Matematica Basica - Professor Jorge Delgado Uff

´ ´ Notas de Matematica Basica Jorge Delgado

˜ Firmo Sebastiao

´ Pedro Nobrega

´ Depto. de Matematica Aplicada ´ Instituto de Matematica - UFF PROIN-CAPES 1998

´ J. Delgado - S. Firmo - P. Nobrega

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´ Instituto de Matematica - UFF

Conteudo ´ 1 Conjuntos

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2 Os Inteiros

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3 Os Racionais e os Irracionais

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Cap´ıtulo 1 Conjuntos

˜ 1.1 Introduc¸ao ´ ˜ constru´ıdas sempre partindo de alguns fatos conAs teorias estudadas em matematica sao ´ ˜ chamados axiomas. Os axiomas junto com as definic¸oes ˜ dos siderados basicos. Tais fatos sao ˜ lugar, apos ´ racioc´ınios logicos, ´ conceitos que a teoria pretende estudar dao a resultados cha˜ ˆ ˜ logicas ´ mados proposic¸oes. A sequ¨ encia de conclusoes utilizadas para chegar a um resultado ˜ ˜ determinado partindo das definic¸oes, axiomas e outros resultados, e´ chamada demonstrac¸ao. ˜ ´ ˜ da A palavra teorema e´ reservada a proposic¸oes de carater relevante na teoria em questao, ˜ que sera´ usada como ferramenta fundamental para mesma maneira, um lema e´ uma proposic¸ao ˜ ´ ˜ proposic¸oes ˜ que se obtem ˆ como consequ¨ encia ˆ provar outras proposic¸oes. Os corolarios sao di˜ e teoremas importantes. reta de proposic¸oes ˜ teorema e corolario, ´ Todo lema, proposic¸ao, tem um enunciado. Todo enunciado se divide ´ ˜ do resultado (seja um lema, uma em duas partes, as hipoteses e as teses. A demonstrac¸ao ˜ um teorema ou um corolario) ´ proposic¸ao, pode ser descrita da seguinte maneira: usar os axio˜ e resultados previos ´ ` teses partindo das hipoteses ´ mas, definic¸oes da teoria para chegar as por ´ ´ meio de um racioc´ınio logico. Isto se resume dizendo que a hipotese implica a tese e escreve-se ´ Hipotese =⇒ Tese ´ O s´ımbolo =⇒ significa que partindo da parte da esquerda (Hipotese) e usando um ra´ ˜ ´ cioc´ınio logico baseado nos axiomas, definic¸oes e resultados anteriores da teoria, se obtem ˆ como consequ¨ encia o lado direito (Tese). Por exemplo consideremos o seguinte enunciado: 1

Conjuntos

1.2 Conjuntos

´ ˆ ˆ Teorema. (Pitagoras) Seja T um triangulo retangulo cujos catetos medem a e b respectivamente ˜ a2 + b2 = c2 . e cuja hipotenusa mede c. Entao ´ ˜ respectivamente os catetos e a hipotenusa de um triangulo ˆ A hipotese diz que a, b e c sao ˆ ˜ do retangulo T , e a tese diz que a2 + b2 = c2 . Mais tarde no texto veremos uma demonstrac¸ao ´ teorema de Pitagoras. ´ a validade das hipoteses ´ Devemos observar tambem dos nossos resultados, assim como a ´ ˜ veracidade de cada um dos passos logicos nas demonstrac¸oes. Veja por exemplo a passagem ´ ´ de B. Russell citada nas primeiras paginas desta apostila, na qual uma hipotese falsa da´ origem ˜ absurdas. a conclusoes ´ ˜ apenas um simbolismo Em matematica e´ frequente o uso de quantificadores. Estes sao ¨ ˆ que nos permite descrever a abrangencia de fatos ou propriedades sobre uma determinada ˜ de objetos. Temos dois tipos de quantificadores: o quantificador de existencia, ˆ colec¸ao escrito simbolicamente ∃ (leia-se “existe...” ou “existem...”), e o quantificador de universalidade, escrito ˆ ∀ (leia-se “para todo...”). O quantificador de existencia e´ algumas vezes usado com o ponto de ˜ ∃ ! para indicar que certo objeto existe e e´ o unico exclamac¸ao que possui as propriedades que ´ o determinam.

1.2 Conjuntos ˜ basicas ´ ˜ apreNeste cap´ıtulo introduziremos algumas noc¸oes da teoria de conjuntos. Nao ˜ axiomatica ´ ˜ intuitiva e sentaremos uma exposic¸ao e rigorosa da teoria, mas sim uma exposic¸ao simples, incluindo apenas o material e a terminologia que usaremos mais adiante. ´ um conjunto sera´ qualquer colec¸ao ˜ dada de objetos. Para nos ˜ do termo “conjunto” seja intuitivamente clara, ela nao ˜ e´ formalEmbora esta “definic¸ao” ˜ e´ ainda indefinida. Na verdade, a noc¸ao ˜ de conjunto em mente correta, pois a palavra “colec¸ao” ´ ˜ indefinida (da mesma maneira que a noc¸ao ˜ de ponto na Geometria matematica e´ uma noc¸ao ´ Euclidiana) e e´ necessaria uma lista de axiomas para trabalhar com conjuntos e suas propri´ ˜ heur´ıstica, como a que apresentamos a continuac¸ao, ˜ e´ edades. Na pratica, uma introduc¸ao suficiente. ˜ designados (salvo menc¸ao ˜ expl´ıcita) por letras maiusculas, Os conjuntos serao deixando ´ as minusculas para designar objetos dos conjuntos. Se a e´ um objeto do conjunto A, dizemos ´ que a pertence a A, ou que a e´ elemento do conjunto A e escrevemos a ∈ A. Se a e´ um objeto ´ J. Delgado - S. Firmo - P. Nobrega

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1.2 Conjuntos

˜ pertence ao conjunto A escrevemos a ∈ ˜ e´ um elemento do que nao / A e dizemos que a nao ˜ a = b significa que a e b sao ˜ o mesmo elemento de A. conjunto A. Se a, b ∈ A, a notac¸ao Os conjuntos podem ser descritos de duas maneiras: A. Escrevendo numa lista os seus elementos, e englobando tal lista entre chaves {. . .}. Por exemplo, ˜ A = {azul, verde, vermelho, laranja, mac¸a}, ˜ azul}. B = {banana, morango, mac¸a, ˜ mediante uma lista, as repetic¸oes ˜ Quando representamos um conjunto por extensao ea ˜ irrelevantes. Por exemplo, o conjunto A ordem na qual aparecem os elementos na lista sao ´ representado como acima e´ tambem ˜ verde}, A = {azul,verde, vermelho, laranja, azul, mac¸a, ou ainda ˜ verde}. A = {vermelho,laranja azul, mac¸a, B. Por meio de uma propriedade que caracteriza dos elementos do conjunto. Por exemplo C

e´ o conjunto que consiste dos nomes das cores do arco-´ıris,

D

e´ o conjunto dos nomes das frutas tropicais.

Se P e´ uma propriedade sobre objetos, dizemos que o objeto x satisfaz a propriedade P e escrevemos P(x) se a propriedade P e´ verdadeira para x. Designamos por {x ; P(x)} o conjunto formado pelos objetos x para os quais P(x). Por exemplo, segundo os exemplos acima, C = {x ; x e´ o nome de uma cor do arco-´ıris} D = {x ; x e´ o nome de uma fruta tropical}. ˜ (b) e´ principalmente util A caracterizac¸ao ´ quando o conjunto tem tantos elementos que ´ seria praticamente imposs´ıvel coloca-los numa lista. Consideremos por exemplo: ´ ˆ E = {x ; x e´ o nome de um assinante do catalogo telefonico do Rio de Janeiro}, ou pior ainda, ´ ˆ F = {x ; x e´ o nome de um assinante de algum catalogo telefonico de alguma cidade do mundo}. ´ elemento de um conjunto B, dizemos Quando todo elemento de um conjunto A e´ tambem que A e´ um subconjunto de B, ou que A esta´ contido em B e escrevemos A ⊂ B. As vezes di´ que B contem ´ A e escrevemos B ⊃ A. Se A nao ˜ esta´ contido em B escrevemos zemos tambem ´ J. Delgado - S. Firmo - P. Nobrega

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1.2 Conjuntos

´ que A nao ˜ e´ subconjunto de B ou que B nao ˜ contem ´ A e escrevemos A 6⊂ B. Dizemos tambem B 6⊃ A. Nos nossos exemplos vemos que, ˜ 6⊂ B = {banana, morango, mac¸a, ˜ azul}, A = {azul, verde, vermelho, laranja, mac¸a} ´ ˆ e nos conjuntos dos assinantes dos catalogos telefonicos E ⊂ F. ˜ iguais quando contem ˆ exatamente os mesmos elementos. Dizemos que dois conjuntos sao ˜ sao ˜ iguais escrevemos A 6= B. Neste caso escrevemos A = B. Quando os conjuntos A e B nao ´ Quando A ⊂ B mas A 6= B dizemos que A e´ um subconjunto proprio de B. ˜ acima podemos inferir que A partir das definic¸oes i. Qualquer que seja o conjunto A vale A ⊂ A. ˜ A ⊂ C. ii. Se A ⊂ B e B ⊂ C, entao ˜ conjuntos, ( A = B ) ⇐⇒ (A ⊂ B e B ⊂ A ). iii. Se A e B sao ˜ proposic¸oes ˜ Vamos explicar o significado do s´ımbolo ⇐⇒, se p e q sao ou afirmativas. ´ ˆ Escrever p ⇐⇒ q significa que, tomando como hipotese p podemos obter como consequ¨ encia ´ ´ logica q (isto e´ “p implica q”, que se escreve p =⇒ q) e similarmente, tomando como hipotese ˆ ´ q podemos obter como consequ¨ encia logica p (isto e´ q implica p, que se escreve q =⇒ p). ` duas afirmativas simultaneas ˆ Resumindo, p ⇐⇒ q equivale as p =⇒ q e q =⇒ p. Dado um conjunto A podemos considerar o conjunto {x ; x ∈ A e x 6= x}. Tal conjunto e´ ´ claro da definic¸ao ˜ que ∅A ⊂ A. chamado o subconjunto vazio de A e se designa por ∅A . E ˜ A sua demonstrac¸ao ˜ sera´ feita pelo Vamos apresentar agora a nossa primeira proposic¸ao. ´ ´ ´ uma sequ¨ encia ˆ ˜ metodo do absurdo. Tal metodo consiste em negar a tese e apos de conclusoes ´ ˜ com as logicas, obter uma afirmativa que seja claramente falsa ou que entre em contradic¸ao nossas premissas ou conhecimentos anteriores. ˜ conjuntos quaisquer, entao ˜ ∅A = ∅B . ˜ 1.2.1. Se A e B sao Proposic¸ao ˜ Demonstrac¸ao.

Procedendo pelo absurdo, vamos supor que A e B sejam conjuntos tais que

∅A 6= ∅B . Segundo o item iii. acima, ∅A 6= ∅B significa que ∅A 6⊂ ∅B ou que ∅B 6⊂ ∅A . Caso ∅A 6⊂ ∅B, devera´ existir um elemento x ∈ ∅A tal que x ∈ / ∅B . ˜ de ∅A vemos que x sera´ um elemento de A tal que x 6= x, “o qual e´ absurdo, Pela definic¸ao ´ pois qualquer objeto e´ igual a se proprio”. ´ J. Delgado - S. Firmo - P. Nobrega

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˜ 1.3 Operac¸oes com Conjuntos

Conjuntos

Caso seja ∅B 6⊂ ∅A se procede da mesma maneira. ˜ que a nossa hipotese ´ O absurdo indica entao de existirem conjuntos A e B tais que ∅A 6= ˜ disto e´ a veracidade da proposic¸ao. ˜ C.Q.D. ∅B e´ errada. A conclusao O quadrado que temos colocado no extremo direito da ultima linha acima indica que a ´ ˜ esta´ terminada. Alguns autores escrevem as letras CQD que significam “Como demonstrac¸ao ˜ Queria-se Demonstrar” para indicar o fim de uma demonstrac¸ao. ˆ ˜ anterior obtemos o seguinte resultado. Como consequ¨ encia da proposic¸ao ´ Corolario 1.2.2.

˜ contem ˆ Existe um unico conjunto ∅, chamado o conjunto vazio, que nao ´

elementos e esta´ contido em qualquer conjunto. ˜ Para provar este resultado simplesmente consideramos um conjunto qualquer Demonstrac¸ao. ˜ de ∅A obtemos que ∅ nao ˜ contem ´ elementos, pela A e definimos ∅ = ∅A . Pela definic¸ao ˜ ∅ = ∅B ⊂ B qualquer que seja o conjunto B. Isto prova que o conjunto ∅ existe. proposic¸ao, Agora provaremos que ele e´ unico. Seja ∅ 0 um conjunto com as mesmas propriedades de ´ ˜ anterior, ∅ = ∅∅ 0 ⊂ ∅ 0 . Como ∅ 0 possui as mesmas propriedades de ∅, ∅. Pela proposic¸ao temos que ∅ 0 ⊂ ∅. Logo ∅ 0 = ∅, e portanto o conjunto ∅ existe e e´ unico. ´ C.Q.D. ´ ˆ O corolario acima e´ um exemplo de um resultado de “Existencia” e “Unicidade”. Ele diz ´ ˜ “unicos”. ˜ deste tipo que sob certas hipoteses, certos objetos “existem” e sao A demonstrac¸ao ´ ˆ de resultados divide-se em duas partes: provar a existencia do objeto e depois demonstrar que ´ ˆ ele e´ unico. Existem varios procedimentos para provar a existencia de um certo objeto, um deles ´ ˜ da parte e´ construir ou exemplificar um objeto com as propriedades requeridas. A demonstrac¸ao da unicidade pode ser feita, por exemplo, das seguintes maneiras (a) Mostrando que qualquer objeto com as mesmas propriedades do nosso tera´ ne˜ acima). cessariamente que ser igual ao nosso (como foi feito na demonstrac¸ao ´ supoe-se ˜ ˆ (b) Pelo absurdo, isto e, a existencia de outro objeto (“outro” significa dis˜ e chega-se a um absurdo. tinto) com as mesmas propriedades do objeto em questao

˜ com Conjuntos 1.3 Operac¸oes ´ ˜ e operac¸ao ˜ com conjuntos. Nesta parte vamos introduzir as leis basicas de formac¸ao ˜ A ∪ B e a intersec¸ao ˜ A ∩ B de ˜ Definic¸ao. Dados dois conjuntos A e B, definimos a uniao A e B da seguinte maneira: ´ J. Delgado - S. Firmo - P. Nobrega

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˜ 1.3 Operac¸oes com Conjuntos

Conjuntos

A ∪ B = {x ; x ∈ A ou x ∈ B}

e

A ∩ B = {x ; x ∈ A e x ∈ B}.

Dito em palavras, A ∪ B e´ o conjunto cujos elementos pertencem ao conjunto A ou ao conjunto B. O conjunto A ∩ B e´ o conjunto cujos elementos pertencem ao conjunto A e ao conjunto B simultaneamente. ˜ A ∪ B e a sua intersec¸ao ˜ A∩B Na figura abaixo vemos dois conjuntos A e B, a sua uniao respectivamente.

˜ de A ∪ B. Fig. 1 (a). Representac¸ao

˜ de A ∩ B. Fig. 1 (b). Representac¸ao

˜ os conjuntos dos exemplos da sec¸ao ˜ anterior, tem-se Por exemplo, se A e B sao ˜ banana, morango}, A ∪ B = {azul, verde, vermelho, laranja, mac¸a, ˜ A ∩ B = {azul, mac¸a}. Observe que os elementos repetidos foram eliminados. ˜ acima vemos que A e B possuem elementos em comum se, e somente se, Da definic¸ao A ∩ B 6= ∅. ˜ chamados disjuntos se A ∩ B = ∅, isto e, ´ se A e B nao ˜ possuem Dois conjuntos A e B sao elementos em comum. ˜ e´ que, qualquer que seja o conjunto A valem as igualdades Outro fato evidente da definic¸ao A=A∪∅

∅ = A ∩ ∅.

´ da definic¸ao ˜ obtem-se ´ ˜ Tambem diretamente a seguinte proposic¸ao: ˜ ˜ 1.3.1. Sejam A, B, C, D conjuntos quaisquer. Entao Proposic¸ao (a) A ∩ B ⊂ A ⊂ A ∪ B. ˜ A ∪ B ⊂ C ∪ D e A ∩ B ⊂ C ∩ D. (b) Se A ⊂ C e B ⊂ D, entao ˜ Exerc´ıcio. Demonstrac¸ao. ˜ ˜ (∪) e intersec¸ao ˜ (∩) sao ˜ colocadas no As propriedades formais das operac¸oes de uniao seguinte resultado: ´ J. Delgado - S. Firmo - P. Nobrega

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˜ 1.3 Operac¸oes com Conjuntos

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Teorema 1.3.2. Para quaisquer conjuntos A, B, C, valem as seguintes propriedades: ˆ (1) Idempotencia: A ∪ A = A = A ∩ A. (2) Associatividade: A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C e A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C. (3) Comutatividade: A ∪ B = B ∪ A e A ∩ B = B ∩ A. (4) Distributividade: A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) e A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C). ˜ Demonstrac¸ao.

˜ e´ dif´ıcil provar (1)-(3), exerc´ıcio. Vamos provar apenas a primeira das Nao

´ formulas de distributividade. ˜ iguais se, e somente se, um esta´ contido no outro. Lembramos que dois conjuntos sao ´ ˜ equivale a provar que o conjunto do lado esquerdo esta´ Portanto, provar a formula em questao contido no conjunto do lado direito e que este, por sua vez, esta´ contido no primeiro: ˜ A ∩ (B ∪ C) ⊂ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C): Prova da inclusao x ∈ A ∩ (B ∪ C) =⇒ (x ∈ A) e (x ∈ B ∪ C) =⇒ (x ∈ A) e [(x ∈ B) ou (x ∈ C)] =⇒ [(x ∈ A) e (x ∈ B)] ou [(x ∈ A) e (x ∈ C)] =⇒ [(x ∈ A ∩ B) ou (x ∈ A ∩ C)] =⇒ x ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C). ˜ A ∩ (B ∪ C) ⊃ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C): Prova da inclusao ˜ =⇒ da prova da inclusao ˜ anterior podem ser invertidas a ⇐= (verifique!). As implicac¸oes ˜ a prova de baixo para cima. C.Q.D. Leia entao O seguinte resultado relaciona os s´ımbolos ⊂, ∪ e ∩. ˜ equivalen˜ 1.3.3. Sejam A e B conjuntos quaisquer. As seguintes afirmativas sao Proposic¸ao tes: (1) A ⊂ B. (2) A = A ∩ B. (3) B = A ∪ B. ˜ ˜ Demonstrac¸ao. Primeiramente vejamos o significado do enunciado: Dizer que duas proposic¸oes ˜ equivalentes significa que p ⇐⇒ q, isto e, ´ p =⇒ q e q =⇒ p. Temos que provar, entao, ˜ p e q sao que (1) ⇐⇒ (2), (1) ⇐⇒ (3) e (2) ⇐⇒ (3). Basta provar (1) ⇐⇒ (2) e (1) ⇐⇒ (3). ˜ A = A ∩ A ⊂ A ∩ B ⊂ A, Prova de (1) ⇐⇒ (2): Suponhamos que (1) e´ verdadeira. Entao ´ A = A ∩ B provando assim (2). Se (2) e´ verdadeira, A = A ∩ B ⊂ B, provando (1). isto e, ´ J. Delgado - S. Firmo - P. Nobrega

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˜ 1.3 Operac¸oes com Conjuntos

Conjuntos

´ B = A ∪ B. Se Prova de (1) ⇐⇒ (3): Se (1) e´ verdadeira, B = B ∪ B ⊃ A ∪ B ⊃ B, isto e, (3) e´ verdadeira, B = A ∪ B ⊃ A, provando (1). C.Q.D. ˜ ∩ e ∪ foram definidas para dois conjuntos, podemos generalizar e Embora as operac¸oes ˜ para mais de dois conjuntos, mesmo para fam´ılias de conjuntos: reescrever a definic¸ao ˜ vazio. Se a cada elemento λ ∈ Λ corresponde um conjunto ˜ Definic¸ao. Seja Λ um conjunto nao ˜ F = {Aλ ; λ ∈ Λ} (que tambem ´ se designa por F = {Aλ }λ∈Λ ) e´ uma Aλ , dizemos que a colec¸ao fam´ılia de conjuntos indexada por Λ. O conjunto Λ e´ chamado o conjunto de ´ındices da fam´ılia. ˜ vazio A pode servir como conjunto de ´ındices de Observamos que qualquer conjunto nao uma fam´ılia de conjuntos. Com efeito, para cada a ∈ A seja Aa = {a} e consideremos a fam´ılia ´ todo conjunto F, cujos elementos sao ˜ conjuntos, pode ser considerado F = {Aa }a∈A . Tambem como uma fam´ılia de conjuntos indexada por F (i.e. auto-indexada). De fato, F = {AF }F∈F , onde AF = F para todo F ∈ F. Seja X um conjunto dado e F = {Aλ }λ∈Λ uma fam´ılia de subconjuntos de X. Se

˜ Definic¸ao.

˜ e a intersec¸ao ˜ da fam´ılia F como define a uniao [

Aλ = {x ∈ X ; ∃ λ ∈ Λ tal que x ∈ Aλ }

e

λ∈Λ

\

Aλ = {x ∈ X ; x ∈ Aλ ∀λ ∈ Λ}

λ∈Λ

Por exemplo, se X e´ um conjunto qualquer, e para cada x ∈ X escrevemos Ax = {x} \ [ Ax = ∅. Ax = X e podemos considerar a fam´ılia {Ax }x∈X indexada por X. Resulta que x∈X

x∈X

˜ e a intersec¸ao ˜ de uma fam´ılia indeObservando com cuidado, podemos ver que a uniao ´ se Λ = Γ e F = {Aλ }λ∈Λ e´ uma fam´ılia indexada pende da maneira como esta´ indexada. Isto e, ˜ por Λ, entao [ λ∈Λ

Aλ =

[

Aγ

e

γ∈Γ

\ λ∈Λ

Aλ =

\

Aγ .

γ∈Γ

˜ de fam´ılias distribui sobre a intersec¸ao ˜ e Pode-se provar com um pouco de esforc¸o, que a uniao ˜ de fam´ılias distribui sobre a uniao. ˜ Para enunciar este fato usaremos a noc¸ao ˜ que a intersec¸ao de produto cartesiano que introduziremos em breve. ˜ entre conjuntos Definimos a seguir uma outra operac¸ao ˜ Definic¸ao. Sejam A e B conjuntos. Definimos o conjunto diferenc¸a A − B como sendo o ˜ sao ˜ elementos de B, i.e. conjunto que consiste dos elementos de A que nao A − B = {x ; x ∈ A e x ∈ / B}. ´ J. Delgado - S. Firmo - P. Nobrega

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˜ 1.3 Operac¸oes com Conjuntos

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´ importante observar que, se A e B sao ˜ conjuntos, A − B e B − A sao, ˜ em geral, conjuntos E ´ e´ claro que A − B ⊂ A. diferentes. Tambem

˜ de A − B. Fig. 2 (a). Representac¸ao

˜ de B − A. Fig. 2 (b). Representac¸ao

˜ os conjuntos dos exemplos anteriores, entao ˜ Por exemplo, se A e B sao A − B = {verde, vermelho, laranja} ˜ Definic¸ao.

e

B − A = {banana, morango}.

˜ conjuntos e A ⊂ X, o complementar de A com respeito a X e´ o Se A, X sao

conjunto {X A = X − A. ˜ e´ o conjunto dos nossos exemPor exemplo, se A = {azul, verde, vermelho, laranja, mac¸a} ˜ {A B = {laranja, mac¸a}. ˜ plos anteriores e B = {azul, verde, vermelho}, entao ˜ da noc¸ao ˜ de complementar. A figura abaixo e´ uma representac¸ao

˜ a X. Fig.3. O complementar de A em relac¸ao

´ A ∪ B. ˜ 1.3.4. Sejam A, B e C conjuntos quaisquer e X um conjunto que contem Proposic¸ao ˜ Entao i. A − ∅ = A e A − A = ∅. ii. B ⊂ C =⇒ A − C ⊂ A − B. iii. A − B = A − (A ∩ B). iv. A − B = A ∩ {X B. ˜ ˜ contem ´ elementos, Demonstrac¸ao. Prova de i. Ja´ que ∅ nao A − ∅ = {x ; x ∈ A e x ∈ / ∅} = {x ; x ∈ A} = A. E observando que nenhum objeto x pode ser tal que x ∈ A e x ∈ / A, obtemos que A − A = ∅. Prova de ii. Observe que, B ⊂ C ⇐⇒ (x ∈ B =⇒ x ∈ C) ⇐⇒ (x ∈ / C =⇒ x ∈ / B). ´ J. Delgado - S. Firmo - P. Nobrega

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˜ 1.3 Operac¸oes com Conjuntos

Conjuntos

Portanto (x ∈ A − C) =⇒ (x ∈ A e x ∈ / C) =⇒ (x ∈ A e x ∈ / B) =⇒ x ∈ (A − B), ´ todo elemento de A − C e´ tambem ´ elemento de A − B. Logo A − C ⊂ A − C. isto e, ˜ A − B ⊂ A − (A ∩ B) e´ consequ¨ encia ˆ Prova de iii. A inclusao de ii., pois A ∩ B ⊂ B. Para ˜ observamos que a outra inclusao (x ∈ A − (A ∩ B)) =⇒ (x ∈ A e x ∈ / A ∩ B) =⇒ (x ∈ A e (x ∈ / A ou x ∈ / B)) =⇒ ((x ∈ A e x ∈ / A) ou (x ∈ A e x ∈ / B)) =⇒ ((x ∈ A − A) ou (x ∈ A − B)). Como, por i., A − A = ∅, obtemos ((x ∈ A − A) ou (x ∈ A − B)) =⇒ (x ∈ A − B), ˜ e portanto A − (A ∩ B) ⊂ A − B. Observe que as implicac¸oes =⇒ do argumento podem ser ´ substitu´ıdas por ⇐⇒ para provar as duas inclusoes ˜ simultaneamente. invertidas a ⇐=, isto e, ´ (x ∈ A ∪ B) =⇒ x ∈ X, obtemos Prova de iv. Ja´ que A ∪ B ⊂ X, isto e, A − B = {x ; x ∈ A e x ∈ / B} = {x ∈ X ; x ∈ A e x ∈ / B} = {x ∈ X ; x ∈ A} ∩ {x ∈ X ; x ∈ / B} = {x ; x ∈ A} ∩ {x ; x ∈ X e x ∈ / B} = A ∩ (X − B) = A ∩ {X B. C.Q.D. ´ ˜ dadas no seguinte resultado: As propriedades basicas do complementar sao ´ A ∪ B. Entao: ˜ ˜ 1.3.5. Sejam A e B conjuntos e X um conjunto que contem Proposic¸ao (a) A ∩ {X A = ∅, e A ∪ {X A = X. (b) {X ({X A) = A. (c) {X ∅ = X, e {X X = ∅. (d) A ⊂ B ⇐⇒ {X B ⊂ {X A ˜ entre as operac¸oes ˜ ∪ e ∩ com {X sao: ˜ (e) (Leis de De Morgan) As relac¸oes {X (A ∪ B) = ({X A) ∩ ({X B) e ˜ Demonstrac¸ao.

{X (A ∩ B) = ({X A) ∪ ({X B).

˜ simples e os deixaremos como exerc´ıcio para o leitor. Os itens (a)-(d) sao

Provemos a primeira das leis de De Morgan: x ∈ {X (A ∪ B) ⇐⇒ (x ∈ X e x ∈ / A ∪ B) ⇐⇒ (x ∈ Xe ((x ∈ / A) e (x ∈ / B))) ´ J. Delgado - S. Firmo - P. Nobrega

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˜ 1.3 Operac¸oes com Conjuntos

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⇐⇒ (x ∈ X e x ∈ / A) e (x ∈ X e x ∈ / B) ⇐⇒ (x ∈ {X A) e (x ∈ {X B) ⇐⇒ x ∈ ({X A) ∩ ({X B). ´ ´ A segunda das formulas de De Morgan pode ser provada de maneira similar, mas tambem pode ser obtida da primeira com ajuda do item (b). De fato, como {X ({X A ∪ {X B) = {X ({X A) ∩ {X ({X B) = A ∩ B, temos que {X A ∪ {X B = {X ({X ({X A ∪ {X B)) = {X (A ∩ B). C.Q.D. ˜ e intersecc¸oes ˜ As leis de De Morgan podem ser generalizadas, sem dificuldade, a unioes de fam´ılias de conjuntos da seguinte maneira: Se F = {Aλ }λ∈Λ e´ uma fam´ılia de subconjuntos ˜ de um conjunto X, entao {X

[


\ Aλ = ({X Aλ ),

λ∈Λ

λ∈Λ

e

{X

\


[ Aλ = ({X Aλ ).

λ∈Λ

λ∈Λ

˜ entre conjuntos, o produto cartesiano. O resultado desta Vamos introduzir outra operac¸ao ˜ sera´ um conjunto de natureza diferente da natureza dos conjuntos envolvidos. nova operac¸ao ˜ a seguir, a noc¸ao ˜ de par ordenado desempenha papel fundamental. Se a e b Na definic¸ao ˜ dois objetos quaisquer (nao ˜ necessariamente pertencentes ao mesmo conjunto), podemos sao ˜ denominados a primeira coordenada considerar o objeto (a, b) no qual os elementos a e b serao e a segunda coordenada do par (a, b), respectivamente. ˜ iguais e escrevemos (a, b) = (c, d) se, Dizemos que os pares ordenados (a, b) e (c, d) sao ´ dois pares ordenados sao ˜ iguais se, e somente se, as suas e somente se, a = c e b = d, isto e, ˜ iguais. coordenadas correspondentes sao ˜ que, se (a, b) e´ um par ordenado, entao ˜ Observemos entao (a, b) = (b, a) se, e somente se, a = b. ˜ Definic¸ao.

Sejam A e B dois conjuntos quaisquer. Designamos por A × B o conjunto cujos

˜ todos os poss´ıveis pares ordenados (a, b) onde a ∈ A e b ∈ B. Isto e, ´ elementos sao A × B = {(a, b) ; a ∈ A e b ∈ B}. ˜ grafica ´ Na Fig.4. mostramos uma representac¸ao do produto cartesiano, na qual o conjunto ˆ “segmentos” horizontais de pontos (os elementos de A sao ˜ os pontos dos A consiste de tres segmentos) e B consiste de um “segmento” vertical de pontos. O produto cartesiano destes dois conjuntos e´ formado pelos pontos das faixas retangulares indicadas. ´ J. Delgado - S. Firmo - P. Nobrega

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˜ 1.3 Operac¸oes com Conjuntos

Conjuntos

Fig.4. O produto cartesiano representado graficamente

˜ Por exemplo, sejam A = {a, b, c} e B = {?, •}. Entao A × B = {(a, ?), (a, •), (b, ?), (b, •), (c, ?), (c, •)}. ˜ pertencem a A × B. Observe por exemplo, que os pares ordenados (?, a), (a, a), (•, ?) nao ˆ ou mais conjuntos. Se A, De maneira similar podemos definir o produto cartesiano de tres ˜ conjuntos, definimos A × B × C como sendo o conjunto (A × B) × C e similarmente, se B, e C sao ˜ conjuntos, definimos A1 × A2 × . . . × An como sendo o conjunto (A1 × A2 × A1 , A2 , . . . , An sao ˜ as n-uplas . . . × An−1 ) × An . Os elementos de A1 × A2 × . . . × An sao ordenadas (a1 , a2 , . . . , an ) ´ onde a1 ∈ A1 , a2 ∈ A2 , . . . , an ∈ An , e duas n-uplas (a1 , a2 , . . . , an ) e (b1 , b2 , . . . , bn ) de A1 × ´ ˜ consideradas iguais se, e so´ se, a1 = b1 , a2 = b2 , . . . , an = bn . Todas as A2 × . . . × An sao ´ propriedades que estudaremos sobre o produto cartesiano de dois conjuntos continuam validas para o produto cartesiano de mais de 2 conjuntos. ˜ descreve duas propriedades basicas ´ A seguinte proposic¸ao do produto cartesiano. ˜ ˜ 1.3.6. Sejam A, B, C, D conjuntos. Entao: Proposic¸ao (a) A × B = ∅ ⇐⇒ (A = ∅) ou (B = ∅). (b) Se C × D 6= ∅, tem-se: (C × D ⊂ A × B) ⇐⇒ ( (C ⊂ A) e (D ⊂ B) ). ˜ Demonstrac¸ao. (a) A propriedade do enunciado (a) equivale1 a (A × B 6= ∅) ⇐⇒ (A 6= ∅) e (B 6= ∅). ˜ de A × B, a ∈ A e b ∈ B. Logo A 6= ∅ e Se A × B 6= ∅, existe (a, b) ∈ A × B, e pela definic¸ao B 6= ∅. 1

˜ proposic¸oes ˜ logicas, ´ ˜ (p ⇐⇒ q) ⇐⇒ (qp ⇐⇒qq) e´ sempre verdadeira independenSe p e q sao a proposic¸ao

´ ˜ as negativas de p e q respectivamente. temente dos valores logicos de p e q, onde qp e qq sao ´ J. Delgado - S. Firmo - P. Nobrega

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˜ 1.3 Operac¸oes com Conjuntos

Conjuntos

Reciprocamente, se A 6= ∅ e B 6= ∅, existem elementos a ∈ A e b ∈ B. Portanto o par ordenado (a, b) pertence ao produto A × B, i.e., A × B 6= ∅. ´ (b) Suponhamos primeiro que C × D ⊂ A × B. Como, por hipotese, C × D 6= ∅, pelo item ˜ do produto cartesiano temos (a), C 6= ∅ e D 6= ∅. Seja d0 ∈ D um elemento fixo. Pela definic¸ao c ∈ C =⇒ (c, d0 ) ∈ C × D ⊂ A × B =⇒ (c, d0 ) ∈ A × B =⇒ c ∈ A, logo C ⊂ A. Similarmente verifica-se que D ⊂ B (exerc´ıcio). ´ Reciprocamente, para todo (c, d) ∈ C × D, tem-se c ∈ C e d ∈ D, e por hipotese, c∈Ae d ∈ B. Logo (c, d) ∈ A × B, provando que C × D ⊂ A × B. C.Q.D. ˜ acima, e´ importante observar que a hipotese ´ No item (b) da proposic¸ao C × D 6= ∅ e´ ˜ vazio e D = ∅. fundamental. Por exemplo, sejam A ⊂ C, A 6= C, B qualquer conjunto nao ˜ C × D = ∅ ⊂ A × B, mas e´ falso que C ⊂ A. A hipotese ´ Entao C × D 6= ∅ e´ usada apenas na ˜ =⇒. implicac¸ao ˜ diz que o produto cartesiano verifica a propriedade distriO ultimo resultado desta sec¸ao ´ ˜ ∪, ∩ e −. butiva sobre as operac¸oes ˜ conjuntos, valem as seguintes formulas ´ ˜ 1.3.7. Se A, B, C sao Proposic¸ao de distributividade: (a) A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C). (b) A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C). (c) A × (B − C) = (A × B) − (A × C). ˜ Demonstrac¸ao. Prova de (a): Para todo (a, b) tem-se (a, b) ∈ A × (B ∪ C) ⇐⇒ (a ∈ A) e (b ∈ B ∪ C) ⇐⇒ (a ∈ A) e (b ∈ B ou b ∈ C) ⇐⇒ (a ∈ A e b ∈ B) ou (a ∈ A e b ∈ C) ⇐⇒ (a, b) ∈ A × B ou (a, b) ∈ A × C ⇐⇒ (a, b) ∈ (A × B) ∪ (A × C). Os itens (b) e (c) podem ser demonstrados de maneira similar. C.Q.D. Consideremos, de novo, duas fam´ılias de conjuntos F = {Aλ }λ∈Λ e G = {Bγ }γ∈Γ . Pode-se provar, sem dificuldade, que valem as seguintes propriedades distributivas: [ [
[ \ \
\

Aλ ∩ Bγ = (Aλ ∩ Bγ ), e Aλ ∪ Bγ = λ∈Λ

γ∈Γ

λ∈Λ

(λ,γ)∈Λ×Γ

γ∈Γ

(Aλ ∪ Bγ ),

(λ,γ)∈Λ×Γ

˜ (resp. uniao) ˜ de duas unioes ˜ (resp. intersecc¸oes) ˜ Dito em palavras, a intersec¸ao de fam´ılias e´ ˜ (resp. intersec¸ao) ˜ da fam´ılia I = {Aλ ∩ Bγ }(λ,γ)∈Λ×Γ (resp. U = {Aλ ∪ Bγ }(λ,γ)∈Λ×Γ ) igual a` uniao ´ J. Delgado - S. Firmo - P. Nobrega

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ˆ 1.4 O Conjunto Potencia

Conjuntos

´ de considerar duas fam´ılias podemos conindexada pelo conjunto Λ × Γ . Mais ainda, ao inves siderar uma fam´ılia de fam´ılias e provar propriedades similares, mas este ponto e´ bem mais delicado e o deixaremos para um curso avanc¸ado. ˜ ˜ De maneira similar, podemos demonstrar que as unioes e intersecc¸oes de fam´ılias se ´ se F e G sao ˜ as fam´ılias acima, entao ˜ distribuem sobre o produto cartesiano, isto e, [ [
\
\ [ \

Aλ × Bγ = Bγ = (Aλ × Bγ ), Aλ × (Aλ × Bγ ), e λ∈Λ

γ∈Γ

λ∈Λ

(λ,γ)∈Λ×Γ

γ∈Γ

(λ,γ)∈Λ×Γ

ˆ 1.4 O Conjunto Potencia Finalizamos o nosso primeiro cap´ıtulo com um exemplo muito importante. ˜ Se A e´ um conjunto qualquer, designamos por P(A) ou 2A o conjunto cujos elemenDefinic¸ao. ˜ todos os subconjuntos de A. Tal conjunto e´ chamado o conjunto potencia ˆ ´ o tos sao de A. Isto e, ˆ conjunto potencia e´ determinado pela propriedade B ⊂ A ⇐⇒ B ∈ P(A). ´ ˆ Resumimos alguns fatos basicos sobre o conjunto potencia de um conjunto dado na se˜ guinte proposic¸ao: ˜ ˜ 1.4.1. Sejam A, B e X conjuntos quaisquer, tais que A ⊂ X. Entao: Proposic¸ao (a) a ∈ A ⇐⇒ {a} ∈ P(A). (b) ∅, A ∈ P(A). Em particular P(A) 6= ∅. (c) A ⊂ B =⇒ P(A) ⊂ P(B). ´ P(A ∩ B) = (P(A)) ∩ (P(B)). (d) P e ∩ comutam, isto e, ˜ comutam. Mais exatamente, vale que P(A ∪ B) ⊃ (P(A)) ∪ (P(B)) (e) P e ∪ NAO mas a igualdade nem sempre se verifica. (f) P(A) ∩ P({X A) = P(∅) = {∅}. ˜ Demonstrac¸ao.

˜ ˆ Os itens (a)-(c) seguem facilmente da definic¸ao. O item (f) e´ consequ¨ encia

˜ conjuntos disjuntos. direta de (d) e do fato de que A e {X A sao Prova de (d): Para todo conjunto C tem-se que C ∈ P(A ∩ B) ⇐⇒ (C ⊂ A ∩ B) ⇐⇒ (C ⊂ A e C ⊂ B) ⇐⇒ (C ∈ P(A) e C ∈ P(B)) ⇐⇒ C ∈ P(A) ∩ P(B). ´ J. Delgado - S. Firmo - P. Nobrega

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Conjuntos

Exerc´ıcios

Prova de (e): Observamos que, como A ⊂ A ∪ B e B ⊂ A ∪ B tem-se, em virtude de (c), que P(A) ⊂ P(A ∪ B) e P(B) ⊂ P(A ∪ B). Logo, P(A) ∪ P(B) ⊂ P(A ∪ B). ´ um Para mostrar que a igualdade nem sempre e´ verdadeira basta dar um exemplo (isto e, contra-exemplo para a igualdade da afirmativa): ˜ P(A) = {∅, A}, P(B) = {∅, B}, e portanto, P(A) ∪ Consideremos A = {?} e B = {•}, entao P(B) = {∅, A, B}. Por outro lado, A ∪ B = {?, •} e P(A ∪ B) = {∅, A, B, A ∪ B}. Como ˜ distintos. C.Q.D. A∪B∈ / P(A) ∪ P(B), os conjuntos P(A ∪ B) e P(A)) ∪ (P(B) sao ´ interessante observar aqui que (e) e (f) podem ser generalizados a fam´ılias de conjuntos. E ´ se F = {Aλ }λ∈Λ e´ uma fam´ılia de conjuntos, entao ˜ valem as relac¸oes: ˜ Isto e, ! ! [ \ \ [ P(Aλ ) = P Aλ e P(Aλ ) ⊂ P Aλ . λ∈Λ

λ∈Λ

λ∈Λ

λ∈Λ

Exerc´ıcios ˜ ⊂ e´ uma relac¸ao ˜ transitiva, i.e., se A, B e C sao ˜ conjuntos tais que A ⊂ B 1. Prove que a relac¸ao ˜ A ⊂ C. Prove, dando um contra-exemplo, que a relac¸ao ˜ ∈ nao ˜ e´ transitiva. e B ⊂ C, entao 2. Sejam A, B e C conjuntos. Prove que ˜ B ∪ C ⊂ A ∪ C e B ∩ C ⊂ A ∩ C. (a) Se B ⊂ A, entao ˜ ∩ e ∪ sao ˜ comutativas e associativas: (b) As operac¸oes A∩B=B∩A

e

A ∪ B = B ∪ A,

A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C

e

A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C.

˜ ˜ falsas ou verdadeiras, e 3. Sejam A = {?} e B = {?, •}. Diga se as afirmac¸oes abaixo sao justifique sua resposta: (a) A ⊂ B

(b) A ∈ B

(c) ? ∈ A

(d) • ⊂ B

4. Sejam A e B subconjuntos de um conjunto X. Prove que: (a) A ∩ B = ∅ ⇐⇒ A ⊂ {X B ⇐⇒ B ⊂ {X A. (b) A ∪ B = X ⇐⇒ {X B ⊂ A ⇐⇒ {X A ⊂ B. ´ J. Delgado - S. Firmo - P. Nobrega

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Conjuntos

Exerc´ıcios

5. Sejam A e B conjuntos quaisquer. Prove que: ˜ disjuntos e A = (A ∩ B) ∪ (A − B). (a) Os conjuntos (A ∩ B) e (A − B) sao ˜ disjuntos e A ∪ B = A ∪ (B − A). (b) Os conjuntos A e B − A sao 6. Prove que A ⊂ {A} se, e somente se, A = ∅. ˜ 7. Prove as seguintes relac¸oes: (a) (A − C) − (B − C) = (A − B) − C,

(b)

(A − C) ∪ (B − C) = (A ∪ B) − C,

(c)

(A − C) ∩ (B − C) = (A ∩ B) − C,

(d)

(A − B) − (A − C) = A ∩ (C − B),

(e)

(A − B) ∪ (A − C) = A − (B ∩ C),

(f)

(A − B) ∩ (A − C) = A − (B ∪ C).

8. Sejam A e B conjuntos quaisquer. Prove que existe um unico conjunto X que verifica as ´ igualdades A ∪ X = A ∪ B e A ∩ X = ∅ simultaneamente. 9. Sejam A = {0, 1, 2, {2}, 3} e B = {{1}, 1, 4}. (a) Determine A ∪ B e A ∩ B. ˜ abaixo sao ˜ falsas ou verdadeiras, e justifique sua resposta: (b) Diga se as afirmac¸oes •2∈A • {2, {2}} 6= {{2}, 2}

• {2} ∈ A • {2, {2}} ⊂ A

• {2} ⊂ A •2⊂A.

´ 10. Dados dois conjuntos A e B sua diferenc¸a simetrica e´ definida como sendo o conjunto ´ A∆B = (A − B) ∪ (B − A). Prove que A∆B = (A ∪ B) − (A ∩ B). Interprete a diferenc¸a simetrica por meio de um desenho. ˜ vazios. Prove que, se (A×B)∪(B×A) = C×C, entao ˜ A = B = C. 11. Sejam A e B conjuntos nao 12. Sejam A, B ⊂ X e C, D ⊂ Y conjuntos. Prove que: (a) (A × C) ∩ (B × D) = (A ∩ B) × (C ∩ D). (b) (A × C) ∪ (B × D) ⊂ (A ∪ B) × (C ∪ D). (d) (A ∪ B) × (C ∪ D) = (A × C) ∪ (B × D) ∪ (A × D) ∪ (B × C). (e) {X×Y (B × D) = (({X B) × Y) ∪ (X × ({Y D)). (e) Deˆ um contra-exemplo para mostrar que a igualdade em (b) nem sempre e´ verdadeira. 13. Designamos por N o conjunto dos numeros naturais N = {0, 1, 2, 3, . . .}. Dizemos que um ´ ˆ conjunto A e´ finito se podemos fazer uma correspondencia entre os elementos de A e os elementos de um subconjunto de N da forma {1, 2, 3, . . . , n} para algum n ∈ N. Convencionamos que o conjunto vazio e´ finito. Se A e´ um conjunto finito que se corresponde com o subconjunto ´ J. Delgado - S. Firmo - P. Nobrega

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Conjuntos

Exerc´ıcios

{1, 2, . . . , n}, dizemos que A possui n elementos. O natural n e´ o cardinal de A e o designamos ´ #∅ = 0. Os conjuntos com cardinal 1 sao ˜ por #A. O conjunto vazio tem cardinal 0, isto e, ´ chamados conjuntos unitarios. ˜ conjuntos finitos mostre que Se A e B sao #(A ∪ B) = #(A) + #(B) − #(A ∩ B) . 14. Sejam A um conjunto com 10 elementos e B um conjunto com 15 elementos. O que se pode dizer do cardinal de A ∪ B, A ∩ B e A × B ? 15. Uma pesquisa mostra que 63% do povo americano gosta de queijo enquanto 76% gosta ˜ O que se pode dizer sobre a porcentagem do povo americano que gosta de queijo e de mac¸a. ˜ mac¸a?

