Matematica Zapandi.pdf

MATEMÁTICA Este libro de Matemática Zapandí (9º año), corresponde al último libro del Tercer Ciclo de la Educación General Básica Abierta, el cual está dividido en cuatro áreas de conocimientos para este nivel. Se pretende desarrollar las habilidades necesarias para abordar cada una de los objetivos. Está dividida cada área con un texto básico, actividades y trabajos individuales. La metodología aplicada para la enseñanza de la Matemática toma en cuenta algunos supuestos psicopedágogicos que afectan el aprendizaje debido a que siempre partimos de la premisa, las primeras impresiones son las más duraderas. En el área Números, trabajaremos con los números reales con el propósito de que usted adquiera la habilidad de utilizar los números reales en cualquiera de sus representaciones y que posteriormente elabore estrategias para realizar cálculos con ellos para luego resuelva problemas en diversos contextos en los que se involucren estos números. Además conoceremos los prefijos del Sistema Internacional de Medidas para representar cantidades muy grandes y muy pequeñas. En el área Geometría, se dará un enfoque más formal de los conceptos y propiedades de los distintos conceptos geométricos. Con los triángulos y con particular uso del teorema de Pitágoras conectaremos la geometría sintética con la geometría analítica. La trigonometría que se estudiará aquí está muy ligada al triángulo rectángulo. Es por esto, que aprovecharemos sus propiedades en el estudio de las razones trigonométricas y en particular con la relación sen2x + cos2x = 1 la cual es una consecuencia del teorema de Pitágoras. En cuanto al estudio de las pirámides y los prismas rectos identificaremos sus elementos. Identificaremos las figuras que se forman cuando se cortan con un plano.

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En el área Relaciones y Álgebra continuaremos con el concepto de función y mas detalladamente con las funciones cuadráticas. Veremos los distintos tipos de representar la gráfica de una función cuadrática. Resolveremos problemas relacionados con las ecuaciones de segundo grado o con funciones cuadráticas. En el área Estadística y Probabilidad daremos más énfasis a las variables continuas en los distintos análisis de casos planteados. Sistematizaremos la información obtenida proponiendo problemas que incluyan situaciones cotidianas donde se realizarán la construcción de distribuciones y poligonos de frecuencia o histogramas para extraer las conclusiones correspondientes de cada caso. Introduciremos el análisis probabilístico con base en la definición frecuentista o empírica a partir del concepto clásico de probabilidad mediante la identificación de los puntos muestrales que están a favor de un evento dentro de un espacio muestral. Utilizando la noción intuitiva de la ley de los grandes números se identificará la evolución que esas probabilidades van experimentando a medida que se incrementa el tamaño de la muestra cuando se realizan varios experimentos con las mismas situaciones previas. Los contenidos desarrollados están de acuerdo con los programas vigentes aprobados por el Consejo Superior de Educación que aprobó el 21 de mayo de 2012 los programas de Matemática para los I, II, III Ciclos de la Educación General Básica y el Ciclo Diversificado.

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Matemática - EL MAESTRO EN CASA Página Presentación......................................................................................................................... i Índice....................................................................................................................................iii ÁREA 1: NÚMEROS Distribución según habilidades y conocimientos.................................................................. 1 Números reales ¿De dónde vienen nuestros números? ........................................................................... 3 ¿Qué son números irracionales? .................................................................................... 5 Conjunto de los números reales ..................................................................................... 7 Actividad 1....................................................................................................................... 9 Operaciones con números ............................................................................................ 13 Propiedades fundamentales de los números................................................................ 14 Propiedades de potencias............................................................................................. 15 Expresiones radicales.................................................................................................... 16 Valor absoluto................................................................................................................ 18 Actividad 2..................................................................................................................... 21 Orden de los números reales........................................................................................ 22 Actividad 3..................................................................................................................... 25 Trabajo individual 1........................................................................................................ 27 Cálculos y estimaciones Potenciación en ℝ.......................................................................................................... 37 Leyes de potencias........................................................................................................ 38 Relacionemos raíces con potencias.............................................................................. 39 Exponentes racionales.................................................................................................. 40 Actividad 1..................................................................................................................... 41 Radicación en ℝ............................................................................................................ 42 Actividad 2..................................................................................................................... 43 Simplificación de expresiones radicales........................................................................ 44 Actividad 3..................................................................................................................... 47 Actividad 4..................................................................................................................... 49 Radicales semejantes.................................................................................................... 50 Radicales homogéneos................................................................................................. 51 Actividad 5. ................................................................................................................... 52 Operaciones con expresiones que contienen radicales................................................ 53

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Matemática - EL MAESTRO EN CASA Actividad 6..................................................................................................................... 55 Multiplicación de radicales no homogéneos.................................................................. 57 Actividad 7..................................................................................................................... 58 Actividad 8..................................................................................................................... 59 Racionalización de denominadores............................................................................... 60 Actividad 9..................................................................................................................... 61 Actividad 10................................................................................................................... 62 Combinando operaciones.............................................................................................. 63 Trabajo individual 2........................................................................................................ 67 Cantidades muy grandes y muy pequeñas Prefijos del SI................................................................................................................. 73 Trabajo individual 3........................................................................................................ 76 ÁREA 2: GEOMETRÍA Distribución según habilidades y conocimientos................................................................ 77 Triángulos Triángulos...................................................................................................................... 79 Teorema de Pitágoras.................................................................................................... 81 Actividad 1..................................................................................................................... 83 Actividad 2..................................................................................................................... 85 Actividad 3..................................................................................................................... 87 Triángulos especiales.................................................................................................... 91 Actividad 4 .................................................................................................................... 93 Trabajo individual 1........................................................................................................ 95 Trabajo individual 2...................................................................................................... 102 El Teorema de Pitágoras y la fórmula de distancia...................................................... 104 Distancia entre dos puntos en el plano cartesiano...................................................... 105 Aplicaciones de la distancia entre dos puntos ............................................................ 106 Trabajo individual 3...................................................................................................... 108 Trigonometría Origen de la trigonometría............................................................................................111 ¿Qué es un radián....................................................................................................... 112 Equivalencia de un ángulo en el sistema sexagesimal y en el sistema circular.......... 113 Actividad 1................................................................................................................... 114 Las razones trigonométricas........................................................................................ 115

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Matemática - EL MAESTRO EN CASA Actividad 2................................................................................................................... 117 Actividad 3................................................................................................................... 119 Ángulos complementarios........................................................................................... 120 Actividad 4................................................................................................................... 122 Tabla de valores para razones trigonométricas........................................................... 123 Actividad 5................................................................................................................... 124 Resolución de triángulos rectángulos.......................................................................... 124 Relación fundamental de la trigonometría................................................................... 135 Actividad 6................................................................................................................... 135 Trabajo individual 1...................................................................................................... 136 Trabajo individual 2...................................................................................................... 141 Ley de senos............................................................................................................... 145 Actividad 1................................................................................................................... 147 Aplicación de la Ley de los senos................................................................................ 147 Actividad 2................................................................................................................... 149 Actividad 3................................................................................................................... 151 Trabajo individual 1...................................................................................................... 153 Trabajo individual 2...................................................................................................... 156 Geometría del espacio Clases de cuerpos sólidos........................................................................................... 160 Tipos de poliedros........................................................................................................ 161 Prisma.......................................................................................................................... 162 Área del prisma............................................................................................................ 163 Área de un prisma triangular regular........................................................................... 164 Actividad ..................................................................................................................... 165 Área del prisma rectangular......................................................................................... 167 Área de un prisma cuadrangular regular..................................................................... 169 Trabajo individual 1...................................................................................................... 171 Pirámide....................................................................................................................... 175 Área de la pirámide ..................................................................................................... 177 Tipos de pirámide triangular Trabajo individual 2...................................................................................................... 181 Tipos de pirámide cuadrangular.................................................................................. 182 Trabajo individual 3...................................................................................................... 184 Una pirámide rectangular............................................................................................ 185

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Matemática - EL MAESTRO EN CASA Tipos de pirámide rectangular..................................................................................... 186 Trabajo individual 4...................................................................................................... 189 ÁREA 3: RELACIONES Y ÁLGEBRA Distribución según habilidades y conocimientos................................................................ 77 Funciones Álgebra........................................................................................................................ 193 Funciones.................................................................................................................... 195 Representación gráfica de una función cuadrática...................................................... 198 Orientación o concavidad........................................................................................... 199 Representación tabular y gráfica de una función cuadrática....................................... 201 Trabajo individual 1...................................................................................................... 203 Expresiones algebraicas Factorización............................................................................................................... 207 Actividad 1................................................................................................................... 209 Actividad 2................................................................................................................... 211 Factorización de una diferencia de dos cuadrados..................................................... 212 Actividad 3................................................................................................................... 214 Trinomio cuadrado perfecto......................................................................................... 215 Actividad 4................................................................................................................... 216 Factorización completa combinando el factor común y los productos notables.......... 217 Actividad 5................................................................................................................... 217 Trabajo individual 1...................................................................................................... 219 Trabajo individual 2...................................................................................................... 221 Factorización de un trinomio que no es un cuadrado perfecto.................................... 223 Actividad 6................................................................................................................... 225 Actividad 7................................................................................................................... 226 Factorización por el método de completar cuadrados................................................. 227 Actividad 8................................................................................................................... 228 Actividad 9................................................................................................................... 231 División de polinomios................................................................................................. 232 Actividad 1................................................................................................................... 234 Actividad 2................................................................................................................... 235 Actividad 3................................................................................................................... 235 División de un binomio entre un binomio..................................................................... 236

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Matemática - EL MAESTRO EN CASA Actividad 4................................................................................................................... 237 División sintética.......................................................................................................... 239 Actividad 5................................................................................................................... 241 División de un trinomio por un trinomio....................................................................... 242 Actividad 6................................................................................................................... 243 Trabajo individual 1...................................................................................................... 244 Expresiones algebraicas fraccionarias........................................................................ 247 Actividad 1................................................................................................................... 250 Suma y resta de fracciones algebraicas...................................................................... 251 Actividad 2................................................................................................................... 252 Actividad 3................................................................................................................... 255 Multiplicación de fracciones algebraicas..................................................................... 257 Actividad 4................................................................................................................... 258 Actividad 5................................................................................................................... 260 Actividad 6................................................................................................................... 264 Racionalización de denominadores y numeradores.................................................... 266 Actividad 1................................................................................................................... 267 Actividad 2................................................................................................................... 268 Racionalización de un binomio.................................................................................... 269 Trabajo individual 1...................................................................................................... 270 Trabajo individual 2...................................................................................................... 273 Ecuaciones Ecuaciones cuadráticas............................................................................................... 274 Actividad 1................................................................................................................... 279 Fórmula general de resolución de la ecuación de segundo grado.............................. 280 Actividad 2................................................................................................................... 286 Aplicaciones de las ecuaciones de segundo grado a la solución de problemas......... 287 Actividad 3................................................................................................................... 290 Trabajo individual 1...................................................................................................... 292 Función cuadrática Función cuadrática...................................................................................................... 295 Función canónica o estándar de la función cuadrática................................................ 296 Forma factorizada de la función cuadrática................................................................. 298 Actividad 1................................................................................................................... 299 Actividad 2................................................................................................................... 304

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Matemática - EL MAESTRO EN CASA Trabajo individual 1...................................................................................................... 304 Aplicaciones de las funciones cuadráticas.................................................................. 306 Trabajo individual 2...................................................................................................... 308 ÁREA 4: ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD Variables cuantitativas Estadística................................................................................................................... 313 ¿Qué es la estadística?............................................................................................... 315 Actividad 1................................................................................................................... 317 Distribuciones de frecuencia Clase o intervalo de clase............................................................................................ 319 Límites de los intervalos.............................................................................................. 320 Distribución de frecuencia absoluta............................................................................. 321 Distribución de frecuencia relativa............................................................................... 321 Representaciones gráficas.......................................................................................... 325 Construcción y análisis de histogramas...................................................................... 326 Polígonos de frecuencia.............................................................................................. 331 Actividad 2................................................................................................................... 334 Problemas resueltos.................................................................................................... 336 Trabajo individual 1...................................................................................................... 344 Trabajo individual 2...................................................................................................... 349 Muestras aleatorias Introducción................................................................................................................. 357 Clasificación de los sucesos o eventos....................................................................... 359 Actividad 1................................................................................................................... 360 Probabilidad frecuencial.............................................................................................. 360 Actividad 2................................................................................................................... 364 Hojas de respuestas......................................................................................................... 367 Programa de Matemática Zapandí................................................................................... 405 Ejemplo de hoja de respuesta (para lectora óptica)......................................................... 409

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NÚMEROS

Matemática - EL MAESTRO EN CASA

DISTRIBUCIÓN SEGÚN HABILIDADES Y CONOCIMIENTOS ÁREA 1: NÚMEROS. 12 ÍTEMS CONOCIMIENTOS

HABILIDADES ESPECÍFICAS

Números reales

1.1 Identificar números irracionales en diversos contextos.

t

Números irracionales

t

Concepto de número real

t

Representaciones

t

Comparación

t

Relaciones de orden

t

Recta numérica

1.2 Identificar números con expansión decimal infinita no periódica. 1.3 Realizar aproximaciones decimales de números irracionales. 1.4 Reconocer números irracionales en notación decimal, en notación radical y otras notaciones particulares. 1.5 Comparar y ordenar números irracionales representados en notación decimal y radical. 1.6 Identificar números reales (racionales e irracionales) y no reales en cualquiera de sus representaciones y en diversos contextos.

Cálculos y estimaciones t

Suma

t

Resta

t

Multiplicación

t

División

t

Potencias

t

Radicales

1.7 Estimar el valor de la raíz de un número entero. 1.8 Determinar números irracionales con representación radical entre dos números enteros consecutivos. 1.9 Utilizar la calculadora para resolver operaciones con radicales.

Cantidades muy grandes y muy pequeñas

1.10 Utilizar los prefijos del Sistema Internacional de Medidas para representar cantidades muy grandes y muy pequeñas. 1.11 Utilizar la calculadora o software de cálculo simbólico como recurso en la resolución de problemas que involucren las unidades.

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NÚMEROS

Matemática - EL MAESTRO EN CASA

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NÚMEROS

Matemática - EL MAESTRO EN CASA

¿DE DÓNDE VIENEN NUESTROS NÚMEROS? La historia nos cuenta que el desarrollo del comercio trajo consigo la ampliación de los números naturales. La razón de esto era una situación de necesidad, producto del mismo comercio. Consideremos el caso siguiente: Dos comerciantes, uno de ellos solicita cierta mercadería a otro, pero al momento de pagarla no le alcanza el dinero que posee. Se llega al acuerdo de pagar posteriormente. A este acuerdo se le denomina deuda. Situaciones como estas ocurren y ocurrirán siempre. Debido a esto el ingenio humano crea los números negativos. Este nuevo conjunto de números se denomina números enteros y se le simboliza con una ℤ. ℤ = {..., -5, -4, -3, -2,- 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...} Una vez solucionado este problema, surge otro muy antiguo y que al parecer ya había sido considerado por los egipcios: la representación de partes de la unidad, o sea, las fracciones. Al analizar problemas semejantes a estos, matemáticos del pasado conciben otro tipo de números: los números racionales. Ejemplos: a)

b) La mamá de Alejandro hizo un queque y lo partió en 8 partes iguales, de estas Alejandro se comió una parte de ese queque. ¿Cómo se puede representar esa parte del queque utilizando números? Para la creación de este nuevo tipo de números se fundamentan en las características y propiedades de los números enteros y lo definen de la manera siguiente: ℚ=

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NÚMEROS

Matemática - EL MAESTRO EN CASA Esta nueva clase de números, a su vez posee características, propiedades y operaciones muy particulares que ya han sido estudiadas en el libro de Matemática Ujarrás. Antes de continuar con la historia de los números, repasemos algunos datos referentes a los números racionales. Los números racionales se caracterizan por tener una expresión decimal que solo puede ser de tres tipos: t Exacta: la parte decimal tiene un número finito de cifras.

t Periódica pura: toda la parte decimal se repite indefinidamente.



31 = 0,31313131… 99 1 = 0,142857142857… 7

t Periódica mixta: no toda la parte decimal se repite, es decir, existe un

anteperíodo (cifras decimales que no se repiten) y el período (las que se repiten).





1 = 0,0166666… = 0,016 60 43 = 0,130303030… = 0,130 330

¿Pero existen números que no se pueden expresar como cociente o razón de dos números enteros? Cierto. El problema se les presentó a los pitagóricos cuando trataron de medir la hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles que se le formaba en una baldosa cuadrada dividida en dos partes por una de sus diagonales.

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NÚMEROS

Matemática - EL MAESTRO EN CASA Tomando como unidad el cateto de este triángulo y aplicando el Teorema de Pitágoras, apareció el primer número irracional, que es 2 , cuyo valor aproximado es 1,4142135… Los números irracionales no pueden expresarse exactamente en forma de fracción común o decimal, aunque pueden calcularse con los decimales que se deseen (no tienen expansión decimal infinita periódica). Ejemplos de números irracionales: 2,

3,

5,

6,

7,

8,

10, etc.

π (pi) = 3,14592… e (número de Euler) = 2,718281828459…

φ (razón de oro) = 1,618033988749…

¿Qué son números irracionales? Los números irracionales son números que poseen expansión decimal infinita no periódica, que por lo tanto no pueden ser expresados como fracciones. En la práctica, para trabajar con números irracionales es preciso utilizar aproximaciones decimales. Estas se pueden obtener con calculadora, utilizando fórmulas algebraicas o procedimientos geométricos. Los valores obtenidos suelen truncarse o redondearse. El conjunto de los números irracionales se simboliza con II. Si al conjunto de números racionales le añadimos el conjunto de los números irracionales, obtenemos un conjunto que se llama conjunto de los números reales (ℝ).

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NÚMEROS

Matemática - EL MAESTRO EN CASA En Matemática Zapandí vamos a conocer los números reales que resulta de la unión o reunión del conjunto de los números racionales ℚ y el conjunto de los números irracionales II. Estudiaremos sus características, además de las propiedades y operaciones que se pueden dar con estos. Nada mejor para comenzar este "paseo por los números" con una célebre frase de Leopold Kronecker, matemático del siglo XIX: Dios creó los números enteros, todo lo demás es obra del hombre.

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NÚMEROS

Matemática - EL MAESTRO EN CASA

CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES Anteriormente hemos estudiado los números naturales {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,...} luego los números enteros {...-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5...}. También consideramos el caso del conjunto de números cuyos elementos se representan por el cociente de dos números enteros a y b donde b no es igual a cero; a este conjunto de números se le denomina conjunto de los números racionales.

Además de esto, tenemos que todo número puede representarse como el cociente de sí mismo y de 1; es decir

ℚ=

Producto de esta situación, tenemos que cualquier número racional puede escribirse en notación decimal.

El conjunto de los números racionales es un conjunto denso, es decir, es un conjunto tal que entre dos números racionales cualesquiera, siempre es posible determinar otro número racional. 1 1 Por ejemplo entre y existe una cantidad infinita 4 2 de números racionales.

Por ejemplo:

3 puede escribirse como 0,3 10 9 puede escribirse como 2,25 4

a) Veamos

53 puede escribirse como 1,656 25 32 Como vemos, este tipo de número racional posee una expansión decimal finita; es decir, se les pueden contar los decimales. b) También entre los enteros – 4 y 2 existen una cantidad infinita de números racionales, por ejemplo − 7  y  6 . 2 5

Por eso se les llama números racionales conmensurables. Pero también hay números racionales cuya representación decimal es inconmensurable; o sea, no se pueden medir porque es periódica. Por ejemplo: 1. 5 tiene una expansión decimal 0,555 555… 9 donde el dígito 5 se repite.

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NÚMEROS

Matemática - EL MAESTRO EN CASA Tenemos por ejemplo:

2. 17 tiene la expansión decimal 0,171 717… 99 donde los dígitos 1 y 7 se repiten sucesivamente y en ese orden.

t

Arquímedes determinó que dicho valor está 1 entre 3 10 . 71  y 3 7

t

Los chinos en el siglo I le asignaron el valor de 10 con un error del 2%.

t

Los hindúes posteriormente le dieron el valor 1 de 3,141 6 con un error de . 400 000

Por tanto, cualquier número que tiene una expansión decimal finita o una expansión decimal infinita periódica es un número racional.

t

En el siglo XVII, Adriano Mercio le asigna la 1 fracción 355 con un error de . 10 000 000 113

Al interpretar los números racionales con esta nueva forma se plantea una pregunta:

Actualmente, se conocen más de 5 billones de decimales de este número que se pueden calcular fácilmente con una computadora. Estas son algunas de sus cifras decimales

3.

2 3

= – 0,666… después de cada 6 irá otro 6. Entonces, decimos que la expansión decimal 2 de − 3 es infinita periódica y se representa de − 2 2 la siguiente forma: − 3 = − 0,6 indicando que el 3 6 se repite infinitamente. −

¿Existen números cuya representación decimal sea infinita y no periódica?

π ≈ 3,141 592 653 589 8... Este símbolo π (pi), es una notación introducida por el matemático Euler en 1748, que proviene de la letra inicial minúscula de la palabra griega perímetro, debido a su relación con el perímetro del círculo.

La respuesta es afirmativa

�

Desde la antigüedad, la necesidad de contar con números que expresaran ciertas relaciones importantes, enfrentó al ser humano a números cuya expansión decimal es infinita y no periódica: un problema importante lo constituyó la necesidad de determinar un número que correspondiera a la razón existente entre la longitud de la circunferencia y la longitud de su diámetro, pues los antiguos matemáticos determinaron que en cualquier círculo por más grande o más pequeño que fuese, la longitud de la circunferencia es aproximadamente tres veces la longitud del diámetro. A este número se le denominó π.

En nuestro caso, este símbolo π aparecerá en las fórmulas de perímetro y de área de un círculo de radio r que se utilizarán en los libros de El Maestro en Casa. Otro número irracional muy conocido es el número de Nepper, simbolizado con la letra e (se lee e) donde e ≈ 2,718 281 828 46... Este número e aparece en procesos de crecimiento, en la desintegración radiactiva, en la fórmula de la catenaria, que es la curva que podemos apreciar en los tendidos eléctricos. Otro tipo de números irracionales son los que se le atribuyen al matemático griego Pitágoras de la Isla de Samos 540 años antes de Cristo, este los

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NÚMEROS

Matemática - EL MAESTRO EN CASA encontró al establecer la relación que existe entre los lados de un cuadrado y su diagonal.

forma característica, por lo tanto, tenemos que: los números irracionales es el conjunto de los números que no pueden expresarse como cociente de dos enteros. Solo pueden expresarse en forma decimal y el número de decimales que tienen es infinito y no se repiten siguiendo algún período determinado.

Algunos de estos números irracionales son: 2 (se lee raíz cuadrada de dos) 3 (se lee raíz cuadrada de tres) 5 (se lee raíz cuadrada de cinco)

Al conjunto de los números irracionales se le denota con . A la unión del conjunto de los números racionales ℚ y del conjunto de los números irracionales se le llamará conjunto de los números reales; el cual se denotará con ℝ. Simbólicamente se escribe ℝ = ℚ ∪ .

7 (se lee raíz cuadrada de siete) De acuerdo a lo anterior, tenemos que el conjunto de los números irracionales es infinito, y además cada uno de sus elementos posee una

ACTIVIDAD 1 1. Analice los siguientes números e indique si son números racionales o números irracionales a) 12,124 356… b) 0, 523 598 7… c) 0, 342 342 34… d) 1, 838 849 1… e) 4, 232 323… f) – 9, 030 030 030… g) – 0, 494 494 49… h) – 3, 222 2… i) 2, 122 333 444 455 555… j) 3, 456 k) 6, 122 333

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NÚMEROS

Matemática - EL MAESTRO EN CASA 2. Complete la siguiente tabla escribiendo pertenece o no pertenece según sea el caso. Número

4

2,171717…

4

5

2,345678…

− 3 4

− 9

Natural? Entero? Racional? Irracional? Real?

Recuerde:

e) 0,1234567891011121314151617181920212223… Es un número real.

II: conjunto de los números irracionales, expansión decimal infinita no periódica.

f) 1,01001000100001000001000000100000001… Es un número real.

ℚ conjunto de los números racionales, números con expansión decimal infinita periódica.

Como puede verse, algunos números tienen expansión decimal periódica como en a, b y c y otros tienen expansión decimal no periódica como en d, e y f. En consecuencia, los ejemplos a, b y c son números racionales y d, e y f son números irracionales. La característica de tener expansión decimal infinita periódica para los racionales y la propiedad de tener expansión decimal infinita no periódica para los irracionales define dos tipos de números muy distintos, esto significa que un número real es racional o irracional, nunca ambos. Simbólicamente se escribe ℚ ∩ = ∅, donde el símbolo ∩ es intersección y este símbolo refiere a los elementos que pertenecen a los dos conjuntos a la vez, en este caso, ℚ e II no tienen elementos en común.

Números reales En principio podemos definir a los números reales como aquellos números que tienen expansión decimal infinita periódica y los que tienen expansión decimal infinita no periódica. Por ejemplo: a) 3 es un número real ya que 3 = 3,0000000000… b) c)

1 1 es un número real ya que = 0,5000000000… 2 2 1 es un número real ya que 1 = 0,3333333333… 3 3

d)

2 es un número real ya que



2 = 1,4142135623730950488016887242097…

Recordemos que ∅ significa conjunto vacío y es el único conjunto que no tiene elementos.

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NÚMEROS

Matemática - EL MAESTRO EN CASA A su vez, los números reales se clasifican en: t

Números naturales ( ), los que usamos para contar. Por ejemplo, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,…

t

Números enteros (ℤ), son los números naturales, los negativos y el cero. Por ejemplo: …– 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3,…

Números racionales, son aquellos números que se pueden expresar como cociente de dos números enteros, es decir, son números de la a forma con a, b enteros y b ≠ 0. b t Números irracionales, se clasifican en: t

t





t

Números trascendentes: Son números reales irracionales que no son algebraicos, es decir, que no son solución de alguna ecuación polinominal. Provienen de las funciones trascendentes como las trigonométricas, logarítmicas y exponenciales.



Por ejemplo, n 0,123456789101112131415161718192… n 1,010010001000010000010000001000…

Para estos conjuntos tenemos las siguientes relaciones:

Números algebraicos: Se dice de los números irracionales que son solución de alguna ecuación polinominal, en la que los coeficientes de la ecuación son números enteros.

1)

natural es entero (y a su vez racional y real), todo número entero es racional, por ejemplo si tomamos el entero – 3, tenemos: – 3 = − 3 1 por lo tanto – 3 ∈ ℚ ya que hemos podido

Por ejemplo, en la ecuación x2 – 14 = 0 la solución es ± 14 , por lo que 14 y – 14 son números irracionales algebraicos.

escribir nuestro número como un cociente de dos enteros con el denominador diferente de

En general, todas las raíces no exactas de cualquier orden son irracionales algebraicos.

cero. Esto lo podemos hacer con cualquier número entero. 2)

Recuerde: Hay números racionales que parecen irracio3

Llamamos recta real a la recta donde cada punto que la conforma corresponde un número real. Como cada punto de ella está identificado con un número racional o irracional esta recta es una recta compacta donde no queda ningún "espacio libre" entre dos puntos de ella. Para tener una idea de esta propiedad imagine que dados dos números racionales siempre es posible encontrar uno entre ellos. Esto es simple considerando que la semisuma de dos números cualquiera siempre está entre ellos dos. Es decir, dados dos números

A simple vista parecen irracionales pero al al calcular las raíces notamos que estas son exactas y obtenemos números racionales.

En efecto, n n n

⊂ ℝ.

La recta real

nales, como por ejemplo 1+ 4 ,   9 y 25 2

⊂ ℤ, ℤ ⊂ ℚ, ℚ ⊂ ℝ. Es decir: todo número

1+ 4 1+ 2 3 = = 2 2 2 9 3 = =1 3 3 25 = 5

11

NÚMEROS

Matemática - EL MAESTRO EN CASA racionales a y b con a < b, siempre se verifica que a < a + b < b. 2 En la recta real representamos todos los números (recuerde que todo punto de la recta está etiquetado como un número real) y en ella podemos visualizar el orden en que se ubican los números.

Otra manera de representar números irracionales en la recta real (forma aproximada) Para representar el número irracional 5 en la recta numérica, tenemos que tener presente que los números irracionales no se pueden escribir como el cociente de dos números racionales. Por otra parte, su representación decimal es infinita y no periódica.

1 3 ,   ,  e, π por citar algunos 2 2 se representan usando su expansión decimal Los números

ubicando en la recta aproximadamente su lugar

(respetando el orden). En el caso de algunos números irracionales como ± 2,  ± 3,  ± 5 …

Por estas razones, para ubicar un número irracional en la recta numérica debemos hacerlo en forma aproximada.

pueden representarse exactamente en la recta

mediante el uso de una regla y compás. Por

Para ubicar el número irracional 5 en la recta numérica tenemos que el valor aproximado de 5 = 2, 236 068... (utilizando una calculadora); es decir,

ejemplo, para representar ± 2 consideramos un triángulo rectángulo isósceles en el que los catetos miden 1 cm, con uno de sus vértices en

el origen de la recta (ver figura siguiente). Lue-

2 3 6 0 6 8 + + + + + 10 100 1000 10 000 100 000 1000 000

go con un compás trazamos una circunferencia

2+

circunferencia con la recta real es el número

En la recta numérica, ubicamos primero el número 2

en la que su radio es la hipotenusa de dicho triángulo (que es 2 ). La intersección de esta 2

a la derecha, y – 2 a la izquierda (ver figura). De manera análoga se puede representar ± 5 .

0

En este caso, se toma un triángulo rectángulo en

el que catetos miden 2 cm y 1 cm, tal como se

1

2

3

2

Para ubicar después del dos, procedemos 10 dividiendo el segmento entre 2 y 3 en 10 partes iguales y tomamos dos de ellos. Así.

muestra en la siguiente figura.

2

12

2,2

2,3

3

NÚMEROS

Matemática - EL MAESTRO EN CASA Ahora si dividimos el segmento entre 2,2 y 2,3 en 10 partes iguales obtendremos las 3 centésimas 2,3

2,23 2,24

2,2

opera con cualquier par de números racionales el resultado es un racional. Por ejemplo: 3 2 t Al sumar los números racionales y ob10 5 7 tenemos el número racional . 10

Dividiendo el segmento entre 2,23 y 2,24 en 10 partes iguales obtendremos las seis milésimas. 2,23

2,236 2,237

2 3 (10 ÷ 5)2 + (10 ÷ 10)3 (2)2 + (1)3 4 + 3 7 + = = = = 10 10 10 10 5 10

2,24 t

Realizando esto repetidas veces encontraremos que 2, 236 068 ... lo podemos localizar en la recta numérica aproximadamente así:

17 11 (12 ÷ 4)17 − (12 ÷ 3)11 51− 44 7 − = = = 4 3 12 12 12

2,236 068

2,237

2,236

17 11 Al restar los números racionales y ob3 4 7 tenemos el números racional 12

Esta es la forma aproximada de representar un número irracional. La aproximación de este número puede ser a la décima, la centésima, la milésima o más 2,236 068 ...

t

Se pueden efectuar combinaciones de operaciones tales como:  1  5   1 8 +  −  +  − 8   − 25    8 2  2



y el resultado es un número racional:

 1  5   1  4 8 +  −  +  − 8   − 25 = 8 +   − 1− 25 = 8 + 2 − 26 = −16 2  2  2   8 

Luego tenemos que 5 ≈ 2,236068…

Operaciones con números

Operaciones con números irracionales

Como los números reales son la unión de dos conjuntos disjuntos ℝ = ℚ ∪ Ⅱ, las operaciones deben analizarse desde dos puntos de vista.

En cuanto a las operaciones con números irracionales es necesario tener en cuenta lo siguiente: t

3 + 5 = 3 + 5 . Dos irracionales cuya suma resulta un irracional.

t

2 • 3 = 6. Dos irracionales cuyo producto es un irracional.

Operaciones en los números racionales Lo primero que debemos decir es que las operaciones con los números racionales están bien definidas, esto quiere decir, que toda vez que se

13

NÚMEROS

Matemática - EL MAESTRO EN CASA t

5 + (− 5 ) = 0. Dos irracionales cuya suma es un racional.

a pesar de su extraño comportamiento tenemos dos afirmaciones que siempre son válidas:

t

2 • 8 = 16 = 4. Dos irracionales cuyo producto es un racional.

1. Si a es racional y b es irracional entonces la suma a + b siempre es irracional.

t

18 ÷ 2 = 18 ÷ 2 = 9 = 3. Dos irracionales cuya división resulta un racional.

2. Si a ≠ 0 es racional y b es irracional entonces el producto a • b siempre es irracional. Se puede afirmar que:

Como podemos notar, las operaciones de suma, resta, multiplicación y división no son operaciones bien definidas en los números irracionales. Esta afirmación quiere decir que dados dos números irracionales no siempre la suma, resta y multiplicación o división de dichos números resulta un número irracional. Los ejemplos anteriores nos advierten que los números irracionales no se comportan, con respecto a las operaciones, de manera similar a los números racionales. Sin embargo, y

t

2 + 3 es irracional.

t

2 • 5 es irracional.

Propiedades fundamentales de los números En la siguiente tabla se muestra, a manera de resumen, las operaciones entre números y sus propiedades. En cada caso las letras a, b y c representan números reales, a ≠ 0.

PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES CON NÚMEROS REALES Propiedad

Ejemplo

Descripción

Propiedad conmutativa de la adición a+b=b+a de la mmultiplicación ab = ba Propiedad asociativa de la adición (a + b) + c = a + (b + c) de la multiplicación (ab)c = a(bc)

7+3=3+7 10 = 10 3•5=5•3 15 = 15

Cuando se suman dos números, no importa el orden. Cuando se multiplican dos números no importa el orden.

(2 + 4) + 7 = 2 + (4 + 7) 6 + 7 = 2 + 11 13 = 13 (3 • 7) • 5 = 3 • (7 • 5) 21 • 5 = 3 • 35 105 = 105 Propiedad distributiva de la multipli- 2 • (3 + 5) = 2 • 3 + 2 • 5 2 • 8 = 6 + 10 cación respecto de la suma a(b + c) = ab + ac 16 = 16 (3 + 5) • 2 = 2 • 3 + 2 • 5 (b + c)a = ab + ac 8 • 2 = 6 + 10 16 = 16

14

Cuando se suman tres números, no importa cuáles dos se suman primero. Cuando se multiplican tres números, no importa cuáles dos se multiplican primero.

Cuando se multiplica un número por una suma de dos números se obtiene el mismo resultado que al multiplicar el número por cada uno de los términos y luego sumar los resultados.

NÚMEROS

Matemática - EL MAESTRO EN CASA Propiedad Propiedad del inverso aditivo a + (– a) = (– a) + a = 0

Ejemplo

Descripción

5 + (– 5) = (– 5) + 5 = 0

Cuando se suma un número y su opuesto el resultado es cero.

Propiedad del inverso multiplicativo, a≠0 2 • 2–1 = 2–1 • 2 = 1 a • a–1 = a–1 • a = 1 Propiedad elemento neutro de la suma 5+0=0+5=5 a+0=0+a=a Propiedad elemento neutro multiplicar a•1=1•a=a –3•1=1•–3=–3

Cuando se multiplica un número por su inverso el resultado es uno. Cuando se suma un número con cero se obtiene el mismo número. Cuando se multiplica un número por uno se obtiene el mismo número.

siempre en el sentido de "lo uno o lo otro o las dos cosas a la vez".

Si observamos con atención notaremos que las propiedades de los números se basan en las operaciones de suma y multiplicación. Esto se debe a que la suma y la multiplicación son las operaciones básicas; la resta y la división dependen de ellas. La resta es la suma de un inverso aditivo y la división es la multiplicación por el inverso multiplicativo. Esto es: a 1 a − b = a + (− b) y = a • = a • b −  1 b b Observe que 3 – 5 ≠ 5 – 3 y 5 ÷ 3 ≠ 3 ÷ 5, lo que nos dice que la resta y la división no son conmutativas y tampoco son asociativas.

Propiedades de potencias En la tabla adjunta se resumen las propiedades que verifica la potencia de números reales. Propiedades de potencias Exponente cero a0 = 1 Exponente uno a1 = a Producto de potencias am • an = am + n de igual base am = am   −  n n a (a • b)m = am • bm

Cociente de potencia de igual base

La propiedad del elemento simétrico para el producto permite deducir una propiedad de los números muy utilizada en el cálculo.

Potencia de un producto

Sean a y b números. Si el producto a • b = 0, entonces a = 0 o b = 0. Esta propiedad indica que toda vez que el producto de números es cero, necesariamente uno de los factores debe ser cero. Entiéndase que puede ocurrir que a la vez a = 0 y b = 0, ya que esta posibilidad no se excluye; cuando en matemáticas decimos "a = 0 o b = 0", la conjunción o, se usa

Potencia de un cociente Potencia de una potencia

(am)n = am • n

Exponente negativo Base negativa exponente par Base negativa exponente impar

15

m

am  a   = n b a a

−m

1  a = m ;    a  b

−m

 b =   a

(– a)m = am (–a)m = – am

m

NÚMEROS

Matemática - EL MAESTRO EN CASA

Expresiones radicales

b)

1

t 7 = 49 porque 7 • 7 = 49 2

a)

2

121 = 11 pues 112 = 11 • 11 = 121

b)

5

32 = 2 pues 25 = 2 • 2 • 2 • 2 • 2 = 32

c)

3

343 = 7 pues 73 = 7 • 7 • 7 = 343

Cada parte de un radical lleva un nombre:

4 porque 2 • 2 = 4   = 3 3 9 3 9 2

En la expresión

−1 −1 = 32 2

En este libro Matemática Zapandí también haremos cálculos y estimaciones pero adaptándolas al conjunto de los números reales, enunciando para aquellos casos las nuevas propiedades que se consideren necesarias y fundamentales.

n

a :



"n" recibe el nombre de índice



"a" recibe el nombre de subradical



es el símbolo radical

Por ejemplo: a) En 8 30 , 8 es el índice del radical y 30 es el subradical. b) En 3 27 , 3 es el índice del radical y 27 es el subradical.

Raíz enésima de un número real Si a es un número real mayor o igual a cero y

Importante

n es un número natural mayor que uno, se define 1

n

raíz enésima de a y se denota a n , al número real

n

camente tenemos:

=a

I. Cuando un elemento x pertenece a un conjunto A, lo denotamos x ∈ A. Si esa relación no se cumple, escribimos x ∉ A.

Notación La raíz enésima de a se denota 1

n

a , es decir:

an = n a Por ejemplo:



Por ejemplo:

a)

2 ∈ ℝ porque 2 = 1,41423562… posee una expansión decimal infinita no periódica.

8 (se lee raíz cúbica de 8) se puede denotar 1

n

Relación de pertenencia e inclusión

1

a n = b ⇔ bn = a

3

an = a

( a)

positivo b que cumple la igualdad bn = a. Simbóli-

a)

a = b ⇔ bn = a

Por ejemplo:

t 54 = 625 porque 5 • 5 • 5 • 5 = 625

5

n

podemos expresar esto

t 23 = 8 porque 2 • 2 • 2 = 8

36 6 = • 26 5

1

n Así usando el hecho de que a n = a , también

Así por ejemplo tenemos que:

t

625 (se lee raíz cuarta de 625) se puede de1

notar también 625 4 , es decir 625 4 = 4 625

En el libro Matemática Ujarrás estudiamos al conjunto de los números racionales y sus respectivas operaciones; entre ellas las operaciones potenciación y radicación con base racional y exponente natural.

t  2 

4

1

también 8 3 , es decir 8 3 = 3 8 .

b)

16

4 ∉ II porque

4 = 22 = 2

NÚMEROS

Matemática - EL MAESTRO EN CASA

3 3 3 porque − 8 = − 2 = − 2

c) − 3 8 ∉

Por ejemplo:

a)

d) 0,404061017… ∈ II porque posee una expansión decimal infinita no periódica.

⊂ℤ

b) ℤ ⊂ ℚ c)

OBSERVE ES IMPORTANTE

⊂ ℚ

d) ℚ ⊂ ℝ

Un mismo número se puede representar de diferentes maneras.

e) f)

Por eso, hay que tener cuidado antes de asegurar que un número pertenece o no a cierto conjunto. Números reales ℝ

II ⊂ ℝ

{−

5, 1,  3

}

⊄ II este caso debe observase con mucho cuidado porque − 5 ∈ II, 3 ∈ II, pero 1 ∉ II, 1 es un número natural.

 25 + 2  g) − 4,  3 27 ,  ⊄ℤ 3  

−2,12 π

5 7

En este caso se tiene que − 4 = – 2 ∈ ℤ 3 3 3 también 27 = 3 = 3 ∈ ℤ, recuerde que:





− 5(− 3)0 − 21 7

2 − 7 11

2 − 15 − 3 3

− 8

− 1 9

0

5

3 3,

0,0101001000…

3

27 8

3−33

an = a

y además

sen 70°

81

(

n

16

− 17

4   0,3 −  3

3,1415

)

25 + 2 5 + 2 7 = = ∉ℤ 3 3 3



3 25

Importante Cuando en un conjunto se coloca un signo a la derecha y arriba (en posición de un exponente) se restringe únicamente a los números de ese signo que pertenecen al conjunto.

II. Cuando todos los elementos de un conjunto A pertenecen a un conjunto B, decimos que A es un subconjunto de B, independientemente de que existan elementos de B que no pertenecen a A.



Por ejemplo:

En tal caso, lo denotaremos A ⊂ B si A no es un subconjunto de B, lo denotaremos A ⊄ B.

17

t

ℝ– significa: el conjunto de todos los números reales negativos.

t

ℝ+ significa: el conjunto de todos los números reales positivos.

NÚMEROS

Matemática - EL MAESTRO EN CASA Ejemplos

5) ℚ+ _____ ℝ

En cada uno de los siguientes casos, complete con ∈ o ∉ ó ⊂ o ⊄.



real positivo por eso ℚ+ ⊂ ℝ.

1) 0,345 841 300 2… _______ ℚ

6)

Como el número 0,345 841 300 2… es un número cuya expansión decimal es infinita y no periódica. Entonces, no pertenece a los números racionales: 0,345 841 300 2… ∉ ℚ.

2) 2,4 +



1 _______ 4

Para pasar un número racional en notación decimal periódica pura a fracción se hace lo siguiente: se escribe en el numerador el número sin la coma decimal, se resta el período y en el denominador se escriben tantos números como cifras tenga el período. (Ver página 18 Ujarrás. Decimales períodos puros). Al convertir la expresión 2,4 a fracción, tenemos que 2,4 =



|a|=

_____ ℤ+

33 3 = queda claro 53 5

a si a ≥ 0 – a si a < 0

Gráficamente

, se dijo que

–a

= {0, 1, 2, 3, 4,…}, como ℤ = ℤ– ∪ {0} ∪ ℤ+, esto nos indica que

3

Si a es un número real, entonces el valor absoluto de a es

El número – 0,245 6 es un número cuya expansión decimal es finita, en un número racional.

Cuando consideramos a

27 = 125

Al simplificar 3 es un número racional. Entonces que 5 27 ∉ II. 3 165 3

El valor absoluto de un número a denotado por | a |, es la distancia desde 0 hasta a sobre la recta de los números reales. La distancia es siempre positiva o cero, de modo que tenemos | a | ≥ 0 para cada número a.

Así, – 0,2456 ∈ ℚ–. 4)

27 _____ II 125

Valor absoluto

24 − 4 20 = . Entonces, 9 9

20 1 80 + 9 89 + = = que es un número ra9 4 36 36 1 cional. 2,4 + ∉ . 4 3) – 0,245 6 _______ ℚ–

3

Importante: si necesita repasar la representación decimal de los números decimale, repase la semana primera de Matemática Ujarrás 2016, páginas 17 a 21. a 7) _____ ℚ– donde a ∈ ℚ–, b ∈ ℤ+ b El resultado de dividir una fracción negativa entre un número entero positivo será siempre una fracción negativa, así con certeza podemos a asegurar que ∈ ℚ–. b

Recuerde:



Cada número racional positivo es un número

⊄ ℤ+.

a

18

a

0

0

a

NÚMEROS

Matemática - EL MAESTRO EN CASA Por ejemplo:

e) | 3 – π | = – (3 – π) = π – 3

a) La expresión | 3 | se lee "valor absoluto de tres", la cual corresponde a la distancia desde 0 al número 3.



Cuando se trabaja con valores absolutos, usamos las propiedades siguientes: PROPIEDADES DEL VALOR ABSOLUTO Propiedad Ejemplo Descripción El valor absoluto de un número es 1. |a| ≥ 0 |– 3| = 3 ≥ 0 siempre positivo o cero. Un número y su negativo tienen 2. |a| = |– a| |5| = |– 5| el mismo valor absoluto. El valor absoluto de un producto es 3. |ab| = |a| |b| |– 2 • 5| = |– 2| |5| el producto de los valores absolutos. El valor absoluto 12 a a 12 de un cociente es 4.  = = b b − 3 – 3 el cociente de los valores absolutos.

b) La expresión | – 3 | se lee “valor absoluto de menos tres”, la cual corresponde a la distancia desde – 3 al número 0.

c) Si el número es positivo o cero, su valor absoluto es el mismo número.

 



5

= 5

0

= 0

3

 

=

  2 

=

4

3

4

2

d) Si el número es negativo, su valor absoluto es el opuesto del número.

Operaciones con valor absoluto A. Realice las siguientes operaciones:

− 8 = −(− 8) = 8



(

)

−3 5 = − −3 5 =

(puesto que 3 < π ⇒ 3 – π < 0

1. |2 + 3(– 4)| = _______ 3

5

Solución:

Observe

|2 + 3(– 4)| = |2 – 12| = |– 10| = 10

2. – |– 4| = _______

De los resultados anteriores, podemos concluir que el valor absoluto de un número, nunca es negativo.

Solución: – |– 4| = – (4) = – 4

19

NÚMEROS

Matemática - EL MAESTRO EN CASA 3. – |(– 2)2 | = _________

C. Simplificación de expresión con valor absoluto

Solución:

1) |(– 1 + 4(2)) + 2| + |– 4 – (7 – 2 • 3)| = _______

– |(– 2)2 | = – |4| = – 4

Solución:

4. – |– 2|2­ = _________ Solución:

– |– 2|2­ = – (2)2 = – 4

5. (– |– 2|)2 = __________



|(– 1 + 8) + 2| + |– 4 – (7 – 6)| =



|7 + 2| + |– 4 – 1| =



|9| + |– 5| = 9 + 5 = 14

2)

Solución: (– |– 2|)2 = (– (2))2 = (– 2)2 = 4

Solución:

B. Calcule 1)

5 + 2 = _______

2.

5 +2 = 5 +2

2 + 1 19 − = 3 4

3 − 39 = _______

3 19 − = 3 4

Como 3 − 39 ≈ – 3,24 , entonces el valor absoluto cambia de signo. Entonces

3 19 − = 4 3

3. − 1− 3 = ______

1 3 – 2 12 + 8 2 + − − = 2 4 3 6 1 1 20 1 + − − = 3 3 2 4

Como 5 + 2 ≈ 4,23 , entonces el valor absoluto "queda igual".

8 2 1  3 1  +  −  −  4 +  − = _____ 3 6 2  4 2 



El número − 1− 3 es negativo; entonces − 1− 3 = − (− 1− 3) = 1+ 3 .

9 – 76 = 12 − 67 12

20

Observe 

2 1 = 6 3

NÚMEROS

Matemática - EL MAESTRO EN CASA

ACTIVIDAD 2 Si a > 0 y b < 0 son números reales, calcule las siguientes expresiones. 1.   a = ____ 3.   ab2 = ____ 5.   7b = ____ 7.   a2 = ____ 2.   b = ____ 4.   b 3 = ____

6.  



a = ____ 8.   5 b6 = ____ 2

Números reales opuestos

Propiedades del conjunto de los números reales

Dos números reales son opuestos, si se localizan a la misma distancia del cero en la recta numérica.

Considerando que el conjunto de los números reales se forma mediante la unión del conjunto de los números racionales y del conjunto de los números irracionales, podemos asegurar que el conjunto de los números reales posee las propiedades siguientes: 1. ℝ es un conjunto infinito, por cuanto ℝ = ℚ ∪ II. Tanto ℚ como II son conjuntos infinitos, entonces ℝ también es infinito. 2. ℝ no tiene primero ni último elemento.

Por ejemplo: – 3 es el opuesto de

3

2

–2

es el opuesto de

2 es el opuesto de 3 – 3 3 es el opuesto de 3

3. El conjunto de los números reales es un conjunto ordenado, ya que dados dos números reales distintos siempre se puede establecer entre ellos una relación de menor o mayor.

– 2 3 3

4. ℝ es un conjunto completo, ya que a todo número real le corresponde un punto sobre la recta y a todo punto sobre la recta le corresponde un número real.

3 3

21

NÚMEROS

Matemática - EL MAESTRO EN CASA

Ejemplos

Cuando solamente teníamos a los números racionales, aunque representáramos en la recta numérica muchos números racionales muy cerca uno del otro, siempre quedaban puntos libres, puntos que no corresponden con números racionales. Los números irracionales vienen a llenar los "huecos" que dejan los números racionales en la recta numérica.

5. ℝ es denso, ya que entre dos números reales, existen infinitos números reales.

Orden de los números reales El conjunto de los números reales es un conjunto ordenado, esto es dado dos números reales cualesquiera, siempre es posible establecer cuál de ellos es el mayor, o si se trata de la misma cantidad. De acuerdo con la Ley de Tricotomía, para a ∈ ℝ, b ∈ ℝ cualesquiera se tiene:

Intervalos reales a < b se lee "a es menor que b"

Con respecto a los números reales, tenemos que es continuo, es denso y es completo. Con estas propiedades se garantiza que entre dos números reales cualesquiera, hay una infinidad de números reales entre ellos. Por ejemplo, entre – 1 y 0 se encuentra infinita cantidad de números reales.

a > b se lee "a es mayor que b" a = b se lee "a es igual a b"

Recuerde: Para dos números reales cualesquiera a y b sólo una de las tres relaciones es verdadera.

En este caso al número -1 se le llama extremo inferior y al número 0 se le llama extremo superior.

a < b, a = b , a > b

En general tenemos:

22

NÚMEROS

Matemática - EL MAESTRO EN CASA Dados dos números reales a y b, donde a < b, a

4. Intervalo semiabierto por la izquierda de extremos a y b.

b



podemos definir los siguientes conjuntos.

]a, b] = {x/x ∈ ℝ; a < x ≤ b}



a

b

Por ejemplo: 1∉ ]1, 3],  3 ∈ ]1, 3]

1. Intervalo abierto, de extremos a y b. ]a, b[ = {x/x ∈ ℝ; a < x < b}

Intervalos de extremos infinitos



Nótese que a ∉ ]a, b[,

5. El conjunto de números reales mayores o iguales que a.



Por ejemplo: 5 ∉ ]5, 8[ ,  8 ∉ ]5, 8[

a

b

b ∉ ]a, b[



[a, + ∞[ = {x/x ∈ ℝ; x ≥ a}



Recuerde: ∈: pertenece ∉: no pertence



a

Por ejemplo: 5 ∈[ 5, + ∞[

2. Intervalo cerrado, con extremos a y b. [a, b] = {x/x ∈ ℝ; a ≤ x ≤ b} a

6. El conjunto de números reales mayores que a. ]a, + ∞[ = {x/x ∈ ℝ; x > a}

b



Nótese que a ∈ [a, b],



Por ejemplo: − 1∈[ − 1, 2 ],  2 ∈ [ − 1, 2 ]

a

b ∈ [a, b]

Por ejemplo: 4 ∉ ]4, + ∞[

3. Intervalo semiabierto por la derecha, de extremos a y b.

7. El conjunto de números reales menores o iguales que a.

[a, b[ = {x/x ∈ ℝ; a ≤ x < b}

]– ∞, a] = { x/x ∈ ℝ; x ≤ a}

a

a

b

Por ejemplo: − 3 ∈ ]− ∞, – 3]

Por ejemplo: 1∈ [1, 7[ ,  7 ∉ [1, 7[

23

NÚMEROS

Matemática - EL MAESTRO EN CASA 8. El conjunto de números reales menores que a.

La segunda es utilizando la notación por comprensión de conjuntos. Para hacerlo, escribimos entre llaves la desigualdad señalada después de ser explícitos en que nos referimos a números reales:

]– ∞, a[ = { x/x ∈ ℝ; x < a}



{x/x ∈ ℝ, 1 < x < 2}

a

Por ejemplo: 2 ∉ ]– ∞, 2[

La expresión anterior se lee: "x tal que x es un número real mayor que 1 y menor que 2".

9. El conjunto ℝ de los números reales, se puede definir como el intervalo: ]– ∞, + ∞[ = {x/x ∈ ℝ, – ∞ < x < + ∞}

La tercera notación es utilizando paréntesis cuadrados. Los intervalos reales son tan utilizados en la matemática que necesitan una notación particular. Esta es ]1, 2[ y se lee: el intervalo entre 1 y 2 ambos abiertos (abierto: que no incluye al número). Es importante destacar que este conjunto ]1, 2[ no tiene un menor elemento, porque el 1 no pertenece al conjunto y cualquier otro número que pertenezca al intervalo no podrá ser el menor, ya que siempre se podrá escoger un número que sea mayor que 1.

Recuerde: 1. Un intervalo es un subconjunto de los números reales. Los intervalos pueden ser abiertos, cerrados, semiabiertos o de extremos infinitos llamados también semirrectas.

Algunos intervalos se pueden expresar con una notación más simple ya que representan conjuntos muy utilizados.

2. Se utilizará el símbolo +∞ para indicar el infinito positivo y el símbolo –∞ para infinito negativo.

Nos referimos a ]0, + ∞[ = ℝ+ el conjunto de los números reales positivos y ]– ∞, 0[ = ℝ– el conjunto de los números reales negativos.

Por lo general, los intervalos se representan en tres notaciones, la primera es la notación gráfica, que es como lo representamos en los casos anteriores.



24

NÚMEROS

Matemática - EL MAESTRO EN CASA

ACTIVIDAD 3 1. Complete la siguiente tabla. Notación gráfica

Notación de intervalo

a) b)

Notación por comprensión {x/x ∈ ℝ, – 2 ≤ x < 5}

]– 5, 8]

c) d) e) f)

{x/x ∈ ℝ, – 4 ≥ x} ]– 2, + ∞[

g) h)

[3, 7]

i) j) k)

{x/x ∈ ℝ, – 4 < x ≤ 6} 11.    − 2,  5 

l) m)

{x/x ∈ ℝ, x > – 1} ]– ∞, 0,5]

n)

ℝ+

ñ)

ℝ

0)

{x/x ∈ ℝ, – 3 < x ≤ 2}

25

NÚMEROS

Matemática - EL MAESTRO EN CASA 2. En cada una de las siguientes proposiciones, complete con ∈, ∉ según corresponda adecuadamente.



 1   3

−  2

1.

3 ___ [ − 3, + ∞[

8.

2.

−3 ___ ]3, + ∞[

9.

3.

− 5 ___ ]− 2, − 1]

10.

4.

3 ___ ]− 2, 4[

 22  11. e + π ___ 2,    7 

5.

− 8 ___ ]− 2, − 1 [

12. − 2,1___ [ − 2,11, + ∞[

6.

π ___ [ 2, 3,1415[ 2

13. − e ___ ]− 3, − 2[

7.

12 ___ ]1, 5[

___ R+

− 7 ___ [ − 2, + ∞[ 5 ___ ]0, 2[ 4

14. − e + 2 ___ ]− 2, 0[

26

NÚMEROS

Matemática - EL MAESTRO EN CASA

TRABAJO INDIVIDUAL 1

REPRESENTEMOS EN LA RECTA NUMÉRICA ALGUNOS NÚMEROS REALES 1. Represente en la recta respectiva los siguientes números reales. (Algunos de estos números pueden ser ubicados en dos o más rectas) a)

5; − 8; 5 21 ; − 4,75; 0,3;

0

1

2

3

4

4;

5

6

6;

−π 3

7

8

N

b)

c)

II

d)

IR

e)

27

NÚMEROS

Matemática - EL MAESTRO EN CASA 2. Obtenga el opuesto de cada número real.

a) 5 el valor opuesto es _______________

b) – 3 el valor opuesto es ________________ 9 = ____ el valor opuesto es _______

c)

d) − 6 el valor opuesto es _______________

3. Complete las expresiones siguientes. Escriba en los espacios los símbolos >, < ó = según corresponda.





a) −7 ___ − 4

g)

3 8 ___ 5 7

b) −3 ___ 5

h)

3,24 ___ 3,24

c)

π ___ − 1,57 2

i)

1 ___ 0,09 11

d)

π ___ 2e 4

j)

5 ___ 0,8333… 6

e)

225 ___

f)

289 ___ 17

3

500

k)

2 ___

l)

π ___ e

π

28

NÚMEROS

Matemática - EL MAESTRO EN CASA 4. Escriba una equis (x) si cada número de ℝ pertenece a los conjuntos , ℤ–, ℤ+, ℚ e II. N -3

0

Ú

M

20% 0,333…

100

0,09

E 0,3

R

25 12

7

O 2

3+ 4

−

32 32 − 2 2

3

25

Entero positivo Entero negativo Número racional Número irracional

5. Completar con SÍ o NO, según corresponda, la siguiente tabla. NÚMERO

7

10

–2,08

1,1212212221…

5

–2,2424…

4

7 6

−

Natural Entero Racional Irracional Real

6. Indique si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Escriba F (falso) V (verdadero). a) 100 ∈

_________

b) 5,41 ∈ ℤ _________

c) 3,14 ∈ ℚ _________

3 − 216 ∈ ℤ _________ d) 0 ∈ ℤ _________ e) ∈ ℝ _________ f) 5 g) 2,141414… ∈ ℚ _________ h)

−5 ∉ ℚ _________ 6

29

i) 500,1 ∉

_________

8 2

NÚMEROS

Matemática - EL MAESTRO EN CASA 7. Coloque el símbolo ∈ (pertenece) o el símbolo ∉ (no pertenece)­en cada una de las proposiciones siguientes. 1)

1 ________ ℤ 3

10) 3,14159 ________ II

2) − 1 ________ ℚ 2

11) 0,3 − 7 ________ ℤ 3

3)

3

12) 2,3511 ________ II

4)

2 ________ ℚ

________ ℝ

13) 0 ________ ℝ 0

0 5) 0,1333... ________ II 14) ________ 4 π+π ________ π

6) 1,5 ________ ℚ

15)

7) 0,12 ________ ℚ

16) π ________ ℚ e

8) 0 ________ ℚ 8

17) a ________ ℚ a ∈ II , b ∈ ℤ+ b

9) − 34 ________ − 17

18) 2π – e + 1 ________ II



8. Señale en la recta numérica los valores opuestos de cada número real.

−1 2 − 1;    −5;      ;      ;      3;      5 3 5

30

NÚMEROS

Matemática - EL MAESTRO EN CASA 9. Complete con ⊂ o ⊄ las siguientes proposiciones según corresponda. 1. ℤ+ _______

2.

 4 − 9 7.  ,  , 2,3  _______ II 3   7



 5 + 1 _______ ℚ+ 8.  _______ II π, e,  2  

3. ℝ _______ ℚ

9. ℤ ∩

4. {1, 2, 3} _______

10. ℚ ∪ ℤ _______ ℤ

5.

{−

4, (− 2)2

} _______ ℤ

6.

{−

5,  − 9 _______ II

_______ {0}

11. {0} _______ ℝ

–

}

12. ℚ ∩

_______ ℚ

10. Indique si la afirmación es V (verdadera) o F (falsa). 1. Un número entero es un número racional.

_______

2. Un número racional es un número entero.

_______

3. Un número es racional o irracional pero no ambos.

_______

4. Todo número real es irracional.

_______

5. Todo número real es racional.

_______

11. Complete las expresiones siguientes, escribiendo en los espacios correspondientes los símbolos >, < ó = según corresponda. a) –7 ______ –14

h) 3,24 ______ 3,24

b) – 3 ______

i) – 0,25 ______ – 0,26

3

−5

31

NÚMEROS

Matemática - EL MAESTRO EN CASA π c) ______ 1,57 j) – 8,50 ______ – 8,50 2 1 . ______ 0,09 d) π ______ 2 e k) 5 11 4 e) 225 ______ 500 l) 2 ______ 0,666… 3 5 ______ 0,8333 f) 289 ______ 172 m) 6 4 g) − 3 ______ 8 n) 2 ______ 4 7 5

( )

12. Escriba V si la proposición es verdadera o F si es falsa. a) (

)

– 4 es un elemento de ℤ.

b) (

)

π es un elemento de ℝ pero no es elemento de ℚ.

c) (

)

Todo número irracional es número real.

d) (

)

Todo número entero es un número racional.

e) (

)

Todo número decimal es número real.

f) (

)

La intersección del conjunto de los números racionales con el conjunto de los números irracionales es el conjunto vacío.

g) (

)

Todo porcentaje puede expresarse como decimal.

h) (

)

Todo número racional puede expresarse como decimal.

i) (

)

Todo decimal puede expresarse como el cociente de dos enteros.

j) (

)

Todo porcentaje es un número real.

32

NÚMEROS

Matemática - EL MAESTRO EN CASA 13. Hagamos operaciones con valor absoluto. Simplifique: a) 3 – 4 • (2 – 7) = _______________

Solución: 3 – 4 • (2 – 7) = 3 – 4 • –5



= 3 + 20



= 23



= 23

b) − 32 − 22 + (4 − 1)2 2 = _________________

Solución:

– 32 – 22 + (4 – 1)2 2 = – 9 – 4 + 32

= – 9–4+9



= – 14



= – (14)2



= –196

2 2

2

14. Exprese los siguientes conjuntos de números:

a) Gráficamente b) En forma de intervalos c) Notación por comprensión

1. Todos los números mayores que 4. 2. Todos los números mayores que 1 y menores o iguales que 3. 3 3. Todos los números menores o iguales que . 4 4. Todos los números menores que 4 y mayores o iguales que 2. 5. Todos los números mayores que -2 y menores que 5. 6. Todos los números mayores o igual es que -3 y menores que 2. 7. Todos los números reales. 8. Todos los números mayores o iguales que 11. 9. Todos los números menores que 1.

33

NÚMEROS

Matemática - EL MAESTRO EN CASA 1 12 o menores o iguales que . 3 7 11. Conjunto de los números mayores o iguales que -8 y menores que -2. 10. Los números mayores o iguales que

12. Conjunto de los números negativos. 15. Marque sobre la recta numérica real cada uno de los conjuntos siguientes. Mediante notación de intervalos represente el conjunto: a) { x / x ∈ IR , -7 ≤ x < -2 } = __________ ­­­­­­­­

b) { x / x ∈ IR , x > 1, x < 10 } = __________ ­­­­­­­­

c) { x / x ∈ ℝ, x ≥ 5, x ≤ 10 } = __________ ­­­­­­­­

'

d)

{ x / x ∈ ℝ, – 2 ≤ x < 9 } = __________ ­­­­­­­­

e)

{ x / x ∈ ℝ, – 5 < x } = __________ ­­­­­­­­

34

NÚMEROS

Matemática - EL MAESTRO EN CASA 16. Marque sobre la recta numérica real cada uno de los siguientes intervalos y escriba dicho intervalo utilizando la notación de conjuntos. a) ] – 2 , 4 [ = _______________

b) [ 3, 7 ]

= _______________

c) [ 1, 6 [

= _______________

d) ] -4 , 0 ] = _______________

e) [ 0, +∞ [

= _______________

f) ] -∞, 5 ]

= _______________

35

NÚMEROS

Matemática - EL MAESTRO EN CASA 17. Escriba una equis (x) en la letra que antecede la opción correcta. 1. El conjunto { x / x ∈ ℝ, x ≤ 3 } escrito en notación de intervalo es A) ]

3 , + ∞[

B) [

3 , + ∞[

C) ] – ∞, 3 ] D) ] – ∞, 3 [

2. Considere las siguientes afirmaciones. I. 0, 353 ∈ II 1 ∈ II 9 III. 0, 325 781 326... ∈ II II.

¿Cuál de las las afirmaciones anteriores son verdaderas?

A) Solo la I B) Solo la III C) Solo la I y la II D) Solo la II y la III

3. El intervalo ] -5, 4 [ escrito en notación de conjunto corresponde a A) { x / x ∈ IR , -5 ≤ x ≤ 4 } B) { x / x ∈ IR , -5 ≤ x < 4 } C) { x / x ∈ IR , -5 < x ≤ 4 } D) { x / x ∈ IR , -5 < x < 4 }

4. El conjunto { x / x ∈ IR , 5 ≤ x ≤ 7 } escrito en notación de intervalo corresponde a A) [ 5, 7 ] B) [ 5, 7 [ C) ] 5, 7 [ D) ] 5, 7 ]

36

NÚMEROS

Matemática - EL MAESTRO EN CASA

CÁLCULOS Y ESTIMACIONES En el tema denominado conjunto de los números reales conocimos sus principales características: infinito, denso, completo, continuo.

Según los historiadores se trata de una tablilla para escolares, parecida a nuestras tablas de multiplicar.

También observamos que un número real puede ser racional o irracional. Con respecto a los números irracionales sabemos que estos se pueden expresar con una expansión decimal infinita no periódica.

Mucho tiempo pasó y fue hasta en el año 1525 que se presenta el símbolo . Esta notación significó un extraordinario avance en el manejo de los radicales.

Por ejemplo:

Potenciación en ℝ

1,002 387 694 309 586 734 023 874…

Cuando estudiamos los números racionales, sabíamos que con ellos podíamos efectuar las operaciones básicas (suma, resta, multiplicación, división) y además la operación potenciación con exponentes naturales, como caso particular de la multiplicación.

Sin embargo, otros pueden representarse con una forma muy característica: la forma de radical. Podemos decir que antes de que se usaran signos de radical, para describir estos nuevos conceptos matemáticos, ya se empleaban las palabras raíz o lado para referirse a la raíz cuadrada de un número. Se tiene indicios que los sumerios, un pueblo de la antigüedad 3000 años antes de Cristo ya conocían este concepto de «la raíz». Se dice que fue inventada por razones prácticas, pues tenían la necesidad de calcular el área de una superficie cuadrada cuando conocían la medida de su lado.

Esta operación «Potenciación en ℝ» la vamos a estudiar con más detalle pero ahora la vamos a aplicar a todo el conjunto de los números reales y en particular con los radicales. Utilizando la operación potenciación tenemos, por ejemplo que el producto 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 = 128 podemos escribirlo así:

Algunos indicios de esto se pueden observar en una antigua tablilla conocida como el Texto Plimpton 322, la cual consta de columnas alineadas primero con números y luego su raíz.

27 = 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 = 128 En este caso tenemos que el número 2 se llama base, el número 7 se llama exponente, el cual nos indica que la base debe multiplicarse siete veces y el número 128 se llama potencia.

«1 : 1 es su raíz»

Como podemos ver, las potencias no solamente nos sirven para escribir en forma abreviada ciertos productos sino que también nos permiten efectuar operaciones en forma ágil y rápida.

«4 : 2 es su raíz» «9 : 3 es su raíz»

En forma general, podemos expresarlo así, pero ahora haciendo una generalización para po-

37

NÚMEROS

Matemática - EL MAESTRO EN CASA Ejemplos:

tencias con exponentes enteros cuando la base es un número real positivo: an = a • a • a • a • a • a • a • a • a... = b, donde {a, b, n} ⊂ ℝ n veces Las leyes de potencias utilizadas anteriormente, cuando la base es un número racional y los exponentes son números enteros también se pueden trasladar al conjunto de los números reales.

3. Potencia de una potencia: para determinar la potencia de una potencia, se conserva la base y se multiplican los exponentes.

Estas leyes de ahora en adelante se utilizarán tanto con números racionales ( 9 , 4 16 , 25, 36, 16, 81, 4 81,...) como con números irracionales tales como ( 2 , 3, 7 , 8 , ...).

(am)n = am • n Ejemplos:

( )

5

( 8)

 

( )

7

( 7)

 

( 2)

a)

 

Leyes de potencias

b)

1. Producto de potencias de igual base: para multiplicar potencias de igual base, se conserva la base y se suman los exponentes.

c)

Ejemplos:

b) c) d)

( ( ( (

) ( 3) = ( 3) = ( 3) 5) •( 5) = ( 5) = ( 5) 7) •( 7) = ( 7) = ( 7) = 7 = ( 9) = ( 3 ) 9) •( 9) = ( 9) 4

7

4+7

11

3

2

3+2

5

5

–3

5 + –  3

−3

7

−3 + 7

3 •

2

−2

 

−3

35

=  2 

−2• −3

=  2 

6

(a • b)n = an • bn Ejemplos

2

4

5 7  = 

10

4. Potencia de un producto: para determinar la potencia de un producto, se eleva a potencia cada factor.

am • an = am + n a)

2 8  = 

a) 4

b)

= ( 3) = 81 4

c)

2. Cociente de potencias de igual base: para dividir potencias de igual base, se conserva la base y se restan los exponentes.

( ( (

) = ( 7) •( 6) 11• 2 ) = ( 11) • ( 2 ) 4 • 9) = ( 4) •( 9) = 2 7• 6

3

3

5

2

3

5

2

5

2

2

• 32 = 4 • 9 = 36

5. Potencia de un cociente: para determinar la potencia de un cociente, se eleva a potencia tanto el numerador como el denominador.

am ÷ an = am – n, a ≠ 0

n

an ⎛ a⎞ = ; b ≠ 0 ⎜⎝ ⎟⎠ b bn

38

NÚMEROS

Matemática - EL MAESTRO EN CASA Ejemplos: 4

( ( ( = (

a)

 3   =  2

b)

 5    2

7

) 2) 5) 2) 3

Ejemplos: 4 4

7

( 25 ) = 5 ( 4) 4 ( 2) = 2 = ( 9) 9



 25    =  4 

d)

 2    9

2

( 3)

b)

( 2)

c)

( 5)

7

3

3

c)

a)

3

3 3

=

125 64

c)

c)

1

( 5)

2

=

1 5

o

x3 = 64

1) Si s2 = 25, y s > 0 entonces ese "s" se llama raíz cuadrada de 25.

0

1

1

5

Es decir:

0



Obsérvese que s es la base de la potencia 25.



Por ejemplo:

Ejemplos:

b)

( 2)

s2 = 25

0

1

1

7

Observe lo siguiente:

( 8) = 1 (− 5 ) = 1 (− 9 ) = 1

( 8) = ( 5) = ( 9) =

=

( 3)

Partiendo del hecho de que la radicación es la operación inversa de la potenciación; vamos a resolver situaciones en las que se utilice esta operación.

7. Potencia de exponente uno: en general, definimos a1 = a

a)

−2

=

1

Relacionemos raíces con potencias

2

Ejemplos:

b)

−5

=

2

6. Potencia de exponente cero: en general, si a ≠ 0, definimos a0 = 1

a)

−7

3

125 = 5 puesto que 53 = 5 • 5 • 5 = 125

5

− 32 = – 2 puesto que (– 2)5 = – 2 • – 2 • – 2 • – 2 • – 2 = – 32

8

2. Si el índice n es par y x positivo:

5 9=3



Por ejemplo:

a)

4

81 = 3 pues 34 = 81 Recuerde siempre

8. Potencia de exponente negativo: en general, si a ≠ 0, definimos

Si el índice es 2, normalmente se omite del radical, por esta razón lo escribiremos así: 4 = 2



39

NÚMEROS

Matemática - EL MAESTRO EN CASA por la definición de raíz anterior cuando n = 2

b) De igual manera, tenemos que 4 625 = 5 puesto que 54 = 625

1

3 = 32

Por tanto, lo anterior lo podemos escribir así:

Observación importante t

3 • 3 = 32 = 3

Si el índice de a es par y el subradical a es negativo entonces la raíz enésima de un número real negativo no está definida en el conjunto de los números reales. n



Por ejemplo:



− 16,   4 − 1,  − − 5 no son números rea­ les, puesto que carecen de sentido en dicho conjunto.

t

Si el índice n de n a es impar y el subradical es un número real negativo se tiene que:



Por ejemplo:

En general, para expresar raíces en forma de potencias, se coloca como base la cantidad subradical, y como exponente, una fracción cuyo numerador es el exponente de la cantidad subradical y cuyo denominador es el índice de la raíz. m

a n = n am 1. Exprese en notación radical



2

Para expresar la potencia 8 3 en notación radical, colocamos el numerador 2 como exponente de 8, y el denominador 3 como índice de la raíz.

Ejemplos:

Exponentes racionales

2

a)

8 3 = 3 82

b)

 1 4 4  1   =   = 3 3

c)

π 3 = 3 π2

d)

x 7 = 7 x2

3

Hasta ahora solo hemos trabajado con exponentes enteros, pero también los exponentes pueden ser números racionales. Veamos. Debemos decir que los exponentes racionales siguen las mismas reglas que los exponentes enteros, con la particularidad de que cada potencia con exponente racional se puede escribir de esta manera:



e)

3

4

1 27

2

2

3 2 5

(ab )

=

5

(ab )

2 3

= 5 a 3b 6

1

an = n a

2. Exprese en notación exponencial

Analicemos el siguiente caso. 1

1

1

32 • 32 = 32

+

1

2



2

= 3 2 = 31 = 3

Para expresar el radical

5

32 en notación ex-

ponencial, colocamos el subradical (3) como

A su vez tenemos que:

la base de la potencia, luego formamos la fracción que será el exponente del subradical.

40

NÚMEROS

Matemática - EL MAESTRO EN CASA Colocamos como numerador al exponente (2)

2. Determine el valor de cada raíz.

de subradical y como denominador al índice

a.   1 =____

0,1 =____

0,0001 =____

b.   9 =____

0,09 =____

0,0009 =____

c.   36 =____

0,36 =____

0,0036 =____

d.   64 =____

0,64 =____

0,0064 =____

e.   0,04 =____ 400 =____

40 000 =____

f.   16 =____

1600 =____

0,0016 =____

g.   25 =____

0,25 =____

2500 =____

h.   0,49 =____

4900 =____

0,0049 =____

i.   81 =____

0,81 =____

810 000 =____

(5) de la raíz, esto es,

5

2

32 = 3 5 .

Ejemplos:



ACTIVIDAD 1 3. Simplifique las potencias siguientes: Observe los siguientes ejemplos. Obtenga el cuadrado perfecto de cada uno de los números indicados. Por ejemplo: a) 122 = 12 • 12 = 144, 144 es un cuadrado perfecto b) (0,23) = 0,23 • 0,23 = 0,0529; un cuadrado perfecto 2

b)

( 2 ) • ( 2 ) = _________ 2 ( 3 ) = _________

c)

(5π )3 • (2π )−1 = _________

a)

d)

0,0529 es

e)

5

7

4

4

( 11) • ( 11) = _________ (5 2 ) • ( 5 ) • (7 4 ) • ( 5 ) • ( 3 4 ) • (7 4 ) 9

5

5

2

3

2

3

1. Determine cada resultado:

f) a 2 x 4 y −2 z5 a 3 x −1y 7 = _________

a. 12 = _____ 0,12 = _____ 0,012 = _____

g)

b. 22 = _____ 0,22 = _____ 0,022 = _____ c. 32 = _____

d. 42 = _____ 0,42 = _____ 0,042 = _____

= _____

a −3 x 3 m5 n • • • = _________ p4 a 2 n6 x 7

h)  π 2 

0,32 = _____ 0,032 = _____

−3

( 3 ) 

5 −3

= _________

e. 52 = _____ 0,52 = _____ 0,052 = _____

4. Escriba en forma de potencia las raíces siguientes.

f. 62 = _____

0,62 = _____ 0,062 = _____

a)

g. 72 = _____ 0,72 = _____ 0,072 = _____

b)

h. 82 = _____ 0,82 = _____ 0,082 = _____

c)

i. 92 = _____ 0,92 = _____ 0,092 = _____

d)

41

42 = _____

e)

a

ap = _____

2 3 = _____

f)

x

y a = _____

5

7 3 = _____

g)

5

27a 6b 3 = _____

5

2 = _____

h)

7

16a 5b10 = _____

3

NÚMEROS

Matemática - EL MAESTRO EN CASA

Radicación en ℝ

5. Escriba en forma de raíz las siguientes potencias. 1

a) 215 2 = _________ 2

b) 32 3 = _________ 4

c) 9 3 = _________

Anteriormente estudiamos la operación potenciación utilizando para ello, los números reales. Ahora vamos a estudiar la operación radicación utilizando los números reales.

1

d) m 3 = _________ 3

e) (ab)4 = _________

Al igual que en la suma, la operación inversa es la resta, lo mismo ocurre con la multiplicación, la operación inversa es la división. La operación potenciación que hemos estudiado anteriormente también posee una operación inversa, que se llama radicación.

1

f) (x 6 y 7 z4 )3 = _________

6. Evaluar la expresión.

Por ejemplo:

a)

Este procedimiento inverso consiste en lo siguiente: si tenemos an = b una potencia, la radicación nos permite obtener el término a conociendo los términos b y n. Ya obtenido el valor de a, este n suele identificar así: a = b .

3x − 12 con x = 4. ¿El resultado es un número real? ________

Solución:

3x − 12 =

b) c) d) e)

3(4) − 12

=

12 − 12

=

0

Se llama raíz n-ésima de un número real b a otro número real a cuya potencia n-ésima es igual a b (an = b).

= 0 ∈ℝ

Respuesta: Sí es un número ℝ.

Observe que para denotar la raíz n-ésima de un número b utilizamos el símbolo n b . El valor de n se llama índice. Resumiendo:

8 − 4y con y = 10. ¿El resultado es un número real? ________ x + 12



con x = – 6.

n b=a

¿El resultado es un número real? ________



3y + 12 con y = – 5. ¿El resultado es un número real? ________

42

b : es el radical

b: es el subradical n: es el índice a: es la raíz



Un radical puede llevar coeficientes que formen n parte de él, como por ejemplo, 3 b donde 3 es el coeficiente y forma parte del radical.



Si n = 2, es la raíz cuadrada y se acostumbra a omitir el índice.



Si n = 3, es la raíz cúbica



Si n = 4, es la raíz cuarta y así sucesivamente.

15 − 2x con x = 8. ¿El resultado es un número real? ________

n

NÚMEROS

Matemática - EL MAESTRO EN CASA Algunas propiedades de los radicales

ACTIVIDAD 2

Considere a un número real y n un número entero positivo mayor que uno. 1.

( a)

n

n

= a si

n

1. Escriba en el recuadro, el número real que convierte cada expresión en una igualdad numérica.

a existe

Ejemplos:

( 5) = 5 ( − 8 ) = − 8 2

a)

b)

3

3

a) ( 7) = 7                

d) ( 5                 5)5 =

b) ( 5 11) = 11                

e) (10                 )=2

c) (                 6)8 = 6

f) (                 )3 = 5

Ejemplos:

2. Aplique las propiedades de las potencias y los radicales estudiadas. Determine el número racional que representa cada una de las siguientes expresiones:



a)

a) (                 2)4 = _____



b)

2.

3.

n

n

an = a si a ≥ 0

5 =5 3

33 = 3

Ejemplos: a)

3

(− 2)3 = − 2



b)

5

(− 3)5 = − 3

4.

n

a = a , si a < 0 y n es par n

Ejemplos: a)

b)

(− 3) = − 3 = 3 2

4

= _____

3 b) ( 3 -2) = _____                

e)

5 c) (5 7) = _____                

18 f) (6 2) = _____                

4

4 (-0,5) = _____                

3. Observe los siguientes ejemplos y simplifique los ejercicios.

an = a si a < 0 y n es impar



12

 d) 44  11 12  5 

2

(− 2)4 = − 2 = 4

43

a)

(3x)2 = 3x                

b)

                               a2b2 = (ab)2 = ab

c)

                t2 = _____

d)

                9x2 = _____

e)

                (– 4d)2 = _____

f)

(x + 3)2 = _____                

g)

1 2 = _____ x 4

h)

1 . 25

= _____

NÚMEROS

Matemática - EL MAESTRO EN CASA

Simplificación de expresiones radicales

Así:

La mayoría de las veces necesitamos expresar los radicales en su forma más simple, es decir, expresarlos de manera que el subradical y el índice del radical sean lo menor posible; lo cual significa expresar el radical en su forma estándar.



6 9

3

6

9

Solución:

Se escriben los factores del subradical como potencias: 3a 4 25a 8 = 3a 4 52 a 8

CASO 1 6

6 3

x y z = x 3 y 3 z 3 = 2 xy 2 z3 = xy 2 z3 3

c) Simplifique la expresión 3a 4 25a 8

Consideremos los casos siguientes que nos favorecerán posteriormente la comprensión de la operación radicación con los números reales. a) Exprese en forma simple

6

16

Solución:

1) Para llevar a la forma simple el radical 6 16 , debemos expresar el subradical en forma de potencia. Observe que 16 puede escribirse como 24, por lo tanto, podemos escribir:



Luego se divide el índice del radical y el exponente de cada factor del subradical por un mismo número que sea divisor común de todos ellos.



Hallemos el divisor del índice y de los exponentes de los factores del subradical.

4 2 8 2

2

1

4

Divisor común: 2

16 = 6 2 4 2) Seguidamente, expresamos el radical como una potencia de exponente fraccionario: 6

6

4



24 = 2 6

3) Expresamos en la forma canónica el exponente 4 , es decir: 6 4

2

2 6 = 2 3 = 3 22 = 3 4



d) Simplifique la expresión

4) Por tanto tenemos que: 6 16 = 3 4 , que es la forma simple del radical dado. b) Simplifique la siguiente expresión:

6



x 3 y 6 z9



que dividir el índice del radical y el exponente de

cada factor del subradical por un mismo número que sea divisor común de todos ellos. (Esto m n

observe que el divisor común es 3.

− 8a 3b6 x12

Se escriben los factores del subradical como potencias de exponente igual al índice.



Para simplificar un radical como este, tenemos

es, hacemos uso de la propiedad

3

Solución:

Solución: t

Cuando el divisor común del índice y de los exponentes de los factores del subradical es el mismo índice se puede proceder así:

am = a n ),



44

Usando la propiedad

siguiente

n

m

am = a n obtenemos lo

NÚMEROS

Matemática - EL MAESTRO EN CASA Observe que hemos utilizado una ley de potencias. ¿Cuál es?

e) Simplifique la expresión 5a 3 27x 6 y18 z6 Solución:

De esta manera podemos escribir la potencia con exponente fraccionario mediante un radical y la otra como coeficiente del mismo. Es decir:

Se escriben los factores del subradical como potencia de exponente igual al índice. Así:

1



22 • 2 3 = 4 3 2

5a 3 27x 6 y18 z6 = 5a 3 33 (x 2 )3 (y 6 )3 (z2 )3 Usando la propiedad

m

Esta es la forma simple del radical dado.

am = a n , obtenemos

n

lo siguiente:

3

3 3 3  3  5a 3 33 (x 2 )3 (y 6 )3 (z2 )3 = 5a  3 3 (x 2 ) 3 (y 6 ) 3 (z2 ) 3   

(

= 5a 3x 2 y 6 z2 = 15ax y z 2



6

Como se puede apreciar las relaciones anteriores sugieren la propiedad multiplicativa de los radicales.

)

2

Para cualquier par de números reales tenemos que: n ab = n a • n b

CASO 2 1. Exprese en forma simple

3

si n a y positivo.

128

Escribimos el radical en la notación de potencia, esto es: 3

128 = 3 27



7

27 = 2 3



3

125 5

25 5



1 3

53; a4 = a3 • a

5 5

Por esta razón tenemos que: 2+

125a 4b7

125a 4b7 = 3 5 3 a 3b6 • a1b1 =

1

7

3

Se expresa el subradical como producto de potencias con índice igual al radical multiplicadas por otros términos.

Recuerde que la idea es hacer en lo posible un subradical más pequeño.

23 = 2

b existen y n es un número entero

Solución:

7 Aquí tenemos que el exponente no se puede 3 simplificar. 7 1 =2+ Sin embargo, podemos escribir 3 3



n

2. Simplificar la expresión

Seguidamente, expresamos el radical (con el subradical en forma de potencia) como una potencia de exponente fraccionario: 3

128 = 4 3 2

b7 = b6 • b1



1

= 22 • 2 3

45



Se simplifica el radical extrayendo las variables que permiten las propiedades.



Recuerde:

n

an = a ;

(a b ) m

n x

= am• x bn• x

NÚMEROS

Matemática - EL MAESTRO EN CASA 3. Simplificar la expresión

6

128x 6 y 7



Según la definición de la raíz, 20 3 será la raíz cuarta de 5 3 si elevada a la cuarta reproduce la cantidad subradical 5 3 .



Hagamos la comprobación.

Solución:



Se expresa el subradical como producto de potencias con índice igual al radical multiplicados por otros términos. 6

128x 6 y 7 = 6 26 x 6 y 6 • 2y

128 2 64 2 32 2 16 2 8 2 4 2 2 2 1

6

( 3) 20

= 3

2 =2 •2,y =y •y 7

6

1

7

6

1

=3

1

20

•4

=3

4

20

Descomponemos cada potencia como el producto de un número múltiplo del índice y otro número cualquiera.

= 2xy 6 2y

n

an = a

=3 =53

En este caso se trata de extraer la raíz cúbica de 2 a = a .



Veamos



Comprobación:



Según la definición de la raíz, 6 a será la raíz cúbica de a si elevada al cubo reproduce

( a) 6



a = 3•2 a = 6 a

a , y así es:

3

=

a

1

6

3

1

= a6

•3

3

1

= a6 = a2 = a

256a 8b8

Solución:

Esta ley se representa mediante la fórmula: a =

3 2

c) Exprese en la forma más simple el radical

La raíz de cualquier grado de una raíz se obtiene al multiplicar los índices de ambas raíces.

n•m

a



CASO 3

m n

3 2

Solución

la cantidad subradical

Este consiste en la obtención de la raíz de un radical.

1

5







a

256a 8b8 = 2•2•2 256a 8b8 = 8 256a 8b8

Ejemplos

= 8 28 a 8b8

a) Exprese en forma simple

4 5

= 8 (2ab)8

3



Solución





En este caso se trata de extraer la raíz cuarta 5 de 3

t



4

1

20

b) Simplifique el siguiente radical

26 x 6 y 6 • 2y = 6 (2xy)6 • 6 2y =



4

4 5

t

3 = 4•5 3 = 20 3



46

= 2ab

Utilizamos la propiedad de los radicales: m n

a = n•m a .

Para extraer la raíz de una raíz se conserva el subradical y se multiplican los índices. n

an = a

NÚMEROS

Matemática - EL MAESTRO EN CASA 2. Exprese en la forma más simple.

d) Exprese en la forma más simple el radical 3 5

a)

5 3

Solución:

b)

2x 2 y 3



c)

6 3

4 3



4 3



3 3• 4 3 12 3 = = 5 5 5



Se utilizó la propiedad de radicales



m n

e)

e) Calcule el siguiente radical

g)



(xy 2 )3 = ______________

32x 2 y 2 = ______________

4mn

f)

5 + 14 + 1+ 9

4

16x = ______________

d)

x = n•m x

3x = ______________

(mn)3 = ______________ 3 = ______________

3 4

2 = ______________

Solución:

h)

5 3

x10 = ______________



i)

3 4

7x = ______________

Estos ejercicios se comienzan a resolver desde el radical más interior. 5 + 14 + 1+ 9 = 5 + 14 + 1+ 3

k)

= 5 + 14 + 4 = 5 + 14 + 2

l)

= 5 + 16 = 5+4 = 9 =3



ACTIVIDAD 3 1. Extraer todos los factores posibles de: a) b)

3

c) d)

64x y z

= ______________

54x y z

= ______________

81a 5bc 6

= ______________

128a 8b2 c15

= ______________

6

3

7

3

2

12

2 = ______________

j) 3

4 3

3 5 ab = ______________ 2 2 ax = ______________ 3

m)

20 + 21+ 8 + 64 = ______________

n)

19 − 4 + 32 − 49 = ______________

ñ)

5a + 21 a + 16a 8 = ______________

2

4

CASO 4 En los ejemplos anteriores se han extraído factores del radical, ahora se hará lo contrario; introduciremos factores dentro de un radical. Vamos a utilizar una propiedad de los radicales que dice: "para introducir factores dentro de un radical

47

NÚMEROS

Matemática - EL MAESTRO EN CASA se tiene que multiplicar su exponente por el índice de la raíz y luego se multiplica por el subradical"; simbólicamente esto se escribre así:

MUY IMPORTANTE: , Utilizando la propiedad podemos aplicar el caso 3 anterior; esto con el fin de poder extraer raíces de la forma:

a n b = a nb Ejemplos:

n

1. Introduzca el coeficiente en cada uno de los siguientes radicales. a) 2 3 4 = 2 3 • 4 = 8 • 4 = 32

am x = m•n am x

Algunos ejemplos:

x 2 2x = x 2•2 • 2x = 2x 4 • x = 2x 5

a) Simplifique el radical simple.

c)

2x 4 y 3 3 4xy 2 = 3 (2x 4 y 3 )1•3 • 4xy 2

Solución:

= 3 2 x y • 4xy 12

9

2



= 3 (8 • 4)(x12 x)(y 9 y 2 ) = 3 32x 3 y11 d)

2a 3 3b2 3  2a  =    b b 4a 2

1•3

•



3b2 3 2 3 a 3 3b2 = • 4a 2 b 3 22 a 2 =

3

=

3



24a 3b2 4a 2b 3 6a b

3

23 • 3

3

2 3 • 3 = 2• 3 8 • 3 = 6 24 3

3 = 6 24

b) Simplifique el radical más simple.

Hagamos uso de la ley de potencias:

2 3 3 en la forma más

Aquí primero introducimos el factor 2 en el radical 3 3 , observe que se multiplicó el exponente del factor 2 (el número uno) por el índice del radical 3 3 (el número 3) se obtiene

Entonces,

3

x 2 x 3 en la forma

Solución:

m

am  a =   b bm

n m

b)

3



am x =



Simplifiquemos las potencias siguientes:

Aquí tenemos que aplicar la propiedad: raíz de una raíz, que nos dice que para extraer la raíz a una raíz se conserva el subradical y se multiplican los índices: m n

a = n•m a



Mucho cuidado…

t

Debemos introductir el factor 2 dentro del radical x 3 ; obtenemos: 3

x 2 x 3 = x 3 22 x 3

48

NÚMEROS

Matemática - EL MAESTRO EN CASA

Observe lo que se hizo: aplicamos la propiedad raíz de una raíz con los radicales. 3

t

ACTIVIDAD 4

22 x 3 = 6 22 x 3 = 6 4x 3

Simplifique al máximo cada uno de los siguientes radicales.

Debemos introducir el factor x dentro del radical 6 4x 3



x   6 4x 3 =



6

a)

x 6 4x 3 = 6•2 4x 9

2 3 25 = ______________

= 12 4x 9 3

x 2 x3 =

Entonces

12

b)

4x 9

5

c) c) Simplifique el radical simple.

3

a2 b en la forma más b

d)

2 3 227 = ______________

25 x 2 y 2 = ______________

4

x 3 x = ______________

Solución:

Este radical nos está indicando que debemos a2 hallar la raíz cúbica del subradical b. 2 b a Primero debemos introducir el factor dentro b del radical b . Veamos:

3



a b

2

b =

3

=

6

a •b b2

=

6

a 4b b2

=

6

a4 b

Entonces

3

2

a   b  • b 2

4

a2 b = b

6

a4 b

49

e)

2x 4 x = ______________

f)

5 3 abc = ______________

5 3

g)

2

3 2 = ______________

h)

3 3 5 3 3 = ______________

i)

− 3 3 ab 2a = ______________

3

j)

a4

k)

x2

13 a = ______________ a 13 x = ______________ x

NÚMEROS

Matemática - EL MAESTRO EN CASA 45 = 32 • 5 = 32 • 5 = 3 5

Estimado estudiante:

A continuación presentaremos el tema de los radicales semejantes y los radicales homogéneos. El conocimiento de estos, facilitará el estudio posterior de las distintas operaciones con radicales.

Se hace uso de la ley

45 3 15 3 5 5 1

Radicales semejantes

n

an = a

32

Se hace uso de la siguiente propiedad:

Considere los siguientes grupos de radicales. 3 −7 2a 3 t 2a ,   3 2a ,   3 3 1 3 t 3,  5 3,   3 2 8

m

n

an = a m 4

2 4 = 2 2 = 22 = 4 80 2 40 2 20 2 10 2 5 5 1

Estos radicales tienen algo en común: tienen el mismo índice y el mismo subradical; por ejemplo el primer grupo, tienen como índice el número 3 y como subradical 2a; el segundo grupo tiene como índice el número 2 y como subradical el 3. A estos radicales se les llama radicales semejantes.



