Mate Ii (7-8)

r

M6dulo 7 f'

OBJETIVOS

ESPECIFICaS

Al terminar de estudiar este mddulo. el alumno: 1. 2. 3. 4. S. 6.

Detinirá 10que es un sistema matemático. Explicará a qué se refiere el isomorfismo de dos conjuntos. Explicará qué es un modelo matemático. Explicará el concepto de exponentes racion,ales. . Explicará la ampliación de la ley de exponentes. . Aplicará el conocimiento sobre exponentes racionales. en la obtención de expresiones algebraicas equivalentes con radicales. 7., Simplificará ~xpresiones algebraicas con exponentes racionales y radicales usando las leyes de los exponentes.

ESQUEMA RESUMEN -Isomorfismo de dos conjuntos -Modelo matemático .

-Exponentes -Ampliación Para todo

racionales de la-ley de los exponentes

- a, b E: R

a, b :::/: O Y m~ n f.=1):

am.. an

= am+n

(am ) n

= am.n

(ab)n = anbn am -

,

= am-n

a"

(-r-:: 79

7.1 Isomorfismode dos conjuntbs. Exponentes racionales . Un conjuntode

elementos~la definici6nde una o más operaciones

con esoS elementos nos sirve para constituir lo que se llama un sistema '"atemático; existen infinidad de sistemas mátemáticos y a muchos d.e ellos s~ les ha encontrado una aplicaci6n práctica, ya sea en la.tisica, la. quimica, la economia, la lingUistica, la informática, etc~, aun en las artes hay aplicaci6n de los sistemas matemáticos, y a E;SOSe debe la importancia' de estudiar la estructura de esos sistemas matemáticos y poder así eS~ábl.ecercomparaci6n con los conjuntos de fen6menos tlsicos. o de elementos artísticos y de ahí el descubrÍlpiento de catres. pondencia entre los elementos de esos conjuntos y l~s elementos del conjunto de números reales. Así se descubri6 que a cada sonido le corresponde un núme~o y viceversa, po~ ejemplo al sonido Do le corresponde

el

.

número 256 que son las vibraciones por ~egundo que nuestro oído registra con e:;a nota m~sical. Dos sonidos simultáneos como el Do yel.

~,

que es ht r~laci6n da sus MI se corresponden con el número frecuencias. Del mismo modo se estableci6 tina correspondencia entre los elementos de la.pintura, el color básicamente, y los números reales, pues a cada color le corresp0!ldt>lIna frecuencia. s610que ahora la percibe la .

vistaen lugar del oido. Deflnic~ón:

Isomorfismo '.

Modelo

Cuando existe correspondencia blunívoca o uno a uno entre los elcmentQs dé dos conjuntos y esta correspondencia se conserva al efectuar una o ~ás operaciones entre los elementos, (sin que deban ser las mismas operaciones), se diCe que esos d.os conjuntos .tienen la misma forma para esas operaciones o que existe isomorfismo entre ellos para esas operaciones. Lo anterior significa que un conjunto cuyos el~ment
.

. maten16tiQo .

.

que en muchas ocasiones no puede p'roducir un modelo real para comprobar una teoria o. tiene q~e e~perar años a que la naturaleza h; . produzca. en cambio los modelos matematieos SOl)prácticos. económicos y accesibles~ Aun 'entre los mi;;¡rtlOssistenUts matemáticos el isomorfi's~o de diferentes conjuntos nos permite simplitkar las operaciones en on

80

co~iunto, efectuando otras má:~simples en un conjuntollo8lorfo, (en el tem~ Representación geométrica de los números reales, sin saberlo aplicamos el isomorfismo entre R y A para "visualizar . . las operaciones ( I I I } L graficándolas -4 3 2 I o I 2 3 4 as operaciones con po tencuts o .radicales presentan muchas dificultades y es conveniente buscar el Isomorftsmo con otro conjhnto que nos permita simplificar el manejo de esos elementos. Consideremos pues los siguientes conjuntos:

.

-, -, -I , I ,

M: conjunto 4e potencias enteras de x, x un valor.indeterminado. E: conjunto de enteros. M = {...,x-3, x-2 ,x-I,

xo, xl, x2, xl,u.}

E = {ui,-3, -2,

O, 1, 2, 3,H'}

.

t't

t

-1,

~ t t t

Analizándo la córrespondencla biunívoca entJ;e los elementos de M y E y dos operaciones definidas en cada uno de ellos, podremos establecer si existe IsomorOsmo entre ellos. En el conjunto M están d@tinidasdos operacIOnes de acuerdo con el teorema Leyes de los Exponentes, la multiplicación y la elevaCión de

.

potencias'.xm . xn = xm+n;(xm)n = xm..n (m, n, E: E) La elevación,de potencias la simbolizamos con * (léase estr~lla) de

mododeescribii-(xm)ncomoxm * xn = xn =xnl.n (m, n, € E) M es cerrado para esas dos ope\'3:ciones.

