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Relaciones y funciones Entender los conceptos de Relación y de Función es de suma importancia en Matemática. Para lograr esa comprensión es necesario adentrarnos en la noción de Correspondencia, ya que esta tiene un papel fundamental en las relaciones y funciones. Lo primero es entender que Correspondencia es equivalente a Relación. En nuestra lengua, decir “en relación a”, es equivalente a decir “corresponde a”. Ejemplos: En una tienda comercial, cada artículo está relacionado con su precio; o sea, a cada artículo le corresponde un precio. En la guía telefónica, cada cliente está relacionado con un número; o sea, a cada nombre de la guía le corresponde un número.

Definición matemática de Relación y de Función En matemática, Relación es la correspondencia de un primer conjunto, llamado Dominio, con un segundo conjunto, llamado Recorrido o Rango, de manera que a cada elemento del Dominio le corresponde uno o más elementos del Recorrido o Rango. Por su parte, una Función es una relación a la cual se añade la condición de que a cada valor del Dominio le corresponde uno y sólo un valor del Recorrido. De las definiciones anteriores podemos deducir que todas las funciones son relaciones, pero no todas las relaciones son funciones. También debemos agregar que toda ecuación es una Relación, pero no toda ecuación es una Función. Todas las Relaciones pueden ser graficadas en el Plano Cartesiano. Ver: Plano Cartesiano Dados dos conjuntos A y B una relación definida de A en B es un conjunto de parejas ordenadas (par ordenado) que hacen verdadera una proposición; dicho de otro modo, una relación es cualquier subconjunto del producto cartesiano A x B Ejemplo 1. Si A = {2, 3} y B = {1, 4, 5}, encontrar tres relaciones definidas de A en B. Solución El producto cartesiano de A x B está conformado por las siguientes parejas o pares ordenados: A x B = {(2, 1), (2, 4), (2, 5), (3, 1), (3, 4), (3, 5)} Y cada uno de los siguientes conjuntos corresponde a relaciones definidas de A en B: R1 = {(2, 1), (3, 1)} R2 = {(2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5)} R3 = {(2, 4), (3, 5)} La relación R1 se puede definir como el conjunto de pares cuyo segundo elemento es 1, esto es, R1 = {(x, y) / y = 1}. La relación R2 está formada por los pares cuyo primer componente es menor que el segundo componente, R2 = {(x, y) / x < y} Y la relación R3 está conformada por todos los pares que cumplen con que el segundo componente es dos unidades mayor que el primer componente, dicho de otro modo, R3 = {(x, y) / y = x + 2} Así, se puede continuar enumerando relaciones definidas a partir de A x B. Como se puede ver, la regla que define la relación se puede escribir mediante ecuaciones o desigualdades que relacionan los valores de x e y. Estas reglas son un medio conveniente para ordenar en pares los elementos de los dos conjuntos. Ejemplo 2. Dados los conjuntos C = {1, –3} y D = {2, 3, 6}, encontrar todos los pares ordenados (x, y) que satisfagan la relación R = {(x, y) / x + y = 3}

Solución El producto cartesiano de C x D está formado por los siguientes pares ordenados C x D = {(1, 2), (1, 3), (1, 6), (–3, 2), (–3, 3), (–3, 6)} Las parejas ordenadas que satisfacen que la suma de sus componentes sea igual a 3 son: R = {(1, 2), (–3, 6)} Toda relación queda definida si se conoce el conjunto de partida, el conjunto de llegada y la regla mediante la cual se asocian los elementos. En el ejemplo anterior, el conjunto de partida corresponde al conjunto C, el conjunto de llegada es el conjunto D y la expresión x + y = 3 es la regla que asocia los elementos de los dos conjuntos.