Radicales semejantes: son aquellos radicales que tienen el mismo índice y la misma cantidad subradical; diferenciándose solamente en los signos y en los coeficientes.

24

20 = 22 • 5 = 22 • 5 = 2 5

20 2 22 10 2 5 5 1 Así entonces se tiene que: 45,   80,   20 son equivalentes a 3 5,  4 5   y  2 5

Importante

Recuerde:

Algunas veces para determinar si dos o más radicales son semejantes, se tiene que simplificar cada uno de ellos para verificarlos.

El subradical también debe ser semejante.

No solo el índice nos indica que un radical es semejante. ¡Pero cuidado! Si no son semejantes los subradicales, piense en simplificarlos primero; eso le evitará mucho contratiempo.

Por ejemplo: 45,   80,   20 A simple vista estos radicales tienen en común solo el índice 2, pero esto no es suficiente para asegurar que ellos no sean semejantes, hay que simplificarlos así:

Los radicales semejantes nos permitirán sumar o restar radicales, un tema que pronto estudiaremos.

50

NÚMEROS

Matemática - EL MAESTRO EN CASA

Radicales homogéneos

Solución:

Este tipo de radicales solo deben poseer una característica común que cumplir: todos tienen que tener el mismo índice; por ejemlo:



a) b)

3

2 ,   3 3,   3 5

1 3 3x,  5 5x 3 ,   7x 5 2 8

7=

Radicales homogéneos: son aquellos radicales que tienen el mismo índice. Cuando los radicales no son homogéneos, estos se pueden homogeneizar. Pongamos atención.

1 1 4 4 = • = 3 3 4 12

b)

− 2 − 2 5 − 10 = • = 7 7 5 35

3

1 3

6 =6



2 3 2 1 3 3 1 1 m.c.m.: 6

Encontramos el mínimo común múltiplo índice de ambos índices: m.c.m. (2,3) = 6, transformamos entonces los radicales con índice igual a 6 de la misma manera como amplificamos fracciones. 1 3 • 3

1

3

1

1 2 • 2

6 = 63 = 63

3

= 7 6 = 6 7 3 = 6 343 2

= 6 6 = 6 62 = 6 36

6 2 – 6 3 0

6 3 – 6 2 0 Así entonces se tiene que 7,    3 6 es equivalente en su forma homogeneizada a 6

343;   6 36

9 4 b) 3 5 ,   11

Un procedimiento semejante vamos a utilizar para homogenizar radicales que poseen distinto índice.

Solución:

Practiquemos la homogeneización Consideremos los radicales siguientes, en su forma heterogénea, es decir, con diferente índice.



Reduzca al mínimo común índice estos radicales. a)

1 2 7 ,

7 = 72 = 72

Recuerde que en los números racionales se puede amplificar una fracción, es decir, multiplicar el numerador y el denominador por un mismo número. Por ejemplo. a)

En realidad reducir solo al mínimo común índice significa homogeneizar radicales en radicales con el mismo índice. Para esto, primero debemos transformar cada radical a una potencia con exponente fraccionario.



7,    3 6

51

Transformemos los radicales con índice igual al m.c.m. (4,9) = 36 36 4 1 9 9 1 • 36 9 4 – 36 9 4 9 36 4 5=5 =5 =5 = 5 0 9

1

1 4 • 9 4

11 = 11 = 11 9

4

= 11 = 36

Entonces tenemos que valente a 336 59 ,   36 114

36

11

4

36 9 – 36 4 0

3 4 5 ,   9 11 es equi-

NÚMEROS

Matemática - EL MAESTRO EN CASA c)

3x;     5a 2 ;     6 4m

3

t

Solución:



1

3

3x = ( 3x ) 3 lo podemos amplificar así:

3

3x = ( 3x ) 3

1 2 • 2

( ) lo podemos amplificar así: = ( 5a ) = ( 5a ) = ( 5a ) = ( 5a ) 2

1 3 2 2•3

1 2 2

2

1

t

6

4m = ( 4m) 6 , amplificamos así:



6

4m = ( 4m) 6 = ( 4m) 6 1 = ( 4m) 6 = 6 4m

1 1 •

1

1

Respuesta:



es equivalente a

ACTIVIDAD 5 Homogeneizar los siguientes radicales. 5,   4 3

6)

5x,   3 4x 2 y ,   6 a 3b

2)

3

4 ,   4 8 ,   3

7) 2 3 a ,  3 2b,  4 4 5x 2

3)

3

5 ,   4 2 ,   3

8)

4

8a 2 x 3 ,   6 3a 5m4

4)

4

3,   5 4 ,   15

9)

3

2mn,   5 3m2p ,  15 5m3p2

5)

3

2 ,   6 3,   9 9

10)

6

2y 3 ,   3 x 2 ,   9 5m7

52

2 3

= 6 125a 6



= ( 3x ) 6 = 6 (3x)2 = 6 9x 2

6

= 6 53 a6



1)

3 2 6



2 3 6 2 1 3 3 3 1 1 1 El m.c.m. es 6

Como,





Los índices de estos radicales son 3, 2, 6. Hallemos el m.c.m. de los índices.

t

5a 2

En realidad homogenizar radicales también significa reducir los radicales al mínimo común índice.

1

5a 2 = 5a 2

NÚMEROS

Matemática - EL MAESTRO EN CASA

Operaciones con expresiones que contienen radicales

Ejemplos: 1. Obtengamos el resultado de

Hemos estudiado algunos definiciones y principos básicos relativos a los radicales, pero no hemos estudiado aún, las operaciones que se pueden realizar con estos radicales. Seguidamente vamos a considerar dos de ellas, muy conocidas por todos nosotros, a saber:

6 2−4 2+3 2 = Solución:

Estos radicales son semejantes; todos poseen ela 2 como radical.

Entonces:

Suma y resta de expresiones que contienen radicales Para sumar o bien restar radicales, estos deben ser radicales semejantes, es decir, deben poseer igual índice e igual subradical.

2. Efectúe − 2 12 + 8 3 − 75 = Solución:

Importante: La suma o resta de radicales semejantes da como resultado otro radical semejante, cuyo coeficiente se obtiene sumando o restando los coeficientes de los radicales.

13 2 4

2.

1 5 − 2 5 7x ,   7x 14 3



−2 12 = – 2 22 • 3 = − 4 3



12 2

6 2

22

3 3



1 8 3=8 3

− 75 = − 52 • 3 = − 5 3 75 3 25 5 52 5 5 1 Resolviendo tenemos que: − 2 12 + 8 3 − 75 = − 4 3 + 8 3 + − 5 3

Ejemplos 3 3 2 ,  − 2 3 2 ,  

Al simplificar los radicales tenemos.



Si los radicales no son semejantes se deja la operación indicada.

1.



Índice : 3

Subradical : 2 Índice : 5

Subradical : 7x

= (− 4 + 8 + –5) 3

Observe:

= (4 + – 5) 3

El resultado de sumar dos o más radicales semejantes se obtiene sumando los coeficientes de los radicales y manteniendo el subradical. Esto es p a + q a = (p + q) a .

= − 1 3

53

=− 3

NÚMEROS

Matemática - EL MAESTRO EN CASA 3. Efectuar 2 3 + 5 27 −

Entonces:

48

Solución:

2 3



Al simplificar los radicales tenemos:

48 =

2 • 3 = 2 4

2

3 = 4 3

Entonces: 2 3 + 5 27 −

48 =

28 −



12 =





= 8 3+2 7



Observe: 8 3 y 2 7 no son radicales semejantes; por eso no se suman

2 3 Solución: 5. Efectuar

18 +

3 5

3

23 • 3 = 2 3 3

3

81 =

3

33 • 3 = 3 3 3

24 +

3

81 = 23 3 + 33 3 = 53 3

3

81 –

3

128

50 −

1 3

Simplificando: 5 3 16 = 5 3 2 3 • 2 = 5 • 2 3 2 = 10 3 2

10 3 + 2 7 − 2 3 = 10 3 − 2 3 + 2 7 = (10 − 2) 3 + 2 7

24 =

Solución:

22 • 3 = 2 3 28 −

3

7. Efectuar 5 3 16 +

22 • 7 = 2 7

Entonces: 2 75 +

81

Al simplificar los radicales, tenemos:

3

2 75 = 2 52 • 3 = 2 • 5 3 = 10 3 12 =

3



Al simplificar los radicales tenemos: 28 =

24 +

5

Entonces:

Solución:

5 = 5 2 −

Solución:



12

45 =



2 3 + 15 3 − 4 3 = (2 + 15 − 4) 3 = 13 3 4. Efectuar 2 75 +

3

6. Efectuar

1 3

50 −

2 2 +3 2 −

2 3 = 2 3 5 27 = 5 32 • 3 = 5 • 3 3 = 15 3

3 5

18 +

Simplificando cada término de la operación:



2 3 3 5 1 3

81 =

3

128 =

3

33 • 3 = 3 3 3 3

26 • 2 = 22 3 2 = 4 3 2

Entonces: 5 3 16 + 3 81 − 3 128 = 10 3 2 + 3 3 3 − 4 3 2 10 3 2 − 4

45



3

3

2+3

3

3 = 6

3

2+3

3

3



13 2 2 16 + 3 54 – 3 250 2 3 5 Solución:



Simplificando:



13 13 3 1 16 = 2 • 2 = • 23 2 = 3 2 2 2 2

8. Efectuar

2 2 • 3 2 = 2 2 32 • 2 = 3 3 3 3 52 • 2 = 50 = • 5 2 = 3 2 5 5 1 1 45 = 32 • 5 = • 3 5 = 5 3 3 18 =

54

2 23 3 23 3 • 2 = • 33 2 = 23 2 54 = 3 3 3 2

2

2

NÚMEROS

1 13 3 13 2 • 2 = • 23 2 = 3 2 16 = 2 2 2

Matemática - EL MAESTRO EN CASA

23 23 3 2 54 = 3 • 2 = • 33 2 = 23 2 3 3 3 2 5

3

250 =

Entonces:

2 23 3 5 • 2 = • 53 2 = 23 2 5 5

13 2 2 16 + 3 54 – 3 250 = 2 3 5 3



2 +2 2 −2 2 = 2 3

3

3

9. Efectuar x 8x − 3 50x 3 + x 18x

c)

2 5 − 3 45 + 3 20 = ___________

d)

12 − 75 + 48 = ___________

e)

5a 3 − 3 3a 2 + 12a 2 = ___________

f)

2a 3a − 27a 3 + a 12a = ___________

g)

2 3 16x 5 − x 3 54x 2 + 3 128x 5 = ___________

Solución: x 8x = x 2 2 • 2x = x 2 2 • 2x = 2x 2x 3 50x 3 = 3 5 2 • x 2 • 2x = 3 (5x)2 • 2x

Multiplicación de expresiones radicales con un mismo índice

= 3(5x) 2x

Sabemos que para números reales tenemos:

= 15x 2x



x 18x = x 3 2 • 2x = x 3 2 • 2x = 3x 2x

n

Para multiplicar y simplificar radicales podemos utilizar la propiedad multiplicativa de los radicales.

Entonces: x 8x − 3 50x 3 + x 18x = 2x 2x − 15x 2x + 3x 2x = (2x − 15x + 3x) 2x

Ejemplos: Multiplicar

= − 10x 2x

ACTIVIDAD 6 Sume y reste los siguientes radicales. a)

4 18 + 2 8 − 3 32 = ___________

b)

7 3 16 + 3 3 54 − 2 3 128 = ___________

a = na•nb

1.

5 • 7 = 5 • 7 = 35

2.

8 • 8 = 8 • 8 = 64 = 8

Algunas veces, también podemos simplificar después de multiplicar. Por ejemplo, se pueden encontrar factores cuadrados perfectos y tomar sus raíces cuadradas.

55

NÚMEROS

Matemática - EL MAESTRO EN CASA Ejemplos: Multiplicar y simplificar a)

Entonces: 2 15 • 3 30 • 5 8 = 15 5 4 6

3 • 18 = 3 • 18 = 54 = 3 • 6 = 3 6 2

Solución 54 2 27 3 9 3 3 3 1

6

f) Efectuar

32



5

8a 3b 4 •

5

8a 2 b 3

Solución:



b)



c) d) Efectuar 3 3 10 • 5 3 12

Solución:



Se multiplican los coeficientes, luego los subradicales así:

Entonces

3 3 10 • 5 3 12 = 3 • 5 3 10 • 12 = 15 3 120 =

8a 3b 4 • 5 8a 2b 3 = 2ab 5 2b2

IMPORTANTE Debemos tener presente que no siempre es posible extraer todos los factores de una expresión radical.

15 3 2 3 • 3 • 5 = 15 • 2 3 15 = 30 3 15

2 3 5 15 • 30 • 8 5 4 6 Solución:

Las raíces no exactas, quedan en el subradical y determinan números irracionales.

e) Efectuar

5

Algunos ejemplos 1.

8 = 22 • 2 = 22 • 2 = 2 • 2 =





56



factor irracional



coeficiente

NÚMEROS

Matemática - EL MAESTRO EN CASA



factor irracional

Cuando los radicales no son homogéneos debemos transformarlos realizando el proceso de la homogeneización. Por ejemplo.



coeficiente

3 2 1. 2 4a • 2ax =

2.

8

3x16  =  8 3 • 8 x16  =  8 3 • x 2

Solución: 8 8



16

2 Observe x = x 8 = x Entonces tenemos que el factor que tiene raíz exacta en la expresión radical, se le llama coeficiente. 8

16



El coeficiente de una expresión radical puede ser numérico, literal o ambos a la vez.

b) Elevamos el subradical al número (exponente) que se ocupó para multiplicar los índices.

2. Un radical es irreducible si los exponentes de todas las potencias del subradical son menores que el índice y que alguno de estos exponentes no tenga factor común con él.

Entonces, 2 3 4a 2 • 2ax = 6 16a 4 • 6 8a 3 x 3 = 2 6 16a 4 • 8a 3 x 3

Ejemplos. b)

2ax = 2• 3 (2ax)3 = 6 8a 3 x 3

a) Multiplicamos los índices por el número que los hace iguales, según el mínimo común múltiplo (6) de los índices.

1. Los radicales que no se pueden simplificar se llaman irreducibles.

7

2 3 4a 2 = 3•2 (4a 2 )2 = 6 16a 4

Nótese que hemos realizado dos pasos.

IMPORTANTE

a)

Homogeneizamos primero los radicales al mínimo común índice de 3,2 que es 6.

2 6 128a 7 x 3

a 2b 5ab

c)

3

4

d)

8

2x y 3

Simplificando:

5

Multiplicación de expresiones radicales no homogéneos

Por lo tanto,

Anteriormente hemos multiplicado radicales homogéneos, es decir, multiplicamos radicales con el mismo índice.

2 3 4a 2 • 2ax = 2 6 128a 7 x 3 = 2 • 2a 6 2ax 3 = 4a 6 2ax 3

Ahora bien, ¿qué ocurre cuando los radicales no son homogéneos?

57

NÚMEROS

Matemática - EL MAESTRO EN CASA 2.

2 6 3a • 3x 4 2a =

6)

Solución:

Homogeneizamos primero los radicales:



Observe que m.c. m. (6,4) = 12 6



4

3

x • 3 2x 2 = __________

7)

3a = 6•2 (3a)2 = 12 9a 2

2x 4 4x 5 3 • = __________ 25y 5 5y

8)

3 2ab • 4 4 8a 3 = __________

9)

3

9x 2 y • 6 81x5 = __________

10)

3

a 2b2 • 2 4 3a 3b = __________

2a = 4• 3 (2a)3 = 12 8a 3

Entonces, 2 6 3a • 3x 4 2a = 6x

12

9a 2 • 12 8a 3 = 6x = 6x

12 12

9a 2 • 8a 3 72a 5

11)

Por lo tanto,

2 6 3a • 3x 4 2a = 6x12 72a 5

− 5 2 – 3 5 2 a b ab 3 • a b = __________ 3 a

División y simplificación de radicales Hasta este momento hemos estudiado muchos aspectos sobre radicales, por esto pregunto:

ACTIVIDAD 7

1)

¿Qué se puede observar de los resultados de los radicales siguientes?

3 • 6 = __________

36 9

2)

 y 

36 9

2 15 • 3 10 = __________ Resolvamos,

3)

1 2 14 • 21 = __________ 2 7

4)

3 ab • 2a b = __________

5)

2 a2 x •

36 9

 =

6 36 = 2   y    = 4=2 3 9

Para contestar a esta pregunta tenemos que decir que con radicales homogéneos se cumple

3 3 a = __________ 2

n

58

a = b

n n

a

b

n

    y     n

a

b

=

n

a b

NÚMEROS

Matemática - EL MAESTRO EN CASA Siempre que existan b≠0.

n

a y

n

b ; y además

Efectúe la división Solución:

Algunas veces un radicando fraccionario se puede simplificar, por ejemplo, en un cuadrado perfecto, en un cubo perfecto, etc.

25 = 9

b.

1 1 1 = = 16 16 4

c.

3

27 = 8

25 9

3 3

27 8

=

=



3

=

4

3

32 = 3 25 = 3•5 25•5 = 15 225

5

4 = 5 22 = 5• 3 22• 3 = 15 26

Entonces, 3 5

3

(3)3

3

(2)

3

=

32 4

=

15 15

2

25

2

6

= 15

25

2 = 15 225 − 6 = 15 219 = 15 215 • 2 4 6 2 = 15 215 • 15 2 4

3 2

= 215 16 Por lo tanto, 3 5

EJEMPLOS. Dividir y simplificar 27

32

Observe el m.c.m. (3,5) = 15

5 3

También podemos utilizar la propiedad de la división de radicales para simplificar los radicales con fracciones y para dividir los radicales.

a.

5

Homogeneizamos primero los radicales:

EJEMPLOS. Simplificar. a.

3

27 = 9=3 3

32 4

= 215 16

ACTIVIDAD 8 Resolver los siguientes radicales indicados.

b.

c.

30a 3 6a 2

=

30a 3 = 5a 6a 2 7 13

7 13 1 1 7 13 ÷ 28 26 = = = 28 26 28 26 4 2

En la división también homoge­nei­zamos Tal como ocurre con la multiplicación, para dividir radicales de distinto índice, debemos primeramente homogeneizarlos.

a)

4 6 ÷ 2 3 = _________

b)

2 50 ÷ 6 24 = _________

c)

12 3 ÷ 4 3 = _________

d)

18 ÷ 25 = _________

e)

59

2 3 81x 2 3 3 3x 2

= _________

NÚMEROS

Matemática - EL MAESTRO EN CASA f)

g)

7 7

ab 3 c

= _________

a 2b5

4 10 5 2x 3

h)

9x

A. Cuando el denominador es un término radical de índice 2 y no tiene coeficiente, se multiplica el numerador y el denominador por el radical del denominador.

3 10 2 4x = _________ 4

3

3

5m2n

j)

6

18x y z

k)

43 4ab 5

l)

1 2x 2

5

4



3x 2 = _________

i)

3

siones radicales. Para esto vamos a considerar los casos siguientes:

5

m3n2 = _________ 4

Este caso corresponde a los radicales de la a forma , aquí para racionalizar multiplicamos b numerador y denominador por b , así: a

3x y z = _________ 2

2

b

3

1 2a 2 = _________ 10

=

a b

b• b

=

a b b

2

=

a b b

EJEMPLOS 1. Racionalice el denominador de cada una de las siguientes expresiones:

16 16x 4 = _________ 4

a)

Racionalización de denominadores

b)

Una expresión radical para estar expresada correctamente, es decir, simplificada, debe presentan las siguientes condiciones.



6

=

6

2

=

2

2

3

2

3

•

•

2

=

3

=

2

3

2

b. Una expresión radical en su forma más simple no tiene radicales en el denominador.



c. Un radical bien simplificado no tiene subradicales fraccionarios.

2• 2 2• 3 3• 3

=

6 2

=

6

4

9

=

=

6 2 =3 2 2 6 3

Observe que en ambos, utilizamos el hecho de que la división de un número por sí mismo es 1. 2

a. El subradical no tiene factores con raíces exactas.

6• 2

= 1 ;   

3

3

=1

Nótese que tanto 2 como 3 es el radical del denominador; al realizar este proceso "convertimos" el radical denominador en un número racional.

B. Cuando el denominador es un término radical de índice 2 que tiene coeficiente racional, se procede de la manera siguiente: se multiplica el numerador y el denominador por el radical sin tomar en cuenta el coeficiente.

En algunos casos estudiados obtuvimos resultados donde el denominador es un radical o bien poseen subradicales fraccionarios. Es por esta razón que vamos a trabajar con el proceso que nos permite eliminar fracciones en el subradical o bien el radical denominador de expre-



60

Este caso corresponde a los radicales de la a forma . Aquí para racionalizar multiplic b

NÚMEROS

Matemática - EL MAESTRO EN CASA camos numerador y denominador por cociente se deja igual. a

=

c b

a b

c b b

a b

=

c b

2

=

a b a b = cb b•c

5 2

=

3

5 2

•

2

2

=

3• 2

5 2• 2

multiplicamos por 1= 5x

b)

a x

=

5x

a x

•

x

x

=

6 6 = 5 • 2 10

=

a x• x

=

5x x 5 x = ax a

a

2 . 18

Solución:



Como 18 = 2 • 32 multiplicamos ambos términos; el numerador y el denominador por 2 para que el exponente del 2 se haga par, esto es 22.

18

=

2 2

2 2

c)

e)

5 1

3 3 5

90

= ______

d)

f)

7 3

2 2 9

32

•

n

bn− m

=

n

bn

a n bn− m = b

2

Solución:



Se multiplican ambos términos de la fracción por 3

b) 3

bm

a n bn− m





b)

n

bn− m

2

3

2

Racionalizar el denominador. = ______

=

bm

n

Racionalice el denominador de cada una de las siguientes expresiones.

a)

2 2 2 1 = = = = 2 2 2 2 3 2•3 3 2•3 • 2 2 •3

2

a

Observe:



ACTIVIDAD 9

a)

9 5 32

Ejemplos:

Así pues, tenemos que: 2

h)

bn− m , si hubiera coeficientes, se deja igual.

n

n



3 3 2 2

Este caso corresponde a los radicales de a la forma n m , con m < n, para racionalizar b multiplicamos numerador y denominador por

2

5x 5 Observe x • x = x 2 = x;   = ax a c) Determine una expresión equivalente a





2

5x • x

5 2 90

f)

C. Cuando el denominador es un radical de índice 3 se multiplican los dos términos de la fracción (numerador y denominador) por el cuadrado del radical, el cual al ser multiplicado por el denominador lo convierte en cubo perfecto y se multiplica así el resultado.

EJEMPLOS: 3

3 5

g)

Racionalice el denominador de cada una de las siguientes expresiones.

a)

6

e)

b ; el

= ______

= ______

=

22 y se efectúan las operaciones: 2 • 3 22 3

2 • 3 22

=

2 3 22 2

23

=

23 4 3 = 4 2

2



3 3 Solución:



Se multiplican ambos términos de la fracción

3

por 2

33 3

61

2

3

=

3

32 y tenemos: 2 • 3 32

3 3 3 • 3 32

=

23 9 3 3 33

=

23 9 23 9 2 3 = = 9 9 3• 3 9

3.

3

4.

3

NÚMEROS

3 3

6

Matemática - EL MAESTRO EN CASA 5.

7

3

ACTIVIDAD 10

5

4

6. 3 16 Racionalizar el denominador de:

1.

2.

3.



2 4 3

5 3 10

3

4.

3

5.

3

6.

D.

5

3

7.

3

3

3

6

7

3

5

4

16

= ______

7.

= ______

8.

3

= ______

9.

3

3

10.

3

= ______

11.

3

= ______

12.

= ______

2

= ______

1

= ______

4

2

5

= ______



7

11

2

9

9 1

2 3 3

5

a)

3+ 2 Para racionalizar este tipo de expresiones radicales nos valdremos de la fórmula notable (a – b) (a + b) = a2 – b2. Estimado estudiante: El tema de los productos notables se estudió en el libro de Matemática Ujarrás en la semana novena.



En efecto, para transformar una expresión algebraica de dos términos irracionales del denominador, en expresiones algebraicas de dos términos racionales, amplificamos cada una de las expresiones por el conjugado del denominador.



Por ejemplo:



El conjugado de



El conjugado de 2 − 3 es 2 + 3



El conjugado de

= ______

= ______

= ______

7

11 Cuando el denominador es una expresión algebraica de dos términos se multiplica el 2 numerador y el denominador por el conjugado 8. 3 4 del denominador de la expresión. 3

5

a)

En este último caso, corresponde a los radicales 1 a 9. de la3 2forma , con {a, b, c} ⊂ ℝ, b > 0, b+ c c > 0, para racionalizar multiplicamos numerador

3+ 2 =

a( b − c) a( b − c) a( b − c) =9 = = b−c b +11.c ( b + c)( b − c) ( b)2 − ( c)2 3 9 a

Ejemplos: Racionalice el denominador de cada 1 las siguientes expresiones. una de 12. 3 2 3

3− 2

2 + 5 es

2 −5

Ahora bien,

y denominador por la expresión conjugada 5 10. 3 2 del denominador así:



3 + 2 es

b)

62

c)

5

3−2

2− 7

=

( 3 − 2)

5( 3 − 2 ) 1

•

(2 + 7 )

(2 − 7 ) (2 + 7 )

4−7

2( 5 − 2)

=

3

3(2 + 7 )

3

•

( 3 + 2) ( 3 − 2)

5( 3 − 2 )

3

=

=

=

=

3 (2 + 7 ) −  3

=

5( 3 − 2 ) ( 3 )2 – ( 2 )2

=5 3−5 2

=

3(2 + 7 ) 2 2 − ( 7 )2

= −(2 + 7 ) = −2 − 7

3( 5 + 2) 2( 5 − 2)( 5 + 2)

3

b)

2− 7 =

=

4−7

2( 5 − 2)

=

= binomio conjugado

(

5 +2

)

•

(2 + 7 )

(2 − 7 ) (2 + 7 )

3(2 + 7 )

3

c)

3

=

= =

=

3 (2 + 7 ) −  3

=

3(2 + 7 ) 2 2 − ( 7 )2

= −(2 + 7 ) = −2 − 7

NÚMEROS

Matemática - EL MAESTRO EN CASA 2 3 • 5 18 = 2 • 5 3 • 18 = 10 54 = 10 32 • 3 • 2

3( 5 + 2)

= 10 • 3 3 • 2

2( 5 − 2)( 5 + 2)

= 30 6

3( 5 + 2) 2  ( 5 )2 − (2)2 

3 24 = 3 2 • 2 • 3 = 3 • 2 2 • 3 = 6 6

3( 5 + 2)



2

2(5 – 4)

Luego, ambos resultados se restan: 30 6 − 6 6 = 24 6

3( 5 + 2)



2 •1

Respuesta: 2 3 • 5 18 − 3 24 = 24 6

3( 5 + 2)

22

13 3 3 3 3 c) Efectuar  3 10 • 5 12 ÷ 5 5  + 8

(

COMBINANDO OPERACIONES a) Efectuar



(

)



Solución:



Resolvemos 3 3 10 • 5 3 12 = 3 • 5 3 10 • 12 = 15 3 120

6 • 10 ÷ 3

= 15 3 2 3 • 3 • 5

Recuerde: La prioridad de las operaciones: primero se hacen las multiplicaciones o divisiones según el orden en que aparecen; después las sumas y las restas.

= 15 • 2



6 • 10 = 6 •10 = 60 = 22 • 3 • 5 = 2 15



2) 2 15 ÷ 3 = 2 15 ÷ 3 = 2 5



Respuesta:

(

3

3•5

= 30 3 15

Solución: 1)



)

6 • 10 ÷ 3 = 2 5



b) Efectuar 2 3 • 5 18 − 3 24

)

Solución: Por prioridad en el orden de las operaciones, resolveremos primero las multiplicaciones.



63

3 Este resultado se divide por 5 5

30 3 15 ÷ 5 3 5 =

30 3 15 ÷ 5 = 6 3 3 5

Sumemos este resultado con

63 3 +

13 3 8

13 49 3  48 + 1 3 3=  3 3=   8  8 8

Respuesta:

 3 3 10 • 5 3 12 ÷ 5 3 5  + 1 3 3 = 49 3 3   8 8

(

)

NÚMEROS

6a − 2 9a 2

Matemática - EL MAESTRO EN CASA d) Efectuar  150 ÷ 

(

) (

2 +

2(3a) −2 3a(3a)

3 2 = −2 2a 3a



Por prioridad en el orden de las operaciones y uso de los paréntesis resolvemos:

1)

150 ÷ 2 = 150 ÷ 2 = 75 = 3 • 52 = 5

2)

12 + 3 27 = 22 • 3 + 3 32 • 3 = 2 3 + 3 • 3 3 =

3



3) 5 3 + 11 3  = 16 3

2 − 12 213

6

f) Efectuar

Se suman ambos resultados

Solución: 6

2 − 12 213 = 6 • 2 2 − 12 213 = 12 2 − 12 212 • 2

4) Multiplicamos el resultado obtenido entre los corchetes con 8 3

= 12 2 − 212 2

16 3 • 8 3 = 16 • 8 3 • 3 = 128 3 = 128 • 3 = 384 2

= −12 2

Respuesta:

(

 150 ÷ 





)

12 + 3 27  • 8 3 = 384 

3 − 2 2 6a –2 = 3a 3a 2a

e) Efectuar

) (

2 +

3 2 −2 = 2a 3a 6a − 2 9a 2

Respuesta:

6

2 − 12 213 = −12 2

(3 + 5 )

2

g) Efectuar

Solución:

Solución:

6a =

3 − 2 2 –2 = 6a 3a 2a 3a

Respuesta:

2 3 + 9 3 = 11 3



2 2a

1 1 6a − 3 6a −2 6a − 2 6a − 6a = = = 6a 3a a 3a 3a 3a

)

Solución:

6a −



12 + 3 27  • 8 3 = 384 



6a 1 = 2 4a 3a

3(2a) = 2a(2a)

2(3a) −2 3a(3a)

6a 1 = 2 4a 3a

(3 +

3(2a) = 2a(2a)

2 6a − 2a

5

)

2

= 32 + 2(3)

( 5) + ( 5)

= 9+6 5 +5

6a =



6a − 3 6a −2 6a − 2 1 1 6a = = 6a = 6a − 3a 3a 3a a 3a

64

= 14 + 6 5 2 Respuesta: (3 + 5 ) = 14 + 6 5

2

NÚMEROS

Matemática - EL MAESTRO EN CASA h) Efectuar

(

)

2

a− b

2

Solución:

(

a− b

) = ( a) 2

2

 3 =   4

( a )( b ) + ( b )

2

−2

= a + b − 2 ab

=

= a 2 − 2 a b + b2

i) Efectuar

am =

m

2 3 3 2− 5 4

( )

2

( )( )

9 2 2• 3•2 4 2 − 6 + • 32 16 4•5 25

2



Recuerde:

n

an = a

EJEMPLO

1

b = bn

3

a • n b = n ab

am = a n

n

a

n

3

m

n

b

m n

=

n

( 3)

Respuesta:  3 2 − 2 3  = 321 − 3 6 4  5 200 5

PROPIEDAD

n

2



Recuerde las propiedades que usamos para resolver las operaciones con radicales.

n

 2 3 +   5

9 12 3 6 = + − 8 25 5 321 3 = − 6 200 5

( a) n

 3  2 2 − 2    2  4  5 2

9 2• 3•2 6 4• 3 •2− + 16 25 4•5 18 12 12 = − 6+ 16 20 25

En los números reales se cumplen algunas propiedades: n

2

2

=

Respuesta: ( a − b )2 = a + b − 2 ab

2

2  3  3 3 2  2   2 − 3  =  2  − 2  2   3  +  3  5 4 4 4 5 5

5 • 3 4 = 3 20 4

54 = 5 3

3

a b

3 3

a = nm a

20

3 4

65

1

5 = 53

4

=35

5 = 12 5

2

NÚMEROS

Matemática - EL MAESTRO EN CASA

( a)

m

n

( 5)

= n am

3

a • n b = n a nb

( a) n

n

n

= 3 52 = 3 25

5 • 3 2 = 3 5 3 • 2 = 3 250

( 5)

=a

3

am x = m•n am x n

2

3

an = a

3

=5

2 3 x = 2• 3 2 3 x = 6 8x 3

33 = 3

p a + q a = (p + q) a

4 a + 8 a = (4 + 8) a = 12 a

p a − q a = (p − q) a

8 3 − 7 3 = (8 − 7) 3 = 1 3

Como podemos apreciar, todo lo que se puede realizar con los radicales es innumerable. En los esquemas siguientes trabajaremos algunas de las operaciones. Veamos.

66

NÚMEROS

Matemática - EL MAESTRO EN CASA

TRABAJO INDIVIDUAL 2 1. Resuelva las siguientes operaciones con radicales y escriba el resultado. a) 2 5 − 1 5 = __________ 3 4

2 1 __________ = __________ − = 3 4

b) 3 6 + 2 6 = __________ 4 5

3 2 __________ = __________ + = 4 5

c)

12 − 27 + 75 = __________ (

) 3 =(

) 3 = __________

3

2. Señale cuál de los grupos contiene radicales semejantes. a) 3 2, − 5 3 b) 5 5 2 , 7 5 3

2 7, − 5 7 3 1 −5 3 d) 4 6 , 6 2 7 −3 e) −7 2, 2 4 c)



3. Compruebe si los siguientes grupos de radicales son radicales semejantes. a)

75; 2 48; − 5 27 =

b) 3 8a; 4 18a;

c) − 3 24; − 2 3 81;

1 2a = 5 3

3=

d) x 147m3; m 75x 2m; x 48m3 =

67

NÚMEROS

Matemática - EL MAESTRO EN CASA 4. Efectúe las sumas y restas indicadas. a) 8 3 + 3 3

= ______

h)

45 − 20

= ______

b) 7 5 − 18 5

= ______

i)

72 + 98

= ______

c) 6 x + 7 x

= ______

j)

45 + 80

= ______

d) 9 x − 11 x

= ______

e) 5 8 + 15 2 f)

k)

2 3 1024 − 3 2000

= _______

= ______

l)

3 3 189 + 6 3 448

= _______

3 27 − 2 3

= ______

m)

3

g) 7 50 − 3 2

= ______

n)

24 + 3 81

= _______

1 13 16 + 3 250 2 3

= _______

5. Escriba cada uno de los radicales siguientes como potencias de exponente fraccionario o como producto de potencias de exponentes fraccionarios. a)

3

57

= ______

e)

5x 7

b)

6

a13

= ______

f)

a 7b 3

c)

3

m5n5

= ______

g)

7

6a 2b7



= ______

d)

7

a 8b 3

= ______

h)

5

2a 6b7



= ______





= ______ = ______



6. Escriba las expresiones siguientes utilizando la notación radical. a) 3 2/5

= _____

d) (3x 2)1/4 = ______

b) a11/7

= ______

e) (a + b)1/5 = ______

c) (2a)1/3

= ______

f) 32/3 m4/7 = ______

68

NÚMEROS

Matemática - EL MAESTRO EN CASA 7. Simplifique. Suponga que los radicales están bien definidos. a)

6

x2



= ______

e)

8

(3y − 2)2

b)

10

x5



= ______

f)

4

4(x + 5)10 = ______

c)

12

x2



= ______

g)

250y 3

= ______

h)

225x 2 y 3

d)

p17





= ______

= ______





= ______

8. Efectuar las operaciones indicadas. a)

1 3 7− 7 + 2 = ___________ 7 4

d)

b)

2 2 6+ 5− 6  = ___________ 5 3

e)

c)

3 3 8 − 3 16 + 3 2 3  = ___________

f)

1 1 12 + 16  = ___________ 3 4 2 1 18 + − 9 3 25 a)

0,04 − 2 0,01x + 3 0,16x  = ___________ 2 • 5 = _________

b) 9.

Multiplique los radicales siguientes.

2  = ___________ 49

3 • 7 = _________

c)

4

a 2b • 4 ab2 = _________

a)

2 • 5 = _________

d)

5

a 2b 3 • 5 abc 3 = _________

b)

3 • 7 = _________

e)

7

2ab • 7 3a 2b 3 • 7 4ab 3 = _________



c)

4

a 2b • 4 ab2 = _________

a)

10 • 15 = __________



d)

5

a 2b 3 • 5 abc 3 = _________

b)

14 • 2 = __________

c)

8 • 5 = __________

2 3 e) 7 2ab • 7 y3asimplifique. b • 7 4ab 3 = _________ 10. Multiplique

a)

10 • 15 = __________

d)

6a • 8b 3 = __________

b)

14 • 2 = __________

e)

a 3b • 4a 2b 3 = __________

c)

8 • 5 = __________

d)

6a • 8b 3 = __________

e)

a 3b • 4a 2b 3 = __________

69

NÚMEROS

Matemática - EL MAESTRO EN CASA 11. Homogenice cada conjunto de radicales. a)

3,

b)

2a,

3

2,

4

2,

5

2 = __________

2,

3

3,

4

4 = __________

c)

3

d)

4

2,

5

4 = __________

3a ,

4

4a = __________

12. Multiplique.



a)

3

3 • 4 2a = _________

b)

3

a • 4 a 2b • 5 b 2 = _________

c)

3

2a • 4 4a • 5 2b = _________

d)

3

a 2b • 4 ab 5 = _________

13. Efectúe los productos siguientes y escriba el resultado en su forma estándar.



a)

−1 1 5• 20a = ___________ 2 4

b)

−3 2 −7 a b• ab7 = ___________ 5 4

c)

2 2 7 −4 8 4 ab • a b = ___________ 7 5

d)

3 −1 8a • 3a 2b = ___________ 2 5

e)

−1 −1 4a 2b • 16b2 = ___________ 4 7

70

NÚMEROS

Matemática - EL MAESTRO EN CASA 14. Divida y simplifique. a)

b)

c)

d)

e)

f)

3 3

4a 5 2a

 

= ____________

80a 2b 3 10a 2 b6 48x 3 3x

h)

1 4

= ________

2 5

= ________

i)

 

= ____________

j)

−

1 9

= ____________

k)

−

1 = ________ 25

= ____________

l)

36a 5b2

b 6a

8

= ________

= ____________

5a

 

4 27

 

30a 5

9

  = ____________

g)

15. Racionalice. a)

1 3

= _____________

b)

8 3

= _____________

c)

12 5

= _____________

d)

3 5

= _____________

e)

x y

= _____________

71

30 70

= ________

= ________

NÚMEROS

Matemática - EL MAESTRO EN CASA 16. Racionalice el denominador. 2

a)

b)

c)



d)

3 3 3 6

6 2

5 2 3 5

3 15

5 32

e)

= _____________

= _____________ f) = _____________ g)

= _____________

h)

4

6 7 12 63

= ________

2 3 3 2

= ________

7

= ________

1 4

1 3 5

= ________

5 3

17. Racionalice y simplifique. a)

b)

c)

d)

e)

f)

2

3+ 2 4 3

5− 3 2 3

a− b 3

a +2 4

5+ a 3

5+ 3

= _____________

g)

= _____________

h)

= _____________

i)

= _____________

j)

= _____________

k)

= _____________

l)

72

2 3− 5

5 +2 3 3+ 2

5− 3 4

2 3−5 3 3 5

3 5 −5 3 5

8− 3 3+ 2 2+1

= ________

= ________

= ________

= ________

= ________

= ________

NÚMEROS

Matemática - EL MAESTRO EN CASA

CANTIDADES MUY GRANDES Y MUY PEQUEÑAS Desde los albores de la humanidad se vio la necesidad de disponer de un sistema de medidas para los intercambios.

Por ejemplo: Para los múltiplos deca para 10 veces,

Según estudios científicos las unidades de medida empezaron a utilizarse hacia el año 5.000 a. C; por lo que surge la necesidad de establecer un sistema de unidades único para todo el mundo y así facilitar el intercambio científico, cultural, comercial, de datos, etc.

hecto para 100 veces, kilo para 1000 veces y miria para 10 000 veces, Para los submúltiplos deci para 0,1

Hasta antes de la Revolución Industrial (1889) cada país, incluso cada región, tenía su propio sistema de unidades; a menudo, una misma denominación representaba un valor distinto en lugares y épocas diferentes, por lo que Francia convocó a todos los países a formar un solo sistema y fue hasta 1960 en la onceava Conferencia General de Pesos y Medidas que se estableció el Sistema Internacional de Unidades (SI) compuesto por 7 magnitudes fundamentales (longitud, masa, tiempo, temperatura, intensidad luminosa, cantidad de sustancia e intensidad de corriente eléctrica).

centi para 0,01 mili para 0,001.

Prefijos del SI Los prefijos del SI para nombrar a los múltiplos y submúltiplos de cualquier unidad, ya sea básica o derivada, se anteponen al nombre de la unidad para indicar el múltiplo o submúltiplo decimal de la misma; del mismo modo, los símbolos de los prefijos se anteponen a los símbolos de las unidades. Por ejemplo

Cabe destacar que los países ingleses no participaron por lo que a la fecha utilizan el llamado Sistema Inglés. Una vez establecido el SI, surge otro problema: representar cantidades muy grandes y muy pequeñas, por lo que se utilizaron PREFIJOS griegos y latinos para representar estas cantidades.

t

7 giga b (siete gigabytes), 9 giga m (nueve gigametros)

t

650 mega b (650 megabytes), 759 mega m2 (759 megametros cuadrados)

t

4 tera b (cuatro terabytes), 981 yotta gr (981 yottagramos)

Los prefijos los establece oficialmente la Oficina Internacional de Pesos y Medidas de acuerdo con el cuadro siguiente:

73

NÚMEROS

Matemática - EL MAESTRO EN CASA 10n

Prefijo

Símbolo

Escala corta

1024

Yotta

Y

Septillón

Exa

E

Quintillón

Tera

T

10

21

10

18

10

15

1012 10

9

10

6

10

3

102

10

10

1 0

10

−1

10

−3

10−2

10

10

−6 −9

10−12 10

10

10

−15 −18 −21

10−24

Zetta Peta Giga

Z

Sextillón

P

Cuatrillón

G

Billón

M

Millón

Hecto

h

Cien

ninguno

ninguno

Uno

centi

c

Centésimo

µ

Millonésimo

p

Trillonésimo

Feca deci

k

da d

mili

m

nano

n

micro pico

femto

1 000 000 000 000 1 000 000 000 1 000 000 1 000 10 1

Décimo

0,1

0,01

Milésimo

0,001

0,000 001

Billonésimo

Sextillonésimo

y

1 000 000 000 000 000

Diez

z

yocto

zepto

1 000 000 000 000 000 000

100

Cuatrillonésimo

a

1 000 000 000 000 000 000 000

Mil

f

ato

1 000 000 000 000 000 000 000 000

Trillón

Mega Kilo

Equivalencia decimal en los Prefijos del Sistema Internacional

Quintillonésimo Septillonésimo

0,000 000 001

0,000 000 000 001

0,000 000 000 000 001

0,000 000 000 000 000 001

0,000 000 000 000 000 000 001

0,000 000 000 000 000 000 000 001

Consideremos algunos ejemplos:

10 Gb = ? Mb

1. Gmail es un servicio de correo electrónico gratuito que ofrece una capacidad de almacenamiento de más de 10 Gb y Google afirma que esta cifra seguirá en aumento. Si un disco compacto (CD) tiene una capacidad de almacenamiento de 650 Mb de datos, ¿cuántos discos compactos (CD) equivaldrían a la capacidad de almacenamiento de Gmail?

109 b 1• Mb 10 Gb = 10 Gb • • 1• Gb 106 b 10 •109 •1• Mb = 1•106 101+9 Mb = 106 1010 Mb = 106 = 1010 •10 −6 Mb



Solución:



Para hallar la respuesta, debemos convertir 7 Gb a Mb, haciendo el siguiente proceso:

= 1010−6 Mb = 10 4 Mb = 10 000 Mb

74

Múltiplo Yotta (Y) Zetta (Z) Exa (E) Peta (P) Tera (T) Giga (G) Mega (M) Kilo (k) Hecto (h) Deca (da)

10n 1024 1021 1018 1015 1012 109 106 103 102 101

NÚMEROS

Matemática - EL MAESTRO EN CASA

Cada CD tiene una capacidad de almacenamiento de 650 Mb dividimos:



10 000 Mb entre 650 Mb.



10 000 Mb ÷ 650 Mb = 15,38 discos compactos (CD)



Así: 28 µm = x cm 28 µm = 28 µm•

10 −6 1cm • 1 10 −2 28 •10 −6 •102 cm 28 •

Respuesta: la capacidad de almacenamiento de Gmail es de 16 discos compactos (CD).

28 •10 −4 cm

2. Determine la cantidad de Mb que posee un disco duro de 4 Tb. Solución:

Para hallar la respuesta, debemos convertir 4 Tb a Mb, haciendo el siguiente proceso: Múltiplo Yotta (Y) Zetta (Z) Exa (E) Peta (P) Tera (T) Giga (G) Mega (M) Kilo (k) Hecto (h) Deca (da)



10 −6 m 1cm • 1 µm 10 −2 m

10n 1024 1021 1018 1015 1012 109 106 103 102 101

Múltiplo yecto (y) zepto (z) otto (o) femto (f) pico (p) nano (n) micro (µ) mili (m) centi (c) deci (d)

10n 10-24 10-21 10-18 10-15 10-12 10-9 10-6 10-3 10-2 10-1



Como 28 • 10– 4 cm= 28 • 0,0001 cm = 0,0028 cm dividimos 5 cm por 0,0028 cm



5 cm ÷ 0,0028 cm = 1785,71



Respuesta: En una fila de 5 cm existen aproximadamente 1786 ácaros.

4. Si Flor recorre 2 km y 2 000 000 de µm, para llegar a su casa, ¿cuál es la distancia total (en km) recorrida por Flor?

Solución:



Es claro que debemos sumar ambas distancias, pero primero, se debe convertir a 2 000 000 µm a km. kilo (k) 103

Respuesta: El disco duro de 4 Tb posee 4 • 106 Mb = 4 000 000 Mb micro (µ) 10– 6

3. Si un ácaro mide 28 µm, ¿cuántos ácaros existirán, en una fila de 5 cm?

Solución:



Debemos dividir 5 cm entre 28 µm. Pero antes convertiremos 28 µm a cm.

2 000 000 • 0,000 000 001 km = 0, 002 km

75



Respuesta:



Ana recorre en total 2 km + 0, 002 km = 2,002 km

NÚMEROS

Matemática - EL MAESTRO EN CASA

TRABAJO INDIVIDUAL 3 1. Un reproductor de MP3 tiene 1 Gb de capacidad y se desea almacenar en él archivos de música que tienen un tamaño promedio de 3 Mb. ¿Cuántos archivos de música se pueden guardar?

Resp./

2. ¿Cuántas fotos podría almacenar una cámara digital con memoria interna de 2 Gb si cada foto tiene un tamaño de 2Mb? Resp./ 3. Una llave maya con una capacidad de 1 Gb tiene el 25% del espacio libre, ¿podrá almacenar un mapa digitalizado de 280 000 Kb? Resp./ 4. Google requiere 850 Tb para albergar 24 mil millones de páginas, ¿cuál será el tamaño de media página? Exprese el valor en Kb. Resp./ 5. Se calcula que Gmail tiene unos 50 millones de usuarios y se supone que cada uno requiere un almacenamiento de 2747 Mb. Estime el tamaño necesario para mantener este servicio.

Exprese el resultado en Petabytes. Resp./

6. Su cuenta de correo electrónico le permite enviar a sus contactos archivos de hasta 1 Mb.

Indique en cada caso si podrá enviar los siguientes archivos



(Para cada caso efectúe los cálculos correspondientes):

a. Una fotografía de sus vacaciones de 1,317 kb: _________ b. Un archivo de música en formato MP3 de 1 259 459 Bytes: _________

76

GEOMETRÍA

Matemática - EL MAESTRO EN CASA

DISTRIBUCIÓN SEGÚN HABILIDADES Y CONOCIMIENTOS ÁREA 1: GEOMETRÍA. 18 ÍTEMS CONOCIMIENTOS

HABILIDADES ESPECÍFICAS

Triángulos (Paginas 79 a 110)

2.1 Aplicar el teorema de Pitágoras en la resolución de problemas en diferentes contextos.

Teorema de Pitágoras

2.2 Encontrar la distancia entre dos puntos en el plano cartesiano, aplicando el teorema de Pitágoras. Trigonometría (Páginas 111 a 159)

2.3 Convertir medidas angulares de grados a radianes y viceversa.

t

Radianes

t

Seno

t

Coseno

t

Tangente

t

Razones trigonométricas de ángulos complementarios

t

Ángulos de elevación y depresión

t

Ley de senos

2.4 Aplicar las razones trigonométricas básicas (seno, coseno, tangente) en diversos contextos. 2.5 Aplicar las relaciones entre tangente, seno y coseno. 2.6 Aplicar seno, coseno y tangente de ángulos complementarios. 2.7 Aplicar los conceptos de ángulos de elevación y depresión en diferentes contextos. 2.8 Aplicar que la suma de los cuadrados del seno y coseno de un ángulo es 1. 2.9 Aplicar la ley de senos en diversos contextos. 2.10 Resolver problemas que involucren las razones trigonométricas, sus propiedades y ángulos de elevación y de depresión.

Geometría del espacio (A partir página 160) t

Pirámide recta

t

Apotema

t

Prisma recto

t

Área lateral

t

Área total

2.11 Identificar y calcular la apotema de pirámides rectas cuya base sea un cuadrado o un triángulo equilátero. 2.12 Calcular el área lateral y el área total de una pirámide recta de base cuadrada, rectangular o triangular. 2.13 Calcular el área lateral y el área total de un prisma recto de base cuadrada, rectangular o triangular.

77

GEOMETRÍA

Matemática - EL MAESTRO EN CASA

78

GEOMETRÍA

Matemática - EL MAESTRO EN CASA

TRIÁNGULOS La importancia del triángulo en la técnica y también en la geometría se debe a que un triángulo aunque esté articulado, es indeformable. Grúas, andamios y puentes están hechos a base de triángulos. En esta sección de geometría estudiaremos uno de los teoremas más conocidos y útiles, el teorema de Pitágoras, llamado así por el matemático griego Pitágoras. El teorema dice que el área de un cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos del triángulo. También, estudiaremos la aplicación del teorema de Pitágoras para calcular la distancia entre dos puntos en el plano cartesiano mediante el estudio de la geometría analítica, la cual es considerada como un poderoso instrumento de ataque de los problemas geométricos. La esencia de su aplicación en el plano, es el establecimiento de una correspondencia entre los puntos del plano y pares ordenados de números reales, es decir, un sistema de coordenadas, lo que posibilita una asociación entre curvas del plano y las ecuaciones, de modo que cada curva del plano tiene asociada una ecuación f(x) = y. Y recíprocamente, para cada ecuación está definida una curva que determina un conjunto de puntos en el plano, siempre respecto a un sistema de coordenadas. Descartes propone un nuevo método de resolver problemas geométricos, y por extensión, de investigar en geometría. La geometría analítica resulta un puente indispensable entre la geometría euclidiana y otras ramas de la matemática y de la propia geometría.

79

GEOMETRÍA

Matemática - EL MAESTRO EN CASA

Se cambian la regla y el compás clásicos por expresiones numéricas que se pueden representar mediante coordenadas cartesianas. En un plano se trazan dos rectas perpendiculares (ejes) – que por convenio se trazan de manera que una de ellas sea horizontal y la otra vertical – y cada punto del plano queda unívocamente determinado por las distancias de dicho punto a cada uno de los ejes, siempre y cuando se dé también un criterio para determinar sobre qué semiplano determinado por cada una de las rectas hay que tomar esa distancia, criterio que viene dado por un signo. Ese par de números, las coordenadas, quedará representado por un par ordenado (x, y), siendo "x" la distancia a uno de los ejes (por convenio será la distancia al eje vertical) e "y" la distancia al otro eje (al horizontal). En la coordenada "x", el signo positivo (que suele omitirse) significa que la distancia se toma hacia la derecha del eje vertical (eje de ordenadas), y el signo negativo (nunca se omite) indica que la distancia se toma hacia la izquierda. Para la coordenada "y", el signo positivo (también se suele omitir) indica que la distancia se toma hacia arriba del eje horizontal (eje de abscisas), tomándose hacia abajo si el signo es negativo (tampoco se omite nunca en este caso). A la coordenada "x" se la suele denominar abscisa del punto, mientras que a la "y" se le denomina ordenada del punto.

Recuerde: La geometría analítica, es una disciplina que propone analizar las figuras a partir de un sistema de coordenadas valiéndose de métodos propios del análisis matemático y del ámbito del álgebra.

80

GEOMETRÍA

Matemática - EL MAESTRO EN CASA

TEOREMA DE PITÁGORAS Uno de los teoremas más conocidos y útiles en geometría es el teorema de Pitágoras, llamado así por el matemático griego Pitágoras.

Unimos estos puntos A,B,C,D y cortamos los segmentos AB, BC, CD, DA. H cateto 3 A

F 3

cateto 4

Cuenta la historia que varias civilizaciones antiguas han tenido conocimiento de esta propiedad de los triángulos rectángulos. La civilización griega era una de ellas. La conocían desde hace unos 2500 años, por lo menos. También en la India se conocía; lo curioso es que las civilizaciones que descubrieron esto lo hicieron en forma independiente.

4

D

B 4

3 4

E

En la antigua Grecia hubo un hombre muy relacionado con este conocimiento, se llamaba Pitágoras (vivió desde el año 585 a.C. hasta 500 a.C.) Mezcló la ciencia con la religión y la magia. Fue fundador de una secta y en honor a él, la propiedad de los triángulos rectángulos se conoce con el nombre de Teorema de Pitágoras.

3

C

G

Tomemos otro cuadrado de papel, también de 7 cm de lado; dividamos cada lado en 3 cm y 4 cm como en el caso anterior, pero en esta otra forma. Cortemos el papel a lo largo de todas las líneas y observemos que se forman cuatro triángulos rectángulos iguales a los que obtuvimos cortando el papel de la figura anterior.

El “teorema de Pitágoras” se enuncia así:

H

3

A

4

F 4

4 M

B

En todo triángulo rectángulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.

D

3 E

3 3

C

4

G

Como podemos ver, en el primer caso, quitando cuatro triángulos rectángulos iguales, obtenemos el cuadrado ABCD

Hallemos una fórmula para este teorema de Pitágoras, utilizando recursos muy sencillos. Veamos:

A

Tomemos un cuadrado de papel. Supongamos que tiene 7 cm de lado. Cada lado lo dividimos en dos segmentos llamados catetos de 3 cm y 4 cm, como se puede observar en la figura siguiente:

D

a2

B

81

5 cm = 

C

GEOMETRÍA

Matemática - EL MAESTRO EN CASA Por lo tanto:

En el segundo caso, quitando también cuatro triángulos rectángulos iguales (los triángulos sombreados ) nos quedan dos cuadrados AFDM y BMCE. B

= 3 cm

A

M

Esta fórmula es muy útil para determinar la medida de uno de los lados del triángulo rectángulo conociendo la medida de los otros dos.

F

2

b

c

2

En efecto, a partir de esta fórmula podemos obtener los siguientes resultados:

= 4 cm

1)

C

E

Por eso, si a dos cuadrados que eran equivalentes, les quitamos triángulos rectángulos equivalentes, en ambos casos, las superficies que restan o quedan en los dos cuadrados han de ser iguales.

2)

Por ejemplo:

En un triángulo rectángulo la superficie del cuadrado construido sobre la hipotenusa equivale a la superficie conjunta de los cuadrados construidos sobre los catetos.

b

a

c

b = a 2 − c 2  o bien c = a 2 − b2

Con esta fórmula podemos calcular el valor del cateto (c), conociendo a la hipotenusa (a) y el otro cateto (b).

Por lo tanto, el cuadrado formado por las hipotenusas (a2) será igual a la suma de los cuadrados formados por los dos catetos (b2) y (c2).

b2

a = b2 + c 2 Con esta fórmula podemos calcular el valor de la hipotenusa (a), conociendo los dos catetos (b y c).

D

M

a2 = b2 + c2



Utilizando el teorema de Pitágoras, hallamos el valor de x en los triángulos siguientes:

a)

c2

Para este triángulo tenemos que: x 2 = 22 + 12 x2 = 4 + 1

a2

x2 = 5 x = 5 ≈ 2,24

82

GEOMETRÍA

Matemática - EL MAESTRO EN CASA b)



c)

Para este triángulo tenemos que:

d)

e)

82 = 42 + x 2 x 2 = 82 − 42

x 2 = 64 − 16 x 2 = 48

x = 48 ≈ 6,93 En la semana undécima de Matemática Térraba clasificamos los triángulos según la medida de sus ángulos en tres clases: acutángulo, rectángulo y obtusángulo. Una de las posibilidades que nos permite el teorema de Pitágoras es clasificar los tirángulos por sus ángulos, según la medida de los lados.

c)



Recíproco del teorema de Pitágoras:

Para este triángulo tenemos que: 22 = x 2 +

2

( 3)

Si para las longitudes de los lados de un triángulo se cumple que a2 = b2 + c2 entonces el triángulo es triángulo rectángulo. La longitud a corresponde a la medida de la hipotenusa.

4 = x2 + 3

x2 = 4 − 3 x =1

ACTIVIDAD 1

Esto es:

Utilice el teorema de Pitágoras para encontrar la medida del lado que falta.

a)

b)

83

GEOMETRÍA

Matemática - EL MAESTRO EN CASA Para poder establecer si un triángulo es acutángulo o bien obtusángulo, el recíproco del teorema del Pitágoras se puede adaptar según corresponde a acutángulo o bien obtusángulo, estableciendo la relación según las áreas determinadas por sus respectivos lados así:

2. Como a, b y c son las medidas de las longitudes de los lados de un triángulo; si se tiene que a > b y a > c, los ángulos opuestos B y C siempre son menores que el ángulo A. Por lo tanto:

a2 > b2 + c2



I. a2 = b2 + c2 el triángulo es rectángulo.



II. a2 < b2 + c2 el triángulo es acutángulo.



III. a2 > b2 + c2 el triángulo es obtusángulo.

Ejemplos: 1. Si los lados de un triángulo miden 21, 28 y 35 metros respectivamente. Determinar qué clase de triángulo es.

Solución: Tenemos que 35 > 21 y 35 > 28

Cuadrado del lado mayor

El triángulo ABC es obtusángulo en A.

352 = 1225 Suma de los cuadrados de los otros dos 212 = 441

a2 < b2 + c2

282 = 784 Sumamos 212 + 282 = 1225 Como

1225 = 1225

El lado de 35 m se opone a un ángulo recto; por tanto, el triángulo es rectángulo. 2. Los lados de un triángulo miden respectivamente 16, 20 y 24 metros.

El triángulo ABC es acutángulo.

1. Del teorema de Pitágoras y su recíproco se deduce cuando se conocen las medidas de las longitudes de los lados de a, b y c de un triángulo. Además se sabe qué clase de triángulo es (rectángulo, obtusángulo o acutángulo).



Determine la clase de triángulo.



Solución:



Se tiene que 24 es el número mayor, 24 > 20 y 24 > 16, luego podemos hacer lo siguiente:

a) 242 = 576 b) 162 + 202 = 256 + 400 = 656

84

y como 576 < 656

GEOMETRÍA

Matemática - EL MAESTRO EN CASA

Aplicaciones del teorema de Pitágoras

El lado mayor de este triángulo se opone a un ángulo agudo; por tanto, el triángulo es acutángulo.

El teorema de Pitágoras se puede utilizar para hallar longitudes de segmentos. Pero necesitamos que los segmentos cuya longitud queremos calcular sean lados de un triángulo rectángulo.

3. Los lados de un triángulo miden respectivamente 32 , 48 y 60 metros.

Determine la clase de triángulo.



Solución:



Se tiene que 60 es el número mayor.

1. Aplicaciones inmediatas

EJEMPLO 1



El hilo de mi cometa mide 25 m. He soltado todo el hilo y el cometa está justo encima de David que se encuentra a 10 m de donde yo estoy. ¿A qué altura ha subido el cometa?



Solución:



Hacemos un gráfico indicativo y aparece un triángulo rectángulo del que conocemos un cateto y la hipotenusa.



Así entonces:



h2 = 252 – 102

a) 602 = 3600 b) 322 + 482 = 1024 + 2304 = 3328

Como 3600 > 3328



El lado mayor de este triángulo se opone a un ángulo obtuso; así que el triángulo es obtusángulo.

ACTIVIDAD 2 1. En cada columna aparecen los lados de un triángulo ABC. Indique el tipo de triángulo (acutángulo, obtusángulo, rectángulo). a



b

c

d

e

AB

4,1

1,3

42

1

1,5

AC

7

1,2

55

3 5

2,5

BC

9

0,5

61

4 5

2

2. En los siguientes ejercicios, indique si las cifras dadas pueden ser longitudes de lados de un triángulo rectángulo. a) 10, 24, 26 b) 7, 25,

674

c) 20, 21, 29 d) 5, 13,

195

e) 8, 15, 17 f) 5, 12, 13

85



= 625 – 100



= 525

Aplicamos la fórmula 2 de la página 194

21



h = 5



Respuesta: La cometa ha subido a una altura de 5 21 m.

GEOMETRÍA

Matemática - EL MAESTRO EN CASA

EJEMPLO 2



Los lados de un triángulo isósceles miden 13 cm, 13 cm y 10 cm. Calcule su área.

2. El teorema de Pitágoras y los polígonos regulares.

B

13

13

5

5



Solución:



Necesitamos hallar una altura para aplicar la fórmula del área.

A

H

¿Qué altura nos conviene?



La correspondiente al lado desigual. Esta altura es también mediatriz de ese lado, con lo que la base queda dividida en dos partes iguales.



El triángulo BHC es rectángulo en H.



BH2 = 132 – 52 = 169 – 25 = 144



BH =



144 = 12 cm 1 1 base • altura = • 10 • 12 = 60 cm2 2 2



Respuesta: El área del ∆ BHC es 60 cm2.



EJEMPLO 3



Calcule la medida de la diagonal de un rectángulo cuyos lados miden 8 cm y 5 cm, respectivamente.



Solución:



La diagonal es la hipotenusa de un triángulo rectángulo.



d2 = 82 + 52



d2 = 64 + 25



d =



Respuesta: La diagonal mide

d

EJEMPLO 1



Calcule la medida de la apotema del hexágono regular inscrito en una circunferencia de radio 15 mm.



Solución:



Puesto que, el lado de un hexágono regular es igual al radio de la circunferencia en la que está inscrita, tenemos que la apotema es la altura de un triángulo equilátero del que conocemos la medida del lado. Además, el ∆ AOH es rectángulo en H.



Si el radio mide 15 mm, entonces HA = 7,5 mm



OH2 = 152 – ( 7,5 )2

C



Área =



5 cm

8 cm

89 cm 89 cm

86



= 225 – 56,25



= 168,75

B A 60° 0

168,75 ≈ 13 mm

H



OH =



Respuesta: La apotema mide aproximadamente 13 mm.



EJEMPLO 2



Calcule la medida del lado de un triángulo equilátero inscrito en una circunferencia de radio 15 mm.



Solución:



Dibujemos un hexágono regular. Uniendo puntos alternos se A obtiene un triángulo equilátero. AD es un diámetro y por lo tanto ∆ ABD es triángulo rectángulo en B.

Hexágono regular

B

D

C

Triángulo equilátero

GEOMETRÍA

Matemática - EL MAESTRO EN CASA

Solución:



En la figura de la derecha se observa que el lado AB es la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos son dos radios.

EJEMPLO 3



AB2 = 152 + 152 = 450

Calcule la medida del lado de un cuadrado inscrito en una circunferencia de radio 15 mm.



AB =



Respuesta: El lado del cuadrado mide 15 2 mm.



BD = 15 ;



AB = 30 – 15



AB = 15



Respuesta: El lado del triángulo equilátero mide 15 3 mm.



2

AD = 30

2

2

= 675

3

450

ACTIVIDAD 3 Conteste Sí o No: a) La sombra del árbol mide más de 97 metros:

100

m

20 m

b) El ∆ ABC es equilátero: ___________

A

cm

B

3,2 cm

4,1 cm

6,4

A.

6,4 cm

C

87

____________

= 15

2 mm

GEOMETRÍA

Matemática - EL MAESTRO EN CASA c) El ∆ ABC es isósceles: ___________ 2,8

A

1,65 C

3,5

0,8 B

d) Uno de los dos triángulos no es rectángulo: __________

41 cm

17 cm 15 cm

40 cm

9 cm 8 cm

e) El cateto AB mide 3 y la hipotenusa BC 5: ______________

B. Calcule la medida del lado o lados que faltan en los siguientes triángulos:

a) 10

b) 10

x

6

c) 1 x

d) x

3

1,5

h 10

5 x 4

y

88

y z

GEOMETRÍA

Matemática - EL MAESTRO EN CASA

C. Complete la tabla siguiente sabiendo que h, a y b son respectivamente, la hipotenusa y los catetos de un triángulo rectángulo.

Los datos están en centímetros y debe dar el resultado en centímetros (redondeando si es necesario con un decimal): h

a

17

15

41 51

40 9 3 5

5 12

b

4 5

1 3

Para saber si un marco está torcido, un carpintero mide los lados y determina que miden 20 cm y 30 cm y la diagonal mide 37 cm. ¿Está torcido el marco? Justifique su respuesta.

30 cm

37



cm

D. (Aplicación del Teorema de Pitágoras)

20 cm

E. (Aplicación del Teorema de Pitágoras) cm

89

14 cm

1

El armario se cierra mediante un mecanismo plegable de las medidas que se indican. ¿Está el escritorio paralelo al suelo? Justifique su respuesta.

, 22



GEOMETRÍA

Matemática - EL MAESTRO EN CASA F. ¿Qué longitud debe tener una escalera si debe alcanzar una altura de 6 m y su pie debe estar por lo menos a 1,5 m de la pared?

G. Una cancha de fútbol olímpica es un rectángulo de 100 metros de largo y 70 metros de ancho. ¿Qué longitud tiene la diagonal de la cancha?

H. ¿Cuál es el área de un triángulo rectángulo con un cateto de 5 pies de longitud y una hipotenusa de 13 pies de longitud?

I. Édgar quería construir un corral rectangular para su conejillo de Indias. Cuando terminó, midió el fondo del corral. Encontró que un lado tenía 54 pulgadas de largo, el lado adyacente tenía 30 pulgadas de largo y una diagonal medía 63 pulgadas de largo. ¿El corral es realmente rectangular?

90

GEOMETRÍA

Matemática - EL MAESTRO EN CASA

de los catetos se tiene que la hipotenusa x es igual a 7 2 cm.

TRIÁNGULOS ESPECIALES Llamamos triángulos especiales a dos triángulos rectángulos que poseen como ángulos internos 45° - 45° - 90° y 30° - 60° - 90°. Por ejemplo, t

t



El ∆ ACB es un triángulo 45° - 45° - 90°, puesto que está formado por los lados de un cuadrado y una diagonal.

b) Solución:

Por el teorema 45° – 45° – 90°.



Como la hipotenusa es el largo de un cateto 2 veces, tenemos que:



h= x 2



3= x 2 3 = x racionalizando el denominador 2

A 45°

x

C

x

45°

B

El ∆ ADC es un triángulo 30°- 60°- 90°, puesto que está formado por una altura de un triángulo equilátero.



Con respecto a estos triángulos, tenemos los siguientes teoremas:



Teorema del triángulo 45° – 45° – 90°

En un triángulo 45° – 45° – 90°, ambos catetos son congruentes y el largo de la hipotenusa es el largo de un cateto 2 veces



AC = BC =

3

2



•

2

2

=

3 2 4

=

3 2 =x 2

3 2 cada Respuesta: Los catetos x miden 2 uno.

c) Solución:

AB = 2



Por el teorema 45°, 45°, 90° se tiene que x = 8 2 . Esto pues, la hipotenusa mide el largo de un cateto 2 veces.



Respuesta: La hipotenusa mide x = 8 2 .

Algunos ejemplos

Encuentre el valor de x en forma simplificada.

a) Solución:

Como es un triángulo rectángulo (45°, 45°, 90°), tenemos que si 7 cm corresponde a la medida de uno

d) Solución:

91

Por el teorema 45° – 45° – 90° los catetos corresponden a los lados iguales de un triángulo

GEOMETRÍA

Matemática - EL MAESTRO EN CASA Algunos ejemplos

rectángulo isósceles y como la hipotenusa es 5 que es igual a x 2

Encuentre el valor de "x" e "y" en forma simplificada. a) Solución:



5

2 5

2

=x •

2

2

=

5 2 4

=

5 2 4

=

5 2 =x 2



Por el teorema 30° – 60° – 90° tenemos que la hipotenusa es 2 veces el tamaño al cateto que se opone al ángulo de 30° como



16 = 2x 16 =x 2 8=x



Respuesta: Los catetos x miden 5 2 respec2 tivamente.

Teorema del triángulo 30° – 60° – 90°

En un triángulo 30° – 60° – 90°, el largo de la hipotenusa es 2 veces el tamaño del cateto más corto y el largo del cateto más grande es 3 veces el tamaño del cateto más corto.



AC = x

AB = 2x

BC = x 3



Como el cateto más largo es el que se opone al ángulo de 60° mide 3 veces el más corto se tiene que y = 8 3 .



Respuesta: Los catetos miden x = 8 e y = 8 3.

b) Por el teorema 30° – 60° – 90° tenemos que el cateto que se opone al ángulo de 60° es el cateto largo y mide x 3 = 5, (el cateto menor 3 veces). Así tenemos que: x 3=5 5 x= 3

Importante: -

El cateto más corto se opone al ángulo de 30°.

-

El cateto más grande se opone al ángulo de 60°.

-

La hipotenusa se opone al ángulo de 90°.

x=



92

x=

5

3

5 3 9

3

•

3

=

5 3 3

GEOMETRÍA

Matemática - EL MAESTRO EN CASA

Por otro lado, la hipotenusa mide dos veces la medida del cateto más corto, o sea, h = 2•





5 3 3



10 h= 3 3

y=

2 • 11 3 22 3 = 3 3

d) Solución:

5 3 Respuesta: El cateto más corto mide x = 3 10 y la hipotenusa mide y = 3. 3 c) Solución:

Por otro lado, como la hipotenusa mide 2 veces el cateto más corto,

Por el teorema 30° – 60° – 90°. La hipotenusa es 2 veces el cateto más corto.

Por el teorema 30° – 60° – 90°. El cateto más grande mide 3 el cateto más corto; esto es



11= 3x 11 =x 3 11 3

•

11 3 9

3

3

=



h = 2x 22 = 2x 22 =x 2 11= x

La hipotenusa mida el doble de la medida del cateto más corto.

Por otro lado el cateto más grande es 3 veces el cateto más corto, esto es y = 3 • 11

=x

11 3 =x 3



y = 11 3



Respuesta: Los catetos miden x = 11 e y = 11 3 respectivamente.

ACTIVIDAD 4 A. Emplee el teorema del triángulo 45° – 60° – 90° para encontrar las longitudes de los lados indicados.

2

? 45°



1) _______

?

45°

?

?

17

45°

5 2

?

2) _______

3) _______

93

8

? ?

45°

4) _______

GEOMETRÍA

Matemática - EL MAESTRO EN CASA B. Emplee el teorema del triángulo 30° – 60° – 90° para encontrar las longitudes de los lados de cada triángulo.

? 30°



4

?

?

60°

9

?

5) _______

2) _______

19

60°

?

?

3

?

3

?



30°

?

1) _______

60°

?

1

? ?

6) _______

3) _______

2 3

? ?

30°

7) _______

94

30°

4) _______

?

16 7 ?

30°

8) _______

GEOMETRÍA

Matemática - EL MAESTRO EN CASA

TRABAJO INDIVIDUAL 1 1. En los siguientes ejercicios establezca si la ecuación es correcta o no.

a)

c

b)

b

z

x y

a

c2 = a2 + b2



x2 + y 2 = z 2

__________________

c)

_________________ s

d)

b a

c2 = a2 + b2



f

f=

f)

t

r s r=

e 2 + g2

__________________

g)



_________________

g

e



s 2 = u2 – t 2

__________________

e)

t

u

c

s2 + t2

_________________

h)

__________________

95

_________________

GEOMETRÍA

Matemática - EL MAESTRO EN CASA 2. Encuentre el valor de x, de acuerdo con los datos de cada figura.

a)

x

b)

3

x

4



24

__________________

c)

17

_________________

d)

x

7

__________________

e)

_________________

f) 3

10

4 3

x 8

x



x

5

15



7

__________________

_________________

3. Resuelva cada uno de los siguientes ejercicios; considere la información que se indica en cada caso: a) Si el m EDB = 45°, m el área del ∆ BCD.

BDC = 60° y BD = 3 2 . Calcule AB, BC, AD, el perímetro del

96

ABCD y

GEOMETRÍA

Matemática - EL MAESTRO EN CASA

b) Si el m BCA = 60° y m DEC = 30° y la medida de AC es 4. Calcule la medida del segmento BC, el perímetro del triángulo ACE, el área del rectángulo ABDE y el área del ∆ ACE.

c) En la figura se tiene el rombo ACBD con medida de la diagonal mayor de AB = 6 3 y de la diagonal menor DC = 6. El ángulo QAC tiene medida 30°, P es punto medio del segmento QC y el ángulo PCR mide 45°. Calcule la medida de los segmentos BC, RC y AQ.

4. De acuerdo con la figura de la derecha y con los datos mencionados, determine la medida que se solicita en cada caso.

a) Si AC = 6 y AB = 8, entonces BC = _____

C

b) Si BC = 15 y AB = 9, entonces AC = _____

c) Si AC = 2 y AB = 2 , entonces BC = ______

d) Si BC =

15 y AB =

10 , entonces AC = _____

97

A

B

GEOMETRÍA

Matemática - EL MAESTRO EN CASA

e) Si AC =

2 y AB =

3, entonces BC = ______

f) Si AB = 2 3 y BC = 6, entonces AC = _______

5. Resuelva cada uno de los problemas siguientes en forma ordenada. a) Si un lote de forma rectangular mide 33 m de ancho y 44 m de largo; ¿ cuánto mide su diagonal?

Solución:

Respuesta:

b) Si un terreno rectangular mide 60 m de ancho y 175 m de largo; ¿ cuánto mide su diagonal?

Solución:

Respuesta:

98

GEOMETRÍA

Matemática - EL MAESTRO EN CASA

c) David necesita instalar un cable eléctrico diagonalmente en su local de forma rectangular que mide 6 m de ancho y 17,5 m de largo. ¿Qué longitud debe tener el cable?

Solución:

Respuesta:

d) Fernando necesita guardar unas varillas de 7,5 m de longitud. Las lleva para una bodega que mide 3 m de ancho y 7,2 m de largo. ¿ Caben las varillas en la bodega? Realice la justificación mediante el Teorema de Pitágoras.

Solución:

Respuesta:

e) Carlos lleva a guardar una reglas de 2,7 m de longitud a un local pequeño de 1 m de ancho y 2,4 m de largo. ¿ Caben las reglas ? ¿ Por qué ?

Solución:

Respuesta:

99

GEOMETRÍA

Matemática - EL MAESTRO EN CASA

f) Para trazar un triángulo rectángulo, en el campo, un topógrafo despliega su cinta como se muestra en la figura. ¿Cuál es la medida del lado mayor? ¿Cuál es el perímetro?

Solución: 6

8

Respuesta: 6. Resuelva el siguiente problema, indique su respuesta con dos decimales.

Un poste de 5 m clavado verticalmente en el suelo, proyecta una sombra de 12 m. ¿Qué distancia habrá entre el extremo de la sombra y la punta superior del poste?



Solución:

5m

12 m

Respuesta:

100

GEOMETRÍA

Matemática - EL MAESTRO EN CASA 7. Resuelva:

a) Si un terreno rectangular mide 40 m de ancho y 50 m de largo; ¿ cuánto mide aproximadamente su diagonal ?

Solución:

Respuesta:

b) Si un local rectangular mide 6 m de ancho y 10 m de largo; ¿cuánto mide aproximadamente su perímetro?

Solución:

Respuesta:

8. Encuentre el valor de x en las siguientes figuras.



101

GEOMETRÍA

Matemática - EL MAESTRO EN CASA

TRABAJO INDIVIDUAL 2 1. Sandra tiene un lote de forma rectangular. Como le gusta poner a pensar a otros, cuando le preguntan por las medidas dice: «el lote mide 20 m de ancho y la diagonal mide 52 m.» ¿Cuánto mide de largo?

Respuesta:

2. ¿Serán las medidas siguientes, medidas de triángulos rectángulos. a)

3 – 4 – 5 _______

b) 6 – 2,5 – 6,5 _______

c) 3 – 7,2 – 7,8 _______ d) 4 – 6 – 8 _______

Recuerde: Para qué un triángulo sea rectángulo se debe cumplir que a2 + b2 = c2; c es la medida de la hipotenusa.

3. Resuelva los problemas siguientes: a) Manuel dijo que su tío tiene un terreno rectangular que mide de largo 72 m y de diagonal 78 m. ¿Cuánto mide de ancho?

Solución:

Respuesta:

b) Un corral rectangular mide 24 m de largo y 25 m de diagonal. ¿ Cuánto mide de ancho ?

Solución:

Respuesta:

102

GEOMETRÍA

Matemática - EL MAESTRO EN CASA c) Entre las dos paredes de una calle distantes entre sí 30 m se ha tendido un cable de cuyo centro cuelga una pesada lámpara. Como consecuencia de dicho peso el punto medio del cable se desplaza 0,75 m de la horizontal. ¿Cuál deberá ser la longitud del cable?

30 m 0.75

Solución:

Respuesta:

d) Una escalera de 4 m de longitud está apoyada en una pared; el pie de la escalera está a 1,20 m de la pared. ¿Cuál es la altura que alcanza la escalera en esa posición?

Solución:

1,20m

Respuesta:

4. De acuerdo con los datos de cada figura, determine el valor de x.

a) 10,

4c

x

b)

m

m

7c

6 cm

9,6 cm

c) x

d) x

6,5

8c

m

3,9 cm cm 7 cm

103

x

GEOMETRÍA

Matemática - EL MAESTRO EN CASA 5. Utilice los teoremas 45°, 45°, 90° y 30°, 60°, 90° para completar cada línea en blanco. a) AB = ________ BC = 9, CA = ________ b) AB = 12, BC = ________, CA = ________ c) AB = ________, BC = ________, CA = 6 3 d) AB = 27, BC = ________, CA = ________ e) AB = ________, BC = 4 3 , CA = ________ f) AB = ________, BC = ________, CA = 10 g) XY = 12, XZ = ________, YZ = ________ h) XY = ________, XZ = 3 2 , YZ = ________ i) XY = ________, XZ = ________, YZ = 4 j) XY = 8 2 , XZ = ________, YZ = ________

El Teorema de Pitágoras y la fórmula de la distancia

un sistema de referencia para localizar puntos en un plano.

En Geometría, la distancia es descrita como la medición de cuán lejos están dos objetos. En Matemática, sin embargo, la distancia es más una generalización del concepto de la distancia física, la distancia física entre dos objetos.

La  utilidad de dominar los conceptos sobre el Plano Cartesiano permite deducir que, a partir de la ubicación de las coordenadas de dos puntos es posible calcular la distancia entre ellos.

En este libro de Matemática Zapandí, estudiaremos la geometría analítica, la cual es considerada como una parte de las matemáticas que, entre otras cosas, se ocupa de resolver algebraicamente los problemas de la geometría. Ya en el libro de Matemática Térraba en el desarrollo de la semana decimotercera consideraremos objetos que yacen en un plano x-y, es decir, en el plano cartesiano y por haberlo ya estudiado, sabemos que el Plano cartesiano se usa como

Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje  x  (de las abscisas) o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus abscisas (xB – xA). Al igual que cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje y (de las ordenadas) o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus abscisas (yB – yA).

104

GEOMETRÍA

Matemática - EL MAESTRO EN CASA

Distancia entre dos puntos en el plano cartesiano 

ATENCIÓN: Hasta este momento no hemos utilizado ninguna unidad de medida del Sistema Internacional de Medidas (SI), para indicar una solución cuando no se diga lo contrario en este libro de Matemática Zapandí haremos uso del símbolo ul cuando se refiera a las unidades lineales.

Para calcular distancias en la Geometría Analítica, nos referimos al plano cartesiano y al teorema de Pitágoras de la siguiente manera:

B

yB AB

Así pues, en la solución del ejemplo anterior, podemos decir que d = 12,04 ul

yB – yA

A

yA

xB – xA xA

O

2. Cuál es la distancia entre los puntos A (7,5) y B (4,1).

xB

d = (4 − 7)2 + (1− 5)2 d = (−3)2 + (−4)2

Por el teorema de Pitágoras:

d = 9 + 16 d = 25 d = 5 ul

(AB)2 = (xB − x A )2 + (y B − y A )2 de donde: AB = (xB − x A )2 + (y B − y A )2 Ejemplos: 1. ¿Cuál es la distancia entre los puntos A(6,–4) y B(–3,4)?

Solución:



Utilizando la fórmula de distancia entre dos puntos A y B, entonces:

3. Considere la siguiente gráfica y calcule la distancia entre los puntos A y B.

Solución:

A

AB = (xB − x A )2 + (y B − y A )2 AB = (–3 − 6)2 + (4 − (−4)2 B

= (−9)2 + (8)2 = 81+ 64

= 145 = 12,04



105

De acuerdo con la gráfica, las coordenadas de los puntos A(–4, –3) y B(2, –2) ahora sustituyendo las coordenadas observadas

GEOMETRÍA

Matemática - EL MAESTRO EN CASA en la ecuación de distancia entre dos puntos, tenemos que:



Luego, se calculan las distancias correspondientes a cada lado, es decir, la distancia de: AB, BC y AC, entonces:





Aplicaciones de la distancia entre dos puntos Triángulos Con la fórmula de la distancia es posible encontrar la longitud de los lados y el perímetro de un triángulo y decidir si se trata de un: t Triángulo

equilátero (tres lados iguales)

t Triángulo

isósceles (dos lados iguales)

t Triángulo

escaleno (tres lados diferentes)



t Triángulo rectángulo (aplicando el Teorema de

Pitágoras)

Ejemplos: 1. ¿Qué tipo de triángulo forman los puntos A(–3,4), B(6,2) y C(2,–3) y cuál es su perímetro?

Solución:



Estos puntos se pueden representar en un plano cartesiano de la siguiente manera: y A(-3,4)



Como las tres medidas de AB, BC y AC podemos decir que los tres lados son diferentes, por lo tanto se trata de un triángulo escaleno. Además, el perímetro del triángulo es la suma de los tres lados:

B(6,2) o x

Perímetro = 9,22 + 6,4 + 8,6 = 24,22 ul

C(2,-3)

106

GEOMETRÍA

Matemática - EL MAESTRO EN CASA Puntos colineales Tres puntos A, B y C son colineales, AB + BC = AC

Para esto se debe calcular las distancias de AB, BC y AC

A

B

C Ejemplo Si tres ciudades tienen como coordenadas A(–3,5), B(0,2), C(3,–1), respectivamente. ¿Son colineales estas ciudades? Solución: Para saber si las tres ciudades son colineales, veamos si se cumple que: AB + BC = AC

A(-3,5)

B(0,2) -5

o

5 C(3,-1)

Ahora, debemos verificar si se cumple que AB + BC = AC, lo haremos sustituyendo en la expresión: AB + BC = AC 18 + 18 = 2 18 Como se tiene que AB + BC = AC, por lo tanto las tres ciudades son colineales.

107

GEOMETRÍA

Matemática - EL MAESTRO EN CASA

TRABAJO INDIVIDUAL 3 I.- Graficar en un plano cartesiano los siguientes pares de puntos y luego encontrar la distancia entre ellos: a) P1 (2; 3) y P2 (2; –1) b) P1 (4; –1) y P2 (–2; –3) c) P1 (–3; 0) y P2 (1; 2) d) P1 (–4; 3) y P2 (2; –4) 2. Determine la distancia entre cada par de puntos dados usando la fórmula de distancia.  a)  (1,2) y (–3,4)      b)  (–3,0) y (–4,6) 3. Para los pares de puntos dados en cada figura: a) Estime las coordenadas de los puntos A y B.  b) Estime la distancia entre A y B usando la fórmula de distancia. y

B A x



y A

x B y

x A B

108

GEOMETRÍA

Matemática - EL MAESTRO EN CASA 4. Determinar el perímetro de la figura determinada por los puntos: A(–1, 0); B(2, 4) y C(2, 6).

y

C

6 5

B

4 3 2 1 A 0 -4 -3 -2 -1 0 -1

1

2 3 4

5

6

7

8

7

8

-2 -3

5. Determinar el perímetro de la figura definida por los puntos: A(– 4, –3), B(4, – 3), C(4, 2) y D(– 4, 4)

6 5 D

4 3 C

2 1 0 -4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-1 -2 A

6. Dibujar el cuadrilátero definido por los puntos a continuación:

A(–2; 0) ; B(4; 0) ; C(7; 4) y D(1; 4) . Luego obtener: a) Perímetro del cuadrilátero. b) Punto medio de los 4 lados. c) Medidas de las diagonales.

109

-3

B

5

6

x

GEOMETRÍA

Matemática - EL MAESTRO EN CASA Importante: Para calcular el punto medio puede consultar el libro de Matemática Térraba en la semana decimotercera.

7. Dibujar el triángulo definido por los puntos: A(2, – 4) ; B(– 4, 4) y C(– 4, –4) .

Luego obtener: a) Perímetro del triángulo. b) Puntos medios.

8. Calcule el perímetro de cada uno de los polígonos determinados por las coordenadas de sus vértices: a) Un triángulo ABC con A(–1,4); B(– 3,1) y C(3,1) b) Un cuadrilátero ABCD con A(– 6,2); B(– 4,7); C(1,1); D(– 1, – 1) c) Un pentágono ABCDE con A(– 5,– 2); B(1,– 2); C(4,2); D(4,9); E(– 5,9) 9. Compruebe que los puntos A(1,0), B(2,-5) y C(-1,-3) son los vértices de un triángulo rectángulo. Encontrar el área.

10. Analice la gráfica y calcule la distancia entre los puntos A y B.

A

B

110

GEOMETRÍA

Matemática - EL MAESTRO EN CASA

ORIGEN DE LA TRIGONOMETRÍA La agrimensura y la navegación son prácticas que, desde sus orígenes, han requerido el cálculo de distancias cuya medición directa no resultaba posible; y otro tanto sucede en el ámbito de la astronomía. Para resolver este problema, los antiguos babilonios recurrieron ya a la trigonometría; es decir, a una serie de procedimientos que permiten poner en relación las medidas de los lados de un triángulo con las medidas de sus ángulos. La distancia desde un punto situado al pie de una montaña hasta su cima, por ejemplo, o desde una embarcación hasta un determinado punto de la costa, o la que separa dos astros, pueden resultar inaccesibles a la medición directa; en cambio, el ángulo que forma la visual dirigida a un accidente geográfico, o a un punto de la bóveda celeste, con otra visual fijada de antemano (como puede ser la dirigida según la horizontal), acostumbra ser fácil de medir mediante instrumentos relativamente sencillos. El objetivo de la trigonometría es establecer las relaciones matemáticas entre las medidas de las longitudes de los segmentos que forman los lados de un triángulo con las medidas de las amplitudes de sus ángulos, de manera que resulte posible calcular las unas mediante las otras. c4

c2 c1 A

b1

a1 b2

a2

a3

El segundo es el  gradián o grado centesimal, este permite dividir la circunferencia en cuatrocientos grados centesimales. El tercero es el  grado sexagesimal, este concibe a la circunferencia dividida en trescientos sesenta grados sexagesimales). En este libro de Matemática Zapandí, sólo consideraremos las unidades: el radián y el grado sexagesimal para la medición de ángulos.

Medidas de ángulos: grados y radianes Además de grados, los ángulos en Trigonometría también se miden en radianes, por lo tanto, tenemos que saber que es un radián y que es un grado.

a4

¿Qué es un ángulo?

C b3

El primero es el  radián considerado como la unidad natural de los ángulos, con este se establece que una circunferencia completa puede dividirse en 2 ð radianes.

Pero antes consideremos lo siguiente

B

c3

que emplea la Trigonometría para la medición de ángulos:

b4

La primera relación que utiliza la Trigonometría se establece mediante los ángulos, de los cuales podemos decir, que existen tres unidades de ángulo

111

Una forma de pensar qué es un ángulo es concebir una figura generada dentro de un círculo, con su origen en el centro de dicho círculo, mediante el movimiento de una semirrecta de una posición inicial a una posición final.

GEOMETRÍA

Matemática - EL MAESTRO EN CASA

¿Qué es un radián? Una forma de pensar en un radián es concebir un ángulo plano que teniendo su vértice en el centro de un círculo intercepta sobre la circunferencia de este círculo un arco de longitud igual al radio.

lad

o fi

na l

90°

180°

0° (360°)

lado inicial

longitud = r

rad 270°

ián

r

Hay 360 grados en una vuelta completa En este sistema una vuelta completa (un círculo completo) equivale a 360 grados. Esto se denota: 3 1 de vuelta equivale a 270º, de 360º. Luego, 4 2 1 vuelta equivale a 180º y de vuelta equivale a 90º. 4 Vuelta completa 360° 180° 90° 270°

360°

El radián indica una longitud de circunferencia que resulta idéntica al radio. Las fracciones de grado son los minutos y los segundos, esto quiere decir que: un grado equivale a 60 minutos, 1º = 60', y 1 minuto equivale a 60 segundos, 1' = 60". De este modo podemos escribir un ángulo de dos formas equivalentes: como fracción de grado o lo podemos expresar en grados, minutos y segundos. Ejemplos a) 1,5º = 1º 30'0" b) 3,25º = 3º 15'0"

112

1 radián

GEOMETRÍA

Matemática - EL MAESTRO EN CASA Gráficamente.

Importante

2

1

La ventaja de trabajar con el sistema circular, además de que se trabaja con números reales, es que en la mayoría de las aplicaciones se analizan procesos a través del tiempo y esa variable es un número real.

1 radián

3 ?

0

180°

Por ejemplo, la transmisión del sonido, el movimiento de los planetas o la corriente alterna. ? = 3.14159... = π 180° = π radianes

180 Un radián son  grados, aproximadamente π 57,296°.

Conversión de grados a radianes y viceversa

En este sistema una vuelta completa equivale a 2π radianes. Esto se denota: 2π ó 2π rad.

t

Para convertir medidas de radianes a grados, 180° mutiplicamos el número de radianes por . π 180° 180° Esto es, 1 rad = = = 57,296° . 3,1416 π

t

Para convertir medidas de grados a radianes, π mutiplicamos el número de radianes por . 180° 3,141 π = = 0,01745 rad . Es decir, 1° = 180° 180°

En general en este sistema no se escribe la unidad, es decir que un ángulo de 2π radianes se expresa como 2π. Los radianes se escriben como un número real, las fracciones de radianes no tienen una notación particular.

Equivalencia de un ángulo en el sistema sexagesimal y en el sistema circular

Ejemplos

Para medir los ángulos, los sistemas más utilizados son el sexagesimal y el circular. Es conveniente saber convertir un ángulo dado de un sistema a otro.

5 6

3 4

π

x

7 6

π

2 3

π

120° 135° 150°

π 2

3

90°

60°

π 4

45°

6

30°

330°

210° 5 4

π

4 3

π

270° 3 2

π

315° 300° 5 3

d)

0

7 4

e)

11 π 6

π

f)

π

113

2π π π = 20° • rad = rad 9 180° 90° π π 60° = 60° • = rad 180° 3 π π 90° = 90° • = rad 180° 2 π 2π 120° = 120° • = rad 180° 3 π 5π 150° = 150° • = rad 180° 6 π 180° = 180° • = π rad 180°

a) 40° = 40° •

c)

π

0°

225° 240°

Solución:

b)

π

180°

π

A. Convertir cada uno de los siguientes ángulos a radianes: 40°, 60°, 90°, 120°, 150°, 180°.

GEOMETRÍA

Matemática - EL MAESTRO EN CASA B. Convertir cada ángulo de radianes a grados.

