Mate Ma Tic A

MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE Anul I, semestrul I

CONłINUT Tema 1. Elemente de algebră superioară cu aplicaŃii în economie (vezi pag. 13-41 din Matematici pentru economisti , I. Duda, R. Trandafir, A. Baciu, R. Ioan, S. Barza, Ed. FRM, 2007) ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊

SpaŃii vectoriale. (vectori liniari independenŃi, sistem de generatori, bază a unui spaŃiu vectorial, dimensiune a unui spaŃiu finit dimensional). Organizarea spaŃiilor economice ca spaŃii vectoriale. Baza şi schimbarea bazei: metoda Gauss Jordan. Organizarea ca spaŃii metrice şi spaŃii normate. Forme liniare. Forme biliniare. (matricea ataşată formei biliniare, modificarea matricii unei funcŃionale biliniare la schimbarea bazelor) Forme pătratice (forma canonică a unei forme pătratice, metode de aducere a unei forme pătratice la forma canonică: Metoda lui Gauss, Metoda lui Jacobi) Operatori pe spaŃii vectoriale. ProprietăŃi. Valori proprii şi vectori proprii. ConŃinut economic. Tema 2. Fundamentarea optimă a deciziilor prin programare liniară (vezi pag. 45-76

Matematici pentru economisti, I. Duda, R. Trandafir, A. Baciu, R. Ioan, S. Barza, Ed. FRM, 2007) ◊

Formularea problemei de programare liniară (PPL) şi a modelului matematic: forma generală, forma canonică, forma standard. Rezolvarea prin algoritmul simplex primal. - Trecerea de la o soluŃie posibilă de bază la altă soluŃie posibilă de bază (criteriul de ieşire din bază); - Criteriul de intrare în bază; - Tratarea problemelor de P.L. care nu au forma standard; - Metoda bazei artificiale ◊ Forma duală a PPL. ◊ Teorema de dualitate şi conŃinutul economic al variabilelor duale (preŃuri umbră). ◊ Algoritmul simplex dual. ◊ Studii de caz în managementul financiar-contabil. Tema 3. Decizii optime de transport (vezi pag. 45-76 Matematici pentru economisti, I. Duda, R. Trandafir, A. Baciu, R. Ioan, S. Barza, Ed. FRM, 2007) ◊ ◊ ◊ ◊

Formularea problemei transporturilor şi a modelului matematic. SoluŃii de bază iniŃiale. Criteriile de optimizare. Studii de caz.

1

Tema 4. Elemente de analiză matematică cu aplicaŃii în fundamentarea deciziei economice optime

(vezi pag. 86-115 Matematici pentru economisti, I. Duda, R. Trandafir, A. Baciu, R. Ioan, S. Barza, Ed. FRM, 2007) ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊

Serii numerice, criterii de convergenŃă. Şiruri de funcŃii. Serii de puteri. Seria Taylor . FuncŃii de mai multe variabile. MulŃimi şi puncte din Rn. Continuitatea funcŃiilor în spaŃiul Rn: limite, limite iterate. Derivabilitatea funcŃiilor în Rn: derivate parŃiale de ordinul I şi de ordin superior. DiferenŃiala de ordin I şi de ordin superior; conŃinut economic. Derivata funcŃiilor compuse. Extremele funcŃiilor de mai multe variabile ( punct de extrem local; punct staŃionar; punct de minim local; punct de maxim local). Extreme cu legături (condiŃionate). ConŃinut economic. AplicaŃii şi studii de caz. Integrale. Tema 5. Modelul dinamicii proceselor economice (vezi pag. 86-115 Matematici

pentru economisti, I. Duda, R. Trandafir, A. Baciu, R. Ioan, S. Barza, Ed. FRM, 2007) ◊ Dinamica proceselor economice: analiza în timp continuu şi în timp discret. ◊ Tipuri principale de ecuaŃii diferenŃiale cu aplicaŃii în economie: - ecuaŃii cu variabile separabile, - ecuaŃii diferenŃiale liniare: -ecuaŃii omogene, -ecuaŃii diferenŃiale de tip Bernoulli şi Riccati şi aplicaŃiile lor.

BIBLIOGRAFIE 1. DUDA I., TRANDAFIR R., BACIU A., IOAN R. – Matematici pentru economişti, Ed. FRM, Bucureşti, 2000. 2. DUDA I., TRANDAFIR R., BACIU A., IOAN R., – Matematici pentru economişti, Ed. FRM, Bucureşti, 2005,2007 3. BACIU A. – Matematici aplicate în economie şi finanŃe, Ed. FRM, Bucureşti, 2004

2

ALGEBRĂ LINIARĂ SpaŃii vectoriale. Organizarea spaŃiilor economice ca spaŃii vectoriale. Baza şi schimbarea bazei: metoda Gauss Jordan. Organizarea ca spaŃii metrice şi spaŃii normate. Forme liniare, biliniare, pătratice. Operatori pe spaŃii vectoriale: valori proprii şi vectori proprii. ConŃinut economic. (vezi pag. 13-41 din Matematici pentru economisti , I. Duda, R. Trandafir, A. Baciu, R. Ioan, S. Barza, Ed. FRM, 2007)

SpaŃii vectoriale Fie V o mulŃime nevidă de elemente şi K un corp de scalari (de regulă K este corpul numerelor reale R sau corpul numerelor complexe C). Pe mulŃimea V se definesc două operaŃii: – operaŃia de adunare „+”, ca lege de compoziŃie internă ∀x, y ∈ V avem x + y ∈ V – operaŃia de înmulŃire „⋅” cu scalari, ca lege de compoziŃie externă; ∀ x ∈ V, α ∈ K avem α ⋅ x ∈ V DefiniŃie: MulŃimea nevidă V se numeşte spaŃiu vectorial peste corpul K dacă (V, +) este grup abelian, adică verifică: 1) x + y = y + x (∀) x, y ∈ V 2) (x + y) + z = x + (y + z), (∀) x, y, z ∈ V 3) (∃) OV , elementul neutru astfel încât x + Ov = Ov + x = x, (∀) x ∈ V

4) (∀) x ∈ V, (∃) − x element opus, astfel încât x + (-x) = (-x) + x = Ov (∀) x ∈ V si (V, ⋅) verifică 1) (x + β)x = αx + β x pentru (∀) α, β ∈ K şi x ∈ V 2) α (x + y) = αx + αy pentru (∀) α ∈ K şi x, y ∈ V 3) (α ⋅ β) ⋅ x = α (βx) pentru (∀)α, β ∈ K şi x ∈ V 4. 1k ⋅ x = x pentru 1K ∈ K numit element neutru, (∀) x ∈ V DefiniŃie Fie V un spaŃiu vectorial peste corpul K. Un vector v ∈ V se numeşte combinatie liniară a vectorilor v1, ...., vm ∈V dacă există scalarii α1, α2, ...., αm ∈ K astfel încât v = α1 v1 + α2 v2 + .....+ αm vm

3

DefiniŃie Un sistem de vectori v1, v2, ...., vn din V se numeşte sistem de generatori ai spaŃiului vectorial V dacă orice vector v ∈V se poate scrie ca o combinaŃie liniară a vectorilor v1, v2, ...., vn. DefiniŃie Un sistem de vectori v1, v2, ...., vm  din V se numeşte sistem liniar independent dacă din α1v1 + α2v2 + ....+ αmvm = 0 rezultă ca scalarii α1 = α2 = ..... =αm = 0 ObservaŃie: dacă există scalari nenuli, sistemul de valori se numeşte sistem liniar dependent. PropoziŃie. Vectorii v1, v2, ..., vn ∈V sunt liniar dependenŃi dacă şi numai dacă cel puŃin un vector dintre ei este o combinaŃie liniară de ceilalti. DefiniŃie. Fie V un spaŃiu vectorial peste corpul K. Un sistem de vectori B = v1, v2, ..., vm se numeşte bază pe spaŃiul vectorial V dacă este formată dintr-un număr maxim de vectori liniari independenŃi. Numărul vectorilor din bază determină dimensiunea spaŃiului. DefiniŃie. CoeficienŃii α1, α2, ...., αn ai reprezentării vectorului v ∈ V în baza B se numesc coordonatele vectorului v în baza B. PropoziŃie Sistemul de vectori unitari b1 = (1 0 ... 0 ) , b2 = ( 0 1 ... 0 ) , ..., bn = ( 0 0 ... 1) formează o bază a spaŃiului vectorial Rn numit bază canonică (sau unitară) Propozitie (Transformarea coordonatelor unui vector la schimbarea bazei). Fie v ∈ Rn, A = {a1, a2, ... , an} şi B = {b1, b2, ..., bn} două baze din Rn şi prin abuz de notatie notăm cu A şi B matricile acestor baze. Fie α1, α2, ..., αn coordonatele vectorului v în baza A şi β1, β 2, ..., βn coordonatele vectorului v în baza B şi pentru fiecare i, i = 1, n , λi1, λi2, ..., λin, coordonatele vectorului vi în baza B. Atunci: β1 = α 1λ 11 + ..... + α n λ 1n  care scris matricial devine: .......... β = α λ + ..... + α λ 1 n1 n nn  n  λ 11 L λ 1n    β = M ⋅ α, unde M =  M M M  λ   n1 L λ nn  sau M se numeşte matricea de trecere de la o bază la alta.

1.2. AplicaŃii liniare DefiniŃie: Fie V, V’ două spaŃii vectoriale peste acelaşi corp de scalari K de dimensiuni n respectiv m. O aplicaŃie T : V → V’ se numeşte aplicaŃie (transformare sau operator) liniară dacă este aditiva şi omogenă, deci dacă verifică: a) T (x + y) = T(x) + T(y), (∀) x, y ∈ V b) T(αx) = αT(x), (∀)α ∈ K, x ∈ V.

4

Teoremă AplicaŃie T : V → V’ este aplicaŃie liniară dacă şi numai dacă: T(αx + βy) = αT(x) + βT(y), (∀) α, β ∈ K, x, y ∈ V. Teoremă: Fie V, V’ două spaŃii vectoriale peste acelaşi corp de scalari K; B = {a1, a2, ..., an} bază a spaŃiului vectorial V şi B’ = {b1, b2, ..., bn} bază a spaŃiului V’. Fie ai un vector oarecare din B atunci T(ai) ∈ V’ şi poate fi reprezentat în mod unic în funcŃie de vectorii bazei B’: T(ai) = α1b1 + αi bi+ ... + αinbn. Matricea formată din coordonatele vectorilor T(a1), T(a2), ... , T(an) în baza B’ se va numi: matricea asociată aplicaŃiei liniare T în raport cu perechea de baze {B, B’}.  α11 α 12 K α 1n     α 21 α 22 K α 2 n  M B,B' (T ) =  M M M M    α   1n α 2 n K α nn 

1.3. Valori proprii şi vectori proprii asociaŃi aplicaŃiei liniare.

DefiniŃie: Fie V spaŃiu vectorial n – dimensional peste corpul de scalari K şi T : V → V o aplicaŃie liniară. Un scalar λ ∈ K se numeşte valoare proprie pentru aplicaŃie liniară T dacă există cel puŃin un vector nenul v ∈ V astfel încât: T(v) = λv. (1) DefiniŃie: Vectorul nenul v ∈ V care verifică relaŃia (1) se numeşte vector propriu pentru aplicaŃia T asociată valorii proprii λ. Prezentăm în continuare modul de determinare al valorilor şi vectorilor proprii pentru o aplicaŃie liniară. Fie T : V → V’ o aplicaŃie liniară cu matricea aplicaŃiei AT definită în baze canonice. RelaŃia (1) se mai scrie: T(v) – λv = 0 sau ( AT − λ En ) v = 0v (2) RelaŃia (2) reprezintă scrierea matricială a unui sistem omogen. În consecinta coordonatele vectorului propriu v nenul sunt soluŃiile sistemului omogen (2). SoluŃiile sistemului omogen (2) nu sunt toate nenule numai dacă determinantul sistemului este nul: P(λ) = det (AT - λEn) = 0 Polinomul P(λ) se numeşte polinomul caracteristic asociat aplicaŃiei liniare T şi ecuaŃia P(λ) = 0 se numeşte ecuaŃia caracteristică a aplicaŃiei T. Teoremă: Fie T: V → V’, λ ∈ K este o valoare proprie a aplicaŃiei liniare T dacă şi numai dacă este rădăcină a ecuaŃiei caracteristice.