Como ya sabemos E es cerrado pa~a la suma y la multiplicación, observemos entonces que hay correspondencia de e.s operaciones con las dos mencionadas para M.

81

M Es decir que la operación de sumar enteros corresponde a In d~ multiplicat potencias enteras de un~ 'misnla base.. ,

~

+E

. 111

. y lu de multiplk'ur cnteros 'corl'esponde a la de elevar a

UIH\ 'potcllciaentera las pptenciasenterasde x.

'

M E

Snbcl110spor el estud'io de 1L\estructura del conjunto E que las ol'crnciullt:~ vistas cun1plen cpn todos los postulados de campo, excepto

el de inversos para la multiplicación.razón por la-cual se ampli6 este cl''i11junto.formando el conjuntu D de los númerns racionales con cuyos ~Lcl11entossiempre son posibles las cuatro operaciones ,fundamentales., Entonces ampliemos también nuestro conjunto Mi considerando ahora éx~ol1entes racionales para las potencias de X y formando asi el conjunto

a

,

que llamaremos 1 == {xi" la, b E E}. Verifiquemossi se conservael Isomorfismo entre los conjuntos l y D para las operaciones ya discutidas.

,

x-2 .

1

3

1

¿ ~ i

'" x-i '.

.'

3

3

~

'1.

xi = x'

. -2, ...,x - i3 , ...,x -1, ...,x - i1 , ...,x o, ...,Xi1 , x ¡3 , x 1, ..., i3 , ...,.x2, 1 = {...,

D

1 3 ...., - -, _u 1

3= {...,- 2' ...,- --.,..., - 1,

~

,

I

-2 + -i = -

3

\_.i_3

~,2"'"

--

2

2

}

2, ...}

4 2 - -,-

. Ambos conjuntos son campos porque siendo 1 de la misma forma que D y D un campo, entonces' J también 10 es, y para cada elémento existe un inverso en las operacÍones correspondientes. ~

,

'

En D

n + (~n)

= O;

En 1

n'"

-~-

n

=1

n E D, n

=f=.O.

n E D, n =1=O 1

El elemento inverso para ~a elevación de potencias (*) es x n de modo que siendo estrella (*>una operación conmutativa, ([ es un campo), podemos

82

escribjr:

,

'

xn * xn

= xn

1 Xn * Xn ='(X;)n

es decir

* Xn. = Xl

por la definición de *.

elevado a la potencia n nos pa x H. Compare la expresi6n anterior con las definiciones de raíz enésima. "2 elevado a la sexta potencia da 64" por 10tant.02 es la.raíz sexta de 64. 2 = {/64 .

..a elevad(~a

ené'i.imade b. .

la pot~nda n nos da b". por lo tanto, a es la raíz nr;a = vb.

Complete usted la siguiente implicación:

.~.

1

.

HSi .Xn elevado a la potencia n nos da x, entoncés...H 1 De su conclusi6n poden1Osdecir que ~Jn~m~ro xn ..existe. es.r~al y es único /y que utilizando el Isomorfismo podernos considerar las operaciones con los ele!11entosde 1 en lugar de las operaciones con los radicales. Denniciones:

xn

='~,

x. E R, n E N Y si 11es par

~

x 2: O

m

X)j- =: !!Ix';' = (zy;-)m, X E R, ~n E D Y si n es Par,::;>x >- O Ejemplos: I

a)

= .ifij = 3

273 I

b)'

162

= v'16 = 4 I

c)

(-16)4

== V-16

quc no está definido porque siendo n un número par la base de la potencia o radicando es negativo.

2

d)

83

=

= ()2

= .v64 = (2)2 = 4 Como-los números racionales tienen un número infinito de representacionés que podemos cpnocer 9 encontrar aplicando el teorema 3-19 (~=/x~\ de cumplir exactamente conlas y yr debemos tener'cuidado . 83

'\

definiciones, en el sentido de que la base de la P9tencla debe ser un número positivo para poder aplicar el teorema 3-19, ya que se' corre, el riesgo de cometer, errores al cambiar la representaci6n del exponente c0J!10se muestra en los ejemplos siguienteS': I

I

(-16)2

1)

~

~

. = (-16)4

(-16)2

El numerador del exponente cambi6 de impar a par. siendo la base un número negativ.o. =1=

-

'2

'

'

Correcto

=',

~ 256

6 (númeroque no existe)~

4,

o\no existe ese número real.

= I

2)

,

I

1

2

(- 27)3 =1=(- 27)3' . 2"= (- 27)2/6. siendq la base negativa. I

Incorrecto

'El denom~ador cam1;>i6de impar a par,

,

Correcto

(- 27)3 = .J - 27 = .,-3. (27)21f1 = {I(-27)2

= {l729

=

3

Ó

({I(:- 27)Y

Ó

(númeroque no existe)2

Ó'

no existe ese número real.