Importante

Recordemos el teorema de Thales y el teorema de Pitágoras

5π 3π π , , ,1,8 radianes 6 4 12 Solución: 5π 5π 180° 5 30° rad = • = • = 150° 1 1 6 6 π 3π 3π 180° b) rad = • = 135° 4 4 π π π 180° c) rad = • = 15° 12 12 π 180° d) 1,8 rad = 1,8 • = 103.13° 3.1416 a)

a) Teorema de Thales

ACTIVIDAD 1

Si tres o más paralelas son cortadas por dos transversales, la razón de dos segmentos cualesquiera determinados en una de ellas es igual a la razón de los segmentos correspondientes de la otra.

1. Pase a radianes los siguientes ángulos expresados en grados sexagesimales.

c B c1

a) 60° b) 120°

c2

c) 210° A

d) 135° e) 330° 2. Convierta a grados sexagesimales los siguientes ángulos expresados en radianes. a) b) c) d) e)

π 5 3π 7 7π 3 4π 11π 6

114

b2

a2

a1

a

C b1

b



Estos triángulos tienen todos los ángulos iguales y, por lo tanto, son semejantes (∆BAC ≈ ∆B'AC' ≈ ∆B"AC").



Cuando los triángulos son semejantes las proporciones entre sus lados son iguales, es decir, dado un ángulo agudo, se puede construir un triángulo rectángulo que lo tenga como unos de sus ángulos, pero también pueden construirse muchos triángulos rectángulos que lo tengan.

GEOMETRÍA

Matemática - EL MAESTRO EN CASA

son rectas ni ángulos sino constantes, es decir, números que por convenio son designados por estos nombres.

b) Teorema de Pitágoras

Dado un triángulo rectángulo cualquiera, el cuadrado de la longitud de su hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de la longitud de sus catetos.

A partir de estas dos razones pueden calcularse otras razones trigonométricas tales como la tangente y la cotangente.

B

El conocimiento de las razones trigonométricas de un ángulo presenta una gran utilidad práctica. Sin este, la única manera de conocer el valor de los lados de un triángulo es utilizar el teorema de Pitágoras o algunas de las relaciones métricas que se dan en los triángulos rectángulos. En cambio, gracias al empleo de estas razones trigonométricas es posible determinar los lados, conociendo el valor de sus ángulos.

a2 = b2 + c2 a

c

A

b

C

A continuación conoceremos la segunda relación que utiliza la trigonometría, esta es, las relaciones que existen entre las medidas de las longitudes de los segmentos que forman los lados de un triángulo rectángulo con las medidas de las amplitudes de sus ángulos, de manera que resulte posible calcular las unas mediante las otras.

Las razones trigonométricas Podemos decir que la trigonometría es la parte de la geometría que trata del cálculo de los elementos de los triángulos y las razones trigonométricas correspondientes a los ángulos de los triángulos rectángulos. Concibiendo tales razones como los cocientes que se establecen entre el cateto opuesto a un ángulo del triángulo rectángulo y la hipotenusa de este (seno), o bien, el cociente que resulta de la correspondencia entre el cateto adyacente o contiguo y la hipotenusa (coseno). Así pues, tenemos que las razones trigonométricas básicas de un ángulo son el seno y el coseno. Es necesario aclarar que el seno y el coseno no

115

Las razones trigonométricas se usan generalmente en triángulos rectángulos pero es posible aplicarlas a otra clase de triángulos como los isósceles, equiláteros u otros; para ello debemos trazar la altura correspondiente a la base. De esta manera habremos obtenido dos triángulos a los que sí se pueden aplicar dichas razones. Una de las aplicaciones prácticas de la trigonometría más usada por los topógrafos es la que se conoce con el nombre de método de la doble observación y que les permite determinar la altura de una montaña a la cual no pueden acercarse. Dicho método consiste en observar la cúspide de la montaña y determinar el ángulo con que esta se ve desde el lugar en que nos encontramos por medio de un teodolito (aparato que sirve para medir ángulos). Después se retrocede o se avanza una longitud determinada que se mide con una cinta métrica y se vuelve a calcular el ángulo de mira. Conociendo las medidas de los dos ángulos y la distancia que separa las dos estaciones de observación, podemos conocer la altura de la montaña y si lo deseamos, la distancia a que nos encontramos de ella.

GEOMETRÍA

Matemática - EL MAESTRO EN CASA Veamos la ilustración siguiente: Ahora que tenemos que CH puede ser (AB + BH) tan α o bien (BH) tan β. Y como a través del teodolito (instrumento de abajo), podemos saber el valor de α y de β, calculando el valor de BH en esta ecuación, encontramos después el valor de CH, que es la altura que estamos buscando.

Método de la doble observación He aquí un ejemplo de cómo calcular la altura de una montaña a través del método de la doble observación: En el ∆ CAH ➠ tan α = CH ➠ AB + BH En el ∆ CBH ➠ tan β = CH ➠ BH

CH = (AB + BH) tan α

CH = BH tan β

C

A

Pero en el pasado así era como se procedía.

Aplicando el teorema de Thales (matemático griego de los siglos VII-VI a.C.) fue capaz de resolver problemas que en su tiempo parecían irresolubles. Para medir la altura de la cima de una peña Thales se sirvió de un bastoncillo y de los rayos del sol. Clavando el bastoncillo verticalmente en el suelo, la longitud de la sombra que proyecta y la que proyecta la peña tienen la misma relación que las alturas respectivas, de tal manera que cuando la sombra del bastoncillo tiene la misma longitud que éste, la sombra de la peña tiene también la misma longitud que la altura de la misma y, por lo tanto, midiendo dicha sombra se puede saber la altura de la peña.

45°

45°

sombra

bastoncillo

Veámoslo:

90°

116

α

B

β

H

GEOMETRÍA

Matemática - EL MAESTRO EN CASA Con lo expuesto anteriormente, podemos decir que lo único que tenemos que hacer es volver a desempolvar esos conocimientos que en el pasado se concibieron y aplicarlos a situaciones actuales. Esto es lo que haremos a continuación.

Así pues tenemos que recordar lo siguiente: Si un ángulo agudo forma parte de un triángulo rectángulo, se llama seno (sen) de este ángulo a la razón del cateto opuesto y la hipotenusa.

Veamos.

C

F

o hip

a

A

C

B

us

H

D

A

ten

cateto opuesto

En la figura siguiente tracemos rectas perpendiculares formando así triángulos rectángulos semejantes.

B

sen A = BC = cateto opuesto AC hipotenusa

E

G

I

Se dijo anteriormente que la razón seno es el cociente de la medida del cateto opuesto al ángulo agudo seleccionado y la hipotenusa.

También tenemos que podemos establecer las proporciones siguientes: AB = AE = AG = AI AC AD AF AH Con estas obtendremos una nueva razón, a la cual se le denomina coseno.

De acuerdo con la figura anterior tenemos sen A = BC = DE = FG = HI AC AD AF AH

Es decir:

Esta razón así concebida no depende de la longitud de los lados del triángulo.

Se llama coseno (cos) de un ángulo de un triángulo rectángulo a la razón del cateto adyacente o contiguo y la hipotenusa.

ACTIVIDAD 2

C



Mida los lados de cada triángulo y realice las divisiones indicadas.



¿Qué puede observar en el cociente de cada una? Respuesta:

o hip

A

ten

us

a

cateto adyacente o contiguo

cos A = AB = cateto adyacente AC hipotenusa

117

B

GEOMETRÍA

Matemática - EL MAESTRO EN CASA Otra razón más conocida es la tangente (tan); diremos que la tangente de un ángulo es la razón del cateto opuesto al ángulo y el cateto adyacente a este. Así pues, tenemos que

Por ejemplo: 1. Calcule las razones trigonométricas del ángulo a.

Solución:



Como se puede observar, los tres lados del triángulo rectángulo son conocidos, así que para calcular las razones trigonométricas, solo tenemos que aplicar las fórmulas y sustituir.



Para el ángulo a el cateto opuesto es 9, el contiguo o adyacente 12 y la hipotenusa 15.

BC ; DE ; FG y HI producen el mismo cociente.

AB AE AG AI O sea

tan A = BC = cateto opuesto AB cateto adyacente C

A

nu

sa

cateto adyacente

cateto opuesto

h

te ipo

B

También tenemos otra razón trigono­métrica muy útil, es la cotangente de la cual di­remos que … La razón del cateto adyacente o contiguo y el cateto opuesto a un ángulo de un triángulo rectángulo se llama cotangente (cot). cot A = AB = cateto adyacente BC cateto opuesto

2. En un triángulo rectángulo halle a si sen A = 2 y C = 3,45. 5 C

A

ten

us

a

cateto adyacente

cateto opuesto

o hip

B

118

GEOMETRÍA

Matemática - EL MAESTRO EN CASA

Solución:



Sabemos que



b) Calcule la misma razón para las posiciones 2 y 3. ¿Qué observa? c) Para un mismo ángulo de despegue, ¿dependerá la razón de la distancia recorrida por el avión?

a a esto es; sen A = = pero como c 3,45 2 a sen A = = despejamos a 5 3,45 a=

2 • 3,45 6,9 = = 1,38 5 5

2. Observe el triángulo rectángulo en el B y la tabla de la derecha, complete la columna con la respectiva razón trigonométrica respecto al ángulo A.

Respuesta: a = 1,38.

ACTIVIDAD 3

1. Al despejar de la pista elevándose en línea recta, un avión forma un ángulo constante de 30° con la pista, como se muestra en la figura.

Fracción

Valor

cot

5 12

cos tan sen

3. Para cada triángulo rectángulo indique las razones (seno, coseno, tangente y cotangente) de cada uno de los ángulos agudos. t

Cuando el avión ha recorrido una distancia de 40 metros sobre la trayectoria, su altura sobre la pista es de 20 metros.

t

Cuando su distancia es de 60 metros, su altura es de 30 m.

t

Cuando su distancia es de 100 metros, su altura es de 50 m.

a) Para la posición 1, ¿cuál es la razón de la altura alcanzada por el avión y su distancia recorrida sobre la trayectoria.

119

GEOMETRÍA

Matemática - EL MAESTRO EN CASA

Ángulos complementarios Se dice que dos ángulos son complementarios cuando su suma es 90°. Como ya sabemos las razones trigonométricas anteriores se refieren a los ángulos agudos de los triángulos rectángulos. Seguidamente veremos la relación entre las razones trigonométricas de los ángulos complementarios de un triángulos rectángulo. 4. Halle sen, cos, tan y cot de los ángulos a y b. Considere el triángulo rectángulo. Razón sen cos tan cot

a

b

Consideremos el triángulo rectángulo ABC, en donde el ángulo del vértice B es recto y los otros dos son ángulos agudos. C

a

B

°-

90

m

A

b

c

A

Como la suma de las medidas de los ángulos internos de todos el triángulo es 180°; se tiene que m C + m A = 90°. Esto nos indica que los ángulos C y A son complementarios, donde además, m C = 90° – m A. Las razones trigonométricas de los ángulos complementarios se definen de la siguiente manera: 5. En cada uno de los siguientes casos, considere el siguiente triángulo rectángulo y a) halle a si sen A = 3 y c = 12 4 b) halle b si cos A =

2 y c = 23 3

c) halle a si tan A = 2 y b = 4

(2 =

2 ) 1

a sen A = b 1) cos (90° – A) = cos C = a b

cos A = c b 2) sen (90° – A) = sen C = c b

120

sen A = cos C

cos A = sen C

GEOMETRÍA

Matemática - EL MAESTRO EN CASA tan A = a c 3) cot A (90° – A) = cot C = a c

Recuerde:

tan A = cot C

❖ ❖

De lo anterior podemos concluir que… 1. El seno de un ángulo agudo es igual al coseno del ángulo complementario. 2. La tangente de un ángulo agudo es igual a la cotangente del ángulo complementario. Verifiquemos lo anterior utilizando los triángulos rectángulos 30°, 60°, 90° y 45°, 45°, 90°. 60°

El complemento del ángulo 30° es 60° pues 90° – 30° = 60°.

El complemento del ángulo 45° es 45° pues 90° – 45° = 45°. 3 1 2 1 ❖ La expresión =  ;    = 3 2 3 2

Ejemplos: 1. De las siguientes parejas de ángulos, encierre con un círculo los ángulos complementarios.

2 1

45° y 45°

21° y 68°

90° y 10°

85° y 95°

31° y 59°

90° y 90°

100° y 90°

54° y 36°

43° y 47°

62° y 118°

50°19' y 49°41'

90°30'12" y 81°29'48"

30°

3

1 sen 30° = cos 60° = 2 3 2

cos 30° = sen 60° =

1

tan 30° = cot 60° =

3

=

3 3

2. Complete la siguiente tabla

45°

2

1

Complementario 90° – 36° = 45°

cos 45° = sen 45° = tan 45° = cot 45° =

1

=

2 2

1

=

2 2

2 2

1 =1 1

36° 14°

1

sen 45° = cos 45° =

Ángulo

69° 85° 47°15'

121

GEOMETRÍA

Matemática - EL MAESTRO EN CASA

ACTIVIDAD 4 Considere el siguiente triángulo rectángulo.

a) Calcule los valores de ls razones trigonométricas de cada uno de sus ángulos agudos y complementarios a y b.

Ángulo

Funciones trigonométricas Seno

Coseno

Tangente

Cotangente

a b b) ¿Qué relaciones encuentra entre los valores de las razones trigonométricas con seno y coseno del ángulo a, con respecto a los valores de las mismas razones del ángulo b?

c) ¿Por qué se cumplen estas relaciones?

122

GEOMETRÍA

Matemática - EL MAESTRO EN CASA Como los valores de las razones trigonométricas varían con el ángulo, hay tablas construidas con los valores para cada ángulo y las razones sen, cos, tan y cot.

En esta tabla encontraremos tabulada también la razón cotangente ya que va ligada a la razón tangente puesto que la razón se define como: cateto adyacente cot A = cateto opuesto

Las tablas que incluimos aquí están dadas de grado en grado para cada una de las razones.

TABLA DE VALORES PARA RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

➠

GRADOS

1 SENO

2 TANGENTE

3 COTANGENTE

4 COSENO

GRADOS

0 1 2 3 4

0,0000 0,0175 0,0349 0,0523 0,0698

0,0000 0,0175 0,0349 0,0524 0,0699

no existe 57,290 28,636 19,081 14,301

1,0000 0,9998 0,9994 0,9986 0,9976

90 89 88 87 86



5 6 7 8 9

0,0872 0,1045 0,1219 0,1392 0,1564

0,0875 0,1051 0,1228 0,1405 0,1584

11,430 9,5144 8,1443 7,1154 6,3138

0,9962 0,9945 0,9925 0,9903 0,9877

85 84 83 82 81



10 11 12 13 14

0,1736 0,1908 0,2079 0,2250 0,2419

0,1763 0,1944 0,2126 0,2309 0,2493

5,6713 5,1446 4,7046 4,3315 4,0108

0,9848 0,9816 0,9781 0,9744 0,9703

80 79 78 77 76



15 16 17 18 19

0,2588 0,2756 0,2924 0,3090 0,3256

0,2679 0,2867 0,4057 0,3249 0,3443

3,7321 3,4874 3,2709 3,0777 2,9042

0,9659 0,9613 0,9563 0,9511 0,9455

75 74 73 72 71



20 21 22 23 24

0,3420 0,3584 0,3746 0,3907 0,4067

0,3640 0,3839 0,4040 0,4245 0,4452

2,7475 2,6051 2,4751 2,3559 2,2460

0,9397 0,9336 0,9272 0,9205 0,9135

70 69 68 67 66



25 26 27 28 29

0,4226 0,4384 0,4540 0,4695 0,4848

0,4663 0,4877 0,5095 0,5317 0,5543

2,1445 2,0503 1,9626 1,8807 1,8040

0,9063 0,8988 0,8910 0,8829 0,8746

65 64 63 62 61



30 31 32 33 34

0,5000 0,5150 0,5299 0,5446 0,5592

0,5774 0,6009 0,6249 0,6494 0,6745

1,7321 1,6643 1,6003 1,5399 1,4826

0,8660 0,8572 0,8480 0,8387 0,8290

60 59 58 57 56



35 36 37 38 39

0,5736 0,5878 0,6018 0,6157 0,6293

0,7002 0,7265 0,7536 0,7813 0,8098

1,4281 1,3764 1,3270 1,2799 1,2349

0,8192 0,8090 0,7986 0,7880 0,7771

55 54 53 52 51



40 41 42 43 44

0,6428 0,6561 0,6691 0,6820 0,4967

0,8391 0,8693 0,9004 0,9325 0,9657

1,1918 1,1504 1,1106 1,0724 1,0355

0,7660 0,7547 0,7431 0,7314 0,7193

50 49 48 47 46



45 GRADOS

0,7071 COSENO

1,0000 COTANGENTE

1,0000 TANGENTE

0,7071 SENO

45 GRADOS

8

7

6

5



123

➠



GEOMETRÍA

Matemática - EL MAESTRO EN CASA

Uso de la tabla En la primera columna encontramos la medida del ángulo desde 0° hasta 45°. Cuando se lee en la tabla uno de estos ángulos entre 0° y 45° se busca la función arriba en la columna respectiva, y encontrará el valor para ese ángulo. Ejemplo: 1. Busquemos el valor para sen 35°. En la columna 1 donde dice seno buscamos hacia abajo hasta llegar a 35° y leemos 0,5736. 2. Para ese mismo ángulo leemos tan 35° = 0,7002 (en la misma línea). 3. En el caso de los grados de 45° a 90° se leen en la columna final de la derecha y se busca la función en la parte de abajo de la tabla. Ejemplo sen 62 = 0,8829.

mínima que necesitamos para resolver el triángulo es que conozamos dos lados del triángulo o que conozcamos un ángulo (distinto de cero) y un lado. Veamos como resolver el triángulo en cada caso. a) Conocidos dos lados del triángulo Si conocemos dos lados del triángulo rectángulo, se determina el tercero usando el teorema de Pitágoras, una vez hallado el lado que falta se determinar el seno, coseno o tangente de un ángulo cualquiera y a través del uso de la tabla de razones trigonométricas se halla uno de los ángulos agudos. El otro ángulo agudo se obtienee restando de 90°, recordemos que los ángulos agudos de un triángulo rectángulo son complementarios.

ACTIVIDAD 5 Compruebe los valores siguientes: sen 18° = 0,3090

tan 22° = 0,4040

sen 50° = 0,7660

tan 35° = 0,7002

cos 30° = 0,8660

cot 38° = 1,2799

cos 37° = 0,7986

cot 82° = 0,1405

1. Se conoce la medida de la hipotenusa y de un cateto de un triángulo rectángulo así: c = 10 cm b = 7 cm. Determine la medida del otro cateto y de los ángulos agudos respectivos y el área del triángulo.

Con los valores de esta tabla, próximamente vamos a resolver problemas en los cuales se dan dos elementos de un triángulo rectángulo para encontrar los otros tres. (Un dato fijo en los problemas es el ángulo recto.)

Resolución de triángulos rectángulos Resolver un triángulo consiste en averiguar las medidas de sus tres ángulos y tres lados. Como uno de los ángulos es un ángulo recto de 90° la información



Solución

a) Para encontrar el tercer lado. Utilizamos el teorema de Pitágoras.

c2 = a2 + b2



102 = a2 + 72



a2 = 102 – 72



a2 = 10 – 49



a2 = 51



a=

124

51

GEOMETRÍA

Matemática - EL MAESTRO EN CASA b) Para encontrar los ángulos agudos complementarios vamos a utilizar la razón trigonométrica coseno. cateto adyacente cos A = cateto hipotenusa =





7 10

= 0,7 Buscamos en la tabla de valores el valor cos A = 0,70 se observa que el ángulo es aproximadamente 45°. Por lo tanto, el otro ángulo complementario es 90° – 45° = 45°.



Como puede ver, 0,5714 se encuentra ubicado entre la tan 30° = 0,5774 y la tan 29° = 0,5543.



Para este libro de Matemática Zapandí, tomaremos el ángulo más cercano al valor encontrado, así que el ángulo A, tendrá una medida de 30°.



Como los ángulos A y B son ángulos complementarios



m

Los ángulos son 45°, 45 y el cateto faltante es 51.

c) Para calcular el área del triángulo basta con aplicar: a•b área (∆ ACB) = , luego 2 área (∆ ACB) =

51• 7 2

=

7,14 • 7 2

49,98 2 = 24,99 cm2



2. Los catetos de un triángulo rectángulo mide 7 cm y 4 cm. ¿Cuánto miden sus ángulos agudos?

B = 90° – m



= 90° – 30°



= 60°



=

los relacionan son la tangente con cualquiera de sus ángulos agudos. 4 Entonces: tan A = = 0,5714 7 Cuando tenemos esta situación buscamos la tabla de razones trigonométricas; un valor aproximado a 0,5714 en la columna de tangente.

A

Respuestas: Los ángulos agudos miden aproximadamente 30° y 60°.

3. Uno de los catetos de un triángulo rectángulo mide 10 cm y el ángulo opuesto a este cateto mide 30°. ¿Cuánto mide la hipotenusa y el otro cateto de este triángulo? C

x

A



Solución:



Dado que los elementos conocidos del triángulo son los catetos, las razones trigonométircas que

30°

y

10

B



Solución:



Siempre que se vaya a resolver un problema es conveniente hacer el dibujo y poner los datos sobre el dibujo.

125

GEOMETRÍA

Matemática - EL MAESTRO EN CASA

De la lectura del problema debe quedar bien claro cuáles son los datos y cuál es la pregunta del problema.



Para resolver este problema tenemos un ángulo y el cateto opuesto a este ángulo. Las preguntas son:

El valor sen 30° lo buscamos en la tabla, en la columna que dice sen hacia abajo hasta encontrar 30°. En este caso sen 30° = 0,5000 y la relación se transforma en esta ecuación

0,5000 x = 10

a) ¿Cuánto mide la hipotenusa? b) ¿Cuánto mide el cateto adyacente?

Para contestar la primera parte contamos con los datos siguientes: un ángulo y el cateto opuesto, por lo tanto, debemos buscar en las razones trigonométricas

10 donde despejando x se tiene x

0,5000 =



10 0,5000



x=



x = 20 cm

La hipotenusa mide 20 cm.

Para resolver la parte b escogemos

sen A = cateto opuesto hipotenusa

tan A = cateto opuesto cateto adyacente

tan A = cateto opuesto cateto adyacente

que es la que tiene el dato que nos dan y el que nos piden en este caso. Tenemos: m A = 30°, cateto opuesto 10 cm; cateto adyacente y; luego esta relación se transforma en

cos A = cateto adyacente hipotenusa

tan 30° = 10 y

cot A = cateto adyacente cateto opuesto ¿Cuál de estas tiene la hipotenusa y el cateto opuesto? Notamos en este caso que el

El valor tan 30° lo buscamos en la columna donde diga tangente para el ángulo 30°. Así tenemos que tan 30° = 10 y 0,5774 =

sen A = cateto opuesto hipotenusa

10 y

0,5774 y =

10

por lo tanto, vamos a usar esta razón para resolver la parte a).



y=

En nuestro problema tenemos que m A = 30°; cateto opuesto: 10 cm; hipotenusa = x. Por lo que la relación se transforma en



y = 17,31 cm

10 sen 30° = x

10 0,5774

El cateto adyacente mide aproximadamente 17,31 cm.

126

GEOMETRÍA

Matemática - EL MAESTRO EN CASA b) Conocidos un lado y un ángulo

sen 20° =

Si conocemos un ángulo agudo del triángulo rectángulo, podemos determinar su complemento, este será el segundo ángulo.

a

cos 20° =

10

b

10

a = 10  • sen 20°

b = 10 • cos 20

a = 10 • (0,3420)

b = 10 • (0,9397) b = 9,397  cm

Una vez que tengamos los tres ángulos y al conocerse uno de los lados valiéndose de las razones trigonométricas calcularemos los otros dos.



a = 3,42  cm



1. De un triángulo rectángulo sabemos que su hipotenusa mide 10 cm y un ángulo mide 20°. Calcule todos sus elementos y su área.

El ángulo faltante es 70° y los catetos a = 3,42 cm y b = 9,397 cm.



El área del triángulo es: área ∆ ABC =

= 16,07 cm2





Solución:

t

Para encontrar el segundo ángulo, hacemos uso del hecho de ser complementarios; esto es:



m



A+m

B = 90°

20° + m

B = 90°



m

B = 90° – 20°



m

B = 70°

t

Como ya conocemos las medidas de los ángulos agudos, para encontrar la medida de los catetos a y b lados faltantes utilizamos una razón que utilice uno de los ángulos y la hipotenusa, dato conocido así: Usemos sen 20° y cos 20° para calcular el cateto a y el cateto b.

1 (9,397)(3,42) 2

2. En el triángulo rectángulo de la figura, los elementos conocidos son: el ángulo recto, el de 56° y uno de los catetos, el de longitud 10, adyacente al ángulo de 56°. Por tanto, falta encontrar el ángulo A, el cateto x opuesto al ángulo 56°, y la hipotenusa y.

a) Encontremos el ángulo A

Como el ángulo A es complementario de 56°, podemos encontrar su medida así:



m



Para encontrar uno de los lados que hace falta, necesitamos utilizar los elementos conocidos y una relación entre ellos y el lado desconocido.

127

A = 90° – 56° = 34°

GEOMETRÍA

Matemática - EL MAESTRO EN CASA b) Si comenzamos con el cateto x, la razón tangente, en este caso lo relacionamos con los datos originales, es decir: tan 56° =



Resolviendo esta ecuación tenemos que x = 10 tan 56° Importante:

4. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 10 cm y uno de sus ángulos mide 18°. ¿Cuáles son las medidas de sus catetos?

El valor de tan 56° lo podemos encontrar en la tabla de valores anterior, si tiene duda, repase la página: uso de la tabla (264).

x = 10 • 1,4826



x = 14,826



También, podríamos comenzar hallando la hipotenusa y con la razón trigonométrica coseno.

c) Utilizamos la razón coseno relacionando el ánglo 56° y el lado de longitud 10 así: 10 cos 56° = y Resolviendo la ecuación, tenemos que: y=

10 cos 56°

10 y= 0,5592

Como se puede ver, las razones trigonométricas son útiles para encontrar elementos de triángulos a partir de otros elementos conocidos del mismo.

x 10





Observe

Ver tabla para cos 56° = 0,5592

y = 17,88 Respuesta: El ángulo agudo que falta: 34°



La hipotenusa: 17,88



El cateto que hacía falta: 14,826



Sean a el cateto opuesto al ángulo de 18° y b el adyacente al mismo ángulo. a Como sen 18° = , entonces: 10 cm



a = (10 cm)(sen 18°)



a = (10 cm)(0,309)



a = 3,09 cm



Como cos 18° =



b , entonces 10 cm b = (10 cm)(cos 18°)



b = (10 cm)(0,951)



b = 9,51 cm



Respuesta: Las medidas de sus catetos es 3,09 cm y 9,51 cm.

128

GEOMETRÍA

Matemática - EL MAESTRO EN CASA 5. Calcule las razones trigonométricas del ángulo C del siguiente triángulo. d=8m

c=?





Como se puede observar, en este triángulo ya no tenemos los tres lados, falta uno de los catetos. Para calcular lo vamos a utilizar el Teorema de Pitágoras.



Lo primero que debemos hacer es ponerle nombre a los lados. Vamos a llamarle con letras minúsculas a los lados que están enfrente del ángulo con la correspondiente letra mayúscula; es decir a = 14 m, b = 8 m y c es el lado que queremos calcular.



Aplicando el Teorema de Pitágoras tenemos: a 2 = b2 + c 2 142 = 82 + c 2 196 = 64 + c 2 196 − 64 = c 2 132 = c

tan c =

11,49 = 1,44 8

cot c =

8 = 0,69 11,49

Con frecuencia, en diversas situaciones de la vida real se presentan poblemas relacionados con figuras geométricas como triángulos, cuadrados, rectángulos y paralelogramos. En muchos de esos casos surge de manera natural la figura del triángulo rectángulo.

Veamos algunos ejemplos:

1. La pantalla de un televisor de 27 pulgadas es cuadrada y plana. Sabiendo que esta medida es la longitud de la diagonal del cuadrado, ¿cuál es el ancho de la pantalla?

Solución:



El ancho de la pantalla es la longitud del lado del cuadrado. Sea x su medida.



La diagonal del cuadrado lo divide en dos triángulos rectángulos isósceles con ángulos agudos de 45° y con catetos iguales a x.

2

132 = c

8 = 0,57 14

sen 45° =

11,49 = c



Luego c = 11,49 m



Ahora aplicando las razones trigonométricas para el ángulo C tenemos:

129

x 27

pero sen 45° =

45°

1

2

lg

Solución:

cos c =

pu



11,49 = 0,82 14

27

a = 14 m

sen c =

45°

GEOMETRÍA

Matemática - EL MAESTRO EN CASA

entonces 1 = x 2 27

3. Un ingeniero está diseñando un techo de dos aguas para una cochera, cuya sección es un triángulo isósceles, como se ilustra en la figura.

2 = 27

x=



27

2

=

27 2

•

2 2

=

27 2 2

2

=

2 2 2



Si el ancho de la cochera es de 4,2 m, la altura de las columnas es de 2,6 m y los ángulos de la base del triángulo son de 22, ¿qué altura alcanza el punto más alto del techo?



Solución:



Las características geométricas de la cochera se representan a continuación.



De acuerdo con el enunciado, la altura que alcanza el punto más alto del techo es 2,6 m más la altura h del triángulo isósceles, la cual lo divide en dos triángulos rectángulos congruentes, con catetos de medida h y 2,1 m.

Respuesta: El ancho de la pantalla es 19,09 pulgadas.

2. La escalera de un pintor mide 4 m de longitud. ¿Qué altura alcanza si al apoyarla en la pared forma con ésta un ángulo de 34°?

Solución:



Podemos representar el enunciado con la figura de abajo, donde h es la altura que alcanza la escalera.



En el triángulo rectángulo formado, h es cateto adyacente al ángulo de 34° y la escalera es la hipotenusa, las funciones trigonométricas que relacionan estos elementos son el coseno y la secante.



Si utilizamos la función coseno tenemos: cos 34° =

h

4  m

h = (4  m)(cos 34°) h = (4  m)(0,8290)



h = 3,32  m

Respuesta: La altura que alcanza la escalera es de 3,32 m.

130

GEOMETRÍA

Matemática - EL MAESTRO EN CASA

De tan 22° = tan 22° =

1. Édgar fue a elevar su papalote a un parque, utilizando 50 metros de hilo. Si el ángulo que forma el hilo con la horizontal es de 35°, ¿a qué altura sobre la horizontal se encuentra el papalote?

h , obtenemos: 2,1 m

h 2,1 m

h = (2,1)tan22° h = (2,1)(0,4040)



Solución:



Podemos ilustrar el enunciado con la figura de arriba, siendo h la altura a que se encuentra el papapelote.



El ángulo de 35° que forma el hilo con la horizontal, medida sobre ésta, es el ángulo de elevación del papalote.



De acuerdo con el triángulo rectángulo, h es el cateto opuesto del ángulo de 35° y el hilo es la hipotenusa. Por tanto la función trigonométrica que lo relaciona es el seno.



Si utilizamos la función seno tenemos: h sen 35° = 50 m

h = 0,8484 m

h ≈ 0,85



Así, la altura del punto más alto del techo es 2,6 m + 0,85 m = 3,45 m



Respuesta: La altura que alcanza el punto más alto del techo es 3,45 m.

Ángulos de elevación y depresión Cuando un observador mira un objeto de modo que tiene que "levantar la vista" para encontrarlo se forma un ángulo entre el horizontal (a la altura de los ojos) y la visual del observador, este ángulo se llama ángulo de elevación. Igualmente, si el observador debe "bajar la vista" para mirar un objeto, su forma visual con la horizontal, es un ángulo que se llama ángulo de depresión.



Los ángulos de elevación y de depresión se constituyen en elementos de un triángulo rectángulo formado por la horizontal y la vertical ya sea en el objeto o en el punto de mira.



h = (50 m)(sen 35°)



h = (50 m)(0,5736)



h = 26,68 m



Así, la altura a la que se encuentra el papalote es de 28,68 m.

131

GEOMETRÍA

Matemática - EL MAESTRO EN CASA 2. Un faro tiene 65 m de altura. El ángulo de depresión desde la cima del faro hasta el barco en el mar es de 35°. ¿Qué tan lejos desde la base del faro está el barco?



Solución:



La interpretación geométrica del enunciado es:



Donde ϕ es el ángulo de inclinación de la rampa. Así: 3,5 m sen ϕ = 6,5 m sen ϕ = 0,5385 ϕ = 32°

ángulo de depresión altura = 65 m ángulo de elevación

35°

X



Solución:

tan 35° = 65 x



0,7002 = 65 x x =

65 0,7002

x = 92,85 m (redondeado)



Respuesta: El barco se encuentra aproximadamente a 92,85 m.

3. El estacionamiento de un centro comercial se encuentra en su sótano a 3,5 m bajo el nivel del suelo como se muestra en la figura. Si la longitud máxima de la rampa está restringida a 6,5 m, ¿cuál será su ángulo de inclinación?

132

Buscamos en la tabla de valores el valor de seno que se aproxime, tenemos que este valor está ubicado entre sen 32° = 0,5299 y sen 33° = 0,5446. Escogemos el ángulo de 32°.

Respuesta: La inclinación de la rampa es de 32°.

GEOMETRÍA

Matemática - EL MAESTRO EN CASA 4. Desde el puesto de observación de un faro, que está a una altura de 40 m sobre el nivel del mar, los ángulos de depresión a dos yates que se encuentran alineados con él son 24° y 36° respectivamente. ¿Cuál es la distancia entre los yates?

Solución:



Podemos ilustrar el enunciado con la figura de la derecha:



Un ángulo que tiene como lado inicial la horizontal del observador y como lado terminal la visual dirigida al objeto que se encuentre por debajo de la horizontal, es un ángulo de depresión.



La situación representada en la figura tiene los siguientes componentes geométricos:



Para hallar la longitud CD encontraremos la diferencia BD – BC, donde BD es el cateto adyacente al ángulo de 24° en el triángulo ABD y CD es el cateto adyacente al ángulo de 36° en el triángulo ABC.



En el triángulo ABD:





Observa que se forman dos triángulos rectángulos, el ABC y el ABD, que tienen como lado común AB que representa la altura del puesto de observación.

En el triángulo ABC:

Por tanto CD = 89,85m – 55,06m = 34,79 m Así, la distancia entre los yates es de 34,79 m.

133

GEOMETRÍA

Matemática - EL MAESTRO EN CASA

Recuerde: t

t

Los ángulos complementarios A y B del triángulo rectángulo cumplen:

sen A =

cateto opuesto de A 3 cateto adyacente de B = = = cos B hipotenusa 5 hipotenusa

cos A =

cateto adyacente de A 4 cateto opuesto de B = = = sen B hipotenusa 5 hipotenusa

tan A =

cateto opuesto de A 3 cateto adyacente de B = = = cot B cateto adyacente de A 4 cateto opuesto de B

cot A =

cateto adyacente de A 4 cateto opuesto de B = = = tan B cateto opuesto de A 3 cateto adyacente de B

Los ángulos de depresión y los ángulos de elevación.

134

GEOMETRÍA

Matemática - EL MAESTRO EN CASA

Relación fundamental de la trigonometría

Si elevamos ambos miembros al cuadrado y luego sumamos miembro a miembro queda:

Consideremos el triángulo ABC rectángulo en A y uno de los ángulos agudos en C, se tiene que c es el cateto opuesto, b es el cateto contiguo o adyacente y a es la hipotenusa. Se definen entonces las razones trigonométricas (seno, coseno) del ángulo C como las siguientes relaciones entre los lados del triángulo:

2

c c2 ⎛ c⎞ sen α = ⇒ (sen α)2 = ⎜ ⎟ = 2 ⎝ a⎠ a a cos α =

2

2 b ⎛ b⎞ b ⇒ (cos α)2 = ⎜ ⎟ = 2 ⎝ a⎠ a a

(sen α)2 + (cos α)2 =

Teorema de Pitágoras a 2 = b2 + c 2

c 2 b2 c 2 + b2 b2 + c 2 a 2 + = = = 2 =1 a2 a2 a2 a2 a

Tenemos que sen2 a + cos2 a = 1 Significa que para cualquier ángulo , la suma del seno cuadrado de ese ángulo, más el coseno cuadrado del mismo ángulo, siempre va a dar la unidad.

cateto opuesto c = hipotenusa a cateto contiguo b cos C = = hipotenusa a

sen C =

Ejemplo a) (sen 30º)2 + (cos 30º)2 = sen2 30º + cos2 30º = 1

Además, también podemos concluir la igualdad a2 = b2 + c2, consecuencia del Teorema de Pitágoras. Si observamos de nuevo el triángulo rectángulo anterior, en el que nos hemos basado para definir las razones trigonométricas de un ángulo agudo C (y que ahora llamaremos genéricamente para poder representar cualquier ángulo agudo), tenemos que: c a b cos α = a

sen α =

b) (sen 37º)2 + (cos 37º)2 = sen2 37º + cos2 37º = 1 c) (sen 77º)2 + (cos 77º)2 = sen2 77º + cos2 77º = 1

ACTIVIDAD 6 Compruebe con los siguientes valores sen a + cos2 a = 1 2

a) 39°, 89°, 12°, 17° b) 5π , 3π , π ,1,8 radianes 6 4 12 3 9 1 7 π, π, π, π 7 13 4 3 (realice la conversión de radianes a grados)

c)

135

GEOMETRÍA

Matemática - EL MAESTRO EN CASA

TRABAJO INDIVIDUAL 1

1) En los triángulos rectángulos siguientes, calculemos las relaciones trigonométricas correspondientes a cada ángulo agudo. B c

A

FÓRMULAS b a

cot B =

a b

tan A =

a b

tan B =

b a

sen A =

a c

sen B =

b c

cos A =

b c

cos B =

a c

5

a

b

cot A =

B

C

A

B 13

3

4

a = 3, b = 4, c = 5

C

A

12

a = 5, b = 12, c = 13

cot A =

_____

cot A =

_____

cot B =

_____

cot B =

_____

tan A =

_____

tan A =

_____

tan B =

_____

tan B =

_____

sen A = _____

sen A = _____

sen B = _____

sen B = _____

cos A =

cos A =

_____

cos B = _____

136

_____

cos B = _____

5

C

GEOMETRÍA

Matemática - EL MAESTRO EN CASA 2. Analice el siguiente ejemplo y luego resuelva:



El triángulo ABC es recto, ¿cuál es el valor de C para hallar el valor de c si sen A = 5 y a = 8 cm? 16 Solución: De acuerdo a la figura sen A = a = 8 pero como tamibén tenemos c c 5 . Igualamos 8 = 5 despejamos c. que sen A = 16 c 16 16 • 8 c= 5 c=

128 5



c = 25,6



Respuesta: El valor de c es 25,6 cm.



Considere el siguiente triángulo ABC, recto en C para hallar: el valor de c, el valor de a si 2 y b = 48 cm. sen B = 3

Resp./

3) Expresemos, en su forma más simple, cada uno de los valores siguientes: a) sen 30° + tan 45° = _____



_____ + _____ =



_____________ = _____

137

GEOMETRÍA

Matemática - EL MAESTRO EN CASA b) 2 cos 30° + 3 sen 45° = _____________ 60°



_______ + _______ =



_______ + _______ =



_________________ = _____

2

1

30° 3

4. ¿Cuál es el valor de la razón tangente con respecto al ­ tangente de su complementario B?

A en el triángulo siguiente? ¿Cuál es la C 4

8

A B

Respuesta: 5. Si en un triángulo rectángulo la medida de la hipotenusa es 2 dm y uno de sus catetos mide 1 dm; ¿cuál es la tangente y la cotangente del ángulo complementario a este, con respecto a cada uno de sus ángulos agudos?

(Recuerde: el triángulo 30°, 60°, 90°)



Solución: 60°

2d

m

1 dm

30° 3 dm

138

GEOMETRÍA

Matemática - EL MAESTRO EN CASA

6. Sin usar calculadora, halle el valor numérico de las expresiones siguientes. Simplifique al máximo el resultado. a) tan 60° + 2 tan 45° = ____________ b) cot 45° • sen 60° • tan 30° • sen 30° = _______________ c) sen 30° = ___________ tan 45° d) 4 cos 60° = __________ sen 30°

7. Utilizando los triángulos 45°, 45°, 90° y 30°, 60°, 90°, halle el valor de las expresiones trigonométricas. Simplifique al máximo. a) 2 • sen 45° – tan 30° = ________________ b) (sen 45°)2 + (cos 45°)2 = ________________ c) sen 45° –

6 cos 60° = ________________

d) tan 60° • cos 30° ÷ sen 60° = ________________ e) sen 30° − tan 60° = ________________ tan 45° f)

tan 30° • tan 60° = ________________ tan 45°

g)

cos 60° − sen 60° = ________________ 1− 3 tan 45°

139

GEOMETRÍA

Matemática - EL MAESTRO EN CASA h)

cos 45° • sen 30° = ________________ cos 45° − sen 30°

8. De acuerdo con la figura de la derecha, determine:

a) sen 39° = __________ 4

b) cos 39° = __________

3 39°

c) sen 51° = __________

5

d) cos 51° = __________

140

51°

GEOMETRÍA

Matemática - EL MAESTRO EN CASA

TRABAJO INDIVIDUAL 2 1) Un cometa se queda atascada en las ramas más altas de un árbol. Si la cuerda del cometa mide 30 m y forma un ángulo de 22° con el suelo, estime la altura del árbol encontrando la distancia que hay entre el cometa y el suelo.

Respuesta:

2) Determine las razones trigonométricas para el ángulo a, en cada uno de los triángulos semejantes de la figura. ∆ CDE

∆ CFG

∆ CHJ

∆ CAB

sen a = cos a = tan a =

141

GEOMETRÍA

Matemática - EL MAESTRO EN CASA 3) Resuelva los triángulos rectángulos siguientes: B

a)

Datos

Hallar

m

m

A = 35°

C ; AC, AB

BC = 29 mm A C

Respuesta: Datos

Hallar



m

m



QR = 45 mm



PR = 25 mm

b)

Q

Q = 19°

P , PQ

R P

Respuesta:

c)

X



Y



Datos

Hallar

m

m

X = 55°

XY = 45 dm Z

Respuesta:

142

Y , YZ , XZ

GEOMETRÍA

Matemática - EL MAESTRO EN CASA 4) Utilice la figura de la derecha y halle las razones trigonométricas indicadas. 1. sen j = ________

4. sen g = ________

2. cos j = ________

5. cos g = ________

3. tan j = ________

6. tan g = ________

5) Encuentre el valor aproximado de las razones trigonométricas dadas (utilice la tabla de valores para razones trigonométricas de la página 263). 1. sen 30° = ______

8. cos 85° = ______

2. sen 19° = ______

9. tan 34° = ______

3. sen 38° = ______

10. tan 57° = ______

4. sen 85° = ______

11. tan 74° = ______

5. cos 25° = ______

12. tan 85° = ______

6. cos 42° = ______

13. sen 8° = ______

7. cos 82° = ______

14. cos 2° = ______

6) Resuelva los problemas siguientes utilizando la tabla de razones trigonométricas dada. a) Una torre de 15 m de alto proyecta una sombra. Si en ese momento los rayos del sol tienen un ángulo de elevación de 20°; ¿cuánto mide la sombra?

15 m

20° X

Respuesta:

143

GEOMETRÍA

Matemática - EL MAESTRO EN CASA b) Desde la cúspide de una torre de 20 m de alto se divisa un objeto con un ángulo de depresión de 60°. ¿A qué distancia está el objeto del pie de la torre?

60°

ángulo de depresión

60°

Respuesta: c) Una escalera recostada a una pared forma con el suelo un ángulo de 65°. Si el pie de la escalera está a 4 m del pie del muro; ¿cuánto mide la escalera?

4m

Respuesta:

d) ¿Cuántos metros debe recorrer un automóvil para ascender 5 m, si la carretera tiene una inclinación de 10° con respecto al plano horizontal? X

5m

10°

Respuesta: e) El sonar de un barco de salvamento localiza los restos de un naufragio en un ángulo de depresión de 12°. Un buzo es bajado 40 metros hasta el fondo del mar. ¿cuánto necesita avanzar el buzo por el fondo para encontrar los restos del naufragio?

144

GEOMETRÍA

Matemática - EL MAESTRO EN CASA

LEY DE LOS SENOS Anteriormente se utilizaron métodos trigonométricos para resolver triángulos rectángulos, sin embargo la Trigonometría se puede utilizar para resolver cualquier triángulo. En las siguientes páginas resolveremos ejercicios con triángulos oblicuángulos o escalenos, pero cuando se habla de triángulos oblicuángulos "que no son triángulos rectángulos" no se puede excluir al triángulo rectángulo en el estudio, queda asumido como un caso particular.

Para poder resolver un triángulo deben conocerse las medidas de tres de sus partes antes de que se calculen las tres medidas de las otras partes. La solución depende entonces de qué elementos se conocen. Existe una relación muy útil para la resolución de triángulos que relacionan los lados con los ángulos. Esta relación es conocida como la ley de los senos, la cual dice:

De todos es conocido, que un triángulo escaleno es el triángulo que tiene los tres lados desiguales, los cuales se clasifican en acutángulos si los tres ángulos internos son agudos y obtusángulos si uno de los ángulos internos es obtuso. Y al igual que en el caso de los triángulos rectángulos, los vértices de los triángulos oblicuángulos o escalenos se denominan A, B y C, las medidas de los lados opuestos a ellos se designan a, b y c respectivamente. Las medidas de los ángulos de los vértices se denotan por α, β, δ respectivamente. C

En todo triángulo, la razón entre el seno de uno de sus ángulos y el lado opuesto a este es la misma para sus tres ángulos.

A. Veamos esta relación si el triángulo es acutángulo Consideremos el triángulo ABC, un triángulo acutángulo y en él, tracemos CD la altura desde el vértice C sobre AB y AE la altura desde el vértice A sobre BC .

δ b

a

C δ

A

β

α

c

E

B

Triángulo acutángulo

a

b

C δ b

A

α

a β

c

A

B

Triángulo obtusángulo

En el ∆ ACD:

145

β

α D

B

c

CD = sen α ⇒ CD = b • sen α (1) b

GEOMETRÍA

Matemática - EL MAESTRO EN CASA CD = sen β ⇒ CD = a • sen β a Igualando (1) y (2) tenemos: En el ∆ BCD:



b • sen α = a • sen β ⇒

sen α = a

C

(2) δ

sen β b

b

(3)

AE = sen δ ⇒ AE = b • sen δ (4) En el ∆ ACE: b En el ∆ ABE:

A

AE = sen β ⇒ AE = c • sen β (5) c

b • sen δ = c • sen β ⇒

sen δ = c

sen β b

(6)

CD = a • sen (180° – β) = a • sen β sen (180° – β) = sen β, cuando β está entre 90° y 180°. Estos ángulos son suplementarios.

sen δ c

Igualando ambas expresiones, obtenemos sen α sen β = a b

Es decir, para todo triángulo acutángulo se tiene que:

Si consideramos AE la altura sobre la prolongación de BC e igualando resultados obtenemos que

C δ

A

sen α sen β sen δ = = a b c

a

b

β

α c

sen α sen β = = a b

D

En el triángulo obtusángulo ABC anterior, si se considera la altura relativa al vértice C, en el el ∆ ADC resulta que CD = b • sen α y en el ∆ BDC resulta que:

De comparar (3) y (6) obtenemos que sen α sen β = = a b

β 180-β B

c E

Igualando (4) y (5) resulta

α

a

Es decir, para todo triángulo obtusángulo se tiene que: C

B

b

sen δ c

a A

B. Veamos esta relación si el triángulo es obtusángulo Consideremos el triángulo ABC, un triángulo obtusángulo y en él tracemos CD la altura desde el vértice C sobre la prolongación de AB y AE la altura desde el vértice A sobre la prolongación de BC .

180-β

c

B

sen α sen β sen δ = = a b c Esto nos permite concluir que la Ley de Senos es válida para cualquier tipo de triángulo.

146

GEOMETRÍA

Matemática - EL MAESTRO EN CASA Observe los siguientes triángulos cuyas medidas están indicadas y verifíquelo usted.

b) 22°

C

8,2 cm

100°

6,2 cm

5 cm

4 cm 29°

50°

30°

A

8 cm

B

A

27°

Consideremos el triángulo ABC con ángulos α, β, δ y con lados a, b y c respectivamente.

B

A α

28°

5,0

4,9

129°

Aplicación de Ley de los senos

sen 30° sen 50° sen 100° = = = 0,12 4 6,2 8 8,8

4 cm

c

125°

C B

b

β

δ a

C

Si conocemos: a) Dos ángulos y cualquiera de los lados. b) Dos lados y un ángulo opuesto a uno de ellos.

ACTIVIDAD ACTIVIDAD 11

podemos encontrar las tres partes restantes usando el Ley de los senos.

Construya triángulos semejantes a estos en su cuaderno con las medidas indicadas y compruebe que:

Esto se debe a que el Ley de los senos consiste en las tres ecuaciones o fórmulas siguientes:

a) 55° 6,1 cm

4,3 cm

80°

45° 5 cm

147

(1)

sen α sen β = a b

(2)

sen α sen δ = a c

(3)

sen β sen δ = b c

GEOMETRÍA

Matemática - EL MAESTRO EN CASA A. Resolución de un triángulo del que se conocen dos ángulos y cualquiera de los lados Ejemplo Si de un triángulo conocemos α = 30°, β = 85° y c = 5 cm. Calcule el resto de los elementos.

1) Como m α + m tenemos que

β+m

m

δ = 180° – α – β



m

δ = 180° – 30° – 85°





m

δ = 65°



(la suma de los ángulos internos de todo triángulo es 180°)

2) Para calcular las longitudes de los lados utilizamos las fórmulas de la Ley de los senos: sen α sen δ en la cual sustituimos los = a c datos conocidos

Despejando Sustituimos los valores hallados en la tabla de valores para razones trigonométricas.



c • sen β sen β sen δ despejando b = = sen δ b c Sustituimos



δ = 180°



a)

b)





Se redondea a dos dígitos.



Respuesta: El resto de los otros tres elementos son δ = 65°, a = 2,76 cm, b = 5,50 cm.

B. Resolución de un triángulo del que se conocen dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos Ejemplo: En el triángulo ABC conocemos a = 3,57 cm, b = 2,5 cm y α = 64°, calcule los otros ángulos y el lado restante del triángulo. Solución: Tenemos las medidas de dos lados y un ángulo opuesto a uno de ellos, utilizando la Ley de los senos con la ecuación siguiente, hallamos el valor del ángulo β. sen α sen β = a b

Redondeamos a dos

b • sen α = a • sen β

decimales.

148

GEOMETRÍA

Matemática - EL MAESTRO EN CASA

Respuesta: los otros ángulos miden 39° y 77° y el otro lado mide 3,87 cm aproximadamente

Comprobación: Redondeando a 4 dígitos sen α sen β sen δ = = a b c sen 39° sen 77° sen 64° = = 3,57 2,5 3,87 0,2517 = 0,2517 = 0,2517 Despejamos. Buscamos en la tabla de valores para razones trigonométricas de la página ?? en la columna del seno el número 0,6294 o uno muy cercano y encontramos que sen 39° = 0,6294 se redondea a dos decimales.

ACTIVIDAD 2 En cada uno de los casos, resuelva cada triángulo, es decir, obtenga los ángulos y los lados que faltan.

Como m α + m β + m δ = 180° tenemos que m δ = 180° – 64° – 39° m δ = 180° – 103° m δ = 77°

(la suma de las medidas de los ángulos internos de todo triángulo es 180°)

Para hallar la medida del tercer lado del triángulo, utilizamos siempre la ley de los senos con la ecuación: sen 64° sen 77° = 3,57 c 3,57 • sen 77° c = sen 64° 3,57 • 0, 974 4 c = 0, 898 8 c = 3,87 cm Despejando Buscando en la tabla de valores para razones trigonométricas sen 77° = 0,9744 sen 64° = 0,8988

Aplicación de la ley de los senos en situaciones cotidianas Ejemplo 1 Para determinar la altura de una roca inaccesible se le observa desde dos puntos A y B a 45,0 m de distancia. El ángulo elevación de la cima de la roca desde A es 12° y desde B es 15°. Si A y B y la base de la roca están sobre la misma línea horizontal, calcular la altura de la roca, aproximadamente.

149

GEOMETRÍA

Matemática - EL MAESTRO EN CASA Solución:

Finalmente, para calcular la altura de la roca sustituimos en la expresión

C

CD CD = sen 165° ↔ = sen 15° a a ↔ CD = 178,88 • sen 15° ↔ CD = 178,88 • 0,2588 ↔ CD = 46,30 m

b a 12° A

15° 45 m

B

D

Tenemos el triángulo obtusángulo ∆ABC donde CD es la altura relativa desde el vértice C; punto más alto visible de la roca inaccesible.

Respuesta: La altura de la roca es 46,30 m, aproximadamente. Ejemplo 2 Un piloto vuela sobre una carretera recta. Determine los ángulos de depresión hasta dos postes de medición de millaje apartados 5 millas, como 32° y 48° según se ilustra en la figura.

Entonces CD = sen 15° = sen (180° − 15°) = sen 165° a CD = sen 165° a Recuerde: sen (180° – α ) = sen α, cuando α está entre 90° y 180°.

Como m α + m β + m δ = 180° tenemos que m δ = 180° – 12° – 165° = 3° Con la Ley de los Senos tenemos la ecuación:

a) Encuentre la distancia del avión al punto A. b) Encuentre la elevación del avión. Solución: Como el avión vuela paralelamente a la carretera, tenemos que el ángulo ABC mide 48° y el ángulo BAC mide 32°, recordemos que son ángulos alternos internos. Estimado estudiante: Este tema: ángulos alternos corresponde a lo estudiado en la semana décima del libro Matemática Térraba 2016. Puede consultarlo.

150

GEOMETRÍA

Matemática - EL MAESTRO EN CASA Todavía nos falta hallar la medida del ángulo ACB como m ABC = 48°, m BAC = 32° y sabemos que m ABC + m BAC + m ACB = 180°; se tiene que

Importante:

48° + 32° + m

ACB = 180°





m

ACB = 180 – 48° – 32°





m

ACB = 100°

Considerando lo anterior la figura se transforma en



Los valores sen 48° = 0,7431 sen 80° = 0,9848

se obtuvieron de la tabla de valores para razones trigonométricas de la página ???

b) Para encontrar la elevación del avión.

Tengamos presente que el avión viaja en forma paralela a la carretera recta; como el ángulo de depresión es de 32° el ángulo de elevación es de 32°.



Respuesta: El ángulo de elevación del avión mide 32°.

ACTIVIDAD 3

a) Para encontrar la distancia del avión al punto A.



Utilizamos la Ley de los senos, con la siguiente ecuación sen 48° sen 100° despejando AC = AC 5 5 • sen 48° tenemos que sen 48° = 0,7431 AC = sen 100° y además como AC =

5 • 0,7431 0,9848

sen 100° = sen (180° – 100°) = sen 80° = 0,9848



AC = 3,77



Respuesta: a) La distancia del avión al punto A es de 3,77 millas.

Resuelva cada uno de los siguientes problemas.

1. Un edificio está ubicado al final de una calle que está inclinada en un ángulo de 8° con el horizonte. En un punto P a unos 210 m calle abajo a partir del edificio el ángulo subtendido por el edificio es de 16°. ¿Cuál es la altura del edificio?

2. Un asta para bandera está colocada en la parte superior de un edificio que mide 34,5 m de altura. Desde un punto en el mismo plano horizontal que la base del edificio los ángulos de elevación de la parte superior y la base del asta son 63° y 57°, respectivamente. ¿Cuál es la altura del asta?

151

GEOMETRÍA

Matemática - EL MAESTRO EN CASA 3. Para determinar la distancia a través de un río un topógrafo elige dos puntos P y Q en la ribera, donde la distancia entre P y Q es 200 m En cada uno de estos puntos se observa un punto R en la ribera opuesta. El ángulo que tiene lados PQ y PR mide 63° y el ángulo con lados PQ y QR mide 80°. ¿Cuál es la distancia a través del río más corta?

4. Un lote de forma triangular con vértices en R, S y T se delimita mediante una cerca, pero se advierte la ausencia de la marca del lindero en S. De la escritura, se sabe que la distancia desde T hasta R es 324 m, la distancia desde T hasta S es 506 m y el ángulo en R del triángulo es 125°. Encuentre la ubicación de S determinando la distancia desde R hasta S.

5. En cierto momento, cuando un avión vuela directamente sobre un camino que une a dos pequeñas ciudades, los ángulos de depresión de ambas son 10° y 9°.

(a) Encuentre las distancias desde el avión a cada una de la ciudades en este instante si la separación entre ambas es de 8,45 km

(b) Determine la altura del avión en tal momento.

152

GEOMETRÍA

Matemática - EL MAESTRO EN CASA

TRABAJO INDIVIDUAL 1 A

1. Sea el ∆ ABC un triángulo obtusángulo donde m α = 130°, m β = 20° y b = 6 cm. Determine las partes restantes del triángulo.

α c

B

b

β

δ

C

δ

C

a

Resp./

2. Dado el triángulo ABC, donde m α = 48°, m b = 47 cm. Calcule las partes restantes.

B

δ = 57° y

β a

c

A

α b

Resp./

3. Considere el triángulo ABC, con medidas de los ángulos m medida 50 m. Calcule las longitudes de los lados b y c.

Respuesta:

153

α = 65°, m

β = 40° y el lado a con

GEOMETRÍA

Matemática - EL MAESTRO EN CASA 4. Considere el triángulo ABC, con medidas de los ángulos m Calcule las partes restantes.

α = 80°, m

β = 35° y el lado c = 60 cm.

Respuesta:

5. Dado el triángulo ABC, de la figura de la derecha en el que a = 41 cm, m m δ = 100°.

β = 28° y

Calcule las partes restantes.

Respuesta:

6. Utilice la ley de los senos para encontrar las partes restantes de un triángulo ABC en cada uno de los casos. a)

m

α = 83°, m

δ = 39°

y a = 78,6 cm

b)

m

β = 63°, m

δ = 75°

y a = 1048 mm

c)

m

α = 57°, m

δ = 78°

y b = 50 cm

d)

m

β = 41°, m

δ = 104°

y c = 547,5 dm

154

GEOMETRÍA

Matemática - EL MAESTRO EN CASA

7. Utilizando la información siguiente; y la ley de los senos, obtenga los valores restantes, de cada uno de los triángulos. Por ejemplo a)

m

α = 80°, m

β = 20°

y b = 7m

b)

m

β = 37°, m

δ = 51°

y a = 5 mm

c)

m

α = 60°, m

β = 15°

y c = 30 cm

d)

m

α = 30°, m

e)

m

β = 110°, m

f)

m

g) m

δ = 75°

δ = 15°, a = 7,86 m

h) β = 41°, b = 34 m

y a = 14 dm

y c = 14,10 mm y c= 5m

y c = 51 m

δ = 180°- 80° - 20° = 80°

δ = 80°

sen B sen C sen A = = b c a sen 20° sen 80° sen 80° = = a 7 c

y a = 6m

δ = 25°

δ = 63°, b = 7 mm

δ

m

sen 20° sen 80° = 7 a 7 sen 80°= a s en 20° 7 sen 80° = a sen 20° 20,16 = a a = 20,16 m

sen 20°

=

sen 80°

7 c c sen 20° = 7 sen 80° c=

7 sen 80°

sen 20° c = 20,16 m

8. En cada uno de los casos, resuelva cada triángulo, es decir, obtenga los ángulos y los lados que faltan. a)

b)

c)

d)

155

GEOMETRÍA

Matemática - EL MAESTRO EN CASA e)

TRABAJO INDIVIDUAL 2 1. Cuando el ángulo de elevación del Sol es 64°, un poste que está inclinado un ángulo de 9° directamente frente al Sol forma una sombra de 6,40 m de longitud en el terreno horizontal. Calcular la longitud aproximada del poste.

C 35° 9°

A

81°

64°

6,40 m

B

Resp./

2. Observe la figura de la derecha.

Un punto P en el suelo a nivel está a 3,0 km al norte de un punto Q. Un corredor sigue la dirección N 25° E desde Q hasta un punto R y después de R a P en dirección S 70°. Calcular la distancia aproximada que recorrió.

P 110°

q 45°

P

R

3,0 km

3,0

25°

Q

Resp./

156

70°

S

p

25°

Q

R

GEOMETRÍA

Matemática - EL MAESTRO EN CASA 3. Una carrera de veleros se inicia en el punto A se debe llegar al punto B localizado a 52° al suroeste. Después se debe ir hasta el punto C que está a 40° al sureste y finalmente regresar al punto de partida, como se muestra en la figura. El punto C se encuentra exactamente a 8 km al sur del punto A. Calcule la distancia total del recorrido.

Resp./

4. Un edificio esta situado en el lado de una colina con una pendiente de 15° de inclinación. El sol esta sobre el edificio con un ángulo de elevación de 42°. Encuentre la altura del edificio si este proyecta una sombra de 11 m de largo.

Rayos del sol 42° C

δ

Edificio

h D

42° B

15° A

Sombra AD = 11 m

Resp./

α

5. Para instalar una antena de televisión, una persona ata dos alambres al extremo superior del tubo que la soportará. Toma uno de los alambres y lo amarra a una estaca en el suelo, formando un ángulo de 42°. Coge el otro alambre y caminando 3 metros en dirección al tubo soporte lo amarra en otra estaca formando ahora un ángulo de 61°. ¿Qué longitud tiene el alambre más cercano al tubo?

A

Resp./

157

42°

B

61°

C

GEOMETRÍA

Matemática - EL MAESTRO EN CASA 6. Dos puntos A y B están cada uno en los lados opuestos de un río. Otro punto C se localiza en el mismo lado que B a una distancia de 230 m de B. Si el ángulo ABC es de 105° y el ángulo ACB es de 20°, encuentre la distancia a lo largo del río.

Resp./

7. Un poste de luz forma un ángulo de 82° con el suelo. El ángulo de elevación del sol es de 76°. Encuentre la longitud del poste de luz si su sombra es de 3,5 m.

Resp./

82°

76°

3,5 m

8. Resuelva los siguientes problemas en forma ordenada. a) Un hombre de 1,72 m de altura se para en un andén que se inclina hacia abajo en un ángulo constante. Un poste vertical de luz situado directamente detrás de él proyecta una sombra de 4,5 m de largo. El ángulo de depresión desde la mayor altura del hombre hasta la punta de su sombra es de 31°. Encuentre el ángulo α como lo muestra la siguiente figura (α es el ángulo formado por el andén y la horizontal).

Respuesta:

158

31° Sombra α

GEOMETRÍA

Matemática - EL MAESTRO EN CASA

b) En el problema anterior, supóngase que el hombre está a 20 m del poste de luz sobre el andén, encuentre la altura del poste.

Respuesta:

c) Los ángulos de elevación de un avión se miden desde lo más alto y desde la base de un edificio que mide 20 m de alto. El ángulo de la cima del edificio es de 38° y el ángulo desde la base del edificio es de 40 m. Encuentre la altitud del avión.

38° 20 m

40°

Respuesta:

d) Un hombre a 100 m de la base de un risco suspendido mide un ángulo de elevación de 28° desde ese punto hasta la punta del risco. Si el risco forma un ángulo de 65° con el suelo. Determine su altura aproximada h.

Respuesta:

159

h 28°

65° 100 m

GEOMETRÍA

Matemática - EL MAESTRO EN CASA

GEOMETRÍA DEL ESPACIO La geometría del espacio es la rama de la geometría que se encarga del estudio de las figuras geométricas que ocupan un lugar en el espacio: estudia las propiedades y medidas de las figuras geométricas en el espacio tridimensional o espacio euclídeo.

Propiedades Los sólidos tienen propiedades como: volumen y área de la superficie. Asimismo, los cuerpos que están huecos pueden albergar en su interior otros cuerpos en una cantidad que recibe el nombre de capacidad. Existe una relación directa entre la capacidad de un cuerpo y el volumen que este ocupa. El mundo que nos rodea está lleno de objetos. Muchas veces observamos la presencia de estos, pero no percibimos sus formas geométricas. El libro que estamos estudiando, un vaso, un lápiz y otros objetos, tan corrientes y comunes, están diseñados a base de figuras sólidas de la geometría.

Clases de cuerpos sólidos Estos cuerpos pueden ser de dos clases: t

Poliedros, sólidos que tienen todas las caras planas. Ejemplos:



Sólidos platónicos.



Prismas



Pirámides

t

No poliedros o cuerpos redondos, aquellos sólidos que tienen al menos una cara de superficie curva. Ejemplos:



Esferas



Cilindros



Conos

Todos los objetos que nos rodean son cuerpos geométricos y corresponden a unas figuras geométricas tridimensionales, es decir, que se proyectan en tres dimensiones: largo, ancho y alto.

alto

ancho

largo

Anteriormente estudiamos las figuras planas, aquellas que tienen dos dimensiones, es decir, no tiene espesor, y todas sus partes están en un mismo plano.

160

GEOMETRÍA

Matemática - EL MAESTRO EN CASA Por el contrario, un sólido geométrico o figura del espacio es una figura tridimensional que tiene “espesor” y sus partes están en distintos planos.

t

Caras: polígonos regulares.

cara

Además podemos fijarnos en:

Anteriormente en el libro de Matemática Ujarrás 2016, estudiamos en la semana novena la descripción, los tipos y las características de los sólidos. Se hará un breve repaso de los conceptos de visualización espacial más sobresalientes y que serán fundamentales para el desarrollo de la geometría del espacio a desarrollar en este libro de Matemática Zapandí. Un poliedro es un cuerpo geométrico de tres dimensiones cuya cara son polígonos.

t

Ángulos planos: cuyos lados son dos aristas convergentes o unidas.

t

Ángulos diédricos: cuyas caras son dos polígonos adyacentes.

t

Ángulos triédricos: formados por tres caras convergentes o unidas en un vértice.

Tipos de poliedros Los poliedros se pueden clasificar mediante dos criterios: Según su regularidad: t

Regulares: un poliedro regular es aquel que sus caras son poliedros regulares y son todos iguales. Todos los ángulos poliedros también son iguales.

t

Irregulares: Poliedro cuyas caras son polígonos no todos iguales.

En un poliedro distinguimos: t

Vértices: puntos donde concurren tres aristas.

vértice Poliedro regular t

Aristas: lados de los polígonos regulares.

arista

Poliedro irregular

Tipos de poliedros regulares Un  poliedro regular  es aquel que sus  caras son polígonos regulares y son todas iguales.

161

GEOMETRÍA

Matemática - EL MAESTRO EN CASA Las aristas también son todas iguales. Existen solo cinco tipos de poliedros regulares: t

Tetraedro regular: poliedro regular cuya superficie está formada por cuatro triángulos equiláteros iguales.

t

Cubo (o hexaedro regular): poliedro regular compuesto por seis cuadrados iguales.

t

Octaedro regular: poliedro regular cuya superficie está constituida por ocho triángulos equiláteros iguales.

t

Dodecaedro regular: poliedro regular formado por doce pentágonos regulares iguales.

t

Icosaedro regular: poliedro regular las caras del cual son veinte triángulos equiláteros iguales.

t Octaedro:

poliedro irregular con ocho caras.

t Eneaedro: poliedro irregular con nueve caras. t Decaedro:

poliedro irregular con diez caras.

Dos de las clases fundamentales de los poliedros irregulares son las pirámides y los prismas.

Pirámide

Prisma

Seguidamente daremos más énfasis al estudio de dos tipos comunes de poliedros: el prisma y la pirámide. PRISMA

Tetraedro

Cubo

Dodecaedro

Un  prisma  es un poliedro cuya superficie está formada por dos caras iguales y paralelas llamadas bases y por caras laterales (tantas como lados tienen las bases) que son paralelogramos.

Octaedro

Icosaedro

Todas las secciones del prisma paralelas a las bases son iguales.

Tipos de poliedros irregulares Los  poliedros irregulares  son poliedros cuyas  caras  son polígonos no todos iguales. Principalmente se clasifican por el número de caras que tiene su superficie: t Tetraedro: poliedro irregular con cuatro caras. t Pentaedro: poliedro irregular con cinco caras. t Hexaedro:

Tipos de prismas Los prismas se pueden clasificar de acuerdo con cuatro criterios: 1. Número de lados de la base

poliedro irregular con seis caras.

t Heptaedro: poliedro irregular con siete caras.

162

Los prismas se clasifican según el número de lados que tienen sus bases: v

Prisma triángular: las bases son triángulos (3 lados).

GEOMETRÍA

Matemática - EL MAESTRO EN CASA v

Prisma cuadrangular: las bases son cuadriláteros (4 lados).

v

Prisma pentagonal: las bases son pentágonos (5 lados).

v

Prisma hexagonal: las bases son hexágonos (6 lados).

v

::::

Prisma

Prisma

Prisma

4. Convexo o cóncavo v

Prisma convexo: el prisma es convexo si sus bases son polígonos convexos.

v

Prisma cóncavo: el prisma cóncavo tiene como bases dos polígonos cóncavos iguales.

Prisma convexo

Prisma

2. Regular o irregular v

Prisma regular: un prisma es regular si sus bases son polígonos regulares.

v

Prisma irregular: los prismas son irregulares si tienen polígonos irregulares en su base.

Prisma cóncavo

Área del prisma El área de un prisma es la suma del área de las dos bases (Ab) más el área de los  paralelogramos de las caras laterales (en el prisma recto es el resultado de multiplicar el perímetro de la base (Pb) por la altura (h) del prisma que coincide con una arista lateral. Pb

Prisma regular

h

Prisma irregular

3. Rectos u oblicuos v

v

Prisma recto: si los ejes de los polígonos de las bases son perpendiculares a las bases. Las caras laterales son cuadrados o rectángulos. Prisma oblicuo: es aquel cuyos ejes de los polígonos de las bases se unen por una recta oblicua a las bases mismas.

Ab

La fórmula del área del prisma recto es:

Área = 2 • Ab + Pb • h donde Ab es el área de la base, Pb el perímetro de la base y h la altura

Prisma recto

Prisma oblicuo

163

GEOMETRÍA

Matemática - EL MAESTRO EN CASA Área lateral y total de algunos prismas

Área de un prisma triangular irregular

A. Un prisma triangular regular

El prisma triangular irregular tiene como bases dos triángulos que son equiláteros. Se pueden dar tres casos:

En un prisma triangular se pueden diferenciar los siguientes elementos: t

t

t

Bases (B): son dos triángulos paralelos e iguales.

Las bases son triángulos isósceles.

B

Caras (C): los tres  paraC lelogramos de las caras laterales y las dos bases. Tiene cinco caras.

Las bases son triángulos escalenos. Las bases son triángulos rectángulos.

h

En los tres casos será necesario calcular el área del triángulo de una base (Ab), el perímetro de la misma (Pb) y la altura (h) del prima.

B

Altura  (h): distancia entre las dos bases del prisma.

La fórmula de su área es: Área = 2 • Ab + Pb • h

Un prisma triangular regular es un poliedro cuya superficie está formada por dos triángulos iguales y paralelos llamados bases y por tres caras laterales que son rectángulos iguales.

donde Ab es el área de la base, Pb es el perímetro de la base y h la altura. Altura de un triángulo equilátero Aplicando el teorema de Pitágoras podemos calcular la altura:

Área de un prisma triangular regular

⎛ 1⎞ l =h +⎜ ⎟ ⎝ 2⎠

El área de las bases se calcula mediante la fórmula del área de triángulo equilátero (Ab), mientras que el área lateral es el resultado de multiplicar el perímetro de la base (Pb) por la altura (h) del prisma.

2

l

h

l 2 = h2 + l2 −

Como resultado, se obtiene que el área del prisma triangular regular es:

1 2

⎛ 3 ⎞ Área = l • ⎜ l + 3h⎟ ⎝ 2 ⎠ 

2

h=

l

2

4

l2 4

2

↔ h2 = l 2 −

↔h=

4l − l

3l 2 4

3 h= l 2 

(Siendo l el lado del triángulo de la base y h la altura)

Área de triángulo equilátero

En el caso del prisma recto la longitud de la altura h y la de las aristas de las caras laterales coinciden.

164

2

l2

3 base x altura l • 2 l 3 A= = = l2 • 2 4 2 1 

4

4 2

GEOMETRÍA

Matemática - EL MAESTRO EN CASA Ejemplo: Calcular la altura y el área de un triángulo equilátero de 10 cm de lado.

3. En un triángulo equilátero de lado 8 cm, ¿cuál es la longitud de la altura correspondiente a cualquiera de sus lados?

10 cm

h

5 cm t

Resp./

Para calcular la altura de

un triángulo equilátero se hace uso de la expresión: 3 h= l 2  3 10 h= •10 = • 3 = 5 3 cm 2 2 t



Para calcular el área de un triángulo equilátero 3 2 se hace uso de la expresión: A = l • 4 

4. Hallar el área total de un prisma triangular cuya base es un triángulo equilátero que mide 10 cm de lado por 42 cm de altura del triángulo y la  altura del prisma mide 60 cm.

Solución:

h = 60 cm altura del prisma

1. El perímetro de un triángulo equilátero  mide 90 cm y la altura mide 25,95 cm. Calcule el área del triángulo.

25.95 cm

ACTIVIDAD

10 cm

Resp./

2. Calcular la  altura y el área de un triángulo equilátero  de 5 cm de lado.

a= 5 cm

a= 5 cm

a= 5 cm

Resp./

h = 42 cm altura del triángulo



Obtengamos primero el área lateral (Árealateral) (el de las tres caras):



Árealateral = perímetro de la base x altura del prisma



Árealateral = pb x h



Árealateral = (10 cm + 10 cm + 10 cm) x 60 cm



Árealateral = 30 cm x 60 cm



Árealateral = 1800 cm2

165

GEOMETRÍA

Matemática - EL MAESTRO EN CASA

Y ahora el área de las bases (Áreabase)



⎛ 420 cm2 ⎞ ⎛ 10 cm x 42 cm ⎞ Áreabase = 2 • ⎜ = 2•⎜ ⎟ ⎟⎠ ⎝ ⎠ 2 2 ⎝

Mediante el teorema de Pitágoras a2 + b2 = c2, la encontramos: a2 + b2 = c2

840 cm2 = 420 cm2 2 Por último sumaremos los valores del área lateral y del área de las dos bases para obtener el área total del prisma triangular especificado.

(3 cm)2 + (4 cm)2 = c2

=

9 cm2 + 16 cm2 = c2 25 cm2 = c ­ 5 cm = c



Áreatotal = Árealateral + 2 Áreabase



Árealateral = perímetro de la base x altura del prisma



Áreatotal = 1800 cm2 + 420 cm2



Árealateral = (3 cm + 4 cm + 5 cm) x 5 cm



Áreatotal = 2200 cm2



Árealateral = 12 cm x 5 cm



Respuesta: El área total del triángulo es 2200 cm2.



Árealateral = 60 cm2

5. Un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 3 cm y 4 cm es la base de un prisma recto. Si la altura del prisma mide 5 cm. Hallar el área lateral y total del prisma.

Y ahora el  área de las bases (Áreabase), en este caso la base es un triángulo rectángulo de catetos 3 cm y 4 cm los cuales corresponden uno, a la base y el otro a la altura. ⎛ 12 cm2 ⎞ ⎛ 3 cm x 4 cm ⎞ Áreabase = 2 • ⎜ = 2•⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 2 ⎝ 2 ⎟⎠

Solución:

=

3 cm

3 cm

4 cm

4 cm

24 cm2 = 12 cm2 2

Para hallar el área total del prisma sumamos los valores del área lateral y del área de las dos bases.

5 cm



Obtengamos primero el área lateral (Árealateral) de las tres caras



Para encontrar el área lateral necesitamos hallar el perímetro de la base que en este caso es un triángulo rectángulo de medida de los catetos 3 cm y 4 cm, falta hallar la hipotenusa.



Áreatotal = Árealateral + 2 Áreabase



Áreatotal = 60 cm2 + 12 cm2



Áreatotal = 72 cm2

Respuesta: El área total del prisma triangular es 72 cm2. B. Prisma rectangular (ortoedro) Un prisma rectangular (u ortoedro) es un poliedro cuya superficie está formada por dos rec-

166

GEOMETRÍA

Matemática - EL MAESTRO EN CASA Área del prisma rectangular

tángulos iguales y paralelos llamados bases y por cuatro caras laterales que son también rectángulos paralelos e iguales dos a dos.

Su área total se calcula por la siguiente fórmula:

Área = 2 • (a • b + a • h + b • h)

El  ortoedro  es un prisma  recto  y también un caso particular de prisma cuadrangular irregular.

siendo a y b los costados diferentes de la base y h la altura Ejemplos

Elementos del prisma cuadrangular En un prisma cuadrangular se pueden diferenciar los siguientes elementos:

t

t

t

Bases (B): son dos cuadriláteros paralelos e iguales. Caras (C): los cuatro paralelogramos de las caras laterales y las dos bases. Por lo tanto, tiene seis caras. Altura  (h): distancia entre las dos bases del prisma. En el caso del prisma recto la longitud de la altura h y la de las aristas de las caras laterales coinciden.

1. Calcule el área total de un prisma rectangular de 5 cm de largo, 3 cm de ancho y 2 cm de alto.

Solución: A = 2 • (largo x ancho) + 2 • (largo x altura) + 2 • (ancho x altura) A = 2 • (l • a ) + 2 • (l • h) + 2 • (a • h) A = 2 • (5 cm • 2 cm + 5 cm • 3 cm + 2 cm • 3 cm) A = 2 • (10 cm2 + 15 cm2 + 6 cm2) A = 2 • 31 cm2

h

A = 62 cm2

b

a

167

GEOMETRÍA

Matemática - EL MAESTRO EN CASA 2. David desea construir una jaula (hogar) para un hamster con las medidas indicadas en la figura siguiente, ¿Cuánta madera de forro se necesita para construirla, si se desea dejar una puerta abierta para la jaula y además, estará sobre el suelo y solo se tapará por encima?

3. Halle el área total de un prisma rectangular recto, sabiendo que los lados contiguos de la base miden de largo a = 3 cm, de ancho b = 1,5 cm y de altura h = 4 cm.

12 cm

h = 4 cm

7 cm

6 cm 8 cm

b = 1,5 cm

5 cm

Solución:

Debemos hallar el área total para calcular la madera de forro sin incluir el fondo, esta estará sobre el suelo.

A = 2 • (largo x ancho) + 2 • (largo x altura) + 2 • (ancho x altura) A = 1 • (l • a ) + 2 • (l • h) + 2 • (a • h)

Sin fondo

A = 2 • (12 cm •7 cm) + 2 • (12 cm • 8 cm) + 2 • (7 cm • 8 cm)



Solución:



Su área se calcula mediante la suma de los seis rectángulos de su superficie, que al ser iguales dos a dos, será el doble de la suma de los tres rectángulos diferentes.



Área = 2 • (a • b + a • h + b • h)



= 2 • (3 • 1,5 + 3 • 4 + 1,5 • 4)



= 2 • (4,5 cm2 + 12 cm2 + 6 cm2)



= 2 • 22,5 cm2 = 45 cm2



A = 84 cm2 + 192 cm2 + 112 cm2 A = 388 cm2

Recordemos que debemos excluir el área de la puerta



Apuerta = 6 cm x 5 cm = 30 cm2



Luego, tenemos que la madera de forro queda determinada por el área total de la jaula (hogar) sin tomar en cuenta el área de la puerta.



Atotal = 388 cm2 – 30 cm2 = 358 cm2



Respuesta: Se necesita 358 cm2 de madera de forro.

a = 3 cm

Respuesta: El área de este prisma rectangular es de 45 cm2.

C. PRISMA CUADRANGULAR Un prisma cuadrangular es un poliedro cuya superficie está formada por dos cuadrados y paralelos llamados bases y por cuatro caras laterales que son paralelogramos.

168

GEOMETRÍA

Matemática - EL MAESTRO EN CASA Elementos del prisma cuadrangular En un prisma cuadrangular se pueden diferenciar los siguientes elementos: B

se obtiene que el área del prisma cuadrangular regular será: Área = 2 • Ab + Pb • h = 2 • l2 + 4 • l • h

V

Ejemplos C

Un cubo se puede decir que es un prisma rectangular.

h

B

A

t

Bases (B): son dos cuadrados paralelos e iguales.

t

Caras (C): los cuatro paralelogramos de las caras laterales y las dos bases. Por lo tanto, tiene seis caras.

t

Altura (h): distancia entre las dos bases del prisma. En el caso del prisma recto la longitud de la altura h y la de las aristas de las caras laterales coinciden.

t

Vértices (V): los ocho puntos donde confluyen tres caras del prisma.

t

Aristas (A): segmentos donde se encuentran dos caras del prisma.



Solución:



El cubo es un prisma cuadrangular donde el largo, el ancho y la altura es de 1,6 cm



1,6 cm

1,6 cm

1,6 cm

1,6 cm 1,6 cm

El área de las bases de este cubo se calcula mediante la fórmula del área del cuadrado (Ab), mientras que el área lateral es el resultado de multiplicar el perímetro de la base (Pb) por la altura (h) del prisma. Como resultado, se obtiene que el área del cubo.

Áreatotal = 2 • Ab + Pb • h = 2 • l2 + 4 • l • h Áreatotal = 2 • (1,6 cm)2 + (1,6 cm + 1,6 cm + 1,6 cm + 1,6 cm) • 1,6 cm

Área de un prisma cuadrangular regular El área de las bases se calcula mediante la fórmula del área del cuadrado (Ab), mientras que el área lateral es el resultado de multiplicar el perímetro de la base (Pb) por la altura (h) del prisma. Como resultado,

1. Calcule el área total de un cubo cuya arista mide 1,6 cm.

1,6 cm

Áreatotal = 2 • 2,56 cm2 + 6,4 cm • 1,6 cm Áreatotal = 5,12 cm2 + 10,24 cm2 Áreatotal = 15,36 cm2

h

Respuesta: El área total es de 15,36 cm2. 

169

GEOMETRÍA

Matemática - EL MAESTRO EN CASA 2. Halle el área lateral de un prisma cuadrilátero regular recto, sabiendo que el lado de la base mide 6 cm y su arista lateral 12 cm.

Solución:



Lado de la base: l = 6 cm



Altura: arista lateral: h = 12 cm



El área lateral de un prisma cuadrilátero regular, esto es, de un prisma cuadrangular se obtiene multiplicando el perímetro de la base perímetro (P = 4 • l = l + l + l + l) y la altura es la arista lateral (h) del prisma, por lo tanto





Área lateral = Pb • h

= (6 cm + 6 cm + 6 cm + 6 cm) • 12 cm



= 24 cm • 12 cm



= 288 cm



Solución



Lado de la base: l = 8 cm



Altura de la pirámide: h = 10 cm



Calculemos el área lateral.



Área lateral: Pb • h



Área lateral = (4 • 8 cm) • 10 cm



= 32 cm • 10 cm



= 320 cm2



Calculemos el área basal.



Área basal: l2



Área basal = 2 • l2

2



Respuesta: El área lateral es de 288 cm2.



= 2 • 64 cm2 = 128 cm2



Área total = Área lateral + Área basal



Área total = 320 cm2 + 128 cm2



8

10 cm

10 cm

= 2 • (8 cm)2



3. En un prisma cuadrado regular recto, el lado de la base mide 8 cm, si la arista lateral mide 10 cm ¿cuál es el valor del área total? 8



8 cm

170

= 448 cm2

El área total es de 448 cm2.

GEOMETRÍA

Matemática - EL MAESTRO EN CASA

TRABAJO INDIVIDUAL 1 1. Una piscina tiene 5,0 m de largo, 4,0 m de ancho y 3,0 m de profundidad. Si se desea cubrir su superficie con azulejos cuadrados de 25 cm de lado, ¿cuántos azulejos se necesitarán?

3 cm 4 cm 5 cm

Respuesta:

2. Cada año, el tío de José Ángel vacía, desinfecta y pinta el fondo y las paredes de la alberca de su casa para darle mantenimiento.

Si las dimensiones de la alberca son 15 m de largo, 6 m de ancho y 3 m de profundidad, ¿cuál es el área total que pinta?

6 cm

3 cm 15 cm

Respuesta:

3. Calcular el área lateral y el área total de un prisma de base cuadrada de 36 cm de altura y de 21 cm de arista de la base.

Respuesta:

171

GEOMETRÍA

Matemática - EL MAESTRO EN CASA 4. Calcular el área lateral y el área total de un prisma de base un triangulo equilátero de 25 cm de arista y de 40 cm de altura.

Respuesta:

5. ¿Cuál es el precio de un cajón de embalaje de 0,8 m x 0,5 m x 0,7 m, si la madera cuesta a razón de 1600 colones el m2? 0,7 m

0,5 m 0,8 m

Respuesta:

6. Un prisma de base triangular de 6 cm de lado y una altura de 12 cm., ¿qué superficie total tiene?

Respuesta:

7. Calcula el área total de un prisma de base cuadrada cuyo lado es de 2 cm. La altura del prisma es 5 cm.

Respuesta:

8. Calcular el área lateral y el área total de un prisma triangular de 40 centímetros de altura y 25 centímetros de arista de la base.

Respuesta:

172

GEOMETRÍA

Matemática - EL MAESTRO EN CASA 9. Una piscina tiene 8 m de largo, 6 m de ancho y 1,5 m de profundidad. Se pinta la piscina a razón de ¢6000 el metro cuadrado. ¿Cuánto costará pintarla?

1,5 m

6m 8m

Respuesta:

10. ¿Cuántas piezas de cerámica cuadradas de 20 cm de lado se necesitan para recubrir las caras de una piscina de 10 m de largo por 6 m de ancho y de 3 m de profundidad?

Respuesta:

11. Halle el área de un prisma triángular, es decir, la base es un triángulo equilátero, regular, de arista básica 5 cm y 16,5 cm de altura del prisma.

Respuesta:

173

GEOMETRÍA

Matemática - EL MAESTRO EN CASA B. Para cada uno de los siguientes casos complete la información indicada: Área lateral: Área de las bases: Área total:

1 Alto = 20 cm Ancho = 15 cm Largo = 10 cm

Área lateral: Área de las bases: Área total:

2 Altura = 20 cm Arista de la base = 15 cm

Área lateral: Área de las bases: Área total:

3 Altura = 20 cm Arista de la base = 5 cm

174

GEOMETRÍA

Matemática - EL MAESTRO EN CASA PIRÁMIDE

t

Una pirámide es un poliedro cuya superficie está formada por una  base  que es un polígono cualquiera y  caras laterales triangulares  que confluyen en un vértice que se denomina ápice (o vértice de la pirámide).

Pirámide cuadrangular: su base es un cuadrado (4 lados), al igual que sus caras laterales.

t

Pirámide pentagonal:  su base es un pentágono (5 lados), al igual que sus caras laterales.

t

Pirámide hexagonal:  su base es un hexágono (6 lados), al igual que sus caras laterales.

t

::::

Las pirámides tienen tantos triángulos en las caras laterales como lados tiene la base.

2. Las pirámides, según su base, pueden ser regulares o irregulares.

Tipos de pirámides

t

Pirámide regular: la base es un polígono regular y las caras laterales son triángulos isósceles.

t

Pirámide irregular: cuando tiene por base un polígono irregular.

Las pirámides se pueden clasificar de acuerdo a cuatro criterios: 1. Las pirámides se denominan en función del polígono que tengan como base.

Pirámide regular Pirámide triangular

Pirámide pentagonal



3. Pirámide recta u oblicua

Pirámide cuadrangular

t

Pirámide recta: cuando su altura o eje cae en el punto medio de su base, además las caras laterales son triángulos isósceles.



El eje es perpendicular al polígono base.

Pirámide hexágonal

De esta manera tenemos: t

Pirámide irregular

Pirámide triangular:  su base es un triángulo (3 lados), al igual que sus caras laterales.

175

GEOMETRÍA

Matemática - EL MAESTRO EN CASA t

Pirámide regular recta: La base es un polígono regular y el eje es perpendicular a un polígono base.

t

Pirámide oblicua: cuando su altura o eje no cae en el punto medio de su base, además alguna de las caras laterales no es un triángulo isósceles.



El eje no es perpendicular a un polígono base.

4. Pirámide convexa o cóncava t

Pirámide convexa: cuando la base es un polígono convexo.

Pirámide convexa t

Pirámide cóncava

Pirámide cóncava: cuando la base es un polígono cóncavo.

Pirámide convexa

Pirámide cóncava

Elementos de la pirámide t

Pirámide regular oblicua: La base es un polígono regular y el eje no es perpendicular al polígono base.

En una  pirámide  se pueden diferenciar los siguientes elementos:

V Apotema de la pirámide ap

Altura h Cara B

a Apotema de la base apb t

176

Base (B): polígono cualquiera. Es la única cara que no toca al vértice de la pirámide.

GEOMETRÍA

Matemática - EL MAESTRO EN CASA t

Caras (C): los triángulos de los laterales y la base.

t

Aristas (a): segmentos donde se encuentran dos caras de la pirámide. Podemos distinguir: aristas laterales, que son las que llegan al vértice (o ápice) y aristas básicas, que están en la base.

t

Altura (h): distancia del plano de la base al vértice de la pirámide.

t

Vértice de la pirámide (V): punto donde confluyen las caras laterales triangulares. También se llama ápice.

t

Apotema de la pirámide (ap): distancia del vértice a un lado de la base. Solo existe en las pirámides regulares.

Puesto que en este caso las caras laterales son isósceles, la apotema de la pirámide es también la altura de las caras laterales.

Apotema de la pirámide La  apotema de la pirámide  es la distancia del ápice a un lado de la base. Solo existe en las pirámides regulares.

h ap apb En las  pirámides regulares, la altura (h), la apotema de la base (apb) y la apotema de la pirámide (ap) forman un triángulo rectángulo. Por el teorema de Pitágoras, conociendo la altura (h) y la apotema de la base (apb) podemos calcular la apotema:

Apotema de la base  (apb): distancia de un lado de la base al centro de ésta. Solo existe en las pirámides regulares.

177

ap = h2 + ap2b siendo h la altura, apb la apotema de la base y ap la apotema de la pirámide

GEOMETRÍA

Matemática - EL MAESTRO EN CASA PIRÁMIDE

t

Una pirámide es un poliedro cuya superficie está formada por una  base  que es un polígono cualquiera y  caras laterales triangulares  que confluyen en un vértice que se denomina ápice (o vértice de la pirámide).

Pirámide cuadrangular: su base es un cuadrado (4 lados), al igual que sus caras laterales.

t

Pirámide pentagonal:  su base es un pentágono (5 lados), al igual que sus caras laterales.

t

Pirámide hexagonal:  su base es un hexágono (6 lados), al igual que sus caras laterales.

t

::::

Las pirámides tienen tantos triángulos en las caras laterales como lados tiene la base.

2. Las pirámides, según su base, pueden ser regulares o irregulares.

Tipos de pirámides

t

Pirámide regular: la base es un polígono regular y las caras laterales son triángulos isósceles.

t

Pirámide irregular: cuando tiene por base un polígono irregular.

Las pirámides se pueden clasificar de acuerdo a cuatro criterios: 1. Las pirámides se denominan en función del polígono que tengan como base.

Pirámide regular Pirámide triangular

Pirámide pentagonal



3. Pirámide recta u oblicua

Pirámide cuadrangular

t

Pirámide recta: cuando su altura o eje cae en el punto medio de su base, además las caras laterales son triángulos isósceles.



El eje es perpendicular al polígono base.

Pirámide hexágonal

De esta manera tenemos: t

Pirámide irregular

Pirámide triangular:  su base es un triángulo (3 lados), al igual que sus caras laterales.

175

GEOMETRÍA

Matemática - EL MAESTRO EN CASA t

Pirámide regular recta: La base es un polígono regular y el eje es perpendicular a un polígono base.

t

Pirámide oblicua: cuando su altura o eje no cae en el punto medio de su base, además alguna de las caras laterales no es un triángulo isósceles.



El eje no es perpendicular a un polígono base.

4. Pirámide convexa o cóncava t

Pirámide convexa: cuando la base es un polígono convexo.

Pirámide convexa t

Pirámide cóncava

Pirámide cóncava: cuando la base es un polígono cóncavo.

Pirámide convexa

Pirámide cóncava

Elementos de la pirámide t

Pirámide regular oblicua: La base es un polígono regular y el eje no es perpendicular al polígono base.

