Matematici Aplicate In Economie 1

Facultatea de Management Financiar Contabil Bucureşti Specializarea Contabilitate şi informatică de gestiune

Anul universitar 2007-2008

Disciplina: Matematici aplicate în economie Întrebări pentru examen ADEVĂRAT SAU FALS 1. Fie vectorii b1 = ( 2, 4, 5 ) , b2 = ( -1, 1, 0 ) , b3 = ( -2, 0, 2 ) . B = {b1, b2, b3} formează o bază în R3? :

Functionala f R3 → R; f ( x ) = 5 x1 + x2 − 4 x3 + 4 este o functională liniară ?

3.

Functionala f R3 → R; f ( x ) = 5 x1 + x2 − 4 x3 este o functională liniară ?

4.

Vectorii proprii corespunzători operatorului liniar T R 2 → R 2 având matricea

:

2.

:

 −4 0   4

atasată A =  1 5.

sunt liniar independenti ?

Dacă functia f e diferentiabilă în (x0, y0) atunci ea este continuă în acest punct.

6. Dacă functia f are derivate partiale f’x, f’y într-o vecinătate V a lui (x0,y0) si dacă aceste derivate partiale sunt continue în (x0, y0) atunci functia f este diferentiabilă în (x0, y0). 7.

Aplicand metoda Gauss Jordan la un moment dat s-a obtinut schema:¤¤¤Linia

pivotului in iteratia urmatoare este 0,0, 8. Fie problema de programare liniara: max f = ¤¤¤ Prima iteratie a algoritmului simplex este: 10 16 B 0 1200 2 5 0 300 1 3/2 0 600 4 1 0 0 10 16 Solutia gasita este cea optima. 9.

Trei depozite astfel:

10

Problema este echilibrata.

0

0

1 0 0 0 0

0 1 0 0 0

0 0 1 0 0

aprovizioneaza cu produse de larg consum 4 magazine

3 4 2 Necesar

0

2 3 1 15

1 3 4 15

2 2 5 40

Disponibil 30 20 40

10.

Vectorii (1,5) si (2, -9) sunt liniar independenti.

11.

Vectorii (2, -1) si (3, 4) formeaza o baza a spatiului vectorial

12.

Vectorii (-2, 3) si (1, -1) formeaza o baza a spatiului vectorial

.

13. Vectorul (1, 10) este o combinatie liniara a vectorilor (1, 3) si (2, -1) deoarece 3(1, 3)-(2, -1)=(1, 10) 14.

Vectorii (1, 2, -1), (3, 2, 5) si (4, 4, 4) sunt liniar independenti in

15.

Valorile proprii ale transformarii liniare T(x,y)=(5x, x+3y) sunt 0 si 1.

16.

Valorile proprii ale transformarii liniare T(x,y)=(5x, x+3y) sunt 3 si 5.

17. 3x+y+z). 18.

1, 2 si 3 sunt valorile proprii ale transformarii liniare T(x, y, z)=(2x, x+3y,

1, 2 si 3 sunt valorile proprii ale transformarii liniare T(x, y, z)=(3x, 2x-y, x-

y+z). 19.

este una din valorile proprii ale transformarii liniare T(x, y)=(3x+y,

x+3y). . Atunci

20.

Se considera functia

21.

Se considera functia

. Atunci

22.

Se considera functia

. Atunci derivatele mixte

. si

sunt egale. 23. sunt egale.

Se considera functia

24.

Se considera functia

. Atunci derivatele mixte

si

. Atunci derivatele mixte

sunt egale. 25.

Orice functie

are puncte stationare.

26.

Orice functie

are cel mult 1 punct de extrem.

27.

Orice functie

are cel mult 2 puncte stationare.

28.

Daca functia f are derivate partiale mixte de ordinul doi

vecinatate V a unui punct

si daca

si

si

intr-o

sunt continue in (a, b), atunci

. 29.

Se considera

,

. T este o transformare liniara.

si

30.

Se considera

,

31.

Se considera

,

32.

Ecuatia diferentiala

33.

Ecuatia diferentiala

este o ecuatie cu variabile separabile.

34.

Ecuatia diferentiala

este o ecuatie liniara de ordinul intai..

35.

Forma standard a problemei de programare liniara ¤¤¤este

36.

Forma standard a problemei de programare liniara ¤¤¤este

37.

Forma standard a problemei de programare liniara ¤¤¤este

38.

Forma standard a problemei de programare liniara ¤¤¤este

39.

Sistemul de ecuatii¤¤¤este incompatibil.

40.

Se considera urmatoarea problema de transport:

Necesar

4 3 2 20

6 2 10 25

. T este o transformare liniara . T este o transformare liniara este o ecuatie cu variabile separabile.

5 7 5 45

2 8 6 25

Disponibil 35 30 50

Problema de transport este echilibrata. 41.

Se considera urmatoarea problema de transport: Disponibil 35 30 50

4 6 5 2 3 2 7 8 2 10 5 6 Necesar 20 25 45 25 O solutie initiala de baza determinata folosind metoda coltului de N-V este , , , , . 42.

,

,

Se considera urmatoarea problema de transport: Disponibil 35 30 50

4 6 5 2 3 2 7 8 2 10 5 6 Necesar 20 25 45 25 O solutie initiala de baza determinata folosind metoda costului minim pe linie este , , , , , .

,

43.

Se considera functia

. Atunci f nu are puncte stationare.

44.

Radacinile polinomului caracteristic al unei aplicatii liniare se numesc puncte

critice. 45. Vectorii proprii corespunzatori unor valori proprii distincte ale unei aplicatii liniare sunt liniar dependenti. 46. O forma patratica sunt strict pozitivi si cei pari 47. pozitivi..

O forma patratica

este negativ definita daca minorii impari sunt strict negativi. este pozitiv definita daca toti minorii sai sunt strict

48. Daca functia are derivate partiale intr-un punct de extrem atunci derivatele partiale de anuleaza in acest punct f x '(a, b) = f y '(a, b) = 0 . 49.

Daca , atunci

este un punct de extrem local al functiei este punct de minim.

si daca

50.

Daca , atunci

este un punct de extrem local al functiei este punct de maxim.

si daca

51.

Trei vectori liniar dependenti formeaza o baza a spatiului vectorial

52.

Trei vectori liniar independenti formeaza o baza a spatiului vectorial

53.

Patru vectori din

formeaza o baza a spatiului vectorial

.

,

? ?

54.

Polinomul caracteristic al unei aplicatii liniare

este

55.

Polinomul caracteristic al unei aplicatii liniare ?

este

56.

In spatiul vectorial

57.

Matricea asociata unei forme patratice este simetrica?

58.

Ecuatia diferentiala

este ecuatie cu variabile separabile.

59.

Ecuatia diferentiala

este ecuatie liniara de ordinul intai.

60.

Ecuatia diferentiala

este ecuatie omogena?

61.

Ecuatia diferentiala

este ecuatie cu variabile separabile.

62.

Ecuatia diferentiala

este ecuatie omogena.

63.

Ecuatia diferentiala

este ecuatie liniara de ordinul intai.

64.

Ecuatia diferentiala

65.

Ecuatia diferentiala

este ecuatie cu variabile separabile?

66.

Ecuatia diferentiala

este ecuatie omogena?

67.

Ecuatia diferentiala

este ecuatie liniara de ordinul intai?

68.

Ecuatia diferentiala

este ecuatie liniara de ordinul intai?

69.

Ecuatia diferentiala

este ecuatie cu variabile separabile?

70.

Ecuatia diferentiala

este ecuatie omogena?

71.

Ecuatia diferentiala

este ecuatie liniara de ordinul intai?

72.

Ecuatia diferentiala

?

