Mate-5to-santillana-2019.pdf

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Matemática SECUNDAR!A

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Proyecto Crecemos juntos

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Fortolezos

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deL óreo.

Secuencio de conocimlentos Vll CicLo

16

Texto esco[ar deI estudlonte

18

Libro de actiuidodes deL estud.ionte

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Día a dí.a en el aula d.e[ d"ocente

Portol dlgitol del docente de

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Crecem os juntos ayuda a desdrrollar el tote nto de cada estudiante

Sobemos que los nueuos enfoques se orlenton o personoltzor eL oprendi.zoje, odecuortos no solo q los lntereses de los estud.lontes, sino tqmblén o sus co.rocterlst[cos, estItos y rltmos poro oprend.er. Esto, od.emós de impu[sor Lo porti.ci.poc[ón octiuo, promueue el. trobojo responsobLe, outónomo, lndlui.duol y grupol, idóneo poro Logror oprendizojes coLoborotiuos y múLtipLes.

euidente que no todos oprendemos lguol ni enseñomos de Lo mlsmo monero. Por el[o, e[ proyecto Crecemos juntos proporclono moterloles que fociLi.ton [o personoLizoctón de Lo enseñonzo desde uno dobLe perspectiuo": Es

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Atender o [o dluersidod de Los estudlontes, o fi.n de que todos desorrol[en oL móximo su totento y obtengon e[ éxlto escoLor; es declr, permltlrles que encuentren su propto formo de oprender.

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Atender o Lo dluersi.dod de enfoques, metodologios y necesidodes de los docentes.

Poro responder o ombos ospectos, ofrecemos un slstemo de enseñonzooprendlzoje constituldo por moterlo[es fl"exlb[es que permlten dlstlntos ltInerorlos dtdocticos y que cubren todos [os necesldodes de estud.iontes y de docentes.

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EL proyecto Crecemos juntos estó formodo por distlntos el.ementos que permlten oL docente elegir oquellos que mejor se odopten o su próctlco docente y o. sus estudlontes.

Uno de Los moterioLes di.gitol"es deL docente po.ro personollzor [o enseñonzo Progromo de desorrollo de [o competenclo motemótlco. En é1. se presenton proyectos que obordon conceptos y procesos motemótlcos en contexto, cuyqs octluldodes generon eL desorrol[o de copocidodes y competencios, y estón cLos'rficodos en tres nluetes de di.flcuttod, bósico, lntermedlo y superlor. es e[

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Matemática

Matemát¡ca

Resuetue problemos de contidod. Resuetue probtemos de reguloridod, equiuotencio y combio. Resuelue probtemos de formc, mouimiento y Locolizoción. Resuetue problemos de gestión de dotos e incertldumbre.

Poro consegu'tr eL pleno desorrollo de estos competencios, [os moterloles del óreo de Motemót'r.co del proyecto Crecemos juntos, se corocterlzon por: ¡ Énfosis en e[ desorrollo de hobil.idodes, que hocen referencio o[ tolento y [o optltud que deben perfeccionor [os estudlontes o[ ofrontor olguno toreo.

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Culdodo selección de octiuldodes, escogidos en función del desorrotlo cognltluo de Los estudlontes, próximos o su reol,idod y plonteodos con uno lntenc[onol"idod pedogógico según niueLes de demondo cognltluo. Reloclón con Los perfiles de egreso de otros óreos y con los enfoques tronsuersotes, que se troducen en formos específlcos de octuo.r (empotio, soLldoridod, honestid.od, etc.).

Matemátic8

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S¡.tuociones que se odopton o los dlferentes ritmos y estllos de oprendlzoje: qcti"ui.dodes con dlsti.ntos ntueLes de d.i"ficuLtod, propuestos poro desorrotlor eI rozonomlento Lóg[co, eI pensomlento crÍtlco, el, trobojo cooperotluo y poner o pruebo Los optitudes y eL totento de Los estudlontes.

I

Progromos especÍficos, que enfotlzon e[ rozonomlento IÓglco-motemótico, Lo opLlcoción de estrotegios heuristlcos, eL uso de recursos tecnológicos y [o lnterocció n co n softuL ar e mote mótico. Formos e instrumentos de euoluoción innouodores, que lntegron competenclos y copocidodes, osl como fouorecen Lo outonomio y Lo uoloroción deI desempeño de codo estudlonte.

§,:*4 #5* 3

Matemática

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Voriedod de flchos con sltuoctones signlficotiuos uinculodos o distlntos contextos, que sugleren un conjunto de foses de resolución.

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óreo d"e Motemótico en eL proyecto

Secuencio" de conocimientos Vll Ciclo Motemótico 3.o, 4." y 5." grodo

Grodos

4e

3e . Lóglco: enunclod"o y

proposición

. Proposiciones slmpLes y

compuestos . Conectiuos tógicos y tobtos de uolores

. Euoluoción de fórmutos tógLcos

. Números roclonoLes e irrocIonoLes

5e

d.e

propos[cLones

, Vo[or Absoluto . Operociones con números reotes . PotenciocLón de números reotes . Rodlcoción de números reoLes . Rodicoles

. OperocLones con rodico[es . Roclonollzoclón de rod[coles

. Expresión olgebrolco rocionol e irrociono.[ . Po[i.nom[o: uolor numérlco,

de orgonlzoc[ón de

compuestos . Volor de uerdod de fórmutos l.ógicos

retoctones tógicos: tobLos de declsiones, diogromos de

. Método de Ruffinl

. Equiuolencios

, Fórmutos lógicos / . Tobtos de uerdod d.e proposiclones '

notobles o leyes tóglcos . Retoclón entre

. Lógico y conjuntos . Los orgumentos y su

.lmplicoclóny equiuolenc[o tógico

COmPueStoS

[o teorio de

grod.os, operoc[ones

CorroLt l/

I

. Foctorizoción . Frocclones otgebrolcos

'

. Sistemos de ecuociones con tres lncógnitos. Métodos de

. Argumentos ded.uctluod e

de orden . Números reoles. Densidod. y

completltud en

l"o

recto numérlco . Axlomqs. Retoclón de orden en lR.

. lnteruolos. Operociones

. Potencloclón y rodlcoclón en lR. . Logoritmos . Notoclón exponenciol y clent[fico. . Conuersión entre notoción exponenclol y clentifico. Operociones

sotución

. Ecuoclón cuodrótlco.

Métodos e

Horner

notob[es

proposIclonol lnductiuos . FuncLón proposlc[ono[ . Votidez de un orgumento. lrroclonotes. Retoc[ón

d.e

. Prod.uctos y coclentes

estructuro

con.iuntos y to l.ógico

y teoremo

deI resid.uo

. Método

Métodos de sotuc[ón. Fórmulo generol ' lnecuoclones llneoles y de segundo grod.o . Reglo de tres simpte y compuesto. Porcentojes e lntereses . Sistemo lnternoclonol de Unidodes. Unidodes de moso,

. Múl"tiptos

y diuisores > . Propiedodes del MCM y MCD

. Crlterlos de diuisibLli.dodr . Re[oclones entre los sLstemos numéricos lN, Z, QvlR.

. Retoclones de orden en lR. . lnteruolos . Densidod y completttud en [o recto numérico . Operoclones con números

clentiflco.Operoclones

. Problemos de mezcto

oleocióny móulles . Frocclones otgebroicos. Operociones con frocciones olgebrolcos . Ecuociones de segundo

grodo

. Sistemo de ecuoclones lineotes con dos y tres

Incógnitos

. lnecucrciones

de prlmer

grodo y de segundo grodo. Puntos crit[cos . Ecuoción exponencioL . Ecuoción Logoritmico . Funclón cuodrótlco. Grofico de uno funclón

cuodrotico . Funclón suceslón

proporcionoI . Operoclones con mognitudes derluodos y sus equluotenclos

. Ecuoctones logorítmicos . Sucesiones. L[mite de uno sucesión

'

Suceslones conuergentes y

.

oritméti.cqs y

dlugrgentes . Sgfies y sumotorios

/rogresiones /geométricos

. lnterés

simpl.e y

compuesto. lmpuestos . Slstemos de dos y de tres ecuoclones Ineoles . Slstemo de inecuoclones [neotes con dos incógnltos . lntroducclón o [o progromoci.ó n línec;l

l/

. Funclones: uolor obsotuto,

. Funclón cuodrótico . Función uolor obsoLuto

. Progres[ón geométraco . lnterés slmpte y

'

compuesto ModeLos finoncleros e lmpuestos . Función trigonométrlco.

. Functones tr[gonométricos. Amp Litud, frecuenclo, periodo,

Sucesiones crecientes y

decreclentes ' Logorrtmos. Propledodesy' . Progreslón geométrico . Números compLejos. Representoción gróflco. Adición, sustrocc[ón, mul"tipIicoci.ón, diuls[ón y

potencloción

proporclonoLes

. Regto de tres compuesto

tlempo y temperoturo . Estudio de uno funclón reol

'

t

. Mognitudes

. Sucesiones por recurrencIo . Progresión orltmétlco de prtmer ord.en

. Función roiz cuodrodo

reo[es

. Notoción exponenciol y

q9

4e

3e

. Esquemos o cuodros

.FormotlzocLón

. Números reotes y cuontLfLcodores . lnteruotos . Números roclonoles

Conocimientos

Resuelue problemos de regutoridod, equluotenclo y combio

Resuelue probtemos de cantidod

Competencitrs

.

.

Función seno y coseno Mod.e[os con funclones

trlgonométricos

móximo entero . Función cuod.rótico / . Función lnyectluo, sobreyectluo y blyectiuo Funclón tnuerso.

. Func[ón exponenc[oL y logoritmlco

desptozom[e nto uerticoI

y desfose de uno funclón

trlgonométrico . Ecuociones

trlgonométrLcos

,.r"",Jf,rrecemos

Resuetue probtemos de gestión de dotos e incertldumbre

Resue[ue probtemos de formo, moutmlento y locotizoclón 4e

3e . Ángutos determinodos por rectos poroletos y seconte . Ángutos de Lodos porotelos y perpend.iculores

. Medldo

. Potlgonos

. Lineosypuntos notobles.

. Trióngutos. Propiedodes.

. Congruencio de trióngutos

Relqciones entre lqdos y

ongutos

. Lineos y puntos notobtes de untrióngulo . Teoremo de Pitógoros . Congruencio de trióngutos . Áreos y perimetros de

regiones triongulores y cuodrongutores

. Áreos y perÍmetros de potigonos regulores y regiones circulores . Áreo de figuros irregutores . Volumendeprismos, cltindros, piromides, conos y esferos . Mouimlentos en etplono.

. Proporcionotidod geométrlcc

. Teoremo de Toles . Semejonzos de polÍgonos

. Semejonzo de trlóngutos

. Medido ongulores . ÁnguLos en los slstemos sexogesimol y rodiol-

. Rozones trigonométrlcos en e[ trlóngulo rectónguto

. ldentidodes trigonométricos - Ángutos de eteuocióny de depresión

de óngutos lnteriores y exteriores ' Trlongulos. Teoremos sobre óngulos

externos

. Trlóngutos rectóngulos notcbles . Propledodes osociodos o los elementos de [o clrcunferencio. . Ángutos en [o clrcunferenclo. Arco copoz . Áreo de regiones circutores . Áreo de poLígonos lnscrltos y circunscritos . Teoremo de Totes. Seme.jonzo.

. Reloclones métrlcos

en trlóngutos . Teoremos de cuerdos, secontes y tongentes

.

Rozones trigonométrlcos . Resotuclón de triongulos rectóngulos . Slstemo de medldos ongulqres . Ángul.os cotermlnotes

. ldentldodes trigonométrlcos . Tronsformoclones en e[plono. Teselodos . Áreo y uol.umen de cuerpos geométrlcos . Dlstonclo entre dos puntos en e[ plono cortesiono . Coordenodo detpunto medlo de un segmento . Ánguto de incl"inoción y pendlente de

unorecto . Ecuociones de [orectc . Poslclones relotiuos de dos rectos en e[ ptono

. Dlstoncio de unpunto o uno recto . Mopqs y ptonos: desplozomientos, ottltudes y relieues

5e

3e

. Slstemos de medldos ongulores . Longitud de orco. Áreo del sector

circulor

!

. Rozones trigonométrlco.s . Resolución de trióngutos rectóngutos y

obLicuonguto5 r'

. Rozones trigonométricos de un ónguto enposiclón

normol

t

. Signos de los rozones trigonométrlcos'

. PobLo.ción, muestroy recolección de dotos. Muestro representotiuo. Encuesto . Vorlobles cuolltotluos y cuontitotiuos dlscretos y

continuos . Tobto de distribución de frecuencios con dotos ogrupodos. Morco de ctose

. Ángutos coterminoles

. CLrcunferenc'ro rrlgonométrico . Rozones trlgonométrlcos de óngulos

cuodro.ntotes

. Reducción .

juntos

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de ongulos ol primer

cuodronte ,/

Rozones trigonométricos de óngutos

negctiuos

. Lineos trigonométrlcos . ldentldodes trigonométricos . Rozones trigonométricos de óngutos compuestos . Sumo y dlferenclo de dos ón9uLo2.

.

Rectos y plonos en e[ espocio . Áreo y uoLumen de cuerpos geométricos . Distoncio entre dos puntos. . Ecuociones de [orecto . Centro de grouedod de figuros plonos . Perímetro de figuros potigonoles en un

plono corteslono . Secclones cónicos . Mopos yplonos o escoto. Dlseños de reglones y formos bidlmenslonoles. Desplozomlento, ottitud y retieues . Tronsformoclones geométrlcos. Composiclón de trqnsformqclones . Sistemo de meconlsmos ortlculodos

' Gróflcos

estod(stLcos. Hlstogromo y pol"lgono de

frecuencios

. Medldos

de tendencio

centrot. . Asimetrío de los medidos de centrollzoc[ón.

lnterpretoción

. Medidos de dlspersión: recorrldo, desuloclón medlo, uorlonzoy desuloción estqndqr . Experimento oteotorlo y espocio muestrol . Sucesos. Operoclones

4e . Pobtoc'Lóny muestro

. Muestreo oleotorio . Muestreo no

. . . . . .

repetlclón

. Permutociones clrculores

. Medidos de centrotlzoción. Có[cuto

poro dotos ogrupodos

. Medidos de

. Encuesto . Gróficos estodísticos

percenti[. Cólcu[o poro dotos ogrupodos

. Medidos de dispersión: Desuloclón medio,

uorionzo y desulqclón-

. Medidos de tendenclo centroI

. Medidos de [ocolizoc[ón

. Medidos de

estóndor. Cólculo poro

dotos ogrupodos . Distribuciones estodistlcos . Corretoclón. Ecuoclón de [o recto de

dlsperstón

. Noclón de proceso

recursiuo

. Proboblttdod de un suceso

. Sucesos y operociones

. ProbobiLidod cond[c[onodo compuesto

./

[oco.Iizoclón: cuqrtiI o

o[eotorio

. Probobil.idod de un suceso. 'ProbobiLidod Propiedodes Probobilidod de sucesos lndependlentes y dependlentes Probobil.idod y estodistlco. Frecuenclos de sucesos obsoluto y relotluo Dlstrlbuclones Foctoriol de un número Permutoclones Permutociones con

5e

d.rspersión

. Muestreo. Tqmoño muestroI

. Loencuesto . Números Índices.

índices de precios ot

consumidor ' Anólisis combinotorio: uoriociones, permutociones y combinociones

. ProbobiLidod de sucesos compuestos, probobtLldod condicionodo y

compuesto

'

Probobil.idod de sucesos independientes y

toto[

. TeoremodeBoyes

. Esperonzo mqtemótico . Ecuociones de recursluidod comptejo

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Motemótico en e[ proyecto

Portal digitot det docente Matemótico'l.o o. 5 .o grado

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portol, de conteni.dos digitol,es dirigido o docentes que ofrece recursos y herromtentos poro [o enseñonzo y oprendizoje que se lntegron de monero senc[[[o en to dinómlco del oul,o. Es un

Permite un occeso fócil Es compotibLe con to gron moyorío de di.spositiuos y plotoformos. Gestiono sus closes Cree grupos de estudiontes y oslgne toreos.

tnsrese o:

Ayudo en su dÍo o dío Uti.l.ice moterlotes d'rdáct'rcos, recursos

y herromlentqs poro sus seslones de oprendi.zoje.

Comunico con ropldez Enuíe y reclbo mensojes sobre los toreos

osignodos.

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us"mirr"naoiqkl Cree su usuorlo

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Mis documentos

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Mis grupos

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1

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Lógica. Números complejos

q

Sucesiones y

progre§iones

. Esquemas o cuadros de organización . Lósica proposicional . Los argumentos y su estructura . Divisibilidad . Proporcionalidad . El conjunto de los números reales . lntervalos. Densidad y completitud . Sucesiones. Operaciones . LÍmite de una sucesión. Sucesiones convergentes . Series y sumatorias. Sumatorias notables

Intrcducción a la pnogramacién lineal

. . . . 37 . 29

Thigonometría

7 8

9 10

o

Circunferencia

trigonométrica

4s

Líneas e idenüdades

trigonométricas

s3

. . . . .

o

Geometría

61

Funciones

. . . . . .

73

o

83

. . . . . .

Estadísüca y probabilidad

Operaciones con números reales Notación exponencial y científica. Operaciones con magn¡tudes derivadas y sus equivalencias

y divergentes

31

32

Sistema de medidas angulares. Área del sector c¡rcular RR.TT de ángulos agudos

38 39

de ángulos notables

RR.TT. de un ángulo en posición normal

a

Cierre

27

a

Evaluación

28

16

. .

a

Cierre

35

a

Evaluación

3ó

41 42

. .

Cierre

43

Resolución de triángulos oblicuángulos

Evaluación

44

Reducción de la forma (180" + a),

49

. .

Cierre

51

Evaluación

52

Resolución de triángulos rectángulos

40

4ó

.

Reducción de ángulos al primer cuadrante

48

RR.TI de ángulos negat¡vos

Línea trigonométr¡ca tangente y cotangente

. 54 . 55 .

Línea trigonométrica secante y cosecante

5ó

RectáS y planos en el espacio Área y volumen de un tronco de pirámide Cilindro. Área y volumen

ó2 ó3 64 ó5

Cono y esfera. Área y volumen D¡stancia entre dos puntos. Ecuac¡ones de la recta Func¡ones por tramos. Función valor absoluto y máximo entero Función cuadrática

26 33

(360'-o)y(3ó0"'n+o)

Línea trigonométrica seno y coseno

25

34

47

. . . .

50

ldentidades trigonométricas

57

Cierre

59

RR.TI de ángulos compuestos

58

a

Evaluación

ó0

Centro de gravedad. perímetro de figuras poligonales

67

a

Cierre

71

La circunferencia. Ecuaciones

ó8

La elipse y la parábola. Ecuaciones

69

Mapasyplanos

70

Func¡ón exponencial y logarítmica

77

a

Cierre

81

Funciones trigonométr¡cas

78

a

Evaluación

82

Transformaciones geométricas

80

. .

Cierre

93

Evaluación

94

Evaluación

-7')

66

74 75 7ó

. . .

84 o Análisis combinatorio 85 . Probabilidad condicionada,

8ó

Conelación. Recta de regresión

g7

Muestreo. Encuesta

88

Números Índices

89

BibliografÍa

23 24

15

C¡rcunferenc¡atrigonométrica

Distribuc¡ones estadíst¡cas

18

Logaritmos. Operaciones

. Progresiones aritméticas de segundo orden . Progresión geométrica (pG) . lnterés simple y compuesto . lmpuesto a la renta 30 . lntroducción a la programación lineal . Tipos de soluciones

S¡stema de inecuaciones lineales

Medidas de centralización y localización

17

Evaluación

Números complejos. Operac¡ones

20 21 22

Sistema de tres ecuaciones lineales

Medidas de dispersión

Cierre

12

Método gráfico

Funciones especiales

. .

13 14

11

S¡stema de dos ecuaciones lineales.

RR.TT.

. . . .

6

19

.

rBMil

nas de información

.

compuesta y de sucesos

independientes.Probab¡l¡dadtotal Teorema de Bayes. Esperanza matemática y recursividad

90 91 92

95

,ror"",o.fiaarecemos juntos

lndice det Libro de octiuidodes

9

B

a

Lógica. Números complejos

I E

E'

Sucesiones y

progresiones

,-funq, ts

Zl

Introducción a la programación

lineal

**rometría

t1,

.

lablas de decisiones Diagramasdecarroll

. . Fórmulas lógicás . Tablas de verdad de proposiciones compuestas . LóSicayconjuntos . Los arSumentosy su estructura . ArSumentos deductivos e inductivos . Validez de un argumento . Divisib¡lidad . Proporcionalidad . El conjunto de los nÚmeros reales . lntervalos . operaciones con números reales . Notación exponencial yc¡entíf¡ca . operac¡ones con magnitudes derivadas y sus equi!€lenc¡as . Logar¡tmos Prop¡edades particulares . Números complejos 0peracionesconnúmeroscomplejos

. .

12 14 16 18 21

24 26 31

3ó

Reso ución de triángulos obl¡cuánSulos

Act¡v¡dades ¡nteSradas Act¡v¡dades propias del 8l

74

Evaluac¡ón t¡po PISA

77

E

8ó 89 92 94

. . . .

96

99 102 '105

. . .

deor¡entación d¡dácüca Modelación matemática F¡cha

76

83

Razonamiento matemático Patrones numér¡cos

110

uso de software matemático Hoja de cálculo Estrategia para resolver problemas Buscar reg!laridades y Beneralizar

119

Actividades integradas Actividades prop¡as del Bl

122

Evaluaciónt¡poPlsA

120

Circunferencia

trigonométrica

,"r t" Líneas e

identidades

trigonométricas

dd

z

124 125

108 111

114 116 128 129 132 134 137 140 143

144

. Uso de software matemático PHPSimplex . EstrateS¡a para resolver problemas Hacer una tabla . Razonam¡ento matemático comparación y suficiencia de datos . Ficha de orientac¡ón d¡dácüca . .

146 152 154

156

Evalu¿¡ción t¡po PlsA

159

Ficha de orientac¡ón d¡dáct¡ca Dibuio y construcción. Plegado de papel Estrategia para resolver problemas Hacer un gráfico

181

Razonam¡ento matemático comparac ón y sufic¡enc¡a de datos

'188

uso de software matemático Geogebra

189

175

178 . 182 .

Actividades inteSradas Actividades prop¡as del Bl

190

Evaluac¡ón tipo EcE

'193

166

. .

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169 170

192

tr

Estadística y

probabilidad

Secciones especiales

. . . . . . . . .

196

. 198 2oo . . ^^2ut zo¿ ' ?r, - - '. 224

t¿o 228 23',1

2U

c0mpuestos Ecuacionestr¡gonométricas

239

25s 257

2a3 214

Genera ¡zar áreas usando razones triSonométrlcas

Ficha de orientación didáctica

21ó

Taller m¿lematrco Razonam¡ento matemático Corparacrón y s.f.crencra de dalos

Actividades integradas Act¡v¡dades Propias del Bl Evaluación tipo ECE

218 220

F¡cha de orientación didáct¡ca S,tuación didáct¡ca de Brousseau Estrateg¡a para resolver problemas Razonar lógicamente con ángulos compuestos

241

Razonamiento matemát¡co Comparaclón y sufciencia de datos uso de software matemático

2M

242

245

GeoSebra

Actividades ¡ntegradas Act¡vidades prop¡as del Bl Evaluación tipo PISA

246

F¡cha de or¡entación didáctica

271

l\lode ac ón rnatemátrca Estrategia para resolver problemas Hacer un gráfico

276

248 249

Razonamiento matemát¡co Cofirparación y suficienc a de datos

298 299

274

Uso de software matemát¡co Geogebra Actividades integradas Actividades prop¡as del Bl

300

284 288

Evaluación t¡po

ECE

303 317

314

F¡cha de orientación didáct¡ca S tuac ón d dactrca de Brousseau EstrateS¡a para resolver problemas Elaborar una tabla V un gráflco

320

Razonamiento matemát¡co

278

302

292 30ó 309

328 340

Sistemas de mecanismos articulados

346

Med¡das de centralización y iocalización

35ó

Medidasdedispersión

3ó0 2

Correlación.Recta de regresión

3ó5

l,4uestreo. La encuesta

370

Números índices

Análisiscombinator¡o

378

P'ooao lidad de sucesos corpuesros

382

Esperanza matemática. Ecuaciones

386

de recursividad cornpleja

matemático problemas

Uso de software Geogebra EstrateSia para resolver

268

Transformaciones Seométricas: Composición de traslaciones, rotaciones, simetrias y homotecias

D¡str¡buciones estadísticas

.

197

Angulos multiples AnSulos doble, mitad y triple 238

. Rectas y planos en el espacio . Area y volumen de un tronco de pirárnide . Cuerpos de revoluclón . GeornetrÍa analítica. Distancias . Ecuaciones de la recta . Centro de Sravedad . Pelrnetro de figuras poligonales . La circunferencia. Ecuaciones . La elipse. Ecuaciones . La parábola. Ecuaciones . N¡apas y planos . Funciones por tramos: Función valor absoluto y máximo entero . Función cuadrática . tunciones especiales . Func¡ones exponencial y logarÍtmica . Funciones trigonométricas .

158

18ó

.

.

155

Situación didáctica de Brousseau Actividades¡nteSradas Actividades propias del Bl

147

B

Funciones

. Lineas trigonométricas: seno y coseno . Líneas trigonométricas: tanSente y cotangente . Líneas trigonométricas: secante y cosecante . ldentidades tr¡gonométilcas: recíprocas. por cociente, pitagóricas . Razones triSonométricas de ángulos .

lnz-1

Geometría

. Razones trigonométricas de un ángulo en posición normal . SiSnos de las RR.Ti . AnSulos coterminales . circunferencia trigonométrica. RR.TT de ángulos cuadrantales . RR.TT de ángulos complementarios, suplementarios y opuesto . Reducción de ángulos al primer cuadrante . de ángulos neSativos RR.TT.

\

ts

de ángu os notables

Resolución de triánSulos rectángulos AnSulos de elevación y depresión

73

ó8

Arcoysectorcircular

RR.TT.

uso de software matemát¡co GeoSebra

66

164

de ángulos complementarios

72

ó0

162

RR.TT.

. . .

Ficha de or¡entac¡ón didáctica Taller matemático

5ó

Sistema de medidas anSulares

RR,TT, ¡NVETSAS

.

58

54

84

de ángulos agudos

.

30

51

operaciones con sucesiones

RR.TT.

.

Razonamiento matemát¡co Clrcuitos ló8icos Estrategia para resolver problemas Hacer un gráfico

48

80

PG

.

44

Sucesiones. Término general

. Limite de una sucesión . Sucesiones converSentes y diverSentes . Series y sumatorias . Propiedades de sumator¡a . Sumatorias notables . Progresión aritmética de segundo orden . Suma detérminos de una PA . ProSreslÓn Seométrica (PG) . Suma de términos de una . lnteréssimpleVCompuesto . lnterés con periodos de capitalización no anual . lmpuestoa a renta . Sistema de dos ecuaciones lineales . Sistema de ecuaciones lrneales con parámetros . l,4étodo 8ráflco . sistema de tres ecuaciones lineales . Slstema de necu¿ciones lineales . htroducción a la programación lineal . Determinación de la región factible . Determ¡nación de la solución óptima . fipos de soluc¡ones . . . . . . . . .

1o

Conoc¡m¡entos

Páginas inic¡ales

Secc¡ones espec¡ales

Conocim¡entos

?!E]!!q!!!E]99

338 348

Comparac ón y suficiencia de datos

uso de software matemático

u9

Geogebra

Actividades ¡ntegradas Actividades prop¡as del 8l Evaluación tipo PISA

350

Estrategia para resolver problemas Elaborar un gráfico

3ó8

Ficha de orientación d¡dáctica Taller matemático

389

Razonamiento matemát¡co

390

352 353

Comparac¡ón y suficiencia de datos Uso de software matemát¡co Hoja de cálculo

391

Activ¡dades integradas Act¡vidades propias del Bl Evaluación tjpo PlsA

392 394 395

7

I

Lógica. Números compl ejos

PRESENTncTótrl

RECURSOS

La unidad que estudiaremos al inicio de este curso tiene la intención de asegurar el dominio de los conocimientos básicos que todo egresado de la educación básica debe saber, y serle útil para consolidar el desarrollo de sus capacidades y habilidades. lniciaremos con los temas principales de la lógica proposicional, y se espera que, con ello, el estudiante logre desarrollar argumentos válidamente constituidos. Continuaremos con el estudio de todos los conjuntos numéricos, en particular, prestaremos especial atención al conjunto numérico que vamos a utilizar fundamentalmente durante todo el curso: los números reales. A pesar de que con los números reales se pueden hacer la mayoría de las matemáticas que se estudiarán a lo largo de todo este año, existen algunos problemas para los cuales no son suficientes, esto lleva a introducir un conjunto de números mayor, que son los números complejos. De este modo, finalizaremos la unidad con un estudio introductorio de los números complejos, los cuales permiten dar sentido alaraíz cuadrada de números negativos. Cabe destacar que desarrollaremos su estudio desde un enfoque muy geométrico, para facilitar la comprensión de parte de los estudiantes.

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deldocente

."iuuo,"ca Día a día en el aula (págs. 34-101) Santillana Digitat

DO

Secuencia digital: Lógica proposicional

O

ESQUEMA

Tablas de decisiones Diagramas de Carroll

Divisibilidad

Unidad imaginaria

Fórmulas lógicas

lntervalos

Tablas de verdad

Operaciones con números reales Notación exponencial y científica

Los argumentos y su estructura

Operaciones con magnitudes derivadas y sus equivalencias

Argumentos deductivos e inductivos. Validez de un argumento

lógicos

_l Números complejos

Proporcionalidad

Ficha de orientación didáctica:

Hacer un gráfico

Taller

matemático

Uso de software matemático:

GeoGebra

Actividades integradas, de Bl y prueba tipo PISA

O

Una situación a resolver Actividad interactiva: Situación significativamente sobre lógica proposicional

I

Compuertas lógicas Video: Circuitos electrónicos y su relación con la lógica

O

Simbolizo proposiciones lógicas Video: Sobre las proposiciones compuestas

Representación gráfica de los números complejos

Adición y sustracción

I

Multiplicación, división y potenciación

Síntesis, recursos en la web y autoevaluación

Formalizo proposiciones lógicas

Video: Sobre fórmulas lógicas

Logaritmos. Propiedades particulares

Estrategia para resolver problemas:

Compruebo lo que sé

Actividad interactiva: Saberes previos

El conjunto de los números reales

Lógica y conjuntos

Circuitos

I

Lógica. Números complejos --________

Lógica

Razonamiento matemático:

¿Qué aprenderé?

Aprendizajes y habilidades que logrará el estudiante

I

ffi

Para empezar Breve introducción al tema

Solucionario

O

Evalúo fórmulas lógicas Video: Tablas de verdad

O

Método de comparación por analogía Video: lnformación sobre las principales reglas de inferencia

I

de las actividades

I

Compruebo lo que aprendí Actividad interactiva: Evaluación interactiva

Tovtn oqcnlar v I ihrn da a¡tir¿idadac

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Para finalizar

Actividad interactiva: Actividades de metacognición Permiten desarrollar habilidades y destrezas matemáticas útiles para afrontar situaciones de contexto real.

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LibroMedia I

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Texto

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PROGRAMACIÓN Desempeños

Competencias Resuelve problemas de

cantidad

N N @ j Ci

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.

Traduce relaciones entre cantidades y entre magnitudes derivadas, expresiones numéricas con racionales y raíces inexactas, notación científica, o modelos financieros, al plantear y resolver problemas. Evalúa si las expresiones reprodujeron las condiciones planteadas en la situación y si le facilitaron su solución. o Expresa el significado de la equivalencia entre números expresados en notación científica y sus operaciones, las propiedades de las raices inexactas o el significado de los números (n, <0, e); usando lenguaje matemático, expresiones gráficas, simbólicas y formales. . Selecciona, combina y adapta estrategias, recursos, procedimientos matemát¡cos, propiedades de las operaciones con números racionales y raíces inexactas aproximadas, expresiones con notación científica, operaciones con intervalos. Selecciona y usa unidades y sub unidades para estimar o expresar el valor de una magnitud derivada (velocidad, aceleración); según nivel de exactitud exigido en la situación planteada. o Plantea y compara afirmaciones sobre relaciones entre números, propiedades de las operaciones con raíces inexactas aproximadas; las justifica utilizando ejemplos, contraejemplos, propiedades matemáticas y las relaciones entre estas. Comprueba o descarta Ia validez de una afirmación mediante un contraejemplo el razonamiento inductivo o deductivo.

Tiempo est¡mado: 7 semanas

Conocimientos

.

Tablas de

decisiones

o Diagramas

. . . . . ¡

. . .

Traduce de

expresiones

Fórmulas lógicas

numéricas.

Tablas de verdad

números reales

o

lntervalos

o Operaciones con

. . ¡

cantidades a

Carroll

Lógica y conjuntos Los argumentos y su estructura Argumentos deductivos e inductivos Validez de un argumento Divisibilidad Proporcionalidad El conjunto de los

números reales Notación

Comunica su comprensión sobre los números y las operaciones.

¡

. .

Formaliza proposiciones utilizando operaciones lógicas y conectivos lógicos.

Traduce proposiciones en lenguaje formal y simbólico, identificándolas como tautológicas, contradictorias o contingentes. o Escribe el Ii/CIt/ y el IVCD que corresponde a un conjunto de números. o Organiza datos, a partir de vincular información y reconocer relaciones, en situaciones de mezcla y aleación al plantear un modelo de proporcionalidad.

. Expresa verbalmente las fórmulas lógicas teniendo en cuenta datos preliminares. ¡ ldentifica las premisas y la conclusión e indica la estructura que le corresponde a cada argumento. ¡ ldentifica la notación de múltiplo de un número. . ldentifica relaciones de inclusión y pertenencia en los números reales. . Describe las operaciones de adición y multiplicación con números complejos. . Selecciona la estrategia más conveniente para resolver problemas que involucran organizar los . ¡ ¡ ¡

Usa

estrategias y procedimientos de estimación y cálculo.

exponencial y cientÍfica Operaciones con magnitudes derivadas y sus equlvalencias

. . . . . . ¡ . . .

Logaritmos.

Propiedades particulares

¡

Desempeños prec¡sados

Capacidades

¡

datos en una tabla de decisiones. Resuelve problemas que involucra organizar los datos en un diagrama de Carroll. Resuelve problemas de fórmulas lógicas mediante las operaciones equivalentes con conjuntos. Bealiza cálculos aplicando las propiedades de los múltiplos. Analiza expresiones numéricas para hallar el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo. Emplea los criterios de divisibilidad para resolver problemas. Emplea las propiedades de las proporciones para resolver problemas sobre proporciones geométricas. Aplica técnicas operativas personales o convencionales al calcular el tanto por ciento, Adapta y combina estrategias heurísticas para representar intervalos y operar con ellos. Simplifica inecuaciones y representa el conjunto solución a través de un intervalo. Emplea propiedades de la adición, multiplicación, radicación y potenciación para resolver problemas de operaciones con número reales. Realiza operaciones de suma, diferencia, multiplicación y división considerando la notación exponencial y científica al resolver problemas de contexto real. Emplea procedimientos matemáticos para resolver problemas relacionados a las magnitudes derivadas. Planifica estrategias en la solución de problemas aplicando las propiedades de los logaritmos, Emplea estrategias heurÍsticas y procedimientos para operar con los números complejos.

Justifica razonamientos al evaluar fórmulas lógicas.

Números

Argumenta

complejos Operaciones con números complejos

o Determina la validez de argumentos.

afirmaciones sobre las relaciones numéricas y las operaciones.

o Determina las premisas, dada la conclusión y la conclusión, dadas las premisas. o Determina el valor de verdad, aplicando las propiedades de los múltiplos. o Plantea conjeturas respecto a los problemas con porcentajes.

. .

Comprueba o descarta la validez de afirmaciones mediante razonamiento inductivo y deductivo. Justifica la representación gráfica de los números complejos empleando el plano cartesiano.

TEXTO ESCOLAR

Lógica. Números complejos lTexto

escolar (pá9.

5)

ILibro

de actividades (págs. 8-9)

Capacidades y desempeños precisados

. Traduce

cantidades

.

Usa

eskategias y procedimientos

. .

comp lejos

Relaciona las proposiciones compuestas con la simbología del lenguaje proposicional. (Situación principal del Libro de

ilctividades;

o

Lósi ca.Números

Examina situaciones sobre el cálculo de porcentajes, (Situación principal del Texto escolar)

Pedro va a comprar una lavadora que cuesta S/ 2500, pero por aniversario de la tienda le ofrecen un descuento del 15%. Además, por tener su tarjeta Beta, le hacen otro descuento adicional del 10%. ¿Cuánto pagará por la iavadora?

1-4)

Aplica técnicas operativas personales o convencionales al calcular el tanto por ciento. (Situación principal del Texto escolar) Realiza operaciones lógicas para determinar la validez de una proposición compuesta. (5-8)

{rÉ

Adapta y combina estrategias al aplicar propiedades de la divisibilidad, proporcionalidad y de los logaritmos. (9"13)

Sugerencias d idácticas Para iniciar

I

Comparta diferentes experiencias sobre descuentos, oferta y demanda. Destaque en qué situaciones cotidianas se presentan las ofertas en un supermercado o tienda por departamentos.

I

Proponga resolver la actividad propuesta sobre descuento. Organice dos equipos para realizar dos estrategias de cálculo: Un primer equipo suma los porcentajes de descuento al usar la tarjeta Beta, es decir calculan el25o/o de 2500. Un segundo equipo realiza dos procesos, calcula el 15% de 2500 y al monto con descuento le calcula el 10%. Pregunte: ¿Cómo son los resultados de ambos equipos? ¿Por qué se dan estos resultados? ¿Cuál creen que es el proceso adecuado? APRENDEREMOS 4,,.

Para desarrollar

§

I

Destaque que los beneficios descritos de cada alimento utiliza en su mayorÍa la conjunción (n), por lo tanto por definlción, al evaluar la proposición compuesta es necesario que ambas proposiciones sean verdaderas.

Para consolidar

Q

. .

Aproveche el texto informativo "Alimentación equilibrada" para compartir cuáles son los hábitos alimenticios que practican en su hogar. Asimismo motive al diálogo sobre los aciertos y los errores cometidos al combinar allmentos en una comida. Proponga la práctica de la investigación propuesta en la sección "Vive saludablemente"; especialmente por los beneficios que se pueden identificar para la conservación de la salud y el desarrollo cognitivo.

Destaque el valor de honestidad que se experimenta al participar de una situación de compra y venta. Por ejemplo, el uso de billetes falsos, robos sistemáticos de productos en las grandes tiendas, consumir productos antes de pagarlos, ofertas de productos de baja calidad, disminución del contenido del producto, etc.

Organizar ¡nformación en esquemas o cuadros de relaciones lógicas. Evaluar fórmulas lógicas identif¡cándolas como tautológicas, conüadictorias o contingentes.

0xti,,{,'i.l Honestidad ¿Qué harías tú si te dieran un vuelto en exceso al comprar un

. . . . . . .

Relacionar la lógica y la teoría de conjuntos. Reconocer y diferenciar las premisas y las conclusiones en los argumentos. Establecer la validez o veracidad de argumentos.

Aplicar propiedades de los múltiplos de un número. Resolver problemas de proporcionalidad y sus aplicaciones. Justificar las propiedades algebraicas de los números reales a partir de los rac¡onales. Resolver problemas de la vida real utilizando notación científica y magnitudes derivadas.

.

Resolver situaciones problemáticas aplicando logaritmos y números complejos.

artefacto eléctrico? Ufi¡DAL

t

Ló8 ca. Números

compejos

LIBRO DE ACTIVIDADE§

Í

Lógi ca. Números complejos VIVE SALUDABLEMENTE

HORÍATIZAS

FRUTAS

Esenciales para la vista y los vasos sanguíneos,

lnhillen las hemorragias y favorecen a los dientes

APRENDEREMOS A. CARNE

y la actividad cerebral.

Alimentación equilibrada PESCADOS

cubra adecuadamente nuestras necesidades,

debemos combinar bien los alimentos. Por ello, es necesario conocer los nutrientes que contienen y la energía que aportan. En la lmagen podemos ver Ios beneficios que brindan los diferentes grupos de alimentos. Debemos tener en cuenta que las proteínas lcarnes, lácteos, huevos) no se deben mezclar con las frutas, ya que estas son de digestión rápida y no permanecen en el estómago más de media hora. En realidad, no debemc¡s combinar las frutas con otros alimentos porque su azúcar natural los fermenta. Si evitamos que los alimentos se fermenten en el intestino, entonces evitaremos la sensación de hinchazón, dolores de estómago y gases.

.

Investiga sobre el tiempo que se tarda en digerir cada alimento.

.

Averigua otras recomendaciones que permiten una alimentación equilibrada.

.

Reúnete en equipo e identifica en la lectura con tus compañeros proposiciones simples y compuestas. Elabora una lista de los conectores gramaticales que encuentres y establece una equivalencia con Ios conectivos lógicos.

o o o

euscamos en la web

alimentaclón equil¡brada + claves mejor disestión

p s =o

hs{

LÁcTEos

Establecer la validez o verac¡dad de argumentos.

Favorecen a la piel, los huesos y previenen los desórdenes

Aplicar prop¡edades de los múltiplos de un Resolver problemas de proporcionalidad y sus

* ,:$ MENESTRAS

r

Fortaiecen los mÚsculos y evitan la anemia.

aplicaciones.

lust¡ficar las propiedades algebraicas de los números reales a partir de los racionales.

8

Resolver problemas de la vida real utilizando notación científica y magnitudes derivadas.

A FRUTOS SECOS

Nlantlenen la plel luminosa y un buen ritmo cardlaco.

J

I

Resolver situaciones problemáticas aplicando logaritmos y números complejos.

¡-

g B REPASAMOS

LO QUE SABEMoS

Diseña el circuito lógico correspondiente a cada propos¡ción. VERDURAS Dan energía y favorecen al tracto ¡ntestinal.

Ilpnq I p-q

Elp,q @

-p*-q

Evalúa las fórmulas lógicas y determina si son tautológ¡ca§ contradictorias o cont¡ngentes.

!

€--

HUEVOS

€ -

-¡-

B(pr-p) r

@(pvq)--P(i)

0(pn-p)c

Glp-(pv-q) (})

Anal¡za y resuelve.

q

ó

Q

número.

neurológicos.

Así obtendrás información respecto a algunas propuestas sobre una alimentación equilibrada.

L

@

-

cerebrales.

6

,

a

Reconocer y diferenciar las premisas y las conclusiones en los argumentos.

Alivian los nervios, mejoran ia digest¡ón y disminuyen prolrlemas de estreñimiento.

Digita en algún buscador (Firefo& Chrome, Edge, etc.) lo siguiente:

!=

C

conluntos.

coñzón y reducen el riesgo de ataques

CEREALES

Ci

a c -q

Relacionar la lógica proposicional y la teoría de

Protegen el

t

N N @ j

S

Evaluar fórmulas lógicas identificándolas como tautológicas, contradictorias o contingentes.

nerviosos.

Para tener una alimentación equilibrada que

pc

organlzar información en esquemas o cuadros de relaciones lógicas.

Fortalecen mÚscuios y tejidos, y combaten desarreglos

Refuerzan los huesos y la pel.

f,te,so=á lDf lB

§

§

o

@

=$

N = tog,

r;+:r

r,s ar'-

tog.

@234,=60;6

(Df

=f; '

i,F . logr,E:

UNIDAD

I

ro

+

Lógic¿. Números cofllpleios

9

TEXTO ESCOLAR

Tablas de decisiones ITextr escclar ípág

6)

tLibro

de actividades (págs. 10-1 1 )

Capacidades y desempeños precisados Usa estrategias

y procedimientos

.

Esqttemas o cuadros de organim*ion

Selecciona la estrategia más conveniente para resolver problemas que involucran organizar los datos en una tabla de decisiones. (1-2; 1-4)

Estos cuaclros 0 esqLremas S¡iltetizan procesos en los cuales se dan u| conlunto cje condraron€s y un a.ortjLinto de acciones a torrar )egrln ei vaior que tontan las conclrciones. Se L.rnplean en Ltnir emilre:is en el contro cle irverrtarios, análisls rle vsntas, de credttos, etc.

Sugerencias didácticas

Una tabla de decisiones es un diagrama en el que se anotan ios datos de dos o más var¡ables, de manera que estos se puedan relacionar según la información disponible o de la que se infiere.

Para iniciar

I

Pregunte; ¿En qué situaciones han utilizado una tabla como estrategia de resolución de problemas? ¿Qué beneficios encuentras al utilizarlas?Brinde el espacio para escuchar las experiencias de los estudiantes destacando los

c

conocimientos que han adquirido.

I

Ut¡t¡ce la tabla al margen donde se presentan los códigos "X" y

"/"

AS¡S,

)(

Con.

x

)

P

x x

)(

Ec0.

y

x

)(

ng.

motÍvelos a realizar una descripción o lectura de las conclusiones que se presentan después de analizar el ejemplo 1. Podría ser: "Camila es economista" o "Pedro no es ingeniero". Destaque la utilidad de los códigos

)(

x,/

x

EJEMPLO

I

I

.

Recoja información de los estudiantes sobre sus preferencias. Luego, utilice la información para unirlas y formar proposiciones que pueden negarse o afirmarse. Por ejemplo: A Patricia le gusta el chocolate pero no la fresa. En la sección "Ten en cuenta", los estudiantes deben reparar que la información es la estrategia adecuada para resolver situaciones sobre este tema.

§

Pida, previa lectura de la sección "Recuerda", que examinen el ejemplo 1. Acompañe el análisis destacando lo más importante: reconocer las variables que se van a relacionar, ubicar convenientemente las variables en la tabla, aplicar la estrategia (un sÍ y el resto no), deducir las proposiciones que no eran explícitas, etc.

Muj.

VaL

st lsp

Tab.

r'rotau.

Observando el contexto de la situación del ejemplo 1, interrogue: ¿Crees que estas actividades son propias de unavida sana? ¿Por qué? ¿Qué entiendes por vida sana?(Recuerde que una vida sana se aprecia en diferentes contextos: nutricional, deportivo, espiritual, psicológico, etc.).

I

¿p

Li!

,;ÉF

EJEMPLO 2 En un colegio, el número de varones que usan tableta es al número de mujeres que no usan tableta como 3 es 5, y el número de varones que no usa tableta es al número de mujeres que usa tableta como 4 es a 3. Si la muestra es 80 estudiantes, ¿cuántos varones no usan tableta?

'

Construimos el diagrama de Carroll en el margen y resolvemos: 3k + 4p + 3p + 5k

=80

+

8k + 7p = 80

+

k=3yp=8

Luego, los varones que no usan tableta es 4p = 4(8) = 32. Prí€s. lO-13

Refuerce la aplicación de la estrategia organizando equipos para el desarrollo de la sección "Desarrolla tus capacidades". Utiliza el diagrama en el que se anotan las dos o más variables. Luego, brinde el tiempo necesario para que se realice la presentación de sus resultados fortaleciendo la capacidad de comunicar sus conocimientos.

ff {}

Solicite que resuelvan la actividad 1. Haga hincapié en aplicar ordenadamente la estrategia de un Si y el resto No. Concluya afirmando que, por lo general, las tablas de decisiones trabajan con variables categóricas (variables cualitativas).

Completamos la tabla del margen y deducimos que Ana es ingeniera y Camila es economista.

Un d¡agrama de Carroll es un esquema de doble entrada en el que se organizan datos de problemas de conjuntos que no tienen intersección.

Fara consolidar

I

b) marcamos con ¿{, Pedro - contador y Pedro - economista. De c) marcamos con ¡, José - ingeniero y José - economista, entonces marcamos con la relación José - contador. Del dato d) marcamos con ¿( Camila ingeniero y Pedro - ingeniero, entonces marcamos con ./ Ana - ingeniero.

/

Para desarrollar

I

1

En una empresa trabajan Camila, Pedro, Ana y José. Cada uno tiene ocupaciones diferentes: a) Se sabe que Ana y el asistente juegan tenis todos los sábados con José. b) El contador, Pedro y el economista son muy amigos. c) José es cuñado del ingeniero y estudió en el mismo colegio que el economista. d) Camila no es familiar de Pedro y ambos están a las órdenes del ingeniero. ¿Qué ocupación tiene Ana y quién es economista? . Del dato a) marcamos con I las relaciones Ana - asistente y José - asistente. De

empleados para afirmar o negar.

I

b

orsnnnou,r rus cApActDADES

Usa esirategias y procedimientos 1-2

a

David, Andrea, Luis y Sandra, son de Huaraz, Trujillo, Puno y Cusco, no necesariamente en ese orden. La persona de Trujillo, que es prima de David, es la menor y siempre va al supermercado con Andrea. Si Luis es el mayor de todos, ¿de qué ciudad es Sandra? Iirrjillo

!;..:.:

En una tiesta social asistieron 150 personas. De ellas, a 40 varones no les gustó la música y a 50 mujeres sí les gustó. Además, se sabe que el número de varones que les gustó la música es la tercera parte de las mujeres que no les gustó. ¿A cuántas personas no les gustó la música? s.:

E

§ o

ó

L]BRO DE ACTIVIDADES

.

Í

ESQUEMAS O CUADROS DE ORGANIZACIÓN DE REI-ACIONES LÓGICAs

ESQUEMAS O CUADROS DE ORGANIZACIÓN DE RELACIONES LÓGICAS

E

ff

r.n¡.s de decisiones

orsennou-aruscAPACrDADES

Usa estratet¡as y procedimientos: 1.4

Elabora una tabla y resuelve.

l)

una tabla de dec¡siones es un diagrama en el que se anotan los datos de dos o más variables (profesión, pasatiempq lugar de res¡dencia, etc.), de manera que estos se puedan relacionar según la información que se dispone o se infiere.

TEN EN CUENTA En cada fila o columna debe ir solo una casilla con un sf (/). Las demás casillas de la fila y columna deben completarse con un no (x)

'

utrvlf,l()l

@

Raú1, Lucía y César practican distintos deportes: atletismo, natación y fútbol. Además, les gusta ir a[ cine, teatro y museo. Se sabe lo siguiente:

I. Lucía

II.

La persona que practica natación no le gusta ir al teatro, la que practica fútbol Ie gusta ir al museo y a Lucía no le gusta ir al cine.

¿1Qué

. .

no practica fútbol y Raúl no practica natación.

I

las relaciones Lucía

fútbol y Raúl

-

natación.

_i Ci

las f¡las.

o o o l

p =o ._o

Raúl

Ltcía César

a

§C C

@

TO

Bianca

,/ x

x

)rx,/xx/ ,/xxxlx x,/xlxx

x

x

§

o

Derecho.

IV.

Pedro estudia alguna de las tres carreras antes mencionadas.

V. El que está en la universidad B estudia Martín no estudia Administración.

Mafín y en qué universidad?

E

x x

o

ó U

x x

x

B

David

Martir

x

x x

.

C

Derecho

x

x

x

x

Educ.

x

Adnli

n

)r

x x

X

Pedro

Bianca vive en San Isidro

Martín estudia de¡echo en la universidad

x

(

Se moviliza en auto.

r

Museo

j g

3 E E

Melisa

E

Camen Delia

p e

MarÍa

.

César practica natación y le gusta ir al cine. 1..|

)1

/

Atletismo Natación Fútbot Cine Teatro

Valora su cuer¡r y asunre uo estilo de vida activo y saludable. (Practica habitualmente alguna actividad física para sentirse bien).

I

o

/

/

/

Martín no estudia en la universidad B. El que esodia en la universidad A no estudia

¿Qué estudia

Chonillos y San lsidro. Ellas asisten con sus esposos a una reunión. Se sabe que Melisa conoce a Javier y al esposo de Carmen, quien vive en Surquillo. José y Delia son hermanos, y uno de ellos vive en San Isidro. Julio conoce a María, quien vive en Chorillos, y a la esposa de José. Orlando es el hermano de Melisa y no vive en Surquillo. Javier es primo del que vive en Chorrillos. Melisa vive en San Borja y es prima de José. ¿Quién es el esposo de Melisa y dónde vive?

)(

Cornpletamos la tabla y deducimos que Raúl practica fútbol; marcamos con la la relación Raúl - fútbol. César practica natación; marcamos con relación César natación. Como Raúl practica fiitbol, entonces le gusta ir al museo; marcamos con la relación Raúl - museo. Por lo tanto, a César le gusta ir al cinel marcamos con la relación César - cine.

r9 !

./

I

/

David no estudia en la universidad A.

@ Cuatro amigas viven en San Borja, Surquillo,

X

I

c l

X

I. II. III.

Museo

X

)r

)(

. .

De la primera parte del dato II, a Ia persona que practica natación no le gusta ir al teatro. Como a Lucía le gusta el teatro, entonces Lucía no practica natación; marcamos con la relación Lucía - natación. Por lo tanto, Lucía practica atletismoi marcamos con la relación Lucía - atletismo. Marcamos con las casillas restantes de la columna atletismo.

En

N @

X

Srnd nr

Vania

/

Atletismo Natación Fútbol Cinc Teatro

general, en una tabla de decisiones las var¡ables se anotan en filas y columnas En nuestro ejemplo, las var¡ables deportes y gustos se anotan en las columnas, y la var¡able personas se anotan en

o

I

Raúl Lucía César

Educación y Administración. Además, se sabe lo siguiente:

VI.

o

-

@ Tres hermanos están en diferentes universidades (A, B y C) y estudian diferentes carreras: Derecho,

Educación.

De la segunda parte del dato II, la que practica fútbol le gusta ir al museo y a Lucía no le gusta ir al cine. Lucía no practica fútbol, entonces a Lucía no le gusta ir al museo. Marcamos con la relación Lucía - museo. También marcamos con la relación Lucía - cine. Como a Lucía no le gusta ir al la relación museo ni al cine, entonces le gusta ir al teatro; marcamos con Lucía - teatro. Marcamos con r( las casillas restantes de la columna de teatro.

I

RECUERDA

Tres primas, Sandra, Bianca y Vania, viven en San Isidro, Magdalena y Surco. Además, para transportarse, utilizan auto, bicicleta y combi. Se sabe lo siguiente: I. Cuando Bianca se compre una bicicleta, se irá a vivir a Surco. II. Desde que Vania vive en Magdalena, ya no maneja auto. Ill. La que vive en San Isidro toma varias combis. ¿Quién vive en San Isidro? ¿Cómo se moviliza la que vive en Surco?

deporte practica César y adónde le gusta ir?

Del dato I, marcamos con

'

§ a o

§

| / L x x

x ,/ x x

.E

@ De un grupo de 3 parejas de

esposos, se obtuvo la

siguiente información:

I.

Hay 2 personas peruanas; 2, chilenas y 2, argentinas.

IL

No hay una pareja de esposos del mismo país.

IlI.

No hay 2 hombres de la misma nacionalidad.

IV. Luis es peruano,

la esposa de Renato es argentina y uno de los esposos se llama Mario.

¿Qué nacionalidad tiene Renato? ¿Qué nacionalidad tiene la esposa de Mario?

I a

o

U

q

x x

x x

o

x x

x

x

x

r r X

x x x

Julio es el esposo de Melisa y vive en San Borja.

x x

r

I

Luis Renak) Mario

x

De Perú De Chile

h

. .

Argentina

x x

)r

Espo*e

de

tle

de

Luis

Ren¿üo

Mario

x

x x

x

x

Esg.m

Esp<xa

x x

Renato es chileno

La esposa de

Mrio

es peruana

o ttrll¡»O 1

Lógica. Números compleios

11

Diagramas de Carroll ! Capacidades y desempeños precisados . Resuelve problemas que involucra organizar Usa estrategias y procedimientos

los datos en

un diagrama de Carroll. (l-5)

Para iniciar Resalte que un diagrama de Carroll es un recurso gráfico que consiste en una tabla de doble entrada que relacionan conjuntos disjuntos y sus caracteristicas. En la fila principal y en la primera se colocan los conjuntos disjuntos y en la columna principal sus caracterÍsticas o viceversa,

Haga notar que los conjuntos que se evidenciarán son disjuntos; es decir, que no tienen elementos en común, no hay intersección. Cada celda o región representa un conjunto con dos o más características.

'l

Tablet No Tablet

Varones

Muleres

Varones

Mujeres

que usan Tablet

que usan Tablet

Varones

Ir/ujeres

que no usan Tablet

que no usan Tablet

Resalte que no habrá varones que tengan y que no tengan Tablet

I

I

I

I

Libro de actividades (págs. 1 2-1 3)

Proponga la resolución de las actividades restantes de la sección "Desarrolla tus capacidades" para reafirmar el aprendizaje. GuÍe el procedimiento de los estudiantes desde la organización de los datos en las tablas.

I

Destaque el diagrama de solución del ejemplo 4 donde no fue necesario completar todos los datos de la tabla para responder a la pregunta planteada. Comente que esto ocurrirá en las actividades 2; 3 y 5.

I

Reitere la importancia de comenzar identificando los conjuntos que intervienen en cada situación. Como en la actividad 2 (Situación laboral: van a trabajar y no van a trabajar; estado de salud: están enfermos y no están enfermos).

Para consolidar

rir. princioal

alavez.

Destaque que a pesar de tener el significado de todas las regiones del diagrama, no siempre se cuenta con todos los datos para completar y que sean necesarios para la solución del problema.

Para desarrollar

I

r

I

Pida que en sus cuadernos hagan una tabla similar a la mostrada en el margen y escriban en cada celda su significado: pri

6)

que identifiquen los dos conjuntos (personas: varones y mujeres; alimentos: verduras, frutas y lácteos). Pregunte: ¿Cómo se obtiene el total de personas que compran verduras? (Al hallar el total de personas que compran lácteos y calcular la cantidad de personas que compran fruta se establece la siguiente ecuación: V + F + L = 600, es decir, V + 145 + 210 =600, entoncesV = 245). Pida que observen qué ecuación ha salido: ecuación de primer grado con una incógnita.

Sugerencias didácticas

I

Texto escolar (pág

I

Pida que realicen una breve investigación de los aportes de Lewis Canoll en la matemática y otras actividades que realizaba. Destaque las habilidades de organización, clasificación y comparación que se han desarrollado al emplear diagramas de Carroll.

I

lncentive a los estudiantes a crear problemas relacionados con esta estrategia de solución a partir de experiencias concretas y significativas de su entorno.

I

lndique que los diagramas facilitan la organización y comprensión de la información presentada en los problemas. Permiten establecer relaciones y deducciones.

Actividades complementarias 1. Proponga crear un problema a partir de los datos dados en la siguiente tabla:

Justifique el uso de un diagrama de Carroll al identificar que los datos del ejemplo 2 describe la formación de conjuntos como se reconoce en la sección "Desarrolla tus capacidades". lnvite a los estudiantes a revisar sus conocimientos previos sobre la resolución de sistemas de ecuaciones como estrategia del planteamiento de solución. Luego, motívelos a describir el planteamiento del ejemplo 2. Pregunte: ¿Cuáles son /os conjuntos que intervienen?(Género: varón y mujer; caracterÍsticas de los estudiantes: aprobado y desaprobado). Remarque el empleo de expresiones algebraicas en los datos del problema que facilitan el planteo de ecuaciones y el cálculo de las incógnitas. Para reforzar el procedimiento, pida que resuelvan la actividad 1.

Recuérdeles el cálculo de porcentajes en el ejemplo 3, como el 35% de 600 (600'35/100 = 210). Asimismo motÍvelos a interpretar la expresión "como 4 es a 3". Establezca la relación con las expresiones proporcionales. Solicite

Haga notar la importancia de organizar la información a través de algún esquema gráfico y del uso del lenguale algebraico.

Bailan

No bailan

Total

Varones

X

2x

¿t

Itllu.leres

X

4x

Total

2.

2. l6

ci

,c rai'

i I f E

120

En un salón de clase se tomó una evaluación a 60 estudiantes, de los cuales aprobaron 48. El número de estudiantes varones es la mitad del número de aprobados, y el número de estudiantes mujeres aprobadas es el cuádruple del número de varones desaprobados. ¿Cuántos varones aprobarón la evaluación?

Fie:¡-rir,:stai.

N N @ j

I

ó

o o

, p

sE o L v; c

§ c a @

U

L¡BRO DE ACTIVIDADES

.

ESQUEMAS O CUADROS DE ORGANIZACIÓN DE RELACIONES LÓGICAS

a

ESQUEMAS O CUADROS DE ORGANIZACIÓN DE RELACIONES LÓGICAS

fi

Diagramas de Carroll

oesnnnou-nrusCAPACIDADES

Us¿ estrate8ias y

Elabora una tabla y resuelve. Un dlagrama de Carroll es un esquema de doble entrada en el que se organizan datos de problemas de conluntos que no tienen intersección. Es otro método para resolver

@ Entre los

TEN EN CUENTA mediante un diagrama de Carroll, no es necesario que la tabla quede completa.

Var. Aprob. -lr'

Muj.

Total

\

20

.r

t2

l0

.12

Desap. Tdal

De los 32 estudiantes evaluados de 5." de secundaria, l2 desaprobaron el examen. Además, se sabe que el número de mujeres es la mitad del número de aprobados, y el número de varones aprobados es el triple del número de mujeres desaprobadas. ¿,Cuántas mujeres aprobaron eI examen?

. .

Construimos el diagrama de Carroll en el margen.

¡:

n.o de mujeres que aprobaron el examen. Sea.y: n.o de mujeres que desaprobaron el examen. Sea

Formamos un sistema de ecuaciones y resolvemos:

r

x+Y=lQ+Y=J;¡=J

Nevada

Aprobaron el examen 5 mujeres.

Varones

Los Canguros

Los Tigres

Total

4x

r

5x+y

2y

)'

2x+3y

4x+2y

¡+y

t3000

"'

Mu jcrrs Ver.

Fru. lf,íc.

Var. 4.r 52 ¡ Muj. 3.¡ 9-l : Tot. 2,15 I45 ll0 4.rr:

n.'de varones que

compran verduras.

T(f. 320

2lt0 600

compran verduras.

y: n." de varones que

.

De las 600 personas que se encuentran en un supermercado, el 357o ha ido a comprar lácteos. Además,320 clientes son varones, y el número de varones y mujeres que han ido a comprar verduras es como 4 es a 3. Si 93 mujeres y 52 varones han ido a comprar frutas, ¿cuáotas mujeres han ido a comprar lácteos?

.

+

3(35)+93 +¿=280

Han ido a comprar lácteos 82 mujeres.

.

c

!

J

o o

.

a+b=32 y c+tl=48 SeaJ: n.o de quinceañeras que tiene tableta. Hallamos .r relacionando la última ñla de la tabla:

l

p

sc o c

32+x+4x+68 -140+ ¡=8 8 quinceañeras tienen tableta.

@

= 2.\ + 3.r

+ 3¡

2_r

7.r + 4,r'

8

+d+lr+ l0+.r= 90+

..

EMn

Table¡a lnptop

>18 < 18 15 Total

0

Otros

Total

20

32

C

-r

d

+,r

4x

68

13

son varones, y el número de varones y mujeres que prefieren jalea es como 3 es a I . Si 20 mujeres consumen arroz con pollo y ningún varón lo hace, ¿cuántas mujeres comen solo cebiche?

000

Anoz con pollo

Jalea

Varones

0

-3r

Mujeres

20

('

.r

t68

Total

20

t56

t21

l(x)

*t'án

Estrín

Noe*ín

enfermos

enfm

Total

O

tsmpleados

-I

2

9

8

Total

p € I

p €

§

s

.12+l,r=5.r+.r=6

,1

,,

..

@

-y

l8

.t

-¡-,y

1.1

12

Suntr¡tck¡ la últin¡a fila: .r+ r +.14 -,r-r' + 12 + 32 - 78 .. l-la-r 7tl trabajadores en Ia empresa

3l

78

Varones

Solteros

Casados

t2

3¡

@

12

Total

5¡

Mujeres

l0.r

TotaI

l5-r

Hay 90 proltsorcs cn la iustitrrcirin

§ c qñ

132

Del total de profesores de un colegio, dos tercios son mujeres, 12 de los varones son solteros y 3/5 de los profesores varones están casados. Halla el número total de profesores de esa institución.

d I

.

Total

No van a trabaju

enfem

34

Cebiche

Cebiche: r¡ +.r=413% +(+.r= 124 Jalea: 100-(20+ 124)= 156+4¡.= 156+¡ =-3t) 20 + ¿. +¡= l6U + 20 + 39 +.r = l6ll +.r = 109 .. 109 mujeres comen solo cebiche.

'l

3

->.r-45

se atiende a 300 personas. De

l'

d

140

No

+ l0 +.r=90

estas, el 4137o solo come cebiche, 132 clientes

Obreros §

b

tmbajr

8 + 27

45 rrujercs son estrdianlcs o chcl.\.

@ En un restaurante,

=0

=

90

8+á=23yo+b=27

una encuesta realizada a los trabajadores de una

Van a

a

o c

t

mfsnm

Elaboramos el diagrama de

Carroll y ubicamos los datos.

8

t0

Público

empresa, se obtuvieron los siguientes resultados: I 2 están enfermos y no van atrabajar,21 van a trabajar y son empleados, l8 de los que no van a trabajar no están enfermos y son obreros, y 7 de los que van a trabajar son obreros. Si 14 son empleados, no están enfermos y no van a trabajar, ¿cuál es el número de trabajadores de la empresa?

+ z=82

140 mujeres encuestadas, se supo que 32 tienen tableta, pero no tienen 15 años, y 20 no tienen laptop ni tableta y son mayores de l8 años. Además, de las que no son mayores de I 8 años, 48 no tienen laptop ni tableta. ¿Cuántas quinceañeras tienen tableta si son la cuarta parte de las que tienen laptop?

I

l)tx tlirto: 5.r +

@ De

De

ci

'li)t¡l

Varones

x

Chefs

+

EJEMPLO 4

N N @ j

Mujeres EstLrdia¡tes

I{esolvc¡ttos:.r= l(XX), r'= 1500+ r+r,= 2500 . . Ilay 2-5(X) asistcntcs hinchas tle Los f igres.

Hallamos el número de mujeres que compran lácteos:

3x+93 +¿=280

2t+y

.

Construimos el diagrama de Carroll en el margen. Formamos una ecuación y resolvemos: 4x +3x =245 7x =245 ¡= 35

+

.

compran lácteos. ¿: n." de mujeres que compran lácteos.

'li rr l

EJEMPLO 3

3r: n." de mujeres que

90 personas entre estudiantes de la especialidad, chefs y público en general. Si 8 varones son estudiantes,23 varones no son chefs,27 varones no son estudiantes y l0 mujeres corresponden al público en general, ¿cuántas mujeres son estudiantes o chefs2

Total

+3Y =20

procedim¡entos: 1 -5

@ En una conferencia sobre gastronomía, participan

3 000 asistentes a un estadio, hay

hinchas de Nevada, Los Canguros y Los Tigres. Se cumple que las mujeres hinchas de Nevada son el doble de los varones hinchas de Los Tigres y Ia mitad de los varones hinchas de Los Canguros. Además, la cantidad de varones hinchas de Nevada es la misma que la cantidad de mujeres hinchas de Los Tigres y la mitad de las mujeres hinchas de Los Canguros. Si la cantidad de varones asistentes es igual a la cantidad de mujeres asistentes, ¿cuál es la cantidad de asistentes hinchas de Los Tigres?

problemas con conjuntos.

Para resolver un problema

I

'

UNIDAD

I

tóg ca. Números complejos

'13

TEXTO ESCOLAR

Fórmulas lógicas lTexto

escolar (pá9

7)

!Libro de actividades (págs.

14-15)

Capacidades y desempeños precisados Traduce cantidades Usa estrategias y procedimientos

Comunica

. o

.

i

Crea proposiciones compuestas en lenguaje verbal a partir de fórmulas lógicas. (5-10) Expresa verbalmente las fórmulas lógicas teniendo en cuenta datos preliminares. (1.4)

Para iniciar

VF FV FF

Resalte la presencia de reglas y técnicas que facilitan la formalización del lenguale cotidiano al lengua¡e proposicional, para ello presente las tablas de verdad de las operaciones lógicas descritas al margen. Recuérdeles que evaluar una fórmula lógica significa determinar si es una tautología, una contradicción o una contingencia. Pregunte: Sl so/o una de las proposiciones evaluadas en la tabla sale falsa, ¿será una tautología? ¿Por qué?

Disyunc¡ón ¡nclusiva

vq

P^q

F

extlusiva

F

...

Bicondicional

p-q

Tautológica

íO

princ paL del esquema son falsos.

'it rus.

I4-eO

é

§ a o

Pl

-

(p

il,i

F

Conjunción

q)

F

iV

irii

F

t

Il

iV

t.

F

Lég¡É y coniuntos operaciones con conjuntos se definen tomando como base las cuatro operaciones lógicas fundamentales. observa en la tabla la representación simbólica. Las

conjunción

p^q:PnQ

DESARROLLA TUS CAPACIDADES

é

^

Como la columna principal tiene solo valores verdaderos, la fórmula lógica es tautológica; es decir, sea cual sea el valor de sus componentes, la proposición que se relaciona con dicha fórmula resulta ser siempre verdadera.

Contradictoria (1): S los valores de verdad de a columna

pr¡ncipal del esquema hay por lo menos un valor verdadero y uno falso.

I(p in iq)

(? Condicional

CD: Si

I

q

iVi

O Disyunción inclusiva

ser

los valores de verdad de a columna pr ncipal del esquema son verdaderos.

a

p

,& Valores de p

-l

F

final.

Determinamos la cantidad de variables. Como en este caso son dos (p, Q, el número de filas que tendrá el esquema será 7" = = 4.

O Conjunción

contingente: Sl entre los valores de verdad de la columna

lncentive el desarrollo de la sección "Desafío" para reconocer las diferentes formas de decir lo mismo. Esto suele realizarse para lograr la comprensión de nuestras ideas en un grupo muy diverso.

Identificamos el conectivo principal

Resolvemos según este orden:

F

Relacione los conectivos lógicos con las tablas de verdad de las operaciones lógicas propuestas para evaluar las proposiciones compuestas. Aproveche la información de las tablas de operaciones lógicas para revisar el proceso de solución del ejemplo 3. Pregunte: ¿Cambiará el resultado de la fórmula si intercambiamos el orden de la operación dentro del corchete?

¡ q) ¡ p] - (p v q). (+) para establecer el resultado

t

p+q

Para desarrollar

I

. .

uonolclonal

pvq

Motívelos a proponer ejemplos relacionados a cada operación lógica descrita en la tabla. Proponga un concurso entre todos para nombrar los ejemplos con cada una de los conectivos gramaticales. AsÍ: Negación: no comeré dulces; no es cierto que comeré dulces; es falso que comeré dulces.

Para consolidar

tablas de verdad de proposic¡ones compuestas son esquemas que cont¡enen a las fÓrmulas lóg¡cas. Estas son un conjunto de var¡ables proposic¡onales relacionadas con los conectivos lógicos de las tablas de verdad con operaciones lógicas.

Evalúa la validez de la fórmula lógica [(p

F

Disvunción-

lndague sobre qué nivel de información previa tienen los estudiantes escribiendo las fórmulas lógicas de las proposiciones propuestas al margen.

Recoja información de los estudiantes sobre sus preferencias. Luego, utilice la información para unirlas y formar proposiciones que pueden negarse o afirmarse. Por ejemplo: A Patricia le gusta el chocolate pero no la fresa. También, pida que con el apoyo de la tabla, establezcan diferentes formas gramaticales de expresar las proposiciones. Así tendríamos: A Patricia le gusta el chocolate y la fresa; A Patricia le gusta el chocolate y alavez la fresa, etc. Motívelos a desarrollar las actividades 1 ala 4 para que los estudiantes refuercen el aprendizaje.

.a

EJEMPLO 3 F

una fórrnula lógica puede

I

1

Las

pq

t

t)

Fórmulas Iógicas. Tablas de verdad de propos¡c¡ones compuestas

fablas de verdad de operaciones lógicas

Sugerencias didácticas

!

i .l I I

T

Formaliza proposiciones utilizando operaciones lógicas y conect¡vos lógicos. (1-2)

var¡ables Conjunc¡ón

I

t

Lógica propos¡ciona!

Escribe una fórmula lógica para las siguientes proposiciones: No es cierto que Antonio estudia física si y solo si no estudia química. - r t) -. , - (l r

Si Lucía aprueba o desarrolla Ia práctica de matemática. entonces es falso que no apruebe la práctica de matemática. rp .,(tr t)

.

Disyuncióninclusiva

Disyunciónexclusiva

Condicional

pvq=P^Q

p-q:(p_e),

pvq=PuQ

fraduce cantidades:

1-2

Usa estrateSaas y procedim¡entos:

3-ó

Comun¡m: 7-9

Evalúa la validez de las siguientes fórmulas lógicas:

O(pnq)-(pvq) t [,|[pn(p*q)]r-p c' E,(p¡q)--(p^q) ( [,]-(-p--q)vq ti, Representa en notación lógica las siguientes expresiones en notación conjuntista3

tsruq' PY-q

o(P'-QI -P-(l ttS

O

[}(PuQ)nQ (llv-q)^(l I

Lógica. Númeroscomplejos

7

U

LIBRO DE ACTIVIDADES

r

LÓGICA PROPOSICIONAL

B

Fórmulas lógicas

DESARROLLA TUS CAPACIDADES

B

Sean las proposiciones p: Raúl mejora su

Escr¡be su fórmula lóg¡ca.

a) EsfalsoqueAna juegue vóley.

b) José t¡ene una /aptop,

Conectivos lógicos

Operac¡ón lógica

I

Negación .t_

24t4.

0; al menos; ...

Disyunción exclusiva

O... o ...j a menos que; salvo que;

Cond¡c¡onal

Si..., entonces...; luego; por lo tanto;

Bicondicional

Si

..

.

y solo si; es equivalente; es igual a; ...

4. O Raúl mejora su rendimiento o el entrenador lo tomará en cuenta para el próximo panido. El entrenador no lo lomará en cuenta para el próximo panido. Entonces. Raúl mejora su rendimiento.

Identificamos los conectivos gramaticales que se relacionan con los conectivos lógicos. Luego, representamos cada proposición mediante variables proposicionales.

Conectivos: si..., entonces...

1-¡,

es falso

(-),

a la vez

(r

)

tp+

ProPosicionales: pi David tiene una buena alimentación.

-(

comer

mandarinas.

.

- -(q r r)1.

f,f

Crea en lenguaje común una proposición para la siguiente fórmula lógica:

[(pvq)r-q]-p . Representamos

Ío

.

r

banco.

q: Ana comprará una laptop.

Traducimos la fórmula lógica en lenguaje común: Ana ahorra en el banco a menos que comprará una laptop. Sin embargo, Ana no compra una /aptop.Ltego, Ana ahorra en el banco.

@

N

ñ

tr

)d

.9

e q

p

p 2

cada variable mediante una proposición:

p: Ana ahorra en el

_!

Conrpro un gato si y sokr si no tengo perro, cntonces compr0 un galo.

@ (-p

-

q)

^

(q

-

-p),siendop

- Vyq=

F

p: Vrrgas Llosa es escritor. q: Alan Carcía es congresista. Vargas l-krsa no es escritor si y solo si Alan García es congresista. Alan García es congresista entonces Varg¿rs Llosa no es escritor.

Si el drenaje del lavadero está tapado y el caño embargo, si el drenaje del lavadero no está tapado y el caño está abierto, entonces no se puede inundar el piso.

EJEMPLO ó

p

p: Cornpro un gato. q: Tengo perro.

está abierto, entonces se puede inundar el piso. Sin

fide0s.

CJ

c .F c

@

r: David deberá comer

N N @ j

E)(p--q)-p

de literatura peruana, entonces es falso que apruebe o desarrolle el cuestionario de literatura peruana.

r)l

q

Si Carla llega temprano a su casa y no estudia. entonces, no aprobará su examen.

@ Si Luis no aprueba o no desarrolla el cuestionario

.. es falso que deberá comer mandarinas a la vez que fideos.

La fiirmula lógica es ¡p

p: Carla llega tcmprano a su casa. q: Carla estudia.

Escribe una fórmula lógica para las siguientes proposiciones:

Si David tiene una buena alimentación, entonces... Datos para elaborar la fórmula lógica. Variables

510

@(Pn-O--r

3. Raúl mejora su rendimiento o el entrenador lo tomará en cuenta para el próximo panido. Raúl no mejora su rendimiento. Entonces, el entrenador lo tomará en cuenta para el próximo parrido.

Vrve saludatJlemente

Escribe unafórmula lógica para la proposición: "Si David tiene buena alimentación, entonces es falso que deberá comer mandarinas a la vez que fideos".

.

Usa estrategis y procedimienbs:

Crea en lenguaje común una proposición para cada una de las siguientes fórmulas lógicas:

.Si Raúl mejora su rendimiento. el entrenador lo tomará en cuenta para el próximo partido. Raúl mejora su rendimiento. Entonces, el entrenador lo tomrá en cuenta para el próximo partido.

2. Si Raúl meiora su rendimiento, el entrenador lo tomará en cuenta pra el próximo panido. El entrenador no lo tomará en cuenta para el próximo panido. Entonces, Raúl no mejora su rendimiento.

.

..

1{

r: Aprobará su examen.

D¡syunción inclusiva

EJEMPLO 5

q: David deberá

O [(pvq)¡-q]-p

t(pvq)^-pl*c I

Pero; además; aunque; s¡n embargo; a la vezj ...

v

ts No; no es cierto que; es falso que;

Conjunción

-p

b)qar c)s-t

o t(p*q)^pl-q

g t(p-q)^-ql--p

Cornunica:

conectivos Sramaticales

además una tableta.

Valora su cuerpo y asume un estilo de vida activo y saludable. (Adquiere hábitos alimenticios saludables y cuida su cuerpo).

verbalmente las siguientes proposiciones:

Observa la reiación entre los conectivos lógicos y gramat cales.

c) 2.3esequivalentea

a)

rendimiento, y q: El entrenador lo tomará en cuenta para el próximo partido. Redacta

Una fórmula lógica es un conjunto de variables propos¡cionales (p, q, [...) relac¡onadas con los conectivos lógicos y, en algunos casos, categonzada mediante signos de agrupac¡ón. Una fórmula lógica se obtiene al traduc¡r el lenguaje común al lenguaje formal o tógico

COMUNICA

T

TÓGrcA PROPOS'COI{AL

Si Ana es seleccionada en su sección, entonces podrá integrar el equipo de básquet de su colegio. Si Ana integra el equipo de básquet de su colegio, entonces podrá participar en el campeonato nacional de básquet.

E

I

+

3 o

5.

(-p

&

e 3 o

v -t¡)

-

-1p v q)

(, l(p q) - rl ¡ I(-P (l) ^ ^ 7.(p

-q)^(q*r)

DESAFíO Usa

fórmulas lóg¡cas para demostrar qu¡énes d¡cen lo

m¡smo, Renzo dice: "Si este mes Eva paga la luz y el agua, deberá pagar también el alquiler del departamento".

Gabriela dice: "Si este mes Eva paga el agua y no paga la luz, entonces deberá pagar el alquiler del departamento".

-.rl

Eva dice: "Este mes no me toca pagar la luz, pero si el agua.

Entonces, pagaré también el alquiler del departamento".

(irhriela y [lvr diccn lo misrtxr.

§ @

o

14

lmnD f

LÓ8ica. Números

complejos

T5

Tablas de verdad de proposiciones compuestas I Capacidades y desempeños precisados . Expresa el significado de una fórmula lógica a través de Usa estrategias y procedimientos

I

tablas de verdad, (1-3)

.

Argumenta af irmaciones

Justifica razonamientos al evaluar fórmulas lógicas, identificándolas como tautológicas, contradictorias o contingentes. (4-9)

Sugerencias didácticas Para iniciar

!

Recupere la información sobre las tablas de verdad de las proposiciones

I

simples: Variables y valores p

q

F F

Disy. incl

Disy. excl

Condicional

Bicondicional

p^q

pvq

pvq

p-q

p-q

Evaluar las fórmulas lógicas (de dentro hacia afuera).

F

F

Destaque que en cada caso hay dos variables (p y q) y que da lugar a que existan 22 = 4 filas de valores. lnforme que para hallar el número de filas se aplica la expresión 2n, en donde n es el número de variables. Pregunte: Sl hubieran 3 variables, ¿cuántas filas se tendría? (23 = 8).

Para desarrollar Pida que analicen cómo se han formado las filas de los valores de las variables del elemplo 7. Destaque que cumple con tener 8 filas. Pida que describan cómo se han escrito los valores de verdad de cada variable (en la primera variable proposicional (p): la mitad de su columna tiene valores verdaderos (V) y la segunda mitad tiene valores falsos (F); en la segunda variable proposicional (q): la primera cuarta parte tiene valores verdaderos (V), la segunda cuarta parte, valores falsos (F), la tercera cuarta parte, valores verdaderos (V) y la última cuarta parte tiene valores falsos (F). En la tercera variable proposicional (r): Los valores verdaderos y falsos se van alternando.

Proponga que efectúen cómo serÍa para el caso de cuatro variables (p, q, r, s).

Elaborar la tabla de verdad con las variables, valores de las variables y las fórmulas lógicas.

Remarque que, para evaluar una fórmula, se debe considerar: ldentificar el conectivo principal de la fórmula que representa la última operación a realizarse.

Si una proposición simple está precedida del signo de Ia negación, primero se realiza esta.

4. La columna que se obtiene debajo del conectivo

principal nos permitirá afirmar si la proposición compuesta es una tautologÍa, una contradicciÓn o una contingencia.

F

I

Escribir una fórmula lógica para cada proposición compuesta.

las operaciones lógicas: se empieza con las operaciones encerradas entre paréntesis (de adentro hacia afuera), se sigue con las negaciones y se avanza de izquierda a derecha.

F

I

I

5.

Reconocer las operaclones lógicas inmersas en cada proposiciÓn.

2. El orden en que se realizarán

F

Pida que comparen con la sección "Ten en cuenta". Pregunte: ¿Qué clase de fórmulas lógicas son cada una? (Todas son contingencias). ¿Por qué? (Porque en cada una hay por lo menos un valor verdadero y uno falso).

I

ldentificar las variables proposicionales y representarlas con una letra.

3. F

F F

F

1. 2. 3. 4.

Operaciones lógicas

F

F

Sugiera que en pares analicen el ejemplo 7 y luego propongan el procedimiento seguido. Haga notar la importancia del orden al señalar los pasos correspondientes:

1. Conjunción

Libro de actividades (págs. 16-17)

I

Al efectuar las actividades 1 a la 3, pregunte: ¿Cuál es el conectivo principal en cada una? (bicondicional, disyunción exclusiva y bicondicional, respectivamenle). ¿Con qué empezaría la actividad 7?(Con -p y -q simultáneamenle). ¿Y la actividad 2? (Empezaría con (q n r) -q y -r).

I

En la actividad 7, proceda como en el caso anterior, Luego de resolver pregunte: ¿Esta proposición se puede convert¡r en una tautología o en una contradicción?(No, porque tiene por Io menos un valor verdadero

y uno falso).

I

Para la actividad 8, por dato la fórmula es tautológica, entonces la negación es contradictoria, destaque que se puede hacer directamente con los valores de verdad, mientras que la 9 necesita trabajar con las tablas de verdad es decir, como por dato son contingentes, demostramos que las fÓrmulas lógicas son equivalentes.

Resalte que en algunos casos el uso de los paréntesis es imprescindible para determinar el sentido de una proposición lógica.

lo,

J

N N @ j

ci

i

:9

)

!o o o l

Para consolidar

I I

Remarque que para evaluar una tabla de verdad de una proposición compuesta es necesario respetar el orden en que se deben realizar las operaciones lógicas. Destaque la importancia que tiene una fórmula lógica en el lenguaje formal: evita ambigüedades y ayuda a organizar un razonamiento bien estructurado

p p c

e

G

@ @

§c c 6

o

LIBRO DE ACTIV¡DADES

.