En una  pirámide  se pueden diferenciar los siguientes elementos:

V Apotema de la pirámide ap

Altura h Cara B

a Apotema de la base apb t

176

Base (B): polígono cualquiera. Es la única cara que no toca al vértice de la pirámide.

GEOMETRÍA

Matemática - EL MAESTRO EN CASA t

Caras (C): los triángulos de los laterales y la base.

El área de la base (Ab) se calcula según el polígono que sea la base.

t

Aristas (a): segmentos donde se encuentran dos caras de la pirámide. Podemos distinguir: aristas laterales, que son las que llegan al vértice (o ápice) y aristas básicas, que están en la base.

El área de las caras laterales (Al) es la suma del área de los triángulos de las caras laterales. La pirámide tiene tantos triángulos como aristas tiene la base.

t

Altura (h): distancia del plano de la base al vértice de la pirámide.

t

Vértice de la pirámide (V): punto donde confluyen las caras laterales triangulares. También se llama ápice.

t

Apotema de la pirámide (ap): distancia del vértice a un lado de la base. Solo existe en las pirámides regulares.

Puesto que en este caso las caras laterales son isósceles, la apotema de la pirámide es también la altura de las caras laterales.

Área lateral y total de algunas pirámides A. UNA PIRÁMIDE TRIANGULAR Una pirámide triangular es un poliedro cuya superficie está formada por una base que es un triángulo y tres caras laterales que son triángulos isósceles y congruentes que confluyen en un vértice que se denomina ápice (o vértice de la pirámide). En las pirámides triangulares regulares, la altura (h), la apotema de la base (apb) y la apotema de la pirámide (ap) forman un triángulo rectángulo.

Apotema de la base  (apb): distancia de un lado de la base al centro de ésta. Solo existe en las pirámides regulares. h

ap

Área de la pirámide El área total de la pirámide se calcula mediante la suma del área de la base (Ab) y el área de los triángulos de las caras laterales (Al).

apb

Por el teorema de Pitágoras, conociendo la altura (h) y la apotema de la base (apb) podemos calcular la apotema de la pirámide (ap):

Área = Ab + Al Al

ap = h2 + apb2

siendo Ab el área de la base y Al el área de las caras laterales

siendo h la altura, apb la apotema de la base y ap la apotema de la pirámide

Ab

177

GEOMETRÍA

Matemática - EL MAESTRO EN CASA

Tipos de pirámide triangular



Para calcular el área total de un tetraedro regular debemos conocer previamente los siguientes datos:  t La altura h del triángulo equilátero h = 3.  2

Existen dos tipos de pirámide triangular: t

t

Pirámide triangular regular: la base es un triángulo equilátero y es recta (la recta perpendicular a la base que pasa por el vértice de la pirámide corta a la base por su centro). Las caras laterales son triángulos isósceles y congruentes.

h 2

Pirámide triangular irregular: es aquella cuya base es un triángulo no equilátero (isósceles, escaleno o bien rectángulo).

t



Área de la pirámide triangular

El área de una de las caras de la pirámide (un triángulo equilátero), se obtiene 2 mediante la fórmula: A = 3. 4  •h 2   A= • 3 2 2 2 A= 3 4  A=

La fórmula del área de la pirámide triangular cambia según si la pirámide es regular o irregular. Área de la pirámide triangular regular n

Caso 1



Cuando la totalidad de las caras de la pirámide son  triángulos equiláteros  (es decir, triángulos que tienen los tres lados iguales), se le denomina tetraedro regular.

t

El área total AT del tetraedro regular se obtiene multiplicando por cuatro la medida de la superficie de una de las caras de la pirámide A T = 2 3. A T = 4A

a a

178

a

2 3 4 2 A T =  3 AT = 4 •

GEOMETRÍA

Matemática - EL MAESTRO EN CASA Ejemplos: 1) El siguiente poliedro corresponde a un tetraedro regular.

c) El área total AT del tetraedro regular es la suma de las áreas de 4 triángulos (base + 3 laterales): A T = 25 3 + 25 3 + 25 3 + 25 3 A T = 4 • 25 3

10 c

m

a) ¿Cuánto mide la altura de una cara lateral (apotema de la pirámide)? b) ¿Cuál es el área lateral A de una de sus caras?



A T = 100 3 cm2 = 173,20 cm2



También, podemos resolver: A T = 2 3 para l = 10 cm.



A T = 2 3 = (10 cm)





2

3 = 100 cm2 3

= 100 3 cm2 = 173,20 cm2

2) Calcule el área total de un tetraedro regular de 4 cm de arista.

c) ¿Cuánto es el área total AT del tetraedro regular. Solución: 4 cm

a) hallamos la altura h de una cara (apotema de la pirámide). Solución:

 3 2 10 cm h= 3 2 h = 5 3 cm = 8,66 cm h=



A T = 2 3 2

A T = ( 4 cm) A T = 16 cm

2

b) hallamos el área de una cara lateral mediante la fórmula para obtener el área de un triángulo 2 equilátero, A = 3. 4  2 A= 3 4 A=



3



2 A T = 27,72 cm

n

Caso 2



La base es un triángulo equilátero y las caras laterales son triángulos isósceles e iguales entre sí.

(10 cm)2

3 4 100 cm2 A= 3 4 2 2 A = 25 3 cm = 43,30 cm

3

Ejemplos: 1. Determine el área total de una pirámide triangular recta con aristas laterales de 6 cm, y con base un triángulo equilátero de 4 cm de lado.

179

GEOMETRÍA

Matemática - EL MAESTRO EN CASA Solución:

6 cm

Datos:

A3 A1

A2

Cálculo del área basal (B) de la pirámide de base triangular equilátero. El área de un triángulo equilátero se obtiene 2 mediante A = 3. 4 

4 cm

Ab

A=

4 cm

2 4 cm) ( A=

3 4 16 cm2 A= 3 4 2 2 2 A = 4 cm 3 = 4 3 cm = 6,93 cm

Cálculo de un área lateral de la pirámide de base triangular equilátero. t

Por el teorema de Pitágoras calculamos la apotema de la pirámide ap

6 cm

2 cm





AT = 33,96 cm2 + 6,93 cm2 2 cm

AT = 40,88 cm2

2 cm



36 cm2 – 4 cm2 = (ap )2 32 cm2 = ap 5,66 cm = ap

Segundo, el área de las caras laterales. A =

Cálculo del área total: AT de la pirámide de base triangular equilátero. AT = AL + AB

(6 cm)2 = (ap )2 + (2 cm)2 ap

t

ap

6 cm



Primero, debemos hallar la apotema de la pirámide ap que correponde a la altura de una de las caras de la pirámide

2 3 4

Respuesta: El área total de la pirámide es de 40,88 cm2.

2. En una pirámide triangular, su arista básica mide 2 cm y el área de la región de una de sus caras laterales es 2 cm2. Hallar el área de la superficie total (AT) de la pirámide.

(base x altura ) = 4 cm x 5,66 cm

2 22,64 = = 11,32 cm2 2



Son tres las caras laterales.



A = 3 caras x 11,32 cm2



A = 3 caras x 11,32 cm2



A = 33,96 cm2

2

2 cm²

2 cm 2 cm

180

GEOMETRÍA

Matemática - EL MAESTRO EN CASA

Solución:



A T = A + B A T = (2cm2 + 2 cm2 + 2 cm2 ) + (2 cm) 3 4 4 cm2 3 A T = 6 cm2 + 4 2 A T = 6 cm + 3 cm2 2

A T = 6 cm2 +



2 3 4

2 A T = (6 + 3) cm

Respuesta: El área de la superficie total de la 2 pirámide es (6 + 3) cm .

3. En una pirámide triángular regular su arista básica mide 6 cm, la apotema de la pirámide mide 7 cm. Hallar el área de la superficie total (AT) de la pirámide.

ap



(

)

(

)

A = 63 + 9 3 cm2  T

1. En una pirámide regular triangular, el lado de base es 8 m, la apotema de la pirámide es 5 m y cuya altura es 4,43 cm. Calcular la apotema de la base de la pirámide y la superficie total.

2. Calcular la arista lateral de una pirámide triangular; sabiendo que su lado de base es de 12 m, la apotema de la pirámide es 10,58 m y su altura es 10 m. También averiguar la superficie total.

6 cm

Solución:



Desconocemos el área lateral Al de la pirámide

Respuesta:

⎛ base x altura ⎞ ⎛ 6 cm x 7 cm ⎞ A = ⎜ ⎟⎠ = ⎜⎝ ⎟⎠ ⎝ 2 2 

)

Respuesta:

6 cm



(

TRABAJO INDIVIDUAL 2

7 cm 6 cm

=

Recordando que el área de un triángulo equi3 2  . látero se obtiene con A = 4  3 2 A T = 21 cm2 + 21 cm2 + 21 cm2 +  4 3 A T = 21 cm2 + 21 cm2 + 21 cm2 + (6 cm)2 4 3 A T = 63 cm2 + • 36 cm2 4 A T = 63 cm2 + 9 3 cm2

42 cm2 = 21 cm2 2

Falta obtener el área del triángulo equilátero que corresponde a la base B.

3. Obtenga el área de una cara y el área total de un tetraedro regular cuya arista mide 2 cm.

181

Respuesta:

GEOMETRÍA

Matemática - EL MAESTRO EN CASA 4. Hallar el área total de una pirámide triángular recta con aristas laterales de 8 cm y con base, un triángulo equilátero de 7 cm de lado.

Respuesta:

Área de la pirámide cuadrangular La formula de la pirámide cuadrangular cambia según si la pirámide es regular o irregular. La fórmula de su área es: Área = Ab + Al siendo Ab el área de la base y Al el área de las caras laterales. Si la pirámide cuadrangular es regular se tiene que: AT = Ab + Al = l • (2 • ap + l) donde l es una arista de la base y ap la apotema de la pirámide.

B. PIRÁMIDE CUADRANGULAR Una pirámide cuadrangular es un poliedro cuya superficie está formada por una base que es un cuadrilátero y caras laterales triangulares que confluyen en un vértice que se denomina ápice (o vértice de la pirámide). Está compuesta por 5 caras, la base cuadrangular y cuatro triángulos laterales que confluyen en el vértice.

ap

Ejemplos 1. La apotema de una pirámide cuadrangular regular mide 12 cm y su arista básica 10 cm. ¿Cuánto mide la altura de la pirámide? Datos: ap=12 cm

Tipos de pirámide cuadrangular

Existen dos tipos de pirámide cuadrangular:

t

Pirámide cuadrangular regular: la base es un cuadrado y es recta (la recta perpendicular a la base que pasa por el vértice de la pirámide corta a la base por su centro). Las caras laterales son triángulos isósceles y congruentes entre sí.

t

Pirámide cuadrangular irregular: es aquella cuya base es un cuadrilátero (sin ser un cuadrado).

h

=10 cm

2

Solución:

Por el teorema de Pitágoras hallamos la medida de la altura mediante la expresión siguiente:  (ap) = (h) + ⎛⎜⎝ ⎞⎟⎠ 2 2

2

(12 cm)2 = h2 + ⎛⎜⎝

2

2

10 cm ⎞ 2 ⎛ 10 cm ⎞ 2 ⎟⎠ ↔ h = (12 cm) − ⎜⎝ ⎟ 2 2 ⎠

h2 = 144 cm2 − 25 cm2

2 2 2 h = 119 cm ↔ h = 119 cm = 10,90 cm



182

Respuesta: La altura de la pirámide mide 10,90 cm.

2

GEOMETRÍA

Matemática - EL MAESTRO EN CASA 2. Hallar la apotema de la pirámide regular cuadrangular, cuya arista lateral mide 8 dm y el perímetro de la base 24 dm. ¿Cuánto mide el área de la superficie de la pirámide?

Datos:

Importante: t

8 dm ap

3 dm

6 dm

t

La altura de la pirámide cuadrangular, la apotema de la pirámide y la mitad de la arista básica forman un triángulo rectángulo, siendo la hipotenusa la altura de una cara.

t

La altura de la pirámide, la arista lateral y la mitad de la diagonal de la base forman un triángulo rectángulo, siendo la hipotenusa la arista lateral.

6 dm

6 dm 6 dm



Solución:



AT = Ab + Al = l • (2 • ap + l)



Por el teorema de Pitágoras hallamos ap

(8 dm)2 = (ap )2 + ( 3 dm)2 (8 dm)2 = ( 3 dm)2 = (ap )2 64 dm2 − 9 dm2 = ap2

55 dm2 = ap2 55 dm2 = ap 7,41 dm = ap Para hallar el área de la superficie de la pirámide. A T = Ab + A = 6 dm• ( 2 • 7,41 dm + 6 dm) A T = 6 dm• (14,82 dm + 6 dm) A T = 6 dm• 20,82 dm



3. Calcular la altura y la superficie total de una pirámide de base cuadrangular de arista basal 12 cm y de arista lateral 20 cm.

A T = 124,92 dm

2

La arista lateral de la pirámide cuadrangular de una cara y la mitad de la arista básica forman un triángulo rectángulo, siendo la hipotenusa la arista lateral.

Datos: 20 cm

Respuesta: La apotema de la pirámide regular cuadrangular mide 7,41 dm, y el área de la superficie de la pirámide es de 124,92 dm2.

h

12 cm

183

12 cm

GEOMETRÍA

Matemática - EL MAESTRO EN CASA Cálculo de la altura h.

Trabajo indivudual 2 TRABAJO INDIVIDUAL 3

Debemos hallar la diagonal de la base de la pirámide, mediante el teorema de Pitágoras.

1. Anabelle y su hija quieren construir una tienda de campaña con forma de pirámide cuadrangular. ¿Qué cantidad de lona tiene que comprar si la apotema de la pirámide es de 3 m y un lado de la base mide 2,5 m?

d2 = (12 cm)2 + (12 cm)2 d2 = 144 cm2 + 144 cm2 d2 = 288 cm2 d = 288 cm2 d = 16,97 cm

Aplicando nuevamente el teorema de Pitágoras podemos hallar la altura de la pirámide.

20 cm

h

⎛ d⎞ (20 cm)2 = h2 + ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠ donde

d 2

2

d 16,97 cm = = 8,49 2 2

Respuesta:

2. Calcule el área total de una pirámide cuadrangular sabiendo que el lado de la base mide 6,0 dm, la altura de la pirámide mide 5,0 dm.

Respuesta:

3. La base de una pirámide regular es un cuadrado de 6 dm de lado. Su altura es de 4 dm. Halle su área total.

Cálculo de la superficie total AT. A T = Ab + A 

(

A T = 144 cm2 + 4 108,66 cm2

4 dm

2 ⎛ 12 cm x 18,11 cm ⎞ A T = (12 cm) + 4 ⎜ ⎟⎠ ⎝ 2

)

A T = 144 cm2 + 434,64 cm2

6 dm

A = 578,64 cm  T

2



Respuesta: La altura de la pirámide es 18,11 cm y la superficie total 578,64 cm2.

Respuesta:

184

GEOMETRÍA

Matemática - EL MAESTRO EN CASA 4.

Halla el área total de la siguiente pirámide cuadrangular.

6 dm

Una pirámide rectangular es un poliedro cuya superficie está formada por una base que es un rectángulo y caras laterales triangulares que confluyen en un vértice que se denomina ápice (o vértice de la pirámide).

m

Una pirámide rectangular está compuesta, por tanto, por 5 caras, la base rectangular y cuatro triángulos laterales que confluyen en el vértice.

3d

3 dm

C. UNA PIRÁMIDE RECTANGULAR

Respuesta:

Calcule el área lateral y total de una pirámide cuadrangular de 10 cm de arista básica y 12 cm de altura.

Elementos de la pirámide rectangular En una pirámide rectangular se pueden diferenciar los siguientes elementos:

V

ap

12 cm

5.

5 cm

C

10 cm

Respuesta:

h

a 6. En una pirámide cuadrangular regular cada arista lateral mide 15 cm y la arista de la base mide 18 cm. Calcule el área total de la pirámide.

t

t

Respuesta:

t

185

B

Base (B): es un rectángulo. Es la única cara que no toca al vértice de la pirámide. Caras (C): los triángulos de los laterales y la base. Los triángulos laterales son iguales dos a dos en las pirámides rectangulares rectas. Aristas (a): segmentos donde se encuentran dos caras de la pirámide. Podemos distinguir:

GEOMETRÍA

Matemática - EL MAESTRO EN CASA aristas laterales, que son las que llegan al vértice (o ápice) y aristas básicas, que están en la base. Las aristas básicas, al ser la base un rectángulo, son iguales dos a dos. t

t

Altura (h): distancia del plano de la base al vértice de la pirámide.

Área de la pirámide rectangular recta El cálculo del área de la pirámide rectangular puede calcularse sabiendo los lados diferentes de la base (a y b) y la altura de la pirámide (h). Su fórmula es:

Vértice de la pirámide (V): punto donde confluyen las caras laterales triangulares. También se llama ápice.

h

Tipos de pirámide rectangular

a

Existen dos tipos de pirámide rectangular: t

Pirámide rectangular recta: la pirámide es recta cuando todas sus caras laterales son triángulos isósceles. En este caso, la altura o recta perpendicular al plano de la base que pasa por el vértice (o ápice) de la pirámide corta a la base por el centro del rectángulo.

b

⎛ ⎜a • Área = a • b + 2 • ⎜ ⎜ ⎜⎝ Área = a • b + a •

h2 +

h2 + 2

b2 4

⎞ ⎛ a2 ⎞ 2 + b • h ⎟ ⎜ ⎟ 4 ⎟ ⎟ + 2 •⎜ 2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎟⎠ ⎟⎠

b2 a2 + b • h2 + 4 4

Donde a y b son las dos aristas diferentes de la base y h la altura de la pirámide. Ejemplos: 1. Calcule el área total de una pirámide cuya base es un rectángulo de lados 5 cm y 11 cm y cuya altura de la pirámide es de 8 cm. t

Pirámide rectangular oblicua: la pirámide es oblicua cuando no todos los triángulos laterales son isósceles y la altura o recta perpendicular al plano de la base no corta por el centro del rectángulo.



Solución:



Datos:

8 cm

5 cm



186

Área total = Ab + AL

11 cm

GEOMETRÍA

Matemática - EL MAESTRO EN CASA a) Cálculo del área de la base

t

Cálculo del área lateral con lado 11 cm

 

AB =  largo • ancho 





AB = 11 cm • 5 cm



AB = 55 cm2

Con el teorema de Pitágoras la apotema de la pirámide ap2 de la cara lateral de arista básica 11 cm.

ap2 8 cm

t

Cálculo del área lateral con lado 5 cm



Con el teorema de Pitágoras la apotema de la pirámide ap1 de la cara lateral de arista básica 5 cm.

h

2,5 cm apotema de la pirámide ap1

(ap 2 ) = (2,5 cm)2 + (8 cm)2 h

a 8 cm

p2

(ap 2 ) = 6,25 cm2 + 64 cm2 ap 2 = 70,25 cm2 ap 2 = 8,38 cm

5 cm

2,5 cm

11 cm



(ap1 ) = (5,5 cm) + (8 cm) 2

ap1

8 cm

2

2

A =

(ap1 )2 = 30,25 cm2 + 64 cm2 ap1 = 94,25 cm2



ap1 = 9,71cm



5,5 cm

 

2 92,18 = = 46,09 cm2 2

2

Son dos caras: 2 x 46,09 cm2 = 92,18 cm2

b) Cálculo del área lateral de la pirámide rectangular

El área de las dos caras con lado 5 cm A =



(base x altura ) = 11 cm x 8,38 cm

 



El área de las dos caras con lado 11 cm

(base x altura ) = 5 cm

2 48,55 = = 24,275 cm2 2

x 9,71 cm 2

Son dos caras: 2 x 24,275 cm2 = 48, 55 cm2



AL = caras de los triángulos con lado 5 cm + caras de los triángulos con lado 11 cm



AL = 48, 55 cm2 + 92,18 cm2



AL = 140,73 cm2

c) Ahora que tenemos el área lateral, podemos calcular el área total

187

GEOMETRÍA

Matemática - EL MAESTRO EN CASA AT  = AL + AB

(12 m)2 = (ap)2 + (5 m)2 ↔ (ap)2 = (12 m)2 − (5 m)2

AT = 140,73 cm2 + 55 cm2

(ap)2 = 144 m2 − 25 m2 (ap)2 = 119 m2

AT = 195,73 cm2

2.



Respuesta: El área total de la pirámide es de 195,73 cm2.

Calcule el área lateral total de (un silo para granos) una torre cúbica de 10 m de arista, que tiene un tejado en forma piramidal cuya arista lateral es 12 m. Solución:



Área lateral = base x altura son cuatro caras 2 de igual medida



Área del tejado en forma piramidal



⎛ base x altura ⎞ ⎛ 10 m x 10,91 m ⎞ = 4•⎜ = 4•⎜ ⎟ ⎟⎠ ⎝ ⎝ ⎠ 2 2

10 m





La figura consta de una parte cúbica de 10 m de arista y de un prisma cuadrangular de 10 m de arista básica y 12 m de arista lateral.



Área lateral de la parte cúbica es:



Acubo = 4 • (10 m)2 4 • 100 m2 = 400 m2



Para hallar el área lateral del tejado en forma piramidal, calculamos primero lo que mide la apotema de la pirámide ap de una de sus caras. h

12 m ap

Área del tejado en forma piramidal

= 4•

109,1 m2 = 4 • 54,55 m2 = 218,2 m2 2



Ahora hallamos el área lateral total del silo.



Área total = Área lateral total del prisma cuadrangular + Área lateral del tejado en forma de pirámide = 400 m2 + 218,2 m2 = 618,2 m2.



Respuesta. El área lateral total de silo es de 618.2 m2.

3. Calcule el área total de una pirámide cuya base es un rectángulo de lados 11 cm y 24 cm y cuya altura de la pirámide es de 17 cm.

ap

ap = 10,91m





12 m h

ap = 119 m2

Solución:

12 m

10 m

17 cm 10 m =5 m 2

ap = apotema de una de sus caras

188

11 cm

24 cm

GEOMETRÍA

Matemática - EL MAESTRO EN CASA

Área total = a • b + a • h2 +

b2 a2 + b • h2 + 4 4

Área total = (11 cm• 24 cm) + 11 cm•

2

(17 cm)

Área total = 264 cm2 + 11 cm• 289 cm2 +

2 24 cm) ( +

4

+ 24 cm•

2

(17 cm)

2 11 cm) ( +

4

576 cm 121 cm + 24 cm• 289 cm2 + 4 4 2

2

Área total = 264 cm2 + 11 cm•

289 cm2 + 144 cm2 + 24 cm• 289 cm2 + 30,25 cm2

Área total = 264 cm2 + 11 cm•

433 cm2

Área total = 264 cm2 + 11 cm• 20,81 cm

+ 24 cm •

319,25 cm2

+ 24 cm• 17,87 cm

Área total = 264 cm + 228,91 cm + 428,88 cm2 2

2

Área total = 921,79 cm2

Respuesta: El área total de la pirámide es 921, 79 cm2.

TRABAJO INDIVIDUAL 4 1. Calcule el área total de cada una de las siguientes pirámides rectangulares. a)

b)

13 cm

20 cm

6 cm

7 cm

19 cm Reppuesta b) _________________ d)

15 cm

Respuesta a) _________________ c) h=13 cm

h=110 cm

5 cm

a=100 cm

m

00 c

b=5

Respuesta d) _________________

d: diagonal=11 cm

Respuesta c) _________________

189

GEOMETRÍA

Matemática - EL MAESTRO EN CASA 2.

El sólido de la siguiente figura está formado por un prisma cuadrangular y una pirámide cuadrangular. ¿Cuál es el área total del sólido?

3m

5m

5m

Respuesta:

3. El sólido de la siguiente figura está formado por un prisma rectangular y una pirámide cuadrangular. La altura de la pirámide mide un tercio de la altura del prisma:¿Cuál es el área total del sólido?

42 m

14 m 14 m

Respuesta:

4. Calcule la superficie total de un inmueble formado por un prisma rectangular y de una pirámide cuadrangular de 2,5 m de altura.

2,5 m

h= 3 m

= 10 m

a= 5 m

Respuesta:

5. Halle el área total de las siguientes figuras: a)

b)

ap = 3 cm

ap = 3 cm

h = 15 cm

= 4 cm

= 4 cm

= 4 cm

=4

cm

h = 15 cm

c = 2 cm a = 5 cm

b = 6 cm

Respuesta a) _______________________

Respuesta b) _______________________

190

RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA

DISTRIBUCIÓN SEGÚN HABILIDADES Y CONOCIMIENTOS ÁREA 1: RELACIONES Y ÁLGEBRA CONOCIMIENTOS

HABILIDADES ESPECÍFICAS

Funciones

1. Identificar situaciones dadas que pueden ser expresadas algebraicamente en la forma y = ax2 + bc + c.

t

Función cuadrática

2. Representar tabular, algebraica y gráficamente una función cuadrática. Expresiones algebraicas t

Factorización

t

División de polinomios

t

Operaciones con expresiones algebraicas fraccionarias.

t

Racionalización.

Ecuaciones t

Ecuaciones de segundo grado con una incógnita -

Raíces

-

Discriminante

Funciones t

Función cuadrática

3.

Factorizar y simplificar expresiones algebraicas.

4.

Expresar x2 + px + q como (x + h)2 + k.

5.

Efectuar división de polinomios.

6.

Efectuar operaciones con expresiones algebraicas fraccionarias.

7.

Racionalizar el denominador o numerador de expresiones algebraicas.

8.

Plantear y resolver problemas utilizando ecuaciones de segundo grado con una incógnita.

9.

Resolver ecuaciones que se reducen a ecuaciones de segundo grado con una incógnita.

10. Trazar la gráfica de una función cuadrática cuyo criterio es y = ax2 + bx + c. 11. Analizar la influencia de los parámetros a, b, c en la gráfica de y = ax2 + bx + c, utilizando software. 12. Plantear y resolver problemas utilizando ecuaciones de segundo grado con incógnita.

191

RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA

192

RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA

Álgebra Así como la aritmética surgió de la necesidad que tenían los pueblos primitivos de medir el tiempo y de contar sus posesiones, el origen del álgebra es muy posterior puesto que debieron de transcurrir muchos siglos para que el hombre llegara al concepto abstracto de número que es el fundamento del álgebra. El gran desarrollo experimentado por el álgebra se debió sobre todo a los matemáticos árabes y, muy en particular, a Al – Hwarizmi (Siglo IX d.C.), que sentó las bases del álgebra tal como la conocemos hoy en día. El álgebra es la parte de las matemáticas que tienen por objeto generalizar todas las cuestiones que se pueden proponer sobre las cantidades. El concepto algebraico de cantidad es mucho más amplio que el aritmético, puesto que mientras en aritmética las cantidades se representan mediante números que expresan valores determinados, en álgebra las cantidades se representan mediante letras que pueden representar cualquier valor que se les asigne. Notación algebraica Los símbolos que se emplean en álgebra para representar cantidades pueden ser de dos tipos: números y letras. Donde, los números se emplean para representar cantidades conocidas y perfectamente determinadas. Las letras se utilizan para representar todo tipo de cantidades tanto conocidas como desconocidas. En general, las cantidades conocidas se representan utilizando las primeras letras del alfabeto: a, b, c, d…, mientras que las cantidades desconocidas se representan utilizando las últimas letras del alfabeto: x, y, z… Una misma letra puede representar distintos valores que se diferencian mediante el uso de comillas; por ejemplo a’, a’’, a’’’ que se leen a prima, a segunda, a tercera, o también por medio de subíndices: a1, a2, a3, que se leen a subuno, a subdos, a subtres. Consecuencia de la generalización que implica la representación de las cantidades por medio de letras son las fórmulas algebraicas. Una fórmula algebraica es la representación, por medio de letras, de una regla o de un principio general. Signos algebraicos de operación, de relación y de agrupación Con las cantidades algebraicas se efectúan las mismas operaciones que con las aritméticas, es decir: suma o adición, resta, multiplicación o producto, división, potenciación, radicación y en cursos posteriores la logaritmación, etc.

193

RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA Signos de operación t

En la suma se utiliza el signo (+). Así, por ejemplos x+y se leerá “equis más ye”.

t

En la resta se utiliza el signo (–). Así, por ejemplo x–y se leerá “equis menos ye”.

t

En la multiplicación se utiliza el símbolo multiplicado por (x) ó (×). Así, por ejemplo x x y = x × y se leerá “equis multiplicado por ye”.

El signo suele omitirse cuando los factores están indicados por letras o bien por letras y números. Por ejemplo x x y x z = x×y×z = xyz t

En la división se utiliza el signo dividido entre (:)(÷) ó (/). Así, por ejemplo x : y = x/y = x÷y y se leerá “equis dividido entre ye”.

t

En la potenciación se utiliza un superíndice denominado exponente que se sitúa arriba y a la derecha de una cantidad llamada base por sí misma. Así, por ejemplo x4= x×x×x×x… (4 veces) y se leerá “equis elevado a la ye”. En el caso de que una letra no lleve exponente se sobreentiende que el exponente es uno.

t

En la radicación se utiliza el signo radical (         ), debajo del cual se coloca la cantidad a la que se le extrae la raíz. Así, por x , se leerá “raíz cuadrada de equis”; 3 x “raíz cúbica de equis” y así sucesivamente.

Signos de relación Los signos de relación se utilizan para indicar la relación que hay entre dos cantidades. t

El signo = se lee igual a. x = y se leerá “equis igual a ye”.

t

El signo ≠ se lee diferente de. x ≠ y se leerá “equis diferente de ye”.

t

El signo > se lee mayor que. x > y se leerá “equis mayor que ye”.

t

El signo < se lee menor que. x < y se leerá “equis menor que ye”.

t

El signo ≥ se lee mayor que o igual.

t

El signo ≤ se lee menor que o igual.

Signos de agrupación Los signos de agrupación más utilizados son: los paréntesis ( ), los corchetes [ ] y las llaves { }. Los signos de agrupación indican que la operación encerrada en su interior debe efectuarse en primer lugar.

194

RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA

FUNCIONES Antes estudiamos un tipo especial de funciones, las funciones lineales; a partir de ahora, estudiaremos las funciones cuadráticas, las cuales son funciones polinómicas de grado 2.

El más recordado de los matemáticos árabes de esa época es Mohammed ibn Musa al Khwarizmi, quien escribió varios libros de Geografía, Astronomía y Matemáticas.

f(x) = ax2 + bx + c

En su tratado sobre Álgebra, al khwarizmi explica la manera de resolver ecuaciones cuadráticas de varios tipos. Tanto el planteamiento, como la solución de las ecuaciones era dado con palabras, pues no se utilizaban aún símbolos algebraicos como hoy en día.

Las ecuaciones de éste tipo de funciones ya las hemos utilizado anteriormente. En esta sección del libro Matemática Zapandí, además del estudio pormenorizado de esta función, conoceremos algo de la historia de la Matemática en la que se fundamentó su desarrollo. Los matemáticos árabes hicieron importantes contribuciones a la Matemática en la época llamada “la Edad de Oro” del mundo musulmán, entre el año 700 y el 1200 d.C. aproximadamente. Lograron preservar el legado matemático de los griegos, tradujeron y divulgaron los conocimientos matemáticos de la India y asimilando ambas corrientes, aportaron mucho al Álgebra y a la Trigonometría.

Fue mucho después, en el siglo XVI, cuando comenzaron introducirse los símbolos que hoy se utilizan en el planteamiento de ecuaciones. Uno de los matemáticos que mayor influencia tuvo en este cambio favorable para el desarrollo del Álgebra, fue Francois Viète (1540 - 1603). Con el uso de símbolos para expresar la incógnita y los coeficientes de una ecuación, se impulso enormemente el desarrollo del Álgebra, pues se facilitó el estudio de ecuaciones de grado 2, 3 y 4. Así como el desplazamiento de un ciclista que viaja a velocidad constante, a través del tiempo, se puede describir mediante una función lineal, existen otros fenómenos que se describen matemáticamente a través de las funciones cuadráticas. Estas son todas las funciones que tienen la forma siguiente: f(x) = ax2 + bx + c donde a, b y c (llamados términos) son números reales cualesquiera y a es distinto de cero (puede

195

RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA ser mayor o menor que cero, pero no igual que cero). El valor de b y de c sí puede ser cero. En la ecuación cuadrática cada uno de sus términos tiene un nombre. Así: ax2 es el término cuadrático bx es el término lineal c es el término independiente

f(0) = – 2(0)2 + 8(0) =0+0



=0

Para saber cuál es la altura (en metros, por ejemplo, en este caso) de la pelota en el instante en que ha transcurrido 1 segundo, se hace x = 1 y se calcula f(1) = – 2(1)2 + 8(1)

También se da el caso que se le llame trinomio cuadrático. Si hay un tema que podemos llamar "muy importante" en la Matemática, es el tema de las funciones cuadráticas. Tal como lo vimos en el tema funciones y en función lineal en el libro de Matemática Ujarrás, si no se dice lo contrario, suponemos, o convenimos, que estamos trabajando con todos los números reales.





=–2+8



=6

Y cuando han transcurrido 2 segundos: f(2) = – 2(2)2 + 8(2)

= – 8 + 16



= 8

También, podemos calcular cuando x = 3, x = 4 de igual manera. Es así como se puede construir la siguiente tabla de valores.

Por ejemplo Un ejemplo de un fenómeno que se puede describir a través de una función cuadrática, es el siguiente: Se lanza una pelota, desde el suelo, hacia arriba. Se quiere conocer la altura alcanzada por la pelota en cada segundo contando a partir del momento en que fue lanzada. La función que permite obtener la altura de la pelota en cada segundo, es una función cuadrática que depende de la inclinación con la cual se lanzó y de la fuerza que se le imprimió al lanzamiento, de acuerdo a ciertas leyes de la Física.



x f(x) 0 0 1 6 2 8 3 6 4 0 ↑ ↑ tiempo altura

De la anterior tabla de valores, se pueden inferir varias cosas acerca del fenómeno en cuestión: entre ellas: 1) La pelota vuelve a caer al suelo a los 4 segundos de haber sido lanzada.

Si se obtiene, en un caso específico, la función f(x) = – 2x2 + 8x.

2) La altura máxima la alcanza al haber transcurrido 2 segundos a partir de su lanzamiento.

Entonces, en el instante inicial (0 segundos transcurridos) la pelota está en el suelo, es decir, tiene altura igual a cero:

3) La velocidad de la pelota va disminuyendo desde que es lanzada hasta que llega a 8 metros de altura (a los 2 segundos de su lanzamiento).

196

RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA

Esta tabla de valores nos permite construir la siguiente gráfica así:

DATOS No de apartamentos alquilados Precio por apartamento (mensual) Beneficio total

ACTUAL

FUTURO x 7

52

52 −

266

266 + x

x  52 • 226 = 13 832  52 −  ( 266 + x ) = ____  7



Con las funciones cuadráticas podemos plantear y resolver problemas de este tipo.



En la columna datos tenemos los títulos (No de apartamentos alquilados), Precio por apartamento (mensual) y beneficio total.



En la columna actual, se tiene que el número de apartamentos alquilados son 52 a razón de 266 dólares y producen un beneficio mensual total de 52 multiplicado por 266, o sea, 13 832 dólares.



En la columna futuro se tiene la expresión x 52 − , por qué esto así, porque si se aumenta 7 7 dólares, se tiene que 52 menos “x” entre 7 es 52 menos 7 entre 7, que es lo mismo que, 52 menos 1 que es igual a 51. Pierde un inquilino, y le queda un apartamento sin alquiler.

Observe t

Entre los segundos 2 y 3, la pelota comienza a descender y recorre exactamente 2 metros. f(2) – f(3) = 8 – 6 = 2 metros

t

Entre los segundo 3 y 4 se vuelve a recorrer la distancia que recorrió en el primer segundo: f(3) – f(4) = 6 – 0 = 6 metros

Otros ejemplos 1. El propietario de un edificio tiene alquilado 52 apartamentos del mismo al valor en dólares de 266 al mes cada uno. Por cada 7 dólares que aumente el alquiler de cada piso pierde un inquilino y por lo tanto queda el correspondiente apartamento sin alquiler.

¿Cuál será el alquiler, que más beneficio le dé al propietario?



¿Cuál es la cantidad máxima que puede recibir el propietario?

La expresión 266 + x nos indica que los apartamentos a este momento tienen un precio de 266 más el incremento de 7 ó 14 o más. Y que el beneficio total del propietario se calcula x resolviendo  52 −  ( 266 + x ) = ____ .  7 2. La correspondencia mediante la cual a cada círculo de radio “r”, con r ∈ R+ se le hace corresponder su área A, es una función cuadrática, pues la imagen de cada elemento r ∈ R+ viene dada por A(r) = πr2.

197

RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA 3. Un agricultor tiene postes para construir 1000 metros de una cerca y un terreno muy grande. El área de la cerca con forma de rectángulo con dimensiones x metros y 500 – x metros puede describirse con una función.

El caso en cuestión refiere al uso de las funciones cuadráticas f(x) = ax2 + bx + c para indicar que a cada rectángulo con medidas x, 500 – x se le hace corresponder su área “y”, donde y = x(500 – x) = – x2 + 500x (m2: metros cuadrados).

4. En una región de África, considerada como reserva ecológica, un grupo de biólogos ha obtenido datos sobre la relación que hay entre el número de animales herbívoros y el número de animales depredadores, y los ha graficado.



Como los puntos de la gráfica tienen una disposición parabólica, se traza la parábola que mejor se ajuste a la serie de puntos. La curva corta al eje x en x = 50 y x = 150, de modo que estos valores de x deben ser soluciones de la ecuación f(x) = 0. Además el vértice (100,500)



Por lo tanto, la función que se ajusta a los datos obtenidos es: 1 f(x) = − x 2 + 40x − 1500 5



Muchas son las situaciones que se pueden presentar y resolver con las ecuaciones que representan las funciones cuadráticas.



La ecuación correspondiente a esta función es:

Ellos desean construir un modelo matemático que se ajuste a los datos que han obtenido. x 50 60 80 100 120 140 150

y = ax2 + bx + c (a ≠ 0), con a, b, c ∈ ℝ Son ejemplos de funciones cuadráticas:

y 0 180 420 500 420 180 0

y = 2x2 – 3x – 1

donde a = 2, b = – 3, c = – 1

y = – x2 + 3

donde a= – 1, b = 0, c = 3

y= y=

3 x2 + x – 5 donde a =

3 2 2 1 3 2 1 x − x+ donde a = , b = − ,  c = 8 5 2 8 5 2

y = x2

500



400

3 , b = 1, c = – 5

donde a = 1, b= 0, c = 0

El dominio de toda función cuadrática es el conjunto ℝ.

300

Representación gráfica de una función cuadrática

200 100 0 0

50

100

150

200

250

Cuando representamos en una gráfica "todos" los puntos (x, f(x)) de una función cuadrática, se obtiene una curva llamada parábola. Es decir, una

198

RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA

parábola es la representación gráfica de una función cuadrática. Por ejemplo.

Esta distinta orientación está definida por el valor (el signo) que tenga el término cuadrático (ax2): t

La figura determinada por un puente es una parábola o bien, es la figura determinada mediante una función cuadrática.

Si a > 0 (positivo) la parábola es cóncava o con puntas hacia arriba, como en 9 8 7 6 5 4 3 2 1

2m 7m -9

9.6 m

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

-1 -2 -3 -4

1

2

3

4

5

6

7

8

9

-5 -6 -7 -8

4.416 m

-9

Dicha parábola tendrá algunas características o elementos bien definidos dependiendo de los valores de la ecuación que la generan.

Si a < 0 (negativo) la parábola es convexa o con puntas hacia abajo, como en

t

Estas características o elementos son:

9 8 7

t

Orientación o concavidad (ramas o brazos)

t

Puntos de corte con el eje de abscisas (raíces)

t

Punto de corte con el eje de ordenadas

t

Eje de simetría

t

Vértice

6 5 4 3 2 1 -9

-1 -2 -3 -4

1

2

3

4

5

6

7

8

9

-5 -6 -7 -8

Orientación o concavidad Una primera característica es la orientación o concavidad de la parábola. Hablamos de parábola cóncava si sus ramas o brazos se orientan hacia arriba y hablamos de parábola convexa si sus ramas o brazos se orientan hacia abajo.

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

-9

Además, cuanto mayor sea (a) más cerrada es la parábola.

199

RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA Puntos de corte en el eje de las abscisas (raíces o soluciones) (eje de las X)

Otra característica o elemento de la parábola es su eje de simetría.

Otra característica o elemento fundamental para graficar una función cuadrática la dá el valor o los valores que adquiera x, los cuales deben calcularse.

El eje de simetría de una parábola es una recta vertical que divide simétricamente a la curva; es decir, intuitivamente la separa en dos partes congruentes. Se puede imaginar como un espejo que refleja la mitad de la parábola.

Ahora, para calcular las raíces (soluciones) de cualquier función cuadrática calculamos, f (x) = 0. Esto significa que las raíces (soluciones) de una función cuadrática son aquellos valores de x para los cuales la expresión vale 0; es decir, los valores de x tales que y = 0; que es lo mismo que f(x) = 0. Entonces hacemos, ax² + bx + c = 0 Las raíces o soluciones de la ecuación cuadrática nos indican los puntos de intersección de la parábola con el eje de las X (abscisas). Punto de corte en el eje de las ordenadas (eje de las Y) En el eje de ordenadas (Y) la primera coordenada es cero, por lo que el punto de corte en el eje de las ordenadas lo marca el valor de c (0, c). Eje de simetría o simetría Ramas de la parábola

Vértice Como podemos ver en el gráfico anterior, el vértice de la parábola es el punto de corte (o punto de intersección) del eje de simetría con la parábola. Para una función cuadrática y = ax2 + bx + c, −b la coordenada x del vértice es siempre . Como 2a el eje de simetría siempre pasa por el vértice, significa que el eje de simetría es una línea vertical −b x= . Cambiando los valores de a y b en la gráfica 2a siguiente se puede ver dónde están el vértice y la línea de simetría. Las gráficas de las funciones cuadráticas Como recordaremos cuando se estudio en el libro de Matemática Ujarrás para obtener la gráfica de la función y = – 2x + 5, por ejemplo, se procede a tabular, es decir, se dan valores a la variable independiente x y se busca (por medio de las operaciones indicadas) el valor de la variable dependiente y, como se ilustra a continuación. Función: y = – 2x + 5

Vértice

x

y

PUNTOS

2

1

B(2,1)

1

Eje de simetría

A(1,3)

y = –2(1) + 5 = –2 + 5 = 3 y = –2(3) + 5 = – 6 + 5 = – 1

y = –2(2) + 5 = 4 + 5 = 1

3

–1

C(3,1)

5

–5

E(5,– 5 y = –2(5) + 5 = – 10 + 5 = – 5

4

200

3

– 3 D(4,– 3) y = –2(4) + 5 = – 8 + 5 = – 3

RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA

Una vez que los valores se han tabulado, se procede a representarlos gráficamente. 7 6

Por ejemplo.

5 4

Represente gráficamente la función cuadrática dada por y = x2 – 6x + 9

A

3

Solución:

2 B

1 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 -1

lineales. Se dan valores a la variable independiente “x” y, resolviendo las operaciones indicadas, se van obteniendo los valores de la variable dependiente “y”.

1

2

1º Construimos una tabla semejante a esta: 3 4 C

5 6

7

x

y

PUNTOS

y = ax2 + bx + c

-2 -3 -4 -5

D E

-6

La gráfica de una función de primer grado se llama también función lineal porque su gráfica es siempre una línea recta. Generalizando, una función lineal o de primer grado es de la forma y = mx + b, donde m y b pueden tener valores positivos o negativos.

2º La completamos.

Con los números “x” que son cualquier valor real y los números “y” que son números que se obtienen al sustituir el valor de “x” en la ecuación de la función cuadrática y = ax2 + bx + c. Con estos valores se forman los puntos que corresponden a los pares ordenados (x, y) formados por los valores de “x” y sus correspondientes de “y”. Así.

Respecto de la función cuadrática o de segundo grado, ésta se caracteriza por tener el término x con exponente 2; ejemplos de esta función son: y = x2 + 5; y = – 3x2 + 1; y = 4x2 – 1; y = (x – 3)2, etcétera. Representación tabular y gráficamente de una función cuadrática PRIMER CASO: Para obtener la gráfica de la función cuadrática y = ax2 + bx + c, se procede primero a tabular, es decir, se construye una tabla semejante a la ya utilizada para construir gráficas de funciones

201

x

y

PUNTOS

y = x2 – 6x + 9

1

4

A(1,4)

y = (1)2 – 6(1) + 9 = 4

2

1

B(2,1)

y = (2)2 – 6(2) + 9 = 1

3

0

C(3,0)

y = (3)2 – 6(3) + 9 = 0

4

1

D(4,1)

y = (4)2 – 6(4) + 9 = 1

5

4

E(5,4)

y = (5)2 – 6(5) + 9 = 6

RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA 3º Una vez tabulados los valores, éstos se representan gráficamente de la siguiente manera: 7 6 5 4 2 A

B 1

En el eje de abscisas la segunda coordenada es cero, por lo que tendremos: ax² + bx +c = 0



Aquí hacemos uso de la ecuación: x=

3

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 -1



E

D

1

2. Puntos de corte con el eje OX.

2

3 4 C

5 6

−b ± b2 − 4ac 2a



donde tenemos que:



Resolviendo la ecuación podemos obtener:

7

t

Dos puntos de corte: (x1, 0) y (x2, 0) si b² – 4ac > 0

t

Un punto de corte: (x, 0) si b² – 4ac = 0

t

Ningún punto de corte si b² – 4ac < 0

-2 -3 -4 -5 -6



La utilidad de las funciones lineales y cuadráticas encuentra un campo fértil. En la ciencia y la técnica, justificando con ello, la dimensión que la herramienta matemática ha alcanzado en estas áreas.

Representación gráfica Podemos construir una parábola a partir de estos puntos: 1. Vértice



xv =

−b 2a

 −b  yv = f    2a 



En el eje de ordenadas la primera coordenada es cero, por lo que tendremos:



f(0) = a • 0² + b • 0 + c = c (0,c)

Por ejemplo: Representar la función f(x) = x² – 4x + 3

SEGUNDO CASO:



3. Punto de corte con el eje OY.

 −b  −b   v , f    2a  2a  

Por este punto pasa el eje de simetría de la parábola. −b La ecuación del eje de simetría es: x v = 2a

1. Vértice −b − ( −4 ) 4 xV = = = =2 2 (1) 2a 2 Para hallar el valor de yv sustituimos xv

yv = 2² – 4(2) + 3 = –1



El vértice es V(2, -1)

2. Puntos de corte en el eje de las abscisas (Raíces o soluciones) (eje de las X), eje OX.

202

Para hallar los puntos del eje de las X, hacemos uso de la expresión: x=

−b ± b2 − 4ac 2a

RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA



Como x² – 4x + 3 = 0, aquí tenemos que a = 1, b = – 4 y c = 3



Y como b2 – 4ac > 0, tiene dos puntos de corte en el eje de las abscisas, puesto que b2 – 4ac = 4.

Recuerde La gráfica de una función cuadrática es una curva con forma de U llamada parábola. Puede ser trazada dibujando soluciones de la ecuación, encontrando el vértice y usando el eje de simetría para graficar puntos seleccionados, o encontrando las raíces y el vértice.

4 ± 16 − 12 2 4+ 4 4+2 6 x1 = = = =3 2 2 2 4− 4 4−2 2 x2 = = = =1 2 2 2 x=



La forma estándar de una ecuación cuadrática es y = ax2 + bx + c. Esta forma nos permite encontrar fácilmente el vértice de la parábola y el eje de simetría usando la fórmula para la coordenada x del vértice, −b . x= 2a

Los puntos de corte con el eje de las abscisas son (3, 0), (1, 0).

3. Punto de corte con el eje OY

Este punto se halla sustituyendo en la ecuación de la función cuadrática y = x² – 4x + 3.



y = x² – 4x + 3



(0)2 – 4(0) + 3 = 0 – 0 + 3 = 3



El punto de corte con el eje de las ordenadas es (0, 3)

TRABAJO INDIVIDUAL 1

Gráfica:

6 5

A. Selección 1) A un cartón rectángular cuyos lados miden 4 cm y 5 cm se le ha recortado en cada esquina un cuadrado de lado x. De las siguientes expresiones algebraicas, ¿cuál permite calcular el área y del cartón sin las esquinas?

4 3 2

x

1 -1 0 -1

1

2

3

A) y = (5 – 2x)(4 – 2x)

4

B) y = (5 + 2x)(4 + 2x) C) y = 4x2 – 18x – 20

-2

D) y = – 4x2 – 18x + 20

203

RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA



De las siguientes expresiones. ¿Cuál permite calcular el área “y” a partir del valor “x”?



¿Cuál de las opciones corresponde a la gráfica asociada a la relación entre la altura que alcanza el balón y el tiempo? A)

10 Altura

2) Se desea construir una caja de metal, a partir de una lámina cuadrada de 2 m de lado. Para ello se recortan cuatro cuadrados de lado “x”, uno de cada esquina.

A) y = 4x2 – 8x – 4

5

B) y = 4x3 – 8x + 4x C) y = 4x2 – 8x + 4 B)

3) El ancho de un rectángulo es siete unidades menor que el largo y el área es igual a 588 m2, ¿cuál es la ecuación que representa correctamente esta situación?

Altura

0

D) y = 4x2 + 8x + 4

5 Tiempo

10

5

A) x(x – 7) = 588

0

-5

B) x – 7 + x = 588 C) x2 + 7x + 588 = 0

10

Tiempo

5

C)

D) x – 7x + 588 = 0

Altura

2

10

4) La tabla muestra la altura que va alcanzando un balón de fútbol después de ser despejado. Altura alcanzada por el balón (en metros)

0

0

1

5

2

8

3

9

4

8

5

5

0

-5

D)

Tiempo

15

Altura

Tiempo (en segundos

5

10

5

-5

204

0 5 Tiempo

5

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B. Resuelva cada uno de los problemas siguientes en forma ordenada. 1) Se tiene un cuadrado que tiene por lado x cm, ¿cuál es la expresión algebraica que permite determinar el área (A)? Medida de un lado del cuadrado

Área del cuadrado

2 cm

4 cm2

3 cm

9 cm2

5 cm

25 cm2

x cm

¿ ?

c) ¿Qué expresión algebraica permite obtener el total de saludos (y), si uno de los equipos tiene x cantidad de integrantes y otro tiene un jugador menos?

Respuesta:

4) Se tiene un rectángulo que tiene un perímetro de 30 m, el cual tiene un lado de longitud x metros. Escriban una expresión algebraica que represente la variación del área (y) en función de x. Respuesta:

Respuesta:

2) Si al cuadrado anterior, se le aumentan 2 cm en una de las dimensiones y 3 cm en la otra dimensión, ¿cuál es la expresión algebraica que determina el área (A) del rectángulo que se ha formado?

5) El parque de mi barrio está ubicado en un terreno cuadrado. Una parte cuadrada del terreno de 50 m por lado se ocupa como estacionamiento y el resto es la zona verde con un área de 14 400 m2.

Respuesta:

50 50

3) En la escuela se organizó un torneo de Voleibol. Antes de iniciar un partido entre dos equipos de 10 integrantes cada uno, los jugadores de cada equipo saludarán a todos los elementos del equipo contrario.

x

x

a) ¿Cuántos saludos se realizan en total? Respuesta:



b) Si uno de los equipos tiene nueve integrantes, ¿cuántos saludos se realizaran en total? Respuesta:

205

¿Cuál es la función cuadrática en función de “x” que nos permite identificar a la situación anterior?

Respuesta:

RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA 6) La altura que alcanza una pelota arrojada hacia arriba en función del tiempo se representa mediante la gráfica siguiente:

c) ¿En qué intervalo de tiempo la función crece y en cuál decrece? Respuesta:

Altura (m) 4 3

C. De acuerdo a la siguiente información indique la función cuadrática que resuelve cada uno de los problemas siguientes:

2 1 0 1

2

3

1) ¿Cuál es el área de un rectángulo cuya base mide x + 2 y su altura x - 2?

4 T (s)

Respuesta:

a) ¿Cuál es la variable independiente y cuál es la variable dependiente? Respuesta:

2) ¿Cuál es el área de un triángulo cuya base mide 2x + 1 y su altura 2x + 2?

b) ¿Cuál es la altura máxima y en qué tiempo ocurre? Respuesta:

206

Respuesta:

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FACTORIZACIÓN Si dos expresiones algebraicas (monomios, binomios, …, polinomios) se multiplican obtenemos como producto otra expresión algebraica (monomios, binomios, …, polinomios). A partir de este momento, estudiaremos varios procedimientos que nos permitirán determinar los factores de una expresión algebraica dada, cuando existan. Pero antes, recordemos algunos conceptos importantes: ❖

podemos realizar aplicando la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto de la suma, de la manera siguiente: ma + mb = m ( a + b ) En este caso se dice que hemos extraído el factor común m en la expresión ma + mb, ya que dicho factor aparece en cada uno de los términos de la expresión dada. En general tenemos que: Si en una expresión algebraica dada existe un factor que sea común a todos sus términos, ésta se puede descomponer en el producto de dicho factor común por el polinomio que resulta al dividir cada uno de los términos de la expresión dada por ese factor común.

Si dos expresiones algebraicas A y B se multiplican y su producto es C, cada una de las expresiones A y B se dice que es un factor o divisor de C. Ejemplos:

1. Puesto que 2 (x + 1) = 2x + 2, diremos que 2 y x + 1 son factores o divisores de 2x + 2. 2. Del mismo modo (x + 4)(x + 3) = x2 + 7x + 12. Luego (x + 4), (x + 3) son factores o divisores de x2 + 7x + 12. ❖

A menudo, resulta conveniente determinar los factores de una expresión algebraica dada. La operación que consiste en hallar estos factores se denomina factorización o descomposición en factores de la expresión.

Seguidamente estudiaremos algunos procedimientos para factorizar determinadas expresiones algebraicas.

Ejemplos de este tipo de factorización. a) Factorizar 4 + 8a = 4 (1 + 2a)

Solución:



Se puede observar que 4 y 8a contienen como factor común al 4. El otro factor estará formado por el cociente de (4 + 8a) ÷ 4 = 1 + 2a, ya que 4 ÷ 4 = 1; y 8a ÷ 4 = 2a.



Luego, tendremos que



4 + 8a = 4(1 + 2a)

b) Factorizar 6a2b – 9ab2 + 3ab = 3ab (2a – 3b + 1)

A. Factorización por factor común 1. Factor común monomio Por ejemplo, si queremos descomponer en factores o sea factorizar la expresión ma + mb, lo



Solución:



En este caso tenemos que existe un factor numérico y un factor literal.

207

RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA

Como factor numérico tenemos al número 3, puesto que este es divisor de 6, 9 y 3 a la vez. Además, como factor literal tenemos a las letras a y b con el exponente 1 , entonces el factor común es 3ab. Luego el trinomio se puede expresar 6a2b – 9ab2 + 3ab = 3ab( 2a – 3b +1), puesto que (6a2b) ÷ (3ab) = 2a (– 9ab ) ÷ (3ab) = –3b

Por lo tanto, 10b2 – 5b + 15b3 = 5b (2b + 1 + 3b2)



Se puede observar que el factor literal es el factor b.



Para encontrar el factor común numérico, tomamos los coeficientes 10, 5 y 15 y los simplificamos hasta saber cuál es el máximo común divisor entre ellos. Así procedemos: 15

2

1

3

Luego, dividimos el polinomio entre el factor común que tenemos:



10b2 = 2b 5b

15b 3 = 3b2 5b

25 2 30 2 xy − x y 9 21

Solución:



Los factores literales corresponden a los factores x e y comunes del polinomio.



Para encontrar el factor numérico de los co25 30  y  ; obtenemos primero el eficientes 9 21 factor común de los numeradores así:



Segundo obtenemos el factor común de los denominadores así: 9 21 3

3 7

5



5b =1 5b

= 5b (3b2 + 2b +1)

5 6

Solución:

5



25 30 5

3



10





(3ab) ÷ (3ab) = 1

c) Factorizar 10b – 5b + 15b



d) Factorizar

2

2





Juntando ambos factores, formamos una nueva fracción que va a ser el factor común, la misma tiene como numerador el factor común de los numeradores y como denominador el factor común de los denominadores, entonces tenemos que 5 5 6 25 2 30 2 xy − x y = xy y− x 21 3 3 7 9



Observe: el factor que posee paréntesis en el resultado de dividir cada uno de los términos del polinomio original entre 5 xy . 3 e) Factorizar x2y2 + x3y2 + xy

Solución:



El factor común es x e y…

208

RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA



x2 y 2 = xy; xy

x3y2 = x 2 y; xy

xy =1 xy



Por lo tanto:



x2y2 + x3y2 + xy = xy(xy + x2y + 1)

ACTIVIDAD 1 Factorice los siguientes polinomios utilizando el método del factor común. 1.

120a + 20b + 120 =

2 2 7 3 2 12. 42a b − 18a b + 30a b =

2.

9a 2 x − 18ax 2 =

13. −hk2 + 2hk + h2 =

3.

x2 + x 3 − x 4 =

14. m3 + mn2 − mn4 + m =

4.

ab2 − a 3b + ab =

15. a 3b2 + a 3b =

5.

4a 3 + 30a 2 − 50a =

6.

21c 4 + 7b2 c − 14b 3 =

7.

12xy 2 − 18y 3 x 2 + 16xy =

8.

b 3 c 2 − 21c 2 + 14bc 2 =

9.

16. 5ab +

17. 25x 2 y + 30xy 3 + 20x = 18. − x 2 y + y 3 − xy 4 − 4y =

112mn4 + 120m5n − 126m2n2 =

10. a 4b + a 2b 4 + a 5 + a 3b 3 = 11. 15y 2 + 20y 3 − 30y 4 + 40y 5 = 12. −hk2 + 2hk + h2 = 13. m3 + mn2 − mn4 + m = 14. a b + a b = 3

2

3

10 2 15 a b − b4 = 3 7

209

19.

25 15 2 10 3 xy − xy − x y= 9 9 9

20.

2 3 2 3 2 3 1 ab − a b − a= 20 5 15

21.

15 3 2 20 4 2 2 x y+ x y + 30x y = 2 3

RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA 2. Factor común polinomio



2a (m + 3) + m + 3 = 2a(m + 3) + (m + 3)









El factor común es (m + 3); por eso si:



2a(m + 3) 1(m + 3) = 2a   y    =1 (m + 3) (m + 3)

Cuando factorizamos por el método del Factor Común en algunos casos el factor común será un polinomio. Para estas situaciones se procederá de la siguiente manera:

a) Factorizar 4(x + y) – 7(x + y)

= 2a(m + 3) + 1(m + 3)



Solución:



tenemos como resultado que



Observando la expresión nos damos cuenta que los dos términos de la misma tienen de factor común el binomio (x + y); así entonces podemos realizar lo siguiente:



2a(m + 3) + m + 3 = (m + 3)(2a + 1)



(x + y) 4 =4 (x + y) 7

(x + y) =7 (x + y)

d) Factorizar 5x(2 + b) – 2 – b

Solución:



Vamos a acomodar esta expresión realizando los pasos siguientes:



5x(2 + b) – 2 – b =



5x(2 + b) – (2 + b) =



y tendremos entonces que



5x(2 + b) – 1(2 + b)



4(x + y) – 7(x + y) =





(4 – 7)(x + y) = – 3 (x + y)

Luego, tenemos que el factor común es (2 + b) y que 5x(2 + b) – 2 – b = (2 + b)(5x – 1)



Recuerde que:



– a – b = – (a + b) – a + b = – (a – b)



en ambos casos estas expresiones son producto del uso de la ley distributiva de la multiplicación con respecto de la suma.

b) Factorizar 2x(a – 1) – 3(a – 1)

El factor común es (a – 1)



Así entonces dividimos los términos entre este factor común y obtendremos



2x(a − 1) (a − 1) = 2x;   − 3 = − 3 (a − 1) (a − 1)



Entonces tendremos como resultado final:



Solución:



2x(a – 1) – 3(a – 1) = (a – 1)(2x – 3)



El factor común es (y + 2). Si dividimos cada término por este tenemos que:



(x − 5)(y + 2) =x−5 (y + 2)

e) Factorizar (x – 5)(y + 2) + 3(y + 2)

c) Descomponer: 2a(m + 3) + m + 3 Solución:

Esta expresión aunque en apariencia diferente a las demás se puede escribir así:



210

3(y + 2) =3 (y + 2)

Luego (x – 5)(y + 2) + 3(y + 2) = (y + 2)(x – 5 + 3) = (y + 2)(x – 2)

RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA

ACTIVIDAD 2 A. Factorice las siguientes expresiones. 1.

a(x + 1) + 8(x + 1)

9.

2.

− 5(2n + 3) + p(2n + 3)

10. x 2 + 1− b(x 2 + 1)

3.

2a(x − 3) − 11(x − 3)

11. x(m + 7) − m − 7

4.

2x(m – n) + 3(m – n)

12. 12(b + c) − b − c

5.

4(x + 5) + n(x + 5)

13. 2y(x + 2) − x − 2

6.

x(3 + 5y) + 3 + 5y

7.

m(1− x) + 1− x

8.

4x(m − 2) + m − 2

9.

1− x + 2a(1− x)

1− x + 2a(1− x)

14. − 3 − b + x( + b) 15. −2x − 3 + m(2x + 3)

10. Factorice: x 2 + 1− b(x 2 + 1) B.

f) –1 + 7x + 2a(1 – 7x)

11. x(m + 7) − m − 7 a) m(a – 9) + (a – 9)

g) x – 8 + x(x – 8)

12. 12(b + c) − b − c b) 3x (x – 2) – 2y(x – 2) 13. 2y(x + 2) − x − 2

h) – 5(2a + b + 3) – 2a – b – 3

c) a(n1+ 2) + n 1+ 2 14. − − b + x( + b) 3 3

i) (x – 6)(n + 1) – 3(n + 1)

d) – 1+ 3) 15. x(a −2x+−1)3 – a + m(2x

j) (x +1)(x – 2) + 3y(x – 2)

e) – x – 1 – 7y(x + 1)

k) (a + 3)(a + 1) – 4(a + 1)

211

RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA

B. Factorización de una diferencia de dos cuadrados

EJEMPLO 2

Una expresión algebraica cuyos términos sean dos cuadrados, uno de ellos con signo negativo, puede relacionarse inmediatamente con el producto notable correspondiente a la diferencia de dos cuadrados.



En efecto, esta expresión se puede descomponer fácilmente en factores buscando la raíz cuadrada de cada término y formando una nueva expresión que contenga la suma por la diferencia de tales raíces.

a2 – b2 = ( a + b)( a – b)

¿Es – 4x2 + 16 una diferencia de dos cuadrados? – 4x2 + 16 = 16 – 4x2

Lo escribimos en forma de diferencia.

16 = ( 4)2 y 4x2 = (2x)2

Los términos son cuadrados.

16 = 4 y

4x 2 = 2x

Poseen raíz cuadrada exacta.

Ya que hay un signo menos entre 16 y 4x2, tenemos una diferencia de dos cuadrados.

Identificación de la diferencia de dos cuadrados

Recuerde:

Para que una expresión sea la diferencia de dos cuadrados, se deben cumplir dos condiciones.

La diferencia de dos cuadrados se descompone en el producto de la suma por la diferencia de las bases de estos cuadrados, esto es, de las raíces cuadradas de estos.

1. Debe haber dos términos, ambos cuadrados para extraer la raíz cuadrada exacta. 2. Debe haber un signo menos entre los dos términos.

En símbolos:

Analicemos los siguientes casos:

a2 – b2 = (a + b)(a – b)

EJEMPLO 1

¿Es 16a2 – 49 la diferencia de dos cuadrados?



El primer término del binomio es un cuadrado 16a2 = (4a)2 entonces 16a 2 = (4a)2 = 4a



El segundo término del binomio es un cuadrado 49 = (7)2 entonces 49 = (7)2 = 7



Existe un signo menos entre ellos.



Entonces tenemos una diferencia de dos cuadrados.

Ejemplos A. Descomponer en factores a) x2 – 25

Solución:



Cómo x2 – 25 es una diferencia de cuadrados tal que x 2 = x;   25 = 5 . Entonces la descomposición o factorización es (x + 5)(x – 5)



Por tanto x2 – 25 = (x + 5)(x – 5)

212

RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA

b) 1 − 0,49a 2 4

Solución:



Como



a2 = 4

1 − 0,49a 2 es una diferencia de cua4 drados y como 1 1 1 = = además 0,49a 2 = (0,7a)2 = 0,7a 4 4 2



se tiene que



1 1 − 0,49a 2 = + 0,7a 2 4



1 − 0,7a 2

Solución:



Tenemos que 9a4 – 25 es una diferencia de

9a = (3a ) = 3a 2 2

2



Multiplicamos la suma de las raíces por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo (3a2 + 5)(3a2 – 5).



Por tanto 9a4 – 25 = (3a2 + 5)(3a2 – 5)

Como

m

am = am÷n = a n

Como –a8 + 1 = 1 – a8, el binomio es una diferencia de cuadrados y además 1=1

Multiplicamos la suma de las raíces cuadradas por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo (1 + a4)(1 – a4)



Pero observe, el segundo término de esta factorización (1 – a4) sigue siendo una diferencia de cuadrados perfectos, por lo que es necesario factorizado de nuevo:



1=1 4

a4 = a 2 = a2

2 2. a − 1 4 9



n



25 = 52 = 5

Solución:

1 3

a8 = a8 ÷ 2 = a4

cuadrados y además



9

=

3. – a8 + 1



1

a 2

Ejemplo :   x 6 = x 6 ÷ 2 = x 3

1. 9a4 – 25

4

4

=

Importante

B. Factorizar



1 = 9

a2



Así tenemos que (1 + a2)(1 – a2) = 1 – a4



Otra vez tenemos que el factor (1 – a2) también sigue siendo una diferencia de cuadrados, el cual se descompone como (1 + a)(1 – a); por tanto:



– a8 + 1 = 1 – a8 = (1 + a4)(1 + a2)(1 + a)(1 – a)

a2 1 es una diferencia de cuadrados y − 4 9

213

3.

1− 4m2

4.

16 − y 2

Matemática - EL MAESTRO EN CASA 5.

4x 2 − 9

RELACIONES Y ÁLGEBRA 4. (a + 5)2 – 9

Solución:



(a + 5)2 – 9 = ((a + 5) + 3)((a + 5) – 3)





= (a + 5 + 3)(a + 5 – 3)





= (a + 8)(a + 2)

6.

4x 2 − 81

7.

100 – m4

8.

25 − 4n2

9.

−16 + 4b2

1 − 9a 2 ACTIVIDAD 3 4 10.

a 2 16 − 11. A. Factorice las siguientes expresiones utilizando el método 36 de25la diferencia de cuadrados. 1.

n2 − 1

2.

x 2 − 25

3.

1− 4m2

4.

16 − y 2

5.

4x 2 − 9

6.

4x 2 − 81

7.

100 – m4

8.

25 − 4n2

9.

−16 + 4b2

1 10. − 9a 2 4 11.

a 2 16 − 36 25

12.

121 y 2 − 100 81 2

12.

121 y 2 − 100 81

13. 1−

a2 4

14. b2 −

1 4

15. 100 −

1 4 a 16

16. 64a 2 −

1 25

17. (7x + 1)2 − 81 18. (a + 4)2 − (a + 3)2 19. (3a + 6)2 − (4a − 5)2 20. (1+ 6c)2 − (− 1− c)2

214

RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA

B. Factorice.

❖

a) 162 – 9y2

_______ b) 16a2 – 9

c) 25x2 – 4

_______ d) 25m2 – 49 _______

e) 64y – 81

_______ f) –16 + a

4

12

_______

_______

g) 121a8 – 100 _______ h) 50a10 – 72 _______ i)

x4 – 1

k) 16 – y4

_______ j) 4x4 – 64

_______

_______ l) 5x4 – 80

_______

Si multiplicamos a y b y duplicamos el resultado, obtenemos el tercer término, 2ab, o su opuesto, – 2ab.

EJEMPLO 1 ¿Es x2 + 8x + 16 un trinomio cuadrado? Observe que este trinomio contiene dos términos cuadrados perfectos (x2 y 16), cuyas raíces cuadradas son x y 4 respectivamente. El doble producto de estas raíces es 2 • x • 4 = 8x que coincide con el término restante del trinomio. Como dicho término tiene signo positivo, entonces el trinomio se descompone en el cuadrado de una suma.

Trinomio cuadrado perfecto

Luego, resulta:

Cuando estudiamos los productos notables se observó que el cuadrado de un binomio es un trinomio, tales trinomios se llaman trinomios cuadrados perfectos.

x2 + 8x + 16 = (x + 4)2

Por ejemplo:

Por consiguiente, x2 + 8x + 16 es el cuadrado del binomio (x + 4). EJEMPLO 2

( x + 5)2 = x2 + 10x + 25

¿Es x2 + 6x + 11 un trinomio cuadrado?

( x – 5)2 = x2 – 10x + 25 Los trinomios x2 + 10x + 25 y x2 – 10x + 25 son trinomios cuadrados, porque son cuadrados de un binomio. Los siguientes puntos ayudan a identificar un trinomio cuadrado como a2 + 2ab + b2 ó 2 2 a – 2ab + b . ❖

❖

Dos de sus términos son cuadrados perfectos, a2 y b2. No debe de haber signo menos en a2 o en b2.

La respuesta es no porque sólo hay un término al cuadrado. ¿Cuál es? EJEMPLO 3 ¿Es 16a2 – 56a + 49 un trinomio cuadrado? Sí. ❖

Dos de sus términos son cuadrados perfectos.

16a2 = (4a)2 49 = (7)2

215

RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA

e) (y + 3)2 + 2(y + 3) + 1

❖

No hay signo menos antes de 16a2 ni de 49

❖

Si multiplicamos "4a y 7" y duplicamos el resultado, obtenemos el tercer término, 2 • 4a • 7 = 56a



Por consiguiente, 16a2 – 56a + 49 es (4a – 7b)2



(y + 3)



1



2 • (y + 3) • 1 ➠ El signo del término medio es positivo.

Luego (y + 3)2 + 2(y + 3) + 1 = (y + 3 + 1)2= (y + 4)2 f) (y – 2)2 – 2(y – 2) + 1

C. Factorización de trinomios cuadrados



(y – 2)



1

Para factorizar trinomios cuadrados podemos utilizar las relaciones siguientes.

2 • (y – 2) • 1 ➠ El signo del término medio es negativo. Luego (y – 2)2 – 2(y – 2) + 1 = (y – 2 – 1)2= (y – 3)2

a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 a2 – 2ab + b2 = (a – b)2

ACTIVIDAD 4

EJEMPLOS a) x2 + 6x + 9 = x2 + 2• x • 3 + 32 = ( x + 3 )2

x 3



2 • x • 3 ➠

El signo del término medio es positivo

b) 9a – 6a + 1 = (3a) – 2• 3a • 1 + 1 = (3a – 1) 2

2

2

2



3a

1



2 • 3a • 1 ➠ El signo del término medio es negativo.

c) 1 – 16x2 + 64x4 = 12 – 2 • 1 • 8x2 + (8x2)2

1 8x



2 • 1 • 8x2 ➠ El signo del término medio es negativo.



luego 1 – 16x2 + 64x4 = (1 – 8x2)

2

2

d) 27 + 72n + 48n2 = 3(9 + 24n + 16n2) = 3 (3 + 4n)2

A. ¿Cuáles de los siguientes son trinomios cuadrados perfectos? a) x2 + 8x + 16

b) x2 – 10x + 25

c) x2 – 12x + 4

d) 4x2 + 20x + 25

e) 9x2 – 14x + 16

f) 16x2 + 40x + 25

B. Factorice completamente cada trinomio. a) x2 + 16x + 64

b) x2 + 14x + 49

c) x2 – 2x + 1

d) 1 – 4y + 4y2

e) 2x2 – 4x + 2

f) x3 – 18x2 + 81x

g) 20x2 + 100x + 125

h) 5y4 +10y2 + 5

i)

9x10 + 12x5 + 4

j) 1– 2a3 + a6

k) 49(x + 1)2 – 42(x + 1) + 9

l) (x + 7)2 – 4x – 24

m) (a + 4)2 – 6a – 15

n) 4 – 4(1 – x) + (1 – x)2

216

RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA

D. Factorización completa combinando el factor común y los productos notables

e) 20x2 + 60x +45 = 5 (4x2 + 12x + 9)

Hagamos otros ejemplos.







2x







= 5 (2x + 3)2

Si los términos de la expresión tienen un factor común, primero sacamos el factor común. Luego continuamos con la factorización.

3

ACTIVIDAD 5

Factorizar. a) 49x4 – 9x6 = x4(49 – 9x2)



= x4 [ (7)2 – (3x)2]





= x4(7 + 3x)(7 – 3x) Sacamos el factor común x 4. Factoriza la diferencia de cuadrados.

A. Descomponga en factores. a) a2(a – 1) – 9(a – 1) = _________________ b) 4 (x + 2) – x2 (x+2) = _________________ 9 c) b2(b – 3) – (b – 3) = ________________

b) 18a2 – 50a6 = 2a2(9 – 25a4)



= 2a2[(3)2 – (5a2)2]





= 2a2(3 – 5a2)(3 + 5a2) Sacamos el factor común 2a2. Factoriza la diferencia de cuadrados.

c) 1 – 16x12 = (1)2 – (4x6)2



= (1 – 4x6)(1 + 4x6)





= [(1)2 – (2x3)2](1 + 4x6)





= (1 – 2x3)(1 + 2x3)(1 + 4x6)

d) 3x2 – 42x – 147 = 3 (x2 – 14x + 49)







x 7 = 3 (x – 7)2

d) 3(x + 3)2 – 27 = ___________________ e) 2(y – 5)2 – 72 = ___________________ f) 5(2y – 7)2 – 20 = _________________ g) 2x2 – 12x + 18 = _________________ h) 27x2 + 18x + 3 = _________________ i) 3x – 6x3 + 3x5 = _________________ j) (x + 2)2 + 3x(x + 2)2 = _________________ k) (2 – 3x)2 – (3x + 2)2 = _________________ l) (2 – 3x)2 – (3x + 2)2 = ___________________

217

RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA

B. Determinar el mayor factor común de cada polinomio. 1) 2a2 + 12a

2)

9b2 – 81b

3) 12c2 – 6

4)

9d2 + 27

5) e2 + 9

6)

2f2 – 7

7) 3x2 – 12x + 18

8)

18n2 – 27n + 9

9) 2x4 + 6x3 – 10x2

10)

9y5 – 66y4 + 3y3

1) 3x2 + 12y2

2)

18x2 – 12y

3) x2 + 7x

4)

3x2 – 21x3

5) 6x2 – 4x

6)

b3 + b2 + b

7) a2b + ab2

8)

15a2c – 3c

9) 25r2s – 10rs2

10)

–12x2 – 6x

C. Factorizar

D. Factorizar las siguientes expresiones 1) y (y – 1) + 2 (y – 1)

2) a (a – 8) + 9 (a – 8)

3) (4c + 5) x – (4c + 5)

4) (x + 1) (2x + 3) – (x + 1)

5) (x – y)2 + (x + y) (x – y)

6) 2m (m – n) – (m + n)(m – n)

7) (1 – 3c) + (1 – 3c)y2

8) – ( 1 –2y) – 8 (2y –1)

218

RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA

TRABAJO INDIVIDUAL 1 1. Encuentre el factor común, si existe alguno. a) 6a3 + 30a2; 9a3 + 27 a2 + 9a

Respuesta: _____________

b) 24a4 – 15a3 + 6a ; 16a4 + 24a3 – 48a2 – 32a

Respuesta: _____________

c) 12b6 – 480b4 ; 144b8 + 72b2

Respuesta: _____________

d) 27x5 – 81x2 + 9x ; 8x4 – 16x + 4

Respuesta: _____________

2. Halle el factor común en las siguientes expresiones.

a)

54a 4b 3 − 36a 3b 4

b)

30x 2 y − 24xy 2 + 18x 2 y 2

c)

28a 3b2 + 42a 4b2 − 56a 5b 3

d)

15a 2 x 2 − 3a 2 x 3 + 75a 2 x 4 − 9a 2 x 5

e)

12a 2b 3 − 30a 3b2 − 42a 4b + 18a 2b 4

f)

6xy + 6x + 6 + 6y

3. Halle el factor común y exprese como productos las expresiones siguientes: a) ab + ac =

____________

b) b2 – 2b =

____________

c) 3m – 3n =

____________

d) 2c + 8 =

____________

e) 2xy – 10x =

____________

f) 5y2 + 15y3 =

____________

219

RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA g) 8m2 – 12mn =

____________

h) 9a3x2 – 18ax3 =

____________

i) x3 + x2 + 2x =

____________

j) 4a2 – 8a + 2 =

____________

k) 2a2 + 4ab – 6ac =

____________

l) 6m3n2 – 12m2n + 3m =

____________

m) 9a5 – 6a2x + 3a3x2 =

____________

n) 6a2b3 – 9ab + 12b2 =

____________

4. Factorice las siguientes expresiones: a) 4a + 4b = b) x2 – xy = c) b2c2+ 3bc3 = d) 6x2 – 4xy = 2 2 2 e) 1b y − 1b y = 2 2

f) 24x + 28x3 – 56x4 =

5. Descomponga en factores. a) 4(a + 3) x – (a + 3) = _______

d) 3t(p – 6) + (p – 6) = _______

b) 2m(b – 5) + (b – 5) = _______

e) – 5(a – 10) + x(a – 10) – 2(a – 10) =_______

c) (2a – 1) – (2a – 1) 3q = _______

f) 7c (b2 + 1) + 3(b2 + 1) =_______

220

RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA

TRABAJO INDIVIDUAL 2 1. ¿Cuáles de los siguientes son trinomios cuadrados perfectos ? a) x2 – 14x + 49 _______________ f) x2 + 2x + 4 _______________ b) x2 – 16x + 64 _______________ g) 8x2 + 40x + 25 _______________ c) x2 + 16x – 64 _______________ h) 9x2 + 18x + 9 _______________ d) x2 –14x – 49 _______________ i) 36m2 – 24m + 16 _______________ e) x2 – 6x + 9 _______________ j) 16 – 56y + 49y2 _______________ 2. Transforme en productos los trinomios siguientes: a) x2 + 2x + 1

_______________

b) n2 – 2n + 1

_______________

c) a2 + 8a + 16

_______________

d) y2 – 12y + 36

_______________

e) m2 + 14m + 49

_______________

f)

g) 81 + 18p + p2

_______________

b2 – 3b + 9 _______________ 4 2 h) b – 10b + 25 _______________

i) a4 + 8a2 + 16 _______________ j) 1 – 1,6y + 0,64y2 _______________ 3. Factorice. Recuerde que primero hay que buscar un factor común. a) 2x2 – 4x + 2

_______________

e) 20x2 + 100x + 125

_______________

b) 2x2 – 40x + 200

_______________

f)

_______________

c) x3 – 18x2 + 81x

_______________

g) 5y4 + 10y2 + 5

d) x3 + 24x2 + 144x

_______________

h) 2a – 4a4 + 2a7 _______________

12x2 + 36x + 27

_______________

4. Determine si cada expresión es una diferencia de dos cuadrados. a) x2 – 4 _______________ e) x2 – 35 _______________ b) x2 – 36 _______________ f) x2 – 50 _______________

221

RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA

a)

24x 4 + 60x 3 − 18x 2

b) 45x11 + 60x 3 + 20x 5 c) x2 + 36 _______________ g) –25 + 16x2 _______________ 2 d) x2 + 4 _______________ h) –1 + 36x _______________ c) 4x 2 − 9

5. Factorice los siguientes polinomios.

d)

6x 6 − 96x 2

a)

24x 4 + 60x 3 − 18x 2

e)

12x 9 − 36x 6 + 27x 3

b)

45x11 + 60x 3 + 20x 5

f)

x 4 + 16 − 8x 2

c)

4x 2 − 9

g)

8x 4 − 84x 3 + 18x 2

d)

6x 6 − 96x 2

h)

18x 7 + 8x + 29x 4

e)

12x 9 − 36x 6 + 27x 3

6. Factorice. f) x 4 + 16 − 8x 2 a) 4x2 – 25

_______________

e) 64y4 – 81

g) 8x 4 − 84x 3 + 18x 2 b) 9a2 – 16

_______________

f) 36x – 49x3 _______________

2 c) 100x h) 18x 7 –+ 1 8x + 29x 4

_______________

g) 81y6 – 25y2 _______________

_______________

d) 16x6 – 25 _______________ h) 8x2 – 98y2 _______________

7. Factorice. Observe los ejemplos e y f de la página 216. a) ( y – 2 )2 + 2 ( y – 2 ) + 1 =

___________________

b) 4( x + 5 )2 + 20( x + 5 ) + 25 =

___________________

c) ( h + 7 )2 – 10 (h + 7) + 25 =

___________________

d) ( b + 4 )2 – 2( b + 4 ) + 1 =

___________________

e) 49( a + 1 )2 – 42( a + 1 ) + 9 =

___________________

222

RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA

Factorización de un trinomio que no es un cuadrado perfecto

C. Para x2 + 8x + 19, tenemos que a = 1, b = 8 y c = 19, luego el discriminante

Si tenemos un trinomio en el cual no pueden hallarse dos términos que correspondan, cada uno, a un cuadrado perfecto y un tercer término que corresponda al doble producto de las bases de los cuadrados perfectos, entonces el trinomio no será cuadrado perfecto y los métodos que se usan para factorizarlo son diferentes.





∆ = b2 – 4ac = (8)2 – 4 (1)(19)





= 64 – 76





∆ = –12

Para verificar si es factorizable un trinomio ax + bx + c, que no es cuadrado perfecto se obtiene lo que se ha dado por llamar el discriminante.

Como podemos observar los trinomios que no son cuadrados perfectos poseen un discriminante que puede ser negativo, igual a cero o bien mayor que cero. En consecuencia se tiene que:

2

Se llama discriminante del trinomio de segundo grado ax2 + bx + c, al número que resulta de calcular (b2 – 4ac) el cual se le simboliza con ∆ = b2 – 4ac, donde las letras a, b y c representan números reales fijos y ∆ la cuarta letra del alfabeto griego. Ejemplos. Calculemos el discriminante de los trinomios de segundo grado. Veamos. A. Para x2 + 7x + 12, se tiene que a = 1, b = 7, c = 12.

1. Si el trinomio ax2 + bx + c es tal que su discriminante es un número real menor que cero (negativo), se dice que en este caso que el trinomio no es factorizable en ℝ, es decir, es irreducible en ℝ. 2. Los trinomios que no son cuadrados perfectos, y su discriminante es mayor que cero o igual a cero, como por ejemplo: 4x2 + 12x + 9

tenemos que b2 – 4ac = (12)2 – 4(4)(9)





= 144 – 144





∆ = 0



La factorización se realiza variando los procedimientos anteriores.

Recuerde x2 = 1 • x2

Entonces ∆ = b2 – 4ac = (7)2 – 4(1)(12)





= 49 – 48





∆=1

A continuación estudiaremos el caso de trinomios que no son cuadrados perfectos pero que son trinomios de segundo grado con una sola variable y de la forma ax2 + bx + c.

B. En el caso x2 – x – 20 si a = 1, b = –1 y c = – 20, tenemos que



∆ = b2 – 4ac = (–1)2 – 4(1)(–20)





= 1 + 80





∆ = 81

Factorización por inspección Caso 1 Estudiaremos ahora, el caso en el que el trinomio ax2 + bx + c que no es un cuadrado perfecto, tiene discriminante positivo (mayor que cero) que

223

RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA se puede descomponer en la forma (x + p)(x + q) en donde las letras p y q representan reales fijos y además el coeficiente a, que multiplica a la variable cuando está elevado al cuadrado, es igual a 1.



x + p

x + 7

x + q

x2 + 3x

x2 + px

7x + 21

qx + pq

x2 + 10x + 21

x2 + (p + q) x + pq

Esta manera de multiplicar nos proporciona una forma general para factorizar situaciones semejantes. Nótese que los factores de x2 + 10x + 21 son (x + 3) y (x + 7) y los de x2 + (p + q) y (x + q). En general, un trinomio de la forma ax2 + bx + c se puede descomponer en factores, el primer término de cada factor es x, y los segundos términos p y q son dos números cuya suma es b y cuyo producto es c.

12, 1

13

3, 4

7



Por tanto x2 + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4)

2. Factorizar x2 – 8x + 12

En este caso tenemos que a = 1 y además posee un discriminante ∆ = 16. ¡Verifíquelo!



Sabemos que el trinomio se puede descomponer en la forma (x + _____)(x + _____)



Ahora buscaremos dos números cuyo producto es 12 y cuya suma es – 8. Como el coeficiente del término medio es negativo, necesitamos dos números negativos cuyo producto sea 12 y cuya suma sea – 8. Producto 12

Suma

– 2, – 6

–8

– 3, – 4

–7

– 1, – 12

Su producto es igual a c; p • q = c A. Veamos el ejemplo cuando el término constante es positivo. 1. Factorizar x2 + 7x + 12 En este trinomio a = 1 y el discriminante ∆ = 1, también como b = 7 y c = 12, el trinomio se puede expresar como x2 + 7x + 12 = (x + p)(x + q)

8

Los números que necesitamos son 3 y 4.

Su suma es igual a b; p + q = b



Suma



Es decir;



Producto 12 2, 6

Como recordarán para multiplicar (x + 3) por (x + 7) se resuelve de la manera siguiente: x + 3

A continuación buscamos dos números cuyo producto es 12 y cuya suma es 7.

– 13



Los números que necesitamos son – 2 y – 6.



Por tanto x2 – 8x + 12 = (x – 2)(x – 6)

3. Factorizar a2 + 7ab + 10b2

Para factorizar x2 + 7x + 12 como podemos apreciar el primer término de cada factor es x. (x + _____)(x + _____)

224

Ya sea a2 es el producto de a y a, b2 es el producto de b y b, buscamos dos binomios de la forma. (a + ___b)(a + ___b)

RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA





Buscamos dos números cuya suma es 7 y cuyo producto es 10. Producto 10

Suma

1, 10

11

2, 5

7

Los números que necesitamos son 2 y 5.

a2 + 7ab + 10b2 = (a + 2b)(a + 5b)

Algunas veces el término constante de un trinomio es negativo. En este caso, el término medio puede ser positivo o negativo.

1. Factorizar x2 – 8x – 20.

Encontrar dos números cuya suma sea – 8 y cuyo producto sea – 20. Producto – 20

Suma

– 1, 20

19

1, – 20

– 19

– 2, 10

8

2, – 10

–8

4, – 5

–1

– 4, 5

1

Suma

1, – 6

–5

– 1, 6

5

2, – 3

–1

– 2, 3

1



Los números que necesitamos son –2 y 3.



Luego a2 + ab – 6b2 = (a – 2b)(a + 3b)

B. Veamos ejemplos cuando el término constante es negativo.

Producto – 6

ACTIVIDAD 6 A. Obtener el discriminante de cada uno de los siguientes trinomios. 1. x2 + 5x + 6

6. x2 – 7x + 12

2. x2 + 6x + 5

7. x2 – 8x – 9

3. x2 + 10x + 24

8. x2 + 9x + 14

4. x2 – 6x – 16

9. x2 – 1

5. x2 + x – 6

10. x2 + 2x – 48

B. Factorizar. 1. x2 + 7x + 12

8. m2 + 8mm + 15n2



Los números que necesitamos son 2 y – 10.

2. x2 + 13x + 36

9. a2 + 5ab + 6b2



Por tanto x2 – 8x – 20 = (x + 2)(x – 10)

3. x2 – 8x + 15

10. p2 + 6pq + 8q2



También podemos considerar en este caso situaciones como la siguiente:

4. x2 – 7x + 12

11. a2 + 5ab – 14b2

5. x2 + 4x – 12

12. x2 – xy – 30y2

6. x2 – 21x – 100

13. 4x2 + 40x + 100

7. x2 – 21x – 72

14. 120y2 – 23xy + x2

2. Factorizar a2 + ab – 6b2.

Buscamos dos binomios de la forma (a__b)(a__b). Es decir, debemos encontrar dos números cuya suma sea 1 y cuyo producto sea – 6.

225

RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA

2. Factorizar 2x2 + 5x – 12

Supongamos que el coeficiente principal a de un trinomio no es 1. Consideremos la siguiente multiplicación.



Primeros términos: Encontrar dos números cuyo producto sea 2.



Últimos términos: Encontrar dos números cuyo producto sea – 12

(2x + 5)(3x + 4) = 6x2 + 8x + 15 + 20

= 6x2 + 23 x + 20

(2x + 3)(x – 4) (2x – 2)(x + 6) (2x – 1)(x + 12)

Factorizaciones posibles

Caso 2

Para factorizar los trinomios ax2 + bx + c como el hallado anteriormente buscamos los binomios (__x + ___)(__x + ___) donde los productos de los números que van en los espacios son como sigue.



1. Los números de primer espacio de cada binomio dan el producto a.

El producto exterior más el producto interior debe ser igual a 5x.



2x2 + 5x – 12 = (2x – 3)(x + 4)

3. Los productos exterior e interior dan la suma b.

3. Factorizar 8m2 + 8m – 6

8m2 + 8m – 6 = 2(4m2 + 4m – 3)



Primeros términos: Encontrar dos números cuyo producto sea 4.



Últimos términos: Encontrar dos números cuyo producto sea –3.

Ejemplos 1. Factorizar 3x2 + 5x + 2

Primero buscamos un factor común a todos los términos. No hay ninguno. Ahora buscamos dos números cuyo producto sea 3. 1, 3 ó – 1, –3



Ahora buscamos números cuyo producto sea 2.



1, 2 ó – 1, – 2



Ya que el último término del trinomio es positivo, los signos de los segundos términos deben ser iguales. Aquí tenemos algunas posibles factorizaciones.

(4m + 3)(m – 1) (4m – 3)(m + 1) (2m + 3)(2m – 1) (4m – 1)(m + 3) (4m + 1)(m – 3) (2m – 3)(2m + 1)

El producto exterior más el producto interior debe ser igual a 4m.



8m2 + 8m – 6 = 2(4m2 + 4m – 3)







(x + 1)(3x + 2) ó (x + 2)(3x + 1) Cuando multiplicamos, el primero término será 3x2 y el último será 2 en cada caso. Solo la primera multiplicación da el término de 5x. 3x2 + 5x + 2 = (x + 1)(3x + 2)

= 2(2m + 3)(2m –1)

ACTIVIDAD 7

(x – 1)(3x – 2) ó (x – 2)(3x – 1)

Factorizaciones posibles

2. Los números del último espacio de cada binomio dan el producto c.

(2x – 3)(x + 4) (2x + 2)(x – 6) (2x – 12)(x + 1)

Factorizar a) 6x2 + 7x + 2

b) 8x2 + 10x – 3

c) 6x2 – 41x – 7

d) 3x2 – 21x + 36

e) 8x2 – 2

f) 9a2 – 15a – 6

226

RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA

g) 2x2 + 4x – 6

h) 4a2 + 2a – 6

i) 6m2 + 15mn – 9n2

j) 20 + 6x – 2x2

k) 2x2 + x – 1

l) 30b2 – b – 20



De esta forma, sumando y restando 25 a la expresión original, se tiene



4x2 – 20x + 9 = 4x2 – 20x + 9 + 25 – 25





= (4x2 – 20x + 25) + (9 – 25)





= (4x2 – 20x + 25) + (–16)

Factorización por el método de completar cuadrados

Sumamos y restamos 25 para no alterar. Conmutamos al 9 con el 25.

Caso 1

Segundo producto notable a2 – 2ab + b2 = (a – b)2

Este método se utiliza en el caso de que el trinomio no es un cuadrado perfecto. Ejemplos



A. Consideremos el caso de 4x2 – 20x + 9. Aquí tenemos que (4x2) es un cuadrado perfecto cuya base es 2x, ya que

Factorizando el primer sumando (primer paréntesis) como un trinomio cuadrado perfecto se tiene



4x2 – 20x + 9 = (2x – 5)2 + (– 16)

(2x)2 = 4x2





= (2x – 5)2 – (16)





= (2x – 5)2 – (4)2



Como podemos observar, la última expresión del miembro de la derecha corresponde a una diferencia de cuadrados que, como hemos visto, se puede factorizar como la suma por la diferencia de las bases, las cuales en este caso son (2x – 5) y 4, por lo tanto,



4x2 – 20x + 9 = (2x – 5)2 – (4)2





= (2x – 5 + 4)(2x – 5 – 4)





= (2x – 1)(2x – 9)



Por lo tanto la factorización completa de



y por otra parte, (–20x) es un término que corresponde a un producto en el cual (2x) es un factor, ya que –20x = (2x)(–10)





Por lo tanto se conservan invariantes los términos (4x2) y (–20x) y debemos sumar y restar un término que sea un cuadrado perfecto y que unido a (4x2) y a (–20x) constituyan un trinomio cuadrado perfecto. Para obtener este término, se divide el sumando (–20x), por el doble de la base del cuadrado perfecto que se ha mantenido invariante:

4x2 – 20x + 9 = (2x – 1)(2x – 9)

−20x = −5 2(2x)

y el resultado de esta división elevado al cuadrado es el término buscado, esto es, (–5)2 = 25

B. Factorizar 9a2 + 12a – 5

227

Se mantiene invariante el cuadrado perfecto (9a2) y el término (12a).

RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA



Para calcular el término que se debe sumar y restar se tiene 12a =2 2(3a) Luego, como (2)2 = 4, el término a sumar y restar es 4,

9a2 + 12a – 5 = 9a2 + 12a – 5 + 4 – 4



= (9a2 + 12a + 4) + (–5 – 4)





= (9a2 + 12a + 4) + (– 9)





= (9a2 + 12a + 4) – (9)





= (3a + 2)2 – (3)2





= (3a + 2 + 3)(3a + 2 – 3)





= (3a + 5)(3a – 1)





d) y­2 + 4 y + _____ = _____ 3 e) x2 + 6x + _____ = _____

Siguiendo el mismo procedimiento anterior, tenemos que −5x −5 = 2(1x) 2 Como  −5  = 25 , el término a sumar y restar  2 4 25 es 4 25 25 2 x − 5x + 4 = x 2 − 5x + 4 + − 4 4 25 −25 = x 2 − 5x + + +4 4 4 2

2

5 9  = x−  −   2 4

5 3  5 3  = x− +  x− −     2 2 2 2

8 2   =  x −   x −  = (x − 1)(x − 4)    2 2

Por tanto x2 – 5x + 4 = (x – 1)(x – 4)

a) x2 + 14x + 49 = (x + 7)2

c) x2 + 5x + _____ = _____

Este no es un trinomio cuadrado perfecto, pues el término central debe ser –2(1x)(2) = – 4x. Observe que los términos extremos si son cuadrados perfectos, x2 = (x)2 y 4 = (2)2.

−25 + 16 5  = x−  +  4 2

A. Completar los cuadrados y dar el equivalente cuadrado de un binomio.

b) x2 – 20x + _____ = _____

C. Factorizar x2 – 5x + 4

ACTIVIDAD 8

f) x4 – 8x2 + _____ = _____ g) 25x2 – 10x + _____ = _____ h) x2 – 5x + _____ = _____

B. Factorizar utilizando el método de completar cuadrados. a) x2 – x – 6 = b) y2 – 8y + 15 = c) x2 + 5x – 14 = d) c2 + 5c – 24 = e) x2 – 3x – 28 = f) a2 + 12a + 35 = g) b2 – 7b + 10 = 5 1 h) a 2 − a + = 6 6

228

RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA

CASO 2

El coeficiente del término lineal (el 12) se divide entre dos y ese cociente se eleva al cuadrado.

Cuando no es posible factorizar el trinomio cuadrado perfecto se completa con la única finalidad de poder factorizar al trinomio resultante. Recordemos que al elevar un binomio al cuadrado se produce un trinomio cuadrado perfecto.

El resultado va a completar el trinomio para que sea un trinomio cuadrado perfecto. Para no modificar la expresión matemática, se suma y también se resta este número.

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 ó (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 Por lo que, al factorizar un trinomio cuadrado perfecto, obtenemos un binomio al cuadrado:

2

 12  2   = 6 = 36 2

x2 + 12x + 36 – 36 – 3 (x2 + 12x + 36) – 39

Para factorizar el trinomio cuadrado perfecto se obtiene la raíz del término cuadrático y del término independiente.

a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 ó a2 – 2ab + b2 = (a – b)2

x2 = x

36 = 6

Con la literal “x”, el número y el signo del término lineal del trinomio cuadrado perfecto se forma (x + 6)2 – 39 el binomio al cuadrado, que es la factorización de x2 + 12x – 3.

Lo que haremos a continuación será agregar el término independiente representado por “b2” para que, al estar completo el trinomio cuadrado perfecto, obtengamos una expresión semejante a la siguiente: a2 + px + q = (x + h)2 + k Para completar el trinomio cuadrado perfecto y así factorizarlos como binomios al cuadrado se realiza el siguiente procedimiento:

2 Expresar de la forma a2 + px + q = (x + h)2 + k el

Ejemplos

1

Expresar de la forma a2 + px + q = (x + h)2 + k el trinomio siguiente: x2 + 12x – 3



Recuerde que:



El término cuadrático es x2



El término lineal es +12x



El término independiente es – 3

trinomio siguiente: x2 – 8x + 4



Recuerde que:



El término cuadrático es x2



El término lineal es – 8x



El término independiente es +4

El coeficiente del término lineal (el 8) se divide entre dos y ese cociente se eleva al cuadrado.

229

2

 8 2   = 4 = 16 2

RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA El resultado va a completar el trinomio para que sea un trinomio cuadrado perfecto. Para no modificar la expresión matemática, se suma y también se resta este número.

Para factorizar el trinomio cuadrado perfecto se obtiene la raíz del término cuadrático y del término independiente.

x2 – 8x + 16 – 16 + 4 (x2 – 8x + 16) – 12

Para factorizar el trinomio cuadrado perfecto se obtiene la raíz del término cuadrático y del término independiente.

x2 = x

Con la literal “x”, el número y el signo del término lineal del trinomio cuadrado perfecto se forma el binomio al cuadrado, que es la factorización de x2 + x – 1.

16 = 4

Con la literal “x”, el número y el signo del término lineal del trinomio cuadrado perfecto se forma (x – 4)2 – 12 el binomio al cuadrado, que es la factorización de x2 – 8x + 4.

4

1 1 = 4 2

x2 = x

2

1 5   x +  − 2 4

Expresar de la forma a2 + px + q = (x + h)2 + k el trinomio siguiente: x2 – 3x + 8

Recuerde que: El término cuadrático es x2 El término lineal es – 3x

3

El término independiente es 8

Expresar de la forma, a2 + px + q = (x + h)2 + k el trinomio siguiente: x2 + x – 1



Recuerde que:



El término cuadrático es x2



El término lineal es + 1x



El término independiente es –1

El coeficiente del término lineal (el 1) se divide entre dos y ese cociente se eleva al cuadrado. El resultado va a completar el trinomio para que sea un trinomio cuadrado perfecto. Para no modificar la expresión matemática, se suma y también se resta este número.

El coeficiente del término lineal (el 3) se divide entre dos y ese cociente se eleva al cuadrado. El resultado va a completar el trinomio para que sea un trinomio cuadrado perfecto. Para no modificar la expresión matemática, se suma y también se resta este número.

2

12 1  1 = =   2 22 4 1 1  2  x + x +  − − 1 4 4

Para factorizar el trinomio cuadrado perfecto se obtiene la raíz del término cuadrático y del término independiente.

1 5  2  x + x +  − 4 4

230

2

32 9  3 = =   2 22 4

9 9  2  x − 3x +  − + 8 4 4 9  23  2  x − 3x +  + 4 4

x2 = x

9 3 = 4 2

RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA d) x2 – x + 5 =

Con la literal “x”, el número y el signo del término lineal del trinomio cua2 3 23  x − drado perfecto se forma   +  2 4 el binomio al cuadrado, que es la factorización de x2 + 12x – 3.

e) x2 – 5x – 1 = f) x2 + 11x + 11 =

ACTIVIDAD 9 Transforme cada uno de los siguientes trinomios en trinomios cuadrados perfectos a la forma: a(x – h)2 + k.

En el libro de Matemática 1 volveremos a considerar a esta forma de factorizar un trinomio debido a que completar el cuadrado es una herramienta útil cuando convertimos una ecuación cuadrática que está en la forma estándar de una ecuación cuadrática y = ax2 + bx + c a una que está en la forma vértice de una ecuación cuadrática, o y = a(x – h)2 + k. En la forma vértice, el punto (h, k) será el vértice, el cual es el punto más bajo de una parábola (si el valor de a es positivo y la parábola se abra hacia arriba) o el punto más alto (si el valor de a es negativo y la parábola se abre hacia abajo).

a) x2 + 8x – 1 = b) x2 – 6x + 2 = c) x2 + 10x + 10 =

231

RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA

DIVISIÓN DE POLINOMIOS Otra de las operaciones que se puede realizar con polinomios es la división, puesto que para realizar operaciones con polinomios se utilizan las propiedades de los números reales y además las leyes sobre las potencias ya utilizadas Matemática Ujarrás 2016. Muchas son las justificaciones que se pueden dar sobre el uso y desarrollo de esta operación; podemos decir, que su origen es netamente práctico, y que en la mayoría de los casos lo que se pretende es resolver una necesidad inmediata: un caso concreto. También veremos casos donde ya no son situaciones normales para nosotros, sino que su manejo nos va a permitir desarrollar destrezas matemáticas, otro de los objetivos de este libro Matemática Zapandí 2016.

Si m es igual que n am

a) 52 ÷ 52 =

52 25 = =1 52 25

b) a 2 ÷ a 2 =

a2 = a 2−2 = a 0 = 1 a2

3. Si el exponente del denominador es el mayor, el cociente será otra fracción de numerador 1 y denominador la base elevada a la diferencia de los exponentes. Si m es menor que n 1 am ÷ an = n − m a Ejemplos:

1. Si el exponente del numerador es mayor que el exponente del denominador se conserva la base y se le resta el menor de los exponentes al mayor.

a)

a2 1 1 = 6−2 = 4 6 a a a

b)

a2 1 1 = 4−2 = 2 4 a a a

Si m es mayor que n am ÷ an = am – n Ejemplos x7 = x 7−6 = x1 = x 6 x

b)

y12 ÷ y6 = y12 – 6 = y6

an = a0 = 1

Ejemplos:

Pero antes recordemos lo siguiente sobre la división de potencias.

a)

÷

Otras de las expresiones algebraicas que se pueden simplificar son los productos notables

2. Si los exponentes son iguales, se trata de la división de un número por sí mismo, el cociente valdrá 1.

232

a a ))

3 (a (a + + b) b)3 −1 2 = (a (a + + b) b)33 −1 = = (a (a + + b) b)2 = (a + b) (a + b)

b) b)

(7x + + 1) 1)44 (7x 4−2 2 = = (7x (7x + + 1) 1)4 − 2 = = (7x (7x + + 1) 1)2 2 2 (7x + (7x + 1) 1)

RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA

Tenga presente que la base se conserva y se restan los exponentes; en el caso de (a + b) el exponente es el número 1.

☞

c) Dividir – 5a4b3 entre – a2b8

Solución:

IMPORTANTE: En Álgebra la división se indica generalmente por la línea fraccionaria. b −5 =



Veamos otros ejemplos de división de polinomios, en este caso división de monomios entre monomios

1 b5



a) Dividir – 8(x3y)4 entre 2(x2y2)3

− 8(x 3 y)4  entre 2(x 2 y 2 )3 =

− 8(x 3 y)4 2(x 2 y 2 )3

d) Dividir – 20x2y­3 entre 4x6y7

− 8x12 y 4 = 2x 6 y 6 =

=

Solución: − 20x 2 y 3 ÷ 4x 6 y 7 = − 20x 2 y 3 = 4x 6 y 7

− 4 • 2 x12 − 6 2 y6 − 4

− 5x 2 − 6 y 3 − 7 =

− 4x 6 y2

− 5x −   4 y −   4 =

− 5 x4 y 4



Importante: v

v



Para dividir este tipo de monomios con paréntesis, aplicamos la ley de potencias: para elevar a potencia un producto: (ambn)x = am•xbn•x . − 4x 6 utilizamos y2 las leyes de signos estudiadas de división de potencias de igual base. Para obtener el cociente

b) Dividir 4a3b2 entre – 2ab

Solución: 4a 3b2 ÷ − 2ab 4a 3b2 = − 2ab − 2a 2b

233

Recuerde: Si dividen o simplifican el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor y a continuación se escriben las letras en orden alfabético, poniéndole a cada letra un exponente igual a la diferencia entre el exponente que tiene en el dividendo y el que tiene en el divisor. El signo estará dado por la ley de signos.

RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA

Así.

ACTIVIDAD 1

(12 + 9) ÷ 3 = 12 ÷ 3 + 9 ÷ 3 = 4 + 3 = 7 O así.

Efectúe las siguientes divisiones.

12 + 9 12 9 = + = 4+3=7 3 3 3

1.

(x x ) = __________ (x 4 )3

2.

3(x 2 y 3 )2 = __________ −18(xy)4

En general:

3.

−(a 2b 3 )4 = __________ 3ab 4

Donde x es un monomio distinto de cero.

2

3 4

Esto también se cumple en la división de los binomios por los monomios.

a+b a b = + x x x

Consideremos algunos ejemplos. 4.

5.

6.

Ejemplo 1

−(2m6n3 )5 = __________ 4(−3m2n3 )2

Dividir 15a3b2 – 9ab entre 3ab

−6(p2 q3 )2 = __________ 12p7 q2

15a 3b2 − 9ab = 3ab 15a 3b2 9ab − = 3ab 3ab

2(x 4 y 3 )2 = __________ −3(xy)5

5a 2b − 3

Ejemplo 2

I. División de un binomio por un monomio El cociente de un binomio por un monomio es la suma de los cocientes, que resultan de dividir cada uno de los términos del binomio por el monomio.



Dividir –81m4n8+108m8n4 entre –9m3n3



− 81m4n8 + 108m8n4 = − 9m3n3

Veamos cuál es la razón. Una forma de simplificar la expresión numérica (12 + 9) ÷ 3 es usar las propiedades conocidas.

234

− 81m4n8 108m8n4 + = − 9m3n3 − 9m3n3 9mn5 − 12m5n

RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA Ejemplos:

ACTIVIDAD 2

1. Dividir (3a3 – 6a2b + 9ab2) entre 3a

Determine los cocientes. 1.

3x 2 + 9x = ____________ 3x

2.

5y + 15 = ____________ 10

3.

35p m + 75p m = ____________ 5p2m 4

2

4.

35m q − 15m q = ____________ −5m3

5.

64a 2b 3 − 48a 4b 3 = ____________ − 4a 2b2

6.

5a 2b2 − a 2b2 = ____________ ab2

4

3



3

5

2. Dividir (6a8b8 – 3a6b6 – a2b3) ÷ 3a2b3

(6a b 8

2

7.

4a 2b 3 − 6a 2b5 = ____________ 24ab2

8.

− 2a 6b 3 − 16a 2b 3 = ____________ − 6ab

8

)

− 3a 6b6 − a 2b 3 ÷ 3a 2b 3 = 6a 8b8 − 3a 6b6 − a 2b 3 = 3a 2b 3 a 2b3 6a 8b8 3a 6b6 − − = 3a 2b 3 3a 2b 3 3a 2b 3 2a 6b5 − a 4b 3 −



1 3

ACTIVIDAD 3 Determine los cocientes de

II. División de un trinomio por un monomio Para dividir un trinomio por un monomio se dividen cada uno de los términos del trinomio por el monomio separando los cocientes parciales con sus propios signos, lo que representa la Ley Distributiva de la división.

235

1.

(x

2.

( 4x

3

+ 6x − 5   entre  2

3.

( 3a

3

− 5ab2 − 6a 2b 3   entre  −2a

4.

(x

− 4x 2 + x   entre  x

5.

( 4x

6.

(6m

3

3

)

+ 10x 2 − 8x   entre  −2x

)

)

)

8

3

)

− 10x 6 − 5x 4   entre  2x 3

)

− 8m2n + 20mn2   entre  − 2m

2.

( 4x

3

3.

( 3a

3

)

+ 6x − 5   entre  2

4.

) RELACIONES Y ÁLGEBRA - EL MAESTRO EN CASA 4x + x )  entre  x ( x − Matemática

5.

( 4x

6.

(6m

7.

(x

8.

( − 2m n

− 5ab2 − 6a 2b 3   entre  −2a

3

4

2

)

x2 – 1 x + 1 5. Se divide el primer térmi–x2 – x x–1 no del residuo parcial –x – 1 (–x – 1) por el primer término del divisor (x + 1); así (x ÷ –x = –1 2 x – 1 x + 1 6. Se multiplica este segun–x2 – x x–1 do término del cociente –x – 1 por el divisor; –(x + 1) –1(x + 1) = –x – 1. Luego 0 se resta del dividendo parcial. Observe que cada término del producto cambió a su opuesto. Debido a esto tenemos el residuo 0.

− 10x 6 − 5x 4   entre  2x 3

8

3

)

− 8m2n + 20mn2   entre  − 2m

)

− 5x 3 + 15x   entre  − 5x 2

3

)

− 14mn3 − 6mn   entre  −8mn

III. División de un binomio entre un binomio

Cuando estudiamos la operación división, nunca pensamos que llegaríamos a dividir otra cosa que no fueran "números". Casos semejantes a 37 ÷ 4 eran muy familiares.

De acuerdo al procedimiento anterior se tiene que dividir x2 – 1 entre x +1 es igual a x –1.

37 4 -36 9 1

Otro ejemplo

Es decir 37 = 9 • 4 + 1 Una situación similar se presente con los polinomios de una sola variable, tales como x2 – 1, x2 – 7x + 1 y muchos otros más. Dividir x – 1 entre x + 1 2

Solución x2 – 1 x + 1

Procedimiento 1. Se ordenan los binomios en forma descendente. 2 x ____ – 1 x + 1 2. Se deja el espacio para el término de grado 1 (x) 2 x _____– 1 x + 1 3. Se divide el primer térmi x no del dividendo por el primer término del divisor (x2 ÷ x = x). x2 – 1 x + 1 4. Se multiplica este primer –(x2 + x) x término del cociente por –x – 1 el binomio divisor; x(x+1) = x2 + x. Este resultado se resta del dividendo (x2 – 1).

Dividor (4x2 – 1) entre (2x + 3) Solución: Lo ordenamos descendentemente así obsérvese que hay que dejar el espacio para el polinomio ausente x en el binomio dividendo (4x2 – 1) 4x2 – 1 2x + 3 – (4x2 + 6x) 2x – 3 – 6x – 1 –(– 6x – 9) 8 1. Dividimos (4x2) ÷ (2x) = 2x. 2. Multiplicamos 2x(2x + 3) = 4x2 + 6x. 3. El resultado anterior lo restamos de (4x2 – 1). 4. Dividimos el primer término del residuo parcial (–6x – 1) por el primer término del divisor (2x + 3)

236

(– 6x) ÷ (2x) = – 3

RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA

5. Multiplicamos – 3(2x + 3) = – 6x – 9 y se lo restamos a – 6x –1.

Dividir (x2 – 5x + 7) por x + 1 Solución x2 – 5x + 7 x + 1

6. Obtenemos un residuo parcial 8.

Así entonces tenemos que dividir



4x2 – 1 entre 2x + 3 es igual al cociente 2x – 3 y un residuo 8

x2 – 5x + 7 x + 1 x

Observe – 6x – 1 es igual – 6x – 1 esto es – 6x – 1 –(– 6x – 9) + 6x + 9 + 6x + 9 0 + 8 8

Procedimiento 1. Se ordenan los poli­ no­mios en forma descen­dente. 2. Se divide el primer término del dividendo por el primer término del divisor (x2 ÷ x = x)

x2 – 5x + 7 x + 1 3. Se multiplica este primer término del –(x2 + x) x cociente por el poli – 6x + 7 nomio divisor; x (x+1) = x2 + x. Ese resultado se resta del dividendo (x2 – 5x + 7). x2 – 5x + 7 x + 1 4. Se divide el primer término del residuo – x2 – x x – 6 parcial por el primer – 6x + 7 término del divisor (– 6x ÷ x = – 6)

ACTIVIDAD 4 Divida. 1. (2 – 4b2) entre (1 + b) 2. (25 – 36x4) entre (5 – 6x2) 3. (1 – x2) entre (1 – x) 4. (2x2 – 18) entre (x + 3)

x2 – 5x + 7 x + 1 5. Se multiplica este segundo término del – x2 – x x – 6 cociente por el divisor; – 6x + 7 – 6 (x + 1) = – 6x – 6. + 6x + 6 Luego se resta del 13 dividendo parcial. Recuerde que cada término del producto cambia por su opuesto. Debido a esto tenemos el residuo 13.

5. (9 – x4) entre (3 – x2) 6. (10x2 – 6) entre (2x + 8) 7. (3x2 – 2) entre (x – 4) 8. (x2 – 9) entre (x + 5)

Observe que hemos transformado el polinomio.

IV. División de un trinomio por un binomio Anteriormente hemos dividido un binomio por un binomio, también podemos dividir un trinomio por un binomio. Consideremos los siguientes:

237

x2 – 5x + 7 = (x + 1) (x – 6) + 13 dividendo

divisor

cociente

residuo

RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA

orden de las potencias, y con sentido contrario u opuesto en el resutlado del producto..

Veamos otros ejemplos. 2. Dividir (x2 + x3 + 2) por 1 + x2

Para dividir dos polinomios ordenamos a ambos en forma descendente:



x3 + x2 + 2 por x2 + 1



Colocamos los polinomios ya ordenados en forma descendente, como lo hacemos para una división de números reales:



divisor

(x3 + x2 + 2) ÷ (x2 + 1) dividendo

Dividimos la potencia de mayor exponente del dividendo por la mayor potencia del divisor. Así: x3 ÷ x2 = x,

x3 + x2 + 0x + 2 – x3 – x x2 – x + 2 – x2 – 1

x2 + 1 x + 1

Restamos x2 + 1 de x2 – x + 2 x3 + x2 + 0x + 2 x2 + 1 – x3 – x x + 1 2 x – x + 2 cociente – x2 – 1 – x + 1 residuo

x3 + x2 + 2 x2 + 1 x

Recuerde:

Se multiplica este primer término del cociente por el polinomio divisor x(x2 + 1) = x3 + x

Dejamos de dividir cuando el grado del residuo (– x + 1) es menor que el grado de divisor (x2 + 1)

Restamos este resultado del dividendo:

Por lo tanto

x + x + 0x + 2 – x3 – x x2 – x + 2

x3 + x2 + 2 = (x2 + 1) (x + 1) + (– x + 1)

3

2

x + 1 x 2

dividendo

Repetimos el proceso, dividimos la potencia de mayor exponente del polinomio x2 – x + 2 por la potencia de mayor exponente del divisor x2 + 1, es decir: x2 ÷ x2 = 1. x3 + x2 + 0x + 2 – x3 – x x2 – x + 2

x2 + 1 x + 1

divisor cociente residuo

3. Vamos a dividir: (x3 – 2x – 35) ÷ (x + 5)

Colocamos los polinomios ordenados en potencias de mayor a menor:





x2 – 2x – 35 x + 5



Multiplicamos 1 • (x2 + 1) = x2 + 1 y colocamos este resultado debajo del dividendo, respetando el

238

Dividimos la potencia de mayor exponente del dividendo por la potencia de mayor exponente del divisor:

RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA



Así,

x2 – 2x – 35 x + 5 x





x2 ÷ x = x



Multiplicamos el resultado por el divisor: x (x + 5) = x2 + 5x



Colocamos este resultado debajo del dividendo, respetando el orden de las potencias y con signo opuesto al resultado del producto x (x + 5) = x2 + 5x esto es – x2 – 5x.



x2 – 2x – 35 x + 5



–(x2 + 5x)



Restamos este resultado del dividendo:



x2 – 2x – 35 x + 5 – x2 – 5x x – 7x – 35



Restamos: x2 – 2x – 35 x + 5 – x2 – 5x x – 7 – 7x – 35 cociente + 7x + 35 0

En este caso, hemos obtenido un residuo igual a cero. Decimos entonces que el polinomio x – 2x – 35 es divisible por el polinomio x + 5

x

2

Por lo tanto, tenemos que x2 – 2x – 3 = (x + 5)(x – 7)

Repetimos el proceso, dividimos la potencia de mayor exponente de –7x – 35 por la potencia de mayor exponente del divisor: –7x ÷ x = –7

residuo

División sintética A. División de un trinomio entre un binomio de la forma (x - a), siendo a un número real. 1. Analicemos la división siguiente:

x2 – 2x – 35 x + 5 –(x2 + 5x) x – 7 –7x – 35

Multiplicamos –7(x + 5) = –7x – 35 y colocamos este resultado respetando el orden de las potencias y con signo opuesto, 7x + 35.

x2 – 2x – 35 x + 5 – x2 + 5x x – 7 – 7x – 35 + 7x + 35



x2 – 5x + 7 x + 1



– x2 – x



– 6x + 7

x – 6



+ 6x + 6 13 Para resolver este tipo de divisiones se creó un método más rápido y sencillo donde se utiliza solo los coeficientes. En lugar de escribir todos los pasos, veamos el siguiente arreglo de números.

239

RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA coeficientes del dividendo

Siempre consideramos del binomio (x – a) el valor opuesto de a o bien lo podemos hacer así: x – a = 0 cuando x = a

1

– 5

7



– 1

6

1

– 6 13



1(–1) + –5

–1

2. Divida (5x2 + 2 + 7x) por (2 + x)

Antes de comenzar a dividir utilizando división sintética, ordenamos el polinomio dividendo 5x2 + 2 + 7x en la forma descendente, así 5x2 + 7x + 2. Lo mismo con el polinomio 2 + x = x + 2.



Utilizamos los coeficientes del dividendo y el valor opuesto del número constante del polinomio divisor.



De esta manera:







De donde podemos decir que (x2 – 5x + 7) ÷ (x + 1) = x – 6 con un residuo (r) de 13

–6 (–1) + 7

coeficiente residuo del cociente



Observe: a) El grado del cociente es un grado menor que el grado del dividendo. (x – 6)

7

2



– 10

6



5 – 3

8

El coeficiente del cociente es un grado menor: 5x – 3

c) Cada uno de los demás coeficientes del cociente se obtiene multiplicando el coeficiente anterior por el opuesto de "a" y sumando este producto al coeficiente siguiente del dividendo.

El residuo es el último número donde se encuentra ubicado el cociente. Residuo = 8 Entonces, 5x2 + 7x + 2 = (5x – 3)(x + 2) y un residuo 8.

1 (– 1) + — 5 = – 6 y – 6 (– 1) + 7 = 13

d) El residuo (13) es igual al producto del último coeficiente del cociente más el término constante del dividendo.

Recuerde Como el grado del residuo ha de ser inferior al del divisor que es 1, el residuo en estas divisiones es siempre un número real. Si al ordenar el polinomio en forma descendente falta un término, se completa este con un cero.

–2

Recuerde:

b) El primer coeficiente es igual al primer coeficiente del dividendo (1)



5

2. Divida (3x2 + 6x – 7) por (x – 1)

Utilizando los coeficientes del dividendo y el valor opuesto del número constante del polinomio divisor tenemos que:

3

6

–7

1

3 9

3

9

2



Cociente: 3x + 9



Residuo: 2



Entonces 3x2 + 6x – 7 = (3x + 9)(x – 1) + 2

240

RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA

B. División de un trinomio entre un binomio de la forma (ax + b) 1. Dividir 4x – 9x + 1 por 2x + 3 2



Solución:



Paso 1. Tomamos el divisor 2x + 3 y lo igualamos a cero; así: 2x + 3 = 0 2x = − 3 − 3  x = 2





Solución:



El divisor es (3x + 5); este lo igualamos a cero así: 3x + 5 = 0 3x = − 5 − 5 x = 3 Considerando los coeficientes del polinomio así: − 3

Consideramos los coeficientes del polinomio (trinomio) así: 4



2. Dividir – 3x2 + 4x + 15 entre (3x + 5)

4

– 9

1

− 12 =−6 2

45 2 47 2

− 15

4x – 15

−3 2



4

15

15 =5 3 − 3 9 – 3x + 9

− 45 3 0

− 5 3

Recuerde Los números –3 y 9, excluyendo el residuo 0; debe ser divido por coeficiente del divisor (x + 5); así;

Residuo

Importante

47 2 deben ser divididos por el coeficiente del divisor (2x + 3). Así tenemos que 4 = 2,  − 15 = − 15 , 2 2 2 por lo tanto, el cociente de (4x2 – 9x + 1) ÷ (2x + 3) 47 es c: 2x – 15 y el residuo 2 2

Por lo tanto al realizar la división sintética de – 3x2 + 4x + 15 entre 3x + 5 se obtiene como cociente: – x + 3 y residuo r: 0

Los números 4 y –15 excluyendo el residuo

ACTIVIDAD 5 Divida por división sintética.

Verifiquemos que:

a)

x 2 + 5x + 6 = x+2

15  47  4x 2 − 9x + 1 =   ( 2x + 3 )  2x −  +   2  2

b)

x 2 − 15x + 56 = x−7

c)

(n

d)

( 4 − 8n + 3n ) ÷ ( 3n − 2) =

e)

(x

=  4x 2 −

30 2

x + 6x −  

2

= 4x − 15x + 6x + 2

= 4x − 9x + 1

Residuo

2

45 2

+

47 2

2

241

2

)

− 7n − 9 ÷ (n + 1) = 2

2

)

− 7x + 5   entre  (x − 3) =

b) b)

x 2 − 15x + 56 x − 15x + 56 = = x−7 x−7

c) c)

− 9 ) ÷ (n + 1) = ((nn −−7n 7n − 9 ) ÷ (n + 1) = RELACIONES Y ÁLGEBRA 2 2

d) d)

Matemática - EL MAESTRO EN CASA + 3n ) ÷ ( 3n − 2 ) = ((44−−8n 8n + 3n ) ÷ ( 3n − 2 ) =

e) e)

+ 5 )  entre  (x − 3) = ((xx −−7x 7x + 5 )  entre  (x − 3) =

f) f)

− 3) = ((xx −−xx−−66))  entre  (x   entre  (x − 3) =

g) g)

+ 1)  entre  ( a + 2 ) = ((aa −−5a 5a + 1)  entre  ( a + 2 ) =

h) h)

− 7x + 1)  entre  ( x − 4 ) = ((2x 2x − 7x + 1)  entre  ( x − 4 ) =

i) i)

+ 5x + 1)  entre  ( 2x − 1) = ((3x 3x + 5x + 1)  entre  ( 2x − 1) =

j) j)

+ 8 − 7x )  entre  ( − 3 + 5x ) = ((10x 10x + 8 − 7x )  entre  ( − 3 + 5x ) =

k) k)

7x + x )  entre  ( 4x + 1) = ((11− 11− 7x + x )  entre  ( 4x + 1) =

l) l)

− 7x − 6 )  entre  ( 2x + 1) = ((2x 2x − 7x − 6 )  entre  ( 2x + 1) =

m) m)

− 29x + 1)  entre  ( 4x + 1) = ((7x 7x − 29x + 1)  entre  ( 4x + 1) =

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

División de un trinomio por un trinomio Como recordaremos dado un polinomio P(x) (polinomio dividendo) y otro D(x) ≠ 0 (polinomio divisor), siempre existen y son únicos otros dos polinomios C(x) (polinomio cociente) y R(x) (polinomio resto) tal que: P(x) = D(x) • C(x) + R(x) donde: grado R(x) < grado D(x) ó R(x) = 0. Es decir que si dividimos como con reales la notación simbólica representa esta división: P(x)

2 2

2 2

4 4

2 2

D(x)

R(x) C(x) La división de polinomios, en este caso un trinomio por un trinomio, en general se realiza de forma semejante a la de números de varias cifras, aunque las operaciones que realizamos rápidamente con los números, con los polinomios las vamos indicando. El proceso es el siguiente: 1. Dividir 4x3 – 3x2 + 3 entre x2 – x + 1

Así como puede observar, la división que usted conoce desde la primaria ha evolucionado grandemente, como también lo ha hecho la humanidad; es por eso que debemos ponerle atención para no quedarnos atrás en el conocimiento humano. Tengamos presente que el valor y utilidad que tuvo en su momento la división que conoció en primaria son los mismos que tiene en el presente esta forma de división.

Solución:



Observe: Con los polinomios dividendo y divisor ordenados de mayor a menor grado: t

242

Se divide el primer término del dividendo entre el primero del divisor, dando lugar al primer término del cociente.

RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA

t

t

t



Se multiplica dicho término por el divisor y se coloca debajo del dividendo con los signos contrarios, cuidando que debajo de cada término se coloque otro semejante

3. Dividir 6x3 – 16x2 – 8 entre 3x2 + x + 4 Solución: 6x3 – 16x2 – 8 ÷ 3x2 + x + 4

Se suman los polinomios colocados al efecto, obteniéndose un polinomio de grado menor al inicial.

x + 2x + 1 ÷ x + x + 1 2

x3 + 0x2 + 2x + 1

x2 + x + 1

– x – x – x

x+1

3

2





– x + x + 1



– x2 – x – 1

2



18x2 + 6x + 24





–2x – 16

Realice las siguientes divisiones:

2. Dividir x + 2x + 1 entre x + x + 1

3

2x + 6

ACTIVIDAD 6

2

Solución:

– 6x3 – 2x2 – 8x

Respuesta: C(x) = 2x – 6 y de resto R(x) = – 2x + 16

Respuesta: Como se ve se ha obtenido de cociente C(x) = 4x + 1 y de resto R(x) = – 3x + 2. 3

3x2 + x + 4

– 18x2 – 8x – 8

Se continua el proceso hasta que el resto ya no se pueda dividir entre el divisor por ser de menor grado. Normalmente se dividen polinomios con una sola variable (x) tanto en el dividendo como en el divisor.

6x3 – 16x2 – 8

a) (2x4 + 11x2 – 3) ÷ (3x3 – 5x + 3) = ___________

b) (4x3 + 8x – 4) ÷ (2x2 – 4x + 1) = ___________

2

c) (x3 – x2 – x) ÷ (x2 + x + 1) = ___________

0 Respuesta: C(x) = x + 1 y de resto R(x) = 0

d) (6x3 – 5x2 + x) ÷ (x2 – 2x – 1) = ___________

243

RELACIONES Y ÁLGEBRA

6 6 2 3 2 3 Matemática - EL MAESTRO EN CASA a) (2(−− 3a 7x)2b − a b )  entre  ( 3a b ) = ___________

a)

TRABAJO INDIVIDUAL 1

b) b) c)

1 Resuelva las siguientes divisiones. a)

( − 3a b

b)

( − 10m n

c)

5x 3 − 2x 2 + 6x = ___________ 3x 2

6

6

7

)

(

c)

)

d)

− a 2b 3   entre   3a 2b 3 = ___________ 4

d) + 12m3n8   entre   2m2 = ___________ e)

)

(

)

e) f)

− 7x 5 − 4x 4 + 3x 3 d) = ___________ 3x 2 2. Simplifique las expresiones siguientes: 6x 3 − 10x 2 + 8x = ___________ 2 (2 − 7x)2x a) = _________________ 4(2 − 7x) − 108a 7b6 − 14a 2b 3 + 2b6 f) = ___________ 2 6 (a 2b − 7b)2− a b b) = _________________ 2(a 2b − 7b)

f)

e)

g)

h)

_________________

=

4(2 − 7x)

( − 10m n 7

)

(

)

+ 12m3n8   entre   2m2 = ___________

4

(a 2b − 7b)2 = _________________ 2(a 2b3 − 7b)2 5x − 2x + 6x = ___________ 3x 2 (x 2 y 2 − 1)4 = _________________ 2 2 2 5(x− 7x y − 5 1) − 4x 4 + 3x 3 = ___________ 3x 2 −3(a 2 − b)4 = _________________ 2 4 5(a 6x 3−−b) 10x 2 + 8x = ___________ 2x ( x − y )3 = _________________ 4 7 6 2 3 6 4 (− 108a x − y ) b − 14a b + 2b = ___________ − a 2b6

(

− 4 a 2 − c

(

3 a2 − c

(

)

)

4

− 2 a 4b + 2

(a b + 2) 4

=

3

2

)

_________________

4

=

28x 2 y 2 = 7x

_________________

_________________

c)

(x 2 y 2 − 1)4 = 5(x 2 y 2 − 1)2

_________________

i)

d)

−3(a 2 − b)4 = 5(a 2 − b)4

_________________

j)

( 2x + 3y ) ( x + y ) = ( x + y ) ( 3x + 2y )

_________________

e)

( x − y )3 4 4(x − y )

=

_________________

k)

x 2 + 5x + 6 = x+3

_________________

(

)

f)

g)

− 4 a 2 − c

(

3 a2 − c

(

)

4

− 2 a 4b + 2

(a b + 2) 4

28x 2 y 2 h) = 7x

=

3

2

)

_________________

4

=

_________________

244 _________________

25 ( a + b )

(a + b )2

=

_________________

RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA

3. Divida por a cada binomio. a) ax + ay =

__________

b) 3a – 7 ab =

___________

c) a2y – 3a5 =

___________

4. Efectúe las siguientes divisiones: a) px2 + p por p

___________

b) 3ax2 – 8ax2 por a

___________

c) mp – 7m por m

___________

d) – ax + ay por a

__________



e) – ax + ay por – a

__________



f) am2 – 5a por a

__________

5. Efectúe las siguientes divisiones a)

c)

75a 5b 4 – 65a 3b 4 3

– 5a b

3

– 4b 2 – 6b + 8b 3 –2ab

= ________

b)

= ________

d)

– 81m 4n 8 + 108m 8n 4 – 9m 3n 3

= ________

– 9nx 3 + 15n 2 x 2 – 3n – 3n

6. ¿Cuál es el primer término del cociente de a)

x2 – 5x + 6 dividido por x – 3?

b)

x2 –5x + 6 dividido por x – 2?

c)

8m2 – 10m – 3 dividido por 4m + 1?

d)

8 – 10n – 3n2 dividido por 2 – 3n?

245

= ________

RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA 7. Divida por el método de la división sintética. a)

a2 + 3a + 2 por a + 1

___________

b) b2 + 5b + 4 por b + 1

___________

c)

c2 + 8c + 12 por c + 2

___________

d) x2 – 3x – 40 por x + 5

___________

e)

x2 + 4x + 4 entre x + 2

___________

f) (–9x2 + 3 + x) ÷ (x + 3)

___________

g)

12 + 5x − 2x 4−x

___________

D d 8. Divida por la forma r c r: residuo)

2 h) 7 − 9x + 8x ___________ 3x − 1

las siguientes expresiones (D: dividendo, d: divisor, c: cociente;

a)

23 − 11x 2 + 2x 3 = 2x − 3

___________

b) (3x2 – 7x + 2) ÷ (3x – 1) =

___________

c)

2x2 + 3x – 5 entre –2x – 5 = ___________

d) d2 – 5d – 24 entre d – 3 =

___________

e)

1 + c – 6c2 entre 1 + 3c =

9. Divida por la forma:

___________

las siguientes expresiones.

a) p3 – 8p – 3 divido por p2 + 5p – 2 b) p3 – 8p – 10 dividido por p2 + 2p + 1 c) x4 + 2x + 1 dividido por x2 + x + 3 d) 6x3 – x + 3 dividido por 3x2 + 2x + 4

246

RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA

EXPRESIONES ALGEBRAICAS FRACCIONARIAS Antes cuando estudiamos números racionales usamos fracciones de un tipo muy sencillo, aquellas cuyo numerador y denominador eran números enteros. En la antigüedad ya se empleaban estas fracciones sencillas: la palabra «fracción» procede del latín «fractus» que quiere decir «roto», «quebrado». Los romanos consideraban una fracción como un todo roto, tal como una parte de un bastón o de un pastel, los romanos, como los babilonios antes que ellos, dividían un todo, o unidad, en sesentavos y llamaban a estas partes «partes minutiae primae» que significa «partecitas primeras» y por una segunda división cada una de estas partes se subdividía en otras sesenta «partes minutiae secundae» o «segundas partecitas». Este dio origen con el tiempo a que un «minuto» fuera la sesentava parte de una hora o de un grado y el «segundo» la sesentava parte de un minuto o 1 3600 de hora o de grado.

Además. a 2 − 7 es una fracción algebraica racional donde el numerador es a2 – 7 y el 1 denominador es 1. No olvide que una constante es un polinomio de grado cero, con la excepción del 0. Las expresiones algebraicas racionales tienen las mismas propiedades que los números racionales. Por ejemplo consideremos las siguientes fracciones algebraicas.

También solían los romanos subdividir un todo en 12 partes llamadas cada una «uncial» de donde se derivan la palabra onza y la inglesa «inch» (pulgada). En el sistema inglés de medidas Troy, la libra está subdividida en 12 onzas.

Fracción algebraica racional Llamamos fracción algebraica racional a toda a expresión de la forma (a sobre b), donde a o b, b o ambos, son polinomios y además el denominador es un polinomio no nulo. x 2 + 3x − 10 Por ejemplo, 3x + 2 2 significa (x + 3x –10) ÷ (3x +2)

2 a22 a22 a2

“a” no debe ser 0. Esta observación nos indica que la expresión racional que corresponde al denominador debe estar definido para todos los números reales menos el cero; así ℝ – {0}

x x 4 “y” no debe ser – 4. Esta observación y+ x 4 nos indica que la expresión racional que y+ y + 4 corresponde al denominador debe estar definido para todos los números reales x + y menos el –4, así ℝ – {–4} xx + − y3 + y3 “x” no debe ser igual a 3. Esta observación x− x − 3 nos indica que la expresión racional que corresponde al denominador debe estar definido para todos los números reales menos el 3, así ℝ – {3} RECUERDE En adelante y salvo indicación en contrario supondremos que los valores de la variable o variables que aparezcan en un denominador son tales que no anulen dicho denominador.

247

RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA También, en una fracción algebraica, al igual que una fracción numérica, es posible multiplicar o dividir el numerador y el denominador por un mismo factor (diferente de cero), obteniéndose así una fracción equivalente a la fracción dada.

B)



En la práctica se presenta muchas veces la necesidad de simplificar fracciones algebraicas. Para ello debe tener presente que: Simplificar una fracción algebraica consiste en dividir el numerador y el denominador por un mismo factor que sea común a ambos.

2(b + 5) 4b + 20 C����������������������������������������� omo se puede observar, no se puede realizar directamente ninguna simplificación. Sin embargo podemos factorizar por factor común el denominador así: 4b + 20 = 4 (b + 5) 2(b + 5) 2(b + 5) 2 1 = = = 4b + 20 4(b + 5) 4 2

2 2 C) a − b a 2 + ab Aquí tampoco podemos simplificar directamente; por tanto procedemos previamente a descomponer en factores el numerador y el denominador. Debemos combinar los métodos de factorización: por producto notable y factor común.

a 2 – b2 = (a − b)(a + b) a 2 + ab = a(a + b)

Ejemplos Simplificar las fracciones algebraicas siguientes:

16x 2 y A) 2x 2 y 3 Para simplificar esta fracción algebraica, dividimos el numerador y el denominador por 2x2y (que es el mayor factor común a ambos). Luego resulta

D)

Recuerde

Luego tenemos

a 2 − b2 (a − b)(a + b) a − b = = a (a + b) a a 2 + ab

2x 2 − 3x − 2 x 2 + 3x − 10 Factorizando ambos trinomios tenemos por el método de inspección. 2x 2 − 3 − 2 (2x + 1)(x − 2) 2x + 1 = = x 2 + 3x − 10 (x + 5)(x − 2) x+5

Observe: El numerador y el denominador en la expresión racional o fracción algebraica

x−4 parecen 4−x

no tener ningún factor común diferente de 1. Sin embargo, ya que (x – 4) y (4 – x) son inversos aditivos, podemos reescribir uno de ellos como inverso del otro.

248

RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA

Así tenemos que para proceder a simplificar esta expresión hacemos

6) Sean A = 3x3 + 9x2 y B = x2 + 6x + 9

−1 (4 − x) x−4 = = −1 4 (4(4 x − x) −1 − x) x−4 = −1 = 1) (4 − x) 4−x Otros ejemplos semejantes a este. 3x − 6 3(x − 2) = 2) Se factoriza el numerador 2 −−x2) 2 −−x6 3(x 3x 2) = 2 – x = –(– 2 + x) = – 1(x – 2) 2−x 23(x − x− 2) = −1(x 2) 3(x −−2) = 3−1(x − 2) = −3 = −1 3 Simplificamos = = −3 −1

b) Halle el valor numérico de C cuando x = – 5

1)

3)

1− y 2 (1− y)(1+ y) = 2 y − 4y + 3 (y − 1) (y − 3) =

−1 (y − 1)(1+ y) (y − 1)(y − 3)

=

−1(1+ y) ( y − 3)

=

−1− y ( y − 3)

a) Calcule y simplifique

c) ¿Para qué valores de x (x ∈ ℝ) está definida la expresión C?

Solución



a)



3x 3 + 9x 2 3x 2 (x + 3) = x 2 + 6x + 9 (x + 3)(x + 3) =

3x 2 x+3



Combinamos métodos de factorización.



Observe: Como 2 = 0,4 x 5 tenemos que (5n + 2) = (5n + 0,4 x 5)

C=

A c) Los valores donde está definida C = B son todos ℝ – {– 3}

x −1 7. Por cual expresión debe amplificarse 2 5 para obtener como resultado x − 1 ? 5x + 5 Solución x2 − 1 Como se dice que el resultado es ; 5x + 5 Podemos aplicar la operación inversa de la amplificación (la simplificación) es proceso nos indicará la expresión para amplificar.

= 5 (n + 0,4)

249

RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA Veamos: x 2 − 1 (x − 1)(x + 1) = 5(x + 1) 5x + 5 =



x −1 5

Entonces, podemos decir que x + 1 es la expresión que amplifica a x − 1 para obtener x2 − 1 5 5(x + 1) Respuesta: Debe ampliarse por (x + 1)

g)

2a − 3 (a − 7)2

_________

h)

x+3 x(x + 2)

_________

i)

b +1 b2 − 9

_________

j)

3c c 2 − 7c − 18

_________

B) Simplifique tanto como sea posible:

x2 – 1 es una diferencia de cuadrados 5x + 5 = 5(x + 1) se factoriza por factor común.

ACTIVIDAD 1 A) Diga para qué valores están definidas las fracciones algebraicas siguientes.



250

RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA 22)

4c 2 + 7c − 15 = ____________ c 2 + 12c + 27

23)

3x 2 − 7x − 20 = ____________ 2x 2 − 5x − 12

24)

4y 2 + 20y + 25 = ____________ 2y 3 + 3y 2 − 5y

C. Sean A = 3a2 + 2a – 8 y B = 9a2 – 16. A 1) Calcular y simplificar C = B 2) Hallar el valor numérico de C cuando a = –4 3) ¿Para qué valores de a (a ∈ ℝ) está definida la expresión C? m+n 2 2 2 para obtener como resultado m − n ? 2m − 2n x+4 E. La expresión se obtiene al simplificar x −1 una fracción cuyo D. ¿Por cuál expresión debe amplificarse



numerador era x2 + 5x + 4. ¿Cuál era la fracción original? 2a − 3 se obtiene al simplificar 3a + 1 una fracción cuyo denominador era 6a2 + 11a + 3. ¿Cuál era la fracción original?

F. La expresión

Suma y resta de fracciones algebraicas Denominadores iguales Para sumar y restar fracciones algebraicas con denominadores iguales, sumamos o restamos los numeradores y escribimos la suma o diferencia sobre el denominador común.

251

RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA A. EJEMPLOS Sumar y simplificar. 1.

2.

4x 5x 4x + 5x + = 3 3 3 9x = 3 = 3x

Se escribe la suma sobre el denominador común.

2y 2 + 4y − 3 y 2 − 2y − 12 2y 2 + 4y − 3 − (y 2 − 2y − 12) − = y+3 y+3 y+3

Sumamos los términos semejantes del numerador.

=

2y 2 + 4y − 3 − y 2 + 2y + 12 y+3

Simplificamos

=

y 2 + 6y + 9 y+3

=

(y + 3)(y + 3) (y + 3)

6a 2 4a 2 6a 2 + 4a 2 + = a+2 a+2 a+2 10a 2 = a+2

3.

2.

2x 2 + 3x − 7 x 2 + x − 8 2x2 + 3x − 7 + x2 + x − 8 + = 2x + 1 2x + 1 2x + 1 3x2 + 4x − 15 2x + 1 (x + 3)(3x − 5) = 2x + 1

=y+3 Podemos sumar o restar cualquier número de expresiones con denominadores comunes sumando o restando los numeradores y colocando el resultado sobre el denominador común.

=

Se factoriza para buscar posibles factores comunes.

ACTIVIDAD 2 Efectuar cada una de las operaciones indicadas.

B. EJEMPLOS. Restar y simplificar. 1.

3m m − 4 3m − (m − 4) − = m+2 m+2 m+2 3m − m + 4 = m+2 2m + 4 2(m + 2) = = m+2 (m + 2) =2

a)

3a 2a + = ____________ 5 5

b)

6m 8m + = ____________ 11 11

c)

7x 2x − = ____________ 10 10

d)

18xy 11xy − = ____________ 7 7

e)

4x + 3 3x + 4 + = ____________ x+2 x+2

f)

−6m m − 10 + = ____________ m−5 m−5

Los paréntesis son necesarios orque se debe restar el numerador completo. Simplificamos.

252

RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA EJEMPLOS 1. Encontrar el mcd de 8x2y2 y 12xy3 8x2y2 = 2 • 2 • 2 • x • x • y • y 12xy3 = 2 • 2 • 3 • x • y • y • y mcd = 2 • 2 • 2 • 3 • x • x • y • y • y = 24x2y3 2. Encontrar el mcd de x2 + 5x – 6 y x2 – 1 x2 + 5x – 6 = (x + 6)(x – 1) x2 – 1 = (x – 1)(x + 1) mcd = (x + 6)(x + 1)(x – 1) 3. Encontrar el mcd de x2 + 4 y x+1

Como estas expresiones no son factorizables, el mcd es su producto, (x2 + 4)(x + 1).

Suma con denominadores diferentes Para sumar expresiones racionales con denominadores diferentes,

Suma y resta de fracciones algebraicas Denominadores diferentes

Mínimo común denominador (mcd) Para sumar fracciones algebraicas racionales con denominadores diferentes, primero es necesario encontrar el mínimo común denominador de éstas.

1. Encontramos el mcm de los denominadores. 2. Escribimos cada expresión racional como una expresión equivalente con el (mcd). Para escribir una expresión equivalente, multiplicamos por una expresión equivalente a 1. 3. Sumamos los numeradores. Escribimos la suma sobre el (mcd). EJEMPLOS Sumar y simplificar. a)

Cómo encontrar el mínimo común denominador (mcd) Para encontrar el mcd de dos o más expresiones algebraicas, 1. Factorizamos cada expresión.

5x 2 7x 5x 2 7x + = + 12 2 • 2 • 2 2 • 2 • 3 8 =

5x 2 3 7x 2 • + • 2•2•3 2 2•2•2 3

=

15x 2 + 14x 24

=

2. Formamos el producto usando cada factor el mayor número de veces que aparece.

x(15x + 14) 24

El mcm de los denominadores es 2 • 2 • 2 • 3 = 24 2

Multiplicamos cada térnino por una forma del número 1 = 2 para obtener el mcd.

253

RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA b)

3

x +1

+

5

x −1

= = = = =

3

•

x −1

x +1 x −1

+

5

•

x +1

d) Resolver

x −1 x +1

3(x − 1) + 5(x + 1)

Solución

3x − 3 + 5x + 5

x x +1 3 x x + 1 3 + + = + + x − 1 x + 1 x2 − 1 x − 1 ( x + 1) ( x − 1) ( x + 1)

(x + 1)(x − 1)

(x + 1)(x − 1) 8x + 2

=

x ( x − 1) 3 ( x + 1) x +1 + + ( x − 1) ( x + 1) ( x − 1) ( x + 1) ( x − 1) ( x + 1)

2(4x + 1)

=

3x + 3 + x2 − x + x + 1 ( x − 1) ( x + 1)

(x + 1)(x − 1) (x + 1)(x − 1)

=

El mcd es (x + 1)(x – 1)



Como el numerador y denominador no tienen factor común, diferente de 1, no podemos simplificar más. x −1 2x + 2 c) Resolver 2 x − 1 x − 2x + 1 Solución x −1 2x 1 2x + 2 = + 2 x − 1 x − 2x + 1 x + 1 ( x − 1)2 = =



3 x x +1 + + 2 x −1 x +1 x −1

=

=

( x + 1) ( x − 1)2

x2 + 3x + 4 ( x + 1) ( x − 1)

Resta con denominadores diferentes EJEMPLOS Restar y simplificar 1)

( x – 1)2 + 2x ( x + 1) ( x + 1) ( x – 1)2

x+2

x−4

−

x +1

x+4

= =

x 2 – 2x + 1+ 2x 2 + 2x

( x + 1) ( x − 1)

x2 − 2x + 1+ 2x2 + 2x

=

2

3x 2 + 1

=

( x + 1) ( x − 1)2

= Factorizamos cada uno de los denominadores x2 – 1 = (x + 1)(x – 1)

=

x2 – 2x + 1 = (x – 1)2 mcd = (x + 1)(x – 1)2

x+2

•

x+4

x−4 x+4

−

(x + 2)(x + 4)

(x − 4)(x + 4)

−

x +1 x − 4 • x+4 x−4 (x + 1)(x − 4)

(x + 4) (x − 4)

(x + 2)(x + 4) − [(x + 1)(x − 4)] (x + 4)(x − 4)

x 2 + 6x + 8 − (x 2 − 3x − 4) (x − 4)(x + 4)

x 2 + 6x + 8 − x 2 + 3x + 4 (x − 4)(x + 4)

9x + 12

(x − 4)(x + 4)

mcd = (x – 4)(x + 4) Restamos los numeradores.

254

RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA



3)

El mínimo común divisor es 4(n + 3)(n +3)

2x + 6 x+5 − 2 2 x − 3x x − 4x + 3

Solución:

Se factorizan los denominadores x2 – 3x = x(x – 3) x2 – 4x + 3 = (x – 3) (x – 1)

El mínimo común múltiplo ó sencillamente el mínimo denominador común es x (x – 3) (x – 1). Por lo tanto:



ACTIVIDAD 3

A. Encontrar el mínimo común múltiplo (mcm). 1. c2d, cd2 2. 2x2, 6xy 3. a – b, a + b 4. m – 6, m + 6 5. 3(a – 3), 6 (3 – a) Para sumar o restar fracciones algebraicas hay que obtener el común denominador. Después igual que con los números, basta sumar o restar los numeradores.

6. 4(b – 1), 8(1 – b) 7. x + 2, x – 2

255

f)

1

3

,

2

b + b − 6b

RELACIONES Y ÁLGEBRA

1

3

b − 6b

2

b

y

b−2

x

1

1

Matemática - EL MAESTRO EN CASA g) x 2 − 10x + 25 , x 2 − 25 y x 2 + 10x + 25 8. x + 3, x – 3

h)

9. x2 – 4, x2 + 5x + 6 10. x2 + 3x + 2, x2 – 4

i)

11. t3 + 4t2 + 4t, t2 – 4t 12. y3 – y2, y4 – y2

2

1

c +c

2

14. x2 – y2, x2 + 2xy + y2

1.

16. 2x2 + 5x + 2, 2x2 – x – 1

2.

B. Reduzca a común denominador.

3.

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

x+3

y

x

2x + 6

x2

y

x −1

5

4

1

x −x

2

,

1

,

x 2 − 10x + 25

c +c 1

,

v − 3v − 4

y

x + 2x + 1

2

1

v

2

x + 2

b + b − 6b

2

6.

2

1

3

x+2

y

v + 2v + 1

5.

4

y

x +x−2

2

x

x +x+2

1

2

4.

2

2

3

1

b − 6b

,

c

c + 2c + 1

1

,

x + 2x − 3

15. m2 – 5m + 6, m2 – 4m + 4

x+2

c

2

2

y

x−2

2

1

c −1

x − 4x + 3

y

x−3

x2 − 9

C. Sumar y simplificar.

13. a + 1, a2 – 1

a)

,

2

x

x 2 − 25

c + 2c + 1

y

x−2

7.

1

8.

x

b

y

9.

b−2

y

2

1

10.

x 2 + 10x + 25

1

c −1

256 x−3

a2 2

8y

10

4x

15 2

5

6a

+

5

8x

25

+

2

x−2 3

x +1 x+4 x

x−5

= _____________

= _____________

= _____________

x2

3

x

2y

5

x+y xy

= _____________

8

+

+

x

3a 2

+

7

8a +

+

+

+

+

= _____________

3x + y x 2y 3

x+2 2

3x

= _____________

= _____________

= _____________

x

x+4 x−5 x

= _____________

= _____________

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11.

Multiplicación de fracciones algebraicas

x 1 + 2 = _____________ x + 2x + 1 x + 5x + 4 2

Como vimos anteriormente, el producto de números racionales se calcula multiplicando los numeradores y los denominadores.

7 5 12. 2 + = _____________ a + a − 2 a 2 − 4a + 3

3 5 3 • 5 15 • = = 4 6 4 • 6 24

También multiplicamos fracciones algebraicas de la misma manera.

D. Restar y simplificar. 1.

2.

3.

5x + 3y 3x − 4y − = ____________ 2x 2 y xy 2

Ejemplos Efectuar las multiplicaciones siguientes y simplificar el producto.

3 5 − = ____________ x+5 x−5

a)

x 2 − = ____________ x 2 + 2x + 1 x 2 + 3x + 2

x 5 4. 2 − 2 = ____________ x + 11x + 30 x + 9x + 20

5a 3 2 5a 3 • 2 • = 4 5a 4 • 5a =

10a 3 20a

=

a2 2

Multiplicamos los numeradores y los denominadores Se simplifica



b) E. Determinar, entre las siguientes expresiones, las que son equivalentes.





15b 3a 3b • 2 3 10 6a b Solución: Tanto los numeradores como los denominadores monomios se multiplican como antes lo hicimos. Luego, procedemos a simplificar. 3a 3b 15b 3 • 15 • a 3 • b • b • 2 3 = 10 6a b 10 • 6 • a 2b 3 =

c)

257

= 18x 2 y x + y • = x 2 − y 2 6xy

45 a 3 b2 60 a 2b 3 3a 4b

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Solución: Aquí primeramente debemos factorizar la diferencia de cuadrados que aparece en el primer denominador y luego se simplifica la expresión. 18x 2 y (x + y) 3x 18x 2 y x + y • = • • 2 2 x −y 6xy (x + y)(x − y) 6xy x − y

ACTIVIDAD 4 Efectúe las multiplicaciones siguientes y simplifique tanto como sea posible

3x 2 − 11x + 10 2x • 2 = 2 8x x − 2x (3x − 5)(x − 2) 2x 3x − 5 • = 2 Solución: por ins8x 2 En este x(x −caso 2) se 4xfactoriza pección el numerador del primer factor y por factor común el denominador del segundo 3x 2 − 11x + 10 2x = d) factor. 2 • 2 8x x − 2x (3x − 5)(x − 2) 2x 3x − 5 • = 2 8x x(x − 2) 4x 2 d)



Otros ejemplos donde se combinan diferentes métodos de factorización es el siguiente



258

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División de fracciones algebraicas Podemos dividir fracciones algebraicas con el mismo procedimiento que utilizamos para dividir dos números racionales. Para dividir fracciones algebraicas, multiplicamos la primera expresión por el recíproco del divisor. EJEMPLOS. Dividir y simplificar. 1.

8n 5 3

÷

2n 2 9

= =

8n 5 3

•

9

Factorizamos e identificamos los factores comunes. Simplificamos

2n 2

72n 5 6n 2

= 12n 3

5.

Multiplicamos por el recíproco de divisor. Multiplicamos los numeradores y los denominadores. Simplificamos

2.

4

2

= =

2x + 8 x + 4 2x + 8 9 ÷ = • 3 9 3 x+4 (2x + 8)(9) = 3 (x + 4) =

4

(x + 2) (x + 2)  x + 2  x + 2  ÷   ÷   = 3 2 34 22 (x + 2) 81 4

81

4

•

(x + 2)

4

(x + 2)

2

2

2

Elevando a potencia una fracción algebráica

2(x + 4)(9) 3 (x + 4)

=6 Simplificamos utiliando división de potencias

Multiplicamos por el recíproco del divisor. Multiplicamos Factorizamos y simplificamos.

3.

(x + 2)4 = (x + 2)4 − 2 (x + 2)2

x +1 x +1 x +1 x + 3 ÷ = • x + 2 x + 3 x + 2 x +1 (x + 1)(x + 3) = (x + 2)(x + 1) =

x+3 x+2

6)



Multiplicamos por el recíproco del divisor. Multiplicamos y simplificamos.

259

x 2 ( x − 1) x 2 ( x − 1) x 2 − 9 x2 + x ÷ = • x 2 + 5x + 6 x 2 + 9 x 2 + 5x + 6 x 2 − x =

x 2 ( x − 1) • ( x − 3) ( x + 3) ( x + 3) ( x + 2 ) x ( x − 1)

=

x ( x − 3) x+2

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ACTIVIDAD 5 x2 + x 2x ÷ A. Hallar el resultado de x +1 x + 5 B. Hallar el resultado de

5x + 10 3x + 6 ÷ x2 − 1 x +1

C. Efectúe las siguientes divisiones y simplifique.

Operaciones combinadas con fracciones algebraicas A. Sin signos de agrupación 5u − 3 2 + u 4u − 5 − 2 + 2 Ejemplo 1. Resolver a 2u au au Solución



260

En esta expresión algebraica se tiene que los términos que la forman son fracciones “algebraicas” que se restan y se suman, ellas poseen el mismo denominador. Es claro que el resultado será una nueva fracción algebraica en donde el denominador será el mismo. (5u − 3) − (2 + u) + (4u − 5 5u − 3 − 2 − u + 4u − 5 = a 2u a 2u 8u − 10 = a 2u

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IMPORTANTE En este tipo de operaciones cuando tiene que eliminar paréntesis que le antecede el signo + no produce cambios en sus términos, por ejemplo en (5u – 3), en cambio, el términos (2 + u) le antecede el signo – por eso colocamos – 2 – u; en realidad, aplicamos la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto de la suma con el – 1. Por lo tanto 5u − 3 − 2 + u + 4u − 5 = 8u − 10 a 2u a 2u a 2u a 2u

Por lo tanto n n − 1 35n2 + n − 40 6n2 − 7 + − = n+2 3n + 6 6 6(n + 2)



2 Ejemplo 2. Resolver 6n − 7 + n − n − 1 n+2 3n + 6 6 Solución





En esta expresión algebraica se tiene que los términos que la forman son fracciones “alegebraicas” que se restan y se suman, ellas poseen un distinto denominador. Aquí debemos encontrar un mínimo común denominador (m.c.d) de (n + 2), (3n + 6) y 6 que es 6(n + 2).

Ejemplo 3. Resolver

Solución



En esta expresión algebraica se tiene que los términos que la forman son fracciones “algebraicas” que se restan y se suman, ellas poseen un distinto denominador. Aquí debemos encontrar un mínimo común denominador (m.c.d) de (x2 + x – 6), (x + 3) y (2x2 – 8); pero antes observe que (x2 + x – 6) = (x + 3)(x – 2). Con respecto de (x + 3) no hay nada que hacer. Por último, (2x2 – 8) = 2(x2 – 4) pero este es una diferencia de cuadrados, así que aplicamos el método de la factorización por diferencia de cuadrados; por esto se tiene (2x2 – 8) = 2(x2 – 4) = 2(x – 2)(x+ 2).



Así tenemos que el mínimo común divisor es:

Así:

Recuerde: Dividimos el mcd por cada denominador y luego el resultado lo multiplicamos por el numerador de cada uno.

4x 2 7x − 3 + − 2 x + x − 6 x + 3 2x − 8 2

(x2 + x – 6) (x + 3)(x – 2)

261

(x + 3) (x + 3)

m.c.d = 2(x + 3)(x – 2)(x + 2)

(2x2 – 8) 2(x – 2)(x + 2)

RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA

B. Con signos de agrupación

2x    1 + Ejemplo 1: Resolver   •  1− 1+ x 1− x 2   Solución

Entonces

1  x



Cuando resolvemos operaciones algebraicas con signos de agrupación, a saber, paréntesis redondos ( ), paréntesis cuadrados [ ] y paréntesis de llaves { }; se debe resolver cada paréntesis en orden de aparición. Aquí comen-



+ zamos con  y luego con  1− x   1+ x 1− x 2  al final colocamos los resultados simplificados completamente.



Comencemos con

 1



2x 

1



. 2x   1 2x  1 + +  =   2  1+ x 1− x   1+ x (1− x)(1+ x) 



Factorizamos por la fórmula de diferencia de cuadrados 1 – x2 = (1 – x)(1 + x).



El mínimo común denominador es (1 – x)(1 + x). (1 − x)(1 + x) 1+ x



(1 − x) (1) 1

1+ x

+

2x

1− x2

(1 − x)(1 + x)

= (1 − x )

= = =

(1 − x)(1 + x)

=1

(1) ( 2x ) (1 − x) (1) + (1) ( 2x ) (1 − x)(1 + x) 1 − x + 2x

(1 − x)(1 + x) 1+ x

(1 − x)(1 + x) 2x  1 1+ x + = 2  1+ x 1− x  (1− x)(1+ x)

Entonces se tiene que  Por lo tanto, 2 7x − 3 5x − 2x − 7 4x + − 2 = x + x − 6 x + 3 2x − 8 2(x + 3)(x − 2)(x + 2) 2



2

Sigamos resolviendo  1− 1  , mínimo común  x denominador es x por esto se tiene que 1−

262

1 x −1 = x x

RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA



Entonces tenemos que 2x    1 +   •  1− 1+ x 1− x 2  



1  x



x −1 1+ x (1+ x ) ( x − 1) • = (1− x)(1+ x) x x(1− x)(1+ x)

 x2   x Entonces tenemos que  − y  ÷  1+  = y  y    x2   x  (x − y)(x + y) y + x ÷  y − y  ÷  1+ y  = y y

− 1(1+ x ) (1− x ) = x(1− x)(1+ x)

− 1 = x



1 2x   1  − 1 Por lo tanto  + • 1−  = 2    1+ x 1− x   x x

=

(x − y)(x + y) y • y x+y

=

y (x − y)(x + y) y (x + y )

= (x – y ) Recuerde:

a c a d ÷ = • b d b c

 x2   x Ejemplo 2: Resolver  − y  ÷  1+  y  y   Solución



y+x=x+y

Cuando resolvemos operaciones algebraicas con signos de agrupación, a saber, paréntesis redondos ( ), paréntesis cuadrados [ ] y paréntesis de llaves { }; se debe resolver cada paréntesis en orden de aparición. Aquí  x2





 x2



Comcencemos con  − y  . Es claro que el  y  mínimo común denominador es “y”. Por esto  x2  x2 − y 2 se tiene que  − y  = . Y como el nuy  y  merador es una diferencia de cuadrados se x 2 − y 2 (x − y)(x + y) = y y  x Sigamos resolviendo  1+  , mínimo común  y  x2



tiene que  − y  =  y 



x

comenzamos con  − y  y luego con  1+   y  y  al final colocamos los resultados simplificados completamente.



Por lo tanto se tiene que  x2   x  y − y  ÷  1+ y  = ( x − y )

3  1   Ejemplo 3: Resolver  + 1 •  3x −   x −1   x Solución

 1



+ 1 y luego con Comenzaremos con   x − 1  3   3x −  al final colocamos los resultados 

x

simplificados completamente.

 1  + 1 . Es claro que el  x − 1 

Comencemos con 

mínimo común denominador es “x – 1”.

denominador es “y” por esto se tiene que  x y + x  1+ y  = y

263

Por esto se tiene que x  1  1+ (1) ( x − 1) (1+ x − 1) + 1 = = =  x −1  x −1 ( x − 1) x − 1

RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA 



3

B. Efecuar las siguientes operaciones.

)

x + 2   x2 − 9   x−2 a)  2 + 2 • = _____________  x − 4 x − x − 6   4x − 10 

Sigamos resolviendo  3x − , mínimo común  x denominador es “x” por esto se tiene que

(

2 3  3x 2 − 3 3 x − 1 3 ( x − 1) ( x + 1)  = =  3x –  = x x x x



b)

Entonces se tiene que 3 ( x − 1) ( x + 1) x 3  1   + 1 •  3x −  = •  x −1   x x x −1 =

x − 7  2x + 6 x + 3   x c)  2 • ÷ +   = _____________  x − 9 x − 7  x + 7 5 

3x(x – 1)(x + 1) x ( x − 1)

= 3(x + 1)



x−2  x+2 x2 − 9  + • = _____________ x 2 − 4  x 2 − x − 6 4x − 10 

Por lo tanto se tiene que

TRABAJO INDIVIDUAL 1

3  1   + 1 •  3x −  = 3(x + 1)  x –1   x

ACTIVIDAD 6 A. En las expresiones siguientes, efectúe las operaciones indicadas y simplifique: 1)

1 1− x 2 + − = _____________ x x 2 + 2x x + 1

2)

x 3 − + 2 = _____________ 2x − x − 1 1− 2x + x 2

3)

1 3 2 + 2 − = _____________ x + 4x + 3 x − 1 x + 3

4)

2 3 1 − + 2 = _____________ 9x − 6x + 1 x + 1 3x + 2x − 1

1. Los siguientes ejercicios corresponden a multiplicaciones y divisiones de expresiones fraccionarias. En ellos se sugiere factorizar, simplificar y finalmente, efectuar la operación indicada.

2

2

2

264

RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA

2. Para resolver ejercicios de suma o resta de expresiones fraccionarias es necesario saber determinar el mínimo común múltiplo de expresiones algebraicas. En cada uno de los tríos de números o de expresiones algebraicas se pide determinar el MCM correspondiente.

3. Los siguientes ejercicios corresponden a sumas o restas de expresiones fraccionarias. Determinar en cada uno el MCM de sus denominadores y efectuar la(s) operación(es) correspondiente(s).

1) 28, 49, 21 2) 4a3b2, 6a2b4, 8ab3 3) a2 – b2, a2 – 2ab + b2, 2a + 2b 4) x2 – 25, x2 – 2x – 35, x2 – 14x + 49 5) a – b, ab – b2, a2b – b2





265

RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA

RACIONALIZACIÓN DE DENOMINADORES Y NUMERADORES Cuando tenemos fracciones con radicales en el denominador conviene obtener fracciones equivalentes pero que no tengan radicales en el denominador. A este proceso es a lo que se llama racionalización de radicales de los denominadores. Según el tipo de radical o la forma de la expresión que aparece en el denominador, el proceso es diferente. Se pueden dar varios casos: Racionalización de un monomio A. Cuando el denominador es un términos radical de índice 2 y no tiene coeficiente, se multiplica el numerador y el denominador por el radical del denominador.

b

=

a b

b• b

=

a b = 2 b b

2 2

3

=

=

6

2 2

3

•

•

2

2 3

3

=

=

6• 2

2• 2 2• 3 3• 3

=

=

6 2 4

=

3

=1

B. Cuando el denominador es un término radical de índice 2 que tiene coeficiente racional, se procede de la manera siguiente: se multiplica el numerador y el denominador por el radical sin tomar en cuenta el coeficiente.

Este caso corresponde a los radicales de la a forma , aquí para racionalizar multiplic b camos numerador y denominador por b ; el cociente se deja igual. a

c b

=

a b

c b b

=

a b c b

2

=

a b a b = cb b•c

Racionalice el denominador de cada una de las siguientes expresiones.

1. Racionalice el denominador de cada una de las siguientes expresiones:

b)

2

3

= 1 ;   

EJEMPLOS:

a b

EJEMPLOS

6

Observe que en ambos, utilizamos el hecho de que la división de un número por si mismos es 1. 2

Este caso corresponde a los radicales de la a forma , aquí para racionalizar multiplicamos b numerador y denominador por b , así: a

a)



a)

5 2

=

3

5 2

•

2

2

=

3• 2

5 2• 2

multiplicamos por 1=

6 2 =3 2 2

6 = 3 9

3

b)

6



266

5x

a x

=

5x

a x

Observe

•

x

x

=

=

6 6 = 5 • 2 10

=

5x x 5 x = ax a

2

2

5x • x

a x• x

x • x = x 2 = x;  

5x 5 = ax a

RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA

c) Determine una expresión equivalente a

a

2 . 18

Solución:



Como 18 = 2 • 32 multiplicamos ambos términos; el numerador y el denominador por 2 para que el exponente del 2 se haga par, esto es 22.



Así pues, tenemos que: 2

18

=

2 2 2 • 32 • 2

=

2 2 2 2 • 32

=

bm

n



2 2 2 1 = = 2 3 2•3 3

ACTIVIDAD 1 Racionalizar el denominador.



=

a n

•

bm

n

bn− m

n

bn− m

=

a n bn− m n

bn

=

a n bn− m b

Observe:

Ejemplos:

Racionalice el denominador de cada una de las siguientes expresiones. 2

a)

3

2



Solución:



Se multiplican ambos términos de la fracción por

b)

3

22 y se efectúan las operaciones:

2



3 3 Solución:



Se multiplican ambos términos de la fracción

3

por 2

33 3 c)

3

=

32 y tenemos: 2 • 3 32

3 3 3 • 3 32

=

23 9 3 3 33

=

23 9 23 9 2 3 = = 9 9 3• 3 9

3

4 • 5 x2

Solución: 3

4 • 5 x2

=

Racionalización de monomios con índices mayores que 2

=

Cuando el denominador es un radical de a índice tres o más, esto es, la forma n m , con b m < n, para racionalizar multiplicamos numerador

=

y denominador por n bn− m , si hubiera coeficientes, se deja igual.



267

3

4 • 5 x2 3

4 • 5 x2 3 5 x3

4• x 5

=

3 5 x3 4• x

=

3 5 x3 4x

5

•1 •

5 5

1= x3

5 5

x3 x3

x3 5

x2 • 5 x 3 = 5 x5 = x

RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA d)

4

ACTIVIDAD 2

Solución:

Racionalizar el denominador de:

3• 5 2 3 x 2 y 6

4

3• 5 2 3 x 2 y 6

= = = =

3• 5 2 3 x 2 y 6 4

3• 5 2 3 x 2 y 6

•1 •

5 5

1=

5 5

22 x 3 y 4 2 xy 2

3

1.

4

22 x 3 y 4

2.

22 x 3 y 4

4 5 22 x 3 y 4 3• 2xy 2 4 5 4x 3 y 4 3• 2xy 2

2 5 4x 3 y 4 = 3xy 2

5

2 3 x 2 y 6 • 5 22 x 3 y 4 = 5 25 x 5 y10 = 2xy 2

7y

e)

4

3

432y10

5

2 4 3

3 = _________ 5 10 3

3.

3

4.

3

5.

3

6.

3

3

432y10

= = =

432 144 48 16 8 4 2 1

3 3 3 2 2 2 2

432 = 24 • 33

=

7y

3

432y10 7y

3

2 4 33 y10

1=

•1 •

3 3

3 3

22 y 2

7.

22 y 2

22 y 2 22 y 2

3

2 4+2 33 y10+2

7y 3 4y 2 12y 4

3

2 4 33 y10 • 3 w2 y 2 = 3 2 4+2 33 y10+2 =

3

26 33 y12 = 22 • 3y 4 = 12y 4



268

3

3 = _________ 6

4 = _________ 16 7 = _________ 11

2 = _________ 4

8.

3

9.

3

10.

3

11.

3

7y 3 22 y 2

3 = _________ 3

7 = _________ 5

Solución: 7y

= _________

1 = _________ 2

5 = _________ 2

9 = _________ 9

12.

1 = _________ 2 3

13.

1 = _________ xy

3

11.

9 = _________ 9

3

RELACIONES Y ÁLGEBRA

1 12. 3 = _________ 2 3 13.

1 = _________ xy

14.

2 = _________ 3 8x

15.

16.

3

4

32x 5 y 2 2

7

24x 3 y15

Matemática - EL MAESTRO EN CASA

Estimado estudiante: El tema de los productos notables se estudió en el libro de Matemática Ujarrás 2016 en la semana decimocuarta.

= _________



En efecto, para transformar una expresión algebraica con uno o dos términos irracionales en el denominador, por su equivalente en expresiones algebraicas de dos términos racionales, amplificamos cada una de las expresiones por el conjugado del denominador.



Por ejemplo:



El conjugado de



El conjugado de 2 − 3 es 2 + 3



El conjugado de

= _________

Racionalización de un binomio Cuando el denominador es una expresión algebraica de dos términos se multiplica el numerador y el denominador por el conjugado del denominador de la expresión.

3 + 2 es 3 − 2 2 + 5 es 2 − 5

Siempre que tenemos un binomio de la forma a + b (a y b son números reales) decimos que su conjugado es a – b.

En este último caso, corresponde a los radicales a a de la forma o con {a, b, c} ⊂ ℝ, b+ c b+c b > 0, c > 0, para racionalizar multiplicamos nume-

rador y denominador por la expresión conjugada del denominador así: a

b+ c

=

a( b − c)

=

a( b − c)

( b + c)( b − c) ( b) − ( c) 2

2

=

a( b − c) b−c

Ahora bien,

Ejemplos: Racionalice el denominador de cada una de las siguientes expresiones. a)

5

a)

3+ 2 =

5

3+ 2

b)

Para racionalizar este tipo de expresiones radicales nos valdremos de la fórmula notable (a – b) (a + b) = a2 – b2.

269 c)

5

3−2

2− 7

=

( 3 − 2)

5( 3 − 2 ) 1

•

(2 + 7 )

(2 − 7 ) (2 + 7 )

4−7

2( 5 − 2)

=

3

3(2 + 7 )

3

•

( 3 + 2) ( 3 − 2)

5( 3 − 2 )

3

=

=

=

=

3 (2 + 7 ) −  3

5( 3 − 2 ) ( 3 )2 – ( 2 )2

=5 3−5 2

=

3(2 + 7 ) 2 2 − ( 7 )2

= −(2 + 7 ) = −2 − 7

3( 5 + 2) 2( 5 − 2)( 5 + 2) 3( 5 + 2)

=

3

b)

2− 7 =

=

(2 + 7 )

(2 − 7 ) (2 + 7 )

= 4 −Matemática 7 −  3

=

= binomio

conjugado 5 +2

)

=

3(2 + 7 ) 2 2 − ( 7 )2

RELACIONES Y ÁLGEBRA 3 (2 + 7 )

2( 5 − 2)

(

•

3(2 + 7 )

3

c)

3

=

= =

= −(2 + 7 ) = −2 − 7

- EL MAESTRO EN CASA

3( 5 + 2)

f)

2( 5 − 2)( 5 + 2) 3( 5 + 2) 2

(

=

2

2  ( 5 ) − (2)  3( 5 + 2)

(

)

( x − 1) 3 2 + x + 1 x −1 = 3 2 − x +1 3 2 − x +1 3 2 + x +1

=

( x − 1) ( 3

)(

)

2 + x +1

( 3 2 ) − ( x + 1) ( x − ) ( 3 2 + x + 1) 2

2

3( 5 + 2)

=

(9 • 2 ) − ( x + 1) ( x − 1) ( 3 2 + x + 1)

3( 5 + 2)

=

( x − 1) ( 3

2(5 – 4) 2 •1

22

)

18 − x − 1

)

2 + x +1

17 − x

TRABAJO INDIVIDUAL 1 1. Racionalice el denominador.



2. Racionalice el denominador en cada expresión.



270

RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA

3. Racionalice y simplifique

4. Determine el binomio conjugado en cada uno de los siguientes casos.



a) 3 + x

______________

b) 5 x + 2 − x

______________

c) 3 2 − x + 1

______________

5. Racionalice.



a)

1 = _____________ 3

b)

8 = _____________ 3

c)

3 = _____________ 5

d)

x = _____________ y

6. Racionalice el denominador. a)

b)

c)

d)

271

2

3 3 3 6

6 2

5 2 3 5

3 15

5 32

= _____________

= _____________

= _____________

= _____________

RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA 7. Racionalice y simplifique el resultado.

Ejemplos Racionalice el numerador de las expresiones siguientes, simplificando los resultados en caso de ser posible. 1.

(

3+x − 3 = x 3+x = 3

3+x − 3 •1 x

)(

3+x + 3

( 3 + x + 3) ( 3 + x ) − ( 3) = x( 3 + x + 3) x

2

x x

2.

(

( (

2

3 +x−3

3+x + 3 1

3+x + 3

) )

2+x + 2 = x 2+x + 2

=

)(

2+x + 2 • 1 x

2+x − 2

( 2 + x − 2) ( 2 + x) − ( 2) = x( 2 + x − 2 ) x

2



0 Se podrá racionalizar el numerador, así como el denominador de una fracción.

x x

( (

2+x−2

2+x − 2 x

2+x − 2

1 2+x − 2

272

)=

2

)

=

)

=

)=

RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA

x + 1− 2 = x−3

3.

(

x + 1− 2

(

( x − 3) (

x + 1− 2 •1 x−3

)(

x + 1+ 2

x + 1+ 2

)

2

x + 1 − (2)

( x − 3) (

2

)

=

)

=

)

=

x + 1+ 2

x + 1− 4

( x − 3) (

x + 1− 1

( x − 3) (

x + 1+ 2

x−3

1 x + 1+ 2

x + 1+ 1 = x

4.

( (

(

)(

)

x + 1− 1

)

x + 1 − (1)

x

x + 1− 1

(

x + 1− 1

x

((

1

2)

)=

2

(

x + 1− 1

1)

x + 1− 1

2

x

Racionalice el numerador de las expresiones siguientes, simplificando los resultados en caso de ser posible.

)

=

=

)

))

x + 1− 1

273

x+2 − 2 = _____________ x

4− x = _____________ x − 16

3)

8+x − 8 = _____________ x

4)

x+2 −5 = _____________ x − 23

x + 1+ 1 •1 x

x + 1+ 1 x

)

)=

TRABAJO INDIVIDUAL 2

RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA

ECUACIONES CUADRÁTICAS En este tema empezamos a trabajar con expresiones matemáticas en las que figuran, no sólo números, sino también letras ligadas con el signo de igualdad. En las ecuaciones, las letras designan incógnitas: cantidades desconocidas, cuyo valor estamos buscando. En esta unidad vamos a resolver ecuaciones de segundo con una incógnita o bien, ecuaciones cuadráticas; las cuales son de la forma

ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0 Consideraremos varios métodos para su factorización y su posterior solución entre ellos tenemos: el factor común, por agrupamiento, por fórmula notable, por diferencia de cuadrados, método de inspección y la fórmula general entre otros. También resolveremos problemas prácticos cotidianos que se pueden resolver con este tipo de ecuaciones. − b ± b2 − 4ac 2a

Las ecuaciones cuadráticas o de segundo grado La expresión ax2 + bx + c = 0, donde a,b,y c son números reales cualesquiera y a≠ 0, se llama ecuación cuadrática o ecuación de segundo grado. Las ecuaciones de segundo grado o ecuaciones cuadráticas, como otros logros matemáticos, aparecen alrededor del año 2000 antes de Cristo, en las tablillas aritméticas de los babilonios y en los papiros egipcios del año 1650 antes de Cristo.

Los babilonios de modo sorprendente resolvían estas ecuaciones completando cuadrados y con el uso de ciertas fórmulas generales. Los egipcios, por su parte, las resolvían usando un procedimiento muy engorroso, conocido como método de falsa posición. En el siglo VI antes de Cristo, la escuela de Pitágoras aplicaba para la resolución de estas ecuaciones, el afamado método griego del Álgebra geométrica y para ello aplicaban el cálculo de áreas. Dos siglos más tarde los discípulos del filósofo Platón (424–347 antes de Cristo) resolvían las ecuaciones cuadráticas utilizando proporciones. Los hindues y en particular Bhaskara (1114 – 1185 d.C.) utilizaron para resolver las ecuaciones cuadráticas nuevamente el método de completar el cuadrado. Como podemos apreciar, muchos son los metódos que se han utilizado para resolver dichas ecuaciones. Nosotros resolveremos este tipo de ecuaciones utilizando primeramente los métodos de factorización ya estudiados y posteriormente la fórmula general de resolución de la ecuación de segundo grado ax2 + bx + c = 0. − b ± b2 − 4ac 2a Pero antes recordemos estos conceptos que se encuentran en el libro de Matemática Ujarrás 2016, en la Semana Décimoquinta, titulada Ecuaciones. Las ecuaciones y las fórmulas pueden estar compuestas ya sea de proposiciones verbales o bien, de proposiciones numéricas.

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La solución de una ecuación es el número que hace que la igualdad sea cierta al sustituir la letra por dicho número

aún, si el producto es 0, al menos uno de los factores debe ser 0. En general, podemos establecer el siguiente principio:

Por ejemplo:

Para cualquier par de números reales a y b, si ab = 0, entonces a = 0 ó b = 0, y si a = 0 ó b = 0 entonces ab = 0.

El valor x = 2 hace que la igualdad x2 + 3x – 10 = 0 sea cierta para dicho número. 1 g (2)2 + 3(2) – 10 = 0 1 g (4) + 3(2) – 10 = 0 4 + 6 – 10 = 0 10 – 10 = 0 0 = 0

Esto es, a • b = 0 ↔ a = 0 ó b = 0

Conjunto solución Se llama conjunto solución a todos los números que satisfacen la igualdad en una ecuación. Es el conjunto de todas las raíces o resultados de la ecuación. Para comprobar si un número es solución de una ecuación, se sustituye la letra por el número y se hacen las operaciones, si queda el mismo resultado a la derecha y a la izquierda del igual el número es la solución.

Este principio matemático nos permite establecer que si tenemos una ecuación con 0 en un lado y una factorización en el otro, la podemos resolver encontrando los valores que hacen 0 a los factores. EJEMPLO 1

Resolvamos la ecuación cuadrática (5x + 1)( x – 7) = 0 Solución (5x + 1)(x − 7) = 0 5x + 1= 0 ó   x − 7 = 0 5x = −1

ó   x = 7

−1   5

ó   x = 7

x=

Ecuación de segundo grado Una ecuación de segundo grado o cuadrática es una ecuación polinómica donde el mayor exponente es igual a dos. Normalmente, la expresión se refiere al caso en que sólo aparece una incógnita y que se expresa en la forma canónica ax2 + bx + c = 0, donde a es el coeficiente cuadrático o de segundo grado y es siempre distinto de cero, b es el coeficiente lineal o de primer grado y c es el término independiente. Solución de ecuaciones de segundo grado por factorización Como ya sabemos, el producto de dos o más números es 0 si alguno de los factores es 0. Más

275

Verificación x =

−1 5

Aplicamos el principio a•b=0↔a=0 ó b=0 Resolvemos cada factor. x=7

(5x + 1)(x − 7) = 0

(5x + 1)(x − 7) = 0

 −1   −1    5/ • 5/ + 1  5 − 7  = 0  

( 5 • 7 + 1) ( 7 − 7 )  =

  −1   ( −1+ 1)  5 − 7  = 0  

( 35 + 1) ( 0 )  = 0

(0 ) •  0=0

−1− 35  = 0 5 

( 36 • 0 ) = 0 0=0

RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA x=7



Por lo tanto, las coluciones de la ecuación 9 x(2x – 9) = 0 son x = 0 y x = y el conjunto 2  9 solución es 0,   2



Toda ecuación de la forma ax2 + bx + c = 0 (a, b, c ∈ ℝ, a ­≠ 0) se denomina ecuación de segundo grado o cuadrática. Los anteriores ejemplos, también representan ecuaciones cuadráticas.

(5x + 1)(x − 7) = 0

( 5 • 7 + 1) ( 7 − 7 )  = 0

( 35 + 1) ( 0 )  = 0 (36 • 0) = 0 0=0

Por lo tanto, las soluciones de la ecuación son −1  −1  x= y x = 7 y el conjunto solución es  , 7  5 5 

(5x + 1)(x – 7) = 0 ↔ 5x2 – 34x – 7 = 0 donde a = 5, b = – 34, c = – 7 x(2x –9) = 0 ↔ 2x2 – 9x + 0 = 0 donde a = 2, b = – 9 , c = 0.

EJEMPLO 2 Resolvamos la ecuación x (2x – 9) = 0 Solución x(2x − 9) = 0

EJEMPLO 3

x=0

ó

2x − 9 = 0

x=0

ó

2x = 9

x=0

ó

x=

9 2

Resolvamos la ecuación x2 + 5x = – 6 Solución

La expresión comprende a la forma factorizada de la ecuación cuadrática: 2x2 – 9x = 0

x2 + 5x + 6 = 0

Aplicamos el principio

(x + 3)(x + 2) = 0

a•b=0↔a=0 ó b=0

x + 3 = 0 ó x + 2 = 0

Resolvemos cada factor

x = – 3 ó x = – 2 Es una ecuación cuadrática donde a = 1, b = 5, c = 6

Aplicamos el principio: a•b=0↔a=0 ó b=0 y resolvemos cada factor. Verificación: con 0 x(2x − 9) = 0 0(2 • 0 − 9) = 0 0 • (0 − 9) = 0 0 • − 9 = 0 0=0

Verificación con

El trinomio x2 + 5x + 6 = 0, lo factorizamos por el método de inspección.

9 2

9 9 • ( 2/ • − 9) = 0 2 2/ 9 • (9 − 9) = 0 2 9 • 0=0 2 0=0

Verificación: con – 3

Verificación con – 2

(x + 3)(x + 2) = 0

(x + 3)(x + 2) = 0

(– 3 + 3)(– 3 + 2) = 0

(– 2 + 3)(– 2 + 2) = 0

(– 3 + 3)(– 3 + 2) = 0

(– 2 + 3)(– 2 + 2) = 0

0 g – 1 = 0

1g0=0

0 = 0

0=0

Por lo tanto el conjunto solución de la ecuación es {– 3, – 2}.

276

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EJEMPLO 4

x = 0 ó x – 5 = 0 x = 0 ó x = 5

Resolvamos la ecuación x2 – 8x + 16 = 0 Solución

Ordenamos la ecuación del trinomio ax2 + bx = 0, observe que el término c en este caso es c = 0.

x2 – 8x + 16 = 0

Factorizamos por el método de factor común.

(x – 4)(x – 4) = 0

Aplicamos el principio a • b = 0 ↔ a = 0 ó b = 0

x – 4 = 0 ó x – 4 = 0

Resolvemos cada factor.

x = 4 x = 4

Verificamos estos resultados.

Es una ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática donde a = 1, b = – 8, c = 16 coeficientes de ax2 + bx +c = 0

Verificación: con 0

Se factoriza por el método de factorización por fórmula notable: (a – b)2 = (a – b)(a – b) = a – 2ab + b 2

2

Aplicamos el principio a • b = 0 ↔ a = 0 ó b = 0

x2 = 5x

x2 = 5x

x(x – 5) = 0

x(x – 5) = 0

0 ( 0 – 5) = 0

5 (5 – 5) = 0

0 g – 5 = 0

5 g 0 = 0

0 = 0

0 = 0

Por lo tanto el conjunto solución es el conjunto {0,5}

Comprobación Verificación: con x = 4

EJEMPLO 6

x2 – 8x + 16 = 0

Resolvamos la ecuación cuadrática 4x2 = 25

(x – 4)(x – 4) = 0

4x2 = 25

(4 – 4)(4 – 4) = 0

4x2 – 25 = 0

0 g 0 = 0

(2x + 5)(2x – 5) = 0

0 = 0

Verificación: con 5

Por lo tanto la única solución es 4, esto es, el conjunto solución es {4}.

EJEMPLO 5

2x + 5 = 0 ó 2x – 5 = 0 2x = – 5 ó 2x = 5 x=

5 −5 ó x= 2 2

Se ordena el trinomio de segundo grado, ax2 + bx + c = 0, observe el término bx es cero.

