui Euler (5) se numeşte extremală a funcţionalei (1) chiar dacă aceasta nu realizează un extremum al funcţionalei. Condiţia lui Legendre. Pentru determinarea naturi extremului unei funcţionale, un rol important îl joacă variaţia de ordinul doi: δ ⋅ I [ y;η ] = ∫ [P( x) ⋅ η 2 + Q( x) ⋅ η ′ 2 ] ⋅ dx b

2

a

unde P ( x ) = F yy −

d F yy ′ , Q( x) = F y ′y ′ . dx

Observăm că variaţia de ordinul doi este formă pătratică în raport cu η şi η′. Are loc: Teorema (Legendre). δ 2 ⋅ I [ y;η ] ≥ 0 ⇔ Fy′y′ ≥ 0 . De aici avem: b

Teorema (Legendre). Fie funcţionala I [ y ] = ∫ F ( x, y, y ′) ⋅ dx definită pe a

mulţimea liniilor admisibile D=⎨y∈C2[a,b],y(a)=y1,y(b)=y2⎬. Condiţia necesară ca linia extremală ⎯y=y(x), x∈[a,b] să realizeze minimul funcţionalei I[y] este ca de-a lungul extremalei să fie îndeplinită inegalitatea: (6)

Fy′y′(⎯y)≥0.

Analog, pentru ca linia extremală y=y(x), x∈[a,b] să realizeze maximul funcţionalei I[y] este ca, de-a lungul ei să fie îndeplinită inegalitatea: (7)

Fy′y′(⎯y)≤0. 196

Observaţie. Relaţiile (6) şi (7) se obţin din δ 2 ⋅ I [ y;η ] ≥ 0 sau δ 2 ⋅ I [ y;η ] ≤ 0 . 3. Funcţionale conţinând derivate de ordin superior. Ecuaţia Euler – Poisson. Condiţia lui Legendre. Exemplu. Fie funcţionala: b

(

)

I[ y] = ∫ F x, y, y' ,..., y ( n ) dx

(1)

a

definită pe mulţimea liniilor admisibile:

{

}

D = y ∈ C n [a, b] / y ( k ) (a) = y1k , y ( k ) (b) = y 2k , k ∈ {0,1,..., n − 1} unde F ∈ C 2 ([a , b] × ∆ n +1 ), ∆ n +1 ⊂ R n +1 , x ∈ [a , b] . În mulţimea liniilor admisibile D, se cere să

se determine funcţia y ∈ C n [a , b] care verifică la capetele intervalului [a,b] condiţiile: (2)

y ( k ) (a ) = y1( k ) , y ( k ) (b) = y 2( k ) , k ∈ {0,1,...., n - 1}

şi realizează extremul funcţionalei (1). Funcţia y cu proprietăţile de mai sus verifică ecuaţia: (3)

Fy −

d d2 dn Fy ' + 2 Fy '' − ...... + (−1) n ⋅ n Fy( n ) = 0 dx dx dx

numită ecuaţia lui Euler-Poisson. Demonstraţia celor de mai sus se face astfel: dacă y(x) este o funcţie care realizează un extremum relativ în mulţimea D care satisface (2), atunci y(x) realizează un extremum relativ şi în mulţimea funcţiilor Y(x)=y(x)+αη(x), unde η(x) este o funcţie fixă din clasa C2n[a,b] anulându-se în punctele a şi b împreună cu derivatele sale până la ordinul n-1 inclusiv, iar α este un parametru care ia valori suficient de mici în modul. Înlocuind în (1) pe y(x) cu Y(x) se obţine o integrală funcţie de α: b

ℑ(α) = ∫ F( x, y + αη, y'+αη' , ...., y ( n ) + αη (n) )dx, a

care va trebui să aibă un extremum pentru α=0. Pentru aceasta este necesar ca ℑ' (0) = 0. 197

Avem: b

[

]

ℑ' (0) = ∫ ηFy + η' Fy ' + .... + η (n) Fy( n ) dx a

Integrând prin părţi obţinem:

[

b

∫η

(k)

Fy( k ) dx = η

( k −1)

Fy( k )

a

]

b

b a

−∫ η

( k −1)

a

b

d d Fy( k ) dx = − ∫ η( k −1) F ( k ) dx dx dx y a

de unde b

(4)

b

k (k ) ∫η Fy dx = (−1) ∫η ( x) (k )

a

a

dk F ( k ) dx, dx k y

.

k ∈ {1,2,...., n } (η (k) (a) = η (k) (b) = 0, k = 0, n − 1).

Deci: (5)

b ⎤ ⎡ d d2 dn ℑ' (0) = ∫ ⎢Fy − Fy ' + 2 Fy '' − ..... + (−1) n n Fy( n ) ⎥ ⋅ η(x) dx dx dx dx ⎦ a ⎣

Datorită acestei egalităţi şi a lemei 1 , condiţia ℑ' (0) = 0 se reduce la (3) şi deci y este determinat. Calculând variaţia de ordinul doi δ 2 I[ y; η] se poate arăta că pentru ca linia extremală y = y ( x), x ∈ [a, b] să realizeze minimul funcţionalei (1) este necesar ca dea lungul ei să avem: (6)

Fy( n ) y( n ) ( y ) ≥ 0

iar pentru ca linia extremală

y = y( x ), x ∈ [a , b] să realizeze maximul funcţionalei

(1) este necesar ca de-a lungul ei să avem: (7)

Fy( n ) y( n ) ( y ) ≤ 0 .

Inegalităţile (6) şi (7) reprezintă condiţiile lui Legendre corespunzătoare funcţionalei (1), de-a lungul extremalei y =y(x). 1

Exemplu. Fie funcţionala I[ y] = ∫ (2 y + y"2 )dx definită pe mulţimea liniilor 0

admisibile D = {y ∈ C 2 [0,1], y (0) = y (1) = 0, y' (0) = y' (1) = 0}. Să se determine linia admisibilă care realizează extremul funcţionalei şi să se specifice natura acestuia. 198

Avem F = 2 y + y' '2 şi ecuaţia Euler-Poisson va fi: Fy −

d d2 Fy ' + 2 Fy '' = 0 dx dx

de unde obţinem y(4) +1=0 cu soluţia generală y=−

x4 + A1 x 3 + A 2 x 2 + A 3 x + A 4 24

Constantele se determină din condiţiile y(0)=y(1)=0, y’(0)=y’(1)=0 ceea ce asigură ca linia extremală să fie o linie admisibilă. Obţinem: y=−

x 4 x3 x 2 + − , x ∈ [0,1] 24 12 24

Deoarece Fy '' y '' ( y ) = 2 > 0 condiţia lui Legendre arată că linia extremală realizează minimul funcţionalei. Se obţine I min [ y ] = −

1 . 720

4.Funcţionale depinzând de mai multe funcţii. Sistemul Euler-Lagrange. Condiţia Legendre. Exemplu. Să considerăm funcţionala I : D → R , (1)

I[y1 , y 2 ,..., y n ] = ∫ F(x, y1 , y 2 ,..., y n , y'1 , y' 2 ,..., y' n )dx b

a

definită pe mulţimea liniilor admisibile:

{

}

D = y k ∈ C 1 [a, b], ∀k = 1, n y k (a ) = y1k , y k (b) = y 2 k , k ∈ {1,2,..., n}

şi

F ∈ C 2 ([a , b]× ∆ 2 n ), ∆ 2 n ⊂ R 2 n , x ∈ [a, b] .

În mulţimea liniilor admisibile D, se cere să se determine funcţiile y1 , y 2 ,..., y n ∈ C1 [a , b] , şi care verifică la capete condiţiile la limită:

(2)

y k (a) = y1k , y k (b) = y 2 k , k ∈ {1,2,..., n}

şi se realizează extremul funcţionalei (1). Are loc următoarea Teoremă: Dacă F ∈ C 2 ([a , b]× ∆ 2 n ) şi funcţiile y1 , y 2 ,..., y n ∈ D realizează extremul funcţionalei (1) atunci ele verifică ecuaţiile:

199

Fy

(3)

d ⎛ ⎞ ⎜ Fy ' ⎟ = 0, dx ⎝ k ⎠

− k

k ∈ {1,2,..., n}

((3) – sistemul lui Euler-Lagrange corespunzător funcţionalei (1)) Demonstraţie: Considerăm o mulţime particulară de funcţii admisibile de forma: Yk ( x) = y k ( x) + α k η k ( x), x ∈ [a, b], k ∈ {1,2,..., n}

unde {y1 , y 2 ,..., y n } este sistemul de

funcţii pentru care funcţionala (1) admite un extremum relativ, η k ( x ) sunt n funcţii fixate arbitrare din clasa C 2 [a , b] care se anulează în extremităţile a şi b, iar αk k = 1, n sunt n parametri cu valori mici în modul.

Înlocuind Yk(x) în (1) obţinem: ℑ(α1 , α 2 ,..., α1 ) = ∫ F(x, y1 + α1η1 , y 2 + α 2 η 2 ,..., y n + α n η n , y'1 +α1η'1 ,..., y' n +α n η'n ,)dx b

a

Funcţia de mai sus, de n variabile, va trebui să admită un extremum relativ pentru α1=α2=….=αn=0. Pentru aceasta este necesar ca: ∂ℑ ∂ℑ ∂ℑ = 0 pentru α1 = α 2 = ... = α n = 0. = 0, = 0,..., ∂α n ∂α1 ∂α 2

Deci b

⎛

∫ ⎜⎝ η a

k

⋅F

yk

+ η' k ⋅F

⎞dx = 0, k ∈ {1,2,..., n}. y ' k ⎟⎠

Integrând prin părţi şi ţinând seama că η k (a ) = η k (b) = 0 , obţinem: b

⎛

∫ ⎜⎝ F a

yk

−

d Fy ' ⎞⎟ ⋅ η k ( x)dx = 0, dx k ⎠

k ∈ {1,2,...., n.}.

Folosind Lema 1 se obţine sistemul (3). Observaţie: Orice soluţie a sistemului (3) se numeşte extremală a funcţionalei (1). O extremală particulară este complet determinată prin condiţiile la limită (2). Fie A i, j =

(

)

y = y1 , y 2 ,..., y n ∈ D

o

extremală

()

∂ 2F y , i, j ∈ {1,2,..., n} ∂y'i ∂y' j

200

a

funcţionalei

(1)

şi

fie

Are loc Teorema (Condiţia Legendre). Notăm prin:

(4)

D1 = A11 , D 2 =

A11

A12

A21

A22

,..., D n =

A11

A12

...

A1n

A21

A22

... A2 n

...

...

...

An1

An 2

... Ann

...

şi (5)

Dk* = (−1) k ⋅ Dk , k ∈ {1,2,...., n} .

Dacă : (a)

D1 > 0, D2 > 0,...., Dn > 0,

atunci y realizează minim pentru funcţionala (1), iar dacă (b)

D1* > 0, D2* > 0,...., Dn* > 0,

atunci y realizează maxim pentru funcţionala (1). Valoarea extremă a funcţionalei în cazurile (a) sau (b) de mai sus, va fi I[ y ]. Exemplu. Să se determine extremul funcţionalei şi natura lui dacă I : D → R , π

I[ y, z] =

∫ [(y') + (z') 2

2

2

]

+ 2 yz dx,

0

⎧⎪ ⎫⎪ ⎛ ⎡ π⎤⎞ ⎛π⎞ ⎛π⎞ D = ⎨( y, z) ∈ C1 ⎜⎜ ⎢0, ⎥ ⎟⎟ y(0) = z(0) = 0, y⎜ ⎟ = 1, z⎜ ⎟ = −1⎬ ⎪⎩ ⎪⎭ ⎝2⎠ ⎝2⎠ ⎝⎣ 2⎦⎠

Ecuaţiile Euler-Lagrange sunt: y"− z = 0, z"− y = 0 Cu soluţiile ∈D: ⎧ y = C1e x + C 2 e − x + C 3 cos x + C 4 sin x ⎨ −x x ⎩ z = C1e + C 2 e − C 3 cos x − C 4 sin x

şi din (y,z) ∈D, obţinem C1=C2=C3=0, C4=1, deci linia extremală ce realizează extremul este dat de y =sin x, z =-sin x.

Condiţiile lui Legendre sunt: 201

D1 = Fy 'y ' = 2, D 2 =

Fy 'y ' Fz 'y '

Fy 'z ' 2 0 = =4 Fz 'z ' 0 2

şi din (a) rezultă că extremala

(sin x, -sin x) realizează un minim pentru funcţională. Valoarea minimă se obţine uşor: Imin(sin x,-sin x)=2π 5. Funcţionale determinate prin integrale multiple. Ecuaţiile lui Euler – Ostrogradschi. Exemplu.

Pentru uşurinţa expunerii vom considera funcţionala I : D ⊂ R 2 → R definită printr-o integrală dublă: ⎛ ∂u ∂u ⎞ I[u ] = ∫∫ F⎜⎜ x, y, u , , ⎟⎟dxdy . ∂x ∂y ⎠ D ⎝

(1)

Se pune problema extremelor acestei funcţionale în mulţimea funcţiilor u ( x, y) ∈ C 2 (D) ce iau valori date pe frontiera C a domeniului D:

u (x , y ) C = f (x , y ) .

(2)

Are loc următoarea: Teoremă (Ostrogradschi). Dacă F ∈ C 2 ( D × ∆ 3 ) , ∆ 3 ⊂ R 3 , ( x, y ) ∈ D şi u,

∂u ∂u , , ∂x ∂y

luând valori arbitrare, iar u(x,y) realizează un extremum relativ al funcţionalei (1) în mulţimea funcţiilor din clasa C 2 (D) care verifică egalitatea u ( x, y) C = f ( x, y) , atunci u(x,y) este soluţie a ecuaţiei cu derivate parţiale:

( )

ux =

( )

∂ ∂ Fu + Fu − Fu = 0 x ∂x ∂y y

(3)

unde

∂u ∂u , uy = . ∂x ∂y

Demonstraţie: Vom considera mulţimea funcţiilor (4)

U ( x , y) = u ( x , y) + αη( x , y)

unde u(x,y) este funcţia pentru care (1) admite un extremum, η ∈ C 2 (D) arbitrară şi η(x, y) C = 0 , iar α este un parametru care ia valori mici în modul. Dacă u(x,y) are un

202

extremum în mulţimea funcţiilor admisibile, aceeaşi proprietate o va avea şi în mulţimea (4). Pentru aceasta este necesar ca integrala: ℑ(α ) = ∫∫ F(x, y, u + αη, u x + αη x , u y + αη y )dxdy D

să admită un extremum pentru α=0. Condiţia ℑ′(0) = 0 se scrie dezvoltat: ⎛ ℑ′(0) = ∫∫ ⎜ ηF + η F + η F x u y u ⎜ u x y D⎝

⎞ ⎟dxdy = 0 . ⎟ ⎠

Integrala referitoare la ultimii doi termeni se mai poate scrie: ⎛ ⎜ ∫∫ ⎜ η x Fu + η y Fu y x D⎝

⎡ ⎞ ⎟dxdy = ⎢ ∂ ⎛⎜ ηF ∫∫ ⎜ u ⎟ x D ⎢⎣ ∂x ⎝ ⎠

⎞ ∂ ⎛⎜ ⎟+ ηF ⎟ ∂y ⎜ u y ⎠ ⎝

∂F ⎡ ∂F u ⎞⎤ u ⎢ y x + ⎟⎥ dxdy − η ∫∫ ⎢ ⎟⎥ ∂y D ⎢ ∂x ⎠⎦ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ dxdy . ⎥ ⎦

Folosind formula lui Green, prima integrală din membrul drept se poate transforma într-o integrală pe frontiera C a domeniului D şi avem: ⎛ ⎜ ∫∫ ⎜ η x Fu + η y Fu y x D⎝

∂F ⎡ ∂F u ⎞ u ⎢ y x + ⎟dxdy = η ( F dy − F dx) − ∫∫ ⎢ uX uy ∫ ⎟ ∂y C D ⎢ ∂x ⎠ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ dxdy . ⎥ ⎦

Deoarece η(x , y ) c = 0, integrala curbilinie este nulă şi condiţia ℑ′(0) = 0 devine: ∂F ⎡ ∂F u u ⎢ y x ℑ′(0 ) = ∫∫ ⎢ F − − u ∂x ∂y D⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ η(x, y )dxdy = 0 . ⎥ ⎦

Această condiţie are loc în ipotezele lemei 1 (în R2). De aici rezultă ecuaţia (3) şi teorema este demonstrată. Observaţie: Ecuaţia (3) se numeşte ecuaţia lui Euler–Ostrogradschi

corespunzătoare funcţionalei (1). Orice soluţie a ecuaţiei (3) se numeşte extremală a funcţionalei (1) chiar dacă acea funcţie nu realizează efectiv un extremum al funcţionalei. Adăugând la ecuaţia (3) o condiţie la limită de forma u (x, y ) c = f (x, y ) , se obţine o extremală particulară. Teorema lui Ostrogradschi poate fi extinsă pentru o funţională de forma:

203

⎛ ∂u ∂u ∂u I[u ] = ∫∫ ...∫ F⎜⎜ x 1 , x 2 ,..., x n , u, , ,..., ∂x 1 ∂x 2 ∂x n ⎝ Ω

⎞ ⎟⎟dx1dx 2 ....dx n , unde Ω ⊂ R n . ⎠

Ecuaţia lui Euler-Ostrogradschi va avea forma: n

∂ ⎛ ∂F ⎜⎜ k ⎝ ∂u k

∑ ∂x k =1

⎞ ∂F ∂u ⎟⎟ − = 0, unde u k = , k ∈ {1,2,..., n}. ∂x k ⎠ ∂u

Exemplu. Să se găsească extremul funcţionalei: ⎡⎛ ∂u ⎞ 2 ⎛ ∂u ⎞ 2 ⎤ I [u ] = ∫∫ ⎢⎜ ⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ + x 2 y 2 ⎥ dxdy ∂x ∂y ⎥⎦ Ω ⎢ ⎣⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 3 unde Ω = ⎧⎨u ∈ C 2 (D ) : u ∂D = x 4 + y 4 − ⎫⎬, D = {(x, y ) ∈ R 2 : x 2 + y 2 ≤ 1}. 4⎭

⎩

Soluţie:

Ecuaţia lui Euler – Ostrogradski corespunzătoare funcţiei 2

2

⎛ ∂u ∂u ⎞ ⎛ ∂u ⎞ ⎛ ∂u ⎞ F ⎜⎜ x, y, u , , ⎟⎟ = ⎜ ⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ + x 2 y 2 este: ∂x ∂y ⎠ ⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂y ⎠ ⎝

(1)

∂ ⎛⎜ F ∂x ⎜⎝ u x

⎞ ∂ ⎛⎜ ⎟+ F ⎟ ∂y ⎜ u ⎠ ⎝ y

⎞ ⎟−F =0 u ⎟ ⎠

⎛ ∂u ∂u ⎞ ⎜⎜ u x = ⎟⎟ sau ,uy = ∂ x ∂ y ⎝ ⎠ ∂ 2u ∂ 2u + =0 ∂x 2 ∂y 2

(1/)

care este ecuaţia lui Laplace. S-a obţinut problema interioară Dirichlet pentru cerc. Pentru a impune mai uşor condiţia la limită u ∂D , vom trece la coordonate polare: (2)

⎧ x = ρ cosθ ⎨ ⎩ y = ρ sin θ

de unde rezultă: /

(2 )

⎧ρ = x2 + y2 ⎪ ⎨ y ⎪θ = arctg x ⎩

Observăm că:

.

∂ρ x ∂ρ y ∂θ y ∂θ x = , = , = − 2 şi = 2. ρ ∂x ρ ∂y ρ ∂x ∂y ρ

204

Obţinem:

(3)

x ∂u y ⎧ ∂u ∂u ∂ρ ∂u ∂θ ⎪ ∂x = ∂ρ ∂x + ∂θ ∂x = ρ ∂ρ − ρ 2 ⎪⎪ ⎨şi ⎪ ∂u ∂u ∂ρ ∂u ∂θ y ∂u y ⎪ = + = + 2 ⎪⎩ ∂y ∂ρ ∂y ∂θ ∂y ρ ∂ρ ρ

∂u ∂θ ∂u ∂θ

şi

(4)

⎧ ∂ 2u x 2 ∂ 2u 2 xy ∂ 2u y 2 ∂ 2u ρ 2 − x 2 ∂u 2 xy ∂u − + + + ⎪ 2 = 2 ρ ∂ρ 2 ρ 3 ∂ρ∂θ ρ 4 ∂θ 2 ρ 3 ∂ρ ρ 4 ∂θ ⎪⎪ ∂x ⎨şi ⎪ ∂ 2u y 2 ∂ 2u 2 xy ∂ 2u x 2 ∂ 2u ρ 2 − y 2 ∂u 2 xy ∂u ⎪ − + + + = ⎪⎩ ∂y 2 ρ 2 ∂ρ 2 ρ 3 ∂ρ∂θ ρ 4 ∂θ 2 ρ 3 ∂ρ ρ 4 ∂θ

Înlocuind (4) în (1/) acesta devine: (5)

∂ 2u ∂u ∂ 2u +ρ + =0 ρ ∂ρ 2 ∂ρ ∂θ 2 2

cu condiţia la limită: (6)

u ∂D = x 4 + y 4 −

3 1 = cos 4θ θ 4 xy ==cos 4 sin θ

Pentru rezolvarea problemei (5) şi (6) vom folosi metoda separării variabilelor; căutăm o soluţie de forma: (7)

u (ρ ,θ ) = R( ρ )T (θ ).