Dominio y rango de una relación El dominio de una relación es el conjunto de preimágenes; es decir, el conjunto formado por los elementos del conjunto de partida que están relacionados. Al conjunto de imágenes, esto es, elementos del conjunto de llegada que están relacionados, se le denomina recorrido o rango. Ejemplo 3 Sea A = {1, 2, 3, 4} y B = {4, 5, 6, 7, 8} y R la relación definida de A en B determinada por la regla “y es el doble de x” o “y = 2x”, encontrar dominio y rango de la relación. Solución El total de pares ordenados que podemos formar, o producto cartesiano es: A x B = {(1, 4), (1, 5), (1, 6), (1, 7), (1, 8), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (2, 7), (2, 8), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (3, 7), (3, 8), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (4, 7), (4, 8)} Pero los pares que pertenecen a la relación R (y = 2x) son solo: R = {(2, 4), (3, 6), (4, 8)} En esta relación vemos que: “4 es el doble de 2”; esto es, “4 es la imagen de 2 bajo R”, dicho de otro modo, “2 es preimagen de 4”. Así, el dominio y rango son: D = {2, 3, 4} Rg = {4, 6, 8} Según lo que vemos, ¿Qué relación hay entre el Dominio y el conjunto de partida? En el Dominio falta el elemento 1 del conjunto de partida, por lo tanto el Dominio es un subconjunto de A. Otra pregunta: ¿Todo elemento del conjunto de llegada es elemento del rango? La respuesta es no, pues en el rango faltan el 5 y el 7.

Representación gráfica de las relaciones Los pares ordenados se pueden representar gráficamente por medio de diagramas sagitales o por medio de puntos en el plano cartesiano. Veamos el siguiente ejemplo. Ejemplo 4 Si A = {1, 2, 3, 4, 5} y B = {1, 3, 5, 7, 9} y R la relación definida por la regla R = {(x, y) / y = 2x + 1}, graficar R.

Solución Los pares ordenados que pertenecen a la relación (que cumplen con y = 2x + 1) son: R = {(1, 3), (2, 5), (3, 7), (4, 9)} Y la gráfica correspondiente es la siguiente:

Función constante De Wikipedia, la enciclopedia libre Saltar a: navegación, búsqueda

Gráfica de una función lineal

En matemática se llama función constante a aquella función matemática que toma el mismo valor para cualquier valor de la variable independiente. Se la representa de la forma:1

dondec es la constante.

Funciones reales de una variable real Como se puede ver es una recta horizontal en el plano cartesiano, en la gráfica la hemos representado en el plano, pero, como se puede ver la función no depende de x, si hacemos:

tenemos:

dondec tiene un valor constante, en la gráfica tenemos representadas:

Como la variable dependiente y no depende de x tenemos que:

lavariación de y respecto a x es cero La integral de la función constante:

es:

La función constante como un polinomio en x[editar · editar código] Si un polinomio general, que tiene la forma:

una función constante cumple esta expresión con n= 0, es un polinomio de grado 0.

que es lo mismo que:

que corresponde al término independiente del polinomio.

Función lineal De Wikipedia, la enciclopedia libre Saltar a: navegación, búsqueda Para otros usos de este término, véase Función lineal (desambiguación). No debe confundirse con Aplicación lineal.

En geometría y el álgebra elemental, una función lineal es una función polinómica de primer grado; es decir, una función cuya representación en el plano cartesiano es una línea recta. Esta función se puede escribir como:

dondem y b son constantes reales y x es una variable real. La constante m es la pendiente de la recta, y b es el punto de corte de la recta con el eje y. Si se modifica m entonces se modifica la inclinación de la recta, y si se modifica b, entonces la línea se desplazará hacia arriba o hacia abajo. Algunos autores llaman función lineal a aquella con b= 0 de la forma:

mientras que llaman función afín a la que tiene la forma:

cuandob es distinto de cero.

Ejemplo

Dos rectas y sus ecuaciones en coordenadas cartesianas.