, vectorul

este vector propriu?

este ecuatie diferentiala de ordinul intai.

este ecuatie cu variabile separabile?¤¤¤

Facultatea de Management Financiar Contabil Bucureşti Specializarea Contabilitate şi informatică de gestiune

Anul universitar 2007-2008

Disciplina: Matematici aplicate în economie – Algebră Întrebări pentru examen ALEGERE 1.

Fie urmatoarea forma patratica:

Aflati matricea asociata acestei forme patratice. a. c.

b.

d.

2.

Fie urmatoarea forma patratica:

Precizati sirul minorilor asociati acestei forme patratice a. c. b.

3.

Fie urmatoarea forma patratica:

Sa se aduca la o suma de patrate prin metoda lui Jacobi a. c. b.

4.

Fie

un operator liniar ca re in baza canonica este dat de matricea :

.Precizati polinomul caracteristic asociat acestui operator. a. b.

c. d.

5.

Fie

un operator liniar care in baza canonica este dat de matricea :

.Aflati valorile proprii asociate acestui operator. a. b.

c. d.

6.

Fie operatorul liniar

vectorial X a. b.

7.

, unde

c.

Fie operatorul liniar

, unde

asociata acestui operator liniar. a.

c.

b.

d.

8.

Fie operatorul liniar

caracteristic asociat acestui operator a. b.

9.

Fie operatorul liniar

asociate pentru acest operator liniar. a. b.

10.

.Determinati spatiul

Fie operatorul liniar

, unde

.Precizati matricea

.Determinati polinomul

c. d.

, unde

. Aflati valorile proprii

c. d.

, unde

asociati acestui operator liniar. a.

c.

b.

d.

.Aflati vectorii proprii

11.

Aflati coordonatele vectorului x=(1,1,1),

a. 1,1,1 b. 1,2,2

12.

c. 2,2,2 d. 1,0,1

Aflati coordonatele vectorului x=(1,1,1), din spatiul

a. -1/3,-1/3,-1/3 b. 1/3,1/3,1/3

13.

in baza canonica din spatiul

in baza

c. 2/3,1/3,2/3 d. -1/6,1/3,1/3

A

Aplicand metoda Gauss Jordan la un moment dat s-a obtinut : I

Detrminati a.

pornind calculele de la schema data c.

b.

d.

14.

Se da forma biliniara urmatoare:

Scrieti matricea asociata a.

c.

b.

15.

Se da matricea:

biliniara corespunzatoare. a. b.

16.

Se da forma patratica

atasata unei forme biliniare. Scrieti forma

c. d.

Se se reduca la forma canonica utilizand metoda lui Jacobi c. a. b.

d.

17.

Se da forma patratica

Sa se calculeze minorii matricei asociate acestei forme patratice. c. a. b. d.

18.

Sa se reduca la forma canonica forma patratica

Scrieti minorii asociati acestei forme patratice a. c. b. d.

19.

Sa se reduca la forma canonica urmatoarea forma patratica

(Utilizand metoda lui Jacobi) a.

c.

b.

d.

20. Fie urmatorul operator : , Precizati pe ce spatiu X se lucreaza a. b.

c. d.

21. , a.

b.

Sa se scrie matricea operatorului : c.

22. Sa se determine suma valorilor proprii pentru urmatorul operator T:X X determinat prin matricea sa in baza canonica

a. b.

c. d.

23.

Pentru urmatorul operator

T:X X determinat prin matricea sa in baza canonica stabiliti care este ecuatia caracteristica a. b.

24.

c. d.

Pentru urmatorul operator

T:X X determinat prin matricea sa in baza canonica

aflati vectorii proprii

asociati. a. a(1,1,-1),b(-1,-1,-1),c(1,1,1), a,b,c \{0} b. a(1,0,-1),b(1,1,1),c(2,2,1), \{0} a,b,c

c. a(1,0,-1),b(-1,1,-1),c(1,2,1), a,b,c \{0} d. a(2,0,-1),b(-1,1,-1),c(2,2,1), a,b,c \{0}

25. Scrieti ecuatia caracteristica pentru operatorul T:X X dat prin matricea sa in baza canonica:

a. b.

c.

26.

Fie operatorul T:X X dat prin matricea sa in baza canonica:

Aflati produsul valorilor proprii asociate acestui operator a. 3 c. 4 b. -3 d. -4

27.

Fie operatorul T:X X dat prin matricea sa in baza canonica:

Stabiliti care sunt vectorii proprii asociati acestui operator: a. (a,a),(b,b), c. (a,a),(b,b), d. (a,-a),(b,2b), b. (a,-a),(b,b),

28.

Fie matricea

a. b.

. Scrieti forma biliniara corespunzatoare: c. d.

29. Fie vectorii v1, v2 ∈ R2 v1 = (1, 2 ) şi v2 = ( 3, 4 ) Să se scrie vectorul v = ( 4, 2 ) ca o combinaŃie liniară a valorilor v1, v2. a. v= −5v1 + 3v2 b. v= 5v1 + 3v2

30.

c. v= 3v1 + 5v2 d. v= −5v1 − 3v2

Fie A = {a1, a2, a3}unde a1 = (1, 4, 2 ) , a2 = ( -1, 2, 0 ) , a3 = ( 3, 1, 5)

Să se scrie vectorul v = ( 2, 1, 3) ca o combinatie liniara in baza A = {a1, a2, a3} a. b.

a1 a2 a3 + + 4 4 2 a1 a2 a3 v= − + 4 4 2 v=

c. d.

a1 a2 a3 + − 4 4 2 a1 a2 a3 v=− − + 4 4 2

v=

31. Fie vectorii v1, v2 ∈ R2 v1 = (1, 2 ) şi v2 = ( 3, 4 ) Să se scrie vectorul ca o combinaŃie liniară a valorilor v1, v2.

a. b.

c. d.

32. Fie vectorii b1 = ( 2, 4, 5 ) , b2 = ( -1, 1, 0 ) , b3 = ( -2, 0, 2 ) şi B = {b1, b2, b3} 3 bază în R . Să se exprime vectorul v = ( 2, 1, 3) ca o combinatie liniara în baza B = {b1, b2, b3 } a. b.

v=− v=

3 13 3 b1 − b2 + b3 11 11 22

13 13 3 b1 − b2 + b3 11 11 22

c. d.

v= v=

6 13 3 b1 − b 2 + b3 11 11 22

−6 13 3 b1 − b2 + b3 11 11 22

33. Fie V spaŃiu vectorial n – dimensional peste corpul de scalari K şi T : V → V o aplicaŃie liniară. Un scalar λ ∈ K se numeşte ... pentru aplicaŃie liniară T dacă există cel puŃin un vector nenul v ∈ V astfel încât: T(v) = λv. a. valoare proprie c. valoare caracteristică b. vector propriu d. alt răspuns. 34. Vectorul nenul v ∈ V care verifică relaŃia T(v) = λv se numeşte ... pentru aplicaŃia T asociată valorii proprii λ. a. valoare proprie c. valoare caracteristică b. vector propriu d. alt răspuns 35. Polinomul P(λ) = det (AT - λEn) se numeşte ... asociat aplicaŃiei liniare T ecuaŃia P(λ) = 0 se numeşte ecuaŃia caracteristică a aplicaŃiei T. a. valoare proprie b. polinom caracteristic

c. valoare caracteristică; d. alt raspuns

36. EcuaŃia det (AT - λ En)=0 se numeşte ... a aplicaŃiei T. a. ecuaŃie caracteristică c. valoare caracteristică b. polinom caracteristic d. alt răspuns

ScrieŃi

matricea

asociată

operatorului

:

37.

liniar

dat

de

dat

de

T ( x1 , x2 ) = ( x1 + 5 x2 , − x2 , 4 x1 + x2 ) ; T R 2 → R3 a.

b.

