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MODALIDAD SEMIPRESENCIAL

Te rc e r C i c l o d e E d u c a c i ó n G e n e ra l B á s i c a p a ra Ad u l t o s

Matemática 4

4

Matemática

4

Matemática Tercer Ciclo de Educación General Básica para Adultos MODALIDAD SEMIPRESENCIAL

4

Ministro de Educación de la Nación Prof. Dr. Hugo Oscar Juri

Secretario de Educación Básica Lic. Andrés Delich

Subsecretario de Educación Básica Lic. Gustavo Iaies

[email protected]

Material elaborado por los Equipos Técnicos del Programa de Acciones Compensatorias en Educación del Ministerio de Educación.

Ministerio de Educación de la Nación. Santa Fe 1548. Buenos Aires. Hecho el depósito que marca la ley 11.723. Libro de edición argentina. ISBN 950-00-0295-7. Primera Edición. Primera Reimpresión.

Índice Introducción

..........................................................

5

Fracciones equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Comparación de fracciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Operaciones con fracciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Suma y resta de fracciones con igual denominados . . . . Suma y resta de fracciones con distinto denominador. . . . Multiplicación de fracciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . División de fracciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Potenciación con base fraccionaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6 14 22 26 26 27 34 40 43

Cálculos con expresiones decimales

............................

46

.............................................................

49

Números racionales

Radicación

.................................................

.................................................

55

..................................................

58

Cálculo aproximado Notación científica

Geometría: Triángulos

.............................................

Propiedad de los lados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Angulos interiores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Alturas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Introducción a la estadística

.....................................

Universo o población . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Instrumentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Variables estadísticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Frecuencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Diagramas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Parámetros estadísticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

72 75 80 80 83 88 93

................................................

103

...................................................................

121

Claves de corrección Anexo

65 66 68 70

Introducción

E

n el Libro anterior se mencionó que los números pueden ser usados para contar o para medir. De acuerdo con cada situación se utilizan diferentes tipos de números: naturales, enteros o racionales. Usted ya ha estudiado el conjunto de los números naturales y el de los enteros y cómo se opera con ellos. En la primera parte de este Libro analizará las operaciones que se realizan con los números racionales. En la segunda parte continuará con geometría. Se trabaja sobre el triángulo y algunas de sus propiedades. En la parte final del Libro encontrará un anexo con el material que utilizará en este tema. Por último comenzará a estudiar aspectos generales de estadística. Actualmente, los medios de comunicación utilizan esta rama de la matemática para presentar gran parte de la información que desarrollan. Aquí se propone el estudio de los conceptos básicos para la lectura y comprensión de diversos cuadros y diagramas de uso corriente.

5

Números racionales

L

os números racionales pueden escribirse como fracción o en su expresión decimal. Comenzaremos a trabajar con los números racionales en su expresión fraccionaria. Observe la pared representada en el dibujo. Las cerámicas utilizadas para revestirla fueron colocadas prolijamente en filas hasta cierta altura. ¿Cuántas filas de cerámica revisten la pared?¿Cuántas cerámicas hay en cada fila? ¿Cuántas cerámicas hay en total?

Si la tortuga tiene que recorrer desde A hasta B ¿qué parte del camino recorrió la tortuga? Estas últimas preguntas ¿pueden ser contestadas con un número entero? No, para contestar a estas preguntas es preciso utilizar fracciones; • • •

6

Hay 5 cerámicas y 12 por cada fila

Hay 38 cerámicas y 12 en total La tortuga recorrió 3 del camino. 4

5 1 , 38 1 y 3 son números racionales expresados con fracciones. 2

2

4

Para escribir una fracción se utilizan dos números enteros, por lo tanto, el numerador y el denominador pueden ser números positivos, negativos o el cero; la única restricción es que el denominador no puede ser cero.

3 4

Revise en el Módulo 2, Libro 1 para repasar este tema si no lo recuerda.

Numerador

Denominador Recuerde que cuando se quiere generalizar, por ejemplo la definición de fracción, debemos reemplazar los números por letras. De esta manera se indica que no nos referimos a un caso particular; 3 (por ejemplo 4 ) ya que si afirmáramos que la manera de escribir fracciones es 34 estaríamos diciendo que la única forma de escribir una fracción es con un 3 y con un 4. Llamaremos “a" y “b" a los números que forman la fracción. De este modo referirnos de un modo general, a cualquier número "a" o cualquier número “b".

a b

Es el ............................ e indica ........................... Es el ............................ e indica ...........................

Generalizando Una fracción tiene la forma a b donde a y b son números enteros y b ≠ 0 a es el numerador y b el denominador de la fracción

En la vida cotidiana utilizamos frecuentemente expresiones fraccionarias. Por ejemplo para indicar los ingredientes de una receta de cocina:

Ingredientes

J

2 litros de leche 1 pan de manteca 4 2 tazas y 1 de harina

2

1 M i n i s t e r i o d e C u l t u r a 4y kilogramo E d u c a c ide ó nazúcar de la Nación

7

También se utilizan fracciones en situaciones como las siguientes:

Tres de las cuatro personas de la cola son hombres; es decir 34 partes de quienes están en la cola son hombres.

4 de los autos son Cuatro de los diez autos son blancos; es decir 10 blancos.

Es muy frecuente referir la información en relación con un total de 100. Así, por ejemplo, se dice “20 de cada 100 personas de un ba20 . rrio tienen auto propio". En fracciones esto se expresa como 100 También suele decirse “el 20 % de...", que es una expresión equivalente. En síntesis, cuando se utiliza la expresión "tanto por ciento" -que se representa con el número seguido del símbolo %- significa que la información está referida a una fracción con denominador 100.

8

Actividad Nº1 Para representar las siguientes fracciones se han utilizado diferentes figuras: barras, círculos, cuadrados, que representan la unidad. Las partes en que se dividió cada figura indican el denominador (cuartos, medios, tercios, etc.). El numerador está expresado en las partes sombreadas. a Complete el numerador, el denominador o ambos y los sombreados correspondientes, para indicar la fracción representada.

b Represente en la recta numérica los números que haya obtenido en la primera columna.

0

1

9

c ¿Entre qué números enteros están todas las fracciones de la primera columna? d En todos estos casos ¿cómo es el numerador con respecto al denominador? e En la primera columna todos los números son menores que 1. Los de la segunda columna ¿son mayores, menores o iguales a 1? ¿Cómo son en estos casos el numerador y el denominador? f Observe las fracciones que quedaron escritas en la tercera columna. ¿Cómo son el numerador y el denominador? ¿Estas fracciones son menores, mayores o iguales a 1?

Antes de continuar consulte las Claves de Corrección.

De acuerdo con las respuestas de la Actividad Nº1, las fracciones de la segunda columna son mayores que 1. Esto también lo podemos observar si representamos dichos números en la recta numérica. Para representar de manera más sencilla estos números podemos pensar a cada uno de ellos como un número entero más una fracción de una unidad, tal como en los gráficos anteriores. 3

Por ejemplo el primero de los números es 11 8 , que es 1 entero más 8 de la unidad, por lo que en la recta este número está entre 1 y 2. Para ubicarlo con precisión dividimos el segmento que está entre 1 y 2 en 8 partes iguales (octavos) y marcamos la tercera de ellas.

10

Un caso particular de fracciones Consideremos unidades iguales y que cada una de ellas esté dividida en 4 partes iguales, es decir en cuartos. Considere 8 de esas partes, es decir 84 . Resulta entonces que se han considerado dos enteros para obtener los 84 es decir 84 = 2

Considere otro caso. Cada una de las tres unidades son iguales y están divididas en tercios, en total hay nueve tercios. Entonces: 93 = 3

Si cada unidad, todas iguales entre sí, está dividida en medios, tener ocho mitades de enteros iguales equivale a tener 4 enteros. Entonces 82 = 4.

Como se observa en los ejemplos anteriores, hay fracciones que equivalen a números enteros, o lo que es lo mismo: todo número entero puede expresarse como una fracción.

Actividad Nº2 ¿Qué relación debe existir entre el numerador y el denominador para que una fracción positiva sea: • menor que 1 • mayor que 1 • igual a 1 • equivalente a un número entero

11

En la foto hay 2 manzanas enteras más otra media manzana o sea 5 ó2 1 2

2

Las fracciones mayores que uno (como 52 ) pueden escribirse también separando las unidades que contienen: 2 12 es una expresión mixta.

Es muy común expresar cantidades de esta manera: “La película duró 2 horas y cuarto" 2 1 4 “Un kilo y medio de pan” 1 1 2

( )

( )ó

Hasta aquí se ha trabajado con números fraccionarios positivos, pero hemos dicho que el numerador y el denominador son números enteros, por lo tanto uno o ambos pueden ser negativos. Recuerde que la única restricción es que el denominador no sea cero. Si el numerador es positivo (+) y el denominador (-) ¿cuál es el signo de la fracción? ¿Y si ambos números son negativos? Tenga presente la regla de signos estudiada en el Libro anterior. Por ejemplo: 3. Si el numerador es 3 y el denominador es -4 deberíamos escribir -4 Si el numerador es -2 y el denominador -5 deberíamos escribir -2 . -5

En lugar de escribir el signo de cada uno de los números que forman la fracción se coloca un signo negativo a la altura de la línea de fracción, si es que sólo uno de los dos números es negativo. No se colocan los signos negativos de cada número si ambos lo son. Es decir:

12

En lugar de escribir 3 escribimos - 34 -4

No escribimos -2 sino 2 porque ambos son negativos y al dividir un 5 -5 negativo por un negativo la fracción resulta positiva. En la recta numérica, del mismo modo que en los enteros, las fracciones negativas se colocan a la izquierda del cero. Por ejemplo: - 12

-2 34

-2 3 está entre -2 y -3 4 1 - 2 está entre 0 y -1

-4

-3

-2

-1

0

Los números enteros más cercanos a -2 34 son -2 y -3.

Actividad Nº3 a Calcule mentalmente cuáles son los enteros más próximos entre los que están las siguientes fracciones. 8 entre ........ y ........ 3

2 entre ........ y ........ 5

- 54 entre ........ y ........

7 entre ........ y ........ 2

- 72 entre ........ y ........

12 entre ........ y ........ 5

b ¿Qué relación debe existir entre el numerador y el denominador de una fracción negativa para que sea: • menor que -1 • mayor que -1 • igual a -1 • equivalente a un entero negativo

13

Fracciones equivalentes Piense en algún amigo o familiar que tenga uno o varios sobrenombres. Usted puede referirse a esa persona de diferentes formas. Lo mismo sucede con los números. Un mismo número puede ser expresado de diferentes maneras, pero siempre es el mismo número, porque las expresiones son equivalentes.

Actividad Nº4 Todas las tiras dibujadas representan la unidad. Todas ellas son iguales. a Sombree las partes que correspondan para representar la fracción indicada en cada caso.

b Compare las partes del entero que sombreó. En cada caso ¿cómo son entre sí? c Represente las cuatro fracciones en la recta numérica. Primero trate de deducir qué ocurrirá.

Antes de continuar consulte las Claves de Corrección.

14

Tal como habrá observado en la actividad anterior, es posible escribir con números distintos, fracciones que representan la misma cantidad. 9 , 12 representan el mismo número racioLas fracciones 34 , 68 , 12 16 nal. Tienen diferente escritura, pero representan la misma cantidad. Es decir son fracciones equivalentes.

Se puede escribir:

3 = 6 = 9 = 12 8 12 16 4 En síntesis

Las fracciones que corresponden a un mismo punto de la recta numérica son fracciones equivalentes. Este punto de la recta representa un número racional. Este número puede expresarse a través de cualquiera de las fracciones equivalentes o en su expresión decimal.

En el ejemplo se presentaron fracciones equivalentes. Pero ¿cuál es el procedimiento para obtener una fracción equivalente a otra? Ser equivalentes, es decir representar el mismo número, implica que si se modifica el numerador de una fracción dada (aumentándolo o disminuyéndolo) se debe modificar también el denominador de manera proporcional. Por ejemplo: Si al numerador y al denominador de la fracción 3 la multiplicamos 4 por 2 x2

3 = 6 8 4

obtenemos 6 que es equivalente a 3 . 8

4

x2

15

Si se multiplica por 4 tendríamos: x4

3 = 12 4 16

obtenemos 12 que es equivalente a 3 . 16

4

x4

También podríamos haber elegido como factor el número 5, x5

3 = 15 4 20

obtenemos 15 que es equivalente a 3 . 20

4

x5

Podríamos haber elegido 25 como factor: x25

3 = 75 obtenemos 75 que es equivalente a 3 . Como de100 4 4 100 x25

cimal se expresa 0,75. En porcentaje: 75%.

El proceso de hallar fracciones equivalentes a una dada, multiplicando numerador y denominador por un mismo número se llama amplificación.

Actividad Nº5 a Escriba las fracciones equivalentes a cada una de las que se presentan a continuación, respetando el numerador o denominador indicado. (Piense por qué número multiplicar o dividir alguna de las fracciones para obtener lo que quiere.)

2 = 4 = = 12 = 9 30 3 1 = 7 4 = 2 = 80 = 8 6 = 12 = 3 = 15 = 4 100 b Para cada una de las fracciones usted escribió otras cuatro equivalentes. ¿Son las únicas? c ¿Cuántas fracciones equivalentes tiene una fracción dada?

16

Actividad Nº6 Trate de hallar mentalmente 5 fracciones equivalentes para cada una de las que se presentan aquí: 2 = 3 5 = 4 3 = 2 5 = 10

Actividad Nº7 Para cada uno de los siguientes pares de fracciones halle otro par de fracciones que sean equivalentes a las dadas, pero que tengan el mismo denominador. a

1 3 2 y 3 b 3 5 4 y 6 c 8 1 5 y 2

Las fracciones equivalentes no sólo pueden hallarse por amplificación. Cuando el numerador y el denominador pueden dividirse por un mismo número también se obtienen fracciones equivalentes. En la fracción 24 36 tanto el 24 como el 36 pueden dividirse por un mismo número, por ejemplo, por 2, entonces: :2

24 = 12 36 18

obtenemos 12 que es equivalente a 24. 18

36

:2

17

Pero el 24 y el 36 también son divisibles, es decir que se pueden dividir exactamente, por 3 :3

24 = 8 36 12

obtenemos 8 que también es equivalente a 24 . 12

36

:3

Actividad Nº8 Además del 2 y el 3 existen otros tres divisores comunes a 24 y 36. Encuéntrelos y obtenga las fracciones equivalentes correspondientes. :

24 = 36

:

24 = 36

:

:

:

24 = 36 :

El proceso por el cual hallamos fracciones equivalentes a una dada, dividiendo el numerador y el denominador por un mismo número, se llama simplificación.

Actividad Nº9 a ¿Cuántas fracciones equivalentes a 24 pueden obtenerse divi36 diendo el numerador y el denominador por un mismo número? b Exprese cómo pueden hallarse fracciones equivalentes por amplificación y por simplificación.

Veamos más ejemplos de simplificación. La fracción 12 20 puede ser simplificada pues el numerador y el denominador son divisibles por un mismo número. En este caso por 2 o por 4. Conviene, en estos casos dividir por el mayor de los números.

18

12 = 12 : 4 = 3 20 20 : 4 5

entonces

12 = 3 20 5

Si no hubiéramos advertido que el mayor número por el cual era posible dividir el numerador y el denominador era 4 y hubiésemos 6 puede volver a dividirse dividido por 2, la fracción así obtenida 10 por 2 obteniendo de igual forma la fracción 3 . 5 8 también admite la posibilidad de ser simplificada por La fracción 24 distintos números. Por 2, por 4 y por 8. Como ya se señaló conviene simplificar por el mayor de todos. En este caso por 8: 8 8:8 1 24 = 24 : 8 = 3

entonces

8 1 24 = 3

Igual que en el ejemplo anterior puede no haberse advertido que esta fracción se puede simplificar por 8. Suponga que sólo advierte que se puede simplificar por 2. 8 8:2 4 24 = 24 : 2 = 12 La fracción equivalente obtenida admite la posibilidad de volver a ser simplificada, por ejemplo por 4. 4 4:4 1 12 = 12 : 4 = 3 Al simplificar por 2 y luego por 4 obtenemos el mismo resultado que simplificando directamente por 8.

Cuando una fracción puede ser simplificada por diferentes números, si no lo hacemos por el mayor de ellos, la fracción obtenida admite la posibilidad de ser nuevamente simplificada. Cuando ya no es posible seguir simplificando, la fracción obtenida se la denomina fracción irreducible. 3 es la fracción equivalente irreducible de 5 1 es la fracción equivalente irreducible de 3

12 20 8 24

19

Muchas personas realizan la simplificación tachando el numerador y el denominador de la fracción y escribiendo en su lugar el resultado de la división de numerador y denominador por un mismo número. Por ejemplo, si tenemos la fracción 120 y no advertimos 100 que puede simplificarse por 20, pero sí por 10 y luego por 2, procedemos de la siguiente manera: 12

120 = 12 (dividiendo numerador 100 20

y denominador por 10)

10

entonces 6

12 10

=

120 = 6 100 5

6 (dividiendo por 2) 5

5 Obtener las fracciones irreducibles es útil para operar con fracciones. Al simplificar se podrán expresar las mismas cantidades dadas con números menores en los numeradores y los denominadores, lo que facilitará la resolución de operaciones.

Actividad Nº10 a Indique si son o no equivalentes los siguientes pares de fracciones:

8 y 24 5 15

30 y 3 20 2

1 y4 3 15

18 y 6 15 5

6 y 18 8 4

b Explique cómo hizo para reconocer cuáles eran equivalentes y cuáles no.

