Matematici Actuariale1

Universitatea Hyperion – Facultatea de Stiinte Economice

1

Matematici financiare si actuariale Adriana Olariu Modul ID I.MATEMATICI FINANCIARE Introducere Rezultatele unei activitati economice se masoara, in cele din urma, in bani. Drept urmare, in sistemul activitatilor economice intervine notiunea de operatiune financiara. DEFINITIE: Operatiunile financiare reprezinta modalitati de plasare a unor sume de bani, in conditii stabilite si cu un anumit scop, de catre un partener P1 catre un alt partener P2 . Partenerii P1 ,P2 pot fi persoane, grupuri de persoane sau institutii. De obicei cel care face plasamentul (are banii) stabileste conditiile operatiunii financiare respective. Plasamentul unei sume de bani consta in urmatoarele: a) cel ce dispune de bani este privat temporar de o anumita suma de bani; in consecinta primeste o renumeratie pentru aceasta privatiune; b) cel ce nu dispune de bani foloseste temporar o anumita suma de bani provenita de la altcineva, contra unei taxe. Rezulta ca intotdeauna exista un cost al operatiunilor financiare,care reprezinta efortul financiar pe care il suporta un partener pentru a putea beneficia de o anumita suma de bani pe care o are un alt partener. Cel mai frecvent, un asemenea cost este asimilat cu dobanda aferenta plasamentului financiar, desi – in realitate – dobanda este numai una dintre componentele costului unei operatiuni finaciare. Desi foarte diverse, operatiunile financiare au in comun anumite concepte economice cu ajutorul carora se constituie modele matematice specifice. Aceste modele reprezinta fundamentul matematicilor financiare. Teoria generala a matematicilor financiare are ca obiect constituirea si analiza, in termeni matematici, a modelelor economice ale operatiunilor financiare prin care se fac plasamente ale unor sume de bani. Scopul final al analizei modelelor economico – matematice il reprezinta asigurarea rentabilitatii plasamentelor, in raport cu un sistem dat de conditii socio – economice si politice.

Universitatea Hyperion – Facultatea de Stiinte Economice

2

1.Dobanda 1.1.Conceptul de dobanda Sa presupunem ca partenerul P1 dispune de o suma de bani S0 pe care o plaseaza partenerului P2 pentru o perioada de timp t, in conditii prestabilite. La finele perioadei de timp t partenerul P1 primeste suma finala S(S0 ,t) > S0 . DEFINITIE: Diferenta D(S0 ,t) = S(S0 ,t)-S0 se numeste dobanda corespunzatoare plasarii sumei S0 pe perioada de timp t. Daca t = 1an si S0 = 100 unitati monetare (u.m.), dobanda corespunzatoare se numeste procent. Se noteaza cu p; p = D(100,1). Daca t = 1an si S0 = 1u.m., dobanda corespunzatoare se numeste dobanda unitara anuala. Se p noteaza cu i; i = D(1,1) = . 100 Constanta u = 1 + i se numeste factor de fructificare anuala; u-1 se numeste factor de actualizare anuala. 1.2.Dobanda simpla DEFINITIE: Plasarea sumei S0 se efectueaza in regim de dobanda simpla daca pe toata perioada de plasare t suma initiala S0 nu se modifica. Dobanda simpla este:

D(S 0 , t ) = S 0

p t 100 t – perioada de timp exprimata in ani (numar intreg sau fractionar) sau D(S 0 , t) = S0 ⋅ i ⋅ t . Suma finala este S (S 0 , t ) = S 0 + D( S 0 , t ) S (S 0 , t ) = S 0 (1 + i ⋅ t ) . Procentul mediu de plasament. Se plaseaza sumele Sk , cu scadentele tk si procentul pk , k = 1, n , in regim de dobanda simpla. DEFINITIE: Se numeste procent mediu de plasament procentul p cu care trebuie plasata fiecare suma Sk cu scadentele t k, astfel incat dobanda totala sa nu se modifice. n

n

∑ S k p k tk = p∑ S k tk k =1

k =1

n

adica

p=

∑S k =1 n

k

pk t k

∑S t

k k

k =1

.

Universitatea Hyperion – Facultatea de Stiinte Economice

Exemple : 1.Suma de 1000 u.m. este imprumutata in regim de dobanda simpla, astfel : 2 ani cu procentul de 10%, 3 luni cu 15%, 9 zile cu 20%. Sa se afle dobanda aferenta si suma finala. Rezolvare : 3 luni = 3 : 12 = 0,25 ani ; 9 zile = 9 : 360 = 0,025 ani D = 1000 ·(0,1· 2 + 0,15· 0,25 + 0,2 ·0,025) = 242,5 u.m. S = 1000 + 242,5 = 1242,5 u.m. 2.Se plaseaza 300000 u.m. timp de 30 de zile cu p=9%,200000 u.m. timp de 72 de zile cu p=15% si 1500000 u.m. timp de 4 luni cu 12%.Care este procentul mediu al celor trei plasamente ? Rezolvare : p=(300000 ·9 ·30 :360 +200000 ·15 ·72 :360 +1500000·12·4 :12) : (300000 ·30 :360 +200000 ·72 :360 + +1500000 · 4 :12)=12,08%

1.3.Dobanda compusa DEFINITIE: Daca valoarea sumei S0 se modifica periodic pe intervalul de timp de lungime t, dupa criterii prestabilite, iar intre doua modificari consecutive sumei modificate i se calculeaza o dobanda simpla, atunci spunem ca plasamentul sumei initiale S0 s-a efectuat in regim de dobanda compusa. Daca dobanda compusa este calculata anual, pentru n ani, rezulta formulele de calcul: S (S 0 , t ) = S 0 (1 + i1 )(1 + i 2 )....(1 + i n ) D(S 0 , t ) = S 0 [(1 + i1 )(1 + i 2 )....(1 + in ) − 1] in cazul in care i = constant:

S (S 0 , t ) = S 0 (1 + i )

[

n

]

D(S 0 , t ) = S 0 (1 + i ) − 1 n

Daca dobanda compusa se calculeaza dupa perioada

1 ani, rezulta dupa t=1 an: m

m

1  S (S 0 , t ) = S 0  1 + i  daca i = constant in decursul anului. m  In acest caz, i – valoarea nominala a dobanzii unitare anuale. Pentru a afla valoarea reala a dobanzii unitare anuale, scriem egalitatea: m

1  S 0 (1 + i real ) = S 0 1 + i  . m  m 1  Rezulta i real = 1 + i  − 1 . m  Procentul anual nominal este p = 100 i, procentul anual real sau efectiv este p real = 100 ⋅ i real .

