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EJERCICIO 1 Un banco lanza al mercado un plan de inversión cuya rentabilidad R(x), en euros, viene dada en función de la cantidad invertida, x en euros, por medio de la expresión: 𝑅(𝑥) = − 0,001𝑥 + 0,4𝑥 + 3,5 Deducir qué cantidad de dinero convendrá invertir en dicho plan. ¿Qué rentabilidad se obtuvo en el caso anterior? Solución: Obviamente, convendrá invertir la cantidad que mayor rentabilidad produzca: 𝑅′(𝑥) = − 0,002𝑥 + 0,4 𝑅′(𝑥) = 0 ⇒ − 0,002𝑥 + 0,4 = 0 ⇒ 𝑥 =

0,4 = 200 0,002

𝑅′′(𝑥) = − 0,002 < 0, 𝑝𝑜𝑟 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜, 𝑥 = 200€ 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑅(𝑥) 𝐿𝑎 𝑟𝑒𝑛𝑡𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒 𝑜𝑏𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑒𝑠 𝑅(200) − 0,001(200) 0,4 200 3,5 435 2 = + ⋅ += , €

EJERCICIO 2 Los costes de fabricación, C(x) en euros, de cierta variedad de salchichas, dependen de la cantidad elaborada (x en kilos) de acuerdo con la siguiente expresión: 𝐶(𝑥) = 10 + 2𝑥 El fabricante estima que el precio de venta en euros de cada kilogramo de salchichas viene dado por: 6𝑥 2 𝑃(𝑥) = 20 − 800 Obtener la función de ganancias ¿Qué cantidad de salchichas interesa producir para maximizar ganancias? Calcular en este caso, el precio de venta y la ganancia que se obtiene. Solución: Sea x el número de kilogramos de salchichas a fabricar 6𝑥 2

El precio de venta de un kilogramo de salchichas es: 𝑃(𝑥) = 20 − 800 6𝑥 3

En total obtendremos por la venta de x kilogramos: 𝑥 𝑃(𝑥) = 20𝑥 − 800

La función de ganancias es: 𝐺(𝑋) = 𝑥. 𝑃(𝑥) − 𝐶(𝑥) = 20𝑥 −

6𝑥 3 6𝑥 3 − (10 + 2𝑥) = − + 18𝑥 − 10 800 800

9𝑥 2 𝐺 (𝑥) = − + 18 = 0 400 ′

𝑥 = ±20√2 De los dos valores obtenidos descartamos el negativo Vamos si el valor positivo es máximo: 𝐺 ′′ (𝑥) = −

18𝑥 400

Claramente se aprecia que 𝐺 ′′ (20√2) < 0 𝑥 = 20√2 es un máximo, por lo que conviene fabricar.

EJERCICIO 3 Una compañía de autobuses interurbanos ha comprobado que el número de viajeros (N) diarios depende del precio del billete (p) según la expresión: 𝑁(𝑝) = 300 − 6 𝑝 Dar la expresión que nos proporciona los ingresos diarios (I) de esa compañía en función del precio del billete. ¿Qué ingreso diario se obtiene si el precio del billete es 15 euros? ¿Cuál es el precio del billete que hace máximo los ingresos diarios? ¿Cuáles son esos ingresos máximos? Solución: 𝑁(𝑝) = 300 − 6𝑝 es el número de viajeros según el precio del billete, p. Por tanto la función que nos proporciona los ingresos en función del precio del billete será el producto del número de viajeros por el precio que paga cada uno: 𝑓(𝑝) = 𝑁(𝑝) ⋅ 𝑝 = 300𝑝 − 6𝑝2 𝑓(15) = 300(15) − 6(15)2 = 3150 € ingreso diario para un billete de 15€ 𝑓′(𝑝) = 300 − 12𝑝 𝑓′(𝑝) = 0 ⇒ 300 − 12𝑝 = 0 ⇒ 𝑝 = 25€ 𝑓′′(𝑝) = −12 < 0 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑝 = 25€ 𝑒𝑠 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 𝑓(25) = 300(25) − 6(25)2 = 3750 € 𝑖𝑛𝑔𝑟𝑒𝑠𝑜𝑠 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜𝑠

EJERCICIO 4 Un comercio abre sus puertas a las nueve de la mañana, sin ningún cliente, y las cierra cuando se han marchado todos. La función que representa el número de clientes, dependiendo del número de horas que lleva abierto, es: 𝐶(ℎ) = −ℎ2 + 8ℎ El gasto por cliente decrece a medida que van pasando horas desde la apertura y sigue la función: 𝐺(h) = 300 − 25h ¿En que hora se produce la mayor afluencia de clientes? Solución: 𝐶(ℎ) = −ℎ2 + 8ℎ 𝐶′(ℎ) = −2ℎ + 8 = 0 ℎ=4 𝐶 ′′ (ℎ) = −2 < 0 , ℎ = 4 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 La mayor afluencia de clientes se produce 4 horas después de abrir, es decir, a las 13h.

EJERCICIO 5 La función de coste total de producción de x unidades de un determinado producto es: 𝑥3 𝐶(𝑥) = + 8𝑥 + 20 800 Se define la función de coste medio por unidad como 𝑄(𝑥) =

𝐶(𝑥) 𝑥

¿Cuántas unidades x0 son necesarias producir para que sea mínimo el coste medio por unidad? 𝑄(𝑥) =

𝐶(𝑥) 𝑥2 20 == +8+ 𝑥 100 𝑥

𝑄 ′ (𝑥) = 0 =

𝑥 20 − 50 𝑥 2

𝑥 = 10 𝑄 ′′ (𝑥) = 𝑄 ′′ (10) =

1 40 + 50 𝑥 3

1 40 + 3 > 0, 𝑥 = 10 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜 50 10

Es necesario producir 10 unidades para que el coste medio por unidad sea mínimo.

EJERCICIO 6 Una multinacional ha estimado que anualmente sus ingresos en euros vienen dados por la función: 𝐼(𝑥) = 28𝑥 2 + 36000𝑥 mientras que sus gastos (también en euros) pueden calcularse mediante la función 𝐺(𝑥) = 44𝑥 2 + 12000𝑥 + 700000 donde x representa la cantidad de unidades vendidas. Determinar la función que define el beneficio máximo. Solución: 𝐵(𝑥) = 𝐼(𝑥) − 𝐺(𝑥) 𝐵(𝑥) = 28𝑥 2 + 36000𝑥 − (44𝑥 2 + 12000𝑥 + 700000 ) 𝐵(𝑥) = −16𝑥 2 + 24000𝑥 − 700000 𝐵 ′ (𝑥) = −32𝑥 + 24000 = 0 𝑥 = 750 𝐵 ′′ (𝑥) = −32 < 0, 𝑥 = 750 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 El beneficio máximo es: 𝐵(750) = −16(750)2 + 24000(750) − 700000 = 8300000€

EJERCICIO 7 1. El producto Interno Bruto (PIB) de un país 𝑅(𝑋) = 𝑚2 + 5𝑚 + 106 mil millones de dólares t años después de 1999. a. ¿Qué razón cambió PIB con respecto al tiempo en 2012? 𝑅(𝑋) = 𝑚2 + 5𝑚 + 106 𝑅′(𝑋) =

𝑑 2 𝑑 𝑑 𝑚 + 5𝑚 + 106 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑅 ′ (𝑋) = 2𝑚 + 5 𝑡=3

𝑅 ′ (𝑋) = 2(13) + 5 = 31000 𝑚𝑖𝑙𝑙𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑑𝑜𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠 𝑎𝑙 𝑎ñ𝑜

b. ¿A qué razón porcentual cambio el PIB con respecto al tiempo en el año 2014 𝑅(𝑋) = 𝑚2 + 5𝑚 + 106 𝑅 ′(𝑋) = 132 + 5(! 13) + 106 = 340 𝑚𝑖𝑙 𝑚𝑖𝑙𝑙𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑟𝑎𝑧𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑝𝑜𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑢𝑎𝑙 31.17%

EJERCICIO 8 En cierta empresa un estudio de eficiencia para el turno de la mañana determina que un trabajador promedio, que llega a las 7:00 a.m. ha producido 𝑄(𝑡) = 𝑡 3 + 6𝑡 2 + 24𝑡 a. Calcular la tasa de producción del trabajador a las 12:00.