Resolvamos la ecuación x = 5x 2

Solución

Se factoriza por el método de la diferencia de cuadrados a2 – b2 = (a + b)(a – b)

x2 = 5x

Aplicamos el principio a • b = 0 ↔ a = 0 ó b = 0

x – 5x = 0 2

Resolvemos cada factor.

x(x – 5) = 0

277

RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA Verificación

− 2 3  − 2  , 6  Por lo tanto el conjunto solución es   3  Luego: x = 6 y x =

Ejemplo 8 Resolvamos la ecuación cuadrática dada por 2  1 5   x −   x − 1 = 0 3 5 2 Solución

 − 5 5  Por lo tanto, el conjunto solución  ,   2 2 Ejemplo 7 Resolvamos la ecuación cuadrática dada por 1 1 3  x − 3  x +  = 0 2 4 2

Solución 1 3  x − 3  x + 2 4

1  =0 2

1   x − 3 = 0 2

1 3  x +  = 0 2 4

1 x−3=0 2 1 x=3 2

3 1 x+ =0 4 2 3 − 1 x= 4 2 − 1 x= 2 3 4 − 4 x= 6 − 2 x= 3

3 1 2 6 x= 1 x=

x=6

Aplicando el principio a • b = 0 ↔ a = 0 ó b = 0 Resolvemos cada factor. Luego x =

6 y x = 2 25

6  Por lo tanto el conjunto solución es  , 2   25  Ejemplo 9 Resolvamos la ecuación de segundo grado 6x2 + 19x + 10 = 0

Aplicando el principio a • b = 0 ↔ a = 0 ó b = 0

Solución:

Resolvemos cada factor como una ecuación de primer grado.

6x2 + 19x + 10 = 0 Como 6 • 10 = 60

278

RELACIONES Y ÁLGEBRA

6x 2 + 19x + 10 = 0

Matemática - EL MAESTRO EN CASA

Como 6 • 10 = 60 15 • 4 = 60

ACTIVIDAD 1

15 + 4 = 19 Es una ecuación de segundo grado donde a = 6, b = 19, c = 10, coeficientes de ax2 + bx + c = 0

A) Resolver las ecuaciones siguientes:

Utilizamos el método de inspección con ax2 + bx + c = 0 con a ≠ 1.

1.

(x + 8)(x + 6) = 0

2.

(a – 3)(a + 5) = 0

3.

(x + 12)(x – 11) = 0

4.

x(x + 5) = 0

5.

y(y – 13) = 0

6.

0 = y(y + 10)

7.

(7x – 28)(28x – 7) = 0

8.

2x( 3x – 2) = 0

6x 2 + (15 + 4 ) x  + 10 = 0

(6x

2

)

+ 15x + ( 4x + 10 ) = 0

3x ( 2x + 5 ) + 2 ( 2x + 5 ) = 0

(2x + 5 ) ( 3x + 2 ) = 0 (2x + 5 ) = 0

( 3x + 2 ) = 0

2x + 5 = 0

3x + 2 = 0

2x = − 5

3x = − 2

x=

− 5 2

x=

− 2 3

Utilizamos el método de agrupamiento para encontrar la factorización final. Aplicando el principio a • b = 0 ↔ a = 0 ó b = 0 Resolvemos cada factor como una ecuación de primer grado.

x=

− 5 2

− 5 − 2 La solución son los valores x = yy  x= 3 2 − 2 y  x= 3 Por lo tanto el conjunto solución es  − 5 ,  −2  3   2

279

RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA B) Determine el conjunto solución de las ecuaciones siguientes: 1.

x2 + 6x + 5 = 0

2.

x2 + 7x + 6 = 0

3.

x2 + 7x – 18 = 0

4.

x2 + 4x – 21 = 0

5.

b2 – 8b + 15 = 0

6.

x2 – 9x + 14 = 0

7.

16x – 60x = x2

8. u2 = 182 – u 9.

20. 2x2 – 50 = 0 21. 9x2 –16 = 0 22. x2 – 36 = 0. 23. 4x2 + 4x + 1 = 0 24. 9x2 – 12x + 4 = 0 25. 9x2 – 6x + 1 = 0 26. 4x2 + 20x + 25 = 0 27. 9x2 + 24x + 16 = 0 28. 16x2 – 24x + 9 = 0

9x – 5x2 = 0

10. X – 3x2 = 0 11. 5x2 = – 45 12. 12y2 + 12y = –10 13. 12y2 – 5y = 2 14. 5x2 – 2x – 3 = 0

Fórmula general de resolución de la ecuación de segundo grado Ya conocemos cómo resolver una ecuación de segundo grado aplicando la descomposición de factores; pero hay ecuaciones cuadráticas donde este procedimiento no es de fácil aplicación. Por esta razón en esta parte vamos a aprender a resolver ecuaciones de segundo grado ax2 + bx + c = 0, utilizando la fórmula general.

15. 10x2 + 7x – 26 = 0

− b ± b2 − 4ac 2a

16. 20 – 4y = 3y2 17. – 9x2 + x = 0 18. – x2 + 6x = 0 19. x2 – 49 = 0

Solución de ecuaciones de segundo grado con una incógnita En la resolución de una ecuación de segundo grado con una incógnita, de la forma ax2 + bx + c = 0, en donde a,b y c son números reales, los cuales

280

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juegan un papel muy importante la expresión: b2 – 4ac, la cual recibe el nombre de discriminante.

x1 =

Discriminante Se llama «discriminante» de la ecuación ax2 + bx + c = 0 a la expresión ∆ = b2 – 4ac A. Consideremos cuando el discriminante es mayor que cero.

x2 =

D = b2 – 4ac > 0

Si el discriminante es un número real mayor que cero (positivo), D > 0, entonces ∆ es un número real positivo y el conjunto solución de la ecuación tiene dos elementos, esto es  −b + D − b − D  S=  ,    2a   2a

− b − D 7 − 25 = 2a 6 7−5 = 6 2 = 6 1 = 3

EJEMPLO 2:

Resolver la ecuación 3x2 – 7x + 2 = 0

Resolver la ecuación 2x2 – 5x + 1 = 0

Solución Puesto que a = 3, b = – 7 y c = 2, podemos hallar el discriminante con la expresión ∆ = b2 – 4ac.

Solución

Veamos:

Puesto que a = 2, b = – 5 y c = 1 podemos hallar el discriminante con la expresión D = b2 – 4ac. Veamos:

D = b − 4ac 2

D = b2 – 4ac

= (− 7)2 − 4(3)(2) = 49 − 24 = 25 D > 0

25

1  El conjunto solución de la ecuación es  , 2  3 

EJEMPLO 1:



− b + D − 7 + = 2a 6 7+5 = 6 12 = 6 =2

Como el discriminante es mayor que cero, la ecuación posee dos soluciones:



= (– 5)2 – 4(2)(1)



= 25 – 8



= 17

D > 0

281

Como el discriminante es mayor que cero, la ecuación posee dos soluciones

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Solución

− b + D 5 + 17 x1 = = 2a 4 x2 =

Como x ( x + 5) – 3 = 2x ( x – 6)

− b − D 5 − 17 = 2a 4

x2 + 5x – 3 = 2x2 – 12x x2 – 2x2 + 5x + 12x – 3 = 0

Por lo tanto, el conjunto solución es

–x2 + 17x – 3 = 0

 5 + 17 5 − 17  ,    4   4

x2 – 17x + 3 = 0 Resolvemos esta operación hasta obtener una ecuación de segundo grado de la forma ax2 + bx + c = 0

EJEMPLO 3: Resolver la ecuación x2 + x = 0

En orden del grado trasladamos los términos al lado izquierdo y reducimos.

Solución

Puesto que a = 1, b = 1 y c = 0 podemos hallar el discriminante con la expresión D = b2 – 4ac.



Veamos:



D = b2 – 4ac



= (1)2 – 4(1)(0)



= 1 – 0



=1



D > 0



Como el discriminante es mayor que cero, la ecuación posee dos soluciones

La ecuación se multiplica por (– 1) para quitar el signo menos del término de segundo grado

���������������������������������������� Puesto que a = 1, b = –17 y c = 3 podemos hallar el discriminante con la expresión D = b2 – 4ac. Veamos: D = b2 – 4ac

x1 =

− b + D − 1+ 1 − 1+ 1 0 = = = =0 2 2 2a 2 •1

x2 =

− b − D − 1− 1 − 1− 1 − 2 = = = = − 1 2a 2 •1 2 2



= (–17)2 – 4(1)(3)



= 289 – 12



= 277

D > 0

Como el discriminante es mayor que cero, la ecuación posee dos soluciones x1 = x2 =

Por lo tanto, el conjunto solución es {– 1, 0}

EJEMPLO 4: Resolver la ecuación x ( x + 5) – 3 = 2x ( x – 6)

282

− b + D − ( − 17 ) + 277 17 + 277 = = 2a 2 •1 2

− b − D − ( − 17 ) − 277 17 − 277 = = 2a 2 •1 2

Observe que 277 no es una raíz exacta, 277 = 16,64331699…

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Por esto se tiene que el conjunto solución de la ecuación

B. Consideremos cuando el discriminante es igual a cero.

17 − 277 17 + 277  x(x + 5) − 3 = 2x(x − 6) es  ,  2 2  

D = b2 – 4ac = 0

Si el discriminante es igual a cero, D = 0, entonces ∆ es también igual a cero y el conjunto solución de la ecuación es unitario, es − b decir, tiene un único elemento que es , esto es 2a − b   S=   2a  

EJEMPLO 5: Resolver la ecuación 5x ( x + 2) = 2x ( x + 1)



Solución:



Como 5x ( x + 2) = 2x ( x + 1)

EJEMPLO 1:

5x2 + 10x = 2x2 + 2x



5x2 – 2x2 + 10x – 2x = 0



Solución

3x + 8x = 0



Puesto que a = 4, b = –20 y c = 25 podemos hallar el discriminante con la expresión D = b2 – 4ac.



Veamos: D = b2 – 4ac





= (–20)2 – 4(4)(25)





= 400 – 400





= 0



El discriminante D = 0, luego la solución viene dada por la expresión

2



Puesto que a = 3, b = 8 y c = 0 podemos hallar el discriminante con la expresión D = b2 – 4ac.



Veamos:



D = b2 – 4ac





= (8)2 – 4(3)(0)





= 64 – 0





= 64



D > 0



Como el discriminante es mayor que cero, la ecuación posee dos soluciones x1 =



Resolver la ecuación 4x2 – 20x + 25 = 0

− b + D − ( 8 ) + 64 − 8 + 8 0 = = = =0 6 6 2a 2•3



− b 20 20 5 = = = 2a 2(4) 8 2 5  El conjunto solución es   . 2 

− b − D − ( 8 ) − 64 − 8 − 8 − 16 − 8 x2 = = = = = 6 6 3 2a 2•3

EJEMPLO 2:

Resolver la ecuación 6x – x2 – 9 = 0

Por esto se tiene que el conjunto solución de la ecuación es  − 8  ,0    3 



Solución



Ordenamos y cambiamos signos multiplicando por –1 a ambos lados.

283

x2 – 6x + 9 = 0

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Puesto que a = 1, b = – 6 y c = 9, podemos hallar el discriminante con la expresión ∆ = b2 – 4ac.



Veamos: D = b2 – 4ac





= (– 6)2 – 4(1)(9)





= 36 – 36





= 0



El discriminante D = 0, también la solución la podemos hallar con x1 =

− b + D − b + D = 2a 2a



6+ 0 2 •1 6+0 = 2 6 = 2 =3 x2 =





= (12)2 – 4(9)(4)





= 144 – 144





= 0



La solución de esta ecuación se obtiene con la expresión  − b  x=   2a 



 − b   − 12   − 12   − 4   − 2  S=  = = = =   2a   2 • 9   18   6   3  Por lo tanto, la solución de la ecuación 9x2 +  − 2  12x + 4 = 0 es el conjunto    3 

Importante: Los resultados se tienen que factorizar al máximo, esto es, has su forma canónica. EJEMPLO 4:

6− 0 = 2 •1 6−0 = 2 6 = 2 =3







− b − D − b − D = 2a 2a



Veamos: D = b2 – 4ac



=





Resuelva la ecuación cuadrática x – x2 = 1 – x. Solución x – x2 = 1 – x x – x2 – 1 + x = 0 –x2 + x + x – 1 = 0 –x2 + 2x – 1 = 0

Esto quiere decir que el conjunto de soluciones reales de la ecuación es el conjunto unitario {3}

x2 – 2x + 1 = 0

multiplicamos por (–1) ambos lados del igual



Como a = 1, b = –2, c = 1 y el discriminante es ∆ = b2 – 4ac.

EJEMPLO 3:

Resolver la ecuación 9x2 + 12x + 4 = 0



Solución



Puesto que a = 9, b = 12 y c = 4, podemos hallar el discriminante con la expresión ∆ = b2 – 4ac.

∆ = b2 – 4ac

284

∆ = (– 2)2 – 4(1)(1) ∆=4–4 ∆ = 0

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Puesto que el ∆ = 0, podemos encontrar la solución de esta ecuación con la expresión; la cual es única x =

− b 2a

Por lo tanto, la solución de x – x2 = 1 – x. es el conjunto { 1 }.

C. Consideremos cuando el discriminante es menor que cero. D = b2 – 4ac < 0



Si el discriminante es un número menor que cero (negativo), D < 0, entonces ∆ carece de sentido en el conjunto ℝ ya que, como sabemos, en ℝ no existen las raíces cuadradas de los números negativos.

EJEMPLO 2:

Solución

Puesto que a = 1, b = –1 y c = 1 podemos hallar el discriminante con la expresión D = b2 – 4ac.



Observe:

D = b2 – 4ac



D = (– 1)2 – 4(1)(1)



D = 1 – 4



D=–3



Entonces el discriminante es negativo, D < 0, por lo tanto el conjunto solución de

Por lo tanto el conjunto solución de la ecuación, en este caso, es vacío, es decir, no tiene ningún elemento y por ello decimos que: S = f

x2 – x + 1 = 0 es f, es decir, S = { } ó S = ∅

RESUMIENDO:

EJEMPLO 1:

Determinar el conjunto solución de la ecuación x2 – x + 1 = 0

Determinar el conjunto solución de la ecuación 2x2 + x + 8 = 0

Solución

Para una ecuación de segundo grado con una incógnita ax2 + bx + c = 0 con discriminante igual D, se tiene:



Puesto que a = 2, b = 1 y c = 8 podemos hallar el discriminante con la expresión D = b2 – 4ac.

I. D > 0, tiene dos soluciones reales distintas



Observe:



D = b2 – 4ac



D = (1)2 – 4(2)(8)



D = 1 – 64



D = – 63



 − b − D − b + D  S=  ,  2a   2a

 − b  II. D = 0, tiene una solución real S =    2a 

Entonces el discriminante es negativo, D < 0, por lo tanto el conjunto solución de 2x2 + x + 8 = 0 es S= ∅ que es lo mismo que S = { }.

285

III. D < 0, ninguna solución real S = f

RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA

16) x2 = –15x – 56

ACTIVIDAD 2 Utilizando la fórmula general, determine el conjunto de soluciones reales de cada una de las siguientes ecuaciones:

17) 15x = 24x2 + 2

1) 6x2 + x = 2

19) –9x2 + 17x + 2 = 0

2) x2 – 4 – 3(x – 2)2 = 0

20) x2 = –15x – 56

3) 3x2 + 8x – 35 = 0 4) 4x(x –20) + 5 = 0 5) 3x2 + 8x + 3 = 0 6) 8x2 + x = 0 7) (x + 4)(x – 4) = 8(x – 2) 8) 5x(x – 2) + 6 = 0 9) 123x2 = 0 10) 2x2 – 8 = 0 11) 8x2 = 24x + 2

18) x + 11 = 10x2

21) 3x2 + 8x + 3 = 0 22) 3x2 + 8x – 35 = 0 23) –v2 – v = –1 2 24) 3m = 2m −

25)

9 8

2 2 x − 8x + 3 3

26) u2 + u + 1 = 0 27) 2(3m – 1)2 + ( 3m – 1) = 1 28) 4x ( x – 20) + 5 = 0 29) (x + 4)(x – 4) = 8(x – 2)

12) 3x2 +12 = 0 13) x + x + 16 = 0

30) 5x ( x – 2) + 6 = 0

2

14) –3x2 – x + 4 = 0 15) x = 16x – 63 2

31) – 3x2 – x + 4 32) 3y2 + 4y = y + 5

286

RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA

Aplicaciones de las ecuaciones de segundo grado a la solución de problemas

Problema 1

En la misma forma a lo ya estudiado para el caso de las ecuaciones de primer grado con una incógnita, existen muchos problemas cuya solución requiere del uso de ecuaciones de segundo grado con una incógnita. Sin embargo, en el caso de los problemas que se resuelven mediante ecuaciones de segundo grado con una incógnita, dado que el conjunto de soluciones reales en éstas tienen, a lo sumo, dos elementos; resulta que, en muchos casos es preciso descartar uno de esos elementos (¡y a veces ambos!) como respuesta al problema planteado. Ahora bien, ¿cómo saber cuál de los elementos del conjunto de soluciones reales debe ser descartado como respuesta?, tal cosa se hace con base en el enunciado mismo del problema, así por ejemplo, si el problema nos pregunta por el número de personas presentes en una sala de cine y uno de los elementos del conjunto de soluciones 2 de la correspondiente ecuación es , entonces, 3 naturalmente debe ser descartado como respuesta pues no puede haber tal número de personas en una sala de cine. De igual forma si se nos pide la altura en metros de un árbol y uno de los elementos del conjunto de soluciones de la correspondiente ecuación es –12, entonces, naturalmente debe ser descartado como respuesta, pues la altura de un árbol en metros no puede ser un número negativo. En resumen, al resolver un problema mediante una ecuación de segundo grado, se debe prestar especial atención para determinar si las respuestas numéricas tienen sentido en relación con el enunciado del problema, a fin de descartar aquellas que, por la naturaleza misma del problema, no tienen significado.

La suma de dos números es 10 y la suma de sus cuadrados es 58. Halle ambos números. Solución: Primero se asigna la variable x a una de las incógnitas del problema. Hay dos incógnitas que son ambos números, como el problema no hace distinción entre uno y otro, puede asignarse x a cualquiera de los dos, por ejemplo: x: primer número. Como la suma de ambos es 10, entonces necesariamente el otro será: 10 – x: segundo número Con la condición final dl problema se establece que la suma de los cuadrados de ambos números es 58. Así entonces tenemos que: x2 + (10 – x)2 = 58 Esta es la ecuación a resolver x2 + (100 – 20x + x2) = 58 Aplicamos la segunda fórmula notable con el término (10 – x)2 (a– b)2 = a2 – 2ab + b2 x2 + 100 – 20x + x2 = 58

Eliminamos el paréntesis

2x2 – 20x + 100 – 58 = 0 Resolviendo 2x2 – 20x + 42 = 0

Dividimos por 2 a ambos lados el trinomio obtenido

x2 – 10x + 21 = 0 21 = –7 g –3

– 10 = –7 + –3

287

Utilizamos el método de inspección para a=1

RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA (x – 7)(x – 3) = 0 x – 7 = 0 ó x – 3 = 0

Aplicamos el principio

x = 7 x = 3

agb=0↔a=0 ó b=0



obtenemos los valores de x.

Las condiciones del problema explican que el ancho aumenta en 3m y el largo aumenta en 2m, así que, luego del aumento quedan: x + 3: nuevo ancho de la sala x + 5: nuevo largo de la sala (x + 3)(x+ 5): nueva área de la sala. La nueva área es el doble de la primera, así que planteamos la ecuación:

Respuesta: Los números buscados son 3 y 7.

(x + 3)(x+ 5) = 2 g x (x + 3)

Comprobación:

x2 + 5x + 3x + 15 = 2x2 + 6x Efectuamos las multiplicaciones

3 + 7 = 10 32 + 72 = 9 + 49 = 58

x2 – 2x2 + 8x – 6x + 15 = 0

Problema 2 El largo de una sala rectangular es 3 metros mayor que el ancho. Si el ancho aumenta 3m y el largo aumenta 2m, el área se duplica. Halle el área original de la sala. Solución: En este caso, si hay diferencia entre largo y ancho, así que hay que tener cuidado con la asignación y sobre todo, con la interpretación de la variable x. Este problema permite fácilmente que la x se coloque en cualquiera de las dos incógnitas, largo o ancho. Así que supongamos: x: ancho de la sala // El largo es 3 metros mayor que el ancho, así que: x + 3: largo de la sala // El área de un rectángulo es la multiplicación de ambos: x (x + 3): área de la sala (Estos son los datos iniciales)

y reducimos términos semejantes

–x2 + 2x + 15 = 0 x2 – 2x – 15 = 0

Multiplicamos por –1 ambos lados

–15 = 3 g –5

aplicamos el método de inspección

–2 = 3 + – 5 (x + 3)(x – 5) = 0 x + 3 = 0 ó x – 5 = 0

Aplicamos el principio

x = – 3 ó x = 5

agb=0↔a=0 ó b=0

Observando las dos soluciones x = – 3 y x = 5, tenemos que la solución x = – 3 se debe desechar, puesto que x es el ancho de la sala y no puede ser negativo.

288

RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA

Entonces la solución x = 5, debe ser el ancho original. Así que x + 3 = 5 + 3 = 8 metros debe ser el largo. Por lo tanto, el área original es 8 m g 5m = 40 m2. Problema 3

x2 + 4x + 4 = x2 + 2x + 1 + x2 Desarrollamos cada cuadrado utilizando la primera fórmula notable: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 x2 – x2 – x2 + 4x – 2x + 4 – 1 = 0 Reducimos términos semejantes –x2 + 2x + 3 = 0

Calcular la medida de la hipotenusa de un triángulo rectángulo, sabiendo que las medidas de sus lados son tres números consecutivos.

x2 – 2x – 3 = 0

Multiplicamos por –1 a ambos lados.

( x + 1)(x – 3) = 0

Factorizamos por el método de inspección.

Solución Podemos ayudarnos de un dibujo para plantear este problema

¡Hágalo usted! x + 1 = 0 ó x – 3 = 0

Aplicamos el principio



a•b=0↔a=0 ó b=0

x = –1 ó x = 3

Como x = –1 no es una de las respuestas, puesto que las medidas no son negativas; tenemos que la medida de uno de los catetos es 3, el otro es 4 y la medida de la hipotenusa es 5.

Sean: x: un primer cateto

Respuesta: La medida de la hipotenusa es 5.

x + 1: el segundo cateto Recuerde las medidas de sus lados son tres números consecutivos x + 2: la hipotenusa Considerando el Teorema de Pitágoras tenemos: (x + 2)2 = (x + 1)2 + x2

En todo triángulo rectángulo la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Problema 4 Cada graduado de un grupo de noveno año escribe la dirección de los demás alumnos de su aula. Si en total se copian 600 direcciones, ¿cuántos alumnos tiene el grupo? Solución: Sea n el número de alumnos del grupo.

289



n – 1 el número de direcciones que escribirá cada alumno.



600 el número total de direcciones.

RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA El número de alumnos por el número de direcciones es igual a 600 n(n – 1) = 600

x–9=0óx+7=0 x = 9 ó x = –7

Resolvemos cada ecuación

n2 – n = 600 n2 – n – 600 = 0

Dejamos por fuera la respuesta x = – 7 porque la edad de David no puede ser – 7 años.

(n – 25)(n + 24) = 0 n – 25 = 0 ó n + 24 = 0 n = 25 ó n = – 24 Lógicamente dejamos por fuera la respuesta n = – 24, puesto que no es posible, luego se dice que el grupo tiene 25 alumnos.

Luego tenemos que la edad de David será 9 años y por consiguiente la edad de Fernando es x – 2 = 7 años.

ACTIVIDAD 3

Problema 5 David es dos años mayor que Fernando y la suma de los cuadrados de ambas edades es de 130 años. Hallar ambas edades. Solución

1. Hallar tres números impares consecutivos, tales que si al cuadrado del mayor se le restan los cuadrados de los otros dos se obtiene como resultado 7.

Siendo x: la edad de David Entonces x – 2: la edad de Fernando Según el problema: x2 + ( x – 2)2 = 130

Utilizamos para desarrollar (x – 2)2

x2 + x2 – 2(x)(2) + 22 = 130

La fórmula notable: (a – b)2 = a2 – 2ab + b2

2 x2 – 4x + 4 – 130 = 0

Reducimos términos semejantes y dividimos por dos a ambos lados

Respuesta:

2. La edad de un padre es el cuadrado de la de su hijo. Dentro de 24 años la edad del padre será el doble de la del hijo. ¿Cuántos años tiene ahora cada uno.

x2 – 2x – 63 = 0 (x – 9)(x + 7) = 0



Factorizamos por inspección y aplicamos Respuesta:

a•b=0↔a=0ó b=0

290

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3. Si al triple de un número se suma su cuadrado se obtiene 88. ¿Cuál es el número?

7. El número de diagonales de un polígono de n n(n − 3) lados está dado por D = 2 Encontrar el polígono que tiene 54 diagonales.

Respuesta:

4. Hallar un número cuyo cuadrado disminuido en el doble del número resultan 10 unidades más del séptuplo del número.

Respuesta:

Respuesta: 8. La suma de los primeros n números n(n + 1) naturales es S = 2 ¿Cuántos números naturales consecutivos comenzando con el 1 suman 1275?

5. Halle dos números cuya suma es 32 y su producto es 255.

Respuesta:

9. ¿Cuál es el número cuyo cuadrado más su triple es igual a 40?

Respuesta:

6. ¿Cuál es el área y el perímetro del triángulo rectángulo que se indica en el dibujo, sabiendo que las dimensiones dadas están en metros?.

Respuesta:

10. El producto de dos números consecutivos positivos es 210. ¿Cuáles son esos números?

Respuesta:

Respuesta:

291

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TRABAJO INDIVIDUAL 1 A. Resuelva los siguientes problemas en forma ordenada. 1. Si al cuadrado de un número le restamos su triple, obtenemos 130. ¿Cuál es el número?

Respuesta:

2. Halle dos números enteros consecutivos tales que la suma de sus cuadrados es 145.

Respuesta:

3. Si al producto de un número natural por su siguiente le restamos 31, obtenemos el quíntuple de la suma de ambos. ¿De qué número se trata?

Respuesta:

4. Calcule los lados de un rectángulo cuya diagonal mide 10 cm y en el que la base mide 2 cm más que la altura.

Respuesta:

292

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5. Los catetos de un triángulo rectángulo suman 18 cm y su área es 40 cm2. Halle los catetos de este triángulo.

Respuesta:

6. Si se duplica el lado de un cuadrado, su área aumenta en 147 cm2. ¿Cuánto mide el lado del cuadrado?

Respuesta:

7. La base de un rectángulo mide 5 cm más que la altura. Si disminuimos la altura en 2 cm, el área del nuevo rectángulo será 60 cm2. Halle los lados del rectángulo.

Respuesta:

8. El perímetro de un rectángulo mide 100 m, y el área, 600 m2. Calcule sus dimensiones.

Respuesta:

293

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B. Escriba las siguientes ecuaciones de segundo grado ordenada de acuerdo con la expresión general: ax2 + bx + c = 0 a) 3x • (x + 4) = x2 – 5x + 3 b) (x – 3)2 + 1 = 2x – 5 c) 4x2 – 3x = 2x2 + 7x d) (4x – 8) • (6x – 3) = 0

294

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FUNCIÓN CUADRÁTICA Las funciones cuadráticas son utilizadas en algunas disciplinas como por ejemplo, Física, Economía, Biología, Arquitectura. Son útiles para describir movimientos con aceleración constante, trayectorias de proyectiles, ganancias y costos de empresa, variación de la población de una determinada especie de ser vivo y que responde a un tipo de función, y a obtener así información sin necesidad de recurrir a la experimentación.

Cada uno de estos elementos y comportamientos de la parábola pueden ser identificados y nos permitirán construir su gráfica hallar su expresión algebraica y además obtener información de la función en general. La magnitud del coeficiente principal nos va a dar información sobre el lado recto y hacia dónde abre la parábola.

Además de estas características geométricas de la parábola, tenemos que existen otras aplicaciones, como en los espejos parabólicos de los faros de los carros, en los telescopios astronómicos. Los radares y las antenas para radioastronomía y televisión por satélite, presenta también ese tipo de diseño.

Gráficas de funciones cuadráticas Cuando iniciamos el estudio de las funciones y en especial de las funciones cuadráticas, las representamos en la forma tabular, gráfica y algebraicamente. Se identificaron situaciones dadas y que pueden ser expresadas algebraicamente en la forma y = ax2 + bx + c. Recordemos que las gráficas de todas las funciones cuadráticas son parábolas. El eje de simetría de todas las parábolas son paralelas al eje Y, donde el signo del coeficiente de x2 en la función y = ax2 + bx + c determina la concavidad de su gráfica. Eje de simetría

La parábola abre hacia arriba Cero de la función

Cero de la función

Lado recto

Vértice de la parábola

Coeficiente principal

Efecto en la parábola

a<1

Longitud de lado recto mayor

a>1

Longitud de lado recto menor

a<–1

Longitud de lado recto menor

a>–1

Longitud de lado recto mayor

Positivo

Abre hacia arriba

Negativo

Abre hacia abajo

Veamos las siguientes gráficas: Ejemplo 1 La función yA = 5x2 tiene un coeficiente principal a = 5, es decir, es mayor que uno y positivo. Por lo tanto, su gráfica tendrá una longitud de lado recto menor (estará más cerrada) y abrirá hacia arriba. 1 2 La función y B = x tiene un coeficiente princi2 1 pal a = , es decir, es menor que uno y positivo, 2

295

RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA lo que indica que tiene una longitud de lado recto mayor (estará más abierta) y también abrirá hacia arriba.

Además de la forma general ó polinómica de la función cuadrática y = ax2 + bx + c, donde la parábola queda definida por los parámetros "a", "b" y "c", existe la llamada "forma canónica" que a menudo es más útil, pues nos permiten determinar las coordenadas del vértice (h, k) utilizando las b 4ac − b2 expresiones h = − . y k= 2a 4a

y 6 5 4 3

YA = 1 x2 2

2 1

-4

-3

-2

-1

YB= 5x2

0 1

2

Forma canónica o estándar de la función cuadrática

3

Además se tiene que el factor "a" como lo vimos anteriormente define la forma de la curva.

x

4

Ejemplo 2 La función yC = – 3(x – 2)2 + 4 tiene un coeficiente principal a = – 3, es decir, es menor que menos uno y negativo. Por lo tanto, su gráfica tendrá una longitud de lado recto menor (estará más cerrada) y abrirá hacia abajo. 1 (x – 2)2 + 4 tiene un coefi3 1 ciente principal a = – , es decir, es mayor que 3 menos uno y negativo, lo que indica que tiene una longitud de lado recto mayor (estará más abierta) y también abrirá hacia abajo. La función yD = –

Cuando estudiamos las expresiones algebraicas transformamos ecuaciones de la forma y = ax2 + bx + c a la forma y = a(x + h)2 + k, esto lo realizamos considerando el método de completar cuadrados. Ejemplos 1. Transformar la función y = x2 + 14x + 60 a su forma canónica o estándar.

Solución:



y = x2 + 14x + 60



Como a = 1, b = 14, c = 60 b 4ac − b2 tenemos que h= − y k= 2a 4a



y

h= −

4

d YD = - 1 (x-2)2+4 3

2

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

-1 -2



4 (1) ( 60 ) − (14 ) 240 − 196 4ac − b2 = = = 11 k= 4 (1) 4a 4



La forma canónica corresponde a



y = 1 • (x + 7)2 + 11

2

3

1 0

14 = −7 2 •1

7

x

Siempre se debe escribir dentro del paréntesis el valor opuesto del valor h obtenido.

Yc= -3(x-2)2 +4

-3

296

RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA



Para comprobar nuestro resultado simplemente invertimos el proceso:



y = 1 • (x + 7)2 + 11



y = 1 • (x + 14x + 49) + 11



y = x2 + 14x + 49 + 11



y = x2 + 14x + 60



En conclusión, la forma estándar de y = x2 + 14x + 60 es y = 1 • (x + 7)2 + 11



Solución:



y = – x – 8x – 23



y = – (x2 + 8x + 23)



y = – x2 – 8x – 23



En conclusión, la forma estándar de y = – x2 – 8x – 23 es y = –1 • (x + 4)2 – 7

Solución: y = – x2 + x + 6



Como a = –1, b = 1, c = 6 b 4ac − b2 h= − k= tenemos que 2a 4a



h= −

Como a = 1, b = 8, c = 23 b 4ac − b2 h= − y k= 2a 4a



– x2 – 8x – 23 = –1 • (x2 + 8x + 23)

2



tenemos que

4 (1) ( 23) − ( 8 ) 4ac − b2 = k= 4 (1) 4a

2





3. Transformar la función y = – x2 + x + 6 a su forma canónica o estándar.

8 8 h= − = = −4 2 •1 2



y = –x2 –8x –16 – 7

2

2. Transformar la función y = – x2 – 8x – 23 a su forma canónica o estándar.





4 ( −1) ( 6 ) − (1) 4 ( −1)

2

=

− 24 − 1 − 25 25 = = −4 −4 4



La forma canónica corresponde a



1 25  y = −1•  x −  +  2 4



92 − 64 = =7 4

k=

1 1 1 =− = 2 • −1 −2 2

2

Para comprobar nuestro resultado simplemente invertimos el proceso: 2

1 25  y = −1•  x −  +  2 4

La forma canónica corresponde a y = –1 • (x + 4)2 – 7

2

1 25  y = −1•  x 2 − x +  +  4 4 1 25 y = −x 2 + x − + 4 4 2 y = −x + x + 6

No olvidemos que el –1 es factor común del trinomio cuadrado.

Para comprobar nuestro resultado simplemente invertimos el proceso:



y = –1 • (x + 4)2 – 7



y = –1 • (x2 + 8x + 16) – 7



297

En conclusión, la forma estándar de 2 1 25  2 y = – x + x + 6 es y = −1•  x −  + .  2 4

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Forma factorizada de la función cuadrática

2. Transformar la función y = 6x2 – 13x – 5 a su forma factorizada.

Una tercera forma de expresión de una función cuadrática es la forma factorizada. En ella los tres parámetros que definen a la parábola son las dos raíces x1 y x2 (cuando son reales y distintas) y el coeficiente cuadrático "a".

Solución:

Forma factorizada de la parábola



y = 6x2 – 13x – 5



Haciendo uso del método de factorización por inspección Caso 2 ya estudiado anteriormente, y considerando que a = 6, tenemos que: 5  1  y = 6• x −   x +     2 3



➠

y = a(x – x1)(x – x2)



Es natural aceptar esta forma de expresión de la función cuadrática, pues se verifica que cuando "x" toma el valor de las raíces x1 y x2 la función “y” se anula. Además tiene el coeficiente "a" que define la forma de la curva. Quedando definida la forma y los dos ceros de la función, la parábola queda totalmente definida.



Solución:



y = x2 – 3x – 28



Haciendo uso del método de factorización por inspección Caso 1 ya estudiado anteriormente, y considerando que a = 1, tenemos que:



y = 1 • (x – 7)(x + 4)



En conclusión, la forma factorizada de y = x2 – 3x – 28 es y = 1 • (x – 7)(x + 4)

5  1  y = 6x2 – 13x – 5 es y = 6 •  x −   x +     2 3

3. Transformar la función y = – x2 + 9x – 8 a su forma factorizada.

Solución:



y = – x2 + 9x – 8



Haciendo uso del método de factorización por inspección Caso 1 ya estudiado anteriormente, y considerando que a = –1, tenemos que:



y = –1 • (x – 8)(x – 1)



En conclusión, la forma factorizada de y = x2 – 3x – 28 es y = –1 • (x – 8)(x – 1)

Ejemplos 1. Transformar la función y = x2 – 3x – 28 a su forma factorizada.

En conclusión, la forma factorizada de

Las tres formas una función cuadrática Forma

Expresión

Parámetros

Polinómica

y = ax2 + bx + c

a, b, c

Canónica

y = a(x + h)2 + k

a, h, k

Factorizada y = a(x – x1) • (x – x2)

298

a, x1, x2

RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA

Ejemplo Forma polinómica

Forma factorizada

Forma canónica

y = ax2 + bx + c

y = a(x – x1)(x – x2)

y = a(x + h)2 + k

Nos permite visualizar la ordenada al origen

Nos permite visualizar las raíces de la función

Nos permite visualizar las coordenadas del vértice v(– h, k)

Forma polinómica

Forma factorizada

Forma canónica

y = –2x2 + 8x – 6

y = –2(x – 1)(x – 3)

y = –2(x – 2)2 + 2

ACTIVIDAD 1 1. Si f(x) = 2x2 – 8x + 5, exprésela de la forma f(x) = a(x – h)2 +k 2. Encuentre la ecuación estándar de la parábola y = – x2 – 3x + 6 3. Encuentre la ecuación estándar de las siguientes parábolas.

Trazo de la gráfica de una función cuadrática cuyo criterio es y = ax2 + bx + c La forma más sencilla de trazar una función cuadrática es tabulando. Esto es hacer un cuadro en donde se le dé varios valores a x (la variable independiente) para obtener y (la variable dependiente) y así con varios pares de coordenadas ubicar los puntos en un plano para trazar la gráfica de la función. Por ejemplo: y = x2 – 4x + 3 Vamos a tabular, asignándole valores a x, para ser reemplazados en la función y así obtener el valor de y, los cuales son los valores de f(x), y así obtener el par de coordenadas:

a) y = 3 x2 + 6x –2 b) y = 2 x2 – 8x– 4 c) y = – 3x2 + 9x– 7 d) y = – 4x2 – 8x + 3

y = x2 – 4x + 3 x

y

0

3

a) y = – x2 + 6x – 8

1

0

b) y = x2 + 4x

2

–1

c) y = – x2 + 1

3

0

4

3

4. Dadas las siguientes funciones cuadráticas, exprese en las restantes formas.

d) y = 2(x – 2)(x + 3) e) y = –2(x – 4) + 8 2

299

RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA Al llevar estos pares de coordenadas a la gráfica se obtiene: y 6 5 4 3

d2

Ordenada 2 al origen 1

Ahora vamos a interpretar las curvas que nacen de la función y = ax².

d2 Eje de simetría x= Xv

d1

0

1

resultante es la homotecia de ésta, es decir, es otra transformación geométrica en el plano porque cumple que las parejas de puntos homotéticos están alineados a un centro O y además los segmentos homotéticos son paralelos. Además, es obvio, que del mismo modo que ésta se mueve, su expresión algebraica también sufre esos cambios.

Pero antes…

d1 2

3

Vértice V (Xv, Yv)

4

5

6

7

8

9 x

Traslación vertical 

Ceros X1 y X2

Como podemos observar de la gráfica anterior, las parábolas siempre tienen algunas características o elementos bien definidos dependiendo de los valores de la ecuación que la generan.

Si realizamos una traslación vertical de una función, la gráfica se moverá de un punto a otro punto determinado en el sentido del Eje Y, es decir, hacia arriba o hacia abajo. Ejemplo:

t Orientación o concavidad (ramas o brazos)

y

t Puntos de corte con el eje de las abscisas

(raíces o ceros)

Función original

t Puntos de corte con el eje de las ordenadas t Eje

Traslación hacia arriba

Traslación hacia abajo

de simetría

t Vértice

x

Apoyado en lo anterior vamos a realizar el trazo de funciones cuadráticas en cualquiera de sus formas: polinómica, canónica o factorizada. Una de las cosas que queremos descubrir aquí es el hecho de “que tiene que ver el cambio que puede sufrir una gráfica en relación al cambio en la función algebraica”. Es claro que si decimos que una función se mueve un poco hacia arriba o hacia abajo o bien hacia los lados sufre una translación. La figura

Traslación horizontal Si realizamos una  traslación horizontal de una función, la gráfica se moverá de un punto a otro punto determinado en el sentido del Eje X, es decir, hacia la derecha o hacia la izquierda.

300

RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA Ejemplos

Ejemplo:

1. La gráfica de la función cuadrática: y = x2  (a = 1, b = 0 y c = 0) es: 

Función original y

y

x Traslación hacia la izquierda

Traslación hacia la derecha

Las traslaciones tanto verticales como horizontales, están ligadas al concepto de incremento o decremento de un  valor constante  (que denominaremos  c), por lo cual son únicamente en forma de suma o diferencia, y se expresan matemáticamente de la siguiente forma: Operación sobre la función

y = f(x)

Traslación de una función con c > 0



x

Observemos a continuación, cómo es afectada la gráfica cuando sumamos o restamos una constante a la variable independiente (x) o a la variable dependiente (y).

i. Gráfica de y = x2 + 1: La gráfica de esta función se traslada una unidad hacia arriba.

Función original

y

y = f(x + c)

Se traslada en forma horizontal "c" unidades hacia la izquierda.

6

y = f(x – c)

Se traslada en forma horizontal "c" unidades hacia la derecha.

y = f(x) + c

Se traslada en forma vertical "c" unidades hacia arriba.

3

y = f(x) – c

Se traslada en forma vertical "c" unidades hacia abajo.

7

5 4

2

301

1 -3

-2

-1

0

1

2

3

x

RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA ii. Gráfica de y = x2 – 1: La gráfica de la parábola se traslada una unidad hacia abajo. y 7 6

2. Graficar la función: y = (x – 1)2 + 2 Solución: Según lo visto anteriormente, el gráfico corresponde a una traslación de la gráfica de la parábola   y  =  x2, un lugar a la derecha y dos unidades hacia arriba. 

5

y

4

7

3

6

2

5

1 -3

-2

-1

4

0

1

2

x

3

3

-1

2 1

iii. Gráfica de y = (x – 1) : La gráfica de la parábola se traslada una unidad hacia la derecha.   2

y

0

1

2

x

3

-1

c) ¿Cuál es el punto de intersección con el eje y de la gráfica trasladada?

x

3

-1

iv. Gráfica de y = (x + 1) 2: La gráfica de la parábola se traslada una unidad hacia la izquierda. y

b) ¿Cuál es la expresión algebraica? Solución: y

7

7

6

6

5

5

4

4

2

eje de simetría y = (x-2)2+3 Vértice (2,3)

2

eje de simetría f(x) = x2

1

1 0

Función trasladada 2 unidades hacia la derecha y 3 unidades hacia arriba

3

f (x) = x2 Función original

3

-1

2

b) Indique en la misma gráfica: el vértice inicial, el vértice posterior a la traslación, el eje de simetría de la gráfica original, el eje de simetría de la gráfica posterior a la traslación.

1

-2

1

a) ¿Cuál es la representación gráfica?

2

-3

0

5

3

-1

-1

6

4

-2

-2

3. Trasladar la función f (x) = x2, dos unidades a la derecha y 3 unidades hacia arriba.

7

-3

-3

1

2

3

-4

x

-3

-2

-1

1 -1

-1

302

2

3

Vértice (0,0)

4

x

RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA

a) Gráficamente.

IMPORTANTE

c) El punto de intersección con el Eje y es (0,7),

Toda función cuadrática y = f(x) = ax2 + bx + c se puede expresar de la forma y = f(x) = a(x – h)2 + k. La gráfica de esta última función es una traslación de la gráfica f(x) = ax2, desplazada “h” unidades horizontalmente, derecha o izquierda, y “k” unidades verticalmente, arriba o abajo.

puesto que:

y = (x – 2)2 + 3



y = (0 – 2)2 + 3



y = (2)2 + 3 = 7

d) Algebraicamente

5. Representar gráficamente la parábola de la ecuación y = 2x2 – 8x + 7. Solución:

4. Graficar la función: y = (x + 2)2 + 3. Solución:

El vértice de esta función estará ubicado en la coordenadas (– 2, 3)



Estas funciones se pueden representar mediante traslaciones solo que expresándolas de la forma y = a(x – h)2 + k.



y = 2x2 – 8x + 7



y = 2(x2 – 4x) + 7 sacamos el factor 2 (coeficiente del término ax2)



y = 2(x2 – 4x + 4) – 8 + 7 dentro del paréntesis sumamos el 4 pero afuera Ponemos un – 8 por el factor 2.



y = 2(x – 2) 2 – 1



Observe que la gráfica de y = 2x2 – 8x + 7 = 2(x – 2) 2 – 1 es la parábola obtenida al trasladar la función y = 2x2 de modo que su vértice sea el punto (2, –1).

y

y

7

y = 2x2

6

6

5

4

4 3

(-2, 3)

2

2 1 -4

-3

-2

-1

-4 1

2

3

x

-2

0 -2

303

2

4

x

RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA

Un resultado importante

y

2 y = 2x2- 8x+7

La forma de una parábola depende única y exclusivamente del coeficiente a de x2, es decir, cualquier parábola del tipo y = ax2 + bx + c tiene la misma forma que la parábola y = ax2.

6 4 2

-4

-2

0 -2

y = 2x2 -16x+35

y = 2x2 2 4 (2,-1)

8

x

6

ACTIVIDAD 2

4

(4,3)

1. Represente por traslación las siguientes funciones:

2

a) y = x2 + 3

-2

2

4

6

b) y = x2 – 2 c) y = (x + 1)2

TRABAJO INDIVIDUAL 1

d) y = (x – 4)2

2. Represente por traslación las siguientes funciones:

1. Obtenga el vértice y la ecuación del eje de simetría de las siguientes parábolas: a) y = (x – 1)2 + 1

a) y = (x + 1)2 + 3

b y = 3(x – 1)2 + 1

b) y = (x – 4)2 – 2

c) y = 2(x – 1)2 – 3

c) y = (x + 1)2 – 3 d) y = (x + 4)2 – 2

d) y = – 3(x – 2)2 – 5 e) y = x2 – 7x – 18 f) y = 3x2 + 12x – 5

304

RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA

2. Identifique el eje de simetría para cada una de las siguientes gráficas.

c) y = 2(x – 1)2 + 1

a) y = 2(x + 2)2 – 3 b) y = (x – 3)2 + 1 1 c) y = − (x + 5)2 − 8 2 3. Dibuje en la cuadrícula la gráfica de la función y = 2x2 y a partir de ella obtenga las siguientes gráficas. a) y = 2x2 – 3

b) y = 2(x + 3)2

d) y = 2(x + 1)2 + 3

4. Halle el vértice y la ecuación del eje de simetría de las siguientes parábolas. a) y = – 4(x + 7)2 – 1 b) y = 6(x – 12)2 + 14 c) y = 3(x – 1)2 + 4 Observe eje de simetría es la recta que pasa por el vértice de una parábola que la divide en dos mitades congruentes.

t El

305

RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA



La intersección con el eje de las abscisas (eje horizontal) se obtiene reemplazando h(t) = 0 en la función:

a,b y c son números reales y a ≠ 0, la parábola tiene las siguientes propiedades: −b El eje de simetría es la recta x = . 2a  −b  −b   El vértice es el punto  , f    .  2a 2a 



h(t) = 10t – 5t2



0 = 10t – 5t2



0 = 5t(2 – t)

El punto de intersección con el eje Y es C.



Interpretando físicamente lo anterior, podemos afirmar que a los 0 y 2 segundos la altura del objeto es cero, es decir, está en el suelo.



Por otro lado, se puede observar en el gráfico en  t = 1 segundo se encuentra la máxima altura, y si reemplazamos t = 1 en la función, obtenemos h(1)= 10 • 1 – 5 – 12 = 5 m



Este punto donde se alcanza el valor máximo de la función se denomina vértice de la parábola.

función cuadrática f(x) = a(x – h)2 + k tiene el eje de simetría x = h.

t La

t La función cuadrática f(x) = ax2 + bx + c donde



Aplicaciones de las funciones cuadráticas 1. Una de las aplicaciones de la función cuadrática, consiste en determinar la altura h(t) que alcanza un objeto después de transcurridos t segundos, cuando es lanzado verticalmente hacia arriba con una rapidez inicial vo:  h(t) = v 0 t −

1 2 gt 2



Si suponemos que la velocidad inicial es 10 m/s y que la aceleración es 10 m/s2, entonces la altura es: h(t) = 10t – 5t2.



Si graficamos esta función para algunos valores para t, obtenemos:  t 0 1 1,5 2

h(t) 0 5 3,75 0

t1 = 0  ó  t2 = 2

2. Se lanza una pelota en un campo de juego. Su trayectoria está dada por la función 1 f(x) = − x 2 + 2x + 4 . 12 a) ¿Cuál es la altura máxima que alcanza la pelota? b) ¿A qué distancia horizontal del punto de lanzamiento alcanzó la altura máxima?

h(t) 5

c) ¿Cuál es el valor máximo de la función f.

3,75

Solución:

0

1

1,5

2

t

306

Expresamos la función f en la forma estandar.

RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA

f(x) = −

f(x) = −

1 2 x + 2x + 4 12

1 24 • 24 = =2 12 12

1 2 x − 24x + 4 12

(

3. Encontrar la fórmula de la función cuadrática f cuya gráfica se muestra a continuación. 

)

10

2

8

 24  2   = 12 = 144 2

6

1 2 f(x) = − x − 24x + 122 − 122 + 4 12

(

f(x) = −

)

2

1 2 1 x − 24x + 144 − • ( −144 ) + 4 12 12

(

)

1 f(x) = ( x − 12 )2 + 12 + 4 12 f(x) =

4

−

-5 -4

-3

-2

-1

-2

1

Solución: 

1 144 • −144 = = 12 12 12



1 ( x − 12 )2 + 16 12

Hay varios métodos para responder a la pregunta anterior, pero todos ellos tienen una idea en común: es necesario comprender y luego seleccionar la información correcta de la gráfica 

Método 1:  La representación gráfica de f es y

20 18



La gráfica tiene dos raíces o ceros en el Eje X (– 3,0) y (– 1,0) y interseca al Eje Y en (0,6). 



Las coordenadas del Eje X se pueden usar para escribir la ecuación de la función f como sigue:  f (x) = a (x + 3) (x + 1) 



Como la intersección con el Eje Y es (0,6) sabemos que f (0) = 6 



6 = a (0 + 3) (0 + 1) = a(3)(1) = 3a

16 14 12 10 8 6 4 2 -2

2

4

6



8 10 12 14 16 18 20 22 24 26

x

Observando la gráfica podemos indicar que: a) Como la función representa la altura que viaja la pelota, su altura máxima es k = 16. b) La distancia horizontal del punto de lanzamiento que alcanzó la altura máxima es x = h = 12.

a=

6 =2 3



La fórmula para la función cuadrática f es dado por: 



f (x) = 2 (x + 3) (x + 1) = 2 x2 + 8 x + 6 

Método 2

c) El valor máximo de la función f se alcanza en el punto (12, 16).

307

La parábola tiene un vértice en (– 2, –2) y la intersección con el Eje Y en (0,6). La forma estandar (o vértice) de una función cuadrática f puede escribirse así: f (x) = a (x + 2)2 – 2.

RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA

Como tenemos que f(0) = 6



6 = a (0 + 2)2 – 2 = 4a – 2 – 4a = 6 + 2 ↔ 4a = 8 ↔ a = 2



La fórmula para la función cuadrática f es dado por:  f (x) = 2 (x + 2)2 – 2 = 2x2 + 8x + 6

2. En la parábola siguiente se tiene que su punto 1 mínimo es  , − 16 . Si la intersección en el 2  Eje Y es (0,40). ¿Cuál es la fórmula de la función cuadrática? A) f(x) = – 4 x2 – 4x – 63  B) f(x) = 4 x2 – 4x – 63

TRABAJO INDIVIDUAL 2

C) f(x) = – 4 x2 + 4x – 63  D) f(x) = 4 x2 + 4x – 63

1. En la parábola siguiente se tiene que su punto máximo es (–1,49). Si la intersección en el Eje Y es (0,40). ¿Cuál es la fórmula de la función cuadrática?

  3. Una parábola tiene que su punto mínimo en (3, – 5) y la intersección en el Eje Y en –2 ¿Cuál es la ecuación de la parábola?

40 30 20 10 x -10

0 -10 -20 -30 -40

A) f (x) = – 9 x2 –18x + 40  B) f (x) = 9 x2 –18x + 40  C) f (x) = – 9 x2 + 18x + 40 

2 2 x − 4x − 2 3 1 B) f(x) = x 2 − 2x − 2 3 1 C) f(x) = x 2 − x − 2 6 7 14 D) f(x) = x 2 − x + 2 9 3 A) f(x) =

10



4. Una compañía de investigación de mercados estima que n meses después de la introducción de un nuevo producto, f(n) miles de familias lo usarán, en donde



D) f (x) = 9 x2 + 18x – 40 

f(n) =

10 n• (12 − n), (0 ≤ n ≤ 12) 9

Estime el número máximo de familias que usarán el producto. Respuesta:

308

RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA

5. Se estudiaron los efectos nutricionales sobre ratas que fueron alimentadas con una dieta que contenía un 10% de proteína. La proteína consistía en levadura y harina de maíz. Variando el porcentaje p de levadura de la mezcla de proteína se estimó que el peso medio ganado en gramos de una rata en un periodo fue

b) ¿Cuándo deja de crecer la enfermedad? Respuesta:

c) ¿Cuándo desaparecerá la enfermedad? Respuesta:



8. Un delfín toma impulso y salta por encima de la superficie del mar siguiendo la ecuación y – x2 + 6x + 12 donde y es la distancia al fondo del mar (en metros) y x el tiempo empleado en segundos.

Encontrar el máximo peso ganado. Respuesta:

6. La cotización en bolsa de las acciones de la empresa va a seguir en 2016, aproximadamente la evolución siguiente f(t) = 342 + 39t – 3t2, donde t es el tiempo en meses.

a) Calcule cuándo sale a la superficie y cuándo vuelve a sumergirse sabiendo que la profundidad del lugar es de 20 metros. Respuesta:

a) ¿En qué mes alcanza la máxima cotización? Respuesta: b) ¿Cuánto duró el salto? Respuesta:

b) Calcule el porcentaje de beneficios que habrá obtenido. Respuesta:

7. El número de personas atacadas cada día por una determinada enfermedad viene dada por la función f(x) = – x2 + 40x + 84, donde x representa el número de días transcurridos desde que se descubrió la enfermedad. Calcule:

9. La empresa de servicio tiene costos variables por mantenimiento del edificio, dada por la función C(x) = 60 000 + 5x2 – 1000x y costos fijos de 60 000.

a) ¿Cuántas personas enferman el quinto día? Respuesta:

¿Cuántas personas se necesitan hospedar para minimizar los costos?

Respuesta:

309

RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA 10. Un fabricante determina que su ingreso "R" obtenido por la producción y venta de "x" artículos está dada por la función: R(x) = 350x – 0,25x2. a) Calcule el ingreso cuando se venden 100 artículos. b) Si el ingreso obtenido es de ¢120 000, determine la cantidad de artículos vendidos. Respuesta:

11. Supongamos que la temperatura de un cierto día de la ciudad de San José luego de t horas pasada la media noche está dada por la función:



1 T(t) = − t2 + 4P + 10 o 4

a) Graficar la temperatura en función del tiempo. b) ¿Cuál fue la temperatura a las 2 de la mañana. c) ¿A qué hora la temperatura fue máxima? Respuesta:

12. Las temperaturas entre las 0 hs y las 2 hs en una zona rural se ajustan por la función 1 2 T(x) = − ( x − 12 ) + 10 , donde T es la tem10 peratura en ºC y "x" es la hora del día. a) ¿Cuál fue la temperatura máxima? b) ¿A qué hora del día se registró? c) ¿Qué temperatura se registra a las 3 de la tarde? Respuestas:

13. El arco de un puente que cruza un río, se adapta 1 a la función cuadrática h(x) = − x ( x − 20 ) 20 donde "h" es la altura del arco y "x" es el ancho del río, ambos en metros. a) ¿Cuál es la altura máxima a que se elevará el arco? b) ¿A qué distancia del margen del río alcanzará el puente la altura máxima? c) Qué altura tendrá el arco a 5 m de la orilla? Respuestas:

310

ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD

Matemática - EL MAESTRO EN CASA

DISTRIBUCIÓN SEGÚN HABILIDADES Y CONOCIMIENTOS ÁREA 4: ESTADÍSTICA Y PROBABLIDAD CONOCIMIENTOS

HABILIDADES ESPECÍFICAS

Variables cuantitativas

1. Establecer diferencias entre variables cuantitativas: discretas y continuas.

t

Discretas

t

Continuas

Distribuciones de frecuencia t

Clases o intervalos

t

Frecuencia absoluta

t

Frecuencia relativa y porcentual

t

Representación tabular

t

Representación gráfica 3

Histogramas

3

Polígonos de frecuencia

2. Clasificar variables cuantitativas en discretas o continuas. 3. Reconocer la importancia de agrupar datos cuantitativos en clases o intervalos. 4. Resumir un grupo de datos cuantitativos por medio de la elaboración de un cuadrado de distribuciones de frecuencia absoluta y relativa (o porcentual). 5. Interpretar la información que proporciona un cuadro de distribución de frecuencias al resumir un grupo de datos cuantitativos. 6. Resumir la información proporcionada por una distribución de frecuencias mediante un histograma o un polígono de frecuencias (absolutas o relativas), e interpretar la información que proporcionan estas representaciones gráficas. 7. Utilizar algún software especializado o una hoja de cálculo para apoyar la construcción de las distribuciones de frecuencia y sus representaciones gráficas.

Muestras aleatorias

1.

Probabilidad frecuencial

2. Identificar eventos para los cuales su probabilidad no puede ser determinada empleando el concepto clásico.

t

Estimación de probabilidad: empleo de la frecuencia relativa (concepto frecuencial o empírico)

t

Introducción a la ley de los grandes números

Identificar la importancia del azar en los procesos de muestreo estadístico.

3. Utilizar el concepto de frecuencia relativa como una aproximación al concepto de Probabilidad, en eventos en los cuales el espacio muestral es infinito o indeterminado. 4. Identificar que las propiedades de las probabilidades que están vinculadas con evento seguro, probable e imposible también son válidas para la identificación frecuencial. 5. Identificar que, para un evento particular, su frecuencia relativa de ocurrencia se aproxima hacia la probabilidad clásica conforme el número de observaciones aumenta. 6. Resolver problemas vinculados con fenómenos aleatorios dentro del contexto estudiantil.

311

ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD Matemática - EL MAESTRO EN CASA

312

ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD

Matemática - EL MAESTRO EN CASA

Estadística Continuamos con la unidad Estadística y probabilidad en el libro de Matemática Zapandí 2016 con la definición de algunos conceptos elementales y básicos, y sin embargo pilares, para una comprensión intuitiva y real de lo que es la Estadística. Se pretende introducir al estimado estudiante en los primeros pasos sobre el uso y manejo de datos numéricos: distinguir y clasificar las características, enseñarle a organizar y tabular las medidas obtenidas mediante la construcción de tablas de frecuencia y por último los métodos para elaborar una imagen que sea capaz de mostrar gráficamente unos resultados (histogramas y polígonos de frecuencia) El aserto “una imagen vale más que mil palabras” se puede aplicar al ámbito de la estadística descriptiva diciendo que “un gráfico bien elaborado vale más que mil tablas de frecuencias” Cada vez es más habitual el uso de gráficos o imágenes para representar la información obtenida. No obstante, debemos ser prudentes al confeccionar o interpretar gráficos, puesto que una misma información se puede representar de formas muy diversas, y no todas ellas son pertinentes, correctas o válidas. Nuestro objetivo, consiste en establecer los criterios y normas mínimas que deben verificarse para construir y representar adecuadamente los gráficos en el ámbito de la estadística descriptiva.

313

ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD Matemática - EL MAESTRO EN CASA

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ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD

Matemática - EL MAESTRO EN CASA

¿QUÉ ES LA ESTADÍSTICA? Cuando coloquialmente se habla de estadística, se suele pensar en una relación de datos numéricos presentada de forma ordenada y sistemática. Esta idea es la consecuencia del concepto popular que existe sobre este término y que cada vez está más extendido debido a la influencia de nuestro entorno, ya que hoy día es casi imposible que cualquier medio de difusión, bien sea el periódico, la radio, la televisión y otros no nos aborde diariamente con cualquier tipo de información estadística sobre accidentes de tráfico, índices de crecimiento de población, turismo, tendencias políticas, etc. Sólo cuando nos adentramos en un mundo más específico como es el campo de la investigación, por ejemplo, de las Ciencias Sociales: Medicina, Biología, Psicología, etc. se empieza a percibir que la Estadística no sólo es algo más, sino que se convierte en la única herramienta que, hoy por hoy, permite dar luz y obtener resultados, y por tanto beneficios, en cualquier tipo de estudio, cuyos movimientos y relaciones, por su variabilidad intrínseca, no puedan ser abordados desde la perspectiva de las leyes deterministas. Podríamos, desde un punto de vista más amplio, definir la estadística como la ciencia que estudia cómo debe emplearse la información y cómo dar una guía de acción en situaciones practicas que entrañan incertidumbre. La Estadística se ocupa de los métodos y procedimientos para recoger, clasificar, resumir, hallar regularidades y analizar los datos, siempre y cuando la variabilidad e incertidumbre sea una causa intrínseca de los mismos; así como de realizar inferencias a partir de ellos, con la finalidad de ayudar a la toma de decisiones y en su caso formular predicciones.

Podríamos por tanto clasificar la Estadística en descriptiva, cuando los resultados del análisis no pretenden ir más allá del conjunto de datos, e inferencial cuando el objetivo del estudio es derivar las conclusiones obtenidas a un conjunto de datos más amplio.

Estadística descriptiva: Describe, analiza y representa un grupo de datos utilizando métodos numéricos y gráficos que resumen y presentan la información contenida en ellos.

Estadística inferencial: Apoyándose en el cálculo de probabilidades y a partir de datos muéstrales, efectúa estimaciones, decisiones, predicciones u otras generalizaciones sobre un conjunto mayor de datos.

Conceptos básicos sobre estadística Anteriormente en los libros de Matemática Térraba y Matemática Ujarrás 2016 conocimos y estudiamos estos conceptos, aquí nuevamente vamos a repasarlos debido a que haremos referencia continuamente de estos a lo largo del desarrollo de las siguientes páginas. Población, elementos y variables estadísticas Es obvio que todo estudio estadístico ha de estar referido a un conjunto o colección de personas o cosas. Este conjunto de personas o cosas es lo que denominaremos población.

315

ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD Matemática - EL MAESTRO EN CASA Las personas o cosas que forman parte de la población se denominan elementos. En sentido estadístico un elemento puede ser algo con existencia real, como un automóvil o una casa, o algo más abstracto como la temperatura, un voto, o un intervalo de tiempo. A su vez, cada elemento de la población tiene una serie de características que pueden ser objeto del estudio estadístico. Así por ejemplo si consideramos como elemento a una persona, podemos distinguir en ella los siguientes caracteres: Sexo, Edad, Nivel de estudios, Profesión, Peso, Altura, Color de pelo, Etc. Luego por tanto de cada elemento de la población podremos estudiar uno o más aspectos cualidades o caracteres que se llaman variables estadísticas.

Variables estadísticas Como hemos visto, los caracteres de un elemento pueden ser de muy diversos tipos, por lo que los podemos clasificar en: dos grandes clases: a) Variables cuantitativas Las variables cuantitativas son las que se describen por medio de números. Por ejemplo El peso, la altura, la edad, número de hijos posibles: 0, 1,2, 3, 4, 5,… A su vez este tipo de variables se puede dividir en dos subclases: t

Cuantitativas discretas.Son aquellas que pueden tomar solo ciertos valores en un intervalo, de manera que no admite un valor intermedio entre dos valores consecutivos fijos, por ejmplo el número de hermanos, páginas de un libro, etc.

t

Cuantitativas continuas: Son las variables que pueden medirse, cuantificarse o expresarse numéricamente, ellas admiten cualquier valor de rango numérico determinado (edad, peso, talla).

La población puede ser según su tamaño de dos tipos: t

Población finita: el número de elementos que la forman es finito, por ejemplo el número de alumnos de una escuela primaria.

t

Población infinita: el número de elementos que la forman es infinito, o tan grande que pudiesen considerarse infinitos. Como por ejemplo si se realiza un estudio sobre lo productos que hay en el mercado. Hay tantos y de tantas cualidades que esta población podría considerarse infinita.

Ahora bien, normalmente en un estudio estadístico, no se puede trabajar con todos los elementos de la población sino que se realiza sobre un subconjunto de la misma al que se llama muestra, es decir, un determinado número de elementos de la población.

No obstante en muchos casos el tratamiento hace que a variables discretas las trabajaremos como si fueran continuas y viceversa. b) Variables cualitativas Las variables cualitativas son aquellos caracteres que para su definición precisan de palabras, es decir, no le podemos asignar un número. Por ejemplo 1. Supongamos que en una urna tenemos 20 bolas de color rojo, 15 de color azul y 18 de

316

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color blanco. Sacamos una bola al azar, esto es sin mirar la urna. Si suponemos que la variable es “el color de la bola extraída de la urna”. Entonces los valores posibles de esta variable son el extraer {rojo, azul, blanco}. 2. El grupo sanguíneo tiene por modalidades: grupo sanguíneo A, grupo sanguíneo B, grupo sanguíneo AB y grupo sanguíneo O.

ACTIVIDAD 1 1. Diga de las variables siguientes cuáles representan datos discretos y cuales datos continuos. A. Censos anuales realizados por el INEC (Instituto Nacional de Estadística y Censo)

3. Si estudiamos el grado de recuperación de un paciente al aplicarle un tratamiento, podemos tener como modalidades:

B. Temperaturas registradas del cráter del Volcán Arenal cada hora en una estación sismográfica.



Grado de recuperación: Nada, Poco, Moderado, Bueno, Muy Bueno.

C. Longitud de 20 000 llaves producidas en una fábrica.

A veces se representan este tipo de variables en escalas numéricas, por ejemplo, puntuar el dolor en una escala de 1 a 5. Debemos evitar sin embargo realizar operaciones algebraicas con estas cantidades. ¡Un dolor de intensidad 4 no duele el doble que otro de intensidad 2!

D. Número de jabones vendidos en uno de los supermercados en el Cantón de Aserrí. E. Las medidas de los diámetros de los tornillos producidos en un día en una fábrica. F. Las alturas de los estudiantes de una escuela. G. El número de hijos en cada una de las familias que integran la Escuela Manuel Hidalgo Mora de Aserrí.

IMPORTANTE Si la variable estadística es continua, y hay muchos valores entre sí, que en algunos casos se repiten, es conveniente agrupar estos valores de la variable estadística en intervalos para poder manejar la información de forma más cómoda. Para ello dividimos todos los valores de la variable estadística en n partes iguales, y cada uno de los intervalos obtenidos se les llama intervalo de clase. La marca de clase (xi) es el punto medio de los intervalos de clase.

2. Diga qué tipo de variables son: A. X = Los países de Centroamérica. B. T = Número de libros en uno de los estantes en la recepción de ICER. C. L = Número de litros de agua en una piscina. D. M = El radio de un circulo. E. Ñ = El número de pedacitos de lotería vendidos cada día por Don Alejandro.

317

ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD Matemática - EL MAESTRO EN CASA 3. Indique si estamos tomando una muestra o toda la población en cada caso:

d) Estatura de los recién nacidos en Costa Rica durante el último año.

a) Para hacer un estudio sobre el número de hermanos de los estudiantes del nivel Zapandí del Liceo de Aserrí, se pregunta para esto a los estudiantes del Zapandí C.

­­­­­­­­­­­­­­­­ b) Para hacer un estudio sobre el número de hermanos y hermanas de los estudiantes del nivel Zapandí C del Liceo de Aserrí, se pregunta para esto a cada uno de los estudiantes de la clase.

5. Clasifique cada una de las siguientes variables en cualitativas o cuantitativas. Si son cuantitativas clasifíquelas a su vez en discretas o continuas. a) ocupación

b) zona de residencia

c) peso 4. Diga en cada una de las siguientes situaciones, cuál es la variable y de qué tipo es (cualitativa, cuantitativa discreta o cuantitativa continua): a) Tiempo de espera para entrar en la consulta de un médico.

d) altura

e) número de automóviles que ha poseído

f) número de hermanos b) Color favorito. g) número de empleados de una fábrica

c) Número de veces al mes que van al cine los estudiantes de la Escuela de Barrio Corazón de Jesús de Aserrí.

h) peso en kg de los recién nacidos en un día en la provincia de Limón.

318

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Tabla de distribución de frecuencia

1. Rango o amplitud total (recorrido)

A menudo en una investigación se recogen grandes cantidades de datos numéricos. Cuando esto ocurre es difícil visualizar un orden o estructura que ayude a analizarlos. Para lograrlo es necesario condensar los datos en grupos de acuerdo a ciertas divisiones de la recta numérica (intervalos o clases).

Es el límite dentro del cual están comprendidos todos los valores de la serie de datos, en otras palabras, es el número de diferentes valores que tome la variable en un estudio o investigación dada. Es la diferencia entre el valor máximo de una variable y el valor mínimo que ésta toma en una investigación cualquiera. El rango es el tamaño del intervalo en el cual se ubican todos los valores que pueden tomar los diferentes datos de la serie de valores, desde el menor de ellos hasta el mayor estando incluidos ambos extremos. El rango de una distribución de frecuencia se designa con la letra R.

Intervalo de clase: Intervalos empleados en las tablas de frecuencias estadísticas, capaz de contener diversas medidas de una variable. Consta de un límite inferior (Li) y un límite superior (Ls). Otro punto importante que el estadista debe definir, es la cantidad de intervalos de clase que empleará en la tabla de frecuencia. Esta cantidad de intervalos no deberían ser muchos, debido a que no se cumpliría el objetivo de resumir la información, y no tan pocos intervalos, ya que se perdería mucha información.

Rango = Valor Máximo – Valor Mínimo

Observe:

El rango R gráficamente se puede interpretar de la manera siguiente:

Aunque con esta agrupación la información inicial sobre cada dato individual se pierde, es más fácil visualizar rápidamente las características principales del grupo total de datos. La frecuencia de un intervalo es el número de datos que corresponden a ese intervalo. Una distribución de frecuencia es una tabla en la que aparecen todos los intervalos y las frecuencias de datos correspondientes a cada intervalo. Esta agrupación de datos numéricos por intervalos o clases se llama una distribución de frecuencia porque en ella se indica cuan frecuentemente aparecen datos en cada intervalo. Aspectos importantes que se deben tener en cuenta cuando se crea una distribución de frecuencia

2. Clase o intervalo de clase Son divisiones o categorías en las cuales se agrupan un conjunto de datos ordenados con características comunes. En otras palabras, son fraccionamientos del rango o recorrido de la serie de valores para reunir los datos que presentan valores comprendidos entre los límites.

319

ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD Matemática - EL MAESTRO EN CASA Para organizar los valores de la serie de datos hay que determinar un número de clases que sea conveniente. En otras palabras, que ese número de intervalos no origine un número pequeño de clases ni muy grande. Un número de clases pequeño puede ocultar la naturaleza de los valores y un número muy alto puede provocar demasiados detalles como para observar alguna información de gran utilidad en investigación. Se recomienda que en una distribución de frecuencia no haya más de 15 ni menos de 5 intervalos. No existe una fórmula, ni unos principios únicos para establecer el número de intervalos. Cuando sea necesario estableceremos el número de intervalos NC calculando la raíz cuadrada del total de elementos considerados en el estudio.

En este libro de Matemática Zapandí 2016, agruparemos los datos de variable continuas en clases o intervalos que incluyen todos los valores desde un número dado hasta otro número pero excluyendo a este número. Además aquí optaremos por manejar un número de intervalos solo entre 5 y 15. b)

120 – bajo 130

8

5

130 – bajo 140

6

Lo representaremos así: Peso 100 – 120 120 – 130 130 – 140

Frecuencia 5 8 6

En el ejemplo anterior 100 es el límite inferior y 120 es el límite superior del primer intervalo.

Número de intervalos (Nc): Cantidad de intervalos con los cuales se compone una tabla de frecuencia.

4. Tamaño de los intervalos de clase

3. Límites de los intervalos El límite inferior de un intervalo corresponde al valor mínimo que puede incluirse en el intervalo. El límite superior de un intervalo corresponde al valor máximo que puede incluirse o no en el intervalo. Por ejemplo: Puntuaciones 200 – 299 300 – 399 400 – 499

Frecuencia

100 – bajo 120

Nc = n

a)

Peso

Los intervalos de clase pueden ser de tres tipos según el tamaño que estos presentan en una distribución de frecuencia: a) clases de igual tamaño b) clases desiguales de tamaño c) clases abiertas

Frecuencia 2 8 6

5. Amplitud de los intervalos (A) Se refiere al tamaño que debe tener cada intervalo de clase.

En el ejemplo anterior 200 es el límite inferior y 299 es el límite superior del primer intervalo.

Para determinar la amplitud (A) de los intervalos de una distribución se divide la amplitud o alcance

320

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de la distribución: Rango (R) entre el número de intervalos (Nc). R A= Nc

Las edades de los alumnos fueron: 17 21 24 23 21 19

El conjunto de intervalos debe incluir todos los datos. No debe haber traslapo de intervalos.

17 18 19 20 22 19

19 27 25 29 21 23

19 21 24 21 20 20

31 22 24 19 20 21

Construya una tabla de distribución de frecuencias absolutas y relativas que resuma los resultados obtenidos.

6. Distribución de frecuencia absoluta En la tabla de frecuencia absoluta (fi) se señala, para cada intervalo o clase, la cantidad de datos cuyos valores pertenecen al intervalo.

Solución:

PASO 1: Ordenamos la información en forma creciente 17 19 20 21 22 24

7. Distribución de frecuencia relativa La frecuencia relativa (hi) es la razón que se obtiene al dividir la frecuencia absoluta de un intervalo entre el número total de datos en la distribución. t

La frecuencia relativa (hi) se puede expresar como una proporción o como un por ciento.

t

La distribución de frecuencia relativa (hi) es esencial para comparar datos de dos distribuciones diferentes.

t

Si la frecuencia relativa (hi) del intervalo se multiplica por 100 se obtiene el por ciento correspondiente a dicho intervalo. Esto es la frecuencia porcentual (%).

Ejemplo 1 Un sondeo realizado en la facultad de Administración de una universidad del país sobre 30 alumnos del sexto semestre de Administración Industrial, pretende mostrar que edad es la más representativa.

18 19 20 21 23 27

19 19 21 21 24 29

19 20 21 22 24 31



PASO 2: Determinar el número de intervalos (Nc)



Como tenemos 30 datos vamos a calcular la raíz cuadrada de este número ( Nc = n ) Nc = n (Nc =

30 = 5,477 ≅ 6 intervalos)



Se debe siempre aproximar el número de intervalos al entero más próximo, recordando que este valor no será menor a 5, ni un valor mayor a 15. Nuestra tabla estará constituida por seis intervalos.



PASO 3: Determinar el ancho de cada intervalo.



Antes de hallar el ancho de los intervalos de clase, debemos calcular el rango (R) como primera medida.



Observando la tabla tenemos que el termino menor es 17 y el mayor 31 (R = 31 – 17 = 14).

Por lo general, en las publicaciones no especializadas, se utiliza más la frecuencia porcentual (%) que la frecuenica relativa (hi). Sin embargo esta se obtiene luego de haber calculado la frecuencia relativa.

17 19 20 21 23 25

321

ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD Matemática - EL MAESTRO EN CASA

Con el Rango y el número de intervalos, podremos hallar el ancho: R 14 A= = Nc 6 A = 2,333

El ancho se debe ajustar para trabajar con el mismo número de decimales que en el conjunto de datos tratados. Como los datos son valores enteros, aproximamos al entero superior



Ni Li Ls 1

Ni Li Ls 1

El ajuste del ancho no podrá ser menor al valor obtenido inicialmente.



PASO 4: Determinar el nuevo Rango (R’).



En el momento de realizar el ajuste del ancho del intervalo, el rango se incrementa automáticamente. Este “Nuevo Rango” lo denotaremos como R’:

2



R’ = A • Nc R’ = 3 • 6 = 18

Ni

18 21

Li

Ls

1

15 18

3

21 24

4 5 6

18 21 24 27 27 30 30 33

IMPORTANTE:

R’ = A • Nc El rango se incremento en cuatro años. El incremento se le sumará al valor Máximo (Xmax’) o se restará al valor Mínimo (Xmin’). En este caso optaremos por aumentar el valor Máximo y reducir el valor Mínimo en dos. Incremento = R’ – R = 18 – 14 = 4 (Xmax’) = 31 + 2 = 33

Observe que esta primera distribución presenta algunos inconvenientes al momento de repartir las frecuencias a cada intervalo de clase, por ejemplo, existen 6 personas del total de encuestados que tienen una edad de 21 años, los cuales podrían ser clasificados en el intervalo dos o en el tres. Ni

(Xmin’) = 17 - 2 = 15

15 18

• • • Seguimos realizando este proceso hasta alcanzar el valor máximo:

2

Nuevo Rango ( R’): rango que es convenido por el ancho de los intervalos a los decimales que son manejados en los datos objeto del estudio. Su cálculo se realiza multiplicando el ancho ajustado por el número de intervalos:

15 18

El segundo intervalo parte del límite superior del intervalo anterior

A ≅3

Con los valores máximos y mínimos, y el ancho, podremos armar cada intervalo de clase. El primer intervalo parte del valor mínimo, al cual le agregamos el ancho.

PASO 5: Determinar los intervalos de clases iniciales.

322

2 3

Li

Ls

18 21 21 24

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Este caso se le conoce como el “Problema de la Ambigüedad”, y el cual debe ser solucionado antes de terminar la tabla de frecuencia.



En este libro de Matemática Zapandí 2016 realizaremos lo siguiente: Se trabajan con intervalos cuyos límites superiores e inferiores tendrán un decimal adicional sobre el número de decimales manejados en los datos.

Estimado estudiante. Este procedimiento de conteo, lo estudiamos en el libro de Matemática Térraba 2016.

Por ejemplo, si el Límite Superior del primer intervalo es 21 y los datos trabajados son valores enteros, el nuevo límite superior será 21,1. Si los datos trabajan con un decimal, el nuevo Límite Superior sería 21,01.

Si posee alguna duda ahí puede volver a repasarlo.

Ni

El primer límite Inferior (Valor Mínimo) y el último límite Superior (Valor Máximo) se mantendrán sin modificación.





Li

2

18,1 21,1

3

21,1 24,1

Las seis personas que tienen 21 años quedarían registradas en el intervalo número 2.

Li 15,0 18,1 21,1 24,1 27,1 30,1

Ls 18,1 21,1 24,1 27,1 30,1 33,0

21,1 24,1

5

27,1 30,1

24,1 27,1

//

//// // /

30,1 33,0

/

PASO 8: La columna de frecuencias absolutas se completa de acuerdo al conteo obtenido en el PASO 7. Li

Ls

1

15,0 18,1

3

21,1 24,1

4

5

6

323

///

//// //// //// /

2



Conteo

18,1 21,1

Ni

PASO 6: Determinar los intervalos de clases reales. Ni 1 2 3 4 5 6

3

6



Ls

15,0 18,1

4

Ls

Li

1 2

El problema quedaría solucionado de la siguiente manera: Ni

PASO 7: Cuando ya se tiene definidos quienes son los intervalos reales, por conteo, y ayudándonos con la tabla obtenida en el PASO 1, obtenemos la frecuencia absoluta de cada intervalo de clase, o sencillamente clase.

fi

3

18,1 21,1

16

24,1 27,1

2

27,1 30,1

30,1 33,0

Total

7

1

1

30

Observe que el número total de datos corresponde a 30.

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PASO 9: La columna de frecuencias relativas se completa de acuerdo a la información obtenida en el PASO 8. Recuerde que la frecuencia relativa de cada clase se obtiene dividiendo la frecuencia absoluta por el número total de datos, en este caso N = 30. Ni 1 2 3 4 5 6



Li 15,0 18,1 21,1 24,1 27,1 30,1

Ls fi hi 18,1 3 3 ÷ 30 = 0,10 21,1 16 16 ÷ 30 = 0,53 24,1 7 7 ÷ 30 = 0,23 27,1 2 2 ÷ 30 = 0,07 30,1 1 1 ÷ 30 = 0,03 33,0 1 1 ÷ 30 = 0,03 Total 30 1,00

Li 15,0 18,1 21,1 24,1 27,1 30,1

Sabemos que el total de los datos N es igual al total de observaciones, luego N = 200. a) Calculemos h1

de la primera clase,



Ls fi hi 18,1 3 0,10 21,1 16 0,53 24,1 7 0,23 27,1 2 0,07 30,1 1 0,03 33,0 1 0,03 Total 30 1,00

c) Calculemos h3

0

10

60

20 30

30

40 50

n5

10 20 30 40 total



Como n4 corresponde a la frecuencia absoluta del cuarto intervalo de clase, n4 = 0,10 200 n2 = 200 • 0,10 n4 = 20

hi

h1

e) Calculemos n5

h3

n5 corresponde a la frecuencia absoluta del quinto intervalo de clase, puesto que

n2

0,40

n4

0,10

N = 200

Como h3 corresponde a la frecuencia relativa del tercer intervalo de clase,

d) Calculemos n4

Calcular los datos que faltan en la siguiente tabla: fi

Como n2 corresponde a la frecuencia absoluta del segundo intervalo de clase, n2 = 0,40 200 n2 = 200 • 0,40 n2 = 80

2. Ejemplo de cálculo con frecuencias

Li Ls

Como h1 corresponde a la frecuencia relativa

b) Calculemos n2

PASO 10: Respuesta: la tabla de frecuencias absolutas, frecuencias relativas es la siguiente: Ni 1 2 3 4 5 6

Solución:

h5

n1 + n2 + n3 + n4 + n5 = 200 donde n1 = 60, n2 = 80, n3 = 30, n4 = 20

324

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se tiene que 60 + 80 + 30 + 20 + n5 = 200



fi , resultado N de dividir la frecuencia absoluta entre el total de la población. t

190 + n5 = 200

n5 = 200 – 190 n5 = 10

Frecuencia relativa hi =

f) Calculemos h5

h5 corresponde a la frecuencia relativa del quinto intervalo de clase, puesto que



h1 + h2 + h3 + h4 + h5 = 1 donde h1 = 0,30, h2 = 0,40; h3 = 0,15, h4 = 0,10



se tiene que



0,30 + 0,40 + 0,15 + 0,10 + h5 = 1,00









h5 = 1,00 – 0,95





h5 = 0,05

0,95 + h5 = 1,00

La tabla completa corresponde a Li Ls 0

fi

hi

10

60

0,30

20 30

30

0,15

10 20

80

30 40

40 50 total

20

10

N = 200

0,40

0,10

0,05

Recuerde: Tablas de datos Tabular datos consiste en confeccionar una tabla en la que aparecen bien organizados los valores de la variables que se están estudiando, junto con otros datos que ahora explicamos: t

Frecuencia absoluta fi es el número de individuos que toma cada valor.

Representaciones gráficas Hemos visto que la tabla de distribución de frecuencias resume los datos que disponemos de una población, de forma que ésta se puede analizar de una manera más sistemática y resumida. Para darnos cuenta de un solo vistazo de las características de la población resulta aún más esclarecedor el uso de gráficos y diagramas, cuya construcción abordamos en Matemática Ujarrás 2016.

Gráficos para variables cuantitativas Para las variables cuantitativas, se consideran dos tipos de gráficos, en función de que para realizarlos se usan las frecuencias (absolutas o relativas o porcentuales) a saber: Diagramas diferenciales: Son aquellos en los que se representan frecuencias absolutas o relativas (porcentuales). En ellos se representa el número o porcentaje de elementos que presenta una modalidad dada. Diagramas integrales: Son aquellos en los que se representan el número de elementos que presentan una modalidad inferior o igual a una dada. Se realizan a partir de las frecuencias acumuladas, lo que da lugar a gráficos crecientes, y es obvio que este tipo de gráficos no tiene sentido para variables cualitativas.

325

ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD Matemática - EL MAESTRO EN CASA Según hemos visto existen dos tipos de variables cuantitativas: discretas y continuas.

Los histogramas son una forma sencilla de mostrar datos que se han recolectado para su análisis, a partir de hojas de verificación u hojas de registro, o simplemente a partir de registros convencionales de datos.

Veamos a continuación las diferentes representaciones gráficas que se pueden realizar para cada una de ellas así como los nombres específicos que reciben. Estimado estudiante:

El objetivo básico de un histograma es transmitir la información de forma tal que pueda ser captada rápidamente, de un golpe de vista. Luego, un histograma debe ser ante todo sencillo y claro, a pesar de su aspecto artístico, ya que se elabora para ser incluido en un trabajo científico.

Según hemos visto existen dos tipos de variables cuantitativas: discretas y continuas. En el libro de Matemática Zapandí 2016 sólo vamos a considerar el tipo de gráficos para variables continuas en función de que para realizarlos se usen las frecuencias (absolutas, relativas o porcentuales) los cuales corresponden a los diagramas diferenciales.

Este tipo de gráfico se usa para representar una distribución de frecuencias de una variable cuantitativa continua. Método de elaboración del histograma 1. Obtener una muestra y los valores de la variable que se estudia. Mínimo 30 datos. Es recomendable utilizar una hoja de registros.

Construcción y análisis de histogramas En muchas ocasiones la información proporcionada en una tabla de distribución de frecuencias es tan singular o importante que se decide presentar esos resultados de forma gráfica. Cuando se decide utilizar el gráfico, este sustituye a la tabla, no la complementa. Por ello no se deben tener tantos gráficos como tablas. Como se presenta sólo uno de los dos se acostumbra reflejar la información numérica en el gráfico para que no sea necesaria la tabla correspondiente. Incluso, un número innecesariamente grande de gráficos le puede restar lucidez al trabajo en lugar de proporcionarle calidad o rigor científico. Se debe lograr un balance entre estas dos formas de presentación de resultados.

2. Calcular el rango o amplitud de los datos (diferencia entre el mayor y el menor de los datos). 3. Determinar el ancho de cada intervalo que servirá para construir el histograma. Se obtiene dividiendo el rango calculado en el paso R anterior en el número de intervalos: c = . Nc 4. A cada barra corresponde un intervalo de clase o “clase”.

326

Es recomendable que el histograma tenga de 5 a 15 barras. Una buena aproximación del número de intervalos aconsejable se obtiene calculando la raíz cuadrada del número de datos.

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Se aconseja que el tamaño o amplitud de intervalo tenga un grado de aproximación no mayor a aquel con el que se registran los datos.

t

Los histogramas pueden estar referidos a las frecuencias absolutas, a las frecuencias relativas o porcentuales.

5. Establecer los límites o fronteras de cada clase, es decir, los valores de inicio y terminación de cada intervalo.

El análisis de sus características nos puede conducir a diferentes conclusiones acerca de la población de la cual se ha tomado la muestra en estudio.

6. Construir la tabla de frecuencias. La tabla de frecuencias se puede construir de diferentes formas pero hay que tener en cuenta que el primer intervalo debe contener el menor de los datos y el último el mayor. Asimismo, la presentación de los datos en la tabla de frecuencias no debe generar confusiones acerca del intervalo que contiene cada dato. En lo posible, todos los intervalos deben tener el mismo ancho.

Ejemplo 1

7. Es usual que en la primera columna se registre el número de orden de cada clase, en la segunda se escriban los intervalos, en la tercera las marcas de clase en la cuarta las frecuencias absolutas y en la quinta las frecuencias relativas. 8. Graficar el histograma. En lo posible dar una presentación tal que la altura sea aproximadamente ¾ del ancho de la gráfica. El histograma de frecuencias en sí es una sucesión de rectángulos construidos sobre un sistema de coordenadas cartesianas de la manera siguiente: t

t

t

Las bases de los rectángulos se localizan en el eje horizontal, Eje X. La longitud de la base es igual al ancho del intervalo.

En una Clase de Matemática se pesan todos los estudiantes para realizar una práctica de estadística. Los datos obtenidos se resumen en la siguiente tabla y están expresados en kg. 66 59 53 65 72 64 62 69 56 54 57 51 58 69 57 60 53 61 58 66 49 59 68 61 62 60 56 55 62 65 Calcule: a) El tamaño de la población. b) Construya una tabla estadística asociada con intervalos de amplitud de 3 kg. c) Construya el histograma de frecuencias absolutas asociado a esta tabla. d) Construya el histograma de frecuencias relativas asociado a esta tabla. Solución: a) El tamaño de la población es 30. b) Para construir una tabla estadística de distribución absoluta o simple en intervalos de amplitud 3 kg necesita

PASO 1. Se ordenan los datos de la tabla de valores en forma creciente. Ver tabla siguiente:

Las alturas de los rectángulos se registran sobre el eje vertical, Eje Y y corresponden a las frecuencias de las clases.

49 51 53 53 54 55 56 56 57 57 58 58

Las áreas de los rectángulos son proporcionales a las frecuencias de las clases.

66 66 68 69 69 72

327

59 59 60 60 61 61 62 62 62 64 65 65

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El Valor inferior es 49 y el Valor superior es 72.



PASO 2: Construimos los intervalos con una amplitud de 3 kg (este es un dato previo), así, no olvidemos que el valor inferior es 49 y el valor superior es 72.

Intervalos 49 - 52

Intervalos 49 - 52 52 – 55 55 – 58 58 – 61 61 – 64 64 – 67

n

n

55 – 58

5

58 – 61

6

61 – 64

5

64 – 67

5

67 – 70

3

70 – 73

1

Total

30

Recuerde que para obtener las frecuencias relativas debemos realizar la división de la frecuencia absoluta entre el total de datos, en este caso es N = 30. Frecuencia

Frecuencia

49 - 52

2

2 ÷ 30 = 0,067

52 - 55

3

3 ÷ 30 = 0,100

55 - 58

5

5 ÷ 30 = 0,167

58 - 61

6

6 ÷ 30 = 0,200

61 - 64

5

5 ÷ 30 = 0,167

64 - 67

5

5 ÷ 30 = 0,167

67 - 70

3

3 ÷ 30 = 0,100

70 - 73

1

1 ÷ 30 = 0,033

Total

30

1,00

Intervalos

Los datos 53 53 54 están en el intervalo 52 – 55, observe que el 55 queda afuera, recuerde, antes se combino para este libro de Matemática Zapandí 2016 que el extremo superior del intervalo no es un valor de este.

n



3



Los datos 49 51 están en el intervalo 49 – 52.

Los datos 55 56 56 57 57 están en el intervalo 55 – 58. . . . Procediendo de igual manera completamos la siguiente tabla con las frecuencias absolutas.

52 – 55

PASO 4. De igual manera, observando la tabla de valores del PASO 1 y la tabla de frecuencias absolutas construidas en el PASO 3, podemos construir la columna de frecuencias relativas de los intervalos de clase.

70 – 73

PASO 3. Observando la tabla de valores del PASO 1 y los intervalos construidos en el PASO 2, podemos construir la columna de frecuencias absolutas de los intervalos de clase.

2



67 – 70



Frecuencia absoluta



328

absoluta

relativa

Importante: Cuando el propósito de la tabla que estamos creando es construir un polígono asociado a ella, necesitamos la columna de las marcas de clase o puntos medios de los interva-

ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD

Matemática - EL MAESTRO EN CASA

2

0,067

52 – 55

3

0,100

55 – 58

5

0,167

58 – 61

6

0,200

61 – 64

5

0,167

64 – 67

5

0,167

67 – 70

3

0,100

70 – 73

1

0,033

49 + 52 = 50,5 2 52 + 55 = 53,5 2 55 + 58 = 56,5 2 58 + 61 = 59,5 2 61+ 64 = 62,5 2 64 + 67 = 65,5 2 67 + 70 = 68,5 2 70 + 73 = 71,5 2

TABLA 1: Peso (en kg) de los estudiantes de una clase de Matemática

49 - 52 52 – 55 55 – 58 58 – 61 61 – 64 64 – 67 67 – 70 70 – 73 Total

Frecuencia Frecuencia absoluta relativa

2 3 5 6 5 5 3 1 30

0,067 0,100 0,167 0,200 0,167 0,167 0,100 0,033 1,000



Marcas de clase

50,5 53,5 56,5 59,5 62,5 65,5 68,5 71,5

Habitualmente se representa la frecuencia observada en el Eje Y, esto es, la información reunida en la columna de las frecuencias absolutas, la escala vertical o Eje Y generalmente comienza en cero. Frecuencia absoluta 2 3 5 6 5 5 3 1 30

Realizando lo anterior, tenemos que la tabla de frecuencias estadística asociada es la siguiente:

Intervalos

Observe:

Marcas

relativa

49 – 52

c) El histograma de frecuencias absolutas asociado a la distribución de la Tabla 1 es el siguiente:

de clase

Frecuencia

absoluta

Frecuencia

Intervalos

los. Para las marcas de clase solo se necesita la columna de los intervalos. Pero como todo está junto, la vamos a colocar después de la columna de las frecuencias relativas.

En el Eje X, se coloca la variable, usualmente miden la amplitud de los intervalos de clase, o bien, los límites de cada clase aparecen en el eje horizontal, el Eje X o escala horizontal puede iniciarse con cualquier número adecuado que convenga como punto de partida para iniciar clases. La escala del eje correspondiente a la variable se rotula con los límites inferiores de notación de las clases consideradas y se agrega al final el que le correspondería a una clase subsiguiente inexistente. En este caso, las frecuencias deben resultar proporcionales no a la altura de las barras, sino al área de las mismas, lo que significa que la obtención de las alturas de las barras resulta un poco más compleja que en los gráficos anteriores.

