Matematicas De Bolsillo.pdf

¡to para una "puesta apunto", que parte de un nivel cero,

Izar los umbrales de la universidad.

turado en cuatro partes: Matemáticas básicas • Matemáticas

• Combinatoria, probabilidad y estadística • Evaluaciones.

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tos de Matemáticas as básicas y números complejos

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FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICAS

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eza® EDICIONES

12 38227

Vicente Martínez Zamalloa Teoría y práctica con más de 1000 cuestiones y ejercicios totalmente resw~ltnc: n""" ..... - - - ­

• CONJUNTOS de

de

definir

un

Intersección de Diferencia de Conjuntos, Número de elementos de un cardinal, • CORRESPONDENCIAS Y APLICACIONES

Autor:

y 91 E-mail: @!(g2!~~ © 2013, Vicente Martínez © de la edición EZA

5 Formas

, S.L.

ENTEROS POSITIVOS Y • OPERACIONES CON NEGATIVOS Suma y Diferencia. Producto: criterio de Cociente: criterio de _ • POTENCIAS de Dolencia. Particularidades en la con • DIVISIBILIDAD Introducción. y divisores. Números Criterios de de un número en factores

divisibilidad, Cantidad de divisores de un número. Máximo común divisor de

varios números. Mínimo común de varios números,

Relación entre el m.c.d y el m.c.m. de dos números

• FRACCIONES lea,aaE;S de las

fracciones.

• POLINOMIOS de monomio. de n"lin"""i",,, Factor común de una notables.

•

de éste texto, ni su a un sistema ni su transmisión en forma o por cualquier sea electrónico, mecánico, reprográfico, gramofónico u airo, sin el permiso previo y por escrilo del autor y editor,

2

19 23

25 29

35

41

55

de raíz. Conexión entre la radicación y potenclaclOn o

viceversa. Producto de radicales del mismo índice. Cociente de

radicales del mismo índice. Reducción de radicales a índice

común, del índice y del exponente del radicando.

Extracción de factores de un radical. Potencia de una raiz. Raiz

de raíz. Racionalización

• SISTEMAS DE I'\IUIYII::M:A'l.IU'I'II Introducción. Teorema fundamental de los sistemas de numeración, polinómica de un número. Transformación a diferentes sistemas de numeración

3

61

•

ECUACIONES

65

..

DESIGUALDADES E INECUACIONES

de términos en una ..

..

..

141

LOGARITMOS

y

:nnr:¡:,nfn

identidad y ecuación. de términos. Ecuaciones de con una Sistemas de ecuaciones de o lineales. Sistemas de mas de dos ecuaciones e Ecuación de Primera forma soluciones. Naturaleza de las raíces de una ecuación. Ecuaciones de Suma y de las raices de una ecuación Ecuación de forma Forma canónica. Ecuación de tercera forma Sistemas de ecuaciones de Ecuación Bicuadrada Ecuaciones Irracionales. Planteamiento de ecuaciones: Problemas sobre móviles. Problemas sobre Problemas sobre Problemas sobre mezclas. Problemas sobre aleaciones

153

ECUACIONES EXPONENCIALES

Introducción a las ecuaciones Cálculo de ecuaciones en forma elemental. Cálculo de en forma avanzada.

.

157 Funciones o razones de las razones Formulación

93

e inecuación. Transformación de o inecuación:

RAZONES Y PROPORCIONES

• 97

e

.

113 Sistema Métrico Decimal. Cálculo de errores en las mediciones. Introducción al Suma de los Puntos y rectas notables de un Teorema de Particularidades en la circunferencia. y volúmenes de en el espacIo

173 Coordenadas cartesianas o Intersección de rectas. Solución de un sistema de ecuaciones. Ecuaciones de una recta. Pendiente de una recta. Formas de hallar la ecuación de una recta. Paralelismo y de rectas. Ecuaciones de rectas. Punto medio de un Distancias. NUMI:oKUS

191

COMPLEJOS

de un número Formas de Particularidades en el campo los números números _ de números cnmnl",,¡,-,c de un número _ •

DE POLINOMIOS

205

Introducción.

sobre las raíces de un de las raíces enteras y fraccionarias. en de un o ecuación, Fracciones racionales: descomposición en fracciones

129 )rl"\,nrC'Clr,n aritmética. Término n-simo o de aritmética. Suma de los términos de una aritmética. aritméticas de número de Término central ..

PROGRESIONES

•

• 133

de oroaresión aeométrica. Término Suma de los nrocm'"ifm opomÁtrir::::l limitada. Suma de los indefinida o ilimitada.

4

n-simo o términos de una términos de una Producto de los

•

219

DERIVADAS

;nnr:pnfn Cuadro de Derivadas. Int",rnr",¡",r:iAn n<>nm",lrlr dela

227 Límite de una sucesión. Límite de una función. indeterminadas. con límites. Cálculo de límites. GENERAL DE FUNCIONES

o intervalos de existencia: dominio, continuidad, Simetrías. Puntos de corte con los Máximos, Mínimos y puntos de inflexión. Asíntotas. Dibujo de una función. Análisis Análisis específico de la de la continuidad. derivabilidad, Cónicas. Funciones

5

237

• CÁLCULO INTEGRAL Integral indefinida. Propiedad de la integral indefinida . Integración inmediata. Métodos de integración. Integral definida: regla de Barrow. Propiedades de la integral definida. Cálculo de áreas planas. Cálculo de volúmenes de revolución . Cálculo de longitudes. • MATRICES Concepto de matriz. Operaciones con matrices. • DETERMINANTES Concepto de determinante. Propiedades de los determinantes. Cálculo de determinantes. Matriz inversa • ANÁLISIS DE SISTEMAS LINEALES Presentación de un sistema. Clasificación de los sistemas. Matrices de un sistema: rango o característica. Teorema de Rouche: discusión de un sistema. Soluciones de un sistema. Escalonamiento de matrices: operaciones elementales. • ESPACIOS VECTORIALES Dependencia e independencia lineal. Combinación lineal: sistema generador. Resumen de espacios vectoriales. Subespacios vectoriales o variedades lineales. Operaciones con subespacios. Cambios de base. • VECTORES EN EL ESPACIO Concepto de vector. Producto escalar de dos vectores. Producto

vectorial de dos vectores. Producto mixto de tres vectores.

Volumen de un tetraedro.

• GEOMETRíA ANALíTICA DEL ESPACIO Ecuaciones generales del plano. Ecuaciones generales de la

recta. Ángulos. Paralelismo y perpendicularidad. Distancias.

Punto medio de un segmento. • PROGRAMACiÓN LINEAL Introducción. Programación lineal con dos variables.

267

283 287

297

311

321

327

341

• MEDIDAS DE CENTRALIZACiÓN, POSICiÓN O PROMEDIOS Media Aritmética. Mediana. Moda. Media Geométrica. Media Cuadrática. Media Armónica. Cuantiles . • MEDIDAS DE DISPERSiÓN Recorrido, rango, amplitud. Recorrido intercuartilico. Desviación Media. Varianza. Desviación típica, standard o cuadrática media. Coeficiente de variación de Pearson. Momentos • ESTADISTICA BIDIMENSIONAL Distribución bidimensional de frecuencias. Distribuciones condicionadas. Covarianza • REGRESiÓN LINEAL Tipos de rectas. Cálculo varianza. Coeficiente de determinación. Coeficiente de correlación. Momentos • DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD Introducción. Distribución binomial o de Bernouilli (Variable discreta)~ Distribución normal (Variable continua). Tablas de distribución normal. Aproximación de la distribución binomial a la normal. • DISTRIBUCiÓN MUESTRAL DE MEDIAS Introducción. Intervalos de confianza para la media. Error máximo estimado.

• FUNCIONES DE DISTRIBUCiÓN Y DENSIDAD Variables aleatoria discretas. Variables aleatoria continuas.

393

401

405

407

413

425

431

[EVALDACIoNE~ • EVALUACiÓN Matemáticas básicas

441

• EVALUACiÓN 2 Matemáticas especiales

455

• EVALUACiÓN 3 Probabilidad y Estadística

475

[PROBABILIDAD Y ESTADíSTIC,óJ • COMBINATORIA Introducción . Variaciones. Permutaciones. Combinaciones.

Potencia de un binomio: binomio de New!on y triángulo de

Tartaglia . • SUCESOS ALEATORIOS. PROBABILIDADES Experimento aleatorio. Características y particularidades de un

experimento aleatorio. Frecuencia absoluta y relativa. Concepto

de probabilidad: regla de Laplace. Sucesos compatibles e

incompatibles. Probabilidad condicionada . Probabilidad total.

Teorema de Bayes.

• INTRODUCCiÓN A LA ESTADíSTICA Generalidades. Variables estadísticas. Serie o distribución

estadística. Gráficos estadísticos. Signo sumatorio: propiedades .

Signo productorio: propiedades

6

351

365

383

7

co

CONJUNTOS

1.­

==~~~==~~~~

Podemos definir a un como a una reunión o todos ellos de unas mismas características o la idea de coniunto es intuitiva.

de elementos

de los alumnos que estudian Acceso a la Universidad. A los los representamos con letras B, a los elementos de los con números o letras minúsculas b, teniendo que los elementos de los conjuntos irán encerrados entre dos llaves, que es la reoresentación usual. : A = {a,b,c} Para indicar que un elemento pertenece a un y para indicar que no pertenece .,.

aE A d~A

utilizaremos el

elemento a pertenece al

(el elemento d no al

2.· !:QE~~~:.D!!~~.:..:..:.:o..::::..:...::--=~

es cuando citamos todos y cada uno de los elementos del en cuestión. Generalmente se utiliza esta forma cuando la cantidad de elementos del es reducida . . A = {1,2,3,4} ~

es cuando citamos una

común a todos los

se utiliza esta forma cuando la cantidad de elementos del

. {es el

10

de los n° pares

menores de mil }

11

3.- POSICIONES ENTRE DOS CONJUNTOS

4.- CONJUNTOS ESPECIALES

~ Subconjuntos. Inclusión: Dados dos conjuntos A y S, diremos que A es subconjunto de S, cuando todos y cada uno de los elementos de A estén contenidos en S y no al revés (si el criterio fuere recíproco A = S). Y lo representaremos así A e S y leeremos A es subconjunto de S, lo contrario sería B a. A , y leeremos, B no es subconjunto de A.

~ Conjunto universal: es aquél conjunto que contiene a todos los conjuntos de

un problema en cuestión. Es decir, que cada problema tendrá un conjunto

universal para él en particular, que será el de más categoría.

Se representa por U.

~ Conjunto vacío : es aquel que no posee ningún elemento. Es el equivalente

del cero en los números.

Se representa por O, 0 , { }.

©

5.- CONJUNTOS PARTICULARES AcS

Ej.: A = {1,2,3} B = {1,2,3,4,5}

~

Ba.A

AcB

CQJ

~

N = {0,1,2,3, ... }

Z = {0,±1,±2,±3,... }

• Q (conjunto de los números racionales) Q {enteros y fraccionarios positivos y negativos}

=

• R (conjunto de los números reales) R = { todos los números existentes}

Conjuntos SOlapados: son los que tiene algún elemento común.

Ej.:

• N (conjunto de los números naturales).

• Z (conjunto de los números enteros).

A = {1,2,3} . { } son solapados (comun el 3) B = 3,4,5

Conjuntos dísjuntos: son los que no tiene ningún elemento común.

• C (conjunto de los números complejos) C = { comprende los reales e imaginarios

6.- CONJUNTO DE LAS PARTES Dado un conjunto A, llamaremos conjunto de las partes de A, al conjunto formado por todos los subconjuntos posibles de A, incluido el conjunto vacío y el propio conjunto dado. Lo representaremos como P(A). Nota.- La cantidad total de subconjuntos de un conjunto de las partes la podemos obtener aplicando la expresión: 2n (n

=cantidad de los elementos del conjunto A)

Ej.: Hallar el conjunto de las partes de A

bd

= {a,b,c}

P( A) = {{a}{b}{c}{a, b}{a, c}{b, c }{a, b, c}{ }} 2n = 2 3 = 8

subconjuntos

7.- PARTICION DE UN CONJUNTO A = {1,2,3} Ej.: B = {a,b,c}

son disjuntos

12

Dado ~n conjunto A, llamaremos partición de este, a cualquier conjunto, formado por subconjuntos de A, que reúnan las dos condiciones siguientes: • Todos los subconjuntos de la partición deben ser disjuntos entre sí. • Entre todos los subconjuntos deben de cubrir o contener al conjunto dado A. 13

Ej.: Dar dos particiones diferentes de A = {1,2,3}

{{1,2)\3}}

{{1l{2)\3}} 8.- CUANTIFICADORES

Son simbolismos que se utilizan en conjuntos, con objeto de reducir frases o expresiones. Puede ser de dos tipos: • Cuantificador universal: Se representa por V y se lee "para todo". Ej.: V x E N, leeríamos "para todo elemento x perteneciente al conjunto de los números naturales N".

10.- UNiÓN DE CONJUNTOS Dados dos conjuntos A y B, llamaremos unión de los dos, a otro conjunto formado por todos lo elementos de A y de B. Y lo representaremos así: A u 8

eA •

.~

Nota.- En los conjuntos no se repiten los elementos • Cuantificador exístencial: Se representa por :3 y se lee "existe al menos". Ej.: 3 x 10 R, leeríamos "existe al menos un elemento x que no pertenece al conjunto de los números reales R"

Ej.: Hallar la unión de los conjuntos: A

= {1,2,3}

Y

B

= {2,3,4,S}

SOLUCION :

A u B = {1,2,3.4,5,} 9.- DIAGRAMAS DE VENN Son representaciones gráficas que se utilizan en los conjuntos con el objetivo

de facilitar las soluciones de los problemas.

En general el conjunto universal del problema se representa según un

rectángulo y los subconjuntos de este según círculos.

Ej.: Representar en un diagrama de Venn los conjuntos siguientes:

U {1,2,3,4,S}, A = {2,3} , B = {3,4,S}

SOLUCION

11.- INTERSECCiÓN DE CONJUNTOS Dados dos conjuntos A y B, llamaremos intersección de los dos, al conjunto formado por lo elementos comunes de A y de B. y lo representaremos así: A n B

=

u

~

tI)

bd

1 Ej.: Hallar la intersección de los conjuntos: A = {a,b,c} y B = {b,d,e} SOLUCION:

AnB = {b}

14

15

12.- COMPLEMENTACION DE CONJUNTOS

13.- DIFERENCIA DE CONJUNTOS

En general llamaremos complementario de un conjunto respecto de otro, a lo que le falta a este para llegar a ser o complementar al otro. Nota .- Para poder realizar esta operación, es necesario que el conjunto del que queramos hallar su complementario, sea subconjunto de este. Si así no fuese utilizaremos la operación siguiente que es la adecuada .

Dados dos conjuntos A y S llamaremos diferencia A - S a lo que tiene A que no tiene S o lo que tiene el primero A que no tiene el segundo S. Nota.-Téngase en cuenta que la diferencia de conjuntos no posee la propiedad conmutativa A-S '# S-A.

Distinguiremos dos casos:

@ ID Id

• Complementario de un conjunto A respecto del universal U. Es lo que le falta a A para llegar a ser U y lo representaremos como A' o A

U

¡t«CtttC
A

A'

Ej.: Hallar el complementario de SOLUCION: A ' = {4,5}

A = {1,2,3} respecto a U

Ej.: Hallar A - B con los conjuntos: A = {1,2,3,4} Y B = {3,4,5,6} SOLUCION: A-S = {1,2}

14.- NÚMERO DE ELEMENTOS DE UN CONJUNTO. CARDINAL

={1 ,2,3,4,5,}

Se entiende por cardinal (card) de un conjunto a la cantidad de elementos (n)

que posee el conjunto,

Dado un conjunto A, la operación se expresa así: card (A) o n(A)

• Complementario de un conjunto A respecto de otro cualquiera B Es lo que le falta a A para llegar a ser S y lo representaremos como As AB

~A

V

A'o

o

@ m n(AuS)=n(S)

Ej.: Hallar el complementario de A SOLUCION: El As

no se puede hallar porque A

= {1 ,2,3}

n(A uB) = n(A) + n(B) - n(A (1 B)

bd

n(A uB) = n(A)+ n(B)

respecto a B = {4,5,6} Vamos a estudiarlo con tres conjuntos, para el caso más general que es el de solapados, es decir con intersección común para los tres .

(j;,

16

S

17

CORRESPONDENCIAS Y APLICACION

1.- ===-...:..= Se entiende por elementos de dos En cualqUier de

nB)

+

C)'"

: A un examen han concurrido matemáticas y física; sabiendo que las alumnos en total, la física 75 alumnos que han ambas asignaturas alumnos que no han aprobado

nGI+

nBn

100 alumnos a examinarse de matemáticas las han aprobado 54 en total y el número de aliJmnos han sido 40, hallar el número de

asociar los

r.nrrP~nnnr1

se expresa de la forma: f:A-J.B, y a todos que están relacionados con elementos se les llama de tal forma que al n;:'¡m"np,:; se le llama coniunto ¡mallen o no

Cuando todos los elementos del el coniunto de Ileaada. la f'nrroc,.v".,rln

realizar con facilidad, recurriendo al diaarama de Venn

Ese

• IVIt::Uldlllt::

un

esquema se matizan de forma sencilla las caracterlsticas de En el cada I'nrll'Antn

Uld\.lldllld.

u 54-40

no han

"nr"k"rl,..,

• QQS!.@jW@imm~: nlif"!:lr"n(,,\c

ta =vnr~.~;~'~ n(MvF) '" n(MvF) 54+ 75 40 n(M v F) = 89 alumnos que han

!:I"rr..k""¡,,

100 - 89 ::: 11 alumnos

no han aprobado

A continuación se expone un cuadro 18

de las situaciones anteriores:

19

f(x)=x 2 +1

•

N

suprayectiva

A0:=DB A~xB

A

X

x

x

x

x

correspondencia

=l>

x

x

x

x

invectiva Para asociar un elemento de A con otro de N, se introduce el elemento del conjunto de partida A, en el criterio (que en este caso es una formula , llamada en general, función) que permite asociarlo con otro elemento del conjunto de llegada N.

aplicación

biyectiva

Ej.: Sean los conjuntos

{1,2,3,4}

y N. Definimos la correspondencia

f: A ~ N por f(x) = x2 + 1. Se pide: a) Plantear el gráfico de la correspondencia b) Clasificarla c) Definir el conjunto imagen de f SOLUCiÓN

Por ejemplo introducimos el3 en f(x) = x2 +1 ~ f(3) = 3 2 +1 y se obtiene 10, es decir, el par (3,10). b) Observando el conjunto del partida (A) se ve que todos los elementos de este, tienen una sola imagen en el conjunto de llegada (N) , lo cual indica que la correspondencia es una aplicación . Para ver, de que tipo es la aplicación (véase que una correspondencia puede ser aplicación sin ser de ningún tipo) , miramos al conjunto de llegada y vemos que los elementos de este , son imagen de un solo elemento del conjunto de partida y alguno de ellos (en este casos muchos) de ninguno, luego se trata de una aplicación invectiva .

c) El conjunto imagen está formado por todos los elementos del conjunto de llegada que son imagen de alguno del conjunto de partida , en este caso Im(f) = {2,5,10,17}. Obsérvese que el conjunto imagen puede o no coincidir con el de llegada, en este caso no coinciden .

a) Téngase en cuenta que el conjunto N es el de los números naturales y contiene infinitos elementos , es decir, todos sus elementos son enteros positivos .

20

21

OPERACIONES CON NUMEROS ENTEROS POSITIVOS Y NEGATIVOS

1.- SUMA Y DIFERENCIA En general, cuando se están sumando o restando números positivos y

negativos, se procede de dos formas:

Se suman por una parte todos los positivos y, por otra, todos los negativos.

llegando a una operación donde no existe nada más que un número positivo y

otro negativo; a continuación se restan y se pone el signo del mayor.

Ej.: + 2 + 3 = +5

Ej.: - 2 - 7 = -9

Ej.: + 8 - 3 = +5

Ej.: - 10 + 3 -7

Ej.: + 3 - 5 + 8 - 6 + 7 - 2 = + 18 - 13 +5

Ej.: + 7 - 5 + 3 + 8 - 5 + 13 + 2 - 7 = +33 - 17 = +16

Ej.:- 5 - 6 + 2 - 10 + 7 - 2= -23 + 9 = -14

=

=

También se pueden ir sumando los números unos con otros de forma itinerante

reteniendo la solución de cada resultado con dos de los números para hacerlo

con el siguiente y llegando al mismo resultado.

Ej.: + 7 - 5 + 3 + 8 - 5 + 13 + 2 - 7 = + 16 Cada signo únicamente afecta al número que le sigue hasta que aparezca otro

número.

Si algún número no lleva signo delante de él, se supone automáticamente que

su signo es positivo (+).

2.- PRODUCTO. CRITERIO DE SIGNOS Inicialmente debemos conocer el criterio de signos cuando haya que multiplicar números:

++=+

_._=+

+.-=-

-+=­

NOTA.- El punto (.) indica producto (multiplicación) dado lo inusual en matemáticas de la utilización del signo (x) para indicar un producto.

22

23

• En la tabla anterior

nnriAmn~

dan un resultado positivo y

POTENCIAS

de la misma familia de distinta familia de

1.- ====-.::...=..=...:.-::::...:....::;.:...::...;::;.:;;...: Cuando un mismo número lo queremos por sí mismo, una cierta cantidad de veces, la operación se puede reducir o condensar a una "'llnr",~iñn que da al Su r~nrA<:'Ant~('¡ñn

• Si entre dos números o

b

y se lee: "a elevado a bU

'" +12-12= O )

+2-30+1

=-27

Im;:¡nin",mnc:

que queremos

el número 2 cinco veces por sí

mismo 2.2.2.2.2

= 32

3.- ==:...::..::..:=-:.:...::::,..,..=:...::~:::.=...=;;.;:..;;..;:'-=

cociente

en el cociente es similar al del de la misma familia da de distinta familia da

+

2.- ~~~~~~::.2...!::.!L~~.!..!:::!~~~ elevado a exponente par,

a) número resultado un número

. (_2)4 ::: 2 4 =16

+

b) número resultado un número neaativo

-

elevado a Allnnnl':.nlA

da como

Ej.:

+

c) Es obvio que número da como resultado un número nf'ltQnt"'"

de la unidad

-8

elevado a exponente par o

es la unidad

Ej.: 13

24

da como

25

1

cuando el

e) Cualquier número elevado a cero siempre es igual a la unidad .

[ ~-:u

Ej.: 3 0 = 1

B.- Cociente de potencias de la misma base El resultado es otra potencia que tiene por base a la misma , y por exponente la diferencia de exponentes (el exponente del numerador menos el exponente del denominador, y no al revés).

3.- OPERACIONES CON POTENCIAS

[~a~-n-I

A.- Producto de potencias de la misma base El resultado es otra potencia que tiene por base la misma, y por exponente la suma de los exponentes

Ej.:

[a~an = a m+n

2-6

7 2 7-3 =24 -=2 3

6 6 4 2 EJ·... -2- 4 -- 2- -(-4) -- 2- + -­ 2-

2

C.- Potencia de potencia

Ej.: 32 .34 = 3 2+ 4 = 3 6 Ej.: 25 .2-3 = 25- 3 = 2 2

El resultado es otra potencia que tiene de base a la misma, y por exponente el producto de exponentes:

NOTA.- Cualquier número elevado a exponente negativo siempre equivale a la unidad dividida por la potencia con el exponente positivo. (am)n = a m.n "\

~

a m

1

= -- ­

am

Es decir, que las potencias (siempre que estén en forma de producto) se pueden trasladar del numerador al denominador de una fracción o viceversa, con el signo del exponente cambiado.

Ej.: (2-5 )2 = 2(-5).2 = 2- 10

Ej.: (2 3 )4 = 2 3.4 = 212

D.- Potencia de un producto El resultado es elevar cada factor del producto a la potencia dada:

Ej.: Hallar el valor de 3SOLUCION :

2

J

\ (a.b)m = a m ·b m

3 - 2 =_1 _ 1 3 2 -9 Ej.: (2.3)2 =2 2 .3 2

Ej.: Colocar todas las potencias de la siguiente expresión en el 2 3 .2 4 numerador: -5--­

2- · 2

SOLUCION : 3

2 .2

4

T 5 .26

= 2 3 . 2 4 . 2 5 ·T 6 26

27

DIVISIBILIDAD

E.- Potencia de un cociente El resultado es elevar el numerador y el denominador del cociente a la potencia dada :

1.- INTRODUCCiÓN

[(ir =-~ 1 Ej.:

(~r

22 32

.

Dividendo Resto

..

EJ.: Operar la expreslon:

3 4J2

2 .2 (

Vamos a detenernos a observar cuáles son los elementos de los que consta una división:

r

5

·2 6

2 3· 2 4J2 (2-5 . 2 6

2 6 .2 8

(23)2 . (24 )2

(r5 )2 . (26 )2

- 10 2

.212=26

I Divisor

-4

Dividendo = Divisor· Cociente + Re sto

Cociente

El esquema de la izquierda representa a la expresión gráfica de una división y el esquema de la derecha (prueba de la división) representa a la expresión matemática o analítica de una división que es la que mayor importancia tiene, ya que conforma una igualdad. .28 .210 . r12-

-2 12

Pues bien , el objetivo que persigue la divisibilidad es manejar divisiones que sean exactas, es decir que el resto sea cero.

2.- MUlTIPlOS y DIVISORES. NÚMEROS PRIMOS Se entiende por múltiplo a aquél número que contiene a otro, un número exacto de veces (todos los múltiplos actúan de dividendos). Recibe el nombre de divisor aquél número que divide a otro de una forma exacta. Se llaman números primos a aquellos que no admiten más divisores que él mismo y la unidad (1 ,2,3, 5,7, 11 , 13,17, ... ).

3.- CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD Un número es divisible por 2 cuando termina en cero o en cifra par (2,4,6 , ... ).

Un número es divisible por 3 cuando la suma de sus cifras es tres o múltiplo de

tres (3, 9, 15, ... ).

Un número es divisible por 5 cuando acaba en cero o en cinco (5 , 25 , 30, ... )

28

29

6.- MAXIMO COMÚN DIVISOR DE VARIOS NÚMEROS (m.c.d.)

4.- DESCOMPOSICiÓN DE UN NUMERO EN FACTORES PRIMOS Cualquier número que no sea primo equivale a un producto de números primos, De lo que se trata al efectuar una descomposición en factores primos, es precisamente el localizar los números primos que contiene el número en cuestión, Para ello se aplican sucesivamente los criterios de divisibilidad.

Ej.: Descomponer en factores primos el número 60 60 : 2 == 30 30 : 2 == 15 15: 3 == 5 5:5 ==1

que se hace con el siguiente esquema

El m,c.d. de varios números es el mayor divisor común de los números en cuestión, Para hallarlo se descomponen los números propuestos en factores primos y de estas descomposiciones elegiremos siempre los factores comunes con el menor exponente,

Ej.: Hallar el m.c.d. de los números 24, 450 Y 540 60 30 15

5 1

1

2

2

24 2 12 2

3 5

6 2 3 3 1

450 225 75 25

2 3

540 270 135 45 15

3

2 2 3

3 3 5 5

5

5 5 1

1

5.- CANTIDAD DE DIVISORES DE UN NÚMERO Se descompone en factores primos el número en cuestión y se le suma una unidad a cada exponente de la descomposición, y a continuación se multiplican estas sumas entre sí. Y

Sea el siguiente número "m" descompuesto en factores primos: m = a xb c cantidad de divisores positivos

Z ...

75 25

5

3 3 3 3

5 5

= 2 3 .3

450 = 2,3 2 5 2

540 = 223 3 .5

m,c,d.(24, 450, 540) == 2 , 3 == 6 Por tanto 6 es el mayor divisor simultáneo de los números 24, 450 Y 540. Es decir, 6 es el mayor número que divide de forma exacta a 24, 450 Y 540.

(x +1) (y +1) (z+1) ."

Ej.: Hallar la cantidad de divisores positivos de 2025 2025 675 225

24

2025 =3 4 5 2 cantidad de divisores == (4+1 )(2+1) == 15 divisores

7.- MINIMO COMÚN MÚLTIPLO DE VARIOS NÚMEROS (m,c.m.) El m,c.m, de varios números es el menor dividendo común de los números en cuestión. Para hallarlo se descomponen los números propuestos en factores primos y de estas descomposiciones elegiremos siempre los factores comunes y no comunes con el mayor exponente,

1 Ej.: Hallar el m.c.m. de los números 24, 450 Y 540 Los divisores son: 1,3,5,9,15,25,27,45,75 ,81,135,225,405,675 Y 2025 Fijándose en las descomposiciones del ejemplo anterior. m.c,m. (24,450, 540) == 23 .33 .5 2 = 5400

30

31

Por tanto el 5400 es el menor dividendo simultáneo de los números 24, 450 Y 540.

Es decir, que 5400 es el menor número que es dividido de forma exacta por

24, 450 Y 540.

es el menor número que al ser dividido separadamente por en cada caso da de resto 9?

Si en de dar de resto 9 diese de resto O, el menor número que fuese dividido por los dados, sería el m.c.m.

15 20

8.- ;;...=:==..::-::.:.:..::..~-=::....:.==.:.....;...===:....=..:::...=..=

3·5 ·5

a· b = m.e.d. (a,b)· m.e.m.

720

3

48 Dados dos números a y b, se verifica que el al Droducto de los dos números

3"·5

36 ==

Como debe de dar 9 de resto, le sumamos al m.c.m. el 9

720 + 9

. Dados los números 6, 20 Y 72. Se pide: a)

. Tres barcos zarpan de un puerto cada 2, 8 Y 10 días. Si zarparan juntos el 1 de Junio ;.cuánto volverán a hacerlo

en factores Ilnmos.

b) Hallar su m.c.d. e) Hallar su m.c.m.

Cuando los tres barcos, vuelvan a es evidente que habrán hecho un número exacto de cada uno. esta la cantidad de que habrán hecho lo obtendremos dividiendo los días transcurridos hasta que vuelvan a zarpar entre los dias que salen del puerto cada uno Por lo tanto el número que indica los días transcurridos hasta que vuelvan a zarpar iuntos es el m.c.m.(2.8, 1

d) Hallar los divisores Dosítivos de 20.

a) 6 b)

23

205

72

2 2

2

8

el

,5 == 40 días

,5 == 360

6 divisores que son: 1,2,4,5, 10,

cantidad de divisores

volverán a salir

32

el10 de

33

Ej.: El m.c.m. de dos números es 1260 y su m.c.d. es 35. Hallarlos sabiendo que ambos son mayores de 100.

FRACCIONES

SOLUCION m.c.m.(a,b) = 2 2 .3 2 .5.7;

1.- CONCEPTO DE FRACCION m.c.d.(a,b) = 5·7

Esto nos indica que 5 y 7 son factores comunes a los dos números a y b Y en 2

cambio 2 y 32 entran sólo en uno de ellos y cada cual en uno distinto, pues ambos han de ser mayores que 100. Luego:

Se entiende por fracción, a dos números (enteros positivos o negativos,

fraccionarios positivos o negativos, decimales, etc.) tal que uno de ellos es

dividido por el otro, de forma exacta o no exacta.

Es decir, que una fracción lo que plantea es una división que en cierto modo no

se efectúa.

Al dividendo de esta división se le llama numerador y al divisor se le aprecia

como denominador.

a = 5· 7 2 2 = 140

~

a :b

b=5 · 7·3 2 =315

a ~ NUMERADOR} FRACCION b ~DENOMINADOR

El denominador de una fracción indica el número de partes en que se ha dividido la unidad y el numerador indica la cantidad de partes que hemos tomado de esa unidad, definida inicialmente. Ej.: Si una tarta la partimos en ocho trozos iguales y nos comemos tres trozos, podemos decir que hemos consumido 3/8 de la tarta.

2.- TIPOS DE FRACCIONES A.- Número mixto: es aquel que se compone de un número entero y otro fraccionario. Para reducir éste tipo de números a netamente fraccionarios lo que hay que hacer es multiplicar el entero por el denominador y sumarle el numerador, poniendo por denominador el mismo que tenía la fracción, con lo que resultará un número eminentemente fraccionario.

Ej .: 2~=2 . 5+3 5 5

13

=5

NOTA.- En realidad un número mixto es una suma de fracciones (en el ejemplo anterior

2~ = 2 + ~). 5

5

problemas de kilos

Este tipo de números sólo se presentan por ejemplo en

(3~K9)

o toneles

(5~litro) .

Es decir, que en otro tipo de

cuestiones de cálculo se entenderán estos números como un producto

(2% = 2· %)no recibiendo por tanto el nombre de número mixto. 34

35

G.- Fracción generatriz periódica mixta

B.- Fracción propia: son aquellas que tienen el numerador menor que el denominador (son siempre menores que la unidad). Ej.:

Son aquellas que reproducen un número con un grupo de decimales (llamado período) que no se repiten inmediatamente después de la coma, es decir, que antes de comenzar el período existen decimales no periódicos. Para obtener la fracción generatriz de donde procede un número de estas características, se pone en el numerador el número completo sin coma ni período, menos la parte entera seguida de la decimal no periódica sin coma, y en el denominador se ponen tantos nueves como cifras tenga el perrodo seguido de tantos ceros como decimales no períodicos existan .

~ 5

e.- Fracción impropia : son aquellas que tienen el numerador mayor o igual que el denominador (son siempre iguales o mayores que la unidad). · EJ,:

5 ,7

Ej.: Obtener la fracción generatriz de 7,21348348 ... = SOLUCION

5' 0 ­4

721348 ,

.-

7,21348

= 721348 - 721 = 720627 = 240209 99900

99900

33300

D.- Fracción generatriz decimal exacta Son aquellas fracciones que reproducen un número decimal exacto. Para obtener la fracción generatriz de donde procede un número de estas caracteristicas se pone en el numerador el número completo sin coma y en el denominador la unidad seguida de tantos ceros como decimales haya.

3.- PROPIEDADES DE LAS FRACCIONES

Ej.: Obtener la fracción generatriz de 4,21 SOLUCION

~ Si a los dos términos de una fracción, numerador y denominador se les multiplica por un mismo número distinto de cero, la fracción no experimenta alteración (se dice que las fracciones son equivalentes).

4,21 = 421 100

Ej.:

7...= 7·3 =~ 5

5·3

15

F.- Fracción generatriz periódica pura Son aquellas fracciones que reproducen un número con un grupo de decimales {llamado período) que se empiezan a repetir inmediatamente después de la coma . Para obtener la fracción generatriz de donde procede un número de estas características se pone en el numerador el número completo sin coma ni período menos la parte entera, y en el denominador tantos nueves como cifras tenga el período. Ej.: Obtener la fracción generatriz de 3,313131 ... SOLUCION 3,31

331 - 3

=

~ Si a los dos términos de una fracción (numerador y denominador) se les divide por un mismo número (tiene que ser un divisor común a ambos o como tope el m.c.d . de ambos) distinto de cero la fracción no experimenta alteración (se dice que las fracciones son equivalentes).

45

Ej.: 3,31

45/ 9 / 5 __

10= 1% - 2

328

=99=99"

~ Basándose en la propiedad anterior, podemos simplificar cualquier fracción dividiendo sus dos términos (numerador y denominador) por un mismo número hasta que éstos sean primos entre sí (es decir, que ambos no admitan ningún divisor común , excepto la unidad).

37

36

......

Una fracción no se podrá simplificar más cuando hayamos dividido el numerador y el denominador de la fracción primitiva, por el m.c.d. de ambos. En este caso se dice que la fracción es irreducible.

B.- Producto. El resultado de la multiplicación de varias fracciones es otra fracción que tiene por numerador el producto de los numeradores, y por denominador el producto de los denominadores (como se dice vulgarmente, se multiplican en línea).

4.- OPERACIONES CON FRACCIONES

Ej.: ~.~ 4 6

A.- Suma

V

=

3·5 4·6

=~=~ 24

8

diferencia

Existen dos procedimientos: ~ Reducción a común denominador. El resultado de la suma o diferencia de varias fracciones es otra fracción cuyo denominador es el producto de todos los denominadores y el numerador es el resultado de multiplicar cada numerador por todos los denominadores menos por el suyo respectivo.

E. . 2.4

· O perar ---+­ 2 5 4 EJ.: 376 SOLUCION

2

4

5

C.- Cociente . El resultado de dividir dos fracciones es otra fracción que tiene por numerador el producto del numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda fracción, y por denominador tiene el producto del denominador de la primera fracción por el numerador de la segunda (como se dice vulgarmente, se multiplican en cruz).

J.. '3

2.7 .6-5.3.6+4.7.3

---+-=-----------3 7 6 3.7 .6

84 - 90 + 84 126

78 126

39 63

-=­

13 21

NOTA.- Si todas las fracciones tuviesen el mismo denominador, la suma de todas, es otra fracción que tiene por denominador el que exista en las otras y por numerador la suma algebraica de los numeradores de todas las fracciones.

2·5105

. 5= 3·4 =12=6'

NOTA.- Ahora bien, la forma de dividir fracciones planteada en el ejemplo anterior no es la que comúnmente surge en el cálculo operativo , es decir, es la misma sólo que con otra apariencia .

2

E' . J..

3 2·5 10 5

=-­ ~ 3·4 -12-6' r:

Ej.: ~+~+.z._~= 2+5+7-4 3

3

3

3

3

10 3

~

Reducción a mínimo común denominador. El resultado es otra fracción cuyo denominador es el m.c.m. de todos los denominadores y el numerador se obtiene dividiendo el m.c.m. entre cada denominador antiguo y multiplicando el resultado por su respectivo numerador.

'. EJ..

(~+5)(~-6) 2 1 5

-+--­ 324

SOLUCION · O perar ---+­ 2 5 4 EJ.: 3 7 6 SOLUCION m.c.m . (3,7,6) = 42

(~+5)(~-6) 2 1

-+--­

2

5 4

'3 -'7 + 6' =

14.2-6.5+ 7.4 ---4"""2--­

38

28 - 30 + 28 4L

26 42

13 21

3

5

2 4

T'T

17 -14

-'­

3 3 -1 12

8+6-15 12

39

-238 9

-2856

952

---=-1 = ~ =-3­ 12

POLINOMIOS

Ej.: A un tonel de vino se le extraen sus 3 partes. ¿Cuántas partes de

5

vino quedan en el tonel? SOLUCION Evidentemente, el tonel lleno tiene queda después de extraer sus

~

~ 5

partes, es decir, la unidad, luego lo que

5

5

1.- EXPRESIONES ALGEBRAICAS

partes es: Se entiende por expresión algebraica a cualquier combinación entre letras y números planteada con cualquier operación aritmética (suma, resta, multiplicación, división , potenciación, radicación , ... )

3 _ 5 - 3 = 3. partes 5 5

S-S -

Las expresiones algebraicas se clasifican de la siguiente forma:

A.- Enteras: cuando las letras no aparecen en el denominador o bajo el signo radical. Ej.: 6a 3 + 5b-7pq

B.- Fraccionarias : cuando existen letras que aparecen en el denominador.

· 6a+ 7 c-­ 1 EJ.: pq 3

C.- Irracionales : cuando existen letras que aparecen bajo el signo radical.

Ej.: 3ab - 5p + 7~ Se entiende por término de una expresión algebraica a cada una de las

expresiones que van separadas del resto por signos + ó -.

Ej.:

2a 3 b - 5a + 3pq - 7. Son términos

En la expresión algebraica

2a 3 b ,-5a, 3pq,

- 7

Se entiende por coeficiente de un término al número que está situado delante

de las letras de cada término.

Ej.: El coeficiente del término 2a 3 b, es 2.

Se llama valor numérico de una expresión algebraica al número que resulta de

sustituir cada letra de la expresión algebraica por un número.

Ej.: Hallar el valor numérico de a 2 - 3ab + 5 cuando a SOLUCION a 2 - 3ab + 5 = 12 - 3 ·1 . 2 + 5 = O

40

41

=1

Y b

= 2.

2.- CONCEPTO DE MONOMIO

Coeficiente principal de un polinomio es el coeficiente del monomio de mayor grado del polinomio.

Se entiende por monomio a un conjunto de letras y números, ligados por la operación de multiplicar o dividir, también a cualquier término de una expresión algebraica.

Polinomio ordenado es aquel que tiene dispuestos sus términos o monomios de mayor a menor grado o de menor a mayor grado indistintamente.

'· 7 a 3b , --pq, 5 EJ.. 7

Polinomio completo es aquel que contiene todos los grados de monomios desde el de mayor grado hasta el de menor grado o grado cero, que corresponde a las constantes o términos independientes.

3

Parte literal de un monomio es el conjunto de todas sus letras.

Coeficiente de un monomio es el número que indica las veces que se repite su

parte literal (se suele exponer siempre delante de su parte literal).

Grado de un monomio es la suma de los exponentes de todas sus letras.

Si se pidiese el grado de un monomio respecto a una letra determinada, éste

es el exponente de dicha letra.

Ej.: En el monomio 3a 4 b 2 c podemos decir:

4 2 Parte literal = a b c Coeficiente =3 Grado del monomio =4 + 2 + 1 =7 A.- Monomios Homogéneos son los que tiene el mismo grado.

Ej.: El polinomio 4x 3 + 5x 2 + 7x - 3 es un polinomio completo. Polinomios homogéneos son aquellos que tienen sus términos o monomios del mismo grado. Ej.: El polinomio 2x 4 _3x2y2 + 7x 3 y es homogéneo por tener todos sus monomios homogéneos, es decir, de gradO 4 en este caso. NOTA.- Cuando un polinomio consta de dos monomios se llama también binomio; si consta de tres monomios se le llama trinomio, así sucesivamente, aunque en general reciban el nombre de polinomios.

Ej.: 7a 3b y 8a 2b 2

4.- OPERACIONES CON POLINOMIOS B.- Monomios Semejantes son los que tienen la misma parte literal (aunque sus coeficientes y signos sean diferentes) y consecuentemente el mismo grado. Para sumar o restar monomios es necesario que sean semejantes. Ej.: 6a 2 b2

y

7a 2 b

2

3.- CONCEPTO DE POLINOMIO Se entiende por polinomio a cualquier conjunto de monomios ligados por los signos + ó - , es decir, a cualquier expresión algebraica . Ej.: Es un polinomio: 3a 3b+ 5ab -7a + 5 Grado de un polinomio es el grado de su mayor monomio.

6

4 Ej.: Hallar el grado del polinomio: 3a b - 5a b + 3ab - 6 Grado de 3a 4 b = 4+ 1 = 5 Grado de - 5a 6 b = 6 + 1 = 7 Grado de 3ab = 1 + 1 = 2 Grado de -6 = O

A.- Suma de polinomios Para sumar polinomios debemos de sumar entre sí los monomios semejantes (los que tienen la misma parte literal) y únicamente éstos, ya que son los que admiten agruparse. Los monomios que no sean semejantes se expondrán en el polinomio suma, tal como los proponían. Ej.: Sumar los polinomios: 3a 3 b - 5a 2 b + 6ab - 5 Y 4a 3 b + 3a 2 b + 6ab 2 -7ab + 8 SOLUCION Podemos recurrir a dos métodos: ~ Poniendo un polinomio debajo del otro, intentando que los términos semejantes estén uno debajo del otro.

3a 3 b - 5a 2 b + 6ab - 5 2 4a 3 b + 3a b - 7ab + 8 + 6ab 2 7a 3 b - 2a 2 b -ab + 3 + 6ab 2

Luego, como el grado de un polinomio es el grado de su mayor monomio, decidimos que el grado del polinomio en cuestión es 7. 42

43

~ Poniendo un polinomio a continuación del otro y teniendo cuidado al ir sumando los respectivos monomios semejantes.

3 2 3a b - 5a b + 6ab - 5 + 4a 3b + 3a 2b + 6ab 2 - 7ab +8 = 7a 3b - 2a 2b - ab + 3 + 6ab 2

B.- Diferencia de polinomios El procedimiento es lo mismo que la suma, sólo que teniendo en cuenta que el signo negativo va a producir un cambio de signo en todos los monomios del segundo polinomio o sustraendo, manteniéndose el primer polinomio o minuendo tal como nos los presentan.

e.- Multiplicación de polinomios Para multiplicar polinomios es indiferente empezar a hacerlo por la derecha, por la izquierda o por cualquier término intermedio. Nosotros comenzaremos a hacerlo por la izquierda, ya que las multiplicaciones se extienden hacia el lado contrario de donde se empieza. Multiplicaremos cada uno de los monomios de uno de los polinomios por todos los monomios del otro polinomio.

y

Al efectuar el producto de monomio a monomio, multiplicaremos primero los signos ce éstos (utilizando el criterio de signos para el producto), luego sus coeficientes y después sus partes literales, donde tendremos que hacer uso de la potenciación (es decir, que surgirán productos de potencias de la misma base y tendremos que sumar los exponentes de sus letras respectivas) .

~ Poniendo un polinomio debajo del otro intentando que los término semejantes estén uno debajo del otro.

Al ir multiplicando cada monomio de un polinomio por todos los monomios del otro pOlinomio tendremos presente el ir colocando todos los monomios semejantes que surjan unos debajo de otros, dejando huecos cuando sea necesario, debido a que falte un grado para completar el polinomio, para luego poder efectuar la suma con comodidad, lo mismo que si se tratase de una multiplicación numérica.

Ej.: los Restar 4 3 2 3x +2x _5x +x-5

6x 4 _5x 3 +2x 2 +6

polinomios:

SOLUCION Podemos recurrir a tres métodos:

6x4 3x

4

3x

-

5x 3 + 2x 2

+ 2x

4

-

7x

3

3

-

2

5x + X

-

6

-

5

+ 7/ - x - 1

~ Poniendo un polinomio a continuación del otro y teniendo presente que habrá que cambiar de signo a todos los monomios del segundo polinomio o sustraendo, con lo que la operación se transforma después en suma

4

6x -5x 3 +2x 2 -6-(3x 4 +2x 3 _5x 2 +x-5)=

Multiplicar los 3 _ X + 2x 2 + 3 x - 2 SOLUCION

Ej.:

polinomios:

6x 3 + 5x 2 - 6x + 1

y

6x3 + 5x;¿ - 6x + 1

_x 3 + 2x;¿+ 3x - 2

_6x 6 _ 5x 5 + 6x 4 _ X 4 12x5 + 10x -12x 3 +2x 2 4 3 2 18x + 15x - 18x + 3x 3 - 12x - 10/+ 12x - 2

4

6x -5x 3 +2x 2 -6-3x 4 _ 2x 3 +5x 2 -x+5 = = 3x 4 - 7x 3 +7x 2 -x-1 ~ Poniendo un polinomio debajo de otro y sumándolos, teniendo en cuenta de cambiar el signo del segundo polinomio.

6x4 - 5x 3 + 2x;¿ - 3x4 3x

4

-

_

2x3 + 5x 2 3

7x + 7x

44

2

- 6 -

- X

X

-

4

_6x6 + 7x 5 + 34x

-

3

10x

-

26/+ 15x - 2

D.- División de polinomios con una variable o letra. Para dividir dos polinomios, el polinomio dividendo tiene que ser de mayor o igual grado que el polinomio divisor. Una división polinómica admite como prueba la ya conocida de la división

+ 5

(dividendo = divisor. cociente + resto)

1

Antes de empezar a realizar una división polinómica es necesario asegurarse de que los polinomios dividendo y divisor están ordenados en sentido decreciente (de mayor a menor grado, todos sus términos). 45

Una vez realizadas las comprobaciones precedentes, comenzamos a realizar la división, ajustándose a los siguientes criterios:

Ej.: Se dan los polinomios:

A= 6x 5 _7x 4 _9x 2 +15x-5

~

Cada uno de los términos del cociente se obtiene dividiendo el término de mayor grado del dividendo entre el término de mayor grado del divisor, incluidos los signos de ambos. Esto se realiza para ir reduciendo el grado del polinomio dividendo (en las divisiones numéricas se va reduciendo el valor del número dividendo, en los polinomios el grado del polinomio dividendo). ~ Una vez obtenido uno de los términos del cociente procedemos como en las divisiones numéricas ordinarias., multiplicando este término obtenido por todo el divisor y colocando el resultado debajo del dividendo para restárselo (es norma que el resultado obtenido de multiplicar el término del cociente por el divisor sea cambiando de signo y al ponerlo debajo del dividendo, operamos sumando y no restando, con objeto de facilitar la labor operativa). ~

Una vez sumando el dividendo con el resultado de multiplicar el término del cociente por el divisor cambiando de signo, se obtiene un nuevo dividendo con el que procedemos sucesivamente de igual forma .

B

=3x 3 + x2 -5

C

= 2x 2 +3x-1

D = x-3 y se pide hallar: a) A+ B + C

b) A - (B + C)

e) B·0 2

d) A:B

SOLUCION a)

6x 5

A=

_

- 9x 2 + 1Sx - S

7x 4 3x 3

B= C= A+B+

e = 6x 5 -

+x 2 -5 2 +2x +3x -1

(Sumamos)

7x 4 + 3x 3 - 6x 2 + 18x -11

~ La división se termina cuando el polinomio dividendo se hace de menor grado que el divisor, en este caso lo que queda de dividendo es el resto.

b) Obtenemos primeramente B+C Ej.: Dividir: SOLUCION

x 5 +2x 4 +x 3 _3x 2 +x-1 entre x 3 -2x 2 +x+2

B=

3x 3 +x 2

x 5 + 2x 4 + x 3 - 3x 2 + x-1 _x 5 +2x 4 _x 3 _2x 2 4x 4 -sx2+x-1 -4x 4 +8x 3 _4x 2 -8x

x2 ,j,

8x 3 -9x 2 -7x-1 _8x 3 +16x 2 -8x-16

4x 4

x3

x3

8x 3

_x 5 _3x 3

_ 3x 3 3

e = 3x 3

+ 3x 2 + 3x - 6

Cambiamos de signo a B+C para sumárselo a A (si no cambiásemos el signo a B+C tendríamos que restárselo a A). -(B+C) = -3x 3 +3x 2 +3x-6

7 A= -(B+C) =

+2

(Sumamos)

Luego la operación pedida es:

entre x2 + 3

x5

+3x

+ 4x + 8 ,j, ,j,

x5

7x 2 -1Sx-17 Ej.: Dividir: x 5 + 2 SOLUCION

B+

2 [3 -2x +x+2

-5

2x 2 + 3x-1

C=

[+3

6x 5 _7x 4

-9x 2 +1Sx-S 3

-3x +3x 2 +3x-6

A-(B+C)=6x 5 -7x 4 -3x 3 _6x 2 +18x-11

x 3 - 3x

+2 +9x

9x + 2

46

47

(Sumamos)

c) Hallaremos primero el factor 0

que se puede realizar de dos formas: la primera forma es realizar la división por los procedimientos anteriormente expuesto y la segunda aplicar la regla de Ruffini. Esta regla se basa en los siguientes criterios prácticos:

2

0=x - 3

0=x - 3

(Multiplicamos)

X2 -3x

- 3x + 9

2 D2 =x -6x + 9

.... ..... .. ...... .. (1 ).. ... .... .. .. . (2) .. .... .... .... ... .. (3) .. ... .. ...... .. .. .

La operación pedida es pues :

1.... .. .... .. .. · .. .. (4 ) ... ....... ...... ..

B=3x 3 +x 2 -5 0 2 =x 2 -6x+9 3x 5 +x

• Se utiliza un esquema como el que se expone a continuación:

4

(Multiplicamos)

-5x

-18x 4 -6x 3 27x

3

En la fila (1) se colocan todos los coeficientes del polinomio dividendo ordenados de mayor a menor grado, poniendo un cero en los lugares correspondientes en donde falte algún grado consecutivo, hasta el grado cero o término independiente.

2

+30x 2 - 45 + 9x

En el hueco (2) se coloca el número "a" del polinomio divisor x-a , cambiando de signo.

4 3 B·02 = 3x 5 _17x + 21x + 4x 2 + 30x - 45

El primer coeficiente de la fila (1) se baja exactamente igual a la fila (4) . d) 6x 5 - 7x 4 - 6x 5 -2x

4

2 -9x + 15x - 5 2 +10x +x 2 +15x

_9x 4 9x 4 + 3x

3

I 3x 3 + x2 -5 2x 2 - 3x + 1

- 5

-15x

+3x +X 2 _3x 2 _x 2 3

-5 +5

O

E.- División de polinomios por x-a. Regla de Ruffini

Entre las aplicaciones que tiene la división de polinomios (que observaremos quizás con más detalle en la segunda parte del tema, ampliación de polinomios) existe una muy concreta y que se utiliza en Matemáticas con gran frecuencia . Es decir, hasta ahora el polinomio divisor de una división podía ser cualquiera . Pues bien, cuando el divisor es un binomio de la forma x - a ó x + a, pudiendo ser, a, un número cualquiera positivo o negativo, surge una división 48

Una vez realizadas esta maniobras, el esquema de Ruffini está preparado para manipularle. • Comenzaremos las operaciones ajustándonos al siguiente esquema de cálculo: cada número de (4) lo multiplicaremos siempre por (2) y el resultado lo colocamos en la fila (3) desplazado un lugar respecto al número que ha utilizado de (4). Sumamos el resultado colocado en (3) con el número que esté encima de él en (1) Ylo bajamos a (4) , y repetimos la operación sucesivamente hasta que no queden más posibilidades operativas. Finalizado el proceso, todos los números que aparecen en (4), excepto el último de la fila , comprenden a los coeficientes del polinomio cociente , siendo siempre el primer coeficiente de un grado inferior al que tenía el polinomio dividendo (es evidente que al dividir un polinomio de grado cualquiera entre uno de primer grado como es el divisor, el cociente de la división tiene que obtenerse con un grado inferior al que tiene el dividendo). El último número que aparece en la fila (4) es siempre el resto de la división que, lógicamente, tiene que ser un número sólo, ya que el divisor, como tiene que ser de grado uno (x-a), para poder aplicar la regla de Ruffini , el resto tiene que ser de grado inferior, y lógicamente cualquier grado inferior a uno debe ser un polinomio de grado cero, que es un número.

49

x7

Ej.: Dividir por Ruffini: SOLUCION

+ 2x 5 -

3x 4 -

La comprobación de si una operación de factor común está bien realizada es multiplicando los factores resultantes para obtener la expresión inicial. Ej.: Transformar en producto la expresión: P = x 3 ­ 3x 2 + x

5 entre x+ 1

SOLUCION P=x 3 _3x 2 +x=x(x 2 - 3x+1)

Nótese que faltan grados intermedios en el polinomio dividendo y que habrá que sustituir sus huecos por ceros en los lugares donde corresponda. Es

decir,

que

el

polinomio completo 7 x +Ox 6 +2x 5 -3x 4 +Ox 3 +Ox 2 +Ox-5

-1

I

O 2 -3 -1 1 -3 -1 3 -6

es

de

la

forma :

Ej.: Obtener el factor común de la expresión 3x 4 y2 - 4x 3yz + 2x 3 SOLUCION 3x 4 y2 -4x 3 yz+2x 3 = x 3 (3xy2 -4yz+2)

O O O 6 -6 6 6 -6 6

-5 -6 -11 Resto

6.- DESARROLLOS POLlNOMICOS NOTABLES Cociente ~ x 6 - x 5 + 3x 4 - 6x 3 + 6x 2 - 6x + 6 4

Dada la utilidad y la frecuencia con la que en problemas matemáticos surgen las expresiones que vamos a detallar, y la conveniencia de retenerlas en la memoria para posteriores usos, es por lo que se hace necesario este apartado, aunque sus desarrollos se pueden practicar efectuando una simple multiplicación de polinomios.

3

Ej.: Dividir por Ruffini: 3x +2x +x-6 entre x-1 SOLUCION 3

3

2

O

3

5

5

1

-6

6

5

5

6

O

=Resto A.- Cuadrado de una suma polinómica

Cociente ~ 3x 3 + 5x 2 + 5x + 6

El resultado o desarrollo del cuadrado de una suma equivale al cuadrado del primer término más el cuadrado del segundo término más el doble del primer término por el segundo término:

En este caso la división es exacta, ya que el resto es cero .

Ej.: Dividir por Ruffini: 2x 7 - 5x 5 + 7x 4 - x 3 + 10x entre x + 2

2

O -5

2

-4 -4

-2

(a+b)2=a 2 +b 2 +2ab

7 8 -6 3 1

-1 -2 -3

O

10

6 6

-12 -2

4 4

=Resto

Cociente ~ 2x 6 - 4x 5 + 3x 4 + x 3 - 3x 2 + 6x - 2

5.- FACTOR COMUN DE UNA EXPRESION ALGEBRAICA Obtener el factor común de una expresión algebraica significa transformar en producto dicha expresión y se consigue observando lo que tienen en común todos los términos de un polinomio. Dicha parte común a todos ellos es el factor común del polinomio.

50

-\

O Ej.: Desarrollar: (x + 3y)2 SOLUCION (x + 3y)2 = x2 + (3y)2 + 2 · x· 3y = x2 + 9y2 + 6xy

B.- Cuadrado de una diferencia polinómica El desarrollo del cuadrado de una diferencia equivale al cuadrado del primer término más el cuadrado del segundo término menos el doble del primer término por el segundo término.

e

(a-b)2=a 2 +b 2 - 2ab

51

-\

7.- SIMPLlFICACION DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS En general, para simplificar una expresión cualquiera, no existen métodos, sino

que el conocimiento de los elementos del cálculo, combinados con una cierta

práctica y agilidad de ellos, son los que nos van a permitir llegar a consumar la

Ej.: Desarrollar: (2x - 5)2 SOLUCION (2x-5)2 =(2x)2 +5 2 -2·2x·5=4x 2 +25-20x

e.- Diferencia de cuadrados Una diferencia de cuadrados equivale a una suma por una diferencia. Véase en la expresión típica.

C

b

-a 2 - 2 =(3+ b)(a - b) - -

J

Téngase presente en futuras aplicaciones que el transformar una diferencia de cuadrados en suma por diferencia, es una forma de transformar una diferencia (aunque muy particular) en un producto.

simplificación.

De forma anecdótica diremos que el problema de la simplificación se traduce

en algo "exquisito".

No obstante , como algo que sirva de pauta, hay que indicar que las

operaciones que nos permiten transformar sumas o diferencias en productos

pueden llegar a ser un buen objetivo, sin entenderlo como criterio general.

., · S'Imp I'f' I Icar Ia expreslon: EJ.:

2

4x a 2

12xya

SOLUCION 4x 2 a 12xya 2

4·x · x·a 3 · 4·xy·a·a

x 3ya

Además hay que hacer notar la confusión que pudiera existir entre el cuadrado de una diferencia (a - b)2 Y una diferencia de cuadrados a 2 - b2 que son dos

expresiones totalmente distintas.

También hay que advertir que la diferencia de cuadrados muchas veces exige

una preparación previa a la transformación .

Ej.: Simplificar: bx + by

mb+nb

SOLUCION

Ej.: Transformar en producto: x2 _ y2 SOLUCION x2 _ y2 =(x+y)(x-y) Ej.: Transformar: x2 - 4y2 SOLUCION X2 _ 4y2 = x2 - (2y)2 = (x+ 2y)(x - 2y)

bx + by mb+nb

Ej.: Simplificar:

= b(x + y) b(m+n)

= x+y m+n

a+b a 2 + ab

SOLUCION

a+b

a+b

a2 +ab

a(a+b)

- - - - = - - - - =­

Ej.: Transformar: x2 -1 SOLUCION X2 - 1 = x2 _1 2 = (x+1)(x-1)

52

53

a

RADICACiÓN

· S'ImpI'f' (a - b)2 EJ.: I Icar: -2-2

a -b

SOLUCION

1.- CONCEPTO DE RAIZ (a-b)2 (a_b)2 a 2 _b 2 = (a+b)(a-b)

(a-b)(a-b) b)

= (a+b)(a -

a-b

= a+b

n= Indice , [ = Radical

'3'a

) RAIZ

a = Radicando y leeremos: "raíz de índice n de a".

a 2 - b 2 _ ac + bc Ej.: Simplificar: b 2 _ c2 + ac + ab

NOTA.- Hay que hacer constar que si una raíz no lleva expreso el número que indica su índice, automáticamente supondremos que es 2 (es decir raíz cuadrada).

SOLUCION

2 2 2 2 a -b - ac+bc a -b -c(a - b) b2 -c 2 +ac+ab = b2 -c 2 +a(c+b)

(a+b)(a-b) -c(a-b)

Pues bien , la prueba de que cualquier raíz está correctamente hecha se obtiene elevando el resultado al índice de la raíz, operación que tiene que coincidir con el radicando.

(b +c)(b -c) +a(b+c)

(a-b)[(a+b)-c] (a-b)(a + b - c) a-b (b + c)[(b-c)+a( (b+c)(a+b-c) = b+c

rra = b Ej.:

W =2

-)

-)

a

=b n

8=2 3

2.- CONEXiÓN ENTRE LA RADICACION y POTENCIACION O VICEVERSA

[

. 3Cf EJ.: ,,2'

54

~ =a W-

= 2/7/3

Ej.:

55

I

-J2 =2~

3.- PRODUCTO DE RADICALES DEL MISMO INDICE

[ Ej.:

~.W-

!3Ia.~ =

'Tab-I

.. · O perar la" EJ.: slgulen t e expreslOn: SOLUCION

~ .ifS2 _ ~ .fi5 = ~2.25 = ~2.25 = ~2 . 25 .r 3 w, - 12.3 12.3 23

= ~2·5 =;v;o

4.- COCIENTE DE RADICALES DEL MISMO INDICE

[

~.~ W

~=~

=

12.3

...j3 . ~ · O perar la" EJ.: slgUlen t e expreslon:

W

SOLUCION:

-]

. ~ =4(10 V2 = 1/5

EJ.: ~

Obsérvese que como los radicales no tienen el mismo índice, habrá que reducirlos a índice común : m.c.m. (2,3,5) = 30

.J3. ~ 3Qj315 3f31O 3~315. 310 ~ = 3W96 = 3~(32

r

15 310 o~ =301 3 . =3~315.3103-12=3~313 12 3

5.- REDUCCION DE RADICALES A INDICE COMUN • Primeramente hallaremos el m.c.m. de todos los índices. Este m.c.m. es el nuevo índice común a todos los radicales de la operación.

6.- SIMPLlFICACION DEL INDICE y DEL EXPONENTE DEL RADICANDO Es posible dividir el índice y el exponente del radicando por un divisor común a ambos o por su m.c.d. con lo que resultarán totalmente simplificados.

• A continuación , con objeto de no alterar los valores iniciales de las raíces, dividiremos el m.c.m entre cada índice antiguo, y el resultado de la división es a lo que hay que elevar el respectivo radicando.

Ej.:

~ =~

• Una vez reducidos a índice común todos los radicales, ya tendremos preparada la expresión para operarla con las reglas de cálculo del producto y cociente.

56

57

7.- EXTRACCION DE FACTORES DE UN RADICAL

9.- RAIZ DE RAIZ

Esta operación únicamente se puede realizar cuando el exponente del radicando es mayor o igual que el índice de la raíz, y consiste en extraer todas las bases posibles del radicando, fuera de la raíz. Para ello, se divide el exponente del radicando, entre el índice de la raíz. Sale fuera de la raíz la base elevada al cociente de la división y queda dentro de la raíz la base elevada al resto de la división.

~

con

m~n ~

m

rram =acr;W ~

Ej.: Sacar factores en la expresión:

L 2

'W2 = 1~

~~=m'~J Ej,: Operar la expresión:

=

~~24 .3 = 1~

10.- RACIONALlZACION

~314 =3 2 .~

a) Cuando el denominador

radical se encuentra en forma de producto en el

_1_= _1_.~ ~

8.- POTENCIA DE UNA RAIZ

rrran rrran

I (~r=~=~ I

Ej,:

~2~



Se entiende por racionalización a aquellos procesos que permiten eliminar los radicales del denominador de una fracción.

SOLUCION

4

Ej.:

L c

14

Wa---=-~'~-I

.

1

1

~ 2 7­

3

EJ'-=-'--=

"!J23

(~)4 = V24

, abc EJ.: 3-2-

'([23 ~27-3

~am-n

!J24 '([23 .!J24

58

!J24!J24!J24 =--­

~23. 2 4

2 2 ab c_ , 3~ 31.""?? = ___ vab~c- _ abcvab c 3 abc =

Mc ~a2bc ~ab2c2

Z[21-

~ab2c2

59

-1

a

2

SISTEMAS DE NUMERACION

b) Cuando el radical se encuentra en forma de suma o diferencia en el denominador (con radicales de índice 2). En este caso, multiplicamos numerador y denominador de la expresión dada por la expresión conjugada del denominador, entendiendo por expresión conjugada a la misma, sólo que con el signo que une los radicales cambiado.

1.- INTRODUCCION Se entiende por sistema de numeración al conjunto de reglas, que permiten que con una cantidad limitada de signos se puedan expresar todos los números. La representación de estos números se puede expresar mediante letras o propiamente números.

Ej.: Racionalizar:

.Js-.J2

SOLUCION

J5+J2 1 1 J5+J2 J5-J2= J5-J2.J5+J2 (J5 - J2XJ5 +J2r

.J5+.J2 .J5+.f2=.J5+.f2 3 (.J5f - (.f2f 5-2

Los sistemas de numeración han ido evolucionando a través del tiempo, procurando adaptarse a las circunstancias y a las necesidades de cada momento y de cada técnica. Es de todos conocido el sistema de numeración romano, que utiliza siete símbolos representados por las letras: I

=1 ;

V = 5; X

=10; L =50;

C = 100 ; O =500 ; M = 1000

También existe el archiconocido sistema de numeración decimal, que es el que usamos comúnmente y que consta de diez símbolos: O, 1.2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,9. Sin embargo, existen otros sistemas también muy usados en la actualidad, como por ejemplo el sistema de numeración binario, que se utiliza profusamente en informática y que consta de dos símbolos: O, 1.

2.- TEOREMA FUNDAMENTAL DE LOS SISTEMAS DE NUMERACION. DESCOMPOSICiÓN POLINÓMICA DE UN NÚMERO Cualquier sistema de numeración utiliza un concepto importante que recibe el nombre de base. Base de un sistema de numeración es la cantidad de símbolos que utiliza el sistema. Así, pues, el teorema fundamental de los sistemas de numeración indica que cualquier número N = ... a5a4a3a2a1 puede descomponerse de forma única según la expresión siguiente: _ o N - a18

60

+a28 1 +a3 82 +a4 83 +a5 8 4 +...

61

en donde B es la base del sistema de numeración utilizado elevada a 0,1,2,3 ,.. , teniendo en cuenta que a la primera cifra del número, empezando siempre por la derecha, le corresponde el lugar O, y la segunda por la derecha el iugar 1, Y así sucesivamente hasta agotar las cifras del número.

Ej.: ¿Cuál es el número 124 en base 10, expresado en forma polinómica en el sistema decimal? SOLUCION 124 = 4.10° + 2.10 1 + 1.10 2 = 4 + 20 + 100 = 124

3.2.- Paso de un número en base cualquiera a otro en base decimal Existen dos procedimientos de cálculo:

~ Por la forma polinómica .

Consiste en poner el número en forma polinómica y efectuar todas las

operaciones en base 10.

Ej.: Pasar el número (3610h a base decimal. SOLUCION 1 2 (3610h =3.7 3 + 6.7 +1.7 + 0.7° = 1029+294+7+0=1330

Ej. : Expresar polinómicamente el número 51,327 en base 10 SOLUCION 51 ,327=1 .10° +5 .10 1 + 3.10-1 + 2.10 - 2 + 7.10 - 3 = ~

Por la regla de Ruffini.

= 1+ 50 + 0,3 + 0,02 + 0,007 = 51,327

3.- TRANSFORMACION A DIFERENTES SISTEMAS DE NUMERACION

Se aplica dividiendo las cifras del número motivo del cambio entre la cifra que indica la base del número en cuestión . El resto de división por Ruffini es el número en la base decimal.

Ej.: Pasar el número (361Oh SOLUCION

a base decimal

3.1 .- Paso de un número en base decimal a otro en base cualquiera Se comienza a dividir el número dado en el sistema decimal, entre la base del nuevo sistema al que queramos cambiar.

3 71 3

O

6 21

1 189

1330

27

190

1330

(3610h = 1330

Se efectúan todas las divisiones necesarias en las que la nueva base actúa como divisor de los cocientes obtenidos, hasta que aparezca un división en la que el resto sea menor que el divisor, es decir, menor que la nueva base.

3.3.- Paso de un número en base cualquiera a otro en base cualquiera El número pedido en la nueva base es el último cociente seguido de todos los restos obtenidos en orden inverso .

Ej.: Traspasar a base binaria el número decimal 83 SOLUCiÓN 83 03

lL 41

~ 20

O

Este caso lo podemos considerar como una mezcla de los dos anteriores . Procederemos de la siguiente forma : primeramente pasaremos el número en cuestión a la base 10 y a continuación lo cambiaremos a la base que nos pedían .

Ej.: Poner el número (11011)2 en base cinco SOLUCION

L

10

O

L5

83 = (1010011)2 1" ~

2

O 62

3

(11011)2 = 1.2 4 + 1.2 +0.2

2

1

+ 1.2 +1 .2° = 16 + 8 +0 +2+ 1 = 27

L 1

63

A continuación, su equivalente en base 10 que es el 27 lo pasamos a la base cinco.

