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Ecuaciones Lineales Homogéneas con coeficientes constantes Si consideramos el caso especial de una ecuación lineal homogénea de segundo orden. ad2y2dx2 +bdydx+cy=o Donde a, b y c son coeficientes. Podemos ensayar la solución y= emx , su primera y segunda serán: yI =memx yII=m2emx

Quedando la ecuación diferencial am2emx +bmemx+cemx= 0 Como emxno es cero para ningún valor de “x” en el intervalo -∝<x<∝ entonces se selecciona un valor de “m” que satisfaga a la ecuación a la ecuación. am2 +bm+c=0 Que recibe el nombre de ecuación auxiliar de la ecuación diferencial y que proviene de la expresión am2emx +bmemx+cemx= 0 emx(am2 +bm+c)=0

CASO 1 Cuando las raíces son reales y diferenciales am2 +bm+c=0

m1≠m2

Las soluciones son: y1=em 1x

y2=em 2x

Satisfacen la ecuación diferencial y por el principio de superposición tenemos que y=C1 em 1x+ C2em 2x

CASO 2

Cuando las raíces son reales e iguales m1=m2 en este caso la solución general es: y=C1 em 1x+ C2 xem 2x Donde y2=xem 2x CASO 3 Si las raíces son complejas conjugadas. Con complejas conjugadas m1=∝+iβ

m2=∝-iβ

Donde ∝ β son iguales 12=1 Como formalmente no hay diferencia con el caso 1entonces tenemos. y=C1e∝+iβx+C2e∝-iβx. Para no trabajar con cantidades imaginarias en el exponente nos auxiliamos con la formula de Euler para llegar a la formula general de este caso. y=e∝x(C1cosβx+i C2sinβx) Resolver d2ydx2+3dydx+2y=0 1m2+3m+2=0 m+2 (m+1)=0 m+2=0

m+1=0

m=-2 m=-1

Caso 1 y=C1 em 1x+ C2em 2x y=C1 e-2x+ C2e-x

2yII-5yI+3y=0 2m2-5m+3=0

m-3 (m-1)=0 2m-3 (m-1)=0 2m-3=0

m-1=0

m=32 m=1

Caso 1 y=C1 em 1x+ C2em 2x y=C1 e32x+ C2ex

D2-2D+3y=0 D2y-2Dy+3y=0 m2-2m+3=0 -b±b2-4ac2a -(-2)±(2)2-41(3)2(1) m=2±4-122 m=2±-82 m=2±8 -12

m=2±4*2i2

m=2±4 22 m=22+222i m1=1+2i m=22-22i2 m2=1-2i

y=e∝x(C1cosβx+iC2sinβx) y=ex(C1cos2x+iC2sin2x)

yII-10yI+25y=0 m2-10m+25=0 m-5 m-5=0 m-5=0 m-5=0 m1=5 m2=5

Caso 2 y=C1em1x+C2em2x y=C1e5x+C2e5x

yII+yI+y=0 m2+m+1=0 -b±b2-4ac2a -1±(1)2-41(1)2(1) -1±1-42 m=-1±-32 m=-1±-3-1i2 m1=-12+3i2 m2=-12-3i2 y=e∝x(C1cosβx+iC2sinβx) y=e-12x(C1cos3i2x+iC2sin3i2x)

D4-16y=0 m4-16=0 m2-4 m2+4=0 m2-4=0 m2+4=0

m1=4 m1=2 m1=4 m2=-2

Caso 3 m1=2i

m2=-2i

Caso 1

y=C1em1x+C2em2x+e∝x(C1cosβx+iC2sinβx) y=C1e2x+C2e-2x+e0x(C3cos2x+iC4sin2x) y=C1e2x+C2e-2x+C3cos2x+iC4sin2x