Observăm că

∂u ∂ 2u ∂ 2u = R / ( ρ )T (θ ), 2 = R // (ρ )T (θ ) şi = R( ρ )T // (θ ) . ∂ρ ∂ρ ∂θ 2

Înlocuind în (5) obţinem: (8)

ρ 2 R // ( ρ )T (θ ) + ρR / ( ρ )T (θ ) + R(ρ )T // (θ ) = 0

de unde prin împărţire la R(ρ )T (θ ) ≠ 0 obţinem: (9)

ρ2

R // (ρ ) R / (ρ ) T // (θ ) +ρ =− . R( ρ ) R( ρ ) T (θ )

Membrul stâng al ecuaţiei (9) fiind o funcţie numai de ρ iar membrul drept fiind o funcţie numai de θ , egalitatea lor este posibilă pentru orice ρ şi orice θ , numai dacă cei doi membri au aceeaşi valoare constantă pe care o notăm cu λ ; din relaţia (9) obţinem următoarele ecuaţii: 205

(10)

T // (θ ) + λT (θ ) = 0

şi (11)

ρ 2 R // ( ρ ) + ρR / ( ρ ) − λR( ρ ) = 0

Funcţia căutată u (ρ ,θ ) trebuie să fie periodică în raport cu θ , cu perioada 2π adică să avem u ( ρ ,θ + 2π ) = u ( ρ ,θ ) .

Pentru aceasta T (θ ) trebuie să fie periodică cu perioada 2π . Avem deci de găsit valorile parametrului real λ pentru care ecuaţia (10) are soluţii nebanale (problema Sturm - Liouville) periodice cu perioada 2π . Ecuaţia (10) este o ecuaţie diferenţială liniară, omogenă, cu coeficienţii constanţi, cu ecuaţia caracteristică: r 2 + λ = 0 şi rădăcinile: r1, 2 = ± − λ .

Cazul 10 λ < 0 . Găsim T (θ ) = C1e

− λθ

+ C2 e −

− λθ

care este o soluţie

exponenţială reală şi ca atare nu este periodică. Cazul 20 λ = 0 . Avem r1 = r2 = 0 şi T (θ ) = A + Bθ . Vom determina A1 şi B2 astfel încât T (θ ) să fie periodică, cu perioadă 2π , adică T (θ ) = T (θ + 2π ) ⇔ A + Bθ = = A + B(θ + 2π ) ⇔ B = 0 şi deci T (θ ) = A (o constantă) soluţie banală, inacceptabilă.

Cazul 30 λ > 0 . Ecuaţia caracteristică are rădăcinile complexe conjugate r1, 2 = ±i λ şi deci soluţia generală este T (θ ) = A cos λθ + B sin λθ . Din condiţia

T (θ + 2π ) = T (θ ) şi din faptul că funcţiile sin şi cos sunt periodice cu perioada 2π

rezultă că: (θ + 2π ) λ − θ λ = 2nπ sau 2π λ = 2nπ de unde: (12)

λn = n 2 , n ∈ {1,2,3,...}

Deci soluţia generală a ecuaţiei (10) este: (13)

Tn (θ ) = An cos nθ + Bn sin nθ , n ∈ {1,2,3,...}

Cu valorile proprii (12) astfel obţinute, ecuaţia (11) devine: (11/)

ρ 2 R // ( ρ ) + ρR / ( ρ ) − n 2 R(ρ ) = 0

.

Ecuaţia (11/) este de tip Euler; pentru integrarea ei vom face schimbarea de variabilă ρ = et . Obţinem:

206

⎧ dR ⎪R / (ρ ) = e−t dt ⎪ ⎪ . şi ⎨ ⎪ 2 ⎪ R // ( ρ ) = e − 2t ⎛⎜ d R − dR ⎞⎟ ⎜ dt 2 ⎪⎩ dt ⎟⎠ ⎝

Înlocuind R // (ρ ) şi R / (ρ ) ecuaţia (11/) devine: d 2R − n2 R = 0 2 dt

(11//)

care este o ecuaţie diferenţială liniară cu coeficienţi constanţi având ecuaţia caracteristică r 2 − n 2 = 0 cu rădăcinile r1, 2 = ± n şi deci soluţia generală: Rn ( ρ ) = Cn ρ n + Dn ρ − n

(14)

.

Pentru problema lui Dirichlet interioară trebuie să luăm Dn = 0 deoarece în caz contrar ρ − n =

1

ρn

→ ∞ pentru ρ → 0 şi deci soluţia u nu ar fi mărginită în

origine. Deci (15)

Rn ( ρ ) = Cn ρ n .

Am găsit astfel pentru ecuaţia (5) soluţiile : (16)

un ( ρ ,θ ) = Rn ( ρ )Tn (θ ) , n ∈ {1,2,3...}

(16/)

un ( ρ ,θ ) = ρ n A n cos nθ + Bn sin nθ

sau

(

)

, n ∈ {1,2,3...}

unde An = AnCn şi Bn = BnCn . Conform principiului suprapunerii efectelor, căutăm o soluţie u (ρ ,θ ) de forma: (17)

∞

(

un ( ρ ,θ ) = ∑ ρ n A n cos nθ + Bn sin nθ

)

, n ∈ {1,2,3...}

n =1

Vom determina coeficienţii An şi Bn astfel încât ecuaţia (17) să verifice 1 4

condiţia la limită (6): u (1,θ ) = u ∂D = cos 4θ . 1 4

Observăm că A4 = , Ak = 0, ∀k ∈ N * − {4}, Bk = 0, ∀k ∈ N * . Deci soluţia u (ρ ,θ ) primeşte forma: 207

u ( ρ ,θ ) =

(18)

ρ 4

cos 4θ

.

Funcţionala I [u ] admite un minim I [u ] , deoarece D1 = Fu u (u ) = 2 > 0 şi x x

(u ) F u u x x

(u ) F u u x y

2 0 _ = D = = 4 > 0. 2 F ( u ) F F (u ) 0 2 u u u u y x y y

Observăm că 2

Fu

2

⎛ ∂u cosθ ∂u ⎞ ∂u sin θ ∂u ⎞ ⎛ ⎟⎟ + ρ 4 sin 2 θ cos 2 θ = ⎟⎟ + ⎜⎜ sin θ + = ⎜⎜ cosθ − ρ ∂θ ⎠ ⎝ ρ ∂θ ⎠ ∂ρ ∂ρ ⎝ 2

2

⎞ ⎞ ⎛ 4ρ 3 ⎛ 4ρ 3 4ρ 3 4ρ 3 cosθ cos 4θ + sin 4θ sin θ ⎟⎟ + ⎜⎜ sin θ cos 4θ − sin 4θ cosθ ⎟⎟ + = ⎜⎜ 4 4 ⎠ ⎠ ⎝ 4 ⎝ 4

+

ρ4 4

sin 2 2θ = ρ 6 cos 2 3θ + ρ 6 sin 2 3θ +

ρ 4 1 − cos 4θ 4

2

sau FU = ρ 6 +

ρ4 8

−

ρ4 8

cos 4θ .

Deci, ⎛ ⎞ ρ4 ρ4 − I min = I [u ] = ∫∫ ⎜⎜ ρ 6 + cos 4θ ⎟⎟ ρdρdθ 8 8 ⎠ D/ ⎝

(19)

⎧0 ≤ ρ ≤ 1 şi dxdy = ρdρdθ . ⎩0 ≤ θ ≤ 2π

unde D / ⎨

Relaţia (19) se mai scrie: 1⎛ 2π ⎛ ρ5 ⎞ ρ5 ρ5 ⎞ ⎟⎟dρdθ − ∫∫ ⎟⎟dρ ∫ dθ − I min = ∫∫ ⎜⎜ ρ 7 + cos 4θdρdθ = ∫ ⎜⎜ ρ 7 + 0 8 ⎠ 8 8 ⎠ 0 ⎝ D/ ⎝ D/

1 − ∫ ρ 5 dρ ∫ 0 8 0 1

2π

1

⎛ ρ8 ρ6 ⎞ ⎟⎟ θ cos 4θdθ = ⎜⎜ + 8 48 ⎝ ⎠0

2π

0

1

1 ρ6 1 sin 4θ − 8 6 04

de unde I min =

7π . 24

208

2π

0

⎛1 1 ⎞ = ⎜ + ⎟2π − 0 ⎝ 8 48 ⎠

6. Probleme izoperimetrice. Extreme condiţionate ale funcţionalelor. Teorema lui Euler. Problema lui Lagrange.

Se numeşte problemă izoperimetrică problema determinării extremalelor unei funcţionale de forma: (1)

b

I[y1 , y 2 ,...., y n ] = ∫ F(x, y1 , y 2 ,...., y n , y'1 , y' 2 ,...., y'n )dx a

cu condiţia la limită: yk (a ) = y1k , y k (b ) = y2 k ,

(2)

k ∈ {1,2,..., n}

şi condiţiile suplimentare: (3)

b

∫ G ( x, y , y 1

i

2

,...., y n , y '1 , y ' 2 ,...., y ' n )dx = ai , i ∈ {1,2,...., m}

a

unde a i (i = 1, m ) sunt m constante date. Vom examina cazul când funcţionala este de forma: (4)

b

I[y] = ∫ F(x, y, y')dx, a

şi este dată o singură condiţie suplimentară: (5)

b

∫ G(x, y, y')dx = m. a

Funcţiile F, G şi constanta m sunt date. Are loc următoarea: Teoremă (Euler). Dacă funcţia y ∈ C 2 [a , b] şi verifică condiţiile la limită

(6)

y(a ) = y1 , y(b ) = y 2

este o extremală a funcţionalei (4) şi verifică în plus condiţia (5) şi dacă y(x) nu este o extremală a integralei (5), atunci există o constantă λ astfel încât y(x) să fie o extremală a funcţionalei (7)

b

K[y] = ∫ [F(x, y, y') + λG (x, y, y')] dx . a

Demonstraţie: Să considerăm familia de funcţii (8)

Y(x, α1 , α 2 ) = y(x ) + α1η1 (x ) + α 2 η 2 (x ) 209

unde y(x) este extremala căutată, η1(x) şi η2(x) sunt două funcţii fixe arbitrare din C2[a,b], nule la capetele intervalului: η1(a) = η1(b) = 0, η2(a) = η2(b) = 0

(9)

iar α1 şi α2 doi parametri suficient de mici în modul. Înlocuind în integrala (5), în locul funcţiei y(x), funcţia Y(x, α1,α2) din (8) obţinem o integrală depinzând de α1 şi α2: b

ℑ1 (α1 , α 2 ) = ∫ G (x, y + α1η1 + α 2 η 2 , y'+α1η1 '+α 2 η 2 ')dx a

şi condiţia (5) devine ℑ1 (α1 , α 2 ) = m .

(10)

Să aratăm că din această egaliatate putem scoate pe α2 în funcţie de α1. Calculăm derivatele parţiale ale funcţiei ℑ1 (α1 , α 2 ) pentru α1=α2=0. Avem: b ⎛ ∂ℑ1 ⎞ ⎟⎟ = ∫ (ηi G y + ηi ' G y' )dx, i = 1,2 . ⎜⎜ ⎝ ∂α i ⎠ 0 a

Integrăm prin părţi ultimul termen şi ţinând seama de (9), obţinem: b ⎛ ∂ℑ1 ⎞ d ⎞ ⎛ ⎟⎟ = ∫ ⎜ G y − G y' ⎟η i ( x )dx, i ∈ {1,2}. . dx ⎠ ⎝ ∂α i ⎠ 0 a ⎝

(11) ⎜⎜

Dacă y(x) nu este o extremală a integralei (5) atunci : G y −

d G y' ≠ 0 şi dx

⎛ ∂ℑ ⎞

putem alege funcţia η2(x) astfel ca ⎜⎜ 1 ⎟⎟ ≠ 0 Ecuaţia (10) este verificată de ⎝ ∂α 2 ⎠ 0 valorile particulare

α1=α2=0, ℑ1 (0,0) = m , deoarece Y(x,0,0)=y satisface (5).

⎛ ∂ℑ ⎞

Datorită condiţiei ⎜⎜ 1 ⎟⎟ ≠ 0 , conform teoremei referitoare la funcţiile implicite, ⎝ ∂α 2 ⎠ 0 există o vecinătate a punctului α1=0 în care ecuaţia (10) defineşte pe α2 ca funcţie de α1 iar derivata

(12)

dα 2 în punctul α1=0 este: dα1

⎛ dα 2 ⎞ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎝ dα1 ⎠ 0

⎛ ∂ℑ1 ⎞ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎝ ∂α1 ⎠ 0 =− . ⎛ ∂ℑ1 ⎞ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎝ ∂α 2 ⎠ 0 210

Reluând familia de funcţii (8), care depinde acum de un singur parametru α1 (deoarece α2 este funcţie de α1 definită prin (10)) şi înlocuind în (4), obţinem o funcţie de α1 b

ℑ (α1 ) = ∫ F(x , y + α1 η1 + α 2 η 2 , y'+α1 η1 '+α 2 η 2 ')dx a

care trebuie să admită un extremum pentru α1=0 ,deci ℑ′(0) = 0 . Avem: b ⎧ ⎡ ⎤ ⎫⎪ ⎛ dα ⎞ ⎤ ⎛ dα ⎞ ⎪⎡ ℑ′(0 ) = ∫ ⎨⎢η1 + ⎜⎜ 2 ⎟⎟ η 2 ⎥ Fy + ⎢η1 '+⎜⎜ 2 ⎟⎟ η 2 '⎥ Fy ' ⎬dx ⎢⎣ ⎝ dα1 ⎠ 0 ⎥⎦ ⎝ dα1 ⎠ 0 ⎥⎦ ⎪⎭ a ⎪ ⎩⎢⎣

sau, integrând prin părţi ultimul termen şi ţinând seama de (9),obţinem b ⎛ dα ⎞ b ⎛ d d ⎞ ⎛ ⎞ ′ ℑ (0 ) = ∫ ⎜ Fy − Fy ' ⎟η1dx + ⎜⎜ 2 ⎟⎟ ∫ ⎜ Fy − Fy ' ⎟η 2 dx . a dx ⎠ dx ⎠ ⎝ dα1 ⎠ 0 ⎝ a⎝

⎛ dα ⎞

Dacă înlocuim ⎜⎜ 2 ⎟⎟ cu valoarea sa din (12) în care facem înlocuirile date ⎝ dα1 ⎠ 0 de (11), deducem: b

b⎛ d d ⎛ ⎞ ⎞ ℑ′(0) = ∫ ⎜ Fy − Fy ' ⎟η1dx + λ ∫ ⎜ G y − G y ' ⎟η 2 dx, a dx ⎠ dx ⎝ ⎠ a⎝

unde b

⎛

∫ ⎜⎝ F

y

−

d ⎞ Fy ' ⎟η 2 dx dx ⎠

λ = − ba . d ⎛ ⎞ ∫a ⎜⎝ G y − dx G y' ⎟⎠η 2 dx

Această egalitate se mai poate scrie: b⎡ d ⎤ ℑ ' (0 ) = ∫ ⎢ F + λG − ⎛⎜ F + λG ⎞⎟⎥ η ( x )dx . y y dx ⎝ y ' y ' ⎠⎦ 1 a⎣

Condiţia ℑ′(0) = 0 , datorită lemei 1 se reduce la Fy + λG y −

d (Fy' + λG y' ) = 0 dx

care este chiar ecuaţia lui Euler corespunzătoare funcţionalei (7). Teorema este demonstrată. Problema lui Lagrange. Să considerăm funcţionala: 211

(13)

b

I [ y, z ] = ∫ F ( x, y, y ' , z, z ')dx . a

Problema lui Lagrange constă în determinarea unui arc de curbă (14)

y = y(x ), z = z(x ), x ∈ [a, b]

care este situat pe suprafaţa: (15)

G (x, y, z ) = 0

şi extremează integrala (13). Punctele A(x1, y1, z1) (x1=a, x2=b) şi B(x2, y2, z2) aparţin suprafeţei, deci: G(x1, y1, z1)=0, G(x2, y2, z2)=0. Faptul că A şi B aparţin curbei se traduce prin condiţiile la limită: (16)

y(a ) = y1 , y(b ) = y2 , z (a ) = z1 , z(b ) = z2 .

Are loc următoarea: Teoremă: (Lagrange). Dacă sistemul de funcţii (14) este un sistem extremal

al funcţionalei (13) cu condiţiile (15) şi (16), atunci există o funcţie λ(x) astfel încât sistemul (14) este un sistem extremal al funcţionalei (17)

K[y, z] = ∫ [F + λ(x )G ] dx . b

a

7. Probleme propuse

1. Să se determine extremalele şi natura lor pentru funcţionala: I : D → R ,

a)

π 4 ⎧ [ ] I y 4 y 2 − y '2 +8 y + 3 dx, unde = ⎪ ∫ ⎪ 0 ⎨ ⎪ D = ⎧ y ∈ C 1 ⎡0, π ⎤ y (0) = −1, y⎛ π ⎞ = 0⎫ ⎜ ⎟ ⎨ ⎬ ⎢⎣ 4 ⎥⎦ ⎪ ⎝4⎠ ⎩ ⎭ ⎩

b)

1 ⎧ ⎪ I [ y ] = ∫ y '2 + y 2 + 2 ye 2 x dx, unde ⎪ 0 ⎨ ⎧ 1 1 2⎫ ⎪ 1 ⎪ D = ⎨ y ∈ C [0,1] y (0 ) = 3 , y (1) = 3 e ⎬ ⎩ ⎭ ⎩

[

[

]

]

212

2. Să se determine extremalele şi natura lor pentru funcţionala I : D → R ,

a)

1 ⎧ = [ ] (− 2 y + y ′′ 2 )dx, unde I y ⎪ ∫ ⎨ 0 ⎪ D = {y ∈ C 2 [0,1] y (0) = y (1) = 0, y ' (0) = y ' (1) = 0} ⎩

b)

1 ⎧ ⎪⎪ I [ y ] = ∫ y 2 + 2 y '2 + y′′ 2 dx, unde ⎨ 0 ⎪ 2 ⎪⎩ D = y ∈ C [0,1] y (0 ) = y (1) = 0, y ' (0 ) = 1, y ' (1) = − sh 1

[

]

{

}

3. Să se determine extremalele şi natura lor pentru funcţionala I [ y, z ] : D → R ,

π 2 ⎧ [ ] I y , z y '2 + z '2 −2 yz + 5 dx, unde = ⎪ ∫ ⎪ 0 . ⎨ ⎪ D = ⎧( y, z ) ∈ C 1 ⎡0, π ⎤ y (0 ) = z (0 ) = 0, y⎛ π ⎞ = z⎛ π ⎞ = 1⎫ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎬ ⎨ ⎢⎣ 2 ⎥⎦ ⎪ ⎝2⎠ ⎝2⎠ ⎭ ⎩ ⎩

[

a)

b)

]

1 ⎧ 2 2 ⎪ I [ y ] = ∫ y ' + z ' +2 y dx, unde ⎨ 0 ⎪ D = {( y, z ) ∈ C 1 [0,1] y (0) = z (0 ) = z (1) = 0, y (1) = 1} ⎩

[

]

213

.

4. Să se determine extremul funcţionalei

I:D → R,

2 ⎧ ⎡⎛ ∂u ⎞ 2 ⎤ ⎛ ∂u ⎞ ∂u ∂u ⎪ I [u ] = ∫∫ ⎢⎜ ⎟ + 2 − 3⎜⎜ ⎟⎟ + 2⎥dxdy , unde ∂x ∂x ∂y ⎪ ⎥⎦ ⎝ ∂y ⎠ Ω ⎢ ⎣⎝ ⎠ ⎨ ⎫ ⎧ ⎪ 1 2 ∂u 2 2 2 ⎪ D = ⎨u ∈ C (Ω ) u ( x,0 ) = x , y =0 = 2 x ⎬, şi Ω = ( x , y ) ∈ R x + y ≤ 4 ∂y ⎭ ⎩ ⎩

{

5. Să se determine extremalele funcţionalei

a)

b)

I:D → R,

1 1 ⎧ 2 [ ] = I y y ' dx , cu legatura ⎪ ∫0 ∫0 y dx = 3, unde . ⎨ ⎪ D = {y ∈ C 1 [0,1] y (0 ) = 1, y(1) = 6} ⎩

π π ⎧ 2 = ' , cu legatura [ ] I y y dx ⎪ ∫0 ∫0 y sin x dx = 1, unde . . ⎨ ⎪ D = {y ∈ C 1 [0, π ] y (0) = y (π ) = 0} ⎩

214

}

.