27 2

L

15

5

~

O

1

con lo que resulta: (11 011h

5

-t

(102)5

ECUACIONES 1.- CONCEPTO DE IGUALDAD. IDENTIDAD Y ECUACION Se entiende por igualdad, a dos expresiones algebraicas que dan igual resultado para los mismos valores de sus letras.

= 27 = (102)5

Las igualdades pueden ser de dos tipos: • Identidades. Son igualdades que admiten cualquier valor para sus letras. Ej.: la expresión (a - b)2 = a 2 + b 2 - 2ab, es una identidad. ya que cualesquiera valores que demos a sus letras siempre se conserva la igualdad. Imaginemos que damos valores a sus letras a=5 y b=3: (5-3 )

2

=5 2 +3 2 -2·5·3

~

2=2

• Ecuaciones. Son igualdades que sólo admiten determinados valores para sus letras. Ej.: la expreslon x + 1 = 3. sólo admite el valor 2 para x. ya que para cualquier otro valor x. la igualdad no se conserva. Pues bien, cualquier igualdad, consta de dos miembros. A la expresión algebraica que se sitúa a la izquierda del signo igual, se le llama primer miembro y la expresión algebraica que se sitúa a la derecha del signo igual, la vamos a llamar segundo miembro. 2° MIEMBRO

1" MIEMBRO

Si cualquier valor obtenido como solución se sustituye en la ecuación o ecuaciones propuestas, debe verificar, satisfacer o dar el mismo valor numérico a los dos miembros de la ecuación. El grado de una ecuación, está indicado por el grado que tenga el polinomio de la ecuación.

2.- TRANSPOSICiÓN DE TERMINOS. REGLAS. A rasgos generales, diremos que solucionar una ecuación, significa en cierto modo, despejar la incógnita. Se entiende por despejar una incógnita, al hecho de dejar a ésta totalmente aislada y con signo positivo en cualquiera de los miembros de la ecuación. Así pues, la transposición de términos se rige por las siguientes reglas:

64

65

• Cualquier termino, que este sumando a todo un miembro, tiene aptitud para pasar restando a todo el otro miembro y viceversa . • Cualquier término, que este multiplicando a todo un miembro, tiene aptitud para pasar dividiendo a todo el otro miembro y viceversa . • Cualquier termino, que sea potencia de todo un miembro, tiene aptitud para pasar a ser raiz de todo el otro miembro y viceversa (pasa a raiz de índice igual que la potencia). • Si multiplicamos o dividimos los dos miembros de una ecuación o igualdad por un mismo número distinto de cero, la ecuación no experimenta ningún tipo de alteración en cuanto a sus soluciones. Es decir, que la nueva ecuación es equivalente con la antigua.

=

Ej.: Despejar p en la igualdad p + 7q - 5 6 SOLUCION p + 7q - 5 = 6 ~ P = 6 - 7q + 5 ~ P = 11 - 7q

~

6x

~ Eliminación de paréntesis. Si existen se operan para eliminarlos , teniendo buen cuidado de ir multiplicando los signos correspondientes. ~ Transposición de términos. Se adopta el criterio de poner todo lo que tenga incógnita en uno de los miembros y el resto se pasa al miembro contrario.

~ Reducción de términos semejantes . Se suman algebraicamente los términos de uno y otro miembro. ~ Despeje de la incógnita. Ha llegado el momento de despejar la incógnita. Es decir, de dejarla totalmente aislada y con signo positivo, en cualquiera de los dos miembros.

· R I I .. 2x 3x - 5 x 3 EJ.: eso ver a ecuaclon - - - - = - ­ 15 20 5

Ej.: Despejar x en la ecuación 3x + 2x - 5 = 10 - x + 3 SOLUCION Por ejemplo, todo lo que tenga x lo ponemos en el primer miembro y lo que no tenga x en el segundo. 3x + 2x - 5 = 10 - x + 3 ~ 3x + 2x + x =10+ 3 + 5

al simplificar ambos, al contrario de lo que ocurria en las fracciones en donde era indispensable ponerle como denominador común).

18

= 18 ~ x = -

6

~

Si existe algún término de la ecuación que no tenga denominador (es el caso del 3) nos le fabricamos, poniéndole la unidad como tal. 2x 15

3x-5 20

x

3

5

1

----=--­

• Eliminamos denominadores. Para ello hallamos: x=3

3.- ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCOGNITA Se llaman así a las ecuaciones, en las que el polinomio de la ecuación es de primer grado respecto a dicha letra o incógnita.

2

M.C.M . (15,20 ,5,1) = M.C.M. (3 . 5,22 .5,5,1) = 2 .3.5 = 60

y dividimos el M.C.M. = 60 entre cada denominador antiguo, multiplicando el resultado por su respectivo numerador. 4 . 2x - 3(3x - 5)

=12x -

60 ·3

• Eliminamos paréntesis. Hay que tener cuidado con los signos. Para resolverlas, vamos a exponer el procedimiento de cálculo completo. Existirán ecuaciones en las que habrá que saltarse alguno de los "pasos" por ser innecesario dadas las características de la ecuación particular.

8x-9x+15=12x-180 • Transponemos términos . Por ejemplo adoptamos el criterio de poner lo que tenga x en el primer miembro y lo que no tenga x en el segundo miembro.

~ Eliminación de denominadores. Si existen denominadores se eliminarán, aplicando el procedimiento del M.C.M. ya expuesto en el tema de fracciones . Es decir, se halla el M.C.M. de todos los denominadores y éste se divide entre cada denominador antiguo, multiplicando el resultado por su respectivo numerador (en las ecuaciones ya no es necesario poner el M.C.M . como denominador común, ya que no tiene ninguna repercusión en las soluciones al tener que ponerlo como denominador en ambos miembros y poder eliminarse

66

8x - 9x -12x = -180 - 15 • Reducimos términos semejantes: -13x =-195

67

• Despejamos la incógnita. Para ello se suele dividir toda la ecuación por el coeficiente que presenta la x (existen otras opciones). -13x -13

-195 -13

--=--

-195 x=--13

~

· Reso Iver el sistema . EJ.:

x+y = 3 } x+2y= 4

SOLUCION ~

x=15

X+ y =3} x+2y=4

~ ~

x=3-y x=4-2y 3 - Y = 4 -2y - y + 2y

4.- SISTEMAS DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO O

LINEALES

Inicialmente se van a exponer los métodos para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, pero advirtiendo que se pueden generalizar para más ecuaciones o incógnitas.

=4 -

3

~

sustituyendo y = 1 en x = 3 - Y obtenemos x

Y =1 ~

x = 3 -1

~

x= 2

C.- Método de Reducción

A.- Método de Sustitución

Consiste en eliminar una de las incógnitas del sistema, mediante la suma de las dos ecuaciones de éste, miembro a miembro. Realizada esta operación se obtiene fácilmente el valor de la otra incógnita.

Consiste en despejar una incógnita de una de las ecuaciones y sustituir ésta en la otra ecuación del sistema.

Normalmente este método exige una preparación previa de las ecuaciones del sistema:

Ej.: Resolver el sistema:

• Si la incógnita que queremos eliminar tiene en las dos ecuaciones el mismo coeficiente en valor absoluto y con signo distinto, simplemente con sumar las dos ecuaciones se elimina una incógnita.

X+ Y=3}

x+2y=4

SOLUCION Por ejemplo de la primera ecuación del sistema, despejamos la x y la sustituimos en la segunda ecuación del sistema, obteniendo como consecuencia una ecuación de primer grado con una incógnita.

X+Y=3}~ x=3-y x+2y = 4 ~(3 -y)+2y = 4 ~

3-y+2y = 4~ -y+2y = 4-3 ~ Y = 1

Una vez obtenida una de las incógnitas, la otra se puede obtener, sustituyendo la obtenida "y" en la expresión en la que hemos despejado la "x", o en cualquiera de las ecuaciones primitivas del sistema. En x = 3 - Y Y sustituimos y = 1

~

x

= 3 -1

~

• Si la incógnita que queremos eliminar tiene en las dos ecuaciones el mismo coeficiente en valor absoluto y signo, antes de sumar miembro a miembro tenemos que cambiar de signo (o multiplicar por -1) a cualquiera de las ecuaciones. • Si la incógnita que queremos eliminar tiene en las dos ecuaciones distintos coeficientes y cualesquiera signos, para hacer iguales los coeficientes , se suele multiplicar en la primera ecuación por el coeficiente que presenta la incógnita a eliminar en la segunda ecuación y la segunda ecuación se multiplica por el coeficiente que presenta la incógnita a eliminar en la primera ecuación, teniendo en cuenta que siempre deben aparecer signos contrarios delante de la incógnita a eliminar, en las dos ecuaciones.

x=2 • Cuando un coeficiente en una incógnita a eliminar sea múltiplo del coeficiente de la misma incógnita de la otra ecuación, bastará para hacerlas iguales con multiplicar una de las ecuaciones por un número conveniente.

B.- Método de Igualación Consiste en despejar de las dos ecuaciones del sistema la misma incógnita e igualar las dos expresiones obtenidas.

68

69

5.· SISTEMAS DE MAS DE DOS ECUACIONES E INCOGNITAS

Ej.: Resolver el sistema: x + y = 3 } x+2y=4 SOLUCION Eliminamos "x" y obtenemos "y"

Obsérvese que en los sistemas de ecuaciones anteriores , mediante los métodos indicados, los reducíamos a una ecuación con una incógnita . Pues bien , cuando el sistema aumenta a más de dos, las ecuaciones y las incógnitas, habrá que reducirlo a uno de dos ecuaciones y dos incógnitas, procediendo a continuación como ya se ha indicado.

-x-y=-3

X+ Y=3} -1) x +2y = 4

x + 2y = 4

y= 1

~

y =1

Aunque ya no hace falta continuar aplicando el método (sabiendo el valor de una incógnita y sustituyéndola en cualquier ecuación del sistema obtenemos la otra), vamos a seguir aplicándolo para obtener la otra incógnita. Eliminamos "y" y obtenemos "x":

NOTA.- Como se observa, el método de reducción consiste en ír "bajando escalones" hasta reducir el sistema primitivo a una ecuación con una incógnita.

-2x -2y =-6

- 2)

X+ Y=3} x+ 2y =4

En general el método más adecuado suele ser el de reducción, si bien, existen sistemas que por sus características particulares, requieren mejor la aplicación de otro método.

Ej.: Resoiver el sistema

x+ 2y = 4

-x

Ej.: Resolver el sistema:

= - 2

2x+y-3z =-5

x=2

~

X+ y +Z=6] x - 2y - Z = -6

SOLUCION Elegimos por ejemplo las dos primeras ecuaciones y adoptamos el criterio de eliminar "z" entre ellas.

y=-+4 x ) 2

x+y+z=6

y-2x=9

x -2y-z = -6

SOLUCION Resolvemos por sustitución ya que además en la primera ecuación tenemos despejada la "y"

y = -+4

x

)

Y- 2: = 9

~.:. 2

=

~

9

~

x+8-4x=18

3x=-10

~

~

A continuación elegimos la primera y la tercera y eliminamos también "z" entre ellas, multiplicando la primera ecuación por tres.

x-4x=18-8

Con lo que conseguimos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas que vamos a resolver, por ejemplo , por sustitución.

x =-2Q 3

24 +4=-2Q+4 ~ y= -10+ 6 2 6

y= - 3

2x - Y = O } ~ y = 2x 5x+4y=13 ~5x+4·2x=13 14

~y=6

~

7

y=­ 3

5x + 8x = 13

~

13x

= 13

~

x

obtenemos "y" sustituyendo x = 1 en y = 2x

70

= 13

5x+4y

10

~

= O

2x + Y- 3z = -5 ~ 2x + Y- 3z = -5

+ 4 - 2x

De la primera ecuación obtenemos "y":

y=-+4 2

y

x +y +z = 6 }~3X +3y+3z = 18

-3x=10

x

2x -

71

=-13 = 1 13 ~

~

x= 1

Y = 2 ·1 ~ y = 2

Para obtener la "z" vamos a cualquier ecuación del sistema primitivo y sustituimos "x" e "y". Por ejemplo en la primera ecuación del sistema:

~

x+y+z=6

Ej.: Resolver el sistema

~

1+2+z=6

z=3

Se entiende por ecuación de segundo grado a aquellas en la que el polinomio de la ecuación es de segundo grado, es decir, cuando el mayor exponente de la incógnita es 2.

-1)

x + y+z= x -2z = 2

x+2y=-4 SOLUCION Como dos de las ecuaciones del sistema no contienen a las tres incógnitas de éste, vamos a resolverle por sustitución (en estos casos suele ser adecuado), aunque también se podría resolver por reducción. Para ello despejaremos dos incógnitas en función de una tercera común . x+y+z=-1

x + 2y

= -4

ax 2 +bX+c=U

x=-b±~b2-4ac 2a

Soluciones (X1 x2

2

2x =4

~

Ceros

~

4 2

x=-

~

x=2

Ej.: Resolver la ecuación x2 - 3x + 2 = O SOLUCION Inicialmente debemos de reconocer en la ecuación propuesta los valores de los coeficientes a, b y c que debemos de introducir en la fórmula. a=1

Sustituyendo en los despejes anteriores de "y", "z", obtenemos éstas. X2 -3x+2= O x-2 2-2 O z=--=--=-=O

2

Raices

2

Eliminando denominadores:

2

~

-4-x x-2 x+---+--=-1

~

2x - 4 - x + x - 2 = -2

El problema de resolver cualquier ecuación ya sabemos que consiste en despejar la incógnita, lo que ocurre que cuando la ecuación de segundo grado está completa no es posible despejar la incógnita por los procedimientos conocidos y hay que recurrir a la utilización de la fórmula que vamos a desarrollar.

[

-4-x

J~ y = -2­

y las sustituimos en la primera ecuación del sistema que es la completa en cuanto a que posee las tres incógnitas. x+y+z=-1

Son de la forma ax 2 + bx + c = O, en donde "a" es el coeficiente del término x2 , "b" es el coeficiente del término x, y, "c" el término independiente.

Esta primera forma general de la ecuación de segundo grado sirve para obtener las soluciones también llamadas raíces ó ceros mediante la aplicación de la fórmula:

~ z=x - 2 2

x-2z=2

6.- ECUACiÓN DE SEGUNDO GRADO. PRIMERA FORMA GENERAL. SOLUCIONES

2

-4-x -4-2 -6 y=--=--=-=-3 2 2 2

72

~

z=O

~

y=-3

b =-3

c=2

Sustituimos a, b y c en la fórmula

x=

-b±~b2 2a

73

-4ac

x=

3+1_2

-(-3)±~(_3)2 -4·1·2 = 3±~ = 3±.J1 = 3±1 = 2·1

2

2

-2-­

2 \

Obsérvese que se utiliza el signo + o

2x 2 -3x-2=O

x=

- (-3) ± J(-3) - 4·2(-2) 2·2

3-1 -=1 _ 3+-J25 _ 3+5_\ ----

4

4

=

4

=

3+5 =2 4

2

- para obtener las soluciones.

3 ± ~9 + 16

2

~

3-5

2

--=--=-­

1

442

Ej.: Resolver la ecuación 2x 2 -7x + 3 = O

SOLUCION

7.- NATURALEZA DE LAS RAICES DE UNA ECUACiÓN a=2 2 2x -7x+3=O b=-7

De lo que trataremos aqui es de ver cuál es la calidad numenca de las soluciones de una ecuación . Asunto que se detecta con el solo hecho de b 2 - 4ac, (expresión que recibe el nombre de estudiar el signo de discriminante de la ecuación de segundo grado).

/ c=3

x = -b± ~b2~ = 2a

7±~

(-7)±~(-7)2 -4·2·3

=

> O~

Discriminante

b 2 - 4ac

~-3 7±-J25=7±5=

4

4

¡

2·2

4

4 \

· Reso Iver Ia ecuaclon .. -6 - 5x -2=7x­ EJ.: x 2 2 SOLUCION

7 -5 4

2 4

--=::-=­

la ecuación tiene dos soluciones reales

= O~

la ecuación tiene dos soluciones iguales o raiz doble

< O~

la ecuación tiene dos soluciones complejas

1 2

8

Inicialmente eliminaremos denominadores, hallando el m.c.m. (x,2,2, 1) = 2x 2·6 - x(5x - 2) = x· 7x - 8· 2x

Ej.: Hallar el valor que debe tener m en la ecuación que tenga sus dos raíces iguales. SOLUCION

x2 - 8x + m

= O para

Es evidente que si la ecuación tiene sus raíces iguales, es que su discriminante debe de ser cero. Con esta condición, formamos una ecuación de donde deducimos el valor de m. 2

b -4ac=O

~

2

(-8) -4·1·m=O

~

64-4m=O

~

64 m=-=16 4

Eliminamos paréntesis a continuación y operamos: 12-5x 2 +2x=7x 2 -16x

8.- ECUACIONES INCOMPLETAS DE SEGUNDO GRADO Transponemos términos al segundo miembro por ejemplo: 2 2 0= 7x -16x - 2x + 5x -12

Son aquellas ecuaciones de segundo grado a las que les falta el término en "x"

~ O = 12x 2 -18x -12 ~ O = 2x 2 - 3x - 2

74

o el término independiente, nunca el término en ecuaciones de segundo grado. 75

x2 ya que no serian

Aunque este tipo de ecuaciones siguen siendo perfectamente solucionables por el método general, es decir, aplicando la fórmula, vamos a intentar o otros procedimientos particulares únicamente aplicables a ellas. ~ Cuando falta el término en x (b

~

Producto de las raíces

P=~ a

= O)

Despejamos la incógnita x directamente, que es de lo que se trata. Ej.: Ej.: Resolver la ecuación x2 - 9 = O SOLUCION

X2 - 9 = O

~

x2 = 9

~

x = ±J9

~ Cuando falta el término independiente (c

~

x = ±3

=O)

Extraemos el factor común que se pueda de la ecuación propuesta, quedando un producto de factores igual a cero. Las soluciones se obtienen haciendo cada factor del producto igual a cero .

~

x(x - 4) =

o(

b -11 S=--=--=11

a

~

P =~ = 24 = 24

1

a

1

10.- ECUACiÓN DE SEGUNDO GRADO. SEGUNDA FORMA GENERAL. FORMA CANÓNICA. La primera forma general de la ecuación de segundo grado, habíamos visto que servía para localizar sus soluciones mediante la aplicación de la fórmula. Pues bien, la segunda forma general, sirve entre otras cosas fundamentalmente para hacer lo contrario. Es decir, que teniendo las raíces de una ecuación de segundo grado, podemos localizar la ecuación que las reproduce .

Ej.: Resolver la ecuación x2 - 4x = O SOLUCION

X2 - 4x = O

Hallar la suma y el producto de las raices de la ecuación:

x2 -11x + 24 = O SOLUCION

x=O ~

x-4=0

x=4

X2 -Sx +P = O

NOTA.- En cualquier ecuación que exista un producto de factores igual a cero y nada más que a cero, se puede plantear que cada factor del producto es cero, obteniendo ecuaciones más sencillas de resolver.

9.- SUMA Y PRODUCTO DE LAS RAICES DE UNA ECUACION DE SEGUNDO GRADO En cualquier ecuación de segundo grado se puede conocer la suma y el producto de sus soluciones sin necesidad de resolver la ecuación. ~

Suma de las raíces

Téngase presente que la suma (S) es el coeficiente de x y el producto (P) el término independiente, siempre que el coeficiente de X2 sea 1. Es decir, que si tenemos las dos raices de una ecuación podemos hallar su suma (S) y su producto (P). Introduciendo S y P en la ecuación general obtenemos la ecuación de la que proceden las dos soluciones.

Ej.: Formar una ecuación de segundo grado que tenga por soluciones, 7 y-2 SOLUCION

S=7-2=5 } P=7(-2)=-14

s =-~ 76

~

x-5x+(-14)=0

I 77

~

2 x -5x - 14=0

Ej.: Formar una ecuación de segundo grado que tenga por soluciones 4 y 1/3

12.- SISTEMAS DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

SOLUCION

El método operativo para resolver estos sistemas es el mismo que se utiliza para resolver los sistemas de primer grado. De todas formas hay que matizar, que quizás el método de sustitución sea el más adaptable desde un punto de vista general de todos los sistemas.

S=4+i= 1:¡

~

3

P=4~_4 ·3

2 13 4 x --x+-=O

3

. Ej.: Resolver el sIstema

-3

x+y=5

2

2

}

x + y = 13

SOLUCION

Eliminando denominadores, se obtiene: 3x 2 -13x + 4 = O

x+y=S } x 2 +y2=13

11.- ECUACION DE SEGUNDO GRADO. TERCERA FORMA GENERAL. DESCOMPOSICION EN PRODUCTO Sirve para descomponer una ecuación de segundo grado en un producto de factores, conociendo previamente sus raíces.

~ x=S-y ~ (S_y)2 +y2 =13

2S+y2_ 10y + y 2=13 ~ 2y2_10y+12=O ~ y2-Sy+6=O

y=

S±~ = S±1 =/3 2

2

\2

Sustituyendo los valores de y=2 e y=3 en x = S-y correspondientes de x

,- a(x-x1)(x-X2)=O

y=3

~

obtenemos los valores

x==2

y==2~x=3

Ej.: Transformar en producto la ecuación x2 - x -2 = O SOLUCION

Localizamos primeramente sus soluciones:

X2

-x-2=01~

x= -(-1)±J(-1)2 -4·1(-2) 2 ·1

H.J1+8 2

=

H3 2

=/ 2

13.-ECUACIÓN BICUADRADA

\-1 4 Se llaman así a aquel/as ecuaciones que tienen un término en x , otro en x2 y un término independiente.

Aplicamos la tercera forma general: X2 - x-2 = (x -2)(x +1)= O

Se resuelven reduciéndolas a una ecuación de segundo grado mediante un cambio de incógnita de la forma: X2

=P }

x4 = p2

78

79

Ej.: Resolver la ecuación ~x2 -13 + x -13 = O SOLUCION Aislamos el radical en un miembro

Ej.: Resolver la ecuación x 4 -13x 2 + 36 = O SOLUCION La reduciremos a una de 2° grado mediante el cambio citado

2 x 4 -13x +36=0

~ {~2=P2} ~ x =p

~ x 2 - 13 = 13 - x ~ (~ x 2 - 13 r

p2-13p+36=0

= (1 3 - x)2

2 2 182 x -13=169+x -26x---+26x=182 ---+ x=-=7 26

---+

x=7

Resolviendo la ecuación de 2° grado obtenida:

P=

13 ± ~132 - 4 ·1· 36 21

13±.J169-144 = 13±5 =/ 9 2 2 \ 4

~

A continuación deshacemos el cambio previsto, en la ecuación más elemental del cambio .

2 {X 2=9 x = P x2 = 4

~ ~

x=±J9=±3 x = ±.J4 = ±2

Cuando existen dos o más radicales

Elevamos al cuadrado tal como nos presenten la ecuación y tantas veces como sea necesario hasta que se reduzca al caso anterior y sólo aparezca un radical.

Ej.: Resolver la ecuación .J3x + 1- .J2x -1 = 1 SOLUCION

Con lo que obtenemos las cuatro soluciones que debe tener la ecuación bicuadrada.

(.J3x +1-.J2X-1f = 12

---+

(.J3x + 1f

+ (.J2X _1)2 -

3x+1+2x-1-2)6x 2 -3x+2x-1 =1

14.- ECUACIONES IRRACIONALES Son aquellas ecuaciones en las que aparecen radicales. Se resuelven generalmente elevando al cuadrado los dos miembros de la ecuación, con el objetivo de eliminar los radicales y reducirlas a otro tipo de ecuaciones ordinarias. No obstante hay que tener en cuenta que elevar una ecuación al cuadrado significa el "perder" soluciones o el que se introduzcan soluciones "extrañas" en la ecuación, asunto que induce a comprobar las soluciones obtenidas en la ecuación propuesta.

5x-1=2~6x2_X-1

---+

(5X-1)2= (2 . ~6X2-x-1r

2 2 25X2+1-10X=4(6x2-X-1) ---+ 25x +1-10x=24x -4x-4

x 2 -6x+5=0 ---+ x= 6±.J36=20 = 6±4 _/5

2

Distinguiremos dos casos:

~

Cuando existe un sólo radical

En este caso aislaremos el radical en uno de los miembros, pasando demás términos al otro miembro y elevando al cuadrado.

80

2.J3x+ 1 . .J2x -1 = 1

los

81

2

- \1

15.- PLANTEAMIENTO DE ECUACIONES. PROBLEMAS Cualquier problema que consista en localizar unos números o cantidades que estén sometidos a ciertas condiciones, es posible calcularlos mediante la formación de ecuaciones. En general, un problema de este tipo requiere el estudio de tres fases.

Ej.: Descomponer el número 48 en dos partes, tales que dividiendo una

por otra, se obtenga 3 de cociente y 4 de resto.

SOLUCION

Llamaremos a las dos partes del número "x" e "y"

2a condición

1a condición

x ~ ~x=3y+4

x+ y = 48

4 a) Planteamiento. Se eligen para los números desconocidos unas incógnitas. Generalmente tantas incógnitas como datos nos pidan o existan en el problema (hay veces que se puede prescindir de incógnitas, juntando las condiciones del problema). A continuación sometemos estas incógnitas a las condiciones expresadas en el problema, formando así las ecuaciones (desde este punto de vista, deben existir el mismo número de incógnitas que de ecuaciones ). b) Solución. Se obtiene resolviendo la ecuación o el sistema de ecuaciones forma do en la fase de planteamiento. c) Interpretación. Las soluciones del sistema anterior serán motivo de estudio, adaptándolas a las necesidades del problema en cuestión (por ejemplo, una longitud no es correcto que sea negativa, etc ... ).

Ej.: Un librero vendió 84 libros a dos precios distintos: unos a 45 euros y otros a 36 euros y obtuvo de la venta 3.105 euros. ¿Cuántos libros vendió de cada clase? SOLUCION Evidentemente nos piden dos cosas, es decir dos cantidades de libros: Libros de 36 euros = y

Libros de 45 euros = x

y = 84

}~

x + y = 48} x = 3y+ 4

Sustituyendo la "x" de la segunda ecuación en la primera ecuación, se obtiene: 3y + 4 + Y = 48

~

4y = 44 ~ Y = 11

~ x = 37

Ej.: La suma de dos números vale 18, y la suma de sus inversos 9/40.

Hallar los números.

SOLUCION

Llamaremos "x" e "y" a los dos números y planteamos las ecuaciones.

X+

1

y

1

)~X=18-y

x+y=18

=18)

9

-+-=­ X Y 40

40y + 40x = 9xy

40y + 40 (18 - y) = 9 (18 -y) ~ 40y + 720 - 40y = 162y -

Planteamos pues las ecuaciones:

x+

3

~

9y2 -162y + 720 = O

x = 84-y

y2 -18y + 80 = O

45x +36y = 3105 y = 18 ± .)324 - 320 = 18 ± 2 = / 1O ~ x 45(84 - y)+36y = 3105

3780 - 45y + 36y = 3105

x = 84 - Y

~

=84

675 = 9y

- 75

~

Y = 75 Libros de 36 euros

2

Los números son pues:

2

~.

=9 Libros de 45 euros 82

83

\ 8 ~

x=

=8 10

91

Ej.: Hallar dos números pares consecutivos cuyo producto valga 4224. SOLUCION Un número par lo podemos expresar de la forma 2x, luego el siguiente par consecutivo es 2x + 2 Planteamos la ecuación : 4x 2 + 4x = 4224

2x (2x+2) = 4224 ~ 4x 2 +4x -4224 '" O

~

x 2 +x-1056=0 - H 65 '" ( 32 2 -33

~

2x

2x+2

2·32

232 +2

para x = -32 ~ 2(-33)

2(-33)+ 2

t

~

64

y

66

~-66

y

-64

tiempo

~

l

~

e = 40t1

t1

espacio ~ e velocidad ~ v2 '" 60 tiempo ~ t 2

l

~

1

e = 60t2

l

Planteamos el sistema de ecuaciones: It 1 +t 2 =2 . e = 40t1 }

e = 60t2

Los números en cuestión son pues :

=32

1

Camino de vuelta

x = -H.J1 + 4224 2

para x

espacio ~ e Camino de ida velocidad ~ v1 = 40

~I, 02-1,

t1+t2=2 40t1 = 60t 2

40(2-t 2 )=60t2 80 t2 = 100

~ 80-4012 =60t 2 ~ 80=1001 2 ~

4

t2 =-hora 5

~

6

t1 =-hora 5

El espacio recorrido es pues:

16.- PROBLEMAS SOBRE MÓVILES Se entiende por móvil a cualquier objeto físico animado de un movimiento. Este tipo de problemas representa una aplicación de las ecuaciones , y se resuelven generalmente teniendo en cuenta que el espacio recorrido por un móvil es igual a su velocidad por el tiempo que invierte en hacer tal recorrido (e = v· t) . De todas formas en la Física se le da un tratamiento más extenso a los móviles, estudio que corresponde a la Cinemática, aqui sólo los utilizaremos desde el punto de vista de ir animados con movimiento rectilíneo y uniforme.

Ej.: Una persona dispone de dos horas para dar un paseo en coche. Hallar la distancia que podrá recorrer, sabiendo que, a la ida, la velocidad del coche es40 km/h. y que sin detenerse, regresa a 60 km/h. SOLUCION

e = 40t1

~

6

e = 40 . - = 48 km 5 --

Ej.: Dos automóviles circulan por la misma carretera en sentido opuesto con velocidades de 70Km/h y 50 km/h respectivamente. Se sabe que a las cinco de la tarde la distancia que los separa es de 360 km/h. ¿A qué hora se encontraran?

SOLUCION

El punto de partida de los dos automóviles es indiferente en este problema . Lo importante es pensar que en un determinado momento están separados por 360 km de distancia y que desde este momento uno va al encuentro del otro con velocidad de 70 km/h y 50km/h respectivamente. En el instante en que se encuentran los dos habrán invertido el mismo tiempo y para este instante podremos plantear:

Camino de ida (e) = camino de vuelta (e) Tiempo de ida (t 1) + tiempo de vuelta (t2)

84

=2

~ t 1 + t2 '" 2

85

Primer automóvil

¡ ¡

en cuenta ya que la incógnita que sobra es la velocidad vh que como se ve arriba es comun en ambas ecuaciones del espacio de la minutera y de la horaria, es por lo que dichas ecuaciones podrían adoptar la forma simplificada:

espacio ----? e1 )

velocidad ----? 70

----? e1 = 70t tiempo ----?t

eh

espacio ----? e 2 = 360 - e1

velocidad ----? 50

Segundo automóvil

tiempo ----?t

¡~360-e1 =501

Ej.: Un reloj marca las 5 horas. Averiguar a qué hora coincidirán de nuevo las manecillas por primera vez a partir de esa hora.

Planteamos las ecuaciones: e1 = 70t

=t

e m = 12t

}

360 - e1 = 50t ----? 360 - 70t = 50t ----? 360 = 120t ----?

t = 3 horas

SOLUCION Obsérvese la figura, ya que los datos están expuestos con esa idea (tenga en cuenta que cuando las dos manecillas coincidan, ambas habrán invertido el mismo tiempo). Reducimos el cálculo inicialmente a la zona donde van a coincidir.

Para saber la hora de encuentro habrá que sumar a las 5 horas, las 3 horas que invierten en encontrarse, luego se encontraran exactamente a las 8 horas de la tarde.

17.- PROBLEMAS SOBRE RELOJES Este tipo de problemas, podemos considerarlos como una ampliación de los problemas de móviles.

Posición inicial

Posición final

En cualquier reloj, existen dos agujas: la minutera y la horaria. Cada una de ellas representa a un móvil. Mientras la horaria recorre una división (5 minutos) recorre 12 divisiones o partes.

del reloj, la minutera

La minulera lleva una velocidad doce veces mayor que la horaria.

NOTA.- Téngase presente que: 1 parte de reloj = 5 minutos

horaria

¡ ¡

espacio ----? x ) velocidad ----? v

----?

X

=

V .t

tiempo ----? t

Minutera

minutera

Horaria eh = vh . t em=vm·t ----? em=12vh·t En este tipo de problemas, es posible que aparezcan más incógnitas que ecuaciones (tres incógnitas y dos ecuaciones), cuestión que no se debe tener

86

espacio ----? 5 + x ) velocidad ----? 12v

----? 5 + x = 12vt

tiempo ----? t

Planteamos las ecuaciones y véase que dividiendo ambas ecuaciones miembro a miembro, se obtiene claridad y rapidez en el cálculo:

x = vi 5 + x = 12vt

}

----?

x

vt

5+x

12vt

87

----?

x 5+ x

12

12x = 5 + x ---+ 11x = 5 ---+ x = ~ = 0,45 partes del reloj 11 Haciendo una pequeña proporción obtenemos los minutos que corresponden a 0,45 partes del reloj.

18.- PROBLEMAS SOBRE GRIFOS Para resolverlos, se hace un razonamiento simple, reduciendo la capacidad de llenar el recipiente por los grifos a unidades de tiempo (es decir lo que llena cada grifo en 1 hora, 1 minuto etc.).

Ej.: Una fuente llena un estanque en 3 horas y otra tarda en llenar el mismo estanque en 2 horas. Averiguar cuánto tardarán en llenarlo las dos a la vez.

Veamos: 1 parte del reloj 0,45 partes del reloj -

5· O45 . 5 min utos} ---+ x = - - '- = 2,25 minutos x min utos 1

SOLUCION Téngase presente, que si una fuente, por ejemplo, llena el estanque en 3 horas, en una hora llenará la tercera parte, es decir '!...

3

Como 2,25 minutos = 2 minutos + 0,25 minutos, vamos a traducir los 0,25 minutos a segundos mediante otra proporción: Llamando v a la capacidad del estanque. 1 minuto

60segundos

0,25 min utos

y segundos

} ---+

y= 60·0,25 =15 segundos

1a fuente

-4

llena en 3 horas ---+ en una hora llena v

2 a fuente

-4

llena en 2 horas ---+ en una hora llena

3

Luego x = 2 minutos 15 segundos Por lo tanto, la hora en que coinciden ambas manecillas es:

v

2

Las dos fuentes ---+ llenan en t horas ---+ en una hora llenan '!.... + '!....

3

5 horas 25 minutos + x ==

=5 horas 25 minutos + 2 minutos 15 segundos =

2

Luego multiplicando lo que llenan en una hora las dos juntas

'!.... + '!....

3

2

por el

tiempo t que tardan en llenar la totalidad del estanque, resultará igual a la totalidad de la capacidad del estanque "v".

= 5 horas 27 minutos 15 segundos.

vt vt V vJ ·t=v ---+ -+-=V -+(3 2 3 2

(d·IVI·d·len doporv)

.!.+.!.=1 ---+ 2t+3t=6 ---+ 5t=6 ---+ t=~ horas = 1 hora 12 minutos 3 2 5

NOTA.-

~ 5

horas = 1,2 horas = 1 hora + 0,2 horas = 1 hora + 0,2·60 minutos

= 1 hora y 12 minutos

88

89

19.- PROBLEMAS SOBRE MEZCLAS

20.-

Cuando mezclamos distintas mercancías de la misma especie y de distinto precio cada una, se obtiene una mezcla. El asunto consiste generalmente en hallar el precio medio de la mezcla resultante.

PR~BLEMAS

SOBRE ALEACIONES

Son problemas similares a los de mezclas, sólo que en vez de tratar precios,

tratamos leyes.

Se entiende por aleación de dos metales a la mezcla homogénea de los dos en

cualquier proporción y por procedimientos físicos.

Se llama lingote a un trozo de una aleación.

Cantidades

Precios

C1 C2 C3

P2

P1

Pm

=

P3

P1C1 + P2C 2 + P3C 3 + ... C1 + C2 + C 3 + ...

-'---'--=---=-------"----"-­

En las aleaciones se suelen mezclar metales de valor y otros que carecen de

valor.

Pues bien, se llama metal fino a los metales preciosos o finos como son: oro,

plata, platino ... , y se llama metal bruto al que va acompañando al metal fino, y

se le considera con valor cero (generalmente suele ser el cobre).

Se entiende por !ID: de una aleación al cociente de dividir el peso de metal fino

entre el peso total de la mezcla y se expresa en milésimas.

NOTA.- Cuando alguno de los componentes de la mezcla sea agua, consideramos su precio como cero.

El valor indicativo de una ley está siempre comprendido entre O y 1.

Si la leyes O es que sólo existe metal bruto y si la leyes 1 es que sólo existe

metal fino.

Ej.: ¿Qué cantidad de agua se ha de añadir a 2240 1. de vino de 60 euros el litro para poder rebajar el precio a 35 euros? SOLUCION

NOTA.- También se puede expresar la ley en quilates, considerando como

denominador al 24 y siendo el numerador, el número de quilates de oro puro

que tiene la aleación. (El oro puro tiene 24 quilates).

Téngase en cuenta que el precio del agua es cero.

Llamamos "x" a los litros de agua que hay que añadir.

Pm

35

35x

P1C1 +P2 C 2 ~ 35 = O· x + 2240 . 60 C 1 +C 2 x+2240

134400 x +2240

= 56000

~ ~

35x + 78400

=

134400

Ej.: Un anillo de 15 quilates contiene

~ 24

20.1.- ley media de una aleación de varios lingotes

Pesos P1

Leyes

P2

.e2

P3

.e3

.e 1

.e m­- e1P1 + e2 P2 + e3 P3 + ... P1 +P2 +P3 + ...

x = 1600 litros de agua

90

de su peso en oro (metal fino)

91

20.2.- Forma de mejorar una ley, añadiendo metal fino

Lingote antiguo

Lingote nuevo

Pesos

Leyes

P1

e1 e2

P2

DESIGUALDADES E INECUACIONES

Nueva ley =

e1P1 + e2P2 P1 +P2

1.- CONCEPTO DE DESIGUALDAD E INECUACION En las ecuaciones utilizábamos el signo = para separar sus dos miembros , en las inecuaciones se utiliza el signo < ó > que expresan una desigualdad.

Ej.: Cuando una ley sea por ejemplo de 0,800, nos están indicando que existe, 800 gramos de metal fino en una aleación de 1000 gr. de peso.

Ej.: Un lingote de plata de ley 0,85 que pesa 3 Kg. se funde con otro lingote de plata de ley 0,7 que pesa 2,5 Kg. ¿Cuál será la ley del nuevo lingote? SOLUCION

em

0,85 ·3 + 0,7·2,5 2,55+1,75 3+2,5 5,5

= 0,78

Es decir, entendemos por desigualdad a la forma de indicar matemáticamente cuándo una expresión P es mayor o menor que otra Q (según el sentido que tenga el signo). P > Q(P es mayor que Q o Q es menor que P) P 5. Q(P es menor o igual que Q ó Q es mayor o igual que P)

A la expresión P que está a la izquierda del signo desigual se le llama primer miembro y a la expresión Q que está a la derecha del signo desigual se llama segundo miembro.

Ej.: La ley de un lingote de oro que pesa 130 g. es de 0,850. Averiguar la cantidad de oro puro que habría que añadir para que resultara un nuevo lingote de ley 0,900.

NOTA.- Obsérvese que cualquiera de los signos < ó > se puede leer por la izquierda o por la derecha, asociándose de cualquier forma la idea o relación matemática que expresen.

SOLUCION

Pues bien, se entiende por inecuación a cualquier desigualdad en que existan letras o incógnitas motivo de cálculo .

Si al lingote de 130 g. le tenemos que añadir oro, es evidente que en el nuevo lingote no habrá habido variación del peso del metal bruto .

Ej.: X < S

~ 0,850

peso metal fino peso total lingote

ley

= metal

fino

130

metal fino = 8,850 · 130 = 110,5 gr. 11 O,5g.metal fino lingote de ley 0,850 { 130 -110,5 = 19,5g. metal bruto

lingote de ley 0,900

{

0,900x + 17,55

xg. metal finO} ~ 0,900 19,5g metal fino

=x

~

17,55

=0,1x

Luego hemos tenido que añadir:

~

Téngase en cuenta que una ecuación sólo se verifica para determinados valores de sus incógnitas, es decir, que generalmente existen un número finito de soluciones, sin embargo las inecuaciones suelen aportar infinitas soluciones.

2.- TRANSPOSICiÓN DE TERMINOS EN UNA DESIGUALDAD O INECUACION. REGLAS.

x = _ __ x + 19,5

x

17,55 0,1

=- - =175,5gr.

En cierto modo, la transposición de términos que se efectué en una inecuación o desigualdad sigue ciertos aspectos paralelos con respecto a las ecuaciones, sin embargo existen matices de capital importancia que las distinguen y que se va a ir exponiendo sucesivamente.

175,5 - 130 = 45,5 g. de metal fino (oro) 92

93

[

a) Cualquier término de una desigualdad que esté sumando [ en un miembro, se puede pasar al otro miembro restando o viceve.rsa (propiedad que ya sabemos se aplica también en las ecuaciones).

Ej.: -2<4

~

2>-4

SUS]

[

d) En cualquier desigualdad podemos eliminar denominadores, si existen, multiplicando sus dos miembros por el m.c.m. de sus denominadores y teniendo en cuenta el signo del citado m.c.m.

Ej.: Resolver la inecuación: 2x - 5 > x + 3 SOLUCION 2x - x > 3 + 5 ~ x > 8 Ej.: Resolver el sistema de inecuaciones:

b) Cualquier término de una desigualdad que esté multiplicando en un miembro tiene aptitud para pasar al otro miembro dividiendo o viceversa, siempre que el término motivo de la transformación sea positivo. Si el término es negativo, la desigualdad cambia de sentido.

2x-3 < 5x+9 } 6x - 8 < 3x + 16 - 5x SOLUCION Resolvemos las dos inecuaciones del sistema independientemente. En la primera inecuación:

2x - 5x < 9 + 3 ~ -3x < 12 -12 -12 ~x> - - ~x>-4

2x - 3 < 5x + 9 ~3x>

Ej.: Resolver la inecuación: x - 3 ~ 2x - 7 SOLUCION Transponiendo términos, obtenemos: x - 2x

~

~

-7 + 3

-x

~-4

~

x:O; 4

~

~

3

Gráficamente expuestas las soluciones de la primera inecuación. x>-4 ~

Gráficamente expuesta la solución x :o; 4

-4 x:E:4

4

En la segunda inecuación: 24 x<-

c) Si a los dos miembros de una desigualdad se les multiplica o divide por un número positivo, se obtiene una desigualdad del mismo sentido.

6x - 8 < 3x + 16 - 5x

Si a los miembros de una desigualdad se les multiplica o divide por un número negativo, la desigualdad cambia de sentido.

Gráficamente expuestas las soluciones de la segunda inecuación

~

6x - 3x + 5x < 8 + 16

x<3

Si cambiamos de signo a los dos miembros de una desigualdad, ésta cambia de sentido, ya que en realidad hemos estado multiplicando por -1 toda la desigualdad.

+---c>-­ 3

94

95

~

8x < 24

~

8

~

x<3

Pues bien, para localizar ahora las soluciones comunes a las dos inecuaciones, es decir, la solución del sistema de inecuaciones, lo que se debe es sOlapar los dos gráficos de soluciones obtenidas de cada una de ellas.

RAZONES Y PROPORCIONES

La solución del sistema, es la zona común de las soluciones de ambas. Obsérvese:

1.- CONCEPTO DE RAZÓN

--o

a

Primera inecuación

__ x >4

Se entiende por razón de dos números, al cociente del primero por el segundo, al primero se le llama antecedente y al segundo consecuente.

4 I

a ~ Antecedente} Razón b ~ Consecuente

I

..

O-­

Segunda inecuación __ x < 3

3

y se lee "a" es a "b".

I

I

--0---0-4

Solución del sistema __ 4 <x< 3

3

2.- CONCEPTO DE PROPORCiÓN Se entiende por proporción a la igualdad de dos razones.

Ej.: Un número de plumas contenidas en una caja es tal, que el duplo de estas disminuido en 86 unidades es mayor que 200. Si de la caja sacamos 17 plumas, entonces quedan menos que la diferencia entre 200 y la mitad de las plumas que había al principío. ¿Cuántas plumas había? SOLUCION

Al primero y al último se les llama extremos y al segundo y tercero medios.

a b

Llamando x al número de plumas que había, podemos plantear las siguientes inecuaciones:

e d

e)}

Medios (b, Proporción Extremos (a,d)

y se lee "a" es a "b" como "e" es a "d".

2x - 86 > 200) x -17 < 200 -

~

~ 2x > 286

~

~

x > 143

x 3x x + - < 200 + 17 ~ - < 217 ~ x < 144,66

2

2

l" · E n a proporclon: -3 = ­ 6 EJ.: 4 8

De esta forma se obtienen:

x> 143 } x < 144,66

Cualquier proporción también se puede expresar con el siguiente orden determinado de sus cuatro términos: a, b, e, d.

~ x = 144 plumas

-

El El El El

3 4 3 4

Y el Y el Y el Y el

6 8 8 6

son son son son

antecedentes.

consecuentes.

extremos.

medios.

Una proporción se dice que es continua, cuando tiene iguales los extremos o

los medios.

96

97

3.- TEOREMA FUNDAMENTAL DE LAS PROPORCIONES

248 'E ' d e razones Igua . 1es - = - = ­ n aIsene E}.: 3 6 12

En cualquier proporción el producto de los extremos es igual al producto de los medios.

La razón de proporcionalidad es

a

~ ~ ad =bc

b

d

~3

2 4 3 6

2 . 2+4+8 y se cumple la propiedad: - - - - 3 3+6+12

8 12

2 3

-=-=-;;::­

~

~

14 21

-

2

=­

3

~

14 21

= ­

2

3

NOTA.- Conocido el teorema fundamental de las proporciones , cualquier término de una proporción se puede despejar sin más que aplicar la teoría general de ecuaciones.

b) Segunda propiedad fundamental:

.. · HaII ar x en la" EJ.: slgulen t e proporclon: -2 = - x

En cualquier proporción la suma o diferencia de los dos primeros términos es al

primero como la suma o diferencia de los dos últimos es al tercero.

5

10

SOLUCION

2

x

5 10

~

20 = 5x

~

2· 10 = 5 . x

~

20 =4 5

x =-

1 4 'f' · El" E}.: n a proporclon -2 = -8 se ven Ica

1+2_4+8 ~ -1-- 4

4.- PROPIEDADES DE LAS PROPORCIONES

1-2 4-8 - - =-4-

~

3

12 ~ 3.4=12 4

.=.2= -4 ~ -1.4=1-(-4) 4

Cuando nos encontremos con más de dos razones iguales, se dice que estamos ante una serie de razones iguales. Todas estas razones iguales, que tomadas dos a dos deben cumplir el teorema fundamental de las proporciones, equivalen cada una de ellas a un número fijo que se llama razón de proporcionalidad . l ' d e razones .Igua Ies -6 = -9 =12 · E EJ.: n a sene ­ 2 3 4

c) Tercera propiedad fundamental En cualquier proporción la suma de los cuadrados del primero y segundo término partido por la suma de los cuadrados del tercero Y cuarto término es igual al producto del primero y segundo término dividido por el producto del tercero Y cuarto.

La razón de proporcionalidad es 3.

Ej.:

~ = ~ = 12 2

3

=

2

3

¡='6

~

(2+4l (3+6l

2·4 3 ·6

- =-

~

36 81

8 18

-=-

3

4

d) Otras propiedades : a) Primera propiedad fundamental En cualquier serie de razones iguales, la suma o diferencia de los antecedentes dividida por la suma o diferencia de los consecuentes es igual a una cualquiera de las razones de la serie.

98

• • • • •

En toda proporción se pueden permutar los medios. En toda proporción se pueden permutar los extremos. En toda proporción se pueden permutar los medios y los extremos. En toda proporción se puede sustituir cada razón por su inversa. En toda proporción se puede aplicar los criterios generales que se utilizan en las igualdades Y que no alteran a estas .

99

5.- CUARTA PROPORCIONAL

8.- CLASES DE PROPORCIONALIDAD

Cuarta proporcional a tres números dados en un orden determinado, es el cuarto término de una proporción. Ej.: Hallar la cuarta proporcional de 2,5 Y 4.

SOLUCION

2 5

4

x

-7

2x = 20

-7

X

Cuando varias magnitudes están en proporcionalidad, distinguiremos dos clases: Directamente proporcionales o inversamente proporcionales. a) Se entiende por magnitudes directamente proporcionales cuando se verifica que:

20 = - '" 1O

2

~ La alteración experimentada por una magnitud es proporcional a la alteración experimentada por la otra magnitud yen el mismo sentido (crecen o decrecen).

Conside,"ando dos magnitudes A y A' , si A crece el doble, el correspondiente a A que es A', también crecerá el doble.

6.- TERCERA PROPORCIONAL Si A disminuye, también lo hará A' y en la misma proporción. Tercera proporcional es el cuarto término que de una proporción continua. Ej.: Hallar la tercera proporcional de 1 y 3.

SOLUC/ON

Como en la tercera proporcional se debe repetir un número para que la proporción sea continua, este número repetido es el último de los que nos dan para calcular la tercera proporcional.

1

x=9

-7

~ Cuando dos magnitudes son directamente proporcionales la razón de todos los pares de valores correspondiente se mantiene constante.

1" Magnitud A S

3

3"';

NOTA.- Es corriente decir que dos magnitudes son directamente proporcionales cuando van de "más a más" o de "menos a menos", idea aceptable por indicarse de otra forma la conservación del sentido en dos magnitudes directamente proporcionales.

C

Media proporcional son los extremos iguales o los medios iguales para que una proporción sea continua. Ej.: Hallar la media proporcional de 1 y 4. SOLUCiÓN Con la media proporcional debemos obligar a que una proporción sea continua (es decir, que tenga los medios o los extremos iguales).

-7

2

x =4

-7

S_-º-

A = Constante A'-S'-C'

b) Se entiende por magnitudes inversamente proporcionales cuando se verifica que:

7.- MEDIA PROPORCIONAL

-=~ x 4

2" Magnitud

A'

S'

C'

-7

x=J.4

-7

x=2

~ La Rlteración experimentada por una magnitud es proporcional a la alteración experimentada por la otra magnitud y en sentido contrario.

Considerando dos magnitudes proporcionales A y A' , si A crece al doble, el correspondiente a A, que es A', decrecerá a la mitad. NOTA.- Es corriente decir que dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando van de "más a menos "o de "menos a más", idea aceptable por querer indicar de otra forma el distinto sentido en dos magnitudes inversamente proporcionales. ~ Cuando dos magnitudes son inversamente proporcionales el producto de todos los pares de valores correspondientes se mantiene constante.

100

101

A B

B'

C

C'

2" Magnitud 8 días

1a Magnitud 4 camiones

2a Magnitud A'

13 Magnitud

---7 ---7

AA'

NOTA.- Cuando no se especifique la clase de proporcionalidad, se debe suponer que se refiere a la directa.

Ej.: Si 5 metros de cordón cuestan 80 euros. ¿Cuánto costarán 20 metros de cordón? SOLUCION Está claro que es una proporcionalidad directa, ya que 20 metros de cordón cuestan más euros, así las magnitudes crecen en el mismo sentido, es decir, van de "más a más" (más metros de cordón, más euros).

proporción . Veamos :

4 x

2

2

x = 16

---7

4·8 =2x

---7

8

También se puede hacer el problema por proporcionalidad directa, sin más que ínvertir una de las magnitudes. Así , la proporcionalidad siguiente es directa con el mismo ejercicio:

1" Magnitud

2 a Magnitud

4 camiones

" 8"1 dlas

4

x

8

2

---7

---7

x camiones 80 euros ---7

= 32 = 16 camiones

De la misma forma se puede plantear la proporción, manteniendo la razón de la incógnita como esta en el esquema e invirtiendo la otra al formar la

2a Magnitud

5 m.

---7 X

2 dias

x camiones

NOTA.- Una proporcionalidad inversa se puede transformar fácilmente en una proporcionalidad directa . Es decir, una proporcionalidad inversa es una proporcionalidad directa a los inversos de las magnitudes.

1" Magnitud

4 · 8 = 2x

=SS' =CC' =Constante

~

32 = 2x

---7

X

32 = ­ = 16 2

días

2

5 20 -=­ 80 x

x euros

20 m.

9.- REGLA DE TRES SIMPLE También se pude plantear formando una proporción tal como están las razones en el esquema . Veamos:

5

80

20

x

magnitudes de entre las dos propuestas .

Aplicando el teorema fundamental de las proporciones, a la proporción planteada obtenemos.

5x=80·20

---7

5x=16001

---7

Se llama así al problema que se plantea entre dos magnitudes proporcionales y que tienen el objetivo de calcular una cantidad desconocida de una de las

1600 x=--=320 euros

5

Ej.: Si 4 hombres realizan un trabajo en 20 días ¿Cuántos días emplearían 10 hombres en hacer el mismo trabajo? SOLUCION 4 hombres - 20 dias} magnitudes .Inversamente proporcionales

10 hombres - x días

Ej.: Si 4 camiones tardan 8 días en hacer un transporte. ¿Cuántos camiones son necesarios para hacer el mismo transporte en 2 días? SOLUCION Es una proporcionalidad inversa, ya que para hacer el mismo transporte en 2 días serán necesario más camiones, así las magnitudes crecen en distinto sentido, es decir, van de "más a menos" (más camiones para menos días).

4.20 = 10x

También se puede plantear

(más hombres

---7

---7

80 = 10x 10

20

4

x 103

102

---7

---7

menos días)

80 8 d"las x=-= 10

Ej.: Si 20 Kg. de un producto han costado 120 euros. Averiguar cuál es el valor de 9 Kg. del mismo producto. SOLUCION 20kg 9kg

-

8 x

24 14 400 20 6 700

-=_.- .-

120 euros} . magnitudes directamente proporcionales x euros

~

8 x

~

84000·8 = 134400x

134400 84000

-=--­

672000 = 134400x

x = 5h

(menos kg ~ menos euros) 20 9 - ~ 20x=9·120 ~ 20x=1080 ~ x=2i)­ 1080 _ 54 euros 120 x También se puede plantear

~

20

120

9

x

11.- REPARTIMIENTOS PROPORCIONALES Consiste en repartir un número proporcionalmente a otros dados. Pueden ser directos, inversos o compuestos.

10.- REGLA DE TRES COMPUESTA Se llama así al problema que se plantea entre más de dos magnitudes proporcionales y que tiene como objetivo, lo mismo que en la regla de tres simple, el calcular una cantidad desconocida de una de las magnitudes de entre todas las propuestas. Para realizar una regla de tres compuesta, se eligen reglas de tres simples,

establecidas entre la magnitud donde está lo desconocido y las restantes

magnitudes, localizando así entre dos magnitudes su estado de

proporcionalidad. Para su cálculo rápido, dejamos la magnitud donde está le incógnita según se presenta e igual al producto de las restantes magnitudes, conservándolas en la misma posición que están si son directas e invirtiéndolas en el producto si son inversas.

Ej.: Veinte obreros durante 6 días han tendido 400 metros de cable, trabajando 8 horas diarias ¿Cuántas horas diarias han de trabajar 24 obreros durante 14 días para tender 700 m. de cable? SOLUCION

r

20 obreros 24 obreros

Inversa 6 días

~

400m.

14 días

8 horas

700 m.

t

L

Inversa

104

x horas Directa

t

A) Repartimientos proporcionales directos. Al repartir un número N en partes directamente proporcionales a otros a, b y c, obtendremos las partes respectivamente x, y, z, de la siguiente forma: La obtención de las expresiones citadas es fácil. Si las partes son x, y, z, tienen que ser proporcionales a los números a, b y c, escribiremos tal proporcionalidad de la siguiente forma:

:..=,t=~ a b c Aplicando una de las propiedades de las razones podemos escribir: :.. = ,t = ~ = _x_+--,y,--+_z a b c a+b+c

N

~

:..=,t_z a

a+b+c

b

c

N

a+b+c

y planteando tres ecuaciones sencillas, podemos deducir cada una de las partes. x a

N a+b+c

~

x=a

y b

N a+b+c

~

y=b

z c

N a+b+c

~

t 105

z=c

N a+b+c N a+b+c N a+b+c

Resumiendo, podemos formalizar el siguiente esquema:

B) Repartimientos proporcionales inversos

Número

Repartir un número N en partes inversamente proporcionales a los números a, b y c, equivale a repartir N en partes directamente proporcionales a los

N

Pro!2orcionales a: a

---+

b

---+

c

---+

Partes !2ro!2orcionales

N

x=a-­ a+b + c N y=b-­ a+b+c N z=c a+b+c

NOTA.- Entiéndase la palabra proporcional a secas, como directamente proporcional.

Ej.: Tres comerciantes compran un lote de piezas iguales de sastrería que valen 57.680 euros. El primero se queda con dos piezas, el segundo con 5 piezas, el tercero con 7 piezas. ¿Averiguar cuánto han de pagar cada uno? SOLUCION

2 ---+ x = 2· 57680

. di dd 111

' ' a: -,-y­ Inversos e os numeros a os, es deClr a b c

Ej. : En una carrera intervienen tres corredores, entre los que hay que repartir 11840 euros en proporción a las velocidades con que han hecho el recorrido. Los tiempos que han invertido han sido 4, 5 Y 6 minutos respectivamente. Calcular la cantidad que corresponde a cada uno. SOLUCION El que ha invertido menos tiempo, deberá recibir más dinero, luego el repartimiento proporcional es inverso. · repartimos . d'Irectam ente a -1 , -1 y ­ 1

Es deClr, 4 5 6

57680

= 2 . 4120 = 8240

2+5+7

.2. ---+ x = .2. .

11840 =.!. 11840 = 4800 euros

4 1 1 1 4 37

-- +-+­ 4 5 6 60

4

5 ---+ y = 5 · 57680 = 5 . 4120 = 20600

2+5+7

11840

7 ---+ z = 7· 57680 = 7 . 4120 = 28840

2+5+7 -­ 57680

NOTA.- Los problemas de repartimientos proporcionales , también se pueden hacer, mediante una simple regla de tres .

1 1 11840 = 3840 euros

----+y=s · _37

5 60

1 1 11840 = 3200 euros

- ---+ z="6 . 37

6

_

60

Téngase en cuenta que 2+5+7 = 14 piezas cuestan 57680 euros y planteamos las siguientes reglas de tres: 14 piezas - 57680 euros} ---+ 57680 ·2 = 8240 euros x= 14

2 piezas - x euros 14 piezas 5 piezas 14 piezas 7 piezas -

57680 euros} 57680 ·5 20600

---+ Y = euros y euros 14

C) Repartimientos proporcionales compuestos. Repartir un número N en partes directamente proporcionales a los números a, b, c, y a los números a ', b' c ' , es repartirlo en partes directamente proporcionales a los productos aa ' , bb ' Y cc'.

57680 euros} 57680·7 8840

---+ z = =2 euros z euros 14

106

107

Ej.: Repartir una gratificación global de 171.000 euros entre tres funcionarios; en proporcionalidad directa a sus años de servicio, que son 18 años, 15 años y 12 años y en proporcionalidad inversa con sus sueldos que son de 60.000 euros, 54.000 euros y 45.000 euros. SOLUCION Repartimos directamente a los productos de 18, 15 Y 12, Y _1_,_1_ Y 60000 54000 1 d ' l ' 18 15 12 - - es eClr a os numeros: - - - - y 45000' 60000'54000 45000

Ej.: La aportación de dinero hecha por tres socios a una empresa es la siguiente: el primero aporta 90.000 euros, el segundo 54.000 euros Y el tercero 81.000 euros. El beneficio de la sociedad al cabo de un cierto tiempo es de 35.000 euros. Averiguar cuál es la ganancia de cada socio. SOLUCION Repartimos el beneficio obtenido por la sociedad directamente a los capitales aportados por cada socio. (El tiempo es el mismo).

35000 = 14.000 90.000 ---+ x = 90.000 90000 +54000 + 81000

18 18 171000 = 60750 euros ---+ x - _ _ 51 121 60000 - 60000 1%0000 + 1~54000 + 745000 o

171000

15 15 - - ---+ y = --·202500000 54000 54000

=

56250 euros

12 12 - - ---+ z = --·202500000 45000 45000

=

54000 euros

35.000

35000 = 8.400 54.000 ---+ y = 54.000 90000 + 54000 + 81 000 = 12.600 35000 81.000 ---+ z = 81 .000 90000 + 54000 + 81 000

13.- PORCENTAJES Se entiende por tanto por ciento (%) a la cantidad que se considera de un conjunto de 100 unidades.

12.- REGLA DE COMPAÑIA Tiene por objeto el repartir proporcionalmente entre varios socios los beneficios o pérdidas de una empresa común. Representa una aplicación de los repartimientos proporcionales. Generalmente se presentan tres casos: ~ Que los capitales aportados por los socios sean diferentes y permanezcan el mismo tiempo en la sociedad.

Entonces la ganancia o pérdida, llamada dividendo se reparte en partes proporcionales a los capitales. ~

Que los capitales aportados por los socios sean iguales y no permanezcan el mismo tiempo en la sociedad .

Ej.: Si nos dicen que 100 gro de una pieza contiene el 3% de oro, es que de esos 100 gr., 3 gr. serán de oro Y el resto de cualquier otro material, es decir 97%. Se entiende por tanto por mil (0/00) a la cantidad que se considera de un conjunto de 1000 unidades.

En los problemas de porcentajes es muy frecuente la utilización de la regla de

tres (en estos casos es siempre directa).

Por otra parte, los porcentajes se utilizan con mucha frecuencia en

transacciones comerciales, para lo que es útil, tener en cuenta la siguiente

idea:

Precio de venta

NOTA.- Para hallar el

x% de una cantidad, es frecuente para calcularlo

multiplicar a la cantidad por x/1 00

Las pérdidas o ganancias se reparten proporcionalmente a los productos de los capitales por los tiempos (Reparto proporcional compuesto). 108

+ ganancia

c=?V =Pc + G

Las pérdidas o ganancias se reparten proporcionalmente a los tiempos . ~ Que los capitales aportados y los tiempos que están en la sociedad sean diferentes.

=Precio de compra

109

Ej.: Calcular el 20% de 5000 euros.

SOLUCION

Planteando la regla de tres siguiente:

100 5000

-

20} x

~ ~ = 20 5000

x

Ej.: Un objeto se vende en 50600 euros . Si el precio de venta resulta de aumentar el precio de coste en un 10% de beneficio y a continuación incrementar el precio resultante en un 15% de impuestos. ¿Cuál es el beneficio que produce su venta? SOLUCION

~ x=

5000 · 20 = 1000 euros 100

también se puede hacer directamente de la forma siguiente:

Pv = Pe + G

~

PV = 50600 } { G = 0,10Pc

~

50600 = Pe + 0,1 OPc + 0,15(Pc + 0,1 OPc)

5000·0,20 = 1000 euros 50600 = 1,265 Pe

~ Pe = 50600 = 40.000 1,265

Ej.: Hallar el 7% de 2000 Kg.

SOLUCION

G = 0,10 Pe = 0,10 · 40000 = 4000 euros

2000 · 0,07 = 140 Kg.

Ej.: En una compra de 15.000 euros, se efectúa una rebaja del 13%. Hallar lo que tiene que pagar el comprador. SOLUCION

14.-INTERES SIMPLE 13% de 15.000 = 0,13 ·1 5000 = 1950 euros el comprador paga = 15000 - 1950 = 13050 euros

Se entiende por interés simple al rendimiento (i) que produce un capital (e) durante un período de tiempo (t) a un rédito ó % (r).

También se puede hacer: 100-13= 87 El comprador paga ~ 87% de 15000=0,87 ·15000 =13050 euros

Ej.: Determina el precio de una compra por la que al incrementarse en un 25% se pagaron 7500 euros.­ SOLUCION Llamando x al precio de la compra , se tiene que:

7500 x + 0,25x = 7500 ~ 1,25x = 7500 ~ x = - - = 6000 euros 1,25

110

si t es años

si t es meses

si t es días

c · r· t i= - ­ 100

c ·r ·t i=-­ 1200

e .r · t i= -­ 36000

Ej.: Hallar el interés que producirá un capital de 250000 euros al 9%

durante 1 año.

SOLUCION

i=

e .r .t

--:¡QQ =

250000 ·9 . 1 = 22500 euros 100

111

Ej.: Al cabo de cuantos días un capital colocado a interés simple al 4%

producirá 1/6 de su valor.

SOLUCJON

i = c· r· t 36000

GEOMETRíA MÉTRICA 1.- SISTEMA MÉTRICO DECIMAL

1 c· 4· t c=-~ 6 36000

~

4t 6" = 36000

1

~ t =1500 dias

,- -

Ej.: Dos capitales, uno de 4800 euros y otro de 5400 euros, se prestan a interés simple: el primero al 5% y el segundo al 4% . Averiguar cuanto debe durar este préstamo para conseguir que estos capitales juntamente con sus intereses respectivos, sean iguales.

SOLUCION

capital de 4800 euros

LONGITUD SUPERFICIE AGRARIAS Mm 2 Mm Km 2 Km Hm Ha Hm 2 um a 2 Dm m ca m2

VOLUMEN

CAPACIDAD

PESO

KI

Tm

dm 3

HI DI I

Qm Mg Kg Hg Dg 9 dg cg mg 10 en 10

Mm 3 Km 3 Hm 3 Dm 3 3

m

~ i = 4800 · 5· t 100

capital de 5400 euros

._j

-MEDiDASDE:

~i

dm

5400 · 4· t 100

4800 + 4800·5· t = 5400 + 5400·4 · t 100 100

~

480000 + 24000t = 540000 + 21600t

dm 2

cm

cm 2

cm 3

di el mi

mm

2 mm 100 en 100

mm 3 1000 en 1000

10 en 10

10 en 10

100 en 100

AUMENTAN O DISMINUYEN15E:~ 2400t

=60000

~

t

=25 años 2.- CÁLCULO DE ERRORES EN LAS MEDICIONES Al practicar mediciones de diferente tipo , se cometen fallos que manifiestan diferencias entre lo medido y lo que realmente mide la magnitud . Para valorar estas situaciones se utilizan dos tipos de errores : Error absoluto ~ Ea = 110 que debe medir - lo que se ha medido Error relativo

~

Er

110

I

Ea que debe medirl

NOTA. Cuando se sitúan números entre barras verticales, se esta indicando que se considere el valor del número resultante en positivo . Es decir, que si el resultado se obtuviese negativo, pues se expresa positivo. 112

113

Clasificación por sus lados:

Ej.: 15-81 = 1-31 = 3

- Escaleno. Sus tres lados son distintos. - Isósceles. Dos lados iguales y el otro desigual. - Equilátero. Sus tres lados iguales. Ej.: En un establecimiento donde se vende cable, un dependiente se ha equivocado al querer cortar un trozo de 100 m. y corta en realidad 99 m. En un submarino, el técnico encargado del sónar, calcula que un barco se encuentra a 820 m. del submarino, cuando en realidad detecta que está a 819 m. a) Calcúlese el error absoluto y el error relativo que se produce en las dos situaciones. b) ¿En cuál de las dos situaciones es mejor la calidad de la aproximación? ¿por qué?

- Acutángulo. Sus tres ángulos agudos (menores de 90°). - Obtusángulo. Uno de sus ángulos obtuso (mayor de 90°). - Rectángulo. Uno de sus ángulos recto (igual a 90°).

SOLUCiÓN

4.- SUMA DE LOS ÁNGULOS DE UN POLlGONO

Clasificación por sus ángulos:

Distinguiremos entre ángulos exteriores e interiores: a)

cable:

Ea =1100-991=1m 1

submarino:

1%

---+

Er = 100 = 0,01

Ea = 1820 - 8191 = 1 m 1 E r =-=0,0012 820

---+

i = ángulos interiores e = ángulos exteriores

0,12%

b) Siendo los errores absolutos iguales, la mejor aproximación se produ-:::e en el caso del submarino, porque en este caso el error relativo es menor.

La suma de los ángulos exteriores de cualquier polígono es siempre de Se = 360° La suma de los ángulos interiores de cualquier polígono es:

Si = 2(n - 2) Rectos

---+ n = nO lados de polígono

3.- INTRODUCCiÓN AL TRIANGULO Es la figura de mayor relevancia en geometría y el que nos va a proporcionar

datos para otras figuras.

Un triángulo se compone de seis elementos: 3 lados y 3 ángulos. La relación

entre sus lados lo estudia la geometría métrica y la relación entre sus lados Y

ángulos lo estudia la trigonometría.

Dadas tres longitudes, para gue un triángulo exista, la suma de dos cualqui~

de ellas debe de ser mayor que la tercera.

Los triángulos se pueden clasificar de dos formas: por sus lados y por sus

ángulos.

114

Ej.: La suma de los ángulos interiores de las siguientes figuras es: - Triángulo (n

=3)

---+ Si:= 2 (3-2) Rectos := 2 Rectos := 2.90° := 180°

- Rectángulo (n = 4) ---+ Si= 2 (4-2) Rectos := 4 Rectos = 4.90° = 360° - Pentágono (n

=5)

---+ Si = 2 (5-2) Rectos = 6 Rectos := 6.90° := 540°

115

5.- PUNTOS Y RECTAS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO ~

Baricentro. Se llama así al punto de intersección de las medianas de un triángulo, entendiendo por mediana a la recta que parte de un vértice para ir al punto medio del lado opuesto.

