Mate Ii (5-6)

.. /

, . UNIDAD' I

VI.

EXPONENTES Y ,RADICALES

, I

'.

~

__1

Int,oducción

\

.

En la Unidad IV hablamos de potencias y definimos al exponente como un f4número de veces", eso '10 limitaba a ser un número natutal y limitaba también la flexibilidad de las operaciones con potencias. En esta unidad, extendemos la idea de exponente hasta l~s números racionales, y conseguimos establecer la correspondencia uno -a uno entre las potencias con los racionales como exponentes y los radicales, mediante ellsomorDsmo, facilitando ast las op~raciones y la simplificaci6n de expresiones algebraicas. El concepto de Isomorfismo ha sido de gran utilidad para la misma matemática

simplificandooperaciones como en esta unidad lo presentamos al - conseguir operar con potencias en lugar -de radicales cuando astconviene; también se ha conseguido aplicar la matemática en otras áreas del conoCimiento, algunas como en la música, en donde no se veta relaci6n alguna, gracias al estudio comparativo de las estructuras que establece el concepto-de isomorfismo. , ,

\

/ ,

63 > ,

I ~I

,Objetivos

,

generales

Al terminar de estudiar esta unidad. el alumno:

1. Simpliticará expresiones algebraicas con exponentes mediante la aplicaci6n de las leyes de los exponentes. 2. Srmpliticaráexpresionesalgebraicascon radicales. , 3. Resolverá operaciones con exponentes y radicales. utilizándo el isomorfismo de 'dos conjuntos. . ,.4. Resolverá Qperaciones de suma. resta. multiplicaci6n y divisi6n con exponentes y radicales. "

64

'

Diagrama

Potencia

temático

~structural

Exponentes enteros.

Leyes de los exponentes

a (R=:>a:l>O_.

Rad ¡cal es

Raíz principal

Isomorfismo

Modelos m~temáticos

.

ExponeIJtes racionales.

Leyes de los radicales

Simplificación de radicales

OperacIOnes c~n radicales(+, -, .,.;.}

Rac'ionaJización

65

Glo..rlo

PQtencia: Es la representaci6n de un producto de factores iguales y se indica x. x .:t ...= xn' . Base. Al factor que ha de multiplicarse por s1 mismo. Exponente. Es el nÚmero de veces que ha de multiplicarse

el factor cuando

es pOlldvo Y'el

nÚmero de veces que ha de multiplicarse' el recfp~o cuando es negadvo. ." Exponente cero. Una forma de potencia para representar a la unidad XO 1 Radical. Es elsimpolo que ,nos representa la operaci6n de obtener una- ra1z enésima. b, ~aiz enésima. Si n es un entero positivo y si a y b f:: R y.satisfacen la ecuaci6n an

=

~

=

entoncessedice que a es una raiz enésimadeb. .Raiz enésima principal. Se dice que

a es la raiz enésima 'principal

nf::N,

.

d,é'b si y s610 si an .

=

b y si

lndice del radical. Es el nÚmero que indica laraiz q~e hay que obtener del factor o.exprésión. Radicando. Es la expresión o factor que se encuentra dentro delradical. Sistema matemático. Está cOl)stituido por un conjunto de eiementos y la definición 'de Un, o

más operacionescon esoselementos.

.

Correspóndencia biunivoca. Es la reÍación uno a uno entre los elementos de dos conjuntos. Isomorfis'mo. Cuando existe correspondencia biunívoca en~re los eleu1entos de los conjuntos y esta correspondencia se conserva al efectuar una o más operaciones entre los elementos (sin que deban ser las mismas operaciones)"se dice que esos dos conjuntos tienen la mism" forma ~ existe isomorfisl1)oentre ellos para esas operaciones. Modelo matemático. Es una representaci6n pc;>rmedio de simbolor matemáticos abstractos de . un fen6meno fisico o de una retaci6n de ideas cU,alesquiera.

,.

.I 66

.

M6dulo 5

OBJETIVOS

.

