Mate Ii (1-2)

~

Indice

Prólogo Notación. Instruc~iones

..' , '," ~ .11 . , , . . . . , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .'. . . . '.' . ... . . 13 !

para el alumno.

.............

,

!

. . .'. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

UNIDADV. PosteriordesarrollQde los númerosreales ,... .17 Introducción' , .'. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

.

Objetivos generales.

Módúfo

!

;

'. . . .'. . . , .

;

. . . . . . . . . . . . . ',' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

de autoevaluación

. .!, . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . '.' . . . . . . . . ., . . ' : . . . . . . . . . . . . 31 Objetivos especificos, . . . . . ~. . . . . . . . . . . . , . . . . . . ; . . . ... . . '. . . . . 31 Esquerita resumen ',' ,: , , ".,.. .\,"31 2,1 OrdenamÍ!;:mtode los enteros, . . " . . . . . . . : . . . . . . . . . '. . . . . .', . , . , . . , . 32 2

!

2,2 Núnleros'racionales. Reactivos Módulo

;

~

, ... . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . '. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...'. . 25 Objetiv~~ especificos . . . . . . . . . . . . . . . , . . . . . . . .. . '.' . . . . . . . . . '.. . . . . . . . . 25 Esq,uenla resumen. . . . . . . . . . . . '. . . . . . . . . . . . . . . '.' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2~ 1.1 Postulados de orden' : , 26 1

Reactivos Módulo

. . : . . . .'. ... . . . '.' . . . . . . . . . .' . . . . . . '. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

tenlático estructural. . . . . . . . . . . . . . . .' . . . . . .. . .''. . . . . . . . . . ... . . . . . '. 21 . . . , . . . , . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . ; . . . . . . . . ~. . . . . . . . . . . . . . . . 22

Diagranla Glosario.

Densidad.

..,....

¡

. . . . . . . . . . ','

. . . . . ',' . ': . . . 33

... , . . . . . .' , . . . . . . . . . , . . . . . . . . . . . . ... : . . . , 35

de autoevaluación

. . . . . . . . . . . . . : . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , . '.' . . . . . . . . . 37

3

Objetivos

especificos

Esquema

resumel1

.-. . . . . . . . . . '.' '.' . . , . . . . . . . . . . . . . . . , . . . . . . . ... . ..' . . . . . . . . . . . . . . . . . . , . . . . . . . . . . . . . .'. : . . . . . . . . . . . . ~\

3.1 Representación geométrica de los números reales.

Módulo 4

especificos

Esquema resunlen

.. . .40

. . . . . . . . . . . . . . . . . '. . . . . .'. . . . . . . . , , . . . . . ..42

de autoevaluación

..........

Objetivos

37

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.2 Valpr absolut
37

, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , . . . . , . . . . , . . . . , . , , , .45 ;

. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . , . . . . :. . . . ...'. ~. . . .:. 45 . . . . . . . . . . , , . . . . . . , ". . . . . . , , . . . , . , . . . . . . . . . . , . , , 4S

. 4.1 Gráfica de un conj,unto numérico : . . . ',' . . . . . . . . . , . . . . ... . . . . . . .46 Reactivos de autoevaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . , . . . , : . . . . , . . . . . . . . . . . .47 Paneles de verificación. . . . . . '.' . . . , . . . . . . . , . . . . . . . . . , , . . , . . -. . . . . . . , . . . '.' ,49

UNIDADVI. Exponentesy radic~les Introducción.

,

Objetivosgenerales, ,...,.! Diagrama.temático Glo!lario

.

Módulo S

..,

:.. .... .... ..61

. . . . . . . . , . . , , , . . . , l. . . . . , . . . . . . . . , . . . . . . . . . , . . . . . . , . . . . . . . 63 estructural"

;

'

, . . . . ". . . . . . ',' . . . . . . . . . . . :.".'. . , . . . . . 64 ~ ....................,.65

: , . . . . . . ! ' . . . . . . . .~'. , , . . . .66 . , . . , , . . , . . .. .. . .. . , , . . ., :.,.........;. ..67.

. , . . , . . . ',' , . . , . . . : . . , , .'. , . . , . . . . } , . .

,.,'

,.,

Objetivos especificos

,', , . ,

. . . . . , . . . . . . ... . . . . , . ; . '.' . , . .'. . . . . . . . ... '. . . . . . . . ~7

;'

'

Esquem~resumen. 5.1 Exponentes

.'... .

.'

...67

enteros y exponente' cero. Leyes de los exponentes.

.' . . . . . .68

de autoevaluación . . . . . . . . . . .. . . . . . , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ',' 72 . . . . '. . . . . .'. . . . . . . . . . . .'. . . , . . . . . . , . . . . . . . . . . . . . . . . . " . . . . . . . . . . 73

Reactivos .

Módulo

6 Objetivos

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . '... . . . . . . . . . . . . . . 73

especificos

~

.

Esquema resumen.

6.1 Radicales: Reactivos

Módulo7

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

. . . . . , . . : . . . . . . . .. ,.

de ~utoevaluación

Objetivos

.,......,........,

. . 78

....... ............,.......... 79

J

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 . . . . , .'. ~. . . . . , . . . . . . . . . . , . . . . , . . . . , . 79

especificos

"

Esquema resumen.

