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MATEMATICAS 1: Propiedad de los números reales: Introducción: Hay muchas veces que en el álgebra necesitas simplificar una expresión. Las propiedades de los números reales proveen herramientas para ayudarte a tomar una expresión complicada y simplificarla. Las propiedades asociativa, conmutativa, y distributiva del álgebra son propiedades que se usan comúnmente para simplificar expresiones algebraicas. Querrás tener un buen entendimiento de estas propiedades para hacer problemas algebraicos más fáciles de resolver. La Propiedad conmutativa dice que cuando dos números son sumados, el orden puede ser cambiado sin afectar el resultado. Por ejemplo, 30 + 25 da el mismo resultado que 25 + 30. 30 + 25 = 55 25 + 30 = 55.

La propiedad conmutativa de la multiplicación: dice que cuando dos números se multiplican, su orden puede cambiar sin afectar el resultado. Por ejemplo, 7  12 tiene el mismo producto que 12  7. 7  12 = 84 12  7 = 84 Estas propiedades se aplican a todos los número reales. Echemos un vistazo a algunos ejemplos de suma.

Ecuación Original 1.2 + 3.8 = 5

Ecuación reescrita 3.8 + 1.2 = 5

14 + (−10) = 4

(−10) + 14 = 4

(−5.2) + (−3.6) = −8.8

(−3.6) + (−5.2) = −8.8

Propiedad Conmutativa de la Suma Para cualesquiera números reales a y b, a + b = b + a. La resta no es conmutativa. Por ejemplo, 4 − 7 no tiene la misma diferencia que 7 − 4. Aquí, el signo − significa resta. Sin embargo, recuerda que 4 − 7 puede reescribirse como 4 + (−7), porque restar un número es lo mismo que sumar su opuesto. Aplicando la propiedad conmutativa de la suma, puedes decir que 4 + (−7) es lo mismo que (−7) + 4. Observa cómo esta expresión es muy distinta a 7 – 4.

Ahora veamos algunos ejemplos de multiplicación.

Ecuación Original 4.5  2 = 9 (−5)  3 = -15

Ecuación Reescrita 2  4.5 = 9 3  (−5) = -15

Propiedad Conmutativa de la Multiplicación Para cualesquiera números reales a y b, a  b = b  a.

El orden no importa siempre y cuando las dos cantidades se multipliquen. Esta propiedad funciona para números reales y para variables que representen números reales. De la misma forma que la resta, la división tampoco es conmutativa. 4 ÷ 2 no tiene el Mismo cociente que 2 ÷ 4. La propiedad distributiva de la multiplicación es una propiedad muy útil que nos permite reescribir expresiones en las que estás multiplicando un número por una suma o una resta. La propiedad dice que el producto de una suma o una resta como 6(5 – 2), es igual a la suma o resta de los productos, en este caso, 6(5) – 6(2). 6(5 – 2) = 6(3) = 18 6(5) – 6(2) = 30 – 12 = 18 La propiedad distributiva de la multiplicación puede usarse cuando multiplicas un número por una suma. Por ejemplo, supón que quieres multiplicar 3 por la suma de 10 + 2. 3(10 + 2) = ?

De acuerdo con esta propiedad, puedes sumar los número 10 y 12 primero y luego multiplicar por 3, como se muestra aquí: 3(10 + 2) = 3(12) = 36. De manera alternativa, puedes multiplicar cada sumando por tres (a esto se le llama distribuir el 3), y luego puedes sumar los productos. El proceso se muestra a continuación.

3 (10 + 2) = 3(12) = 36 3(10) + 3(2) = 30 + 6 = 36 Los productos son iguales. Como la multiplicación es conmutativa, puedes usar la propiedad distributiva sin importar el orden de los factores.

Las Propiedades Distributivas Para cualesquiera números reales a, b, y c: La multiplicación se distribuye sobre la suma: La multiplicación se distribuye sobre la resta:

a(b + c) = ab + ac a(b – c) = ab – ac

Distribuyendo con Variables Siempre y cuando las variables representen números reales, la propiedad distributiva puede usarse con ellas. La propiedad distributiva es importante en el álgebra, y muchas veces verás expresiones como esta: 3(x – 5). Si se te pide expandir la expresión, puedes aplicar la propiedad distributiva de la misma forma que lo harías con enteros.

3 (x – 5) = 3(x) – 3(5) = 3x – 15.

Números irracionales Un número irracional es un número que no se puede escribir en fracción - el decimal sigue para siempre sin repetirse. Ejemplo: pi -es un número irracional. El valor de Pi es: 3,1415926535897932384626433832795…. Los decimales no siguen ningún patrón, y no se puede escribir ninguna fracción que tenga el valor Pi. Números como 22/7 = 3,1428571428571... Se acercan pero no son correctos.