~

Teorema de Pitágoras

Dice que el cuadrado de la hipotenusa es igual a un cateto al cuadrado más el otro cateto al cuadrado.

a 2 = b2 + c

~

Ortocentro. Es el punto de intersección de las alturas de un triángulo, entendiendo por altura a la recta que parte de un vértice para ser perpendicular aliado opuesto. ~ Circuncentro. Representa al punto de intersección de las mediatrices de un triángulo, entendiendo por mediatriz a la recta que es perpendicular al lado en su punto medio. ~

Incentro. Es el punto de intersección de las bisectrices de un triángulo, entendiendo por bisectriz a la recta que divide al ángulo en dos partes iguales.

~

2

I

Teorema de la altura

La altura relativa a la hipotenusa, es decir la que parte del ángulo recto, es media proporcional entre los segmentos en que divide a la hipotenusa.

h 2 = m·n

6.- ANÁLISIS DEL TRIÁNGULO RECTÁNGULO Es el triángulo más importante por excelencia. En cualquier problema de geometría, su búsqueda y manipulación es el camino para resolver multitud de problemas. Un triángulo rectángulo es aquel que tiene un ángulo recto (90°). A los dos lados que conforman el ángulo recto se les llama catetos (b,c) y al otro lado hipotenusa (a).

~

Teorema del cateto

Cualquier cateto es media proporcional entre la hipotenusa y la proyección del cateto sobre la hipotenusa.

c 2 = a· m

b2 = a ·n

Las relaciones métricas entre sus lados están determinadas por tres teoremas importantes.

Ej.: Un triángulo rectángulo tiene catetos de 3 m. y 4 m. Hallar su hipotenusa. SOLUCION

3~ 4

-.t-m ~

n

q

a

116

~

X2==3 2

+4 2 ~

x

2

=25 ~

4'

117

x==m

~ x=5m

NOTA.- Al resolver la ecuación X2 = 25 se debería de expresar x = ±.J25, lo que ocurre el que el signo negativo se omite en geometría ya que un lado nunca es negativo. Ej.: Un triángulo rectángulo tiene un cateto de 6 m. y la hipotenusa mide 10 m. Hallar el otro cateto. SOLUCION

7.- SEMEJANZA DE POLlGONOS En general dos polígonos son semejantes si tiene sus ángulos iguales y consecuentemente sus lados son proporcionales. Esta idea es aplicable a cualquier polígono, empezando por el más elemental como el triángulo. Dicho de otra manera, dos polígonos son semejantes cuando tienen la misma forma y distinto tamaño.

6~

~

y

a'/"-.....b'

/s'

2 1Q2=6 +y2

~

100=36+y2

~

y2=64

~

-............

e'

e

~=~=~=k a'

y=8m.

c'

b'

Todas las fracciones resultantes de establecer la proporcionalidad son equivalentes e iguales a un número k, llamado constante de proporcionalidad o razón d3 semejanza. Ej.: En un triángulo rectángulo, los segmentos en que la altura div¡::!e a la hipotenusa son de 4 m. y 9m. Calcular la longitud de la altura correspondiente a la hipotenusa y los catetos del triángulo. SOLUCION

La razón de los perímetros de dos polígonos semejantes es también igual a la razón de semejanza (p I P' = k). La razón de las superficies o áreas de dos polígonos semejantes es igual al cuadrado de la razón de semejanza I S·= k 2 )

(s

4

Ej.: Los lados de un triángulo son 3, 6 Y 12 m. Otro triángulo semejante tiene un lado de 2 m. que se corresponde con el primer lado del otro triángulo. Hallar las longitudes de los otros dos lados del segundo triángulo. SOLUCION

9

¡

Calculamos h por el teorema de la altura. 2 h =4·9

~

2 h =36

~

h=.J36 ~h=6 m

Calculamos los catetos por el teorema del cateto. 2

~

2 b =52

2

~

2 c = 117

b =13·4 c = 13· 9

~

~

b=.J52 c

~

b=2mm

=.J117 ~

118

3 2

c=

3m m

6

-

x

12

-

Y

~=~

~

x=4m

~= 1y2

~

y =8m

x

2

Ej.: Un polígono tiene un área de 84 m 2 . Hallar el área de otro polígono semejante, sabiendo que la razón de semejanza de ambos es 2 (del conocido al desconocido). SOLUCION

~=k2 ~ 84

s'

S'

= 22

~

S' = 84 4

119

~ s' = 21 m2

8.- PARTICULARIDADES EN LA CIRCUNFERENCIA

9.- ÁREAS DE FIGURAS PLANAS

Conviene recordar las siguientes rectas (infinitas) y segmentos (trozo de una recta) .

lTRIÁNGULO I S- b·h

Área de un triángulo en general:

h ~

-

l

I

b

p = semiperímetro

2

S = {lado}2.~ 4 Fórmula de Herón: S= V p (p-a) (p-b) (p-c)

I

o

~ Cualquier tangente en un punto cualquiera a la circunferencia, es perpendicular en el punto de tangencia con el radio correspondiente. ~

7

/h b

La unión de un punto cualquiera de la circunferencia con los extremos de uno cualquiera de sus diámetros, forma un triángulo rectángulo (ángulo recto en el punto de la circunferencia).

-

d

C>

2

I

IPOLIGONO REGULARj

s= b·h

s­-

a = apotema

perímetro. apotema

2

ICIRCUNFERENCIA I

I TRAPECIO I

l®

b

/:h \

S- D·d

-

-

IPARALELOGRAMO I

I

ROMBO

-Mi­

S= b·h

b

Es útil también tener en cuenta las siguientes propiedades:

2

Area de un triángulo equilátero:

I RECTÁNGULO 1

he=]

-

Área de un triángulo rectángulo: S ­ cateto· cateto

S = B;b. h

nO

B

Longitud:

l=21tR longitud de arco: 1tRno

.e =180

l CiRCULO I

~ nO

I ELIPSE I

S = 1tR2 2 1tR n° SSECTOR= 36()

Sector Circular

120

121

tu t

--~

S = 1tab

10.- ÁREAS Y VOLÚMENES DE FIGURAS EN EL ESPACIO PRISMA

!PIRÁMIDE!

A> I

~

, H

Sl = área de caras laterales Sb = área de la base St= St+Sb

p

Sl

laterales Sb = área de la base

HI.• ~

1 V=-Sb·H 3

= área de caras

Ej.: El lado de un cuadrado inscrito en una circunferencia mide 10 m.

Hallar la longitud de la circunferencia y el área del círculo.

SOLUCION

Necesitamos calcular el radio de la circunferencia, cuestión que deducimos por el teorema de Pitágoras.

St= S¿+ 2Sb

­

L-V V = Sb·H CILlNDROT

CONO

St = 1tRg St = 1tRg + 1tR2

m-

-+ radio = 5.J2m

L = 21tR = 21t · 5.J2 = 101t.J2 m

I

-­

3

-+ 0=10.J2m

St=21tRH

St = 21tRH + 21tR 2

•

g

1 V =-1tR2 ·H

0 2 = 10 2 + 10 2 -+ 0 2 =200 -+ 0=..J200

s = 1tR 2 = n· (s.J2f

V=1tR2 .H

H1

2

= SOn m

1---1

R

I ESFERA I

~

• -

! HUSO ESFÉRICO 1tR2no S=-g¡¡­

°

! CUÑA ESFÉRICA

@

S = 41tR 2 V =.1 1tR3

3

Ej.: Un cono tiene de altura 8 m . y de radio de la base 6 m. Hallar la superficie lateral, superficie total y volumen del cono . SOLUCION Necesitamos calcular la generatriz del cono, mediante un teorema de Pitágoras .

3

V = 1tR no

T70

CASQUETE ESFÉRICO Hr@\r2Iz0NA ESFÉRICA

GJH

~

S = 21tRH

~~EGMENTO 1 BASE V1B

ISEGMENTO 2 BASES

=1tR2(R-!:!) 3

3

V2B = 1tH + 1tH (rf+r:)

6

ISECTOR ESFÉRICO T

~H

2 3

V=-1tR2 ·H

S = 21tRH

2

g2 = 8 2 +6 2

-+

-+

g2=100

-+

g=..J100

! PRISMATOIDE !

se= nRg = 1t . 6 ·10 = 60n m 2

H~

3 2 St = se+ nR 2 = 601t + n' 6 = 60n + 36n = 96nm

H

V = S(Ss+Sb+4Sm)

122

1

2

1

2

3

V=-nR ·H= - n · 6 · 8=96n m

3

3

123

g=10m

Ej.: Hallar el área de la parte rayada en la siguiente figura

Ej.: Una esfera tiene de radio 3,2 dm. Se corta por un plano que dista 12 cm del centro de la esfera. Calcular el área de la sección producida por dicho plano. SOLUCiÓN

SOLUCiÓN

A En el triángulo rectángulo OAB de la figura se calcula por Pitágoras el radio "r" de la sección circular producida por el plano en la esfera.

32 2 = 12 2 +[2

~

1024 = 144 +r 2

Sseccion

Se va a necesitar calcular el radio R de la circunferencia, mediante la

aplicación del teorema de Pitágoras en el triángulo AOB,

2 2 2 R +R =4

~

2R2=16

~

R 2 =8

~

R=.J8m

~

r 2 = 880 ~ r = .J880 cm

=nr 2 :: n(.J880'f = 880n

cm

2

Ej.: Un depósito tiene la forma de un cilindro de revolución de altura igual a su diámetro, al que se han añadido dos semiesferas sobre sus bases. Otro depósito esférico tiene igual área que el primero ¿Cuánto vale la relación de sus volúmenes? SOLUCiÓN Primer depósito

Ahora calculamos la superficie o área pedida: '--X----'

Spedida = Scirculo - Scuadrado =

n(.J8'f -

42 =

(8n -16)

V1 :: Vcilindro

m2

+ Vesfera

=

{~r

nX 3 4nx 3 6nx 3 + 4nx 3 =--+--=----4 24 24

S1

124

. ~n(~r x

+

1Onx 3

5nx 3 12

--::­

24

= secilindro + Sesfera = 2n xx + 4n(x2J2= nx 2 + nx 2 = 2nx 2

2

125

NOTA.- Téngase presente que las dos semiesferas de los laterales completan una esfera Segundo depósito

4 3

V2 = -nR ~

____ 8___ _

S2 = 4nR

3

2

Condiciones

Áreas iguales

~ S1 = S2 ~ 2nx 2 = 4nR 2 ~ x2 = 2R 2 ~ x = ~2R2 ~ Jo- = R.J2 5nx 3

Relación pedida de volúmenes

V1

~

12

15nx 3

V2 = .inR3 = 48nR 3 3

MATEMATICAS ESPECIALES

5x 3

= 16R 3

Sustituyendo x de la relación anterior de áreas iguales, se tiene que:

~_ 5(R.J2L V2

-

16R 3

3 5R 16R 3

-J23 = 5 . 2.J2 = 5.J2 = 0,88 16

126

8

~

V1 = 0,88V2

127

PROGRESIONES ARITMÉTICAS 1.- CONCEPTO DE PROGRESiÓN ARITMÉTICA Se entiende por progresión aritmética a una sucesión de números, tales que uno cualquiera de ellos. se obtiene sumándole al anterior, una constante fija. Llamada razón o diferencia de la progresión (d). Es general el simbolizar a los términos de una progresión con la letra "a" y un subíndice que indique el lugar que ocupa el término en la progresión. a1,a2,a3,a4, .. ·a n...· Ej.: Formar una progresión aritmética de ocho términos, sabiendo que: a1=2 Y d=5 SOLUCiÓN Le vamos sumando a cada término 5 y obtenemos el siguiente (empezando por el primero 2).

2,7,12,17,22,27.32,37, ...

2.- TÉRMINO n-simo Ó GENERAL DE UNA PROGRESiÓN ARITMÉTICA Se entiende por término general de una progresión aritmética a aquel que tiene capacidad para reproducir cualquier término de la progresión.

C an =a1+(n- ~ Nota.- Téngase en cuenta para los problemas de progresiones que suele ser muy interesante para resolver muchos de ellos, el poner los términos en función del primero y de la razón. ya que teniendo a1 Y d conseguiremos cualquier otro dato de una progresión.

Ej.: Averíguar cuál es el valor del término que ocupa el lugar 30 de la progresión aritmética: 2, 5, 8, ... SOLUCiÓN Lo que nos piden en realidad es calcular el término a30 ' luego consideramos

los 30 primeros términos de la progresión haciéndola limitada y siendo a30 el último.

128

129

Pues bien, aplicando la fórmula del término general teniendo en cuenta que conocemos:

a,

a n = a, + (n -1)j

y

n =30; d = 3

= 2;

3.- SUMA DE LOS TÉRMINOS DE UNA PROGRESiÓN ARITMÉTICA

l

obtenemos el a30.

Es decir:

~ =~.n

a30 = 2 + (30 -1) = 2 + 29·3 = 2 + 87 = 89 expresión que reproduce la suma de cualquier cantidad de términos de una

progresión aritmética .

Ej.: Hallar la diferencia de una progresión aritmética conociendo los términos:

SOLUCiÓN

a, =23

a'7 =31

Y

y a17 : a'7 = a, + 16d

La razón o diferencia relaciona los términos a, Sustituyendo:

31=23+16d

~

~

8=16d

8 1 d= - =­ 16 2

d=2 2

Ej.: Interpolar cinco medios diferenciales entre 3 y 15.

SOLUCiÓN

Vamos a realizar el problema, aplicando la fórmula del término general,

teniendo presente que n = 5+2 = 7 términos en total (cinco que interpolamos

más los dos extremos).

Ej.: Hallar la suma de los 20 primeros términos de la progresión 3, 6, 9, ...

SOLUCiÓN

Aplicando la fórmula de la suma:

S = a, + an -2 ' n

~

S=

3+a20 .20

-2­

se observa que se desconoce el último término a20 , término que calcularemos por la fórmula del término general:

a n = a, + (n -1)d ~ a20 = 3 + (20 -1)3 = 60

Volviendo a la expresión inicial de la suma y sustituyendo en esta él a20 se obtiene: 3 + 60 . 20 = 630 S=-2

a n = a,(n - 1)d 12

~

=6d

~

15=3+(7-1)d d

=2

luego la progresión pedida es: 3,5 , 7, 9, 11,13, 15

Ej.: En una progreslon aritmética, el término primero y segundo suman - 51 Y el tercero y cuarto suman 9. Formar la progresión. SOLUCiÓN En cuanto tengamos el primer término y la razón , ya estaremos en disposición de formar la progresión, luego este va a ser nuestro objetivo: el cálculo de a, y d. Inicialmente vamos a formalizar las condiciones que indica el problema: a,+a 2 =-51} a3 + a4 = 9

130

131

y como ya se ha dicho en la teoría , es conveniente poner todos los términos en función del primero y de la razón con lo que conseguiremos un sistema de ecuaciones que nos proporcionara a1 Y d. Veamos: a1+ a 1+ d = - 51 } a1 +2d+a1 +3d = 9

2a1 +d=-51} 2a1 + 5d = 9

~

2a1 +5(-51- 2a1)=9 -8a1 =264 para

a1 = - 33

~

~

~

d = -51- 2a1

2a1 - 255-10a1 = 9 264 = -33 a1 = -8

PROGRESIONES GEOMÉTRICAS 1.- CONCEPTO DE PROGRESION GEOMÉTRICA Se entiende por progresión geométrica a una sucesión de términos tales que uno cualquiera de ellos se obtiene, multiplicando el anterior, por una constante fija, llamada razón o proporción de la progresión (r). Obsérvese que designamos por "r" a la razón de las progresiones geométricas, para distinguirlas de la razón "d" de las progresiones aritméticas.

d=-51 - 2(- 33)=15

Asi que la progresión aritmética es de la forma: -33, -18, -3,12, ...

Ej.: Formar una progresión geométrica de diez términos, sabiendo que el primer término es a 1 = 2 Y la razón es r 4. SOLUCiÓN Multiplicando el primero por la razón y así sucesivamente, obtendremos los siguientes:

=

4.- PROGRESIONES ARITMÉTICAS DE NÚMERO DE TERMINOS IMPAR. TÉRMINO CENTRAL.

2, 8,32,128,512,2048,8192,32768,131072,524288, ... Para que una progresión aritmética posea término central es necesario que ésta tenga un número impar de términos. Siendo así, el término central se puede obtener siempre, haciendo la semisuma (mitad de la suma) de dos términos cualquiera equidistantes del central (Operación que suele recibir el nombre de media aritmética).

I ac =~

I

B

S = a1 + a n .n ~

2

Ej.: La suma de los términos de una progresión aritmética es 182 y el

término central vale 13. Hallar el número de términos de la progresión.

SOLUCiÓN

Aplicando la suma de los impares, se obtiene:

S=a c· n

~

Como la progresión es de cuatro términos: a4 =1024

~

a3 =512

~

a2 = 256

~

a1 = 128

Luego la progresión pedida es: 128,256,512, 1024.

2.- TERMINO n-simo Ó GENERAL DE UNA PROGRESiÓN GEOMÉTRICA

182=13 · n

. . n = -182 = 14 termlnos 13

132

Ej.: Si el último término de una progresión geométrica de cuatro términos es 1024 y la razón es 2. Averiguar cuál será la progresión. SOLUCiÓN Téngase en cuenta que cuando queramos obtener un término de una progresión geométrica a partir del anterior, habrá que multiplicar a este por la razón , pero cuando queramos obtener un término de una progresión geométrica a partir del siguiente, habrá que dividir a este por la razón.

Se entiende por término general de una progresión geométrica a aquel que tiene capacidad para reproducir cualquier término de la progresión .

an = a1 . rn-1 133

Nota. Téngase presente, que lo mismo que se dijo en las progresiones aritméticas, en las geométricas también es muy interesante, llegado el momento de resolver problemas, el poner todos los términos de la progresión en función del primero a1 Y de la razón r, ya que teniendo estos podremos conseguir cualquier dato que nos pidan de una progresión geométrica.

Ej.: Calcular el término que ocupa el lugar doceavo en la progresión geométrica 1, 3, 9, ... SOLUCiÓN

Lo que nos piden en realidad es el valor del término a12 de la progresión, para ello aplicando la fórmula del término general, con los datos necesarios que deducimos de la progresión (a1 =1 y r = 3) , obtenemos:

~ a12 = 1.3 12- 1 = 3 11

an = a1rn-1

3,· SUMA DE LOS TERMINOS DE UNA PROGRESiÓN GEOMÉTRICA LIMITADA

[

S = a1

- a1 r-1

Debemos pensar que dos términos cualquiera de una progresión están vinculados por la razón de la progresión. Vamos pues a relacionar los dos términos dados: a5 = a1r4 ~ 32 =2·r 4

~

r=if16=~ =2

32 = r 4 2 ~

~

r

4

= 16

Vamos a resolver el problema, aplicando la fórmula del término general, teniendo presente que n = 4+2 = 6 términos en total (cuatro que hay que interpolar más los dos extremos). a n = a1 rn - 1

64 = r 5 2

~

~

64 = 2·r 6 - 1

32 = r 5

~

~

64 = 2 · r 5

r='lfS2=~ =2

luego la progresión pedida es: 2, 4, 8,16, 32,64.

rn

- a1 r-1

6

6 2 - 6 = 378 2 -1

a2 = a1 + 32} a3=a2+ 96 y expresando todos los términos del sistema de ecuaciones en función del primero y de la razón se obtiene un sistema de ecuaciones de fácil solución: a1 r = a1 + 32 )

~

a1r-a1 =32~a1(r-1)=32

~

a1r2 = a1r + 96

da ecuaclon: " YSUStl't uyen d o a1 = -32- en I a segun

r-1

32 r 2 r-1

=~.r+96 r-1

32r 2 = 32r + 96r - 96

134

l

Ej.: Tres números están en progresión geométrica, el 2° es 32 unidades mayor que el 1° y el tercero 96 unidades mayor que el 2°. Hallar estos números. SOLUCiÓN a1,a2,a3, e imponiéndoles las Llamando a los tres números pedidos condiciones que dicta el problema, se obtiene:

r=2

Ej.: Interpolar cuatro medios proporcionales entre 2 y 64.

SOLUCiÓN

a S=a nr- 1 r-1

Ej.: Hallar la suma de los seis primeros términos de la progresión

geométrica 6, 12, 24, ...

SOLUCIÓN

Aplicando la expresión de la suma, se obtiene:

S=a1 Ej.: Hallar la razón de una progresión geométrica conociendo los términos a1 = 2 Y as = 32 SOLUCiÓN

1

rn

~

~

135

32r 2 =32r+96(r-1) 32r 2 -128r + 96 = O

32 a1 = r -1

r 2 - 4r +3 = O

r = 4±.fi6=12 = 4±2 = /3

-t

2

2

\1

Ej.: En un cuadrado de 2 m. de lado se inscribe otro y así sucesivamente.

Calcular la suma de las áreas de dichos cuadrados.

SOLUCiÓN

La solución r = 1 no vale ya que reproduciría iguales todos los términos de la progresión. Así pues:

r=3

32 32 32 a1 = - = - = - = 1 6 r-1 3-1 2

-t

2m

luego los tres números pedidos son: 16,48 Y144.

2m 4.- SUMA DE LOS TÉRMINOS DE UNA PROGRESiÓN GEOMÉTRICA INDEFINIDA Ó ILIMITADA Llamaremos progresiones geométricas indefinidas o ilimitadas a aquellas en las que el número de términos es infinito o en las que el número de términos tiende hacia infinito (n -t 00)

S=~

I I

Obsérvese que lo interesante es formalizar la progresión de las áreas de los distintos cuadrados y aunque se puede hacer matemáticamente, sólo con ver la figura nos damos cuenta, de que un cuadrado tiene la mitad de área que el anterior, luego la progresión es: 4, 2, 1, ... de razón menor que 1 (r =·D e indefinida ya que el número de cuadrados que es posible construir es infinito por muy pequeños que estos sean. Luego:

1- r

S=~ La expresión obtenida se la puede considerar con carácter importante, pero es conveniente tener en cuenta que para su aplicación , es condición necesaria y suficiente que el número de términos de la progresión geométrica sea indefinido y que la razón sea menor que 1, (progresión decreciente).

Ej.: Hallar la suma de la progresión geométrica indefinida: 8, 4, 2, ...

SOLUCiÓN

Aplicando la fórmula de la suma de las indefinidas:

S=~ 1-r

---)

8

4 4 2 S=--=-=8m 1 1 1-- ­ 2 2

---)

1-r

5.- PRODUCTO DE LOS TÉRMINOS DE UNA PROGRESION

GEOMETRICA

8

S=-=-=16 1 1 1-- ­

2

2

p=

~(a1·an)n

El resultado S=16 debe interpretarse como que la suma de los infinitos términos de la progresión dada tiende a 16. 136

137

1

Ej.: Calcular el producto de los cinco primeros términos de la progresión:

2,6,18, ...

SOLUCiÓN

Antes de aplicar la fórmula del producto, deberemos de calcular el último

término de la progresión as.

Así pues:

a S =a1r 4

--t

as = 2 · 3 4

~(a1·ant

--t

condiciones del problema , se obtiene:

a1+aZ+a3 =105)

luego el producto de los cinco primeros términos es:

P=

Ej.: La suma de los tres primeros términos de una progresión geométrica es 105 y su producto 8000. Calcular el término central de la progresión. SOLUCiÓN Llamando a1,aZ Y a3 a los términos de la progresión y planteando las

a1·aZ ·a3 =8000

P=J(2 .2 . 3 4 ) =J(2 Z . 3 4 ) =J2 103 Z0

Téngase en cuenta que al ser tres términos, casi no merece la pena aplicar las fórmulas, como se ve en el sistema anterior que sería perfectamente resoluble, poniendo todos los términos en función del primero y de la razón.

P = 2 s .3 10 = 32·59049 = 1889568

a,

+a,' + a~2 = 105)

a1 a1r· a1r = 8000

6.- PROGRESIONES GEOMÉTRICAS DE NÚMERO DE TÉRMINOS IMPAR. TÉRMINO CENTRAL Sin embargo, considerando que el término central Para que una progresión geométrica posea término central es necesario que tenga un número de términos impar. Si es asi, el término central se puede obtener siempre haciendo la raíz cuadrada del producto de dos términos equidistantes del central (operación que suele recibir el nombre de media geométrica).

ac

es precisamente en

~26

.5

este caso el término az, podemos escribir:

P = ag --t 8000 =

a~

--t az =

~8000

=

az = 2 z ·5 = 20 --t az = a c = 20

ac=~

]

Expresión que se puede vincular con el producto de los términos de la progresión:

p=~(a1·an)n --tp=(~r

138

->

I

P=ag

139

3

LOGARITMOS 1.- CONCEPTO Y DEFINICiÓN DE LOGARITMO La palabra logaritmo, a secas, no posee significado matemático, sin embargo en los cálculos se suele representar abreviadamente de la forma:!.Qg ó jg. Para que dicho ente adquiera significado matemático es necesario que calculemos el logaritmo de un número A en una cierta base b, cuyo resultado x sea otro número.

y representaremos la operación de la siguiente forma: 19 b A = x

Sin embargo antes de definir la operación es necesario hacer las siguientes consideraciones :

~

El número logarítmico A debe ser necesariamente un número real positivo

(A E R+ ) para que la operación logarítmica tenga solución x dentro del campo de los números reales. Si el número logarítmico A fuese negativo, la operación logaritmo no posee solución x dentro del campo de los números reales y en este caso nos introduciríamos automáticamente en el campo de los números complejos . ~ Por otra parte la base b de los logaritmos, necesariamente debe ser un número real positivo y distinto de uno. ~ El resultado x de una operación logarítmica tiene capacidad para ser cualquier número real posítivo o negativo.

Pues bien, conociendo estos detalles, ya podemos pasar a definir la operación logarítmica. Se entiende por logaritmo de un número A en una cierta base b, al número x al que hay que elevar la base para obtener A.

19 b A

=x

~

bx

=

;\J

Definición que por supuesto adquiere caracteres de extrema importancia.

140

141

Ej.: Calcular el valor que ha de tener x para que se verifique: 19 2 x = 3 SOLUCiÓN Aplicando la definición de logaritmo se obtiene:

19 2 X = 3 ~

x=2

~

3

X =8

2.- PROPIEDADES Y PARTICULARIDADES DE LOS LOGARITMOS a) Los números A negativos no poseen logaritmo real, aunque si complejo.

b) La base b de los logaritmos debe ser necesariamente un número real

positivo distinto de la unidad.

e) Los números A mayores que la unidad, reproducen siempre un resultado x,

real positivo. Ej.: Ig 2 = 0,3010 d) Los números A mayores que cero y menores que uno, reproducen siempre un resultado x, real negativo. Ej.: Ig 0,2 = -0,6990

e) El logaritmo de un número cuya base es ese mismo número, siempre da como resultado a la unidad.

19 b b = 1

~

b1 = b

g) El logaritmo de cero en cualquier base, vale siempre

19 b O =--ro Ej.: 197 O=

~

b -00

=

1

O

-=0

~

oo

b

-00

~

1

-=0 00

-00

3.- TIPOS DE LOGARITMOS A.- Logaritmos decimales ó vulgares

Son aquellos logaritmos que tienen por base al número 10 y generalmente en su representación no se indica la base 10, teniendo en cuenta que cuando nos encontramos ante una expresión logarítmica en donde no se vean las bases de los logaritmos, automáticamente supondremos que se trata de la decimal. A continuación se expone una breve tabla de los resultados de los logaritmos decimales de las potencias de 10. Obsérvese:

LgO,001

Ig 10-3

= 3=-3

IgO,01

Ig10-2

= 2= -2

IgO,1

Ig10- 1

=

"1 =

Ig1 = Ig100

=0

Ig10 = Ig10 1

=1

Ig 100 = Ig10 2

=2

Ig10 3

=3

Obsérvese en la justificación como se cumple la definición de logaritmo. Ig1000

-1

Ej.: Ig 3 3 = 1

f) El logaritmo de la unidad en cualquier base es siempre cero.

19 b 1 = O

~

b

O

=1

Dada la importancia de estos logaritmos, es conveniente retener en la memoria sus resultados, cosa no difícil observando la tabla. Obsérvese además como no se indica la base de ninguno de ellos, al estar utilizando exclusivamente logaritmos decimales o de base 10.

Obsérvese en la justificación como se cumple la definición de logaritmo ya que como se sabe cualquier número elevado a cero vale siempre la unidad. Ej.: Ig71

=O

142

143

B.- Logaritmos neperianos o naturales

Son aquellos logaritmos que tienen por base al número e (e "" 2,7182... ) Y esla base no se especifica utilizando la simbolización propia de ellos, de la forma: en ó L

Ej.: Ig(3x) = Ig 3 + Ig x Ej.: Ig (7 • 5) = Ig 7 + Ig 5

B.- Logaritmo de un cociente

Lo mismo que en los logaritmos decimales, cuando nos encontramos ante una de las simbolizaciones en ó L, automáticamente supondremos que se trala de logaritmos neperianos y cuya base es el número "e" aunque no aparezca.

Ig

~

=

Ig A -Ig 8

1

Que dice que el logaritmo de un cociente (no confundir con un cociente de

logaritmos que no admite transformación) es igual al logaritmo del numerador

Ej.: Hallar el valor de Le SOLUCiÓN

menos E:: I logaritmo del denominador.

Es obvio que como se trata de un logaritmo neperiano su base es el número e, y entonces lo que se pide es hallar el logaritmo de un número cuya base es, ese mismo número y que tendrá por resultado a la unidad (aplicación de una propiedad de los logaritmos). Le:: 1

Ej.: Ig~ :: Igx-lg5

5

e.- Logaritmo de una potencia

Ej.: Hallar el valor de L 1 SOLUCiÓN Aplicando una propiedad de los logaritmos: el logaritmo de la unidad en cualquier base (en este caso la base e) es siempre cero.

IgA m

= migA

Que dice que el logaritmo de una potencia es igual al exponente por el L1= O

4.- OPERACIONES CON LOGARITMOS De la importancia relevante que poseen los logaritmos en todo tipo de cálculos cabe destacar la ventaja de que permiten calcular multiplicaciones y divisiones, mediante adiciones y sustracciones; y potencias y raíces mediante multiplicaciones y divisiones, que son operaciones más elementales.

logaritmo de la base de la potencia. Ej.: Igx 3 =3lgx

Ej.: Ig102 :: 21g 10

=2

Ej.: Ig7 35 = 35 Ig 7

0.- Logaritmo de una raíz de índice cualquiera A.- Logaritmo de un producto

Igr.{A =

¡ - -IgA·B - -=-­ IgA +lg8

.2. lgA n

Que dice que el logaritmo de una raíz de índice cualquiera es igual a la inversa del índice por el logaritmo del radicando . Que dice que el logaritmo de un producto (no confundir con un producto de logaritmos que no admite transformación) es igual a la suma de los logaritmos de los factores existentes.

144

Ej.:

Ig~

= ]..lg2

3

145

Ej.: Ig.J5 =

Ej.: Sabiendo que 192 = 0,3010 , calcular sin tablas Ig5.

~lg5

SOLUCiÓN Para resolver este tipo de problemas hay que poner el número del cual nos piden su logaritmo (en este caso 5) en forma de potencias de diez y de potencias de dos, que son los datos que podemos aportar sin recurrir a la

2

Ej.: Desarrollar la siguiente expresión por logaritmos:

máquina de calcular. Veamos:

A=lfcib q7

SOLUCiÓN Tomando los logaritmos en los dos miembros y desarrollando en el segundo miembro que es el que admite operativa, tenemos: ;rab IgA=lg-

7 1 ~ IgA=lg;rab-lgq =-lgab-7Igq

q7

3

1 IgA = - (1ga + Igb)-7Igq 3

1 1

IgA = -Iga +-lgb-7Igq 3 3

~

Téngase en cuenta que a la hora de desarrollar una expresión por logaritmos, hay que comenzar a utilizar las operaciones más generales: en este caso primero ha sido el cociente, luego la raíz cúbica y la potencia y por el último el producto. Obsérvese.

Ig5 = Ig -10 = Ig1 O-Ig 2 = 1- 0,301 O = 0,6990 2

197

Ej.: Hallar el valor de 10 SOLUCiÓN

Obviamente vamos a tener que tomar logaritmos en la expresión, pero resulta que nos falta un miembro para formar una igualdad Y poder tomar logaritmos, así que nos fabricamos el segundo miembro "x" Y tomamos logaritmos en la misma base que nos dan. Veamos:

~

10 1g7 =X

~

Ig7lg10=lgx

lg7

luego el valor de la expresión 10

Ig10

lg7

Ig7=lgx

=lgx

~

x=7

es 7.

Ej.: Calcular x, sabiendo que: Igx

1 2

= 2(lga + 3Igb)- -(2Igc + Igd)

L5

SOLUCiÓN Obsérvese que para calcular x, deberemos de hacer lo contrario que en los problemas anteriores, es decir en lugar de desarrollar, lo que tenemos que hacer es agrupar los logaritmos, localizando la operación de la que proceden los elementos propuestos. 1 Ig x = 2(1g8+ 3Igb) - -(2Igc+ Igd) 2

Ej.: Hallar el valor de e SOLUCiÓN

Aplicando el mismo procedimiento anterior, pero ahora tomando logaritmos neperianos, que son los que se presentan en la expresión dada.

eL5 = x

~

L5Le = Lx

Le L5 = Lx

~

L5

= Lx

Ig x = 2~ga + 19b )- ~~gC2 + 19d) 3

L5

luego el valor de la expresión e Igx = 21gab

3

-~19C2d ~

Igx=lgk.:I

~c2d

~

es 5.

3

Igx = Ig(ab ) -lg.,Jc2d

x=k.:I~x=a2b6 ~c2d

146

c.Jd

147

~

x =5

5.- OPERACIÓN ANT/LOGARITMO Para despejar el número logaritmo A de una expresión tipo, de la forma:

• La solución de algunas ecuaciones logarítmicas, también puede explicar la utilización de un cambio de base.

19 b A = x

existen dos procedimientos : uno de ellos es aplicar la definición de logaritmo

(el más recomendado en expresiones logarítmicas A en forma de anti/ogaritmo.

• Otras veces también se utiliza el cambio de base para estudiar la equivalencia entre logaritmos de bases distintas.

=b

X )

y otro el exponer A

En general un problema de cambio de base , lleva consigo el siguiente razonamiento: • Al logaritmo al que hay que cambiar de base, se le supone conocido, llamándole por ejemplo x (con el objetivo de formalizar una igualdad).

19 b A = x <=>

A = antilg b x

• A continuación se aplica la definición de logaritmo a la expresión planteada anteriormente . • En la nueva igualdad que surge al aplicar la definición de logaritmo, se toman logaritmos en la base que interese y despejamos nuevamente x, quedando el problema resuelto.

6.- COLOGARITMOS Se llama cologaritmo de un número, al logaritmo de su inverso o recíproco. Deductivamente también veremos que el cologaritmo de un número equivale al menos logaritmo del número en cuestión.

co/gA

=Ig-1 =-/gA A

Ej.: Cambiar a base 10 el 19735 SOLUCiÓN Llamamos x a la expresión propuesta : 19 7 35 = x Aplicamos la definición de logaritmos a la igualdad formada: 7 x = 35 En la igualdad última, tomamos logaritmos en base 10 y despejamos x

7.- CAMBIOS DE BASE

Ig7 X = Ig35

Con el cálculo logarítmico, muchas veces es de gran utilidad , el cambiar la base de los logaritmos por diversas razones:

• Porque las máquinas de calcular de utilización común, están hechas para logaritmos decimales (base 10) aunque frecuentemente también existen de logaritmos neperianos (base e). Así que siempre que estemos ante logaritmos de bases distintas a las dichas, será conveniente hacer un cambio de base para proceder al cálculo del logaritmo en cuestión . • A veces también es interesante en expresiones en las que aparezcan logaritmos en distintas bases, cambiar todos a una de las bases con objeto de unificar estas y estudiar la posibilidad de simplificación de la expresión , si procede. 148

---+

xlg7 = Ig35

---+

x = Ig35 Ig7

Con lo que el cambio de base queda consumado :

19 7 35 = Ig35 Ig7

Obsérvese que en cualquier cambio de base, siempre se cumple que el resultado de cambiar un logaritmo a otra base, es un cociente de logaritmos que llevan como nueva base la del motivo del cambio y el logaritmo del numerador lleva por número logarítmico al que tenia el logaritmo antiguo, yel logaritmo del denominador, lleva por número logarítmico a la base del logaritmo antiguo.

149

Obsérvese:

9.- ECUACIONES LOGARITMICAS. SISTEMAS

I Ej.: Ig 6= Ig 7 6 5 Ig 7 5

I

19bA=~ 19B b

La forma más conveniente para que desaparezcan los logaritmos, es, agrupando estos, hasta llegar a expresiones elementales que permitan tal eliminación.

= Ig6 _ L6

Ig5 - L5 =

Las soluciones que se obtengan de reducir una ecuación logarítmica a una de las que "sabemos resolver" (ecuaciones polinómicas) serán motivo de comprobación en la ecuación logarítmica correspondiente y se procederá a la invalidación de las soluciones que reproduzcan logaritmos de números negativos, expresiones no definidas en el campo real.

Ej.: Calcular 19 4 ..J2 SOLUCiÓN Cambiamos la expresión logarítmica dada a base 10:

19 4 ../2 =

La resolución de una ecuación logarítmíca, estriba en reducir estas, a "ecuaciones de las que sabemos resolver" (ecuaciones polinómicas), es decir en reducirlas a ecuaciones en las que no aparezcan logaritmos.

l92 _i 1 1~../2 = Ig../2 = i g4 Ig2 21 2 - - = ­ 2

g

2

4

Ej.: Resolver la ecuación Ig(2x+7) -lg(x-1) SOLUCiÓN

=Ig5

Agrupando los logaritmos, observamos que la diferencia de logaritmos del primer miembro procede del logaritmo de un cociente .

8.- EQUIVALENCIA ENTRE LOS LOGARITMOS DECIMALF.S y

NEPERIANOS

Para estudiar tal equivalencia, vamos a partir de la expresión general de un logaritmo neperiano, haciéndole un cambio de base a logaritmos decimales. Veamos :

IgA 1 LA =-=-lgA ",2,3IgA Ige Ige

Ig(2x+ 7)-lg(x-1)=lg5

-')

=lg5 Ig 2x+7 ­ x-1

y llegamos a una expresión en la que se indica que "logaritmo de una cosa es igual a logaritmo de otra cosa", de donde deducimos que esa cosa es igual a la otra cosa, sin especificar ni tachar la palabra logaritmo, que ella de por sí sola, no posee ningún significado matemático, en cuanto a cantidad o valor". Así, obtenemos una "ecuación de las que sabemos resolver":

2x + 7 = 5 x -1 luego definitivamente se obtiene la expresión:

LA ",2,3/gA

Eliminando denominadores, se obtiene:

2x + 7 = 5(x -1) 7 + 5 = 5x - 2x

150

-')

-')

12 = 3x

151

2x + 7 = 5x - 5 -')

12 x=3

-')

x=4

Ej.: Resolver el sistema:

ECUACIONES EXPONENCIALES Ig x + 31g Y=

51

x2

1.- INTRODUCCiÓN A LA ECUACIONES EXPONENCIALES

Ig-=3 y

Se entiende por ecuaciones exponenciales a aquellas en las que la incógnita está en el exponente, siendo las bases constantes (es decir números).

SOLUCiÓN Agrupando logaritmos en la primera ecuación y aplicando la definición en la segunda, se obtiene :

Igx + lgy 3 =5

5 Ig xy 3 = 5} xy3 = 10 }

2

~=103 y

x2= 103 y

Ej.: Aplicar la definición de logaritmo a la expresión 19 3 2 = x SOLUCiÓN

X2=103y~y=X: 10

Sustituyendo y en la primera ecuación, obtenemos:

X2 ) 3 5 X( 10 3 =10

~

X=V10 14 =10 2

~

4 y=~=~= 10 =10 3 3 3 10

10

10

Ig 3 2=x

~

3 x =2

De alguna forma se puede indicar que este tipo de ecuaciones, tienen alguna vinculación con los logaritmos, aunque para resolver muchas de estas ecuaciones no va a ser necesario usar los logaritmos como veremos posteriormente.

x6

X--=10 5 10 9

Una ecuación exponencial cuando está en su forma más elemental, representa a la operación inversa a la logaritmación. Veamos.

Xl =

~

10 14 En general estas ecuaciones se pueden presentar de dos formas: elemental y avanzada.

x=100

~

y = 10

2.- CALCULO DE ECUACIONES EXPONENCIALES EN FORMA ELEMENTAL Diremos que están así, cuando las potencias exponenciales van solas en cada uno de los miembros de la ecuación. La táctica de cálculo, puede adoptar a su vez dos vias : ~ Si las bases de la potencias son iguales o se puede conseguir que sean iguales , se identifican directamente los exponentes de ambos miembros. ~ Si las bases de las potencias no son iguales, se hace necesario tomar logaritmos en la ecuación , para poder despejar la incógnita.

Ej.: Resolver 3 x = 3 2 ~ X =2 Ej.: Resolver 2 x =2 ~ 2 x =2 1 ~x=1

152

153

Ej.: Resolver 5

x

=

J5

~ 5 x = 52

~

Ej.: Resolver 27 x = 81

~ 3 3x = 3 4

Ej.: Resolver 4 x =1 ~

4 x =4°

~

~

3 Ej.: Resolver 4 x+1 +2 x+ -320=0 SOLUCiÓN Descomponemos la base de lo que lleve "x" en factores primos

1 x=2

3x=4

~

4 3

x =-

~

4 x+ 1 +2 x + 3 -320=0

~2r+1+2X+3_320=0

x=O Téngase en cuenta que una suma en el exponente, procede de un producto de

Ej.: Resolver 20 x = 2 SOLUCiÓN En esta ecuación las bases no son iguales, ni se puede conseguir que lo sean, luego la única forma de despejar la x es tomando logaritmos y utilizando máquina de calcular. Veamos: 20 x = 2 Ig2 x=-Ig20

~

~

Ig20 X = Ig2 0,3010 x=-1,3010

~

xlg20 = Ig2 x = 0,2313

~

potencias de la misma base.

2 2x + 2 + 2 x + 3 - 320 = O

~

3-x=0

~

x=3

2 2x .2 2 +2 x .2 3 -320 =0

Efectuamos el cambio, para reducir la ecuación exponencial a una elemental x

2 =p } 22x

Ej.: Resolver 10 3 - x = 1 SOLUCiÓN 103-x = 100

~

~ p2 .22 + p. 2 3 _ 320 = O ~ 4p2 + 8p - 320 = O

=p2

p2 +2p-80 =0

p = -2±J4+320 = -2±18

~

2

2

=(

8 -10

Deshacemos el cambio planteado:

3.- CALCULO DE ECUACIONES EXPONENCIALES EN FORMA AVANZADA

2x

=

8

~

2 x =-10 Diremos que están así, cuando las potencias exponenciales se están sumando o restando entre sí, y no existe forma de agruparlas, o se presentan formando sistemas. La táctica de cálculo se puede resumir de dos formas:



2x = 23 ~

x=3

X

Ig2 =lg-10

(De la última a ecuación no se obtiene solución. Los logaritmos de números negativos no están definidos en el campo real).

~ Si las bases de las potencias donde está la incógnita son iguales o se puede conseguir que lo sean, se efectúa un cambio de variables, con lo que la ecuación exponencial, adopta formas ya conocidas en el cálculo operativo. A continuación se deshace el cambio y se obtienen ecuaciones exponenciales elementales. ~ Si las bases de las potencias donde está la incógnita no son iguales, en general, el cálculo de estas exponenciales se hace por métodos aproximados.

154

~

155

4.- APLICACiÓN. INTERÉS COMPUESTO

TRIGONOMETRIA

El interés compuesto se practica sumando al capital los intereses pra que ambos juntos, vuelvan a generar nuevos intereses.

1.- INTRODUCCiÓN Se entiende por trigonometría a la parte de los Matemáticas que trata de relacionar los seis elementos de un triángulo (3 ángulos y 3 lados).

C = C o(1 +il Ca = capital inicial

C

=capital final

i

=rédito en tanto por uno

t

=tiempo en años

Ej.: Hallar el capital que se obtiene al colocar 200.000 euros a interés compuesto al 3% durante 5 años. SOLUCiÓN

Para medir ángulos en trigonometría, se establece que la dirección positiva del eje x, es el origen de ángulos, de tal fonma que un ángulo positivo es aquel que se mide en sentido contrario a las agujas del reloj a partir del origen de ángulos y un ángulo negativo es aquel que se mide en sentido de las agujas del reloj a partir del origen de ángulos . y+

y+

C = 200000(1 + 0,03)5 = 200000 ,1,03 5 = 200000 1,15 = 230000 euros

Ej.: Durante cuánto tiempo un capital de 100.000 euros se ha convertido en 134.000 al 5%. SOLUCiÓN

x

r=

x+

k

x

x+

y-

y-

2.- FORMAS DE MEDIR UN ÁNGULO 134000 = 100000(1 + 0,05)'

~

1,34 = 1,05 t 2.1.- GRADOS SEXAGESIMALES

Ig1,34 = Ig1,05'

~

Ig1,34 = tlg1,05

Se entiende por grado sexagesimal a cada una de las partes que resultan al dividir un ángulo recto en 90 partes. Un circunferencia completa contiene 360 0

t = Ig1,34 _ 0,12 Ig1,05 - 0,02 = 6 años

(1 0 = 60 ·

1"= 60 " )

2.2.- GRADOS CENTESIMALES Este tipo de grados no son usuales en Matemáticas, aunque si se usan con profusión en aplicaciones técnicas. Se entiende por grado centesimal a cada una de las partes que resultan al dividir un ángulo recto en 100 partes. Una circunferencia completa contiene 400 9 (1 9

156

157

= 100 m

-)

1m =100 5 )

2.3.- RADIANES Se entiende por radian, al ángulo central de una circunferencia, que abarca una longitud de arco igual al radio de dicha circunferencia.

3.- FUNCIONES O RAZONES TRIGONOMÉTRICAS Existen seis funciones o razones trigonométricas (seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante) que relacionan los lados y los ángulos de un triángulo rectángulo.

Una circunferencia completa contiene 2n: radianes.

NOTA.- Las funciones trigonométricas expuestas solo se pueden aplicar a un triángulo rectángulo, aunque existen generalizaciones, que permiten aplicarlas a cualquier tipo de triángulo.

1 radián

b

e

1 radian"" 57 0 17' 44" sen x =

cateto opuesto al angula b =­ hipotenusa del triángulo a

rosx=

cateto contiguo al angula hipotenusa del triángulo

2.4.- RELACIONES

360 0

equivalen ~ 400 9

360 0

equivalen

) 2n:

rad

Mediante simples reglas de tres se pueden equivalencias entre las distintas medidas angulares.

equivalen ~ 2¡¡

rad

obtener fácilmente

las

400 9

tg x = senx cos x

=

%=!: = cateto opuesto al ángulo % c cateto contiguo al angula

Ej.: Obtener en grados centesimales y radianes, la medida angular de 45 0 SOLUCIÓN

1 cotgx

360°-400 9 } 45° - x

~

_ 45·400 = 50 9 360

x-

0

360 - 2n:rad } 45° - Y

~

45·2n: _ ~rad

c a

=­

= tgx

cosx senx

1 secx = - ­ cosx

1 cosecx = - ­ senx

Y=360- 4

Respecto a lo expuesto será necesario tener en cuenta las siguientes consideraciones: • En un triángulo rectángulo únicamente tiene sentido aplicar las razones trigonométricas a los ángulos agudos (nunca al ángulo recto).

158 159

4.- REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LAS RAZONES

• Obsérvese que la suma de los ángulos x e y es 90°, luego:

TRIGONOMÉTRICAS senx

b

= cos y =-

cos x = seny

a

=­

c

a

Se entiende por circunferencia goniométrica a aquella que tiene por radio la

• El seno y el coseno de un ángulo deben ser siempre valores comprendidos entre -1 y 1. Las otras razones trigonométricas pueden tomar valores cualesquiera .

unidad . Si consideramos un ángulo en el primer cuadrante de una circunferencia goniométrica, tenemos que:

e

• Es importante retener en la memoria la tabla siguiente:

o

45

60

2

J2 -

F3

J3

-

30 1

sen

O

cos

1

-

O

J3 -

tg

2

J2

2

2 1

3

-

2

90 1

I

O

I

r '

18

1

2

J3

senx = AD cosx = OA tgx = BC

co

cotgx = EF secx = OC cosecx = OE

El seno, coseno y tangente de otros ángulos no expuestos en la tabla se obtendrán con ayuda de calculadora . El cálculo de las restantes razones trigonométricas no suele tener interés, no obstante se pueden deducir inmediatamente ya que están relacionadas con el seno y coseno.

Ej.: Desde un punto del suelo, distante 10 m. del pie de una torre , se observa su coronación bajo un ángulo de 60°. Hallar la longitud de la torre. SOLUCiÓN

h[~ 10 tg60

=~ 10

~

J3=~ 10

160

~



Cuestión importante es conocer el signo que tienen las razones trigonométricas en cada cuadrante. Ahora bien, como ya sabemos que todas las razones trigonométricas están vinculadas al seno y al coseno, nos va a interesar manejar únicamente estas, y así conoceremos también el signo de las olras. Veamos:

@)EB~ffi

= =

sen x AB + cos x = OA = +

=­

sen x = AB cose x = OA = -

sen x = AB = + cos x = OA = -

h = 10F3m

161

sen x = AS = ­ cos x = OA = +

Obsérvese, que dependiendo de que la longitud correspondiente al seno o al coseno, se mida sobre un eje positivo o negativo, estos serán respectivamente positivos o negativos. Esto tiene interés, porque existirán razones trigonométricas de ángulos superiores a 90 0 , y será necesario reducirlas al primer cuadrante que es donde conocemos valores mediante la tabla anterior. En cualquier caso siempre sería factible obtener sus valores a través de calculadora .

Ej.: Calcular: sen 120

SOLUCiÓN

5.- ECUACiONES TRIGONOMÉTRICAS Una ecuación trigonométrica posee en general infinitas soluciones (salvo que estas se limiten expresamente). El fundamento es el siguiente: si a un ángulo de 30 0 le vamos sumando sucesivamente vueltas de circunferencia (360 0 ), lo que estamos obteniendo es distintos ángulos pero iguales posiciones para todos los ángulos obtenidos, por eso a las soluciones de las ecuaciones trigonométricas se les suma siempre 360 K ó su equivalente en radianes 21lK, donde K es capaz de tomar valores naturales O, 1, 2, 3, .

Ej.: Resolver: 'f

1801

sen 120

1

I

sen x =

!

2

SOLUCiÓN Como el senx es positivo, tiene que existir una solución en todos los cuadrantes donde el seno sea positivo (primero y segundo cuadrantes).

=sen 60 = .J3 2

Ej.: Calcular: cos 210

1801,

~n

l7//J

-.IV"

1 { x1 senx = ­ 2 x2

= 30 + 360K = 150 + 360K

SOLUCiÓN

Ej.: Resolver: cos x = _ cos 210

=-

cos 30

= _ .J3 2

.J2 2

SOLUCiÓN Como el coseno es negativo, existirán soluciones en el segundo y tercer cuadrante.

Ej.: Calcular: tg 315 SOLUCION

K r:-:::

tg 315

/

1360

= - tg 45 = -1 162

cos x = _ .J2 {x1 = 135 + 360K 2 x 2 = 225 + 360K

163

Ej.: Resolver senx = _

.J3

6.- FORMULACiÓN TRIGONOMÉTRICA

. 37t - < X < 2 7t 2

SI

2

SOLUCiÓN

Como el seno es negativo existirán soluciones en el tercero y cuarto cuadrante ,

pero como nos limitan la solución al cuarto cuadrante, únicamente aquí estará

la solución.

En todas las fórmulas que a continuación se exponen se pueden alterar los ángulos en la medida que dicte la fórmula.

6.1.- Relación fundamental de la trigonometría

sen 2 x + cos 2 x = 1

senx = _

2

3n

2

Ej.: Sabiendo que sen x = 0,8. Calcular el valor de las otras razones trigonométricas referidas al primer cuadrante. SOLUCION Teniendo el seno y el coseno, podemos obtener las demás razones trigonométricas .

.J3 )

~ x = 300

< x < 2n

NOTA.- Es posible también despejar trigonométrica en las formas siguientes.

la

incógnita

de

una

ecuación

sen 2 +cos 2 x=1

~ cosx=~1-sen2x=-J1 - 0,64=-JO,36 ~

.i

tg x = senx = 0,8 = ~ = cosx 0,6 6 3

sen x = a cos x = a tg x = a cotg x = a sec x = a cosec x =a

~ ~ ~ ~ ~

~

x = arc sen a

x = arc cos a

x = arc tg a

x = arc cotg a

x = arc sec a

x = arc cosec a

1

1 1 10 5

secx= - - = - = - = ­ cosx 0,6 6 3

cosec x =

La interpretación es la siguiente : x = arc sen a

~

3

cotg x = tgx = "4

_1_ _ 1 10 5

senx - 0,8 = "8 = "4

x es igual a un arco cuyo seno es a.

6.2.- Relaciones derivadas de la fundamental

1 + tg 2 X = sec 2 x

1 + cotg 2 x = cosec 2 x

164

165

cosx=0,6

Ej.: Sabiendo que tg x =

~

12

en el primer cuadrante, calcular el valor de

las restantes funciones trigonométricas.

SOLUCiÓN

1 12

cotgx = - = ­ tgx 5

Ej.: Deducir sin calculadora el valor de sen 15 SOLUCiÓN sen 15=sen (45-30)=sen 45 cos 30-cos45 sen 30=

J6 - .J2

.J2 .J3 .J2 1 = - - - - _ . _ = -­ 2

2

2

1+tg x=sec x

~

~

5 2 1+C 2r =sec x

1

secx= - cosx

~

~

sec 2 x = 169 144

cosx = _1_ sec x

13

secx = 12

2

Ej.: Si cos x =

2 2

~ en el primer cuadrante, calcular co{x + i)

SOLUCiÓN

12

13

3 5

cosx =tg x:: senx cosx

5

~

senx

12=15<3

~

4

~

~2

~

{3 /"f._~

senx=v1-cos x = 1-V5} -5

5

senx=­ 13

7t)

7t

7t

3

4

4

cos x+-Z =cosx cos-Z-senx sen-Z=s-0-s-1=-s

1 _ __ cosec x:: senx - X3

~

cosecx = ­

13

(

5

6.4.- Transformaciones al ángulo mitad

sen2a = 2sena-cosa

6.3.- Transformaciones de sumas

2

cos2a = cos 2 a - sen a sen (a+b) = sen a cos b + cos a sen b sen (a-b) = sen a cos b - cos a sen b

tg2a=~ 2

1- tg a

cos (a+b) = cos a cos b - sen a sen b cos (a-b) = cos a cos b + sen a sen b tg(a + b) =

tga + tgb 1-tga -tgb

Ej.: Expresar sen 3x en función de sen x

SOLUCiÓN sen 3x = sen (2x+ x) = sen 2x cos x +cos 2x sen x :: 2

2

=2 sen x cos x cos x+ (cos x + sen x) senx = tg(a-b)= tga-tgb 1+ tga -tgb

3

=2 sen x cos 2 x + cos 2 x senx - sen x = 3

2

= 2senx(1 - sen 2 x)+ (1- sen x) senx - sen x = 3

3

=2 sen x- 2sen 3 x + senx - sen 3 x - sen x = 3senx - 4sen x

166

167

6.5.- Transformaciones al ángulo doble

sen ~ =

2

· S'Imp I·ti .. EJ.: I Icar Ia expreslon

p-

SOLUCiÓN

cos x

2

cos~ = ~1 + cosx 2

sen3a + sena

2

cos3a + cosa

3a + a 3a-a 2sen _.._. - cos - - ­

2

2

3a+ a 3a-a 2cos - - cos - ­

2

x ~1-COSX tg-=

2 1+ cosx

Ej.: Si

sen3a + sena cos3a +cosa

2sen2a cos a 2cos2a cosa

= sen2a = tg2a

cos2a

2

Ej.: Resolver la ecuación cos 2x = cos x

SOLUCiÓN Como idea general, para resolver las ecuaciones trigonométricas, lo primero es conseguir el mismo ángulo en toda la ecuación y después conseguir la misma razón trigonométrica , todo ello, si es posible, sin introducir raíces. Veamos:

tg~ =.J2 calcular cos x

2

SOLUCiÓN

cos2x = cos x -t cos 2 X - sen 2 x = cos x -t cos 2 X - (1- cos 2 x)= cosx tg~= ¡1-cosx 2 iJ 1+ cosx

-t

..fi =

1 - cos x 1- cos x

----t2 = -t 2+2cosx=1-cosx 1+cosx 1+cosx

3 cos x = -1 -t cos x = -­

cos 2 x -1 + cos 2 x = cosx

-t

2 cos 2 X - cos x -1 = O

1

3

cosx =

1±~ = 1±3 =( \ 4 -­

2

6.6.- Transformaciones en producto cosx=1 senA + senB

= 2sen A + B Gas A 2

senA _ senB

Gas A + Gas B

- B

- B

2

= 2 Gas A + B Gas A 2

x1 ==0+360k

2

= 2 Gas A + B sen A 2

-t

1 {x 2 = 120 + 360k cosx =-­ 2 x3 = 240 + 360k

B

2

Gas A - Gas B = - 2sen A + B sen A - B

2

168

2

169

7.- RESOLUCiÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS

Ej.: Un triángulo tiene dos ángulos de 45° y 75° ángulo de 45° mide 10 m. Hallar los otros lados. SOLUCiÓN

Y el lado opuesto al

Los conceptos estrictos de las seis razones trigonométricas ya se ha visto que solo se pueden aplicar a triángulos rectángulos. Una generalización de la trigonometría permite obtener una formulación, que se utiliza para calcular medidas en cualquier tipo de triángulo.

e A

b

Aplicando el teorema del seno, se tiene que:

A

B

e

a Teorema del seno

~

a

b

c

senA

senB

senC

a

10

sen75

sen45

l -

b

10

-------sen75

--oo--oo-­

sen60

sen45

-t

a = 10sen75 sen45

=~ ~

b = 10sen60 sen45

-=-­

_b_ sen60

sen45

Teorema del coseno ~ a 2 = b 2 +c 2 -2bccosA b2

Ej.: Se sabe que uno de los ángulos interiores de un paralelogramo es de 600 y que sus lados miden 30 m Y 50 m. Hallar la diagonal mayor del

= a 2 +c 2 -2accosB

paralelogramo. SOLUCiÓN

c 2 = a 2 +b 2 -2abcosC

Teorema de la tangente

~

a+b -­ a-b

A+B tg- ­ 2 A-B tg - ­ 2

e

D

30 1200

Fórmula de Briggs

~ t g~ =

p = semiperímetro

B

50

A

" " "

/\

A+B+ C+D = 360° NOTA.- Los teoremas del coseno, tangente y Briggs se pueden generalizar para cualesquiera otros ángulos y lados, alterándolos según la disposición que presentan en las fórmulas.

170

(/\ /\ l A=C

Y B=D

/\ /\J

-t

2B=240

/\

/\ /\

/\

2A+ 2B

= 360°

~

120 + 28 = 360 0 171

-t

B = 1200

En el triángulo ABC por el teorema del coseno, se tiene que:

GEOMETRíA ANALíTICA DE LA RECTA 2

2

2

b = 30 + 50 - 2 . 30·50· cos 120 = 900 + 2500 - 3000(- cos 60) =

1.- COORDENADAS CARTESIANAS O RECTANGULARES 1 = 900 + 2500 + 3000 . - = 4900 2

b

2

=

4900

---+

b = -J4900

---+

b= 70m

Se llama así a un sistema de referencia, dotado para representar puntos, líneas o figuras geométricas en el plano. Básicamente consiste en lo siguiente: • Dos rectas o ejes que se cortan perpendicularmente, forman el esqueleto fundamental del sistema de referencia, y reciben el nombre de ejes de coordenadas. El punto de intersección de los ejes recibe el nombre de origen de coordenadas. Al eje horizontal se le denomina eje de abscisas y al eje vertical, se le llama de ordenadas.

~

De tal forma que el eje horizontal o de abscisas se considera positivo del origen hacia la derecha y negativo del origen hacia la izquierda. El eje vertical o de ordenadas es positivo del origen hacia arriba y negativo del origen hacia abajo.

y+

x I - - - - - + - - - - - - i l x +1 -

Eje Horizontal (Abcisas)

y

+

Eje Vertical (Ordenadas)

• Cualquier punto que haya de situarse en los ejes coordenadas debe expresarse de la forma (a,b) en donde el primer elemento corresponde siempre a un valor de abscisa y el segundo a un valor de ordenada. a::: abcisa } b ::: ordenada coordenadas

172 173

Para representar estos puntos se elige una unidad cualquiera, que debe mantenerse igual en todo el dibujo. Cuanto más grande se elija la unidad más grande se reproducirá el dibujo. Para representar un punto, se llevan sobre el eje horizontal, las unidades que indique la abscisa de éste, en sentido positivo o negativo del eje según se indique. A continuación llevamos las ordenadas sobre el eje vertical, también en sentido positivo o negativo del eje según se indique. El punto de intersección de las perpendiculares trazadas a los ejes por estos puntos de abscisa y ordenada, es la representación gráfica del punto en cuestión.

Ej.: Representar los siguientes puntos en un sistema de coordenadas cartesianas o rectangulares: A(2,1), 8(-3,2), C(-2, -1), 0(3,-2). SOLUCI6N

Ej.: Son rectas en el plano las ecuaciones: 3x - 2y

=

Y 6;

x =O.

=5;

7x - 5

=O;

Pues bien, siempre que queramos representar una recta, es suficiente para ello, el tener dos puntos cualquiera de la recta en cuestión (Por dos puntos pasa una sola recta). Cualquier punto de una recta se puede obtener fácilmente, dando un valor cualquiera a una de las letras de la ecuación representativa de la recta y obteniendo el valor de la otra letra por la relación que indique la ecuación, obteniendo así un valor de x (abscisa) y un valor de y (ordenada), que definen un punto de la recta en cuestión.

=

Ej.: Dibujar la recta: x + y 4 SOLUCI6N Por ejemplo damos a x el valor de 1, así que el valor de yes:

1+y=4

y+

y=4 - 1

~

~

y=3

Con lo que tenemos un punto de la recta, colocando primero el valor de x y luego el de y: (1,3). Vamos a obtener otro punto, necesario para dibujar la recta. Por ejemplo damos a x el valor 2, así que el valor correspondiente de y es:

B( -3,2) r-----­

2+y=4

I

x-

r

----r A(2,1)

I

1

x+

r

C(_2,_1)L--­

1 1

------1

D(3,-2)

y=4-2

~

~

Con lo que tenemos otro punto de la recta: (2,2) Esto se suele hacer generalmente, en lo que se llama una tabla de valores, de forma esquemática para x + y = 4

*

~

~ I~ ~

(1,3)

(2,2)

y-

y+

También podemos representar rectas en un sistema rectangular. Antes debemos saber que una recta gráficamente viene expresada analítica o matemáticamente por un polinomio de primer grado con dos (o una) incógnitas o letras.

x­ x+y=4

y

174

y=2

175

Ej.: Dibujar la recta: 2x + y = 6

SOLUCiÓN

2.-INTERSECCIÓN DE RECTAS. SOLUCiÓN GRÁFICA DE UN SISTEMA DE ECUACIONES

2x + y == 6

+4-~ ~

I~

~

Consiste en representar gráficamente, cada una de las rectas que forman el sistema de ecuaciones.

(0,6)

(1.4 ) La solución del sistema , es la intersección de ambas rectas, ya que debe ser un punto que pertenezca a las dos simultáneamente .

y+

Ej.: Resolver el sistema:

X+ Y=3} x+2y=4

SOLUCiÓN

x + 2y = 4

x+ y=3 x­

2x+y=6

x+

y­

i-+t~ ~ I~ ~

~~

(0,3) (3,0)

~ I~

~

(0,2) (4,0)

Nota.- Lo mismo que se le dan valores cualesquiera a x para obtener los correspondientes de y, se le pueden dar valores a y para obtener los correspondientes de x. Ej.: Dibujar la recta: 3x - 2y SOLUCiÓN

=4

IY+ y+

'i:. (0,3)

3x-2y==4

/

X

¡--

SOLUCIÓN DEL SISTEMA

x+ y=1

y

3x - 2y

-m­

x+

X

x+ 2y= 4

=4

O

-2 ~

1

1/2 ~

x+y= 3

Y-

(O, -2)

(1 , -1/2)

176

177

3.- ECUACIONES DE UNA RECTA. PENDIENTE DE UNA RECTA 3.1.- Ecuaciones de la recta.

Pues bien, se entiende por pendiente de una recta (m), también llamada coeficiente angular, a la tangente trigonométrica de su ángulo de inclinación , que es la definición más genuina de pendiente de una recta :

~aI

Las dos formas más generales de exponer la ecuación de una recta son: ~ ~

En forma implícita (cuando no está despejada la y) En forma explícita (cuando si esta despejada la y)

~

Ax + By + C == O

~

y == mx + h

Existen también otras formas de obtener la pendiente de una recta , según los datos de que dispongamos.

Se entiende por vector director (v) de una recta, a cualquier vector que este sobre la recta. Dicho vector se obtiene siempre , al manipular dos puntos cualquiera de la recta . V(V1,V2)

~

y

V(B, -A)

(x"y,)

/

(x, ,y,)

a

V(X2-X1'Y2-Y1)~v(B,-A)

x

Ej.: Hallar el vector director de la recta que pasa por los puntos (1,2) Y (3, -4). SOLUCiÓN v (1-3,2 +4) == v (3 - 1, -4 - 2) == v (2, - 6) ~

v(1,-3)

~

v(-1,3)

Obsérvese que las diferencias de abscisas u ordenadas se pueden efectuar en un sentido u en otro . Lo importante es que el vector este sobre la recta para que la defina, no importa que lleve un sentido u otro sobre la recta, lo cual implica también que las componentes de un vector director las puedo dividir o multiplicar por un mismo número, sin que deje de definir a la misma recta . NOT A.- Se sugiere no confundir un vector director con un punto, ya que son elementos diferentes. En cualquier caso se suele especificar en los problemas, de que elemento se trata .

• Conociendo su ángulo de inclinación a ~ m == tg a.

~

• Conociendo su vector director V(V1.V2)=v(B,- A) • Con su ecuación implícita Ax + By + C = O • Con su ecuación explicita y

=mx + h

~

m

m=2 v1

=-~B

~ coeficiente de x (m).

• Conociendo dos puntos (X1 ' Y1) Y (X2,Y 2)

~

m=Y2-Y1 x2 - x1

=-~2

3.2.- Pendiente de una recta

Ej.: la pendiente de la recta 3x + 2y - 7 = O es m

Se entiende por ángulo de inclinación (a) de una recta, al ángulo que forma la recta con la dirección positiva del eje x.

Ej.: la pendiente de la recta de vector director v (3,5) es m =

~3

Ej.: la pendiente de la recta de ángulo de inclinación 45° es m y+

=tg 45 == 1

Ej.: la pendiente de la recta y = 8x + 5 es m:= 8

y+

Ej.: la pendiente de la recta que pasa por los puntos (1,2) y (-3 ,7) es:

7- 2 2-7 5

m=--:= - -=-­ -3-1 1+3 4

--t--7'/'----'---

x+

"<

178

x+

Obsérvese que las diferencias de abscisas u ordenadas se pueden efectuar en cualquier sentido, siempre que se mantenga el mismo sentido elegido para ambas diferencias. 179

Ej.: Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (0,2) Y tiene por

4.- FORMAS DE HALLAR LA ECUACiÓN DE UNA RECTA 4.1.- Ecuación punto-pendiente. Sirve para hallar la ecuación de una recta cuando conocemos un punto de ella (X1,Y1) y su pendiente (m)

[ - y-y;=m[X- X 1)

- -

I

vector director al (3,4) SOLUCiÓN

x-0=y-2 3 4

~

4x=3y-6

4x-3y+6=0

~

5.- PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD DE RECTAS

Ej.: Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (2, -5) Y tiene de pendiente 3. SOLUCiÓN y + 5 = 3 (x - 2) ~ Y +5 = 3x - 6 ~ 3x - y - 11 = O

5.1.- Rectas paralelas

Si dos rectas son paralelas , sus pendientes son iguales.

AY.. + By + C = O

//~

4.2.- Ecuación de una recta que pasa por dos puntos Sirve para hallar la ecuación de una recta, cuando conocemos dos puntos de ella (X1,Y1) y (X2,Y2)

r

A'x+B'y+C' =0

~-Lh x2- x1

Y2-Y1

c::

Ej.: Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos (3, 2) Y (-4,5) SOLUCiÓN

x-3 -4-3

y-2 5-2

--=--

~

x-3 y-2 - - =--

-7

3

~

m1 =m2

También si dos rectas son paralelas, se puede decir que sus coeficientes de x e y deben de ser proporcionales.

~

3x -9 =-7y+14

~

3x + 7y-23 = O

Se puede considerar como punto uno y como punto dos a cualquiera de ellos, indistintamente. También es parecida la forma de cálculo cuando nos dan un punto de la recta (X1,Y1) y su vector director V(V1,V2)

, --- -- -- J

X-X1=Y-Y1 v1

v2

A

B

A'

B'

Ej.: Hallar la pendiente de un recta paralela a la recta de ecuación

3x-5y-6= O SOLUCiÓN La pendiente de cualquier recta paralela a la dada es: A

3

3

B

-5

5

m=--=--=­

180

181

Ej.: Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (1,2) y es paralela a la recta de ecuación: 3x + y - 6 O SOLUCiÓN

=

La pendiente de la recta 3x + y - 6 es m = -~ = -3, luego la pendiente de la

6.- ECUACIONES PARTICULARES DE RECTAS Son ecuaciones que es necesario conocer por su importancia.