 −1  A= 0 4  1  A = 0 4 

ScrieŃi

1 5    A =  0 −1 4 1    1 5    A =  0 −1  4 −1  

c.

d.

matricea

asociată

T ( x1 , x2 ) = ( 3x1 + 4 x2 + x3 , x1 − 2 x2 + 2 x3 , x1 + x3 ) ; T R → R 3

a.

b.

3 4 1   A =  1 −2 2  1 0 1   3 4 1    A =  1 −2 2   1 0 −1  

operatorului

:

38.

5  −1 1  5  1 1 

c.

d.

3

3  A = 1 1  3  A = 1 1 

4 2 0 4 −2 0

1  2 −1 −1   −2  1 

liniar

39. V ( x) =

a.

2 x12

AduceŃi

+ 3 x22

1 2 b. 1 V ( x) = 2 V ( x) =

+

x32

2 6 2 y12 + 5 y12 +

la

forma canonică forma − 2 x1 x2 + 2 x2 x3 , utilizaŃi metoda lui Jacobi. c.

6 2 y3 3 5 y22 + y32 3 y22 +

V ( x) =

pătratică

următoare

1 2 2 2 5 2 y1 + y2 + y3 2 5 7

d. alt răspuns

40. DeterminaŃi a, a ∈ R astfel încât forma pătratică următoare să fie pozitiv definită V ( x ) = 2 x12 + 3 x22 + ax32 − 2 x1 x2 + 2 x2 x3 . a.

2  a ∈ ,∞ 5 

c.

b.

 2  a ∈− ,∞  5 

d. alt răspuns

2  a ∈  − ∞,  5 

:

DeterminaŃi valorile proprii ale operatorului liniar T R 2 → R 2 având matricea

41.

 −4 0  .  1 4

ataşată A = 

a. λ1 = −4, λ2 = −4 b. λ1 = 4, λ2 = 4

c. λ1 = 4, λ2 = −4 d. λ1 = 4, λ2 = 0 :

42.

DeterminaŃi vectorii proprii corespunzători operatorului liniar T R 2 → R 2  −4 0  .  1 4

având matricea ataşată A =  a.

c. v1 = ( 0, a ) , a ∈ R; v2 = ( 8b, −8b ) , b ∈ R

b. v1 = ( 0, a ) , a ∈ R; v2 = ( b,8b ) , b ∈ R

d. alt răspuns.

43. Fie vectorii din spatiul R 3 : v 1 = ( 1, 4, 2 ); v 2 = ( -1, 2, 0 ); Stabiliti daca a.

vectorii sunt liniari dependenti

b. multimea B =

= ( 3, 2, 5 ).

c. vectorii sunt liniari independenti

formeaza o baza d. alt raspuns

a spatiului R 3

44.

{v1 , v2 , v3 },

Sa se exprime vectorul v = ( 2, 1, 3 ) ca o combinatie liniara in baza B =

v 1 = ( 1, 4, 2 ) ; v 2 = (-1, 2, 0 ); v 3 = ( 3, 2, 5 )

a.

b.

v=

1 1 1 v1 + v 2 - v 3 4 4 2

c.

v=

1 1 1 v1 - v 2 + v 3 4 4 2

d. alt raspuns

45.

v=

1 1 1 v1 + v 2 + v 3 2 2 2

Stabiliti natura formei patratice urmatoare

g(x)= 8x 12 - 6x 1 x 2 + 2x 2 x 3 + 4x 22 + a. pozitiv definita

c. semipozitiv definita

b. negativ definita

d. nedefinita

46. Valorile proprii ale operatorului liniar T: R³ R³, T(v) = ( 4v 1 - v 2 + v 3 , v 1 + 3v 2 - v 3 , v 2 + v 3 ) sunt: a. λ 1 = λ 2 = 2 ; λ

3

=3

c. λ 1 = λ 2 = -3 ; λ

3

b. λ 1 = λ 2 = 3 ; λ

3

=2

d. λ 1 = 3; λ

= -2

47.

2

=λ

3

= -2

Radacinile ecuatiei caracteristice asociate unei aplicatii liniare se numesc :

a. valori proprii

c. vectori proprii

b. puncte de extrem local

d. vectori liniar independenti

48.

Matricea asociata unei forme patratice:

a. are determinantul zero

c. are rangul 3

b. este simetrica

d. are determinantul diferit de zero

49. Daca intr-o forma patratica ∆ i > 0 pentru i par, si ∆ i < 0 pentru i impar, atunci forma patratica este: a. nedefinita

c. seminegativ definita

b. negativ definita

d. pozitiv definita

50.

Sa se rezolve cu metoda eliminarii (pivotului) sistemul:

 x1 + 2 x 2 + 3 x3 − 2 x 4 = 6  2 x − x − 2 x − 3x = 8  1 2 3 4  3 + 2 − + 2 x x x x 2 3 4 = 4  1 2 x1 − 3 x 2 + 2 x3 + x 4 = −8

a. sistemul este incompatibil

c. x 1 = -1; x 2 = 2; x 3 = -1; x 4 = -2

b.

x 1 = 1; x 2 = 2; x 3 = -1; x 4 = -2

d.

a. b. c. d.

51. (1,2) este combinatie liniara de (1,1) si (1,0) pentru ca pentru orice numere reale a,b avem ca (1,2)=a(1,1)+b(1,0) exista numere reale a,b asa ca (1,2)=a(1,1)+b(1,0) daca (1,2)=a(1,1)+b(1,0) atunci a=b =0 nu exista numere reale a,b asa ca (1,2)=a(1,1)+b(1,0)

a. b. c. d.

52. (1,1) si (1,0) formeaza un sistem liniar independent pentru ca pentru orice numere reale a,b avem ca (0,0)=a(1,1)+b(1,0) exista numere reale a,b asa ca (0,0)=a(1,1)+b(1,0) daca (0,0)=a(1,1)+b(1,0) pentru doua numere reale a,b atunci a=b=0 nu exista numere reale a,b asa ca (0,0)=a(1,1)+b(1,0)

53. a. (2,4) b. (3,4)

54.

sistemul este compatibil simplu nedeterminat

Cat este 2(1,1)+3(0,1)? c. (2,5) d. (3,5)

Se considera transformarea liniara

Care din urmatoarele matrici este matricea lui a. c.

b.

in baza canonica a lui

d.

55.

Se considera transformarea liniara

Valorile proprii ale transformarii a. b.

sunt c. d.

?

56.

Se considera transformarea liniara T(x,y,z)=(3x,3y+z,y+3z) Valorile proprii ale transformarii sunt a. c. d. b.

57. canonica este

Se considera transformarea liniara

a carei matrice asociata in baza

Atunci a.

b.

c.

d.

58.

Se considera forma patratica

Forma canonica a acestei forme patratice este c. a. b.

d.

59.

Se considera forma patratica

Forma canonica a acestei forme patratice obtinuta cu metoda lui Jacobi este a. c. b.

d.

60.

Se da urmatoarea forma patratica

Matricea ei in baza canonica a lui a.

.

este c.

b.

d.

61. Se considera functia Aceasta functie nu este o transformare liniara pentru ca exista termenul a. x c. 2y b. d. z

.

62. Se considera functia Aceasta functie nu este o transformare liniara pentru ca exista termenul a. x c. 2y b. d. z

.

63.

Valorile proprii ale matricii

a. b.

sunt

c. d.

64.

Se da urmatoarea forma patratica

Matricea ei in baza canonica a lui a.

.

este c.

b.

d.

65.

Se da urmatoarea forma patratica

Matricea ei in baza canonica a lui

este

.

a.

c.

b.

d.

66.

Valorile proprii ale matricii

a. b.

sunt c. d.

67.

Se da transformarea liniara T(x,y)=(2x+y,x-5y). Matricea asociata acestei

este transformari liniare in baza canonica a lui a. c.

b.

d. ÊÁ ÁÁ 2 ÁÁ ÁÁ ÁÁ Ë1

68.