1

LÓGrcA PROPOSICIONAL

LÓGICA PRoPoSIcIoNAL

B

fl

Tablas de verdad de proposiciones

compuestas

orsannou-eruscAPACIDADES

Evalúa las siguientes fórmulas lógicas: q) pl p) n pl t(-p [(-q

*

o TEN EN CUENTA Una fórmula lógica puede

ser

llautológica

(T): si todos

los valores de verdad de la columna princ¡pal del

esquema son verdaderos.

contradlctorla (a): si todos los valores de verdad de la columna principal del esquema son falsos. contingente; si entre todos los valores de verdad de la columna principal del esquema hay por lo menos un valor verdadero y uno falso.

tablas de verdad de proposiciones compuestas

E

Evalúa este razonamiento: "Si abren la llave principal del tanque de agua y la compuerta del canal de regadío está abierta, entonces se puede inundar la chacra, o si no abren [a llave principal del tanque de agua y la compuefa del canal de regadío está abierta, entonces no se puede inundar la chacra".

. .

Datos para elaborar la tabla de verdad Variables proposicionales:

t

p: La llave principal del

¡

q: La compuerta del canal

Pq

de

r

[(-p n F F

Condicional

V

F

F

V

F

F

F

7 Disyunción

F

F

F

F

v

F

F

F

ii

t I

F

Negación de r

F

li tl

V

ll

6 Condicional

[]

q)

F

F

Fórmula lógica: Cantidad de variables: n = 3

@

VF VFF FVV FVF

.+ Conjunción

[0^O-r]v(-p^0--.d

t(p

F

de regadío está abierta. r Se puede inundar la chacra.

r

@

q)

F

Conjunción

? Valores

tanque de agua está áb¡ertá.

ll

r

t

F

-rl I

!

I

V

o

Al evaluar

f

-

rl v [(-p

^

q)

- -r]]

esta fórmula lógica en una tabla de verdad, observamos que todos los

valores de verdad de la columna principal del esquema son falsos, entonces [a

p =o

fórmula lógica es contradictoria.

-_!

Como conclusión, podemos decir que el cambio mínimo para pasar una fórmula lógica tautológica a contradictoria es negar todo el razonamiento dado.

c

@

vvv vvv

v VF VF-

[.'

FF vv

V

F

FF VV

se calientan, entonces se dilatan. Pero si los cuerpos se dilatan, entonces las

moléculas de los cuerpos aumentan su movimiento.

p q r (p-q)

VVV rIFF VFV VFV vf.-v

'r)

^(q

VF'F' FF'V F[rv

VF-V VFfT

-(p

Responde y

-^q)

Es contingente.

Analiza y responde.

f)

) t E

se puede hacer para

es

es

convertirla en

9 2

I §

I

3 o

o

q)

^

pl

+

-q

es

tautológica,

v ^q)

pl

Es contradictr¡ria.

p

* -py

(p r q) v -p son Si se sabeque (p -q) contingentes, ¿cómo demostrarías que las fórmulas

-

lógicas son equivalentes?

j

€

^

- -q} es contradictoria? --q = l(-p v -q¡ ^ pl --q -{[(-pv-q)^pl.--q] FV

justifica.

@ Si al evaluar una fórmula lógica el resultado

.e

t-G

^ [-(p q) pl ^ ^

contingente, ¿se puede convertir en tautológica?

§ d

Si

¿podemos afirmar que la fórmula lógica

-{t(-p

@ Si al evaluar una fórmula lógica el resultado

tautológica, ¿qué contradictoria?

VFF

FVF F FV f, r.' I'

Es contradictoria

Traducimos este razonamiento al lenguaje lógico: q)

F

FV VF'

v

@ Si los cuerpos

VFF

FF FF FF FV

F

v

Es tautológica.

-r)]

-{(p¡q) v [p ^(-pvq)l].* -(p.'-q) F FV F FF F F t-F V FF F Ftr v FF F FF V

F

f

-{t(p ¡

r)l v [p n (-q v

E -{(p n q) v [P ^ (-P v q)]] * I

compuerta del canal de regadío estií abiefa, entonces no se puede inundar la chacra".

o

F-

F

I

negar el razonamiento dado se obtiene: "Es falso que si abren la llave principal del tanque de agua y la compuerta del canal de regadío estií abiefa, entonces se puede inundar la chacra, o si no abren la llave principal del tanque de agua y la

:9

I

q l(p-q) ^ pl - q v v vv vv

Es contingente

Al

.i i

p

F

(q

FV F FFV FFF

5

Observamos que todos los valores de verdad de Ia columna principal del esquema son verdaderos, entonces la fórmula lógica es tautológica. N N @ j

*

VF

inclusiva

Total de filas: 2n = 2s = 8

Kuélap. Por lo tanto, estuvo de visita en Amazonas.

p q r lp - (q^r)l Y lp (-q v -r)l ^

Indicamos en el margen las variables proposicionales que intervienen.

Construimos y evaluamos la fórmula lógica:

tp

.1.No se puede, porque en la colunrna principal dcl esquema hay por lo me'nos un valor verdatlcro y uno falso. 5.Negar la fórnula lógica. En una tautológica todos los valores de verdad de la columna principal del esquema son verdaderos.

Con la tabla de verd¡d:

p q [(p -_q) .+_pl <+ [(p^q) v_p VV F V F V V VF

VF FV FF

V V V

FF V VV V VV V

@

16

F FF F' VV F VV

Son equivalentes

§C c

Argumenta afirmaciones 4'9

de Kuélap, entonces estuvo en Amazonas. Además, visitó la fortaleza de

Es tautoliigiea.

Jr i\4¡)t {)

1-3

@ Si Antonio visitó la fortaleza

I

Para evaluar una fórmula ló8¡ca, se deben tener en cuenta las tablas de verdad de las operaciones lóg¡cas.

I

^

procedimientos:

Evalúa los siguientes razonamientos:

*

*

p q l(-p. .q) l)l . .lt-c¡. '¡rt a ¡rl ^ \r\i F lf\rv l. lrv \'F \' \',\',\', \' \'\' \: t-t,\' \' I F\'. FF ti Irtr\ t. t.l.

son esquemas que relacionan todos los valores de verdad que pueden asumir ¡as distintas variables de una fórmula lógica. Nos ayudan a determinar si una proposición es universalmente válida (tautológica), se contradice (contradictoria) o es ¡ndeterminada (contingente). Las

Usa estrategias y

¡

UI{IDAD

I

Lógica. Números c0mplejos

11

LIBRO DE ACTIV¡DADES

Lógica y conjuntos ¡

Libro de actividades (págs. 18-20)

r

LócrcA PRoPosrcroNAL

Capacidades y desempeños prec¡sados . Resuelve problemas de fórmulas lógicas mediante las Usa estrategias y procedimientos

El r.ur,.a y con¡untos

operaciones equivalentes con conjuntos. (1-6)

.

Argumenta af irmaciones

Existe una relación muy estrecha entre la teorÍa de conjuntos y la lóg¡ca proposicional. Para mostrar dicha relación, denotamos por letras mayúsculas B Q, R... los conjuntos, y por las correspondientes minúsculas p, q, r..., las proposiciones.

Establece relaciones entre operaciones Iógicas y operaciones conjuntistas de manera gráfica y simbólica. (7-12)

Así queda representada la relación en los siguientes diagramas de Venn:

Sugerencias didácticas

TEN EN CUENTA

operación ógica

Para iniciar

La negación (-p) de una propos¡ción p se

I

corresponde con el complemento (P') del conjunto P

Recupere los saberes previos sobre las operaciones con conjuntos y diagramas de Venn: (Unión: A U B = {x/xeA v x€ B}. lntersección: A

ñ

B=

lxlxeA,r xe

B). Complemento:

AAB = lxlxe(AU B) a xÉ(A n

El

N =lxlx*.A); Diferencia simétrica:

B)1. Diferencia:

tJ^ I12 Conjunción

regiÓn1 PnQ

1.?3 I

U

conjunto vacío O, con una contradicción J-.

tlPO Disyunción inclusiva

pvq regionesr,:ye

123

PUQ

-t

Pregunte: ¿Cuáles son las relaciones entre las operaciones lógicas y las operaciones con conjuntos? (Conjunción con intersección; disyunción inclusiva con unión; disyunción exclusiva con diferencia simétrica; condicional con el complemento de la diferencia).

Disyunción exclusiva

j

Ul

P

pyq regionesryr P^Q

3

@

l

tiPa

Para desarrollar

!

p^q

se corresponde con una tautología T; y el

A-B = lxlxe An xÉ B).

Pida que relacionen estas definiciones con los diagramas de la tabla mostrada e identifiquen sus operaciones lógicas conespondientes.

I

conjunto universal

Representación gráfica

Simbolización

Cond¡cional

p-q regiones:,ry.r

(P-Q)'

llr

12r

r3l

@

Para afianzar lo anterior proponga que representen con simbología de lógica, las partes que se forman en un diagrama de Venn. EJEMPLO 8 U

U P

Sean p: Andrea estudia arte, y q: Andrea estudia diseño gráfico. Representa

O

P

p^-q

p^q

-p

simbólica y gráficamente la proposición: "Andrea estudia arte y diseño gráfico".

a

P

.

r?)il

^q

-p

I

I

.

-(p v q)

Solicite que analicen el elemplo 8, ayudándose de los esquemas anteriores. lnvite a que apliquen en las actividades de 1 a la 4. Pida que examinen los ejemplos 9 y '10. Destaque la estrategia de expresar la proposición lógica para luego representarla con conjuntos. Oriente para que realicen las actividades 5 y 6, utilizando la estrategia.

qr que

se corresponde con

N N @ j

d

Sean p: La capa de ozono es una capa protectora, y q: La capa de ozono nos protege de los rayos ultravioletas. Representa simbólica y gráficamente la

(

proposición: "Si la capa de ozono es una capa protectora, entonces es falso que nos proteja de los rayos ultravioleta".

a

P

La información de "Recuerda" les servirá de argumentos para comprender los ejemplos 11y 12; y el análisis de este les facilitará el desarrollo de las actividades 7 ala 12.

Afirme que la teoría de conjuntos al relacionarla con la lógica se convierte en una herramienta que facilita la simplificación de fórmulas lógicas y permite verificar su equivalencia.

Graficamos y concluimosque Iaoperación p a q =PO Q la región @. Ver margen.

^

EJEMPLO 9

o

c

N

:9

g

!

c E

@

. .

Determinamos su fórmula lógica y representamos con conjuntos.

p--q= p-Q, =(p-Q,), = t{o,@}-{o,@}l = {@},= io,@,@} Graficamos y concluimos que la operación p - -q = (P - Q')' se corresponde con las regiones @, @

Para consolidar

I

En la proposición se identifica una conjunción. Se representa como p

equivaleaPñQ.

.4

y @. Ver margen.

p € E

f

o o o l

§

E 'E

I

e

L

a 0

a c

§ 18

c a

o

LIBRO DE.ACTIVIDADES

1

LÓGrcA PBOPOSICIONAL

EJEMPLO 1O

.

-

¡.

*

r = [(p

a

Q)

- n], = t{o, @, @, @} - {@, @, @, @}1, = {o, @}, = {@, @, @, @, @, @}

ff

Leyes de De Morgan

a

o @

-(pvq)=-p^-q -(p^q)=-pv-q (p^q)

0-pv(q*-r) 2.(PUR',)aR

(o}

pv1=p

Simplifica: [q n

PvT=T P^-P=-L

r]}

^

{(!).

o

P,,

,

Aplicamos las leyes lógicas y simplificamos:

(rv -r)] - {(-p "q) v L"(p v q) r, rl} ^ - {(-p n -q) v [ (-p n ^-q) n r]]

(1)

-

="qv"q=.-q

R')',

{r.!. @, (0. (4),6), io.

i?). Q)}

8. l(pvq)^ql.--q=q.--q

o 4. P'u (Q

R

(E)}

9.

10.

6)

= (q n T)

-q)

-q v (-p

-q)

=

,r

Realiza lo que se pide.

§l

llega temprano a casa. Pero hoy no fue de compras, entonces llega temprano a casa".

Simbolizamos cada proposición simple:

t-(p v q) v -pl a

p a

,_n

o §

-

[(*p ^{) v -p] ^ = (-p) - q

q=

=-(-p)vq =pvq =PUQ

- q

< < <

{ <

-p]

-

q

@

(31

@)

+

(p ,r r), ¿cuáles q) -p] ^ son las regiones que representan el resultado?

@ Si simplificamos [(p

-

= (-p)

-

(p a r) = p v (p

I

r)

=p

(4)

LeydeDeMorgaf

@ Si se verifica que {[(-p v r) + q1 r (-p v r)] * q tautológica, ¿cuál es su representación gráfica?

6.(pvq)^(-p-q) (P A Q) n (P' Q)',

Ley de alrsorc on

Condicona

ro} n {(9)' {o, o} n {o, @, o} = {o, o} {(_0,

DobeneSacion DsyunciÓninclusiva

Graficamos mediante un diagrama de Venn (ver margen) e interpretamos:

(4)

{l-(-pvDvql^(-pvil}-q

.- q = {[-(-p v r) v q] n (-p v r)] ={Lvlq^(-pvr)l}-q pv'l'=T ='l'v(p¡-r)=T Su grálica es el conjunto universal (U).

o UilIDAO 1 Ló8ica. Números complejos

o

(!)

=P={o,o,o,(D}

q q

U

=l(-pvq)n-pl--(prr)

(2), @)}

o

El rocoto relleno es un plato limeño o es arequipeño. @

Observa el gráfico y responde.

[(-pvq)r-01-1prr)

(R'- s')'

Hallamos la fórmula lógica y la simplificamos: [-(p v q) v

o

L

-r - -s

{(o}' = {(!).

rQ

p

-5.

q: El rocoto relleno es un plato arequipeño.

ci i

p) v Cl v q=1q n p) v q =q

gráficamente: "O va Carmen de compras hoy o

p: El rocoto relleno es un plato limeño.

o

15 es múltiplo de 3, y s: 3 es divisor de 15.

^

@ Sean p: Carmen va de compras hoy, y q: Carmen llega temprano a casa. Representa simbólica y

Representa gráficamente e interpreta la proposición resultante: "Es falso que el rocoto relleno es un plato limeño o un plato arequipeño. Al menos el rocoto relleno no es un plato limeño. En conclusión, el rocoto relleno es un plato arequipeño".

!

r:

Representa simbólica y gráficamente: "Si 15 no es múltiplo de 3, entonces es falso que 3 es divisor de 15".

E-}EMPLO 12

N N j

Sean

pv1=p

l-(p a -q) v (-p q)l (p v q) ^ ^ [(-p v q) v (-p¡ q)l ¡ (p v q) l(q

=-q

.

I(q v -p) -1 p v -q)J n -(p n q) I(-q ¡ p) v (p v -q)l ¡ (-p v -q)

lIv(-q n-p)lv-q (-q^-P)v-q=-q

P

@

G)

^

7. l(p^-q)vplnp=pap=p

@l

3.(P', Q)',n

Ot-(-pvq)v(p^p)l^p

{c)} P-

P^l¡-L Pv-P=T

=q.-(-P^

Argumenta afirmac¡ones:7-12

§t(-p-q)^ql--q §l t(-q * -p) - (-p + -q)l n -(p ,r q) @ t(p n -q) * (-p q)l (-p * q)

f,f-(pv-r)rr

vp.p

p^T=p

[q n

1-ó

O(pnq)v-p Gr(-p+q) ^-r l.(PnQ)uP' {/o, (0,

EJEMPLO 11

.

Usa estrategias y proced¡m¡entos:

Simplifica las siguientes fórmulas lógicas:

(pvq)^p-p

,

q) n

cAPACTDADES

Elabora un üagrama de Venn para las siguientes fórmulas lógicas:

otras leyes

(rv -r)l - {(-p^ -q) v t.-(pv

oesannorurus

Leyes de absorción G)

¡¡ n

P

(p+q)=-pvq

-

-

Doble negación

-(-P) =

Condic¡onal

Graficamos el diagrama de Venn con tres conjuntos u y concluimos que la siguiente operación (p v q) r = [(P A Q) - R]' se corresponde con las regiones @. @. @. @. @ y @.

;il: Representa en un diagrama de Venn (p

LÓGrcA PROPO§ICIONAI

Leyes logicas

Expresamos la fórmula lógica por su equivalente en notación conjuntista y resolvemos la operación: (p v q)

.

RECUERDA

Representa en un diagrama de Venn la fórmula lógica (p v q)

.

I

19

2A

j es ,9

p

s

§ o

Los argumentos y su estructura I

Texto escolar (pá9,

TEXTO ESCOLAR

8)

:

Libro de actividades (págs. 21-23)

Capacidades y desempeños precisados y procedimientos

o o

Argumenta

.

Usa estrategias

af

irmaciones

Sugerencias

d

Analiza la estructura de argumentos. (6-8) ldentifica las premisas y la conclusión e indica la estructura que le corresponde a cada argumento. (1-5)

Los argumentos y su estructura En los argumentos existe una conexión lógica o un paso de las premisas a la conclusión. Esa conexión se llama inferencia y sobre ella se apoya el argumento. Son útiles para persuadir y demostrar, además, las proposiciones son afirmaciones importantes para la estructura lógica de un discurso.

Determina la validez de argumentos. (1-2; 9-11)

idácticas

En un

argumento, la conclusión puede aparecer en cualquier orden: después de las premisas

(P1, P2

y

El

P3.

Luego, C), antes (C, puesto que P1,

argumento deductivo

P2

y

P3)

y entre (P1, P2. Luego, C, puesto que

va de l0 general a lo particular y el

argumento induct¡vo

P3).

va

de lo partlcular a lo general.

Para iniciar

I

lt/uestre dos ejemplos de conjuntos de proposiciones: "Gabriela es cirujana y el sol brilla, aunque la capital de Perú es Lima" y "Gabriela es cirujana, teniendo en cuenta que ella ha estudiado medicina, por lo tanto todos los cirujanos han estudiado medicina". Pida que reconozcan en cuál de los conjuntos las proposiciones tienen relación entre ellas. (La segunda). Mencione que un argumento es un conjunto de premisas que sirven para sustentar una conclusión, que puede ser verdadera o falsa según el valor de verdad de dichas premisas. Por esto afirmamos que la verdad de la conclusión se deriva inferencialmente de las premisas.

Para desarrollar

I

I

lndique a los estudiantes que entre los términos más usuales que suelen anteceder a las premisas, tenemos: además, teniendo en cuenta que, partiendo de, considerando que, en vista que, etc. y para la conclusión: por tanto, por lo tanto, concluyo que, se concluye que, se establece que, se deduce que, de ahÍ que, se sigue que, etc.

Analice la tabla de ubicación de la conclusión. Proponga realizar en un plenario la actividad de la sección "Usa estrategias y procedimientos". Sugiera una conclusión como: "Este mes es marzo" y pida que propongan dos premisas (P,: El mes pasado fue febrero; Pr: el mes inmediatamente siguiente al presente será abril). Solicite que propongan la estructura para dos premisas en los tres casos.

I

Para consolidar

I

Reglas de la inferencia

Concluya indicando que todo argumento posee una estructura que está formada por las premisas y la conclusión. Sin embargo, tomada aisladamente ninguna proposición es en si misma una premisa o una conclusión. En los argumentos existe una conexión lógica o un paso de las premisas a la conclusión, esa conexión se llama inferencia y sobre ella se apoya el argumento.

5.'A y es futbolista. Raúl es de 5." A y es futbolista. Todos los de son futbolistas. \'a de lo particular a lo gcneral. Inductir u.

a) César es de

[(p+q)^p]-q t\4odus tollendo tollens

4

Identifica la clase de argumento en cada caso.

N¡odus ponendo ponens (MPP)

5.' A

--

b)Todos los hombres son mortales. Pitágoras es hombre. Por lo tanto, Pitágoras es mortal. Va de kr ceneral a lo particular. Deductivo.

(Mrr)

[(p+q)^"q]e"p silogismo hipotético (sH)

(p+q)^(q+f)l

El

-(p-0

El

Ny'odus

método de la tabla de verdad utiliza la tabla de verdad para validar un argumento. método de comparac¡ón por analogía consiste en comparar la estructura del argurnento

con las reglas de la inferencia (ver margen).

ponendo tollens (lVPlJ

[(pvq)ap]*-q

EJEMPLO 5

¡/lodus tollendo ponens (MTP)

Determina la validez del siguiente argumento: "O Juan graba su información en un DVD o en un USB. Sabemos que Juan graba su información en un DVD. Por lo tanto, Juan no graba su información en un USB".

[(Pvq)n-P1+q

[(Pvq)r-q1+P

.

Silogismo disyuntivo (SD)

Representamos las premisas y la conclusión:

P,: O Juan graba su información en un DVD o en un USB.

[(pvq)^-p]+q [(pvq)^-q]+p

Pr: Juan graba su información en un DVD. C: Juan no graba su información en un USB.

.

Identificamos y simbolizamos cada proposición simple: p: Juan graba su información en un DVD. q: Juan graba su información en un USB.

.

En el ejemplo 13, recalque que con lenguaje lógico se refiere al uso de

conectivos lógicos. Pregunte: ¿Qué palabras han sido reemplazadas por conectivos lógicos y por cuáles? (Pero por A; por lo tanto por +). El contexto de la situación hace referencia a lo económico, especificamente al ahorro. Pregunte: ¿Qué significado tiene el ahorro? Comente que todo ahorro debe tener una finalidad. Promueva el intercambio de respuestas a la pregunta presentada al final del ejemplo.

EJEMPLO

TEN EN CUENTA

'iÉ*

Elaboramos la fórmula lógica: [(p v q) n p]

+ -q

Como la fórmula obtenida coincide con la ley correspondiente a la regla del MPT, concluimos que el argumento es válido.

Pá€s.21-29

fl

orsnnnouarus

cAPACTDADES

I E

Determina la validez de los siguientes argumentos.

&

Argumenta afirmacrones; 1-2

O me voy de viaje a Tacna en ómnibus o en avión. Se sabe que no fui en ómnibus. Por consiguiente, me fui en ómnibus. No vrlliikr

S

Si en ta playa nos exponemos mucho al sol, nuestro cuerpo se broncea mucho. Nuestro cuerpo no se broncea mucho. Por consiguiente, no nos exponemos mucho al sol. \irilirlo tl\1 I l

p € I

t @

I

LIBRO DE ACTIVIDADES

LóGtcA PRoPosrcroNAL

B

,o, argumentos

En

la

V

La

¿se podrá convertir el ejemplo 14 en la siguiente estructura: C, en vista de que P1 y P2? Justifica.

TEN EN CUENTA Las pren'r¡sas tambien

pueden aparecer en cualquier orden.

t tr r

P2

n

P3

a ...

r

Pn)

t

+

t_

EJEMPLO 14

Determina la estructura que corresponde al siguiente argumento: "Todos los múltiplos de l6 son múltiplos de 8. Luego,64 es múltiplo de 8, ya que 64 es múltiplo de 16".

.

C

Conclusión (consecuente)

C: Luego,64 es múltiplo de 8.

Después de las

premisas

USA ESTRATEGIAS Y PROCEDIMIENTOS

Elemplo

P1, P2

y

P3.

Luegg C.

P1, P2

y

P3.

Por lo

P1, P2

y

P3.

En consecuencia,

Cualquier vecino que fomente e cu dado del medioarnbiente será reconocido por el a calde. .losé es vecino y fornenta el cuidado del medioambiente. Por lo tantq José es reconocido por el alcalde.

Pr: 64

Antes de las premisas

Entre las premisas

tantq c. C.

C,

En estos tres casos, ¿cuál serÍa la estructura para

c, dado que Pl,

P2

y

P3.

c, en vista de que Pl,

P2

y

P3.

es la mínima porción de materia, dado que contiene al neutrón y al protón en su núcleo, como también al electrón en su órbita, y cualquier porción de materia que contenga al neutrón y al protón en su núcleo, y al electrón en su órbita. debe ser un átomo".

"El átomo

dos premisas?

José es reconocido por el alcalde, puesto que es vecinq fomenta el cuidado del Tedio¿mbiente, y cu¿lqlrier vecrno que fomente el cuidado de medioambiente debe ser reconocido.

puesto que P1, P, y P..

P1

y Pr. Luegq C. puesto que

P3.

Pl y P2. Luegq C, ya que P3.

C.

c, puesto que Pr y P2. Pr. Luego, C, puesto que

Identificamos las proposiciones (premisas y conclusión):

P?.

C: El átomo es la mínima porción de materia.

P,: El átomo contiene al neutrón y al protón en su núcleo. Pr: El átomo contiene al electrón en su órbita.

del medioambiente. Luegq José es reconocido por el alcalde, puesto que cualqurer vecino que fomente el cuidado del medioambiente debe ser reconocido.

.

Identificamos las proposiciones (premisas y conclusión): P1: El ahorro es la parte del ingreso que se destina al gasto diario o que se reserva pafa necesidades futuras.

Pr: El ahorro no es la parte del ingreso que gasto diario.

g 6

C:

!

€ I

o

Premisas P,

y P,

Prem¡sas y conclus¡ón

C:Antonio terminÓ la construcciÓn de su casa. Pr:

+

P2: Antonio ha pagado al rnaestro constructor. P3: Cualquier persona que haya cubierto la totalidad de gastos en materiales y haya pagado a su maestro constructor debe concluir la construcción de su casa.

Ejerce su ciudadanía. (Toma conciencia que es parte de un sistema económico).

Conclusión C

La estructura del argumento es: C, dado que Pi, P, y P3.

C

qué necesialacles fLltilras podlías ahorrar.?

-c

@

o

P2

y

P-l

EJEMPLO 1ó Sea el siguiente argumento: "Antonio terminó la construcción de su casa. Dado que ha cubierto la totalidad de gastos en materiales y ha pagado al maestro constructor, y cualquier persona que haya cubierto la totalidad de gastos en materiales y haya pagado a su maestro constructor debe concluir la construcción de su casa". ¿Puedes reconstruir este argumento de modo que tenga la conclusión entre las premisas?

. .

Identificamos las proposiciones (premisas y conclusión) en el margen. Reconstruimos el argumento con la conclusión entre las premisas: ha cubierto la totalidad de gastos en materiales y ha pagado al maestro constructor. Por lo tanto, Antonio terminó la construcción de su casa, puesto que cualquier persona que haya cubierto la totalidad de gastos en materiales y haya pagado a su maestro constructor debe concluir la construcción de su casa".

"Antonio

a E

§ o

"Para

c

_9

Antonio ha cubierto

a totalidad de gastos en materiales.

futuras.

(8

Pl,

ser un átomo.

El ahorro es la parte que se reserva p¿üa necesidades

Expresamos en lenguaje lógico: (Pr ,r Pr) §

se destina al

Premisas

Co¡clusión C

Observamos que la conclusión está antes de las premisas. Luego, la estructura es: C, dado que Pr, Pz y P:.

Identifica las premisas y la conclusión, y expresa en lenguaje lógico este argumento: "El ahomo es la parte del ingreso que se destina al gasto diario o que se reserva para necesidades futuras. Pero el ahoro no es la parte del ingreso que se destina al gasto diario. Por lo tanto, el ahorro es la parte que se reserva para necesidades futuras".

Ci

@

P.: Cualquier porción de materia que contenga al neutrón y al protón en su núcleo, y al electrón en su órbita, debe

tu ciudadanía

EJEMPLO 13

L

múltiplo de 16.

EJEMPLO 15

José es vecino y fomenta el cuidado

p ._! =o

es

Observamos que la conclusión está entre las premisas. Por lo tanto, la estructura es: P,. Luego, C, ya que Pr.

Indica la estructura que le corresponde al siguiente argumento:

Pr y P2. Luego,

)

Premisas P, y Pt

Conclusión C

conclusión pueden aparecer en cualquier orden. EStIUCtUTa

N j

Identificamos las proposiciones (premisas y conclusión): P,: Todos los múltiplos de 16 son múltiplos de 8.

Sí. "64 es rnúltiplo de tl, en vista de que 64 es múltiplo de l6 y todos los múltiplos de l6 sm rnúrltiplos de 8".

general, un argumento tiene la siguiente estructura: (P1

LÓGIcA PRoPoSICIoNAL

ARGUIVlENTA AFIRMACIONES

verdad de otra proposición conocida corno conclus¡ón.

Premisas (antecedentes)

r

y su estructura

Un argumento (argumentación, razonamiento o inferencia) es un procedimiento lÓgico que consiste en derivat a partir de la verdad de ciertas propos¡c¡ones conocidas como

premisag

!

UNIDAD

1 tó8¡ca Númeroscompiejos

21

22

LIBRO DE ACTIVIDADES

Aroumentos deductivos e iñductivos lTexto tÓ§ICA PROPOS¡CIoNAL

escolar (pág B)

r

Libro de actividades (págs,24-25)

!

Capacidades y desempeños precisados

ff

orsnnnoruruscAeACIDADES

Si Luis no consigue entradas para el estadio, entonces no logrará ver el partido de fútbol. Pero Luis logró ver el partido de fútbol. Por lo tanto, Luis consiguió entradas para el estadio.

P,: I-uis logró ver el partido de fútbol. C: Luis consiguió entradas para el estadio. P y P". Por lo tarrto. C.

Diana tendrá un estímulo a fin de año, puesto que es una estudiante que tiene un desempeño sobresaliente, y cualquier estudiante que tenga un desempeño sobresaliente tiene un estímulo a fin de año.

C:

Diana tendrá un estírnulo a fin de año P,: Diana es una estudiantc que tiene un desempeño sobresaliente. P,: Cualquier estudiante que tcnga un desempeño sobresaliente t¡cne un estímulo a lin de ¡ño C. puesto que P, y P,.

fl

El cobre es un metal de bajo costo y es buen conductor de la electricidad. Luego, el cobre es elegido para fabricar los cables eléctricos, puesto que cualquier metal de bajo costo que sea buen conductor de la electricidad debe ser elegido para fabricar cables eléctricos. P,: El cobre es un metal de bajo costo.

P,: El cobrc cs buen conductor de la electricidad. C: EI cobre es elegido para firbricar cables

Gi

! o

§

Irorrnr: P, y l).. Luego. ('.

[f

¡,a

Argumenta af irmaciones

Fornrl: C. daclo

I

c¡tre

@ A partir del argumento dado, redacta uno cuya estructura sea Pl, P2 y P3. Por lo tanto, C. Cualquier integrante del club que cometa actos de indisciplina serii expulsado. Manuel es integrante del club y comete actos de indisciplina. Por lo tarto. Manuel es expulsado del club.

es una sustancia formada por átomos de hidrógeno y oxígeno. Luego. el agua eS una sustancia que contiene dos elementos t1uírnicos.

Completa estructuras de un argumento. (6-9

)

Analiza la estructura de argumentos y determina si la afirmación es verdadera, (10-13) Delermina las premisas, dada la conclusión y la conclusión, dadas las premisas. (14; 17)

I Analiza los siguientes argumentos y comprueba si tienen la misma estructura, ser contadora y no abogada. Luego, Andrea eligió una catrera de ciencias. puesto que no le gustan las letras.

I

su deuda, y no actualizó sus

documentos. Luego, Óscar no accedió a un nuevo crédito, puesto que no tenía dinero.

@ Tendré un viaje de vacaciones, puesto que obtuve buenas calificaciones, y cualquier estudiante que

obtenga buenas calificaciones tiene un viaje de vacaciones-

§

P, y P.. Lrrego. C. puesto quc' P,. P, y P.. Lucgo. C. pueskr clue P,. I l. C. puesto que P, y P.. g .. y l0 tictren la rnisnra cslnlcturil.

idáctieas

Parta de establecer las diferencias entre el método deductivo e inductivo en el razonamiento lógico. Mencione que el método deductivo parte de prem¡sas un¡versales y llega a conclus¡ones particulares. Por ejemplo, si consideras el Teorema de Pitágoras y t¡enes por datos las dimensiones de la hipotenusa y uno de los catetos entonces puedes deducir la dimensión del otro cateto. En cambio, el método inductivo es aquel que recopila los datos de casos particulares para llegar a enunciar algo en general. En matemáticas para ejercitar el pensamiento inductivo se da una secuencia de números para obtener una regla general, es decl¡ para cada hipótesis se debe hacer una prueba para ver si satisface todos los casos.

En el ejemplo 4, aplique las definiciones de deductivo e inductivo a los argumentos y analice ambos casos. Luego, pida que los relacionen con la tabla de la página 24. Es decir, identifiquen las premisas, la conclusión. lndique que den lectura a la sección "Ten en cuenta" para las consideraciones que les permitirá evaluar la fiabilidad de la relación premisas-conclus¡ón.

Recuerde las palabras clave que perm¡ten reconocer la conclusión y luego lo apliquen en la soluc¡ón a las actividades 6 a la 9. Pregunte: ¿Cómo reconocemos que se trata de una conclusión? (Porque está precedida de la expresión "Por lo tanto"). Luego, deben indicar qué tipo de argumento es utilizando una estrategia similar. N/otÍvelos a utilizar su capacidad argumentativa para justificar el valor de verdad de las afirmaciones en las actividades 10 a la 13. En caso de ser falsa, deberán

realizar los camb¡os necesarios en la proposición para que sea verdadera.

10.

N N @ j

ci ¿

'6 l

o e q o =

p

€ Para consolidar

I UNIDAD'l tóglca Númeroscompeios

d

Para desarrollar

9. Una sustancia formada por átomos de hidrógeno y oxígeno contiene dos elementos químicos. El agua

.

Clasifica los tipos de argumentos en deductivo e ¡nductivo. (1-5)

Para iniciar

P,. P, ¡; P,. ManLrel es cxpulsrtkr del club. tlaclo r¡uc es intesrarrtc tlc dicho club, conrete actos clc inclisciplina. y cualquier integralte dcl club r¡rre conrcte tclos (le indiscipliila dcbe scr cr¡rLrlsatlo.

@ Óscar no canceló

. . .

t¡uc P,.

Teniendo en cuenta el argumento dado, elabora otro cuya conclusión esté antes de las premisas. ¿Cuál es su estructura?

@ Andrea quiere

Si David no estudia para el examen, entonces no aprobará el curso de Matemática. Pero David aprobó el curso de Matemática. Por lo tanto, D¡\ iJ c\ll¡(li¡i ptrrlr r.l r.Vrrr)eil.

Usa estrategias y procedimientos

Sugerencias

Pr: Clralquier metal de bajo costo que sea buet condLrclor de la electricidad detre ser elegido para fabricar cables eléch icos.

Completa las conclusiones correctas.

e p !

Argumenta af¡rmaciones: 9-11

¿Qué forma tiene su estructura?

eléctricos.

P, y P.. Luego, C. ¡ruesto quc Pr.

!l

1-8

Sea el siguiente argumento: "Manuel es integrante del club y comete actos de indisciplina. Luego, Manuel es expulsado del club, ya que cualquier integrante del club que comete actos de indisciptina debe ser expulsado". Analiza y resuelve.

P,: Si Luis no consigue entladas para el estadio, entonces no logrará ver el partido de fútbol.

El

procedimientos:

Comunica

Identifica, en cada caso, las premisas y la conclusión. Luego, indica la estructura que le corresponde.

O

Usa estrategias y

23

o L

lndique que los argumentos deduct¡vos en su conclusión no oÍrecen información @ o nueva. Por ello, sus conclusiones son necesarias, en cambio, los argumentos §c inductivos, en su conclusión nos ofrecen información nueva, es decir, información a no incluida en las premisas, y por ello su conclusión es probable.

o

LIBRO DE ACTIVIDADES

t

1

LÓGICA PROPOSICIONAL

LÓGICA PROPOSICIONAL

7

ff

Argumentos deductivos e inductivos

Sl las

Argumefto inductivo

premisas

si las premisas son

son

verdaderas,

verdaderas,

probablemente

la

conclusión

será

la conclusión será verdader¿.

verdadera. Forma: De lo general

(premisas)a lo particular (conclusión).

Este argumento asegura que la verdad de sus premisas o garantiza {a verdad de su conclusión o no la garantiza. Elemplo:

Pj:

cumpleaños de Carmen coincide con el Día de la Amistad. El

P2: Hoy no es el Día Forma: De lo particular (premlsas) a lo gereral

(mnclusión).

c:

de la Amistad.

Hoynoes el cumpleaños de carmen.

va de lo Beneral a lo particular. Pl: Todos los estudiantes de 5! tienen correo electrónico. P2: Fátima es

C:

ll

Argumento induct vo

Argumento deductivo

AsÍ.

B

estudiante de 5.o B.

Fátima trene correo electrónico.

Este argumento solo asegura la verdad de la conclusión, a partir de la verdad de las premisas, con un cierto Srado de

ff

probabilidad. Ejemplo: Ayer llovió mucho.

C:

Hoy lloverá mucho.

va de lo particular a lo teneral. P1: El P2: La

C:

Comunica:1-5 Umestrateg¡asyproced¡mientos:ó-13 Argumentaafirmaciones:14-17

Todos los estudiantes de matemática son ordenados. Daniel es un estudiante de matemática. Luego,

Anteayer fue un día caluroso. Ayer fue un día caluroso. Probablemente, hoy será un O,

[S Las proposiciones

tendrá su carné".

@ Nicolás es de Trujillo y le gusta la marinera. Mi prima es de Trujillo y también le gusta la marinera.

oro se funde con el calor. plata se funde con el caior.

Todos los rnetales se funden con el calor.

§

@ Si

se niega la

@ Todo lo que tiene un principio tuvo una causa. El universo tuvo un principio. Por lo tanto, cl universo tuvo

uDa

@ ¿Cuál será la conclusión de Rolando? @ Escribe el argumento completo e indica si es deductivo o inductivo. Justifica tu respuesta. 14.

Todos los ntetales se funden con el calor.

l -5.

El cobre se funde con el calor, el hierro se firnde co¡ el cakrr, cl aluminio se funde con el c¡lor- En consccuencia. todos Ios metales se funden cul el calor.

causa. DcductivO

es trabajador.

Forma: de dos premisas particulares, se llega a una conclusión general.

César es diseñador gráñco y tiene computadora. Luis es diseñador gráfico y tiene computadora. Daniel es diseñador gráfico y tiene computadora. Por lo tanto, trda! lqs disqñadlres grí1lqo!liiql\:ll qomputail!ra. I

nductivo

)ci c

ARGUMENTA AFIRMACIONES

v

I !

con las premisas y las conclusiones del ejemplo 18, ¿se podrá reconstruir

f

o o a

-

c = o c < a

un argumento ¡nductivo?

Sí. El cactus es una planta. El cactus nace, se reproduce y muere. Luego, toda pla¡rta nace, se reproduce y muere.

§C c @

24

correcta?

. .

de

5. El número 1025 termina en 5. Por lo tanto, el número 1025 es múttiplo de 5. l)eductivo

EJEMPLO 18

El profesor de Ciencias Naturales escribió las siguientes premisas: "Toda planta nace, se reproduce y muere. El cactus es una planta". César escribió las siguientes conclusiones: "Luego, el cactus se reproduce, muere y es una planta" y "Por lo tanto, el cactus nace, se reproduce y muere". ¿Cuál crees que es

Sea la conclusión: "La suma de los ángulos internos de cualquier triángulo es 180"'. esta

conclusión.

@ Los números que terminan en 5 son múltiplos

o

Es un argumento inductivo porque va de lo particular a lo general.

@ Determina tres premisas que fundamenten

Luego, es un argumento inductivo.

N N

primera premisa, la conclusión

vaía.

calor".

inductivo.

h) Liliana Pé¡ez es de 5.' A de secundaria, Francisca Pérez es de 5." A. Todos los Pérez son de 5.'A.

F

se niega la segunda premisa, entonces la conclusión es igual.

@ Si

Todos los pintores dibujan muy bien. Florencia es pintora. Por lo tanto, Florencia dibuju -or,3lit;,,",,

Completa cada argumento e indica si es deductivo o

[f

F

Rolando llega a una conclusión luego de leer Io siguiente: "El cobre se funde con el calor, eI hierro se funde con el calor, el aluminio se funde con el

EJEMPLO 17

Forma: de una premisa general y otra particular, se llega a una conclusión particular. Luego, es un argumento deductivo.

son premisas de un

argumento inductivo.

Luego, es posible que a todos los de Trujillo les guste la marinera. lnducrivo

Determina si los siguientes argumentos se basan en inferencias deductivas o inductivas. a) Todos los peruanos son trabajadores. Martín es peruano. Por lo tanto, Martín

corresponda. @ La conclusión del argumento es "Ricardo

@ Todas las frutas cítricas contienen vitamina C. La naranja es una fruta cítrica. Por lo tanto, la natanja contiene vitamina C. Dedu. tir 0 Así:

Sean las siguientes premisas: "Todos los inscritos en el club de ajedrez tendrán su carné, Ricardo esÍí inscrito en el club de ajedrcz". Escribe V o F según

Daniel es ordenado. D.rlu.l¡r,'

"ilfiiil,.,,

Pl: Anteayer lioviÓ mucho. P2:

cAPACTDADES

Determina si los siguientes argumentos son deductivos o inductivos:

ceneraimente, es posible y conveniente distingu¡r entre dos tipos de argumentos, el deductivo y el inductivq ya que ello permitirá evaluar la fiabllidad de la relación premisas-conciusiÓn. Argumento deductivo

orsnnnotnrus

@ Escribe el argumento completo de tal manera que sea una I

inferencia deductiva.

6. P,: La suma de los ángulos intemos de todo triángulo equilátero es I 80". Pr: La suma dc los ángulos internos de todo

triángulo isósceles es I [i0".

ó ,9

ó

8

Observamos que el profesor escribió una premisa general y otra particular. De esta dos premisas se debe llegar a una conclusión particular.

!

p € I

Analizamos las premisas dadas y las conclusiones de César, la que cumple con la forma de un argumento deductivo es la segunda: "Por lo tanto, el cactus nace, se reproduce y muere".

§

§

o

@

§l

'

La suma de los ángulos internos de una flgura de tres lados es 180' ' (3 - 2). La suma de los iíngulos intemos de una figura de 4 lados es 180" ' (4 - 2). Por lo tanto, la surna de los:ingtrlos intemos de una figura dc rt lados es 180" . (r - 2). Inductivo

P-,: La suma de los ángulos internos de todo triángulo escaleno es I 80". |

7- La suma de los ángulos internos de cualquier triá[gulo es 180'. Los triángulos pueden ser

equiláteros, isósceles y escalenos; poÍ lo tanto, en todos los casos, la suma de sus ángulos internos es 180o.

UNIDAD

1

Ló8ica. Números complejos

Validez de un argumento ¡ Libro de actividades (págs. 26-30)

Capacidades y desempeños precisados . Usa estrategias y procedimientos

o

. Argumenta afirmaciones

o

negación en una tabla? (No, porque la negación a toda tautologia es una contradicción).

Evalúa la validez de razonamientos utilizando tablas de verdad ('l-6 de la página 27).

I

Haga mención a las principales reglas de la lógica proposicional y las leyes conespondientes. Para ello, solicite que observen las principales reglas de inferencias en el margen y traduzca su significado: modus ponendo ponens (MPP): 'La forma que afirma al afirmar'; modus tollendo tol/ens (MTT): 'La forma que niega al negar'; silogismo hipotético (SH): 'Tipo de argumento que en su expresión plantea un caso hipotético'; modus ponendo tollens (MPT); 'El modo que al afirma¡ niega'; modus tollendo ponens (MTP): 'Modo que negando, afirma'(disyunción exclusiva); silogismo disyuntivo (SD), lnsista en que, si la fórmula coincide con una de ellas, se infiere que el argumento inicial es válido.

I

Para el ejemplo 21, pida que verifiquen que se cumplieron los dos pasos propuestos paralarealización del método de comparación por analogías. Centre su atención en el segundo paso, donde se confronta la fórmula obtenida con las leyes de las reglas de inferencia conocidas, lo cual permite validar el argumento. Enfatice el tema transversal "Ejerce tu ciudadanÍa" proponiendo que averigüen sobre instituciones financieras en las que conviene ahorrar. Este ejemplo facilitará el desarrollo de las actividades 1

Evalúa la validez de razonamientos utilizando comparación por analogÍa (1-4 de la página 29).

Resuelve problemas utilizando comparación por analogías. (5-7 de la pág¡na 29). Justifica la validez de argumentos utilizando la comparación por analogías, (8-12 de la página 29).

Sugerencias didácticas Para iniciar

!

I

Pregunte: ¿Qué propósito tienen las tabtas de verdad? (Analizar las fórmulas lógicas y hallar sus valores de verdad). Mencione que, para validar un argumento, uno de los métodos es a través de las tablas de verdad y el otro es el llamado método de comparación por analogías, que consiste en comparar la estructura del argumento con las reglas de inferencia.

ala4.

I

Presente el método de la tabla de verdad. Pregunte: ¿Cuándo se verifica que una fórmula lógica es verdadera? (Cuándo es tautológica). Recalque

que este método es práctico cuando se utiliza un máximo de tres variables proposicionales.

Para desarrollar

I

I

!

Dé lectura a los cuatro pasos del método de la tabla de verdad y enfatice en la explicación de la información en la sección "Ten en cuenta". Luego, revise la aplicación de los pasos en el ejemplo 19. Verifique que identifican y diferencian premisas de proposiciones simples. Haga notar la importancia de simbolizar las proposiciones simples y elaborar la fórmula lógica para poderla evaluar. Recalque que el argumento es válido porque al evaluar la fórmula lógica se obtuvo una tautología. Considere el tema transversal "Comunícate" y dé el tiempo necesario para que compartan sus respuestas en un plenario, de manera que no solo compartan sus ideas, sino que pongan en práctica este tema. Este ejemplo facilitará el desarrollo de las actividades 1 a la 3.

I

Proponga la actividad 12 para que elaboren la formula lógica y Ia comparen con las reglas de inferencia y comprueben si el argumento es válido. Pregunte: ¿Es válido el argumento? (No es válido, porque la fórmula no coincide con ninguna de las dadas).

& N N @

)

Para consolidar

I

Para el elemplo 20, pregunte: ¿Cuándo una fórmula lógica resulta no verdadera? (Cuando al evaluarla resulta una contingencia o una

Proponga la actividad 4 y pida que validen el argumento. Pregunte: ¿Por qué no es válido el argumento? (Porque es una contingencia). Para la actividad 5, indique que las proposiciones simples siguen siendo las mismas a la actividad anterior, aunque deberán hacer el cambio que se indica para poderla evaluar. Para la actividad 6, pregunte: ¿Era necesario evaluar la

Para las actividades 8 a la 11, invÍtelos a identificar la regla de inferencia que se cumple en cada argumento válido y a escribirlo. Luego, propicie para que compartan sus respuestas y manifiesten su acuerdo o desacuerdo con ellas. Esto les permitirá verificar sus aciertos y corregir sus errores.

Organice grupos de trabajo y motívelos a comentar acerca de la importancia de saber argumentar correctamente.

ci

contradicción). Analice con ellos la propuesta de argumento válido y pida que manifiesten cuál pudo ser Ia estrateg¡a utilizada para encontrarlo. Sugiera que compartan sus propuestas.

I

Analice junto con los estudiantes los procesos y estrategias utilizados para dar solución al ejemplo 22. (En este caso relacionando el antecedente de la forma SH con el antecedente de la fórmula lógica, de ahÍ que C = p + ¡). Haga mención a la otra forma de resolver, para que consideren una forma distinta de llegar al mismo resultado.

I

Para las actividades de "Razonamiento matemático" sobre circuitos lógicos, analice el ejemplo 23 para identificar la conespondencia entre los elementos del circuito y el lenguaje lógico que nos conducirá a escribir la fórmula lógica adecuada. Luego, proponga que desanollen las actividades 1 y 2.

F

l E

o o o l

_5

Muestre con el ejemplo 24, cómo diseñar el circuito, a partir de la fórmula lógica. Luego, proponga las actividades 3 y 4 para poner en práctica este tema.

lñ

c

:9

O"r"uolle con los estudiantes la secuencia digital del portafolio.

=o L

@

§c c a

o

LIBRO DE ACT¡V¡DADES

r

1

LÓGICA PROPOSICIONAL

El

va¡oez de un

arsumento fii

B

DESARROLLA TUS CAPACIDADES

Valida los siguientes argumentos mediante el método de la tabla de verdad.

Determinar la validez de un argumento es verif¡car que la conclus¡ón resulta verdadera si se sabe que las premisas son verdaderas. Para determ¡nar dicha validez, la lógica cuenta con varios métodos que estudiaremos a continuación.

@ Femanda ahorra en nuevos soles o ahorra en dólares. Se sabe que no ahorra en dólares. Por lo tanto, ahorra en nuevos soles.

TEN EN CUENTA

Método de la tabla de verdad

Un argumento es válido cuando todas las premisas son verdaderas y ia conclusión también

Este método es práct¡co si se trabaja con una, dos o tres variables propos¡cionales. Sin embargq a medida que aumenta el número de ellas se hace cada vez más difícil operar. para aplicar este métodq se siguen estos pasos: 1.' Se ident¡fican y representan las prem¡sas y la conclusión. 2." Se identifican las proposiciones s¡mples d¡stintas y se s¡mbolizan.

p: I-trnrrlrlir alrorrl el rruevos solcs. q; I-i'rnirlrlir al¡orrir err tltilares.

3.'

FV FF

lo es.

4." a

P2]

[(p-q) ¡

pl

[P¡ p

q

F

tj F

F

Fv

V

Ff,

VF

F

r;

@

Identificamos y simbolizamos cada proposición simple: P,: Si Ana expone bien. impresionará al iurado.

pq

F

comunica. (Expresa con claridad sus ideas).

Pz: Ana expone bien

.

l):.funt() todr\ las r¡oilcrlir: rlc lrr scric ltrrrlislllitielr Rr,¡tt.'z;,

F VF

Si Andrés busca información confiable en intemet, realizará una buena investigación. Andrés no busca información confiable en internet. En consecuencia, no realizará una buena investigación.

P

Elabomrros la fórmula lógica y la evaluamos en u¡ra tabla de verdad en el margen.

Como resulta una taublogía. concluimos que el argunrento es válido.

t;'

F

FF

La tabla es contingente. entonces el argumento es no válido.

EJEMPLO 20

@ Si Antonio llega temprano a su colegio, entonces tendrá 5 puntos en puntualidad. Si Antonio tiene 5 puntos en puntualidad, entonces recibirá las felicitaciones del profesor. Antonio llega temprano a su colegio, entonces recibirá las felicitaciones del

Sea e[ siguiente argumento: "Si apruebo el examen, estaré feliz. Si me voy de viaje, estaré feliz. Por lo tanto, si apruebo el examen, me voy de viaje". Proposiciones s¡mples apruebo.el examen. p estare feliz. q

P1: Si N N @

-i .i pi

P2:

f estare fel¡2. q

o a

!

e o o 1

c:

o G

@

o

sJ_qplggbo

jl_glqrn9L

p fne voy"de viaje. r

= € c

§c .F c a

Si me voy de viaje,

Determina la validez del argumento. Si es no válido, escribe el argumento válido. . Identificamos y simbolizamos p r [(p+q)rr(r+ cada proposición simple en el margen. . Elaboramos la fórmula F F lógica y la evaluamos en una tabla de verdad. F F Como resulta una contingencia, VF F F F F concluimos que el argumento es ffi no válido. FVV El argumento válido es: "Si

_r)

L

VFVF

apruebo el examen, estaré feliz. Si estoy feliz, me voy de viaje. Por Io tanto, si apruebo el examen, me voy de viaje".

F

VF

-t--_r---|-- FF FFF V VV F

profesor. p: Anlonio

§

!

€ e p €

F

§

VF FV Ft

§ g

E

o 26

llrgr

tcntprano a su colc¡:io. -5 punbs en puntrralitlad. r: Arlonio recibirá las felicitacioncs del prolcsor. p q r l(P--a) I (q-r)l + (P€r)

ñ

§ a o

F F

VF

FV F FF F

VVVVV VFFVT. FFVVV tFvvf.' VVVVV VF'FVV VVVVV VVVVV

La tabla es tautológica, entonces el argunlento es

válido

.

F'

l,ir trblir es conli¡rgcrlc. cnl()nc!:s el razo¡rirliell() cs

ro

§

v¿ilido.

Si en el razonamiento se cambia la premisa "Me faltan monedas de dicha serie" por la premisa "Junto todas las monedas de la serie numismática 'Riqueza y orgullo del PenÍ"', ¿es válido el razonamiento"? p:.lunto todas l¡s rnorteil¡s tlc la serie nunrisrriiliclr ''llit¡rreza y orgulkr dcl ['crri". q: [)it'é que s()y Ir] nllr), hrcrt colcccionistr rlc Inolted¡ s.

P

c l(P-q) ^ Pl - q \¡ VV V V

VV V F

F

FV

c¡:Antonio lcndftí

.l

,rrrrl ,',1. 1 l\'rrr'

P q r [(p- t¡) n rl -c¡ VVV V VVF V IIFVV V I'V F }.VVF vtt' I.'F'VF I.VV V FVF V I;FVV I'FV V VVFF Ft-F V [;[;VF

F

q l(P-(l)^-Pl+-q F'FV VF F I--FVV FV VVFF

_r

q: I)iré que so\ un ntu\ htrc¡r rolcecir¡risllr rlt nrrrrerllrs. r: \'1.'faltan nroncrllrr clc diell¡cric'.

p: Andrcis [¡usca intonlración conliable el internet. q: Antlrers rcalizrrii una buena irrvcsliglrcitin.

C: Ana impresionará al jurado.

pq

Se

@ ¿Es válido el razonamiento?

válido.

Valida el argumento "Si Ana expone bien, impresionará al jurado. Ana expone bien. En consecuencia, Ana impresionará al jurado".

.

F F

1{

razonamiento: "Si junto todas las monedas de la serie numismática'Riqueza y orgullo del Perú', diré que soy un muy buen coleccionista de monedas". Me faltan monedas de dicha serie. Luego, soy un muy buen coleccionista de monedas. Analiza y responde. Justifica cada repuesta.

La tabla es taulológicx, cntonces c'l rrgunrento es

Comunrcate

EJEMPLO 19 q

VF

estrategias y procedimientos:

Sea el siguiente

F

elabora la fórmula lógica y se evalúa en una tabla de verdad. Se verifica si la fórmula es tautológica, en cuyo caso el argumento es válido.

¡

Us

pq l(pvq)¡-ql-p

Se

LÓGICA PROPOSICIONAL

FV V

I--

V VV V V V t-'F' V F

FF

La tabla es tautológicil, cntonces el razon¡miento es válido.

@ Si se niega el razonamiento anterior, ¿cómo es ahora el nuevo resultado: válido o no válido?

Pq -{ltP -q) n pl -F V VV V VF F F I]V V

FV

FF

F

F

i¡

V F

V VV V V V FFVI,'

I-a tabla es contladictorir. cntonces el razonanticnt() es no válido. U,{IOAD

1

Lógica. Números

conpejos

27

LIBRO DE ACTIV¡DADES

t

LÓGICA PROPOSICIONAL

LÓGICA PROPOSICIONAL

Método de comparación por analogía

fl

Este método consiste en comparar la estructura del argumento que se quiere analizar con otra estructura lógicamente válida. Para aplicarlq se siguen estos pasos:

1.'

Se

2.'

se confronta la fórmula obtenida con las leyes de las reglas de inferencia conocidas. si ia fórmula coincide con una de ellas, se infiere que el argumento in¡cial es válido.

elabora la estructura del argumento o la fórmula lógica.

Antes de efectuar el análisis de argumentos por este métodq presentamos la lista de las princ¡pales reglas de la inferencia en el margen.

Ejerce su ciudadanía. (Toma conciencia que es parte de un sistema económico).

banco.

§

Flavio Vega es matemático o es físico. Sabemos que Flavio Vega no es físico. Por lo tanto, Flavio

banco.

*

q)

^

p]

+

q

l',:

Como la fórmula obtenida coincide con la ley correspondiente a la regla del MPP, concluimos que el argumento es válido.

, rr

i

{ü1,',,.,

I

,

Si

Por

^

( rrnren lleSil tcrrl)ruro rl

hospital. enlonccs

eo¡rscguirá cillr plrnr tt¡lr e,,¡r'ulta rrérlic¡. l'.: ( rrnrr'n no consigrriri eitrr plrra Lrrrr cotsLrlta rrrilit'lr. ( : ( lrrrnr'n no llcgri le¡rrprirno lrl hospital. - P l tirrttttla lrigica: l(P '(l) ^ -ql l-a liirnrula no coincitlc corr llrs reglas dadls. l,tttgo. cl argutncnlo no cs viilitkr.

l

EJEMPLO 22

@ O el electrón se encuentra en el núcleo o en el orbital del átomo. El electrón no se encuentra en el núcleo del átomo. Por lo tanto, el electrón se encuentra en el orbital del átomo.

Determina la conclusión del argumento "Ya que los lugares turísticos de nuestra región están bien cuidados, aumentará la cantidad de turistas. Si aumenta la cantidad de turistas, entonces habrá más oportunidades de trabajo para nuestros

pobladores".

.

P,: Ya que los lugares tuísticos de nuestra región

()rt)i1rl del iitorlo. l',: lil clcctrón no sc cncr¡cr1r¡ crr el núcleo. ( : lil clcctr(rn sc cnrlrcrtrir crr cl rilrital clcl liinrul¡ lticica (i\1 1'l'); l(p y q) -l)I --.rl ^ Ltte go. r'l argume¡rlrr cs r lilidr¡.

están bien cuidados,

aumentará la cantidad de turistas.

Pr: Si aumenta la cantidad OTRA FORMA DE RESOLVER

trabajo para nuestros pobladores.

.

P1:P-q

Pqg:l

P*r

ldentificamos que las premisas corresponden a la estructura de la regla del sH. Luegq establecemos la forma de la conclusión, de manera que se obtenSa un razonamiento válido

28

r: Habrá más oportunidades de trabajo para nuestros pobladores.

.

Elaboramos la fórmula lógica: [(P

válido.

ft {(-pv r)+ql n (-pv r)} +q D t(-p - q) ¡ (q * -r)l + (-p - -r) @ {tp v (q,r r)l n -p} + (q r) ^ lD {t(p- r)vql n -(p- r)l + q

-

q)

^

(q

-

r)] .+ C

Observamos que el antecedente de la fórmula lógica se relaciona con el r), lo cual se antecedente de la regla del SH. De ahí que C = (p interpreta como "En consecuencia, si los lugares turísticos de nuestra región están bien cuidados, habrá más oportunidades de trabajo para nuestros pobladores".

I

8

e E !

p !

-

l' Si.\n¡ l). Si .\r¡ (:

estii cctrado o írllierto.

P,: No cs cicÍo que el supernrcrcatlo csté abierto

iili¡ro.

o ccrratio.

C:

§ @

Hoy es leriado.

Fórnrula ltigica:

Iiirrrrrrlrr lírgicr (Sl l): l1¡r - (t) (q - r)l ) (l) . r) ^ l.rrcgrl. el argumcrrlo cs viilido.

{lp

f(nrulr

-

(q v r)l a -(c¡ v

rl) ='-p

N N @ j

coincide con la rcgla tle la ley M'l"i'. Luego. el rrgrrnrento es váliclo.

CJ

J

! Y o o

METACOGNICIÓN

p.úlli\()

¡rara r iujar. Si ,\llr ticn DNI rrnrirrilIr. rlt'herii tenc-r pcr¡risr¡

prtrit via.jar. § a o

\1rP

P,: Si hoy cs lcriado, entonccs cl stt¡rcrtnercado

tienc l)NI ru¡rrrilLr.r" rnc'nord!' erli(l es rlrr'r()r rlc.(lir(i. liL'ne que p!'dir

sl)

@ ¿Es válido el razonamiento? Justifica.

es menor de edad. Si Ana es menor de edad, tiene que pedir permiso para viajar. Luego, si Ana tiene DNI amarillo, deberá tener permiso para viajar.

é I

N4PP

sH

Sea el razonamiento "Si hoy es feriado, entonces el supermercado está cerrado o abierto. No es cierto que el supermercado esté cerrado o abierto. Luego, hoy no es feriado". Analiza y responde.

@ Si Ana tiene DM amarillo, ñ

q: Aumentará la cantidad de turistas.

fue en avión.

Escribe la ley que se cumple en cada argumento

La

Identificamos y simbolizamos cada proposición simple: p: Los lugares turísticos de nuestra región están bien cuidados.

Estructura del argumento:

C:

de turistas, entonces habrá más oportunidades de

se

Se

@ Si en la playa nos exponemos al sol, nuestro cuerpo se broncea mucho. Nuestro cuerpo no se broncea mucho. Por l() tilrtlo. crl lr platlt re rrrrs cr¡rrnctttor rl sol.

l),: l'il clcclrón sc cilrue¡r1rir c¡r el ¡rtícleo o ett cl

Representamos las premisas:

Si la vida comienza con la concepción, entonces el concebido tiene derecho a la vida. La vida comienza con la concepción.

@ O Ricardo va de viaje en ómnibus o en avión. sabe que Ricardo no fue en ómnibus.

conseguirá cita para una consulta médica. Carmen no consiguió cita para una consulta médica. En consecuencia, llegó temprano al hospital.

q: Camila comprará una bicicleta.

Elaboramos la fórmula lógica: [(p

argumentos para que sean Yálidos.

Luego, el concebido tiene derecho a la vida.

@ Si Carmen llega temprano al hospital, entonces

C: Camila comprará una bicicleta.

Identificamos y simbolizamos cada proposición simple: p: Camila ahona en el

.

f!

Representamos las premisas y la conclusión: Pr: Camila ahona en el

.

ArSumenta afirmac¡ones: 8-12

Determina la conclusión de los siguientes

l,ucgo, el argumenlo cs vírlido.

P,: Si Camila ahorra en el banco, entonces comprará una bicicleta.

'l-7

Aplica el método de comparación por analogía para determinar la validez de los argumentos.

P,: I-lavio Vega es nlatenriitico o es físico. P.: F-lavio Vega no cs físico. ( : I l¡rr rr r Vegl cs rrrrlcrlrit ieo. Frírnula lógica (SD): [(p v q) -q] + p

Determina la validez del argumento "Si Camila ahorra en el banco, entonces comprará una bicicleta. Camila ahorra en el banco. Por consiguiente, Camila comprará una bicicleta".

.

usa estrategas y procedimientos:

Vega es matemático.

ce tu ciudadan¡a

EJEMPLO 21

oesennounruscAPAcIDADES

¡

l

p p

Analizo mi aprendizaje y respondo las preguntas.

. . .

¡e

¿Qué aprendÍ con estas actividades?

L

¿Qué habilidades desarrollé?

a

¿Logré comprender la importancia del razonamiento lÓgico?

UilIDAD 1 Ló8ica. Números complelos

É

29

§

c ao

o

E

LIBRO DE ACTIVIDADES

Actividades de repaso 1. Alberto, Rodolfo, Juan, Luis y Marco se turnan para jugar en la computadora. Solo uno puede usarla

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO Circu¡tos Iógicos EJEMPLO

I

Representa simbólicamente el circuito lógico que se muestfa

Diseña un circuito lógico que se relacione con la fórmula l
r[-]'r

.

formas. Recorriendo hacia arriba:

En paralelo (disyunción inclusiva serie (conjunción ,r)

v ) y en

p

B> (p v -q)

^

.

q

A-l Lq

_

-pJ

.

>q^-p

¡n

p+_q=-pv_q -res=(-r-s)r(s-+-r) -r e s = l-(-0 v sl n (-s v -r) -res=(rvs)n(-sv-r)

En un grupo de 130 mujeres, hay 60 rubias, 54 morenas y el resto son pelirrojas. 52 tienen ojos verdes y las otras, ojos cafés. Existen 25 rubias de ojos verdes y 16 pelirrolas de ojos verdes. ¿Cuántas morenas de ojos cafés hay en el grupo?

4.

Escribe una fórmula lógica para las siguientes proposiciones:

a)

(

(-p v -q) [(rv ^

s)

^

(-s v -r)]

lt tt

Diseñ¿rnros el circuito: -P

-q

s

malogradas. -S

-r

1

5.

N

o"{.}--..

Resuelve y marca la opción correcta. Representa simbólicamente el circuito lógico:

u)

6.

"*,{_:}.

p

-p - B -q

:.i c

:9 !

A) (-q p) v [-p v (-p I q)] ^ B) (-q v p) [-p (-p v q)] ^ ^

p € =o

Ot^qnp)vt-p^(-pvq)l D) (q n -p) v [-p

@

c

_9

c

30

r (p v -q)]

b) [pr(qn4-(rnp)J

c) [(pn9)-r]v[-q+(r+-p)]

B.

Con ayuda de un diagrama de Venn para tres conjuntos, determina las regiones que representa cada proposición.

a)-rn(qnp)

b) (pnq)vr

Valida los siguientes argumentos mediante una tabla de verdad:

a) Si entreno diariamente, entonces ganaré la competencia. No he entrenado diariamente, por

@

lo

tanto, no ganaré la competencia. §

-p

p

q

f

N

M

c) [(p-q)rp]-q

Evalúa el siguiente razonamiento: "Javier es desleal y deshonesto porque mintió a Miguel".

9.

A) ts

(q,rr)-p

7.

","__{;}.

@(-p*-q)v(r+-s)

-9-P

lógica que conesponde al circuito:

o o

@ @

C)(p,r-q)vp @ tp, -q) ^ -p

@ Identifica la fórmula

l

., "{_:}'-.

B)(-pvq)r-p

b)

Evalúa cada fórmula lógica.

a)(pvq)-(q,r-r)

A)(pa^q)v-p N N @

Crea en lenguaje común una proposición para las siguientes fórmulas lógicas:

a)(p¡q)-(rrs)

@(pv-q)n-r ll

Si la neblina aumenta, la visibilidad disminuye; y si disminuye la visibilidad, ocurren accidentes en la carretera.

b) Si lván no estudia y no ayuda en casa, entonces juega en la computadora o no lo hace, c) Tendremos muchas flores en el jardín, si la estación es propicia y las semillas no están

n ):

Determina el circuito lógico y marca la opción correctá.

paralelo: t(p v -q) n ql v (q a -p)

3.

Hallarnos la fórmula resultante uniéndola con la

"{

La fórmula lógica que representa el circuito la determinamos uniéndola mediante la disyunción inclusiva (v), porque los circuitos están en

En una encuesta a 150 clientes de un supermercado, de los cuales 60 son mujeres, 80 compran arroz integral y 20 son mujeres que no compran arroz integral. ¿Cuántos hombres no compran arroz integral?

Aplicamos en la fónnula dada:

conjunción

2. Recorriendo hacia abajo: En serie (conjunción n)

2.

Recordamos las equivalencias lógicas de la condicional y la bicondicional:

p+q=_pvq p-q=(p+q)^(q+p)

Para ir de A a B, podemos hacerlo de dos

l.

*

-

.

^L,__,_l.

cada dÍa, pero ninguno los sábados o domingos. Alberto solo puede usarla a partir del jueves; Rodolfo, un día déspués de Luis y Juan solo el miércoles o v¡ernes y ni Juan ni Luis ni Bodolfo pueden los miércoles. ¿Qué dÍa de la semana la utiliza Rodolfo?

23

€

M

D) q

c)

s

N

p q

del trabajo a las 2 p.m. o 3 p.m. Por lo tanto, hoy no es viernes.

E

r

c)

b) Si hoy es viernes, entonces salgo del trabajo a las 2 p.m. o a las 3 p.m. No es cierto que salga

p

o

Si Ana es profesora, entonces trabaja en la mañana o en la tarde. No es cierto que trabaja en la mañana o en Ia tarde. Luego, Ana no es profesora.

TEXTO ESCOLAR

Divisibilidad lTexto

escolar (pá9.

9) I

Libro de actividades (págs.32-34)

Capacidades y desempeños precisados . ldentifica la notación de múltiplo de un número. (1-a; 1-B) Comunica Usa estrategias y procedimientos

o

Realiza cálculos aplicando las propiedades de los múltiplos. (5; 9-11 )

o

Analiza expresiones numéricas para hallar el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo. (12)

o Argumenta

af

irmaciones

o

Divisibilidad El matemático alemán Carl Friedrich Gauss decía:"La matemát¡ca es la reina de las ciencias, y la teoría de los números es la reina de las matemáticas". La utilidad de la divisibilidad radica en descifrar códigos secretos de las industrias desarrollados por Rivest, Shamir y Adleman, llamado cód¡Bos RSA. número 12 se puede dividir exactamente entre 4. En este casq l2 es el múltiplo de 4, y recíprocamente 4 es divisor de '12. observa las propiedades en la tabla: El

Escribe el MCM y el MCD que corresponde a un conjunto de números. (6; 13-1a) TEN EN CUENTA

Delermina el valor de verdad, aplicando las propiedades de los múltiplos. (1a; 1-8)

Sugerencias didácticas

2

>

Cuando termina en cero o en cifra par

3

>

Cuando la suma de sus cifras es múltiplo de 3.

4

>

Cuando sus dos últimas cifras son ceros o forman un múltiplo de 4.

Para iniciar

I

operación

Criterios de divisibilrdad Un número es divisible por..

Bepase los criterios de divisibilidad mostrados en la sección "Ten en cuenta", a partir de ejemplos. lntenogue: ¿Con qué números del 1 al 10 es divisible: a)¿620?(2',4; 5; 10), b) ¿12U?(2), c) ¿23424?(2;3; 4; 6; 8). ¿Cuándo un número es divisible por Z?(Respuesta probable: cuando al dividir entre 7 se obtiene como resto 0). Centre su atención en una forma más rápida de averiguarlo: lndique que hay que restarle al número, sin la cifra de las unidades, el doble de las cifras de las unidades; si el resultado es cero o múltiplo de 7, entonces el número es divisible por 7. Si el número es muy grande, se repite el procedimiento. Proponga como ejemplo averiguar si 1946 es múltiplo de 7 (194 12 = 182,18 - 4 = 14, sÍ es múltiplo de 7).

5 ó

> >

I

Generalización

roi.ion

20 + 8 = 28 tamb én es múltiplo de 4. 20 y 8 son múltiplos de 4.

sustracclón

20

Sia=hykeZ.

lvultiplicación

Cuando es divisible por

2y

3

8

>

Cuando sus tres últimas cifras son ceros o forman un múltiplo de 8.

9

>

Cuando la suma de sus cifras es múltiplo de 9.

'10

>

cuando termina en 0.

sta=hykez.

--{-

Potenciación

alavez.

Antes de resolver los ejemplos 25, 26 y 27 , haga notar que en el margen están las propiedades de los múltiplos, a las cuales se hará referencia en el proceso de solución de los ejemplos. Para el ejemplo 25, pida que den valores a A y B para comprobar que se cumple la propiedad. Por ejemplo, A = 26 (7 + 5) y B=23(i =26 -23=3.SÍsecumple. Luego, solicitedos voluntarios que en la pizarra desarrollen la actividad sugerida al final del ejemplo. Después, compare sus procedimientos y resultados. Esto permitirá al

+2)-¡-B

resto de la clase comprobar sus resultados y corregir sus errores.

tO=iySeZ:tOt=¿oqt=i

ak=it

Ejemplo

Propiedad múltiplo de otrq el mayor es el MCM y el menor es su ¡,4CD.

28 es múltiplo de 7. Entonces:

El ivlclvl de dos números prlmos entre sí es el producto de los dos números; y su l\/CD

7

Si un número es

,a,

números

28

MCD7yzey = 7

y 15 son primos entre sí. Entonces:

l\4Cl\4p,15¡ =

7'15 =

MCD9yrs =

1

105

12

=4

Entonces: MCM€y 12)' MCD(8y

múltiplos comunes de dos o más números son múlt¡plos del ¡,4cN,1 de dichos Los

MClVl17r2¡¡=

MCM€r,2¡ = 24 Y |VCD16r

prod¡6¡6 ¿a¡ Oor ei MCD de dos números es igual al producto de dichos números. El

Luego de revisar la tabla sobre las propiedades de las operaciones, pida que particularicen, proponiendo un ejemplo más en cada caso. Pida un voluntario para que exponga su propuesta.

I

= 12 también es mútiplo de 4.

observa las prop¡edades del McM y del McD en la tabla:

Para desarrollar

Coloque enlapizarral y pregunte cómo se lee (múltiplo de 7). Considere la sección "Recuerda" para que expresen el conjunto de múltiplos de 7 (= l7k;ke Zl = .0,7, M;21, ...).

8

16=4y3€V:1ó.3=48=4

a.k=it

es1

I

-

Cuando term¡na en 0 o 5.

-

I

Ejemplo 20 y 8 son múlt¡plos de 4.

12¡

= 24' 4 = 8' 12

72 es múltiplo de ó y es múlt¡plo de 8. Entonces, 72

también es múltiplc del lvcMl6r¡¡= 24

P¡í€§.31'35

ffi

j

§ 8 E

I

§ a o

orsannou-a rus

comunica 1-4 Usa estrategias y procedim¡entos: 5"ó

cAPACTDADES

ffi

Escribe V si es verdadero y F si

es

falso.

¡t A g

Si l8 = áy48 =á,entonces 18 +48 =

[t

Si 243 =

Si 32 = ü y a0 = ü, entonces 80 Si

at =é,entonces

-

32 --

8l'7=i. ,r

i,"n,on"",

243a

=\.

I

tt'¡

Resuelve.

8. rvl "4.

§

¿Cuál es la cifra que se debe asignar a m para que 57m41 seadivisiblepor9? t

tp

¡

@ Si agrupo mis monedas de S/ 0,50 de 2 enZ,me sobra l; si Io hago de 3 en 3, también me sobra I l y si lo hago de 5 en 5, ocurre lo mismo. ¿Cuántas monedas tengo si son más de 30 y menos de 40? I

I

Para consolidar

t

Proponga las actividades 1 ala14 de la página 33 para que pongan en práctica lo aprendido en este tema.

UNIDAD

1

LóB ca. Números complelos

9

U

LIBRO DE ACTIVIDADES

DIVISIBILIDAD

'

¡

D¡VISIBILIDAD

El ,,r,ribiridad

Propiedades del MCM y MCD Las propiedades del N¡Clvl (mínimo cornún múltiplo)y del MICD (rnáximo común divisor) facilitan algunos cálculos. Observa el margen.

Múlt¡plos y d¡visores Un número entero A se dice que se puede div¡dir entre otro número entero posrtrvo B, lamado div sor, s¡ al dividir A entre B la divlsión es exacta.

A+B=Q

<+

A=B.Q

donde: A,B,Q

e ZY Bx}

TEN EN CUENTA

EJEMPLO 28

RECUERDA

Propiedades

Usamos el símboloñ para indicar los múltiplos de un número n.

1.

El número de personas que asisten a un centro de control nutricional es mayor a 200, pero menor que 380. Si los 2/l I de los asistentes son varones y los 5/17 son mujeres, ¿cuántos varones asistieron al centro de control nutricional?

números primos entre sí es el producto de dichos dos números, y su lüCD es 1.

Z=lóhkezl.selee Entonces, decimos que A es múltiplo de B, y B es el divisor de A. Se denota por A

-

"múltiplo de seis".

A.

El

3.

Si MCM,^. u-., = m,

. .

entonces el N/CN/ de A. p;8. p;C. pesm.p

B entre 7?

Interpretamos y representamos:

A=i

+5y

v

=i

A=d.pyB=d.q MCM6.r,=d.p.q

-

se obtiene

Prop¡edades de los

EJEMPLO 2ó

-

(Í2 +

+i =i

de dos números es 240. si el producto de dichos números es 57ó0. ¿cuál es el L4CD?

2. sustracción:

Aplicamos la propiedad 4 del margen: 25e2s

USA ESTRATEGIAS Y PROCEDIMIENTOS

múltiplos

t)462 . 5

El MCN4

n-n=n

Determina el residuo al dividir 25e2s enfre 12.

- i2+ r

.

-

li

A=

Aplicamos la propiedad I del margen: A = MCM(I"I; fZ¡ =

A=

187 se puede expresar

Si ft = 2

.

- IA tt

e=ú

+

f BZ

comoA= 187' k,k € N

A = 3'74, el valor sería menor que 380.

Hallamos el número de varones que asistieron:

fi

.

Zl+ = At

TEN EN CUENTA

l. adición: ñ

Interpretamos y simbolizamos: 25ezs

"

fr n *

Luego, asistieron al centro de control nutricional 68 varones.

B entre 7 es 3.

ü7 Si diri¿i-o. t,I + 13 se obtiene residuo 7 y al dividir N + 13 residuo 10, halla el residuo al dividir (M + N) + 13. .+

. .

Número de muieres

son pr¡mos entre si:

e-s=(i+s)-(i +2)=i+z

Simbolizamos por A el número de asistentes.

Número de varon". =

4. SeanMCD(A0=d,PYq

+2

Resolvemos usando la propiedad 2 del margen:

Luego, el residuo al dividir A

.

productodel MCM por el MCD de dos números es igual al producto de dichos números.

2.

EJEMPLO 25 Si dividimos un número A entre 7, se obtiene como residuo 5, y al dividir un número B entre 7, se obtiene como residuo 2. ¿Cuál será el residuo al dividir

A-

El NrC¡,4 de dos

-

152¡a62

-S

3. t\4ultiplicac¡ón:

= iZ + r

sia=;ry

kez:.a.k=;t

Si

Por lo tanto, el residuo es 5.

Se tienen tres reglas de 300 mm de longitud. Cada una está uniformemente graduada; la primera, cada milímetro; la segunda, cada l3l4 milímetros; y la tercera, cada 15i8 milímetros. Si se les hace coincidir en toda su extensión, ¿a qué distancia del origen coincidirán los tres trazos de las reglas por primera vez?

.

:4

.

4. Potenc¡ac¡ón:

= ¡¡iz¡62 + taal . s = (iz+ I ) . 5 = (ü) + 5

EJEMPTO 29

a=ñyk,rez: +

Aplicamos la propiedad 3 del margen:

8r=MCM,,",., +8r=MCM({i:26irs)+8r?=1560+¿=195 (ara f;;r f)

.ak=ñ .l¡1+ r) =Qtl

Sea n la distancia del origen al punto, donde coinciden los tres trazos según la graduación. Entonces tendríamos: n = MCM,,.,.ro.,.rr,.

f

Por lo tanto, las tres reglas coincidirán en el trazo de los 195 mm.

EJEMPLO 27 N N @ j

Ci

i

:9

s

J

o o o

a 3

l

9 a

p

a c

_9

c o @

.

cuadrados es 20 880. Determina A

.

Sea N el número de estudiantes que hay en el taller de fútbol.

Según los datos: N = 1'l + 4

.

EJEMPLO 30 Sean A y B dos números enteros cuyo MCD es I 2 y la diferencia de sus

+

6N

=6(fl

.

Resolvemos empleando la propiedad 3 del margen:

6N= 6(fl + 4) = 6' fi * e' = fi *z+ 6N= l'l + 22+2=1"1 + fl + z=it+z

§

>

122

12'

UilIDAD

I

Ló8ica. Números complejos

31

32

ñ es

el MCD de

py B= 12.q,siendopyqprimosentresí. -

82 = 20 880

BXA + B) = 20 880 + (lzp - lzq)(l2p + lzq) = 2g ggg (p - q)(p + q) = 20 880 (p - d@ + q) = 145 = 5 . 29

Luego, la diferencia de A

Observamos que faltan 9 para formar otro equipo de fútbol.

B.

Resolvemos usando el otro dato: A2

(A-

sobran2estud¡antes.

-

Aplicamos la propiedad 4 del margen. Según los datos, I 2

AyB: A=

+ 4)

q

sc cI

En el taller de fútbol de un colegio hay cierta cantidad de estudiantes. El profesor forma equipos y los agrupa de I I en I l, pero sobran 4 estudiantes. Si [a cantidad total de estudiantes se sextuplicara, ¿cuántos faltarían para formar otro equipo?

-

-

B = 12(p

I p I

§

-

S)

= l2(5) = 60

3 o

LIBRO DE ACTIVIDADES

Criterios de divisibilidad r DIVISIBILIDAD

fl

orsnnnou-erus

cAPACTDADES

Comunica:

1-8

'

Usa estrategias y procedimientosr 9-14

Gapacidades y desempeños prec¡sados Usa estrategias y . Emplea los criterios de divisibilidad para resolver procedimientos

Escribe V si es verdadero y Fsi

es

falso.

@

E]

O3+3+3=(rsl E(3+rX3 +2\=3+z

tr

@13+z¡3=13¡3+23

M

tr

@(i+t)loo=i-l 6(1"1+r)-(ú+8)=1'1-7 Or1¡+s=ü-a Oi0 -z¡=i +z Gt

é + r)32s= (qfrr-

M

E

tr E

1

Sean A y B dos números enteros cuyo MCD es 15 y la diferencia de sus cuadrados es 20 475. Determina

A_B. Aplicirnros llr ¡rrr¡ricrl;id ctncsl)()n(licnle: Scgtin los (lirtos. I 5 es el M('l) de A y lJ. Potlerttos tlceir queA= I57ry IJ = l5¿/.sientkr/¡y r¡ prirlos ertrcsí. Rcsillvcnlos uslr¡rtlo cl otro (lirlo:

Al Bl=(,\ t'i){A+B)-lo-175 (l5/, l5(/)(lr¡+ l.i4t=l0J75 15r {ir t¡1t7, + //) = 10,175 lP-qlltt+ttt =91 =7 li Por lilrlo. A Ii = l5(¡¡ q) - l5{7) 11)

@ SimplificaA=

d

+

la empresa, el gerente decide

@ Por aniversario de llevar

todo el personal a un club de esparcimiento. Observa que el número de personas que asisten al club campestre es mayor que 400, pero menor que 470.

A=(i+lo)1;+ l) A= i+ll i+10

,r=i+ l¿+r,=i+i+6

I

a

I

Si los 9/11 de los asistentes son mujeres y los 3/7 son

A=i+r,

varones, ¿cuántas mujeres asistieron al club campestre?

@ Halla el residuo de dividir (41)17 entre 9

>((ltl) =()r: ,, r(5.1 .i - ¡,. ill5 .15

.r .

.r =

t .f

ri

I

¡

Apliclrrnos Lr ¡rn¡ricthil corrrs¡rrrttlicrtlc ¡' rtsolvcn¡rs:

+.

A=rrr(Iil -7i +A=77i,.

+ r:' ü+rir+:r=ü+l El rr'sirlr¡o e.

l:

Si (

- 6 >,\

= -1(rl: el ralt¡r renrr ¡rcror qrre J70.

H¡lllilrto: cl DLi¡rrro d!'nrLri.r!\ (lu( r\r\licr()n ' -161 = .l7lt c\cnro:

l.

lrl

Al dividir un número entre 8, se obtiene 5 como residuo; y al dividir otro número entre 8, se obtiene 2 de residuo. Determina el residuo de dividir la diferencia de los dos números entre 8. A = ptintcr rrrirlrttr. A + ll sc obticnc 5 rlc rcsitlrro

ñ

B = sclluurl,r t¡tinrcro.

d

B + li sc oht ir'rre rcsiduo 2

§

I 9 E € p

A=

i

lJ = § +

+5

l

La dili'¡clreir tlc lrrrl¡os ¡rrlntcror ilir irlirir entre S sc reprcscrla:

.\ B _\. i ,i r l,_ i,i+5_x .._x!.1 ).i-'88

e

= 3 o

+

+

Ill

rcsitluo cs

1.

Prr¡ lrr l,rrtlrr.:rrislir t1,il l71l

Irrj(

r(

\.

! @ l,os estudiantes de un colegio se forman en tres filas cuyas longitudes miden 8ü) cm. Cada estudiante de la primera fila, debe estar separado 12 cm; de la segunda fila, cada 39/5 cm; y de la tercera fila, cada 156/10 cm. ¿A qué distancia del origen coincidfuán los tres estudiantes de cada f,la por primera vez? Sea

r

= MCM,r' l0r = M(-M '

r)

i: ri6 ro)'

l(r

' "'

lo"=MCM,,,u,r*, lOn=

I

la tlistancia del origen a cada cstudiante.