Actividad Nº11 Escriba la fracción irreducible equivalente a:

20

100 = 75

8 = 20

12 = 18

120 = 30

36 = 12

15 = 25

Actividad Nº12 Escriba tres fracciones irreducibles que tengan: a Numerador

5

b Denominador 3 c Numerador

1

Al iniciar el tema se señaló que una fracción con denominador 100 suele expresarse como porcentaje: 20 = 20%. 100 En la vida cotidiana utilizamos muchas veces equivalencias entre fracciones y porcentajes. Observe algunos ejemplos. 25 Si se considera 1 4 , por amplificación puede obtenerse 100 multiplicando numerador y denominador por 25. 1 = 25 4 100

que es lo mismo que escribir 25%. Por ello “la cuarta parte equivales a 25%.

1 = 50 2 100

que es lo mismo que escribir 50%. Así “la mitad” es el 50%.

1 10 10 = 100

que es lo mismo que escribir 10%. La “décima parte” es el 10%.

También es frecuente utilizar expresiones decimales que equivalen a fracciones irreducibles. Por ejemplo: Compré 1 metro de tela equivale a compré 0,5 m de tela. 2 Poner 3 kg de harina equivale a poner 0,75 kg de harina. 4

21

Actividad Nº13 Calcule mentalmente a qué porcentajes equivalen las siguientes fracciones (recuerde que debe encontrar fracciones equivalentes con denominador 100). 3 = 4 1 = 5 9 = 10

Comparación de fracciones

1 2

En las situaciones anteriores se puede observar que para comparar fracciones es necesario referirse al mismo entero. Al comparar dos números fraccionarios no siempre resulta sencillo decir cuál de ellos es mayor. Trabajaremos en las próximas actividades sobre distintas situaciones posibles:

22

• una

de las fracciones es negativa y la otra positiva; • ambas son positivas y tienen igual denominador; • ambas son positivas y tienen numeradores iguales; • ambas son positivas y tienen distintos numeradores y denominadores; • ambas son negativas.

Actividad Nº14 Una de ellas es negativa y la otra positiva. y 1 Por ejemplo - 6 5 3 a Si se compara un número positivo y un número negativo, ¿cuál estará siempre más a la izquierda? ¿por qué? b Si un número es negativo y el otro positivo ¿cuál es el menor? ¿por qué?

Actividad Nº15 Ambas son positivas y tienen igual denominador. 5 y 3 Por ejemplo 12 12 a Marque ambos números en la recta.

b c

Complete con <, > o =

3 12

.......

5 12

Exprese cómo reconocer cuál es la menor de las fracciones positivas si éstas tienen igual denominador. Justifique la respuesta.

23

Actividad Nº16 Ambas fracciones son positivas y tienen distinto denominador pero los numeradores son iguales. Ejemplo 1:

2 y 2 5 3

Ejemplo 2:

3 y 3 4 2

a Represente las fracciones en la recta numérica o en gráficos (cómo le resulte más fácil) para determinar en cada uno de los ejemplos cuál es la fracción menor. b ¿Cuál es la fracción menor si las dos son positivas y tienen igual numerador? ¿por qué?

Actividad Nº17 Ambas fracciones son positivas y tiene distintos denominadores y numeradores. Para analizar este caso comparemos dos pares. 1 con 3 2 con 3 2 10 5 4 a Marque en la recta ambos pares de fracciones.

b Complete con <, > o = 2 5

.......

3 4

1 2

.......

3 10

c Para determinar el menor ¿es suficiente comparar los numeradores o los denominadores como en los casos anteriores? ¿Por qué? d ¿Se pueden obtener fracciones equivalentes a las dadas pero que tengan ambas el mismo denominador? e ¿Cuál es el menor denominador común que pueden tener las y 3? fracciones 2 5 4 f Escriba las fracciones equivalentes a las dadas, con igual denominador y exprese cuál de ellas es mayor.

24

g Realice el proceso análogo para comparar 1 con 3 2 10 h Exprese cómo reconocer la mayor de las fracciones si tienen distintos numerador y denominador y son positivas. Repase el tema Comparación de números negativos que ya estudió en el Libro 3.

Actividad Nº18 Ambas fracciones son negativas. Establezca cuál es la mayor. Fundamente su respuesta. a -3 y - 2 4 4 b

2 -2 3 y- 4

c -2 y - 3 3 5

Actividad Nº19 a En una balanza de platillos hay: en uno de los platos 7 de kilo4 3 gramo y en el otro 2 de kilogramos. ¿Cuál de los dos platillos pesa más? b Una tuerca mide 3 de pulgadas otra 5 de pulgada. ¿Cuál es 8 4 más grande? c En los siguientes pares de fracciones coloque <; = ó > según corresponda.

5 3

.......

4 3

1 4

.......

-5 2

3 10

.......

4 15

7 2

.......

21 6

4 9

.......

2 5

18 ....... 9 8 4

6 -10

.......

9 15

-8 3

.......

- 11 4

25

Operaciones con fracciones

H

emos dicho que al comparar fracciones es preciso analizar si se refieren al mismo entero. A modo de ejemplo, no es lo mismo la mitad de la población de la provincia de La Rioja que la de la provincia de Buenos Aires. Del mismo modo habrá que considerar que para operar con fracciones éstas deben estar referidas al mismo entero, pues no se puede operar si se refieren a diferentes enteros.

Suma y resta de fracciones con igual denominador La barra de chocolate de la figura está dividida en 8 partes de aproximadamente el mismo tamaño. Si primero se come 2 partes, es decir, aproximadamente 2 8 del chocolate y más tarde se come otras tres, es decir aproximadamente 3 de la barra. ¿Qué parte del 8 total se comió?

5 8

Si primero comió 2 y luego 3 porciones, en total comió 5 porciones; o lo que es lo mismo 5 . 8

2 +3 = 5 8 8 8

26

Actividad Nº20 a ¿Por qué en la suma anterior se mantiene el denominador 8? b Escriba un enunciado sobre cómo se suman y restan fracciones de igual denominador. Para sumar o restar fracciones de igual denominador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................................................................................................

c Realice las siguientes operaciones.

1 + 2 = ....... 5 5

7 3 ....... 12 + 12 =

2 - 1 = ....... 3 3

11 + 7 = ....... 3 3

Suma y resta de fracciones con distinto denominador Ya se analizó cómo se suman o restan fracciones con igual denominador. Este procedimiento ¿se puede aplicar para la suma o resta de fracciones con diferente denominador? Analice el siguiente ejemplo: Compré 1 kg de pan y luego 1 kg más. ¿Cuánto compré en total? 4 2 Es evidente que compré 3 kg. Fácilmente se puede considerar que 4 el 1 kg de la primera compra equivale a 2 . Como ahora se tiene una 2 4 fracción con igual denominador que la segunda ( 1 4 ) se pueden sumar sin dificultad. Para analizar en general la suma de fracciones de distinto denominador, realice la siguiente actividad.

27

Actividad Nº21 1 5 Se quiere sumar 2 3 + 4 + 6 . Para ello: a Halle series de fracciones equivalentes a las dadas. Como son irreducibles en todos los casos deberá obtenerlas por amplificación. A modo de ejemplo está resuelta la primera serie.

2 = 4 = 6 = 8 = 10 = 12 = 14 = 16 = 18 3 6 9 12 15 18 21 24 27 1= = = = = = = = 4 5= = = = = = = = 6 b Cada una de las fracciones dadas ¿cuántas equivalentes tiene? Recuerde que usted sólo halló algunas. c Compare las fracciones equivalentes a 2 ; 1 ; y 5 . ¿Es posible 3 4 6 expresar cada una de las fracciones dadas en otras tres fracciones que tengan entre sí el mismo denominador? d Si se continúa colocando fracciones equivalentes ¿se hallarían más fracciones equivalentes a las dadas con igual denominador (denominador común)? e ¿Cuántas fracciones equivalentes a 2 ; 1 y 5 tienen denomi3 4 6 nador común? f ¿Cuál es el resultado de 2 + 1 + 5 ? 3 4 6

Usted ya ha resuelto sumas de fracciones con igual denominador. Realizar la actividad anterior le permitió comprobar que es posible reemplazar cada fracción por otra equivalente y hallar la suma utilizando las equivalentes que tengan entre sí igual denominador. Analice la siguiente suma: 3 + 1 4 6 Para las fracciones 3 y 1 es posible hallar infinitas fracciones que 4 6 tengan denominadores comunes, pero es conveniente utilizar el menor de ellos, pues es más sencillo operar con números menores.

28

3 = 6 = 9 = 12 4 8 12 16

1=2 = 3 =4 6 12 18 24

En este caso el menor denominador común es 12. Si se convierten ambas fracciones en equivalentes de denominador 12 se obtiene que: 3 =3.3= 9 y 1 =1 . 2= 2 4 4 . 3 12 6 6 . 2 12 Entonces sumar 3 + 1 es equivalente a sumar 9 + 2 y por tener igual 4 6 12 12 denominador se procede sumando los numeradores. 3 + 1 = 9 + 2 = 11 4 6 12 12 12 Por lo tanto

3 + 1 = 11 4 6 12

3 Considere ahora la suma 2 3 +4 . Se ahorra tiempo si en lugar de escribir todas las fracciones equivalentes se trata de hallar directamente el menor denominador común en todas las fracciones equivalentes. 3 Si en las fracciones 2 3 y 4 los denominadores son 3 y 4. Los números que se obtienen de multiplicar a cada uno de ellos por 2, 3, 4... etc, serán: 3 – 6 – 9 – 12 – 15 – 18 ... para 3 4 - 8 – 12 – 16 ... para 4 A estos números se los llama múltiplos de 3 (0, 3, 6, 9, 12... ) y múltiplos de 4 (0, 4, 8, 12, 16...) El menor múltiplo común de los números 3 y 4 es, como se puede observar en las series, el 12. Preguntarse por el menor de los múltiplos comunes es preguntarse cuál es el menor de los números que puede dividirse por 3 y por 4 obteniendo como resto 0. La respuesta es el menor denominador común de las fracciones dadas. Hallado el 12 como el menor denominador común, pueden buscarse las fracciones equivalentes. A2 3 hay que expresarlo con denominador 12, es decir hay que preguntarse ¿por qué número multiplico a 3 (denominador) para lle-

29

gar a 12? La respuesta es 4. Por este mismo número hay que multiplicar a 2 (numerador) si se quiere obtener una fracción equivalente. x4

2 = 8 3 12

2 = 8 3 12

;

x4

Del mismo modo se procede con el fracción 3 . Como 3 es el núme4 ro por el que hay que multiplicar a 4 para obtener 12 se tiene: x3

3 = 9 4 12

3 = 9 4 12

;

x3

3 8 9 17 5 Así 2 3 + 4 = 12+ 12= 12 = 1 2

Actividad Nº22 9 5 Considere estas tres fracciones: 2 3 + 10 - 6 a ¿Cuál es el denominador común para los denominadores 3, 10 y 6? Piense en el menor de todos los posibles denominadores comunes. b Complete sobre la línea de puntos las conversiones a las fracciones equivalentes:

3= 3 . 4 3.

9 9. 10 = 10 . =

=

5 =5. 6 6.

=

c Reemplace cada fracción por la equivalente que halló y resuelva:

2 +9- 5= 3 10 6

+

-

=

En síntesis:

Para sumar o restar fracciones de igual denominador, se suman o restan los numeradores a + c = a+c . b b b Para sumar o restar fracciones de distinto denominador, se reemplazan las fracciones dadas por fracciones equivalentes que tengan denominador común, y luego se suman o restan.

30

Uso de la calculadora para operar con fracciones Las calculadoras científicas, en su gran mayoría, tienen una tecla que permite introducir fracciones y operar con ellas.

a b/c

Generalmente la tecla tiene el símbolo que con las letras a, b y c dispuestas en esa posición representan una expresión fraccionaria mixta, "a" representa la parte entera y b/c la parte fraccionaria. Su uso es muy variado, depende de la marca y el modelo de la calculadora, pero no es difícil de utilizar. Consulte con su docente sobre el uso de su calculadora. Un modelo muy difundido se usa del siguiente modo: Suponga que quiere sumar 3 + 7 - 1 5 10 12 Para introducir la primera fracción aprieta 3, luego la tecla a b/c y a continuación el 5, aparecerá en el visor: 3

5

Aprieta la tecla “+" Introduce la segunda fracción de igual modo que la primera. Aprieta “–" en el visor aparecerá 1

3

10

Introduce la tercera fracción Y por último aprieta “=" y el resultado es 1

13

60

Ésta es la forma en que la calculadora indica el número mixto 1 13 . 60 Como verá, se muestran tres posiciones separadas por /. En el primer lugar a la izquierda aparece el entero; en el segundo lugar el numerador y en el tercero el denominador. Entero/ numerador/ denominador/

31

Inv

Si a usted le interesa obtener el resultado escrito como fracción y no como número mixto tiene que apretar la secuencia de teclas Inv y a b/c aparecerá en el visor

73

60

Es decir que el resultado de 3 + 7 - 1 es 73 5 10 12 60

Esta es la forma más común de operar con las calculadoras científicas, pero no la única. Si la suya tiene otra forma de operar con las fracciones consulte con el docente, quien lo ayudará a utilizar correctamente la calculadora.

Suma de fracciones y enteros Suponga que necesita sumar 1 4 + 2 (una fracción y un entero). Todo número entero puede expresarse como una fracción, 2 = 2 = 4 = 6 = 8 = ... 1 2 3 4 De todas las fracciones equivalentes a 2, conviene utilizar la que tiene denominador 4 (ya que queremos sumar 2 con 1 ), o sea 8 , lue4 4 go sumar 1 + 2 = 1 + 8 = 9 4 4 4 4 También puede realizar este cálculo mentalmente, 2 + 1 , pensando, 4 por ejemplo, cuántos cuartos son equivalentes a 2. La respuesta es 8 más 1, total 9 . 4

32

Actividad Nº23 Resuelva mentalmente los cálculos que figuran a continuación. En primer lugar, estime el resultado, diciendo más que ... o algo menos que... Luego resuélvalos por escrito y finalmente verifique con la calculadora. a 1+ 3 4

=

b 2- 1 3

=

c 1 + 1 4 2

=

d 1 - 1 2 4

=

e 3 - 1 4 8

=

f 1 + 1 -1 = 4 4

Actividad Nº24 Haga las siguientes sumas y restas. Exprese el resultado como fracción irreducible. Verifique con la calculadora. a 5 - 1 + 11 = 12 12 12 b 5 -5 3 6

=

c 3 +1 - 7 = 10 5 15 d 2 - 11 + 1 = 2 4 e 15 - 5 - 1 = 9 6 3 f 3+ 1 - 7 = 4 24

33

Multiplicación de fracciones Para analizar la multiplicación entre fracciones es necesario considerar el significado de la multiplicación entre fracciones.

Multiplicación de una fracción por un entero 1. El esmalte sintético viene en latas de 1 litro; si compra 3 latas 4 de 1 ¿cuánta pintura compró? 4 3 latas de 1 4 litro cada una

1+ 1+ 1 = 3 x 1 4 4 4 4

2. ¿Cuántos litros de vino hay sobre la mesa si se han colocado 4 botellas de 3 4 litros cada una? 4 botellas de 3 4 litros cada una

3 +3 + 3 + 3 = 4 x 3 4 4 4 4 4

Cuando utilizamos la expresión “de” lo que se quiere hallar es el producto.

Si tenemos tres latas de 1 litro cada una, juntas equivalen a 3 litros 4 4 1 + 1 + 1 = 3x 1 = 3 4 4 4 4 4 Compramos 3 4 l de pintura.

34

Cada botella contiene 3 litros de vino cada una, dos botellas equi4 valen a 1 1 litros, las cuatro hacen un total de 3 litros. 2 3 + 3 + 3 + 3 = 4 x 3 = 12 = 3 4 4 4 4 4 4 Hay 3 litros de vino.

Para multiplicar una fracción por un número entero, se debe multiplicar el numerador por el entero.

De igual modo se debe proceder si lo que se busca es una fracción de un entero: “La cuarta parte de un grupo de 8 amigos son solteros, ¿cuántos solteros hay en el grupo?" La cuarta parte de 8

1 .8 = 8 =2 4 4

“Cinco octavos de los cuarenta días de vacaciones fueron soleados, ¿cuántos días de sol hubo en estas vacaciones?" Cinco octavos de 40

5 . 40 = 200 = 25 8 8

“Las tres quintas partes de un poste de doce metros están pintadas de azul, ¿cuántos metros del poste están pintados de azul?" Tres quintos de 12

3 . 12 = 36 5 5

35

Para facilitar las cuentas se puede simplificar antes de operar y así trabajar con números menores. Por ejemplo: 1

4 . 3 =1 . 3 = 3 1 4 1

3 . 12 = 5

1

1 . 2 =1 . 1 = 1 2 2 4 2

aquí no se puede simplificar

Como se puede observar es posible simplificar un numerador con el denominador de otra fracción, pero esta simplificación sólo puede hacerse en la multiplicación.

Multiplicación de dos fracciones La mitad ( 1 2 ) de una lata de pintura se secó. De la mitad que quedó se usaron las 3 partes para pintar el portón. ¿Cuánta pintura, 4 del total de la lata, se usó para pintar el portón. ( 3 de 1 ) 4 2 Para saber la cantidad de pintura que se usó en el portón es necesario calcular 3 de 1 , es decir 3 . 1 4 2 4 2 Para hallar la respuesta nos ayudaremos con los siguientes gráficos:

1 2 El rectángulo es la lata, la dividimos por la mitad

36

Ahora dividimos a cada mitad en 4 (para obtener “cuartos” de esa mitad.