CAPITOLUL VIII DISTRIBUŢII

1. Spaţii de funcţii LP,K,S,ξ Fie

x = (x 1 , x 2 ,....x n ) ∈ R n

α = (α1 , α 2 ,..., α n ) ∈ R n

şi

având

coordonatele

α k ∈ N, k ∈ {1,2,..., n}.

Fie f : R n → Γ (Γ = R sau C) o funcţie complexă de variabilă reală. Derivata parţială a funcţiei f se va nota: D αx f =

∂ α1 +α 2 +...+α n f, ∂x 1α1 ∂x α2 2 ....∂x αn n

unde α = α1 + α 2 + .... + α n reprezintă ordinul de derivare al funcţiei f. În particular D 0x f = f .

Definiţia 1. Numim suport al funcţiei f şi notăm supp mulţimea: supp f = {x ∈ R n , f (x ) ≠ 0}

(1)

adică închiderea mulţimii punctelor din Rn, unde funcţia f ia valori diferite de zero. Dacă supp f este mărginită, rezultă că supp f este o mulţime compactă. Au loc următoarele proprietăţi: (2)

⎧supp (f + g) = supp f ∪ supp g ⎨ ⎩supp (f ⋅ g) = supp f ∩ supp g.

Definiţia 2. Spunem că funcţia este absolut integrabilă pe Rn dacă este finită integrala: (3)

∫

Rn

f ( x ) dx .

Spaţiul LP. Fie p≥1 un număr real şi f o funcţie complexă definită pe mulţimea Ω ⊂ R n . Definiţia 3. Funcţia f : Ω → Γ este p integrabilă pe Ω ⊂ R n dacă integrala: 215

∫ f (x )

(4)

p

dx < + ∝ .

Ω

Mulţimea funcţiilor p integrabile pe Ω se va nota cu LP(Ω) şi se va numi spaţiul LP (Ω). LP(Ω) este un spaţiu vectorial peste Γ. Spaţiul K. Definiţia 4. Numim spaţiu K, mulţimea funcţiilor complexe ϕ : R n → Γ , indefinit derivabile (ϕ ∈ C ∝ (R n )) şi cu suport compact. Acesta este un spaţiu vectorial peste corpul Γ, elementul nul fiind funcţia ϕ = 0, ∀ x ∈ R n .

Exemplu. În spaţiul R funcţia: ⎧ − 2a 2 ⎪e a − x , pentru x < a de grafic şi supp ϕ a (x ) = [− a, a ] ϕ a (x ) = ⎨ ⎪0 , pentru x ≥ a ⎩ 2

y e-1

-a

a

x

Spaţiul K se înzestrează cu o structură de convergenţă. Definiţia 5. Şirul (ϕi (x ))i∈N ∈ K (R n )

( )

ϕ(x ) ∈ K R n

converge în spaţiul K către funcţia

şi vom scrie ϕi → ϕ , dacă există o mulţime compactă Ω ⊂ R n astfel

u u încât supp ϕi ⊂ Ω supp ϕ ⊂ Ω şi şirul (ϕi ) ⎯⎯→ ϕ împreună cu D αx ϕi ⎯ ⎯→ D αx ϕ .

Spaţiul S Definiţia 6. Numim spaţiul S al funcţiilor temperate mulţimea funcţiilor

complexe ϕ : R n → Γ , indefinit derivabile, care pentru x →∝ tind la zero mai repede decât orice putere a lui x

−1

. 216

În particular S(R) avem de exemplu funcţia ϕ(x ) = e − x , x ∈ R , cu supp ϕ=R. 2

Spaţiul ξ. Definiţia 7. Numim spaţiu ξ mulţimea funcţiilor complexe ϕ : R n → Γ

indefinit derivabile şi cu suport oarecare. Exemplu: Funcţiile ϕ=1, ϕ=x2, ϕ=0 ∈ξ(R).

Există relaţiile K ⊂ S ⊂ ξ ⊂ LP. Spaţiile vectoriale K,S, ξ înzestrate cu o structură de convergenţă se vor numi spaţii fundamentale, iar funcţiile dintr-un asemenea spaţiu, funcţii fundamentale. Un spaţiu fundamental se notează cu Φ. 2. Spaţiul distribuţiilor. Operaţii cu distribuţii. Exemple.

Fie (E, Γ ), (Y, Γ ) două spaţii vectoriale peste acelaşi corp de scalari Γ iar X⊂E un subspaţiu al lui E. Aplicaţia T : X → Y se va numi operator. Operatorul T este un operator liniar dacă: T(ax + by) = aT(x ) + bT(y ), ∀a, b ∈ Γ şi ∀x, y ∈ X.

O clasă particulară de operatori o formează funcţionalele. Astfel dacă Y=Γ atunci operatorul T : X → Γ se va numi funcţională. Valoarea unei funcţionale în punctul x∈X se va nota T(x)=(T,x) (x∈R sau x∈C). Spunem că funcţionala T este liniară dacă satisface condiţia de liniaritate a unui operator. Definiţia 1. Numim distribuţie o funcţională liniară şi continuă definită pe

un spaţiu fundamental Φ( K,S, ξ). În felul acesta fiecărei funcţii ϕ∈Φ i se asociază după o anumită lege un număr complex (f, ϕ) care satisface condiţiile: 1)

(f , α1ϕ1 + α 2 ϕ 2 ) = α1 (f , ϕ1 ) + α 2 (f , ϕ 2 ), ∀α1α 2 ∈ Γ şi ∀ϕ1 , ϕ 2 ∈ Φ

2)

Φ ϕi ⎯⎯→ φ ⇒ lim(f , ϕi ) = (f , ϕ), ϕi , ϕ ∈ Φ .

217

Condiţia 1) exprimă liniaritatea funcţionalei f : Φ → Γ , iar condiţia 2 continuitatea funcţionalei. Convergenţa şirului ϕ

i

către ϕ se face în sensul

convergenţei din spaţiul fundamental Φ. Mulţimea distribuţiilor pe Φ se notează cu Φ`. Astfel distribuţiile definite pe K se notează K` şi se numesc distribuţii de ordin infinit, iar distribuţiile definite pe S se notează S` şi se numesc distribuţii temperate. În mulţimea distribuţiilor se defineşte operaţia de adunare şi înmulţire cu scalari astfel: A)

(f1 + f 2 , φ) = (f1 , φ) + (f 2 , φ),

B)

(αf , φ ) = α ( f , φ ),

∀f1 , f 2 ∈ Φ′ şi ∀ϕ ∈ Φ

∀α ∈ Γ ∀f ∈ Φ′ şi ∀ϕ ∈ Φ

Definiţia 2. Fie distribuţia f ∈ Φ` şi şirul de distribuţii fi ∈ Φ`, i∈N. Spunem că

şirul (fi) converge către distribuţia f şi vom scrie lim f i = f dacă şi numai dacă i →∞ lim( f i , ϕ ) = ( f , ϕ ) , ∀ϕ ∈ Φ ′ . i →∞

Aceasta înseamnă că şirul de distribuţii (fi) converge către distribuţia f, dacă şirul de numere complexe (fi, ϕ) converge către numărul complex (f, ϕ). Mulţimea distribuţiilor Φ` în care este definită adunarea, înmulţirea cu scalari şi o structură de convergenţă este un spaţiu vectorial

cu o convergenţă, numit spaţiul

distribuţiilor Φ`.

O clasă importantă de distribuţii sunt distribuţiile de tip funcţie sau distribuţiile regulate. Aceste distribuţii sunt generate de funcţii local integrabile

∫ f (x ) dx < ∞, ∀Ω mărginit.

Ω

Astfel, dacă f : R n → Γ este o funcţie local integrabilă pe R n , atunci funcţionala Tf : K → Γ , dată prin relaţia: (1)

(Tf , ϕ) = ∫ f (x )ϕ(x )dx,

ϕ ∈ K,

Rn

este o distribuţie pe spaţiul K, numită distribuţie de tip funcţie. Pentru simplitate în loc de distribuţia Tf vom scrie f. Exemplul

(δ(x ), ϕ(x )) = ϕ(0),

1.

Distribuţia

δ(x ), x ∈ R n ,

definită

prin

relaţia

ϕ ∈ Φ, se numeşte distribuţia lui Dirac. Funcţionala ce o defineşte 218

este liniară şi continuă. Se mai spune că distribuţia lui Dirac este concentrată în originea. reperului. Exemplul 2 Funcţia θ : R → R dată prin: ⎧0, x < 0 θ(x ) = ⎨ ⎩1, x ≥ 0

se numeşte funcţia lui Heavyside. Această funcţie este local integrabilă deoarece b

∫ θ(x )dx

există. Ea generează o distribuţie de tip funcţie Tθ , avem:

a

+∞

b

−∞

a

(Tθ , ϕ) = (θ(x ), ϕ(x )) = ∫ θ(x )ϕ(x )dx = ∫ ϕ(x )dx, unde [a,b] reprezintă suportul funcţiei fundametale ϕ ∈ K . Distribuţia generată de funcţia lui Heavyside se numeşte distribuţia lui Heavyside. Asupra distribuţiilor avem proprietăţiile: ⎛ π⎞ ⎛ π⎞ xδ(x ) = 0, cosxδ(x ) = δ(x ), sinxδ⎜ x - ⎟ = δ⎜ x - ⎟, ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠

(f (x − x 0 ), ϕ(x )) = (f (x ), ϕ(x + x 0 )) (translaţia) şi

(f (− x ), ϕ(x )) = (f (x ), ϕ(− x )) (simetria); dacă f(x) este de o variabilă, omotetia se defineşte prin:

(f (ax ), ϕ(x )) =

1 a

⎛ ⎛ x ⎞⎞ ⎜⎜ f (x ), ϕ⎜ ⎟ ⎟⎟, a ≠ 0, x ∈ R, f ∈ Φ ′(R ) . ⎝ a ⎠⎠ ⎝

În particular, pentru distribuţia lui Dirac: δ (ax ) =

1 δ (x ), a ≠ 0. . a

Definiţia 3. Numim suport al unei distribuţii complementara reuniunii

mulţimilor deschise pe care se anulează această distribuţie. Exemplu distribuţia lui Heavyside are suportul [0,∞), iar distribuţia lui Dirac are ca suport punctul x=0. Între K`,S`, ξ` avem: ξ` ⊂ S` ⊂ K`. Definiţia 4. Un şir de funcţii local integrabile (f i )i∈N defineşte pe R n este un şir reprezentativ Dirac dacă în spaţiul distribuţiilor K`, lim f i (x ) = f (x ) . i→∞

219

3. Derivarea distribuţiilor. Produsul direct şi produsul de convoluţie. Proprietăţi.

Derivata unei distribuţii constituie o generalizare a derivatei unei funcţii. Dacă f ∈ C1 (R ), pentru orice funcţie fundamentală ϕ ∈ K(R ) putem scrie: +∞

+∞

(f ' (x ), ϕ(x )) = + ∫ f ' (x )f (x )dx = f ' (x )ϕ(x ) +∞ − ∫ ϕ' (x )f (x )dx ; −∞

−∞

−∞

cum supp ϕ este compact, rezultă că ϕ

±∞

= 0 şi astfel relaţia precedentă devine:

(f ' (x ), ϕ(x )) = −(f (x ), ϕ' (x ))

(1)

care este formla de derivare a distribuţiilor. Analog derivata de ordin α

(D

(2)

α

)

f , ϕ = (− 1)

α

(f , D ϕ), ϕ ∈ K(R ). α

n

Dacă f ∈ K ′(R 3 ) atunci: ⎞ ⎛ ∂ 3f (x, y, z ) ∂ 3 ϕ(x, y, z ) ⎞ 3⎛ ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ . ⎜ , ϕ(x, y, z )⎟ = (− 1) ⎜ f (x , y, z ), 2 2 x yz ∂ x yz ∂ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝

Pentru derivata distribuţiei lui Heavyside avem: dθ(x ) = δ (x ) dx

ceea ce arată legătura dintre distribuţia lui Heavyside şi distribuţia lui Dirac concentrată în origine. Într-adevăr: ∞ ⎞ ⎛ dθ(x ) , ϕ(x )⎟ = −(θ(x ), ϕ' (x )) = − ∫ ϕ' (x )dx = − ϕ(x ) = ϕ(0) = (δ(x ), ϕ(x )) . ⎜ 0 ⎠ ⎝ dx 0 ∞

Fie f şi g două funcţii complexe definite respectiv pe R n şi R m . Definiţia 1. Funcţia complexă f × g : R n × R m → Γ definită prin relaţia:

(f × g )(x, y ) = f (x ) ⋅ g(y) se numeşte produsul direct sau tensorial al funcţie f prin g şi se notează: (3)

f (x ) × g ( y ) = f (x ) ⊗ g ( y ) .

Definiţia 2. Fie f şi g funcţii complexe, local integrabile pe R n . Funcţia f ∗ g : X ⊂ R n → Γ , unde:

(4)

(f ∗ g )(x ) = ∫ f (t )g(x − t )dt,

x∈X ⊂ Rn

Rn

220

se numeşte produsul de convoluţie al funcţiilor f şi g. Se poate arăta ca produsul de convoluţie este asociativ şi ditributiv: f ∗ g = g ∗ f , f ∗ (g ∗ h ) = (f ∗ g ) ∗ h

şi f ∗ (αg + βh ) = α(f ∗ g ) + β(f ∗ h )

Exemplu. Să calculăm θ(x)∗θ(x)sin x, unde θ(x) reprezintă funcţia lui

Heavyside. Putem scrie: ⎧0, x < 0 ⎧ 0 ,x<0 , θ(x )sin x = ⎨ θ(x ) = ⎨ ⎩sin x, x ≥ 0 ⎩1, x ≥ 0

deci ⎧0, x < 0 ⎪x . θ(x ) ∗ θ(x )sin x = ⎨ θ(t )sin (x - t )dt , x ≥ 0 ⎪∫0 ⎩

Pentru x ≥ 0 obţinem: x

x

x

0

0

0

∫ θ(t )sin (x − t )dt = ∫ sin (x − t )dt = cos(x − t ) = 1 − cos x Deci : ⎧ 0, x < 0 θ(x ) ∗ θ(x )sin x = ⎨ = θ(x )(1 − cos x ) ⎩1 − cos x , x ≥ 0

.

Are loc proprietatea: Teorema (Titchmarsh). Fie f , g ∈ C(R + ) . Dacă f*g=0, atunci f=0 sau g=0.

Produsul de convoluţie definit pentru funcţiile local integrabile se poate generaliza pentru distribuţii: Definiţia 3. Fie distribuţiile f , g ∈ K ′(R n ). Numim produs de convoluţie al distribuţiei f şi g distribuţia f*g, definită pe K (R n ) prin relaţia:

(f (x )∗ g(x ), ϕ(x )) = (f (x )× g(y ), ϕ(x + y )) = (f (x ), (g(y ), ϕ(x + y ))),

∀ϕ ∈ R n .

Distribuţia lui Dirac δ(x) reprezintă elementul unitate în raport cu produsul de convoluţie al distribuţiilor: f ∈ K ′(R n ) , f (x )∗ δ(x ) = f (x ) . 4. Aplicaţii ale teoriei distribuţiilor. Reprezentarea unei forţe concentrate.

221

Fie f n (x ) intensitatea forţei pe unitatea de lungime ce acţionează în punctul M(x) perpendicular pe bara AB (fig.1.). y

y

n 2

fn

yo

A⎛

O

1⎞ ⎜− ⎟ ⎝ n⎠

F(o,-P)

xo

x

B⎛ 1 ⎞ M(x) ⎜ n ⎟

O

x

⎝ ⎠

Fig.2.

Fig.1.

Intensitatea f n (x ) are expresia:

[ [

( )

] ]

⎧ n P, pentru x ∈ - 1 , 1 ⎪ n n , n fiind număr natural, P>0. f n (x ) = ⎨ 2 1 pentru x ∉ ,1 ⎪⎩0, n n

Sistemul de forţe uniform distribuit pe bară are ca rezultantă vectorul r r R (O,− P) . Momentul rezultant M o al acestor forţe în raport cu originea reperului este

nul. În consecinţă, sistemul de forţe uniform distribuit pe bară este echivalentul cu r

vectorul rezultant R a cărui mărime este P, adică aria dreptungiului din fig. 1. Pe de altă parte, când n → ∞ , intensitatea forţei distribuite f n = (n / 2)P tinde la infinit, iar r

lungimea pe care acţionează tinde la zero. Mărimea rezultantei R a forţelor este independentă de lungimea barei AB şi este egală cu P. Pentru n → ∞ obţinem o r

forţă concentrată F(O,− P) aplicată în origine. Dar intensitatea f n ( x ) a foţelor distribuite reprezintă un şir de funcţii ce nu are limită în sens obişnuit. Deci, nu r

r

putem scrie F = lim f n ( x ) y o . Sirul (f n ( x ) ) este un şir reprezentativ Dirac, adică lim f n ( x ) = δ( x ) . Deci forţa concentrată în origine (fig.2.) se poate scrie sub forma :

n →∞

(5)

r r r r F = lim f n ( x ) ⋅ y o = P ⋅ y o lim f n ( x ) = P ⋅ δ( x ) y o n →∞

n →∞

Raţionamentul prezentat ne permite ca, în general, o forţă

r F(Fx , Fy , Fz )

acţionând într-un punct A( x0 , y0 , z0 ) să fie reprezentată ca forţa uniform distribuită în tot spaţiul sub forma: 222

(6)

r r q( x, y, z) = Fδ( x − x o , y − y o , z − z o ) r

r

unde q reprezintă sarcina distribuită, echivalentă cu acţiunea forţei F în punctul A. Conform

r F

z

expresiei

(6)

a

forţei

r concentrate F (Fig. 3), direcţia, sensul şi

mărimea forţei sunt caracterizate prin r

vectorul F , iar punctul de aplicaţie prin

A(x0,y0,z0)

distribuţia lui Dirac care are ca suport y

O

punctul

A(x 0 , y 0 , z 0 ) .

Pentru

deducerea

expresiei (6) este suficient să considerăm un şir reprezentativ Dirac în R 3 , adică f n (x, y, z) pentru care : lim f n ( x, y, z ) = δ ( x − xo , y − yo , z − zo )

n→∞

r

În acest mod proiecţiile sarcinii echivalente q date de (6) au expresiile

(7)

⎧ f n ( x, y, z ) Fx = Fxδ ( x − xo , y − yo , z − zo ) ⎪ q x = nlim → ∞ ⎪ ⎨q y = lim f n ( x, y, z ) Fy = Fyδ ( x − xo , y − yo , z − zo ) n →∞ ⎪ q = ⎪ z lim f n ( x, y, z ) Fz = Fzδ ( x − xo , y − yo , z − zo ) n→∞ ⎩

5. Reprezentarea unui cuplu concentrat r r

Fie ( F,− F) un sistem de două forţe paralele, egale ca mărime şi de sensuri contrare (fig.1). Acest ansamblu reprezintă în y

mecanica corpului rigid un cuplu şi

r r F = F ⋅ uo

este caracterizat printr-un vector liber r M , numit momentul cuplului. Braţul

α

A(-a,0) d

O

B(a,0)

x

cuplului este distanţa d dintre liniile de acţiune a celor două forţe paralele,

r −F

iar

mărimea

momentului

r M = F ⋅ d , unde F = F .