,

7.1 Isomor-fismode dos ~onjuntos. Exponentes racionales.

Reactivosde autoevaluacion

,

'

. . . . . . . . . . . . . 80

............,.....86

. . . . . . . . . . . . . . . . .:. . . . . . . . . .'. . . .'. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .89 Objetivos espe~íficos ¡ . . . . . . . . .'. . . . . . . . . . . . . . . . . . . , 89

Módulo'8

Esquemaresumen.

.............,..............; , , .

, .:

. . . . . . . . ., . . 89

8.1 Leyes' de 'los radicales. Simplificación, de t:adicales. Multiplicación y división. ,..., "., '. , :. . . . . . . .. . . . . 9O ,8.2

Suma

y resta de los r,adicales

. ...

;

.

. . . . . . . ',' . . . . , . . . . . . . . . . . . . . 94 ~

'

Reactivos de auto'evaluación . '. . . . . . . . . . . . . . : . . . . . . . . ~ . . . ~ . . . : . . . . . . . , 9S Paneles de' verificación. . . . '. . ". .;. . . . . '. . . . . . . . . . . . . . .,. . . . . . . . . . . . . . . ... . .. .. 99,

UNIDAD VII. Aplicaciones'. . . . . . . . . . . . . . .' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . r . . . 107 Introducción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . '. 109 Objetivos generales, . . . . . . . . . . . . . . . . . '. . , . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 109 Diagrama

temático

Módulo

estructural.

... . ...... ... .

Glqsario

9.

...

¡

. . . . . . . . . . . . ; . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . , . . . . . ,

. . . :.

. . . . . . , . . . . . . . .

~

... ..,

;

. . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . ' . . . .'. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .

Objetivos especificos

'nI

. . . . '. . . . . .. . . . : . . . . 112 113

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .'. . . . . . . . . . . 113

resumen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 9.1 Planteo de problemas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . :. . . ; . . 114 Esquema

Módulo

ReactivQs de autoeval t,lación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ':' . . . . . . . . . . . . '. . . . . 118 10 . . . . . . , . . . . . . . . . . . . . . . . . .' . . . . . . . . . . . . . . ',' . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

Obje tivos .específicos.. . , . . . . , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , , . . . . . , . 121 Esquemaresumen. . . . . . . . . . . . . . . . . . , . . , , , , . . , , . . . , . . . ',' . , .121 122 10.1 Soluci6n de ecuaciones Reactivos de autoevaluación ',~.. . . . ':. . . . '" . . . . . . . . . .. .'" 125 ,

'

Módulo

........ ,.......,..................................... .

11

"

Obje~ivos

especificos

,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . : . .'.

. . . . . . ','

127

127

Esquema resul!1en .: . . . . . . . . '. . . . . . . . . ~ . . . . . . . . : . . . . . ... . . . . . . . . . . 127 11.1 Solución de desigualdades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 128 11.2

Ecuaciones

fraécio~arias

. . . . . .. . . . . . . . . . .'.. . .. . . .. . . . . . . . .'. . . 129

'Reactivos de autoevaluación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 Módulo 12 . . '. . . . . . . . . . . . . . . . ',' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ~'. 133 '

Objetivos especificas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . '.' . . . . . . . . .'133 Esquema resumen. . . . . . . . . .., . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . '. . . . . '. . . . . . . . . 133 12.1 Problemas

de planteo;

Reactivos

autoevaluaci6n

de

. . . . . . . . . . . . . . . . ~ . . . , . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 /"" . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .138/

Panelesde verificaci6n \.. . . . . . . . . . .

~

,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .~

UNIDAD VIII. Funciones, relaciones y gráficas. . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . .j . Introducción ' , : .'.. .~~.. ~,~ Objetivos

.

Diagrama

generales.

. . . . . . . . . . . . . '.. . . . . . . . . :.

~.,;;14~

. . . . . . . . . . 159 .161

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . '.' . . . . . . . . . .'. . 163 ¡

;

I

. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . '.' . . . , . . . , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . : . . . . . . . . . .'. . ',' . . . . . .165 Objetivos especificos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .,. . . . . . . . . . . . . 165 temático

Glosario... Módulo

..".

.

estrUctural.

~

.'. .' . . . . . '.' . . . . . .

,

164

13

I

'

Esquema resu~en 13.1

Funciones.

13.2 Relaciones. . Reactivos M6dulo

~. . . . .'.. . . . . . . . . . . ~'.' . ;-. . . . . . ¡ . . .,.. . . 165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .,...1~ I

Notación.

I

. . . .'. . . . . . . . . . '. ;

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ; . . . . . . . .. . . . . . . ..

.

:

. . . . . .'. ... . . . . . '. . . . . " . . . . ~ . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

14 Objetivos

especificos

Esquema resumen.

.

. . . . . I . . . . . . . . . . . . . . . .'. . . . . . . . . . . ... . . . .. . . 1'77 . . . . , ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 .

........

