Mate Clasa A 9 - A

  • Uploaded by: Biliga Petrut
  • 0
  • 0
  • May 2020
  • PDF

This document was uploaded by user and they confirmed that they have the permission to share it. If you are author or own the copyright of this book, please report to us by using this DMCA report form. Report DMCA


Overview

Download & View Mate Clasa A 9 - A as PDF for free.

More details

  • Words: 4,022
  • Pages: 15
Liceul Particular „Octav Onicescu”

Matematică Clasa a IX-a frecvenţă redusă Semestrul II

Prof. Niculescu Paraschiv

An şcolar 2007 – 2008

1

Matematică clasa aIX-a Semestrul II Teme: I. Funcţia de gradul al doilea a) Forma canonică a funcţiei de gradul al doilea b) Maximul şi minimul funcţiei de grad doi c) Simetria graficului faţă de dreptele de forma x=m d) Ecuaţia de gradul al doilea: Formele (Relaţiile) lui Viète e) Graficul funcţiei de grad doi şi semnul funcţiei de grad doi f) Poziţia unei drepte faţă de o parabolă. II. Elemente de geometrie a) Vectori în plan, relaţia de echivalenţă şi coliniaritate b) Adunarea vectorilor, proprietăţi ale adunării c) Înmulţirea cu scalari d) Descompunerea unui vector după două direcţii date; reperul cartezian III. Coliniaritate şi concurenţă, paralelism a) Vectorul de poziţie al centrului de greutate b) Concurenţa medianelor, teoremele lui Thales, Silvester, Menelaus

2

I. Ecuaţia de gradul doi O ecuaţie de forma ax 2 + bx + c = 0 în care a, b, c ∈ℜ;a ≠ 0 sunt coeficienţii ecuaţiei şi x necunoscuta ecuaţiei, se numeşte ecuaţie de gradul doi datorită termenului ax 2 care este de grad doi. Exemplu: Ecuaţia 2x 2 − 5x + 3 = 0 este de grad doi şi are coeficienţii a = 2; b = 5;c = 3 .

A rezolva o ecuaţie de grad doi înseamnă a afla soluţiile (rădăcinile) sale adică acele numere x ∈ ℜ pentru care egalitatea ax 2 + bx + c = 0 este adevărată.

Exemplu: Fie ecuaţia 2x 2 + x − 1 = 0 în care a = 2; b = 1;c = −1 . Numărul x = −1 este soluţie a ecuaţiei deoarece, prin înlocuirea lui x cu -1 în partea stângă a egalităţii 2x 2 + x − 1 = 0 se obţine: 2 ⋅ (−1) 2 + (−1) − 1 = 2 − 1 − 1 = 2 − 1 = 0

adică x = −1 verifică egalitatea 2x 2 + x − 1 = 0 . Numărul x = 2 nu este soluţie a ecuaţiei 2x 2 + x − 1 = 0 deoarece prin înlocuirea lui x cu 2 se obţine: 2 ⋅ 22 + 2 − 1 = 2 ⋅ 4 + 1 = 7 ≠ 0

adică x = 2 nu verifică egalitatea 2x 2 + x − 1 = 0 . Vom începe rezolvarea ecuaţiilor de grad doi de formă incomplete. Cazul 1. Dacă a ≠ 0 şi c = 0 ecuaţia ax 2 + bx + c = 0 devine ax 2 + bx = 0 care descompusă în factori se scrie: x(ax + b) = 0 unde cei doi factori sunt x şi ax + b .

Produsul de factori x(ax + b) = 0 este zero dacă factorii se anulează adică ecuaţia x(ax + b) = 0 este echivalentă cu: x = 0 sau ax + b = 0 . Am b a

obţinut astfel soluţie x1 = 0 şi deci ax + b = 0 ⇒ ax = −b ⇒ x 2 = − .

3

Exemplu: Să se rezolve ecuaţia: 2x 2 − 5x = 0 cu coeficienţii a = 2; b = −5;c = 0 . Prin descompunere în factori, dând pe x factor 2x 2 − 5x = 0 se scrie: x(2x − 5) = 0 echivalentă cu x = 0 sau 2x − 5 = 0 , adică

5 2

soluţiile vor fi: x1 = 0 şi din 2x − 5 = 0 ⇒ 2x = 5 ⇒ x 2 = . Reţinem deci: b a

Dacă a ≠ 0 şi c = 0 ecuaţia ax 2 + bx + c = 0 are soluţiile: x1 = 0 şi x 2 = − ; x 2 = 0 dacă b = 0 .

Cazul 2. Dacă a ≠ 0; b = 0;c ≠ 0 ecuaţia ax 2 + bx + c = 0 se scrie sub forma: c ax 2 + c = 0 ⇔ ax 2 = −c ⇔ x 2 = − . a c a

Cum din x ∈ ℜ ⇔ x 2 ≥ 0 ceea ce însemnă că şi − > 0 , adică a şi c trebuie să fie de semne contrare pentru că soluţiile x1 , x 2 ∈ ℜ . c a

Aceasta înseamnă că dacă − < 0 ecuaţia nu are soluţii în mulţimea numerelor reale. Exemple: ⎧ x 1 = −4 ⎩x 2 = 4

1. Rezolvaţi: 3x 2 − 48 = 0 ⇔ 3x 2 = 48 ⇒ x 2 = 16 ⇒ ⎨

Observaţie: x 2 = 16 se poate rezolva şi astfel: ⎧ x + 4 = 0 ⎧ x 1 = −4 . x 2 − 16 = 0 ⇔ ( x − 4 )( x + 4 ) = 0 ⇔ ⎨ ⇒⎨ ⎩x − 4 = 0 ⎩x 2 = 4

2. Rezolvaţi ecuaţia: x 2 + 4 = 0 ⇔ x 2 = −4 care nu are soluţii în ℜ deoarece x 2 ≥ 0 iar −4 < 0 .

Observaţie: Când ecuaţia nu are soluţii în ℜ spunem că mulţimea soluţiilor notată cu S este mulţimea vidă adică S = ∅. (∅=mulţimea vidă) Cazul 3. Rezolvarea ecuaţiei de grad doi în cazul general: ax 2 + bx + c = 0, (a ≠ 0) .

4

Membrul I al ecuaţiei se mai scrie: b c⎞ ⎛ ax 2 + bx + c = a ⎜ x 2 + x + ⎟ = a a⎠ ⎝ 2 ⎛ 2 2 b b2 c ⎞ = a ⎜ x + 2⋅ ⋅ x + 2 − 2 + ⎟ = 2a 4a 4a a⎠ ⎝ ⎡⎛ b ⎞ b 2 − 4ac ⎤ = a ⎢⎜ x + ⎟ − ⎥ 2a ⎠ 4a 2 ⎦⎥ ⎣⎢⎝ 2

Notând cu Δ = b 2 − 4ac care se numeşte discriminantul ecuaţiei de grad doi, putem scrie: 2 2 ⎡ ⎤ b ⎞ ⎛ b 2 − 4ac ⎞ ⎥ ⎛ ⎢ ax + bx + c = a ⎜ x + ⎟ − ⎜ ⎟ = ⎟ ⎥ ⎢⎝ 2a ⎠ ⎝⎜ 2a ⎠ ⎦ ⎣ 2 2 ⎡ b ⎞ ⎛ Δ⎞ ⎤ ⎛ = a ⎢⎜ x + ⎟ − ⎜⎜ ⎟ ⎥=0 2a ⎠ ⎝ 2a ⎟⎠ ⎥ ⎢⎝ ⎣ ⎦ 2

Dacă Δ ≥ 0 vom avea: 2

2 b ⎞ ⎛ Δ⎞ ⎛ ⎟ =0 ⎜ x + ⎟ − ⎜⎜ 2a ⎠ ⎝ 2a ⎟⎠ ⎝

şi descompunând diferenţa de pătrate în factori se obţine: ⎛ Δ ⎞⎛ Δ⎞ b b + x+ ⎜⎜ x + − ⎟⎜ ⎟=0 ⎟⎜ 2 a ⎠⎝2a 2a ⎟⎠ 2a ⎝

ceea ce este echivalent cu: x+

b Δ b Δ + =0 − = 0 sau x + 2a 2a 2a 2a

Efectuând calculele se obţine: x1 =

−b + Δ −b − Δ ; x2 = 2a 2a

sau x1 , x 2 =

−b ± Δ ; Δ = b 2 − 4ac . 2a

(

)

care se numeşte forma de rezolvare a ecuaţiei de grad doi, forma generală. 5

Exemple: 1. Să se rezolve ecuaţia de grad 2: x 2 + 3x − 4 = 0 . Ecuaţia fiind de forma ax 2 + bx + c = 0 pentru a rezolva, parcurgem paşii următori: Pas1: Determinarea coeficienţilor ecuaţiei şi vom avea: a = 1; b = 3;c = −4 . Pas2: Calculul discriminantului Δ = b 2 − 4ac vom avea: Δ = 32 − 4 ⋅1(−4) = 9 + 16 = 25 > 0 Δ = 25 = 5 .

Pas3: Aflarea soluţiilor ecuaţiei folosind formula: x1 , x 2 =

−b ± Δ ; în 2a

cazul ecuaţiei date vom avea: −3 − 5 8 ⎧ = − − 4; x 2 = −4 x = −3 ± 5 ⎪⎪ 1 2 2 x1 , x 2 = =⎨ 3 5 2 − + 2 ⋅1 ⎪x = = = 1; x 2 = 1 ⎪⎩ 2 2 2

Dacă notăm cu S mulţimea soluţiilor putem scrie: S = {x1 = −4; x 2 = 1} . Observaţie: Discriminantul Δ = 25 > 0 şi am obţinut pentru ecuaţie două soluţii diferite x1 ≠ x 2 . 2. Să se rezolve ecuaţia: 4x 2 + 4x + 1 = 0 . - coeficienţii ecuaţiei sunt: a = 4; b = 4;c = 1 . - discriminantul ecuaţiei Δ = b 2 − 4ac etse: Δ = 16 − 4 ⋅ 4 ⋅1 = 16 − 16 = 0; Δ = 0 ⇒ Δ = 0 = 0

- soluţiile ecuaţiei vor fi conform formulei: x1,2

−4 + 0 −1 ⎧ = x1 = ⎪ − b ± Δ − b ± 0 −4 ± 0 ⎪ 8 2 = = = =⎨ 2a 2a 2⋅4 ⎪ x = −4 − 8 = −1 ⎪⎩ 2 8 2

1 1 adică x1 = x 2 = − ⇒ S = ⎧⎨ x1 = x 2 = − ⎫⎬ . 2



2⎭

6

Observaţie: Dacă discriminantul Δ = 0 soluţiile ecuaţiei vor fi întotdeauna x1 = x 2 = −

b adică cele 2 rădăcini x1 şi x 2 sunt egale. 2a

3. Să se rezolve ecuaţia: x 2 + x + 2 = 0 . − coeficienţii ecuaţiei sunt: a = 1; b = 1;c = 2 . − Discriminantul ecuaţiei este: Δ = b 2 − 4ac = 12 − 4 ⋅1⋅ 2 = 1 − 8 = −7 < 0

Din Δ = −7 < 0 ⇒ Δ = −7 nu aparţine mulţimii ℜ şi spunem că ecuaţia nu are soluţii în ℜ . Dacă notăm cu S mulţimea soluţiilor ecuaţiei putem scrie: S = ∅ (mulţimea vidă). Observaţii: Dacă discriminantul Δ < 0 ecuaţia nu are soluţii în mulţimea ℜ a numerelor reale.

Exerciţii rezolvate Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţiile: a) 4x 2 − x = 0 b) 3x 2 + 27x = 0 c) 4x 2 − 1 = 0 d) 3x 2 − 2 = 0 e) x 2 + 1 = 0 f) x 2 − 3x + 2 = 0 g) x 2 + 7x + 10 = 0 h) 2x 2 + x − 5 = 0 i) x 2 + x + 2 = 0 j) x 2 + 4x + 4 = 0 Rezolvare: a) 4x 2 − x = 0 ⇔ x(4x − 1) = 0 echivalent cu: x = 0 sau 4x − 1 = 0 şi 1 4

obţinem: x1 = 0; x 2 = .

7

b) 3x 2 + 27x = 0 prin descompunere în factori

(dând 3x factor)

devine: ⎧3x = 0 ⇒ x1 = 0 ⎪ 3x(x + 9) = 0 ⇔ ⎨sau ⎪ ⎩ x + 9 = 0 ⇒ x 2 = −9 1 4

c) 4x 2 − 1 = 0 ⇔ 4x 2 = 1 ⇔ x 2 = ⇒ x = ±

1 1 = ± cu soluţiile: 4 2

1 1 x1 = − ; x 2 = 2 2

Observaţie: Ecuaţia 4x 2 − 1 = 0 prin descompunerea în factori devine: (2x − 1)(2x + 1) = 0 echivalent cu 2x − 1 = 0 sau 2x + 1 = 0 adică 1 1 x1 = − ; x 2 = . 2 2 2 3

d) 3x 2 − 2 = 0 ⇔ 3x 2 = 2 ⇔ x 2 = ⇔ x = ± ⎧ ⎪ x1 = − ⎪ ⇒⎨ ⎪x = ⎪⎩ 2

2 ⇒ 3

2 3 2 3

e) x 2 + 1 = 0 ⇒ x 2 = −1 < 0 ⇒ ecuaţia nu are soluţii în ℜ. S=∅. f) x 2 − 3x + 2 = 0 coeficienţii ecuaţiei sunt: a = 1; b = −3;c = 2 . Δ = b 2 − 4ac = 9 − 4 ⋅1⋅ 2 = 9 − 8 = 1 Δ = 1 = 1 şi soluţiile vor fi:

x1,2

3 +1 ⎧ =2 x2 = ⎪ −b ± Δ 3 ± 1 ⎪ 2 = = =⎨ 2a 2 ⎪x = 3 − 1 = 1 ⎪⎩ 2 2

şi mulţimea S a soluţiilor va fi: S = {x1 = 2; x 2 = 1} .

g) x 2 + 7x + 10 = 0 ⇒ a = 1; b = 7;c = 10 . Discriminantul ecuaţiei este: Δ = b 2 − 4ac = 49 − 40 = 9; Δ = 9 = 3

8

Soluţiile ecuaţiei sunt: x1,2 =

− b ± Δ −7 ± 3 ⎧ x1 = −5 = =⎨ 2a 2 ⎩ x 2 = −2

−7 − 3 −10 = = −5 2 2 −7 + 3 −4 x2 = = = −2 2 2 x1 =

h) 2x 2 + x − 5 = 0

coeficienţii

ecuaţiei

sunt:

a = 2; b = 1;c = −5 ;

discriminantul ecuaţiei este Δ = b 2 − 4ac = 1 − 4 ⋅ 2 ⋅ (−5) = 1 + 40 = 41 . Δ = 41 . Soluţiile sunt: x1,2 = ⎧

a soluţiilor este: S = ⎪⎨ x1 = ⎩⎪

−b ± Δ −1 ± 41 şi mulţimea S = 2a 4

−1 + 41 −1 − 41 ⎪⎫ ; x2 = ⎬. 4 4 ⎭⎪

i) x 2 + x + 2 = 0;a = 1; b = 1;c = 2 Δ = b 2 − 4ac = 1 − 4 ⋅1⋅ 2 = 1 − 8 = −7 Δ = −7 < 0 ⇒ ecuaţia nu are soluţii în ℜ. Mulţimea soluţiilor S este: S = ∅ (mulţimea vidă).

j) x 2 + 4x + 4 = 0 coeficienţii ecuaţiei sunt: a = 1; b = 4;c = 4 . Δ = b 2 − 4ac = 42 − 4 ⋅1⋅ 4 = 16 − 16 = 0

Din Δ = 0 ⇒ x1 = x 2 = −

b 4 =− ⇒ x1 = x 2 = −2 ⇒ S = {−2} . 2a 2 ⋅1

9

II. Formulele lui Viète Fie ecuaţia ax 2 + bx + c = 0, a, b, c ∈ℜ şi a ≠ 0 . Dacă Δ ≥ 0 şi x1 , x 2 sunt rădăcini ale ecuaţiei ele sunt date de formulele: ⎧ −b − Δ ⎪ x1 = 2a , Δ = b 2 − 4ac este discriminantul ecuaţiei. (1) ⎪⎨ ⎪ x = −b + Δ ⎪⎩ 2 2a

Dacă se adună cele două relaţii se obţine: x1 + x 2 =

−b −

Δ −b+ 2a

Δ

=−

2b b =− 2a a

sau x1 + x 2 = −

b (suma rădăcinilor). a

Dacă înmulţim cele două relaţii (1) se obţine:

( )

2 −b − Δ −b + Δ b − Δ x1 ⋅ x 2 = ⋅ = 2a 2a 4a 2 b 2 − Δ b 2 − (b 2 − 4ac) 4ac c = = = 2 = 4a 2 4a 2 4a a

2

=

sau x1 ⋅ x 2 =

c (produsul rădăcinilor). a

b ⎧ ⎪⎪ x1 + x 2 = − a Relaţiile ⎨ ⎪x ⋅ x = c ⎪⎩ 1 2 a

adică suma şi produsul rădăcinilor se

numesc formulele lui Viète sau relaţii între rădăcini şi coeficienţi asociate ecuaţiei de grad doi. Notăm cu S suma rădăcinilor şi cu P produsul rădăcinilor putem scrie: S = x1 + x 2 = − P = x1 ⋅ x 2 =

10

c a

b a

Se poate observa că dată ecuaţia de grad doi ax 2 + bx + c = 0 , se pot scrie (calcula) suma S şi produsul P al rădăcinilor fără a rezolva ecuaţia. Exemplu: În ecuaţia 2x 2 + 5x − 1 = 0 unde a = 2; b = 5;c = −1 vom avea: S = x1 + x 2 = − P = x1 ⋅ x 2 =

b 5 =− a 2

c 1 =− . a 2

Putem face verificarea rezolvând ecuaţia dată: 2x 2 + 5x − 1 = 0 . − Coeficienţii ecuaţiei sunt: a = 2; b = 5;c = −1 . − Discriminantul Δ = b 2 − 4ac = 52 − 4 ⋅ 2 ⋅ (−1) ; Δ = 25 + 8 = 33 . − Soluţiile ecuaţiei vor fi: x1,2 =

x1,2

−b ± Δ adică: 2a

⎧ −5 − 33 x1 = ⎪ −5 ± 33 ⎪ 4 = =⎨ 2⋅2 ⎪ x = −5 + 33 ⎪⎩ 2 4

Suma S a rădăcinilor va fi: S = x1 + x 2 =

−5 − 33 −5 + 33 −10 5 + = =− 4 4 4 2

şi produsul P al rădăcinilor este P = x1 ⋅ x 2 =

am obţinut deci S = −

−5 − 33 −5 + 33 25 − 33 −8 1 ⋅ = = =− 4 4 14 16 2

5 1 şi P = − care pot fi scrise şi direct fără a rezolva 2 2

ecuaţia. Se constată că am calculat suma S şi produsul P al rădăcinilor ecuaţiei adică S = x1 + x 2 = −

5 1 şi produsul P = x1 ⋅ x 2 = − fără a calcula 2 2

rădăcinile x1 şi x 2 ale ecuaţiei 2x 2 + 5x − 1 = 0 . Dacă, dată o ecuaţie ax 2 + bx + c = 0 se pot calcula suma S şi produsul P al rădăcinilor fără a rezolva ecuaţia, se pune şi problema

11

inversă dacă se dau suma S şi produsul P al rădăcinilor, să se scrie ecuaţia de grad doi corespunzătoare. Ecuaţia ax 2 + bx + c = 0 cu a ≠ 0 şi Δ = b 2 − 4ac ≥ 0 se mai scrie b c⎞ ⎛ ax 2 + bx + c = a ⎜ x 2 + x + ⎟ = 0 ⇒ a a⎠ ⎝ b c c ⎛ −b ⎞ ⇒ x 2 + x + = x 2 − ⎜ ⎟ x + = x 2 − Sx + P = 0 a a a ⎝ a ⎠

Rezultă că dacă S şi P sunt două numere reale date ecuaţia de grad doi corespunzătoare este: x 2 − Sx + P = 0 .

Exemplul 1: Se dau S=3 şi P=2. Ecuaţia corespunzătoare este: x 2 − 3x + 2 = 0 .

Exemplul 2: Fie x1 = 5 şi x 2 = 3 rădăcinile unei ecuaţii de grad doi. Să se scrie ecuaţia de grad doi asociată. Calculăm S = x1 + x 2 = 5 + 3 = 8 şi P = x1 ⋅ x 2 = 5 ⋅ 3 = 15 deci scriem ecuaţia: x 2 − Sx + P = 0 adică x 2 − 8x + 15 = 0 . Descompunerea în factori a trinomului ax 2 + bx + c = 0 Pornind de la relaţia: x 2 − Sx + P = 0 ,

unde S = x1 + x 2 şi P = x1 ⋅ x 2 , relaţia se scrie: x 2 − (x1 + x 2 )x + x1 ⋅ x 2 = 0

sau x 2 − x ⋅ x1 − x ⋅ x 2 + x1 ⋅ x 2 = 0

Grupând convenabil termenii se obţine: x(x − x1 ) − x 2 (x − x1 ) = 0

sau 12

(x − x1 )(x − x 2 ) = 0

din care rezultă: ax 2 + bx + c = a(x − x1 )(x − x 2 ), x1 , x 2 ∈ℜ, a ≠ 0 relaţie care exprimă descompunerea în factori de grad 1 a trinomului ax 2 + bx + c = 0 folosind rădăcinile sale x1 şi x 2 . b a

Dată ecuaţia ax 2 + bx + c = 0, a ≠ 0 şi Δ ≥ 0 adică S = x1 + x 2 = − ; P = x1 ⋅ x 2 =

c . a

Se cere să se calculeze fără a rezolva ecuaţia, sumele: 1. S2 = x12 + x 22 ; 2. S3 = x13 + x 32 3. S4 = x14 + x 42 Rezolvare 1. Din S = x1 + x 2 prin ridicare la pătrat se obţine: S2 = x12 + x 22 + 2x1x 2 b c adică x12 + x 22 = S2 = S2 − 2P ⎛⎜ S = − ; P = ⎞⎟ . a



a⎠

2. Din S = x1 + x 2 ridicăm la cub şi se obţine: S3 = x13 + x 32 + 3x1x 2 (x1 + x 2 ) b a

c a

adică S3 = x13 + x 32 = S3 − 3PS unde: S = − ; P = . 3. S4 = x14 + x 42 = ? Scriem S2 = x12 + x 22 = S2 − 2P şi ridicând la pătrat se obţine:

(x

2 1

+ x 22

) = (S 2

2

− 2P

)

2

adică x14 + x 42 + 2x12 x 22 = S4 − 4S2 P + 4P 2 S4 = x14 + x 42 = S4 − 4S2 P + 2P 2 b a

c a

unde S = − ; P = .

13

Reţinem deci: Dată ecuaţia ax 2 + bx + c = 0 cu x1 , x 2 ∈ℜ unde S = x1 + x 2 = − P = x1 ⋅ x 2 =

b şi a

c avem: a S2 = x12 + x 22 = S2 − 2P S3 = x13 + x 32 = S3 − 3PS S4 = x14 + x 42 = S4 − 4S2 P + 2P 2

Exemplu: Fie ecuaţia x 2 + 3x − 1 = 0 . Fără rezolva ecuaţia calculaţi: S2 = x12 + x 22 ; S3 = x13 + x 32 ; S4 = x14 + x 24 .

Rezolvare: Pentru ecuaţia dată avem: Δ = 9 + 4 = 13 > 0; S = x1 + x 2 = − P = x1 ⋅ x 2 =

b 3 = − = −3 a 1

c 1 = − = −1 a 1

Deci: S = −3 şi P = −1 vom avea: S2 = x12 + x 22 = S2 − 2P = (−3) 2 − 2(−1) = 9 + 2 = 11 S3 = x13 + x 32 = S3 − 3PS = (−3)3 − 3(−1) ⋅ (−3) = −27 − 9 = −36 S4 = x14 + x 42 = S4 − 4S2 P + 2P 2 = = (−3) 4 − 4(−3) 2 ⋅ (−1) + 2(−1) 2 = = 81 + 36 + 2 = 83 + 36 = 119

14

Exerciţii propuse Rezolvaţi în mulţimea ℜ ecuaţiile: a. 3x 2 − 6x = 0 ; b. 12x 2 + 48x = 0 ; c. x 2 − 16 = 0 ; d. 2x 2 = 18 ; e. 9x 2 − 1 = 0 ; f. x 2 + 4 = 0 ; g. 2x 2 + 7x − 11 = 0 ; h. x 2 − 5x + 4 = 0 ; i. 4x 2 + 4x + 1 = 0 ; j. x 2 − 3x + 2 = 0 . 1. Fie ecuaţia x 2 − 3x + 2 = 0 . Calculaţi, fără a rezolva ecuaţia folosind relaţiile S = x1 + x 2 = 3 şi P = x1 ⋅ x 2 = 2 ale lui Viète, următoarele sume: S2 = x12 + x 22 = ?

S3 = x13 + x 32 = ? S4 = x14 + x 24 = ?

2. Fie x1 = 1; x 2 = 3 rădăcinile unei ecuaţii de grad doi. Scrieţi ecuaţia de grad doi corespunzătoare.

15

Related Documents

Mate Clasa A 9 - A
May 2020 11
Mate Clasa A 12-a
May 2020 4
Lumina Clasa A 6-a
June 2020 16
Clasa A Iv-a Fisa.docx
June 2020 14
Clasa Ix A Sam A
May 2020 17

More Documents from ""