3

Universitatea Hyperion – Facultatea de Stiinte Economice

4

Exemple : 1.In urma cu 2 ani si 3 luni o persoana a imprumutat o suma de 1000 u.m. in regim de dobanda compusa calculata anual. Stiind ca in cei trei ani, procentele anuale au fost de 15%, 17% respectiv 20%, ce suma trebuie sa plateasca acum persoana si care a fost dobanda aferenta. Rezolvare: 3 luni = 3 : 12 = 0,25 ani S = 1000 · ( 1 + 0,15 ) · (1 + 0,17 ) · ( 1 + 0,2 · 0,25) = 1000 · 1,15 · 1,17 · 1,05 = 1412,78 u.m. D = 1412,78 – 1000 = 412,78 u.m. 2.In regim de dobanda compusa calculata trimestrial, cu p=10% ,a fost plasata o suma de 1000 u.m. in urma cu 7 luni.De ce capital se dispune in prezent? Rezolvare : S=1000 · (1+0,1 · 3 :12 ) · (1+0,1 · 3 :12) · (1+0,1 · 1 :12) = 1059 u.m.

1.4.Consideratii privind plasamentul cu dobanda Presupunand ca suma S0 este plasata pe durata t cu procentul anual 100i si notand cu DS = DS(S0 ,t), DC = DC (S0 ,t) dobanda simpla, respectiv dobanda compusa corespunzatoare, au loc relatiile: DS = S 0 ⋅ i ⋅ t

[

].

DC = S 0 (1 + i ) − 1 Rezulta: t

a) daca t < 1 an, atunci DS > DC ; b) daca t = 1 an, atunci DS = DC ; c) daca t > 1 an, atunci DS < DC. Rezulta ca, daca nu se precizeaza tipul dobanzii cu care se efectueaza plasamentul, pe termen scurt (t < 1 an) se va calcula dobanda simpla, iar pentru durate mai mari de 1 an se va calcula dobanda compusa calculata anual.

2.Devalorizare Presupunem S0 o suma plasata pe perioada de timp t, cu procentul anual p = 100i. Mai presupunem ca moneda considerata se devalorizeaza anual cu un coeficient anual unitar a, care se numeste rata anuala unitara a devalorizarii. DEFINITIE: Numarul 100a se numeste procent anual de devalorizare. Din cele de mai sus rezulta ca 1 unitate monetara devine, dupa o plasare de 1 an, cu procentul anual de plasament p = 100i si cu procentul anual de devalorizare 100a, 1+ i . 1+α

Rezulta ca: a) daca a < i, atunci monetare;

1+ i > 1, deci exista un castig prin plasarea unei unitati 1+α

Universitatea Hyperion – Facultatea de Stiinte Economice

b) daca a = i, atunci

5

1+ i = 1, deci castigul obtinut prin plasarea unei unitati monetare 1+α

este nul; c) daca a > i, atunci

1+ i < 1, deci plasamentul se face in pierdere. 1+α

DEFINITIE: Spunem ca se produce o devalorizare controlata daca se cunoaste devalorizarea anuala unitara a si daca acest coeficient se foloseste astfel incat sa nu se produca pierdere de valoare a monedei. In conditiile devalorizarii controlate de rata anuala a, o unitate monetara plasata pe timp de 1 an, cu dobanda unitara i trebuie sa devina (1 + i )(1 + α ) = 1 + (i + α + i α ) = 1 + j , unde j = i + α + iα . Rezulta ca devalorizarea este compensata daca suma finala dupa t ani este data de formula

S (S 0 , i, t , α ) = S 0 (1 + i ) (1 + α ) t

DEFINITII: Constanta

t

(valoare aparenta).

1 se numeste factor de devalorizare. Constanta 1 + a se numeste 1+α

factor de compensare. Constanta j = i + a + ia se numeste dobanda unitara anuala aparenta, q = 100j se numeste procent anual aparent. Constanta i se numeste dobanda unitara anuala reala, p = 100i se numeste dobanda anuala reala (procent anual real), in cazul compensarii devalorizarii. Risc catastrofic Pe langa devalorizare mai trebuie luate in considerare si unele evenimente imprevizibile care ar putea determina nerambursarea creditelor. Pentru a acoperi un asemenea risc creditorul mai include, in afara coeficientilor i si a inca un coeficient ß, caruia ii corespunde un procent anual de risc catastrofic, r = 100ß. In acest caz 1 u.m. plasata pentru 1 an conduce la finele anului la suma (1 + i )(1 + α )(1 + β ) (valoare aparenta). Deci S0 plasata in conditiile compensarii devalorizarii si riscului catastrofic devine dupa t ani:

S (S 0 , i, α , β , t ) = S 0 (1 + i ) (1 + α ) (1 + β ) t

t

t

(valoare aparenta).

Notam cu (1 + k) factorul anual de fructificare aparenta, 1 + k = (1 + i )(1 + α )(1 + β ), k = i + α + β + i α + i β + αβ + i αβ .

Constanta (coeficientul) k se numeste dobanda anuala unitara aparenta in conditiile compensarii totale a devalorizarii si riscului catastrofic. Exemplu :

Universitatea Hyperion – Facultatea de Stiinte Economice

6

O banca acorda imprumuturi cu un procent anual real de 10%. Sa se determine procentul cu care ar trebui acordate creditele daca sunt luate in calcul si compensate devalorizarea anuala de 2% si un risc anual catastrofic de 5%. Rezolvare : k = 0,1 + 0,02 + 0,05 + 0,1 · 0,02 + 0,1 · 0,05 + 0,02 · 0,05 + 0,1 · 0,02 · 0,05 = 0,1781 Procentul anual aparent trebuie sa fie de 17,18%

4.Operatiuni de scont 4.1.Notiuni generale DEFINITIE: Operatiunea de scont consta in cumpararea de catre o banca a unor polite (sau chitante, scrisori de schimb, bilete de ordine etc) inainte de scadenta acestora, percepand o anumita taxa pentru acest serviciu facut detinatorilor de asemenea documente financiare. La scadenta banca (de obicei banca comerciala) incaseaza de la creditorul politei valoarea integrala a acesteia. Fie doi parteneri de afaceri P1 si P2 . Sa presupunem ca partenerul P2 primeste de la P1 la un moment dat F 0 o suma de bani S0 (sau P1 ii face un serviciu lui P2 in valoare de S0 u.m.). Daca P2 este creditat de o banca, el va emite catre acesta un document financiar (polita, scrisoare de schimb etc) prin care banca va plati partenerului P1 suma S0 plus dobanda corespunzatoare (calculata cu procentul anual p = 100i), la momentul F > F 0 . Fie S = S(S0 ,F,p) suma pe care o va primi partenerul P1 la momentul F (la scadenta). Exista insa situatii in care partenerul P1 doreste sa incaseze contravaloarea politei la momentul F * < F (F 0 < F * < F), deci cu t = F -F * ani inainte de scadenta. In acest scop, se adreseaza unei banci, care va cumpara polita, percepand o anumita taxa. Notam: S* = S* (S0 ,F * ,p) – valoarea finala a sumei S0 pe durata F * cu procentul anual p = 100i; Sa = Sa(S* ,t,F) – suma pe care banca o plateste detinatorului politei la momentul F * . Sintetic, operatiunea de scont se desfasoara astfel: a) este plasata suma S0 pe durata F cu procentul anual p; la scadenta devine S; b) este plasata suma S0 pe durata F * < F cu procentul anual p; la scadenta devine S* ; c) este plasata suma Sa pe durata t = F - F * cu procentul anual q = 100j; ea devine S. DEFINITII: Suma S0 se numeste valoare initiala a operatiunii sau pret sau valoare de emisiune a politei. Suma S se numeste valoare finala a operatiunii sau valoare nominala la scadenta a politei. Suma S* se numeste valoarea finala la scontare sau cursul politei la data scontarii (vanzarii) acesteia. Suma Sa se numeste valoare actuala a politei la momentul vanzarii acesteia sau valoare scontata sau capital scontat.

