Matematicas Financieras

Hermosillo, Son., 15 de Junio de 2009 MATEMATICAS FINACIERAS 1. Una persona adquiere un vehículo en $68,000 y para venderlo quiere ganar el 40%, determina el precio. 68,000*.40 = 27,200+68,000= 95,200 R=$95,200 2. En un grupo de 40 alumnos el 30% son mujeres, ¿cuántos hombres hay? 40*.30 = 12 (40 – 12) = 28 R= 28 3. Un aparato de refrigeración cuesta $15,594.60 el cual es un precio de crédito ya que su precio de contado se incremento en el 58%, ¿Cuál es el precio de contado de ese aparato? *15,594.60/1.58= 9,870x.58= 5,724.6+9,870= 15,594.60 *X+.58X= 15,594.60 1.58X=15,594.60 X=15,594.60/1.58 *15,594.60 – 158 – 100 (15,594.60)(100)/1.58= R=9,870 Firmamos un documento por $16,296 en el cual está contenido el monto del préstamo, el 48% de intereses y el IVA de los intereses. ¿Cuánto es de monto? ¿De intereses? Y ¿de IVA? M= X i=.48X IVA .15i = (.15)(.48) 1 | Page

X+.48X+.15(.48X) = 16,296

1.552X = 16,292

X+.48X+.072X = 16,292

X= 10,500 … *

(.48)(.15) = 0.072 .48 + .072 = 0.552 16, 296 / 1.552 = 10,500 *10,500 X .48 = 5,040 5,040 X .15 = 756 R: Monto= 10,500 Interés= 5,040 I.V.A= 756 Hermosillo, Son., 16 de Junio de 2009 ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

Solución de ejemplo pendiente Ejercicio de exponentes Multiplicación de potencias de la misma base Potencia de factores Potencia de cocientes Potencia 1 y 0 Potencias negativas Potencias fracciones

FINANZAS SEMINARIO PROYECTOS PRESUPUESTOS III DEDE FINANZAS INVERSION MATEMATICAS

FINANCIERAS ̂

2 | Page

Encuentra el valor numérico de la siguiente expresión de acuerdo con los valores que se dan: 8 a3 b10 c15 1 = 4 a2 b2 c4 b8 c11 16 = a3 b10 c15 = 4a = 4(1600) = 6,400

2

4 a2 b10 c15

a= 1,600 b=1545 c=2320

LEYES DE EXPONENTES

Multiplicación de potencias de la misma base Para multiplicar potencias de la misma base, los exponentes se suman

Ej. x3 * x2 = x3+2 = x5 (a3 b2) (a4 b5 c2) = a7b7c2 (2 a5 b3 c4) (3 a4 b c2 c2) = 6 a9 b4 c8

Elementos de un término algebraico

SIGNO 5 COEFICIENTE BASE EXPONENTE

-3 a

División de potencias de la misma base Para dividir potencias de la misma base los exponentes se restan ej. a5/a3= a2 8 a5 b7 c8 d10 2 a4 b2 c5 d9

3 | Page

= 4 a b5 c3 d

Potencia de factores Cuando una potencia este afectando a 2 o más factores contenidos entre paréntesis, todos y cada uno de ellos deberán ser afectados por esa potencia. Ej.

(5 abc)2 = 25 a2 b2 c2

Potencia de cocientes Cuando una potencia este afectando a un cociente contenido en un paréntesis, tanto el numerador como el denominador deberán ser afectados por esa potencia por ej. (x/y)4 = x4/y4 (2abc / xyz)5 = 32 a5 b5 c5 / x5 y5 z5

Potencia de potencias Para elevar una potencia a otra o mas potencias los exponentes se multiplican ej. (a3)2 = a6

((x3)3)2 = x24

((a3 b2 c)3)2 = a18 b12 c6

Potencia 1 potencia 0 Todo número elevado a la 1 es igual a sí mismo ej. a 1= a

Todo número elevado a la 0 es igual a 1 ej. x⁰= 1 a⁰ = 1 35⁰= 1

Potencias negativas

4 | Page

(1, 465, 875)⁰= 1

Cuando en un resultado tengamos potencias negativas y queremos presentar únicamente potencias positivas: se cambia el termino del numerador al denominador o viceversa ej.

