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Analizar y graficar las siguientes funciones: Ejercicio 15-30

15. 𝒇(𝒙)=

𝟏 𝟒

𝒙𝟑 – 2

 Cortes con los ejes y=0

x=0

1 4

1 4

0 = 𝑥3 – 2

y = 𝑥3 – 2

2 = 𝑥3

1 4

y = 4 (0)3 – 2

𝑥 3 = (2) (4)

y = 4 (0) – 2

1

1

𝑥3 = 8

y=0–2

x = ∛8

y = -2

x=2

(0 ; -2)

(2 ; 0)

 Simetrías Con respecto al eje x

1

y = 4 𝑥 3 -2 Con respecto al eje y x = -x

y= -y 1 4

-y = 𝑥 3 – 2 No hay simetría

y=

x= -x

1 (−𝑥)3 4

y=

1 −𝑥 3 4

Con respecto al origen

2

y=-y 1

2

No hay simetría

-y = 4 (−𝑥)3 – 2 1

-y = 4 −𝑥 3 – 2 No hay simetría

   

Dominio = (−∞; +∞) Rango = (−∞; +∞) Asíntota = no hay asíntota La función se desplaza dos unidades hacia abajo dado que c = -2

 La gráfica se comprime por el motivo que : 0 <

1 4

<1

𝟏

16. 𝒇 (𝒙) = − 𝟗 𝒙𝟑 − 𝟑

 Cortes con los ejes

y=0 0= −

1 3 𝑥 −3 9

(−1) 3 = −

1 3 𝑥 (−1) 9

1 3 𝑥 = −3 9 𝑥 3 = (−3) (9) 𝑥 3 = −27 3

𝑥 = √−27 𝑥 = −3 (-3 ; 0)

x=0 1 𝑦 = − (0)3 − 3 9 𝑦= −

1 (0) − 3 9

𝑦 =0−3 𝑦 = −3 (0 ; -3)

𝑦= −

 Simetrías Con respecto al eje x

1 3 𝑥 −3 9

Con respecto al eje y

𝑦 = −𝑦 −𝑦 = −

1 9

Con respecto al origen 𝑥 = −𝑥

𝑥 = −𝑥

𝑥3 − 3

No hay simetría

𝑦= −

1 9

𝑦 = −𝑦

(−𝑥)3 − 3

1 𝑦 = − −𝑥 3 − 3 9 No hay simetría

1 −𝑦 = − (−𝑥)3 − 3 9 1

(−1) − 𝑦 = − 9 −𝑥 3 − 3 (−1) 1 𝑦 = − 𝑥3 + 3 9 No hay simetría

   

Dominio = (−∞; +∞) Rango = (−∞; +∞) Asíntota = no hay asíntota La función se desplaza 3 unidades hacia abajo dado que c = -3 1

 La gráfica se comprime dado que 0 < 9 < 1

 La gráfica cúbica positiva tiende por lo general al primer y tercer cuadrante, pero como la función es negativa esta será lo contrario, es decir, tiende al segundo y cuarto cuadrante 17. 𝒇 (𝒙) = −

𝟏 𝟏𝟔

𝒙𝟒 + 𝟏

 Cortes con los ejes y=0 0= −

1 4 𝑥 +1 16

1 4 𝑥 =1 16 𝑥 4 = (1)(16) 4

x=0 𝑦= −

1 (0)4 + 1 16

𝑦= −

1 (0) + 1 16

𝑦 =0+1

𝑥 = 16

𝑦= 1

𝑥 = ∜16

(0 ; -1)

𝑥= 4

y=0

𝑥= 4 (4 ; 0)

0= −

1 4 𝑥 +1 16

1 4 𝑥 =1 16 𝑥 4 = (1)(16) 𝑥 4 = 16 𝑥 = ∜16 𝑥= 4

 Simetrías Con respecto al eje x

𝑦= −

Con respecto al eje y

𝑦 = −𝑦 −𝑦 = −

1 16

𝑥4 + 1

No hay simetría

1 4 𝑥 +1 16 Con respecto al origen

𝑥 = −𝑥 𝑦= −

1 16

𝑥 = −𝑥 𝑦 = −𝑦

(−𝑥)4 + 1

−𝑦 = −

1 𝑦 = − 𝑥4 + 1 16

1 16

−𝑦 = −

S hay simetría

(−𝑥)4 + 1

1 4 𝑥 +1 16

No hay simetría    

Dominio = (−∞; +∞) Rango = (−∞; 𝟏] Vértice = (0 ; 1) La gráfica se desplaza 1 unidad hacia arriba dado que c = 1