Universitatea Hyperion – Facultatea de Stiinte Economice

7

Diferenta: Sc = S-Sa se numeste taxa de scont sau, pe scurt, scont. Rezulta ca S = Sa + S c, adica scontul este egal cu dobanda aferenta valorii actuale Sa a politei pe durata t = F-F * si cu procentul de scont q = 100j. Procentul de scont q poate fi egal sau nu cu procentul de emisiune a politei p = 100i. 3.2.Scontul simplu DEFINITIE: Daca dobanda aferenta capitalului actual Sa este calculata ca dobanda simpla, atunci operatiunea este de scont simplu. Fie Sc,s valoarea scontului simplu. Daca procentul anual de scont este q = 100j,

S c ,s = S a jt = S a

q t , t – exprimat in ani; 100

S a = S − S c , s , deci S a = S − S a jt S a (1 + jt ) = S ; S a = Rezulta S c , s = S c(,rs) =

S . 1 + jt

Sjt , acesta fiind scontul simplu rational, notat S c( r,s) , deci 1 + jt

Sjt . 1 + jt

In practica 1 + jt ≈ 1 si este rezulta scontul simplu comercial S c( c,s) : S c( c, s) = Sjt .

Se observa ca S c( r, s) < S c( c, s) , ceea ce arata ca Sc( c,s) convine bancii care cumpara documentele de plata, pe cand S c( r,s) convine detinatorului documentelor (politei).

Universitatea Hyperion – Facultatea de Stiinte Economice

8

2.3.Scontul compus DEFINITIE: Daca dobanda aferenta capitalului actual (scontat) Sa este calculata ca dobanda compusa, atunci operatiunea este de scont compus. Notam scontul compus cu Sc,c. In regim de dobanda compusa S = S a (1 + j )t Sa =

S (1 + j)t

S c ,c = S − S a = S a (1 + j ) − S a . t

[

]

S c ,c = S a (1 + j ) − 1 t

[

]

S (1 + j ) − 1 Rezulta Sc , c = . (1 + j)t t

Aceasta este formula scontului compus rational: S c(,rc) =

[

].

S (1 + j ) − 1 t

(1 + j )

t

Daca se aproximeaza (1 + jt ) t ≈ 1 + jt rezulta formula scontului compus comercial: Sc(c, c) =

Sjt . 1 + jt 2.4.Operatiuni echivalente in regim de scont

Fie doua operatiuni financiare carora le corespund capitalurile nominale S(1), S(2) , scadentele F (1), F (2) si procentele anuale de scont q(1), q(2), care conduc la capitalurile scontate Sa(1), Sa(2) respectiv. DEFINITIE: Cele doua operatiuni financiare considerate sunt echivalente in regim de scont la un anumit moment (acelasi pentru ambele operatiuni) de scontare, daca au aceeasi valoare scontata, adica Sa(1) = Sa(2). Doua operatiuni echivalente in regim de scont pot fi schimbate (sau inlocuite) una cu alta.

Universitatea Hyperion – Facultatea de Stiinte Economice

9

Exemplu : Valoarea unei polite la data cumpararii este de 10000 u.m. si trebuie achitata peste 6 luni cu un procent anual de 10%. Stiind ca posesorul politei o prezinta la scontare cu 3 luni inainte de scadenta si se aplica un scont simplu comercial cu un procent de scont de 10 %, sa se afle : a) scontul ; b) suma pe care o primeste posesorul politei la scontare. Rezolvare : a) 6 luni = 6 : 12 = 0,5 ani Valoarea finala a politei la scadenta este S = 10000 · (1 + 0,1 · 0,5 ) = 10000 · 1,05 = 10500 u.m. 3 luni = 3 : 12 = 0,25 ani Valoarea scontului este : Sc = Sjt = 10500 · 0,1 · 0,25 = 262,5 u.m. b) Sa = S – Sc = 10500 – 262,5 =10237,5 u.m.

4.Plati esalonate 4.1.Notiuni generale Daca o operatiune financiara consta in plasarea unor sume de bani la anumite intervale de timp, se spune ca se efectueaza plati esalonate. O operatiune de plati esalonate este definita daca se cunosc: a) suma care se plateste de fiecare data, numita rata sau renta (pentru cel ce beneficieaza de aceasta suma); b) momentul in care se efectueaza platile; c) numarul de plati periodice; d) perioada de timp intre doua plat consecutive; e) dobanda anuala (sau procentul anual) cu care se opereaza; f) scopul platii; g) valoarea finala sau nominala a tuturor platilor; h) valoarea actuala sau actualizata la un moment dat (de obicei acela in care incepe operatiunea) a tuturor platilor. Tinand seama de (a) – (h) se definesc tipuri distincte de plati esalonate, dintre care se mentioneaza urmatoarele: 1) Platile esalonate definite in raport cu lungimea intervalului de timp (perioadei) dintre doua plati. Acestea se numesc: – anuitati – daca platile se fac anual; - semestrialitati – daca platile se fac semestrial; - mensualitati – daca platile se fac lunar. 2) Platile esalonate definite in raport cu momentul in care se face plata. Acestea sunt:

Universitatea Hyperion – Facultatea de Stiinte Economice

10

- anticipate – daca plata se face la inceputul perioadei; - posticipate – daca plata se face la sfarsitul perioadei. 3) Platile esalonate definite in raport cu numarul de plati. Acestea se numesc: - temporare – daca numarul de plati este finit, dat; - perpetue – daca numarul de plati este nelimitat; - viagere – daca numarul de plati este pe viata. 4) Platile esalonate definite in raport cu momentul de la care incepe esalonarea. Acestea se numesc: - imediate – daca platile incep la un moment de timp dat; - amanate – daca platile incep cu o intarziere (amanare) fata de un moment de timp fixat. 5) Platile esalonate definite in raport cu variabilitatea sumelor platite esalonat. Acestea sunt: - constante – daca de fiecare data se plateste aceeasi suma; - variabile – daca nu se plateste aceeasi suma de fiecare data. 6) Platile esalonate definite in raport cu procentul aferent. Exista plati esalonate: - cu procent constant – daca procentul este acelasi pe intreaga perioada a esalonarii; - cu procent variabil – daca procentul variaza de la perioada la alta. 7) Platile esalonate definite in raport cu scopul operatiunii. Acestea sunt: - de fructificare prin imprumut sau creditare; - de fructificare prin investitii diverse; - de rambursare sau amortizare a unui imprumut sau datorii. 4.2.Anuitati posticipate temporare imediate DEFINITIE: Operatiunile de plata care se efectueaza anual, la sfarsit de an, prin sume constante sau variabile, pe un numar de ani dat, imediat ce a fost fixata inceperea platilor, cu procente anuale egale sau nu de la un an la altul se numesc anuitati posticipate temporare imediate. Notam: Sk – valoarea sumei (ratei) platite in anul k , k = 1, n ; ik – dobanda unitara din anul k; n – numarul de plati anuale; Sn (p) – valoarea finala a operatiunii de plati esalonate posticipate, operatiune desfasurata pe o perioada de n ani, in regim de dobanda compusa;

