Mate Mat Is Sen

Series de Fourier y Transformada de La Place

1

INDICE Definición de la serie de Fourier..........................................................................3 El conjunto de funciones ....................................................................................4 Series de Fourier de cosenos y de senos..........................................................5 Resumen de las constantes de la series de Fourier...............................................6 Serie de Fourier en forma compleja.....................................................................7 Aplicaciones de la Serie de Fourier.....................................................................8 ¿Qué es la Transformada de Laplace?...............................................................12 Definición de la Transformada de Laplace........................................................13 Condiciones suficientes para la existencia.................................................14 Transformada inversa.....................................................................................14 Teoremas de traslación...................................................................................15 La transformada inversa.................................................................................17 Aplicación de la tranformada en Circuitos eléctricos....................................18

¿Que es la Serie de Fourier?

2

En matemáticas, una serie de Fourier, que es llamada así en honor de Joseph Fourier (1768-1830), es una representación de una función periódica como una suma de funciones periódicas de la forma que son armónicos de ei x; Fourier fue el primero que estudió tales series sistemáticamente, aplicándolas a la solución de la ecuación del calor y publicando sus resultados iniciales en 1807 y 1811. Este área de investigación se llama algunas veces Análisis armónico. Muchas tipos de otras transformadas relacionadas con la de Fourier han sido definidas desde entonces.

Definición de la serie de Fourier Supongamos que {Φ n ( x)} es un conjunto infinito ortogonal de funciones en un intervalo [a,b]. Nos preguntamos: si y=f(x) es una función definida en el intervalo [a,b], ¿será posible determinar un conjunto de coeficientes cn , n = 0, 1, 2,..., para el cual

f ( x) = c0 Φ 0 ( x) +  + cn Φ n ( x) +  ? Como en la descripción anterior, cuando determinamos los componentes de un vector, también podemos

determinar los coeficientes cn mediante el producto interno. Al multiplicar la ecuación anterior por Φ m (x) e integrar en el intervalo [a,b] se obtiene: b

∫ a

b

b

b

a

a

a

f ( x)Φ m ( x) dx = co ∫ Φ 0 ( x)Φ m ( x)dx + c1 ∫ Φ1 ( x)Φ m ( x)dx +  + cn ∫ Φ n ( x )Φ m ( x)dx +  = c0 (Φ 0 , Φ m ) + c1 (Φ1 , Φ m ) +  + cn (Φ n , Φ m ) + 

Debido a la ortogonalidad, cada término del lado derecho de la última ecuación es cero, excepto cuando m=n. En este caso tendremos b

∫ a

b

f ( x )Φ n ( x )dx = cn ∫Φ n( x)dx. 2

a

Entonces los coeficientes que buscamos son b

cn =

∫ f ( x )Φ

n

( x)dx , n = 0,1,2, 

a

b

∫Φ

n

( x )dx

a

α

f ( x) = ∑ cn Φ n ( x ),

En otras palabras,

(1)

n =0

cn =

En la que

∫

b

a

f ( x)Φ n ( x)dx Φ n ( x)

2

(2)

La ecuación 2, en notación de producto interno ( o producto punto ), es ∞

f ( x) = ∑ n =0

( f , Φn ) Φ n ( x)

2

Φ n ( x).

(3)

3

El conjunto de funciones

}

 π 2π π 2π 3π x,..., sen x, sen x, sen x,... 1, cos x, cos p p p p p 

(1)

es ortogonal en el intervalo [-p,p], supongamos que f es una función definida en el intervalo [-p,p] que se puede desarrollar en la serie trigonométrica

a0 ∞ nπ nπ + ∑ (an cos x + bn sen x). (2) 2 n =1 p p Entonces, los coeficientes a0 , a1 , a2 ,..., b1 , b2 ... pueden determinar tal como describimos para la serie de Fourier f ( x) =

generalizada en la sección anterior. Al integrar ambos lados de la ecuación (2), desde –p hasta p, se obtiene ∞ p p a0 p nπ nπ dx + ( an ∫ cos xdx + bn ∫ sen xdx). (3) ∑ ∫− p ∫ −p −p 2 −p p p n =1 Como cada función cos(nπx / p ) , sen(nπx / p), n>1, es ortogonal a 1 en el intervalo, el lado derecho de (3) se p

f ( x)dx =

reduce a un solo término y, en consecuencia,

∫

p

−p

f ( x)dx =

a0 2

∫

p

−p

dx =

a0 p x |− p = pa0 . 2

Al despejar a0 se obtiene

a0 =

1 p f ( x)dx. p ∫− p

(4)

Ahora multipliquemos la ecuación (2) por cos(mπx / p ) e integremos:

∫

p

−p

f ( x) cos

mπ a xdx = 0 p 2

∫

p

−p

cos

∞ p p mπ mπ nπ mπ nπ xdx + ∑ (an ∫ cos x cos xdx + bn ∫ cos xsen xdx). (5) −p −p p p p p p n =1

por la ortogonalidad tenemos que

mπ xdx = 0, m > 0 p p mπ nπ 0,m ≠ n ∫− p cos p x cos p xdx = { p,m=n

∫

p

−p

y

∫

cos

p

−p

cos

mπ nπ xsen xdx = 0. p p

nπ xdx = an p −p p 1 p nπ an = ∫ f ( x) cos xdx − p p p

Entonces la ecuación 5 se reduce a Y así

∫

p

f ( x) cos

(6)

Por último si multiplicamos a (2) por sen(mπx / p ) , integramos y aplicamos los resultados

mπ xdx = 0, m > 0 p p mπ nπ ∫− p sen p x cos p xdx = 0 p mπ nπ 0, m ≠ n ∫− p sen p xsen p xdx = { p, m = n,

∫

p

−p

sen

4

llegamos a

bn =

1 p nπ f ( x) sen xdx. ∫ p −p p

(7)

La serie de Fourier de una función definida en el intervalo (-p,p) es

a0 ∞ nπ nπ + ∑ (an cos x + bn sen x) 2 n =1 p p 1 p a0 = ∫ f ( x)dx p −p 1 p nπ an = ∫ f ( x) cos xdx − p p p p 1 nπ bn = ∫ f ( x) sen xdx − p p p

f ( x) =

(8) (9) (10) (11)

Series de Fourier de cosenos y de senos Si f es una función par en (-p,p), entonces en vista de las propiedades anteriores, los coeficientes de (9),(10) y (11) se transforman en

1 p 2 p f ( x)dx = ∫ f ( x)dx ∫ − p p p 0 1 p nπ 2 p nπ an = ∫ f ( x ) cos xdx − p = ∫ f ( x) cos xdx p p     p 0 p par

a0 =

bn =

1 p nπ f ( x ) sen x dx = 0 ∫ . p −p p     impar

En forma parecida, cuando f es impar en el intervalo (-p,p),

an = 0 ,

n=0,1,2,...,

bn =

2 p nπ f ( x) sen xdx. ∫ 0 p p

5

Resumen de las constantes de la series de Fourier a)

La serie de Fourier de una función par en el intervalo (-p,p) es la serie de cosenos

a0 ∞ nπ + ∑ an cos x, 2 n =1 p 2 p a0 = ∫ f ( x)dx p 0 2 p nπ a0 = ∫ f ( x) sen dx p 0 p

f ( x) = en que

b) La serie de Fourier de una función impar en el intervalo (-p,p) es la serie ∞

.

de senos

nπ x, p nπ f ( x) sen xdx. p

f ( x ) = ∑ bn sen n =1

en donde

2 p bn = ∫ p 0

6

Serie de Fourier en forma compleja f (t ) =

∞ a0 + ∑[ a n ⋅ cos ( n ⋅ ωo ⋅ t ) + bn ⋅ sen ( n ⋅ ωo ⋅ t ) ] 2 n =1

cos ( n ⋅ ωo ⋅ t ) =

e j⋅n⋅ωo ⋅t + e − j⋅n⋅ωo ⋅t 2

& sen ( n ⋅ ωo ⋅ t ) =

e j⋅n⋅ωo ⋅t − e − j⋅n⋅ωo ⋅t 2⋅ j

∞  a0 e j⋅n⋅ωo ⋅t + e − j ⋅n⋅ωo ⋅t e j⋅n⋅ωo ⋅t − e − j ⋅n⋅ωo ⋅t  + ∑ a n ⋅ + bn ⋅  2 n =1  2 2⋅ j  j ⋅n⋅ωo ⋅t − j ⋅n⋅ωo ⋅t j ⋅n⋅ωo ⋅t ∞  a e e e e − j⋅n⋅ωo ⋅t  f (t ) = 0 + ∑ a n ⋅ + an ⋅ + bn ⋅ − bn ⋅  2 n =1  2 2 2⋅ j 2⋅ j  ∞  a a b  a b  f (t ) = 0 + ∑ e j⋅n⋅ωo ⋅t ⋅  n + n  + e − j⋅n⋅ωo ⋅t  n − n  2 n =1   2 2⋅ j   2 2 ⋅ j 

f (t ) =

∞  a0 b  b  1  1  + ∑ e j⋅n⋅ωo ⋅t ⋅ ⋅  a n + n  + e − j⋅n⋅ωo ⋅t ⋅ ⋅  a n − n  2 n =1  2  j  2  j  ∞ a 1 1   f (t ) = 0 + ∑ e j⋅n⋅ωo ⋅t ⋅ ⋅ ( a n − j ⋅ bn ) + e − j⋅n⋅ωo ⋅t ⋅ ⋅ ( a n + j ⋅ bn )  2 n =1  2 2  1 C n = ⋅ ( a n − j ⋅ bn ) 2 1 ∗ C n = ⋅ ( a n + j ⋅ bn ) 2 ∞ a ∗ f (t ) = 0 + ∑ e j⋅n⋅ωo ⋅t ⋅ C n + e − j⋅n⋅ωo ⋅t ⋅ C n 2 n =1

f (t ) =

[

]