Reactivos

M6dulo

15

I

I

;

14.1 Sistemas de coordenadas en dos dimensiones. ,

174

. . . . . . . . . . . . . . . . . .,. . . . . . . . . ... . . . . . . . . . 175

de autoevaluación

¡

. . . , . . . . . . . . .., . . . . . 178

. . . . . . .. . . . . . . . . . .'. . . . ',' . . .,' . . . . . . . . .

de autoevat'uaci6n

181

. . . . . . . . , . . . . , ,'. . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . '.' . . . 182

O b jeti vos especificos

'. . . , . . . . . . . . . . . . A . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . .

EsquerI}a.resumen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 15.1 P.ráficadefuncionesyreJaciones ;

Reactivos de au~oevahiaclón.

;

Us2

. . . . . . . . . . . . . . 182 .183

. . . . . . . . . . . . . . . '. . . . . . , . . . .. . . . . . , . . . . . .

187

. . . . . . . . . . . '. . . '. . . . . . . . .'. . ... . . . . . . . . . . . . 1,.. . . . . . . . . : . . . . . . . . 189 Objetivos especifico$ . . . . , . . . . . .'. . . . . . . . '. , . . . . , . . , . . . . . . . . . . . . . . . . 189 Esquema resumen' . . . . . . . . . . . . . , . '.' . . . . . . . . . . . . . . \. . . . . . . . . ... . 189. 16.1 Cartas de flujo, ' , .'. l.. , ... .190 Reactivos de autoeval uact6n .. : . . . . ',' . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . : . . . 194 Paneles de verificacl6n . . . . . . . , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 Mód

ulo

16

"

.

-'

Instrucciones

para .el alumno

El presente texto ha si40 estructurado tomando en cuenta los diferentes aspectos que caracterizal1 a los alumnos que estudian en la modalidad de enseflanza abierta.

, '

, El libro est~ dividido en cuatro unidades, que corresponden a cuatro .grandes temas de la Matemática; están marcadas con números romanos. A su vez. las unidades se dividen en mÚdulos. El total de módulos de las cuatro unidades. es decir. dellibr
Al principiodel libro se encontrará una Notación que son las explicacionesrelacionadas

con la simbología empleada. l. En cada unidad encontrará: Introducción. Que es una visión general y anticipada de lo que se tratará en esa un idad. Objetivos generales. Son las metas que d~berá alcanzar usted cuando termine de estudiar la unidad. Sj analiza esos objetivos con detenimientó verá que están' formulados' de manera amplia y general. de tal forma que usted mismo pueda hacer una apreciación personal para comprobar si. efectivamente. aprendió los tem'as presentados. Diagrama temático estructural. Es una presentaci6n esquemática del contenido total de la un'idad. 'Su funci6n es básicamente de enlace. o sea. cómo se relacionan los difer'entes teli1as tratados en cada uno de los módulos que componen la unidad. Glosario. Le indica. el significado de los términos técnicos empleados en el desa1'1'0110 de la unidad. Bibliografía. Al final de cada unidad encontrará los libros recomendados para' ampliar o profundizar el tema de la unidad. 11,1 n ...,¡,daIIIÚdtilo CnCl)nlrará Ips siguie.ntcs clementos: Objetivos específicos. Son el desglose de los objetivos generales de la unidad. Responden a la pregunta ¿qué debp ser capaz de hacer cuando termine de estudiar este módulo? EStlUt'ma resumcn. Prescnta el contcnido de cadO! módulo en forma sinÓpticéL A. Ira\1€'s-d~1 desanollo

del tema usted encontrará

las siguientes 'caracterís1kH~:

Idcus ~uía. Ubkttda~ cn Ins m{tI'gcnc~ d.c la~ h(,jas. Son pcqu'eñísimos resúmenes lil'nL'III.'pll1plillalidad I'acilitarlc la situaciÓn de un l'Onccpto. la fijación OP una información I't'édi}l,a~:ió'f(k ~In \'l'pa~n mll~' rá pidiJ. .

que o la

,~

La ligura Se encuentra localizada en los márgenes de ¡las hojas. Signitica "toma tu lápiz" e indica alguna actividad que usted debe realizar como práctica en ,us ejercicios de aprendizaje.

13

Réactivos de autoevaluación. Al final de cada módulo se dan una serie de preguntas de autocomprobación. para que pueda veriticar por usted mismo en qué grado ha logrado )os objetivos (propuestos al principio del módulo). Las respuestas' correctas las encontrará al final de cada unidad, en los Paneles de verificación.

¡.

14

Notaci6n

Un fa~tor importante para la comprensión de cualq~ier texto de. mat~mática es la correcta interpretación de los símbolos, pues en textos de autores diferentes es posible que a un ,mismo sín,1bolose l~ den significados distintos; por tal razón se ofrece una lista d~ los símbolos I

empl~adosen estecurso y su interpretación. Ellos son presentados' en el orden de aparición en el libro. SIMBOLO E 9t { }

I

.+ n(o) , , , JJ. cf>

N

( l

e

> .-<

<:

> lJ

n

e :1>


SIGNIFICADO ,

Es un elementode. . . No es un elemento de. . . Conjunto' Es igual a Tal que Símbolo de la operación suma C:ardinalidad del conjunto A Y'así sucesivamente Conjunto universal Conjut:1tovacío' Conjunto de Íos números natural~s Símbolo de la operación multiplicación No es igual a Subconjunto de,. . . No es subconjunto de . . . Subconjunto propio'de Es mayor que Es menor que Es menor 0ligual que Es may()r o igual que

Unióncon

.