3 4

De la mitad sombreada tomamos 3 de las 4 partes 3 de 1 4 2

de

1 2

Como la pregunta que queremos contestar es qué parte de la lata se usó para pintar el portón, debemos observar la parte de la lata que 3 quedó sombreada. Vemos que 3 de 1 2 es 8 , o lo que es lo mismo 4

3 x 1 = 3 2 8 4

Actividad Nº25 Un campo está sembrado en sus 4 partes, en 1 de esos 4 tie5 2 5 nen sembrado trigo. ¿Qué fracción del campo está sembrada con trigo? 1 de 4 del campo 2 5

1 . 4 2 5

Recuerde que 4 del campo se encuentran sembrados y de es5 ta porción del campo la mitad está sembrada con trigo. Queremos saber, del total del campo, qué fracción es la que corresponde al trigo. Para resolver el problema siga los pasos siguientes: a El rectángulo representa el campo. Horizontalmente divídalo en quintos. b Sombree cuatro quintos ( 4 ). 5 c Trace, verticalmente, una línea para dividir a cada quinto por la mitad. d Remarque una de las mitades que sombreó. e El campo quedó “cuadriculado". Cada cuadro ¿qué fracción del campo es? f ¿Cuántos cuadros son los que corresponden a 1 de 4 ? 2 5

Antes de continuar verifique con la clave de corrección.

37

En el gráfico vemos que

1 x 4 = 4 2 5 10

4 dividiendo numerador y denomiSi simplificamos el resultado 10 nador por 2 se obtiene 2 5 En este caso se podría simplificar antes de hacer la cuenta: 2

2

1 .4 = 2 2 5 5 1

o

2

1 .4 = 2 =1.4 = 2 2 5 5 2.5 5 1

1

Recuerde que puede hacerlo porque es una multiplicación.

Actividad Nº26 a Explique cómo se obtienen el numerador y el denominador en una multiplicación de fracciones. b Generalice, en forma simbólica, la definición de multiplicación de fracciones.

Actividad Nº27 a La sociedad de fomento del barrio tiene 420 miembros. Las dos terceras partes de ellos son hombres ¿cuántos hombres hay? b Halle el producto de 8 , con el resultado de: 2 – 1 . Escriba el 2 5 cálculo combinado que expresen estas operaciones. c

1 50 de los litros del combustible de una moto es aceite. ¿Qué fracción del total de la mezcla es aceite?

d Las 3 partes de los 180 encuestados respondieron sí ¿Cuán4 tos contestaron afirmativamente? e La tercera parte de los televidentes comenzaron a ver un partido de fútbol, pero sólo las 3 partes de ellos lo terminaron de ver. 4 ¿Qué fracción del total de televidentes vio el final del partido?

38

Actividad Nº28 Resuelva mentalmente los siguientes problemas. Luego verifique sus respuestas haciendo las cuentas. Puede hacerlo con calculadora. a Un cajón de gaseosas tiene 12 botellas; si se consumen tres cuartas partes ¿cuántas botellas se tomaron? b Calcule el 50 % de $ 380. c Aproximadamente 1 (10 %) de la población argentina está en 10 edad escolar. Suponiendo la población en 36.000.000 ¿cuántos argentinos deberían ir a la escuela? d Las 3 partes de los profesionales de un equipo de fútbol tienen 4 más de 21 años. Si en el equipo hay 20 profesionales ¿cuántos son los mayores de edad?

Actividad Nº29 a Obtenga el producto de las siguientes multiplicaciones. No olvide simplificar el resultado cuando sea posible.

a) 2 . 15 5 4

=

. (- 4 )= e) - 7 8 3

2 1 i) 15 8 . 5 . 30 =

b) 7 . 4 8 3

=

f) 5 . 4 . 4 = 12 5 3

j) 2 . 5 5 2

=

c) 15 . 4 . 1 = 2 5 3

g) 20 . 9 . 1 = 3 4 5

k) 3 . 4 4 3

=

d) 12 . 15 5 2

h) - 3 . 16 8 3

l) 3 . 7 7 3

=

=

=

39

Recuerde que cuando un número es negativo, si es el primero que aparece en un cálculo, no es necesario encerrarlo entre paréntesis. Pero cuando aparece en medio de una cuenta debe colocarse el paréntesis para no confundir su signo negativo con la operación de restar.

b ¿Cómo son entre sí las fracciones que multiplicó en los tres últimos casos? (ejercicios j, k, l)

Las fracciones que tienen estas características se llaman fracciones inversas multiplicativas. c Exprese la condición que debe cumplir una fracción para que sea la inversa de otra. d Halle la fracción inversa de cada una de las siguientes

3 4

1 2

7 8

4

e Observe los resultados de las tres últimas multiplicaciones. ¿Siempre que se multipliquen fracciones inversas se podrán simplificar? ¿Cuál será siempre el resultado?

División de fracciones Con un kilo y medio (1 1 = 3 ) de galletitas ¿cuántos paquetitos de 2 2 1 se pueden llenar? 4

1 4 1 4

1 4

1 4

1 4

1 4

40

1 4

Con un 1 kg podemos llenar 4 paquetes y con el medio restante otros 2, en total 6. Repartir 1 kilo y 1 ( 3 kilo) en paquetes de 1 es equivalente a dividir 2 2 4 en grupos de 1 kilo. 4 Por el análisis anterior vemos que 3: 1 = 6 y también que 3 2 . 4 es 2 4 igual a 6. Tenemos entonces que

3 : 1 =6 2 4

(Observe que 4 es el inverso de 1 4 .)

Analice estos ejemplos: 9 Con una damajuana de 4 1 litros (4 1 2 = 2 ) podemos llenar 9 bo2 tellas de 1 litro, entonces 9 : 1 =9. También es el mismo resulta2 2 2 do que 9 x 2. 2 Tenemos entonces que

9 : 1 = 9 x2 2 2 2

(Observe que 2 es el inverso de 1 .) 2 Uno de los tamaños en que se vende café es 1 8 de kilogramo; si di1 vidimos 2 kg en paquetes de ¿cuántos paquetes obtenemos? 8 Por cada kg se obtienen 8 paquetes con 2 kg obtenemos 16 paquetes, entonces 2 : 1 = 16 que también es el mismo resultado de 2 . 8. 8 O sea que

2: 1 =2x8 8

(Observe que 1 es el inverso de 8.) 8

Observando los tres últimos ejemplos verá que la división entre dos fracciones da el mismo resultado que multiplicar la primera fracción por la inversa de la segunda. Aunque no lo justifiquemos éste es el procedimiento para dividir fracciones.

41

Para dividir dos fracciones se multiplica la primera fracción pon la inversa de la segunda fracción. d a.d Simbólicamente a : c = a . c = b . c . b d b

Ejemplos: 3 : 2 = 3 . 3= 9 5 3 5 2 10

0

6 : 2 = 6 . 15 = 9 5 15 5 2

0

7 :2= 7 .1= 7 4 4 2 8 Al multiplicar fracciones negativas y positivas recuerde la regla de los signos estudiada en el Libro 3. Por ejemplo: 2 x (- 3 )= - 6 que simplificada es - 1 2 12 4 3 También se podría haber simplificado 1

1

1

2

2 . (- 3 )= - 1 3 4 2

1 3 12 -3 5 : 4 = - 5 x 4= - 5 2 3 9 1 9 -1 3 : (- 9 ) = - 3 x (- 2 ) = 6 si simplificamos obtenemos 2 si se hubiera simplificado antes 3

9 3 -1 3 . (- 2 ) = 2 1

Actividad Nº30 Resuelva y exprese el resultado como fracción irreducible

42

a) 1 : 4 = 3 3

c) 12 : 4 = 5 5

e)-12 : 4 5 5

=

g) 21 : 7 = 15 5

b) 8 : 4 = 15 5

d) 2 : 1 = 5 5

f)- 2 : (- 1 ) = 5 5

g)- 2 : 8 = 5

Potenciación con base fraccionaria En el Libro anterior se trabajó con potenciaciones cuyas bases eran números enteros. Para hallar la potencia de un número se multiplica el número que está en la base por sí mismo, tantas veces como lo indique el exponente. Por ejemplo 43 = 4 . 4 . 4 (4 elevado a la tercera, o al cubo, es igual a 4 . 4 . 4) Si la base en lugar de ser entera es una fracción, el concepto de potenciación no varía: 3 . 3. 3 (3) =3 4 4 4 4

Como multiplicar fracciones es multiplicar los numeradores y los denominadores entre sí, tenemos que: 3 (3) =3. 3.3 = 3.3.3 4 4 4 4.4.4 4

y como 3.3.3= 33 y 4.4.4= 43 resulta que: 3 3 ( 3 ) = 3 . 3 . 3 = 3 . 3 . 3 = 33 4 4 4 4.4.4 4 4

En síntesis: 3 3 3 3 ( 4 ) = 43

Cuando una fracción está elevada a una cierta potencia el resultado se halla elevando numerador y denominador a dicha potencia. En el ejemplo anterior quedó indicada esta cuenta, como 33=27 y 43= 64, por lo tanto; la respuesta es: 3 3 ( 3 ) = 33 = 27 4 64 4

Con un razonamiento semejante comprobaríamos que: 2 2 ( 2 ) = 22 = 4 5 25 5

Otro ejemplo:

4 4 ( 1 ) = 14 = 1 2 16 2

43

2

El paso intermedio no es necesario escribirlo. Por ejemplo: ( 2 ) = 4 9 3 Para hallar el resultado mentalmente elevamos el dos al cuadrado, que es 4 y el 3 al cuadrado que es 9. Por eso la respuesta es 4 9 En todos los ejemplos las bases eran positivas. Veamos qué ocurre si la base es negativa.

Actividad Nº31 Resuelva: a

(- 1 ) = 2

b

(- 1 ) = 2

3

4

c Relea (si lo necesita) el libro anterior ¿Qué signo tiene la potencia cuando la base es negativa? ¿De qué depende el signo del resultado?

Al igual que en las potencias de base entera, si la base es negativa (-) el signo del resultado podrá ser positivo o negativo. Será positivo (+) si el exponente es par y será negativo (-) si es impar. Por ejemplo: 4

(- 3 ) = 81 2 16 resultado positivo por ser el exponente par (4); 3

(- 3 ) = - 27 2 8 la potencia resulta negativa por ser el exponente impar (3).

Actividad Nº32 Resuelva :

44

2 a) ( 2 ) = 5

3 c) ( 2 ) = 3

4 b) ( 1 ) = 3

d) (- 1 ) = 2

4

3 e) ( 4 ) = 5 3

f) (- 3 ) = 4

5

g) (- 1 ) = 2 4

h) ( 3 ) = 2

Actividad Nº33 Encuentre el o los números faltantes en las siguientes igualdades: a ( )3= 8 3 27 b ( 3 ). . . =9 5 25 c (10). . . = 3 9 d ( )3=64 3 e ( )2=100 49

Cuando el exponente es 2 decimos, “.... al cuadrado"; cuando es 3 se lee “... al cubo".

Actividad Nº34







Resuelva las siguientes operaciones combinadas. Recuerde que para empezar hay que separar en términos. Tiene un caso resuelto.

En cálculos de potenciación elevar al cuadrado y al cubo es lo más común, por lo que es conveniente que recuerde los cuadrados y los cubos de los primeros números. Revea la Actividad Nº 36 del Libro 3 en la que se calcularon estas potencias.

1 . 5 - (3 )2+ (1 - 3 )3= 4 2 2 2

5 - 9 + (- 1 )3= 8 4 2 7 simplificando el resultado – 4

5 - 9 - 1 = - 14 8 4 8 8

a 3 : 5 + ( 3)2= 4 8 2 b 3 . 8 - 5 : 20 = 4 9 3 3 c 2 - 3 . (- 3 ) + (- 3 )2= 2 5 10 5 d (2 - 3 ) : 5 + ( 1 )3= 4 8 2 e 2 . ( 8 - 5 ) : 20= 3 9 3 3 f - 9 .(- 3 ) + (1- 3 )2 + 7 = 2 10 5 8 g (- 3 ) : 5 + 9 ( 1 + 3 )2 = 4 2 10 4 2 h (- 2 )3: 2 + 2 : 8 - 15. 26= 3 9 3 9 13 3 i (2+ 2 - 1 )3+ (- 5 )2= 3 3 6 Ministerio de Cultura y Educación de la Nación

Cálculos con expresiones decimales

L

os números racionales pueden expresarse en forma de fracción o en su expresión decimal. El uso de una u otra depende de la situación a la que se esté haciendo referencia.

Actividad Nº35 ¿Qué tipo de expresión utilizaría en cada una de las siguientes situaciones? Situación

Fracción

Decimal

el peso del pan el saldo de una cuenta bancaria la duración de un partido de fútbol el importe de una factura de luz

Un número racional admite escrituras distintas; no significa que sean números distintos. 1 5 11 2 = 1,5 porque 2 = 10 3 = 0,75 porque 3 es equivalente a 75 4 4 100 0,5 = 1 2 Puede consultar el Libro 1, Módulo Nº1 dónde se desarrolla este tema con mayor detenimiento.

Habitualmente con los números decimales se realizan operaciones de suma, resta, multiplicación y división. Para recordar estas operaciones analice las situaciones siguientes.

Para festejar el cumpleaños de su hijo, María compra: 7 docenas de sandwiches a $ 3,50 la docena; 12 gaseosas a $ 1,80 cada una; una torta a $ 10,50 (cuesta $ 8,40 el kg.). Además contrató una animadora por 1,5 horas (una hora y media) a $ 12,50 la hora. ¿Cuánto gastó? Si pagó con $ 100, ¿cuánto le sobró?

46

Calcule: Sandwiches Gastó $ 24,5

3,5 x7 24,5

Total Sandwiches Gaseosas Animadora Torta

Gaseosas Gastó $ 21,6

1,8 x 12 36 18 21,6

Animadora Gastó $ 18,75

12,5 x 1,5 625 125 18,75

$ 24,50 $ 21,60 $ 18,75 $ 10,50 $ 75,35

Si pagó con $ 100 le quedan

-

10 0 75,35 24,65

Si queremos averiguar cuánto pesaba la torta, tenemos que dividir 10,5 con 8,4 (lo que pagó y lo que cuesta cada kilo). Esta división da el mismo resultado que 105 : 84

10 5 84 210 1 , 2 5 420 00

La torta pesaba 1,25 kg.

Con los números decimales, los cálculos a mano se hacen mucho más lentos, es conveniente emplear una calculadora (no necesariamente científica) para ganar tiempo. Cuando la utilizamos puede suceder que nos equivoquemos y apretemos una tecla en lugar de otra; el resultado será entonces diferente al que deberíamos haber obtenido. Si usamos la calculadora de manera "mecánica" posiblemente no descubramos nuestro error. La mejor forma de utilizarla es anticipándose al resultado, pensar aproximadamente cuál debe ser el resultado. Por ejemplo: 0,986 x 12,35;

47

esta cuenta seguro que da algo menos que 13. ¿Se dio cuenta por qué? Observe los números que queremos multiplicar. El número 0,986 es muy cercano a 1 si pensamos en un 1 la cuenta a realizar es 1 x 12,35 que es 12,35; pero como el número es aun menor que 1 el resultado será menor que 12,35. Por lo tanto, si en el visor aparece un número mayor que 13 seguro que se equivocó. En el ejemplo anterior podemos anticipar que la respuesta estará por debajo de 13, pero es obvio que será mayor que 10. Si el resultado que obtenemos es 11 (que es incorrecto), posiblemente no nos demos cuenta que cometimos un error, pero en general cuando usamos mal una calculadora los errores son muy evidentes. Aunque no siempre es fácil anticiparse con mucha precisión a un resultado, inténtelo. Si usted se acostumbra, notará que cada vez lo hace más rápido y mejor. Es un ejercicio que nos ayuda a cometer menos errores y vale tanto para cuando usamos una calculadora como para cuando hacemos las cuentas a mano.

Actividad Nº36 Piense en la respuesta aproximada de los siguientes cálculos y luego resuélvalos con una calculadora. Compruebe en cada caso cuán cerca estuvo del resultado correcto. Recuerde que en lugar de la coma, que no existe en las calculadoras, debe usar el punto. a 23,5 x 10,02

=

b 4,36 : 2

=

c 3,45 + 0,638 + 0,12 =

48

d 2,1 x 4,024

=

e 262,56 : 1,98

=

Radicación

S

i un número elevado al cuadrado da 9 ¿cuál es ese número? 2

x =9 Si 8 es el cubo de un cierto número x ¿de qué número se trata? 3

Simbólicamente x = 8

Para resolver ambos problemas usted tuvo que pensar en un cálculo opuesto a la potenciación, ya que lo que tiene como dato es el resultado de una potenciación y lo que se busca es el número que hace de base en ese cálculo. A esta operación se la denomina radicación. 2

En el primer caso x =9 Se busca la “raíz cuadrada de 9", es decir, qué número o números multiplicado por sí mismo (o elevado al cuadrado) da por resultado 9. En este caso hay dos resultados posibles: 2 3 =9 2 (-3) = 9 3

En el segundo caso x = 8 Se trata de hallar “la raíz cúbica de 8" porque se busca conocer que número o números multiplicado por sí mismo 3 53 veces da por resultado 8. 3

3

En este caso 2 =8 tiene una única solución ya que (-2) = -8 • Problema 1 En la caja de embalaje de cerámicas para piso se informa que estas 2 son cuadradas y tienen una superficie de 900 cm cada una. ¿Cuál es el ancho de cada cerámica? • Problema 2 Se construye un tanque de agua con forma cúbica (igual largo, ancho y 3 alto) de un volumen de 8 m ¿Cuáles son las dimensiones del tanque?