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Conjuntos

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Exerc´ıcios

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Cap´ıtulo 2 Os Inteiros

˜ 2.1 Notac¸ao Este cap´ıtulo sera´ dedicado a estudar as propriedades do conjunto Z dos numeros inteiros: ´ Z = {. . . , −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, . . .}. Dentre os subconjuntos de Z destacamos os seguintes: • O conjunto dos numeros naturais N = {0, 1, 2, 3, . . .}. ´ ˜ nulos N∗ = N − {0} = {1, 2, 3, . . .}. • O conjunto dos numeros naturais nao ´ ´ e´ chamado o conjunto dos numeros Este conjunto tambem inteiros positivos e se designa por ´ Z+ . ˜ nulos Z∗ = Z − {0} = {. . . , −3, −2, −1, 1, 2, 3, . . .}. • O conjunto dos numeros inteiros nao ´ • O conjunto dos numeros inteiros negativos Z− = {−1, −2, −3, . . .}. ´ ˜ positivos e´ o conjunto Do acima estabelecido segue que o conjunto dos inteiros nao {Z Z+ = Z − Z+ = {0, −1, −2, −3, . . .}. ˜ negativos e´ o conjunto Analogamente, o conjunto dos inteiros nao {Z Z− = Z − Z− = {0, 1, 2, 3, . . .}. ´ a ∈ Z+ , e Dizemos que um numero inteiro a ∈ Z tem sinal positivo, se a e´ positivo, isto e, ´ dizemos que tem sinal negativo, se a e´ negativo, a ∈ Z− . 19

˜ 2.2 Operac¸oes

Os Inteiros

ˆ o mesmo sinal quando ambos tem ˆ sinal positivo ou Dados a, b ∈ Z, dizemos que a e b tem ˆ sinal negativo, isto e, ´ ambos pertencem a Z+ ou ambos pertencem a Z− . Diremos ambos tem ˆ sinais contrarios ´ que a e b tem quando um deles e´ positivo e o outro e´ negativo.

˜ 2.2 Operac¸oes ˜ sobre conjuntos. Estas operac¸oes ˜ nos perNo cap´ıtulo anterior estudamos algumas operac¸oes ˜ vamos introduzir mitiram construir, a partir de conjuntos dados, um novo conjunto. Nesta sec¸ao ˜ de operac¸ao ˜ desde um ponto de vista global e depois enfocar a nossa atenc¸ao ˜ em a noc¸ao ˜ definidas no conjunto Z dos numeros operac¸oes inteiros. ´ ˜ vazio. Uma operac¸ao ˜ sobre A e´ uma lei que a cada par ˜ Definic¸ao. Seja A um conjunto nao ˜ em ordenado de elementos de A faz corresponder um elemento de A. Se ? e´ uma operac¸ao A e (a, b) ∈ A × A, escrevemos ?(a, b) ou a ? b para designar o elemento de A determinado ˜ ao par ordenado (a, b). Dizemos que a ? b e´ o resultado de aplicar a ao aplicar a operac¸ao ˜ ? ao par ordenado (a, b) ∈ A × A. operac¸ao Em s´ımbolos escrevemos ? : A × A −→ A (a, b) 7−→ a ? b . ˜ de operac¸ao ˜ obtemos que: dados a, b ∈ A, se a = a 0 e b = b 0 entao, ˜ a?b = a 0 ?b 0 . Da definic¸ao Por exemplo, consideremos um conjunto A = {α, β} contendo dois elementos. Definimos uma ˜ ? : A × A −→ A mediante a seguinte tabela: operac¸ao Nesta tabela, escrevemos a primeira coordenada dos pares ordenados ? α β de A × A na coluna embaixo de ?, e a segunda coordenada na fila a` α α β direita de ?. A primeira fila da tabuada se lee: α ? α = α, α ? β = β, e a β β α segunda fila β ? α = β e β ? β = α. Neste exemplo observamos que, quaisquer que sejam x, y ∈ A tem-se x ? y = y ? x. Uma ˜ verificando esta propriedade e´ chamada comutativa. Tambem, ´ operac¸ao quaisquer que sejam ˜ com esta propriedade x, y, z ∈ A, vale x ? (y ? z) = (x ? y) ? z (verifique este fato!). Uma operac¸ao ´ e´ chamada associativa. O elemento α de A tem a propriedade de que α ? x = x ? α = x, isto e, ˜ ?. α e´ um elemento neutro para a operac¸ao ˜ ? : B × B −→ B Vejamos outro exemplo. Seja B = {0, 1, 2, 3, 4} e consideremos a operac¸ao definida pela tabela abaixo: ´ J. Delgado - S. Firmo - P. Nobrega

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˜ 2.2 Operac¸oes

Os Inteiros

?

0

1

2

3

4

0

0

0

0

0

0

1

0

1

2

3

4

2

0

2

4

1

3

3

0

3

1

4

2

4

0

4

3

2

1

Segundo esta tabela vemos que 1 ? x = x ? 1 = x qualquer ´ 1 e´ um elemento neutro para a que seja x ∈ B, isto e, ˜ ?. Observando com cuidado vemos que a tabuoperac¸ao ´ ˜ a` diagonal, logo a operac¸ao ˜ ? ada e´ simetrica em relac¸ao ˜ ? e´ ase´ comutativa. Podemos verificar que a operac¸ao sociativa e que para cada x ∈ B − {0}, existe y ∈ B tal que x ? y = 1, pois 1 ? 1 = 1, 2 ? 3 = 3 ? 2 = 1 e 4 ? 4 = 1.

˜ no conjunto Z dos numeros Vamos agora enfocar a nossa atenc¸ao inteiros. ´ ˜ ˜ Sobre o conjunto Z dos numeros inteiros podemos definir muitas operac¸oes. As operac¸oes ´ ˜ com as quais ja´ estamos familiarizados, serao ˜ de fundamental de soma e de multiplicac¸ao, ˆ importancia no resto deste cap´ıtulo: + : Z × Z −→ Z (m, n) 7−→ m + n · : Z × Z −→ Z (m, n) 7−→ m · n

˜ de soma ou adic¸ao) ˜ (operac¸ao ˜ de multiplicac¸ao ˜ ou produto) (operac¸ao

˜ de dois numeros ´ designada pela justaposic¸ao ˜ ab, A multiplicac¸ao inteiros a e b sera´ tambem ´ ´ colocando um numero ´ o outro. Esta terminologia devera´ ser usada com cuidado, isto e, apos ´ ˜ 1 · 5. Por outro lado, se a ∈ Z, 2a se entende como 2 · a. por exemplo: 15 e´ o inteiro quinze e nao ˜ geral de operac¸ao, ˜ tem-se a seguinte regra que utilizaremos com frequ¨ encia: ˆ Da noc¸ao Dados a, b, c ∈ Z temos que ˜ a+c=b+c, • (i) se a = b entao ˜ a·c=b·c. • (ii) se a = b entao

Mais tarde voltaremos a falar sobre esta regra, ou mais especificamente, sobre a sua rec´ıproca ˜ e multiplicac¸ao). ˜ (vide as leis de cancelamento para adic¸ao ´ ˜ ˜ junto com uma serie ´ Na pratica fazemos uso das operac¸oes de soma e multiplicac¸ao, de pro˜ que na maioria dos casos aplicamos de maneira quase priedades ou regras de manipulac¸ao, ´ automatica sem reparar muito nos detalhes. ˜ e mesmo para enCom o objetivo de entender com mais detalhe a natureza destas operac¸oes ˆ ´ tender o por queˆ de alguns erros que se cometem com frequ¨ encia na pratica, vamos apresentar ´ ˆ ˆ tais propriedades e fazer uma analise cuidadosa das consequ¨ encias e fatos que delas se obtem . ´ J. Delgado - S. Firmo - P. Nobrega

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˜ 2.2 Operac¸oes

Os Inteiros

˜ ˜ em Z: Propriedades das operac¸oes de soma e de multiplicac¸ao • (1) Comutatividade: • a + b = b + a para todo a, b ∈ Z, • a · b = b · a para todo a, b ∈ Z. • (2) Associatividade: • (a + b) + c = a + (b + c) para todo a, b, c ∈ Z, • (a · b) · c = a · (b · c) para todo a, b, c ∈ Z. • (3) Distributividade: • a · (b + c) = a · b + a · c para todo a, b, c ∈ Z, • (a + b) · c = a · c + b · c para todo a, b, c ∈ Z. ˆ ˜ e 1 para a multiplicac¸ao): ˜ • (4) Existencia de elementos neutros (0 para a adic¸ao • 0 + a = a = a + 0 para todo a ∈ Z. • 1 · a = a = a · 1 para todo a ∈ Z. ˆ ´ • (5) Existencia de simetricos: • a + (−a) = 0 = (−a) + a para todo a ∈ Z.

´ a soma de a com ˜ Dados a, b ∈ Z, escrevemos a − b para significar a + (−b), isto e, Notac¸ao. ´ o simetrico de b. O numero a − b se leˆ a menos b. ´ ˜ de Observamos que a propriedade descrita no item (5) diz respeito apenas a` operac¸ao ´ soma. Dado a ∈ Z, o numero −a ∈ Z e´ chamado o simetrico de a. ´ ´ ˜ Como dito anteriormente, podemos definir varias operac¸oes sobre Z. Uma delas, com a ˜ diferenc¸a dada pela notac¸ao ˜ acima: qual estamos bastante familiarizados e´ a operac¸ao − : Z × Z −→ Z (a, b) 7−→ a − b = a + (−b), ˜ definida sobre o conjunto Z e: ´ Outro exemplo de operac¸ao  : Z × Z −→ Z (a, b) 7−→ a  b = 2 · a + b. ´ J. Delgado - S. Firmo - P. Nobrega

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˜ 2.2 Operac¸oes

Os Inteiros

˜ Muita atenc¸ao!! ´ sabemos somar apenas dois elementos de cada vez. O que significa • Observe que nos ˜ uma expressao ˜ tao ˜ conhecida como a + b + c onde a, b, c ∈ Z? Melhor dizendo, entao ˜ acima? De fato, mantendo a ordem em que a, b, c aparecem na faz sentido a expressao ˜ so´ podemos opera-los ´ expressao como a + (b + c) ou (a + b) + c o que da´ na mesma, ´ por esta razao ˜ que a + b + c faz segundo a propriedade de associatividade da soma. E ˜ tambem ´ sentido. Se quisermos alterar a ordem em que a, b, c aparecem na expressao ˆ ˜ da propriedade de comutatividade. podemos faze-lo, desta vez, lanc¸ando mao ˜ as mesmas Em virtude das propriedades associativa e comutativa da multiplicac¸ao, ˜ ˆ ou mais inteiros, isto e, ´ considerac¸oes acima podem ser aplicadas ao produto de tres se a, b, c ∈ Z, o produto a · b · c pode ser entendido como a · (b · c) ou como (a · b) · c, ou ainda como b · (a · c) etc. Outro exemplo, se a, b, c, d, e, f, g ∈ Z, a + b + c + d + e + f + g = (a + (b + (c + (d + (e + f))))) + g = ((a + b) + (c + d)) + ((e + f) + g) = etc. a · b · c · d · e · f · g = ((a · b) · (c · (d · (e · f)))) · g = ((a · b) · (c · (d · (e · f)))) · g = etc. ˜ a + (b + c) e (a + b) + c com a, b, c ∈ Z • Do item anterior conclu´ımos que nas expressoes ˆ ´ a + (b + c) = a + b + c = (a + b) + c. Sera´ que podemos ignorar o parenteses, isto e, ˜ a − (b − c), escrevendo a − (b − c) = a − b − c = podemos fazer isto na expressao ˜ diferenc¸a fosse associativa, poder´ıamos faze-lo ˆ mas isto nao ˜ e´ (a − b) − c ? Se a operac¸ao ˜ tambem ´ nao ˜ podemos ignorar o parenteses ˆ verdade (prove!). Exatamente por esta razao ˜ a−(b+c), escrevendo a−(b+c) = a−b+c. De fato, a−(b+c) = (a−b)−c. na expressao ˜ diferenc¸a nao ˜ ser associativa nos ´ bem que O que e´ intrigante e´ que apesar da operac¸ao ˜ entendemos o que significa a − b − c ! Bem, neste caso quando lemos a expressao ˜ a − (b − c). Isto e´ uma convenc¸ao ˜ que, a − b − c de fato estamos lendo (a − b) − c e nao evidentemente, respeitaremos.

˜ ˜ sobre Z nos ´ utilizaremos com Trabalhando com as operac¸oes de soma e multiplicac¸ao ˆ ´ delas, utilizaremos tambem ´ varias ´ frequ¨ encia as propriedades de (1) a` (5). Alem de suas conˆ ´ demonstrac¸ao. ˜ sequencias, listadas abaixo e de facil ˆ Consequ¨ encia 1. 0 · a = 0 = a · 0 ´ J. Delgado - S. Firmo - P. Nobrega

,

∀a ∈ Z. 23

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˜ 2.2 Operac¸oes

Os Inteiros

˜ Das propriedades acima descritas temos que 0 · a = (0 + 0) · a = 0 · a + 0 · a. Demonstrac¸ao. ˜ 0 · a = 0 · a + 0 · a nos ´ conclu´ımos que Agora, somando −(0 · a) a cada membro da equac¸ao 0 · a = 0 para todo a ∈ Z. Da´ı segue que 0 · a = 0 = a · 0 para todo a ∈ Z. ˆ Consequ¨ encia 2. (−1) · a = −a

,

C.Q.D.

∀a ∈ Z.

˜ Demonstrac¸ao. Temos que (−1) · a + a = (−1) · a + (1) · a = (−1 + 1) · a = 0 · a = 0. ˜ (−1) · a + a = 0 nos ´ conclu´ımos que Agora, somando −a a cada um dos membros da equac¸ao (−1) · a = −a,

∀a ∈ Z.

C.Q.D.

ˆ Destas duas consequ¨ encias temos: 0 = (−1) · 0 = −0. ˆ Consequ¨ encia 3.

´ Mais geralmente, repetindo adequadamente os argumentos acima, nos

conclu´ımos que a · (−b) = (−a) · b = −a · b ,

∀a, b ∈ Z.

´ esta propriedade que nos permite garantir que E a · (b − c) = a · b − a · c

,

∀a, b, c ∈ Z.

De fato, a · (b − c) = a · (b + (−c)) = a · b + a · (−c) = a · b + (−a · c) = a · b − a · c. ˆ Consequ¨ encia 4. a − b = 0 ⇐⇒ a = b. ˜ Demonstrac¸ao. Com efeito, ˜ da diferenc¸a a − b a − b = 0 ⇐⇒ a + (−b) = 0 pela definic¸ao ⇐⇒ (a + (−b)) + b = 0 + b somando b em ambos lados da igualdade ⇐⇒ a + ((−b) + b) = b pela propriedade associativa ´ ⇐⇒ a + 0 = b pela propriedade dos simetricos ⇐⇒ a = b pela propriedade do elemento neutro aditivo.

C.Q.D.

ˆ Consequ¨ encia 5. (−1)(−1) = 1 e portanto, −(−a) = a, para todo a ∈ Z. ˜ Com efeito, tem-se Demonstrac¸ao. (−1)(−1) − 1 = (−1)(−1) + (−1) = (−1)(−1) + (−1) · 1 = (−1)(−1 + 1) = (−1) · 0 = 0. ˜ pelo item anterior (−1)(−1) = 1. e entao, Logo, −(−a) = (−1)((−1)a) = ((−1)(−1))a = 1 · a = a, para todo a ∈ Z. ´ J. Delgado - S. Firmo - P. Nobrega

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C.Q.D.

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˜ 2.2 Operac¸oes

Os Inteiros

˜ −a ∈ Z− e reciprocamente, se a ∈ Z− entao ˜ −a ∈ Z+ . Repare que, se a ∈ Z+ entao Portanto devemos ter cuidado com o seguinte: ´ falso que: Se a e´ um inteiro, entao ˜ −a e´ um inteiro negativo. E Com efeito, observe que −(−1) = (−1)[(−1)1] = [(−1)(−1)]1 = 1 · 1 = 1 −(−(−3)) = (−1)[(−1){(−1)3}] = (−1)[{(−1)(−1)}3] = (−1)[1 · 3] = (−1)3 = −3 −(−(−(−(−n)))) = −n, para todo n ∈ Z, e assim por diante. ˆ ˜ Consequ¨ encia 6. Lei do cancelamento para a adic¸ao. Dados a, b, c ∈ Z temos: a + c = b + c =⇒ a = b ˜ Sejam a, b, c ∈ Z e suponhamos que a + c = b + c. Assim , obtemos: Demonstrac¸ao. a + c = b + c =⇒ a + c + (−c) = b + c + (−c) =⇒ a + 0 = b + 0 =⇒ a = b, ˜ esta´ terminada. e a demonstrac¸ao

C.Q.D.

˜ precisamos do seguinte lema. Para demonstrar a lei do cancelamento para a multiplicac¸ao ˜ a = 0 ou b = 0. Lema 2.2.1. Sejam a, b ∈ Z. Se a · b = 0 entao ˜ deste lema sera´ feita mais tarde quando introduzirmos o conceito de divisiA demonstrac¸ao ´ ˜ bilidade. Vamos agora utiliza-lo para demonstrar a lei do cancelamento para a multiplicac¸ao. ˆ ˜ Consequ¨ encia 7. Lei do cancelamento para a multiplicac¸ao. Dados a, b, c ∈ Z com c 6= 0 temos: a · c = b · c =⇒ a = b ˜ Sejam a, b, c ∈ Z e suponhamos que a · c = b · c. Assim , obtemos: Demonstrac¸ao. a · c = b · c =⇒ a · c − b · c = 0 =⇒ (a − b) · c = 0 =⇒ a − b = 0 ou c = 0. ´ ´ a = b e a demonstrac¸ao ˜ Como c 6= 0 por hipotese, segue do lema acima que a−b = 0, isto e, esta´ terminada.

C.Q.D.

´ ˜ Definic¸ao. Seja a ∈ Z. O valor absoluto ou modulo de a, denotado |a| se define por   a , se a e´ positivo    |a| = 0 , se a = 0    −a , se a e´ negativo . ´ J. Delgado - S. Firmo - P. Nobrega

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Os Inteiros

Exerc´ıcios

˜ temos que, se a ∈ Z∗ , entao ˜ |a| e´ um inteiro positivo. Alem ´ disso, Desta definic¸ao |a| = 0 ⇐⇒ a = 0. Por exemplo, |2| = 2 = −(−2) = | − 2|. ´ importante observar que, | − a| = a se, e somente se, a e´ um inteiro positivo. E

Exerc´ıcios 1. Calcule (a) 2 − 2(3 − (−1)) + (−5 − 3(5 − 2(−1(2 − 4)))). (b) −3 + (−3 − (4 − 2(1 − 2)2)(2 − 3(−1 + (−3 · 2 + 2))(−2))). (c) −2 − |2(−2 + (5 − 2(3 − | − 4|)))| − | − |3 − |2| | − 1| |. ˜ abaixo sao ˜ falsas ou verdadeiras e justifique 2. Sejam a ∈ Z∗ e b ∈ Z. Diga se as afirmac¸oes suas respostas. (i) −a e´ um inteiro negativo, (ii) a + b e´ um inteiro positivo, (iii) 2a e´ um inteiro positivo, (iv) a · a e´ um inteiro positivo, ˜ negativo, (v) −100 − a e´ um inteiro nao ˆ o mesmo sinal, (vi) 0 e 2 tem (vii) 1 + (a − b)(a − b) e´ um inteiro positivo, ˜ negativo, (viii) |b| e´ nao (ix) |a + 3| = a + 3, ˆ ˜ abaixo. 3. Elimine os parenteses nas expressoes (i) a − 3(2a − (−a + b) − a(b − 2(−a + b))a − b), (ii) 2(−a + 1 − b(2 − 2a(1 − b)) − 3b − 2(−4 − (a − 2))), (iii) (2 − |a| + 3(a − (a − 1) + |a + 1|) − 2(1 − |a + 3|)). ˆ inteiros, sabendo que a soma do primeiro com o segundo e´ 32, a soma do 4. Determinar tres segundo com o terceiro e´ 36 e a soma do primeiro com o terceiro e´ 34. ´ J. Delgado - S. Firmo - P. Nobrega

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Exerc´ıcios

˜ 5. Considere dois inteiros de soma S, de diferenc¸a D e de produto P. Responda as questoes seguintes selecionando a resposta correta dentre as propostas. (a) Adicionamos 5 a um dos inteiros e 3 ao outro. O que acontece com S? (b) Adicionamos 4 a cada um dos inteiros. O que acontece com S? E com D? (c) Multiplicamos cada inteiro por 2. O que acontece com S? E com D? E com P? (d) Multiplicamos um dos inteiros por 5 e o outro por 3. O que acontece com P? Respostas propostas. ˜ varia. (i) Nao (ii) Aumenta de 5. (iii) Diminui de 8. (iv) Dobra. (v) Fica multiplicada por 15. (vi) Triplica. (vii) Fica multiplicada por 4. (viii) Aumenta de 8. ˜ 35 anos. Daqui a quantos anos a idade da mae ˜ sera´ o triplo 6. Um filho tem 11 anos e sua mae da idade do filho. 7. A idade de duas pessoas somam 120 anos. Subtraindo-se 10 anos da idade da mais velha e acrescentando-os a` da mais moc¸a, as idades tornam-se iguais. Qual a idade de cada uma? ´ ˜ custam juntos R$ 1.500,00. Comprando apenas o radio ´ 8. Um radio e uma televisao me sobraria ˜ precisava ter mais R$ 300,00 do que possuo. Quanto R$ 200,00mas para adquirir a televisao ´ ˜ e quanto possuo? custou o radio, a televisao ` 8 horas, parte de A para B, um trem com velocidade 9. Duas cidades A e B distam 200 km. As de 30 km por hora e, duas horas depois, parte de B para A um outro trem com velocidade de 40 ˆ km por hora. A que distancia de A, dar-se-a´ o encontro dos trens? ˜ 10. Determine o valor de a ∈ Z na equac¸ao 2(a − (2 − a) + (1 − 2a)(2 − 3(5 − 2))) = 3a − (a − 2(a − 3(a − 1))). ˜ tais que abc = 0 entao ˜ ou a = 0 ou 11. Use o Lema 2.2.1 para mostrar que se a, b, c ∈ Z sao ´ J. Delgado - S. Firmo - P. Nobrega

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Exerc´ıcios

b = 0 ou c = 0. ˜ inteiras das equac¸oes: ˜ 12. Determine todas as soluc¸oes (i) (a + 2)(2 − a)(a − 2(a − 2)) = 0, (ii) (a − 2)(3 + b)ab = 0, (iii) (a − 1)(3 + b)(a − b) = 0, (iv) ab + 3a − 2b = 6, (v) |a| = 1, (vi) |a − 2| = 3, (vii) |2 − a| · |b + 3| = 0, (ix) |a| + a = 0. ˜ para determinar todas as soluc¸oes ˜ inteiras das 13. Use a lei de cancelamento da multiplicac¸ao ˜ equac¸oes: (i) 2a = 2,

(ii) 2a = a,

(iii) ab = b.

´ ˜ e´ essencial. 14. Mostre que a hipotese, a 6= 0 na lei de cancelamento para a multiplicac¸ao, ˜ soma podemos concluir que (a − b) + c = a − (b + c)? 15. Da associatividade da operac¸ao Justifique sua resposta. ˜ 16. Mostre que o Lema 2.2.1 usado para demonstrar a lei do cancelamento para a multiplicac¸ao e´ de fato equivalente a tal lei, i.e., mostre que a lei implica o lema e que o lema implica a lei. ´ esta ultima ´ ja´ fizemos. Alias, parte nos ´ 17. Sejam a, b ∈ Z. Mostre que |a| = |b| se, e somente se, a = b ou a = −b. 18. Considere dois inteiros iguais a e b. ˜ que: Temos entao a = b =⇒ a2 = ab =⇒ a2 − b2 = ab − b2 =⇒ (a − b)(a + b) = (a − b)b. ˜ obtemos a + b = b. agora tomando a = 1 = Usando a lei do cancelamento para a multiplicac¸ao, b conclu´ımos que 2 = 1. Onde esta´ o erro?

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Exerc´ıcios

ˆ 2.3 Potencias Naturais de Numeros ´ Inteiros ˜ Definic¸ao: • a0 = 1 para todo a ∈ Z∗ • ak = a . . · a} para todo a ∈ Z e k ∈ N∗ . | · .{z k vezes

Nesse contexto temos: a1 = a , a2 = a · a , a3 = a · a · a = a2 · a , e assim por diante. ˜ acima, nos ´ dizemos que an e´ uma potencia ˆ Na definic¸ao tendo como base o inteiro a e como expoente o natural n. ˆ Propriedades das potencias. Dados a, b ∈ Z∗ e m, n ∈ N temos: 1. am+n = am · an 2. (a · b)n = an · bn 3. (an )m = an·m

˜ a, b ∈ Z∗ ao inves ´ da condic¸ao ˜ a, b ∈ Z ? Ela serve Voceˆ entendeu o porque da condic¸ao ˆ ˜ foi definida. Uma outra forma de enunciar a primeira apenas para evitar a potencia 00 que nao regra, poderia ser, por exemplo: ˜ definidos. Entao ˜ am+n = am · an . Sejam a ∈ Z e m, n ∈ N tais que am+n , am e an estao

Exerc´ıcios 1. Sejam a, b ∈ Z. Mostre que: (i) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 , (ii) (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 , (iii) (a + b)(a − b) = a2 − b2 , (iv) (a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 . ´ J. Delgado - S. Firmo - P. Nobrega

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Exerc´ıcios

2. Use o desenvolvimento de (a + b)3 para concluir que (a − b)3 = a3 − 3a2 b + 3ab2 − b3 . 3. Diga se e´ falso ou verdadeiro e justifique sua resposta: (a) 2k+1 + 6 = 2(3 + 2k ) para todo k ∈ N, (b) 6n+1 − 6n = 2n · 3n+1 + 2n+1 · 3n para todo n ∈ N, (c) 2n + 10m = 2n (1 + 10m−n · 5n ) para todo m, n ∈ N com m ≥ n. 4. Seja a ∈ Z. Mostre que a2 = 1 se, e somente se a = 1 ou a = −1. ˜ Temos que a2 = 1 ⇐⇒ a2 − 1 = 0 ⇐⇒ (a − 1)(a + 1) = 0. Agora, usando o Demonstrac¸ao. Lema 2.2.1 obtemos (a − 1)(a + 1) = 0 ⇐⇒ a + 1 = 0 ou a − 1 = 0 ⇐⇒ a = −1 ou a = 1.

C.Q.D.

˜ a = 0. 5. Use o Lema 2.2.1 para mostrar que se a2 = 0, a ∈ Z, entao ˜ a = 0. 6. Use uma das leis de cancelamento para demonstrar que se a2 = 0 com a ∈ Z entao ´ ˜ abaixo fazem sentido em Z. 7. Determine os valores da variavel n para os quais as expressoes (a) 2n , (b) (−5)n−2 , (c) 2n−3 + (2 + n)n+1 , (d) (2 + n)2+n , (e) 2n−1 , 2

(f) 32(n−4) · 53n−n . ˜ inteiras das equac¸oes: ˜ 8. Determine as soluc¸oes (a) (a − 1)2 = 0, (b) (a − 2)2 = 1, (c) a2 − b2 = 0, (d) a2 − a + 6 = 0, (e) a2 (b + 1) = a(b + 1), (f) (a − 1)3 = a(1 − a)2 . ´ J. Delgado - S. Firmo - P. Nobrega

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ˆ 2.4 O Binomio de Newton

Os Inteiros

(g) a4 − 16 = 0. ˜ que a = b + c. Multiplicando ambos os 9. Sejam a, b ∈ Z e coloquemos c = a − b. Temos entao membros por a − b temos: (a − b)a = (a − b)(b + c) =⇒ a2 − ab = ab + ac − b2 − bc =⇒ a2 − ab − ac = ab − b2 − bc =⇒ a(a − b − c) = b(a − b − c). ˜ conclu´ımos que a = b. Agora, pela lei do cancelamento para a multiplicac¸ao ˆ o que acha disto? E voce,

ˆ 2.4 O Binomio de Newton Muitas vezes temos necessidade de considerar somas com um grande numero de parcelas, ´ ou somas com um numero n de termos, onde n e´ um inteiro positivo qualquer. Por exemplo, ´ a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7 + a8 + a9 + a10 , b1 + b2 + . . . + b7 , b1 + . . . + b8 + b9 , c1 + . . . + cn ,

onde n ∈ Z+ ,

a0 + a1 + . . . + ak ,

onde k ∈ N .

˜ que facilitara´ a manipulac¸ao ˜ destas somas. Fixaremos agora uma notac¸ao Sejam n ∈ Z+ e a1 , a2 , . . . , an ∈ Z. Escrevemos n X

ai

ˆ ´ (le-se somatorio de ai variando i de 1 ate´ n)

i=1

para indicar a soma a1 + a2 + . . . + an . De forma similar, escrevemos: n+1 X

ai = a0 + a1 + . . . + an+1 ,

onde

n ∈ Z+ ,

i=0

k X j=2 m+2 X

bj = b2 + . . . + bk ,

onde

k ∈ {2, 3, 4, . . .},

ck = c−4 + c−3 + . . . + cm + cm+1 + cm+2 ,

onde

m ∈ Z+ ,

k=−4 ´ J. Delgado - S. Firmo - P. Nobrega

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ˆ 2.4 O Binomio de Newton

Os Inteiros p X

a2n = a0 + a2 + a4 + . . . + a2(p−1) + a2p ,

onde

p ∈ Z+ .

n=0

Note que cada uma das quatro ultimas somas possui um numero m´ınimo de termos e um ´ ´ ˜ confundir com maximo) ´ numero total (nao de termos: a primeira delas possui no m´ınimo 3 ´ termos e um total de n + 2 termos, a segunda possui um m´ınimo de 1 termo e um total de k − 1 termos, a terceira possui um m´ınimo de 8 termos e um total de ... ˜ Atenc¸ao!

˜ as ` ultimas Ainda com relac¸ao quatro somas, e´ importante voceˆ perceber que, na ´

˜ de suas parcelas depende de n mas nao ˜ de i, na segunda primeira delas, o resultado da adic¸ao ˜ de j, na terceira o resultado depende de m mas nao ˜ de k, e o resultado depende de k mas nao ˜ de n. na quarta o resultado depende de p e nao Lema 2.4.1 Para quaisquer a, b ∈ Z∗ e n ∈ Z+ , vale a seguinte identidade: an − bn = (a − b)

n−1 X

an−1−i · bi .

i=0

˜ ˜ indicadas no segundo memDemonstrac¸ao. Para demonstrar o lema efetuamos as operac¸oes bro da identidade com o objetivo de obter o primeiro membro. Temos: n−1 X

an−1−i · bi = an−1 b0 + an−2 b1 + an−3 b2 + . . . + a2 bn−3 + a1 bn−2 + a0 bn−1 .

i=0

˜ Multiplicando ambos os membros desta identidade por a − b e efetuando as operac¸oes: ! ! n−1 n−1 n−1 X X X (a − b) an−1−i · bi = a · an−1−i · bi − b · an−1−i · bi i=0

i=0 n 0

= (a b + a

i=0 n−1 1

b +a

n−2 2

b + . . . + a3 bn−3 + a2 bn−2 + a1 bn−1 )

−(an−1 b1 + an−2 b2 + an−3 b3 + . . . + a2 bn−2 + a1 bn−1 + a0 bn ) = an b0 − a0 bn = an − bn , ˜ esta´ terminada. C.Q.D. e a demonstrac¸ao ˆ Teorema (do binomio de Newton). Dados a, b ∈ Z∗ e n ∈ Z+ temos: n

(a + b) =

n   X n k=0

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k

ak bn−k ,

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Exerc´ıcios

  n ˜ de n elementos k a` k. onde e´ o numero de combinac¸oes ´ k ´ ˜ de n elementos k a` k mas, voceˆ pode Veremos mais tarde uma formula para a combinac¸ao concluir com facilidade que: ´ da colec¸ao ˜ com zero elementos, 1. combinar n elementos 0 a` 0 so´ podemos faze-lo atraves ´ da colec¸ao ˜ vazia, e entao ˜ isto e,   n = 1, 0 ˜ 2. podemos combinar n elementos 1 a` 1 de n maneiras diferentes, e entao   n = n, 1 ˜ 3. podemos combinar n elementos n a` n de uma unica maneira, e entao ´   n = 1, n 4. podemos combinar n elementos n − 1 a` n − 1 de n maneiras diferentes, para isto basta ver ˜ com n − 1 elementos e´ constru´ıda retirando um elemento da colec¸ao ˜ que uma combinac¸ao ˜ com n elementos, e entao 

 n = n. n−1

Por enquanto, vamos nos contentar com isso.

Exerc´ıcios ˆ as expressoes ˜ escritas abaixo: 1. Quantas parcelas tem (a) a1 + a2 + . . . + an , onde n ∈ Z+ , (b) am + am+1 + . . . + am+s , onde m ∈ Z e s ∈ Z+ , (c)

n−1 X

ai+1 , onde n − 3 ∈ Z+ ,

i=0

(d) am−1 + am + . . . + am+s , onde m ∈ Z e s ∈ Z+ . ˜ 2. Qual o numero m´ınimo de parcelas que podera´ ocorrer em cada uma das expressoes do ´ exerc´ıcio anterior? ´ J. Delgado - S. Firmo - P. Nobrega

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Exerc´ıcios

˜ abaixo sem usar o s´ımbolo de somatorio. ´ 3. Reescreva as expressoes n X (a) aj + 3, onde n ∈ N, j=0

(b)

2n X

(−1)i · ai+1 , onde n ∈ N,

i=0 n−1 X

(c)

δk+2 , onde n ∈ N.

k=−4

˜ 4. Qual o numero m´ınimo de parcelas que podera´ ocorrer em cada uma das expressoes do ´ exerc´ıcio anterior? 5. Sejam p ∈ Z e n ∈ Z+ . Mostre que:   n X n−k n n (−1) ak bn−k , (a) (a − b) = k k=0 n   X n i n (b) (1 + a) = a, i i=0 n X

(c)

ak =

ai+p ,

i=−p

k=0

(d)

n−p X

n X

a i = a0 +

n−1 X i=0

i=0

(e)

ai+1 ,

n  X i=0

n X

n i



= 2n ,

  n (f) (−1) = 0. k k=0 k

6. Mostre que n n n X X X (a) (ai + bi ) = ai + bi , (b)

i=0

i=0

n X

n X

i=0

(c)

n X

(c · ai ) = c

i=0

ai ,

i=0

(ai − ai−1 ) = an − a0 .

i=1

˜ abaixo sao ˜ falsas ou verdadeiras justificando suas respostas. 7. Diga se as afirmac¸oes ´ J. Delgado - S. Firmo - P. Nobrega

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(a)

100 X

2.5 A Reta Orientada e os Numeros ´ Inteiros

2

n =

n=0

(b)

n X

100 X

n2 ,

n=1

(1 + k) = 1 +

k=0

(c)

n X

k, onde n ∈ Z+ ,

k=0 n−1 X

(i + 1)4 =

i=1

(d)

n X

n X

i4 , onde n ∈ Z+ ,

i=0

k2 =

k=1

n−s X

(j + s)2 .

j=1−s

8. Mostre que

  X n−1 n−1 X n k, (n − k) = n(n − 1) − = 2 k=1 k=1

para todo n ∈ {2, 3, 4, . . .}.     n n 9. Compare e . p n−p 10. Seja A um conjunto com n elementos (n ∈ N). Mostre que o numero de subconjuntos de A ´ ´ #P(A) = 2n . e´ 2n . Isto e, 11. Qual e´ o coeficiente de a2 x2 no desenvolvimento de (2x + a)4 ? 12. Qual e´ o coeficiente de x4 no desenvolvimento de (x + 3)5 ? 13. Qual e´ o coeficiente de ax3 no desenvolvimento de (a − x + 1)4 ? ˜ Desenvolva (a − x + 1)4 como ((a − x) + 1)4 . Indicac¸ao:

2.5 A Reta Orientada e os Numeros ´ Inteiros ˜ isto e, ´ fixemos um sentido de Considere uma reta e sobre ela fixemos uma orientac¸ao, percurso. ˜ graficas: ´ Representac¸oes ˜ reta sem orientac¸ao sentido de percurso fixado

−−−−−−−−−−→

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− → anterior com orientac¸ao ˜ fixada reta ←−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−reta −−anterior com orientac¸ao ˜ oposta

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2.5 A Reta Orientada e os Numeros ´ Inteiros

˜ (i.e. um sentido de percurso) sera´ dita uma Uma reta sobre a qual fixamos uma orientac¸ao reta orientada. Assim, uma reta orientada e´ constitu´ıda de dois ingredientes: da reta e da ˜ escolhida sobre ela. orientac¸ao ˆ pontinhos colocados a` direita e a` esquerda nas representac¸oes ˜ graficas ´ Os tres acima servem apenas para indicar que estamos representando graficamente uma parte da reta ou da reta ˆ ˜ esquecendo no entanto orientada. Daqui para frente vamos propositadamente esquece-los, nao que estamos representando graficamente uma parte da reta ou da reta orientada. Numa reta orientada podemos falar em pontos a` direita (resp. a` esquerda) de um ponto dado, da seguinte maneira. ˜ aqueles que podem Seja P um ponto de uma reta orientada. Os pontos a` direita de P sao ˜ ser atingidos a partir de P, seguindo o sentido de percurso fixado. Os pontos a` esquerda sao ` aqueles que podem ser atingidos a partir de P, seguindo o sentido de percurso oposto aquele fixado. pontos a` direita de P

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−◦−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→ P

reta orientada

pontos a` esquerda de P

´ Pois bem, fixemos em definitivo uma reta orientada r, um ponto arbitrario O sobre ela (chamado de origem) e um segmento de reta u (dito, unidade de comprimento). −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→ O

u

| {z }

r

(segmento de reta)

unidade de comprimento

Agora, vamos inserir os numeros inteiros na reta orientada, colocando o numero 0 (zero) na ´ ´ origem, os inteiros positivos a` direita da origem e os inteiros negativos a` esquerda da origem, como mostrado na figura a seguir. u

u

u

u

u

u

u

u

z }| { z }| {z }| {z }| {z }| {z }| {z }| { z }| { · · · · · · · · · −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−·−·−·−−−−−−−−−−−−−−−−→ −n −n + 1 −3 −2 −1 0 1 2 3 (n − 1) n r Isto e´ feito da seguinte maneira: ˜ colocados a` uma unidade da origem, 1 e −1 sao ˜ colocados a` 2 unidades da origem, 2 e −2 sao ˜ colocados a` 3 unidades da origem, 3 e −3 sao .. .. .. . . . ˜ colocados a` n unidades da origem, para cada n ∈ Z+ . n e −n sao ´ J. Delgado - S. Firmo - P. Nobrega

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2.5 A Reta Orientada e os Numeros ´ Inteiros

˜ a oriDiremos que n e −n foram colocados na reta orientada, simetricamente em relac¸ao ´ diremos que o numero ˜ a` direita de uma gem. Tambem 1 foi obtido da origem por translac¸ao ´ ˜ a` esquerda de uma unidade, que unidade, que o numero −1 foi obtido da origem por translac¸ao ´ ˜ a` direita de 2 unidade (ou de 1 por translac¸ao ˜ a` direita de 2 foi obtido da origem por translac¸ao ˜ a` esquerda de 2 unidade (ou de 1 por uma unidade), que −2 foi obtido da origem por translac¸ao ˜ de 3 unidades), e assim por diante. translac¸ao De forma mais geral, dados a ∈ Z e b ∈ Z+ diremos que ˜ a` direita de b 1. a + b (na reta orientada) foi obtido de a (na reta orientada) pela translac¸ao unidades, ou simplesmente, a + b foi obtido transladando a de b, ˜ a` esquerda de 2. a − b (na reta orientada) foi obtido de a (na reta orientada) pela translac¸ao b unidades, ou simplesmente, a − b foi obtido transladando a de −b.

˜ a` Assim, dados a, b ∈ Z entenderemos que a + b e´ obtido transladando a de b (translac¸ao ˜ nula se b = 0). direita se b e´ positivo, a` esquerda se b e´ negativo e translac¸ao Uma outra propriedade importante desta forma de inserir os inteiros na reta orientada, ou digamos assim, de mergulhar os inteiros na reta orientada, e´ a seguinte. ´ Dados dois pontos P,Q da reta orientada, existem no maximo um numero finito de inteiros ´ entre eles. Em particular, dado um ponto P da reta orientada, sempre existem inteiros a` direita de P e inteiros a` esquerda de P. Mais precisamente, i. dado um ponto P da reta orientada, existe n0 ∈ Z+ tal que n0 esta´ a` direita de P, P

−−−−−−−−−−−•−−−−−−−−−−−−◦−−−−−−−−−−→ n0 ∈ Z−

ii. dado um ponto P da reta orientada, existe n0 ∈ Z− tal que n0 esta´ a` esquerda de P. P

−−−−−−−−−−−◦−−−−−−−−−−−−•−−−−−−−−−−→ n0 ∈ Z−

Observe que em ambos os casos o inteiro n0 depende do ponto P considerado. ´ J. Delgado - S. Firmo - P. Nobrega

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Os Inteiros

Exerc´ıcios

Agora, seja A um subconjunto de Z. Diremos que A e´ limitado inferiormente (ou, cotado inferiormente) se existe um ponto P da reta orientada tal que todo elemento de A esta´ a` direita de P. Diremos que A e´ limitado superiormente (ou, cotado superiormente) se existe um ponto Q da reta orientada tal que todo elemento de A esta´ a` esquerda de P. Exemplos. a. O conjunto N e´ limitado inferiormente. Para ver isso, fixe um ponto P da reta, a` esquerda da origem. Neste caso, todo elemento de N esta´ a` direita de P, o que mostra que N e´ limitado inferiormente. ˜ e´ limitado superiormente, pois, ja´ vimos que dado um ponto Q das reta b. O conjunto Z+ nao orientada sempre existe um inteiro positivo a` sua direita. c. O conjunto Z− e´ limitado superiormente, pois, todo elemento de Z− esta´ a` esquerda da origem. ˜ e´ limitado inferiormente nem superiormente. Isto segue do fato que dado d. O conjunto Z nao um ponto P sempre existem inteiros a` direita e a` esquerda de P. ´ ˜ falaremos de uma outra propriedade de Z enquanto subconjunto da reta Na proxima sec¸ao orientada. Esta importante propriedade estara´ relacionada com o conceito de subconjuntos limitados inferiormente e superiormente.

Exerc´ıcios 1. Diga se e´ falso ou verdadeiro e justifique sua resposta. ˜ positivos e´ limitado inferiormente, (a) O conjunto dos inteiros nao ˜ negativos e´ limitado inferiormente. (b) O conjunto dos inteiros nao 2. Sejam A, B ⊂ Z. Mostre que ˜ limitados superiormente entao, ˜ A ∪ B e A ∩ B sao ˜ limitados superiormente. (a) Se A e B sao ˜ A ∩ B e´ limitado superior(b) Se A e´ limitado inferiormente e B e´ limitado superiormente entao, mente e inferiormente. 3. Diga se e´ falso ou verdadeiro e justifique sua resposta. (a) Entre dois pontos distintos da reta orientada existe pelo menos um numero inteiro, ´ ´ J. Delgado - S. Firmo - P. Nobrega

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˜ de Ordem 2.6 A Relac¸ao

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(b) Dado um ponto P da reta orientada existe um inteiro n0 ∈ Z+ tal que n0 − 5 esta´ a` direita de P, (c) Dado um ponto P da reta orientada existe um inteiro n0 ∈ Z+ tal que n0 +100 esta´ a` esquerda de P. 4. Seja P um ponto da reta orientada e M ∈ Z. Mostre que existe n0 ∈ Z+ tal que n0 − M esta´ a` direita de P. ˜ 5. Mostre que subconjuntos de conjuntos limitados superiormente (resp. inferiormente) sao limitados superiormente (resp. inferiormente). ˜ nos ´ definimos o que significa um subconjunto de Z ser limitado superiormente. 6. Nesta sec¸ao, ˜ Dizemos que um subconjunto nao ˜ vazio A ⊂ Z e´ limitado Colocamos agora uma nova definic¸ao: superiormente quando existe um numero inteiro N tal que todo elemento de A esta´ a` esquerda ´ de N. ˜ antiga e a nova sao ˜ de fato equivalentes, isto e, ´ mostre que todo subMostre que a definic¸ao ˜ vazio de Z que e´ limitado superiormente em relac¸ao ˜ a uma das definic¸oes ˜ tambem ´ conjunto nao ˜ a` outra. sera´ limitado superiormente em relac¸ao

˜ de Ordem (primeiro contato) 2.6 A Relac¸ao ´ representar o conjunto Z na reta orientada vamos utilizar a orientac¸ao ˜ fixada na reta Apos ˜ para introduzir em Z uma ordenac¸ao. ˜ a < b) quando a esta´ ˜ Definic¸ao. Sejam a, b ∈ Z. Diremos que a e´ menor que b (notac¸ao ˜ a` esquerda de b na reta orientada. Equivalentemente, diremos que a e´ maior que b (notac¸ao b > a) quando b esta´ a` direita de a. ˜ aqueles que sao ˜ maiores do que zero e os inteiros Neste contexto, os inteiros positivos sao ˜ aqueles que sao ˜ menores do que zero. negativos sao ˜ entre elementos de Z, introduzida pela definic¸ao ˜ acima, sera´ dita Esta forma de comparac¸ao ˜ de ordem. relac¸ao ˜ “ < ”ao definir a relac¸ao ˜ “ > ”nao ˜ introduzimos nada de novo, Observe que, definida a relac¸ao ˜ ser uma nova notac¸ao. ˜ Dizer que b > a e, ´ exatamente, dizer que a < b. a nao ˜ de ordem que acabamos de introduzir tem algumas propriedades fundamentais A relac¸ao ˆ ˜ que utilizaremos com muita frequ¨ encia, sem demonstrac¸ao. ´ J. Delgado - S. Firmo - P. Nobrega

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˜ de Ordem 2.6 A Relac¸ao

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˜ “ < ”. Propriedades da relac¸ao • Sejam a, b, c ∈ Z. ˜ a < c (transitividade), (1) se a < b e b < c entao ˜ a < b ou b < a (dois elementos distintos sao ˜ comparaveis), ´ (2) se a 6= b entao ˜ a + c < b + c, (3) se a < b entao ˜ ac < bc, (4) se a < b e c > 0 entao ˜ ac > bc. (5) se a < b e c < 0 entao ´ disso, segue das propriedades acima que • Alem (6) 0 < a < b =⇒ 0 < an < bn , quando n ∈ Z+ . De posse destas propriedades podemos demonstrar com facilidade os seguintes lemas que ˜ muito familiares. nos sao Lema 2.6.1. Dados a, b ∈ Z temos que (i) a, b > 0 =⇒ a · b > 0, (ii) a, b < 0 =⇒ a · b > 0. ˜ Suponhamos entao ˜ que a e b sao ˜ ambos positivos. Como b e´ positivo, multipliDemonstrac¸ao. cando ambos os membro da desigualdade a > 0 por b, obtemos a > 0 =⇒ a · b > 0 · b =⇒ a · b > 0, ˜ do caso (i) esta´ terminada. A demonstrac¸ao ˜ do caso (ii) e´ uma repetic¸ao ˜ da e a demonstrac¸ao ˜ do caso (i). demonstrac¸ao

C.Q.D.