Cálculo de Cn:

Cn =

T /2 T /2  1 2 2 ⋅  ⋅ ∫ f (t ) ⋅ cos( n ⋅ ω o ⋅ t ) ⋅ dt − j ⋅ ⋅ ∫ f (t ) ⋅ sen ( n ⋅ ω o ⋅ t ) ⋅ dt  = 2  T −T / 2 T −T / 2 

T /2 T /2  1  C n = ⋅  ∫ f (t ) ⋅ cos( n ⋅ ω o ⋅ t ) ⋅ dt ∫ − j ⋅ f (t ) ⋅ sen ( n ⋅ ω o ⋅ t ) ⋅ dt  = T  −T / 2 −T / 2  T /2  1  C n = ⋅  ∫ [ f (t ) ⋅ cos( n ⋅ ω o ⋅ t ) − j ⋅ f (t ) ⋅ sen ( n ⋅ ω o ⋅ t ) ] ⋅ dt  = T  −T / 2  T /2  1  C n = ⋅  ∫ f (t ) ⋅ e − j ⋅n⋅ω o ⋅t ⋅ dt  T  −T / 2  T /2  1  ∗ C n = ⋅  ∫ f (t ) ⋅ e j⋅n⋅ω o ⋅t ⋅ dt  T  −T / 2 

[

]

[

]

7

f (t ) =

∞ ∞ ∞ a0 a + ∑C n ⋅ e j ⋅n⋅ωo ⋅t + ∑C n ⋅ e − j ⋅n⋅ωo ⋅t = 0 + ∑C n ⋅ e j ⋅n⋅ωo ⋅t ∀n ≠ 0 2 2 n =1 n =1 n =− ∞

C n = C n ⋅ e jθ C n ⋅ e j ⋅n⋅ωo ⋅t = C n ⋅ e jθ ⋅ e j ⋅n⋅ωo ⋅t ⇒ C n ⋅ cos ( n ⋅ωo ⋅ t +θ )

Ejemplo: Calcular la serie compleja de fourier para :

 4 → 0 < t < 1 s e g f (t) =   − 4 → 1 < t < 2 s e g f (t+2) = f (t) ⇔ T=2 ⇔ ω 0= π rad/s

f (t ) =

∞

∑C

n =−∞

n

⋅ e j ⋅n⋅ωo ⋅t

T /2

Cn =

0

1

1 1 1 ⋅ f (t ) ⋅ e − j ⋅n⋅ωo ⋅t ⋅ dt = ⋅ ∫ − 4 ⋅ e − j ⋅n⋅ωo ⋅t ⋅ dt + ⋅ ∫ 4 ⋅ e − j ⋅n⋅ωo ⋅t ⋅ dt = T −T∫/ 2 2 −1 2 0 0

1

−1

0

C n = ( −2) ⋅ ∫ e − j ⋅n⋅ωo ⋅t ⋅ dt + 2 ⋅ ∫ e − j ⋅n⋅ωo ⋅t ⋅ dt =( −2) ⋅ e

− j ⋅n⋅π

1 − e − j ⋅n⋅π e − j ⋅n⋅π −1 +2 ⋅ − j ⋅ n ⋅π − j ⋅ n ⋅π

= cos ( n ⋅ π ) + j ⋅ sen ( n ⋅ π ) = cos ( n ⋅π ) + 0 = ( −1) n

8  n s e a n = r 4 n  j⋅ n⋅ π Cn = ⋅ 1 − ( − 1) ⇒  j⋅ n⋅ π  n p a r= 0e l l 

( )

82 Cn = 2 2 − 9 º0⇔ ∀ n s ea n r n ⋅π

θ f

C

(t )

n

C

θ

ω

∞ a0 n⋅ t o ⋅ = + C n ⋅ e j⋅ ∑ 2 n = − ∞ n ≠ 0

= C n ⋅ e j ⇐ a m p l i t u d i f a s e

1 = an + bn n 2 bn = − a r c t g an 2

2

Aplicaciones de la Serie de Fourier 8

Ejemplo 1: Aplicaciones en circuitos, de forma senoidal

la serie de fourier tiene el siguiente aspecto

a0 + a1 ⋅ cos( ω 0 ) + a 2 ⋅ cos( 2 ⋅ ω 0 ) + a3 ⋅ cos( 2 ⋅ ω 0 ) + ... + b1 ⋅ sen( ω 0 ) + b2 ⋅ sen( 2 ⋅ ω 0 ) + 2 + b3 ⋅ sen( 3 ⋅ ω 0 ) + ... + bn ⋅ sen( n ⋅ ω 0 ) f (t ) =