49

• Analicemos el primer problema La cerámica es cuadrada, sus lados son iguales. Necesitamos conocer la medida de uno cualquiera de ellos. Llamando L a la medida de uno de los lados, recordemos que para calcular la superficie del cuadrado se multiplica lado por lado. La operación a realizar es L X L o lo que es igual L2 porque los lados son iguales. Sabemos, además, que esta cuenta es igual a 900 cm2. Luego, podemos escribir la siguiente ecuación: L2 = 900

Recuerde, tal como se vio en funciones, en el Libro 3, que cuando no conocemos el valor de algo que puede tomar diferentes valores (variable) la reemplazamos por una letra. Cuando tenemos una variable formando parte de la igualdad, a dicha expresión la llamammos ecuación, y la variable se llama incógnita. Resolver la ecuación significa hallar el o los valores que puede tener la variable para que se cumpla la igualdad.

Hablamos de número positivo pues la medida de la cerámica no puede ser negativa.

Nos preguntamos entonces: ¿cuál es el número positivo, que elevado al cuadrado da por resultado 900? La respuesta es:

30

pues

302 = 900

Observamos que en la ecuación L2 = 900 conocemos el valor de la potencia: 900 y su exponente 2, pero no conocemos la base: L de dicha potencia. A la base L la definimos como la “raíz cuadrada de 900" y la indicamos: L= 2 900 pues En nuestro ejemplo: 30= 2 900 pues

50

L2 = 900

302 = 900

• Analice el segundo problema Como el tanque es un cubo las dimensiones largo, ancho y alto son iguales. Por lo tanto todas las aristas también lo son. Llamaremos A al valor de esta arista. Si la fórmula para calcular el volumen V del tanque, al igual que para cualquier prisma recto es largo por ancho por altura se puede escribir: V = A x A x A o V = A3 Sabemos que el volumen del tanque es de 8 m3 , luego: 8 = A3 En esta ecuación debemos buscar el número A que elevado al cubo dé como resultado 8. La respuesta es: 2 pues 23 = 8. Definimos a 2 como la “raíz cúbica de 8"

Simbólicamente: 2 = 3 8

pues 23 = 8

Podemos obtener el ancho del tanque así: A = 3 8 pues A3 = 8 Finalmente, la respuesta a nuestro problema es que el tanque mide 2 m x 2 m x 2 m. Volviendo a pensar en los ejemplos dados y en la notación que utilizamos podemos definir esta nueva operación: 8 se lee raíz tercera de ocho o raíz cúbica de ocho y lo que buscamos como respuesta es un número que cumpla con la condición de que si lo elevamos al cubo la respuesta es 8. Ese número, en este caso es 2, ya que 23= 8. 3 8=2 3

Si en lugar de referirnos a un ejemplo generalizamos la situación, es decir, cambiamos los números por letras que representan a cualquier número, tendríamos lo siguiente:

51

a se lee raíz enésima de un número a. Lo que se busca es un número b que al elevarlo a la potencia n, permita obtener el número a. n

En símbolos: n

a = b si bn = a

Por ejemplo 3

27 = 3 pues 33 = 27

5

-32 = -2 pues (-2)5 = -32

Algunas aclaraciones más: signo radical

índice

n

a=b

raíz

radicando

El índice de una raíz debe ser un número natural mayor o igual a dos (n ≥ 2). Cuando es 2 no es necesario escribirlo (esta es una decisión convencional). Por ejemplo  9 = 29 en ambos casos se lee “raíz cuadrada de 9”

Actividad Nº37 Halle las raíces y justifique la respuesta como en el primero de los casos. a

 125=5 pues 53 = 125

3

b 3 -8 c 51 d

52

3

27  8

e 3 0,008 = f

5

1 -32 

g ¿Los resultados anteriores son únicos? ¿Por qué? h ¿Qué signo tienen los resultados obtenidos? ¿de qué depende?

Tanto en los ejemplos como en la Actividad Nº 37 todas los índices fueron números impares. Podemos sintetizar esta situación de la siguiente manera: Si n es impar, na es positiva, si a es positivo y es negativa si a es negativo

¿Que ocurre si el índice es par? Veamos algunos ejemplos:  25 = para hallar la raíz cuadrada de 25 debemos pensar qué número elevado al cuadrado da 25. 5 es solución a este problema ya que 52 = 25 Pero también lo es el número -5, pues (-5)2 = (- 5) x (- 5) = 25 En estos casos, cuando un número admite dos raíces, la única diferencia que hay entre ambas soluciones es el signo, por eso lo podemos indicar de esta manera:  25 = 5. Si la raíz es parte de un cálculo combinado sólo consideramos la solución positiva. ¿Y si el radicando es negativo? Por ejemplo  -9. Ahora lo que buscamos es un número cuyo cuadrado es - 9. Y por lo visto en el Libro 3 ningún número racional elevado a un exponente par, da un número negativo.

Usted posiblemente pensó en -3, y esto no es correcto. Ya que (-3) x (-3)=9 y no -9

53

En resumen:

Si n es par y a positiva na = ±b tiene dos soluciones; n n una positiva y otra negativa pues (-b) = a y (+b) = a. Si n es par y a negativo, no existe na.

Actividad Nº38 Halle las siguientes raíces. No olvide indicar la doble solución y aquellas que no tienen raíz.  36 =

3

 -1

=

-1  32

4

4

81

=

 0,09 =

4

25 4

=

 -4

9 =

6

1

=

=

 16 = 4

4

16 =  81

5

=

=

 1000 =

3

Actividad Nº39 a ¿Cuáles son los números enteros que tienen raíz cuadrada entera entre 10 y 50? b Escriba todos los números enteros entre -30 y 10 que tengan raíz cúbica entera. c ¿Cuáles son los números fraccionarios menores que 5 cuyo denominador sea 4, que tienen raíz cuadrada exacta?

54

Cálculo aproximado

S

i usted va a cenar con dos amigos, gastan $20, y deciden pagar en partes iguales ¿cuánto deberá pagar cada uno? Al dividir 20 por 3, el resultado no da un número entero. 20 3 20 6,66 20 Tampoco es posible obtener resto cero, aun si continuamos hallando más decimales en el cociente. De todos modos para la situación que estamos planteando, es suficiente con calcular hasta los centavos. Al hacer cálculos con números racionales en su expresión decimal, puede ocurrir que el resultado o los números que debemos utilizar tengan muchas cifras decimales. En algunos caso hay números racionales, como 2 , que tiene infinitas cifras decimales. 3

En general no es necesario utilizar demasiadas cifras decimales, es suficiente con utilizar las primeras. Con cuántas cifras es necesario trabajar es algo que se decide en función de la precisión que se requiera o el sentido del resultado. En la situación de dividir los $ 20 del gasto de la cena en 3, carece de sentido hallar decimales del orden de los milésimos o más, pues sólo se manejan centavos. Al decidir tomar sólo algunas cifras del número decimal lo que estamos haciendo es un cálculo aproximado. Decimos que es aproximado ya que si el número fuese 2,2325791 y nosotros tomamos 2,23 desechando el resto de las cifras decimales, el resultado será muy cercano al que obtendríamos usando el número completo, pero no es igual. Por ejemplo: 1,0934518 . 25,325819 = 27,692562 Pero si en su lugar multiplicamos: 1,09 . 25,32 obtenemos 27,5989 Que no es lo mismo, pero es muy aproximado.

55

Esto no sólo ocurre con los números racionales. Existen otros que no lo son (no se pueden expresar como la razón entre dos enteros), como es el caso del número π, que se trabajó en el Módulo 5 y se utiliza para resolver situaciones tales como la longitud de un circunferencia. Todos estos números tienen infinitas cifras decimales. El número π no es 3,1; tampoco es 3,14; ni 3,14159; ni es igual a 3,141592653589793238462643; pero cualquiera de estas expresiones decimales es el valor aproximado de π. Si queremos multiplicar 2.π de acuerdo a la precisión que necesitemos, reemplazaremos π por cualquiera de los valores aproximados. En el caso del número π el decimal 3,14 es uno de los reemplazos aproximados posibles. Usualmente hay dos maneras de aproximar un número: Truncamiento: se suprimen las cifras decimales a partir de determinado lugar, por ejemplo = 3,1415. Redondeo: Si queremos trabajar con 4 cifras decimales (diez milésimos), el valor de la cuarta cifra dependerá de la quinta. Si la quinta cifra es menor que 5 truncamos el número en la cuarta. Si la quinta cifra es mayor o igual a 5 aumentamos una unidad a la cuarta. Por ejemplo: en el número , como la quinta cifra es 9, el redondeo es = 3,1416. Otros ejemplos con 3 cifras decimales (milésimos)

8 = 2,8284271247461.......... Por truncamiento 8 = 2,828 y por redondeo también (la cuarta cifra es un 4). 26 = 0,2626262626....... Por truncamiento 26 = 0,262 y por re99 99 dondeo 26 =0,263 (la cuarta cifra es un 6). 99

56

Actividad Nº40 Usando la calculadora realice las siguientes cuentas y luego escriba el valor aproximado truncado y redondeado con 2 cifras decimales (centésimos). a  11

=

b 38 : 110

=

c  6

=

d 3.  24

=

e 3 2

=

f 4,375 + 23, 318 =

Lo común es que tengamos que realizar cálculos con números decimales que podemos redondear en su segunda (centésimos) o tercer cifra (milésimos); pero no siempre es así.

Actividad Nº41 a Una pared de 14,36 metros de largo, debe ser dividida en tres partes iguales para armar tres habitaciones. Calcule la medida de cada una de esas partes (por redondeo), tenga en cuenta que la mayor precisión que podemos tomar está en el orden de los milímetros. b Cinco amigos comparten un departamento; este mes los gastos por servicios son de $ 162,42. Si dividen los gastos en partes iguales ¿cuánto debe pagar cada uno? (resuélvalo por truncamiento en los centavos). c Un rectángulo tiene 2,15 cm de base y 6,32 cm de altura. Calcule el área del rectángulo con una precisión del orden de los centésimos de cm por redondeo. Recuerde que el área se calcula multiplicando la base por la altura.

Si la medida de un objeto muy pequeño es 0,000000000023 mm, no podremos redondear ni en la segunda, ni en la tercer, ni en la cuarta. En estos casos se trabaja con notación científica.

57

Notación científica

L

a circunferencia aproximada de la órbita de la Tierra es de 938.900.000 km. La masa de los océanos es de 1.350.000.000.000.000.000 toneladas.

Lea en el Libro 2, Módulo Nº5, en el apartado Potenciación, cómo se escriben cantidades como suma de potencia de 10.

La estrella más cercana a la tierra (fuera del sol) está aproximadamente a 9.600.000.000.000 km.

Actividad Nº42 a Halle las siguientes potencias.

102 =

107 =

103 =

108 =

104 =

109 =

105 =

1010 =

106 = b Analice el resultado de las potencias anteriores. Compare la cantidad de ceros del resultado con el exponente de esa potencia de 10. ¿Qué conclusión puede obtener? Justifique su respuesta.

58

c ¿Cuántos ceros tiene el resultado de cada una de las siguientes operaciones? ¿Por qué?

2,4 . 104 = 5,13 . 102 = 3,8 . 105 = 0,3 . 103 = d Realice las siguientes operaciones y analice los resultados. ¿Qué conclusión obtiene?

3,4 . 10 = 3,48 . 100 = 3,485 . 1000 = e ¿Por qué número debe multiplicar a los siguientes para obtener como resultado el menor entero?

3,5 .

= 35

2,84 .

= 284

0,375 .

= 375

Cuando los números tienen muchas cifras perdemos la noción de la verdadera magnitud que representan. Por ello, es conveniente utilizar lo que se denomina notación científica, los ejemplos anteriores se pueden escribir así: La circunferencia aproximada de la órbita de la Tierra es de 9,39 x 108 km. La masa de los océanos es de 1,35 x 1018 toneladas. La estrella más cercana está aproximadamente a 9,6 x 1012 km. Observe los números dados y su notación científica y trate de encontrar la justificación de esta escritura. 938.900.000 km = 9,39 x 108 km. 1.350.000.000.000.000.000 toneladas = 1,35 x 1018 toneladas. 9.600.000.000.000 km = 9,6 x 1012 km.

59

Recuerde que las potencias de 10, es decir 10 elevada a un cierto número entero y positivo, son equivalentes a 10, 100, 1.000, 10.000... la cantidad de ceros coincide con el exponente: 101= 10

102 = 100

103 = 1.000

Multiplicar 9,6 x 1012 significa multiplicar 9,6 por la unidad seguida de 12 ceros. Si a 9,6 lo multiplicamos por 10 se obtiene 96, pero aun falta multiplicarlo 11 veces más por 10, por lo tanto el resultado será 9.600.000.000.000 Hay números cuyo valor absoluto está muy cerca del 0. Por ejemplo: Las bacterias miden entre 0,000001 y 0,00001 m. Los virus más pequeños son icosaédricos (polígonos de 20 lados) que miden de 0,000000018 a 0,000000020 m de ancho. Los de mayor tamaño no suelen medir más de 0,000001m. Cuando se quiere expresar en notación científica números pequeños menores que 1 que tienen una gran cantidad de cifras se utilizan las potencias de 10 con exponente negativo.

¿Qué significa que un número esté elevado a un exponente negativo? Por ejemplo, 3-2 = ? Al trabajar el tema división de fracciones se explicó a qué se llama inverso multiplicativo de una fracción. Por ejemplo, el inverso multiplicativo de 3 es 13 ; el de 52 es 25 . Relea ese apartado antes de continuar. Cuando un número está elevado a un exponente negativo se halla la potencia indicada (en positivo) del inverso multiplicativo de la base. En el ejemplo dado: 3-2 = ( 1 )2 = 1 3

9

Si se trata de números enteros en la base (2-5; 10-4) es equivalente a: 1 2-5 = ( 12 )5 = 32 1 )4 = 1 10-4 = ( 10 10000

60

Actividad Nº43 a Halle las siguientes potencias. 1 102 = 1 103 = 1 104 = 1 109 =

b Halle

10 -3 = 10 -5 = 10 -4 = 10 -2 = c Compare en los ejercicios a y b la cantidad de cifras decimales de los resultados con los respectivos valores absolutos de los exponentes. ¿Qué conclusión puede extraer? ¿Por qué? d Resuelva las siguientes operaciones.

0,3 . 10-4 = 3,2 . 10-2 = 3,4 . 10-4 = 6,84 . 10-2 = ¿Cuál es la primera cifra decimal significativa (distinta de 0) en cada resultado. ¿Por qué? Compare el lugar después de la coma (o el punto) que ocupa esa cifra con el exponente. Justifique su respuesta.

Considere nuevamente el tamaño de los virus y las bacterias. En notación científica se expresan: • •

las bacterias miden aproximadamente entre 1x 10-6 y 1x 10-5 los virus más pequeños miden de 1,8 x 10-8 a 2 x 10-8.

61

Otra vez, intente encontrar la justificación a este tipo de escritura, observando el número dado y su notación científica. Observe que en todos los casos hay sólo una cifra entera. 0,000001 = 1x 10-6 m 0,00001 m = 1x 10-5 m 0,000000018 = 1,8 x 10-8 m 0,000000020 m = 2 x 10-8 m

Resumiendo:

Todo número r puede escribirse, si es conveniente, en la forma r=a x 10n donde a es un número entre 1 y 10 y n es un entero

n

4,5 x 10 = 45.000.000.000.000 (si n = 13) 13

n

a

3,23 x 10 = 0,000000323 (si n = -7) -7

a

Actividad Nº44 Escribir en notación científica los siguientes números: a El diámetro de la tierra es de: 12.700 km b El diámetro de un determinado tipo de virus es de 0,00000063 m. c La galaxia de Andrómeda se encuentra a aproximadamente 2.000.000 años luz. d Un átomo de oxígeno pesa 0,0000000000000000000000266 gramos. Galaxia de Andrómeda.

62

Actividad Nº45 Escriba el número con todas sus cifras. a Algunos protozoos miden 2 x 10

-7

milímetros

b Plutón se encuentra a 5,9 x 109 km del sol c El tamaño medio de una ameba es de 2,5 x 10

-2

milímetros.

d Para unir la tierra con la luna habría que colocar 5,43 x 104 montañas como el Aconcagua una encima de la otra.

Actividad Nº46 Ordene de menor a mayor los siguientes números. 3,7 x 10-5

2,6 x 103

3,5 x 10-4

5 x 10-4

1,25 x 108

1,25 x 109

1,2 x 102

Uso de la calculadora Actualmente existe una gran variedad de calculadoras científicas que en todos los casos permiten operar con números en su notación científica o dan el resultado de ciertos cálculos en este tipo de escritura. Si queremos hacer 4.000.000 X 500.000, este cálculo da 2.000.000.000.000. Como tiene 13 cifras no entra en el visor de una calculadora corriente. En las más antiguas calculadoras aparece la leyenda de error; en las actuales en cambio el resultado figura utilizando notación científica.

63

Si posee una calculadora realice la operación. Según el modelo y la marca habrá obtenido alguno de los siguientes resultados:

2 . 12

2 12

2 . 1012

Lo mismo ocurre con números muy pequeños. Realice con la calculadora 0,000048 : 500. Obtendrá alguno de estos resultados:

9.6. -08

Exp

9.6 - 08

9.6. 10 -08

Muchas máquinas tienen una tecla cuya función “Exp" permite introducir y operar con números en notación científica. Para utilizar esta función se siguen los siguientes pasos: Si queremos sumar 3,2 x 108 + 5 x 107 1. Se escribe 3,2 y se oprime la tecla Exp y en el visor aparece 3,200. 2. Se teclea el exponente, en este caso 8 y aparece 3,208. 3. Se oprime la tecla de suma y se introduce el segundo número de igual modo. 4. Al apretar el igual aparecerá la leyenda 3,708.

Si tiene dificultades con el uso de la calculadora, consulte con el docente. Tenga en cuenta que el modelo de su calculadora puede tener diferencias con lo mencionado más arriba.