POTENCIAS: La potencia de un número es el producto de varios factores iguales a él. El número que se multiplica por sí mismo se llama base de la potencia. Para señalar potenciación se escribe la base y en su parte superior derecha se escribe un número pequeño que indica cuántas veces se toma como factor dicha base; este número pequeño recibe el nombre de exponente.

Mínimo común múltiplo Los múltiplos de un número se obtienen multiplicando el número por 1, 2, 3, 4... Por ejemplo: los múltiplos de 4 son: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28... El Mínimo Común Múltiplo (MCM) de 2 o más número es el menor de lo múltiplos comunes a estos números: Por ejemplo: vamos a calcular el MCM de 3 y 4: Múltiplos de 3: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24... Múltiplos de 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28... Vemos que 12 es un múltiplo de ambos números y es el menor de los múltiplos comunes. Por lo tanto 12 es el Mínimo Común Múltiplo.

Máximo común divisor: Los divisores de un número son aquellos que al dividir el número el resto es 0. Por ejemplo: Divisores de 24 son: 1, 2, 3, 4, 6, 12 y 24. Si se divide 24 por cualquiera de ellos el resto es 0. El Máximo Común Divisor (MCD) de 2 o más número es el mayor de los divisores comunes a estos números: Por ejemplo: vamos a calcular el MCD de 30 y 42: Divisores de 30: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 y 30. Divisores de 42: 1, 2, 3, 6, 7, 21 y 42. Vemos que 6 es un divisor común a ambos números y es el mayor de los divisores comunes. Por lo tanto 6 es el Máximo Común Divisor.

Operaciones algebraicas Trabajar en álgebra consiste en manejar relaciones numéricas en las que una o más cantidades son desconocidas. Estas cantidades se llaman variables, incógnitas o indeterminadas y se representan por letras. Una expresión algebraica es una combinación de letras y números ligada por los signos de las operaciones: adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación. Las expresiones algebraicas nos permiten, por ejemplo, hallar áreas y volúmenes.

  

Longitud de la circunferencia: 2πr, donde r es el radio de la circunferencia. Área del cuadrado: S = l², donde l es el lado del cuadrado. Volumen del cubo: V = a³, donde a es la arista del cubo.

Expresiones algebraicas comunes:

                

El doble o duplo de un número: 2x El triple de un número: 3x El cuádruplo de un número: 4x La mitad de un número: x/2 Un tercio de un número: x/3 Un cuarto de un número: x/4 Un número es proporcional a 2, 3, 4...: 2x, 3x, 4x... Un número al cuadrado: x² Un número al cubo: x³ Un número par: 2x Un número impar: 2x + 1 Dos números consecutivos: x y x + 1 Dos números consecutivos pares: 2x y 2x + 2 Dos números consecutivos impares: 2x + 1 y 2x + 3 Descomponer 24 en dos partes: x y 24 − x La suma de dos números es 24: x y 24 − x La diferencia de dos números es 24: x y 24 + x

Binomios con término común. De la forma (x+a) (x+b): Su fórmula es (x + a) (x + b) = x^2 + (a + b) x + ab Procedimiento: 1) Se encuentra el cuadrado del término común. 2) Se suman los términos no comunes y se multiplican por el término común. 3) Se multiplican los términos no comunes. 4) Se escriben los resultados en el orden que se resolvieron y esta es la solución . Ejemplos: Desarrolla (x – 6) (x + 4) > Cuadrado del término común “x” es (x) ^2 = x^2 > Suma de términos no comunes, por el término común es (-6+4) x = -2x > Multiplicación de los términos no comunes es (-6) (4) = -24 = x^2 -2x -24 Solución. Binomio conjugado:

Al realizar la multiplicación se obtiene:

Reduciendo términos semejantes se llega a:

Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

Ejemplo 3:

Ejemplo 4:

Ejemplo 5:

Ejemplo 6:

Ejemplo 7:

Binomio de suma al cubo

Un binomio

al

primero, más el

cubo (suma) triple

segundo, más el

triple

del del

es

cuadrado primero

igual del por

al

primero el

segundo, más el cubo del segundo.

(a + b)3 = a3 + 3 · a2 · b + 3 · a · b2 + b3

( X + 3) 3 = x

3

+ 3 · x2 · 3 + 3 · x· 32 + 33 =

= x 3 + 9x 2 + 2 7x + 27 .

cubo por

cuadrado

del el del

Binomio de suma al cuadrado : Un binomio al cuadrado (suma) es igual es igual al cuadrado del primer término, más el doble producto del primero por el segundo más el cuadrado segundo.