Universitatea Hyperion – Facultatea de Stiinte Economice

11

An (p) – valoarea actuala (sau actualizata in momentul fixat pentru inceperea platilor) a operatiunii de plati anuale posticipate, desfasurata pe o perioada de n ani, in regim de dobanda compusa. Avem relatiile: n

S n( p ) = ∑ S k k =1

( p) n

A

n

∏ (1 + i

j =k +1

n

k

k =1

j =1

j

) + Sn ,

= ∑ S k ∏ (1 + i j )

. −1

k

DEFINITIE: Produsul

∏ (1 + i ) j =1

k

∏ (1 + i j )

j

se numeste factor de fructificare globala; produsul

−1

se numeste factor de actualizare globala.

j =1

In cazul particular: S1 = S2 =…….= Sn = S si p1 = p2 =………pn = p, rezulta: S n( p) = S ⋅

un −1 , unde u = 1 + i este factorul de fructificare anuala; i

An( p) = S ⋅

1− u −n . i

OBSERVATIE: In toate cazurile, dobanda totala a operatiunii este:

Dn( p) = S n( p ) − An( p) . 4.3.Anuitati anticipate temporare immediate DEFINITIE: Operatiunile de plata care se efectueaza anual, la inceput de an, prin sume constante sau variabile, pe un numar de ani dat, imediat ce a fost fixata inceperea platilor, cu procente anuale egale sau nu de la un an la altul se numesc anuitati anticipate temporare imediate. Fie: - S k , i k , k = 1, n si n cu aceleasi semnificatii ca in cazul anuitatilor posticipate temporare imediate; - Sn(a) – valoarea finala a operatiunii; - An (a) – valoarea actuala (sau actualizata corespunzatoare platilor anuale anticipate temporare imediate).

Universitatea Hyperion – Facultatea de Stiinte Economice

12

Avem: n

n

S n( a) = ∑ S k ∏ (1 + i j ), k =1

( a) n

A

j =k

n

k −1

k =2

j =1

= S1 + ∑ S k ∏ (1 + i j )

. −1

In cazul particular: S1 = S2 =….= Sn = S si p1 = p2 =……= pn = p, rezulta: (1 + i ) n − 1 u n −1 S n( a) = S (1 + i ) ⋅ = Su ⋅ i i An ( a ) = Su

1 − u−n . i

Exemplu : Timp de 4 ani se plaseaza suma de 10000 u.m. in regim de dobanda compusa cu procentele de 10%, 12%, 15%, 20%. Sa se afle valoarea finala a operatiunii si valoarea actuala a tuturor sumelor depuse daca plasarea se face : a) la finele fiecarui an b) la inceputul fiecarui an Rezolvare: a) Valoarea finala a operatiunii este : S = 10000 · 1,12 · 1,15 · 1,2 + 10000 · 1,15 · 1,2 + 10000 · 1,2 + 10000 = = 51260 u.m. Valoarea actuala este: A = 10000 : 1,1 + 10000 : (1,1 · 1,12) + 10000 : (1,1 · 1,12 · 1,15) + 10000 : (1,1 · 1,12 · 1,15 · 1,2) = = 30148,2 u.m. b) Valoarea finala a operatiunii este: S = 10000 · 1,1 · 1,12 · 1,15 · 1,2 + 10000 · 1,12 · 1,15 · 1,2 + 10000 · 1,15 · 1,2 + +10000 · 1,2 =58261,6 u.m. Valoarea actuala este: A = 10000 + 10000 : 1,1 + 10000 : (1,1 · 1,12) + 10000 : (1,1 · 1,12 · 1,15) = = 34265,9 u.m.

Universitatea Hyperion – Facultatea de Stiinte Economice

13

5.Rambursarea imprumuturilor 5.1. Notiuni introductive Imprumutul este operatiunea financiara prin care un partener P1 plaseaza o suma de bani, pe o perioada de timp determinata si in conditii prestabilite, unui alt partener P2 , care are nevoie de aceasta suma. Partenerul P1 se numeste creditor iar partenerul P2 se numeste debitor. Operatiunea financiara prin care P2 plateste lui P1 suma de care a beneficiat se numeste rambursare sau amortizare a imprumutului.

Imprumutul este o operatiune financiara cu doua componente: - creditare; - rambursare (amortizare). Aceste componente reprezinta operatiuni de plati esalonate. Rambursarea (amortizarea) unui imprumut consta din plata la intervale de timp egale sau nu, a unor sume egale sau nu, la care se adauga dobanda corespunzatoare partii din datorie neachitata la inceputul perioadei in care se face plata, calculata cu procente egale sau nu de la o perioada de timp la alta. Notam: - V0 – valoarea imprumutului (sau datoriei) la momentul in care incepe rambursarea; - t – perioada de timp in care se face rambursarea; n

- tk – perioada de timp dintre doua plati consecutive;

∑t

k

=t ;

k =1

- Qk , k = 1, n - partea din valoarea V0 a imprumutului care se plateste la un anumit moment din intervalul de timp tk , numita amortisment; - ik , k = 1, n - dobanda unitara anuala corespunzatoare perioadei de timp tk ; - dk , k = 1, n - dobanda totala corespunzatoare partii din datorie neachitata la inceputul perioadei tk ; - Sk , k = 1, n - suma efectiva platita in perioada tk (rata corespunzatoare perioadei tk ), Sk = Qk + dk ; - Vk, k = 1, n - valoarea datoriei ramase dupa achitarea amortismentului Qk ; -

Rk , k = 1, n - valoarea datoriei rambursate dupa achitarea amortismentului

Qk , k = 1, n .

Universitatea Hyperion – Facultatea de Stiinte Economice

14

n

V0 = ∑ Q k ; k =1

k

Au loc relatiile:

Vk = Vo − ∑ Q j ; j =1

k

Rk = ∑ Q j . j =1

Rezulta ca Vk + Rk = V0 , egalitate ce reprezinta, la un moment dat al rambursarii, “ecuatia de echilibru” dintre partea de datorie neachitata (ramasa) si cea rambursata (amortizata). 5.2.Rambursarea prin anuitati temporare imediate DEFINITIE:Rambursarea se efectueaza prin anuitati temporare imediate daca platile se efectueaza anual (anticipat sau postanticipat), in n, n ∈ N * , ani, prin sume egale sau nu de la un an la altul, cu procente egale sau nu de la un an la altul, imediat ce s-a decis inceperea rambursarii. 5.2.1.Rambursarea prin anuitati anticipate temorare imediate, cu dobanda anticipata PROPOZITIE: Daca amortizarea se efectueaza prin anuitati temporare imediate, cu plati anticipate si dobanda anticipata, cu cu acelasi procent anual p = 100i si cu : a) anuitati egale, adica S k = s , k = 1, n , atunci au loc egalitatile:

(1 − i ) n− k , 1 − (1 − i ) n 1 S k = V0 i ,; 1 − (1 − i ) n

Q k = V0 i

Vk = V0

1 − (1 − i ) n− k 1 − (1 − i ) n

b) amortismente egale Qk = Q, k = 1, n , au loc egalitatile: V Qk = 0 , n V S k = 0 [1 + i( n − k ) ], . n V0 Vk = ( n − k ). n

Universitatea Hyperion – Facultatea de Stiinte Economice

15

5.2.2.Rambursarea prin anuitati posticipate temporare imediate, cu dobanda posticipata PROPOZITIE: Daca amortizarea (rambursarea) se efectueaza prin anuitati posticipate si dobanda posticipata, cu acelasi procent anual p = 100i si cu: a) anuitati egale, S k = s , k = 1, n , atunci:

Qk = V0i

(1 + i ) k −1 ; (1 + i ) n − 1

Sk = V0i

(1 + i ) n ; (1 + i ) n − 1

Vk = V0

(1 + i ) n − (1 + i ) k . (1 + i ) n − 1 b) amortismente egale, Qk = Q, k = 1, n , atunci:

V0 ; n V S k = 0 [1 + i ( n − k + 1)] n V Vk = 0 ( n − k ). n Exemplu: Qk =

Un imprumut in valoarea de 1000 u.m. trebuie rambursat in 5 ani cu un procent anual de 10%, cu amortismente egale. Sa se intocmeasca tabelele de amortizare pentru rambursare prin : a) anuitati posticipate si dobanda posticipata b) anuitati anticipate si dobanda anticipata . Rezolvare: a) anul

Vk-1 1 2 3 4 5

Qk 1000 800 600 400 200

dk 200 200 200 200 200 1000

total

Sk 100 80 60 40 20 300

Vk 300 280 260 240 220 1300

Rk 800 600 400 200 0

200 400 600 800 1000

b) anul

Vk-1 1 2 3 4 5

total

Qk 1000 800 600 400 200

dk 200 200 200 200 200 1000

Sk 80 60 40 20 0 200

Vk 280 260 240 220 200 1200

Rk 800 600 400 200 0

200 400 600 800 1000

Universitatea Hyperion – Facultatea de Stiinte Economice

16

II. ELEMENTE DE MATEMATICI ACTUARIALE 1. Asigurare. Notiuni introductive Conceptul de asigurare. Este cunoscut faptul ca intr-o operatiune financiara doi parteneri plaseaza anumite sume de bani pe anumite perioade de timp si cu scopuri bine precizate. Insa pe durata desfasurarii operatiunii pot interve ni factori intamplatori care creeaza “conditii de incertitudine” a plasamentului pentru fiecare din parteneri. Factorii aleatori, incontrolabili, care pot sa intervina vor fi numiti in cele ce urmeaza, cu un termen generic, sinistre. Se impune deci cunoasterea conceptelor si metodelor (tehnicilor de calcul) prin intermediul carora riscurile financiare datorate sinistrelor sa fie compensate. Conceptul fundamental utilizat in acest context este cel de “asigurare”. DEFINITIE: Asigurarea este operatiunea financiara prin care un partener denumit asigurator despagubeste, in cazul producerii unui sinistru, un alt partener denumit asigurat in schimbul unei remuneratii (prime sau cotizatii). In sistemul de asigurare fondul banesc se creeaza, asa cum rezulta din definitia de mai sus, prin varsamintele persoanelor fizice sau juridice si este gestionat de institutii specializate in asigurari de bunuri si persoane. Ansamblul operatiunilor financiare si normelor de baza carora se fac calculele de asigurari este cunoscut sub numele de “calcul actuarial” sau “actuariat”. Disciplina matematica al carei obiect de studiu il reprezinta tehnicile de calcul actuarial este denumita “matematici actuariale”. Utilizarea acestor tehnici are ca obiectiv evaluarea riguroasa atat a contributiei asiguratului pentru acoperirea eventualelor sinistre viitoare cat si a nivelului rezervelor financiare ce trebuie create la asigurator, pentru ca acesta sa poata onora toate contractele de asigurare. Aceasta evaluare presupune cunoasterea conceptelor si rezultatelor de baza ale teoriei probabilitatilor si statisticii matematice. Concepte de baza ale matematicii actuariale. Prezentam mai jos notiunile specifice operatiunilor de asigurari. DEFINITII: Persoana juridica (societatea de asigurari) care, in schimbul primei de asigurare incasate de la asigurati, isi asuma obligatia de a-l despagubi in cazul producerii unor sinistre se numeste asigurator. Persoana juridica sau fizica decisa ca, in schimbul primei de asigurare platite aiguratorului, sa isi asigure bunurile sau propria persoana impotriva unor sinistre se numeste asigurat. Actul juridic incheiat intre asigurat si asigurator in cazul asigurarilor facultative se numeste contract de asigurare. Persoana sau institutia care are dreptul sa incaseze despagubirea sau suma asigurata, fara a fi parte la contractul de asigurare, se numeste beneficiar.

Universitatea Hyperion – Facultatea de Stiinte Economice

17

Ansamblul de evenimente ce ar putea produce pagube care obliga pe asigurator sa plateasca despagubiri asiguratilor reprezinta riscul asigurat. Orice risc asigurat indeplineste urmatoarele conditii: - a) este posibila producerea lui; - b) are caracter aleator; - c) actiunile sau consecintele lui pot fi inregistrate statistic. Procedura prin care se stabileste valoarea bunurilor (numai in cazul asigurarilor de bunuri) ce vor fi asigurate se numeste evaluare. Partea din valoarea de asigurare pentru care isi asuma raspunderea in cazul producerii sinistrului constituie suma asigurata. Suma asigurata reprezinta limita maxima (superioara) a raspunderii asiguratorului si constituie un element fundamental in calculul primelor de asigurare. Suma asigurata pe unitate de obiect asigurat (in cazul asigurarilor de bunuri) se numeste norma de asigurare. Suma de bani pe care asiguratul o plateste anticipat asiguratorului si in schimbul careia asiguratul va fi despagubit la producerea evenimentului pentru care s-a incheiat contractul de asigurare se numeste prima de asigurare (sau prima tarifara sau inca prima bruta). Fie aceasta a. Ea are doua componente: prima neta, aN, destinata despagubirii asiguratuli in caz de sinistru; suma aF, care serveste functionarii si dezvoltarii asiguratorului. Deci, a = aN + aF. Perioada de timp in care exista relatii de asigurare intre asigurat si asigurator reprezinta durata asigurarii. Pierderea care are loc pentru un bun asigurat ca urmare a producerii sinistrlui, exprimata in bani, reprezinta paguba sau dauna. Suma de bani pe care asiguratorul o datoreaza asiguratului pentru a compensa paguba produsa de un sinistru se numeste despagubire de asigurare. Aceasta este cel mult egala cu paguba. Tipuri de asigurari In legislatie se face disctintie intre asigurarile de viata si celelalte tipuri de asigurari denumite pe scurt IARD (incendiu, accidente si riscuri diverse) sau asigurari de lucruri, asigurari de responsabilitate si asigurari corporale. In categoria asigurarilor de viata (care fac obiectul studiului nostru) sunt cuprinse: a) asigurarile in caz de deces (care garanteaza familiei asiguratului varsamantul unui cpital sau a unei rente in cazul decesului acestuia); b) operatiunile de capitalizare in caz de supravietuire (care reprezinta o forma de economisire). Daca se fac combinatii intre aceste doua tipuri de asigurari se obtin asigurari mixte.