1

recta pedida es la misma por ser paralelas. De la recta pedida tenemos entonces de punto (1,2) Y su pendiente m::: - 3, su ecuación es pues:

~

y-2=-3(x-1)

~

y-2=-3x+3

3x+y-5:::0

5.2.- Rectas perpendiculares Si dos rectas son perpendiculares sus pendientes son inversas y de signo contrario.

~

Ecuación del eje x

~

~

Ecuación del eje y

~

Ecuación de una recta paralela al eje x

~

~

Ecuación de una recta paralela al eje y

~

~

Ecuación de la bisectriz del 1° y 3° cuadrante

~

y= x

~

Ecuación de la bisectriz del 2° y 4° cuadrante

~

y = -x

~

y=O x=O

y

=k

x::: k

Ej.: Hallar los puntos de corte con los ejes, de la recta 3x - y - 6::: O SOLUCiÓN Para hallar el punto de corte con el eje x, habrá que resolver el sistema de ecuaciones, formado por la recta y la ecuación del eje x (y ::: O)

I

m1=-~

3X- y -6=0} y=O

I

Ej.: Hallar la pendiente de una recta perpendicular a la 3x _ 7y + 2 =0

SOLUCiÓN

· A = __ 3 :::_ 3

P endrente de Ia recta dada ~ m = __

B

-7

Pendiente de una perpendicular a la anterior ~ m:::-"i

x=2

~

(2,0)

Para hallar el punto de corte con el eje y, resolveremos el sistema formado por la ecuaci"m de la recta y la ecuación del eje y(x::: O)

y 3X- -6=0} x=O

7

~

~

y=-6

~

(0,-6)

3 Ej.: Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (3, -5) Y es perpendicular a la recta de ecuación 2x - 7y +3 =0 SOLUCiÓN La pendiente de la recta 2x - 7y + 3 ::: O es m

= _2 = 3., -7

7

de una perpendicular es inversa y de signo contrario es decir De la recta pedida conocemos

luego la pendiente

7 2

182

Pendiente de la bisectriz

~

Pendiente de la recta pedida

~

~

m = 1

igual que la bisectriz

~

m = 1

Ecuación de recta pedida:

y+5=1(x-1)

~

y = x

m=-­

entonces el punto (3, -5) Y su pendiente

7 .. m =--, su ecuacron es pues: 2

7

y+5:::--(x-3) ~ 2y+10=-7x+21 2

Ej.: Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (1, -5) Y es paralela a la bisectriz del primer cuadrante. SOLUCiÓN

~

y+5=x-1 ~-x+y+6=0

7x+2y-11=0 183

a+3 =2 2

7.- PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO Si un segmento tiene por extremos a los puntos coordenadas de su punto medio, se obtienen por:

y ,

(X1'Y1) y (X2,Y2), las

b-1=5 2

~

~

a=1

b =11

1

~(a,b)=(1 ,11)

,. (X 2,Y2)

.,.,..,."M

(X~' Y1)

8.- DISTANCIAS

x M( X1

~X2 , Y1 ~ Y2 )

--J

8.1.- Distancia entre dos puntos

y

(x" y,) Ej.: Hallar el punto medio del segmento que tiene por extremos a los puntos (2,5) y (4,7) SOLUCiÓN

(X" y,)

x

(4,7) "

.

;o'M

(2 ,5)

d = ~(X2 - X1)2 + (Y2 - Y1?

M( 2;4,5;7) = M(3,6)

Ej.: El punto medio de un segmento es el punto M(2,5) y uno de sus extremos es el punto A(3,-1). Hallar las coordenadas del otro extremo del segmento. SOLUCiÓN

Llamando (a ,b) al otro extremo del segmento, podemos plantear:

Ej.: Hallar la distancia entre los puntos (2,1) Y (3,5) SOLUCiÓN

d=~(2_3)2+(1 - 5)2 =~(3_2)2+(5-1)2 :.J1+16:f17

B(a,b)

" " M(2,5)

. A(3,-1 )

Obsérvese como se puede considerar como punto uno Y como punto dos, a cualquiera de ellos indistintamente .

185 184

8.2.- Distancia de un punto a una recta

Ej.: Determinar a con las rectas 6x + 5y + 7 = O, ax + 2y + 3 = O, para

que sean paralelas y también para que sean perpendiculares.

SOLUCiÓN

Obtengamos primero las pendientes de las rectas:

Ax+By+C=O

y

(x"y,) x

m=-~ 5

m o:-~

2

a 2

--)

ao:~ 5

Si deben de ser perpendiculares, sus pendientes serán inversas y de signo contrario (se mantiene una de ellas fija y con la otra se hace la inversa y de signo contrario).

Ej.: Hallar la distancia desde el punto (2,3) a la recta 4x _ 5y + 6 SOLUCIÓN

6/_1- 1 1

x+2y+3 =0

--)

6 5

~2+B2

~4 2 + (_ 5)2 -

--)

Si deben de ser paralelas, sus pendientes serán iguales:

r~ IAx1+BY1+C

4 d o: 1 . 2 - 5 . 3 +

6x+5y-7o:0

=O

6 5

2 a

--)

- 6a

= 10

--)

10 6

a =- -

Obsérvese que las barras verticales, están para indicar que se considere el valor absoluto del resultado, es decir que si este se obtuviese negativo, se expone a continuación de forma positiva.

Ej.: Un triángulo isósceles tiene por base (lado desigual), al segmento que une los puntos (1, -2) Y (6,3) Y el otro vértice está situado en la recta 3x - y + 8 O. Hallar las coordenadas del tercer vértice y la altura del triángulo relativa al lado desigual. SOLUCiÓN En los problemas de analítica no es necesario dibujar exactamente la situación , sino hacer cualquier dibujo que sirva para seguir el problema. Llamemos (a,b) al tercer vértice pedido

Ej.: Averiguar si los puntos (1,3) (2,6) Y (3,9) forman un triángulo. SOLUCiÓN Hallamos la ecuación de la recta que pasa por dos cualquiera de los puntos. Si el tercer punto verifica la ecuación de la recta obtenida, es que están alineados y no forman triángulo.

En el caso de la recta que pasa por (1,3) Y (2,6).

x- 1 o:

y-3 6-3

--)

x - 1 o: y-3 1 3

--)

3x - 3 o: y - 3 --)

3x - yo: O

A(1,-2) I

\ 6(6,3)

El punto (3,9) --) 3·3 - 9 o: O --) verifica la recta obtenida , luego los tres puntos están alineados y no forman triángulo.

186

5

a 0:-'3

1

.J41 o: .J41

=

2-1

--)

187

Como necesitamos calcular dos incógnitas que son las coordenadas del punto pedido (a,b), formaremos un sistema de dos ecuaciones. Veamos :

El punto (a,b) verifica la recta dada por estar en ella.

Ej.: Las coordenadas de los vértices de un paralelogramo son A(3,5),

8(6,0), C(8, -2) y el cuarto vértice D es opuesto al 8. Calcular el vértice D,

el centro y el área del paralelogramo.

SOLUCiÓN

¡¡¿¿:;;

A(3,S)

3a-b +8 = O

Las distancias AC:: BC, luego:

o

~(a-1)2 +(b+2)2 =J(a-6)2 +(b-3)2

-7

P

C(8,-2)

Planteamos un gráfico cualquiera del problema como seguimiento de este.

2 2 a + 1- 2a + b + 4 + 4b = a 2 + 36 -12a + b 2 + 9 _ 6b

10a + 10b - 40 = O

B(6,0)

El vértice O, lo calculamos como intersección de las rectas AO y CO. Ecuación de AO

a + b - 4=O

-2-0 mAO = mBC = 8-6 = -1

Yun punto de AO es A(3,S)

luego el sistema a resolver es: y - S = - 1 (x - 3)

O}

3a - b+8= a+b-4=0

a =-1

-7

<

<

-7 X

+y - 8 = O

C(-1,S)

-7

-7

2'2 (7

M -2-'-21+6 -2+3J = M (

1J

S-O

JH)' +(~)'

<

J~' +~' 1'!2 9f <

S

= mAB = 3 _ 6 = -3' y un punto de CO es C(8,2) S y+2=--(x-8)

3

CM J(-1- ~r +(5-i)'

Y - S =-x + 3

Ecuación de CO b=S

-7

mco Para hallar la altura CM, calculamos M

-7

-7

3y+6=-Sx+40

-7

Sx+3y-34=0

Cálculo de O

Como intersección de AO y CO, resolvemos el sistema formado por ambas.

<

x+y-8=0 } Sx + 3y _ 34 = O

-7

X=

S

-7

Y= 3

-7

Calculo del centro M, como punto medio del segmento AC

M(~ ~) = M(~2 '2~) 2 ' 2 188

189

0(S,3)

Cálculo del área, considerando como base a CD y como altura a AP

CD=~(8-5)2+(_2_3)2 =~32+(_5)2

=54

NÚMEROS COMPLEJOS 1.- ORIGEN DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS. UNIDAD IMAGINARIA

La distancia AP, es la que se obtenga desde el punto A a la recta CD

AP"15~34H;'I" ;,. El área es pues:

Obsérvese que no es posible desde el punto de vista del campo real, obtener por ejemplo r-4, ya que no existe ningún número real, tal que elevado al cuadrado nos reproduzca - 4. Para ello creamos, una unidad "artificial" llamada unidad imaginaria que es Dicha unidad solventa el problema de calcular por ejemplo r-4.

n .

A dicha unidad imaginaria se la representa por "i".

área

= CD· AP = J34. ~ == 4

unidad imaginaria

--7

~=i

J

"V'34 Téngase presente que los logaritmos de números negativos tampoco están definidos en el campo real y son por tanto número complejos . Ej.: Calcular SOLUCiÓN

n ..J-4 =.J4.~ =2i

Ej.: Resolver SOLUCiÓN

x2 - 2x + 5 = O

x= 2±~ 2

2±~ =2±J16~ =2±4i =( 2

2

2

1+ 2i 1-2i

2.- ELEMENTOS DE UN NÚMERO COMPLEJO Como se ha visto anteriormente, un número complejo nace espontáneamente

con la forma a + bi.

Pues bien , un número complejo consta de dos partes: parte real y parte

imaginaria.

La parte real "a" es la que no va junto a la "i" y la parte imaginaria "b" es la que

va junto a la "i".

190

191

llevando los valores de "a" y "b" a la forma binómica, se obtiene:

Ej.: Hallar el módulo y el argumento del complejo -3i SOLUCiÓN El complejo completo es de la forma 0- 3i

= =

a+bi=m cosa+m sena i=m(cosa+i sena)

parte real a O parte imaginaria b

= =- 3

m=~02+(-3? tga = - 3 =

O

m(cosa + i sena) =)9 =3

~

--00

a = 270 (el afijo esta en el eje

y)

3.4.- Forma polar o modulo argumental

3.- FORMAS DE UN NÚMERO COMPLEJO

Para representar un punto en un plano existen dos formas distintas: representarlo en forma cartesiana de la forma (a,b) o representarlo en forma polar, que consiste en referir el punto, mediante la distancia que hay desde el origen al punto (que equivale al módulo de su vector asociado) y del ángulo que esta distancia forma con la dirección positiva del eje x (argumento).

3.1.- Forma binómica La representación simbólica de la forma polar es pues:

1-

a+bi

mn 3.2.- Forma cartesiana

NOTA.- Para un mismo número complejo, dichas formas entre sí, son equivalentes. (a.-b)

-­

a+bi=(a,b)=m(cosa+i sena)",m n

Para pasar de consideraciones:

3.3.- Forma trigonométrica o factorial partes imaginarias (y)

~

una

forma

a otra

se

pueden

hacer las

siguientes

Paso de binómica o cartesiana a trigonométrica o polar

Esta cuestión queda resuelta buscando el módulo y el argumento del complejo en cuestión y situándolos según se expone en la trigonométrica o polar.

b

~

a

partes reales (x)

Paso de polar a binómica

Este es el paso inverso al anterior y queda resuelto transformando de polar a trigonométrica , y operando en esta surge espontáneamente la forma binómica. En este caso la forma trigonométrica actúa de tránsito entre la polar y binómica.

a = m cos a b = m sen a

194

195

Ej.: Expresar en forma trigonométrica y polar el complejo SOLUCiÓN Buscamos el módulo y el argumento:

.J3 - i

Ej.: Hallar el conjugado de 5+ 3i SOLUCiÓN El conjugado de 5 + 3i es 5 - 3i Véase la simetría gráfica que existe entre ambos.

m=

J(.J3f + (-1? =2 -=2

tga = .J3 = _ 3 .J3

~

y

a=330

1('"

x

(5, -3)

Sustituimos m y a en las formas pedidas:

Forma trigonométrica

~

2(cos 330 + i sen 330) NOTA.- Cualquier ecuación de coeficientes reales, que tenga una solución compleja, admite también su conjugada. Es decir, que la soluciones complejas conjugadas van siempre emparejadas en cualquier ecuación de coeficientes

Forma polar ~ 2330

reales. Esta cuestión se puede considerar como uno de los principios fundamentales 3.5.- Forma exponencial

del algebra.

I-

me uj

4.- PARTICULARIDADES EN EL CAMPO COMPLEJO

4.2.- Se entiende por números complejos opuestos a aquellos que tienen cambiada de signo, la parte real y la imaginaria.

Ej.: Hallar el opuesto de 3+2i

SOLUCiÓN

El opuesto de 3+2i es - 3 -2i

Véase la representación gráfica de ambos. y

4.1.- Se entiende por números complejos conjugados a aquellos que tienen cambiada de signo la parte imaginaria

1------,•. " (3 , 2)

Si z es un número complejo, se representa a su conjugado por z. Por otra parte, dos números complejos conjugados son siempre simétricos respecto al eje x o eje real, ya que sus argumentos son siempre opuestos (si uno es a, el otro es -a).

196

....Ir (-3, -2)

197

x

4.3.- Se definen números complejos recíprocos o inversos, como aquellos en que su producto es la unidad real.

6.- POTENCIAS DE i

Si un complejo es a + bi su inverso es

Como veremos posteriormente, al operar con número complejos pueden surgir potencias de i con exponente superior a la unidad .

a+bi

Ej.: Hallar el inverso o recíproco de 7+ i

SOLUCiÓN

Dichas potencias es necesario reducirlas ya que en los resultados operativos, la i debe de estar con exponente unidad, exclusivamente. Obsérvese que potencias originales de i, existen cuatro, ya que a partir de el ciclo se vuelve a repetir.

El inverso de 7 + i es

7+i

i

4.4.- Se entiende por número imaginario puro, a aquel que no tiene parte real, es decir, que su parte real es cero.

Ej.: El complejo 3i es imaginario puro (3i == O + 3i)

=i

i3 = - i

i 2 =-1

i

4

i5

=1

Ej.: Hallar el valor de ¡343 SOLUCiÓN Dividimos el exponente entre 4 343 23

L±­ 85

3

4.5.- Se entiende por número real, a aquel que no tiene parte imaginaria, es decir que su parte imaginaria es cero.

5.- PRINCIPIO DE IGUALDAD DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS Si dos números complejos son iguales, deberán ser iguales sus partes reales e imaginarias respectivamente.

a=e {b=d

Ej.: Hallar el valor de x e y en la igualdad: 2 + x + (3+y) ¡ = 8 +7i SOLUCiÓN Aplicando el principio de igualdad de los números complejos, se tiene: 2+x=8 ~ x==6 3+y==7 ~ y=4

198

=i 4'85 +3

= i 4 .85 . i 3 = i3 =-1

NOTA.- Si el exponente de "i" es superior a 4, se divide el exponente entre 4 que es el período de repetición y el resultado es siempre "i" elevado al resto de la división .

Ej.: El complejo 8 es real (8 == 8 + Oi)

a +bi =c+di

i 343

7.- SUMA Y DIFERENCIA DE NUMEROS COMPLEJOS La suma o resta de números complejos, da como resultado otro número complejo que se obtiene operando como si fuesen binomios. Es decir, que la parte real del complejo resultante es la suma o resta de las partes reales de los complejos en cuestión y la parte imaginaria es la suma o resta de las partes reales de los complejos en cuestión y la parte imaginaria es la suma o resta de las partes imaginarias.

Ej.: Sumar los complejos Z1 = 3 + 5i SOLUCION

Y Z2 = 7 + i

Z1+Z2 =3+5i+7+i=10+6i

199

Ej.: Dados los complejos SOLUCiÓN

z1

= 3 + 4i

Y z2

= 6 + 8i

,ha"ar z1 - z2

Z1 - Z2 = 3 + 4i - (6 + 8i) = 3 + 4i - 6 - 8i = -3 - 4i

NOTA.- La suma o diferencia de números complejos sólo se puede efectuar en forma binómica, nunca en forma polar.

9.- COCIENTE DE NUMEROS COMPLEJOS 9.1.- En forma binómica El cociente de dos números complejos es otro número complejo, que se obtiene multiplicando numerador y denominador del cociente propuesto, por el complejo conjugado del denominador.

Ej.: Hallar el cociente

3+i 2+5i

SOLUCiÓN

8.- PRODUCTO DE NUMEROS COMPLEJOS

6 -15i + 2i - 5i 2 2 2 _ (5i)2

3+i 3 + i 2 - 5i 2 + 5i = 2 + 5i . 2 - 5i

8.1.- En forma binómica

6 - 15i + 2i + 5

11

4 +25

29

El resultado de multiplicar dos números complejos, es otro número complejo que se obtiene operando ambos, como si fuesen dos binomios, teniendo en cuenta al final, de reducir las potencias de i, superiores a la unidad.

' te d ' ' · Dad o e i coclen e numeros comp l eJos EJ.:

Ej.: Dados los complejos z1 = 6 - 2i SOLUCiÓN

que:

a) Sea un imaginario puro.

b) Sea un número real.

c) Tenga su afijo en la bisectriz del primer cuadrante.

SOLUCiÓN

Primero vamos a efectuar el cociente

Y

z2 = -3 - 4i, hallar z1' z2

Z1 . z2 = (6 - 2iX- 3 -4i) = -18 -24i + 6i + 8i 2 = -18 - 24i+ 6i - 8 = -26 -18i

8.2.- En forma polar

13 . 29

-----=---1

3 -- -2xi o , 4-31

3 - 2xi 3 - 2xi 4 + 3i 12+ 9i-8xi-6xi 2 - = - _ . _ - ---:;,----------;:,-----4 - 3i 4 - 3i 4 + 3i 4 2 - (3il

d et ermmar . x para

12 + 6x

9 -8x .

25

25

= - - + --1

a) Para que sea un imaginario puro, su parte real debe ser cero

e

12 + 6x = O 25

~

12 +6x = O

~

x= -2

ma . ma' = (m . m')a+cx' b) Para que sea un número real, su parte imaginaria debe ser cero 9-8x=0 25

Ej.: Ha"ar 230 . 3 50 SOLUCiÓN

230 . 350 = (2 . 310+50 = 680

~

9 x=8

c) Para que el afijo este en la bisectriz del primer cuadrante, su parte real debe ser igual que su parte imaginaria (cualquier punto que este en la bisectriz del primer cuadrante tiene igual abscisa que ordenada). 12+6x=9-8x 25 25

200

-79-8x=0

~

12+6x=9-8x

201

-7

14x=-3

-7

3

x=-14

9.2.- En forma polar

Ej.: Hallar (2 35 SOLUCiÓN

[ -~=(~t-a'

t (235t = ~4135 = 16140

-J

11.- RAIZ DE UN NÚMERO COMPLEJO Ej.: Efectuar el cociente

10

300 540

11.1.- Er, forma binómica

SOLUCiÓN 10 300

5 40

= (~) 5 300-40

Hallar la raíz de un número complejo en forma binómica, sólo tiene interés cuando la raíz que se quiera hallar, es cuadrada, ya que las raíces de índices superiores crean unas complicaciones de cálculo tales, que no merece la pena canalizar su solución en binómica, pero si en polar.

= 2260

10.- POTENCIA DE UN NÚMERO COMPLEJO 10.1.- En forma binómica Para elevar un número complejo en forma binómica, a una potencia cualquiera se utiliza generalmente el binomio de Newton (ver tema de combinatoria), excepto que la potencia sea dos o tres, que podemos aplicar los desarrollos del cuadrado de una suma o del cubo de una suma (o multiplicar como dos polinomios). Ej.: Hallar el número complejo resultante de (2+ i)4 SOLUCiÓN

(2 +¡)4

=

Para hallar la raíz cuadrada de un número complejo en forma binómica, se pretende que el resultado sea otro número complejo de la forma xf-yi, que posteriormente calcularemos mediante cálculo elemental. Ej.: Hallar las raíces cuadradas de -2i SOLUCiÓN

~

F-2i=x+yi

-2i=(x+yil

~

-2i=X2 + (yi)2 +2xyi

-2i = x2 _y2 +2xyi Aplicando el principio de igualdad de los números complejos, obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones.

(~)24¡O +( ~}3 ¡1 +(~}2 ¡2 +(;}.¡3 +(:}O¡4

= 16 + 32i + 24i 2 + 8i 3 + i4 = 16 + 32i - 24 - 8i + 1= -7 + 24i También se obtiene el mismo resultado operado así:

X2 - y2 =

O)

~

1

x=-­

Y

2xy =-2

(-~r _y2 =0

~

1 -;¡_y2 =0

~

1-l =0

Y

(2+i) (2+i) (2+i) (2+i)

y = ±fi

~

y = ±1

10.2.- En forma polar. Fórmula de Moivre para y = 1

[- (mat :-(m n)na - 202

I

para y

= -1

~

x = -1 ~ -1 + i

~

x

=1

203

~ 1 ­

11.2.- En forma polar

AMPLIACiÓN DE POLINOMIOS

l

1m:: = (rm)~~

1.- INTRODUCCiÓN La comprensión de este tema, esta indudablemente ligada a un conocimiento previo de cuestiones tales como:

donde k recibe valores enteros (k = O, 1,2, 3, ... , n-1) desde k = O hasta k == n -1, ya que para k = n se vuelven a repetir las raíces obtenidas anteriormente. Téngase en cuenta que los argumentos de todas las raíces forman una ., antme . 't'Ica de razon ,360 k

- __ progreslon n

Ej.: Hallar ~1+ i SOLUCiÓN Hallamos primero el modulo y el argumento de 1+i para pasarlo a forma polar

Introducción a los polinomios, estudio general de ecuaciones y números complejos. Pues bien, las raíces de un polinomio, podemos clasificarlas, en dos grandes grupos: ~ Raíces reales Engloba a aquellas que sean enteras, fraccionarias o irracionales.

NOTA.- En general y salvo excepciones, el cálculo de raíces irracionales (reales con radicales) sólo es posible hacerlo por procedimientos aproximados, o tener la posibilidad de obtenerlas, a partir de una ecuación de segundo grado. ~

1+i

I

m=f12:12=J2

tga =

fu¡ = ~(J2)45

-+

-+

~=1

-+

a = 45

3

para k = 1 -+ para k =2 -+

Aunque su cálculo muchas veces es difícil de determinar, su posible presencia es importante tenerla en cuenta, como veremos más adelante, ya que incide de forma importante en la filosofía general del cálculo de soluciones de una ecuación. Por ello, habrá que tener en cuenta como teorema fundamental del algebra que si un polinomio o ecuación con coeficientes reales posee una raíz compleja, automáticamente posee también su conjugada .

(~)~+360k

para k = O -+

(J2)45

Raíces complejas

(~~5

(~~35 (~155

Es decir que las soluciones complejas conjugadas van siempre emparejadas y ambas conformaran ineludiblemente siempre una ecuación de segundo grado, de la cual nacerán. A su vez, los dos tipos de raíces fijados anteriormente, pueden ser de dos formas : • Raíces simples o sencillas Son aquellas que se encuentran una sola vez contenidas en la ecuación propuesta . • Raíces múltiples Son aquellas que se encuentran , dos o más veces contenidas en la ecuación propuesta. A la cantidad de veces que una solución se repite en un polinomio o ecuación se le llama índice de multiplicidad de la raíz.

204

205

2.- CARACTERISTICAS GENERALES SOBRE LAS RAICES DE UN POLINOMIO O ECUACiÓN

Ej.:

Obsérvese

p(x} = x 3

_

3x 2

como

_ X+3

x

=

1

es

solución

del

polinomio

ya que al sustituir x por 1 en el polinomio, esta raíz

lo verifica: Todas las características que se van a indicar a continuación son de carácter general y nos van a proporcionar una determinada información sobre el polinomio o ecuación, con el solo hecho de observarlo, sin utilizar ningún cálculo previo. ~ El grado de un polinomio o ecuación, nos indica siempre la cantidad de soluciones que posee este.

P(1) = 13 _3.1 2 -1+3 =0 Desde otro punto de vista, es lo mismo que decir que el polinomio dado es

divisible por el binomio x -1.

Obsérvese:

1 Ej.: El polinomio x 6

-

3x 2 + X

-

l'

-3 1

-1 -2

-2

-3

3 -3

IT

5 posee 6 raíces

~ Si un polinomio o ecuación es de grado par, es posible que no tenga raíces reales, y si las tuviese, su número necesariamente ha de ser par, ya que las raíces complejas que tuviese, siempre serian un número par, al ir emparejadas .

x 4 - 3x 3 + 5x 2 Ej.: El polinomio combinaciones de raíces:

- X

+ 2 puede tener las siguientes

.4 reales • 2 reales y 2 complejas • 4 complejas ~

Si un polinomio o ecuación es de grado impar, al menos tendrá siempre una raíz real, y si tuviese más reales su número necesariamente ha de ser impar, ya que las raíces complejas que tuviese, siempre serían un número par, al ir emparejadas.

Ej.: El polinomio x 5 - 2x 4 - 3x 3 + 2x 2 - 3x + 5 puede tener las siguientes combinaciones de raíces:

.5 reales • 1 real y 4 complejas • 3 reales y 2 complejas ~ Cualquier raíz "a" de un polinomio o ecuación, debe cumplir ineludiblemente la condición de que sustituida en la ecuación debe de verificar a esta, o lo que es lo mismo, que el polinomio de la ecuación debe ser divisible por el binomio x-a.

206

~ Si el coeficiente principal (coeficiente del término de mayor grado) de un

polinomio o ecuación es ±1, no es posible que la ecuación tenga soluciones

fraccionarias. ~ Si la suma de todos los coeficientes de un polinomio o ecuación es cero, es que el polinomio es divisible por el binomio (x -1) o lo que es lo mismo que una solución de la ecuación es x = 1.

~ Cuando todos los coeficientes de los términos de un polinomio o ecuación son positivos, ningún número positivo puede ser solución de la ecuación . ~ El cálculo de las raíces de un polinomio o ecuación, se va a hacer probando en el polinomio unos determinados números, bien sustituyéndolos en el polinomio (será raíz cuando lo anule) o bien dividiendo por Ruffini (será raíz o solución cuando el resto sea cero). Naturalmente estos números no se eligen de forma arbitraria como veremos después, sino cumpliendo determinadas condiciones. Localizaremos, tantas raices como necesitemos para rebajar el grado del polinomio a uno de segundo grado, ya que cuando lleguemos a una ecuación de segundo grado, tenemos la posibilidad de ensayar un camino perfectamente planificado para obtener las dos que faltan y que estarán contenidas en dicha ecuación de segundo grado (si no conseguimos llegar a una ecuación de segundo grado será muy difícil que consigamos obtener todas las soluciones del polin'lmio). Las divisiones que hagamos por Ruffini, las practicaremos siempre sobre los últimos coeficientes obtenidos y no con los originales en la ecuación propuesta (excepto la primera división), ya que asi iremos extrayendo o eliminando soluciones de la ecuación, ya que puede existir la posibilidad de que existan raíces múltiples y si dividimos siempre con los coeficientes originales no nos percatamos de su existencia.

207

-7

3.~ ~~~~!::...!:::~~~2!iU:.!.ll~!:.l2...L!~~~!.!:l!..::~ Inicialmente que tener en cuenta, que si el coeficiente o ecuación es ±1, esta ecuación no es posible que fraccionarias.

de un

nnll"-.rH.",i,,.,

2

-41<+5

x=4

2

+ ,,2 _ 4x

: Resolver la ecuación

4

10

-23

19

4±2i

{2 i

2

2

+

+ 2x

2

O Las soluciones son pues: 1, 2, 2+í Y 2­

~

-4

Término

coeficiente

de

Si tiene soluciones enteras, estas deberán ser nanrliont", ya que el coeficiente principal es 1 \- >,

de soluciones

~

--.

=1

divisor de su término como se observa.

{± 1,

'J

2,

41

ecuación: ,,4 de soluciones posibles ~

2= O

21

{± 1,

Probamos por Ruffini: Probamos por Ruffini:

~

x

4

±2

-2x-2

1 I

Las soluciones son pues: x'" I 2

2 NOTA.- Obsérvese que al ser de tercer una solución, al dividir por a uno de y ya tenemos ...1"nifi""rI" para obtener las otras dos.

en cuanto del un camino

Esto lo haremos es decir, que cuando localicemos las suficientes dividiendo por Ruffini, para el del propuesto a uno de nos detendremos , ya que las restantes soluciones las obtendremos de la ecuación de se~undo orado resultante.

-7,,3

23x+ 10 =0

tiene, deberán ser

208

número del

x=2

Las soluciones son pues: 1

(~

2

+ ..).j,

y

+ 11x

1­

3

O

Como el coeficiente de la ecuación es 4 y distinto de ±1, es que la ecuación tenga fraccionarias, Los numeradores de estas soluciones deben de ser algún divisor de su término Y los denominadores divisor de su coeficiente Veamos pues cual es el coniunto de números donde deben de estar las oosibles soluciones:

209

_{ {± 1,

2

±3} } ~ {± 1, ±.2.,±.2., ±3, ±~, ±~, ±~}

± 1, ± 2, ± 4

2

4

4

2

4

,

-3

J

conjunto de solCciones posibles

Pues bien, probamos por Ruffini:

4

1/2

I 4

1 2 3 -3

-5 6 1

O

1 2 3 -3

O

1

O

-6 6

O ~ x2 + 1

x == ±.J=1 = ±i

- 12

11

2

-5

-3 3

Las raíces son pues: 2, - 3, i, -i.

o 6['--_

-10

~

4x 2 - 10x+6

12

3

Descomponemos en producto en R(x) x = 10 ± .J1 00 - 96 = 10 ± 2 =

8

8 = 2"

x4 +x3 _5x2

8

+x_6 = (x-2XX+3~x2 +1)

\ . 1 -3 Las so IuClones son pues: -,

2 2

Obsérvese que si la descomposición tenemos que hacerla en los reales, no deben aparecer números complejos por ningún sitio, es por lo que las raíces complejas las dejamos guardadas en la ecuación de segundo grado de la que

y 1

proceden , en este caso de x2 + 1 Descomponemos en producto en C(xj

4.- DESCOMPOSICiÓN EN PRODUCTO DE UN POLINOMIO O ECUACiÓN

x4 +x 3 _5x 2 +x _ 6==(x - 2XX+3XX- iXx+i)

Si un polinomio o ecuación es de la forma: Como la descomposición ahora es en el conjunto de los complejos , si podemos exponer a la descomposición en producto con números complejos.

p(x) = aoxn + a1xn - 1 + .. . + an _1x + a n == O

Ysus raíces son : x1 , x2 , x3,... , x n_1 ,x n se puede descomponer siempre en un producto de factores de la forma:

5.- FRACCIONES RACIONALES. DESCOMPOSICiÓN EN

p(x) =~X-1 XX - x2 Xx - x3 J.. (x - x n ) == O

FRACCIONES SIMPLES

Se entiende por fracción racional, a aquellas fracciones en las que el

donde ao representa al coeficiente principal del polinomio . Ej.: Descomponer en R(x) y en C(x) el polinomio x 4 + X 3 SOLUCION Probamos por Ruffini :

numerador y el denominador son polinomios. -

5x 2 + X

-

6

Distinguiremos dos casos:

211 210

5.1.- Cuando el polinomio numerador es de mayor o igual grado que el polinomio denominador P(x) R(x)

~ C(x)

~ Una vez descompuesto el polinomio denominador en producto de factores (en muchas fracciones que se proponen el polinomio denominador ya está descompuesto en producto) se inicia la descomposición teórica propuesta en fracciones simples, teniendo en cuenta que esta descomposición viene decidida por la naturaleza de las raíces del polinomio denominador Q(x) . La naturaleza de las raíces del polinomio denominador puede ser:

• Raíces reales sencillas. • Raíces reales múltiples. • Raíces complejas sencillas . • Raíces complejas múltiples.

Ej.: Descomponer en fracciones simples la siguiente fracción racional: x 3 +6x 2 +5x+1

X2 +1 SOLUCiÓN Descomponemos la fracción racional en fracciones simples previa división polinómica.

Ix2 + 1

2 x 3 + 6x + 5x +

_ x3

x+6

-x 6x 2 + 4x+ -6x 2

Se puede dar el caso frecuente de que se mezclen conjuntamente en el polinomio denominador Q(x), varias modalidades de las expuestas. La descomposición en fracciones simples, se inicia detallando en el denominador de cada fracción simple un factor adecuado de Q(x) y en el numerador colocando un polinomio de un grado inferior al del correspondiente del grado de multiplicidad del factor que se haya colocado en el denominador. Veamos:

-6 4x -

Caso de raíces reales sencillas

5 p(x) A B ----'-'-~ = +­ (x-aXx-b) x-a x-b

2 3 x + 6x + 5x + 1 = x + 6 + 4x - 5 x2+1 x2+1 Ej.

x+1

.. (x-3Xx-2)

:=

~+~ x-3

x-2



5.2.- Cuando el polinomio numerador es de menor grado que el polinomio denominador Caso de raíces reales múltiples

En este caso los procedimientos de cálculo que se utilizan de forma general, para transformar la fracción racional P(x) , en fracciones simples , son los Q(x) siguientes:

~ Se descompone totalmente en producto en R (conjunto de los números reales) o en C (conjunto de los números complejos) el polinomio denominador Q(x), para ello se resuelve la ecuación Q(x) = O, con objeto de localizar sus raíces o soluciones y formalizar su descomposición factorial, que es de la forma:

P(x) A B+C E F ~'---= --+ .. .+ -D +-+ 1 + ... + ­ 1 (x-ar(x-bt (x-ar (x-arx-a (x-bt (x - btx-b

. EJ.:

x2 -1 (x_2)2(X + 5)3

::=

BCD E -+--+--+--+­ (x-2l (x-2) (x+5)3 (x+5l x+5

-

A

Q(x) = a(x - X1XX - X2)(X - x3 } ..(x - x n ) 212

213

Caso de raíces complejas sencillas

Ej.: Por último vamos a realizar un ejemplo donde intervengan varios de los casos detallados anteriormente

Ax+S Cx+D +--c---­ 2 ax +bx+c px 2 + qx+r

X3 +x 2 -5x+1 2 2 (X+1XX-3)2(X +4Xx +3)

A S C Dx + E Fx + G Hx + I --+---+--+--+ +-­ 2 x+1 (x_3)2 x-3 x +4 (x2+3) x 2 +3

x- 3 Ax + S Cx + D 1" - + x2 - 2x+5 .. (x2+1 J (x 2 -2x+5 =x2+1

E·

J

NOTA.- Téngase en cuenta que la descomposición del polinomio denominador se suele hacer en R (también es posible hacerla en C, aunque en aplicaciones como el cálculo integral, no proceda), cuando existan raíces complejas, estas hay que dejarlas guardadas en la ecuación de segundo grado de la que procedan (cada una de ellas con su conjugada).

~ Una vez efectuada la descomposición de la fracción racional en fracciones simples, solo nos resta calcular los coeficientes A, S, C, ... desconocidos para que tal cescomposición se haga realidad.

El cálculo de los coeficientes indeterminados se puede realizar a través de dos procedimientos .

Caso de raíces complejas múltiples

Primer procedimiento de cálculo

Consiste en reducir a común denominador por el método del mínimo común múltiplo, todas las fracciones simples resultantes de la descomposición, ordenar el polinomio que se obtiene en el numerador de esta operación , e identificar los coeficientes de este polinomio ordenado del numerador con los coeficientes del polinomio numerador de la fracción racional propuesta.

P(x)

2

(ax +bx +cf (px2 +qx Ax + B (ax 2 + bx + c)

m

Mx + N + ~x2 + qx + r)

ex + o + (ax 2 + bx + c)

n + ~x2

Px + Q + qx + r)

+rf

m-1 + .. . +

n-1

Ex + F

ax 2 + bx + c +

Rx + S + .. . + px 2 + qx +

Dicha identificación conforma un sistema de ecuaciones lineales de donde obtenemos el valor de cada uno de los coeficientes indeterminados. Ej.: Descomponer en fracciones simples, la fracción racional:

r

x-1 (x-2Xx+3) SOLUCiÓN

x-1 A S A(x+3)+S(x-2) (A+S)x+(3A-2S) = +-- = = -'---..,...-'--'---,----'­ (x - 2Xx+3) x-2 x+3 (x-2)(x+3) (x-2)(x+3)

-¡---:-;-;---.,.

(1 )

214

(2)

(3)

215

Identificando los coeficientes del numerador de (1) Y (3), se obtiene:

A+B=1 } 3A-2B =-1

~

A=~ 5

~

Ej.: Se va a resolver el ejemplo anterior por este procedimiento de cálculo. Para ello sustituimos en los numeradores de (1) y (2), las raíces del denominador que son 2 y -3 e igualamos ambas sustituciones.

B=~ 5

~

x=2 La descomposición de la fracción racional , en fracciones simples es:

5"

~

x=-3

2-1=A(2+3)+B(2-2)

~

~

-3-1=A(-3+3)+B(-3-2)

~

1=5A

-4=-5B

A=~

~

5

B=~ 5

4

5"

x-1 ---=--+-­ (x-2)(x+3) x-2 x+3

Con estos valores de A y B, la descomposición en fracciones simples es evidentemente igual que antes. Obsérvese que este método presenta grandes ventajas, en cuanto a más rapidez y seguridad al tener que hacer menos cálculos.

Segundo procedimiento de cálculo

También se pueden obtener los coeficientes indeterminados sustituyendo las raíces del polinomio denominador de la fracción racional propuesta en el polinomio numerador de esta y en el polinomio numerador de la fracción resultante del operar la descomposición en fracciones simples por el m.c.m.(en este procedimiento de cálculo, no es necesario ordenar el polinomio, como en el anterior) e igualar ambas sustituciones.

Por una parte nos evitamos el ordenar el numerador resultante de operar las fracciones simples por el m.c.m. Por otra parte, el cálculo de los coeficientes indeterminados es más rápido al reproducirse ecuaciones de menos envergadura .

Ej.: Descomponer en fracciones simples:

X2

x

3

+1 - X

SOLUCiÓN NOTA.- Se advierte que no es necesario que sean las raíces del denominador, las que se sustituyan. Se puede sustituir cualquier otro número y el resultado es el mismo.

X2+1

x2+1

x2+1

x3 _ x

= x(x2 -1f

x(x + 1Xx -1)

El motivo por el que siempre se debe intentar sustituir las raíces del denominador, es porque aporta grandes ventajas de cálculo, al anular estas, parte del polinomio numerador. No obstante, hay casos, sobre todo cuando existen raíces múltiples, en que por agotamiento de las originales es necesario sustituir números cualesquiera para poder obtener todos los coeficientes indeterminados.

x

B

C

+ x + 1 + x -1 =

A(x + 1)(x -1) + Bx(x -1) + Cx(x + 1) x(x + 1)(x -1)

Calculamos coeficientes en: x2 + 1 = A(x + 1)(x -1) + Bx(x -1) + Cx(x + 1)

x=O

216

A

=

~

1 = -A

x=1

~

1+ 1= 2C

x=-1

~

1+1=2B

~

A =-1 ~

~

C=1 B=1

217

La descomposición es pues:

DERIVADAS

X2 + 1 -1 1 1 ---=-+--+-­ x 3 -x x x+1 x-1

1.- CONCEPTO Dada una función y

= f(x),

se define derivada de la función y se representa por

y' = dy a lo siguiente: dx y'= dy = lim tJ.y dx L'lX--70 tJ.x

Ej.: Hallar la derivada de la función: y = x2 + 3 SOLUCI6N Aplicaremos la llamada regla de los "cuatro pasos": • Incrementamos la variable x (tJ.x) y consecuentemente se incrementara la función y(tJ.y) y+tJ.y=(x+tJ.x?+3

~ y+tJ.y=x 2 +(tJ.x?+2xtJ.x+3

• Restamos miembro a miembro la función dada de la incrementada

y

= x2 + 3

Y + tJ.y = x2 + (tJ.x)2 + 2xtJ.x + 3 tJ.y = (tJ.x)2 + 2xtJ.x

• Dividimos el resultado anterior por tJ.x tJ.y (tJ.x? 2xtJ.x -=--+-tJ.x tJ.x tJ.x

• Tomamos limites cuando

~

tJ.x~O

lim tJ.y = lim (tJ.x+2x) tJ.x L'lX--70

L'lX --70

218

tJ.y =tJ.x+2x tJ.x

219

~

y' = 2x

=x

Ej.: Hallar la derivada de y SOLUCiÓN

y + óy

CUADRO DE DERIVADAS

=x + ÓX

y + óy = x+ óx óy

óy = óx ÓX óx

-+

e

y=x

óy = 1 óx

=ÓX

lim óy = lim 1 óx~O ÓX

-+

óx~O

y' = 1

la derivada de la variable x siempre vale 1 Orientaciones:

para

En la expresión y'= dy/dx, se usa con más profusión la forma y expresar la derivada, pero el formato dy/dx nos informa con más precisión, al

estar siempre en el numerador la función "y" y en el denominador la variable "x"

(la derivada de la variable x vale 1), dicho formato dy/dx se lee "derivada de y

con respecto a x".

Por otra parte puede existir el formato al revés dxldy , en donde la función ahora

es "x" y la variable es "y" que es la que está en el denominador y cuya derivada

valdría 1.

Así se cumple que:

, dy. dx = 1 y' · x = dx dy

y = 4x-1

dx

-+

y' = 4

Despejando x en la función anterior: y+1= 4x 1 1 x=-y+-

4

4

x = y+1 4

-+

-+

x

, =

-+

..!..1 + O

dx = dy 4

FUNCION DERIVADA

Y 1 4 4

X=-+­

-+

x'

=..!. 4

1=1 Y, . x , = 4 '4 NOTA.- Para practicar derivadas no es necesario utilizar límites como se

observa a continuación.

El cálculo de límites si necesita de la derivación, es por lo que los capítulos se

plantean en orden inverso por cuestiones prácticas.

=O

y=k

Constante por función

y = ku

y' = k·u'

Suma o diferencia

y=u±v

y'=u ' ±v'

Producto

y= u'v

y' = u'v + v'u

y= ­

Cociente

Potencia

y'

u

u'v - v'u y'=--­

v

v2

y=u m

Raíz n-sima

Raiz cuadrada

y=

rru

y=

..fU

y'=m.u m - 1 .u' y' =

u' n-1 n u

~

u'

y' =

2..fU

Exponencial

y = aU

y' = aUla · u'

Logaritmo neperiano

y = Lu

yl=~ U

y = Iga u

y' =

1 u' la ' ~

Exponencial::potencial

y =U V

y' = u v Lu . v' + vu v -1 . u'

Seno

y = sen u

y'=cosu·u '

Coseno

y = cos u

y' = -senu · u'

Tangente

y = tg u

Cotangente

y = cotg u

Arco Seno

y

Evidentemente se cumple que:

' - = sec 2 Y, = (1 + tg 2 u) u,=u -u· , u cos 2 u u' y'=--­ sen 2 u

= arc sen u

y'

y = arc cos u

Arco Coseno

=~

y' = -

u'

2 1- u

~

u'

2

1-u Arco Tangente

o u, v = f(x)

y

=arc tg u

y'

6 k, m, n, a = constantes

~ y

0 Y = f(x)

O x'y' = 1

220

"

Constante

Logaritmo en cualquier

base

x'.

Y, =dy - = 4.1- O

-+

FUNCION PRIMITIVA =r-

y'. x' = 1

-+

Ej.: En la función y = 4x -1, hallar y' y SOLUCiÓN

NOMBRE

221

u' 1 + u2

= x ~ y' =1 -+ dy = f'(x)dx

Ej.: y

=3

Ej.: y

=x

Ej.: y

=7x

Ej.: y = x

~

y'

~

3

y'

~ y'

'=

'=

Ej.: y = 7x 5 ~ y'

7 . x'

2x

7 ·1

'=

3x 2 . x'

=7

= 3x 2 ·1

(2X)' Ej.: y = are sen 2x ~ y' = ~1- (2xf

= 3x 2 (potencia)

= 7· 5x 4 ·1 = 35x 4 ~ y'

= 6x

(constante por función)

Ej.: y=aretg

4

4

3

Ej.: y = x (x 6 +

Ej.: y =

_x2+1

EJ.. Y -

3

sen(3x + 1)

Ej.:

,Jx2+1Hx3+ 5)_ (x3+ 5}(x2+1} -'--_..L..l.._,..--1.~,-,----L-'----'

~sen(3x + 1) - cos(3x + 1)·3· L(X 2 + 1)

Ej.: y =.JX

~y

~ y' = x~ = 2"x

.

EJ.: y = L(x 2 + x)

~2+5)

~Ix 2F+ 5J\2 V

2x 3

2

x +x

~~2+5}

Ej.: y

= eX

=sen(5x+2)

Ej.: Derivar la función: y =

(cociente)

SOLUCiÓN

. Le· x'

= eX

~32X . aretg(x 2 + 6)

.3 2x

(raíz n-sima)

3 2X .L3(2X)' arctg(x2 + 6)+

. . (Iogantmo nepenano)

2~32X .

2 (x + 61. __ . 3 2x 1+(x 2 +6,

arctg(x 2 + 6)

x +x

Ej.: y = 2 3x +1 ~ y' = 2 3x+1 . L2· (3x + 1)' = 2 3x +1 . L2· 3 Ej.: y = eX ~ y'

sen 2 (3x+1)

(x 3+ 5)

1r. (raíz cuadrada) 2"x

x +x 2x+1 ~ y' = ~ 2 = -2--

x2 + 1

2x(x 3 +5}_3x 2 (x 2 +1)

(X 3+5)

'_ - 3

(exponencial)

222

= cos(5x+2) . 5

3 2x . L3. 2 arctg(x 2 + 6)+

2~32X.

(exponencial)

~ y' = cos(5x +2) . (5x +2)'

=

sen 2 (3x + 1)

'=

y = v125 x- + 5

(sen(3x + l)f

4

-) Y -

(arco tangente)

x2 + 1

1 .. y ,= - (constante por funclon)

x +5

2x 1 + (x2 + 3)

~ sen(3x + 1) - cos(3x + 1)· (3x + 1)' .L(X 2+ 1)

4) ~ y' =(x 3 }(x6 + 4)+ (x 6 + 4) x 3 3X 2(x 6 + 4)+ 6x 5 . x 3

3

2 3J 3) ~ y , = 1+(x(x2++3J \2

(arco seno)

~ y' = (L{x2 + 1)) . sen(3x + 1) - (sen(3x+ 1))' L{x2 + 1L

L(x 2 + 1)

(producto)

'.

+

( 2 x

2

~1-4x2

5 + 3x 2 -1 (suma)

1f ~ y' = 4~2 + 1) . 2x = 8X(X 2 + 1) (potencia) ~

(tangente)

(constante por función)

Ej.: y=3x 4 -2x 2 +3x+6 ~ y'=12x 3 -4x+3 (suma)

1 · y = -x = -x EJ.:

(coseno)

COS2~2 + 1)

Ej.: y = x 6 + x 3 - x + 7

Ej.: y = (x2 +

=eos 7x ~ y' = - sen7x · (7x)' = -sen7x· 7

= x' =1

y'

~

Ej.: y

O (constante)

'=

2x ._. 3 2 1+ (x +6,

arctg{x2-+ 6)

(seno) 223

2x

Ej.: Hallar la ecuación de la tangente a la curva

3.-INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA

y = x2 en el punto de

abscisa 3. SOLUCiÓN

y y

y

y=f(x)

I

y=f(x)

B(x+ÓX , y+6y)

I

: 6y I

óx

>+'/ x

x

x

Sustituyendo la abscisa x=3 del punto de tangencia en la curva, obtenemos la ordenada del punto y = 9, luego el punto de tangencia completo es el (3,9).

El argumento es el siguiente : • El punto A y B están infinitamente próximos . • La recta AB, la hacemos girar alrededor del punto A, con lo que el punto B llegará a coincidir con el punto A, entonces la recta AB se transformara en la tangente a la curva en el punto A. En esta situación el L'.x ~ O, es por lo que se puede exponer que:

Otro dato necesario para hallar la ecuación de la recta tangente, es su pendiente, que la hallaremos, particularizando la derivada de la curva para el punto de tangencia (3,9) y=x 2

-+

y'=2x

-+

m = Yl3,9)=2 .3=6

La ecuación de la tangente es pues : · L'.y mAD = tga = l1m 6x~O L'.x

~

mAD = YA

y _ 9 = 6 (x-3) -+

y - 9 = 6x - 18

-+

6x - Y - 9 = O

Ej.: Hallar las coordenadas del punto, en el cual la tangente a la curva • Lo que quiere decir: que el valor que toma la derivada de una curva particularizada para un punto de ella , coincide con el valor de la pendiente de la tanqente a la curva en ese punto . Es decir, que la derivada de una curva, nos da la posibilidad de hallar la pendiente de la tangente a la curva, en cualquier punto de ella . • Obsérvese en los gráficos que el L'.x no es igual en general al L'.y, Y que sus representaciones gráficas son : L'.y=BC

L'.x =dx = AC

224

y = x2 _ 8x + 4 es paralela a la recta 2x - y + 3 = O SOLUCiÓN

2

y=x -8x+4

dy = y'dx = tga . dx = CD

2x-y+3=O

225

Seguiremos los siguientes pasos:

LíMITES

• Llamemos (a,b) al punto de tangencia. Como las coordenadas del punto contiene dos incógnitas a y b, tendremos que localizar dos ecuaciones, para formar un sistema.

1.- LíMITE DE UNA SUCESiÓN Se entiende por sucesión a cualquier conjunto de números

a1,a2,a3,,,.a n,,.

que reúnen las condiciones siguientes: • Una de las ecuaciones se obtiene, con la condición evidente de que el punto (a,b) pertenece a la curva, luego tendrá que verificar su ecuación: b=a 2 -8a+4 • La otra ecuación, se obtiene, localizando la pendiente de la recta tangente por dos caminos, para igualar ambos resultados.

Por una parte, la derivada de la curva particularizada para el punto de tangencia (a, b), da la pendiente de la tangente. [

y"=2x-8

---"

I

• Existe un primer elemento que precede a todos los demás. • No existe ningún elemento que sea el último. • Existe una ley de formación que permite obtener cada elemento de la sucesión con solo determinar el lugar que ocupa en esta. Cualquier sucesión está determinada de dos formas distintas: • Por enumeración de algunos de sus términos

. 1 1 1 1 1 EJ.: 2'4'6'8'16'···

Y(a,b)=2a-8 • Exponiendo el término general de la sucesión que es representativo de cualquiera de ellos.

[

2x - y + 3 = O es ] Por otra parte la pendiente de la recta m = 2 Y como la tangente es paralela a esta su pendiente también es 2. Luego, se obtiene que: 2a - 8 =2

1 a n = 2n Se entiende por límite de una sucesión al valor al que tienden los términos de la sucesión cuando consideramos términos muy avanzados de ella, lo que equivale a considerar n como muy grande, lo que se expresa así: n ---" OC! (n tiende a infinito).

• El sistema que resuelve el problema es:

2 b=a -8a+4} ---" b=-11 2a-8 = 2 ---" a = 5

Ej.: En el ejemplo anterior, el término general de la sucesión es:

lim a n =L

n-)co

---"

(a,b)=(5,-11)

Ej.: En la sucesión anterior de término general

an

= -1

2n

podemos

exponer: para n = 1 ---" para n para n

=3 = 50

---"

a1

1

= -2 = 05 '

1 a3=-=016

6

'

1

---" a50 =-=0,01 100

para n = 3000 ---" a3000 = _1_ = 0,00016 6000 226

227

Y así sucesivamente

Obsérvese que a medida que consideramos términos muy avanzados de la sucesión , se ve que el valor de los términos de esta se va aproximando a cero, lo que nos invita a pensar que límite de la sucesión tiende a cero, cuando n ~ 00 y podríamos exponer que:

3.- EXPRESIONES INDETERMINADAS Existen casos, en los que al sustituir la variable del límite en la expresión que contiene este, surgen resultados , a través de los cuales no es posible valorar el límite. Este tipo de resultados son de la forma

. 1 l1m - = 0 2n

n -4OO

Una sucesión se dice que es convergente cuando el valor de su límite es fin ito. Una sucesión es divergente cuando el valor de su límite es infinito.

00

o

00

O

00 - 00

00

0°

00°

1

00· 0

No tienen la consideración de indeterminaciones, las siguientes: k -=00 O

00 - =00 k

Q=O k

~=O

00 ==-00 - k

~=O

O

O+k == O

00+00 = 00

0 - 00 == 00

O-k == 00

k ·oo == oo

0 +00

=

2.- LIMITE DE UNA FUNCiÓN Se entiende por variable (x) a aquella que puede tomar un conjunto de valores y se llama función [y == f( x )] a aquella cuyos valores vienen determinados por los que toma la variable. Se entiende por límite de una función en un punto x = a, al valor al que tiende la función en el punto, cuando nos aproximamos a él , por la izquierda o por la derecha indistintamente y en ambos casos el resultado es el mismo.

¡ 00

n°O

n, 1

~

n=1

~

O< n < 1

00

,ro ~ ~

n oo = 100 ~

(_k )±OO = ?

con

1",0 n
n=O

n°O = O

~

xn = 00

~

o:¡n =0

~

oon = 00 0

lim f(x) = L X-4 a

= f(x) = x2 -

Ej.: Sea la función y

4.- OPERACIONES CON LíMITES

4 su límite en el punto x

x-2

= 1.5 = 1.6 =:

Aproximación por la derecha

~

f(1 .5) == 3.5 ~ f(1 .6) = 3.6 1.95 ~ f (1.95) = 3.95

para x =: 1.99

~

para para para para

f(1 .99) = 3.99

x = 2 . 5 ~ f(2.5) = 4 .5 x = 2.2 ~ f(2.2) = 4.2 x = 2.1 ~ f(2 .1) = 4 .1 x = 2.001 ~ f(2 .001) = 4.001

Obsérvese como en cualquier caso el valor de la función tiende a 4, luego:

x -

2

NOTA.- En términos más precisos , llamaremos límite de una sucesión (a n ) o de una función (y) a un número L, tal que dado un E> O, se cumple que:

lan -LI
limlgA

Iy -LI
ó

228

· A limA lIm-=-B limB

.. B (slhm

= IglimA

limAB = (iimA)limB ~ O)

limk == k

(k = constante)

5.- CÁLCULO DE LIMITES Para resolver un límite seguiremos los siguientes pasos:

5.1.- Se sustituye en la expresión del límite, el valor al que tiende la variable.

. x2 - 4 Ilm - =4 X-4 2

Iim(A ± B) = limA ± limB limAB = limA · limB

Aproximación por la izquierda para x para x para x

=2 es:

Si el resultado de esta sustitución es un número real o infinito, ese es el valor

del límite.

Si el resultado de sustituir las variables es una indeterminación , procederemos

a deshacerla según los criterios que se exponen en el siguiente cuadro de

cálculo. Teniendo en cuenta que una vez que se aplique el "remedio" y se

simplifique lo posible , se volverá a sustituir el valor al que tiende la variable,

hasta que la indeterminación desaparezca.

229

5.3.- Regla de L ' Hopital

5.2.- Cuadro para resolver indeterminaciones:

% y %.Consiste

Únicamente se puede aplicar a indeterminaciones tipo INDETERMINACiÓN

FORMAS DE RESOLVER LA INDETERMINACiÓN

OC!

* Se divide numerador y denominador por la variable de mayor grado que exista en la expresión del límite (para cociente de polinomios y n ~ <Xl)

-

OC!

en derivar independientemente, el numerador y el denominador de la expresión del límite, tantas veces como sea necesario para deshacer la indeterminación. No se debe aplicar la regla de L'Hopital a límites de sucesiones (aunque el resultado sea el mismo) ya que la continuidad de los términos generales no existe, por ser una función que sólo está operativa para valores enteros positivos (que son sus términos n = 1, 2, 3, ... .)

'" Aplicar la regla de L 'Hopital. 5.4.- Infinitésimos equivalentes O O

* Se divide numerador y denominador por la variable de menor grado que exista en la expresión del límite (para cociente de polinomios y x ~ O). * Aplicar la

00-00

regla de L 'Hopital.

'" Se multiplica numerador y denominador por la expresión conjugada de la que existe en el límite (para raíces cuadradas). * Se opera la expresión del límite y se reduce a indeterminación % ó

* Se

transforma a

%

ó

Se entiende por infinitésimo a una variable que puede tomar valores muy pequeños.

Dos infinitésimos son equivalentes cuando el límite de su cociente es la unidad.

Resulta a veces, muy útil, en el cálculo de límites, el sustituir un infinitésimo por

su equivalente y para que ello sea posible, deberá de estar en la tabla adjunta y

reunir las siguientes condiciones:

• El candidato a infinitésimo debe de estar en forma de producto en la expresión del límite (en el numerador o en el denominador). • La variable del límite debe de tender a cero (x ~O)

% % mediante: lim f(x)

ca· O

=~

X(x)

<Xl

lim g(x)

=Q

){(x)

O

lim f(x)· g(x) = <Xl. O

*

Se adapta la expresión del límite a la que convenga de las siguientes:

r

1

00°

*

(1+ 2.

* Se toman

logaritmos neperianos.

* Se toman

logaritmos neperianos.

=

.

* Se toman

.

n-7 oo

logaritmos neperianos.

230

. 11m

<Xl <Xl

3n 2

6n

n2

2

--+ -

n

+­

7 2

n

-'-'-~~-~-

n-700 2n 2

5n

3

--+ - - 2 n 2 n2 n

EJ.: 11m

0°

x2/2

3n 2 + 6n + 7 . ,. EJ.: 1m --=----­ 2 n-7oo 2n + 5n - 3

lim (1 +X)Yx = e

= e y n X-70

Se aplica la fórmula : lim[f(x))g(x) = e lim [f(X)- 1] g(x) lim

n-HO

00

Infinitésimo equivalente kx kx kx kx

Infinitésimo sen kx tg kx arc sen kx arc tg kx 1 - cos x

2n + 3n 4n

2n 3

3n

n3

3

--+-

3

2

6

+5

<Xl <Xl

. 11m

7

3+-+ n 2 n lim 5 3 n-7°0 2+ __ n 2 n

n

-'-'-....,.....~-

n-700 4n 2 5 --+3 3 n n 231

3+0+0 2+0-0

3 2

3

2+ ­ lim __n_2_ = 2 + O = = ro n-700 4 5 0+0 O -+ ­ 3 n n

3.

4n

.

EJ.:

--

2

4n + 5

.

00

11m - 3 - ­

+ 3n

n~oo2n

n

lim

2

3

n

n~oo 2n 3 3n - - +_.­ 3 3

00

4

5

+_.-

3

n

n

-+-­

Ej.: Calcular lim senx x~o x SOLUCiÓN

5

Iim ~= 0+0 =Q",O n~co 2 +~ 2+O 2

2 n

lim sen x '" Q'" lim cos x = cos O x O x->O 1 1

Por L'Hopital:

x~O

=! '" 1 1

NOTA.- Regla práctica: En los límites de cociente de polinomios y la variable x ó n tendiendo a tiene que:

00

se

• Si el polinomio numerador y denominador son de igual grado, el valor del límite es el cociente de los coeficientes de los términos de mayor grado del numerador y denominador. • Si el polinomio numerador es de mayor grado que el denominador el valor del limite es 00 . • Si el polinomio numerador es de menor grado que el denominador el valor del límite es O.

. f' 't' . . I t Por In InI eSlmos equlva en es:

Ej.:

lim n~oo

(~n2 + 1-n)

SOLUCiÓN

(~-n)(~+n)

00-00=

X2

Ej.:

lim

x~o

X2 + x -3-­

x

O O

+ 2x

X

-+­ Iim x x x->O x 3 2x -+­

x

lim ~= 0+1 0+2

x~ox2 +2

l'1m senx - '" -O = l'1m -x '" l'1m 1 =1 X O x~O x x~O

x~O

lim -"--_--====~--~ n->oo ~n2 +1 +n

.

(~n2+1y_n2

= 11m ~-=~-n~ oo ~ +n

=.!. 2 1 =-=0 lim -~O==_ 00 2 n->oo n + 1 + n

X

Resuelto por L'Hopital es de la forma: Ej.: 2

lim

~=Q=

x~O x 3 + 2x

O

lim

~=

x~O 3x 2 + 2

lim(~n2 -5n+3 -n)=

n~oo

0+1 0+2

=.!.

SOLUCiÓN

2

=00-00 =

Ej.: lim x x~1

3

. 11m

(~n2 -5n+3 -n)( ~n2 -5n+3 +n)

n~oo

~n2 -5n+ 3 + n

(~n2

=

r

2 . -5n+3 _n 11m 'O"""-r===~~n~oo ~n2 -5n+ 3 +n

2

+ x + 2x - 4

x2_1

=Q= O

2

lim 3x +2x+2 2x

x->1

=

?. 2

Se ha resuelto por L 'Hopital

=

3

lim -¡=7===~n~oo~n2-5n+3+n -5n+

lim

-5+~

n

n~oom3

1- -+-+1 n n2

232

Jo/

-5n 3 -5+­3 - - +n 00 n = n~oo lim n -5n+3 1 =-= lim J 2 n 2 00 n~oo "n - 5n + 3 + ~ 2 + n n n

= - 5

1+1

==_~

2

233

Ej.: lim xlx = O, 00 = lim Lx = X-+o x-+o 1

~= 00

x

Ej.: Calcular

lim _x_ = lim - x = O x-+o 1 x-+o X2

lim x X x-+co

SOLUCION La indeterminación es logaritmos neperianos,

. . ( 3)2n

00°

,Suponemos que el valor del límite es A y tomamos

EJ.: 11m 1-­ n-+co n

J

, ( 1- 3 - 1 2n 11m

lim 100 = en -+00 n-+oo

n

, 3 2n 11m - -,

= en->oo

n

, 11m -6

, = en-+oo

= e-6

L lim XX =

X-+oo

lim XX = A x-+oo

~

= LA

lim LxX =LA x-+oo

1

-

, (x-1 )- 1 , __ x-1 11m 11m 100 = eX-+1 1-x = eX-+11-x = e-1

o

Ej.: lim x 1- x x-+1

~

~

lim .:!.Lx =LA x-+oo X

Calculamos aparte el límite del primer miembro:

Ej.: Calcular lim XX

x-+o

SOLUCION

La indeterminación del límite es 0° , Suponemos que el valor del límite es A y tomamos logaritmos neperianos,

Iimxx=A x-+o

~

, -1 Lx = O ' 00 = l'1m -Lx = -00 = l'1m -x = O 11m X-400 X x-+oo X 00 x-+oo 1

De lo que se deduce que: Llimxx=LA x-+o LA=O

~

Calculamos aparte el primer miembro:

, L 11m x x = l'1m L x X=I '1m x Lx = O ,00 = l'1m -Lx = -00 = l'1m -x- = l'1m - x = O x-+o x->o x-+o X-40 1 00 x-+o 1 x->O

x

X2

De lo que se deduce que: LA = O

~

234

A = eO = 1

235

A = eO

=1

ANÁLISIS GENERAL DE FUNCIONES

Se entiende por función y = f(x) a cualquier aplicación de R en R(f : R ~ R), lo cual, en lenguaje sencillo, quiere decir que tanto para introducir datos como para obtenerlos, estos tienen que ser números reales. Para el análisis completo de una función o para dibujarla, se necesita obtener datos relevantes de ella, de tal forma que reunidos todos los datos sea posible tener una idea clara del comportamiento de la función. Cada uno de los siguientes apartados nos proporciona una información concreta de la función.

1.- CAMPOS O INTERVALOS DE EXISTENCIA. DOMINIO. CONTINUIDAD Cuando se habla de intervalo se refiere a un "trozo" de la curva, es decir a la parte de función comprendida entre dos valores de la variable, y se suelen representar así:

[a,b]~ Porción de función comprendida entre x = a y x = b incluidos los extremos a y b. (Intervalo cerrado por la izquierda y por la derecha).

a

b

(a,b]~ Porción de función comprendida entre x = a y x = b, sin incluir al extremo a. (Intervalo abierto por la izquierda y cerrado por la derecha).

a

b

[a,b) ~ Porción de función comprendida entre x = a y x = b, sin incluir al extremo b. (Intervalo cerrado por la izquierda y abierto por la derecha). e

a

b

(a,b) ~ Porción de función comprendida entre x = a y x = b, sin incluir los extremos a y b. (Intervalo abierto por la izquierda y por la derecha). a

236

b

237

Cuando uno de los extremos del intervalo sea -ro Ó + ro, se suele exponer abierto. En lenguaje coloquial se dice que una función es continua, cuando es posible dibujarla sin levantar el lápiz del papel y discontinua cuando no es posible dibujarla sin levantar el lápiz. Hay que hacer notar que en cualquier función siempre nos movemos en el conjunto de los números reales, es decir que siempre utilizaremos valores reales de la variable (x) y deberemos de obtener valores reales para la función (y). Se entiende por dominio de una función al conjunto de valores de la variable (x) para los cuales existe la función (y). En términos más precisos, controlaremos la existencia de una función a base de estudiar donde la función no existe. Una función (y) no existirá cuando para determinados valores de la variable (x) se obtengan para la función números complejos o infinito.

Ej.: Hallar el dominio de la función racional

y=

+­

Comprobando los valores obtenidos a la izquierda Y a la derecha de cada uno de ellos, veremos la existencia de la función:

~'

si

~i

no

-2

Dominio ---+ -2 <: x;:: 2 -+ (-00, -2]u[2,+oo)

Sl

-~

Ej.: Averiguar el dominio de la función logarítmica Y SOLUCiÓN En este caso, es posible que al darle valores a función: números complejos o infinitos. Veamos:

=L(x + 1)

"x" , se obtengan para la

en función logarítmica ---+ lo de dentro del logaritmo = O ---+ x + 1 = O ---+ x = -1

Comprobando el valor obtenido Y a la izquierda y a la derecha de él, definimos el dominio.

Dominio --+ x >-1

no

no

Sl

1­ ----~- ·1

~

(-1,+ (0)

-1

x -1

SOLUCiÓN Es obvio que en este caso, dándole a "x" valores reales, no es posible obtener para "y" números complejos, pero si es posible que dándole a "x" valores reales se obtenga para "y" el valor infinito y esto ocurrirá cuando:

Ej.: Hallar el dominio de la función y =

~ x~ +-41

SOLUCiÓN

en función racional ---+ denominador =0 ---+ x2 -1 = O ---+ x = ±i Comprobando los valores obtenidos a la izquierda y a la derecha de cada uno de ellos, decidiremos la existencia de la función

• por ser racional ---+ x2 - 4 = O

x

---+

. . I x+1 O • por ser Irraclona ---+ - 2 - - =

---+

= ±2 x+1=O

---+

x=-1

x -4

SI

no

~--

-i .

SI ­

-

no ,

si

Dominio ---+ R- {±l} ---+ '
Ej.: Determinar la existencia de la función racional irracional y = ~X2 - 4 SOLUCiÓN En este caso, no es posible que dándole valores a "x" se obtenga para la función el valor infinito, pero si es posible que dándole valores a "x" se obtenga para la función "y" valores complejos . Veamos: en función irracional ---+ radicando

=O

---+

238

x2 - 4 = O

---+

no no si si I

I

-2

-1

no no si

Dominio _(-2 ,-1] U (2,+0Cl)

2

x =±2

239

2.- SIMETRIAS

3.- PUNTOS DE CORTE CON LOS EJES

2.1.- Respecto al eje x . Existen cuando al cambiar la "y" por "-y" la función no se altera

3.1 .- Cortes con el eje x. Se resuelve el sistema de ecuaciones formado por la ecuación de la curva y la ecuación del eje x(y = O).

Ej.: y2 =x+1~

(-y?

=x+1 3.2.- Cortes con el eje y. Se resuelve el sistema de ecuaciones formado por la ecuación de la curva y la ecuación del eje y(x = O).

2.2.- Respecto al eje y. Existen cuando al cambiar la "x" por "-x" la función no se altera . Ej.: y

= x2 + 1 ~

Y=

(-

Ej.: Hallar los puntos de corte con los ejes de la función y = x2 - 3x + 2 SOLUCiÓN

x)2 + 1

NOT A.- Una función que es simétrica respecto al eje "y" se dice también que es

una función par.

Es decir, una función par es aquella que cumple la condición: f(- x) = f(x)

Ej.: Averiguar si es par la función f(x) = x 4 + 6 SOLUCiÓN

C

x

(_x)2

+(-d

x=O

~

~

X2 _ 3x+ 2 = O ~ x = 3 ± ~ = 3 ± 1 _ / (2,0) 2 2 -\ (1,0)

Y= 2

~

(0,2)

NOTA.- Una función que es simétrica respecto al origen se dice también que

es una función impar.