Fig.1. 223

este

r r

Dacă ansamblul ( F,− F) acţionează asupra unui solid deformabil, atunci cele r

r

două forţe F şi - F trebuie considerate ca forţe concentrate care nu se pot reprezenta prin vectori alunecători, aşa cum se procedează în cazul solidului rigid. Evident că în cazul solidelor deformabile nu putem să nu luăm în consideraţie punctele de aplicaţie A şi B ale celor două forţe paralele precum şi direcţia forţelor paralele. r

r

r

Notând cu u o versoul forţei paralel, forţelor - F şi F aplicate respectiv în punctle A (−a ,0) şi B(a ,0) le corespund sarcinile distribuite: r r r r r r (1) ( − F) → q1 = − Fδ( x + a ,0), ( F) → q 2 = Fδ( x − a ,0) r r r Ansamblului de forţe ( F,− F) îi corespunde sarcina echivalentă q având expresia: r r r r r r ( 2) q = q 1 + q 2 = [ − Fδ( x + a ,0) + F( x − a ,0)]u o

Definiţia 1. Numim moment concentrat în origine, limita, în sensul teoriei r r

distribuţiilor, a ansamblului de forţe concentrate ( F,− F) , când braţul de pârghie r r d → 0 , considerând versorul u o al forţei F precum şi mărimea momentului

M = F ⋅ d constante. r r

Proprietate. Fie α =< (F, x o ) ≠ 0 . Atunci expresia matematică a cuplului r

concentrat în origine, lim q , este: d →0 r r o M ∂δ( x , y) ⋅ lim q = − u ⋅ d →0 sin α ∂x

Demonstraţie Fie ϕ( x, y) ∈ K (R 2 ) o funcţie fundamentală. Atunci din figura 1, d = 2a sin α şi ţinând seama de relaţia (2) avem: r ro M ⎛⎛ ⎛ d d ⎞ ⎛ ⎞⎞ ⎞ , o ⎟ − δ⎜ x + , o ⎟ ⎟⎟, ϕ ⎟⎟ = lim (q, ϕ) = u lim ⎜⎜ ⎜⎜ δ⎜ x − d →0 d →0 d 2 sin α ⎠ ⎝ 2 sin α ⎠ ⎠ ⎠ ⎝⎝ ⎝ r M⎡ ⎛ d d ⎞ ⎛ ⎞⎤ = u o lim ⎢ϕ⎜ ,0 ⎟ − ϕ⎜ − ,0 ⎟ ⎥ d → 0 d ⎣ ⎝ 2 sin α ⎠ ⎝ 2 sin α ⎠⎦

Aplicând formula creşterilor finite expresiei din paranteză, obţinem: r r ∂ϕ(ξ d ,0) Mu o ⋅ lim lim (q, ϕ) = d →0 sin α d→0 ∂x

(4)

unde ξ d ∈ ⎡⎢−

d ⎤ d . Când d → 0 atunci şi ξ d → 0 şi expresia (4) devine: , ⎣ 2 sin α 2 sin α ⎥⎦

224

r r Mu o ∂ϕ(0,0) r o ⎛ M ∂ϕ( x , y) ⎞ ⋅ = u ⎜− ⋅ (5) lim (q, ϕ) = , ϕ( x, y) ⎟, d →0 ∂x ∂x sin α ⎠ ⎝ sin α

de unde r r u o M ∂ϕ( x , y) (6) lim q = − ⋅ d →0 sin α ∂x

Cu ajutorul acestor momente concentrate putem reprezenta alte sarcini concentrate cu o structură mai complexă. 6. Calculul variaţional în distribuţii. Probleme discontinue.

În scopul lărgirii cadrului de aplicabilitate a rezultatelor obţinute în calculul variaţional şi posibilităţii tratării unor probleme de calcul variaţional în care liniile admisibile prezintă discontinuităţi de speţa întâi, vom defini noţiunea de variaţie a unei funcţionale în spaţiul distribuţiilor. Fie funcţionala: (1)

b

I[ y] = ∫ F( x, y, y' )dx a

unde F ∈ C 2 (D),

D ⊂ R 3 . Mulţimea liniilor admisibile pentru funcţionala (1) este

mulţimea de funcţii (2)

∆ = {y ∈ C1[a , b] | y(a ) = y1 , y(b) = y 2 } .

Variaţia de ordinul întâi a funcţionalei (1) are expresia : (3)

b

δI = δI( y; η) = ∫ (Fy ⋅ η + Fy ' ⋅ η' )dx a

unde η ∈ C1[a , b] este o funcţie arbitrară, verificând condiţiile η(a ) = η(b) = 0 . În locul funcţiei η putem considera o funcţie fundamentală ϕ ∈ K (R) , având suportul inclus în intervalul [a,b], deci supp ϕ ⊂ [a , b] . În acest fel (3) devine: (4) δI = δI( y; ϕ) = ∫ (Fy ϕ + Fy ' ϕ' )dx . R

Pe de altă parte, lagrangianul F se poate prelungi cu valori nule în afara domeniului lui de definiţie ∆ ⊂ R 3 , cu toate că acest lucru nu este absolut necesar, întrucât în (4) nu intervin decât valorile din ∆ ⊂ R 3 .

225

Analog, efectuăm o prelungire a liniei admisibile y ∈ ∆ în afara intervalului [a,b] astfel încât să fie de clasă C 2 pe R, fapt ce este posibil oricând. Mulţimea funcţiilor fundamentale ϕ ∈ K (R ) cu proprietatea supp ϕ ⊂ [a , b] o vom nota cu К ⊂ K . În felul acesta variaţia de ordinul întâi δI se poate scrie sub forma: (5)

δI( y; ϕ) = (δI, ϕ) = ( Fy , ϕ) + ( Fy ', ϕ' )

ceea ce arată că variaţia de ordinul întâi este o distribuţie definită pe subspaţiul К ⊂ K al funcţiilor indefinit derivabile cu suport în [a,b].

Lema fundamentală a calcului variaţional în cazul că liniile admisibile sunt distribuţii dinspaţiul K ' (R ) este: Lemă. Condiţia necesară şi suficientă pentru ca distribuţia f ∈ K ' ( R ) să fie

nulă pe [a,b] este ca (f ( x ), ϕ( x )) = 0 pentru orice ϕ ∈ ξ ⊂ K , deci supp ϕ ⊂ [a , b] . Ţinând seama de regula de derivare în distribuţii, expresia (5) se poate scrie sub forma: d ⎛ d ⎞ ⎛ ⎞ (δI, ϕ) = ( Fy , ϕ) − ⎜ Fy ' , ϕ ⎟ = ⎜ Fy − Fy ' , ϕ ⎟ dx ⎝ dx ⎠ ⎝ ⎠

de unde pe baza lemei avem ecuaţia lui Euler în distribuţii: (6) Fy −

d Fy ' = 0 , dx

operaţiile de derivare fiind considerate în spaţiul distribuţiilor. Dacă în x o extremala are o discontinuitate de speţa I atunci linia extremală pe intervalele [a , x 0 ) , ( x 0 , b] verifică ecuaţiile : ~ d (F − y' Fy ' ) = Fx (7) dx

~ d , Fy ' = Fy dx

~

( d derivata în sens obişnuit), iar curba extermală trebuie să verifice în x o : (8) S x o ( F − y' Fy) = 0

,

S x o ( Fy ' ) = 0

(unde S x este saltul funcţiei în x o ). o

Condiţiile suplimentare (8) se numesc condiţiile Erdmann-Weierstrass. În concluzie, dacă o linie extremală are o discontinuitate de speţa întâi în punctul x o ∈ (a , b) , atunci ea satisface ecuaţia lui Euler pe intervalele [a , x 0 ) , ( x 0 , b] , 226

iar în punctul de discontinuitate x o trebuie să verifice condiţiile ErdmannWeierstrass. Exemplu. Fie funcţionala: (9)

1

I[ y] = ∫−1 x 2 y' 2 dx

Se cere să se determine curba y ∈ C1[−1,1] care să realizeze minimul funcţionalei (9) şi să treacă prin punctele A(-1,-1), B(1,1). y B’

B(1,1)

O

A(-1,-1)

x

A’

Deoarece F = x 2 y'2 ≥ 0 rezultă că I[ y] ≥ 0 . Cum

inf I[ y] = 0 , rezultă că

valoarea minimă a funcţionalei este I[ y] = 0 . Aceasta implică F = 0 , deci y' = 0 adică y este constant. Aceasta este o funcţie de clasă C1[−1,1] , dar nu trece prin punctele A şi B. Prin urmare , funcţionala (9) nu î-şi atinge minimul în mulţimea liniilor admisibile de clasa C1[−1,1] . Vom căuta curbe netede pe porţiunea care să realizeze minimul funcţionalei. Deci problema nu are soluţie în clasa C1 . Ecuaţia lui Euler corespunzătoare funcţionalei (9) este: (10)

d 2 ' (x y ) = 0 dx

de unde se obţine : x 2 y' = 0 , ecuaţie considerată în distribuţii. Soluţia acestei ecuaţii este distribuţia de tip funcţie: (11)

⎧ 1 y( x ) = 2θ( x ) − 1 = ⎨ ⎩− 1

, x>0 . , x≤0

Derivând în sensul distribuţiilor avem: y' = 2δ( x ) deci x 2 y' = 2 x 2 δ( x ) = 0 ceea ce arată că (11) reprezintă soluţia ecuaţiei lui

Euler în distribuţii. 227

Prin urmare, curba ce realizează minimul funcţionalei este compusă din segmentele paralele cu axa Ox, AA’ şi BB’ ce trec prin punctele date A şi B. Punctul de discontinuitate a soluţiei (11) este x o = 0 . În acest punct cele două condiţii Erdmann-Weierstrass sunt îndeplinite, So (F − y' Fy ' ) = So (− x o y'2 ) = 0 deoarece (− x 2 y'2 ) |o −o = 0 , (− x 2 y' ) |o+o = 0 , y' = 0 pentru x ≠ 0 . Analog So (Fy ' ) = So (2x 2 y' ) = 0 .

Problema formulată pentru funcţionala (9) a fost pusă de către K.Weiestrass. 7. Probleme propuse

1. Să se demonstreze că în K ' (R 2 ) avem: ∂ θ(at − | x |) = aδ(at − | x |) . ∂t

2. Fie şirul de funcţii (f n ( x )) , x ∈ R , 1 ⎧ , pentru x < − ⎪ 0 n ⎪ 1 ⎪n (1 + nx ) , pentru − ≤ x ≤ 0 ⎪ n f n (x) = ⎨ 1 ⎪ n (1 − nx ) , pentru 0 ≤ x ≤ n ⎪ 1 ⎪ 0 , pentrux > ⎪⎩ n

Să se arate că (f n ( x)) este un şir reprezentativ Dirac . 3. Fie distribuţia:

f α (x) =

θ( x ) α −1 x , α > 0. Γ (α )

Să se arate că f α * f β = f α+β .

228

4. Considerăm operatorul:

∆=3

∂2 ∂2 ∂2 − 2 − , ( x, t ) ∈ R 2 ∂t 2 ∂x∂t ∂t 2

şi distribuţia E( x, t ) ∈ K ' (R 2 ), 0 , t<0 ⎧ ⎪ E ( x, t ) = ⎨ 1 ⎪⎩ 4 [θ ( x + t ) − θ (3 x − t )], t ≥ 0 , (θ ∈ K | R )

fiind distribuţia lui Heavyside. Să se arate că : ∆E ( x , t ) = δ ( x , t ) .

229

CAPITOLUL IX TEORIA PROBABILITĂŢILOR

1. Câmp de evenimente. Câmp de probabilitate. Definiţia clasică a probabilităţii. Model generalizat al probabilităţii. Problema acului (Buffon). Definiţia axiomatică a probabilităţii după A. N. Kolmogorov. În calculul probabilităţilor prin experienţă se înţelege orice act ce poate fi repetat în condiţiile date. Prin eveniment se înţelege orice situaţie, legată de o experienţă despre care putem spune că s-a realizat sau nu în urma efectuării experienţei. Astfel, considerăm experienţa aruncării unui zar. Rezultatul experienţei este apariţia uneia dintre cele şase feţe cu numerele 1,2,3,4,5,6. În acest caz, actul aruncării zarului constituie experienţa. Un eveniment al acestei experienţe poate fi considerat, de exemplu, apariţia feţei cu cifra 3. Fiecărei experienţe i se asociează două evenimente speciale, numite evenimentul sigur, notat cu E, şi evenimentul imposibil, notat cu Φ. Definiţia 1. Numim eveniment sigur E acel eveniment care se realizează întodeauna la fiecare efectuare a experienţei. Prin evenimentul imposibil Φ se înţelege evenimentul care nu se produce la nici o efectuare a experienţei. Definiţia 2. Numim sistem de evenimente într-o experienţă dată mulţimea de evenimente ce pot apărea în acea experienţă. Fie A un eveniment legat de o experienţă dată. Numim contrarul (opusul sau complementarul) evenimentului A evenimentul notat Ā, care constă în nerealizarea evenimentului A. Conform celor de mai sus avem: Ē = Φ şi Φ = E. 230

Dacă odată cu evenimentul A se realizează şi evenimentul B, atunci vom spune că A implică B şi vom scrie A ⊂ B. Exemplu : În experienţa aruncării cu zarul: (1)

⊂ (1,5) ; (2,3) ⊂ (2,3,4,5).

Avem următoarele proprietăţi evidente: A ⊂ A , A ⊂ E ; dacă A ⊂ B şi B ⊂ C atunci A ⊂ C (tranzitivitatea). Dacă A ⊂ B şi B ⊂ A, cele două evenimente se numesc echivalente şi se scrie A = B. Dacă A şi B sunt două evenimente din acelaşi sistem, atunci evenimentul care constă în apariţia fie a evenimentului A, fie a evenimentului B se numeşte reuniunea evenimentelor A şi B şi se notează A U B. Evenimentul care constă în realizarea simultană a ambelor evenimente se numeşte evenimentul “ A şi B” sau intersecţia evenimentelor A, B notat A ∩ B. Avem: A ∩ E = A , A ∩ Φ = Φ. Operaţiile “U” şi “∩” sunt comutative, asociative, iar “∩” este distributivă faţă de “U”. Are loc şi proprietatea Ā = CE A = E \ A. Fie A şi B evenimente ale sistemului S. A şi B sunt evenimente compatibile, dacă acestea se produc simultan: A ∩ B ≠ Φ. Evenimentele A şi B se numesc evenimente incompatibile (sau disjuncte) dacă ele nu se pot realiza simultan: A ∩ B ≠ Φ. Definiţia 3. Două evenimente din acelaşi sistem de evenimente se numesc independente , dacă realizarea unuia nu depinde de realizarea celuilalt. Definiţia 4. Două evenimente se numesc dependente dacă producerea unui eveniment are loc numai dacă celălalt eveniment se produce. Exemplu. A= (2,3,6), B= (2,4) sunt evenimente dependente în aruncarea zarului şi compatibile; A= (2,4,6) şi C= (1,5) sunt evenimente independente şi incompatibile. Definiţia 5. O mulţime F se numeşte câmp de evenimente dacă sunt îndeplinite următoarele condiţii: a) E ∈ F , E fiind evenimentul sigur; b) Oricare ar fi evenimentul A din F, contrariul său Ā se găseşte în F; 231

c) Dacă A,B ∈ F atunci A U B ∈ F . d) În cazul că ∞

UA i =1

i

F conţine o infinitate de evenimente

A

i

∈ F atunci

∈ F.

Se spune că F este un câmp finit sau infinit după cum F conţine un număr finit sau o infinitate de evenimente distincte. Din definiţia câmpului de evenimente rezultă proprietăţile: 1) Φ ∈ F (Φ =

_

E şi

se aplică b) );

2) ∀ A, B ∈ F ⇒ A ∩ B ∈ F; 3) ∀ A, B ∈ F ⇒ B \ A ∈ F. cu A ⊂ B Fie A un eveniment corespunzător unei experienţe. Repetând experienţa de n ori în condiţii identice, să presupunem că evenimentul A s-a produs de a ori. Definiţia 6. Numim frecvenţă relativă a evenimentului A numărul

f

a n

= . n

Numărul a se numeşte frecvenţă absolută. Numărul în jurul căruia se grupează frecvenţele relative se numeşte probabilitatea de apariţie a evenimentului A şi se notează P(A). Definiţia 7. (definiţia clasică a probabilităţii). Probabilitatea realizării unui eveniment este dată de raportul dintre numărul cazurilor favorabile şi numărul cazurilor egal posibile. Această definiţie este satisfăcătoare numai în cazul câmpurilor finite de evenimente. Se poate generaliza prezentarea modelului de calcul al probabilităţilor P(A), la mulţimile continue (sau numărabile). În acest sens mărimilor continue ca: lungime, arie, volum, greutate, timp etc. li se asociază o funcţie m(X) – numită măsură – care se bucură de următoarele proprietăţii: a) m(X) ≥ 0 232

b) m( Φ ) = 0 c) dacă { X k , k ∈{1,2,..., n} } este un sistem de mulţimi disjuncte atunci ⎛

n

⎞

m ⎜U X k ⎟ = ⎝ k =1

⎠

n

∑ m( X k ) . k =1

Dacă notăm cu m(X) măsura mulţimii asociate evenimentului X şi cu m(E) măsura mulţimii asociate evenimentului sigur E, atunci: (1)

P(X) =

m( X ) m( E )

Formula (1) poate fi aplicată atât în cazul câmpurilor finite cât şi infinite de evenimente, discrete sau continue. Măsurile evenimentelor se adoptă în funcţie de natura evenimentelor. Astfel, dacă evenimentele pot fi puse în corespondenţă cu imagini geometrice ca segmente, figuri plane sau spaţiale, atunci ca măsuri ale evenimentelor se pot lua lungimi, arii, volume. Exemplu . Problema acului (Buffon*). Pe un plan orizontal sunt trasate dreptele paralele ∆ la aceeaşi distanţă (2d) (figura): ∆ 2d ∆ 2d

∆ 2d ∆

Se aruncă în plan un ac AB de lungime 2l, l ≤ d. Să se determine probabilitatea ca acul să întâlnească una din dreptele paralele.

*Georges- Louis Leclerc, Compte le Buffon (1707-1788). Celebru om de ştiinţă francez şi în acelaşi timp mare scriitor.

233

Poziţia acului AB în planul dreptelor ∆ constituie un eveniment întâmplător, care este dată de doi parametrii, care, de asemenea în experienţa făcută, au valori întâmplătoare. Pentru fixarea parametrilor care determină poziţia acului AB în plan, considerând mijlocul M al lui AB, constatăm că distanţa x a lui M de cea mai apropriată dreaptă ∆ şi unghiul α pe care îl face cu dreapta ∆ (figura de mai jos) determină complet poziţia acului: deci x şi α pot fi considerate drept parametri. (∆) B

M

x

(∆)

D C

A

Valorile posibile ale acestor parametri sunt date de sistemul de inegalităţi: (2)

0 ≤ x≤ d

;

0 ≤ α ≤π .

Astfel interpretat, evenimentul sigur Ε îi corespunde mulţimea punctelor din planul 0 α x de coordonate ( α ,x) corespunzător sistemului de inegalităţi (2), adică evenimentului sigur îi corespunde dreptunghiul de laturi π şi d (figura de mai jos):

x d

Evenimentul

x

experienţă,

X adică

cerut

de

AB

să

întâlnească pe ∆ are loc când MD ≤ MC adică

X o

π

α

(3) x ≤ l sin α .

234

Astfel interpretat, evenimentul X, îi corespunde în planul 0 α x mulţimea punctelor ( α ,x) care satisfac inecuaţia (3), această mulţime reprezentând aria primei bucle a sinusoidei (figura de mai sus). Mulţimile E şi X au drept măsură ariile corespunzătoare, adică avem: π

m (E) = π d , m (X) = ∫ l sin α d α = 2l. 0

Rezultă: P(X) =

2l m( x ) = . m( E ) πd

O definiţie simplă, corectă şi corespunzătoare este cea dată de A.N.Kolmogorov* în 1931. Definiţia 8. (Definiţia axiomatică a probabilităţii după A.N.Kolmogorov*). Fie ℑ un câmp finit sau infinit de evenimente. Numim probabilitate pe câmpul ℑ aplicaţia P: ℑ → R verificând următoarele condiţii: 1) ∀ A ∈ ℑ , P(A) ≥ 0; 2) P(E) = 1; 3) ∀ A, B ∈ ℑ , A ∩ B = Φ , P(A ∪ B) = P(B) + P(B); 4) dacă ℑ este un câmp infinit, atunci ∀ Ai ∈ ℑ , Ai ∩ A j = Φ, i ≠ j, avem P( UAi ) = i∈N

∞

∑ P( A ). i =1

i

Din definiţia 8 a probabilităţii rezultă următoarele consecinţe:

∗

1o

P (Φ) = 0;

2o

∀ A ∈ ℑ ⇒ 0 ≤ P(A) ≤ 1 şi P ( A ) = 1- P(A);

3o

∀ A , B ∈ ℑ , A ⊂ B ⇒ P(A) ≤ P(B);

4o

∀ Ai ∈ ℑ (i= 1,2,…,n) şi Ai ∩ A j = Φ (i ≠ j), avem:

n

P(U Ai ) = i =1

n

∑ P( A ) . i =1

i

A.N.Kolmogorov (n.1903) matematician rus, pionierul axiomatizării calculului probabilităţilor,

făcută în 1929. 235

2. Probabilităţi condiţionate Fie A şi B două evenimente aparţinând câmpului ℑ . Dacă evenimentele sunt dependente rezultă că probabilitatea unuia din evenimente depinde de faptul că celălalt eveniment s-a realizat. Definiţie. probabilitate evenimentului

Se

numeşte

condiţionată B

de

a

A∩Β

către

A

evenimentul A şi se notează (B/A)= PA (B),

probabilitatea

B

evenimentuli B calculată în ipoteza că evenimentul A s-a realizat.