ESPECIFICOS

Al terminar de estudiar este módulo, el alumno: 1.

Obtendrá

números reales mediante la aplicaCión de las' leyes de los exponentes.

1 2. 3.

Aplicará las d~finiciones

enteras.

=

aO

.

. an en la obtención .

1 Y a-n

.

de expresi~nes

algebraicas

Aplicarálas leyesde los exponentesen la simplificaciónde expresionesalgebraicas.

4. Aplicará las leyes de los; exponentes en I~ evaluación de expresiones algebraicaS.

,

EsaUEMA RESUMEN,

'EXPONENTÉSENTEROSYEX~ONENTECERO .

Definiciones:

Para todo a E R,. a =1= O, aO =' 1 . 1 . Para todo a E R~ a =1= O, a-." = an .~

LEYES DE LOS EXPONENTES:

.

Para todo a, b E R, a =1= O Ytodo n, In E R y bases 'diferentes de Opara exponentes ne. gativos o cero.

.

.

A)

am an

B)

(amya = am . n

C)

(a . bya = an . bn

D)

;:

am + n '

am a1t = am - n

67

5.1 E"ponentes enteros y exponente cero.

Leyesdeexponentes.

'

..

.

En el tema Multiplicación de expre~ionesalgebraicas de la Unidad IV, definimos una potencia (aff)como la representaci6n del. producto de un factor repetido (a), al que llamamo~ base de la potencta y al número en la parte superior. derecha (n), exponente de la potencia que nos indica las veces que se repetia la base como factor.

Ejl'mplo:

x2 = X . x, (a + 3)3 = (a + 3) (a + 3) (a + 3). Obtendremos muchas ventajas si el'número natural del exponente lo consideramos un número entero cualquiera, n E E, y probamos que los teoremas demostrados para multiplicar y dividir potencias, (donde Il E N), se .cumplen igualmente al tomar n E E. .Recordemos la parte del Teorema 4-4 que d~ce am. '. n, a =1=o. an = 1, SI m

Exponentés enteros

=

y si la escribimos en la forma tradicional de las implicaciones. Si

=n

m

-a'" = afn

~

a1U-n

= = 1, a '* O aO

esto no es posible ya que m no puede ser igual a 1,:1. pero vodemos usar esta para justificar las siguientes definiciones: relación y la ecuación tr-n

~

.,Definlción: Para todo a E R, a =1=O, 0° = 1

Exponente

ce~oy ,

Definición: Para todo a E R, a

I

exponente negativo

,

.

=1=O, n

'E

E, a-11= 1an .

Está segunda definición nos seftala que el signo negativo en.ei expo-

nente, es una forma de ind~carque se debe t~mat el reciproco de esa potencia. :&templos:

a) So = 1; (2 xyH)o = 1; (x~+ 2)o = 1 1 2 ,1 1 b). 2x-H=12 x8 = xs; (2x)-:J,= (2X)8 = 8x3 .' .

e)

, 2

d)

68

1

(x:.!+3)-

-x-

.

l..

= x2+ 3 ' 1

= -'x2'

(

-

(3

x) -:.!-

2 ) -2

xy

1

-

-

1 (3xy2)2

=

_

'1

- (-:-X);2 ,x 2

,-

-

~ yx2 y4

"

Con las dos definiciones, )as cuales son consistentes con respecto a, nuestros postul~dos y definiciones anteriores podemos ,probar, que " nuestros' teoremas acerca de multiplicación y división de potencias se cumplen y aun se simplifican al considerar n, m' E

E. Leyes de los exponente~

Teorema6.1. Leyes de los exponentes. i todo a, b E R, a =1= O Y todo n. m E E Y basesdife-

~.

"

'

'Para-

rentes de O para' exponentes neg~tivos o cero.

A) B)

,

. an = am + n

a

(am)n = am

.