I

tu'

,,0,

1560+n=

"' = l560 ""i'

15ó

t

I

I Logica. Números complelos

En el ejemplo 32, haga notar cómo al aplicar el criterio de divisibilidad del múltiplo de 9, se obtiene el valor de a y en el ejemplo 33, al aplicar el criterio de divisibilidad por 4, se obtiene los posibles valores de b. En ambos casos anal¡ce completamente los procesos de solución y verifique que los estudiantes los comprendan con las siguientes preguntas: ¿Por qué 52225 se expresa

Para la actividad 2, pregunte: ¿Qué criterios de divisibilidad hay que apl¡car y en qué orden? (De 3 y de 8; en ese orden). Guíe el desarrollo de la actividad 3, preguntando: ¿Cómo se expresa un número de trqs cifras! (aOc¡. ¿Un número que at ser divid¡do entre 7 deja como residuo 5? (l + 5 =7 - Z) ¿Un número que al ser dividido entre g deja como residuo 7? $ + 7 =§ - Z)

lndiqué que las act¡vidades 4,5 y 6 son aplicaciones de este tema a situaciones de entorno real. lndique que para la actividad 4; representen la cantidad a repartir como múltiplo de 13 (13 + 5). En la actividad 5, pregunte: ¿Por qué multipl¡camos la producción mensual por 12?. Pida también que denoten la cantidad a repartir como múltiplo de 11 y su residuo (1 1 + 6).

Para consolidar

Por lo tant(). coincidirán en 156 cnt.

lnfi)AD

Para el ejemplo 31, haga notar la aplicación de la propiedad de los múltiplos en la ad¡ción, pregunte: ¿El saldo puede ser S/ o un múlt¡plo de este? ¿Por gué?(No, porque no habrÍa saldo). Tenga en cuenta el perfil de egreso referido a la gestión de proyectos a través de las preguntas sugeridas al final del ejemplo. Complemente esta actividad con otras preguntas como S¡ tuv¡eras la

como 52 224 + 1?(Para expresarlo como múltiplo de 6 más su res¡duo). ¿Por qué se ut¡l¡za el valor de b = I y no 0 ni 4? (Porque se pide el mayor valor).

l(i

(!

Presente lossiguientes números:348:2498;12924;924 561; 1 823450, para que apliquen los criterios de divisibilidad conocidos e indiquen por cuáles del 2 al 10 son divisibles. Haga mención a la forma de aplicar el criterio de divisibilidad del 7 aprendido en la sesión anterior: 348 (2; 3; 4,6)',2498 (2);1292+ (2,3; a',6, 9); 924 561 (3; 9); 1 823 450 (2; 5). En cada ejemplo, pida que parafraseen las condiciones que cumplen para ser divisibles por los números que mencionan.

oportun¡dad de emprender un negocio grupal con tus compañeros de clase, ¿con qu¡énes lo harías?, ¿de qué trataría el negoc¡o?, ¿crees que sería rentable?

de llsistcrtc\ lrl elul):

\t¡Il(f,,\lc \,rtrrh(. :.f I

1l =t) + 0 + I'Xq + 7) + 7rü + lr. 7 =ü +t) + sr,

2)'()

Se¡,\ cl nrlrrero

Ntinre ro rlc rrtr.icrts = !U

-ll-¡)+l

ü+ü

Para iniciar

Para desarrollar

s)d + a)d + l)

A=ri+e i+l()rri+lt

9 + (() +

problemas.

(1-6)

Sugerencias didácticas

105.

Analiza y resuelve,

Libro de actividades (págs. 34-35)

33

lnsista en la importancia de conocer los criterios de divisibilidad. Para ello pregunte: ¿Por qué consideras importante conocer y aplicar los cr¡terios de divisibilidad? (Permiten encontrar los divisores de un número fácil y rápidamente).

N N

)

@

ci

i

'6 5 o

Io o f

pG _o

c o c a o a

§

c ao @

u

LIBRO DE ACTIVIDADES

.

DIVISIBILIDAD

DIVISIBILIDAD

Criteios de

dav¡s¡bilidad

ff

Los criterios de d¡visibi¡idad son reglas que ayudan a determ¡nar si un número es d¡visjble por otro sin necesidad de realizar la d¡visión. Observa en el margen los cr¡terios de divisibilidad más comunes. empre¡decior

EJEMPLO

un número es d¡visible

Rosa y siete amigos emprenden un negocio y logran recaudar, en un primer mes de ventas, la cantidad de S/ l8 957. Deciden por mutuo acuerdo repartir la cantidad en partes enteras iguales, y el saldo se le sumará a lo recaudado en el próximo mes. ¿Cuánto dinero se ahorrará para el próximo mes?

por...

2

> cuando termina en cero o en c¡fra par

3

> Cuando

4

> Cuando

la suma de sus cifras es múltiplo de 3.

. .

sus dos últimas c¡fras son ceros o forman un

5

> Cuando termina

ó

> Cuando

en005. pot

8

es d¡visible sus

10

> Cuando

la suma de sus cifras es múltiplo de 9.

Para el próximo mes se ahorrará S/ 5. r.Qrrc trpo (lo r'l()lfxro 1e Brslirrí¿r {)rnl)ren(ler? ¿A

19

I','r li) l.l)t.\.. I r..itlr¡,r..,

qLJ0

§

Determina el residuo de dividir 5aaa5 entre 6 si el numeral !7Qa)2a es

Aplicanros el eritcrio tlc tlivisibilidarl por 3 y rcsolvemos:

divisible entre 9.

.

Sabemos que

el numeral7@ífu

es

) 5 + h + 7 +,¡ +-l + /,= l tt+h+12=i a+¡,+ t=i ( ()rno

divisible entre 9. Entonces, la suma de

Aplicamos el criterio de divisibilidad por 9 y resolvemos:

i@ Además,

+za+z+a=q+ g+3a=9 sabemos que 2a < l0 + a < 5 ... l¿) >

3

+7

p

sc o

&

a c

§ .F c a @

s/

ll.

l)rrilrrcc: I1.1() tklcclirs dc ¡lrllos l)chr'rtos lr¡llrrr cl rcsirlrro tle clilirlir

tienc quc scr Llirisible por -1 1 li. t =1yb=0

ll,(,. ll :

Ill

rnenor vakrr tlc

(

I

I,)S\\.nlr( ll

Prrr delirtieiorr rlc Llir isibilirlrrl:

l-l gSli = l-1l)iil + (r = I I + (r Sc lc rcglrlrrli r¡l r'onrcrior ¡rr¡rrrllrr (r ¡xrllrs.

¡ rtlcnuis.

cl nrenor. entonccs:

...'r,

Sandra tiene una avícola y produce 1249 docenas de pollos cada tres meses. Si quiere distribuir a I I puestos de un mercado toda la producción, y lo que sobra se le regalará a un comedor popular, ¿cuántos pollos recibirá el comedor popular?

y

5rr7,¡-ll,

sus cifras debe ser múltiplo de 9.

.

de ¿ + á si sabe que el

número 56'la4b es divisible por 3 y 8 al^ yez,y a> b.

+ á cs 2.

De !r, y É, se obtiene: ¿ = 2 Hallamos lo que nos piden aplicando el criterio de divisibilidad por 6 y resolvemos:

| =t +

@ ¿Cuántos números de tres cifras al ser divididos

|

entre 7 o entre 9 dejan como residuo 5 y 7, respectivamente?

Por lo tanto, el residuo es 1.

J

i'rhiliil¡tl I \' I i+5

l lirill'

l

adernás

5aaa5 = 52 225 = 52 224 +

CJ

tl. lrniritir¡ cl.' clir

I rc',,1r.¡rtr'. l liff)\:

I)c-spttrís de rc¡rirrtir. srrbra S/ 5.

ol)l{'trvo: Jr,l)ilrr,

EJEMPLO 32

.

)

resitluo clc Llir iLlir l.l5 6()S

l5({¡ + l)7r? = l-S 97lil

@ Determina el menor valor

Emprentle creativamente (Se cornprrrnete con el trabajo en ct¡uipo).

N N @

lrr

¡l

18957> 957=952+5=§+5

> Cuando termina en 0.

l)ct¡crrrrs lrrrllrrr

=15q76+l=i+l

tres

últimas cifras son ceros o forman un múltiplo de 8.

9

Debemos hallar el residuo de dividi¡ 18 957 entre 8. Para ello, se debe determina¡ si las tres últimas cifras forman un múltiplo de 8.

1-6

Esta semana los ganadores de una lotería fueron 13 personas. Si el premio fue de S/ 135 608, ¿,curánto sobra

cntre ll. ,\¡rlicrnrLx

1,,¡+ | +,r=i' li +l¿-3+¿=lt

Por dato, se debe repartir S/ 18 957 entre 8 personas

e6faft8ias y procedimientos:

despuós de repatir esta cantidad en partes iguales?

51,¡1,¡) 5+

2y3alavez.

> Cuando

@

Halta el residuo de dividir 2nat, l)1a entre 8 si el numeral 52ala es divisible entre 6, y a es el máximo posible. .\¡rlicrnros el erilcrir¡ rlc rlir isibijidlrt ¡or 6 r ll. r Irrcgo resolreno.:

Aplicamos el criterio de divisibilidad por 8 y resolvemos:

mútiplo de 4.

Usa

Resuelve:

ft Sé

TEN EN CUENTA

orsannoruruscAPAcIDADES

¡

N=,,/r=i+S=) : N-¿l¡r'=9+7-9.-l

DESAFIO

EJEMPLO

A la final de un concurso de danza asistirán 231 lóvenes,11 adultosy13 niños. Los precios de las entradas es menor que s/ 18, y la suma de las tres clases de entradas es menor que s/ 35. Halla el precio de entrada de los jóvenes si el total recaudado fue de s/ 2357.

Determina el máximo valor de a + á si se sabe que el ntmeralúd46 es divisible por 4 y 9 alavez.

. .

N=¿¡¡

Adcrn¿is se sabc lo siguieutc:

Por dato, el nsmeral Z7 a4b es divisible por 4, entonces las dos últimas cifras deben ser múltiplos de 4: á = 0; 4; 8.

I

Aplicamos el criterio de divisibilidad por 9 y resolvemos:

p

27a4b>2+7 +a+4+b=9

=

Como debemos hallar el mayor valor de c + á, entonces ¿ = 6 y

El máximo valor de a + b es 14.

D

= 8.

=Oi t=6.1t-l

I

I

O0

<

rilr

< 99()

100 < 6-31

,1<

9()()

t0l<63Á< l(x)l ! !

§ e

l.(r
l5.li

( = l: l:4: 5: ...: 1.5. 'lirtal de núnrcrrs: l,l

@

Juan le comenta a José: El número de páginas de

mi libro

están comprendidos entre 850 y 950. Si contamos sus páginas de 4 en 4, sobra 1; de 5 en 5, sobran 2; y de 9 en 9, sobran 6. ¿Cuántas páginas tiene el libro? Sca el nrlntcro tlc ¡liginas clcl librrr: rrh

lJ50<¿/r<95()

ubt-4+ I -4 l ¿ár'=5+l=5 .l I tthc=9+6=()-6 I "/"

= MCM, i,

i,t,

'l

,,¡-=l§O 3+r¿& = l80k .l.k€lN Sik=5+ol¡c = 180(5) 3 =¡J97 El libro ticnc ll97 páginas.

@ @

34

tian AD

I

LoSica. Números complejos

35

TEXTO ESCOLAR

Proporcionalidad I

Texto escolar (pá9.

10)

¡

Libro de actividades (págs. 36-37)

Capacidades y desempeños precisados . Emplea las propiedades de las proporciones para resolver Usa estrategias y procedimientos

Proporcionalidad !r

problemas sobre proporciones geométricas. (1-5; 1-6)

Sugerencias didácticas Para iniciar

I I I

Prop¡edades de las

Recuerde las propiedades de las proporciones a partir de ejemplos numéricos.

proporciones

-^^d c bd , a+b-c+d ta-c

Asegúrese que recuerden las partes de una proporción geométrica e identifiquen los antecedentes, consecuentes, medios y exfemos. Recuérdeles también la propiedad fundamental de las proporciones geométricas.

Los números 1ó; 24 y 3ó son DP a 4; ó y 9, y se e sctoe. Los números 24; 12 y 8 son lP a 2;4 y ó, y se

. a+b -c+d -'bd a+b c+d " ;6"' ,4

Recuérdeles también la propiedad fundamental de las proporciones geométricas: "En toda proporción geométrica el producto de los extremos es igual al producto de los medios"

reparto proporcional es un proceso que consiste en dividir un número en partes proporcionales a ofos números dados. Es d¡recto, cuando las partes que se buscan son directamente proporcionales (DP) a los números dados. Es ¡nverso, cuando las partes que se buscan son inversamente proporcionales (lP) a los ¡nversos de los números dados. El

RECUERDA

I

I

I

P

IP

porcentaje y la mezcla y aleac¡ón son aplicaciones de la proporcionalidad en las cuales . 360 a,2a . 36a 72 intervienen una o más magnitudes. Asr, el 20% de 3ó0 es: = = El

#

I

C,, Cr,..., C, son tas cant dades. P,, Pr, ..., P, son unitarios.

Para el ejemplo 35, pregunte: ¿Por qué el exponente de k es 3?(Porque se indica que son tres razones geométricas). Recalque la información en la sección "Ten en cuenta" y este ejemplo les facilitará la resolución de la actividad 3. Motívelos a realizarla.

.¡ó08'l l> ,_12.2s.2

2

eFe¡-rq

Donde:

1os

precios

,,bF

EJEMPLo ó Un comerciante mezcla tres tipos de anoz, de Sl 2,2O; Sl 2,80 y S/ 3,20 el kg en cantidades de 30 kg,20 kg y l5 kg, respectivamente. ¿Acuánto deberá vender el kilogramo de dicha mezcla?

.

Identiñcamos las cantidades y precios unitarios. Reemplazamos los datos en la fórmula del precio medio y resolvemos.

,.

Precro medro =

30.

E

2.2O +

2O 2.80 + 15

3.20 =

170

6:

= 2'6¿

Deberá vender el kilogramo de dicha mezcla en Sl 2,62. Pri€s. 36-43

Presente el ejemplo 36 como una aplicación de este tema a una situación de entorno real, capte su interés comentando sobre los campeonatos de fútbol y cómo los goles a favor o en contra influyen en el puntaje. Luego, lea la situación y analice el problema con ellos, pregunte: ¿Qué propiedad de las proporciones aplicaron? (Producto de extremos igual a producto de medios).

fl

orsannou-nrus

@

Solicite que den solución a las actividades 4 y 5 en pares. Guíe el proceso de solución con preguntas como: ¿Qué datos nos da el problema? ¿ldentificas alguna razón geométrica? ¿Cómo plantearían la proporción? ¿Cuál de las

LJs estrategias y procedimientos:

cAPACTDADES

t) Sia+ b=72yi=l,calculaa-l¡.

@ Cuatro obreros cavaron

s

s ll

@ Una laptop que el año pasado costaba Si 2400 ha bajado de precio en u¡30Vo. ¿A cuánto debo vender para ganar S/ 900? sii l5s0

Para consolidar 10

una zanja de 36 m de

longitud trabajando 8 horas diarias durante 5

Se reparte un premio de S/ 396 entre tres niños, en partes IP a los erores cometidos: 3; 6 y 9.

¿Cuánto recibe el que tiene más errores?

prop i ed ades p ued en aplicar?

I

¡s¿¡6 =.Q§lq-l9lqL Peso toÉl

C,.P,+Cr'Pr+...+C, P,

Efic¡encia

1

Precio medio de una mezcla

Presente el ejemplo 34, y pregunte: ¿Por qué razón se aplica la tercera propiedad? (Porque la proporción formada entre la suma y diferencia de dos de los números es la tercera propiedad). Proponga que den solución a las actividades 1 y 2, aplicando las propiedades.

Pida que den respuesta a la actividad I de la sección "Desanolla tus capacidades" para consolidar el aprendizaje. lnvite a un voluntario que la desanolle en la pizarra.

Días 25

,{

loP

TEN EN CUENTA

6/¡ = J/r$=$.

I

Costureras

ó0

P,

= 48

tres compuesta es una estrategia que permite resolver problernas de proporcionalidad en los cuales intervienen tres o más magnitudes.

12

p¡s6¡6

=+ =1

=a

La regla de

Vestidos

Proponga las siguientes actividades para que reconozcan si las siguientes razones geométricas forman proporciones: 7513 = 5/1;6/3 = 10/5; 4/2 = 8/4; 5/7 = 8/3 (Sí; SÍ; Si; No). Luego, las siguientes actividades para que encuentren el término desconocido en la proporción: h/3 = 10/5 (h = 6); 10/2 = b/a @ = 20);

ff

=

246

Para desarrollar

!

esc.|be.+

f; = I

días. ¿En cuántos días los mismos obreros harán 27 m de zanja trabajando 10 horas diarias? .r,lirL.

f)

Un comerciante mezcla tres tipos de quinua, de Si l0; Si 15 y S/ I 8 el kg en cantidades de 24 kg, 16 kg y 12 kg, respectivamente. ¿A cuánto deberá vender el kilogramo de dicha mezcla'/ si l.r..rs

'1-5

ñ

) E

I

§ -E

g 3 0

I

LIBRO DE ACTIVIDADES

.

PROPORCIONALIDAD

PROPORCIONALIDAD

@ Proporcionalidad Propiedades

@

Si

usa estrategias y proced¡m¡entos

!)

z-

n

= tz y

ff =t,mtta

m + n.

Una proporción geométrica es una igualdad de dos razones geométricas. Se simboliza

i=fi

'bd'

oor: $

a+b -c+d , --A-- c '

=

Apl icanros propiedades y resolvemos

1, 5a lee: «a es a ácomo c es a d".

sea una se.ie de .azones rgLates:

" a+b _c+d -bd ^- a+b a-b

oesannou-nruscAPAcIDADES

Resuelve.

Propiedades de las proporciones

RECUERDA

sea

fl

m+n 6+5 - nt+tt ll Dt-il 6_5 ll I

i:,=

i,, 3.=

[,,,

se cumore

Luego,r¡+n=132 El valor de n¡ + r es

. at + a2 + el3+.-- + an _ k br+br+br+...+bn-

c+d c-d

' 1

-ó

La razón entre lo que ganó y perdió Ana en su negocio en los últimos tres meses es la misma. Al finalizar el tercer mes de funcionamiento, su contador Ie dijo: el primer mes ganaste S/ 800; en el segundo, S/ 1200; y en el tercero, S/ 1000. Si en los tres meses perdió S/ 1800, ¿cuánto perdió el tercer mes?

800 1200 l()00 - .r - y - : -^

Sananc¡a

132

perdida

Aplicamos la propiedad con espondiente EJEMPLO 34

.

Además,

f = J. epti"u-o.

#-

3(X)0

800+1200+1000

La suma de tres números es 1500. La razón del primero y el tercero es 7/5 y su diferencia es 200. Calcula el valor del segundo número. . Sabemos que a + b + c = 1500 y a - c = 200

@ La suma de tres números es 1650, la razón del primero y el segundo es 1 l/3 y la diferencia de

En el tercer nres perdió S/ 6()0.

estos es 600. Determina el tercer número.

la propiedad 3 del margen y resolvemos:

#=+*

a+c=r2oo o_"ry= a+b+c =1500+ l20O+b-- 1500+ á=300

Sea: « + l¡ +

f,=)t"

El valor del segundo número es 300.

§

r'= 1650 o=ooo

ro00

1800 : 3000 := 1800'1000 +:=600

En una reunión se observa que por cada dos varones hay cinco mujeres. Si en total han asistido 140 personas, ¿cuántas mujeres hay en la reunión?

Aplicanros propiedades

a+ TEN EN CUENTA

EJEMPLO 35

En una serie de razones Seométncas ¡guales y continuas, los medios son iguales.

b

t4 _1 l!*l= il 8 -4

":n tt+b

7

600

4

+¿+á=

En una serie de tres razones geométricas iguales y continuas, el último consecuente es 125 veces el primer antecedente. Determina el valor de la constante de proporcionalidad.

a+lt+c= 1650+

.

Pordato:

Luego. r'= fiX).

.

Aplicamos [a propiedad correspondiente y resolvemos:

i=*=r=o

yd=r25a

a'h'c t3+ o rr +K,r o , =T25a+k=i b.Id=R ¿l--K

Sean ¿¡: n.o

dr rarones

!!= 1u,,+l)=

1050

1050+¿ = ló50

I

/r:

n.'tle

ruujercs:

l4o

Aplicantos pnrpiedades y resolvcnros:

t+b l+5 D:b5

l{lt

1

=+r¡=

lOf)

En la reunión hay 100 rnujeres.

I

El valor de Ia constante de proporcionalidad

N N @ j

USA ESTRATEGIAS Y PROCEDIMIENTOS

Ci

p¿

Si

se cumple:

t- 4'lm + / 4=i 'ln .,lm -.ln

l E

o o

Hallaelvalorde\8.

l

?

es

@ En una

EJEMPLO 3ó

Al finalizar la tercera fecha

de un campeonato de fútbol, la comisión notó un curioso detalle: en cada fecha, la razón entre los goles que anotó y recibió el equipo l-os Fantásticos fue la misma. Así, en la primera fecha anotó 3 goles; en la segunda,6; y en la tercera,9. Si en total el equipo recibió l2 goles, ¿cuántos recibió en la tercera fecha? goles a favo¡. Formamos las proporciones: = )-§. =2: - ^,. goles que recibió -.r -

.

=

-2-

- -

p .9 =o

.

a

En la tercera fecha, el equipo Los Fantásticos recibió 6 goles.

§a c o

@

o

Aplicamos la propiedad correspondiente y resolvemos:

3+6+9 18 I .^ ?i;1; = 1l=á+ 18' z= t2' e +

L

3ó

serie de tres razones geométricas iguales

y continuas, el primer antecedente es 64 veces el último consecuente. Determina el valor de la constante de proporcionalidad.

J.

7= $

Scil Iil \cric d('tfes raz
i=?=i=*

§ ó

j

Sabemosque:n=6411

.§

§

Aplicamos la propiedad:

6 p €

§

g

p

: a o

P

e I

§

1=kt

+

61;t

ffi=

*)

=r.*r=+

La ctlnstantc de proporcionnlidad es.l.

@ Los antecedentes

de cuatro r¿tzones geométricas son 2t 4: 6 y 8. Si el producto del primer antecedente y los tres últimos consecuentes es 24 576,hallala suma de los consecuentes.

7461r ulr(¿' 2' b' t' d = 24 576 + bcd = 12 288 4 6 8 =n,r * 4 (r'tl ¡r*"=a¡ brrl 12188 =o l+4 +6+tt d+l)+i+tl

I

1

I

>u+¡,+r tr/=l{0

L¡r sttntr de lor er¡tsa uelrtcs es

l{{J

a UtllDAD

I

Lógica. Números complejos

31

Reparto proporcional. Regla de tres compuesta I Capacidades y desempeños precisados . Usa

estrategias y procedimientos

. .

I

Representa en un esquema la relación entre las magnitudes en una regla de tres compuesta. (4-6) Emplea el método de proporciones al resolver problemas de reparto proporcional. (1-3) Resuelve problemas entre más de tres magnitudes proporcionales aplicando como estrategia la regla de tres compuesta. (4-6)

Libro de actividades (págs. 38-39)

Presente la siguiente situación: 400 soldados situados en un fuerte tienen vlveres para 180 dlas y consumen 900 gramos por hombre y por día. Si recibe un refuerzo de 100 hombres pero no reciben víveres antes de 240 días, ¿cuál deberá ser la ración para que los víveres puedan alcanzar? Pregunte: ¿Qué concepto matemático debemos emplear para su resoluciÓn? (Regla de fres). ¿Cuántas magnitudes identificas y cuáles son? (fres: número de soldados, tiempo expresado en dÍas, masa por ración expresada en gramos). ¿Cuántas magnitudes te permitirán resolver una regla de tres

srmple?(Dos).

Sugerencias didácticas

I

Mencione que la regla de tres compuesta es una estrategia que permite resolver problemas de tres o más magnitudes que puedan ser directa o inversamente proporcionales.

I

Refiérase a la situación planteada al inicio e indique que la resolveremos más adelante y centre su atención en el ejemplo 39. Pregunte: ¿Por qué el número de agricultores con respecto al t¡empo (la cantidad de días) son magnitude§ inversamente proporcionales? (Porque a menos agricultores se necesitan más dias). ¿Por qué el tiempo con el área del terreno son magnitudes directamente proporcionales?(Porque cuanto más grande es el terreno, se necesitan más tiempo). Recalque la sección "Recuerda" en el margen sobre este aspecto. Pida que hagan uso de su capacidad argumentativa y comunicativa para que expliquen, al parecer de ellos, por qué se ha despejado la variable x de esa forma. Es decir, bajo qué criterio hay valores que se han colocado en el numerador y otros en el denominador (Porque se pretende hallar el valor de x, es decir, despejar x como si fuera una ecuación).

I

lnvítelos a dar solución a la actividad 4.Para ello, pregunte: ¿Cuántas magnitudes intervienen y cuáles son?(Tres: número de operarios, tiempo en días, cantidad de pares de zapatos).

I

Proponga que desarrollen la actividad 5. Pregunte: ¿Qué magnitudes identificas?(Número de personas, tiempo en días, cantidad de raciones diarias). ¿Qué relación hay entre las magnitudes?(El número de personas y el tiempo son inversamente proporcionales; el tiempo (en días) y número de raciones diarias son inversamente proporcionales). Pida que se reúnan con un compañero para que comparen sus procedimientos y respuestas.

Para iniciar

I

Presente la siguiente definición: "Es un procedimiento que permite repartir una cierta cantidad en partes propotcionales a otras". Pregunte: ¿A qué se refiere este concepto? (Reparto proporcional). Dependiendo de la relación que existe entre la cantidad a repartir y las partes proporcionales, ¿de qué tipos puede ser?(Directo e inverso). ¿Qué métodos de cálculo de reparto

proporcional recuerdan? (Método de proporciones y de reducción a la unidad). lndique que pueden utilizar cualquiera de los métodos en sus procesos de solución.

I

Refiérase a la sección "Ten en cuenta" para que recuerden la forma de expresar el inverso de un número.

I

Recuerde con ellos a partir de los siguientes ejemplos los pasos a seguir para repartir una cantidad en partes proporcionales. La idea es que diferencien las partes buscadas de los números proporcionales. Ejemplo 1: Reparte 1000 en cantidades directamente proporcionales a2;3y 5. Primero sumamos las partes proporcionales: 2 + 3 + 5 = 10. Luego, formamos la proporción para cada uno de los números proporcionales de la siguiente manera y calculamos x = 200. Pida que encuentren los valores de y, z su valor: 1000/10 = xl2 (300; 500)

-

Ejemplo 2: Reparte 720 en partes inversamente proporcionales a3, 4 y 6. Primero, convertimos a reparto directo; para ello, invertimos cada uno de los números proporcionales 113;114 y 1/6. Segundo, damos común denominador a 3, 4 y 6, es decir, 12 y se multiplica cada número proporcional de la siguiente manera y se calcula el resultado: 113' 12 = 4,114' 12 = 3; U6 ' 12 = 2. Luego, se continúa igual que en el caso del reparto directo: se suman las partes proporcionales: 4 + 3 + 2 = 9 y se forma la proporción para cada uno de los números proporcionales, Pida que calculen las partes buscadas (320; 240 y 160).

Para desarrollar

I

Presente el ejemplo 37. Pregunte: ¿Qué tipo de reparto se realiza? (Un reparto proporcional directo), ¿Cuánto recibiría Adriana? (Sl 2ñ), ¿Cuánto recibiria Rosa? (S/ 600) Pida que comuniquen oralmente sus respuestas. En caso hubiese dudas,

solicite voluntarios que desarrollen su proceso de solución en la pizarra.

I

lnvítelos a desarrollar la actividad 6 en grupo. Pregunte: ¿Qué magnitudes identificas? (Número de obreros, longitud de la zania, tiempo en horas, dureza y eficiencia). Analicen las relaciones entre las magnitudes y resuelvan.

Para consolidar

I

Con respecto a la regla de tres compuesta indique que en ella se aplica la regla de tres simple de manera simultánea para más de dos magnitudes.

Sobre el reparto proporcional pregunte: Cuando el reparto es directo y mayor el número proporcional, ¿qué sucede con el beneficiario o viceversa? (Le corresponde más). Cuando el reparto proporcional es inverso y mayor el número proporcional, ¿qué sucede con el beneficiario o viceversa? (Le

corresponde menos).

N N

:d

@

i

:Q

)

)iL

I

o Io o a

p _! E o I

<

o o c

*c

ao @

I

LIBRO DE ACTIVIDADES

.

PROPORCIONALIDAD

PROPORCIONALIDAD

Reparto proporc¡onal

ff

Un reparto proporcional es directo cuando las partes que se buscan son directamente proporcionales (DP) a los números dados. Un reparto es inversq cuando las partes que se buscan son DP a los inversos de los números dados.

fl

Se reparte S/ I 200 entre tres vendedores según su venta. Si Adriana vendió S/ 3000; Fernando, S/ 6000; y Rosa, S/ 9000, ¿curínto recibirá Femando?

A-

F-R-A+F+R_1200_1 eooo -18¡m- = rEm=ts Para el caso de Fernando: =,, + F=400 ',, Fernando recibirá S/ 400.

Los inversos

,on

de

'10;

8

y

'12

.,, 11;J v {t

Ada (A) Bety (B) CéSAT (C)

5 7

8

10

12

número de faltas

t=20"*u'=

S/

l¿100 entre los tres

estudiantes que ganaron el concurso de ortografía, en partes inversamente proporcionales a los errores

.

cometidos: 2; 4 y 8. ¿Curínto recibirá el que cometió

SeanA, B y C las personas.Analizamos y resolvemos:

+-

'.*-, .

Para el caso de César:

1\i

=

lt

256O

c¡tre

t1

l<((il)i[i S

Regla de tres compuesta

.

DP

i

RECUERDA

Amásagr¡cultores,

-

o a

@

A más rap¡dez, se necesitarán menos días para sembrar: lP

Días

50

6

' IP { {{

Amásáreadeterreno, se necesitarán más dias para sembrar: DP

Agricultores

r

se necesitarán menos días para sembrar: lP

)

.l 2

IP

l,'r r({)0 7lr =

I

IP

l0= t000 2 r= -looo, 10.800.-l = , soo J+ ''

Durar¿ín

l2

días.

¡ioo.

es como 12. ¿Cuiíntos metros de zanja excavarán 6 obreros en 5 horas cuando la dureza del terreno es

@ Se reparte S/ 4800 entre Ana, Carlos y César en forma directamente proporcional a la cantidad de alimentos producidos (kg): 20; 24 y 48 e inversamente proporcional al tiempo utilizado en prepararlos (horas): 2; 3 y 8. ¿Cuánto de dinero le corresponderá a César?

9= x

5000 8000

.,1

Horas/día

_6,_ 4

IP '

Scar t.r' ¡ ¡ Io r¡rrc lc locir lt cit(llt pcrsonil:

Teneno

ñ

§

5m0 q IJOOO

,,

2

es como 2,5,

excava 36 me§os de zanja cuando la dureza del terreno

Identificamos las magnitudes DP e IP. Luego, planteamos y resolvemos:

ci

p !E

x

@ En 3 horas, un obrero cuya eficiencia

_i

-

(XX)

I

Si se sabe que trabajan 50 agricultores durante 6 días y 6 horas diarias en un terreno de 5000 m'. ¿cuántos días necesitarán 20 agricultores doblemente rápidos para sembrar espárragos en un terreno de 8000 mr trabajando 4 horas al día?

o o o

l0

r,s

!-lh0l,+r-S()o

EJEMPLO 39

l E

Racklnes/día

Días

ttoo I

ll+ll+lr.

A César le corresponde S/ 2560

rccibirii t¡rllr cslurlillrlr:

estrategia que permite resolver problemas de proporcionalidad en las cuales intervienen tres o más magnitudes que pueden ser directa o ¡nversamente proporcionales.

-o

5

víveres si cada persona come 2 raciones diarias? Personas

Sciln.\. r ) ; lo C

t28

Una guamición de 800 personas tiene víveres para l0 días a razón de 3 raciones dia¡ias por persona. Si se refuerzan con 200 personas, ¿cuántos días durariín los

menos errores?

-'"''

3072 + --q-r0'ü =

20

Emplcaron [i días

fl

A_B_C_6784_T\1) *- ,o fr

61

5 l0 64 5 t6 r28., .\ 16 ll8 - ' 20.64

lr,o'

Se desea repartir un premio de

Días

Pares

l6

DP

Hl ringulo r»ayor rrride 160"

@

1-ó

IP

Es una

N N @

Operarios

u,:

+:+w I+ +5+8=rq l8 =20"

di años de serv¡cio

f

y

Se reparte S/ 6784 entre tres personas (ver margen), en forma DP a los años de servicio e IP a sus faltas reportadas. Halla lo que le corresponde a César.

f 10

:

-{+

EJEMPLO 38

TEN EN CUENTA

l,

r_.1'_:_r' I 1 -5 lt

Representamos por A (Adriana), F (Fernando) y R (Rosa). Hallamos F:

estrate8¡as y proced¡m¡entos;

días, ¿cuántos días emplearon 20 operarios en hacer I 28 pares de zapatos?

Las medidas de los ángulos de un cuadrilátero son directamente proporcionales a 1; 4; 5 y 8, respectivamente. ¿Cuánto mide el ríngulo mayor? Sean los ángulos: r.

lm - m-

Us

@ Si l6 operarios hacen 64 pares de zapatos cada 5

Resuelve.

EJEMPLO 37

.

orsnnnoruruscAPACIDADES

'

9 E

€ p

P

2042 '6'T +r= 80fn.50.6.6 50 sun.ñ.4a+r=rÓ

,\,

.

lo.lrl ll lr.l 4li.lis \+\'+.- _ -lsil1l_r¡rl l(l+¡l+h ll -i =100+:= I

l2tll)

!.,\il(\1r,il(l(r.r \ |lrr{l

como 9 y la eficiencia de cada uno es como 2? Construi¡¡ros la tablr y cornpararnos nragrrilrrcles:

DP

N." ob.

IP Long. (m) Tiemp. (h) Dureza

Eficiencia

t

36

3

t2

)§

6

,t

5

I

1

DP

36_1.9.3.2,s

.r 6 t25

2

12..5 .2 t= -16.6. 9t1 2-5 +'r=1ó4

_§

Excavarán 3tl4 m de zanja.

Los agricultores doblemente rápidos necesitarán l8 días. @

C

-q C

a @

38

UNIDAD

t

LÓgica. Números

complelos

39

Porcentaje I Capacidades y desempeños prec¡sados Usa estrategias y procedimientos

Argumenta afirmaciones

o

Aplica técnicas operativas personales o convencionales al calcular el tanto por c¡ento. (1-6)

o

Plantea conjeturas respecto a los problemas con porcentajes. (7-8)

buena opción económica para muchos pobladores de diversas regiones del País, por lo que se debe promover. Aproveche para pedir su opinión sobre la importancia del cuidado de nuestros lugares turísticos. Pregunte: ¿Qué sucede si no colaboramosT(Tendremos menos turistas y los ingresos económicos bajarÍan). ¿Cómo contribuirías para que un turista nacional o extranjero visrte tu región? (Promocionándola, cuidando el patrimonio y brindando un trato amable).

I

Sugerencias didácticas Para iniciar

I

Destaque la importancia del empleo de porcentaje en la compra y venta de productos y otras situaciones cotidianas. Exprese que las ofertas se manejan por medio de percepciones y estrategias. Presente la situación: Paula acaba de observar en la W que solo por hoy, hay un 20% de descuento en todos los detergentes. Si la bolsa de detergente de 4,5 kg cuesta S/ 40, ¿cuánto es lo que tiene que pagar la mamá de Paola? (Sl 32). ¿Cuánto ha sido la rebaja? (Sl 8). Solicite sus respuestas y sus procesos, anótelos en la pizarra y valídelos. Mencione que el 20% es la fracción 20/100 de S/ 40. Explique que 40 se ha divido en 100 partes iguales (se obtiene 0,4) y se ha tomado 20 de ellas (0,4 . 20 = 8). Una forma rápida de hallar es resolver mediante la expresión 20/100 x 40 = 8.

I

Para desarrollar

I

I

Mot¡ve para analizar el ejemplo 41. Deje claro que los descuentos sucesivos no son aditivos, es decir, que un primer descuento de 10% y un segundo descuento de 15%, no equivale aun25o/.. Comente que en muchas situaciones cotidianas es común ofrecer rebajas y ofertas mediante rótulos con el 20% + 2Oo/o de descuento, llevando a una falsa percepción de tener un 40% de descuento. Desarrolle el elemplo y vaya seleccionado la información, haciendo notar los dos momentos de la rebaja de la lavadora. Trabaje el primer descuento y aclare que el segundo descuento equivalente al 10% se aplicará sobre el monto S/ 2125. lnvítelos a revisar la información del sector "Otra forma de resolver". Remarque que dos descuentos sucesivos equivalen a la diferencia entre el 100% y el producto de los porcentajes que se va a pagar. Aclare que el precio final resulta de aplicar el 90 % del (80% 2500). Retornen al ejemplo 41 y pregunte: ¿A cuánto ascendió el 5% de descuento? (S/ 375). Llévelos a la reflexión, si le descuentan el 15%, entonces solo pagó por el 85%. Luego, en el segundo descuento, si le quitan el 10%, entonces pagará el 90o/o del precio que queda al efectuar el primer descuento. Pida que lo apliquen para dar solución al ejemplo 41 .

I

Aproveche parareforzar la práctica de nuestra ciudadanÍa. Comente que el Perú es un buen destino de turistas extranjeros gracias al legado de nuestras culturas; la atracción de la ciudadela de Machu Picchu, nuestra gastronomía y otros atractivos turísticos más, Llévelos a reflexionar que el turismo es una

Trabaje el ejemplo 42, y fomente el desarrollo de la comprensión de textos

escritos. Desanolle una lectura pausada e identifique los principales datos. Anticípese para que el estudiante no cometa el error de manifestar que si en cada año aumenta 5%, entonces al pasar 3 años será un aumento de 15% o que mencione que son 3 veces que se debe aplicar el 5olo. Deje claro que solo son dos periodos de aumento y que al final de cada año hay un 57o de

Para determinar dos descuentos sucesivos a% y b%, se aplica:

aumento.

Para determinar dos aumentos sucesivos a% y b%, se aplica:

Antes de desarrollar la actividad 5, indague sobre sus saberes de economía. Pregunte: ¿Qué es la inflación? (El desequilibrio económico, entendido como la subida de los precios en los productos y servicios, y como consecuencia la pérdida del valor del dinero). Comente que la inflación depende de diversos factores, como la oferta, la demanda, el tipo de cambio de la moneda extranjera y las cotizaciones internacionales. Para la solución, pídales que hagan un recuento del ejemplo a2y dé la oportunidad que planteen sus propias estrategias y sus razonamientos. GuÍelos para que propongan que se trata de un aumento de precios, por lo tanto, se debe plantear como aumentos sucesivos.

,=(,.o-u#)o

A=

a+b+ a.b 100

o/ /o

s

Solicite que desarrollen la actividad 6 para evidenciar las propuestas de sus estrategias. Pida que realicen una selección de los datos y reconozcan los momentos en que deberán aplicar el porcentaje. Para verificar sus respuestas, interrogue: Después del primer juego, ¿cuánto dinero le sobra? (S/ 800). Después del segundo juego, ¿qué monto le queda? (640). Consulte: ¿Es posible aplicar descuento sucesivo en este caso? (SÍ)

Para consolidar

I

Para desarrollar las actividades de la sección "Analiza y responde", guíelos para que razonen y propongan afirmaciones. Ante la interrogante de Ia actividad 7, permÍtales proponer sus supuestos y solicite que los validen. Recuérdeles que los descuentos o aumentos sucesivos no son acumulat¡vos. Esta afirmación llevará a proponer sus conocimientos y dar respuesta a la interrogante.

1

I

Libro de actividades (págs. 40-4.1)

I

Para el caso de la actividad 8, solicite que repasen la información y subrayen lo que se les solicita. Pregunte por la operación que determina la recaudación; ante la repuesta, exprese que propongan la ecuación, considerando el aumento y el descuento de cada rubro. Acompáñelos para determinar la variación de lo recaudado. Pregunte: ¿Qué porcentaie representa el todo? (100"A). ¿Cuánto hemos obtenido? (108'/.). Haga notar el aumento y la variación del 8%. Esto ayudará a que lleguen a calcular el porcentaje que debe aumentar las entradas.

N N @

-i)

ci :9 5 E o o l

p

E É

e

L

@

§c c

o @

U

LIBRO DE ACTIVIDADES

.

PROPORCIONALIDAD

PROPORCIONALIDAD

Porcentare B

tanto por ciento es una de las aplicac¡ones lmportantes de la proporcionalidad. Es la cantidad que corresponde proporcionalmente a una o varias de cien partes iguales.

DESARROLLA TUS CAPACIDADES

Usa estrateg¡as y procedjmientos:

'

1-6 A8umenta afirmac¡ones 7-8

El

Resuelve. EJEMPLO ¿0

O

¿Qué porcentaje es 12 de 50?

. .

-

Simbolizamos por

Sea

Luego, l2

es

+ rfu

17

que sc aplicrni

r

1.1(X).

r'; .2400= llo >,1^.24(x)ll0 ltx I

xEo eI porcentaje que se aplicará a la cantidad dada.

Lltl:f r): r = 5¡l

Interpretamos el enunciado y resolvemos:

xvo'5o= tz

1000, pero al ingresar a un juego pierde el 2O7o.Lo que le queda lo invierte en otrojuego y pierde el 2OVo delaúltima inversión. ¿,Cuánto debe ganar en un tercer juego para recuperar lo invertido?

Gl Camila tenía S/

¿Qué porcentaje es 120 de 2400?

'5o= 12+ x=24

O

el 247o de 5O.

Prinrcr irrc-ro:

Pic[lc cl ]o'li:

¿Cuál es el descuento único equivalente de dos descuentos sucesivos de l8o/o y 25Vo?

DE RESOTVER Primer descuento: 15% Pagará: 85% (2500)

Segundo descuento: 10% Pagará: 90% (85% (2s00))

En

= S/ 1912,50 general:

El

descuento único es:

100% 90%(85%).

l,fr\¡f,r l)41 Pedro va a comprar una lavadora que cuesta S/ 2500, pero por aniversario de la tienda le ofrecen un descuento del 157o. Además, por tener su tarjeta Beta, le hacen otro descuento adicional del lOVo. ¿,Cuánto pagará por la lavadora?

.

Determinamos

el

l|Vo de Sl 25OO:t5Vo. 2500 = #

Restamos al monto inicial el descuento: Si 2500

. .

-

-

Segttnrlr juero: Piettlc el 107 ; 107 (800) I-t- qtrtrllr: S/ (r"10

Dtser¡crlo riuiro: 100',i 61.5'i =.]E.5'/l

kt irrrcrlido.

Prirner lrtrnrclrlo rlel l0'; : I l0'í Sr'gr¡¡tlo ¡rrrcnto dcl .10',¡: 1.10¡l (120'l)= l5(rl

Sl 375 = Sl 2125

tiriL(): l56rI

^urrerlo

s

aumentó en ún 25Eo. ¿A coánto asciende el nuevo precio? Precio cn cl n¡r's rle tlir'iellhre: l'.

En una región del Peni, cada año la visita de turistas extranjeros se incrementa en un 570. Además, por encuestas realizadas, los turistas manifiestan el buen trato recibido por parte de los residentes y que estarían dispuestos a recomendar y regresar en el mediano plazo. Si el total de turistas que visitaron la región en el 2016 fue de 793 800, ¿cuántos turistas llegaron en el año2014?

. N N @

Un aumento equivalente

único de dos aumentos sucesivos de 5% cada uno es 105% ('r05%) - 100%.

_)

ci

i I l

o Io o f

p

Ejerce su ciudadanía. (Evalúa problemáticas ambientales y teritoriales

lil @

En el año 2015: Aplicando el primer aumento, la nueva cantidad de turistas que llegaron es lÜOVo N + 57o N = 1057o N

lO5Vo (lo57o N)

=

I 10,257o N

desde múltiples

Como en el año 2016 hubo 793 800 turistas, tenemos:

perspectivas).

793 800

.E

P= llH+l-5'? P= ll3+.rl=

Sea N la cantidad de turistas en el 2014. Sabemos que hubo un incremento del SVo cada año. Analizamos y resolvemos:

En el año 2016: El siguiente aumento (el otro 57o) se aplica sobre la cantidad de turistas que visitaron el sitio el año anterior:

= llO.25%o N

+

d .€

a

€

€

p p

4

(llli)

En el año 2014, visita¡on Ia región 720 000 turistas.

(1,.rt,t,,'.ll, r.rl,.

a C

rt{) r ol,rl)otiitilrr', r,tr (,l r rl{l.rll/r

rlr r l,.,rir,

it, rt,-, rill..t

l r).

En un tcrccr.jrrr'rrr debe grnar

S

i()0 p¡ta t.(

ul).ril

§ a o

§

Analiza y responde,

O

¿Se puede afirmar que el resultado de tres descuentos sucesivos del ZOVo,25Vo y 3OVo es equivalente a un descuento único de 75Vo? ¿,Es

ll

inrr'r rlcscrrcrrto rlcl

l0'1:

lio¡/i

rlc:t ¡ertlLr rlcl li' i de llt irrtitlarl lr¡rtcl ior: 75,,; (S0,, 'letcr'r tlcscLrenlo rlcl -lOtl rlt. Iil ci¡tti(lit(l alltt i()r: 70',, ( 7¡',, (!(l' ; )) = ll', ScgtLttrlLr

)

I)ereueIto rirr((): l0(l¿l, +]i? = -ili',i lrs ¡rtcrrrrr rlcl 75',,

160

Se sabe que la inflación es del 4Vo anual, aproximadamente. Si cierto producto de la canasta familiar en el 20 I 2 costaba S/ 40, ¿cuál fue su precio en el 2015?

i
)or?

rf)

)ot1

4ñ + ,!?/,,(Al]\

l¡|

+ 4o/o(41.ñ\ = 43. 11 16 ! /o/^t/1 ?/.\ - // oo

I

201 5

- Ll

AO

Otru firrma:

o C

l6()

rtLrcvo ¡rrccio scnl tlc S/ I 60.

Prec

§ g 9

N = 720 ff)O

=

mayor o menor del 757o? Justifica tu respuesta.

@ El precio de un par de zapatos en el mes de noviembre era de Si 128 y para el mes de diciembre

Pedro pagará S/ 1912,50 por la lavadora.

TEN EN CUENTA

l(X)rl = 56',

Evalúa las siguientes situaciones.

Sl 212,5 = S/ 1912,50

EJEMPLO 42

101)

sucesivos de 2OVo y 3OVo?

.25t[ = 3i5

tu crudadania

=

@ ¿A qué aumento único equivalen dos aumentos

Determinamos el loo/o de la diferencia: l0Vo . 2125 = 212,5 Calculamos lo que pagará: Sl 2125

( ¡0(X))

inrcr tlcscLrclttr tlel I S? : 8l',,; S(..ilrri,' (lL.( lr( [lr, (l( l :)', 75'i,; (E¡rr ) = r,1..5'.i P¡

OTRA FORMA

l0¡l

Lc t¡rrcrlrr: S/ ll(X)

Precio: l0¿17 ll\4a/r (l\17t) (40))) = 4,+,q9 El prrcio en el año 2015 fue de S/,1.1.99.

E) En el cine Sputnik

se aumenta el precio de la entrada en 207o, y la asistencia bajó en un 107o. ¿En cuánto ha variado la recaudación? ¿En qué porcentaje se debe disminuir solo las entradas para que la recaudación no varíe?

Suporrrirnrrrs qlr( lr re.ul(lirri(in Iinrrl cs N. N = l\ecio tlc lil eiltradr x c¡[tirl¡tl (lc asislc¡llcs. N=rr 'l+N-ll(X, ir .91),1 n N = l0Srl r.l La rccirud¿rciiirt lr:r v¡rilrrLr ult

{f)rr,,

ul i!'¡i.

\i.1.'ll. ,ir.rr¡rrr,r ' r,r, ll)ft \ 'r l't) i' llf) ll'r' 108( lol) r) = lO (XX) >.i = 7.-l'r Sc

rlclrl

rll

tlisnrirrLrir cn 7.-l',1

o

_q

c @

40

UNIDAD

1

Lógica. Números complejos

41

LIBRO DE ACTIVIDADES

[\lezcla y aleación I

Libro de actividades (pá9, 42-43)

¡

PROPORCIONALIDAD

Capacidades y desempeños precisados . Organiza datos, a part¡r de vincular información y Traduce cantidades

Mezcla y aleación

reconocer relaciones, en situaciones de mezcla y aleación al plantear un modelo de proporcionalldad, (1-6)

La mezcla es la reunión de dos o más sustancias en cantidades arbitrarias conservand0 cada una de ellas su prop¡a naturaleza.

Sugerencias didácticas

COSIOtgtal

Para iniciar

I

I

Cj'P.-C2'P2 +C3

Donde: c1. c2,

c3, . , cny P¡

P3

+...+C,,

Pn

Ul+L2*L3+..+L,

PeSOtotal P2,

Pz,...,

Pn

son las cantidades y precios unitarios.

aleación es la mezcla de dos o más metales mediante el proceso de fundición. convencionalmente, en las aleaciones tendremos los metales f¡nos: org plata, platino y los metales ordinarios: cobre, hierro. La

Proponga: Vanessa ha llegado a juntar dos cantidades iguales de agua con diferente temperatura, una de 25'C y otra con 75 "C. ¿Cuál será la temperatura que adquirirá el total de agua? (50 "C). Si la primera porción fuese de 10 L y la segunda de 2 L, ¿se conserva la temperatura anterior? (No). ¿Cuál será la nueva temperatura? (33,3 "C) ¿Cómo determinamos esta nueva temperatura? (Mediante la expresión T promedio = (10) (25) + (2) (75)l I 12) lntervenga para lograr que comprendan que el valor de la nueva temperatura es un promedio y depende de la cantidad de agua en cada porción de 25 "C y 75 "C.

Peso=de rqetal fino Lev, de aleactón _ PESO IOIAI

t

+

+...

+

TEN EN CUENTA

EJEMPLO 43

El precio medio no Senera pérdidas ni ganancias. También se le conoce

Un comerciante mezcla tres tipos de café, de S/ 8; S/ 10 y S/ l5 el kg en cantidades de 25 kg, l5 kg y l0 kg, respectivamente. ¿A cuánto deberá vender el kilogramo de dicha mezcla para ganar el 3O7o1

como precio de equilibrio.

Comente que es común escuchar mencionar que las novias han recibido un anillo de oro de 14 kilates; en otros casos de 18 o muchas veces de 10 kilates. ¿De qué dependen esos kilates?(Del porcentaie de oro que se considera para su fabricación), Por ejemplo, para un anillo de oro de 18 kilates, se emplea 75o/. de oroy 25o/o de otro metal, es decir, su aleación es 1 8/24 o 314 de oro, mientras que un anillo de 24 kilates se emplea 24124 partes de oro y por lo tanto es de oro puro. Haga notar que para este caso se busca un valor promedio denominado ley de aleación, la cual depende del

+

-

El costó total se halla multiplicando la cantidad de una sustancia por sus precios unitarios.

.

)

Identificamos las cantidades y precios unitarios. Reemplazamos los datos en la fórmula del precio medio y resolvemos:

.. 25.8+15.10+10.15= 500 =,, rreclomeoro= 25+15+10 50 .

Además, sabemos que: Precio de venta = Precio medio + ganancia Precio de venta

=

l0 + 0.3 ' t0 =

13

Deberá vender el kilogramo de dicha mezcla en S/ 13.

peso del metal fino.

Para desarrollar

I

Trabaje el ejemplo 43 para dejar claro los aprendizajes sobre mezcla. Resalte que presten atención a la pregunta retadora ya que piden determinar la ganancia del

!

Desarrolle el ejemplo 44, antes interrogue: ¿En dónde usamos la plata?(Enla fabricación de joyas, cubiertos, en la medicina, en el campo de la fotografía, odontologia, etc.). Enfatice en los beneficios de este metal y el valor que se le debe dar. N/anifieste que antiguamente las monedas eran de plata. lnvÍtelos a reflexionar por qué ahora ya no lo son. Explique que con este ejemplo se van a evidenciar los procesos de una aleación. Pida a un voluntario para que lea el problema y resalte toda la información importante. Comente sobre los procesos a seguir y sugiera que una buena estrategia para organizar los datos y determinar el peso del metal fino por cada ley, es usar una tabla, como la que se muestra.

.

Determinamos el peso total de la aleación: Peso total

.

=

150 + 250 + 800

(g) Ley fino (g)

I50

250

800

0.500

0.800

0.600

75

200

480

l

Peso de metal

.

= 1200 g

Elaboramos una tabla que permite calcular el peso de metal fino: Peso

a

755

&§ffi#@

3

§ €

Con los resultados de la tabla, hallamos la ley de aleación: r_.v =

= lifo

La ley de la aleación resultante

42

Concluya expresando que en ambos casos de la mezcla y en la aleación, se busca un valor promedio.

Se funden tres barras de plata, cuyas leyes son 0,500; 0,800 y 0,600 y sus pesos respectivos son t50 g,250 g y 800 g. Calcula la ley de la aleación resultante.

\,

Para consolidar

I

EJEMPLO 44

metal fino se multiplica cada ley de cada metal ..., Ln por las fino,11,12, cantidades respectivas, c1,c2,ca,... ,cn.

30% del total. Es importante que, al momento de reemplazar los valores, diferencie el precio y las cantidades, para no llegar a confusiones en el denominador.

-

IMPORTANTE Para hallar el peso del

= o.ozo

es 629

E e

P

6

milésimos de metal fino.

a o

Il

LIBRO DE ACTIVIDADES

¡

PROPORCIONALIDAD

fi

oesmnou-arus

cAeACIDADES

Tladuce cant¡dades: 1-ó

Actividades de repaso 1. 90 personas asistieron a una fiesta, 30 eran mujeres que gustaban de

la salsa, 20 eranvarones que no les gusta la salsa. Si el nÚmero de varones que gustan de la salsa es la tercera parte de las mujeres que no gustan de esta música, ¿a cuántas personas les gusta la salsa?

Resuelve.

ff

Miguel mezcla en su tienda 30 kg de arroz

@

de S/ 4,20 el kg, con 50 kg de anoz de S/ 2,60 et kg. ¿A cuánto se debe vender un kilogramo de la mezcla para gana¡ el 20Vo'! [)recio rrredio =

-¡0(4.20) +

.s0(1.60)

-

80

Se tienen tres barras de plata de 300 g,,lO0 g y 1200 g, cuyas leyes son 0,750;0,500 y 0,900.

Irlaborallits unr tablir coll kls dirlos tlackrs: 256

¡ro

--''

+ooe 8,,.,L- _+ I

l,-*

I-lntooces:

Precio de venla = Prec¡o medio + ganancia l)recio clc vcrta = 3. I + 107 ( 3. I )

I

l)reci¡r tlc venta = S/ 3. lt,l l)cbc vcnclc'r a S/ l1.ll4 c.l kg.

@

| I

¿Curánto se ganó en cada kilogramo al vender una mezcla de tres tipos de café: 50 kg de café de S/ 4,2

el kg,

de café de S/ 4,3 el kg y 20 kg de café de S/ 4,8 el kg si el precio de venta de cada kg fue S/ 4,92?

-l.l r (1, +..1 r l{r '-}.li _ ¡o rl,o +:o

I u.,,,,

p"".

Se mezclan dos tipos de café en la

proporción de

mezcla se vende con tn5Vo de beneñcio. Después se mezclan en proporción de 2 a I y se vende la mezcla con 1O?o de beneficio. El precio de venta es igual en ambos casos. Determina la relación de los precios de los tipos de café.

N

_i

Calé A Caté R

ci

ai

6 !=

o

o @ f

! !c cI a

§

CASO

Peso

I

S/a

2

2

s/b

I

Costo

S/a

s/b__-]

la

ecuación y resolvemos:

ros, ( "1-!'1!.I1) = r ro,z { lQ'J1l-11 lO5 (a + 2b) = ll0(2a + b)

l05a +210b=220a + e

3 o

I I

nret¡l I^ I I¡D{)

rl

I

,.,u, | ,,.,

li,.

200

J-

i

505 g

Si Juana prepara un rico cebiche y hoy hace calor, entonces tendrá una venta exitosa, Sin embrago, la venta que realizó Juana no fue exitosa, entonces el cebiche no estaba rico o no hizo calor.

4.

Si mañana voy a trabajar y me encuentro con Pablo, entonces Pablo paga el almuerzo. Sin embargo, No fui a trabajar y no me encontré con pablo, por lo tanto, pablo no paga el almuerzo.

Ileern¡rlazarnos l()s rcsltllitdos tlc la lirbla cn lr fiirnrrrh tlc lr lel tlc rleación:

Elabora un diagrama de Venn para las siguientes fórmulas lógicas.

oeso rle ntetrl fino
5. -pn

,l

[;" lr El:

l.r

5

t.cy=14*ti;1 =0.e

+

Peso total

le

¿1l.-0.9.(.)-5

roo/¡=

u.5«+ f

ll0b

=ij+=#

6.

(p-q)n (q-r)v

p

*-q] -r)] ¡ [(-p v r) * -q] 9. [(-p n q) --r] * [ r n -(p v -q)] 7

Una aleación con un peso de 4 kg se funde con 5 kg de plata pura y resulta 0,9 de ley. ¿Cuál es la ley de aleación primitiva? Plata

(q-r)

EvalÚa las siguientes fórmulas lógicas y di si es tautológica, contingente o contradictoria.

-(q 8. [p , (q *

r)]

-

'10.-

-

-[(-q)

[p

1p

-

q)

[(p n

-

-0

(-p)]

Resuelve

+

1.=0.77.s

11.

Halla el residuo de dividir30(2áT5§- entre 6, si el numeral 4a&i es divisible entre g y a es el menor

posible.

l,ir lcv de rleaciórr prirrritiva cs 775 ntilésirnos.

auto que desea comprar Luis Alberto está de oferta por fiestas patrias. La casa de ventas ha concedido un 10% por tener los últimos modelos y un 15% adicional por ser fiestas patrias, El auto cuesta S/ 65 000, pero si Luis Alberto usa su tarjeta de débito, le cobran un adicional de 5%. ¿Cuánto será el costo del auto?

12. El

@ En un taller

de orfebrería se funde 50 g de oro puro con 450 g de una aleación, aumentando la ley de esta última en 0,0O2. Determina la lev de esta

nueva aleación. Oro puro

Aleación

50

450

-s00

I

l.

[, + 0,002

Nueva aleación

¿+o.oo2= so+l]jp / + 50 + 45o

/

Se mezcla dos tipos de harina en proporción de 2 a 3 y la mezcla se vendió perdiendo el 3%. Luego, se mezcla en proporción de 1 a2y se vende la mezcla con l0% de beneficio En ambos caso el plecio de venta es igual. Determina la relación de los precios de los tipos de café.

y su familia decidieron celebrar el día del cebiche y acudieron a un restaurante. Al salir, el mozo le expresa que el monto del consumo es S/ 78. ¿Cuánto pagará si hay que añadirle el 1g% de IGV?

14. Liliana

Plantearnos la ecuación y rcsolvenros:

=o.r)x

0.9110+0.002=0.982 Flespuestas

La ley tle csta nuev¿r alcacirin es 9tl2 ¡nilésimos

¿+u

¿.

l(p a q)

C

o

3.

de pev

I

§ c a

Si Liliana acude a la discoteca, entonces, sus padres se enojan con ella, y si no acude, sus am¡gos se enojan con ella. Pero, Liliana acude a la discoteca o no acude. Por lo tanto, sus amlgos o sus padres se enojan con ella.

'13.

Pla¡teamos

e

e p 9 6

2'

I Total

llo -'-'"

a2yla

@

0.900

0.50(

Aleaci
Primer caso Costo Peso

"

La ley de aleaciírr es 792 milésintos de nretal fino.

§

1

l)r)r)

5r,+

Canancia = Precio de vonta - precio medio Ganancia = 4,92 - 4,34 = 0,58 En cada kg de la mezcla se ganó S/ 0,58.

@

--T-

r

d) kg

r, _ :f)

Escribe la forma lógica de la proposición.

Calcula la ley de la aleación resultante.

UNIDAO

t

Lógica. Númeroscomplejos

43

l(p-q)v(-p^r) ^( r.l ,r ¡

-

t(-p

-

-Q) -r Contingente 9. Contradictorii

p)l

* (-p v -q)Jl s/ 92,04

TEXTO ESCOLAR

El conjunto de números reales ¡ Texto escolar (pág 1) 1

a

Libro de actividades (págs. 44-45)

Comunica

Argumenta

Para que todos los procedimientos matemát¡cos usados sean válidos, cada paso debe tener un sustento que lo respalde. En este casq el sustento corresponde a los axiomas y

números reales. (1-6) af

irmaciones

.

propiedades algebraicas de los nÚmeros reales, los cuales te permitirán iustificar tus afirmaciones y conclusiones.

Comprueba o descarta la validez de afirmaciones mediante razonamiento inductivo y deductivo (7-9)

Relaciones de orden en

I

lR

observa los ejemplos. Prop¡edad de tricotomla:

Para iniciar

Ji:nelR:11<x Propiedad transitiva:

en qué otras situaciones se hace uso de estos nÚmeros.

2<e-2 -4>e'-4

/5;e;¡
y'5;¡ceelR:

"/5
¡;3

y'B; ^/8

e

<¡-

2: et

-4

lR:

nE .3

I

Trabaje el ejemplo 45 para evidenciar la relaciÓn de pertenencia entre los números y los conjuntos. Para aclarar, pregunte: ¿Toda fracciÓn pertenecen a 0 ?(No siempre). Solicite eiemplos de fracciones que no están en Q (15/3; 8/2; 65/5), Aclare que un número puede estar expresado como una operación, como es el caso de 6a116 o te , y reflejar aparentemente que pertenecen a un conjunto numérico, pero que al resolverlo son identificados en otro.

lN

cZ

{fracciones positivas y negativas},

r, o

y e}, Q

zc

Q

d ll

Q U [ > lN c z c Q c lR,ll c lR de los números reales del slstema axiomátlca Deflnlclón

I

cefadura o clausura

lR.

c3-

i,4\/12 e lR:i.4712 €lR

e lR:

Á3*3=4 1+t/=!t+7

+

Conmutativo

=6./11

.ú --l

I

$*€n,rnt=t$,1ñtn4,

Asociativo

l$«a,m=r$rot.t"m t_ I fel5-dto-t={ s,E.f

I

tvv

oi/ib

I

l*

I i¡s-o=o-?¡s=3¡s

ldentidad o elemento neutro

2Jd.1=1

!',to. 55

'tÜF a

!

5

s a a

ffi

=218

-!1,cq =o JC

l

,rra=?r.-*-_.--,

tzs

orsannou.aruscAPACIDADES

Escribe V si es verdadero o F si

ffr6ell rvr EllNcQ rvr @ -25 e lN rt-r

.2,18

Elemento inverso

Pá€s. 44"47

é

Refuerce sus aprendizajes, en relación con el estudio de las propiedades, solicitando que justifiquen cada uno de los procesos aplicados en los ejemplos 47 y 48. Pregunte: ¿Qué axiomas de ta adición y multiplicación se han empleado?

Lr

conjunto de los números reales: lR=

+

Para consolidar

I

u {... -3, -2; -1},

,k.d1l

I

Considere los e.lemplos de las propiedades para facilitar la lectura de las propiedades del libro de actividades. Haga notar la diferencia entre las propiedades que se cumplen para la adiciÓn y las de la multiplicaciÓn. Pídales que elaboren un organizador visual con un resumen.

lN

conjunto de los números racionales:Q = z


Para desarrollar solicite que fijen la mirada en la representaciÓn gráfica de la sección "Ten en cuenta". Concluya expresando que lR se sintetiza como Q U II.

conjunto de los números enteros: z =

Observa los ejemplos de los axiomas más importantes definidos en

Propiedad aditiva:

Recuna a la informaciÓn para construir el conjunto de nÚmeros reales. Presente el conjunto de números naturales y resalte la necesidad de extenderlo a los enteros mediante ejemplos. Enuncie que los enteros se vuelven a extender hacia los números racionales, por no encontrar una respuesta a nÚmeros como 7/5. Comente que los inacionales son nÚmeros singulares, pues lo conforman las raíces inexactas, n, tD y e, y no es la extensiÓn de ningún otro conjunto.

I

Conjunto de los números naturales: lN = {0; 1;2;3; ...}

Conjunto de los números irracionales: II = {raíces inexactas,

Exprese a los estudiantes la importancia del uso de los nÚmeros reales en situaciones cotidianas y reales. Solicite que saquen una hoja bond y pida que midan los lados, Elabore una gráfica de la hoja bond y pida que lleven esos valores a Ia gráfica; enseguida, solicite que determinen el valor de la diagonal. Pregunte: ¿Qué tipo de número han encontrado en los lados de la hoia? (Raóionales). ¿Qué tipo de números han encontrado en la diagonal de la hoia? (lrracional). Para comprobar sus respuestas, solicite que revisen la información sobre relaciones de los sistemas numéricos. ApÓyelos para identificar los conjuntos numéricos que han intervenido en la situaciÓn. solicite que expresen

á

Relaclones entre los s¡stemas numéricos IN, Z.Q y R

TEN EN CUENTA

Sugerencias didácticas

I

h;

Elcon¡unto de los números reales

Capacidades e indicadores de desempeño . ldentifica relaciones de inclusión y pertenencia en los

es

Vl-11

Comunicai

falso.

ez

45J24

rt't

@&oe R rvr Gll /,2 rr'¡

'1-ó Argumenta afimaciones

7-9

Demuestra las siguientes propiedades: @ (x + a)(.t + b) = xz + (a + b)x + ab

0 (¡-y)(l + ry +y2¡ =.f - y' g¡i=y'-r=yvr=-] UNIOAD

I

LÓ8ic¿ NúmeroscomPelos

1T

LIBRO DE ACTIVIDADES

I

EL

CONJUNIO DE LOS NUMEROS REALES

EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES

@ Elconjunto de los números reales

El sistema de los números reales está formado por el conlunto tR, las operaciones de adición y multiplicación definidas en é1, sus axiomas y propiedades, y una relación de orden en R.

Relaciones entre los s¡stemas numéricos tN, Z. Q y R. TEN EN CUENTA números reales es la unión del conjunto de los números rac¡onales e ¡rracionales.

tR=Qult R

aa

Observa en la tabla los axiomas más importantes definidos en lR.

Un sistema numérico es un conjunto provisto de dos operaciones (+, , que verifican cieftas condiciones relacionadas con sus axiomas y propiedades y, además, satisfacen una relación de orden.

El conjunto de los

Axi0ma +

Cerradura o clausura

El sistema de los números naturales está formado por el (lN), las operaciones de adición y la multiplicación definidas

conlunto de los números naturales en é1, sus axiomas, y una relación de orden en lN; es decir, (lN, +, .). En este sistema, se puede realizar la ad¡ción, pero no siempre la sustracción.

+

--f

Va.beR.a.b=b.a +

D¡stribut¡vo

va, b, c +

ldentidad o elemento neutro

El sistema de los números reales es el conjunto de los números reales, denotado por lR, y sus propiedades. Está formado por los números naturales, enteros, racionales e irracionales.

R

(b + c)

Va€R,

- a. 6 ¡

a.,

lR,a +0 =0 + a = a

€ lR/v¿e lR,¿

-1

-

1 -

a=a

l -aeR/a+(-a\=0

v¿€R-tol,r

orden

Marca con un y' los conjuntos a los que pertenece cada número real

0,18

1

cl = (a. b). c

a. lb.

eR.a.

Elemento inverso

1

^/l

+ (b + c\ = la + b) + c

It 0e lR/Vc€

It +

EJEMPLO

20

eR. a

Ya, b, c elR:

sistema de los números rac¡onales está formado por (Q, +, .). El conjunto de los números racionales no es suf¡c¡ente para solucionar c¡ertos problemas elementales algebraicos y geométr¡cos. Por ejemplq no hay un númeto racional a/b pan el que (a/b)2 = 2. Es decir, el número rE no es número racional, sino que pertenece a [, que es el con]unto de los números ¡rracionales, los cuales no pueden expresarse como cociente de dos números enteros.

Número Conjunto

Ya, b, c

Asociativo

El

lRyllc

Va,belR.a+b=b+a

Conmutativo

sjstema de los números enteros, que amplÍa el de los números naturales, está formado por lZ, +, ).EnZse puede realizar la sustracción, pero no siempre la división. Esta operacjón es posible (dividiendo por elementos distintos de cero) en el conjunto Q (números racionales).

cZcQc

Va,á€R:¿+á€R va,belR:a.belR

El

Escr¡bimossimbóljcamente: lN

.12

64

Í6

^/5

v¿,

ác

lR:

Ienr".)=t

lu < b) v \o > b) v lo = b)

EJEMPLO 47

JT6

TEN EN CUENTA

Demuestra la propiedad cancelativa de la adición:

Axloma de simetría

IN

Va,b y c €lR,a + b = s

Z

1." (a + b) + --a = (a + c) +

a

l

2."

fl IR

N N @ j

ci

)

!

v Determina el resultado de:

e a o

a)Q^[ c) N^Z

f

p = t o C

@

b)fl',nN

d)Z^Q

a)QAll=R b)nnN=N c)lN ¿ Z =

{+;

...:

-3;-2;-l }

d)ZAIR= {Fracciones positivas v negativasr)

@ G

c § .F c a

¡

COMUNICA

¿

I

44

'

Def¡nic¡ón axiomática del sistema de los números reales

(a+-a)+ b=(a+-a)

I ¡-

S=

a=b

¡

--a < Axronl,r.te ¡rororofr3 +

c < Axro|r¡ilsocr¡trvocl.

a=b .a+c=b+c l,titct.on

3.'0+á=0+c


4.' b = c

<

Axrofr¡

c,r.

b=a

Axioma de monotonía

rdeftlcad da i3.ld 0or.

ETEMPLo Resuelve las siguientes operaciones con conjuntos numéricos:

EJEMPLO

a) (QnD'nZ

Demuestra que ¿ ' 0 = 0. Justifica cada paso con el axioma correspondiente.

.

Hallamos el resultado teniendo en cuenta el gráfico del margen. (Q

n [)'n

Z=(a)'nZ =IRNZ --z

b) Q'- (Nl u rR') . Hallamos el resultado

aplicando los conjuntos numéricos del margen.

Q'-(lNuR')=[-(lNuZ) =II-

N

I U

I e p € €

E

e

g

s

o

3 o

1." a'0

a

0)

<

Axionr¿ cle

2." g*1 =¡v-A+a.O

<

Axorfsclsrrrbuivo

3.'0=4


=

0

4." a'O=O

(0 +

<

Def

rdoltdad de

a adroórr

n¡cióf clcsrfierriadetaigualct¿cl

UI{IDAD

I

Ló8ica. Números complejos

45

Relación de orden en

lR t

Capacidades y desempeños prec¡sados Comunica Usa esfategias

o

.

y procedimientos Argumenta afirmaciones

o

solo de signos. Pregunte: Si b < 0, ¿cuál es el signo de b?(Negativo). Acentúe que todo número menor que cero siempre llevará el signo negativo y si es mayor que cero es positivo. Estimule a que hagan conjeturas; por ejemplo: si a rel="nofollow"> 0 y b < 0, ¿cuál es el signo de a 'b?(Negativo). Partiendo de estas premisas, ilustre los procesos para hallar la verdad de la expresión.

Establece la relación de pertenencia entre un número y su conjunto numérico. (1-20) Analiza y aplica las propiedades de la relación de orden en R para justificar implicaciones y argumentar demostraciones, (21-23)

I

Justifica las propiedades del conlunto de los números reales y su relación de orden. (24-28)

Sugerencias didácticas Para iniciar

t

Comience solicitando a siete estudiantes las medidas de sus tallas; tome nota de ellas en la pizarra. En seguida, presente los sÍmbolos (, i =. Pregunte: ¿Cómo ordenamos las medidas de las tallas usando los símbolos <, > i =? Solicite que procedan a ejecutar dichos procesos. Haga notar el orden que se genera en este grupo de números. Extienda estas orientaciones al conjunto de números reales y exprese que la relación de orden permitirá trabajar con expresiones de desigualdad y con intervalos en el conjunto de números reales.

)

I

Para desarrollar

I

Anuncie las propiedades de las relaciones de orden; resalte el uso de variables mediante desigualdades. Recuérdeles que los símbolos < ; > significan desigualdades estrictas, mientras que < ; > no estrictas. Apóyese de una recta numérica para dar mayor facilidad en la comprensión de cada propiedad. Para el caso de la tricotomía, explique el significado de ella'. Para cualquier par de números reales a y b, solo una de las expresiones siguientes es verdadera: a > b, a < b, obien a = b.En el caso de la propiedad aditiva, mencione que es fácil deducirla si sumamos miembro a miembro dos desigualdades. La propiedad transitiva se traduce como una implicación de tres números, es decir: si a by b c, entonces a + c. Exprese el siguiente ejemplo para lograr su comprensión. Si 3 < 5 y5 < 7, entonces 3 < 7.

*

I

I

I

-

estas orientaciones y procesos para desanollar la actividad 28.

I

Rl traba¡ar el elemplo 51, resalte el uso de los signos en la demostración y las condiciones que se da para cada variable. Anticipe realizar una revisión de la

ronla do lnc eianne rlo la

mr

rltinlinaniÁn nlantoo aiomnlnc

n¡

¡mórinnc rr lt ¡onn

Para tener éxito en la actividad 21 , exprese la importancia de tener claras las condiciones. Solicite que mencionen a qué conjunto pertenece my n,y cuál es la característica de cada uno de estos conjuntos. Becuerde con ellos las propieQades de la radicación y potenciación. Pida que analicen la expresión ("/m +,/f )b para que lleguen a comprender que el resultado final no es fracción ni un número irracional, sino que es un entero, por lo tanto, los radicales deberán simplificarse o transformarse. Pregunte: ¿Cuál es la simplificación de la expresiónim't 1m'¡. Resalte que la expresión se ha simplificado al aplicar la propiedad raíz de una potencia. Es necesario su apoyo para que logren transformar ambos sumandos, de modo que al ser sumados se tenga un solo radical y luego se simplifiquen hasta obtener un entero. MotÍvelos a efectuar la actividad 22. Es conveniente que ellos expresen las condiciones y lo que se le solicita. Recuérdeles que a toma diferentes valores de N, mientras que b y c se componen para hacer una fracción en Q. Ayúdelos para que expresen que el divisor debe ser negativo para obtener el resultado en Z-. Pregunte por los procesos al resolver la división de un entero y una fracción a fin de orientarlos para comprender que al operar se transforma en una multiplicación. Al final, requiera que compartan sus razonamientos y resultados, valídelos y retroaliméntelos. En el caso de la actividad demostrativa 24, será necesario anticipar un

repaso del producto de la suma de dos cantidades por la diferencia de las mismas. Acompañe para identificar el antecedente y el consecuente de la proposición con el objetivo de saber cuál es el punto de partida y aplicar sus razonamientos y deducciones. Puntualice que usen la propiedad distributiva de la multiplicación y la reducción de términos semejantes. Facilite la comprensión, proponiendo interrogantes que ayuden a despejar sus dudas.

-

Presente el ejemplo 50 con el propósito de analizar la demostración y haga notar el uso de las propiedades de la desigualdad y los axiomas del sistema de los números reales. Explíqueles que en una demostración se tiene dos partes: Hipótesis (antecedente) y la tesis (consecuente). Vincule la expresión al tema de la condicional: si se cumple p, entonces sucede q, lo que es p q. Sollcite que señalen cuáles son py q, para dejar clara la condición a, b e lR, a < b y que se debe llegar a comprobar la tesis. Despeje sus dudas en cada proceso de la demostración, recalque que cada paso se sustenta con un axioma o propiedad. Concluya expresando que una tesis no es válida si no llega a demostrarse mediante razonamientos lógicos y válidos. Considere

Libro de actividades (págs. 46-47)

Antes de desarrollar la actividad 26, forme pares y solicite que exploren toda la interrogante. Pregunte: ¿Qué van a demostrar?l(a-1)-1). ¿Cuál son las condiciones? (Tener cualquier número real diferente de cero). Para entender la restricción en la condición, pregunte: ¿Cuál es el resultado de operar 06? (0). ¿Y de? (También es 0'). Que noten que el cero elevado a cualquier exponente siempre tendrá como resultado cero, por lo que no debe ser considerado en la demostración. Cite que en esta demostración es necesario la construcción de otras igualdades mediante propiedades. Guíelos para que lleguen a identificar que un número cualquiera por su inverso multiplicativo resulta la unidad; a partir de esta premisa deberán construir sus procesos.

El diagrama de Hasse y la

relación de orden. It/ediante una representación gráf lca ordenada, simplif icada y jerárquica, se puede expresar la relación de orden de los divisores de 36. Fíjate en este esquema:

1B

4

2

1

Donde se identifica que 36 .1 es el mayor orden y el de menor orden. Se interpreta

que36>12>6>3>1. Revise el enlace para profundizar el tema: https ://vwwv. youtu be. com/ watch?v=4NBioduM4ts

#

N N @ j

ci

i

:9

o l

B

o o

:

p p

co c

Para consolidar

ui

I

§c

Exprese las siguientes conclusiones: El conjunto lR es totalmente ordenado y completo. Geométricamente, en la recta numérica se cumple que a cada punto le corresponde un solo número real v viceversa.

o E

a @

LIBRO DE ACTIVIDADES

.

1

EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES

EL CONJUNTO DE LOS NUMEROS REALES

Relac¡ones de orden en R

fl

orsannorrn rus cApACtDADES

'

Cornunica:1-20 Usestrate8iasyprocedimrentos:21-23 ABurn€ntaafirmaciones:24-28

La relación menor (<) posee las siguientes propiedades:

Indica la relación de pertenencia o inclusión según

IMPORTANTE

Propiedad de tricotomía

L]n número.? es menor que el nÚmero á. se

escrióea
V(a, b, c)

eR,si a <á

Propiedad aditiva

V\a, b, c)

eR,

V(a, b, cl

eR,si a <á

y c > 0. entonces

a.

c<

b. c

<á

y c < 0, entonces

a.

c>

b. c

Propiedad multiplicativa

b>a.

si a < á, entonces a + c < b + c

V(a, b, c) elR,si a

es equivalente a Si 0 <

y á < c, entonces a < c

ozlilo

. a'b ,1

Q)uz.z [B(Q-DnN N lErR-(Quz) il lD (Q',n N)uz z ¡D@nD,-Q il

Escribe verdadero V o falso F.

' .

+.

Si 5 <

2 y 2 < ^/5, enton""t

zy]

> 0,

multiplicativa.

.

B

aTAt

"ntor"",

j . y'5. (V), por la propiedad

, J

f

.

el,

"o

se

transitiva.

cumple la primera propiedad

(Q

O

¿ :9

v

lN,

propón

gm +9n)6 ez.

€ lR, a < b + -b

<

-

(rffi *ig)'

a

<

= ( zE)u = 2". 5 = 32o

+

3?o

si¿elR,áelRt,

-

!o o o f

halla el valor de verdad de:

a.l-b)+(<\.b<0

+->0(F)

.

<propiedadaditúa

<

AxiomaasociatircdelaadiciÓn

< <

Axiorna del inwrso de la adición Áüiorna de rdentidad de

€ c

o e

de la expresión:

ta

@ Si a e

I e Q. crea un ejemplo dando valores a se cumpla que ta + ,21 aV ,/=rl::= r1 tN y

pari que

rr. á y c

adición

{

(+X-) + (-)

* a' á+á = 1-l 1-) a_ b. a (+)_(_)(+)-(+)_(_) (-)
Lo que nos indica que la operación es menor que cero. Por lo tanto, la proposición es falsa.

a c

i

0 i)=i 1.;

(r¡l) (ril)l= l ,/ l(dr).(,rr¡r¡=¡¡. l,/ (r/ )l (ar)r=,i I (r¡ ll=«'l

¡

I

.

€

49

-

t

.\¡tlieantos Ia pro¡ricrlad asttcirlirir tlc tr

lt ipl

icirci(rn:

(ttt.u).bt
.y¡ez

reales y tienen el mismo signo:

a4b+b-t \')+kt .h¡t=¡¡ .¡, ,1¡ Mtrltiplicar¡os p()r'a /¡ I l ¡rrrh,,s nriernbros tlc la tlcsiru¡ldad tt < l,: tt .u . l¡ < l, u ) l¡ .ll¡

l¿r

.h)

r\¡rliciutros la propicclatl del elcnrcnlo inr.'rso rlrr ll iplicatiro:

f,ffirO

Debemos trabajar con la ley de signos de la multiplicación. Si a entonces e lR-. Si á € lR-, entonces -á E lR+.

=GÉtr]=i=

p

i).i

@ Si a, á son números

,t+l)=2r:i=

€ R-, halla el valor de verdad

. ReemDlazamos. "--"'.'--"""-

t+\ r=f,.kt .¿'t)+\.tb bt)

ez

Axiornadecerradura

EJEMPLO 5,I Si a E lR+, á

h

i{¡j.YaF-R-{0}: (a-r)-r =a.

il

nr

)

0.entonc

«l + l¡t

un ejemplo dando valores a m y n, de modo que

< n2 <22. (V), por la segunda propiedad adicional

. Si a, á € R + --a, _b €R + --a _ b €R . a
ci

*t. r=9!;!!)

d-

-til

u z) o

@Q'-@-tN)

l)

/r=V):r=5

Demuestra que: Si ¿,á

USA ESTRATEGIAS Y PROCEDIMIENTOS

oy

r+1"(

Analiza y resuelve.

EJEMPLO 50

@

-.v2.

a.( ad (b od h¡ b* ,l= b(l* ,lb= hrl"Ñ

1

N N

t

?

il

R'n

si á

a(a b' d-

¡E(RnD-Q G,Qu(z-N)a

@ Teniendo en cuenta que ,n E II y n €

Si 0 < ¿ < 2, entonces

E

lD (Q n D,n

(D

(r+.r)(r-,r)=f

(\+\)( \ r)--\ fl (\+r)(t t)=\'\+\'( r)+\ (\+r)(\ \')=r' .,,+rl r' l\+i)lr r)=\ fl

a

Resuelve.

ID (N n

EJEMPLO 49

t,

r lÉ,t

sBlAz Gtz c r @/Sálrn

orl¿ln

. O<'lo<'|b

O
_1

a @

a-ls ¿ tN

4 < á, entonces se cumple:

Demuestra las siguientes propiedades:

@

o ros llz o Rl¿lN

Propiedad transitiva

b

a<á

corresponda.

V(a, b) elR, a = b y a < b v a > b

lR+,

@ Si a €

ñ

e p

€

lR-. Indica si es verdadera o falsa la

siguienre proposición:

d

ó

IR*, á

,

o.

@ Si a < á y c < d,entonces a + c < b + d.

6 E

Si

«€lR*+

E

E e

I I

Reernolazam.s: ,

I

g

I i+f

o

!1ffi

o

(-)

+

)

(-)

«€lR-.

Si

á€lR +-áe

Ll¿ig - l-l + ( Y+) tt./, + /, (+x_) + ( )

l l¡
lR'

Si ri < /¡, le agregriltos c a rnrhos ttie¡nbrLrs ),

tcilcmosque: u+t
I

t+t
§ c @

o

46

UilIDAD 1 Ló8ica. Números complejos

47

lntervalos. Densidad en Q y complejidad en IR Capacidades y desempeños precisados . Usa

estrateglas y procedim¡entos

Argumenta afirmaciones

. ¡ .

Adapta y combina estrategias heurísticas para representar intervalos y operar con ellos. (1-4; 1) Simplifica inecuaciones y representa el conjunto soluciÓn a través de un intervalo, (2-3) Explica con la media aritmética la condición de densidad en los números reales y grafica números irracionales. (5'6; '5)

I

I

I

Sugerencias didácticas

!