 La gráfica se comprime ya que 0 <

1 16

<1

 La gráfica cuadrática positiva tiende al primer y segundo cuadrante, pero como

en este caso es negativa es el reflejo, es decir tiende al tercer y cuarto cuadrante  Asíntota = no hay asíntota 18. 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟓 + 𝟏

 Cortes con los ejes

y=0

x=0

0 = 𝑥5 + 1

𝑦 = (0)5 + 1

𝑥 5 = −1

𝑦 = (0) + 1

5

𝑥 = √−1

𝑦= 1

𝑥 = −1

(0 ; 1)

(-1; 0)

 Simetrías

𝑦 = 𝑥5 + 1

Con respecto al eje x

Con respecto al eje y

𝑦 = −𝑦

𝑥 = −𝑥

𝑥 = −𝑥

−𝑦 = 𝑥 5 + 1

𝑦 = (−𝑥)5 + 1

𝑦 = −𝑦

No hay simetría

𝑦 = −𝑥 5 + 1

−𝑦 = (−𝑥)5 + 1

No hay simetría

(−1) − 𝑦 = −𝑥 5 + 1 (-1)

Con respecto al origen

𝑦 = 𝑥5 − 1 No hay simetría

   

Dominio = (−∞; +∞) Rango = (−∞; +∞) Asíntota = no hay asíntota La gráfica se desplaza 1 unidad hacia arriba dado que c = 1

19. 𝒇(𝒙)𝒙𝟒 − 𝟒𝒙𝟐

 Cortes con los ejes y=0

x=0

0 = 𝑥 4 − 4𝑥 2

𝑦 = (0)4 − 4(0)2

0 = 𝑥 2 (𝑥 2 − 4)

𝑦 = 0−0

𝑥2 =

0

𝑦=0

𝑥 2−4

(0 ; 0)

𝑥2 = 0 𝑥 = √0 𝑥=0 (0; 0)

 Simetrías

𝑦 = 𝑥 4 − 4𝑥 2

Con respecto al eje x

Con respecto al eje y

Con respecto al origen

𝑦 = −𝑦

𝑥 = −𝑥

𝑥 = −𝑥

−𝑦 = 𝑥 4 − 4𝑥 2

𝑦 = (−𝑥)4 − 4(−𝑥)2

𝑦 = −𝑦

No hay simetría

𝑦 = 𝑥 4 − 4𝑥 2

−𝑦 = (−𝑥)4 − 4(−𝑥)2

Si hay simetría

−𝑦 = 𝑥 4 − 4𝑥 2 No hay simetría

 Dominio = (−∞; +∞)  Rango = [−𝟒; +∞)

20. 𝒇(𝒙) = 𝟗𝒙 − 𝒙𝟑

 Cortes con los ejes

y=0

x=0

0 = 9𝑥 − 𝑥 3

𝑦 = 9(0) − (0)3

0 = 𝑥(9 − 𝑥 2 )

𝑦 = 0−0

𝑥=

0 9 − 𝑥2

𝑦=0 (0 ; 0)

𝑥=0 (0; 0)

 Simetrías 𝑦 = 9𝑥 − 𝑥 3 Con respecto al eje x

Con respecto al eje y

Con respecto al origen

𝑦 = −𝑦

𝑥 = −𝑥

𝑥 = −𝑥

−𝑦 = 9𝑥 − 𝑥 3

𝑦 = 9(−𝑥) − (−𝑥)3

𝑦 = −𝑦

No hay simetría

𝑦 = −9𝑥 + 𝑥 3

−𝑦 = 9(−𝑥) − (−𝑥)3

No hay simetría

(−1) − 𝑦 = −9𝑥 + 𝑥 3 (−1) 𝑦 = 9𝑥 − 𝑥 3 Si hay simetría

 Dominio = (−∞; +∞)  Rango = (−∞; +∞)  La gráfica cubica tiende a estar ubicada en el primer y tercer cuadrante, pero

como este es negativo −𝑥 3 este será su reflexión en el segundo y cuarto cuadrante 21. 𝒇(𝒙) = −𝒙𝟑 + 𝟐𝒙𝟐 + 𝟖𝒙

 Cortes con los ejes

y=0

x= 0

0 = −𝑥 3 +2𝑥 2 + 8𝑥

𝑦 = −(0)3 +2(0)2 + 8(0)

0 = 𝑥(−𝑥 2 + 2𝑥 + 8)

𝑦 =0

𝑥 = 0 (0 ; 0)

𝑦=0

−𝑥 2 + 2𝑥 + 8

(0; 0)