ˆ sinais contrarios ´ ˜ Lema 2.6.2. Se a, b ∈ Z∗ tem (i.e. se um e´ positivo e o outro e´ negativo) entao a · b < 0. ˜ Para demonstrar este lema basta considerar o caso em que a > 0 e b < 0. Demonstrac¸ao. Admitamos pois este fato. Como b e´ positivo, multiplicando ambos os membros da desigualdade a < 0 por b, obtemos a < 0 =⇒ a · b < 0 · b =⇒ a · b < 0, ˜ esta´ terminada. e a demonstrac¸ao

C.Q.D.

´ enunciamos a rec´ıproca da afirmac¸ao ˜ do Lema 2.6.1. No lema seguinte, nos ´ J. Delgado - S. Firmo - P. Nobrega

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˜ de Ordem 2.6 A Relac¸ao

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˜ ou ambos sao ˜ positivos, ou ambos sao ˜ Lema 2.6.3 Sejam a, b ∈ Z tais que a · b > 0. Entao, negativos. ˜ Primeiramente observamos que se a · b > 0 entao ˜ a, b ∈ Z∗ pois se um deles Demonstrac¸ao. ´ sera´ nulo. Por outro lado, se a, b ∈ Z∗ e tem ˆ sinais contrarios ´ se anula, o produto a.b tambem ˜ o Lema 2.6.2 garante que a · b < 0. Agora, segue das duas afirmac¸oes ˜ acima que, ou a e entao, ˜ ambos positivos, ou a e b sao ˜ ambos negativos e a demonstrac¸ao ˜ esta´ terminada. b sao

C.Q.D.

˜ do Lema 2.6.2. Agora, demonstraremos a rec´ıproca da afirmac¸ao ˜ a e b tem ˆ sinais contrarios. ´ Lema 2.6.4 Sejam a, b ∈ Z tais que a · b < 0. Entao ˜ ˜ a, b ∈ Z∗ . Por outro lado, o Demonstrac¸ao. Novamente observamos que se a · b < 0 entao ˜ podem ter o mesmo sinal pois, neste caso ter´ıamos a · b > 0. Lema 2.6.3 nos diz que a e b nao ˜ a possibilidade de termos a e b com sinais contrarios, ´ So´ nos resta entao o que demonstra o resultado.

C.Q.D.

˜ abaixo enuncia os resultados descritos nos Lemas 2.6.1 a 2.6.4. A proposic¸ao ˜ 2.6.5 Dados a, b ∈ Z temos: Proposic¸ao ˆ sinais contrarios, ´ (i) a · b < 0 ⇐⇒ a e b tem ˆ o mesmo sinal. (ii) a · b > 0 ⇐⇒ a e b tem ˜ Este resultado tem papel importante no estudo de certos tipos de inequac¸oes. Vamos agora falar de uma nova e importante propriedade da qual dotamos o conjunto dos ˜ 2.5. Esta propriedade numeros inteiros ao inser´ı-lo na reta orientada, como descrito na sec¸ao ´ diz o seguinte: ˜ vazio de Z que e´ limitado inferiormente. Entao, ˜ existe um eleSeja A um subconjunto nao mento a0 ∈ A com a seguinte propriedade: todo elemento do conjunto A, distinto do elemento a0 , e´ maior do que a0 . O elemento a0 e´ dito o menor elemento (ou m´ınimo) do conjunto A e e´ denotado por min(A). Analogamente, ˜ vazio de Z que e´ limitado superiormente. Entao, ˜ existe um Seja A um subconjunto nao elemento b0 ∈ A com a seguinte propriedade: todo elemento do conjunto A, distinto do elemento b0 , e´ menor do que b0 . ´ J. Delgado - S. Firmo - P. Nobrega

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˜ de Ordem 2.6 A Relac¸ao

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´ O elemento b0 e´ dito o maior elemento (ou maximo) do conjunto A e e´ denotado por max(A). Exemplos. ˜ tem maior (a) O conjunto Z+ tem como menor elemento o numero 1. O conjunto Z+ nao ´ ˜ e´ limitado superiormente. elemento pois nao ˜ tem menor (b) O conjunto Z− tem como maior elemento o numero −1. O conjunto Z− nao ´ ˜ e´ limitado inferiormente. elemento pois nao ˜ tem menor elemento nem maior elemento. (c) O conjunto Z nao ˜ A propriedade descrita acima nos permite fazer a seguinte construc¸ao. Sejam A um subconjunto de Z e P um ponto da reta orientada. ˜ o conjunto de tais pontos , Adir , e´ nao ˜ Se o conjunto A tem pontos a` direita de P entao vazio e limitado inferiormente logo, podemos falar em min(Adir ). Tal elemento e´ dito o primeiro elemento de A a` direita de P. ˜ o conjunto de tais pontos , Aesq , e´ Se o conjunto A tem pontos a` esquerda de P entao ˜ vazio e limitado superiormente logo, podemos falar em max(Aesq ). Tal elemento e´ dito o nao primeiro elemento de A a` esquerda de P. Exemplos. 1. Considere o caso em que A = Z. Assim, dado um ponto P da reta orientada temos ˜ representa um elementos de A a` direita e a` esquerda de P. Se P e´ um ponto da reta que nao ˜ P esta´ entre dois inteiros consecutivos n0 e n0 + 1, onde o primeiro e´ o numero inteiro, entao ´ ´ ´ inteiro mais proximo de P pela esquerda e o segundo e´ o inteiro mais proximo de P pela direita. ´ importante lembrar que o inteiro n0 depende de P. E 2. O que fizemos no exemplo anterior pode ser feito com um subconjunto qualquer A ⊂ Z que tenha a seguinte propriedade: dado um ponto P da reta existem elementos de A a` direita e a` ˜ vazio e limitado inferiormente, similarmente esquerda de P. Neste caso, o conjunto Adir(P) e´ nao ˜ vazio e limitado superiormente. Consequentemente, Adir(P) e´ nao podemos falar no primeiro ¨ elemento de A a` direita de P e no primeiro elemento de A a` esquerda de P. Em particular, dado n ∈ Z podemos falar no primeiro elemento de A a` esquerda de n e no primeiro elemento de A a` direita de n. ˜ Antes de seguir adiante voceˆ deve tentar resolver alguns exerc´ıcios desta sec¸ao. ´ J. Delgado - S. Firmo - P. Nobrega

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˜ de Ordem 2.6 A Relac¸ao

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˜ ˜ de menor ou igual Combinando as relac¸oes de menor e de igual, definimos a relac¸ao ˜ ‘‘ ≤ ”) por: (notac¸ao a ≤ b se, e somente se a < b ou a = b. ˜ “ ≤ ”. Propriedades da relac¸ao • Sejam a, b, c ∈ Z. (1) a ≤ a, ˜ a = b, (2) se a ≤ b e b ≤ a entao ˜ a ≤ c (transitividade), (3) se a ≤ b e b ≤ c entao ˜ comparaveis), ´ (4) a ≤ b ou b ≤ a (dois elementos quaisquer sao ˜ a + c ≤ b + c,y (5) se a ≤ b entao ˜ ac ≤ bc, (6) se a ≤ b e c > 0 entao ˜ ac ≥ bc. (7) se a ≤ b e c < 0 entao ´ disso, segue das propriedades acima que • Alem (8) 0 < a ≤ b =⇒ 0 < an ≤ bn , quando n ∈ N. ˜ demonstrando o seguinte teorema. Terminaremos esta sec¸ao ˜ tais que a · b = 1 entao ˜ a = 1 = b ou entao ˜ a = −1 = b Teorema 2.6.6. Se a, b ∈ Z sao ˜ ˜ ou ambos sao ˜ positivos ou Demonstrac¸ao. Primeiramente observamos que se ab = 1 entao ˜ negativos. Assim, para resolver o problema e´ suficiente analisar dois casos. ambos sao • Caso 1. a, b ∈ Z+ . ˜ imediata que se a = 1 entao ˜ b = 1 e vice-versa. Resta agora Neste caso, e´ de observac¸ao ˜ maiores do que 1. Nesta condic¸ao ˜ podemos escrever analisar o que ocorre quando ambos sao a = 1 + n ; n ≥ 1 e b = 1 + m ; m ≥ 1. Segue da´ı que 1 = ab = (1 + n)(1 + m) = 1 + m + n + mn > 1, o que e´ absurdo. Logo, a = 1 = b. • Caso 2. a, b ∈ Z− . ˜ −a, −b ∈ Z+ e temos que Como ab = 1 e a, b ∈ Z− entao (−a)(−b) = ab = 1. Desta forma reduzimos o problema ao caso anterior e, consequentemente, podemos concluir ¨ ´ a = −1 = b. que −a = 1 = −b, isto e, ´ J. Delgado - S. Firmo - P. Nobrega

C.Q.D.

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Exerc´ıcios

˜ xy = 1 , analisada no universo dos numeros Este teorema nos diz que a equac¸ao inteiros, ´ ˜ ˜ x = 1 e y = 1 e a soluc¸ao ˜ x = −1 e y = −1. apresenta apenas duas soluc¸oes: a soluc¸ao ˜ analisada no universo dos numeros Veremos mais tarde que a mesma equac¸ao, racionais, tera´ ´ ˜ uma infinidade de soluc¸oes. ˜ n = 0 ou a = 1. ´ Corolario 2.6.7. Sejam a ∈ Z+ e n ∈ N tais que an = 1. Entao ˜ Se n = 0 nada resta a demonstrar. Se n = 1 entao ˜ temos a1 = 1, isto e, ´ a = 1, Demonstrac¸ao. ´ ´ para n = 1. Suponhamos agora que n ≥ 2. mostrando que o corolario e´ verdadeiro tambem ˜ an = 1 toma a forma a · b = 1. Neste caso, an pode ser escrito na forma an = a · b e a equac¸ao ˜ esta´ terminada. C.Q.D. Como a, b ∈ N segue do Teorema 2.6.6 que a = 1 e a demonstrac¸ao ´ ˆ Este corolario descreve uma propriedade importante das potencias naturais de numeros ´ ˜ foi citada na secc¸ao ˜ 2.3. inteiros que nao ˜ de ordem podemos reescrever a definic¸ao ˜ de valor absoluto de um De pose da relac¸ao numero inteiro a da seguinte forma: ´   a, |a| = −a ,

se a ≥ 0 se a < 0 .

Exerc´ıcios 1. Diga se e´ falso ou verdadeiro e justifique sua resposta. Sejam x, y, z ∈ Z tais que x ≥ y > 0 e z 6= 0. •x+z>y+z

•z≥z+1

• xz2 ≥ yz2

• xz4 > 0

• xy + x ≥ y • z2 + xy > y2 .

2. Sejam a, b ∈ Z. Mostre que (a) (a + b)2 = a2 + b2 se, e somente se a = 0 ou b = 0 , ˆ o mesmo sinal, (b) (a + b)2 > a2 + b2 se, e somente se a e b tem ˆ sinais contrarios. ´ (c) (a + b)2 < a2 + b2 se, e somente se a e b tem 3. Considere os conjuntos: (a) A = {2n ; n ∈ Z e n ≥ 0} ´ J. Delgado - S. Firmo - P. Nobrega

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Exerc´ıcios

(b) B = {4n ; n ∈ Z e n ≥ 0} (c) C = {4n + 3 ; n ∈ Z e n ≥ 0} (d) D = {3n + 1 ; n ∈ Z e n ≥ 0} (e) E = {2n (−1)n ; n ∈ Z e n ≥ 0} Descreva A ∩ B, C ∩ D, A ∩ E, A ∪ E e C ∪ D. ˜ abaixo, determine o subconjunto dos numeros 4. Para cada uma das inequac¸oes inteiros que a ´ satisfaz. (a) x + 2 < 2x + 1, (b) x − (2 − x) > 2x + 1, (c) x − 2(x − 1) > 2 − (1 + x). ˜ 2x = 1 nao ˜ tem soluc¸ao ˜ em Z. 5. Mostre que a equac¸ao ˜ inteiras das inequac¸oes ˜ 6. Determine as soluc¸oes (a) x2 − 9 > 0, (b) x2 ≤ 3, (c) 2x < 1. 7. Sejam a, m, n ∈ Z+ com a > 1. Mostre que am < an quando m < n. ˜ Use o binomio ˆ 8. Mostre que 2n > n para todo n ∈ N. • Sugestao. de Newton. ˜ tais que ab = −1 entao ˜ a = 1 = −b 9. Use o Teorema 2.6.6 para concluir que se a, b ∈ Z sao ou a = −1 = −b. ˜ inteiras da equac¸ao ˜ |ab| = 1. 10. Determine todas as soluc¸oes ˜ da equac¸ao ˜ abc = 1. 11. Sejam a, b, c ∈ Z. Determine todas as soluc¸oes ´ ´ 12. Ate´ que ponto a hipotese a ∈ Z+ no Corolario 2.6.7 e´ essencial ? ˜ da equac¸ao ˜ an = 1. 13. Sejam a ∈ Z e n ∈ N. Determine as soluc¸oes ˜ 14. Sejam a, b ∈ N tais que a + b = 0. Mostre que a = 0 = b. • Sugestao. Fac¸a uma ˜ por absurdo, supondo inicialmente que a > 0. demonstrac¸ao 15. Sejam a, b ∈ Z tais que |a| + |b| = 0. Mostre que a = 0 = b. ´ J. Delgado - S. Firmo - P. Nobrega

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˜ de limite 2.7 Uma Primeira Noc¸ao

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˜ p = q. 16. Sejam p, q ∈ N e n ∈ N∗ . Mostre que se pn = qn entao ˜ Suponha que p > q, use o binomio ˆ Sugestao. de Newton e o exerc´ıcio anterior. 17. Sejam a1 , a2 , . . . , an ∈ Z tais que a1 · a2 · . . . · an = 0. Mostre que existe um inteiro k com 1 ≤ k ≤ n tal que ak = 0. 18. Sejam a1 , a2 , . . . , an ∈ N tais que a1 ·a2 ·. . .·an = 1. Mostre que ai = 1 para todo i ∈ {1, . . . , n}. 19. Sejam a1 , a2 , . . . , an ∈ N tais que

n X

ai = 0. Mostre que ai = 0 para todo i ∈ {1, . . . , n}.

i=1

˜ vazio de Z+ (resp. de Z− ) possui um menor elemento 20. Mostre que todo subconjunto nao (resp. um maior elemento). 21. Mostre que |a2 | = |a|2 = a2 para todo a ∈ Z. 22. Sejam a1 , a2 , . . . , an ∈ Z tais que

n X

|ai | = 0. Mostre que ai = 0 para todo i ∈ {1, . . . , n}.

i=1

˜ de limite 2.7 Uma Primeira Noc¸ao ´ muito interessante e sutil que segue das noc¸oes ˜ que acabamos de introduzir, ou Uma ideia ˜ dos inteiros na reta orientada, e´ a seguinte: mais especificamente, da representac¸ao ˜ 1, 2, 3, . . . constitu´ıda de todos os inteiros positivos, colocados em Considere a sucessao ordem crescente, e seja P um ponto da reta orientada. Vimos, como propriedade da nossa ˜ que existe n0 ∈ Z+ tal que n0 esta´ a` direita de P. Consequentemente, representac¸ao, todo ¨ inteiro n > n0 estara´ a` direita de P. ˜ 1, 2, 3, . . . tem a seguinte propriedade: Ou seja, a sucessao Dado um ponto P da reta orientada, existe n0 ∈ Z+ tal que, n > n0 =⇒ n esta´ a` direita de P. Nos referiremos a esta propriedade dizendo que, ˜ 1, 2, 3, . . . , n, . . . tende a` infinito, a sucessao ˆ ou escrevendo, n −→ ∞ (le-se, n tende a` infinito). ˜ b, 2b, 3b, . . . , nb, . . . Agora, seja b ∈ Z+ e considere a sucessao ´ J. Delgado - S. Firmo - P. Nobrega

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˜ de limite 2.7 Uma Primeira Noc¸ao

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˜ tem uma propriedade semelhante aquela ` ˜ Vamos mostrar que esta sucessao da sucessao 1, 2, 3, . . . , n, . . .: Dado um ponto P da reta orientada, existe n0 ∈ Z+ tal que n > n0 =⇒ nb esta´ a` direita de P. Fixemos P na reta orientada. Existe n0 ∈ Z+ a` direita de P. Como b ≥ 1, resulta: n > n0 =⇒ nb > n0 b =⇒ nb > n0 b > n0 =⇒ nb esta´ a` direita de P, demonstrando o que pretend´ıamos. Nos referimos a este fato escrevendo: nb −→ ∞ quando n −→ ∞, ou lim nb = ∞. n→∞

˜ 20 , 21 , 22 , 23 , . . . , 2n , . . . Consideremos agora a sucessao ˜ cujo termo geral e´ 2n , onde n ∈ N. Vejamos Dito de outra forma, consideramos a sucessao ˜ tambem ´ verifica que esta sucessao lim 2n = ∞.

n→∞

Para isto, devemos mostrar que: dado um ponto P da reta orientada, existe n0 ∈ Z+ tal que, n > n0 =⇒ 2n esta´ a` direita de P. Antes de mostrar esta propriedade, vamos mostrar que 2n > n para todo n ∈ Z+ . ˆ Utilizando o binomio de Newton, obtemos: n

2

n

n   X n

i

n−i

n   X n

1 ·1 = = (1 + 1) = i i i=0       i=0  n n n n = + + ... + + n−1 n 0 1 n n ≥ + = 1 + n > n. 0 1

˜ Fixemos agora um ponto P na reta orientada, e seja n0 ∈ Z+ a` direita de P. Entao: n > n0 =⇒ 2n > 2n0 =⇒ 2n > 2n0 > n0 =⇒ 2n esta´ a` direita de P, demonstrando o que pretend´ıamos. ˜ dado um ponto P qualquer da reta, precisamos achar n0 satisfazendo Neste tipo de questao, ˜ Ate´ agora, dado o ponto P, nos parece que determinar o inteiro a uma determinada condic¸ao. ´ J. Delgado - S. Firmo - P. Nobrega

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˜ de limite 2.7 Uma Primeira Noc¸ao

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´ ´ a` direita de P, o dif´ıcil e´ mostrar que n0 vai servir para o que queremos. n0 e´ facil, basta toma-lo ˜ triviais neste tipo de questao: ˜ Engano! Regra geral, temos dois problemas nao determinar ˜ e depois mostrar que de fato, ele um inteiro que tenha chances reais de satisfazer a condic¸ao, ˜ A dificuldade vem do fato que o inteiro n0 depende de P e, evidentemente, satisfaz a condic¸ao. ˜ que estamos estudando. da sucessao ´ ˜ fac¸amos mais um exemplo. Antes de estabelecer a proxima definic¸ao, ˜ de termo geral 2n+c, onde n ∈ Z+ . Mostraremos Fixemos c ∈ Z e consideremos a sucessao que lim (2n + c) = ∞.

n→∞

Para isso devemos mostrar que: Dado um ponto P da reta orientada, existe n0 ∈ Z+ tal que ` n > n0 =⇒ 2n + c esta´ direita de P. Seja dado um ponto P da reta orientada e passemos a determinar o n0 . Suponhamos, por ˜ um instante, que descobrimos um inteiro n0 tal que 2n0 esta´ a` direita de P. Nesta situac¸ao temos: n > n0 =⇒ 2n > 2n0 =⇒ 2n + c > 2n0 + c =⇒ 2n + c esta´ a` direita de P. O problema agora e´ determinar n0 ∈ Z+ tal que 2n0 + c esta´ a` direita de P. Uma maneira de fazer isto e´ a seguinte: Seja m0 um inteiro a` direita de P e consideremos um inteiro positivo n0 ´ n0 + c > m0 ). Como n0 ≥ 1 temos: tal que n0 > m0 − c (isto e, 2n0 > n0 =⇒ 2n0 + c > n0 + c > m0 =⇒ 2n0 + c esta´ a` direita de P. ˜ do inteiro n0 nem sempre e´ trivial. Este exemplo serve para mostrar que a determinac¸ao ˜ de entender a seguinte definic¸ao: ˜ Estamos agora em condic¸ao ˜ de numeros ˜ Seja an , com n ∈ Z+ , o termo geral de uma sucessao Definic¸ao. inteiros. Diremos ´ que o limite de an quando n tende a ∞ e escrevemos lim an = ∞, quando dado um ponto P n→∞

da reta orientada, existe n0 ∈ Z+ tal que n > n0 =⇒ an esta´ a` direita de P.

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Exerc´ıcios

Aparentemente, algo menos exigente seria: ˜ de numeros ˜ Definic¸ao. Seja an , com n ∈ Z+ , o termo geral de uma sucessao inteiros. Dizemos ´ que lim an = ∞ quando: dado K ∈ Z+ , existe n0 ∈ Z+ tal que n > n0 =⇒ an > K. n→∞

˜ sao ˜ equivalentes. Isto vem do fato que dado um ponto P da De fato, estas duas definic¸oes reta orientada, sempre existe um inteiro positivo depois dele. ˜ Daqui para frente estaremos utilizando apenas esta segunda definic¸ao ˜ Notac¸ao. No seguinte, designaremos por {an }, ou {an }n∈Z+ , ou {an }∞ n=1 , ou {an }n≥1 , ˜ de inteiros a1 , a2 , . . . , an . . .. a sucessao ˜ a0 , a1 , . . . , an , . . . se designa por {an }n∈N , ou {an }∞ Similarmente, a sucessao n=0 , ou ainda {an }n≥0 .

Exerc´ıcios 1. Mostre que ´ 0! = 1). (a) lim n! = ∞, onde n! = 1 · 2 · . . . · n para todo n ∈ Z+ (define-se tambem n→∞

(b) lim n3 = ∞. n→∞

(c) lim |n| = ∞. n→∞

(d) lim nn = ∞. n→∞

(e) lim (3n + n2 ) = ∞. n→∞

˜ de inteiros que tende a ∞ quando n −→ ∞. Mostre que existe 2. Seja {an }n∈Z+ uma sucessao k0 ∈ Z+ tal que ak ≥ 1 para todo k > k0 . ˜ 3. Considere sucessoes de numeros inteiros {an }n≥1 e {nn }n≥1 tais que, an ≤ bn para todo ´ ˜ lim bn = ∞. Interprete este fato na reta orientada. n ∈ Z+ . Mostre que, se lim an = ∞ entao n→∞

n→∞

˜ de termo geral an = (−1)n onde n ∈ Z+ . Podemos garantir que 4. Considere a sucessao lim an = ∞?

n→∞

´ dado K ∈ Z+ , existe n0 ∈ Z+ tal 5. Seja a ∈ Z tal que a > 1. Mostre que lim an = ∞, isto e, n→∞

´ que an > K para todo n > n0 . Mostre que a hipotese a > 1 e´ essencial. ´ J. Delgado - S. Firmo - P. Nobrega

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Exerc´ıcios

˜ Compare an com 2n . Sugestao: ´ mostre que dado K ∈ Z+ existe n0 ∈ Z+ tal que n > K para 6. Mostre que lim n = ∞. Isto e, n→∞

todo n > n0 . ˜ de numeros 7. Considere sucessoes inteiros de termo geral bn e cn com n ∈ Z+ . Mostre que, ´ ˜ lim (bn + cn ) = ∞ e lim bn cn = ∞. se lim bn = ∞ e lim cn = ∞ entao n→∞

n→∞

n→∞

n→∞

8. Seja k ∈ Z. Mostre que lim (k − n)2 = ∞. n→∞

9. Mostre que lim (a + n)k = ∞ onde a ∈ Z e k ∈ Z+ . n→∞

´ dado K ∈ Z+ , existe n0 ∈ Z+ tal 10. Seja a ∈ Z tal que a ≥ 1. Mostre que lim an = ∞, isto e, n→∞

que an > K para todo n > n0 . ˜ ´ fac¸a uma definic¸ao ˜ ade11. Inspirado nas ultimas definic¸oes e exerc´ıcios deˆ sentido (isto e, ´ quada) aos itens abaixo: • lim an = −∞, n→∞

• lim an = ∞, n→−∞

• lim an = −∞. n→−∞

´ disso, calcule lim n, lim n2 e lim (n2 − n). Alem n→−∞

n→−∞

n→∞

˜ 12. Sejam {an }n∈Z e {bn }n∈Z sucessoes tais que lim an = ∞ e lim bn = −∞. Mostre que n→∞

n→∞

lim an bn = −∞.

n→∞

O que podemos dizer de lim (an − bn )? n→∞

˜ 13. Sejam {an }n∈Z e {bn }n∈Z sucessoes tais que lim an = ∞ e1 ≤ bn ≤ K para todo n ∈ Z+ , n→∞

onde K ∈ Z+ e´ um inteiro fixo. Mostre que lim an bn = ∞. n→∞

˜ de inteiros. Mostre que, se lim an = ∞, entao: ˜ 14. Seja {an }n∈Z+ uma sucessao n→∞

(a) lim c · an = ∞ quando c > 0, n→∞

(b) lim c · an = −∞ quando c < 0 n→∞

´Impares 2.8 Numeros ´ Pares, Numeros ´ ˜ os numeros ˜ os ˜ Numeros Definic¸ao. pares sao da forma 2n, onde n ∈ Z. Numeros ´ ´ ´ ´ımpares sao numeros da forma 2n + 1 onde n ∈ Z. ´ ´ J. Delgado - S. Firmo - P. Nobrega

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2.9 Multiplo ´ e Divisor

Exerc´ıcios 1. Mostre que: (a) 6 + 2(2n − 1) e´ par, qualquer que seja n ∈ Z. (b) 2(n + 1) + 3 e´ ´ımpar para cada n ∈ Z. (c) a soma de dois numeros pares e´ um numero par. ´ ´ (d) a soma de dois numeros par. ´ ´ımpares e´ um numero ´ (e) a ∈ Z e´ par (resp. ´ımpar) se, e somente se, o algarismo das unidades de a e´ par (resp. ´ımpar). 2. Diga se e´ falso ou verdadeiro e justifique sua resposta. ˆ (a) Qualquer potencia natural de 7 e´ um numero ´ ´ımpar, ˆ (b) Qualquer potencia natural de um numero par e´ um numero par. ´ ´ 3. Sejam a ∈ Z e k ∈ Z+ . Mostre que ˜ ak e´ par, (a) se a e´ par entao ˜ ak e´ ´ımpar. (b) se a e´ ´ımpar entao 4. Sejam a ∈ Z− e k ∈ N. Mostre que an e´ positivo se n e´ par e negativo se n e´ ´ımpar. 5. Sejam a, b ∈ Z tais que a e´ par e b e´ ´ımpar. Mostre que a · b e´ par. ˆ 6. Quais algarismos da unidade podem ocorrer em potencias naturais do numero 8? Idem para ´ o numero 3. Idem para o numero 21. Idem para o numero 1010 + 2. ´ ´ ´ 7. Quais os algarismos da unidade dos numeros 12491 , 13592 , 71547 . ´

2.9 Multiplo ´ e Divisor ˜ com alguns conceitos extremamente importantes. Iniciamos esta sec¸ao ˜ Definic¸ao. Dizemos que b ∈ Z∗ divide a ∈ Z (ou que b e´ um divisor de a, ou que a e´ divis´ıvel ˆ por b) e escrevemos b | a (le-se b divide a), se existe k ∈ Z tal que a = k · b. Neste caso, k e´ a ˜ de a por b e e´ denotado por . dito o quociente da divisao b ´ que a e´ um multiplo Quando a = k · b diremos tambem inteiro de b. ´ ´ J. Delgado - S. Firmo - P. Nobrega

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2.9 Multiplo ´ e Divisor

a ˜ nulo, que b divide a e que o inteiro k e´ o quociente = k significa que b e´ nao b ˜ de a por b. da divisao a Quando b 6= 0, escrever a = k · b e´ equivalente a escrever = k. b ˜ divide a (escrevemos b 6 | a, por simplicidade) Note-se que, se a, b ∈ Z, dizer que b nao ˜ A notac¸ao

significa que, ou bem b = 0 ou bem a 6= k · b qualquer que seja k ∈ Z. ˜ podemos Cuidado! Por enquanto, conhecendo apenas o universo dos numeros inteiros, nao ´ a a ˜ sair por ai dizendo que sempre faz sentido. A notac¸ao so´ faz sentido quando a e´ um inteiro 2 2 a par (i.e. um multiplo de dois). Da mesma forma so´ faz sentido quando a e´ um multiplo de 3. ´ ´ 3 ´ exatamente isto o que e´ dito no paragrafo ´ E anterior: quando b 6= 0,

a faz sentido se, e somente se, a e´ multiplo de b. ´ b

´ de facil ´ verificac¸ao ˜ que para todo inteiro nao ˜ nulo b temos que E 0 = 0 ja´ que 0 = 0 · b b

e

b = 1 ja´ que b = 1 · b. b

´ disso, para todo inteiro a temos que Alem a =a 1

ja´ que a = 1 · a.

Dado b ∈ Z+ podemos ordenar os multiplos de b da seguinte forma: ´ . . . < −4b < −3b < −2b < −b < 0 < b < 2b < 3b < 4b < . . . ˜ que constru´ımos ao representar Z na reta orienIsto e´ feito multiplicando por b a ordenac¸ao tada: . . . < −4 < −3 < −2 < −1 < 0 < 1 < 2 < 3 < 4 < . . . ˜ dos multiplos ˜ de um resultado Esta ordenac¸ao de b tera´ papel importante na demonstrac¸ao ´ ˜ ou Algoritmo de Euclides. conhecido como Algoritmo da Divisao ˜ Propriedades da divisao. • Sejam a, b, c ∈ Z. ˜ c divide a, (1) se c divide b e b divide a entao ˜ c divide a + b e temos (2) se c divide a e b entao ´ J. Delgado - S. Firmo - P. Nobrega

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a+b a b = + , c c c ´ Instituto de Matematica - UFF

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Exerc´ıcios

−a a =− , c c ab a ˜ c divide ab e temos (4) se c divide a entao = ·b, c c a b a b ˜ < quando c > 0, e > quando c < 0. (5) se c divide a e b e se a < b entao c c c c ˜ c divide −a e temos (3) se c divide a entao

´ consequencia ˆ ´ das propriedades (2) e (3) acima que: (6) se c divide a e b entao ˜ c E facil a−b a b divide a − b e temos = − . c c c ˜ destes novos conceitos podemos demonstrar o lema abaixo que ja´ foi Com a introduc¸ao anteriormente enunciado. ˜ a = 0 ou b = 0. Lema 2.9.1. Sejam a, b ∈ Z. Se a · b = 0 entao ˜ Suponhamos que a e b sao ˜ nao ˜ nulos. Assim, sendo b 6= 0 podemos concluir Demonstrac¸ao. ˜ a · b = 0 e´ divis´ıvel por b. Efetuando esta divisao ˜ obtemos: que cada membro da equac¸ao a= ˜ nulo. o que contradiz o fato que a e´ nao

a·b 0 = =0 b b

C.Q.D.

˜ Na primeira vez que abordamos este lema (quando da lei de cancelamento para a multiplicac¸ao) ˜ ele parecia de dif´ıcil demonstrac¸ao. Agora, depois de estabelecido o conceito de divisibili˜ ficou extremamente simples. Isto da´ uma pequena amostra do valor dade, a demonstrac¸ao ˜ realmente importantes em matematica: ´ ´ das definic¸oes elas guardam em si uma ideia. ´ Finalizaremos este topico com os seguintes lema. ˜ 1 ≤ b ≤ a. Lema 2.9.2. Sejam a, b ∈ Z+ . Se b e´ um divisor de a entao ˜ Demonstrac¸ao. Como b ∈ Z+ segue que b ≥ 1. Por outro lado, como b divide a segue que a = kb onde k ∈ Z+ . Suponhamos, agora, que b > a. Multiplicando ambos os membros por k obtemos a = kb > ka ≥ a , concluindo da´ı que a > a, o que e´ um absurdo. Logo, b ≤ a.

C.Q.D.

˜ b ≥ a. Lema 2.9.3. Sejam a, b ∈ Z+ . Se b e´ um multiplo de a, entao ´ ˜ Demonstrac¸ao. Como b e´ multiplo de a seque que b = ka para algum k ∈ Z+ ja´ que a, b ∈ Z+ . ´ ˜ k ≥ 1 por a ∈ Z+ obtemos b = ka ≥ a, Agora, multiplicando ambos os membros da inequac¸ao ´ b ≥ a e a prova esta´ terminada. C.Q.D. isto e, ´ J. Delgado - S. Firmo - P. Nobrega

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2.10 Algoritmo de Euclides

Exerc´ıcios ˜ abaixo sao ˜ falsas ou verdadeiras e justifique suas respostas. 1. Diga se as afirmac¸oes (a) 10 e´ multiplo de -2, ´ (b) 2 e´ multiplo de 10, ´ (c) todo numero inteiro e´ multiplo de 1, ´ ´ (d) todo numero inteiro e´ multiplo de -1, ´ ´ (e) todo multiplo de 5 e´ ´ımpar, ´ (f) todo numero par e´ divis´ıvel por 2, ´ ˜ an e´ multiplo (g) se a e´ multiplo de 3 entao de 9 para todo n ≥ 2. ´ ´ ˜ os dois numeros? 2. A diferenc¸a de dois numeros inteiros e´ 288 e o seu quociente e´ 5. Quais sao ´ ´ ˜ decimal) e´ 0, e´ um 3. Mostre que todo inteiro cujo algarismo das unidades (da sua expressao numero par e divis´ıvel por 5. ´ ˜ a = b ou a = −b. 4. Sejam a, b ∈ Z. Mostre que se a divide b e b divide a entao 5. Mostre que b divide a se, e somente se, b divide −a. 6. Use o Lema 2.9.2 para mostrar o seguinte resultado. ˜ 1 ≤ b ≤ |a|. Sejam a ∈ Z∗ e b ∈ Z+ . Se b e´ divisor de a, entao 7. Sejam a, b ∈ Z e seja c ∈ Z+ tal que c | a e c | b. Prove que, para quaisquer n, m ∈ Z tem-se c | (na + mb).

2.10 Algoritmo de Euclides Dados a, b ∈ Z com b 6= 0 nem sempre b divide a, i.e. nem sempre a e´ multiplo de b. ´ No entanto, vale o seguinte resultado, conhecido como Algoritmo de Euclides ou Algoritmo da ˜ Divisao. ˆ Teorema (de existencia). Dados a, b ∈ Z com b > 0, existem q, r ∈ Z tais que a = qb + r e 0 ≤ r < b. ˜ chamados respectivamente, o quociente e o resto da divisao ˜ de a (dito Os inteiros q e r sao dividendo) por b (dito divisor). ´ J. Delgado - S. Firmo - P. Nobrega

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2.10 Algoritmo de Euclides

˜ deste teorema sera´ feita mais tarde. A demonstrac¸ao ˆ O teorema acima e´ um teorema que garante a existencia, no presente caso, de numeros ´ ˜ ´ inteiros satisfazendo a certas condic¸oes. Voceˆ sera´ apresentado a varios deles e como nem ´ vai se deparar com teoremas que garantem, posta a tudo que existe e´ unico, voceˆ tambem ´ ˆ existencia, a unicidade. Exemplos. • 10 = 3 · 3 + 1 ´ dividindo 10 por 3 obtivemos 3 como quociente e 1 (0 ≤ 1 < 3) como resto, isto e, • 17 = 0 · 20 + 17 ´ dividindo 17 por 20 obtivemos 0 como quociente e 17 (0 ≤ 17 < 20) como resto, isto e, • 170 = 56 · 3 + 2 ´ dividindo 170 por 3 obtivemos 56 como quociente e 2 (0 ≤ 2 < 3) como resto. isto e, Multiplicando a igualdade acima por −1 obtemos, • −170 = (−56) · 3 − 2 ´ dividindo −170 por 3 obtivemos −56 como quociente e −2 como resto. isto e, ˜ esta´ errada. Voceˆ apenas nao ˜ respeitou a Cuidado com esta ultima ´ frase! Ela nao ˜ imposta sobre o resto no algoritmo de Euclides. Para fazer a divisao ˜ segundo o alcondic¸ao goritmo, devemos escrever: −170 = (−56) · 3 − 2 = (−56) · 3 − 3 + 1 = (−56) · 3 − 1 · 3 + 1 = (−56 − 1) · 3 + 1 = (−57) · 3 + 1. Agora, podemos dizer, seguindo o algoritmo de Euclides, que dividindo −170 por 3 obtemos −57 como quociente e 1 como resto. Observe que dados a, b ∈ Z sempre podemos escrever que a = qb + r onde r = a − qb e q e´ um numero inteiro qualquer. ´ Exemplos. • 10 = 2 · 3 + 4 ´ dividindo 10 por 3 obtivemos 2 como quociente e 4 como resto (esta nao ˜ e´ a divisao ˜ do isto e, Euclides), • 23 = (−7) · 3 + 44 ´ dividindo 23 por 3 obtivemos −7 como quociente e 44 como resto (esta nao ˜ e´ a divisao ˜ do isto e, Euclides). ´ J. Delgado - S. Firmo - P. Nobrega

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2.10 Algoritmo de Euclides

˜ de inteiros ˜ Atenc¸ao! Daqui para frente sempre que falarmos em quociente e resto de divisao estaremos entendendo que se trata daqueles referidos no algoritmo de Euclides. Esta e´ uma ˜ que estaremos sempre respeitando. convenc¸ao ´ ˜ importante. Sabemos que fora Para terminar este topico falta ainda colocar uma questao ˜ feita acima, dados dois inteiros existem varias ´ da convenc¸ao maneiras de se obter quocientes e restos diferentes: 13 = 7 · 2 − 1

13 = 1 · 2 + 11

13 = 2 · 2 + 9

13 = 6 · 2 + 1

˜ os mesmos quoO que nos garante que adotando o algoritmo de Euclides, todos obterao ˜ de dois inteiros dados? Essencialmente, estamos questionando a ciente e resto, numa divisao unicidade do quociente e do resto no algoritmo de Euclides... ˜ ˜ Teorema (de unicidade). Nas condic¸oes do teorema anterior, o quociente q e o resto r sao unicos. ´ ˜ Sejam dados a, b ∈ Z com b > 0 e suponhamos que existam inteiros q1 , q2 , r1 , r2 Demonstrac¸ao. tais que a = q1 · b + r1

com 0 ≤ r1 < b

a = q2 · b + r2

com 0 ≤ r2 < b

Se q1 = q2 conclu´ımos, facilmente, que r1 = r2 . Reciprocamente, se r1 = r2 conclu´ımos que q1 b = q2 b. Como b 6= 0, segue da lei de cancelamento que q1 = q2 . ´ Resta analisar o caso em que q1 6= q2 e r1 6= r2 . Dividamos esta analise em dois casos. Caso 1: r1 > r2 . Como 0 ≤ r1 , r2 < b segue que 0 < r1 − r2 < b. Por outro lado, temos que 0 = (q1 − q2 ) · b + (r1 − r2 ) ⇐⇒ r1 − r2 = (q2 − q1 ) · b . Agora podemos concluir que 0 < (q2 − q1 ) · b < b. Dividindo ambos os membros por b obtemos 0 < q1 − q2 < 1. Isto nos mostra que o inteiro q1 − q2 esta´ entre os inteiros 0 e 1, o ˜ dos inteiros na reta orientada nao ˜ colocamos nenhum que e´ absurdo, ja´ que na representac¸ao inteiro entre 0 e 1. ˜ ocorre. Desta forma conclu´ımos que o caso r1 > r2 de fato nao ´ J. Delgado - S. Firmo - P. Nobrega

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˜ 2.11 Fatorac¸ao

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Caso 2: r2 > r1 . ´ nao ˜ ocorre. Similarmente ao caso anterior prova-se que este caso tambem ˜ esta´ terminada. A demonstrac¸ao

C.Q.D.

˜ do Teorema de Existencia. ˆ Demonstrac¸ao Sejam a, b ∈ Z com b > 0. Temos que: . . . < −3b < −2b < −b < 0 < b < 2b < 3b < . . . ´ disso, ja´ vimos (na sec¸ao ˜ 2.6) que dado a ∈ Z existe n0 ∈ Z+ tal que n0 b ≤ a < (n0 + 1)b Alem ou, equivalentemente, 0 ≤ a − n0 b < b. Assim, a = n0 b + (a − n0 b), onde 0 ≤ a − n0 b < b. ´ dados a e b como no inicio, existem n0 , r ∈ Z tais que a = n0 b + r com 0 ≤ r < b, e a Isto e, ˜ esta´ terminada. C.Q.D. demonstrac¸ao

Exerc´ıcios 1. Determine: ˜ de 190 por 7. Idem para −190. (a) o quociente e o resto da divisao ˜ de −205 por 8. (b) o quociente e o resto da divisao ˜ de 15.7321997 por 4. (c) o resto da divisao ˜ de 1.254380 por 9. (d) o resto da divisao 2. Determine: (a) o menor inteiro positivo que dividido por 6 da´ resto 3 e dividido por 8 da resto 7. (b) o menor inteiro positivo que deve ser somado a 8.746 para obter um multiplo de 11 aumentado ´ de quatro unidades. (c) o maior inteiro positivo pelo qual se deve dividir 1.233 e 511 para se obter os restos 9 e 7, respectivamente. (d) o menor inteiro que admite exatamente 15 divisores inteiros positivos. 3. Sejam A = {n ∈ Z ; n e´ par} e B = {n ∈ Z ; n e´ ´ımpar}. Mostre que Z = A ∪ B e A ∩ B = ∅. ˜ Olhe para o resto da divisao ˜ por 2. • Sugestao. ˜ e´ divis´ıvel por 2. 4. Mostre que um numero e´ ´ımpar se, e somente se, ele nao ´ ´ J. Delgado - S. Firmo - P. Nobrega

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˜ 2.11 Fatorac¸ao

Os Inteiros

˜ 2.11 Fatorac¸ao ˆ como produto de um numero Fatorar um numero inteiro positivo e´ escreve-lo finito de inteiros ´ ´ positivos distintos da unidade. ˜ Podem existir muitas fatorac¸oes para um dado inteiro positivo, por exemplo o numero 12 ´ ˜ com pode ser fatorado como 12 = 2 · 6 = 3 · 4 = 4 · 3 = 2 · 2 · 3. No entanto existe uma fatorac¸ao ˜ uma propriedade muito especial e que e´ a unica verificando tal propriedade: a decomposic¸ao ´ em fatores primos. ˜ precisamos da seguinte definic¸ao. ˜ Para enunciar este teorema de decomposic¸ao ˜ Definic¸ao. Um inteiro p > 1 e´ dito um numero primo se os unicos inteiros positivos que o ´ ´ ˜ 1 e p. dividem sao ˜ em fatores primos). Qualquer inteiro a > 1 pode ser Teorema 2.11.1. (de decomposic¸ao ˜ numeros fatorado de modo unico como a = pα1 1 pα2 2 . . . pαs s onde p1 < p2 < . . . < ps sao primos e ´ ´ αi e´ um inteiro positivo para cada i ∈ {1, . . . , s}. ˆ Aqui estamos diante de mais um teorema de existencia e unicidade. O teorema diz, primeiro: ˜ de uma maneira especial, e segundo: tal decomposic¸ao ˜ e´ feita todo inteiro a > 1 se decompoe de “modo unico”. Isto quer dizer o seguinte: ´ ˜ como no enunciado do teorema e tambem ´ como a = qβ1 1 qβ2 2 . . . qβr r , Se a > 1 se decompoe ˜ inteiros primos e βj ∈ Z+ para todo j ∈ {1, 2, . . . , r} entao, ˜ onde q1 < q2 < . . . < qr sao s = r, qi = pi , e βi = αi , para todo i ∈ {1, 2, . . . , s}. ´ ˜ possui divisores primos, e´ o Observamos tambem, que dizer que um inteiro a > 1 nao mesmo que dizer que ele e´ primo. ˜ em fatores primos nao ˜ seja sofisticada, ela Embora a prova do teorema de decomposic¸ao ˜ alem ´ do escopo elementar destas notas. O leitor avido ´ requer de metodologias que vao pode ´ ´ ler a prova no livro de I.N. Herstein “Topicos de ´Algebra” (teorema 1.3.1). Um problema importante e elementar e´ o seguinte: Como saber se um inteiro p > 1 e´ primo ˜ ou nao? . Por exemplo, sera´ que 3.431 e´ primo? ˜ existe um algoritmo que nos permita gerar todos os numeros Ate´ agora, nao primos. Por´ ˜ se faz por calculo ´ ´ tanto, a verificac¸ao direto. O seguinte resultado da´ um metodo para atacar o problema: ´ J. Delgado - S. Firmo - P. Nobrega

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˜ 2.11 Fatorac¸ao

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˜ 2.11.2. Um inteiro n > 1 e´ primo se, e somente se, nenhum primo p tal que p2 ≤ n Proposic¸ao e´ divisor de n. ˜ Demonstrac¸ao.

˜ os seus unicos ˜ 1 e o proprio ´ Se n > 1 e´ primo entao divisores sao n. Logo, ´

nenhum primo p tal que p2 ≤ n e´ divisor de n. Reciprocamente, suponhamos que nenhum primo p tal que p2 ≤ n e´ divisor de n. ˜ seja primo. Suponhamos, pelo absurdo, que n nao Pelo teorema anterior, n possui divisores primos. Seja p um deles. ˜ Entao: p2 > n

e

n = p · k, para algum k ∈ Z+ , k > 1.

˜ divide k: Com efeito, se p for divisor de k entao, ˜ O primeiro fato a observar e´ que p nao k = l · p para algum l ∈ Z+ . Logo n = k · p = (l · p) · p = l · p2 ≥ p2 > n, o qual e´ absurdo. ˜ duas possibilidades por analisar: k > p ou k < p Temos entao Se k > p, pelo algoritmo de Euclides, existem q, r ∈ Z+ tais que k = q · p + r com 0 ≤ r < p. Logo n = k · p = (q · q + r) · p = q · p2 + r · p ≥ q · p2 ≥ p2 > n, absurdo! ˜ pode ser maior do que p. Portanto k nao Se k < p, escolhamos um divisor primo q de k e escrevemos k = s · q para algum s ∈ Z+ . ´ divisor primo de n, vale q2 > n por hipotese. ´ ´ disso, q ≤ k < p. Como q e´ tambem Alem Logo n = k · p = (s · q) · p > (s · q) · q = s · q2 ≥ q2 > n. Absurdo! ´ nao ˜ pode ser menor do que p. Portanto k tambem ˜ pode ter divisores primos, isto e, ´ n e´ primo. C.Q.D. Portanto n nao Exemplos. ˜ sao ˜ divisores de 79 e nao ˜ precisa• O inteiro 79 e´ primo: Com efeito, vemos que 2, 3, 5 e 7 nao mos testar mais, pois 112 = 121 > 79. ˜ do algoritmo de Euclides vemos que: • O inteiro 347 e´ primo: Fazendo a divisao 347 = 173 · 2 + 1 = 115 · 3 + 2 = 69 · 5 + 2 = 49 · 7 + 4 = 31 · 11 + 6 = 26 · 13 + 9 = 20 · 17 + 7 , ´ 347 nao ˜ e´ divis´ıvel pelos primos 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, o seguinte primo e´ 19, mas • isto e, ˜ 347 e´ primo. 192 = 361 > 347. Logo, pela proposic¸ao, ´ J. Delgado - S. Firmo - P. Nobrega

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2.12 Maior Divisor Comum

Exerc´ıcios ˜ em fatores primos de 1. Fac¸a a decomposic¸ao (a) 2k + 2k+1 onde k ∈ N∗

(b) 2k · 3k+1 + 6k onde k ∈ N∗

(c) 4k+1 − (2k )2 onde k ∈ N∗

(d) (125 )k onde k ∈ N∗ .