Es decir, una función impar es aquella que cumple la condición: f(- x) = -f(x)

Se entiende por máximo relativo de una función en un punto al mayor valor que alcanza la función en un entorno de ese punto y por mínimo relativo al menor valor que alcanza la función en un entorno de un punto. En un máximo relativo la función es creciente a la izquierda y decreciente a la derecha.

Ej.: Averiguar si es impar la función f(x) = x 3 + x

SOLUCiÓN

f(- x) = (- x)3 + (- x) = _x 3 - x = _(x 3 + x)= -f(x)

4.- MÁXIMOS, MíNIMOS Y PUNTOS DE INFLEXiÓN 4.1.- MÁXIMOS Y MíNIMOS RELATIVOS O LOCALES. CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO

=1

240

y=O

síespar

2.3.- Respecto al origen. Existen cuando al cambiar la "x" por "-x" y la "y" por "-y", la función no se altera.

Ej.: x2 +y2 =1~

{

C {y = x2 - 3x + 2 y

f(-x)=(-xt+6=x 4 +6=f(x) ~

_ 2 y-x -3x+2

~

sí es impar

En un mínimo relativo la función es decreciente a la izquierda y creciente a la derecha.

241

y

f "= 6x-6 Máximo

y=f(x)

-¡------~--------~---------x creciente

En general f'(x) > O f(x) < O

decreciente

creci.ente

En un punto x = a f'(a» O f'(a)
~

~

creciente -t decreciente -t

Las ordenadas se obtendrán de la función primitiva:

parax=3 -t y=3 3 -3.3 2 -9·3+5=-22 parax= -1 -t

-t

mínimo (3 , -22)

y=(-1)3_ 3(-1f-9(- 1)+5=10 -t máximo (-1,10)

Ej.: Calcular los máximos y mínimos de la función f(x) SOLUCiÓN f'(x) = 4x 3 = O f"(x) = 12x 2

Condición necesaria de máximo o mínimo relativo

f"(3)=12 > 0-tmínimoenx=3 { f"(-1) = -12 < O-t máximo en x =-1

-t -t

= x 4 -1

X= O f"(O) = O -t dudoso

f'(x) = O -t obtenga candidatos x = a Condición suficiente de máximo o minimo relativo

Estudiamos el crecimiento o decrecimiento en un entorno del punto x = 0, para los valores por ejemplo:

f"(a) > O -t mínimo relativo en x = a

x = -0.1 (izquierda) y x = +0.1 (derecha).

f"(a) < O-t máximo relativo en x = a f"(a) = O -t dudoso ,J.­

estudiar crecimiento y decrecimiento en un entorno del punto x = a

Ej.: Sea la función y = f(x) = x 3 - 3x 2 - 9x + 5. Se pide: a) Averiguar si la función es creciente o decreciente en el punto de

abscisa x = O.

b) Determinar sus máximos y mínimos relativos.

SOLUCiÓN 2

a)

f(x) = 3x - 6x - 9

b)

f'(x)=3x 2 -6x-9=0

f'(O) = -9 < O -t decreciente en x

-t -t

X2 -

=O

fi~q(- 0.1) < O-t decreciente}

fdcha (+ 0.1) > O -t creciente -t mínimo en x = O -t (O, -1)

4.2.- MAXIMOS y MíNIMOS ABSOLUTOS

Se entiende por máximo absoluto al mayor valor que alcanza la función en un intervalo [a,b]. Se entiende por mínimo absoluto al menor valor que alcanza la función en un intervalo [a,b].

2x - 3 = O

X=2±.J4:;:12=2±4=/3

2

2

242

\-1

Se estudian en un intervalo [a,b] donde la función es continúa y se procede de la siguiente forma: • Se calculan los máximos y minimos relativos. Si no están dentro del intervalo [a,b] no se consideran.

243

• Se halla el valor que toma la función en los extremos del intervalo [a,bJ. • El máximo absoluto es el mayor valor que toma la función (y) de entre los x E [a, bJ, calculados anteriormente. • Er mínimo absoruto es er menor varor que toma la función (y) de entre ros x E [a,bJ, calcurados anteriormente.

y

y

4.3.- MÁXIMOS Y MíNIMOS APLICADOS

Se procede de la siguiente forma:

~ Se expone analíticamente la funcíón máxima o mínima, que se deduce del

enunciado del problema con facilidad (en algunos problemas se da formada en

el enunciado).

~ Si la función tuviese desde el principio una sola variable se pasa al apartado

siguiente.

Dicha función, con frecuencia, está determinada por dos variables. Es por lo

que se hace necesario buscar una relación entre estas (casi siempre de tipo

geométrico) para despejar una de ellas y sustituirla en la función máxima o

mínima y conseguir la función con una sola variable.

y

ma=mr , ,

ab

x

a

b

x

x

Obsérvese en los gráficos como los maxlmos y mínimos absolutos, pueden coincidir COn los máximos y mínimos relativos.

Ej.: Hallar los maxlmos y mmlmos f(x) = x2 -2x + 1 en el intervalo [-1,4J SOLUCiÓN

absolutos

de

la

función:

~ Se aplica la teoría general de máximos y mínimos. En la mayoría de los

casos, no es necesario recurrir a la derivada segunda, ya que el valor obtenido

de la derivada primera suele ser obviamente el pedido.

Ej.: Un empresario pone a la venta un determinado artículo. Sabe que sus

beneficios (en cientos de euros) vienen dados por la función

B(x) = -x 2 + 1 Ox -16 , donde x es el precio, en euros, del artículo.

Hallar:

1) ¿Qué precio deberá poner para obtener un beneficio máximo?

2) ¿Cuál será ese beneficio?

SOLUCION

• Calcuro de máximos y mínimos rerativos :

f'(x) = 2x - 2 = O ~ x=1 f"(x) = 2 -} f"(1) = 2 > O-} mínimo (1,0)

1) B'(x)=-2x+10=0

~

x=5 euros

2) Sustituyendo en la función x =5 se tiene que:

• Varor de f(x) en extremos de [-1, 4] B(5) = _52 + 10·5 -16:: 9 cientos en euros:: 900 euros

f( - 1) :: 4 ~ (- 1 ,4 )

f(4):: 9 ~ (4,9)

• Máximos y mínimos absolutos (fíjate en a ordenada de los puntos obtenidos):

Lo que hemos hallado es, como en los problemas no aplicados, el punto max (5,9)

Máximo absoluto ~ (4,9) Mínimo absoruto ~ (1,0) 244 245

Ej.: La entidad financiera "El Ahorro" saca al mercado un plan de inversión cuya rentabilidad R(x), en cientos de euros, viene dada en función de la cantidad a invertir x, en cientos de euros, por la función:

V = (SO -2X)(SOX _2x2) V'

=(- 2XSOx -

2x2)+ (SO -4xXSO - 2x) = O

2

R(x)=-0,01x +2x+12

-100x + 4x 2 +4000 -100x -320x + Sx2 = O

a)

Averiguar la cantidad de dinero que le conviene invertir a un cliente en estas condiciones. b) ¿Cuál será la rentabilidad que se obtendrá?

12x 2 - S20x +4000 = O

~

3x 2 - 130x+1000=0

SOLUCiÓN a) La cantidad de dinero que le conviene invertir es, con la que se obtendrá una rentabilidad máxima. R'(x) = -0,02x + 2 = O

~

130 ± .J16900 -12000 x=------­

130±.J49Qo

6

6

20% _100/ 6/ 3

130 ± 70 = (

10

x = 100 cientos de euros = 10.000 euros La solución

b) La rentabilidad máxima, se obtendrá al sustituir x =100 en la función dada . R(100) = -0,01.100 2 + 2 ·100 + 12 = -100 + 200 + 12 = 112 cientos de euros = 11.200 euros

=

Ej.: Se quiere construir una caja con forma de paralelepípedo recto con una cartulina de BOx50 cm 2 , a base de cortar las esquinas una longitud x, para con ello formar el paralelepípedo recto. Calcular x para que el volumen de dicho paralelepípedo sea máximo. SOLUCiÓN

x = 100 = 33,33

no es válida, ya que hace negativo el lado del

3 paralelepípedo SO - 2x (también quedaría descartada esta solución si se recurriese a la derivada segunda para averiguar el valor máximo). La única solución que queda x = 10 cm , es la única obtenida y obviamente la pedida .

Ej.: Se quiere cercar un campo rectangular, destinado a granja avícola,

mediante una pared en uno de sus lados y tela metálica en los otros tres,

dísponiendo para esto de 60 m. de dicha tela.

Calcular en estas condiciones las dimensiones del campo de área

máxima.

SOLUCiÓN

Pared

x 50

xl

x

I /

150-"[

-1

x

y

80-2x

8O·2x

80

Función máxima ~ área del campo ~ A = xy Relación entre las variables (60 m de tela) ~ 2x + Y = 60 Sustituyendo y

= 60 -

2x en A

246

=O

y = 60 - 2x

= xy , se consigue A con una sola variable .

Función máxima ~ volumen paralelepípedo ~ V = (SO - 2x XSO - 2x)x Valor de x que hace el volumen máximo ~ V'

~

A = xy = x(60-2x) = 60x _ 2x 2 247

A'=60-4x=0~x=15m

~

30-2y 30-2·7,5 30-15 15 x=--= =--=-=5cm 3 3 3 3

y=60-2·15=60-30=30m

Como son únicas la soluciones x = 15m e y = 30m son obviamente las pedidas y no es necesario recurrir a la derivada segunda para compr.Jbar si maximizan el área del rectángulo.

Ej.: Hallar las dimensiones del rectángulo de área máxima inscrito en un triángulo isósceles, que tiene por base 10 cm y por altura 15 cm. SOLUCI6N

Como nada más que existe una solución para x = 5cm y otra para y = 7,5cm, no hace falta recurrir a la derivada segunda para comprobar si maximizan el área del rectángulo , ya que son obviamente la solución pedida.

Ej.: En una circunferencia de radio 4 m. se inscribe un rectángulo. Hallar las dimensiones del rectángulo para que su área sea máxima. SOLUCI6N

A A

15} 151

lfTl\

15

l

e

D

~

y lo

L----.\

D

5

e

10 Función máxima ~ superficie ~ Función máxima

~

~

área rectángulo

A = xy Por Pitágoras

X2 + y2 = 8 2

~

La relación entre las dos variables x e y, se obtendrá estableciendo una

semejanza de triángulos entre los triángulos ACD y ABE.

Veamos:

altura triangulo grande base triangulo grande

altura triangulo pequeño base triangulo pequeño

~

15

15-y

5

x

5

x

~

15x = 150 -1 Oy

~

3x = 30-2y

~

S=

-=-­

2 ~= 30-2y

S = xy

x-

-

x~64 -

3

S' = 128x-4x _ x4 = O

2~64x2

~

y = ~64-x2

~

x2

=J64x 2 -

x

128x-4x 3 = O

4

~

30-2y -­

3

l

x=O

2

x(32-x )=0

32-x 2 =0

Sustituyendo x en la función máxima, se tiene que: 30 - 2y 1 r. A = - _ . y = - \30y - 2y

3

A' =i(30-4Y)= O

~

2)

30-4y =0 248

i

~

x==- .J32

y=~64-X2 =.J64-32=.J32

3

32x-x 3 =0

30 -75cm y=-¡-, 249

~

~

y=

x =4.J2 m

4.J2

m

5 4.4.- PUNTOS DE INFLEXiÓN. CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD

Ej.: Hallar los puntos de inflexión de la función f(x)

=x

SOLUCiÓN Inicialmente definiremos un criterio para entender la concavidad o convexidad de una función y este va a ser mirando desde arriba. Una función presenta un punto de inflexión (1) en un punto, cuando en un entorno de él, la función pasa de ser cóncava a ser convexa o viceversa.

f'(x) == 5x

4

f"(x)=20X 3 =0

-7

x=O

f'''(x) = 60x2 -7 f"'(O) == O -7 dudoso Estudiamos la concavidad y convexidad en un entorno del punto

y

x = O, para

los valores por ejemplo: x == -0.1 (izquierda) y=f(x)

f¡'~q(-0.1) < O -7 convexa

l

fdcha( +0.1) > 0-7 concava

__+-____________+-________________ x convexa

En general f"(x) > O f"(x) < O

~ ~

cóncava-7 convexa-7

En un punto x = a f"(a) >0 f"(a)
-7 inflexión en x == O -7 (0,0)

J

4.5.- CUADRO RESUMEN

Condición necesaria de punto de inflexión f"(x) == O-7 obtenga candidatos x = a y == f(x) \ Condición suficiente de punto de inflexión

y"

-7

Creciente


-7

=0

-7

Decreciente Condición necesaria de máximo ó mínimo

ro

-7

l'O


-7

=0

-7

f"'(a) '" O -7 existe inflexión en x == a f'''(a) == O-7 dudoso ,j.. estudiar concavidad y convexidad en un entorno del punto x == a

Ej.: Hallar el punto de inflexión de la curva f(x) = x 3 - 3x 2 + 7x + 1 SOLUCiÓN f'(x) == 3x 2 - 6x + 7 -7

x = +0.1 (derecha)

cóncava

y'

f"(x)=6x-6=0

Y

ym

{:~

-7 -7

Cóncava/Condición suficiente de mínimo Convexa/Condición suficiente de máximo Máximo o mínimo dudoso(*) Condición necesaria de inflexión Condición suficiente de inflexión Inflexión dudoso (**)

* Estudiar crecimiento Y decrecimiento en un entorno del punto . ** Estudiar concavidad Y convexidad en un entorno del punto.

x=1

f'''(x) = 6-7 f'''(1) = 6 ",O -7 inflexiónenx==1 La ordenada para x == 1, se obtiene sustituyendo en la función propuesta f(1)=1 3 -3.1 2 + 7·1+1= 6 -7 inflexión (1,6) 251 250

3

2

Ej.: La función y = X + bx + ex + d pasa por el punto (-1,0) Y presenta un máximo en el punto (0,4). Hallar: a) La función b) El punto mínimo

e) El punto de inflexión

SOLUCiÓN

Ej.: Hallar las asíntotas verticales de la función Y

=-f--­

x -1

SOLUCiÓN

x

y= oo

-2-

~

~

= 00



X2 -1 = O

~

x = ±1

X {

x - 1

=1

x =-1

a) Tendremos que formar un sistema de ecuaciones con tres incógnitas (b, c, d). Los puntos (-1,0) y (0,4) tendrán que verificar la función ya que esta pasa por ellos y en el punto (0,4) la derivada primera (y' = 3x 2 + 2bx + c) se tendrá que anular para x = O (por ser máximo). 0=(-1?+b(-1)2+ C(_1)+d ~ b-C+d=1j 3 (0,4) ~ 4=0 +b·0 2 +cO+d ~ d=4 Yo =0 ~ 3·0 2 +2b .0+c=0 ~ c=O

(-1,0)

~

5.2.- ASINTOTAS HORIZONTAlES Son rectas de la forma y = k. Se obtienen a través de:

~

b=-3

La función está determinada de la forma y = x 3 _ 3x 2 + 4

y = lim f(x) X-tco

NOTA.- En las funciones exponenciales conviene hallar el límite tendiendo x a Ó

+ 00

b)

y' = 3x 2 - 6x = O

"

Y =6x - 6

c)

{y" o =-6 < O Y2

y" = 6x - 6 = O

y'"

=6

3X(X-2)=0{ 3x=0 ~ x=O

x-2=0 ~ x=2

~

~

= 6>O

~

y'{'

~

máximo

~

mínimo

~

~

(0,4)

a

-oo.

~

Ej.: Hallar la asíntota horizontal de la curva Y = x+2 SOLUCiÓN

(2,0)

. 3x y= 11m - x-tcox+2

x=1

00 00

l' 3 1m -= 3 x-t co 1

~

y=3

= 6 7'- O ~ inflexión ~ (1,2)

Ej.: Hallar las asíntotas horizontales de la función y = eX SOLUCiÓN Por ser función exponencial calculamos el límite con x

5.- ASINTOTAS Son rectas tangentes a la curva y = f(x) en el infinito, es decir son a:¡uellas rectas en las que la distancia de un punto de la curva que se aleja indefinidamente a dicha recta , tiende a cero. Pueden ser de tres tipos:

5.1 .- ASINTOT AS VERTICALES

y

=

lim eX X-t+OO

y

=

lim eX x-t -co

=

eco

=

= 00

e-co

=

~



±oo

no hay asíntota horizontal

_1_ = ~ = O ~ Y = O ~ si existe asíntota horizontal e'" 00

Son rectas de la forma x = k. Se obtienen hallando los valores de la variable x que hace infinita a la función f(x).

y = 00

252

~

253

6.- DIBUJO DE UNA FUNCiÓN Ej.: Hallar las asíntotas horizontales de la función y

= _3_x

Todos los datos obtenidos de los apartados anteriores se trasladan a un gráfico

4+2

SOLUCiÓN Por ser función exponencial calculamos el límite con x

y=

3

lim X-) +00

3

3

3

--=--=--=-=0 4+2 x 4+2 00 4+00 00

coordenado Y se dibuja la función . ~

±oo

Si en alguna zona existiese duda de la tendencia de la función, se hace una pequeña tabla de valores en dicha zona con el objetivo de observar su

y=O

~

comportamiento .

Ej.: Dibujar la función Y = 2x y=

3

lim

x-)

-00

3

4 + 2x = 4 +

r oo

3

3

= 4 + _1 = 4 +

~

200

00

3

3

= 4 + o= 4

~

3 4

y=­

3

2

- 3x

SOLUCiÓN Las funciones polinómicas tienen por dominio a todo el recorrido del eje x y

además no presentan asíntotas. Con determinar los máximos, mínimos, puntos

de inflexión Ypuntos de corte con los ejes se pueden dibujar.

Máximos Y mínimos relativos ~

y'=6x 2 -6x=0

5.3.- ASINTOTAS OBLICUAS Son rectas de la forma y = mx + h. El cálculo de los parámetros m y h de la recta, se hace a través de:

m = lim Ycurva x-->oo X

y = mx+h

~

6x(x-1)=0 {6X=0 x-1 =0

{Y"Y1",6 ~,=-6< O

>0 ~

x=O x=1

máximo (0,0)

~

"

Y =12x-6

~

mínimo (1,-1)

Puntos de inflexión

1

1

h = 11m (y curva -mx) x-->oo

2

Ej.: Hallar la asíntota oblícua de la función y

y"=12x-6=0

~

y'" '" 12 ~ y'.{¡2 == 12"* O

x=2

(~-~)

~ inflexión ~2' 2

=~ x+1

SOLUCiÓN

Puntos de corte con los ejes

1 x2 = o--> x =O--> (0,0)

2x 2 · x+1 . 2x m= l1m - - = 11m - - =2 x-->oo X x-->oo X + 1

2 3 2 ex y=2x -3x -->2x3_3x2 =0 --> x (2x-3)=0 {

J

" (2x2 - - - 2 x = l'1m 2x2_2x2_2x h = 11m x-->oo x+1 x-}oo x+1

y=O

-2x . 11m --=-2 x-->ocx+1 3

La asíntota oblicua es pues y

C)y = 2x _3x

=2x-2

2

~

y=O

~

(0,0)

lX=O

NOTA.- Sí existen asíntotas horizontales, no existen asíntotas oblicuas.

255 254

12x - 3 =o --> x =%-->

G,oJ

Dibujo de la función

Maximos, mínimos e inflexiones y

3(2-x)- (- 1)3X=_6_ = 0

,

(2-xl

y=

~~1

1

I

k

x

'

3/2 -~

---+

6~0

(2-xl

Cuando se obtengan situaciones incongruentes como esta (6 ~ O) o se obtengan números complejos como soluciones de ecuaciones, es que no existen candidatos a maximo o mínimo y no existen .

-1

y"= 0-2(2-x X- 1) 6

12

--3~

Ej.: Representar gráficamente la función y = SOLUCiÓN

=O

12 ~ O ---+ no existen inflexiones

---+

(2 - x)

(2 - x)4 ~ 2-x Asíntotas Campos de existencia 2-x=0

---+ x=2

si

no

si

Dominio ---+ \Ix ~ 2

. • Honzontales ---+ y = l'1m - 3x- = -ro = l'1m - 3 = - 3

2

x-too 2-x

ro

x-too- 1

---+

y=­ 3

Simetrías . • eje x ---+

3x - y=- -

2-x

3(- x)

• eje y ---+

Y=2 -(-x)

no posee

---+

• Verticales ---+

y

= ro ---+ ~ = ro 2-x

---+

2- x

= O---+ x = 2

-3x

y = - - no posee 2+x • Oblicuas ---+ y = mx + h

.origen ---+

3(- x)

Y = 2-(-x)

---+

-3x - y=2+x

---+

3x

y = -2+x

no posee

Puntos de corte con los ejes

3x . 2m= l1m - - x

X-too

I I

X

l'1m - 3-

3 O =--=

x-too 2 - x - 00

---+

no existen oblicuas

y = 3x

Cx

2-x

3x

---+ - - = 0---+ 3x = O ---+ x = O ---+ (0,0) 2- x

y =O

Por otra parte, si existen asíntotas horizontales no existen asíntotas oblicuas.

y - 3x

Cy

=

2 -x

---+ y = 0---+ (0,0)

x=O

256

257

Dibujo de la curva ·

1I {Si

EJ.: Y=x

si

x~O ~ Ixl=+x ~ y=x x < O ~ Ixl = -x ~ y =-x

y

7.3.- ANALlSIS ESPECIFICO DE LA CONTINUIDAD

1/

::Ir

El análisis de la continuidad de una sola función, esta definida con el hallazgo

de su dominio (ya expuesto anteriormente) .

Ahora bien, si la función es escalonada , el análisis de la continuidad en los

puntos de escalonamiento, requiere un estudio más pormenorizado.

Una función y = f(x) es continua en un punto x = a cuando:

I

I I

x

I

r-------y=-3

Ir-

• El limite de la función en el punto es un número real, lo que implica que el limite por la izquierda, coincida con el limite por la derecha.

lim f(x) = lim f(x) x->a

x->a+

~ f(a).

7.- ANÁLISIS ESPECÍFICO DE LA CONTINUIDAD

• El valor que toma la función en el punto, debe de ser un número real

7.1.- FUNCIONES ESCALONADAS

• El límite de la función en el punto debe de coincidir con el valor que toma la función en el punto, es decir, el resultado de los dos apartados anteriores debe

Una función se dice que es escalonada cuando se compone de dos o más funciones.

ser igual. lim f(x) = f(a) x->a

. . .' " EJ .: Estudiar la continUidad de la funclon:

y

.

EJ.: y = f(x) =

{X

-x

si

x:2 O

si

x
y=-x

f(x) =

{- x +2 X

si SI.

y=x

SOLUCiÓN

o

"

x -x+2 T

x

o 7.2.- FUNCIONES CON VALORES ABSOLUTOS lim (_X+2)=2j

x->O­

Deberemos de tener en cuenta que: si a si

~

O

a
~ ~

lim f(x)

la) o: +a

Ej.:

)7/=+7

lalo: - a

Ej:

/-7/=-(-7)=+7

Una función con valores absolutos es una función escalonada "disfrazada".

258

11m x=O

X-)O

x->O+

luego la función no es continua en x:: O

259

~

no existe

x
Ej.: Determinar a Y b para que la función siguiente sea continua en todo R

Ej.: Averiguar la continuidad de la función:

x2 + 1

si

x
f(x)= ax+b

si

O~ x ~ 3

{ x-S

si

x> 3

si-00<x~-1

x+4

f(x)=~ 6x-6

si-1 < x < 1

x2 -1 3x

si

1~x<+oo

SOLUCiÓN

SOLUCiÓN ax+b x+4 x+4

6x-6

1

~

-1

x 2 +1

3x

1

3x

T o

ax+b

ax+b

T x-s

3

1

lim (x+4) = 3 x~-1 -

~2 +1)=1

lim X~O-

x =-1

lim 6x - 6 -12

x~-1+ x2 -1 =--0=-00

lim (ax+b)=b

no continua x=O

f(-1)= -1 +4 = 3

lim 6x-6 -1

b= 1

f(O)=a . O+b =b

=~= lim ~=3

x-)1- x2

x= 1

X~O +

O

x-)1 - 2x

lim 3x = 3

lim (ax+b)=3a+b

si continua

x~1+

x~3-

lim (x-5)=-2

f(1)=3.1=3

x=3 .

x~3+

3a + b =-2 ~ 3a + 1 = -2 ~ a = -1

['(3) =a3+b =3a +b f(x) es continua

~

R - {- 1} = (- 00,-1) v (-1,+00)

260

261

8.- ANALlSIS ESPECIFICO DE LA DERIVABILlDAD

NOTA.- Sobre continuidad y derivabilidad.

Tiene interés analizarlo en los puntos de escalonamiento de funciones escalonadas.

• Una función puede tener límite en un punto y no ser continua en el punto, ahora , si una función es continua en un punto seguro que tiene límite en ese

Para que una función sea derivable en un punto (admita tangente en el punto) debe ocurrir que sus derivadas laterales coincidan.

punto.

lim

......;f(,--X_-

~ ~O

• Una función puede ser continua en un punto y no ser derivable en el punto , ahora , si una función es derivable en un punto, seguro que es continua en ese

_ ~X--,-)_ -......:.f(x~)

lim f(x + ill<) - f(x )

-~x

~ x~O

ill< ~--

Derivada a la izquierda del punto x

punto.

Que una función no sea derivable en un punto, quiere decir que no admite

tangente única en el punto .

Derivada a la derecha del punto x • Para hallar la derivabilidad de un función en un punto también se puede optar, por estudiar la continuidad en su derivada y si su derivada es continua en ese punto, es que la función es derivable en el punto.

Ej.: Estudiar la continuidad y derivabilidad de la función:

f(x) =

{3:

si si

SOLUCiÓN

x:50

x>O

Ej.: En el ejemplo anterior obtenemos f(x) Y estudiamos en ella la continuidad y deducimos su derivabilidad.

x

x

T 3x

3

o

01

Análisis de la continuidad en x = O

lim

lim 1= 1

x=0

x-. o-

x~ o -

lim f(x) = O

x~ o

lim

Y

lim 3=3

3x = O

f'(x) no es continua en x = O

~

=O

Análisis de la derivabilidad en x = O

lim f(O -óx) - f(O)= lim -óx-o = 11

- óx óx ~ o - ÓX

óx-. o

no es derivable en x =O lim f(O +ÓX) - f(O)= lim 3óx - 0 =3 óx~ o ÓX Óx -.o óx

262

lim x~ O-

f'(x) ;t

lim f'(x)

X~O +

Y f(O) = O

x -.O+

La función es continua en el punto x

~

x-. O+

263

f (x) no es derivable en x

=O

n b=-­

GRAFICAS

TIPOS

ClRCUNFERENCIA

y

G;) r@

I

x

y

ELll'SE

lo

x

PARÁBOLA

-

-

ECUACIONES (x_a)! + (y_b)l = rl x!+/+mx+ny+p=O

~

a

RELACIONES a--m12 b=-'nJ2 II r= a+b-p

a=

centro

=

~ (O, - 2)

b= --= - 2 2

r =~a2 + b 2 -p

V

-J o)

=V+(-2)2 -3 = ..J1 =1

_C-r-- a.-.

(a,~)

HIPÉRBOLA.

~

m a= -2'

9.- CÓNICAS

T·'P)~{~E

aZ=bz+c z

(x-a)z

cZ=a!+b z

I !

x

(y_(»)z Z b

-----=1

/

Y¡V-C-,

-----

(x-a/ (y_(»)z

--+--=1 a' b'

y = A/ + Bx +C

x = Ayz + By + e

, I

Ej.: Hallar el centro y el radio de x2 + y2 = 4 SOLUCiÓN

y

eje vertical

eje horizonl;¡1 -

-

2

-

J Ej.: Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene por centro al punto (1 ,2) Y de radio 3.

12

x

-2

SOLUCiÓN

~

(x_a)2+(y _ b)2=r2

~

x 2 -2x+1+y2_4y+4=9

(x_1)2+(Y_2?=3 2 x 2 +y2_2X - 4y-4 = 0

m

2 Ej.: Hallar el centro y el radio de la circunferencia x + y2 + 4y + 3 = O SOLUCiÓN Para aplicar las formulas es necesario que los coeficientes de x2 e y2 sean la unidad. Si así no fuese, dividiríamos la ecuación por ellos (que en la circunferencia siempre son iguales en valor absoluto y en signo).

O

a =--= -- =0 2 2 n O b = --= -- = 0 2 2

r=

V +b

2 - P=

~0 2 +0 2 -

y

-------+----------x

-3 265 264

(- 4) = 2

10.- FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

CÁLCULO INTEGRAL

1.- INTEGRAL INDEFINIDA

y == sen x x

-1-- __ _

=

Dada una función y f(x) y su diferencial dy = f'(x)dx llamaremos integral a la operación que permite obtener la función primitiva f(x) a partir de su diferencial f'(x)dx y lo representaremos por

f

e

e

y 1

y==cosx

f'(x)dx = f(x) +

La constante de integración es necesario añadirla siempre, ya que la derivada que está bajo el signo integral, va a ser capaz de generar infinidad de primitivas que se distinguirán por el valor de la constante.

31t

o

2"

71:

271:

x

-1 - ­ - __

2.- PROPIEDADES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA • La integral de una suma, equivale a la suma de las integrales

f[f(X)± g(x)]

y

dx = f f(x) dx ± f g(x) dx

• La integral de una constante (en forma de producto) por una función equivale a la constante por la integral de la función.

y == tg x

o

:m

t

2

271:

x

f

k· f(x}dx

=

kf

f(x) dx

En muchas ocasiones se hace necesario, multiplicar a la integral por cocientes

unitarios (2/2, 2/3 .. .), para introducir dentro de la integral, la parte de este,

que permita ajustar la integral a las condiciones de cálculo.

Téngase en cuenta que nunca se pueden introducir o extraer de la integral a

variables.

3.-INTEGRACIÓN INMEDIATA

y=ctgx

Una integral se dice que es inmediata, cuando no es necesario recurrir a procedimientos especiales de integración, para resolverla. Es decir, cuando aplicando transformaciones elementales y con el conocimiento de la derivación , su solución sea factible . Téngase presente en cualquier caso que la expresión subintegral (lo que está dentro del signo integral) debe de ser la derivada de una función que se pretende calcular.

266

267

3.1.- INTEGRAL POTENCIAL

.J'VX.J;3x= +rxd

· EJ.. 1=

f

{SI SI

[f(x)ff'(x)dx

n;r -1

~

n =-1

1=

[f(x)]n+1 + C n+1

1= Lf(x)+ C

~

-J

-J

_

-J

4

(-5/4 -7/6) _x -1/ x +x dx + _ 1+ C -1/4

3

4 ( x1/ 1/ ] dx 3/2 + x3/2 x x

x1/4+ 3/ 2x1/3 dx x

Orientaciones: Para que una integral sea potencial, es necesario que en la expresión

•

J

J

subintegral este una función potencial [f(x)f y además es imprescindible que junto a esta, este la derivada f'(x)de la base de la potencia .

J(x4 + 6X2 + 9~X=x: +6 x ;

Ej.: f(x 2 +3fdX= •

En el caso de n = - 1, la integral suele adoptar también la forma:

f

J J .J

dx =

sen x

x+C

'. EJ..

-5

Ej.: x- 6 dx = _x_ + C 4

t

1

+C

-1

3 !"en x x d coss x

.f

EJ.:

5

4

Ej.: J2X dX= 2fx 4 dX=2x +C

S

J

3

4

dx = tg- x+ C

x 4

sen x 1 dx = Jt9 3 x·_1= --_.-2

2

cos 3 x cos x

f

Ej.: J 8dx = 8

x

J(

COS

1 1 (Lx? Lx)-dx=--+C

x

Ej.: f(e x +sf eXdx = (ex

3/ 2

dx = 8x + C

Ej.:

4

. J sen 3 xcosxdx= -4-+ sen x EJ.: C Ej. : J (x3+ x 2-SX+7)= = f x 3 dx + f x 2 dx- f

$9X

Lx =-dx=

32

fx 1/2 dx = 3 x / + C

Ej.: JFxdX =

Ej.: J

x

+9x+C

-5

x

EJ.: x 3 dx= 4+ C

Ej.: J

.f J

cosx J(senx) -2 cosxdx= (sen EJ.: ~x=

f'(X)dX=U(X)+C f(x)

Ej.:

J

7 2 7 1 7 1 (2x + 3)8

(2x+3) dx= - (2x+3) dx=- (2x+3) · 2dx= +C 2 2 2 8

Ej.:

2 sec xdx =

x(x3-3X~X=

f

f

4

3

x +3x x2 5XdX +7dX=4 ST+ 7x +C

(tgx)1/2 sec 2 xdx

(tg~)~/2 + C

+C

x- 1dx = Lx + C

2x+2 I 2 + 2x ) +C

2 dx = L\x x +2x

.J

EJ.:

+st

f

.I

EJ.:

2

tgxdx=

J

senx

J-senx ':::::::":':':x=~x=-Lcosx+C cosx cosx

5 3

(X 4 _ 3x 2 ) dX=X _3 x +C S 3

268

269

3.2.- INTEGRAL EXPONENCIAL

Orientaciones:

fa f(x) ·La · f'(x)dx = af(x) + C

• Obsérvese que la derivada del ángulo, debe existir siempre en la expresión subintegral para resolverla como inmediata.

Orientaciones:

Ej.:

• El logaritmo neperiano de la base de la exponencial y la derivada del exponente es necesario que estén siempre en la expresión subintegral para resolverla como exponencial.

Ej.:

J J

Ej.:

J~= J~x = tgx+c

Ej.: !7

Ej.:

!

e

2X

2x

dX = -1-f7 2X . L7 . 2dx = _1_7 2x + C

2L7 2L7

dx =

if

e

2x

. 2dx =

i

e2X

Ej.:

+C

f rx

3.Jx d x - - L3 2

cosxdx = sen x + C

cos x

3

cos x

J 1+ sen2x ­ =

f .Jx

-k J sen3x · 3dx = -k(-COS3X)+ C

cos 2 2X ­

Ej.:! eXdx= eX +C

E· . J..

sen3xdx =

12 dx+ J (cos2x)- 2 sen2xdx= 12 x= J + sen2x} 2 J( cos 2x cos 2x cos 2x

=~J

1 d x = L3 2 . 3 JX + c . L3 2.Jx

~

2 cos 2x

dx -~ J(COS2xt2(- 2sen2x)dx = 2

=~tg2X- 1 (cos2xt 2

3.3.-INTEGRACIÓN DE TRIGONOMÉTRICAS

f f

cos f(x). f'(x)dx = senf(x)+ C

~dx

-1

+C

3.4.- INTEGRACiÓN DE TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS J ~ f'(x)

senf(x).f'(x)dx = -cosf(x)+C

_

2

1

dx = arcsenf(x)+ C = -arccosf(x)+ C

1- [f(X)]2 f'(x)

1+ [f(X)r dX

J



=arctgf(x)+ C

cos 2 f(x)

2 f[1 + t9 f(X)]. f'(x)dx =tg f(x)+C

f

2 sec f(x) · f'(x)dx

Orientaciones: • Obsérvese como en los denominadores aparece siempre una función al cuadrado [f(x)]2 . Pues bien , siempre en el numerador es necesario que este la derivada de la función que está bajo el cuadrado , para resolverla como inmediata.

270

271

Ej.:

f~X = arc 1+ x

4.1.-INTEGRACIÓN DE FRACCIONES RACIONALES

1 1f 1+(3x)2 3 dX =3"arctg3x+c

f .f

dx Ej.: -(-)2 1+ 3x

EJ.:

4.- MÉTODOS DE INTEGRACiÓN

tgx + C

_ 3

dx2 = -1+4x

f

1f

1 2 dx = 1+(2x) 2

Se descomponen las fracciones racionales en fracciones simples , según los criterios expuestos en el tema de ampliación de polinomios .

2 2 dx = -1 arctg2x + C

2

1+(2x)

x2

Ej.: Calcular SOLUCiÓN

.f

EJ.:

1f

dx 2 +3x

f

1 \2dx= r;, 1 1+ (J3X) ,,3

f

J3 \2dx= r;,1 arctg,,3x r;, +C

1+ (J3X) ,,3

J

~x

x2 +1

I

X2 _ x2

J

+-dX = x +1

f 4+4x2dX =¡1 f 4 +x1 2dX=¡1 f ~dX=¡ 1 1f -

4

=¡'2f

1+4

1 ( X) 2 dX = 1+ _ 2

1/2_ dx _ 2 x 1 (X ) 2 - ¡ arctg -+C + _ 2 2

Ej.: Calcular SOLUCiÓN

f

que la función primitiva se anula para x SOLUCiÓN

y=

para x = 2

f ~

(3X-5)Cb=3



y =O

~

x2

T

-5X+C

= 2.

~

3 2 0 =-·2 - 5 ·2+ C 2

272

y=

[ 1+ - ; -) dX = x-arctgx + C x +1

2x ,dx (x+1)(x-1

2x A B A(x- 1)+ B(X+1)

. --= -+-= (x+1Xx-1) x+ 1 x - 1 (x+ 1Xx- 1)

para x == -1

(3x - s)dx y calcular la constante de integración, sabiendo

J

J

para x == 1

Ej.: Hallar

+1

-1

-1

Ej·:f~4+x 2 ­ 1 =¡

x2

J

~ ~

- 2 = -2 A ~ A = 1

2 = 28 ~ 8 = 1

(x+«X_1)dX=

J

C:1+

X~1}X== L(X+ 1)- L(X- 1)+C

~x2 -5x+C 2

~

4.2.-INTEGRACIÓN POR PARTES

C=4

Se aplica la fórmula :

Judv = uv - Jvdu

273

Orientaciones:

Jx· arctgx

Ej.: Calcular • En la integral propuesta se han de hacer dos cambios. A algo hay que llamar u y a algo dv, de tal forma que entre los dos cambios contengan a toda la expresión subintegral, teniendo en cuenta que dv debe de acompañar siempre a dx.

arctgx ==

~

• El cambio (u) hay que diferenciarle y el cambio (dv) hay que integrarle, por eso en este último cambio, lo que se elija debe de ser de fácil integración. 1=

J

xexdx

eXdx = dv

- - 2 dx=du

f

1+ x xdx =

}~ f

dx = du

f

2 x arctgx dx = arctgx . ~ 2

X2

eXdx = dv

f

~ ex = v

xexdx = x · eX -

f

_x 2 -1 -1

eXdx = xe x - eX + C

J

Ej.: Calcular

1 + x2

f 2" 1

2 _x_ dx 1+ x2

11 ==

f

dx

~

f

2

cosxdx = dv

~

f

senx = v

senxdx = xsenx - (- cosx)+ C

-~(x-arctgx)+C 2

1 - dx =du

En general, el método consiste en hacer un cambio de variable dentro de la expresión subintegral.

Hay que tener en cuenta, que generalmente este método, es un método de tránsito, que conduce a la integración de fracciones racionales.

x

dx = dv

Este método posee muchos submétodos, únicamente vamos a analizar alguno de ellos.

En cualquier caso, una vez efectuado el cambio, hay que diferenciar la ecuación del cambio, para poder despejar dx y sustituirlo en la expresión subintegral.

Lxdx

f

2

4.3.- INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN

xcosxdx = x· senx -

~

x arctgx

= du

J

f

( 1++)dX = x -arctgx x +1

Luego :

SOLUCiÓN

dx =dv ~

2

2 x . arctgx 2

1

1=

f =U}

2

f~' _1_dx =

I x2 + 1

xcosxdx

)~

cosxdx = dv

Lx

2=v

'---v----"

SOLUCiÓN

Ej.: Calcular

X2

~

dv

Calculamos aparte /1 :

~

x =u

f

11

SOLUCiÓN x=u

f

1

u) ~

xdx = dv

Ej.: Calcular

dx

SOLUCiÓN

~ x=v

Lxdx = Lx . x -

4.3.1.- Integración de irracionales

f

x.

~x = xLx 274

f

El cambio adecuado es: dx = xLx - x + C

f(x)= t M (M = m.c.m. de los índices de los radicales)

275

f 1+vx .fXcdX

Ej.: Calcular

-

SOLUCiÓN 2 x=1 ~

1

A(I+1) + BI - = -A + - B = ---'-.,........!-~

1(1+1)

I

1+1

1(1 +1)

dx=2ldl

f

.JX

1+.JX

dx

f

=

f

ft2 21dl = 1+ft2

_1- 2Idt 1+t

=

f

2 21 dI 1+t

para 1=0 ~ 1 = A para I = - 1 ~ 1::: - B ~ B = -1

=

I=J

~

21 2

(~+~) I 1+ 1

x dt=Lt-L(I + 1)+C = Le -L(ex +1)+C

21 -2

_212 -21 - 21 21 + 2

2

5.- INT~GRAL DEFINIDA. REGLA DE BARROW

=f l

(21- 2

+~) 1+1

b

J

dI = 2f_21+2L(I + 1)+ C = x-2.fX +2L(.fX + 1)+C 2

f(x)dx = [F(x )l~ = F(b) - F(a)

a

4.3.2.- Integración de racionales trigonométricas inversas

de

exponenciales,

~

3

dx

SOLUCiÓN

r

x 2 ~= ~-~=~ J21 x 3dx = ["""4 1 ="""4 4 4 4 4 4

dx

4

eX +1

~

SOLUCiÓN eX =1

Jx 1

exp, lag, arc = I

f

2

Ó

Ej.: Calcular

El cambio adecuado es:

Ej.: Calcular

logaritmos

eXdx = dI

~

dx

=i!.. eX

~

dx=~

Ej.: Calcular

I

Jsenxdx O

SOLUCiÓN

l=f~x = f-1_dl = f~t eX + 1 1+1 t 1(1+1)

1t/2

J

senxdx = [- cosxl~2 = -cos% - (-cosO) = -O + 1 = 1

O

276

277

6.- PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

7.- CÁLCULO DE ÁREAS PLANAS Respecto eje x

~ La integral de una suma equivale a la suma de las integrales y

b

b

f[f(x)±g(x)]

b

dx= ff(X~x± fg(x) dx

a

a

y

b

~ La integral de una constante por una función equivale a la constante por la integral de la función,

~II!11I1{{~

x

b

b

b

f

X

~II IJJIIIII

y=f(x)

a

S=

b

f

Jf(x)Jx a

kf(x) dx = k f(x) dx

a

J

S = - f(x)Jx a

a Respecto eje y

~ La inversión de los limites de integración hace que la integral cambie de signo.

a

b

f

y

x=f(y)

y

f

_______ -+___ x

f(x) dx = - f(x) dx

a

---+------x

b

q

q

~ La consideración de un punto c, interior al intervalo de integración hace que la integral se pueda desdoblar en la suma de dos integrales.

c

b

f f(x) a

dx =

f f(x) a

f f(x) c

S=

Jf(y~y

Jf(y)Jy P

P

dx

si

c E [a,bJ . • Respecto al eje x

{ áreaS por encima del eje ~ positivas áreas por debajo del eje ~ negativas

áreas a la derecha del eje ~ positivas • Respecto al eje y { áreas a la izquierda del eje ~ negativas

278

-

Téngase en cuenta, que en cualquier caso, la integral únicamente proporciona el área encerrada por la función con el eje coordenado elegido .

b

dx+

[a,b],

S=

279

y

Ej.: A continuación se desarrollan ejemplos teóricos

ql-

y

,

_p

I

x

~~ y=f (x)

y=g(x)

11II/III/fUUIId

a

'f

'íl,6r;,;;t

y=f (x)

x

b

Respecto eje x

b

c

d

S= jf(X) dx

b

b

f

b

b

a

a

S= Jg(x) dx- ff(X) dx- ff(X) dx-HJg(x) dx= g(x) dx- Jf(X) dx

-a

a

a

c

d

Respecto eje y

y=f (x)

q

f

q

-p

-p

S = g(y) dy - J f(y) dy

a

x

b

Ej.: Calcular el área limitada por la parábola

b

b

rectas "

=1

Y x

2

y = x , el eje

=3

S= jf(X) dx- j g(x) dx

a

SOLUCiÓN

a

y=x

2

y

~-=f co ~\\\\\l i\\~ ­

(x)

'Vt\\\'4 x=3

3

S= JX2dX=[:{]3

c

b

1

3 1

S=-jf(X) dx+ jf(X) dx a

c 280

x

x

281

=~_!.-=26 3

3

3

x

y las

Ej.: Determinar el área limitada por las parábolas y SOLUCiÓN

= x2

e

y2

=x

MATRICES

y

1.- CONCEPTO DE MATRIZ

y=+\J"3< ~1''lY

x

Se entiende por matriz a un cuadro de letras o números ordenados en filas y columnas .

y=-\J"3<

s=fFxdX-fx 2dX=fx /2 dX-fx 2dX= 1

O

1

O

1 11

1

O

[

O

3/]1 _~ [3]1=[x3/2_~]1=3_~,=~ ~ 3/2 O

3 O

3/ 2

8.- CÁLCULO DE VOLÚMENES DE REVOLUCiÓN

3 O

3

3

Ej.: (;

~

:)

ó

[:

:]

Ó

1

O 2

11-3

4 5 7 8

6

3

En una matriz teórica se representa cada elemento con una letra con dos subíndices (el primer subíndice indica la fila en la que está el elemento en cuestión y el segundo subíndice indica la columna en la que está situado).

y

-¡r¡--

~

111

y=f (x)

a11 FILAS(m) ~ a21 [ a31

11'

,11

'11 1I I

I Il

'::

: , :

iJI

x

:'11f :

..... __ Jl/__ ..... ,11

~

t

a13] a23

a32

a33

.!.

t

a

a12 a22

COLUMNAS (n)

b

b

V=

nf y 2 dx

Se entiende por orden o dimensión de una matriz, a la representación simbólica de su número de filas por su número de columnas.

a

ORDEN ó DIMENSiÓN ~ m x n

9.- CÁLCULO DE LONGITUDES E' J.:

(1 23) 5 6 7

~ orden

~

2x3

y

y=f (x)

2.- OPERACIONES CON MATRICES ---r--~----~--

a

____ x

b

b

L=

fJ1

+ (yidX

a 282

2.1.- SUMA DE MATRICES

Para poder sumar (o restar) matrices es necesario que estas sean del mismo orden, es decir equidimensionales. Su suma se realiza elemento a elemento, de los que estén igualmente colocados en ambas matrices.

283

Ej.:

(43 -52 1)1 + (21 43 -86) (55 -15 -77)

Ej.:

[

1 O)

3 ~14] [3 -2] [O 6] 6 - -0

-52

:

=

;

-1

3 -1]

. (2 EJ.: 4 -2 1 . [24 5 -2 O = ( 8 7 4 -2) ~ ,O 2 3 , O -5 18 -1 Ú4' Ú4 '

=

5

Ej.: Dadas las matrices:

2 3 1] [

B= O 2

A -[; ;]

4

[3 2]

1

C= O 1

1 2

1 2

2.2.- PRODUCTO DE UN NÚMERO POR UNA MATRIZ

El producto de un número por una matriz, es otra matriz que se obtiene, multiplicando el número en cuestión por todos los elementos de la matriz dada.

Ej.' 3[:

~]

6 [1 8

=

12

-2 6

Ej.: Hallar la matriz (2A-BC)T SOLUCiÓN

15]

3 3 9 -6 18

(2A_BC)T

+[;

2.3.- PRODUCTO DE MATRICES

=

T

O] [2 3 1][3 2]1 = [[424-14 O] [7 9]lT 2-02101 1 4 1 2 1 2 6 2 14 13 9]T _-3

- 3 1 O [ -8 -11

1 -8)

Para poder realizar esta operación, es imprescindible que el número de columnas de la matriz de la izquierda coincida con el número de filas de la matriz de la derecha (téngase en cuenta que el producto de matrices no es en general conmutativo).

T: indica traspuesta. Cambiar filas por columnas o viceversa.

Pues bien, el producto de dos matrices, se obtiene haciendo la suma de los productos de los elementos de cada fila de la matriz de la izquierda por los elementos de cada columna de la matriz de la derecha.

Ej,: Calcular la matriz X, sabiendo que: A + B - X= O

A=[~ :]

. (3 5 4) .[2O 31J = (3.2+ 5O+ 44 3.1+5.3+4.1) (22 22)

EJ.:

622

'-----v-----'

2x3

=

4

1

-(-9 O -11

6·2+2·0+2·4 6·1 +2·3+ 2·1 20 14

B{' :]

~

2x2

'--v--'

3x2

SOLUCiÓN

(~ :]{1 :]-[: ;]=[~ ~~ 284

285

~

3a 5-b] [O O] 1-c 8-d = O O [4-e 11-f O O

3-a=0

~

5-b=0

~

0.5

1-c = o

~

c =1

8-d==0

~

d==8

4-e==0

~

e==4

11-f=0

~

f == 11

DETERMINANTES

a==3

~

1

x=[; l~J

1.- CONCEPTO DE DETERMINANTE Se entiende por determinante de una matriz cuadrada, al número, polinomio u operación que resulta, al formar con los elementos de la matriz cuadrada, todos los productos posibles, de tal forma que en cada producto, exista un elemento y solo uno, de cada fila y de cada columna. NOTA.- Al ser un determinante, el módulo de una matriz cuadrada, hay que tener en cuenta que todos los determinantes tienen el mismo número de filas que de columnas. Los determinantes se representan encerrados en dos barras verticales.

2 3 1] [

Ej.: A = O 5 6

231 ~

781

IAI =

lo

5 6.

7 8

Si un determinante posee dos filas y dos columnas, se dice que es de "segundo orden". Si tiene tres filas y tres columnas de "tercer orden" . Si tiene n filas y n columnas de "orden n". Las matrices cuadradas cuyo determinante es distinto de cero, se las llama regulares o no singulares. Las matrices cuadradas cuyo determinante es cero, se las llama no regulares o singulares.

2.- PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES ~ Si en un determinante se cambian las filas por columnas o viceversa, el determinante no se altera.

IAI == lA 120153

Ej.:

15 6 1 = 2 6 2 324

286

014

287

TI

~

La permutación de dos filas o columnas de un determinante, hace que este cambie de signo. 3 2

156

Ej.:

b2

~ Si todos los términos que estén a un lado de la diagonal principal son nulos, el valor del determinante es el producto de los elementos de la diagonal principal.

1

156

1

= ­ 1

432 432

\3 2 4

Ej .: O 5 21= 3 5 · 1=15

O O 1

~

Cualquier determinante que tenga dos filas o dos columnas iguales es nulo.

Ej.:

3

1 2'

13

1 21 = O

3.- CÁLCULO DE DETERMINANTES

4 O 6

~ Si se multiplican todos los elementos de una fila o columna por un mismo número, el determinante queda multiplicado por dicho número (de la misma forma que un número entra en un determinante, también puede salir).

3.1.- De segundo orden

IAI =\a 11 a21

123 369

Ej.:

314

O

51=

1 2 4

14

12 a \=a 11 ·a 22 -a12 a 21 a22

O 5

1 2 4

Ej.:

\!

Ej.:

-2 1\ =(_ 2) .4-1(-3)==-8+3=-5 \-3 4

~\=

3·1-2 ·5=3-10=-7

~ El valor de un determinante no varia, sí a los elementos de una fila o columna se le suman o restan los elementos de otra paralela a ella , multiplicados o no por un mismo número.

4 1 21 1

Ej.: 13 6 2 = 3 1 3 5

4

4+1

2

4 5 2

3+6

2=3921

1+3

5

4 5

NOTA.- Esta propiedad tiene mucho interés, sobre todo desde el punto de vista, de poder obtener, la mayor cantidad de ceros posibles en una fila o columna cualquiera del determinante, con el objetivo de facilitar su cálculo, como posteriormente veremos.

3.2.- De tercer orden. Regla de Sarrus

Antes de ver la regla de Sarrus, vamos a ver una forma de calcular estos determinantes, consistentes en colocar las dos primeras filas a continuación del determinante Y efectuar en diagonal, productos ternarios de elementos. Veamos:

~

Cualquier determinante que tenga los elementos de una fila o columna cualquiera , todos cero, es nulo.

O O O

Ej.:

11 4

2 5

31 =0

1

288

289

r

·'34

5 1 Ej.: 12 3 2

3 1 2

4 5 1

=

231 3· 5 . 2 + 4 . 3 . 2 + 2 . 1. 1- (2 . 5 . 2 + 1. 3 . 3 + 2 . 1. 4) =



Ej.:

14

5 O' = 213

= 2·5 . 3 + 4 ·1· 1+ 2 · 3 · o- (1 . 5 . 2 + o· 1. 2 + 3 . 4 · 3) = 34 - 46

= - 12

= 30 + 24 + 2 - (20 + 9 + 8) = 56 - 37 = 19 La regla de Sarrus consiste en hacer lo mismo, pero con más rapidez. Veamos:

4

Ej.: 13 1 -31= 512

a11

a12

a1 3

a21

a22

a23' =

a31 a32

-2 1

= - 2 .1· 2 + 3 ·1· 4 + 5 ·1· (-3 )- [4 ·1· 5 + (-3) 1.(-2)+ 2 . 3 .1]= - 39

a33

= a11 a 22 a 33 + a21 a 32a 13 + a31a 12 a 23 - (a1 3a 22 a 31 + a23 a32a11 + a33 a21a12 )

3.3.- De orden superior al tercero. Regla de laplace

Esta situación gráficamente expuesta es de la siguiente forma :

• Productos ternarios con signo positivo (independiente del signo de los elementos ).

al! a a a21

12

13

"­ a22

a2J

a31 a32 "­ a 33

a>a a;/a 11

13

a21

23

a31 '\. a32

a33

a'6 a2J a\1

aJ2

a13

a31 aJ2 a JJ

• Productos ternarios con signo negativo (independiente del signo de los elementos ).

al}

a 12

"/

a 13

a2 / a22 a 23

a 31 a32 a 33

a 11

a12 a ~ 13

a2 ]\ a22 a a 1\ / 23 31

a32 a 33

a11/ /a 12 a 13

Para poder obtener la solución de estos determinantes es necesario conocer

antes algunos conceptos .

Veamos:

Se entiende por menor complementario de un elemento de un determinante , al

determinante que resulta al suprimir la fila y la columna que pasan por el

elemento en cuestión.

1 2 3 4 O 5 6 7 EJ.: En el determinante I 8 9 10 11 12 13 14 15 5 el menor complementario del elemento 1 es:

a21 a22\ a

~ 23

7 11

9 13 14 15

1

a31 a32 a 33

3 Y el menor complementario del elemento 9 es:

290

6 10

291

10

4

6 7 12 14 15

Se entiende por menor adjunto de un elemento de un determinante, al menor , complementario del elemento en cuestión, afectado de signo + ó dependiendo respectivamente de que la suma de la fila y la columna que pasan por el elemento sea un número par o impar.

2

4

1 -1

3

3

4

6

-2

2

2 2 3 -1 3

De todas formas el signo del adjunto del elemento a11 es siempre positivo y los demás se van alternando siguiendo la fila o la columna. 1 fila + columna == (. par ~ + Impar ~-

a

b

I~

f

m

n o

9 h k I

a

y el menor adjunto del elemento "1" es:

3+(+)-4 3

-1

3

4

2

-2

1

3

-1 3 +(-).2 3

-1

2

4

6

-1

6

3

I

k

I

m o

p

+ i

a --e

Pues bien, antes de aplicar la regla de Laplace, es conveniente obtener en una fila o columna cualquiera del determinante la mayor cantidad de ceros, con el objetivo de facilitar la tarea de cálculo. Veamos.

c d

b

En el determinante propuesto, vamos a obtener la mayor cantidad de ceros en la segunda columna (se puede hacer con cualquier línea del determinante), manteniendo fija por ejemplo la segunda fila y a continuación desarrollaremos por Laplace por la segunda columna.

c

g, m n o

La regla de Laplace, dice que el valor de un determinante es igual a la suma de los productos de los elementos de una fila o columna cualquiera del determinante por sus adjuntos correspondientes.

~

. Hallar el valor del determinante . EJ.: I-21 21 34 2 3 -1 2 3 6 -1 3 4 SOLUCiÓN

2

4

-2

1

3

2

3

-1

2

3

4

6

-1 3

-2 =(-0)

3

2

5

5

5 O -2 -2 -2 2 3 O 5 5 16 O -19 -9

2

5

+(tl

1

==(+) 1

-2 -2 5

~ 23 fila(-2)+1 3 fi1a ~

fila fija

2 3 fila + 3" fila ~ 23 fila(- 6)+ 4 3 fila ~

-2 -2 5 -2 -2 5 +(-) O -2 3 2 +(+) O -2 3 2 5

16 -19 -9

16 -19 -9

Por ejemplo vamos a desarrollar el determinante por Laplace por los elementos de la primera fila

292

2

4

3

1

Obsérvese que la tarea de calcular un determinante por la regla de Laplace, en un principio parece bastante compleja en cuanto al cálculo.

p

el menor adjunto del elemento "f "es:

3+(-)·2 3

2 -1

6

-2

2

2

Los signos expuestos entre paréntesis corresponden al signo del menor adjunto correspondiente al elemento en cuestión de la fila considerada .

e d

I

Ej.: En el determinante

= (+)-1/-1

-2

3

3

16 -19 -9

5

I~

-2 5

-21 5 == =- 225 + 38 - 160 - (- 160 - 475 + 18) =270

16

-19

-9

293

5

4.- MATRIZ INVERSA

+\-14

Para que una matriz cuadrada A tenga matriz inversa, es necesario que ésta sea regular, es decir que el determinante de la matriz A, debe de ser distinto de cero.

A- 1 =_1\ -15 ­

Dada la matriz A:

a11 A = a21 [ a31

a12 a22 a32

A11

A21

A31]

A13

A23

A33

\3

2\ -1

+\~ ~\ -\~ ~1\

-1\ 2

2

+\04

+\~ ~1\ -\~ ~1\ +\~ ~\

a13 ; a23 a33

[7 -2 -8

A-1 =_1_ -8 -2 -15 -11 1

Llamaremos matriz inversa de A y la representaremos por A -1 , a la lT'atriz:

A-1

- 1\ \ O 2\ 2 - -1 2

7 4

~

A- 1 =

J

7 15 8 15 -11 15

2 15 2 15 1 15

8 15 7 15 4 15

= I~I A12 A22 A32 [

4.1.- PROPIEDADES DE LA MATRIZ INVERSA

Obsérvese como la matriz inversa, se "monta", hallando los adjuntos de cada columna de la matriz A, pero colocándolos por filas o viceversa.

~ La inversa de una matriz es única.

También se puede hallar, la matriz formada por los adjuntos de A y luego se transpone.

~

Una matriz A multiplicada por su inversa A -1 siempre debe reproducir a la

matriz unidad 1.

A . A- 1 =A- 1 .A=1 Ej.: Hallar la matriz inversa de:

1 O 2] [

A= 3 4 -1 2 -1 2 SOLUCiÓN

1

O

Si existe matriz inversa por la izquierda, también existe por la derecha Yson idénticas.

~ (A.St 1 =S-1.A- 1

2

IAI = 13 4 - 11 = 8 - 6 -16 - 1 = -15 2 -1 2

294

~ ~

Tt

=(A -

Y

1

295

~ jA -11 == 1;1

ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES

NOTA.- Referente a la matriz unidad (1)

I == ( 1 0J

O 1

1 OO] I == O 1 O [O O 1

1.- PRESENTACiÓN DE UN SISTEMA FORMA ORDINARIA etc.

FORMA MATRICIAL

a11 x + a12Y + a13 z == k1 } a21 x + a22Y + a23 z == k 2 a31 x + a32Y + a33 z == k3

( a11 a 21

a12 a22

13 a a23

a31

a32

a33

l

][X]Y

== [k1] k2

z

k3

2.- ClASIFICACION DE lOS SISTEMAS DETERMINADO (única solución)

COMPATIBLE {

INDETERMINADO (infinitas soluciones)

NO HOMOGéNEOS (algún k ¡O O) INCOMPATIBLE (ninguna solución)

HOMOGÉNEOS (Iodos k = O) ~

DETERMINADO (única soludén)

s1ell'pro COMPATIBLE {

INDETERMINADO (infiniias soluciones)

NOTA.- Los sistemas homogéneos tienen siempre una solución (x == y == Z == O) que es la que se llama solución trivial del sistema. Por eso un sistema homogéneo compatible determinado, no hace falta resolverlo ya que su única solución es la trivial.

3.- MATRICES DE UN SISTEMA MATRIZ AMPLIADA

MATRIZ DE LOS COEFICIENTES a11 A == a21 [ a31

a12 a22

a13] a23

a32

a33

a11 A' == a21 [ a31

a12 a22

a13 a23

a32

a33

k1] k2 k2

RANGO ó CARACTERíSTICA: Orden máximo de determinantes distintos de cero ó número de filas no nulas que resultan al escalonar la matriz (se entiende por fila nula a aquella en la que todos sus elementos son ceros).

296

297

4.- TEOREMA DE ROUCHE. DISCUSiÓN DE UN SISTEMA

6.- ESCALONAMIENTO DE MATRICES. OPERACIONES ELEMENTALES

r(A) = r (A*)

DETERMINADO ~ COMPATIBLE

{

r (A) '" r (A*)

~

-+ r(A)

INDETERMINADO -+

= r(A*) = n

Diremos que una matriz esta escalonada, cuando los elementos de su triángulo inferior izquierdo son todos ceros.

r(A) = r(A*) < n

INCOMPATIBLE

NOTA: reAl = rango de A

r (A*) = rango de A*

[

n = n° de incógnitas

a 11

a12

a21

a22

11 a13] ~ [aO a23

a31

a32

a33

O

a12 a22 O

a~ 3 l

a23

a:n

5.- SOLUCIONES DE UN SISTEMA

Para ello es posible valerse de las siguientes operaciones:

5.1.

• Permutar dos filas.

MÉTODO DE CRAMER

k 1 a12 k 2 a22

a13

a11

a23

a21

k

a33

a31 k3

x =' 3

a32

y=

IAI

5.2.

• Sumar a una fila, otra paralela a ella, multiplicada o no por una constante.

k1 a13 k 2 a23 a33

IAI

z=

a11

a12

k1

a21

a22

k2

a31

a32

k3

• Multiplicar o dividir una fila por un mismo número.

IAI • Si es posible, conviene que antes de comenzar el escalonamiento, el elemento a11 sea la unidad .

MÉTODO DE LA MATRIZ INVERSA

• El rango de una matriz es el mismo que el de su matriz escalonada.

Xl [ A11 [Y = 1;1 A12 z

A13

A21 A22 A 23

A31 J[ k1 j A32 k2 A33 k3

NOTA.- Aij representan los adjuntos de los elementos correspondientes. Ej: A 23 es el adjunto del elemento a23

5.3

MÉTODO DE GAUSS

Se escalona la matriz ampliada del sistema y se obtienen las incógnitas en orden inverso a como se ha hecho el escalonamiento.

• Todas las transformaciones expuestas, no modifican el rango de la matriz (el rango de una matriz es el mismo que el de su traspuesta) y de alguna manera su práctica unifica y facilita la manipulación de matrices aplicadas. Téngase presente que cada fila de estas matrices contiene a una ecuación del sistema . Por tanto, lo que se pueda hacer en un sistema también se puede practicar con la matriz.

• Al escalonar una matriz puede ocurrir que se obtengan más ceros que los que promete el escalonamiento (triángulo inferior izquierdo), pero existe un caso en el que es preciso continuar.

a a al

[a

a al

OOa~OOa

[

298

O O a

O O O

299

Si alguno de estos cuatro determinantes de orden tres, fuese distinto de cero, el rango de la matriz, seria tres, es decir, ese orden máximo.

Ej.: Hallar el rango de la matriz:

[

1 2 3]

Si los cuatro determinantes de orden tres, fuesen todos cero, el rango de la matriz no puede ser tres, sería menor naturalmente. Veamos:

A= -1 2 1 2 3 1

3 O

21 = 3+4+0-1-6 - 0 = O

4 1I

SOLUCiÓN Escalonamos la matriz A

[

1 22 3] 1 -1 2 -35] ---+ [1O -1 2 -5 31 -1 1 ---+ [1O 42 43] ---+ [ O O 4 4 O O -16) 2 3 1 O -1 - 5

O 2

5

41=0+5+4-10-0 + 1=0

-1,

• quieta la 1a fila + 2 a fila • (-2)1" fila +2 a fila

En la primera matriz

l. 1a fila

En la segunda matriz

I Se ha permutado 2

a

para obtener la segunda matriz fila y 3

a

I para

obtener la tercera matriz

fila En la tercera matriz

34 2 _45j = -6 + 20 + 4 - 1O- 12 + 4 = O

(4) 2 a fila + 3a fila

I

para obtener la cuarta matriz

Obsérvese en el escalonamiento que es posible formar un determinante de orden tres, distinto de cero (que es el máximo orden) ya que no ha surgido en la matriz escalonada, ninguna fila en la que todos sus elementos sean cero, cuestión que provocaría que el único determinante de orden tres fuera cero, al tener este, toda una fila con ceros. Es decir que la matriz posee tres filas no nulas, luego ese es el rango.

!I

3 O = -3 + 20 + O- 5 -12 - O = O 4 -1 1

Al ser los cuatro determinantes de orden tres, todos nulos, el rango no puede ser tres. Elegimos entonces determinantes de orden dos, para ver si alguno es distinto de cero.

I! ~1=3-0=3*0

---+

r(A) = 2

Luego se puede decidir que r(A) = 3

Ej.: Hallar el rango de la matriz:

• Mediante escalonamiento 3

O

B= 4 2 [ 1 1

_!,]

SOLUCiÓN •

1

1 -1] 34 O 2 45 ] ---+ [13 O 5 ---+ [1O -3 -2 -1] 8 ---+ [1O -3 -2 [ 1 1 1 -1 4 1 2 4 O - 3 -2 8 O O O

Mediante determinantes

Obsérvese que los determinantes máximos que se pueden formar con los elementos de la matriz son de orden tres , y además se ve que se pueden formar cuatro determinantes de orden tres.

300

301

-1]~

---+ r(S) =2

En la primera matriz

para obtener la segunda matriz

La 3" fila se ha colocado la 1" para que a11 = 1

-4

Ej.: Hallar el rango de la matriz P = ( ;

6

-3 En la segunda matriz

SOLUCIÓH

• quieta la 1a fila • (-3)1" fila + 2" fila

para obtener la tercera matriz

• (- 4) 1" fila + 2 a fila

P=[~

-2 -4

(- 1) 2" fila + 3" fila

para obtener la cuarta matriz

I

Obsérvese que el rango no puede ser tres, al tener una fila con sus elementos todos nulos, lo cual indica que no es posible formar un determinante de orden tres, distinto de cero.

3] 5

O

O

~

[1O - O2

2

O

O

3] -1

~

r(P)=2

O

a33 =0 en la última matriz no ha sido obtenido Obsérvese que el espontáneamente y hay que obtenerlo obligadamente como caso excepcional.

Ej.: Hallar el rango de la matriz:

(31 -2, 21 O

3

Es decir su rango es el número de filas no nulas que se han obtenido al escalonar la matriz ~ r(B) = 2

Ej.: Hallar el rango de la matriz

[1O - O2 -31]

~

-7

6

-3

En la tercera matriz

-~7]

-2

D-

-:5)

-4 1 -3-3 5 -3 4 6

SOLUCiÓN

c.(:

3 3 3]

333 333

SOLUCiÓN Todos los determinantes de orden tres que podemos formar son cero (al tener dos filas o columnas iguales). Lo mismo les ocurre a los de orden dos.

(' -2 31) [' -2 31) [' -21 31] 3 -4

1 1

5

-3

2 O 4 ~ O 7 -1 - 9 1 ~ O 7 -3 -3 -5 O -7 9 -1 O O 4

6

6

O 7

-1 -9

1

O O

-1 - 9 1 ~ r(O) == 2 O O O O

O O

Ej.: Determinar, según los valores de "a", el rango de la matriz siguiente:

Luego el rango de A no puede ser tres ni dos, es uno. r(C) = 1

A=

(" 02) 1 -1 1 3 -1 2 4 2 3

cuestión que se puede también observar al escalonar la matriz: obsérvese que existe una fila no nula, luego 1 es el rango.

2

4

a

SOLUCiÓN

3 3 3 3] C= O O O O [O O O O

3~

( 11

-1

1 3 O -2 O 2] 1 O -6 O 3 O2] (" ["

-1

2

4

2

O

3

2

4

a

O -1

~

3

4

4

4

a- 6

W3

~

O

6

O - 6

8

24

6.U

1 1 O - 6 [

O O

O 3 11

11

O

21

6a - 39

O

32

]

- )

[O 1 - 12 O O O 1

O

O

1 2 1

]

--?

[O 1 -2

O O

7 2a - 13

O 1

O O

21 1

1 - 1

]

-1] [1-1 -1]

1

O 6 - 10 -8 [ O O 7 14

O 2a - 20

'-r--------'

Para que el rango de A no pueda ser cuatro, debe ocurrir que: 2a - 20 = O

--?

O 3 -5 -4 O O 7 14

--?

A

A'

a = 10 r(A) = r (A') = 3 = n

--?

s. compatible determinado

única solución

--?

luego, observando la matriz escalonada, se puede decidir que: 2)

- 1 - 1 paraa=10 para a c# 10

--? --?