329

ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD Matemática - EL MAESTRO EN CASA

En el Eje X, se coloca la variable, usualmente miden la amplitud de los intervalos de clase, o bien, los límites de cada clase aparecen en el eje horizontal.

Frecuencia absoluta

Gráfico 1: Histograma de frecuencias absolutas Peso (en kg) de los estudiantes de una clase de Matemática

Escala 3 : 2

Frecuencia relativa

Gráfico 2: Histograma de frecuencias relativas porcentuales Peso (en kg) de los estudiantes de una clase de Matemática

Peso (kg)

Recuerde: Un histograma se emplea para ilustrar muestras agrupadas en intervalos. Está formado por rectángulos unidos a otros, cuyos vértices de la base coinciden con los límites de los intervalos y el centro de cada intervalo es la marca de clase, que representamos en el eje de las abscisas, Eje X. La altura de cada rectángulo es proporcional a la frecuencia del intervalo respectivo.

Escala 3 : 2

Ejemplo 2:

d) El histograma de frecuencias relativas asociado a la distribución de la Tabla 1 es el siguiente.

El siguiente dibujo corresponde a un histograma de frecuencias absolutas de las edades de 30 obreros de una fábrica, observe que en el eje horizontal se tiene como ancho de lo rectángulos el extremo inferior y el extremo superior de los distintos intervalos de clase y en el eje vertical o Eje Y, la frecuencia absoluta.

Observe, en el Eje Y, se coloca la información reunida en la columna de las frecuencias relativas expresadas en porcentajes. Frecuencia Relativa (%) 6,7 10,0 16,7 20,0 16,7 16,7 10,0 3,3 100,0

Gráfico 3: Histograma de frecuencias absolutas Edades (años) de los obreros de una fábrica Frecuencia absoluta



Peso (kg)

Edades (años)

330

ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD

Matemática - EL MAESTRO EN CASA

Ejemplo 3: El siguiente dibujo corresponde a un histograma de frecuencias relativas o porcentuales de las edades de 30 obreros de una fábrica, observe que en el eje horizontal se tiene como ancho de lo rectángulos el extremo inferior y el extremo superior de los distintos intervalos de clase y en el Eje vertical o Eje Y, la frecuencia de los datos dados en porcentajes. Gráfico 4: Histograma de frecuencias relativas o porcentuales Edades (años) de los obreros de una fábrica

con los histogramas: histograma de frecuencias absolutas e histogramas de frecuencias relativas, también se tiene polígonos de frecuencias absolutas y polígonos de frecuencias relativas. Ejemplo 1: El siguiente polígono que construiremos es un polígono de frecuencias absolutas. Consideremos la Tabla 2 sobre la velocidad (kg/h) en una zona escolar: Li

Ls

Frecuencia relativa

2,0 6,1 6,1 10,1 10,1 14,1 14,1 18,1 18,1 22,1 22,1 26,1 26,1 30,0 Total

Polígonos de frecuencia Se utiliza, al igual que el histograma, para representar distribuciones de frecuencias de variables cuantitativas continuas, pero como no se utilizan barras en su confección sino segmentos de recta, de ahí el nombre de polígono. Habitualmente se usa cuando se quiere mostrar en el mismo gráfico más de una distribución o una clasificación cruzada de una variable cuantitativa continua con una cualitativa o cuantitativa discreta, ya que por la forma de construcción del histograma sólo se puede representar una distribución.

Marcas de clase 4,1 8,1 12,1 16,1 20,1 24,1 28,1

PASO 1: Para crear el polígono de frecuencias absolutas primero se debe crear el histograma de frecuencias absolutas de acuerdo a la Tabla 2 anterior: Observe que ya lo tenemos construido, usted debe seguir todos los pasos que ya estudiamos anteriormente.

Para su confección, una vez construidas y rotuladas las escalas, de manera a como se realiza para un histograma, los valores de alturas obtenidos se marcan sobre el punto medio o marca de clase de los intervalos correspondientes y luego se procede a unir esos puntos con segmentos de recta. Para elaborar un polígono de frecuencia partimos de una tabla de frecuencia dada. Al igual que

331

Gráfico 5: Histograma de frecuencias absolutas Velocidad (km/h) en zona escolar

Frecuencia absoluta

Edades (años)

Frecuencia absoluta 12 15 21 24 21 12 8 113

Velocidad (km/h)

ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD Matemática - EL MAESTRO EN CASA PASO 2: Trazar los segmentos de recta entre los puntos medios de los techos de columnas contiguas, partiendo desde el punto de origen (0,0) hasta el punto final definido en el eje horizontal

t

El punto con mayor altura representa la mayor frecuencia.

t

Suelen utilizarse para representar tablas de datos agrupados.

Gráfico 5.1: Polígono e histograma de frecuencias absolutas Velocidad (km/h) zona escolar

t

El área bajo la curva representa el 100% de los datos.

t

El polígono de frecuencia está diseñado para mantener la misma área de las columnas.

Frecuencia absoluta

Consideremos la siguiente porción de un gráfico cualquiera para probar la anterior afirmación. “El polígono de frecuencia está diseñado para mantener la misma área de las columnas”.

Velocidad (km/h)

PASO 3: Nuestro polígono de frecuencias sin el histograma quedaría de la siguiente forma:

Frecuencia absoluta

Gráfico 5.2: Polígono de frecuencias absolutas Velocidad (km/h) zona escolar

Observe que cada línea corta una porción de la columna, pero a su vez, agrega una porción adicional. Ambas porciones son iguales (triángulos rectángulos iguales), manteniendo el área global en el gráfico.

Velocidad (km/h)

Características de los polígonos de frecuencias t

No muestran frecuencias acumuladas

t

Se prefiere para el tratamiento de datos cuantitativos.

332

ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD

Matemática - EL MAESTRO EN CASA

IMPORTANTE:

Solución:

Para representar el polígono de frecuencias en el primer y último intervalo, suponemos que adyacentes a estos rectángulos existen otros intervalos de la misma amplitud y frecuencia nula, que se unen por una línea recta a los puntos del histograma correspondiente a las marcas de clase. Observe el dibujo siguiente, el polígono de frecuencias tiene en común con el histograma el que las áreas de las gráficas sobre un intervalo son idénticas. Considere ambas gráficas diferenciales representadas en la parte superior de la figura siguiente:

PASO 1: Para construir un polígono de frecuencias, se debe construir primero el histograma de frecuencias absolutas, no olvide, debemos suponer un rectángulo al inicio y adyacente a los obtenidos, también al final de los rectángulos con frecuencias nulas. Gráfico 7: Histograma de frecuencias absolutas Peso (en kilogramos) de 65 personas adultas

Frecuencia absoluta

Frecuencia relativa

Gráfico 6: Histograma y polígono de frecuencias absolutas Peso (en kilogramos) Nacimientos de bebés durante el mes de mayo en el Hospital de la Mujer

Peso (kg)

10

PASO 2: En el histograma construido, marcamos los puntos medios de los rectángulos, incluyendo los adyacentes a los dibujados de acuerdo con la tabla de frecuencias.

Peso (kg)

Ejemplo 2:

Gráfico 7.1: Histograma y polígono de frecuencias Peso (en kilogramos) de 65 personas adultas

Considere la Tabla 3 de frecuencias que corresponde al peso en kilogramos de 65 personas adultas: TABLA 3: Peso en kilogramos Ejemplo de ilustración

50 – 60 60 – 70 70 – 80 80 – 90 90 – 100 100 – 110 110 – 120

Marcas de clase 55 65 75 85 95 110 115

Frecuencia absoluta 8 18 16 14 10 5 2 Total : 65

Frecuencia absoluta

Intervalos

Construir un polígono de frecuencias absolutas.

333

Peso (kg)

ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD Matemática - EL MAESTRO EN CASA PASO 3: La respuesta debe ser dada retirándole los triángulos y dejando solo los segmentos que unen los puntos medios de los intervalos de clase.

Frecuencia absoluta

Gráfico 7.2: Polígono de frecuencias Peso (en kilogramos) de 65 personas adultas

v

Límites de Clase

v

Marca de Clase

v

Frecuencia de clase

v

Rango o recorrido

v

Frecuencia absoluta

v

Frecuencia relativa

2. Los siguientes puntajes representan el número de tomates rechazados en un día en un mercado mayorista. Los puntajes corresponden a 50 días seleccionados aleatoriamente. 29 58 80 35 30 23 88 49 35 97 12 73 54 91 45 28 61 61 45 84 Peso (kg)

83 23 71 63 47 87 36

Recuerde:

28 91 87 15 67 10 45 67 26 19

v

Construya una tabla de frecuencias con 9 clases.

v

Construya un histograma de frecuencias absolutas que corresponde a la tabla anterior.

3. La siguiente tabla registra la temperatura máxima en una ciudad durante 20 días.

ACTIVIDAD 2 1. Escriba el significado de cada una de las siguientes palabras: Clase

v

Intervalo de clase

94 26

95 63 86 42 22 44 88 27 20 33

Un polígono de frecuencias es una gráfica de líneas de una distribución de frecuencias, en donde para el eje horizontal se anota las marcas de clase y en el eje vertical la frecuencia absoluta o relativa. También un polígono de frecuencias puede formarse colocando un punto sobre la mitad de la cúspide de cada rectángulo del histograma y luego uniendo dichos puntos por medio de una línea). Este representa curvas útiles para describir los datos.

v

8

Temperatura (°C)

Frecuencia fi

30 – 32

6

27 – 29 33 – 35 36 – 38

334

2 8 4

ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD

Matemática - EL MAESTRO EN CASA

¿Cuál es el histograma correspondiente a la tabla anterior? Seleccionar entre a, b y c. a)

4. En una clase se pesan todos los alumnos y los datos obtenidos en kilogramos se resumen en la siguiente tabla. 66 59 53 65 72 64 62 69 56 54 57 51

Frecuencia absoluta

58 69 57 60 53 61 58 66 49 59 68 61 62 60 56 55 62 65

Calcule:

a) El tamaño de la población. b) Construye una tabla estadística asociada. Temperatura (°C)

c) Construya el polígono de frecuencias asociado a esa tabla.

b)

Frecuencia absoluta

5. Organice los datos siguientes en intervalos de 10 cm desde 150 a 200.Construya una tabla de frecuencias y elabore un polígono de frecuencias simple: 171 158 150 185 186 178 166 185 199 183 175 173 175 164 173 178 179 164 176 159 190 173 189 163 156 169

Temperatura (°C)

c)

Resumiendo:

Frecuencia absoluta

El análisis de la distribución de frecuencias en las variables cuantitativas continuas tiene el interés de que las categorías mediante las que se ordena la distribución no viene determinado por la variable, sino que debe elegirse. El primer paso para construir la tabla de la distribución de frecuencias es dividir el recorrido (conjunto de posibles valores de la variable)en clases o intervalos (preferentemente que no se solapen). Al punto central de cada un de estos recorridos lo llamaremos marcas de clase y lo representamos por Mc. Temperatura (°C)

335

ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD Categorías de la variable

Frecuencia Absoluta

l0, l1

Mc1

n1

…

…

…

lf–1, lj

Mcj

nj

…

…

…

lk–1, lk

Mck

nk N

Freuencia Relativa

Intervalo

Matemática - EL MAESTRO EN CASA

Li + Ls 2 donde Li es el límite inferior del intervalo y Ls es La marca de clase queda fijada por Mc =

el límite superior del intervalo.

n1 N … n hj = 1 N … n hk = k N h1 =

Se llama amplitud del intervalo a la cantidad de unidades del recorrido de la variable que contiene un intervalo.

1

PROBLEMAS RESUELTOS 1. Construya una tabla de frecuencia con la siguiente tabla de datos: 96,65 546,56 376,43 358,48 718,43 859,76 705,55 73,16 731,09

118,94 949,14 97,94 835,14 869,57 950,77 461,15 673,45 235,69

353,18 717,34 72,06 146,19 251,83 742,90 167,49 137,28 927,49

831,52 189,10 897,99 992,42 473,74 243,41 174,51 490,94 43,07

170,72 226,96 510,13 722,36 253,90 558,50 919,39 87,95 224,61

136,76 888,39 774,02 56,06 852,44 965,75 784,01 763,32 829,01

SOLUCIÓN PASO1: Debemos ordenar la tabla de datos en forma creciente 43,07 97,94 170,72 243,41 461,15 673,45 742,90 835,14 919,39

56,06 118,94 174,51 251,83 473,74 705,55 763,32 852,44 927,49

72,06 136,76 189,10 253,90 490,94 717,34 774,02 859,76 949,14

73,16 137,28 224,61 353,18 510,13 718,43 784,01 869,57 950,77

336

87,95 146,19 226,96 358,48 546,56 722,36 829,01 888,39 965,75

96,65 167,49 235,69 376,43 558,50 731,09 831,52 897,99 992,42

ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD

Matemática - EL MAESTRO EN CASA



PASO 2: Determinar el número de intervalos (Nc).

Incremento = R’ – R = 949,36 – 949,35 = 0,01 (Xmax’) = 992,42 + 0,005 = 992,425

Como tenemos 54 datos vamos a calcular la raíz cuadrada de este número ( Nc = n ) Nc = n (Nc =

54 = 7,348 ≅ 8 intervalos)



PASO 3: Determinar el ancho de cada intervalo.



Pero antes debemos determinar el rango como primera medida utilizando

(Xmin’) = 43,07 – 0,005 = 43,065

PASO 5: Determinar los intervalos de clases iniciales.



Observe con atención lo siguiente:

Xmax = 992,42 Xmin = 43,07

t

La columna Ni nos indica el número del intervalo o clase, para este caso lo vamos a incluir, pero no necesariamente se hace todo el tiempo.

t

El colocar la columna Li y la columna Ls en algunos casos es relativamente más cómoda.

t

Seguidamente se dará la información de los intervalos de clase iniciales en dos presentaciones, ambas son equivalentes, usted puede seleccionar la que le parezca más conveniente.

R = 992,42 – 43,07 = 949,35

Con el Rango y el número de intervalos, podremos hallar el ancho: R 949,35 = Nc 8 A = 118,67 A=



Ni

El ancho se debe ajustar para trabajar con el mismo número de decimales que en el conjunto de datos tratados, son dos decimales.

PASO 4: Determinar el nuevo Rango (R’).



Como el ancho fue ajustado, se procede a hallar el nuevo rango (R’). R’ = A • Nc R’ = 118,67 • 8 = 949,36



El incremento entre el nuevo rango (R’) y el rango inicial (R), se reparte entre el valor mínimo y el valor máximo.

Ls

Intervalos

43,065 – 161,735 1 43,065 161,735 161,735 – 280,405 2 161,735 280,405 280,405 – 399,075 3 280,405 399,075

A ≅ 118,67

Li

4

399,075 517,745

5

517,745 636,415

6

636,415 755,085

7

755,085 873,755

8

873,755 992,425

399,075 – 517,745 517,745 – 636,415 636,415 – 755,085 755,085 – 873,755 873,755 – 992,425



PASO 6: Determinar los intervalos de clases reales.



Observe



El límite inferior 43,065 (valor Mínimo) y el último límite Superior 992,425 (Valor Máximo) se deben mantener sin modificación.

337

ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD Matemática - EL MAESTRO EN CASA

Como el límite superior del primer intervalo de los intervalos originales es 161,735 (tiene tres decimales) para crear el primer intervalo de clases reales, se debe agregar un cuarto decimal uno, así: 161,7351 y al límite inferior del primer intervalo real, siempre manteniéndolo sin cambios se le agrega un cero, así: 43,0650, por esto el intervalo en la tabla inicia así:

Ni 1



Li

Ls

Ni 1 2 3 4 5 6 7 8

Para obtener la frecuencia relativa dividimos el total de los datos por la frecuencia absoluta de cada intervalo de clase. Ni 1 2 3 4 5 6 7 8

Estos son los intervalos de clase reales en dos presentaciones, ambas son equivalentes, usted puede seleccionar la que le parezca más conveniente. Intervalos 43,0650 - 161,7351 161,7351 - 280,4051 280,4051 - 399,0751 399,0751 - 517,7451 517,7451 - 636,4151 636,4151 - 755,0851 755,0851 - 873,7551 873,7551 - 992,4250



Paso 7: Determinar las frecuencias absolutas.



Para obtener la frecuencia absoluta de cada intervalo de clase, se realiza el conteo de los datos ubicados en la tabla de datos que pertenecen en dicho intervalo.

54



43,0650 161,7351

Ls 161,7351 280,4051 399,0751 517,7451 636,4151 755,0851 873,7551 992,4250

total

Paso 8: Determinar las frecuencias absolutas, frecuencias relativas.

Haciendo el mismo procedimiento creamos el último intervalo de clases reales así:

Ni Li 1 43,0650 2 161,7351 3 280,4051 4 399,0751 5 517,7451 6 636,4151 7 755,0851 8 873,7551

Ls fi 161,7351 14 280,4051 7 399,0751 3 517,7451 4 636,4151 2 755,0851 7 873,7551 9 992,4250 8



8 873,7551 992,4250



Li 43,0650 161,7351 280,4051 399,0751 517,7451 636,4151 755,0851 873,7551

Li Ls fi hi 43,0650 161,7351 14 0,26 161,7351 280,4051 7 0,13 280,4051 399,0751 3 0,06 399,0751 517,7451 4 0,07 517,7451 636,4151 2 0,04 636,4151 755,0851 7 0,13 755,0851 873,7551 9 0,17 873,7551 992,4250 8 0,15 total 54 1,00



Paso 9: Determinar las frecuencias absolutas, frecuencias relativas y marcas de clases.



Para obtener la marca de clase de cada intervalo se suma el límite inferior y el límite superior, al resultado de esta suma se le divide por dos.

338

Ni 1 2 3 4 5 6 7 8

Li Ls fi hi MC 43,0650 161,7351 14 0,26 102,40 161,7351 280,4051 7 0,13 221,07 280,4051 399,0751 3 0,06 359,67 399,0751 517,7451 4 0,07 339,74 517,7451 636,4151 2 0,04 577,08 636,4151 755,0851 7 0,13 704,82 755,0851 873,7551 9 0,17 814,42 873,7551 992,4250 8 0,15 933,09 total 54 1,00

ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD

Matemática - EL MAESTRO EN CASA

2. En el siguiente conjunto de datos, se proporcionan los pesos (redondeados) a libras de niños y niñas nacidos en cierto intervalo de tiempo: 4

8 4

6

10 9 7 7

6 4

8

8 9

7

8

6

6

10 8

11

8

7

6 5 10

6

8

7

5

b) A la tabla anterior, vamos a unirle la columna de las frecuencias relativas.

7 7 8

9 6 3

9

7

4 7 6

9

7

5 6 5

7 10 8 5 7

a) Construir una tabla de distribución de frecuencia absoluta de estos pesos. b) Luego encontrar las frecuencias relativas c) Construir un histograma de frecuencias relativas con los datos de las partes a) y b).

Intervalos

fi

hi (%)

2,0

4,1

5

10%

4,1

6,1

14

28%

6,1

8,1

21

42%

8,1

10,1

9

18%

10,1,1 12,0

1

2%

Total

50

100

c) Construcción del histograma de frecuencias relativas

d) ¿Por qué se ha utilizado un histograma para representar estos datos, en lugar de una gráfica de barras? Solución: a) Antes de comenzar a construir la tabla de frecuencias debemos ordenar los datos en forma creciente: 3

4

4

4

4

5

5

5

5

5

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

6

7

9



6

8

9

6

8

9

6

8

9

6

8

9

6

8

6

8

6

8

6

8

7

8

10 10 10 10 11

Vamos a construir una columna con los 5 intervalos de clase reales y amplitud de 2 y la columna de las frecuencias absolutas. Intervalos 2,0 4,1 4,1 6,1 6,1 8,1 8,1 10,1 10,1,1 12,0 Total

hi (%)

d) Interpretación del gráfico: Se puede observar que la mayor cantidad de niños tuvieron un peso de 6 a 7 libras.

10% 28% 42% 18% 2% 100

339

Además, se utiliza un histograma en lugar de un gráfico de barras porque la variable peso es una variable cuantitativa continua. A los efectos de facilitar los cálculos se la redondea, pero su naturaleza igual sigue siendo cuantitativa continua.

ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD Matemática - EL MAESTRO EN CASA 3. Se tiene la siguiente distribución de frecuencias de los salarios (por 1000 colones) de los 65 obreros de una compañía purificadora de agua.

C. Construya un histograma de frecuencias relativas. D. Construya un polígono de frecuencias absolutas.

SALARIOS (por 1000 colones)

NÚMEROS DE OBREROS

¢50,00 - ¢59,95

8

Solución:

¢60,00 - ¢69,95

10

1. Columna de las frecuencias relativas.

¢70,00 - ¢79,95

16

¢80,00 - ¢89,95

14

¢90,00 - ¢99,95

10

¢100,00 - ¢109,95

5

¢110,00 - ¢119,95

2

E. Construya un polígono de frecuencias relativa.



SALARIOS (por 1000 colones)

NÚMEROS FRECUENCIAS DE RELATIVAS OBREROS (En tanto por ciento)

¢50,00 - ¢59,95

8

8 = 0,123 = 12,3% 65

Construya la columna de frecuencias relativas y la columna de las marcas de clase faltantes y luego conteste:

¢60,00 - ¢69,95

10

10 = 0,154 = 15,5% 65

¢70,00 - ¢79,95

16

24,6

1.- El límite inferior de la sexta clase.

¢80,00 - ¢89,95

14

21,5

2:- El límite superior de la cuarta clase.

¢90,00 - ¢99,95

10

15,4

¢100,00 - ¢109,95

5

7,70

¢110,00 - ¢119,95

2

3,10

TOTAL: 65

TOTAL: 100,00%

TOTAL: 65

Para obtener las frecuencias relativas (hi) se divide la frecuencia absoluta (fi) del intervalo de clase (número de obreros) por el total de de los obreros N= 65

3.- La marca de clase de la tercera clase. 4.- Los límites reales de la quinta clase. 5.- Tamaño del quinto intervalo de clase. 6.- Frecuencia de la tercera clase. 7.- Frecuencia relativa de la tercera clase. 8.- Intervalo de clase que tiene mayor frecuencia.

2. Columna de las marcas de clase.

B. Construya un histograma de frecuencias absolutas.

340

Para obtener las marca de clase (Mc) se suman los extremos inferior y superior de los intervalos de clase y luego se divide por dos.

ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD

Matemática - EL MAESTRO EN CASA

SALARIOS NÚMEROS (por 1000 colones) DE OBREROS

FRECUENCIAS RELATIVAS (En tanto por ciento)

Marcas de clase

¢50,00 - ¢59,95

8

12,3%

50 + 59,95 = 55 2

¢60,00 - ¢69,95

10

15,5%

50 + 69,95 = 65 2

¢70,00 - ¢79,95

16

24,6%

75

¢80,00 - ¢89,95

14

21,5%

85

¢90,00 - ¢99,95

10

15,4%

95

¢100,00 - ¢109,95

5

7,70%

105

¢110,00 - ¢119,95

2

3,10%

115

TOTAL:

65

100,00%



Respuesta 1: El límite inferior de la sexta clase (¢100,00 - ¢109,95) es ¢100,00.



Respuesta 2: El límite superior de la cuarta clase (¢80,00 - ¢89,95) es ¢89,95.



Respuesta 3: La marca de clase de la tercera clase 1 (¢70,00 - ¢79,95) es (¢70,00 + ¢79,95) = 74,95 . En 2 la práctica se redondea a ¢75,00.



Respuesta 4:



Límite real inferior de la quinta clase: 1 (¢90,00 + ¢89,95) = 89,975 2



Límite real superior de la quinta clase: 1 (¢99,95 + ¢100,00) = 99,975 2



Respuesta 5: Tamaño del quinto intervalo de clase (¢90,00 – ¢99,95) es igual al límite real superior de la quinta clase menos límite real inferior de la quinta clase es igual ¢99,975 – ¢89,975 = ¢10,00.



Respuesta 6: La frecuencia de la tercera clase ¢70,00 - ¢79,95 es 16



Respuesta 7: La frecuencia relativa de la tercera 16 clase ¢70,00 - ¢79,95 es = 0,246 = 24,6% 65



Respuesta 8: El intervalo de clase que tiene mayor frecuencia es ¢70,00 – ¢79,95.

341

ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD Matemática - EL MAESTRO EN CASA

Frecuencia absoluta

B. Un histograma de frecuencias absolutas.

C. Un histograma de frecuencias relativas en porcentajes.

D. Un polígono de frecuencias absolutas.

FRECUENCIA

20 16 14 10 8 5 2 55

65

75

85

95

SALARIOS ( en colones )

342

105

115

ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD

Matemática - EL MAESTRO EN CASA

E. Un polígono de frecuencias relativas.

4. Se ha controlado el peso de 50 recién nacidos, obteniéndose los siguientes resultados:

Estos es lo mismo que:

Peso (en kg) Número de niños 2,5 – 3,0 3,0 – 3,5 3,5 – 4,0 4,0 – 4,5 Total

6

23 12 9

50

A. Construya una tabla de frecuencias relativas.

Grafique:

B.- El histograma de frecuencias absolutas Solución: A. Tabla de frecuencias relativas. fi

hi

2,5 – 3,0

6

6 ÷ 50 = 0,120 = 12%

3,0 – 3,5

23

23 ÷ 50 = 0,460 = 46%

3,5 – 4,0

12

12 ÷ 50 = 0,240 = 24%

4,0 – 4,5

9

9 ÷ 50 = 0,180 = 18%

Total

fi

hi

2,5 – 3,0

6

12%

3,0 – 3,5

23

46%

3,5 – 4,0

12

24%

4,0 – 4,5

9

18%

Total

50

100%

B. Histograma de frecuencias absolutas.

C.- Un polígono de frecuencias relativas.

Peso (en kg)

Peso (en kg)

50 50 ÷ 50 = 1,00 = 100%

343

ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD Matemática - EL MAESTRO EN CASA

Con base en la información de la tabla anterior conteste las siguientes preguntas:

C. Un polígono de frecuencias relativas. POLÍGONO

Número de niños

a) ¿Cuántos obreros fueron consultados?

Respuesta:

b) ¿Cuántos obreros emplean entre 65 y 75 minutos en trasladarse de su domicilio al lugar de trabajo?

Respuesta:

TRABAJO INDIVIDUAL 1 1. Se les preguntó a los obreros de una fábrica cuánto tiempo empleaban para trasladarse desde su domicilio al lugar de trabajo. Con los datos obtenidos se construyó la tabla de frecuencias que se muestra a continuación. Clase

Frecuencia Frecuencia (fi) relativa porcentual (%)

45 – 55

4

3

55 – 65

16

11

65 – 75

36

24

75 – 85

60

40

85 – 95

31

20

95 – 105

0

0

105 – 115

3

2

Totales

150

100,00

c) ¿Cuántos obreros emplean entre 55 y 75 minutos en trasladarse de su domicilio al lugar de trabajo?

Respuesta:

d) ¿Cuántos obreros emplean entre 95 y 105 minutos en trasladarse de su domicilio al lugar de trabajo?

Respuesta:

e) ¿Cuántos obreros emplean más de 85 minutos en trasladarse de su domicilio al lugar de trabajo?

Respuesta:

344

ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD

Matemática - EL MAESTRO EN CASA

f) ¿Cuántos obreros emplean menos de 75 minutos en trasladarse de su domicilio al lugar de trabajo?

Determine: A.- Límite superior de la quinta clase.

B.- Limite inferior de la octava clase.

Respuesta: g) ¿Cuál es el porcentaje de los obreros que duran más tiempo en trasladarse de su domicilio al lugar de trabajo? Respuesta:

C.- Marca de clase de la sétima clase.

D.- Límites reales de la última clase.

E.- Tamaño del intervalo de clase.

2. Se tiene la siguiente tabla de distribución de frecuencias que indica el tiempo de duración efectivo de una muestra de 400 CD. Si se establece que el número de intervalos son 9, complete la columna de frecuencias relativa y la columna de marcas de clase. DURACIÓN (Horas)

NUMERO DE CD’S

300 - 400

14

400 - 500

46

500 - 600

58

600 - 700

76

700 - 800

68

800 - 900

62

900 - 1000

48

1000 - 1100

22

1100 - 1200

6 TOTAL: 400

Frecuencias Relativas

Marcas de clase

F. Frecuencia de la cuarta clase.

G.- Frecuencia relativa de la sexta clase.

3. El gerente de una agencia bancaria, de acuerdo a un estudio del tiempo de espera de los clientes, antes de ser atendidos por parte de los cajeros, obtiene para un día laborable cualquiera la siguiente información: Tiempo de espera (en minutos) 10 14 14 18 18 22 22 26 26 30 30 34 Total

345

N. de clientes 8 20 32 40 24 16 140

Construya la columna de las marcas de clase y la frecuencia relativa.

ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD Matemática - EL MAESTRO EN CASA 4. La siguiente información se refiere a una muestra de 120 componentes electrónicos y su duración. DURACIÓN (en miles de horas) 10 15 20 25 30



15 20 25 30 35 Total

7. La siguiente tabla muestra de distribución de frecuencia de los salarios ( en miles de colones) de los 110 obreros de una fábrica.

Nº de Componentes 8 24 44 28 16 120

Construya la tabla de distribución de frecuencias relativas

5. Las horas de estudio que 50 universitarios dedicaron a la preparación de un examen fueron:



25, 16, 42, 8, 36, 25, 19, 14, 12, 18, 21, 36, 46, 24, 18, 26, 31, 42, 26, 16, 5, 29, 14, 20, 26, 19, 32, 45, 28, 17, 34, 28, 9, 15, 24, 40, 36, 32, 23, 25, 35, 35, 26, 18, 7, 22, 17, 12, 16, 32

Salarios (en miles de colones)

Número de obreros

800 – 899

10

900 – 999

13

1000 – 1099

17

1100 – 1199

21

1200- 1299

22

1300 – 1399

15

1400 – 1499

9

1500 – 1599

3

Total

110

CONTESTE: a) La frecuencia porcentual correspondiente a la segunda clase es: A) 50

Agrupe los datos en cinco intervalos, y construye una tabla de frecuencias porcentuales.

B) 12 C) 55

6. Los siguientes valores corresponden a los índices de productividad de 20 establecimientos:

45,0

55,0

48,9

40,5

42,8



52,0

49,0

52,5

51,7

50,0



50,0

56,5

57,0

52,0

45,0



49,0

44,3

41,0

59,2

46,3

a) ¿Cuál es el valor extremo inferior?

Resp./ _____________________________

b) La frecuencia relativa correspondiente a la quinta clase es: A) 22 B) 0,02 C) 0,2 c) El valor medio o marca de clase correspondiente a la sexta clase es: A) 1399

b) ¿Cuál es el valor extremo superior?

B) 1300



C) 1349,5

Resp./ _____________________________

346

ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD

Matemática - EL MAESTRO EN CASA

8. Considere la siguiente tabla de frecuencias: Ni 1

2

3

4

5

6

7

Lm

Ls

21,20 29,21

fi

hi(%)

5

12,50

37,21 45,21 10

25,00

29,21 37,21

2

45,21 53,21

7

61,21 69,21

3

5,00

17,50

53,21 61,21 12

30,00

69,21 77,20

2,50

Total

1

7,50

40 100,00

10. En una revisión se ha pesado a un grupo de 50 alumnos, con los resultados (en kilos) que se exponen en el cuadro. Complete la tabla de frecuencias.

Mc

25,21

33,21

41,21

53 61 71 63 58

57,21

64 43 62 55 81

73,21

69 64 56 68 63

49,21

66 65 54 67 76

42,5 - 47, 5

65,21

58 72 60 61 72

52,5 - 57, 5

9. Debido a un grave accidente, el gerente de una compañía consultora perdió información de un estudio de mercado que realizó a una importante compañía a nivel nacional de gaseosas. Solo se conoce algunos datos parciales sobre una entrevista que se elaboró a 150 personas. Lm

2

2,1

1

3 4

5 6

7



Ls

fi

0,0

2,1

24

4,1

6,1

35

6,1

4,1

8,1

8,1

10,1

12,1

14,0

10,1

12,1

Total

8

150

hi

Mc

67,5 - 72, 5 72,5 - 77, 5

57 56 63 64 59

77,5 - 82, 5

73 69 66 74 48

Total

11. Las estaturas (en centímetros) de los socios de un club de jóvenes, son las siguientes: 153 138 152 145 152

0,134

1,00

62,5 - 67, 5

70 61 65 56 74

0,246

0,107

57,5 - 62, 5

54 71 52 70 61

b) ¿Cuál es el límite superior del sexto intervalo?

Frecuencias

47,5 - 52, 5

60 50 62 45 67

a) ¿Cuál es el rango?

Nc

Intervalos

123 128 128 124 136

129 134 146 132 160

132 148 143 138 159

147 125 138 144 157

138 139 138 141 150

137 146 122 137 160

134 145 146 146 142

131 148 137 138 148

147 135 151 146 130

Con los datos de esta tabla, construya una tabla de distribución de frecuencias con 6 intervalos.

12. A partir de la siguiente tabla de frecuencias con datos parciales: Ni

13,05

b) ¿Cuántas personas toman 6 gaseosas a 12 por semana?

fi

10 14

3

18 22 10

4

a) ¿Cuántas personas toman 4 gaseosas o menos por semana?

Ls

1

2

Reconstruya la tabla de frecuencia.

Li

5

14 18

22 26

5

hi(%)

Mc

2

7

26 30 12

Total

36

a) Calcule las frecuencias: hi(%) y Mc . b) ¿Calcule el rango?

347

ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD Matemática - EL MAESTRO EN CASA 13. Los siguientes datos corresponden a la temperatura medida en grados Celsius durante tres semanas en el distrito de Lourdes de Montes de Oca de la provincia de San José en cierta época del año.



a) Límite superior de la quinta clase. b) Límite inferior de la octava clase. c) Marca de clase de la sétima clase. d) Tamaño del intervalo de clase.

1º semana 14,9 14,3 15,2 22,8 16,8 19,0 18,7 2º semana 19,8 21,0 18,3 19,1 21,5 22,4 22,1

e) Frecuencia de la cuarta clase.

3º semana 20,9 20,6 18,8 18,9 17,2 16,1 15,6

Con base en el cuadro anterior, complete la siguiente tabla de frecuencias relativas. Temperatura (en Marca de Frecuencia Frecuencia Grados Celsius) clase absoluta relativa 14,75

3

15,5 – 17,0

f) Frecuencia relativa de la sexta clase. 15. Antes de construir una presa sobre un río, se efectuaron una serie de pruebas para medir el flujo de agua que pasa por el lugar de la presa. Los resultados de las pruebas se usaron para preparar la siguiente distribución de frecuencia: Flujo del río (miles de galones por minuto) 1001 – 1051

2 28,6 20,75 21,5 – 23,0 Total

21

300 – 400 400 – 500 500 – 600 600 – 700

700 – 800 800 – 900

900 – 1000

1000 – 1100 1100 – 1200 Total

14 46

68 62 48 22 6

49

1301 – 1351 1351 – 1401 Total

58 76

1151 – 1201 1251 – 1301



7

21

1201 – 1251

Número de tubos

Frecuencia

1051 – 1101 1101 – 1151

100%

14. La tabla muestra una distribución de frecuencias de la duración de 400 bombillos de una fábrica. Duración (horas)

Completar la tabla para luego determinar:

32 58 41 27 11

246

Con los datos de la tabla anterior construya una distribución de frecuencias relativas.

16. Los siguientes datos corresponden a la duración real, en años, de 21 baterías para automóvil, los cuales tienen una garantía de 3 años otorgada por el fabricante:

N = 400

348

3,6 2,3 3,1 3,7 4,1 1,7 3,4 3,7 4,7 3,3 3,9 2,6 4,8 3,9 3,3 2,9 3,5 4,4 4,0 3,2 3,8

ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD

Matemática - EL MAESTRO EN CASA



Con base en esta información complete la siguiente tabla y luego conteste lo que se pide: Intervalo de clase

Marca de Frecuencia clase de clase

1,50 - 2,12

TRABAJO INDIVIDUAL 2 1. Analice el histograma siguiente donde se especifican los años de servicio del personal docente y administrativo de una escuela.

Frecuencia de clase relativa

1,81

2,12 - 2,74 3,05 3,36 - 3,98

3,67

3,98 - 4,60 4,60 - 5,22

4,91 Totales

17. La siguiente tabla muestra las alturas (en centímetros) de todo el personal del ICER (profesores y administrativos). 1,81

1,76

1.21

1,58

1,66

1,65

1,69

1,69

1,62

1,16

1,24

1,71

1,65

1,60

1,50

1,66

1,50

1,21

1,64

1,50

1,83

1,55

1,75

1,44

1,68

1,54

1,64

1,93

1,61

1,56

1,40

1,84

1,60

1,71

1,67

1,75

1,62

1,52

1,74

1,51

1,50

1,63

1,69

1,34

1,53

1,66

1,61

1,73

1,61

1,83

1,30

1,45

1,67

1,66

1,65

1,60

1,45

1,31

1,41

1,61

1,38

1,77

1,57

1,58

1,31

1,28

1,69

1,61

1,68

1,60



Represente en una tabla lo siguiente:



a) La distribución de frecuencias absolutas.

b) La distribución de frecuencias relativas.

a) ¿Cuántos docentes y administrativos posee la escuela? b) ¿Cuántos de ellos llevan más de 20 años de laborar? 2. A partir de los siguientes datos, construya una tabla de frecuencia absolutas que contenga 7 intervalos de clase, para los siguientes datos: 31,2 19,0 66,1 96,6 42,7 87,7 5,3 51,2 60,7 67,0 81,2 40,4 26,6 6,4 57,3

349

44,3 59,9 5,4 36,5 10,6 11,7 11,7 67,0 29,6 32,1 75,5 42,4 70,1 19,1 62,1

31,8 87,9 47,9 74,0 56,0 30,1 31,4 46,8 55,6 82,2 91,0 31,8 30,4 77,6 40,9

ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD Matemática - EL MAESTRO EN CASA

Además, construya un histograma de frecuencias absolutas.

Intervalos 30 - 40 40 - 50 50 - 60 60 - 70 70 - 80 80 - 90 Total

3. Se les preguntó a los obreros de una fábrica cuánto tiempo empleaban para trasladarse desde su domicilio al lugar de trabajo. Con los datos obtenidos se construyó la tabla que se muestra a continuación. Clase

Frecuencia

Frecuencia porcentual (%)

45 – 55

4

3

55 – 65

16

10

75 – 85

60

40

65 – 75 85 – 95

95 – 105

105 – 115 Totales



36 31 0 3

150

24 21 0 2

100

Construya un histograma de frecuencias absolutas (histograma de frecuencias) y un histograma de frecuencias porcentual (%).

Frecuencia (fi) 6 18 76 70 22 8 200

5. En una empresa se vienen reprogramando los tiempos de salida y llegada de sus autobuses. En particular se tiene el problema de determinar el tiempo de recorrido entre dos ciudades; para ello se acude a los archivos de los últimos tres meses y se toman aleatoriamente una muestra de 35 tiempos de recorridos entre tales ciudades. Los datos, en horas, se muestran a continuación:

4. Utilizando el siguiente histograma, complete en la tabla de frecuencias relativas dada, la columna de marcas de clase y dibuje un polígono de frecuencias. HISTOGRAMA Y POLÍGONO DE FRECUENCIAS ABSOLUTAS

Frecuencia absoluta

Marca de clase

3.49

3.59

3.69

3.42

3.31

3.60

3.66

3.57

3.51

3.61

3.40

3.53

3.50

3.57

3.53

3.67

3.51

3.24

3.58

3.54

3.52

3.04

3.69

3.48

3.61

3.61

3.24

3.63

3.61

3.51

3.70

3.70

3.50

4.40

3.58

a) Realice un histograma de frecuencias absolutas y describa lo que se perciba en él. b) Establezca el tiempo máximo de los 35 datos de la muestra. ¿Eso significa que el tiempo máximo que hicieron los autobuses en los últimos tres meses fue ese valor? Argumente.

350

ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD

Matemática - EL MAESTRO EN CASA

6. Considere el siguiente histograma y complete la siguiente tabla de frecuencias.

Intervalo

Frecuencia

Marca de clase

Intervalo de clase

Marca de clase

Frecuencia relativa porcentual (%)

8. En una finca productora de papas en Tierra Blanca de Cartago se realiza un análisis sobre la producción anual del año anterior. Este mostró los siguientes resultados:

Frecuencia relativa

7. Complete la tabla de frecuencias relativas porcentuales a partir del siguiente histograma.

a) ¿Cuáles son los cuatro meses de mayor producción? b) ¿A qué porcentaje equivalen los tres meses de menor producción? c) ¿Qué recomendación haría?

351

ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD Matemática - EL MAESTRO EN CASA

9. El siguiente gráfico corresponde a la precipitación anual.



Con base en la información suministrada: a) ¿En cuales años se dieron las mayores precipitaciones? b) ¿Cuál fue el promedio de precipitación anual en los 10 años mostrados? c) Elabore una tabla de distribución de frecuencias absolutas que resuma el gráfico anterior.

10. En una pequeña finca ganadera guanacasteca se han registrado 52 nacimientos en ocho meses, como se describe a continuación:

a) ¿Cuál es el mes con mayores nacimientos? b) ¿Cuál el menor número de nacimientos que se registró en un solo mes? c) Elabore una tabla de frecuencias relativas y otra de frecuencias absolutas.

352

ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD

Matemática - EL MAESTRO EN CASA

11. En una determinada empresa se realiza un estudio sobre la calidad de su producción. La distribución siguiente informa sobre el número de piezas defectuosas encontradas en 100 cajas examinadas con 50 unidades cada una de ellas: N. de piezas defectuosas

0 1

N. de cajas

2

3

4

5

6

7 8 9 10

6 9 10 11 14 16 16 9 4 3

2

Construya el polígono de frecuencias absolutas.

12. A partir de los siguientes datos, construya la correspondiente tabla de frecuencia y grafique: 6,42

66,49 72,71

64,86

9,80

36,33

13,22

5,32

85,45

92,64 49,55 37,33

14,97 42,92 19,60

66,85 77,37 93,43 a) Un histograma b) Un polígono de frecuencia.

13. A continuación se dan los resultados obtenidos con una muestra de 50 colegiales. La característica es el tiempo de reacción ante un estímulo auditivo: 0,110

0,110 0,126 0,112

0,117

0,113 0,135 0,107 0,122

0,133 0,098 0,122 0,105 0,103 0,119 0,100 0,117

0,113

0,124 0,118 0,132 0,108 0,115 0,120 0,107 0,123 0,109 0,117

0,111

0,012 0,101 0,112

0,111

0,119 0,103 0,100

0,108 0,120 0,099 0,102 0,129 0,115 0,121 0,130 0,134 0,118 0,106 0,128 0,094 0,114

a) ¿Cuál es la amplitud total de la distribución de la distribución de los datos? b) Obtenga la distribución de frecuencias absolutas y relativas. c) Dibuje el polígono de frecuencias relativas.

353

ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD Matemática - EL MAESTRO EN CASA

14. La siguiente tabla muestra los diámetros en pulgadas de nuestra muestra de 60 cojinetes de bolas fabricadas por una compañía. 0,738 0,729 0,743 0,740 0,736 0,741 0,735 0,731 0,726 0,737 0,728 0,737 0,736 0,735 0,724 0,733 0,742 0,736 0,739 0,735 0,745 0,736 0,742 0,740 0,728 0,738 0,725 0,733 0,734 0,732 0,733 0,730 0,732 0,730 0,739 0,734 0,738 0,739 0,727 0,735 0,735 0,732 0,735 0,727 0,734 0,736 0,732 0,741 0,736 0,744 0,732 0,737 0,731 0,746 0,735 0,735 0,729 0,734 0,730 0,740



Construir una tabla de distribución de frecuencias relativas de los diámetros utilizando intervalos de clase, luego construya a) Un histograma de frecuencias absolutas. b) Un histograma de frecuencias relativas. c) Un polígono de frecuencias absolutas. d) Un polígono de frecuencias relativas.

15. La tabla muestra la cantidad de material radiactivo que se encuentra en el suelo de áreas recuperadas de minas de fosfato. Las mediciones de las cantidades de uranio 238 es 25 muestras fueron las siguientes (medidas en picocuries por gramo).



0,74

6,47

1,90

2,69

0,75

0,32

9,99

1,77

2,41

1,96

1,66

0,70

2,42

0,54

3,36

3,59

0,37

1,09

8,32

4,06

4,55

0,76

2,03

5,70

10,00

Constrúyase un histograma de frecuencias relativas con estos datos y su respectivo polígono de frecuencias relativas.

354

ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD

Matemática - EL MAESTRO EN CASA

16. Se ha preguntado a los pacientes que han acudido un determinado día a la Clínica de Aserrí acerca del tiempo (en minutos) que han pasado en la sala de espera antes de entrar en la consulta. Se obtuvieron los siguientes valores: 28

4

12 35

27 16 18 32 28 37

7

2

26 45 22

8

47

8

6

23

12 34 15

39 15 25 18 17 27 15

a) Construya una tabla de frecuencias agrupando estos datos en los siguientes intervalos: 0 - 10, 10 - 20, 20 - 30, 30 - 40, 40 - 50

b) Represente los datos mediante un histograma de frecuencias absolutas.

17. En el siguiente conjunto de números, se proporcionan los pesos (redondeados a la libra más próxima) de los bebés nacidos durante un cierto intervalo de tiempo en un hospital: 4,8,4,6,8,6,7,7,7,8,10,9,7,6,10,8,5,9,6,3,7,6,4,7,6,9,7,4,7, 6,8,8,9,11,8,7,10,8,5,7,7,6,5,10,8,9,7,5,6,5. a. Construir una distribución de frecuencias de estos pesos. b. Encontrar las frecuencias relativas porcentuales. c. Dibujar un histograma con los datos de la parte a. d. ¿Por qué se ha utilizado un histograma para representar estos datos, en lugar de una gráfica de barras.

18. Un investigador médico desea conocer la eficacia de un tratamiento de diálisis en cuanto al mejoramiento de los niveles de calcio en pacientes renales que concurren habitualmente a cierta unidad hospitalaria.

Para ello midió los niveles de calcio de una muestra de 49 pacientes antes del tratamiento en cuestión. Las mediciones obtenidas fueron las siguientes: 98

109

97

106

99

100

93

102

96

98

102

99

85

83

82

89

100 83

75

91

77

86

96

81

91

88

97

84

87

90

83

355

96

105

90

103

94

72

90

103

86

82

87

87

101 81

82

99

81

73

ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD Matemática - EL MAESTRO EN CASA

a) Identificar la variable en estudio, a qué tipo pertenece. b) Construya una tabla de frecuencias para las mediciones efectuadas, considere 10 intervalos de amplitud 4. c) Calcule todas las frecuencias aprendidas d) Grafique la distribución, histograma y polígono de frecuencias absolutas. e) Extraiga las conclusiones que pueda obtener.

356

ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD

Matemática - EL MAESTRO EN CASA

INTRODUCCIÓN El estudio de la probabilidad tiene gran importancia en la actualidad al ofrecernos un modo de medir y tratar la incertidumbre. Gracias a la probabilidad se han llegado a desarrollar y comprender diversos métodos estadísticos que son de múltiple utilidad en campos como el científico, profesional y social.

Recordemos.

Este desarrollo ha supuesto que sea esencial un conocimiento básico sobre las probabilidades y sobre todo del análisis de datos para llegar a ser un ciudadano bien informado y además un consumidor inteligente.

1 1 , esto es, P(A) = . 2 2 Por ejemplo:

La probabilidad, en particular, juega un papel destacado en la toma de decisiones en situaciones que involucran cierto grado de incertidumbre.

P(A) =

número de resultados en los que se presenta el evento A número total de resultados posibles

Donde cada uno de los eventos deben ser igualmente posibles, esto es “un evento o suceso A es igualmente probable si la probabilidad es un

En el experimento, lanzar una moneda al aire, los eventos: caer cara o bien caer escudo, tienen la misma probabilidad: P(lanzar una moneda) =

cae cara número total de resultados posibles

=

cae escudo número total de resultados posibles

=

1 2

Antes iniciar el desarrollo de los contenidos de Probabilidades de este libro Matemática Zapandí es necesario recordar un poco de donde provienen. La Estadística provee una manera racional de cuantificar esa incertidumbre, las probabilidades.

Hay tres formas de estimar o calcular la probabilidad. t La primera forma es la definición clásica de proba-

Al final de la semana decimoctava de Matemática Ujarrás resolvimos problemas donde se utilizo el cálculo de la probabilidad, de acuerdo con el enfoque clásico o laplaciano. El cual considera a la probabilidad como una medida de la incertidumbre asociada a la ocurrencia de eventos o resultados.

357

bilidad que fue una de las primeras que se dieron a principios del siglo XX y se le atribuye a Simón Laplace, también se le conoce como probabilidad a priori. Para calcular la probabilidad en este caso es necesario conocer, antes de realizar el experimento aleatorio, el espacio muestral y el número de resultados o sucesos elementales que entran a formar parte del suceso. Los sucesos o eventos son igualmente probables.

ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD Matemática - EL MAESTRO EN CASA t La segunda forma es la definición empírica, “a

posteriori” o frecuencial que se basa en la frecuencia relativa de ocurrencia de un evento con respecto a un gran número de experimentos repetidos. Se le reconoce como probabilidad frecuencial o de Von Mises.

13 tréboles A, 2, 3,…, 10, J, Q, K); y 26 son rojas (13 corazones y 13 diamantes):

tercera y ultima, la definición axiomática de probabilidad o definición de Kolmogorov la cual se basa en la frecuencia subjetiva de ocurrencia de un evento.

t La

Espadas

Diamantes

Corazones

Tréboles

Seleccionar uno de los tres enfoques dependerá de la naturaleza del problema. Aquí en este libro consideraremos la probabilidad de acuerdo con la definición empírica, “a posteriori” o frecuencial que considera la frecuencia relativa de presentación de un evento denotada por fi y que corresponde a la razón entre el número de veces (ni) que se observa un evento i y el número n total (n) de repeticiones del experimento fi = i . n Es decir, este enfoque propone que se calcule la probabilidad con base a la frecuencia relativa histórica, observada durante un gran número de experimentos: P(E) =

número de veces que ocurre el evento E número de veces que se realizó el experimento

n

n

n



En seguida haremos un breve repaso de algunos ejemplos que permitieron identificar eventos o sucesos para los cuales su probabilidad podía ser determinada empleando la definición clásica de Laplace o “a priori”, para luego realizar el cálculo de las probabilidades de sucesos utilizando la definición empírica “a posteriori” o probabilidad frecuencial. Ejemplo 1 Considere el experimento: se extrae una carta de un paquete de 52 cartas de las cuales 26 son negras (13 espadas A, 2, 3,…, 10, J, Q, K; y

La probabilidad de que la carta sea un as es 4 = 0,0769. 52 Porque el evento de “extraer un as” consta de 4 de los 52 resultados igualmente probables. La probabilidad de que la carta sea negra es 26 = 0,50 .  52 La probabilidad de que la carta sea un corazón 13 = 0,25. negro es  52

Ejemplo 2 ¿Cuál es la probabilidad de que en una familia que tiene tres hijos, hayan dos niñas y un niño, si se considera igualmente probable el nacimiento de un niño o niña? Solución: Usando “a” para niña y “o” para niño, el espacio muestral es: E = {aaa, aoa, aoo, oaa, oao, ooa, ooo} ⇒n(E) = 8

358

ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD

Matemática - EL MAESTRO EN CASA

P(E) =

n (E) 8 = =1 n (E) 8

t

Sucesos simples, es cada uno de los resultados posibles del experimento aleatorio. Los sucesos simples o elementales son subconjuntos del espacio muestral E con un solo elemento.

t

Sucesos compuestos son aquellos subconjuntos del espacio muestral E que constan de dos o más sucesos simples o elementales.

El evento A en que haya dos niñas y un niño es A = {aao, aoa, oaa} ⇒ n(A) = 3 n ( A) 3 P(A) = = = 0,3750 n (E) 8

Recuerde siempre 0 < P(A) < 1, puesto que  0 < n(A) < n(E).

Ejemplo 3 En un matrimonio, cada uno de sus miembros posee genes para ojos castaños y azules. Teniendo en cuenta que cada uno tiene la misma probabilidad de aportar un gen para ojos castaños que para ojos azules y que el gen para ojos castaños es dominante, obtener la probabilidad de que un hijo nacido de esta pareja tenga los ojos castaños. Solución: Gen de la madre

Gen del padre

E = {CC, CA, AC, AA}

Casos posibles = {CC, CA, AC, AA}



Casos favorables = {CC, CA, AC}



P(ojos castaños) = 3 4

Distinguimos tres tipos de eventos o sucesos n

Evento seguro

Decimos que un evento es seguro cuando el suceso aleatorio consta de todos los puntos muestrales del espacio muestral E, es decir, coincide con E. Se le denomina evento seguro porque ocurre siempre. Por ejemplo: a) El experimento de tirar un dado y mirar el resultado, el suceso o evento “sacar un número menor o igual que 6”  es un suceso seguro.

E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}



Puesto que, salga lo que salga, siempre el resultado será menor o igual que 6.

b) Si en una bolsa hay 10 bolas verdes, al sacar una bola de la bolsa, el suceso “que la bola que saque sea verde” es un evento seguro. n

También debemos recordar lo siguiente:

Clasificación de los sucesos o eventos Se pueden clasificar los sucesos o eventos según el número de elementos que entren a formar parte:

Evento imposible

Decimos que un evento es imposible cuando no puede darse en el experimento. Se denota por Ø a cualquier evento imposible. Por ejemplo a) El suceso A: “sacar un 7” al tirar un dado de seis caras, o bien 

359

ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD Matemática - EL MAESTRO EN CASA b) El suceso B: “sacar una bola blanca”  de un recipiente que sólo contenga bolas negras. El último tipo de evento que estudiaremos se denomina evento o suceso probable. n

evento o suceso A es muy probable si la 1 probabilidad es mayor que un , esto es, 2 1 P(A) > . 2 t Un evento o suceso A es igualmente probable 1 1 si la probabilidad es un , esto es, P(A) = . 2 2 t Un

Evento probable

Decimos que un evento es probable cuando representan acontecimientos que puede presentar más de un resultado. Por ejemplo a) En el evento, cada nacimiento que se registra solo hay dos posibilidades: que el bebé que nazca sea hombre o mujer. b) Si en una bolsa hay diez bolas, varias verdes y varias negras, el suceso “que la bola que saque sea negra” es un evento probable. c) En una bolsa tenemos tres bolas numeradas como 1, 2 y 3.

El experimento de extraer una bola y anotar su número produce los siguientes eventos probables. { }, {1, 2, 3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1}, {2}, {3} Haciendo uso de las probabilidades de un evento o suceso A y considerando que el valor de estas se encuentran en el intervalo P(A) ∈ [0,1], podemos concluir que: evento o suceso A no puede suceder o es imposible si P(A) = 0.

t Un

evento o suceso A siempre sucede o es seguro si P(A) = 1.



ACTIVIDAD 1

Ordene desde el menos probable hasta el más probable los siguientes eventos. Si hubiera eventos imposibles y eventos seguros, señálelos. a) El dueño de la tiendita vivirá 105 años. b) La próxima semana no tendrá día martes. c) En el mes de octubre lloverá en la provincia de San José. d) El próximo 1º de enero comenzará otro año. e) El próximo animal mamífero que vea en la calle será un perro. f) Si tiro un dado obtendré un 6. g) Obtendré calificación aprobatoria en el examen de Matemáticas. h) El próximo bebé que nazca en su familia será varón.

¡Pero si la experiencia es irregular!, ¿cómo calculamos la probabilidad de cada uno de los sucesos o eventos?

t Un

evento o suceso A es poco probable o menos probable si la probabilidad es menor 1 1 que un , esto es, P(A) < . 2 2

t Un

Probabilidad frecuencial Es el valor fijo que tienen las frecuencias relativas de ocurrencia de un evento, de acuerdo con la regularidad estadística. Dicha probabilidad

360

ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD

Matemática - EL MAESTRO EN CASA

proporciona resultados aproximados, es decir, proporciona estimaciones y no valores reales; además, los resultados son “a posteriori”, pues se necesita realizar el experimento para poder obtenerlo. Cuanto mayor es el número de pruebas realizadas más se aproxima el valor obtenido al valor desconocido de la probabilidad teórica. El número de pruebas a realizar dependerá del experimento y del número de sus posibles resultados.

de veces que ocurre el evento entre el número total de veces que se realizó el experimento. P(A) =

Número de veces que ocurre el evento A Número de veces que se realizó el experimento

Como el valor de la probabilidad es el de la frecuencia relativa, la probabilidad es un número entre 0 y 1, que puede expresarse en forma de fracción, número decimal o porcentaje. Veamos algunos ejemplos.

Por ejemplo Al tirar un chinche puede ser que caiga con la “punta hacia arriba” o con la “punta hacia abajo”.

Ejemplo 1 Consideremos el experimento anterior de tirar 1000 veces el chinche con el suceso que este quede con la punta hacia abajo. Si suponemos que los resultados se resumen en la siguiente tabla: Punta hacia abajo 7 31 67 309 623 Nº de tiradas 10 50 100 500 1000

Para asignar la probabilidad a estos dos sucesos o eventos no se puede aplicar la regla de Laplace ya que no son equiprobales, (puede que el chinche caiga de lado), es por esto, que debemos recurrir a la experimentación.

Se observa que conforme aumenta el número de tiradas la frecuencia relativa del suceso “caer con la punta hacia abajo” se aproxima a 0,623. Punta hacia abajo 7 = = 0,70 Nº de tiradas 10 Punta hacia abajo 31 = = 0,62 Nº de tiradas 50

La probabilidad frecuencial es una medida que se obtiene de la experiencia de algún fenómeno o experimento aleatorio que permite a futuro un comportamiento.

Punta hacia abajo 67 = = 0,67 Nº de tiradas 100

Sin embargo tengamos siempre presente, que no es definitiva por lo que es importante saber interpretar los resultados que se obtienen. Así pues tenemos que…

Punta hacia abajo 623 = = 0,623 Nº de tiradas 1000

La probabilidad frecuencial de un evento A, que se denotará P(A), se obtiene dividiendo el número

Punta hacia abajo 309 = = 0,618 Nº de tiradas 500

La probabilidad 0,623 es la probabilidad de que el chinche caiga con la punta hacia abajo, por lo tanto, la probabilidad de que el chinche caiga hacia arriba o bien de lado es 1 – 0,623 = 0,377.

361

ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD Matemática - EL MAESTRO EN CASA

Esto se puede observar en el siguiente gráfico de barras:

Recuerde a) Las frecuencias relativas son mayores o iguales que cero.

Frecuencia relativa

1

b) La frecuencia relativa del espacio muestral es igual a la unidad. Ejemplo 2 Si consideramos que la moneda de la imagen está dañada en la cara del escudo su probabilidad ya no es igual.

C

E

Esto nos indica que algo no está bien con la moneda, por lo tanto se concluir está dañada. También mediante la probabilidad frecuencial podemos resolver problemas como los siguientes:

Para verificar que la probabilidad ya no es igual con este evento, podemos partir de las frecuencias relativas obtenidas cuando repetimos el experimento un buen número de veces. Suponiendo que se realiza el experimento lanzando esta moneda dañada 200 veces, los datos se pueden resumir, por ejemplo, así: f

fr

Cara

81

0,405

Escudo

119

0,595

Total

200

1,000

Ejemplo 3 Si una cara de un dado está cargada de tal forma que la probabilidad de que al lanzar el dado es cinco veces más probable su salida que cada una de las otras caras. ¿De que cara se trata?, ¿cuál es su probabilidad? Si lanzamos dicho dado 1000 veces y anotamos cada una de las salidas, y la resumimos en una tabla como la siguiente: Lanzadas 1

La probabilidad de cada evento (cara o escudo) se obtienen mediante las proporciones: P(cara) =

81 = 0,405 200

P(escudo) =

362

fr

97

0,097

96

0,096

2

501

4

97

0,097

101

0,101

3

5

108

Total

10000

6

119 = 0,595 200

f

0,501

0,108 1,000

ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD

Matemática - EL MAESTRO EN CASA

Se comprueba que el dado está cargado en la cara del número 2, calculando la frecuencia relativa, esto es: 97 P(1) = = 0,097 cinco veces 1000 501 P(2) = = 0,501 1000 96 P(3) = = 0,096 1000 97 P(4) = = 0,097 1000 108 P(5) = = 0,108 1000 101 P(6) = = 0,101 1000

Solución:

Esto se puede observar mediante el gráfico de columnas horizontales

b) Las personas probables producto de la entrevista que sufrieron un accidente de trabajo son 5 (0,05 x 100) personas.

Frecuencia relativa

1

a) N = 10 000 personas que equivale al número de veces que se repite el experimento.

Sea el evento A: “una persona que sufrió un accidente de trabajo de cierta industria”, entonces n(A) = 500.



Por lo tanto se tiene que:



P(A) =

n(A) 500 = = 0,05 n 10 000

La probabilidad que una persona sufra un accidente de trabajo, en 12 meses en la industria, es 0,05.

Observación Aquí se supone implícitamente que las normas de seguridad no han cambiado desde que se realizó el muestreo a las 10 industrias. Ejemplo 5

1

2

3

4

5

6

Ejemplo 4 Una muestra aleatoria de 10 fábricas de cierta industria que emplean un total de 10 000 personas, demostró que ocurrieron 500 accidentes de trabajo durante un periodo reciente de 12 meses.

Cuatro personas igualmente calificadas hacen solicitud para ocupar dos puestos idénticos en una empresa. Un y sólo un solicitante es mujer. Los puestos se llenan al seleccionar dos de los solicitantes a azar. a) Indique los posibles resultados para este experimento.

a) Obtenga la probabilidad de un accidente de trabajo en una industria determinada.

b) Asigne probabilidades razonables a los puntos muestrales.

b) Si se entrevistaron a 100 personas en forma aleatoria, ¿cuántas personas es probable que sufrieron un accidente de trabajo?

c) Encuentre la probabilidad de que la solicitante del grupo: mujer, sea seleccionada para un puesto.

363

ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD Matemática - EL MAESTRO EN CASA Solución: a) Los posibles postulantes los podemos indicar como: P1, P2, P3, (hombres) y P4 (mujer).

Como la empresa necesita dos personas para puestos idénticos, el espacio muestral es:



E = {(P1, P2), (P1, P3), (P1, P4), (P2, P3), (P2, P4), (P3, P4)}



Cuando se utilice la probabilidad frecuencial, cada par ordenado de postulantes se concibe como un experimento.



E = {E1, E2, E3, E4, E5, E6}

Observando esto Jacob Bernoulli, genial matemático y científico suizo, postuló la  ley de los grandes números, también llamada ley del azar, la cual afirma:

b) Las probabilidades razonables de cada punto muestral, por lo tanto será:



1 P(Ei ) = ; i = 1, 2, 3, 4, 5, 6 6 La probabilidad de un suceso es el número al que se aproxima su frecuencia relativa cuando el experimento se repite un gran número de veces. 

c) La probabilidad de que la solicitante del grupo: mujer, sea seleccionada para una posición ocurre en el evento.



A = { (P1, P4), (P2, P4), (P3, P4)} A = {E3 ,E5 ,E7 } ⇒ P(A) =

ACTIVIDAD 2

n(A) 3 1 = = n(E) 6 2

Por lo tanto, tanto las mujeres como los hombres tienen igualdad de probabilidad para puestos idénticos en dicha empresa.

1. Según la encuesta de hogares en el cantón central de San José del año 2000 se ha obtenido el siguiente resultado.

En 3 meses de observación a una muestra de 16 684 personas entrevistadas, 4955 sufrieron una enfermedad o accidente.



Halle la probabilidad de elegir una persona que ha sufrido una enfermedad o accidente.

Importante Cuanto más grande es el número de veces que se realiza un experimento, la frecuencia relativa se aproxima a la probabilidad de ocurrencia de cada evento antes denominada probabilidad clásica.

Resp/.

364

ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD

Matemática - EL MAESTRO EN CASA

2. Si lanzamos una moneda 1000 veces y hallamos que 532 veces resultan caras, ¿cuál es la probabilidad de salida cara y cúal de escudo? Resp/.

3. En la siguiente tabla tenemos el resumen del sexo de los bebés cuyas madres asisten a la Clínica Mercedes Chacón de Aserrí.

El resumen se hace desde una fecha determinada tomando sólo los partos de un único feto, (gemelos no se consideran). Número de partos Niñas



Cara Cara Cara Cara Cara Cara Total 1 2 3 4 5 6



Calcule la probabilidad frecuencial para cada evento. Resp/.

Niños

1º parto

1

-

2º parto

1

1

3º parto

2

2

5. De un recipiente con 5 bolinchas de diferentes colores, Anabelle sacaba bolinchas de una en una, regresando cada bolincha antes de volver a sacar otra.

10º parto

4

6



100º parto

57

43

1000º parto

545

455

En la siguiente tabla se registraron los resultados del experimento. Color de las bolinchas Veces que salió

Obtenga la probabilidad de que sea niño, ¿cuál es la probabilidad de que sea niña? ¿Qué opinión le merece el resultado?

Verde

Resp/.

Rojo

Anaranjado 4. Tiramos un dado 40 veces y anotamos para cada vez cuando sale cara.

Complete la tabla de frecuencias para el total de lanzamientos de acuerdo a la siguiente información:

365

Amarillo

Azul

132

108

120

126

114

ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD Matemática - EL MAESTRO EN CASA

¿De qué color es la bolincha cuyo porcentaje de probabilidad de salir en este experimento es 2% menor que su probabilidad teórica de salir?

Total de lanzamientos Sale uno Sale dos Sale tres Sale cuatro Sale cinco Sale seis

La pelota de color amarillo. La pelota de color rojo. La pelota de color verde. La pelota de color azul.

t

20 =1 20

100%

t

¿Cree usted que si se repite el experimento de lanzar el dado pero ahora 10 veces se obtendrá la misma probabilidad frecuencial para cada uno de los eventos? ¿Por qué?



¿Y para 30 veces?

Resp/.

6. Tome un dado…, láncelo 20 veces.

20

7. Se ha realizado una encuesta a 400 jóvenes sobre el número de libros leídos en los últimos tres meses; 60 han leído novelas, 265 han leído libros de relatos y el de distintos tipos. Con estos datos, complete el histograma y la tabla de frecuencias.

¿Qué cree que suceda?

1 %

t

¿Qué número caerá con mayor frecuencia?

t

¿Qué número caerá con menor frecuencia?

t

¿Qué probabilidad tiene de salir un 2?

t

¿Qué probabilidad tiene de salir un 3?



Considere sus resultados y complete la siguiente tabla



366

%

%

Calcule la probabilidad de los tres casos. Respuesta:

RESPUESTAS

Matemática - EL MAESTRO EN CASA ÁREA 1: NÚMEROS

3. ab2

7. a

NÚMEROS REALES

4. –b3

8. b 5 b

ACTIVIDAD 1, PÁGINA 9 1.

ACTIVIDAD 3, PÁGINA 25

a) irracional b) irracional c) racional e) irracional f)

g) racional

j)

[ −2, 5 [

NOTACIÓN GRÁFICA

c)

 −14  13 ,

e)

]− ∞ , 0[

g)

 3   2 , 9  ]− 4 , 6]

i) j)

irracional

]− 1 , + ∞[ ]0 , + ∞[ ]− ∞ , + ∞[ ]− 3 , 2 ]

l) d)

racional

n) ñ)

k) racional

 10  

 − 3 9 , +∞    ]− ∞ , − 4]

d)

c)

h) racional i)

a)

b)

racional

NOTACIÓN DE INTERVALO

1. a)

d) irracional

o)

e)

o)

f)

NOTACIÓN POR COMPRENSIÓN

PÁGINA 10

no no no no no

b) {x/x ∈ ℝ, – 5 < x ≤ 8}

g)

−14 <x≤ 3 d) {x/x ∈ ℝ, x > − 3 9 } c) {x/x ∈ ℝ,

h)

f)

i)

4

no no si no si

k) {x/x ∈ ℝ, − 2 < x <

k)

m) {x/x ∈ ℝ, x ≤ 0,5}

l)

PÁGINA 26

si si si no si Natural ? Entero ? Racional ? Irracional ? Real ?

4 2,171717… Número

{x/x ∈ ℝ, x > – 2}

h) {x/x ∈ ℝ, 3 ≤ x ≤ 7}

j)

2. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

m) n)

ACTIVIDAD 2, PÁGINA 21 1. a

5. – 7b

2. –b

6.

10 }

g) {x/x ∈ ℝ, x < 0}

5

2,365678… −3 4 no no no no no no no no si si no no si si si

− 9

2.

ñ)

a 2

367

∈ ∉ ∉ ∈ ∉ ∉ ∈

8. ∈ 9. ∉ 10. ∈ 11. ∉ 12. ∉ 13. ∈ 14. ∈

5}

RESPUESTAS

6.

1.

4.

a) verdadera

b) falsa

X

c) verdadera

d) verdadera

e) verdadera

f) falsa

g) verdadera

h) falsa

6

a) <

g) <

b) <

h) >

c) >

i) >

d) <

j) =

e) >

k) <

7

f) =

l) >

NÚMERO

3.

X

X X X

1) 2) 3) 4)

X X

X

X

5) 6) 7) 8) 9)

∉ ∈ ∉ ∉

∉ ∈ ∈ ∈ ∈

14) ∈ 15) ∈ 16) ∉ 17)   ∉ 18)   ∈

8.

Número racional

Número irracional

X Entero negativo

10) 11) 12) 13)  

∉ ∈ ∈ ∉

NO SI SI NO SI NO NO SI NO SI SI SI SI NO SI NO NO NO SI SI

d)

9. 1)

⊄

7) ⊄

2) ⊂

8) ⊂

3) ⊄

9) ⊂

4)

⊂

10) ⊄

5)

⊄

11) ⊂

6)

⊄

12) ⊂

10. 1. verdadero

NO NO SI NO SI

c) 3 – 3

7.

2. falso 3. verdadero

NO NO NO SI SI

b) 3

PÁGINA 30

4. falso

SI SI SI NO SI

a) – 5

verdadera

5. verdadero

NATURAL ENTERO RACIONAL IRRACIONAL REAL

2.

10 – 2,08 1,1212212221… 5 - 2,2424…

4

PÁGINA 28

SI SI SI NO SI

7 6 NO NO SI NO SI

−

5.

8 2

Entero positivo

e)

i)

X X

X

–3 0

100

d)

0,09

c)

20% 0,333… 0,333

NÚMERO

25 12

b)

X

a)

X

PÁGINA 29 2 32 32 3 25 7 3+ 4 − 2 − 2

TRABAJO INDIVIDUAL 1, PÁGINA 27

X

Matemática - EL MAESTRO EN CASA

11.

368

a) >

h) >

b) <

i) >

RESPUESTAS

Matemática - EL MAESTRO EN CASA PÁGINA 32

c) {x/x ∈ ℝ, 2 ≤ x < 4}

c) {x/x ∈ ℝ, – 8 ≤ x < – 2}

c) >

j) =

5.

12.

d) <

k) <

a)

a)

e) <

l) =

f) =

m) =

b) ]– 2, 5[

b) ]– ∞,0[

g) <

n) =

c) {x/x ∈ ℝ, – 2 < x < 5}

c) {x/x ∈ ℝ, x < 0}

12.

6. PÁGINA 34

a) V

e) V

a)

b) V

f) V

c) V

g) V

b) [– 3, 2[

1.

d) V

h) V

c) {x/x ∈ ℝ, – 3 ≤ x < 2}

a) ]– 7 , – 2[

i) F

j) V

7.

15.

a) PÁGINA 33

b) ]1, 10[

13. Resuelta como ejemplo.

b) ]– ∞, + ∞[

14.

c) {x/x ∈ ℝ}

1.

8.

a)

a)

b)

]− ∞, 4[

c) [5, 10]

b) [11, + ∞ [

d) [– 2, 9[

c) {x/x ∈ ℝ, x > 4}

c) {x/x ∈ ℝ, x ≥ 11}

2.

9.

a)

a)

b) ]1, 3]

b) ]– ∞, 1[

c) {x/x ∈ ℝ, 1 < x ≤ 3}

c) {x/x ∈ ℝ, x < 1}

PÁGINA 35

3.

10.

16.

a)

a)

a) {x/x ∈ ℝ, – 2 < x < 4}

3  b)  − ∞,  4 

 1 12  b)  ,   3 7 

b) {x/x ∈ ℝ, 3 ≤ x ≤ 7}

c)

c)

c) {x/x ∈ ℝ, 1 ≤ x ≤ 6}

4.

11.

a)

a)

b) [2, 4[

b) [– 8, – 2[

e) ]– 5, + ∞[

d) {x/x ∈ ℝ, – 4 < x ≤ 0}

369

RESPUESTAS

Matemática - EL MAESTRO EN CASA e) {x/x ∈ ℝ, x ≥ 0}

3.

d) No

( 2) 2 ( 3)

a) f)

b)

{x/x ∈ ℝ, x ≤ 5}

4

17. 1. C 2. B 3. D 4. A



4

ACTIVIDAD 2, PÁGINA 43

125 2 π 2

c)

PÁGINA 36

e) No

12

1.

d)

( 11)

a) 2

d) 5

b) 5

e) 2, 10

e)

3 • 54 5 72

c) 8

f) 3 , 5

12

5

f)

a 5 x 3 y 5 z5

g)

m5 a n5 p 4 x 4 5

1

h)

π 6 • 37 • 3

4. CÁLCULO Y ESTIMACIONES ACTIVIDAD 1, PÁGINA 41 1.

2

b)

22

c)

7

0,0001

b) 4

0,04

0,0004

d)

2

c) 9

0,09

0,0009

d) 16

0,16

0,0016

e)

aa

e) 25

0,25

0, 0025

f)

yx

f) 36

0,36

0,0036

g) 49

0,49

0,0049

h) 64

0,64

0,0064

i) 81

0,81

0,0081

1 5 p

3.

f)

x + 3

g)

1 x 2

h)

1 5

a

3   5

6 5

3 5

4

5

10

g)

3 a  b

h)

2 7  a 7  b 7

ACTIVIDAD 3, PÁGINA 47 1.

PÁGINA 42 5. a)

2.

f) 8

e) – 4d

3 5

0,01

c) 7

215

0,3162…

0,01

b)

3

32

b) 3

0,3

0,03

c)

3

9

c) 6

0,6

0,06

d)

3

m

d) 8

0,8

0,08

4

e) 0,2

20

200

e)

(ab)

3

f) 4

40

0,04

f)

x y z

g) 5

0,5

50

h) 0,7

70

0,07

i) 9

0,9

900

4

6

a)

8x 3 y yz

b)

3x 2 z4 3 2x

c)

9a 2 c 3 ab

d)

4a 2 c 5 3 2a 2 b2

2.

2

a) 1

3

7

4

6. b. NO c. Si

d)

d) 3x

3

a) 1

b) – 2

1 125 e) – 0,5

a) 4

c) t

4 3

a)

2.

6

370

a)

15

3x

b)

2x 2 y

c)

18

d)

24 x

e)

4mn 16 (mn)

f)

8

3

g)

24

2

8

xy 2

32x 2 y 2 3

RESPUESTAS

Matemática - EL MAESTRO EN CASA ACTIVIDAD 6, PÁGINA 55

h)

3

x2

i)

12

7x

j)

4

k) l)

a)

4 2

2

b)

15 3 2

6

3 5 ab 2

c)

− 5

d)

3

12

2 ax 3

e)

4a 3

f)

a 3a

g)

5x 3 2x 2

m) 5 n)

4

ñ)

a 10

a)

23 2

b)

4

c)

5 xy

d)

3

e)

1.

3 2

2.

30 6

3.

6

x

5.

3a 2 ax

2x • 8 x

6.

2x 3 5y 2

125 abc

g)

2 30 18

h)

330 313

i)

− 3 6 2 a 3 b2

j)

12

a

k)

6

x

7.

x

1)

4

25 ,

3

2)

12

256 ,

12

512 ,

3)

12

625 ,

12

8,

4)

20

243,

20

256 ,

5)

18

64 ,

6)

6

7)

2

12

8)

12

218 a18 x 9 ,

9)

15

32m n ,

10)

18

8y 9 ,

4

18

27 ,

125 x , 3

6

a4 , 3

5

729

8.

24a 4 2ab2

9.

3x

6

20

1510

16 x y ,

12

2

64b6 , 4 12

5

15

18

x12 ,

b)

5 6

e)

6

ab

12

125x 6

3

9x 3 y 2

27m p , 6

3

25m14

15

5m p 3

3

1 3

3 2 5 2

PÁGINA 60

9a10 m8

18

2 2

d)

81 4

a)

c)

729

12

18

12

2

86

2b2 a4

l)

26

1 2

f)

c ab2

g)

16 10 x 3 9 2

371

12y 2 z

ACTIVIDAD 9, PÁGINA 61

e)

4x

6

ACTIVIDAD 8, PÁGINA 59

ACTIVIDAD 5, PÁGINA 52

k)

d)

11. 5ab2 10 a 9 b7

5

12

c)

10. 2a12 27a 5 b11

5

j)

b)

6ab a

6

3125m n

a)

4.

f)

81 x

6

i)

ACTIVIDAD 7, PÁGINA 58 ACTIVIDAD 4, PÁGINA 49

h)

f) g) h)

2 5 5

3 7 7

3

9

3 2 4

2

5

5 3

6

4

1

5

3 9

10

8

ACTIVIDAD 10, PÁGINA 62 1.

53 2 4

2.

3 3 100 50

3.

3

4.

13 36 2

5.

7 3 25 5

6.

3

7.

7 3 121 11

9

4

RESPUESTAS c)

− 3 24; − 2 3 81;

3

3

Matemática - EL MAESTRO − 3 8EN • 3; −CASA 2 3 27 • 3; − 2 3; − 6 3; 3

8. 9.

2

3

4 2

3

9 6

5 12 8−3 5 = 12 12 23 6 20 15 + 8 23 = 20 20

a)

11 3

b)

− 8 5

c)

13 x

d)

− 2 x

e)

5 4 • 2 + 15 2 =

n) n)

10 2 + 15 2 = f)

7 3 g)

2

7 25 • 2 − 3 2 = 35 2   − 3 2 =

2

2 3−3 3+5 3 =

32 2

(2 − 3 + 5) 3 = 4 3

h)

9•5 −

4•5 =

3 5 −

2 5 = 5

2. c y d 3.

i)

9•4•2 +

5 3; 12 3; − 15 3

49 • 2 =

3•2 2 + 7 2 =

2 48; − 5 27

13 2

25 • 3; 3 16 • 3 ; − 5 9 • 3 j)

9•5 +

16 • 5 =

3 5 + 4 5 = 1 2a 5

3 8a;   4 18a;

1 3 4 • 2a ; 4 9 • 2a; 2a 5 1 6 2a; 12 2a; 2a 5 c) − 3 24; − 2 3 81;

3

3

− 8 • 3; − 2 27 • 3; 3

3

− 2 3; − 6 3; 3

33 • 7 3 •7 3 • 3 33 7 3•3 7 93 7 93 7 3 3

3

+ + + + + +

8•3 + 8•3 + 2 33 3 + 2 3 +

1 1 33 16 2 16 2 13 1 38•2 2 8•2 2 2 3 2 32 2 2 2

+ + + + + +

3 9•3 − 2 3 = 9 3 − 2 3 =

12 − 27 + 75 =

75;

3

3 3

25 2

3• 2 − 3• 3 + 3• 5 =

b)

3 3

4.

3

2

a)

l) l)

m) m)

PÁGINA 68

1.

c)

3

7mx 3m; 5mx 3m; 4mx 3m

TRABAJO INDIVIDUAL 2, PÁGINA 67

b)

3

x 49 • 3m2 m; m 25 • 3x 2 m; x 16 • 3m2 m

11. 3 3 3

a)

3

d) x 147m3 ; m 75x 2 m; x 48m3

53 4 10. 2

12.

3

3

3

3

7 5 k)

7mx 3m; 5mx 3m; 4mx 3m

b)

56

c)

m 3 n3

d)

a 7b7

e)

52 x2

f)

a2 x2

g)

67 a 7b

h)

25 a 5b5

13

5

5

8

3

1

7

7

3

1

2

1

6

b)

7

a11

− 10 3 2 =

c)

3

2a

63 2

d)

4

3x 2

e)

5

f)

3

2 • 23 3 2 − 2 • 5 3 2 =

372

7

6. 32

23 • 53 • 2 =

3

x 49 • 3m2 m; m 25 • 3x 2 m; x 16 • 3m2 m

53

5

3

3

d) x 147m3 ; m 75x 2 m; x 48m3

7

a)

a)

2 3 29 • 2 − 16 3 2

5.

(a + b) 32 • 7 m 4

3

6

6 3 26 • 7 = 6 2 •7 = 2 6 • 22 3 7 = 6•2 37 = 24 3 7 = 24 3 7 = 33 33 7 33 7 3 27 • 3 = 3 27 • 3 = 3 33 3 = 3 3 = 5 33 3 5 3 1 1 33 250 = 3 250 = 3 13 1 3 125 • 2 = 3 125 • 2 = 3 5 3 5 32 = 3 2 = 3 8 3 8 3 2 3 2 3

RESPUESTAS

Matemática - EL MAESTRO EN CASA PÁGINA 69

PÁGINA 70

7.

11.

a)

3

b)

3;

x

20

6

x

d)

p

8

e)

4

3y − 2

f)

2 (x + 5)

g)

5y 10y

h)

15xy y

2;

4

2 • 10

c)

3 ; 10

3 ;

2

5

2

4 • 5

2 ; 20

10

20

2 ;

2a;

3

3a;

=

5

12

5 • 4

5

2

2

2 • 4

=

b)

(x + 5)

26 a 6 ;

2 • 6 12

c)

26 a 6 ; 2;

3

60

d)

2; 2 ; 6

12

4 • 15

215 ;

215 ;

60

4 • 3

22 • 3 a 3

=

26 a 3

3 • 4

34 ;

4 • 3

3 ;

12

2

=

43

=

6

12. a)

3

3 • 4 2a

9. a)

10

b)

21

b)

c)

4

ab

d)

5

ab c

e)

7

24a b

3 3

3 4

4

12

34 • 12 2 3 a 3

12

648a

3

a • 4 a 2 b • 5 b2

3 • 20 3 6

=

34 • 4 • 3 2 3 a 3 =

3• 4

a

=

3

20

•

4 • 15

60

a 20 • a 30 b15 • b24

60

a •b 50

=

a b • 5 • 12 b24 = 30

15

=

39

10. c)

3

2a • 4 4a •

5

2b =

a)

5 6

b)

2 7

3 • 20

c)

2 10

60

220 a 20 • 2 30 a15 • 212 b12

d)

4b 3ab

60

2 a •b

e)

2a b

2

60

2

2

b

220 a 20 • 4 • 15 415 a15 • 5 • 12 212 b12 =

62

35

12

=

=

4 a 35 • b12

Impor tan te :

( )

415 = 22

373

d) e)

212

4 =

b) c)

212

5 • 12

4

4

a)

2 =

5

3 ;

26 ;

2 • 6 12

2;

60

3

34 a 4 ; 12

a8b4

•

12

a11 • b7

15

= 2 30

− 5 a 4 21 4 ab a 20 − 8 5 5 ab b 35 − 3 a 6ab 5 2 ab b 7

PÁGINA 71 14.

= 4 • 3

a 8 b 4 • a3b15

13.

4a =

34 a 4 ;

12

4

2 30 ;

4

3 • 4

2 30 ;

3 • 20

8.

a 2 b • 4 ab5

a

'

8

p

2

3

3 • 4

a)

x

d)

a3b15 = =

RESPUESTAS

Matemática - EL MAESTRO66 EN CASA 2 e) e)

2 = 5

i) j)

1 1 9 9 1 =− • =− =− 9 2 9 9 9 9 9

−

−3 −1 = 9 3

= k) l)

2 5 10 10 1 • = = = 10 5 5 5 5 52

g) g)

1 1 − 25 −5 −1 − =− = = = 25 25 25 5 252 30 = 70

f) f)

3 7 • = 7 7

21 7

h)

15. a) b)

8 8 3 24 6•4 2 6 = • = = = 3 3 3 3 9 9

c)

12 12 • 5 60 22 • 15 2 15 = = = = 5 5 5•5 25 25

d)

3 3•5 15 15 15 = = = = 5 5 5•5 25 25

e)

xy xy x x•y xy = = 2 = = 2 y y y•y y y

PÁGINA 72

b)

=

3 6

=

3 3 6 2

2

3 3 3 6

6 2

• •

3

=

2

=

3 2

1 2 1 = • 3= 3 2 2 2 5 2

3 15

=

5 32 6

e)

7

=

12

5

3 12

=

6 • 22

3 22 • 3 6 • 22

3 15 5 2

5

•

5 10

2

2

=

2•3•7•3 2

2

7 • 1• 2 • 3

3 30 5 2

3

=

3

3 30 3 = 30 5 • 23 40

=

9•2

2•2

=

3

2

2

=

2•2

3•3

2

7

=

2

3

2 2

=

1 1 3 5 5 3 1• 1 3 1 15 = = = • 3 5 5 • 3 5 5 15 5 3 5 1 3 15 3 15 3 1 = = 15 = 15 5 152 5 15 75 25

b)

 5 + 3  4 15 + 4 32 4 15 + 12 • = = 2 15 + 6 = 5−3 5 − 3  5 + 3 5 2 − 32

c)

 a + b 2 3 a + b 2 3 a + b • = = a−b a − b  a + b a 2 − b2

d)

 a − 2 3 a − 2 3 a − 2 3 • = = a−4 a + 2  a − 2 a2 − 4

e)

 5 − a  20 − 4 a 20 − 4 a 4 • = = 25 − a 5 + a  5 − a  52 − a 2

2

4 3

(

3− 2

(

(

2 3

(

)

) (

(

)

(

)

)

)

(

)

3 5− 3 3 5− 3  5 − 3 3 • = = = 2 2 5−3 2 5 + 3  5 − 3 5 − 3 3

)

(

5− 3

)

g)

2 3 − 5  5 − 2 3  2 15 − 4 9 − 25 + 2 15 4 15 − 17 4 15 − 17 17 − 4 15 • = = = = 7 5 − 12 −7 5 + 2 3  5 − 2 3 52 − 4 9

h)

3 + 2  5 + 3 15 + 3 + 10 + 6 3 + 15 + 10 + 6 15 + 9 + 10 + 6 • = = = 2 2 5−3 2 5 − 3  5 + 3 5 − 3

2

3

7 2 7•4 71•• 14 = 2 72 = 21 7 = 2 7 =2 1 = 7=2 7 2 1• 1 1 1

 3 − 2  3− 2   3 − 2 • = 2  = 2 2  =2 2  3 + 2  3 − 2  3 − 2   3−2 

i)

2 f)

2

2

63 3

=

6

7 71 = 11 = 41 4

2

2 2 23 22 = 23 = 2 3 3

a)

f)

5 10 1 c) = • = = = 10 2 3•5 3 3 5 3 5 5 3 5 d)

5 2

6 6 = 3• 3 9

2•2 23 •• 23 = = 3•3

9•2 3 92 •• 22 = 23 2 2 = 2•2 2

3 2 32 = = 2

17.

16. 2

2

2•3•7•3 2 27 •• 31•• 272• •33 = = 2 7 • 1• 2 • 3

3

=

1 3 3 3 • = = 3 3 3 9

a)

7 7 = 1 = 14 4

21 7

=

2

7 = 7 12 = 12 63 63 2 23 = 33 = 23 2

j)

4

2 3−5 3

=

4 3 − 4 3 − 4 3 • = = 9 −3 3 3 3 32

 3 5 + 5 3  9 52 + 15 15 9 • 5 + 15 15 45 + 15 15 − 3 − 15 3 5 •  374  = = = = 2 − 30 3 5 − 5 3  3 5 + 5 3  9 52 − 25 32 9 • 5 − 25 • 3 2

g)

h)

x

2 3 − 5  5 − 2 3  2 15 − 4 9 − 25 + 2 15 4 15 − 17 4 15 − 17 17 − 4 15 = = = • = 5 − 12 −7 7 5 + 2 3  5 − 2 3 52 − 4 9 3 + 2  5 + 3 15 + 3 + 10 + 6 3 + 15 + 10 + 6 15 + 9 + 10 + 6 • = = = 2 2 5−3 2 5 − 3  5 + 3 5 − 3 4 4 3 − 4 3 − 4 3 = = • = 9 2 3 − 5 3 −3 3 3 3 32

j)

 3 5 + 5 3  9 52 + 15 15 9 • 5 + 15 15 45 + 15 15 − 3 − 15 3 5 • = = = = − 30 2 3 5 − 5 3  3 5 + 5 3  9 52 − 25 32 9 • 5 − 25 • 3

(

x =

x ≈ 7,81

b) 92

RESPUESTAS 81 = 16 + x 2 2

65 = x

) (

) (

l)

3 + 2  2 − 1 6 − 3− 2 +2 6− 3+ 4− 2 • = = 6 − 3− 2 +2 = 2 −1 2 + 1  2 − 1 22 − 12

2

144 = 49 + x 2 144 − 49 = x 2 95 = x 2 95 = x

9,75 ≈ x d) x 2

5. 50 000 000 de usuarios donde cada uno requiere 2747 Mb

TRABAJO INDIVIDUAL 3, PÁGINA 76

50 000 000• 2747 Mb =

1. 341 archivos de música

5•107 • 2747 Mb = 13 735•107 Mb

3. 1 Gb = 10 kb = 1000 000 kb

El 25% de 1000 000 kb representa 250 000 kb



El mapa es de 280 000 kb



No se puede almacenar, sobrepasa la canidad de almacenamiento

x

= 14 400 + 2500

x

2

= 16 900

4. 850 Tb = ? kb





1012 b 1• kb 850 Tb = 850 Tb • • 1 • Tb 10 3 b 850 •1012 kb = 10 3 = 850 •109 kb Como se quieren albergar 24 000 000 000 de páginas en los 850 Tb 850 Tb ÷ 24 000 000 000 = 9

e) 2002

1 • 106 b Pb • 1 • MB 1015 b 1 • 106 Pb 13 735•107 Mb = 13 735•107 • • 15 1 10 7 6 •1•10 13 735•10 13 735•107 Mb = Pb 1015 137,35 Pb Respuesta: Para mantener el servicio se necesita 137,35 Pb

36 864 = x 2 36 864 = x

192 ≈ x

ACTIVIDAD 2, PÁGINA 85 1. a.

( 4,1)2

81 < 65,81 acutángulo

a) x

2

= 5

x

2

= 25 + 36

2

+ 6

2

rectángulo c.

612 < 552 + 422 3721 < 3025 + 1764 3721 < 4789

61

acutángulo

x ≈ 7,81



850 • 10­ kb ÷ 24 000 000 000



850 kb ÷ 24 =



35,41 kb

81 − 16 = x 2



El tamaño de media página es 17,705 kb.

8,06 ≈ x

d.

= 42 + x 2

81 = 16 + x 2

16 25 25 1 = 25 1 = 1

= 72 + x 2

95 = x 2

e.

2

375

9 25

(2,5)2

= 22 +

(1,5)2

6,25 = 4 + 2,25 6,25 = 6,25

9,75 ≈ x 2

+

2

rectángulo

144 = 49 + x 2 144 − 49 = x

2

 4  3 12 =   +    5  5 1 =

65 = x

95 = x

(0,5 )2

1,69 = 1,69

TRIÁNGULOS ACTIVIDAD 1, PÁGINA 83

1,32 = 1,22 +

1,69 = 1,44 + 0,25

ÁREA 2: GEOMETRÍA

2

92 < 72 +

81 < 49 + 16,81

b.

c) 122

= x 2 + 562

40 000 − 3136 = x 2

6. Libre

b) 92

16 900

40 000 = x 2 + 3136

13 735•107 Mb = 13 735•107 Mb•

x =

=

x ≈ 130

13 735•107 Mb



= 1202 + 502

2

x

CANTIDADES MUY GRANDES Y MUY PEQUEÑAS

= 72 + x 2

c) 122

)

k)

6

= 42 + x 2

8,06 ≈ x

 8 + 3 5 8 + 3 5 8 + 3 5 2 •2 + 3 • = = =2 2+ 3 = 8−3 5 8 − 3  8 + 3 8 2 − 32

2. 1024 fotos

61

81 − 16 EN = x CASA Matemática - EL MAESTRO

i)

5

= 25 + 36

2

rectángulo

acutángulo d.