2. A soma de dois numeros primos distintos e´ um numero primo? Justifique sua resposta. ´ ´ ˜ em fatores primos de 4.620. 3. Deˆ a decomposic¸ao 4. Seja p um numero primo e a um inteiro positivo. Mostre que p divide a se e somente se pα e´ ´ ˜ de a em fatores primos, para algum inteiro positivo α. um dos fatores da decomposic¸ao ˜ p divide a ou p divide 5. Seja p um numero primo e a, b ∈ Z. Mostre que se p divide ab entao ´ b. ˜ em fatores primos e´ dada por a = pα1 1 pα2 2 . . . pαs s 6. Seja a > 1 um inteiro cuja decomposic¸ao ˜ numeros onde p1 < p2 < . . . < ps sao primos e cada αi e´ um inteiro positivo para cada i ∈ ´ {1, . . . , s}. Quantos divisores positivos o numero a tem? ´ ´ resolva a 7. Sejam a, b ∈ Z tais que a · b = 6. Determine os poss´ıveis valores de a e b, isto e, ˜ a · b = 6 em Z. equac¸ao

˜ Use o Teorema de decomposic¸ao ˜ em fatores primos. Sugestao.

˜ tem a equac¸ao ˜ a2 b = 18 em Z. Idem para a2 b = 180. 8. Quantas soluc¸oes ˜ primos e ache a decomposic¸ao ˜ em fatores primos 9. Dentre os seguintes inteiros, diga quais sao ˜ sao ˜ primos: daqueles que nao 541 ,

871 ,

89 ,

381 ,

1.411 3.719 .

2.12 Maior Divisor Comum ˜ de numeros Dada uma colec¸ao inteiros, dizemos que um inteiro positivo e´ um divisor comum ´ ˜ quando ele divide cada inteiro da colec¸ao. ˜ da colec¸ao ˜ de numeros O maior divisor comum (escreve-se “mdc”) de uma colec¸ao inteiros e´ o maior ´ ˜ dos divisores comuns da colec¸ao. ˜ Sabemos que o numero 1 e´ divisor comum de todos os inteiros mas, dada uma colec¸ao ´ ˜ ser o maior dos divisores desta colec¸ao. ˜ Uma questao ˜ natural qualquer de inteiros ele pode nao ´ sempre existe o maior divisor comum de uma dada colec¸ao ˜ de inteiros? neste contexto e: ´ J. Delgado - S. Firmo - P. Nobrega

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Os Inteiros

2.12 Maior Divisor Comum

˜ formada pelo inteiro 0 nao ˜ tem um maior divisor comum pois, todos os inteiros A colec¸ao ˜ divisores de 0. Alias, ´ esta e´ a unica ˜ nao ˜ vazia, de inteiros que nao ˜ possui positivos sao colec¸ao, ´ um maior divisor comum. Vejamos! ˜ possui um inteiro positivo a entao ˜ os divisores comuns desta colec¸ao ˜ estao ˜ Se a colec¸ao ˜ e´ entre 1 e a tendo em vista o Lema 2.8.2. Assim sendo, o conjunto dos divisores da colec¸ao limitado superiormente. Consequentemente, possui um maior elemento. Tal elemento e´ aquele ¨ ˜ que estamos chamando de mdc da colec¸ao. ˆ ˜ possui apenas E agora, como garantir a existencia do maior divisor comum quando a colec¸ao inteiros negativos? Bem, reduzindo o problema ao caso anterior! Para isto basta observar que b > 0 divide a se, e somente se, b divide −a. Isto garante que os divisores comuns de uma ˜ e da colec¸ao ˜ formada pelos simetricos ´ ˜ decorre colec¸ao da primeira coincidem. Logo a conclusao do caso anterior. Designamos por mdc(a1 , a2 , . . . , ak ) o maior divisor comum de a1 , a2 , . . . , ak ∈ Z. Dizemos ˜ relativamente primos se mdc(a1 , a2 , . . . , ak ) = 1. que os inteiros a1 , a2 , . . . , ak sao Exemplos. • mdc(a, 1) = 1 para todo a ∈ Z , • mdc(a, −1) = 1 para todo a ∈ Z , • mdc(a, ka) = a para todo a ∈ Z+ e k ∈ Z , • mdc(a, ka) = −a para todo a ∈ Z− e k ∈ Z . • mdc(p, q) = 1 para quaisquer primos distintos p e q. ˜ caracterizac¸oes ˜ relevantes do mdc, estes podem ser enunOs seguintes dois resultados sao ˜ ˜ todos nulos, mas por simplicidade tratamos o caso de ciados para colec¸oes de inteiros nao apenas dois inteiros uma vez que o caso geral se trata exatamente da mesma maneira. ˜ ambos nulos. O mdc de a e b e´ o unico ˜ 2.12.1. Sejam a, b ∈ Z nao Proposic¸ao inteiro positivo ´ c tal que (a) c e´ divisor comum de a e b, (b) qualquer divisor comum de a e b e´ divisor de c. ˜ ˆ coisas a provar aqui, primeiro: se c = mdc(a, b) entao, ˜ c verifica as Demonstrac¸ao. Temos tres propriedades (a) e (b) do enunciado, segundo: reciprocamente, se c verifica as propriedades do ´ J. Delgado - S. Firmo - P. Nobrega

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2.12 Maior Divisor Comum

˜ c = mdc(a, b), e terceiro: o numero enunciado entao c que verifica as propriedades (a) e (b) do ´ enunciado e´ unico. ´ ˜ c verifica a propriedade (a) do enunciado Suponhamos primeiro que c = mdc(a, b). Entao sem mais, pois c e´ divisor comum de a e b. Resta ver que c satisfaz a propriedade (b). Proce˜ divide c. dendo por absurdo, suponhamos que existe algum divisor comum d de a e b que nao ˜ e´ fator primo de c. Isto significa (verifique!) que d possui algum fator primo p que nao ˜ de c (os quais Agora pc e´ divisor comum de a e b, pois p e todos os fatores da decomposic¸ao ˜ diferentes de p pela hipotese ´ ˜ sao do argumento) figuram entre os fatores das decomposic¸oes de a e b. ´ pc e´ um divisor comum de a e b que e´ maior que c, contradizendo Como p > 1, pc > c. Isto e, ˜ de c. Portanto c verifica a propriedade (b). a definic¸ao ˜ c = mdc(a, b), pois qualquer Seja agora c ∈ Z+ verificando as propriedades (a) e (b). Entao outro divisor comum d de a e b e´ (pela propriedade (b)) divisor de c e portanto e´ menor ou igual a c. Finalmente, suponhamos que d ∈ Z+ e´ um numero verificando as propriedades (a) e (b) ´ ˜ que c | d e como c tambem ´ verifica as propriedades temos d | c, do enunciado. Vemos entao, ˜ positivos (exerc´ıcio 4, sec¸ao ˜ 2.9). portanto d = c pois ambos os numeros sao ´ A prova esta´ terminada. C.Q.D. ˜ muito esO seguinte resultado nos diz que o mdc de dois inteiros tem uma representac¸ao pecial que o caracteriza. ˜ ambos nulos. Existem n0 , m0 ∈ Z nao ˜ ambos nulos, ˜ 2.12.2. Sejam a, b ∈ Z nao Proposic¸ao tais que mdc(a, b) = n0 a + m0 b. ˜ ˜ sao ˜ simultaneamente iguais a zero, o conjunto Demonstrac¸ao. Sendo que a e b nao A = {na + mb ; n, m ∈ Z} ˜ nulos. Observando que, −(na + mb) = (−n)a + (−m)b vemos que, o conjunto tem inteiros nao A deve conter algum inteiro positivo. Seja c o menor inteiro positivo contido em A. Vamos provar que c = mdc(a, b). ˜ ambos nulos tais que c = n0 a + m0 b. Como todo Como c ∈ A, existem inteiros n0 e m0 nao ˜ 2.9), temos d | c. divisor comum d de a e b divide qualquer elemento de A (exerc´ıcio 7, sec¸ao Resta provar que c divide a e b. Primeiramente observamos que, ao aplicar o algoritmo de ´ J. Delgado - S. Firmo - P. Nobrega

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2.12 Maior Divisor Comum

Euclides a na + mb ∈ A e a c tem-se que: Existem q, r ∈ Z tais que na + mb = qc + r, com 0 ≤ r ≤ c. ˜ de c implica Agora, a definic¸ao r = (na + mb) − qc = (na + mb) − q(n0 a + m0 b) = (n − qn0 )a + (m − qm0 )b ∈ A, ˜ 0 ≤ r < c na verdade e´ r = 0. e sendo que c e´ o menor elemento positivo de A, a condic¸ao Portanto, c | (na + mb) para quaisquer n, m ∈ Z. Em particular, c | a = 1 · a + 0 · b e c | b = 0 · a + 1 · b. Isto termina a prova. C.Q.D. ˜ anterior vemos que, os numeros ˜ primos Em particular, da proposic¸ao a1 , a2 , . . . , ak ∈ Z∗ sao ´ ´ nao ˜ todos nulos) tais relativos se, e somente se, existem inteiros n1 , n2 , . . . , nk ∈ Z (tambem que: n1 a1 + n2 a2 + . . . + nk ak = 1. ˜ do mdc de uma colec¸ao ˜ finita de numeros Uma ferramenta util inteiros e´ o ´ na determinac¸ao ´ ˜ em fatores primos. teorema de decomposic¸ao ˜ de numeros, Com efeito, para determinar o mdc de uma colec¸ao escrevemos cada um deles ´ ˜ em fatores primos, logo escolhemos os fatores primos segundo o teorema da decomposic¸ao ˜ o produto de tais fatores sera´ o mdc da colec¸ao. ˜ comuns a todos os numeros da colec¸ao, ´ ´ Nos exemplos a seguir descreveremos o procedimento que usamos na pratica desde nossos cursos elementares: Exemplos. ˜ • Calculemos mdc(2.480, 1.320, 1.640). Escrevendo os numeros segundo o teorema da decomposic¸ao ´ em fatores primos vemos que 2.480

2

1.320

2

1.640

2

1.240

2

660

2

820

2

620

2

330

2

410

2

310

2

165

3

205

5

155

5

55

5

41

41

31

31

11

11

1

1

1

´ Isto e, ´ J. Delgado - S. Firmo - P. Nobrega

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2.13 Menor Multiplo ´ Comum

2.480 = 24 · 5 · 31 ,

1.320 = 23 · 3 · 5 · 11 ,

1.640 = 23 · 5 · 41.

Logo, mdc(2.480, 1.320, 1.640) = 23 · 5 = 40. ˆ • Um procedimento mais economico para o calculo de mdc(2.480, 1.320, 1.640) consiste na ˜ simultanea ˆ ˆ numeros: fatorac¸ao dos tres ´ 2.480 1.320 1.640

2

1.240

660

820

2

620

330

410

2

310

165

205

5

65

33

41

1

´ Por este metodo achamos o mdc dos numeros expresso como produto de primos: ´ mdc(2.480, 1.320, 1.640) = 2 · 2 · 2 · 5 = 23 · 5 = 40 . ´ que os divisores comuns de 2.480, 1.320 e 1.640 sao ˜ 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20 e 40. Vemos tambem

Exerc´ıcios 1. O mdc de dois inteiros positivos e´ 45. Sabendo que o maior deles e´ 540 determine o menor (ou, os menores). 2. Determinar todos os pares de inteiros positivos sabendo que cada par tem soma 520 e mdc 40. ˜ liga a e b quando 3. Sejam a, b ∈ Z+ . Que relac¸ao

a+b = 5? mdc(a, b)

´ 4. Um terreno retangular com 144m de comprimento e 112m de largura, e´ cercado de arvores ˜ plantadas a igual distancia ˆ ˆ que estao uma das outras. Sabendo que a distancia entre duas ´ ´ arvores consecutivas e´ a maior poss´ıvel e que plantamos uma arvore em cada canto do terreno, ´ qual o numero de arvores plantadas? ´ ´ 5. Um quitandeiro resolveu distribuir 36 laranjas, 60 abacates e 84 cajus, com varias crianc¸as, de ´ modo que cada uma recebesse o mesmo e o maior numero poss´ıvel de frutas de cada especie. ´ ´ Pergunta-se o numero de crianc¸as aquinhoadas e o numero de cada especie de fruta que cada ´ ´ crianc¸a recebeu. 6. Sejam a, b ∈ Z primos relativos. Se c ∈ Z e a | bc, mostre que, necessariamente, a | c. ˜ Comece multiplicando por c a relac¸ao ˜ n0 a + m0 b = 1. • Sugestao: ´ J. Delgado - S. Firmo - P. Nobrega

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2.13 Menor Multiplo ´ Comum

˜ os inteiros positivos menores que 21 que sao ˜ primos com 21 ? 7. Quais sao

2.13 Menor Multiplo ´ Comum ˜ de numeros Dada uma colec¸ao inteiros, diremos que um inteiro e´ um multiplo comum da ´ ´ ˜ quando ele e´ multiplo ˜ colec¸ao de cada inteiro da colec¸ao. ´ ˜ de numeros O menor multiplo comum (escrito mmc) de uma colec¸ao inteiros e´ o menor dos ´ ´ ˜ negativos. seus multiplos comuns nao ´ ´ importante observar que uma colec¸ao ˜ de inteiros que contem ´ o inteiro 0 tem como unico E ´ multiplo comum o 0. Logo o seu menor multiplo comum existe e e´ 0. ´ ´ Designamos por mmc(a1 , a2 , . . . , ak ) o menor multiplo comum de a1 , a2 , . . . , ak ∈ Z . ´ Lembretes importantes. Sabemos ja´ que: ˜ vazio de N tem um menor elemento, (a) todo subconjunto nao ˜ −b tambem ´ e´ multiplo (b) se b e´ multiplo de a, entao de a. ´ ´ ˜ de inteiros admite um multiplo ˜ o conjunto dos multiplos Se uma colec¸ao comum, entao co´ ´ ˜ negativos da colec¸ao ˜ (que por definic¸ao, ˜ e´ subconjunto de N) e´ nao ˜ vazio e portanto muns nao possui um menor elemento (veja os lembretes acima). Tal elemento e´ aquele que estamos ˜ chamando de menor multiplo comum da colec¸ao ´ ˜ ˜ nao ˜ vazia de A pergunta importante agora e´ a seguinte: Sob que condic¸oes uma colec¸ao ˜ finita, certamente. inteiros distintos possui um multiplo comum? Bem, quando ela e´ uma colec¸ao ´ ´ claro que o produto dos inteiros da colec¸ao ˜ e´ um multiplo E comum. ´ ˜ possui uma infinidade de inteiros distintos? Neste caso, ja´ vimos que E quando a colec¸ao ˜ contem 0, entao ˜ o problema esta´ resolvido. Resta entao ˜ para analisar o caso em se a colec¸ao ˜ nao ˜ e´ finita e nao ˜ contem 0. Um exemplo desta situac¸ao ˜ e: ´ a colec¸ao ˜ Z+ . que a colec¸ao ˜ nao ˜ finita de inteiros distintos nao ˜ nulos. Mostre que nao ˜ existe Desafio! Seja S uma colec¸ao um multiplo comum para S. ´ ˜ do mmc similar a` dada para o mdc na proposic¸ao ˜ 2.11.2. Temos uma caracterizac¸ao ˜ nulo d tal que ˜ 2.13.1. Sejam a, b ∈ Z. O mmc de a e b e´ o unico Proposic¸ao inteiro nao ´ (a) d e´ multiplo comum de a e b, ´ ´ J. Delgado - S. Firmo - P. Nobrega

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Exerc´ıcios

´ multiplo (b) todo multiplo comum de a e b e´ tambem de d. ´ ´ ˜ Demonstrac¸ao. Exerc´ıcio. ˜ do mmc de uma colec¸ao ˜ finita Como no caso do mdc, uma ferramenta util ´ na determinac¸ao ˜ em fatores primos. de numeros inteiros e´ o teorema de decomposic¸ao ´ Exemplos. • mmc(a, 1) = a quando a ∈ Z+ e mmc(a, 1) = −a quando a ∈ Z− , • mmc(an , am ) = amax{m,n} quando a, m, n ∈ Z+ , onde max{m, n} representa o maior dentre m e n. ˜ • Vamos usar o exerc´ıcio 8 para determinar o mmc dos numeros 2.480, 1.320 e 1.640. A fatorac¸ao ´ ˜ anterior e´ destes numeros feita na sec¸ao ´ 2.480 = 24 · 5 · 31 ,

1.320 = 23 · 3 · 5 · 11 ,

1.640 = 23 · 5 · 41,

´ usando o exerc´ıcio 8 da pagina seguinte, escrevemos estes numeros como: ´ 2.480 = 24 · 30 · 5 · 110 · 31 · 410 , 1.320 = 23 · 3 · 5 · 11 · 310 · 410 , 1.640 = 23 · 30 · 5 · 110 · 310 · 41. Logo, mcm(2.480, 1.320, 1.640) e´ o numero ´ mcm(2.480, 1.320, 1.640) = 2max{4,3,3} · 3max{0,1,0} · 5max{1,1,1} · 11max{0,1,0} · 31max{1,0,0} · 41max{0,0,1} = 24 · 3 · 5 · 11 · 31 · 41 = 3.355.440.

Exerc´ıcios 1. Determinar o menor inteiro positivo que dividido por 5, 7 e 8 da´ restos 3, 5 e zero, respectivamente. ˜ 2. O menor multiplo comum de dois inteiros positivos e´ 72 e um deles e´ 24. Que valores poderao ´ ter o outro? 3. O produto de dois inteiros positivos e´ 4.320 e o mmc e´ 360. Determinar todas as possibilidades para tais numeros. ´ ´ J. Delgado - S. Firmo - P. Nobrega

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Exerc´ıcios

4. Determinar dois inteiros positivos cujo mmc e´ 225, sabendo que o quociente das soma desses numeros pelo seu mdc e´ 8. ´ ˆ automoveis ´ 5. Tres disputam uma corrida em uma pista circular. O primeiro da´ cada volta em 4 ˜ minutos, o segundo em 5 minutos e o terceiro em 6 minutos. No fim de quanto tempo voltarao ˆ automoveis ´ os tres a se encontrar no in´ıcio da pista, se eles partiram juntos? ˜ 2.13.1. 6. Prove a proposic¸ao 7. Sejam a, b ∈ Z+ . Mostre que a · b = mdc(a, b) · mmc(a, b). ˜ inteiros primos 8. Sejam a = pα1 1 pα2 2 . . . pαk k e b = pβ1 1 pβ2 2 . . . pβk k , onde p1 < p2 < . . . < pk sao ´ alguns dos αi ou alguns dos βj podem ser nulos, e αi , βi ∈ N para todo i ∈ {1, 2, . . . , k} (isto e, ˜ e´ a fatorac¸ao ˜ do teorema de decomposic¸ao). ˜ esta nao Mostre que (a) mdc(a, b) = pγ1 1 pγ2 2 . . . pγk k , onde γi = min{αi , βi } para todo i ∈ {1, 2, . . . , k}. (b) mmc(a, b) = pδ11 pδ22 . . . pδkk , onde δi = max{αi , βi } para todo i ∈ {1, 2, . . . , k}.

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Exerc´ıcios

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Cap´ıtulo 3 Os Racionais e os Irracionais

3.1 Os Racionais m tem sentido em Z apenas n ˜ n · x = m, com n 6= 0, tem soluc¸ao ˜ quando m e´ um multiplo de n. Equivalentemente, a equac¸ao ´ ˜ No cap´ıtulo anterior vimos que, se m, n ∈ Z, n 6= 0, a expressao

em Z, se, e somente se, m e´ multiplo de n. Vamos agora considerar um conjunto de numeros ´ ´ ˜ sempre tem soluc¸ao: ˜ onde tal equac¸ao ˜ da forma Um numero racional e´ uma expressao ´

m , onde m, n ∈ Z e n 6= 0. Designamos por Q n

´ o conjunto dos numeros racionais. Isto e, ´

m  Q= ; m, n ∈ Z, n 6= 0 . n m Se r = ∈ Q, o inteiro m e´ chamado o numerador de r e o inteiro n e´ dito o denominador de r. n ˜ Definic¸ao. Dizemos que, os numeros racionais ´ se, e somente se, m · n 0 = m · n 0 .

m0 m m m0 ˜ iguais, e escrevemos e 0 sao = 0, n n n n

m m ´ com m ∈ Z, sera´ identificado com o inteiro m, isto e, = m. Desta 1 1 maneira podemos pensar em Z como sendo um subconjunto de Q. 0 m 0 Em particular, 0 = , e vemos que ∈ Q e´ igual a 0 se, e somente se, m = 0. Logo 0 = 1 n n para todo n ∈ Z∗ . O numero racional ´

´ Q∗ = Designamos por Q∗ o conjunto que consiste dos numeros racionais diferentes de 0, isto e, ´ Q − {0}. 69

˜ 3.2 Operac¸oes Sobre Q

Os Racionais e os Irracionais

˜ de igualdade entre numeros Da relac¸ao racionais obtemos: ´ m −m = n −n

e

m −m = . n −n

˜ m = k·n, para algum k ∈ Z, e segue da definic¸ao ˜ da igualdade de numeros Se n divide m entao ´ m k m ´ racionais que, = = k, isto e, = k. n 1 n m ˜ imediata e´ que todo racional pode ser colocado na forma Uma outra observac¸ao onde m, n ∈ n Z e n ∈ Z+ . m k1 · q k1 ˜ Sejam m, n, q, k1 , k2 ∈ Z com n 6= 0 tais que m = k1 · q e n = k2 · q. Entao, = = . n k2 · q k2 Desta forma, dividindo m e n pelo maior divisor comum de m, n, podemos representar o numero ´ m0 m m0 ˜ relativamente primos. Neste caso, a frac¸ao ˜ racional na forma 0 onde m 0 , n 0 sao e´ dita n n n0 ˜ irredut´ıvel. uma frac¸ao

˜ 3.2 Operac¸oes Sobre Q ˜ definidas operac¸oes ˜ de adic¸ao ˜ e multiplicac¸ao ˜ da seguinte maneira: Em Q sao + : Q × Q −→ Q · : Q × Q −→ Q

p r ps + rq p r
˜ , 7−→ + = (soma ou adic¸ao) q s q s qs
p r p r p·r ˜ ou produto) , 7−→ · = (multiplicac¸ao q s q s q·s

onde p, r ∈ Z e q, s ∈ Z∗ . ` propriedades de tais operac¸oes ˜ faremos algumas observac¸oes ˜ imporAntes de passarmos as tantes: ˜ 1. Observac¸ao ˜ ˜ e multiplicac¸ao ˜ de numeros • Primeiramente, as operac¸oes de adic¸ao racionais que introduzi´ ˜ bem definidas. Esta frase significa que o resultado das operac¸oes ˜ independe mos acima estao ˜ usada para representar os operandos. da frac¸ao ´ Isto e: 

p p0 = 0 q q

e

r r0 = 0 s s



 =⇒

p r p0 r0 + = 0+ 0 q s q s

e

p r p0 r0 · = 0· 0 q s q s

 .

´ ˜ da soma, obtemos: De fato, por hipotese: pq 0 = p 0 q e rs 0 = r 0 s. Da definic¸ao p r ps + rq + = q s qs ´ J. Delgado - S. Firmo - P. Nobrega

e

p0 r0 p 0s 0 + r 0q 0 + = . q0 s0 q 0s 0 70

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˜ 3.2 Operac¸oes Sobre Q

Os Racionais e os Irracionais

˜ de igualdade de numeros Segundo a definic¸ao racionais, temos que verificar: ´ (ps + rq)(q 0 s 0 ) = (p 0 s 0 + r 0 q 0 )(qs). ´ Usando as hipoteses temos: (ps + rq)(q 0 s 0 ) = (ps)(q 0 s 0 ) + (rq)(q 0 s 0 ) = (pq 0 )(ss 0 ) + (rs 0 )(qq 0 ) = (p 0 q)(ss 0 ) + (sr 0 )(qq 0 ) = (p 0 s 0 )(qs) + (r 0 q 0 )(qs) = (p 0 s 0 + r 0 q 0 )(qs) , como quer´ıamos. ˜ para a multiplicac¸ao ˜ e´ feita de maneira similar (exerc´ıcio). A verificac¸ao p r pq + rq p+r ˜ • Sejam p, q, r ∈ Z com q 6= 0. Entao: + = = . 2 q q q q −1 1 = , temos que • Sejam p, q ∈ Z com q 6= 0. Como −1 = 1 −1 p −1 p −p p 1 p p (−1) · = · = e (−1) · = · = . q 1 q q q −1 q −q p p −p p Escrevemos − para designar o racional (−1) · = = . q q q −q • Sejam p, q ∈ Z com q 6= 0. Temos que p p −p p + (−p) 0 p + (− ) = + = = = 0. q q q q q q p 1 • Se a = com p, q ∈ Z∗ , definimos o inverso de a (designado a−1 ou ) como sendo o racional q a q 1 pq pq . Logo: a · = = = 1. p a qp qp ˜ ˜ Propriedades das operac¸oes de soma e multiplicac¸ao: ˜ + e · definidas em Q verificam as seguintes propriedades: As operac¸oes (1) Comutatividade: • a + b = b + a para todo a, b ∈ Q, • a · b = b · a para todo a, b ∈ Q. (2) Associatividade: • (a + b) + c = a + (b + c) para todo a, b, c ∈ Q, • (a · b) · c = a · (b · c) para todo a, b, c ∈ Q. (3) Distributividade: • a · (b + c) = a · b + a · c para todo a, b, c ∈ Q, ´ J. Delgado - S. Firmo - P. Nobrega

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˜ 3.2 Operac¸oes Sobre Q

Os Racionais e os Irracionais

ˆ (4) Existencia de elementos neutros (0 para + e 1 para ·): ˜ tais que: Os racionais 0 e 1 sao • 0 + a = a = a + 0 para todo a ∈ Q. • 1 · a = a = a · 1 para todo a ∈ Q. ˆ ´ (5) Existencia dos simetricos: ´ Para todo a ∈ Q existe um numero racional, chamado o simetrico de a e que designamos por ´ −a, tal que • a + (−a) = 0 = (−a) + a. ˆ (6) Existencia dos inversos: Para todo numero racional a ∈ Q diferente de zero, existe um numero racional chamado o ´ ´ 1 −1 inverso ou rec´ıproco de a, que designamos por a ou por , tal que a 1 1 • a · = 1 = · a. a a ´ ˜ ˜ do Cap´ıtulo 2 continua valido Muita atenc¸ao!! • Tudo que foi dito no item Muita atenc¸ao quando trocamos Z por Q. ˆ ´ as propriedades das operac¸oes ˜ • Neste ponto, o leitor deve revisar as consequ¨ encias listadas apos ˜ em Z no cap´ıtulo 2, e verificar que tais propriedades sao ˜ tambem ´ verde soma e multiplicac¸ao ˜ de soma e multiplicac¸ao ˜ em Q. dadeiras para as operac¸oes ˜ podemos escrever • Finalmente, note que, se a, b ∈ Q e b 6= 0, entao 1 a 1 a a · b−1 = a · = · = . b 1 b b ˜ sao ˜ axiomas nem convenc¸oes. ˜ • As propriedades (1)-(6) listadas acima nao Elas podem ser ˜ de soma e multiplicac¸ao ˜ demonstradas a partir das propriedades ja´ conhecidas das operac¸oes ˜ estabelecidas neste cap´ıtulo. em Z junto com os fatos e definic¸oes Por exemplo, vejamos como demonstrar a propriedade de distributividade (3): m p r Sejam a = , b = , c = ∈ Q. Temos: n q s   m p r m ps + qr m(ps + qr) (mp)s + (mq)r a · (b + c) = · + = · = = ·1 n q s n qs n(qs) (nq)s (mp)s + (mq)r n (mp)(sn) + (mq)(rn) · = = (nq)s n (nq)(sn) (mp)(sn) + (mr)(nq) mp mr m p m r = = + = · + · (nq)(sn) nq ns n q n s = a · b + a · c. ´ J. Delgado - S. Firmo - P. Nobrega

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˜ 3.2 Operac¸oes Sobre Q

Os Racionais e os Irracionais

ˆ ˜ introduzidas de maneira similar as ` potencias ˆ As potencias naturais de numeros racionais sao ´ naturais de inteiros definidas no cap´ıtulo 2: ˜ Definic¸ao: • a0 = 1 para todo 0 6= a ∈ Q • ak = a . . · a} para todo a ∈ Q e k ∈ N∗ . | · .{z k vezes

• a−k =

1 para todo 0 6= a ∈ Q e k ∈ N. ak

ˆ Propriedades das potencias. ˜ nulos e m, n ∈ Z temos Para todos a, b ∈ Q nao (1) am+n = am · an (2) (a · b)n = an · bn (3) (an )m = an·m ˜ 2. Observac¸ao m ∈ Q e k ∈ Z+ temos • Para n 

m n

k =

m · m · ... · m m m m mk · · ... · = = k . n} n · n · ... · n n |n n {z k vezes

ˆ ˜ na verdade, conCom isto, vemos que, as propriedades das potencias listadas acima sao, ˆ ˆ sequ¨ encias diretas das correspondentes propriedades para potencias naturais de inteiros listadas no cap´ıtulo 2. ˜ de potencias ˆ • Na definic¸ao negativas de numeros racionais, vemos que, se a = ´ ˜ n ∈ Z+ , entao: a

−n

1 1 1 qn = n =  n =  n  = n = p a p p n q q

p ∈ Q∗ e q

 n  n q 1 = = (a−1 )n . p a

˜ das Isto nos permite usar a igualdade a−n = (a−1 )n , e mostra que, na verdade, a introduc¸ao ˆ ˆ ˜ de potencias ˆ potencias negativas de numeros racionais e´ de fato consequ¨ encia da definic¸ao ´ ˜ do rec´ıproco de um numero ˜ nulo. positivas e da definic¸ao racional nao ´ ˜ Certamente o leitor ja´ deve ter-se interrogado sobre a seguinte questao: ´ J. Delgado - S. Firmo - P. Nobrega

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Os Racionais e os Irracionais

3.3 A Reta Orientada e os Numeros ´ Rracionais

m ∈ Q, com m, n ∈ Z+ , determinar numeros inteiros relativamente primos p, q ∈ Z+ , ´ n p m p m ´ ˜ irredut´ıvel de . tais que = . Isto e, e´ a frac¸ao q n q n Dado

˜ em fatores primos. De fato, podemos decomA resposta vem do teorema de decomposic¸ao ˆ por m e n como produto de potencias de numeros primos e cancelar os fatores comuns de m e ´ ´ se um primo pi aparece na decomposic¸ao ˜ de m com expoente αi e na decomposic¸ao ˜ n. Isto e, ˜ de n com expoente βi entao: (a) se αi = βi , cancelamos o fator pαi i de m e n, (b) se αi < βi , cancelamos o fator pαi i de m e substitu´ımos o fator pβi i de n por pβi i −αi , (c) se αi > βi , cancelamos o fator pβi i de n e substitu´ımos o fator pαi i de m por pαi i −βi . ˜ Equivalentemente, sabemos que m = mdc(m, n) · p e n = mdc(m, n) · q, onde (por definic¸ao ˜ relativamente primos. Temos entao, ˜ de mdc(m, n)) p, q ∈ Z+ sao m mdc(m, n) · p p = = . n mdc(m, n) · q q Vejamos estes procedimentos mediante alguns exemplos simples: •

•

•

484 22 · 112 2 · 112 242 = = = . 798 2 · 3 · 7 · 19 3 · 7 · 19 399 Neste exemplo, mdc(484, 798) = 2. 484 22 · 112 11 11 = = 2 = . 924 2 · 3 · 7 · 11 3·7 21 Neste exemplo, mdc(484, 924) = 22 · 11 = 44. 484 22 · 112 11 = 2 = = 11. Neste exemplo, 44 | 484 44 2 · 11 1

3.3 A Reta Orientada e os Numeros ´ Racionais ˜ 2.4, onde ja´ representamos os numeros Consideremos a reta orientada da sec¸ao inteiros. ´ Nesta reta vamos agora representar os numeros racionais. ´ ˜ dos inteiros na reta foi feita partindo Antes de comec¸ar observamos que a representac¸ao ´ a representac¸ao ˜ toda consiste em fixar uma origem O e a partir desta de um gerador, isto e, ˜ da unidade) interpretar 1 + 1, interpretar o significado do inteiro 1, depois (mediante translac¸ao ´ J. Delgado - S. Firmo - P. Nobrega

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3.3 A Reta Orientada e os Numeros ´ Rracionais

˜ dos inteiros 2, 3, 4, . . .. Para obter os inteiros 1 + 1 + 1, . . . obtendo assim a representac¸ao ˜ da representac¸ao ˜ dos inteiros positivos em relac¸ao ˜ a` origem negativos, basta fazer uma reflexao . ˜ dos numeros ˜ tem O problema fundamental para a representac¸ao racionais e´ que eles nao ´ m + ´ um gerador como os inteiros. Porem, podemos observar que, se m, n ∈ Z , temos que = n 1 1 1 1 1 m · = + + . . . + (m parcelas). Portanto, fixado n ∈ Z+ , basta representar o racional , e n n n n n m ˜ (como foi feito na sec¸ao ˜ 2.4) representar todos os racionais da forma , depois, por translac¸ao n 1 m + + com m ∈ Z . O numero racional e´ gerador dos racionais da forma , com m ∈ Z . Uma vez ´ n n ˜ em relac¸ao ˜ a` origem, obtemos a representac¸ao ˜ dos racionais feito isto, mediante uma reflexao m − da forma com m ∈ Z . n ˜ do paragrafo ´ Observamos que para representar o conjunto Q inteiro, a construc¸ao acima teria que ser feita uma infinidade de vezes, uma para cada n ∈ Z+ , coisa que evidentemente ˜ faremos. nao ´ A seguir vamos descrever um procedimento geometrico que nos permite, dado n ∈ Z+ , m representar todos os numeros racionais da forma com m ∈ Z+ . Este procedimento faz uso ´ n ˜ ´ de noc¸oes elementares de geometria basica, paralelismo, semelhanc¸a, etc. que devem ser conhecidas (pelo menos intuitivamente) pelo leitor.

˜ dos racionais na reta orientada. Fig.1. Representac¸ao

˜ colinear com Fixemos n ∈ Z+ . Tomemos uma semi-reta auxiliar r 0 partindo da origem e nao ˜ a nossa reta orientada como se mostra na Fig. 1. Na semi-reta r 0 colocamos a representac¸ao de Z+ escolhendo uma unidade de escala menor do que da nossa reta orientada. Isto e´ feito ˜ na representac¸ao. ˜ Seja A o ponto de r 0 que representa o apenas para facilitar a visualizac¸ao inteiro n. Trace um segmento ligando A com o ponto U da reta orientada que representa 1, ˆ ´ obtendo um triangulo de vertices OAU.

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3.3 A Reta Orientada e os Numeros ´ Rracionais

˜ nao ˜ triviais: Consideremos duas situac¸oes ˜ dos racionais Sejam m, m 0 ∈ Z+ tais que m < n < m 0 . Vamos achar a representac¸ao

m e n

0 n m0 . Os racionais = 0 e = 1 ja´ foram representados. n n n 0 Na semi-reta r designamos por B e C os pontos que representam os inteiros m e m 0 respectivamente. Sejam BB 0 e CC 0 os segmentos paralelos ao segmento AU que ligam B e C a ˜ que os pontos B 0 e C 0 sejam os representantes pontos B 0 e C 0 em r. Convencionamos entao 0 m m ´ importante observar que, m < n < m 0 implica dos racionais e na reta orientada r. E n n m que o ponto de r que representa esta´ a` esquerda de 1 que, por sua vez, esta´ a` esquerda do n 0 m ponto de r que representa . n ˜ e´ completamente compat´ıvel com a nossa noc¸ao ˜ intuitiva Note-se que esta representac¸ao ˆ ˆ ˜ semelhantes (os angulos ˆ de semelhanc¸a de triangulos. De fato, os triangulos OAU e OBB 0 sao ˜ iguais, pois os segmentos BB 0 e AU sao ˜ paralelos). Logo, a razao ˜ internos correspondentes sao ˜ do do comprimento do lado OB 0 ao comprimento do lado OU (que e´ igual a 1) e´ igual a` razao ´ designando por comprimento do lado OB (que e´ igual a m) ao lado OA (que e´ igual a n). Isto e, `(OA) o comprimento de OA, etc, temos: `(OB 0 ) `(OB) m `(OB 0 ) `(OB 0 ) = = = = . 1 n `(OU) `(OA) ´ OU Neste ponto podemos observar que, dado n ∈ Z+ , representamos no segmento unitario m + os n + 1 numeros racionais da forma com m ∈ Z : ´ n 0 1 2 n−1 n , , ,..., , , n n n n n sendo o primeiro igual a 0 e o ultimo igual a 1. ´ m Os racionais da forma com m ∈ Z− podem ser representados de uma maneira semen ˜ deixados ao leitor. lhante (ver Fig. 2), os detalhes sao Tendo ja´ representados os numeros racionais na reta orientada, vamos dar agora uma ´ ˜ grafica ´ ` operac¸oes ˜ ˜ 2.4 para os interpretac¸ao as de soma e produto como foi feito na sec¸ao inteiros. m Comec¸amos por observar que, se um ponto P da reta orientada representa um racional n km ˜ o mesmo ponto P representa todos os racionais da forma entao, , com k ∈ Z+ kn m p Sejam e racionais, com n, m ∈ Z+ , representados na reta orientada pelos pontos P1 e n q P2 respectivamente. ´ J. Delgado - S. Firmo - P. Nobrega

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mq ´ o racional ˜ do paragrafo ´ Pela observac¸ao anterior, P1 representa tambem e P2 representa nq np o racional . nq ˜ P o ponto na reta orientada obtido intersectando a reta orientada com a paralela Seja entao ´ por ao segmento que liga nq (na semi-reta r 0 ) com U passando por mq + np. Tal ponto e, mq + np m p ˜ o representante do racional ´ da soma definic¸ao, , isto e, + . nq n q

˜ dos racionais Fig.2. Representac¸ao

m n

com m ∈ Z− e n ∈ Z+ na reta orientada.

Este procedimento pode-se resumir no seguinte: Uma vez que temos pontos P1 e P2 na reta m p ˜ de orientada representando racionais e , consideramos os segmentos orientados que vao n q −−→ −−→ O a P1 e de O a P2 que designamos por OP1 e OP2 respectivamente. Deslizando o segmento −−→ OP2 sobre nossa reta orientada r ate´ fazer coincidir O com P1 , vemos que o ponto final do m p ˜ e´ um novo ponto P que representa o racional segmento obtido por esta translac¸ao + (ver n q p ´ corresponde a obter o ponto P transladando em unidades o ponto P1 . Fig.4). Esta ideia q

˜ da soma Fig.4. Outra representac¸ao

5 + 2

„ −

2 3

« =

11 . 6

˜ tera´ dificuldade em achar a representac¸ao ˜ para o produto de dois numeros O leitor agora nao ´ m p racionais. Proceda, por exemplo, da seguinte maneira: Considere dois racionais e . Fac¸a n q um desenho colocando as retas r e r 0 como acima. Na reta r 0 localize o ponto P ∈ r 0 que representa o inteiro nq. Se nq > 0, trace um segmento ligando P com o ponto U ∈ r que representa a unidade 1 (veja as figuras acima). Se R ∈ r 0 e´ o ponto que representa o inteiro mp, trace a paralela ao segmento PU passando por R. Tal paralela deve cortar r (justifique!) num m p ponto Q. Pelo acima dito, o ponto Q ∈ r e´ o representante do produto · . n q ´ J. Delgado - S. Firmo - P. Nobrega

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˜ de Ordem em Q 3.4 A Relac¸ao

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˜ de Ordem em Q 3.4 A Relac¸ao ˜ vamos introduzir uma relac¸ao ˜ de ordem no conjunto dos numeros Nesta sec¸ao racionais da ´ ˜ 2.5 para os inteiros. mesma maneira que na sec¸ao m p m p ˜ e´ menor que e escrevemos Definic¸ao. Sejam , ∈ Q, com n, p ∈ Z+ . Dizemos que n q n q m p m < se, e somente se, o ponto que representa na reta orientada esta´ a` esquerda do ponto n q n p m p m m p p ˆ (le-se e´ maior que ) e´ o mesmo que escrever < . que representa . Escrever > q q n q n n q 2 5 11 2 2 2 ˜ anterior, vemos que − < 0, 0 < , Por exemplo na Fig.4 da sec¸ao > , − < , etc. 3 2 6 3 3 3 Da mesma maneira que no cap´ıtulo 2, um numero racional e´ chamado positivo se e´ maior ´ ˜ negativo se e´ positivo ou e´ igual a 0, e nao ˜ positivo se e´ que 0, negativo se e´ menor que 0, nao negativo ou e´ igual a 0. Designamos por Q+ (respectivamente Q− ) o subconjunto de Q que consiste dos numeros ´ ˜ positivos racionais positivos (respectivamente negativos). Assim, o conjunto dos racionais nao ˜ negativos e´ Q − Q− . e´ Q − Q+ e o conjunto dos racionais nao Evidentemente, verificar que um numero racional e´ menor que outro usando apenas a ´ ˜ anterior, e´ um procedimento primitivo, sobretudo tendo ja´ conhecida a relac¸ao ˜ de ordefinic¸ao ˜ 3.2 abaixo nos diz que a relac¸ao ˜ de ordem em Z, que ja´ conhecemos, dem em Z. A proposic¸ao e´ suficiente para comparar dois numeros racionais. ´ ˜ Lema 3.4.1. Sejam m, m 0 , n ∈ Z com n > 0. Entao (em Z).

m m0 < (em Q) se, e somente se, m < m 0 n n

˜ ˜ distintos de n. Demonstrac¸ao. Suponhamos inicialmente que m e m 0 sao

˜ de racionais na reta orientada. Fig.5. Comparac¸ao

˜ de Q na reta orientada r como foi feito na sec¸ao ˜ anterior. DeConsideremos a representac¸ao m m0 signamos por A, B e C respectivamente, os pontos de r representando os racionais 1, e . n n ´ J. Delgado - S. Firmo - P. Nobrega

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˜ de Ordem em Q 3.4 A Relac¸ao

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´ A 0 , B 0 e C 0 os pontos da reta auxiliar r 0 que representam n, m, e m 0 respectivaSejam tambem mente. Sejam α a reta que passa por A e A 0 , β a reta paralela a α que passa por B e B 0 e γ a reta ˜ vem da maneira como foi constru´ıda a paralela a α que passa por C e C 0 (esta configurac¸ao ˜ representac¸ao). Uma propriedade bem conhecida das paralelas na geometria Euclidiana nos da´ que, A esta´ entre B e C se, e so´ se, A 0 esta´ entre B 0 e C 0 , que traduzido na nossa linguagem fica: m m0 ˜ tratados de maneira similar. <1< ⇐⇒ m < n < m 0 . Os outros dois casos sao n n Agora, se m = n, consideramos a reta α 0 paralela a α passando pelo ponto D em r que representa o racional −1 e pelo ponto D 0 em r 0 que representa o inteiro −n, se procede como acima com as retas α 0 , β e γ. C.Q.D. m p m p ˜ ˜ 3.4.2. Sejam Proposic¸ao , ∈ Q, com n, q ∈ Z+ . Entao < (em Q) se, e so´ se, n q n q mq < np (em Z). m mq p np mq ˜ Sabemos que Demonstrac¸ao. = e que = . Pelo lema anterior, esta´ a` esquerda n nq q nq nq np de se, e so´ se, mq < np em Z. C.Q.D. nq ˜ da relac¸ao ˜ < em Q, dada na proposic¸ao ˜ anterior, permite traduzir praticaA caracterizac¸ao ˜ < em Z, da sec¸ao ˜ 2.5. Comec¸amos com as propriemente todas as propriedades da relac¸ao ´ ˜ < em Q. Estas propriedades sao ˜ consequ¨ encia ˆ dades basicas da relac¸ao das correspondentes ˜ 2.5, e da caracterizac¸ao ˜ da relac¸ao ˜ < em Q propriedades para os inteiros enunciadas na sec¸ao ˜ anterior. A demonstrac¸ao ˜ fica como exerc´ıcio para o leitor. dada na proposic¸ao ˜ < em Q. Propriedades da relac¸ao Sejam r, s, t ∈ Q. ˜ r < t (transitividade), (1) se r < s e s < t entao ˜ r < s ou s < r ( dois elementos distintos sao ˜ comparaveis), ´ (2) se r 6= s entao ˜ r + t < s + t, (3) se r < s entao ˜ rt < st, (4) se r < s e t > 0 entao ˜ rt > st, (5) se r < s e t < 0 entao (6) 0 < r < s =⇒ 0 < rn < sn , para todo n ∈ Z+ , (7) 0 < r < s =⇒ 0 < s−n < r−n , para todo n ∈ Z+ ´ J. Delgado - S. Firmo - P. Nobrega

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˜ 3. Observac¸ao ˜ • Note-se que, se m, n ∈ Z com n 6= 0, entao mesmo sinal.

m > 0 se, e somente se, os inteiros m e n tem o n

m 0 ˜ 3.4.2, que De fato, se n > 0, segue da proposic¸ao > = 0 se, e somente se, m = m · 1 > n 1 m −m 0 ˜ n · 0 = 0. Se n < 0, entao = > = 0 se, e somente se, −m = (−m) · 1 > (−n) · 0 = 0. n −n 1 ´ se, e somente se, m < 0. Isto e, ˜ 2.5, esta´ • A diferenc¸a entre as propriedades listadas acima e as correspondentes da sec¸ao ˜ se tem a noc¸ao ˜ de contida na propriedade (7) pois, em se tratando de numeros inteiros, nao ´ ˆ inversos multiplicativos nem de potencias com expoentes negativos. ˜ da propriedade (7) e´ simples: Basta mostrar que a hipotese ´ A verificac¸ao implica 0 < s−1 < ˆ ˜ 3.4.2. r−1 , mas isto e´ consequ¨ encia da proposic¸ao m p Com efeito, se r = e s = temos 0 < r < s se, e somente se: k q 0<

m p q k < ⇐⇒ 0 < mq < kp ⇐⇒ 0 < < ⇐⇒ 0 < s−1 < r−1 . k q p m

˜ da propriedade (6) e da observac¸ao ˜ feita na pag. 67. A propriedade (7) segue desta relac¸ao, ˜ • Das propriedades (4), (6) e (7) temos que: Se r ∈ Q e 0 < r < 1, entao: 0 < . . . < rn < . . . < r3 < r2 < r < 1 < r−1 < r−2 < r−3 < . . . < r−n < . . .