În

mod

E

analog

P(A/B)= PB (A), este probabilitatea condiţionată a evenimentului A de către evenimentul B. Constituind evenimentul produs A ∩ B (figura), se constată că evenimentul dependent B/A este realizat de evenimentul A ∩ B raportat la evenimentul A (ca eveniment sigur), iar evenimentul dependent A/B este realizat de evenimentul A ∩ B raportat la evenimentul B (ca eveniment sigur). Notând cu m(X) măsura corespunzătoare evenimentului X , putem scrie :

P ( B / A) =

m( A / B ) m( A ∩ B ) = PA ( B ); P ( A / B ) = = PB ( A). m( B ) m( A)

Observăm că : m(A ∩ B) = m ( A)

m(A ∩ B) m(E ) , adică m ( A) m(E )

Deasemenea putem scrie : PB ( A) =

PA ( B) =

P( A ∩ B) . P( A)

P( A ∩ B) . Din ultimile două relaţii rezultă: P( B)

236

⎧ P( A) ⋅ PA ( B) P( A ∩ B) = ⎨ , ⎩ P( B) ⋅ PB ( A)

adică probabilitatea producerii simultane a două evenimente dependente este egală cu produsul dintre probabilitatea unuia din evenimente şi probabilitatea condiţionată a celuilalt eveniment, în ipoteza că primul eveniment a avut loc. 3. Probabilitatea evenimentelor rezultate din operaţii cu evenimente. 3.1. Reuniunea evenimentelor compatibile. Pentru două evenimente compatibile A şi B, măsurile mulţimilor asociate satisfac relaţia m(A ∪ B) = m(A) + m(B) – m(A ∩ B) care prin împărţirea cu m(E), se scrie: m( A ∪ B) m( A) m( B ) m( A ∩ B) = + − m( E ) m( E ) m( E ) m( E )

adică (1)

P(A ∪ B) = P(A) +P(B) – P(A ∩ B).

Formula (1) dă regula de calcul a probabilităţii evenimentului reuniune, a două evenimente compatibile. Rezultatul precedent se generalizează prin inducţie obţinându-se formula: n

(2)

P( U Ak ) = k =1

n

n

k =1

i , j =1 i≠ j

n

∑ P( Ak ) − ∑ P( Ai ∩ A j ) + ... + (−1) n−1 ⋅ P( ∩ Ak ), k =1

numită formula lui Poincare*. 3.2. Intersecţia evenimentelor dependente şi independente. Fie A1 , A2 ,..., An evenimente dependente. Are loc formula: (3)

n

P( ∩ AK ) = P( A1 ) ⋅ PA ( A2 )...P K =1

1

n −1

∩ AK

( An ) .

K =1

∗

H.Poincare (1854-1912)- matematician francez (lucrări: analiză, mecanică, fizică matematică, probabilităţi). 237

Dacă A1 , A2 ,..., An sunt evenimente independente atunci are loc formula: n

(4)

P( ∩ Ak ) = P( A1 ) ⋅ P( A2 )...P( An ) . k =1

Altă fomulă de calcul a probabilităţii reuniunii de evenimente. Fie sistemul de evenimente compatibile şi independente A , k ∈{1,2,..., n} . Are k

loc formula: n

n

n

k =1

k =1

k =1

P(U Ak ) = 1 − P( ∩ Ak ) = 1 − ∏[1 − P( Ak )] .

(5)

3.3. Inegalitatea lui Boole*. Exemplu. Fie A ∈ ℑ, k ∈ {1,2,..., n} , un sistem de evenimente despre care nu ştim dacă k

sunt independente sau dependente. În acest caz, se poate scrie o inegalitate care limitează inferior probabilitatea evenimentului produs. Din (1), deoarece 0 ≤ P( A ∪ B) ≤ 1, obţinem: (6)

P( A ∩ B ≥ P( A) + P( B) − 1

sau în general: (7)

n

n

k =1

k =1

P ( I Ak ) ≥ ∑ P ( Ak ) − (n − 1) .

Relaţia (7) constituie inegalitatea lui Boole şi dă o margine inferioară a probabilităţii evenimentului intersecţie când nu se cunoaşte dacă evenimentele sunt dependente sau independente. Exemplu

Să presupunem că un complex turistic (o bancă; o piaţă de

desfacere etc.) pentru a corespunde cerinţelor de a fi competitiv (vis a vis de necesităţile cerute de turişti etc.), trebuie să îndeplinească condiţiile (conform cerinţelor) A (să aibă de exemplu bazine de înot etc.), B (cabinete medicale de tipul a), b),…), C (să aibă restaurant unde se pot servi mese cu meniuri la alegere a), b),…), D (în camere să existe: televizor, program pe satelit , frigider, etc.). Ştiind că 86% din componentele complexului îndeplinesc condiţia A, 92% •

G.Boole (1815-1864), matematician englez. A folosit pentru prima dată o algebră constituită pe

principii logice.

238

condiţia B, 95% condiţia C, 82% condiţia D. În ipoteza că o societate de turism efectuează excursii la diverse complexe, solicită 500 lei în cazul în care sunt oferite la maximum cerinţele A, B, …; să se afle care este suma minimă ce poate fi solicitată de societate de la turist, în cazul când efectuează o excursie la complexul turistic de mai sus? Complexul

corespunde

“stasului”

dacă

se

realizează

evenimentul

X = AI BIC I D . Aplicând inegalitatea lui Boole obţinem: P ( X ) ≥ P ( A) + P ( B ) + P (C ) + P ( D ) − 3 = 0,86 + 0,92 + 0,95 + 0,82 + 3 = 3,55 − 3 = 0,55, P ( X ) ≥ 0,55

Suma minimă ce va putea fi solicitată: 270,5 lei. 3.4. Formula probabilităţii totale. Formula lui Bayes*. Exemplu. Fie ℑ un câmp de evenimente şi S= ( A1 , A2 , …, An ) un sistem complet de evenimente ale lui ℑ , precum şi evenimentul X∈ ℑ care se realizează când unul din evenimentele

se realizează. Cunoscând probabilităţile condiţionate

Ak

PAK ( X ), k = 1, n se cere să se determine probabilitatea evenimentului X, adică P(X).

Evident are loc relaţia: X= ( A1 ∩ X ) ∪ ( A2 ∩ X ) ∪ ...( An ∩ X ), iar

incompatibilitatea

evenimentelor

evenimentelor

Ak ∩ X .

Ak

antrenează

şi

incompatibilitatea

Probabilitatea evenimentului X, folosind calculul

probabilităţii reuniunii evenimentelor incompatibile, precum şi probabilitatea evenimentelor condiţionate este: (8)

P(X) =

n

n

k =1

k =1

∑ P( Ak ∩ X ) = ∑ P( Ak ) ⋅ PAK ( X ),

rezultat numit formula probabilităţii totale, permiţând determinarea probabilităţii evenimentului X dacă sunt cunoscute a priori probabilităţile P ( AK ) şi a posteriori probabilităţile PA ( X ), k ∈ {1,2,..., n}. K

239

•

Thomas Bayes (n.1763) matematician englez. S-a ocupat de probabilitatea a posteriori.

Punând problema de a determina probabilitatea a posteori a evenimentului AK în ipoteza realizării evenimentului X, adică PX ( Ak ), pornind de la identitatea: P ( Ak ∩ X ) = P ( Ak ) ⋅ PAK ( X ) = P ( X ) ⋅ PX ( Ak ),

din relaţia de mai sus şi egalitatea (8), obţinem: (9)

PX ( Ak ) =

P ( Ak ) ⋅ PAK ( X ) P( X )

=

P ( Ak ) ⋅ PAK ( X ) n

∑P

(X )

Ai

i =1

.

Exemplu. Un magazin cumpără acelaşi produs de la trei fabrici F1 , F2 , F3 în cantităţi proporţionale cu numerele 3; 2; 5. Se cunosc proporţiile respective ale produselor cu defecte a fiecărei fabrici: 1%; 2,5%; 2%. O cantitate de produse în valoare de 6.300 lei care a fost cumpărată este restituită în baza contractului de garanţie, ca având defecte ce o fac de neîntrebuinţat, iar suma respectivă restituită cumpărătorului. Ce sume trebuie imputate fiecărei fabrici, dacă nu se ştie de la ce fabrică s-a cumpărat produsul restituit? Soluţie. Evident, sumele de bani imputate fabricilor Fi , ( i = 1,2,3) nu pot fi decât proporţionale cu probabilităţile ca marfa restituită să provină de la fabrica respectivă. Să calculăm aceste probabilităţi. Notăm cu Ai evenimentul ca marfa să fie de la fabrica Fi , i = 1,2,3 şi cu X evenimentul ca marfa să fie defectă. Avem următoarele evenimente: X/ AK , marfa defectă care aparţine fabricii FK , probabilitatea corespunzătoare, fiind PA ( X ); AK / X , marfa care aparţine fabricii FK K

este defectă, probabilitatea corespunzătoare, fiind PX ( AK ) . Aplicând formula lui Bayes avem: pk = PX ( Ak ) =

P( Ak ) ⋅ PAK ( X ) 3

∑ P( A ) P i =1

i

Din datele problemei rezultă:

240

Ai

(X )

, k ∈{1,2,3}.

P( A1 ) =

3 2 5 = 0,3; P( A2 ) = = 0,2; P( A3 ) = = 0,5; 10 10 10

PA1 ( X ) = 0,01; PA2 ( X ) = 0,025; PA3 ( X ) = 0,02.

Formula precedentă ne dă: 1 p1 = , 6

p2 =

5 , 18

p3 =

5 . 9

Sumele imputate vor fi s i , i = 1,2,3, care satisfac relaţiile: s1 s 2 s3 s s s 6.300 = = sau 1 = 2 = 3 = 1 5 5 3 5 10 18 6 18 9

Se obţine: s1 = 1.050 lei ; s 2 = 1.750 lei şi s3 = 3.500 lei. 4. Scheme probabilistice clasice. 4.1 Schema urnei cu bile nerevenite. Exemplu. Să considerăm o urnă care conţine N bile de aceeaşi mărime, dintre care a sunt albe şi b sunt negre. Din urnă se extrag succesiv n bile fără a se pune bila extrasă înapoi. Să se determine probabilitatea ca din cele n bile extrase, α să fie albe şi β negre. Evenimentul sigur E constă în formarea tuturor grupelor posibile cu cele N bile luate câte n, ele diferind prin natura bilelor. Mulţimea respectivă conţine C n elemente (cazuri egal posibile). Pentru a determina numărul cazurilor N favorabile producerii evenimentului dorit vom asocia fiecărei grupe care conţine α bile albe (în total Cα a grupe) cu fiecare grupă care conţine β bile negre (în total

β cazuri favorabile. Folosind definiţia clasică a . C β grupe) obţinând Cα C a b b probabilităţii avem: (1)

α β C ⋅C b , P (α , β ) = a n n C N

în care a+b=N şi α+ β=n.

241

Generalizarea problemei presupune că în urnă sunt ak bile de culoare k, k ∈{1,2,..., s} . Se extrag n bile. Care este probabilitatea ca xk bile să fi de culoarea k ? Avem:

(2)

x x x C 1 ⋅ C 2 ...C s a a a 1 2 s P x , x , ..., x = n 1 2 n n C N

)

(

unde s s ∑ a k = N şi ∑ x k = n . k =1 k =1

Exemplu. Într-o grupă din anul I sunt 30 de studenţi, dintre care 18 băieţi şi 12 fete. Care este probabilitatea ca din 10 studenţi ai grupei care vor pleca într-o excursie pe Litoral, 6 să fie băieţi şi 4 fete? Soluţie. Aplicând formula (1) avem: 6 ⋅ C4 C18 12 = 17 ⋅ 4 ⋅ 9 ≅ 0,91 p= 10 29 ⋅ 23 C30

sau 91%. 4.2. Schema urnei cu bile revenite. Exemplu Fie o urnă conţinând bile albe şi negre. Notăm cu A evenimentul scoaterii unei bile albe, de probabilitate P(A)=p. Scoaterea unei bile negre reprezintă evenimentul contrar lui A, de probabilitate P(A) = q = 1 - p . Se fac n extrageri succesive, introducându-se de fiecare dată în urmă bila extrasă. Aceasta face ca p să fie constant tot timpul experienţei. Să se determine probabilitatea Pn(x) ca x bile din cele n extrase să fie albe. Fie A şi A şi ...şi A şi A şi A şi ... şi A 14 4244 3 144244 3 de x ori de n − x ori

O succesiune în care evenimentul A apare de x ori iar A de n-x ori. Probabilitatea unei astfel de succesiuni de evenimente independente este:

242

⎡ ⎤ ⎢ P ⎢(A ∩ A ∩ ... ∩ A ) ∩ A ∩ A ∩ ... A ⎥⎥ = p x ⋅ q n − x 1442443 144244 3 ⎢⎣ de x ori de n − x ori ⎥⎦

(

)

Numărul succesiunilor distincte în care A apare de x ori şi A de (n-x) ori este evident Cnx . Probabilitatea Pn(x) este dată de probabilitatea acestor succesiuni distincte. Cum aceste succesiuni sunt incompatibile şi echiprobabile, avem: Pn (x) = C nx ⋅ p x ⋅ q n − x .

(3)

Exemplu. Din datele statistice probabilitatea evenimentului naşterii unei fete este p=p(F)=0,51, iar a evenimentului naşterii unui băiat este q=P(B)=0,49. Care este probabilitatea ca într-o familie cu 7 copii, 5 să fie fete? Soluţie. Aplicând formula (3) avem: P7 (5) = C57 ⋅ 0,515 ⋅ 0,492 = 0,17.

Observaţie. Se observă că probabilitatea Pn(x) din (3) este dată de coeficientul lui tx din dezvoltarea binomului:

(pt + q )n

n = ∑ Cnx ⋅ p x ⋅ q n − x ⋅ t x . x =0

Pentru aceasta se mai spune că probabilitatea respectivă reprezintă o lege binominală. Generalizare. Dacă o urnă conţine bile de culoare k (k=1,2, … ,s) şi se fac n extrageri succesive, punând de fiecare dată bila scoasă înapoi, cunoscând că probabilitatea scoaterii bilei de culoare k este pk, se dovedeşte, că probabilitatea evenimentului ca din cele n bile extrase, xk să fie de culoare k, k=1,2, … ,s este:

(

)

x x n! x Pn x1, x 2 , ..., x s = p1 1 ⋅ p 2 2 ... ps s x1!x 2!...x ! k

(4) s

s

unde x s ≥ 0, ∑ x k = n, ∑ p k = 1 , iar probabilitatea respectivă defineşte o lege k =1 k =1 multinominală. Observaţie. Cele două scheme probabilistice, date de urna cu bile revenite şi de urna cu bile nerevenite, reprezintă în practică două tipuri de selecţii, selecţie 243

repetată, respectiv, selecţie nerepetată, obţinute prin sondaj non-exhaustiv, respectiv sondaj exhaustiv. 4.3. Schema urnelor Poisson*. Exemplu Schema lui Poisson constă în a considera n urne Uk, k=1,2, … ,n neidentice, ceea ce revine a considera pentru fiecare eveniment A realizat din urna Uk, probabilităţile diferite pk=P(A/Uk), k ∈{1,2,..., n} . Probabilitatea ca evenimentul A să se realizeze în cele n extracţii (de scoaterea a unei bile din fiecare urnă) de x ori, şi A de n-x ori este dată de coeficientul lui tx din dezvoltarea polinomului Q(t) = ( p t + q ) ( p t + q ) ... (p n t + q ) . 1 1 2 2 n

Exemplu. O urnă conţine 5 bile albe şi trei negre, o altă urnă şase albe şi două negre şi a treia, şapte albe şi una neagră. Se extrage câte o bilă din fiecare urnă.Să se determine probabilitatea ca două bile să fie albe şi una neagră. Soluţie. Aplicând schema lui Poisson găsim că probabilitatea de a extrage două bile albe şi una neagră este dată de coeficientul lui t2 din produsul: 3⎞ ⎛ 6 2⎞ ⎛7 1⎞ ⎛5 Q(t) = ⎜⎜ t + ⎟⎟ ⎜⎜ t + ⎟⎟ ⎜⎜ t + ⎟⎟ . 8⎠ ⎝8 8⎠ ⎝8 8⎠ ⎝8

Aşadar : p=

30 70 126 sau p ≅ 0,44 . + + 83 83 83

5. Variabile aleatoare. 5.1. Introducere. Variabile aleatoare. Distribuţia unei variabile aleatoare. Studiul evenimentelor aleatoare şi chiar al probabilităţilor respective, a prezenatat cu deosebire caracteristca calitativă a experienţelor ce conduc la realizarea lor. Dar fenomenele sau proprietăţile ce generează experienţele pot fi atât cantitative cât şi calitative. În viaţa de toate zilele întâlnim la tot pasul măsuri 244

care se schimbă sub influenţa unor factori întâmplători. Aşa sunt de exemplu: numărul de zile dintr-un an în care cade ploaia, numărul de puncte care apare în aruncarea unui zar, masa unui bob de grâu luată dintr-o anumită recoltă, cererea unui produs într-o unitate de timp (zi, lună, etc.), valoarea vânzărilor unui magazin pe unitatea de timp, numărul pacienţilor care solicită serviciul unei policlinici etc. măsurile care se iau la întâmplare sunt legate de anumite experienţe aleatoare. O astfel de mărime legată de experienţa aleatoare şi care ia valori la întâmplare, în funcţie de rezultatele experienţei, se numeşte variabilă aleatoare (stochastică). Fie S=(E1, E2, … , En ) un sistem complet de evenimente ale câmpului finit F. Evenimentele Ei sunt elementare şi într-o experienţă apare unul singur. Aceste n

evenimente verifică condiţiile: E = U E i , E i ∩ E j = Φ, i ≠ j . Notăm pi = P(Ei); i=1 n

evident ∑ pi = 1 . Putem enunţa: i =1 Definiţia 1. Se numeşte variabilă aleatoare aplicaţiaX: S→ R. Valoarea variabilei X corespunzătoare evenimentului Ei∈S se va nota X(Ei)=xi cu probabilitatea P(X=xi)=pi. Variabilele aleatoare se clasifică după mulţimile pe care sunt definite. Astfel avem: - variabilă aleatoare discretă definită pe o mulţime cel mult numărabilă de evenimente; - variabilă aleatoare continuă definită pe o mulţime continuă. O variabilă aleatoare discretă o vom nota: (1)

⎛x ⎞ ⎛ x , x 2 , ... , x n ⎞ ⎟ sau X : ⎜ i ⎟, i = 1, n X:⎜ 1 ⎜ p , p , ... , p n ⎟ ⎜p ⎟ 2 ⎝ 1 ⎠ ⎝ i⎠

unde în primul rând al tabloului am trecut valorile posibile ale variabilei şi sub fiecare valoare probabilitatea cu care X ia această valoare. Tabloul (1) defineşte distribuţia sau repartiţia variabilei X. O variabilă aleatoare continuă o vom nota: (2)

⎛x ⎞ ⎟⎟, x ∈ [a, b] X : ⎜⎜ ⎝ ϕ (x) ⎠ 245

unde: ϕ(x) se numeşte densitate de probabilitate şi are proprietăţile: b

ϕ (x ) ≥ 0, x ∈ [a, b] şi ∫ ϕ (x )dx = 1 . a

Exemplu: (variabilă aleatoare discretă). Fie Ei, i = 1,6 Ei=(i), i = 1,6 , 1 evenimentul care constă în apariţia feţei cu i puncte la o anumită aruncare; p = , i 6

i = 1,6 iar distribuţia va fi: ⎛1, 2, 3, 4, 5, 6 ⎞ ⎜ ⎟ X :⎜1 1 1 1 1 1⎟. ⎜ , , , , , ⎟ ⎝6 6 6 6 6 6⎠

1 6

Deoarece p1 = p 2 = ... p 6 = , spunem că X are o distribuţie uniformă.

5.2. Operaţii cu variabile aleatoare

Fie X şi Y două variabile aleatoare definite respectiv pe sistemele complete de evenimente S1 şi S2 ale aceluiaşi câmp ℑ şi având repartiţiile: ⎛ y , y 2 , ... , y m ⎞ ⎛ x , x 2 , ... , x n ⎞ ⎟ ⎟ ,Y :⎜ 1 X:⎜ 1 ⎜ p , p , ... , p n ⎟ ⎜ q , q , ... , q ⎟ 2 2 ⎝ 1 ⎠ m⎠ ⎝ 1

Definiţii.

10. Prin produsul dintre constanta k∈R şi variabila aleatoare X se înţelege o nouă variabilă aleatoare kX şi având repartiţia: (3)

⎛ kx , kx 2 , ... , kx n ⎞ ⎟ k⋅X :⎜ 1 ⎜p , p , ... , p n ⎟⎠ 2 ⎝ 1

20 Se numeşte sumă a variabilelor aleatoare X şi Y variabila aleatoare Z=X+Y, având repartiţia: (4)

⎛ xi + y j ⎞ ⎟ ⎜ X + Y :⎜ ⎟, i = 1, n , j = 1, m ⎜ pij ⎟ ⎠ ⎝

unde pij reprezintă probabilitatea realizării simultane a evenimentelor X=xi şi Y=yj, adică pij=P(X=xI şi Y=yj). Are loc: 246

Proprietatea. Dacă pi=p(Ai), Ai∈ S1 şi qj=P(Bj), Bj∈ S2, atunci pij=P(Ai∩Bj) n m

n

m

şi au loc relaţiile ∑ ∑ pij = 1 , ∑ pij = q j , ∑ pij = pi i =1 j=1 j=1 i =1

.

