Matematicas - Recuperativa Prueba 1

Universidad de Talca Instituto de Matemática y Física ______________________________________________________________________

Prueba 1 2°Op. Ingeniería Mecánica Abril 25, 2008 I. - Se va a fabricar una caja sin tapa a partir de un cartón de 20 x 30 cm., cortando cuadrados idénticos de área x 2 en cada esquina y doblando hacia arriba los lados a) (1 puntos) Calcula el volumen de la caja , V ( x) . b) (1 puntos) Calcula las raíces del polinomio V ( x) . c) (1 puntos) Haz la gráfica del polinomio V ( x) y explica qué significa. -Sea (3 puntos) p(x) = x 4 + bx3 − 13 x 2 − 14 x + 24 .Determina b de modo que -2 Sea raíz de p(x) y calcula las raíces restantes. II. (6 puntos) Un fabricante de zapatos produce un modelo de tres tipos de materiales diferentes. Cuando usa el material A, el costo de producir un par de zapatos es de $ 85 Y se vende en $ 125. Si usa el material del tipo B, el costo es de $ 75 Y se vende en $ 110. Cuando usa el material C le cuesta $ 60 Y se vende en $ 80. Por restricciones en su línea de producción sólo puede producir 25000 pares de zapatos mensuales. Por restricciones en el mercado de ventas, del material de tipo A sólo puede producir una cantidad que no exceda la suma de las cantidades de los otros dos materiales. Por necesidades del mercado necesita producir al menos 10000 pares de zapatos con el material C y la cantidad de pares del material B no debe exceder a dos veces la cantidad de pares del tipo A, pero debe ser superior a los 2000 pares. ¿Cuántos pares de zapatos de cada tipo debe producir para que la ganancia sea máxima? ¿Cuál es la ganancia máxima?

a  b

III. – (3 puntos) Demuestra (y explica) que si 0 < a < b entonces 

n +1

a <  b

n

- (3puntos) Encuentra los valores de x para los cuales la desigualdad se satisface

1− x < −1 1 + 2x IV. Dado un triangulo equilátero de lado a , al unir los puntos medios de cada lado se determina otro triangulo equilátero. Continuando la construcción de esta manera con el siguiente y así sucesivamente, calcular: (a) ( 3 puntos) El área del n-ésimo triángulo. (b) ( 3 puntos) La suma infinita de los perímetros de los triángulos así construidos. ________________________________________________________________________ Tiempo : 90 minutos Digitalizada por [email protected]