64

Triángulos

E

n las últimas páginas encontrará varillas de papel de diferentes tamaños; recorte las que miden 20 cm y las que miden 10 cm. Arme con esas varillas cuadriláteros como los de las figuras de la derecha. Todas las figuras que usted armó son cuadriláteros cuyos lados miden 10, 20, 10 y 20 cm cada uno. Todos los cuadriláteros que usted armó tienen las mismas medidas en sus lados pero ¿son iguales? Un objeto, por ejemplo un cuadro, puede estar representado con el primero de ellos (el rectángulo). Si se presiona en uno de los vértices, el marco se moverá deformándose hasta quedar como alguno de los otros dos cuadriláteros. Es decir, los cuadriláteros pueden deformarse y adoptar diferentes formas manteniendo las mismas medidas en sus lados.

¿Pasará lo mismo con los triángulos? Arme con una de las varillas de 10 cm, otra de 20 cm y una de 15 cm, un triángulo como el de la figura. Para poder armar un triángulo con lados de una medida previamente establecida, como en este caso 20, 15 y 10 cm, el proceso es el siguiente: 1. Tome uno de los lados, por ejemplo el de 20 cm. 2. Tome ahora el de 10 cm y apóyelo en uno de los extremos de la varilla. Si mantiene unidos esos dos extremos, podrá mover el otro libremente describiendo un arco como el de la figura. 3. La tercera varilla (la de 15 cm), apoyada en el otro extremo, también podrá moverla libremente. Pero hay un único punto en el que los dos extremos restantes coincidirán.

65 Ministerio de Cultura y Educación de la Nación

Moviendo las varillas tal como hizo con los cuadriláteros, trate de armar otro triángulo que también tenga 20, 15 y 10 cm de lado. Como habrá podido observar, el triángulo que se puede armar con esas medidas es único. No es posible “deformarlo" como en el caso de los cuadriláteros.

Un triángulo queda determinado por sus tres lados.

Es por esta razón que los triángulos se utilizan en aquellas construcciones donde las fuerzas y presiones a las que están sometidas podrían modificar su forma y romperse o derrumbarse. En edificios en los que la estructura no es visible igual están presentes los triángulos; en el interior de columnas y vigas los hierros están dispuestos de tal manera que forman triángulos entrelazados entre sí.

Propiedad de los lados ¿Es posible construir un triángulo que tenga tres segmentos cualesquiera por lados? Por ejemplo, con una varilla de 20 cm, una de 10 y la otra de 8 cm. Intente armar el triángulo con las varillas de estas medidas. Recién después continúe leyendo. ¿Pudo hacerlo?

El gráfico muestra lo que posiblemente realizó usted con las varillas. El lado a (20 cm) ¿cómo es con respecto a la suma de los lados b (8 cm) y c (10 cm)? Si coloca las varillas de 10 cm y 8 cm sobre la de 20 cm notará que faltan 2 cm para que puedan tocarse los extremos, por ello no pudo armar el triángulo.

66

Actividad Nº47 a ¿Puede ser uno de los lados mayor que la suma de los otros dos? b ¿Cómo tiene que ser cualquiera de los lados con respecto a la diferencia de los otros dos? (Si uno es de 20 cm y el otro de 8 cm, la diferencia es 12 cm.) c De acuerdo con sus respuestas a las preguntas a y b, escriba en un párrafo cómo debe ser la relación entre los lados de un triángulo.

Al armar el triángulo usted habrá comprobado que los lados no pueden tener cualquier medida. Pero no necesariamente los lados tienen que tener medidas diferentes entre sí. Dos o los tres lados pueden medir lo mismo. Según tengan o no lados iguales, se obtendrán los siguientes triángulos:

E q u i l á t e ro

Is ó s c e l e s

Es c a l e n o

a=b=c

a=b

a=b=c

Aclaración Si usted consulta diferentes textos donde se analiza la clasificación de los triángulos con respecto a los lados, es posible que encuentre en muchos de ellos que sólo hay dos clases: los isósceles y los escalenos. Estos autores consideran a los equiláteros como un caso especial de los isósceles, donde el tercer lado es igual.

67

Ángulos interiores Del mismo modo que podemos clasificar a los triángulos según la medida de sus lados, podemos hacerlo según sus ángulos interiores.

Acutángulo Los tres ángulos agudos

Rectángulo Un ángulo recto

Obtusángulo Un ángulo obtuso

Además de las varillas, en las últimas hojas se han incluido varios triángulos designados con un número para identificarlos. Recórtelos.

Actividad Nº48 Indique qué tipo de triángulo es cada uno de ellos, tanto por la medida de los lados como por sus ángulos. Triángulo 1, es. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Triángulo 2, es. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Triángulo 3, es. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Triángulo 4, es. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Triángulo 5, es. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Triángulo 6, es. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

68

Actividad Nº49 Para sumar los tres ángulos interiores de cada triángulo, recorte los 6 triángulos. a Recorte en cada triángulo sus ángulos interiores, como lo muestra el esquema.

b Luego ubique los ángulos uno a continuación del otro. Debe hacer coincidir vértice con vértice y al lado de un ángulo con el lado del otro. c ¿Cuánto mide la suma (a + b + c) de los tres ángulos interiores de cualquiera de los triángulos? d De acuerdo con su respuesta a la pregunta c, escriba en un párrafo la propiedad de los ángulos interiores de todo triángulo.

Esta propiedad de los ángulos interiores es muy utilizada en diferentes situaciones en las que intervienen triángulos. Si dos de los ángulos son conocidos, el tercero puede calcularse con esta propiedad. Antes de continuar consulte las Claves.

Actividad Nº50 Calcule el ángulo interior restante. a) A=39º, B=93º

e) C=A=56º 30'

b) A=123º, C=17º

f) B=C y A=80º

c) B=45º 30', C=67º 20'

g) ABC rectángulo en C y 50º

d) B=33º, C=43º 23'

h) A=B=C

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Además de los lados y los ángulos, usted recordará que existen otros elementos en un triángulo que utilizamos, por ejemplo en fórmulas que nos permiten hallar la superficie (Módulo 5) o para hallar puntos de importancia de los triángulos. Por ejemplo:

Alturas ¿Cómo se determinan las alturas de un triángulo? En cada uno de estos triángulos el segmento BP es la Altura correspondiente al lado AC.

El segmento BP tiene por extremos los puntos B, que es un vértice del triángulo, y el punto P, llamado “pie de altura" sobre el lado AC o su prolongación. Como en el siguiente triángulo.

Del mismo modo que determinamos la altura con respecto al lado AC, se puede determinar con los otros dos lados.

Altura es el segmento perpendicular a un lado que tiene un extremo en el vértice opuesto y el otro en el lado o su prolongación.

70

Actividad Nº51 Determine la altura correspondiente al lado MN en cada triángulo. Para construir el segmento perpendicular cuyo extremo es el vértice utilice una escuadra como se muestra en la imagen.

Al resolver la actividad habrá observado que la altura con respecto a uno cualquiera de los lados de un triángulo puede ser un segmento interior, exterior o coincidir con uno de los lados.

Actividad Nº52 Determine las tres alturas del siguiente triángulo.

71

Introducción a la estadística

A

través de los distintos medios de comunicación, los diarios, la radio, la televisión, el cine y las revistas es frecuente escuchar o leer frases como las siguientes: 1. ”Nueve de cada diez personas leen el diario..." 2. ”Se probó una vacuna que resultó efectiva en el 98 % de los casos." 3. "El 55 % de los votantes se inclina por..."

Actividad Nº53 a Exprese la primera frase como porcentaje. b ¿Qué significan en el lenguaje cotidiano los porcentajes señalados en la segunda y en la tercera frase?

También habrá escuchado o leído expresiones como éstas: 1. “De acuerdo con las estadísticas..." 2. “Me baso en las estadísticas que publicó el diario..." 3. “Las estadísticas prueban que..." 4. “Estadísticamente esta vacuna es confiable en un 98%." 5. “Es cuestión de consultar las estadísticas." 6. “Según las estadísticas hoy ha sido el día más caluroso del año..."

Actividad Nº54 En todas las expresiones anteriores aparece la palabra estadística. Explique con sus palabras qué significa.

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Estas informaciones que se refieren al porcentaje o cantidad de veces que sucede un hecho o situación se denominan estadísticas. Se dan a conocer, en general, como datos numéricos cuidadosamente obtenidos. Es habitual que los datos se ordenen y se presenten en forma de cuadros, de gráficos, diagramas, etc. La estadística es el conjunto de definiciones, reglas, leyes, métodos y cálculos que se utilizan para: • recopilar (obtener la información necesaria para el estudio que se quiera realizar); • clasificar (organizar la información); • analizar (con el objeto de extraer alguna conclusión que sea válida luego de haber obtenido los datos y decidir la forma más adecuada de presentación); • presentar (en orden, con claridad y por medio de cuadros, gráficos la información que se recopiló); • inferir (interpretar los datos estadísticos y sacar conclusiones que permitan prever o predecir la marcha futura del fenómeno que se está estudiando a través de los datos disponibles).

Actividad Nº55 Busque en un periódico de su localidad tres artículos que incluyan gráficos estadísticos. a ¿Por qué los reconoce como gráficos estadísticos? b ¿Qué información se puede obtener a partir de ellos? c ¿Cuál es la fuente de la información?

La estadística se ocupa del estudio de comportamientos generales no individuales. Por ejemplo: “Estadísticamente, esta vacuna es confiable en el 98% de los casos" Nada se puede afirmar sobre el efecto que tuvo en una persona o un caso en particular sino sobre un conjunto.

73

Precisamente, la información general sobre un conjunto de casos que se puede obtener mediante procedimientos estadísticos es lo que motiva la gran aplicación que hacen las empresas para la comercialización de sus productos; los políticos sobre la intención del voto de los ciudadanos; los científicos para los resultados de un medicamento o de una vacuna; los astrónomos sobre alguna conclusión, luego de miles y miles de observaciones del cielo, acerca de un nuevo tipo de estrella; los sociólogos cuando estudian algún comportamiento de una sociedad en particular; etc. Aun de forma muy sencilla, es común que se recolecte información y se la procese para tomar decisiones. Por ejemplo: el vendedor de calzado necesita conocer cuál es el número de zapatos de más venta para decidir qué cantidad de zapatos por número debe tener en stock. Es decir, sobre la base de la información de que dispone (cantidad de pares de zapatos por número que vende) puede decidir una compra futura. Con información mucho más precisa en su obtención y organización los meteorólogos pueden pronosticar el tiempo, los biólogos el comportamiento de los peces, las autoridades educativas dónde construir una nueva escuela.

Clarín - 29 de Julio de 1999

SOCIEDAD

nos Air es Est adí stic as en la pro vin cia de Bue

La mayor cantidad de delitos

se comete los martes

e isterio de Justicia y Seguridad bonaerens Min del io jun a tes ien ond resp cor as cifr Según

E

74

ajar o l sol ya se escondió. La gente sale de trab iezan a bavuelve a su casa, mientras los negocios emp en la caja. día jar las persianas con la recaudación del ete la mayor En esas horas entre las 19 y las 22, se com nos Aires. Y cantidad de delitos en la provincia de Bue martes, según más aun si se trata del anochecer del io de Justiister estadísticas difundidas ayer por el Min cia y Seguridad bonaerense. ese mes, los El estudio oficial se hizo durante junio. En de todo tipo. bonaerenses denunciaron 25.790 delitos las 22. La siy 19 De ellos, el 21,45 % ocurrió entre las que va desde guiente franja horaria en el ranking es la 0 delitos (el las 10 a las 13, cuando se produjeron 3.90 15% del total). es el día que De acuerdo con la estadística, el martes es de 850 demás delitos ocurren. El promedio diario

es de 980, un nuncias, mientras que el de los martes los domingos, 15% más. En el otro extremo se ubican 50%. un n cuando los hechos denunciados baja a ciegas. Con "Las estadísticas sirven para no operar ategias para estos números diseñamos distintas estr cantidad de más os ram atacar mejor el delito. Concent Así la pores. luga recursos en determinados horarios y a Clarín icó licía puede actuar con mayor eficacia", expl incia. el subsecretario de Seguridad de la prov determinaron no vía Por ahora en el Ministerio toda subsecretario El por qué hay más delitos los martes. ocios reciben arriesgó: "Ese día la mayoría de los neg de todo el fin las provisiones de mercadería después ores que llede semana. Entonces hay más proveed nto de gente imie van dinero en la calle y mayor mov que va a los bancos":

Actividad Nº56 Busque en diarios o revistas dos artículos que presenten información estadística que puedan servir para tomar alguna decisión sobre el tema del que tratan. Fundamente su respuesta.

Universo o población

C

omo ya se ha señalado, la estadística brinda información general sobre un conjunto de casos. A todo conjunto que sea objeto de observación con fines estadísticos se lo llama universo o población. Los elementos del universo o población se denominan individuos. Ejemplos: 1. Todas las personas que están en condiciones de votar, es decir los ciudadanos, constituyen la población de votantes. 2. Todos los alumnos entre 6 y 14 años que asisten a la escuela, forman una población. 3. Todos los peones de campo constituyen la población que trabaja en el campo. 4. Todos los peces de una laguna constituyen la población de esa laguna. 5. Todos los autos que ingresaron a reparación son la población que considera el dueño del taller para llevar una estadística. Los individuos del mismo universo o población pueden ser personas, animales, objetos, votos, cantidades de lluvia caída, nevadas, granizo, sequías, crecimiento de ríos, etc. Los censos, por ejemplo, son operativos que se realizan para obtener datos sobre la totalidad de los elementos que componen un universo de estudio. En la Argentina existe un organismo público, el Instituto Nacional de Estadística y Censos (INDEC) encargado de

75

orientar y ejercer la dirección de todas las estadísticas oficiales que ser realizan en el territorio. También coordina el Sistema Estadístico Nacional, integrado por los servicios estadísticos de los organismos nacionales, provinciales y municipales. El INDEC es el organismo encargado del censo nacional de población, que se realiza para obtener información sobra las principales características de las personas, las viviendas, etc. del país. La información que se obtiene es muy importante porque permite estimar las necesidades presentes y futuras de la población y diseñar diferentes programas sociales para atenderlas: alfabetización; urbanización; empleo, etc. Conocer la cantidad de población en cada una de las jurisdicciones del país es indispensable para establecer, entre otras cuestiones, la cantidad de diputados que cada una enviará al Congreso y los representantes a nivel provincial y municipal. La información también resulta útil en ámbitos privados. Por ejemplo, las empresas pueden estimar la demanda de bienes y servicios de acuerdo con la concentración de la población; decidir dónde instalar una fábrica en función de la disponibilidad de la mano de obra, etc. Las recomendaciones internacionales sugieren que el censo de población se realice cada diez años, procurando que coincida con los años terminados en cero. Esto facilita las comparaciones entre diferentes países ya que los censos se hacen en todos ellos. En el siguientes cuadro se pueden observar algunas de esas comparaciones.

Datos de Censos comparativos entre países País

Superficie (mil/km2)

Población estimada (millones) 1998

Población urbana (%) 1995

Esperanza de vida al nacer (años) 1995

Tasa de alfabetización adultos (%) 1995

Líneas de teléfono c/1000 personas - 1995

Canadá

9.976

30.2

77

79.1

99

590

Japón

372

125.9

78

79.9

99

487

España

504

39.8

76

77.7

97.1

385

Argentina

2.766

36.1

88

72.6

96.2

160

Brasil

8.511

165.2

78

66.6

83.3

75

Paraguay

406

5.2

53

69.1

92.1

31

Uruguay

176

3.2

90

72.7

97.3

196

76

Actividad Nº57 Otra de las actividades que realiza el INDEC es el Censo Nacional Agropecuario. a ¿Qué elementos compondrán el universo o población de este censo? b ¿Para qué cree usted que puede servir la información que se obtiene mediante este censo?

Trabajar con todos los elementos de un universo, como en el caso de los censos, es un proceso muy costoso tanto en recursos económicos como en humanos. Lea el siguiente artículo para conocer cómo se está organizando en el país el censo del año 2000. SOCIEDAD sto de 1999 Clarín - 5 de Ago

¿Cómo seráCenso del 2000?* el a Amalia Eizayag

s que incluye el nes más novedosa tio es cu s la de a Un os entre los paíbúsqueda de acuerd la es o ns ce ro tu fu livia. Las autoemás de Chile y Bo ad r, su co er M l de s se ar los términos y intentan homolog es al on gi re es ad rid mparar la incas para poder co sti dí ta es es bl ria va las misma base. formación sobre la rá adelante en el censo que se lleva no ve no el es te És do la Argentina hizo en 1869, cuan se o er im pr El ís. pa 1 años de esa fede habitantes. A 13 es on ill m 1,8 ía ten más de 20 veces habrá multiplicado se n ió ac bl po la a, ch gún el INDEC. millones de hoy, se 37 s lo a r ga lle sta ha

0 personas l 2000, unas 600.00 fines de octubre de en busca de los s rincones del país lo s do to n rá rre co re estimaciones ofintinos que, según ge ar de es on ill m 37 tiempo posible ritorio. En el menor ter el n ta bi ha , les cia cada hogar que 100 preguntas en de ás m n rá tea an pl illones de hojas. en cerca de 150 m as jad fle re án ar ed qu de Estadísticas y Instituto Nacional el s, to da s to es n Co cional de Poblaborará el Censo Na ela C) DE (IN o ns Ce que costará 55 viendas del 2000 Vi y s re ga Ho n, ció millones de pesos. os que serán casu mayoría maestr n -e as ist ns ce s Lo s inhóspitos, reente- subirán cerro m ia ev pr os ad cit pa es de kilómetros casi cuatro millon l ta to en n ra rre co perdidos y tocagar a los poblados lle sta ha s do ra ad cu sidenciales o de medio de barrios re en s ta er pu s la n rá ia. villas de emergenc si no habrá acticha establecida, ca fe sin n aú a, dí e Es rte de la gente ra que la mayor pa pa ís pa el en d da vi en el hogar. pueda permanecer

A

*En el año 2000 no se realizó el Censo Nacional de Población, Hogares y Viviendas. Su ejecución está prevista para el año 2001.