𝑄 ′(𝑡)

𝑄(𝑡) = 𝑡 3 + 6𝑡 2 + 24𝑡 = 3𝑡 2 + 12𝑡 + 24 = 159 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑟 ℎ𝑜𝑟𝑎

b. ¿A qué razón está cambiando la tasa de producción del trabajador con respecto a las 12:00? 𝑄′′(𝑡) = −6𝑡 + 12 𝑄 ′′ (5) = −6(5) + 12 = −28 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑟 ℎ𝑜𝑟𝑎 El signo negativo indica que la tasa de producción está decreciendo.

EJERCICIO 9 Encuentre los costos marginales si 𝐶(𝑥) = √100 + 𝑥 2

(100 + 𝑥 2 )1/2 𝐶´(𝑥) =

𝑑 (𝑥) 𝑑𝑥

1 𝐶´(𝑥) = (100 + 𝑥 2 )−1/2 ∗ 2𝑥 2 𝐶´(𝑥) = 𝑥 ∗ (100 + 𝑥 2 )−1/2 𝐶´(𝑥) =

𝑥 (100 + 𝑥 2 )1/2

𝑥 = 200 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠

𝐶´(200) =

200 (100 + 2002 )1/2

𝐶´(200) =

200 = $0.99 225

EJERCICIO 10 Determine 𝐶(𝑥̅ ) el costo promedio marginal. 𝐶(𝑥̅ ) = 20 + 2𝑥 − √𝑥 2 + 1 𝐶(𝑥̅ ) =

20 + 2𝑥 − √𝑥 2 + 1 𝑥

𝐶(𝑥̅ ) =

20 2𝑥 √𝑥 2 + 1 + − 𝑥 𝑥 𝑥

𝐶(𝑥̅ ) = 𝐶(𝑥̅ ) = 𝐶(𝑥̅ ) =

20 √𝑥 2 + 1 +2− 𝑥 𝑥

𝑑 20 𝑑𝑥 2 𝑑𝑥 √𝑥 2 + 1 + 𝑥 − 𝑑𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥

−20(√𝑥 2 + 1) + 1 1 − 2 2 𝑥 𝑥 (√𝑥 2 + 1)

EJERCICIO 11 Determinar el valor de ingreso marginal si la relación en la demanda es: 𝑝 = √100 − 0.1𝑥 − 10𝑥 2 𝐼(𝑥) = 𝑥 ∗ 𝑝 𝐼(𝑥) = 𝑥(√100 − 0.1𝑥 − 10𝑥 2 ) 𝑑

𝑑

𝐼(𝑥) = 𝑑𝑥 𝑥 ∗ (√100 − 0.1𝑥 − 10𝑥 2 ) + 𝑑𝑥 (√100 − 0.1𝑥 − 10𝑥 2 )*x 𝐼(𝑥) =

2(√100 − 0.1𝑥 − 10𝑥 2 ) − 0.1𝑥 − 20𝑥 2 2(√100 − 0.1𝑥 − 10𝑥 2 ) 𝐼(𝑥) =

200 − 0.3𝑥 − 40𝑥 2 2(√100 − 0.1𝑥 − 10𝑥 2 )

EJERCICIO 12 Determinar el costo marginal si la función del costo es: 𝐶(𝑥) = √25 + 𝑥 + 𝐿𝑛(𝑥 + 1) 𝐶(𝑥) = (25 + 𝑥 + 𝐿𝑛(𝑥 + 1))1/2 1

− 2 1 𝑑 𝐶(𝑥) = (25 + 𝑥 + 𝐿𝑛(𝑥 + 1)) ∗ (25 + 𝑥 + 𝐿𝑛(𝑥 + 1)) 2 𝑑𝑥 1

− 2 1 𝑑 𝑥+2 𝐶(𝑥) = (25 + 𝑥 + 𝐿𝑛(𝑥 + 1)) ∗ 2 𝑑𝑥 𝑥 + 1

𝑥+2

𝐶(𝑥) =

1

2(𝑥 + 1)(25 + 𝑥 + 𝐿𝑛(𝑥 + 1))2

EJERCICIO 13 Para cierto artículo la ecuación de la demanda es 𝒑  𝟓  𝟎. 𝟎𝟎𝟏𝒙 ¿Determinar el volumen de producción para maximizar el Ingreso? Si el costo de producir los artículos que se venden 𝒆𝒔 𝑪  𝟐𝟎𝟎𝟎 𝒙¿Calcularlas unidades para que la utilidad sea máxima y el valor de dicha utilidad? 𝑰 = 𝒙𝒑 𝐼 = 𝑥(5 − 0.001𝑥) 𝐼 = 5𝑥 − 0.001𝑥 2 𝐼′ = 5 − 0.002𝑥 5 − 0.002𝑥 = 0 𝑋=