30 Numim produs al variabilelor aleatoare X şi Y variabila aleatoare Z=X Y având repartiţia: (5)

⎛ xi ⋅ y j ⎞ ⎟ ⎜ X⋅Y:⎜ ⎟, i = 1, n , j = 1, m ⎜ pij ⎟ ⎠ ⎝ n m

unde pij=P(A1∩Bj) şi ∑ ∑ pij = 1 , i=1j=1

5.3. Funcţia de repartiţie a unei variabile aleatoare.

Se numeşte funcţie de repartiţie a variabilei aleatoare X funcţia: F(x)=P(X<x), constituind o caracteristică pentru orice variabilă aleatoare. Calculul efectiv al funcţiei de repartiţie se adaptează celor două tipuri de variabile aleatoare. a) Variabila aleatoare discretă. Evenimentul (X<x) este reuniunea evenimentelor (X=xi), până la cel mai xi ≤ x

mare argument xi ≤ x, adică: (X<x)= U (X=xi). Evenimentele (X=xi) fiind i =1

incompatibile, aplicând xi ≤ x operatorul de probabilitate asupra relaţiei precedente, obţinem:

(

)

P(X < x ) = ∑ P X = x = ∑ p ,deci: i x ≤x i x ≤x i i

(1)

F(x) = ∑ p . x ≤x i i

Considerând graficele repartiţiei variabilei aleatoare, discrete, funcţia de repartiţie F(x) este suma probabilităţilor pi de la stânga punctului de abscisă x (fig.a) sau suprafaţa histogramei de la stânga punctului de abscisă b (fig.b). (funcţia de repartiţie este numită şi funcţia cumulativă a probabilităţilor):

247

Pi

Pi Pi P2 F(x)

P1 O

Pn xn x

xi

x1 x2

Oa

β

α

a)

b

x

b)

Din graficul b) observăm că: P(α ≤ X < β ) = F(β ) − F(α )

(2)

b) Variabila aleatoare continuă.

Dacă X este o variabilă aleatoare continuă, funcţia de repartiţie se defineşte astfel: x P(X < x ) = F(x ) = ∫ ϕ (t )dt a

(3)

Ţinând cont de interpretarea geometrică a integralei definite rezultă că funcţia F(x) reprezintă aria din histogramă pe intervalul [a,x]; (fig.a) φ(x)

φ(x)

P(α<X<β)

P(X<x)F(x) o

x

a

b

x

o

a)

a α

<x<

b) 248

βb

x

şi în acest caz rămâne valabilă formula (3); în fig. b) relaţia (3) reflectă formula de calcul a unei integrale definite pe intervalul [α,β]. Funcţia de repartiţie F(x)=P(X<x) are următoarele proprietăţi: 10 0 ≤ F(x) ≤ 1, ceea ce rezultă din faptul că F(x) reprezintă probabilitatea P(X<x); 20 Funcţia F(x) este nedescrescătoare, adică din x1 ≤ x2 rezultă F(x1) ≤ F(x2). 30 F(a)=0, F(b)=1, unde a şi b sunt cea mai mică, respectiv cea mai mare valoare pe care o poate lua argumentul variabilei X (evenimentul X
F(x i )

F(x)

1

1

o

o

F(x) x1

x2

x

xn

a)

x

x

b)

Observaţie. Pentru funcţia de repartiţie F(x) se obişnuieşte a se considera

drept domeniu de definiţie toată mulţimea numerelor reale. În acest caz avem relaţii de forma: x +∞ F(x ) = ∫ ϕ (t )dt, ∫ ϕ (x )dx = 1, F(− ∞ ) = 0 şi F(+ ∞ ) = 1 . −∞ −∞

6. Caracteristici ale variabilei aleatoare. 249

În prezenţa unor mulţimi de numere, acestea reprezentând valorile argumentului unei variabile aleatoare în corespondenţă cu probabilităţile respective, se pune problema de a sintetiza aceste mulţimi numerice, prin câteva date numerice, care să aibă proprietatea de a reprezenta cât mai fidel variabila aleatoare considerată. O astfel de reducere a mai multor date numerice la cât mai puţine numere, devine absolut necesară, mai ales atunci când se urmăreşte compararea între ele a diferite fenomene sau proprietăţi generând variabile aleatoare. Pentru sistematizarea prezentării acestor caracteristici, le vom grupa după nota dominantă pe care o pun în evidenţă: tendinţa centrală de grupare; împrăştierea distribuţiei. 6.1 Tendinţa centrală de grupare a distribuţiei.

În practica aplicaţiilor în economie drept indicatori numerici ai tendinţei centrale de grupare, sunt frecvent folosiţi: valoarea medie, mediană, modul etc. a) Valoarea medie. Se numeşte valoare medie (sau speranţa matematică) a

unei variabile aleatoare X numărul (M=M(X)): (1)

n M(X ) = ∑ x p i=1 i i

(X variabilă discretă)

(2)

b M (X ) = ∫ xϕ (x )dx a

(X variabilă continuă)

Observăm că valoarea medie a variabilei X (discretă) este media ponderată a p x + p x + ... + p n x n . Valoarea valorilor sale, cu ponderile p1, p2, … ,pn , M(X ) = 1 1 2 2 p1 + p 2 + ... + p n

medie se notează şi cu x = M (X ) . Au loc: Propoziţia 1. Fie variabilele aleatoare X şi Y, atunci au loc relaţiile:

250

⎧M(X + Y ) = M(X ) + M(Y ) ⎨ k∈R ⎩M(kX ) = kM(X ),

(3)

Demonstraţie. Conform definiţiei valorii medii a unei variabile aleatoare avem: n m n m n m M (X + Y ) = ∑ ∑ p ⎛⎜ x + y ⎞⎟ = ∑ ∑ p x + ∑ ∑ p y = j ⎠ i =1 j=1 ij i i =1 j=1 ij j i =1 j=1 ij⎝ i m m m m n n ∑ x i ∑ pij + ∑ y j ∑ pij = ∑ x pi + ∑ y q j = M ( X ) + M (Y ) i =1 j=1 i =1 j=1 i =1 i j=1 j

şi

( )

n n M(kX ) = ∑ kx p = k ⋅ ∑ x p = kM (X ) i =1 i i i =1 i i

Propoziţia 2. Fie X şi Y două variabile independente.

Atunci: (4)

M (X ⋅ Y ) = M (X ) ⋅ M (Y ) .

Într-adevăr, putem scrie: n m n m n m M (X ⋅ Y ) = ∑ ∑ p ⋅ x ⋅ y = ∑ ∑ p ⋅ q ⋅ x ⋅ y = ∑ p x ∑ p y =M (X ) ⋅ M (Y ) i=1j=1 ij i j i=1j=1 i j i j i=1 i i j=1 j j

pij=piqj (X,Y independente) Observaţie.

Valoarea medie este un fel de valoare centrală în jurul căreia cad celelalte valori posibile. Dacă x ∈ (− ∞,+∞ ) atunci: +∞ M(X ) = ∫ xϕ (x )dx . −∞

b) Valoarea mediană.

Se numeşte mediana variabilei aleatoare X, numărul Me, care satisface ecuaţia: (5)

P(X<Me)=P(X rel="nofollow">Me) .

Cu ajutorul funcţiei de repartiţie F(x), relaţia (5) se mai scrie: F(Me)=1-F(Me) sau

2F(Me)=1 .

Rezultă deci că mediana Me este soluţia ecuaţiei: 251

(6)

F(x ) =

1 2

.

În cazul unei variabile aleatoare continue, mediana este determinată de ecuaţia: M

e 1 ∫ ϕ (x )dx = . 2 0

Dacă F(x) este continuă crescătoare soluţia acesteia este unică. Exemplu: Să se determine mediana variabilei aleatoare continue: x ⎛ ⎞ ⎟, 0 ≤ x ≤ 3 . X:⎜ 1 ⎜ (2 x + 1) ⎟ ⎝ 12 ⎠

Soluţie. Calculele sunt: M

e 1 1 1 1 (2x + 1)dx = ⎛⎜ M e2 + M e ⎞⎟; ⎛⎜ M e2 + M e ⎞⎟ = ∫ ⎠ 12 ⎝ ⎠ 2 12 ⎝ 0 12

cu soluţiile Me=-3 şi Me=2. Convine Me=2 ∈ [0,3]. c) Moda (valoarea cea mai probabilă). Se numeşte moda variabilei aleatoare X , acea valoare M0 a variabilei X pentru care funcţia densitate de probabilitate are valoarea maximă. Astfel dacă funcţia densitate de probabilitate ϕ(x) este derivabilă de două ori atunci moda M0 verifică relaţiile ϕ’(M0)=0; ⎛x ⎞ ϕ”(M0)<0. În cazul când X este o variabilă aleatoare de tip discret X : ⎜ i ⎟ ⎜p ⎟ ⎝ i⎠

i i ∈{1,2,..., n} , moda reprezintă valoarea xi, pentru care pi este maximă. 1) Geometric Me este numărul cu proprietatea că x=Me împarte aria cuprinsă între graficul funcţiei ϕ(x) şi axa Ox în două părţi egale: y

ϕ( x) o

x=M e

252

x

2) Între cei trei indicatori numerici M, Me, M0 nu există o relaţie determinată. Dacă este, de exemplu cu distribuţie simetrică atunci M= Me = M0. 3) Noţiunea de mediană se generalizează, astfel: rădăcinile ecuaţiei F(x ) =

i n

, i=1,2, … ,n-1 se numesc quantile de ordinul n. pentru n=2, i=1 este quantila de ordinul doi, tocmai mediana. Pentru n=4 se obţin quartile. Quantilele de ordinul zece (n=10) sunt numite decile, iar cele de ordinul o sută (n=100) centile. 4) Valoarea medie a unei variabile reprezintă aria haşurată de mai jos: (Xv.adiscretă; b) X v.a continuă). a)

F

b) F

1

d) Momente şi medii de ordin superior.

1

Se numeşte momentul de ordinul k al variabilei X expresia: n x 0 a discretă; (7) x 1 Mx 2 0= ∑ x kx n-1⋅ p pentru variabila n x k i=1 i i

b

x

şi d) Momente şi medii de ordin superior.

Se numeşte momentul de ordinul k al variabilei X expresia: (7)

n

k M k = ∑ xi p i

pentru variabila discretă;

i =1

(8)

+∞ M = ∫ x k ⋅ ϕ (x )dx k −∞

pentru variabila continuă.

Se numeşte medie de ordinul k a variabilei X expresia: (9)

µ =kM k k

.

6.2 Împrăştierea distribuţiei variabilei aleatoare.

Caracteristicile numerice ale tendinţei centrale de grupare nu dau nici o indicaţie asupra împrăştierii, respectiv a concentraţiilor valorilor variabilei, adică în ce măsură datele se abat între ele, drept consecinţă în ce măsură se abat de la poziţia centrului de grupare. 253

De exemplu dacă X şi Y sunt două variabile aleatoare simetrice, evident centrele lor de grupare coincid, deşi distribuţiile lor sunt substanţial diferite, variabila X având valorile mai împrăştiate decât variabila Y (sau invers variabila Y mai concentrate ca X):

ϕ(x)

Y

X x

0

Sunt deci necesare caracteristici numerice care să permită să se compare între ele împrăştierea, respectiv concentrarea distribuţiilor pentru diferite variabile aleatoare. Printre acestea se foloseşte: extinderea sau intervalul de variaţie, abaterea, abaterea absolută medie, dispersia, abaterea medie pătratică, coeficientul de variaţie, momente centrate, covarianţa, coeficient de împrăştiere etc. a) Extinderea sau interval de variaţie. Dacă a şi b sunt cea mai mică,

respectiv cea mai mare valoare a argumentului variabilei, atunci extinderea este prin definiţie: (1) ω=b-a sau ω=xmax-xmin Extinderea este folosită în statistica controlului de fabricaţie în serie. b) Abaterea. Abaterea absolută medie. Dacă α este o valoare oarecare din

intervalul de variaţie al unei variabile aleatoare X, prin abatere a variabilei X înţelegem variabila: ⎛ x −α ⎞ i ⎟ sau Y : ⎛⎜ ⎜ ⎟ p ⎝ i ⎝ ⎠

Y : ⎜⎜

254

x −α ϕ (x )

⎞ ⎟⎟ ⎠

De obicei ca valoare pentru α se ia valoarea medie m=M(X), sau mediana Me. ⎛ x −m ⎞ ⎜ ⎟ Considerând variabila aleatoare U : ⎜ i ⎟ vom obţine abaterea absolută ⎜ p ⎟ i ⎠ ⎝

medie dată de expresiile: (2)

+∞ n ∑ xi − m ⋅ pi sau ∫ x − m ϕ (x )dx . −∞ i =1

Care poate caracteriza împrăştierea variabilei aleatoare X în jurul valorii ei medii m. c) Dispersia. Abaterea medie pătratică. Abaterea medie absolută definită

mai sus, aparent simplă ca definiţie, prezintă dezavantajul de a fi în cele mai dese cazuri, greu de calculat, fiind vorba de valorile absolute ale argumentului abaterii. Există însă un alt mod de a ţine seama de valorile absolute ale abaterii asociind variabila: 2⎞ ⎛ U 2 : ⎜ (x − m ) ⎟ . ⎜ ϕ (x) ⎟⎠ ⎝

Definiţie. Valoarea medie a acestei variabile adică expresia M (U2) se

numeşte dispersia variabilei aleatoare iniţiale X. Vom nota dispersia cu

sau

def

σ 2 = D(X ) = M⎛⎜ U 2 ⎞⎟ = M ⎡⎢(X − M(X ))2 ⎤⎥ . ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ Când variabila X este discretă, avem: (3)

2 n D(X) = ∑ ⎛⎜ x − m ⎞⎟ ⋅ p i ⎠ i=1⎝ i

iar când variabila X este continuă, avem: +∞ D(X) = ∫ (x − m )2 ⋅ ϕ (x )dx . (4) −∞ Numărul σ = D(X ) se numeşte abaterea medie pătratică a variabilei X sau abaterea medie tip (standard).

Dispersia şi abaterea medie pătratică sunt indicatorii cei mai utilizaţi pentru a caracteriza împrăştierea valorilor unei variabile aleatoare. Are loc următoarea: 255

Teoremă. Fie X şi Y două variabile aleatoare independente (pij=pi qj).

Atunci: (5)

D(X+Y)=D(X)+D(Y)

(6)

D(k X)=k2 D(X),

şi ∀ k∈R.

Demonstraţie. Notăm cu U, V, W, respectiv, abaterile variabilelor aleatoare X, Y, X+Y; observăm că: U=X-M(X), V=Y-M(Y), W=X+Y-M(X+Y). Deoarece variabilele aleatoare X şi Y sunt independente, avem: W=X-M (X)+Y-M (Y). Pentru valorile abaterilor variabilelor aleatoare U,V, W obţinem: ui=xi-M (X), vi=yi-M (Y), wij=ui+vj. Conform definiţiei dispersiei avem: 2 n m n m n m D(X + Y ) = ∑ ∑ p w 2 = ∑ ∑ p q ⎛⎜ u + v ⎞⎟ = ∑ ∑ p q ⎛⎜ u 2 + v2 + 2u v ⎞⎟ j ⎠ i =1 j=1 i j⎝ i j i j⎠ i=1 j=1 ij ij i=1 j=1 i j⎝ i

Ţinând seamă de relaţiile: M (U)=0, M (V)=0,

n m ∑ q j = ∑ pi = 1 j=1 i =1

din relaţia precedentă avem: n m m n n m D(X + Y ) = ∑ q ∑ p u 2 + ∑ p ∑ q v2 + 2 ∑ p u + ∑ q v j=1 ji =1 i i i=1 i j=1 j j i =1 i i j=1 j j =D(X)+D(Y), adică relaţia (5). În ce priveşte relaţia (6) observăm că: n D(k ⋅ X ) = ∑ p kx − kM(X ) 2 = k 2D(X ) . i=1 i i

)

(

d) Momente centrate. Variabila X-M (X), realizează o translaţie mutând

originea argumentului în centrul de grupare m=M (X), adică abaterea X-m centrează variabila considerată X. în acest sens momentele abaterii şi mediile respective de ordinul k, se numesc momente centrate mk, respectiv medii centrate µk (de ordinul k) şi se definesc astfel:

256

(7)

+∞ k k k m = ∑ x − m p , m = ∫ (x − m ) ϕ (x )dx. k i =1 i i k −∞

(

)

Se observă că: m2=D (X), σ=µ2= m 2 . Pentru calculul momentelor centrate de diferite ordine folosim de obicei legătura cu momentele obişnuite. Astfel ţinând seama că am notat cu litere mici mk momentele centrate şi cu litere mari Mk, momentele obişnuite, avem:

(

)

n k m = ∑ x − m k p , M = ∑ xkp i i k i =1 i i k i =1 Dezvoltând (xi-m)k după binomul lui Newton, obţinem: n k j j k− j j ⋅m p . m = ∑ ∑ (− 1) ⋅ C x k i =1 j=0 k i i

Cum avem: n k− j , j ∈ {0,1,2,...k} pi = M m = M1 , ∑ xi k− j i=1

(M0=1) relaţia precedentă conduce la exprimarea momentelor centrate în funcţie de momentele obişnuite: ⎧m = M − C1 M ... M12 + ... + + C2 M ⎪ k k k k −1 k k −2 ⎨ k ⎪+ (− 1)s Cs M ⋅ Ms + ... + (− 1) ⋅ M1k k k −s 1 ⎩

(8)

.

Particularizând pe k şi ţinând seama că M0=1, se găsesc momentele centrate de diferite ordine: (9)

m0 = 1, m1 = 0, m 2 = M 2 − M12 , m3 = M3 − 3M 2M1 + 2M13 , etc.

e) Covarianţa. Fiind date două variabile X şi Y, se defineşte covarianţa lor, notându-se cov (X,Y)=σx,y, expresia: (10)

σxy=M[(X-mx) ( Y-my)]

adică un moment centrat mixt al celor două variabile unde mx=M(X), my=M(Y). Dezvoltând (10) se obţine formula echivalentă de calcul: (11) σxy=M (X Y)-M (X) M (Y). 257

f) Coeficient de împrăştiere se defineşte ca fiind raportul: V =

σ m

.

7. Funcţia caracteristică ataşată unei variabile aleatoare.

Pentru dovedirea unor proprietăţi sau calcul mai uşor în unele exemple a caracteristicilor variabililor aleatoare, sunt utile anumite funcţii ce pot fi ataşate unei variabile aleatoare dintre care prezentăm funcţia caracteristică. Definiţie. Se numeşte funcţie caracteristică, a variabilei aleatoare X,

valoarea medie a unei noi variabile aleatoare, obţinute din X, înlocuind argumentul ei x prin eixt, unde i este unitatea imaginară, iar t este un parametru real. Notând funcţia caracteristică cu c(t), avem: (1)

itx ⎧∞ ⎪ ∑ p k e k , dacă X este distributie discreta ⎪ c(t ) = ⎨k =1 ⎪+∞ eitxϕ (x )dx , dacă X are distributie continuă cu densitatea ϕ (x ) ⎪⎩−∫∞

Are loc următoarea: Teoremă. Funcţia caracteristică admite următoarea dezvoltare în serie:

(2)

c( t ) =

( )

∞ ik M Xk k t ∑ k! k =0

unde M (Xk)=Mk este momentul de ordinul k al variabilei X. Relaţia (2) se obţine uşor dacă înlocuim în (1) pe eitx cu dezvoltarea: ∞ ik x k k eitx = ∑ t . k =0 k!

Egalitatea (2) permite adesea să se calculeze mai uşor momentele de diferite ordine ale variabilei X. Se dezvoltă în serie funcţia caracteristică c(t), ∞ c(t ) = ∑ c t k şi momentul de ordinul k este: k =0 k

(3)

1 ⎡ d k c( t ) ⎤ k! M = c = ⎢ ⎥ . k k i k ⎢⎣ dt k ⎥⎦ t =0 ik

258

Dacă repartiţia variabilei X este de tip continuu, densitatea sa de repartiţie ϕ(x) este dată de : ϕ (x ) =

(4)

1 +∞ −itx c(t )dt . ∫ e 2π −∞

8. Inegalitatea Bienayme – Cebâşev

Pentru orice variabilă aleatoare are loc inegalitatea: (1)

P( X − m < ε ) ≥ 1 −

σ2 ε2

, ε > 0 arbitrar, m = M (X ), σ 2 = D(X ).