5

1.3. Reducerea unei forme pătratice la o formă canonică. DefiniŃie Fie V un spaŃiu vectorial peste corpul real (R), de dimensiune n. O aplicaŃie f : V → R este o formă (transformare sau operator) liniară dacă este aditivă şi omogenă, adică: a) f(x + y) = f(x) +f(y) (∀) x, y ∈ V b) f(αx) = αf(x), (∀) α ∈ R, x ∈ V. DefiniŃie O aplicaŃie f : V × V → R este o formă biliniară dacă este liniară în raport cu ambele argumente, deci: 1. f(ax1 + bx2, y) = af(x1, y) + bf(x2, y) (∀) x1, x2, y ∈ V, (∀)a, b ∈ R 2. f(x, ay1 + by2) = af(x, y1) + bf(x,y2), (∀) x, y1, y2 ∈ V, (∀)a, b ∈ R Pentru formule biliniare vom da o modalitate de scriere a acestora sub forma matricială: ObservaŃie: O formă biliniară este determinată dacă se cunoaşte matricea formei A. DefiniŃie O formă biliniară se numeşte forma biliniară simetrică dacă matricea formei este o matrice simetrică (adică matricea A este egală cu transpusa sa: A f = A Tf ). DefiniŃie Fie V un spaŃiu vectorial peste corpul de scalari R, de dimensiune n. O aplicaŃie g: V → R este o formă pătratică dacă există o aplicaŃie biliniară simetrică f: V × V → R astfel încât g(x) = f(x, x) = xT Ax, (∀)x ∈V a 11 L a 1n a 11 a 12 , ..., ∆ n = M M M Valorile ∆ 1 = a 11 , ∆ 2 = a 21 a 22 a n1 K a nn se numesc minorii matricei A. DefiniŃie Fie g : V → R o formă pătratică. g este pozitiv definită dacă toŃi minorii matricei simetrice A sunt strict pozitivi; g este semipozitiv definită dacă minorii sunt pozitivi sau zero; g este negativ definită dacă minorii impari, ∆1, ∆3 ... < 0 şi ∆2, ∆4 ... > 0; g este seminegativ definită dacă minorii impari ∆1, ∆3 ... ≤ 0 şi minorii pari ∆2, ∆4 ... ≥ 0; g pentru care nu sunt îndeplinite nici una din condiŃiile anterioare este o formă pătratică nedefinită. DefiniŃie: Fie g : V → R o formă pătratică. Într-o bază a spaŃiului B ∈ V forma pătratică g are o formă canonică dacă matricea formei este o matrice diagonală. Metoda lui Jacobi Fie o formă pătratică g : V → R, g(x) = xTAx, A – matrice simetrică. Dacă toŃi minorii matricei A sunt nenuli atunci există o bază a spaŃiului V, astfel încât forma pătratică să se transforme în formă canonică: ∆ 1 2 ∆1 2 g (y ) = y1 + y 2 + ... + n −1 y 2n ∆1 ∆2 ∆n unde y = (y1 y2, ..., yn) reprezintă coordonatele vectorului x în baza B.

6

aii ≠ 0

Metoda lui Gauss constă în formarea de pătrate perfecte când conŃin cel puŃin un

Test de autoevaluare

1) Fie 2 vectori x, y ∈ R3 x = (1, 2, 1) şi y = ( 0, 1, 3) atunci a) x + y = (1, 3, 4 ) ; b) x + y = ( 0, 3, 4 ) ; c) x + y = ( 0, 2, 4 ) ;d) x + y = (1, 3, 1)

Raspuns a) x + y = (1, 3, 4 ) x + y = x + y = (1, 2, 1) + ( 0, 1, 3) = (1, 3, 4 ) 2) Fie vectorii v1, v2, v ∈ R3. v1 = (1, 2, 3) şi v2 = ( 0, 1, 1) Să se scrie vectorul v = ( −1, 2, 4 ) ca o combinaŃie liniară a vectorilor v1 şi v2. a) v = 2v1 + v2 ; b) v = 2v1 − v2 ; c) v = v1 + v2 ; d) v nu se poate scrie ca o combinatie liniara a a vectorilor v1 şi v2

Raspuns d) Rezolvare Conform definiŃiei trebuie să aflăm scalarii α1 şi α2 astfel încât v = α1v1 + α2 v2 ⇔ ( −1, 2, 4 ) = α1 ⋅ (1, 2, 3) + α 2 ⋅ ( 0, 1, 1) ⇔

⇔ ( −1, 2, 4 ) = (α1 ⋅1, α1 ⋅ 2, α1 ⋅ 3) + α 2 ⋅ ( 0, α 2 ⋅1, α 2 ⋅1) ⇔ ⇔ ( −1, 2, 4 ) = (α1 , 2α1 + α 2 , 3α1 + α 2 )

sau altfel scris obŃinem următorul sistem cu necunoscutele α1, α2. α1 = −1 α1 = −1 ⇔ 2α1 + α 2 = 2 α 2 = 4 sistem incompatibil sau putem afirma că 3α1 + α 2 = 4 α 2 = 7 vectorul v nu se poate scrie ca o combinaŃie liniară a vectorilor v1 şi v2.

3) Fie vectorii v1 = ( 0, 2, 1) ; v2 = (1, m, −1) ; v3 = ( m, 0, 1) ; m ∈ R DeterminaŃi parametrul m∈ R astfel încât vectorii v1, v2, v3 să fie liniar independenŃi. a)m=1; b) m=-1; c) m ∈ R ; d) m=0

Raspuns c) Rezolvare 7

Aplicând definiŃia trebuie să punem condiŃia ca toŃi scalarii α1, α2, α3 ∈ K să fie nuli în egalitatea: α1v1 + α2v2 + α3v3 =0sau transformând această egalitate într-un sistem de ecuaŃii liniare omogene cu solutie nula unica, atunci obligatoriu trebuie să punem conditia ca determinantul matricii formată din vectorii  v1, v2, v3  să fie nenul: 0 1 m det A ≠ 0 ⇔ 2 m 0 ≠ 0 ⇔ 0 + 0 –2m –m2 – 0 –2 ≠ 0 1 −1 1 ⇔ m2 + 2m + 2 ≠ 0 ⇔ (m+1)2 + 1 ≠ 0 (∀) m ∈ R Aşadar vectorii sunt liniar independenŃi pentru (∀) m ∈ R 4) Fie vectorii v1 = (1, 1, 2 ) , v2 = (1, 1, 1) , v3 = (1, 2, 1) , v1, v2, v3 ∈ R3 Vectorii  v1, v2, v3  formează o bază a spatiului vectorial R3 ? Raspuns A Rezolvare Pentru a demonstra că sistemul format din trei vectori  v1, v2, v3 (numarul vectorilor din baza trebuie sa fie egal cu dimensiunea spatiului in care se lucreaza) formează baza este suficient să demonstrăm că este un sistem liniar independent 1 1 1 ⇔ 1 1 2 ≠ 0 ⇔ Vectorii  v1, v2, v3  formează o bază a spatiului vectorial 2 1 1 3 R 5) Fie vectorii v1 = (1, 1, 2 ) , v2 = (1, 1, 1) , v3 = (1, 2, 1) , v1, v2, v3 ∈ R3 Exprimati coordonatele vectorului v = ( 2, −1, 2 ) în baza  v1, v2, v3 . a) v = ( 2, −1, 0 ) ; b) v = ( 0, 3, 5 ) ; c) v = ( 0, −3, 5 ) ; d) alt raspuns. Raspuns c)

Rezolvare Vom afla coordonatele vectorului v în baza B v1, v2, v3 aplicând metoda Gauss-Jordan:

1 1 2 1 0 0 1 0 0 1 0

B 1 1 1 1 0 -1 1 0 -1 0 0

1 2 1 1 1 -1 0 1 0 0 1

v 2 -1 2 2 -3 -2 5 -3 -5 0 -3

8

0

1

0

5

Citim din ultimul tabel coordonatele vectorului v în baza B v1, v2, v3 şi anume

v = ( 0, 5, −3)

6) Exprimati vectorul v = ( −3, 1, 2 ) în baza unitară. a) v = 3e1 + e2 + e3 ; b) v = −3e1 + e2 + 2e3 ; c); v = 3e1 + e2 − e3 d) v = 3e1 − e2 − e3 Raspuns b)

Rezolvare În spaŃiul R3 vectorii unitari sunt e1 = (1, 0, 0 ) ; e2 = ( 0, 1, 0 ) ; e3 = ( 0, 0, 1) şi atunci putem scrie v = -3e1 + 1 ⋅ e2 + 2⋅ e3. 7) Exprimati vectorul v = ( −3, 1, 2 ) în baza v1, v2, v3 unde v1 = (1, 1, −1) ; v2 = ( −3, 1, 2 ) ; v3 = (1, 1, 1)

a) v = 0v1 + 1v2 + 1v3 ; b) v = 0v1 + 1v2 + 0v3 ; c) v = 1v1 + 1v2 + 0v3 ; d) alt răspuns. Raspuns b)

Rezolvare Pentru a exprima v în baza v1, v2, v3 se rezolvă prin metoda Gauss obŃinem v = 0v1 + 1v2 + 0v3 (sau se observă având în vedere că v = v2 ). 8) Fie următoarele sisteme de vectori: A = {a1, a2, a3}, unde a1 = (1, 4, 2 ) ; a2 = ( -1, 2, 0 ) ; a3 = ( 3, 1, 5 ) şi B = {b1, b2, b3}, unde b1 = ( 2, 4, 5) ; b2 = ( -1, 1, 0 ) ; b3 = ( -2, 0, 2 ) . Să se determine matricea de trecere de la baza A la baza B.  5 15 14   5 15 14   5 15  1 −1 1 a) M =  − 15 17 2  ; b) M =  −15 17 2  ; c) M =  −15 17 16  16  16     −34 58 20   −34 58  − 34 58 20  d) alt raspuns.