2

 4  3 12 =   +    5  5

2

16 9 + 25 25 25 1 = Matemática 25 1 = 1

RESPUESTAS

1 =

- EL MAESTRO EN CASA

rectángulo e.

(2,5)2

= 22 +

(1,5)2

6,25 = 4 + 2,25

Parte D Parte E

6,25 = 6,25

d) correcta

Si, puesto que 372 ≠ 302 + 202 2

2

e) correcta 2

Si, puesto que (22,1) ≠ 14 + (17,)

rectángulo

Parte F

a) si



b) si c) si d) no e) si

Debe tener una longitud de 6,18 m aproximadamente.

Parte A a) si

b) x = 25

El área es de 60 pies cuadrados.

Parte I

No es rectangular

Parte A

PÁGINA 88 c) no

d) x = 2 6 e) x = 19 f) x = 4 3. a)

AB = 6 3 6

BC =

2) cateto: 17 hipotenusa: 17 2

AD = 3 3 + 3

4) cateto: 4 cateto: 4

e) no

c) x = 8

1) 2 2 3) cateto: 5 cateto: 5

d) no

2. a) x = 5

La diagonal de la cancha tiene de longitud 122,06 m

ACTIVIDAD 4, PÁGINA 93

b) no

PÁGINA 96





ACTIVIDAD 3, PÁGINA 87

g) correcta

Parte G

Parte H

f) si

2 2 incorrecta, debe ser s = r + t

h) correcta

PÁGINA 90

2.

f)

2

= 9+

PÁGINA 94

Parte B

Parte B

a)

1) cateto: 3 hipotenusa: 2

91

3 6

Perímetro ABCD = 6 +

+

2

3 6 2

+

2 2 2

2 2 2

+3+3 3

+3 3

3 2 3 6 9 12 • 2 = 2 = 9 12 = 9 3 Área D BCD = 2 2 2 8 4 1

x = 1,80 ; y = 3,354

2) cateto: 3 hipotenusa: 2 3

c)

x = 5 2

d)

x = 5 ; y = 5 ; z = 9,16

3) cateto: 2 cateto: 2 3 4) cateto: 1 hipotenusa: 2

PÁGINA 97

5) cateto: 3 3 hipotenusa: 6 3 6) cateto: 19 hipotenusa: 38



La medida del segmento BC es 2



El perímetro del triángulo ACE es 4 + 4 + 4 = 12 El área del rectángulo ABDE es

b)

PÁGINA 89

7) cateto: 3 ; cateto: 3

Parte C h

a

b

8) cateto: 8 7 ; cateto: 8 21



9

40

TRABAJO INDIVIDUAL 1, PÁGINA 95



17

15

51

9 3 5 1 4

41 1

5 12

b) Respuestas:

8

50,20 4 5 1 3

4•2 3 = 8 3

1.

El área del triángulo ACE es 4•2 3 8 = 3=4 3 2 2

a) correcta b) incorrecta, debe ser y 2 = x 2 + z2 c) incorrecta, debe ser b2 = a 2 + c 2

376

c) Respuestas:

La medida de BC es 6

RESPUESTAS

Matemática - EL MAESTRO EN CASA 2.

a) Si porque 32 + 42 = 52

a) d = 20

b) Si porque 62 + ( 2,5 ) = ( 6,5 )

2

a) BC = 10

c) Si porque 32 + ( 7,2 ) = ( 7,8 )

2

b) AC = 12

d) No porque 42 + 62 ≠ 82

c) BC = 2 2

3.

d) La altura es de 3,82 m aprox.

c) x = 5,2 cm

5

PÁGINA 100

b) BC = 6; CA = 6 3

6. La distancia es 13 m PÁGINA 101

4 3 2

a) AB = 18; CA = 9 3 c) AB = 12; CA = 6 d) BC =

(1, 0)

1

La medida del lado mayor es 10 y tiene un perímetro de 24.

5.

0

f)

(4, 0)

PÁGINA 104

(4, 4)

e) No caben, pues ni diagonalmente se pueden acomodar, ya que esta diagonal mide 2,6 m.

27 27 ; CA = 3 2 2

e) AB = 8 3 ; CA = 12

0

d) Si caben las varillas en la bodega.

d) x = 3,87 cm

–1

c) La longitud debe ser de 18,5 m

7

PÁGINA 99

6.

b) x = 3,60 cm

6

a) x = 4 cm

4. Resp. El perímetro de la figura es: 5 ul +2 ul +6,71 ul =13,71 ul

5. Resp. El perímetro de la figura es P = 8 + 5 + 8,25 + 7 = 28,25 ul

4.

b) mide 185 m

PÁGINA 109

–2

a) mide 55 m

c) La longitud del cable debe ser de 2 veces 15,02m ( 30,04 m)

(–2, 0)

5.

d = 17

PÁGINA 103

1

AC = 2 6

c) A (– 4, –2); B(0, –3)

(5,5, 2)

f)

d = 12

2

e) BC = 5

b) A (–1,3); B(5,-3)

a) Mide de ancho 30 m b) Mide de ancho 7m

d= 8



(–0,5, 2)

PÁGINA 98

a) A (1, 1); B(3, 3)

3

5

3.

(7, 4)

d) AC =

2

b) d = 37

(1, 4)

4.

2

4



2.

5



3 La medida de RC es 2 6 La medida de AQ es 3

b) Mide aproximadamente 11,66 m

10 20 3 3 ; BC = 3 3 g) XZ = 6 2 ; YZ = 6 2

8.

h) XY = 6; YZ = 3 2

1 b) Puntos medios: (4,4)  5 , 2 (1,  2  0), (– 0,5, 2)

i) XY = 4 2 ; XZ = 4

c) Diagonal: 9,85 ul

7. a) Mide aproximadamente 64,03 m

1. x = 6 2. x = 3 + 2 5 TRABAJO INDIVIDUAL 2, PÁGINA 102 1. Respuesta: El lote mide de largo 48 m.

f) AB =

j) XZ = 8; YZ = 8 TRABAJO INDIVIDUAL 3, PÁGINA 108 1. Libre

a) Perímetro: 6 + 5 + 6 + 5 = 22 ul



Diagonal menor: 5

PÁGINA 110 7. Libre 8. Libre 9. Libre 10. Libre

377

RESPUESTAS

Matemática - EL MAESTRO EN CASA ÁREA 2: GEOMETRÍA

3.

TRIGONOMETRÍA

(a)

ACTIVIDAD 1, PÁGINA 114 a ) 60° = 60 • b) c) d) e)



a) b) c) d) e)

n sen A = p cos A =

π



m n n cot A = m a c b cos A = c a tan A = b b cot A = a

sen A =



20 1 posición 1 = 40 2

b) razón:

30 1 posición 2 = 60 2

sen A =



50 1 = posición 3 100 2

cos A =



6 7 13 7

6 tan A = 13

2.



m sen B = p cos B =



cot A =

13 6

n p

Razón

α

β

sen

6 74 5 = 74 74

7 74 74

cos

m n n cot B = m tan B =

tan cot

7 74 74 5 7 7 5

a) a = 9

b c a cos B = c b tan B = a a cot B = b

b) b = 15,33 c) a = 8 PÁGINA 121

sen B=

13 7

cos B =

6 7

13 tan B = 6 6 6 13 = 13 13

Complementario

Ángulo

90º – 36º =

54º

90º – 14º =

76º

90º – 69º =

21º

90º – 85º =

5º

90º – 47º 15` =

42º45`

ACTIVIDAD 4, PAGINA 122 a) 3 4 3 4 cos α = tan α = cot α = 5 5 4 3 4 4 3 3 sen β = cos β = tan β = cot β = 5 3 4 5 sen α =

b) Libre para discusión c) Libre para discusión

378

5 74 74 7 5 5 7

5.

sen B =

cot B =

12 15 9 cos B = 15 12 tan B = 9 9 cot B = 12

sen B =

4.

(d)

c) No 5 13 12 5 12 13



PÁGINA 120

a) razón:

razón:

b c a cos C = c b tan C = a a cot C = b

sen C =

(c)

Libre para discusión.

1.

m p

tan A =

ACTIVIDAD 2, PÁGINA 117

ACTIVIDAD 3, PÁGINA 119

9 15 12 cos A = 15 9 tan A = 12 12 cot A = 9

sen A =

(b)

2. π 180 rad = • = 36° 5 5 π 3π 3π 180 rad = • = 77°8 ' 34 " 7 7 π 7π 7π 180 rad = • = 420° 3 3 π 180 4πrad = 4π • = 720° π 11π 11π 180 rad = • = 330° π 6 6

a c b cos A = c a tan A = b b cot A = a

sen A =

1. π π = rad 180 3 π 2π 120° = 120 • = rad 180 3 π 7π 210° = 210 • = rad 180 6 π 3π 135° = 135 • = rad 180 4 π 11π 330° = 330 • = rad 180 6

(e)

RESPUESTAS

Matemática - EL MAESTRO EN CASA a 2 + b2 = c 2

PÁGINA 124

TRABAJO INDIVIDUAL 1, PÁGINA 136

Libre

1.

ACTIVIDAD 6, PÁGINA 135 a)

sen2 39º + cos2 39º = 0,3961 + 0,6039 = 1

sen2 89º + cos2 89º = 0,9997 + 0,0003 = 1 sen2 12º + cos2 12º = 0,0432 + 0,9568 = 1

= 0,9484 + 0,0516 = 1

2

2

= 0,0670 + 0,9330 = 1

1  1  sen2  π  + cos 2  π  = sen2 45º + cos 2 45º = 1 4  4 

sen2 ( 0,9 rad) +cos 2 ( 0,9 rad) = sen2 51º 7′58′′ + cos 2 51º 7′58′′ = 1

 π  π sen2   + cos 2   = sen2 15º + cos 2 15º  12   12 

= 0,5000 + 0,5000 = 1

 3π   3π  sen2   + cos 2   = sen2 135º + cos 2 135º  4  4 2

3  3  sen2  π  + cos 2  π   = sen2 77º 8′35′′ + cos 2 77º 8′35′′ = 1 7  7 

c)

9  9  sen  π  + cos 2  π   = sen2 124º 36′55′′ + cos 2 124º 36′55′′ = 1  13   13 

= 0,2500 + 0,7500 = 1

 5π   5π  sen2   + cos 2   = sen2 150º + cos 2 150º  6   6 

b)

sen (1,8 rad) + cos (1,8 rad) = sen2 103º 7′57′′ + cos 2 103º 7′57′′

sen2 17º + cos2 17º = 0,0855 + 0,9145 = 1

4 cot A = 3 3 cot B = 4 3 tan A = 4 4 tan B = 3 3 sen A = 5 4 sen B = 5 4 cos A = 5 3 cos B = 5

12 cot A = 5 5 cot B = 12 5 tan A = 12 12 tan B = 5 5 sen A = 13 12 sen B = 13 12 cos A = 13 5 cos B = 13

PÁGINA 137 2.

a 2 + 482 = 722 a 2 = 722 − 482 a 2 = 2880

a = 2880



a = 53,65 cm

3. a)

1 1 + = 3 1 2 a) 12 + 2 3 = 12 1 2 + = 2 1 2 3+3 2 b) 1 + 2 2= 3 PÁGINA 2 1382 3 2 3 22 3 + + 3 2= 2 b) 2 3 3 2 2 3+ 3 = 1 + 2 = 2 2 2 3+3 2 2 3+3 2 3 23 2 = 2 + = 1 2 2 3+3 2

Para hallar c





b La figura nos indica que sen B = . c Como b = 48; sen B = 48 . c Pero como la información que tenemos es que sen B = 2 . Podemos 3 comparar:

sen B =

3

2

48 2 = despejamos c c 3

2

4. tan A =

=

5. tan 30º =

3 1 = 3 3



cot 60º =

3 1 = 3 3

3 • 48 2



tan 60º =

3 1

c=

144 2



cot 30º =

3 1

6. 1.

Para hallar a

a)



En este caso podemos encontrar el

b)

Pitágoras así:

c)

valor de a utilizando el teorema de

a 2 + b2 = c 2

d)

a 2 + 482 = 722 a 2 = 722 − 482 a 2 = 2880 a = 2880

379

2

8 4 tan B = 4 8

c=

c = 72 cm

2 3+3 2

3+2 1

4

1

2 4

RESPUESTAS

Matemática - EL MAESTRO EN CASA 7. 2. a) b)

3 2− 3 3 1

c)

2− 6 2

d)

3

e) f)

g) PÁGINA 139 h) 2

h)

2

(

4

(

b) c) d)

1. Semejante al problema 4 de la página 157, trabajo individual 2

AB = 41,42



Sugerencia puede plantear



sen 16 sen 66 = 210 h 210 • sen 16 =h sen 66

c) m Y = 35°, YZ = 36,86 dm

XZ = 25,81 dm

PÁGINA 143



4. 6

1. 2.

)

2 −1 2

3.

)

2 −1

61

=

6 61 61

5 61

4. 5.

61

6

6.

5

5 61 61

6 61 61

5

6

5. Libre.

3. 8. a)

a) m C = 55°, AC = 50,56 mm b) m P = 71°, PQ = 47,59 mm

3 −1

4 3 −21

ACTIVIDAD 3, PÁGINA 151



1− 2 3 2 1

g)

3.

2. Plantee la ecuación x + 34,5 34,5 = sen 63 sen 57 34,5 • sen 63 = x • sen 57 + 34,5 • sen 57 30,74 − 28,93 = x • sen 57 1,81 = x sen 57 2,16 = x

6.

3 5 4 5 4 5 3 5

Respuesta: La altura del asta es 2,16 m

a) La sombra mide 41,40 m b) La distancia es 11,548 m c) La escalera mide 9,47 m d) Debe recorrer 28,80 cm e) Necesita avanzar el buzo 188,19 m

PÁGINA 152 3. Plantee la ecuación 200

sen 37

ACTIVIDAD 1, PÁGINA 147 TRABAJO INDIVIDUAL 2, PÁGINA 141



x 30 30 • sen 22° = x



30 • 0,3746 = x



11,238 = x



Respuesta: La altura del árbol es 11,25 m aproximadamente.

1. sen 22° =

2. ∆ CDE 6 10 8 10 6 8

∆ CFG 12 20 16 20 12 16

∆ CHJ 15 25 20 25 15 20

∆ CAB 18 30 24 30 18 24

x=

Libre para discusión ACTIVIDAD 2, PÁGINA 149



1. α = 40°





a = 3,23



b = 3,55 b = 2,58



a = 2,84 a = 3,25



b = 4,27

x

sen 63

200 • sen 63 sen 37

200 • sen 80 sen 37

=

y

sen 80

= 296,11 mm = 327, 28

Respuesta: La distancia a través del río mas corta es 296,11 m

5. a) Las distancias son 4,51km y 4,06 km. b) La altura del avión es 0,705 km

3. β = 40°

y =

=

4. La distancia desde R hasta S es 244,93 m y la m RST = 32

2. γ = 40°

Respuesta: La altura del edificio es 63,36 m

TRABAJO INDIVIDUAL 1, PÁGINA 153 1. Como m α + m entonces

380

m

β+m

δ = 180°

δ = 180° – 130° – 20°

RESPUESTAS

Matemática - EL MAESTRO EN CASA

m

δ = 180° – 150°



m

δ = 30°

2. Como m α + m entonces

β+m

δ = 180°



m

β = 180° – 57° – 48°



m

β = 75°

3. b = 35,46 cm, c = 53,29 cm PÁGINA 154 4. δ = 65°, a = 65,20cm, b = 38 5. α = 52°

c = 51,24 cm



b = 24,47 cm

a 6,40 = ↔ a • sen 35° = 6,40• sen 64° sen 64° sen 35° 6,40• sen 64° ↔ a= sen 35° 6,40• 0,8988 ↔ a= 0,5736 5,75232 ↔ a= 0,5736 ↔ a = 10 m Respuesta: La longitud aproximada del poste es 10 m.

m



Luego, tenemos que en el triángulo PQR el m QPR = 180° – 25° – 45° = 110°.

b) α = 42° b = 1395,50 mm, c = 1512,84 mm



Aplicamos la ley de los senos.

c) β = 45° a = 59,30 cm, c = 69,17 cm



Para hallar la distancia recorrida, debemos encontrar la medidas p, q.

a) β = 58° c = 49,84 cm, b = 67,16 cm

d) β = 35° a = 323,65 dm, b = 370,19 dm

β = 90° – 9° = 81°



m

δ = 180° – 64° – 81° = 35°



Para calcular la longitud del poste, es decir, el lado a del triángulo ABC, se procede como sigue:

m



Respuesta: La distancia que recorrió, p + q = 1,8 + 4, 0 = 5,8 km aproximadamente.

381

DBC = m

BCA. Entonces

el otro ángulo del triángulo es m

B = 180° – 52° – 40° = 88°



Por la ley de los senos tenemos que:



a b c = = sen 52° sen 88° sen 40° y además b = 8



PRQ = 70° – 25° = 45°

Calculo de q q 3,0 = PÁGINA 155 sen 25° sen 45° 3,0 • sen 25° 7. q= sen 45° a) δ = 80° a = 20,16 m, c = 20,16 m 3,0 • 0,4226 a q =b  despejamos a b) α= 92° b = 3,01 mm, c = 3,89 mm sen 52° = sen 88°0,7071 1,2678 q= c) δ = 105° a = 26,9 cm, c = 8,04 cm 8 • sen 52° 0,7071 a= sen 88° q = 1 ,80 km d) β = 45° b = 11,6 m, c = 11,6 m 8 • 0,7880 de p e) α = 45° b = 18,6 dm, c = 8,37 dm a = Calculo 0,9994 p 3,0 = sen 110° = sen 70° f) α= 91° β = 26°, a = 15,82 mm sen 110° sen 45° a = 6,308 km 3,0 • sen 70° g) α = 24° β = 141°, b = 12,16 m p= sen 45° h) α = 59° δ = 80°, a = 44,39 m 3,0 • 0,9397 p= 0,7071 8. Libre 2,8191 p= 0,7071 TRABAJO INDIVIDUAL 2, PÁGINA 156 p = 4,0 km 1. m

3. Como las rectas que pasan por BD y AC son paralelas, entonces

2. Como las rectas que pasan por son paralelas, los ángulos alternos internos PQR y QRS. miden 25°. Por lo tanto,

6.

PÁGINA 157

a b = sen 52° sen 88° para calcular a utilizamos

a b =  despejamos a sen 52° sen 88°

se

8 • sen 52° a= sen 88°

se

8 • 0,7880 0,9994

c=



a = 6,308 km

c=



utilizamos

a=



b c = sen 88° sen 40° para calcular c b c = sen 88° sen 40° c 8 =  despejamos c sen 88° sen 40° c=

8 • sen 40° sen 88°

c=

8 • 0,6428 0,9994

c=

5,1424 0,9994

c = 5,145

Respuesta: La distancia total de recorrido es 8 km + 6,308 km + 5,145 km = 19,453 km

c=

c=

RESPUESTAS

Matemática - EL MAESTRO EN CASA 4. Sea h la altura del edificio que está sobre la pendiente y construya el triángulo rectángulo ABC.

3. Para el triángulo de lado 8 cm su altura es 4 3 cm

4. Resuelto en la página 165 -166 de Ahora, m α + 15° = 42° entonces libro Matemática Zapandí 2016 m α = 42° – 15° = 27° 5. Resuelto en la página 166 de libro Como el ∆ ABC es un triángulo recMatemática Zapandí 2016 tángulo; m δ = 90° – 42° = 48° Con la Ley de los senos, se sigue que

TRABAJO INDIVIDUAL 1, PÁGINA 171 A. 1. 20 m2 + 20 m2 + 12 m2 + 12 m2 + 15 m2 + 15 m2 = 94 m2

25 cm x 25 cm = 0,25 m x 0,25 m = 0,0625 m2 2



Respuesta: La altura aproximada del edificio es 6,72 m

5. La longitud del alambre más cercano al tubo mide 6,77 m

94 m ÷ 0,00625 m = 1505 azulejos

6. La distancia es 96,03 m 7. La longitud del poste de luz es 9,06 m 8. a) α = 12 b) 9,30 m c) 290,3 m



756 m2 + 756 m2 + 756 m2 + 756 m2 = 3024 m2



El área total es de



441 m2 +441 m2 +756 m2 +756 m2 + 756 m2 + 756 m2 = 3096 m2

PÁGINA 172 4. Área lateral = Pbase x hprisma

= (25 cm + 25 cm + 25 cm) x 40 cm



= 75 cm2 x 40 cm



= 3000 cm2



Área base = A (triángulo equilátero)

d) 42,60 m

A = 2 •



3 A = ( 25 cm) • 4 3 A = 625 cm2 • 4 625 A= 3 cm2 4



Son dos triángulos equiláteros:



 625  625 2 • 3 cm2  = 3 cm2  4  2

GEOMETRÍA DEL ESPACIO ACTIVIDAD, PÁGINA 165 2. Área es de 10,83 cm2.

Para el triángulo de lado 8 cm su altura es 4 3 cm

3 4

2

ÁREA 2: GEOMETRÍA

1. Área es de  389.25 cm²

El área total a pintar son 216 m2.

3. El área lateral es de

PÁGINA 158

Respuesta:



Área total = 3 000 cm 2 +

382

625 3 cm2 2

5. Área total = área de las bases + área lateral

= 2(0,8 m x 0,5 m) + 2(0,5 m x 0,7 m) + 2(0,8 m x 0,7 m)



= 0,8 m2 + 0,7 m2 + 1,12 m2



= 2,62 m2



La madera cuesta a razón 1600 colones el m2.



2,62 m2 x 1600 colones = 4192



Respuesta: El precio del cajón de embalaje cuesta 4192 colones.

2

2. 45 m2 + 45 m2 + 18 m2 + 18 m2 + 90 m2 = 216 m2



6. Como posee una base triángular de 6 cm de lado es un triángulo equilátero

Área base = A (triángulo equilátero) A = 2 •

3 4



3 4 3 A = 36 cm2 • 4 36 A= 3 cm2 = 9 3 cm2 4



Son dos triángulos equiláteros:

A = ( 6 cm) • 2



(

)

2 • 9 3 cm2 = 18 3 cm2



Área lateral = Pbase x hprisma



= (6 cm + 6 cm + 6 cm) x 12 cm



= 18 cm x 12 cm



= 216 cm2



Respuesta:



2 Área total = 216 cm2 + 18 3 cm

7.

Área total = 2 (A base) + (P base x h prisma)



= 2 (2 cm)2 + {(4 x 2 cm) x 5 cm}



= 2(4 cm2) + 40 cm2



= 8 cm2 + 40 cm2



= 48 cm2

RESPUESTAS

Matemática - EL MAESTRO EN CASA

Respuesta: El área total es de 48 cm2.

8. Como posee una base triángular de 35 cm de arista de la base es un triángulo equilátero

Área base = A (triángulo equilátero) A = 2 •

3 4



Área total del tetraedro regular:

FUNCIÓN CUADRÁTICA

4 3 cm2 = 6,93 cm2

TRABAJO INDIVIDUAL 1, PÁGINA 203 A. Selección

PÁGINA 182

1. A

4. Respuesta.

Area de la cara lateral:

3 cm2

PÁGINA 204 Area total del tetraedro regular: 2. C 4 3 cm2 = 6,93 cm2 3. A



3 4 3 A = 1225 cm2 • 4 1225 A= 3 cm2 4





Son dos triángulos equiláteros:



Área lateral + Área de la base



15 m2 + 6.25 m2 = 21.25 m2



 1225  1225 2 • 3 cm2  = 3 cm2  4  2

2. Respuesta:



Área lateral = Pbase x hprisma



= (35 cm + 35 cm + 35 cm) x 20 cm



= 105 cm2 x 20 cm



= 2100 cm2



Respuesta:



1225 Área total = 2100 cm + 3 cm2 2

A = ( 35 cm) • 2

El área lateral es de 69,96 dm2 y el área total es de 105,96 dm2.

3. Respuesta:

9. Semejante al número 2, anterior. 10. Semejante al número 1, anterior. 11. Semejante al número 4 y número 8 anteriores. B. Libre para discusión

Área total es 96 dm

1. Respuesta: ST = 87,71 m apb = 2,32 cm.

5. Respuesta: Libre para discusión. 6. Respuesta: El área total de la pirámide es 756 cm2. TRABAJO INDIVIDUAL 4, PÁGINA 189 1. a) 521, 16 cm2. b) Libre para discusión. c) Libre para discusión.

TRABAJO INDIVIDUAL 2, PÁGINA 181 2

2. Respuesta: a = 12,16 m; 2

ST = 252,72 m .

3. Respuesta Area de la cara lateral:

B. Resuelva… 1) A = x2 2) A = (x + 2)(x + 3) = x2 + 5x + 6 3) a) 10 x 10 = 100 saludos. b) 10 x 9 = 90 saludos

2

4. Respuesta: El área total de la pirámide es de 121,5 dm2. 2

3 cm2

PÁGINA 205

1. Respuesta.

PÁGINA 173



4. C

PÁGINA 184



ÁREA 3: RELACIONES Y ÁLGEBRA

d) 88 228 cm2. 2. Libre para discusión. (Semejante al número 2 de la página 188)

c) La expresión algebraica que se deriva de lo que he resuelto anteriormente: y = x (10 – x) = 10x – x2 4) x(15 – x) = y ↔ y = 15 x – x2 5) x2 – 100 x – 11 900 = 0 PÁGINA 206 6. a) variable independiente: t(s); variable dependiente: altura b) altura máxima: 4 m, tiempo: 2 seg c) Intervalo de tiempo la función crece [0,2[, y en cuál la función decrece ]2,4] Parte C 1) Respuesta:

3. Libre para discusión. (Semejante al número 2 de la página 188)



A = bh



A = (x + 2)(x – 2) = x2 – 4

4. Área de la torre: 400 m2 + 660 m2 = 1060 m2

2) Respuesta:

5. a) 280 cm2 b) 352 cm2

383

bh 2 2x + 1) ( 2x + 2 ) ( 2x + 1) 2/ ( x + 1) ( A= = 2 2/ 2 A = ( 2x + 1) ( x + 1) = 2x + 3x + 1 A=

RESPUESTAS

Matemática - EL MAESTRO EN CASA ACTIVIDAD 1, PÁGINA 209

12. 11(b + c)

17. (7x – 8)(7x + 10)

1. 20(6a + b + 6)

13. (2y – 1)(x + 2)

18. 7(2a + 7)

14. (3 + b)(– 1 + x)

2. 9ax (a – 2x) 2

15. (– 1 + m)(2x + 3)

2

3. x (1 + x – x ) 2

B.

2

4. ab(b – a + 1)

a) (m + 1)(a – 9)

5. 2a(2a2 + 15a – 25) 4

2

b) (x – 2)(3x – 2y)

3

6. 7 (3c + b c – 2b )

c) (a + 1)(n + 2)

2

7. 6xy(2y – 3y x+ 3) 2

d) (a + 1)(x – 1)

3

8. c (b – 21 + 14b) 3

4

9. 2mn (56n + 60m – 63mn) 2

2

4

3

10. a ( a b + b + a + ab ) 2

2

3

11. 5y (3 + 4y – 6y + 8y ) 12. 6a2b(7b – 3a5 + 5ab) 13. –h(k2 – 2k – h) 14. m(m2 + n2 – n4 + 1) 15. a3b(b + 1) 16. 5b  a + 2 a 2 − 3 b 3   3 7  17. 5x (5xy+ 6y3 + 4)

18. – y (x2 – y2 + xy3 + 4) 19.

5 xy(5 − 3y − 2x 2 ) 9

1 2 3  20. a  a 2 b2 − ab 3 − 1  5 3 4 3 4  21. 5x 2 y  x 2 − xy + 6y  3  2 ACTIVIDAD 2, PÁGINA 211 A. 1. (x + 1)(a + 8) 2. (2n + 3)(– 5 + p) 3. (x – 3)(2a – 11) 4. (2x + 3)(m – n) 5. (4 + n)(x + 5) 6. (x + 1)(3 + 5y) 7. (1 – x)(m + 1) 8. (m – 2)(4x + 1) 9. (1 – x)(1 + 2a) 10. (x2 + 1)(1 – b) 11. (x – 1)(m + 7)

e) (x + 1)(–1 – 7y) = – (x + 1)(1 + 7y) f)

(1 – 7x)(–1 + 2a)

g) (x – 8)(1 + x) h) (2a + b + 3)(–5 – 1) = – 6a(2a + b + 3) i)

(n + 1)(x – 9)

j)

(x – 2)(x + 3y + 1)

k) (a + 1)(a – 1) ACTIVIDAD 3, PÁGINA 214 A. 1. (n – 1)(n + 1) 2. (x – 5)(x + 5) 3. (1 – 2m)(1 + 2m)

19. (7a + 1)(–a + 11) 20. 5c(2 + 7c) PÁGINA 215 B. a) (16 – 3y)(16 + 3y) b) (4a + 3)(4a – 3) c) (5x – 2)(5x + 2) d) (5m – 7)(5m + 7) e) (8y2 – 9)(8y2 + 9) f)

g) (11a4 – 10)(11a4 + 10) h) 2(25a10 – 36) = 2(5a5 – 6)(5ª5 + 6) i)

(x2 + 1)(x2 – 1) = (x2 + 1)(x – 1)(x + 1)

j)

4(x4 – 16) = 4(x2 – 4)(x2 + 4) = 4 (x + 2)(x – 2) (x2 + 4)

k) (4 – y2)(4 + y2) = (2 – y)(2 + y)(4 + y2) l)

4. (4 + y)(4 – y) 5. (2x + 3)(2x – 3) 6. (2x + 9)(2x – 9)

7. (10 – m2)(10 + m2) 8. (5 – 2n)(5 + 2n) 9. (–4 + 2b)(4 + 2b) 1 1  10.  − 3a   + 3a  2 2   a 4  a 4 11.  −   +   6 5  6 5

(a6 – 4)(a6 + 4) = (a3 – 2)(a3 + 2) (a6 + 4)

5(x4 – 16) = 5(x2 – 4) (x2 + 4) = 5(x – 2) (x – 2) (x2 + 4)

PÁGINA 216 A. a) b) d) f) B. a) (x + 8)2 b) (x + 7)2 c) (x – 1)2 d) (1 – 2y)2 e) 2(x – 1)2 x(x – 9)2(x + 9) = x (x – 9)2

 a 4  a 4 12.  −   +   6 5  6 5

f)

a  a  13.  1−   1+   2  2

h) 5(y2 + 1)2

1  1  14.  b +   b −   2  2 1  1   15.  10 − a 2   10 + a 2   4  4  1  1  16.  8a −   8a +   5  5

384

g) 5(4x + 5)2 i)

(3x5 + 2)2

j)

(1 – a3)2

k) (7x + 4)2 l)

(x + 5)2

m) (a + 1)2 n) (x + 1)2

RESPUESTAS

Matemática - EL MAESTRO EN CASA ACTIVIDAD 5, PÁGINA 217

PÁGINA 220

3) x(x + 7)

A.

2

4) 3x (1 – 7x)

g) 4m(2m – 3n)

a) (a – 1)(a – 3) (a + 3)

5) 2x(3x – 2)

h) 9ax2(a2 – 2x)

2 2  b) ( a + 2 )  − x   + x  3 3  c) (b – 3)(b + 1) (b – 1)

6) b(b2 + b + 1)

i)

x(x2 + x + 2)

j)

2(2a2 – 4a + 1)

d) 3x (x + 12)

i) j)

2) (a + 9)(a – 8)

2 2

3x(1 – x )

3) (4c + 5)(x – 1)

2

(x + 2) (1 + 3x)

k) 2(1 – 5x)(1 – 10x) (3 –10x) l)

n) 3b(2a2b2 – 3a + 4b)

1) (y + 2)(y – 1)

2

– 24x

4) 2(x + 1)2

7) (1 – 3c)(1 + y)2

a) 4(a + b) b) x(x – y) c) bc2(b + 3c)

e) f)

1 2 b y(y – b) 2 4x(6 + 7x2 – 14x3)

5.

8) –7(2y – 1)

B.

4.

d) 2x(3x – 2y)

5) 2x(x – y) 6) (m – n)2

PÁGINA 218

3m(2m2n2 – 4mn + 1)

m) 3a2(3a3 – 2x + ax2)

D.

2

h) 3(3x + 1)

l)

10) –6x(2x + 1)

5(2y – 9) (2y – 5)

g) 2(x – 3)

k) 2a(a + 2b – 3c)

8) 3c(5a2 – 1) 9) 5rs(5r – 25)

e) 2(y + 1) (y – 11) f)

7) ab(a + b)

a) (4x – 1)(a + 3)

1) 2a (a + 6)

Mayor factor común: 2a

TRABAJO INDIVIDUAL 1, PÁGINA 219

b) (b – 5)(2m + 1)

2) 9b (b – 9)

Mayor factor común: 9b

1.

c) (2a – 1)(1 – 3q)

Mayor factor común: 6

a) 3a b) a

2

3) 6 (2c – 1) 2

Mayor factor común: 9

5) 1 (e2 + 9)

Mayor factor común: 1

2.

6) 1 (2f2 – 4)

Mayor factor común: 1

b) 6xy

7) 3 (x2 – 4x + 6)

Mayor factor común: 3

8) 9 (2n2 – 3n + 6)

Mayor factor común: 9

2

9) 2x (x + 3x – 13) Mayor factor común: 2x2 10) 3y3 (3y2 – 22y + 1) Mayor factor común: 3y3 C. 2 2 1) 3(x + 4y ) 2 2) 6(3x – 2y)

e) (a – 10)(–7 + x) f)

c) 12b2

4) 9 (d + 3)

2

d) (3t + 1)(p – 6)

d) 1

TRABAJO INDIVIDUAL 2, PÁGINA 221 1.

3 3 a) 6a b

a) si b) si

3 2 c) 14a b

c) no

d) 3a2x2

d) no

e) 6a2b f)

e) si

6

f)

3.

si

g) no

a) a(b + c)

h) si

b) b(b – 2) c) 3(m – n) d) 2(c + 4)

i)

no

j)

si

2.

e) 2x(y – 5) f)

(b2 + 1)(7c + 3)

a) (x + 1)2

5y2(1 + 3y)

385

RESPUESTAS

Matemática - EL MAESTRO EN CASA b) (n – 1)2

d) (4x3 – 5)(4x3 + 5) 2

e) (8y – 9)(8y + 9)

2

a) (3x + 2)(2x + 1)

f) x(6 – 7x)(6 + 7x)

b) (4x – 1)(2x + 3)

c) (a + 4) d) (y – 6)

2

2

g) y (9y – 5)(9y + 5)

3 2 ) 2

h) 2(2x – 7y)(2x + 7y)

e) (m + 7) f)

(b –

2

2

2

7.

g) (9 + p)2

j) (1 – 0,8y)2 3.

c) (h + 2)2

a) 2(x – 1)

g) 2(x + 3)(x – 1) h) 2(2a + 3)(a – 1)

2

b) 2(x – 10)

ACTIVIDAD 6, PÁGINA 225

2

c) x(x – 9)

2

A.

2

1. 1 2 raíces

d) x(x + 12)

e) 5(2x + 3)

2

f) 3(2x + 3)

g) 5(y2 + 1)2 3 2

h) 2a(1 – a ) 4. a) sí

e) no

b) sí

f) no

PÁGINA 222 c) no

g) sí

d) no

h) si

5. 2 2 a) 6x (4x + 10x –3)

b) 5x3 (9x8 + 12 + 4x2) c) (2x – 3) (2x + 3) d) 6x2 (x2 + 4)(x – 2)(x + 2) e) 3x3 (2x3 – 3)2 (x – 2)2 (x + 2)2

g) 2x2 (4x2 – 42x + 9) h) x (18x6 + 8 + 29x3) 6.

3(3a – 1)(a – 2)

PÁGINA 227

d) (b + 5)2 e) (7a + 4)2

2

d) 3(x – 4)(x – 3) f)

b) (2x + 15)2

i) (a2 + 4)2

c) (x – 7)(6x + 1) e) 2(2x – 1)(2x + 1)

a) (y – 1)2

h) (b – 5)2

f)

ACTIVIDAD 7, PÁGINA 226

2

i) 3(2m – n)(m+ 3n) j) 2(5 – x)(2 + x) k) (2x – 1)(x + 1) l) (6b – 5)(5b + 4)

2. 16

2 raíces

3. 4

2 raíces

4. 100

2 raíces

5. 25

2 raíces

6. 1

2 raíces

b) 100

7. 85

2 raíces 2 raíces

25 4

5   x +  2

2

8. 25

c)

2 raíces

d)

10. 196

2 raíces

4 9

e) 9

2   y +  3

2

9. 4

(x + 3)2

f) 16

(x 2 − 4)2

B. 1) (x + 4)(x + 3) 2) (x + 9)(x + 4) 3) (x – 5)(x – 3) 4) (x – 4)(x – 3) 5) (x + 6)(x – 2) 6) (x – 25)(x + 4) 7) (x – 24)(x + 3) 8. (m + 5n)(m + 3n) 9. (a + 3b)(a + 2b) 10. (p + 4q)(p + 2q) 11. (a + 7b)(a – 2b)

a) (2x – 5)(2x + 5)

12. (x – 6y)((x + 5y)

b) (3a – 4)(3a + 4)

13. 4(x + 5)(x + 5)

c) (10x – 1)(10x + 1)

14. (x – 8y)(x – 5y)

386

ACTIVIDAD 8, PÁGINA 228 A.

g)

25 4

(x − 10)2

5   x −  2

B. a) (x – 3)(x + 2) b) (y – 5)(y – 3) c) (x + 7)(x – 2) d) (c + 8)(c – 3) e) (x – 7)(x + 4) f)

(a + 7)(a + 5)

g) (b – 5)(b – 2) 1 1 h)  x −   a −   3 2 

2

RESPUESTAS

Matemática - EL MAESTRO EN CASA ACTIVIDAD 3

ACTIVIDAD 9, PÁGINA 231 2

a) (x + 4) – 17

−x − 5x + 4 2 5 3 2. 2x −x 2 + 3x − 2 − 5x + 4 1. 2 −3 5 3. a 2 + b52 + 3ab 3 3 2 2. 2x + 3x2− 2 4. x 2 − 4x + 1 −3 2 5 2 3. a + b 5+ 3ab 3 2 5 − 5x23 − x 5. 2x 2 PÁGINA 4. x 2 − 236 4x + 1 6. −3m2 + 4mn − 10n2 5 5. 2x15 −3 5x 3 2− x 7. − x + x −23 5 6. −3m2 + 4mn − 10n2 1.

2

b) (x – 3) –7 c) (x + 5)2 – 15 2

1  19  d)  x −  +  2 4 2

5 29  e)  x −  −  2 4 2

11 77  f)  x +  −  2 4 ÁREA 3: RELACIONES Y ÁLGEBRA ACTIVIDAD 1, PÁGINA 234 1. 2. 3. 4.

7.

x8

−1 q 2 p3

6.

−2 3 x y 3

1. Cociente: – 4b + 4, residuo: – 2 2

2. Cociente: 6x + 5, residuo: 0

1 1 3 ( y + 3) = y + 2 2 2 3

2 2

4. – q m ( 7q – 3m ) = – 7q + 3m q

5. – 4b ( 4 – 3a2) = – 16b + 12 a2 b

1 1 ab − ab 3 6 4

8. 1 a 5 b2 − 8 ab2 3 3

Residuo: 0

c) (n2 – 7n – 9) ÷ ( n + 1 )

1 – 7

– 9



1 – 8

–1



– 1

8

–1

Cociente: n – 8 Residuo: – 1

d) (4 – 8n + 3n2) ÷ ( 3n - 2 ) 2

(3n – 8n + 4) ÷ ( 3n - 2 )

3

– 8

4

6 = 2 3



3



Dividimos 3 y – 6 por 3; así



3n – 6

– 6

0

3 −6 =, = − 2 3 3

Por lo tanto

6. Cociente: 5x – 20, residuo: 154



Cociente: n – 2

7. Cociente: 3x + 12, residuo: 46



Residuo: 0

8. Cociente: x - 5, residuo: 16

e) (x2 – 7x + 5) entre ( x - 3 )

a)

x 2 + 5x + 6 x+2



1

5

6



1

3

0



–2 – 6



Cociente: x + 3



Residuo: 0

b)

x 2 – 15x + 56 x−7



1 – 15



1





1

–7

5



1

–4

–7







3 –12

3

Cociente: x – 4 Residuo: – 7

f) (x2 –x – 6) entre (x – 3)

1

–1

–6



1

2

0



Residuo: 0



3

6

3

Cociente: x + 2

g) (a2 –5a + 1) entre (a + 2)

56

7 – 56

– 8



–2

0

387

7

2 3

−12 = −4 3

5. Cociente: x2 + 3, residuo: – 2

ACTIVIDAD 5, PÁGINA 241

3. 7p2 + 15m2

7.



4. Cociente: 2x – 6, residuo: 0

1. x + 3

6. 4a

Cociente: x – 8

3. Cociente: x + 1, residuo: 0

4

2

1 3 x + x2 − 3 5

ACTIVIDAD 4, PÁGINA 237

ACTIVIDAD 2, PÁGINA 235

2.

−





−1 2 y 6 −1 7 8 ab 3 −8 26 9 m n 9

5.

2



1



1





–5

–2

–7

1

14

15

–2

RESPUESTAS

Matemática - EL MAESTRO EN CASA

Cociente: a - 7



Residuo: 15

1

11



−1 4 29 1 − 4

29 16 205 16



10x – 1



Se divide 1 y −29 por 4 4 Por lo tanto



Cociente:

2

h) (2x –7x + 1) entre (x – 4)

2

–7



1

8

2

4

4

1

5



Cociente: 2x + 1



Residuo: 5

i) (3x2 +5x + 1) entre (2x – 1) 2

(3n – 8n + 4) ÷ (3n – 2) 3

5

1



3 2 13 2

13 4 17 4

1 2





3



No olvidemos, se dividen los coeficientes 3 y 13 por el coeficiente 2

del divisor (2x – 1)

Por lo tanto



Cociente:

3 13 x+ 2 4



Residuo:

17 4

10

– 7



30 = 6 5



10

–1



Se divide 10 y – 1 por 5



Por lo tanto



Cociente: 2x −



37 Residuo: 5



10x – 1

−3 5 37 5

1 5

k) (11 – 7x + x2) entre ( 4x + 1 )

(x2 – 7x + 11) entre ( 4x + 1)

5 2 2 x− + 3 3 x −7 3 4 2 d) x − x +x 3 3 c)

e) 3x 2 − 5x + 4 f) 108a 5 −

1 29 x− 4 4

a)

m) Libre

b)

ACTIVIDAD 6, PÁGINA 243

c)



Respuesta: C(x) =



R(x) =

b)

43 2 x − 2x 3

4x 3 + 0x 2 + 8x − 4

3x 3 + 0x 2 − 5x + 3 2 x 3

2 x y el resto 3

2x 2 − 4x + 1

−4x 3 + 8x 2 − 2x

2x

8x + 6x − 4 2



Respuesta: C(x) = 2x y el resto R(x) = 8x2 + 6x – 4

c)

x3 − x2 − x

x2 + x + 1

−x 3 − x 2 − x

x

− 2x 2 − 2x

14 2 − b3 a 2

2.

205 Residuo: 16 Libre

10 2 x + 2x 3 43 2 x − 2x 3

3 5

1 3

b) −5m5 n4 + 6mn8

−2x 4 + 0x 3 +

(10x2 – 7x + 8) ÷ (5x – 3) 8

l)

1. a) −a 4 b 3 −

a) 2x 4 + 0x 3 + 11x 2 + 0x − 3

j) (10x2 + 8 – 7x) ÷ (–3 + 5x )



TRABAJO INDIVIDUAL 1, PÁGINA 244

−1 4

−7

(2 − 7x) 4

a 2 b − 7b 2

(x 2 y 2 − 1)2 5 −3 d) 5

1 4(x − y) −4 2 f) (a − c) 3 g) −2(a 4b + 2)2

e)

h) 4xy 2

25 a+b 2x + 3y j) 3x + 2y k) x + 2 i)

PÁGINA 245 3. a) x + y b) 3 – 7b

Respuesta: C(x) = x y el resto R(x) = –2x2 – 2x

c) ay – 3a4 4.

a) x2 + 1

b) 3x2 – 8x2 = – 5x2

d) Libre.

c) p – 7 d) –x + y

388

8.

a − 2b

9.

5 + 6x

2

m−2

m+2 RESPUESTAS 10.

1

11. Matemática - EL MAESTRO EN CASA a−4 12.

e) x – y f)

b), c) y d) Libre para discusión.

m2 – 5 ÁREA 3: RELACIONES Y ÁLGEBRA

5. 2

a) –15a b + 13b b) 9mn5 – 12m5n 2b 3 4b2 c) + − a a a

d) 3x3 – 5nx2 + 1 6. a) x b) x c) 2m d) n PÁGINA 246 7. Libre para discusión 8.

EXPRESIONES ALGEBRAICAS FRACCIONARIAS

p

13.

2p − q

14. x + 1 15 hasta 24 los estudiantes

Parte C

A. Parte A a) a ≠ 0 ↔ IR − {0} b) x ≠ 1 ↔ R − {1} c) m ≠ 0 ↔ IR − {0} d) ∀ x ∈IR, e) b ≠ − 3 ↔ IR − {−3}

{ }

f) z ≠ −1 ↔ IR − −1 2 2

g) a ≠ 7 ↔ IR − {7}

h) x ≠ 0, x ≠ −2 ↔ IR − {−2, 0} i) b ≠ 3, b ≠ -3 ↔ IR − {−3, 3} j) c ≠ −2, c ≠ 9 ↔ IR − {−2, 9}

1. 2. 3. 4.

3a x +1

Debe amplificarse por (m – n)

x 2 + 5x + 4 x2 − 1

Parte F

a3 (b − c)2

7.

3+x

8.

a − 2b

9.

5 + 6x

La fracción original era PÁGINA 252 a) a

2

2

PÁGINA 251 8. a − 2b m−2 2 10. 9. 5m++6x 2 m 1− 2 10. 11. m a −+ 42

12. 13.

− 4 , o 3

Parte D

La fracción original es

6.

11. 12.

3. Para valores distintos de   4  sea a ∈ ℝ –   3

Parte E

4c 2 a − 5x

2x − 1 2x y

5.

9.

10

ACTIVIDAD 1, PÁGINA 250

Parte B

b), c), d) y e) libre para discusión.

1 − 4n

1 −14n a 10 −4

1 −p4n

2p10− q p 14. 13. x + 1 2p − q 15 hasta 24 los estudiantes 14. x + 1

389

15 hasta 24 los estudiantes

b) 14m a) a11 1x c) 14m b) 211 d) xy c) 1 x 2 + 1) 7(x e) d) xyx + 2 − 5(m 7(x + 1)+ 2) f) e) xm + 2− 5 g) − 2 − 5(m + 2) f) PÁGINA m −253 − 2(b −56) h) g) − 2b + 2 h)

− 2(b − 6) b+2

4a 2 − 9 6a + 11a + 13 2

7 a2 8 2) 6 y 5 MAESTRO 3) 44 xEN 75 2x +5 4) x2 5) 41 24a

RESPUESTAS Matemática - EL

(3n + 2)(n − 4) n+ 4 j) 3x + 5

i)

k) x − 2 l)

y 2 + 4y + 1 5y + 1

PÁGINA 255 Parte A 1) c 2 d2 2) 6x y 2

3) (a - b)(a + b) 1) c 2 d2 4) (m - 6)(m + 6) 2) 6x 2 y 5) − 6(a − 3) 3) (a - b)(a + b) 6) − 8(b − 1) 4) (m - 6)(m + 6) 7) x 2 − 4 5) − 6(a − 3) 8) x 2 − 9 6) − 8(b − 1) 9) (x2 − 2)(x + 2)(x + 3) PÁGINA 7) x − 4256 10) (x2 + 1)(x + 2)(x − 2) 8) x − 9 11) t(t + 2)2 (t − 4) 9) (x − 2)(x + 2)(x + 3) 12) y 2 (y − 1)(y + 1) 10) (x + 1)(x + 2)(x − 2) 13) (a + 1)(a − 1) 11) t(t + 2)2 (t − 4) 14) (x2 − y)(x + y)2 12) y (y − 1)(y + 1) 15) (m − 3)(m − 2)2 13) (a + 1)(a − 1) 16) (x + 2)(2x + 1)(x − 1) 14) (x − y)(x + y)2 15) (m − 3)(m − 2)2 16) (x + 2)(2x + 1)(x − 1) Parte B Libre. Parte C 1) 2) 3) 4) 5) 6)

7 a2 8 6y 5 44 x 75 2x + 5 x2 41 24a x 2 + 4xy + y 2 x2 y 2 6x

1)

6)

CASA

b) 2x2 y

x 2 + 4xy + y 2 x2 y 2

7) 26x x −4 8) 11x + 2 3x(x + 1)

2 5x + 1 11) 2xx2 −+10x + 25 10) PÁGINA 1257 ( x +x(x )2−(x5)+ 4) 2 5x − + 11 1 12) x +12a 11) (a + 2)(a − 1)(a − 3) 2 ( x + 1) (x + 4)

12a − 11 (a + 2)(a − 1)(a − 3)

13xy − 6x 2 + 3y 2 2x2 y 2

2(x − 20) x 2 − 25 x−3 3) (x + 3)(x + 1)

2)

a) 

x4 y 1 = x 5 y 2 xy

b)

x 2 + 2x + 1 (x + 1)(x + 1) (x + 1) = = (x − 1)(x + 1) (x − 1) x2 − 1

c) 

x 2 + 3x + 2 (x + 1)(x + 2) (x + 1) = = (x + 2)(x − 1) (x − 1) x2 + x − 2

d) 

xy(x + 1) xy(x + 1) 1 = = x 3 y 2 + x 2 y 2 x 2 y 2 (x + 1) xy Respuesta: Son equivalentes a y d y la b y c.

ACTIVIDAD 4, PÁGINA 258 a) ab b) 2x2 y

e) c f)

1

(

i) 2 x 2 + y 2

390

)

j) 1 k)  l) 

− ( x − 2 ) ( x + 3) ( x + 2 ) ( x − 3)

( x − 2 ) ( x + 1) ( x − 1)

ACTIVIDAD 5, PÁGINA 260 2(x + 5) (x + 1)2 Parte B

Parte C

x−6 (x + 6)(x + 4)

c) b+5 2b d) 2(a − 9)

h) 1

5 3(x − 1)

Parte E



1 p+7

Parte A

Parte D

4)

e) c

g) 3(x − 4)

2 10) 2x − 10x + 25 x(x − 5)

1)

c) b+5 2b d) 2(a − 9) f)

2 9) 2x + 8x + 16 x(x + 4)

12)

a) ab

RESPUESTAS

Matemática - EL MAESTRO EN CASA

Parte B x + 2   x2 − 9   x−2 a)  2 + 2 •  x − 4 x − x − 6   4x − 10     ( x − 3) ( x + 3)  x−2 x+2  ( x − 2 ) ( x + 2 ) + ( x − 3) ( x + 2 )  •  2 ( 2x − 5 )       ( x − 2 ) ( x − 3) + ( x + 2 ) ( x − 2 )   ( x − 3) ( x + 3)    •  2 ( 2x − 5 )  ( x − 3) ( x − 2 ) ( x + 2 )      x 2 − 3x − 2x + 6 + x 2 − 2x + 2x − 4   ( x + 3)    •  2 ( 2x − 5 )  ( x − 2) ( x + 2)      2x 2 − 5x + 2   ( x + 3)   ( x − 2 ) ( x + 2 )  •  2 ( 2x − 5 )     

p) 3(x – 2) q) 

 ( 2x − 1) ( x − 2 )   ( x + 3)   ( x − 2 ) ( x + 2 )  •  2 ( 2x − 5 )     

( x − 1) ( x − 2) ( x − 4)

(2x − 1) ( x + 3) 2 ( x + 2 ) ( 2x − 5 )

ACTIVIDAD 6, PÁGINA 264 Parte A

c) Estudiante

1 1− x 2 1. + − x x(x + 2) x + 1 (x + 2)(x + 1) + (1− x)(x + 1) − 2(x)(x + 2) x ( x + 1) (x + 2) x 2 + x + 2x + 2 + x + 1− x 2 − x − 2x 2 − 4x x ( x + 1) (x + 2) − 2x 2 − x + 2 x ( x + 1) (x + 2)

2)

b) Estudiante

x 3 − +2 2x 2 − x − 1 1− 2x + x 2 x 3 − +2 (2x + 1)(x − 1) (x − 1)(x − 1)

TRABAJO INDIVIDUAL 1 1)

(a − b) (a + b) • 2 (a − b) = 2 3 (a + b) (a − b)(a + b) 3

2)

( x − 7)( x − 6) • ( x + 7)( x − 5) = x − 6 x ( x − 7)( x + 7) x ( x − 5)

3)

( x + 8)( x + 7) • ( x − 8)( x + 7) ÷ ( x + 7) ( x − 8)( x + 8) ( x + 7)( x − 5) ( x − 5) ( x + 8)( x + 7) • ( x − 8)( x + 7) • ( x − 5) = 1 ( x − 8)( x + 8) ( x + 7)( x − 5) ( x + 7)

x(x − 1) 3(2x + 1) 2(2x + 1)(x − 1)(x − 1) − + (2x + 1)(x − 1)(x − 1) (2x + 1)(x − 1)(x − 1) (2x + 1)(x − 1)(x − 1)

PÁGINA 265

x − x − 6x − 3 + 4x − 6x + 2 (2x + 1)(x − 1)(x − 1)

3.

2

3

4x − 5x − 7x − 1 (2x + 1)(x − 1)(x − 1) 3

2

3) Estudiante 4) Estudiante

2

2. Libre a 2 + b2 − 1 ab 3c − 2a + b 2) abc

1)

3)

4 y 5 libre.

391

(

a ( a − b ) + b ( a + b ) − a 2 + b2

(a - b)(a + b)

)=a

2

− b2 + ab + b2 − a 2 − b2 =0 (a − b)(a + b)

RESPUESTAS

Matemática - EL MAESTRO EN CASA ÁREA 3: RELACIONES Y ÁLGEBRA RACIONALIZACION DE DENOMINADORES Y NUMERADORES ACTIVIDAD 1, PÁGINA 267 a) b)

2 5 5

3 7 7

e) f) g) h)

9

3 2 4

2

5

5 3

6

4

1

5

3 9

10

8

ACTIVIDAD 2, PAGINA 268 1.

5 2 4

2.

3 3 100 50

3.

3

4.

13 36 2

5.

7 3 25 5

6.

3

7.

7 3 121 11

8.

3

9. 10.

3

c)

14.

x 6x

d)

15.

3 4 8x 3 y 2 4x 2 y

2.

16.

7

a)

2 4 36 x 4 y 6 6xy 3

b)

TRABAJO INDIVIDUAL 1, PÁGINA 270

4

a) b)

4 2

53 4 2

11. 3 3 9 6

3 x

d)

x

2y

e)

y

7

x5 x

2 5 x2 x2 4

(

x −2 x−4

)

(

)

(

)

3 3+2 x 9 − 4x

3 3+2 x 9 − 2x

(2

x − x+2 3x − 2

)

2

x + 1+ x − 1 2

PÁGINA 271 3. a)

 3 − 2  3− 2   3 − 2 • = 2  = 2 2  =2 2  3 + 2  3 − 2  3 − 2   3−2 

b)

 5 + 3  4 15 + 4 32 4 15 + 12 • = = 2 15 + 6 = 5−3 5 − 3  5 + 3 5 2 − 32

c)

 a + b 2 3 a + b 2 3 a + b • = = a−b a − b  a + b a 2 − b2

d)

 a − 2 3 a − 2 3 a − 2 3 • = = a−4 a + 2  a − 2 a2 − 4

e)

 5 − a  20 − 4 a 20 − 4 a 4 • = = 25 − a 5 + a  5 − a  52 − a 2

f)

2

3

c)

1.

9

3

12.

xy xy

3

c) d)

13.

2

4 3

(

3− 2

(

(

2 3

(

)

(

) (

(

)

)

)

)

(

)

3 5− 3 3 5− 3  5 − 3 3 • = = = 2 2 5−3 2 5 + 3  5 − 3 5 − 3 3

)

(

5− 3

)

g)

2 3 − 5  5 − 2 3  2 15 − 4 9 − 25 + 2 15 4 15 − 17 4 15 − 17 17 − 4 15 • = = = = 7 5 − 12 −7 5 + 2 3  5 − 2 3 52 − 4 9

h)

3 + 2  5 + 3 15 + 3 + 10 + 6 3 + 15 + 10 + 6 15 + 9 + 10 + 6 • = = = 2 2 5−3 2 5 − 3  5 + 3 5 − 3

3

i)

j)

4

2 3−5 3

=

4 3 − 4 3 − 4 3 • = = 9 −3 3 3 3 32

 3 5 + 5 3  9 52 + 15 15 9 • 5 + 15 15 45 + 15 15 − 3 − 15 3 5 • = = = = − 30 2 3 5 − 5 3  3392 5 + 5 3  9 52 − 25 32 9 • 5 − 25 • 3 5

 8 + 3

(

5 8+ 3

) 5(

8+ 3

) 5(

22 • 2 + 3

)

g)

2 3 − 5  5 − 2 3  2 15 − 4 9 − 25 + 2 15 4 15 − 17 4 15 − 17 17 − 4 15 = = = • = 5 − 12 −7 7 5 + 2 3  5 − 2 3 52 − 4 9

h)

3 + 2  5 + 3 15 + 3 + 10 + 6 3 + 15 + 10 + 6 15 + 9 + 10 + 6 • = = = 5−3 2 5 − 3  5 + 3 5 2 − 32

Matemática - EL MAESTRO EN CASA

i)

4 4 3 − 4 3 − 4 3 = • = = 9 2 3 − 5 3 −3 3 3 3 32

j)

 3 5 + 5 3  9 52 + 15 15 9 • 5 + 15 15 45 + 15 15 − 3 − 15 3 5 • = = = = − 30 2 3 5 − 5 3  3 5 + 5 3  9 52 − 25 32 9 • 5 − 25 • 3

k)

l)

(

TRABAJO INDIVIDUAL 2, PÁGINA 273

a) 3 −

x

b) 5 x + 2 + 3 2+

x

x +1

5. a)

1 3 3 3 • = = 3 3 3 9

b)

8 8 3 24 6•4 2 6 = • = = = 3 3 3 3 9 9

c) d) e) 6. a) b)

1 1) x+2 + 2 −1 2) 4+ x 1 3) 8+x + 8 1 4) x+2 + 5

3 3 3 6

6 2

= =

2

3 3 3 6

6 2

• •

3

3 2

2

= =

5 2

3 15

=

3 15 5 25

5

3 12 6 • 22

=

3 22 • 3

•

5 10

6 • 22

2

2

=

3 30 5 26

7. Libre para discusión

=

a – 3 = 0 → a = 3

a + 5 = 0 → a = –5 S = {– 5, 3}

3. (x + 12)(x – 11) = 0

3 30 3 = 30 5 • 23 40

x + 12 = 0 → x = –12 x – 11 = 0 → x = 11

y – 13 = 0 → y = 13 S = {0, 13} 6. 0 = y(y + 10)

y=0→y=0

y + 10 = 0 → y = –10

S = {– 10, 0}

7. (7x – 28)(28x – 7) = 0

28 7x – 28 = 0 → 7x = 28 → x = = 7 4 28x – 7 = 0 → 28x = 7 → x = 7 = 1 28 4 1  S =  , 4  4 

8. 2x(3x – 2) = 0

2. (a – 3)(a + 5) = 0

5 10 1 c) = • = = = 10 3 5 3 5 5 3 52 3 • 5 3 5 32

5 2

6 6 = 3• 3 9

y = 0 → y = 0



S = {– 8, – 6}

2

5. y(y – 13) = 0



ÁREA 3: RELACIONES Y ÁLGEBRA 12 12 • 5 60 22 • 15 2 15 = = = = ECUACIONES CUADRÁTICAS 5 5 5•5 25 25 ACTIVIDAD 1, PÁGINA 279 3 3•5 15 15 15 = = = = Parte A 5 5 5•5 25 25 1. (x + 8)(x + 6) = 0 xy xy x x•y xy = = 2 = = x + 8 = 0 → x = –8 2 y y y•y y y x + 6 = 0 → x = –6

1 2 1 = • 3= 3 2 2 2

d)

)

3 + 2  2 − 1 6 − 3− 2 +2 6− 3+ 4− 2 • = = 6 − 3− 2 +2 = 2 −1 2 + 1  2 − 1 22 − 12

4.

c)

) (

) (

2  8 + 3 5 8 + 3 5 8 + 3 5 2 •2 + 3 • = = =2 2+ 3 =  8−3 5 8 − 3  8 + 3 8 2 − 32

5

RESPUESTAS

S = {– 12, 11}

4. x(x + 5) = 0

x = 0 → x = 0

x + 5 = 0 → x = –5 S = {– 5, 0}

393

2x = 0 → x = 0 = 0 2 3 3x – 2 = 0 → 3x = 2 → x = 2 2  S =  , 0  3  9)

1 2  x  x − 12  = 0       2 3 1

2 2

3

x =  0 →  x =

0

 1   2

=0

2 12 36 x − 12 = 0 →   x  =  12 →  x = =  = 18  2 3 2 3

S = { 0, 18 }

1 1  10)  − 3x   − 2x  = 0      3 5  −1 −1 1 1 − 3x = 0 → −3x = → x =  3 = −3 3 9 3 −1 −1 1 1 − 2x = 0 → −2x =  → x = 5 = −2 10 5 5

 1 1 S=  ,  10 9 

10) S = {− 2, 2}

RESPUESTAS

Matemática - EL MAESTRO EN CASA

15) S = {7,9}

1) S = {1, 5}

16) S = {− 8, − 7}

2) S = {– 6, – 1}

15 − 129 15 + 129  17) S =  ,   48 48  

5) S = {3, 5}

11   18) S = − 1,   10  

6) S = {2, 7}

19 hasta 32) Los estudiantes

4) S = {– 7, 3}

7

d = 0  →  d =  

0

 5   7

→  d = 0

3 6 24 d − 6 =  0  →   d = 6 →  x = = =8 4 3 4  3   4 3

S = { 0, 8 }

2  1 3 1 13)  y −   y −  = 0      3 3  4 2  2   6 2 1 2 1 3 y − = 0 →  y = → y = = =2 3 3 3 3  1 3   3  3   12 3 1 3 1 2 y − = 0 →  y = → y = = =6 2 4 2 4  1 2   4

S = {2, 6}

1   2 12  7 14)  x −   x −  = 0       4 12   3 11  1   4 1 1 7 1 7 12 x − = 0 →  x = → x = = = 4 12 4 12  7  84 21   4  12    36 18 2 12 2 12 11 x − = 0 →  x = → x = = = 3 11 3 11  2  22 11   3 18 1  S=  ,   11 21

} 13) S = { }

Parte B

3) S = {– 9, 2}

5

12) S = {

4  14) S = −1,   3 

PÁGINA 280

 5 3 12)  d   d − 6  = 0        7 4

 3 − 10 3 + 10  11) S =  ,  2  2 

7) S = {– 15, 4} 8) S = {– 14, 13}

ACTIVIDAD 3, PÁGINA 290

9 9) S =  , 5  10) S = 0,  11) S = { }

1. x, x+ 2, x + 4

 10   1  3

 − 5 − 1 12) S =  ,  2   3 13 hasta 28) Los estudiantes ACTIVIDAD 2, PÁGINA 286 1)

 −2 1  S=  ,   3 2

2) S = {2, 4}

(x + 4)2 – x2 – (x + 2)2 = 7



Respuesta: Los números son 5, 7, 9.

2. x edad hijo

x2 edad de padre



x2 + 24 = 2(x + 24)



Respuesta: El padre 60 años



El hijo 30 años

PÁGINA 291 3. x es el número

7  3) S = −5,  3 



 20 - 395 20 + 395  4) S =  ,  2 2   5) S = ∅



3x + x2 = 88

Respuesta: El número es 8

4. x es el número

 −1  6) S =  , 0  8 

x2 – 2x = 10 + 7x

Respuesta: El número es 10

5. x primer número

7) S = {0, 8}

8) S = ∅



32 – x segundo número



Respuesta: los números son 15 y 17



9) S = {0} 10) S = {− 2, 2}  3 − 10 3 + 10  11) S =  ,  2  2  12) S = {

} 13) S = { }

394

16) S = {− 8, − 7}

15 − 129 15 + 129  17) S =  ,  

x(32 – x) = 255

6. Por el Teorema de Pitágoras se tiene

(x + 3)2 + (x – 4)2 = (2x – 5)2



Respuesta: El área total es de 147.



4  14) S = −1,   3  15) S = {7,9}



El valor de x = 18

El perímetro total es de 66.

RESPUESTAS

Matemática - EL MAESTRO EN CASA 7. Número de lados

3. x es el número que buscamos.

n(n − 3) 2 n(n − 3) 54 = 2

D=



108 = n2 − 3n



(n – 12) (n + 9)



n = 12, n = – 9



Resp./ El polígono es de 12 lados.

Hay dos soluciones. El número puede ser 12, o bien, – 3; pero un número natural es 12. 4.

8. Suma de los números consecutivos S=

n(n + 1)

1275 =

2

n(n + 1) 2

2

2550 = n + n (n − 50)(n + 51) = 0 Respuesta: 50



9. x es el número

La altura mide 6 cm y la base 8 cm.

2



x + 3x = 40



Respuesta: El número es 5

10. x, x+ 1 son los números

x(x+1) = 210



Respuesta: Los números son 14 y 15.

PÁGINA 293 5.

TRABAJO INDIVIDUAL 1, PÁGINA 292 Parte A 1. x es el número buscado



El número puede ser 13 ó – 10. Hay dos soluciones

2. Los numeros son x y x + 1.

Los catetos miden 7 cm y 11 cm respectivamente.

Son 8 y 9, o bien, –9 y – 8. Hay dos soluciones.

395

RESPUESTAS

Matemática - EL MAESTRO EN CASA ÁREA 3: RELACIONES Y ÁLGEBRA

6.

FUNCIÓN CUADRÁTICA

d)

y

ACTIVIDAD 1, PÁGINA 299

1. Respuesta: f(x)= 2(x - 2)2 – 3 2

3 33  2. Respuesta: y = −  x +  +  2 4 3. Considere las anteriores.

4.

a) y = −(x − 3)2 + 1

y = −(x − 2)(x − 4)

b) y = (x + 2)2 − 4

y = x(x + 4)

c) y = −x 2 + 1

y = −(x + 1)(x − 1)

x

1

2. a)

y

2

e) y = −2x 2 + 16x − 24

7.

0

Libre para discusión

d) y = 2x 2 + x − 12

El lado del cuadrado mide 7 cm.

1

1  25  y = 2 x +  −  2 2

y = −2(x − 2)(x − 6) 1

ACTIVIDAD 2, PÁGINA 304 1. a)

y

0

b)

1

x

y



1

1 0

La altura mide 7 cm, y la base, 12 cm. 8. x(50 − x) = 600 → x = 30; x = 20

b)

1

0

x

x

1

y

c)

y 1 0

x

1

1 0

1 x

El rectángulo mide 30 m de largo y 20 m de ancho. PÁGINA 294

c)

y

d)

y

Parte B. Libre para discusión 1 0

1 1

396

x

0

1 x

RESPUESTAS

Matemática - EL MAESTRO EN CASA TRABAJO INDIVIDUAL 1 1. Libre para discusión 2. Libre para discusión 3.

Y el número de familias que corresponde a f(n) es 40 miles de familias, esto es 40 000 familias.

(

5 4 f(x) = 2x2

2 1 1 2 3 4 5 x g(x) = 2x2 - 3

b, c y d son para el estudiante.

(Puede utilizar el software libre geogebra)

4. Libre para discusión

(Puede utilizar el software libre geogebra)

TRABAJO INDIVIDUAL 2, PÁGINA 308 1. A 3. B

(

(

)

Y el peso máximo que ganará f(p) es 70 gramos. 6. Respuesta a: 2



 13  1875 f(t) = −3  t −  +  2 4



A mediados de junio

)

ESTADÍSTICA ACTIVIDAD 1, PÁGINA 317 1. A. discretos B. continuos

Respuesta b: 468,75%

C. continuos D. discretos



F. continuos



Respuesta b: 20 días

Respuesta c: 40 días (simétrico)

Desde que toma impulso dura 1,58 segundos, vuelve a sumergirse a los 7,58 segundos Respuesta b: 6 segundos

9. Respuesta:

)

ÁREA 4: ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD

7. Respuesta a: 259 personas



E. continuos G. discretos 2. A. discretos B. discretos C. continuos D. continuos

Valor

 -12  2   = (−6) = 36 2 

E. discretos

17500 15000

−10 2  −10  36 n − 12n + 36 −   9  9 −10 f(n) = (n − 6 )2 + 40 → (−h, k) = (6, 40) 9

(

Respuestas.

8. Respuesta a: y = –1(x – 3)2 + 21. Iguale a cero y factorice.

2

f(n) =

13.

Esto nos permite concluir que el porcentaje máximo de porteína es de 50%.



4.

(

c) 9,1 ºC

a) 5 m −1 2  −1 p − 100p + 2500 −   2500 + 20  50  50 b) 10 m −1 2 f(n) = (p − 50 ) + 70 → (−h, k) = (50, 70) c) 3,75 m 50

f(n) =



2. B

10 f(n) = n (12 − n) 9 120 10 f(n) = n − n2 9 9 −10 f(n) = −12n + n2 9 −10 2 f(n) = n − 12n 9

)

 −100  2   = (−50) = 2500 2 

-3



b) 12 hs

2

3

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 -2



a) 10ºC

−1 2 p + 2p + 20 50 −1 2 p − 100p + 20 f(n) = 50 f(n) =

6

11. Respuesta: Libre Respuestas:

5.

y 8 7

10. Respuesta: Libre 12.

PÁGINA 309

a)

PÁGINA 310

)

Esto nos permite concluir que: el máximo sí alcanza una los 6 meses.

12500

(100, 10000)

10000

5000

a) Muestra

2500 0

PÁGINA 318 3.

7500

25

50

75 100

397

Personas

b) Muestra

RESPUESTAS

Matemática - EL MAESTRO EN CASA 4.

5. Libre para discusión

a) cuantitativa continua

TRABAJO INDIVIDUAL 1, PÁGINA 344

b) cualitativa

1.

c) cuantitativa discretas

a) 150 obreros

d) cuantitativa continua

b) 36 obreros c) 52 obreros

5.

d) 0 obreros

a) cualitativas

e) 34 obreros

b) cualitativas c) cuantitivas continuas

PÁGINA 345

a) Tamaño de la población 30 b) Ordenamos los datos en orden creciente

ACTIVIDAD 2, PÁGINA 158 1. Libre para discusión. 2. Ordenamos en forma creciente la tabla de datos. 8 20 26 30 42 47 61 71 86 91

49 51 53 53 54 55 56 56 57 57 58 58 59 59 60 60 61 61 63 63 63 64 65 65 66 66 68 69 69 72

12 23 28 35 45 54 63 80 87 94

48,5 – 52,5

2

Marcas de clase 50,5

19 26 29 36 45 61 67 84 88 97

56,5 – 60,5

8

58,5

10 22 27 33 44 49 63 73 87 91

15 23 28 35 45 58 67 83 88 95

Construimos la tabla de frecuencias con 9 clases Frecuencias Marcas Intervalos absolutas de clase 8 – 18

4

13

28 – 38

8

33

18 – 28 38 – 48 48 – 58 58 – 68 68 – 78 78 – 88 88 – 98 Total

8 6 2 7 2 6 7

50

Intervalos Frecuencias 52,5 – 56,5 60,5 – 64,5 64,5 – 68,5 68,5 – 72,5 Total

6 6 5 3

30

c) El polígono de frecuencias

23

54,5

300 – 400 14 400 - 500 46 500 – 600 58 600 – 700 76 700 – 800 68 800 - 900 62 900 - 1000 48 1000 - 1100 22 1100 – 1200 6 Total 400

62,5

A. 800

70,5

C. 950

66,5

Marcas de clase

1.

4.

h) cuantitativa continuas



2.

PÁGINA 335

g) cuantitativa discretas



g) 2%

Frecuencias relativas

cuantitativa discretas

56 obreros

NúMERO DE CD’ S

e) cuantitativa discretas f)

f)

3. Seleccionar c)

DURACIóN (horas)

d) cuantitivas continuas

0,035 0,115 0,145 0,190 0,170 0,155 0,120 0,055 0,015 1,000

350 450 550 650 750 850 950 1050 1150

B. 1000 D. 1200 E. 100 F. 76

G. 0,155 3.

43

Tiempo de espera (en minutos) 10 14 14 18 18 22 22 26 26 30 30 34

53 63 73 83 93

Construimos el histograma de frecuencias de la tabla anterior.

398

Nº de clientes

hi (%)

8 20 32 40 24 16 Total 140

5,71 14,29 22,86 28,57 17,14 11,43 100

Mc 12 16 20 24 28 32

RESPUESTAS

Matemática - EL MAESTRO EN CASA

14,75

3

14,30

15,5 – 17,0

16,25

5

23,80

17,0 – 18,5

17,75

2

9,50

a) 61 personas

18,5 – 20,0

19,25

6

28,60

b) 26 personas

20,0 – 21,5

20,75

2

9,50

21,5 – 23,0

22,25

3

14,30

21

100

10.

12 12 14 14 15 16

16 16 17 17 18 18 18 19 19 20 21 22 23 24 24 25 25 25 26 26

Intervalos

fi

Fr porcentual (%)

Marcas de clase

Construimos la tabla de frecuencias con los 5 intervalos de clase

8

7,5

12 – 21

16

32

16,5

21 – 30

15

30

25,5

30 – 39

10

20

34,5

39 – 48

5

10

43,5

Total

50

100

6. a) Valor del extremo inferior 40,50 b) Valor del extremo superior 59,20 7. Libre para discusión PÁGINA 347 8. a) Rango: 77,20 - 21,20 = 56 b) Límite superior del sexto intervalo: 69,21

47,5 – 52,5

3

2

300 – 400

14

3,5

350

400 – 500

46

11,5

450

500 – 600

58

14,5

550

600 – 700

76

119,0

650

hi

700 – 800

68

17,0

750

800 – 900

62

15,5

850

0,140

900 – 1000

48

12,0

950

1000 – 1100

22

5,5

1050

1100 – 1200

6

1,5

1150

Total

400

100

11

62,5 – 67,5

12

72,5 - 77,5

4

67,5 - 72,5

9

77,5 – 82,50

1

Total

30

11. Intervalos 120 – 127

127 – 134

fi

4

7

0,080

134 – 141

14

0,280

148 – 155

8

0,160

141 – 148

155 – 162 Total

13 4

50

Total 14.

8

57,5 – 62,5

35 35 36 36 36 40 42 42 45 46

4

Frecuencias

52,5 – 57,5

26 26 28 28 29 31 32 32 32 34

3- 12

Intervalos

42,5 – 47,5

Mc

9

Frecuencia relativa porcentual (%)

8

Frecuencia absoluta

7

14 – 15,5

hi (%)

5

Mc 1,05 3,10 5,10 7,10 9,10 11,10 13,05

Marca de clase

5. Ordenamos los datos

hi 0,160 0,25 0,234 0,134 0,05 0,11 0,067 1,00

Número de tubos fi

6,67 20,00 36,67 23,33 13,33 100

Lm Ls fi 0,0 2,1 24 2,1 4,1 37 4,1 6,1 35 6,1 8,1 20 8,1 10,1 8 10,1 12,1 16 12,1 14,0 10 Total 150

Temperatura (en grados grados Celsius

15 20 25 30 35

Nc 1 2 3 4 5 6 7

Duración (horas)

Frecuencias porcentuales (%)

8 24 44 28 16 Total 120

DURACIóN (en miles de horas)

Nº. de componentes

4.

10 15 20 25 30

13.

9.

PÁGINA 346

0,260

0,080

a) límite superior de la quinta clase 800

1,000

12.

b) límite inferior de la octava clase 1000

a)

c) Marca de la clase de la sétima clase 950

Ni

Li

Ls

14

18

1

10

3

18

2

4

5

Total

22

26

fi

hi(%) Mc

14

5

13,89

12

22

10

27,78

20

30

12

34,00

26

2

7

36

b) Rango: 30 – 10 = 20

399

5,55

19,00

1,000

d) tamaño del intervalo 100

16

e) frecuencia de la cuarta clase 76 tubos

24

f) frecuencia relativa de la sexta clase 15,5

28

RESPUESTAS

Matemática - EL MAESTRO EN CASA a)

Flujo del rio (miles de galones por minuto)

Frecuencia

Frecuencia relativas

15.

1001 – 1051

7

0,028

1051 - 1101

21

0,086

1101 – 1151

32

0,130

1151 - 1201

49

0,199

1201 - 1251

58

0,236

1251 – 1301

41

0,167

1301 - 1351

27

0,110

1351 – 1401

11

0,044

Total

246

1,00

b) Intervalos 1,8 – 15,8 15,8 – 29,8 29,8- 43,8 43,8 – 57,8 57,8 – 71,8 71,8 – 85,8 85,8 – 100,1 Total

fi 6 4 12 7 7 5 4 45

b)

0,0952

2,74 – 3,36 3,05

5

0,2380

3,36 – 3,98 3,67

8

0,3809

3,98 – 4,60 4,29

3

0,1428

4,60 – 5,22 4,91

2

0,0952

21

1,0000

Totales

4.

PÁGINA 349 17. Libre TRABAJO INDIVIDUAL 2 1.

Frecuencias relativas

2

a)

Frecuencia fi

2,12 – 2,74 2,43

3.

Marca de clase

0,0476

PÁGINA 350

Intervalos

Frecuencia de clase relativa

1

Marca de clase

1,50 – 2,12 1,81

Intervalo de clase

Frecuencia de clase

16.

30 – 40

35

6

0,03

40 – 50

45

18

0,09

50- 60

55

76

0,38

60 – 70

65

70

0,35

70 – 80

75

22

0,11

80 – 90

85

8

0,04

200

1,00

Totales

a) 105 b) 32 2.

400

RESPUESTAS

Matemática - EL MAESTRO EN CASA Se observa que el tiempo máximo corresponde al intervalo 3,42 – 3,62, por parte de 24 unidades de autobuses b) El tiempo máximo de los 35 datos de la muestra lo indica la marca de clase del intervalo 3,42 – 3,62 con un tiempo de 3 horas con 52 minutos.

Intervalo

Frecuencia

Marca de clase

Frecuencia relativa

1) Intervalos 3,02 – 3,22 3,22 – 3,42 3,42 – 3,62 3,62 – 3,82 3,82 – 4,02 4,02 – 4,22 4,22 – 4,42 Total

fi 1 4 22 7 0 0 1 35

Mc 3,12 3,32 3,52 3,72 3,92 4,12 4,32

PÁGINA 352 9.

6.

1–2 2–3 3- 4 4–5 5–6 Totales

6 10 4 2 1 23

1,5 2,5 3,5 4,5 5,5

0,261 0,438 0,174 0,087 0,043 1,000

5.

4,25 = 13,71% 31 c) incrementar el riego en estos meses de verano.

a) Las mayores precipitaciones se dieron en los años 2000 y 2001, 2003 y 2004. b) El promedio de precipitación anual en los 10 años es 175 + 150 + 225 + 225 + 175 + 225 + 225 + 125 + 100 + 150 = 177,50 cm 10

c) Intervalos 1998 – 1999 1999 – 2000 2000 – 2001 2001 – 2002 2002 – 2003 2003 – 2004 2004 – 2005 2005 – 2006 2006 – 2007 2007 – 2008 Total

PÁGINA 351 6. Intervalo

Frecuencia

Marca de clase

Frecuencia relativa

2)

1–2 2–3 3- 4 4–5 5–6 Totales

6 10 4 2 1 23

1,5 2,5 3,5 4,5 5,5

0,261 0,438 0,174 0,087 0,043 1,000

fi

175 150 225 225 175 225 225 125 100 150 1775

10. a) abril b) 3 nacimientos

7. Intervalo 9,6 – 15,6 15,6 – 21,6 21,6 – 27,6 27,6 – 33,6 33,6 – 39,6 Total

Marca de clase 12,6 18,6 24,6 30,6 36,6

Frecuencia relativa porcentual 10 15 25 10 25 100

8. a) julio, agosto, setiembre, noviembre b) 1,5 + 1,25 + 1,5 = 4,25 toneladas de enero, febrero y marzo

401

c) Intervalo Marzo

fi

6

hi

0,115

Abril

14

0,270

Junio

5

0,096

Mayo Julio

Agosto

Setiembre Octubre Total

7 3

4

8

5

52

0,135 0,058

0,077

0,154

0,096 1,000

RESPUESTAS

Matemática - EL MAESTRO EN CASA PÁGINA 353

PÁGINA 354

PÁGINA 355

11. Libre para discusión

14. Libre para discusión

16.

12.

15.

a)

Intervalos

fi

Mc

4,32 – 22,32

6

13,32

40,32 – 58,32

2

49,32

22,32 – 40,32 58,32 – 76,32 76,32 – 94,43 Total

2 4 4

18

31,32 67,32 85,37

Intervalos 0,16 – 2,16 2,16 – 4,16 4,16 – 6,16 6,16 – 8,16 8,16 – 10,16 Totales

fi 13 6 2 1 3 25

hi 0,52 0,24 0,08 0,04 0,120 1,000

Mc 1,16 3,16 5,16 7,16 9,16

Intervalos 0 – 10 10 – 20 20 – 30 30 – 40 40 – 50 Total

fi 6 9 8 5 2 30

hi (%) 20 30 26,6 16,6 6,6 100

b)

a)

17. a) y b) Intervalos

fi

Frecuencias porcentuales

3–5

5

10

b)

5–7

14

28

9 – 11

10

20

7–9

Totales

21 50

42 100

c)

d) Respuesta libre para discusión 18. a) variable de estudio: niveles de calcio en pacientes renales.

13. Libre para discusión.

Tipo de variable: continua Escala de medición: intervalos

402

RESPUESTAS

Matemática - EL MAESTRO EN CASA b) y c) Intervalos

fi

hi

Mc

72 – 76

3

0,060

74

76 – 80

1

0,020

78

80 – 84

9

0,183

82

84 – 88

7

0,142

86

88 – 92

7

0,142

90

92 – 96

2

0,040

94

96 – 100

10

0,204

98

100 – 104

7

0,142

102

104 – 108

2

0,040

106

108 – 112

1

0,020

110

Totales

49

1,000

ÁREA 4: ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD PROBABILIDAD ACTIVIDAD 1, PÁGINA 360 De a hasta la h para discusión de los estudiantes.



El porcentaje de probabilidad teórica de que salga una bolincha es de 0,20 x 100 = 20%



Cálculo del porcentaje de probabilidad de la bolincha que buscamos.



En este caso buscamos una bolincha cuya probabilidad frecuencial de salir en este experimento es 2% menor que su probabilidad teórica de salir:



20% - 2% = 18%



Hay que encontrar la bolincha que tiene un porcentaje de probabilidad frecuencial del 18% de salir en este experimento.



Calculemos la cantidad total de veces que se repitió el experimento:



132 + 108 + 120 + 126 + 114 = 600



El experimento se repitió en total 600 veces.



Cálculo de la probabilidad frecuencial de sacar una bolincha de color verde en este experimento:

ACTIVIDAD 2, PÁGINA 364 1. Solución:

N = 16 684 es el número de personas entrevistadas.



Sea el evento A: “elegir una persona que halla sufrido una enfermedad o accidente”, n(A) = 4 955. (Total de personas que sufrieron alguna enfermedad o accidente en la muestra).

d)

P(A) =

n(A) 4955 = = 0,297 n(S) 16 684

La probabilidad de elegir una persona que haya sufrido alguna enfermedad o accidente es de 0,297.

PÁGINA 365 2. La probabilidad de una cara es 532 = 0,632 y de escudo es 368 . 1000 1000 3. Libre para discusión 4. Libre para discusión



La probabilidad de sacar una bolincha de color verde es de 0,22.



0,22 x 100 = 22%



El porcentaje de probabilidad de sacar una bolincha de color verde es de 22%.



Cálculo de la probabilidad frecuencial de sacar una bolincha de color rojo en este experimento:

5. Solución

Cálculo de la probabilidad teórica de que salga una bolincha de cada color.



En este caso hay la misma cantidad de bolinchas de cada color por lo que la probabilidad teórica es igual para todas las bolinchas.



e) Esta al final de la pregunta.



En este caso el espacio muestral es de 5 bolinchas y hay 1 bolincha de cada color. 1 = 0,20 5 La probabilidad teórica de que salga una bolincha es de 0,20.

403

132 = 0,22 600



108 = 0,18 600



La probabilidad de sacar una bolincha de color rojo es de 0,18.



0,18 x 100 = 18%



El porcentaje de probabilidad de sacar una bolincha de color rojo es de 18%.



Cálculo de la probabilidad frecuencial de sacar una bolincha de color anaranjado  en este experimento:

RESPUESTAS

Matemática - EL MAESTRO EN CASA



120 = 0,21 600



La ����������������������������������� probabilidad de sacar una bolincha de color anaranjado es de 0,20.



0,20 x 100 = 20%



El porcentaje de probabilidad de sacar una bolincha de color anaranjado es de 20%.



Cálculo de la probabilidad frecuencial de sacar una bolincha de color amarillo en este experimento:



126 = 0,21 600



La probabilidad de sacar una bolincha de color amarillo es de 0,21.



0,21 x 100 = 21%



El porciento de probabilidad de sacar una bolincha de color amarillo es de 21%.



Cálculo de la probabilidad frecuencial de sacar una bolincha de color azul en este experimento:



114 = 0,19 600



La probabilidad de sacar una bolincha de color azul es de 0,19.



0,19 x 100 = 19%



El porciento de probabilidad de sacar una pelota de color azul es de 19%.



Respuesta: La bolincha de color rojo

6. Libre para discusión 7. Libre para discusión

404

PROGRAMA

Matemática - EL MAESTRO EN CASA

programa matemática zapandí (9º año) NÚMEROS CONOCIMIENTOS Números reales t

Números irracionales

t

Concepto de número real

t

Representaciones

t

Comparación

t

Relaciones de orden

t

Recta numérica

Cálculos y estimaciones t

Suma

t

Resta

t

Multiplicación

t

División

t

Potencias

t

Radicales

Cantidades muy grandes y muy pequeñas

HABILIDADES ESPECÍFICAS 1. 2. 3. 4.

Identificar números irracionales en diversos contextos. Identificar números con expansión decimal infinita no periódica. Realizar aproximaciones decimales de números irracionales. Reconocer números irracionales en notación decimal, en notación radical y otras notaciones particulares. 5. Comparar y ordenar números irracionales representados en notación decimal y radical. 6. Identificar números reales (racionales e irracionales) y no reales en cualquiera de sus representaciones y en diversos contextos. 7. Representar números reles en la recta numérica, en aproximaciones apropiadas. 8. Estimar el valor de la raíz de un número entero. 9. Determinar números irracionales con representación radical entre dos números enteros consecutivos. 10. Utilizar la calculadora para resolver operaciones con radicales.

11. Utilizar los prefijos del Sistema Internacional de Medidas para representar cantidades muy grandes y muy pequeñas. 12. Utilizar la calculadora o software de cálculo simbólico como recurso en la resolución de problemas que involucren las unidades.

GEOMETRÍA Triángulos

1. Aplicar el teorema de Pitágoras en la resolución de problemas en diferentes contextos.

Teorema de Pitágoras

2. Encontrar la distancia entre dos puntos en el plano cartesiano, aplicando el teorema de Pitágoras.

Trigonometría

3. Convertir medidas angulares de grados a radianes y viceversa.

t

Radianes

t

Seno

t

Coseno

t

Tangente

6. Aplicar seno, coseno y tangente de ángulos complementarios.

Razones trigonométricas de ángulos complementarios

7. Aplicar los conceptos de ángulos de elevación y depresión en diferentes contextos. 8. Aplicar que la suma de los cuadrados del seno y coseno de un ángulo es 1.

t

Ángulos de elevación y depresión

9. Aplicar la ley de senos en diversos contextos.

t

Ley de senos

10. Resolver problemas que involucren las razones trigonométricas, sus propiedades y ángulos de elevación y de depresión.

t

4. Aplicar las razones trigonométricas básicas (seno, coseno, tangente) en diversos contextos. 5. Aplicar las relaciones entre tangente, seno y coseno.

11. Plantear problemas contextualizados que utilicen razones trigonométricas para su solución.

405

PROGRAMA

Matemática - EL MAESTRO EN CASA Geometría del espacio t

Pirámide recta

t

Apotema

t

Prisma recto

t

Área lateral

t

Área total

12. Identificar y calcular la apotema de pirámides rectas cuya base sea un cuadrado o un triángulo equilátero. 13. Calcular el área lateral y el área total de una pirámide recta de base cuadrada, rectangular o triangular. 14. Calcular el área lateral y el área total de un prisma recto de base cuadrada, rectangular o triangular.

Relaciones y álgebra Funciones t



1. Identificar situaciones dadas que pueden ser expresadas algebraicamente en la forma y = ax2 + bc + c.

Función cuadrática

2. Representar tabular, algebraica y gráficamente una función cuadrática.

Expresiones algebraicas

3. Factorizar y simplificar expresiones algebraicas.

t

Factorización

4. Expresar x2 + px + q como (x + h)2 + k.

t



División de polinomios

5. Efectuar división de polinomios.

t



Operaciones con expresiones algebraicas fraccionarias.

6. Efectuar operaciones con expresiones algebraicas fraccionarias.

t

Racionalización.

Ecuaciones t



-

Ecuaciones de segundo grado con una incógnita

7. Racionalizar el denominador o numerador de expresiones algebraicas. 8. Plantear y resolver problemas utilizando ecuaciones de segundo grado con una incógnita. 9. Resolver ecuaciones que se reducen a ecuaciones de segundo grado con una incógnita.

Raíces

- Discriminante 10. Trazar la gráfica de una función cuadrática cuyo criterio es y = ax2 + bx + c.

Funciones t



11. Analizar la influencia de los parámetros a, b, c en la gráfica de y = ax2 + bx + c, utilizando software.

Función cuadrática

12. Plantear y resolver problemas utilizando ecuaciones de segundo grado con incógnita.

Estadística y probabilidad ESTADÍSTICA Variables cuantitativas t

Discretas

t

Continuas

Distribuciones de frecuencia t



Clases o intervalos

t



Frecuencia absoluta

t



Frecuencia relativa y porcentual

t



Representación tabular

1. Establecer diferencias entre variables cuantitativas: discretas y continuas. 2. Clasificar variables cuantitativas en discretas o continuas. 3. Reconocer la importancia de agrupar datos cuantitativos en clases o intervalos. 4. Resumir un grupo de datos cuantitativos por medio de la elaboración de un cuadrado de distribuciones de frecuencia absoluta y relativa (o porcentual). 5. Interpretar la información que proporciona un cuadro de distribución de frecuencias al resumir un grupo de datos cuantitativos.

406

PROGRAMA

Matemática - EL MAESTRO EN CASA t



Representación gráfica

3 Histogramas 3 Polígonos de frecuencia

PROBABILIDAD

6. Resumir la información proporcionada por una distribución de frecuencias mediante un histograma o un polígono de frecuencias (absolutas o relativas), e interpretar la información que proporcionan estas representaciones gráficas. 7. Utilizar algún software especializado o una hoja de cálculo para apoyar la construcción de las distribuciones de frecuencia y sus representaciones gráficas.

Muestras aleatorias

1. Identificar la importancia del azar en los proesos de muestreo estadístico.

Probabilidad frecuencial

2. Identificar eventos para los cuales su probabilidad no puede ser determinada empleando el concepto clásico.

t

t





Estimación de probabilidad: empleo de la frecuencia relativa (concepto frecuencial o empírico) Introducción a la ley de los grandes números

3. Utilizar el concepto de frecuencia relativa como una aproximación al concepto de Probabilidad, en eventos en los cuales el espacio muestral es infinito o indeterminado. 4. Identificar que las propiedades de las probabilidades que están vinculadas con evento seguro, probable e imposible también son válidas para la identificación frecuencial. 5. Identificar que, para un evento particular, su frecuencia relativa de ocurrencia se aproxima hacia la probabilidad clásica conforme el número de observaciones aumenta. 6. Resolver problemas vinculados con fenómenos aleatorios dentro del contexto estudiantil.

407

PROGRAMA

Matemática - EL MAESTRO EN CASA

408