Aproveche el análisis del ejemplo 7 para revisar la simbologia matemática que se utiliza al representar intervalos; su relación con la simbología conjuntista y cómo se representa gráficamente.

a

I

Sugiera intervalos para que los estudiantes los representen en la recta numérica. Por ejemplo: [3; 8]; [- 2; 5]; l6; 9l; [-3;-1[, etc. Luego, invite a compartir sus soluciones. Pregunte: ¿Cómo representamos en la recta numérica un intervalo cerrado y uno abierto? (Las respuestas deben considerar si los extremos de los segmentos se oscurecen (extremo cenado)

2)

I

Libro de actividades (págs, 48-50)

La resolución de la actividad 1 remarcará la relación entre intervalos, conjuntos e inecuaciones, Si considera necesario, puede volver a analizar el ejemplo 7 del texto escolar (página 12) o en su defecto, recordar a los estudiantes cómo son las operaciones con conjuntos. En el intervalo [2; 8], pregunte: ¿Qué clases de números hay en el intervalo uesto? (Natu rales, enteros, f raccionarios, racionales, irracionales; resumiendo, reales). ¿Cuántos números reales hay en el intervalo propuesto? (lnfinitos). Para comparar con otros conjuntos numéricos, interrogue: ¿Cuántos números enteros hay entre 5 y 9? (Hay tres enteros: 6; 7 y 8). ¿Cuántos números enteros existen entre 5 y 6?

I

Pregunte: ¿A cada número racional le corresponde un punto de la recta numérica? (Sí). ¿A cada punto de la recta numérica le corresponde un número racional? (No). ¿Por qué? (Porque existen puntos que corresponden a los números irracionales). Haga notar que el conjunto de números racionales es un conjunto denso, pero no ocupa todos los puntos de la recta numérica.

I

lndique que den lectura comprensiva a la definición de completitud en el conjunto de números reales. Luego, reitere que los nÚmeros reales tienen un lugar en la recta numérica. El ejemplo 54 permitirá reforzar el concepto de completitud.

I

Ponga especial cuidado en la forma de representar los nÚmeros correspondientes a raÍces cuadradas inexactas, mientras que los otros números irracional reforzarán el concepto de completitud.

En la tabla mostrada, enfatice en la relación de la representación de los

intervalos con las inecuaciones. Remarque las caracterÍsticas de cada clase de intervalo. Pregunte: ¿En qué se diferencia un intervalo cerrado de uno abierto? ¿Cuál es la semejanza entre un intervalo semiabierto por la izquierda y uno semiabierto por la derecha? (Que ambos incluyen los valores de los extremos).

1

lnvite a leer la definición de densidad en el conjunto de números racionales y utilice el ejemplo 53 para aclarar cualquier duda. Después de la lectura de la sección "lmportante", enfatice que por más cerca que estén dos números racionales, siempre se podrá ubicar un número entre ellos, lo que no ocurre con los números enteros, por lo que podemos afirmar que el conjunto de números enteros no es un coniunto denso. Lo aprendido ayudará a entender y resolver las actividades 4 y 5. En estas haga notar la ventaja de trabajar con fracciones homogéneas.

Para iniciar Presente: Tendré clases de 8:00 a.m. hasta las 4:00 p.m. Viajaré el 7 de junio y regresaré el 12 del mismo mes. Luego, relacione las situaciones con la definición de intervalo que se describe y destaque la importancia que tiene en la vida cotidiana.

(pág

p rop

Explica con proyecciones geométricas la condiciÓn de complet¡tud en los números reales. (6-7)

I

Texto escolar

o quedan como círculos sin sombrear (extremo abierto)). ¿Y los semiabiertos?

N N

o

Para desarrollar

Para consolidar

I

I

MotÍvelos a indagar sobre el significado de número áureo en otros campos del conocimiento, como el arte, la arquitectura, la biologÍa, etc.

I

Reitere que para las raíces cuadradas se utilizará un procedimiento geométrico, por medio del teorema de Pitágoras, y para los demás casos se

E

hace uso de aproximaciones.

p

Pida a los estudiantes que, en equipo, resuelvan la secciÓn "Desarrolla tus capacidades". Para la evaluación, indique que intercambien los cuadernos un equipo con otro. Resuelva en la pizarra los problemas con errores.

E

I

Destaque la equivalencia entre un intervalo y las inecuaciones. Por e.iemplo: [2; 8] equivale a 2< x< 8, V xe lR. Lo anterior implica que se pueden escribir dos inecuaciones: 2 < xy x< 8. También se podÍa haber expresado: xe [2; 8]. lntenogue: Si nos dijeran que (x + 2)e 16; 101, ¿cuál sería la expresión equivalente en inecuaciones? (6 < x + 2 < 1 0, que se pueden expresar en dos inecuaciones: 6 < x + 2 y x + 2 < 10). ¿Cuáles serían los posibles valores de x? (Los posibles valores pertenecerÍa al intervalo 14; 8l). Proponga que lean el ejemplo 52, y luego que verbalicen el procedimiento seguido en la solución (elegir la incógnita, plantear las inecuaciones, resolverlas, representar la solución como con.iunto, gráficamente y como intervalo). Pida que refuercen el procedimiento resolviendo las actividades 2 y 3 v la de la sennión "l lsa estrateoias v nrncedimicntos"

I I

Como conclusión, se puede afirmar que el coniunto de números reales es un conlunto denso que tiene la propiedad de la completitud.

)ci c

:9

)

o o a

p LI

a o c

§ .F

c G 6 @

TEXTO ESCOLAR

r

lntervalos. Densidad en Q y comp¡etitud en R

EL CONJUNTO DE LOS NIJMEROS REALES

lntervalos

Los intervalos son sLrDconjLrntos cle los nL.rnreTos re0 L.s c]ue sol parte nrportante de nuestra vida diarr¡. Los usanros, por erlr:mplo, Dar¿i deter'il1ilar

e

t eil.rpo r:nr¡tleado y r: orden que ocul)a !n atleta a lernrn¿r t.[]a ca[rLrrA. Acien¡ás, f os ayuCla a crttendcr Jos vac os d{l a recti-t nLtmér c.l rca

TEN EN CUENTA Otras notaciones simbólicas:

.

lntervalos

)a;bf

lR. = l0;

Un ¡nten alo es un subconjunto de números reales definido mediante la relación de orden. Como los ¡ntervalos son conjuntos de números reales, sus operaciones se realizan lo mismo que las 0perac¡ones con conjuntos.

RECUERDA

=l¡ /xeR;a<x
la:b)=U / x€R;a<x
EJEMPLO 7

fa;b[=8/xeR a<x
< 5}, B = {x I x e R; 2 < "r < 6} y C = Calcula el resultado simbólico y gráfico de A ñ (B - C). Sean

)a;bl=8 / x.-R;a<x
.

)-@:a)=Í8/x€Fl;¡34\

l'4:aI=lx/x€R:x
A=

{¡ / ¡ e R; -l <.r

{x I x e

R; "r <

=

Ía;

al = lal

l-6;0t

4}

- C)' = l-l; 5l ¡ (Í2;61- l-*; 4[)' An (B -C)' = l-l; sl n (t4; 6D' An (B-C)' = l-l; sl n (l-o; 4[ u [6; +@[)

a) Halla un número racional ertre

,=+=+=i,

-L

2

l4

b) Ubica

.

,;t

V

l5

1

¡

Cemado

lu: bl

{-rl,r€lR;a<,r<á}

Abierto por la derecha

La: bl

{x/-t€lR;a<.r<á}

b

Abierto por la izquierda

la:. bl

{,t/,r€lR: a<.r
b

t

inecuaciones, se utilizan las propiedades de la relación de orden.

61, N

.

Sea

¡

A: Lr

l-o;

en la recta numérica.

.

Dibujamos el triángulo rectángulo de catetos 2 u y I u. Aplicamos el teorema de Pitágoras y hallamos 15. Luego, trazamos un arco de circunferencia con centro en 0 y radio igual a 15.

4[ y P= [0;

ao[,halla:

OMn§UP) t-::(,t E)(M-N)nP tl:(,1 O(M'uN)-P,:ol BM^(NuP') l-'r -ll l-l:rrl

§

{.rirelR;.x rel="nofollow">a} {-tl,r e

Inecuación A

Lr

q

v

.

7

«}

Inecuación B

>29

3x 5
p !

multiplicarloporóVse le resta 7 el resultado es menor que el cuádruplo del número más 19. I 2

_§

0

12

48

x<21

l8

Representamos gráficamente en una misma recta las dos desigualdades Determinamos la intersección: A

Halla un número natural que al multiplicarlo por 5 y se le resta 8 el resultado es mayor que 47, y si al

*o" I I f. Ji

@ Ubica en la recta numérica 16 V JT6.

lR; -r >

Resolvemos ambas inecuaciones:

Lr>29 +7 Lr>36

Resuelve.

Halla un número racional

+*¡

el número de postulantes a una universidad. Interpretamos la situación: -7 > 29 y B: 3x - 5
r>

=

{r/,relR; x
resultado es menor que el doble del número de postulantes aumentado en I 6.

I

M= l-2;

¿l

EJEMPLO

USA ESTRATEGIAS

Si

l--;

Se desea saber el mayor número de postulantes del aula de 5.' A del colegio San Antonio a una universidad. Si al doble del número de los postulantes se le disminuye 7, el resultado es mayor que 29, y si al triple se le disminuye 5, el

i.}.,

Usa estrateg¡as y proced¡mientos: 1-ó

¡<¿}

{.r'/.relR;

RECUERDA

-.

cAPAcTDADES

<.r < á}

Para resolver

En la intersección con la recta rumérica est:rrá ubicado el númer,r ,/5

oesannou-arus

lR: a

I -;¿l

la; +o¡

Pá¿s. 48-50

ff

la izquierda

[«;

* y 1 . Ver margen

€

Gráfica

{.r/,r

Ilimitado por la derecha

l.

Hallamos el número x, que es la media aritmética de

-+

<-------+-------

j

Conjuntista

la: bl

-1 0t23456

EJEMPLO 8

L3¿' I

Simbólica

Abierto

Ilimitado por

H

La propiedad de dens¡dad nos dice: "Dados dos números racionales siempre es posible encontrar otro número racional entre ellos". Existe una corespondencia biunívoca entre cada punto de la recta y los números reales; es decir, no hay vacios en la recta numérica. Esta es la prop¡edad de complet¡tud de los números reales.

.

Representación

Intervalo

= l-6; +@[

Escribimos cada conjunto en forma de intervalo y resolvemos:

An(B-C)'=l-l;4[ rel="nofollow">

un subconjunto de números reales definido med¡ante la relac¡ón de orden. Según se incluyan o n0 los puntos extremos ¿ y á, los intervalos pueden ser Es

+6[

R R

A n (B

la:+@l=8/xeR:x>al la;+6f=t&/x€R;x>dl

II

LIBRO DE ACTIVIDADES

?-1

l8

.

e 2l

Observamos que el número de postulantes está entre l8 y

-

g

n B = ll8; 21[

El mayor número de postulantes a una univesidad será 20.

2l § a @

LIBRO DE ACTIVIDADES

EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES

¡

.

EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES

Densidad en el con¡unto de los números racionales

ff

Dados dos números racionales siempre es posible encontrar otro número racional comprendido entre ellos. Esta propiedad es característica de los números racionales.

Il

. .

"ntr"

{ V }. +

Hallamos m, que es la media aritmética entre ambos números, y n que es la media entre el primer número dado y la media de ambos:

l'7 2 primernúmero: *=4 * +. il,.l 28 = +=+ I . 9 13 Segundonúmero:r =+= += # - +. .lrt. + "i"mpto

nmc 9 113 43216

ft l].

E El

lnterprctlunos la sitrracitin y la sirrbolizanros: cdltl de Nicolís. A: l.r +,1 < 3l B: 3.r 2 > 30 -.i Resrllvcnlt¡s cada inecuacióI plantcada: A; 2.r + 4 <.ll + l.r s l8 +.r< l-1 S; -1.r- 1> 30 r+ -1.r+.r> 3O + 2

ta propiedad de completitud de los números reales dice: Los números reales rellenan la recta

Sea -r la

numérica, es decir, no dejan vacÍos en la recta. Esto significa que a cada punto de la recta le corresponde un nÚmero rea1. EJEMPLO

TEN EN CUENTA

.

r

en la recta numérica.

4r>32+,r>8

Los números racionales

no son capaces de cubrir toda la recta nurnérica, existen algunos vacíos que son cubiertos por los números irracionales.

Para ubicar tD en la recta rea[, dado que es una raíz no exacta, aplicamos el teorema de Pitágoras a un triángulo rectángulo isósceles cuyos catetos miden I unidad. La hipotenusa de este triángulo será r4. Luego, trazamos un arco de circunferencia con centro en el punto 0 de la recta numérica. En la intersección con la recta numérica estará ubicado e[ número 14. Este número irracional rellena el vacío dejado por los números racionales.

AñB=ltt:l4l

3

I I

I

I

4

5

a!

IiL-s()lvcrx)s la desi!Lr¡ldiid:

.¡l..rlf .,.1

Como ubicar ¡. Sabemos que fi está entre 3 y 4; si aproximamos a las décimas, estará entre 3, I y 3,2; y si aproximamos a las centésimas, fi se ubicará entre 3,14 y 3,15. Este número irracional cubre un vacío dejado por los números racionales.

I

mírti¡nir de Nicol¿ls

1l

-lr I 79 ({J I t*r': l.l ) = .' a ,,,, I

-'|,

rlr)

[)elcflrtirtir¡os cl lcrcer rtúnrcro rrc¡or]i¡l crllr.:

+.¡ 5 (il)j()

+3,¡ ei (r0 ' (r 60 I

I

f.i ll0

l,()s lrL's r)únrcl)s racionrlcs sott ¡lrr cjctttplo

r\.711 l2l 6()

ll0 ll0'

irracionales: tB y e = 2,'7182. .. ¿Se podría decir que la suma cubre un vacío en la recta?

:{,1

I

3,15

UNIDAD

1 tó8ica.

Números complelos

49

50

-1

l ,, ll

Sirrh,ilit.,,,,,,,,

.I /:altr^r lr r L r I ., ;[=] ',-;t I -rrrro- el eLrtrrtlertt",,t,, '""'' ar, Ilt'I],

I

1) i

ci

,

I

c

0

El Grafica el número áureo o =

N

$.

:9

o I

¿Se nuede

decir que este número cubre un plnto en la recta numérica?

. ¡-r ¡1,='' ''=t.()tNr)j ,

N N @ j

2.7181...

-1.\

> \<.(.\IIl),rjt(jlilt(.llc.l

lr< I ..r< |

+e=4.4502...

Sí. la suma es un número iracional y cubre un vacío en la recta.

v.J

]- > l.

[]¡lllur¡rs lir irttcrsccciirt:

3.14

l{r

> 2 y 2x + 5 < 4.

Resolrcnr¡s la desigrralclacl: lr + 5 <

!

3 o

+'i

= 2 =«)

l)cler¡ttinarros cl scgttntlo nti¡ttcro raciortitl

Determina simbólicamente el complemento del resultado.

B E

§

i*'r i 6

¡ltllllclos: -l

tE Ia desigualdad

'

§

-5

l)clcr¡ninar)lo\ lrr nrcdi¡ arit¡ilriticil !'¡ttrc l()\ (l()\

Gl l-Ibica en la recta numérica los números

La sLrrrra tle la edad nrilxima cs Ii + 1,1 = 2l

Et Resuelve

I6"y ].

Grafica en la recta numérica y responde.

Hallanros la interseccirin:

fr

-?l

Nicolás le dice a Fernando: Si al doble de mi edad le sumo 4, esta será a lo mucho 32, y si al triple de mi edad le resto 2, obtengo como mínimo 30 disminuido en mi edad. ¿Cuál es la suma de la edad máxima y mínima de Nicolás?

Calcula tres números racionales entre

"""t

complet¡tud en el conjunto de los números reales

Ubica los números reales: y'21

il t2 2-1 il 6 16 16 16 l.l l6rrl 2 : 12 Los números r¿cir¡nales son porejemplo I l/16 y 23132

Entre dos números

r

Detefnlinamos la nledia aritmética entre:

| t: +,,1 15: ltl =ll:5[ U l§: +,1 Ltrego. \'-t tl = li: -51 ..1 S: +,

racionales d¡ferentes hay unq dos, tres, ... números rac¡onales entre ellos. Por lo tanto, hay inflnitos números racionales entre dichos números racionales.

] v f.

.5.ó | 8-r,t li il 2 =7= 16

-

-

IMPORTANTE

entre

ntlmeft)s:

I

L

8

Argumenta afirmaciones: ó'7

Det('nninamo\ h ntedia aritnrcrtica enl¡t los dos

I ,: 5l + A'= 15:+,.\,\ll=ti\ Uttl (i\ all) lL5:+'. a ll:r'll) = l15: +, t ll:sll

Z

'1-5

@ Halla dos números racionales

Dados los conjuntos: tr = {x € lR /;r < 5} y B = {x e R /l <x < 8}. HallaA' A B. A=

Ubicamos en la recta numérica ambos números. Luego, hallamos los números racionales que están entre ellos. Ver margen.

Los dos números racionales son por

Usa estrategas y proced¡mientos:

Analiza y resuelve.

EJEMPLO 53 Determina dos números racionat.r

orsnnnouaruscAPACIDADES

o <='+

§ :3

E

p €

¡

p I

-

ttl

Sí. cstc nrimcro cs un núnrcro irracionrl. v cubrc urt plrnl() cn la rccta nunrér¡ca.

6 o o

d E

3 o

@ G

a § '-

c r/)

o

TEXTO ESCOLAR

Operaciones con números reales ¡

!Textoescolar(pá9.

l3) ¡Libro

deactividades (pág 51-53)

Capacidades y desempeños precisados . Emplea propiedades de la adición, multiplicación, radicación Usa estrategias y procedimientos

Operaciones con números reales

y potenciación para resolver problemas de operaciones con número reales, (1-2; 1-6)

Sugerencias didácticas

Operac¡ones con números racionales

Para iniciar

I

EJEMPLO 9

Bevise con los estudiantes la conformación de los números reales (racionales e irracionales) y las propiedades más aplicadas al calcular con ellas. Enfatice la utilidad de comprender y aplicar las propiedades por facilitar el cálculo mental, la rapidez y efectividad en los resultados.

I

I I

N N @ j

I

d ¿ :Q !

l

o

o o

t

son varones V

.

c

I

a c

§ c

o

I

Realice la diferencia entre las estrategias usadas al resolver los problemas destacando el planteamiento de ecuaciones y el uso de la tabla de doble entrada. Pida que resuelvan los problemas de la sección "Desanolla tus capacidades" en su cuaderno. Luego, revise estos problemas a través de una coevaluación.

Como

J-r

son casadas, ¿cuántos varones hay?

rtrr:"*. .^uau., (j)(]r)

jx

2l

(?)(.y)

.

(])

(

j,)

mujeres son solteras, hallamos x:

=

r'

- i, =21 + x = 84

Hallamos el número de uu.on".,

],

= J{84¡ = 56

En el club hay 56 varones.

Operac¡ones con números irracionales TEN EN CUENTA

EJEMPLO

Con ayuda de la calculadora se pueden aproximar a décimos, centésimos,... las operaciones con números irracionales.

otro y regresar. Este tiempo

El periodo de un péndulo es el tiempo que tarda en moverse de un extremo a se puede estimar con la

fórmula

f

= Z"

.

tl*,

dor¿"

I

= 9,8 m/s2; 7" se mide en segundos y ¿, en centímetros. Aproxima a las décimas el periodo de un péndulo de 90 cm de longitud si n = 3,14.

. .

Nos piden el periodo

I.

Por dato: L = 90 cm = 0,90 m y

I

= 9,8 m/s2

Reemplazamos los datos en la fórmula dada y resolvemos:

r=zn'{!

Considere remarcar en el elemplo 58, Ia estrategia de descomponer en factores primos para simplificar radicales y el poder agrupar los radicales semejantes. En el ejemplo 59, agregue la estrategia de homogeneización de índices para facilitar las operaciones con radicales.

Para consolidar

o

.

Resalte a los estudiantes la sección "Recuerda" respecto a las operaciones con radicales y motivelos a nombrar un ejemplo para cada propiedad. Puede realizar carteles que ayuden a ejemplificar mejor el cálculo de la adición, sustracción, multiplicación, potenciación y radicación de radicales. Pegue los carteles en un lugar visible del aula, para que los estudiantes siempre lo tengan en consideración en el desarrollo de los problemas.

_! !

1

a" Ur mujeres

rnluie,es sorte.as,

Destaque la estrategia de elaborar un cuadro de doble entrada, como ayuda para resolver problemas, como se aprecia al examinar la solución del ejemplo 57.

realidad).

=

j

mujeres solteras. Si se sabe que de los miembros del club, 2

x los miembros del club. Según los datos:

Mujeres:

Analice el ejemplo 55. Destaque la importancia de representar algebraicamente los datos de la situación, que permiten plantear ecuaciones. Para el ejemplo 56, recuérdeles cómo trabajar la fracción de fracción (como el producto de dos fracciones),

p

Sea

varones:

Use los ejemplos 9 y 10 para destacar que las operaciones con números reales se aplican para resolver problemas y no solo el cálculo de ejercicios. Explique el uso de expresiones algebraicas para plantear los problemas. Destaque la aplicación de los números reales en otras ciencias como el cálculo de la aceleración de un atleta conociendo la variación de velocidad y el tiempo.

Para el elemplo 60, pregunte: ¿Cuál creen que es la estrategia que ayuda a comprender la resolución? (La construcción de un dibujo que modele la

2l

En un club hay

Para desarrollar

I

1

=2(,.t4t

,ffi=

1.e03... = l'e segundos

El periodo del péndulo es 1,9 segundos. Pád§.5r-55

§

I e p !

e @

ffi

orsannorurus

cAeACIDADES

Usa estrategias y

de fulbito, donde participaron los estudiantes de 4." y 5." grado de secundaria, se repartió un premio de S/ 5400 entre los cuatro finalistas. Cada uno recibió la mitad de lo que recibió su antecesor. ¿Cuánto recibió el ganador?

§) En un torneo

f!

procedimientos: 1 .2

La aceleración de un atleta en un tramo de línea recta esuí dada

final,

pr, =\!.aonde

u, = velqcidad

v/= velocidad

inicial y r el tiempo. Calcula la

aceleración si vr= 19

nls,v,=7,5

nVs y I =

j

nora.

Sr lSS0

, ,rr,, ,,r.::::::ll:,

13

LIBRO DE ACTIVIDADES

oPERAcToNES

@

coN NúMERos

REATES

a

¡

oPERACtoNEs coN NúMERos REATES

operaclones con números lnacionales

oo"rrciones con números reales

Operaciones con números racionales

. .

de lo que no gastó. ¿Qué fracción de su dinero gastó?

J Sea ¡: Lo que gastó. y: Lo que no gastó. Entonces:, = J Analizamos y resolvemos: gastó + no gastó = I ... 2

Adriana gastó los

$

3y

+

) = I *)

=

I ...',,

;-r

a,c

Resolvemos usando el dato: h. =

8l

cm

+ U =AH+

e\ a c_a

6 \v--r)=E'a- b

e

a ^- a.a ^ b b'b

La pelota cayó desde una altura de 192 cm.

j

e

.

a

r

segundo

É ! !

§

.

hijo

f[ {, -

Lo que queda 1

:ooo]

.

I

zy I

-

:ooo]

3

- rooo

.

20m

.

Sabemos, por dato, que al final le queda S/ 2000. Planteamos y resolvemos:

t IJ,- :ooo] - l6oo = 2ooo +,r=

. .

3

2y_:ooo

rooo t

,r

=-ts3'W

.

[s

r.rr

4'W

...

y,9 obtenemos: :Bttr'r

2

- S'W =lt@

3lb[.

En una ciudad, al realizar un proyecto de ciencias, se observó que un cable de alta tensión iba del extremo superior de un poste de 3 m de alto a la parte alta de un edificio de l5 m de altura. Si el poste se encuentra a 20 m del edificio, determina la longitud del cable.

E

Primer hijo

A-

EIEMPLO óO

Elaboramos un cuadro con los datos de la situación planteada:

g

.-zXz

El resultado es

a

)

- lolt

En el segundo sumando homogeneizamos índices; para ello, sacamos el MCM a los índices de los radicales 3 y 4, que es 12.

t2- l212= -t5 "/4" ' V2' = -t 5 ",12"

b

Representamos por ,r el precio de venta del terreno.

1y + 3ooo

l_

-j':/64 .-6'tr2 = l8'12rr...

ll¡

4-4-¡ 4.b-¡ a-' b'b-"'b

Lo que corresponde

toJ5) = 25nB

lO^8.

11_

El señor Rodríguez vende un terreno de 120 m2. Del total de dinero que recibe, a su hijo mayor le entrega l/3 del total más S/ 3000; de lo que le queda, 2/5 más S/ 1600, le dio al segundo de sus hijos. Si todavía le sobró S/ 2000, ¿cuál fue el precio de venta del terreno?

. .

-

Calcula: -3 7ó4 .-6'732 + l/4'-N2 . Asociamos y reducimos en un solo radical el primer sumando:

E¡emento lnverso

EJEMPLO 57

-

+ etz"/ 3 + 12./5

EJEMPLO 59

Rad cac ón mÉ n-n-

tdentidad o elemento neutro

H = 192 cm

3

('!d^=W e\ la.c\

Distributiv0

] (fiH)- ¡r=#H

\/i - ru5 + s,/,

El resultado es 25"/5

6'\a -fl=\6'al'¡ a tc

s"ñ + +Jn + qlzo - x/ls

Aplicamos la propiedad asociativa, para lo cual agrupamos los radicales semejantes y resolvemos: Q7

\6

atce\lac\e

*nr= frH

(?n)

gJqj -

Potenciación

E. \A--f)=\6-al"i

Calculamos [a altura luego de cada rebote:

?

¿

c!!a c na

¡G=a

Asociativo

2.'rebote:nr=

. = t» cfia

+

Descomponemos los radicales en sus factores primos:

Div¡sión

c,a

bd db

l.e'rebote:rr,=?H .

Ula .cll¿

E-A-A-6 a.c_c.a a tc

.

Multipl¡caciÓn

Conmutativo

de su dinero.

Desde cierta altura H, se deja caer una pelota cuyo rebote logra una altura equivalente a los 3/4 de la altura anterior. Calcula la altura desde la que cayó la pelota si luego del tercer rebote alcanzó una altura de 8l cm.

3."'rebote: r,r =

DIA -ClA =\D-c).la

4-lcp 8.9 co b' d-'" b d -"

-t2$

-t2Ji + s^/*. 5 - sl7- + q\E a + +17* - 2"/s\ = -12$ + 27tE - torS + tzJi + e\B - toJj

Sustracción

Cerradura o clausura

=3

.

OIA+ClA=\D+C)la

Propiedades de la adición y multiplicación en Q

EJEMPLO 5ó

.

Cilcúft

Adición

RECUERDA

Reemplazamos ú; en,¿,:

EJEMPLO 58

radicales:

EJEMPLO 55

Adriana gastó los

RECUERDA

operaciones con

Por dato, sabemos que la altura del edificio es 15 m; y la altura del poste, 3 m. Luego, la diferencia resulta l2 m. Observamos que las tres medidas forman un triángulo rectángulo de catetos 20 y 12,y x sería el valor de la hipotenusa.

Aplicamos el teorema de Pitágoras para hallar lo pedido:

=

2o2

+

122

-

f

=

544

+

La longitud del cable es 23,32 m.

El precio de venta del terreno fue de S/ I 3 500. o UNIDAD

1

Lóg ca. Números

complejos

5T

52

:

Representamos gráficamente la situación (ver gráfico en el margen).

i

r3 5oo

N N @ j

x = ^/544 = 23.32 m

c

§

:Q

a

Éf

p

o o

E

o

€ = E g a g

o c 6 o c

* E

6 a

o

UIBRO DE AGTIVIDADES

1

OPERACIONES CON NÚMEROS REALES

DESARROLLA TUS CAPAC¡DADES

B

Usa estrategias y procedimientos:

!l

Resuelve.

O

-t5lTI

+ 1./as +

2JTB - 8\m

Descomponemos en sus fhctores E=

+

-3(hrl

zhE +

lot/ 5

- 4n75

primos:.

¡OV-1

1.

Luis reparte una cantidad de dinero entre sus tres

Repartición

Fri*"hlj,

Asociant0s tetrntinos senleiantes y resrllvernos:

h=

-ó

r6y'5)

+ l)l)

Queda

3.

5l7t

2l7x

Segunda hiia

415(517

Tercera hija

24

lr

I

l5(5/7.\)

4. 5. 6.

0

f(J)'=:+*.=ror

rM. (M = l4:/r). s'%. ro'?nz) .'ti28 Detemina el valor de

Luego, la cantidad de dinero destinada para las hijas es de S/ I68.

Deternrirrrnros el MC Mrs t0. r¡,¡,, = l()

u-( r'l'l) sl',J,: ( r,,i',:",') '': I'

\t=(

-1.5. I0). \ 16.'6

ii?'. z -+,u,l)¡x

Nos piden:

M 1400'V128 = '/ =

Gl Los campos

)

@

o o ! o

p

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L

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c a

@

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y' l2tl

{irsta:

}

S-lr = J(rr: qrrcrlr: JSi

«irla:

J

-llir = ll.r:

-1ll.r+

ll.r=

D2=tr+tr+D=Jt=tJ2 se sabe que la medida de su lado es igual a 27.43

rnetros.

Lc t¡ttetla: -lf)r

= I l0

+.r

=

(rO.t

a)"r€00

cm y

O

Las edades de Julio y N/anuel suman menos de 48 años, pero Julio tiene 8 años menos que lVanuel. ¿Qué edad puede tener lvlanuel y cuál serÍa la máxima edad expresada en un número entero? Un triciclo tiene un peso de 120 kg. Se utiliza para repartir abarrotes y se sabe que la diferencia .l80 entre el peso del triciclo y la carga que se pone sobre él no debe ser menor que kg. Si en un viaje se cargaron cinco cajones de lgual peso, determina el peso máximo de cada cajón que se puede llevar en el triciclo. Tres amigos, Ana, Luis y Javier, hicieron un trabajo por el que recibirÍan en total 2000 soles. Se sabe que cada uno hizo diferente cantidad del trabajo: Ana hizo el doble de lo que hizo Luis, pero Javier realizó los 2/3 de lo hecho por Ana y Luis juntos. ¿Cuánto recibió cada uno?

9.

Calcula el perímetro de cada una de las siguientes figuras: JV5 CM

a)

c)

b)

.1

CM

CM Gl

,8

:D4O d lm Determina un número real entre: a) 519 y 4tl b) J6O yh48

Simplifica los radicales:

l)(n lo tarl(). ttnia ioiciirlIrcItc -](1t,1) = S/ 152.

./lo

E cr)

"40

cuya masa es b kg levanta a kg de pesas, entonces la ventaja W se expresa así: yy = ----4-. 5¡

cm

10. Sobre

Fernando, de 95 kg, levanta 190 kg, y Arturo, de 105 kg, levanta 204 kg, ¿quién sacó mayor ventaja?

cm

O

Para determinar la ventaja de los levantadores de pesas, se considera lo siguiente: si un levantador

un cuadrado negro se ha colocado otro gris y sobre él uno blanco. Sabiendo que la superficie del cuadrado negro es de 164 cm2, calcula la longitud de los lados del cuadrado gris y del blanco. ¿En qué proporción están las áreas de estas tres figuras cuadradas?

M

Dctenlinanros la ventaja de Fernando:

w=, l9o q5

=48.5-t

J -r,5 Determinanros la ventaja de Arturo: w=

n

Calcula la medida de la diagonal de un paralelepípedo cuyos lados miden./tO cm, cm, respectivamente. ¿Qué tipo de número es el resultado?

l'icnle:1 6()r=ll).r

i5-is

Deteminamos la diagonal de lazona infelcl si

27,43

r¡ucclrr:

Se quiere colocar una valla alrededor de un campo rectangular. Al medir sus lados se obtiene que uno de ellos mide tres quintas partes de la medida del otro. Además, la diagonal mide 30 m. Calcula el precio que se deberá pagar por hacer todo el vallado, si cada metro de valla cuesta 25 soles y se desperdicia un 10% del material empleado.

8.

5rt¡rortranrrr: c¡uc Sirnilrir llt nc S-l.r rlt tli¡tcro-

de béisbol son denominados también

[.a diagonrl mide .]li.tlO rn.

]

de lo que

60

D = 27.,l.lrT = 38.79Iti m

=o a c

l0

La diagonal rlel cuadr¿rckr cn funcitin dcl lado es: ó ó

{

gana

tiene en ese momento y, finalmente, le quedan S/ 120. ¿Cuánto tenía inicialmente?

cuadrado está en función de su lado.

)Q

:o

de lo que Ie quedaba: después. pierde

diamantes, debido a que tienen esa forma triangular La superficie del campo de beisbol cubre 0,8 hectáreas y se divide entre el campo interior o infield y el extracampo o outfield. El inJield es un cuadrado de 27,43 mefros por lado. en cuyos extremos se encuentran ubicadas las 3 bases, que son los puntos que debe tocar el corredor para anotar un rnn y el plato de home. Determita la longitud de la diagonal del infield (campo interior) si se sabe que la medida de la diagonal de un

N

c o o

trr.'r

M = 2(x).

I_

7. Ct Santlra gasta los 3i7 de lo que tienel luego.

de 10,5 cm2. Calcula las áreas de sus círculos inscrito y circunscrito, redondeando los resultados con dos cifras decimales. El área de un cuadrado es

,5

Planteamos la ecuación y resrfvemos:

B

2.

i

- l6\tr - 2o\ry

E=(-30a/3 20rt) +(21!5+ rolrl

Actividades com plementar¡as

hijas: a la primera le otorga los 2/7; a la segunda,4i5 del resto; y a la tercera, los S/ 24 restantes. ¿Cuál era la cantidad de dinero destinada para las hijas?

Calcula el valor de E. E=

1

'

I-\105-35

Respuestas:

=+e.so

[)or Io tar]to. Arturo sacó nrryor ventília.

@

1. a. Area del circulo inscrito: 8,2 cma, y área del círculo circunscrito: 16,5 cm? 2. La valla costarla S/ 2058, pero como se desperdicia el 10o/o del material, esta cantidad representa el 9070 del precio total. Habría que comprar por un valor de S/ 2286,67.

3, UNIDAD

f

Lógica. Números complelos

53

5.

rE5 cm.

La medida de la diagonal es un número

Podría ser a) 71/146 b)

7. 60

kg

irracional, a, a)2011 b) 2r§0" c) 216

2ú O' 6. Sería menor que 28. Su valor

8. Ana: S/ 420 soles; Luis: S/ 840; Javier: S/ 840,

máxrmo entero sería 27.

Notación exponencial científica lTexto

escolar (pág

14)

r

TEXTO ESCOLAR

Libro de actividades (págs. 54-55)

Capacidades y desempeños precisados . Realiza operaciones de adic¡ón, sustracción, multiplicación y Usa

Notación exponenc¡al y científica. Operaciones con magn¡tudes derivadas y sus equivalenc¡as

estrategias y procedimientos

En mú tipies srtuacrones es necesaío trallalar con canttclades |nuy grancle (como la distancia entre dos planetas) o rruy ¡:equeñas (como el diámetrr¡ y grosor cle un glóbulo rojo) Las notaciones expone ncial y científrca te permitirán escribir estas cant¡dades de manera simplif cada.

Traduce cantidades

división considerando la notación exponencial y científica al resolver problemas de contexto real. (1-3; 1-8)

o

Calcula la suma, diferencia, producto y cociente al operar con números escritos en notación crentífica al resolver problemas. (4; 9-12)

Operaciones con notación exponencial y científica

Sugerencias didácticas

Para sumar o restar en notaciÓn científica se reducen los nÚmeros a exponente comÚn siendo este el mayor de ellos. se factoriza la potenc¡a de 10 y se resuelve.

Para iniciar

I

multiplicar o d¡vidir en notación cientÍfica se multiplican o dividen por separado los números decimales y las potencias de 10. Para

Pregunte sobre cuál es la importancia de trabajar con notación cientÍfica en cantidades pequeñas o muy grandes. Luego, lea con ellos la introducción.

I

USO DE

I

lIt¡i

Asegúrese que comprendan el proceso de notación científica para el desarrollo de operaciones. Describa el ejemplo 11 para explicar la técnica operativa de las cuatro operaciones. Centre la atención en que la condición es operar solo los valores que representan al primer factor y la base exponencial debe ser la

c

Para ingrcsar

3,2. 10r

ef

.

número

¡ EXP¿ ]

3

.

Resalte que en el caso que las bases no tengan el mismo exponente,

lüagn¡tudes fundamentales del

deben convertirse multiplicando o dividiendo por 10, tantas veces como sea necesario hasta obtener el mismo exponente. Por ejemplo: -8'104 + 9,4'103 = -8'104 + 0,94' 104 = -7,06'104

! I

Destaque el ejemplo 61 . Explique cómo se resuelve la adición y sustracción de números en notación científica y exponencial. Resalte los pasos: 1)Se reducen los números a exponente común siendo este el mayor de ellos. 2) Se factoriza la potencia de 10 y se resuelve.

Unidad

lvletro

m

l\¡asa

Kilogramo

kB

I

r,ÜF

Organice equipos para realizar la sección "Desarrolla tus capacidades". Refuerce la expresión en notación científica de algunas distancias representativas en las actividades 1 a la 5 y proponga que investiguen otras medidas o distancias importantes como la distancia de la Tierra a todos los planetas del sistema planetario solar o las medidas de las bacterias o virus.

P¿á€s.

Reemplazamos los datos en la fórmula y resolvemos:

F=2,5.10a. 1,8. 106=(2,5 1,8).(104. 106)=4,5' l0r0J El trabajo realizado por un auto es de

4,5

1010.;oules.

54-57

)

ff

V

Enfatice cómo se presentan expresiones en notación científica en problemas relacionados a otras ciencias como química y física. Apoye el cálculo con el uso de la calculadora de manera que verifiquen sus resultados.

Trabaie en equipos la sección "Desarrolla tus capacidades". Pida que describan los procesos operativos aplicados. Pregunte: ¿Por qué es necesario operar con expresiones en notación cientifica y no como expresiones decimales? ¿Cómo calcularías estas exoresiones sl /os factores fueran de diferente base?

-

.

Para consolidar

I

El trabajo mecánico realizado se define como la fuerza neta aplicada a un cuerpo que produce un desplzamiento, cuya fómula es W = F' d. Calcula el trabajo en joules (J = N ' m) realizado por un auto si la fuerza que produce el motor es de 2,5 ' 10a Newton (N) y se desplaza 1,8 106 m.

cd

uminos

10"

EJEMPLO '12

corriente lntensidad

Aplicamos propiedades y resolvemos:

magnitudes obtenidas al comb!nar las magnitudes fundamentales se denomlnan La velocidad es un ejemplo de magnitud derivada y se expresa como el coc ente entre la longitud recorrida y el tiemp0 transcurrido.

lntensidad de

Revise información complementaria para multiplicar y dividir, asi como la aplicación de las propiedades de la potenciación si las bases son iguales. + Recuerde, por ejemplo I03 . 10- 4 = 10(3 -4) = 10-1. Comente en el ejemplo 62, los pasos a seguir cuando se multiplica o divide números en notación cientÍfica.

1,5' t0¡0.

matn¡tudes derivadas.

mol

sustancia

-

Las

K

cantidad de

+ 8,16' l0r2

operac¡ones con magn¡tudes derivadas y sus equ¡valenc¡as

S

Temperatura

lOe

B=(0,25.28+0,014). 116r:' 16-zo',0-t+¡=5m' 107=5' 102' 107=5

LonBitud

Tiempo

4,8'

Representamos todos los sumandos con potencias de exponente 12.

St

ft¡agnitud

Pregunte: ¿Qué estrategia debemos utilizar?

I

|

A=0,0048. l0r2 + 8,i6. l012 -0,015' l012 A= (0,0048 + 8,16-0,015)' I012= 8,1498' 1012 h)Determinael resultadodeB=(0,25' 1013 28 19-zo¡+0,014' l0-ra.

a ca culaoor¿

c entlfrca, tecleamos

misma.

I

L(] |

a)Halla el resultado de A=

Para desarrollar

14

orsannornrus

Usa estrategias y

cAPACTDADES

6,32 .

O

Calcula E = 2,5 . 107

E

Halla F = 0,05 . l0-r0 + 0,15

§

CalculaM = 0,4.

-

l02s +

108

.,t'

(12,5.

+

*;:rg

i::

-li$!,;,1P,,'

1023.

0,02. 10i) t 6 t0 '

ffi

procedimientos:

1'3

Traduce cantidades: 4

que la distancia de la Tierra al Sol es de 150 000 000 km. Si una nave espacial parte de Ia Tierra y su velocidad es de 0,4 ' 107 m/s, ¿cuánto tiempo se demorará dicha nave para llegar al Sol? Se sabe

Velocidad=espacio/tiempo

r.r)

1o .

a

es € 2 I

§ a o

I

LIBRO DE ACTIVIDADES

.

OPERACIONES CON NÚMEROS REALES

RECUERDA La notación exponencial es la representaciÓn

de un número grande o Pequeñq con las potenc¡as de base'10: 0,000023 = 0,23. 10r = 23. 1on

OPERACIONES CON NÚMEROS REALES

Notación exponenc¡al y científica

ff

En astronomia, flsica, quÍm¡ca, medicina, electrónica y en otras áreas, es común utilizar cantidades muy grandes o muy pequeRas.

O

reducen los números a exponente común siendo este el mayor de ellos. Se factoriza la potencia de 10 y se resuelve.

Se

La distancia de la Tierra al Sol es aproximadamente 150 000 000 kilómetros.

@ La población de China en el año 20 I 3 fue de 1357 millones de habitantes. l-r ¡rrbliriirin

Expresamos cada uno de los pesos en notación exponencial: 0,000053 mB = 5,3

'

I

l0-5 y 0,00053 mB = 53 . l0-5

es

La notación cientÍfica considera que todo número real se debe escribir en la forma:

Se

añ0.

velocidad de la luz es 300 cno kilómetros en cada segundo.

o

@

y su

G! El tamaño del virus de la gripe

es

0.0(xXx)01: =

20 I 6 es de

Sabemos que un año tiene 365 días; un día,24 horas; una hora 60 minutos: y un minuto, 60 segundos, lo que equivale a 3 I 536 000 segundos. Como un año luz es una unidad de longitud: d = v . r

5 -

a

f

I

á«nos

l02a

IE Determina la velocidad V de un satélite que gira de radio

r= 2' l0?m,si v = R. 14. »onoe:

R = radio de la Tierra = 6.652. 106 m y g = aceleración de la gravedad = 9,80 m/s2.

añoluz=3. 108+. 3,1536. l07s= 9,5.

1015m

15.

0,fi)000012 m.

lo'

10" + 0.1)00-r'

.1 9r)O

I

I

o.ol .

t{)

La distancia del Sol al centro de la Vía Láctea es 2,85

'

1020

m.

nr/s

de aproximadamente 5 . lOe años. Sin embargo, existen cuerpos que tienen 4 veces la edad del Sol más la mitad de la edad del Sol. ¿Curíl es la edad de estos cuerpos?

(D El planeta Plutón queda aproximadamente a 4 35 1 000 000 millas de la Tierra. Si una nave espacial pudiera viajar a l8 000 millas por hora,

(l'

104-4.

10-3

¿cuánto tardaría en llegar a Plutón?

= l.5 lo'

I

§ E

. l0r5m) = l,g5 . lgzo rn

lo',

La edatl de estos cLrerpos será: 2,25 . l0lir años

Sabenlrs:,

E

Hallamos lo que nos piden:

t

V=6.652.10Ó.7.10r V = 46.56,1 l0l n/s = 4.7 ' l0¡

t.5.l0 ' 4 t0r

I

30 000 años luz = (3 . t04) . (9,5

1

4 veces nrás la ¡nitad: 4.5 la edad dc.l Sol 4.5'.5 I(l'= 22.5 . 10" = 2.25 . l0ro

O5.106+3.102,4.104

La luz recorre 30O 000 kilómetros en cada segundo. Esto equivale a 30O 000 000 metros en un segundo; es decir, recorre 3 . 108 metros en un segundo.

1

3.0

@ La edad del Sol es

l.l l0 'nr

.

Reemplazamos:

-

tanrirñ0 rlel virrrs rlc la uripc'es:

Resuelve las siguientes situaciones.

. .

l0rr

. t.) xil V=6651.10"../'= .

rrr

I I l'li. rl'r,('l(,rlc l.r \.¡'r¡..: l9 157()(X)(X)()= 1.9.157 10r(rtltilr¡rcs

Ill

La

r

l0 "

esta distancia en metros.

TEN EN CUENTA

€ c

.i'

El planeta Tierra se encuentra ubicado en la galaxia conocida como VíaLáctea El Sol se encuentra a 30 000 años luz del centro de la Vía Láctea. Determina

i

p

l0{

EJEMPLO ó2

]Q

Un año luz es una unidad astronÓmica que se deflne como la distancia que recorre la luz en un

=

@ EI presupuesto de la NASA para el l9 357 millones de dólares.

mult¡plican o dividen por separado los números decimales y las potencias de 10.

.

I

Y

. rc4.

Multipl¡cac¡ón y div¡sión en notac¡ón c¡entíf¡ca

@

f

l0'r lrrl¡irirntr.s

loj - 5,3 . 1g-s = 153 - 5,3) . l0r = 47,7 . tO-5 = 4,77 . 1O4

II\4PORTANTE

N N

= 30.1

hinrr ts:

1.i57

0,ffi0003 m. {).(X)(X){).1

Por Io tanto, la suma de los pesos de las dos moléculas es 5,83 . diferencia es 4.77 . l0a.

!= o o o

C

2' 6.022. l0rr+ 3. 6.022. l0rl

Fll t¿rntaifu ric l¡r bacleriir r's:

Determinamos la diferencia de los pesos:

La diferencia es 4,77

)ci

clc

i)00 (XX) =

E) El tamaño de labacteria Helicobacter pylori

l0{

La suma es 5,83 . l0-4.

que:10
¿cuántos átomos hay en 2 moles de oxígeno y 3 moles de fósforo?

alrededor de la Tierra formando una órbita circular

5,3' lO-s+53' l0-5=58,3. l0-5=5,83. 10. l0-5=5,83.

es un nÚmero decimal tal

-157

Determinamos la suma de sus pesos:

53 .

de azufre hay 6,022 ' 1023 átomos de azufre. Si la cantidad de átomos que hay en cada mol de una sustancia simple es 6,022 . 1023

2 moles de oxígeno + J moles de tósfirro

Dos moléculas pesan, respectivamente,0,0ü)053 mg y 0,00053 mg. Determina la suma y la diferencia entre los pesos de dichas moléculas, expresadas en notación cientÍfica.

.

Taduce cant¡dades: 9-12

I50000(X)0= |.5.IONkm

EJEMPLO ó1

.

1'8

El En un mol

I-a distanciil cle la Tien a al Sol cs;

.

estrateSjasy prmedimientos:

Usa

Expresa en notación científica.

Ad¡c¡ón y sustracclón en notac¡ón cientff¡ca

=2,3.105

a.1Ú,dondenez,,a

orsannou-aruscAPACIDADES

¡

-ó

I

g

g

o

o

El +. tos+7' 104-0,4. t07+9,8. 0."+ l0i =

6.17

+ 0.07 .

l0'

I0/' .l

l0r' +

-t'-

t

=$

Reenrplazanros los dakrs: 106

9.s

4.351 r_ l0r'

t.ti.

. l()or _ 1.4t7. t()"

Tardaría cn llegar

2.:ll7

l(f l0:

horas

c

§ ,F c a @

54

UNIDAD 1

Lógica. Números

conplejos

55

Operaciones con magnitudes derivadas y sus equivalencias Capacidades y desempeños precisados . Emplea proced¡mientos matemát¡cos para resolver Usa estrategias y procedimientos

d

A partir de la información de la sección "Ten en cuenta", motive para que escriban las fórmulas con la simbología pertinente. Para esto debe considerar que: F = fuerza',m = masai a= aceleración; A= área; d = distancia; p = presión; W = trabajo; intensidad (eléctrica)= l; resistencia= R; voltaje (diferencia de potencial) = V. Denote lo ventajoso que es reconocer las magnitudes a partir de las unidades de las cantidades.

I

Destaque el ejemplo 63 para reconocer las magnitudes que se aplican como la masa, presión y área. Oriente a los estudiantes a la resolución de este problema a través de preguntas como: ¿Cuál es la ecuación de la presión? (presión =tuerzalárea). ¿Cuánto equivale 0,025 m2 en cm2? 1250 cm2¡. ¿Cómo despejamos la ecuación P = F/A para obtener el área?

idácticas

Para iniciar

I

Comente la definición de magnitudes fundamentales que se presentan en el cuadro al margen del texto. Luego pregunte: ¿Qué magnitudes derivadas de las magnitudes fundamentales conocen o han aplicado con regularidad? (Area, velocidad, densidad).

I

Entregue un cartel en donde esté escrita una magnitud fundamental o derivada, luego, pÍdales que salgan alapizarra y las vayan ordenando en una tabla que usted puede construir en la pizarra. Seguidamente, revise con sus estudiantes el cuadro con las magnitudes y analicen de qué magnitudes fundamentales se han obtenido las magnitudes derivadas. Por ejemplo:

Velocidad

Área

@

I

Magnitud derivada

Longitud

Área

--- rel="nofollow">

El área se deriva de la magnitud fundamental: longitud.

Tiempo

Velocidad

---->

La velocidad se deriva de dos magnitudes fundamentales: longitud y tiempo.

[/asa

Densidad

--->

La densidad se deriva de dos magnitudes fundamentales: masa y longitud.

Resalte las magnitudes derivadas más utilizadas diferenciando su unidad principal y simbolo. También aclare que los sÍmbolos que se usan para representar las magnitudes no son iguales a los que se utilizan para expresar las cantidades de dichas magnitudes. Por ejemplo, para la distancia utilizamos d y las cantidades las expresamos en metros (m). Si decimos que un móvil recorre una distancia de 48 m, el dato transformado en información, se escribirÍa: d = 48 m. Otro ejemplo: Una fuerza realiza un trabajo de 15 joules, se expresaría W = 15 J.

¿Cómo calculamos el volumen de la Tierra? (Dividimos la masa entre la densidad). Asimismo, oriente el desarrollo de la actividad 2, describiendo el significado de una unidad astronómica y la distancia media. Resalte en ambos casos la presencia de la notación cientÍfica por representar grandes

distancias.

I

Comente la aplicación de operaciones en notación cientÍfica y las propiedades de la potenciación que serán importantes para obtener soluciones.

I

lndique que resuelvan en equipo la actividad 4. Pregunte: ¿Qué diferencia se establece entre la energía potencial y cinética? (La energÍa cinética está asociada al movimiento mientras que Ia energÍa potencial está asociada a la posición o configuración en relación con un campo de fuerzas. Si hay movimiento, cambia la posición y, por tanto, también la energía potencial). ¿Qué entendemos por energía mecánica al ver la fórmula descrita? (La sumatoria de la energía cinética y potencial).

Para consolidar

O

I

Utilice la definición de algunas magnitudes derivadas descritas en la página 14 del texto como el de velocidad y trabajo del elemplo 12. Resalte que en cada uno de ellos la relación se da entre dos magnitudes. Destaque la importancia de conocer la fórmula en cada una de las magnitudes derivadas porque nos permite conocer sus valores al reemplazar los datos que presente una situación problemática.

Util¡ce la actividad 3 para dialogar sobre la cantidad de calorías que consumimos durante un día y cuánta energÍa adquirimos de acuerdo con la cantidad de calorias ingerida. Pregunte: ¿Es conveniente ingerir más calorías si se desea tener más energía? ¿Habrá un límite o consecuencias perjudiciales al ser humano?Propicie que hagan una breve investigación al respecto.

I

Para desarrollar

¡

Proponga el desarrollo de la sección Desarrolla tus capacidades. En la

actividad I, oriente a los estudiantes a la resolución a través de la pregunta:

Longitud

Magnitud fundamental

Libro de actividades (págs, 56-57)

I

problemas relacionados a las magnitudes derivadas. (1-5)

Sugerencias

I

I

I

Consolide la idea de trabajar en unidades homogéneas, lo que obligará a hacer conversiones y que los resultados se expresen en notación científica. Haga notar la importancia que tiene la calculadora para dar mayor precisión y ahorrar tiempo en la ejecución de las operaciones. Pregunte: ¿Qué conocimientos se revisaron al calcular magnitudes derivadas? ¿Qué equivalencias aplicaron? ¿Qué relación se puede establecer entre los

contenidos matemáticos y las situaciones problemáticas propuestas?

Recuerde a los estudiantes los procesos operativos para calcular la equivalencia entre unidades de medida. Presente la utilidad de la calculadora del google par a realizar conversiones ingresando solo la cantidad que se quiere convertir. N N @ j

ci

i

'6 o f

C l''

E

I

Io o l

p p

I

E o c a c

§ '€ c

o6

o

II

LIBRO DE ACTIVIDADES

.

Operaciones con magn¡tudes derivadas y sus equivalencias

Resuelve.

Il

magnitudes derivadas más fecuentes son:

¡=¡g'm/s2

Newton (N)

Pá = N/Í12

Volllmen=- tnasa

Trabalo y energía

loule 0)

l=N

V = 6' l0:r + 5,5 l0r V = I.09' l0:r mr

Potencia

watt (w)

Resistencia eléctrica

ohm (o)

l/2

Puedes usar la calculadora de Google para realizar conversiones.

Una refrigeradora tiene una masa de 50 kg. Si la presión que ejerce sobre el piso es de 20 000 N/m2, ¿cuánto mide el área del piso sobre el cual está la refrigeradora? Expresa el resultado en cm2. Además: Peso = F = 50 kg ' l0 m/s2

de Distancia media entre Tierra Sol= Uni¿a¿ asrronOmica

Distancia Neptuno al

Reemplazamos en la fórmula y resolvemos:

P

Convertimos

a cm2: 0,025 m2

l0mtsz

20 000 N/m'

=0.025 m2

{\

k8

.1

.. Dist¡ne ir r¡«lir NeDtUnt,=--

!

'

4-496.

= 250 cm2

Fuefta = masa .acelaración Presión = Fuezalárea Fueea .distanc¡a Trabajo

_)

=

ci

lntensidad de corriente = voltaje/Resistencia

Neptuno sc cncuentra a 19.97 ua.

p

El largo del conductor no afecta en la solución del problema. Sabemos que la ley de Ohm está dada por la siguiente fórmula:

o L

c @ @

=X='?3 ;f;'#3'

5ó

El

Sabemos que el calor es una forma de energía, y sus unidades de medida son el ioule (J) y la caloría

(cal) (1 cal = 4,186 J). ¿Cuántosjoules recibe una persona que toma 3000 kcal cada día en su dieta?

j

s_

Iol"joules

q.

loro kg .

5.6.

{s_

.

s'

r0 000 m

. = r.u lolojoules

Hallamos la encrgía mec:inica: 2.3 . l0r0 jrules + 5.6. l0rr).ioules

= 7.9. l0ro.irrrlcs

Un electrón se mueve con una rapidez de 3ü) 000 000 000 mm/s. ¿Cuántos kilómetros se moverá en 0,00000048 segundos?

(ohms)

s p !

Erpresanros.1000 kcal en Ir unidad Joule: € p €

1. r86 .l

-1000

kcal l ,_rt = ll

g

§

@

o

Pr)r lo

lilllr).

lrna pcr\()ilil rc(ibe

Velocida
Tiernpo

-

0.00(X)fi)48

=.1.8 l0

3

l01r m¡n/s

7

Aplicamos la fiirnrula:

t+.t (N)0 nrrn

55ll 00O-J

= 1.2551i 10'

Debemos nrultiplicar la rapirlcz por el tient¡xr t¡ue tarda: distancia = velocidad . tiempo

d=l. l0rr.4.1i. l0 7= l4.4 l0r=

a

= r6,e2 amperios

La intensidad de corriente es 16,92 amperios.

a c

§

*Slgg Kesrstencra

Reemplazamos en la fórmula y resolvemos:

,

,_! !

.4

[.llilizamos la liir¡¡ula: velocidnd = distimcia/ticmpo.

eléctrico de l0 metros de largo. Si dicho conductor tiene 13 Q de resistencia, por el cual se mide una tensión de 22O voltios, ¿cuiíl es la intensidad de corriente en amperios?

.

=

E

EJEMPLO ó4

Intensidad de corriente (amperios)= ' l

l.J

k-s

ir

t0q

r Se compra un cable conductor .

r0

56{} 000 kg

y Sol

Neotuno=-=19.97ua ' 15 t0^

El área del piso es 250 cm2.

Algunas fórmuLas:

lnrrlr¡j ir\tn)n{,nrr(

I

2,1 l0r0

Calculamos la energía potencial:

Expresa en unidades astronómicas la distancia media de Neptuno al Sol, si se sabe que Neptuno estáa4496 millones de km haciael Sol.

Sabemos que la masa de la refrigeradora es 50 kg y la presión que ejerce

. 560 000 . (0.1i5 . 340)r =

=

es una unidad de distancia aproximada a la distancia media entre la Tierra y el Sol (t ua = 1,5 ' 108 km).

sobre el piso es de 20 000 N/m2.

.

g = gravedad = 10 m/s2

E) La unidad astronómica (ua)

Area

h

Delerminamos la energía cinética:

EJEMPLO ó3

Fgerza*¡=E=50 kg'

v2

m' g'

Donde: m = masa,h = altura, v = velocidad y

O =V/A

EN LA WEB

presión=

1-5

Energía mecánica = Eu = Ec + Ep

densrdad

m

n.= \m'

Energía potencial = Ep=

Determi¡1ilülos que el volumen es igual al cociente de la masa entre la densidad.

y procedim¡entos:

'

Un airbús es un avión comercial de reacción, bimotor y de fuselaje ancho, que pesa 560 toneladas y vuela a 0,85 Mach (l Mach equivale a 340 m/s) a una altura de l0 km. Determina su energía cinética, la potencial y la mecánica. Energía cinética =

Simbo o

Pascal (Pa)

.

N N @

!)

Se sabe que la Tierra tiene una masa aproximada tle 6 . l02a kg. Sabiendo que su densidad media es 5,5 ' 103 kg/m3, calcula el volumen de la Tierra

Presión

.

Us estateSias

(densidad media = masa/volumen).

unidad

Fueaa

TEN EN CUENTA

DESARROLLA TUS CAPACIDADES

expreslones adecuadas.

Magnitud

Escribe en el cuadro de búsqueda "calculadora científica', presionas enter y listo.

B

Las magn¡tudes der¡vadas son aquellas que se derivan de la combinación de las magnitudes fundamentales. Se pueden determinar a partir de estas utilizando las

Las

CON NÚMEROS REALES

OPERACIONES

OPERACIONES CON NÚMEROS REALES

. l!!l=0.t++ l(l'' mrn

144(x)0mnl

t n,

J

I.l55ll l(i

Se nxrverá 0-144 km. J

diarianlcntc en su dieta.

UNIDAD

I

Lóg ca. Números comPlejos

57

Estrategia para resolver problemas ¡

Capacidades y desempeños precisados .

Usa estrategias y

procedimientos

Adapta estrategias heurísticas, recursos gráficos y otros al resolver problemas relacionados con el desplazamiento de

I

móviles. (1-11)

Sugerencias didácticas Para iniciar

I

Sol¡cite a los estudlantes que observen los siguientes gráficos y pregunte: ¿Qué datos presentan los gráficos? (Las velocidades, la distancia de separación entre ambos autos). ¿Oué dato se pide hallar en ambos casos? (El tiempo que demorarán en estar juntos ambos autos). ¿Qué diferencias existen entre ambos gráficos?(En el primero, ambos autos van en el mismo sentido y en el segundo van en sentido contrario). ¿Qué semejanzas encuentras en

I

ambas gráficas?(Las velocidades empleadas por cada auto y que ambos se encontrarán después de un tiempo). ¿Cuál es la fórmula para hallar el tiempo? (f = dl v)

im& 1* 30

./rt

A

,o

50m

rñ

fDG le=L?

IB

A

dB

I

B

?

30 m/s

m/s

t

VB

d 100 m

I

que elaboren una situación para cada gráfico. Elija las que considere pertinentes. Comente a los estudiantes que realizar una representación gráfica de una situación, como las relacionadas al movimiento rectilÍneo uniforme, resulta una estrategia muy útil ya que permite entender mejor el Solicite

Para desarrollar lndique que realicen la lectura de la situación presentada. Pregunte: ¿Cuántas lases se han empleado para resolver el problema? (Cuatro). ¿Cuáles son? (Comprende, planifica, resuelve y comprueba). Luego, pida que expliquen de qué trata cada una de las etapas presentadas en la ficha. Complemente sus respuestas, indicando que en la resolución de problemas existen varios esquemas que presentan el orden más adecuado para resolverlos, uno de ellos es el presentado en la ficha.

En la fase "Comprende" se identiflca los datos, la incógnita, para ello se expresa de forma resumida de qué trata la situación. En la fase "Planifica", es una de las fases más importantes en el proceso de solución, ya que aquí se identifica la información necesaria para la resolución del problema. Pregunte: ¿Qué conocimientos son necesarios para resolver el problema? (Las fórmulas de tiempo de encuentro y t¡empo de alcance). ¿Qué condiciones presenta la fórmula de tiempo de alcance? (Que la velocidad A tiene que ser mayor que la velocidad B). En la fase "Resuelve", se aplica la estrategia heurÍstica que le permite resolver el problema. lndique que esta fase debe realizarse en forma ordenada, evaluando cada paso de su realización, a fin de saber si la estrategia lo está acercando a la respuesta o lo está conduciendo a una situación compleja. Pregunte: ¿Qué estrategia se utiliza para la resolución del problema? (Hacer un gráfico). ¿Cuándo se aplica la fórmula de tiempo de encuentro? (Cuando los móviles están en sentidos contrarios, después de un tiempo estos se encontrarán). ¿Cuándo se aplica la fórmula de tiempo de alcance? (Cuándo los móviles se encuentran en un mismo sentido. Uno se encuentra delante de otro, luego de un tiempo, uno alcanzará al otro). En la fase "Comprueba", se realiza una verificación de la solución, pudiendo modificarse el problema o generalizar los resultados. Pregunte: ¿Qué procesos se realizan para comprobar que la solución es válida? (Hallar la distancia reconida por cada auto en cada una de las situaciones para luego sumarlas. Este resultado debe coincidir con la distancia de separación presentada en ambas situaciones). ¿Cómo se calcula la distancia de cada móvil? (d = v .l)

Organice a los estudiantes en equipos. Considere que durante el trabajo en equipo deben aparecer los cuatro roles (el experimentador, el cuestionador, el organizador y el sumarizador), que deben aparecer durante todo el proceso de solución de problemas. Tenga en cuenta que no se pide que cada estudiante tenga un rol, sino que estos roles pueden ser asumidos por distintas personas a lo largo del proceso. En el margen se presentan algunas preguntas y comentarios que caracterizan cada rol, Invite a un representante de cada equipo a explicar los procesos realizados, enfatice en la resolución de las actividades 6 a la 1 1, ya que son diferentes a la situación inicial. Muestre los diferentes procesos realizados, acompañados del gráfico respectivo. En la actividad 6, resalte que el tiempo total de viaje no es el mismo que el tiempo de ida y vuelta del móvil. En la actividad 8, recuerde la importancia de trabajar con las mismas unidades.

problema.

I

Libro de actividades (págs. 58-59)

Para consolidar

I

lnvite a los estudiantes a dar respuesta a las siguientes preguntas para que realicen una reflexión sobre su aprendizaje. ¿Qué estrategia me ayudó a resolver el problema? (Realizar un gráfico). ¿Qué dificultades tuve? ¿Cómo las superé? ¿Qué utilidad tiene lo que aprendí?Resalte la importancia de establecer relaciones entre los datos y la utilidad de emplear un gráfico como estrategia de solución.

Experimentador ¿Qué tal s¡ probamos casos particulares? Probemos con este número, etc.

Cuestionador ¿Qué es lo que nos piden? ¿Saldrá por medio de una fórmula?

Organizador lvlientras tú llenas la

tabla, yo calcularé el tiempo; cada uno realice un gráfico y luego comparem0s... Sumarizador Solo nos quedan 10 minutos, debemos escribirlo en limpio; pasemos a otra pregunta, etc.

N N

@

-il

ci

¿ .o ,ó

)

!o o o

)

p 3 E o c @

§C c a @

LIBRO DE ACT¡VIDADES

ESTRATEG

Í

IA PARA RESOLVER PROBLEMAS

Hacer un gráf¡co Resuelve los siguientes problemas realizando el

Dos amigos, Sara y José, se encuentran separados en dos ciudades distantes por 780 km. Si deciden encontrarse y, por lo tanto, se embarcan en dos autos que viajan a velocidades de 80 kmih y 76k:nlh.

gráIico y aplicando la estrategia aprendida.

@ En Lunahuaná, óscar y Rosa deciden alquilar

Luego de conversar un rato y pasear por la ciudad, ambos deben retomar a sus hogares. José parte rumbo a su casa y Sara decide quedarse un tiempo más en la ciudad. Después de cuatro horas, Sara se percata de que José había olvidado su celular y decide entregárselo. Si José partió en un auto que va a una velocidad de 60 km/h y Sara decide tomar un auto que va a una velocidad de 80 km/h, ¿en cuánto tiempo Sara logrará alcanzar a José?

É,::

maneja Rosa?

ConrpLcnde:

Resuel vc:

Tiempo de' alcarce

Identificamos que debemos aplicar las siguientes fórmulas:

Franirica riempo

de arcance(ta)

=,1\ =

f

S segurd()s

y l{osa rcconcen l5 scguntlos45 m.'lL'nicndo cn cucnlr quL'arnllos csllir separatkrs.l0 nrclros. poclentos eoncluir t¡ue Oscrr alcalzr r Rosr cn I 5

velocidadA> velocidad B

scgtrrdos,

@ Edgard y Juan se encuentran

ú #%

=

íi3

Comprcnde:

vs=80km/h

j

ci

pc !

a José.

Sabenros que el tieolpo de e¡rcuentro: tc =

Resuelve

@

Ú F_

ú D

ú vs=76km/h

Sarah

Por lo tanto, el tiempo de alcance es: t^ =

f

ffi

=ff

=

n

o

Distancia que los separa(te) = te(80) + te(76) = 5(80) + 5(76) = 400 + 380 = 780 km comprueba

a c

-q C

a

(6,

Distancia que los separa(ta) = ta(80)

-

ta(60)

= 12(80)

c

- t2($) =960

-720 =240km

P E

á p a

e

§ a @

58

kilómetro. Si avanzan en sentido contrario rectilíneamente con velocidades constantes de 20 m/s y 30 m/s, ¿en cuánto tiempo estarrin

km?

1"10

sestrtrtkrs'

pero en sentidos opuestos. El primero va a 90 km/h; y el segundo a 6() km/h. ¿Cuántas horas tardarán para estar separados por 600 I

km?

tr.

@ Lucy y

su familia se fueron en su camioneta a la playa a 60 km/h. Luego de permanecer 3 horas en la playa, retoman a casa a 90 km/h. Si todo el viaje fue de 8 horas, ¿qué tan lejos está la playa desde

casa?

I

So knr

@ Una familia decide viajar

en su automóvil hacia el campo y se desplaza a 80 km/h. Después, retoma por la misma carretera a 70 km/h. Si emplea en total 6 horas, ¿qué distancia hay desde su casa al campo? I krrr

@ Marco va de su casa al colegio en bicicleta a 12 krnlh y cuando regresa lo hace a l8 krr/h, demorándose en total 90 minutos. ¿Qué distancia hay de su casa al lo.¡i knr.

colegio?

de dos ciclistas es como 3 es a 4 y la diferencia de sus velocidades es de l0 km/h. ¿Dentro de cuánto tiempo estarán separados una distancia de 60 km si partieron juntos en el mismo

sentido?

350 m. 3

Para comprobar las respectivas distancias, reemplazamos en las siguientes ecuaciones:

rvA+v8 +

ificr:

Identilicrnros que l¿rs vclocidades de arttbos son 1.7 nr/s y l.tt m./s y la distancia que krs septrra es

n

p

€ c

Plan

)

d=4.tr=2{km-___________-

f

o o o

S Lnr

@ La rapidez

= 5 horas

Representamos gráficamente la segunda situación en que Sara alcanza N

separados 350

metros. Corren para encontrarse a una velocidad de 1,7 m/s y 1,8 m/s, respectivamente. ¿Después de qué tiempo se encontrarán si pafen ambos simultáneamente?

É

@

Por lo tanto, el tiempo de encuentfo es: te =

lnr. l-ris:

ll

Representamos gráficamente la situación del encuentro de ambos amigos

vs=80km/h

.1

Conr¡rrrretra: Óscar c'n I 5 segundos rccorrc 75 rn

i

ú

Anrr:

@ Dos autos están separados inicialmente un

su

Distancia de separación inicial -VeiaiAil A v;6ciAáA B

='f.i*:,á#T?1':i#fi#g';

=

Planifica: Identilicamos que las velGidades de ambos son 5 m/s y 3 m/s y la distancia que los repara es 30 m

Luego, en un segundo momento, Sara toma un auto que va a 80 km/h para alcanzar al auto que tomó José hacía cuatro horas y que va a una velocidad de 60 km/h.

=

caminado cada uno hasta encontrarse?

@ Dos autos parten del mismo lugar al mismo tiempo, t¿r

"+

Sabemos que la distancia que separa a Sara y José es de 780 km. Asimismo, en un primer instante ambos toman autos que viajan a 80 km/h y 76 km/h, respectivamente.

Iiempo de encuentro(te)

Ana y Luis están separados 12 km. Si parten en el mismo instante y van uno hacia el otro con 2 km/h y 4 km./h, respectivamente, ¿qué distancia ha

seParados 8

\ Sabenros que el tientpo tlc alcance:

Cornpren@

unas

cuatrimotos, las cuales se encuentran separadas entre sí unos 30 metros. Ambos parten al mismo tiempo y en el mismo sentido con velocidades de 5 m/s y 3 m/s, respectivamente. ¿En cuánto tiempo la moto que maneja Oscar alcanzará a la moto que

respectivamente, ¿en cuiánto tiempo lograrán reunirse ambos?

O

s a o

Resuelvc:

.

Tiernprr rlc rn(uenl¡1)

=

150

I.i

-:fo -

() tr.

@ Un tren emplea l2 segundos en

pasar delante de un observador, y 46 segundos en recorer una estación de 374mde longitud. Determina la longitud del I rl ¡r.

tren.

llX)

s

Conrprueba: Edgard en 100 seguldos ttcorre I7() nr ¡ Juan recure I80 rn. Su¡andoltnl¡as distancias. nos resulln -l-50 m.

de carga de minerales que va a 40 km,/h es seguido 4 horas después por un tren de pasajeros que va a 60 km,rh. ¿A qué distancia del punto de partida el tren de pasajeros alcanzará al fren

@ Un tren

de

carga?

4§o kr¡r.

tDO 'l Ló8ica. Números complejos

59

TEXTO ESCOLAR

Logaritmos. Propiedades rticulares lTexto

escolar

(pág 15) ¡Libro

de actividades (págs 60-61)

Gapacidades y desempeños precisados

.

Usa estrategias y procedimientos

.

Comunica Argumenta

af

o

irmaciones

Logaritmos. Operac¡ones

Planifica estrategias en la solución de problemas aplicando las propiedades de los logaritmos. (1-7; 6-11)

El método de cálculo med¡ante logaritmos fue propuesto por primera vez por lohn Napier en 1ó14. Leonhard Euler dio la noción actual de los logar¡tmos, quien conectó estos con la función exponencial en el siglo XVlll. Se aplica en el cálculo del nivel de intensidad del ruido, energía liberada de un terremolq etc

Utiliza propiedades de los logaritmos apl¡cándolos en problemas de contexto matemático. (l-5)

Justifica procedim¡entos en los cálculos relacionados con la definición y propiedades de logar¡tmos. (12-13)

LoSaritmos Propüedades palt¡cr¡lares Observa las tres propiedades particulares de los logaritmos

Sugerencias didácticas

[r:{

Para iniciar

I

Recuerde la definición de potenciación y proponga algunos ejemplos. Reflexione sobre la definición de logaritmo y la relación entre sus elementos y los de la potenciación. Use los ejemplos propuestos para demostrar esta afirmación. Puede realizar el siguiente cuadro como herramienta de apoyo para su comprensión. Potenciación

ab=N

z

=ó¿

3'=

64

Propiedades generales

+ loga)

b .> 4b =,V -* "0., el logaritmo de N en base a" logr32 = x > 2' = 32 > "x es el logaritmo de 32 en base 2" logr

tV

=

109364 = x

- .>

3x

!

Aproveche la sección "Recuerda" para revisar las propiedades generales de los logaritmos, asÍ como la simbología que se utiliza en este tipo de operaciones.

I

lnvite a los estudiantes a identificar las propiedades utilizadas en el ejemplo 65. Asegúrese de que cada propiedad sea descrita para su verificación. Aproveche en preguntar cuál es el error hallado en las igualdades falsas y se realice las modificaciones necesarias. Pregunte a los estudiantes sobre las propiedades que serán pert¡nentes aplicar en las actividades 6 a la 9 (definiciones de logaritmo, cologaritmo, antilogaritmo). Permita que fundamenten sus procesos y creen otros ejercicios para demostrar la aplicación de las propiedades. Luego, pueden intercambiar los ejercicios creados por un estudiante para ser evaluado por otro.

Destaque la aplicación de la regla de cadena del ejemplo 66. Pida que justifiquen la aplicación de dicha regla en la actividad 10.

Para consolidar

I

!

.

El ejemplo 67 permite utilizar las propiedades en forma inversa. Solicite que previo a la realización de las actividades 11 a la 13, propongan estrategias de resolución. Luego, compartan los procesos aplicados para exponerlos enfatizando en el uso del lenguale matemático.

Proponga la elaboración de un organizador visual sobre la definición y las propiedades de los logaritmos. Considere incluir ejemplos en cada caso para asegurar la comprensión.

$f

cambiamos de base: á = tog, 7s = togz ' Aplicamos propiedades: á =

.

= n'logox

f-' Cologaritmo:

*.*Jurno,

togrz: t

loqz.!3 -521 log2 5

'"-

log2 5

log' 3 +

Jj&+?+

2

log'

bt3-

5

log2 3 = ab

+b=

-

lo9rS +2a a

2a+log2

3 = a(b

-

2)

Los logaritmos de base 10, se denominan logaritmos decimales y se denota logroa = log a. Los de base e = 2,7182 ..., se llaman naturales o neperianos, y se denota log,. a = ln a.

colwb =-la*ab to& á-r

I a) Simplifica M EJEr\4PLO

Antilogaritmo:

antilo4b

4

Logaritmos decimales y naturales Ecuac¡ones logarÍtmicas

TEN EN CUENTA

=

Reemplazamos log, 5 por a:

5=

log, 5

log,y

= 64 ---> "x es el logaritmo de 64 en base 3"

Para desarrollar

I

.

. roc"(l)=roc,r . logo{

log¿c log,.á logra=

tog7

Si 1og, 5 = a y logs 75 = á, expresa 1og, 3 en función de a y á

. log,(¡'))=log"x

-

[og, x

=

EJEMPTO

RECUERDA

Logaritmo

.rogax

=e, tog,o

=d

.

= logz 83 + 5 colog" 7e - antilog.2 Aplicamos propiedades y resolvemos : M -- logr2e

M=9los.2-5.]los

e

-

5 log" ?e

-*

I

-9=9- -9=-l

b)Resuelve log (.r + 5) + log 4 = 2 . Aplicamos propiedades y resolvemos: log 4(r + 5) = 2 4(:+ 5) = lO2 +4x +20 = 100 + x = 20 *6. 5. = {20}

,;Éu Pဧ. 6O-6s

d

§

c ó p € I

§ 3 0

ffi

orsannolLarus

ff

Halla N = 5lnc'8 + logr,

ts

Calcula n=

@ simpririca

ff

e

Usa estrategias y procedimientos: 1-7

cAeACTDADES

-

4s

-

log, 92

u

log25 . log, 10. log,o64

}ffi .ffi |*j +

-t

[! §

Resuelve: log

(3x- l) = log (¡+ 7) + ¡: log "t + log (.r - 48)

Halla el valor de

@ Determina

etc.S.: log

@ Resuelve: log,

(x-

=

(É- r.!l#)=,

1)+ 3 = log. LúroáD

I

2 ;tt ,

2]

Lógca. Númeroscomplejos

15

II

LIBRO DE ACTIVIDADES

¡

LOGARIfMOS

LOGARITMOS

13 RECUERDA

fl

Logaritmos. Propiedades part¡culares

Escribe V si es verdadero y F si tu respuesta.

observa las propiedades part¡culares de los logaritmos.

Prop¡edades generales logon

. sloco'= *

. log"( x' y ) =log"x + logy .loe,(l) =bg,x-los.y

gt

D

u =prlogt

logab =logq-,lb

logob =logo, bP

b%-=tw

orsnnnou-nruscAPACIDADES

toe"b=#cbo

(Regla

Iogr:62

=f

tog3

2

de la cadena)

. logof =n.logox

comunica:1'5 Usaestrate8¡asyprocedimiéntos:ó-11 ArSumentaafirmac¡one§:12-13

falso. Justifica

*rtrrh'=ffi

g logr ft=

logdc .logob .logba =logd a

es

@logrz5a=flogr5=2log35

tr E lI

EJEMPTO ó5

calcula el valor de M = log¡: ara

.

@1ogn2' log23' log

roeriD

-¡o¡|-

§log,-3 !¿

Aplicamos propiedades y resolvemos: ¡a =

{

tog. 8l

-

-

log3 27

tog.s

=

3 +@ - -

2=

+

@ B = logr:

p ' log,nz n + 3 logo b ' log, a = tE . Determina

log,

pr

g + log2

a'

log,

b3 =

nE

3log.b

*

lop¡ p1 + log,

Reemplazamo,

El valor de

P es

,

F +log3p+ log¡b _,t5 logr2 3 "

V3

"nP,P=f

log¡ P

5

ci

v

sea tos. i,9 "i6

'6 p o o

) =

¿Qué pasaría si la base y el argumento los elevas a la quinta potencia? Bl resultrdo es logi 9 = 2

p

b3 =

Ji

6. A=rosr

.r

(; i

7. B =log,nx

log, á\ !5 !5 * t.ciz)= -T' -T =17

L

o

Elevamos ¿ al cuadrado y resolvemos: a2

= logtr m + E

2'

log,

,

=H3.

I

log,, m

m' log^ n + logfi n

- logfimaz-z +logfin-loztrm+log],n logfim +logfin l.

t.A;.t"4; J

ó

a2

-

ó0

log,.r

iog.

r"

log,, : =

2

log, .r ' log,, : = 2

Rcgla de la cader)a: log .r: log,,. ¡ = 2

-L - I ¡rg. '. i-. log,. ' * = l¡s,,1+ -:

r

lou-

t[=

=r','

I

2 = log?, m + logl, n

@ Calcula el valor de log,,, M

M= '|f 1 l

-1

g

,é

I p e

p

8

I M -'ürú

.¡ l,r I

1.,

Nl ltt...ll ,,!r ,

i)=ros: r =o

log,,,4

l"r' r'

i:

logr4 logrV5

Responde

=

rI

1,,:

'

ktg4

=

111'g

ll - llr',

r=-1

-2

yjustifica.

y'7 multiplicado por logo 9 @ ¿Es verdad que logovr igual a 2? @ ¿Es cierto

c*

A=

i##ffi

es

aumentado en

log 20 es igual a 5? 12.Sí,

+a=lsg,a1.¡q*^,

+

r'

log,r= l-log .r. log,r=l

¡.)s, 5l"E'5

8.M='

Iog{ y'2=h¡g¡4+log.1 4, log,9=2

los" :.- ¡ [ru:- 5 1.1.N¡.A=,l()g' lU l()!7 :+A=kr8 l [rg,5=firr5 -l

A+

log 20 = Iog 5 + log 20 = log 100 = 2

E 9

<

§ o

o c

@

.

El valor de E es

@

c

Despejamos a del dato:

"

c

l,calculaE=

.

r..^^^

_o

§

z+ l=a.log,,m',nt>lyn>

Ordenando: log-

l\l = ¡1,',r-""''

EJEMPLO ó7

logl

Por ca¡nbio de basc:

n = (rog., ía á)(bsol62")

l/7.

Si

(itr$)(itrá(ffi = 2, ca,cúa$

t,,.,

J tog,s ARGUMENTA AFIRMACIONES

v además

lo85 9

M=1log,s=(, N N @ j

y,:, w} C lR+ - { l},

@ Si {x,

tog, zftog. zftog.:[oe,

log,4.logofl3loers

Cambiamos de base:

3logrp+

.

n'

Slog?

O M = --j:el-

Reordenamos y aplicamos la regla de la cadena:

log, m2' log^z

i

.4 .log,y

lno-

el valor

deP=+("",.i#j) .

=.)i=+lO log1l2

@n=bgrf+l"srt+bsrJ

EJEMPLO óó

.

=logn4 tr

Analiza y resuelve.

Aplica propiedades y calcula.

El valor de M es I /3

Sea log, rn2 . 3 log,

4

'

g

s

o U¡llDAD

I

Lógica. NÚmeros complejos

ó1

Logaritmos decimales y naturales I

Capacidades y desempeños prec¡sados Comunica Usa estrategias y procedimientos

Argumenta afirmaciones

¡ o

.

las conversiones realizadas y la forma en que ingresan los datos. Convoque a plenario y solicite la participación voluntaria de los estudiantes, para que expliquen el proceso realizado.

Discrimina logar¡tmos decimales y naturales. (1'1) Realiza cálculos de logaritmos decimales y naturales aplicando propiedades. (5-7)

!

Analiza y explica el razonamiento para resolver problemas de logaritmos decimales y naturales. (i .Lr)

Sugerencias didácticas Para iniciar

I I

I

I

:

!

Solicite, en la clase anterior, que los estudiantes traigan una calculadora científica. Presente los siguientes ejercicios: logr5; logaritmo de 1 en base 3; log24 + logrS; logr81 - log.27; Iogaritmo de 100 en base 10. Socialice los resultados de los estudiantes (1; 0; 5; 1; 2) fomentando que justifiquen sus respuestas. Registre las propiedades de los logaritmos aplicados.

lndique a los estudiantes que identifiquen las henamientas de la calculadora científica. Pregunte: ¿Qué botón nos permite calcular el logaritmo de un número? ¿Es posible calcular los logaritmos propuestos inicialmente? ¿Por qué? (No, porque no podemos colocar la base). ¿En qué base se encuentra el logaritmo que presenta la calculadora? (En base 10). Comente que de todas las bases posibles para los logaritmos se usa preferentemente la base 10. AsÍ, los logaritmos en base 10 se llaman logaritmos decimales y se representan sin necesidad de escribir la base, log x = log,ox Pida que den lectura a la información presentada sobre logaritmos decimales y los logaritmos naturales. Pregunte: ¿Cuál es la base de los logaritmos naturales? (e).lnforme que también se les llama logaritmos neperianos a los logaritmos naturales en honor a su inventor John Napier.