Jordan şi

14   0 ; 20 

Raspuns a) Rezolvare Fie M matricea de trecere de la A la B Din

vA = A-1 ⋅ v ⇒ v = A ⋅ vA ⇒ vB = B ⋅ v ⇒ v = B ⋅ vB -1

A ⋅ vA = B ⋅ vB ⇒ vA = A-1 B vB deci MT = A-1B pe care o vom determina aplicând metoda Gauss-Jordan

9

 5 − 15 − 34   1 M = 15 17 58  16  20  14 2 T

 5 15 14   1 M =  − 15 17 2  16    − 34 58 20 

1 4 2 1 0 0 1 0 0 1 0 0

A -1 2 0 -1 6 2 0 1 0 0 1 0

3 1 5 3 -11 -1 7/6 -11/6 8/3 0 0 1

2 4 5 2 -4 1 4/3 -2/3 7/3 5/16 15/16 7/8

B -1 1 0 -1 5 2 -1/6 5/6 1/3 -5/16 17/16 1/8

-2 0 2 -2 8 6 -2/3 4/3 10/3 -17/8 29/8 5/4

9) AplicaŃia T : R2 → R3 unde T(x1, x2) = (x1 + x2, –x2, – x1–x2) este o aplicaŃie liniară ? Raspuns A Rezolvare Conform teoremei vom arăta că: T(αx + βy) = αT(x) + βT(y) (∀) α, β ∈R, x, y ∈R2 ⇔ T(αx1 + βy1, αx2+ βy2) = αT(x1, x2) + βT(y1, y2) ⇔ (αx1 + βy1 + αx2 + βy2, – αx2 – βy2, – αx1 – βy1 – αx2 – βy2) = = α(x1 + x2, –x2, – x1 –x2) + β(y1 + y2, –y2, – y1 –y2) (A). 10) Fie aplicaŃia liniară T : R2 → R3, T(x1, x2) = (x1 + x2, – x2, – x1 –x2) Să se determine matricea asociată aplicaŃiei liniare T în raport cu perechea de baze: B = {a1, a2} şi B’ = {b1, b2, b3}, unde a1 = (1, 1) , a2 = ( -1, 3) ;

b1 = (1, 1, 1) , b2 = (1, 3, 4 ) , b3 = ( 5, -1, 0 )

10

 10   4 9 a) M B,B' (T ) =  −  8  1   8 d) alt raspuns.

5  −   2  1 ; b) M B, B ' (T ) =   8  7     8

10 4 9 8 1 8

5   10  4 2   1 9 ; c); M B, B ' (T ) =  −  8 8   7  1   8  8

5  2  1 8  5  8

Raspuns a) Rezolvare T(a1) = T(1, 1) = (2, –1, –2) T(a2) = T(–1, 3) = (2, –3, –2). Coordonatele acestor doi vectori în baza B’ sunt: (10/4, –9/8, 1/8) şi respectiv (–5/2, 1/8, 7/8). Deci 5  10 −   2  4 9 1  M B,B' (T ) =  −  8 8  1 7   8  8

11) Fie aplicaŃia liniară T : R2 → R3, T(x1, x2) = (x1 + x2, – x2, – x1 –x2) Să se determine matricea asociată aplicaŃiei liniare T în raport cu bazele canonice.  1 1  1 1  1 1     a) M B, B ' (T ) =  0 1  ; b) M B,B' (T ) =  0 − 1 ; c) M B, B ' (T ) =  0 1  ;  −1 1   −1 0   − 1 − 1       d) alt raspuns. Raspuns b)

1

'

} e = (1,

'

{

B ' = e1' , e2' , e3' ,

'

Rezolvare Bazele canonice sunt B = {e1, e2}, e1 = (1, 0 ) , e2 = ( 0, 1) şi 0, 0 ) ; e2 = ( 0, 1, 0 ) ; e3 = ( 0, 0, 1)

T(e1) = T(1, 0) = (1, 0, –1) T(e2) = T(0, 1) = (1, –1, –1). Coordonatele acestor doi vectori în baza B’ sunt (1, 0, –1) şi respectiv (1, –1, –1) şi deci

11

 1 1   M B,B ' (T ) =  0 − 1  − 1 − 1   12) Fie T : R3 → R3 o aplicaŃie liniară a cărei matrice asociată în raport cu baza canonică este:  4 0 0   AT =  0 1 3 0 3 1   Să se afle valorile proprii asociaŃi acestui operator. a) λ1 = λ2 = 4 şi λ3 = 2; b) λ1 = λ2 = 4 şi λ3 = –2; c) λ1 = λ2 = –4 şi λ3 = –2; d) alt raspuns. Raspuns b)

Rezolvare Polinomul caracteristic

4−λ 0 0 P(λ ) = det (A − λE 3 ) = 0 1− λ 3 0 3 1− λ

şi atunci

ecuaŃia caracteristică va fi: (4 –λ)2 (–2 –λ)= 0 Valorile proprii sunt soluŃiile acestei ecuaŃii: λ1 = λ2 = 4 şi λ3 = –2. 13) Fie T : R3 → R3 o aplicaŃie liniară a cărei matrice asociată în raport cu baza canonică este:  4 0 0   AT =  0 1 3 0 3 1   Să se afle vectorii proprii asociaŃi acestui operator. a) v = (k, h, h), unde k, h ∈ R şi v = (0, –p, p), unde p ∈ R nenul ; b) v = (k, -h, h), unde k, h ∈ R şi v = (0, p, p), unde p ∈ R nenul; c) v = (k, -h, -h), unde k, h ∈ R şi v = (0, –p, p), unde p ∈ R nenul; d) alt raspuns.

Raspuns a)

Rezolvare Vectorii proprii asociaŃi valorii proprii λ se află rezolvând ecuaŃia: T(v) = λv

12

4−λ 0 0 Cum polinomul caracteristic P(λ ) = det (A − λE 3 ) = 0 1− λ 3 0 3 1− λ

atunci

ecuaŃia caracteristică va fi: (4 –λ)2 (–2 –λ)= 0 Valorile proprii sunt soluŃiile acestei ecuaŃii: λ1 = λ2 = 4 şi λ3 = –2. Aşadar, fie λ1 = λ2 = 4, atunci vom rezolva ecuaŃia T(v) = 4v, v ∈ R3 4 v1 = 4 v1  v1 = v 1 v1 ∈ R  ⇔  v 2 + 3v 3 = 4 v 2 ⇔  v 3 = v 2 v 2 = v 3 ∈ R 3v + v = 4 v 3 3  2 Deci v = (k, h, h), unde k, h ∈ R şi nu sunt simultan nuli, este vectorul propriu căutat asociat valorii λ = 4. Fie λ3 = –2 atunci vom rezolva ecuaŃia T(v) = -2v, v ∈ R3 4 v1 = −2 v1 v1 = 0  v 2 + 3v 3 = −2 v 2 ⇔  v 2 = − v 3 ∈ R 3v + v = −2 v 3 3  2 Deci v = (0, –p, p), unde p ∈ R nenul, este vectorul propriu asociat valorii λ = –2. 14) Fie o formă biliniară f : R2 × R2 → R f(x, y) = x1y1 – 2x2y1 + x1y2. Care este matricea formei biliniare în baza canonică?  1 1  1 1 1 1  ;c) A f =  a) A f =   ;b) A f =   ; d) alt raspuns.  −3 0   2 0  − 2 0

Raspuns b) Rezolvare Fie: a 12  y1  a   = x 1 y1a 11 + x 2 y1a 21 + x 1 y 2 a 12 + x 2 y 2 a 22 f (x , y ) = (x 1 x 2 ) 11  a 21 a 22  y 2  Această formă o identificăm cu forma biliniară dată şi se obŃine matricea formei  1 1  în baza canonică: A f =   − 2 0 15) Să se aducă la forma canonică următoarea funcŃională pătratică: g : R3 → R, g (x ) = 2x 12 − x 32 − 4 x 1 x 3 + 6 x 2 x 3 + x 22 (utilizaŃi metoda lui Jacobi) 1 2

a) f ( y ) = y12 + y22 −

1 2 y3 ; 12

1 2

b) f ( y ) = y12 + y22 +

1 2 y3 ; 12

1 2

c) f ( y ) = y12 − y22 −

1 2 y3 12

d)

alt raspuns.

13

Raspuns a) Rezolvare  2 0 − 2   A= 0 1 3   − 2 3 −1   Calculăm minorii ∆1 = a11 = 2; ∆ 2 =

2 0 0 1

2 = 2; ∆3 = 0

0 −2 1

3 = −24

−2 3 −1

f (y ) =

1 2 2 2 2 2 1 2 1 y1 + y 2 + y 3 = y1 + y 22 − y 32 2 2 24 2 12 şi observăm că această formă pătratică este nedefinită. 16) Să se aducă la forma canonică următoarea formă pătratică g : R3 → R g (x ) = x 22 − x 32 + 4 x 1 x 2 − 4 x 1 x 3 utilizând metoda lui Gauss. a) g ( y ) = y12 + y22 ; b) g ( y ) = − y12 − y22 ; c) g ( y ) = y12 − y22 ; d) alt raspuns.

Raspuns c) Rezolvare Rezolvare:

 0 2 − 2   Matricea formei este: A =  2 1 0  cu minorii  − 2 0 −1   0 2 −2 0 2 ∆ 1 = 0, ∆ 2 = = −4, ∆ 3 = 2 1 0 = 0 2 1 − 2 0 −1 Metoda lui Jacobi nu se poate aplica deoarece avem minori nuli şi atunci vom aplica acest exemplu metoda lui Gauss. Metoda lui Gauss constă în formarea de pătrate perfecte când conŃin cel puŃin un aii ≠ 0 2 2 g (x ) = (x 22 + 4 x 1 x 2 + 4 x 12 ) − 4 x 12 − x 32 − 4x 1 x 3 = (x 2 + 2 x 1 ) − (2 x 1 + x 3 ) ⇒

⇒ g(y ) = y12 − y 22 are natură nedefinită. 17) Un sistem de vectori v1, v2, ...., vm  din V se numeşte sistem liniar independent dacă din α1v1 + α2v2 + ....+ αmvm = 0 rezultă că scalarii α1 = α2 = ..... =αm = 0.

Raspuns A. 14

18) Fie V un spaŃiu vectorial peste corpul K. Un sistem de vectori B = v1, v2, ..., vm se numeşte bază pe spaŃiul vectorial V dacă este formată dintrun număr maxim de vectori liniari independenŃi Raspuns A. 19) AplicaŃie T : V → V’ este aplicaŃie ... dacă şi numai dacă: T(αx + βy) = αT(x) + βT(y), (∀) α, β ∈ K, x, y ∈ V. a) liniară; b) neliniară; c) biliniară; d) alt răspuns.

Raspuns a) 20) Fie T: V → V’, λ ∈ K este o valoare ... a aplicaŃiei liniare T dacă şi numai dacă este rădăcină a ecuaŃiei caracteristice Raspuns a) proprie; b) caracteristică; c) alt răspuns.

PROGRAMARE LINIARĂ (vezi pag. 45-76 Matematici pentru economisti, I. Duda, R. Trandafir, A. Baciu, R. Ioan, S. Barza, Ed. FRM, 2007) Formularea problemei de programare liniară (PPL) şi a modelului matematic: forma generală, forma canonică, forma standard. Rezolvarea prin algoritmul simplex primal. - Trecerea de la o soluŃie posibilă de bază la altă soluŃie posibilă de bază (criteriul de ieşire din bază); - Criteriul de intrare în bază; - Tratarea problemelor de P.L. care nu au forma standard; - Metoda bazei artificiale Forma duală a PPL. Teorema de dualitate şi conŃinutul economic al variabilelor duale (preŃuri umbră). Algoritmul simplex dual. Studii de caz în managementul financiar-contabil. Formularea problemei transporturilor şi a modelului matematic. SoluŃii de bază iniŃiale. Criteriile de optimizare. Studii de caz.