Int.ersección con Complemento de No es subconjunto propio de Símbolo de implicacIón Símbolo de la operación diferencia o resta No es mayor que. No es n1enor que . Símbolo para expresar la operación división: (también se usa.

I elsímbolo- comoen ~ b) ~ 15

<=>

1t

Doble implicaci6n o equivalencia No, es falso que Tri.ángulo. Angulo Conjunto de los números reales Conjunto de los números enteros Conjunto de los racionales Conjunto de los inacionales 3.14159...

V %

Sintbolo de la operaci6n raiz cuadrada Tanto por ciento

~ 4: R E O D'

16

UNIDAD'V POSTERIOR DESARROLLO. . . DE LOS- NUMEROS REALES.

../

Introducci6n

Al llegar al.nivel de Preparatoria ya hemos aceptado y utilizado el orden entre los números enteros y aun entre los racionales, generalmente de una manera ip.tuitiva, ahora fundamentamos ~quellos conocimientos y los extend~mos a los númer~s reales aplicando l?a;a lograr este aprendizaje las técnicas de la Unidad 111,es decir, ]a justificación de cada paso a cada cambio en una expresión algebraica. 'Ahora, empezaremos a 'manipular expresiones algebraicas en que intervienen las desigúaldades, ya que hasta aqu1 sólo hemos resuelto las llamadas ecu~lones. Estableceremos la correspondencia entre los números reales y los puntos que forman .una linea recta, para así. introd-ucirnos a los sistemas coordenados en los cuales se graflcan los conjuntos numérf~os. técnica esta'importantisima dada la aplicación y divulgación tan extendida de las gráficas en el mundo moderno, como "lenguaje," visual.

19 ....

,Objeti.Yos generales

Al terminar de estudiar esta u~idad. el alum.no: 1. Aplicará los postulados de orden entre los números reales ~n la resoluci6n de . desigualdades. 2. Utilizará los teorem~s básicos sobre desigualdades en la si~plificaci6n de expresiones numéricas. 3. Calculará valores absolutos de diferentes distancias. 4. Graficará conjuntos nu'méricos. utilizando como instrumento la recta numérica.

20

. Dlagram'a

Reglas de inferencia

tem'ático

es~ructural

Definici6n de números positivos

y

negativos

Postulados de orden ~,.

Teoremas

5-1 a 5-6

Inducción' matemática Número racional

Ordenamiento

de los

enteros y racionales

,

,

Correspondencia biuuívoca

Sistema coordenado lineal

Disyunci6n

Valor absoluto

Densidad Media aritmética

Distancia éntre, dos puntos'

/

Intervalos

Gráfica 'de intervalos

21

Glosario.

Campo.

Todo sistema matemático cuyos elementos cumplan con los seis postulados de campo

acuerdo para dos operaciones~

'

Campo ordenado. Es todo campo cuyos elementos pueden ordenarse y compararse de a ese'orden. , Postulados de orden. Son las propiedades que posee un determinado conjunto para ordenar y comparar sus elementos. Propiedad de trlcotoDÚa. Si x, y E R entonces s6lQ una' de las proposiciones siguientes es verdadera: x y' 6 6 x=y Postulado transltlvo. Si un nú~ero real es mayor que un segundo, número, y eOstemayor ,que un tercero, entonces el primer número es mayor que el tercero.

.

x, y, Z E R,' x > y y> z x > ,. I Son proposiciones abiertas en que intervienen los signos de las desigualdades

,

'

Inecuaclón.

>,<;:;1:..

,

Postulado aditivo.

"

,

'

Si un número real es máyor que otro, la desigualdad no St)altera al sumar

un mismonúmeroreal en ambQsladosde ia desigualdad. Si x, y, z E R, y x>

Y. x + z > y + z "

Postulado 'multlpllcatlvo. Si un número,real es,mayor que otro, la desigualdad no se altera ~l multiplicar por un mismo número real positivo en ambos lados de la desigualdad.

Si x, y, z E R,

Y z > O Si x > y

.

Yx > O

x z > yz

Número racional. 'Es el elemento numér\co que se puede representar PQr 'el coCiente de' dos enteros y cuyo denominador es diferente ,de cero. ' ,

D

= {x I x =

a

'

a, b

E E, b 1= O}., D E R Densidad. Es la propiedad de los números raciónales en cuanto al orden, y dice que entre dos números ,racionales siempre'hay otro número racional. Inducción matemática. ,Proceso por el cual después de aceptar un caso particular por inducci6n se generaliza a cualquier caso "n'; para demostrar deductlvamente que si se cumple para "n" se cumplirá para "n+1", concluyendo ,que se cumple siempr~~ Orientación gráfica. Sentido de referencia p~ra la localización del orden de los números sobre una rect~. ,

'

,

b"

,

Sistemacoordenadolineal., Es la correspondenciabiunivocaentre los puntos de una recta y los elementos de R. Valor absoluto. Es el número de unidades que separan dos puntos sin importar 'el signo de referencia en un sistema coo'rdenado lineal. ' , Distancia entre dos puntos.

22

.Esel ~úmero de unidadés que se encuentran entre dos puntos.

Recta numérica. Es la recta con cuyos puntos se asocia el conjunto de números reales, "también se llama sistema c.L. Gráfica de un número. Es el punto de una rel'ta numérica con la 'que se asocia el número.

Coordenada. Esel,valornuméricoéonel que se asociaa un p~nto de la recta numérica.

..

Intervalo. Es la -Wáticade un conjunto numérico expresado en valor absóluto'y -menor que o su cÓnjunciÓ'nequivalente. . Intervalo-abierto. Es cuand'b en la gráfica no se incluyen los valores extremos. [a,b ] Intervalo cerrado. Es aquel en el que en la gráfica se jncluyen los valores extremos.'

,.

23

M6dulo 1

OBJETIVOS ESPECI~ICOS

,

Al terminar de estudiar este módulo, el alumnQ: l. Definirá con sus palabras nú~ero positivo y número negativo. 2. Explicará porqué el conjunto de los nÚtperos reales forma un campo ordenado; 3. Mencionará cuáles son los postulados de orden. 4: e oncluirá el valor de verdad de proposiciones dadas utilizartdo las definiciones de "mayor

que" y "~enor que"

.

'.

S. Aplicará los postulados de orden (tricotomia, transitivo, aditivo, multiplicativo), en l~ justificación,de implicaciones y.en la demostración de teoremas. 6. Demostrará algunos teorema~ de orden aplicando los postulados correspondientes.

7. Mencionarácuálessonlasinecuacione!i.,

.

R.Resolverá d:e$.igualdactesjustifican~o cada uno de los pasos.

ESQUEMA RESUMEN Tricotomía

POSTULADOS

DE, ORDEN

Postulado transitivQ Postulado aditivo Postulado multiplicativo

Algunos teoremas importantes DESIGUALDADES

E

-

INECUACIONES'

a > b<==:::>-a< -b a > b <===:>a -b €,P (definición de "maypr que") a < b<==7>b-~ €:.p (definición de "menor que") .

Teoremas básicos

{

\

Si a > b Y e < O => ae < be Si a > b Y e > d .=> a + e >. b + d .a,b, .e,d > O,a > b y.e > d ~ ae> bd 25

1.1

Elconjunto de los n6meros reales es un _campo

Postulados.de orden

Existen proposiciones er! las que comparamos valores, medidas, etcétera; decimos por ejemplo: Juan es mayor que Pedro, una hectárea es mayor que media hectárea, un octavo es menor' que ciento treinta milésim~; ¿cómo podemos estar convencidos del valor de verdad de dichas proposiciones? los postulados de c~mpo, las propiedades ,de la igualdad y la equivalencia nos sirven para justificar que existe diferen.cia pero no nos permiten o justifican el sentido d.e esta diferencia. Los elementos que manejamos son n6meros reales y hemos demostrado que forman 10 que l1a~amos un caínpo, necesitamos ahora demostrar que se pueden ordenar y comparar de acuerdo con ese orden, para demo~trar en los casos de desigualdad cuál eS mayor o cuál es menor, es decir, que el conjunto d'e los números reales' forma un ~po ordenado.

Definición:.

Campo' ordenado es...

Campo ordenado es todo conjunto cuyos elementos cumplen con los se~s postulados de campQ para dos, operaciones y además guardan un orden al compararse entre ellos.

¿Cómo se ordenan los n6meros reale6...1

Considerandoque vamosa acomodar')o~números uno después de otro. empezaremos por acom\>dary definir a tres conjun,tosdisj,untos cuyauni6n forma eí conjuntoR.. 1. Sea P. el conjunto de números positivos.

2. {x I - x E P}. El conjunto de números negativos que definimos usando ~l conjunto P, como aquel10s números cuyo inverSo es positivo. Siendo X negativo -x es positivo.

3.

lV orden se e~.establece...?

{O} Este conjunt.o complementa la uni6n de los dos anteriores y . tiene un solo elemento. por el teorer:na 3-11. sabemos qu~ el eer~ es .un núm'ero cuyo inverso es él mismo.

El orden.de los tres conjuntos definid()s lo establecemos usando,las siguientes .'

e

Definiciones:

x É R Y x >. o ~ x E P x E R Y x < O ~ -x E P

De acuer40 con las definiciones cualquier número positivo e~ may~r que O y cualquier número negativo es menor que 9. Usando la regla de inferencia de la cadena (Unidad II, Módulo 8), deducimos que cualquier

númerb positivoesmayorque cualquiernú~ero negativo.

26

.

Postulados de orden

R

Postulado5-1.Trlcotomí~. Si x, y E entonc~s s610un,a de las ¿Qué postulados proposicionessiguienteses verdadera. x > y o x < y o x = y nos ordenan los númer.os

reales...1

Postulado S..2.Transltlvo. Si un número real es mayor que un segundo número, y éste mayor que un tercer ~úmero, entonces el primer número es mayor que el tercero.

x, y, z E R, x > y y y > z =>x > z Postulado 5..3.Aditivo.

x, y, z E R, x > y =>x + z > y '+ z Postulado5..4. MuItlpllcatlvo. x, y, z E R, z > O Y x > Y

~

xz > yz

A diferencia del postulado multiplicativo para la igualdad, éste tiene una condici6n más, el factor (z) debe ser positivo o mayor que O. Ahora . estableceremo-s y demostraremos algUnosteoremas que nos serán de gran. utilidad, tanto para ordenar los elementos de R como para resolver proposiciones abiertas en las que intet:Vienen' desigualdades. Las demostraciones siguen la técnica de dos columnas, pero en las justificaciones. s610 escribiremos las que correspondan a este libro, pues se supone que usted recordará las que corresporidan a la teoría de campo y s610se recomienda que esté seguro de recordarlas; con esto se pretende' recortar dichas demostraciones para hacerlas más interesantes; recuerde. .que siempre que no se mencione otra cosa el conjunto de reemplazamiento esR. A las proposiciones abiertas en que intervienen' desigualdadés también se les llama Inecuaclones. Teorema 5- t .

Teoremas para proposiciones abiertas...

a > b <=>-a < -b

Demostración:a > b ~ -a < -b , a> b (-a) + (-b) E R a + [.(-a) + (-b)] > b + [(-a) + (-b)]

-a < ~b => a > b Dado Cerradura Postulado 5-3.

o :+-(.-b) > (-'a) + O

-a < -b

-a < -b a+b.ER -a + (a + b) < - b + (a + b) O+bb

J;jemplo: Si 100 > 10 entonces - 100 < - "10 27 ..

¿Cómd definimos mayor qué?

Teorema5.2. a > b si y sólo si a - b, es positivo A ~ste teorema también se le llama de la definición de Q1ayor que a>b~a-bEl? Demostración:

a > b

a + (-b~ > b + (-b) a-b>O a~bEP

¿Para definir

,

, menor que....

Postulado5-3

a-bEP=>a>b a-b EP a-b>b

Definiciónde elemento 'de P

(a - b) + b > ,O + b a>b

a>b=>a-bEP Dado'

. Dado Definición de númeto positivo Postulado 5-3

Teorema 5.3. a < b si y s610si boaes positivo. A este teorema se le conoce como la' defiQici6n de menor

que. Compl,etala de~ostraci6n que es .semejante'a la del teorema 5.2. a < b<::=>b - a E:P Demostración:

ab-a a < .b .a

Teoremas

+

<

'

b

+

b-aE:P~a
e P Dado,

b - 'a

'. ........................ b - a > O....' a > ~'y e < O, ===> ac < be

(-a) l.. .

Teorema 5.4

básicos sobre desigua~dades

E:P

Dado

(~(l)..

,

,

Este teorema nos indica qLJea difere~cia del postulado 5.4 multipHca.tivo; si el factor que se agrega es negativo, el sentido (le la desigualdad se invierte. La'demostraci6n está escrit~ en el problema 6 de los Reactivos de autoevaluaci6n correspondientes ~.estem6dulo para qne ,

lajustifique el alu~no. .Teorema 5.5

I

a > b Y e > d,

===::>a + c:.>b + d

'

Dos desigualdades del mismo sentído p'ueden sumarse miembro a,' miembro y resulta una desigualdad con el mismo sentido. La demostra~i6n es muy semejante a la del teorema anterior y se propone como el problema 7 de los reactivós.,

Teoreliu~5.6

a, b, e, d > O, a > b Y e > d =>ac > bd

Aplicaciónd~' \ Si.todos los números en do~ desigualdades del mismo sentidó son teo~emas 'sobre positivos se pu~den multiplicar miembro a miembro,y resulta otra desigualdades desigualdadconel mismosentido. Ejemplos: á) 15 > 9 15 (--2) -30 28

Teore~a 5.4 Y -2 < O

< 9 (-2) < -18

b) -2 > '--:-5-120 ( - 2 ) (-1) < (- S') (- 1) 2 <.5

b) 7 < 11 Y 10,<

TeoremaS.S a) 4 > ,3 Y 8 > 7

4+

.

8'>

12

>

3

10

+

7

7

+

10 <' 11

+

15 15

17 < 26 b) 3 < 5 Y 7 < 9. 3 . 7 < 5 ' 9 2 1 < 45

TeoremaS.6 a) 6 > 4. Y 3 > 2 6 3>4;.2 18 > 8

Con.1a idea de tener presente la d~ferencia entre el inverso de un númerQ dado y su reciproco, se incluye la siguiente actividad complementaria.

10 Escriha el inverso aditivo de los siguientes nÚmeros: a)-3 . b)_A c)a+b d).L e)-l b .¡i-b 4 7" 20 Escriba el I'ecíproco' (inv~rso multiplicativo) de cada número de los incisos anteriores, 'En caso de'duda consulte la Unidad

111.

REACTIVOS DE AUTOEV ALUACION

1. 2. 3.

4.

Demuestre que el producto de dos. números reales ambos positivos o .ambos negativos, siempre es positivo. Demuestre que si a E R, a =pO =>a2 >. O Utilice' la definición de menorque, para deducir una conclusión de cada una de las proposiciones siguientes. La conclusión debe deducirse de la: .

.Proposicióndada sin tomar en cuenta el valor de verdad. e} -3 - (-1) EP a) 6< 9 c) -2 - (-4)EP b) -5 < -1 d) 5 - 8 E P f) 14 - 7 E P Aplique en el problema anterior, la definición de mayor que. IQvierta las desigualdades de los incisos a) y b).

5.

'

Justifique cada una de las siguientes implicaciones considerándola verda~ . dera, cQmplétela cuando no tenga conclusión escrita. a) -a < O ~ a E P g) 3 <' 10 y 10 < 50 => 3 < 50 b) 3EP=>3>0 h) 5>xyx>0=>5x>x2 c) a =p.b Y a:< b => i) a es positivo y b + 2 es positiyo, d) 3';;:. 1 => 3 - 1 E P entonces a(b + 2) es positivo. .

.29

e)

5 < 3 Y 5 "4=3

n. 'x < y y y < z + 3 ., x < z + 3

~

f)

x no es mayor ,que O y x no es menor que O ~ ~. Justifique los pasos dados en la c\emostración del Teor~ma 5-4. a > b y 1:'< O ~ ac'< bc

6.

7. 8.

9

1.

á>b

2.

e < O ~ - e :> O

3. a(-e) > b(-e) 4. -ae > -be 5. áe < be Demuestre el Teore.ma 5-5. Demuestre .el Teorema 5-6. Resuelva las siguientes desigualdades justificando sólo 108 pasos en que aplique postulados o teoremas de este capítulo. I 2x + 1 ,> 3 Solución': . 2x + 1 > 3 (2x + 1) + (-1) > 3 + (-.1) Postulado S.3 aditivo

2x > 2 (f) 2x >- (f) 2 x > 1 {x E R Ix> 1}

. 10

2x

11.

f >. 3x + ¡

~:':.2 -3 < 1 - 4x < 3x + 7

12. .

::. > -5x + !3 2

13. 14.

-

Complete la solución'

2x -

~ > -3

.

2x > _.

Postulado 5-3

2x > ->..: >

Postulado 5-4

~

.

15.

{x E R Ix>

2}

Resuelva:4 - 3x > 4

.30

Postulado 5-4 multiplicativo

M6dulo 2

OBJETIVOS

1.

ESPECIFICOS

Al terminar de estudiar este m6dulo, el alumno: Demostrará el ordenamiento de los enteros

2. Explicará'cuálessonlosnúmerosracionales 3. 4. S. 6. 7.

por

medio

del postJ.llado aditivo.

\

Dará un ejemplo de densidad. Ordenará números reales de menor a mayor y de mayor a menor. Demostrará la densidad de los números racionales. Calculará promedios de dos.números dados. DemQstrará el teorema sobre fracciones iguales a cero.

8. Demostraráelteoremaw, x, y, Z E R y, z > O x y

,w > -<===:;> x Z' > W y Z ESQUEMA RESUMEN

ORDENAMIENTO

.

DE LOS ENTEROS

- Iriducci,6n matemática

"

Características

NU'MEROS RACIONALES -

{

Campo orden~do Densidad

TEOREMA SOBRE UNA FRACCION IGUA.L A CERO Si x, y f:..E; y =1=O

31

2.1 Or.denami'entode los enteros TeoremaS-7. 1 > O ¿Cómo ordenamos Demo$tración: los enteros? 1 l>OóJ
=O

1.* O 1 < '0

1 < O =>-1 > O => (-1) (,...1) > O (-1) =>1>0 1 1

Tricotomía Postulado de ide.ltidad inciso c).. Hipótesis. Si llegamos a un absurdo o contradicción. nuestra hipótesis será falsa y la disyunción nos señalará la verdad. Método indirecto. Defmición de .número negativo. Postulado 5-4. Contradicción entre la hipótesis,y la' conclusión por lo que la hipó-tesis es falsa.

> O

Corolario: Como 1 E.N Y 1 E P entonces si,x E N

EP

~ 'x

Si a. 1 > O le aplicamos el postUlado' 5-3 aditivo sumándole la unidad a cada lado tendremos: 1 'T 1 > O + 1 y por sustitución 2 > 1, aplicai1do el mismo postulado a este resultado y así <,ul.'l'sivamentea lo que resulte. tendremos un orden establecidó para lo~ delllentos de Njllst~ticado por el postulado t~ansitivo:

.

O < f < 2 < 3 < 4 < 5 < ... \.

Si después de comprobar unos cuantos casos aceptamos que N e P, es 'decir. que todos los números naturales son mayores que O y que por tanto sus inver~os serán los números enteros negativos o menores que O.

4 < -3 < -2 < -1 < O Razonamiento matemático

¿Qué tipo,de razonamiento estamos empleando? debemos recordar q,ue con este tipo de razonamiento las conclusiones no son necesaria- , mente válidas pues es un razonamiento inductivo, por lo que después de demostrar que se cumplen 'en' un caso particular. para un número n E.E. hábrá qué demostrar deductivamente que se cumplen para el siguiente número n + 1, para entonces sí aceptar como conclusión que se cumplirán

para todos los elementos de

E.

A este procedimiento se le llama inducción matemática o también criterio de la inducción y su aplicación requiere mucha más experiencia

32

de parte del estudiante que la que hasta aqui haya obtenido. Por 10 pronto aceptaremos que N C P.