Incorrecto

Podemos ver entonces que la aplicaci6n' del' teorema 3-19 al expo-; nente nos cortduce de una respuesta única, a una disyunci6n en la que no se dice cuál de ,las proposici6nes es la verda~era y en ocasiones l~ disyunción es falsa como en el ejemplo 2. Una 'conclusi6n que podemos dedl1cir del Isomorfismo entre los conjuntos 1 y D, es la ampliaci6n de ¡as Leyes de los Exponentc.; o Teorema 6-1. considerando a m y n números racionales en lugar de elementos de E.

,

'

Para todo a, b ~ R, tl-,.b =1=O Y m; 17E D am

. an = am

(am)n (ab)n

a~ an '(~ 'b )

84

+ n'

= am . n = = am - n.

n

= an bn '

\

Al igual que se indicó con los, exponentes negativos y cero, en el manejo de expresiones algebraicas unas veces'es conveniente el I¡lsode, racUcalesy otras, su equivalente con exponentes racionales, 'equivalencia demostrada con el isomorfismo e~tre los conjuntos 1 yD. Eaemplos:

'

Cambie laexpre!ión de modo qu~ no te~.a exponentes fracclonarlOl o negativos y encuentre el valor más simple para ella: ,

_-3 >= 2-4 = - 1 12

(2 -6)

1)

2/3

= 2

,

'

24

(~\125) - ¡ = \{125\i 87

2)

= 12S2/~= (~2, 8213,'

(eI8)2

,

1

= ~', = 25 '22

4

.

(22,+ 34)2= v22 + 34 = ':';4+ 81 = J85

3) .

'

,

1 ,

1

1

'1

NOTA: (22 + 34)2 ~* (22)2 + (34)2 \

Cambie la expresión de'modo que no contenga radicales. ,

4)

V8 =

5)

~81a3

1

82

.'

,

1

..¡a2

1

= (81a3)4= ,

6)

+ ,b4 = (a2 +

l'

(81)~ (a3)4= 3a3/4 ,

b4f 12 1

7)

.

~(a3- + b,3)C3= [(a3+ b3)C3f' = ~a3

1

I

+ b3)i'(C3)i

I

'::¡: ~a3

+ b')ic

. Cambie la expresión de modo que toda s~a un rádlcandO del, indice

que se da. Consideresólovalorespositivosparalas v~lables. 8) lndice 2 .

~) 2t

1

2

.

'

= (2X)1 = (2~)2 = ..¡(2x )2 =

..¡4x2

'22 r-r~ b) 3r2/3= (3ri)! = "(3riy = '\J 9ri

f

I

= '\J (5X2~2

I

+ 2(5xí) (2x)312+ [(~X)3/2]2

,', .j52 x21'¿+' 2(5) (2X)2/:l (xl¡:,~)'{2~)1::.!+. (2x~3 =

=:. y25x + 2(5) (2) X(X)l/2 .(2X)1.:.!+ 83X3= y25x . + 20xy2x2 \

+ 8x3 85

2

a + 2 = (a + 2)2 = v(a + 2)2 =

d)'

'

J a2

+ 4a + 4

l'

Indice 3

9)

3

a) 3a

b) 3.JX ,

'

,

= (3a)3 = {/(3a)3 ~ .

13

= (3xi)3

{/27a3

3r-r:-

'=

3

~~

{¡ (3xi)3 = \¡ 27xi -

,

= (x + 2)3 = {I(x. + 2)3 =' ~

c) x + 2

~.

+ 6x2 + 12x + 8

.

.REACTIVOS DE AUTOEVALUACION

~,

Escriba en lo~ problemas' del 1 al 6 tin~ expresión equivalente usando radicales, toda la expresión debe ser radicando. ' I

1.

xi

3.

4a3/4

,2.

2 33

4.

(2b)' 1'3

6.

'

En los problemas del 7 al 11, escriba una' expresión contenga radicales ni .fnicciones. ' '.

7.

ifi2 ;¡¡;;

{O,

8. . vx2 + ya 9.

.Jx2

ya

/

(256)1/8

equivalente

que no

a2 - .42'

11.''::¡xay '-

2xy2

. ,

En los problemas siguientes, efectúe' l~s/ op.eraciones indic~das y simplifique usando las leyes de, los exponentes ya generalizada a exponentes raclon¡¡)es. Considere. que todas las variables son números positivos y no debe dejar exponentesnegativos,cero o fracclonarlosen la respuesta. 8 - 1.. 4a3X - ¡ 12. ~ 27) 3 1S. ax -1 ~

( )

13 .

'14.

(.01)3/2

(100)0 I 2~3

86

1

16.

2

17.

. 3

xi. x3yi

xi I

_!. 3 X 3 yi

1

. xi

I

(8r3s~)(2r-

'1' . .

25.

(aj.:. bj-)(é"

,.

2S2)

1

(aZ - b2) (a1-+ b2)

I

19.

1

24.

l'

f

I

+ 03

I

bi

2

+ b3)

.,S"I .,..0. -3r~ + .:::S

' r-2

2 1. 4x -1 -

5

5 2'7. (x2

X'

22.