a0 / 2 → valor medio a1, a2, b1, b2, ... → coeficientes de Fourier ω 0 ... → frecuencia (2·π /T) n · ω 0 ... → harmónicos T

a0 1 2 = ⋅ f (t ) ⋅ dt 2 T − T∫ 2

T

2 2 coef. cos ⇒ an = ⋅ ∫ f (t ) ⋅ cos( n ⋅ ω 0 ⋅ t ) ⋅ dt T −T 2

T

2 2 coef.sin ⇒ bn = ⋅ ∫ f (t ) ⋅ sin( n ⋅ ω 0 ⋅ t ) ⋅ dt T −T 2

Ejemplo 2:

9

T

π

π a0 1 2 1 1 t2  = ⋅ f (t ) ⋅ dt = ⋅ t ⋅ dt = ⋅  = 0 2 T − T∫ 2 ⋅ π −∫π 2 ⋅ π  2  −π 2 T

π

π

2 2 2 1 coef . cos ⇒ a n = ⋅ ∫ f (t ) ⋅ cos( n ⋅ ω 0 ⋅ t ) ⋅ dt = ⋅ ∫ t ⋅ cos( n ⋅ t ) ⋅ dt = ⋅ n ⋅ t ⋅ cos( n ⋅ t ) ⋅ n ⋅ dt T −T 2 ⋅ π −π π ⋅ n 2 −∫π 2

=

1 1 1 1 π π π π ⋅ [ cos( n ⋅ t ) ] −π = ⋅ [ cos( n ⋅ t ) ] −π = ⋅ [ cos( n ⋅ π ) − cos( n ⋅ ( − π ) ) ] −π = ⋅ [ 0 ] −π = 0 2 2 2 2 π ⋅n π ⋅n π ⋅n π ⋅n

∫ u ⋅ cos u ⋅ du = cos u + u ⋅ sen u ω 0 = 2 ⋅π ⋅ f = 2 ⋅π ⋅ coef .sin ⇒ bn = = = = =

π π π

1 ⋅ n2 1 ⋅ n2 1 ⋅ n2 1 ⋅ n2

1 =1 2 ⋅π π

π

2 1 ⋅ ∫ t ⋅ sen( n ⋅ t ) ⋅ dt = ⋅ n ⋅ t ⋅ sen( n ⋅ t ) ⋅ n ⋅ dt = 2 ⋅ π −π π ⋅ n 2 −∫π

⋅ [ sen( n ⋅ t ) − ( n ⋅ t ) ⋅ cos( n ⋅ t ) ] −π = π

⋅ [ sen( n ⋅ π ) − ( n ⋅ π ) ⋅ cos( n ⋅ π ) − sen( n ⋅ ( − π ) ) + ( n ⋅ ( − π ) ) ⋅ cos( n ⋅ ( − π ) ) ] = 1 ⋅ [ − ( n ⋅ π ) ⋅ [ cos( n ⋅ π ) + cos( n ⋅ ( − π ) ) ] ] = π ⋅ n2 1 2 n ⋅ [ − ( n ⋅ π ) ⋅ [ cos( n ⋅ π ) + cos( n ⋅ ( − π ) ) ] ] = =− ⋅ [ 2 ⋅ cos( n ⋅ π ) ] = − ⋅ ( − 1) n n ⋅ [ − ( n ⋅ π ) ⋅ cos( n ⋅ π ) + ( n ⋅ ( − π ) ) ⋅ cos( n ⋅ ( − π ) ) ] =

π ∫ u ⋅ sen u ⋅ du = sen u − u ⋅ cos u

f(t)=2·sen t – sen(2·t) + (2/3)·sen (3·t) - 1/2·sen (4·t) +2/5 sen (5·t)+....

10

Ejemplo 3:

 V (tg) =  4 ← 0 < t < 1  − 4 ← 1 < t < 2 T = 2s ; ω = π r a/ s d  16  V (tg) = ∑  ⋅ s [i( 2nm − 1) ⋅ π ⋅ t]  V m= 1  ( 2m − 1) ⋅ π  ∞

Entonces; tenemos el siguiente procedimiento

16 V1 = ⋅ s i πn ⋅ t( ) π 16 V3 = ⋅ s i n⋅ π ( ⋅ 3t ) 3⋅ π 16 V5 = ⋅ s i n⋅ π ( ⋅ 5t ) 5⋅ π i (t ) 1 H ( p) = = Vg (t ) 6 + 2 p

ω n = n⋅ ω o   M ò :d u l 1 2 i (t ) 1  3 +6 4 ⋅ ω n ) H ( jω n ) = = = Vg (t ) 6 + 2( jω n )  2⋅ ω  φ (ω ) = − a r c t gn 6  if1 =