I

I

lnvite a los estudiantes, a partir de la información presentada, que establezcan diferencias entre los logaritmos decimales y naturales. Realice en la pizarra un cuadro comparativo para que los estudiantes trabajen con el modelo propuesto y lo completen en su cuaderno. Pida la participación voluntaria para que compartan las diferencias encontradas (base, simbologÍa y lectura) y que establezcan conclusiones. Con ayuda de la sección "Calculadora", haga que los estudiantes interactúen con la calculadora, ingresando los datos presentados para que validen las respuestas presentadas. lntenogue: ¿Qué procesos se deben realizar

para calcular el logaritmo de base diferente de 10 en la calculadora? (Aplicar el cambio de base a base 10 para luego ingresar la información en la calculadora). lncentive a que comprueben los resultados de los logaritmos presentados inicialmente con ayuda de la calculadora, verifique

Con ayuda de la sección "Ten en cuenta", proponga que expliquen de qué trata cada una de las representaciones, Registre los aportes, luego concluya que el cologaritmo de un número es igual al logaritmo de la inversa de dicho número o al opuesto del logaritmo de dicho número. Mientras que "antilogaritmo de un número real positivo, en una base mayor que cero y diferente de uno" se define como el número que dio origen al logaritmo.

lncentive la práctica de los conocimientos aprendidos, a partir de la resolución de los siguientes ejercicios: cologu25 (-2); cologrS (-3); cologzl/8 (3); antiloge4 (81); antilogr-2 (1/9); antilog 483 (641125). En el elemplo 68, pregunte: ¿Por qué 9 colog" 3t/d es igual a -log" 3"/a ? (Por la definición de cologarilmo). ¿Cómo se obtuvo -4log"e?(De operar 12y -16, se coloca log" e, ya que es igual a 1 y no varÍa este resultado). ¿Qué propiedades se aplican?(Logaritmo de una potencia, logaritmo de un

cociente y logaritmo de un producto),

I

!

I

Para desarrollar

I

Libro de actividades (págs. 62-63)

I

Forme pares de estudiantes para desarrollar las actividades 1 a la 7 de la sección "Desarrolla tus capacidades". En la actividad, recuerde iniciar la resolución de atrás hacia adelante. Para la actividad 6 sugiera reducir el exponente a una forma más simple; para ello, indique convertir el exponente a una misma base, recuerde que log.d = 1/ logoc. Previo al desarrollo de la actividad 7, recuerde la regla de la cadena. Comente que los logaritmos tienen aplicaciones en numerosos campos cientificos, técnicos y sociales, como se presenta en el ejemplo 69. lndique que también calculen a partir de la siguiente fórmula el tiempo estimado de antigüedad de un fósil: ¡ =( 5730/-ln 2) . ln (R/Ro). Para el desarrollo de la actividad 8, recuerde que ln a = b & = a. Recuerde considerar t = 2, ya que los años de crecimiento del 2005 al 2OO7 son dos, luego se considera f = 13 ya que es la diferencia enlre 2020 y 2007 . En la actividad 9, recalque que la tasa de interés debe estar expresada en su equivalente decimal. Destaque las propiedades aplicadas en la resolución de la actividad 10.

-

Socialice los procesos y respuestas de los ejercicios propuestos, invitando a intervenir a los estudiantes que aún no han participado. De esta forma, los estudiantes verifican los resultados obtenidos y corrigen sus resultados si es necesario.

N N

)ci @

i

:Q l

B

o E l

pñ

Para consolidar

_! t

I

I

Pregunte: ¿Qué nuevo conocimiento aprendimos hoy?(Logaritmos decimales y naturales). ¿En qué campos de estudio se utilizan los logaritmos neperianos? (En los campos cientÍfico, técnico y social). ¿Cuál es la diferencia entre logaritmos de base decimal y los logaritmos neperianos? (Su base,

simbología y lectura).

I

ut

o

§c c o (h

o

LIBRO DE ACTIVIDADES

.

LOGARITMOS

LOGARITMOS

Logaritmos decimales y naturales

.

Ejemplo: log 1m = 2, DorQue 1d

.

TEN EN CUENTA

EJEMPLO ó8

col€ab =-logab

Sea la expresión M

bl

.

anlilogo b = ab

CALCULADORA Para

logaritmos

decima es, usarnos la

lo8 2 = log 3 = lo§ 9 =

.

:

I

2,§2585... 1,{J9431...

IMPORTANTE

C

Para nuestro problema, utilizamos la fórmula de desintegración radiactiva. e, R = Ro¿

R:

l

p

st o L

c

c a @

62

@

rog,

@

tog":k 'tos. i?

(lie - 2o

t00O + e,/3

6

log l0O + log l0 =

=

3-l

donde:

Porcentajefnal

.

\

a#=+ log.

F

=# antilog' 4 =

¿+

¿3

-

log a3 "

M = log"

a3

-

(log" a3 + log" ea¡

= .;"(*v) es

-4

log" e

= bs" (e-a)

+

¿

17.6=)7.2

lrrg. l(r =

antilosn tosn @-a) =

P

..

lr = 27.6(,(rl¡r7lqq', = 30.35 Se espcra que haya 30,35 n¡illones de habitrntes.

-4

p

Usa logaritmos en la fórmula de interés compuesto

Do(l + r)'y establece cuánto tiempo r tardará el dinero D,, para que se duplique (D = 2Do) si se calcula anualmente a una tasa del 97o. D=

jRn = 5730.

l4

Roe+'5730

r*d;z

ln,

- t= "-o

*

1n

.

Ro: Porcentaje inicial (100%)

ln0,l =-0,000121.t.ine

constanteasociadaal

Luego,t= 19030

,:

Tiempo en años.

j

2=(l+009)/+¡=

.. log,,.2s =

D

+

-0.000t21

Dicho hueso tiene, aproximadamente, l9 030 años de antigtietlad.

l

@ Simplifica en función de ¡ la expresión E. . ln e+ lne: + ln ¿l+... + ln1*l

5

calcula

*=

lop \ J?

-ffi3

.loo JZ.

log.,

e

. log-,2

log,. N!rnrerarclor:

6

p e

I

lop,

.

c

log...

Delorninatlt¡r:

I

E

I

s

§

@

o

r' loc '.'¿'"i¡

l.'

log ,, ,' = t,,g,.

-

los l lor'' -l =-:llog"t I :' =l-l= .l' 6 krg.,8

,,_tl_, ' -1= rr -*

"-@

¿Es verdad que

log,

8

ñ §

+ l¡Q,l=l¡¿0'(nl2l'

',-'--o.ooot2l . t, ¿

lo-g

log I.09 =tt

Tardará 8 años.

= antilogr 5

({) = r, ,-* "

r=- -2.302585.

r =91,

log,,5

I

ln0'l

r)1.

N=2s=32

* t=-2\2t =gl1? +k=0,oo0l2t -5730' ln e 573O'

k

árilcl

N = antilog, ,los¡

-,- / l)

Ro=Ro. ¿-o'oml2l I

-s

2Dr,= ¡),,11 +

I

N = antilog:

es la mitad de la cantidad

5730

fl*losnll.ron | +ro& al

|l

N = antilog: l¡r+log,7 . log,, 5

Si se ha desintegrado el 9OVo, queda sin desintegrase el l07o (0,1 ). Con esta información, despejamos y hallamos ,:

R=Roe-['-0,1

r'!g,],lll.)=1¡.¡1¡72ee

I

@ Calcula logr,2 N si N = ¿¡1¡il6g,

lll \21=-*.

r=

I

-4.

+

,r ,-

-1

c,rkrg,'1=( l) = .. ti=

Despejamos k y obtenemos su valor con ayuda de la calculadora: tr

Si la población del Peni en el año 2005 era de unos 27,2 millones, aproximadamente, y en eI 2O07 era de 2'7,6 millones, aproximadamente, ¿cuántos habitantes se espera que haya en el año 2020?

\'

log , t l.Jrr - J arltiltrs,l=-1r= l6 log. lr, = "tr = lr,

elemento considerado.

@

§ ,F

log"

M = log,

r" "'

o o o

-

2a

n=ln

_i

)

log

@ F = colog.r log2 log] antilog4 (logr ¿ I ,96)

-

Se conoce que la cantidad final de carbono inicial por estar semidesintegrado:

N N @

!

@ Un aumento continuo de Ia población puede ser modelado por la fórmula de crecimiento exponencial P = Po er', donde Pn es la cantidad inicial (en este caso de la población), t son los años de crecimiento y k es el ritmo de crecimiento.

f)

Aplica propiedades y resuelve.

n = n.e

)9

Analiza y resuelve las siguientes situaciones:

@ colog"

antilog2 4. Calcula antilog" M.

usaestrate8lasyprocedim¡entos:5"7 Argumeftaafirmaciones:8-10

respuesta.

En un laboratorio, se examinó un hueso encontrado en una caverna y se determinó que el carbono l4 se había desintegrado, aproximadamente, en un 907o. Si el periodo de semidesintegración del carbono l4 es de 5730 años, ¿cuántos años de antigüedad tiene, aproximadamente, dicho hueso?

.

:

-

e1'Ñea = 5

EJEMPLO 69

A,95424...

neperianos, usamos la

ln 10 = tn 5 =

colog"ih

+

1-4

Escribe V o I,'según corresponda. Justifica tu

0,47712...

Para logaritrnos

tecla ln

= log¿ 5 = 1,6094...

comunlca

M = l2 + 3 logu a - 9 log"1d

Antilog. M

0,30102...

5

oesannou-aruscAPACIDADES

Aplicamos propiedades y resolvemos:

M

tecla log:

h

12 + 3 log" a + 9

=

M = t2 + log" a3

.

-

100

Los logaritmos cuya base es el número e = 2,7182..., se llaman logaritmos neper¡anos o logaritmos naturales y se expresan asÍ: log¿ á = ln á Elemplo: In 5 = 1,ó094..., porqüe

=tog"

fl

Los logaritmos en base 10 de cualquier número real positivo á se llaman logaritmos decimales. En estos logaritmos no se escribe la base y se expresan así: log á

¡

, = l'

es l/2?

Uf¡

I + I + i + ... + (\ + l) F '- rntil,'r, ll,,r. tr + 2rl

f.r+ l)(.\+l)

j=-r1l r+l l (\+l) rt Luelo.[rr,--lur,=_ '_ l+l 'l E=

I

Il

I

No cs vcrrli¡cl.

UÍ{IDAD

I

Lo8ica. Números

complejos

ó3

Ecuaciones logarítm icas I Capacidades y desempeños precisados . Aplica las propiedades de los logaritmos para simplificar Usa estrategias y procedimientos

que el valor del argumento debe ser siempre positivo. Esto servirá para discriminar las soluciones obtenidas algebraicamente que contradigan la def inición de logaritmo.

la

ecuaciónlogarítmica. (1-7)

¡

Determina el valor de la incógnita de una ecuación logarítmica. (1-7)

I

Sugerencias didácticas Para iniciar

I

Considere la revisión de ecuaciones de primer y segundo grado, ya que estos conocimientos serán empleados en Ia resolución de ecuaciones logarítmicas. Para este último caso, refuerce los procedimientos de resolución (por factorización o porfórmulageneral). Porejemplo: -Sx= -6(x=3; x=21, x2 + 4x + 3 = 8 (x= -3; x= -1),2y2 -13y +20(y=stz', y= a).

I

f

I

(16/2) (F) .loga27 + logr3 = loge(27 . 3) .log¿xs=5log¿x (V) rlo9164+logr512=loga64-logr512 .logr9=9 (F) .logs2s=2-52=25 c log*27 no tiene solución (V) . log6(x + 3) + logu(x- 2) = 1 ¡ I

I

!

lndique a los estudiantes que determinen la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones y que justifiquen su respuesta:

.

lo9116 = log

(V) (F) (V) (V)

I

A partir de la actividad anterior realice con los estudiantes un cuadro resumen de las propiedades de los logaritmos y proponga otros ejercicios de repaso. Pregunte: ¿A qué llamamos ecuación? (Una ecuación es una igualdad

I

Forme pares de estudiantes y solicite que propongan dos ecuaciones logarítmicas: una debe tener dos posibles valores de la incógnita, siendo una de ellas contradictorio con la definición de logaritmo. Las ecuaciones propuestas serán planteadas a toda la clase y será un momento para propiciar el diálogo y el intercambio. En el ejemplo 70, resalte la importancia de respetar los signos de colección, ya que nos indica que debemos empezar trabajando con los logaritmos que se encuentran dentro de este. Recuerde que para multiplicar radicales, estos deben tener el mismo índice. lndique que describan las propiedades empleadas para el desarrollo. Relacione este aprendizaje con la actividad 3 de la sección "Desarrolla tus capacidades". En el ejemplo 71 , pida que reemplacen los valores de x en la ecuación propuesta, para que comprueben si no se contradice la definición de logaritmo y pueden validar el conjunto solución presentado en el ejemplo. Solicite que realicen la actividad 1; para ello recalque que log"b / log"c + log"(b/c) y presente ejemplos para que los estudiantes eviten este tipo de equivocaciones, ya que, por lo general, suelen confundirse. AI analizar el ejemplo 73, resalte que un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones con varias incógnitas que conforman un problema matemático y consiste en encontrar los valores de las incógnitas que satisfacen dichas ecuaciones. Proponga lo siguiente para que expresen lo que representan:

matemática entre dos expresiones matemáticas, denominadas miembros, en las que aparecen elementos conocidos o datos, y desconocidos o incógnitas, relacionados mediante operaciones matemáticas). Las siguientes igualdades: logrS = 3; logux= 625; logr81= x, ¿son consideradas ecuaciones? ¿Por qué? (Solo la segunda, porque la incógnita se encuentra en el argumento)

.

lndique a los estudiantes que den lectura a definición de ecuación logarítmica y validen sus respuestas.

Luego de examinar el ejemplo, interrogue: ¿Qué proceso me resultó difícil de comprender?(Respuesta libre). Tome eil cuenta las respuestas de los estudiantes para realizar aclaraciones.

Indique que una ecuación logarÍtmica presenta logaritmos en al menos uno de sus miembros y que la incógnita se encuentra en uno de los argumentos. Destaque que muchas de las ecuaciones logarítmicas son resueltas mediante la aplicación de la definición de logaritmo. Proponga el primer ejemplo de la definición: log (x + 1) + log 5 = 2. Luego de un tiempo prudencial para que resuelvan la ecuación, intenogue: ¿Qué procesos realizaron para hallar el valor de x? (Aplicamos la propiedad de logaritmo, aplicamos la definición de logaritmo). ¿Cuál es el valor de x?(19). Pida que reemplacen el valor de xen la ecuación propuesta para comprobar la validez de la respuesta. Comente sobre la información que se encuentra en la sección "Recuerda", revise la definición de looaritmo nára una meior comnrensión destacando

log x---> lndica que se trata de un logaritmo decimal de base 10.

o logyx--->

¡

Para desarrollar

I

Libro de actividades (págs. 64-65)

ln

lndica que se trata de un logaritmo de cualquier base.

x---> lndica que se trata de

un logaritmo neperiano cuya base es e.

Para la resolución de las actividades 6 y 7, indique que analicen los sistemas de ecuaciones y expresen los posibles procesos para su resolución. Destaque la estrategia de identificar cada elemento de las igualdades.

Para consolidar

I

A modo de conclusión, pregunte a los estudiantes'. ¿A qué llamamos ecuaciones logarítmicas? (A las ecuaciones que presentan la incógnita en el argumento de un logaritmo). ¿Cómo se resuelven este tipo de ecuaciones? (Por la definición de logaritmo, aplicando las propiedades, resolviendo ecuaciones de segundo grado). ¿Qué dificultades has encontrado? (Respuesta libre). ¿Qué tipo de estrategias o procedimientos has utilizado para resolver y comprobar la ecuación logarítmica?

Si se cuenta con computadoras, proponga el desarrollo de ecuaciones logaritmicas en línea, para ello pida que ingresen a la página: http://www. ematematicas.net/ eclo g ar itmic

a. p h p? a =

4 N N @

-i)

$

i .o o

!= o o I

E l

p IE

o L a @

c

-9 .F

c a

@

LIBRO DE ACTIVIDADES

.

LOGARITMOS

LOGARITMOS

fl

Ecuaciones logarítmicas RECUERDA En las ecuaciones logarítmicas, es necesario verificar la existencia de las soluciones, ya que si se obtiene el logaritmo de

Una ecuación logarítmica es aquella en la que la ¡ncógnita aparece dentro del argumento de un logaritmo. Ejemplos: log k +'1 ) + log 5 = 2; 2 log3 x = log3 (4r - 12)

log., rz = lo&/ n

+,n

+ Bx + 12) _ olol (2f (2r ,

.

(h)* j r"e",] = r1¡r

.

logullogurD +log¡.4)= r.gr. (3)

(log, 3 + l)(log.r+ I ) = log 3 +log.r+ 2 lol, 3+ log.r. log, 3 + I + logr= log.j +

log, (logu I ?-x) = og" (?)

krc,-l=l+.r=3 ..( s ={3}

f

El valor de

¡

í t ilogrLr = i +

logr+l

@ log., l log* r¡ ' log,r v'5f) =

. .

EJEMPTO 71

Aplicamos propiedades y resolvemos:

... C. S. =

-;r)

= Iog, 6

+

(x + 3)(4

Hallamos el valor pedido:

=ln¿3=3lnr=3

- x - 6- 0 + (r + 2)(x - 3) = 0 + x = -2

E)EMPLO 72

.

Calcula la suma de la raíces de logr 3 .

ci c

:9

'ot(+lt=.*.1#l

!

.1+.=ffi

o f

e o o

. .

@ Determina Ia suma de las raícgs de la siguiente ecuación: Iog, -, 2' log- 2= jlog, ., 2.

ox= 3

l

@

[t

(log3 y - 4l = log¡ y - 6 2) = 0 + y, = J2 + yt = g 3) = 0 + yr= J3 + y2= 2'7

I

-

2)(logry

-

3) = 0

! 4

§ @

@

o c -§ .F c a

,ot(+) , = ,ot(+) ,.

Aplicamos propiedades y resolvemos:

(log3y Luego,yf +!z=36.

o

\M/

lrr-r. t.r-lll log.-- = I lo!.(:,6-l) (krg,: 5) log,:=1 (log.: 6) krgl¡ 7log2.:+ l1=0 1log.. .1)(log,: .l)=0 >:r= l6v :.-fi . a +:,=2'+

rogrv'rogr(fi) =l",sr(h)

(log3y

= sc

-

Intercambiamos la base y el número, entonces la ecuación queda así:

log, y!og, y

de

lo92x-logzO

{Bi

\12/

TEN EN CUENTA

5-

@ Halla el valor

en: \/Y -g

=2 | ]ogr.E -logrS =3 \ l'+.r=4y'r Dc :l,r¡'."'i'-:* v/l 2

Entonces. el valor de x es 3.

toá,

en r:ln¡+lne3=6

ln.r+3=6-ln,r=3-¡=¿3

Analiza y resuelve los siguientes sistemas:

- x) = 6

Se verifica para .r = 3

ro8)3 =

:

,"(?) =^(¿f)=^(4)

]tl.g...sr¡={-.,=s

log, (x + 3) + log, (4 - x) = log,2 ' logz6

N N @ j

¿

;

I

Reemplazamos 3

--l--

rrogr,rrSi¡=({)

+ 3)

f

= ¿3...

-y

Ior,, {loe.,v5-) = t,rg,,(.4)

Sea-I-.+log,(4-r)=logz6'[og,2.Determinaelvalorde.r, log(¡ x

log, (x + 3X4

-

::

r,. ln y = ! ¡¡

Aplicamos propiedades en t

'ot(+)"

.

ln

+

lnl+lny=§... .

x=4

es 4.

+

ln y = 3

ln (,)'r') ) = ln (ee)

El fog, (3¡) ' log l0r = log (3x) + 2 llog, 3+log.rllkrg r + log l0l = log3 + log,r +2

(f).

Aplicamos ln a ambos miembros de

ln2 y = 9

Aplicamos propiedades y resolvemos:

log2, \r2x =

Calcula el uaror ae rn

'r: r -l=0 .t = I v t= 3/2 .. (' s. = [3/2]

t e^l"e*

t

{

Io-s rl.rr + ll.r+ lll = ) Iog11.r+ -lt (l.r + -l)r = 2rr + I.lr + ll

=n

ln (xy) = §...

Dado e[ sistema:

+ 3)

log

EJEMPLO 70 Resuerve

Usa esüategi6 y procedim¡er¡cs. 1-7

Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas:

Para resolver una ecuación logarítm¡ca, aplicamos las propiedades de los logaritmos. Además, conv¡ene expresar la ecuación dada en la forma: lo8¿ m = loga n

un nÚmero no positivq la solución no se considera.

orsnnnou-aruscAPACrDADES

'

Halla el menor valor de y si se verifica que y2!2 = y'. 'lirrllulros logarilrnos ir ¡rubos nticll[¡tos el brrse l0: l,,g

e p e

§ a

rl'l

= log r¡ : r > o

ltrg r + rltrgr(l 21 ¡=0 rlorrrrI lrr=l) > Irrrr'=Ov I lr=o ,r'1 = 10"= I vr',= l/2 Fil nrclrx valor tlc l es ].

lrlkrg r=¡

De

!l: log.'' 'r)'' - j

4vI=(r4r'lt+

j"=E= 'ntr

!* = :t * - rJ' r'=2 l'..r =21"

''12-)1

.r

= 6-1r'l'r

'

@ Determina el valor

de

| f"]::l^'lt':''"' :

r - y en:

:{x*v.o>o.b>o¡

llo8r=y'oer De

O: ku (.1'r') = los0rr'E')

It¡d.r=k,g:¡ + t=r'o.n = I Por 2 conrlicirin:.¡ = I De 1,: log((r) k)S¿r=lt¡g(h) rog.i = rog (*)

'''r

*,

= !r.

t

=

losá+logr=bgá

lqg«

i

t=/11-,'¡l tll,

'

64

UNIDAD

I

Lógica. Númeroscomplejos

ó5

TEXTO ESCOLAR

Números complejos I

Texto escolar

(pag

1

6) r

Libro de actividades (págs. 66-67)

Capacidades y desempeños precisados .

Usa estrategias

af

irmaciones

.

Justlfica la representación gráfica de los números complejos empleando el plano cartesiano. (7) TEN EN CUENTA

Sugerencias didácticas

Clascs de números

complejos Real puro

Para iniciar

I

I

I

z=a+bi:b=0-z=a

4

4

lmaginario puro

yJ Proponga que determinen las raÍces ¿¿ . Pregunte: ¿Se pueden "/ calcular las raíces reales de los radicales?(No, porque no existe un número real que elevado al cuadrado nos dé un número negativo, por lo tanto, no tiene solución en el conjunto de los números reales). Resalte que esta situación dio origen a la creación de un nuevo conjunto numérico incorporando las raíces de estos radicales a lo que se llama números complejos. Recuerde que todo número negativo elevado a un exponente par siempre resultará positivo; para complementar presente ejemplos como: (-2)2 = 4; (-3)a = 81; (-5)2 = 25.

z=a+bi:a=O+z=bi Nulo

z=a+bi:(a=0 ¡b=0\ lguales

a+bi=m+ni(a=m

I

Y

Para graficar un número complejo z = a + bi = la, b) se hace uso del plano de Gauss, en el cual el valor de ¿ corresponde al eje X o eje real, y el valor de á

(a, b)

corresponde al eje Y o ele imaginario. Dicho número complejo queda representado por el vector que va del origen (0; 0) al punto (d, á), que se llama afijo.

Adición y sustracción de números comple¡os

Opuestos

EJEMPLO 15

Halla el resultado de M = 2(3

.

z=a+bi--z=n-bi

-

4i)

-

3(2i

-

3) +

4(l

+ 5i).

Resolvemos como si fueran expresiones algebraicas:

M=

6

-

8i

-

6i + 9 + 4 + 2Oi = (6 + 9 + 4) + (-8i

-

6i + 20i)

=

19 + 6i

Multiplicación, división y potenciación de números complejos

IMPORTANTE

Para hallar el resultado de una multiplicación y potenciación de números complejos, estos

.o f, .i .t | =! =l =l =

, I

ir=is=ie=ir*l=i ir - i6 - iro - ii+2 - _l ir-i7-irr=ia+r--

son operados como si fueran expresiones algebraicas. Para dividir dos números complejos, se multiplican el dividendo y el divrsor por el conjugado del div¡sor.

EJEMPLO 16

Carcuraer valorde

.

Resolvemos:

"

- 6:ix3

N=

tl.19a3il

I 3itr-N= -

*,_(4-2ix3+

3i2

i) (2- llixl

+-lI -

-

+¿

23- 3(2)1¡)J-1(2xi)']

-

i3

-zi\ _14-zi - --10- + -20-r5i_-13 5-t

ll+ftd-:ft

t6 5

ElvalordeN*f-fi. Pá€8. 66-7r

Revise la sección "lmportante" para observar cómo cada cuatro potencias se repiten los mismos valores imaginarios puros. Diferencie que el opuesto de un número complelo se caracteriza porque la parte real y la parte imaginaria son opuestos mientras que su conjugada se caracteriza porque la parte real es igual y la parte imaginaria es opuesta. Complemente presentando ejemplos: z=3-5i;-z=-3 + 5iy z=3 +5i; z, = 2i'

orsannou-nrusCAPACIDADES

S

Halla el opuesto y el conjugado de

El Calcula P = 4(2 +3i)-2(5i +4)

lJs¡ estrate¡lrils y i)0(edill)rúnl0s l.ó

+

.z

=;3

3(l

*.6];,,

-rl),,,,,

f,) Halla el valor de Q = (3i - 2Xi + Z) + 2i(5,

= 12- 2i. Beafirme con el desanollo de la actividad 5.

Para consolidar Tó

Pida que resuelvan las actividades 1 a la 6. Luego, fomente el intercambio de sus nrnnodimicntnc rr recr rltadnc a mancrA de nnpvah la¡ián

fi

,d

E

ll¡

I

b=n)

z=a¡bi-Z=a+bi

Enfoque la atención en la sección "Representación gráfica de un número complejo". Destaque que el eje X corresponde al conjunto de números reales, mientras que el eje Y corresponde a los denominados números imaginarios, de tal forma que el número complejo " a + bl' queda representado por el punto P(a; b) al que se le denomina afijo y se expresa z = (a: b) llamada forma cartesiana. Revise la sección "Ten en cuenta", en la que se muestran las clases de números complejos. Por lo tanto, si unimos con una flecha el origen de coordenadas con el punto "P", obtendremos un vector OP que se considera la representación vectorial del número complejo.

-4 = -12-2i,4

n

Conjugados

Revise coniuntamente con los estudiantes el caso inicial. ExplÍqueles que los números imaginarios se encuentran compuestos por un número real acompañado de la unidad imaginaria. Resalte que llamaremos números complejos a los números (z) que presentan la siguiente forma "a + bi'; donde "a" es la parte real y "bf' la parte imaginaria.

Representac¡ón gráfica de los números comple¡os

Para sumar y restar números complejos, se cons¡dera el número ¡mag¡nario como var¡able y se operan como s¡ fueran expresiones algebraicas.

-z=0

Para desarrollar

I

§- tOC

Emplea estrategias heurísticas y procedimientos para 1-6; 8-9) operar con los números complejos.

(l{;

y procedimientos Argumenta

Números com plejos. Operaciones

;;al)r,

@ ResuetveR

2i)

=Q-!lf

E

Halla el valor de a si (3

@

¿Cuál es el valor de á si (1

-

-(l-2!)3. r.r

''

5i) + (-1 + ai) es real puro.

-

ái)2 es imaginario puro?

E

:

I a o

LIBRO DE ACTIV¡DADES

¡

1

NÚMEROS COMPLEJOS

NÚMEROS COMPLEJOS

@ Números complejos TEN EN CUENTA

IR

0 Z IN

fl

(O)

¡f

,f + 2r r 5 = 0, se obtienen como soluc¡ones 11 = -1 + 2,,[1 y x2 = -1 - 2tl1-. Estassolucionescarecendesentidoporquey'-1 noesunnúmeroreal.Anteestadificultad,

Al resolver

orsannou-arus

\

:14 ¡rJl

,ll

irs

i,.o ¡ .ql

'! lrt/l

Estas son algunas potenc¡as de la unidad imaginaria.

i2,ió

¡ro_i;+2__1

¡3 _ i7_ ir1 =

:lol tlrr.x

¡i.:__

conjunto de los números complejos (c) es el conjunto de todos los números de la forma z = a + bi, donde a y á son números reales e i es la unidad imag¡naria.

. RECUERDA

. i84+1=i4 21+1-i4+1 . i23o+2-i¿.59+2-i4+2 . ¡134+3_i4 s6+3_i4+3

ff

i236

El valor de M es

+2

+

ioo

,

i55

ir\s

,,t

a2

2 3X

i85

-

i238

+

i

1344 +

3

=

¡á

r r_

@ ¿,Cómo serán las gráficas de los conjugados

A = ila

-

respecto a las gráficas de los números complejos

il2s + i2467 + i34oo

dados? ¿,Y de los opuestos?

\-

. I

.\- r i t+l-

iá

*z

+

i3

*3

= i _ (_ t ) _

i

g

=I

e=j

l.

B

{ira57

.

tr

+ ¡sorr¡ r

= t/2(ii* * ¡i+

r;

l/2(i i) - 3(-l B=0+3-3i=3-li B=

EJEMPLO 75

I rr: grilielr:

. . . .

g.

-

31¡e2M

a ¡rz+ze¡

- i1¡i+: * ¡ir

) i,[

¡,tt

Graficamos el opuesto, el conjugado y el opuesto del conjugado del número complejo: = 4 + 3i en el plano de Gauss.

E e

2+3i

c E É

E P

(4:-3\ s o

66

binómica

Como:¡

€ o

_-5

-

4i

+

=:,, entonces igualamos ¡i = y + (2y _7)i

y resolvemos:

Por lo tanto:.r+). = 3 + 5 = 8

Determina el valor de

-3i

(l:

-l)

( 5i

-ó+8i

u*1

l0+7i

l0-7i

:'' l:

-lZ+i

12+i

r

+ y si z, = ¿r.

El :r = 2r+ (3-v + 4)i y.2 = 8 + (2 +-v)i El.:r =3(,r+ l)+ri y:2=2f -(l -4y)i

,

5+4i

6-8i

t2-i

_ l0

ir+i

Afijo de:

-2

.¡¡

t0=v >{l5x-v= I0 } x=3 {[5*l2y-7=¡ lx-2y=-t )=5

irrr

FOrma

§ j 3)

X

(-4; -3)

-,"'il;ji"" * #T

Completa la tabla según se indica.

Y

it

- 2) +.ri y ir= y - (7 -2y)i. Determina el valor de x + y si ¡, = ¡r.

.

ir*,riJ,, i,.r_ir-r ia+t ir i-(-i), i n--i+i .]I__I---:_-,-.'

: = 4 + 3i es el par ordenado (4; 3). El opuesto de z -- 4 + 3i es -: = -4 - 3i y su conjugado es ¡ = 4 - 3i. El opuesto del conjugado es -Z = -(4 - 3i) = -4 + 3i.

24

"0'i,*1"''

L

Sean z, = 5(x

r¡

+ i)

-

Según la definición, el afijo de

3)

=

conirrsirrlor lirnt¡rr ri¡rrrlr,'

I-lis tnilicirs rle los opuestos lornt¡n trn iirrLulrr Ilrrtlr rcs¡t(lo rrl cont¡tk'io tlirtlr.

5.r

Escribe el afijo, el opuesto, el conjugado y el opuesto del conjugado de la forma binómica del número complejo z= 4 + 3i. Luego, grafícalos en el plano cartesiano o de Gauss.

rlt lo'

rrLrtr[t: re.Pccto rl eont¡tl. jo tlrrLIr

tL

it3a7

Observamos las potencias de la unidad imaginaria y resolvemos.

_

t_

Simplifica las siguientes expresiones:

\

Simplifica la expresión: M = +t

i3' /

lttt

EJEMPLO 74

¡8a

i41

.'1

{

:

Todo número real es un número complejo cuya parte imaginaria es cero

M=

il6

i,'=i'ir'

t¡ene su opuesto -¿ = - ái y su conjugado I = ¿ - lri. Todo número complejo puede escribirse en diferentes formas. Así, ¡ = ¿ + ái es la forma binómicay z= @, b) es el afijo que representa la forma gráfica (a corresponde al eje x, y á, al eje Y).

.

7

@ Dibuja el conjugado y el opuesto de los números complejos 21,Z2f 27.

'q8

I

l(x)

Agumenta af¡rmaciones:

ll

Todonúmerocomplqoz=a+biconstadeunapartereal (d)yunaparteimaginaria(D). Todo número complejo

:

8-9

Analiza y resuelve.

lg

:71

El

. . .

Usá estrategias y procedimientos: 1-ó;

Pinta de un mismo color las expresiones equivalentes.

surge un nuevo conjunto de números, el de los números complejos, en el cual se admite como número válido a GT y a todos los que se obtengan de operar con é1. Este nuevo númerq se denomina unidad ¡mag¡nar¡a de causs y se denota con la letra ¡ = GT. por lo tantq ¡as soluc¡ones se escriben como = -1 r 2iy x2= -1 -2t.

¡o-¡a-¡a-¡.i_1 ¡r - ¡s - ¡e- ¡,i.r - ¡

cAPACTDADES

'

-1)

(6: lii

r

l0:

§ lr=li+r-,1 .\r+-l=l+r

+r-

I

I)r! l()lirltl(): \ + r=.1 9. 3,r+ f.¡. 10,

3

+.ri = 2f + (4y- l)i

+3=2r

|.3. ]"= I

I

It-4r=

[r= lr=l)

I

7)

(12: l)

Por lo tanto: .r + r'=

-l

UNIDAD

I

Lógica. Números complejos

67

Adición, sustracción y multiplicación en C ¡

I

Capacidades y desempeños precisados .

Usa estrategias y

procedimientos

Emplea estrategias heurísticas y procedimientos en la adición, sustracción y multiplicación con los números complejos, (1-7)

Sugerencias didácticas Para iniciar

I

Antes de iniciar, recuerde cómo se suman las expresiones algebraicas; para ello, presente e¡emplos sencillos como: 5x - 2x + 3y - 7 y = (5 - 2)x + (3 - 7)y = 3x - 4y,

2a-9b- 8a- 5b = (2-B)a + (-9 - 5)b = -6a- 14b. Resalte que para sumar o restar los términos estas deben ser semejantes, se procede sumando sus coeficientes y acompañándolos al final con la variable; asimismo, indique que cuando los signos son iguales se suman los términos y se da el mismo signo a la suma. Por el contrario, si presentan signos diferentes se restan y se coloca a la suma el signo del término cuyo coeficiente tenga mayor valor absoluto. Esto Ies permitirá comprender la adición y sustracción con los números complejos.

I

lnvite a los estudiantes a dar lectura a la definición de la adición y sustracción, para verificar si han comprendido. Propongan que completen la siguiente tabla:

Operación

Z1*22

z,+72

Z.t +22

Zt-Zz

zr=-5+8i zz=2-5i

-5+8i 2- 5i

-5+8i 2+5i

Áai

-5+8i -2+5i

Resultado

-3+3i

-3 + 13i

2-5i

-/ +

tJt

Explique que para sumar dos o más números complejos se puede emplear la estrategia de operar por separado las partes reales y las imaginarias (propiedad asociativa). Todo lo anterior facilitará comprender el desarrollo del ejemplo 77 y resolver las actividades 1 y 2.

Expliquequeunnúmerocomplejo

Haga notar que si tenemos una expresión (3 + 2i)/5 podemos distribuir el denominador a cada numerador 3/5 + 2il5 de esa manera obtendremos las partes del número complejo, resalte que "a y b" puede ser cualquiera de los números reales, es deci¡ pueden ser fracciones o decimales. En nuestro caso, si consideramos z = 3/5 + 2il5, entonces a = 3/5 y b =2il,.Además destaque

t-[-T¡2-

1

ni si

ysolosi Ztt z1

z2

Para consolidar

I

Proponga que representen gráficamente. z= -5 +2i,2= -5 -2i: -z=5-Zi. Pregunte: ¿Cómo es el número complejo con su opuesto, con su coniugada? (El número complejo con su opuesto forma un ángulo llano, mientras que con su conjugada es simétrico respecto a la recta real).

I

Plantee que desarrollen y representen gráficamente en el plano de Gauss (ver margen):

4=2+ 4iizz=1+

2i. Halla: z1 + 22

y z't- z, (2,+ z2= -1+6r, z,- zr=5 +2i).

Pregunte: ¿Cómo deberíamos proceder para hallar la suma de dos números complejos en el plano de Gauss? (Trazando paralelos a los vectores para formar un paralelogramo y para hallar la suma se debe trazar un vector en su diagonal). ¿Cómo hallamos gráficamente la diferencia de dos números complejos? (Primero debemos graficar el opuesto del sustraendo y luego proceder como en la suma).

Sean:

2.

^ /

^

H--1-

Zrzr-

,lr=@t4?9

:8

Éa o o z1

1.a)2+10i

)

!

E c

o

ZzZs

¿ <

32

a

G

gc

Respuestas:

2. A = -0,6

-22

E

2

z,

Zz

ci

+3zs h

Zt-

)t

calcula:

Observa el gráfico y calcula: a --

z2

@

4= -2 + 3i, zr= 2- 4iy zr= 4 -2i,

a)A=-#

z1

N N

Actividades complementarias

Previo al desanollo de las actividades, es importante que recuerden la

¡2

z=a+b¡esigual aotro Zt=m+

sus partes reales son iguales entre sí y sus partes imaginarias también; o sea, se cumple que: a = m y b = n. Además, resalte que si se tiene un nÚmero complejo representado en su forma cartesiana como el par ordenado (3; 2), esta podemos expresarla en su forma binómica, escribiendo la primera componente como la parte real y la segunda componente como la parte imaginaria (z=3 + 2i). Todo lo anterior le permitirá desanollar las actividades 6 y 7.

z,(2. + z"\

secuencia operativa indicando que primero se calcula lo que hay entre paréntesis, se continúa calculando las potencias y las raÍces, antes de la multiplicación y división, para finalmente cerrar realizando las sumas y restas.

I

Para promover el análisis en los estudiantes, pregunte: ¿Qué ocurre cuando sumamos un número complejo con su coniugado?(Se anula la parte imaginaria por lo que resulta un número real). ¿Todo número real es un número complejo? (Sí, porque los números complejos contienen a los números reales). ¿Qué resulta cuándo multiplicas un número compleio por su coniugada? (Resulta un número real). ¿Ningún número compleio es igual a su conjugada? (No, ya que todo real puro es igual a su con.iugada). Complemente invitándoles a que desanollen las actividades de las secciones "Elabora y usa estrategias" y "Ten en cuenta", luego invÍtelos a que socialicen sus resultados.

1.

Para desarrollar

!

I

Libro de actividades (págs 68-69)

b)

-8 + 14i

2,Bi; B =

+-%i

-4

É a6 @

üt

LIBRO DE ACT¡VIDADES

.

@ Operaciones con números complejos

B

O

Para sumar o restar números cornplejos, se consideran as partes imaginarias como términos semejantes y se opera como si fueran expreslones algebraicas.

D = 3t2(2

-

i)

-4(s + 8i)l + 8[10 -

D=3[4-2i 20 32il+8!0-3+

usa estrategias y procedimiento§: 1-7

(3

-

12i)]

l2i]

D=3( l6-34i)+8(7+ l2i) D= 4U 102i+56+96i=8-6i

EJEMPLO 77

SimplificaA= (8

.

DESARROLLA TUS CAPACIDADES

Halla el resultado de las siguientes expresiones:

Adición y sustracción

.

3i) +

-

2(4i

2)

-

Sean z, = (0; -4); -¡, = (2: -3) y ¡¡ = (5; -l ). Calcula el vakrrtle N =z.t':2':. +:: ¡:

.

Convertimos a la forma binómica y resolvemos.

zt=4itz¡=-2+Jiy:,=5 (4iX

+ l3i) + (-2)'z-(3i)'?

N=

A= 8- 3i + 8i-4-

N=-52i 52+4+9=-39-52i

15

-

10i + 1

+4i

Operamos por separado las pafes enteras y las imaginarias: (8

El valor

-4-

15

de A es

+

1) +

-10

-

@ E = 2i(4 + i)(2t

(-3i + 8i - 10i + 4i) =-10- i

-

E = 2i(-14 + 5i)(2 +

i.

-

(1

i) (32

4i)

3)(2 +

1)

si)(2 + 6i)

-

13

El valor de N

es

39

Y

(

(4: 4)

4;3)

Para multiplicar números complelos, se consideran ias partes imaginarias como términos semejantes y se opera como si fueran expresiones algebraicas. Para simplificar se usa la igualdad i2 = -'1.

Determina el resultado de:

Z3

-3)(i +2) (5i + lOXlOi -5) a cr,-c_(2i12ai¡i _) -p+i;i3_¡ - -13+r l(x)+7-5i

EJEMPLO 78

Calculael valorde B =

.

(6- 3ixl -

B = (6

-

18i

B = (6- 18i -

Zi+Z

+

2iX4-5iXl

+ 3i)

l_--

Resolvemos aplicando la propiedad asociativa.

B=

E=i(i+1Xi-1)'z

3(2-i)(1 -3i) +2(3

3i) + (6 + 4i)(4

3i + 9i2) + (24 3i

-

9) + (24

-

-

-si)(l

3Oi

-

20i2X1 + 3i)

.r=- t(, - li + lo(, 75i .58 77 =5-10' ro

+ 16i + 20Xl + 3i)

-21i) + (44 - l4iXl + 3i) B = (-3 -21i) + (86 + 118i) =83 +97i

N @ I

TEN EN CUENTA

EJEMPLO 79

producto de dos números complejos puede ser un número rea.

Sean ¿,

El

ci ¿ :9

.

o o o

-

z)=

- 1.'= . = I - 2i y z2=2 + i. Hatla el valor de M = ZZ' - ZZ+ Zt' Zl

=o C

El valor @

c

+

2+i

0=60 +6 +-

ó8

de ru es

J-

{i

.§

p

I p ! € I

s

s

o

o

) ri

4-2i+2i-i2 1 + 2i -2i- 4i' .2+i 3-i 3 l. M= | -2i :) 5J))

§

§C .F

1-2í

o¡ro4

-l

o1+.+^

es 83 + 97i.

M=

p

- J¡; zz = Calcula lo siguiente: Sean ¿, = 2

Reemplazamos los datos y hallamos el resultado.

M=

!=

-s)

-{ -l

B = (-3

El valor de B

z,

R-i L '- 5 -l(r(l+75i l()

+ 3i)

3Oi+ 16i

52i.

62i

Mu¡t¡plicac¡ón

v

-

Observa el gráfico y calcula el valor de Py Q.

E=2i( -13+4i) 32+4i

E--66i+8 32+4i= 21

USA ESTRATEGIAS Y PROCEDIMIENTOS

i

N=(4iX-2+3i)(s+1)+( 2+ 3iX-2 3i)

5(3 + 2i) + (1 + 4i).

Resolvemos como si fueran expresiones algebraicas:

A=

I

OPERACIONES CON NÚMEROs COMPLE]OS

OPERACIONES CON N(¡MEROS COMPLEIOS

+ 2i;

4

=

@ P=z¡ +22 .

24-4

A

a=:1+l-f=

6.P= (4 +4i) + ( 5 + 2i)(4-5i)-(4+ 3i) P = 4+ 4i l0+33i-4-3i =*10+34i

-2 - f,i y z4 = 4 - i, 7.Q =

@r--"*-+A

,r-'-Ji1r1 ir +r-l-li'r-2+.r, l--li *-Ll -5+ l4i *( 2-.li Lr f;,(Jf I Il. -5+l4i I ]i =Ll*L¡' Ir ' l.r l-l r 2irri r .¡il t2 .1i)t -2 + lil ''" ¡4 tl-llr4'il

a=

4tl -itt-5+)i¡4-.ti1.

4+5i

tzx (-l+7i)('.1

¡l

4+5i --1i)+G¡r-¡

-12 --lotr*¡rir

9+..t7¡ 4+.5i

a=

13

+ 42i 13 . 21. 32 -32' lr,'

,-li+i 5+12i _ 8+i_5+12; 34 t7 34 4_¡ x i -lo-l4i-.o \4 11 IL .r4

UNIDAD

I

69

Lóg ca. Números complejos

@ @

I

División y potenciación en C rLibro de actividades (págs

I

Capacidades y desempeños prec¡sados .

Usa estrategias y procedimientos

¡

Argumenta afirmaciones

Emplea estrategias heurísticas para resolver problemas de división y potenciación con los números complejos. (1-5)

De inmediato pida que revisen la sección "Recuerda" donde se explica el procedimiento a seguir cuando los exponentes son números pares mayores que 2 que ayuda a comprender el ejemplo 82 y lo debe reforzar con la actividad 2.

Para desarrollar

Para iniciar

¡

!

Es importante que los nuevos aprendizajes se construyan a partir de los

conocimientos previos de los estudiantes; por ello, recupere los saberes previos, plantee situaciones donde se requiera su desarrollo para el uso de los productos notables, lo cual será de mucha utilidad para hacer la división y la potenciación con los números complejos, Con este propósito, proponga que completen la siguiente tabla: Expresión (x + 2)2

* y)3 (x- 3)(x + 3) (5+aXS-a) (x

!

^)1,(

07;l

Lo trabajado anteriormente le permitirá desarrollar las actividades 3 y 5.

Su desarrollo

!

=*+2(2)x+22=f+4x+4 =f+3*y+3xy2+y3

=É-22=f-e -52-a2=25-*

(3+B;)(2+5i) 6+15i+161+a0(-1) -34+311 34 = n =-29* #,) (2-5i)(2 + 5i) 22

*

I

-(si)z

+2i) 2+4i-5¡-10(-1) j2-1i

(1 -2t)(1 + 2»=

12

-

(2i)2

=s=

12 li ^. c 5 --==2.4-;tl

- f

Es necesario que los estudiantes desanollen sus capacidades matemáticas, y esto implica generar en ellos el conflicto cognitivo. Para promover lo anterior, pida que resuelvan y lo expresen como números imaginarios. N

1\

@

j

5l

Explique que para resolver radicales con índices pares mayores que dos se debe proceder escribiendo el número real como un radical que tenga el mismo Índice. Luego, se debe multiplicar por la unidad imaginaria que debe estar expresada también como un radical cuyo índice sea la mitad. Enfatice, además, que si se t¡ene cocientes con potencias de igual base se procederá a resolver restando el exponente del numerador con el exponente del denominador.

Luego, revise conjuntamente con los estudiantes la sección "lmportante" que se encuentra al margen, donde se demuestra que la multiplicación de un número complejo por su conjugada siempre resultará un número real. Resalte que esta propiedad se aprovecha para realizar la división de dos números complejos, tal como se aprecia en el ejemplo 81. Refuerce con la actividad I.

I

En muchas ocasiones el estudiante debe calcular el valor de una variable para satisfacer alguna condición: En esos casos, indique que deben de establecer una ecuación que satisfaga la condición. Todo lo anterior se ejecuta después de haber desarrollado las operaciones. Para consolidar sus aprendizajes plantee las siguientes interrogantes: ¿Qué valor debe tomar "b" para que la expresión (2-bi)2 seareal?((2 - bi)2 = 4 4bi+b2i2 =4- b2-4bi- 4b = Q por lotanto; b = O). ¿Qué valor debe tomar "x" para que la expresión (x + 2if sea un número imaginario?((x + 2i)2 = + 4xi + 4i2 = (f - 4) + 4xi - 4 = 0, por lo tanto, x = +2). Este aprendizale le facilitará comprender el desarrollo del ejemplo 83 y resolver la actividad 6.

-

+ 8i=izz= 2-Si;zs= 1- 2í, resuelve los siguientes casos:

(2-5i)(1

Explíqueles que si tenemos una potencia elevada a un exponente impar mayor que 3 debemos descomponerla en dos factores (como ocurre en el eiemplo 83) y si el exponente es par debemos expresarlo como una potencia de una potencia. Para consolidar estos aprendizajes proponga algunos ejemplos sencillos como: a) (1 + i)6 = 11t + t)2)3 = (1 + 2i + t2¡3 = lzt¡s = 8,3 = 8(-,) = -s, b) (2 + 2i)5 = (2 + 2ü2e + 2i)a = (4 + 8i + 4i2) (8 + 24i + 24i2 + 8i3) = 8i (-16 + 16i) = -129 - 126;

Centre la atención de los estudiantes en la definición de división de números complejos. Para complementar su aprendizale, plantee ejemplos como: Si z1 = (3

lnvite a que revisen la definición de la potenciación y que la comenten. Complemente con el desarrollo de las siguientes potencias de números complejos.

G - 2ü2 = 32 - 2Q)Qi) + (2i)2 = 9 - 12i + 4i2 = I - 12i + 4(-1) = 5 - 12i (2 + i)3 = 23 +3e)2$) +3(2)(i)2 + i3 = 8 + 12i-6-i=2+ 11i

Justifica los procedimientos en los cálculos relacionados a las operaciones de división y potenciación con los números complejos. (6-E)

Sugerencias didácticas

70-71)

ci ¿ rQ

3 E o o E

)

p

P E

I

Previo a la actividad 2 proponga a los estudiantes algunas divisiones donde

Para consolidar

L

el divisor sea un número imaginario puro. Resalte que si estamos frente a una división donde el divisor es un número imaginario puro, para resolverlo, bastará con multiplicar tanto el numerador como el denominador por la unidad imaginaria.

I

u5

Resalte que para realizar las operaciones con los números complejos, es importante tener cuidado con la regla de los signos para desanollar los algoritmos de la división y de la potenciación.

§c .F c

@

o

LIBRO DE ACTIVIDADES

I

1

OPERACIONE§ CON NÚMEROS COMPLEJOS

OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS

I

D¡v¡sión y potenciac¡ón en C

Div¡sión Para

o

del divisor.

IMPORTANTE

EJEMPLO 81 Calcula el resultado de H

.

= (-1r

-

Multiplicamos el dividendo y el divisor por el conjugado del divisor:

-" - (l-2i)(-l -3i) -. (2-5iXl+i) (3-4iX2+i) CT +lral -:il €:l,G +t- lr:lx7 +ll ,, -t6-4i 8 2, .= -7l0- i - ll -t0l3i- l0-5i 5 = 10-=-5-5'

Por ejen'rplo:

(-1 +3iX-1

- 2ii, + 2¡- li - +:4 = -l+Jl J-l 2-r lr

-3i)

(3D,

=1-9i2=1-9(-1) =1+9=10

El valor de u

+ D4= [(1

f

=\1+21+¡?)2 t.i\2

Determina el valor de J =

.

o=

EJEMPLO 83

E= o o o

.

ffi ffii.

f

ñ

p

€

o L

4ai)3

(1

4al)3 =

-

=

13

-

(l -

(4ai)3

-

3(t X4¿D( I

48a2) + (64a3

-

- l)a)i

Luego. el valor no nulo de a es

@

-

4ai)3 sea real?

a

Desarrollamos el binomio y hallamos el valor de ¿:

(l -

t +.

4al) =

+

1

64a3

s

64a3 13

-

I

- l2a=

0

+

-

2il'= l,'+ -1¡,')(lit+ -l(r)(li)r

tt

Prlt

fri

(\'r

c @ @

7A

(li)'

qtte seit trr núnrcro inrtgirario pttro. el valor rlc l2r')(lcltc'scrccrct: ri llr=0

ll=0

EJEMPLO 84

calcula el val0r de P=

.

4

- I + 2iy -

p e I

Zai + 48a2i2 a=0v

"

==

f

p !

§

s

@

;li ,

,=#(#)''='#t#r ^..As --r.- ''' =' =.4¡ P=r-l-41 2h¡\ J / 2", Jo,

7r=

-l+

| -2i I + (r - )(l+

. (l-ilr " l-2i

a

rl+i)r (l-i)r

-zi(t + 2i) aa:fi)(1 + 2D

P es

r

tro5

iÍ

r

I

-9i

a=(#-h)^

G¡

n=zu(!*t)'24

i,t.. -(.r rl'r) r :r r;i. rt I t..t,, -' :i, .'",1i s r(=l' 'l-it '_ t I I R=lr.il'r=lr( l)=

i,calcula

t ;

i)

.r¡

Halla el valor de las siguientes expresiones:

)t

u

,

El valor de

,1!,

,1, lr,, I -l rt ,r t, rr l-li _.2 - rl ilrl.i, l-i a

Evaluamos al interior de la potenciación y resolvemos:

167

6i

42ó) l+ - li)'to \ y'3 ,/3 )

,1

rr

83

rvrrracocucrór'r

Analizo mi aprendizajle y respond0 las preguntas.

-2i l-2i 2(i-

2

i+l

o? 4-=i (i + l)(i - l) = 55

. .

1

¿Cuánto aprendÍ? ¿En qué otros campos del conoclmiento puedo aplicar lo que aprendÍ?

.

¿Qué ventajas tiene la forma en la que aprendo?

.

¿Tuve dificultades? ¿Cómo las superé?

c

§

+

ljrt , \i = rr+(rrri - llr 8i = (.r.' ll\,) + (6\r S)i r It,''r

r1-lr4 (l +Jr)'

9.,'--l

¿Qué valor no nulo debe tener d para que la expresión (1

§

r.(rr ll)=(l+r=0vrr

-,1 j,*, , + -R -

Si z1 = 1 a i; Io siguiente:

+

ci )Q

I

¡

i.r +

' (2-1li)r2+lli)' (-4+3rX-4-3i)

4\2-ll¡ , - 8-6i - -4 _(8-6i)(3+4i), - O +-lt ix2 3 4i 2 + t ti - C - 4-rGlzi, --ll, ,- 48+l4i 8-44i 248. 26. 25 125 125 125'

¿

rl '.iirr5 rir 15-i¡r5. i7 I + lhr - l.ii .' . l{,i l.t lr, 5 r

t litl .1 - 4i I -.rt2t (il ' .I lrril) i' -8 - rri 4 l+4i l-i "_1,4irr Ir()i 2-il¡ r-4;-ri 2(-1 - 3l ^ (3+4ix2+lti)

"

N N j

lli

expresión

t,

i)212

@

I

= -..,-_'=

@n= ('¿-t)' 1+4i -

4.4 - qj4 (2-i\2 (2+i)3

l(l + , 9-6i + i2--f-JC)t).3,rfi "-44t+f l.t,

J es

-1.1r , ,i,

debe tener J para que la + 2i)3 sea un número imaginario puro?

E! ¿Qré valor no nulo

-4+ 2i N=.1 -li + r_ 2r + r- lr + -l( I )r( I ) + l( | )(i)r + ir ., l-li .4+li I-.li -l+i li'2+2ili -lri - (l .li)i ( 2*i)r I i)=t" ^ ''-rrili ' (-r ri,

Aplicamos las potencias de un binomio y resolvemos:

El valor de

.r'

Responde y justifica,

aN=É+.É#

- 3i. ". -955

EJEMPLO 82 D2]2

^, ''

Ar8umenta áfirmaciones 6-8

¡=0vr=t2i3

Para calcular la potencia de un número complejo, se opera de igual modo que con las potencias de un binomio.

(1

t.l-lir'l-.lit 1i-.iill-ri7

M

Potenciac¡ón

RECUERDA

*=#+-+? .. '

1-5

Us¿ estrate8ias y procedim¡entos:

Calcula el valor de las siguientes expresiones:

dividir dos números complejos, se multiplican el dividendo y el divisor por el conlugado

Al multiplicar un número complejo por su conlugada, siempre resulta un número real.

DESARROLLA TUS CAPACIDADES

'

UNIDAD

1

LÓgica. Números

compejos

11

LIBHO I}E ACTIVIOADE§

Taller matemático lLibro de actividades (pág

72)

Capacidades y desempeños precisados ¡ Relaciona datos a partir de condiciones con magnitudes grandes o Traduce cantidades Usa

estrategias y procedimientos

TALLER MATEMÁTICO

I

I

Midiendo la información

pequeñas, al plantear un modelo referido a la notación exponencial. ( 1-3)

.

I

[-os sistemas informáticos pueden almacenar los datos en forma intema (discos duros htemos) como extema (dispositivos de almacenamiento). Los discos duos extemos, las tarjetas de memoria, los DVD o CD y las memorias USB son los ejemplos más conocidos de almacenamiento extemo.

Adapta y combina estrategias heurísticas, recursos gráficos y otros, al resolver problemas relacionado con la notación exponencial. (1-',1)

Para iniciar

El byte es la unidad de capacidad de almcenmiento estiándar. Con esta unidad de medida se mide desde el almacenamiento de datos hastá la capacidad de memoria de un ordenador. Representa un cmácter (un número, una letra, un espacio o cualquier oho signo). Las unidades de medida más comunes con las que se expresa la cantidad de información son:

f, Es necesario resaltar que el taller matemático es una estrategia didáctica,

I kilobyte = 2ro bytes +

Sugerencias didácticas

en que los estudiantes utilizan los conocimientos adquiridos para resolver situaciones problemáticas del contexto.

3

I

1

I I

Considere la distribución de las actividades en las siguientes fases: Familiarización (preguntas previas), Traducción simple (1 ), Traducción compleja (2) e lnterpretación, aplicación y valoración (3).

KB = 2roB

Nos familiarizamos con la situación ¿Qué otros tipos de dispositivos de almacenamiento de una computadoro conoces? ¿Cruil es la capacidad del disco duro de tu computadora? ¿Qué capacidad tiene el USB que utilizas?

Genere un clima de confianza promoviendo el diálogo acerca de los dispositivos que utiliza el hombre para almacenar sus datos digitales. Pregunte: ¿Qué medios utilizas para guardar tu información digital? ¿Qué dispositivos tienen la capacidad de almacenar datos digitales? (Cámara fotográfica, los celulares, tablets). ¿Por qué son importantes /os dlspositivos de almacenamlenfos? Resalte que la capacidad de almacenamiento de estos dispositivos se mide en bytes, que es una unidad de medición estándar,

TEN EN CUENTA

en forma de notación exponencial las capacidades de los siguientes dispositivos de almacenamiento en bytes (B):

@ Expresa

Una tarjeta microsD, por

ser tan pequeña, puede ut lizarse en los teléfonos móvi es, sistemas GPS o tarjetas t/ash para videoconsolas (como Nlntendo). Su capacidad comprende de 1ó tvtB

Para desarrollar

I

1

megabyte = 210 kilobytes + 1 MB = 2'0 KB gigab¡e = 210 megabytes + 1 GB = 2l0MB terabltes = 210 gigabytes + 1 TB = 2'0 GB

a

Motive a que den lectura a la situación problemática, e invÍtelos a subrayar la información relevante. Luego, plantee las siguientes interrogantes: ¿Qué es un bit? (Es la unidad más pequeña para medir la memoria de una computadora). ¿Qué

218.

a) Disco duro de 1,5

210. 210 . 210. 210 B

A

-

=

1.5 . 240 = 3 . 2:re B 2r3 B

23. ?30 B

-

El DVD que compró Florencia tiene una capacidad, de 4,7 GB . Si desea almacenar la info¡mación de un CD cuya capacidad es 700 MB y de un USB que tiene una capacidad de 4 GB, ¿qué capacidad en kilobytes queda en el Convertimos la capacidad de cada dispositivo a megabytes: DVD de 4,7 GB: 4,7 Gts = 4,7 .2to .2t0 KB = 4 928 307.2 KB CD de 700 MB: 700 MB = 700 . 2r0 KB = 700. 1024 KB = 716 800 KB USB de4GB: 4CB =4.2r0. ?r0 KB =4.1024. 102.1 KB =4 194 304 KB Hallanros la capacidad que queda:,1 928 307,2 - 4911 104 = l7 203.2 KB Queda l7 203,2 KB en el DVD para otras informaciones.

¡ . o

Para Ia situación que corresponde a la fase de traducción simple, motÍvelos para que propongan sus propias estrategias. Acompáñelos orientándolos y promoviendo que reflexionen permanentemente. Explíqueles que en este caso deben hacer la conversión sucesivamente hasta expresarlos en bytes y, para ello, deben hacer uso de la notación exponencial. N/ientras que para la situación 2, que corresponde a la fase de traducción compleja, pregunte: ¿Qué procedimiento se debe seguir para resolver? (fransformar la capacidad de cada dispositivo a megabytes).

Proponga: ¿Cuántos CD-ROl\l de 4,7 GB necesita comprar Florencia para almacenar la información del disco duro de su computadora que tiene una capacidad de 0,5 TB? (109)

= 1,5

b) F'ilrnadora cligital tle 8 GB: lt (lB = 8 . 2n . 2rt . 2t0

DVD para otras informaciones?

@

ci

. ¡ o

Espacio del disco tluro extenro cle 8.9 GB: 8,9 GII = 2r0 l\4ts = 9 I I 1.6 MB. Archinrs de l0 MP4 de 512 MB: I0 . 512 MB = 5120 MB. I,-ilnradoracligital dc4GB -,+. 2r0 MB - 4. 1024MB =,1096 MB.

Luego(5120 MB+4096MB)-.9113.6 MII =9216

¿

'6 a

Realiz¿rmos las convcrsaciones a megabytes de las capacidades. Luego, analizamos si se pucde rlmaccnar cn ol disco duro externo:

MB

9113.6

Mts-

102.4 MB.

No se ptxlrin alnracerar todos los archivos en el espacio del disco duro exlcnro. 12

N N j

@

¿Se podrán almacenar videos como archivos de 10 MP4 de 512 MB y de una filmadora digital de 4 GB en un disco duro externo que tiene espacio para 8,9 GB de capacidad?

Para consolidar

§

b) Filmadora digital de 8 GB

a) Disco duro de 1,5 TB: I.5 TB

relación hay entre el bit y byte? (Un byte está formado por 8 bits). ¿Cómo están expresados los múltiplos del byte? (En notación exponencial; en este caso se toma como base al número dos). Resalte que para representar de manera abreviada los números con un valor muy grande, se hace uso de la notación exponencial,

I

TB

Expresamos en forna de notación exponencial los dispositivos de almacenamiento:

I p ! !

-

E

e o o I

p IE

o

:o

G

a o c

-g

c a @

tr

LIBRO DE ACTIVIDADES

Uso de software matemático r

Libro de actividades (pá9. 73)

Capacidades y desempeños precisados r Representa simbólica y gráficamente los números complejos Comunica

Usa estrategias y procedimientos Argumenta afirmaciones

. o

USO DE SOFTWARE MATEMAflCO y sus

operaciones en el plano de Gauss empleando un software. (11-14)

Geogebra, para operar con números complejos

Resuelve operaciones de números complelos empleando un softw a re malemático. (1 -6 )

@ !!!i[El

Justifica procedimientos para realizar operaciones con los números complejos. (7-10)

Accede a http://tube.geogebra.org/studenUm376803 Explora el entorno gráfico. Para ello, digita 3 + 2i en el recuadro z1y 2 - 3i en el recuadro 22. Luego, mueve el botón de la parte lateral izquierda y observa los resultados y representaciones griáficas de q + z2; z1 - Z2i Z2! z1 + 22.

T

Sugerencias didácticas Para iniciar

I

z1

3+ 2i

z2

2+ 3i

12 10

8

lnvítelos a que desanollen las actividades propuestas en el paso 2. Para promover la exploración, plantee las siguientes interrogantes: ¿Cómo están representados los números complejos? (Están representados en forma binómica y por medio de un vector). ¿En qué color se presenta el resultado? (En color roio) ¿Qué figura se forma en la adición? (Un paralelogramo), ¿Cuál de los resultados tiene su vector con mayor longitud?(La multiplicación). Resalte que también se puede resolver las operaciones a partir de la representación vectorial de los números complejos.

a

'l +5¡

Resta

6

zt=3+2i

-6 -4

-2

zz= 2 3í

Para desarrollar

I

N

)ci @

I

c

:9 !

f

o

o o l

p

€ < o L

@

@

ffi

Cambia los valores rr y i2 por otros valores. En cada caso, escribe el resultado de la adición, sustracción, multiplicación y división. ¿Qué sucede con las gráficas de cada número complejo? ¿Y de cada operación?

exrlom

E TNTERACTúA

Usa estrategias y proced¡mientos;

Calcula el resultado de las siguientes operaciones;

+(4-3i) (3 + 2i)(2 - 4i) O (3-3i)+(5 +2i)

Il o

(3 + 2i)

E) (s + 2i)

+ i)

3i)

.1Qué estrategia seguirías en estos casos? § 8

p

P

§

@

Para calcular la potencia de (2

+

@

Para determinar la potencia de

(t -

§)

Para obtener el resultado de ( I

@

Para calcular la suma de dos números complejos

-

Digita

z1

Argumenta af¡rmaciones:

= 2 + 3i y zz = 5

@ ¿Cómo

(-4-Zt)+(2-l)

@ 2i(s Gl

-(-3

1-ó

-

7-10

Comunica: 'l'l-14

3i y responde.

es la gráfica de z,

+;2?

¿,Y de z,

-

i2?

lD

¿Qué sucede con la gráfica de z1' z2'! ¿Y z.t + z2?

lB

¿Qué cambios harías para que la gráfica de l¡ * Z2 s€ ubique en el eje Y?

[p

¿Qué podrías decir de la gráfica de

z,(l¡ -

z2)?

¿Yde(:, +7r)(zr-z)?

3i)2. Zi)3.

4t)(2 + 4i) + (2

EN LA WEB

-

1).

si la gráfica de uno de ellos está sobre el eje real y. la del otro. sobre el eje imaginario.

Para explorar más sobre las operac¡ones con números complejos, digita en algún buscador en ¡nternet (Google, Bing, Yahoq etc) lo sigliente: geogebra + "núneros camplejos".

o

c -a

Para consolidar

c a

I

o

-4

Haga notar que para realizar la sustracción el programa determina automáticamente el opuesto del número complejo y con él realizala adición. Proponga que cambien los valores de z, y z, por los números imaginarios puros "4i y 3i". Pregunte ¿Qué sucede con los gráficos en la adición, en la sustracción? (Se sobreponen todos los vectores sobre el e1e vertical) ¿Qué ocurre en la multiplicación y división? (En la multiplicación el vector del producto resulta perpendicular y se encuentra ubicado en el semieje horizontal negativo, mientras que en la división el vector cociente se ubica en el semie.je horizontal positivo). Pida que sustituyan los valores de z, y z, con dos números reales "4 y 3", pregunte'. ¿Qué cambios ocurren en los resultados? Proponga que desarrollen el paso 3. Sugiérales que cambien los valores pot 21 = 3 - 4i;zr= z.t = 3 + 4i, haga notar a los estudiantes que z, es la conjugada de 2,. Luego, plantee las siguientes interrogantes: ¿Qué sucede cuando se realiza la adición? (El resultado que es el vector suma se ubica en el eje horizontal porque la adición produce un número real puro, debido a que la parte imaginaria resulta cero). ¿Qué ocurre cuando se realiza la sustracción? (El resultado se ubica en el eje vertical porque la diferencia es un número imaginario puro. Esto se debe a que la sustracción de la parte real resulta cero). ¿Qué cambios se dan cuando se realiza la multiplicación?

2468

-2

UMDAD

Pida que resuelvan las actividades complementarias de la sección "Explora e interactúa". Luego, invÍtelos a que socialicen sus respuestas.

1

Lóglca. Números comple]os

73

TEXTO ESCOLAR

Actividades ntegradas i

I C¡ERRE

Análisis de las preguntas

I SINTETIZAMOS

Te

presentamos med¡ante un ortan¡zador

los conceptos clave que has trabajado en esta unidad.

tráfico

rE@

IEil Cuadros y esquemas de organización

.

Tabla de decisiones. Es

un d¡agrama en el que se anotan los datos de dos o más var¡ables, de manera que estos se puedan relacionar según la informaclón de la que se dispone o se infiere. Diagrama de Catroll. Es un esquema de doble entrada para organizar datos y resolver probiemas con conjuntos.

. "

Logaritmos

números reales

. Fórmulas ¡ógicas . Tablas de verdad

.

I

conjünto de los

Lódca proposicionaf

"

.

Dia8ramasdeVenn Losargumentos y su estructura: argumentos deductivos e inductivos y validez de un argumento

log,,P =P4tog.

cZcQclR, QÉ[,IclR.

Relación entre la teoría de conluntos y la ló8ica proposicional

Multiplicación:

(1+iX1-i)=2 Div¡sión:

logoc.log, b.logoa

-it*ir=ityir-it=ñ

precro medio = gq$QlQE1 Peso tolal

y aleación

P2+... + C¡. Cr+C2+...+Cn

C1. Pt + C2.

Potenciación:

(3-ilr=8-ói

@il

Proporc¡onal¡dad N,4ezcla

I

\2+i):i='l-2i

= log¿ a

dYir¡¡b¡tidad

entoncesa.¿=; yak=ir.

14+6i)-6i=4

foe,r=ffi toe,t={r*

Completitud en R: ? cada punto de la recta le corresponde un nÚmero real".

Propiedades del múltiplo

-Sia=ñ:kez,

sustracción:

log"b =logrPlS

racional".

Ad¡ción:

2i+(3-3i)-3-i

t

log"b=log;P

Densidad en Q: "Entre dos números racionales existe

otro número

.

operac¡ones

Prop¡edades particulares

Relac¡ones entre los sistemas numéricos f,'l

de proposic¡ones compuestas

operaciones con magnitudes derlvadas sus equivalencias. Fuerza = m.4; m=ñásay

Pn

y

I

donde:

¿ = aceleración

CONSULTAMOS DiSita en el buscador de internet de tu preferencia el conjunto de palabras que se indican y accede a las primeras d¡recclones que aparezcan. § g

p € I

@ nara ampt¡ar la teoría . filetype: pdf libro matemát¡ca

g

.

+ lógica propos¡cional khan academy + números

complejos o

A6 rur"ver

. . .

aplicaciones

videos + proporcionalidad

notación cientÍf¡ca + vida real videos + operaciones con logaritmos.

b I Para interactuar online . thatquiz + divisibilidad . convertidor de unidades

I

+ magnitudes

.

thatqu¡z + logaritmos

UilIDAD

I

Lógica. Números compleios

Resalte, que la capacidad "Comunica su comprensión sobre los números y las operaciones" se pone de manifiesto en las actividades del 1 a la 13, en las que se presentan s¡tuaciones en un lenguaje simbólico que exige se interpreten dichas expresiones y, de esa manera, establezcan conclusiones para resolver los problemas y presentarlos utilizando el lenguaje simbólico. Haga notar que en las actividades 20 ala25 se pasa de una representación simbólica a una representación gráfica. Para este caso, los estudiantes deben hacer el gráfico de los números complejos mediante su representación vectorial en el sistema cartesiano. Asimismo, indique que se puede pasar de una representación gráfica (en el sistema cartesiano) a una representación simbólica. Para ello, deben traducir los pares ordenados y representarlos en su notación binómica. Esta situación se presenta en las actividades anteriores señaladas. lr/ientras que en las actividades dela26 a la 33 se promueve la interpretación y validación de diversas representaciones simbólicas relacionadas con la potenciación de los números complejos y, finalmente, se propone situaciones donde pasarán de una expresada simbólicamente a lenguaje también simbólico haciendo uso de las propiedades de la conjugada y el opuesto de un número complejo. Esta característica se evidencia en las actividades 34 ala 42.

Lógca. Nr¡rÍeros complejos

.

Libro de actividades (págs. 74-75)

17

Para la actividad 66, conespondiente a la capacidad "Traduce cantidades a expresiones numéricas", indique que primero deben seleccionar la estrategia que le permita resolverla. Plantee la siguiente interrogante: ¿Se podrá hacer uso de una tabla de decisiones? ¿Qué estrateg¡a serÍa la más pertinente? En la actividad 67 oriente para que establezcan la proporcionalidad entre las dos magnitudes que intervienen, con lo cual se podrá determinar la cantidad de mujeres y hombres encuestados. Para determinar el porcentaje, sugiera que los expresen en su forma decimal y realicen el cálculo respectivo. Las actividades 54 a la 59 están enmarcados en la capacidad "Argumenta afirmaciones sobre las relaciones numéricas y las operaciones". Se busca que los estudiantes anal¡cen y traduzcan expresiones verbales para establecer si dichos argumentos son válidos o, de lo contrario, transformarlos para que puedan ser válidos. Sugiérales que primero deben identificar el tipo de argumento y luego hacer uso de las reglas de inferencia. En las actividades 60 y 61 indique que empleen las reglas de inferencia, lo cual permitirá resolver cada una de las expresiones simbólicas. En las actividades 43y 44, que corresponden a la capacidad "Usa estrategias y procedimientos de estimación y cálculo", se busca que los estudiantes interpreten expresiones verbales identificando los conectivos gramaticales que intervienen en cada texto y luego lo trasladen a una representación simbólica, para lo cual sugiera que hagan uso de las fórmulas lógicas. En las actividades 45 a la 47 se propone que establezcan una relación entre las expresiones verbales con la notación conjuntista y para ello propicie que utilicen las equivalencias de los operadores lógicos con las operaciones de los conjuntos.

N !! j

ci

i I

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o d o cG

§ c

an

@

LIBRO DE ACTIVIDADES

ACTIVIDADES

!

NTEGRADAS Usa estrateg¡as y

comun¡ca Escribe E, É, C y

(

Ov(

Or/iocil Es¡o G Z En,rr q 40,22... É

@-rr

R

(

Q

@to¡s, @t É Z

r\¡

tJS +iD»+ 3

=r,5+ d2+

3)

N

enviaron virtualmente.

!D(2;7) t+7i @(0;-4) +i @(-s;-s) ¡ ¡D(-9;o) q ¡D(s;6)5+6i lD(3¡-10)¡

lP

r

EDirr=i

es

EDi26=t l, 1, @ ire=-i EDi33=-t l

@i54=-l

loi r

-3i

F

@ie2=l

@ Pr: (-P P2:

P2:

o

.g

-(p v q)

@9i ()r ()i gD4 2i_ () +

@

llz

l,I

74

lr: -l) + -lr

+i i:

v

@5+2i 5 li:5 lr @ @

-z+zi 7 li:7

li

@

P

-(p Eh

^

q)

^

,r r)

ll: ll @ 4- 10i

( :tq

v

-r)

5toc2s4 +7toc4se

I

.q

I 3 6

E

- 271o42

ltosy=f anrirosl 4r | 0roca

. =y

n

(pvq)^-(q^r) '

],ri

(pvq)-(qnr)

@ Halla el resultado de

§

!

a o

3 o

.l

r,

(H).#

Para que Pedro continúe en su trabajo, su jefe le ofrece optar por uno de los siguientes aumentos:

I.

El

II.

A partir del siguiente mes, un aumento del 6O7o de su sueldo. ¿,Cuál es el opción le conviene elegir a Pedro? Explica. Ircruvicnc 1.rc¡rrtscrtla 5.625'l rrrisqttt Il

-l

[a siguiente expresión:

(+-+)',,

@ Calcula la suma de las cifras de un número comprendido entre 70 000 y 80 000 que es igual a 45 veces el producto de sus cifras. 17

@

&

-4+10 4+lf)i

m de carretera durante cierto número de días trabajando 8 horas diarias. Otros 60 obreros realizaron 675 m de la misma obra. Si ambos grupos demora¡on 34 días, ¿cuiánto tiempo demoró el primer grupo? IS ,lr,r'

raíces de la ecuación:

1000

t-as edades de Ana y Juan son como 2 es a 3, y la suma de sus edades es 20 años. ¿Cuál es la edad

deAna? s @ Cuarenta obreros realizaron 400

@ Calcula la suma de las raíces del siguiente sistema de ecuaciones: t

información: el número

Resuelve.

@

i\11'l'

q) (': tr n t¡l SD

log2:+log,3=logz6

E

p e

14

|-r:r a1-*, -{+,ri:{+, ri -j*l.si,l

r) v (r

-r)

@ Halla el producto de las

P,

)

@u

-(-p

(q v

-

@ SimplificaA=

§

Escribe el opuesto y el conjugado de los siguientes números complejos:

^

una encuesta realizada a 2(X) universitarios,

ll

Analiza y rrsuelve.

las regiones coloreadas.

EDU

^

q)

(-p r q)

tD P¡: (-p

Utiliza operaciones lógicas para repnesentar

lr_l

¿Qué gráfico conjuntista tiene el argumento válido?

Dadas las slguientes premisas, aplica las reglas de las leyes lógicas para obtener la conclusión.

un concurso de matemática. El premio de S/ 1220 se lo reparten en forma directamente proporcional a la cantidad de respuestas conectas: 5; 7 y 9 de un total de l0 e inversamente proporcional al tiempo que demoraron: 20; l5 y 30 minutos. ¿Cuánto recibió el estudiante que demoró ."no. ,,"-§lro,,

Il¡úl

El 6O7o de mujeres no ha viajado al extranjero. ¿Cuántos varones fueron encuestados? ¿Cuántos varones no han viajado al extranjero? ¿Cuántas mujeres han viajado al extranjero? l+0: til:

1{tL1li1il,,. n,,-,

de un colegio han ganado

Sistcnrrrs:

de mujeres encuestadas es al número de varones encuestados como 3 es a7. El 4O7o de los encuestados ha realizado viajes al extranjero.

una conclusión, ¿,cuál de las premisas modifi carías? ¿Quu'"r,u

@

El único amigo de Jorge es Juan.

se obtiene la siguiente

@ Si no se puede obtener

a

@ Los estudiantes A, B y C

@ De

se podrá obtener una conclusión? ¿Por qué? N,,. rro ctrnr¡rlc ringtrnir lt'y.

@ ¿Cuál es [a cifra que se debe escribir a la derecha de 9326 para que el número formado sea divisible

a

Juan y el profesor de Redes son amigos en

Redes?

@ ¿Con estas premisas

es

Analiza y resuelve.

por3y8?

tr tr

@ i8o=i

u R)l'

El profesor de Base de Datos no conoce Víctor ni al que dicta el curso de Redes.

¿Qué curso enseña Víctor? ¿Quién es el profesor de

y responde.

PArQaR)

8i

falso.

@iar=-i

"Si Pedro no ingresa, otra academia. Pero resulta que se matriculó en otra academia". Analiza

Raúl es amigo del profesor de Sistemas.

común del profesor de Sistemas.

IV

Nr¡ vrilido. Sí. aplicanrlo correctamentc la regla clel SH

verdadera y la pregunta número dos es falsa.

E9-8+5i

Escribe V si es verdadero o F si

(Q

III.

Sea el siguiente enunciado: entonces se matriculará en

@ O estoy equivocado, o la pregunta número uno

Representa gráficamente los siguientes números complejos:

-4 -6i 707-3i

a la bola blanca, la bola blanca se mueve. Si la bola blanca golpea a la bola azul, la bola azul se mueve. Por lo tanto, si la bola roja golpea a la bola blanca, la bola azul se mueve.

a las seis, entonces nosotros

llegaremos temprano o Florencia lleganí tarde.

I. II.

@ Si la bola roja golpea

(D Si Sócrates no fue filósofo ni nació en Atenas, entonces es inmortal. l(t'' n Q') Rl'

Escribe en forma binómica los siguientes a(ios de números complejos.

?D

r)

Expresa en notación conjuntista la fórmula lógica de estas proposiciones:

@ Si el baile comienza

7D

^

de computación se dictan los siguientes cursos: a) Programación; b) Base de Datos; c) Sistemas y d) Redes. Los profesores son Jorge, Víctor, Raúl y Juan. Se sabe lo siguiente:

o Tania acompañarán a mamá a la clínica. Sandra no puede y Patricia tampoco. En conclusión, Tania acompañará a mamá a la clínica. \'¡ilirtr¡ @ Si almuerzo, estaré satisfecho. Resulta que no estoy Satifecho. En consecuenCia, nO almorcé. \ rilitir¡

-p .{r

(+),\sociari',,

./r.dA.sx)=6/1 'ln) '5n l,\srrciatir.

+3i @-r5

((i

Resuelve utilizando un esquema,

@ En un instituto

@ O Sandra o Patricia

enviaron virtualmente, ya que no me Ia enviaron q) personalmente.

(i6*i)

ÍD 2

Justiiica tu respuesta.

@ Revisaré mi correo para ver si la invitación me la

l2t5 (+)( onnrulatiri¡ @ 4(15 -t6) = 4"5 - Ñ4 l)istribtrtivtr @ lJs.+) .-r-= l,., I r,,rr',r,,,,\ch', lB

I)

Traduce cantidades

Determina la validez de cada argumento. ¿Se puede convertir el argumento no válido en válido?

la envían personalmente, de todos modos revisaré mi correo y veré si me la

@ l2J1 +3n=3n+

' ''

Argumenta af¡rmac¡ones

@ Si la invitación me

Indica en cada caso el noml¡re del axioma.

g

procedimientos

David escucha una conversación de su amigo Pedro y Ia interpreta de varias maneras. Expresa la fórmula lógi@ que representa cada una de las interpretaciones.

segrin corrtsponda.

307o de su sueldo este mes y aparthdel siguiente, el 307o de lo que seni su nuevo sueldo.

U'{IDAD

I

Lógica. Números compleios

75

LIBRO DE ACTIV¡DADES

Evaluaciones tTexto

ACTIVIDADES PROPIAS DEL BACHILLERATO INTERNACIONAL Al cine con los amigos

Gastos fijos

t)

@ Ana, Susana y Florencia comparten un departamento y los gastos mensuales que son Si 1500 de alquiler, S/ 200 de servicio trío (internet, cable y teléfono). S/ I40 de mantenimiento y agua, y S/ 1 10 de luz. Este mes, los ingresos de las tres sumaron en total S/ 1650. Por ello, acordaron lo

.

Bruno: No puedo el martes ni el miércoles, ya que de 14:30 a l5:30 horas tengo clase de música.

. .

Leonardo: Visito a mi abuela los domingos. Ya vi Autómata.

Mauricio y Gonzalo: Estudiamos en la academia de lunes a sábado hasta las l5:00 horas. Luego, practicamos matemática de 16:00 a l8:00 horas.

Los padres de Nicolás le dicen que solo verá películas para su edad y que lo recogerán del cine siempre y cuando sea antes de las 22:00 horas. Nicolás vio en el periódico la siguiente cartelera:

I

MARTES, DíA DEL ESPECTADOR

Autómata

En tercera persona

Mayores de 14 años 113 minutos 14:00 (lun. a vie.) 21:35 (sab. y dom.)

I/layores de 18 años 105 minutos

Bob Esponja: Un héroe fuera del agua

La teoría del todo

3:40 (diario) 20:00 (diario)

-

O pagamos el servicio trío, o pagamos el mantenimiento y el agua.

'15:00 (lun. a vie.) 19:00 (sáb. y dom.)

Babadook

Camino a la escuela

Mayores de 18 años 148 minutos 19:55 (diario)

Público en general 117 minutos '1ó:30 (lun. a vie.) 20:50 (sáb. y dom.)

¿Qué películas pueden ver todos los amigos? ¿Qué

-

Si pagamos el alquiler. también pagaremos el mantenimiento y el agua.

-

Pagamos la luz si y solo si pagamos el servicio

x*. Itt

t¿rccru

I)rr h larde, Cionzllo ni Mauricio puctlcn vcr cl resto tlc las pc'lículas. I -os tlq¡¡li¡¡gg5. [-s,¡nlrrilo no puede. l-os s¿ibadr¡s en la nr¡ehc no puedcn \ cr Állrilil(far ni ( ut¡titr¡ u lu L.¡Ltttltt porque terntinan rlcspucis de las 22 hrrras. Solo ¡rrrcrlcn ver Lr teorío dt'l tuk¡ cl sábark¡ las I 9 horas. pucs concluye a las 2 I :24 horrs.

r 76

I

@ A un encuentro juvenil de 5 días, organizado por una parroquia, se han inscrito 26 chicas y 20 chicos. Además,8 adultos voluntarios (4 hombres y 4 mujeres) guiarán el encuentro. Normas para las habitaciones Chicos y chicas deben dormir en habitaciones separadas. menos, un adulto debe domir en cada una de las habitaciones. El adulto que duerma en cada habitación debe ser del mismo sexo que el de los jóvenes.