77

Como habrá notado luego de leer la última parte del artículo, trabajar con todo el universo cuando éste está compuesto de muchos individuos, no siempre es factible. El proceso es muy complicado y costoso. Otras veces, no resulta necesario analizar el total de la población o la información que se busca no requiere ser tan precisa y puede ser estimada con un cierto margen de error. En esos casos no se trabaja con el total de individuos o elementos sino con una muestra. Por ejemplo, habrá escuchado muchas veces que, al finalizar una elección para presidente, gobernador o diputados, los medios comienzan a dar información sobre los resultados antes de que se hayan contado todos los votos. Esta información la obtienen mediante lo que se denomina " a boca de urna" y consiste en preguntarle a la gente, después de que lo hicieron, por quién votó. Esta pregunta no es posible hacérsela a todos los que votaron sino que se elige a algunas personas o muestra del total de votantes.

¿Cómo se elige la muestra o los elementos de una prueba? La teoría dice que una muestra, para ser representativa y confiable, debe ser aleatoria. Se debe elegir al azar. La elección de los individuos no debe seguir ninguna norma prefijada. Cuanto más aleatoria sea, mejor y más confiable será la conclusión que podrá extenderse a toda la población. Para elegir al azar los individuos que se considerarán en la muestra primero es necesario caracterizar el universo de población que se quiere estudiar y establecer la cantidad de individuos que se incluirán en cada caso. Por ejemplo, una fábrica quiere conocer la aceptación que tendrá un nuevo modelo de auto que están por sacar al mercado. Primero caracteriza el universo: segmento de la población que puede llegar a comprarlo por su poder adquisitivo; se analiza cuántos son hombres y cuántas mujeres; se consideran diferentes tramos de edad a partir de los 21 años. Sobre la base de estos datos se determina a cuántas personas que reúnan determinados requisitos se entrevistarán y se elige al interior de cada caso los individuos al azar. Con estos resultados la empresa automotriz direccionalizará su campaña publicitaria. La selección representativa y confiable de la muestra es una actividad que requiere de conocimientos específicos para asegurar que

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los datos que se obtienen pueden aplicarse al total de la población. Esta tarea la realizan profesionales especializados no sólo en estadística, sino especialmente en muestras. En general se los llama muestristas y en todos los casos indican el grado de confiabilidad del resultado obtenido, explicitando el porcentaje de error posible. Es habitual que esta información se presente en una "ficha técnica" que acompaña los resultados de la indagación realizada, donde se describen sintéticamente las características de la muestra, los métodos utilizados, el error posible, etc. A modo de ejemplo incluimos una ficha que formaba parte de un artículo del diario Clarín sobre los resultados electorales de 1995.

CA FICHA TÉCNI

ica) dios de Opinión Públ tu Es de tro en (C OP CE utora: • Empresa ejec comicio. encuesta en boca de o: di tu es de • Tipo s fijas y abiertas. cerradas, alternativa s: ta un eg pr • Tipo de cional. muestra: nivel na e un total • Alcance de la boca de comicio sobr en l cia pe es ra st ue .5%). muestra: subm (confiabilidad del 95 4% 1,9 • Tamaño de la / + de r ro er de 2.650 casos con un 95. po: 14 de mayo de 19 m ca de jo ba tra ización: • Fecha de real mayo de 1995. análisis:15 al 19 de y o nt ie am es oc Pr •

Actividad Nº58 a Indique cuáles de las dos muestras siguientes considera usted que son representativas del conjunto total observado (población), en este caso del total de alumnos de una escuela.

1. De la población de alumnos de la EGB a la cual va mi hijo se eligió un grupo de 10 alumnos de los quintos años. 2. En la misma escuela, una maestra propuso poner todos los nombres de los chicos en una urna y luego sacar 10 al azar, como en los sorteos de los concursos. b Busque en diarios y revistas algún relevamiento estadístico que esté acompañado de su ficha técnica. ¿Qué información proporciona?

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Instrumentos

L

a recolección de datos para producir información estadística se lleva a cabo utilizando diferentes métodos y utilizando diversos instrumentos. En los censos de población se utilizan planillas censales; para conocer la intención de voto se utilizan encuestas; para registrar las ausencias de los alumnos, registros especiales, etc. Cuando se recoge información el instrumento que se emplee es fundamental. Su correcta elaboración permite que sea utilizado por distintas personas sin que haya lugar a diferentes interpretaciones. También permite registrar información en el lugar adecuado y de forma tal que sea fácilmente procesable. Esto es muy importante cuando se recogen datos sobre muchos casos y en su relevamiento intervienen muchas personas. Al diseñar el instrumento también se debe considerar la forma en que la información será procesada. Cuando los casos son muchos, en general se realiza con el auxilio de computadoras, por lo que el diseñador del instrumento debe considerar la manera en que el ingreso de los datos sea más rápido y al menor costo.

Variables estadísticas Los diarios publican a menudo estadísticas acerca de determinadas características de una población. Por ejemplo: el censo nacional tiene en cuenta la edad de los individuos, las condiciones de la vivienda; existen datos sobre el salario según la profesión; la cantidad de ganado de una determinada provincia; el porcentaje de intención de voto a un determinado candidato ante una futura elección; etc. La edad, el salario, la cantidad de ganado, tomarán diferentes valores para cada uno de los individuos de la muestra. Por eso se llaman variables. En estadística interesa saber cuántas veces se repiten los diferentes valores: de las edades, de los salarios, del ganado, etc. Existen variables cualitativas y variables cuantitativas.

80

Las variables cualitativas son las que no toman valores numéricos. Por ejemplo: la variable carrera que va a estudiar toma los “valores": matemática, física, química, música, plástica, educación física, historia, geografía, biología, literatura, etc. En estos casos estadísticamente se “cuenta" cuántas veces se repite cada uno de los posibles valores de la variable cualitativa. Todas las características comunes de los individuos de una población estudiada en las que se toman valores numéricos (valores que resultan de contar o medir) se denominan variables cuantitativas. Por ejemplo: la cantidad de hijos, cantidad de votos, etc.

Existen dos clases de variables cuantitativas: •

las que se asocian al conteo que se llaman variables discretas (sólo pueden tomar algunos valores enteros).

•

las que se asocian al proceso de medición que se llaman variables continuas (pueden tomar todos los valores de un intervalo racional).

Ejemplos de variables discretas: 1. Cantidad de varones que concurren a los distintos años en la EGB. 2. Número de veces que salió el 5 cuando tiramos un dado 100 veces. 3. Cantidad de partículas que emite una sustancia radiactiva en 10 minutos. Ejemplos de variables continuas: 1. Duración real de los partidos de fútbol. 2. Altura promedio de los alumnos de un determinado ciclo de EGB. 3. Consumo de electricidad de 10 fábricas durante un mes en la provincia de Córdoba.

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Actividad Nº59 Indique si las siguientes variables son continuas o discretas a Cantidad de veces que salió cara luego de revolear la moneda 10 veces. b Temperatura promedio, en un día de verano elegido al azar, en la ciudad de Ushuaia. c Número de bolillas blancas que se pueden extraer de un bolillero que contiene 3 rojas y 5 blancas cuando se extraen 4 bolillas. d Número de hijos de una familia. e Valor de las monedas que circulan en la Argentina. f La edad de las personas.

Actividad Nº60 a Si le informan que se está analizando al conjunto de estudiantes que estudian EGB a distancia, ¿cuál será el universo o población? b Seleccione cuatro variables que puedan analizarse sobre esta población. Considere que por lo menos una de ellas sea cualitativa. c Elabore una encuesta para recoger la información. d Haga una tabla para volcar la información obtenida.

82

Frecuencias

E

n estadística se cuenta la cantidad de veces que se repite un hecho. Por ejemplo, ¿cuántos niños en el país tienen 8 años? Esta “cantidad de veces" se llama frecuencia. Analice el siguiente ejemplo: En la tabla se presentan las calificaciones de alumnos que han rendido examen. En este caso la variable es la nota. La primera columna contiene las notas ordenadas en forma creciente; la segunda, el número de alumnos que obtuvo cada calificación. notas

cantidad de alumnos

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2 4 3 4 7 6 3 5 2 4

Actividad Nº61 a ¿Cuántos alumnos fueron examinados en total? b ¿Cuántos alumnos obtuvieron 9 o 10? c ¿Cuántos fueron aplazados? (Cuatro se considera aprobado). d ¿Cuál fue la nota que obtuvo la mayor cantidad de alumnos?

Los números presentados en la segunda columna se llaman frecuencias absolutas. Si observa la tabla verá que para el caso de la nota 8 la frecuencia absoluta (cantidad de alumnos que obtuvo esa nota) es 5.

83

Actividad Nº62 a ¿Cuál es la frecuencia absoluta para la nota 10? b ¿Cuál es la frecuencia absoluta de los aplazados? c ¿Cuál es la mayor frecuencia absoluta?

La mayor frecuencia absoluta significa que ese valor es el que tiene la mayor cantidad de casos sobre el total de la población. En el ejemplo corresponde a la nota 5 que fue la que sacaron 7 alumnos sobre el total de los que rindieron examen. Al número que le corresponde la mayor frecuencia se lo denomina moda o valor modal.

¿Cómo se puede presentar una colección de datos para que resulte cómodo su análisis? Una vez establecida la población y las variables estadísticas que se desean estudiar, se hacen las observaciones o indagaciones correspondientes utilizando el instrumento que se haya seleccionado. Los resultados así obtenidos se consignan en cuadros. Por ejemplo: Suponga que se quiere conocer la edad de los alumnos de un grupo de Educación General Básica a distancia. Se obtienen las siguientes edades de 20 alumnos ordenados alfabéticamente por apellido: 20 18 45 40

35 37 31 29

23 24 18 21

23 25 19 43

48 43 21 24

Así presentados, estos datos aportan poca información a quien ha de analizar este cuadro. Si los ordenamos de menor a mayor, se obtiene: 18; 18; 19; 20; 21; 32; 23; 23; 24; 24; 25; 29; 31; 35; 37; 40; 43; 43; 45; 48

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Aun así resulta difícil de analizar. Es conveniente en este caso agrupar los valores. Cada uno de estos grupo se denominan intervalos y se utilizan para presentar los valores mediante una tabla abreviada. edad

frecuencia absoluta

18 - 20 21 - 30 31 - 40 41 - 50 51 y más

4 8 4 4 0

Los intervalos presentan siempre un valor inferior (el menor de los dos números escritos) y otro superior (el mayor de los números escritos). Estos valores se eligen dependiendo del análisis que se quiera hacer de los datos. Analice el siguiente ejemplo. En este caso se consideran datos del Censo Nacional de Población y Vivienda de 1991, con datos suministrados por el INDEC sobre población que nunca asistió a la escuela o que no completó el nivel primario.

Población de 10 años y más por condición de alfabetismo según edad - Total país edad

población total de 10 años y más

Condición de alfabetismo analfabetos (nunca asistieron a la escuela) frecuencias % absolutas

nivel primario incompleto frecuencias absolutas

%

Total

25.987.518

955.990

3.7

4.223.731

16.2

10-14

3.350.673

60.507

1.8

81.920

2.4

15-19

2.842.009

44.080

1.5

197.824

7.0

20-24

2.454.123

45.674

1.9

201.403

8.2

25-29

2.304.242

52.210

2.3

234.727

10.2

30-34

2.214.181

61.481

2.8

273.405

12.3

35-39

2.119.168

71.338

3.4

318.837

15.0

40-44

1.963.648

79.489

4.0

357.275

18.2

45-49

1.690.055

75.295

4.4

364.964

21.5

50-59

2.851.271

142.993

5.0

747.329

26.2

60 y más

4.198.148

322.923

7.7

1.446.011

34.4

Fuente: Elaboración realizada por Plan Social Educativo - Proyecto de Educación Básica para Adultos en base a datos del Censo Nacional de Población y Vivienda 1991. INDEC.

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Como usted puede observar se consideran las frecuencias absolutas pero también a qué porcentaje del total de la población de esa franja de edad corresponden las cifras. Si se dice solamente que 60.507 personas de 10 a 14 años nunca fueron a la escuela no se puede dimensionar la magnitud del problema. Importa considerar el total de la población es de ese tramo de edad. De los 3.350.673 personas de esa edad 60.507 nunca asistieron a la escuela. Hallar la relación de esta frecuencia absoluta con respecto al total es hallar el cociente entre estos números: 60.507 = 0,0180581 3.350.673 Por redondeo se considera 0,018 que es la frecuencia relativa, que expresa la relación de casos que cumplen con una determinada condición en relación con el total de casos. Tal como aparece en el cuadro la frecuencia relativa se expresa generalmente en porcentaje. 3.350.673 personas 60.507 personas

100% 100 . 60.507 3.350.673

El porcentaje corresponde a la frecuencia relativa multiplicada por 100. Analice este otro ejemplo Se recogen los datos de la altura de los alumnos de un curso de 8º año de la EGB y se obtienen los siguientes: 1,60m 1,55m 1,75m 1,78m

1,58m 1,63m 1,63m 1,68m

1,63m 1,71m 1,80m 1,69m

1,65m 1,71m 1,59m 1,64m

Organizados en intervalos queda la siguiente tabla: estatura en m (se excluye el extremo superior del intervalo)

1,50m.....1,60m 1,60m.....1,70m 1,70m.....1,80m 1,80m.....1,90m

86

1,70m 1,63m 1,78m 1,65m

Actividad Nº63 Complete las frecuencias absolutas y las relativas en la segunda y tercera columna.

estatura en m (se excluye el extremo superior del intervalo)

cantidad de alumnos (frecuencia absoluta)

(frecuencia relativa)

1,50m.....1,60m 1,60m.....1,70m 1,70m.....1,80m 1,80m.....1,90m Totales

Actividad Nº64 Teniendo en cuenta la tabla de población que en 1991 no había completado la escolaridad primaria responda: a ¿En qué intervalo de edad es mayor la frecuencia? b ¿Qué porcentaje de personas entre los 35 y 39 años no completó la primaria, haya asistido o no? c ¿Qué porcentaje de personas entre 25 y 29 años completó la primaria?

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Diagramas

A

demás de tablas, frecuentemente la información se presenta utilizando diagramas o gráficos que permiten visualizar de manera rápida y sencilla los resultados obtenidos. Si revisa un periódico observará que existen muchas maneras de representar la información. Aquí le proponemos trabajar con algunas de ellos.

Actividad Nº65 Analice el siguiente gráfico que se denomina pictograma.

Fuente: Gobierno de la Ciudad Clarín 10/8/99.

a ¿Qué instrumento se habrá utilizado para recoger la información? b ¿Cuál es el universo de la muestra? c ¿Qué zona es la que más gusta? d ¿De dónde obtuvo el diario la información para elaborar el pictograma?

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Actividad Nº66 En el siguiente mapa estadístico se indica la cantidad de ganado existente en la Argentina en el año 1997.

Anuario Clarín 98/99

a ¿Cuál es el total de cabezas de ganado? b ¿Qué porcentaje sobre el total le corresponde a cada tipo de ganado? c Mencione a las tres provincias que cuentan con mayor cantidad de cabezas de ganado.

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Actividad Nº67 Observe el siguiente gráfico de líneas.

a ¿Qué variable estadística se indica en el eje de abscisas? b ¿Qué se marcó en el eje de ordenadas? c Piense por qué en el gráfico se comienza a ordenar la información por el año 1916. d ¿En qué año fue mayor el porcentaje de gente que votó? e ¿De dónde se obtuvo la información para elaborar el gráfico?

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Actividad Nº68 Analice el siguiente gráfico de barras. LAS LEYES Desde el 10 de diciembre de 1983 hasta 1987* Proyectos de ley presentados

1983

2

1984

128

1985

138

1986 1987 1989

109

1992 1993 1994 1995 1996 1997

1801 1527 991

53 114

1991

2134

187

1988 1990

Leyes sancionadas

469

132 168

1375 1241 1559 1543 1511

120

1580

120 139 177 142

1482 1553 1917 1917

170

Clarín Anuario 98/99 Fuente : Cámara de Diputados de la Nación. Dirección de información parlamentaria.

a Establezca el porcentaje entre la cantidad de proyectos de ley presentados y la cantidad de leyes sancionadas en cada uno de los años del período 1983-1997. b ¿En qué año fue mayor la relación entre proyectos presentados y leyes sancionadas?

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Actividad Nº69 Se realizó una encuesta entre 208 jóvenes de 15 a 24 años residentes en la Capital Federal y el Gran Buenos Aires. Los resultados se presentan en el siguiente diagrama circular .

Del total de jóvenes encuestados cuántos piensan que la sociedad argentina es: • poco democrática: • muy democrática: • nada democrática:

Actividad Nº70 Se ha realizado una encuesta entre adolescentes preguntándoles cuántos hermanos tienen. Los resultados fueron los siguientes: 3,5,4,4,4 4,2,2,2,2, 5,2,1,3,3, 4,5,2,6,3,

92

4,2,2,7,5, 3,3,2,4,4,

3,4,3,3,4, 3,6,4,2,5,

3,2,4,5,4, 4,4,5,3,4.

a Ordene los datos en un cuadro indicando la frecuencia absoluta y la relativa. b Determine los porcentajes en cada caso. c ¿Cuál es la variable estadística considerada y qué valores toma? d ¿Qué clase de variable es? e ¿Cuántos alumnos fueron encuestados? f ¿Cuántos alumnos tienen más de 4 hermanos? g ¿Cuántos alumnos tienen entre 2 y 3 hermanos incluidos ambos extremos? h Represente la información en un diagrama de barras.