Diverse probleme economice şi sociale la o serie de probleme de optimizare. De exemplu: 1. probleme de planificare a investiŃiilor (probleme de utilizare oprimă a unor resurse); 2. probleme de transport; 3. probleme de planificare a producŃiei. Problema utilizării optime a unor resurse O întreprindere produce articolele A1, A2, ... An utilizând materiile prime (resursele) M1, M2, ... Mm (disponibil de forŃă de muncă, capital, energie). Resursele sunt

15

în cantităŃi limitate, din, de exemplu Mj dispunem de o cantitate maximă bj (cunoscută). Se cunosc, de asemenea: • consumurile tehnologice – aij (aij ≥ 0) cantitatea din Mj ce se consumă pentru a fabrica o unitate din Ai i = 1, n , j = 1, m

(

)

A1

A2

L An

M1

a 11

a 12

L a 1n

M2

a 21

a 22

L a 2n

a m1

a m2 L a mn

M Mm

• beneficiile unitare ci (ci > 0) i = 1, n reprezentând suma realizată prin valorificarea unei unităŃi din produsul Ai. Notăm cu xi i = 1, n cantitatea de produs Ai ce va fi fabricată. Cunoaşterea lui xi, reprezentând obiectivul final într-o problemă de planificare a producŃiei. n

Încasările totale fiind f (x 1 , x 2 K x n ) = ∑ c i x i i =1

În cazul în care unitatea dispune de materii prime, se pune problema utilizării lor astfel încât să obŃină încasări totale cât mai mari. n  [ max ] f = ci x i ∑  i =1  n (1)∑ a ij x i ≤ b j , j = 1, m  i =1 x ≥ 0, i = 1, n  i  Matriceal problema se scrie

[max ]f = cx (1′) Ax ≤ B x ≥ 0  Putem spune că la un model de programare liniară avem: 1. o funcŃie obiectiv (liniară în toate variabilele) f = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn 2. un sistem de restricŃii formate din ecuaŃii şi inecuaŃii liniare 3. condiŃii de nenegativitate asupra variabilelor 4. un criteriu de optim – de „min” sau de „maxim” FORMA STANDARD A PROBLEMEI DE PROGRAMARE LINIARĂ

16

Considerând o problemă de programare liniară, având drept criteriu de optim „min” (de exemplu, minimizarea cheltuielilor) aceasta se va scrie în formă standard astfel:

 [min ]f a x  11 1 a x (2) 21 1  M  a m1 x 1  x 1 ≥ 0,

=

c1 x 1

+ c2x 2

+

K

+

a 12 x 2

+

K

+

a 1n x n

=

b1

+

a 22 x 2

+

K

+

a 2n x n

=

b2

+

a m2 x 2

+

K

+

a mn x n

=

bm

x 1 ≥ 0,

K

+ cn x m

xn ≥ 0

Sau matriceal [max ]f = cx (2′) Ax = B x ≥ 0  • DefiniŃie 1. Un vector X0 ≥ 0 ce verifică relaŃia AX = B se numeşte soluŃie posibilă a modelului. • DefiniŃie 2. O soluŃie posibilă X0 pentru care numărul de componente nenule r este mai mic sau egal cu m, iar vectorii ce corespund componentelor nenule sunt liniar independenŃi se numeşte soluŃie de bază. • În cazul în care r < m soluŃia de bază se numeşte degenerată. • DefiniŃie 3. SoluŃia posibilă X′ este optimă dacă pentru orice soluŃie posibilă X avem: CX′ ≤ CX • Teoremă. Dacă X0 este o soluŃie optimă de bază a problemei de programare liniară (PL) atunci vectorii ce corespund componentelor nenule ale lui X0 sunt liniari independenŃi. •Fie problema de programare liniară [min ] f = CX X ∈ R n ,C ∈ R m  A ∈ M m×n (R ) AX = B X ≥ 0 m〈 n, rang A = m  Pentru rezolvarea acestuia procedăm astfel: 1. se întocmeşte lista cu vectorii corespunzători coloanelor matricii A: a1, a2, ... an

{

}

2. dintre vectorii a1, a2, ... an se alege o bază T = a i1 , a i 2 ,... a i m . 3. Se calculează componentele BT ale vectorilor B în baza T. 4. Se determină componentele vectorilor {a 1 , a 2 , ... a n } în baza T şi se trec în tabelul SIMPLEX.

17

Cj: B baza a i1

C2

a i2

⋮ Cm

⋮ a im

Zj ∆j = Cj – Zj m

Z j = ∑ Ci a j , i =1

XB soluŃia

C1

C2

Cn

a1

a2

am

componentele lui B în baza T

CB coeficienŃii bazici C1

Z0

Z1

Zn

Z 0 = C B ⋅X B

5. Dacă ∆j ≥ 0 atunci • baza T este optimă; • soluŃia de bază BT completată cu zerourile necunoscutelor este soluŃie optimă de bază • valoarea optimă a funcŃiei obiectiv este Z0 şi rezolvarea s-a încheiat. Dacă ∃ β pentru care ∆β < 0, baza T nu este optimă şi se trece la punctul 6o. 6. Se va introduce în bază vectorul aβ (unde: indicele β este dat de cea mai mare diferenŃă negativă în modul) parcurgând etapele următoare: a. se împarte coloana BT la coloana componentelor lui aβ (numai componentele strict pozitive); b. se alege rezultatul minim; c. vectorul aα iese din bază şi intră în bază vectorul aβ; d. elementul aflat pe linia α şi coloana β se numeşte pivot). 7. Completarea tabloului simplex se va face astfel: • baza nouă se obŃine prin scoaterea lui aα din bază şi înlocuirea cu aβ; • coloana pivotului devine vector unitar; • linia pivotului se împarte la pivot, rezultatul trecându-se în total pe linia α; • se aplică regula dreptunghiului (elementul ce se calculează este dat de produsul elementelor de pe diagonala pivotului

–

produsul elementelor de pe cealaltă diagonală

pivot • se completează liniile anexă; • se revine la punctul 5o.

18

OBSERVAłII • La ieşirea din bază dacă sunt mai multe rapoarte minime egale poate ieşi oricare din variabilele corespunzătoare. • Dacă la căutarea variabilei ce părăseşte baza pe coloana ce intră în bază nu avem nici un element strict pozitiv (toate negative sau zero) algoritmul se va încheia cu concluzia optim infinit. Să se rezolve următoarea problemă de programare liniară:

[min ]f = 2x 1 + x 2 + x 3 + 3x 4 + 2x 5 x 1 + x 4 + 2 x 5 = 8  x 2 + 2 x 4 + x 5 = 12 x + x + 3x = 16 4 5  3 x i ≥ 0, i = 1,5 Rezolvare 1 0 0 1 2   Scriem matricea A =  0 1 0 2 1   0 0 1 1 3   Observăm că avem o bază B = {a 1 , a 2 , a 3 }

CB 2 1 1

B a1 a2 a3 Zj

Cj XB 8 12 16 2⋅8+1⋅12+1⋅16=44

∆j = Cj – Zj 2 1 1

a5 a2 a3 Zj

∆j = Cj – Zj

4 8 4 20

2 a1 1 0 0 2

1 a2 0 1 0 1

1 a3 0 0 1 2

3 a4 1 2 1 5

2 a5 2 1 3 8

0

0

0

-2

-6

1/2 -1/2 -3/2 -1

0 1 0 1

0 0 1 1

1/2 3/2 -1/2 2

1 0 0 2

3

0

0

1

0

soluŃia nu este optimă (∃ ∆j < 0)

∆j ≥ 0 soluŃia este optimă

Concluziile sunt următoarele: • baza B = {a 1 , a 2 , a 3 } nu este optimă deoarece ∆4 < 0, ∆5 < 0;

19

• corespunzător lui ∆5 (celei mai mari diferenŃe negative în modul) alegem vectorul a5 în scopul introducerii în bază; • împărŃind coloana „soluŃie” la coloana lui a5, găsim 8 12 16 , , , iar 2 1 3  8 12 16  8 min  , ,  = , corespunzător pivotului va fi a15 = 2 2 1 3  2 a1 iese din bază, a5 intră în bază. La Pasul următor observăm că toate diferenŃele ∆j ≥ 0, soluŃia este optimă • baza {a 5 , a 2 , a 3 } este optimă • soluŃia optimă de bază este x5 = 4, x2 = 8, x3 = 4 x1 = x4 = 0 • valoarea minimă a lui f este Z0 = 9 Algoritmul SIMPLEX pentru care nu au soluŃia iniŃială. • RestricŃiile pot fi puse (sau sunt) sub forma Ax ≤ b, b ≥ 0, x ≥ 0 indiferent dacă problema este de „max” sau de „min”. • Deoarece în cazul inegalităŃii α ≤ β ∃ γ ≥ 0 astfel încât α + γ = β vom adăuga la fiecare inegalitate a problemei câte o variabilă y pozitivă astfel încât sistemul de inegalităŃi al problemei devine sistem de egalităŃi. Fixând x1 = x2 = ... = xn = 0 avem soluŃia y1 = b1, ... ym = bm posibilă prin construcŃie. În funcŃia obiectiv variabilele y sunt introduse şi numite variabile de compensare sau de egalizare sau variabile ecart vor figura cu coeficient „0” Pentru problema modificată în acest fel şi adusă, deci la forma standard se aplică algoritmul simplex ca în cazul precedent. [max ]f = CX [max ]f = CX + 0 ⋅ y   (3) AX ≤ b, b ≥ 0 ⇔ AX + I m y = b X ≥ 0 X ≥ 0, Y ≥ 0  

[max ]f = CX + 0 y a x + a x + ... + a x + y = b 12 2 1n n 1 1  11 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + ... + a 2 n x n + y 2 = b 2 (3’) ⇔  M  a m1 x 1 + amx 2 + ... + a mn x n + y m = b m  x 1 ≥ 0, i = 1, n , y j ≥ 0, j = 1, m

(3’)

(4)

20

OBSERVAłII • La determinarea algoritmului SIMPLEX soluŃia optimă poate cuprinde variabile X cât şi variabile Y x0  0 X =  0  y  • În cazul în care există componente y în soluŃia optimă, interpretarea lor economică poate fi aceea de economie de resurse în sensul că pentru componenta optimă yk de exemplu, diferită de zero, atunci resursa bk ≠ 0, nu a fost transformată în întregime.