Al

I

Ubica en la tabla a los asistentes al encuentro. si se sabe que hay una habitación de 12 camas, cuatro de ocho camas y dos de 6 camas.

o

Emplea el razonamiento Iógico para interpretar diferentes situaciones problemát¡cas del contexto. (1-6) Analiza y explica el razonam¡ento lógico aplicado para resolver problemas de la vida cotidiana. (1-6)

Es importante que los estud¡antes se famil¡ar¡cen con la s¡tuac¡ón problemática, pregunte: ¿De qué trata la situación problemática planteada? ¿De cuántos días disponen para real¡zar la renovac¡ón? ¿De qué se encarga En la situación 1, pida que, en primer lugar, delimiten las premisas donde se encuentre información relevante para responder la pregunta. Plantee las siguientes ¡nterrogantes: ¿Qué oficinas requieren el monitor LCD? ¿En qué prem¡sa se encuentra la información relevante para el caso?En la situación 2, es necesario que identifiquen las prem¡sas donde se brinda información para la resolución de la situación presentada. Pregunte: ¿Qué premisas presentan información para el caso?Para resolver la situación 3, señale que la información de mayor importancia se encuentra en la pr¡mera premisa donde claramente se establece el orden de prioridad que tienen las oficinas para contar con la ¡mpresora. M¡entras que para la situación 4, la información se encuentra en la premisa ll, en la que se indica las oficinas que cuentan con la impresora. En la situación 5, plantee la siguiente intenogante: ¿Oué áreas requieren un escr¡tor¡o para su oficina? ¿Qué oficina tiene un escr¡tor¡o desgastado y antiguo? Además, para el caso 6, pida que delimiten las premisas donde se encuentre información relevante para responder. El siguiente cuadro de doble entrada muestra, para cada pregunta, los criterios de categoría considerados en el marco PISA.

N.'chicos

N.o chicas

Adulto

N."

Proceso

Contenido

Contexto

Tipo de respuesta

l0

0

2H

l

lnterpretar

Cantidad

Ocupacional

Construida abierta

2

0

6

IM

2

3

0

6

4

0

7

IM IM IM IH IH

+ Rnl¡¿¿r/¿

.

el departamento de logistica?

O pagamos la luz o pagamos el alquiler.

Si pagaron el alquiler, ¿qué otros servicios pagaron? ¿Qué servicios dejaron de pagar? Pagaron cl nlrtrlenimicrto y cl rgua. [)cjaron de pagar el servicio tr'ío y lr Iuz.

díayaquéhora? f'rrr str edad. no prrcrlcn vr'r ¡tt:rtut ni Bolt l..s¡tut.jt.

I

túo.

N.'hab.

Libro de actividades (pá9. 77)

Para hacer la evaluación, tenga en considerac¡ón las siguientes capacidades e indicadores usados en el marco PISA.

Diseño de estrategias para resolver problemas

1

Mayores de 14 años 144 minutos

a

lnforme que, como se trata de una autoevaluación, al concluir la actividad tendrán que cotejar su hoja de soluciones con el solucionario del profesor.

Matematiza situac¡ones

Encuentro de jóvenes

Entrada: S/ 7 Desde el jueves 12 de febrero 3 semanas en cartelera

Ntenores de 14 años 90 minutos 18:30 (diario)

I

siguiente:

-

(pág 1B)

Análisis de las preguntas Argumenta afirmaciones: 1-3

Nicolás, de 16 años, quiere organizar una salida al cine con sus amigos del colegio en la semana del lunes 22 al domingo 28 de febrero. Cuando consultó el día y la hora con sus amigos. ellos dijeron lo siguiente:

escolar

0

5 6 7

-.t 5

I

5

I

7

0 0

I

E

p €

Interpretar

Cantidad

Ocupacional

Construida abierta

a

Interpretar

Cantidad

Ocupacional

Construida abierta

4

lnterpretar

Cantidad

Ocupacional

Construida abierta

E

lnterpretar

Cantidad

Ocupacional

Construida abierta

6

lnterpretar

Cantidad

Ocupacional

Construida abierta

§ o

(-) Conesponden a las capacidades matemáticas fundamentales usadas en el marco PISA:

http://recursos.perueduca.pe/sec/images/competencia_matematica_2015.pdf

EVALUACIONES NACIONALES E INTERNACIONALES

EVALUACIÓN

Tipo PISA

usaestrategiasyproced¡mientos:1;2;4;12-20 Tladucecantidades:3;ó;9 ArSumentaafirmaciones:5,7;8 comun¡cal10-11

p ,"*.-U"

gN

necesariamente en ese orden. Se sabe que:

I. Rosa tiene una tableta y no tiene más de 22 años.

II. Daniel tiene 2l

años y no estudia ingeniería

civil.

"Si todas las tierras son 2 cultivadas, entonces el proyecto agrario dará buenos resultados. El proyecto agrario no dará buenos resultados, Por consiguiente, ninguna de las tierras fueron cultivadas".

¿Cuál de las dos expresiones de los números reales?

al hermano del que tiene una laptop. ¿Qué objeto tiene Flor, cuál es su edad y qué años. l\{crlicinr carrera estudia? ('clrrlrr.

ll

@ En una conferencia sobre gastronomía, participan 90 personas entre estudiantes de la especialidad, chefs y público en general. Si 8 varones son estudiantes,23 varones no son chefs,27 varones no son estudiantes y hay l0 mujeres entre el público en general, ¿cuántas mujeres son estudiantes o '15

@ Va e

lR:

á=c

>

es

logística -

Para tf repoftes g t. El área de contabilidad t¡ene mayor urgencia de un mon¡tor LCD I que el área de marketlng, pero no tanto como el área legal. I

de renovar tres oficinas en un periodo máximo de una semana. conocer la prior¡dad de sus compras, decide gu¡arse de los

tt. Las únicas impresoras en buen estado están en las áreas de rnarketing y admi n istración.

axioma del sistema

I

El área de

Elárealegalimprimefecuentementelasnuevasnormasdel'

El

"Google

es un buscador de

información o una red social. Pero se sabe que no información. Por lo tanto, es una red social". es un buscador de

@ Escribe la fórmuta lógica

L aunque sea JO' . ''

\"

escritono de marketmg es muy pequeño y es imposible trabalar con efectividad.

Vt. Enl0días,el árealegal incorporaráunnuevoempleado; porellqrequiereunescritorio,unacomputadora y una impresora.

Resuelve.

vll.

7. ,l 23agb i5. tl valor de ¿ + b si =

@ Calcula el residuo de dividir 3194320 entre

@ Halla el mayor

En el

área de contabilidad hay un escritorio desgastado y antiguo.

Pregunta 4:

Pregunta 'l: ¿En qué área

@ Alberto encarga a un grupo de obreros que construyan una pared de 90 m de largo y 8 m de alto con 6000 ladrillos. Con 40OO ladrillos y la misma cantidad de obreros, ¿qué altura tendría la parcd si se disminuye el largo en l0 m? 6 rrr

or.T3litiT,,i;, -u

lD K = 3 logor343 - 4 logs¡ lD M = 3loe'a

+ I llocr,,, h

@ log (.r+ 3) + log

(x-

-

729

debe implementarse primero el monitor LCD?

Segrln la ¡»inrera prcmisa. el orilcn dc prioridatl r'n la irrr¡rlerncntacirin de nlonitor l,(ll) es: legal. (ilil1¡rhilirlrrtl y ilku k tiilt. Pr)r l¡r lirttlo. Plitl:er,r se debe irll)lco)cltar el el :irea ['grtl.

128

¿Qué áreas requieren impresoras?

Por la prentisr I l. las íucrs de rrrrÁrtlrrq y aclministracitin ticrrcn inrpresoras en bucn cslndo. Por lo tanto. solo las ircas de contrbilitlad y Iegal requieren irnprcsoras.

-f,

(73¡loezz',

s) =2

log"3 log,.,3=log(, )3

@

+2logor

log(¡-a) *

Halla el resultado de las siguientes expresiones:

@ ¿Qué cambio mínimo se realizará para que el

lD

P

= (3 + 2iX4i)

razonamiento se convierta en contingente? Por lo tanto. no cs tulr rttl social. es literato,

la proposición "Si óscar Colchado

a q =?^* (J

- l)-

entonces ganó el Premio Nacional de Novela. Pero, Óscar no es literato, Por lo tanto, ganó el Premio Nacional de Novela".

G, Representa simbólica y gráficamente la

I(P..qi n'Pl +q

=

Pv q

@ Ana dice: Si se cambia "Óscar no es literato" por "Óscar es literato", la gráñca es el conjunto universal. ¿Es verdadero o falso? Vcrtladcm @ ¿Es cierto que la gráfica de una proposición tautológica es el conjunto universal? SÍ

3,il

.

- (I -

i)4 +

(2i)e 5t4i -

¿En qué

prtsl¡ron

5:

Por Ia prenrisr Vl ¡'el cncabezaclo. cl iírer lcgal llür'de esperrr cl cscritorio cumplitllt la scln¡nlt tlc plazo.

Lrra irnpresora.

-

otros campos del conocimiento puedo aplicar lo que

a

§

s

€ E

*aar"rdu oru ,aber matemát¡ca no es suficiente; tenemos que aplicarla, y su apl¡cación está en la vida cotidiana.

Pregunta 3:

Pregunta 6

¿cuál es el oden de implementación de los montores LCD?

¿Qué área neces¡ta más implementaciones inmediatas?

Por la prcmisa I. el orden es: legal. contabilidad

y nrurkttirtg. E

I

¿Irve dificultades? ¿Cómo las superé?

É

¿Qué área puede esperar la implementaciÓn del escritori0 haste que pase el plazo?

¡rrcrrislr I\'. lir rt'cesidad dcl iirc¡ Icilrl l)or tcrler una irnpresora. I)or lo t¿rnlo. ¡l rirc¡ ltr¡l Ic

* -.ol *'!-r- is3r r r- r + r. rr,i \! ¿ \t ¿t)'

aprendi?

.

Pregunta

En lr prcnrisa Ill. renros t¡re cl rlrcir ilc n(lllioistrtciól presta ura ittr¡tresora. v cn la

.+

¿Qué temas ya conocía de años anter¡ores y qué nuevos temas he aprendido ahora?

.

Pregunta 2: ¿A qué área le prestarán temporalmente una

impresora?

e:27

@ Evalúa el razonamiento e indica si es tautológico, contradictorio o contingente. Tautoltigico

Por todas las cr»rclusioncs anteriores, el art a legrl rreeesil¡r nri' ilnplelncnlaciorlcs inmediatas: impresora, pantalla LCD. escritoritr computadora.

§

s

o U¡{IDAD

18

I

4tt

tr

administración prestará una impresora por 7 días.

lll.

v

lR,l -¿ e lR I a + (-a) =O,/

\

lV

diario Et Feruano; por ellq requiere una impresora, en calidad de préstamo.

a+ b=a+c

l i

Analiza y resuelve.

Sea eI razonamiento

proposición.

dspartameritü de

El.¡efedeldepartamentodelogísticadeunaempresarecibelaorden

¿Es válido el argumento? Identifica las reglas de inferencia que lo respalda. Sí. MTT

§)

@V a,b,c €

III. El que estudia medicina tiene 23 años y conoce

Sea

E§ §

Sea el argumento

Daniel, Rosa y Flor tienen diferentes edades: l9; 2l y 23 años. Cada estudiante tiene un solo objeto: una laptop, una tableta y un celular. Además, estudian ingeniería civil, contabilidad y medicina, aunque no

chefs?

ftl ¡r¿,

las actividades y demuestra lo que sabes.

Resuelve.

fl

Ir

L¡BRO DE ACTIV¡DADES

TEXTO ESCOLAR

1

Lógica. Números compleios

77

ffi Sucesiones y progresiones PRESENTncIórrl

RECURSOS

Esta unidad referida al tema de sucesiones y progresiones tiene como finalidad desarrollar en los estudiantes habilidades que les permitan establecer patrones y leyes de formación en un determinado conjunto de números. Asimismo, resolver problemas reales que involucren elementos de una progresión aritmética y geométrica.

B.

Biblioteca del docente Día a día en elaula (págs. 102-145)

Por otro lado, se inicia a los estudiantes en el aprendizaje de las matemáticas financieras a través de actividades relacionadas

con intereses y anualidades, de manera que sean capaces de crear modelos financieros.

l,JSantiltana Digital

fT

ESQUEMA

S""r"ncia digital: Progresiones

O O

Sucesiones y progresiones

Para empezar Breve introducción al tema ¿Qué aprenderé?

Aprendizajes y habilidades que logrará el estudiante

O Compruebo lo que sé Sucesiones Término general

Aplicaciones

Progresión aritmética

lnterés simple y compuesto

(PA) de segundo orden

Operaciones con sucesiones LÍmite de una sucesión

Suma de términos de una PA

lnterés con periodos de capitalización no anual

Progresión geométrica (PG)

lmpuesto a la renta

Sucesiones convergentes y Suma de términos de una PG

divergentes

Actividad interactiva: Saberes previos sobre progresiones

Progresiones

O

B

O

Una situación a resolver Actividad interactiva: Situación significativa sobre progresiones Progresiones

Video: lnformación sobre la PA y PG

O

Patrones numéricos

Actividad interactiva: Actividad que permite calcular los términos de una secuencia

Series y sumatorias

O

Propiedades de sumatoria Sumatorias notables

lnterés simple y compuesto Video: Procedimiento para calcular el interés simple y

compuesto

O Calculo la renta Ficha de orientación didáctica:

Modelación matemática

Razonamiento matemático: Patrones numéricos

Uso de software matemático: Hoja de

cálculo

Estrategia para resolver problemas:

Buscar regularidades y generalizar

Video: Procedimiento para calcular la renta Actividades integradas,

deBly prueba tipo PISA

Síntesis, recursos en la web y autoevaluación

O Aplicamos lo aprendido Actividad interactiva: Aplicación de los temas desarrollados en una situación cotidiana

Solucionario de las actividades

O Compruebo mis conocimientos Actividad interactiva: Evaluación interactiva

O Permiten desarrollar habilidades y destrezas matemáticas útiles para afrontar situaciones de contexto real.

N4

\L-ll r-1 ^

r-I

^

Para finalizar

Actividad interactiva: lr/etacognición

N N 6 j

ci

Ii '6

-

8

o o

l o E

E

c o d

a o c

§ .E

tiorotvleo¡a

c ao @

PROGRAMACIÓN Competencias Resuelve problemas de

Desempeños

.

regularidad, equivalencia y cambio

.

Traduce datos, valores desconocidos, regularidades, y condiciones de equivalencia o de variación entre magnitudes; a sucesiones crecientes o decrecientes, sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas, inecuaciones y ecuaciones lineales de dos variables, funciones cuadráticas con coeficientes racionales y f unciones exponenciales; al plantear y resolver problemas. Evalúa si la solución cumple con las condiciones iniciales del problema, modifica o ajusta la expresión algebraica (modelo) para que reproduzca mejor las condiciones del problema. Expresa el significado de: la regla de formación de una sucesión creciente y decreciente, la solución o conjunto solución de un sistema de ecuaciones lineales, la ecuación cuadrática y sus

Conocimientos

. .

Operaciones con sucesiones o LÍmite de una sucesión

¡

N N @ j ¿

'5

)

!

I o o l

p =o c

@

o

§C .F c a @

Tiempo est¡mado: 4 semanas

Sucesiones

convergentes y divergentes

Traduce datos y condiciones a expresiones algebraicas.

. ¡ ¡ r

Determina la regla de formación de una sucesión. Determina el término general de una progresión aritmética de segundo orden. Determina el término general de una progresión geométrica.

Comunica su

o

Escribe los términos de una sucesión a partir de su término general.

comprensión sobre las relaciones algebraicas.

o

o Series y

. ¡ .

sumatorias

Propiedades de sumatoria notables

Usa estrategias y

Progresión

procedimientos

aritmética de segundo orden

para encontrar reglas generales.

Suma de

términos de una

.

PA

Progresión

geométrica (PG)

r

Suma de

términos de una PG

o

¡

lnterés simple y

compuesto lnterés con

periodos de capitalización no anual

o lmpuesto a la renta

. .

Usa la regla de formación de una sucesión para determinar sus términos.

Escribe los términos de una sucesión obtenida de la operación de sucesiones. ldentifica las propiedades de los lÍmites de una sucesión. Emplea expresiones y conceptos respecto a una sucesión convergente y divergente.

o Expresa

o Sumatorias

valores máximos o mínimos;

usando lenguaje algebraico y representaciones gráf icas, tabulares y simbólicas. o Plantea afirmaciones sobre características de una sucesión creciente y decreciente, la posibilidad o imposibilidad de solución de una ecuación cuadrática en base al discriminante.

Sucesiones. Término general

Desempeños prec¡sados

Capacidades

Argumenta afirmaciones sobre relaciones de cambio y equivalencia.

. . . ¡ . .

la sumatoria como una serie. Expresa la sumatoria aplicando fórmulas y propiedades.

Emplea expresiones como capital, interés, monto y tiempo en modelos de interés compuesto. ldentifica los diferentes tipos de impuestos. Halla el término general de una sucesión de números enteros. Emplea estrategias heurísticas al resolver ecuaciones lineales expresadas con números enteros.

Relaciona datos y analiza regularidades para encontrar un término que represente a un conjunto ordenados de números. o Determina el término general de una sucesión por recurrencia. o Efectúa operaciones con sucesiones. o Calcula lÍmites aplicando propiedades. . Resuelve sumatorias aplicando procedimientos aritméticos, propiedades o fórmulas. o Calcula la suma de una progresión aritmética de segundo orden aplicando sumatorias notables. . Calcula los elementos de una progresión geométrica empleando la fórmula del término general. . Calcula los elementos de una progresión geométrica empleando la fórmula de la suma de los n primeros números. ¡ Adapta y combina estrategias heuristicas, recursos gráficos y otros para resolver problemas relacionados con tasas de interés compuesto. o Resuelve situaciones problemáticas relacionadas con los elementos de la fórmula del interés con periodos de capitalización no anual. . Resuelve situaciones problemáticas reales relacionados con los impuestos.

. . .

Plantea conjeturas respecto a las operaciones con sucesiones. Justifica larazón de cambio encontrada en el lÍmite de una sucesión. Justifica utilizando límites si una sucesión es convergente o divergente. o Plantea conjeturas respecto a la sumatoria. o Analiza y explica el razonamiento aplicado para resolver sumatorias notables.

TEXTO ESCOLAR

Sucesiones y progresiones ¡Texto

escolar

(pág

19) r

Libro de actividades (págs 78-79)

Capacidades y desempeños precisados . Usa la regla de formación de una sucesión para determinar sus Traduce datos y condiciones Usa estrategias

y procedimientos

Sucesiones y progresiones

términos. (1-4)

. .

Halla el térm¡no general de una suces¡ón de números enteros. (5-B) Emplea estrategias heurísticas al resolver ecuaciones lineales expresadas con números enteros. (9-10 )

Mariana corre todos los días para entrenarse; además, participa en maratones oficiales los últimos domingos de cada mes, de la siguiente manera: en enero, corrió 2 km; en febrero,3 km; en marzo, 6 km; en abril, 11 km; y así sucesivamente. ¿Cuántos kilómetros trotó de manera oficial en un año?

Sugerencias didácticas Para iniciar

O

Fije la atención de los estudiantes en la actividad que se muestra en la

imagen. Promueva un diálogo acerca de la maratón; pregunte: ¿Qué distancia com p re n de a p roxi m ad amente I a m aratón? (f iene una distancia aproximada de 42 km). ¿Alguna vez participaste en una maratón?(Respuesta libre). Coménteles que la maratón es una de las pruebas más exigentes que puede afrontar una persona; requiere un alto nivel de preparación fÍsica y mental durante un periodo largo de tiempo que, en algunos casos, puede durar años.

I

I

,.1 ,""

Bevise conjuntamente con los estudiantes la sección "Aprenderemos a..." para que se informen acerca de los aprendiza.jes que van a desarrollar en la presente unidad, como es el caso de determinar el término enésimo de una sucesión, efectuar operaciones, entre otros. Luego, invÍtelos a resolver las actividades propuestas en la sección "Repasamos lo que sabemos" y pida que contrasten sus respuestas con sus compañeros.

Para consolidar

I

I

'

t

U

a

/ rt

tt4otÍvelos para que analicen la imagen de la apertura. Pregunte: ¿Oué conclusión se puede sacar a partir de la imagen? (La imagen hace referencia

a los diferentes servicios que se ofertan de manera virtual). ¿Alguna vez realizaste una compra virtual? (Respuesta libre). Luego, invítelos a dar lectura al texto "Comercio electrónico y marketing por lnternet". Para comprobar si han comprendido, plantee las siguientes interrogantes: ¿Qué es el marketing? (Es una disciplina que se encarga de analizar la gestión comercial de una empresa con el objetivo de captar, retener y fidelizar a los clientes a través de la satisfacción de sus necesidades). Pídales que desarrollen las actividades propuestas en la sección "Usa las TlC". Resalte que en la primera actividad se observa que el número de servidores se va duplicando semana a semana; asimismo, sugiera que visiten las páginas web sugeridas, que serán un soporte importante para que puedan desanollar los trÍpticos solicitados en la actividad 3.

I

,J

,TL.

Para desarrollar

I

!!.-¡

Proponga a los estudiantes la siguiente situación: Alexandra decide entrenar de la siguiente manera: La primera semana tiene una rutina de 10 minutos de ejercicios; la segunda incrementa a 20 minutos, la tercera semana aumentó a 40 minutos, y así sucesivamente. ¿Cómo expresarías la forma general de n nln iar tórminn2 (a 1fl y 2n -1\

h

.iI¡ I

/,

N L{

I

a )

I

:j:

\

t

§ I

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t

\

>

fi¡

I

{ l¡

APRENDEREMOS 4...

0

. . . . VALORES Y ACTITUDES

rendido cuando entrenabas para ganar

en una competencia?

Efectuar operaciones con suces¡ones. Just¡ficar ut¡lizando límites si una suces¡ón es convergente o diver8ente. Expresar y resolver sumatorias aplicando sus propiedades y las fórmulas de

sumatorias notables.

.

Perseveranc¡a ¿Alguna vez te has

Determ¡nar e interpretar la fórmula del térm¡no Seneral de una sucesión.

calcular los elementos de una progres¡ón ar¡tmética de segundo orden y de una progresión geométrica mediante la fórmula del término general o la fórmula de la suma de r? primeros térm¡nos.

. . .

Resolver problemas que involucran progresiones ar¡tméticas de segundo orden y progresjones geométricas. Resolver problemas refer¡dos a interés compuesto e ¡mpuestos. Valorar aprend¡zajes desarrollados en el área como parte de su proceso

formativo.

UNIDAD

2

Sucesionesy pro8resiones

19

r

T

ru USA

v

l¡

-

Sucesiones y progresiones

I

I

APRENDEREMOS A.,,

.

Comercio electrónico y marketing por internet (e-marketing)

. .

El e-markefmg es la aplicación de estrategias, técnicas y operaciones ontre para vender productos y seruicios a un público seleccionado. El éxito del e-marketing se inicia con un proceso continuo de conversión de clientes potenciales en clientes leales satisfechos que utilizan internet como canal de comunicación, ventas o distribución.

convergente o divergente.

o

¿Cómo contribuyen las redes sociales en la captación de seguidores?

.

Reúnete en equipo y elabora con tus compañeros un tríptico informativo sobre marketrng por internet.

N N @

!-¿

ci

!

)

o o o f

p Ic o L

@

euscamos en la web

§T

términos.

rr!

.

r-F

Resolver proDlemas que involucran progresiones aritmeticas de segundo orden y progresiones geométricas.

.

Resolver problemas referidos a interés

compuesto e impuestos.

.

\

Valorar aprendizajes desarrollados en el área como parte de su proceso format¡vo.

\

-(

^rIr)

-

BB

REPASAMOS LO QUE SABEMOS

Calcula los cuatro pr¡meros términos.

\

Oa-=3n+2 " o:l:8:1.5 '' 5:8:ll:14 @a.=n2-l @ o,=2il +1 @ a,. 2n+ I l:9: l9; Jl -l:5:7; 9 lEl q; s;

Di¡¡ita en algJún buscador (Chrome, Firefox, Edge, etc.) Io siguiente: infografía + e-market¡ng + comercio electrónico

ffi L

ru

calcular los elementos de una progfesion aritmética de segundo orden y de una progresiÓn geométrica med¡ante ia fórmula del término general o la fórmula de la suma de n primeros

Deduce la regla general de las s¡gu¡entes sucesiones:

_,i

¿ )q

Expresar y resolver sumatorias aplicando sus propiedades y las fórmulas de sumatorias notables.

.

actualidad. No obstante. están tomando fuerza canales emergentes como los b.logs y las redes sociales- Es muy extraño que una sola estrategia garantice el éxito en un negocio por internet. Supón que has creado un canal de video en YouTube y que en la primera semana obtuviste 120 seguidores; en Ia segunda, 240; en la tercera, 480, y así sucesivamente. ¿Cuántos seguidores habrás conseguido en las diez primeras semanas?

Efeclu¿r opera(iones con suces¡ones. Juslilic¿r utilizando lrmites s, una sucesiÓn es

.

El marketrng de buscadores y de e-mal.l son la base de las campañas de más éxÍto en Ia

.

Determinar e interpretar la fÓrmula del término general de una sucesión.

O

(

Luego, haz clic en "lmágenes". Así obtendrás inlurmaL ion sohr c (' mar/'ei,ng.

z:

Á;

s;lo

... 5n

-

r @ e;

17',... n2

+

t

19;

rc',

u, zt; ... 4n + 5

@ t; -+; e; -

ft;... (-t)"

Analiza y resuelve.

g

si

lE

si zs = s(t + z)2, halla el valor positivo de

z1m

-s

= 11, halla el valor de

m.

512

¿.

4

< @

§C c @

o

1

UNIDAD

2

Sucesionesy progresiones

l_

J

Sucesiones. Término general lTexto

Capacidades y desempeños precisados Traduce datos y condiciones

. o

Comunica

!

Centre la atención de los estudiantes en la definición de sucesiones y término general. Complemente explicando que una sucesión es un conjunto ordenado de términos que cumplen una ley de formación. Esta ley nos indica cómo determinar el valor de cada uno de los términos de la sucesión. Resalte que las sucesiones se denotarán como {an} y sus términos se representarán como "an" donde el subÍndice indica la posición que ocupa el término. Proponga revisar la sección "Ten en cuenta", donde se presentan las fórmulas generales de algunas sucesiones notables. Luego, pregunle: ¿En función de qué están expresados los términos generales? (En función de su número ordinal que es el subíndice). ¿El subíndice podrá ser un número decimal? (No, porque nos indica la posición que tiene el término).

Para desarrollar

I

Previamente al ejemplo 1, explique que las sucesiones se pueden expresar por extensión; esto se da cuando se escriben todos sus términos (3; 8; ). Por comprensión, cuando se expresa solo su regla de formación o término general (an = 5n - 2). lnterrogue: ¿Cómo están expresadas las sucesiones dadas? (Por comprensión). ¿Cómo se procede para encontrar los términos pedidos? (Se reemplaza el subíndice en el término general).

13;

§

.1

En el ejemplo , pregunte: ¿Cómo está expresada la sucesión? (Se encuentra expresada por extensión). ¿El término general está expresado en función del número ordinal? (No, está en función del término anterior. A esta expresión se le denomina fórmula por recurrencia). ¿Qué significa a,_ ,?(Significa "término anterior", porque la posición "n - 1" es uno menos que n).

§ Solicite que evalúen

el desarrollo del ejemplo 3. Pida que expliquen la estrategia aplicada (Se procedió a dar forma a cada uno de los términos en función de la posición que ocupan). En el ejemplo 4, pregunte: ¿Qué criterio

Libro de actividades (págs. 80-82)

En las actividades 1 y 2, resalte que las sucesiones se encuentran expresadas por comprensión. Sugiera que reemplacen los subíndices de los términos en la fórmula general para hallarlos. Explique que, si en una sucesión se produce un crecimiento rápido en sus términos, eso nos indica que el término general debe ser expresado en función de una potencia. Hágales notar que este caso se presenta en las actividades 3 y 4. Sugiera, en el primer caso, que hagan uso de los números cúbicos, mientras que, en el segundo caso, empleen números cuadrados; además, indique que analicen los numeradores y denominadores independientemente.

I

Para la resolución de actividad 5, pregunte: ¿Qué observas en la sucesión correspondiente a Pedro? (Se ve un crecimiento rápido en los términos de la sucesión). ¿Qué criterio podrás emplear en este caso para encontrar el término general? (Expresarlo en función de una potencia). En el caso de Rita, resalte que los términos se incrementan solo en tres unidades. Pida que revisen el ejemplo 6, haciendo notar que en una ecuación de recursividad cada término se determina en función de los términos anteriores. lnterrogue: ¿Cuántos términos anteriores se emplean en la ecuación?(Solo un término). ¿Se podrá calcular el término 50 de manera directa? (No, porque para hallar auo, primero debemos determinar todos los términos anteriores a él). En las actividades 6 y 7, resalte que la ecuación está expresada en función de un término; pregunte: ¿Qué términos se deben calcular? (Se debe enconkar desde a, hasta ar).

Para iniciar Es importante que los estudiantes relacionen una situación cotidiana, como es el conteo de los triángulos, con el análisis abstracto que representa una sucesión, donde deben establecer las regularidades que se forman; esto facilitará el desarrollo cognitivo. Pida a los estudiantes que revisen el desarrollo de la situación problemática presentada al inicio. Para comprobar si han comprendido el problema, plantee las siguientes interrogantes: ¿Existe una relación entre el número de la figura y la cantidad de triángulos? (Sí, ya que hay una correspondencia directa entre esta cantidad y el número de triángulos que se genera). ¿Qué se necesita para encontrar un número que falta en la sucesión? (Se debe encontrar su regla de formación).

¡

I

Sugerencias didácticas

§

(pá9.20)

se usó para determinar la sucesión? (Se contabiliza la cantidad de naipes que tiene la base del castillo). ¿Qué regularidad se encontró en la formación de la sucesión?(Se observa que todos los términos son múltiplos de 3 menos 1). En el ejemplo 5, motÍvelos para que calculen el término general de las dos sucesiones (an = n2 y an = 2n - 1).

Determina la regla de formación de una sucesión. (3-5) Escribe los términos de una sucesión a partir de su término general. (1-12; 1-2; 6-9)

escolar

Para consolidar

I

Consolide señalando que, para hallar cualquier término de una sucesión, se debe conocer previamente su término general que define la sucesión. Asimismo, indique que una sucesión se puede expresar por extensión y por comprensión.

N N

@

Actividades complementarias 1. MarÍa encuentra que sus ganancias en las últimas semanas cumplen

2.

con la siguiente regularidad [a,] = {4n + 10}. Determina las ganancias que obtuvo en la quinta y décima semana. Determina la suma del décimo cuarto v trioésimo término de la sucesión

derinidapor{an}={*+} 3.

Dadas las ecuaciones de recursividad, determina, en cada caso, los tres términos que siguen. a) a1 = an+j = 7 + b) a,, = 1; az=3 dn*2=2n + 4an + an*,

5

an

b)a.=9:a, =25',a^=67

:ci

pi !

5

Io o

-

p _o

E o L

@

6

§c c a @

TEXTO ESCOLAR

LIBRO DE ACTIVIDADES

¡

SUCESIONES

Sucesiones. Operaciones

E

te8ras que adqu¡r¡r ntrar el patrÓn qu€ egula

Observa la secuencia de figuras. Cada una se forma añadiendo nuevos triángulos rojos y amar¡llos. ¿Cuántos Íiángulos rojos habrá en la f¡gura 5? ¿Y en la figura 10?

ia u ordenamiento.

F-xiste una relación entre el

sucesaones. Término general

n

Una suces¡ón {¿¿} es un conjunto ordenado de números reales ar, a2, a3, ao, ... , a,.Cada úno de los números se llama término de la suces¡ón, y an es el térm¡no general.

IEN EN CUENTA

) I

Termino Beneral de algunas sucesiones notables Números pares:

¿, = 2r

Números impares:

úr, =

2n

-

EJEMPLo

|. |

1

nln + o"=_T

1\

=!n'*t

ur{a,}=

sucesiones:

*

t

=ff

,,, =?Urr'+

t

at

I

-!n2+z ctto,'t=2n2+i

oo=-l@)2

+2=-6 ctat-2(4t2.+=9

=s7 o,r=-l¡zf +2=-7o

ARGUMENTA AFIRMACIONES

)

i i

Operac¡ones con sucesaones

I

'li

Las cuatro operaciones aritméticas entre sucesiones se real¡zan con sus términos generales. Sean {¿,} y {á,} dos sucesiones, al operar. se obtiene una suces¡ón {c,,1. Adic¡ón o sustracc¡ón lc,,)

¡

EJEMPLo

Multipl¡cac¡ón

lc,,j a,,

= tr,,+ b,,

lc,l =

a,:

¿cuál es el término general de la cantidad de triángulos Oos que hay en la fiSura 2n + 3? ¿Y

en la figüa n2 + 2?

3tr, +:.

D¡v¡s¡ón

b,,

b,; b, *

O

+l

-

,,ÜF ff

Hallamos á,:

+ a,- 6,+

cn -- an +

Hallamos dn: d,=

5n + 5 = (3r¡ + 6) + b,

b,

+

bn

=

dz=2+7

=9

20

En la figura 4, hay 27 triángulos rojos. Lo expresamos asi 27

=!-1

3'

secuencia de los números obtenidos al hallar el total de triángulos rojos está dada por Í1;3;9;27;...1, que es una sucesión de números reales. Además. el térm¡no general o enés¡mo 1. de la sucesión es a, =

I

Ola,\=2n+5 -:,).

Vlla,)=5n-l f:() l:l l() O {4}=r'-3_. _.,.,,,, o r.7.1: I I )

{a,} = 3n -

2

.

y lb,} = 2¿ + 5. Halla los

ca de las

.

E) {c,} = a,,' b,t = 2a^+

\c 162

b,

t1..

cs

@ lcn) =an-bn S1

{c,}

p e

--:

= a, + b^ :t/9:

(B {¿;} = an-3bn

s

t

tlll

-2t,

r

-!t

Contamos en la tabla la cantidad de triángulos amarillos que hay en cada figura. En la figura l, hay cero triángulos amarillos; en la figura 2, hay I triángulo amarillo; en la figura 3, hay 4 triángulos amarillos; en la figura 4, hay 13 triángulos amarillos; y así sucesivamente. Observamos que cada término de la sucesión se forma multiplicando por 3 y sumando I al término anterior. Así:

x3+l x3+l x3+l x3+l {13; \ \l: -\4:'-0; ay=0ia2=0.3+ 1= l;a¡= 1.3+1=4;at=4.3+

e

siguientes sucesiones:

f) {",} =o,+á, I i ;1-r ú {c,}

De la secuencia anterior. ¿cuántos triángulos amarillos habrá en la figura 5? Determina la fórmula de la sucesión.

d.=3+7 =1O d¿=4+'7 =ll

términos c, y

I

figura 3, hay 9 tr¡ángulos rojos. Lo expresamos asl 9 = 3z- t

1

I

Comunrca:1-12

¡,¡=fi l.I

figura 2, hay 3 triángulos rojos. Lo expresamos así: 3 = 32

En la

-

7 usrn

)¡ - l.

Escribimos los cuatro primeros términos de la sucesión:

Sean

--

En la

31

1

término general ¿¡, o término enésimo a la expresión algebraica que nos permite calcular cualquier término de una sucesión.

dn=Jn a $- (2n- l) + d,= n a'1.

Determina los cuatro primeros términos.

61.,¡=9p

En la figura 1, hay 1 triángulo rojo. Este número lo expresamos así: 1 =

3'

§

ij: t.l

27

9

Se llama

orsnnnou-nruscAPACIDADES

ts {á,i = 3n'r*r2.r,,r,.(,

3

A A

La

2

dr=l a'l =$

rus.80-85

AA

A A A A

continuamos la secuencia, el número de triángulos que habrá en la f¡gura 5 es 3s-1 = 3a = 81. De la misma manera, en la figura 10, habrá 310i = 3e = 19 ó83 triángulos rojos. observamos que, en general, el exponente se relaciona con el número de la figura de la 1. siguiente manera: en la figura n, el número de triángulos rojos será

-

' .

3

2

Si

Sean las sucesiones c, = a u + bny d,-- an- á,. Obtén los cuatro primeros términos de {d,} si a,,= 3n + 6 y c,,= 5n + 5.

.

número n de la f¡gura y la cantidad de triángulos rolos que hay en ella.

I

I

+)=!

,,r=z
Número de triángulos roios

I

12encadacaso.

Hallamoslostérminospedidosreemplazandonpor4y

r»oo=1e,"

l |

NÚmeros tr¡angulares:

Figura

-

Obtén los términos ao y c,, de las siguientes

",t",1

Números cuadrados: añ = n2 Números cúbicos: a, = fl3

1

Sucesiones. Término general

8

§ E

€

1= 13; ...

En la figura 5, habrá: l3 . 3 + I = 40 triángulos amarillos. La fórmula general por recurrencia es an = 3an _, + l.

g o

g3 0

80

LIBRO DE ACTIVIDADES

SUCESIONES

'

¡

SUCESIONES

EJEMPLO 2

fi

Determina la suma del décimo y del vigésimo término de la sucesión definida

por

.

td,)

(n- 3l

=-. n'

Hallamos los términos a,o y aru. Luego, calculamos su suma.

La suma del décimo y del vigésimo término es

$.

3I

B

; ... }.

)

-

|

se forma con 29 naipes.

conr0 el (le este elefitplo. ¿QLte hall,l¡düdes crees qlre desar rollas (0r) esta act¡v¡dad"

caslillo de

n¿ripes

EJEMPLO 5

p e

12=2(l)- I Tercerafila:9=32 5=2(3)- I

§

452

'

,natta2a¿-a,3.

an.1=2n2 + n+ a,

.

Paru n

.

Pa¡a

,

Paru n = 3:

= l: az=2(l)2 + I + at

o {+,+'#,13,

n=2'. at=2(2)2 + 2 + uz

a3=8+2+3=13

.

d¿,

= 2(3)2 + 3 + a,

¿¿=18+3+13=34 Los tres términos que siguen son 3; l3 y 34.

Calcula los tres términos que siguen en estas sucesiones a partir de los datos que se dan:

B rr =3; a,*r=3+a,, B ar =-_l; a,,*r=n-2a,,

}

¿¿.=J+¿¿l=.1+j=6 rr¡='11¿¡.=-.1+6=9

4. Analizamr¡s cl denominador y cl nunreradrlr

a4=3+a,=l+9=12

de la sucesirin:

Ir Con5omástérminos

lr

ya podemos inducir y determinar el término general.

t¿"=

+

l: ..3r -t'2r

+

3'3r

+

4l

3'4r

+

-1'

1.ur=l-2a,=l-2(-l)=3

'

et=2-2.t1=2-2(3)=-,1

,l >(/ ¡'= lo: = 4(x) r'+ I "n'+ I lo.1

«1=3-?a,=l-2(-4)=ll

Resuelve.

Interactúa con el arte. (Explora y experimenta con los materiales y los elementos de los diversos lenguajes del arte, usando sus sentidos y su cuerpo).

G! Pedro y Rita anotan el avance diario de

las páginas

que van leyendo de una novela: Pedro: 3; 9; 19; 33; 5 Rita:

l;

...

Dadas las ecuaciones de recursividad de dos sucesiones, halla los cuatro términos que siguen.

Et ar = t;

ar=2ta,,rt=tt,+a,

9

a,=

ut =2'

3,

Parail=).t1=u.+u|=2+

Pcdro:2(l):+ l:2(2):+

975

Segundafila:4=22 3=2(2)-l

l6

Cuartafila: 16=42 7=2(4)-l =2O25 2(45)- | =89 > 2O25 -89= 1936

1

2tlllr+

I =243

Rit r: 3( I

)

-

I:

-l(2)

.3(ll)-l=32 243

El resultado que pide Raúl es 193ó.

-

I

lll(l)r+ l:2(4)r+ l:2(5)r+ I

: 3(3)

-

|:

-l(4)

+32=275

Entre los dos han leído 275 píginas.

e UNIDAD

2

Suces¡onesyprogresiones

81

82

I=-l

Para ¡¡ = ll: «4 = u I + u. = 3 +

Pua n = 4..r5 = (rl + 3

N N @

)

el undécimo día? 4

I

u,,*.= an' ail+l

2;5; 8; I l; l4t ...

¿Cuántas páginas han leído entre los dos

Buscamos las fórmulas generales del primer y último término de cada fila:

... Fila45:

i

Determina los tres términos que siguen.

3. Inducimos la sucesión: lr - l:2r- I: -1r l:4r - l:... u,,=ui - 1 -> 6re=l1¡] I =7999

Dados algunos términos de una sucesión, ¿podemos inducir y determinar el término general?

Raúl dibujó en la pizarra un triángulo como el que se muestra en el margen. Luego, le dijo a José: "Determina la diferencia entre el primer y último término de la fila 45". ¿Cuál es el resultado que pide Raúl?

Primerafila: I =

=cUi'l'r'

COMUNICA

v

Observamos la cantidad de naipes de la base, según el total de pisos que hay: I piso 2 naipes; 2 pisos 5 naipes; 3 pisos > 8 naipes La sucesión es {2;5:8: ...}.

Hallamos el término general: 2 = 3(l) - | ; 5 -- 3(2) - | t ... ; a, = 3n La sucesión es {a,} =fn - I + a,o = 3(10) * I = 29

si1,,,1

@ {0r 7; 26;63 ...}

hteractúa con el art(

)

§

a¡=0

l( I l)

Determina la fórmula del término general. Luego, halla el término 20 en cada caso.

En un concurso de habilidades psicomotrices, se propone construir un castillo de naipes de 10 pisos. ¿Con cuántos naipes se forma el primer piso?

.

Se define una sucesión mediante la siguiente ecuación de recursividad:

I

1

2n2

EJEMPLO 4

a

a.r,

r lrx , t lr' l:- 4096 :(x) ¡ - l5'"'- lrlir. | - -»lri +0()6 l5(, -, 1uq6 _- l.l s6s -, 15 7i 15 15 l5

- tt 7 =2(2)2 - 1; t7 =2(3)2 - t; 3t =2(4)2 - I + o.n = 2(5q2 - I = 4999 EI término general es a,,=2n2 - I, y el término 50 es el número 4999. 1=2O)2

@ laztnt

2(2lt))

"', -Llr

Inducimos la fórmula general a partir de los cuatro primeros términos

El primer piso

2(t2f

u.t) =

Traduce datos y condiciones: 3-5

EJEMPLO ó

-3n.Calculaarr+

u,, =

ó'9

ar=Z+1+0=3

Determina el término general de la sucesión { 1 ; 7; l7; Luego, halla el término 50.

.

Sea {a,,} =2n2

= 2-s2 3(20) = 740 l.ucgo. o,. + r,o = 252 + 710 = 992

EJEMPLO 3

a,=

comunica: 'l -2;

Analiza y resuelve.

fl

7 t7_9 _20-3_t7 ^ _r0-3_7.^ "ro= t0¿ = l00tazo=-ff =400 *dro+¿2o=f00-+400-=g0

.

orsannou-nruscAPACIDADES

- | : .1(5) -

I

:

...

:

Para a = 5: (¡r)

=(/i

r¡l = 2:

¿¡, = --l Para¡= l:¿¡=dl

= 5 + ..1 = ti + (¡4 = 8 + 5 = l3

¿

a I

! o o

6 l

(/3

«.=2 (-.1)=-6 Paran=2:¿a=¿¡, a,=( 3) (-6)= ltt Paral=J:«¡=r¿¡ ao=( 6) (18)--108 a.=(lll) ( l0tl)=-1944 Para r¡ = 4: ¿6 = ¿¡+

CJ

§

a a d 3 E

a o

,

p 2 E

o L

a c

§

c a @

a

LIBRO DE ACTIVIDADES

N/odelación matemática r

Libro de actividades (pág 83)

MODELACIÓN MATEMÁTICA

Capacidades y desempeños precisados o Usa estrategias y procedimientos

Relaciona datos y analiza regularidades para encontrar un término que represente a un conjunto ordenados de números.

Crianza de conejos

(1"3)

¡

Lucía ha decidido criar conejos. Por ello, para estimar costos, desea conocer cómo se reproducen. Se sabe que una primera pareja de conejos tarda un mes en alcanzar la edad fértil. A partir de ese momento, engendra, cada mes, otra pareja de conejos (hembra y macho). Esta, a su vez, engendrará cada mes una pareja de conejos cuando alcance la edad fértil. ¿Cuántos conejos habrá al

Determina el término general de una sucesión por recurrencia. (4)

Sugerencias didácticas

\

t

,

cabo de un año?

Para iniciar

I

Esfudiamos la realidad

lnvite a dialogar y generar ideas respecto a lo que se necesita extraer del enunciado dado para que logren diseñar y llevar a cabo una estrategia lógica y adecuada para la solución del problema. Luego, pÍdales responder a las preguntas de la sección "Estudiamos la realidad". (Respuesta libre. Los conejos pueden reproducirse a partir de los 4 meses, en el caso de las hembras; en caso de los machos, es a partir de los 5 meses).

¿Conoces algo sobre la crianza de conejos? ¿Crees que todas las razas de conejos tardan un mes en alcanzar la edad fértil? Representa gráficamente la reproducción de los L'onejos.

$

t,ucía ha decidido criar conejos seguramente porque su reproducción es rápida- Sí, a partir que una pareja de ellos puede engendrar una pareja de conejos (hembra y macho).

Para desarrollar

I

N N @ j

I

ci c

:9 !

f

o

o

p E o L a

§C E c a

@

Pida que den respuesta a las preguntas propuestas en la actividad 1. Coménteles que los conejos son animales que más tienden a reproducirse a lo largo de su vida, pues pueden engendrar en ese tiempo un promedio de 90 a 100 crias. Haga notar que, en la realidad, no se puede determinar el patrón que sigue la reproducción de los conejos porque el número de crías en cada camada varía, pero, en este caso sÍ podrÍamos tomando como referencia las condiciones dadas. Previamente a la actividad 2, resalte la utilidad de una representación gráfica, como parte de una estrategia de solución; por eso, sugiera que grafiquen la situación presentada. Explique que cada pareja de conejos recién puede procrear a partir del segundo mes. Después de esta etapa, ya podrá reproducirse mensualmente. Haga notar que, en el tercer mes, se tendrán tres parejas de conejos que serán los padres, sus primeras crías ya en estado fértil y las crías de su segunda camada. Resalte que la contabilidad de los conejos se hará como parejas. En la actividad 3, pida que analicen el comportamiento de las cantidades que representan el número de parejas de conejos que hay en cada mes. Pregunte: ¿Qué ocurre cuando sumas el número de parejas de conejos que hay en dos meses consecutivos?Comente que es importante complementar la gráfica con una tabla, donde también se puede sistematizar la información recabada. En la actividad 4, sugiera que apliquen la regularidad encontrada en el caso anterior. Pregunte: ¿Se podrá calcular de manera directa la cantidad de conejos que se tiene en el mes de diciembre? (No).

Para consolidar

I

Consolide destacando la importancia de la elaboración y la planificación de una estrategia apropiada para la solución de un problema. Para consolidar lo aprendido, proponga la siguiente situación: Si la reproducción de conejos se hubiese iniciado con dos parejas de crías, ¿cuántos conejos habría en 5 meses? (32 conejos).

¿Por qué Lucía ha decidido criar conejos? ¿Se podría conocer la secuencia que sigue la reproducción de conejos?

Para verificar el resultado halla la cantidad de conejos que hay en 15 meses.

f,}

Supón que se inicia la crianza con una pareja de conejos (hembra y macho) recién nacidos. Luego, se espera el primer mes para que alcancen la edad fértil. ¿Qué sucede en el segundo mes? Se tiene al inicio una pareja cría y otra procreadora. La procrcadora inicial da I

pareja en el segundo mes, y la pareja cría crece y se vuelve fértil. Por lo tanto, I

974 conejos

se

tendrían 3 parejas.

O

¿Qué regularidad obseryas en la secuencia de reproducción de las parejas de conejos? ¿Se podría conocer el patrón numérico? El núrnero tle parejas que hry a partir clcl tcrccr nres cquivlr[: a la srrma dc parcjas que hay en el prirner y scgrrnrkr mcs, el rrrirncrt¡ rlc parc-jas c¡uc h¡y c¡r el cuarlo rlcs ct¡uivale a la sunla en los dos ntgscs anteriorcs. v ilsí succsiviunelte.

@ Los términos obtenidos

son conocidos como sucesión de Fibonacci. Completa la sucesión y determina el término general por recurrencia.

q

Mes Parejas

p !

s

0

I

2

3

4

5

I

I

2

3

5

8

f"

I I I 2: 3: 5: 8; I 3t 2l I 34; 55;

1J9;

144; ... Se observa

h= t +2=3.1i=2+3=s..

..1,

=.f, t+f, t

I

Al

quel = 1..1, = l,/, = I + I = 2,

cabo de un año, trabrá 233 parejas de conejos; es decir, 466 conejos.

@

UNIDAD

2 Sucesionesyprogresiones

Operaciones con sucesiones ¡

Capacidades y desempeños prec¡sados . Escribe los términos de una sucesión obtenida Comunica

Usa esfategias

y procedimientos Argumenta afirmaciones

de los términos extremos se ubica en el numerador y el producto de los términos medios en el denominador. Resalte que, como en este caso se pide dividir las sucesiones, es importante que previamente se verifique que el divisor tenga todos sus términos diferentes de cero, para evitar la no existencia. Asegúrese que los estudiantes recuerden el desarrollo de la diferencia de cuadrados (a' - b'= (a + b) . (a - b)) y la suma de cubos (a3 + b3 = (a + b) (a2 - ab + b2)).

de la

operación de sucesiones. (1-4)

. .

Efectúa operaciones con sucesiones. (5-9) Plantea conjeturas respecto a las operaciones con sucesiones. (10-11)

§

Motívelos a evaluar el desarrollo del e¡emplo 9; resalte que el producto de dos potencias de igual base es otra potencia con la misma base y que su exponente es la suma de los exponentes iniciales. En la división es un proceso similar, diferenciándose en que los exponentes iniciales se restan. Hágales notar que, en primer lugar, se determina el producto de las sucesiones; luego, se establece una ecuación en función del décimo término. Explique la regla de signos en la potenciación (+)par = (+) y (r¡imoar = 11¡.

§

En las actividades 1 y 2, sugiera que empleen signos de agrupación para expresar la sustracción, debido a que el signo negativo modificará los signos del sustraendo, mientras que para la actividad 3, recomiende que apliquen la propiedad distributiva para calcular el producto. En el caso de la actividad 4, destaque que la expresiónx2 - 4 corresponde a una diferencia de cuadrados (x' - 2'= (x + 2)(x - 2)). En la actividad 5, proponga que empleen los productos cruzados. Para la actividad 6, solicite que propongan la estrategia que se puede aplicar. (Se debe determina¡ en primer luga¡ el producto de las sucesiones an y bn y, luego, se procede a calcular el cociente de cn + bn). En la actividad 7, pregunte: ¿Qué se debe determinar? (el valor de "n"). ¿Qué estrategia se podrá emplear?

§

En la actividad 9, haga notar que los términos generales de las sucesiones se pueden expresar en función de una misma base. Además, indique que el cociente de potencias de igual base es otra potencia con la misma base y que su exponente es la diferencia de los exponentes iniciales. Sugiera que planteen una ecuación para hallar el valor de "n". Como nociones previas a la actividad 10, recuerde que si en una división el divisor es cero, el cociente no se podrá calcular (no existe).

Sugerencias didácticas Para iniciar

§

§

Coménteles que las sucesiones son conjuntos ordenados de números. Por ello, es posible hacer operaciones algebraicas entre dos o más sucesiones. Enfoque la atención de los estudiantes en la definición de operaciones con sucesiones; pídales que den lectura y que expliquen a su compañero más cercano. Para conoborar si han comprendido, plantee las siguientes interrogantes: ¿Qué entiendes por la expresión "se puede trabajar de manera similar a la aritmética de los números"?(Significa que podemos operar término a término las sucesiones, además, se cumplen las mismas propiedades como la asociativa, conmutativa, elemento neutro, entre otras). ¿Qué significa la restricción bn + 0 en la división? (Significa que una sucesión se puede dividir entre otra si esta cumple con que todos sus términos son distintos de cero, lo cual evita la no existencia). Es importante que los estudiantes pongan en práctica lo aprendido, por lo tanto, proponga algunos ejemplos sencillos como: Calcule las cuatro

operaciones sabiendo que {a,J = {2n} y {b,} = {n}. (an + ao = 2n + n = 3n; an+ br= 2n - n = n; ar- br= 2n - n = 2É y an+ bn= 2n¡¡=2,). Solicite a los estudiantes que expresen las sucesiones por extensión y las comprueben operando término a término. Para complementar lo trabajado, pida que desarrollen las actividades propuestas en la sección "Elabora y usa estrategias".

§

Destaque que, para operar con las sucesiones, estas deben estar expresadas por comprensión, de tal manera que se resolverán operando las expresiones de los términos generales. Explique que una sucesión es invertible solo si todos sus términos son diferentes de cero.

Para desarrollar

&

{§

lnvite a los estudiantes a evaluar el desarrollo del ejemplo 7; luego, pida que expliquen la estrategia aplicada. (Se restaron los dos términos generales de las sucesiones para encontrar el término general de una tercera sucesión; luego, se procedió a calcular los tres primeros términos pedidos reemplazando en el término general de esta última sucesión) ¿Podrá ocurrir la no existencia en esta sucesrón? (No; porque una sucesión siempre parte de 1). Becuerde que para sumar o restar fracciones, se deben homogeneizar sus denominadores. Previamente al ejemplo 8, explique la propiedad del producto de medios y

extremos oue se utiliza oara dividir dos fracciones: indique que el producto

Libro de actividades (págs. 84-85)

Para consolidar

§ §

Consolide indicando que, para operar con sucesiones, estas deben estar expresadas por comprensión; es decir, se debe conocer su término general. Resalte que, para la división de las sucesiones, el divisor no debe tener términos iguales a cero; en este caso, se generará la no existencia.

complementarias 1. Sean las sucesiones

{an} = {2n2 + 3n} y {b"} =

-

Sean: {an} =-125n*3; {bn} ={252(*n-1)} * 1o}, halla: E 2(n + 1)3 Si

{c,} =

fls-corrrslas.

{52n

I

r:.

=4 r'. -

= 1,{)yc,= 2i..r

ci ¿ :9 a D E o o a o

p

tres primeros términos de {cn} = {an

2.

N N @ j

2

{3n-2}, determinalos

bn}

y{c"} ={an.bn}.

E = 16

€ E o I

@

§c c a

o

a

LIBRO DE ACTIVIDADES

¡

SUCESIONES

SUCESIONES

E

B

Operaciones con sucesiones

Sean {an} - nz - 4 y {b,} se pide en cada caso.

Las operaciones entre sucesiones se trabajan de manera similar a la aritmét¡ca de los nÚmeros. Sean {¿¿} y {ár} dos sucesiones. Al operar dichas sucesiones, obtenemos otra sucesiÓn {c,}.

lcnl =

an!

bn

lc^l =

fl 8

División

Mult¡plicación

Ad¡c¡ón o sustracción

a,' b,

{c,l

=

a,+ b,; b,+O

v

Sea la sucesión

:

A¡42,43,... tn este caso ,, = existe,paratr>1.

Sean

. .

-

3n y

Halla c r, c, y c, si

{t

"} = *. Hallamos lcnl = a,- b,-- n2 - 3n -

L

= a,

{c,}

-

=Znr -§lt2

El décimo

,.,

I

6(t)2

-l 2(l)-6(l)- I -5

-g

3.

c,, -- (.rt2

-

Gl

. TEN EN CUENTA

{c,}

=

a,+

bnt

t",}

=

4. c,,-(n1 - 4¡ + (n +2) =

Factorizamos y simplificamos cn'. {c,,} = a, + b,, =

b"

Dererminamos el vator de p: p =

ln+1)ln2 n+1) n(n-1) b" -n2-n+1

El valor de

P es

#.,

.

.,

=

oSean{a,}

n2-n+1 n2-n

-

n

4n

-

8

"-(-1 +lx-l+D-

y

c :q f ! o o o

=

p !

.

utilizamosel datoyresolvemos'

El valor de

a

C @ @

Muttipticamos las sucesiones:

(-l)'-

o L

84

L4

.

t-tl','. .2, .k=2to

-

§C

{b,} = (-l¡"2'-

/<

es

{.,} =:+; (-l)

@

t ' k es 1O24. ¿Ctál es el valor de k?

-2.

-

(-lr'

-2sk=2to

etfz'

t-t)"':lr.' (-l¡ 'o'

|'

Sean de

R=

2d+

(-lr'

a

{b,} = 23n* y {c,} , calr:rtlaP -- r/7 - 24

=

a,' b,.

r:

, n =7 e-Jl:- zq =..2i=5

-_24t+1=211",,

= a,,'

{a,} =3'*2; {b,} =5" y {r,}

q'l

t,+r

halla E =

Reenrplazamos:

4 3

ñ

rt

+

= n'f= l y {O,l =non';l

.

E=/3+

sean {a,} =

$Il

Responde y

justifica.

@

= cn+ á,. Calcula el valor

+(d8+ds) si la,l

5,

+=.1' r=-r', = t4+l

I

3

b,y {d,}

3z'

Calculamos el valor de a:

b"

z

j

o-( -.lti-l,t ' z'-t '*

'2to-t ' k=1024=2t0

{c,}

. Ztr +a

-L

'r-(2+2[2-] D- 4.-1

El décimo término del producto de las sucesiones

CJ

3 3

3 3

N N @ j

{c,} = a,-

¡ )3 /it I 1rr-2rt,r*il j

EJEMPLO 9

Sean

Si c,, =

't-1¡12¡t+D- ii

fr.

2;

)-l)

57

+. + *= t

n

Reemplazrlnos;

=FBt{b,}=ff}

. il I ' -tt+)

223

*

2

Halla los tres primeros términos de

=56

{c,} =

ail-)

Analiza y resuelve.

= n'+ {' ..I

y {b,}

,i\

82 8+l . Hallamos..=52;5+l-2t . 5,_5 20Y(8= 8L8

on=

an

' c, si

{4,} = 2"

Determinamos el valor de

f,)

#cs

Sean

80

6

4¡(n + 2) = n1 + 2n1

)Á

3n2

2(4):r 3(4)']=

Reemplazamos:

c,. = l5r1 2(15)2 4(15)-8 = 3757 _. -

-

{""t = a,+ bn= t6,

v

*=)==or=16+n=4

=:l 4+n+2=¡i +n-2 n

fi

Hall¿rmos el valor de ¡i:

b,'

2.c,,=n2 4-n-2=i (ro=102 l0 6=84

-5

--

halla el valor de 2n3

EJEMPLO 8 Calcula P =

si 14,1 = f,; {u,}

Si

4 2\2) "2=-T "= 2(27)-6(9)-t 2G\3-6G)2-t -1 -l ,r=-- 2() =---- 6 =6 -.1= ó

tiende al infinito

{c,} = ant bn. término de {c,} = a,- b,.

@ El vigésimo cuarto término de la sucesión {c,} = a,+ b,.

- b,.

Argumentaaf¡rmaciones:10-11

Resuelve los siguientes casos.

E

Determinamos los tres primeros términos de la sucesión:

2(2)3-6(2)2-l 2(8)-ó(4)-l -g = =4

icuandor=0,a,=(f)

j

= 12

=r, + 2. Calcula lo que

El quinto término de

{',} = ','

2(l)3

(f)

existe?

No,

{a,}

comunica:'l-4 usestrateS¡asyprocedim¡entos:5-9

@ El decimoquinto término de la sucesión

EJEMPLO 7 USA ESTRATEGIAS Y PROCEDIMIENTOS

DESARROLLA TUS CAPACIDADES

I

1

p^¡

=

=bo,.

I

' ,r=.t I =2

ff

lr;

t

=

ffi.

¿Se puede hallar el cuarto término de a,,? ¿Y de a,' bn?

@ Si n crece y logra ser un número muy grande, ¿a qué

valor se acerca

bn + cn'!

I

p €

p !

p

(l',

1¡- I il I tl ¡¡l+l ,il = t¡ ,,' ,,' 4 8 + 5

R=2

+ k- -2 §

§

l-5

+

63

*=t.#= c 7

,4

I

Sí: ao' bo =

_ -l

592

42(42+12+9)

I l . Se acerca a cero:

1r,,

+ (,, =

Si r¡ crece la expresión

o UNÍDAD

{tl2

+t1' se

aproxima a certr

Sucesiones y progresiones

85

TEXTO ESCOLAR

Límite de una sucesión I

Texto escolar (pá9. 21

) ¡ Libro de actividades (págs, 86-88)

Capacidades y desempeños precisados Comunica

.

ldentifica las propiedades de los límites de una sucesión. (1-7)

Usa esfategias

o

Calcula los lím¡tes aplicando las propiedades. (1-6; 8-1a)

y procedimientos Argumenta af irmaciones

.

Lím¡te de una suces¡ón. Sucesiones convergentes y divergentes La caracterÍst¡ca más importante de una suces ón es a tendencia de sus térm¡nos hac¡a un valor límite que puede o no existir. Esta propiedad se denomina convergencia; sin embargo. no se cumple en todas las sucesiones.

Justifica la razón de cambio encontrada en el límite de una sucesión. (7{2;15)

Límite de una sucesión

Sugerencias didácticas

límite de una sucesión [a,] cuando u cada vez se acerca a r¡,, o tiende al infinito es igual a un único número real á. Simbólicamente, tenemos: El

Para iniciar

I

I

)iy¡Ía)

Coménteles que una caracterÍstica importante de una sucesión es la tendencia de sus términos hacia un valor lÍmite; a esta propiedad se le denomina convergencia. Luego, pida que den lectura a la definición de límite de una sucesión. Pregunte: ¿Cómo se determina el límite de una sucesión? (Para hallar el límite se debe reemplazar el valor de "n" en la sucesión; después de ello, se realizan las operaciones correspondientes). lndique que revisen la sección "lmportante", donde se brindan alcances sobre las operaciones con el infinito.

,lim

= b, se lee: "El límite de [4,] cuando n tiende ao es iSual a á".

[a,] = á, se lee: "El ¡ím¡te de {o,} cuando tr tiende al

-

es igual a á".

Para hallar el límite de una suces¡ón, basta reemplazar el valor de,? en la sucesión, luego realizar las operaciones correspondientes.

EJEMPLO 3

IMPORTANTE operaciones con

6

Calcula el límite de las siguientes sucesiones:

.@+@=ó

.1=o

Centre la atención de los estudiantes en las propiedades de los límites. Resalte que el limite en la adición es igual a la suma de los lÍmites de cada uno de sus términos. Destaque que el límite de una sucesión constante es igual a la misma constante.

a) lim (3n

.9* =*

ñ-O

.1=0

b)lim

n-2

-

2) = 3(0)

(u2 + 2n

-

2=0

-

2=

-2

+ l) =22 + 2(2) + 1 = 4 + 4 + I = 9

o ty_P"#) =m

(! * ])=g

(z.

fl) = 2 + A = 2 + o = z

Sucesiones convergentes y d¡vergentes

Para desarrollar

E

Pregunte en el ejemplo 10 ¿Qué estrategia se aplicó? (Se reemplazó el valor de "n" en la sucesión y se desarrollaron las operaciones correspondientes para calcular el lÍmite). En el ejemplo 11, indique que, en el primer caso, se determinó el lÍmite de la sucesión aplicando el límite a cada uno de los términos de la sucesión. Destaque que, en estos dos ejemplos, el valor de "n" tiende a un número real. lnvite a los estudiantes a revisar el desarrollo de los ejemplos 12 a la 14; luego, pregunte: ¿Se aplicó la misma estrategia que en los ejemplos anteriores? (No; en estos casos se procedió a evaluar la sucesión asignando diversos valores a "n"). Destaque que en estos lÍmites el valor de "n" tiende al infinito; además, señale que, en el último caso, se aplicaron las propiedades de las operaciones con el infinito. Previamente a las actividades 1 ala7, invítelos a revisar las propiedades de límite. De esta manera, podrán justificar la verdad o falsedad de las proposiciones dadas. En las actividades 8 a la 11, sugiérales que hagan uso de la misma estrategia aplicada en el ejemplo 10, es decir, que deben reemplazar en la sucesión el valor numérico al cual tiende "n".

Una sucesión [¿,] es convergente si y solo si,liln_a, = ¿; es decir, la sucesron se aproxima a un solo valor conocido L. Es divergente si y solo

=

r

@,

en que la sucesión crece o

EJEMPLO 4 Sean

.

'tÜF

.

Páé|s.86-9I

ffi

{a,}

=(rt--r* )y {b,} n-

]i*(2"'*

4) =2(a)2 +

oesnnnorL.arus cAeACIDADES

O,lrq

(2n +

BrtU {r' s

I

o

3)

+ 2n

g,)¡:"-(+)

-5 -

1)

o

A,limr(5,?

,

=2n2 + n

-

4.¿Son convergentes o divergentes?

jgJ, . *) = : + $ = 3 + 0 = 3. > Es conversente.

¡*(#)=

@

-

4=@+

o - 4 = @. >

Usa estrategias y procedimientos

Calcula los siguientes límites: p

Para consolidar Consolide destacando que una característica de las sucesiones es la tendencia de sus términos hacia un valor límite. Resalte que, para hallar el límite de una sucesión cuando "n" tiende al infinito, se aplican las propiedades de las operaciones con el infinito.

si,lilr a,

decrece infínitamente.

Es divergente.

1-ó

Argumenta afrmac¡0nes:7-12

Calcula los límites y clasifica las sucesiones,

- 3)

l4l,,l*r{rr' -

2n

El,lim (2r2 *

8

+

.,,1i(ttf) t

l)

34

3Í

@,lTl(#)

oil.,,.,,,.

I c'r rve'rgcrrtc

1i^ (2n3 + ry2 - n\ P ,+ó\

n)..( I I r)rl\L rc( rrlr'

UNIDAD

2

Sucesiones y progresiones

21

v¿

LIBRO DE ACTIVIDADES

T

SUCESIONES

SUCESIONES

ldea intu¡tiva del límite de una sucesiÓn cuando ,t

El ,.,r,,e de una suces¡ón límite de una sucesión {an} cuando n cada vez se acercaaaoes iSual a un único nÚmero real á. Esto se expresa de la siguiente forma: n

+

¿o, entonces {ar}

+

&. Se lee: "Si /r

Si

= á, se lee: "El lÍmlte de {¿r,} cuando

r

lim[a,,]

lÍrnites + silcesiórl

EJEMPLO'I2

Así obtendrás

información sobre lÍmites de una sucesión.

),4,@ o,t q'

Adición o sustracción

b,)

=

lim,,(a,.

Multipl¡cac¡ón

p

b,,)

lim.un =

p,

et

",)'',

b,,:

m

dicha tabla se observa que si n

.

ez

")llg(n'

5n + 2) = 3(1)2

+

12

a valores cada vez más grandes,

.

-s =iA(0)i+ 3(0) - =',t- = -t s

CJ

IMPORTANTE

EJEMPLO 11

El lírnite de una sucesión constante es ¡gual a la

Aplica propiedades y resuelve:

rnisma constante.

¿

:9

lirn

-oo

¿=ft

l

4

-t

c o L

-

im (n1

--18 4 b¡lim i3ra+ ¿

._!

;-1?'

3n _

+

acercando a

lim n2 -3 limn+lim I ll 2' n-4 n-4 il '4

4) -

5u.¡r

8ó

7

- 644 -ñ- n

= llim 'n-l t3na +5n¡lt =

[:t

t¡a + 5r t l]3 =

")t,-fi' * :, * + = ilrmr3+ 3tr + 4) =i[t-tt\

@

_

zt

€ p !

slz

-l*

q

.§

j

-z

0,1

100

0,01

l.l

000

0,001

t

0

r

I y vamos

aumentando

se va aproximando a

\)

,r-=4 " /n

n

tiende al infinito.

j

o.{*l*i

1

0

2

o,25

5

0,4

50

o,49

500

0,499

0,4999... =0,5

sin llegar a este valor

0,1 0.2 0.3 0,4 0,5 0,6 0,7 0.8 0,9 1 a

l,

I

0,5. El límite de la sucesión es 0,5.

¿Cuál es el valor del límite de

. p € I

s

§

@

o

{a,} = 2n2 + ,i, cuando /, tiende al infinito?

Obseruamos que si a n le damos valores desde

1

y vamos aumentando

a valores cada vez más grandes, el valor de 2n2 + r va creciendo y se va acercando a un número muy grande (ver margen).

. =

0,25

'10

n

a

2t

4

dn=2n2+n

EJEMPLO 14

lim nt _ lim 4

z@)2-39)+1 32-t2+1'

lim5=5

p

o

,3

n--l

=

c a

:,':'o

Por ejemplo:

o

§c

"'

lim(2n2

-

1

0,5

Representamos algunos términos sobre la recta real y vemos que estos se van

Los puntos tienden

7n'- .ln + I

el valor de

(ver margen). Por ello, afirmamos que el límite

0 N N @ j

cuando

10 + 2 -- 24

- s¡= (3)3- 2(3)'z- s =27 - t8 - 5 = 4

z,

1

2

EJEMPLO 13

tr,\ = 5), . Simbolizamos lo lue se pide:,l1Xf +

O.

es 0.

Observamos que si a n le damos valores desde

- 5?2) + 2 =

]-

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0.6 0,7 0,8 0,9 I

Hatla el límite de la sucesión

-2n2

¡)i*tia

o, entonces

Los puntos tienden a 0. El límite de la sucesión

a)lim(2r+ l)=2(l)+ I =2+ I =3 n'l

-

+

o-=+

n

cuando n tiende al infinito.

Representamos algunos términos sobre la recta real y vemos que se v¿n acercando a 0, sin llegar a este valor.

0

Calcula el límite de las siguientes sucesiones:

b)lim

},

1

EJEMPLO 1O

(3n2

=

b"*o

liyla=\tr¡g,"",*ez

RadicaciÓn

{a,}

Observamos que si a n le damos valores cada vez más grandes empezando desde 1, el valor de va decreciendo y se va acercando a 0 (ver margen). En

j

eR

)rf|,,:,,!r]|,,,b,

tim,,(a,\^ = (!r1¿

Potenc¡ación

.

t s' linb,:

)ry,!,,* b) =)ry¡a,+)i1t

División

lirnite

= b,se lee' "El límite de {¿,,} cuando r? tiende al ¡nfinito es iSual a lr".

Halla el límite de la sucesión Digita en algún buscador (F¡refox, Chrome, Edge, etc.) lo siSuiente:

Ítendeal nfinito,entonces{a,l tendealr".El

tlende ¿i, es igual a á"

Observa las propiedades que se cumplen en los límites de las sucesiones.

EN LA WEB

"Si

tr-@,entonces!a,,l-b.Selee:

en algunos casos tiende al inf nito. La notación más usada es:

tiende a ao, entonces {dn} tiende a á".

Simbólicamente, el límite de una sucesiÓn se representa así:

lim [a,]

co

una sucesión l¿,] se dice que tiene por ímite Único a á € lR cuandq a medida que se toman térm nos de mayor índice, estos se acercan a á todo lo que se quiera. Esto se expresa de la slgu ente forma:

El

Si

*

I

Calculamos el límite: lim (2n2 + n) =

2'lim

n2

,1

3

5

55

10

210

100

20 100

500

500 500

+ lim n

=2'(*)2+@=@+6=@ UNIDAD

2

Srceslones y progres ones

81

LIBHO DE ACTIVIDADES

Sucesiones convergentes y divergentes ¡

SUCESIONES

fl

I

orsannolLarus

cArACIDADES

Escribe V si es verdadero y F si

Il

es

Si a- = u I, entonces lim ¿.- = 9.

lO lim4n3 n-2

-z= 4.limn3 -lim2 n+2 n_2

@ lim2n1n2

-

n- 1

3) = lim ¿2 n-,1 ,, l1mn

)

-

3

E M

tr M

,

lnTg ns -,2¡o = ¡li^17 rt - n

grr^{;4r=lt^n, n-4 n+4 ü)

falso.

n

4' , limn+4 0 n-1 =,,'l' llm(r?+4)

8

Comunica:'l-7 UsaestrateSiasyprocedim¡entos:8-14 Argumentaafirmaciones:j5

¡1^

-qn

@ Determina el límite de la sucesión {a,} = cuando n tiende al infinito.

Capacidades y desempeños prec¡sados . Emplea expresiones y conceptos respecto a una sucesión

2

n+5'

Comunica

Si a l le darnos rrltrres e¡da vez más grirrrdes empezarrdodcsdc I.el ralorde,, -, ra

cl

lilite

es

(r_

de la sucesirin cuando

/¿

tiende al infit)ito

Sugerencias didácticas Para iniciar

M (B Calcula el límite cuando Si a

r¿

de la sucesión tiende al infinito.

I

t ,j =b#,

r

lc clamos valorcs cada vez más srandes

rlc }l ,i+'.1, r. r

r'¡nl( /irndo dc\dl l . el r ¡rlor

gt hrr\Qn2 -4n+ 6)

dccreciendo y sc va aproxintando a 2. Por lo tanto. el límite cle la succsión c¡¡ando » n + lim 6

-4lim I ,

,,1

tiende

¡l infinito

Para desarrollar

§

= 2(-3)r- 4(-3) + 6

= l13+

l2+6=36 lB ¿Cuál

I tl- ;r -zn2 r0 5n4

es el límite de

{a,} =

5n3 + n

+ 7, cuando n

tiende al infinito?

5

il-2

5limra-2limn2-lim-5 ú-2 n-2 il-2 limtrl-lim l0 5(2)4 -2(2)2

- -(2)'- lo @ tim,_

,(n3

-5 =

-3n+

[,J'¡ ,0,r -

:,

Si a ¡l le damos valores cada vez más grandes empezrndodesde l.el valorde 5nt + n + 7 va creciendo y se va aproximando cada vez más al infinito. Por lo tanto, el Iímite de la sucesión cuando r tiende al infinito es inlinito.

-61 6

1)a

Analiza y responde.

@ ¿Cuál

+ t)]1

l(-t)'-¡(-l)+ tl'

es

el limite de la sucesión

l")

=

y*.

cuando n tiende al infinito? ¿Qué sucede cuando se invierte la sucesión?

=(-l +3+l)'1=34=Ul

I

Si a ¡r le d¿rnros vak¡res catll vcz ntás grandes

¡D lim

\lzns

( lrlP\'/irltrl{,(l\'\dr'

+3n'+256

V2(o)s + 3(o):r + 256 =

l..l

rr¡1,,1

r1,,.,,r'll,

t,,

tlecrccicnrl¡ y se va rproxintantlo a 0. EI lítnite de la succsión es 0. Cuantlo se invierte la succsiílr

,F*A;a;.zn

, l¡rl+,1 . qllCOIl i¡Sl: I -/i_+i. I ttr'rrr.l¡rr l,,t- 1\,r, *1-. .i, .{

.§

e I

-1

|/zN =z

§ @

88

Pida a los estudiantes que den lectura y analicen la definición de sucesión convergente y divergente. Pregunte: ¿Cuándo una suces¡ón es convergente? (Una sucesión es convergente cuando su lÍm¡te es finito). ¿Cuándo una suces¡ón es divergente? (Una sucesión es divergente s¡ su límite es infinito). Coménteles que existen sucesiones que tienen dos límites, es deci¡ que no son convergentes n¡ divergentes; a este tipo de sucesiones se les denomina sucesiones oscilantes.

es 2.

l

,i

-

Justifica utilizando lÍmites si una sucesión es convergente o divergente. (8-13)

decreciendo y se va aproximando a 0. Por lo tanto,

Calcula los siguientes límites:

n2

convergente y divergente. (1-7)

.

Argumenta af irmaciones

Si a- = ¿r, entonces lim a- = m.

2lim

Libro de actividades (págs B9-91)

Propóngales que evalúen el desarrollo del ejemplo 15. Explique que para determinar el límite de una sucesión, esta debe estar expresada por comprensión, es decir, se debe conocer su término general. En el ejemplo 16, haga notar que, s¡ as¡gnamos valores muy grandes a "n", tendremos que los términos de la sucesión crecen infinitamente; esta condición nos indica que la sucesión es d¡vergente. En el ejemplo 18, interrogue: ¿Oué característ¡ca observas en los térm¡nos de la sucesión? (Se observa que los términos fluctúan entre 1 y -1), ¿Qué forma presenta el término general de la sucesión? (Forma exponencial), Destaque que todo número elevado a un exponente par es positivo y si el exponente es impa¡ conserva su signo. En el ejemplo 19, es posible que cometan el error de reemplazar de manera directa el infinito en la expresión obteniendo lÍmite infinito. Para evitar este error, sugiera que, en estos casos, primero deben distribuir el denominador a los sumandos del numerador. En laactividad

indique que establezcan el término general de la sucesión (n2 + 2n + 3). ExplÍqueles que para calcular el límite deben reemplazar a"n"por el infinito, Haga notar que la actividad 12 es similar al ejemplo 20. lndÍqueles que empleen la misma estrategia para encontrar el término general. Para la actividad 14, sugiera que dividan cada término del numerador y del denominador por el término de mayor potencia que se encuentra en el denominador. 1 1,

Para consolidar

I

Consolide señalando que una sucesión es convergente s¡ su límite es finito, es decir, la sucesión se aproxima a un solo valor conocido. Es divergente si su límite es infinito, o sea, la suces¡ón crece o decrece infinitamente.

N N

:

@ CJ

i

:9 !

f

o o o =

p _§

c o L

6 É

§

c a @

E

I

I

VA

L¡BRO DE ACTIVIDADES I

E

SUCESIONES

I

.

@ Sucesiones convergentes y divergentes e límite de una sucesión [.¡,i, cuando,? tiende al infinito, existe y es finito, entonces decimos que la sucesión es convergente. Si el resultado de dicho cálculo de límite es infinitg la sucesión es divergente. Si

SUCESIONES

EJEMPLO 18

sea {a,} una sucesión. si el lÍmite de una sucesión, cuandó u tiende al lnfinito, no exlste o tiene dos limites, la sucesión es oscilante.

Sea la sucesión { 1;

- ró,

la sucesiÓn

-1;

-l ; l;

I;

... ; (-l )'* l}. ¿Cuál es su límite?

¿Qué tipo de

sucesión es?

.

Observamos que si a n le damos valores cada vez más grandes empezando desde l,el valor de (-1)'*lfluctúa entre I y -1; es decir, los términos que ocupan los lugares impares tienden a I y los que ocupan los lugares pares tienden a -1.

I y -1.

La sucesión tiene dos límites

una sucesión [a,] es convergente si v solo st ltm {a,} = [; es decir, la suces]Ón se aproxima a un solo valor conocido L. Es divergente si y solo si,ltm {¿rni

_-

IMPORTANTE

Como tiene dos límites, entonces la

sucesión es oscilante.

crece o

decrece infinitamente.

EJEMPLO EJEMPLO 15

TEN EN CUENTA

;]¡71 f:#;:::it {+'}'+' [, .

es su rímite? ¿Qué tipo de

Operaciones con

'

^. 1 -l) \¿n+

Dada la sucesión

ó

g=o

.

va decreciendo y se va aproximando a 0.

.

.+=*

Calculamos el límite de la sucesión:

.

j'i rzii;=r;rr=rh=*=o

11;31; ... ;2n2 - 1}. ¿Cuál

es su límite? ¿Qué tipo de

Digjta en algún buscador (Firefox, Chrome, Edge, etc.) lo siguiente:

Observamos que si a n le damos valores cada vez más grandes empezando desde 1, el valor de 2nz 1 va creciendo y se va acercando a un número cada vez más grande.

t) = 2(a)2 -

1

=o

-

1

=

EJEMPLO 20

sucesrón + couvergente

Resolviendo el sistema de tres ecuaciones:

Así obtendrás

z-l:3p+q=4...:t

Nicolás dibuja tres figuras triangulares utilizando puntos cuyos tamaños van

información sobre sucesiones convergentes y diverSentes.

Calculamos el límite de la sucesión:

3

o E= o o o l

p

sea I I p !

§

@

@

.

{f

:

1o:

{ 8P+2q=9 -óp-2q=-8

..1

?

iír}.

I

o

. .

-o=l

2 1a¡!+2

z _l

@+2

Figura

o

Observamos que se trata de una sucesión: 6; lO;

Figura

151,

.

€r

Figura (g

.. ; a,.

Determinamos el término general de la sucesión: sea on= pn2 + qn n

=

r+ + q(2) + r+

l1 6, = p(1)2 +

n=)1 ¿r=p(2)z n = 3:

at=

q(l)

+

p(3)'z + q(3) + r

-

+,

p + q + r = 6 ... ir

4p+2q+ r= 10... 9p + 3q + r =

i2

l5 ... .:r

Resolvemos el sistema de ecuaciones en el margen y obtenemos:

zEs convereente o divergente?

p=

Calculamos el límite de la sucesión:

z

divergente?

Luegoq=!yr=s

') ) bt A:.

rrrrln'-nr+2

creciendo según aumentan los puntos. ¿Cuál es el valor mínimo de la sucesión? ¿Es convergente o

8p+2q=9

.

_n

l. 5 I 5 ^ i.q = iy r= J. entonces an = in' + ;n + 3

Calculamos el límite de la sucesión:

,ri1(j,'z+ J,

El límite de la sucesión es 0. Como existe límite y es finito, entonces la sucesión

* r)

=

j

r*12+!r*r *.r

Como el límite de la sucesión es de la sucesión es 6.

es convergente.

=

9 € I

*

@, entonces es divergente.

El valor mínimo

! o

c

a

i5

3p+q=4"(-2)

EJEMPLO 17

o &

C

¡:8p + 2q = 9...

zp=t

€ <

§

-

De 4 y,;rObtenemos'

o

sucesión es divergente.

l', )

=3 +0 +0 = 3

RECUERDA

El límite de la sucesión es o. Como existe límite y es infinito, entonces la

¿ .o

2,

- ¡^

2-\ *+" n'l

EN LA WEB

{l;7;

-

CJ

=r¡m r'@\ l3

Como el límite de la sucesión es 3, entonces es convergente. El valor máximo de la sucesión es 5 y el mínimo 3.

Dada la sucesión sucesión es?

N N @ j

... r 3.875: 3.12:...}

Calculamos el límite de la sucesión aplicando propiedades:

lim 3 + Iim *

EJEMPLO 1ó

)Y¡lz"' -

{r,9,{, 9,2,....2n'z + \n - z\= g;4.5;4,tLl n2 J '" '[-' 2' 9 ' t6'25"" ' n'

es convergente.

.

¿Cuál es el valor máximo y mínimo de la

Escribimos los términos de la sucesión:

,r^3i+4n-2

El límite de la sucesión es 0. Como existe límite y es finito, entonces Ia sucesión

.

tr,l =ú1ffJ.

sucesión? ¿Es convergente o divergente?

. @+@=@.@=6 . ó"=6 .w@ =@

Observamos que si a n le damos valores cada vez más grandes empezando desde 1, el valor de

.

*trár

UNIDAD

2

Sucesiones y progreslones

89

90

LIBRO DE ACTIVIDADES

Series y sumatorias a

orsnnnou-aruscAeACIDADES

Escribe V si

Il

B

verdadero y F'si es falso.

es

Una sucesión es convergente si existe

O

B

¡ = l;

Una sucesión es oscilante si el límite de la sucesión es infinita.

{+,+,+,+,

,r+

}

+r --

tr

111(n']+

es divergente.

tr

de la sucesión

r-

¿- = p(3)2 + q(3) +

4p + 2q + 9p + 3q +

r=

QD

2n + 3)

r= t8...

Usa esfategias y procedimientos

@

=o2 4 l(o) 4 I = o

La sucesión es divergente.

[B

Comunica

I 1 ... O

Resolvernos el sistema de ecuaciones y obtenenros: = l,q = 2 y r = 3,er)tonces u,,= ri + 2n + 7

M

El La sucesión {3;6; 11; 18 ...;n2 +2}

,,={.rJ. n'- I

Argumenta af irmaciones

P

es convergente.

Gl El mríximo valor

Traduce datos y condiciones

tt; t8;27;...}

n =2: oz= p(2)2 + rlQ)

2n3 +

5

es7

¿Es convergente o divergente la sucesión formada por la cantidad de puntos que hay en las tres

M

Calcula los límites y clasifica las sucesiones.

= l: ut =p(l)r + q(l) +

tt = 2:

ut-p(2)r

¡¡ = 3: ¿r¡=

La sucesirin cs colvcrleote.