Parámetros estadísticos

L

os parámetros estadísticos son números que se emplean para organizar y presentar la información contenida en un conjunto de datos. Su finalidad es representar a esos datos en forma breve y simple y de modo tal que se pueda apreciar, aproximadamente, de un solo golpe de vista la característica que identifica a los restantes elementos del conjunto estudiado. Si bien se pierde mucha información con esta síntesis, se gana en simplicidad, en eficacia y en operatividad. Estudiaremos los dos parámetros más usados en estadística: promedio o media aritmética y desvío estándar.

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Actividad Nº71 Mi hijo ha traído el boletín con las siguientes calificaciones: Matemática Lengua Educación Física Música Ciencias Naturales Ciencias Sociales

6 9 10 4 8 5

a Mi hijo me dice que sacó un promedio de 7 puntos. ¿Significa que se eximió en todas las materias? (la eximición es con 7 puntos). b ¿Qué significa promedio 7?

I. Promedio o media aritmética Hemos oído muchas veces esta palabra. Pero, ¿cuál es su significado? ¿cómo se determina un promedio? En el Módulo 2, Libro 1 encontrará mayor información sobre cómo se obtiene el promedio. Recupere esa información para seguir trabajando el tema.

Analice las siguientes situaciones: Los jugadores del equipo Mburucuyá tienen las siguientes tallas (en cm): 207; 206; 203; 204; 202; 193; 196; 199; 183; 184; 187; 189; 189; 188. Para determinar la estatura promedio: 1.Efectuamos la suma de todos los valores: 207+ 206+ 203+ 204+ 202+ 193 +196+ 199+ 183+ 184+ 187+ 189+ 189+ 188= 2730

94

2.Dividimos esta suma por el número total de jugadores: 2730 : 14 = 195 cm Este valor es el promedio de las tallas de los jugadores.

Actividad Nº72 Las tallas de los jugadores de un equipo de otra localidad vecina a la anterior, llamado Atlético Junior, son las siguientes: 180; 210; 205; 208; 204; 209; 185; 188; 186; 200; 195; 192; 193; 194; 194; 199; 198; 199; 190 a Determine la estatura promedio de los jugadores de Atlético Junior. b Compare la estatura promedio del equipo Mburucuyá con las de este equipo. ¿Qué puede decir luego de compararlos?

Para generalizar se representa a la variable con una letra, en este caso x y al número de casos que se consideran se lo llamará n. Se llama media aritmética o promedio de n números al cociente entre la suma de los números dados y la cantidad n de ellos. Se lo simboliza así x

En algunas ocasiones, cuando la cantidad de datos es grande y algunos valores se repiten, es posible hallar el promedio con los datos agrupados en intervalos. Observe el procedimiento con los datos sobre la talla de los alumnos de la actividad Nº 63.

95

Si los ordenamos de menor a mayor, se obtiene: 1,55m; 1,58m; 1,59m; 1,60m; 1,63m; 1,63m; 1,63m; 1,64m; 1,65m; 1,65m; 1,68m; 1,69m; 1,70m; 1,71m; 1,71m; 1,75m; 1,75m; 1,78m; 1,78m; 1,80m.

El promedio para este caso se puede determinar de dos maneras: La primera ya la conoce (suma todos los valores y al resultado lo divide por el total de observaciones o determinaciones) 1,55 + 1,58 + 1,59 + 1,60 + 1,63 + 1,63 + 1,63 + 1,64 + 1,65 + 1,65 + 1,68 + 1,69 + 1,70 + 1,71+ 1,71 + 1,75 + 1,75 + 1,78 + 1,78 + 1,80 = 33,50 33,50 m : 20 Promedio = 1,675 m La segunda permite abreviar un poco los cálculos utilizando la tabla. estatura en m (se excluye el extremo superior del intervalo)

1,50m.....1,60m 1,60m.....1,70m 1,70m.....1,80m 1,80m.....1,90m Totales

cantidad de alumnos (frecuencia absoluta)

3 9 7 1 20

1.Se busca el promedio entre los extremos de cada uno de los intervalos: (1,50 + 1,60) : 2 = 1,55 (1,60 + 1,70) : 2 = 1,65 (1,70 + 1,80) : 2 = 1,75 (1,80 + 1,90) : 2 = 1,85 2.Se multiplica cada uno de estos promedios parciales por la respectiva frecuencia absoluta; se efectúa la suma y al resultado se lo divide por el número de datos (en este caso, 20) (1,55 . 3 + 1,65 . 9 + 1,75 . 7 + 1,85 . 1 ) : 20 = 33,60 : 20 = 1,68

96

El promedio no coincide con el anterior. Ello se debe que no hemos trabajado con las mediciones exactas obtenidas con cada uno de los alumnos. No obstante, la aproximación será tanto mejor cuantos más datos haya agrupados. Por eso, aunque se conozcan los valores de la variable, si el número de observaciones es muy grande, resulta conveniente hacer los cálculos a partir de la tabla de datos agrupados.

Actividad Nº73 En una clase de matemática se pidió a los alumnos que estimaran “a ojo" la longitud de la mesa que utiliza el profesor. Las respuestas fueron (en cm): 200; 205; 195; 180; 190; 203; 205; 200; 197; 199; 205; 200; 210; 193; 187; 200; 175; 215; 225; 200; 185; 177; 193; 195; 198; 205; 190; 192; 200; 200; 200; 175; 215; 224; 200; 199; 197; 200; 205; 203. a Organice los datos según una tabla de frecuencias absolutas usando los intervalos siguientes: 175 - 185 185 - 195 195 - 205 205 - 215 215 - 225

Recuerde que el extremo inferior pertenece al intervalo mientras que el extremo superior pertenece al intervalo siguiente. b Haga un diagrama. c Determine el promedio de la longitud estimada de la mesa.

97

Actividad Nº74 Se ha lanzado un dado 120 veces y se han recogido los resultados obtenidos en la siguiente tabla:

Valor obtenido

1

2

3

4

5

6

Frecuencia absoluta

18

22

19

18

23

20

a Haga el gráfico correspondiente. b Determine el promedio de los valores hallados. c Determine la frecuencia relativa y su respectivo porcentaje. d ¿Cómo se distribuyen los valores?

II. Desvío estándar

Actividad Nº75 Los integrantes de dos equipos de una localidad han sumado a lo largo del año los siguientes puntajes (ya ordenados en forma creciente): Equipo Mburucuyá: 183; 184; 187; 188; 189; 189; 193; 196; 199; 202; 203; 204; 206; 207. Equipo Atlético Junior: 186; 186; 190; 191; 192; 193; 195; 196; 197; 198; 200; 201; 202; 203;

98

a Determine el promedio de los puntajes de cada equipo. b Haga el diagrama de barras tomando intervalos de cinco en cinco, comenzando desde 180 y terminando en 210. c ¿Cómo han resultado los dos promedios? d ¿Cómo son los gráficos que ha obtenido?

Como usted pudo apreciar al resolver la actividad, los promedio son iguales pero las distribuciones de los valores en cada gráfico es bastante diferente. Por lo tanto el promedio es insuficiente para analizar una serie de muestras porque nada dice si los valores son cercanos al promedio. Los puntajes de los integrantes del equipo Mburucuyá son menos parejos que los del equipo Atlético Junior ya que en el primer equipo hay puntajes más extremos. Se necesita, además del promedio (o media), otro parámetro que mida cómo están dispersos los datos con relación a ese promedio. Ese parámetro se denomina desviación estándar. Se lo abrevia así: o El desvío estándar permite estimar la variación (o dispersión), es decir, en qué medida los datos se diseminan o reparten alrededor del valor medio. Es sumamente útil en estadística ya que indica, si su valor es pequeño, que los datos obtenidos están muy cercanos al promedio. Esto significa que la población estudiada no presenta una gran dispersión. La utilización del desvío estándar es muy común cuando se hace un estudio estadístico acerca de un suceso social, biológico, matemático, físico, etc. Las estaturas correspondientes a tres equipos de fútbol A, B y C se distribuyen según las gráficas y con los parámetros que se dan a continuación. —

X

A 175

B C 175 175

99

Equipo B

Equipo A

Equipo C

Observe que los tres equipos tienen igual medio o promedio de estatura, pero en el equipo B los valores son más extremos que en los otros dos, la dispersión es alta. En el equipo C la mayoría de los jugadores tienen tallas cercanas al promedio, la dispersión es baja.

¿Cómo calcular el desvío estándar? Con la calculadora:

SD

Si dispone de una calculadora científica deberá apretar una tecla o una secuencia de textos para que en la pantalla aparezca "SD". Después de esta operación ingrese los datos que tenga y cada vez que aparezca uno de ellos en la pantalla, deberá apretar la tecla "M+".

M+

on

Una vez finalizada la entrada de todos los datos, proceda de esta manera: 1. Para conocer el promedio, apriete la tecla que tiene X 2. Para conocer el desvío estándar, apriete la tecla que tiene o n De todas formas es aconsejable consultar el manual de uso de la calculadora ya que la forma de trabajar con ellas varía según las marcas. En síntesis, respecto del significado de la desviación estándar, se puede afirmar que cuanto mayor es la desviación estándar, más dispersos están los datos respecto del promedio o media aritmética.

100

Actividad Nº76 Los siguientes gráficos se publicaron en el diario Clarín el 30/11/97. Analice la información y responda las preguntas.

a ¿Cuál es el porcentaje de crecimiento de infectados con HIV en el mundo entre los años 96 y 97? b ¿Cuántos pacientes pediátricos nuevos hay en el año 1997? c ¿Qué porcentaje de personas hay en el mundo con HIV cuya infección tiene origen desconocido?

101

Actividad Nº77 Analice la información que brindan los siguientes gráficos y luego responda las preguntas.

a Analice los porcentajes de desempleo en enero de 1993 de Alemania Sector Occidental e Italia ¿cuál tiene mayor índice?. b ¿Cuántos desocupados había en Gran Bretaña en febrero de 1993 en una comunidad de 50.000 personas en edad activa? (Se supone constante el porcentaje en todo el territorio). c Explique por qué se hace la aclaración entre paréntesis en la pregunta anterior.

102

Material de distribución gratuita

Claves de Corrección Actividad Nº1 a

b

1 4

• 0

5 8

7 10

• •• 2 3

1

c Los números están entre 0 y 1. d El numerador es menor que el denominador e En la segunda columna todos los números fraccionarios son mayores que 1 y el numerador es mayor que el denominador. f En la tercer columna el numerador y el denominador son iguales, las fracciones son equivalentes a 1.

103

Actividad Nº2 Una fracción es menor que 1 si el numerador es menor que el denominador. Es mayor que 1 si el numerador es mayor que el denominador. Será igual a 1, si numerador y denominador son iguales y a cualquier otro número entero si el numerador es múltiplo del denominador.

Actividad Nº3 8 entre 2 y 3 3

2 entre 0 y 1 5

- 54 entre -2 y -1

7 entre 3 y 4 2

- 72 entre -4 y -3

12 entre 2 y 3 5

Actividad Nº4 a

3 4 6 8 9 12 12 16

b Son iguales. c La representación, en todos los casos es el mismo punto.

104

Actividad Nº5 a

2 = 4 = 8 = 6 = 20 6 12 9 30 3 4 = 2 = 40 = 1 = 7 4 80 2 14 8 6 = 12 = 3 = 15 = 150 8 2 10 100 4

b No son las únicas. c Cada fracción tiene infinitas fracciones equivalentes.

Actividad Nº6 La respuesta a esta actividad es muy variada, ya que las fracciones equivalentes son infinitas.

Actividad Nº7 Esta otra actividad, también admite infinitas respuestas. Las siguientes son algunas posibles. a

9 y 2 6 6 b 9 10 12 y 12 c 16 5 10 y 10

Actividad Nº8 :4

:6

24 = 6 36 9

24 = 4 36 6

:4

:6

:12

24 = 2 36 3 :12

105

Actividad Nº9 a Pueden obtenerse 5. b Para obtener una fracción equivalente por amplificación, se debe multiplicar el numerador y el denominador, por un mismo número. Y para obtenerlas por simplificación, se divide numerador y denominador por un mismo número.

Actividad Nº10 a

8 y 24 Si 5 15

30 y 3 Si 20 2

1 y 4 No 3 15

18 y 6 Si 15 5

6 y 18 No 8 4

b Consulte con el docente sus respuestas. Aquí le damos sólo algunas posibles respuestas: • 8 x 3 = 24 ó 24= 8 se dividió numerador y denominador por 3 15 5 5 x 3 15 3 30 • = se simplificó por 10 numerador y denominador 20 2 • No son equivalentes porque no se puede obtener la primera ( 1 ) 3 simplificando la Segunda ( 4 ) 15 18 6 = se simplifica por 6 numerador y denominador ó 6.3 = 18 • 15 5 5.3 15 • Para obtener 18 al 6 hay que multiplicarlo por 3; pero, entonces la 2da fracción debería tener 9 de denominador, como tiene 8 no son equivalentes.

Actividad Nº11 100 = 4 75 3 2 3

120 = 4 30

36 = 3 12

15 = 3 5 25

12 = 18

106

8 = 2 20 5

Actividad Nº12 a

5 ; 5 ; 5 ; 5 ; 5 ; ... 6 7 2 3 4

b

1 ; 2 ; 4 ; 5 ; 7 ; ... 3 3 3 3 3

c

1 ; 1 ; 1 ; 1 ; 1 ; ... 5 6 2 3 4

Actividad Nº13 3 = 75 = 75% 4 100 1 = 20 = 20% 5 100 9 = 90 = 90% 10 100

Actividad Nº14 a El negativo, por que es menor. b El negativo. Todos los números negativos son menores que cualquier positivo.

Actividad Nº15 a Marque ambos números en la recta.

b

3 12

<

5 12

c Cuando dos fracciones tienen igual denominador, la menor es la que tiene el menor numerador.

107

Actividad Nº16 a Depende del gráfico. b Es menor la que tiene mayor denominador.

Actividad Nº17 a

1 2

3 10

2 5

b

2 < 3 5 4

3 4

1 > 3 10 2

c No d Sí e 20 f 2 = 8 5 20 3 = 15 4 20 8 < 15 20 20 g También en este caso el denominador común puede ser 20.

1 = 10 y 3 = 6 2 20 10 20

;

6 < 10 20 20

h Para reconocer cuál es mayor, reemplazamos ambas fracciones por equivalentes, pero que tengan el mismo denominador. Luego las comparamos a través de sus numeradores.

Actividad Nº18 a -3 < - 2 4 4 b 2 -3 < - 2 4 c -2 < - 3 3 5

108

Actividad Nº19 a

b

c

7 de kilogramo pesan más que 3 de kilogramo porque: 4 2 3 = 6 7 > 6 y 2 4 4 4 3 de pulgadas es más grande que 5 de pulgadas porque: 4 8 3 = 6 6 > 5 y 4 8 8 8 5 3 3 10 4 9 6 -10

> > > <

4 3 4 15

1 4 7 2

2 5 9 15

18 8 -8 3

> = = <

-5 2 21 6 9 4 - 11 4

Actividad Nº20 a Porque sumamos porciones del mismo entero, y en este caso estaba dividido en 8 porciones iguales. b Para sumar o restar fracciones de igual denominador sólo debemos sumar o restar (según corresponda) los numeradores; el denominador del resultado es el mismo que el de las fracciones dadas. c 1 2 3 5+5= 5

7 3 10 12 + 12 = 12

2-1= 1 3 3 3

11 + 7 = 18 3 3 3

Actividad Nº21 a 1 = 2 = 3 = 4= 4 8 12 16 5 = 10 = 15= 20= 6 12 18 24

5 20 = 25 = 30

6 24 = 30 = 36

7 8 28 = 32 35 = 40 42 48

=9 36 =45 54

b Infinitas. c Si. d Si, se podrían hallar diferentes grupos de fracciones equivalentes a las dadas. e Infinitas. f 21 porque 2 + 1 + 5 = 8 + 3 + 10 = 21 12 3 4 6 12 12 12 12

109

Actividad Nº22 a 30.

b 2 = 2.10 = 20 3 3.10 30

9 9.3 27 10 = 10.3 = 30

c 2 9 5 20 27 25 22 3 + 10 - 6 = 30 + 30- 30 = 30

Actividad Nº23 a 1+ 3 = 7 4 4 b 2- 1 = 5 3 3

ó 1+ 2 3

c 1+ 1 = 3 4 2 4 d 1 -1 = 1 2 4 4 e 3 -1 = 5 4 8 8 f 1 + 1 -1= - 2 = - 1 2 4 4 4

Actividad Nº24 a

5 - 1 + 11 = 15 = 5 12 12 12 12 4

b

5 -5 = 5 3 6 6

c

3 +1 - 7 = 1 10 5 15 30

d 2 - 11 + 1 = - 13 2 4 4 e 15 - 5 - 1 = 9 = 1 9 6 3 18 2 f

110

3 + 1 - 7 = 35 24 24 4

5 = 5.5 = 25 6 6.5 30

Actividad Nº25 a El rectángulo representa el campo. Horizontalmente divídalo en quintos. b Sombree cuatro quintos ( 4 ) 5 c Trace, verticalmente, una línea para dividir a cada quinto por la mitad. d Remarque una de las mitades que sombreó. e El campo quedó "cuadriculado". Cada cuadro es 1 10 f La 1 de 4 es 4 2 5 10

Actividad Nº26 a

En una multiplicación de fracciones el numerador del producto se obtiene multiplicando los numeradores de las fracciones, y el denominador, multiplicando los denominadores de las fracciones dadas. b En forma simbólica: a . c = a.c b d b.d

Actividad Nº27 La operación “de” entre fracciones significa multiplicación, por ello: 2 . 420=280 Hay 280 hombres. 3

b

8 . (2- 1 )= 8 . 3 = 8.3 = 24 = 12 5 2 5.2 10 5 5 2

c

1 .3 = 3 50 4 200

d

3 . 180=135 Contestaron afirmativamente 135 personas 4

e

1 .3 = 1 3 4 4

(

a

Sólo la cuarta parte de los televidentes terminaron de ver el partido.