Universitatea Hyperion – Facultatea de Stiinte Economice

18

Asigurarile de pagube (transport, locuinte etc) cuprind o parte de responsabilitate (acopera pagubele produse altei persoane), care este obligatorie si o parte de bunuri (acopera pagubele produse bunurilor asiguratului insusi), care este facultativa. Tipurile de asigurari mentionate mai sus pot fi la randul lor clasificate si dupa alte criterii, cum sunt: a) domeniul la care se refera (asigurari de bunuri, de persoane sau raspundere civila); b) forma juridica de asigurare (asigurari obligatorii sau facultative); c) riscurile la care se refera (asigurari IARD, boli, deces etc); d) domeniul teritorial de actiune (asigurari interne si externe); e) raportul dintre parti (asigurari directe si indirecte). 2.Asigurari de persoane Asigurarile de persoane reprezinta operatiuni financiare contractuale incheiate intre asigurati si asiguratori. Acestea au scopul de a garanta plata unei sume de catre asigurator, in cazul producerii unui eveniment privind persoana fizica a asiguratului. Astfel de evenimente pot fi: pierderea capacitatii de munca, deces sau supravietuire etc. In functie de diversi factori (cerinte viitoare, posibilitati prezente de finantare s.a.) asiguratul isi fixeaza singur suma asigurabila. Ca in orice problema de asigurare si in cazul asigurarii de persoane exista riscul ca unul dintre parteneri (asiguratul sau asiguratorul) sa plateasca mai mult. Acest fapt este o consecinta a incertitudinii cu privire la viata fiecarui om. Problema consta in determinarea sumei pe care trebuie sa o achite o persoana in prezent pentru a putea beneficia in viitor de o anumita suma de bani, astfel incat operatia de asigurare sa fie echitabila. Evident, rezolvarea problemei depinde de tipul de asigurare (sau de scopul asigurarii). Dintre tipurile de asigurari de persoane definite in raport cu scopul asigurarii mentionam: a) asigurarile de supravietuire; b) asigurarile de deces; c) asigurarile mixte de viata; d)asigurarile de accidente; e)asigurarile de boala. In cazul asigurarii de supravietuire asiguratorul se obliga sa plateasca asiguratului, la expirarea contractului, suma asigurata, cu conditia ca asiguratul sa fie in viata. Pe durata contractului asiguratul acumuleaza un anumit fond (prin plasament unic sau esalonat) de care poate sa dispuna la expirarea contractului (integral sau esalonat sub forma rentelor viagere), daca este in viata la data expirarii contractului sau pe o perioada de timp dupa aceasta data. Asigurarea de deces este operatiunea financiara prin care asiguratul plateste (esalonat sau o singura data) o prima de asigurare iar asiguratorul se obliga sa achite unui beneficiar al asigurarii o anumita suma, daca decesul asiguratului se produce pana la o anumita data

Universitatea Hyperion – Facultatea de Stiinte Economice

19

prevazuta in contract . Daca aceasta conditie nu este indeplinita asiguratorul este absolvit de orice plata. Reunind conditiile din cazul asigurarilor de supravietuire si de deces se definesc asigurarile mixte de viata. Scopul asigurarilor de accidente il reprezinta protejarea persoanelor fizice impotriva unor evenimente ce pot afecta capacitatea de munca, integritatea corporala sau chiar viata acestora. La fel, prin asigurarile de boala sunt protejate persoanele care se afla in incapacitate temporara de munca datorita unei boli. Teorema compunerii contractelor. Sa presupunem ca la inc heierea contractului asiguratul are varsta x. Daca evenimentul in raport cu care s-a facut asigurarea se produc in intervalul de timp [x,x + t], t > 0, atunci asiguratorul se obliga sa plateasca asiguratului suma St . Pentru aceasta asiguratul se obliga sa plateasca o prima a t . Observam ca ambele plati au caracter aleator. Intr-adevar, despagubirea are caracter aleator deoarece evenimentul in raport cu care s-a facut asigurarea poate sa apara (cu probabilitatea p) sau poate sa nu apara (cu probabilitatea q; p + q = 1). De asemenea, daca prima de asigurare se plateste esalonat este posibil ca asiguratul sa nu plateasca integral suma prevazuta in contract, deci si in ce il priveste pe asigurat intervine factorul aleator. Notam: Xt – variabila aleatoare care reprezinta suma St platita de catre asigurator pentru compensarea pagubelor (sau a altor evenimente mentionate in contract) din intervalul de timp [x,x + t]; Yt – variabila aleatoare care reprezinta prima a t platita de asigurat corespunzatoare duratei t; M(Xt ) – valoarea medie a variabilei aleatoare Xt , numita si despagubire medie; M(Yt ) – valoarea medie a variabilei aleatoare Yt ,numita si rata medie. DEFINITIE: Operatiunea financiara de asigurare este echitabila daca M(X t ) = M(Yt). TEOREMA COMPUNERII CONTRACTELOR: Fie A o asigurare de persoane compusa din n asigurari partiale Ak , k = 1, n , carora le corespund primele α k , k = 1, n , pentru acelasi asigurat. Daca a este prima unica a asigurarii A atunci n

α = ∑α k . k =1

Universitatea Hyperion – Facultatea de Stiinte Economice

20

Consideratii cu privire la asigurarile de viata. a) Executarea angajamentelor de plata pe care le contine un contract de asigurare de viata este dependenta de durata de viata a asiguratului, deci operatiunea financiara este “de plati viagere cu caracter aleator”. b) Asiguratorul incaseaza o prima chiar la data semnarii contractului, dar serviciile lui vor fi prestate in viitor. Deci, asiguratorul beneficiaza de anumite fonduri pe care le fructifica pe durata acumularii lor. Operatiunea de fructificare si conceptul de dobanda sunt deci esentiale in acest caz. c) Masurile de prudenta in cazul acumularilor prin fructificare se concretizeaza in instituirea unui regim de dobanda compusa.. In asigurarile de viata aceste plati sunt supuse factorului aleator. Drept urmare, calculul unei prime nete (pure) a N presupune: - studierea echivalentei imediate a unor prestatii viitoare; - stabilirea echivalentei unor varsaminte aleatoare cu o suma data. d) Studiul riscului presupune determinarea marginilor de securitate pentru ambii parteneri. O garantie ferma cu privire la faptul ca asiguratorul va plati suma cu care s-a angajat presupune existenta a doua contracte intre asigurat si asigurator: - unul, prin care se garanteaza plata unei sume echivalente cu 1 u.m. daca evenimentul ? se realizeaza, - al doilea, prin care se garanteaza plata daca evenimentul ? nu se produce (deci, daca se produce ω ). Fie a(?) si a( ω ) primele pure corespunzatoare evenimentelor opuse ? si ω . Atunci a(?) + a( ω ) = 1, a ( ? )? [0,1]. DEFINITIE: Constanta a(?) se numeste prima unica pura a angajamentului unui varsamant echivalent sumei de 1u.m. daca evenimentul ? se produce(si numai in acest caz). Daca a ( ? )? [0,1] si a(?) + a ( ω ) = 1, atunci este respectat principiul echitatii in determinarea primei a. In general, daca asiguratorul trebuie sa plateasca o suma de n u.m. in caz de realizare a evenimentului ? (si numai in acest caz), putem considera ca aceasta suma s-a obtinut din n contracte identice constand din plata unei sume echivalente cu 1u.m. in caz de realizare a evenimentului ? (si numai in acest caz). Daca A este angajamentul total pentru suma de n u.m., iar Ak este angajamentul din contractul k , k = 1, n , atunci α ( A1 ) = α ( A2 ) = ... = α ( An ) = α (ω ) n