,]1,1f¡rt-,

p13)r+q(3)+ r

+

l) + q +

-

4p + 2q + r

I=

r

-

t2

...

-9p+3q +r=22...

€)

r

lrr. lr- j,,,,

lur+

I

-,

Analiza y responde.

@

n--5n+J r-) _-__ @ lu¿J ¡ -

Sea

{a,}

=ffi.Uatlael

límite cuando n tiende

al infinito. ¿En cuánto varía el límite cuando la sucesión se invierte?

n'

g

e ! P I

§ @

,.,n

,l {¿'-5r , .lL,= l¡,n..\,4, f d_l¿* 1 ¡t, 1,I

I

lin, , t.l= | -o-o= ,-,\ ll - n' n'l 5.

l-a succsión es convet€entc.

I

Resuelve sumatorias aplicando procedimientos aritméticos.

(r-6; 5-8)

Coménteles que una serie es la generalización de la suma de los términos de una sucesión. Resalte que la sumator¡a se emplea para representar las series de manera simplificada, donde "k" toma el valor de t hasta n. Siendo "k" el límite inferior y "n" representa el lÍmite superior.

Destaque que, para desarrollar las actividades 1 ala 4, deben expresar la sumatoria por extensión, reemplazando la variable (k) a partir del valor numérico que indica el lÍmite inferior hasta llegar al lÍmite superior. Para las activ¡dades 5 y 6, indique que reemplacen los valores de "k' para hallar los términos de la serie y, luego, pida que realicen las operaciones para calcular la sumatoria. En las actividades 7 y 8, haga ver que para calcular las incógnitas es necesario plantear ecuaciones.

@t

l,¡r sucesi
[-a succsirin es diverlelltc-

Expresa la sumatoria como una serie. (1-4)

§

r= 5 ... (r-)

n=].u =!l r= t.erk)nccs,,,,=]r1 +], + t ,lirrrrjrr

-l(a)r-¡+

r'

+ q(2) + r

Resolvelnos el sistent¿r tle ecuaciones y obtencmos:

g {3; 11i 25',45 ...;3n2 - n + 1}. )=

. o

Motívelos a evaluar la estrategia empleada en el eiemplo 22; destaque que, en el primer caso, la serie es infinita, ya que se conoce su último término, mientras que, en el segundo caso, señale que se conoce el pr¡mer término, pero no el últ¡mo. lnterrogue: ¿Cuántos términos tiene la serie? (Tiene n + '1 términos). Comente que las series se encuentran presentes en muchas situaciones del contexto como se observa en el caso de la venta de laptops que se presenta en el ejemplo 23. lnterrogue: ¿Qué regularidad se observa en los términos de la serie? (Se observa que los términos se obtienen sumando una constante al término anterior, excepto el primer término). ¿Cuántas laptops vendería en dic¡embre s¡ cont¡nuara esa regularidad en sus ventas? (Registraria una venta de 47 laptops).

Seaa,,=pnl+ql+r n

I

Plantea conjeturas respecto a las senes y sumatorias. (7)

I 5t222

I

,,,11;l =#,-'=3=,,

+

.

Para desarrollar

.

a [2.2.2. 2. 2 *iZ'5'8'11"'3r-lJ

Utiliza sumatorias para modelar s¡tuaciones problemáticas. (e-14)

Para iniciar

I

figuras?

El mínimo valor de la sucesión

a,=

.

Sugerencias didácticas

z

O

Libro de act¡vidades (págs. 92-93)

Capacidades y desempeños prec¡sados

= l: ut =p(l)2 +q(1) + r + p+q + r=6...

n

Una sucesión es divergente si no existe límite o tiene dos límites.

La sucesión

{o;

I

Argumenta afirmaciones: 8,13

Seaa,,=pn2+qn+r

límite y es finita.

E

1-7

Comunic¿:

?.2\

¡

SUCESIONES

ff

Texto escolar (pá9.

,: .:1tl

_3,.,1_i]

lirr 4n.tt

I

l¡,,',

,t..\

I

4

l,l -

Jl I llt

Varirrcirln:4--L= 1¡

41 El lirite uaría en f

En las actividades 9 a la 11, pregunte: ¿Cómo están expresadas las series? (Por extensión). ¿Se podrán establecer los valores máx¡mos y mín¡mos?

N N @ j

ci ,6

po o o f,

(Sí, porque las series son finitas). Pida a los estudiantes que determinen

p

el término general en cada caso y señale que deben estar expresados en función de "k' que representa la posición de los términos.

Le

€ c

.

UNIDAD

Para consolidar 2

sucesiones y progreslones

91

I

Enfatice que, para representar una serie mediante una sumatoria, en primer lugar, se debe encontrar su término general, luego, establecer el límite inferior y superior.

a o c

§ c

@ 16)

a

LIBRO DE ACTIVIDADES

TEXTO ESCOLAR

¡

SERIES Y SUMATORIAS

Series y sumatorias. Sumatorias notables

E

El nombre de sumatoria salió a la luz cuando en el siglo XlX, e1 gran materrátic0 francés Agustin Cauchy dio la primera definición de integral (sumatoria) que resolvia el area de figuras o teTTenos irregu ares. Estas sumatorias son aproximaciorres al área con rectángulos.

Se

Series y sumatorias

dice que la suma ind¡cada de los términos de una sucesiÓn numérica + a\ t ... t ¿n constituye una serle.

sn= at * az

Serles y sumator¡as Si la srma es infinita (a1 + a2 + a3 La suma indicada de los térm¡nos de una sucesión es una serie, y la sumatoria es su notaciÓn. Esta suma a1 + a2 + a. + ... + an es la ser¡e, mientras que la notación

nri,

)f

!r, k=1

por

f ,* es la sumator¡a.

Wf

at

Escribe la serie que le corresponde a cada sumatoria.

u)» (¿ - 3) = (1 - 3) + (2 - 3) + (3 - 3) + ... + (z - 3) -- -2 - I + 0 + ... + (¿ - 3)

btL (t +

1

)2 =

(l

lf

+

+Q+

lf

\-

hot=

(¿ 1

+ Az+

a¡+

* d2* ds* 4t+ ...

+ a* + ...), entonces la serie es ¡nfin¡ta y se representa

...

... + d¿), entonces la ser¡e es f¡nita y se representa

+ an

I EJEMPL. 2't Il'-gscribe Ia serie que le corresponde

I

I

finita

= o, + a2 + a3 + .-- + an

EJEI..,!PLo

oo = o, + a2+ a3 + ... +

Si la suma es

+...

+ (3 + l)2 +... + (n + l)2 = 4 + 9 + 16 +... + (n + l)2

a cada sumatoria.

[',8(if '=(i)'-'.(i)'-'.(?)'-'. .(?f-'

sumator¡as notables Suma de los primeros números pares

Suma de los primeros

enteros positivos

TEN EN CUENTA

EJEMPLO

=:!r*!s

.

t2k=r(n+ U-'

si

2+4+6+8+

t). pero' n =

i

!

ff

o

o

O

orsnnnou-nruscAPAcIDADES

! ,_!

!*

,t=l

r.,rs @lz* I=l

80

(k B» k=l

o

L

@

34riO

342

+

t

usa e§tfateSras y pfocedimientos:

64

»

(2k

,(=l

-

r\

"1096

65

(e-s) 1530

n=

1-6

6 D¡¿

6435

B

Sean 1

c @

22

I Se inicia en k 0 La serie tiene n términos, cada uno de la forma = y terminaen k = ¿. Entonces: f +

t

=

f + rt

+ ... +

l_

I t=0 4

É

ls

)

d I 9

.

§ € E

2+4+6+ 8+... +r¡= 1640 1+3+5+7+...+p=2500

EJEMPLO 23

Luis trabaja en una tienda de electrodomésticos. Al finalizar el año, realizó un inventario de sus ventas mensuales y observó que el primer mes Yendió 3 laptopsi el segundo mes, 7; el tercer mes, I 1; y así sucesivamente hasta que el último mes vendió 39. Si empezó sus ventas en enero, ¿cuál es el último mes que anotó en el inventario?¿Cuántas laptops vendió en total?

A8umenta afirnacionۤ: 7

+2 + 3 + 4 + ... + m=465

Hallam + n+ p.

k=l

+fi

t

Interpretamos la situación y escribimos como una sumatoria: 3+ 7

+

ll

+...

+ 39 =

t4(l)- ll

+ t 4(2)-

ll + t4(3)- I I +... t\,lesOeoctuOre

§ 209

92

ó E

I 9

+ t4(10)- 1l) = 210

J

Luis anotó octubre en el inventario, y vendió, en total,210 laptops.

a o

c

_9

r,l r +|+fr+...

a = 36

Calcula la suma en cada caso.

+oto B

6I)

+ ,l)

- & = 97. Entonces: 13 + 23 + Z3 + ... + gf =LÉ

k=14"'

=

+ 23 + 33 + ... +973

y termina en

\-r

+ * (t ;t)' = am . Reemplazamo5 s¡ 6; E, =/3960(39) = 6' 39 + E =234

Calcula la suma en cada caso. 52 70

-

I - 3(i - \

13

La serie tiene 97 términos, cada uno de la forma É. Se inicia en k = I

ytermina

Resolvemos aplicando las fórmulas correspondientes:

I + 3 + s + ... + (2n -l) = n2. Pero:

Págs. 9e-98

1

en¿=r+1.ASi:

+a=342 +b=400

{ l+3+5+7+

a)

cada término tiene la forma 1.

ó

2 + 4 + 6 + ... + 2n = n(n +

rQ

Der-t)=n'

I)

k=l

EJEMPLO 22 Expresa cada serie en notación de sumatoria.

.11 t+4+16+,,,+4n

Se inicia en ¿ =

C¡la¡/,aE=J§16 -

=:!r*s.,

) ci

DE RESOLVER

números impares

1

l) \-¿-tr(fl+ 1_^_ a L L=t

Ér,**rl

N N @

)

OTRA FORMA

Suma de los pr¡meros

§ a 0

LIBRO DE ACTIVIDADES

Propiedades de sumatoria I SERIES Y SUMATORIAS

ff

orsannolL,lruscAeACIDADES

Comunica:

Escribe la serie que corresponde a cada sumatoria.

61

olrl*rr B)rl-zrr

t23

L

I *.¡1 I *. +. I{_I+11 IIttt

Expresa mediante sumatorias las siguientes series:

4*E*

lD

\)i

+

=fr+r*=0

5. (1 +

-5)2

_

5t

+ (2 + 5)r + (3 + 5)2 + ... + (10 + 5)2

+...+152

+22-5

. l(l)- | :(ll I l(.¡)- | ,' " l+l 2+l .l+l ¡,4 r.6-t.ri I _l -l+l-:+l'.¡-t'4+l*

=

1185

:{8r_

'8+t * t6-t 8+l _| ..r, 5. 7.9. il . l-1.* 15= 8lJ.1t -:'.r'+'5*6*7* x 9 x¿0

I

Realiza lo que se indica.

I

O

Halla el valor de

¡

en

Dex*t)=u

12

@sealrf ílt

3¡r= I.Determina¡ -{

:

t5.

7. 13(l)+ I l+ I.l(l)+ ll +... + I3(9)+ ll=2r a

p

§

144=2x >.r=12 8. (l -3)?+(2-3)r+(3-3)r +... +(t2 t-2)r+(. llj+r0)l + l:+...+ur= ] 4+ I +0+ I +4+9+ 16+ 25 +... + xr=f

190=I .r=li?o

+ 2(900)

+,..

+ 2(302)

",.:

\-, ,_ ,tl.: -1-\^ 121

+...

I

ll. (l - l)2+(2-

I

=36+49 +64+ Ul + 100+...

+ 2(4) + 2(9) + 2(16)

\-

k=

I @» 2kl+

=62+7r+8:+9:+ l0r+ llr+

rl

= 2(12) + 2(21) + 2(31) + 2(41) t0

Calcula el resultado de las sumatorias.

loE

2(l)

l)2 +

I

(3- l)r+... +(51 - l)2

tz. .l ,+-J-+ ,l * | u...*-]'21 | 2: I Z, t' )4 t'"''2,

I

Ér -

2:--

| _ I -, I 1 rr r+.1 .2r+ '' -3;, , 3.¡.' ,*1.2i

=5(-.t.¡l-l

*l.Z, I

15

,

Expresa la sumatoria aplicando propiedades. (1-4)

Usa estrategias y procedimientos

.

Resuelve sumatorias aplicando propledades. (5-8; f 1-12)

Argumenta af irmaciones

.

Plantea conjeturas respecto a la sumatoria. (9-10)

Centre la atención en el texto que se presenta al inicio de la página. Para comprobar si han comprendido, plantee las siguientes intenogantes: ¿A qué es igual la sumatoria de una constan¡e? (Es igual al producto de la constante por la cantidad de términos). ¿Cómo se calcula la sumatoria de una constante por una suces¡ón? (Se extrae la constante fuera de la sumatoria y se multipl¡ca con la sumatoria de la sucesión). Enfatice que al distribuir la sumator¡a, esta mant¡ene inalterables sus lÍmites inferior y superior. Motive a los estudiantes para que revisen el desarrollo del elemplo 24. Resalte que, en todos los casos, el lÍmite superior indica la cantidad de términos que presenta la sucesión. Pregunte: ¿De qué otra forma se puede expresar el caso tres? (En la primera sumatoria aún se puede extraer la constante fuera de la sumatoria). ¿Qué clases de suceslones se presentan? (Las dos primeras son fin¡tas y las otras dos son infinitas),

Para desarrollar

!

r

Resuelve.

@ Para ingresar a la universidad, un postu¡ante tuvo que resolver l7 problemas el primer día1.2O, el segundo; 23, el tercero¡ y cada día siguiente tres problemas más hasta un día antes del examen. Si el penúltimo día antes del examen resolvió 62 problemas, ¿cuántos días prac¡icó? ¿Cuántos problemas resolvió en total?

Escribimos como una sumatoria y resolvemos: 17 + 20 + 23 + 26 + 29 + 32 + ... + 62 + 65 = L3(5) + 2l + [3(6) + 2] + ... + [3(2t) +2] = 632 N." de días que practicó: -5 + I = I 7 Practicó l7 días y resolvió 697 problemas.

2l

a

Luego:,y:

.

Para iniciar

I

t5

|

Comunica

Sugerencias didácticas |

9. -l+3+7+ll+...+99 =14(0)- li+14(l)- ll+14(2)- tl+...+[4(25) l]

...+(tt-2):

.*¿1+

2',-'

tt .l 24' ...+-3.2',]*f* t2'

10.

BIr¿+si'?

Capacidades y desempeños precisados Traduce datos y condiciones: 9,14

0+l +4+9+...+2500 (D r+j+ II +l

"E+

\)/

5-8

ID

l. (0+3)+(l +3)+(2+3)+... +(67+3) 2. (Z\"'*l?lt-'*i¿l'-'*..'a\r:r'|I *(il

')/

Usa estrategias y proced¡m¡entos:

f,) -l + 3 + 7 + I I + ... + 99 (E 2+8+18+32+...+1800

BEGz)-.'

3. (l -Z)? +(2-2¡r+(3-2)r

1-4

Libro de actividades (págs. 94-95)

¡

Previamente al ejemplo 25, explique cómo se calcula la suma de los cubos de números enteros positivos (n(n + 1)/2)2 y la suma de los cuadrados de los enteros positivos (n(n + 1)(2n + 1)/6). Resalte que el último término de la sucesión tiene que estar representado en función de n. En el ejemplo 26, interrogue: ¿Qué se necesitó saber para calcular el valor de la expresión E? (Conocer el valor de n). Asegúrese que los estudiantes han comprendido el enunciado de las actividades I a la 4. Pregunte: ¿Qué estrateg¡as se podrán apl¡car en estos casos? (Se podrán aplicar las propiedades fundamentales de la sumatoria). En las act¡vidades 5 y 6, haga notar que en las sumatorias se conocen sus límites superiores e inferiores, es decir, que las sucesiones son finitas, por lo tanto, se podrá hallar la suma. Asimismo, sugiera, en la actividad 5, que transformen el producto a una adición, multiplicando el factor por cada uno de los sumandos. Para las actividades 7 y 8, propóngales que apliquen la propiedad de la sumatoria de una constante y pida también que establezcan, en cada caso, una ecuación.

Para consolidar

= 870 + 15 = 58

0

I UI{IDAD

2

Suces¡ones y progresiones

93

Señale que las propiedades fundamentales de la sumatoria nos permite descomponerla en expresiones más senc¡llas para resolverla y que en este proced¡miento los límites superior e inferior no se alterarán. Asimismo, destaque que para hallar la suma, la sucesión debe ser finita.

N N @ j

ci c

.o !=

Io o

) p _o

c o

r

<

a c

-9

c a

o

a

LIBRO DE ACTIVIDADES

I

SERIES Y SUMAIORIAS

SERIES Y SUMAfORIAS

tr

fl

Propiedades de sumatoria

orsnnnou-arus

cAPACTDADES

Sumator¡a de una

constante

constante por una suces¡ón

)-c=n..

oo=,.f,,o*

fu"

t7t

L,t

O

r*4=f,oo,t,b*

ARGUMENTA

EJEMPLO 24 Expresa cada sumatoria aplicando propiedades

Y

sea»c.3k'1=c.m.

a)

t

¿cuál es el valor de

c)

Ic'*"2 c(r, +

3"

1-a<.1

b)

(=l

E (3/r + 5) = f

,o*i'

d)

l=t ll5

Á=t

l

le. r=e.l* k=l

-zo=\c t=l

n

-z-l* *=l

.

88

Á=l

Ef«É+rr

D tZÉ - :l * ,o=t R = t(2É - 3) = f zr'- I¡ t=l k=I t=l

-24 = 2592 -

!

(

k2 +

k=t

si

2\ = 674. LCuál

es

:Q

.

Sabemos

O

Aplicamos propiedades y resolvemos: .. . + n2\

+2+2+

+

¡ (12 + 22 +32

p

+ ... +

DtÉ +z>=l*'z+lz=ot+ k=l t=l

k=t ... +

= 674

+

n

-

12

. Hallamoslopedido: z.t/n+4="'.,.t/12+q=-q (1¡:n (-l)-

a c

El valor de la expresión E

f_lrr+s

c a @

94

es

-4

§ a

veces

n2) + 2n = 674

I |

_,_l -''2

I

_175

t2-132

es-l$.

t=l

Calcula el resultado de las siguientes sumatorias:

,E*^

,L,*

109

@

It-sl=-¡so [=l

l0

-Lo §

!z'=+ao

nn

l

+

Descomponemos en una diferencia de fracciones y resolvemos: lt lt

El resultado

20¡

k=l

-_!

I

Halla el valor de ¡ en cada caso.

pord arc:f,(? + D = ol+

(12 + 22 + 32

tl''l r " JI * rJ¡ * rtI " rr]

.tl

)-f -L\ - tl

el valor de la expresión

E=r-+.vñ¡41 (-l)- -' .

I

=rl'.1+t:+.1:*5:l _ §< 9-l _ lfr67 - --

9 = 3.

lr \-l2r-\-ll f:i\r, r,-Éi\r-t k+tl il ll 1\ -\-/r\\-t ¡"=t\k_ lt Fu-.\k+ 1l =(+.+.+. .,o1)-(+.+. *#)

+(l +2 + -l +4+... +7)

I.fa r,.frt tlt f=-r l'

/-t\n+5

) ci

.

=7t14+2lt=8ll

24 =2568

.ll

Se sabe que

+7r)

-

lt

@E(0,_rt)

»(tr+r)= l=fd+fr I t= =1lr+2r+.

EJEMPLO 2ó

-

aumentó en l2

t=-=z\É

1

5.

El resultado de R es 2568.

o o

,

EJEMPLO 27

Calcula el resultado de las siguientes sumatorias: 15

-!k=l 3 =2(13 +23 +33 + 43 + 53 + 63 + 73 + 83¡ - 8. 3

R = 2(1296)

o

El valor de

í-:

8

Aplicamos propiedades:

n = z!É

!

10.(lr l)+(2r-l)+...+(nr l)=ñ12 >n=t2

[5

\-,

Determina el resultado de

Halla el resultado de la siguiente sumatoria: n =

i

l-5

i ílt

+:) EJEMPLO 25

N N @

9. (lr- l)+(2r- l)+... +irr- l)=2016 >r=9

l.fr:lr+tr=t Etr+flt=t t=t t=t +. f /s .jt, r_ l-)=s.f ¡.,, :f _L í-t\ tcl fat ¡"\ k:

l=l

Lu¿ k=t

t

- t}t

es 6072, ¿en cuánto aumentó

¡=v5rqt'-rtt=rs

,\ | \-,:

[=l \.J

justifica.

el valor de n?

f :r=:f r

, \-/t,:

flfl

l5

8l

1) = 2016. Responde y

¿Cuál es el valor de e =,/Zn'z

B'7=r fS \ ¡*.,_?\ t¿)

8t

É,O -

*=l

@ Si ahora la sumatoria

J

!«zÉ+tl r.

AFIRMACIONES

9

125

o »3k

Sumatoria de una suma o d¡ferenc¡a de dos o más sucesiones

Se salre que

L: aI( -2) -\

82

Sumatoria de una

Comunica:1-4 Usaestrategiasyproced¡mientosr5-8,11-12 Argumentaafirmaciones:9-'t0

Aplica propiedades y expresa las siguientes sumatorias:

Una sumatoria tiene tres propiedades fundamenta¡es. Con estas se puede resolver cualquier t¡po de s¡tuaciones.

'

p q

j I

z..r!z =+so >.r(20.2) 40x=480 +x=12

e u_

S.

f t

-st

= -.350 +-r.

-5,t=-150 >.r=70

t_l¡17

3

§

§

@

a o

.

t0

=480

(-5) = -3-50

tr

-\_ | \- I f:,t' q- (1,k ) (',k+) .r.r rt.l. _ ti =/rrl*r. \.'1'l 8r r5 (),' llj

r, " \---4

20

25 76.1 _ t68l t2 I9130 990 999 (, \- I rr\''l'tt q-L¿k.\ _

\l-,A+l |

l) rl*-l* ! =ll*l*.1+...r \" 1 .1 " '6/ 17'h " *'ll/ _

.+9

_

20

5.1

li-1

.lt I _ 49

160

I

807

27 710 UilIDAD

2

Sucesionesy progresiones

95

LIBRO DE ACTIVIDADES

Sumatorias notables t

Libro de actividades (pá9. 96-97)

.

SERIES Y SUMATORIAS

Capacidades y desempeños prec¡sados Comunica

.

Expresa la sumatoria aplicando las fórmulas y las propiedades. (1-4)

Usa estrategias y procedimientos

.

Resuelve sumatorias notables aplicando fórmulas. (5-8)

Argumenta afirmaciones

E Y PROCEDIMIENTOS

Analiza y explica el razonamiento aplicado para resolver sumator¡as notables. (9-1 0)

Para iniciar

I

S ,.,=n(n +'l)(2n o l-u"

Hallael valorde

1+2+3+4=10

.

¿cuál es el mayor número triangular de dos cifras?

Para consolidar

I

Consolide resaltando que las sumatorias notables son herramientas fundamentales para el cálculo de sumas. Destaque que se debe dar forma al último de los sumandos para poder aplicar las fórmulas y, en caso de tener series notables incompletas, se deben completar y luego proceder a restar dicho incremento para no alterar el resultado.

t=1

suma de los cubos de enteros posit¡vos

+

rl1' f1-1 , -¡rtn-* L¿l

1,

,ro-,,=,'

suma del producto de dos números consecutivos

+'t)(n Éo,o. ',, -n(n

+z\

Éto

3b-2csil'2+2'3 +3'4+4 '5 + ... + b'c--4O48

Aplicamos la fórmula de la suma del producto de dos números consecutivos y resolvemos:

1'2+2'3 +3'4+4 '5 + ... + n(n+ 1)=4048' b=ny c=n+ l:

\7

l3(

1,1)

2"

_ ql

b(b + 1)(b + 2)

-

4048

+

b(b

+ t)(b + 2) = 22. 23 . 24 + b -- 22

Entonces: c = 23 Por lo tanro: 3b

lnvítelos a analizar el desarrollo del ejemplo 28, Hágales notar que al último de los sumandos de la serie, se procedió a darle la forma general para expresarlo en función de la variable "n", que también vendrÍa a ser el lÍmite superior de la sumatoria. En el ejemplo 29, pregunte: ¿Qué sucesión notable se ha formado? (La suma de los primeros 50 números impares). ¿Oué representa 'h"? (El límite superior de la sumatoria y también nos indica la cantidad de sumandos). Coménteles que, como parte de nuestra ciudadanía, es importante que nos involucremos con nuestra comunidad para apoyar en la solución de alguna problemática que le afecte; por lo tanto, sugiera que desarrollen la actividad propuesta al pie del ejemplo. En el ejemplo 30, resalte que, en este caso, no es necesario dar forma al último sumando, porque ya

tiene la forma general de un cuadrado. Luego, destaque, en el ejemplo 31, que se tienen dos series formando dos ecuaciones, además, señale que, en el segundo caso, se dio forma al último sumando para aplicar la fórmula correspondiente. Enfatice, en el ejemplo 32, que si se tiene series notables que les faltan los primeros términos, se deben completar y luego restar este incremento (de esta manera, no se altera la suma).

f

fzr=rrn*l

EJEMPLO 28

oaao

Para desarrollar

I

t)

+

suma de los cuadrados de enteros pos¡tivos

L

a

aa oao

n(r

Suma de los primeros números ¡mpares

Suma de los primeros números pares

k=1

Observamos que 10 es un número triangular.

MotÍvelos para que analicen el texto presentado al inicio de la página. Para comprobar si han comprendido, plantee las siguientes interrogantes: ¿Por qué se les denomina sumatorias notables? (Porque son sumatorias que tienen una forma definida y que se pueden calcular aplicando una fórmula). ¿Cómo se determina la suma de los números impares? (Primero, se debe dar forma al último sumando en función de "n" y luego recién se hace uso de la fórmula). Consolide planteando algunos ejemplos sencillos para mostrar la aplicación

de lasfórmulas: Halla la sumaen cadacaso: 1 + 2 + 3 +...+ 8; 1 + 3 + 5 +,.. + 15; 2 + 4 + 6 +. . . + 20 (8(8 + 1)t2 = 36; 15 = 2(8) -1 ; por lo tanto, 82 = 64; 20=2(10), entonces 10(10 + 1) = 110).

\-,.

Un número trianSular es aquel que puede descomponerse en a surna de números consecutivos empezando por el 1.

Sugerencias didácticas

notables

Suma de los pr¡meros enteros posit¡vos

USA ESTRATEGIAS

.

rrrrtorias

El valor de 3b

ARGUMENTA AFIRMACIONES ¿De qué otra forma

puedes demostrar que la respuesta es 2500?

F¡las x columnas

50x50=2500

-

-2c

--3(22) -2(23) =20

2c es 2O.

EJEMPLO Se convoca a los jóvenes de un distrito para una campaña solidaria. Los asistentes se organizaron en igual cantidad de filas y de columnas, tal como se muestra la figura. Si la distribución indica que hay 50 jóvenes por fila, ¿cuántos jóvenes hay en dicha distribución?

.

Contamos a los jóvenes como se muestra en Ia figura.

l+3+5+...+97+99

oo oo oo

oo oo oo oo oo r +óó6 r+r -4¡'óó r+l -OOó

o 49

+ 50r49 +

ñ

49+48

. Ejerce su ciudadanía. (Propone y maneja iniciativas de interés común).

Aplicamos la fórmula y hallamos la suma.

2n-l=99+a=§Q Entonces:l+3+5+

50

'rss=lp*-t)=so2=2soo

N N @ j

50

a 9

€

a

En la clistribucirirr hay 2-500.jrivenes. § a

96

i

'6

oo5 o o l

p =o d

0 co

§ .F c a @

u¿

L¡BRO DE ACTIVIDADES

SERIES Y SUMATORIAS

'

.

EJEMPLO 30

ff

César y Andrea han comprado un tablero de 40 cuadraditos de lado. Ambos se ponen a contar los cuadraditos que se pueden formar en el tablero. César dice: "Yo he contado menos de 22 000 cuadraditos". Andrea dice: "Exactamente hay 22 l4O cuadraditos en el tablero". ¿Quién tiene razón?

.

-

En I cuadradito por lado, hay un cuadradito:

4+ 1 =5

En 2 cuadraditosporlado,hay

=

25

+4+l

En 3 cuadraditosporlado,hay9

ARGUMENTA AFIRIMACIONES

ffi

= 14cuadraditos:

32+22+12=14

ffi

de 40 cuadraditos por lado,

t2

+

22

+

32

+ ...

+

40(40

=,o-'rp -

40.-

+ I )[2(40) + l] ó

120

Ittr*zl

= 22 t40

5.

8Of8l

EJEMPLO 31

o si

+

13 + 23

33 + 43

+ ... +

n3

= 216 225

13

+ 23 +31 + 4l + ... +

n(n + 1)

=2'

465

2+4+6+8+

¡

rt =!P

=

k-l

=30' 3l +

n

-

n(n

+ l) 2

|

V

12

I

=2t6225

!= o o o

p

Si se cumple qte32 + 42 + 52 + ... ,g

€ p !

sc

. .

Completamos la sumatoria:

m+\(+ - \=

+

15750

m=250

.

a

+l

+

... +

i =\t? k=

=O+SS

Luego.

F=fl4x

= 9450,hallael valorde F

=ft4x

+,

c @

o

Sc:a rr

=

l

|

+

153

.

+

-'

163

+

173

+23 +33

= 4160

> a=2(l¡.1)= l21l

+ ... +

n3

=946f¡0.

+... +

143

+

153

+

163

+ ... + n3

l14{l5t12 l"z .l l_il =e4600

lntn+1t12

l-

= 105625 +¿(n+ l)=650

I

n(n +

6+...+2il-n(il + l)=.1160

183

94 600

nln+ lll' +a

+

Completamos la serie y resolvemos: 13

r I r,/-l {,Erl

2r¡:

Sca /¡ =

y 1+8+

l) =25

26

+

n

=25

3n+4=3(25)+4=79 El valor de 3n + 4 es'79.

2¡r¡ l:

-

¡(¡+ 1X2r+ l)

= 9455

2'7

ilr-r*

i¡=50

-,r

9 + ... + x = 42925

+ ... + z=396900

. q," , =,,1.

*,,t='""

= ¡r¡l: r + 8 + 27 + ... +

+ 5) =14(30) + 5 = 5.

Luego: : +.r =

UNIDAD

2

Sucesiones y progresiOnes

9l

98

¿12

+ 250()

.

+

142

+ 152+... +m2=21 634,

Completarnos la sumatoria y resolvenros: 12

+2r+ 3l+... + I ll+ l2l + l3r + 14) + ... +m1

n(n n(rr

n,j= ("'('1+l))t=,r,, run

1t75

132

calcula el valor de P = ,/'5m + 25.

('

¡¡i-.15 >:-.1.r -42875

@

@ Si t22+

2t

l'12"' l'=42,)r5

>r=50'-l5u()

' Sea:

= 30

§

,F

q7

El Hallaz+¡ si I +4+

+22 +32 + 42 + 52 + ... + x2 =9455

I

§

r)hr

+l +5+ ... +l.2tt l)-a¡r=5;17¡, t¡¡-JJ >l¡=2t11¡ l=147 Luego:á a=147 l2ti=19

I

t2 + 22 + 32

Determina el valor de 3n + 4 si se cumple que:

ll()ltl)

I

Aplicamos la fórmula de la suma de los cuadrados y resolvemos:

o

tu

12

I I

- a si2 + 4 + 6 + ...

l+,1

EJEMPLO 32

c I

r

t=64

El valor de la + ¿ es 280.

ci

Cal(J]Ja b

.

Por lo tanto: m + n = 250 + 30 = 280 N N @ j

)ll()l +ri()rl{lr= l7rS8l)-6liil)= r, 96 '6 r

y 1 + 3 + 5 + ... + b=5476

Jg

+2a= t575o;2a=

EJEMPLO 33

Analiza y resuelve.

los primeros números pares:

l!_

Raúl cmceló su deuda en 24 meses.

ri

t

I qh¡ r)7

de enteros positivos y la suma de

=4900 > n\u + l)t2n+ I r- 29400

+ l) =29 4OO > n =24

n(n + l)(2n

I«P-

I r

Aplicmos la fórmula de suma de los cubos

12 +22 +31 +42 + ... + i n(t+l\(2n+lt -_-ff =4()00

i¡l

r¡=!r' !,lti,r fL=t l=i t=

y 2 + 4 +6 + 8 + ... + m = 1575O.

.

I-os intercses fbrman una sumatoria notable:

)]i,(/.+2)-Itr+I2( (-l (-l Á=t = ,6

r

mes le cobraron S/ 1 de intereses; en el segundo, S/ 4; en el tercero, S/ 9; en el cuafo, S/ 16; y así sucesivamente. Si en total pagó S/ 4900 de intereses, ¿en cuántos meses canceló su deuda?

Determina la suma en cada caso. 80 96 @ @ k= k= I N0 E0 E0

6

Andrea tiene razón, porque hay, exactamente,22 140 cuadraditos.

Calcula el valor de m +

El Raúl tenía una deuda en el banco. En el primer

l) = 8r(gg¡ 1 1262

@lz**llzkt=l k=t

Usaestrate8iasyprocedimientos:5-8 Argumentaaf¡rmaciones:9-10

Resuelve.

t_t72+2t

+ tt_72(i2+

a1

(m+2)(m+3)(2m+5)

falso,

es

48(48+1X48+3)

o Í¿,* k=t

¿Cuántos cuadraditos en total se puede contar en dicho tablero?

Hallamos el total de cuadraditos que hay en e[ tablero aplicando la fórmula de suma de los cuadrados de enleros positivos: 40

BtÉ

En un tablero, cada lado r 2 cuadraditos.

verdadero o F si

1-4

6

48

tiener,,

es

comunica

25(25+t)12(2s)+11

o»P

n

1

22+12=5

- Y así sucesivamente para nuestro tablero tenemos: 12 + 22 + 32 + ... + 4O2 .

12

cuadraditos:

orsannou-nruscAPACrDADES

Escribe V si

Contamos la cantidad de cuadraditos del tablero:

-

SERIES Y SUMATORIAS

=

17.15

+ l)(2n +

66

ll _ll(t?)(23)

+ lx2r + l)

- 2?r4o >

_

2l

P

es | 5

634

n--40

p=r/sn+rs =./s(¿cl.l+z¡ = ls El valor de

634

§

p p !

§

Progresión aritmética de segundo orden ¡Textoescolar(pág

Capacidades y desempeños prec¡sados Usa estrategias y procedimientos

Traduce datos y condiciones Argumenta afirmaciones

r . o

Resuelve progresiones aritméticas de segundo orden aplicando propiedades. (l-8)

!

Revise con los estudiantes el desarrollo del ejemplo 36; pregunte: ¿Cuántos términos tiene la serie? (12). ¿Qué término se ha pedido calcular? (Se pide calcular el término 12 que corresponde a la producción de historietas en el mes de diciembre). Sl la pregunta fuera'. ¿Cuántas historietas se ha producido en el año? ¿Tendría la misma respuesfa? (No, porque en este caso nos pide calcular la producción total del año). Coménteles que las historietas son una serie de dibujos que están acompañados en muchos casos de textos; sirven para expresar nuestros puntos de vista y pensamientos en relación con algún tema de nuestro interés. Luego, proponga que desanollen la actividad propuesta en el ejemplo 36. En el ejemplo 37, haga notar que se planteó una inecuación con el término general de la sucesión para estimar el número de meses que debe transcunir para tener una producción superior a 1000 cuyes.

3

Pregunte en las actividades 1 y 2: ¿Qué término de la sucesión nos pide calcular en cada caso? (En el primer caso, se pide el término 1 2 y, en el segundo caso, el término 20). lndique que establezcan el arreglo y determinen el término general de las sucesiones, En la actividad 5, pÍdales que determinen los términos de la sucesión, sumando los números contenidos en cada fila, es decir, la suma de la primera fila será el primer término, la suma de la segunda fila será el segundo término y asÍ sucesivamente. lVientras que,

Determina el término general de una progresión aritmética de segundo orden. (1-5) Justifica los procedimientos relacionados con resolver problemas con el patrón o la regularidad que cumpla una progresión aritmética de segundo orden. (6-8)

Para iniciar

I

Recuerde que una sucesión se caracteriza porque tiene un orden, es decir, que a cada uno de sus términos le corresponde un número ordinal, de tal manera que puede distingulrse a uno como el primero, otro como el segundo, otro como el tercero, y asi sucesivamente de acuerdo con cierta ley de formación. Podemos concluir que en una sucesión hay una correspondencia de "uno a uno" entre dos números naturales a partir de 1 y los términos de la sucesión.

Proponga a los estudiantes que den lectura y analicen la definición de las progresiones aritméticas de segundo orden. Interrogue'. ¿Qué es una progresión aritmética? (Es una sucesión que se caracteriza porque la diferencia entre dos de sus términos consecutivos cualesquiera es siempre constante). ¿Por qué se le denomina progresión aritmética de segundo orden? (Porque la razón constante se halla en la segunda diferencia y, además, su término general es cuadrático). Haga notar que la estrategia aplicada para hallar los coeficientes del término general consiste en establecer el término anterior al primer término (ao) y, luego, se aplica la fórmula. Destaque que las progresiones aritméticas de segundo orden tienen una relación directa con las ecuaciones cuadráticas, ya que sus expresiones generales son similares (an2 + bn + c), es decir, tienen un término cuadrático (an2), término lineal (bn) y su término independiente (c).

para la actividad 6, recuerde que la expresión "duodécimo" significa que se debe hallar el térmlno doce. Oriente para que en la actividad 7 establezcan una ecuación para calcular la posición que ocupa el término 404,

Para consolidar

I

Concluya resaltando que una progresión aritmética de segundo orden es una sucesión que se caracteriza porque su término general es una ecuación cuadrática y para determinarla se necesita hallar el término "a0". Enfatice que, para encontrar cualquier término de la sucesión, es necesario calcular su término general.

complementarias

Para desarrollar

I

§

Previamente al ejemplo 34, pregunte: ¿Qué representa "n" en la sucesión? ("n" nos indica la cantidad de términos o el lugar que ocupa un término de la sucesión). ¿Qué valores puede tomar "n"? (Puede tomar solo valores enteros positivos, porque "n" es un número ordinal). Resalte que, para hallar la cantidad de términos, en primer lugar, se procedió a determinar la expresión general de la sucesión empleando la estrategia de encontrar el término anterior al primer término aplicando sustracciones sucesivas. lnterrogue: ¿Por qué se igualó el término general con el último término de la sucesión?(Para encontrar su ubicación y así poder determinar la cantidad de términos de la sucesión).

lnvítelos a revisar el procedimiento seguido en el ejemplo 35; luego, pida que describan la estrategia aplicada (primero, se establece el arreglo para determinar el término ao, después, se aplica la fórmula para calcular

ILibrode actividades (págs. 99-101)

las expresiones generales de las sucesiones y, finalmente, se igualan los términos generales para hallar el término común). Pídales que determinen la ecuación cuadrática (n2 - 3n -180) y que apliquen el método del aspa simple.

Sugerencias didácticas

!

23)

1. Dada

la siguiente sucesión: -5; -9; -9; general,

2.

-5; 3; ... encuentra su término

3. José decldió dedicarse a la venta de caramelos

en su barrio y en su institución educativa. Al evaluar sus ventas, encontró que el primer día solo vendió 3 chupetines; el segundo dÍa, 7; el tercer día, 13, y el cuarto día, 21 . Si mantiene ese mismo ritmo de venta, ¿cuántos chupetines espera vender el vigésimo día? uestas:

1On +

3

2.

122

kg

ci

i

:Q

En una institución educativa, han iniciado una campaña de reciclaje. La cantidad de papel reciclado en las cuatro primeras semanas son 2 kg; 5 kg; 10 kg y 17 kg. Si se mantiene esta regularidad, ¿cuántos kilos de papel se espera recaudar en la décimo primera semana?

I . 2n2 *

N N @ j

3. 42

1

caramelos

a ! o o o l

p

€ c

e

C

@

E

§ c

o@

o

TEXTO ESCOLAR

a

LIBRO DE ACTIVIDADES

PROGRESIÓN

Progresión aritmética de segundo orden Una ecriación cLradrátrca está lttrirse(.ar¡Élnte re aclonada con ias progres ones aritmét cas (frA) de segLrnclc) orden Basta conocer tres tér[] nos de Lrna progres óil artmótica para hallar srr térm no general.

B

r'.a SL

Progresión ar¡tmética de segundo orden

la"l = Í4:

4

Las sucesiones llamadas PA de setundo orden se caracterizan porque cuando se halla la razón o diferencia por segunda vez, este es un número constante.

13

+9

(n

-

f),

*c

.

IX2tr+ l)

B+ lt't,

Construimos el arreglo: C

ó

Fórmula del término seneral:

2

1 3

. .

2

'tÜ*

Sea la PA 2

.

".= (?)*

.0

Hallamos la suma de los términos de la PA aplicando propiedades:

30

30

30

r

*

. .

6l + 30 - 30' 3-l' =e485 u

La suma de los términos de la PA es 9485.

p ,_a

o & § @

orsnnnou-lrus

cApACtDADEs

t7;3tt49t

+q

Si en el término general el valor de C es el triple del valor de B, y el valor de B

+§ +l.udiferencia

\,/,,¡ \r/+d \r/+d \r/+d +2.adiferencia

es

...} }rl-l

E) {5; 14;29:'50',77; ...} .l¡¡l+l

B {4; 16;36;64; 100; ...} O {4;9; 16;25;36; ...} (r¡+l)l 1u: f) {lr l:9:25:49:...} @ {-lr2:7tt4'.23t...) (li¡

.{l

,¡

l

Resuelve.

e

B

p €

fl

",,

=

(+)# -

(

e

-

!ó del vator

de A.

¿cuál es la fórmula del

término general en función de A?

f), - c

(t),'.(9,*io

Halla la suma de los primeros sesenta y cinco términos de la PA: {2: 6t 12;20; 30; .. . } 95 lt l0

p

Calcula la suma de los primeros setenta términos de una PA cuyo término general es a,, = JnT I n 1.

§

-

5116 .190

+(.r) 9 t9 33 51 \,4 \,,, \,,' \,, B +.+o-r +14 +18 -\,,,+10 \,,, \,,, A+ --t.{.' +4 +4

Identificamos los datos en el arreglo: A = 4t B = 6 y C =

I

=

(t),' * (a - $)" + 3 = 2n2 + 4n + 3

Hallamos el número de términos:2n2 + 4n + 3

=

1353

+ (2n - 5O)(n + 27) = O 2n-5O=0v n+27 =O+n=25v n=17

N

2n2 + 4n

q

l;

+p

TRADUCE DATOS Y CONDICIONES

a5

Aplicamos la fórmula para hallar el término general: o,,

Usa estrategias y procedimientos: 1-8

Halla el término general de las siguientes PA.

{lr

+n

a4

.,,=

C

.

II

a3

Construimos el arreglo:

-Z)" * t = n2 + t

c

=

a2

¿Cuál es el término que ocupa el vigésimo lugar?

2

ci

E a o o I o

diferencia

{9; l9; 33;51; 73; ...; 1353}. ¿Cuántos términos la conforman?

Aplicamos la fórmula para hallar el término general.

Dte *r¡= t=t !e, *!t=l &=l

Pá€s. 99-I04

ffi

2.a

EJEMPLO 34

-5

A

rQ

+33 +l.ud¡ferenc¡a

V V \,/ \,/ \,/ a1

A+

u

N N @ j

109...

SealaPA: 2l 5; l0; l7l 261 ... Hallalasumadelos30primerostérminosdelaPA.

de enteros positivos

r(r+ t,: / K=i-t

+15 +21 +27

; r

C+

EJEMPLO 7

Suma de los cuadrados

76

Para hallar el térm¡no general, primero se halla el término anterior (¿o) al primer término y se aplica la fórmula que se indica:

Para hallar la suma de los r? pr¡meros términos de una pA de segundo orden, se halla primero el término general d, y luego se aplican las propiedades de las sumatorias y las fórmulas de las sumatorias notables.

TEN EN CUENTA

1@; ...1

Una progresión aritmética (PA) de segundo orden es una sucesión de terminos que se caracterizan por tener dos diferencias o razones aritméticas, en la que la segunda diferencla es una c0nstante.

+d

*

7 6,

49

\r/+ó \r"+ó \r/+ó \r"+ó +

(l

é)r

13: 28; 49:

28

\,,, \,,, \,,, \,,, \,,,

Para hallar el término general, primero se halla el término anterior al primer término (ad y se aplica la fórmula:

",,=

I

Cons¡deremos la suces¡ón de término geneÍal an=3n2 + 1.

ap cacrón se da en el mundo (le los negocios y las comun LaL ones.

id

ARITMÉfCA DE SEGUNDO ORDEN

.

-

1350 = 0

Descartamos n = Luego, n =25.

-27 Wrqte el número

de términos no puede ser negativo.

Determinamos el término que ocupa el vigésimo lugar: azo=2(20)2 + 4(20) + 3 = 883

La PA tiene 25 términos, y el término del lugar 20 es 883.

o

c

§ C @

UNIDAD

2

Sucesiones y progresiones

23

UNIDAD

2

Sucesiones y progresiones

99

LIBRO DE ACTIVIDADES

¡

PROGRESIÓN ARITIúÉTICA DE SEGUNDO ORDEN

PROGRESIÓN ARITMETICA DE SEGUNDO ORDEN

EJEMPLO 35

PM {a,}

ff

{a,} = {-268; -258; 240:' -214; ...} 6; -60; -38; ...}.

cAPACTDADES

y {b,} = {-86; I ¿Cuál es término común de ambas sucesiones?

{

. +8

.

{b,}

i

-ó0 -38 B +G4) +10 +ló +22 -\./---./'\-/ A+Q@ +6 +6 Gso) -¡o -?6 --\,2\./\./\,/

(z

- l)" - zto =

4n2

u,=(3)i. (o-3)"-*=3n2 .

@ Determina la suma de los términos

If {s; ll; r9i29;41;...;ap} E { l5; 28; 45:' 66:' ...: azo}

I

-

2n

- 27o

Hallamos el término general:

C-l

+ n-e{)

+ n= 15 es ar5 = 4(15)2 - 205) -

5

\-,

5

19 29 4l \, L, \, +8 +10 +l?

ll

+2

,,,= (1),' * (+ -

= 6ctr.

Luego: rr,, =

ti

+

1¡¡

t2r+

¡

l), *

r

Sca

3(12)

EJEMPLO 3ó

C

-ó B

En un club literario, se observó que el año pasado la creación de historietas se realizó así: en el mes de enero se crearon 25: en febrero, 32; en marzo, 4 I ; en abril,52; y así sucesivamente. ¿Cuántas historietas se crearon en diciembre?

I I 1 11 .r1... \ t\ ,\ l\ , - +-l F6 +-T0 +-I.1 A - i4 +-l +-{ .1,, +lr/- á\ t >tt, .'tr ,¡,,.(l]/t il/¡ Si r¡=.10 >a,,,=2(30)l l= 1799

+ I = l8l

B

C

. 25 32 +'l

41

+9

.

+2

Se comunica. (Crea textos literarios según sus necesidades expresivas).

. .

+4

Luego:

n,r=

2(20)2

225il20 B+ 0 +3 +6 +9 A++3 +3 +3

En diciembre n

=

12:

an=

122 + 4(12)

+

2O

= 212

-.1.

\-/\/\-/

Interpretamos el enunciado del problema y escribimos Ia sucesión con la producción de cuyes de cada mes: 2; 5; ll:'20:' ... Determinamos el término general con los valores del margen:

Deben transcurrir 19 meses.

100

¡¡

4.

) ó I

I

I

8

e p

-)n+ los 1000 cuyes: nz - n > 332 + n = 19

",=G)*.(o -l)"*z=]n2 -)n+z Para que sobrepase

*]n,

@

19

+6 +8

Calcula¡nos r¡: i¡l + 3a r¡: +

2 > 1000

C-4

s a o

\_,

2

L,

29

+I

+(¡

+10

mínimo tendrán que pasar para que la cantidad de páginas que lee Carmen sea mayor que 840?

(r

2

\_,

=

(i),.*

(-z

¡

+ 2-l)(r-20) =0

-l:

I. ,\'+l

, l, Si¡r=l:

f

i: I

S: Li: ...

-l a

¡ a

i

fi a.

\_, +4

tt

>

u,,=

l.l

a

la +l +l 1,.,' ' i( llr+5=lli -(/.--l i

( lrn¡rr¡ cl rlrlrr[ierrrro rlilr llcrLr

4

-]\, * +

lr I).\ ,¡

lt

=.161

n: -

N N @ j

.',,-'

ci

i I

¡riigirli ll5. i()()=0

lr llr

)u+5=-10-1 >r¡l l/r ll)trr+ l())=0 >//=ll l\r\i(r()n (lrrc l¡lr:ltt II tlrltr ¡rlttrt i¡rrc (

Ln r,

!¿ l E

ó o E a o

rrttttctt lclr

ItiLrtlr lrr prigirrrr 10J.

1¡ 4 4

Calculamos r: n1 - 3n + 4 = 2552. (r +49X,¡ - 52) = 0 ,,r - 3, - 2548 =0 n = 52 términos

+

Serr

(

+2 \=, 0\_, A-+2 +2 \,+2

B--?

pasar para que Carmen

¿',Cuántos días como

Hallamos el término general:

.,

a o

46{)=0

lila 30 cs I 799.

¿,Cuántas páginas ha leído en el duodécimo día?

= 20 términos

Ip

§

l¡

t

lea 404 páginas?

ll

-5

L,\,.!,L,

srrnla de krs [érruinos tlc la

@ ¿Cuántos días tuvieron que

+2 \-, +2 \-, +2 A- \-, = (i),'* (o-3), - I >,t,,=rr+ r¡ a ",,

En una granja, los cuyes empiezan a reproducirse mensualmente: en el primer mes hay 2 cuyes; en el segundo, 5; en el tercero, I l; en el cuarto, 20; y así sucesivamente. ¿Cu¡ántos meses deben transcurrir para que la producción sobrepase los 1000 cuyes?

.

@

Hallamos el término general:

-l

- ,- ,\ ,

Carmen se propone loer una enciclopedia de varios tomos. El primer día lee hasta la página 4; el segundo, hasta la 5; el tercero, hasta la 8; el cuarto, hasta la 13; y así sucesivamente.

+7(20)+6=946

ts {5; l1; 19:29;...:461} O {2;2;4;8;...;2552}

En diciembre se crearon 212 historietas.

.

l,¡

Halla el número de términos de cada progresión,

EJEMPLO 37

I

+4

Hallamos el término general con los valores del margen:

B.-+4

v

+4

tt,,=2¡2¡7'*U

.}

C

C

+4

".=(+),'*(o |),*o

. + 2o = n2 + 4n + 2o ",,= G)* F -Z)" .

\--, 15\-, 28\-, \, 66\-,

- +9 \-,+13 \-,+17 \-,+21 \,,+25

Observamos que se forma una sucesión con la cantidad de historietas creadas en cada mes: {25:,32:, 4l:, 52;

.15

A+

l¡ I,A: I I 7: l7l I I : .19: ...

C*

1

2. Hallanros el témino general: comunicate

75 103

81412114

\-, \-, \, \-, +2 +2

tt,,=

t2

6

\--,

+6

A- +l

-2n -27o = 3n2 + n -90

27O

\-,

- +4

B

Igualamos ambas ecuaciones para hallar el término común: 4n2

4

3

L

fila 30 del

de la

siguiente arreglo:

Hallamos los términos generales para cada sucesión:

El término común

B+

Argumenta aflmac¡ones: ó-8

Analiza y resuelve.

En las siguientes PA de segundo orden, halla el término que se indica.

Obseruamos en el margen que en la sucesión {4,}, A = 8; B = 2 y C = -27O, y en la sucesión {á,},,A = 6; B = 4 y C = -90.

(\)* * ", =

C

I

'l-5

fraduce datos y condiciones:

Sean las sucesiones

c

Para

orsnnnou-arus

'

S.

l'

l¡¡+5>S-10 I)iIrl() \irl(ni\s( ('r¡rtt¡r[ ¡rirrr: rt = i0 llrrrllin t¡tre ¡lsru conlr nririnlr.\0 rliits Ilrlt tltlc lit r'rttliilittl ilc ¡ririnlts r¡ttt lLt lle!¡(l() r ['er \eir r]lir\(n (ltre S-10. UNIDAD

2

Sucesiones y proSresrones

101

p _o so L

a c -9 .? c o a @

LIBRO DE ACTIVIDADES

Suma de términos de una PA ¡

Libro de actividades (págs. 102-104)

¡

PRoGRESIÓN ARITMÉTICA DE SEGUNDo oRDEN

Gapacidades y desempeños precisados Usa estrategias y procedimientos

Argumenta afirmaciones

o

.

El ,rm de términos de una PA

Calcula Ia suma de una progresión aritmética de segundo orden aplicando sumatorias notables. (1-6) Interpreta una situación problemática relacionada a una suma de una progresión aritmética de segundo orden. (7-8)

Para hallar la suma de los n primeros términos de una progresión aritmética (PA)de segundo orden, se halla primero el término general a, y luego se aplican las prop¡edades de las sumatorias y las fórmulas de las sumatorias notables.

Sugerencias didácticas

I

DE RESOLVER

I

N @

)ci ¿ :Q

¡ ! o o o

)

! Ic o L @

§c C

a 6

Enfatice que para hallar la suma de los términos de una progresión aritmética de segundo orden se debe proceder primero determinando el término general de la sucesión. Luego, se representa como una sumatoria que se debe resolver aplicando sus propiedades fundamentales y las sumatorias notables. Pida que determinen la suma de los quince primeros términos de la sucesión 14; 11; 22;37; 56; . . . ) (Los quince términos suman 2615).

{7; 13:,23;37;55; ... }

.

+q

áv

Construimos un arreglo y hallamos el término general:

7 B 23 37 ss \,,, \,,, \,,, \,,, \,,,

c.-.151-,i,

B+

s,=o(i).*$).a(\)

6l0t418 \,/ \r/ 444

A+@

utilizamos la fórmula con número combinatorio:

t,=r(1')-r(?).,('.') S,=7 50+ó

.

'1225

+4.196Co S, = 8ó loo

""

=

(t),,

\r"

.

?-

t),

+ 5 = 2n2 + 5

Aplicamos las propiedades de sumatorias y las fórmulas de sumatorias

50

notables:

50

n2

+)n=l

"=l

50

50

DQn'*s)=z!r'+!s n=l n=l n=l

50

2\

s = z . 50'

5l'

101

U

+

5'

50 = 2 . 42 925 +250 = 86 100

La suma de los cincuenta primeros términos es 8ó 100.

EJEMPLO 39 Sea la PA {3; 7; 13;21:,31; que la conforman.

. .

C

I (T) 3 't t3 -V\,/\,/\,,,

B+GA +4 +6 +8 A,+ QD +Z +2

-\zv'\,/

2t

.

...; 1057}, calcula la suma de todos los términos

Construimos un arreglo en el margen. Hallamos el término general con los valores del margen:

",=

(?)* . P -Z)"

+|=

nz + n

+t

Determinamos el número de términos igualando el término general con el n2 + n + I = lO5'].

último término: n2 +

.

Para consolidar

I

. .

(ñ¡ +p

Previo al ejemplo 38, recuérdeles la fórmula de la suma de los cuadrados (n(n + 1)(2n + 1)/6) y la fórmula de la suma de los primeros números naturales (n(n + 1)/2). Resalte que la sucesión es finita porque solo nos piden la suma de los 50 primeros términos, luego pida que revisen la sección "Otra forma de resolver", donde se presenta un segundo método que está basado en los números combinatorios. Destaque que, en esta estrategia, solo se debe conocer el número de términos que tiene la sucesión.

Pregunte en el ejemplo 40 ¿Se podrá calcular la sumatoria haciendo uso de la fórmula con números combinatorios?(Sí, porque se conoce la cantidad de términos de la sucesión). Destaque, como el año tiene doce meses, entonces la sucesión tendrá doce términos. Coménteles que realizar una actividad fÍsica es muy beneficiosa para el bienestar de las personas, ya que mejora la memoria, genera rapidez mental y fortalece su autoestima. Pida que respondan la pregunta que está al pie del ejemplo 40. En el ejemplo 41, solicite que apliquen el segundo método para comprobar el resultado. Para .l las actividades y 2, propóngales que establezcan el término general de las sucesiones; luego, pida que apliquen la sumatoria. Remarque que en los dos casos se conocen los límites de las sumatorias. En la actividad 3, haga notar que la expresión dada no corresponde con la forma que debe tener el término general, por lo que sugiera que apliquen la propiedad distributiva y eliminen los signos de agrupación. Previamente a la actividad 4, recuerde el desarrollo del binomio al cubo ((a + b)3 = a2 ¡3a2b + 3ab2 * b3).

Calcula la suma de los cincuenta primeros términos de la PA de segundo orden:

lai a2: a3; aa: .1. a2 a3 a0... @) --\./\,/\,,,

Sea

Pida que lean el texto inicial, luego pregunte: ¿Qué acciones previas debes realizar para hallar la suma de los términos de una progresión aritmética de segundo orden? (Se debe establecer el término general, aplicar las propiedades y las fórmulas de las sumatorias notables). ¿Qué tipos de sucesiones se pueden sumar? (Las sucesiones finitas).

Para desarrollar

I

EJEMPLO 38

OTRA FORMA

Para iniciar

n-

1056=O

+

(n -32)(n + 33) =O

+

n = 32

Calculamos la suma de todos los términos:

32 32 n+ t¡=\n2 D@'* n=l n=l

32

+1, *!x=l n=l

ln'+ln+lt=32-$:s1 b n=l n=t

x=r

32

t

N l I

s B

*32:33 +32't = 12000 ¿

La suma de todos los términos es 12 000.

§ I

102

LIBRO DE ACTIVIDADES

PROGRESIÓN ARITMÉTICA DE SEGUNDO ORDEN

'

Vive saludablemente

EJEMPLO 40

.

v/ v/ \r/ \,,' +l

B

,,= (tr)* .

.

6

3

3 = n2

l2

t2

\1n'-2, +r=»n'z -z», n=l il=l

n=l

Su ténnino general es a, = r¡l +

t5

f{tr Á=t

11 ...

l2

t2

t2

frr_Zfr+f n=l n=1

n=t

!

,=l

E

16

t2:13 3= 12 1,3.25 1¿ -2.

*t2.

E

Valora su cuerpo y y asume un estilo de vida activo y saludable. (Practica habitualmente alguna actividad física pi¡ra sentirsc bien).

24

24

ll

46

7»A

6 = 74

(=t

¡6

_2.ó0.lr.l2r,3.6q 6?

»6 (=l

+

=

t2

il=l

24

La sustancia sólida

se

z=l

I

24'-25' 49 ó

<

por dato:,¡ =

l

=6n2 +On

dra=2¿Foras

-

| --6n2

{(/,,)

|

|-t

l=)

- Sr'

"1lr¡l +

f7=t rxl lltr 7r)

-

= -"\¡¡{ 7(r :.

dividió en un t.lía en 29 376 partes iguales.

+

79

tttl\: I

= 79 lJti:t ll00 = 73 ?.17 187

3 o UNIDAD

2

Sucesiones y progfesiones

103

104

5 490

-

6O

=

I

142 070

mes el aumento fue de 213 conejos. ¿cuántos hay en total hasta ese mes?

@ Si en cierto

@ Si en el siguiente

mes se vendieron 500 conejos. ¿cuántos quedan en la granja?

L.,

t,

.l

7. De la sucesirin 4; 6: 9; I 3l

\u +: ],,t*lr+.1 =ll.l

los 79 primeros términos

70¡¡

7oA

-

-

4

...

el término general es:

u,,= \,,1 +

f

(|,,,* 1,,* A=t'-

:0

17

¡)

N N @

>r=20

l0 =

l0

(=1

.r

N

! B

= I6fi)

lq

1

5q +

6 866 ó80 + 22

1

En ese ¡res hay. cn lotal, 1600 conejos

7(l 7() x(l

200

:

-

2l

l.l

17 7q " . '',

s. u., = jtzrl'+|et)+i=234

1600+234-500= Ln lu gr:ut.jir qilr'dirn

1334 1.1J4

¿ :9

d

t0.I .4t t0.ll

l9

l 79 80 6

-i ci

l0

r*f lI-l=l *]f -(=t É

17)

+rftr+zo!t =sftr !:z (=l (=l Á: l=t

24. t =29 376

-

_60.

y así sucesivamente.

de una progresión aritmética cuyo término general es a,, = (2tt - 3)3 - 8n(n - 2\ + 3n2 .

-

I47 620

61

r

la suma de los 67 primeros términos?

@ Calcula la suma de

",=(l),'*(o-t2r¡,-r

1 .

- 3)(3n + 2) - (n - 2) es una ley de formación de una PA de segundo orden, ¿cuál es

.l 67 l|i l.r5 lt 67 611 67 (rl = .()7 5.10 lli ll4 26lJ = 2tl9 0.18

t2

-

()

1165

\'.r :r r, rIr .I^

B+

3a

2n:-3n- l=7019 +r=60

Zuleika determina que la reproducción mensual de los conejos de su granja se realiza de la siguiente manera: en el primer mes se obseryan 4 conejos; en €l segundo mes,6; en el tercero,9; en el cuarto, 13;

I

5 23 5395 v/\,/\,/ t8 30 42

-

14e80

:fr f*=r r:Á:-.rr- rr=rIAr ft=l r=t t=l

@ Si {c,,} = (n

C

2= 14910+ /0=

6. El ténnino gene ral es u,, = 2n2

o

¡6

24

= 6Ir'-I

O)-rr-)i-,t iat1 =6' §

+

L

mmú60

*

1,, 16

llcrlt¡eittto.: {rr,,} = -3¡¡l + l¡¡ 9¡r 6 r¡ + l lrtlto¡ttc:. {rr,,) = -3¡¡l 3, -1

Calculamos el total de partes iguales en que se dividió la sustancia sólida, aplicando las propiedades y las fórmulas de sumatorias notables:

24

l5

= n2 +

es rr,,

1227 > n=35 t5 15

f1t.]+zr=frr+!z l=l k=t k=t

+ 7. 49. 47 +4h.

fr1 = 67 022 + 7567 +

El término general

i +2=

I

I

46

I. ]h.,47. 9l 3=530

Construimos un arreglo y hallamos el término general en el margen.

L$n'-

-5.

7l+.r5 -15 36 6

fl=t r:rt * 7,( + 6) = 2tÁr l=t

r

Interpretamos el enunciado de la situación y escribimos la sucesión con la división de la sustancia sólida: 5; 23; 53; 951 .. .

n=l

I

l5

+ r»r + »t »r: t=t l=t t=t

=

I-ls una PA tle segundo orden. Su lérnritx¡ general es: d,, = 7¡1:

En un laboratorio, una sustancia sólida se divide espontáneamente en partes iguales. En la primera hora, se divide en 5 partes; en la segunda, en 23; en la tercera, en 53; en la cuarta, en 95; y así sucesivamente. ¿En cuántas partes iguales se divide la sustancia en un día?

I

+ l)

3r +

@ Halla la suma de los 46 primeros términos de la sucesión {15; 28;45;66; ...}.

EJEMPLO 41

. .

:t

:5

62-'

De manera oficial. Mariana tro«i 530 km en un año

.

+

l5

_25-16.5i +:¡ 25. 26*)5.

t2

*

{3;6; tt:18, .... t227} @ { 2;lt 8; l9l ...r 7019} G)

Es una PA de segundo orden.

Hallamos el total de kilómetros que recorrió Mariana aplicando las propiedades y las fórmulas de sumatorias notables:

12

{5; ll;19;29:' ...}

la sucesión

2n + 3

Argumenta afirmaciones 7-8

sucesión.

Calcula la suma de los 25 primeros términos de

= 5525 + 975 + 25 = 6525

-

'l-ó

Determina la suma de todos los términos de cada

+3 +5 +2 +2

? -tr), +

Usa estrategias y procedimientos:

Analiza y resuelve.

Construimos un aneglo y hallamos el término general:

2

DESARROLLA TUS CAPACIDADES

fl

Observamos que se forma una sucesión con los trotes que realiza Ma¡iana mes a mes: {2; 3; 6; I l; ...}

c.-G)

PROGRESIÓN ARITMETICA DE SEGUNDO ORDEN

B

Además de correr algunos otros días, Mariana trotó de manera oficial los últimos domingos de cada mes, de la siguiente manera: en enero,2 km; en febrero,3 km; en marzo,6 km; en abril, 11 km; y así sucesivamente. ¿Cuántos kilómetros trotó de manera oficial en un año?

.

.

c()nejos.

D

5 d

f

e o o

)

p

€

g3

o c

3 o

a G

§c c a @

TEXTO ESCOLAR

Progresión geométrica (PG) a

Texlo escolar

lpág

2a; r

Lrbro de activldades (págs. 1 05-1 07)

Capacidades y desempeños precisados Traduce datos y condiciones Usa estrategias y procedimientos

.

Determina el término general de una progresión geométrica. (1-3)

.

Progresión geométrica Las progresiones geométricas están en todas partes, por ejemplo, en el

rebote de una pelota desde de una determinada altura o en la reproducción de bacterias (ya que s{empre es por bipartic¡ón: una bacteria se divide en dos pasado un determinado tiempo), etc.

Calcula los elementos de la una progresión geométrica empleando la fórmula del término general. (1-5; 4-10)

Término general En

toda progresión geométrica

lal

a2; a3,

a4:...), se verifica que:

az=at-r a3=a2.r=la1.r)-r=a,-f aa=a3.r=(a1.f1.r--a,.f

Sugerencias didácticas

...

A partir de la regularidad, inducimos las siguientes fórmulas:

Para iniciar

I

férmino general

Incentive a leer el texto inicial. Luego, comente que las bacterias, cada cierto tiempo, duplican el número de individuos que tiene Ia colonia. Esta situación se puede representar con una progresión geométrica (PG). Explique que estas sucesiones se caracterizan porque cada término, excepto al primero, es igual al anterior multiplicado por una constante llamada razón geométrica (r).

a,= at' f'

c' ¿

:Q

1 ! o o o

=

! ! so L @

§c C

a

o

En un

laboratoío, c erto

cult vo t ene, inicialmente, 25 000 bacter as. Si cada hora aumenta en un 400,6, ¿cuántas bacterias hay en ei cultivo luego de 5 horas?

La suma a calcu

'ar

=-1

z primeros términos de una progresión geométrica

de los r primeros térm nos de una progresión Seométrca la denotamos por S, y amos asi:

g,=o'l,l

-rll..con

r+ r

s,,=ot ,

on.,'

'rcon

r*

r

134 456

EJEMPLO 9 Rosa ahora dinero: S/ 3 el primer día, S/ 6 el segundo día, S/ I 2 el tercer día, y así sucesivamente. ¿Cuál será el total ahorado al cabo de 15 días?

.

r"ÜF

Para las actividades 1 a la 3, sugiera que expresen el término general en función del primer término y la razón, si es posible que simplifiquen. Haga notar que, en las actividades 4 y 7, será suficiente emplear las fórmulas de la razóny del término enésimo para resolverlos. En la actividad 5, sugiera que expresen los términos en función del primer término (as = arra). Previamente a la actividad 6, recuerde la propiedad de que el cuadrado de un término es igual al producto del término anterior y posterior a él (ar2 = az. aq).

Para reforzar lo aprendido, proponga la siguiente situación: La deuda de un comerciante se ha ido reduciendo anualmente a % de la deuda del año anterior. Si el quinto año debía 200 soles, ¿a cuánto ascendía su deuda el primer año? (51 200 soles).

''14

Reemplazamos los datos en la fórmula y resolvemos:

Suma de los

DÉSAFÍo

Pá,gs. 1O5

ff

log

Por dato:

a1

resorvemos:

-- 31 r = 6 + 3 = 2 y n

s,

=

4I+

=

='''z

15. Reemplazamos en la fórmula y

ll "

= n*

ro,

El total ahorrado por Rosa es Si 98 301.

orsnnnorLnruscAPACIDADES

Uü estrategias y procedimientos: 1-5

a

9

& Si a, = 3 y arc= 31e, calcula la razón. 9 § Sea a, = 2 y r = 2. Halla el tf,¡¡¡i¡6 s¿¡6¡sg. 6 .1E4 & Determina el primer término si r = 4 y aro= 2ao 4 & Si a, = 6 y r = 3, calcula el valor de Sl2. I .594 320 I

Para consolidar

§

{-l

. 213 -.2 ., - üt2 ="2rr dt=,.rt_r -8192 =;,=:-=-l

Haga notar en el ejemplo 42, que los términos 3 y 6 de la sucesión son expresados en función del primer término y después se procedió a plantear

Destaque que, en el ejemplo 46, si en la expresión Ia variable se encuentra en el exponente, entonces, la estrategia es dar forma a las bases para que sean iguales y poder igualar los exponentes (ecuación exponencial).

I

'

Si ¿r2 = 8192 y r = 2, calcula el primer término.

.

una ecuación para hallar larazón. En el ejemplo 43, recuerde que una progresión aritmética es una sucesión donde cada término, excepto el primero, es igual al anterior más una cantidad constante llamada razón aritmética. Antes del ejemplo 44, enfatice que en situaciones en donde se emplee el término general, se debe descomponer cada término según convenga (at = ar,r3). Destaque que la suma del subíndice del término y el exponente de la razón nos da el subÍndice del término a descomponer (7 = 4 + 3). En el ejemplo 45, haga notar que la expresión "se duplica" nos indica que larazón es dos. Asimismo, resalte que el término diez es el dato y es expresado en función del término seis, que es la incógnita (aro = ao . r4).

N N @ j

r=,-tW

an

EJEMPLO 8

Para desarrollar

I

Razón geométrica

Primer término

24

ffi

Sandra recoge de su chacra 5 mangos el

primer día; 10 el segundo; 20 el tercero, y así sucesivamente. ¿Cuántos sacos de mango cosechará en 20 días si cada saco tiene una capacidad ds $ d66g¡¿sJ -54 (r I .1

! !

§ q

LIBRO DE ACTIVIDADES

PRocRESTóN

¡

crouÉrRrca

@ rrorresión geométrica (pG)

a

EJEMPLO 44

En situaciones en las que se aplique el término

general de una PG, debes descomponer cada térm¡no según convenga. Así, por elemplo:

término general de una PG se obtiene de la siguiente manera:

TEN EN CUENTA

término

a4= a3. r = aj. 12 . r = at. 14

At.f as=a2.r=(\,r.t=At.t3

.

1

At f3 .f = dt.f5-1 ] A6=dr.r=Ar.r4.r=At.16-1...

AZ=

AS= Aa,

r

f

.

a. at= /t-

ar=al'tr-1

.

r=

O

¿Cómo descompones ¿ro? '1

«,¡=c,

19o4,u=¿¡r'¡

Decreciente:si0
,1. 1.1. 1.1. '2' A'. 8'. 16'32',

Alternada: si

r<

.

n t[d,

De au=

ao=

.

ar'

I

. 13

y ar= ar ' au=

-

sr.

Se comunica. (lnteractúa en entomos virtuales para

obtenemos:

18

+ ar=

1.

!p I

§ a o

si a, á y c, en ese orden, forman una PG, se cumpie que:

=9.(29

+ 2r}

+)-

+

{9;

11 +

",

al7. Comunicate

Por dato se tiene la PG:

a¡

a2 =

2a¡

a3 =

22ai ...

.

Reemplazamos datos y resolvemos:

an=at.19 =(,at. =ae.

f¡.

+

r=2

ra = au. ra

l6- ao=lÉff

= t000+ ¿6= l0O0

or¿ailizate cori lus conrlli?neros y r-reen ilna zoila en inlerilet qile les pernl¡tíi est¿rr eil Lont¿rtto corr otr os jolet)es (ie su ed¿tl. ¿Que tenriilica5 DLrclriarr ¿llroriiar i'

I

+ 13r-

140=0+ r=-20 -

Interpretamos el problema y escribimos la sucesión:

Identificamos los datos: a, =

r; 29 + r} forman una PG.

Hallamos el menor valor del tercer término: 29

El menor valor que

#,

Desarrollamos y relacionamos los términos:

.

ü=a'c

Relac.ionamos los tres números de la PG y resolvemos: (11 + r)2

.

9

"n=

Una persona se demora un cuarto de hora en enviar un correo a cuatro contactos. Un cuarto de hora después, cada uno de estos contactos lo reenvía a otros cuatro contactos diferentes. Suponiendo que cada cuarto de hora se ha repetido la operación de la misma manera e indefinidamente, ¿cuánto tiempo pasará para que 16 384 contactos reciban el texto del correo?

IMPORTANTE

{9; 9 + ri

obtenemosa,'

@

EJEMPLO 4ó

Construimos con los datos la PA y PG: Sea la PA

@

.?'ar=ar1l'a7)=ar'ag...

38= 6561

Tres números reales forman una PA cuyo primer término es 9. Si añadieramos 2 al segundo término y 20 al tercero, los tres números formarían una progresión geométrica. ¿Cuál es e[ menor valor que puede tomar el tercer término?

.

Oy

a3'a7=a.t

En el sexto mes, visitaron su página 1000 usuarios.

EJEMPLO 43

§

De

=at'/ +

.

@

El undécimo término es 6561.

.

@

Desarrollamos y determinamos lo que se pide:

16000

Hallamos el término que se pide: = a3.

o, -... ,n-L

Además: ¿ro = S/ 16 000

f

Remplazamos los datos en la expresión anterior y hallamos r:

a'

or'

fi*

El producto del primer término y el último térmiro

construir vínculos).

l,

Simplificamos el dato:2a3. o, =

Comoa.

.

.

27=l'13+r=3 .

. .

Rodrigo crea una página web relacionada con asuntos de interés juvenil. En el primer mes visitan su página una determinada cantidad de usuarios y, cada mes siguiente, dicha cantidad se duplica. Si en el décimo mes recibió la visita de 16 000 usuarios, ¿cuántas visitas tuvo su página en el sexto mes?

Constante:sir=1

a3=ly au=)l

at. P

término de la progresión?

EJEMPLO 45

En una progresión geométrica, el sexto término es 27 y el tercer término es I Calcula el undécimo término.

'

eCuál es el producto del primer término y el último

'

0

EJEMPLO 42

Pordato:

.

2f

,

16;6;6;6;6;...1

\14

nueve términos es

a7=a6,r

{1;-3;9;-27;81;...1

Razón geométr¡ca

Primer térm¡no

Creciente: si r >

f2;6;18; 54;10; ...I

=

Observamos que hay una regularidad, la cual expresamos a través del siguiente término general y del que obtenemos las demás fórmulas. Térm¡no general

a¡=at,ró

una PG puede ser

Según la definición de progresión geométrica, cada término se escribe ast:

primer

El producto del doble del tercer témino y el séptimo témino de una PG de

v

geométrica.

a1:

ceovlÉrRrcn

COMUNICA

Una progreslón geométrica (PG) es una sucesión de números reales tales que cada término (excepto el primero) es igual al anterior multiplicado por una constante r, llamada razón

El

PRoGRESTóN

l; ¡ = { y an=

I; 4; 16; 64;

N N

@

-j Ci

c

...

16 384

:Q ,9

Reemplazamos los datos en el término general y resolvemos:

v r='7

a,=

2O = 9

q. f-l +

16384 = 1.

4'-t n

El tiempo es 8 cuartos de hora, que

puede tomar el tercer término es 9.

214-22n-2

-

n-g

É P

e o o l

p

_t

E o

es equivalente a 2 horas.

Para que 16 384 contactos reciban el texto del correo, pasarán 2 horas.

!=

§

G

@

a G c

UNIDAD

2

Suceslones y progresones

105

10ó

'-c -9

a @

?¿

LIBRO DE ACTIVIDADE§

PROGRESIÓN GEOMETRICA

I

Actividades comp¡ementar¡as DESARROLLA TUS CAPACIDADES

Traduce datos y condiciones:

Determina el término general de cada una de las siguientes progresiones geométricas:

!l

l.

¿¡,

Si se sabe que las bacterias crecen en PG, ¿cuál es la razón de crecimiento?

}

Pordato: rr = 300 000 au--

=8:t= 16+ll=2

ot, - tt ' l-"

>

a?/,

att 1

- ll

1

t ,u,,-*.-l'¡

,... .1. .r .'.U|..'-4=1_2 ur=ill

rtt '

r-l'

(-r'

Interpola 4 medios geométricos entre 96 y

12 es 10 240. Si la razón

es 2, halla el primer término.

.

a3+ a1= 60. Determina la

razón si los cuatro términos forman una PG.

@ Averigua para qué valores de k la sucesión

2

...,

],

términos tiene?

k + 3;

.

*!4).icran,o.

4. Lt,. = l0 240. t = 2 y il =

-5. Desartrllarnos cada término:

l5 >¿ tl+rr- I5... i dl +r/tli=(rU >r/t¡{l+l)=60.. 2 Reemplazamos €) cn O: l5i = 60 > r = 2 ¡rt I {/lr=

-i)

6.

Para que los térmiros lirrmen una PG, se cumple

(6t + 3)'?= (t + 3)(20/t + 5) a

p

I e p !

c o I

§

@

@

§c c a @

II /.¿/ -ñ.r=11u,, = 16lX4 I 072

llt -n+l=

--a-/ll, " \2/

sft r tloi '= q-'=,'l96=2

|

8.

s6.+=

a^

24.+=0ya,=D-t=a

48:

a3= 48.+=24

se

I

.,,,

l7+t=18

ar/

9.

@

5 medios

i,,,1

'11.

""t "

.1:r/. '.\'t

-:/lr

[\4arÍa decide abrir una cuenta de ahorros en una entidad financiera. El primer mes, deposita

Aplica las propiedades de la sumatoria y calcula lo siguiente:

/o l:tt,=9

En la siguiente sucesión: 7; 19 37 ,61 ; 91 ; . . ., halla la diferencia entre el penúltimo término de 3 cifras y el cuarto término de 4 cifras.

l3.Determina el término general de las siguientes progresiones geométricas. a) 5; 10; 20; 40

¡,,,--11,,,,,-.12

Respuestas: UNIDAD

2

Sucesiones y progres ones

o¡!]osx1k2 -2)+5

siguiente manera: la primera semana come tres manzanas; la segunda semana come 7; la tercera semana come 11 manzanas y así sucesivamente, hasta que cierto día se da cuenta de que el número de manzanas que comió esa semana eran 10 manzanas menos que el triple de manzanas que comió la séptima semana. ¿Cuántas semanas han transcurrido hasta ese cierto dÍa?

^/r r I ljl lo.r .'ror \]j+¡ i >,/-ur;='.' d. 21 93t 4:lt

¿#iE cuando n tiende al infinito?

l2.Beafriz se encuentra en una plantación de manzanas, y empieza a comer esta fruta, de la

¡¡ l) ) (). llrrll¡utro., =li'jrf =V:,1', =j ,,

l

ta.l =

nt -g

primer dÍa, Raúl compra 25 latas de atún y ordena a su secretaria que cada dia que transcurra compren 5 latas más que el dÍa anterior. Si en el penúltimo dÍa compra 80 latas, ¿cuántas latas de atún compró en total?

Ilo

:

¿Cuál es Ie límite de la ecuación

3n3+2n-6

10. EI

+|V §. geométricos entre 2$ V ]1.

D

c^Z

a)»?k'+2k-3

indica.

4 me
Dllllll' n-l

-2(n + 2)l

I50 soles; el segundo, 200 soles y cada mes siguiente ahorra 50 soles más que el mes anterior. ¿Cuánto ahorró en los ocho primeros meses?

Calculamos los 4 medios geométricos: a2

si: {c.} = {an + bn} ; {an} = {2n + 4} y {b.} = ln2

zn\zJ

Hallamos la razón geométrica:

,, = l

k=-3116 o k=2 l6:¡8+

Calcula los siguientes lÍmites: a)' lim (2n3 + 3n - 12)

cs

7 Calcula los lÍmites y clasifica las sucesiones: .(5 6 6 6 I 2n3+2n?-n o)ta.l= a)tZ; lO; ni "i nz _3

a5;3

Por dato: at = 961 ae = 3 y n = 6

t;

rck2 2()k 6 --o

(l6t+3Xt 2)=0 I

,q

5.

6.

Observamos que hay 6 términos en total:

Interpola lo que

El primcr térnrino es 5.

ci

Calcula Q = cs +

3

Los cuatro medios geométricos son 48; 24; 12 y 6

12

t,.=ot'r't2 l+ l0lzfQ=¿7, fll l0 trto t0 240

N N @

4.

n '4'

ntl

6k + 3:ZOk + 5 forman una progresión geométrica.

{8;4;

Un sistema nuevo de vigilancia cuesta 2850 soles. Con el paso del tiempo, su valor se deprecia o d¡sminuye. Si su valor disminuye I50 soles cada año, ¿cuál será el valor del s¡stema de vigilancia después de 8 años? ¿Cuál será el valor del sistema de vigilancia después de 10 años? ¿En cuántos soles se habrá depreciado luego de 19 años?

47

EJEMPLO

96¡, a2; a3; aa;

@ En una PG, el término

@ Sea la PG

3. = 9 600 000 9 600 000 = 300 000 ' t'

I

''',,=3

15 y

+

Sabiendo que el término general de una sucesión es: {an} = 3n2 - 2n, calcula [/] = áro + as- a2.

Y ao

l

.

a, + a2=

|

2.

t'=32->15=25 >r=2

)tt +:

Analiza y resuelve.

Sean

a,'16

'1. Se reparten caramelos a un grupo de niños de la siguiente manera: Al primer niño se le dieron 2 caramelos; al segundo, se le entregaron 3 más que el anterior; y así sucesivamente. ¿Cuántos caramelos le tocarán al niño ubicado en el noveno lugar?

La razón de crecimiento es 2.

t,,.-l )1',,-r=1=r u,-.t.tti

Usa estrate8ias y procedimientos: 4-'10

@ En cierto cultivo hay, inicialmente,300 000 de bacterias y al final del sexto minuto,9 600 000.

}

o{:, },}, $,

1-3

Resuelve.

{8: 16;32',64 ...)

a{}'}'}'r'

§

!

101

1.

26 calarnelos

5. a)

L

...

a)

128 b) 1lB

70

b) 8795

b) 213,2,6; 2.M=337

18;

.

3.a) l800soles b)1500soles c)2700soles 4.89 7. a) 0 - convergente b) w - divergenle B. 2600 soles 10,715latas 11.570 12. lBsemanas 13.a)5.2n-1 b)2.3n-2

6.

5/4

LIBRO DE ACTIVIDADES

Suma de términos de una PG I

Libro de actividades (págs. 108-1 10)

.

PRoGRESIÓN GEoMÉTRICA

Capacidades y desempeños precisados . Calcula los elementos de una progresión geométrica empleando Usa estrategias y procedimientos Argumenta af irmaciones

Sugerencias

@ ,r*,

.

d

Analiza y aplica la fórmula de la suma de los n primeros términos de una progresión geométrica al resolver una situación problemática.(7-10)

ARGUMENTA AFIRMACIONES

sucesión {2; -4; 8; 1ó;32; ...1 es una PG? S la respuesta es afirmativa, ¿se podría fra lar a suma de sus térmlnos? ¿La

idácticas

Para iniciar

I

de términos de una pc

la fórmula de la suma de los n primeros números. (1-6)

Coménteles que a la suma de los términos de una progresión geométrica también se le conoce como la serie geométrica. Pídales que lean Ia información de la sección inicial, luego pregunte: ¿Cuándo se podrá hallar la suma de los términos de una progresión geométrica? (Se podrá calcular la suma solo si la sucesión es finita o cuando es decreciente e infinita). ¿Cuándo una sucesión es finita? (Cuando se puede determinar todos sus términos). Hágales notar que la primera fórmula se aplicará cuando se conoce el primer término, larazóny la cantidad de términos, mientras que la segunda se empleará en el caso que se tenga el primer término, el enésimo término y larazón.