111

Actividad Nº28 a 9 botellas porque 3 de 12 es 3 . 12 = 9 4 4 b $ 190. c 3.600.000 argentinos podrían ir a la escuela. d 15 jugadores.

Actividad Nº29 . 15 = 3 a a) 2 5 4 2

. (- 4 )= 7 e) - 7 6 8 3

2 1 1 i) 15 8 . 5 . 30 = 40

b) 7 . 4 = 7 8 3 6

f) 5 . 4 . 4 = 4 12 5 3 9

j) 2 . 5 = 1 5 2

c) 15 . 4 . 1 = 2 2 5 3

g) 20 . 9 . 1 = 3 3 4 5

k) 3 . 4 = 1 4 3

d) 12 . 15 = 18 5 2

h) - 3 . 16 = -2 8 3

l) 3 . 7 = 1 7 3

b Inversas. c Tienen cambiado de orden el numerador y el denominador. d

3 4

4 3

1 2

2

7 8

8 7

4

1 4

e Si, el resultado será 1

Actividad Nº30 a) 1 : 4 = 1 3 3 4

c) 12 : 4 = 3 5 5

b) 8 : 4 = 2 d) 2 : 1 = 2 15 5 5 5 3

Actividad Nº31

112

a

3 (- 1 ) = - 1 2 8

b

4 (- 1 ) = 1 2 16

e)-12 : 4 = -3 5 5

g) 21 : 7 = 1 15 5

f)- 2 : (- 1 ) = 2 h)- 2 : 8 =- 1 5 5 5 20

Actividad Nº32 3 3 2 a) ( 2 ) = 4 c) ( 2 ) = 8 e) ( 4 ) = 64 25 27 3 5 5 125

5 g) (- 1 ) = - 1 32 2

4 4 3 4 b) ( 1 ) = 1 d) (- 1 ) = 1 f) (- 3 ) = - 27 h) ( 3 ) = 81 16 2 64 2 4 3 81 16

Actividad Nº33 a ( 2 )3= 8 3 27 b ( 3 )2= 9 5 25 c (10)2=100 3 9 d ( 4 )3=64 3 27 e (10)2=100 7 49

Actividad Nº34 a 3 : 5 + ( 3)2= 6 + 9 = 69 5 4 20 4 8 2 b 3 . 8 - 5 : 20 = 2 - 1 = 5 4 9 3 3 3 4 12 c 2 - 3 . (- 3 ) + (- 3 )2=- 3 + 9 = 169 50 4 100 2 5 10 5 d (2 - 3 ): 5 + ( 1)3= 2 + 1 8 4 8 2 e 2 . ( 8 - 5 ) : 20 = 7 3 9 3 3 90 f - 9 . (- 3 ) + (1- 3 )2 + 7 = 333 2 10 5 8 200 g (- 3 ) : 5 + 9 ( 1 + 3 )2 = 393 4 2 10 4 2 160 h (- 2 )3: 2 + 2 : 8 - 15. 26 = - 127 12 3 9 3 9 13 3 i (2+ 2 - 1 )3+ (- 5 )2= 1325 72 3 3 6

113

Actividad Nº35 Situación

Fracción

el peso del pan

Decimal

X X

el saldo de una cuenta bancaria la duración de un partido de fútbol el importe de una factura de luz

X X

Actividad Nº36 a 23,5 x 10,02

= 235,47

b 4,36 : 2

= 2,18

c 3,45 + 0,638 + 0,12 = 4,208 d 2,1 x 4,024

= 8,4504

e 262,56 : 1,98

= 132,60606

Actividad Nº37 a 3 125=5 pues 53 = 125 b 3 -8=-2 pues (-2)3 = -8 c 51=1 pues 15 = 1 d 3 27 = 3 pues ( 3 )3 = 27 8 2 8 2 e 3 0,008 = 0,2 pues 0,23 = 0,008 f

5

1 = - 1 pues (- 1 ) =- 1 -32  2 2 32 5

g Si, son los únicos números que elevados a la potencia correspondiente en cada caso dan por resultado el radicando. h El mismo que el radicando, depende de este.

114

Actividad Nº38  36 =±6

3

 -1 =-1

1 =- 2 32

4

4

 81 =3

 0,09=0,3

=±2

 16 =±2

4

94

=± 3 2

 =± 16 81

4

2 3

25 =±  4

5

5 2

1

 -4 =no tiene solución

1 =±2

6

 1000 =10

3

Actividad Nº39 a 16, 25, 36 y 49 b - 27, - 8, -1, 0, 1 y 8 c 16 , 9 , 4 y 1 4 4 4 4

Actividad Nº40 a  11 =3,316624..... truncado 3,31 y redondeo 3,32 b 38 : 110=0,34545445...... truncado 0,34 y redondeo 0,35 c  6 =2,4494897... truncado 2,44 y redondeo 2,45 d 3.  24 =3. 4,89897948... = 14,696938456.... truncado 14,69 y redondeado 14,70 e 3 2 =0,259921...... truncado 0,25 y redondeado 0,26 f 4,375 + 23, 318 =27,693 truncado 27,69 y redondeado 27,69

Actividad Nº41 a 4,787 metros b $ 32,48 c 13,59 cm2

115

Actividad Nº42 aa 102 103 104 105 106

= 100 = 1.000 = 10.000 = 100.000 = 1.000.000

107 = 10.000.000 108 = 100.000.000 109 = 1.000.000.000 1010 = 10.000.000.000

b Hay tantos ceros como indica el exponente. c

2,4 . 104 = 2,4 x 10.000 = 24.000 5,13 . 102 = 5,13 x 100 = 513 3,8 . 105 = 380.000 0.3 . 103 = 300

d 3,4 . 10 = 34 3,48 . 100 = 348 3,485 . 1.000 = 3.485 e 3,5 . 10 2,84 . 100 0,375 . 1.000

Actividad Nº43 a

1 100 1 1.000 1 10.000 1 1.000.000

b ( 1 )3 = 1 1.000 10 5 1 (1 ) = 100.000 10

4 1 (1 ) = 10.000 10

2 (1 ) = 1 100 10

c Hay tantos ceros como indica el exponente. d 0,3 . 10-4 = 0,3 x 0,0001 = 0,00003 3,2 . 10-2 = 3,2 x 0,01 = 0,032 3,4 . 104 = 3,4 x 0,0001 = 0,00034 6,84 . 10-2 = 6,84 x 0,01 = 0,0684 3.3, 3 y 6.

116

Actividad Nº44 a 12700 km = 1,27 X (10)4 km b 0,00000063 m = 6,3 X (10)-7 m c 2.000.000 km = 2 X (10)6 años luz d 0,0000000000000000000000266 gramos = 2,66 X (10)-23 g

Actividad Nº45 a 2 X (10)-7 milímetros = 0,0000002 mm b 5,9 X (10)9 km = 5.900.000.000 km c 2,5 X (10)-2 milímetros = 0,025 mm d 5,43 X (10)4 = 54.300

Actividad Nº46 3,7 x 10-5 3,5 x 10-4 5 x 10-4 1,2 x 102 2,6 x 103 1,25 x 108 1,25 x 109

Actividad Nº47 a No b Mayor. c Uno cualquiera de los lados de un triángulo debe ser mayor que la

diferencia y menor que la suma de los otros dos.

117

Actividad Nº48 Triángulo 1, es equilátero y acutángulo Triángulo 2, es escaleno y rectángulo Triángulo 3, es escaleno y rectángulo Triángulo 4, es isósceles y rectángulo Triángulo 5, es escaleno y obtusángulo Triángulo 6, es isósceles y obtusángulo

Actividad Nº49 Una vez realizados los pasos a) y b) comprobará que suman 180º "La suma de los ángulos interiores de un triángulo es siempre 180º"

Actividad Nº50 ^ a) C=48º ^ b) B=40º

^ e) B=67º ^ ^ f) B=C=50º

^ c) A=67º 10’ ^ 37’ d) A=103º

^ g) B=40º ^ ^ ^ h) A=B=C=60º

Actividad Nº51

118

Actividad Nº52

Actividad Nº53 a Nueve da cada diez es lo mismo que 90 de cada 100, por lo tanto es el 90%. b Al hablar de porcentajes, cuando la intención no es hacer cálculos, lo que es frecuente hacer es estimar lo que significa ese porcentaje. En este caso el 98% significa que es casi el total de efectividad (100 %), un nivel altísimo. c 55 %, más de la mitad de los votantes.

Actividad Nº54 La idea que en general está asociada a la palabra estadística, es muy cercana al concepto matemático. Si usted duda de su respuesta consúltela con su docente.

Actividad Nº55 Se reconocen como gráficos estadísticos porque representan la cantidad de veces o la proporción respecto del total de la población considerada de diferentes valores.

119 Ministerio de Cultura y Educación de la Nación

Actividad Nº56 Comente la respuesta con su docente.

Actividad Nº57 a En el Censo Nacional Agopecuario que realiza el INDEC se releva información sobre todas las explotaciones agropecuarias del país. Incluye el número de productores por actividad; tamaño de las explotaciones; maquinaria agrícola; instalaciones; riego; mano de obra; inversiones y el uso de la tierra. b La actividad agropecuaria es muy importante para el país. Con los datos del censo es posible, entre otras cosas, realizar diagnósticos sobre la producción, diseñar estrategias para mejorar el funcionamiento del sector, orientar las inversiones futuras.

Actividad Nº58 a El 2º, ya que se elige a diez alumnos por azar del total del alumnado de la escuela y no a 10 de 5º grado en particular. En el desarrollo de este tema se hizo referencia a la importancia de que la muestra sea tomada al azar. b Consulte su respuesta con su docente.

Actividad Nº59 a Discreta, se trata de contar. El número que podemos registrar es un número natural. b Continua, porque es una medida. El número que podemos utilizar es un número racional, además de entero puede ser un valor intermedio. c Discreta. e Discreta. f Discreta.

120

g Continua. Normalmente expresamos la edad sólo en años, pero la edad exacta de una persona es una medida que puede tomar cualquier valor mayor que cero y menor que... quien sabe.

Actividad Nº60 a La población está formada por todos los alumnos de EGB a distancia. b, c y d Si tiene dudas con las respuestas que dio consulte con su docente. Algunos ejemplos posibles son: edad, estado civil, lugar de residencia, cantidad de hijos, cantidad de años que hace que completó la primaria, si tiene empleo fijo, etc.

Actividad Nº61 a El total es de 40 alumnos. b 6 alumnos sacaron 9 o 10. c Resultaron aplazados 9 alumnos (2 sacaron 1, 4 alumnos sacaron 2 y 3 sacaron 3 puntos). d La calificación 5 es la más frecuente (se repite 7 veces).

Actividad Nº62 a La frecuencia absoluta de 10, es 4. b La de los aplazos es 2, 4 y 3, para las calificaciones 1, 2 y 3 respectivamente, o sea 9 en total. c La mayor frecuencia absoluta es 7.

121

Actividad Nº63 estatura en m (se excluye el extremo superior del intervalo)

cantidad de alumnos (frecuencia absoluta)

(frecuencia relativa)

1,50m.....1,60m 1,60m.....1,70m 1,70m.....1,80m 1,80m.....1,90m Totales

3 10 6 1 20

0,15 0,5 0,3 0,05 1

Actividad Nº64 a La frecuencia es mayor en el intervalo 60 y más años. b Es de 18,4 %, porque 3,4 % no asistió nunca a la escuela y el 15 % asistió pero no completó el nivel . c Completó la primaria el 87,5 %, al total de la población de esa edad (100 %) se le resta el 2,3 % que corresponde a los que nunca asistieron y el 10,2 % de los que no la terminaron.

Actividad Nº65 a Encuesta. b Extranjeros que vistan Buenos Aires. c Recoleta. d Gobierno de la ciudad.

Actividad Nº66 a El total es de 66.684.700 cabezas de ganado. b Vacuno: 75,06% Ovino: 19,79% Caprino: 5,14%. c 3 provincias: Buenos Aires, Córdoba y Santa Fe.

122

Actividad Nº67 a En el eje de las abscisas se indican los años. b En el eje de las ordenadas se indica porcentaje de votantes sobre total de empadronados. c Porque en 1916 se sancionó la Ley Saenz Peña que estableció el voto obligatorio, universal y secreto. d El porcentaje fue mayor en el año 1958 (90.9 %). e Del Centro de Estudios Unión para la Nueva Mayoría.

Actividad Nº68 a El porcentaje de Leyes sancionadas en relación con los proyectos presentados es de 8,37% b En el año 1986.

Actividad Nº69 Poco democrática : aproximadamente 98. Muy democrática : aproximadamente 15. Nada democrática : aproximadamente 19.

Actividad Nº70 a y b En la tabla además de la frecuencia absoluta y la relativa hemos agregado una columna más con el porcentaje de cada uno de los valores. Recuerde que el porcentaje se obtiene multiplicando por 100 la frecuencia relativa. cantidad de hermanos

Frecuencia absoluta

Frecuencia relativa

Porcentaje

1 2 3 4 5 6 7 Totales

2 11 13

0,04 0,22 0,26

4% 22% 26%

15 7 1 1 50

0,3 0,14 0,02 0,02 1

30% 14% 2% 2% 100%

frecuencia

c La variable estadística es "El número de hermanos". Los valores, en este caso, van del 1 al 7. d La variable es cuantitativa discreta ( toma valores sueltos). e Fueron encuestados 50 alumnos. f Hay 9 alumnos que tienen más de 4 hermanos (7 tienen 5 hermanos, 1 tiene 6 y 1 tiene 7). g Que tienen entre 2 y 3 hermanos hay 24 alumnos (11 tiene 2 y 13 tienen 3 hermanos) h

16 14 12 10 8 6 4 2 0

1

2

3

4

5 6 7 cantidad de hermanos

Actividad Nº71 a No, pues para que el promedio sea 7 o todas las calificaciones son 7 (que no es este caso), o algunas por encima y otras por debajo de 7 (algunas eximidas y otras no). b Significa que las materias tienen una calificación "alrededor" de 7, algunas más otras menos (como educación física y música); pero entre ellas se "compensan", lo que una tiene por encima del promedio, la otra lo tiene por debajo de ese valor.

Actividad Nº72 a 180 + 210 + 205 + 208 + 204 + 209 + 185 + 188 + 186 + 200 + 195 + 192 + +193 + 194 + 194 + 199 + 198 + 199 + 190 = 3729. Como son 19 , dividimos esta suma por 19 y obtenemos que el producto es de 196,26 cm b Los promedios son muy similares, Atlético Junior tiene un promedio levemente superior.

124 P l a n

S o c i a l

E d u c a t i v o

Actividad Nº73 a Longitud

Frecuencia absoluta

175-185 185-195 195-205 205-215 215-225 Totales

4 7 19 6 4 40

frecuencia

b 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2

estaturas

0 175,185

185,195

195,205

205,215

215,225

c La media si la tomamos de los datos no agrupados, que es la exacta, es de 198,4 cm. Si usted la calcula a través de la tabla, va a obtener un promedio algo distinto 199,5 cm. Esto es por el error que se comete al generalizar los datos que pertenecen al mismo intervalo.

a

frecuencia

Actividad Nº74 25 20 15 10 5 0

1

2

3

4

5

6

Valor obtenido

b El promedio de los valores hallados es 20 . Porque la suma de todas las frecuencias absolutas es 120 y la cantidad de valores posibles son 6, o sea que habrá que dividir 120 entre 6 (120 : 6).

125

c Valor obtenido

Frecuencia absoluta

Frecuencia relativa

Porcentaje

1 2 3 4 5 6

18 22 19 18 23 20

0,15 0,183 0,158 0,15 0,192 0,167

15% 18,3% 15,8% 15% 19,2% 16,7%

d Las seis caras salieron un número similar de veces, a pesar de no ser muchas las veces que se arrojo el dado.

Actividad Nº75 a Promedio del equipo Mbrucuyá: 183 + 184 + 187 +188 +189 +189 + 193 + 196 +199 + 202 +203 +204 + 206 +207 = 2730. Como son 14 los puntajes, el promedio es 2730 : 14 = 195. Promedio del equipo Atlético Junior: 186 + 186 + 190 +191 +192 +193 + 195 + 196 +197 + 198 +200 +201 + 202 +203 = 2730. Como también son 14 los puntajes, el promedio es 2730 : 14 = 195 b

5

Equipo Mbrucuyá Atlético Junior

4 3 2 1 0 180,185

185,190

190,195

195,200

200,205

205,215

c Los promedios son iguales. d Distintos, Atlético Junior tiene menos columnas pero más parejas, los valores del equipo de Mbrucuyá están más dispersos, es decir están más alejados del promedio.

126

Actividad Nº76 a 24,33%. b 61. c 266.800 personas.

Actividad Nº77 a Italia con 9,48% tiene mayor índice que Alemania (sector occidental) que tiene 8,3%. Los gráficos inducen a error porque las escalas en el eje de ordenadas son diferentes. b 5.250 personas. c Si no se condsiderara constante no se podría calcular los desocupados porque no habría proprocionalidad.

127

128

Anexo

129

131

132

133

134

MODALIDAD SEMIPRESENCIAL

Te rc e r C i c l o d e E d u c a c i ó n G e n e ra l B á s i c a p a ra Ad u l t o s

Matemática 4

4

Matemática

4