Mate Ii (3-4)

M6dulo 3

OBJETIVOS

ESPECIFICaS

Al terminar de estudiar este módulo, el alumno:' 1. SeAalarAen qué consiste una recta numérica. 2. Explicar' la orientaci6n positiva y negativa dt; una recta numérica. .3. Explicará cuáles SOfllos llamados n6meros racionales. .4. Duda una serie de pU,ntos.determinará sus coordenadas. S. Dadtl Untlserie c;lecoordenadas. graticará los puntos correspondientes. ,

6. Mcn~ionaráen qué consisteel valorabsoluto.

'

7. Ob~cndrá valores absolutos de diferentes puntos de la recta numérica. ~.Definirá el concepto de distanCia entre dos pu.ntos 9. Resolverá problemas relativos a la distancia entre dos puntos.

ESQUJMA RESUMEN Representaci6n

geométrica

de los n6m~ros reales:

La recta numérica' Orientación positiva Orientaf=ión'negativa

}

sistema coordenado lineal

Valor absoluto ,

Distanciaentre dospuntos en la recta numérica.

Detiniciones de valor absoluto.

a~c E:R Y c > O

la 1= c<=:>a= c 6 a = -c Ial> e<=>a > e 6 a < -c la I < c<::> -c < a < c

37

3.1 Representacióngeométrica de los números reales Hemos utilizado el criterio de 'inducción o inducción matemática para establecer un orden entre los eJementos del conjunto E, que a su vez nos ha servido, junto con los teoremas 5-8 y 5-9, para establecer un orden entre 10; elementos del conjunto D. Si.consideramosque un.aUnearecta es un conjunto de puntos que cumplen con UJ;1acondici6n y llamamos a ese conjunto

,

Elconjunto de punto.ssobre una recta

A,

podemos es~ablecer una correspondencia

derecha de otro es mayor que él. (-) ... 3

R ={ A

= {.

biunivoca entre

los elementos de R y los de A, empezando por establecer la correspondencia entre un elemento' 'de A y el elemento O de R. Podemos escribir los números enteros en. el orden definido, es: cribiendo el uno a la derecha del cero o a la izquierda deLcero antes de establecer la correspondencia; en el primer caso, decimos que se le da orientación positiva y en el segundo caso, orientación negativa. La orientación positiva es la aCQstumbrada y será la que consideraremos nosotros, de modo que los números positivos quedan a la derecha del, cero y los números negativos a la izquierda y cualquier número a la

-4, * .

-3, -2, * *

.

.

1

I

2

-1,. ,- 2 0,

*

*

.

T

.

*

.

* ,

O

'

. ,..

'

(+) 1

"2 1,.J2 * *, *

, ,O A

2. *

,

3, fr, 4.. .} * * '*

.O

1M

,.

, }

Las cabezas de flecha indican lo mis~o que los puntos suspensivos en los c~>njuntos,es decir, que se sigue hasta infinito, Si dividimos el espacio entre O y 1 o entre dos enteros consecutivos cualesquiera en "q" divisiones iguales, podemos estable~er la correspondencia entre un punto de la recta A y cualquier número racional, !!.., y q ,

Los números Irracionales en la recta

siguiendo este procedimiento nos encontraremos de que aun con la propiedad densidad de los números racionales, nos quedan muchisimos "huecos" en la recta, á menos que tomemos en cuenta a los elementos del conjuntoD' ,los Irraclonales, que vendrian a "llenar esos huecos" corno se ve en la gráfica anterior con los números Irraclonales ../2, y fr. Al conjunto .de puntos qúe forman la rect~ (A) 10 llamamos recta numérica y al punto én correspondencia con el número O, por habernos .servido de base' para la correspondencia, 10 llamamos origen. De este modo cualquier 'puntoP, estará en' correspondencia con un número n y decimos de ellos 10siguiente: "P es la gráfica o representaci6n geométrica del número nU o también queUnes la coordenada deP" 10 cual simbolizamos P(n), que se lee "P en n "

38

emplos: a)

I

A: ,

I

I

.

O

b) La coordenada de T es entonce!i

M(3),se lee M en 3 y significa

M

q~e 3 es la coordenada de M o

)

.

3

también que M es la gráfica del 3.

.!2

! (-.¡ )

T

A= +-1 -2

-1

o

.

c) B (~2).. El punto B se puede situar ~eométricamente como se muestra en'el dibujo. \

\ \

A

=. o;/

I 1

\ \ \

I

B

2

Todos los números reales pueden escribirse en su forma decimal (los irracionales tendrán una parte decimal infinita y no peri6dica), y . esta forma nos permite localizar, en forma aproximada; la posici6n de la gráfica de cualquier número real sin necesidad de construcciones geométricas dificiles y engorrosas. Por 10anterior, podemos decir que: A cada número real le corresponde un punto en la recta numérica y a cada punto le corresponde uno y sólo un número real. ~emp.o: Localice n

= 2.743..., número irracional'

1<2<3

39

2.6 < '2.7 < 2.8

3

2

2.7 < 2.74 < 2.8

2.6

. 2.7

2.74 < 2.743 < 2.75

ti +-t 2.74 2.7S

. 2.8

Se puede observar que la exactitud de la gráfica de n depende del número de subd'lvisiones que baga~os y consecuentemente del tamai'io del dib1:1jo,el error entre la gráfica y el valor exacto de la coordenada puede hacerse tan pequefto como se desee. escogiendo la escala lo suticientemente grande DeOnlclón:

Sistema COordenado Unear

A esta correspondencia uno a uno o biunivoca entre los puntos de A y los elementos de R le llamaremos sistema ceordenado lineal.

3.2.

.

V~lor absoluto En la recta numérica las coordenaaas de cada punto nos 10sitúan, a

una determinad~ distancia del origen, a la derecha, si el número es positivo o a la izquierda. si es negativo, por ejemplo: La gráfica del número 6 está 6 unidades a la derec::hadel O, en cambio la gráfica de -6 está a 6 unidades a la izquierdadel O.En ambos casos decimosque l~ distanciaentre cualquiera de losdos puntos y el origen,es de 6 unidades y aqui no nos interesa el signo. que sólo nos sirvió pal'asaber en qué sentido medIr la dIstancia,en otras palabras. al hablar de distancia nos interesaelvalórsinconsiderar elsigno.o también podemosdecir que nos interesaque elvalor siemprelIeapositivo;la coordenada nosda entonces el valorde la distancia al origeny.no tomamos en cuenta su signo, pero cuando consideramosla dlltucla entre dos puntos cualquiera, la ntta Valores. de sus coordenadas nos)proporciona ese valor, pero tampoco debemos absolutos en la considerar el signo.Ejemplo:La distanciaentre A(6) y B(-2) nos la

recta numérica

da la resta,

(6)

- (-2) = 8 6 (-2) - (6) = -8,

en donde

el valor

es 8. Para evitar el, inconveniente del signo o el de buscar la coorde-

40

nada mayor para testarle la menor y obtener. un resultado siempre .positivo. se ba inventado lin :término que aclara la situaci6n; .aIor .lOlúto; el simbolo para representado son dos lineas verticales una a cada lado del número o de la expresi6n que 10 represente. Ejemplos: .

/ //

1x Ise lee el valorabsolutode x.

'a),

1(6-) -

(-2).1se lee el valor absoluto de la .testá. 1(- 2) - (6) I se lee el valor absoluto de la resta.

b)

e)

La definición del valor absoluto de cualquier númeró real nos dice que es el mismo número cuando éste sea positivo o' que tomemos el inverso del número en caso de que sea negativo ,o que es cero si éste es . cero. En pocas palabras, el valor absoluto siempre' es positivo; las disyunciones que esttlblece la definici6n las simbolizamos. con el ~orchete =

{

5

lilemplo:

x

=

{

.

-1

x es igual 115 n es igual a

3.

-1 ()-l'Sigunl a 3

El valor abs?lut~ de un númer9 realx,.esxsi el número es po~itivo o es

si el númeroesnegati\too esOsielnúmeroeselO. ;t

e R,I x I =

X, si x -x,

si .t

{ x, si x

-x

'.

>

,11valor absoluto I

de un nQmero e8...

O

< o

=o

Ejemplos:

=

a) b)

13 1 3, porque 3 > -o 1-3 I = - (-3)=3. porque-,3 <: o tomamos su inverso X"':'

,

e)

Ix-tl=

e)

o

si'(x - 1) > O

-(X-l),~(x.-l)
.

d).

{

1,

=

=

..

.

Si Ixl 3 entonces x .= 3 Ó x == --3 'por incisos a) y b) anteriores. .

x-l=S~x-1.=-.5

Ix-l'I=5 x-l=5'

~

x-l=-5 Ix-ll=5

===:»x=-4 ~ x=6 6 %=-4

Ix > 7 ~

::::::::>x=6

~

x> 7 6 x <:-7, Lasegundaproposici6n

de la disyunci6n (x < -7) la desigualdad está invertida ¿por qué? V~rteorema 5.1 . ,

41

/r

g)

.~

Ixl < 7

=:::>

...? ....................

De los ejemplos anteriores podemos deducir las siguientes defi. niciones: 4, e E R Y e > O (Recuerde que a, e pueden ser expresion~s algebraicas) Ia I = c* a = e ó a e lal>c*a>c ó a<-c

=-

Ial" < e * - e < a < e

-

e < a < e ,esuna forma de escribir la conjunción de a > e ya
es falsa o verdadera

y explique.

Ixl

<

- l.

111

3.3. Distanciaentre dos puntos en la recta numérica. La distancia de cualquier punto'P(x) al origen será Ixl , ya que

I'x-Ol = Ixl

La distaricia entre dos puntos cualquiera A (~) y B(y) será el va'or absoluto de la resta de sus coordenadas en el orden que se prefiera,

Ix -y I

=IY - x l.

El concepto de valor absoluto nos evita inconvenientes

con los signos.

en el manejo de la distancia en el sistema coordenado line8;1. Ejemplos: a) AB

Distancia entre A(6) y B(-3)

= I (6) - (-~) I = 1(-3) - (6) I = 16 + 31 I - 3 - 6 I ~ 191 = I - 91 = 9 ==

b)

La recta sobre las letras AB significao representa: longitud del

.A

segmento

de recta

entre

Y B.

Distancia, entre C(- .!) 2 YD(- .!!.) 5-

.

CD'= I - .!2 - (- .!!.) I = I - .! + !.!.I = I -5-+22I = I' ~10 I =".!! 5 ~'5 10 10 REACTIVOS DE AUTOEVALUACION

1.

Si las coordenadasde los puntos A y B son respectivamente2 y 6 de. muestre que la coordenada del punto medio P, es la-media aritmética /

de las coordenadas de los extremos. (También se le llama promedio). A(2) Y B(6) ~ P(4)

*Por definici6n, ningún valor absoluto es neeativo, de donpe

sici6n falsa.

42

'

Ixl. < .1 esuna propo.

'

2.

Encuentre las coordenadas de los 'puntos medios entre

a) 3 y -3 3.

a)

x

c) .7 Y 3.4

.

= -112

I

= 1-121

b) x

= 1.3.!.

-!

c) x

=1 .!.3 I - I - .!3 I 3 Demuestreque para todo a E R, - la 15. a 5. 1al. d) x

4.

b} 2.1 Y - 5.1

Escriba el valor numérico más simple para x.

I

e) x

= - 1-

I

12I ,

Indicación:Use la

definición de valor absoluto.

5.

Escriba con sus palabras la interpretación geométrica de las siguientes expresiones: a) x > y Solución: Geométricamente o 10 que es 10 mismo sobre la recta numérica x es un número a la derecha de y.

- 61 ~

b)

la

1

c)

1al>

f)

3.14 < 1T< 3.15

.

5

d)

1a

g) 1a + 3 I > '1

6.

Demuestre que Ia + b I ~ Ia I + 1b I

7.

Efectúe las operacionesindicadas. b) 161 + 141 a) 5 + 1- 31 d) 1-31. I -41 e) 171 -1 -21

8.

e)

=2

'

d) 1x + 5 I > 2 g) I 5x + rl 5. 2

b) Ix

-

21

la I < 5

11) a > O

c) I -41 + I 4 - 5 I

Determineel valor de x en las expresiones: a) 1xl

9.

- 21 = 4

=5

c) 13 f) I 3

e) Ix + 5 I < 2

- xl ~

=6

2x I ~ 5 .

Determinar las distancias entre cada par de puntos dadas sus coordenadas.

a) A (3),

B (7)

b) M (-2),

N (4)

43

M6dulo 4

OBJETIVOS ESPECIFICaS Al terminar de estudiar este m6dulo. el alumno: 1. Explicará qué es un intervalo. 2. Explicará a qué se le llama intervalo abierto. 3. Explicará a'qué se le llama intervalo cerrado. 4. Graticará conjuntos numericos. 5. Diferenciará intervalos abiertos y.cerrados después de resolver una lista de desiguald~des 6. '7. 8.

Explicará la diferencia entre intervalo abierto e intervalo cerrado. Identificará .en un gráfico un intervalo abiert~,Y un intervalo cerrado. Indicará un in~ervalocerrado utilizando los 'conceptos de igualdades y desigualdades.

.ESQUEMA

RESUMEN

GRAFICA DE UN CONJUNTO NUMERICO

¡ÁBIERTO INTERV ALO

-

'. L.

CERRADO .

45

"

4..1 ' Gráfi'ca de un conjunto

numérico

Hemos dicho que la gr~ca de unnÚDIero real e¡ un punto en el sistema coordenado lineal, por tanto la gráfica de un conjunto de nÚmeros será un conjunto de puntos. Algunos conjuntos numéricos pueden expresarse simbólicamente utilizando el valor absoluto. Por ejemplo:

a)

Ixl

= 3, -seinterpretará como~lconjunto de puntos que están a

3 unidades de origen. 1X 1

Solución: {3} U {-3}

GrMica.

=3

<=>

X

=3

I

t

Ó X

= {3, -3}

~. -3

1

,

O

=- 3

. ..

"

3

b) ,1X + .1\ ,= 5. se puede inter.pretar como el conjunto 4e pun.-

-1. IX + 11 =1X - (-1) 1 = 5 Ix+l\=s<=>x+l=s óx+l=-s

tos que están a S unidades de

Solución:

{x I 1x - (-1)'1 Grática:

= S} = {x Ix ~

-6

r

+ 1

=5

I I

1 I

O

x + 1.= ~5} = {4, "","ó}

es

I

I

I

. , I ..

4

Deftnlclón:

Intervalo

Ala gl'át1ca de un conjunto numérico, expresado con el valor absoluto y menor que, o su col\lunción equivalente, se le llama un Intervalo.

c)

1x + 1 1 < 7 se interpretacomoel conjuntod~'puntoscuya' distanciaal punto'de coordenada-1 es menor de 7' unidades. {x I Ix - (- 1)I < 7} 1x + 11 < 7 <=> -7 < X + 1.< 7 <=> - 8 < X< 6 Postulado 5.3 Solució~:{x1-8 < x. < 6} = {x1-8 < x} (j {x\ x < 6}

El conjunto es 'infinito. incluye a todos los números reaIés mayores que .8 en un caso, y a los menores que 6 en el otro, pero no 'incluyen a esos números (-8 y 6). Gráfica

~ -8 x<6~

O

O

.-o

..

6

o

-x>~

Los puntos correspondientes al -8 y al 6 se dibujan "huecos" para indicar que no forman parte del conjunto de puntos.

46

A los

Intervaloscomoel del ejemploc), que no inc1uyeillosextremosse

les nombra Intervalos abiertos, ya que por la propiedad de densidad siempre encon~raremos otro número entre el6 y el menor más próximo a Óqu~ se nos pueda ocurrir, lo mismo sucede en cuanto al extremo en-8.

-

Intervalo abierto

=.

2 I $. 3. Reeuerdeque $. es la disyunción' <. ó Esta proposición se puede interpretar como el conjunto de puntos cuya distancia a 2 es'01enor o ig~al a 3 unidades. ' {x I 1x 2 I ~ 3}

d) Ix

-

Ix-21$.3*x-2~3 * x$.5 Solución: {x 1x $. 5 Y x ~ .- 1}

y

y

2~-:-3 x~-l

= {x Ix$.

S} () {x 1x. ~

- 1}

En este caso los extremos del intervalo, el S y el-l si están incluidos y en la gráfica aparecerán "llenos". por el signo

=

Gráfica

\

.X

....

x > -1. ..

Intervalo cerrado

.

-1

.

'

5

.

.

o

. .

51

A los interva~os como el del.ejemplo d), en los que los extremos están incluidos se les nombra intervalo cerrado. Los conceptos Intervalo abierto, Intervalo cerrado adquieren un valor extraordinario en el estudio del cálculo en unidades posteriores.

REACTIVOS DE AUTOEVALUACION 1.

-2.

Determine todos los valores posibles para x en las expresiones siguientes, escríbalos como conjunto solución y grafíquelos.

a) . 1x I = 10

b) Ix - 1 r= 3

d) 1x + 4 I < 1

e) I 3

-x I

=:=

6

c) Ix + 41 > 1 f) 12-xl

S. 2

Determinelos conjuntos solución o de verdad de los conjuntos que Se. dan y dibuje su gráfi~a en' 'Ia recta numérica. .Considere el c~mjunto de reemplazamiento in~icado en cada problema.

,47

a) {x E El - 3 < x < I}

.

{x E E Ix>

-3 -3

Y x < 1} = {-2, -l,"'O} -2

-1

..

o

c)

{x E E I

d) {x ~ R Ix < 2 ó x < 6} f) {x E R Ix> 3 Y X < I}

e) g)

{x E R I Ix + 3 I 5 l}

,

.'

De ,acuerdo con las definiciones dadas, al final del tema valor a.bsoluto, emplee los postulados y teoremas sobre desigualdades para resolver las

siguientesdesigualdades.Diga si la gráfica es

Q

no' un Intervalo,en caso

afirmativo 'si es cerrado o abierto.

-

'a) I2x + - 6 I > 4

'-

c) I 3

4.

I

- 2.2, < x < .!} 4 {x E R Ix> - 1 Ó X < 3}

b) {x E R ,1x < 2 Y x < 6}

-

3.

,

Respuesta. En el conjunto solución sólo tendremos enteros por lo que sólo hay 3 elementos en el conjunto.

-

b) I 5x lI5 9 d) 15 + 3xl < 3

2x I < 1

Use. los postulados de orden, definiciones y te~remas necesarios para ¡:esolver las siguientes desigualdades.

.

GraOqae en el sistema coordenado line~l el conjunto solución que en- . cuentre, no es necesario justificar. a) -2x > 4 b) 3x + 5 < 7x + 4 '

d) 3y

- 5 > 4 - (v - 1)

1) Ix

- 1I >

8

g) 14'-

"

. c) . 3x

e) 6(z - 2)'? 2(z - 4)

YI ~

- 3 .$. 4 ...

h) 1 > 3x;7

6

BIBLIOGRAFIA D~ ESTA UNIDAD "ALGEBRA" Recs. Sparks. Ed. Reverte. 1973. ..ALG EBRA". Florence Lovaglia. Meritt Elmore, Donald Conway. Ed. Harla. ~973. "

./

48

Paneles

de verlflcacl6n

MODULO 1

l.

2.

Si

-VALlDACION

o > O Y b >. O ó o < o Jy b < o => ob >' Dado. o< o>Oyb>O o.b> O..b Postulado 5-4 b< ob >'0 0(- b) < -ob < ob>

aE R

Yo

=1=

o OYb< O O=>"-b > O O(- b) O O

T~orema 5-1 Postulado 54 Teorema 5-1

O =>02 > O Cualquier número real diferente de O multiplicado por si mismo da un producto positivo.

oEk o>O'óo~O o> O a.o>O.o' 02 > O

Dado

.

Tricotom ía y o =1=O' 0<0 Hipótesis 0.0>0'0 Postulado 5-4

Hipótesis Teorema 5-4

02 > O

3.

a) 9 - 6 E P .ó 9 - 6 > O b) (-1) -""(-S)EP (-1) - (-5) > O c) -4 < -2

4.

a) 6 - 9 E P

d) 8 < 5. e) -1 < -3 f) 7 < 14 {

. ,

b) (-5) - (-l).E c) - 2> .....4

5.

a) b) c) d) e) t) g) h) i)

d) 5 > 8 e).-3>.-1 f) 14 > 7

P

Definición de númerOs negativos. Definición eJe. números positi~os

o

=1=

b Y o
=t-

a > b. TricotOInÍa.

''Teorema 5-2 o definición de "mayor que". -S < 3 Y ~ 3 => 5 > 3. Tricotomía. x > O Y x < O =>x = O. Tricot<;>mía. Postulado 5-2_.Transitivo. Postulado 5-4. Multiplicativo. Problema 2. La conclusiób obtenida en este problema se puede enunciar como sigue; "El conjunto P es cerrado para la multiplicación" Postulado 5-2. Transitivo.' . =1=

49

6.

a > b Y e < O ~ ae < be

Teorema 54.

.

a > b, e < O

e < O ~ -e > O

a(-e) > b(-e) -ae > -be ae <' be

7.

.

.

Dado'.. Definiciónde número negativoó Teorema5-1 Postulado 5-4 Teorema 5-1

a.> b, e > d ~. a + e > b + d Dado a> b . Postulado 5-3 a+e'.> b+e, Dado. ,e > d b+e> b+d Postulado 5-3 a+e>b+e>b+d. a+e> b+d Postulado 5-2 transitivo Teorema S-S.

.

8.

Teorema 5-6. a,b, e,d E P a > b, e > d ~ ae > bd . a > 1:1, e > O Dado ae > be Postulado 54 e > d, b > O Dado. be > bd Postulado 5-4 ae > be > bd . Postulado 5-2 ae> bd

9. 2x + 1 > 3 Resueltoen el texto. 10. . 2x - .! > 3x + ! .

2,

3

(2x '- 1.) 2 + 1. 2 > (3x + !) 3 + .! 2

Postulado

5-3

2x>3x+2.

Postulado

5-3

'6 7

2x + (-3x) > (-3x) + (3x -+ -)6 -x > 2. .. 6

Teorema 5-1

X < - 2.' 6 11. 3x-+37< 1 (-3)'

3X_~ 7

>

(-3) 1

3x + 7 > -3 (3x + 7) + (-7) > -3 + (-7) 3x > -10 50

Teorema 54 Postulado 5-3

3x > (1) 3 (-10)

(1) 3

x>-..!!

Postulado 5.4'

3

. 12. -4x < 3x + 7 -4x +.(-3x) .<,(-3x) + (3x + 7) .

-}x

<-

Postulado 5.3

7

tI'

\

(- -) 77, (-7x) > (- -) 7

Teorema 5.4

X >,-1

13.,' ~2 > - 5x + !3

.

2 ~ 2 > 2 (- 5x + .!) 3 X >

Postulado 5-4

+ i3

-10x

,/

+ i)3

x + 10x > 10x + (-'10x

MODULO

1.

Postulado 5.3

2 .1VALlDACION

Empezamos por ordenar s~paradamente los negativos y los positivos, después 'de escribirlos en forma de fracción.

- 2.8 ----

-

28 < 10

28

7 6--

.

10"

'

76

10"

- .!!

52--

52

10

: E > - 2.

S.

5'

- 28 > - 2. 10 2

2

(-28)5 t (-12)10 (-12)2 t (-7)5 (-28)2 t' (-7)10 ':"140< -120 -24 > ':"35 - 56 > - 70

1. < g <. 76 8

10

.

S1 6

10

'

.

1 .1 -- 10"

2

10

7

O1

-

(-12)4

t (-3)5

- 48 < - 1~

- 1. < - 28 < - .!! < - ! 12

o UCln. { - 2"' - 2.8, - s'

2.

-' ~5 < - i4

1 100"

12 .012 -- '1000' .1235 --

12

-

5

3

4

7

- ¡, i" 5.2, 7.6.} 12 100"

123 -

-

123 1000

1235

""iOOOO

51'

Siempre que sea práctico úsese un ~IGmuhdenominador antes de com,parar. 1235 120' 1230 1200 100 .1000' 10000' 1000'0' .0000' 10000' 10000' 10000

Solución: {l, .1235, .123, .12, .~, .012" .01, O}

3.

a> b

~

a + Y~2 2 b > b.: ~ .d > á +.b 2 Dado

a>

(1 > b

a+a > a+b

i

...

2a >

i

Postulado S-3

(a + b)

Postulado

5.4

!22 (a + b) > 1.

a > a+b 2 1

4.

> b u > b a+b>b+b

a +b 2

3 .

-<-<1 2, 4

!2 < Il4 Y ~4 < l

1< 2

Orden de los enteros

:!. 2 . l < !2 '. 2

Postulado 5.4

1. < 1 2 .1. + I .! < 1..< 1 2' 2 3

Problema 3 anterior

1. <',! < 1 2 . 2

,

5.

2 < ~?:2

a)

.

<7 .

media aritmética .U 2 2.

-

-3.2 + 5

e)

- 3.6+ 2.S.

d)

-,...I +-3 --2+3 2 4 \4. 2 - ~-

.'

,! '+ 3

e)

52

.

=1

b)

2

3 -'2

= .?2

=

!!

~

2

='

= .2. = l!. 2 6

!!

20

- 1 - "8

> b

. 2b

6.

.. xz

Teorema 5.9. w.X,y, z e R y, z > o; =v >. ~z =->~ y

YI z>O

z'

.> wy

Dado

.

I

Problema 6 inciso i) de los Problemas V.I

Y . z > .0' yz . =y > yz . -~ z

Postulado 5-4

.xz:: yw xz > YW, y, Z > o

Dado

'

) 'z>O.!.

.!.>O y , z . .

,

(y

, »0

. .!.) > (yw) '.-' (1. . .!.) y y.

(xz)(! ,

x..!.:>w..!. y,

,

=->~

7.

Cerradura de P

Postulado 5-4

z .

z

-7 -7' 7 a) --s. > O porque--s = -s e P

y

-s7 -

O

. 7 =-e ~

P

b). 1.301 > 1..30011 porque 1.3010 - 1.3001 = 0.0009 e P

e) -27< -

¡

d) - 1- < -¡ e) f)

_35-

,

porque (-7)4

(-9)2

= -18,

-18 ~. (~28) =10 E 'p

porque(-;-1)4= - 4 < (- 1)3 = - 3, - 3 - (- 4) = 1E

< O porque =!. 3

,

~ > 16

- 28 <

==

= _!

P

y O - (- !) ='!3 'e P 3 ,

3'

t porque 5. 5 > 7. 3, 25 -4 .'

21

= 4 e.p'

) g -12 =, 3" porque, (- 16)3 48 ~ (-4)12 . -3 . -s. -3 3 3 S 3 S h) .--'.- > -) =. ( + -) E P Y ( Porque --s ; -5 ,7' ss 7 S 7. i) , -3.002 > - 3.020 porque -3.002 - (-.3.020) 0.Ol8 E P

=-

=-

- - --

-

=

,

1.

l er. Mé.todo 2 < 6

MODULO

3

-VALlDACION

Comprobación

2<<6 2

= BPpor ser P el punto medio AP = I 2 - 4 1:= 2

2<4<6

BP = I 6 - 41 = 2

AP

53

AP=2=BP 12-x 1= 2 Y 2 =16-xl

20. Método AB=12-61=4 1 1 -.AB= -.4=2 2

2.

.

. o.

{x I 2 - X = 2 ó 2 - x = - 2} n {x.I6 - x = 2 ó 6 - x = -2} {x Ix = Oó x = 4} n {x Ix =4 ó x =:~}

l.

. l'

A(2)

. .-

I

P(x) 2<x<6

'

Comprobación:

2.

I2

- (4) I = 2

x

= 3 + 2(-3)

.a)' A(3) y B(-3)

~a p(x) el punto medio

~

Solución P(O).. Compruéb.ela". .

x

b) P{x):

Y 2

= I 6 - (4)

.¡ =O

.=!:,.o-

2

I

Problema

{

= 201 + 2(-5.1) =

SoluciónP(-

n {4, 8} {4} x=4

{O,4}

B(6)

1

Teorema 5-8

Problema 1

3 -- - "2

t)

c) P(x):

x

= 7 +23.4 =

10~4

= 5.2

Soluciónp(5.2). Compruébela 3.

a) x

= -"}2

d) . x --1.-1 -

3

4.

b) x =. 12

5

I -- I - -'34 l -"!-43 '

c) x

- Ia I ~ (1~ Ia I es la conjunción-1 a I ~ a y a ~ Ia I .

Para esta demostraciónusamos casi exclusivamentela defmiciónde valor absoluto en. donde tenemosa E R la I ~ O. .

-

Demostrar: a' ~ Ia I la. parte .a ~ O

- a = Ia..1

Definición de valor absoluto

2a. parte a
PO$tulado. 5-2

(

; Conclusión: Para todo a E R, a ~ I a I 54

= -12

e) x =.! 4 . 3 -. !3 -- - "3

.

De11l0strar:- la I 5 a la.

.

parte

a ~ O=>'I

a I = a y -a < O

Definición de va10r absoluto

- 1a I = -a

-lal<05a. "- 1al < a

PO'stulado 5.2

2a. parte

a < O~

Ia I =-a -la 1= a

Definici6n de valor absoluto

Conclusión:Para todo a E R,

5.

- la 1 5 a

a) Resuelto en el texto. b) Ia - 6 I = l. La distancia entre a y el punto de coordenada6 es 1. c) "1al> 5. a es un punto cuya distancia' al origen es mayor que S,. "d) la - 2 I = 4. La distancia entre a y el punto de coordenada 2 es 4.

e) la I < 5. a es un punto cuya distancia al origen es menor que 5." f) 3.14 < 1f< 3.15. 1f es, la coordenada de un punto entre los de coordenada 3.14 y 3.15.

,

g) Ia + 3 I > l. La ~istancia entre a y - 3 es mayor que la unida4. h) a). O. a es un punto a la derecha del origen. 6.

Demostrar: Ia + b"1 ~ 1a I + 1b 1 .1a. parte De acuerdo con :el problema 4 anterior la 1 5' a 5 I'a 1 -Ibl~ b 51bl --

-

- (Ial + Ibl) ~ a+b 51al

+ Ibl

Teorema 5.5

2a. parte. Por definición de valor absoluto debemos demostrar las dos posibilidades 'a+b~Oya+b
~"

1

-(Ial

5 lal + Ibl

Primera parte de esta demostra. ción y sustitución de la igualdad

a + b I = - (a + b) +lbl)5a+b Ia 1 + Ib 1 ~ - (a + b)

Primera parte de esta de. mostración Teorema 54

I a + b 15 1á I + Ib I Sustituciónde la igualdad 55

-'

7.

a)

8.

a) Ixl

b) 161+141=6+4=

5+1':"31=5+3=8

=2

=2

x

~

= -2

óx

{-2,.2} b) '1x - 2 1 = 5 ~ x - 2 = 5

- = -5

ó ;x 2

x "=7 ó x = -3

e) I3

{-3,7}

-x I =

6

3: x x

~

d) 1x + 5 I :> 2

=6

Ó 3

{x E R Ix> e) 1XI+ 5 I < 2 .

. -

f) 13 - ZxI :2

-x

= -6

=9

-3 Ó x {-3,9}

:::

'

.

x + 5> 2 ó x + 5 < -2 x > -3 Ó x < -7

~

.

x < -3 Y x > -7 . {x E R I -7 < x < - 3} 5 ~ 3 2x L 5 Ó 3 - 2x $. -5 -2x ~ 2 Ó -2x $. -8 x$.-lóx~4 {x E R Ix.$. 1 Ó x '~4} .

-

5x + 1 $. 2 Y 5x + 1 ~ ~ 2 5x ~,1 Y 5x ~ - 3

~

1

.

x~s ,

a) AB

= \.7 -

3

1

R 1- - < x < - } . s - s

31

= 14 1= 4

b) MN'=! 4-(~2)I'=\ ,

e) AB

"

'

.

-

d) TS

el

AB

2'

-

I

3

-~-

4

4

(

.

a) Ixl

=..10{x 1x = 10ó

1

=~ =\~ ! 14, 14 - I- ~ ~ ~ I

~

12

I

I

-

12

-3;20'1 = .2:

7 )I

MODULO

1.

,12.

1

I

-,~

.

I

-8 -9 =,

= 1- : -51=\ I

7,

1

-1 _..:.-~

f) MN= "

4+21=6

1~~ =1I 30 14 7

"

3

y x~-s

-

{X E

9.

\

3 ó x < - 7}

x +5< 2 Yx +5> -2

~

g) 15x + 11 $. 2

56

10

e) 1- 4 1 + I4 - 5 1 ='4.+ 1~ 1 1 ::: 4 + 1 = 5 .. e) I 7 1-1 - 2 I = 7.- 2 ~ 5 d) 1- 3 I . I - 4 1 = 3. 4 = 12 ,

= i-~+~ 4 I

7

I

=~

= \ --~ 28

.28

I

4 - VALlDACION

x

= -lO}

::: {lO, - lO} .. I .

-10

I

"

O

I .

10

I

1".

b) 1x

- 11

;:::

3 {X Ix

-+---

c) Ix +41>

- t =3

ó x

- 1 = .-3} =={x Ix = '4 ó ::¡= -2} = {4,- 2} ...

fO

-2

l' {xlx',+4

~

4

-s

d) Ix + 41 < 1 {x I

-

= {xix>

> 1 ó x +4 < -l} -3

e.

-5-

.

O

1 < x +-.4 <. 1}

= {x I ~ 's

. -3 e

-3 ó x < -5}

< x < -3} ~

O

e) 13- x 1,=6 {x I3 - x = 6 Ó 3 - x = -6} = {x Ix = -3 ó x 4-t

+

-3

o

t O

f

+---,--¡

9}

....... 9

I 2 -:x I .~ 2 {x I - 2 ~ 2 - x .$.2} ~ {x I -4 $..- x ~ O} = {x I 4 ~ x ~ Ol ~.

. ....

4

-..---.

o 2.

=9} ::;:.{-3,

2

a) Resuelto en el texto b) {x E R Ix < 4 y x < 6

3

4

El cOfljunto solución es infinito, por lo que queda definido por las condiciones. x < 2... o x< 6'4O

{x Ix < 2} n {x Ix < 6}

.

{x Ix < 2} ~:

.:; 2

o

I

I

I

I

I

6

e) {X E E I - 2. < x < ! } . . 2 4 .

.{x Ix>

-.2.,2 x E E}. n {x Ix " < !, 4 x E E} = {-'3, .

-7/2

+-J-,-.... -4 - 3

.O .'.

- 2, - 1. O, 1, 2}

9/4

2

I.

~

d) {x E R Ix < 2 ó x < 6}

{x IX
x<2 x<6 ---t

-{).

O

.

. -

o

2

4

Q

I

6

8

I

la-

57.

....

.e) {x E R Ix>

- 1 ó x < 3} x<

o

3 ~

~ x > -1

o--:

R ...

,O

{x E R Ix>

.

.4 -2

- 1}

3 Yx <

{x Ix>

I

o

g) {x E R I I x + 3 l' ~ 1} {x I

-

1~ x

+3 ~

I

1} = {xl

I

I

1..

1

2

3

. t.-4

..

a) I 2x +' 6 I > 4 2x + 6, > 4 ó 2x

2x > -2 x :> -1 ,' b)

I 5x -

ó

+

l/J

'

-x>3

Conjunto solucióninfinito - 4 ~ x ~ - 2}

x -2.

3,

- 1} =

3} n {x I x < o.

I

3

2

o.

x < -i~

-i

. .'.

.,

-1'

6 < -4

2x < -lO, x < '-5

.

... x -3

4'-2

-4 1"

I

I

-1

o

No es intervalo, - 1, ó x <

{x Ix>

- S}

11 ~ 9

Si es intervalo y. es cerrado

5x - .1 ,~ 9 Y Sx- 1 ~ - 9 5x ~ 10 '5x ~ - 8 8 x~2 y x.~-s

{x I

~$

2 Yx

{x I

? - '¡ }

!s < - x. -< 2 ,}, .

,

.¡

c) I 3 - 2x I < 1 3 - 2x < 1 Y 3 - 2x > -1, -2x < -2 -2x > -4 ,~>1 Y x<2.

Si es intervalo y es abierto {xIx> 1 Y x < 2} {x I 1 < x ~ 2}

'. d) I 5 + 3x I < 3 5 + 3x < 3 Y 5 + 3x > -3 3x < -2 3x > -8 2 8 x<-'3 y x>-'3 1

8

--<x<-3,

58

.

,

,

2 3

Si es 'intervalo y es abierto

8 '2 {x I - -:3 < X < - -} 3

4.

a)

-2x

> 4

, (- +)(-2x)

{x ,E

'b)

3x + 5 < 7x + 4 3x - 7x < 4 - '5

< (- +)4

- 4x < -1 4x > 1 x > 24

x < -2 , R Ix < - 2} ...

) -2

o

-1

{x Ix>

e) 3x - 3,~ 4 3x~4+3

d) 3y.- 5 > 4 - (y - 1) 3y - 5 > 4 - Y + 1 3y + y > 5 + 5 '4y :>10

{x I x ~ ~} 7/3 I f I I 1 2 3

4---i , o

e) 6(z - 2) 6z -, 12 6z - 2z 4z

~ ~ ~ ~

I 4

,5 Y > -2

..

~(z - 4) 2z - 8 -8 + I 2 4 f)

z 2: 1 '

o

g) I4

,'

J

8h

2

-Y

.

/

-2 o -

I

I

O

1

,

~

,3

'

O

~

2 5/2

Ix-ll > 8 > 8 Ó x -1 < -8 x > 9 Ó ',x < - 7 {x E R Ix). 9} U {x E R Ix < - 7)

.

I

t

})

I~ 6 4-y~6y 4-Y~-6 -y ~ 2 -y ~ -10 , Y 2:'- 2 Y.$ 10 {y E RI y ~ - 2} n {y ,E R Iy ~ I O}

--e

{y'y>f}

. x -1

{z Iz ~ 1}

.... --e

~

.

El 2. 4

o

x < 2 - 3

.¡}

'

~,

I

-7

I

I

la;'

o

9

1

h)

>- 3x 3+ 7

3>3x+7

3

-

7 > 3x

'

3x < -4 x < - ~

8-+ 10

3

{x.E R Ix < - 4/3} ~ . ]-+ -2 -4-' -1' 3

O

.' . 59