a5 b-3 c-4 d3 = a5 d3 x2 z4 x-2 y4 z-4

x-5 y

=

a b-3

b3 c4 y4

b3 y a x5

Potencias de fracciones Las potencias de fracciones se pueden combinar con radicales de tal manera que el numerador de la potencia afecte a la base y denominador afecte al radical ej. a m/n =

n

√am

9½√9 = 3 3⅔ = 3√32 Para la raíz; numero + shift + numero y el exponente = resultado

Hermosillo, Son., a 17 de Junio de 2009 ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂

Ejercicios de exponentes Logaritmos Propiedad de los logaritmos Log. b0 = 1 Log. b1 = 0 Logaritmo de un producto Logaritmo de un cociente Logaritmo de una potencia

5 | Page

∂

El exponente como incógnita

Ejercicios : 1.

a5 * a6 = a11

2.

(a3 b4 c5) (a2 b c2) = a5 b5 c7

3.

a5/a3 = a2

4.

a8 b3 c5/a6 b c3 = a2 b2 c2

5.

(x6)2 = x12

6.

(a3b4c5)2 = a6 b8 c10

7.

(a8/b3)2 = a16/b6

8.

(a5 b2 c4/a3 b c2) = a8 b4 c8

9.

(a5 b2 c/a2 b c) (a2 b3 c4/a b2 c3) = (a3 b) (a b c) = a4 b2 c

10. ((a2

b4 c5/ab3 c2)2)3 ((a3 b5 c4/a b3 c2)5)6)0 = 1

LOGARITMOS Se llama logaritmo de un número al exponente que debe elevarse la base para obtener el número dado es decir, log₁₀ log N= X = 10* = N Comprueba que el Log de 25 es = a 1.397940009 10ˆ1.397940009 = 25

Logaritmo de un producto Log (A*B) = Log A + Log B Ejem. Log (3*4) = Log 3 + log 4 6 | Page

Log 12 = 1.079181246 = .477121254 + .602059991 = 1.079181246 Aplica la propiedad de Log en los siguientes productos Log (10*2) = Log 10 + Log 2 1 + 0.301029995 = 1.301029995 Log 10 = 1 Log 1 = 0

Logaritmo de un cociente Log A/B = Log A – Log B Ejem. Log 10 2 = Log 10 – Log 2 Log 5 = .698970004 = 1 - .301029995 = .698970004

Logaritmo de una potencia Log aⁿ = n Log a Ejem. Log 52 = 2 * Log 5 Log 25 (5*5) = 1.397940009 Se multiplica el exponente por el Log del entero 2 (.698970004) = 1.397940009

El Logaritmo como incógnita 8x= 64 X= 2 2x= 8

X=3

7 | Page

3x= 5.799546135

X= 1.6

4x= 16,384 X= 7 Teniendo una cantidad “a” (conocida) elevada a un exponente x (incógnita) = a “b” (conocida) es decir: aX =b X = Log b

*para usarse en interés compuesto

Log a

Aplica las propiedades logarítmicas en los siguientes ejercicios 1. Log (8*2) =

Log 8 Log 2 .903089987 + .301029995 = 1.204119983

2. Log de (14*3)=

Log 14 Log 3 1.146128036 + .477121254 = 1.62324929

3. Log (12/4)=

Log 12 Log 4 1.079181246 + .602059991 = 1.681241237

4. Log (15/3) =

Log 15 Log 3 1.176091259 + .477121254 = 1.653212514

5. Log de 7₂ = Log. 7 = .84509804

2(.84509804) = 1.69019608 Log 49 = 1.69019608 6. Log de 4₃ = Log. 4 = .602059991

3(.602059991) = 1.086179974 Log 64 = 1.086179974 Encuentra el valor del exponente 8 | Page