=

r(A) 3 r(A) =4

- 6 x='

1

-3

-1 - 1 21 -2 + 6 - 3 + 1+ 3 - 12 - 7 = =- = - 1 '1 - 1 1 I 2-2 + 9 - 3 -3+ 4 7

2 1 - 3 3 -1 2

Ej.: Dado el sistema: x-y+z= - 1 } 2x+ y-3z =-6

- 1

3x -y+2z =-1

2 - 6 -3

Se pide:

1) Discutirlo por escalonamiento.

2) Resolverlo por el método de Cramer.

3) Resolverlo por el método de la matriz inversa.

4) Resolverlo por el método de Gauss.

y=

3

21

7

2

SOLUCiÓN

- 1

1

-1

- 1

1

- 6

=

-12 - 2 + 9 + 18 - 3 + 4

7

3 - 1 -11

-1 + 2+18 +3 -6-2

7

7

Z= I

1) Escalonamos la matriz ampliada del sistema:

3) Se expone el sistema en forma matricial

[' -1 1 -1] [' -1 2

1

3

- 1

-3 -6 2

- 1

--?

O 3 O 2

-1; [' -1

- 10 -8

2

- 3

-5 - 4 -1

A

O 6 O 6

-1] 6

[X]

1 ] · Y = [21 - 11 -3 - 61] [3 - 1 2 z -1

'---v---' ~-

--?

~

A'

304

305

=.!i=2 7

=.!i =2 7

Hallamos la matriz inversa de A, que es A - 1 .Ya sabemos que IA I = 7, luego:

/1 -1

A- 1

=~¡ _I~

~/

-3/ _/-1 2 - 1 3 -2 /

2X1 - 4x2 + 6x3 = 4}

x1 + x2 + x3 = 3

- x1 + 5x2 - 5X3 = 1

1-1 1 / 1 - 3

I~ ~I -I~

I~ -\/ -/~

- 11 - 1

Ej.: Discutir y resolver el sistema:

[-1

=! 7 -13 _13/ -5

I -~

2]

7

-1 5 =1 - -13 _ _1 - 2 3 7 7

­2 7

SOLUCiÓN Hallamos el rango de las matrices del sistema para discutirlo

5

-

7 2 -4

l -~

I ~ ~11

2

7

6

3

7

[

-\

~] ~ [ ~

1 1 -4 6 - 1 5 -5

-5 1

5

~] ~ [i

1

3] [1O -16 4 -3] 2

- 6 4 -2 6 -4 4

~

O O O 2 ~

A

A

Multiplicando el sistema matricial por A -1, se obtiene:

A'

A'

r(A) = 2

Y

r(A *) = 3 ~ sistema incompatible ~ ninguna solución

2

7

[~] =

7

7

13

7

7

5 7

2

5 7

[-1-1] -6

~

[X]Y = [-1 2] z

x =-1 ~

2

y=2

Ej.: Discutir y resolver el sistema:

z=2

x+2y-3z = 2} 2x-y-z=-1 x+ y-2z = 1

3 7

7

SOLUCiÓN Calculamos el rango de las matrices del sistema

4) Para resolverlo por Gauss, aprovechamos el escalonamiento anterior de la matriz ampliada y obtenemos un sistema equivalente.

1

2

- 3

2 -1 -1 [

x - y+z =-1 3y - 5z = -4 7z

= 14

)

~ X - 2 + 2= -1 ~3y - 10=-4

~ ~

1

-2

~1] ~ [i

2 -3 2] 5 -5

-5 -1

~

-1

~

O -1

-1

O O

O

3y=6

~

y=2

'-.r----'

'--.r---'

~ A'

A

A'

r(A) = r(A *) = 2 < n ~ s. compatible indeterminado ~ infinitas soluciones

306

O

x=- 1 ~

~z = 2

2 -3 2] [1O -21 -3 2] [1 -1 1 -1 O -1

307

Resolvemos, utilizando el sistema escalonamiento.

equivalente que ha reproducido

el

Ej.: Discutir Y resolver el sistema:

X+Y+Z=O} 2x-y+z =0 4x+ y-z= O

x +2y - 3z = 2} -y+z=-1

Como se dijo, para resolver, el sistema siempre tiene que tener el mismo número de ecuaciones que de incógnitas, así que teniendo presente esta regla pasamos una de ellas al segundo miembro y obtenemos las soluciones de las dos que quedan en función de la que hemos pasado al segundo miembro.

x +2y = 2+3Z}~ x +2(1+ z)== 2+ 3z -y=-1-z ~y=1+z

~

x + 2 + 2z == 2 + 3z

~

x=z

SOLUCiÓN Como ya sabemos los sistemas homogéneos son siempre compatibles (el rango de la matriz de los coeficientes es siempre igual que el de la matriz ampliada, precisamente por tener el sistema una columna de ceros, que es la de los términos independientes del sistema) . No obstante se hará una discusión similar a la de los sistemas no homogéneos, ya que hay que distinguir entre compatible determinado e indeterminado. 1

1 -1 2

Las infinitas soluciones del sistema son:

[4

1

1

0J O ~

[O 1 -3 1

-1 O

O -3

1 -1

0J 1 -3 O ~ [O

-5 O

O

O

-1

~I

J

-4 O

--.----'

x=z

~ A'

--.----'

y::: 1 + z

~ A'

Para cada valor que la demos a "z", obtenemos una terna de soluciones del sistema.

r(A) '" r(A *)::: 3 = n

~

s. compatible determinado

~

única solución

La solución del sistema, es pues la trivial Estas soluciones se suelen exponer, en lo que se llaman las soluciones para métricas del sistema, que consisten en sustituir la incógnita común (es decir, la que hemos pasado al segundo miembro para resolver el sistema, en este caso la "z") por una letra o parámetro cualquiera.

x=t

x=y=z=O Téngase en cuenta que cuando un sistema homogéneo es compatible

determinado (única solución), la única solución de este, es la trivial

(x = y ::: Z = O) Y no hace falta resolverlo.

Y = 1+ t

z=t Ej.: Discutir según los valores del parámetro "a" el sistema:

por ejemplo :

x=O

para t '" O

¡ X

j

Y= 1

para t '" 1

z=O

x + 2y - 6z = -1 } 4x -3y+ 4z = 1

=1

Y= 2 z=1

- 8x + 6y + az

y resolverlo para a = -7

y así sucesivamente.

308

309

=-3

ESPACIOS VECTORIALES

SOLUCiÓN • Discusión por escalonamiento

1.- DEPENDENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL

Escalonamos la matriz ampliada del sistema

[

12

-6

4 -3 -8 6

4

a

2

-6

-1:~ [1° -11 -3 ° 22

28

1

-6

2

a-48

-1] [1

5 ~ ° -11 -11 ° °

28

-51]

a+8

-1

'---v------'

A

A

A'

Observando la matriz escalonada, podemos decir que: si a + 8::: ~ ~

a, b, c, ... son vectores

a,~,y, ... son escalares

a,~, y -t todos cero -t vectores linealmente independientes -t forman sistema libre

'-----¡;;

---v­

*



a,~, y -t no todos cero -t vectores linealmente dependientes -t forman sistema ligado

~

Para a::: -8 Para a -8

Iaa + ~b + yc"· = °

°

~

Desarrollo hecho para tres vectores a ::: -8 a(X1' h Z1 ) + ~(X2, Y2, z2 ) +y(x3 ' Y3, z3) == (0,0,0)

r(A)::: 2 y r(A*)::: 3 ~ s. incompatible ~ ninguna solución r(A)::: r(A*) ::: 3::: n ~ s. determinado ~ única solución

( aX 1' ah aZ1) + (~X2 ,~Y2,~Z2) + (y X3' YY3 ' YZ3) = (0,0,0,)

Obsérvese que al ser a33 == -1 , el rango de A * no depende de "a", por lo tanto siempre es tres, y no es pOSible que los rangos de A y A* sean simultáneamente dos y no podrá ser indeterminado en ningún caso.

( aX 1 +~x2 +yx3 ,aY1

Los datos se pueden exponer en el siguiente cuadro

J Deter min ado

~

a*-8

lln det er min ado

~

nunca

+~Y2 +YY3, az 1 +~Z2 +yz 3)::: (0,0,0)

aX1+!3X2+YX3=O) aY1 + !3Y2 + YY3 ~ O

OZ1 + !3z2 + YZ3 == O

Compatible Discusión

~

Incompatible

n

= incógnitas::: escalares = a , ~, y

a = -8 [

X1 Y1

x2 Y2

X3 ] [a] Y3 ~ =

Z1

z2

z3

y

[0]° °

X1 (a,~,y x2 ~ { x3

::: nO datos

= nO vectores

Y1 Y2

Z1] z2 =(0,0,0) ~ A=

Y3

z3

• Solución para a::: - 7 por escalonamiento Utilizamos la matriz escalonada anteriormente para obtener el sistema equivalente .

x+ 2y - 6z -1) =

-11y + 28z == 5 (a+8)z==-1

~ x - 6 + 6 ::: -1 ~ x = - 1

x + 2y - 6z = -1) -11y+28z = 5 z==-1

~ -11y - 28=5~-11y :::33~ y=-3

A(m x m)

-1. vectores por columnas

A(m x m) -1.

vectores por filas

(Xi,Yi,Zi)

[

X1

Y1

x2

Y2

Z1] z2

x3

Y3

z3

-1. matriz del sistema

r(A)=m=n-t[s. determinado]-t[única solución. solución trivial]-t[ a,~, Y todos cero]-t -+ [vectores linealmente independientes]

~z=-1

r(A)<m
311

2.- COMBINACION LINEAL. SISTEMA GENERADOR

Iaa + pb + yc + ... :::

V

a ,b,c, ... son vectores

3.- RESUMEN DE ESPACIOS VECTORIALES introdUCir ] vectores A

a,p,y•... son escalares

*1

Un conjunto de vectores, forman un sistema generador cuando cualquier vector del espacio considerado , se puede poner, como combinación lineul de los vectores dados.

A

por filas

[ intrOdUCir] vector genérico

Desarrollo hecho para tres vectores a(x1, Y1, z1) + P(x2, Y2, z2) + y(x3' Y3,z3)

[

= (x, y, z) -t vector genérico

r(A) < nO vectores ~ 1. dependientes

r(A) = nO vectores ~ l.independientes

( ax 1 +p x 2 +yx 3 ,aY1 +P Y2 + YY3 ,al1 +p z 2 +yz3 ) = (x, y, z)

] BASE

r(A) = r(A*) ~ si sistema generador

~ r(A) = DIMENSiÓN

r(A) ~ r(A') ~ no sistema generador aX1+px2+YX3 :::X) aY1 +P Y2 + YY3 ::: Y aZ1 +p z 2 +yz 3::: z

n

=incógnitas =escalares = a.p,y =nO datos =nO vectores

x2 [ '1 Y1 Z1

Y2 Z2

~mH~]

A(mxm)

~

[ X1

(aJ3y) X2 x3

Y1 Y2 Y3

(xi,Yi,zi )

t[

i:J " ~ A ~: ('yz)

vectores por columnas

Y2 Y3 Y

:;J JA

A(mxm)

4 .2 .

-> [s.compatible indeterminado]->[infinitas soluciones para a,p,y]-> -> [si forman sistema generador] [cualquier vector del espacio se puede expresar de infinitas formas con los vectores dados] -> [s.incompatible)->[no existen soluciones para a,p,y)-> ->[no forman sistema generador] [no se puede expresar cua lquier vector del espacio con los vectores dados] 312

a

a y b ::: vectores

E

S

y P = escalares

CALCULO DE SUBESPACIOS VECTORIALES

vectores por filas

[cualquier vector del espacio se puede expresar de forma única con los vectores dados1

r(A) '" r(A*)

J aa + f'b n.

Y1

= r(A*) =m =n ->[s.compatible determinado]->[unica solucion para a,p,y]->

=r(A *)<m
CONCEPTO DE SUB ESPACIO VECTORIAL

a, b E S ~ a + b E S y aE K -taaES

-> [si forman sistema generador]

r(A)

4 .1.

aES

!.

!.

r(A)

4.- SUBESPACIOS VECTORIALES O VARIEDADES LINEALES

Escalonar A ~ BASE Y r(A) = DIMENSION Escalonar A' ~ Obligar que r(A ' ) = r(A) -J..

ecuaciones cartesianas

= dim(espacio) - dim(subespacio)

-J.. ecuaciones paramétricas ~ n° parámetros

=dim(subespacio)

5.- OPERACIONES CON SUBESPACIOS dim (L+S)

=dim L + dim S - dim (L f"'I S) -!­ L f"'I S:::

{a}

~ dim (L ® S) = dim L + dim S

(suma directa)

,j, L ® S ::: E

~ dim L + dim S = dim E (L Y S complementarios)

313

de

Ej.: Averiguar si los vectores dependientes o independientes.

6.- CAMBIOS DE BASE

R3,(1,-2,2),(2,3,1)y(5,4,4) son

6.1.- Por filas baseB1 por filas respecto]

vector fila en ) (

(

base 81

(

( base 8 2

ala de referencia

SOLUCiÓN

Planteamos directamente:

base 8 2 por filas respecto)

veClor fila en)

a la de referencia

A~[:

6.2.- Por columnas base

81

por

respecto [

base

COlumnas] a la

vector

de

(

cOlumna) =

82

por

respecto

en base 81

[

referencia

COlumnas] a la de

vector (

-2 2] 3 2] 1 -t [1O -2 7 -3 4 4 O 14 -6

-t

[1O -2 2] 7 -3 O O O

cOlumna)

en base

referencia

Ej.: Averiguar si los vectores de R 3 ,(1,2,6),(- 3,2,-1)y(5,1,3) linealmente dependientes o independientes. SOLUCIÓN

8

r(A) = 2 < nO vectores

2

linealmente dependientes

-t

Ej.: Si en R 3 consideramos el vector (4. -3,3). Se pide: son a) />veriguar si se puede poner como combinación lineal de los vectores (1, -1,1) Y (2, -1,1). b) Plantear la combinación lineal.

u(1,2,6)+ ~(- 3,2,-1) + y(5,1,3) = (0,0,0) (u,2u,6u)+ (- 3~,2~,-~)+ (5y, y,3y) = (0,0,0)

SOLUCiÓN

(u - 3~ + 5y,2u + 2~ + y,6u - ~ + 3y) = (0,0,0)

a)

3~ + 5y = O]

[1 - 3 2u + 2~ + Y= O -t 2 2 6u - ~+ 3y = O 6 u -

(u,-u, u)+ (2~.-~,~) = (4,-3,3)

mH~]

(u+ 2~,-u - ~,u + ~)= (4,-3,3)

Obsérvese como un análisis de dependencia o independencia lineal conduce a un sistema de ecuaciones homogéneo. Como el rango de una matriz es el mismo, por filas que por columnas (véase que las columnas que surgen en la matriz del sistema son los vectores dados), se prefiere manipular la matriz por filas. Escalonamos la matriz para determinar su rango.

A +~3

22 -16] [128 176] [' 82 176] [' -12 -36]

-t

1

3

O O - 9 - 27

-t

O O -1 -3

-t

u(1,-1,1)+~(2,-1,1)=(4,-3,3)

O O 8

17

-t

-

u+~=3

1 - 1

1

1

A

~

A'

[o1

2

[' 24]

1 1 1]-' OO O-.,(A) ~ ,(A·)~2

4

O

[i

'-v--'

A

.

~

-t

r(A)

=3 =n° vectores - t linealmente independientes

A

O -7

314

1 2 4]

'---v--'

O - 1 -1

2 6] -1 - 3

-,' -,' -33

4] [1 2] (;)~h+ [

2~ ==-3

u + _u - ~

4

315

Si se puede poner el vector (4, -3,3) como combinación lineal de los vectores (1, -1,1) Y (2, -1,1)

b) La combinación lineal se obtiene resolviendo el sistema, por ejemplo por Gauss.

Ej.: Averiguar si los vectores (0,1,3), (-1,1,2) Y (3,1,0) constituyen una base de R y su dimensión. SOLUCiÓN

Vamos a ver si son linealmente independientes.

-1

a. + 213 = 4} -t a. = 2

A= [

13=1

r(A)

La combinación lineal es pues -t 2(1, -1,1 )+1 (2, -1,1) = (4, -3 ,3)

Ej.: Averiguar si los vectores (1,1) y (-2,2) forman un sistema generador de R2 SOLUCiÓN

13

-22

y

~J

O

3

=3 == nO vectores

l[

* A

(o.J=(xJ -t(~

3

O

2] [- 1 3-tO 4

6

O

2] 3 O -6

-t linealmente independientes

Vamos a ver si forman un sistema generador:

0.(1,1) + 13(-2,2) = (x, y)

0.-213=x}-t(1 -2J 0.+213=Y 12

2] 2]- t O [- 1 O -[-1 t046

~

-1 O

A

[

1 1

2] 3

O

O -6

,

y

-t

z

[_1 O

1 1

O

O

23 -6

O Y+,

Z

J-t [-1O

O

+ 2'

1 1

21 3

O -6

O O •

t

z + 2x - 3(y + x)

'-.,---'

A

'--.r--'

A* Para ver si un vector se puede o no poner como combinación lineal de otros o si son o no sistema generador, se prefiere poner los vectores por filas (no así cuando se quiere constatar la combinación lineal, que entonces conviene utilizar el sistema en su forma natural para resolverlo).

A'[AW2 ~]

A'l Am' r(A)=r(A*)=3

-t

i~,l

si forma sistema generador

3

Los vectores dados constituyen una base de R Se observa sin escalonar que:

r(A) = r(A*) = 2 -t si forman sistema generador 316

317

de dimensión == 3

Ej.: Sean los vectores de R 3 , (1,2,0) (1,0,1) y a) Determinar una base del subespacio. b) Dimensión del subespacio. c) Ecuaciones cartesianas.

(-2,2,-3) . Se piden:

Ej.: Sea la base (1,2) Y (3, -1) de R Z • Expresar en dicha base el vector que en la base canónica tiene por componentes (5, 1).

SOLUCiÓN

SOLUCiÓN a)

(5 1) A

=[-2~

2

O] [1 2 1 [1O -22 O]1 1 O -2 O] ~

O

2 -3

(~ ~}= (a

G~1)

p)

~

O

6

-3

O

O

O

(5

1)=(a+3p

Todos los vectores que no se han anulado en la matriz escalonada constituyen una base de subespacio.

base del subespacio =

¡ (1,2,0)

2a-p)

5}

a + 3P = 2a- p = 1

~

a=

~ ~ p = ~ ~ (~,~) 7

7

7 7

(0,-2,1) }

b)dim=2 Ej.: El vector v(1,2,3) de R 3 esta referido a la base formada por los vectores U1(2,-1,4), uz(0,1,3) y U3(-1,1,-1). Hallar las componentes

c)

('O -22 O O 1] ~ ['O - 2 2 1] ~ ['O x

Y

z

O y-2x

z

O

2

O;

del vector v en la base canónica.

- 2(y - 2x) Y - 2x

2(y-2x)

2z

SOLUCiÓN

1 O O]

['O -22 O

O

1 O ] A 1A'

Y -2x+2z

(a p y) O 1 O

= (1

2 3)

[O O 1

4 3

]

(a p y)=(-1 4 7)

NOTA.- Referente a bases canónicas. r(A)=2 y r(N)=2 si ~y-2x+ 2z=0 base canónica de R 2

~ ¡ (1,0)

J

-1-1

Obligando a que los rangos A y A* sean iguales para que formen un sistema generador, obtenemos las ecuaciones cartesianas del subespacio.

(0,1) }

Obsérvese como el subespacio cumple todas las relaciones planteadas en la teoría.

318

[ 2 -1 O

319

~

(-1, 4, 7)

base canónica de R

3

~

{(1,0,0) (0,1,0) (0,0,1) }etc.

Obsérvese que cualquier base canónica conforma una matriz unidad.

Si un vector no especifican a que base está referido, se supone que es a la

canónica.

VECTORES EN EL ESPACIO 1.- CONCEPTO DE VECTOR Para que una magnitud vectorial esté perfectamente definida, es necesario considerar los siguientes elementos:

* Punto de aplicación . Se llama así

al punto donde está el origen del vector. Es la longitud del vector. * Dirección. Se entiende como la recta donde está situado el vector. * Sentido. Dentro de la misma dirección existen dos sentidos. La punta del vector lo determina.

* Modulo (m ó Ivl ).

.. .......... dirección

. /sentido (extremo del vector)

L~~ ~_:~~_~ módulo ........ "

punto de aplicación (origen del vector)

Para representar un vector en el espacio, definiremos los vectores unitarios los ejes (base canónica de R3 ) por

según ~

i = (1,0,0),

~

~

j = (0,1,0)

Y

k = (0,0,1)

z

)$;k - v..

}

X

y

En el manejo de la geometría del espacio vectores. 320

321

se suelen utilizar dos tipos de

• Vector de posición o punto. Es un vector que tiene por origen el origen de coordenadas y por extremo el punto en cuestión

Ej.: Hallar el modulo y los cosenos directores del vector v = (1,1,,J2) SOLUCiÓN

v ",(ax,ay,a z )= (X1'Y1,Zl)

• Vector de dirección o director. Es un vector que esta sobre una recta que define su dirección y que se ha obtenido al hacer la diferencia de las componentes de dos puntos de esa recta.

1 2

cosa=-~a=600

m = Ivl = /

~12 + 12 + (.J2f =..J4 = 2

1 cos ¡3 = - ~ ¡3 = 60° 2

(X2'Y2,Z2) V(V1,V2,V3)=V(X2 - X1,

/rX1'Y1,Zl)

Y2 - Y1 ,

Ej.: Hallar 8(3,0, -6) el vector director de la recta que pasa por los puntos A(1,2,5) y SOLUCiÓN

vAS = (3-1 ,

0-2 , -6-5)=VAS(2 , -2 ,

-11)

Formas de definir el vector

(

)

-+

-+

.J2 ~ y = 45°

cos y =-

Z2- Z1)

-+

v=\ax,ay,a Z =a x i+a¡ j+azk

Cálculo del modulo

2

2.- PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES Es otro escalar (número o constante) que se obtiene multiplicando el producto de los módulos de los dos vectores por el coseno del ángulo que forman o también el producto del módulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre este.

L. V2

m=

/vi = Ja~ + a~ + a~

V1 ·v2

Cálculo de los cosenos directores

= hl·hl ·cos a

También se puede calcular el producto escalar de la forma:

COsa=~

m

V1 = (ax,ay,a z )]

2 2 cosf3 =a­ y reos a + cos 2 f3 + cos y '" 1

m

cosy=~

, , ,) v2 = (ax,ay,a z

~

, , , v1, v2 =a x ·a x +a y · a y +a z ·a z

Ej.: Hallar el producto escalar de los vectores v1 = (1,2,3) Y v2 = (4,0,-5) SOLUCiÓN

m

a, f3 y y son los ángulos que forma el vector con los ejes x, y, Z respectivamente.

V1·v2 =(1,2,3) (4,0,-5)=1·4+2.0+3(-5)=-11 322 323

Ej.: Calcular el ángulo que forman los vectores v1

=(1,0,1) Y

v2

= (0,0,1)

También, se puede calcular el producto vectorial de la forma:

SOLUCiÓN '1

V1·v2 =(1,0,1) (0,1,1)=1.0+01+1.1=1

"(a:a:,a:)l

~

-->

-->

-->

v1 /\ v2 = lax

ay

az

a'x

ay

a~

V2 =(ax,ay,az)J V1 . v2 = IV11'hlcosal

H = .J1 Ivzl =

2

.JO

2 + 0 + 1 =.J2

2

2

2 2 +1 +1

Ej.:

=.J2

Calcular

v1 = (1,2,3) y 1 =.J2

.J2 .cos a

~

k

1 = 2cosa

~

1

cosa =-

2

~

a

= 60°

el

de

los

--t

--t

V11\ V 2

vectorial

vectores

v2 = (0,4,5)

SOLUCiÓN

-->

-->

j

3.- PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES (1\)

producto

2 O 4

-->

k\ 3 =10

~

-t

-+

-t

-+

i+4k-12 i-5 j =-2 i-5 j+4k =(-2,-5,4)

V1/\V2= ¡1

5

Es otro vector, que tiene: ~ Por modulo, el producto de los módulos de ambos vectores por el seno del ángulo que forman.

Dicho modulo equivale al área del paralelogramo construido sobre estos vectores. ~

Por dirección, la perpendicular al plano definido por los dos vectores.

~ Por sentido, el resultado de aplicar la regla del sacacorchos o del bolígrafo de rosca (precisamente por el sentido, el producto vectorial no es conmutativo), que consiste en situar el sacacorchos por debajo del plano (también puede ser por encima) que contiene a los dos vectores y girando de v1 a v2 o de v2 a v1 (según que producto se desee), este giro determina el sentido.

4.- PRODUCTO MIXTO DE TRES VECTORES Es un escalar (número o constante) que se obtiene haciendo el producto escalar de uno de ellos por el producto vectorial de los otros dos. Reoresenta al volumen del oaraleleoíoedo construido sobre los tres vectores .

",,,,'"

,.;

/~~-----------~?

/

/

úr:~---,f -------~--1

V

Dirección

V,IIV 2

V1 /\ v2 = hl'lv2lsena

324

../

/ ",," 1."",/""

2

V3

/

",,,,,,,,,

,."'" / //

Ej.: Hallar el producto mixto de los vectores

SOLUCIÓN

V1 =

(1,0,1),

v2 =

(2,1,0),

v3 =

(1,1,1)

GEOMETRíA ANALíTICA DEL ESPACIO 1.- ECUACIONES GENERALES DEL PLANO

1 O 1

V1'(V2 I\ V3)=12 1 0/=1+2-(1)=2

1 1 1

El vector característico o vector director de un plano es siempre perpendicular al plano.

(A,S,e)

=V.A V, (x"y,.z,)

5.- VOLÚMEN DE UN TETRAEDRO (X 2 ,y.,Z.)

z

Ecuación vectorial:

(X,y,Z)=(X1.Y1, Z1)+A(X2 -x1.Y2 -Y1, z 2 -Z1)+f.i(X3 -x1.Y3 -Y1, z 3 -Z1) (X. y.z)= (X1.Y1,Z1)+ AV1 +f.iv2 (x, y,z,)

x = x1 + "-(x 2 - X1)+ f.i(X3 - X1)

x (X 2 Y2 Z 2)

y

Ecuación paramétrica

~ y = Y1 + "-(y 2 - Y1)+ J.l(Y3 - Y1) z = Z1 + ,,-(Z2 -Z1)+ J.l(Z3 -Z1) -J..

-J..

v,

V2

X1

V=-.! 6

Y2 Z1 ¡X2 Y2 z2 x3 Y3 z3 x4 Y4 z4

NOTA.- Los vectores que se van a utilizar en el tema siguiente de Geometría Analítica del Espacio, son vectores libres. que son aquellos que se pueden trasladar en el espacio paralelamente a si mismos y de los cuales sólo nos interesa su dirección.

326

Ecuación implícita ~

Ax + By + Cz + D = O

Ecuación del plano que pasa por tres puntos

327

~

X

I x1

x2 x3

Y

Z

Y1 z1 Y2 z2 Y3 z3

j

1= O 1

Ecuación canónica ---+

Ecuación de la recta con dos planos no paralelos:

~ +r +~ = 1 a

b

c

A 1x+81y+C 1z+D1 =O } A2X+82y+C2Z+D2 =0

z Ecuación continúa

1..."

~~

X

X-X1 =~= z-z1 x2-x1 Y2-Y1 z2- z 1

2.- ECUACIONES GENERALES DE LA RECTA

---+

X-X1

Y-Y1 b

a

3.-ÁNGULOS

El vector característico o vector director de una recta, está siempre sobre la recta. 3.1.- De dos planos

c:!7

Vector director_(a,b,c)= (A1,B1,C1)"(~,B2,C2) (Xl' Y1,Z1)

A 2x+B 2 y+C 2 z+D 2 =O

A 1 x+B 1 y+C1 z+D1 =0

A1A2 + 8 182 + C1C2 cosO = I~ 2 2 2 8 2 +C 2 2 A 1 +8 1 +C 1 . V1-\2 + 2

fA.2

(X 2 'Y2,Z2)

3.2.- De dos rectas

Ecuación vectorial ---+ (x,y,Z)=(X1,hZ1)+A(X2 -x1,Y2 - h z 2 -Z1) (x, y, z) = (X1' Y1, Z1) + A(a, b, c)

x = x1 + Aa

x = x1 +A(X2 -X1) Ecuación paramétrica

---+ y = Y1 + A(Y2 - Y1) Z=Z1 +A(Z2 -Z1)

328

---+

cos e =

I

a1a2 + b 1b2 + c1 c 2 2 C2 2 2 ~a~+bf+c1 'Va2+b2+c2

Y=Y1+ Ab Z =

z1 + AC

329

z-z1

--=--=-­

c

3.3.- De recta y plano Ej.: Sean los planos

L//Z¿; 7

sen8

'=

2

x - y+ Z - 3 =

1) Hallar un punto del plano

°

y n: 2x + y + 6 =

°.

Se pide:

1t

2) Determinar la ecuación del plano que pasa por el punto P(1,O,2)

y es perpendicular a los planos 1t y n.

3) Calcular un punto de la recta "r" determinada por la intersección

de los planos 1t y n 4) Obtener en forma continua la ecuación de la recta "r" 5) Deducir la ecuación de la recta "s" que pasa por el punto Q(2,1,S) y es perpendicular al plano 1t. 6) Calcular el punto de intersección de la recta "s" con el plano 1t. 7) Hallar la distancia del punto Q al plano 1t.

Ir~=,:;,A""a""=;;=+8_bl+",,C~c=~~~1 ~A2 +8

1t:

+C 2 )a2 +b2 +c 2

SOLUCiÓN

1) En este caso el plano 1t consta de tres incógnitas x, y, z (téngase presente que podría faltar alguna de ellas y seguiría siendo un plano), por lo tanto damos valores a todas menos a una y obtenemos esta última por la ecuación del plano.

4.- PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD

x =0 y=O

)

z=3

---+

(0,0,3)

Paralelismo

De dos planos

L!7"G,) b"c,)

PerpendIcularidad

~=~=.f!. A2

B2

e2

2) Aunque los planos 1t y Q no son perpendiculares (el producto escalar de sus vectores es distinto de cero) se van a dibujar perpendiculares en el boceto para que el dibujo sea más comprensible.

~~.~.c,) ~.8'.C')

A'A> + B,B2 + e,e2 =O De dos rectas

~.b"C1) ~2,b>,Cl)

a,

b,

c,

-a;-=b;"=¡;;­

(a,,b,,C1)

(a.,b>,C2)

a,a. + b,b. + e,c, = O ~c)

De plano y recta

6

B ,C)

Aa +Bb + Cc = O

':;t !/CJ

A

B

e

a-=/)=c

(A,B,e) = (1,-1,1) ... (2,1,0)

330

331

El vector del plano solución, es pues:

-->

-->

-->

k (A,B,C)= (1,-1,1) /\ (2,1,0)= 11

-1

4) En el dibujo del apartado "2" se puede observar la recta de intersección de los dos planos (el vector de una recta esta sobre la recta).

---t

---t

---t

-)

---+

---?

---t

11 = k+2 j +2 k- i = - i +2 j + 3 k = (-1,2,3)

210

Como vector de dicha recta sirve también el vector del "plano solución" del gráfico, luego el vector director de una recta definida por dos planos se puede obtener fácilmente como el producto vectorial de los vectores de los dos planos que conforman la recta . (a,b,c) = (1,-1,1) /\ (2,1,0) = (-1,2,3)

Obsérvese que los vectores de re y n se pueden trasladar paralelos a si mismos y situarlos dentro del plano solución. El producto vectorial de dos vectores, da un vector perpendicular al plano definido por los dos vectores, es decir que este vector se puede aprovechar como vector del plano solución (el vector de un plano, es perpendicular al plano). La ecuación del plano solución es:

Con un punto de la recta (0,-6,-3) y su vector director (-1,2,3) obtenemos la

ecuación continua de la recta, sin más que sustituir:

x-0=y+6ooz+3

-1 Ax + By + Cz + O = O

~

2

3

- x + 2y + 3z + O = O

5) Introducimos el punto P(1,0,2) en el plano y determinamos la O

Q(2,1,5)

s

x-2=y-l=z-5 ~

1

(1,-1,1)

P(1,0,2) ~

luego el plano solución es

3) La recta r es

~

r:

-1

1

-1+2 · 0+3·2+0=0 ~ 0=-5

~

- x + 2y + 3z - 5 = O ~ x - 2y - 3z + 5 = O

x-y +z-3 = O { 2x + y + 6 = O

6) Según el dibujo del apartado "5" se calcula el punto R, como intersección de la recta s con el plano re, para ello habrá que resolver el sistema de ecuaciones, formado por ambos elementos geométricos:

x-2ooy-1 Una forma de definir una recta es mediante dos planos no paralelos (los planos no son paralelos ya que sus coeficientes de x, y, z no son proporcionales). Para obtener un punto de la recta se da un valor a una de las incógnitas y las restantes se obtienen resolviendo el sistema:

1 x-2 y-1 -=- =Z-5\ -­

1

-1

1

y-1 = z-5 -1 1

x-y+z-3ooO x-y+z-3=0 -Y+Z-3=0} x-O ~ y=-6 ~ z=-3 ~ (0,-6,-3) \ y +6=0

333 332

~

x=-y+3

-1 ~ z=-y+6

J. x= 1 (-y+3)-y+(-y+6)-3=0

y=2

--7

--7

R(1,2,4)

11

--7

d=I

->

->

(

->

->J

->->

=-9 j+9k =(0,-9,9)

2 -1 + 5 - 3

~12 + (_1)2 + 12

I= ~ = 3../3 -../3 ../3

3­

El vector (0,-9,9), si lo dividimos por 9, se obtiene el simplificado (0,-1,1), del cual se ha alterado su módulo pero no su dirección que es lo que importa y es de más fácil manejo él (0,-1,1). La ecuación del plano pedido es pues:

Ax + By + Cz + D = O •

->

) z=4

7) El cálculo de la distancia de Q a 11, se puede hacer de dos formas :

• Distancia de Q(2 ,1,5) a

-)

= +15 i-21k-30 j- -30k+15 i-21 j

--7

Ox - y + z + O = O

--7

-

Y+ z + O = O

Distancia entre los puntos Q(2,1 ,5) YR(1 ,2,4) Introducimos un punto cualquiera del plano para calcular D. d=

~(2_1)2 + (1-2? + (5-4?

(1,2,3)

=../3 El plano es pues

Ej.: Hallar el plano determinado por los puntos (1,2,3) (0,4,5) Y (-6,7,8) SOLUCiÓN Con cada dos puntos calculamos un vector que está contenido en el plano. Si tenemos dos vectores contenidos en el plano, su producto vectorial nos da un vector perpendicular al plano definido por los dos vectores, que podemos aprovechar como vector del plano solución.

vector plano solución --+ (A,S,C) = v1 " v2

--7

-

--7

-2+3+0=0

Y+ z -1 = O

--7

0=-1

Y - z + 1= O

--7

Ej.: Exponer en forma implícita el plano de ecuaciones paramétricas:

x = 31.. -j.l) y=2-A-j.l z = 5 +21.. +3j.l SOLUCiÓN .

.

V1=(3-12)

I -> ' , ))(A,B,C)=V 1 /\V 2 =!3 v2 = (-1,- 1,3

J ->

~

k

-1

->

->

_)

2 =-i-11j-4k=(-1,-11,-4)

-1 - 1 3

V2

(A,S,C)

=VI" v2

V1 = (1,2,3)-(-6,7,8)= (7,-5,-5) v2 = (0,4,5)-(-6,7,8)= (6,-3,-3)

->

->

i (A,B,C) = v1 /\ v2 = 17 6

->

k -5

-51 =

-3

-3

Ax + By + Cz + O = O 334

--7

335

-

x -11y - 4z + D = O

(o,

~

2, 5)

-0-11·2-4 · 5+0=0

El plano pedido en forma implícita es

~

~

En este caso habrá que plantear el sistema y discutirlo según el teorema de 0=42

Rouche .

- x -11y - 4z + 42 = O x-2 = -2y+4

Ej.: Hallar las ecuaciones de los ejes coordenados .

3

Z1

SOLUCiÓN

x-2 - = -2y+4 ---=3 2 1

-2y+4 =~

x-y+mz+3 = O

x- y+mz +3 = O

Las definimos como intersección de dos planos.

eje x {y = O z=O

eje y

eje z

(Plano (Plano

{X = O

(Plano

z=O

(plano

{X = O

(Plano

y=O

(Plano

x+3y = 8

2

y+z=2

2

x - y+mz =-3

XOZ) XOY) VOZ) XOY)

[13 O8} [13 O8}

[13 O 8}

2~01 2~01 2 O -4 m - 11 O O m+4 -3 1 -1 m -3

O

VOZ) XOZ)

---------.,---'

'---v---'

A

A

x-2 Ej.: Sea la recta r : - 3 Se pide:

-2y+4 = 2

z = - y el plano 1t: x - y + mz + 3 = O. 1

1) Calcular el vector director de la recta r.

2) Hallar m en los siguientes tres supuestos: el plano corte a la

recta, contenga a la recta o sea paralelo a la recta.

A

.

.

~

A

r corta a 1t ~ única solución ~ sistema determinado

~

r(A)= r(A*)=3=n

m .. -4

SOLUCiÓN 1) El vector director de una recta en continua, está formado por los denominadores de las fracciones, siempre que los coeficientes de x, y. z sean la unidad y positivos (dividimos numerador y denominador de la fracción de la "y" por - 2) .

x- 2 3

= - 2y + 4 = z 2

~



x-2=y-2=z-0 3 -1 1

~

v r =(3,-1,1)

r es paralela a 1t ~ ninguna solución ~ sistema incompatible

~

r(A)" r(A • )

r contenida en n ~ infinitas soluciones ~ sistema indeterminado

r(A) = r(A*)=2 < n

~ para ningún m

2) La posición relativa (se cortan, son paralelas o uno está contenido en otro) de dos elementos geométricos se obtiene resolviendo el sistema de ecuaciones formado por ambos elementos geométricos. 336

m = -4

337

6.- PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO

5.- DISTANCIAS

5.1. Distancia entre dos puntos

z ........¿>

"o <1'"

(x"y,.z,)

(X"y"z,)

)

d=

~(X2 - XJ +(Y2 -

XI

~=

Y¡ +Y2 2

X

yJ2 +(z¡ -ZJ

+x2

2

....cr (X"Yl'Z,{"] M(a.,I3,r)

z

·'·tÍ"

a. =

(X2'Y2.zJ

Y = Zl

x

+Z2

2

y y

Ej.: Hallar la distancia entre los puntos A(1,2,3) y

8(-4,5,0)

Ej.: Hallar el punto medio del segmento cuyos extremos son A(1,2,3) y 8(5,6,4) SOLUCiÓN

SOLUCiÓN

d~J(1+4)2

+(2-5f +(3_0)2 =.J43 Ct

1+5 ~ 3

= -2

5.2.- Distancia de un punto a un plano

~=

2+6=4 2­

M

3+4

7

2

2

(3,4,~)

y=--=­

d =IAx¡ +By¡ +CZ¡ +D\ 2 2 2 +B +C

.JA

Ej.: El punto medio de un segmento es M(2,3,4) y uno de sus extremos es A(1,O,5) . Hallar el otro extremo. SOLUCiÓN

Ej.: Hallar la distancia del punto (2,3,4) al plano 5x - By + 6z + 1 = SOLUCiÓN

5 ·2 - 8·3 + 6 4 + 11 d=I J52 +(_8)Z+6 2

338

~

11 11 .J125 =5-/5

°

IB(P.q.~ M (2,3,4) A (1,0,5)

p+l --=2 2

-7

p=3

q+O=3 ~ q = 6 ) 2 r+5 --=4 -+ r=3 2

339

B(3,6,3)

Ej.: Se consideran los puntos A(1,0,1), B(0,1,1) Y C(1,1,a) con aeR. Encontrar el valor de a para que el área del triángulo que forman los puntos A, B Y C sea 1/2. SOLUCION

PROGRAMACiÓN LINEAL 1.- INTRODUCCiÓN

2:----,7

Un problema de programación lineal (utiliza expresiones de consiste en la optimización (maximizar o minimizar) de una (función objetivo) de varias variables (toman valores mayores cero), las cuales están relacionadas por ecuaciones o (condiciones o restricciones) también de tipo lineal.

00

primer grado) función lineal o iguales que inecuaciones

C(1,1,a)

A(1,O,1)

Los problemas de programación lineal pueden presentarse de tres formas: * Forma Canónica . Cuando las restricciones son inecuaciones desigualdades. * Forma Standard. Cuando las restricciones son ecuaciones o igualdades. * Forma Mixta. Cuando las restricciones son igualdades o desigualdades.

-)

BA=(O , 1 , 1)-(1 , O , 1)=(-1 , 1 , O)

o

~

CA=(1 , 1 , a) - (1 , O , 1)=(0 , 1 , a-1)

. Area triangulo (ABC) = area paralelogramo 2 ABDC -_

\

~

~\

MA~

~ ~

=-BA 1\ A CA\

2

2

i

función objetivo

(1 )

- )

2.- PROGRAMACiÓN LINEAL CON DOS VARIABLES De forma esquemática los datos de un problema de programación lineal en forma canónica adoptan la siguiente forma:

-)

BA A CA

=1- 1

O

z = f(x, y) = ax + by + c

--+

k

O \=(a-1) i - k+(a-1)j=(a-1 , a-1 , -1) a1x + b 1y :o; C1

a -1

restricciones --+ [

~.~.~.~.b.~.~.~. c2

IBA A cAl=~(a - 1? +(a_1)2 +(-1f =~a2 +1-2a + a 2 +1-2a+1 = =~2a2

2

--+

2

1=~2a2 -4a+3 2

1=2a 2 - 4a+3 --+ 2a -4a+2=0

a=

2±~ = 2±0)1 2

2

\1 340

x ~ O, Y~ O

Este tipo de problemas se suelen plantear siempre en forma canónica y se resuelven con un planteamiento gráfico, dibujando los semiplanos que se corresponden con las restricciones.

-4a+3

Volviendo a (1), se tiene que:

~=~.)2a2 -4a +3

1

--+ 12 = ( --+

--+

r

~~2a-2---4a-+-3

a 2 ­ 2a + 1= O

a=1

La intersección de los semiplanos va a definir un conjunto convexo (cuando la unión de cualquier par de puntos implica a un segmento que está contenido en el conjunto) que puede ser acotado (polígono) o no acotado (politopo). Para obtener la solución óptima de un problema de programación lineal se trazan las líneas de nivel paralelas a la función objetivo f(x, y) = ax + by +c y tangentes al conjunto convexo y se alcanza siempre en un vértice (única solución --+ casos 1 y 3) o en todos los puntos de un lado (infinitas soluciones y existe algún lado del polígono paralelo a las líneas de nivel generadas por ax + by + c = k --+ casos 2 y 4) del conjunto convexo.

341

Si el conjunto es convexo no acotado puede que no exista ningún valor que maximice o minimice la función objetivo (ninguna solución, porque todas las lineas de nivel paralelas a la función objetivo cortan al poligono o politopo -7 caso 5)

• Para localizar el semiplano que se corresponde con cada restricción o desigualdad se procede de la siguiente forma. Por ejemplo, con la restricción 2x + y S; O, hay que tener presente que la recta 2x + y = 10 divide al plano en dos semiplanos, y se trata de localizar cual se corresponde con la desigualdad planteada, para ello se elige un punto que se sepa en qué lado esta y si este verifica la inecuación, ese es el semiplano, sino es el otro. Veamos, elegimos el punto (0,0) que está en el semiplano izquierdo de 2x+y=10 (0,0) -7 2· O+ O s 10 -7 verifica -7 luego ese es el semiplano

Conjuntos convexos acotados --1

X

-+<¿UlQ

@ ax+by+c=K

ax +by +c= K

Y. ax+by+c=K

\ \\

Conjuntos convexos no acotádos --1

~

'11

1" ""

X

@

/SOLUCIÓN __ max = f(4,2) = 2·4 + 3·2 (4,2)

®

®

== 14

..., .... 2x+y=10

Ej.: Maximizar la función f(x,y) = 2x + 3y con las restricciones: y~O x~o, 2x+y:S: 10, x+2y:S: 8, SOLUCiÓN En todos los problemas de programación lineal, conviene seguir los siguientes pasos:

• Se dibujan las rectas (buscando previamente dos puntos) que resultan de las restricciones, transformando previamente las desigualdades en igualdades, asimismo se dibuja la función objetivo igualándola a cero. 2x + 3y = O

~ O O -3 2

x +2y

2x + y == 10

-7 (0,0) -7 (-3,2)

-t5 O O 10

342

-7 (5,0) -7 (0,10)

=

8

~ -7(0,4) ala

• Dibujado el recinto (conjunto convexo) como intersección de los semiplanos de las restricciones, y la función objetivo 2x + 3y = O , se trazan paralelas a esta (2x + 3y = k) que sean tangentes al recinto, y el máximo se produce en la intersección de las rectas:

2x + y = 10} x + 2y == 8

-7

X

=4

-7 Y == 2

-7

(4,2)

• Sustituyendo este punto en la función objetivo, se obtiene el máximo:

-7(8,0) f(x,y)==2x+3y

-7

f(4,2)==2·4+3.2==14

343

Ej.: Maximizar la función f(x, y) = 2x + y con las restricciones: -x+y~2, SOLUCiÓN

x+2y~6,

2x+y~6,

x~O

y~O

Ej.: Maximizar y minimizar la función f(x, y)= x + y con las restricciones: -x+y~2,

y~4,

x~o,

y~O

SOLUCiÓN

,-x+y=2

<

// //'/

",,'

y=4

----¡-------­

SOLUCIÓN -. max -. cualquier punto de Aa"

""

I~,y) : ~2,2) =6

,/

1(3,0) =6

"".-'<.".

~5/2, 1) : 6

x+y=o

No existe solución . Las líneas de nivel nunca serán tangentes, al conjunto convexo no acotado, por ningún punto extremo.

Ej.: Maximizar y minimizar la función f(x, y) = x - 3y con las restricciones: x+2y

~

10,

x+y~

2,

x~8,

SOLUCiÓN

x~O

Ej.: Maximizar la función f(x, y) = -2x + y con las restricciones:

y~O

-x+y~2,

y~4,

x ~O,

y~O

SOLUCiÓN

-x+y=2 I ;\ .2X+Y=k/'

x+2y=10

ly=4

I

lIS}))),))))))}]},),

SOLUCiÓN -+ max -+ f(8,0) = 8 x-3y=k x-3y=0

·2x+y=O

344

SOLUCiÓN -. maX-f> f(O,2} =2

345

* Dibujamos el conjunto convexo Ej.: Una compama aérea posee dos aviones A y B para cubrir un determinado trayecto. El avión A debe hacer más veces el trayecto que el avión B pero no puede sobrepasar 120 viajes. Entre los dos aviones deben hacer 60 o más vuelos, pero no más de 200. En cada vuelo A consume 900 litros de combustible y B consume 700 litros. En cada viaje del avión A la empresa gana 300.000 euros y 200.000 euros por cada viaje del B. Se pide: a) ¿Cuántos viajes debe hacer cada avión para obtener el máximo de ganancias? b) Cuántos vuelos debe hacer cada avión para que el consumo de combustible sea mínimo?

x=120

. x=y I

/

I I

/

I I

.J

/

¡ /

"

\

'. \

'

/,

: II

/

'

/

'

}/' I

'. \ .1

"-ti \~. ~

xt y=60

'(120,80)

SOLUCiÓN

Definimos las incógnitas del problema Viajes de A

=x

Viajes de 8 = Y

Planteamos las condiciones del problema: Restricciones x>y

x

~

x+y x+y

120

~ ~

x ~ O,y

Ganancias

~

~

~

O

Es evidente que la ganancia máxima está en (120, 80)

O

x = 120 viajes (A)) y := 80 viajes (B)

G = 300000 . 120 + 200000 · 80

=52.000.000 eu ros

C = 900x + 700y

G = 300000x + 200000y

b) C:= 900x + 700y

~ líneas de nivel paralelas a 9x + 7y := O

Es evidente que el consumo mínimo está en (30,30)

x := 30 vuelos (A)) Y = 30 vuelos (8)

346

=

60

200

Funciones objetivo Consumo

~ líneas de nivel paralelas a 3x + 2y

a) G = 300000x + 200000y

C

=900 .30 + 700 . 30 = 48000

347

litros

en w

e

«u

« 1­ 9 en =>-c

al «

«al O o::: a..

1­

en w

COMBINATORIA

1.- INTRODUCCiÓN La combinatoria trata de estudiar la cantidad de grupos que se pueden formar con una cierta cantidad de elementos, tomados de dos en dos (binarios), de tres en tres (terciarios), de cuatro en cuatro (cuaternarios), ... Generalmente la formación de estos grupos, atiende a dos criterios distintos y de vital importancia para el tratamiento de la cuestión, es decir que estos grupos según los casos, tienen posibilidad de diferenciarse por los dos criterios siguientes :

~ Por el orden de sucesión de los elementos en los grupos. Se da cuando sus grupos tienen aptitud para ser distintos porque la ordenación de los mismos elementos los haga diferentes.

Ej.: Considerando el conjunto de todos los números naturales si queremos formar grupos de números de dos cifras no es lo mismo por ejemplo a dos de ellos, darles la ordenación 12 que la ordenación 21, ya que evidentemente los números tienen distinto significado, característica que nos permite decidir que en este caso concreto de problema el orden de sucesión de los elementos en los grupos influye, luego hay que considerarlo.

~ Por la naturaleza de los elementos en los grupos. Se da cuando dos grupos tiene aptitud para ser distintos por tener elementos diferentes.

Ej.: Si tenemos banderas de diferentes colores y queremos hacer señales a un avión con grupos de dos banderas cada señal. Evidentemente la señal formada por el grupo bandera amarilla-bandera roja será interpretada por el avión de distinta forma a la señal formada por el grupo bandera amarilla-bandera blanca, característica que nos permite decidir que en los diferentes grupos de señales influye la naturaleza de los elementos en los grupos, luego hay que considerarla. Nota: Naturalmente existe la posibilidad de que haya grupos en casos de problemas en los que influyan los dos criterios simultáneamente .

350

351

Ej.: Formar los grupos de variaciones binarias con repetición, con los

2.- VARIACIONES (V) Son los diferentes grupos que se pueden formar con una cierta cantidad de

elementos cuando estos grupos es posible que sean diferentes por los criterios

de orden de sucesión y naturaleza de los elementos en los grupos,

Su cálculo obedece a la expresión :

Gm~n =-v~-=m(m-1) (m-2},,(m~+20 y se lee "variaciones de m elementos tomados n a n" y que en definitiva es descomponer m hacia la unidad tantas veces como indique n,

Ej.: V;

= 5·4 = 20

Vi = 8,7,6 = 336

V: = x' (x -1)

Ej.: Formar los grupos de variaciones binarias con los elementos: a, b, c, d. SOLUCiÓN ab

ba

ca

da

ac

bc

cb

db

ad

bd

cd

dc

v

elementos a, b, c, d. SOLUCiÓN ab ac

ba bc

ca cb

da db

ad aa

bd bb

cd cc

dc dd

3.- PERMUTACIONES (Pl Son los diferentes grupos que se pueden formar con una cierta cantidad de elementos, cuando estos grupos únicamente son distintos por el criterio de orden de sucesión de los elementos en los grupos. Su cálculo obedece a le expresión:

r=Y m=m!=V~ ,¡.

Obsérvese que los grupos a formar tienen capacidad para diferenciarse por el orden de sucesión y por la naturaleza, luego se trata de variaciones de 4 elementos tomados de tres en tres,

=m(m-1) (m-2}.,1

número factorial (m factorial)

t = 4 ' 3 = 12 grupos

Ej.: Con las cifras 1, 2, 3 Y 4. ¿Cuántos números distintos de tres cifras se pueden formar sin repetir las cifras? SOLUCiÓN

RV¡ = 4 2 = 16 grupos

y se lee "permutaciones o factorial de m elementos" que equivale también al caso particular de "variaciones de m elementos tomados m a m", y que en definitiva es descomponer el número m totalmente hacia la unidad, Nota.- Téngase en cuenta que 0!=1

Ej.: Px P5

=x(x-1)(x-2) " . 1 = 5·4·3,2 · 1 = 120

V 3 =3 , 2,1=6

P6 = 6,5,4, 3 ,2 ' 1 = 720 P3 = 3,2,1 = 6 2!= 2·1 = 2

3

Por ejemplo: 124 y 214 por orden de sucesión, Por ejemplo: 124 y 123 por naturaleza. vi = 4 ,3,2 = 24 números distintos Nota.- Variaciones con Repetición

Es cuando en los grupos de variaciones anteriores existe la posibilidad de que

en los grupos se repitan elementos.

Su cálculo obedece a la expresión:

RV~ = V:n. n = m

352

n

Ej.: Formar los grupoS de permutaciones con los elementos a, b, c. SOLUCiÓN Obsérvese que en cada grupo de permutaciones están los mismos y todos lo elementos que manejamos ya que sólo se diferencian los grupos por el orden de sucesión de los elementos, abc bac cab acb bca cba

P3 = 2,3,1 = 6 grupos

353

Ej.: Con las letras de la palabra Lorca ¿cuántas palabras que tengan o no sentido se pueden formar? SOLUCI6N Obsérvese que los grupos a formar sólo tienen capacidad para diferenciarse por el orden de sucesión, luego se trata de permutaciones (en todos los grupos entran todas las letras o elementos). P5

= 5 · 4 · 3· 2 · 1 = 120

palabras

Nota.- Permutaciones con repetición. Es cuando en los grupos de permutaciones anteriores, existe la posibilidad de que se repitan elementos, lo que equivale a decir que ya desde un principio debemos de conocer cuáles y cuántos son los elementos que se repitan. Su cálculo obedece a la expresión : ~- a,P,y...

L~m donde a, original.

p,

m!

=~y!...

y ... son las veces que se repiten distintos elementos en el conjunto

y se lee "combinaciones de m elementos tomados n a n" y que en definitiva es un cociente, cuyo numerador es descomponer el mayor de los números hacia la unidad tantas veces como indique el menor (variaciones) y en el denominador factorial del menor de los dos números (permutaciones).

Nota. Téngase en cuenta que cualquier número sobre cero vale 1:

Ej.: C~ =

[~J =

5·4 · 3 3.2 . 1=10

(~J = 1

6·5 = 15 2 ·1

Ej.: Formar los grupos de combinaciones binarias con los elementos a, b, c, d. SOLUCiÓN ab

bc

ac

bd

cd C

2 [4J2 =­42 ·.31 = 6 grupos 4

=

ad

Ej.: ¿Cuántos grupos de permutaciones se pueden formar con las letras aaabcc? SOLUCI6N

RP~,2 = ~ 3! 2!

6· 5 4 · 3·2 ·1 = 60 grupos 3·2·1 ·2 ·1

Ej.: Con los colores del arco iris (7 colores) ¿cuántos colores distintos se pueden obtener mezclándolos de dos en dos, en la misma cantidad? SOLUCiÓN Lo mismo da mezclar el azul-rojo que el rojo-azul. luego los grupos no se diferencian por orden, pero sí por naturaleza. Es decir, estamos ante un caso de combinaciones.

C 72

4.- COMBINACIONES CC) Son los diferentes grupos que se pueden formar con una cierta cantidad de elementos cuando estos grupos se distinguen únicamente por el criterio de naturaleza de los elementos en los grupos. Su cálculo obedece a la expresión :

mJ

Cm.n = C~ = ( n =

v(ri m! Pr1 = n;rm=. n)!

=

[7J2 = -7·6 2·1

=

21 colores distintos

Nota. - Combinaciones con repetición . Es cuando en los grupos de combinaciones anteriores existe la posibilidad de que se repitan elementos . Su cálculo obedece a la expresión:

~_ _RC~ =C~.n =[m+;-1J~

número combinatorio (m sobre n)

354

355

Ej.: Hallar las permutaciones en línea y circulares con los dígitos 1,2 Y 3 SOLUCiÓN

Nota.- Propiedades de los números combinatorios

(~)=(~=~)+(m;1)

(~)~(m~n)

• Las permutaciones en linea con todos los dígitos 1, 2 Y 3 son: 123,132,213,231,312,321 (P3=3·2·1=6)

Ej.: Los organizadores de una tómbola deciden que todos los premios sean bolsas con 20 monedas y billetes. Sabiendo que se disponen de monedas y billetes de 1, 5, 25, 50 Y 100 euros. Hallar el número de

• Las permutaciones circulares con todos los dígitos 1, 2 Y 3 son:

premios distintos que se pueden hacer.

2

SOLUCiÓN El orden de sucesión no interviene, ya que dos premios son distintos cuando varíe el número de monedas de cada clase de una bolsa (no la cantidad, ya que cada bolsa debe tener 20 monedas). Luego se trata de combinaciones Y con repetición ya que en cada bolsa pueden existir monedas repetidas.

VARI¡\CIONES

v~

=m(m- 1Xm - 2) .. (m-n+1)

I .;irculares

l

(naturaleza y orden) PERMUTACIONES

pm=V~=m\=m(m-1Xm-2)- ·1

(orden) COMBINACIONES

(naturaleza)

n ( m) v~ m\ Cm = n =~= nl(m-n)

Ctpy..

RP" m

m\ = a.!ply\...

n n = lm+ n 1) RCm

PROPIEDADES DE LOS NUMEROS

0\=1

(~) = 1

(:) =lm~n)

\ pCm =(rn \

1) I

no existen

COMBINATOR~

l: ) = l:

Ej.: La línea de autobuses de la Universidad está servida por 6 autobuses.

Hallar de cuantas formas puede hacer el viaje de ida y vuelta un

estudiante, en los casos siguientes:

a) El autobús de ida ha de ser contrario que el de vuelta.

b) Pudiendo ser iguales o distintos los autobuses de ída y vuelta.

SOLUCiÓN

no exislen

I

VALORES IMPORTANTES

P~ =(3-1) !=2!=2·1=2

2

Para formarlas se deja un elemento fijo y los otros se permutan o cambian de

lugar er. las siguientes estructuras.

RESUMEN DE COMBINATORIA con repetición n RV~ =m

3

Obsérvese que cualquier otra estructura que se proponga, al girarla, va a coincidir con alguna de las dos anteriores.

RC 20 ~ (5 + 20 - 1) ~ ( 24) = ( 24 ) = (24) = 10626 premios . 20 20 24-20 4 5

sin repetición

3

=~) + l m: 1)

a) Cada grupo está formado por dos autobuses, el de ida y el de vuelta. No da

lo mismo utilizar en el viaje de ida un autobús y en el de vuelta otro o al revés.

luego los grupos difieren por el orden.

Tampoco da lo mismo utilizar en un viaje unos autobuses y en otro viaje otros

distintos, luego los grupos difieren también por naturaleza de los elementos,

luego se trata de un caso de variaciones.

vi = 6·5 = 30 formas b) Si antes no se podía ir y volver en el mismo autobús, ahora sí, luego en los grupos se puede dar la repetición, es decir, variaciones con repetición.

Nota:- Referente a las ermutaciones circulares del cuadro ad'unto RV62 = 6 2 = 36 formas Existe distinción importante entre las permutaciones de elementos que se suponen alineados Y los que se colocan de forma circular o según la estructura de un polígono regular. En las circulares ocurre que hay grupoS que por una simple rotación o giro de sus elementos van a coincidir con gruPOS considerados como distintos. 356

357

Ej.: ¿Cuántos números de diez cifras se pueden formar con dos cincos,

tres sietes y cinco nueves?

SOLUCiÓN

En los grupos no influye la naturaleza pero si el orden de sucesión. Se trata de

permutaciones con repetición.

Rp2,3,5 10

=

10! 2! 3! 51

=

Ej.: De cuantas formas distintas se puede vestir una persona, con:

5 camisas, 3 pantalones y 4 pares de zapatos.

SOLUCiÓN

Básicamente no es un problema de combinatoria.

Se puede vestir de 5·3·4 = 60 formas distintas

2520 números Ej.: Resolver la ecuación: SOLUCiÓN

Ej.: La tripulación de una fortaleza volante consta de 4 maquinistas y 1 capitán. Si disponemos de 3 capitanes y 12 maquinistas, ¿cuántas tripulaciones distintas podemos formar? SOLUCiÓN Fijémonos en los maquinistas de momento, porque obteniendo todas las combinaciones con los maquinistas después obtendremos todas las tripulaciones multiplicando por 3 capitanes. Los grupos de maquinistas se diferencian por naturaleza nada más, luego son combinaciones. 3· C{2

= 1485 tripulaciones

vi + ci = 84

X(X_1)+X(X-1)=84 2·1

2x 2 -2x+x 2 -x=168

~

X=1±~ 2

De las 8 bolas blancas se pueden sacar 5 de C~ formas.

5.1.- FORMULA DE NEWTON

C~ . C~ = (:)(~J = 840

formas

1±15=/8

2

\-7

Se suelen considerar las soluciones positivas: x =8

5.- POTENCIA DE UN BINOMIO

Se trata ahora de combinar cada grupo de bolas blancas con todos los grupos de bolas negras o al revés.

~ x 2 -x-56=O

~ 3x 2 -3x-168=0

Ej. : Una urna contiene 8 bolas blancas y 6 negras. ¿De cuántas formas diferentes se pueden sacar 7 bolas de tal forma que haya 5 blancas y 2 negras? SOLUCiÓN Los grupos difieren por naturaleza, luego son combinaciones.

De la 6 bolas negras se pueden sacar 2 de C~ formas.

2x(x-1)+x(x-1)=168

Elevar un binomio a una potencia cualquiera es un cálculo que se puede realizar por múltiples procedimientos, por ejemplo aplicando un producto de polinomios , sin embargo, la fórmula de Newton también resuelve el problema y considerando la importancia de ella en el desarrollo de las Matemáticas, es interesante tener un conocimiento de la fórmula y de sus consecuencias, dadas sus diversas aplicaciones . • Imaginemos un binomio elevado a una potencia cualquiera (a + b)m. Su desarrollo según la fórmula de Newton se compone de una cierta cantidad de sumandos, en donde cada uno de ellos, va precedido de un número combinatorio . • Estos números combinatorios son los que decididamente proporcionan todas las características de fondo y de forma de cada término del desarrollo.

358

359

• La formación de estos números combinatorios sigue el siguiente criterio: todos los números combinatorios llevan como índice superior la potencia del binomio, y como índice inferior comienzan por cero desde el primer término, produciéndose un aumento de una unidad con respecto al anterior en los términos sucesivos, hasta que el índice inferior se hace igual al superior, en cuyo momento podemos dar por finalizada la formación del desarrollo.

Ej.: Desarrollar por Newton el siguiente número complejo (3 - 2i)5 SOLUCiÓN

• Para facilitar la comprensión del desarrollo en el binomio (a + b)m , vamos a llamar a = primero y b = segundo (obsérvese después que lo más importante es el número combinatorio de cada término, pero debemos de obtener todo el término completo). Pues bien, teniendo el número combinatorio de cada término, podemos decir: el primero elevado a la diferencia (índice superior menos índice inferior) por el segundo elevado al índice inferior.

1 0 + (:J 3 (_ 2i)4 + (:J 3 (_2i)5 = 243 - 81 Oi -1 080 + 720i +240 -32i = -597 -122i

• Obsérvese un desarrollo teórico de (a + b

(a + b

r

(3-2i)5

=(~J

5 3 (-2i)O

~ 1Ja1bm- 1 + (:Ja0b

+(m

(~J m

(~J

Ej.: Des
=(~Ja4bO +(~Ja3b1 +(~Ja2b2 +(~Ja1b3 + (:Ja 0b4 3

2 2

+(~J

3 3 (-2if

+(~J

2 3 (_2i)3 +

Es un aparato de cálculo de números combinatorios y que posteriormente le veremos su aplicación para calcular los coeficientes de desarrollos binómicos. Su formación consiste en diferentes filas, cada una de ellas, para distintos valores del índice superior m, que forman una geometría de tipo triangular.

(~J

4

4 3 (_2i)1

5.2.- TRIÁNGULO DE TARTAGLlA

r = (~JambO + (~Jam-1b 1 + (~Jam-2b2 + (;Jam-3b3 + ...

(a+b)4

+(~J

3

= a + 4a b + 6a b + 4ab + b

4

m =1 m=2 m==3 m==4 m==5 m==6

(~J

(~J

(~J

(~J

(~J (~J

(~J GJ

(~J

(~J

(:J

2

5 6

3 3 464 10 10 15 20 15

5

6

Obsérvese como la formación sigue la ley, de que cada elemento es la suma de los dos que tiene encima. Además dicha formación tiene la propiedad de que existe una simetría total respecto del eje vertical del triángulo. 360

361

Ej.: Desarrollar por Tartaglia el binomio (a + b)4 SOLUCiÓN

6.- PARTICULARIDADES EN EL BINOMIO DE NEWTON

Para que nos demos cuenta de todas las posibilidades operativas, los números combinatorios, se pueden obtener también mediante la aplicación del triángulo de Tartaglia. Para ello como el exponente del binomio es m == 4 en nuestro caso deberemos de llegar en el triángulo de Tartaglia hasta la cuarta fila.

Del desarrollo de un binomio por Newton, vamos a obtener una serie de conclusiones básicas y cuya manifestación se pude adoptar como reglas fijas para cualquier binomio.

6.1.- Número de términos del desarrollo m == 1 m==2 m == 3 m==4

Cualquier desarrollo de Newton posee siempre un número de términos, equivalente a la potencia del binomio más uno (obsérvese los desarrollos anteriores) .

2 1 /1

3

3

4

1

6

4

1/ Ej.: ¿Cuántos términos tiene el binomio (x + z)20 ? SOLUCION

La localización de la restante composición de cada término se hace teniendo en cuenta que la suma de los exponentes del primero y del segundo en cada término debe ser igual a la potencia del binomio. Así, se comienza por el primero elevado a la potencia del binomio y el segundo 4

nO términos == 20 + 1 == 21 términos

6.2.- Caracteristicas de los números combinatorios

a cero (a bO) y los restantes se pueden obtener sustrayendo una ur,idad al 4

exponente a y sumando esta unidad al exponente bO y así sucesivamente.

Es decir:

a 4 bO

4

3 1

4

6

4

a 3b 1

2 2

a 1b3

2 2

1a bO +4a b +6a b

a b

+4a b +1a Ob 1 3

4

Como ya sabemos cualquier término de un desarrollo va precedido de un

número combinatorio, que lleva como índice superior a la potencia del binomio

y como índice inferior, una unidad menos del lugar que ocupa el término en el

desarrollo.

Este detalle nos permite obtener cualquier término de un desarrollo de Newton,

sin tener que obtener todo el desarrollo completo.

aOb 4

==a 4 +4a 3 b+6a 2 b 2 +4ab 3 +b 4

Ej.: Hallar el término que ocupa el lugar 60 en el desarrollo (x + y)62

SOLUCiÓN

Pues bien , vamos a localizar el número combinatorio correspondiente a este

término, que es:

(:!)

luego el término es:

62) X3 59 = ( 62 ) x3 59 = ( 62)x 3 59 ( 59 Y 62 - 59 Y 3 Y

362

363

= 62·61 · 60 x 3 3 .2 .1

59

Y

= 37820x3

59

Y

SUCESOS ALEATORIOS. PROBABILIDADES

6.3.- Cálculo del término general de un binomio En el apartado anterior obteníamos un término concreto de un desarrollo. Ahora de lo que se trata es de obtener un término llamado general, que sea representativo de todos los términos del desarrollo. Su obtención efectivamente posee su campo de aplicación para otro tipo de cuestiones. Aunque el término sea el general del binomio, el número combinatorio que le procede, llevara como índice superior la potencia del binomio, y como índice inferior, una incógnita representativa de todo el conjunto de términos, que la vamos a llamar n. En un binomio genérico de la forma

(a + bt

(:Ja

n

m -

. b

Ej.: Hallar el término general del binomio

el término general es:

1.- EXPERIMENTO ALEATORIO

n

Se entiende por experimento aleatorio a cualquier prueba de azar, desarrollada dentro de un colectivo ó conjunto, que reúne las siguientes propiedades: • En cada prueba se obtiene un resultado que pertenece al conjunto. Pudiendo obtene,se resultados diferentes en las mismas condiciones (Fenómenos estocásticos o aleatorios).

(x + y)30

SOLUCION (3OJ X 3o-n. n

Ej.: En el desarrollo de

• Antes de realizar la prueba no se puede predecir el resultado.

yn

• Se pueden realizar pruebas indefinidamente, y cuantas más se hagan, más nos aproximamos a una característica concreta del experimento.

(x 3+ x)16 , calcular

el término en que el

exponente de x es 24. SOLUCiÓN Obsérvese que entre todos los términos del desarrollo, posiblemente exista uno en que el exponente de x sea 24 (si así no fuese el problema no tendría solución). Este es el que tenemos que localizar. Inicialmente vamos a calcular el término general del desarrollo.