16 π ⋅ s i πn ⋅ t(− a r c t) g 3 3 6+ 4 ⋅ π 2 ) π 1

if2 = 0 if3 =

16 3⋅ π 1 16 ⋅ s i n⋅ π ( ⋅ 3t − a r c t g) = ⋅ s i n⋅ π ( ⋅ 3t − a r cπ )t g 2 3 3 +6 3 ⋅6π ) 3 ⋅ π 3 +6 4 ⋅ 9 ⋅ π ) 3 ⋅ π 1

2

11

∞   16 1  ( 2m −1) ⋅π  i f (t ) = ∑ ⋅ ⋅ sin ( 2m −1) ⋅π ⋅ t − arctg   2 2 3   m =1 ( 2 m −1) ⋅π  ( ) 36 + 4 ⋅ 2 m − 1 ⋅ π   m =1 →1º harmònic

m = 2 →3º harmònic m = 3 →5º harmònic • • •

Analíticamente tenemos: ∞ ∞ a a f (t ) = o + ∑[ a n ⋅ sen ( n ⋅ ωo ⋅ t ) + bn ⋅ cos ( n ⋅ ωo ⋅ t ) ] ⇒ f (t ) = o + ∑[ An ⋅ cos ( n ⋅ ωo ⋅ t + φn ) ] 2 n =1 2 n =1 ∞ a f (t ) = o + ∑[ An ⋅ cos ( n ⋅ ωo ⋅ t ) cos (φn ) − An ⋅ sen ( n ⋅ ωo ⋅ t ) sen ( φn ) ] 2 n =1 cos( α + β ) = cos( α ) ⋅ cos( β ) − sen( α ) ⋅ sen( β ) a n = An ⋅ cos φn 2

An = a n + bn

bn = − An ⋅ sen φn

; 2

;

φn = arctg

− bn b = − arctg n an an

∞ ao + ∑[ An ⋅ cos ( n ⋅ ωo ⋅ t + φn ) ] 2 n =1 f (t ) ⇒ Por ser tensión , corriente o potència .

f (t ) =

¿Qué es la Transformada de Laplace? En matemáticas y, en particular, en análisis funcional, la Transformada de Laplace de una función f(t) definida para todos los números reales t ≥ 0 es la función F(s), definida por:

12

Esta transformada integral tiene una serie de propiedades que la hacen útil en el análisis de sistemas lineales. Una de las ventajas más significativas radica en que la integración y derivación se convierten en multiplicación y división. Esto transforma las ecuaciones diferenciales e integrales en ecuaciones polinómicas, mucho más fáciles de resolver. Otra aplicación importante en los sistemas lineales es el cálculo de la señal de salida. Ésta se puede calcular mediante la convolución de la respuesta impulsiva del sistema con la señal de entrada. La realización de este cálculo en el espacio de Laplace convierte la convolución en una multiplicación, habitualmente más sencilla. La transformada de Laplace toma su nombre en honor de Pierre-Simon Laplace. Cuando se habla de la transformada de Laplace, generalmente se refiere a la versión unilateral. También existe la transformada de Laplace bilateral, que se define como sigue:

La transformada de Laplace F(s) tipicamente existe para todos los números reales s > a, donde a es una constante que depende del comportamiento de crecimiento de f(t).

Definición de la Transformada de Laplace Definición básica. Si f(t) está definida cuando t ≥ 0 , la integral impropia límite:

∫

∞

0

∫

∞

0

K ( s, t ) f (t )dt se define como un

b

K ( s, t ) f (t )dt = lim ∫ K ( s, t ) f (t )dt b →∞ 0

Si existe un límite se dice que la integral existe o que es convergente, si no existe el límite, la integral no existe y se dice que es divergente. En general el límite anterior existe sólo para ciertos valores de la variable s. La situación K ( s, t ) = e − st proporciona una transformación lineal muy importante: Sea f una función definida para t ≥ 0 . Entonces la integral ∞

L { f (t )} = ∫ e − st f (t )dt o

se llama transformada de Laplace de f, siempre y cuando la integral converja. Evaluar L{1}. Solución

∞

b

L {1} = ∫ e − st (1) dt = lim ∫ e − st dt b →∞ 0

o

− st

−e b →∞ s

= lim

| = lim − e b 0

b →∞

− sb

s

+1

=

1 s

13

L L {αf (t )} + βg (t )} = αL { f (t )} + βL {g (t )} = αF ( s ) + βG ( s ). es una transformada lineal, para una suma de funciones se puede escribir

∫

∞

0

∞

∞

0

0

e − st [αf (t ) + βg (t )]dt = α ∫ e − st f (t )dt + β ∫ e − st g (t )dt

siempre que las dos integrales converjan; por consiguiente,

L {αf (t )} + βg (t )} = αL { f (t )} + βL {g (t )} = αF ( s ) + βG ( s ).

