Matematica

Valor absoluto En matemática, el valor absoluto o módulo

1 de un número real es su valor numérico sin su respectivo signo, sea este positivo (+) o negativo (-); o en otras palabras, su distancia en la recta numérica hasta el valor cero. Así, por ejemplo, 3 es el valor absoluto de 3 y -3.

El concepto de valor absoluto de un número real puede generalizarse a muchos otros objetos matemáticos, como son los cuaterniones, anillos ordenados, cuerpos o espacios vectoriales. El valor absoluto está estrechamente relacionado con las nociones de magnitud, distancia y norma en diferentes contextos matemáticos y físicos.

•

Valor absoluto de un número real Formalmente, el valor absoluto o módulo de todo número real a está definido por:2

Note que por definición el valor absoluto de a siempre será mayor o igual que cero, y nunca negativo. Desde un punto de vista geométrico, el valor absoluto de un número real a corresponde a la distancia a lo largo de la recta numérica real desde a hasta el número cero. En general, el valor absoluto de la diferencia de dos números reales es la distancia entre ellos. De hecho, el concepto de función distancia o métrica en matemáticas se puede ver como una generalización del valor absoluto de la diferencia.

Propiedades fundamentales 1. |a| ≥ 0 2. |a| = 0 ⇔ a = 0 3. |ab| = |a| |b| 4. |a+b| ≤ |a| + |b|

No negatividad Definición positiva Propiedad multiplicativa Propiedad aditiva

Otras propiedades 1. |-a| = |a| 2. |a-b| = 0 ⇔ a = b 3. |a-b| ≤ |a-c| + |c-b| 4. |a-b| ≥ ||a| - |b|| 5. |a/b| = |a| / |b| (si b ≠ 0)

Simetría Identidad de indiscernibles (equivalente a la definición positiva) Desigualdad triangular (equivalente a la propiedad aditiva) (equivalente a la propiedad aditiva) Preservación de la división (equivalente a la propiedad multiplicativa)

Otras dos útiles inecuaciones son:

• •

|a| ≤ b ⇔ -b ≤ a ≤ b |a| ≥ b ⇔ a ≥ b b ≤ -a

Estas últimas son de gran utilidad para la resolución de inecuaciones, como por ejemplo:

Valor absoluto de un número complejo Como los números complejos no conforman un conjunto ordenado en el sentido de los reales, la generalización del concepto no es directa, sino que requiere de la siguiente identidad, que proporciona una definición alternativa y equivalente para el valor absoluto:

De esta manera, dado cualquier número complejo de la forma

con x e y números reales, el valor absoluto o módulo de z está definido formalmente por:

Como los números complejos son una generalización de los números reales, es lógico que podamos representar a estos últimos también de esta forma:

De modo similar a la interpretación geométrica del valor absoluto para los números reales, se desprende del Teorema de Pitágoras que el valor absoluto de un número complejo corresponde a la distancia en el plano complejo de ese número hasta el origen, y más en general, que el valor absoluto de la diferencia de dos números complejos es igual a la distancia entre ellos.

Propiedades El valor absoluto de los complejos comparte todas las propiedades vistas anteriormente para los números reales. Además, si

y

es el conjugado de z, luego podemos ver que:

Esta última fórmula es la versión compleja de la primera identidad en los reales que mencionamos en esta sección. Como los números reales positivos forman un subgrupo de los números complejos bajo el operador de multiplicación, podemos pensar en el valor absoluto como un endomorfismo del grupo multiplicativo de los números complejos.

Función matemática

Función de X en Y: la condición de existencia asegura que de cada elemento sale alguna flecha y la de unicidad que sólo sale una. En Matemáticas, una función ``f de un conjunto X en un conjunto Y es una asignación o correspondencia matemática denotada por

que cumple con las siguientes dos condiciones:

1. Condición de existencia: Todos los elementos de X están relacionados con elementos de Y, es decir, 2. Condición de unicidad: Cada elemento de X esta relacionado con un único elemento de Y, es decir, si Podemos resumir, lo anterior diciendo que una función de X en Y asigna a cada elemento de $X$ un único elemento de Y. Una función puede considerarse como un caso particular de una relación y de correspondencia matemática. Cada relación o correspondencia de un elemento

con un (y sólo un)

se denota

, en lugar de

Notación y Nomenclatura Valor o imagen Sea ( osea, f es una función de (el conjunto) X en (el conjunto Y. Cuando x es un elemento de X, se denota por f(x) el elemento de Y asginado por la función f a x. Decimos que f(x) es el valor o imagen de la función f en x.

Dominio El dominio de o

es el conjunto X, al que también se llama conjunto de entrada, y que se denota por .

Codominio El codominio o conjunto de llegada de

es el conjunto

y se denota por

o

.

Imagen, Alcance, Recorrido, Rango La imagen, alcance, recorrido, etc. de la función

es el subconjunto de Y formado por todos los valores o

imágenes de elementos de X por f. Se denota por

o

o

.

Preimagen Una preimagen de un

es algún

tal que

Note que puede haber algunos elementos del codominio que no sean imagen un elemento del dominio, pero que cada elemento del dominio es preimagen de al menos un elmento del codominio.

Ejemplos La función definida por todos los números reales

, tiene como dominio, codominio e imagen a

Función con Dominio X y Codominio Y •

Para la función tal que , en cambio, si bien su dominio y codominio son iguales a , sólo tendrá como imagen los valores comprendidos entre 0 y +∞ que sean el cuadrado de un número real.

•

En la figura se puede apreciar una función

, con

Note que a cada elemento de X le corresponde un único elemento de Y. Además, el elemento a de Y no tiene origen, y el elemento b tiene dos (el 1 y el 4). Finalmente, Esta función representada como relación, queda:

Representación de funciones Las funciones se pueden presentar de distintas maneras:

•

usando una relación matemática descrita mediante una expresión matemática: ecuaciones de la forma y = f(x). Cuando la relación es funcional, es decir satisface la segunda condición de la definición de función, se puede definir una función que se dice definida por la relación, A menos que se indique lo contrario, se supone en tales casos que el dominio es el mayor posible (respecto a

inclusión) y que el codominio son todos los Reales. El dominio seleccionado se llama el {\rm dominio naturl],} de la función. Ejemplo: y=x+2. Dominio natural es todos los reales. Ejemplo: "Para todo x, número entero, y vale x más dos unidades".

•

Como tabulación: tabla que permite representar algunos valores discretos de la función. Ejemplo:

X| -2 -1 Y| 0 1 •

0 2

1 3

2 4

3 5

Como pares ordenados: pares ordenados, muy usados en teoría de grafos. Ejemplo: A={(-2, 0),(-1, 1),(0, 2),(1, 3), ... (x, x+2)}

•

Como gráfica: gráfica que permite visualizar las tendencias en la función. Muy utilizada para las funciones continuas típicas del cálculo, aunque también las hay para funciones discretas. Ejemplo: 5 4 3 2 1 0 y/x

X X X X X X -2 -1 0

1

2

3