EXEMPLU [max]f = 2x 1 + 4x 2 − x 3 + 5x 4 2x 1 + x 2 + x 3 + x 4 ≤ 12 (4)  x 1 + 2x 2 + x 3 + 3x 4 ≤ 15

⇔

x i ≥ 0, i = 1,4

[max ]f = 2x 1 + 4x 2 − x 5 + 5x 4 + 0 y1 + 0 y 2 ⇔(5)

2x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + y1 = 12  x 1 + x 2 + x 3 + 3x 4 + y 2 = 15 x i ≥ 0, i = 1,4, y1 ≥ 0, y 2 ≥ 0

Matricea corespunzătoare va fi:  2 1 1 1 1 0   1 1 1 3 0 1 B = {y1, y2} Întocmim tabloul simplex

CB 0

B y1

cj: XB 12

2 a1 2

4 a2 1

-1 a3 1

5 a4 1

0 y1 1

0 y2 0

0

y2

15

1

2

1

3↓

0

1

0 2

0 4

0 -1

0 5

0 0

0 0

zj ∆j = cj – zj

12 15  min  ,  = 1 3 15 = → 3 PIVOT 3 soluŃia nu este optimă (∃∆j > 0)

21

0

y1

7

5/3

1/3

2/3

0

1

-1/3

5

a4

5

1/3

2/3↓

1/3

1

0

1/3

zj ∆j = cj – zj

25

5/3 1/3

10/3 2/3

5/3 -8/3

5 0

0 0

5/3 -5/3

0 4

9/2 15/2 30

3/2 1/2 2 0

0 1 4 0

1/2 1/2 2 -3

-1/2 3/2 6 -1

1 0 0 0

-1/2 1/2 2 -2

y1 a2 zj ∆j = cj – zj

5   7 min  , = 1 / 3 2 / 3 =  5 = → 2 / 3 PIVOT 2/3

soluŃia nu este optimă (∃∆j > 0)

SoluŃia este optimă (∆j ≤ 0)

SoluŃia este x1 = x3 = x4 = 0, x2 = 15/2 y1 = 9/2, y2 = 0 fmax = 30 METODA BAZEI ARTIFICIALE Constă în introducerea unui număr de m variabile artificiale ui, ui ≥ 0 câte una la fiecare restricŃie astfel încât restricŃiile modificate devin: AX + I m u = b  x ≥ 0, u ≥ 0 iar funcŃia obiectiv [max]f = CX – Mu sau [min]f = CX + Mu, unde M ≥ 0 foarte mare în raport cu cifrele ce apar în calcule. Scopul introducerii variabilelor artificiale este acela de a avea pentru început o soluŃie de bază, constatând că aceasta este dată chiar de variabilele artificiale. La terminarea algoritmului SIMPLEX pentru o astfel de problemă putem avea următoarele situaŃii: 1. soluŃia optimă nu conŃine variabile artificiale 2. soluŃia optimă conŃine variabile artificiale, dar de valoare zero. În acest caz problema are soluŃie optimă degenerată 3. soluŃia optimă conŃine variabile artificiale nenule. În acest caz problema nu are soluŃie, pentru că nu a fost corect formulată. Din punct de vedere economic prezenŃa variabilelor artificiale în funcŃia obiectiv înseamnă o diminuare a valorii maxime sau o creştere a valorii minime.

22

EXEMPLU

[max ]f = 2x 1 + 4x 2 − x 3 + 5x 4 2x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 10  x 1 + 2x 2 + x 3 + 3x 4 = 15

x i ≥ 0, i = 1,4 Rezolvare  2 1 1 1  Matricea sistemului A :   1 2 1 1 Problema se va rescrie [max ]f = 2x 1 + 4x 2 − x 3 + 5x 4 + Mu 1 − Mu 2 2x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + u 1 = 10  x 1 + 2 x 2 + x 3 + 3x 4 + u 2 = 15

x i ≥ 0, i = 1,4, u 1 ≥ 0, u 2 ≥ 0 Matricea se rescrie corespunzător  2 1 1 1 1 0  A =  1 2 1 3 0 1 B = {u1, u2}

CB -M

B u1

cj XB 10

2 x1 2

4 x2 1

-1 x3 1

5 x4 1

-M u1 1

-M u2 0

-M

u2

15

1

2

1

3↓

0

1

-3M 2-3M

-3M 3M+4

-2M 2M-1

-4M 4M+5

-M 0

-M 0

5/3 1/3

1/3 2/3

2/3 1/3

0 1

1 0

-1/3 1/3

5/35/3M

10/3M/3

5/32M/3

5

-M

M/3+5/3

zj ∆j = cj – zj -M 5

u1 ← x 4←

zj

5 5

10 15  min  ,  = 1 3 15 = → 3 PIVOT 3

soluŃia nu este optimă (∃∆j > 0) 5   5 min  , = 5 / 3 1/ 3 =

5 → 5 / 3 PIVOT 5/3

23

∆j = cj – zj

2 5

x1 x 4←

3 4

zj

26

2

17/5

9/5

5

1/5

8/5

=

0

3/5

-14/5

0

-M-8/5

soluŃia nu este optimă (∆j ≤ 0)

1 0 2 0

0 1 4 0

1/3 1/3 2 -3

-1/3 5/3 6 -1

-M1/5 2/3 -1/3 0 -M

∆j = cj – zj

2 4

x1 x2 zj ∆j = cj – zj

5/3 20/3 80/3

M/3+2 /3 1/5 3/5↓

2M/38/3 2/5 1/5

0

0

-4M/3-5/3

0 1

3/5 -1/5

-1/5 2/5

soluŃia nu este optimă (∃∆j > 0)

5/3M+1 /3 1 0

-1/3 2/3 2 -M-2

 3 4  min  , = 1 / 5 3/5 

4 ⇒ 3 / 5 PIVOT 3/ 5

soluŃia este (toate optimă diferenŃe ∆j ≤ 0)

SoluŃia max f = 80/3 x1 = 5/3 u1 = u2 = 0 x2 = 20/3 x3 = x4 = 0 OBSERVAłII Pentru o problemă ce nu are soluŃie iniŃială procedăm astfel: 1. restricŃiile de forma α ≤ β devin egalităŃi introducând variabilele de compensare; 2. pentru restricŃiile α = β introducem variabilele artificiale; 3. pentru restricŃiile α ≥ β introducem variabilele de compensare şi artificiale. Formal putem scrie: •α≤β⇒α+γ=β •α=β⇒α+u=β •α≥β⇒α–γ+u=β În funcŃia obiectiv sunt introduse variabilele de compensare ca în cazul 1 şi variabilele artificiale ca în cazul 2.

24

EXEMPLU

[min ]f = x 1 + x 2 + x 3 + 2x 4 + 3x 5 + 4x 6 2 x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 ≤ 8  x 1 + 2 x 2 + x 3 + x 4 + 3x 5 + x 6 = 24 x + x + 2x + x + x + x ≥ 8 2 3 4 5 6  1 x i ≥ 0, i = 1,6 Rezolvare Problema se va rescrie introducând variabilele de compensare şi artificiale corespunzătoare

[min ]f = x 1 + x 2 + x 3 + 2x 4 + 3x 5 + 4x 6 + 0 y1 + 0 y 2 + Mu 1 + Mu 2 2 x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 + y1 = 8  x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 + 3x 5 + x 6 + u 1 = 24 x + x + 2 x + x + x + x − y + u = 8 2 3 4 5 6 2 2  1 x i ≥ 0, i = 1,6, y1 ≥ 0, y 2 ≥ 0; u 1 ≥ 0; u 2 ≥ 0 Matricea sistemului va fi:  2 1 1 1 1 1 1 0 0 0   A :  1 2 1 1 3 1 0 0 1 0 1 1 2 1 1 1 0 −1 0 1  

Observăm că B = {y1, u1, u2}

CB 0 M M

B y1← u1 u2 zj ∆j = cj – zj

3 M M

x5 u1 u2 zj

cj XB 8 24 8

8 0 0 24

1 x1 2 1 1 2M 12M

1 x2 1 2 1 3M 13M

1 x3 1 1 2 3M 13M

2 x4 1 1 1 2M 22M

3 x5 1↓ 3 1 4M 34M

4 x6 1 1 1 2M 42M

0 y1 1 0 0 0 0

0 y2 0 0 -1 -M M

M u1 0 1 0 M 0

M u2 0 0 1 M 0

2 -5 -1 6-

1 -1 0 3-

1 -2 1 3-

1 -2 0 3-

1 0 0 3

1 -2 0 3-

1 -3 -1 3-

0 0 -1 -M

0 1 0 M

0 0 1 M

soluŃia nu este optimă (∃∆j < 0)

25

∆j = cj – zj

6M 6M -5

M M2

M M2

2M 2M -1

0

2M 2M +1

4M 4M -3

M

0

0

∆≥0 soluŃia este optimă degenerată

SoluŃia [min]f = 24 u1 = u2 = 0 y1 = y2 = 0 x 1 = x 2 = x3 = x4 = x6 = 0 x5 = 8

26

ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ FUNDAMENTAREA DECIZIEI ECONOMICE OPTIME

CU

APLICAłII

ÎN

(vezi pag. 86-115 Matematici pentru economisti, I. Duda, R. Trandafir, A. Baciu, R. Ioan, S. Barza, Ed. FRM, 2007) FuncŃii de mai multe variabile. MulŃimi şi puncte din Rn. Continuitatea funcŃiilor în spaŃiul Rn: limite, limite iterate. Derivabilitatea funcŃiilor în Rn: derivate parŃiale de ordinul I şi de ordin superior. DiferenŃiala de ordin I şi de ordin superior; conŃinut economic. Derivata funcŃiilor compuse. Extremele funcŃiilor de mai multe variabile ( punct de extrem local; punct staŃionar; punct de minim local;punct de maxim local). Extreme cu legături (condiŃionate). ConŃinut economic. AplicaŃii şi studii de caz. Integrale.

Tipuri principale de ecuaŃii diferenŃiale cu aplicaŃii în economie: - ecuaŃii cu variabile separabile, - ecuaŃii diferenŃiale liniare: -ecuaŃii omogene, -ecuaŃii diferenŃiale de tip Bernoulli şi Riccati şi aplicaŃiile lor.

1. DiferenŃiale Fie f o funcŃie reală de două variabile, f : E ⊂ R2 → R şi fie (x0, y0) un punct interior lui E. DefiniŃie. Spunem că funcŃia f(x, y) e diferenŃială în punctul (x0, y0) dacă există două numere reale λ şi µ şi o funcŃie ω (x, y) : E ⊂ R2 → R, continuă în (x0, y0) şi nulă în acest punct:

lim ω(x , y ) = ω(x 0 y 0 ) = 0

x →x 0 y→ y 0

astfel încât pentru orice punct (x, y) ∈ E, să avem egalitatea

f (x , y ) − f (x 0 y 0 ) = λ (x − x 0 ) + µ(y − y 0 ) + ω(x , y ) (x − x 0 ) + (y − y 0 ) 2

2

ProprietăŃi: 1) Dacă funcŃia f e diferenŃiabilă în punctul (x0, y0), atunci ea are derivate parŃiale în (x0, y0) şi

f′x (x0, y0) = λ, f′y (x0, y0) = µ Egalitatea de definiŃie a diferenŃiabilităŃii se scrie:

f (x , y ) − f (x 0 y 0 ) = f x′ (x 0 , y 0 )(x − x 0 ) + f y′ (x 0 , y 0 )(y − y 0 ) + + ω(x , y ) (x − x 0 ) + (y − y 0 ) 2

2

2) Dacă funcŃia f e diferenŃiabilă în (x0, y0) atunci ea este continuă în acest punct.