16J~3 r-n

(n

. x n = (16Jx 48 - 3n . x n = (16Jx 48-3n+n \ n \ n

= (16Jx 48-2n \ n

Pues bien, como este término general es representativo de cualquier término del desarrollo, vamos a obligar a que el exponente de x sea 24. 48 - 2n = 24

--+

24

= 2n

--+

n = 12

luego si n = 12 el término es el 13°. Así que sustituyendo en el término general n = 12 obtenemos:

16J x 24 ( 12

= ( 16 JX 24 = Ir16JX 24 = 16 . 15 . 14 . 13 X 24 = 1820x 24 16-12

\ 4

Los sucesos y las probabilidades desde el punto de vista de la teoría de conjuntos poseen un campo más extenso que complementa el punto de vista clásico, debido a que mejora la comprensión de determinados fenómenos antes oscuros. Esta va a ser pues la actitud que se seguirá en el desarrollo del tema.

2.- CARACTERISTICAS y PARTICULARIDADES DE UN EXPERIMENTO ALEATORIO ~ Universo, población o espacio muestral: es el conjunto cuyos elementos son todos los resultados posibles del experimento aleatorio.

Se representa por U ó E. Ej.: Al lanzar un dado al aire el espacio muestral es E = {1,2,3,4,5,6}

~ Suceso elemental o simple: es cualquiera de los resultados posibles que se pueden obtener de un experimento. Cualquier suceso elemental es un subconjunto del espacio muestra!.

Ej.: Obtener el punto 5 al lanzar un dado al aire A = {5}

4·3·2 · 1

364

365

~ Suceso compuesto: es el que está formado por dos o más sucesos simples.

~ Intersección de sucesos: dados los sucesos A y B, es el suceso que se realiza cuando se realizan A y B simultáneamente. Se representa por A ( l B.

Ej.: Obtener un número par al lanzar un dado al aire, es el suceso compuesto. A = {2,4,6}

Ej.: Con el ejemplo anterior.

A

=

{2,4,6}

B = {3,6}

Y

~A

(l

B = {6}

~ Suceso seguro: es aquél que siempre se verifica . Coincide con el espacio muestra!.

3.- FRECUENCIA ABSOLUTA Y RELATIVA ~

Suceso imposible: es aquel que nunca se cumple . Se representa por 0.

Ej.: Obtener el mismo número de caras y de cruces al lanzar tres monedas al aire.

En un experimento aleatorio, donde realizamos n pruebas. Se llama frecuencia absoluta de un suceso A, a la cantidad de veces que se presenta el suceso A en las n pruebas.

y se denomina frecuencia relativa al cociente entre la frecuencia absoluta y el número n de pruebas realizadas.

~

Suceso probable: son aquellos que no son seguros ni imposibles.

~Suceso contrario: es el complementario de un suceso A, con respecto al espacio muestra!. Lo representaremos por A.

Ej.: Si el suceso A al lanzar un dado al aire es obtener un número par, el suceso contrario A es obtener número impar: A = {2,4,6}

~

A=

4.- CONCEPTO DE PROBABILIDAD. REGLA DE LAPLACE Cuando la cantidad de pruebas que realizamos en un experimento aleatorio es grande, el concepto de frecuencia relativa se aproxima al concepto de probabilidad, de esta forma entenderemos por probabilidad de un suceso A, al cociente entre el número de casos favorables (sucesos elementales) a que se verifique A, y el número total de casos posibles (cantidad de elementos del espacio muestral).

{1,3,5}

P(A)= número de casos favorables a A número total de casos posibles ~

Conjunto de los sucesos: es el conjunto formado por todos los sucesos elementales del espacio muestral, incluido el suceso seguro y el imposible. Se representa por P(U), es decir partes de U.

concepto que utilizaremos siempre que todos los casos posibles sean igualmente probables, y del que se desprenden las siguientes consecuencias :

~ Unión de sucesos: dados los sucesos A y B , es el suceso que se realiza

~ La probabilidad de un suceso A debe ser un número comprendido entre O y 1.

O ~ P(A) ::; 1

cuando se realizan A, B ó ambos a la vez. Ej.: Si el suceso A es obtener un número par al lanzar un dado al aire y el sucesoB obtener un múltiplo de 3.

A = {2,4,6}

Y

B = {3,6}

~ A v B = {2,3,4,6}

~

La probabilidad del suceso seguro es siempre 1.

~

La probabilidad del suceso imposible es siempre O.

~La suma de las probabilidades de dos sucesos contrarios A y 1.

P(A)+ P(A)= 1 366

367

A

es siempre

Ej.: Hallar la probabilidad de obtener el punto 5 al lanzar un dado al aire. SOLUCI6N E = {1,

2,

3,

4, 5,

~

6}

P=~ 6

Ej.: Hallar la probabilidad de obtener cara al lanzar una moneda al aire. SOLUCI6N E=

{c, x}

1 P = - = 0,5 = 50% 2

~

Ej.: Hallar la probabilidad de obtener oros al extraer una carta de una baraja española (40 cartas) SOLUCI6N

p=!Q­ 6 4

Ej.: Hallar la probabilidad de obtener un oro o un caballo al extraer una carta de una baraja española. SOLUCI6N

El espacio muestral es U = {1 O oros, 10 copas, 10 bastos, 10 espadas}

Ej.: Hallar la probabilidad de al lanzar un dado obtener un múltiplo de 3 al leer su cara superior. SOLUCiÓN

El espacio muestral es: U = {1, 2,3,4,5, 6}

El suceso en cuestión es: A Casos favorables

=2

~

= {3, 6}

casos posibles

=6

= 10

= 13

oros + 3 caballos

P(A)

=2/6 = 1/3

Ej.: Al lanzar dos dados distintos al aire, hallar la probabilidad de obtener una suma de 7 puntos. SOLUCiÓN

El espacio muestral es:

11 12 21 22 U = ~31 32 41 42 51 52 61 62

13 14 15 16 23 24 25 26 33 34 35 26 43 44 45 46 53 54 55 56 63 64 65 66

Casos favorables = 6

El suceso en cuestión es A = {sacar oro o caballo} Casos favorables caballo)

~

Casos posibles = (en los 10 oros va incluido un

Rvl

=

6 2 = 36

P=~=~ 36

Casos posibles = 40 P(A)

=13/40

Ej.: Hallar la probabilidad de que al lanzar dos monedas al aire se obtengan dos caras.

6

Nota.- La primera cifra de cada grupo de números corresponde a uno de los

dados y la segunda al otro dado.

Los dados pueden ser: uno grande y otro pequeño, de distinto color, etc.

Si los dados fuesen iguales el problemas sería similar.

SOLUCI6N

Ej.: A un congreso de científicos asisten 100 congresistas. De ellos, 80 hablan francés y 40 ingles. ¿Cuál es la probabilidad de que dos congresistas elegidos al azar no puedan entenderse sin intérprete?

El espacio muestral del experimento aleatorio es: U = {(cara,cruz)(cruz,cara)(cara,cara)(cruz,cruz)} El suceso en cuestión es: A Casos favorables

=1

~

= {(cara,cara)}

casos posibles

368

=4

~

P(A)

=1/4

SOLUCIÓN

Lo primero deberemos de buscar los congresistas que hablan sólo francés,

sólo inglés y francés e inglés a la vez, mediante un diagrama de Venn (trámite

que realizaremos operativamente).

369

A

= {hablan francés} A

í'I

Ej.: En una bolsa hay bolas negras y blancas. La probabilidad de sacar una bola blanca es dos quintos de la probabilidad de sacar una bola negra. Hallar la probabilidad de sacar una bola blanca y la probabilidad de sacar una bola negra.

y S = {hablan inglés}

B = {hablan francés y inglés}

SOLUCION En el espacio muestral definido por las bolas blancas y negras, los sucesos sacar la bola blanca o bola negra son contrarios, es decir, PiS) + P(N) 40-20

80-20

como resulta que P(S)=

P~)+P~)=1)

5

Pues bien, dos congresistas no se entenderán cuando uno de ellos hable francés y el otro inglés. Como cada uno de los 60 congresistas que hablan francés se pueden relacionar con cada uno de los 20 que hablan inglés, podemos obtener la cantidad de parejas que reúnen estas condiciones:

Hijo l2egueño

V

y todas las formas o casos posibles de formar parejas son :

Y M

Luego la probabilidad pedida es:

P

= 1200/4950 = 8/33

Nota.- Para hallar todos los casos posibles hemos aplicado combinaciones porque en cada pareja o grupo no influye el orden en que mencionemos a los congresistas pero sí que estos sean distintos con respecto a otras parejas o grupos entre sí, es decir, la naturaleza.

370

~

7 -P(N)=1 5

P(N)=~

~

7

5 7

7

~

P(S)=~ 7

Ej.: Hallar la probabilidad de que en familias con tres hijos existan dos

varones y una mujer.

SOLUCION

Ajustando un diagrama de árbol se tiene que:

= 1200 parejas o casos favorables que no se entienden.

= (1 OOJ = 100 · 99 = 4950 casos posibles de parejas que se entienden 2 2·1 que no se entienden.

2

-P(N)+P(N)=1 5

2 2 5 2 p(S)=-P(N)=- .-=-

n(Aí'lS)=20

C~oo

obtenemos un sistema de ecuaciones:

5

Así que: 60 hablan solo francés , 20 solo inglés y 20 francés e inglés simultáneamente.

60 ·20

5

p~)=~p~)

n(A u S) = n(A)+ n(S)- n(A í'l S)

100=80+40-n(Aí'lS) ~

~

~P(N),

= 1,

Hiio mediano

( (

Hiio

ma~or

Resultados

(~

VVM

(~

VMV VMM

VW

E

(~

MW MVM

(~

MMV MMM

J­ RV] 371

=

23

=

8

Luego la probabilidad pedida es casos totales = 8 casos favorables = 3

)

Ej.: En una casa hay 14 hombres y 12 mujeres. La mitad de los hombres y la tercera parte de las mujeres tienen el pelo blanco. Si elegimos una persona al azar, hallar la posibilidad de que sea hombre o tenga el pelo blanco. SOLUCiÓN

3 P = 8"

Definiendo los sucesos: A

={hombre)

y

B

={pelo blanco}

A n B = {hombre y pelo blanco)

5.- SUCESOS COMPATIBLES E INCOMPATIBLES

Distinguiremos entre sucesos compatibles y sucesos incompatibles.

Av B

= { ser hombre o tener el pelo blanco}

Los sucesos son compatibles (A n B '" 0 ) ~ Para sucesos compatibles (A n8 '"

0) peA v S)

w

A YB = compatibles ~

AnB;t:~

=peA) +

14 7 P(A)=26 =13

peS) - peA n S)

~

p(s) = 7 + 4 _

11 26 - 26

7

P(AnS)= 26

peA v B) = peA) + P(B) - peA n 8)

11 7_~ 7 P(AvS)=13+ 26 - 26 - 13

En el caSD de que existan tres sucesos compatibles : P(A v Bu C) = P(A) + P(B)+ p(C) - P(A n B)- P(A n C)- P(B n C) + P(A n B n C)

Ej.: Una urna contiene 1000 bolas idénticas al tacto de las cuales 300 son verdes, 200 rojas y 500 negras. ¿Cuál es la probabilidad de que la bola sea verde o roja? SOLUCiÓN

Ej.: Se lanzan al aire dos dados distintos y se consideran los números de sus caras superiores. Hallar la probabilidad de obtener dos números cuya suma sea 7 o cuyo producto sea 12 o que simultáneamente la suma sea 7 y el producto 12. SOLUCiÓN Sea el suceso A = {obtén dos números de suma 7)y el suceso S = {obtener dos números de producto 12} y el suceso A n S {obtener dos números de suma 7 y producto 12 simultáneamente}. De esta forma podemos apreciar que estamos ante dos sucesos A y B compatibles. La solución es poder obtener: A, S ó A n B. P(AvB)= P(A)+P(S)-P(A n B)

=

DefiniendD los sucesos: A = {sacar bola verde}

8 = {sacar bola roja}

observamos que A y B son incompatibles (A n B = 0 )

Fijarse en el espacio muestral para dos dados, obtenido anteriormente. Suma siete

300 200 500 _ 2 P(AvB)=P(A)+P(B) = 1000 + 1000 = 1000 - 2 A = {(1,6X2,5X3,4X4,3X5,2X6,1)}

372

373

~

6 P(A) = 36

1

=6

Producto doce

P(B)=~= ~

~

B = {(2,6X3.4X4,3X6,2)}

6.- PROBABILIDAD CONDICIONADA. 36

Considerando dos sucesos A y B de un mismo experimento aleatorio se entiende por probabilidad condicionada de B respecto A a la probabilidad de que se realice B sabiendo que se ha realizado A.

9

Suma siete y producto doce AnB = {(3.4X4,3)} ~

Se representa por P(B/A). Suponer que se ha realizado A equivale a restringir el espacio muestral a los sucesos elementales de A.

1 P(AnB)= _2 =_ 36 8

Al manejar probabilidades condicionadas se introducen dos nuevos conceptos de sucesos:

Probabilidad pedida

1 ___ 1 1 = _2 P(A uB)= P(A)+ P(B)-P(A nB)= _+ 6 9 8 9

~ Sucesos dependientes: cuando ocurre que P(B/A) suceso B depende del suceso A.

~ Para sucesos incompatibles (A n B = 0)

P(B/ A) = P(A u B)= P(A)+ P(B)

Aoa

A Y B = incompatibles

---jo

A n B=

P(A nB nC)= P(A).P(B/ A).P(C/ AnB)

~ Sucesos independientes: cuando ocurre que P(B/A) = P(B) se dice que el suceso B es independiente del suceso A.

Cuando dos sucesos condicionados A y B de un mismo espacio muestral son independientes, se verifica que:

Nota.- En particular dos sucesos contrarios son incompatibles. En general varios sucesos son incompatibles, si son incompatibles dos a dos.

Ej.: Hallar (a probabilidad de extraer oros o copas al extraer una carta de una baraja español de 40 cartas. B = {copas}

P(A n B)= P(A). P(B/ A)

$

P(A u B u C) = P(A) + P(B)+ p(C)

y

~

P(B), se dice que el

Si existen tres sucesos A, B Y C:

En el caso de que existan tres sucesos incompatibles:

A = (oros}

P(:(~)B)

"#

~

An B= 0

~

A Y B incompatibles

P(AuB)=P(A)+P(B)=.!Q+.!Q= 20 40

374

40

40

P(A nB) = P(A)·P(B)

Para tres sucesos A, B Y C independientes:

P(A n B n C) = P(A). P(B). P(C)

=~ 2

375

Ej.: Sean dos sucesos A y B. La probabilidad de que se verifique el suceso A es 0,6 , la probabilidad de que se verifique el segundo suceso B es 08 y la probabilidad de que se verifiquen ambos es 05. Averiguar si los sucesos A y B son dependientes o independientes. SOLUCiÓN

p(A)=0,6

p(B) = 0,8

P(AIlB)=P(A).p(%)

p(%)", p(B)

~

p(A Il B) = 0,5

0,5=0,6P(%)

~

~

primera extracción es P(A) P(S/A) 3/5

=

=3/5

P(A Il B) = P(A).

Y de obtener negra en la segunda extracción

p(%)

3 3 9 P(A Il S)=5"5'= 25

~

Esto es un caso claro de sucesos independientes

~ p(s) = p(~~) =

%

p(%)= 0,5 =0,83 0.6

A YB son dependientes

Ej.: Se extraen simultáneamente tres cartas de una baraja española y se

pide:

a) Probabilidad de que las tres sean copas.

b) Probabilidad de que salgan una copa primero y luego dos oros.

Ej.: En una caja existen 4 bolas blancas y 6 negras. Sea el suceso A {la primera bola extraída es negra} y el suceso B {la segunda bola extraída es negra}. ¿Cuál es la probabilidad de obtener negra en las dos extracciones?

=

=

SOLUCiÓN

El decir simultáneamente, implica sin reemplazamiento.

SOLUCiÓN a) Por L3place

En este problema, podemos considerar dos casos: a) Sin reemplazamiento, es decir, una vez extraída la primera bola no la volvemos a introducir en la caja. En realidad lo que pide el problema es P(A Il B) la probabilidad de obtener negra en la primera extracción es: P(A) 6/10 3/5

=

=

casos totales

~

casos favorables

De esta forma la segunda extracción está condicionada a haber obtenido negra

en la anterior, variando la composición de la caja. Luego P(S/A) 5/9

=

P(A Il S)=P(A).P(%)

~

P

3 5_~=~

P(A Il S)=5"g- 45

y

p(%J=%

~

~ (

todas las formas de obtener 3 copas

10J

10·9·8 40 . 39 . 38

40 39 · 38 3 · 2·1

Por probabilidad condicionada

3 247

p('%,)", p(s)

10 9 8 3 P=_·-·_=­ 40 39 38 247

~

10 10 9 b) P = p(copa)· p(oro)· p(oro) = 40 . 39 ' 38

b) Con reemplazamiento, es decir una vez extraída la primera bola, la volveremos a introducír en la caja . La posibilidad de obtener negra en la 376

~

10 · 9·8

= _3_ = 3.2.1' 40J ( 3

(:0

~

3

Este es un caso claro de sucesos dependientes

p(S)= ~O

todas las formas de obtener 3 cartas

377

J

e;

J

Ej.: En un centro de estudios, el 60% de los alumnos de un curso han elegido Matemáticas y el 80% de los que han elegido la asignatura anterior han elegido también Física. Se elige al azar un estudiante del curso y se pide: a) ¿Cuál es la probabilidad de que el estudiante haya elegido Matemáticas y Física? b) ¿Qué tanto por ciento de alumnos del curso han elegido ambas asignaturas?

7.- PROBABILIDAD TOTAL Si tenemos por ejemplo tres sucesos (pueden ser más o menos) A 1 , A2 Y A3 incompatibles dos a dos, la probabilidad de un suceso cualquiera S, descompuesto del modo siguiente , recibe el nombre de probabilidad total.

p(S) = p(A 1 ) · p(S/ A 1 ) + p(A 2 ).p(S/ A 2 )+ p(A 3 ) · p(S/ A 3 )

SOLUCiÓN Definamos los sucesos del espacio muestral a)

M

= {elegir Matemáticas}

y

Nota.- Como regla práctica se puede tener en cuenta que: F

= {elegir Física}

y como para elegir Física ha habido antes que elegir Matemáticas, estamos ante un caso claro de sucesos dependientes, es decir, el suceso F depende del suceso M. P(M) = 69<00 = 0,6 )

P(M (\ F) = P(M). p(%)

j

p(%) = 89<00 = 0,8

P(M n F) = 0,6·0,8 = 0,48

* probabilidad de un suceso

(o) probabilidad de otro suceso

--? sumar ambas

* probabilidad de un suceso (y) probabilidad de otro suceso --7 multiplicar ambas

Ej.: En una cesta tenemos 15 sandías y 3 de ellas presentan algún

defecto. Se toman al azar dos sandías de forma simultánea Se pide:

a) Probabilidad de que ambas estén sanas.

b) Probabilidad de sacar una sana y la otra no.

c) Probabilidad de sacar al menos una de los dos sana.

SOLUCiÓN

La palabra "simultáneamente" implica sin devolución.

b) E148% de los alumnos del curso han elegido ambas asignaturas.

Ej.: En una bolsa hay 5 bolas rojas y 3 negras. Se sacan al azar una bola y sin devolverla se saca otra. Hallar la probabilidad de que la primera sea roja y la segunda negra. SOLUCiÓN Sea el suceso A = {la primera bola roja } y el suceso 8 = {la segunda bola es negra} , de esta forma la solución es: P(A n 8) = {la primera bola roja y la segunda negra } , estando ante un tipo de probabilidad condicionada ya que la segunda debe ser negra con la condición de que la primera sea roja (sucesos dependientes ).

p(A n B) = P(A).p(B/ I/JA

)--?

378

P(AnB)=~~=~ 8 7

a)

P=(1

a

sana) y (2

a

12 11 66 sana) = 15'14=105

b)

p = (1a sana y 2a defectuosa) ó (1 a defectuosa y 2a sana) =

36 12 3 3 12 =-._+_ . _ = ­ 15 14 15 14 105

66 36 102 34 c) P=105+105=105=35

56

379

Ej.: Dos deportistas están tirando al plato. La probabilidad de que uno de

ellos haga blanco de un disparo es 0,6 y la del otro 0,9.

Calcular la probabilidad de que uno de ellos y sólo uno haya hecho

blanco, si ambos efectúan un disparo cada uno.

SOLUCiÓN

Ej.: Tenemos dos cajas. En la primera hay dos bolas rojas y una blanca y en la segunda dos bolas rojas Y dos blancas. Si la bola extraída es roja, hallar la probabilidad de que sea de la primera caja. SOLUCiÓN 1a etapa

~

2 a etapa

~

La probabilidad pedida la podemos plantear asi: P = (primero hace blanco) y. (segundo no hace blanco) .Q. (primero no hace blanco) y. (segundo hace blanco)

1

elección de caja {c c2 .. { extracclon de bola

roja = R ­ no roja = R

De otra manera expuesto definiendo previamente los sucesos: 2

"3

A=~primerohaceblanco! ~ p(A)=0,6

~

p("A)=O,4

S= ~ segundo hace blanco! ~

~

p(s) = 0,1

p(B) = 0,9

R

1

2"

p = p[(An (3)u(A nS)]= p(An (3)up(AnS)= = p(A). p(l3) + p("A). p(s) = 0,6 ·0,1 + 0,4·0,9 = 042 El problema se resuelve dividiendo la probabilidad de que ocurra C1 Y R (terminal que reuní estas condiciones) entre la suma de las probabilidades asociadas al suceso R (terminales que acaben en bola roja)

8.- TEOREMA DE BAYES En los sucesos de dos etapas, antes, se pedía calcular la probabilidad de un suceso de la segunda etapa habiéndose verificado el de la primera etapa. Pues bien, al contrario, un problema bayesiano, consiste en que sabiendo que se ha obtenido un suceso B de la segunda etapa, cual es la probabilidad de que se haya verificado un suceso de los A¡ de la primera etapa.

1 2 2 3 p(C 1/R)= 1-2-1 2 -+_.­

2' 3

P(A¡).{%',J

p(AYa} ~>(A ¡) p(J;..¡: NOTA.- La aplicación del teorema de Bayes se suele practicar con un diagrama

de árbol.

En la primera etapa suele haber dos o más ramales y en la segunda etapa del

diagrama se plantean únicamente dos terminales (el suceso y su contrario).

380

381

2 4

4 7

Ej.: El despertador de Juan no funciona muy bien y el 20% de las veces no suena. Cuando suena, Juan llega tarde el 20% de las veces, pero si no suena, la probabilidad de que llegue tarde a clase es de 0,9. Se pide: 1) Hallar la probabilidad de que haya sonado el despertador y llegue

tarde clase (es lo mismo que hallar la probabilidad de que llegue tarde "y" haya sonado el despertador). 2) Determinar el porcentaje de veces que llega tarde. 3) Determinar la probabilidad de que llegue temprano. 4) Si Juan ha llegado tarde a clase ¿Cuál es la probabilidad de que haya sonado el despertador?

SOLUCiÓN

Los datos expresados en % representan siempre probabilidades.

Se sitúan los datos (en tanto por uno) en un diagrama de árbol. Veamos:

0.2V

INTRODUCCiÓN A LA ESTADíSTICA Estadís!ica, es el conjunto de métodos matemáticos, que tiene por objeto, conectar a fenómenos de cualquier tipo con resultados de tipo numérico.

1,· GENERALIDADES ~ Población, colectivo o universo. Conjunto formado por todos los elementos que reúnen determinadas características y puede ser: población finita o infinita. ~

Observación. Analiza el fenómeno que se quiere estudiar.

~

Muestra. Es todo subconjunto de la población.

./tarde

~ ,

80

~ teRlprBno

0,8~ suena' •

~

no tarde

osuena

0,20

• Tamaño de la muestra. Cantidad de elementos que contiene. • Caracteres de la muestra . Conjunto de factores que se quieren analizar. • Modalidad. Cada variedad del carácter.

0,9Y·

/tard
.~ tomprano O.1~.

no tarde

1)

p=(suena) y (tarde)=0,80 .0,20=0,16

2) p(suena y tarde) o (no suena y tarde) = = 0,80 ·0,20 + 0,20·0,90 = 0,34 = 34%

Ej.: Sobre una muestra de individuos, se quiere analizar el estado civil. Carácter de la muestra --+ estado civil Modalidades --+ Soltero - casado - viudo - divorciado - No consta • Carácter estadístico cualitativo . Sus modalidades no son medibles.

Ej.: El Estado civil, la raza, la profesión, etc.

3)

p = (suena y temprano) o (no suena y temprano) = = 0,80·0,80 + 0,20·0,10 = 0,66

• Carácter estadístico cuantitativo. Sus modalidades son medibles. Ej.: La producción, los salarios, la talla de las personas, etc.

Nota. También se puede hacer el apartado de la siguiente forma: p(temprano)

+ p(tarde) = 1

--+

p(temprano) = 1- p(tarde) = 1- 0,34 = 0,66

4) Esta cuestión se plantea de forma distinta a las anteriores. Es decir, sabiendo que se verificado un suceso de la segunda fase, se pide hallar la probabilidad de un suceso de la primera fase, es decir, es una cuestión para resolver por Bayes. terminal suena y llega tarde suma ter min ales llegar tarde

p=--------~--~--~--~

0,80·0,20 = 0,47 0,80 . 0,20 + 0,20 . 0,90

2.- VARIABLES ESTADISTICAS (xl ~ Variables continuas. Cuando entre dos datos de una muestra caben infinidad de valores

Ej.: La estatura, el espesor de un libro, etc. ~ Variables discretas. Cuando entre dos datos de una muestra caben un número finito de valores.

Ej.: Los hijos de una familia, cantidad de libros de una biblioteca, etc. 382

383

3.- SERIE O DISTRIBUCiÓN ESTADíSTICA

4.- GRÁFICOS ESTADíSTICOS

Es el conjunto de valores que conforman una muestra.

Las características de una representación estadística son:

~ Frecuencia absoluta (n¡). Es la cantidad de veces que se repite un dato en la serie.

~ Frecuencia relativa (f¡). De un dato de una serie es, su frecuencia absoluta dividida por el número total de datos de la serie (In¡

= N)~ f¡ = ~. N

(F¡).

Se obtiene sumando a cada dato, su frecuencia absoluta o relativas más la suma de las frecuencias absolutas o relativas de los datos anteriores.

distribución

~ Diagrama de barras. Son segmentos verticales cuyo pie es el valor de la variable y de altura la frecuencia absoluta de la variable . ~ Diagrama de frecuencias acumuladas. Son segmentos horizontales de dato a dato y de altura la frecuencia acumulada de la variable.

Para variables continuas ~

Polígono de frecuencias. Se obtiene uniendo los puntos: (dato, frecuencia absoluta del dato)

~

~ Clasificación para variables continuas.

1) Se agrupan los datos en intervalos de clase o clases

una

Para varíables discretas

La clasificación y reducción de una serie, permite simplificarla y hacer más cómodo el tratamiento de datos.

~ Clasificación para variables discretas. Se puede exponer sin agrupar los datos de la muestra (la frecuencia de cada dato es 1) o agrupando los datos (en este caso a cada dato se le asigna su frecuencia absoluta). La pérdida de información en este tipo de distribuciones es nula .

de

• Es un instrumento auxiliar que no sustituye a la distribución. • Intenta representar un fenómeno estadístico a través de figuras geométricas. • Ayuda de forma eficaz a extraer conclusiones rápidas. • Divulga los datos estadísticos, haciéndolos más comprensibles . Los gráficos estadísticos más comunes son:

La suma de todas las frecuencias relativas de todos los datos de la serie es 1 (I fi = 1)

~ Frecuencia acumulada absoluta (Ni) o relativa

gráfica

Polígono de frecuencias acumuladas. Se obtiene uniendo los puntos: (dato, frecuencia acumulada del dato)

~ Histogramas. Su construcción se basa en rectángulos adosados en los que su base está definida por cada intervalo de clase y su altura debe ser proporcional a cada intervalo de clase.

(L·1- 1-L 1 ó L·1 - L·1+ 1)

L· 1-

1 -L·

L¡-1 = límite inferior del intervalo { L¡ = límite superior del intervalo

1

Se construyen, de manera que el límite superior de una clase, coincida con el límite inferior de la clase siguiente.

• Si los intervalos de clase son de igual tamaño, la altura de cada rectángulo es la frecuencia absoluta del intervalo. • Si los intervalos de clase son de distinto tamaño, la altura de cada intervalo es: densidad de frecuencia o altura (h¡) frecuencia absoluta del intervalo

2) El tamaño o amplitud de clase = límite superior - límite inferior.

amplitud del intervalo (base del rectángulo)

= ­c¡n¡

Todas las clases se eligen con el mismo tamaño que se obtiene: - (c·) = ---=---mayor dato de la menor dato la serie -_serie _ _- _ ___ _de __ __ tamano 1 número de clases que se quieren formar 3) Se sustituye cada intervalo anterior por la marca de clase (x) que es el valor central de cada intervalo.

384

NOTA.- La unión mediante rectas, de los puntos medios de los lados superiores de los rectángulos de un histograma, proporciona el polígono de frecuencias. ~

Otros gráficos son: Gráfíco de sectores, Pictogramas, Cartogramas, etc.

385

3) Representar los polígonos de frecuencias acumuladas ascendentes y descendentes. SOLUCiÓN

5.- SIGNO SUMATORIO (E). PROPIEDADES i=4

* LXi i=1

*

*

x1+ x 2+ x3+ x4

i=n La a+a+a+,.. +a=a·n i=1

i=n i=1

*

*

Xi+

L(Xi +

I=n

i=n L(ax¡ +b)=a LXi +bn i=1 i=1

i=3 LXif¡ = X1 f1 + X2 f2 + x3 f3 i=1

i=n * Laxi 1=1

i=n a LXi i=1

1) Agrupamiento de la serie en 5 intervalos de clase constantes 2) Operación mínima

-¡.

Operación máxima

-¡.

Amplitud de los intervalos No son propiedades

-¡.

1*

i=n ,LXiYi 1=1

'*

i=n i=n .LXi· ,LYi 1=1 1=1

* ,1~(Xi)2 i=1

-¡.

500 ) 2500

Recorrido nO intervalos

ci

i=1

= 2000 == 400 5

Lo 500 L1 o: 500 + 400 Definición de los intervalos

SIGNO PRODUCTORIO (TI) . PROPIEDADES

-¡.

900

L 2 o: 900 + 400 == 1300

L3 :=1300+400 1700 L4

1700+400=2100

L5 == 2100 +400

*

i=n I1 xi=x1,x2,x3",x n i=1

*

I=n n i=n I1axi o: a llxi i=1 1=1

*

I=n Igllxl 1=1

*

[500,900]

-¡.

(900,1300]

1300-1700

-¡.

(1300,1700]

L3 -L4 == 1700-2100

-¡.

(1700,2100]

L2

(' J2

Ig(x¡· X2 'X3 ... Xn )= Igx1 +lgx2 +lgx3 + ... +

-¡.

900 1300

Lo -L1 == 500 - 900 L1-L2

I=n 2 I=n

l lx. == llxi 1=1 I 1=1

L4

i=n Llgxi i=1

2500

,¡,

i=n I1ao:a·a·a .. a=a n i=i

*,

=2500 - 500 =2000

'* ('I~XI J2

1

6.-

Recorrido

L3 L5

-¡. (21 00,2500]

2100 - 2500

Se adopta el criterio de que en los intervalos, su límite inferior no pertenece al intervalo (intervalo abierto) y el límite superior si pertenece al intervalo (intervalo cerrado), En el intervalo (900, 1300] el dato 900 no pertenece al intervalo yel dato 1300 si pertenece al intervalo.

Ej.: Una oficina bancaria, ha realizado durante los 25 días de un mes, las siguientes operaciones: 1650 732 1708 2021 1580

1005 1380 1900 728 500

1232 1830 1190 2106 1305

1000 1460 1376 2309 2160

n¡ 3 4 7 5

Li-1 -L¡ 500-900 900-1300 1300-1700 1700-2100 2100-2500

2254 2500 1507 2450 1770

Se pide:

1) Agrupar la serie en cinco intervalos de clase de igual amplitud.

2) Representar el histograma y polígono de frecuencias.

386

Agrupamiento de la serie en la tabla:

l

6 25

L:

Xi 700 1100 1500 1900 2300

-,¡, marca de clase

387

2) Histograma de frecuencias (con intervalos de igual amplitud según cálculo)

Fit

AV Nl~

Nit

1 - 25

fl

n,

7/25'" 0,26

7

6'25'" 0,24

6

5/25'" 0,20

5

4/25'" 0,16

4

.f25 "'0,12

3

2/25"°.08

2

Polígono de frecuencias

~,16

- 19

0,56 - 14

O,l6 - 1 Histograma

.

r

~

I

I

I

j

I

500 900 1300 1100 2100 2500

x,

SOO 900 1:lOil 1100 2100 1900

PoligOhO acumulativo ascendenil!

1125 = 0,04

:::ifl = 1

0.12 - 1

o

500

"1 '" 001)

'>'P'-P'''l

1300

11llO

2100

PoügOllo acumulatiyo clescendente

x.

2SOO

NOTA.- La intersección de los polígonos ascendentes mediana.

Ej.: Las horas extraordinarias que hacen 50 empleados durante un mes, agrupadas en intervalos de clase son:

3) Poligono acumulativo de frecuencias ascendente V descendente

Conviene hacer una tabla general

L¡_1

L¡

X¡

ni

Nl

Nl

F: t= N¡ t I

¿ni

Fe J.,=N¡ J., I ¿ni

Horas extras L¡_1- L¡ 4 -10 10 - 20 20·50 50 -100

-

500-900

700

3

3

900-1300

1100

4

7

1300-1700

1500

7

1700-2100

19*

B

%5

1%5

0,72

14

1

1~5 =0,56

1~5 =0,44

19

i

1%5=0,76

%5=0,24

2%25 -1 ­

%5 0,(1.)

° L)

25

--­

25

_

Suma datos ni

..

0,28

-

I

0,88

~

L

6

2%5

.

I

2300

--.

%5=0,12

_

2100-2500

22 (*)

J., Resta datos ni

--

I

Empleados-¡ ni

~g

15 5 50

I

J

Se pide: 1) Determinar las alturas de cada intervalo (densidades de frecuencia)

2) Dibujar el histograma.

SOLUCiÓN

(*) total de datos-primer dato = 25-3=22

(1.) siempre cero

388

y descendentes es la

389

Ej.: Preparar las siguientes tablas estadistieas: L¡-1 -L¡

ni

Amplitud (C1)

4 -10

10

6

10 - 20

20

10

20 - 50

15

30

50 -100

5

50

I L

n· Altura ~ h¡ ",-.l. c¡

a)

L¡_1- L ¡

1% =1,17 2910

b)

3-9 9 -15 15·21 21·27

2,00

1'%0 =o 0,50

-

L¡_1- L¡ 0-9 10 -19 20 -29 30 - 39

e) ~-

L¡_1-L¡

3-9 19 -15 16 -25 26-32

%0 =0,10

50

SOLUCiÓN

a) En esta tabla coinciden, el límite superior de una clase con el límite inferior de la siguiente clase, está preparada para los cálculos estadísticos.

2)

hj

Intervalos L¡-1 -L¡

Marca de clase

3-9 9 - 15 15 - 21 21 - 27

6 12 18 24

Xi

Obsérvese que la marca de clase es la semisuma (mitad de la suma) de los extremos del intervalo ..

b) Esta tabla necesita preparación, ya que no coinciden, el límite superior de un intervalo con el límite inferior del intervalo siguiente (Téngase en cuenta que la amplitud de los intervalos es constante). Para hallar los límites exactos de los intervalos, se hace el cálculo:

.

I P 'f\ '\ '\ '1)\ \\ '» \\ \}YÜ \

20

)-\\\)\\\\.>\\\)SSSS;S\\\\I 50

x. + limite inf erior limite superior (del intervalo siguiente) limite exacto superior = (de ese intervalo) (de un int ervalo) 2 límite exacto inferior (de un intervalo)

390

~

coincide con límite exacto superior (del intervalo anterior)

391

-------

9+10 =9,5

f-

2

Intervalos L¡_1- L¡ 0-9

Limites exactos de los intervalos

Marca de clase

-0,5 - 9,5

4,5

10 - 19

9,5 - 19,5

14,5

20 -29

19,5 - 29,5

30 - 39

29,5

39,5_

XI

MEDIDAS DE CENTRALIZACiÓN, POSICiÓN O PROMEDIOS Tratan de resumir la serie estadística mediante un solo dato.

1.- MEDIA ARITMÉTICA (x) 34,5

x La amplitud de los nuevos intervalos es 10, luego al primero y al último intervalo se les da la misma amplitud para fijar el límite inferior del primer intervalo (-0,5) Y el límite superior del último intervalo (39,5)

Datos con frecuencia - L:xini x"'~L:n¡

L:n¡

2.- MEDIANA (Me) Datos con intervalos

Datos sin intervalos

c) Intervalos L¡_1- L ¡

3-9 10- 15

16 - 25

26 - 32

Limites exactos de los intervalos

Marca de clase

3,5 - 9,5 9,5 - 15,5 15,5 - 25,5 25,5 5

6,5

12,5

20,5

30,5

"* 1

Ordenar la distribución

Xi

Me

término central ó media aritmetica

Fijar intervalo con N/2 N --N¡-1 Me = L i- 1 + ,c¡ n¡

1

[ de los dos centrales

3.- MODA (Mo) Téngase en cuenta que la amplitud de los intervalos no es constante, entonces:

Datos sin intervalos

(Aplicar cualquiera de las fórmulas siguientes)

Para determinar el límite inferior del primer intervalo se toma como amplitud de este, la misma amplitud del segundo intervalo (15,5 - 9,5 = 6) , es decir, 3,5. Para determinar el límite superior del último intervalo se toma como

de este, la misma amplitud del penúltimo intervalo (25,5 -15,5 = 10), es decir,

35,5.

Datos con intervalos Fijar intervalo con mayor frecuencia

Mo

= dato con mayor frecuencia

Mo == Li-1 + ni-1 + ni+1

Mo=

+

'Ci

n·I -n°1-1

,c1

(n¡ -nj_1)+(n¡ -ni+1)

NOTA.- En intervalos con distinta amplitud, sustituir n¡ por h¡

4.- MEDIA GEOMÉTRICA (G) Datos con frecuencia

Datos con frecuencia 1

Mr=-n;­

G '" 'VTIxil

G=

392

393

"* 1

Ej.: Hallar la media aritmética, la mediana y la moda de las siguielltes distribuciones de frecuencias:

5.- MEDIA CUADRÁTICA (C) Datos con frecuencia 1

C

Datos con frecuencia 0# 1

~¿xF

SOLUCiÓN

C=

¿ni

c)2,3,3,5, 6,6,7

b) 0,1,2,5,5,7

a) 2,3,6,7,9

a)

x

¿ni

5,4 ~ Me

2+3+7+9+6 5

6 ~

Mo

6.- MEDIA ARMÓNICA (A) Datos con frecuencia 0# 1

Datos con frecuencia 1

A = ¿ni



b) X==¿Xi ¿ni

0+1+2+5+5+7 =3,3 6

~

Me

2;5=3,5

~

Mo=5

Mo

3 Ó 6

A

¿~

¿ni Xi

Xi

c)

-x -¿Xi -= - ¿ni

3+5+6+6+ 7 ==45 , ~ Me

5 ~

7

7.- CUANTILES Cuartiles dividen en 4 partes (existen 3) Quintiles dividen en 5 partes (existen 4) Deciles dividen en 10 partes (existen 9) Centiles dividen en 100 partes (existen 99)

Ej.: Hallar la media aritmética, la mediana y la moda de la siguiente serie,

previa tabulación de los datos: 3, 3, 4, 5, 5, 6, 8, 8, 8, 9, 9

SOLUCiÓN

1--

Datos sin ¡ntelValos

'1

CuantJ

r

(dato asociado a la frecuencia) acumulada rN/p Datos con intelValos

I

X'I

3

4

5

6

8

9

Ni 2

3

5

6

ni 2

1

2

1

9

3

2

11

~

11

xini 6

4

10

6

24

18

68 ....

r~-Ni-1 el intelValo con rN/p

~



ni

Cálculo de la media aritmética ni == frecuencia absoluta

L i- 1

ni-1 == frecuencia absoluta intervalo anterior

c¡ amplitud de intervalo -7 hi = ni r cuantil a calcular

ni+ 1 =frecuencia absoluta intervalo posterior ¿ ni

N = nO total de datos = frecuencia acumulada de intervalo anterior

extremo inferior de intervalo

p = cuartil (4), quintil (5), decil (10), centil

X :=

68

¿ni

11

=

61

'

Cálculo de la mediana (dato central de la serie)

_!!

N 2 - 2

394

¿ xi n!

5.5~

columna Ni) ~ Me

395

=6

Cálculo de la moda (dato de mayor frecuencia absoluta ni)

~

Mo =8

b) Téngase presente que los intervalos no son de igual amplitud, cuestión que tiene interes para el cálculo de la moda.

Téngase presente que la media aritmética, la mediana y la moda son siempre valores de la variable Xi, es decir de los datos de la serie estadfstica, nunca valores de la frecuencia, aunque nos valemos de esta para llegar al dato.

I L·1­ 1- L ·1

x¡

n¡

x¡n¡

N¡

c¡

h.= I

r

Ej.: Hallar la media aritmética, la mediana y la moda de las siguientes distribuciones de frecuencias

a)l L¡-1 -L¡ 50 - 60 60-70 70 - 80 80 - 90

b)

n¡ 9 16 8

n¡ 5 12 20 30

L¡-1 -L¡ 0-1 1-2 2-5 5-10

I

í:

7{

5

2,5

5

1

1-2

1,5

12

18,0

17

1

1~ =12

2-5

3,5

20

70,0

37

3

2%=6,6

5 -10

7,5

30

225,0

67

5

3%=6

13,0

67

315,5

Cálculo de la media aritmética

x=¿x¡n¡ =315,5=47 ¿ni 67 ' Cálculo de la mediana

I

n¡ 9 16 8 11 44

í:

x¡n¡ 495 1040 600 935 3070

Ni 9 25 33 44

•

N = 67 = 33,5 (mirar columna N¡) 2 2

Me=2+

~ intervalo mediano (2 - 5)

17

20

·3=

Cálculo de la media aritmética - ¿ x¡n¡ x= ¿ni

Cálculo de la moda (mayor densidad de frecuencia h¡)

3070 "" 69,7 44

Cálculo de la mediana N _ 44 2- 2

22

Intervalo modal ~ (1, -2) ~ . columna N¡)

~

12 5 Mo = 1+ ( ) ( \·1 12-5 + 12-6,6

intervalo mediano (60-70)

22-9 Me= 60+--·10 16

68,1

Cálculo de la moda (mayor frecuencia absoluta)

intervalo modal

-70)

~ Mo

396

HL9 60+( .) ( )10=04,0 16-9 + 16-8

1

c¡

0,5

a) Téngase presente que los intervalos son de igual amplitud, cuestión que tiene interes para el cálculo de la moda. x¡ 55 65 75 85

1

0-1

SOLUCiÓN

L¡-1 L¡ 50 - 60 60 -70 70 - 80 80 - 90

%

397

1,5

5

Ej.: En la siguiente distribución discreta, donde la variable representa las notas de un grupo de alumnos, se pide: centil15 y percentil55.

Q3

4 5 6 9

O

1 2

3 4 5 6 7 8 9

9 15 24 36 51 61 69 74 78 80

12 15 10

8 5 4 2

10

2)

N 66 r-----» 7-=462 p 10 '

----»

D7 '"

Percentil 55 ----» P55

9<12<15 ----» Ci5

1-

ni

N

5

r--N¡_1 C83 = L¡-1 +

n¡

52 = 275 +

Ej.: En la siguiente distribución de frecuencias:

N¡ 10 22 36 52 66

Calcular: 1) Tercer cuartil. 2) Séptimo decil 3) Percentil 83

SOLUCiÓN

1) p

4

495----»

'

la regla de tres

398

~.66--

-

265,93

----» intervalo = 275 - 300

• E115% de los alumnos han obtenido nota igualo inferior a 2. • El 55% de los alumnos ha obtenido nota igualo inferior a 5.

N 66 r-----»3-

275

c¡ = 250 + 46,2 - 36 .25 16

La interpretación de los datos es la siguiente:

ni 10 12 14 16 14

271,09

2

55 80 = 44 ----» 36 < 44 < 51 ----» C 55 100

L¡_1-L¡ 0-100 100 - 200 200 - 250 250 - 275 275 - 300

49,5-36 ·25 16

intervalo:: 250

+ P

N 66 3) r-=83-=5478 p 100 '

1~~80=12

250 +

N r--N- 1

SOLUCiÓN Centil15 ----»C 15 ----»

c¡

n¡

Ni 4

ni

__~L

L¡-1 +

N rP

75]----» intervalo =250 - 275

x

399

14

·25 = 279,96

MEDIDAS DE DISPERSiÓN

Tratan de describir la dispersión de los datos de la serie respecto de su media.

1.- RECORRIDO, RANGO, AMPLITUD (R) Para distribuciones discretas

R :;:: mayor valor de la serie - menor valor de la serie

Para distribuciones continuas R

límite superior de la última clase - límite inferior de la primera clase

2.- RECORRIDO INTERCUARTllICO (Rol.) R.I 03 -0 1

recorrido semiintercuartilico

(RSJ) = RJ

2

3.- DESVIACiÓN MEDIA (DM) respecto de la media aritmética

respecto de la mediana

4.- VARIANZA

~

DM(X)=~lx¡

~

DM(x) =

(v = 52)

S2=V

:E(X¡-x?ni= :En¡ :En¡

x2=C2_x2

5.- DESVIACiÓN TíPICA, STANDARD, CUADRÁTICA MEDIA (S) S

400

=.JV 401

2)

6.- COEFICIENTE DE VARIACiÓN DE PEARSON (CV)

Cálculo de 01

-+ r!:! = 1~ 15,25 (corresponde a Ni

Cálculo de 03

-+ r!:!

P

4

Da idea de la dispersión de los datos respecto a la media aritmética en tanto por uno cv=§.

cv= 8 100

R.I=03

:x

:x

3~ = 45,75

P

en tanto por ciento

4

34) -+ 01 = 6

(corresponde a N¡ '" 52) -+ 03

01 =8-6 2

R.8J

R.I 2

=8

2 '2=1

3)

Ej.: Sea la siguiente distribución de frecuencias: Cálculo de

x

-

-+

400 =6,55 61

X

Se pide:

DM(:X)= ¿Ixi - xln¡ ¿ni

1) Recorrido 2) Recorrido intercuartilico y sermiintercuartilico 3) Desviación media respecto a la media aritmética 4) Desviación media respecto a la mediana 5) Varianza 6) Desviación típica 7) Coeficiente de variación de Pearson

97,85_ 61 -1,60

4)

Cálculo de Me

-+

~ = ~1

30,5 (corresponde a Ni

DM(Me)= ¿Ixi Meln¡ ¿ni

SOLUCiÓN Inicialmente planteamos la tabla general.

~

1) R

ni

Ni

1 5 6 7 8 10

4 4 10 14 20 34 8 42 10 52 9 61 61

xini ¡Xi 4 50 120 56 80 90 400

-XI

5,55 1,55 0,55 0,45 1,45 3,45

Ix¡ xln¡

¡Xi-M~

¡Xi -Meln¡

22,20 15,50 11,00 3,60 14,50 31,05 97,85

5 1

20 10

O

O

1 2 4

8 20 36 94

xlI xt 1 25 36 49 64 100

82 =

¿X~I ·n'I ¿ni

42,90

4,73

=6

1,54

-x 2 = 2906 61

6552 = 47,63 '

·ni

4 250 720 392 640 900 2906

= 10 - 1 ::: 9 (R =mayor valor de la serie - menor valor de la serie) 402

-+ Me

5) V

Xi

94 61

= 34)

6)8

",.,j4,73

2,17

7) CV

§..100= 2,17 .100=3312% 6,55 '

:x

Indica que la media x = 6,55 es bastante representativa, por no ser muy alto el coeficiente de variación. 403

ESTADíSTICA BIDIMENSIONAL Se utilizan dos variables (x e y) y cada dato está definido por un par de frecuencia nij

1. DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES DE FRECUENCIAS

Tabla B L 2 -L 3

Li -L'+l

X2

Xi

0 21

ni¡ ni2

n.2

n ij

n. j

ni.

N 1-~(2)

n22 n2j ...

1,

"2,

n,

-¡.(1)

'J

n,]

'Y¡

o'J 'y2I

n.(

,¡.

'---

l:1

(4) Tabla C

Notaciones

Tabla A (Distribución bidimensional) nij

= frecuencias de cada par (x, y)

nx

=:

frecuencias marginales de x

== frecuencias marQinales de y

Filas (1) Y (2) -+ distribución marginal de x (distribución unidimensional de x) Columnas (3) y (4) -> distribución marginal de y (distribución unidimensional de y) N númaro total de datos o pares (¿n x ¿ny == N)

=

Tabla B (Para el cálculo de medias y varianzas de la unidimensional de y) Tabla C (Para el cálculo de medias y varianzas de la unidimensional de x) Tabla D (representa una casilla de la tabla A para el cálculo de la covaria~za) 404

405

2.- COVARIANZA

lSxy)

REGRESiÓN LINEAL

Trata de medir numéricamente una distribución bidimensional. Se utiliza para cálculos posteriores.

1.- TIPOS DE RECTAS S

~

Sxy =0

2:2: n ··(x· IJ I

y ._ '1) xVAJ N

2:2:n··x·y· IJ I J_

N

x.'1

-+ las variables x e y son independientes

_

Sxy

_

y sobre x -+

y

a+bx

-+

y-y

-(x x)

x sobre y -+

x = a + by

-+

x-x

Sxy

NOTA.- [1 punto

(x,'1)

S2 x

(y y)

S2y

es el punto de intersección de las dos rectas

Otra forma de obtener las rectas de regresión es calcular sus datos a y b con el siguiente sistema de ecuaciones. Pares con frecuencia 1 2:Yj =Na+b2: x ¡ 2:x¡Yj =

Pares con frecuencia;>: 1

}

2:njYj ""Na+b2:n¡x¡

}

2: n¡jx¡ . y j '" a2:n¡ . x¡ + b2:n¡ . xF

x¡ +b2:xt

En los problemas que se suelen plantear lo usual es que todos los pares de datos (x, y) tengan frecuencia 1.

2.- COEFICIENTE DE DETERMINANCIÓN

y sobre x

R2

1-+

dependencia funcional

2

O-+

recta no representativa

R

406

-+

R2 =

R R

2

2

S~y

S~ ·S2y

-+

(R 2 ) O~R2:s; 1

2': 0,75 --l> recta representativa

< 0,75 --l> debe elegirse otra función

407

x= 2:nx -xi

3.- COEFICIENTE DE CORRELACiÓN (R)

N

y sobre x -+

R

335 32

-

-1::;;R ::;;1

-+

2: n y -Yj

Y

820 =25,62 32

N

2:Lnij,xi'Yj N

R == ± 1 -+ dependencia funcional directa (R = 1) e inversa

(R

-1)

2 . 5 ·1 O+ 5 . 5 . 20 + 3 . 5 -30 + 4 ·10 . 20 + 32

Ej.: Calcular la covarianza de la siguiente distribución bidimensional.

·15 . 30 + 3 . 20 ·30

100 + 500 + 450 + 800 + 2400 + 300 + 2700 + 1800 32

9050 32

xi Yj

10 20 30

5

10

15

2 5 3

4 8

1 6

20

Sxy

10

5

!,5

-x.y

3

SOLUCiÓN

~I 10

2:2: nij ,xi 'Yj N

Sxy

20

n¡

nj ' Y¡

2

20 200

20

600

32 335

820

20 30

9050 = 32 10,46·25,62 282,81-267,98 = 14,83

Ej.: Calcular la recta de regresión de y sobre siguientes:

x para la nube de puntos

(2,150) (3,130) (6,125) (10,120) (12,100) SOLUCiÓN

Primer método de cálculo (Mediante el sistema de ecuaciones).

ni

120

50

-Xi

7

3

105

60

Téngase en cuenta que la frecuencia de cada par es 1, al ser todos distintos.

Na+b2:x¡

2:Yj

Las distribuciones marginales de x o de y se pueden también exponer en dos tablas separadas:

y sobre x -+ { 2: x ¡Yj =a2:x¡ +b2: x F

-+

y* =a+ bx --­

Distribución marginal de x

Xi f-----=­

I

10 15 20

¿

Distribución marginal de V

ni

Xi ·ni

Yi

nj

,.-Yj ·nj

10 12 7 3 32

50 120 105 60 335

10 20 30

2 10 20 32

20 200 600 820

n 408

I

¿

Xi

Yj

X~I

XiYj

2 3 6 10 12 33

150 130 125 120 100 625

4 9 36 100 144 293

300 390 750 1200 1200 3840

409

N == 5

625 3840

5a+33b 33a + 293b

56405

} a= 376 15001

' 1425 b = - 376

Ej.: Se observaron las edades de cinco niños y sus pesos respectivos,

obteniéndose los siguientes resultados:

---+

Y* = 150,01- 3,78x

-3,78

Segundo método de cálculo (utilizando y -

y=

Edad en años (X Peso en Kg (y)

S

7(x

x)

Sx

x=

Sxy

33 N = 5 =6,6

---+

y=

_ 625 5 =125

N -

¿Xi'Yj 3840 ---x·y=---6,6·125 768-825=-57 N 5 ¿x 2 . +_x2 = 2~3 -6,6 2 =58,6-43,56=15,04

_ Sxy _ y-y -(x-x) S2x y-125 -3,78(x 6,6)

4,5 19

6 25

7,2 33

8

34

a) Hallar las rectas de regresión de y sobre x y de x sobre y.

b) ¿Qué peso corresponderá a un niño de 5 años?

e) ¿Qué edad corresponderá a un peso de 36 Kg?

d) Hallar el coeficiente de correlación

SOLUCiÓN

a)

--

S~

2 15

I

I

Xi

Yj

xF

xi 'Yj

y2

2 4,5 6 7,2 8 27,7

15

4 20,25 36 51,84 64 176,09

30 85,5 150 237,6 272 775,1

225 361 625 1089 1156 3456

~.

25 33 34 126

J

,

N=5

Calculamos datos necesarios de forma inicial (prescindimos de los subíndices de x e y para más comodidad).

y-125 =-57 - ­ (x-6,6 ) 15,04

---+

---+

-

¿x _ x=N-

5

=5,54

-

Iy

Y=N

126 == 25,2

5

SXy=¿~Y =-x·y= 77;,1_ 5,54.25,2=155,02-139,60 15,42

Y-125 = -3,78x + 25,01

Y 150,11 3,78x

2 ¿x N

S2

x

S2

y

_x2 = 176,09 -5,54 2 =35,21-30,69=4,52 5

¿y2 _y= 3456 -25,2 2 N

5

a)

691,2-635,04=56,16

y sobre x

_ Sxy _ y-y =-(x x)

S~

y-25,2=3,41(x-5,546)

410

---+

---+

---+

(x - 554) Y 25,2 == 15,42 4~2 '

y-25,2=3,41x-18,89

411

---+

Y 6,31+3,41x

x sobre y _ Sxy _ x-x -(y-y) S2y x - 5,54 "" 0,27(y - 25,2)

-+

-+

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

x - 5,54

x - 5,54 "" 0,27y

15,42 56,16 (y - 25,2)

6,80

-+

x = -1,26 + 0,27y

1.- INTRODUCCiÓN Ya se tiene idea de que a partir de un experimento aleatorio se constituye el espacio muestra I con su variable estadística y consecuentemente a cada uno de los sucesos elementales que se propongan se le puede asignar su probabilidad.

b) Y = 6,31 + 3,41x c) x=-1,26+0,27y d) R= Sx ·Sy

-+ Y= 6,31 + 3,41· 5

-+ Y = 23,36 Kg

-+ x=-1,26+0,27·36

-+ x

8,46 años

15,42 15,42 2,12.7,5 = 15,9 =0,96

Como comentario al coeficiente de correlación, podemos decir: • Por ser R positivo la correlación es directa (va de más a más o de menos a menos). En este caso a más edad más kilos y viceversa. • Por estar R muy próximo a 1, las dos variables están muy correladas es decir la edad está muy ligada a el peso.

La definición clásica de probabilidad de Laplace tiene inconvenientes que limitan su aplicación (utiliza experimentos aleatorios ideales, se requiere que todos los casos sean igualmente posibles y el número de casos debe ser finito), es por lo que se exige un nuevo concepto de probabilidad, que se basa en la definición frecuentista de probabilidad de Von Mises que se apoya en la estabilidad de las frecuencias relativas, ya que a pesar del comportamiento irregular de los resultados individuales, en largas sucesiones indefinidas de experimentos aleatorios, los promedios de estos muestran una regularidad sorprendente. Basándose en este experimento se define la probabilidad de un experimento aleatorio A como:

p{A) = ~~oo N que presenta también inconvenientes (se excluyen sucesos que no pueden repetirse, el límite implica que las veces que se repite el experimento sean infinitas lo cual no es alcanzable en la práctica con lo que se compromete la estabilidad de frecuencias, además la aplicación del límite implica una sucesión y estas no son aleatorias ya que se sabe con certeza cuál es el término siguiente y en un suceso aleatorio es una cuestión de azar). Las limitaciones de la teoría clásica y frecuentista son dificultades para el establecimiento de un modelo matemático de probabilidad, no obstante estas teorías se concilian para obtener la definición axiomática de Kolmogorov, que pone en relación la teorla de la probabilidad con la teorla de conjuntos y con la teoría de la medida, con el manejo del álgebra (E, P(E)). Se entiende por variable aleatoria X (antes recibía el nombre de variable estadística) a cada valor numérico asociado a cada uno de los resultados posibles de un experimento aleatorio, cuestión que conduce a una distribución de probabilidad (con frecuencia se expresa mediante una función) que representa un conjunto de valores x que toma la variable aleatoria X junto con sus probabilidades y se representa por p(x) = p(X x).

412

413

Una distribución de probabilidad transforma el espacio muestral original en otro numérico, más simple y manejable, que concentra la información de interés.

Ej.:AAA*AA*~

Dicha distribución se establece de la siguiente forma:

Por lo tanto la función de probabilidad de una distribución binomial B(n,p) es:

5] RPl2 = 3!2!

~ Definición Definición de la variable Probabilidad aleatoria y asignación asignada a Distribución Definición ~ del del espacio ---+1 del valor numérico a ---+1 cada valor de la ---+ de

experimento

muestral cada resultado variable Probabilidad

=

S! 3](S-3)

p(X

x)

] (~J

p(x) = [:}xqn-x

II

I

n :::: nO veces que se repite el experimento x:::: cantidad de veces que debe obtenerse el suceso pedido A p :::: probabilidad del suceso A q :::: prob2bilidad del suceso A (contrario a A)

2.- DISTRIBUCiÓN BINOMIAL O DE BERNOUILLI (Variable discreta) Representa la variable aleatoria discreta más utilizada (obtener caballo o no, sacar cara o cruz, una pieza es defectuosa o no, que se vote a un candidato o no, etc.) y posee las siguientes características. • Se utiliza en experimentos aleatorios que se repiten "n" veces y cuando el resultado obtenido es independiente de los demás resultados en cada ejercicio del experimento. • En cada realización del experimento sólo son posibles dos resultados que se designan por: A:::: éxito y A fracaso Si al repetir "n" veces el experimento, la alternativa A se ha obtenido x veces, se tiene: Alternativa A (éxito) ~ A· A···A(x veces) ~ probabilidad A (éxito)

~ p. p ... p (x veces)

Alternativa

A

(fracaso) ~ ~

A· A.. ·A (n-x veces) ~ probabilidad q·q .. ·q(n-x veces)

A Y A son sucesos independientes

~

A

(fracaso)

pX .qn-x

Como no interesa que los sucesos del experimento se obtenga en una secuencia concreta, el número de disposiciones con diferente orden es:

RP~'

!

n-x

414

Ej.: Se lanzan 5 monedas simultáneamente y se pide:

1) Probabilidad de que salgan 3 caras.

2) Probabilidad de que salgan por lo menos tres caras.

3) Probabilidad de que no salga ninguna cara.

SOLUCiÓN El experimento de lanzar S monedas es igual que si lanzamos una sola moneda S veces .

1) Método 1 (por probabilidad condicionada) p=10·

1 1 1 1 1 10 S '-' . . =-=- 031 ' 2 2 2 2 2 32 16

CCCXX) CC x c x Método 2 (por la

Rp3,2 _ 5

S·4·3·2·1 3!2!

10

h;nn",,;.,.1\

Alternativa A (obtener cara)

~ p =:..:!. 2

P(X=3)

sr

- 3!21

Gl Gr·

-

1

Alternativa A (obtener cruz) ~ q =:"2

5.4·3._1._ ·2·1 2 3 2 2

=(:) 415

10 ~=0.31 32 16

3.- DISTRIBUCiÓN NORMAL (Variable continua)

2) p(X

3)+P(X

p(X

3.1. Elementos

=(~) (~rGr + GY(~r + 3)

p(X

O)

[SJ

O

_ 16 =0,50 - 32

1 _i(~)2 N(~,a)_y=f(X)=~B2

x= f.'

área

y

=probabilidad = =p{asxsb) (mirar tablas)

cuando la muestra crece

(media aritmética) x f.'

(desviación tlpica) S - a

(~15(~ 1° ~32 = 003' 2) 2)

Ej.: Una Universidad contrasta que el 75% de sus titulados obtiene

empleo durante el primer año después de graduarse.

Si se eligen 8 titulados al azar, se pide:

1) Probabilidad de que al menos 6 tengan empleo.

2) Probabilidad de que como máximo 6 tengan empleo.

El suceso del problema es: A = {obtener empleo el primer año}

---J>

y

y

y

B(8,0.75)

x

1) p

p(X

6)+p(X=7)+p(X=S)=

+1

IIUJb!' IU.lb,. +1

3.2 Tipificación IIUJbnU.:¿b1-

0,67

La utilización de las tablas que permitan calcular la probabilidad de una distribución normal, son para distribuciones con media ¡.t O Y desviación típica cr = 1, es decir N(O,1). Sin embargo en los problemas que se proponen, dichos datos son otros, por lo que se hace necesario tipificar la variable, es decir, transformar los valores x de N(¡.t,cr) en valores z de N(O,1) mediante la

2) El suceso contrario de {obtener como máximo 6 empleo} es que {obtengan empleo 7 u S}, idea que intenta simplificar el cálculo de la probabilidad. Luego, se tiene que:

p(X=0)+p(X=1)+p(X=2)+p(X=3)+p(X=4)+p(X

= 1- p(X = 7)-p(X = S) =

5)+p(X

1-[~)0,7S? (0,2S)1 - [:}O,75)8(0,2S)O

6)

equivalencia z = x - ¡.t cr

y

I

AN(!-',c:r)

-

~0,64

1.1.

x

1.1.

z

Distribución normal standard o tipificada 1 . ..1..%" N(O,1) y=f(x)= '1211: ..2

Distribución normal 1 -t<~} NC!-"c:r) _y=f(x)=o;¡21t a

416

0"' ° ," /:"

417

3.3. Ejemplos con tabla

TABLAS DE DISTRIBUCIÓN NORMAL

La tabla sólo se puede utilizar para valores de z en distribuciones N(O,1) y mide exclusivamente el valor de z desde cero hasta un valor positivo de z, según se detalla en el gráfico que encabeza la tabla (existen otras tablas que miden z de otra forma, para dar el mismo resultado, por ejemplo desde -00 hasta un valor de z) la tabla se entra, en la primera columna de la izquierda con la cifra entera y la primera cifra decimal y la segunda cifra decimal se sitúa en la primera fila de la tabla.

Iy

o

z

Ej.: Buscar en la tabla el valor de 1,93

•

t1

1,9

EJEMPLOS

A. 4. =~

p (O,8 .. z"1,3)

0.0 0.1

o 732

0,2

0.3 0.4 0,5 0,6 0,1

p (0';%:$0,80)

P (O:$ Z:$ 0,8)

p

(~

O:z 0:0,35) = P

(~

-4.

4.=

~T.=~Z-~Z

-1,23 O 2.1~ O O 2.15

p (-1,23:. z:. 2.,15) = p ( - ,; Z .. +<») - P (O"" %:$2.15)- P (0:$% :!l1,23) '1- 0,484:2 0,3907 - 0,1251

418

a

0,0219 0,0615 0.11lé4 0.1443 0,1808

0,0319 0.0114 0.1103 0,1480 0,1844

0.19SG

0,2019 0,2054

0,2351 . 0,2389

0,2613 0.2704

0.2967 0,2996

0.3238 0.3264

0,2088 0,2422 0,2734 0.3023 0,3289

0.2123 0.2454

0.2151 0.2486

0,2164

0,2794

0,3051 O.33lS

0,3018 0.3340

0.219& 0.2518 0,2823 0,3106 0,3365

0.2224 0,2$49 0,21152 0,3133 0.3389

o,ml

0.3554 0,3170 0,3962 0,4131 0.4219

0,3571 0.3190 0,3980 0,4141 0,4292

0,3599 0,3810 0,3991 0.4162 0.4306

0,3621 0,3830 O,4OIS 0,4117 Q.4119

O,IS19

0,4351 0,4474 0.4513 O,46S6 0.4726

Q,4370 0,4484 D,4S82 0.4664 D,4132

0,4382

0,4495

0,4591

0,4611

0.4138

0.4394 0,4505 0,4599 0.4618 0,4144

0,4406 0.4515 0,4608 0.4686 0,4750

0.4418 O,4S2S 0,4616 0,4693 6,4156

0,4429 0,4535 0.4625 0,4699 0,4161

0,4441 0.4545 0.4633 D,4100 0,4167

0,4112

0.4183 0,4830 0,4868 0,4898 0,4922

0,4188 0,4834 0,4811 O,49í11 D,492S

0,4793

0.4838

0,4815

0,4!lO4

0,4921

0,4798 0.4842 0,4818 0.4906 0,4929

0,4803 0,4846 0,4881 0,49&9 0,4931

0,4808 O,48S0 0,4884 O,491l 0,4932

0,4812 0.4854 0.4881 0.4913 0,4934

0,4117

0.4861 0.4893 0,4918

0,4118 0,4826 0,4864 0,4896 0,4920

0,493& 0,4953 O,496S 0,4914 0,4981

0,4940 0,4955 0,4966 0,4915 0,4002

0,4941 0,4956 0;4961 0,4916 0,4982

0,4943 0.4951 0,4968 0,4971 0,4983

0,4945 O,49S9 0,4969

0,4971

0,4984

0,4946 0,4960 0,4910 0,4978 0,4984

0,4948 O,
0,4949 0,4962 0,49'12 0,4979 0,4985

0,4951 0,4963 0.4913 (1,49&0 0.4986

O,4tSl 0.4964 0.4914 0.4981 0,4986

3,0 3.1 3.2 3,3 3,4

0,4981 D,4990 0,4993

0,4981 0,4991 0,4993 0,4995

0,4988 0,4991 0,4994 0,4996

O,4m

M991

0,4987 0,4991 0,4994 0,4995 0,4991

0,4988

0,4992

0,4994

0,4996

0,4997

0,4989 0.4992 0,4994 0,4996 O,4!191

0,4989 0,4992 0,4994 0,4996 0.4997

0,4989 0,4992 0,4995 0,4996 0,4997

0.4990 0,4993 0,4995 0,4996 0,4997

0.4990 0,49113 0,4195 0,4197 0,4198

3,5

0,4993 0.4993 0,4999 0,4999 0,5000

0.4998 0,4998 0,4999. 0,4999

0,4998 0.4999 0,4999 0,4999

O,4t9S 0,4999 0,4999 0,4999

0,4993 0,4999 0.4999 0,4999

0,4993 0.4999 0.4999 0,4999

O.SOOO

0,5000

0.4998 11,4999 0,4999 0,4999 O,SOOO

0,4998 0,4999 0,4999 0,4999

O,SOIIO

O,4t9S

0,4999

0,4999

0,4999

0;000

3,1i 3,1 3,1t 3,9

=

0.0239 0.0636 0,1026 O.14Il6 0.1172

o.om

0,4345 0.4463 0,4564 0,4649 0,4119

2,1 2,8 2,9

P (2,36:$z,; +<») = p (O $Z""-)- P (O :$2:.52,36) = 0.5 - 0,4909 = 0,0091

0.0199 0.0596 0,0981 0,1368 0.1736

0,(0)9 0.0154

0,0910 0.1293 0.1664

O,Ol/iO

O.1lS51

0,0948

0.1331

a,l100

0.01lO

0,4332 0,4452 0,4554 0,4641 Q,41l3

2,S

:!lZ 0:0) - P (O :$z""O.35) = 0,5 - 0,1368 = 0.6368

OJ)OllO

6,0478 0,0811 0.1255 0,1628

O,~2S1

2.6

o 0,35

0.004lI

0.0438 0,0832 0.1211 0.1$91

0,3749 0.3944 0,411S 0,4265

2,0 2,1 2,2 2,3 2.4

~z= ~.+4.

8

0,3508

0,3729

0,3925

0,4099

1.6 1,1

0,2357

7

0,3485 0,3708 0,3907 0,4082 0,4236

1,5

-0,63 o

&

0.3461 0.3686 0.3881l 0.4066 0,4222

1,8 1,9

p (-0,63 s z s O) = P (O s Z o: 0,63)

:;

0,3438 0,3665 0,386' 0,4049 0,4207

1,2 1,3 1,4

~z

4

G.341l 0,3643 0,3849 0.4002 0,4192

1,1

= 0,4032 - 0.288'1 = 0.1151

3

0,2612 0,2910 0.3186

1.0

= peo:$ Z:$ 1,3)

2

0,1985 0,2324 0,2642 0,2939 0,3212

0,9 .