I (1602 b4)2 (20-2).

23 .

(2x .,. b¡ C)3 \

I

+ I)"¡

(x2

+

1)0 (x2

+ 1)3

.

2,'

.

\

\

87

,, M6dulo'8

OBJETIVOS

l. 2.

ESPECIFICOS

Al terminar de estudiar'este m6dulo, el alumno: Demostrará, algunas leyes de los radicales. Utili~ará las leyes anteriores en la simplificaci6n de expresiones con radicales.

3., Resolverámultiplicacionescon radicalessimplificandoel resultado. 4. s. 6. 7.

'

Definirá las condiciones para la simp"tificaci6n de radicales. Resolverá divisiones C1eexprc::sionescon radicales, simplificando el resultado. Racionalizará denominadores en ;cualquier fracci6n simplificando los resultados. Obtendrá expresiones' equiv~lentes con indices propuestos a expresiones con radicales dados.

8. Simplificaráel indi,cede radicalesd,dos. , 9. Resolverásumas y restas de expresionescon radicales, simplificandoel resultado.

.

ESQUEMA RESUMEN LEYESpE LOS RADICALES

Vb"'= b

A)

*

. . B)

yra¡;

COIldiciones

(ab)

l/n

=

al!n

V'il . O -"Ir';b-l;¡b. -r-

D)

'myr;-

\iVD

bl/n

= ~ V'b

1. Todos ~osfactores con potencias enésimas exactas o m6ltiplos de n, deben eliminarse del r~dicando. 2. El indice del radical debe ser el minimo posible. 3. No debe háber fracciones en el radicando" es decir que su 'denominador

para la simplificación de radicales ,

"

a C) . , -.= b '

I

1

debé

ser racionalizado.,

.

I

OPERACIONES

CONRADICALES

-~

J .l

Suma Resta M ultiplicaci6n

Divisi6n

----

-

~-'"

'

'"

.

LEYES DE LOS RADICALES

a, b t::. R, n, t::.N'

Si

Y ningún radicando es negativo si n ~s par:

"¡;::;A) ."r¡jñ= b Demostración: V b" = b"I",'como ~nn = '1=> yu ' ,

-

I

b 1= b

,

B)

= \10 {lb Demostración:

\Iiib

ff

va.

C) '! - = -"/L;b ,

D)

b

'. " a

..."¡-;;-'

,a

=1=

o,

Demostración: E-=

v b

'

~ =

\/iib = (ab)1m= al/"bl:"= {la \lb

"b

"W""

a

1/"

(- )

- b

al/ti

=-

bI/"

,

n

\.f'(r

==-

\lb

Demostración:

~

= (al/")l/m=' al/"'l/m= al/m."=

~

A c(~ntinuaci6n las leyes de los radicales s'e usan en casos n.uméricos para observ~r su funl'iolHl111icnto. Ejemplos:

.yI(x - 1)2 = Ix- II

V'54

B)

= ij27 . 2 = W \Y2=

~X:4yi'= a '(x'

C)

(y

D) ',M-'

(J~ecordar detini~i6n de ~alor absoluto en la Ul1icl~d V M6dulo 3 y su relaci6n ,COb los ntdicales en esta unidad al ti"nalde] M6dulo 6.

\Y2

'

WW

+ 1).:i - \/(x+ ) ):1 -

-

,3

2)6

-

~(y

-

2)"

-

(x + 1):I/:i (y

-

(x +

1)

- 2)'6/8- (y- 2):4

~

90

-

- -------

-- ,

8.1. Leyes de lós radicales. Simplificac i ón de radicales. Multiplicación y división Lns expresiones de la forma.tfb ~os representan a un número únlcf'; a, . al que l1amamos raíz principal enésima de' b y como se menciona ante~ hay casos en los que es más ventajoso expresar la cantidad con un radical en lugnr de usar exponentes fraccionarios; . Las leyes de los ra~icales se desprenden de las leyes de los exponentes (TcOl'en1a6-1) ya. generalizadas. yes necesario tenerlas presentes al trabajar con radicales. Recuerde que . . nr:- -1 Vb bn y ~i n es par:;' b ~ O.

=

Como una actividad complementaria proporciona, las justificaciones

enlasdemostraciones delasleye~B.CyD.

.

.

.

Ap\'()vechan~o estas leyes de los radicales puede cambiarse la forma rUQicalde las siguientes maneras: n) Q~itar del radlcal1do las potencfas múltlplo' del indlce, para lo cual factorizamos antes.

l.

.~, ~22

~

se factociza ~

se separan los fáctore.s que. seancubos perfectos

y se aplic~n las le)'es B y A.!

= ~23 . 22= if23if22= 2.v4

2. . b). Reducir el indlce del radical, sin olvidar que el radicando debe ser positivo. .

1.

I

~2Sx6 = ~(SX3)2= (SX3)2/6= (SX3)3 = if5X3. Un segundo método podría ser: ~2Sx6

= 3 '~2Sx6

=.J V(SX3)2

.=

~

c) Racionalizar el denominador. Racionalizar slgnlflca reemplazar la

expresiónpor una equivalentesin radical en donde seIndlqu~.

.

1. Se busca un factor (z) tal que haga que el radicando en el denominador tenga un exponente múltiplo del índice del radical Y'usando el teorema

XY, seefectúael-producto. y = yz =-

. 91

.g

- ~

-

.,-'a 2 = ,X

,

W".

= -'

(X )4/4

~ X

(x)1 4/~

-

..~

.X \i'4

7 a'J Y:! 8x:J b6

~7aJyl

{(ax'b'

=

.

4/Ia1yl

2Ix'b'

~~

=

. (7a'Y') (2xb2) =

2xb' ,

24X4b'

~14d3 b' Xy'

~(2xb2)4

=

~ 14a~ b~ Xy'

2xb2

En algunos problemas lo conveniente puede ser 1araclonallzacl6n del ,numerador 'para lo c.ual.seguirá el mismo método. buscando entonces .que sean las potencias en el numerador múltiplos del indice: La raclo,.nallzaclón, ya sea del numerador o del denominador nos simplifica una divisi6n de radicales. pu~s s610se busca una raiz y se efectúa la divisi6n en lugar de buscar dos raice~ y luego hacer la divisi6n. Simplificaci6n. de radicales

Decih10s qLe un radical está en su forma más simple o que ha sido slm. . pllnca~o cuando se cumplen las siguientes tres condiciQnes: 1. Todos los factores con .potencias enésimas exactas ó múltiplos de n. . han sido eliminados eJelradicando como en los ejemplos del inciso a) anterior. I 2. El indice del radical es el minimo posible, simplificándolo como en el ejemplo del inciso b). 3. -No hay fracciones en ~I radicando, es decir que su denominador 'fue racionalizado, ejemplos en el jnciso c). Una vez que los radicaÍes están en su forma m~ simple, se procede a efectÜar las operaciones con ellos. aunque no es condici6n indispensable haberl~s simplificado. En las 'operaciones de multiplicar y dividir radicales sé consideran dos casos: l)radicales con igual indice, 2) ra,dicales con indice diferente. .

92

--

-- -

011:'

Multipliéaci6n o

caso 1.

La operaci6n se.efectúa aplicando la ley de radicales B.

Ejemplos:

a) (2{14)(3{!¡6)

b)

= 2. 3~.ifi6 = 6~

= o6~ = 6. 4 = 24

v'4Sa2xy3 = v'(1Sax~)(4Sa2xy3) =

~o

= v{15 .' 15 . 3)

.

=

(a. a~) (xa. x) (ya) y(151,+1) 3(a1+2) (X3+1) (y8) -o y152 . 3aa x4 ya VlS2 . x4 y3a3 y3

=

=

-

=

= I'S . X2 v'3a.3 y3

(1S2/2'. X4/2) v'3a:i y3

Multiplica~i6n caso 2. L~loperaci6n se et'ectúa aprovechando el isomorfismo, con los exponentes racionales y sus leyes para cambiar a radicales con indlces I~ales. &templos:

o

J

o.ys .J2

a)

= si

I

22

2

3

= Si .2' = .fSi . .:.rF =

o{/2So..

b)

o

J

v'6x'

~4x4 y2 = (3. 2X')2

J

(22 x4 y2)i

= (3. 2x'

8,

= {/200

)316 (22 x4 y2 )216

División caso J. 'Esta operación se efectúa usando la leyde .radicales.C.

F a

n b

n

~

=~

..

y se simplificausando el teorema ~

= ;:

'

División caso 2. Al igual que en la multiplicaci6n buscamos cambiar a radicales con el mismoíndice, usando los exponentesracionales.

.

93

-

--

.

4 1

b) lf3a

=

(/48a

(3a)3_1

(48a)4

(3a)12

=

(480)3/12

~ = -y El problema de la raclona8zaclo~de radicales en una fraccIónpu~de ~er en algunos casos bastante complicado y es necesario que vea en seguida algunos problemas de los tipos de raclonallzaclón más . frecuentes. Ejemplos: Racionalización 4 de radicales a) ~ r= 5 - vS

~ = ~. : s-.J5 . S-~ b)

(5 - JS) (S'+ JS) = 25 - 5. S+~= 4(5~.JS) = 4(5 .+JSr = 5 +.JS St.J5 52- (.JS)i 25...5 5

1

.J2 + 2./3 =

e)

El factor que agreguemos deDe ser tal que la potencia del radicando iguale al indice. pero que no deje otro radical en el otro término. ~n este caso usamos los binomios conjugados.

1

t

= .Ji - 2./3 ;:: .Ji-2.J3

.Ji 2./3 = .Ji-2./3

.Ji+2J3. .Ji-2.Ji

()2

_(2./3)2 .

2 - 4.3

-10

v'X+T

1 + JX+l

-

= v'x + 1 '. . 1- v' x +1 = Yx + 1 (v' x + 1)2 1 +JX+l. l-v'x+l (1)2 - (vX+T)2

= .Jx + 1 - (x + 1) = . 1 - (x + 1)

.JX+T-x- i -x 8.2 Suma y resta de radicales .

Radicales Se dice qu.e 2 o más radicales son se.-aeJantes, cuando tienen el mismo semejantes índice y el QÜsmor.dlcando. .

La suma algebraica de rádicales se reduce a -combinar todos los radicales semejantes en un solo térmlnQ.

- -

~

- -

~emploll

ar

JT8 +

~

- J72

Ninguno de estos radicales es seme.

jante. por lo que q'ebemoscambiar su forma o simpliflcarlos.

,

,

=J972 + J2"S"72- "3672 = 341 + S~

- 6~

= (3+S,-6)J2

"

= 2~ b) 4v'T2+SJ8-~-7J48 ,4y'¡:3 +5,#2-~-7~

= =

- S ~ - 28 J"j lOv2- SJ2 + 8'v'j - 28v'j

8 v'j + 10J2

= (lO-S)v'2

+ ,(S-2S)v3

= sJ2 - 20J3 e) ,

.Jj

+

{I8i - .Ji7

=.J3

+

~27.3

-~

+

S~ +

S~

= v'j,

+ 3~

-3v'j'

+ S~'

= -2J3 + S~

= 6~ - S.~ + * ~, = (6-S +l)~ 4

= 1~ 4. REACTIVOS DE AUTOEV ALUACION

.

Demuestrela ley de radicalesc.

,

n~

\lb' 2.

= 'ifi' ~'

b

~

o'

-t-

Demuestrela' ley de ,radicalesD. mrm--' m.nr " va = va

/

95

.

"

En los problemas del"3 al 16 reduzca el radical a la forma más simple. Recuerde ,que: )X2 3..

= Ixl 4.

.if8O

6.

S~243

Jt

9.

7. J192 a"b7 (

+;.

12~ x - 25

11. 'la .Ja2 +"60+ 9

1o. ~64x'Y:;-

V32'

.JX+S

Efectúe las mul~iplicacionesy simplifiqueel resultado. 17. {14~ 18". .J,X2_y2.JX-Y' 19. (v6 +v3) (J6-2v3) 20. (J;. +JY)2 -

21. ~

~27x4

23. (2+.v3)(2--V3)

22. ~.ifX

24. (.Jx+y-z) (v'xty+z)

Efectue las divisiones y simplifique el resultado.

25.

4ffi

26.

3.J7

,27. .J3 + 4.J2 - Sv8

.J2

29.

10v6 5../2

=

"

,

.. ~z + 1. z)

ot..

28. {/24a' b {/8ab'

.'

Jab2

~

y sim'PlifiQ~e.

32. -1-2+ .Jj

31'. 2-V3

30. 2.J3

4J54{15

33. 1+.J2 1-.J2

96

.

NOTA: (x+.y z

Racio1)alice los denominadores

,

~

"'

'"34.

~

x+JY

35.

1. ~ +~

~er elProble. ma de VI-3

x+.JX

36.

(a+b+c

1+JX+x

37. aVb-bv'; aJb +bva

= [a+b]+c)

.

39. l-JX+l

1 +JX+l

Convierta los radicales dados a otros de índice 12.

if5

40.

41. JXY

43.

42. if¡¡.

~.

Simplif1queel índice de los radicales dados. 44.

{[9

45.

1~8a3b'

Efectúe laS operaciones indicadas y simpiifique'

2v'18

47.

3J8

50.

{12+.{Il6- {f54

+

48. {I8i - {f2¡

49. 5.Ji - V'64+ 2~

5.1. Y4(x+y):-' 2Y9(x+y) + 3Yx+y

53.

55.'

vI

+

1 y 108 -

~

.

56.

.4+ 2 +../5

3 5+2../5

. BIBLIOGRAFIA DE ESTA UNIDAD'

Dolciani. Mary. Berman. Simón, Woaton. WiJliam. "ALGEBRA MODERNA Y TRIGONOMETRIA ". Ed. Publicaciones Cultural. México. 1967. Cárdenus. Luis, Raggi. Tomás. "TEMAS I. ALGEBRA". Ed. Sociedad Matemática. México.

J97.0.

97

Panele. de verlllcac'6n

-

MQDULO & V ALlDACION

1 1 4. -(-4X)2 =- 16x2

2. 8xl

1. 32

5. -.1.

2:y-.

=

1

l:.

1

7. . 4' = 64

2

9.

x'Y

8.

(1000)0 = 1

11.

3S -(-3)-2 = 3'. (-3)2 = 35,.32 = 3'

10. 4,3.6.102 = 7200

12

"

.

1

1

. 52 =

.

1 2S

.

16. Sx-3 20.

22.