ˆ˜ 1 ˜˜˜˜ ˜˜ ˜ −1 ˜¯

Se da o transformare liniara a carei matrice asociata in baza canonica este . Atunci valorile propriii ale transformarii liniare sunt

a. b. λ 1 = 1, λ 2 = 1, λ 3 = 1,

69.

c. d.

Se da o transformare liniara a carei matrice asociata in baza canonica este . Atunci valorile propriii ale transformarii liniare sunt

a. b. λ 1 = 1, λ 2 = 1, λ 3 = 1,

70.

c. d.

Se da o transformare liniara a carei matrice asociata in baza canonica este . Atunci valorile propriii ale transformarii liniare sunt

a. b. λ 1 = 1, λ 2 = 1, λ 3 = 1,

71.

c. d.

Matricea asociata unei transformari in baza canonica este

. Atunci

polinomul caracteristic al acestei transformari este a. c. d. b.

72.

Matricea asociata unei transformari in baza canonica este

. Atunci

polinomul caracteristic al acestei transformari este a. c. b. d.

73.

Matricea asociata unei transformari in baza canonica este

. Atunci

polinomul caracteristic al acestei transformari este a. c. b. d.

74.

Matricea asociata unei transformari in baza canonica este

. Atunci

polinomul caracteristic al acestei transformari este c. P(λ) = λ 2 − 6λ + 8 a. b. d.

75.

Matricea asociata unei transformari in baza canonica este

polinomul caracteristic al acestei transformari este a. c. P(λ) = λ 2 − 6λ + 8 b. d.

76.

Fie urmatoarea forma patratica:

Precizati sirul minorilor asociati acestei forme patratice(metoda lui Jacobi) a. c. b.

77.

Fie urmatoarea forma patratica:

. Atunci

Sa se aduca la o suma de patrate prin metoda lui Jacobi a. c. b.

Facultatea de Management Financiar Contabil Bucureşti Specializarea Contabilitate şi informatică de gestiune

Anul universitar 2007-2008

Disciplina: Matematici aplicate în economie – Programare liniară Întrebări pentru examen ALEGERE 1. Fie problema de programare liniara: [max] f = 5 x1 + 10 x2 + 20 x3  x1 + 2 x2 + 3 x3 ≤ 5   2 x1 + x2 + x3 ≤ 4 x + 2x + 2x ≤ 6 2 3  1 xi ≥ 0, i = 1,3 Sa se aduca la forma standard pentru simplex. a. [max] f = 5 x1 + 10 x2 + 20 x3  x1 + 2 x2 + 3 x3 + x4 ≤ 5   2 x1 + x2 + x3 + x5 ≤ 4 x + 2x + 2x + x ≤ 6 2 3 6  1 xi ≥ 0, i = 1,6

b.

c. [max] f = 5 x1 + 10 x2 + 20 x3  x1 + 2 x2 + 3 x3 − x4 = 5   2 x1 + x2 + x3 − x5 = 4 x + 2x + 2x − x = 6 2 3 6  1 xi ≥ 0, i = 1,6 d. [max] f = 5 x1 + 10 x2 + 20 x3 + Mx4 + Mx5 + Mx6  x1 + 2 x2 + 3 x3 + x4 = 5   2 x1 + x2 + x3 + x5 = 4 x + 2x + 2x + x = 6 2 3 6  1 xi ≥ 0, i = 1,6

2. Fie problema de programare liniara [max] f = 5 x1 + 10 x2 + 20 x3  x1 + 2 x2 + 3 x3 ≤ 5   2 x1 + x2 + x3 ≤ 4 x + 2x + 2x ≤ 6 2 3  1 xi ≥ 0, i = 1,3 Prima iteratie a algoritmului simplex este 5 10 B 0 5 1 2 0 4 2 1 0 6 1 2 0 0 5 10 Pivotul se afla pe linia corespunzatoare lui a. b. c.

20

0

0

0

3 1 2 0 20

1 0 0 0 0

0 1 0 0 0

0 0 1 0 0

3. Fie problema de programare liniara [max] f = 5 x1 + 10 x2 + 20 x3  x1 + 2 x2 + 3 x3 ≤ 5   2 x1 + x2 + x3 ≤ 4 x + 2x + 2x ≤ 6 2 3  1 xi ≥ 0, i = 1,3 Prima iteratie a algoritmului simplex este 5 10 20 0 0 B 0 5 1 2 3 1 0 0 4 2 1 1 0 1 0 6 1 2 2 0 0 0 0 0 0 0 5 10 20 0 0 Stabiliti care este vectorul care iese, respectiv vectorul care intra in baza a. intra , iese b. intra , iese c. intra , iese d. intra , iese e. intra , iese

0 0 0 1 0 0

4. Fie problema de programare liniara [max] f = 5 x1 + 10 x2 + 20 x3  x1 + 2 x2 + 3 x3 ≤ 5   2 x1 + x2 + x3 ≤ 4 x + 2x + 2x ≤ 6 2 3  1 xi ≥ 0, i = 1,3 Care este solutia optima pentru problema de programare liniara? a. , ,

b. c.

,

,

,

,

d. alt raspuns

5.

Fie problema de programare liniara

Forma standard pentru simplex a problemei de programare liniara este a. c.

d.

b.

6.

Fie problema de programare liniara

Prima iteratie a algoritmului simplex este:

7 0 0

5 4 0

2 1 0 7 Pivotul se afla pe coloana corespunzatoare lui a. b. c. d.

7.

8

0

0

1 2 0 8

1 0 0 0

0 1 0 0

8

0

0

Fie problema de programare liniara

Prima iteratie a algoritmului simplex este: 7 5 4 0

2 1 1 1 2 0 0 0 0 7 8 0 Stabiliti care este vectorul care intra, respectiv vectorul care iese din baza a. intra , iese b. intra , iese c. intra , iese d. intra , iese 0 0

8.

Fie problema de programare liniara

Aplicandu-se algoritmul simplex se ajunge la un moment dat la:

0 1 0 0

7

8

0

0

0

3

0

1

8

2

1

0

8

0

4

0

0

16

4

Linia lui este a. 3, 0, 0, -4 b. -3, 0, 0, 4 c. 7, 8, 0, 0 d. -7, -8, 0, 0 9.

Fie problema de programare liniara

Aplicandu-se algoritmul simplex se ajunge la un moment dat la: 7 8 0

3

0

1

8

2

1

0

8 0

0 0

16

4 3

Pivotul se afla pe coloana lui a. b. c. d. 10.

Fie problema de programare liniara

a. problema are optim infinit; b. solutia optima este , c. solutia optima este , d. solutia optima este ,

, , ,

4 -4

11.

Fie problema de programare liniara

Matricea asociata formei standard este a.

c.

b.

d.

12.

Fie problema de programare liniara

Duala acestei probleme de programare liniara este c. a.

b.

d.

13.

Fie problema de programare liniara

Duala acestei probleme de programare liniara este:

a.

c.

b.

d.

14.

Fie problema de programare liniara

Matricea asociata formei standard are prima linie: a. 3 0 2 5 0 1 b. 3 2 5 4 c. 3 0 2 5 0 -1 d. alt raspuns

15.

Fie problema de programare liniara

Dupa ce se aduce la forma standard se obtine primul tabel simplex: 7 -8 3 2 4 3 0 1 2 0 2 1 1 Baza initiala pentru algoritmul simplex este a. b. c. d.

1 -1 2

1 1 2

2

0

0 1 0

1 0 0

16.