27

3) Dacă funcŃia f are derivate parŃiale f’x, f’y într-o vecinătate V a lui (x0,y0) şi dacă aceste derivate parŃiale sunt continue în (x0, y0) atunci funcŃia f este diferenŃiabilă în (x0, y0). DefiniŃie. FuncŃia liniară de două variabile: df(x0, y0) = f′x(x0,y0) ⋅ (x – x0) + f’y (x0,y0) ⋅ (y – y0) se numeşte diferenŃiala funcŃiei f(x, y) în punctul (x0, y0). DiferenŃiala funcŃiei f se mai notează df(x, y) = f’x(x, y)dx + f′y(x, y)dy DefiniŃie. Spunem că f admite diferenŃiala de ordin 2 în (x0, y0) dacă toate derivatele parŃiale de ordinul întâi există într-o vecinătate a punctului (x0, y0) şi sunt diferenŃiabile în (x0, y0)

′′ (x 0 , y 0 )dxdy + f y′′2 (x 0 , y 0 )dy 2 d 2 f (x 0 , y 0 ) = f x′′2 (x 0 , y 0 )dx 2 + 2f xy Exemple 1) Pornind de la definiŃie, să se arate că funcŃia f(x, y) = (x – 1)2 + y2 este diferenŃiabilă în punctul A(1, 1). Rezolvare: Va trebui să arătăm că are loc egalitatea: (1) f ( x , y) − f (1,1) = cu lim ω(x , y ) = 0 .

∂f (1,1) ∂f (1,1) 2 2 ( x − 1) + ( y − 1) + ω(x , y ) (x − x 0 ) + (y − y 0 ) ∂x ∂y

x →1 y →1

Deoarece

∂f (1,1) ∂f (1,1) = 0 şi = 2 şi f(1, 1) = 1 atunci egalitatea (1) devine: ∂x ∂y

(x − 1)2 + y 2 − 1 = 2(y − 1) + ω(x, y ) ⋅ (x − 1)2 + (y − 1)2

cu lim ω(x , y ) = 0 x →1 y →1

sau

(x − 1)2 + (y − 1)2 = ω(x, y ) (x − 1)2 + (y − 1)2 ω(x, y ) De aici deducem

ω(x, y ) =

(x − 1)2 + (y − 1)2

şi lim x →1 y →1

(x − 1)2 + (y − 1)2

=0

2) Să se arate că funcŃia:

0, daca x = 0 sau y = 0 f (x , y ) =  1, daca x ≠ 0 sau y ≠ 0 nu este diferenŃiabilă în origine. Rezolvare: Dacă funcŃia ar fi diferenŃiabilă în origine ar trebui să avem egalitatea:

28

f ( x , y) − f (0,0) = lim ω(x , y ) = 0 .

∂f (0,0) ∂f (0,0) ( x − 0) + ( y − 0) + ω(x , y ) x 2 + y 2 cu ∂x ∂y

x →1 y →1

Să presupunem că x ≠ 0, y ≠ 0- Avem 1 egalitatea (2) devine 1 =

∂f (0,0) ∂f (0,0) = = 0 deoarece ∂x ∂y

f(x. y) =

x 2 + y 2 ω(x , y ) .

Însă membrul drept tinde către zero când x şi y tind la zero, ceea ce contrazice însăşi egalitatea.

Exemplu 3 Este funcŃia f (x , y ) =

x 2 + y 2 diferenŃiabilă în origine?

Rezolvare Dacă funcŃia ar fi diferenŃaibilă în origine, conform unei teoreme enunŃate la începutul capitolului, ar trebui să admită derivate parŃiale în acest punct. Însă

x f (x,0) − (0,0) x2 lim = lim = lim = 1 x →0 x →0 x →0 x x x x〉0 x〉0 x〉0

x f (x ,0 ) − (0,0 ) x2 = lim = lim = 1 . x →0 x → 0 x → 0 x x x x〈0 x〈0 x〈0

lim

Analog procedăm pentru

∂f (0,0) . ∂y

În origine, funcŃia nu admite derivate parŃiale, deci nu este diferenŃiabilă. Exemplul 4 Să se calculeze diferenŃialele de ordinul întâi şi doi pentru următoarele funcŃii: a) f (x, y) = cos xy b) f (x , y ) =

definită pe R2

x 2 + y 2 definită pe R2

c) f (x, y) = x ln y d) f (x, y) = ex+2y

definită pe RX(0, ∞) definită pe R2.

Rezolvare: Deoarece funcŃia admite derivate parŃiale de orice ordin.

29

a) Însă:

∂f (x , y ) ∂f (x , y ) = − y sin xy, = − x sin xy ∂x ∂y

Deci df (x, y) = - sin xy [ydx + xdy]

∂ 2 f (x , y ) ∂ (− y sin xy) = − y 2 cos xy = 2 ∂ x ∂x ∂ 2 f (x , y ) ∂ = (− xd sin xy ) = − xy cos xy ∂x∂y ∂x ∂ 2 f (x , y ) ∂ = (− x sin xy) = − x 2 cos xy 2 ∂y ∂y

Apoi

prin urmare: d2f(x,y) = - cos xy[y2dx2 + 2xy dxdy + x2dy2] b) Am văzut în exemplul precedent că în origine funcŃia nu este diferenŃiabilă. În orice alt punt, funcŃia admite derivate parŃiale continue:

∂f (x , y ) = ∂x

x

∂f (x , y ) = ∂x

şi

x 2 + y2

y x 2 + y2

deci este diferenŃiabilă şi avem:

df (x , y ) =

1 x 2 + y2

[xdx + ydy]

∂ 2 f (x , y ) ∂  x  = 2 2 ∂x  x + y 2 ∂x 

 y2 =  x 2 + y 2

)

∂ 2 f (x , y ) ∂  y  = 2 ∂y  x 2 + y 2 ∂y 

 x2 =  x 2 + y 2

)

∂ 2 f (x , y ) = ∂x∂y

(

(

3 2

3 2

xy

(x

2

+ y2

)

3 2

Deoarece derivatele parŃiale de ordinul al doilea sunt continue în tot planul exceptând originea, rezultă că în orice punct diferit de origine diferenŃială a doua există şi este:

d 2 f (x , y ) =

1

(x

2

+y

[y dx 2

)

3 2 2

2

− 2 xydxdy + x 2 dy 2

]

c) Pe domeniul dat funcŃia admite derivate parŃiale de orice ordin continue în tot planul, deci funcŃia admite diferenŃiale de orice ordin:

∂f (x , y ) ∂f (x , y ) x = ln y şi = ∂x ∂x y x Aşadar df (x, y ) − ln ydx + dy y ∂ 2 f (x , y ) = ∂x 2 ∂ 2 f (x , y ) = ∂x 2

∂ [ln y] = 0 ∂x ∂ x x =− 2   ∂x  y  y

30

∂ 2 f (x , y ) 1 =− ∂x∂y y Aşadar d 2 f (x , y ) = −

x 2 dy 2 + dxdy 2 y y ∂f (x , y ) ∂f (x , y ) d) Deoarece = e x + 2 y şi = 2e x + 2 y ∂y ∂x x +2 y [dx + 2dy] şi atunci df (x, y ) = e ∂ 2 f (x , y ) = ∂x 2 ∂ 2 f (x , y ) = ∂y 2

[

]

∂ x+2y e = e x +2 y ∂x ∂ 2e x + 2 y = 4e x + 2 y ∂y

[

]

∂ 2 f (x , y ) ∂ = 2e x + 2 y = 2e x + 2 y ∂x∂y ∂x şi atunci d 2 f (x , y ) = e x + 2 y dx 2 + 4dxdy + 4dy 2

[

]

[

]

2. Extremele funcŃiilor de două variabile

DefiniŃie Fie f o funcŃie reală, de două variabile, definite pe o mulŃime E ⊂ R2. Un punct (a, b) ∈ E se numeşte punct de maxim local (respectiv de minim local) al funcŃiei f(x, y), dacă există o vecinătate V a lui (a, b) astfel încât, pentru orice (x, y) ∈ V ⊂ E să avem: f(x, y) ≤ f(a, b) (respectiv f(x, y) ≥ f(a, b)). Teoremă Dacă funcŃia f are derivate parŃiale într-un punct de extrem (a, b) din interiorul mulŃimii E, atunci derivatele parŃiale ale funcŃiei se anuleaza în acest punct: f’x(a, b) = 0 şi f’y(a, b) = 0 DefiniŃie Un punct interior (a, b) ∈ E se numeşte punct staŃionar al funcŃiei f(x, y) dacă funcŃia f( x, y) e diferenŃiabilă în punctul (a, b) şi dacă diferenŃiala sa e nulă. Teoremă Dacă (a, b) este punct staŃionar al funcŃiei f(x, y) şi dacă funcŃia f(x, y) are derivate parŃiale de ordinul doi continue într-o vecinătate V a punctului (a, b) atunci: 1) Dacă

[

]

∆ = f x'' 2 (a , b )f y''2 (a , b ) − f xy'' (a , b ) 〉 0 , atunci (a, b) e punct extrem local al 2

funcŃiei f(x,y) şi anume: – dacă f x'' 2 (a, b ) 〉 0 atunci (a, b) e punct de minim

– dacă f x'' 2 (a, b ) 〈 0 atunci (a, b) e punct de maxim.

31

2) Dacă ∆ < 0 atunci (a, b) nu este punct de extrem 3) Dacă ∆ = 0 atunci nu se poate afirma nimic despre punctul (a, b). Exemplu: Să se găsească extremele următoarelor funcŃii: a) f (x , y ) = xy +

50 20 + , x, y 〉 0 x 7

b) f(x, y) = x2 + y2 – 4x – 2y + 5 (x, y) ∈ R2 Rezolvări: a) Conform teoriei generale, extremele funcŃiei sunt soluŃii ale sistemului:

50  ∂f (x , y )  ∂x = y − x 2 = 0 (1)   ∂f (x , y ) = x − 20 = 0  ∂y y2

SoluŃia sistemului (1) este x = 5 şi y = 2. Atunci numim punctul (5,2) punct staŃionar: Avem

∂ 2 f (x , y ) 100 ∂ 2 f (x , y ) 40 = 3 , = 3 ∂x 2 x ∂y 2 y

şi

∂ 2 f (x , y ) =1 ∂x∂y

∂ 2 f (5,2) ∂ 2 f (5,2)  ∂ 2 f (5,2)  = ⋅ −  =3 ∂x 2 ∂y 2  ∂x∂y  2

∆ (5 , 2 )

Deoarece

∂ 2 f (5,2) 〉 0 , funcŃia f admite în punctul (5,2) un minim şi valoare f(5, 2) = 30. ∂x 2

b) Avem:

 ∂f (x , y )  ∂x = 2x − 4 = 0 (2)   ∂f (x , y ) = 2x − 2 = 0  ∂y Punctul staŃionar, adică soluŃia sistemului (2) este (2, 1). Calculăm derivatele parŃiale în punctul (2, 1):

∂ 2 f(2,1) = 2, ∂x 2

∂ 2 f(2,1) ∂ 2 f(2,1) = 2 şi =0 ∂x∂u ∂y 2

∆ / ( 2 ,1 ) = 4 f 0 şi

∂ 2 f(2,1) = 2 f 0 aşadar punctul (2,1) este punctul de minim şi ∂x 2

valoare functiei este f(2,1) = 4+1-8-2+5 = 0 3. Extreme cu legături condiŃionate Se consideră funcŃia cu două variabile f:E⊂R2 → R (1) şi condiŃia F(x,y) = 0 (2) unde F are acelaşi domeniu de definiŃie ca şi funcŃia f.