7. 5x = 625

Log 625 = 2.795880017 Log 5 = .698970004 X= 4 8. 6x = 25.15777628

Log 25.15777628 = 1.400672251 Log 6 = .77815125 X= 1.8

Hermosillo, Son., a 18 de Junio de 2009

TAREA LUNES PROGRESIONES ARITMETICAS

Mediante las leyes de exponentes simplifica las siguientes operaciones *cuaderno

xn = a x= n√a PROGRESIONES ARITMETICAS Formula

F= a+rt

F= Futuro a= actual 9 | Page

r= rendimiento t= tiempo

Ejemplo Una fabrica produce 1000 artículos X y sabe que cada mes podrá producir el 18% sobre la cantidad actual que tantos artículos X tendrá en año quinto? Datos: F= ?

F= 1,000 + 180(5)

a = 1,000

F= 1000 + 90

r= 180 (18% - 1000)

F= 1900

t= 5 anos

1. En una granja porsicola inicia con 3000 cerdos y el dueño sabe que se

reproducen al 15% sobre esta cifra cada año. De Japón le solicitan que envié 1500 cerdos en 3 anos. Podrá el dueño cumplir con este compromiso si desea conservar los 3000 cerdos iníciales? Datos: F= ?

F= 3000 + 450(3)

a= 3000

F= 3000 + 1,350

r= 450 (15% 3000)

F= 4,350 (cerdos en 3 años)

t= 3 años

R= no podrá si desea conservar los 3000 Iníciales tendrá un faltante de 150.

10 | P a g e

2. Una persona solicita un préstamo por 5,000 y se compromete a pagar dentro de 4 meses y además pagara un 8% sobre el valor del préstamo cada mes. ¿Cuánto deberá pagar en ese tiempo y con esas condiciones? F= ?

F= 5000 + 400(4)

a= 5,000

F= 5000+ 1,600

r= 400 (15% 5000)

F= 6,600 (en 4 meses)

t= 4 meses

R= Tendrá que pagar un total de $6,600

400*4= 1,600 (interés 4 meses)

Hermosillo, Son., 24 de Junio de 2009 Progresión aritmética 1º 2º 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 … 800 1, 5, 9, 13, 17, 21, 25… Formula: 4n -3

57…

317

4(5) -3 = 17

4(1)-3* = 1 *Lo que tienes que restar (sumar depende el caso) para llegar al primer término que en este caso es 1 Formula: Ʃn= n/2 (ti + tf) Ση = 5/2 (1+17) = 45 Ση = 15/2 (1+57) = 435

Dada la siguiente progresión aritmética, encuentra el termino 20, la sumatoria hasta el termino 20 y la sumatoria hasta el termino 35. t20= 98, Ʃ20= 1,010 Ʃ35= 3,080 Progresión: t1 3, 8, 13, 18, 23. 5n -2

Ση = n/2 (ti + tf)

5(20)-2 = 98 (tf de 20)

Ση = 20/2 (3+98)

11 | P a g e

Ση = 35/2 (3+173) = 3,080

Ση = 10 (101) = 1,010

Razón Dada la sucesión 8, 14, 20, 26, 32 encuentra el 100 termino y la sumatoria hasta este, el termino 30 y su sumatoria. Formula: 6n +2 t10 = 6(10) +2 = 62

Ση= 10/2 (8+62) Ʃn= 5 (70) = 350

t30 = 6(30)+2 = 182 (tf de 30)

Ση = 30/2 (8+182) Ʃn= 15 (190) = 2,850

PROGRESIONES GEÓMETRICAS

n= 1

n=2

a12 +b1+c

a22 +b2+c

a+b+c

1era Diferencia

n=3 a32 +b3+c

4a+2b+c

3a+b

Segunda Diferencia

5a+b

2a

a+b+c= 3, 7, 13, 21, 31, 43 3a+b =

4, 6, 8, 10

2a= 2, 2, 2

12 | P a g e

9a+3b+c

2a=2 a = 2/2 a= 1

31+b=4

a+b+c=3

3+b=4

1+1+c=3

b=4-3

c=3-2 b=1

3a+b=4

2

an +bn+c 2

tn=n +n+1

2

t4=4 +4+1 =16+4+1 =21

2

t6=6 +6+1 =36+6+1 =43

2

t7=7 +7+1 =49+7+1 =57

13 | P a g e

3, 7, 13, 21, 31, 43, ?