˜ a seguir engloba o similar da proposic¸ao ˜ 2.5.5. A proposic¸ao ˜ 3.4.3. Dados r, s ∈ Q temos: Proposic¸ao ˆ sinais contrarios, ´ (i) r · s < 0 ⇐⇒ r e s tem ˆ o mesmo sinal, (ii) r · s > 0 ⇐⇒ r e s tem (iii) r · s = 0 ⇐⇒ r = 0 ou s = 0. m p ˜ o sinal de r e´ o mesmo sinal de e s = , com n, q ∈ Z+ . Entao, n q ˜ 2.5.5 e 3.4.2, provamos (i) m e o sinal de s e´ o mesmo de p. Como nq > 0, pelas proposic¸oes

˜ Demonstrac¸ao. Sejam r = e (ii): r·s=

mp ˆ sinais contrarios ´ < 0 ⇐⇒ mp < 0 ⇐⇒ m e p tem nq ˆ sinais contrarios. ´ ⇐⇒ r e s tem

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r·s=

mp ˆ o mesmo sinal > 0 ⇐⇒ mp > 0 ⇐⇒ m e p tem nq ˆ o mesmo sinal. ⇐⇒ r e s tem

Finalmente, r · s =

mp = 0 ⇐⇒ mp = 0 ⇐⇒ m = 0 ou p = 0 . Isto termina a prova de nq

(iii). C.Q.D. ˜ < com =, introduzimos a notac¸ao ˜ ≤ da mesma maneira que no Ao combinar a relac¸ao ˜ ≤ possui as propriedades (1)-(8), listadas na sec¸ao ˜ correspondente do cap´ıtulo 2. A relac¸ao ´ destas 8 propriedades temos uma adicional: cap´ıtulo 2, ao considerar a, b ∈ Q. Alem (9) 0 < a ≤ b =⇒ 0 < b−n ≤ a−n , para todo n ∈ Z+ . ˜ destas propriedades e´ simples e a deixamos como exerc´ıcio para o leitor. A verificac¸ao ˜ xy = 1. Na sec¸ao ˜ 2.5 vimos que esta equac¸ao, ˜ Finalmente, voltamos a considerar a equac¸ao ˜ quando considerada em Z, possui apenas duas soluc¸oes: x = y = 1 ou x = y = −1. Esta ˜ considerada agora em Q possui infinitas soluc¸oes! ˜ mesma equac¸ao Com efeito, a igualdade xy = 1 em Q significa que x 6= 0 6= y e que y e´ o rec´ıproco de x. ˆ ˜ nulo e fazer y = x−1 . Como a quantidade Logo, para resolve-la basta tomar qualquer x ∈ Q nao ˜ e´ finita, a quantidade de numeros ´ de numeros racionais nao racionais diferentes de zero tambem ´ ´ ˜ e´ finita. nao Um fato curioso e importante de se observar e´ que, o conjunto Q, possui tantos elementos quanto o conjunto N dos numeros naturais, e o mesmo vale para Z. Isto se verifica enumerando ´ ´ os elementos dos conjuntos Z e Q ao coloca-los numa lista da mesma maneira que N (ou da mesma maneira que um subconjunto ilimitado de N). Para colocar os elementos do conjunto Z numa lista podemos proceder da seguinte maneira: 0, −1, 1, −2, 2, −3, 3, −4, 4, −5, 5, . . . Como colocar os elementos de Q numa lista? Primeiro observamos que basta colocar os ˜ nao ˜ negativos numa lista e depois intercalar os elementos negativos elementos de Q que sao de Q da mesma forma que na lista acima feita para Z. m com m, n ∈ N, n 6= 0 e o caminho n ˜ ˜ e´ feita da indicado na poligonal mais clara indica como enumerar estas frac¸oes. A enumerac¸ao ˜ da forma Na tabela abaixo figuram todas as frac¸oes

seguinte maneira: 0 1 0 0 1 2 3 2 1 0 0 1 2 3 4 5 4 3 2 1 5 6 7 8 9 10 , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,..., , , , , , ,... 1 1 2 3 2 1 1 2 3 4 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1 0 1 0 2 ´ ´ Isto e, e´ o primeiro elemento da lista, e´ o segundo, e´ o terceiro,. . . , o decimo terceiro, 1 1 2 3 etc. ´ J. Delgado - S. Firmo - P. Nobrega

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˜ de Ordem em Q 3.4 A Relac¸ao

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˜ ˜ negativos (os O conjunto das frac¸oes descritas contem todos os numeros racionais nao ´ ˜ ˜ negativos quais aparecem na lista com repetic¸oes), logo o conjunto dos numeros racionais nao ´ ´ e´ um conjunto infinito enumeravel. ˜ vamos incluir duas belas passagens do livro Meu Professor de Pra finalizar esta sec¸ao, ´ ´ ˜ Fundamentos da Matematica ´ Matematica e outras historias de Elon L. Lima (Colec¸ao Elementar, ´ Sociedade Brasileira de Matematica, Rio de Janeiro, 1987). Estas passagens referem-se a alguns problemas citados no livro O Homem que Calculava de Malba Tahan, que relata as ´ proezas matematicas de Beremiz Samir narradas por um fiel amigo e companheiro durante ´ suas viagens por terras arabes. A primeira aventura de Beremiz acontece quando ele e seu amigo, viajando sobre o mesmo ´ ˆ irmaos ˜ em acirrada discussao ˜ por causa camelo, chegam a um oasis, onde encontram-se tres da heranc¸a de 35 camelos deixada pelo pai, quem antes de morrer, estipulara que metade da heranc¸a caberia ao filho mais velho, um terc¸o ao do meio e um nono ao mais moc¸o. ˜ vinha do fato de que 35 nao ˜ e´ divis´ıvel por 2, 3 e 9. Portanto, o filho mais Bem, a discussao 35 2 27+8 9

velho iria receber mais moc¸o

35 9

=

=

34+1 2

=3+

= 17 + 8 9

1 2

camelos, o filho do meio

35 3

=

33+2 3

= 11 +

2 3

camelos, e o

camelos !!!

˜ do amigo, Beremiz entrega o seu camelo aos irmaos ˜ Para espanto e preocupac¸ao a fim de facilitar a partilha. Deste modo, tendo 36 camelos, o filho mais velho do falecido fica com 36 2

= 18, camelos, o filho do meio ganha

36 3

= 12 camelos e o mais moc¸o

36 9

= 4 camelos !!

´ esta partilha, todos sa´ıram ganhando, ate´ Beremiz que ainda ficou com o seu camelo Apos e mais um para o seu amigo !! ´ J. Delgado - S. Firmo - P. Nobrega

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˜ 3.5 Os Racionais e suas Expansoes Decimais

Os Racionais e os Irracionais

˜ para o fato? Bom, primeiramente, 18 + 12 + 4 = 34 sobrando os 2 camelos, Qual a explicac¸ao o de Beremiz e mais um. O ganho de Beremiz vem do fato de que na partilha feita pelo falecido sobrava um resto de

1 18

1 2

+

1 3

+

1 9

=

17 < 18

1 !! Logo,

do qual aproveitaram-se Beremiz e seu

amigo... ´ socorrem O seguinte problema aparece quando Beremiz e seu amigo, a caminho de Bagda, ˜ no deserto um rico cheique, que fora assaltado, e com ele repartem irmamente sua comida, que ˜ se resumia a 8 paes: 5 de Beremiz e 3 do amigo. Chegados ao seu destino, o cheique os recompensa com oito moedas de ouro: 5 para Beremiz e 3 para o amigo. ˜ ficam surpresos com o suave protesto de Beremiz. Segundo este, a maneira Todos entao justa de repartir as 8 moedas seria dar 7 a ele e apenas 1 ao amigo !! ˜ consistia em O argumento de Beremiz fora o seguinte: durante a viagem, cada refeic¸ao ˜ em 3 partes iguais e cada um dos viajantes comia uma delas. Foram consumidos dividir um pao ˜ ao todo 8 paes, ou seja 24 terc¸os, cada viajante comendo 8 terc¸os. Destes, 15 terc¸os foram ˜ do cheique. dados por Beremiz, que comeu 8, logo contribuiu com 7 terc¸os para a alimentac¸ao Por sua vez, o amigo contribuiu com 9 terc¸os, dos quais comeu 8, logo participou apenas com 1 ˜ de Beremiz. terc¸o para alimentar o cheique. Isto justifica a observac¸ao ´ No final, porem, o homem que calculava, generosamente, ficou com apenas 4 moedas, dando as 4 restantes ao amigo.

˜ 3.5 Os Racionais e suas Expansoes Decimais ˜ vamos introduzir uma outra maneira de representar os numeros Nesta sec¸ao racionais, de´ ˜ decimal. No dia a dia, os numeros ˜ apresentados quase semnominada expansao racionais sao ´ ˆ pre desta maneira, por exemplo, uma passagem de onibus custa 0, 60 de real, uma passagem ´ custa 0, 90 de real, o medico ´ da barca Rio-Niteroi aconselhou ao meu amigo andar diariamente ˆ 3, 5 quilometros, uma duzia de bananas custa na feira 1, 50 de real, etc. Com a mesma natura´ ˜ de soma, multiplicac¸ao ˜ , diferenc¸a lidade que reconhecemos, aprendemos a efetuar operac¸oes e quociente com tais quantidades. ´ uma terminologia baseada em potencias ˆ Adotamos tambem do numero natural 10 chamada ´ ˜ ˜ adotados outros sistemas numericos ´ sistema decimal. Em aplicac¸oes mais espec´ıficas, sao ˜ da informac¸ao ˜ quantitativa que delas se obtem. ´ para facilitar a manipulac¸ao Por exemplo, em ˜ e´ muito usado o sistema binario ´ ˆ computac¸ao (baseado em potencias de 2) ou o sistema hexa´ J. Delgado - S. Firmo - P. Nobrega

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˜ 3.5 Os Racionais e suas Expansoes Decimais

Os Racionais e os Irracionais

ˆ ˜ dos numeros decimal (baseado em potencias de 16). Em se tratando da representac¸ao inteiros ´ isto e´ feito, no sistema decimal, da seguinte maneira: ˜ negativo n escreve-se na forma Todo numero inteiro nao ´ n = ak · 10k + ak−1 · 10k−1 + . . . + a1 · 101 + a0 · 100 , ˜ denominados os algarisonde ai ∈ {0, 1, 2, . . . , 9} para todo i ∈ {1, 2, . . . k}. Os numeros ai sao ´ mos de n na base 10. ˜ usual estabelece que o numero ´ A convenc¸ao n do paragrafo acima e´ escrito (na base 10) ´ ´ o outro em justaposic¸ao ˜ de esquerda a direita na ordem colocando os seus algarismos um apos ˆ decrescente das potencias de 10. Exemplos. • 23 = 20 + 3 = 2 · 101 + 3 · 100 . • 31.245 = 30.000 + 1.000 + 200 + 40 + 5 = 3 · 104 + 1 · 103 + 2 · 102 + 4 · 101 + 5 · 100 . ˜ acima pode ser feita substituindo a base 10 por qualquer natural nao ˜ nulo. A representac¸ao ˜ ocupar mais tempo e espac¸o nestas notas, dedicaremos as ` nossas considerac¸oes ˜ A fim de nao a` base 10. ˜ dos numeros ˆ Nosso primeiro objetivo e´ dar uma representac¸ao racionais baseada em potencias ´ do natural 10. Teorema 3.5.1. Todo numero racional r pode ser escrito na forma ´ r = ak · 10k + ak−1 · 10k−1 + . . . + a1 · 101 + a0 · 100 +

b1 b2 b` + 2 + ... + ` + ... 1 10 10 10

(4)

onde ai , bj ∈ {0, 1, 2, . . . , 9} para todo i ∈ {1, 2, . . . , k} e j ∈ Z+ . ´ Antes da prova deste teorema, vamos introduzir a terminologia usada no cotidiano e que ´ usaremos no resto destas notas. tambem ˜ de r em (4) escreve-se por justaposic¸ao ˜ na forma: ˜ Notac¸ao. A representac¸ao r = ak ak−1 . . . a2 a1 a0 , b1 b2 b3 b4 . . . b` . . . A parte ak ak−1 . . . a2 a1 a0 = ak · 10k + ak−1 · 10k−1 + . . . + a1 · 101 + a0 · 100 e´ chamada a parte b1 b2 b` inteira de r e se designa por [r]. A parte 0 , b1 b2 b3 b4 . . . b` . . . = 1 + 2 + . . . + ` + . . . e´ 10 10 10 chamada a parte decimal de r. ´ J. Delgado - S. Firmo - P. Nobrega

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Os Racionais e os Irracionais

˜ decimal finita e escrevemos Quando b` = 0 para todo ` > `0 dizemos que r possui expansao r = ak ak−1 . . . a2 a1 a0 , b1 b2 b3 b4 . . . b`0 . ˜ decimal 0 , b1 b2 . . . bn . . . e´ periodica ´ Dizemos que uma expansao se existem k, p ∈ Z+ tais que b`+p = b` para todo ` > k. ˜ decimal 0 , b1 b2 . . . bn . . . e´ periodica ´ Mais explicitamente, uma expansao se existirem k, p ∈ Z+ tais que 0 , b1 b2 . . . bn . . . = 0 , b1 . . . bk bk+1 bk+2 . . . bk+p bk+1 bk+2 . . . bk+p . . . bk+1 bk+2 . . . bk+p . . . | {z }| {z } | {z } ˜ decimal periodica ´ Uma maneira mais simples de escrever uma expansao como a anterior consiste em escrever apenas uma vez os d´ıgitos que se repetem com uma barra horizontal por cima. ˜ a expansao ˜ decimal anterior escreve-se na forma: Com esta convenc¸ao, 0 , b1 b2 . . . bn . . . = 0 , b1 . . . bk bk+1 bk+2 . . . bk+p . ˜ ´ As expansoes decimais finitas podem ser pensadas como sendo periodicas de maneira ˜ de zeros: trivial acrescentando uma terminac¸ao 0 , b1 b2 . . . bk = 0 , b1 b2 . . . bk 000 . . . 00 . . . = 0 , b1 b2 . . . bk 0 . ˜ do Teorema 3.5.1 que apresentaremos a seguir, provaremos um pouco Na demonstrac¸ao ˜ fundamentais para a mais do que a tese exige, os resultados adicionais que vamos obter sao ˜ seguinte proposic¸ao: m e´ sempre n ´ ˜ 2 e/ou finita ou periodica, sendo finita se, e somente se, os unicos divisores primos de n sao ´ ˜ decimal do numero ˜ 3.5.2. Sejam m, n ∈ Z+ . A expansao Proposic¸ao racional ´

˜ decimal finita ou periodica ´ ˜ decimal de um 5. Reciprocamente, toda expansao e´ a expansao numero racional. ´ ˜ consideraremos apenas numeros Tanto no teorema quanto na proposic¸ao, racionais posi´ ˜ obtidos por mera tivos. Os correspondentes resultados para numeros racionais negativos sao ´ simetria. ˜ e´ completamente construtiva, Procedemos com a prova do teorema 3.5.1, a demonstrac¸ao ˜ decimal de um numero dando lugar a um algoritmo para determinar a expansao racional. Tal ´ ˜ (ou iterac¸ao) ˜ do algoritmo de Euclides. Mais ainda, o nosso algoritmo e´ constru´ıdo por repetic¸ao ˜ com resto que efetuamos desde algoritmo e´ apenas a justificativa formal do processo da divisao ˜ decimais. nossos cursos elementares para obter expansoes ´ J. Delgado - S. Firmo - P. Nobrega

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Os Racionais e os Irracionais

˜ do Teorema 3.5.1. Demonstrac¸ao Consideremos um numero racional r = ´ primos entre si.

m ˜ irredut´ıvel, isto e, ´ m, n ∈ Z+ sao ˜ escrito como frac¸ao n

˜ a considerar: Temos duas situac¸oes Caso I. n = 1. m = m e´ um numero inteiro e escreve-se na forma ak · 10k + ak−1 · 10k−1 + . . . + ´ n a1 · 101 + a0 · 100 , onde bj = 0 para todo j ∈ Z. Neste caso,

Caso II. n 6= 1. ˜ Aqui temos que considerar ainda duas sub-situac¸oes: Caso II.a. m > n. Neste caso podemos aplicar o algoritmo de Euclides para determinar inteiros q, p ∈ Z+ , com m p m 0 < p < n tais que m = q · n + p. Logo = q + , sendo q a parte inteira de . Como ja´ n n n p ˜ II.b. abaixo, sabemos decompor a parte inteira, basta analisar a parte . Isto e´ feito na situac¸ao n ˜ e´ irredut´ıvel. assumindo que que a frac¸ao Caso II.b. m < n. ˜ sobre limites, sabemos que a sucessao ˜ Das nossas primeiras noc¸oes m · 100 , m · 101 , . . . , m · 10j , . . . tende a infinito quando j −→ ∞. Portanto, para o nosso n, existe um menor inteiro k1 ∈ Z+ tal que m · 10k1 ≥ n > m · 10k1 −1 . Se k1 > 1 fazemos b1 = b2 = . . . = bk1 −1 = 0. Escrevemos r0 = m. Segundo o algoritmo de Euclides, podemos encontrar inteiros bk1 ∈ Z+ e r1 ∈ N com 0 ≤ r1 < n tais que m · 10k1 r0 · 10k1 = n · bk1 + r1 .

(∗)

1 m bk r1 obtemos = k1 + . Logo k n · 10 1 n 10 1 n · 10k1 m b1 b2 bk r1 = 1 + 2 + . . . + k1 + . n 10 10 10 1 n · 10k1

Multiplicando a igualdade (*) por

˜ (*) pode ser Neste ponto e´ importante observar que bk1 ∈ {1, 2, . . . , 9}. De fato, a relac¸ao m · 10k1 −1 r1 ˜ por n obtemos 10 escrita 10(m·10k1 −1 ) = n·bk1 +r1 . Dividindo esta relac¸ao = bk1 + . n n ´ J. Delgado - S. Firmo - P. Nobrega

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˜ o lado Pela maneira como foi feita a escolha do inteiro k1 temos m · 10k1 −1 < n e entao, r1 esquerdo da igualdade e´ estritamente menor que 10. Como 0 ≤ r1 < n temos ≥ 0 e o lado n direito da igualdade e´ maior ou igual a bk1 . Portanto, 10 > bk1 e como bk1 ∈ Z+ , obtemos 10 > bk1 > 0 como afirmamos. ˜ a expansao ˜ decimal e´ finita e m · 10k1 = n · bk1 . Portanto n Se r1 e´ igual a 0 em (*), entao ˜ relativamente primos, n e´ divisor de 10k1 , logo n e´ um e´ divisor de m · 10k1 . Como n e m sao ˆ produto de potencias de 2 e/ou de 5. Neste caso, b1 m b2 bk −1 bk = 1 + 2 + . . . + k1 −1 + k1 = 0 , b1 b2 . . . bk1 −1 bk1 . 1 n 10 10 10 10 1 r1 ˜ , mas isto recai de novo a situac¸ao n·10k1 ´ de m e estudamos a expansao ˜ decimal do racional inicial. Com efeito, consideramos r1 ao inves r1 . n Seja k2 ∈ Z+ o menor inteiro tal que r1 · 10k2 ≥ n > r1 · 10k2 −1 . Se r1 6= 0 em (*), temos que analisar a parcela

Se k2 > 1 fazemos bk1 +1 = bk1 +2 = . . . = bk1 +k2 −1 = 0. Pelo algoritmo de Euclides, existem inteiros bk1 +k2 ∈ Z+ e r2 ∈ N tais que r1 · 10k2 = n · bk1 +k2 + r2 ,

com 0 ≤ r2 < n

˜ nulo da expansao ˜ decimal de Provaremos que o seguinte d´ıgito nao isto, temos que verificar que 10 > bk1 +k2 > 0.

(∗∗)

m e´ bk1 +k2 . Antes de provar n

r1 · 10k2 −1 ˜ 0 ≤ r2 < n implica < 1. Por outro lado, a relac¸ao n r2 ≥ 0. Portanto, ao dividir a igualdade (**) por n obtemos: n Pela escolha do inteiro k2 temos

10 > 10

r1 · 10k2 −1 r2 · 10k2 r2 = = bk1 +k2 + ≥ bk1 +k2 . n n n

Como bk1 +k2 ∈ Z+ conclu´ımos 10 > bk1 +k2 > 0 . ˜ a expansao ˜ decimal e´ finita e termina com o d´ıgito bk1 +k2 , neste caso Se r2 = 0 entao r1 · 10k2 = n · bk1 +k2 , ´ n divide r1 · 10k2 , ou seja n divide 10k2 (pois r1 < n). Logo, os unicos isto e, divisores primos de ´ ˜ 2 e/ou 5. n sao Se r2 6= 0, multiplicamos a igualdade de (**) por

1 para obter n · 10k1 +k2

r2 bk +k r2 = k1 +k2 + . k n · 10 1 10 1 2 n · 10k1 +k2 ´ J. Delgado - S. Firmo - P. Nobrega

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Logo m b1 bk −1 bk bk +1 bk +k −1 bk +k r2 , = 1 + . . . + k1 −1 + k1 + k1 +1 + . . . + k1 +k2 −1 + k1 +k2 + n 10 10 1 10 1 10 1 10 1 2 10 1 2 n · 10k1 +k2 e se repete o procedimento com r2 no lugar de m. Observamos que, caso nenhum dos restos r0 = m, r1 , r2 , r3 , . . . obtidos no algoritmo seja m ˜ decimal de ˜ sera´ finita, mas por outro lado, estes restos estao ˜ tonulo, a expansao nao n ´ de no maximo ´ dos contidos no conjunto {1, 2, . . . , n − 1}. Portanto, apos n etapas, apare˜ do algoritmo ri+1 = rj+1 , cera´ um resto rj igual a algum ri com 0 ≤ i < j e pela construc¸ao ri+2 = rj+2 , . . . , ri+(j−i−1) = rj+(j−i−1) , rj = ri+(j−i) = rj+(j−i) = r2j−i , . . . com as correspondentes igualdades dos d´ıgitos. Assim, m = 0, b1 . . . bki −1 bki bki +1 . . . bkj −1 bki bki +1 . . . = 0, b1 b2 . . . bki −1 bki bki +1 . . . bkj −1 . n Isto termina a prova do Teorema. C.Q.D. ˜ 3.5.2. apos ´ a seguinte observac¸ao ˜ fundaVamos agora completar a prova da proposic¸ao mental. ˜ decimal por uma potencia ˆ ˜ 4. Multiplicar uma expansao Observac¸ao de 10 significa transladar a ˆ v´ırgula decimal pra a esquerda se o expoente da potencia de 10 e´ negativo, ou pra a direita se o expoente e´ positivo. ˜ decimal r = ak . . . a1 a0 , b1 b2 . . . b` . . . De fato, consideremos uma expansao Dado n ∈ Z+ temos 10n · r = 10n ·  (ak . . . a1 a0 , b1 b2 . . . b` . . .)

 b1 b` = 10 · ak · 10 + . . . + a1 · 10 + a0 · 10 + 1 + . . . + ` + . . . 10 10 = ak · 10k+n + ak−1 · 10k−1+n + . . . + a1 · 101+n + a0 · 100+n + b1 · 10n−1 n

k

1

0

+b2 · 10n−2 + . . . + bn · 10n−n + bn+1 · 10n−(n+1) + bn+2 · 10n−(n+2) + . . . = ak . . . a1 a0 b1 b2 . . . bn , bn+1 bn+2 . . . Se n ≤ k : 10−n · r = 10−n · (a  k . . . a1 a0 , b1 b2 . . . b` . . .) −n

= 10 ´ J. Delgado - S. Firmo - P. Nobrega

 b1 b` · ak · 10 + . . . + a1 · 10 + a0 · 10 + 1 + . . . + ` + . . . 10 10 k

1

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0

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= ak · 10k−n + ak−1 · 10k−1−n + . . . + an · 10n−n + an−1 · 10n−1−n + . . . +a1 · 101−n + a0 · 100−n + b1 · 10−n−1 + . . . = ak . . . an , an−1 . . . a0 b1 b2 . . . Finalmente, se n > k : 10−n · r = 10−n · (a  k . . . a1 a0 , b1 b2 . . . b` . . .)

 b1 b` = 10 · ak · 10 + . . . + a1 · 10 + a0 · 10 + 1 + . . . + ` + . . . 10 10 = ak · 10k−n + ak−1 · 10k−1−n + . . . + a0 · 100−n + b1 · 10−n−1 + . . . −n

k

1

0

= 0 · 10−1 + . . . + 0 · 10k+1−n + ak · 10k−n + ak−1 · 10k−1−n + . . . +a0 · 100−n + b1 · 10−n−1 + . . . = 0 ,0| 0 0 {z . . . 0 0}ak . . . a0 b1 b2 . . . n − (k + 1) zeros

˜ da Proposic¸ao ˜ 3.5.2. Demonstrac¸ao ˜ decimal de um numero Na prova do teorema 3.5.1 vimos que, a expansao racional e´ sempre ´ m ´ ˜ decimal de ˜ os unicos finita ou periodica, e que se a expansao e´ finita, entao divisores primos ´ n ˜ 2 e/ou 5. Vamos provar agora que, se os unicos ˜ 2 e/ou 5, de n sao divisores primos de n sao ´ m ˜ a expansao ˜ decimal de e´ finita. entao n Seja n = 2α · 5β , para alguns α, β ∈ N. ˜ por estudar: Temos duas situac¸oes Caso α ≤ β : Neste caso, multiplicando

m 2β−α por β−α e escrevendo m · 2β−α na forma n 2

m · 2β−α = b0 · 10k + b1 · 10k−1 + . . . + b2 · 101 + bk · 100 ,

(1)

m · 2β−α m b0 · 10k + b1 · 10k−1 + . . . + b2 · 10k−1 + bk · 100 = = n n · 2β−α 2β · 5β1−β k−β k−1−β = b0 · 10 + b1 · 10 + . . . + b2 · 10 + bk · 10−β .

(2)

obtemos:

Caso α > β : Neste caso procedemos como no anterior multiplicando como

m 5α−β por α−β , e escrevendo m · 5α−β n 5

m · 5α−β = c0 · 10k + c1 · 10k−1 + . . . + c2 · 101 + ck · 100 . ´ ˜ para este caso. Um calculo como o feito em (2) termina a demonstrac¸ao ´ J. Delgado - S. Firmo - P. Nobrega

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˜ decimal finita ou periodica ´ ˜ Vamos provar agora que toda expansao e´ de fato a expansao decimal de um numero racional. ´ ˜ decimal finita pode ser considerada como sendo periodica, ´ Como toda expansao restringi˜ as ` expansoes ˜ periodicas. ´ ´ podemos supor que a nossa expansao ˜ mos a nossa atenc¸ao Tambem ˜ tem parte inteira. nao ˜ decimal periodica, ´ ˜ Seja r = 0, b1 b2 . . . bk−1 bk . . . bk+p uma expansao com k, p ∈ Z+ , entao r · 10k−1 = b1 . . . bk−1 , bk . . . bk+p = b1 b2 . . . bk−1 + 0, bk . . . bk+p = a + 0, bk . . . bk+p , onde a = b1 b2 . . . bk−1 ∈ N, e similarmente r · 10k+p = b1 b2 . . . bk−1 bk . . . bk+p , bk . . . bk+p = b1 b2 . . . bk−1 bk . . . bk+p , bk . . . bk+p = b1 b2 . . . bk−1 bk . . . bk+p + 0, bk . . . bk+p = b + 0, bk . . . bk+p . onde b = b1 b2 . . . bk−1 bk . . . bk+p ∈ N. Portanto b > a e r · 10k+p − r · 10k−1 = b − a ∈ N. Logo r = 10k+p − 10k−1 ∈ Z+ , isto e´ r e´ um numero racional. C.Q.D. ´

b−a , com b − a ∈ Z e 10k+p − 10k−1

Exemplos. 1 1 1·5 5 A. = 0, 5 . Com efeito, = = = 0, 5 . 2 2 2·5 10 21 = 0, 2625 . 80 ˜ 2 e 5, pois 80 = 24 · 5, logo Com efeito, os unicos divisores primos de 80 sao ´ B.

21 21 21 · 53 2625 2 · 103 6 · 102 2 · 10 5 = 4 = 4 4 = = + + + 4 4 4 4 4 80 2 ·5 2 ·5 10 10 10 10 10 2 6 2 5 + + = 0, 2625 . = + 10 102 103 104 ˜ r = 0, 425 ? C. Qual e´ o numero racional representado pela expansao ´ 425 17 ˜ 4 temos r · 103 = 425. Portanto r = Pela observac¸ao = . 1000 40 2 = 0, 285714 . 7 Compare o esquema abaixo com o algoritmo a seguir:

D. Vamos verificar que

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Pelo algoritmo da prova do Teorema 3.5.1: (1) Temos 2 · 101 = 20 ≥ 7 > 2 = 2 · 100 e 2 · 101 = 2 · 7 + 6, onde 0 ≤ 6 < 7. Logo b1 = 2. (2) Temos 6 · 101 = 60 ≥ 7 > 6 = 6 · 100 e 6 · 101 = 8 · 7 + 4, onde 0 ≤ 4 < 7. Logo b2 = 8. (3) Temos 4 · 101 = 40 ≥ 7 > 4 = 4 · 100 e 4 · 101 = 5 · 7 + 5, onde 0 ≤ 5 < 7. Logo b3 = 5. (4) Temos 5 · 101 = 50 ≥ 7 > 5 = 5 · 100 e 5 · 101 = 7 · 7 + 1, onde 0 ≤ 1 < 7. Logo b4 = 7. (5) Temos 1 · 101 = 10 ≥ 7 > 1 = 1 · 101 e 1 · 101 = 1 · 7 + 3, onde 0 ≤ 3 < 7. Logo b5 = 1. (6) Temos 3 · 101 = 30 ≥ 7 > 3 = 3 · 100 e 3 · 101 = 4 · 7 + 2, onde 0 ≤ 2 < 7. Logo b6 = 4. O resto na etapa (6) coincide com o numerador de

2 7

Logo b7 = b1 = 2, b8 = b2 = 8, b9 = b3 = 5, . . . , b12 = b6 = 4, b13 = b7 = b1 = 2 . . . 2 Portanto = 0, 285714 . 7 103 = 0, 312 . E. Verifiquemos que 330 Usando o algoritmo descrito no teorema 3.5.1:

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(1) Temos 103 · 101 ≥ 330 > 103 · 100 e 103 · 101 = 330 · 3 + 40 com 0 ≤ 40 < 330. Logo b1 = 3 e r1 = 40. (2) Temos 40 · 101 ≥ 330 > 40 · 100 e 40 · 101 = 330 · 1 + 70 com 0 ≤ 70 < 330. Logo b2 = 1 e r2 = 70. (3) Temos 70 · 101 ≥ 330 > 70 · 100 e 70 · 101 = 330 · 2 + 40 com 0 ≤ 40 < 330. Logo b3 = 2 e r3 = 40 = r1 . Portanto b2 = b4 = b6 = . . . e b3 = b5 = b7 = . . .. 103 ´ Isto e, = 0, 3121212 . . . = 0, 312. 330 Compare os passos acima com o esquema abaixo !!!

´ F. Qual o numero racional representado pela d´ızima periodica r = 24, 34543? ´ Seja s = 0, 34543. ˜ 4: Temos r = 24 + s, e pela observac¸ao s · 102 = 34, 543. 34509 ˜ s= Logo s · (105 − 102 ) = 34543 − 34 = 34509 e entao . 99900 34509 2432109 810703 = = . Portanto r = 24 + 99900 99900 33300 ˜ r = 0, 9 ! ˜ 5. O numero Observac¸ao inteiro 1 e´ representado pela expansao ´ s · 105 = 34543, 543

e

De fato, r · 10 = 9, 9. Logo r · (10 − 1) = r · 10 − r = 9, 9 − 0, 9 = 9, de onde r = 1. ˜ 4 podemos escrever: Em virtude da observac¸ao 1

=

1 · 100 = 0, 9 = 0, 9999 . . .

0, 1

=

1 · 10−1 = 0, 09 = 0, 09999 . . .

0, 01

=

1 · 10−2 = 0, 009 = 0, 009999 . . .

0, 001

=

1 · 10−3 = 0, 0009 = 0, 0009999 . . .

etc. . . . ´ J. Delgado - S. Firmo - P. Nobrega

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0, |00 .{z . . 00} 1

=

1 · 10−n = 0, |00 . {z . . 000} 9 = 0, |00 . {z . . 000} 9999 . . .

n zeros

n + 1 zeros

n + 1 zeros

˜ no seguinte Corolario: ´ Resumimos estas considerac¸oes ˜ decimal finita de um numero ˜ nulo pode ser escrita ´ Corolario 3.5.3. A expansao racional nao ´ ˜ decimal periodica ´ como uma expansao infinita terminando com 9 de maneira unica. ´ Com efeito, se m ∈ Z+ podemos escrever m = (m − 1) + 1 = (m − 1) + 0, 9 = (m − 1), 9 Por exemplo: • 3 = 2 + 1 = 2+, 9 = 2, 9 . • 38 = 37 + 1 = 37+, 9 = 37, 9 . ˜ Se s = 0 , b1 b2 . . . bk , entao s = 0 , b1 . . . bk−1 (bk − 1) + 0 ,00 . . 00}1 = 0 , b1 . . . bk−1 (bk − 1) + 0 , 00 . . 00} 9 | .{z | .{z k − 1 zeros

k zeros

= 0 , b1 b2 . . . bk−1 (bk − 1)9 = 0 , b1 b2 . . . bk−1 (bk − 1)9999 . . . Por exemplo: • 0, 567 = 0, 566 + 0, 001 = 4, 566 + 0, 0009 = 4, 5669 . • 33, 12348 = 33, 12347 + 0, 00001 = 33, 12347 + 0, 000009 = 33, 123479 . ˜ decimais. ˜ 6. Operando com expansoes Observac¸ao ˜ dos numeros Uma vez estabelecidos os conceitos fundamentais sobre a representac¸ao ra´ ˜ ´ cionais via expansoes decimais (finitas ou periodicas), e´ natural se perguntar como e´ que se ˜ ´ se r, s ∈ Q sao ˜ representados pelas expansoes ˜ opera com tais expansoes. Isto e, r = mk mk−1 . . . m1 m0 , a1 a2 a3 . . .

e

s = n` n`−1 . . . m1 m0 , b1 b2 b3 . . . ,

˜ para obter as expansoes ˜ de r + s e r · s ? Mais ainda, como devem-se manipular as expansoes ´ a expansao ˜ de r−1 ? se r 6= 0, como se obtem ˜ e: ´ Converter as expansoes ˜ decimais em frac¸oes, ˜ Uma maneira de responder estas questoes ˜ ˜ operar as frac¸oes, e depois converter os resultados obtidos de novo a` forma de expansoes ... Hummmm! ... parece um processo trabalhoso... ´ Vejamos como abordar o problema de outro ponto de vista. Temos varios casos a considerar. ´ J. Delgado - S. Firmo - P. Nobrega

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˜ 3.5 Os Racionais e suas Expansoes Decimais

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˜ de r e s sao ˜ finitas. Caso I. As expansoes ´ r = mk mk−1 . . . m1 m0 , a1 a2 a3 . . . ap e s = n` n`−1 . . . n1 n0 , b1 b2 b3 . . . bq . Isto e, Se p ≤ q temos 10q r = mk mk−1 . . . m1 m0 a1 a2 a3 . . . ap 0| .{z . . 0} q − p zeros q

10 s = nk nk−1 . . . n1 n0 b1 b2 b3 . . . bp bp+1 . . . bq . Adicionando os lados direitos obtemos um inteiro c0 c1 c2 . . . cq , onde c0 e´ a soma das partes inteiras de r e s ou a soma das partes inteiras de r e s acrescentada em uma unidade. Adicionando ˜ decimais e´ dada por os lados esquerdos obtemos 10q (r + s). Logo, a soma das expansoes r + s = (c0 c1 c2 . . . cq )10−q = c0 , c1 c2 . . . cq . ˜ Por outro lado, multiplicando agora os lados direitos das expressoes acima obtemos um inteiro c0 c1 c2 . . . c2q , para algum c0 ∈ Z, e multiplicando os lados esquerdos obtemos 102q (rs). ˜ decimal do produto de r com s e´ dada por Logo, a expansao rs = (c0 c1 c2 . . . c2q )10−2q = c0 , c1 c2 . . . c2q , para algum inteiro c0 . ˜ sao ˜ finitas, apos ´ multiplica-las por potencias ˆ Portanto, quando as expansoes adequadas de ˜ ficam reduzidas a uma soma, ou uma multiplicac¸ao ˜ respectiva10, a sua soma e multiplicac¸ao mente, de numeros inteiros. ´ ˜ de r ou s e´ periodica ´ Caso II. Pelo menos uma das expansoes infinita. ´ ˜ sao ˜ da Este caso e´ muito mais delicado que o anterior quando as partes periodicas nao ´ a conversao ˜ a expansoes ˜ finitas), pois enforma 9 (que pode ser tratado como no caso I apos ˜ sabemos fazer nestas notas). Em virtude volve somas com infinitos termos (coisa que ainda nao ´ das somas infinitas, o caminho mais economico ˆ da dificuldade que ha´ por tras e´ transformar as ˜ em frac¸oes ˜ e proceder como indicamos acima do caso I. expansoes ´ ´ ˜ finitas sao ˜ suficientes para a maioria das aplicac¸oes ˜ pois, Na pratica, porem, as expansoes ˜ decimal infinita pode ser aproximada com grau arbitrario ´ como veremos depois, toda expansao ˜ por uma expansao ˜ decimal finita . de precisao Exemplo. Se r = 12, 4591 e s = 2, 7372702 temos:

107 r = 124591000 e 107 s = 27372702 . Logo

107 (r + s) = 151963702 . ´ J. Delgado - S. Firmo - P. Nobrega

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3.6 Os Numeros ´ Irracionais e os Numeros ´ Reais

Portanto r + s = 15, 1963702 . ´ Temos tambem 1014 rs = 3410392314882000 . Portanto rs = 34, 10392314882000 = 34, 10392314882 .

3.6 Os Numeros ´ Irracionais e os Numeros ´ Reais ˜ anterior vimos que todo numero ˜ deciNa sec¸ao racional e´ representado por uma expansao ´ ´ ˜ decimal periodica ´ ˜ mal periodica ou finita e reciprocamente, toda expansao ou finita e´ a expansao ´ (ver Corolario ´ ˜ decimal finita de um numero racional. Vimos tambem 3.5.3) que toda expansao ´ ˜ nula pode ser escrita de maneira unica ˜ decimal infinita subtraindo uma nao como uma expansao ´ ˜ nulo e acrescentando infinitos algarismos 9 nas casas decimais unidade do seu ultimo d´ıgito nao ´ seguintes. ˜ apresentaremos os numeros Nesta sec¸ao irracionais e os numeros reais, o enfoque que ado´ ´ taremos e´ bastante intuitivo mas sem descuidar os aspectos rigorosos que o texto tenta deixar ˜ mais formais para outros cursos mais avanc¸ados. na alma do leitor, deixando as construc¸oes ˜ nulos como sendo ˜ Convenc¸ao. No seguinte consideraremos todos os numeros racionais nao ´ ˜ decimais infinitas periodicas ´ ´ expansoes segundo o Corolario 3.5.3. ˜ decimal Consideremos a seguinte expansao r = 0, 10100100010000100000100 . . . 001 00 . . 000} 100 . 0000} 100 . . . | . {z | . .{z n-zeros

(n + 1)-zeros

˜ que onde o numero de zeros entre dois d´ıgitos 1 vai aumentando como se indica. Tal expansao, ´ ˜ e´ periodica ´ ˜ representa um numero ˜ nao nem finita, nao racional!! Isto motiva a seguinte definic¸ao ´ ˜ Definic¸ao.

˜ decimal que nao ˜ e´ periodica ´ Um numero irracional e´ uma expansao (vide a ´

˜ acima). convenc¸ao ˜ decimais, os seus elementos Designamos por R o conjunto que consiste de todas as expansoes ˜ chamados numeros sao reais. ´ ˜ anterior, os numeros ˜ tem uma ˜ 1. Segundo os resultados da sec¸ao Observac¸ao irracionais nao ´ m ˜ na forma representac¸ao com m, n ∈ Z, n 6= 0. n ´ J. Delgado - S. Firmo - P. Nobrega

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3.6 Os Numeros ´ Irracionais e os Numeros ´ Reais

´ que, Q ⊂ R e que R − Q e´ exatamente o conjunto dos numeros Devemos observar tambem ´ irracionais. ˜ ˜ ditas iguais quando as suas partes inteiras e todos ˜ Definic¸ao. Duas expansoes decimais sao os d´ıgitos das suas partes decimais coincidem. ´ que a expansao ˜ α = m, a1 a2 a3 . . . e´ menor que a expansao ˜ decimal β = Dizemos tambem n, b1 b2 b3 . . ., se acontece uma das seguintes possibilidades: •

˜ < em Z) do que a parte inteira m < n (i.e. a parte inteira de α e´ menor (segundo a relac¸ao

de β) •

Existe j ∈ Z+ tal que ai = bi , para todo i ∈ {1, 2, 3, . . . (j − 1)} e aj < bj .