=

C)

(a b)n

D)

-am = an

am.-n '

E)

(!.b

= bn an-

.

an

n

, '

. bn

La, demostra~ión de este teorema al que llamamos Leyes' de los exp.onentes, ,puede hacerse usando las detiniciones de potencias de lá . Unidad IV y las dos definiciones aqui prese~tadas. En los ejemplos siguientes se expresan las potencias eliminando exponentes cero o negativos. identifique con cúidado' lo que representa a la baR én las' potencias. sobre todo cuando hay. signos negativos para que no se equivoque al obtener el número. ' t;iemplos:

a) b) c)

.

.

(X')2

= x6 , {X2)-2 ::: ~-4 I

"1

= x4

.

1

1-

(3xy2)3= 33x3y6 = 27x3y6,(2x3y}-2 = 2-2x-6y-2 = 22'X6y2= 4X6'y2

d).

En la manipulación de las expresiones algebtaicas unas veces es deseable escribirlas usando exponentes negativos y cero p~ra que no aparezcan fracciones. pero en otras ocasiones convendrá. más usar sólo

EX'ponentes negativos y cero

'exponentes positivos ~lInque tengamos que vérnoslas co~ las fracci(;mes; la experiencia y habilidad en el manejo de las expresiones algebraicas y

69

las leyes de .,101exponentes, nos seftalarán la forma más conve~iente de usar estas ideas en cada caso. &templos: Simpíifique las' siguientes expresiones y escriba los resultados sin exponentes cero o negativos. 1)

5x' y-a 3x-'

(Usaremos dos métodos; el alumno escogerá el que le parezca'-más prácticosegún el problema). 1er. Método

= .

-

5x4

3 .yO fa

aO= 1 Y 4Y D

5x4

- 3y'

20. Método

S,xay-3 '3x-2

5 ' 1 X 'y3 3. -¡-

(¡-n

= anl .

, X2

5X2

! =

y3 3 "72

.."

Ley A Cualquiera que sea el método, el resultadopnal.debe ser el mismo y en ambos, al aplicar la definicfón de a-n = an' cambiamos el número del numerador al denominador o viceversa, s610 que debe observar que esto es válido únicamente con factores. El cambio simultáneo de un factor al denom~n~dor y ~l signo de su expon~nte no cambian ~l valor d~'la expresión. 2)

70

=y,

= xy-t .=--.!=~ x-Iy X-I

~Recuerdt:, si el exponente es,cero o negativo la base debe ser 'diferente de cero.

1er. ldétodo

1

a-n

= an

Leyes B Y e 1

=~4 x"

-

x"

'

4"y 2

'En el ejemplo siguiente se pr~(ende resa1ta~ el hecho de que cambiamos. de numerador a. denominador o viceversa. s610 faetores.' Ejemplo:

x-a -+ y-a =1=X + y

DesarroUol X-'2

+ y-2

x-I +Y-,I

x2 + y2 x2y2 - x2 + y2 X + y - .x2y2

xy\

.

xy X

+y

=

X2+y2 xy

\

1 x+y

-

- x2 + ya - xY (X + y)

71

REACTIVOS DE AUTOEYALUACION .

.

Evalúe cada uno de los problemas siguientes. Use las leyes de,los exponentes para obten~r un número real sin exponentes negativos o cero. . ,

1.

25

7.

4-3

2.

(2x)3

8.

(103)0

,3. 4.

(- 2y)2

5.

(2y-I)-1

6.

-I x2y-4 2-2X-3y3

.

4Y 9. xy " 10. (4 . 103)(3 . 10-5) (6 . lO")

(-4X)-2

. 11. 35 + (-3)-2 12.

'13.

(2.)-2 S

14.

(!3 r3 (!2 r"

15.

()_I 2-3

50 . 5-2

En los prpblemas siguientes escriba una expres~6n equivalente' sin usar fracciones. SimpUfique. ..

5 16. J(3

17'5

19.

20.

8x2 2x5

1

4x3y-2 3x-1y3

18. pn + 1 p2 n +3

. 21.

am + 3 am-I

Simplifique las fraccion~s que sé dan en seguida de modo que en el resultado no existan exponentes negat~voso cer.o.Factorice cuando sea necesario. "\

22. a-I + b-i

23. (a + b)-I

25. xn -yn x3n - y3n

26. ab-2 + a-2b a-I + b-I

,

24.

x-2 - y-2 x-2 y-2

.

Evalúe el siguiente problema. Encuentre el numeral ,que representa la expresión.

27:

(- 3)2 (- 2x)~!I

29.

-3pq

(x+ 1)-2

,para x

='2

32p

30.

72

+ q . -32q

para p .

=5

3° x-1r4+ 4X-2 para x = 3 '

28~

Y q

3a~ (-2~)-1

=3

para a

= -2

/

~

/

Módulo 6

OBJETIVOS

ESPECIFICOS

Al término del estudio de este m6dulo, el 'alumno: 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Explicará cuál.es la raiz enésima de un número. Explic.ará por qué no. se pueden obtener ratees cua4radas o pares de números negativos. Explicará cuál es la raíz prmcipal enésima de un número positivo o negativo. Señalar.á de una raíz cuál es el radical y su indice, y cuál el ~adicando. Mencionará la utilidad del valor.absoluto en operadones con radicales. Obtendrá la raíz principal de una serie de expresiones dadas.

ESQUEMA RESUMEN RADICALES

-

.. I "1

DEFINICIONES

a,

Si

I

b E: R

Si n es un entero positivo y si a y b son E: R y satisfacen la ecuaci6n entonces se dice que aes una raiz enesima de b'. .

n E: N y tin = b ==> a ~sla raizenésimade b

.

Sib E: Pexiste otro número positivoúnico "a" tal que an = raíz principalenésimadeb yse representa como: tf

--{fFi

b. Este

an =. b,

.'

númeto se llama lá

=a

Si b< O y n es' impar, existe .otro número negativo único "a" tal que Ese número se llama ia raiz principal eriésima de b, se repres*,nta como tanto a comob son negativos.

an == b ~ donde

\lb= a

a es la raii enésima principal de b si y s610 si an

a, b E: P. ,

n E: N Y

= b y si n E: N

.y

es par entonces'

'.

,lb' =. a <=:::>

af1

=b

I

Y (n es par==> a, b E: P)

6.1 .

Radicales En. el m6dulo anter.ior ampliamos

nuestrás

definiciones de

exponentesa exponentesnegativosy nulos; ahora las generálizaremosa exponentes racionales. ya que como hemos visto antes los números reales tienen diferentes formas de representarse. Los exponentes racionales nos conducen a.una. de ellas. U_amadaforma radical. 'muy generali2;ada y su utilidad se manifiesta para representar los núme,ros irracionales. El término ralz tien~ un significado muy especial en matem~ticas. como podemos ver en la siguiente definici6n.

Deftnlclónl Rarz enéslma

.

Si n es un entero positivo y si a y b son E R y satisfacen 1a ecuaci6n an b, entonces se djce que. a es una raiz enéstma de b.

=

I

.n E N y.an::::

b~

a es la raiz enésimad.e.b

.

De acuerdo con la definici6n ánterior podemos decir - que: y el exponente 2 E N, entonces 2 es una .raízcuadrada de 4

22 =4.

pero. (- 2)2

=

4 Y el exponente

2 E N,. entonces

-2 también

es una

cuadrada de 4.

I'IÚZ

'

.

En .la misma forma podemos considerar q~e siendo 34 = 81 y (-3)4 = 81 en~onces3y-3 son ambosraíces cuart. de 81. . ¿Qué número elevadoa la sexta potencia nos da 64? ¿Cuáles serán entonces las raices sextas de 64?

. .

. .

26 = 2 2 2 . 2 2 2

= 64

= (- 2)(- 2) (- 2) (- 2) (- 2) (- 2)

(__2)6

= 64

¿Qué núnier~.elevado al'cuadrado nosda-9? El t~orema

3-13 (-aX-b)

= ab.

nos dice ,que el producto

de dos

negativos o de dos inversos de dos números 'es positivo o el producto de los números respectivamente. y los otros teoremas de esa ~ecci6n nos llevaron a 10 que lIamamos las "reglas de los signos' en la. multiplicaci6n".¿Qué conclusiones podemos deducir como consecuencia de la respuesta a la. pregunta ¿qué número real al cuadrado nos da -9? 32

Exponentes pares

=9

,1

(-3)2. = 9

No hay núméro real que multiplicado por si mismo o elevado al cuadrado dé un número negl:'tlvo,de donde se deduce que siempre que el . exponente sea par, el res~ltado e.s positivo por lo que no .podemos encontrar raíces cuadradas Undice 2) de números negativos. ¿Cuál es la raíz cúbica de -8? '1 es equivalente a preguntar ¿cuál es el

núme~oque eleva~oal cubo nosda-8? Respuesta:~2 74

.

J

.

(-'2)' = (-2) (-2) (-2) = - 8

Porque

¿Y la raíz cúbica de-64?

(-4) (-4)' (-4) (-:-4) '(-4) -64 Por tOdos los ejemplos anteriores y la defiftici6n de raíz enésima de un número concluimos que:

=

=

De un número positivo se obtienen dos raíces reales, o s610 una, dependiendo de que n sea par o' impar ~espectivamente y que de un número negativo se obtiene una raíz negativa o ninguna dependiendo de
E1.templos:

Rafcesde números positivos y negativos

'.

a) Sea 64 E P, las raíces cuadradas (n par) serán 8 y -8 porque

=

=

82 (-8)2 64. Sea 8 E P, la raíz'cúbica (n impar) es 2 porque es el único número

b)

real, que al cubo da,8.

c) ...27 ~,P, la úni~a ra-íz cúbica es -3 ,porque(- 3)3.= - 27; 3' d)

-64

=1=- 27 . f/: P, la raíz cuadrada

no existe en el conjunto, de los números

reales (n par).

En general se puede decir que existen exactamente n raíces enésimas de cualquier número real, s610que no todas son números reales y quedan fuera del ca~po que estamos estudiando, por lo tanto es muy conveniente que cuando esté trabajando con números reales tenga muy presente la siguiente: Definición:

Si b E P existe otro número único ~'a" tal que a" = bó Ese número se llama la raíz principal enésima de b y se representa como -

,

CVZ;' ,=

Rafz principal

a.

Ejemplo: ~. La rJÚzprlnc'pal cuarta de 16 es un !1úmero.positivo que elevado a la' cuarta potencia' da 16, es decir 2. Cuando--2 se eleva a la cuarta potenCia también da 16; pero siendc;>un número negativo no lo podemos llathar la raíz principal de 16, de ese m~do cuando usamos radicales representamos a números únicos.

Definición: Si b < O yn es impa~,existeotro número negativoúnicQ"a" tal que'

=

an b. Ese número se repres~nta como

se llama

~ = a, donde

raíz tanto

principal a como

enés'ima de

b,

b son negativos.

Rafz principal enésima

75

=

,\/ -

Ejemplo: 27 - 3 que es' la raiz principal de -27 Ya vimos antes',como siendo b negativo y n par la raiz enésima de b no existe.. ,

(~.

no exis,te cuando n es par yb

< .o).

Ejemplos:

1.


2.

\! : 16 no existe entre los elementos de R ya que n es par~

- 27,

es decir

(- 3).

Todo lo anterior se puede sintetizar diciendo :, Definición: ,

a es

la raiz enésinla principal de b si y sólo si a? n E N y par entonces a, b E P. n E'N y !!b ;En donde

..¡-

=a ~

an'

=b

=b

y si

y (n es par =*a, bEP)

se llama radical.

/ j

Al número n se le llama 6ullce del radical y no se acostumbra escribirlo cuando es el 2. A b o a la expresión debajo n contenida en el radical la llaJ;I1amos radicando. Ejemplos:

a) b) c) d)

J9 = 3, se lee raíz cuadrada (n = 2) de 9 igual a 3. ~ = 3, raíz cuarta'(n = 4) de 81 iguala 3. J:'4 no existe,raíz cuadradade -4 no existe.
raíz principal de indice par, en el sentido de que ésta es siempre un número posi'tivo,situación similar a la del valor de una distancia para la, que se introdujo el concepto de valor absoluto, podemos emplear ese concepto para a~egurarnos de tomar ia raiz principal cuando usamos literales. Consideremos la detinición de nlíz enésima de

b.

fYb

=a

~

an

=b

y (n 'es par =>a¡b E 'p)

Podemos c:teducirque cuando b en la forma siguiente;

I '

~

76

= xn

la doble implicación queda

'= a <=>an = xn y (n es par =>rI,X E P)

=

De la igualdad de potencias an xn concluimos que las bases x, sólo qJe si n es'par. ¿cómo asegurarnos de que se cumpla c'on: (n es par ~ a, x E P)? Sabemos que xn E: P porque n , es par, ¿p~ro el número X'!

=

son iguales. a

.

a

Una forma de asegurarnos de que se' cumpla será escribir y entonces .

= Ix'

/

~=Ixl E.jemplo:

x = -5 ~ x2 = (- 5)2= 25 'x2 E P pero' x Entonc~s

~P

v(- 5)2=',1-.5 I = S. "

.\

La raíz cuadrada de valor absoluto de - S Sea x E \R => .JX2

=

r l

En otras palabras ../Xi ,

-5

al cuadrado es el

x, si x >- O - x, si x < O

= O'

O, si x

=rx I

:&templos:,'

a)V8la2 = I 9a 1, de este modo a puede rllpresentar un número positivo o negativo y de cualquier mÓdo nuestra proposición es verdadera. 0"

h) c)

va2 + 2a + 1,~ V(a + 1)2 = Ia + 11

~

-=

V(3X2)2= 3x2'

d)

No t'ue necesario tomar valor absoluto ¿por qué?

el

Este es un caso semejante al . ejemplo anterior: siendo X 2 un . número siempre positivo por su :exponente considerar

faro no es necesario al valor absoluto.

=

e) Si.suponemos que ..¡;;. X (sin tomar.~l valor ab~oluto), par~. todo . X E R, cuando x ==-1 tendríamos:

V.(_1)2==-1 es decir v(- ¡j2' = V(-l) (-1) = 'vI = -1 cnto~ces tendríamos dos raÍ<.:,esprincipales para 1; -1 Y 1 lo oual es falso pues cóntradice nuestra det1nición: n es par ~ a. p E P. aquí a = -1 y -1 ~ P. . '

77

f)

J (a ,.. 3)2 = la:" 3 I Y Ia - 3 I =1= a- 3 'para algUnosvalores de a.

g)

a > 3, v(a

-

3)2

=a

'...;3.

Una vez ,condicionados los va.

lóres de a de modo que. a.3 sea positivo, no es necesario tomar el valor absoluto.

"

'

h) i) j)

. .

~ =x ~ = 24S {/(x - 2y)4 = Ix - 2y.1

\

'

REACTIVOS DE AUTOEV ALUACION

1.

2.

.

¿Qué entiende por la raíz enésitna de un número? ¿Y por la raíz cua. . . drada? ¿Y por la cúbica? ¿Cuál es la raíz enésimaprincipal,de un número? Explique.

.

En los problemas del 3 al 22 escriba la . rafzprincipal de.la expresión

que se da. Recuerdeque es un número' único.

3. 4.

v'T6

¡¡¡

7.

v(-4)2

8.

v-64

9.

-32

78

.

,

I

16.

-27x3

Vx4 y2

17. 427a3b'

64

10. v 16a2

12.

14. .

1S., v64x' .\

6.

11.

"

H

5.

13. v-42

18. va4kb2k, k e N 19.. !

20.

-8{J'kb3kC9k, k

v(x - 2)2, X

eN

2

21.' v(x - 2)2,.x < 2' 22. va2 + 4a + 4', a E R

.

.

~