32

DefiniŃie: Extremele funcŃiei (1) care satisfac şi condiŃia (2) se numesc extreme condiŃionate ale funcŃiei (1) de condiŃia (2), sau extremele funcŃiei (1) supuse la legăturile (2). DefiniŃie: Punctele staŃionare ale funcŃiei (1) când (x,y) parcurge mulŃimea ∆ a soluŃiilor condiŃiei (2) se numesc puncte staŃionare legate sau puncte staŃionare condiŃionate ale funcŃiei f. Dacă punctul M (a,b) este punctul de extrem căutat atunci considerăm funcŃia: ϕ (x, y) = f(x, y) + λF(x, y) unde λ se numeşte multiplicatorul lui Lagrange. Pentru aflarea coordonatelor punctului M(a,b) rezolvăm următorul sistem de derivate parŃiale:

 ∂ϕ  ∂x = 0   ∂ϕ  =0  ∂y F( x , y) = 0   1) Dacă d2ϕ(a,b) > 0 atunci punctul M(a,b) este punct de minim 2) Dacă d2ϕ(a,b) < 0 atunci punctul M (a,b) este punct de maxim Altfel nu putem preciza natura punctului M.

Exemple: DeterminaŃi punctele de extrem pentru: a) f(x,y) = x+3y cu condiŃia x2+y2=5 definit pe R2 b) f ( x , y) =

1 1 + cu condiŃia x+y=1 definit pe R2\{(0,0) x y

Rezolvări: Considerăm ϕ(x,y) = x+3y+λ(x2+y2-5)

 ∂ϕ  ∂x = 1 + 2λx = 0   ∂u (1) = 3 + 2λy = 0  ∂y x 2 + y 2 = 5   3   1 SituaŃia sistemului (1) este P1  − ,−  pentru λ = 1 / 2 2 2 

 1

şi P2 

 2

,

3   pentru λ = 1 / 2 2

Calculăm derivatele parŃiale de ordinul II

33

∂ 2 ϕ( x , y) ∂ = (1 + 2λx ) = 2λ ∂x ∂x 2 ∂ 2 ϕ( x , y) ∂ = (3 + 2λy = 2λ ∂y ∂y 2

∂ 2ϕ ( xy) ∂ = (3 + 2λy ) = 0 ∂x∂y ∂x 3   1 d 2ϕ  − ,−  = 2dx 2 + 2dy 2 〉 0 astfel concluzia este că punctul 2 2  3   1 P1  − ,−  este punct de minim 2 2   1 3   1 3  , d 2ϕ  ,  = − 2dx 2 − 2dy 2 〈 0 şi în acest caz P2   este punct de  2 2  2 2 maxim b) Considerăm ϕ ( x, y ) =

1 1 + + λ ( x + y − 1) x y

Rezolvăm sistemul

1  ∂ϕ ( x, y ) = − 2 +λ =0  ∂x x  1  ∂κ ( x, y ) (2)  = − 2 +λ =0 y  ∂y x + y = 1   1 1 1 SoluŃia sistemului este P ,  pentru λ = 4 2 2

∂ 2ϕ ( x, y ) ∂  1  = − 2 + λ  = 2 ∂x  x ∂x  2  ∂ ϕ ( x, y ) ∂  1 =  − 2 + λ  = 2 ∂y  y ∂y  ∂ 2ϕ ( x, y ) ∂  =  − ∂x∂y ∂x   1 d 2ϕ = 2 3 dx 2 + x

2 x3 2 y3

 1 + λ  = 0 2 y   1 dy 2  3 y 

1 1 1 1 d 2ϕ  ,  = 16(dx 2 + dy 2 )〉 0 astfel P ,  e punct de minim. 2 2 2 2

34

EcuaŃii diferenŃiale de ordinul întâi

/

DefiniŃie Se numeşte ecuaŃie diferenŃială de ordinul întâi o ecuaŃie de forma (1) F x, y , y = 0

(

)

/

/

unde: F este o funcŃie reală dată, definită pe D ⊂ R3 , având ca argumente: variabila independentă x ∈ R , funcŃia necunoscută y = y ( x ) şi derivata sa y = y ( x ) . Dacă ecuaŃia (1) se poate scrie (2) y = f ( x, y ) /

:

/

Atunci (2) se numeşte forma explicită sau normală a ecuaŃiei diferenŃiale (1). Dacă y = ϕ ( x ) este o soluŃie a ecuaŃiei (2) graficul soluŃiei este o curbă plană cu proprietatea că în fiecare punct al ei, tangenta la curbă are direcŃia câmpului ϕ ce trece prin punctul considerat. A rezolva ecuaŃia (2) revine la determinarea curbelor integrale, cu proprietatea că în fiecare punct al lor sunt tangente la direcŃia câmpului ϕ . Problema determinării soluŃiei ecuaŃiei (2), al cărei grafic trece printr-un punct dat ( x0 , y0 ) se numeşte problemă Cauchy. Iar y0 = y ( x0 ) condiŃie iniŃială sau condiŃie Cauchy. 1. Să rezolvăm o ecuaŃie de forma (2) y = f ( x ) , f [ a, b ] continuă /

y =

dy dx

EcuaŃia devine

Separăm variabilele

dy = f ( x) dx

(3)

dy = f ( x ) dx

(4)

Şi y=

∫ f ( x )dx + C

(5)

Astfel obŃinem soluŃia generală a ecuaŃiei (2) y = ϕ ( x) + C

(5) Pentru rezolva problema Cauchy impunem condiŃia ca soluŃia să treacă printr-un punct dat ( x0 , y0 ) . (6) y0 = ϕ ( x0 ) + C şi x0 (7) y0 =

∫ f ( x )dx + C ⇒ y0 = C

x0

Găsim soluŃia problemei Cauchy

y = y0 + ϕ ( x0 )

(8)

35

[ a, b ] continuă

/

y = f ( y), f

:

/

2. Să rezolvăm o ecuaŃie de forma y =

(9)

dy dx

Şi dy = dx f ( y)

(10)

dy

(11)

Atunci

∫ f ( y) + C = x Găsim soluŃia generală în formă implicită x = ϕ ( y) + C

f ( x)

[ a, b] , g [c, d ] continuă /

g ( y)

,f

y =

Separăm variabilele

:

y =

:

/

3. Să rezolvăm o ecuaŃie de forma

(12)

(13)

dy dx

g ( y ) dy = f ( x ) dx

(14)

∫ g ( y ) dy = ∫ f ( x )dx + C

(15)

Atunci Găsim soluŃia generală în formă implicită G ( y ) = F ( x) + C

(16)

EcuaŃii omogene /

y =

P ( x, y )

Q ( x, y )

, P, Q funcŃii omogene de grad m în x şi y

(17)

Şi /

 y x m P  1,   x  funcŃii omogene de grad m în x şi y y =  y x m Q  1,   x

(18)

Astfel ecuaŃia se poate scrie (19)

dy  y = f  dx x

Facem schimbarea de funcŃie

y ( x)

(20) /

/

y

x

= u ( x) ;

( x ) = u ( x ) + xu ( x )

Vom găsi

36

/

f ( u ) = u ( x ) + xu /

Rescriem

( x) =

u

( x)

(21)

f (u ) − u

(22)

x

Astfel (23)

du dx = , f (u ) − u ≠ 0 f (u ) − u x

Integrînd obŃinem ln x =

Sau dar

y ( x) x

(24)

du

∫ f (u ) − u + C

ln x = ϕ ( u ) + C

(25)

= u ( x ) , atunci putem scrie soluŃia ecuaŃiei sub forma  y ln x = ϕ   + C x u = u0 soluŃia egalităŃii anterioare, atunci

Dacă f ( u ) − u = 0 , fie fi y = xu0 , şi se numeşte soluŃie singulară.

(26) soluŃia ecuaŃiei va

EcuaŃii reductibile la ecuaŃii omogene /

 ax + by + c  y = f   a1 x + b1 y + c1 

(27)

dt

⇔ | |

b) d1 d 2 ⇒

:

:

Dacă a) c = c1 , ecuaŃia (17) devine o ecuaŃie omogenă. b) d1 ∩ d 2 = {M } , M ( x0 , y0 ) , unde . d1 ax + by + c ; d 2 a1 x + b1 y + c1 . Facem schimbarea de variabilă t = x − x0 şi schimbarea de funcŃie u = y − y0 , atunci ecuaŃia (27) se rescrie (28)  ax0 + by0 + c + at + bu  du = f ⇔  a1 x0 + b1 y0 + c1 + a1t + b1u 

 at + bu  du = f  , o ecuaŃie omogenă. dt  a1t + b1u 

a b = =λ, a1 b1

ecuaŃia (27) devine

 ax + by + c  dy = f  λ ( ax + by ) + c  dx 1  Facem schimbarea de funcŃie ax + by = u , atunci (28) se rescrie

(

/

   u+c  1 u −a = f   , o ecuaŃie omogenă. b  1 u + c1  λ 

)

(29)

(30)

37

EcuaŃia liniară de ordinul întâi

:

/

Forma generală

y + P ( x ) y + Q ( x ) = 0, P, Q [ a, b ]

continue

(31)

/

Rezolvare I. 1. Se rezolvă ecuaŃia omogenă y + P ( x ) y = 0,

(32)

având soluŃia y1 ( x ) . I. 2. Facem schimbarea de funcŃie

y = y1 ( x ) u ( x ) /

/

în ecuaŃia (31) şi găsim

y1 u + y1u + P ( x ) y1u + Q ( x ) = 0, /

(

/

sau

)

u y1 + P ( x ) y1 + y1u + Q ( x ) = 0, /

/

y1u + Q ( x ) = 0 ⇒ u = −

Integrând obŃinem

(33) (34)

Q ( x)

y1 ( x )

u ( x) = ϕ ( x) + C

Astfel găsim soluŃia ecuaŃiei (31) va fi

y = y1 (ϕ ( x ) + C )

(35)

/

II. Metoda variaŃiei constantelor II. 1. Se rezolvă ecuaŃia omogenă y + P ( x ) y = 0,

(36)

având soluŃia y = Cy1 ( x ) . II. 2 Metoda variaŃiei constantelor constă în a căuta pentru ecuaŃia (31) o soluŃie de forma y = C ( x ) y1 ( x ) . Astfel ecuaŃia (31) devine /

/

( x ) + y1 C ( x ) + P ( x ) C ( x ) y1 + Q ( x ) = 0, y1C ( x ) + Q ( x ) = 0, Q ( x) C ( x) = ∫ − dx + C1 , /

y1C

(37)

y1

iar

C ( x ) = Ψ ( x ) + C1

(39)

y = Ψ ( x ) y1 + C1 y1

(40)

Înlocuim (38) în y = C ( x ) y1 ( x ) şi găsim soluŃia ecuaŃiei (31)

38

Test de autoevaluare rezolvat- Analiză matematică

/

/

1. CalculaŃi derivatele parŃiale de ordinul întâi ale funcŃiei f ( x, y ) = 2 x − 3 y + 1 /

/

a) f x ( x, y ) = 2; f y ( x, y ) = −3 ; /

/

b) f x ( x, y ) = 3; f y ( x, y) = −3 ;

/

/

c) f x ( x, y ) = 3; f y ( x, y) = 3 ; d) alt răspuns. Răspuns a) SoluŃie f x ( x, y ) = 2; f y ( x, y ) = −3