Um numero real e´ α dito positivo se α > 0, negativo se α < 0. Designamos por R+ , R− ´ ˜ nulos e R∗ os subconjuntos de R que consistem dos numeros reais positivos, negativos e nao ´ respectivamente. ˜ β ≥ α tem o Escrever α ≤ β significa, como antes, que α < β ou α = β. A expressao mesmo significado que α ≤ β. ˜ o conjunto dos numeros ˜ negativos e o conjunto Os conjuntos R − R+ e R − R− sao reais nao ´ ˜ positivos respectivamente. dos numeros reais nao ´ Exemplos. ˜ α < β, porque a parte inteira (a) Se α = 4, 34909 = 4, 3491 e β = 5, 34909 = 5, 3491, entao de α (que e´ igual a 4), e´ menor que a parte inteira de β (que e´ igual a 5). ˜ (b) Se α = 12, 4958285079 = 12, 495828508 e β = 12, 4958285179 = 12, 495828518, entao α < β, pois a oitava casa decimal de α e´ 0 e a oitava casa decimal de β e´ 1. ˜ α < β, pois a sexta casa decimal de (c) Se α = 0, 34353249132 e β = 0, 34353534232, entao α e´ menor que a sexta casa decimal de β ˜ iguais. (d) Os numeros reais α = 4 e β = 3, 9 sao ´ ˜ do inicio da sec¸ao ˜ e a definic¸ao ˜ acima temos que, a Com efeito, segundo a convenc¸ao ˜ de α como uma expansao ˜ infinita e´ α = 4 = 3 + 1 = 3 + 0, 9 = 3, 9 = β (vide representac¸ao ˜ anterior). sec¸ao ˜ β < α. (e) Se α = 3 e β = 2, 99998, entao ˜ infinita de α e´ α = 3 = 2 + 1 = 2 + 0, 9 = 2, 9 = 2, 9999999. Logo, Com efeito, a expansao 105 β = 299998 < 299999, 9 = 300000 = 105 α implica β < α. ´ J. Delgado - S. Firmo - P. Nobrega

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3.6 Os Numeros ´ Irracionais e os Numeros ´ Reais

˜ ´ No conjunto dos numeros reais temos definidas duas operac¸oes basicas que generalizam ´ ˜ de soma e multiplicac¸ao ˜ definidas na sec¸ao ˜ 3.2 sobre Q: as operac¸oes + : R × R −→ R

(α, β) 7−→ α + β

· : R × R −→ R

(α, β) 7−→ α · β

˜ de soma ou adic¸ao) ˜ (operac¸ao ˜ de multiplicac¸ao ˜ ou produto) (operac¸ao

˜ sao ˜ uma generalizac¸ao ˜ das correspondentes definidas sobre Q Dizer que estas operac¸oes ˜ os numeros ˜ significa que, se α, β ∈ Q ⊂ R, entao reais α + β e α · β, que na verdade sao ´ ˜ exatamente aqueles definidos na sec¸ao ˜ 3.2. racionais, sao ´ ´ apenas estamos familiarizados com estas operac¸oes ˜ em se tratando de exNa pratica, nos ˜ decimais finitas ou, no caso de expansoes ˜ decimais infinitas nao ˜ triviais, via expressoes ˜ pansoes formais. ˜ decimal infinita nao ˜ periodica ´ Por exemplo, o numero π e´ na verdade uma expansao (abaixo ´ ˜ mostrados apenas alguns d´ıgitos da sua expansao ˜ decimal junto com uma representac¸ao ˜ sao π ´ ´ temos uma ideia ´ intuitiva de quantidades como 2π, ,etc. geometrica). Por outro lado, nos 4 ´ Um computador ou uma maquina de calcular precisaria de uma quantidade infinita de memoria ˜ decimal infinita nao ˜ trivial, coisa que o nosso mundo f´ısico nao ˜ para armazenar uma expansao permite. ˜ ˜ triviais, as restric¸oes ˜ Evidentemente, ao operar com expansoes decimais nao f´ısicas do ´ ´ nosso mundo observavel induzem erros nos calculos, mais o efeito nocivo destes erros e´ mino˜ finitas das quantidades envolvidas. Uma vez obtidas tais aproximac¸oes ˜ rado com boas aproximac¸oes finitas elas podem ser operadas como sendo numeros racionais. ´ ˜ ´ ˜ no conjunto dos numeros As operac¸oes basicas de soma e multiplicac¸ao reais verificam ´ ´ ˜ ˜ em Q descritas na as mesmas propriedades basicas das operac¸oes de soma e multiplicac¸ao ˜ 3.2. Para manter a completitude do texto reescrevemos a continuac¸ao ˜ as propriedades sec¸ao ˜ + e · em R: das operac¸oes ˜ Propriedades das operac¸oes de + e · em R. ˜ Se α, β, γ ∈ R, entao: (1) Comutatividade: • α + β = β + α, • α · β = β · α. (2) Associatividade: • (α + β) + γ = α + (β + γ), ´ J. Delgado - S. Firmo - P. Nobrega

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3.6 Os Numeros ´ Irracionais e os Numeros ´ Reais

• (α · β) · γ = α · (β · γ). (3) Distributividade: • α · (β + γ) = α · β + α · γ, ˆ (4) Existencia de elementos neutros (0 para + e 1 para a ·): ˜ tais que: Os numeros reais 0 e 1 sao ´ • 0 + α = α = α + 0. • 1 · α = α = α · 1. ˆ ´ (5) Existencia dos simetricos: ´ Para todo α ∈ R existe um numero real, chamado o simetrico de α, e ´ que designamos por −α tal que • α + (−α) = 0 = (−α) + α. ˆ (6) Existencia dos inversos: Para todo numero real α ∈ R diferente de zero, existe um numero ´ ´ real, chamado o inverso ou rec´ıproco de α, e que designamos por α−1 1 ou por , tal que α 1 1 • α · = 1 = · α. α α ˜ da sec¸ao ˜ 3.2 e o correspondente Neste ponto o leitor devera´ revisar o item Muita atenc¸ao ˜ em Z que descrevem outras propriedades obtidas a partir das no cap´ıtulo 2 para as operac¸oes enumeradas acima. ˜ < (respectivamente ≤) sobre Q, enunciadas na sec¸ao ˜ 3.4, junto As propriedades da relac¸ao ˆ ˆ ´ ˜ < (respectivacom as consequ¨ encias que destas se obtem, continuam validas para a relac¸ao mente ≤) sobre R. De novo, para manter a completitude do texto vamos re-enunciamos (pela ultima vez!) as ´ ´ ˜ < e ≤ em R: propriedades basicas das relac¸oes ˜ Propriedades das relac¸oes < e ≤ em R: Sejam α, β, γ ∈ R. ˜ < valem as seguintes propriedades: Para a relac¸ao ˜ α < γ (transitividade) (1) se α < β e β < γ entao ´ J. Delgado - S. Firmo - P. Nobrega

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3.6 Os Numeros ´ Irracionais e os Numeros ´ Reais

˜ α + γ < β + γ, (2) se α < β entao ˜ αγ < βγ, (3) se α < β e γ > 0 entao ˜ αγ > βγ, (4) se α < β e γ < 0 entao ˜ α < β ou β < α (dois elementos distintos sao ˜ comparaveis). ´ (5) se α 6= β entao ˜ ≤ valem as seguintes propriedades: Para a relac¸ao (1) α ≤ α, ˜ α = β, (2) se α ≤ β e β ≤ α entao ˜ α ≤ γ (transitividade), (3) se α ≤ β e β ≤ γ entao ˜ α + γ ≤ β + γ, (4) se α ≤ β entao ˜ αγ ≤ βγ, (5) se α ≤ β e γ > 0 entao ˜ αγ ≥ βγ, (6) se α ≤ β e γ < 0 entao ˜ comparaveis). ´ (7) α ≤ β ou β ≤ α (dois elementos quaisquer sao

Uma caracter´ıstica muito importante do conjunto dos numeros reais e´ dada na seguinte ´ ˜ proposic¸ao: ˜ 3.5.4. (Propriedade Arquimediana) Dados α, β ∈ R, com 0 < α e 0 ≤ β, existe Proposic¸ao um numero n ∈ N tal que β ≤ nα. ´ ˜ Consideremos primeiro o caso em que α, β ∈ Q. Demonstrac¸ao. p r Isto e´ suponhamos que α = e β = onde p, q, s ∈ Z+ e r ∈ N. q s ˆ Observamos que a propriedade arquimediana equivale a` existencia de n ∈ N tal que p r ≤n· , s q ´ rq ≤ nps ou seja isto e,

rq ≤ n. ps

rq ≤ n. ps ˜ decimais Consideremos agora expansoes Portanto, basta escolher n ∈ N tal que

α = a0 , a1 a2 . . . ak . . .

e

β = b0 , b1 b2 . . . bk . . . ,

onde a0 , b0 ∈ N, ai , bi ∈ {0, 1, 2, . . . , 9}, para todo i ∈ Z+ e algum dos ai , i ∈ N e´ diferente de zero. ´ J. Delgado - S. Firmo - P. Nobrega

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3.6 Os Numeros ´ Irracionais e os Numeros ´ Reais

Se a0 ≥ 1, escolhemos n ∈ N tal que n > b0 + 1. Sendo que b0 + 1 = b0 + 0, 9 ≥ b0 , b1 b2 . . . bk . . . = β e n ≤ na0 ≤ na0 + n · (0, a1 a2 . . .) = n · (a0 , a1 a2 . . .) = nα , obtemos, β ≤ nα. Finalmente, se a0 = 0 i.e., 0 < α ≤ 1, seja aj o primeiro dos d´ıgitos de α que e´ diferente de ˜ nula de α). zero (ou seja, a primeira casa decimal nao aj ˜ 0 < j = 0, |0 .{z Entao, . . 0} aj ≤ α. 10 jzeros

Seja n0 ∈ N tal que n0 ≥ b0 +1 ≥ b0 +0, b1 b2 . . . = β. Sendo que a propriedade arquimediana aj aj vale (pelo anterior) para os racionais j e n0 , existe n ∈ N tal que, n0 ≤ n · j . 10 10 aj Portanto β ≤ n0 ≤ n · j ≤ n · α. C.Q.D. 10 ´ importante observar e sempre lembrar que, a propriedade arquimediana vale ainda quando E ´ vale que substitu´ımos ≤ por < na desigualdade final, isto e, Dados α, β ∈ R, com 0 < α e 0 ≤ β, existe um numero n ∈ N tal que β < nα. ´ ˆ Da mesma maneira que introduzimos as potencias inteiras de numeros racionais, introduzi´ ˆ mos as potencias inteiras de numeros reais. Lembre que R∗ designa o conjunto dos numeros ´ ´ ˜ nulos, i.e. R∗ = R − {0}. reais nao ˜ Definic¸ao. • Para todo α ∈ R∗ , definimos α0 = 1. • Para todos α ∈ R e m ∈ Z+ , definimos αn = |α · α {z · . . . · α}. n vezes

• Para todos α ∈ R∗ e m ∈ Z+ , definimos α−n =

1 . αn

´ as seguintes propriedades basicas ´ ˆ Temos tambem das potencias inteiras: ˆ Propriedades das potencias inteiras de numeros ´ reais: Para todos α, β ∈ R∗ e m, n ∈ Z, temos (a) αm+n = αn · αn . (b) (α · β)n = αn · βn . ´ J. Delgado - S. Firmo - P. Nobrega

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3.6 Os Numeros ´ Irracionais e os Numeros ´ Reais

(c) (αn )m = αnm . (d) ( 0 < α < β e n ∈ Z+ ) =⇒ 0 < αn < βn . (e) 0 < α ≤ β ⇐⇒ 0 < β−1 < α−1 . ´ ˜ Definic¸ao. Seja α ∈ R, α ≥ 0. Dado n ∈ Z+ , a raiz n-esima de α, que designamos por

√ n

α

1 n

˜ negativo cuja n-esima ´ ˆ e´ o numero real nao potencia e´ igual a α. Quando n = 2 ´ √ √ escrevemos α no lugar de 2 α. ou por α

´ Se α ∈ R, α < 0 e n ∈ Z+ e´ ´ımpar, podemos definir a raiz n-esima de α como sendo o ´ ˆ numero real negativo cuja n-esima potencia e´ igual a α. ´

√

Por exemplo, temos

√

4 = 2,

√ 3

˜ tem sentido se perguntar sobre o valor de −8 = −2, mas nao

˜ negativos. −4, pois a raiz quadrada esta´ definida apenas para numeros reais nao ´ √ ´ e´ falso que 4 = −2 pois, por definic¸ao, ˜ a raiz quadrada e´ um numero ˜ Tambem real nao ´

negativo. Um acidente frequente entre os iniciantes e´ escrever igualdades do tipo ¨ √ ˜ implica o absurdo 2 = 4 = −2. expressao

√

4 = ±2. Uma tal

˜ estamos com ferramenta suficiente para provar que as ra´ızes Ate´ o presente momento, nao ´ ´ admitiremos este fato sem mais considerac¸oes. ˜ n-esimas definidas acima existem. Nos No ´ ˆ caso das ra´ızes quadradas (e em geral das ra´ızes n-esimas, para n potencia de 2) existe um ´ procedimento geometrico simples que permite representar tais quantidades na reta orientada. ´ O caso das ra´ızes quadradas dos inteiros naturais e´ tratado abaixo, o caso geral na proxima ˜ sec¸ao. ´ ˆ Tendo definidas as ra´ızes n-esimas, introduzimos as potencias racionais de numeros reais ´ ˜ acima. combinando as duas definic¸oes ´ ˜ Definic¸ao. Sejam α ∈ R e n ∈ Z tais que a raiz n-esima escrevemos α

m n



= α

1 n

m

=

√ n

α esta´ definida. Para m ∈ Z


m √ n α .

˜ e a definic¸ao ˜ das operac¸oes ˜ em Q, podemos verificar sem dificuldade que Com esta noc¸ao ˆ ˜ ainda validas ´ as propriedades das potencias inteiras de numeros reais descritas acima, sao ´ ˆ ˜ numeros ´ disso, podemos quando consideramos potencias cujos expoentes sao racionais. Alem ´ verificar que  1 m m 1 α n = αn = (αm ) n . ´ J. Delgado - S. Firmo - P. Nobrega

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3.6 Os Numeros ´ Irracionais e os Numeros ´ Reais

Exemplos. (a) 1r = 1, para todo r ∈ Q. (b) 0s = 0, para todo s ∈ Q, s > 0.
r mr ˆ (c) m = nr , desde que as potencias mr e nr estejam bem definidas, aqui r ∈ Q. n 1

2

(d) 8 3 = (8 3 )2 = 22 = 4. 4

1

(e) 27− 3 = (27 3 )−4 = 3−4 =

1 . 81

  54 1 1 1 1 1 √ . = 5 = (f) 1 = 1 = 2 2· 42 24 (25 ) 4 21+ 4 ˜ α = 1 ou r = 0. (g) (Importante) Sejam α ∈ R+ e r ∈ Q tais que ar = 1, entao ˜ por definic¸ao ˜ αr = α0 = 1. Com efeito, se r = 0 entao, ˜ que r 6= 0 e provemos que α = 1. Suponhamos entao, p ˜ Se escrevemos r = , com p, q ∈ Z∗ e q > 0, entao: q  q p 1 1 αr = 1 ⇐⇒ α q = 1 ⇐⇒ (αp ) q = 1 ⇐⇒ (αp ) q = 1q = 1 1

1

⇐⇒ (αp ) = 1 ⇐⇒ (αp ) p = 1 p ⇐⇒ α = 1 . ˜ ˆ Mais tarde, encerraremos as nossas considerac¸oes sobre potencias de numeros reais. ´ ˜ numeros ´ Resta ainda analisar o caso em que os expoentes sao reais! Para isto e´ necessaria ´ ˜ de aproximac¸ao ˜ de numeros ˜ a noc¸ao reais por racionais mediante limites de sucessoes de ´ numeros reais, combinado com um pouco de fe´ do leitor... ´ ˜ decimais que definem numeros Voltamos ao nosso estudo sobre as expansoes irracionais. ´ ˜ decimais de numeros Construir exemplos de expansoes irracionais e´ relativamente simples. ´ ˜ que, os numeros ˜ irracionais: Segue diretamente da definic¸ao a, b, c ∈ R abaixo sao ´ a = 75, 10100100010000100 . . . 001 |00 . {z . . 000} 100 . 0000} 100 . . . | . .{z n-zeros

(n + 1)-zeros

b = −7, 4242152787979979997999979 . . . 997 99 . . 999} 7 99 . 9999} 799 . . . | . {z | . .{z n-noves

(n + 1)-noves

c = 0, 0123456789101112131415161718192021 . . . 578579580581 . . . Mas por outro lado, existem exemplos menos evidentes de numeros irracionais nos quais a lei ´ ˜ que os define nao ˜ e´ tao ˜ evidente como nos exemplos acima. de formac¸ao ´ J. Delgado - S. Firmo - P. Nobrega

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3.6 Os Numeros ´ Irracionais e os Numeros ´ Reais

Os numeros reais ´ π = 3, 141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944 . . . d = 1, 4142135623730950488016887242096980785696718753769480731766797 . . . ˜ irracionais, mas isto nao ˜ e´ claro a partir das poucas casas decimais que escrevemos acima, sao ˜ terminem na milionesima ´ de fato, nada garante que estas expansoes casa decimal... O numero d e´ o comprimento da diagonal de um quadrado de lado 1 e o numero π e´ o ´ ´ ˜ vamos provar comprimento de um semic´ırculo de raio 1 (ver figuras abaixo). Nestas notas nao ˜ serao ˜ desenvolvidas aqui. que π e´ irracional, tal prova requere ferramentas que nao ´ Por outro lado, a prova de que o numero d e´ irracional, utiliza apenas a teoria basica de ´ ˜ e divisibilidade estudada no cap´ıtulo 2. Tal prova sera´ feita mais tarde, ainda nesta sec¸ao, ´ ˜ colocadas como exerc´ıcio para o leitor. outras similares envolvendo a mesma tecnica serao

˜ da raiz quadrada de 2. Fig. 6.Representac¸ao

Fig. 8. O trac¸o a` direita de 3 na reta orientada representa o numero π. ´

ˆ Fig. 7. As hipotenusas dos triangulos representam a raiz quadrada dos numeros naturais ≥ 2. ´

´ Na figura acima a` esquerda, chamada espiral de Pitagoras, os comprimentos dos segmentos radiais (concorrentes) correspondem a magnitudes cujo quadrado e´ um numero natural maior ou ´ ´ J. Delgado - S. Firmo - P. Nobrega

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3.6 Os Numeros ´ Irracionais e os Numeros ´ Reais

´ das ra´ızes quadradas dos numeros ˜ nulos. Devemos prestar bem igual a 1, isto e, naturais nao ´ ˜ pois muitas destas quantidades ja´ sao ˜ conhecidas, por exemplo, 2 tem por quadrado atenc¸ao, o 4, 3 tem por quadrado 9, 4 tem por quadrado 16, etc., ou seja que, as ra´ızes quadradas de 4, ˜ respectivamente 2, 3, 4, etc. Mais adiante veremos que a raiz quadrada de um 9, 16, etc., sao numero natural tem duas possibilidades: ou e´ um numero natural ou e´ um numero irracional. ´ ´ ´ Na figura acima a` direita estamos desentortando um semi-c´ırculo de raio 1 sobre a reta orientada, dando lugar a um segmento cuja magnitude (ou tamanho) e´ exatamente o comprimento do semi-c´ırculo, tal comprimento e´ designado pela letra grega π (chamada pi). Uma outra maneira de abordar os numeros irracionais pode ser feita trabalhando a antiga ´ ˜ grega de comensurabilidade. Os antigos gregos associavam quantidades abstratas (ou noc¸ao magnitudes) ao tamanho de segmentos de reta para medir comprimentos. Uma vez feito isto, ´ a outra como duas magnitudes α e β podiam ser somadas colocando na mesma reta uma apos na figura abaixo.

Fig. 9. Soma das magnitudes α e β.

˜ ditas comensuraveis, ´ Duas magnitudes α e β sao quando existir uma terceira magnitude γ contida um numero natural exato de vezes em α e um numero exato de vezes em β. Caso ´ ´ ´ ˜ chamadas incomensuraveis. ´ contrario as magnitudes sao ´ ´ Uma magnitude α e´ dita simplesmente comensuravel, quando e´ comensuravel com a mag´ nitude unidade. Caso contrario, a magnitude e´ denominada incomensuravel. ˜ denominadas comensuraveis, ´ Mais exatamente, duas magnitudes α e β sao se existem uma magnitude γ e naturais n, m ∈ N tais que α=m·γ isto e´ γ =

α β = , ou seja que m n

e

β = n · γ,

α m = ∈ Q, β n

´ ˜ tambem ´ denominadas racionalmente dependentes ou por isto, magnitudes comensuraveis sao racionalmente proporcionais. ˜ no lado esquerdo da expressao ˜ acima: O que significa Temos que prestar atenc¸ao

α ? Bom β

na verdade esta linha deve-ser lida como segue: ´ J. Delgado - S. Firmo - P. Nobrega

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3.6 Os Numeros ´ Irracionais e os Numeros ´ Reais

˜ na mesma proporc¸ao ˜ que as magnitudes inteiras m e n, As magnitudes α e β estao ou α esta´ para β como m para n.

˜ comensuraveis. ´ Fig. 10. As quantidades α = 4γ e β = 6γ sao

Observamos que, fazendo β = 1, obtemos sem maior dificuldade a seguinte: ´ ˜ 3.6.1. Uma magnitude α e´ comensuravel Proposic¸ao se, e somente se, e´ um numero racional. ´ ˜ acima nos diz tambem ´ que uma quantidade e´ incomensuravel ´ A proposic¸ao se, e somente se, e´ um numero irracional. ´ Uma das primeiras descobertas importantes dos gregos foi que, num quadrado, o compri˜ magnitudes incomensuraveis. ´ mento da diagonal e o comprimento do lado sao ´ para relembrar o Teorema de Pitagoras ´ Aproveitamos tambem e uma de suas tantas e belas provas. ´ Teorema 3.6.2. (Teorema de Pitagoras). Sejam a, b, c ∈ R respectivamente os comprimentos ˆ ˆ ˜ vale a relac¸ao ˜ dos catetos e a hipotenusa de um triangulo retangulo. Entao a2 + b2 = c2 . ˜ Considere o triangulo ˆ ˜ os comprimentos Demonstrac¸ao. ABC da figura abaixo, onde a e b sao ´ dos catetos e c o comprimento da hipotenusa. Seja H o pe´ da altura baixada do vertice C. O ponto H divide o segmento AB em dois sub-segmentos AH e HB de comprimentos m e n ` projec¸oes ˜ dos catetos do triangulo ˆ respectivamente. Tais sub-segmentos correspondem as ABC sobre a hipotenusa.

´ Fig. 11. O teorema de Pitagoras

ˆ ˆ ˆ semeA altura CH divide o triangulo ABC em dois sub-triangulos ACH e CBH sendo os tres m a n b lhantes. Destas semelhanc¸as obtemos = e = a c b c ´ J. Delgado - S. Firmo - P. Nobrega

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3.6 Os Numeros ´ Irracionais e os Numeros ´ Reais

a2 b2 e n= . c c ´ c = m + n obtemos, Como tambem

Logo m =

2

c

 2 a2 b2 = (m + n) = m + 2mn + n = +2 c c

2 a2 b2 b4 1 1 a4 + 2 = 2 a4 + 2a2 b2 + b4 = 2 a2 + b2 , = 2 +2 c c c c c c 2

2

2



a2 c

2

donde, c4 = (a2 + b2 )2 e, consequentemente, c2 = a2 + b2 , provando o teorema. C.Q.D. ¨ ´ O teorema de Pitagoras permite reduzir o problema grego da incomesurabilidade entre a √ ´ diagonal e o lado de um quadrado qualquer, ao de provar que 2 e´ incomensuravel: ˜ magnitudes incomensuraveis. ´ Teorema 3.6.3. Num quadrado qualquer, a diagonal e o lado sao ˜ Consideremos um quadrado de vertices ´ Demonstrac¸ao. ABCD e de lados de comprimento a. O ˆ ˆ segmento diagonal AC (ou BD) divide o quadrado em dois triangulos retangulos ABC e ADC, dos quais o segmento diagonal AC e´ a hipotenusa. Seja d o comprimento de AC.

Fig. 12. Incomesurabilidade do lado e a diagonal do quadrado.

´ Segundo o teorema de Pitagoras, d2 = a2 + a2 . Logo d2 = 2 a2 e portanto d =

√

2 · a.

˜ comensuraveis ´ ˜ Como vimos anteriormente, d e a sao se, e somente se, a razao √ d 2·a √ = 2 = a a ˜ ocorre em virtude da proposic¸ao ˜ que provaremos a seguir. e´ um numero racional, o qual nao ´ C.Q.D.

√ ˜ para provar a irracionalidade de 2 pode ser reaO argumento que usaremos a continuac¸ao √ ˜ ´ proveitado para provar que, se p e´ um inteiro primo, entao p e´ um numero irracional. Tambem, ´ ˜ existem muitos outros naturais que, embora nao ˜ sejam primos, como veremos a continuac¸ao, tem suas ra´ızes quadradas irracionais. ˜ 3.6.4. O numero Proposic¸ao ´ ´ J. Delgado - S. Firmo - P. Nobrega

√

2 e´ irracional. 106

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3.6 Os Numeros ´ Irracionais e os Numeros ´ Reais

√ ˜ Procedendo pelo absurdo, suponhamos que 2 e´ um numero Demonstrac¸ao. racional. Pode´ √ m ˜ irredut´ıvel ´ os inteiros m, n ∈ Z+ sao ˜ primos mos expressar 2 como uma frac¸ao ∈ Q, isto e, n entre si. ˜ Entao,

√ 2=

√ 2  m 2 m p2 =⇒ 2 = =⇒ 2 = 2 =⇒ p2 = 2 q2 , n n q

´ p2 e´ um inteiro par. isto e, ˜ p e´ par. Logo existe um inteiro k ∈ Z+ tal que Segundo o cap´ıtulo 2, se p2 e´ par entao p = 2 k e portanto 2 q2 = p2 = (2 k)2 = 4 k2 =⇒ q2 = 2 k2 , ´ q2 e´ tambem ´ um inteiro par, e portanto q e´ tambem ´ par, o qual e´ uma contradic¸ao, ˜ pois isto e, ˜ 2 como fator comum e portanto nao ˜ podem ser primos entre sendo p e q ambos pares, terao si. C.Q.D. Exemplos. (A) O numero real ´

√

6 e´ irracional.

´ ˜ acima, vamos supor pelo absurdo, Prova. Seguindo o metodo usado na prova da proposic¸ao √ m ˜ inteiros primos entre si. que 6 = e´ racional, onde m, n ∈ Z+ sao n ˜ Entao  m 2 m2 √ m 6= =⇒ 6 = = 2 =⇒ m2 = 6 n2 = 2(3 n2 ), n n n 2 ´ m e´ par e portanto m e´ par. isto e, Escrevendo m = 2 k temos m2 = 2(3 n2 ) =⇒ (2 k)2 = 2(3 n2 ) =⇒ 4 k2 = 2(3 n2 ) =⇒ 2 k2 = 3 n2 , ˜ em fatores primos do inteiro donde 3 n2 e´ par. Isto significa que 2 aparece na decomposic¸ao 3 n2 . Logo n2 e´ par e consequentemente, n e´ par. ¨ ˜ m e n ambos pares contrariamos a hipotese ´ ˜ primos entre Sendo entao de que m e n sao si, provando assim o resultado. C.Q.D. (B) O numero real ´

√

2+

√

3 e´ irracional.

√ √ Prova. Procedendo de novo pelo absurdo, suponhamos que α = 2 + 3 ∈ Q. Temos √ √ 2 √ √ √ √ √ √ α2 = 2 + 3 = ( 2)2 + 2 2 3 + ( 3)2 = 2 + 2 6 + 3 = 5 + 2 6 . ´ J. Delgado - S. Firmo - P. Nobrega

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Portanto

3.7 A Reta Real

√

α2 − 5 . 2 √ α2 − 5 ´ 6 ∈ Q, contradizendo o resultado do exemplo Ao supor α ∈ Q, obtemos ∈ Q, isto e, 2 √ √ anterior. Portanto 2 + 3 e´ irracional. C.Q.D. 6=

3.7 A Reta Real ˜ veremos como a todo ponto da reta orientada corresponde um numero Nesta sec¸ao real e ´ vice-versa. Desta maneira o conjunto dos numeros reais fica inteiramente representado na reta ´ orientada. A reta orientada representando o conjunto R dos numeros reais e´ chamada reta real. ´ ˜ ser representado por uma expansao ˜ Sabemos que todo numero real pode (por definic¸ao) ´ ´ ˜ decimal decimal infinita (periodica apenas quando o numero e´ racional), dada uma expansao ´ α = k, b1 b2 b3 . . ., onde k ∈ N e bi ∈ {0, 1, 2, . . . 9}, vemos que: No segmento da reta orientada limitado pelos inteiros k e k + 1, as quantidades racionais da n forma k + , com n ∈ N e 0 ≤ n ≤ 10 representam todos os pontos do segmento que o dividem 10 exatamente em 10 partes iguais. Como 0 ≤ b1 ≤ 9, uma das 10 partes iguais e´ o segmento compreendido entre os pontos b1 b1 + 1 que representam os racionais k + = k, b1 e k + = k, (b1 + 1). Aqui entendemos sem 10 10 ˜ que, se b1 = 9 entao, ˜ a expressao ˜ k, (b1 + 1) na verdade significa k + 1, pois maior explicac¸ao 9 1 10 k, (b1 + 1) = k, b1 + 0, 1 = k, 9 + 0, 1 = k + + =k+ = k + 1. 10 10 10 Sendo que b1 + 1 b1 ≤α
˜ de α com uma casa decimal exata. Fig. 13. Aproximac¸ao

Posteriormente dividimos o segmento compreendido entre os pontos que representam os ´ J. Delgado - S. Firmo - P. Nobrega

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ˆ 3.8 Intervalos, distancias e erros

Os Racionais e os Irracionais

b1 b1 + 1 e k+ em 10 partes iguais mediante os pontos que representam os 10 10 b1 n racionais k + + 2 , onde n ∈ {0, 1, 2, . . . , 9}. Como o feito acima, a desigualdade 10 10

racionais k +

k+

b1 b2 b1 b2 + 1 + 2 ≤α
diz que α esta´ no sub-sub-segmento limitado pelos pontos que representam os racionais k+

b1 b2 + 2 10 10

e

k+

b1 b2 + 1 + . 10 102

O procedimento se repete indefinidamente, dividindo sempre o sub-segmento correspon´ α para dente que contem α em 10 partes iguais, e localizando o sub-sub-segmento que contem depois dividi-lo de novo em 10 partes iguais (ver figura abaixo).

˜ de α com ate´ tres ˆ casas decimais exatas. Fig. 14. Aproximac¸ao

˜ decimal com Com este procedimento podemos representar na reta real qualquer expansao ˜ permitir. tantas casas decimais exatas como a nossa visao

ˆ 3.8 Intervalos, distancias e erros ˜ < e ≤ em R, introduzimos uma classe importante de subconjuntos de R: De pose das relac¸oes ˜ Sejam α, β ∈ R, com α ≤ β. Definimos Definic¸ao. (a) o intervalo aberto de extremidades α e β, como sendo o sub-conjunto (α, β) = {x ∈ R ; α < x < β} . ´ J. Delgado - S. Firmo - P. Nobrega

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Os Racionais e os Irracionais

(b) o intervalo fechado de extremidades α e β, como sendo o sub-conjunto [α, β] = {x ∈ R ; α ≤ x ≤ β} . (c) os intervalos semi-abertos de extremidades α e β, como sendo os sub-conjuntos (α, β] = {x ∈ R ; α < x ≤ β}

e [α, β) = {x ∈ R ; α ≤ x < β} .

(d) os intervalos infinitos determinados por α como sendo os sub-conjuntos (α, +∞) = {x ∈ R ; α < x} ,

[α, +∞) = {x ∈ R ; α ≤ x} ,

(−∞, α) = {x ∈ R ; x < α} ,

(−∞, α] = {x ∈ R ; x ≤ α} .

Note que todo intervalo (dos tipos acima descritos) pode se obter a partir de intervalos da ˜ de conjuntos. forma (α, +∞) e (−∞, α) fazendo operac¸oes ˜ Com efeito, se α, β ∈ R e α ≤ β, entao (−∞, α] = R − (α, +∞) ,

[α, +∞) = R − (−∞, α) ,

e R = (−∞, α) ∪ [α, +∞) .

Logo (α, β) = (α, +∞) ∩ (−∞, β) ,

[α, β] = (−∞, β] ∩ [α, +∞) ,

(α, β] = (α, +∞) ∩ (−∞, β] ,

[α, β) = [α, +∞) ∩ (−∞, β) .

´ que, (−∞, α] ∩ [α, +∞) = {α} e que (−∞, α) ∩ (α, +∞) = ∅. As vezes e´ Observamos tambem importante levar em conta que o conjunto R dos numeros reais e´ de fato um intervalo infinito: ´ R = (−∞, +∞). Na reta real podemos representar os intervalos especificando os extremos e a parte da reta determinada entre eles.

Fig. 15. Intervalos aberto (α, β), fechado [α, β] e semi-aberto [α, β) .

Fig. 16. Intervalos semi-aberto (α, β], infinito (α, +∞) e infinito (−∞, β) .

´ ˜ ˜ de ordem, das potencias ˆ Com as propriedades basicas das operac¸oes, da relac¸ao e a termi´ nologia estabelecida acima, podemos abordar varios problemas ditos lineares, e que envolvem ˜ de variaveis, ´ ˜ a determinac¸ao como os que apresentamos a continuac¸ao. ´ J. Delgado - S. Firmo - P. Nobrega

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Exemplos (A) Determinar o conjunto dos numeros reais x tais que 4 − x < 4 − 2x. ´ ˜ Temos que Soluc¸ao. 4 − x < 4 − 2x ⇐⇒ −x < −2x ⇐⇒ 0 < −x ⇐⇒ 0 > x ⇐⇒ x ∈ (−∞, 0), portanto {x ∈ R ; 4 − x < 4 − 2x} = (−∞, 0) . (B) Determinar o conjunto dos numeros reais x tais que ´

2x − 1 < 5. 3

˜ Temos que Soluc¸ao. 2x − 1 < 5 ⇐⇒ 2x − 1 < 15 ⇐⇒ 2x < 16 ⇐⇒ x < 8 ⇐⇒ x ∈ (−∞, 8) , 3 portanto



2x − 1 x ∈ R; < 5 = (−∞, 8) . 3

(C) Determinar o conjunto dos numeros x ∈ R que verificam ´

x+1 x−3 − ≥ 0. 2 5

˜ Temos que Soluc¸ao. x+1 x−3 x+1 x−3 − ≥ 0 ⇐⇒ ≥ ⇐⇒ 5(x + 1) ≥ 2(x − 3) ⇐⇒ 5x + 5 ≥ 2x − 6 2 5 2 5 11 ⇐⇒ 3x ≥ −11 ⇐⇒ x ≥ − ⇐⇒ x ∈ 3 portanto





11 − , +∞ 3

,

  x+1 x−3 11 − ≥ 0 = − , +∞ . x ∈ R; 2 5 3



(D) Para quais numeros x ∈ R vale −7 + x < 3 − 2x ≤ 10 ? ´ ˜ Temos que Soluc¸ao. −7 + x < 3 − 2x ≤ 10 ⇐⇒ ( −7 + x < 3 − 2x e 3 − 2x≤ 10 )  10 7 ⇐⇒ ( 3x < 10 e − 7 ≤ 2x ) ⇐⇒ x < e − ≤x 3 2     10 7 ⇐⇒ x ∈ −∞, e x ∈ − , +∞ 3  2    7 10 7 10 ⇐⇒ x ∈ −∞, ∩ − , +∞ ⇐⇒ x ∈ − , , 3 2 2 3 ´ J. Delgado - S. Firmo - P. Nobrega

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Os Racionais e os Irracionais

e, portanto,   7 10 {x ∈ R ; −7 + x < 3 − 2x ≤ 10} = − , . 2 3 ˜ (E) Resolver para x ∈ R a inequac¸ao

x−1 x−3 > . x−2 x−4

˜ ˜ tem sentido desde que os denominadores que nela Soluc¸ao. Observamos que a inequac¸ao ˜ nulos. Isto e, ´ x − 2 6= 0 e x − 4 6= 0, ou seja x 6= 2 e x 6= 4. Portanto, se aparecem, sejam nao ˜ tem soluc¸oes, ˜ ˜ que pertencer ao conjunto R − {2, 4} = (−∞, 2) ∪ (2, 4) ∪ a inequac¸ao estas terao (4, +∞). Temos portanto 3 casos por estudar: Caso I. x ∈ (−∞, 2) . Neste caso, x − 2 < 0 e x − 4 < 0. Portanto x−1 x−3 (x − 1)(x − 4) > ⇐⇒ < x − 3 ⇐⇒ (x − 1)(x − 4) > (x − 2)(x − 3) x−2 x−4 x−2 ⇐⇒ x2 − 5x + 4 > x2 − 5x + 6 ⇐⇒ 4 > 6 , ´ o conjunto dos numeros ˜ e´ igual ao conjunto dos isto e, x ∈ (−∞, 2) que verificam a inequac¸ao, ´ ˜ 4 > 6. Portanto numeros x ∈ (−∞, 2) que verificam a inequac¸ao ´

x−3 x−1 > = ∅. x ∈ (−∞, 2) ; x−2 x−4 Caso II. x ∈ (2, 4). Neste caso, x − 2 > 0 e x − 4 < 0. Portanto x−1 x−3 (x − 1)(x − 4) > ⇐⇒ < x − 3 ⇐⇒ (x − 1)(x − 4) < (x − 2)(x − 3) x−2 x−4 x−2 ⇐⇒ x2 − 5x + 4 < x2 − 5x + 6 ⇐⇒ 4 < 6 , ´ o conjunto dos numeros ˜ e´ igual ao conjunto dos isto e, x ∈ (2, 4) que verificam a inequac¸ao, ´ ˜ 4 < 6. Portanto numeros x ∈ (2, 4) que verificam a inequac¸ao ´

x−3 x−1 x ∈ (2, 4) ; > = (2, 4) . x−2 x−4 Caso III. x ∈ (4, +∞). Este caso e´ tratado de maneira similar ao caso I, pois neste, as diferenc¸as x − 2 e x − 4 tem o mesmo sinal (escreva os detalhes como exerc´ıcio). ˜ de ordem em R e´ o unico ˜ de valor absoluto ou A relac¸ao requisito para introduzir a noc¸ao ´ ´ modulo de um numero real. ´ ´ J. Delgado - S. Firmo - P. Nobrega

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´ ˜ O valor absoluto ou modulo Definic¸ao. de um numero real α ∈ R e´ definido como ´   α , se α ≥ 0 |α| = −α , se − α < 0 . ´ ˜ colocadas na seguinte: As propriedades do modulo de numeros reais sao ´ ˜ 3.6.2 O valor absoluto em R satisfaz as seguintes propriedades: Proposic¸ao (a) |α| ≥ 0, para todo α ∈ R. Mais ainda, |α| = 0 ⇐⇒ α = 0. (b) |α · β| = |α| · |β|, para todos α, β ∈ R. (c) |α + β| ≤ |α| + |β|, para todos α, β ∈ R (desigualdade triangular). ˜ O item (a) segue diretamente da definic¸ao. ˜ Para provar o item (b) tem que ser Demonstrac¸ao. ´ considerados varios casos segundo sejam os sinais de α e β, ficando como exerc´ıcio. Para provar a desigualdade triangular temos que saber duas coisas: (i) Para todo α ∈ R vale |α|2 = α2 = |α2 |. (ii) Para todo α ∈ R vale α ≤ |α. ˜ negativo. O item (i) resulta do fato de que o quadrado de qualquer numero real e´ sempre nao ´ ˜ do modulo ´ O item (ii) resulta da definic¸ao (escreva os detalhes como exerc´ıcio!). ´ que, a desigualdade 0 ≤ x ≤ y e´ equivalente a 0 ≤ x2 ≤ y2 . Portanto Lembramos tambem ´ provar a desigualdade triangular basta provar a desigualdade triangular nos quadrados. Isto e, equivale a provar a desigualdade |α + β|2 ≤ ( |α| + |β| )2 . Para provar esta desigualdade desenvolvemos o seu lado esquerdo: (i)

(i)

(i)

(i)

|α + β|2 = (α + β)2 = α2 + 2αβ + β2 = |α|2 + 2αβ + |β|2 = (α + β)2 = α2 + 2αβ + β2 = |α|2 + 2αβ + |β|2 (ii)

(b)

≤ |α|2 + |2αβ| + |β|2 = |α|2 + |2| |α| |β| + |β|2 = |α|2 + 2 |α| |β| + |β|2 = ( |α| + |β| )2 ,

C.Q.D.

˜ Observac¸ao. (a) O significado da desigualdade |α| ≤ β (respectivamente |α| < β). ´ J. Delgado - S. Firmo - P. Nobrega

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´ −α ≤ |α| e portanto −α ≤ β, isto e, ´ α ≥ −β. Note que α ≤ |α|, portanto α ≤ β. Tambem Resumindo, |α| ≤ β ⇐⇒ −β ≤ α ≤ β. Similarmente podemos ver que |α < β ⇐⇒ −β < α < β. ˜ de intervalos introduzida anteriormente, temos que: Segundo a notac¸ao |α| ≤ β ⇐⇒ α ∈ [−β, β], e similarmente |α| < β ⇐⇒ α ∈ (−β, β). (b) O significado da desigualdade |α| ≥ β (respectivamente |α| > β). ˜ de modulo, ´ Segundo a definic¸ao |α| = α ≥ β se α ≥ 0 e |α| = −α ≥ β se α < 0. Portanto |α| ≥ β ⇐⇒ ( α ≥ β ou α ≤ β ). Similarmente podemos ver que |α| > β ⇐⇒ ( α > β ou α < β ). ˜ de intervalos temos: Com a notac¸ao |α| ≥ β ⇐⇒ α ∈ (−∞, −β] ∪ [β, +∞), similarmente |α| > β ⇐⇒ α ∈ (−∞, −β) ∪ (β, +∞).

˜ ´ ˆ Corolario 3.6.3. (Consequ¨ encias da desigualdade triangular). Sejam α, β ∈ R. Entao: (a) |α − β| ≤ |α| + |β|. (b) | ( |α| − |β| ) | ≤ |α − β|. ˜ ˆ Demonstrac¸ao. O item (a) e´ consequ¨ encia direta da desigualdade triangular aplicada aos numeros α e −β junto com o fato de que | − β| = |β|. ´ ´ J. Delgado - S. Firmo - P. Nobrega

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˜ O item (b) segue diretamente de duas aplicac¸oes da desigualdade triangular, a primeira aplicada aos numeros α−β e β e a segunda aos numeros α e β−α. Com efeito, a desigualdade ´ ´ triangular implica |(α − β) + β| ≤ |α − β| + |β|,

donde |α| − |β| ≤ |α − β|,

|α + (β − α)| ≤ |α| + |β − α|,

donde |β| − |α| ≤ |β − α|,

e similarmente

˜ combinadas na seguinte estas duas desigualdades sao −|β − α| ≤ |α| − |β| ≤ |α − β|, ˜ acima, e´ exatamente aquele do enunciado. C.Q.D. cujo significado, segundo a observac¸ao ˜ intuitiva de que a segmentos de reta sao ˜ associados numeros ˜ negativos A noc¸ao reais nao ´ ˜ dos seus comprimentos, e´ formalizada na seguinte definic¸ao: ˜ para a medic¸ao ˜ Sejam α, β ∈ R. O numero ˆ Definic¸ao. real |α − β| e´ chamado a distancia de α a β. ´ ˜ Observac¸ao. ´ ´ ˆ (a) As propriedades basicas do modulo em R implicam que a distancia introduzida na ˜ acima verifica: definic¸ao (i) |α − β| ≥ 0 e ainda |α − β| = 0 ⇐⇒ α = β. ´ a distancia ˆ ˜ negativo, Isto e, entre dois numeros reais α e β e´ sempre um numero real nao ´ ´ sendo nulo apenas no caso em que os numeros α e β coincidem. ´ (ii) |α − β| = |β − α|. ´ a distancia ˆ Isto e, possui uma qualidade de simetria, ou seja que e´ indiferente determinar a ˆ ˆ distancia de α a β ou a distancia de β a α que o resultado sera´ o mesmo. (iii) |α − γ| ≤ |α − β| + |β − γ|. ˜ da desigualdade triangular, que diz que a distancia ˆ Esta qualidade e´ uma traduc¸ao medida ˆ de α a γ nunca e´ maior do que a soma da distancias medidas de α ate´ outro numero β e deste ´ ultimo ate´ γ. ´ Mais ainda, a igualdade em (iii) se verifica se, e somente se, β esta´ no intervalo de extremidades α e β (prove isto como exerc´ıcio!), isto e´ |α − γ| = |α − β| + |β − γ| ⇐⇒ ( α ≤ β ≤ γ ´ J. Delgado - S. Firmo - P. Nobrega

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ou γ ≤ β ≤ α ) . ´ Instituto de Matematica - UFF

ˆ 3.8 Intervalos, distancias e erros

Os Racionais e os Irracionais

ˆ ´ referida como o comprimento de um intervalo tendo tais (b) A distancia de α a β e´ tambem numeros como extremidades. Dizemos aqui um intervalo porque tal pode ser aberto, fechado ´ ou semi-aberto, o comprimento e´ o mesmo! ˜ da forma |α−β| ≤ γ significa que os numeros ˜ a uma distancia ˆ (c) Uma expressao α e β estao ´ ´ ˜ permite expressar de maneira exata o que significa que um de no maximo γ. Esta interpretac¸ao ˜ de um numero numero racional seja uma aproximac¸ao real: ´ ´ Seja ε ∈ R+ . Dizemos que r ∈ Q aproxima α ∈ R com erro menor que ε, se |r − α| ≤ ε. Diremos ´ de forma mais abreviada que r e´ uma ε-aproximac¸ao ˜ de α. tambem ˜ da forma |α − β| ≥ γ significa que os numeros ˜ a uma (d) Uma expressao α e β estao ´ ˆ distancia de pelo menos γ. Exemplos. (A) Dado um numero real ε > 0 e um numero real qualquer α, existem numeros β∈Qe ´ ´ ´ ´ γ ∈ R − Q distintos de α e ε-proximos de α. ´ Isto e: Todo numero real pode ser ε-aproximado por racionais e irracionais qualquer que seja ε > 0 ´ Prova. Dado o numero real ε > 0 existe, pela propriedade arquimediana, um numero natural ´ ´ n ∈ N tal que n · ε > 1. Seja m ∈ N tal que 10m > n (o numero m existe porque sabemos que ´ ˜ 10m · ε > 1, ou equivalentemente 10k tende a +∞ quando k tende a +∞). Entao, ε>

1 . 10m

Portanto, dado α ∈ R, basta achar um racional β ∈ Q e um irracional γ ∈ R − Q, que estejam 1 ´ -proximos de α. 10m ˜ decimal de α e´ α = a0 , a1 a2 a3 . . . ap . . . , onde a0 ∈ N e´ a Suponhamos que a expansao ˜ os d´ıgitos da parte decimal de α. parte inteira de α e a1 , a2 , . . . , ap , . . . ∈ {0, 1, 2, . . . , 9} sao ˜ o numero Entao, racional β = a0 , a1 a2 a3 . . . am aproxima α com erro menor que ε, pois ´ |α − β| = |a0 , a1 a2 a3 . . . am am+1 . . . − a0 , a1 a2 a3 . . . am | = |0, |0 0 .{z . . 0 0} am+1 am+2 . . . | ≤ |0,0| 0 .{z . . 0 0}1| m-zeros

(m − 1)-zeros

1 = 0,0| 0 .{z . . 0 0}1 = m < ε . 10 (m − 1)-zeros

´ J. Delgado - S. Firmo - P. Nobrega

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ˆ 3.8 Intervalos, distancias e erros

Os Racionais e os Irracionais

˜ de um numero Na verdade a aproximac¸ao real por um racional desta forma e´ o conhecido ´ processo de truncamento sem arredondamento. ˜ nula de α apos ´ a m-esima. ´ Seja agora p ∈ N, p > m tal que ap e´ a primeira casa decimal nao Isto e´ α = a0 , a1 a2 a3 . . . am0| 0 .{z . . 0 0}ap ap+1 . . . (p − 1 − m)-zeros

˜ am+1 e´ o seguinte d´ıgito nao ˜ nulo apos ´ o d´ıgito am na expansao ˜ (ou seja que, se p = m+1, entao de α.) Afirmamos que, o numero irracional ´ γ = a0 , a1 a2 a3 . . . am 0| 0 . .{z. 0 0 0} ap+1 ap+2 . . . , (p − m)-zeros

obtido a partir de α trocando o d´ıgito ap por 0, aproxima α com erro menor que ε. De fato, |α − γ| = |a0 , a1 a2 a3 . . . am0| 0 .{z . . 0 0}ap ap+1 . . . (p − 1 − m)-zeros

−a0 , a1 a2 a3 . . . am0| 0 . .{z. 0 0 0}ap+1 ap+2 . . . | (p − m)-zeros

1 . . 0 0}1| = 0,0| 0 .{z . . 0 0}1 = m < ε. = |0,0 . . 0 0}ap | ≤ |0,0| 0 .{z | 0 .{z 10 (p − 1)-zeros

(m − 1)-zeros

(m − 1)-zeros

Concluindo a prova do afirmado. C.Q.D. ˜ na reta real da ε-aproximac¸ao ˜ do exemplo acima na Na figura abaixo vemos a interpretac¸ao ´ reta orientada. Em geral, dizer que um numero β esta´ ε-proximo de um numero α significa que ´ ´ |α − β| < ε que se traduz em β ∈ (α − ε, α + ε).

˜ da ε-aproximac¸ao ˜ na reta orientada. Fig. 17.Representac¸ao

(B) Determine numeros β ∈ Q e γ ∈ R − Q que aproximem o numero irracional ´ ´ . . 0 0}100 . . . α = 0, 1010010001000010 . . . 1 0| 0 .{z . . 0 0} 10| 0 .{z k-zeros

(k + 1)-zeros

com erro menor que ε = 0, 00000053. ˜ Temos que ε > 10−7 . Segundo o exemplo acima, uma, podemos definir os numero Soluc¸ao: ´ procurados β e γ como: β = 0, 1010010 = 0, 101001 ´ J. Delgado - S. Firmo - P. Nobrega

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ˆ 3.8 Intervalos, distancias e erros

Os Racionais e os Irracionais

e γ = 0, 1010010000000010 . . . 1 0| 0 .{z . . 0 0} 1 |0 0 .{z . . 0 0} 100 . . . k-zeros

(k + 1)-zeros

´ β e´ obtido truncando a expansao ˜ decimal de α na sexta casa decimal, e γ e´ obtido Isto e, ´ ˜ nula apos ´ a setima) ´ trocando o 1 da decima casa decimal de α (primeira nao por 0. C.Q.D. ˜ anterior, a soluc¸ao ˜ que apresentaExistem infinidade de maneiras de responder a questao ˜ do exemplo (A) acima. mos aqui e´ uma interpretac¸ao O nosso procedimento nos leva claramente a obter os numeros β e γ menores que α, mas ´ ´ podemos ε-aproximar α por numeros tambem racionais e irracionais maiores que α. Fac¸a isto ´ como exerc´ıcio. ˜ de modulos ´ ˆ A interpretac¸ao de diferenc¸as de numeros reais como distancias pode ser de ´ ˜ de desigualdades, finalizamos esta sec¸ao ˜ com alguns exemplos. grande ajuda na resoluc¸ao Exemplos. (A) Determinar os numeros reais x para os quais se verifica |x + 4| < 2. ´ ˜ A desigualdade se traduz dizendo que desejamos encontrar os numeros ˆ Soluc¸ao: x cuja distancia ´ a −4 e´ menor que 2. Na reta orientada o problema esta´ resolvido! como podemos ver na figura abaixo.