(a + b)2 = a2 + 2 · a · b + b2

(X + 3)2 = x 2 + 2 · x ·3 + 3 2 = x 2 + 6 x + 9 . Factorización

Ejemplo:

X2+2x+1=(x+1) (x+1).

Factorizar una ecuación consiste en expresarla como un producto de polinomios más simples, esto es, como un producto de polinomios de grado menor.

Ejemplo:

X2+2x+1=(x+1) (x+1) x2+2x+1=(x+1) (x+1) Método para factorizar 

Supongamos que A y B son las dos soluciones de la ecuación

Entonces, podemos escribir el polinomio anterior (la parte izquierda) como



Si la única solución es A (por tanto, con multiplicidad 2), la factorización queda como



Si no hay soluciones, no podemos factorizar.

Todo trinomio de la forma: a2 +2ab +b2 es un trinomio cuadrado perfecto ya que (a + b)2=(a + b) (a + b)=a2 +ab +ab +b2 Siendo la regla: El cuadrado del primero más el doble del primer por el segundo término más el cuadrado del segundo término. Regla para conocer si un trinomio es cuadrado perfecto   

Un trinomio ordenado con relación a una letra. Es cuadrado perfecto cuando el primer y tercer término son cuadrados perfectos. El segundo término es el doble producto de sus raíces cuadradas.

Procedimiento para factorizar (+)   

Se extrae la raíz cuadrada del primer y tercer término; en el ejemplo a y b. Se forma un producto de dos factores binomios con la suma de estas raíces; entonces (a + b) (a + b). Este producto es la expresión factorizada (a + b)2.

Si el ejercicio fuera así: a2 - 2ab + b2 = (a - b)2 Procedimiento para factorizar (-)  

Se extrae la raíz cuadrada del primer y tercer término; en el ejemplo a y b. Se forma un producto de dos factores binomios con la diferencia de estas raíces; entonces.

(a - b)(a - b). 

Este producto es la expresión factorizada (a - b)2.

Ejemplo 1 Factorizar x2 + 10x + 25 La raíz cuadrada de: x2 es x La raíz cuadrada de: 25 es 5 El doble producto de las raíces: 2(x)(5) es 10x Luego x2 + 10x + 25 = (x + 5)2 Ejemplo 2 Factorizar 49y2 + 14y + 1 La raíz cuadrada de: 49y2 es 7y La raíz cuadrada de: 1 es 1 El doble producto de las raíces: 2(7y) (1) es 14y Luego 49y2 + 14y + 1 = (7y + 1)2 Ejemplo 3 Factorizar 81z2 - 180z + 100 La raíz cuadrada de: 81z2 es 9z La raíz cúbica de: 100 es 10 El doble producto de las raíces: 2(9z) (10) es 180z Luego 81z2 - 180z + 100 = (9z - 10)2. Solución de un sistema de ecuaciones de 2x2 En el tema Resolución de problemas de 2x2 se revisaron los sistemas de ecuaciones lineales de dos incógnitas mediante el método tabular y gráfico; asimismo, se resolvieron algebraicamente utilizando los métodos de igualación, sustitución y suma o resta. La solución de un sistema de ecuaciones es el conjunto de valores de las incógnitas que satisfacen a todas las ecuaciones del sistema. En el caso del siguiente sistema:

{2x+3y=18 x−y=3 La solución es x=5.4x=5.4 e y=2.4y=2.4, pues al sustituir estos valores en ambas ecuaciones resultan dos igualdades, observa:

Ecuación Al sustituir los valores de

x=5.4x=5.4 e y=2.4y=2.4 Simplifica

De la ecuación 1

De la ecuación 2

2x+3y=182x+3y=18

x−y=3x−y=3

2(5.4)+3(2.4)=182(5.4)+3(2.4)=18

(5.4)−(2.4)=3(5.4)−(2.4)=3

18=1818=18

3=33=3

Los valores x=5.4x=5.4 e y=2.4y=2.4 son solución del sistema, ya que al sustituirlos en ambas ecuaciones se obtienen dos igualdades: 18=1818=18y 3=33=3. En caso de no cumplirse al menos una de las igualdades, entonces los valores de xx e yy no serían solución del sistema.

Sistemas ecuaciones lineal 3x3

Para resolver el sistema podemos usar varios métodos (gauss, sustitución, etc.). Usaremos el método de sustitución. Despejaremos "z" en la primera ecuación

La expresión obtenida la sustituimos por "z" en las demás ecuaciones:

Nos ha quedado un sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas. Quitamos paréntesis, ordenamos las ecuaciones y resolvemos el sistema. Obtenemos como soluciones

y

Ahora nos vamos a la expresión donde teníamos z despejada: y sustituimos x e y por sus valores

Las soluciones son: