Mate Ma Tic A

1.- Calculo del Área. •

Concepto de Área como limite de una suma: sea una función f(x) una función continua no negativa en ningún punto del intervalo cerrado a< x < b; la integral definida ab f xdx = limn→∞K=1nf xk ∆k x admite una interpretación geométrica sumamente importante. Dividamos el intervalo a< x < b eligiendo los puntos Xk, se levantan los extremos E0

=

E1, E2, E3…, En = b

perpendiculares al eje x; la región del plano limitada por la curva, el eje x y las ordenadas en los puntos x = a y x = b, quedara dividida en n franjas, cada una de las cuales es, aproximadamente un rectángulo cuya base esta apoyada en el eje x y cuyas alturas levantadas desde el punto del eje Xk del subintervalo correspondiente. Así pues, la suma K=1n=F(Xk)∆kX representa el área de los rectángulos. El límite de esta sumaab f xdx , cuando el numero de franjas crece indefinidamente, el área de porción del plano citada anteriormente, o dicho en pocas palabras, el área encerrada por la curva es desde x =a hasta x = b. •

Calculo de áreas por integración: las cosas a tener en cuenta para planear la integral, definida que proporciona el valor del área a calcular son: 1. Trazar un diagrama en el que figuren (a) al área a determinar, (b) una franja representantita y (c) el rectángulo genérico. Para ello tomaremos, sistemáticamente, el subintervalo representativo de longitud ∆Xk o ∆Yk y el punto Xk (o Yk) de ese subintervalo en su mitad. 2. Hallar el área del rectángulo y la suma correspondiente al área de los n de rectángulos. 3. Aplicar la regla de Barrow o teorema fundamental del cálculo integral suponiendo que el número de rectángulos crece indefinidamente.

2.- Área encerrada por la curva.

La función

aparece en varios problemas y por esta razón la estudiaremos en

detalle.

Figura: El área bajo la curva se ha descompuesto en una suma de rectángulos. Una familia de rectángulos dará como resultado un valor mayor para el área buscada, y la otra familia de rectángulos, un valor menor. Para calcular el área encerrada por una curva sumaremos el área de cada uno de los rectángulos que aparecen en la Figura acotados (superior o inferiormente) por la curva. Este es el procedimiento más elemental, existen otros métodos más sofisticados que contienen errores más pequeños. Consideraremos una de estas otras aproximaciones posteriormente. Calculemos una cota inferior para esta área; sumemos los rectángulos achurados, que se ubican debajo de la curva:

Designamos la base del rectángulo que se muestra en la Figura

factor

representa el valor mínimo de

como

. El

en el intervalo enésimo. En

otras palabras, trazamos un rectángulo que toque a la curva

en el punto más

bajo de cada uno de los intervalos.

En seguida desarrollamos

y usamos las siguientes

propiedades de las sumatorias (válidas si las sumatorias son finitas).

La sumatoria se transforma entonces en:

Para simplificar los cálculos, haremos

de esta forma este término no aparece

en la sumatoria. En general, para funciones más complicadas que la actual, el valor de

se hace depender de

, con el objeto de minimizar el error introducido.

En algunos de los cálculos posteriores -en otros capítulos-, esta longitud, será incluida en la suma, con el objeto de lograr un resultado exacto. Volviendo a nuestra sumatoria, observamos que después de esta simplificación, la expresión queda

En la Figura se aprecia que el área denominada con

área encerrada bajo la curva

es MENOR que la que el

que es la que debemos calcular.

Ahora si tomamos el rectángulo cuya altura corresponde al valor máximo de la función en el intervalo, entonces obtenemos

Nuevamente hemos tomado la longitud de la base del rectángulo, igual a la unidad. También, en la Figura se aprecia que el Área

es MAYOR que el área que

deseamos estimar. Hemos obtenido una cota superior e inferior para el valor del área encerrada por la

curva

. No es difícil aceptar que un valor más cercano al valor exacto asignado

al área encerrada bajo esta curva, se obtendrá promediando estas dos cotas. 3.- Área común a varias curvas. En esta sección estudiaremos como calcular el área entre dos curvas. El problema es el siguiente: Dadas dos funciones f y g, encontrar el área contenida entre sus gráficas en el intervalo [a, b]. Para ilustrar el problema y el procedimiento, observa el siguiente ejemplo. f(x)= 3x3 - x2 - 10x

g(x)= - x2 + 2x

Utilizaremos el mismo procedimiento que se usó para encontrar el área bajo una curva. Se aproximará el área entre las dos curvas haciendo una partición del intervalo [a, b] en

n subintervalos de longitud (b-a)/n. En cada subintervalo escogemos un valor particular de x, al que llamaremos x*. 1. Evaluamos f(x*) y g(x*) y formamos rectángulos de base (b-a)/n y de altura f(x*)-g(x*) (si f(x*)>g(x*)). 2. El área de dicho rectángulo es (f(x*)-g(x*)) ((b-a)/n). Al sumar las áreas de los rectángulos obtenemos una aproximación al valor del área entre las curvas. 3. Tomando el límite cuando n

∞ obtendremos el valor exacto del área buscada.

4. Por definición, el límite de la sumatoria de Riemann es la integral definida de f(x)-g(x) en [a, b]. Si g(x)>f(x) en alguna parte del intervalo, entonces la altura de los rectángulos es g(x*)f(x*). En cualquier caso la altura de los rectángulos es |f-g| (valor absoluto de la diferencia). Enseguida se calculará el área de la región entre dos curvas Dentro del intervalo (-2,2), las curvas: y=2(1-x2) y y=x2-1 se intersectan en x = -1, 1. f(x)=2(1 - x2) ; g(x)=x2-1 El área entre las curvas en cada subintervalo es: {4, 4, 4} Cada una de estas áreas tiene que ser calculada por separado. El área total entre las curvas es: 4 + 4 + 4 = 12

Dentro del intervalo (-1,1.5), las curvas: y = -x2/3+1 y y = x2/3 se intersectan en x = 1. f(x)= -x2/3+1 ; g(x)=x2/3-1 El área entre las curvas en cada subintervalo es: {1.6, 0.15867} Cada una de estas áreas tiene que ser calculada por separado. El área total entre las curvas es: 1.6 +

0.15867 = 1.75867

4.- Longitud de una curva La longitud de una curva dada paramétricamente por x = f(t), y = g(t) en [a,b] se define mediante: a

[ f '(t)]2 + [ g

S=

['(t)]2 b

]

1

2

Observaciones: 1) Una curva C puede tener más de una parametrización. Sin embargo, se debe tener cuidado de que la parametrización que se elija efectivamente represente a la curva completa. Por ejemplo, para parametrizar la recta y = 2 x + 1, podemos utilizar x = t, y = 2 t + 1 con t en el intervalo (-

,

). Otra parametrización plausible podría ser x = t2, y = 2

t2 + 1. Sin embargo, en la segunda elección x

0 para todo valor del parámetro t, por lo

que esta parametrización solo describe una parte de la recta dada. 2) Una curva descrita por una función y = f (x) siempre se podrá parametrizar mediante x = t, y = f (t) 3) La gráfica de una función diferenciable y = f (x) puede tener solamente una tangente en un punto, pero la gráfica de una curva descrita paramétricamente puede tener más de una tangente en un punto, puesto que la curva puede cruzarse a sí misma.

En esta sección veremos como calcular la longitud de una curva dada en forma paramétrica. Primero necesitamos introducir cierta terminología. Se dice que una curva C, dada paramétricamente por x = f(t), y = g(t) en [a,b] es alisada si f ' y g' son continuas en [a,b] y no son simultáneamente nulas en (a,b). Si C es una curva alisada, entonces podemos calcular su longitud de la siguiente manera: Hacemos una partición del intervalo [a,b] (del parámetro t) dada por: a = t0 < t1 < t2 < ... < tn = b A cada valor de t en la partición le corresponde un punto sobre la curva. Uniendo los puntos consecutivos con una recta obtenemos una aproximación a la curva, y la suma de las longitudes de las rectas es una aproximación a la longitud de la curva.

5.- Ejemplo.

6.- Aplicaciones. El Cálculo de Área se utiliza para encontrar el área, volumen y longitud de una forma geométrica no conocida tales como, los científicos utilizaron este método para calcular el área y la longitud de un desierto para luego hacer estimar la temperatura de dicho espacio. En los campos eléctricos hay secciones de figuras geométricas conocidas a las que se les saca el área mediante una integral y de este resultado obtenemos el cálculo de carga eléctrica que posee dicha figura.

Esquema. 1.- Calculo de Área. 2.- Área encerrada por una curva. 3.- Área común a varias curvas. 4.- Longitud de una recta. 5.- Ejemplo. 6.- Aplicaciones.

Republica Bolivariana de Venezuela. Ministerio del poder Popular para la Educación. Instituto Universitario Politécnico Santiago Mariño. II semestre, Sección A. Área: Matemática.

Cálculo de Área.

Integrantes: Chirinos Yosi. González Francilys. Portillo Jonathan. Medina Patricia. Villalobos Ángela.

Zabala Isabel.

Ciudad Ojeda 14/07/09