si, in consecinta, tinand seama de relatia α = ∑ α k , rezulta: k =1

n

α ( A) = ∑α ( Ak ) = nα (ω ) k =1

Universitatea Hyperion – Facultatea de Stiinte Economice

21

n

Egalitatea α ( A) = ∑α ( Ak ) = nα (ω ) ilustreaza faptul ca prima de asigurare totala a(A) este k =1

direct proportionala cu suma asigurata de n u.m.,constanta de proportionalitate fiind a(?). Functii biometrice. In calculele cu privire la asigurarile de viata intervin diversi factori, cel mai important fiind mortalitatea asiguratului. Aceasta este ea insasi influentata de alti factori (varsta, profesie, mod de viata etc) care trebuie sa fie cuantificabili pentru a putea determina, prin metode statistice, prima de asigurare. Bazandu-se pe experienta actuarii , se disting doua tipuri de cauze care conditioneaza mortalitatea: - cauze generale – a caror influenta se exercita asupra intregii populatii; principala cauza este varsta (cuantificabila); - cauze particulare – proprii asigurarii. Aceste cauze privind mortalitatea conduc la clasificarea indivizilor in raport cu anumite caracteris tici comune in grupe (subpopulatii, colectivitati) omogene, ceea ce face posibila utilizarea tehnicilor de calcul ale teoriei probabilitatilor si statisticii matematice in operatiunile de asigurare. In particular, legea de repartitie binominala are larga aplicabilitate in studiul fenomenelor vietii. Intensitatea mortalitatii unui grup de indivizi se masoara cu ajutorul unor coeficienti numerici cunoscuti sub numele de functii biometrice. Probabilitate de viata si de moarte. Sa consideram o colectivitate formata din persoane de aceeasi varsta, x ani. Facem ipoteza ca o persoana care a implinit x ani dar nu a implinit x + 1 ani are varsta de x ani. Notam: A – evenimentul ca o persoana aleasa la intamplare din colectivitatea considerata sa fie in viata la implinirea varstei de x +1 ani; A - evenimentul contrar lui A, adica evenimentul ca o persoana sa decedeze in intervalul (x,x + 1);

P(A) si P( A ) – probabilitatile de realizare a evenimentelor A, A respectiv. Evident, P( A) + P( A) = 1 . DEFINITIE: Probabilitatea P( A) ≡ p ( x, x + 1) ≡ p x ≡ p x ,1 se numeste probabilitate de viata sau coeficient anual de vitalitate (sau inca probabilitate viagera), iar probabilitatea P( A) ≡ q ( x , x + 1) ≡ q x ≡ q x,1 se numeste probabilitate de moarte sau coeficient anual de mortalitate.

Universitatea Hyperion – Facultatea de Stiinte Economice

22

In general, notam cu p(x,y) probabilitatea ca o persoana in varsta de x ani sa fie in viata la implinirea varstei de y ani, y > x si q(x,y) probabilitatea evenimentul opus. Evident, p(x,y) + q(x,y) = 1,

p(x,y)=p(x,z)p(z,y) , daca x
Acest rezultat poate fi generalizat luand z = x + 1, x + 2,...., y − 1; y = x + n, n ∈ N * . Rezulta p ( x , x + n) = p( x, x + 1) ⋅ p( x + 1, x + 2) ⋅ .... ⋅ p ( y − 1, y ) .

Functie de supravietuire. Se considera o subpopulatie compusa din la persoane avand a ani si sa presupunem ca toate persoanele au aceeasi sansa de a fi in viata la implinirea a x ani. Notam cu Xa v.a. simpla care reprezinta numarul de persoane de varsta a (ani) care ajung la varsta de x ani. Xa este v.a. binomiala care ia valorile k,k=0, 1, 2,…,la, cu posibilitatile:

P( X a = k ) = Pk = Clka ⋅ p k ( a, x ) ⋅ q la − k ( a, x) . Se reaminteste ca legea de repartitie (probabilitate)binomiala de parametri n si p are o v.a. cu repartitia

0 X :  n q

k .....n  ; p + q = 1 k n− k n  C p q p 

1..... C pq n −1 1 n

k n

X se numeste v.a. binomiala. M(X) = n·p D2 (X) = n·p·q

=>

M(Xa) = la·p(a,x)

(1)

D2 (Xa) = la·p(a,x)·q(a,x). DEFINITIE:Valoarea medie a v.a. Xa , M(X a ), data de relatia (1) se numeste functie de supravietuire.

⇒ l x = l a ⋅ p ( a, x); D 2 ( X a ) = l x ⋅ q( a, x ) Notam M(Xa) = lx ;

⇒ p( a, x ) =

lx D 2(X a ) ; q ( a, x) = la lx

PROPOZITIE: Daca a < x < y atunci p (x , y ) =

ly lx

; q( x, y) =

lx − l y lx

DEMONSTRATIE: p ( a, y ) = p( a, x ) ⋅ p( x, y) ⇒ p ( x , y ) = q ( x , y ) = 1 − p ( x, y )

p( a, y ) l y = apoi p ( a, x) l x

OBSERVATIE: Fie n=1. Diferenta dx = lx –lx+1 reprezinta numarul de persoane care au decedat in ntervalul de timp (x,x+1).

Universitatea Hyperion – Facultatea de Stiinte Economice

p ( x , x + 1) =

23

l x +1 d ; q( x, x + 1) = x . lx lx

Probabilitatea ca un individ in varsta de x ani sa moara intre varstele x+m si x+n ani (m
qx =

l x + m − l x +n . lx

Daca n = m+1, atunci probabilitatea ca o persoana de x ani sa decedeze in intervalul (x+m,x+m+1) este:

l x + m − l x + m+1 d x + m = ceea ce arata ca probabilitatea m|m +1 q x reprezinta raportul dintre lx lx numarul persoanelor care au decedat in intervalul (x+m,x+m+1) si functia de supravietuire. m|m +1

qx =

Viata medie. Valoarea medie a numarului de ani pe care are sa- l traiasca un individ in varsta de x ani se numeste viata medie si se noteaza cu ex : 1 1 γ −x + ⋅ ∑ l x +m , unde γ ∈ N * a.i. lγ = 0 , adica nu exista persoane in varsta de γ ani. In 2 l x m=1 practica γ =100 ani. ex =

OBSERVATIE: Probabilitatea de viata px , functia de suprevietuire lx si viata medie ex constituie cele trei functii biometrice fundamentale pentru studiul asigurarilor de viata.

