Mate Clasa A 12-a

Liceul Particular „Octav Onicescu”

Matematică Clasa a XII-a frecvenţă redusă Semestrul II

Matematică – clasa a XII-a Semestrul II

Teme: I. Legile de compoziţie a. Definiţie b. Tabela operaţiei c. Parte stabilă II. Grup a. Definiţia grupului şi exemple de grupuri numerice. Grupuri de matrice, grupuri de permutări. b. Morfisme şi izomorfisme de grupuri c. Subgrup d. Grup finit (Tabela operaţiei) III. Reprezentarea grafică a funcţiilor

Legi de compoziţie

Produs cartezian Să considerăm mulţimile A = {a, b} şi B = {1, 2,3} . Câte perechie de elemente ( x, y ) putem forma astfel încât primul element x ∈ A iar al doilea element y să

aparţină lui B y ∈ B . Pentru aceasta vom forma o pereche având primul element din prim mulţime iar al II-lea element din a II-a mulţime. Obţinem perechile: (a,1) ;

(a, 2);

(a,3);

(b,1);

(b, 2);

(b,3).

Mulţimea tuturor acestor perechi ( x, y ) astfel încât x ∈ A , y ∈ B se numeşte produsul cartezian al muţimilor A şi B şi se notează A × B . Prin urmare avem: ⎧⎪( a,1) ; ( a, 2 ) ; ( a,3) ;⎫⎪ A× B = ⎨ ⎬ ⎩⎪( b,1) ; ( b, 2 ) ; ( b,3) ⎭⎪

În general vom nota produsul cartezian al mulţimilor A şi B produsul A × B = {( x, y ) | x ∈ A, y ∈ B}

Alte exemple Fie A = {1, 2} şi B = {3, 4} . A × B = {(1,3) ; (1, 4 ) ; ( 2,3) ; ( 2, 4 )} .

Se observă că numărul de elemente (perechilor produsului cartezian A × B ) este egal cu numărul de elemente a lui A înmulţit cu numărul de elemente ale lui B. Vom nota: numărul de elemente a mulţimii A cardA = 2 numărul de elemente a mulţimii B cardB = 2 . Numărul e elemente al mulţimii A × B card ( A × B) = 2 ⋅ 2 = 4 .

Prin urmare card ( A × B) = cardA ⋅ cardB . Să considerăm produsul cartezian: ×

= {( x, y ) | x ∈ , y ∈

}

şi operaţia 3 + 5 = 8 . Prin această operaţie perechii de elemente ( 3,5 ) îi corespunde numărul 8 care apaţine mulţimii

. Prin urmare operaţia de adunare staileşte o

coresponenţă între perechile de elemente ale mulţimii

şi mulţimii

×

.

Această corespondenţă (aplicaţie) se numeşte lege de compoziţie pe mulţimea

. Prin urmare aplicaţia (legea de compoziţie) stabileşte o

corespondenţă între perechile ( x, y ) ∈ ×

şi mulţimea

.

Vom scrie ( x, y ) → z; z = x + y . Elementul z = x + y care corespunde prin opeaţia de adunare perechii ( x, y ) se numeşte compusul lui x cu y prin legea de compoziţie dată. În cazul nostru 8 este compusul lui 3 cu 5 prin operaţia de adunare. Să considerăm produsul cartezian

×

şi operaţia de înmulţire. Prin

operaţia de înmulţire unei perechi ( x, y ) îi corespunde un element z = x ⋅ y . Dacă x = 3 şi y = 2 atunci perechii ( 3, 2 ) îi corespunde elementul z = 3 ⋅ 2 = 6 .

z = 6 se numeşte compusul elementelor 3 şi 2 prin operaţia de înmulţire.

Generalizare: Fiind dată mulţimea M o aplicaţie ϕ : M × M → M se numeşte lege de compoziţie pe mulţimea M. Am văzut că legea de compoziţie se defineşte prin diferite tipuri de operaţii pe mulţimea M (adunarea, înmulţirea, etc.). Acestea sunt operaţii simple. Putem considera operaţii mai complicate între elementele x şi y ale perechii ( x, y ) pe diferite simboluri. Exemplu: -

x∗ y = x + y + x⋅ y

-

xΤy =

-

xo y = x+ y +5.

x+ y 2

În general o operaţie între elementele x şi y o notăm ϕ ( x, y ) şi avem: ( x , y ) → z = ϕ ( x, y )

Alte exemple: Mulţimea M de definiţie a unei legi de compoziţie poate fi alcătuită din elemente diferite de numere. Elementele mulţimii M × M pot fi perechi de mulţimi, perechi de vectori, perechi de funcţii pe care definim diferite legi de compoziţie (operaţii).

Exemplu: Considerăm M şi mulţimea părţilor lui M (submulţimi ale lui M) notăm P(M ) .

Exemplu: Dacă M = {1, 2,3} atunci submulţimile lui M sunt: M 1 = {1} ;

M 2 = {2} ;

M 3 = {3} ;

M 4 = {1, 2} ;

M 5 = {2,3}

M 6 = {1,3}

M 7 = {2,1}

M 8 = {3, 2}

M 9 = {3,1}

şi M = {1, 2,3} atunci P ( M ) = {M 1 , M 2 , M 3 , M 4 , M 5 , M 6 , M 7 , M 8 , M 9 , M } .

Operaţia de reuniune sau intersecţie face să corespundă unei perechi de elemente ( M i , M j ) elementul M i ∪ M j . Exemplu: M 1 ∪ M 2 = {1, 2} M 4 ∪ M 5 = {1, 2,3}

Mulţimea {1, 2,3} este compusul mulţimilor M 4 şi M 5 prin operaţia de reuniune. Prin urmare avem: P( M ) × P( M ) → P( M )

este o lege de compoziţie definită prin operaţia:

( A, B ) → A ∪ B

unde A ∈ P( M ); B ∈ P( M ) . Exerciţii rezolvate: Pe mulţimea

se defineşte operaţia algebrică „*” astfel: ∗: ×

→ , ( x, y ) → x ∗ y .

a) x ∗ y = x + y + x ⋅ y În raport cu această lege de compoyi ie avem: 1∗ 2 = 1 + 2 + 1⋅ 2 = 5

Elementul 5 este compusul elementelor 1

i 2 prin legea de compoyi ie

dată, notată cu „*”. b) Pentru ce elemente x ∈ , x + 2 = 8 . Vom scrie operaţia x ∗ 2 = x + 2 + x ⋅ 2 = 8 ⇒ 3x + 2 = 8 ⇒ 3x = 8 − 2 ⇒ 3x = 6 ⇒ x =

c) Să se rezolve ecuaţia: x *( x + 2) = 7 . Vom scrie operaţia x + x + 2 + x2 + 2 x = 7 x2 + 4 x + 2 − 7 = 0

x2 + 4 x − 5 = 0 Δ = b 2 − 4ac = 16 + 20 = 36

6 ⇒x=2 3

x1,2 =

−4 ± 6 ⎧ x1 = −5 ⇒⎨ 2 ⎩ x2 = 1

Prin urmare sunt 2 elemente care satisfac această relaţie. Exerciţii propuse: Se consideră legea de compoziţie ϕ : M × M → M

dată prin operaţia

xΤy = x + y + 5 . Se cere să se calculeze:

a) 1Τ2 b) Pentru ce elemente x avem xΤ2 = 8 ? c) Să se rezolve ecuaţia xΤ( x + 2) = 17 . Tabela unei legi de compoziţie: Să considerăm mulţimea M = {1, 2} şi P = {3, 4} . Să considerăm legea de compoziţie M × P →

dată prin operaţia „ o ”, x o y = x + y + xy şi avem:

1 o 3 = 1 + 3 + 1⋅ 3 = 7 1 o 4 = 1 + 4 + 1⋅ 4 = 9 2 o 3 = 2 + 3 + 2 ⋅ 3 = 11

2 o 4 = 2 + 4 + 2 ⋅ 4 = 14

Mulţimea M × P are 4 elemente: (1,3);(1, 4);(2,3);(2, 4) . Compuşii acestor elemente prin legea de compoziţie dată pot fi descrise print-un tablou care are 2 linii şi 2 coloane, formate din elementele mulţimilor M şi P.

Pe linii aşezăm elementele lui M şi pe coloane elementele lui P. La intersecţia unei linii şi a unei coloane se trece compusul celor 2 elemente scrise pe linie, respectiv pe coloană. Tabela legii de compoziţie dată: M

1

2

3

7

11

4

9

14

P

Acest tablou se numeşte tabela legii de compoziţie şi are un rol deosebit în verificarea calculelor şi a proprietăţii de compoziţie date. Exerciţii propuse: Se consideră mulţimea M = {1, 2,3} şi P = {4,5} şi legea de compoziţie ϕ:M ×P → ( x, y ) → ϕ ( x, y ) = x ∗ y x ∗ y = x + y − xy

Să se alcătuiască tabela legii de compoziţie x ∗ y .