˜ de |x + 4| < 2. Fig. 18. O conjunto soluc¸ao

Analiticamente temos que |x + 4| < 2 ⇐⇒ −2 < x + 4 < 2 ⇐⇒ −6 < x < −2 ⇐⇒ x ∈ (−6, −2). ˜ e´ o intervalo Portanto o conjunto dos numeros reais que verifica a desigualdade em questao ´ (−6, −2). C.Q.D. (B) Determine os numeros x ∈ R tais que ´ |x − 1| + |x + 1| < 4. ˜ Trata-se dos numeros ˆ Soluc¸ao: x ∈ R tais que a soma das suas distancias a −1 e a 1 e´ menor ´ que 4. A desigualdade equivale a |x − 1| < 4 − |x + 1|, que por sua vez equivale a −4 + |x + 1| < x − 1 < 4 − |x + 1|, ´ J. Delgado - S. Firmo - P. Nobrega

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ˆ 3.8 Intervalos, distancias e erros

Os Racionais e os Irracionais

` duas desigualdades simultaneas ˆ ou seja as |x + 1| < x + 3

e

x − 5 < −|x + 1|,

isto e´ |x + 1| < x + 3

e

|x + 1| < 5 − x,

−x − 3 < x + 1 < x + 3

e

− 5 + x < x + 1 < 5 − x,

e

−5+x<x+1

e

−6<0

ou seja,

` quatro desigualdades simultaneas ˆ ou as −x − 3 < x + 1

e

x+1<x+3

e

x + 1 < 5 − x,

´ a isto e, −4 < 2x

e

1<3

e

2x < 4,

˜ (evidentemente) sempre verdadeiras. Logo o A segunda e a terceira desigualdades acima sao conjunto das quatro desigualdades equivale ao conjunto formado pela primeira e a quarta, que por sua vez equivalem a −2 < x

e

x < 2.

A primeira desigualdade equivale a dizer que x ∈ (−2, +∞) e a segunda equivale a dizer que x ∈ (−∞, 2). Logo o par equivale a dizer que x ∈ (−2, +∞) ∩ (−∞, 2), isto e´ x ∈ (−2, 2) Portanto, podemos escrever {x ∈ R ; |x − 1| + |x + 1| < 4} = (−2, 2) ˜ da desigualdade |x − 1| + |x + 1| < 4 e´ o intervalo aberto e dizer que o conjunto soluc¸ao (−2, 2). C.Q.D.

˜ de |x − 1| + |x + 1| < 4. Fig. 19. O conjunto soluc¸ao

(C) Determinar o conjunto dos numeros x ∈ R que verificam a igualdade ´ |x − 1| · |x + 2| = 0 . ˜ Sendo que o produto de dois numeros Soluc¸ao: reais e´ igual a zero apenas quando um dos ´ fatores e´ zero, temos |x − 1| · |x + 2| = 0 ⇐⇒ ( |x − 1| = 0 ou |x + 2| = 0 ) ´ J. Delgado - S. Firmo - P. Nobrega

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3.9 Limites e a PG

⇐⇒ ( x − 1 = 0 ou x + 2 = 0 ) ⇐⇒ ( x = 1 ou x = −2 ) ⇐⇒ x ∈ { 1, −2 .} ˜ e´ { 1, −2 }. C.Q.D. Logo, o nosso conjunto soluc¸ao

˜ de |x − 1| · |x + 2| = 0. Fig. 20. O conjunto soluc¸ao

(D) Determinar o conjunto dos numeros reais x que verificam a desigualdade ´ |x − 1| > 0 . ˜ Exemplos deste tipo de desigualdades sao ˜ fonte importante de erros entre os inicianSoluc¸ao: ˜ incorretas da forma tes. Tais erros vem de implicac¸oes |x − 1| > 0 =⇒ x − 1 > 0 =⇒ x > 1, porque isto e´ errado? A forma correta de proceder e´ a seguinte: ˜ de modulo ´ Segundo a definic¸ao temos   x − 1 se x − 1 ≥ 0 x − 1 = |x − 1| = −(x − 1) se x − 1 < 0 −(x − 1)

se x ≥ 1 se x − 1 < 0 .

Portanto, dizer que |x − 1| > 0 equivale a dizer que |x − 1| 6= 0, ou seja, x − 1 6= 0, ou ainda x 6= 1. Portanto x < 1 ou x > 1. Isto e´ x ∈ (−∞, 1) ∪ (1, +∞) = R − { 1 }. ˜ que o conjunto soluc¸ao ˜ e´ R − { 1 }. C.Q.D. Obtemos entao

3.9 Limites e a PG ˜ vamos concluir as nossas primeiras noc¸oes ˜ sobre limites de sucessoes ˜ iniciado Nesta sec¸ao ´ no cap´ıtulo 2. O material apresentado aqui e´ de natureza meramente introdutoria (mas nem por ˜ prolongar demais estas isso menos formal) procurando ser o mais breve poss´ıvel para nao notas. Deixamos de lado outros aspectos relevantes sobre o assunto para serem explicados ´ num bom curso sobre analise real. Se o leitor tiver muita pressa em aprofundar no assunto, ´ J. Delgado - S. Firmo - P. Nobrega

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3.9 Limites e a PG

´ ˜ chegar, pode ir consultando por exemplo o livro de E. Lima: ou o bom curso sobre analise nao ´ Curso de Analise (Vol. I), Projeto Euclides, IMPA, ou o livro de M. Spivak: Calculus, Vol. II. Ed. ´ Reverte. ˜ como por exemplo {2n }n e {5n}n , que tendem No cap´ıtulo 2 foram consideradas sucessoes para infinito quando n tende a infinito. Trabalhando com numeros reais, podemos falar de ex´ ˜ pressoes que tendem, por exemplo, para zero quando n tende a infinito. Ao representar o 1 conjunto dos numeros racionais na reta orientada vimos que os numeros racionais da forma , ´ ´ n ˜ tais que n ∈ Z∗ sao 1 −1 < − 12 < − 31 < . . . < − n1 < − n+1 < ... < 0 < ... <

1 n+1

<

1 n

< ... <

1 3

<

1 2

< 1,

1 1 (respectivamente − ) de zero, basta fazer n n n ´ ˜ colocamos a seguinte definic¸ao ˜ preliminar: grande. Com estas ideias como motivac¸ao, ´ intuitiva de que, para aproximar dando a ideia

˜ que depende de n ∈ N. Dizemos que αn ˜ (preliminar). Seja αn ∈ R uma expressao Definic¸ao tende a zero quando n tende a infinito e escrevemos lim αn = 0 quando o seguinte ocorre: n→∞ 1 1 ∗ ∗ ˜ − ≤ αn ≤ . dado k ∈ N existe n0 ∈ N tal que, se n ≥ n0 , entao n n ˜ Vale a pena observar que, se sabemos a priori que αn ≥ 0 para todo n ∈ N, entao ˜ 0 ≤ αn ≤ lim αn = 0 ⇐⇒ dado k ∈ N∗ existe n0 ∈ N∗ tal que, se n ≥ n0 , entao

n→∞

˜ e similarmente, se sabemos a priori que αn ≤ 0 para todo n ∈ N, entao ˜ − lim αn = 0 ⇐⇒ dado k ∈ N∗ existe n0 ∈ N∗ tal que, se n ≥ n0 , entao

n→∞

1
. n


1 ≤ αn ≤ 0 . n

˜ preliminar e segundo a nossa intuic¸ao, ˜ podemos acreditar piaPartindo da nossa definic¸ao mente no seguinte resultado: ˜ que depende de n ∈ N. Se αn > 0 para todo ˜ 3.9.1. Seja αn ∈ R uma expressao Proposic¸ao ˜ vale que n ∈ N, entao 1 = 0, n→∞ αn

lim αn = +∞ ⇐⇒ lim

n→∞

ˆ onde, o lado esquerdo da equivalencia significa que: ˜ αn ≥ R dado R ∈ R, R > 0, existe n0 ∈ N∗ tal que, se n ≥ n0 entao, ˜ Demonstrac¸ao. (=⇒) Suponhamos que lim αn = +∞. Dado k ∈ N∗ , devemos provar que existe n0 ∈ N∗ tal n→∞ 1 1 ˜ 0< que, se n ≥ n0 , entao ≤ . αn k ´ J. Delgado - S. Firmo - P. Nobrega

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3.9 Limites e a PG

´ ˜ A hipotese implica que, para o inteiro k ∈ N∗ dado, existe n0 ∈ N∗ tal que, se n ≥ n0 , entao αn ≥ k. Mas αn ≥ k equivale a 1 = 0. n→∞ αn

1 1 1 1 ≤ . Pelo anterior temos que, 0 < ≤ , para todo n ≥ n0 . αn k αn k

Isto prova que lim

1 = 0. n→∞ αn ´ Seja R ∈ R, R > 0. Consideremos um inteiro k ∈ N∗ tal que k > R. Segundo a hipotese, 1 1 1 1 ˜ 0< existe um inteiro n0 ∈ N∗ tal que, se n ≥ n0 , entao ≤ . Por outro lado, ≤ equivale αn k αn k a αn ≥ k que, pela escolha de k, implica αn ≥ R. (⇐=) Suponhamos agora que lim

Portanto, se n ≥ n0 temos αn ≥ R, provando assim lim αn = +∞ , como se queria. C.Q.D. n→∞

˜ preliminar acima podemos intuir tambem, ´ que a noc¸ao ˜ de limite deve inDa nossa definic¸ao ˜ de aproximac¸ao. ˜ Isto e´ confirmado na nossa definic¸ao ˜ definitiva: teragir fortemente com a noc¸ao ˜ que depende de n ∈ N e seja L ∈ R. Dizemos que αn ˜ Seja αn ∈ R uma expressao Definic¸ao. tende a L quando n tende a infinito e escrevemos lim αn = L, quando o seguinte ocorre: n→∞

˜ |αn − L| ≤ ε. dado ε ∈ R, ε > 0, existe n0 ∈ N∗ tal que, se n ≥ n0 , entao ´ importante observar que, em geral, o numero ˜ acima, depende da escolha E n0 na definic¸ao ´ ´ ˜ {αn }n . Isto e, ´ outra escolha de ε devera´ implicar numa outra escolha de ε e da propria sucessao do n0 . ˜ acima pode ser lida dizendo que, αn tende a L quando n tende a ∞ se, dado A definic¸ao ˜ ε -proximos ´ ε > 0, todos, salvo possivelmente um numero finito, os termos αn estao de L. O ´ numero finito a que nos referimos e´ exatamente o n0 associado ao ε escolhido. ´

˜ de limite e aproximac¸oes ˜ na reta real. Fig. 21. A noc¸ao

˜ com a nossa definic¸ao ˜ preliminar acima: Podemos comparar esta definic¸ao ˜ que depende de n ∈ N. As seguintes condic¸oes ˜ ˜ 3.9.2. Seja αn ∈ R uma expressao Proposic¸ao ˜ equivalentes: sao 1 1 ≤ αn ≤ . k k ˜ |αn | < ε. (ii) dado ε ∈ R, ε > 0, existe n0 ∈ N tal que, se n ≥ n0 , entao

˜ − (i) dado k ∈ N∗ , existe n0 ∈ N∗ tal que, se n ≥ n0 , entao

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3.9 Limites e a PG

1 1 ˜ Comec¸amos por observar que, a desigualdade − ≤ αn ≤ na condic¸ao ˜ (i), Demonstrac¸ao. k k 1 equivale a` desigualdade |αn | ≤ . Portanto, para provar que (ii)=⇒(i), dado k ∈ N∗ , basta aplicar k 1 ´ (ii) (que vale por hipotese) com ε = . k 1 Para provar que (i)=⇒(ii), basta provar que, dado ε ∈ R, ε > 0, existe k ∈ N∗ tal que ≤ ε. k Uma vez feito isto, tomamos o mesmo n0 obtido em (i) para o k obtido. Tal n0 serve para confirmar (ii) (verifique isto!). Dado ε > 0, pela propriedade arquimediana de R (aplicada a ε e 1), existe k ∈ N∗ tal que 1 k · ε ≥ 1. Ou seja ≤ ε, como quer´ıamos. C.Q.D. k ˜ Um outro fato importante que devemos observar, e que segue diretamente das definic¸oes ˜ da convergencia ˆ ˜ {αn } a` L, pode ser traduzida na noc¸ao ˜ acima, e´ que a noc¸ao de uma sucessao ˆ ˜ βn = αn − L a zero. Isto e, ´ da convergencia da sucessao lim αn = L ⇐⇒ lim ( αn − L ) = 0

n→∞

n→∞

Sabendo o significado de lim αn = L, vemos que o significado de lim αn 6= L e´ n→∞

n→∞

existe ε ∈ R, ε > 0 tal que, para todo n0 ∈ N∗ existe n ≥ n0 tal que |αn − L| > ε. Intuitivamente: Dizer que lim αn = L, significa que, para qualquer ε > 0, podemos achar n→∞

˜ tal que, se jogarmos fora os primeiros n0 termos n0 ∈ N (que depende de ε e da sucessao) ˜ α0 , α1 , α2 , . . . , αn0 −1 , todos os restantes αn0 , αn0 +1 , αn0 +2 , . . . estarao ˜ contidos no da sucessao intervalo [L − ε, L + ε] de centro L e raio ε. Neste sentido entendemos que, dado ε > 0, todos, ˜ ε -proximos ´ salvo um numero finito (n0 que depende de ε e de (αn )n ), os termos αn estao de L. ´ Similarmente, dizer que lim αn 6= L, significa que, para algum ε > 0, uma infinidade dos n→∞

˜ fora do intervalo [L − ε, L + ε]. termos αn estao ˜ Observamos que, assim como existem sucessoes que convergem a um limite, existem 1 ´ sucessoes ˜ que nao ˜ convergem. A sucessao ˜ cujos termos sao ˜ os numeros tambem , n ∈ N∗ , ´ n

˜ que converge a 0 e a sucessao ˜ (−1)n , n ∈ N∗ e´ o e´ o exemplo fundamental de uma sucessao ˜ que nao ˜ converge, pois infinitos de seus termos tomam exemplo fundamental de uma sucessao ˜ pode o valor 1 (quando n e´ par) e infinitos tomam o valor −1 (quando n e´ ´ımpar), portanto nao ´ acontecer que todos salvo um numero finito dos termos fiquem perto de um numero so. ´ ´

˜ (−1)n toma infinitas vezes os valores 1 e −1. Fig. 22. A sucessao

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3.9 Limites e a PG

˜ (αn )n , e´ intuitivamente claro que nao ˜ e´ poss´ıvel que Por outro lado, dada uma sucessao ´ ´ todos, salvo um numero finito, os termos αn , fiquem proximos de dois numeros distintos, isto e: ´ ´ ˜ de numeros ˜ 3.9.3. (Unicidade dos Limites) Seja (αn )n uma sucessao Proposic¸ao reais. Se ´ ˜ tais que L, M ∈ R sao lim αn = L

n→∞

e

lim αn = M,

n→∞

˜ L = M. entao ˜ Suponhamos que L 6= M. Seja ε ∈ R tal que 0 < ε < 12 |L − M|, temos que: Demonstrac¸ao. (i) existe n1 ∈ N tal que, n ≥ n1 =⇒ |αn − L| ≤

ε 2

(ii) existe n2 ∈ N tal que, n ≥ n2 =⇒ |αn − M| ≤

ε 2

Usando a desigualdade triangular e as desigualdades de (i) e (ii) obtemos, para n ≥ max{n1 , n2 } (max{n1 , n2 } designa o maior dentre os inteiros n1 e n2 ): |L − M| = |L − αn + αn − M| = |(L − αn ) + (αn − M)| ≤ |L − αn | + |αn − M| ≤

ε ε + = ε, 2 2

isto e´ 1 0 ≤ |L − M| ≤ ε < |L − M|, 2 ˜ negativo e´ estritamente menor do que sua metade). o qual e´ absurdo (nenhum numero nao ´ Portanto, necessariamente L = M. C.Q.D. ˜ que tem limite e´ que, todos os seus termos podem Outro fato relevante sobre as sucessoes ser encaixados dentro de um intervalo suficientemente grande, isto e´ ˜ de numeros ˜ 3.9.4. Seja (αn )n uma sucessao Proposic¸ao reais que converge a um numero real ´ ´ ˜ existem a, b ∈ R, a < b, tais que αn ∈ [a, b] para todo n ∈ N. L quando n tende a ∞. Entao, ˜ Por hipotese, ´ Demonstrac¸ao. para ε = 1 existe n0 ∈ N tal que, n ≥ n0 =⇒ L − 1 < αn < L + 1. Sejam a o maior dentre os numeros α0 , α1 , . . . , αn0 −1 , L + 1 e b o menor dentre os numeros ´ ´ ˜ αn ∈ [a, b] para todo n ∈ N. C.Q.D. α0 , α1 , . . . , αn0 −1 , L − 1. Entao:

˜ que tem limite esta´ contida num intervalo. Fig. 23. Toda sucessao

˜ acima obtemos que Da proposic¸ao lim αn = L =⇒ ∃ R > 0 tal que − R ≤ αn ≤ R , ∀ n ∈ N .

n→∞ ´ J. Delgado - S. Firmo - P. Nobrega

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3.9 Limites e a PG

ou equivalentemente lim αn = L =⇒ ∃ R > 0 tal que |αn | ≤ R , ∀ n ∈ N .

n→∞

˜ que tem limite e´ limitada em modulo ´ Fig. 24. Toda sucessao por uma constante.

˜ sao ˜ representados por pontos na reta real. Nas figuras acima, os termos da sucessao ˆ boas propriedades em relac¸ao ˜ as ` operac¸oes ˜ definidas em R. Os limites mantem ´ ˜ Propriedades basicas dos Limites de sucessoes. ˜ de numeros Sejam {αn }n , {βn }n , {γn }n sucessoes reais e r ∈ R. Valem as seguintes proprie´ dades: ˜ lim (αn + βn ) = L + M. (A) Se lim αn = L e lim βn = M, entao n→∞

n→∞

n→∞

˜ lim (αn · βn ) = L · M. (B) Se lim αn = L e lim βn = M, entao n→∞

n→∞

n→∞

˜ lim αn = r. (C) Se αn = r para todo n ∈ N, entao n→∞

˜ lim (−αn ) = −L. (D) Se lim αn = L, entao n→∞

n→∞

αn L = . n→∞ n→∞ n→∞ βn M ˜ L ≤ M. (F) Se lim αn = L , lim βn = M e αn ≤ βn para todo n ∈ N, entao

˜ lim (E) Se lim αn = L, lim βn = M, M 6= 0 e βn 6= 0 para todo n ∈ N, entao n→∞

n→∞

˜ lim γn = L. (G) Se lim αn = L = lim βn e αn ≤ γn ≤ βn para todo n ∈ N, entao n→∞

n→∞

n→∞

Prova. ˜ de limite com ε/2) (A) Seja ε > 0 dado. Temos que (aplicando a definic¸ao  ε lim αn = L =⇒ ∃ n0 ∈ N, tal que n ≥ n0 =⇒ |αn − L| ≤ , n→∞ 2 e similarmente ε lim βn = M =⇒ ∃ m0 ∈ N, tal que n ≥ m0 =⇒ |βn − M| ≤ . n→∞ 2 

´ k0 e´ o maior dentre os inteiros n0 e m0 . Logo, se n ≥ k0 Seja k0 = max{n0 , m0 }, isto e, ˜ em particular, n ≥ n0 e n ≥ m0 e portanto as proposic¸oes ˜ dos lados direitos acima sao ˜ entao, ´ validas. Assim, usando a desigualdade triangular obtemos |(αn + βn ) − (L + M)| = |(αn − L) + (βn − M)| ≤ |αn − L| + |βn − M| ≤ ´ J. Delgado - S. Firmo - P. Nobrega

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ε ε + = ε. 2 2

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3.9 Limites e a PG

Com isto provamos que, existe um inteiro k0 ∈ N∗ tal que, n ≥ k0 =⇒ |(αn + βn ) − (L + M)| ≤ ε, ´ que lim (αn + βn ) = L + M. isto e, n→∞

(B) Seja ε > 0. Temos que provar que, existe n0 ∈ N tal que, n ≥ n0 =⇒ |αn βn − LM| ≤ ε. ˜ antePara provar esta propriedade usaremos uma das formas equivalentes da proposic¸ao rior: lim αn = L =⇒ ∃ R > 0 tal que |αn | ≤ R.

n→∞

Primeiro observamos que, a desigualdade triangular implica: |αn βn − LM| = |αn βn − αn M + αn M + LM| ≤ |αn βn − αn M| + |αn M − LM| = |αn (βn − M)| + |M(αn − L)| = |αn | · |βn − M| + |M| · |αn − L| ≤ R · |βn − M| + |M| · |αn − L| . Portanto, basta fazer cada uma das parcelas do ultimo lado direito da desigualdade acima menor ´ ε ou igual do que . 2 Como lim αn = L temos que: n→∞

Dado

ε ε , existe n1 ∈ N tal que, n ≥ n1 =⇒ |αn − L| ≤ , 2|M| 2|M|

e como lim βn = M : n→∞

Dado

ε ε , existe n2 ∈ N tal que, n ≥ n2 =⇒ |βn − M| ≤ . 2R 2R

Logo, se n0 = max{n1 , n2 }, para todo n ≥ n0 temos: |αn βn − LM| ≤ R · |βn − M| + |M| · |αn − L| ≤ R ·

ε ε ε ε + |M| · = + = ε, 2R 2|M| 2 2

como quer´ıamos. ˜ exerc´ıcios para o leitor. (C) e (D) sao (E) Para provar esta propriedade, basta provar que 1 1 = . n→∞ βn M

˜ lim se lim βn = M, M 6= 0 e βn 6= 0 para todo n ∈ N, entao n→∞

(*)

Uma vez feito isto aplicamos (B) para concluir (exerc´ıcio). ´ J. Delgado - S. Firmo - P. Nobrega

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3.9 Limites e a PG

˜ grande deve ser Seja ε > 0 dado. O problema de provar (*) consiste em determinar que tao n ∈ N para que o numero ´ 1 M − βn |M − βn | 1 βn − M = βn M = |M| · |βn |

(∗∗)

seja menor ou igual do que ε. ˜ Comec¸amos por estimar o denominador no lado direito de (**), para isto aplicamos a definic¸ao de lim βn = M: n→∞

|M| |M| , existe n1 ∈ N tal que, n ≥ n1 =⇒ |M − βn | ≤ . 2 2 ˆ Uma das consequ¨ encias da desigualdade triangular garante que: Dado

|M| − |βn | ≤ |M − βn | , e portanto n ≥ n1 =⇒ |M| − |βn | ≤

|M| |M| 1 2 . =⇒ ≤ |βn | =⇒ ≤ 2 2 |M| · |βn | |M|2

˜ de Agora estimamos o numerador do lado direito de (**) aplicando de novo a definic¸ao lim βn = M da seguinte maneira:

n→∞

|M|2 |M|2 ε , existe n2 ∈ N tal que, n ≥ n2 =⇒ |M − βn | ≤ ε. 2 2 ˜ de (**) fica Seja agora n0 = max{n1 , n2 }. Para n ≥ n0 , a expressao 1 1 |M − βn | 1 |M|2 2 = ε, − = = |M − β | · ≤ ε· n βn M |M| · |βn | |M| · |βn | 2 |M|2 Dado

como quer´ıamos. ˜ de limite temos que, dado ε = (F) Suponhamos pelo absurdo, que M < L. Pela definic¸ao :

L−M 4

L−M L−M existe n1 ∈ N tal que, n ≥ n1 =⇒ − ≤ αn − L ≤ , 4 4 L−M L−M existe n2 ∈ N tal que, n ≥ n2 =⇒ − ≤ βn − M ≤ , 4 4 Logo, se n ≥ max{n1 , n2 }: L − M = (L − αn ) + (αn − βn ) + (βn − M) ≤ L−M . = (αn − βn ) + 2

L−M L−M + (αn − βn ) + 4 4

L−M ´ ≤ αn − βn =⇒ αn > βn , o qual e´ contra a` hipotese 2 de que αn ≤ βn para todo n ∈ N. Isto termina a prova de (F). e portanto, n ≥ max{n1 , n2 } =⇒ 0 <

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3.9 Limites e a PG

(G) Segundo o item anterior temos que αn ≤ γn ≤ βn ∀ n ∈ N =⇒ L ≤ lim γn ≤ L. n→∞

Logo lim γn = L. C.Q.D. n→∞

Alguns aspectos importantes e complementares sobre limites, antes de passarmos para os ˜ colocados na seguinte observac¸ao. ˜ exemplos, sao ˜ Observac¸ao. ˜ de lim αn = L equivale (a) Um ponto importante a ser observado e´ o seguinte: A definic¸ao n→∞

a` seguinte: ∀ ε > 0 , ∃ n0 ∈ N tal que, n ≥ n0 =⇒ |αn − L| < ε.

(∗)

˜ anterior esta´ na desigualdade < colocada ao inves ´ da A diferenc¸a entre esta e a definic¸ao original ≤. ˜ (∗) claramente implica a condic¸ao ˜ inicial (lembre que a < b =⇒ Note-se que a condic¸ao ˜ da definic¸ao ˜ original, e dado ε > 0 arbitrario ´ a ≤ b). Por outro lado, dada a condic¸ao temos, ε ˜ original com ao inves ´ de ε: aplicando a definic¸ao 2 ε ∃ n0 ∈ N tal que n ≥ n0 =⇒ |αn − L| ≤ < ε, 2 ˆ implicando (∗). Com isto provamos a equivalencia. ´ (b) Segundo o item acima, podemos complementar alguns aspectos basicos da seguinte ˜ destes fatos e´ deixada como exerc´ıcio para o leitor): maneira (a comprovac¸ao ˜ sucessoes ˜ de numeros Sejam (αn )n e (βn )n sao reais tais que ´ lim αn = L ,

n→∞ •

lim βn = M .

n→∞

˜ L ≤ M (note-se que a conclusao ˜ nao ˜ e´ L ≤ M, pode dar Se αn < βn para todo n ∈ N , entao

um exemplo?). •

˜ existe n0 ∈ N, tal que n ≥ n0 =⇒ αn > 0 . Se L > 0, entao

•

˜ existe n0 ∈ N, tal que n ≥ n0 =⇒ αn < βn . Se L < M, entao ´ (c) Nos itens (C), (E), (F), (G) da lista de propriedades basicas, a sentenc¸a “para todo n ∈ N”

pode ser substitu´ıda por “para todo n ∈ N salvo para um numero finito” ou por “para todo n ∈ N ´ maior ou igual que algum n0 ∈ N. O leitor e´ convidado a re-enunciar tais propriedades e refletir sobre o seu significado. ´ J. Delgado - S. Firmo - P. Nobrega

128

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Os Racionais e os Irracionais

3.9 Limites e a PG

˜ pode-se traduzir dizendo que, para efeito do analise ´ Esta observac¸ao do limite de uma su˜ (αn )n , basta prestar atenc¸ao ˜ no comportamento de αn com n ∈ N “suficientemente cessao ˜ nao ˜ interfere grande”. Ou que, o comportamento de um numero finito dos termos da sucessao ´ ´ ˜ do limite. Por tal motivo e´ indiferente comec¸ar uma sucessao ˜ com na analise ou determinac¸ao o termo α0 ou α1 . Exemplos. ˜ de numeros (1) Todo numero real e´ o limite de uma sucessao racionais distintos. ´ ´ Seja α ∈ R um numero real. ´ ˜ (αn )n onde αn = 10−n para todo n ∈ N. Se α = 0 consideramos por exemplo a sucessao ˜ sao ˜ todos distintos. Observamos que os termos da sucessao 1 Sabemos ja´ que 10n −→ +∞ quando n −→ ∞. Logo n = 10−n −→ 0 quando n −→ ∞. 10 ˜ como expansao ˜ decimal infinita α = Se α ∈ R − {0}, escrevemos a sua representac¸ao ˜ os d´ıgitos da expansao ˜ N, a1 a2 a3 . . . ak . . ., onde N ∈ Z e´ a parte inteira e aj ∈ {0, 1, 2, . . . , 9} sao ˜ (αn )n , onde α0 = N e αn = N, a1 a2 . . . an , para decimal. Neste caso, consideramos a sucessao ˜ decimal que define α ate´ a n - esima ´ ´ αn e´ o truncamento da expansao todo n ∈ N∗ . Isto e, ˜ decimal de α e´ infinita, todos os termos αn da sucessao ˜ casa decimal. Sendo que a expansao ˜ todos distintos. considerada sao Afirmamos que lim αn = α. n→∞

Com efeito, seja ε > 0 dado. Temos que achar n0 ∈ N tal que |α − αn | < ε para todo n ≥ n0 . Comec¸amos por observar que |α − αn | = |N, a1 a2 a3 . . . an an+1 . . . − N, a1 a2 a3 . . . an | = 0, |0 0 {z . . . 0} an+1 an+2 . . . < 0,0| 0 {z . . . 0}1 = 10−n . n - zeros

(n − 1) - zeros

Como lim 10−n = 0, dado ε > 0, existe n0 ∈ N tal que n ≥ n0 =⇒ 10−n = |10−n | < ε. n→∞

Portanto, se n ≥ n0 , temos |α − αn | < 10−n < ε , como quer´ıamos. C.Q.D. ´ escolhemos este exemplo para comec¸ar, pela sua relevancia ˆ ˜ aos conceitos Nos em relac¸ao ˜ decimais. As implicac¸oes ˜ que este produz sao ˜ trabalhados anteriormente sobre as expansoes igualmente relevantes: ´ J. Delgado - S. Firmo - P. Nobrega

129

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•

3.9 Limites e a PG

˜ vazio da reta real contem infinitos numeros Todo intervalo aberto nao racionais (escreva os ´

detalhes como exerc´ıcio). •

´ ˜ por numeros Todo numero irracional pode ser aproximado com graus arbitrarios de precisao ´ ´

racionais. Na verdade isto e´ o que e´ feito nos computadores e maquinas de calcular como foi explicado no in´ıcio do cap´ıtulo. ´ ´ (2) A partir das propriedades basicas dadas acima, podemos calcular o valor numerico do ˜ simples: limite de muitas sucessoes 1 = 0. n→∞ nk ˜ as sucessoes ˜ dadas por Com efeito, se (αn )n , (βn )n e (γn )n sao ˜ lim (a) Se k ∈ Z+ e´ um inteiro dado, entao

αn = 0 ,

βn =

1 , n

γn =

1 ,∀ nk

n ∈ N,

temos que lim αn = 0 ,

n→∞

lim βn = 0 ,

n→∞

e αn ≤ γn ≤ βn ,

∀ n ∈ N.

Logo, pela propriedade (G) obtemos lim γn = 0. n→∞

n+1 = 1. n→∞ n

(b) lim

n+1 n n n

1 + n1 1 = 1 + . Logo 1 n   n+1 1 1 lim = lim 1 + = 1 + 0 = 1. = lim 1 + lim n→∞ n→∞ n→∞ n→∞ n n n

Com efeito, temos que

n+1 = n

=

(c) O exemplo (b) acima pode ser considerado dentro de um contexto mais geral: Um poˆ ´ ˜ da forma linomio ( com coeficientes reais) na variavel x e´ uma expressao p(x) = ak xk + ak−1 xk−1 + ak−2 xk−2 + . . . + a1 x + a0 , onde ak , ak−1 , ak−2 , . . . , a1 , a0 ∈ R e ak 6= 0. O inteiro k ∈ N e´ chamado o grau de p(x) e se designa por Graf(p). Sejam p(x) = ak xk + ak−1 xk−1 + . . . + a1 x + a0 e q(x) = bm xm + bm−1 xm−1 + . . . + b1 x + b0 ˆ ´ ˜ (αn )n polinomios de graus k e m respectivamente, na variavel x. Consideramos a sucessao p(n) onde αn = . q(n) ´ nao ˜ podemos aplicar diretamente a propriedade (E), pois tanto o Para calcular lim αn , nos n→∞

˜ que define αn tendem a +∞ ou a −∞, produnumerador como o denominador da expressao zindo uma forma indeterminada do tipo ´ J. Delgado - S. Firmo - P. Nobrega

∞ . ∞ 130

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3.9 Limites e a PG

˜ O truque neste caso e´ bastante simples: dividir o numerador e o denominador da expressao que define αn por nr , onde r = max{k, m}. ˆ casos a considerar: Temos tres (i) r = k. Neste caso, ao dividir o numerador por nk obtemos (verifique!): p(n) = ak + soma de termos que tende a 0 quando n → ∞, nk e ao dividir o denominador por nk obtemos (verifique!): q(n) = soma de termos que tende a 0 quando n → ∞. nk p(n) pode ser +∞ ou −∞ dependendo do sinal de ak e de n→∞ q(n)

Portanto, (justifique) lim αn = lim n→∞

q(n) para n grande. nk (ii) r = k = m. Neste caso, dividindo o numerador e o denominador por nk = nm obtemos: p(n) = ak + soma de termos que tende a 0 quando n → ∞, nk q(n) = bk + soma de termos que tende a 0 quando n → ∞. nk ak p(n) = . Portanto (verifique!): lim αn = lim n→∞ n→∞ q(n) bk (iii) r = m. Dividindo o numerador e o denominador por nm temos: p(n) = soma de termos que tende a 0 quando n → ∞, nm q(n) = bk + soma de termos que tende a 0 quando n → ∞, nm p(n) e portanto lim αn = lim = 0. n→∞ n→∞ q(n) ˜ descrita em (c): (d) Mais exemplos da situac¸ao 6n2 + 2n − 5 3 = , 2 n→∞ 8n − 7n + 99 4 lim

4n = 0, 2 n→∞ n + 1 lim

9n3 − 8n = +∞, n→∞ 1 + n − n2 lim

Com efeito •

6n2 + 2n − 5 lim = n→∞ 8n2 − 7n + 99

´ J. Delgado - S. Firmo - P. Nobrega

6n2 +2n−5 n2 lim 2 n→∞ 8n −7n+99 n2 131

6+ = lim n→∞ 8 −

2 n 7 n

− +

5 n2 99 n2 ´ Instituto de Matematica - UFF

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3.9 Limites e a PG

=

lim (6 +

2 n

lim (8 −

7 n

n→∞ n→∞

•

4n = lim lim 2 n→∞ n→∞ n + 1

•

4n n2 n2 +1 n2

= lim

n→∞

4 n

1+

1 n2

−

5 ) n2

+

99 ) n2

lim 4 n→∞ n

=

lim (1 +

n→∞

9n3 − 8n = limn→∞ n→∞ 1 + n − n2 lim

=

9n3 −8n n3 1+n−n2 n3

1 ) n2

=

=

6 3 = . 8 4

0 = 0. 1

= limn→∞

lim (9− n82 ) n→∞ lim ( 13 + n12 − n1 ) n→∞ n

8 n2 1 1 + 12 − n n3 n

9−

= −∞ .

˜ tende a −∞ e nao ˜ a +∞? Bom, o numerador na ultima Por queˆ a ultima sucessao passagem ´ ´ tende a 9 e o sinal do denominador (que tende a 0 quando n → ∞) e´ exatamente o sinal de 1 + n − n2 para n ∈ N grande. Como 1 + n < n2 para n ∈ N grande, o sinal do denominador e´ ´ o denominador a` direita na ultima ˜ tende a 0 com valores menores negativo. Isto e, expressao, ´ que 0. ˆ (3) Potencias reais de numeros ´ reais Sejam β ∈ R+ e α ∈ R∗ um numero irracional. Neste ´ ˜ βα . Por exemplo, desejar´ıamos entender o apartado desejamos dar significado a` expressao √ √ √ √ 3+ 7 π significado de 2 2 , de 32π , de 2 ou ainda, de ππ ! ˜ sao ˜ boas...O material desenvolvido nestas notas nao ˜ permite dar As noticias desta vez nao ˜ como as acima descritas,... Desta vez, e´ requisito prioritario ´ sentido a expressoes um conheci˜ logaritmo e exponencial, assim como as suas propriedades de continuidade mento das func¸oes ´ ˜ abordamos tal material da teoria do Calculo Elementar... Pedimos desculpas ao leitor por nao nestas notas... ´ Os elementos descritos no paragrafo anterior, permitem manobras como a seguinte: ˜ de numeros ˜ Seja (rn )n uma sucessao racionais tal que lim rn = α . Entao: ´ n→∞

„

βα = β

lim rn

«

n→∞

= lim βrn . n→∞

´ ˜ logaritmo e exponenNo seu momento, conhecendo as propriedades basicas das func¸oes ´ cial, e a teoria basica de continuidade, o leitor podera´ verificar a validade do enunciado acima. ´ por enquanto, estas linhas serao ˜ apenas uma convenc¸ao ˜ que adotaremos no Para nos, seguinte. ´ J. Delgado - S. Firmo - P. Nobrega

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3.9 Limites e a PG

ˆ ` das potencias ˆ As potencias de expoente real possuem propriedades similares as de expoente racional, propriedades que sintetizamos na lista a seguir: ˆ Propriedades das potencias de expoente real. (a) x0 = 1, para todo x ∈ R∗ . (b) 0α = 0, para todo α ∈ R+ . (c) 1α = 1, para todo α ∈ R. ˜ x = 1 ou α = 0. (d) Sejam x ∈ R+ e α ∈ R. Se xα = 1, entao (e) xα > 0, para todos x ∈ R+ e α ∈ R. (f) Para todos x, y ∈ R+ e α, β ∈ R valem xα+β = xα + xβ ,

(x · y)α = xα yα ,

(xα )β = xα·β .

˜ 0 < x < y =⇒ 0 < xα < yα . (g) Dados x, y, α ∈ R+ , vale a implicac¸ao: ˜ de potencias ˆ (4) Exemplos sobre a manipulac¸ao de expoente real. ˜ da equac¸ao ˜ 4x−1 = 2x+1 para a variavel ´ (a) Determinemos as soluc¸oes x ∈ R. Temos que 4x−1 = 2x+1 ⇐⇒ 22(x−1) = 2x+1 ⇐⇒ 22(x−1) · 2−(x+1) = 1 ⇐⇒ 22(x−1)−(x+1) = 1 ⇐⇒ 22x−2−x−1 = 1 ⇐⇒ 2x−3 = 1 ⇐⇒ x − 3 = 0 (pela propriedade (d) acima) ⇐⇒ x = 3 . ˜ da equac¸ao ˜ 4x−1 = 2x+1 e´ x = 3. A soluc¸ao √ ˜ 4 2x−1 − 1 esta´ bem definida? (b) Para quais valores de x ∈ R a expressao √ ˜ 4 2x−1 − 1 esteja bem definida, e´ necessario ´ Para que a expressao que 2x−1 − 1 seja um ˜ negativo. numero real nao ´ Primeiramente, temos que 2x−1 − 1 = 0 ⇐⇒ 2x−1 = 1 ⇐⇒ x − 1 = 0 ⇐⇒ x = 1 . Para x > 1, temos x − 1 > 0. Logo, 2x−1 > 1x−1 = 1, consequentemente 2x−1 − 1 > 0 ¨ Finalmente, se x < 1, temos x − 1 < 0, donde −(x − 1) < 0. Logo 2−(x−1) > 1−(x−1) = 1 =⇒ 2−(x−1) · 2x−1 > 1 · 2x−1 (pois 2 > 0 =⇒ 2x−1 > 0) =⇒ 1 > 2x−1 =⇒ 0 > 2x−1 − 1 . ´ J. Delgado - S. Firmo - P. Nobrega

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3.9 Limites e a PG

˜ Portanto, 2x−1 − 1 ≥ 0 ⇐⇒ x ≥ 1 ⇐⇒ x ∈ [1, +∞), obtendo assim o nosso conjunto soluc¸ao. ˜ αβ > 1. (c) Se α ∈ (1, +∞) e β ∈ R+ , entao ´ α = 1 + h com h > 0. Prova. Sendo α > 1, temos h = α − 1 > 0, isto e, ˜ αβ = (1 + h)β > 1β = 1. C.Q.D. Entao, ˜ αβ > α . (d) Se α, β ∈ (1, +∞), entao Prova. Temos que β = 1 + (β − 1), com β − 1 > 0. Logo αβ−1 > 1β−1 = 1 e temos que αβ = α1+(β−1) = α1 · αβ−1 > α · 1 = α . C.Q.D. ˜ 1 < αβ < α . (e) Se α ∈ (1, +∞) e 0 < β < 1, entao Prova. A desigualdade 1 < αβ segue diretamente do item (c). Para provar a outra desigual1 1 dade, observamos que 0 < β < 1 ⇐⇒ 1 < . Pelo item (d) temos: α = (αβ ) β > αβ , como β quer´ıamos. C.Q.D. Na lista de exerc´ıcios no final do cap´ıtulo, o leitor e´ convidado a escrever a prova de algumas ˆ outras propriedades sobre as potencias. ˜ (αn )n dada por αn = rn , (5) Seja r ∈ R, r ≥ 0, e consideremos a sucessao

∀ n ∈ N∗ .

˜ constante de valor 1 (respectiva˜ (αn )n e´ a sucessao Quando r = 1 (ou r = 0), a sucessao mente 0), a qual trivialmente converge a 1 (respectivamente a 0) quando n → ∞. Se r 6= 1 temos:

 0 lim rn = n→∞ +∞

se 0 ≤ r < 1 se r > 1 .

Com efeito, analisemos separadamente os dois casos: (I) Caso r > 1: Neste caso, temos que mostrar que, dado R ∈ R+ , existe n0 ∈ N∗ tal que n ≥ n0 =⇒ rn > R. ˜ rm > rk . De fato multiplicando Comec¸amos por observar que, como r > 1, se m > k entao a desigualdade r > 1 sucessivamente por r obtemos a cadeia: . . . > rm+1 > rm > rm−1 > . . . > r2 > r > 1 . ˜ que e´ suficiente determinar n0 ∈ N∗ tal que, rn0 > R. Pois n ≥ n0 =⇒ Conclu´ımos entao, rn ≥ rn0 . ´ J. Delgado - S. Firmo - P. Nobrega

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3.9 Limites e a PG

´ Bem, como r > 1, podemos escrever r = 1 + h, onde h = r − 1 > 0, e usando a formula do ˆ binomio de Newton obtemos, para todo k ∈ N∗ :         k k 2 k k k k k k−1 r = (1 + h) = 1 + h+ h + ... + h + h ≥ 1 + kh. 1 2 k−1 k {z } | soma de termos ≥ 0, pois k ≥ 1 e h > 0

Segundo a propriedade arquimediana, para R > 0 e h > 0 dados, existe n0 ∈ N∗ tal que n0 h ≥ R. Para tal n0 temos rn0 ≥ 1 + n0 h > n0 h ≥ R, como quer´ıamos. (II) Caso 0 < r < 1: Temos 0 < r < 1 ⇐⇒ 1 < implicam: 1 lim = lim n→∞ rn n→∞

1 ˜ 3.9.1 . O caso (I) acima e a proposic¸ao r

 n 1 = +∞ ⇐⇒ lim rn = 0, n→∞ r

como quer´ıamos. ´ Uma analise mais ampla permite concluir que:

Dado r ∈ R, tem-se:

  0    lim rn = 1 n→∞    +∞

se |r| < 1 se r = 1 se r > 1 ,

˜ rn nao ˜ existe quando r ≤ −1. O leitor e´ convidado a refletir sobre os e que o limite da sucessao casos quando r < 0. ˜ Poder´ıamos ocupar muito mais espac¸o nestas notas com muitos mais exemplos e considerac¸oes ˜ e´ o nosso objetivo invadir a abrangencia ˆ ´ sobre o assunto, mas nao de outros cursos (Calculo ´ ´ ou Analise), onde este topico deve ser cuidadosamente estudado. Esperamos que o material ˜ a` teoria dos limites, e que o leitor se sinta apresentado aqui sirva apenas como uma introduc¸ao motivado no seu aprofundamento. ˆ A importancia do ultimo exemplo vem a` tona quando calculamos a soma dos termos de uma ´ ˜ geometrica: ´ progressao ˜ cujos termos sao ˜ ˜ Definic¸ao. Sejam a, r ∈ R. A sucessao a , ar , ar2 , ar3 , . . . , arn−1 , arn , arn+1 , . . .

(?)

˜ geometrica ´ ˜ r e primeiro termo a. e´ chamada progressao (PG) de razao ´ ˜ consideradas acima, o interesse nas progressoes ˜ geometricas ´ Ao contrario das sucessoes ˜ e´ o calculo ´ nao do seu limite (coisa que ja´ sabemos fazer segundo o ultimo exemplo acima), ´ ´ ´ ˜ mas sim o calculo da soma dos terminos da sucessao. ´ J. Delgado - S. Firmo - P. Nobrega

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3.9 Limites e a PG

Designemos por αn = a + ar + ar2 + . . . + arn a soma dos primeiros n + 1 da PG (?), o que ´ queremos calcular e´ exatamente o limite quando n → ∞ da sucessao ˜ αn . Isto e´ nos lim αn = lim

n→∞

n→∞

n X

k

ar = lim a n→∞

k=0

n X

k

r = a lim

n→∞

k=0

n X

rk ,

k=0

que formalmente designamos por ∞ X

k

ar = a

k=0

∞ X

rk = a(1 + r + r2 + . . . + rn + . . .).

k=0

Como o leitor seguramente ja´ observou, basta calcular a soma (infinita!): 1 + r + r2 + . . . + rn + . . . .

(4)

Se designamos por Sn a soma dos primeiros n + 1 termos de (4): S n = 1 + r + r2 + . . . + rn ,

n ∈ N,

a soma (4) e´ igual a lim Sn . n→∞

Se r = 1 obtemos Sn = n + 1 e portanto lim Sn = lim (n + 1) = +∞. n→∞

n→∞

Suponhamos no seguinte, que r 6= 1. Multiplicando Sn por r obtemos: r Sn = r(1 + r + r2 + . . . + rn−1 + rn ) = r + r2 + r3 + . . . + rn + rn+1 = (1 + r + r2 + r3 + . . . + rn ) − 1 + rn+1 = Sn − 1 + rn+1 . Logo Sn − r Sn = 1 − rn+1 , ou seja Sn (1 − r) = 1 − rn+1 , e como r 6= 1 Sn = Portanto:

1 − rn+1 . 1−r

1 − lim rn+1 1 − rn+1 n→∞ 1 + r + r + . . . + r + . . . = lim = . n→∞ 1 − r 1−r 2

n

Finalmente ∞ X

1 − lim rn+1 k

2

n

ar = a + ar + ar + . . . + ar + . . . = a

k=0 ´ J. Delgado - S. Firmo - P. Nobrega

136

n→∞

1−r

, para r 6= 1.

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3.9 Limites e a PG

´ ´ Com isto, o calculo da soma dos termos da PG (?) se reduz ao calculo de lim rn+1 = lim rn , n→∞

n→∞

que ja´ sabemos fazer segundo o ultimo exemplo acima. ´ Resumindo:

  a     se |r| < 1 e a ∈ R   n+1   1 − r  1 − lim r   n→∞   = +∞ =a  se r > 1 e a > 0   1−r        −∞  se r > 1 e a < 0  ∞  X ark = +∞ se r = 1 e a > 0   k=0     = −∞ se r = 1 e a < 0       =0 se a = 0      6∃ se r ≤ −1 e a ∈ R∗ .