Se dice que L es una transformada lineal debido a la propiedad señalada en la función anterior Condiciones suficientes para la existencia Si f (t) es continua por tramos en el intervalo [0, ∞) y de orden exponencial c para t>T, entonces L {f(t)} existe para s>c. Demostración L { f (t )} =

t

∫e

∞

f (t )dt + ∫ e − st f (t )dt = I1 + I 2 .

− st

0

t

La integral I1 existe, porque se puede expresar como una suma de integrales sobre intervalos en que e − st f (t ) es continua. Ahora ∞

∞

T

T

I 2 ≤ ∫ e − st f (t ) dt ≤ M ∫ e − st e ct dt ∞

= M ∫ e −( s −c ) t dt = − M T

cuando s>c. Como

∫

∞

T

e − ( s −c ) t s−c

∞ T

=M

e − ( s −c )t s−c

Me −( s −c ) t dt converge, la integral

∫

∞

T

e − st f (t ) dt converge, de acuerdo con la prueba de

comparación para integrales impropias. Esto a su vez, implica que I 2 existe para s>c. La existencia de I1 e I 2 implica que L { f (t )} =

∫

∞

0

e − st f (t )dt existe cuando s>c.

Transformadas de algunas funciones básicas 1 n! n a) L {1} = b) L {t } = n +1 ,.n = 1,2,3,... s s 1 k at c) L {e } = d) L {senkt} = 2 s−a s + k2 s k e) L {cos kt} = 2 f) L {senhkt} = 2 2 s − k2 s +k s g) L {cosh kt} = 2 s −k2

Transformada inversa Se dice que f(t) es la transformada inversa de Laplace de F(s) y se expresa:

f (t ) = L-1 {F ( S )}. Algunas transformadas inversas - 1 1  a) 1 = L   s

b)

 n!  t n = L- 1  n +1 ,.n = 1,2,3,... s 

14

 k  senkt = L- 1  2 2 s + k  k  - 1 f) senhkt = L  2 2  s − k 

at - 1 1  c) e = L   s − a 

e) g)

d)

 s  cos kt = L- 1  2 2 s + k   s  cosh kt = L- 1  2 2  s − k 

L-1 es una transformada lineal. Suponemos que la transformada inversa de Laplace es, en sí, una transformación lineal; esto es, si α y β son constantes, L-1 {αF ( s ) + βG ( s )} = αL-1 {F ( s )} + βL-1 {G ( s)}, en donde F y G son las transformadas de las funciones f y g. La transformada inversa de Laplace de una función F(s) puede no ser única. Es posible que L { f 2 (t )} = L { f 2 (t )} y, sin embargo, f1 ≠ f 2 . Comportamiento de F(s) cuando s → ∞ Si f(t) es continua por tramos en [0, ∞) y de orden exponencial para t>T, entonces

lim L{f(t)}=0. s →∞

0≤t≤T , necesariamente es acotada en el intervalo; o 0t γt sea f (t ) ≤M ≤ M e . También f (t ) ≤ M e cuando t>T. Si M representa el máximo de 1 1 2 {M 1, M 2} y c indica el máximo de {0,γ } , entonces Demostración Dado que f(t) es continua parte por parte en

L{ f (t )}≤∫0∞ e − st

∞

e −(s −c)t M − st ct ∞ f (t ) dt ≤ M ∫0 e ⋅e dt = −M = s −c 0 s −c

para s>c. Cuando s → ∞ , se tiene que

L{ f (t )}→0 , de modo que L{ f (t )}→0 .

Teoremas de traslación Primer teorema de traslación Si F(s)=L{f(t)} y a es cualquier número real,

L{e at f (t )}= F (s − a). Demostración La demostración es inmediata

L{e at f (t )}= ∫0∞ e − st e at f (t )dt = ∫0∞ e −(s −a)t f (t )dt = F (s − a).

Segundo teorema de traslación Si

F (s)= L{ f (t )} y a>0, entonces L{ f (t − a)U(t − a)}=e − as F (s).