Universitatea Hyperion – Facultatea de Stiinte Economice

24

Tabele de mortalitate. Functiile biometrice sunt marimi numerice utilizate in practica asigurarilor de viata, cu ajutorul carora se intocmesc tabelele de mortalitate. In general, in tabelele de mortalitate se inregistreaza date cu privire la urmatoarele marimi: a) varsta x, exprimata in ani; b) numarul supravietuitorilor de varsta x ani, lx , adica numarul de persoane din subpopulatia de varsta a, a ∈ N * si de volum la care se afla in viata la implinirea varstei de x ani. De obicei se ia la=100 000 persoane. c) numarul decedatilor, dx , in intervalul de timp (x,x+1). d) probabilitatea de moarte (deces) in intervalul de timp (x,x+1), notata qx , care masoara riscul unei persoane care a implinit x+1 ani. e) probabilitatea de viata (de supravietuire) in intervalul de timp (x,x+1), notata px , care masoara sansa unei persoane de x ani de a fi in viata la implinirea varstei de x+1 ani. f) numarul mediu de supravietuitori in intervalul de tmp (x,x+1), notat lm(x), definit prin egalitatea:

l m ( x) =

l x + l x+1 . 2

g) viata medie (speranta de viata sau de supravietuire), ex , reprezentand numarul mediu de ani pe care il mai are de trait o persoana care a implinit x ani. ex =

1 γ ⋅ ∑ l m ( k ) , γ = 100ani . lx k = x h) speranta de viata la nastere (durata medie de viata), notata e0 , definita prin:

e0 =

1 γ ⋅ ∑ l m (k ), γ = 100ani . l 0 k =0

Daca asiguratul contracteaza o asigurare mixta pentru asigurarea unei sume la termen (n ani), urmand sa plateasca pentru aceasta asigurare prime anuale egale, atunci prima corespunzatoare unei asigurari de S u.m. este:

P=S⋅

M x − M x+ n + Dx + n . N x − N x+n 3.Prime in asigurari individuale de supravietuire Prima neta unica si plata unica

Principiile care stau la baza calcului prinmelor unice pune pure de asigurari sunt: a) principiul echivalentei financiare; b) principiul aditivitatii primelor in raport cu angajamentele;

Universitatea Hyperion – Facultatea de Stiinte Economice

25

c) principiul echitatii. Asigurarea unei sume in caz de supravietuire la implinirea termenului de asigurare. Se presupune ca o persoana in varsta de x ani contracteaza o asigurare in valoare de S, urmand ca aceasta suma sa i se plateasca daca este in viata peste n ani.Valoarea primei unice (nete) ce urmeaza sa o plateasca asiguratul pentru aceasta asigurare este:

Dx+ n , unde Dx este un simbol sau un numar de comutatie si se gaseste in tabelele Dx actuariale pentru toate varstele si procentele uzuale. P=S

Plati periodice viagere cu ratele constante (pensii viagere). Prima unica pe care trebuie sa o plateasca un asigurat in varsta de x ani pentru a primi cate S u.m. la sfarsitul fiecarui an, pe toata durata vietii este:

P=S

N x+1 , unde Dx , Nx+1 sunt numere de comutatie ce se gasesc in tabelele actuaria le. Dx

Prima unica pe care urmeaza sa o plateasca o persoana in varsta de x ani, astfel ca la inceputul fiecarui an sa primeasca cate S u.m. pe toata durata vietii sale este:

P=S

Nx . Dx

Prima unica pe care trebuie sa o plateasca un asigurat in varsta de x ani, pentru a primi cate S u.m. la sfarsitul fiecarui an timp de n ani, daca este in viata:

P=S

N x+1 − N x + n+1 . Dx

Prima unica pe care trebuie sa o plateasca un asigurat in varsta de x ani pentru a primi S u.m. la inceputul fiecarui an, timp de n ani,daca este in viata:

P=S

N x − N x+ n . Dx

Prima unica pe care trebuie sa o plateasca un asigurat in varsta de x ani, pentru a primi dupa n ani suma Su.m. la sfarsitul fiecarui an, daca este in viata:

P=S

N x+ n +1 . Dx

In cazul platilor periodice viagere anticipate amanate cu n ani, prima unica pentru suma asigurata S este:

P=S

N x+n . Dx

Universitatea Hyperion – Facultatea de Stiinte Economice

26

Asigurari de deces. In cazul asigurarilor de deces trebuie sa se determine suma pe care urmeaza sa o plateasca un individ in varsta de x ani pentru ca la data mortii sale, societatea de asigurare sa plateasca urmasilor o anumita suma de bani, fixata prin contractul de asigurare. Daca societatea de asigurare urmeaza sa plateasca in momentul decesului suma de S u.m., atunci prima unica va fi:

Px = S

Mx , unde Mx , Dx sunt numere de comutatie si se gasesc in tabelele actuariale. Dx Asigurari mixte.

In practica de asigurari se foloseste cel mai mult asigurarea mixta care reprezinta in acelasi timp asigurarea unei sume pe termen fix si o asigurare de deces in cadrul aceluiasi termen. In cazul acestui sistem de asigurare, daca durata asigurarii este de n ani, societatea de asigurare plateste asiguratului, daca este in viata la expirarea cestui termen, suma asigurata, iar daca a decedat inaintea axestui termen, plateste la data decesului, urmasilor sai fixati prin contractul de asigurare, suma asigurata. Aceasta este cea mai simpla forma de asigurare mixta. Daca suma asigurata este de S u.m., prima unica este:

P=S

M x − M x+ n + Dx + n . Dx

Daca asiguratul contracteaza o asigurare mixta pentru asigurarea unei sume la termen (peste n ani), urmand sa plateasca pentru aceasta asigurare prime anuale egale platite la inceputul fiecarui an, atunci prima anuala corespunzatoare unei asigurari de S u.m. este:

P=S

M x − M x+ n + Dx + n . N x − N x+n

Exemplu: Sa se determine prima neta unica pe care trebuie sa o plateasca o persoana in varsta de 50 de ani,in momentul contractarii asigurarii, pentru a incasa dupa ce implineste 60 de ani, tot restul vietii, cate 4000 u.m. la sfarsitul fiecarui an, cu procent unic de 5%. Rezolvare : P=S*N61 :D50=4000*38569,8 : 7070,2=21821u.m.

Universitatea Hyperion – Facultatea de Stiinte Economice

27

Bibliografie

1. Aneta Muja , Matematica pentru economisti, Ed.Victor,Hyperion,Bucuresti,1999, pag.338-433. 2. I.Purcaru s.a, Matematici financiare si decizii în afaceri, Ed. economica, 1996. 3. V.Cenusa s.a., Matematici aplicate în economie, E.D.P.,1990. 4. O.Popescu s.a., Matematici aplicate în economie, vol. II, E.D.P., 1993. 5. Gh. Dinescu s.a., Matematici pentru economisti, vol.II – III, E.D.P.,1995. 6. C.Dochitoiu s.a., Matematici economice generale, Ed. economica, 1995.