Vom demonstra (1) pentru cazul când X este variabilă aleatoare continuă. Dacă ϕ(x) este densitatea de probabilitate a variabilei aleatoare X atuci: 2 +∞ 2 2 2ϕ (x )dx ≥ ε ( ) D(X ) = ∫ (x − m ) ϕ (x )dx ≥ x m − ∫ ϕ (x )dx = ε ⋅ P( X − m ≥ ε ) ∫ −∞ x-m ≥ ε x−m ≥ ε

de unde rezultă: (2)

P( X − m ≥ ε ) ≤

D(X ) D(X ) . sau P( X − m < ε ) ≥ 1 − 2 ε2 ε

Luând ε=kσ, k∈N şi σ= D(X) , avem:

σ2 D(x) 1 iar inegalitatea lui = = 2 2 2 2 ε k σ k

Bienayme-Cebâşev sub cele două forme date de (2) se scrie: (3)

P( X − m ≥ kσ ) ≤

1 1 respectivP( X − m < kσ ) ≥ 1 − k2 k2

pentru k=1, relaţia este nesemnificativă dând rezultat banal, de aceea vom lua k>1. Exemplu: Pentru k=3, avem: P( X − m ≥ 3σ ) ≤

8 1 ≅ 0,1 sau P( X − m < 3σ ) ≥ ≅ 0,9 9 9

Pentru k=4, avem: P( X − m < 4σ ) <

259

1 ≅ 0,06 16

Constatăm că abaterile mai mari decât 3σ şi cu atât mai mult decât 4σ, au probabilităţile de realizare foarte mici, deci şansele acestor evenimente de a se produce sunt extrem de reduse. 9. Distribuţii clasice

Dintre variabilele aleatoare unele au o importanţă deosebită fie că sunt folosite cu o pondere mare în cercetarea fenomenelor sau proprietăţilor pe care practica îndeosebi le pune. 9.1 Distribuţia binominală.

Să considerăm o urnă care conţine a bile albe şi b bile negre. Repartiţia variabilei aleatoare X:

(1)

⎛ ⎞ ⎜ ⎟ 1, ... , k ,... , n⎟ ⎜ 0, ⎜ ⎟ X :⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ n 1 n −1 k p k q n −k , ..., p n ⎟⎟ ⎜ q , C pq , ... , C n n ⎝ ⎠

care constă în n extracţii să apară o bilă albă de k ori, se numeşte distribuţie a ⎞ (repartiţie) binominală (sau repartiţia lui Bernoulli) ⎛⎜ p = ,q = 1− p⎟ . ⎝

a+b

⎠

Observăm că probabilităţile celor n+1 valori sunt termenii dezvoltării

(p + q )n = C0n p 0q n + C1n p1q n−1 + ... + C nn p n q 0 de unde şi numele de lege sau distribuţie binominală. Observăm de asemenea că funcţia de probabilitate ϕ (x k ) = Ckn pk q n −k verifică:

( )

n

( )

ϕ x k ≥ 0 si ∑ ϕ x k = 1 k =0

(cea de-a doua se obţine imediat din dezvoltarea (p+q)n=1). În cazul legii binominale funcţia caracteristică este: k n n c(t ) = ∑ Ck p k q n − k ⋅ eitk = ∑ Ck ⎛⎜ peit ⎞⎟ q n − k n n ⎠ k=0 ⎝ k=0

260

deci:

(

c(t ) = peit + q

(2)

)n .

Cu ajutorul funcţiei caracteristice c(t) obţinem valoare medie: 1 ⎡ dc(t ) ⎤ 1 M (X ) = ⎢ = npi ⎥ i ⎣ dt ⎦ t =0 i

sau M(X)=np;

(3) apoi ,

1 ⎡ d 2c ( t ) ⎤ ⎥ M⎛⎜ X 2 ⎞⎟ = ⎢ , ⎝ ⎠ i 2 ⎢ dt 2 ⎥ ⎣ ⎦ t =0

unde:

(

)

(

)

n − 2 2 2 2it n −1 2 it d 2c(t) = n(n − 1) peit + q p i e + n peit + q p⋅i e . dt 2

Înlocuind t=0 şi ţinând seama că p+q=1, obţinem: M(X2)=n2p2+np-np2. Rezultă: D(X)=M(X2)-[M(X)]2=np-np2=np(1-p)=npq . Aşadar, dispersia unei variabile aleatoare cu distribuţia binominală este: (4)

D(X)=npq .

9.2 Distribuţia normală (Laplace şi Gauss).

În studiul multor fenomene de masă se întâlnesc variabile aleatoare care se supun unei legi de probabilitate, numită legea normală. Definiţie. Spunem că o variabilă aleatoare X are distribuţie normală sau că

urmează legea normală cu parametrii m şi σ dacă densitatea sa de repartiţie este: (1)

ϕ (x ) =

1

σ 2π

2 − ( x −m ) 2 ⋅ e 2σ , unde x∈R, σ>0, m∈R.

261

Legea normală sau distribuţia normală se numeşte şi legea lui Laplace şi Gauss şi densitatea de repartiţie se mai notează cu n(x;m;σ). Printre distribuţiile discrete care se apropie de o lege normală este şi distribuţia binominală în cazul când numărul probelor este foarte mare. Observăm că pentru orice x∈R avem ϕ (x ) ≥ 0 . Efectuând schimbarea de variabilă x-m= σ 2 , obţinem: +∞ +∞ − t 2 1 +∞ − t 2 1 ( ) x dx e dt π 1 , deoarece = = = dt = π (integrala lui Poisson). ϕ ∫ e ∫ ∫ −∞ −∞ π −∞ π

În consecinţă, cele două condiţii ale densităţii de repartiţie sunt îndeplinite de ϕ(x). Are loc: Teorema. Funcţia caracteristică a unei variabile aleatoare X supusă unei 22 imt −σ t 2 . distribuţii normale n(x,m,σ) este: c(t ) = e

Într-adevăr: 2 − ( x −m) +∞ itx + ∞ 1 2 itx c(t ) = ∫ e ⋅ ϕ (x )dx = ∫ e 2σ e dx . −∞ σ 2π −∞

În această integrală facem schimbarea de variabilă x-m=y şi obţinem: 1 2 +∞ − 2 ⋅y ity imt ⋅ ∫ e 2σ e dy . c( t ) = e −∞ σ 2π 1

Înlocuim eity=costy+isinty şi obţinem: 1 2 1 2 1 ⋅y2 y − y − + ∞ + ∞ +∞ 2 2 2 ity 2 2 2 σ σ σ e dy = ∫ e costy dy + i ∫ e sinty dy = ∫ e −∞ -∞ −∞ 1 2 1 2 ⎛ ⎞ y ⎜+ ∞ − ⎟ ∞ - 2y 2 ⎜ σ σ 2 2 = 2 ∫e sintydy = 0 ⎟(impara ) . costydy ⋅ ∫ e ⎜ ⎟ 0 ⎜− ∞ ⎟ ⎝ ⎠

Folosind un rezultat cunoscut (integrala Poisson): b2 ∞ −ax 2 ⎛ ⎞ 1 π − 4a 1 e , b = t ⎟⎟ : , a > 0 obţinem: ⎜⎜ a = cosbxdx = ∫e 2 a 0 2σ 2 ⎝ ⎠

262

σ 2t 2 σ 2t 2 1 2 imt − − +∞ − 2 ⋅y ity 2 si deci c(t ) = e 2 . e dy = σ 2π ⋅ e ∫ 2σ −∞

Semnificaţia parametrilor m şi σ este următoarea: m este valoarea medie a variabilei aleatoare X, iar σ2 este dispersia acestei variabile. Folosind funcţia caracteristică, valoarea medie şi dispersia variabilei aleatoare X supusă legii normale se calculează uşor. Într-adevăr:

[(

) ]

1 ⎡ dc(t) ⎤ 1 M(X ) = ⎢ = im − σ 2 t c(t) t =0 = m (c(0)=1) şi ⎥ i ⎣ dt ⎦ t =0 i ⎡⎛ 2⎞ ⎤ 1 ⎡ d 2c(t) ⎤ ⎥ ⎢ = − ⎢⎜ − σ 2 + ⎛⎜ im − σ 2 t ⎞⎟ ⎟c(t)⎥ = σ 2 + m 2 de unde M⎛⎜ X 2 ⎞⎟ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ i 2 ⎢ dt 2 ⎥ ⎢⎣⎝ ⎠ ⎥⎦ t =0 ⎦ t =0 ⎣ D(X) = M⎛⎜ X 2 ⎞⎟ − [M(X )]2 = σ 2 ⎝ ⎠

Graficul funcţiei ϕ(x) se numeşte curba normală (clopotul lui Gauss) cu parametrii m şi σ şi are formă de clopot

1) Toate curbele admit câte un punct de maxim x=m (a cărei valoare este

1

σ 2π

) şi scad necontenit la stânga şi la dreapta lui, apropiindu-se de axa

absciselor. 2) Dreapta x=m este o axă de simetrie a graficului curbelor y=ϕ(x). 3) Toate curbele au formă de clopot, având formă convexă pentru x∈(-∞,m-σ)∪(m+σ,∞) şi concavă pentru x∈(m-σ, m+σ).Punctele m±σ sunt 263

puncte de inflexiune. Cu cât σ este mai mic, cu atât clopotul este mai ascuţit iar cu cât σ este mai mare cu atât clopotul este mau turtit. Suprafaţa inclusă de axa Ox este de arie 1 u2, curba se apropie repede de axa Ox, în raport cu o abatere ξ = x − m < 3σ , diferenţa faţă de Ox este de ordinul 0,003 unităţi. Pentru aceasta

din punct de vedere practic, distribuţia poate fi considerată definită într-un interval finit. 4) Faţă de parametrul m, curbele n(x;m;σ)suferă translaţii de-a lungul axei Ox, menţinându-şi forma şi mărimea (σ constant):

5) Moda şi mediana au valori egale cu m 2 ⎛ 1 ⎛ x −m ⎞ ⎞ ⎜ x − m − 2⎜⎜⎝ σ ⎟⎟⎠ ⎟ M(X ) = M e (X ) = x 0 = m ⎜ f' (x ) = − e ⎟ si f' (x ) = 0 are x 0 = m. σ 2 2π ⎟ ⎜ ⎠ ⎝

(

)

Funcţia

de repartiţie are expresia: (2) şi graficul:

x F(x ) = ∫ n (t; m,σ )dt −∞

F(X) 1 1/2 1

0 m-τ m x m+τ Momentele centrate ale legii normale cu parametrii m şi σ (k ≥ 2) sunt: 264

2 − (x −m ) + ∞ 1 2 k m = ∫ (x − m ) e 2σ dx . k σ 2π −∞

Făcând substituţia

x−m

σ 2

= y obţinem:

mk

K ( σ 2) = π

∞ k − y2 dy . ∫y e −∞

2

Integrând prin părţi cu u = yk −1, dv = ye− y dy obţinem formula de recurenţă: (3)

m

k

= (k − 1)σ 2 m

k −2

.

Ştiind că m0=1, m1=0, m2=σ2 rezultă m2p-1=0 şi m2p=1·3·5 … (2p-1)σ2p, p ∈{1,2,...}.

9.3 Distribuţia Gama.

O variabilă X are o distribuţie gama, dacă densitatea ei este dată de egalitatea: (1)

−x ⎧ 1 1 a 1 − ⋅ a ⋅ x e b , pentru x ≥ 0 a, b > 0 ⎪⎪ ϕ (x ) = ⎨ Γ(a ) b ⎪ ⎩⎪0 , pentru x ≤ 0

Ţinând seama de definiţia funcţiei: ∞ +∞ Γ(z ) = ∫ t z−1e −t dt , z > 0, rezultă că ∫ ϕ (x )dx = 1 (în urma schimbării de variabilă x=bt). −∞ 0

+∞

Deoarece ϕ (x ) ≥ 0 si ∫ ϕ (x )dx = 1 , rezultă că ϕ(x) reprezintă o densitate de −∞

repartiţie. Graficul funcţiei ϕ(x) este redat mai jos: ϕ(x) a=1 a≠1

0 Efectuând schimbarea de variabilă x=bt, obţinem:x

265

M (X ) =

Γ(a + 1) ⋅ b = ab . Γ(a)

Moda x0 are expresia x0=b(a-1) iar dispersia D(x)=ab2. Momentele de ordinul k: mk=a(a+1)…(a+k-1)bk, k ∈{1,2,...}. Funcţia de repartiţie F(x) este definită de relaţia: ⎧x −t 1 a − 1 ⎪∫ t e b dt, x ≥ 0 F(x ) = ⎨ Γ(a) ⋅ ba 0 ⎪ ⎩0, pentru x < 0

şi are graficul: F(x) 1

x

0 9.4 Distribuţia Beta

Spunem că o variabilă aleatoare X are distribuţia Beta cu parametrii p şi q (p>0, q>0) dacă densitatea sa de repartiţie este: (1)

⎧ 1 p −1 (1 − x )q −1 ⋅x ⎪ ϕ (x ) = ⎨ B(p, q ) pentru x ∈ [0,1] ⎪0 pentru x ∉[0,1] ⎩

Deoarece ϕ(x) ≥ 0 şi

+∞ ∫ ϕ (x)dx) = 1 , rezultă că ϕ(x) este o densitate de −∞

repartiţie. Momentul de ordinul k este: (2)

p(p + 1)...(p + k − 1) m = k (p + q)(p + q + 1)...(p + q + k − 1)

iar valoarea medie şi dispersia sunt:

266

(3)

M(x) =

p pq , D(X ) = . 2 p+q (p + q) (p + q + 1)

.

p −1

. Moda distribuţiei este x 0 = p+q−2 9.5 Distribuţia χ 2 (hi -pătrat)

O variabilă aleatoare X are distribuţia χ 2 dacă densitatea de probabilitate:

(1)

ν −1 − x ⎧ 1 2 ⎪ x 2 e 2a , x ≥ 0 ⎪ ν/2 ν ⎛ ν ⎞ ϕ ( x ) = ⎨ 2 a Γ⎜ ⎟ ⎪ ⎝2⎠ ⎪0 , pentru x < 0 ⎩

Distribuţia χ2 a fost descoperită de Helmert în 1876 şi pusă în valoare 30 de ani mai târziu de R. Pearson. Ea are doi parametrii a>0 şi ν (ν reprezentând numărul gradelor de liberatate) şi se aplică în statistica matematică. Pentru a=1 şi ν=2,4,6,15 graficele lui ϕ(x) sunt: ϕ(x,ν,1) 0,30 ν=2

0,20

ν=4

0,15

ν=6

0,10

ν=15

0,05 0

x 5

10

15

25

20

ϕ(x,ν,1)

2

2

P(λ >λ0)

2

λ0 267

2

x=λ0

Pentru ν >30, graficul distribuţiei χ2 se aproprie de graficul distribuţiei normale. În practica statisticii este frecvent folosită funcţia de

repartiţie

complementară P(χ2>χ02)=δ (ale căror valori sunt tabelate pentru diferite valori a lui ν şi valorile uzuale a lui σ ). Observăm că ϕ(x) îndeplineşte condiţiile unei densităţi de probabilitate: +∞

a) ϕ (x ) ≥ 0 şi ∫ ϕ (x )dx = 1 ultima egalitate se obţine făcând schimbarea de −∞

variabilă x=2t. Caracteristici ale distribuţiei χ2: M(X)=a2ν, D(X)=2a4ν, x0=(ν-2)a2, m3=8a6ν, m4=12a8ν(ν+4). Funcţia carcateristică c(t)=(1-2ia2t)-ν/2. Dacă υ → ∞ într-o distribuţie χ2 atunci distribuţia tinde către n(x;0;1). 9.6 Distribuţia Poisson (legea evenimentelor rare).

Să considerăm legea binominală: n −α α p n (α ) = Cα n p (1 − p )

în care presupunem n foarte mare şi p foarte mic. Notăm np=λ şi avem: α n −α n (n − 1)...(n − α + 1) ⎛ λ ⎞ ⎛ λ ⎞ p n (α ) = . ⎜ ⎟ ⎜1 − ⎟ α! ⎝n⎠ ⎝ n⎠

Vom scrie încă: (1)

n (n − 1)...(n − α + 1) ⎛ λ ⎞ p n (α ) = ⎜1 − ⎟ ⎝ n⎠ nα

n -α α λ . α!

n (n − 1)...(n − α + 1) ⎛ λ⎞ = 1si lim ⎜1 − ⎟ Deoarece nlim α n →∞ → ∞ n ⎝ n⎠

n −α

= e− λ , pentru n foarte

mare vom înlocui primii doi factori din (1) prin limitele lor. Obţinem valoarea asimptotică: (2)

Pn (α ) ≅

λα −λ e . α! 268

Definiţie. Dacă o variabilă aleatoare X ia valorile α=0,1,2,… cu

probabilităţile

λα −λ e unde λ este un parametru real, se spune că variabila X este de α!

tip Poisson sau că legea sa de probabilitate este o lege de tip Poisson. Legea lui Poisson se aplică în cazul evenimentelor ce se întâmplă foarte rar. De aceea legea lui Poisson se mai numeşte şi lege evenimentelor rare. Pentru ca legea de mai sus să fie o lege de probabilitate, este necesar ca suma probabilităţilor sale să fie egală +∞ λ − λ e = e−λeλ = 1 . α =0 α!

cu 1. Această condiţie este îndeplinită, ∑ Proprietăţi.

1) Valoarea medie a unei variabile Poisson este : M(X)=λ. Întra-devăr, ∞ λα - 1 ∞ λ −λ λ − = λ ⋅e-λ e λ = λ . M(X)= ∑ α e = λe ∑ α =0 α! α = 1 (α - 1)!

2) Funcţia carcateristică a unei variabile de tip Poisson este : c(t ) = e

⎞ ⎛ λ ⎜⎜ eit −1⎟⎟ ⎝

⎠

.

Aceasta se obţine uşor pornind de la definiţie:

( )

⎛ ⎞ α λ ⎜⎜ eit −1⎟⎟ ∞ itα λ α − λ ∞ λeit it α − − λ λe ⎝ ⎠ c( t ) = ∑ e e =e =e e =e . ∑ α! α =0 α =0 α!

3) Dispersia variabilei Poisson este egală cu λ. Conform definiţiei D(X)=M(X2)-[M(x)]2. Pentru a calcula M(X2) folosim definiţia: ⎛ ⎞ ⎡ λ ⎜⎜ eit −1⎟⎟ ⎤ ⎡ d 2 c(t) ⎤ 2 2 2it it ⎝ ⎠⎥ M X = −⎢ = λ2 + λ . = − ⎢ − λ e − λe e ⎥ 2 ⎢ ⎥ ⎣⎢ dt ⎦⎥ t =0 ⎣⎢ ⎦⎥ t =0

( )

)

(

Înlocuind în egalitatea precedentă, se obţine: D(X)=λ2+λ-λ2=λ. 9.7. Distribuţia ,,t” (Student)

Variabila aleatoare este repartizată Student cu ν grade de libertate, dacă funcţia densitate de probabilitate este:

269

(1)

⎛ ν +1⎞ Γ⎜ ⎟ 1 2 ⎠ ⎝ ϕ (t; ν ) = ⎛ν⎞ νπ Γ⎜ ⎟ ⎛ ⎝ 2 ⎠ ⎜1 + ⎜ ⎝

1

ν +1 2 ⎞ t ⎟ 2 ν ⎟⎠

, t ∈ (− ∞,+∞ ) .

Şi în acest caz, se poate arăta uşor că sunt îndeplinite condiţiile ca ,,t” să fie o densitate de probabilitate: a)

ϕ (t; ν ) ≥ 0

b)

+∞ 2 ∫ ϕ (t; ν )dt = 1 (cu schimbare de variabilă t =νy) −∞

(evidentă);

Caracteristicile variabilei sunt: M(x ) = 0, D(X ) = m

2k

=

ν , x = 0, m =0 2k +1 ν−2 0

ν k 1 ⋅ 3...(2k − 1) . (ν − 2)(ν − 4)...(ν − 2k )

Practic pentru ν>30, distribuţia ,,t” Student este aproximată de distribuţia normală n(t;0;1), graficele respective confirmând acest fapt (fig.a). ϕ

distributia n(x;0,1) distributia ,,t''

0,3 0,2 0 0,1

-5-4-3-2-1 1 2 3 4 5

x t

Fig.a În practica statistică matematice pentru distribuţia Student tabelată funcţia: P( X > t ) = δ (fig b haşurat).

270

ϕ(x)

ϕ(x) -t

o

t

t

Fig. b 10. Convergenţa în repartiţie sau în sens Bernoulli.