− st Demostración Expresamos a ∞

∫0 e

f (t − a)U(t − a)}dt. como la suma de dos integrales: 15

∞ − st L{ f (t − a)U(t − a)}= ∫0ae − st f (t − a) U ( t − a ) dt + f (t − a) U ∫ a e   (t −a) dt cero⋅cuando 0 ≤t < a

uno⋅cuando t ≥a

= ∫0ae − st f (t − a)dt . Ahora igualamos v=t-a,dv=dt y entonces

L{ f (t − a)U(t − a)}= ∫0∞ e − s(v + a) f (v)dv =e −as ∫0∞ e − sv f (v)dv =e − as L{ f (t )}

Derivadas de transformadas Si

F (s)= L{ f (t )} y n=1,2,3,..., entonces dn L{t f (t )}=(−1) F (s). n ds n

n

Transformada de una derivada

f (n−1) (t ) son continuas en [0,∞) , son de orden exponencial, y si f (n) (t ) es continua parte por parte [0,∞) , entonces L{ f (n) (t )}= s n F (s) − s n −1 f (0)− s n −2 f '(0)−− f (n−1) (0), en donde F (s) = L{ f (t )}. Si f(t), f’(t),...,

Teorema de la convolución

[0,∞) y de orden exponencial, L{ f ∗ g}= L{ f (t )}L{g (t )}= F (s)G(s).

Si f(t) y g(t)son continuas por tramos en

Demostración

Y

Sean

F (s) = L{ f (t )} = ∫0∞ e −st f (τ )dτ − sβ G(s) = L{g (t )} = ∫0∞ e g ( β )dβ .

(

Al proceder formalmente obtenemos

)(

F (s)G(s) = ∫0∞ e − st f (τ )dτ ∫0∞ e − sβ g (β )dβ = ∫0∞ ∫0∞ e − s(τ + β ) f (τ ) g ( β )dτdβ

)

16

= ∫0∞ f (τ )dτ ∫0∞ e − s(τ + β ) g (β )dβ

τ y escribimos t =τ + β ,dt =dβ , de modo que F (s)G(s) = ∫0∞ f (τ )dτ ∫τ∞ e − st g (t −τ )dt.

Mantenemos fija

Transformada de una función periódica

[0,∞) , de orden exponencial y periódica con periodo T, 1 T − st (a) L{ f (t )}= e f (t )dt. − sT ∫0 1−e

Si f(t) es continua por tramos en

Demostración

Expresamos la transformada de Laplace como dos integrales:

L{ f (t )}= ∫0T e − st f (t )dt + ∫T∞e − st f (t )dt.

(b)

Escribiendo t=u+T, la última de las integrales de (a) se transforma en

∞ − st

∫T e

f (t )dt = ∫0∞ e − s(u +T ) f (u +T )du =e − st ∫0∞ e − su f (u)du =e − sT L{ f (t )}.

Por consiguiente, la ecuación (b) es Al despejar

L{ f (t )}= ∫0T e − st f (t )dt + e − sT L{ f (t )}.

L{ f (t )} se llega al resultado de la ecuación (a).

La transformada inversa EJEMPLO 1: F ( s) =

2 ⋅ ( s + 10 ) A B 6 4 = + = − ( s + 1) ⋅ ( s + 4) ( s + 1) ( s + 4) ( s + 1) ( s + 4)

 2 ⋅ ( s + 10 )   2 ⋅ ( s + 10 )  2 ⋅9 A= ⋅ ( s + 1)  = = =6  3  ( s + 1) ⋅ ( s + 4 )  s =−1  ( s + 4 )  s =−1

 2 ⋅ ( s + 10 )   2 ⋅ ( s + 10 )  2⋅6 B= ⋅ ( s + 4)  = = = −4  −3  ( s + 1) ⋅ ( s + 4 )  s =−4  ( s + 1)  s =−4

[

]

 6 4  −t −4 t f (t ) = L−1  − ⋅ u (t )  = 6⋅e − 4⋅e ( ) ( ) s + 1 s + 4  

EJEMPLO 2:

17

  s A B B∗ A B = + + = + 2 Re   2 ( s + 1) ⋅ s + 2 ⋅ s + 2 ( s +1) ( s + 1 − j ) ( s + 1 + j ) ( s + 1) ( s + 1 − j )      s s A = ( s + 1) ⋅ = 2 = −1  2 ( s + 1) ⋅ s + 2 ⋅ s + 2  s =−1  s + 2 ⋅ s + 2  s =−1 

F (s) =

(

)

(

)

(

)

    A −1 + j −1 + j B= ⋅ ( s +1 − j )  = =  −2  ( s + 1) ⋅ ( s + 1 − j ) ⋅ ( s + 1 + j )  s =−1+ j  ( −1 + j + 1) ⋅ ( −1 + j + 1 + j )  s =−1+ j B∗ =

−1 − j −2

1 1  f (t ) = −e −t ⋅ u (t ) + 2 Re  − j  ⋅ e −( 1− j ) ⋅t ⋅ u (t ) 2 2   1 1   f (t ) = −e −t ⋅ u (t ) + 2 Re  − j  ⋅ e −t ⋅ e − j ⋅t ⋅ u (t )  2 2     1 1  f (t ) = −e −t ⋅ u (t ) + 2 Re e −t ⋅  − j  ⋅ ( cos( t ) − j ⋅ sin (t ) ) ⋅ u (t ) 2 2     1 1  f (t ) = −e −t ⋅ u (t ) + 2e −t ⋅ u (t ) ⋅  ⋅ cos( t ) + ⋅ sin (t )  2 2   EJEMPLO 3: F ( s) =