Fie problema de programare liniara

Dupa ce se aduce la forma standard se obtine primul tabel simplex: 2 2 3 2

5

0

1 1 2

0 0 1

1 0 0

Dupa ce se aduce la forma standard se obtine tabelul simplex: 2 -1 3 2

3

0

0 0 1 3 0

1 0 0 0 0

0 4 2 1 5 2 Linia lui este a. 12, 9, 2, 8, 12, 5, 0 b. 0, 2, 2, 3, 2, 5, 0 c. 0, 9, 2, -2, 12, 5, 0 d. alt raspuns

17.

0 -1 3

3 2 1

0 1 0

1 -1 2

Fie problema de programare liniara

4 1 2 5

Pivotul se afla pe coloana lui a. b. c. d.

3 2 1 1 1

0 1 0 -1 0

1 -1 2 7 -4

1 1 2 5 -3

18.

Fie problema de programare liniara

Dupa ce se aduce la forma standard se obtine tabelul simplex: 2 -1 3 2 4 1 2 5

0 -1 3

3 2 1 1 1

0 1 0 -1 0

1 -1 2 7 -4

1 1 2 5 -3

3

0

0 0 1 3 0

1 0 0 0 0

Ce decizie se ia? a. s-a obtinut solutia optima b. problema are optim infinit c. solutia obtinuta nu este optima, d. solutia obtinuta nu este optima,

19.

intra in baza, intra in baza,

iese din baza iese din baza

Fie problema de programare liniara

Atunci a. problema are optim infinit b. , c.

,

d.

,

20.

Se considera problema de transport:

2 1 3 1 4 2 3 5 4 Necesar 30 40 60 O solutie initiala de baza obtinuta prin metoda coltului N-V este

Disponibil 20 45 65

a. b. c. d.

, , , ,

21.

, , , ,

, , , ,

, , ,

, in rest , in rest , in rest , in rest

,

Se considera problema de transport:

Disponibil 2 1 3 20 1 4 2 45 3 5 4 65 Necesar 30 40 60 O solutie initiala de baza obtinuta prin metoda costului minim pe linie este a. , , , , , in rest b. , , , , , in rest c. , , , , , in rest d. , , , , , in rest

22.

Fie problema de programare liniara

Duala acesti probleme de programare liniara este c. a.

b.

d.

23.

Fie problema de programare liniara

Matricea sistemului restictiilor este a.

b.

c.

d.

24.

Fie problema de programare liniara

Forma standard a problemei de programare liniara este a.

b.

c.

d.

25.

Fie problema de programare liniara

Prima iteratie a algoritmului simplex este B 0 40 1 0 0 16 2 1 0 48 1 1 Linia lui este a. 3, 5, 1, 6, 0, 0, 0 b. -3, -5, -1, -6, 0, 0, 0 c. 3, 5, 1, 6, M, M, M d. 3, 5, 1, 6, -M, -M, -M

26.

1 3 2

2 0 0

1 0 0

0 1 0

0 0 1

1

6

0

0

0

1 3 2 0 1

2 0 0 0 6

1 0 0 0 0

0 1 0 0 0

0 0 1 0 0

Fie problema de programare liniara

Prima iteratie a algoritmului simplex este 3 5 B 0 40 1 0 0 16 2 1 0 48 1 1 f 0 0 0 3 5 Pivotul se afla pe a. coloana lui , linia lui b. coloana lui , linia lui c. coloana lui , linia lui d. coloana lui , linia lui

27.

Fie problema de programare liniara

Prima iteratie a algoritmului simplex este 3 5 1 B 0 40 1 0 1 0 16 2 1 3 0 48 1 1 2 f 0 0 0 0 3 5 1 Coloana lui din urmatorul tabel simplex este a. b.

28.

0

0

0

2 0 0 0 6

1 0 0 0 0

0 1 0 0 0

0 0 1 0 0

0

0

0

0

0

1 0 0 0

0 1 0 0

c.

Fie problema de programare liniara

A doua iteratie a algoritmului simplex este 3 5 B 6 20 0 0 0

6

1

16 48 120

6 1

2 1 3 0 0 1 1 2 0 0 f 3 0 3 6 3 0 5 -2 0 -3 Stabiliti care este vectorul care intra si respectiv care iese din baza a. intra , iese b. intra , iese c. intra , iese d. intra , iese

29.

Fie problema de programare liniara

Prin aplicarea algoritmului simplex se ajunge la urmatorul tabel simplex 3 5 1 6 0 0 B 0 1 0 6 20 5 0 f

16 32 200

2 -1 13 -10

1 0 5 0

Ce decizie se ia? a. problema are optim infinit; b. solutia obtinuta nu este ce optima: intra c. solutia obtinuta este cea optima si d. solutia obtinuta este cea optima si

30. max f =

3 -1 18 -17

0 0 6 0

,

,

,

,

Forma standard a problemei de programare liniara va fi c. max f = a. max f =

,

, d. max f =

,

1 -1 5 -5

in baza si iese

Fie problema de programare liniara: .

b. max f =

0 0 3 -3

,

0 0 0 1 0 0

31. max f =

Fie problema de programare liniara:

Prima iteratie a algoritmului simplex este: 10 16 B 0 1200 2 5 0 300 1 3/2 0 600 4 1 0 0 10 16 Pivotul se va afla pe coloana corespunzatoare lui: a. d. b. e. c.

32. max f =

0

0

0

1 0 0 0 0

0 1 0 0 0

0 0 1 0 0

Fie problema de programare liniara:

Prima iteratie a algoritmului simplex este: 10 16 0 0 B 0 1200 2 5 1 0 0 300 1 3/2 0 1 0 600 4 1 0 0 0 0 0 0 10 16 0 0 Stabiliti care este vectorul care intra in baza, respectiv care iese din baza a. intra , iese d. intra , iese b. intra , iese e. intra , iese c. intra , iese

33. max f =

Fie problema de programare liniara:

0 0 0 1 0 0

Prima iteratie a algoritmului simplex este: 10 16 0 B 0 1200 2 5 1 0 300 1 3/2 0 0 600 4 1 0 0 0 0 10 16 0 Care este solutia optima pentru problema de programare liniara? a. max f = 3200 c. nu are solutie , y=(200,0,400) b. max f = 3400 , y=(200,0,400)

34.

0

0

0 1 0 0 0

0 0 1 0 0

Fie problema de programare liniara:

, i=1,2,3 Baza initiala pentru algoritmul simplex este a. d. e. nu are baza initiala

b. c.

35.

Fie problema de programare liniara:

, i= 2

1

1

3

2

1 0 0

0 1 0

0 0 1

1 2 1

2 1 3

B 2 1 1 Linia corespunzatoare lui a. b.

8 12 16

este c. d.

36.

Fie problema de programare liniara:

, i=1,2,3 Precizati care este solutia optima a. si

c.

si

b.

d.

si

si 37.

Fie problema de programare liniara:

min f =

Forma standard a problemei este : a.

c.

, b.

38.

Fie problema de programare liniara:

min f =

Matricea asociata problemei scrisa in forma standard este: a. c.

d.

b.

39.

Fie urmatoarea problema de programare liniara:

Matricea asociata formei standard este a.

c.

b.

d.

40.

Fie urmatoarea problema de programare liniara:

Prima iteratie a algoritmului simplex este: Prima iteratie pentru aceasta problema este: 3 4 1 B 0 7 5 -1 2 -M 4 1 2 -1 -M 2 3 2 4 Linia corespunzatoare lui a. 3+4M;4+4M;1+3M;0;-M;-M-1 b. 3+4M;4+4M;1+3M;0;-M;0,0 41.

0

0

-M

-M

1 0 0

0 -1 0

0 1 0

0 0 1

este: c. -3+4M;-4+4M;-1+3M;0;M;M-1 d. -3-4M;-4-4M;1-3M;0;-M;-M+1

Fie urmatoarea problema de programare liniara:

Prima iteratie pentru aceasta problema este: 3

4

1

0

0

-M

-M

5 1 3

-1 2 2

2 -1 4

1 0 0

0 -1 0

0 1 0

0 0 1

B -M -M 0

7 4 2

Pentru prima iteratie a algoritmului simplex stabiliti ce vector intra in baza respectiv care iese din baza a. intra c. intra iese iese b. intra iese d. intra , iese

42.