Una función lineal de una única variable dependiente x es de la forma:

que se conoce como ecuación de la recta en el plano x,y. En la figura se ven dos rectas, que corresponden a las ecuaciones lineales siguientes:

en esta recta el parámetro m= 1/2 por tanto de pendiente 1/2, es decir, cuando aumentamos x en una unidad entonces y aumenta en 1/2 unidad, el valor de b es 2, luego la recta corta el eje y en el punto y= 2. En la ecuación:

la pendiente de la recta es el parámetro m= -1, es decir, cuando el valor de x aumenta en una unidad, el valor de y disminuye en una unidad; el corte con el eje y es en y= 5, dado que el valor de b= 5. En una recta el valor de m se corresponde al ángulo de inclinación de la recta con el eje de las x a través de la expresión:

Funciones lineales de varias variables Las funciones lineales de varias variables admiten también interpretaciones geométricas. Así una función lineal de dos variables de la forma

representa un plano y una función

representa una hipersuperficie plana de dimensión n y pasa por el origen de coordenadas en un espacio (n+1)-dimensional.

Función en valor absoluto Recordemos que la definición del valor absoluto surge de nociones geométricas, y se relaciona con los conceptos de longitud y distancia. La función de valor absoluto tiene por ecuación f(x) = |x|, y siempre representa distancias; por lo tanto, siempre será positiva o nula. En esta condición, de ser siempre positiva o nula, su gráfica no se encontrará jamás debajo del eje x. Su gráfica va a estar siempre por encima de dicho eje o, a lo sumo, tocándolo. Las funciones en valor absoluto siempre representan una distancia o intervalos (tramos o trozos) y se pueden resolver o calcular siguiendo los siguientes pasos: 1. Se iguala a cero la función, sin el valor absoluto, y se calculan sus raíces (los valores de x). 2. Se forman intervalos con las raíces (los valores de x) y se evalúa el signo de cada intervalo. 3. Definimos la función a intervalos, teniendo en cuenta que en los intervalos donde la x es negativa se cambia el signo de la función. 4. Representamos la función resultante. Veamos un ejemplo:

Otro ejemplo:

Función raíz cuadrada Las funciones raíz cuadrada las escribimos de la forma:

cuyo dominio son todos los números reales positivos (0, ∞), lo cual significa que x no puede ser negativo. Si el valor de x fuese negativo no sería una función raíz cuadrada. La gráfica de una función raíz cuadrada corresponde a la mitad de una parábola como las que conocemos de la función cuadrática, pero en este caso el eje de simetría de la media parábola es horizontal (paralelo al eje de las abscisas). El gráfico de la función raíz cuadrada

es:

A este gráfico le podemos aplicar traslaciones horizontales, hacia la derecha si hacemos x − 1, y hacia de izquierda si hacemos x + 1. Por ejemplo, el gráfico de derecha:

muestra que

Veamos otro ejemplo: Traslado tres unidades hacia la izquierda Su grafica es:

se ha trasladado una unidad hacia la

Función cuadrática Una función cuadrática es aquella que puede escribirse como una ecuación de la forma: f(x) = ax2 + bx + c dondea, b y c (llamados términos) son números reales cualesquiera y a es distinto de cero (puede ser mayor o menor que cero, pero no igual que cero). El valor de b y de c sí puede ser cero. En la ecuación cuadrática cada uno de sus términos tiene un nombre. Así, ax2es el término cuadrático bxes el término lineal ces el término independiente Cuando estudiamos la ecuación de segundo grado o cuadrática vimos que si la ecuación tiene todos los términos se dice que es unecuación completa, si a la ecuación le falta el término lineal o el independiente se dice que la ecuación es incompleta.