4 A B C = + + 2 ( s + 1) ⋅ ( s + 2) ( s + 1) ( s + 1) ( s + 2) 2

   4  4 2 A = ( s + 1) ⋅ = =4  2 ( s + 1) ⋅ ( s + 2)  s =−1  ( s + 2)  s =−1  d    −4   d  4  4 2   B =   ( s + 1) ⋅ =   = = −4 2  ( s + 1) ⋅ ( s + 2)  s =−1  ds  ( s + 2)  s =−1  ( s + 2) 2  s =−1  ds     4  4 C = ( s + 2) ⋅ = =4  2 ( s + 1) ⋅ ( s + 2)  s =−1  ( s + 1) 2  s =−2  4 4 −4 4 F (s) = = + + 2 2 ( ) ( s + 1 s + 2) ( s + 1) ⋅ ( s + 2) ( s + 1)

 4  f (t ) = L−1  − 4 ⋅ e −t ⋅ u (t ) + 4 ⋅ e −2⋅t ⋅ u (t ) = 4 ⋅ t ⋅ e −t ⋅ u (t ) − 4 ⋅ e −t ⋅ u (t ) + 4 ⋅ e −2⋅t ⋅ u (t ) 2   ( s + 1) 

 −1  K   t m −1 − at L   = ⋅ e ⋅ u ( t )  m   ( ) m − 1 ! ( s + a )    

Aplicación de la tranformada en Circuitos eléctricos

18

t

di u (t ) = 2 ⋅ i (t ) + + 5 ⋅ ∫ i (t ) ⋅ dt dt 0 1 I ( s) = 2 ⋅ I (s) + s ⋅ I (s) + 5 ⋅ s s I (s) =

1 1 1 = ⇒ i (t ) = ⋅ e −t ⋅ sen 2 ⋅ t ⋅ u (t ) 2 2 s + 2 ⋅ s + 5 ( s + 1) + 4 2

 b  L e −at ⋅ sen b ⋅ u (t ) =  ( s + a) 2 + b 2 

{

}

   

EJEMPLO 2:

v1 − 6 ⋅ u (t ) v1 − v d  + + ( v1 − v ) = 0  1 1 dt  v1 − v 1 d v  = ⋅  1 5 dt d  v1 − 6 ⋅ u (t ) + v1 − v + ( v1 − v ) = 0  dt  1 dv  v1 − v = ⋅  5 dt

19

2 ⋅ v1 ( s ) −

6 dv  d − V ( s ) + L  v1 +  s dt   dt

6  − V ( s ) + 5 ⋅ v1 ( s ) − v1 (0) − s ⋅ V ( s ) + v (0) = 0  s  1 1  v1 ( s ) − V ( s ) = ⋅ s ⋅ V ( s ) − ⋅ v (0)  5 5  ( 2 + s ) ⋅ v1 ( s) − ( s + 1) ⋅ V ( s) − 6 − 2 = 0 s 2 ⋅ s 2 + 14 ⋅ s + 30  V ( s ) = 2 s  s ⋅ s2 + 2 ⋅ s + 5  v1 ( s ) =  + 1 ⋅ V ( s ) −  5 5   2 ⋅ v1 ( s ) −

(

V (s) =

[

)

2 ⋅ s 2 + 14 ⋅ s + 30 A K K∗ = + + s s +1+ 2 j s +1− 2 j s ⋅ s2 + 2 ⋅ s + 5

(

)

]

V (t ) = 6 − 4 ⋅ e ⋅ cos( 2 ⋅ t ) + 3 ⋅ e −t ⋅ sen ( 2 ⋅ t ) ⋅ u (t ) −t

Transformadas de Circuitos:

Resistencia

Análisis de la Caída de Tensión

Análisis para Corriente

v = i ⋅ R → L → V ( s) = I (s) ⋅ R

v = i ⋅ R → L → V ( s) = I (s) ⋅ R

Inductancia

di  di  → L → L L ⋅  dt  dt  vL ( s ) = L ⋅ s ⋅ I ( s ) − L ⋅ i (0) v = L⋅

1 ⋅ v(t ) ⋅ dt + iL (0) → L → I L ( s ) = L ∫ 1 I (0) I L ( s) = ⋅V (s) + L s⋅L s

i=

Capacitor

20

dv 1 1  → L → I C (s) ⋅ ∫ i (t ) ⋅ dt → L → L  ⋅ ∫ i (t ) ⋅ dt  i = C ⋅ dt C C  I C ( s ) = C ⋅ s ⋅V ( s ) − C ⋅V (0) 1 V (0) vL ( s ) = ⋅ I (s) + s ⋅C s

v=

21