2. CalculaŃi derivatele parŃiale în punctul M (1,0) ale funcŃiei f ( x, y ) = x 2 + y 2 − 4 xy a) f x′ (1, 0) = 2 , f y′ (1, 0) = −4 ; b) f x′ (1, 0) = 4 , f y′ (1, 0) = −4 ; c) f x′ (1, 0) = 2 , f y′ (1, 0) = −2 ; d) alt răspuns. Răspuns a) Rezolvare Fie M ( x0 , y0 ) unde x0 = 1, y0 = 0 , atunci f x′ ( x0 , y0 ) = 2 x0 − 4 y0 ⇒ f x′ (1, 0) = 2 f y′ ( x0 , y0 ) = 2 y0 − 4 x0 ⇒ f y′ (1, 0) = −4

3. CalculaŃi derivatele parŃiale de ordinul al doilea ale funcŃiei f ( x, y ) = x 3 + y 3 − 3 xy a) f x′′2 ( x, y ) = 6 x , f y′′2 ( x, y ) = −6 y , ′′ ( x, y ) = −3 ; f xy

b) f x′′2 ( x, y ) = 6 y , f y′′2 ( x, y ) = 6 x , ′′ ( x, y ) = 3 ; f xy

c) f x′′2 ( x, y ) = 6 x , f y′′2 ( x, y ) = 6 y , ′′ ( x, y ) = −3 ; f xy

/

d) alt răspuns. Răspuns c) SoluŃie f x′( x, y ) = ( x3 + y 3 − 3xy ) x = 3 x 2 − 3 y /

/

f y′ ( x, y ) = ( x3 + y 3 − 3 xy ) y = 3 y 2 − 3 x

f x′′2 ( x, y ) = (3x 2 − 3 y ) x = 6 x

39

/

/

f y′′2 ( x, y ) = (3 y 2 − 3 x) y = 6 y

′′ ( x, y ) = (3 y 2 − 3 y ) x = −3 f yx

4.CalculaŃi derivatele parŃiale de ordinul al doilea ale funcŃiei f(x,y) = ex-y a) f x′′2 ( x, y ) = e x − y f y′′2 ( x, y ) = −e x − y ′′ ( x. y ) = −e x − y f yx

b) f x′′2 ( x, y ) = e x − y f y′′2 ( x, y ) = e x − y ′′ ( x. y ) = −e x − y f yx

c) f x′′2 ( x, y ) = e x − y f y′′2 ( x, y ) = e x − y

′′ ( x. y ) = e x − y f yx

/

d) alt răspuns. Răspuns b) Rezolvare

( ) =e f ′ ( x, y ) = ( e ) = −e f ′′ ( x, y ) = ( e ) =e f ′′ ( x, y ) = ( −e ) =e f ′′ ( x. y ) = ( −e ) = −e f ′′ ( x, y ) = ( e ) = −e y

x− y

x

x− y

x− y

y

x− y

x− y

x

/

xy

x− y

/

yx

x− y

y

/

y2

x− y

/

x2

x− y

x

/

f x′ ( x, y ) = e x − y

x− y

x− y

y

5. Să se calculeze diferenŃiala de ordinul întâi pentru următoarea funcŃie:

f (x, y) = ex+2y definită pe R2. a) df ( x, y ) = e x + 2 y [ dx − 2dy ] b) df (x, y ) = e x + 2 y [dx + 2dy]

c) df ( x, y ) = −e x + 2 y [ dx + 2dy ] d) alt răspuns. Răspuns b)

/

/

Rezolvare: Deoarece f x ( x, y ) = e x + 2 y şi f y ( x, y ) = 2e x + 2 y

40

şi atunci df (x , y ) = e x + 2 y [dx + 2dy] 6. Să se calculeze diferenŃiala de ordinul al doilea pentru următoarea funcŃie:

f (x, y) = ex+2y definită pe R2. a) d 2 f ( x, y ) = e x + 2 y dx 2 + dxdy + 4dy 2  b) d 2 f ( x, y ) = e x + 2 y  4dx 2 + 4dxdy + dy 2  c) d 2 f ( x, y ) = e x + 2 y  dx 2 + 4dxdy + 4dy 2 

f

( x, y ) = e x+ 2 y  x = e x + 2 y

y2

( x, y ) =  2e x + 2 y  y = 4e x+ 2 y

/

x2

/ /

f

/

/ /

d) alt răspuns. Răspuns c) Rezolvare

/

/ /

f xy ( x, y ) =  2e x + 2 y  = 2e x + 2 y  y /

şi atunci d 2 f ( x, y ) = e x + 2 y  dx 2 + 4dxdy + 4dy 2  7. SoluŃia ecuaŃiei y = 2 x + 1 va fi a) y = x2 + x + C ; b) y = 2 x2 + x + C ; c) y = 2

x3 + x+C ; 3

d) alt răspuns. Răspuns a) /

8. SoluŃia ecuaŃiei y = y va fi a) ln y = x + C ; b) ln y = x 2 + C ; c) ln y =

x2 +C ; 2

d) alt răspuns. Răspuns a) /

9. SoluŃia ecuaŃiei y =

2x + 1 va fi 2 y −1

a) 2 y 2 − y = 2 x 2 + x + C ; b) y 2 − y = x 2 + 2 x + C ; c) y 2 − y = x2 + x + C ; d) alt răspuns. Răspuns c)

41

/

10. SoluŃia ecuaŃiei xy = − x − y va fi a) x ( x − 2 y ) = C ; b) x ( 2 y + x ) = C ; c) x ( 2 y − x ) = C ; d) alt răspuns. Răspuns b) /

/

SoluŃie

xy = − x − y ⇔ y = −1 −

y x

Facem schimbarea de funcŃie /

/

y

y ( x) x

= u ( x) ;

/

( x ) = u ( x ) + xu ( x ) . Astfel ecuaŃia devine

xu = −1 − 2u ⇔

du dx = − , integrând 1 + 2u x

obŃinem

x 2 (1 + 2u ) = C , adică x ( 2 y + x ) = C , soluŃia generală a ecuaŃiei.

11. SoluŃia ecuaŃiei 1+

a)

dy x − 2y + 5 =− dx 2x − y + 4

y+2 x +1 2

va fi

= C ( x + 1) ;

y+2   y+2 1 + x + 1  1 −  x + 1      y−2 1− x −1 b) = C ( x + 1) ; 2 y−2   y−2 1 + x − 1  1 −  x − 1      y−2 1− x +1 c) = C ( x + 1) ; 2 y−2   y−2 1 + x + 1  1 −  x + 1     

d) alt răspuns. Răspuns c) SoluŃie Rezolvăm sistemul :

:

 x − 2y + 5 = 0  x = −1 ⇒ , deci d1 ∩ d 2 = {M } , M ( −1, 2 ) , unde  − 2 x + y − 4 = 0  y=2 . d1 x − 2 y + 5 = 0; d 2 2 x − y + 4 = 0 . Facem schimbarea de variabilă t = x + 1 şi schimbarea de funcŃie u = y − 2 , ecuaŃia

devine

42

du t − 2u , ecuaŃie omogenă. = dt u − 2t u 1− 2 du t = u dt −2 t

(1) (2)

Facem schimbarea de funcŃie, (3)

u = v (t ) t /

/

Cu ajutorul relaŃiei (3) ecuaŃia (2) se rescrie 1 − 2v 1 − v2 ⇔ tv = ⇔ v−2 v−2 v−2 dt ⇔ dv = , 2 t 1− v

v + tv =

Integrând membru cu membru avem

ln

1− v 1 1− v = ln tC ⇔ = tC , 1− v 1+ v 1 − v2 1 + v 1

2

Astfel, găsim soluŃia generală a ecuaŃiei 1−

y−2 x +1

y−2   y−2 1 + x + 1  1 −  x + 1      /

12. SoluŃia ecuaŃiei y =

1 − 3x − 3 y 1+ x + y

2

= C ( x + 1)

va fi

a) − ( x + y ) − 2 ln ( − x − y + 1) = x + C ; b) ( x + y ) + 2 ln ( − x − y + 1) = − x + C ; c) − ( x + y ) − ln ( − x − y + 1) = x 2 + C ; d) alt răspuns. Răspuns a) :

| |

SoluŃie b) Observăm că d1 d 2 , unde d1 :1- 3 x − 3 y = 0; d 2 1 + x + y = 0 . Facem schimbarea de funcŃie, u

/

/

x + y = u ( x) ⇒

(1)

( x ) = 1 + y ( x).

EcuaŃia devine

43

/

1 − 3u du 2 (1 − u ) ⇔ = ⇔ 1+ u dx 1+ u 2    −1 + 1 − u  du = dx,  

u −1 =

(2)

Integrând membru cu membru avem −u − 2 ln (1 − u ) = x + C ,

Astfel, găsim soluŃia generală a ecuaŃiei

− ( x + y ) − 2 ln ( − x − y + 1) = x + C

/

13. SoluŃia ecuaŃiei xy − y + x = 0 va fi a) y = ( ln x + K ) x ; b) y = ( − ln x + K ) x ; c) y = ( − ln x + K ) x 2 ; d) alt răspuns. Răspuns b)

/

SoluŃie 1. Rezolvăm ecuaŃia omogenă xy − y = 0 ⇔

dy dx = y x

(1)

Integrând membru cu membru avem ln y = ln x + ln C ,

Găsim soluŃia ecuaŃiei omogene

(2)

/

y = Cx.

/

2. Aplicăm „Metoda variaŃiei constantelor”, căutăm soluŃia ecuaŃiei xy − y + x = 0 , de forma (3) y = C ( x ) x. /

EcuaŃia xy − y + x = 0 , cu relaŃia (3) devine

( x ) x + C ( x ) ) − xC ( x ) + x = 0 ⇔

⇔ x 2C /

Astfel C

(4)

/

(

x C

( x ) + xC ( x ) − xC ( x ) + x = 0.

/

( x) = −

1 ⇒ C ( x ) = − ln x + K x

(5)

/

Atunci ecuaŃia xy − y + x = 0 are soluŃia y = ( − ln x + K ) x . 14. SoluŃia ecuaŃiei y =

x+ y va fi x

a) y = ln Cx ; b) y = x 2 ln Cx ; c) y = x ln Cx ;

44

d) alt răspuns. Răspuns c)

y =

/

/

SoluŃie

x+ y y ⇔ y = 1+ x x

Facem schimbarea de funcŃie /

/

y

y ( x) x

= u ( x) ;

/

( x ) = u ( x ) + xu ( x ) . Astfel ecuaŃia devine

xu + u = 1 + u ⇔ x ⇔ du =

du =1⇔ dx

dx . x

/

Integrând obŃinem u = ln Cx , adică y = x ln Cx. , soluŃia generală a ecuaŃiei. 15. SoluŃia ecuaŃiei y =

(

)

4 y −1 x2 − 4

va fi

1 a) y = C x 2 − 4 + 1 ;  4

( 1 c) y = C ( x 4

) + 4 ) − 1 ; 

1 b) y = C x 2 + 4 + 1 ;  4 2

d) alt răspuns. Răspuns a) SoluŃie /

y =

4 y −1 x −4 2

⇔

4y 4dx dy = 4 y −1 x2 − 4

, integrând obŃinem

( ) 1 y = C ( x − 4 ) + 1 .  4 

ln ( 4 y − 1) = ln C x 2 − 4 , găsim soluŃia ecuaŃiei 2

45