˜ r da PG tem modulo ´ Portanto, o caso particular interessante ocorre quando a razao menor que ˜ existe. 1, pois nos outros casos a soma e´ +∞, ou −∞ ou simplesmente nao ´ ˆ ´ Com uma serie de exemplos a seguir, vamos ilustrar a importancia do calculo da soma dos ˜ geometrica. ´ ´ as situac¸oes ˜ ´ termos de uma progressao Como o leitor percebera, onde o calculo da soma dos termos de uma PG e´ fundamental tem diversas origens. Exemplos. ˜ de somas infinitas: (A) Determinac¸ao 1 1 1 1 (a) Qual e´ o valor de S = 1 + + + + . . . + n + . . . ? 2 4 8 2 1 1 1 ˜ e primeiro termo 1. Como 0 ≤ = < 1, temos: Trata-se de uma PG de razao 2 2 2 S=1+

1 1 1 1 + + + ... + n + ... = 2 4 8 2

1 1−

1 2

= 2.

1 1 1 (−1)n + − + ... + + ... ? 2 4 8 2n 1 1 1 ˜ − e primeiro termo 1. Como 0 ≤ − = < 1, temos: Trata-se de uma PG de razao 2 2 2

(b) Qual e´ o valor de S = 1 −

S=1−

1 1 1 (−1)n + ... = + − + ... + 2 4 8 2n

1 1 2  = = . 1 1 3 1+ 1− − 2 2

˜ os numeros ˜ a soma de uma PG infinita de primeiro (c) Em geral: Quais sao racionais que sao ´ termo 1 ? ´ J. Delgado - S. Firmo - P. Nobrega

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3.9 Limites e a PG

p p ∈ Q, onde p ∈ Z e q ∈ Z+ . Suponhamos que seja a soma dos termos de uma PG q q 1 p ˜ de uma tal PG, devemos ter |r| < 1 e de primeiro termo 1. Se r ∈ R, a razao = , para 1−r q p ˆ que a convergencia da soma dos termos da PG seja ao racional . q p − q p−q q < 1. A segunda condic¸ao ´ r=1− = ˜ equivale a |p − q| < |p| . e Isto e, p p p ´ ˜ Resolvendo a desigualdade |p − q| < |p| em Z para as variaveis p, q ∈ Z, com a condic¸ao Seja

˜ a soma dos termos de uma PG q > 0, obtemos que, o conjunto racionais que sao ´  dos numeros 1 cujo primeiro termo e´ 1 e´ Q ∩ , +∞ . 2 p−q ˜ da PG e´ r = Neste caso, a razao . p Por exemplo, r=

2 p ˜ = 2 = e´ a soma dos termos de uma PG com primeiro termo 1 e razao q 1

2−1 1 = (ver exemplo (a) acima). 2 2 ˜ q ∈ Z+ acima. Isto O leitor e´ convidado a estudar o que acontece se retirarmos a condic¸ao

´ exigir apenas q ∈ Z∗ . Uma vez feito isto, descubra, dentre os numeros e, racionais abaixo, ´ ˜ a soma dos termos de uma PG infinita de primeiro termo 1: aqueles que sao 3 9 −15 −1 , , , 0, 4, . 4 6 11 2 ˜ decimal (B) Sabemos que todo numero racional pode ser representado por uma expansao ´ ´ periodica infinita. Afirmamos que, todo numero racional α ∈ Q, pode ser representado mediante ´ 1 ˜ ˜ decimal de α. , onde n e´ o per´ıodo da expansao uma PG de razao 10n ˜ decimal de α e: ´ Seja α ∈ Q, suponhamos que a expansao α = a0 , a1 a2 . . . ap ap+1 ap+2 . . . ap+n ∈ Q , ˜ todos os numeros onde a0 ∈ Z e´ a parte inteira de r e ai ∈ {0, 1, 2, . . . , 9}, assumimos que nao ´ ´ ˜ de r) sao ˜ simultaneamente iguais a ap+1 , . . . , ap+n (que formam a parte periodica da expansao zero. ˜ decimal de r se escreve mediante uma PG como segue: A expansao

r = a0 , a1 a2 . . . ap ap+1 ap+2 . . . ap+n = a0 , a1 a2 . . . ap ap+1 ap+2 . . . ap+n ap+1 ap+2 . . . ap+n . . . ap+1 ap+2 . . . ap+n . . . | {z }| {z } | {z } a1 . . . ap ap+1 . . . ap+n ap+1 . . . ap+n ap+1 . . . ap+n + + + ... + + ... = a0 + 10p 10p+n 10p+2n 10p+kn ´ J. Delgado - S. Firmo - P. Nobrega

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3.9 Limites e a PG

a1 . . . ap ap+1 . . . ap+n + = a0 + 10p 10p+n a1 . . . ap ap+1 . . . ap+n = a0 + + 10p 10p+n a1 . . . ap ap+1 . . . ap+n + = a0 + 10p 10p+n a1 . . . ap ap+1 . . . ap+n + 10p 10p+n a1 . . . ap ap+1 . . . ap+n = a0 + + 10p 10p = a0 +



 1 1 1 1 + n + 2n + . . . + (k−1)n + . . . 10 10 10 !  2  (k−1) 1 1 1 1+ n + + ... + + ... 10 10n 10n 1 1 1− n 10 10n 10n − 1 1 . n 10 − 1

´ Vejamos alguns exemplos praticos:

3 3 3 3 + 2 + . . . + n + n+1 + . . . 10  10 10 10  1 1 3 1 + . . . + n−1 + n + . . . = 1+ 10 10 10 10 3 1 3 10 3 1 = = = = . 1 10 10 9 9 3 1− 10

(a) 0, 3 =

3 103 3 = 2+ 3 10 3 = 2+ 3 10 3 = 2+ 3 10

412 412 412 + 9 + . . . + 3k + . . . 6 10  10 10  412 1 1 1 + 6 1 + 3 + 6 + . . . + 3(k−1) + . . . 10 10 10 10 !   2 k−1 1 1 412 1 + ... + + ... + 6 1+ 3 + 10 10 103 103   412 1 3 412 103 + 6 =2+ 3 + 6 1 10 10 10 103 − 1 1− 3  10    3 412 1 3 412 1 = 2+ 3 + 3 =2+ 3 + 3 10 10 103 − 1 10 10 999 3409 2001409 999 × 3 + 412 =2+ = . = 2+ 999000 999000 999000

(b) 2, 003412 = 2 +

+

´ (C) Alguns exemplos geometricos: ˆ ´ ´ (a) O lado de um triangulo equilatero T1 mede 3 unidades. Ao unir os pontos medios de seus laˆ ´ ˆ dos obtemos um novo triangulo equilatero T2 . Repetindo o processo com o segundo triangulo suˆ cessivamente, obtemos uma figura composta por triangulos encaixados T1 , T2 , . . . , Tn , . . . como se mostra abaixo. ´ J. Delgado - S. Firmo - P. Nobrega

139

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Os Racionais e os Irracionais

3.9 Limites e a PG

O processo continua indefinidamente e o problema consiste em calcular a soma dos per´ımetros ˆ de todos os triangulos T1 , T2 , . . . , Tn , . . ..

Fig. 25.

3 ˆ ˆ ˆ T2 e´ 3 × , do triangulo Observamos que o per´ımetro do triangulo T1 e´ 3 × 3, do triangulo T3 e´ 2 3 3 ˆ Tn+1 e´ 3 × n , etc. 3 × 2 ,. . ., do triangulo 2 2 ˆ A soma dos per´ımetros dos triangulos e´ S=3×3+3×

3 3 9 9 3 9 + 3 × 2 + ... + 3 × n + ... = 9 + + 2 + ... + n + ... 2 2 2 2 2 2

1 ´ ´ S e´ a soma dos termos de uma PG de razao ˜ (que tem modulo < 1) e primeiro termo 9. isto e, 2 1 Logo S = 9 = 9 × 2 = 18. 1 1− 2 ´ (b) Um mosaico infinito e´ constru´ıdo por estagios sucessivos da seguinte maneira: ´ ´ 1o Estagio: Se comec¸a com um quadrado de lado unitario. ´ ´ ˜ acrescentados 2o Estagio: Em cada um dos 4 vertices do quadrado acima sao 1 quadrados de lado . 2 o ´ ´ ˜ e´ vertice ´ 3 Estagio: Em cada vertice que nao de dois quadrados, e´ acrescentado 1 um quadrado de lado , . . . etc . . . 4 o ´ ´ ´ n Estagio: Em cada vertice que ficou livre no estagio (n − 1), e´ acrescentado 1 um quadrado de lado n−1 , . . . etc . . . 2 ´ J. Delgado - S. Firmo - P. Nobrega

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3.9 Limites e a PG

Fig. 26.

´ ˜ O problema consiste em determinar a soma das areas de todos os quadrados da construc¸ao. ´ ´ ˜ As areas acrescentadas nos estagios sucessivos sao: ´ 1o estagio : o

´ 2 estagio : ´ 3o estagio : ´ 4o estagio : ´ 5o estagio : ´ no estagio :

1  2 1 4× 2  2 1 4×3× 22  2 1 4×3×3× 23  2 1 4×3×3×3× . . . etc . . . 24  2 1 n−2 4×3 × . . . etc . . . 2n−1

´ ˜ Logo, a soma das areas e´ calculada, mediante uma PG de razao seguinte maneira:

3 e primeiro termo 1, da 4

 2  2   2 2 1 1 1 1 2 n−2 S = 1+4 +4·3 +4·3 + ... + 4 · 3 + ... 2 22 23 2n−1  2  2  2 4 4 1 4 1 1 2 3 + 2 ·3 + ... + 2 ·3 = 1+1+ 2 ·3 2 2 2 2 2 2 23  2 4 1 n−2 ... + 2 · 3 + ... 2 2n−2  2  2  2  2 1 1 1 1 3 n−2 2 +3 + ... + 3 + ... = 1+1+3 +3 2 22 23 2n−2 ´ J. Delgado - S. Firmo - P. Nobrega

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3.9 Limites e a PG

"

#   2  3  n−2 3 3 3 3 = 1+ 1+ + + + ... + + ... 22 22 22 22 # "  n−2    2  3 3 3 3 3 = 1+ 1+ + + + ... + + ... 4 4 4 4    = 1+



1 1−

 = 5. 3 4

´ Nos exerc´ıcios a seguir, o leitor tera´ oportunidade de calcular areas e comprimentos interessantes como a soma de uma PG.

Exerc´ıcios ˜ irredut´ıveis equivalentes aos numeros 1. Determine frac¸oes racionais ´ (a)

84 , 120

(b)

32 , 98

(c)

145 , 255

2. Seja n um inteiro positivo. Mostre que

(d)

45 , 81

(e)

381 , 999

(f)

2139 . 91881

2n + 1 ˜ irredut´ıvel. e´ uma frac¸ao 3n + 1

˜ Use a igualdade 3n + 1 = (2n + 1) + n. Sugestao.

3. Seja

m ˜ tais que ∈ Q+ . Mostre que, se m1 , m2 , . . . , mk , n1 , n2 , . . . , nk ∈ Z+ sao n m1 m2 m3 mk m = = = = ... = , n n1 n2 n3 nk

˜ entao

m m1 + m2 + . . . + mk = . n n1 + n2 + . . . + nk

´ Vale o resultado se suprimir a hipotese m1 , m2 , . . . , mk , n1 , n2 , . . . , nk ∈ Z+ ? Justifique com cuidado. ´ de somas ? Justifique. 4. O exerc´ıcio anterior vale para produtos ao inves 5. Sabemos que esquerdo !!

16 1 ˜ do lado = ... basta cancelar o 6 no numerador e denominador na frac¸ao 64 4

˜ O leitor pensara´ que isto e´ meramente casual ... Mas ... o que acha de cancelar o 9 na frac¸ao 19 ? 95 ˜ pode ser obtida ao respeito dos paragrafos ´ Que conclusao acima? ´ J. Delgado - S. Firmo - P. Nobrega

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3.9 Limites e a PG

O fim justifica os meios? ˜ abaixo. 6. Descubra a falha da demonstrac¸ao ˜ 4=5. Proposic¸ao. Prova. Temos que −20 = −20 ⇐⇒ 16 − 36 = 25 − 45 ⇐⇒ 42 − 9 × 4 = 52 − 9 × 5 ⇐⇒ 42 − 9 × 4 + 81/4 = 52 − 9 × 5 + 81/4 ⇐⇒ (4 − 9/2)2 = (5 − 9/2)2 ⇐⇒ 4 − 9/2 = 5 − 9/2 ⇐⇒ 4 = 5 .

C.Q.D.

7. Mostre que todo numero racional pode ser colocado na forma N + ´

p q

˜ onde N ∈ Z e p, q sao

inteiros com 0 ≤ p < q. Interprete geometricamente este fato. ˜ Use o algoritmo de Euclides. Sugestao. 8. Descubra o erro no seguinte argumento: Afirmativa: 1 Real =1 centavo. Prova. 1 Real = 100 centavos = (10 centavos)2 = (0.1 Real)2 = 0.01 Real = 1 centavo . C.Q.D. ´ disto e´ que, temos que ter cuidado nao ˜ so´ com a aritmetica, ´ ´ A mensagem por tras mas tambem com as unidades de medida com as quais se trabalha em problemas concretos. ˜ abaixo sao ˜ verdadeiras ou falsas. Justifique com cuidado suas respos9. Diga se as afirmac¸oes tas. (a)

3 3 < , 8 9

(b)

7 − 1 > 0, 4

(c)

9 135 − < 0. 5 75

10. Determine os numeros inteiros n, para os quais se verifica a desigualdade indicada em cada ´ um dos casos abaixo: (a)

n 3 < , 4 5

(b)

2n − 1 2 < , 2n + 1 3

(c)

2n 3n − + 1 > 0. 3 2

˜ 11. Se x = 2, 3143, entao x=2+

3 1 4 3 + + + 10 100 1000 10000

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ou 143

x=2+

3 1 4 3 + + + ? 9 99 999 9999 ´ Instituto de Matematica - UFF

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3.9 Limites e a PG

˜ decimal finita? Justifique cuidado12. Quais dos numeros racionais abaixo, possuem expansao ´ ˜ samente sem determinar as expansoes. (a)

3 , 5

(b)

7 , 35

(c)

6 , 40

(d)

9 , 12

13. Determine o menor inteiro n > 10 de modo que

(e) 1 +

1 6 − , 10 9

(f)

2 . 9

105 ˜ decimal finita. tenha expansao 3n

˜ decimais periodicas ´ 14. Ache as expansoes infinitas dos numeros do exerc´ıcio 11. ´ 15. Mostre que (a) 3.10−10 + 4.10−8 = 4, 03.10−8

(b) 0, 8.106 − 7.105 = 105

16. Escreva os numeros abaixo na forma ´ a1 . . . as , b1 . . . br ˜ d´ıgitos. onde a1 , . . . , as , b1 , . . . , br ∈ {0, 1, . . . , 9} sao (a) 301.10−2

(b) 321, 256.14−4

(c) 3, 023.102

(d) 721456.10−5

˜ 17. Simplifique as expressoes 0, 25 × 10−2 − 10−4 (b) 12 × 10−3

3 × 10−2 (a) 2, 1 × 10−1

0, 35 × 10−4 (c) 0, 07 × 10−2

18. Sejam . . 11} 34111 . . . , α = 2, 34134113411134 |111 . . . 13411 {z . . . 1} 34 |11 .{z n

n+1

β = 2, 34134113411 , γ = 341339 . ˜ abaixo sao ˜ corretas? Justifique com cuidado. Quais das afirmac¸oes (a) α < β < γ,

(b) α < γ < β,

(c) β < α < γ,

(d) β − α < 10−12 ,

(e) α − β < 10−11 ,

(f) β − α < 10−11 ,

(g) α − β < 10−10 ,

(h) |β − α| < 10−11 ,

(i) α − γ < 10−5 ,

(j) γ − α < 10−5 ,

(k) |β − γ| < 10−5 , (l) |β − γ| < 10−6 ,

(m) α ∈ Q,

(n) α ∈ R − Q,

(o) γ ∈ R − Q,

(p) γ ∈ Q.

˜ de 1: 19. Qual e´ melhor aproximac¸ao 0, 99999, ´ J. Delgado - S. Firmo - P. Nobrega

1, 00001, 144

ou

1, 0009 ?. ´ Instituto de Matematica - UFF

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3.9 Limites e a PG

˜ decimal periodica ´ ˜ 20. Determine a expansao das seguintes frac¸oes 5 a= , 7

2 b= , 9

3 c=− , 5

d = a + c.

˜ abaixo sao ˜ falsas ou verdadeiras e justifique sua resposta. 21. Diga se as afirmac¸oes (a) 0, 5999 . . . < (c)

2 3

<

√2 5+1

√2 5+1

<

2 2 < 0, 5999 . . . < 3 5+1 2 2 (d) √ < < 0, 5999 . . . 3 5+1

2 3

(b) √

< 0, 5999 . . .

˜ 22. Responda as seguintes questoes justificando cuidadosamente suas respostas. Caso a sentenc¸a seja verdadeira exiba uma prova. Caso seja falsa, deˆ um contra-exemplo e, caso ˜ para que a sentenc¸a seja verdadeira. seja poss´ıvel, coloque condic¸oes ˜ α+β∈R−Q? (a) Se α, β ∈ R − Q entao ˜ α+β∈R−Q? (b) Se α, β ∈ R − Q entao ˜ rα ∈ R − Q ? (c) Se α ∈ R − Q e r ∈ Q∗ , entao 23. (a) Determine r, s ∈ Q que aproximam √ (b) Idem para 3.

√

2 com erro < 10− 5 e tais que

√

2 ∈ (r, s).

(c) Idem para α = 0, 7297299729997 . . . 971 |99 {z . . . 9} 71 |99 .{z . . 99} 719 . . . . n

24. Determine p, q ∈ N∗ sabendo que ˜ 25. Mostre que se p e´ primo entao

n+1

p ˜ irredut´ıvel da d´ızima 2, 0303 . . . e´ a frac¸ao q

√

p e´ irracional. √ ˜ Imite a demonstrac¸ao ˜ que 2 e´ irracional. Sugestao. ˜ primos distintos, entao ˜ 26. Mostre que, se p e q sao

√

pq e´ irracional.

˜ primos distintos, entao ˜ 27. Use o exerc´ıcio anterior para mostrar que, se p e q sao

√

p+

√

q e´

irracional. ˜ ou um contra-exemplo as ` proposic¸oes ˜ abaixo. 28. Deˆ uma demonstrac¸ao ˜ a = 1 ou b = 1. (a) Sejam a, b ∈ R. Se a · b = 1, entao ˜ a = 0 ou b = 0. (b) Sejam a, b ∈ R. Se a · b = 0, entao ´ J. Delgado - S. Firmo - P. Nobrega

145

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3.9 Limites e a PG

˜ existe s ∈ R tal que |s| = r. (c) Se r ∈ R e´ negativo, entao p√ ˜ x = 0 ou x = 1. (d) Se x ≥ 0 e x − x = 0, entao ˜ o (e) Se um artigo que custava x reais teve seu prec¸o reajustado em trinta por cento, entao prec¸o atual do artigo e´ 1, 3 x reais. ˜ x2 < x < 1. (f) Se x ∈ R e |x| < 1, entao ˜ 0 ≤ x3 < x2 < x < 1. (g) Se x ≥ 0, entao ˜ existe um unico (h) Se x ∈ R, entao y ∈ R tal que y3 = x. ´ ˜ existe um unico (i) Se x ∈ R, entao y ∈ R tal que y2 = x. ´ (j) Se x ∈ R, −3(x + 5) > −4(1 − x) se e so´ se 4 − x > 15 + 3x. (k) Se x, y ∈ R, x2 = y2 se e so´ se x = y ou x = −y. (l) Se x, y ∈ R, x < y se e so´ se x2 < y2 . ˜ numeros ˜ (m) Se 0 < x < y sao reais, entao ´ x<

√

xy <

x+y < y. 2

29. Prove (usando a desigualdade triangular |x + y| ≤ |x| + |y|), que: ˜ | |x| − |y| | ≤ |x − y| e | |x| − |y| | ≤ |x + y|. Se x, y ∈ R, entao ˜ 30. Demonstre que, se x, y ∈ R, entao 1 max{x, y} = (x + y + |y − x|), 2 determina o maior dentre os numeros x e y, e que ´ 1 min{x, y} = (x + y − |y − x|), 2 determina o menor dentre os numeros x e y. ´ 31. Determine valores para a, b ∈ R de modo que as igualdades indicadas abaixo sejam verdadeiras. b a2 + b2 a (a) + = 2 a+b a−b a − b2 1 1 1 a2 − 2a + 2 (b) − + = a a − 1 (a − 1)2 a(a − 1) (c)

b 1 a+b b(1 − ab) − a(a2 − 1) − 2− = a a a−b a2 (a − b)

´ J. Delgado - S. Firmo - P. Nobrega

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3.9 Limites e a PG

32. Sejam a ≥ 0 e b > 0. Qual das desigualdades abaixo e´ verdadeira? a+b a+1+b a+b a+1+b (a) < (b) > a+1+b a+2+b a+1+b a+2+b ˜ abaixo sao ˜ falsas ou verdadeiras. 33. Diga se as afirmac¸oes 0, 05 3 40 0, 4 < (b) 27, 1.10−1 > 2, 7 (c) > (a) 50 6 0, 7 9 ˜ abaixo sao ˜ 34. Sejam a, b, c, d, x, y ∈ R tais que a < x < b e c < y < d. Diga se as afirmac¸oes falsas ou verdadeiras e justifique sua resposta. (a) a + c < x + y < b + d (c) ac < xy < bd

(b) a − c < x − y < b − d 1 1 1 (d) < < d y c

35. Mostre que para todo x ∈ R temos: (a) |x|2 = |x2 | = x2

(b) | − x| = |x|

(c) |x| ≥ x

˜ e descreva o conjunto soluc¸ao ˜ como uma uniao ˜ de intervalos, dois 36. Resolva as inequac¸oes a` dois disjuntos. (a) |x| ≤ 2

(b) |x| ≤ a, onde a ≥ 0

37. Mostre que

(c) |x| ≥ 2  1

quando x > 0

x = |x| −1 ˜ O que podemos dizer da expressao

(d) |x| ≥ b, onde b ≥ 0

quando x < 0 .

x quando x = 0 ? |x|

38. Sejam x, y, z ∈ R tais que x ≥ y e z 6= 0. Diga se e´ falso ou verdadeiro e justifique sua resposta. (a) |x| ≥ |y|

(b) |x| ≥ y

(c) x2 ≥ y2

(d) |z|x ≥ y|z|

˜ abaixo sao ˜ falsas ou verdadeiras e justifique sua 39. Sejam a, b, c ∈ R∗ . Diga se as afirmac¸oes resposta. (a) a > b =⇒ a2 > b2 (c) a2 = b2 =⇒ a = b

(b) a > b =⇒ ac > bc √ (d) a2 + b2 ≥ a

40. Sejam a, b ∈ R. Mostre que a2 = b2 se, e somente se a = b ou a = −b. 41. Sejam a, b ∈ R∗ . Mostre que a2 + b2 > ab. ´ J. Delgado - S. Firmo - P. Nobrega

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3.9 Limites e a PG

˜ n = 0 ou a = 1. 42. Sejam a ∈ R+ e n ∈ Z. Mostre que se an = 1 entao ˜ Use o binomio ˆ Sugestao. de Newton.

˜ a = 1 ou p = q. 43. Sejam a ∈ (0, ∞) e p, q ∈ Z. Mostre que se ap = aq entao 44. Sejam a, b ∈ [0, ∞). Mostre que a + b = 0 se, e somente se a = 0 = b. 45. Sejam x, y ∈ R. Diga se e´ falso ou verdadeiro e justifique sua resposta. ˜ x = 1 e y = 1 ou x = −1 e y = 1, (b) Se xy = 1 entao (b) x2 + y2 = 0 se, e somente se x = 0 = y. 46. Sejam a, b ∈ (0, ∞) e n ∈ N∗ . Mostre que (a + b)n ≥ an + bn . 47. Sejam a, b ∈ (0, ∞) e n ∈ N∗ . Mostre que (a + b)n ≥ an + nban−1 . 48. Sejam a, b ∈ (0, ∞) e n ∈ N∗ . Mostre que (a + b)n = an + bn se, e somente se a = 0 = b. ˜ podemos garantir que (a + b)3 = a3 + b3 ? 49. Sejam a, b ∈ R. Sob que condic¸oes 50. Diga se e´ falso ou verdadeiro e justifique sua resposta. ˜ Sejam x, y, z ∈ R tais que x < 0 e y, z 6= 0. Entao (a) |y + z| > 0

(b) (x − 1)|z| < 0

(c)

x = −1 |x|

(d)

z2 = |z| |z|

51. ˆ numeros ˆ (a) Dados tres reais positivos a, b, c e´ sempre poss´ıvel construir um triangulo cujos ´ lados medem, respectivamente, a, b, c ? ˆ (b) Dados a, b > 0 determine os valores c para os quais e´ poss´ıvel construir um triangulo de lados a, b, c. ˆ ´ (c) Dados a, b > 0 determine o triangulo de maior area poss´ıvel que podemos construir, tendo ˆ dois lados com medida a e b respectivamente. Demonstre que o triangulo que voceˆ construiu, ´ ´ de fato tem area maxima. 52. (a) Densidade dos racionais na reta orientada. Mostre que dados um irracional a entre 0 e 1, e um inteiro n ≥ 1, existe um inteiro qn tal que 0 ≤ qn < n e 0≤a− ´ J. Delgado - S. Firmo - P. Nobrega

qn 1 < . n n

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3.9 Limites e a PG

(b) Densidade dos irracionais na reta orientada. √ 2 ∗ Seja n ∈ N . Mostre que e´ irracional e que n √ lim

n→∞

2 =0. n

˜ densos na reta. Conclua da´ı que os irracionais sao (c) entre dois racionais distintos existe uma infinidade de irracionais, (d) entre dois irracionais distintos existe uma infinidade de racionais. ˜ vazio de R. 53. Seja A um subconjunto nao (I) Dizemos que um numero real M e´ uma cota superior de A quando x ≤ M para todo x ∈ A. ´ Se A possui uma cota superior, diremos que A e´ limitado superiormente. (II) Dizemos que um numero real m e´ uma cota inferior de A quando m ≤ x para todo x ∈ A. Se ´ A possui uma cota inferior, diremos que A e´ limitado inferiormente. (III) O conjunto A e´ dito limitado quando ele e´ limitado superiormente e inferiormente. ˜ que acabamos de apresentar nao ˜ contemplam o conjunto vazio . . . Observe que as definic¸oes e seria natural que ele admitisse cota superior, cota inferior, e que fosse limitado. Afinal ele e´ subconjunto de conjuntos com essas propriedades (vide exerc´ıcios abaixo). ´ entao ˜ definimos: todo numero Pois bem, nos real e´ cota superior do conjunto vazio, todo numero ´ ´ real e´ cota inferior do conjunto vazio, o conjunto vazio e´ limitado. (a) Sejam ∅ = 6 A ⊂ B ⊂ R. Mostre que toda cota inferior de A e´ uma cota inferior de B. Enuncie e demonstre algo parecido para cotas superiores. ´ que, se B e´ limitado entao ˜ A e´ limitado. Mostre tambem ˜ todos os pontos do intervalo [M, ∞) tambem ´ o (b) Mostre que se M e´ cota superior de A entao ˜ Fac¸a um enunciado similar para cotas inferiores. sao. ˜ admitem cota superior (c) Deˆ exemplos de conjuntos que nao ˜ admitem cota inferior (d) Deˆ exemplos de conjuntos que admitem cota superior mas nao (e) Deˆ uma cota superior e uma inferior, caso existam, para os seguintes conjuntos:



1 1 ∗ n (i) ; n∈N (ii) {2 + 1 ; n ∈ Z} (iii) ; n∈N n 2n+1 1 (iv) {x ∈ R ; x2 + 1 > 0} (v) { 2 ; n ∈ Z} (vi) {x ∈ R ; x2 − 1 < 0} n +1 ´ J. Delgado - S. Firmo - P. Nobrega

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3.9 Limites e a PG

˜ pertencem ao (f) Deˆ exemplos de conjuntos que possuem cotas superiores mas tais cotas nao conjunto. Idem para cotas inferiores. (g) Uma cota superior do conjunto A que pertence ao conjunto A e´ dita o maior elemento (ou, elemento maximal) de A. (h) Uma cota inferior do conjunto A que pertence ao conjunto A e´ dita o menor elemento (elemento m´ınimo) de A. ˜ vazios) que possuem cotas superiores mas nao ˜ possuem o (i) Deˆ exemplos de conjuntos (nao maior elemento. ˜ vazios) que possuem elemento maximal mas nao ˜ possuem (j) Deˆ exemplos de conjuntos (nao elemento m´ınimo. ˜ A tem uma infinidade de cotas (k) Ja´ vimos que se A 6= ∅ tem cota superior (resp. inferior) entao ˜ pode ter mais que superiores (resp. inferiores). Mostre que todo subconjunto ∅ 6= A ⊂ R nao um maior elemento (i.e. o elemento maximal e´ unico). Idem para menor elemento. ´ (l) Para cada um dos conjuntos descritos abaixo deˆ seu elemento maximal, seu elemento m´ınimo, a maior de suas cotas inferiores e a menor de suas cotas superiores. √ (i) [−2, 3) , (ii) (∞, 0) , (iii) (1, π] , (iv) ( 3, ∞) , (v) [1, 2]





1 1 1 ∗ ∗ ∗ (vi) ; n ∈ Z ∪ {0} , (vii) ; n ∈ Z , (viii) ; n∈Z n n n2 ˜ vazio e limitado superiormente, isto e, ´ possuindo cota superior. (m) Seja A ⊂ R um conjunto nao ´ ja´ observamos que (item (b)) nao ˜ existe a maior cota superior de A. Nos ˜ Existe a menor cota superior de A ? Questao. Existe ! Esta e´ uma nova propriedade fundamental que admitiremos em R. ˜ vazio e limitado superiormente tem sua menor cota superior. Todo conjunto A ⊂ R nao ´ tem uma cota superior que e´ menor ou igual a todas as cotas superiores de A. Esta cota Isto e, superior especial se designa por sup(A) e se chama o supremo de A, . ˜ vazio e limitado inferiormente tem sua maior cota infeSimilarmente, todo conjunto A ⊂ R nao ´ tem uma cota inferior que e´ maior ou igual a todas as cotas inferiores de A. Esta rior. Isto e, cota inferior especial se designa por inf(A) e se chama o ´ınfimo de A. Desafio! Um conjunto A ⊂ R e´ chamado denso (em R), quando tem a seguinte propriedade: ´ J. Delgado - S. Firmo - P. Nobrega

150

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3.9 Limites e a PG

r ∈ R e k ∈ N∗ existe a ∈ A tal que −

1 1 ≤r−a≤ . k k

Equivalentemente, A ⊂ R e´ denso em R, se para todos r ∈ R e ε > 0 dados, existe a ∈ A tal ´ todo numero ´ por um numero que |r − a| < ε. Isto e, real pode ser aproximado com erro arbitrario ´ ´ de A. ˜ decimal exata e´ denso em R. Mostre que o conjunto dos racionais com expressao 54. Seja a ∈ R tal que −

1 1 ≤ a ≤ , ∀k ∈ N∗ . Mostre que a = 0. k k

55. Determine o valor dos seguintes limites: 6n + 3 (a) lim . Resp. 3. n→∞ 2n + 9 √ 2n − 2 . Resp. 0. (b) lim n→∞ n2 + 2   45 (c) lim 2 + . Resp. 2. n→∞ n 6n2 + 4n − π √ √ . Resp. 34 . n→∞ 8n2 − 2n + 3 n4 + n3 + n2 + n . Resp. +∞. (e) lim n→∞ n3 + n2 + n √ n3 + 5n + 1 . Resp. 0. (f) lim n→∞ 3 + 3n − n4 1 + 2 + 3 + ... + n (g) lim . Resp. 21 . n→∞ n2 12 + 22 + 32 + . . . + n2 . Resp. 31 . (h) lim n→∞ n3   n  2 (i) lim 1 + . Resp. 1. n→∞ 3

n 4 n 2 n − 3n + 23 5
n . (j) lim Resp. 0. n→∞ n2 − 3n + 21 (d) lim

´ ´ 56. Determine (com ajuda de alguma maquina de calcular se achar necessario) os primeiros 10 ˜ abaixo, e demonstre que elas convergem aos limites indicados: termos das sucessoes n (a) lim = 1. n→∞ n + 1 n+3 (b) lim 3 = 0. n→∞ n + 4 n! (c) lim n = 0 n→∞ n ´ J. Delgado - S. Firmo - P. Nobrega

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3.9 Limites e a PG

˜ Observe que n! = 2 · 3 · 4 · . . . (n − 1) · n ≤ nn−1 . Indicac¸ao:

(d) Para a, b ∈ R, a ≥ 0, b ≥ 0, lim

√ n

n→∞

an + bn = max{a, b}

˜ Tome valores espec´ıficos para a e b apenas para ter uma ideia ´ do valor do limite. Indicac¸ao:

˜ lim (e) (Desafio!) Se α(n) e´ o numero de divisores primos de n, entao ´

n→∞

α(n) =0 n

˜ Observe que todo numero ˜ em fatores primos Indicac¸ao: primo e´ ≥ 2. Use seus conhecimentos sobre logaritmos e o teorema de decomposic¸ao ´ do cap´ıtulo 2 para verificar que,

α(n) log2 (n) log2 n ˜ precisa prova-lo) ´ ≥ ≥ 0. Finalmente, use o fato (nao de que lim = 0. n→∞ n n n

˜ 57. (Desafio!) Demonstre que a sucessao r q q √ √ √ 2 , 2 2 , 2 2 2 , ... ´ do limite, ache com ajuda da maquina ´ converge e determine o limite (para ter uma ideia de ˜ calcular, os primeiros 10 termos da sucessao). ˜ Verifique primeiro que, se 0 < a < 2, entao ˜ a< Indicac¸ao: p √ 2 an = 2 `. lim

√

˜ precisa prova-lo): ´ ˜ 2a < 2. Depois use seguinte fato (nao se lim an = `, entao n→∞

n→∞

´ ˆ 58. (Exerc´ıcio auxiliar) Use a formula do binomio de Newton para calcular (1 + h)n , depois verifique que: ˜ (1 + h)n ≥ 1 + n h, (a) Se h > 0 e n ∈ N, entao ˜ (1 + h)n ≥ 1 + n h + (b) Se h > 0 e n ∈ N∗ , entao

n(n−1) 2

h2 ≥

n(n−1) 2

h2 .

59. Prove que: ˜ lim (a) Se a > 0, entao

n→∞

1 = 0. na “ ”1

˜ de numeros (a) Se (an )n e´ uma sucessao reais positivos que ´ √ ˜ lim an = 0. converge a 0 quando n → ∞, entao ˜ Dado ε > 0 tome no > Indicac¸ao:

1 ε

a

.

n→∞

˜ Use o item anterior. Indicac¸ao:

˜ lim (b) Se a > 1, entao

√ n

n→∞

˜ Escreva Indicac¸ao:

√

n

a = 1.

a = 1 + hn , verifique, usando item (a) do exerc´ıcio anterior, que 0 < hn <

˜ lim (c) Se 0 < a < 1, entao

n→∞

√ n

a−1 . n

a = 1.

˜ Use o item acima. Indicac¸ao:

(d) lim

n→∞

√ n

n = 1.

˜ Escreva Indicac¸ao:

√

n

a = 1 + hn , verifique, usando item (b) do exerc´ıcio anterior, que 0 ≤ hn ≤

q

2 , n−1

para n ≥ 2.

60. (Desafio!) Sejam a, r ∈ R, a > 0, ´ J. Delgado - S. Firmo - P. Nobrega

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3.9 Limites e a PG

n q aq (a) Seja q ∈ Z . Prove que, (1 + a) > q , para todo n > 2q. 2 q! +

n

˜ (1 + a)n > (q + 1)-termo do desenvolvimento de Newton de (1 + a)n > Indicac¸ao:

n q aq . 2q q!

nr 2q q! r−q < n , para todo n > 2q. (1 + a)n aq nr = 0. (c) Use o item (a) do exerc´ıcio anterior para concluir que lim n→∞ (1 + a)n (b) Obtenha do item acima que, se q > r: 0 <

˜ Observe que r − q < 0. Indicac¸ao:

nr = 0. n→∞ βn

˜ que, se β, r ∈ R e β > 1, entao ˜ lim (d) Obtenha como conclusao 61. Determine o valor dos limites abaixo: 3nn + n! (a) lim . n→∞ 5n + nn (n2 + n) 2n . (b) lim 2 n n→∞ n (2 + 1) n3 + 2n2 3n . n→∞ n3 3n

(c) lim

62. (Desafio!) ˜ tal que lim an = `, entao ˜ (a) Demonstre que, se {an }n e´ uma sucessao n→∞

a1 + a2 + . . . + an = `. n→∞ n lim

√ an+1 (b) Suponha que an > 0 para todo n ∈ N, e que lim = `. Demonstre que lim n an = ` n→∞ an n→∞ √ (use o fato de que lim n a = 1 para a > 0). n→∞

˜ 63. Para cada um dos numeros racionais r dados abaixo, determine sucessoes de numeros ´ ´ racionais distintos (αn )n e (βn )n tais que α1 < α2 < . . . αn < . . . < r < . . . βn < . . . < β2 < β1 e lim αn = r = lim βn . n→∞

n→∞

(a) r = 0, 231. 7 (b) r = . 8 (c) r = 4, 456. ˜ de numeros 64. Repita o exerc´ıcio acima com sucessoes irracionais (αn ) e (βn )n . ´ ˜ de numeros 65. Seja r ∈ R e sejam (αn )n e (βn )n sucessoes reais distintos tais que ´ α1 < α2 < . . . αn < . . . < r < . . . βn < . . . < β2 < β1 ´ J. Delgado - S. Firmo - P. Nobrega

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3.9 Limites e a PG

e lim αn = r = lim βn . n→∞

n→∞

Prove que: (a) O erro ao aproximar r por αn (respectivamente, por βn ) tende a zero quando n → ∞. ˆ (b) A distancia de αn a βn tende a 0 quando n → ∞. ˜ ˆ 66. Resolva as seguintes equac¸oes exponenciais usando as propriedades das potencias de expoente real. √ (a) 8x = 2. (b) 9x

2 −3x

− 3x

2 −x−6

= 0.

(c) 5 · 3x+2 + 2 · 2x+1 + 4 · 3x − 27 · 3x−1 + 9 · 3x−2 = 47. (d) (2x )2 − 12 · 2x + 32 = 0. ˜ 67. Determine o valor das seguintes expressoes: √

√

(a) 1π + 25+ 2 · 25− 2 − 0π .  √ √ √3−√2 √ (b) 7 3+ 2 + 1π+ 5 . 

√

(c) 5

2

√ 2



√

+ 5

3

√ 3

.

´ ´ 68. Prove que, numa PG, todo termo, a partir do segundo, e´ a media geometrica entre o anterior ´ se α, β, γ sao ˜ termos consecutivos de uma PG, entao ˜ β2 = α · γ. e o posterior. Isto e, 69. Sejam αk , αk+1 , . . . , αk+p , . . . , αq , . . . , αm , αm+1 , . . . , αm+p termos consecutivos de uma ˜ tais que k < q < m e p > 0). PG (i.e. k, q, m, p ∈ N sao Prove que αk · αm+p = αk+p · αm . ˜ 70. Os dois primeiros termos de uma PG sao

√

2e

√ 3

2. Ache o quarto termo.

71. Numa PG de termos positivos, qualquer termo e´ igual a` soma dos dois posteriores. Qual a ˜ dessa PG? razao 72. Determine o valor de a ∈ R de modo que, 7 − a,

√

ˆ primeiros de 23 − a e 2 + a, sejam os tres

´ o valor da razao ˜ da PG. uma PG. Acha tambem 73. Dez numeros formam uma PG finita de modo que, a soma dos termos de ordem par e´ 4 e a ´ ˜ dessa PG. soma dos termos de ordem ´ımpar e´ 20. Determine a razao ´ J. Delgado - S. Firmo - P. Nobrega

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3.9 Limites e a PG

˜ 74. Ao simplificar a expressao √ 3 obtemos (a)

√ 3

x·

(b)

x

q 3

√ 3

x·

rq 3

1 45

3

√ 3

sr 3

x·

(c)

√

3

q 3

√ 3

x · ...

(d)

x

1 2

(e) 1

75. O limite da soma dos termos de uma PG e´ igual a 1. Determine o quarto termo desta PG 2 sabendo que o primeiro termo e´ . 3 76. Uma bolinha e´ solta de uma altura h sobre o solo. Cada vez que ela bate no solo, sobe, atingindo uma altura 20% menor que a altura anterior. Determine, em termos de h, o comprimento ´ total percorrido pela bolinha em sua trajetoria, ate´ atingir o repouso. ˜ A e´ obtida ao retirar de um semi-c´ırculo de diametro ˆ 77. Na figura abaixo, a regiao 1, semi1 1 1 1 ˆ ˜ B e´ o complementar da regiao ˜ A no c´ırculo c´ırculos de diametros , , , , . . . , etc. A regiao 2 4 8 16 de raio 1. ´ ˜ A e B. Determine a area das regioes

Fig. 27.

√

p√

78. Ao simplificar o produto infinito α = 2 · 2· n √ (a) 1 , (b) 12 , (e) 2 . (c) 2 , (d) 2 2 , 1 5



79. Simplificando o produto infinito β = 16 · 16 (a)

1 25

,

(b) 2 ,

(c)

√ 5

1 5

qp √

 15

·



rq 2·

16

1 5

 15

p√

2 · . . . obtemos:

! 15 · . . . obtemos:

1

2,

(d) 4 5 ,

(e) 1 .

80. [O conjunto de Cantor](Desafio!) O conjunto de Cantor e´ um subconjunto do intervalo [0, 1] constru´ıdo mediante o seguinte algoritmo recursivo: ´ J. Delgado - S. Firmo - P. Nobrega

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3.9 Limites e a PG

´ Estagio 0: C0 = [0, 1]. ˜ dos intervalos obtidos ao retirar de C0 o terc¸o central aberto. Isto e, ´ ´ Estagio 1: C1 e´ a uniao       1 2 1 2 , = 0, ∪ ,1 . C1 = C0 − 3 3 3 3 ˜ dos intervalos obtidos ao retirar os terc¸os centrais abertos das partes ´ Estagio 2: C2 e´ a uniao de C1 . Isto e´  C2 = C1 −

1 2 , 9 9



 −

7 8 , 9 9



        1 2 1 2 7 8 = 0, ∪ , ∪ , ∪ ,1 . 9 9 3 3 9 9

etc. . . ˜ dos intervalos obtidos ao retirar os terc¸os centrais abertos das partes ´ Estagio n: Cn e´ a uniao de Cn−1 . etc. . . ˜ o conjunto de Cantor e´ o conjunto Por definic¸ao, C = C0 ∩ C1 ∩ C2 ∩ . . . ∩ Cn ∩ . . . . ˜ O conjunto de Cantor e´ nao ˜ vazio (de fato, dentre seus infinitos elementos temos 0, 1, todos os numeros Observac¸ao: da forma ´

1 , 3n

etc).

Calcule a soma dos comprimentos dos intervalos abertos retirados para construir o conjunto de Cantor.

Fig. 27. ´ ˜ criou a Aritmetica ´ ´ Georg Cantor (1845-1918) matematico alemao, Cardinal (aritmetica dos infinitos), formalizou a Teoria de Conjuntos, e intro˜ de Variedades em topologia. duziu a noc¸ao

˜ do conjunto de Cantor acima retirando intervalos centrais 81. (Desafio!) Refac¸a a construc¸ao abertos de comprimento α vezes o comprimento do intervalo do qual se faz a retirada, onde 1 1 (a) 0 < α < (b) 1 > α > 3 3 ´ J. Delgado - S. Firmo - P. Nobrega

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3.9 Limites e a PG

ˆ Relate suas experiencias e relacione os seus resultados com os do exerc´ıcio acima. ˜ com seus colegas. Troque impressoes 82. Um numero natural e´ chamado perfeito quando e´ igual a` metade da soma dos seus divisores ´ naturais. ˜ os seus divisores positivos e 6 = Por exemplo : 6 e´ um natural perfeito, pois 1, 2, 3 e 6 sao

1 (1 2

+ 2 + 3 + 6).

Sabendo que o natural 213 − 1 e´ primo, mostre que 212 · (213 − 1) e´ um natural perfeito. ˜ aritmetica ´ ˜ onde cada termo, a partir do segundo, e´ 83. Uma progressao (PA) e´ uma sucessao ˜ de uma constante chamada a razao ˜ da PA. obtido do anterior por adic¸ao ˜ r e´ a sucessao ˜ Assim, se a, r ∈ R, a PA infinita de primeiro termo a e razao a , a + r , a + 2r , a + 3r , . . . , a + (n − 1)r , . . .

(∗)

˜ Mostre que, se a1 , a2 , a3 , . . . , an , . . . e´ uma PA, entao: a1 + an (a) A soma dos primeiros n termos da PA e´ Sn = · n. 2 ´ ´ (b) Cada termo da PA, a partir do segundo, e´ a media aritmetica entre os termos anterior e an−1 + an+1 ´ para todo n ≥ 2 vale: an = posterior. Isto e, . 2 ˆ exerc´ıcios sobre progressoes ˜ aritmeticas ´ 84. Tres ˜ chamados numeros ˜ (I) Os numeros 3 , 6 , 10 , 15 , . . . sao triangulares em virtude a` associac¸ao ´ ´ com as figuras abaixo

Fig. 28.

´ ´ ˜ dada? (a) Qual o decimo setimo numero triangular da sucessao ´ ´ ˜ para obter o trigesimo? ´ (b) Que numero deve ser somado ao vigesimo nono termo da sucessao, ´ ˜ e´ dita uma progressao ˜ harmonica ˆ (II) Uma sucessao quando os rec´ıprocos dos seus termos formam uma PA. ˜ harmonica, ˆ Determine a soma dos quatro primeiros termos de uma progressao onde 3,4 e 6, ˜ os tres ˆ primeiros termos da progressao. ˜ nessa ordem, sao ˜ 2 e o sexto termo de uma PA de (III) Um numero a e´ o quarto termo de uma PG de razao ´ ˜ 3. Supondo-se que o primeiro termo da PG seja igual ao dobro do primeiro termo da PA, razao ´ J. Delgado - S. Firmo - P. Nobrega

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3.9 Limites e a PG

determinar a soma dos dez primeiros termos da PG e a soma dos cinco primeiros termos da PA.

´ J. Delgado - S. Firmo - P. Nobrega

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