25.

17.

5-1

18.

4x-3

19.

p(n+ 1)-(2n+3) = p"'o2 = p-(n+2)

21.

!a

1 23. a +b

+

!b

= a +b

ab

4.3-1 x4 y"S

a4

xn - yn (xn_. yn) (x2n + xnyn +y2n)

X2n + xnyn + y2n

27. 9(X+1)2 (-2X)' = ~(3)2 -4)' = -64 9.9

a2-ab +b2

ab

=-!!64 99

3a2 (-2a)-1

-

28.

--a32

3a2

1 3a2'-2a

-2Q"

.

- 8+a

8+a 3

8+.a

- -2 (-2)

3

' 1

-6"-'2

- 8+ (-2) 29.

- 3p-q= 35-3 = 32 3°x-1+ 4r2

30.

,r4

=: 9

-

MODULO'6

9 (3 + 4)

-VALlDACION

==

.

63

,

1.

Se entiende por rllÚ eDéslm~ de un número, otro núme~o tal que elevado a la' potencia n se obtenga el número dado. La raíz cuadrada de un número es otro número que elevado al 9uadrado da el. primero y la raíz cÚbica es otro número que al elevado al cubo da el ,primero..

2.

La rlÚz principal enésima de un número es, como se define en el problema anterior, otro' número que elevado a la potencia n da el ptimer número sólo que si el primer número es positivo, la raíz principal también. lo es y si es negativo. la raíz principal sólo existe-cuando el índice es impar, y también es un número negativo.

3.

.J16

6.

V1;¡ -

9.

~-32

{4,- 1 4. .Y23 - S

=4

_3fT - 1

.

4

= -2

19_.1

12.

,

Va2 -

lal

- -----

7'. v'(-4)2.= 1-41 = 4 10.

v'16a2

5. ~i7 = 3 8..

.J-64

= 14al

13. .J=42 No existe-

- - ~- - - - --

1-1.

14.

No existe

fu

=2

~-27x3 = -3x

--

15. v'64x' = 8x4 18.

v'a4kb2k = la2kbkl

(Se toma valor absoluto porque k puede ser im. par y b negativo)

20. .J(X 2)2, x;;.2 = x-2 . 22.

21. V(X-2)2, x < 2 =lx-21

MODULO

1.

,rx'- = vx

4.

(2b)'i

6.

(256)'125

7

va~ +40+4

=.v'(o +2)2 = 10+21

-V ALlDACION

I

_5

.

l.

5.

{/(2b)' '= "32b5"

(270'}'28 = (270'),4, = .270"

1

=

(256)8

=

7.

256

' 2. ifii .Jb8 ;= oibi

-! 1 = . ---,. = (XI+yl) 1 (xl +y2)'

'

1

8

12. ( 27 f i = (_21)i= 27~ = ~.

.s

! 1!' 13. (.01)2 = (100)2

14.,(00)01 --.

2x'i

,

!

1

17. x'. yi1,

-

X i

y3/2

- si

1

=

=1 2

JJ8 1

100"2

= (v100)'

=-1-=-110' 1000

1 2.ifX

.

!+!

= X3 ,

. !_! y2

2

. X = xy-I ==y

'.

101

/

.

.

= ~S.I = i"SI S-

18. 2S-¡ = (Sir i , ,S.,

s.,

a

a

. .

= 16r' -i s-'+I= 16riS-.= ~

19. (Srls")(2r- i Si)

r:

s.

'. I 23. (2x~ ibi c)' = 2' x.abl c' = 8bl c' X

.

a ..

.

= ,(ait

24. (ai- bi) (ai + 'bi) .

.

.

I

'l'

-

.

=a-b

(bi)1

I '

1

.

- (bi)' = a- b

25.

(ai- bi) (ai +aibl +bl) ~ (al)'

26.

vx+y (x+y) ~ (x + y)i (x+y) ~ (x+y)8I1 = V(x+y)'

.

MODULO 8

-VALlDACION

4f (:)fi

1.

2.

3

1

,-

=

.

aii = --=. bii

"8.10 =

Wi =,m.' . ~

==

2~

S. aV9b.c'=\aV3Ib.c.c'= 3ab'~

102

.

.

,¡a.;;;

-L... = a"'"

,*=-b --:rb lfQ 3: ~'=

1

= (a;;);;¡

'

4. S~243= 5"27.9=S~3'.9= lSQ9 6. ~32 -= ~

= 2~

..

8. .

=

~81z4 x' yS

=

"¡.19 + ..1 4 = ..¡

9.

4 36 + 9.