Fie problema de programare liniara:

min f =

Solutia problemei este a. min f =-1/2

c. min f =0

b. min f =0

d. min f =1/2

43.

Fie urmatoarea problema de transport Disponibil 70 10 20

Necesar

50

25

15

10

Folosind metoda coltului de NV stabiliti valoarea lui si a lui a. c. =50, =5 =50, =10 b. d. =20, =10 =50, =20

44.

Fie urmatoarea problema de transport 5 2 6

Necesar

50

6 2 8 25

2 1 3 15

3 4 4

Disponibil 70 10 20

10

Folosind metoda costurilor minime(din tablou) stabiliti valoarea lui

si a lui

a. b.

=10, =25 =5, =25

45.

c. d.

=10, =15,

=20 =20

Sa se scrie forma standard pentru problema de programare liniara:

max f = 4x 1 + 10x 2 +9x 3 x 1 + x 2 + 2x 3 ≤ 18 2 x 1 + x 2 + 4x 3 ≤ 20 x 1 + x 2 + x 3 ≤ 12 x i ≥ 0 ; i = 1,3

a. max f = 4x + 10x +9x +0y +0y +0y 3 2 3 1 2 1 x 1 + x 2 + 2x 3 + y 1 = 18 2x 1 + + 4x 3 + y 2 = 20 x 1 + x 2 + x 3 + y 3 = 12 x i ≥ 0 ; i = 1,3 y1, y 2 , y 3 ≥ 0 b. max f = 4x 1 + 10x 2 +9x 3 x 1 + x 2 + 2x 3 + y 1 = 18 2x 1 + x 2 + 4x 3 - y 2 = 20 x 1 + x 2 + x 3 - y 3 = 12 x i ≥ 0 ; i = 1,3 y 1 <0; y 2 , y 3 >0

c. min f = 0 x 1 + x 2 + 2x 3 + y 1 = 18 2x 1 + x 2 + 4x 3 + y 2 = 20 x 1 + x 2 + x 3 + y 3 = 20 x i ≥ 0 ; i = 1,3 y1, y 2 , y 3 ≥ 0

d. alt raspuns

46.

Fie urmatoarea problema de transport 5 3 6

Necesar

50

6 2 8 25

2 1 3 15

3 4 4 10

Folosind metoda costurilor minime pe linie stabiliti valoarea lui a. c. =10, =15 =10, =20 b. d. =5, =25 =15, =20

47.

si a lui

Fie urmatoarea problema de transport 5 3 6

Necesar

Disponibil 70 10 20

50

6 2 8 75

2 1 3 25

3 4 4

Disponibil 70 70 70

3 4 4

Disponibil 70 70 70

3 4 4

Disponibil 70 70 70

60

Folosind metoda diagonalei (coltului N-V) determinati a. 40 c. 80 b. 50 d. 60

48.

Fie urmatoarea problema de transport 5 3 6

Necesar

50

6 2 8 75

2 1 3 25

60

Folosind metoda diagonalei (coltului N-V) determinati a. 40 c. 10 b. 50 d. 60

49.

Fie urmatoarea problema de transport 5 3 6

Necesar

50

6 2 8 75

2 1 3 25

Folosind metoda diagonalei (coltului N-V) determinati a. 40 c. 80 b. 50 d. 60

60

50.

Fie urmatoarea problema de transport 5 3 6

Necesar

50

6 2 8

2 1 3

75

25

3 4 4

Disponibil 70 70 70

3 4 4

Disponibil 70 70 70

3 4 4

Disponibil 70 70 70

60

Folosind metoda diagonalei (coltului N-V) determinati a. 40 c. 55 b. 50 d. 60

51.

Fie urmatoarea problema de transport 6 2 8

5 3 6 Necesar

50

2 1 3

75

25

60

Folosind metoda diagonalei (coltului N-V) determinati a. 40 c. 20 b. 50 d. 60

52.

Fie urmatoarea problema de transport 5 3 6

Necesar

50

6 2 8

2 1 3

75

25

60

Folosind metoda diagonalei (coltului N-V) determinati costul de transport a. 665 c. 500 b. 765 d. 400

53.

Duala sa este a.

Fie problema de programare liniara

c.

b.

d.

54.

Fie problema de programare liniara

Forma standard este a.

c.

b.

d.

55.

Fie problema de programare liniara

Matricea problemei in forma standard este a. c.

b.

d.

56.

Fie problema de programare liniara

Matricea problemei in forma standard pentru simplex, cu baza artificiala este a. c.

b.

d.

Facultatea de Management Financiar Contabil Bucureşti Specializarea Contabilitate şi informatică de gestiune

Anul universitar 2007-2008

Disciplina: Matematici aplicate în economie – Analiză Întrebări pentru examen ALEGERE 1. Să se calculeze derivatele parŃiale de ordinul întâi pentru următoarea funcŃie: f ( x, y ) = x 2 + 2 xy − y 2 /

/

/

/

c.

b.

f x ( x , y ) = 2 ( x − 2 y ) ; f y ( x, y ) = 2 ( x + y )

d. alt răspuns.

/

f x ( x, y ) = 2 ( x + y ) ; f y ( x, y ) = 2 ( x − y ) /

a.

f x ( x, y ) = 2 ( x + 2 y ) ; f y ( x , y ) = 2 ( x − y )

2. Să se calculeze derivatele parŃiale de ordinul întâi pentru următoarea funcŃie: f ( x, y ) = ( x 2 + y 2 ) 2

b.

f x ( x, y ) = 4 x( x 2 + y 2 ); f y ( x, y ) = 4 y( x 2 + y 2 ) d. alt răspuns.

/

f x ( x, y) = x( x 2 + y 2 ); f y ( x, y ) = y ( x 2 + y 2 ) /

c.

/

/

/

/

a.

f x ( x, y ) = 2 x( x 2 + y 2 ); f y ( x, y ) = y ( x 2 + y 2 )

3. Să se calculeze derivatele parŃiale de ordinul al doilea pentru următoarea funcŃie: x f ( x, y ) = ln = ln x − ln( x + y ) x+ y 1 1 a. c. ′′ f x 2 ( x, y ) =

′′ ( x, y ) = f yx f y′′2 ( x, y ) =

b.

f x′′2 ( x, y ) = ′′ ( x, y ) = f yx

x2

′′ ( x, y ) = − f yx

1 ( x + y )2 1 ( x + y) 1 x

2

−

2

f y′′2 ( x, y ) =

,

( x + y)

2

1 ( x + y )2

f y′′2 ( x, y ) = −

1 ( x + y)2

,

4. Să se găsească punctele staŃionare ale funcŃiei următoare: f(x, y) = x2 + y2 – 4x – 2y + 5 (x, y) ∈ R2 a. M(2,1)

c. M(-2,1)

b. M(2,-1)

d. M(-1,2)

( x + y)2

1 ( x + y )2 −1

( x + y )2

d. alt răspuns.

1

+

,

5. Să se găsească punctele de extrem ale funcŃiei următoare: f(x, y) = x2 + y2 – 4x – 2y + 5 (x, y) ∈ R2 a. M(2,1) punct de maxim

c. M(-2,1) punct de maxim

b.

d. M(-1,2) punct de maxim

M(2,1) punct de minim

6. Să se găsească punctele de extrem ale funcŃiei următoare 1 1 f ( x , y) = + cu condiŃia x+y=1 definit pe R2\{(0,0)} x y a.

b.

punct de minim

c.