5 = 2500 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 0.002

Para determinar si este volumen de producción maximiza el ingreso determino la segunda derivada, (si es mayor que cero tengo máximo, menor que cero mínimos y si es igual a cero existe un punto de inflexión) 𝐼′ = 5 − 0.002𝑥 𝐼 ′ = −0.002 𝑉𝑂𝐿𝑈𝑀𝐸𝑁 𝐷𝐸 𝑃𝑅𝑂𝐷𝑈𝐶𝐶𝐼𝑂𝑁 𝑆𝐸 𝑀𝐴𝑋𝐼𝑀𝐼𝑍𝐴 𝐸𝑁 𝐸𝐿 𝐼𝑁𝐺𝑅𝐸𝑆𝑂

EJERCICIO 14 Un fabricante de autos tiene una producción x y el costo total anual de la producción se describe por medio de la función 𝑄(𝑥) = 100000 + 1500𝑥 + 0.2𝑥 2 El costo cuando se producen 100 autos es de $252,00. Encontrar el costo marginal cuando se produce 1 auto más y determinar si es conveniente producirlo. Solución: Utilizando la definición de costo marginal, se tiene que es: 𝑄(𝑥) = 1 500 + 0.4𝑥 y el costo por producir 1 auto más es, 𝑄 (100) = 1540 𝑝𝑒𝑠𝑜𝑠 Esto quiere decir, que, si se produce 1 auto más, el costo se incrementa en $1,540. La función costo promedio es,

𝑞(𝑥) 𝑥

= 100000 + 1500 + 0.2𝑥

El costo promedio al producir 100 autos es, 𝑞(100) = 2520 𝑝𝑒𝑠𝑜𝑠 Como el costo promedio de la producción de 100 autos es mayor al costo generado por producir un auto más, conviene producir la siguiente unidad.

EJERCICIO 15 Supóngase que el costo de un artículo depende de la cantidad x producida de acuerdo con la función: 𝑄(𝑥) = 𝑥2 + 2𝑥 + 2; Así, el costo por producir 300 artículos es de $90,602. Calcular el costo marginal por producir la siguiente unidad y determinar si es conveniente producirla. Solución: La función costo marginal es, en este caso, 𝑄(𝑥) = 2𝑥 + 2 el costo marginal por producir 1 artículo más es de 𝑄(300) = 602 𝑝𝑒𝑠𝑜𝑠; La función costo promedio es, en este caso, 𝑞(𝑥) = 𝑥 + 2 y el costo promedio al producir 300 artículos es 𝑞(300) = 302.01 𝑝𝑒𝑠𝑜𝑠; es decir, el costo promedio es menor que el costo de la siguiente unidad, por tanto, no conviene producir la siguiente unidad.

EJERCICIO 16 Utilizando el análisis marginal resolver el ejemplo anterior y comparar los resultados. Solución: La función costo total es 𝑄(𝑥) = 𝑥2 + 2𝑥 + 2; El costo por producir 300 artículos es 𝑄(300) = 90602 𝑝𝑒𝑠𝑜𝑠; El costo por producir 301 artículos es 𝑄(301) = 91205 𝑝𝑒𝑠𝑜𝑠; Y el costo marginal por producir 1 unidad más, después de las 300 unidades iniciales es 𝑄(301) − 𝑄(300) = 603 𝑝𝑒𝑠𝑜𝑠; Esto quiere decir que el costo adicional al producir una unidad más es de $603 y como es mayor que el costo promedio por producir 300 unidades, no conviene producir la siguiente unidad. Comparando con el resultado anterior: 𝑄(301) − 𝑄(300) = 603 ¼ 602 = 𝑄0(300) se tiene que la aproximación es buena ya que, la curva de la función costo es una curva suave.