= .,fj3 6 ',,;,.L 6 v'i3

10. ~64x'7y" = ~(4S x~Y")x =. 4x~y.a qx

11. ia.Ja2 +60+9 ~ 2a.J(a+3)2

=~alp+31 =

12.- x-2~ .JX+S

=

(x:"'25)(~5)

= ./X-5

'(x-25)(~-5)

(v'X+S)(JX-5)x-25

}3. .J12x4-36x2y2'+27y4

;:; ~3(4X4-12x2y2+9y4);:;

J3(2x2-3yl)1 t

I

I

;:;

'

Z

14. ~anb2nc3n+1 dn+2 ;;: lanb2ne3n+\ dnH)ñ = ab2 c3 en ddñ ;;: abZ e3d ~edz

Método Alterno S S~3 x'~x'~xa;:;

(

-..

--

;-:= ss s-= w;. ~X6 .xa~xz =~ ~x8~lx2;:;

'3a

---

~SS)---=='; if~.xa;:;

-_.

~S)S--= ~a6'

J7 .lf4 ~l26 = ~4. 26 :: ~la~. 13 ;:; 2~13 ~

18. ..JX'L'"!y2..J,X-Y= 'v'(X'a_yll)(x"-y) ;:: v'(x+y)(X-y)2

;:; J,x-yl v'x+y

I

20.

(v'X + ..Jy)a = x + 2 JXY + y.

, 103

~3) = (2)2- (~3)2= 4 -

~

23.

(2 +lf3) (2 -

24.

(.../x+y - z)(.../:-+y + z) ==(.../X'+y)2- (z)~ = x+y

25.

4~' 3.J7

=

4"'/28'1

3.7

.

-

Z2

= 4.../4.72= 4.2.7 = ~ 3.7

3.7

3

If = 2.../3

26. .lO,!! =.2 Sv2 . V2

27. _fl+4J2-=J.J-S ='V3+4.J]-Sv'"S. .J2 .J2'

.J6+4J4'- 5.Ji6 = 2

~= .Ji"

.J6 2 + 4~10= 1v'"6-6 2 ,

28,,

.:J24a'b 8ab3

V.J3;' ~ =

_V'24a'b ~8ab3

=

2 v'3 =

1 /3 J""i= 2.JIT = ~

=

1b v'Ja'b'

\

30.

4../5 . 4.J5.J5

4.5

10

~Pf5 31, -2 ~ = 2 ifj if52 = -2if75 = -. 4.v5. 4.ifSif52 4.5 10'

32. ---L

,

2+../3

..

= 3(2 /3L = 3(2 /3) = 3(2-../3) = p - 3 V3 (2)2_(~)2

33. 1+.Ji =' i.L!.ffi2 1-.J2

34. ~_.x+~

4-3

.

= -(1 + V2)2

(1)2_(v2)2

= x(x - JY) x2-y 2

I

I

2

X3-x3y" + y3: X+y

.

104

;:7 36.

x +JX = x+JX .- = 1+ JX+x (1 +x) + vX

37. aJb - b J;

= (a Jb- b J;)

'aJb +bva

38.

~

-

==

(a.Jb- b Ja).== a +b -2 Jáb.

(aJb)2 _(bvQ)2

-

a-b

1.t(~+v'3)-v'S]

=.

.J2+.J3-'~.

(..fi +../3)2 - (v'S)2

v'f2+.¡¡g~J30 == 1 J3+1 Ji- --LV3Q.

=

2J6

2.6

6

4'

= (l-JX+l)2 1+v'X+}. (-(x + 1)

-x 1

.¡xy= (xy)2

41.

1

~

46.

~x2 +2xy+y2

12

== 2+x-2JX+l

39. 1-~

44.

.J2+.J3-.J5

==

[(.J2+v'3)+v'5][(v'2+v'3)-v'S]

6

==-(xy)i2 = ~x~ y6

2

= (32)4 == :F ==.J3

.

.

2

== ~(:k+y)2 == (x+y)i

1

= (X.+y)4 = ~x+y

47.' 3vi + 2v'I8 = 6.J2+6v'2 ==12.J2 48. ~

- 6

==3~ -. 2{!3 ,= ~. 49~ 5.J2- {164.+ 2.J32= ¡,.J2- vi + 2J32 ==5.J2~ 1.\12+ 8v'"2' = 11.J2 I .SO. ~ +{!¡6 - ~

= ~ + {/8.2 - {/27 .2 = ~ + 2~ - 3'~ = O

51. v4(x-t:y)- 2v'9(x+y) + 3vx+y ==2v'x+y 52.. 2a~27x3y + 3b~8xSy -

6c~y

= 6ax~

-

6vx+y + 6bx~

= 6x(a+b+c) \,

~

+.3vx+y

=

-

~x+y

-.6c(-x)~ .

.105

'.~ . :

I

SS .

11 + 1"'/108~ = 1.J3 + 1.6J3-J3 = (1 +9-1 ) .J3 = 25"3 V3 2 3 2 3 3

56.

~

.

.

2+JS

+

3

'= 4(2-.JS)

S+2.JS

22- S

+ ,3(S-~JS)

52- 20

=-4(2-Js)+ .!(S-2~) .

=-8+4vS+3-! =.!!.JS-S S

106

~--

--'--"--~"-'-'-'"

S

S'

.JS