1  1 1 P  − , −  pentru λ = punct de minim 2 2 4  

d. 1 1 1 1 1 1 P  ,  pentru λ = − punct de maxim d) P  , −  pentru λ = punct de 4 4 2 2 2 2 maxim

7. ScrieŃi diferenŃiala de ordinul intai a funcŃiei f(x,y) = x+3y+2(x2+y2-5) a.

c.

b.

d.

8. ScrieŃi diferenŃiala de ordinul intai a funcŃiei f ( x, y ) =

1 1 + + 2( x + y − 1) x y

a.

c.

b.

d.

9. Se dă funcŃia de două variabile f ( x, y ) = x 2 − xy + y 2 − 3x + 3 y Derivata parŃială a lui f în raport cu x este: a. b.

c. d.

10. Se dă funcŃia de două variabile f ( x, y ) = x 2 − xy + y 2 − 3x + 3 y Derivata parŃială a lui f în raport cu y este:

a.

c.

b.

d.

11. Se dă funcŃia de două variabile f ( x, y ) = x 2 − xy + y 2 − 3x + 3 y . f are punct stationar pe: a.

M(1,-1)

c.

M(0,0)

b.

M(-1,1)

d.

M(3,0)

12. Se dă funcŃia de două variabile f ( x, y ) = x 2 − xy + y 2 − 3x + 3 y .Derivata parŃială de ordinul al doilea a lui f în raport cu x este:

f

( x, y ) = 2

c.

f

x2

( x, y ) = −1

d.

f

x2

( x, y ) = 0

x2

( x, y ) = −2 x

/ /

b.

x2

/ /

f

/ /

/ /

a.

13. Se dă funcŃia de două variabile f ( x, y ) = x 2 − xy + y 2 − 3x + 3 y . Derivata parŃială de ordinul al doilea a lui f în raport cu y este:

f

( x , y ) = −1

c.

f

y2

( x, y ) = 2

d.

f

y2

( x, y ) = − y

y2

( x, y ) = x

/ /

b.

y2

/ /

f

/ /

/ /

a.

/ /

14. Se dă funcŃia de două variabile f ( x, y ) = x 2 − xy + y 2 − 3x + 3 y .Alege valoarea corectă pentru f xy ( x, y ) / /

/ /

c.

f xy ( x, y ) = xy

b.

f xy ( x, y ) nu există

d.

f xy ( x, y ) = −1

/ /

f xy ( x, y ) = 0 / /

a.

y2

(

(1, −1) − f xy (1, −1)

)

2

/ /

x

/ /

f 2 (1, −1) f

/ /

/ /

15. Se dă funcŃia de două variabile f ( x, y ) = x 2 − xy + y 2 − 3x + 3 y . Estimând valoarea expresiei şi Ńinând cont de valoarea f x 2 (1, −1) , stabileşte natura punctului

critic M(1,-1): a. punct de minim local

c. nu se poate spune nimic despre natura punctului M(1,-1)

b. punct de maxim local

d. nu este punct de extrem local

16. Se dă funcŃia de două variabile f ( x, y ) = ( x − 1) 2 + ( y + 6) 2 Derivata parŃială a lui f în raport cu x este:

/

/

c.

f x ( x, y ) = 2 x

b.

f x ( x, y ) = y + 6

d.

f x ( x, y ) = 2 ( x − 1)

/

f x ( x, y ) = 2 x − 1 /

a.

17. Se dă funcŃia de două variabile f ( x, y ) = ( x − 1) 2 + ( y + 6) 2 . Derivata parŃială a lui f în raport cu y este: /

/

c.

f y ( x, y ) = 2 y

b.

f y ( x, y ) = 2 ( y + 6 )

d.

f y ( x, y ) = x − 1

/

f y ( x, y ) = y + 6 /

a.

18. Se dă funcŃia de două variabile f ( x, y ) = ( x − 1) 2 + ( y + 6) 2 . FuncŃia are punct stationar pe: a. M(1,-6)

c. M(0,0)

b. M(-1,6)

d. M(1,0)

19. Se dă funcŃia de două variabile f ( x, y ) = ( x − 1) 2 + ( y + 6) 2 . Derivata parŃială de ordinul al doilea a lui f în raport cu x este:

f

( x, y ) = 1

c.

f

x2

( x, y ) = 2

d.

f

x2

( x, y ) = 0

x2

( x, y ) = 2 x

/ /

b.

x2

/ /

f

/ /

/ /

a.

20. Se dă funcŃia de două variabile f ( x, y ) = ( x − 1) 2 + ( y + 6) 2 . Derivata parŃială de ordinul al doilea a lui f în raport cu y este:

f

( x , y ) = −1

c.

f

y2

( x, y ) = 2

d.

f

y2

( x, y ) = − y

y2

( x, y ) = x

/ /

b.

y2

/ /

f

/ /

/ /

a.

/ /

21. Se dă funcŃia de două variabile f ( x, y ) = ( x − 1) 2 + ( y + 6) 2 . Alege valoarea corectă pentru f xy ( x, y ) / /

/ /

c.

f xy ( x, y ) = 2

b.

f xy ( x, y ) nu există

d.

f xy ( x, y ) = 1

/ /

f xy ( x, y ) = 0 / /

a.

y2

(

(1, −6) − f xy (1, −6)

critic M(1,-6):

)

2

/ /

x

/ /

f 2 (1, −6) f

/ /

/ /

22. Se dă funcŃia de două variabile f ( x, y ) = ( x − 1) 2 + ( y + 6) 2 . Estimând valoarea expresiei şi Ńinând cont de valoarea f x2 (1, −6) , stabileşte natura punctului

a. punct de maxim local

c.

punct de minim local

b. nu este punct de extrem local

d. nu se poate spune nimic despre natura punctului (1,-6)

23. Se dă funcŃia de două variabile f ( x, y ) = xy Derivata parŃială a lui f în raport cu x este: /

/

c.

f x ( x, y ) = y

b.

f x ( x, y ) = x

d.

f x ( x, y ) = 0

/

f x ( x, y ) = 1 /

a.

24. Sa se integreze ecuatia diferentiala : x 1 + y 2 dx + y 1 + x 2 dy = 0

a.

1+ x2 = - 1+ y2 + c

b. ln ( 1 +x 2 ) = - 1 + y 2 + c

c.

1 1 + x 2 = -3 1 + y 2 + c 2

d.

alt raspuns

25. Fie f(x,y) = 10x + 4y + 2xy + a.  ' 400  f x ( x, y ) = 10 + 2 y − x 2 y  400  f y' ( x, y ) = 4 + 2 x − 2  xy b.  f ' ( x, y ) = 10 x + 4 y + 2  x  f ' ( x, y ) = 10 x + 2 y + 400  y x2 y2

400 , x >0, y >0 . Derivatele partiale de ordin I sunt: xy c.  ' 400  f x ( x, y ) = 10 + 2 y + x 2 y 2  400  f y' ( x, y ) = 4 + 2 x + 2 2  x y d.  ' 400  f x ( x, y ) = 10 + 2 y + xy 2  400  f y' ( x, y ) = 4 + 2 x + 2  xy

26. Punctul stationar pentru functia: 400 f(x,y) = 10x + 4y + 2xy + cu x >0, y >0 este xy a. M(2, 5) b. M(2, 3)

27. Functia f(x,y) = 10x + 4y + 2xy +

c. M(-2, -5) d. nu exista

400 cu x >0, y >0 admite xy

a. punct de maxim local M(2, 5)

c. nu admite puncte de extreme local

b. punct de minim local M(2, 5)

d. punct de minim local M(2, 3)

28. Sa se integreze ecuatia diferentiala: (1 + y 2 ) + xyy ' = 0 a.

x 1+ y2 = c

c.

b.

x + 1+ y2 = c

d.

