Matematica Discreta Pec1

Universitat Oberta de Catalunya Estudios de Inform´atica y Multimedia ASIGNATURA: Matem´atica Discreta Primera PEC. Combinatoria. Semestre de primavera de 2009 (del 14 de marzo al 16 de abril). Por favor, seguid las instrucciones siguientes: Enviad la soluci´on en un fichero con el nombre: PEC1 Apellido1apellido2nombre.pdf IMPORTANTE: S´olo revisaremos las PECs que est´en en archivos pdf Debe enviarse al buz´on de Entrega de actividades. Enumerad las respuestas de acuerdo con la numeraci´on de las preguntas y los apartados. Las respuestas a los problemas propuestos no deben limitarse a dar un resultado. A˜ nadid, tambi´en, una explicaci´on que justifique la respuesta.

1. (Valoraci´on de un 15 %) Entre el 1 y el 600, ambos incluidos: a) ¿Cu´antos n´ umeros capic´ ua hay? Nota: un n´ umero capic´ ua tiene una secuencia de cifras id´entica, tanto si se lee de derecha a izquierda, como si se lee de izquierda a derecha; por ejemplo, 121, 111 y 44 son n´ umeros capic´ ua. El n´ umero de cifras no debe ser inferior a 2. b) ¿Cu´antos n´ umeros sin cifras repetidas hay? c) ¿Cu´antos n´ umeros tienen, como m´ınimo, dos cifras consecutivas? Nota: 123, 458 y 67 son n´ umeros con, como m´ınimo, dos cifras consecutivas. d ) ¿Cu´antos divisores de 600 hay? Nota: Los apartados son independientes. 1

2. (Valoraci´on de un 15 %) a) ¿Cu´antas secuencias de 12 letras (palabras) contienen tres a, cuatro b y cinco c? b) ¿Cu´antas palabras de, como mucho, 12 letras se pueden hacer con el alfabeto formado por {a,b,c}? c) ¿Cu´antas palabras de n letras se pueden hacer con los elementos del conjunto {a,b,c}, de manera que todas contengan las tres letras y las letras iguales siempre aparezcan juntas? (por ejemplo, bbbbaaaaccccccc podr´ıa ser una palabra correcta). 3. (Valoraci´on de un 20 %) En una carrera participan siete corredores, con dorsales que van del 1 al 7. a) ¿De cu´antas maneras pueden llegar a meta todos los participantes de manera que el dorsal del primero sea el 1, y el dorsal del segundo sea el 2? b) Responder a la misma pregunta, pero ahora con la condici´on a˜ nadida que ning´ un otro corredor puede tener el mismo dorsal que la posici´on que ocupa al final (el tercero no puede tener el dorsal 3, etc). c) ¿De cu´antas maneras pueden llegar a meta todos los participantes de manera que exactamente dos corredores tengan el mismo dorsal que la posici´on que ocupan en la carrera? d ) ¿De cu´antas maneras pueden llegar a meta todos los participantes de manera que exactamente dos corredores tengan el mismo dorsal que la posici´on que ocupan en la carrera y, adem´as, estos dos corredores no ocupen posiciones consecutivas? 4. (Valoraci´on de un 10 %) a) En un concurso participan 20 personas y se reparten 10 premios diferentes. Estos 10 premios se asignar´an al azar entre los cuatro primeros clasificados, con la u ´nica condici´on de que el primero recibir´a cuatro y el segundo, tercero y cuarto recibir´an dos cada uno. ¿De cu´antas maneras pueden quedar distribuidos los premios entre las 20 personas? b) ¿Y si queremos repartir los premios entre los concursantes A, B, C, D de forma que A y B reciban dos premios y los otros reciban como m´ınimo uno? 2

5. (Valoraci´on de un 20 %) a) ¿Cu´antas soluciones enteras tiene la ecuaci´on x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 = 100, donde x1 , x2 ≥ 6, x3 ≥ 0 y 3 ≤ x4 , x5 , x6 ≤ 30? b) Marta, Joan, Carla, Jordi y Anna son promotores musicales. Para uno de sus trabajos, les han regalado 100 entradas para un concierto en Barcelona. Sabiendo que Marta, Joan y Carla necesitan como m´ınimo 6 entradas cada uno de ellos, y que Jordi necesita como m´ınimo 12 para compromisos, ¿cu´antas maneras hay de repartir las entradas entre los cinco promotores? 6. (Valoraci´on de un 20 %) a) Dar una ecuaci´on recurrente homog´enea de orden 4 y su soluci´on general si sabemos que las ra´ıces de su ecuaci´on caracter´ıstica son t = −2, −2, −2, 3. b) Calcular la soluci´on de la ecuaci´on recurrente xn + 5xn−1 − 24xn−2 = −2n − 1 que cumple las condiciones iniciales x0 = 0 y x1 = 3.

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