Fie Fn şi F. respectiv funcţiile de repartiţie ale variabilelor Xm şi X. Şirul de variabile aleatoare {X n }n∈N converge în repartiţie către variabila aleatoare X, dacă şirul funcţiilor de repartiţie {Fn }, n ∈ N converge către funcţia de repartiţie F în toate punctele de continuitate ale lui F. Activitatea practică are uneori să cunoaştem condiţiile în care acţiunea mai multor factori întâmplători conduc la un rezultat care să permită să prevedem evoluţia unui anumit fenomen. Astfel de condiţii se dau în teoremele cunoscute sub denumirea de comună de legea numerelor mari. 10 Teorema lu Cebâşev. Dacă X1, X2, …Xn, sunt variabile aleatoare (discrete sau continue) independente, ale căror dispersii sunt mai mici decât o constantă C, atunci pentru orice ε >0 avem: (1)

n ⎛ n ⎞ ∑ M(X k ) ⎜ ∑ Xk ⎟ = = k 1 k 1 ⎜ < ε⎟ = 1 − lim P n →∞ ⎜ ⎟ n n ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

271

n ∑ Xk Întra-devăr, fie variabila aleatoare X = k =1 pentru care avem: n

n ⎛ n X ⎞ ∑ M(X k ) ⎜ ∑ k⎟ ⎟ = k =1 M (X ) = M⎜ k =1 , ⎜ n ⎟ n ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ n ⎛ n X ⎞ ∑ D(X k ) ⎜ ∑ k⎟ n ⋅C C ⎟ = k =1 D(X ) = D⎜ k =1 < = . 2 2 ⎜ n ⎟ n n n ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

Aplicarea inegalităţii Bienayme-Cebâşev asupra variabilei X, conduce la dubla inegalitate: n ⎞ ⎛ n ∑ M(X k ) ⎟ ⎜ ∑ Xk C k 1 k 1 = = ⎜ 1− ≤P − < ε⎟ ≤ 1 2 ⎟ ⎜ n n nε ⎟ ⎜ ⎠ ⎝

care la limită devine (1). Teorema lui Cebâşev stă la baza teoriei selecţiei. 20 Teorema lui Bernoulli. (Legea numerelor mari a lui Bernoulli.) Dacă se fac n experienţe independente, în fiecare experienţă probabilitatea evenimentului A fiind p şi dacă x este numărul de operaţii al evenimentului A în cele n experienţe, atunci: (2)

⎛x ⎞ lim ⎜⎜ − p < ε ⎟⎟ = 1 . n →∞⎝ n ⎠

Vom prezenta două teoreme , numite teoremă de convergenţă în lege, pentru a căror demonstraţie se foloseşte de obicei funcţia caracteristică. a) Teorema lui Moivre-Laplace. Distribuţia binominală în cazul când

volumul n ala extracţiilor este mare, este aproximată de distribuţia normală, adică are loc relaţia: (3)

2 11 (x −m ) ⎧m = np 2 σ2 ⎪ lim C x p x q n − x = e ,⎨ n→∞ n ⎪⎩σ = npq σ 2π 1

272

b) Teorema limită centrală (Laplace-Leapunov). Fie dat un sistem de

variabile aleatoare Xk, k ∈ {1,2,…,n} pentru care sunt îndeplinite următoarele condiţii: 10 Variabile aleatoare Xk sunt independente; 20 Momentele centrate până la cel puţin ordinul trei există fiind mărginite; mk r < C, k ∈ {1,2,…n}, r ≤ 3 , C-constantă. 30 Notând: n n (n) τ 2 = D(X ), τ 2x (n) = ∑ τ 2 , ρ = m , ρ x = ∑ ρ , k k k k =1 k k =1 k k 3

fiind satrisfăcută relaţia: (3)

ρ*(n ) lim x = 0 , n →∞ τ3 (n ) x n

atunci variabila sumă X = ∑ X k are o distribuţie asimptotică distribuţia normală, k =1 oricare ar fi distribuţiile variabilelor Xk, k ∈{ 1,2,…,n}. 11.Covarianţa şi corelaţia a două variabile aleatoare.

Prin covarianţa a două variabile aleatoare X şi Y înţelegem expresia: (1)

cov (X,Y)=M[(X-M(X)) (Y-M(Y))].

Dacă Y este independentă de X, atunci cov (Y,X)=0 (analog dacă X este independentă de Y, cov (X,Y)=0). Fiind date două variabile X şi Y ale căror valori normate sunt Zk, respectiv Zy (a norma sau a reduce o variabilă abatoare înseamnă a centra variabila şi a măsura argumentul prin abaterea medie pătratică), se numeşte coeficient de corelaţie a cuplului de variabile (X,Y) convarianţa variabilelor normate. Notând ρXY coeficientul de corelaţie, prin definiţie avem: (2)

⎡ X − M(X) Y − M(Y) ⎤ ρ XY = cov Z x , Z y = M ⎢ ⋅ ⎥ care se mai scrie: τx τy ⎦⎥ ⎣⎢

(3)

ρ XY =

(

)

τ xy M[(X − M(x)) ⋅ (Y − M(Y))] cov(Y, X) = = τx ⋅ τy τx ⋅ τy τx ⋅ τy 273

Datorită simetriei în raport cu variabilele X şi Y avem: ρXY= ρYX= ρ, sau astfel spus coeficientul de corelaţie indică legătura ce există între variabilele perechi (X,Y) şi nu legătura de la o variabilă la cealaltă. Acest fapt permite să se spună că această legătură stochastică defineşte corelaţia variabilei X şi Y, sau că variabilele sunt corelate. Coeficientul de corelaţie are valorile ρ∈[-1,1], marginele intervalului fiind atinse atunci când între X şiY a există o dependenţă liniară certă. 13. Aplicaţii ale teoriei probabilităţilor în teoria fiabilităţii.

Teoria fiabilităţii (teoria siguranţei în funcţionare) are ca scop găsirea legilor de apariţie a defecţiunilor echipamentlor sau utilajelor. Astfel, echipament sau utilaj poate fi: strung, tractor, automobil, aparatură industrială, fabrică, uzină, calculator, etc. Prin calitatea echipamentului înţelegem mulţimea proprietăţilor ce definesc gradul de utilitate în exploatare. Fiabilitatea echipamentului este capacitatea echipamentului de a-şi conserva

calitatea în condiţii determinate de exploatare. Timpul de funcţionare până la prima defecţiune. În cazul sistemelor complexe se studiază atât fiabilitatea sistemului în asamblul său cât şi fiabilitatea unor părţi componente considerate aparte ca entităţi de sine stătătoare. O parte indivizibilă a sistemului sau studiată ca un tot independent de părţile sale componente o vom numi element. În cazul unor echipamente sau a unor elemente perioada de timp de la darea în funcţiune până la apariţia avariei coincide cu durata de viaţă a echipamentului sau elementului respectiv (de exemplu becurile – la care nu se pune problema reparării). Să considerăm ca moment iniţial momentul în care un element este pus în stare de funcţionare şi să notăm cu z timpul de funcţionare până la apariţia defecţiunii. Prin timp de funcţionare înţelegem perioada de funcţionare efectivă,

274

eliminând perioadele de întrerupere deliberată. z este o variabilă aleatoare a cărei funcţie de repartiţie o vom nota prin Q: Q(t) = P( z < t ) , ( t > 0). Vom presupune că funcţia Q(t) este derivabilă în orice punct t > 0 şi notăm q(t) = Q’(t). Probabilitatea ca elementul să fie în stare de funcţionare la momentul t (sau să funcţioneze fără să se defecteze un timp mai lung decât t) este: Φ(t) = P ( z < t )=1-P(t) , ( t > 0 ). Funcţia P(t) se numeşte funcţia de siguranţă. Din proprietăţile generale ale funcţiilor de repartiţie şi din condiţiile impuse lui Q se deduc imediat proprietăţile funcţiei de siguranţă Φ: este continuă şi derivabilă în orice t > 0, Φ(0) = 1 ; lim φ (t ) = 0 . t →∞ Valoarea medie a timpului de funcţionare fără defectare este M(z) =

∞

∫ 0

∞

tq (t) dt = ∫ φ (t )dt − m 2 0

unde m = M(z). În practică întâlnim numeroase exemple în care este important ca avariile să fie prevenite. În acest caz se stabileşte pe bază de calcule şi experienţă o limită de funcţionare t 0 . Aceasta înseamnă că indiferent de starea în care se găseşte elementul sau echipamentul respectiv la momentul t 0 , el este scos din funcţiune. (Este cazul cazanelor de la instalaţiile de încălzire, al locomotivelor, vapoarelor etc.). Dacă z ar fi durata de viaţă a unui astfel de echipament fără impunerea unei durate maxime de funcţionare, atunci adevărata valoare a acestei durate este z * = min( z , t 0 ) .

Dacă Q * este funcţia de repartiţie a lui z * se vede imediat că pentru orice t ≥ 0:

⎧Q(t ) pentru t ≤ t 0 Q * (t) = P( z * < t ) = ⎨ ⎩ 1 pentru t > t 0 ,

şi corespunzător 275

⎧Φ(t ) pentru t ≤ t 0 , Φ * (t ) = 1 − Q * (t ) = ⎨ ⎩ 0 pentru t > t 0 .

Valoarea medie a variabilei z * este t0

∞

m = ∫ Φ (t )dt = ∫ Φ(t )dt ∗

*

0

0

iar dispersia acestei variabile: t0

D 2 ( z * ) = 2 ∫ tΦ (t )dt − m * . 2

0

Funcţia risc de defectare. Să considerăm evenimentele:

A: elementul funcţionează fără să se defecteze până la momentul t; B: elementul nu se defectează între momentele t şi t + h. Se observă că A ∩ B este evenimentul “ elementul funcţionează fără să se defecteze până la momentul t + h”. Avem: P ( B/A) =

P( A ∩ B) P ( z > t + h) Φ (t + h) = = . P( A) P( z > t ) Φ (t )

Cu alte cuvinte, dacă elemntul nu se defectează până la momentul t, probabilitatea ca el să nu se defecteze până la momentul t + h este

Φ (t + h ) Φ(t )

.

Înseamnă că în aceeaşi ipoteză probabilitatea ca el să se defecteze înainte de momentul t + h este:

1-

Φ (t + h) Φ (t ) − Φ (t + h) = . Φ (t ) Φ (t )

Dacă h este mic atunci Φ(t ) − φ (t + h) ≅ hφ ' (t )

şi deci pentru un astfel de h P(B/A) ≅ −

Φ ' (t ) ⋅ h = λ (t ) ⋅ h. Φ(t )

Funcţia λ (t ) se numeşte risc de defectare. Graficul funcţiei empirice risc de defectare obţinut prin prelucrarea datelor statistice este de forma:

276

λ(t)

t 0

I

II

III

Această formă a graficului sugerează existenţa a trei perioade distincte în timpul exploatării.În prima perioadă (I de pe figură) riscul de defectare descreşte cu timpul. În momentul punerii în stare de funcţionare a echipamentului încep să se manifeste viciile de fabricaţie ascunse. Cei care lucrează cu anumite utilaje ştiu că riscul de defectare este mai mic după trecerea unui timp de la darea în exploatare. Aceasta este perioada rodajului. A doua (II pe figură) perioadă este perioada de funcţionare normală. După trecerea perioadei de rodaj urmează o perioadă în care

riscul de defectare se stabilizează şi practic nu depinde de timp. A treia (III pe figură) este perioada de îmbătrânire a echipamentului. Sub influenţa unor factori fizici şi chimici elementele se degradează ireversibil şi riscul de defectare creşte cu trecerea timpului. Dacă considerăm ca moment iniţial momentul în care se termină perioada rodajului şi începe perioada de funcţionare normală, o lungă perioadă de timp riscul de defectare va fi practic constant. De multe ori nu se pătrunde prea adânc nici în cea de a treia perioadă, echipamentul fiind înlocuit în scopul prevenirii avariilor sau a uzurii morale înainte ca el să devină incapabil să mai funcţioneze. Dacă λ(t) = λ , λ >0 aceasta înseamnă că Φ ' (t ) = −λ Φ (t )

de unde rezultă

Φ (t ) = e − λt . Funcţia de repartiţie a duratei de funcţionare fără

defectare este Q(t) = 1- e − λt , t > 0, 277

adică durată are distribuţie exponenţială cu parametrul λ. Această lege de fiabilitate nu este universală. În practică se întâlnesc frecvent situaţii în care datele experimentale nu concordă cu modelul de mai sus. O lege de probabilitate care apare din ce în ce mai des în teoria fiabilităţii este distribuţia Weibull. Dacă z are distribuţia Weibull cu parametrii λ şi α, adică funcţia sa de repartiţie este α

Q(t) = 1- e − λt , t > 0. atunci funcţia de siguranţă corespunzătoare este φ (t ) = e − λt

α

şi deci îi va corespunde funcţia risc de defectare λ (t ) = λαt α −1 . Legea Weibull este mai generală decât legea exponenţială. Depinzând de doi parametrii, ea poate cuprinde un număr mult mai mare de cazuri concrete decât legea exponenţială. Dacă riscul de defectare este proporţional cu timpul: λ (t) = 2λt, λ > 0 constant, atunci din relaţiile φ , (t ) = −2λt ; φ (0) = 1 φ (t )

rezultă: Φ (t ) = e − λt

2

şi suntem în cazul unei legi Weibull. 14. Probleme propuse.

1. Se consideră variabilele aleatoare independente ⎛

⎞ ⎟⎟ ⎝ 0,7 0,1 0,2 ⎠

X: ⎜⎜

1 2 4

⎛

1 4 6 7

⎞

⎟⎟ şi Y: ⎜⎜ ⎝ 0,2 0,4 0,1 0,3 ⎠

Să se calculeze: m 2 X + 4Y şi D(2X +4Y). 278

2. Să se determine densitatea de repartiţie a variabilei aleatoare X pentru care

funcţia caracteristică este Ψ(t) =

1 . 1+ t2

3. Să se determine funcţia caracteristică a unei variabile aleatoare X având densitatea de repartiţie:

f(x) =

1 x ( x + 4) 2

, -∞ < x < + ∞.

279

CAPITOLUL X PROBLEME DATE LA CONCURSURILE DE MATEMATICĂ “ TRAIAN LALESCU”- anul II- (Politehnică-) (fazele naţionale - 1980- 1996) (selectiv).

1. Să se calculeze I=

1 3

∫ 0

x 2 (1 − x) ( x + 1) 3

dx .

= 1980 = 2.

Să se determine soluţia pe [0, ∞) a ecuaţiei diferenţiale xy″ + 2y′ = x 2 care

satisface condiţiile y(0)=0 şi este mărginită în vecinătatea originii folosind transformata Laplace. = 1981 =

3.

Fie f(x,t) = e

x t (t − ) 2 2

olomorfă pentru x ∈ R fixat şi 0 < | t | < ∞. Dacă f(x,t)

admite o dezvoltare în serie Laurent de forma f(x,t) =

+∞

∑J

n = −∞

n

( x) ⋅ t n atunci f(x,t)

verifică următoarele relaţii: 2 J n' ( x) = J n −1 ( x) − J n +1 ( x) , J n −1 ( x) + J n +1 ( x) =

214

2n J n ( x) , x ∈ R * . x

= 1981 = 4.

Folosind metoda separării variabilelor să se afle soluţia ecuaţiei: ∂ 2 u 1 ∂u − = a 2 u , a>0 care ∂t 2 x ∂x

satisface condiţiile: (1)

u(x,t) = u(x,t + 2л) , x ∈ R * , t ≥ 0

(2)

u(0,t) =

1 . 5 − 3 cos t

= 1982 = 5.

Să se dezvolte în serie Fourier funcţia f : R → R, f ( x ) =

1 , a > 1. 1 − 2a cos x + a 2

= 1983 = 6.

Se dă ecuaţia cu derivatele parţiale: ∂u ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u 2 =0 − 2 sin x − cos x 2 − cos x 2 ∂y ∂x∂y ∂y ∂x

a)

Să se determine tipul ecuaţiei şi să se aducă la forma canonică;

b)

Să se determine soluţia generală;

c)

Să se determine soluţia particulară care satisface condiţiile: u(0,y) = 2y, ∂u (0, y ) = 2 . ∂x

=1989 = 7.

a) Să se determine funcţia morfă f(z) = u(x,y) + iv(x,y) pentru care 215

u(x,y) = e x cos y + x sin xchy − yshy cos x ; 2π

cos 3x

∫ 5 − 4 cos x dx .

b) Să se calculeze:

0

=1985 = 8.

v

Fie r vectorul de poziţie al punctului de coordonate (x,y,z) ∈ R 3 şi ϕ : R 3 → R o funcţie armonică într-un domeniu D ⊂ R 3 . a)

Să se determine parametrii reali a,b astfel încât r

r

grad (r gradϕ ) + arot (r xgrad ϕ ) + bgrad ϕ = 0 pentru orice funcţie armonică ϕ . b)

Să se exprime printr-o integrală de suprafaţă integrala triplă: I=

r

∫ ∫ ∫ [gradϕ + (r ∇ )gradϕ ]dw Ω

unde Ω este un domeniu cu frontiera suficient de regulată, Ω ⊂ D, r ∂ ∂ ∂ r ∇=x +y +z . ∂x ∂y ∂z

= 1986 =

9.

a) Să se determine funcţia monogenă f ştiind că f(z) = ϕ ( x + x 2 + y 2 ) , ϕ derivabilă. b) Să se calculeze: −

1

e z dz, R ≠ 1 . I= ∫ ( z − 1) Z =R

= 1987 =

216

10. a) Să se determine funcţiile olomorfe

f: C → C pentru

care

u(x,y) = ϕ ( x ) ⋅ψ ( y ) cu ϕ şi ψ de clasă C 2 ( R) unde u ( x,y) = Re f ( z ) , z = x + iy. b) Să se calculeze:

I=

∞

∫ (x

x sin ax dx, + b 2 )( x 2 + c 2 )

2

0

unde a,b,c ∈ R . =1988 = 11. Se dă funcţia complexă

F(p) =

[

1

( p +1) ( p +1) +ω 2

2

]

, ω > 0,

p ∈ Z. Se cere: a) Să se determine funcţia original f(t); b) Să se rezolve ecuaţia integrală: t

∫ g (u ) f (t − u)du = e 0

∞

c) Să se calculeze : I 1 = ∫ 0

f (t ) dt . t

d) Pentru ω = 2 să se calculeze: π

2

I 2 = ∫ e t f (t ) cos 6 tdt . 0

= 1989 =

217

−t

(ωt − sin ωt ) .

12. Să se calculeze integrala: ∞

dx

∫ (a + bx )

unde a şi b sunt numere reale, strict pozitive,

2 n

0

n ∈ N.

Folosind rezultatul obţinut să se calculeze: ∞

dx

∫ (1 + x ) 0

2 1993

.

= 1993 =

(Univ.C.Brâncuşi Tg.Jiu)

13. Să se calculeze integrala: π

sin x ⋅ sin nx dx 5 − 4 cos x −π

∫

=1996=

n∈N*.

(Univ.Cluj Napoca)

218

BIBLIOGRAFIE 1.BĂLAN T.,

Matematici speciale, Universitatea Craiova 1980.

2.BĂLAN T.,

Curs de matematici speciale, Repro. Univ.

FLORESCU G.,

Craiova, 1978 (2 vol.)

STOICA L., 3. CIUCU C., CRAIU V.,

Probleme de teoria probabilităţilor, Editura Tehnică, Bucureşti, 1974.

4. BRÂNZARU T.,

Matematici speciale, EDP, Bucureşti, 1981.

CRSTICI B., ş.a., 5. DOBRESCU V.,

Matematici speciale, EDP, Bucureşti, 1967.

DOBRESCU L., 6.IOVANOV M., PECINGINA O.

Matematici speciale –probleme ,2006 Tg.Jiu Departamentul

de

matematică

Univ.”C.Brancuşi’ Tg.Jiu. 7. IOVANOV M.

Matematici speciale , Universitatea “Constantin Brâncuşi’ –Tg.Jiu, 1993.

8. KECS W.,

Complemente de matematici cu aplicaţii în tehnică, Editura Tehnică, Bucureşti, 1981.

9. LAVRENTIEV M.A.,

Curs de calcul variaţional, Editura Tehnică, Bucureşti 1955.

10. LEBEDEV N.N.,

Funcţiile speciale şi aplicaţiile lor, Editura Tehnică, Bucureşti, 1957 (traducere din limba rusă).

11. MOCANU P.T.,

Analiză matematică ( funcţii complexe), EDP,

HAMBURG P.,

Bucureşti, 1982.

NEGOESCU N.,

239

12. MAYER O.,

Teoria funcţiilor de o variabilă complexă, Editura Acad., Bucureşti, 1981.

13. OLARIU V.,

Ecuaţii diferenţiale şi cu derivate parţiale,

STĂNĂŞILĂ O.,

Editura Tehnică, Bucureşti, 1982.

14. RUS A.I., PAVEL P.,

Probleme de ecuaţii diferenţiale şi cu derivate

MICULA G.,

parţiale, EDP, Bucureşti, 1982.

IONESCU B., 15. ŞICLOVAN. I.,

Matematici speciale, Culegere de probleme, Lit.

MATEI I., POPESCU I.,

IMP, Petroşani, 1988.

CREŢ F., 16. ŞABAC Gh.,

Matematici speciale, vol. I, II, EDP, Bucureşti, 1965.

17. UNGUREANU V.,

Matematici Timişoara,2003

240

speciale,

Editura

MIRTON,