~.

0.0000 0,0300 0.0793 0.1179 0.1554

¡

0,1915 0,2258 0,2580 0,288t 0.3159

0,8

0,2881

Q

6.4821

o,499S

O,22~1

0,4991

419

o.sooo

o,sooo o,sooo

O,4?1lB

O,4m 0,49911

0.4999

o,sooo

Ej.: En una distribución N(4,2), calcular las siguientes probabilidades:

1) p(5 S; x S; 8)

2) p(-2 S; x S; 9)

3) p(- 3 S; x S; -1)

SOLUCiÓN Téngase en cuenta que la distribución N(4,2) hay que transformarla a una N(0,1), es decir tipificada.

1)

Ej.: La estatura de 2000 estudiantes de Acceso a la Universidad está distribuida normalmente con una media de 168 cm y desviación típica de 6 cm. Se pide: 1) Calcular el número de estudiantes con estatura entre 165 y 178 cm. 2) Calcular el número de estudiantes con estatura mayor de 180 cm. SOLUCiÓN

Se trata de una distribución normal N (168,6)

1) Tipificamos 165 y 178 Valor en N(4,2)

Valor en N(O, 1)

x=5

5-4 z=-=05

2

x 8 p(5::;;

x s 8)= p(0,5 :::; z s

-¡.

x

x == 178

p(O::;; z:::; 2)-p(0 s z s 0,5)

0,4772 -0,1915 = 0,2857

Valor en N(O,1)

Valor en N(4,2)

x -2

-¡.

x=9

-¡.

-¡.

2

z==

165-168 6

-0,50

2-4 --=-3 2 9 4 25 z 2 '

z

p(- 2::;; x s 9)== p(- 3:::; z s 2,5) p(O:::; z:::; 3)+ p(O s z s 2,5)== :::: 0,4987 + 0,4938 0,9925

= 1,66 z 178 -168 6

p(165 sx s 178)= p(-0,50 szs1,66) 915 + 0,4515

2)

-¡.

'

8-4 -=2

z

165

p(O::S;zs

p(O::S; z s 1,66)=

0,6430 =64,30%

n° estudiantes entre 165 y 178 :::: 2000·0,6430 =1286 estudiantes 2) Tipificamos 180 x=180

-¡.

z

180 -168 6

2

180) == p(z;c 2) = p(O::S; z s +ro )-p(O s z s 2) == 0,5

0,4772

0,0228

3) Valor en N(4,2)

Valor en NíO,1)

x=-3

-¡.

x =-1

-¡.

p(- 3 s x s -1)= p(-3,5 s

z= z= Z

s -2,5)==

0,4998 - 0,4938 = 0,0060

nO estudiantes mayores de 180 :::: 2000·0,0228 = 45 estudiantes

-3-4 == -3,5

2

-1-4 =-2,5 2

s Z s 3,5)-p(0:::;z:::; 2,5)=

Ej.: Las precipitaciones anuales en una región tienen una media de 2000 mm, con una desviación típica de 300 mm. Calcular, suponiendo la distribución normal, la probabilidad de que un año determinado, la lluvia no supere los 1200 mm. SOLUCiÓN

Se trata de una distribución normal N(2000,300)

Tipificamos x == 1200

420

-¡.

z

1200 2000 = -2,67 300

421

p(x:s; 1200) = p(z ~ -2,67)= p(z;::.: 2,67)= p(O ~ z ~ +oo)-p(O ~ Z ~ 2,67)= == 0,5 - 0,4962

0,0038

Ej.: La nota media de las pruebas de acceso correspondientes a los estudiantes que querían ingresar en una facultad era de 5,8 y la desviación típica 1,75. Fueron admitidos los de nota superior a 6. Se pide: a) ¿Cuál es el porcentaje de admitidos si la distribución es normal? b) ¿Con qué probabilidad exactamente cuatro de diez estudiantes son admitidos? SOLUCiÓN a) Estamos ante una distribución normal N(5.8 , 1.75) Tipificamos x = 6

~

4.- APROXIMACiÓN DE LA DISTRIBUCiÓN BINOMIAL A LA NORMAL En las distribuciones binomiales N(n,p), cuando "n" es un valor elevado, su cálculo se complica por las trabajosas operaciones que hay que realizar, es por lo que la binomial se puede aproximar a una distribución normal N(J.l,cr), siempre que se cumpla la condición np;::.: 5 o nq ;::.: 5, obteniendo la media y la desviación típica por las siguientes relaciones: J.l=np si np;::.: 5

nq ;::.: 5

=~npq Por otra parte al aproximarse la binomial mediante una normal y consecuentemente pasar de una distribución discreta a una continua, es preciso introducir un factor de corrección que consiste en añadir o restar el valor 0,5 a los valores de la variable inicial según los siguientes criterios.

6-5,8 =0,11 z= 1,75

Cálculo en la binomial

Cálculo en la normal

.!2.C!J..Ql

N(¡.t,cr)

p(x < a) p(x ~a) p(x > a)

p(x < a -0,5) p(x < a+0,5) p(x >a + 0,5) p(x > a 0,5)

p(O ~ z ~ +(0)- p(O < z ~ 0,11) =

p(x> 6)= p(z >

o

= 0,5 - 0,0438 0,4562 == 45,62%

p(x;::.:a) b) Estamos ante una distribución binomial B(n, p)

B(lO, 0.4562) Téngase en cuenta que las correcciones anteriores son de aplicación en todos los problemas en los que no se especifique que la distribución es normal.

pX(x=4)

(~J0,45624 .(1-0,4562)6 =C:J0,4562 4 .0,5438 6 = V4 6 ~·045624 .05438 P ' , 4

Ej.: Si lanzamos un dado 288 veces, estimar cual puede ser la probabilidad de obtener 3 Ó 4 puntos, más de 90 veces y menos de 120. SOLUCiÓN Inicialmente es un problema clásico de distribución binomial

10.9.8.7. 0,4562 4 .0,5438 6 =0,235 4·3·2·1 n=288

~

p=p(obtener3ó4) =2=..!

6 3

~

B(n,p)

en donde:

1 2 q 1-p=1-'3=='3

Con los datos anteriores podemos obtener lo pedido:

p(90 < x < 422

=p(X

91)+p(X=92)+ ... +p{X=11 423

p(X = 119)

=

!J118(~J170 +(288)(!J119(~J169

+ ... + (288)( l118 \3

3

l119

3

\3

A la vista está que el cálculo de la probabilidad pedida a través de una distribución binomial es trabajoso, vamos pues a ver si podemos aproximar la binomial con una normal que simplifique el cálculo. Para ello deberá cumplirse: np~5

~

DISTRIBUCiÓN MUESTRAL DE MEDIAS

[2:~)Gr1(~y97 +[298;)Gr2(~J196 + ... +

1 3

288·-

96> 5

~

si se puede aproximar con una normal

La teoría del muestreo, trata. la relación que existe entre una población y las

muestras que se extraen de la misma.

Si en una población N(Il,cr) se extraen muestras del tamaño (n) que se desee,

podemos exponer el siguiente razonamiento: • Las extracciones se efectúan en poblaciones infinitas o en poblaciones finitas con reemplazamiento, lo que permite pensar en el último caso que la muestra es inagotable. • De las extracciones anteriores se obtiene una distribución de muestras que se aproxima a la distribución normal.

Calculamos los datos que necesita la distribución normal:

11 = np = 288 1 = 96

a

~2BB.,-3" -.J64

Jnpq

)

_

3 3

• De cada conjunto de muestras de tamaño "n". obtenemos su media aritmética (y consecuentemente también su desviación típica) lo que nos conduce a la distribución muestral de la media que se aproxima también a una distribución normal y es de la forma:

N(96,B)

Distribución muestral de la media

~

=8

N[¡.t,

¡)

NOTA.- Obsérvese que la distribución muestral de la media esta "corregida" respecto a la distribución de la muestra. Esta corrección se comprenderá mejor con el ejemplo siguiente:

Reajustamos lo pedido a una normal:

p(90,5:::;x~119,5)

p(90<x<120)

Ej.: 1) Muestra de población -+ 2, 5,6,7 (la frecuencia de cada dato es 1)

Ya tenemos todos los elementos necesarios para calcular lo pedido con una distribución normal. Veamos:

¡J = 2+5+6+ 7

=5

4 Tipificamos x

90,5

Tipificamos x = 119.5 p(90,5

-96 =-0,69

~

~

8

cr 2 =

11

-96 = 2,94

(2-5)2+(5-5)2+(6-5~+(7-5)2 4

8

~ x ~ 119,5)= p(-0,69 ~ z 2,94)= p(-0.69 z~ 0)+ p(O:::; z:S; 2,94)

2) Muestras de tamaño n=2 (RVf

4 2 =16 muestras en total)

(2,2) (2.5) (2,6) (2.7) p(O ~ z ~ 0,69) + p(O :s; z :s; 2,94) = 0,2549 + 0,4984 = 0,7533

(5.2) (5.5)

(5,6)

(5,7)

(6,2) (6,5) (6,6) (6,7) (7,2) (7.5) (7.6)

424

9+0+1+4 = 3,5 4

425

(7,7)

Ej.: En un servicio de atención al cliente, el tiempo de espera hasta recibir atención es una variable aleatoria normal de media 10 minutos y desviación típica 2 minutos. Se toman muestras aleatorias del tiempo de espera de los clientes que llegan en un día concreto. Se pide:

3) Muestra de medias 2

3.5

4

3.5

5

5.5

6

4

5.5

6

6.5

6

6.5

7

4.5

4.5

1)

2) lJ(medias) '" suma de todos los datos total de datos

0

2

(medias)

"'~:

:=

80 Observese que:

16 '" 5 ---+ lJ(medias) '" lJ == 5

2

---+

1,75

o (medias)

0

2

n

35 '" - '

2

SOLUCiÓN

1,75

~ °medias =

o

En cualquier distribución muestral de la media, manejaremos las siguientes cuestiones: • Distribución muestral de la población ---+

JDistribución muestral de la media ---+ N(lJ,

Cuál es la probabilidad de que el tiempo medio de espera de una muestra de 25 clientes no supere los 9 minutos. Cuál es la distribución de la media muestral, si se toman muestras aleatoria de 64 clientes. Especificar los parámetros.

Como orientación téngase presente que en cualquier problema que exprese la toma de una muestra, es que estamos ante una distribución muestral de la media y por tanto habrá que hacer una "corrección" en la distribución normal "original" .

1) Distribución normal de la muestra de población

---+ N(10,2)

Distribución normal de la muestra de la media ---+ N(10,

.k)'"

N(1 0,0.4)

Jn)

• Para un nivel de confianza o probabilidad (se suele expresar en %) la media de la población está en un intervalo que se puede determinar de la siguiente forma:

p(x ~ 9) '"

'" p(z ~ -2.5) '" 0,5 - 0,4938 = 0,0062 I-'j lZ ~ ~) 0.4

~

intervalos de confianza para la media

a a) (fL- Za/2· frl' JL +Za/2 'frl .... ,

'''''

Z

----110­ ,Y"J

Z

I/LOZ

Error máximo estimado (E), indica que con un nivel de confianza determinado el error será menor de E, sólo sí el tamaño de la muestra es igualo mayor. Distribución normal de media muestral ---+ N(lJ, Za'

2

426

o

~

427

Jn) = k) = N(10,

N(1 0,0.25)

Ej.: El peso de los alumnos de una Universidad tiene una media desconocida y una desviación típica de O" = 5,4 Kg. Tomamos una muestra aleatoria de 100 alumnos y se pide:

Ej.: El tiempo que tardan las cajeras de un supermercado en cobrar a los clientes sigue una ley normal con media desconocida y desviación típica de 0,5 minutos. Para una muestra aleatoria de 25 clientes se obtuvo un tiempo medio de 5.2 minutos.

1) Si la media de la muestra es de 60 Kg., calcular con un nivel de confianza del 99%, cual es el intervalo de confianza para el peso medio de todos los alumnos de [a Universidad. 2) Si el peso medio de los alumnos de esa universidad está comprendido entre 59 y 61 Kg., determinar con qué nivel de confianza se hace esta afirmación.

1) Calcular el intervalo de confianza al nivel del 95% para el tiempo medio que se tarda en cobrar a los clientes y comentar el significado del resultado. 2) Indicar el tamaño muestral necesario para estimar dicho tiempo medio con un error de ± 0,5 minutos y un nivel de confianza del 95%.

SOLUCiÓN SOLUCiÓN

1)

6

1)

~~-+--f

~Z--+ ~2Z --+2.sl+ol9S--+ ZO/2 =2.S7 -Zo12

Zol2

Zo12·

~OA75

--ti­

Intervalo de confianza ~ (J

za 2

_

(J

X+Z a 2

-2.57

~,

rtli(/III

60+2.57 5.4

v100

~100

J

5,4

=59 ~

2

A , z - - + ",,,., d.

1~

1 054 '

=--

~

Z

~(5.2-1.96 0.5 • ~25

5.2+1.96

~)

(5.004 , 5.396)

v25

=1.85 a

2

,onfi_ --+ . . ~z



El significado de lo obtenido es: que existe un nivel de confianza del 95% o de 0,95 de que la media de la población esté dentro del intervalo (5.004, 5.396) o también que tenemos una confianza de que en el 95% de las posibles muestras, e intervalo obtenido contiene a /J.

0,4678 • 2 = 0,9356 = 93,56%

428

--+ zol2=1,96

Za/2

Intervalo de confianza

60 0,54z a = 59 ~ za _ 2 2

~z

(58.60. 61.39)

2) Intervalo de confianza ~ (59.61)

60-z~ "/100

..,. Z

429

2)

E =0.5 ~ E =za

cr

~

0.5 =1.96 ~

FUNCIONES DE DISTRIBUCiÓN Y DENSIDAD

~ .Jñ == 1.96

2

1.- VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS n

1.96

2

~

n = 3,84 == 4

= tamaño mínimo de la muestra

Características

\

j

Función Si p(X = X) F(x) es la de probabilidad de que la variable Probabilidad X tome el valor x se establece i o una nueva aplicación entre los Cuantía valores de la variable y sus f(x) probabilidades. ¿p=l

J

Cuando a cada valor X de la variable se asigna la probabilidad de que esta tome valores menores o iguales que

i

I I

Función De Distribución F(x)

Medidas

Media o esperanza (u)

x~ 11 al crecer la muestra E(X} =11

Ixp

Moda Máximos de fx Mediana

x

1

p(X:S;x)=p(X2':x)= 2 F(x}=p(X:S;x) • F{x) es constante en cada intervalo [X¡,Xi+1) Y su gráfica Varianza (cr 2 ) es escalonada y creciente . • P(a<x:S:b)=F(b)-F(a) ,.O:S:F(x):S;1 y F(x)esnula s ~ cr al crecer la antes del menor valor de la cr 2 :¿(x-I.llp IX2p variable y uno para valores posteriores al mayor valor de la variable.

Ej.: Sea el experimento de lanzar dos dados distintos al aire y sumar sus puntuaciones. Se pide:

1) Función de probabilidad y su representación gráfica.

2) Función de distribución y su representación gráfica.

3) Media y desviación típica.

4) Calcular: P(X~5), P(x~10), F(4), F(-3) Y F(22)

430

431

SOLUCiÓN 1)

Suma 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

11 12 13 14 15 161 21 22 23 24 25 26 E = ~ 31 32 33 34 35 36 41 42 43 44 45 46! 51

52 53 54 55

61 62

63

561

64 65 66 J ¿

p= f(x)

=x

1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36 1

, - - -..

F(x)

.

40/36 35/36 30/36 25/36 20/36 15/36 10/36 5/36

I I

0

1

x

.--. :2

"

...

S

6

7

so

S

10 11

12

3) A la tabla anterior le añadiríamos las siguientes columnas. ._. ~.

f(x) 6/36

S/36

4/3 3/36 2/36

L.-L..J..-1.-1J..-L-1.--1.-L~-::-

1/36 1 0

:2

3

4

S

(;

7

8

9

X

x2

2/36 6/36 12/36 20/36 30/36 42/36 40/36 36/36 30/36

4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144

I 22/36 12/36

10 11 12

¿

2)

xp

x2p

I

I I

7

4/36 18/36 48/36 100/36 180/36 294/36 320/36 321/36 300/36 242/36 144/36 ~4,~

Media

~ ¡.t=

Varianza ~

¿xp

r:i

7 54,75

:=

Desviación típica ~ cr = ~5,75

5,75 2,39

4) Suma = x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ¿

-

p:: f(x) 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 3/36 1/36 1

432

F(X)=p(X~X 1/36 3/36 6/36 10/36 15/6 21/36 26/36 30/36 33/36 35/36 1

P(X~5)=P(X

2)+P(X

P(X~10)=P(x=10)+P(X

F(4)

P(X~4) p(X

3)+P(X

4)+P(X

11)+P(X

2)+P(X

321 12) - + - + 36 36 36

P(X

F(-3)=P(x~-3)=OF(-3) P(x~-3) O

.­

._.

F(22)=P(x~22)

F(22)

234 1 5)= 36 + 36 + 36 + 36 =0,27

P(x~22)=1

433

4)

0,16

123 -+-+36 36 36

016 '

Ej.: Sea X una variable aleatoria de tipo continuo y

2.- VARIABLES ALEATORIAS CONTíNUAS

F(x) == 2x - x2

su

función de distribución definida en [0,1]. Hallar:

Características

Función De Densidad f(x)

1) P(XS:O,2) 2) P(0,1 < X s: 0,6) SOLUCiÓN

Medidas

Es una función positiva en todo su dominio y conduce a la probabilidad p(a ~ X ~ b) a través del área encerrada por f(x) con el eje x en el intervalo [a, b]. Para que una función sea densidad debe ocurrir que: +CXJ

1)

Media o esperanza

Jf(x) dx=1

Función de densidad -+

Función de distribución -+ F(x) F(x)

área = 0,36

Cu)

-00

y + 00 pueden ser también el menor y el mayor valor de la variable). La probabilidad de que la variable tome un valor aislados es cero, por eso es irrelevante la inclusión o no de los extremos del intervalo: p(X~x)",p(X>x) (- 00

La función de densidad y distribución son dos procedimientos distintos para calcular la probabilidad de un suceso. Función La función F(x) creciente, conduce a de Distribución la probabilidad a través de la ordenada en el punto X = a y proporciona la probabilidad hasta ese valor de la variable, además es nula antes del menor valor de variable y uno para valores posteriores al mayor valor de la variable

b

E(X)= ~I == j xf(x)jx s Moda

x

máximos de

x

010,2

=0,36

=0,36 2)

Mediana

1 P(X> - x)=­ 2

p(Xs

Varianza

Función de densidad

función de dislribucilln

(0"2)

área:: 0,65

x p(Xs

dx

Desviación típica

x·

(O")

-00

Relaciones

I

0._

b

p(a ~ Xsb)= Jf{x) dx F(b)-F{a) a Probabilidad acumulada hasta un determinado valor de la variable x. P(a~Xsb)

x

jf(x) dx a 434

0"2 b

b

j{x-)J.)f(x}dx= a

==jx 2 f(x} dX-1-l a

2

P(O,l <XS;O,6)= j(2-2xjdx" 0,65

P(O,I <X$ 0,6)= F(O,6)-F(O,l) =0,65

~I

NOTA: Téngase en cuenta que f(x) no es una probabilidad (en variables discretas si lo es), por lo que puede ser mayor que uno o infinito (nunca negativa), pero F(x) si es una probabilidad.

435

x

Ej.: Sea la siguiente función de distribución de una variable aleatoria:

¡

Función de distribución

O s i x:S:2

F(x) =

( ")

si 2 < x:S: 4

(x _1)4 ]X (x _1)4 [ 16 1 16

si x> 4

Se pide: 1) Función de densidad 2) Calcular p(1 < x:S: 3), p(x > 3)

Y p(x :s: 4,5)

o o

si

¡3(X-2)2 f(x) = 1 4

o

x:S;2

F(x)=i (x-1)4 16

si

2<x:S;4

si

x >4

2)

< x:S; 3) = F(3)-F(1)= (3 _2)3 -O 4

p(x > 3)= 1

J ¡(x -1)3 dx 1

-00

x-2 3

1

SOLUCiÓN 1)

Jf(x):lx

F{x)=

-;>

x

Ej.: Sea la función de densidad f(x) =

1

si

x<1

si

1:s;x:S;3

si

x>3

{o,~x

4

0,2

O

si si si si

x:s:O

O< x:S:1

1< x:s;2

x>2

Calcular la función de distribución SOLUCiÓN

:S;3)=1-F(3) 1j3-2P == 1 1­ 3 4 4 4

p(x 4,5)= F(4,5) = 1

Intervalo

-;>

(0,1]

F(x)

-;>

x

0,2xdx =

=J

=O,1x 2

O

Ej.: Averiguar si

¡(x)

~ {¡(X~ 1)'

si si

x< 1 1:S: x:s; 3

si

x> 3

es función de

Intervalo

-;>

(1,2] ~ F(X)

densidad. Calcular la función de distribución. SOLUCiÓN

+00

Jf(x):lX= -00

3

J¡(X-1PdX=[¡.(X~1)4]

3

1

1

=1 O 1

436

~

2

1

J

X

J

O,2xdx + O,2dx ==

°

+ [0,2X]~

1

=

0,1 + 0,2x - 0,2 == 0,2x - 0,1

siesf.densidad

437

01x o2

Función de distribución -t

F(x)""

{ O,2~1-0,1

si xsO si O<xs1 si 1<xs2 si x>2

Ej.: Calcular la mediana de la función de distribución

F(X)={~ 1+x

si

X
si

x~O

SOLUCiÓN

Si llamamos Me a la mediana, se tiene que:

1 p(XsMe)""F(Me)"'2

1 1 Me==-+-Me

-t

2 2

-t

1 -Me 2

Me _ 1+Me - 2

2

EVALUACIONES

-t Me == 1

Ej.: Calcular la moda de la función de densidad:

3

2

3S;x~5

si

f(x)~ -¡X :6X-11 {

fuera del anterior int ervalo

SOLUCiÓN

f(X)=-~X+6=O 2

f"(X)=-~ 2

-t

-t

-3x+12==O

f"(4)
-t

438

-t

x==4

máximoenx=4 -t moda es4

439

EVALUACiÓN 1 MATEMÁTICAS BÁSICAS

1. Obtener el resultado de la siguiente operación: 3 2(-5 6+2)-1-3(-2+6-5)-(2+1-7)+5 2. Calcular el valor de 16°,25 3. Hallar el menor número que al dividirlo por 12 y 42 da resto ¡aual a 5 4. Resolver

2 3 4

5. Efectuar la división (3x 2 + 5x - 2): (x + 3)

ti (a + bt )2

6. Despejar t en la igualdad x

P 7. Resolver las siguientes ecuaciones y sistemas: 7.1)

-10}

x 1

6+ 342

y z '3x '2=5

7.3)

4x+3y+6z

7.2) x -2y = 3x+ 5y = 3

)

7.4) x2 -3x-10 =0

20

7.6) x 4

7.5) .!x(x-1)+.!(X-2) O

3

5x 2 + 4 = O

2

7.8)

7.7) 2xy-3y = -2}

2x-3y =-4

8. Un poste tiene bajo tierra

~

7

6 ..JX -.Jx-2 = ..JX

de su longitud, 2 del resto sumergido en

5

agua y la parte emergente mide 6m, Hallar la longitud del poste. 9. En 1990 de cada 55 coches vendidos, 45 fueron de fabricación nacional y el resto de importación. En 1991, la venta de coches de fabricación nacional cayó un 10% respecto a la de 1990, y la de coches de importación cayó un 5% también respecto a la de 1990. ¿Qué porcentaje de los coches vendidos en 1991 fueron de importación?

440

441

10. En una bolsa hay clavos, tornillos y tuercas en una cantidad total de 60. Si sacamos 10 clavos y 5 tornillos, en la bolsa hay, entre clavos y tornillos el doble que tuercas. A su vez, inicialmente se cumple que hay 5 tornillos más que clavos. ¿Cuántas unidades existen de cada clase? 11. Tres amigos acordaron jugar 3 partidas, de forma que cuando uno perdiera una partida, entregaría a cada uno de los otros dos, una cantidad igual a la que cada uno de ellos poseyera en ese momento. Al final, cada uno perdió una partida y se quedó con 24 euros ¿Cuánto dinero tenIa cada jugador al comienzo del juego? 12. Por un consumo de agua de 10 m3 se han pagado 50 euros y por 16

se han pagado 71 euros, ¿Cuántos euros habrá que pagar por 15 m3?

SOLUCiÓN A LA EVALUACiÓN 1 1) Operamos primero los paréntesis: -3+2(-9)-1-3(-1)-(-4)+5 =-3-18 1+3+4+5

-10

21 = 2

2) 16°,25 '" (2 4

3) inicialmente vamos a calcular el menor número que al dividirlo por 12 y 42

de resto cero. Este es el mínimo común múltiplo.

· .. x+2 x 1

+- >­ 13. Reso Iver l a lnecuaClon 542

2

12 = 2 .3) 42=2.3.7 m.c.m.(12,42)

14. Hallar la diagonal de un exaedro o cubo de 10 m de lado.

2

2 ·3·7

84

El número pedido es pues: N '" 84 + 5 89

2

4) 3

5 + 4

5)

2 12+5 -­ 4

/3 -3 3

2

8

"'17

17

4

5 -9 -4

-2 12

10 = resto

3x 4

6)

x

~/(a+btf p

~



x3 =(a+bt)2 p

~x3p -a= bt

442

~

~

443

x 3 p

(a+bti

~x3p -a b

~

M

a+bt

7.1) Hallamos el mínimo común múltiplo de los denominadores

5.5 z

m.c.m. (3,4,2) = 12

~

4x -6(x-5)= 72 +6(x-1)

4x-6x+30 == 72 +6x-6

x=3±.J9+4(l

7.4)

4x 6x-6x=72-6-30

-8x=36

~

~

x

-8

~

9 2

x

7.5) 7.2) Despejando x de x - 2y -10 se tiene que esta x despejada en la otra ecuación.

3(-10+2y)+5y

3

~

-30+6y+5y

~

x

x-2

3

2

O

2

\-2

2x(x-

~

-10+ 2y. Sustituimos

11y=33

~

6

luego: x

~

-10+6

x

4

4

O

3

¡ 2

-H.J49 = -H7

4 ~

2x 2 +x-6

~

y=3

x -H.Ji+48 x=-10+2·3

3(x 2)= O

2x 2 - 2x + 3x 6 == O ~

3

t

2

x(x- 1

25 12

z=

~

3±.J49 ==3±7 =/5

2 36

25

--º6 2 2

(

-4

2

7.6)

~ x2 =4 ~ x

7.3) En la primera ecuación de las tres combinaciones que se pueden plantear, elegiremos sólo dos cualesquiera de ellas.

~x

~=r 3

2

2

3y 2

7.7) y -=

2

z

~z

5

5y

2

20

~

3.~

x=

2

1

~ x2 == 1 ~ x = ±.J1 ±1

2xy=-2+3y ~ x= -2+3y 2y Sustituimos x en la segunda ecuación del sistema:

2 ==-4

2+3y -3y=-4

~

Y

6y+3y+15y=20

~

24y=20

~

- 6 15 -2=12

~

x=

6

~

O

7 .J49-24 7±$ 7±5 6 =-6c-­ 6

5

(2

~

x

-2+3·2

2·2

==

4

4

445

~

3y2_7y+2=O

2 1 6==3

4 Si Y 2

444

-3 y 2+ 7y -2

5

y=­

y== 15

~

-2+3y-3 y 2=-4y

Sustituyendo "x" y "z" en la última ecuación, se tiene:

2

±2

\4

Despejamos x de la primera ecuación:

4x+3y+6z=

3y 5y 4·-+3y+6-

== 5±.J9 == 5±3 2 2

x2

x 1

Si y

1

"'"3

1

-2+3·­

x

-t

9. Inicialmente vamos a definir el número total de coches en 1990 como algo

-2+1

-

-1

=2

3

-t

-

x

que nos sirva para controlar los números que vayamos precisando.

Número total de coches vendidos en 1990 -t X

Por ejemplo si queremos averiguar cuantos coches de fabricación

nacional vendieron en total en 1990, planteamos una sencilla regla de

tres.

3

2

3

7.8) Los primero es quitar denominadores: de cada 55 coches de un total x coches

.Jx ..Jx -.Jx..Jx-2 (x-6)2

(~X2 -2x

-12x + 2x '" -36

6

r

-t

x-~x(x-2)=6

-t

-t

x 2 +36-12x

-10x:= -36

-t

-t

x-6==

55 45 X

x 2 -2x x= -36 -10

-t

x 18

-

P

-t p :=

45 son de fabricación naCional} p son de fabricación nacional

45x

(total de coches de fabricación 55

nacional vendidos en 1990)

el resto hasta 55x == x -t 10x (total de coches de importación vendidos en 1990)

55 55

5

Veamos con un esquema:

8.

En los planteamientos hay que tener cuidado cuando utilizan vocablos como "el resto", "lo que sobra" y cualquier otro, porque poseen un significado especial. Imaginemos que es un poste clavado en un río.

Longitud del poste -t Bajo tierra -t

Nacionales

Importación

x

45x 55

-t-­

10x -t 55

45x _ 4,5x = 40,5x

55 55 55

45x -010. 45x 55 ' 55 10x -005 10x 55 ' 55

10x _ 0,5x =9,5x

55 55 55

""-..-'

2 2x -x:= 7 7

En agua -t 2 resto 5

50x

55

2 (longitud del poste _ bajo tierra) '" ~. ~ x := 2x

5 5 7 7

.l­ (total vendidos en 1991)

En el aire -t 6

de un total de 50x 55 de un total de 100 -

La ecuación a plantear es pues:

Longitud poste

x

=bajo tierra + en el agua + en el aire

2x 2x -+-+6 -t 7x:=2x+2x+421 -t 3x:=42 -t

7 7

446

14m

50x 55 100

9,5x son de importación)

55

p' son de importación

9,5x

55 -p'

-t

50x 9,5x 50 = - -t 100 p' 100

447

9,5 -t p'

-

p'",

9,5 ·1 00 == 19% 50

10. Definimos la base del problema

¡:

• La cantidad total de unidades es 60

•

clavos 11. Cantidad inicial de cada jugador .

tornillos tuercas

~

x+y+z=60

Si sacamos 10 clavos ~ hay x -10 ) ( xSi sacamos 5 tornillos ~ hay y - 5

(y-5) 2z

i

¡

jugador jugador 2 jugador 3

y = x+5

~

1a Partida

2a Partida Pierde jugador 2

15

-x+ y =5

X -y-z+(x y = 2x - 2y -2z 2y-(x-y-z)-2z -x+3y z 2z+(2z)= 4z

y+(y}= 2y z+(z)=2z

El sistema a resolver es pues:

x+ y+z 601 x+y-2z=15 x+y

3a Partida Pierde jugador 3

2)2x+2y+2z==120 x+y-2z=15

~-~-~+~ ~-~ ~ ~ ~

=5 3x+3y

=135

~

- x +3y -z+ (- x + 3y -z)= -2x + 6y-2z 4z (2x 2y 2z}-(-x+3y-z)=-x-y+7z

x+y=45

X+ Y =45}

-x+y=5

2y=50

~z

El jugador que pierde, entrega a cada uno de los otros una cantidad igual a la que tienen, que el jugador que pierde se tiene que descontar.

x-(y +z)= x - y-z ~

~y

Pierde jugador 1

x+y-2z • 5 tornillos más que clavos

~x

El sistema a plantear es pues: ~

De

x+y

45

De

x + y + z = 60

y=25

x+25 = 45

~

~

20 + 25 + z

~

x=20

4x -4y- 4z = 24 -2x +6y -2z

x-y+ 7z =24

x y-z=6 1 x +3y- z = 12 -x-y+ 7z=24

x-y-z=6

x+3y-z 12

-x y+7z= 24 2y -2z

60

~

x-y-z=6

18

2y+6z

z == 15

2y 2z 18}

-2y+6z=30

4z == 48

~

z=12

De 2y 2z=18~2y-2·12=18~2y 24 De x-y-z

448

6

~

x-21-12

449

6

~

18~2y=42~y=21

x 39

30

14.

12. Es un problema que se resuelve con una interpolación de datos:

e

6

G;, 5

1-6]

1,5m' 21

Isoo

J

x

6 _5 21- x

~

x 21·5 ­ =17,5

luego por 15m 3 se pagaran ~ 50 + x

13.

Calculamos la diagonal del cubo aplicando dos teoremas de Pitágoras a los dos triángulos rayados BOC (rectángulo en O) y AOB (rectángulo en A), utilizando como medida auxiliar a la diagonal de cara OB(x)

6

~

50 + 17,5

67,5 €

Inicialmente se eliminan los denominadores teniendo en cuenta que:

En el triángulo BOC En el triángulo AOB

--;

2 d ==102+X 2 ) 2 x 10 2 +10 2

2 2 d == 10 + 10 2 +10 2

--;

d ==.J300 == 10.J3iñ

m.c.m. (5,4,2) =: 20 4(x+2)+5x > 10

~

4x+8+5x>10

450

~

9x>2

~

2

x>9

451

EVALUACiÓN 2 MATEMÁTICAS ESPECIALES

1. Tres números suman 30. Se sabe que escritos en el orden xyz están en progresión aritmética y en el orden xzy resultan el progresión geométrica. Hallar estos números.

2. Resolver las ecuaciones:

2.1)

2Igx-lg(x-16):=2

2.2)

2.3)

cosx tgx

2.4)

3 2

+16 1- x -10=0

(x+yi?

8+6i

3. Un globo está sujeto al suelo por una cuerda de 100 m. de larga, que forma con el suelo horizontal un ángulo de 30°. Suponiendo que la cuerda esta tensa, hallar la altura a la que está el globo del suelo.

4. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (2,3) y por el punto de 2x - y -2 intersección de las rectas x + y + 1 O,

5. Descomponer en fracciones simples la fracción

2

x

2x

3

4x+3

6. Hallar las derivadas de las siguientes funciones:

6.1) Y

2

x -5x+1

6.2) Y ecos(x2+1)

+4x

6.3) Y = arct~

7. Determinar la ecuación de la recta tangente a la curva

y

2

3+x punto de abscisa 1

1

452

¡

453

en el

2

2.1) Igx 2 Ig(x-16)= 2

-3±.J9+16 senx 4

--t

1

'3"2

-3±.J25 3±5 =--= 4 4

2

\ Aplicando la definición de logaritmo, se tiene que:

Resumimos la ecuación planteada en las siguientes más sencillas: X2

2 --t x-16 =10

X2

100x-1600

-100 + 1600 = O

--t

x = 100 ±.J1 0000 - 6400 2

100 ±.J3600 2

16 X +16 1 .16- x -10", O

--t

100 ± 60 2

senx

-2 (no tiene sentido, el valor del seno debe de estar comprendido entre 1 y 1)

/80

\20

senx

2.2)

2.4)

16x+~-10 O x

x2 +

2xyi", 8+6i

1

=2

--t

~ x1 30 + 360k

lX2 150+360k

X2 + l¡2 + 2xyi 8 + 6i

16

2 _ y2 )+ 2xyi =8 + 6i {x - y2 = 8

2xy=6

Utilizando un cambio de variable se tiene --t 16 x '" p

16

p+--10

O

p

O

p2+16

--t

--t

p2

+16

10±.J100-64 2

10±6 =(8 2 2

2

16 x

~4

--t

2 --t (2

4

r

r

=2 3

--t 2 4x

2 --t 2 4x

2 3 --t 4x

3 --t X

21 --t 4x = 1 --t X ­

x 2- 3 ( x)

3

4

2

9 =8 --t X2 --=:8 --t X4 -9 x2

2

8x 2 --t x 4 -8x -9=0

= 8 ±.J1OO = 8 ± 10 = ( 9

X2 '" 8 ±

1

4

3

x

y=­

en la primera ecuación:

Sustituimos la

Deshaciendo el cambio planteado antes, se tiene que:

16 x 8

3

xy

O Despejando "y" de la segunda ecuación --t

p

X2 _y2 =8

2

2

2

-1

2.3)

cosx 3 =senx 2 cosx

--t

cos 2 x 3

---= senx 2

2(1-sen 2x)=3senx --t 2-2sen 2x

--t

2cos 2 x

3senx --t -2sen 2x 3senx+2

2sen 2x + 3senx - 2

456

O

si x2 = 9 --t X =

3senx

O

±.J9

±3( x

3 --t Y = 1

x = -3 --t Y= -1

si x2 = -1 --t x'" =±i (esta solución no sirve, porque independientemente de que en un número complejo haya una parte real y otra imaginaria, ambas dos partes deben de ser números eminentemente reales).

457

Sustituimos en x 3 y x=1

3.

x

los

numeradores

las

soluciones

3 ---+ 2.3-3=A(3 1)+8(3-3) ---+ 3

del

denominador

3

2A ---+ A= 2

1

x=1 ---+ 2.1-3=A(1-1)+8(1-3) ---+ -1=-2B ---+ B=­ 2

, 30°

:

W~%iW~~AWZP~

La descomposición en fracciones simples, es pues:

3 h

sen30= 100

---+

1

h 100sen30=100­ 2

2x-3 (x-3Xx 1)

x-3

+_2_ x-1

50m

4. Calculamos primero el punto de intersección de las dos rectas, resolviendo el sistema de ecuaciones.

6.1 ) (X2 -5X+1J(3x 5 +4x)-(3x 5 +4XJ(X 2 -5X+1) (3X 5 +4X)

---+ 3x =-3

3x + 1 = -2

x = -1

---+

---+

Y = 0---+ (-1,0)

Hallamos la recta pedida que pasará por el punto dado (2,3) yel x-2 = y-3 2 0-3

---+

x-2 =.t-3 3 3

-x y+5=0

---+

= (2X-5X3x 5 +4x)-(15x 4 +4lx 2 -5X+1) (3x 5 +4X)

,O)

6.2) ---+

x+y-5

x+2

y-3 y'=e

O

COS(X2+1)

r (

e 5. Descomponemos el denominador en producto, buscando primero sus soluciones: x 2 -4x+3

. luego: x2

---+

x = 4±.J16=12 == 4±J4 4±2 /3

2

2

2

2x-3

A x-3

B _ A(x-1)+B x-3)

x-1- (x-3 x 1)

458

e

2 cOS(X +1)[

( 2 X -sen\x +1 x2 +

cos( x2+1)[_sen(x 2 + 1). (2X)]

6.3)

\1

y'-

4x+3=(x-3Xx

\1'

.LelCOS\X2 +1)J

(~)'

~

1+) +x -(

1+(~x3 +x)

1 . (x 3 +xI -1+x 3 +x 2~x3 +x

_

459

~x3 +x J'

1 3x 2 + 1

1+ x3 + x . 2~ x 3 + X

7)

Completamos el punto de tangencia

2

2x

y'= 0(3+x )-2X.1

1

Y

-jo

-jo

4

2·1

m

-jo

(3 + X2 )

2

(3+ X )

para x

-jo

8.e)

4

2

(3+

1

cx{y =2x

3

2 15x +36x-12

2

3x 3 -15x + 36x -12 = O

)

y=O

1

16-'8 "",+¡':~

Los datos para calcular la recta tangente son: m(pendiente) =

-~ 8

Nota.- cuando exista dificultad en resolver la ecuación obtenida para obtener los puntos de corte, se prefiere no resolverla, porque la curva se podrá dibujar yel

sin estos puntos de corte.

punto 2

3

1

1

y--=--(x-1) 4 8

y

-jo

x

1

=--+488

y'=6x 2

O

30x+36

-jo

8y-2

3=O

x+8y

8.a)

1

c {Y=2X +5X +36X-12) Y x=O

-x+1

2

= 5 ±.Ji = 2

-jo

yz

-jo

f--­

--

2

_ _o

f-'--2e 16

5 ± 1 = /3

2

y =12x 30(yff3 >0


~.

\2

mrnimo (3,15)

-jo

-

~-

maximo (2,16)

1-­

=2p

(-00,2)u(3,+oc»

intervalo de decrecimiento

-jo

,­

1-­

-1­

¡._- .-- f--­ 1:, ,, . -1----

'11'\.

,, ,,

1­

e-­ -i-e ,

-­

- 1-----\-----­

', , ,, ,,

1-----­

.­

--1-- ­

:lp

23

-lP

(2,3)

,,

:, \

-

\

intervalo de crecimiento

2)

-jo

x -5x+6=0

-jo

x == 5 ±

8.b)

-12

8.f)

-

ff

y

~o

---1-­ \

8.c)

12x-30

y'"

12

-jo

O

5 2

30

-jo

Y%;é O

x=12

-jo

inflexión (%'

-­ f--­

- i-u

~1)

1-------

_.­

-­

0201---­ 8.d) intervalo de concavidad

-jo

(~,+oo)

intervalo de convexidad

-jo

(-00.%)

~2

460

461

-

-

-

Cortes con los ejes

9_ y=x 3 +ax 2 +bx+c

y'=3x 2 +2ax+b

-+

C

max(x=-4) -+ Y'-4

O -+ 3(-4)2+2a(-4)+b

2 min(x=O) -+ Yo =0 -+ 3-0 +2a-0+b

¡

x

x3

Y x2 -1 )

!

ly =0

O -+ 48-8a+b=0

x=1 -+ y=1 -+(1.1) -+ 1=13 +a-i 2 +b-1+c -+ 1 1+a+b+c

48 - 8a + O O

O -+ x=O -+ (0,0)

x3

O -+ b=O X

si b =O -+ por la primera ecuación -+

x 3

-2-=0 -+ x 3 x -1

-+

-1)

2

y=O

-+

(0.0)

=0

a == 6 Máximos y Mínimos

si b =O Y a

6 -+ por la tercera ecuación -+ 1 == 1+ 6 + O+ c -+ c = -6

y,=3X2~2_1)-2X-X3

3x

4 2 3x -2x

4

{x2 -1}

4

x _3x

2

=0

~2 -1}

{x2 -1}

10_ Campos de existencia no

Por ser racional-+ x2 -1

~~i

O-+ x = ±1 -+

no

I

x4 3x 2 O -+

si

-1

X2(X2 -3)=0

(x2 Simetrías

Eje Y -+ Y =

(-x? (_x)2 -1

y=

-+

-1

-+

~2

no Yo

Origen -+ - Y =

(-x? (- x)2 1

-+

Y

462

~2 2x 3 +6x

x3

x3

-+ y=

x3 -1

O

-+

-+ si y",¡s > O

±.J3

L

-ir

(x2 -1)

-

x =0

O -+ x ==

3 5 3 4x 5 -4x 3 6x +6x-4x +12x

_(4X3-6X) (x2_1}_4X(x4-3X2) no

x2 == O

2 4 (4x 3 -6X) (x2-1f -2{x2_1) 2X(x -3X

y"

x3 Eje x -+ -y -2-+ x 1

/

\x2 - 3

-+

ir

dudoso

mínimo ( .J3.

3~}" (1.7.

463

2_6)

1)

Dibujo

y~.J3 < o ~

máximo ( ../3, 3¿-) ",¡

.7, -2.6)

-_1

.

Inflexiones

I

íj~)I ¡_-LC~_f-

I

__

+___

3

__

2~ -----i--­

!

+ 6x \3 -_ O ~ 2 x 3 + 6x-_ O ~ 2 x(2 x + 6)- 0\ 2 2x = O ~ x O y "_ - 2x { 1,X2-iJ x +6 O~x=

--2:-T

i

y,,\

I

I

I

+

soluciones complejas no válidas en funciones 1,7

2 (6X +6Xx2

y'" =

-ir~2_3~2

3

-1f2X(2X + 6X)

1)6

~ Yo ;'. O~ Inflexión

x

(0,0)

- - - - ­ '--2,6

Asintotas . * HOrizontales ~ y

*Verticales

~

y

=

. 11m

x3

• 3x 2 11m - X~OO 2x

Ct:)

X~OO

Ct:)

oo~x 2

1=0

~

x=±1 \

. 3x 11m 2

X~OO

Ct:)

~

'~-4'-

no

x =1 x=-i 11.

* Oblicuas ~ y == mx + h

2

lim

x

X~CO

max, min de la función y = 2(1- x2 ) y=2li-X 2 )

x3 m= lim

x

X~CO

y'=-4x=0

=1

3

3

3

x- - x) = 11m . x - x +x . (11m X~OO x2 -1 X~OO -1

. 11m

X~OO

~

x =-= Ct:) • hm -1 -1 Ct:) x~oo 2x

~

y

O

~

x


2

O

~

max(0,2)

Cortes de la función con los ejes y =2(1- x2 )

=x

r

e y

464

y=2-2x

00

c x {y la asintota oblicua es pues

~

-1

y" =-4 h

-

2-2x y O

2

=2-2x x=O

2

=0~x2 =1 ~ x=±«~'~b)

)

2-2x

)

y=2 ~ (0,2)

465

2

12.

Dibuio del problema

y

Lados del rectángulo

x e y

---.>

Función máxima (área del rectángulo) ---.> A == xy

Relación entre los lados (perímetro = 400) J,

2x + 2y = 400 ---.> x + y = 200 ---.> y 200 x

Sustituyendo y = 200 - x en la función máxima A=X(200 A' = 200 - 2x

O

x)==200x-x2 x == 100m

---.>

-7

y

100m

13.

0

¡Al =1_ 2

2

3 41= -20+4-6+4 = -18

11 5 2

+l~ ~I Conviene integrar mejor respecto al eje "y", ejecutando la mitad y multiplicando por dos:

J~ 2

S

2·

J 2

2-y 2 dy

-1

2 J2

(2 y) dy

J2

2

2 - J2

(2 - y)

2 (2-y)

dy = - J2 3

r

-1

-1

3]2

2

1

2

2

== -18 ==

I_¡- 2 1

-\; ~I +1; !I 14

4) + 10 2\ 2 1 2

~l

18

~··I"-

[ 3~ .3 23 =

= 0- -

1

4 .3../3

4../3

8 18 , 13

lw

466

3

-1

r 14

4

O -2

0 10 11 +1

1 51 -2

¡

3J2·2-y2

_1

8 18 2 18 1 18

467

­

2

18

4

18

-

2

_!]=

8 2 1 -2

Solución para a

o

14.

Resolvemos para a ;¡ó 5 . Como no es posible dar a "a" un valor concreto obtenemos las soluciones en función de "a" (el sistema en este caso es compatible determinado).

Discusión por escalonamiento ~ y 3 2 1 -1 [a 5

?;

-1 2 4

?; y ~ -1 2 3 2 3 --+ 2 -1 3 --+ O 3 7 [ -4 5 a 1 O -3 a-12

1] r-1

'* 5

-z+2y+3x == 1 3y+7x 5~ (a-5)x=2

5

(2) (1)

I

~

A

De(1) --+ x== _2 a-5

3 7 O a-5

2 O -3

O

~]-+a-5 O a 5 ->

2 3y + 7 - ­

De (2) --+

5 --+

a 5

3y

==5-~ a 5

-3y= 5a 25-14 --+ - 3y== 5a-39 --+ y= 5a-39 ( a-5 -3\a-5) a

'----v-----'

A

-¡:;

De (3) --+ -z=1-2y 3x

Cuadro de Compatibilidades

3 =n]

- Compatible determinado --+ a 'Í' 5 --+ [r(A) =

z=-1+

78-10a 3(a

--+ y

39-5a 3(a-5)

--+ z=-1+2y+3x

6 --+ z a-5

-3(a-5)+ 78-10a+18 --+ 3(a-5)

z

111-13a 3(a-5))

- Compatible indeterminado --+ nunca -Incompatible

f)

--+ a=5 ~(A)'Í'r(A')]

.J-

.J,

2

3

Discusión por escalonamiento

Discusión por determinantes

~

y

[aa

-1 a

O

z

'1

?;

r

y

~

a

['

a

2 O --+ 21 -1 a a O --+ O a+2 -a -1 1 -1 1 O -1 O O a

O

3 2 -1 =!1 -1 21=0 --+ 12-5+4a-a-30+8 O

a 5 -4

3a-15=0

--+

a

5

--+

2 _ Si a = 5 --+ existe en A * un determinante 1-1

5

r(A)=2

1 2

3/ 'Í' O

-4 1

--+ r(A' ) == 3

Véase que se han permutado la primera y tercera columna para facilitar el escalonamiento (únicamente se puede practicar esto con las columnas de las incógnitas, nunca con la de los términos independientes ya que estos únicamente están involucrados en la matriz ampliada).

El anterior cuadro de compatibilidades se confirma.

468

469

• Para a == O todos los determinantes de A* de orden tres (que son cuatro determinantes) son cero (la comprobación se ha omitido, pero debe de hacerse) luego r(A*) == 2

Buscando valores de compromiso, se tiene que:

• a22

'] ['-'-'

-1

O ~ a + 2 = O ~ a = -2 ~ A = 1O O 2 ~ A* = O O 2

2 O O -2 O ,/, -J, Véase que se debe seguir escalonando

I ~r~

-1 -2

O O

2

O

Se confirma el anterior cuadro de la discusión.

O Solución para a - 4

J

Según la discusión para este valor el sistema es compatible determinado. De la matriz A* escalonada, se tiene que:

/

z-y+4x

~

1 '/

~

~-~=~

Obsérvese que:

4x=0

r(A}=2

y

r(A*)=3

• a33 =0 ~ a=O ~

1 -1 O 1

~

r(A);ér(A*}

--T

(1

Determinada • Com atible { . p Indeterminado • Incompatible

--T

•

Discusión por escalonamiento

~ r(A}=r(A*)=2
il2

Cuadro de compatibilidades ~

-2 '21 [' -2 -1 a 2 ~ O 3

4 a-1 O a)

,

2 1 I

(1 I

-,

,

2

a 6 2 i~IO 3(a+7) (a-6)(a+7) -2(a+ O a+7 12 a-s) 3(a+7) -36 3a-24

lo

y -2

a;tO

~

Y == -1/3

x=O

incompatible

1

O 2 O -2 [O O O O

~

z+1/3=1 ~ z 1-1/3 ~ z=2/3

6y = -2 ~

~

a=O

A

a ==-2

~

A*

Discusión por determinantes

a IA/=Ia

a

=0 ~

a 2 +a-2a-a

O

(1

_a 2 _2a O

~

lo

O / a

lo

O

a(-a -2) = O \-a -2 = O ~ a=-2 )

r(A) = 2

,-2 -1 • Para a

-2

--T

existe en A* un determinante 1-2 -2

O

470

I

2 3 -2 3 2 (1-2

2

a-6 3 3(a+7) (a-6)(a+7) -2(a+7} I-+io

2 -a+6 5a­ _a O O -36-(a-6}(a+7} 3a-24+2(a+7}) ,/,

,/,

lo

Á

~j.o-+r(A')

-36-i -7a+6a+42

3a -24+ 2a +14

,

v

A*

Obsérvese que la tercera matriz se ha obtenido multiplicando en la segunda matriz, la segunda fila por (a + 7) Y la tercera fila por 3, para facilitar el escalonamiento y obtener con facilidad el último cero en a23 471

Localizando valores de interés en la última matriz, se tiene que:

• a33

2 a 2 -a+6=0 ~ a +a 6

O ~

a -1±..fi+24 2

1±5 =/2 2 \-3

-2 3 2]

Sia=2 ~ 103

~ r(A)

-4 -2

O

O

• Si a = 2 todos los determinantes de A* de orden tres (que son cuatro determinantes) son cero (la comprobación se ha omitido pero debería hacerse), luego r(A) = 2

-2 • Si a

r(A*)=2
-3 -+ existe en A* un determinante 12 4

2

-1

21 4-3

*O

-+ r(A *) = 3

El cuadro de discusión anterior se confirma.

O O Solución para a - 2

Si a",-3

-23 -93 -22]

~

O

-+ r(A)

El sistema en este caso es compatible indeterminado y según la matriz escalonada A* se tiene que:

2 y r(A* )=3

O -25 r(A)

* r(A')

• Si a34 =0 ~ 5a-10=0

~

-+

incompatible

a =2 (ya estudiado antes)

x-2y+3z 2} 3y-4z=-2

x-2y = 2-3z 3y=-2+

Cuadro de compatibilidades

De (1) -+

*

Determinado -+ a 2 • Compatible { . Indetermmado -+ a 2

y -3

• Incompatible -+ a=-3

x

IAI 1-

6-9z-4+8z 3

x -2-t 3

3

2

O -+ -a -a+6=0 -+ a +a-6=0

a=( _23

)

472

3

-+ x=2-z 3

1

Y 2+4t) 2

2+4z

2 4z -+ x 2-3z 2- + 3

-2 3

2 -1 al O -+ 6(a-1)-8a+12-a(a-1) O 4 a-1 O

6a-6-8a+12-a 2 +a

y

Haciendo z = t , obtenemos las ecuaciones paramétricas del sistema que conflene a las infinitas soluciones de este.

Discusión por determinantes

1

x=2-3z+2y

-+

z t

r(A)=2

473

EVALUACiÓN 3 PROBABILIDAD Y ESTADISTICA

1. Una persona tiene en su vestuario 5 camisas, 3 pantalones y 6 pares de zapatos ¿De cuántas formas distintas se puede vestir? 2. ¿Cuántas "manos" distintas de 5 cartas se pueden formar con las 40 cartas de una baraja española? 3. En una finca de monte hay dispersas varias casetas de guardas, cada una de las cuales está unida a las restantes por un camino. Calcular el número de casetas que hay, sí el número de caminos es 36. 4. Al lanzar dos dados distintos al aire, hallar la probabilidad de obtener un par y un impar. 5. Sea el experimento aleatorio de extraer simultáneamente 3 cartas de un baraja española. Se pide: a) b) c) d) e)

Probabilidad Probabilidad Probabilidad Probabilidad Probabilidad

de que de que de que de que de que

las tres sean espadas.

la primera sea oros y las otras dos espadas.

sean un oro y dos espadas.

las tres sean del mismo palo.

las tres sean de distinto palo.

6. Una urna A contiene 7 bolas blancas y 3 negras y otra urna 8 contiene 3 bolas blancas y 6 negras. Se extrae al azar una bola de la urna A y se pasa a la urna B. De esta urna 8, también al azar, se saca una bola. Calcular la probabilidad de que sea blanca. 7. Una fábrica tiene 5.000 empleados de los cuales 3.000 son mujeres y 2.000 hombres. Se sabe que el 40% de los hombres fuma y de las mujeres solamente el 25%. a) Calcule la posibilidad de que una persona elegida al azar sea fumadora. b) Calcule la probabilidad de que una persona no fume sabiendo que es mujer. c) Calcule la probabilidad de que sea hombre sabiendo que es fumador. 8. Dada la siguiente distribución de frecuencias: Intervalos Frecuencias

0-3 2

6-9 12

3-6

7

Calcular la media, la mediana y la moda.

474

475

9-12 13

12-15

15-18

4

3

SOLUCiÓN A LA EVALUACiÓN 3

9. Una compañía de seguros considera que el número de vehículos (y) que circulan por una autopista puede ponerse en función del número de

accidentes (x) que ocurren en ella.

Durante cinco días obtuvo los siguientes resultados.

Efl~

Con 5 camisas y 3 pantalones podemos conju ntarnos de 5·3 15 formas. Si además queremos conjuntarnos con 6 pares de zapatos. en total lo podemos hacer de 5·3·9 "" 90 formas.

I I 1~ I ~ I I 7

18

9 20

Se pide:

a) Calcular el coeficiente de correlación lineal.

b) Si ayer se produjeron 6 accidentes, ¿cuántos vehículos podemos

suponer que circulaban por la autopista?

c) ¿Es buena esta predicción?

10. Una Universidad sabe que el 75%

de sus graduados obtiene empleo durante el primer año de graduación. Se eligen 8 graduados de la citada Universidad al azar. Hallar: a) Probabilidad de que al menos 6 tengan empleo.

b) Probabilidad de que como máximo 6 tengan empleo.

11. Un laboratorio constata que un medicamento causa efectos secundarios en de cada 100 pacientes. Un médico elige al azar a 8 pacientes a los que les aplica la medicina.

2. Mano 1)

102B3C5E7e

Mano 2)

28103c5 E7 e

Mano 3)

88103c5E7 e

Las manos 1 y 2 no se distinguen por orden ya que son las mismas

aunque varíe la ordenación de las cartas.

Las manos 2 y 3 si se distinguen por naturaleza. ya que variando una

sola carta, las "manos" son distintas.

Luego se trata de un problema de combinaciones (sola la naturaleza

distingue la formación de los grupos).

a) Hallar la probabilidad de que ningún paciente tenga efectos secundarios b) Probabilidad de que al menos dos pacientes tengan efectos secundarios. c) Calcular E11 número medio de pacientes que espera el médico que tengan efectos secundarios. si elige 2.000 pacientes al azar.

5

C 40

v¡o _40·39·38·37·36 =658.008 formas P 5 .4 .3 .2 .1 5

12. Teniendo presente a la distribución normal. Se pide: a) Qué relación tienen tres curvas de distribución normal con la misma media y distintas desviaciones típicas. b) Qué relación tienen con la misma desviación típica y distintas medias. c) Si consideramos binomiales B(1 0.0.1), B(200. 0.1) Y B(1 000, 0.1) deducir cuál de ellas se puede aproximar mejor por una distribución normal.

13. La presión sanguínea de ciertos pacientes sigue una ley normal de media 90 mmHg y de desviación típica 12 mmHg. Hallar la probabilidad de que

3. Los elementos ~ son las casetas -+ x Los grupos -+ son los caminos (cada camino está definido por dos casetas) -+ 36 Si por ejemplo. numerásemos las casetas (1.2,3 •... ). El grupo 1 y 2 nos define un camino. pero el grupo 2 y 1. define el mismo camino. luego el orden no interviene en la formación de los grupos. Ahora bien, el camino 1 y 2. si es distinto del camino 1 y 3. luego estos dos grupos son distintos por naturaleza. porque el tener casetas distintas. hace que los caminos sean distintos. se trata de un problema de combinaciones.

elegido un paciente al azar: a) Su presión sea mayor de 115 mmHg.

b) Su presión esté comprendida entre 80 y 110 mmHg.

14. Las ventas de una determinada revista en un kiosco siguen una distribución normal y tienen de media 190 y desviación típica de 25. ¿Cuántos ejemplares de la revista deben encargar para atender al 80% de los clientes?

476

C 2x 36

~

x2 -x-72 =0

v2 .-lL = 36 P2

-+

x

~

x(x -1)

36

2·1

___+_2_8_8

1± .J289

2

2

477

~

X2 -

x 72

_H_1_7 =/9 casetas 2 \-8

4.

5.b) 11 21 22

13 14 15 16 24 25 26

10- .10 9 p= ­ 40 39

O E E

33 34 35 36 31 41 42 43 44 45 46 55 51 52 53 66 62 63 64

5. c) casos totales =36 casos favorables (subrayados) 18 )

18 p= 36

La diferencia entre este apartado y el anterior, es que en el anterior se predetermina el orden en que deben ser obtenidas las cartas, sin sin embargo en este apartado no se determina el orden,lo cual implica que la probabilidad va a aumentar, es decir las cartas se pueden obtener de la forma: OEE, EOE, EEO, lo cual implica que la probabilidad aumenta tres veces. Veamos:

2

5. Al expresar el problema que las tres cartas se extraen simultáneamente, se entiende que es sin reemplazamiento de las cartas extraídas.

10 10 9 10 10 9 10 9 10 P == 40 . 39 . 38 + 40 . 39 . 38 + 40 . 39 38

Utilizaremos la nomenclatura:

3 10 10 9 . 40 . 39 . 38

E = espadas, O::: oros, B::: bastos, C =copas La cantidad de situaciones que se manifiestan también se podrían calcular por combinatoria.

5.a) Este apartado se va a hacer por dos métodos:

OEE}

Por la regla de Laplace Casos favorables Casos totales

(todas las formas de obtener 3 espadas con 10)

(todas las formas de obtener 3 cartas con 40)

Vlo

-

P

C~o

C~o

5.d)

P '=4 10 9

2 31 RP 3 =- == 3·2· 21 ·1

3

8

38

3

:=::~= V10 Vio

-jo

-jo

EOE EEO

vio

10·9·8 40·39·38

E ) O E O O C C C S S S

P3 Por probabilidad condicionada

5.e)

P==24.~ 10.10

40 E

10 9 8

p'= 40' 39' 38

E E E

4

C

38

B

Las secuencias ECS y ESC son distintas por el orden (en el apartado "c" ya se ha visto que la posibilidad de variar el orden, aumenta la probabilidad).

478 479

7.a)

Las secuencias ECB y ECO son distintas por naturaleza.

10 método (Aplicando la regla de Laplace)

Luego todas las secuencias posibles las calcularemos mediante Variaciones:

vl = 4·3·2 =24

Hombres fumadores

2000·0,40

Mujeres fumadoras = 3000 ·0,25 Total casos favorables '" Casos totales

6. Hacemos un esquema del problema, teniendo presente que al introducir una bola de la urna A en la B, la urna B altera su contenido. Veamos: Urna A

UrnaB

7

(7B,3N)~ sale blanca ~10

(4B,6N) ~ sale blanca

3 (7B,3N)~ sale negra ~ 10

(3B,7N) ~ sale blanca

~ 1~ 3 10

Téngase en cuenta, que en el esquema anterior, no se ha planteado en la urna B, el obtener bola negra, porque no lo pide el problema. La probabilidad pedida, es pues: .

. 7 4 3 3 37 P = (blanca de Al y (blanca de Bl o (negra de A) y (blanca de B) = - . - + .- = 10 10 10 10 100

7.

P

1550

1550 = 0,31 5000

5000

20 método (Aplicando la probabilidad

Obsérvese el diagrama de árbol:

p(F)

2 5

F)

n F)] p(H n F)+

p[(H n

3 5

=-·0,4+-·0,25

0,16+0,15

p(H).

p(%)+

7.b) 10 método (Aplicando la regla de Laplace) Téngase en cuenta que el espacio muestral se reduce al universo de las mujeres casos favorables", 3000 ·0,75 Total de mujeres = 3000

~_-

p '" 2250 = 0,75 3000

.• F

'"O:Er--.. F

__--:;:::-.25 · F

0,75

2° método (Aplicando la probabilidad condicionada) 2250

fF I)JMn FL 5000 = 2250

'-F'

P\'/M -

p(M)

3000

3000

075 •

5000 Mujeres fumadoras = 750 Mujeres no fumadoras" 2250 Hombre fumadores" 800 Hombres no fumadores" 1200

H" hombre M" mujer F '" fumador F no fumador

=

ó también: ~F /)

Pf;'M = 1

480

p(%)=

0,31

Mujeres no fumadoras

El diagrama de árbol del problema, es el siguiente

750

(¡)

P~

750

2250

= 1- 3000 = 3000 '" 0,75

481

2250J

7.e) En este caso la solución viene dada por el teorema de Bayes, ya que nos piden un suceso de la primera fase, sabiendo que se ha verificado el de la segunda fase.

9. 9.a) coeficiente de correlación

~

R Sx ·Sy

Fijarse en el diagrama de árbol en todos los terminales (F)

0,16 0,16+0,15

p= 5

8. L i - 1 -L¡ 0-3 3-6 6-9 9 - 12 12 - 15 15 - 18

x¡

ni 2 7 12 13 4 3 41

1,5 4,5 7,5 10,5 13,5 16,5

¿

Media

~

x 5 7 2 1 9 24

r·······_·

-x ¿x¡n¡ _ ..._-_ 364,5 ¿ni 41

¿

x¡n¡

Ni 2 9 21 34 38 41

3 31,5 90 136,5 54 49,5 364,5

x

Cálculo de

Y=f

¿x¡n¡ _ 24 N -5

¿y·n·

xy 75 126 20 8 180 409

N=5 n Ij o frecuencia de los pares es 1

4,8

71 5=14,2

8,89

~!i:= 41 = 20,5 ~ corresponde al dato que ocupa el lugar 21, que 2

y' 225 324 100 64 400 1113

25 49 4 1 81 160

15 18 10 8 20 71

Cálculo de

Cálculo de Sxy Mediana

x~

'{

.

2

¿¿n.. x·y· IJ 1'.1

1

J

x'Y=

409 -4,8.14,2 5

81,8-68,16=13,64

Cálculo de:

está en tercer intervalo (6 - 9) que es el intervalo mediano 2 Sx:=

41_9 Me = 6 +

12

-2 N

X

160 2 =--4,8 =32-23,04 5

8,96~Sx

~

=,,8,96

2,99

·3 := 8,87 Cálculo de:

Moda

~

la frecuencia absoluta es el cuarto (9 - 12)

más alta es 13, luego el intervalo modal

. 3 == 9,3 13 -12 Mo =9+ (13-12)+(13-4)

482

S~ =

N

'1 2 = 11;3 -14,2 2 =222,6-201,64 20,96~Sy R= Sx .Sy

13,64 2,99.4,58

483

0,99

,)20,96 =4,58

9.b) Como el dato que nos dan es la x (6 accidentes) y nos piden la "y", esta la tenemos que tener despejada, luego la re.cta de regresión que vamos a calcular es la de "y" sobre "x".

10.b) p(x

=1-(~)o,757 .0,251 -(:)°,75 8 .0,25 0

Como en el apartado anterior nos han pedido el coeficiente de correlación, del cual ya tenemos el dato optamos por calcular la recta de regresión por la formula.

y= a+bx

~

_ y y

Sxy _ -(x-x) S2x

Y-14,2 =1,53(x - 4,8)

~

~

y-14,2=

13,6~ (x

11. Es una binomial

1,53x + 6,86

0,63

Téngase en cuenta en este apartado que el suceso contrario, de que como máximo 6 tengan empleo, es, que tengan empleo 7 u 8, y que la suma de dos sucesos contrarios es 1. Cuestión que utilizamos para facilitar el cálculo de lo pedido.

4,8)

2,99

y

O)+p(x =1)+· .. +p(x =6)= 1-p(x =7)-p(x =8)=

~

1~0)

B(n,p)=B(a,

B(a, 0,06)

~

q=0,94

11.a)

Para x = 6

~

Y:: 1,53·6 6,86

~

O)

p(x

Utilizando el dato del apartado, extrapolamos el resultado pedido:

(~)0,060 .0,94 8 =0,60

Y'" 16 11.b)

p(x = 2)+ p(x == 3)+ .. ·+ p(x

Podemos suponer que ayer circulaban 16 vehículos por la autopista.

8)

1-p(x == 0)- p(x = 1)= 1,08

0 8 1 7 =(8)006 '°94 _(a)006 .094 =108 O' , l' , ,

9.c) Al ser el coeficiente de correlación (R 0,99) muy próximo a la unidad, podemos deducir que existe una correlación muy buena, por lo tanto la estimación hecha en el apartado anterior es bastante buena.

11.c)

Jl = np

2000 . 0,06

120 pacientes

12. 12.a) 10. Estamos ante una distribución binomial ~ B(n,p)= B(a, 0.75)~ q

0,25

Considerando que

10.a)

=

craumente, la ordenada

12.b)

7)+p(x=8)=

8 ·0,25 6 0,75 6 ·0,252 + (8) 8 7 0,75 7 ·0,25 1 + (8)0,75 ( 8)

. A medida que

f(Jl) es más pequeña, luego a mayor desviación típica la curva normal resulta más aplanada.

p(x) = (:)pxqn-x

p(x=6)+P(X

f(Jl)

El eje de simetría de la curva normal está determinado por su media A distintas medias e igual desviación típica, las curvas son iguales pero con distinto eje de simetría.

°= 0,67 12.c)

La aproximación de una distribución binomial a una normal es mejor cuanto mayor sea np. 484

485

B(10, 0.1)

-+

B(200, 0.1) B(1000, 0.1)

-+ -+

I

np 10·0,1 1

np == 200 . 0,1 20

np ;= 1000·0,1 == 100 (mejor aproximación a la normal)

J

Valores de probabilidad -+ 0,2996

13. Distribución normal de fl == 90

Y

(J

-l

0,0027

0,0004

0,3000

0,3023

== 12 0,01

13.a)

l

p(x > 115) == p z >

115-90)

12 p(z > 2,08)

p(0~z~+oo)-p(0~Z~2,08)

0,50

0,4812

-

-1

---;;-;cv-----"

Valores de z-+ o,o't

0,0188

0.85

13.b)

p(80~x~110)

80 -90 110 90) p( -12-~zS; 12 ==p(-0,83

z~1,67)==

== p(O s; z ~ 0,83)+ p(O:S; z:s; 1,67)= 0,2967 + 0,4525 == 0,7492

Estableciendo una proporción, se tiene que: 0,0027 0,01

Y= 0,002

0,0004 Y

-+

z = 0,84 + 0,002 == 0,842

luego, volviendo al planteamiento inicial, se tiene que: 14. Distribución normal de fl

190

Y

(J

25

Es un problema que hay que plantear al revés de los anteriores. El máximo que da la tabla es 0,5, luego hay que utilizar 0,8 0,5 == 0,3

p(X:S; x)

Buscamos 0,3000 exactamente en la interpolación.

0,3

-+

x -190 == 0,842

z~

--)o

x = 0,842 . 25 + 190

{z S; x ~~90) == 0,3000

en el interior de la tabla, y como este valor no está tabla, utilizamos el menor y el mayor para efectuar una

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--)o

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