EJERCICIO 17 La función costo total por producir un artículo es 𝑄(𝑥) = 5 : El costo por producir 50 artículos es 𝑄(50) = 110132.33 𝑝𝑒𝑠𝑜𝑠. Determinar el costo marginal por producir la siguiente unidad, mediante el uso de la definición y mediante el análisis marginal. Solución: El costo adicional por producir 1 unidad más es 𝑄0(50) = 22026.5 𝑝𝑒𝑠𝑜𝑠 Utilizando el análisis marginal el costo por producir una unidad adicional es: 𝑄(51) 𝑄(50) = 24383.6 𝑝𝑒𝑠𝑜𝑠.

Al comparar resultados, se tiene que 𝑄(50) 6 = 𝑄(51) − 𝑄(50), así, se tiene que en contraposición no es buena, es de esperarse este resultado pues la curva de la función no es una curva suave.

EJERCICIO 18 Un fabricante puede producir radios a un costo de 5 dólares cada una y estima que si se venden a X dólares cada uno, los consumidores compraran 20-x radios por día. ¿A qué precio debe vender las radios, el fabricante para maximizar la utilidad? Costo de producción: $5 Precio de venta: $𝑋 𝑑ó𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠 Cantidad consumida: (20 − 𝑋) radios por día 𝑅 = 𝐼𝑇 − 𝐶𝑇 𝐵(𝑥) = (20 − 𝑥)𝑥 − 5(20 − 𝑥) 𝐵(𝑥) = 20𝑥 − 𝑥^2 − 100 + 5𝑥 𝐵^′ (𝑥) = 20 − 2𝑥 + 5 𝐵′(𝑥) = 25 − 2𝑥 Igualamos a cero la primera derivada 25 − 2𝑥 = 0 𝑥 = 12.5 𝑅𝑝𝑡𝑎. 𝐵^′′ (𝑥) = −2 < 0 𝑚𝑎𝑥𝑖𝑚𝑜 Entonces debe vender a $12.5 para maximizar su beneficio.

EJERCICIO 19 La función de demanda para un cierto artículo es D(p)=160-2p, donde p es el preció a que se vender el artículo. ¿A qué precio es mayor el gasto de consumo del artículo? 𝐷 (𝑝) = 160 − 2𝑝 𝑝 = 𝑝𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑛𝑡𝑎 𝐺 (𝑝) = (160 − 2𝑝)𝑝 𝐺 (𝑝) = 160𝑝 − 2𝑝^2 𝐺′(𝑝) = 160 − 4𝑝 160 = 4𝑝 40 = 𝑝 𝐺’’ (𝑝) = −4 < 0 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 Si la función de utilidad consumidor 𝑈 = 𝑞1 ∗ 𝑞2 − 3𝑞12 , 𝑃1 = 5, 𝑃2 = 10 y el ingreso del consumidor es 180. Determine las cantidades 𝑞_1 𝑦 𝑞_2 que debería comprar para maximizar la utilidad. 𝑈 = 𝑥𝑦 − 𝑥^2 𝑃𝑥 = 3 𝑃𝑦 = 6 𝑦^0 = 90 𝑔(𝑥, 𝑦) = 5𝑥 + 10𝑦 = 180 𝑔𝑥 = 1 𝑔𝑦 = 2 𝑥 + 2𝑦 = 36 → 𝜕𝑈/𝜕𝑥 = 𝑦

EJERCICIO 20 Un cultivador de agrios de Tambogrande estima que, si se plantan 60 naranjos, la producción media por árbol será de 400 naranjas. La producción media decrecerá en 4 naranjas por árbol adicional plantado en la misma extensión. ¿Cuántos árboles debería plantar el cultivador para maximizar la producción total? Á𝑟𝑏𝑜𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑛𝑎𝑟𝑎𝑛𝑗𝑎 = 𝐴𝑁1 = 60 𝑃𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 = 𝑃𝑀1 = 400 𝐴𝑁2 = 60 + 𝑥 𝑃𝑀2 = 400 – 4𝑥 𝑃𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑃𝑇 = (60 + 𝑥)( 400 – 4𝑥) 𝑃𝑇 = 2400 + 160𝑥 – 4𝑥2 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑚𝑎𝑥𝑖𝑚𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑃𝑇 160 − 8𝑥 = 0 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑥 = 20 −8 < 𝑜 𝑃𝑁 = 60 + 𝑥 = 60 + 20 = 80