𝑎 = −1 𝑥=

𝑏=2

𝑐=8

−2 ± √(2)2 − 4(−1)(8) 2(−1) 𝑥=

−2 ± √4 + 32 −2

𝑥=

−2 ± √36 −2

𝑥=

−2 ± 6 −2

𝑥1 = 4 (4 ; 0) 𝑥2 = −2 (-2 ; 0)

 Simetrías 𝒚 = −𝒙𝟑 + 𝟐𝒙𝟐 + 𝟖𝒙 Con respecto al eje x

Con respecto al eje y

Con respecto al origen

𝑦 = −𝑦

𝑥 = −𝑥

𝑥 = −𝑥

−𝒚 = −𝒙𝟑 + 𝟐𝒙𝟐 + 𝟖𝒙

𝒚 = −(−𝒙)𝟑 + 𝟐(−𝒙)𝟐 + 𝟖(−𝒙)

𝑦 = −𝑦

No hay simetría

𝑦 = −𝑥 3 + 2𝑥 2 − 8𝑥

−𝒚 = −(−𝒙)𝟑 + 𝟐(−𝒙)𝟐 + 𝟖(−𝒙)

No hay simetría

−𝑦 = −𝑥 3 + 2𝑥 2 − 8𝑥 No hay simetría

 Dominio = (−∞; +∞)  Rango = (−∞; +∞)  La gráfica cúbica positiva tiende al primer y tercer cuadrante, pero dado que

−𝑥 3 es negativo, este será la reflexión de la original, tendiendo al segundo y cuarto cuadrante Trazar la gráfica de: Ejercicio 36-40 𝒙𝟐 −𝟒

36. 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 +𝟏  Cortes con los ejes

y=0

x=0

x2 − 4 0= 2 x +1

(0)2 − 4 y= (0)2 + 1

𝒙𝟐 − 𝟒 =

(𝒙𝟐

𝟎 + 𝟏)

𝒚=

−𝟒 𝟏

𝑥2 − 4 = 0

𝑦 = −4

𝑥2 = 4

(0 ; -4)

𝑥 = √4 𝑥=2 (2; 0)

 Simetrías 𝑓(𝑥) = Con respecto al eje x

𝑥 2 −4 𝑥 2 +1

Con respecto al eje y

Con respecto al origen

𝑦 = −𝑦

𝑥 = −𝑥

𝑥 = −𝑥

𝑥2 − 4 −𝑦 = 2 𝑥 +1

(−𝑥)2 − 4 𝑦= (−𝑥)2 + 1

𝑦 = −𝑦

No hay simetría

𝑥2 − 4 𝑦= 2 𝑥 +1

−𝑦 =

(−𝑥)2 − 4 (−𝑥)2 + 1

−𝑦 = Si hay simetría

   

Dominio = (−∞; +∞) Rango = [4 ; 1) Asíntota Horizontal = 1 La función es creciente

𝑥2 − 4 𝑥2 + 1

No hay simetría

37. 𝒇(𝒙) =

𝒙𝟐 −𝒙−𝟔 𝒙+𝟏

 Cortes con los ejes x=0

y=0

x2 − x − 6 0= x+1

y=

𝟎 𝒙 −𝒙−𝟔= (𝒙 + 𝟏)

𝒚=

𝟐

−𝟔 𝟏

𝑦 = −6

𝑥2 − 𝑥 − 6 = 0

(0 ; -6)

𝑎 = 1 𝑏 = −1 𝑐 = −6 𝑥=

(0)2 − (0) − 6 (0) + 1

−(−1) ± √(−1)2 − 4(1)(−6) 2(1) 𝑥=

1 ± √1 + 24 2

𝑥=

1 ± √25 2

𝑥=

1±5 2

𝑥1 = 3 (3 ; 0) 𝑥2 = −2 (-2 ; 0)

 Simetrías 𝒚 = Con respecto al eje x

𝒙𝟐 −𝒙−𝟔 𝒙+𝟏

Con respecto al eje y

Con respecto al origen

𝑦 = −𝑦

𝑥 = −𝑥

𝑥 = −𝑥

𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟔 −𝒚 = 𝒙+𝟏

(−𝒙)𝟐 − (−𝒙) − 𝟔 𝒚= (−𝒙) + 𝟏

𝑦 = −𝑦

No hay simetría

𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟔 𝒚= −𝒙 + 𝟏 No hay simetría

−𝒚 =

(−𝒙)𝟐 − (−𝒙) − 𝟔 (−𝒙) + 𝟏

−𝒚 =

𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟔 −𝒙 + 𝟏

No hay simetría

 Dominio = (−∞ ; −1) ∪ (−1 ; +∞)  Rango = (−∞ ; +∞)  Asíntota Vertical = -1