c=1

Dada la siguiente progresión Geométrica determina la formula, el termino 12 y el termino 20. 5, 15, 31, 53, 81, 115 10,16, 22 6, 6

a+b+c=5 3a+b=10 2a=6

2a=6

3a+b=10

a+b+c=5

33+b=10

3+1+c=5

9+b=10

a = 6/2 a= 3

b=10-9

c=1

b=1

2

an +bn+c 2

tn=3n +n+1

2

t4=3(4) +4+1 =48+4+1 14 | P a g e

c=5-4

5, 15, 31, 53, 81, 115

=53

2

t12=3(12) +12+1 =432+13 =445

2

t20=3(20) +20+1 =1200+21 =1,221

Hermosillo, Son., 25 de Junio de 2009 Interés Compuesto

f=p(1+i) ○ ○ ○ ○

f=futuro p=presente i=interés n=tiempo

P= f/(1+i)n p(1+i)n=f (1+i)n= f/p 1+i= nf/p 15 | P a g e

n

i = (nf/p) (1+i)n = f/p n = logfp /log(1+i)

f= p(1+i)n p= f/(1+i)n i= (

nfp)-1

n= logfp/log(1+i) Dada la siguiente sucesión Geométrica 6, 15, 28, 45, 66 determina la formula correspondiente y encuentra el termino 25 y 30.

a+b+c=6

9, 13, 17, 21

3a+b=9

4, 4, 4

2a=4

6, 15, 28, 45, 66

a= 2

b=9-6 b=3

3a+b=9 2a=4 a = 4/2 16 | P a g e

32+b=9 6+b=9

a+b+c=6 2+3+c=6

c=6-5

c=1

an2+bn+c tn=2n2+3n+1

t20=2(25)2+3(25)+1 =1250+76 =1326 t30=2(30)2+3(30)+1 =1800+91 =1891

Los Crecimientos o progresiones Aritméticas o Geométricas no solo tienen aplicación en el ámbito financiero de una empresa sino que también sirven para pronosticar el futuro de la producción, ventas, mano de obra y otras necesidades de la empresa.

INTERÉS COMPUESTO Se depositan en le banco $18,900 el cual rendirá un interés compuesto del 12% mensual, ¿Cuánto tendremos en el 70 mes? Datos:

f= ?

Formula de futuro

p= $18,900 i= 12% = .12 n= 7 meses 17 | P a g e

f= p(1+i)n =18,900(1+.12)7

=41,781.87

Si yo quiero tener en el banco $25,000 dentro de 4 meses y se que el banco me ofrece un interés del 4% mensual ¿Cuánto tendré que depositar hoy para tener la mencionada cantidad en ese tiempo?

f= $25,000 p= ?

p= f/(1+i)n

i= 4% = .04

p=25,000/(1+.04)4

n= 4 meses

= $21,370.00

Se depositaron en el banco $8,000 y al término de 9 meses se retiraron $9,700. Determina la tasa de interés que otorgo el banco. f= $9,700 p= $8,000 i=? n= 9 meses

i= (

nfp)-1

i= (

997008000)-1

i= (

91.2125)-1

18 | P a g e

i= 1.0216-1 i=.02 i=2% Hermosillo, Son., a 30 de Junio de 2009

Por cuánto tiempo deben permanecer en el banco $10,000 para que se conviertan en $11,592 si el banco ofrece un interés del 3% mensual.

n= logfp/log(1+i) n= .064195835/.012837224 n= 5.000756576 n= 5 meses

19 | P a g e