Representación gráfica de una función cuadrática Si pudiésemos representar en una gráfica "todos" los puntos [x,f(x)] de una función cuadrática, obtendríamos siempre una curva llamada parábola. Como contrapartida, diremos que una parábola es la representación gráfica de una función cuadrática. Dicha parábola tendrá algunas características o elementos bien definidos dependiendo de los valores de la ecuación que la generan. Estas características o elementos son: Orientación o concavidad (ramas o brazos) Puntos de corte con el eje de abscisas (raíces) Punto de corte con el eje de ordenadas Eje de simetría

Parábola del puente, una función cuadrática.

Vértice Orientación o concavidad Una primera característica es la orientación o concavidad de la parábola. Hablamos de parábola cóncava si sus ramas o brazos se orientan hacia arriba y hablamos de parábola convexa si sus ramas o brazos se orientan hacia abajo. Esta distinta orientación está definida por el valor (el signo) que tenga el término cuadrático (la ax2): Si a > 0 (positivo) la parábola es cóncava o con puntas hacia arriba, como en f(x) = 2x 2 − 3x − 5

Si a < 0 (negativo) la parábola es convexa o con puntas hacia abajo, como en f(x) = −3x2 + 2x + 3

Además, cuanto mayor sea |a| (el valor absoluto de a), más cerrada es la parábola. Puntos de corte en el eje de las abscisas (Raíces o soluciones) (eje de las X) Otra característica o elemento fundamental para graficar una función cuadrática la da el valor o los valores que adquiera x, los cuales deben calcularse. Ahora, para calcular las raíces (soluciones) de cualquier función cuadrática calculamos f (x) = 0. Esto significa que las raíces (soluciones) de una función cuadrática son aquellos valores de x para los cuales la expresión vale 0; es decir, los valores de x tales que y = 0; que es lo mismo que f(x) = 0. Entonces hacemos ax² + bx +c = 0 Como la ecuación ax² + bx +c = 0 posee un término de segundo grado, otro de primer grado y un término constante, no podemos aplicar las propiedades de las ecuaciones, entonces, para resolverla usamos la fórmula:

Entonces, las raíces o soluciones de la ecuación cuadrática nos indican los puntos de intersección de la parábola con el eje de las X (abscisas). Respecto a esta intersección, se pueden dar tres casos: Que corte al eje X en dos puntos distintos

Que corte al eje X en un solo punto (es tangente al eje x) Que no corte al eje X Esta característica se puede determinar analizando el discriminante, ya visto en las ecuaciones cuadráticas. Ver: Ecuaciones de segundo grado o cuadráticas Ver: PSU: Matemática; Pregunta 34_2010 Pregunta 18_2006

Punto de corte en el eje de las ordenadas (eje de las Y) En el eje de ordenadas (Y) la primera coordenada es cero, por lo que el punto de corte en el eje de las ordenadas lo marca el valor de c (0, c). Veamos: Representar la función f(x) = x² − 4x + 3

El eje de las ordenadas (Y) está cortado en +3

Representar la función f(x) = x² − 4x − 3

El eje de las ordenadas (Y) está cortado en −3 Observar que la parábola siempre cortará al eje de las ordenadas (Y), pero como ya vimos más arriba al eje de abscisas (X) puede que no lo corte, lo corte en dos puntos o solamente en uno. Eje de simetría o simetría

Otra característica o elemento de la parábola es su eje de simetría. El eje de simetría de una parábola es una recta vertical que divide simétricamente a la curva; es decir, intuitivamente la separa en dos partes congruentes. Se puede imaginar como un espejo que refleja la mitad de la parábola. Su ecuación está dada por:

Donde x1 y x2 son las raíces de la ecuación de segundo grado en x, asociada a la parábola. De aquí podemos establecer la ecuación del eje de simetría de la parábola:

Vértice Como podemos ver en gráfico precedente, el vértice de la parábola es el punto de corte (o punto de intersección) del eje de simetría con la parábola y tiene como coordenadas

La abscisa de este punto corresponde al valor del eje de simetría

máximo o mínimo de la función, discriminante)

y la ordenada corresponde al valor

según sea la orientación de la parábola (recuerde el