x(1 + y ) = c -x 1 + y 2 = c

x2 + y2 xy 2 c. y + x 2 = 2ln x +c 2x 2 d. alt raspuns

29. Sa se integreze ecuatia diferentiala omogena: y ' = a. b.

30. Fie a.

y2 = ln x + c 2x 2 x2 + y2 = ln x + c 2x 2

, rezolvand sistemul obtinut prin anularea derivatelor de ordin I se determina: punctele de maxim local

b. punctele de minim local

c. punctele stationare d. matricea hessiana

31. Diferentiala de ordin I pentru functia f(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 – xy + x - 2z, (x, y, z) ∈ R 3 este a. d f(x, y, z) = (2x- y +1)dx + (2y – x)dy c. d f(x, y, z) = (x 2 + y 2 + z 2 )dx + (1+ (2z – 2)dz xy)dy + (x-2z)dz b.

d f(x, y, z) = (2x 2 - xy + x)dx + y 2 dy d. d f(x, y, z) = (2x- y +1)dx + (2y xy)dy+(2z - 2)dz + (z 2 -2z)dz

32. Functia f (x,y) = x 3 +

- 3xy definita pe

a. admite punct de minim local M(1, 1)

c. nu admite puncte de extrem

b. admite punct de maxim local M(-1, 1) d. admite puncte de minim local pe

M(3, 2) si N(-1, 1)

33. Functia f(x, y, z) =

- 2x – 4y – 6z definita pe R 3 are:

a. toate derivatele de ordin 2 nule

c. toate derivatele de ordin 2 egale cu 2

b. toate derivatele mixte de ordin 2 nule

d. toate derivatele de ordin 2 strict pozitive

34. Se dă funcŃia de două variabile f ( x, y ) = xy Derivata parŃială a lui f în raport cu y este: /

/

c.

f y ( x, y ) = y

b.

f y ( x, y ) = x

d.

f y ( x, y ) = 0

/

f y ( x, y ) = 1 /

a.

35. Se dă funcŃia de două variabile f ( x, y ) = xy . DiferenŃiala de ordinul I a lui f este a. df = dx + dy b. df = dx + xdy

c. df = ydx + dy d. df = ydx + xdy

36. Se dă funcŃia de două variabile f ( x, y ) = x 2 + y 2 Derivata parŃială a lui f în raport cu x este: /

/

c.

f x ( x, y ) = 2 y

b.

f x ( x, y ) = 2 x

d.

f x ( x, y ) = x 2

/

f x ( x, y ) = y 2 /

a.

37. Se dă funcŃia de două variabile f ( x, y ) = x 2 + y 2 Derivata parŃială a lui f în raport cu y este: /

/

c.

f y ( x, y ) = 2 y

b.

f y ( x, y ) = 2 x

d.

f y ( x, y ) = y 2

/

f y ( x, y ) = x 2 /

a.

38. Se dă funcŃia de două variabile f ( x, y ) = x 2 + y 2 DiferenŃiala de ordinul I a lui f este a. df = x 2 dx + y 2 dy b. df = dx + dy

39. Fie ecuaŃia diferenŃială y ' = xy

c. df = 0 d. df = 2 xdx + 2 ydy

EcuaŃia este a. cu variabile separabile

b. liniară de ordinul întâi

c. o ecuaŃie cu derivate parŃiale de ordinul întâi d. liniară de ordinul al doilea

40. O formă echivalentă a ecuaŃiei y ' = xy este a. ydy = xdx b. dy = xdx y

c. dy = xy d. dx = xy

41. SoluŃia ecuaŃiei y ' = xy este dată de

c.

y=2

d.

y=x

a. liniară de ordinul intai

c.

ecuatie omogena

b. cu variabile separabile

d. ecuatie diferentiala de ordinul doi

a. b.

y=

x2 +C 2

42. Fie ecuaŃia diferenŃială y ' = x + 1 EcuaŃia este

43. O formă echivalentă a ecuaŃiei y ' = x + 1 este a. dy = x + 1 b. dy = x +1 x

c. dy = ( x + 1)dx d. dx = x + 1

44. SoluŃia ecuaŃiei y ' = x + 1 este dată de a. b.

x2 2 y = x2 + x

y=

c. d.

45. ScrieŃi diferenŃiala de ordinul intai a funcŃiei

y=x

a.

c.

b.

d.

46. Consideram functia a.

. Atunci derivata partiala de ordin intai in raport cu x este

b. c. d.

47. Consideram functia a.

. Atunci derivata partiala de ordin intai in raport cu y este

b. c. d.

48. Consideram functia a. b. c. d.

49. Se da functia de doua variabile a.

. Atunci diferentiala de ordinul al doilea a lui f este

. Derivata partiala a lui f in raport cu x este

b. c. d. alt raspuns

50. Se da functia de doua variabile a. b.

. Derivata partiala a lui f in raport cu y este

c. d. alt raspuns

51. Se da functia de doua variabile a. b.

. Diferentiala de ordinul al doilea al lui f este

c. d. alt raspuns

52. Derivata partiala a lui a. b.

53. Derivata partiala la lui a. b.

in raport cu variabila x este egala cu c. d.

in raport cu variabila x este egala cu c. d.

54. Derivata partiala la lui a. b.

in raport cu variabila y este egala cu c. d.

55. Derivata partiala a lui a.

in raport cu variabila y este egala cu c.

b.

56. Se considera functia

este egala cu a. b.

57. Se considera functia

este egala cu a. b.

58. Se considera functia

este egala cu a. b.

d.

. Atunci derivata mixta de ordin 2 data de

c. 1 d. 6y

. Atunci derivata mixta de ordin 2 data de

c. 1 d. 2y

. Atunci derivata mixta de ordin 2 data de

c. 1 d. 2y

59. Se considera functia

. Atunci derivata mixta de ordin 2 data de

este egala cu a. b.

c. 1 d. 2y

60. Se considera functia puncte critice) ale lui f(x,y) sunt a. (0,0) b. (1,0),(0,1)

. Atunci punctele stationare(numite deasemenea

c. (1,1,),(0,0) d. nu exista puncte stationare

61. Se considera functia deasemenea puncte critice) ale lui f(x,y) sunt a. (0,0) b. (1,2),(0,0)

62. Se considera functia deasemenea puncte critice) ale lui f(x,y) sunt a. (0,0) b. (2,3),(0,0)

63. Se considera functia deasemenea puncte critice) ale lui f(x,y) sunt a. (0,0) b. (1,2),(0,0)

64. Se considera functia punctul (0,0) este un punct a. de minim local pentru f(x,y) b. de maxim local pentru f(x,y)

. Atunci punctele stationare(numite

c. (1,2) d. nu exista puncte stationare

. Atunci punctele stationare(numite

c. (2,3) d. nu exista puncte stationare

. Atunci punctele stationare(numite

c. (5,2) d. nu exista puncte stationare

. Atunci c. nu este punct de extrem local

65. Care din urmatoarele functii are exact 2 doua puncte stationare a. f(x,y)=x+y c. f(x,y)=x+2y b. d.

66.

Care din urmatoarele ecuatii nu reprezinta o ecuatie diferentiala? a.

c.

d.

b.

67.

68.

Care din urmatoarele ecuatii diferentiale este o ecuatie diferentiala cu variabile separabile? a.

c.

b.

d.

Care este solutia generala a ecuatiei diferentiale

a. , A este o constanta b. , A este o constanta c. A este o constanta d. , A este o constanta

69. Fie a.

. Sa se calculeze c.

b.

70. Fie a.

d.

. Sa se calculeze c.

b.

71. Fie a.

b.

d.

. Atunci c.

d.

72. Fie a.

. Atunci c.

b.

73. Fie a.

d.

. Atunci c.

b.

74. Fie a.

d.

. Atunci c. d.

b.

75. Fie a. b.

. Atunci c. d.