2.2 Números racionales. Densidad En la Unidad III del texto anterior hemos definido al conjunto de

Los números racionales sr forman un .campo

.

números enteros y una razon para ampliar este conjunto fue que ningún

entero multiplicado por 8 da 4, podemos observar que eso significa.

.

que los elementos de E no tienen ~n inverso para la multiplicación o reciproco en el mismo conjunto, por lo cual E no es un eoqJunto cerrado para la multiplicación. de modo que atinq.ue E es'un conjunto ordenado, no es un campo ya que sus elementos no cumplen con los postulados de .

cerradura ~ inversos. Un conjunto mucho más "rico" que E, cuy~ elenlentossí cumplen con.los p~stuladosde campo, es el conjunto D de los números racionales. Definición:

,

Número racional es el que se puede representar por et cociente de dos 'enteros, denominador 4iferente de O. . .

p = {x Ix = .¡" a, b E E, b

:#=

DCR

O},

Este conjunto es, entonces; un campo y el teorema. . . . . . . . . : . . . .

3-20(1- =

~

ad =bc)

~

ju~to con los dos siguientes nos permitirá orde-

nar sus elementos,con lo cual D formará un campo ordenado. T~rema 5-8. x,.v E E, Y *' O ~)' =. O ~ x = O

Una fracciQn es

.

' ' ' . El enuncia d o para este teore_ma po d fla eSCflb Irse, como sigue: "Una fracciÚn es' Igual a cero. si y sólo si s~ numerador es cero" Este tC\H'CJ1H\adquiere gran importa!1cia en la solución de ecuaciones con fracciones, y puede l:1acerseextensivo ~.Ios números reales si considct:amos x, y E R. .

Demostración:

=-

y

= O. ~

.

visión (observe que es doble implicación.

O ='x x=O

El teorema siguiente condiciona que los denominadores ~e las fracciones sean. números positivos. Podria condicionarse que ambos . denominadores fueran negativos con el mismo'resultado, pero de ningún modo pueden tener signos diferentes. Teorema 5-9

igual a cero . si...

Definición de la di-

=-=O~y.O=x y . ~

'

w, x, y, z ER;. y, z > O;=y >

w z.

~

xz > wy ~

Los números

racionales forman un campo ordenado

~

Una fracción es mayor que otra si y sólo si, el producto en cruz de numerado~es y denominadores da una desigualdad en el mismo sentido. Las fracciones mencionadas pueden, interpretarse como námeros racionales. . . Eaemplos: Establecer sentido de de$igualdad entre: - 17 21 . 3 . 63,

.4 63 < 68 21' 17

21 17 a) 4'

"3

4 b) -3' 4 -3

-<4 7

= 68

3

(-4 )5 = -20, (~7)3=

7"""5

4

---4

--,--=3

3

7 5

-7 5

7

--

-21

-20 > -21 -.4 -7

->3

-5

S.

4 -

7-

->--3

S

Estos teoremas. 3-20, S-8.y 5-9,-justifican que podemos rcferirnos al conjunto D como un campo brdenado, además entre los elementos de este conj.unto existe _una propiedad muy importante a la 9ue llamamos

densidad.

Densidad

.

.

Definición:

'Eatre dosnúmerosracionalesslempréhay otro número racional. ,

El número conocido como promedio c;le dos o como media aritmética es una prueba de la propiedad densidad.

[Mediaaritmética: a, b E::.D~

a

~

b C D'

I

.

\

Ejemplos: a) Entre S y 6 la media aritmética es

s+ 6

b) Entre S y111a media ari~méticaes. 2

.S

2

11

=2

11

+2 2

== 21/4

y se puede continuar indefinidamente loc~lizando un número entre S y la que resulte. El problema 3 de los siguientes Reactivos de. autoevaluación presenta simbólicamente esta propiedad a la que haremos referencia en el tema "Gráfica de un conjunto numéricQ" .

. media aritmética

-34

REACTIVOS

L

Ordene el siguienteconjunto de números de menor a mayor «) {5.2,

2.

DE AUTOEVALUACioN

~

2.8,

-

- f, - t, .¡, 7.6}

1:,

Ordene el siguienteconjunto de números de mayor a menor (»

{.t, O, ril, 1, .12, .123, .012, .123S} 3.

Si a > b, dem~estreque a > a

; b > b, que demuestra. la propiedad de los' números racionales llamada densidad. a ; b se llama la media arltmé-

junción a > a

;

;. b > 'b. Esta notación represent~ la con-

Ya

b

tlca de a y b.

4. 5.

Demuestre que:

Encuentre la media aritmética entre: a) 2 y 7 b) -3 Y 5 c) -3.6 Y 2.5 d) - .!2 y .!4 e)

6.

t < :¡< 1

iy3

Demuestre el Teorema 5-9. w, x, y, z E R, y, z > O' ~y > w * xz > wy % .

7.

Llene el espacio entre .los números con el símbolo Que haga verdadera la proposición, escogiendo entre <, =,' ~

.

a) .:::2-5 b) 1.301 C) --7 2 d) -'.! 3

O 1.300J 9 . 4

.1 4

e) .=!. 3

o

f) !7

.!

g) ...!!-12 h) .::.! .-5 ' i)

-3.002

5 ~ 3

-s ---7,

- 3~020

35