La suma

de los n primeros términos de una

a,.(f - 1\ '' r-t La

o .r r-l "

suma de los térm¡nos de una PG decreciente infinita, cuando 0 < a.

.

No,porquer>l v0
+ ...

+)

= 531 440,halla el valor dey,

Observamos que es una PG creciente finita. Extraemos los datos:

a1=2,¡=3yS,=531446

.

Reemplazamos en la fórmula: 5- =

2 ' 13'

+ n= 12 y = 2' 3" y = 2' 311 = 354 294 -

: -l-l

1

I

-

3'

- I = 531 440

3" =3r2

El valor

de y es 354 294.

EJEMPLO 49

I

Halla la suma de las áreas de todos los cuadraditos sombreados que se pueden formar dentro de un cuadrado mayor cuyo lado es de I cm.

a

lnvítelos a analizar el ejemplo 48. AnÍmelos a demostrar que la sucesión dada es una progresión geométrica finita (porque se conoce la suma de todos sus términos). Comente que los términos están expresados en función del primer término y larazón. Es posible que, en el ejemplo 49, cometan el error de af irmar que la razón geométrica es 7z y que el primer término es l/2. Para evitar este error, pida que hallen las áreas de los cuadrados y con esa información establezcan la sucesión lla;1h6,1l6a; ...).

.

(+)''

(i)'' (+)'

Por dato: al

En las actividades 1 y 2, resalte que las progresiones geométricas son finitas, porque presentan el último término. (Sugiera que apliquen la primera fórmula que se encuentra en función de "a," y "r"). Antes de pedir que desarrollen las actividades 3 y 4, recuerde que una sucesión geométrica es decreciente si el valor absoluto de la razón es menor que la unidad; además, señale que para hallar la razón bastará que dividan un término cualquiera entre su antecesor,

' | .

I8 1

.t_

4

8

1 4

+

\2, I

t6)

1

-_1 =14 v ,_4

.L

Hallamos la suma de las áreas:

S

=4 ,1-3=! ,4

La suma de las áreas de todos los cuadraditos sombreados

es -L cm2

3

N N @ j

.i i

E]EMPLO 50

Antes que desarrollen la actividad 7 y 8, explique que, si se multiplica una sucesión por un número, este multiplicará a cada uno de sus términos y, si se suman o restan dos sucesiones, estas se resuelven sumando o restando término a término. Para la actividad 9, proponga que planteen una ecuación (so = 9ss). En la actividad 10, pida que hallen larazón; luego, oriéntelos para que seleccionen la fórmula en función de los datos.

Para consolidar los aprendizajes, plantee la siguiente situación: Calcula la suma de los términos de la siguiente progresión geométrica: {800; 400; 200; 100;. ; 6,251 (La suma es 1593 75)

Observamos que Ias áreas de los cuadraditos sombreados forman una PG decreciente

infinita:

En una PG hay 12 téminos; el primer témino es 3 y el último 12 582 912. Si la suma de sus términos es 16 777 215, ¿cuál es la razón?

. .

Pordatos: n =

12.q=3,an= .a r'' -.4

La razón de la PG es 4

r08

+

:Q E

12 582912y Srz= 16 117 215.

t6 7j7

¡5

=

12 592 912r _ 3

+

t

-

Io o

Reemplazamos los datos en la fórmula de PG finita y resolvemos: 16'7'7'7 215 =

Para consolidar

§

< 1, se expresa asÍ:

E.'EMPLO 48

Para desarrollar

I

/

'1r

Si2+2'3 +2'32 +2'33 +2'34 Es una PG alte¡nada.

finita, cuando r > 1, se expresa asi:

PG

a,

! e

¡

= _¡ c

r=4

o

§

E

3 o

a c

§ c a @

LIBRO DE ACTIVIDADES

PROGRESIÓN

GEOMÉIRICA'

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

ff

oesnnnou-arus

cAPAcTDADES

Usa

1-ó

esfate8ras y proc€d¡m¡entos:

Argumenta afirmaciones:

7-'10

Patrones numér¡cos

Calcula la suma de los términos de las siguientes

Si se cumple que

progresiones geométricas:

y responde.

*.

á.

*

+

* ...=f;,resuetve

*

¿Cuál es el undécimo rérmino

@ Multiplica por 9 la expresión original y réstale

A

2.

@ ¿Cuál

5:¿¡

PCiinitr

-l

=

¡=l+6= j¡«,=6

.-

I

.

el valor de la suma de rn y z?

.

seobrienc: til+t= +j +i ,, .i

15 » ^t ttt\ =t'1;=fi 8(f)

¡

r-i

Si 2 + 22 +23 +24 + ...

seis primeros términos de una PG es nueve veces la suma de los tres primeros.

382,calculael

fi

*

....

valordex+32.

B

sean

e= + ]

{

, =+-+- á-+ 5. PGfinita:

t''

:9

tt

p P

o

a c

Hallamos B § 3 @

=

o=r 7 = r -tl /-l\ r.l "l

'\1/

E c

_L

- A:

B-A= 34

_L=

(r(rr- l)(ri+ l) de B

-A.

-t'

ir, =t

>¡=2

l,r

lr l'(i

es 2.

@

200

-{

I

@),s

I

= I 594323

de ta sucesión

2

Suceslones y progresiones

t44

Fig.l

@#

entre el término 15 y el término 13

{0, J,

r,

110

de cubitos

.{ @

D) 224

e

j:,*,

}

o)+ @+ oi¿

=1 ti4452 UNIDAD

rs

=

),

477

roo

c)

96

D) 8l

@ Calcula el número total de puntos de la figura en la siguiente secuencia:

{2;3;6; l0¡ 18;21;54;36: ...}. D) 4 B) c)

@ Halla el cociente

>t=14

"11 =-J".>r¡-l=l-t l,llJ Ir

s,.=''' ." ," t

210 @zso

A)s u)l¿ .)#

|

t8

=),,t -

de la décima figura.

A)

Í3.6. r.t8.27. I 14'7'm'13'ró' 'J

la sucesión

1782969=3.i' r+3'

nrr=|Ozl' - lr.

@ Halla el término l9 de la siguiente sucesión:

PCfinita: {3191 27:81; ...1¿,,} Término general: uil = at ' r'¡

22...

Resuelve y marca la opción correcta.

2048', b,,= -L

8;7; l6; ...}.

B)

_r

¿,ll-!

@ Calcula la suma de las cifras del término 13 de

_9

c o a

A)

51

12'\-

@ Observa la secuencia y halla el total

'i

{lt2:3;4t

se reproduce según una ley geométrica: en el primer minuto, nacen 3; en el segundo minuto,9i en el tercero,2T; en el cuarto,81; y así sucesivamente. Si cierto minuto nacen 4 782 969, ¿cuántas bacterias hay en total

|

= 4096.

@ Determina el término l6 de la sucesión

@ Una bacteria

.n

-

2ttt

Resuelve y marca la opción correcta,

r¡+ l=9 razón dc

4.

br, =

5

_l \: ,

Hallamos el término general: rr,,

I

hasta ese minuto?

B es una.PG infinita: a,

E

r

,, = I ¡ , = I

I

o

I =9-,

|

El untlécimo término -'-"""" es

rr,:nz

^=+=1 ,5

f

§

s,,={!!=

(r. Aes urta P(i i¡rlirrita:

ci

l

+ ... Halla el valor

1(2'l)=2(llr l) >n=13 21r = lil92 > 8192 + 32 = 2.56

_i

o

t

.r=

N N @

!

-J-o, *

4' 2'

Fig.4

+4 I+7 +10 _-' +3 +3

Analizamos el denominador:

b,,=

Scl [«,. n,. «,. rr,, c¡. rr,,] una P(; dt rrzón r. (rril'' t, lt ,r,trt I)

S,,=95. > *

I:.-

Por lo tanto:

Es una PG, entonces el término general es:

Fig.3

Observamos que la suma de puntos forman una PA de segundo orden:

.

¿Cuál es la razón de la progresión?

16

I Fig.2

término general es a,, = nz ¡ | a,=ll2+I=122+d¡=122.

Resuelve.

@ La suma de los

+x=

Fig.

4.. I I t 16.- I 32 f 64... xZ x2 x2 x2

Analiza y resuelve.

E

ó

64'

.

a cs 47.

.

" ++) "-'

n'

Analizamos el numerador:

Es una PA de segundo orden, entonces el

6 -,r

PGinfinita

Determina el total de puntos en la figura 18 de la siguiente secuencia:

2\._,, 5 I l0',.- ..4t7 A 26... ' +3\. 7+5\. .'+7\. a+9 +2 +2 +Z

>u+t=1'7

l-5

El valor de la sunrr de rr

PG infinita

4.r= l+1 ={:«, =3 .1 _, ,.

14'E'to'

) -1.*].* ?

t_+

535,95

t3. l" n' ' 'l'

en la sucesión

Escribimos la sucesión de la siguiente forma:

x' ¡*l*i*i* '.t .rr .15 = "r*_l_=§4

l-5

32'

p '"

12.s.t0.t7.26."'ÍI

=sl 4) -1

r=384+76¡= f:u,=76liyi¡= 7ó8[

3.

= lr¡r=ll

es

7 l+t+l+1+ 3' l)

ll - 8r .ir{r) l{)x

Srs =

1r' 8'8'

obtienes?

§ {6:3r};};...1 0 {3;-r;j;};...r l.r=10= l= s , = ll' tt-''

f r. 5. 5. 17.

esta misma expresión. ¿Cuál es el resultado que

{768i 384' 192l'961 ...1 ars}

EJEMPLO 52

EJEMPLO 5,I

o)#

A)

Fig.2

170

B)

l4

G@@ Fig.3

Z1s

C)

Fig.4

385

Fig. 5

@+os

@ La figura que se muestra tiene dos circunferencias concéntricas. Determina el número total de puntos de la figura que tenga 20 circunferencias concéntricas

@r+zr c)

ll20

B)

1360

D) 998

g 8

p p

§ 3 o

TEXTO ESCOLAR

Interés compuesto ¡Textoescolar(pag

11)

ILibrodeactividades(págs.

1,11-113)

Capacidades y desempeños precisados Usa estrategias

y procedimientos

.

lnterés simple y compuesto

lnterés s¡mple y compuesto

Para iniciar Proponga que den lectura y analicen el texto inicial para extraer las ideas principales. Pregunte: ¿Cuál es la diferencia entre el interés simple y compuesto? (Que en el simple se retira el interés al final de cada periodo y el capital se

i (,, r'l

i=

I

Al final del 1.e'año

Para consolidar Concluya resaltando que si en los problemas no se indica el periodo de capitalización se da por sobrentendido que será anual; además, reitere que para calcular el monto del interés, previamente se debe hallar el capital final.

A ¡nterés s¡mple

r

(1,,

Cap¡tal ¡n¡cial

8000

lnterés ganado

0,05

Cap¡tal final

8000+0,05.8000=8400

0,05.8000=400

8000 = 400

8000+0,05.8000=8400

8000 + ganado

capital inicial

8000 (el interés Sanado se retira)

tnterés ganado

0,05 8000 = 400

]

8000+0,05.8000=8400

F4oo-oer"roo=8ro

IMPORTANTE

I

lnterés con periodos de capital¡zación no anual

Er-t*

c,=c.(t + fi)' '

A interés compuesto 8000

A interés simple

I

s

capitaliza)

o,o5 .(8ooo + 4oo) = 420

-

EJEMPLO 10

-

,

Donde: es el número de días, meses, bimestres o semestres que hay en un año.

¿En cuánto se convirtió un capital de S/ 12 0O0 al cabo de 8 años si se deposita en una caja municipal a una tasa de inteés anual del 67o?

a) A interés simple:

Previamente al ejemplo 53, recuerde el procedimiento para transformar los porcentajes a números decimales (10y" = 10/100 = 0,10). En el ejemplo 54, haga notar que el capital final viene a ser el monto que se pagó al término del préstamo. Asimismo, explique que, si en el producto uno de los factores tiene su exponente negativo, significa que está dividiendo.

Explique en la actividad 1 y 2 que la expresión plazo filo hace referencia a que el capital se depositó con interés compuesto. En el primer caso, resalte que el interés se calcula restando al capital final el capital inicial. Para la actividad 3, recuérdeles que deben multiplicar la parte decimal de los años por doce para hallar los meses y la parte decimal de los meses por 30 para calcular los dÍas. Pregunte en la actividad 4: ¿Qué datos identificas en el problema? (El capital inicial, el tiempo y el interés total). ¿Son suficientes los datos para resolver el problema? (No, porque falta calcular el capital final).

cuánto se conv¡erte un capital de s/ 8000 al 5% anual en dos años?

Al f¡nal del 2." año

Resalte que, en esta sección, se trabajará considerando una tasa de capitalización anual, es deci¡ que el interés ganado recién se capitaliza en el siguiente año, por lo tanto, el tiempo "t" debe estar siempre expresado en años. Asegúrese que los estudiantes cuenten con sus calculadoras.

En la actividad 5, resalte que la tasa de interés debe ser expresada anualmente. Y en la actividad 6, pida que el tiempo, que está en meses, lo expresen en años.

I

('r

¿En

Ci-(',,t1+¡)'

Para desarrollar

I

En un interés simple, el ¡nterés se retira al final de cada periodo, el capital se mantiene constante. En un interés compuestq el interés no se retira, sino que pasa a formar parte del cap¡tal inicial; es decir, se capitaliza.

() c,,rr

mantiene constante; en cambio, en el compuesto el interés no se retira, sino que pasa a formar parte del capital inicial, es deci¡ se capitaliza). Luego, pida que evalúen el desarrollo de la situación inicial: ¿Cuál es el interés simple y compuesto en el primer año?(S/ 400). ¿Hay alguna diferencia en las cantidades obtenidas? (Ninguna, ambas opciones aportan lo mismo). Explique que la diferencia entre ambos intereses se observará a partir del segundo año, debido a que la capitalización es anual. Pida que revisen la sección "Ten en cuenta", donde se presentan las fórmulas para calcular el interés simple y el compuesto.

I

liJ

deudas, etc., aparecen habitualmente en los cálculos financieros. Conoce dlchos conceptos te será út¡l para resolver situaciones relac¡onadas con progresiones geométricas.

Sugerencias didácticas

I

"i-

Las variac¡ones porcentuales, el interés simple, el interés compuesto, las

Adapta y combina estrategias heurísticas, recursos gráficos y otros, para resolver problemas relacionados con tasas de interés compuesto. (1a; 1-6)

.

Planteamos y hallamos el capital final: j = 12 000 ' 0,06 ' 8 = 576O

El capital final

se convierte en: C/ = Co

+ , = 12 000 + 5760 = Sl l7 760

b) A interés compuesto:

.

,tÜF

Planteamos y hallamos el capital final:

C¡= C.

(l

+ r¡t=

El capital final

12 000

(l

+ 0,0ó)8

se convierte en

= 19 126,18

S/ 19 126,18

Págs.11I-115

ffi

v a

I e p !

§

orsannorrnrus

tjsa estrateSias y procedimientos:

cAeACIDADES

@ Camila deposita

&

a un banco S/ I 0 000 a una tasa de interés anual del TVo.Hallael capital final que obtiene en 9 años a interés simple y compuesto. José retiró de una ca¡a

-rri"iNáíil(x):

s

I

8 -rsl

«)

de S/ 30 625, después de 5 años. Si la tasa de interés anual fue del 8Vo, ¿cuál es el capital que Sr lo ij-}l.sr,

depositó?

1-4

f,) Andrea depositó en un banco S/

I 8 000 durante 8 años a una tasa de interés del 1,2Eo trimestral. ¿Cuál es el monto que recibirá al final del tiempo?

$

S lr) I()I 6-1

Femando deposita S/ 25 @O a una institución financiera a una tasa de interós del 4,570 anual capitalizable mensualmente. Halla el monto total que cobrará en l0 años. s .rt) I 7-i.§l

@

UNIDAD

2

Sucesones y progresiones

25

V¿

LIBRO DE ACTIVIDADES

INfERÉS COMPUESTO

¡

'

@ lnterés s¡mple y compuesto

TEN EN CUENTA

Cuando una persona depos¡ta un capital en una inst¡tución financ¡era, durante un c¡erto t¡empq se generan intereses en su benef¡cio Si se ad¡cionan ¡ntereses al capital, el interés se llama compuesto. Caso contrario se llama ¡nterés s¡mple. Ver margen. ¿En

Al f¡nal del

lnterés ganado

'l.e' año

l= 20@'0,05 1=1@ Cr=20@+100=2100 2.'año: co = 2mo l= 20@ 0,0s 2=200

2000

0,05'200O = 100

21W

0,05'2100 = 10s

+105 =2205 2000(] +0,05)2=2205

12.'año

3.er

año

4." año

3.e¡

r=lq-1

Á^

.

año: co = 2000

.

p

s c

o L

p € I

.

5,7

l= 2000 0,05 4=400

6 = 2431,01

Para que se produzca dicho inteÉs, deben pasar 6 años,2 meses y 5 días.

Empleando procedim¡entos recursivos se obtiene:

2000(1 + 0,05)4 = 2431,01

l=C¿.r.t-Cr=Co+l

lnteres simple ResoluciÓn del e¡emplo 53

@

c @

o

=S/ 94 672

.

= 7100 Pedro rec¡birá S/ 7100.

Cr

('ou13o#*)',*n

=

108

meses+ ¡=

.

V = 531,15%

108

+

12

15

=9

000; Cr= Sl 94 672 años

Aplicamos la fórmula del tiempo y resolvemos:

,--Pr*-

uo

u=

Identificamos los datos: C, = S/ f

.

V= '-r= -o"100%

Cr=5@0t2100

t = 1,22'72- t =0,2272

Hallamos la tasa trimestral:

r = 22,72 + 4 = 5,68

+

+

r=2l,izva

I año tiene 4 trimestres

r = §,$$o/o

La tasa de interés trimestral es 5,68Vo.

EJEMPLO 57

(r):

3OVo

=

3OI1OO = O,3O

Aplicamos la fórmula del capital inicial y resolvemos: a

Un comerciante recibió un préstamo bancario de S/ 20 0O0 a una tasa de 0,l5Va de interés diario. ¿Después de qué tiempo tuvo que pagar un interés total de S/ 6000 al banco? Ejerce su ciudadanía. (Comprende las relaciones entre l0s elementos del sistema económico y

.

Por datos: C, = S/ 20 000, i = S/ 6000 Tasa de interés anual

.

financiero).

it ,,,,i, r.,i

r.,1.,..

,^^ /26 ooo\ ,"8 ,',r\

(r):

+

,=

0, I 5 7o diario = O,lSVo

\20

000i=

.r¡**tñ)

0,1 tJ94

ül 8ffi

' 360 = 54Vo

I

= O,54 € e I I

= 0.6o'76 = 7 meses y 22 días

Pagó S/ 6000 después de 7 meses y 22 días.

,'

Cr= 20 000 + 60ffi = S/ 26 000

Reemplazamos los datos en la fórmula de tiempo y resolvemos:

= 19 690,49

§ @

@

c

§

Rosa recibió de una caja municipal un préstamo de S/ 15 000 para cancelarlo en 108 meses. Si el monto que debe pagar es de Sl 94 672, ¿cuáLes [a tasa de interés trimestral que cobra dicha caja municipal?

Ct

r= smo.0,07.ó t= 21ú

= 7/ 10O = 0,07

Identificamos los datos: Cf = Sl S0 238; r = 4 años

,,ir,,t,f

EJEMPLO 5ó

variac¡ón porcentual en un intervalo de tiempo

co=s/15000,t=9años

La institución financiera le prestó a Sandra S/ 19 690 Í9.

ff,

IMPORTANTE

I

tu ciudadania

C" = 56 238(1 + 0,3O)

§

0,1528' 30 = 4,58 = 5 días

Cr=2000+4m=2400

1 1

+ 0,07)6 = 7503,65

Tasa de interés anual

=

meses

2315,25 +

Sandra solicitó un préstamo a una institución financiera para pagarlo en 4 años, a una tasa de interés anual del 307o. Si la deuda que pagó ascendió a S/ 56 238, ¿qué cantidad de dinero Ie prestó la institución financiera? g

Convertimos a años y meses:

Por lo tanto: 6,1794 años = 6 años,2 meses y 5 días

EJEMPLO 54

Ci

786\

6,1794 años = 6 años + 0,1794 años

Pedro recibirá S/ 7503,65 después de 6 años.

N N @ j

173

_ '"6 \50 000i _ 0,16900 A 11o ' - log (l +0.065) - 0.02735 -

4." año: Co = 2000

Aplicamos la fórmula del monto y resolvemos:

(l

= 0,065

2000(1 + 0,05)3 = 2315.25

Identificamos los datos: C,, = S/ 5000; I = ó años

Cr= 5000

ffi

Aplicamos la fórmula del tiempo y resolvemos:

0,1794' l2 = 2,1528

Pedro deposita S/ 5000 en un banco a una tasa de interés anual del 77o ¿Cuánto recibirá después de 6 años?

.

.

,

¿Cuál es la variación porcentual en 9 años para

7 7o

Identificamos los datos: C, = S/ 50 000; i = Sl 23 786

C¡= 50 00O + 23 786 = Sl 73 786 Tasa de interés anual (r): ó,5 7, =

+r)

el ejemplo 5ó?

(r):

.

'

tc

EJEMPLO 53

Tasa de interós anual

que se produzca un interés de Sl 23'786?

q=2000+300=2300

un capital inicial (Co), depos¡tado a un tasa de interés anual (r) durante r años, empleando procedimientos rec"ursivos se convierte en un capital final o monto tal que: C/= C¿ (1 + rF.

.

log(1

EJEMPLO 55

David depositó S/ 50 00O en una institución financiera a una tasa de interés anual del 6,5Eo. Lcuántos años y meses, aproximadamente, deb€n pasar para

r= [email protected],0s.3=300

2205 + 110,25 =2315,25

0,05'2315,25 = 115,76

2315,25

'-

'

q=2Cfo+2@=22Co

21C0

0,o5 .2205 = 110,25

2205

t-

año: Co = 2000

Capital final

2000+100=2100 2000(1 +0,05)=2100

*(g)

el interés s¡mple, el cap¡tal permanece constante. En

1.er

Capital in¡cial

Despejando el t¡empo y la tasa de ¡nterés de la fórmula del monto de un interés compuesto, se obt¡ene:

lnterés slmple

cuánto se conv¡erte un cap¡tal de s/ 2000 al 5% en 4 años?

...

INTERES COMPUESTO

UNIDAD

2 Sucesionesy proSresiones

111

112

LIBRO DE ACTIVIDADES

lnterés con oer¡odos de capitalizáción no anual INIERES COIVIPUESIO

ff

oesannou-nrus cArACIDADES

Usa estrateSias y procedimientos: 1"ó

Resuelve los siguientes problemas:

ll

de interés?

¡=

6 ar'ios:

r= 6.5% =0.065

Hallamos el nronto o capital final:

Cr= 2000.

(l +0.065)6 > C¡=

Clalculamos cl interés pedido: I = I = 291 l3,2tl - 2000 = S/. 9l ti.28 Gana S/

9l8.lt{

S/ 291ti.28

Cr

I)¡tos: (',, = S/ 2O O(X): / = -l lños: I = S/.15 H¡lhtrros cl tnonl() () citl)¡lol linrl: ('/ - 20 0()o + 15 16.1 = S/ 5.s 16.1

II¿¡llrnrrs

de interés.

y procedimientos

lt

S/ 26 460 por sus ahonos a plazo fijo en una institución financiera. Si dicha

institución le pagó el 7 ,83Vo de tasa de inteÉs anual durante 8 años, ¿cuá es el capital que depositó?

I

ls.')i'

@ Fernando depositó en un banco un capital de S/ l8 200 al0.357c de interés mensual. Si al culminar el plazo fijo recibió S/ 3 I 160,50 en total, ¿qué tiempo estuvo depositado el capital?

I

(, =S, lSl(X).(.=Si.ll ll)0.50 lir tilsil dt iltlcr(:s itnultl: r'={).15r1 ll =-1.1'., = 0.Oll lllrllirltto:

Hallanlos el capital inicial: c,, = 26 460( | + 0.078-r)-5 = S/ t4 476.8

I

El capital c¡ue depositri cs S/ I.1 476.8 I .

('irlcrrllrntos el tienr¡rrr ¡rerlirirr: ll l(,{) io

h'r

'=

I

1,,*,

ñ1rrr

lliiii+:,

>/=

l'l 0r0

rrirrrs

I

@ Nicolás depositó

depositado el dinero? Datos: C,, = S/ 52 375. r = 8.25o/o = 0.0825: I = Sl 12 564.72

@ Lucía pidió

a una institución financiera un préstamo de S/ 80 00O para cancefarlo en 84 meses. Si el monto total que debe pagar en el plazo determinado es de S/ 120 972, ¿cuál es la tasa de interés semestral que cobra dicha institución fi nanciera?

Hallamos el monto o capilal final:

C¡=52375 + 12564.12=St 64939.72 §

a

§ o

Calculamos el tiempo pedido:

^r(:w)t

logji+o-¡E

0.7115 ¡2=11.55 >lJnrcses 0.55 -10 = l(r.5 = l7 días Estuvo deposilario

I

Dak)s: C,, = S/ 8{) t)tx)l C, = S/ I 20 972

I

Hallamos el tiempo en años: I = 8¿l meses = 84 + l2 = 7 años

>r=2.7125años

rños. ll ntescs v I 7 días

Calculamos Ia tasa de interés anual:

,

=P-

r

>r=o.o6o9=6.09%

Hallarnos la tasa semestral:

6.09;2

La instilución t'inanciera cobra 3.045

UNIDAO

2

= 3.04.57 %,

5)

.

Resuelve situaciones problemáticas relacionadas con los elementos de la fórmula del interés con periodos de capitalización no anual. (1-4)

Es importante generar el conflicto cognitivo en los estudiantes para promover en ellos el análisis y la reflexión. Pregunte: ¿Qué es más

lnvítelos a revisar la fórmula y señale que "n" representa el número de partes en el que se divide un año comercial (periodos). Luego, proponga que revisen la sección "Ten en cuenta", donde se brinda información acerca de los per¡odos. Enfatice que el periodo de capitalización determina las unidades de la tasa y el tiempo, es dec¡r, si la capitalización es bimestral, entonces la tasa de interés r% y el tiempo "t" debe ser expresado también en bimestres.

Para desarrollar

0.{)7{) ll=O.S-1 >Onrcsrr O.ll-l .10 = 15.l = 15 rlri¡r l:.1ttrrr rlcPr¡sitlrLir¡ l.l ril,rr r l5 tlilr'. en una caja municipal un capital de Sl 52315 al8,25Vo deinteÉs anual. Si al finalizar el tiempo pactado, recibió un interés total de S/ 12 564,12, ¿cuánto tiempo estuvo

1 1

conven¡ente, una cap¡talización mensual o anual, si en ambos casos la tasa de interés es la misma? (Conviene la capitalización mensual, ya que en el Segundo mes el capital se ¡ncrementa con el interés ganado generando una mayor rentabilidad, m¡entras que, en el segundo caso, el incremento en el capital se produce recién a partir del segundo año). lnforme que se ha convenido en que el año comercial está compuesto por 360 días y que el mes comercial tiene 30 días.

tirsa hir¡rcslrirl: lii.(.).1 = 6 = -1.lil'ri

I)irl(rs;

Datos: C/ = S/ 26 460: I = 8 años: r=7.8..1% =0.07ti-3

14-

Para iniciar

Ijl luttcr¡ cotrrr uIn tir\ir l)ir]re\t|lrl tjcl -1.Sl9i

@ Camila recibió

1

Sugerencias didácticas

26-1

('llculr¡nils lr lasl dc ilrtcrris rnual. ,= rir/-55 l()J I >/=r).ls(rr

1;i,r,,ii

C,,

Usa estrategias

de S/ 20 000 para cancelarlo en 4 años. Si el interés total que debe pagar en el tiempo pactado es de S/ 35 264, ¿cuál es la tasa de interés bimestral que cobra dicho banco?

Lihro de activrdades (págs

Capacidades y desempeños prec¡sados

@ Manuel recibió de un banco un préstamo

David deposita S/ 2000 en un banco a una tasa de interés anual del 6,5Va aplazo fijo. Si retira su dinero al finalizar el sexto año, ¿cuánto gana

Datos: C,, = S/ 2000:

¡

'

senrestral

Sucesionesy progresiones

113

MotÍvelos para que evalúen el desanollo del ejemplo 58. Hágales notar que la capitalización es bimestral, por lo que el tiempo y la tasa deben estar expresados en bimestres. Pregunte: ¿Cuántos bimestres hay en 5 años? (30 bimestres). ¿Cuánto es el ¡nterés que ganó durante los cinco años? (Ganó 3 140 soles). En el ejemplo 59, destaque que el capital se va incrementando día a día porque su periodo de capitalización es diario. lnterrogue en el ejemplo 60 ¿Qué proced¡m¡ento se pudo obviar? ¿Por qué? (Transformar los meses a años: no es necesario este procedimiento porque la capitalización es mensual). lndique que para hallar el interés, se procede a restar al capital final el capital inicial. Revise con.iuntamente con los estudiantes el ejemplo 61. Explique que la fórmula del capital final se debe expresar en función del logaritmo. En la actividad 3, recuerde el procedimiento que se emplea para convertir el tiempo en meses y días. (Para los meses, se multipl¡ca por 12 y para los días se multipl¡ca por 30). Para la actividad 4, sugiera que despejen la tasa de interés y reemplacen en ella los datos.

N N o j

ci

i

'ó

)

E

E f o

p _o

Eo L

Para consolidar

a

I

e --

Enfatice indicando que la tasa de interés y el tiempo, en estos casos, deben estar expresados en la misma unidad. Para ello, se debe tomar como punto de referencia el periodo de capitalización.

a

c a

@

a

LIBRO DE ACT¡VIDADES

.

INIERÉS COMPUESfO

@ lnterés con periodos de capitalización

fl

no anual Posibles valores de tr El

año se divide

lf

Existen periodos de capitalización que no son anuales, sino diarios, mensuales, bimestrales o semestrales. En estos casos, la fórmuia de interés compuesto se expresa asÍ.

cr= co(l *

fi)'

orsnnnou-aruscAPACIDADES

', oonde fl es el número de periodos de t¡empo que hay en un añ0.

en...

t1

2

Cuatrimestres

3

EJEMPLO 58

mestres

4

Bimestres

6

Femando deposita S/ 12 500 en una institución ñnanciera a una tasa de inteés del 4,57o anual capitalizable bimestralmente. ¿Cuál sení el monto acumulado en 5 años?

DíaS

(año comerc¡al)

12

3ó0

. .

C, = S/ 5fi)0:

/ = 8 años; = 4 (u¡l año lieIe 4 trin)cslrcs) r = 5.21Q =0.0521

Hallamos el nlonk) o capital flnal:

Identificamos los datos: C" = S/ tZ 500; ¡ = 5 años r =4,57o =0,O45 n = 6 (un año tiene 6 bimestres)

c¡= 5om( r *

)t'

12

soo (l .0'0Js)' '=

EJEMPLO 59 Datos: C,, = S/ 1.1 (XX): / = 5 años: ,¡ = 360 (un año tiene 360 tlírs)

Identificamos los datos: C,, = S/ 26 400; f = 3 años

r =38,2Vo

.

c/=31

Aplicamos la fórmula del monto y resolvemos:

c¡= 26 4oo (r *

ffi)'''

Interés ganado: 82 993,01

-

4OO

@

Delermina el interés que gana una caja municipal en 42 meses por un préstamo de S/ 32 000 con un interés de 55,5?o anual capitalizable mensualmente.

pc

.

5

Ia o

.

f

p o &

7

l7 ,34

) I p q

I E

=213"¡7,34

-

32 UJO

= l8l

I)atos: C,, = S/ 135 (XX): I = l0 años: r¡ = 6 (un rño tiene 6 binrestrcs)

r = 4.8

%,

= 0.041i

7 l'7

,34

.

160/8000)

=3.6265+3años

Convertimos el tiempo en meses y días:

0,6265'

12 = 7,518

0,518' 30 =

+

15,54+

7 meses 16 días

Estuvo depositado 3 años,7 meses

y

16 días

('/=ti-s000(l.!f)"

r{)

=

l-17

I

§

e a

=

137 10.1,2.1

-

8.5

Resuelve.

@ Martha pidió

a una institución financiera un préstamo de S/ 30 000 para cancelarlo en 5 años. Si el interés total que debe pagar en el plazo determinado es de S/ I 20 450, ¿cuál es la tasa de interés anual capitalizable mensualmente que cobra dicha institución fi nanciera?

Datos: C,, = S/ 30 000; r = 5 añosl I = S/ 120 450 > C,= S/ 150 450 r¡ = l2 (un año tiene l2 meses) Despejanros la tasa de ¡nterés anual de la lór¡nula

y resolvemos:

cr=c,( r *

Hallamos el moDt() o capital final:

lg4.l.l

('alcrlamos el interés pedido:

a 114

I

I

El interés que gana la caja municipal es S/ 181 717,34.

o

@

*ff)'''

Interés ganado: 213

@

c a

Aplicamos la fórmula del monto y resolvemos:

cr=32ooo (r

s

§c

Identificamos los datos: C,, = S/ 32 000;, = 42 meses = 42 + 12 = 3,5 años r = 55,5Vo =0,555 n = 12 (un año tiene 12 meses)

César deposita un capital de S/ 85 000 en una institución financiera que paga 4,8 7o cle ínterés

anual capitalizable bimestralmente. Calcula el interés que ganará en l0 años.

EJEMPLO óO

.i

t

ooo(l*!l#)t"" =4et6i.i8

= 56 593,01

El interés que gana es S/ 56 593,0 I .

N N @ j

_ log(ll

=0.1175

Hl nrotrto total t¡ue cobrará es S/ 49 467.71i

= 82ee3,ot 26

log (CrlC,)

ntog(t+f,)

llallanxrs el nr(nlto o capital [in¿rl:

n = 360 (un año tiene 36O días)

=0,382

-.*r;n

a una

diariamente. Determina el monto total que cobrará en 5 años.

r =7,5t)l

Despejamos el tiempo de la fórmula y resolvemos:

c¡=c,( t +l)'t+t=

tasa de interés del7,5Vo anual capitalizable

Zuleika realiza un préstamo de S/ 26 400 de un banco que cobra 38,2Vo de interés anual capitalizable diariamente. Calcula el interés que gana durante 3 años.

Identificamos los datos: C., = S/ 8000; C¡=S/ tt 16Ol'r--9,25Vo =0,0925; n = 6 (un año tiene 6 bimestres).

.

= s+z:.c:

@ Sandra deposita S/ 34 000 en un banco

El monto acumulado es S/ l5 640,90.

.

.

El monto acumulado cs S/ 8472.92.

15 640,e0

-4

S/ 8000 al 9,25Vo de interés anual capitalizable bimestralmente. Si al culminar el tiempo pactado recibió un monto total de S/ I I 160, ¿cuánto tiempo estuvo depositado el capital?

Aplicamos la fórmula del monto final y resolvemos:

C¡=

1

Adriana depositó en un banco un capital de

[

o'oj2l

procedimientos:

) erruelo

Pedro deposita S/ 5600 en una caja municipal a una tasa de interés del 5,21a/o amal capitalizable trimestralmente. ¿,Cuál será el monto acumulado en 8 años?

Datos:

IVeSeS

Usa estrategias y

Resuelve los siguientes problemas:

Semestres

Tr

T

INTERÉS COMPUESTO

000 = 52 104.2.3

i)"'

-, = r"'|,/crtq, .= 12 (' tlalls- r)=o.rzor

t

r = i1.6()t)/¡

Ll

lir\ir d( irltcr(ij ¡ururl c\.11.69/;

IJI interés que ganar¿i Cés¿rr es de S/ -52 104,23.

@

UI{IDAD

2

Sucesionesyprogresiones

115

TEXTO ESCOLAR

lmpuesto a la renta lTextoescolar (pág

26)

lLibrodeactividades(págs.

116-118)

Capacidades y desempeños precisados Comunica Usa estrateg¡as y procedimientos

. .

ldentifica los diferentes tipos de impuestos. (1-7) Resuelve situaciones problemáticas reales relacionadas con los impuestos. (l-3; 8-12)

tmpuesto a la renta: De quinta categoría y pred¡al El impuesto a la renta (lR) afecta los ingresos de las personas, empresas y otras entidades legales. Para entender el significado del pago del lR, se deben tener en cLref ta los grLrpos tributarios involr-icrados. negocios, trabajadores rndependientes, trabalaclores en plan lla, etc

Para iniciar

I

I

lnafecto hasta 7

Motívelos a revisar la información sobre el impuesto a la renta (lR). Coménteles que todo contribuyente del impuesto a la renta (quinta categorÍa) tiene derecho a descontar de su renta bruta el importe de 7 UIT que no están gravados con el impuesto. Destaque que una UIT para el año 2016 ascendÍa a S/ 3950, además, pida que revisen el cuadro de la escala de impuestos que se presenta en el margen de la página 26. lnvítelos a dar lectura al texto referido al impuesto general a las ventas (lGV). Pregunte ¿Cuándo se paga el IGV? (Esle impuesto se paga cuando se realiza cualquier transacción comercial) ¿A cuánto asciende la tasa del IGV? (La tasa es del 18%). Luego, centre la atención en el impuesto predial, explÍqueles que son contribuyentes a este impuesto las personas naturales o 1urÍdicas que son propietarios de predios urbanos o rústicos.

lmpuesto de quinta cateSoía

cuadro de escala de impuestos (para el caso de rentas ¡mponibles)

Sugerencias didácticas

ulf

Escala de

TASA

¡mpuestos

IR

Hasta 5 UIT

8%

l5u1 20url

140k

urT-3s

120

I

Este impuesto lo pagan las personas cuyos ingresos provienen dei trabajo personal prestado en relación de dependencia (sueldos, salarios, gratificaciones, vacaciones). Es retenido mensualmente en las remuneraciones por el empleador.

l3surT-4surfl

20%

Más de 45 trlT

30%

I

En la actual¡dad, el

impuesto general a las ventas (lGV) en el Perú tiene una tasa de 18%.

Concluya señalando que todos pagamos el IGV y esto se da cada vez que adquirimos algún producto, desde un caramelo hasta un automóvil. Asimismo, enfatice que el impuesto a la renta y el impuesto predial se calculan por tramos y el monto final del impuesto se halla sumando los resultados parciales obtenidos en cada tramo. Proponga que resuelvan la siguiente situación: Carmen pagó S/ 1240 por una refrigeradora y S/ 1120 por una lavadora. Si los precios incluyen el IGV halla elmonto que pagó por impuestos. (S/ 360)

+ S/

80O

= S/ 26 000 se aplica

el IR de

Este tributo grava el valor de los pred¡os urbanos y rústicos basado en su autovalÚo. Para calcularlq se aplica la escala progresiva acumulativa del margen.

) Escala progresiva acumulat¡va

AlÍcuota

EJEMPLo 12

El valor total de un predio es de S/ 280 000. ¿Cuánto predial al año por dicho predio?

.

Primertramo: Segundo tramo:

59250.O,2Vo = 118,50 237

OOO

-

59 250 = 1'77 750 = 1066,50

177 75O.O,6Va

1.0%

Tercer

tramo:

280 000 43

,.ÜF

se pagará de impuesto

Calculamos el valor del impuesto en cada tramo:

0,2%

Para las actividades 1 ala7, propóngales que intercambien sus justificaciones de por qué afirmar la verdad o falsedad de las proposiciones dadas y de ser necesario que refuten las afirmaciones de sus compañeros. En la actividad 8, indíqueles que determinen el ingreso anual y si el monto resulta mayor que 7 UlT, deben calcular el impuesto sobre la diferencia, mientras que, en la actividad 9, sugiera que expresen la tasa del IGV como decimal y que lo multipliquen por el precio, de esa manera, establecerán el monto a pagar por el IGV

14

lmpuesto predial

TEN EN CUENTA

.

-

237 000 = 43 000

000' 1.0% = 430

Sumamos: 118,50+ 1066,50+430= 1615

Se pagará un impuesto predial de S/ 1615 al año.

Págs.

ff

rI6-118

orsannorrarus

Usa estrategias y procedrm¡entos: 1-3

cAPAcTDADES

g 8

f|

Para consolidar

I

El ingreso bruto anual es: S/ l80O'

Como el ingreso bruto anual es menor a 7 UIT (S/ 27 650), no quinta categoría. Por lo tanto, no habrá retención.

La ulT (unidad irnposrtiva

impuesto por tramos, según la escala establecida).

I

.

tributaria) para e año 201ó es s/ 3950.

Tramo de

-

Luz tiene un sueldo bruto mensual de Si I 800. Adernás, recibe dos gratificaciones anuales de S/ I 800 y un monto de Si 800 por concepto de utilidades. ¿Cuánto será la retención del IR al finalizar el año?

urT l

Para desarrollar Sugiera que elaboren una tabla estableciendo los rangos de las tasas del impuesto a la renta en soles. En el ejemplo 62, resalte que todo trabajador recibe 14 sueldos anualmente, de los cuales dos de ellos conesponden a las gratificaciones, Luego, solicite que revisen el ejemplo 63 y pida que expliquen la estrategia aplicada. (En primer lugar, se calcula el ingreso anual, luego, se descuenta 7 UIT que no están afectados del impuesto. Después, se calcula el

EJEMPLO 11

Pedro tiene un sueldo bruto mensual de S/ 1900. Además, recibe dos gratificaciones anuales de S/ I 900 por Fiestas Patrias y Navidad. Si este año le han pagado S/ 1000 por concepto de utilidades. ,¡,1ilÍ1,,r.,.ff...:l,lL:; ¿,cuánto será la retención del

*

26

@ El valor total de un terreno

en una zona urbana es

de S/ 362 000. ¿Cuánto se pagará de impuesto predial al año por dicho predio? S'll.r5

E

de una loptop sin IGV es de S/ 2800. ¿Cuál es el precio con el IGV? s .r.r0l

g

@ El precio

I

3 0

a

LIBRO DE ACTIVIDADES

.

IMPUESTO A

tA

RENTA

IMPUESIO A LA RENTA

@ lmpuesto a la renta

'

lmpuesto general a las ventas (lcv)

ffi

el impuesto que se aplica en las operaciones de venta e importación de bienes, asÍ como en la prestación de distintos servicios comerciales, en los contratos de construcción o en la primera venta de inmuebles. En la actualidad, en el perú se aplica ia tasa del t8%. Es

A partir de 201ó, el impuesto a la renta cuadro de escala de impuestos tnafecto hasta 7

ull Tasa

impuestos

IR

Hasta 5 LllT

8%

5 UIT > 20 UIT

1404

ulf

EJEMPLO ó4 a) Cuando el precio no incluye el IGV.

(5.¿ categoría).

Escala de

> 35 utT

17%

35 UtT > 45 UtT

20%

> 45 UtT

30./"

20

(lR) lo pagan todas las personas cuyos ingresos anuales sean mayores a s/ 27 ó50 (equivalente a 7 utl). Estos angresos pueden provenir de rentas por alquileres (1.á categoría), ganancias de valores mobil¡arios (2.a categoría) e ¡ngresos profes¡onales obtenidos de forma independiente (4.a categoría) o de manera depend¡ente

UIT (unidad impositiva

tributaria) = s/ 3950

El precio de un televisor sin IGV es de S/ 4900. Calcula el IGV que

se

debe pagar.

lmpuesto de quinta categoía

.

Este impuesto lo pagan las personas cuyos ¡ngresos provienen del trabajo personal prestado en relación de dependencia (sueldos, salar¡os, gratiflcaciones. vacaciones). El ¡mpuesto a la renta de quinta categorÍa es retenido mensualmente por el empleador sobre las remunerac¡ones que abonen.

Hallamos el IGV: IGV = 4900. 0,18 = 882 El IGV es S/ 882.

b) Cuando el precio incluye el lGV.

EJEMPLO ó2

En una tienda de electrodomésticos, una tableta se vende a S/ 2100 incluido el IGV. Calcula dicho impuesto.

Raúl tiene un sueldo bruto mensual de S/ 1890. Además, recibe dos gratificaciones anuales de S/ 1890 por Fiestas Patrias y fiestas navideñas. Si en dicho año recibe S/ 1000 por concepto de utilidades, ¿cuánto será la retención del impuesto a la renta al finalizar el año?

.

.

Obtenemos el IGV utilizando la regla de tres simple directa:

ttSvo lSVa -

El ingreso bruto anual es: 1890 .

14 + l00O = Sl 27 46o.Como el ingreso bruto anual es menor a 7 UIT (7 . 3950 = S/ 27 650), no se aplica el IR de

2100

,

r

,_18Vo.2100 =1)n1¿. llS%o

El IGV es Sl 320,34.

quinta categoría. Por lo tanto, no habrá retención.

IMPORTANTE Todo contribuyente del impuesto a la renta (cuarta o quinta categoria) tiene derecho a deducir de su renta bruta el importe de 7 utl que no está gravado con el impuesto.

lmpuesto pred¡al Este tributo grava el valor de los predios urbanos y rústicos sobre la base de su autovalúo. Se cons¡deran pred¡os a los terrenos, las edificaciones (casas. edificios, etcétera) e instalaciones fijas y permanentes (piscina, losa, etcétera). para calcularlq se apl¡ca la siguiente escala

EJEMPLO ó3

. .

N N @ j CJ

'

4100 + 3mO = S/

60400

'ó

Tot¿i de

rfsresos

ñO - 27 650 = S/ 32 750 <

c¿ft dao sobre

a que se aD

.ar¿ et

l

-Co

.

+

8Vo de

Sl

19 750

= s/ | 580

-

se le aplica

e[ l4Vo: l4Vo de S/

se debe pagar:

13 000

= Si I 820

S/ 1580 + S/ 1820 = S/

La retención mensual del impuesto a la renta es S/ 288,33.

a

Segundo tramo: 237 000

d I

19 750 = S/ 13 000

Total de impuestos que

Calculamos el valor del impuesto en cada tramo:

Primer tramo: 59 250'0,2Vo = S/ I18,50 j

€ p P

3¿100

Tercer tramo: 560 00O

p g

323

. s

*

o

3 0

-

59

25O

= Sl 177 75O

177 75O ' 0,6Vo = Sl 1066,50

a

Hallamos la retención mensual: 3400 + 12 = S/ 283,33

<

TEN EN CUENTA

EI descuento de acuerdo con la primera escala será sobre el 87o:

Al monto obtenido

.

1,0%

El valor total de una casa de dos pisos es de S/ 560 000. ¿Cuánto impuesto predial al año por dicho predio?

32750

J

o,6%

Más de ó0 utT (s/ 237 000)

EJEMPLO ó5

rR

El descuento de acuerdo con la segunda escala será sobre la diferencia:

oo o

0,2%

Más de 15 UIT y hasta ó0 UII (S/ 59 250 a S/ 237 000)

Observamos que S/ 32 75O corresponde a la segunda escala, ya que está entre 5 UIT (S/ 19 750) y 20 UIT (S/ 79 00O).

Hasta 5 UIT (S/ 19 750)

c .o

<

Alícuota

Hasta 15 UtT (S/ 59 250)

Descontamos 7 UIT (Sl 27 650) al total de ingresos: 60

.

Tramo de autovalúo

Hallamos el total de ingresos de Florencia: 14

p !

progresiva acumulativa.

Florencia trabaja en la constructora Los Jazmines y tiene un sueldo básico de S/ 4100 mensuales. Además, recibe dos gratificaciones al año por Fiestas Patrias y fiestas navideñas de S/ 4100 y S/ 3000 por concepto de utilidades. Al término del año, ¿cuál será la retención mensual del impuesto a la renta?

000'

I,OVo

Sumamos: I 18,50

-

se pagará de

El autovalÚo se obtiene aplicando los aranceles y precios unitarios de consÍucción que formula y aprueba el l\¡inisterio de Vivienda, ConstrucciÓn y Saneamiento todos los años.

237 000 = S/ 323 000

=Sl 3230

+ 1066,50 + 3230 =

S/ 4415 al año

Se pagará un impuesto predial de S/ 21415 al año.

C

-9 .F c @

o

116

tfi{lDAD 2 Sucesiones y progresrones

117

LIBRO DE ACTIVIDADES

Uso de software matemático I .

1

19)

INTERÉS COMPUESTO.

fl

orsannou-nrus

cAPACTDADES

Comunica:

Escribe V si es verdadero y F si es falso.

Il

manera dependiente: 5.4 categoría.

Gl La

renta de l.a categoía son las

ganancias de valores mobiliarios.

Gl En el Peni. el IGV es Gl El valor de l0 UIT

0

tr l¡

es igual a S/ 38 500.

En el tramo de autovalúo más de 60 UIT, se paga una alícuota del 0,5 70.

tFl

8¿ii dc

El ingreso bruto anual

es:

f,f

l4% tlc S/ s¡i(x) =

'Iirtal

El precio de una bicicleta que no incluye el IGV es de S/ 490. ¿Cuál es el valor del IGV?

7 lst; -

I 18

'=

l3f',, (l7t

lli\''

de 4 pisos estiá valorizado en S/ 985 000. ¿Cuánto se paganá de impuesto predial al año por dicho

Primer tramo: 59 250 '0,27a = S/ I 18,50 Segundo tramo: 237 000 59 250 = Sl 177 750 177 750 ' 0,67o = S/ 1066,50 Tercer tramo: 985 000 237 000 = S/ 748 000 748 000 ' t,\Vo = Sl 7480 I I 8.50 + 1066.50 + 7480 = S/ 8665 Se paganí al año S/ 8665.

El ICiV ts S/ 10r.42.

I

§ METACOGNICIÓN

¿Qué sab¡a sobre el tema y qué nuevos conoc¡m¡entos

En el paso 1, solicite que den lectura a la situación presentada, luego pregunte: ¿Qué nos pide determinar?(El capital final). ¿Cuál es el peilodo de capitalizacrón?(Anual). PÍdales que abran una hoia de cálculo y reproduzcan el procedimiento indicado. Explique que toda fórmula se ingresa anteponiendo el s¡gno igual y, además, resalte la forma en que se utiliza la función potencia. Luego, invítelos a responder las preguntas.

a) 40 622,434 soles; se incrementó en 55 887,194 soles porque cada mes se genera mayor interés; b) 44 935,190 soles). lndique que en la celda 86 escriban el texto "interés" y en la celda C6 digiten la fórmula del interés "=C5-C2"; de esta manera, podrán calcular el monto del interés.

predio?

@ = lrr¡.+:

I

@ Un edificio

Analizo m¡ aprendizaje y respondo las preguntas.

\

Explique que para ingresar una fórmula se debe iniciar digitando el signo igual, luego, las fórmulas se expresan en función de las celdas donde se encuentran los datos del problema.

Para desarrollar

S/ 812

una cocina a S/ 678. Si el precio

671{

I

irrpttestos c¡ue se debc ¡xgar:

incluye el IGV, halla dicho impuesto. Obtencr¡rrs cl ¡rrccio siu IGV de lir eirira utili¿¡nikr llr rcglir tlc tres sirnplc (lirccli¡:

Coménteles que la hoJa de cálculo "Excel" es un tipo de documento que permite manipular datos numéricos y alfanuméricos dispuestos en forma de tablas, las que a su vez están compuestas por celdas donde se insertan los valores y las fórmulas para rcalizar cálculos complejos.

1580 + lill = Sr ll9l La retcrci(ir rncnsrral se(i de 2392 + Il - Si 199..1.1.

Saberros r¡Lrc cl ¡rtcio de una biciclctr no incluy'e el I(iV. l{allanrrs cl l(iV: IGV = .190 0.1 li = S/ ll8.l0 EI lGV cs S/ 8l{.10.

@ Pedro compra

cJc

I

:cguotla cscala

serí sobre l¡ dilc'rcncia: 25 550 le 750 = S/ -5800 Al nronlo ohlcnitlo se le aplicr el 1.17:

ll

S/ 1500 14 + S/ 950 = S/ 950 Como el ingreso bruto anual es Drenor a 7 UIT (S/ 27 650), no se aplica el IR de quinta c¿rtegoría. Por lo tanto. no habrá retenci(rn.

l¡

Adapta y combina estrategias heurísticas, recursos gráficos y otros, para resolver problemas relacionados con tasas de interés compuesto. (1-2)

Para iniciar

Lll'l tS/ 19 750): Si l9 750 = S, l58t)

El dc'scuent0 dc ircucrdo con

Adriana tiene un sueldo bruto mensual de S/ 1500. Además, recibe dos gratificaciones anuales de S/ I 500 y S/ 950 por concepto de utilidades. ¿Habrá la retención del IR al finalizar el año?

.

Sugerencias didácticas

el 87r: Hasta 5

Analiza y resuelve.

O

Usa estrategias y procedimientos

l.+ 3«X) + 2ll(X) = S/ 53 200 {'l ot¡l de ingresos Descontx'ros 7 Lll'l'(S/ 27 650) rl lotal de ingresos: 5.3 101) 17 650 = Sl 15 550. cantidatl sobrc Ir r¡ue se aplicrni cl IR. Obscrvarrtos tluc S/ 25 5-50 corrcsprrtde a la seguntla escala. ya qne estar entrc 5 tIl'l (S/ I 9 750) y l0 Llll' (S/ 79 (XX)). ltl descuento de acuenkr corr la printerl escal:r scrii sobrc

E

y los expresa en modelos referidos a tasas de interés simple y compuesto. (1-2)

y condiciones

Hallanlls rl tot¡l de ingrcsos tlc lrcrtr¡tcltt:

M

187o.

Capacidades y desempeños prec¡sados . Organiza datos a partir de vincular información Traduce datos

Usa estrate8ias y procedimientos: 8-12

Señor de Luren y tiene un sueldo básico de S/ 3600 mensuales. Además, recibe dos gratificaciones al año de S/ 3600 y S/ 2800 por concepto de utilidades. Al término del año, ¿cuál será la retención mensual del impuesto a la renta?

@ La UIT en el 2016 fue de S/ 3950. @ Ingresos profesionales obtenidos de

1'7

@ Femando trabaja en la empresa de transportes

Bl m lo pagan todas las personas cuyos ingresos anuales son de S/ 27 650.

118

Libro de actividades (pág.

§ s

e

;p €

En el paso 2, es importante que se fam¡liaricen con la segunda situación problemática. Pida que la lean y, luego, pregunte', ¿A cuánto asc¡ende el cap¡tal final? (96 145 soles). ¿Cuál es el periodo de capitalizaciÓn? (Anual). Recuérdeles la fórmula para hallar el tiempo "t = log (C/Co)/log (1+r)". Remarque que la tasa de interés debe estar expresada en decimal. Explique que el tiempo resultante (5,586496416) estará en años y para expresar los meses se debe multiplicar la parte decimal (0,586496416) de los años por 12; del resultado, la parte entera nos indica los meses y su parte decimal se vuelve a multiplicar por 30 para obtener los dÍas.

g

tengo ahora?

[E lD

¿Qué procesos algorÍtmlcos apliqué? ¿Qué estrategla me ayudó a resolver el problema?

3

§

3 o

Para consolidar

I

Concluya resaltando que una hoja de cálculo, como la del Excel, es una poderosa herramienta que permite realizar cálculos complejos de manera rápida. Asimismo, nos permite organizar y s¡stemat¡zar diversos datos; por ello, su gran importancia para procesar la informaciÓn relacionada con modelos financieros.

N N @

_i

ci :q !

l

o o o l

p

€ E o C

@

§c c

o

o

a

LIBRO DE ACTIVIDADES

USO DE SOFTWARE MATEMÁT¡CO

Actividades complementar¡as

Hoja de cálculo para hallar el ¡nterés compuesto

1.

tr@

Martín, al revisar una sucesion geométrica finita, encuentra que el primer término es 2, la razÓn es 3 y Ia suma de todos sus térm¡nos es 19 682. ¿Cuántos términos tiene la sucesión?

2.

Calcula la suma de los términos de las sigu¡entes progresiones geométricas:

Mariana deposita S/ 30 000 en un banco a una tasa de interés anual del6,257o. ¿Cuánto recibirá después de 5 años? Accede a una hoja de cálculo, digita lo que se muestra en la columna B e ingresa los datos del problema en las celdas C2,C3 y C4. Finalmente, digita la fórmula de la celda C5.

/

c

B

o

7

b) {2880; 720 180 45;4514; ...1

c

7 7 "\[7.7.7 "' [ 2' 10' 50 250', 1250' " JI

D

1

2

C¿pit¿l inicial

3

Tasa de iñterés (R)

10000

2

0.062s

Cap¡tá i¡rc

¿l

30000

3

5

5

=c2'PoTENCIAI{1+G/lm).c4}

6

a

/

a) 14;12,36; 108; 324; ... a,ol

d) {20; 30; 45; 67,5; ...a,u}

0_0625

4

Tiempo (año.)

5

Capital final

40627.4346161

6

¡

3.

Pedro y N/arcos deciden ahorrar para pagar los estudios universitarios de sus hi.los, Con ese fin, cada uno deposita 8800 soles en una entidad bancaria durante 5 años al 10% de interés, Pedro decide que los intereses ganados se cap¡talicen (el dinero ganado al final de cada año se suma al cap¡tal y el total se convierte en nuevo capital al inicio del segundo año), mientras que Marcos opta por retirar los intereses ganados al finalizar cada añ0. ¿Cuánto dinero habrá produc¡do cada depósito en el tiempo prev¡sto?

4.

Un comerciante decide sacar un préstamo para ampliar su tienda comerc¡al. ¿Qué cantidad de dinero recib¡ó en calidad de préstamo si ha firmado un documento por 3g 991,50 que incluye el capital y el interés a 15% anual capitalizable bimestralmente y tiene vencimiento en 36 meses?

5,

Erick acaba de vender su cam¡ón, obteniendo por d¡cha venta 86 000 soles. Dicho dinero lo deposita en la caja municipal en una cuenta de ahorros que le rendirá 0,8% de interés mensual, con una cap¡talizacion semestral. Él piensa retirar toda su invers¡on a los 6 años. ¿Cuánto será el monto que retirará Erick?

6.

Un tipo de bacteria puede duplicar su poblac¡ón cada 15 minutos. Si se hace un cultivo en el que inicialmente hay 30 bacterias de este tipo, ¿cuántos habrá al cabo de 4 horas?

7

AnÍbal es un médico que labora en una clÍnica privada y percibe un sueldo básico de S/ 5400 mensuales. Además cobra dos gratificaciones al año, por Fiestas Patrias y Navidad, de S/ 5000 cada una y S/ 4500 por concepto de utilidades más 1000 soles por escolaridad. Al término del año le informa su contador que debe pagar 6800 soles por el ¡mpuesto a la renta. ¿Es correcta la cantidad indicada?

8.

A Carlos le ofrece una tienda comercial una computadora a un prec¡o de 2250 soles. Le informan que dicha cotización no incluye el impuesto del IGV calcula el IGV que debe pagar Carlos si decide comprar la computadora.

9.

Los padres de Anabel acaban de comprar un lote de terreno de 280 metros cuadrados. Si se sabe que el costo del metro cuadrado, en dicha urbanización, es de 1450 soles,

¿Cuál es la respuesta? Modifica la tasa de interés en 7 Vo. ¿,eué canú.ios observas?

l)) Si aumentaseltiempoen3añosydisminuyesenl,0TTalatasadeinterésmensual, ¿cuál es el nuevo monto final?

IE!!B

Raúl depositó en una institución financiera S/ 82 4o0 a una tasa de interés mensual del 8,2Vo. ¿Cuánfos tiempo, aproximadamente, debe pasar para que produzca un interés de

s/ 3000? Accede a una nueva hoja de cálculo e ingresa los datos del problema en las celdas C2, C3 y C5. Finalmente, digita la fórmula de la celda C4 para determinar el tiempo.

a

D

3

C.p¡tal ¡ñicial Tasa de iñterés (R)

4

Iiempo (años)

5

Capital final

82400

0.984

=to610(cslc2)/toG10(1+G/1m) 854fr

6

@

¡

c

D

I

1

2

2

3

8240C Tasa de

'nterés

lR)

0.984

i

5

6

Elimina los datos de la columna C y experimenta con otros valores. Luego, responde: a

t

¿Cómo hallarías la tasa de interés anual en los problemas anteriores conociendo los demás datos? Haz un comentario respecto a la herramienta aplicada.

h) ¿Cómo hallarías el capital inicial en los problemas anteriores conociendo los demás datos? N N @ j

ci c

ffi

I

Eo=

EXPLORA E INTERACTÚA

I

Resuelve las siguientes situaciones:

o

@ Eduardo realiza un préstamo de S/ l0 000

I

l

!

ll

en una caja municipal que le ofrece una tasa de interés compuesto anual del 33,35Vo. ¿Cuánto tiempo, aproximadamente. debe pasar para que se produzca un interés de Si 30 0O0? ¿y para un monto total de S/ 50 000? J ruios.9 ¡nr'scs y J-1 rlías;5 arios. T ltreses y .l tlíi¡s

&

§

Lucía deposita S/ 600O en una institución financiera que le ofrece una tasa de interés compuesto anual del9Vo. ¿Cuál es el capital acumulado al cabo de 5 años? ¿Y cuál es el interés ganado en el mismo tiempo?

@

o

S/ 9231 ,741 S/ 123 I.74

p

s Í o

pagará de impuesto predial al año por dicho predio?

c

=c @

o

Respuestas: UNIDAD

2

Suces¡ones y progreslones

119

1.13122

2.a)118096 b)3840 c\4,375 d) 17475,8

4400 4 S/ 25 000 soles B. S/ 40S

3. Pedro = S/ 5372,5 Marcos = S/ 6. 983 040 bacterias 7. No; 6186

¿cuánto

Estrategias para resolver problemas ¡

diferencia es la constante y para hallar su término general, antes que nada, se determina el término anterior al primero; luego, se aplica la fórmula general an= (N2)n2 + (B - A/2)n + C.

Capacidades y desempeños prec¡sados . Emplea expresiones algebraicas en una progresiÓn geométrica y relaciona representac¡ones tabulares y gráficas. (1-8)

Usa estrategias

y procedimientos

o

I

Resuelve situaciones problemáticas relacionadas con la regularidad de una secuencia numérica al término general de una sucesión. (1-8)

Sugerencias didácticas

Pregunte en la actividad 3: ¿Cuántas caras t¡ene un cubo?(Seis caras) ¿Qué piden catcular? (El número de caras visibles que tendrá la construcción 210). Resalte que el cubo que está ubicado en la cúspide tiene 5 caras visibles y los demás cubos solo muestran cuatro caras visibles. Hágales ver que la diferencia entre dos términos de la sucesiÓn es 4, por lo tanto, los términos se pueden expresar como mÚltiplos de 4 más uno; el término general será "an = 4n + 1".

I Para iniciar

I

Coménteles que la estrategia aplicada se basa en el método del razonamiento inductivo, el cual consiste en analizar casos particulares para obtener una conclusión general. Además, recomiéndeles que deben analizar los datos e incógnitas en busca de relaciones entre ellos. De esta manera, podrán establecer una estrategia. lndique que, en el caso de las sucesiones, es necesario evaluar cinco casos particulares para poder encontrar la recurrencia y establecer su ley de formación.

I

Recuérdeles que cada término de una sucesión tiene su correspondiente número ordinal que nos indica la posición que ocupa. Este elemento contribuye a establecer la ley de formación de la sucesiÓn, ya que el término general se expresa en función del número ordinal. Invite a los estudiantes a dar lectura a la situación problemática inicial. Pregunte'. ¿Qué tipo de sucesión se generó? (Una sucesión creciente 1rinila). ¿Cuántos casos particulares se presentan para analizar? (Tres casos que corresponden a las tres figuras). Hágales notar que, en primer lugar, la sucesión se debe expresar por extensión. Luego, se procede a buscar la regularidad o patrÓn de formación de cada término en función de su número ordinal.

Para desarrollar

I

Promueva la búsqueda de otra estrategia. (Se observa que los términos de la sucesión se pueden expresar como múltiplos de cinco más uno, es ao =5(3) + 1 = 16, porlotanto, deci¡ a, = 5(1) + 1 =6; az=5(2) + 1 = el término general tendrá la forma "an = 5n + 1"). Proponga que empleen la misma estrategia para dar solución a las actividades planteadas. Pida que apliquen las cuatro fases de la resolución que son: Comprender, planificar,

En la actividad 4, destaque que, cada vez que se añade un nuevo pentágono, la figura se incrementa en cuatro segmentos, por lo que la diferencia entre dos términos de la sucesión, viene a ser cuatro. Esto es un indicador de que los términos se pueden expresar como mÚltiplos de cuatro En la actividad 5, plantee las siguientes interrogantes: ¿Cómo se halla el área de un cuadrado? (Area = L2\. ¿Qué piden determinar en el problema? (El lado del cuadrado ubicado en la figura 1 1). lndique que escriban por extensiÓn la sucesión (1',2', 4,8; ...), luego, pregunte: ¿Qué regularidad se observa en los términos de la sucesión? (Que son potencias de 2 y que el término siguiente se obtiene multiplicando por 2 al término anterior). Para la actividad 6, sugiera que evalúen los términos de la sucesiÓn hasta encontrar dos diferencias. Luego, pÍdales que calculen el término anterior "ae" y, finalmente, que apliquen la fórmula general de la progresión aritmética de segundo orden

para establecer el término general de la sucesiÓn.

Para consolidar

I

Resalte que, para determinar el término general de una sucesión, se

debe procede r a analizar cada uno de los términos, en busca de alguna regularidad o patrón que se cumple en cada uno de ellos, siendo vital, durante este proceso, el número ordinal que, por lo general, es la base de estas fórmulas.

Actividades complementarias

1.

ll;

resolver y comprobar los resultados obtenidos. Para la actividad 1, indique que expresen la sucesión por extensión (4; 10; l6; 22', . . .). Haga notar que la diferencia entre dos términos es de seis unldades y que estos se pueden representar como múltiplos de seis menos dos (ar = 6(1) - 2 = 4; az = 6(2)-2 = 10;as = 6(3)-z = 16; ...).Enfatice que los términos deben estar

expresados en función del número ordinal.

!

Libro de actividades (págs. 120-121)

Previamente a la actividad 2, recuérdeles que una progresiÓn aritmética de segundo orden se caracteriza por tener dos diferencias, en la que la segunda

2.

3.

Leonardo ha construido una pirámide de base cuadrangular empleando canicas. Se sabe que para su base se utilizaron 400 canicas. ¿Cuántas se han usado en total? Un comerciante ha comprado 210 cajas de panetones y decide acomodarlos en forma triangular, de modo que en la primera fila hay 1 caja; en la segunda, 2; enla tercera, 3, y así sucesivamente. ¿Cuántas filas se formaron? En un cuartel, el capitán decide ejercitar a los soldados que llegan tarde con abdominales de acuerdo con la hora de llegada al patio. A las 6:05 a.m. realizan 2 abdominales; a las 6:06 a. m., 5; a las 6:07 a.m., 9; a las 6:08 a.m., 14, y así sucesivamente. Si Pepe llegÓ al patio a las 6:20 a.m., ¿cuántas abdominales deberá realizar?

N N

o j

ci

i

'6 o l E o o o J po

€ E

o

d

a o c c o 6

o

a

LIBRO DE ACTIVIDADES

ESTRATEGIA PARA RESOLVER PROBLEMAS Usa estrategias y proced¡mientos: 1,8

Buscar regular¡dades y general¡zar El grupo

l----

T

de Martín ha presentado un trabajo con objetos que

@

Comprende

@ Planifica

estrategia aprendida,

t--

o

formación de una sucesión. Observa la secuencia de letras F y determina el número de palitos de fósforo necesarios para construir la figura número 5050.

Resuelve los siguientes problemas. Utiliza la

I

I

está al alcance de todos, y que contiene los principios de la

t-***

l)

@

Identificamos alguna regularidad o patrón que

Fig.

. l'ig.l >¡¡t=4car¿rs=6 1 . Fig.2 .rr.=l0carirs-6 l

ci c

:9

Para la figura 5050: arnrn = 6 + (5050

E=

@ Determina el número de palitos de fósforo que necesita Fernando para construir la figura

I

AA* A*AA

número 500.

. - l).5

l

p

€ E

comprueba

o L

@ c @ @

ñ a

= 6 + 5049'5 =25251 E

E

124

Comprobamos, en primer lugar, calculando el número de palitos de la figura 5048 (25 24 I palitos) que al sumarle 3 palitos horizontalmente y 2 verticalmente (es decir, 5 palitos) resulta la figura 5049. Luego, verificamos que al suma¡le 3 palitos horizontalmente y 2 verticalmente a este resultado, resulta la figura 5050, que en total tiene 25 251 palitos.

1

Fig.2 Fig.3

Fig.4

los pentiígonos tal como se muestra. ¿Cuántos segmentos tendrá la figura

141t

I

Fie.2

AAA Fig.3

>dr

§ ¡i

p -ñ

l

=Jpali(or=l-!+!f . Fig.2 >rr.=gpaliros--\ l(l+l) Fig.

-I

§

g

o

3 o

. in^

'u,,=3't!!J))

Para ¿ = 500: asoo =

3 .500(500

Fig.

I

Fig.2

+ l)

Fig.3

Fig. 4

@ Adriana coloca los

pentágonos tal como se muestra. ¿Cuánto mediá el lado de la figura

ltttl

ti ) Fig.

,,1_

I

4t i

Fie.2

Fig.3

@ Fernando dibujó 4 puntos en la primera circunferencia y trazó 2 segmentos. ¿Cuántos segmentos se podrán trazar en una circunferencia en Ia que se dibujen 203 puntos? 2f) 100

@@@

AA

('onrprenrlc: Sc oL¡se¡la quc cn crdr conslrueciril. cl nti¡nero rlc ¡rrlitos ra ¡un)rnlitl(lo. Se pi(lc (lclcrntinar cl nrintcro rlc palitos de lij:lirro en lr figura 5()0. Pl¡nil-ica: ltlt'ltilic¿mos algurrir regularitlarl o ¡ralrrin t¡ue se currr¡rla cn cada u¡a tlc las figuras. I{csuclvc:

...

e a

=c

Fig.

a2=at+ 5=6+ 1.5

a4=otl-5=(az+5)+5=6+3.5

1078

@ ¿Cuántos cubos se necesitan para construir 400 escalones? 6:t o(x) (x)0

ft

ffiffi

@ El primer piso

de una construcción tiene 70 tubos; el segundo piso,69 tubos; y así sucesivamente. Si en el último piso hay l0 tubos, ¿cuántos tubos se han utilizado en total? 2440

c o

= 375 750

Comprueba: Observamos que el número de palitos forman una PA de segundo orden. Verificamos utilizando la f'rirmula.

I

@ Adriana coloca

ll?

2

Comprueba: Obscrvamos tlrrc cl númcro dc crrrs ocultas lbrmart un¿r I)A ile razón 6. Ve ril icalmrs utilizanckr la [órmttlrt ri,, = rr, + (¡ l)d.

También podemos inducir con este patrón, que la figura r y las demás figuras que siguen se forman añadiendo 3 palitos horizontalmente y 2 verticalmente, en total,5 palitos más que las figuras anteriores. Analizamos las cuatro primeras figuras (términos de la sucesión) e inducimos la regla general:

=6=6+0.5 at=azl-5=(at+5)+5=6+2.5 a,= an* I + 5 = 6 + (n - l) . 5

2

. Fig.N >«,,=6 ¡-l P¿ra¿= ltlO >tr,r,,=6(lll01 -2=

La tercera figura también se forma añadiendo 3 palitos horizontalmente y 2 verticalmente; es decir,5 palitos más que la figura anterior.

ar

N N @ j

Fig.4

Resr¡elve:

se podrá analizar partiendo de las tres primeras. Para poder realizar claramente la inducción del número de palitos de fósforos que hay en cada figura, podemos realizar otra construcción más que formaría la figura .t de letra F.

La figura t se forma con 6 palitos especialmente colocados vertical y horizontalmente.

@

Fig.3

lt

nsflfl

Fig.

360?

Apreciamos que las tres figuras son letras F especiales construidas tal que el número de palitos de fósforos cumplen una regla o patrón. Veamos cómo se forman las figuras:

Resuelve

Fig.2

C'ornprtntlc: Se olrserva que cl c¡dit coltstruccitilr. el nr'inrerr dc cubos va ¿¡ur)renltndo. Se pide hlrlllrr las caras ocultas cn la figura I ll0. Planificr: ldentific¿r¡los altult rcgularidail o prlr(in que se cuntpla en las ciuas ocullas cle cada figura.

se cumpla en cada una de las ñguras, el cual

La figura : se forma añadiendo 2+ I palitos horizontalmente y I + I palitos verticalmente. En total, la figura : tiene 5 palitos más que la figura t .

ffiffi ffi

t

de cubitos. ¿Cuántas caras

visibles tendrá la construcción de 210 cubitos?

Diana construye una torre con cubos, como se muestra en la figura. ¿Cuántas caras ocultas tendrá la figura número I 80?

ffi

Observamos tres construcciones que realizó el grupo de Mafín con palitos de fósforo. A medida que van apareciendo dichas construcciones o figuras, el número de palitos va aumentando; es decir, a más figuras que se van construyendo, necesariamente tengo que utilizar mayor cantidad de palitos de fósforo. Debemos determinar el número de patitos de fósforo necesarios que forman la letra F en la figura 5050.

@ Observa la secuencia

an.):3_ -m (I_LJU (J-+ ...

,.

0¡.u

70 tubos UilIOAD

2 Sucesionesy proSresiones

121

TEXTO ESCOLAR

Actividades i nteg radas ¡ CIERRE

Análisis de las preguntas

I

Recuérdeles que para hallar los términos de una sucesión conociendo su fórmula general, se procede dando valores a "n" a partir de la unidad. Utilice este procedimiento para que desarrollen las actividades 1 a la 6 de la capacidad "Comunica". En las actividades 7 a la 10, sugiera que calculen los términos solicitados de la sucesión procediendo como en los casos anteriores, mientras que, en las actividades 15 a la 18, indíqueles que, para determinar la serie, deben reemplazat con valores numéricos en la expresión general de la sumatoria tomando como referencia los límites inferior y superior.

I

Procure que identifiquen la estrategia a utilizar en cada una de las actividades de "Usa estrategias y procedimientos". Resalte en las actividades 24 ala26 que, para realizar las operaciones con las sucesiones, solo deben operar con sus términos generales y, luego, podrán hallar los términos de la nueva sucesión. Para las actividades 27 ala30, proponga que apliquen las propiedades de las sumatorias; después que apliquen las sumatorias notables para hallar lo pedido. En las actividades 3l a la 33, propóngales dar forma al último término de acuerdo con las series notables, y pida que lo representen como una sumatoria. lndique, en las actividades 35 a la 38, que apliquen la fórmula general de las progresiones geométricas "an - a1 'rn-1'.

I

Recuérdeles que para hallar la suma de los términos de una progresión geométrica, deben conocer el primer término y larazón. Además, si la sucesión geométrica es creciente, debe ser finita; por el contrario, si es decreciente e infinita, solo se necesilala razón para establecer la suma. En la actividad 40, indÍqueles que al precio con IGV deben representarlo como el 118%; después de ello, pida que apliquen la regla de tres simple directa. En cambio, en las actividades 41 y 42, sugiera que operen con los términos generales de las sucesiones para hallar la fórmula general de la nueva sucesión. Para la actividad 43, proponga dar forma a los dos primeros términos (3 = 3/1 y 2 = 412 ), luego, indiqueles que establezcan el término general para calcular el lÍmite de la sucesión. En la actividad 44, sugiera que establezcan una ecuación en función de los términos generales de la sucesión y la suma dada.

SINTETIZAMOS

Te

presentamos mediante un ortanizador gráfico los conceptos clave que has trabalado en esta unidad.

Sucesiones

. . .

Conjunto ordenado de números reales bajo cierta regla.

O;3;8; 15:24 ... > dn = n2

-

1

sucesión convergente: El límite es un valor conocido. Sucesión divergente: El límite es infinito.

Seles y sumatorias

" Sumatoria:»

.

ak = At + Az+ Az+ ... + An

¡=l

Sumatorias notables:

-,É,.-n(u+ll

t

".É"-¿(r+1X2tr+l)

",Éo= l'@tD)'

*=t

fu<=nqn+t¡

ctf,e*-D=nz ,,

io,o * rt - n(n + t)(n + 2)

k=t

Progresión aritmét¡ca de s€gundo orden

.

TérminoBenerar:an

.

Suma de términos: aplicamos prop¡edades de sumatorias y sumatorias notables.

.

Término general:¿¿

=lfir* .

¡o

-t1, - c

Pro8reslén geométrica

. . .

=¿1./

suma de términos de una

1

ec finita: S, = 9-Cj

lnteréscompuesto:C¡=Cs(l

+fi)'

o Sn=a'-r -ot

'

lmpuesto a la renta: lmpuesto de quinta cateSoría y predial.

CONSULTAMOS §

Digita en el buscador de internet de tu preferencia el conjunto de palabras que se indican y accede a las primeras

I

direcciones que aparezcan. I

é p e

S eara ampliar . filetype: pdf libro .

_§

Libro de activrdades (páqs. 122-123)

la teoría

tr

ú

Para ver apl¡cac¡ones

matemática + sucesiones

video + sunat + impuesto a la renta

khan academy + sucesiones convergentes

video + educac¡ón financiera

ó U

Para ¡nteractuaÍ onl ¡ ne Thatquiz + sucesiones calcúladora + interés simple y compuesto Thatquiz + ¡nterés

o UNIDAD

2

Sucesiones y progresiones

21

N N @ j

ci

i

Para las actividades 50 a la 53, conespondientes a la capacidad "Traduce datos y condiciones", sugiera que evalúen cada uno de los términos de la sucesión para encontrar la regularidad tomando como referencia el número ordinal. lndique que en el cuarto caso le den forma al primer término (1 = 212). Luego, pida que evalúen el comportamiento

:9

de los numeradores y denominadores de manera independiente. Previamente a las actividades 54 y 55, recuérdeles que para expresar la serie como una sumatoria se necesita el término general y el lÍmite superior que vendría a ser el número ordinal del último término. Mientras que, en la actividad 56, sugiera que hagan el cambio de variable por "k", ya que el término general está expresado en función de "n".

c o L

É)

Io E

)

pG p

@

§c c a @

u¿

L¡BRO DE ACTIVIDADES

ACTIVIDADES INTEGRADAS comunica

Usa estrategias y proced¡m¡entos

En cada caso, calcula los tres primeros términos de la sucesión.

Analiza y resuelve.

O{o,,}=+r-3 l:s:t) l@\a,}=2r2-3n l:l:() @ {¿,} =

n,3,f

#*

o {a,,} T I

1.1. 2'

_L

4'8

@

{a,}=#

@

{a,}=3} n,!,.,

o,I,i

Realiza lo que se indica. @Sea

= 2n

{a,}

@Si {c,} =

n2 + n

@Sea{a,,}

=+r+

+ l, halla c, - ao.

@ Determina el valor de M {c,,) = a, + b,,; {o,,)

t0

54

lDft/+rr

t2t)

@

@E(i-3^)

+

sl

tDI«É-É+

rl

@rF

¿

w]g-'EP=

s c

,E*+

-

roo'

@o,=or'rn-t

lim n3+ lim I

1

rQr

'

ro2

C

a @

122

los .r= 62r,1 *a

+ 23 + 33 +43

l¡ E

tr

@ En una PG,

\

b,} =

@

#

J;

3?

fr

@

sz.tr,zo

I5

@

+...

- b.

+ á3 = 396 900,hallaa

a

o= l0

24O

y r = 2.Halla

EE Halla el término central de una PG de términos sia, =5 y r 2560

ar. l9

es

primer término es 3, halla larazón. z

@ Si el término general de una PG

es

c, = 2" -

I

f d R

calcula la suma de los 20 primeros términos. I 048 575 e p

@ Dada laPG {729;243 81:,27; . . . }, halla suma infinita de sus términos. I093.5 @ El precio de una lavadora con IGV S/ 1900. Calcula el impuesto que

I

,

ta

es de

se debe pagar. s/ 289.83

€

r"r..,..

E

3 o

g @

@

lr+k¡

f 5

(2¡+ 3)+

3)+ ... +32771

(22 + 3) + (23 +

+2

n

3,

f

Á=

\_/t+2\

1zr

+:;

I

f:,\to-'l

l

@

{t; ¡;7;

EE

{lt :; 6l l0; ...; 12 090}

l3',

...;871}

30 155

@ {4; 8; 16;32; .. . @ {5;

15;

45; 135

;

a,,)

(,¡ =

..; a,,}

¿1,¡

2'¡t

=

+

|

s l'r

@{¡'t,*,á:. .:a,} ",=,

L

(j)".'

Analiza y resuelve. @ Ana

debe leer una novela en un número

deüerminado de días. Ella se da cuenta de que si lee I 3 páginas cada día logrará su cometido, pero si lee una página el primer día; tres el segundo, cinco el tercero; y así sucesivamente, le fahanín aún 12 páginas por leer. ¿Cuántas páginas tiene la novela?

@ Al unir los puntos medios de los lados de

30.7.17

p I

+8020

r0

Determina el término general de cada progresión

instituciónfinanciera? €

sumatorias.

geométrica:

a una institución financiera un préstamo de S/ 8000 para cancelarlo en 5 años. Si en el plazo deberá pagar S/ 27 166,70 de interés, ¿cuál es la tasa de interés anual capitalizable trimestralmente que cobra dicha

)

o,} ,,,,='4L

capitalizable trimestralmente?,"Por,?tÍ1,

@ David pidió

49 152. Si el

...,

1

que garantiza duplicar el capital invertido en l0 años, o depositar en una cuenta de ahorros que ofrece una tasa de interés del 67o anual

de S/ I 25 OOO al 7 .5Vo de interés anual. Si al finaliza¡ el tiempo pactado recibió S/ 38 295,50 de interés total, ¿cuántos años estuvo depositado el dinero? 3,7 ¡¡e5

5

{z:q:10128;...;a,,} u,,=1il I ¡

¿Qué es más conveniente: invertir en un negocio

@ Ana depositó en una caja municipal un capital

=2.

@ En una PG, el término quince

(

ofrece una tasa del 67o semestral capitalizable mensualmente, ¿cuál conviene? [-a cuenlx (le ahoros.

-

u,,= n: + n +2

Halla el número de términos de cada progresión.

¿cuáles

n

t5

...;a,,)

@t.t+{fi.

@ Del problema anterior, si la cuenta de ahorros

+ a2 = 40 455 y

I

tr,,=3n

@ rtr+ l)+(23+2)+(33+3)+... EE

lr,j = ¡h. Si la suma de dos . )R't consecutlvos es son frá.

a,,}

Expresa las series mediante

...).

Sea fa sucesión

termlnos

8; ...;

o { r;}; ft,rr¿'

Resuelve los siguientes problemas:

Resuelve.

M (C.l

EBCr=C"tI+r),

§

Z:

z;5;

g; 14;22; ED {¿r

¿Es convergente, divergente u oscilante? (lonvergeilrc

- n(n 1) es la ley de formación de una PA de segundo orden, ¿cuál es la suma de los 95 primeros términos? 327 370

si es falso.

@ {-1;

¿cuár es et

tlncuánto disminuye

{.

(

@É(*.i) I,-

r,

las siguientes

sucesiones:

.

3

{a,} = -t* .

t::

.

32ll

estos términos? ¿Existe otro par de términos que cumplan tal condición? .: no ry

@ Si {¿,,} = (2n + 3)(n + 2)

+r='-\E

o L a c

@ Dada la sucesión

@ Severificaque I +3+ 5+7 +...+m=961y l 2 + 2 ' 3 + 3 ' 4 + 4. 5 + ... + n . p = 49 ffi8. Calculam+ n+ p. t66

f

p@

Í

92

@ Si 202 + 212+ 222 +232 ...

[T++]'=[+#3]'

N N

o @

a,. 0,,=

I

(z + l)2 si n disminuye en

c,,).

+z¡,) 6\1zt? -t<+5) rs:sro t=l

glpr,-zr:,

Escribe V si es verdadero y

o

y {c,,} =

Sea 54 + 56 + 58 + 60 + ... +¡= 2958. Halla la suma de los .r primeros números pares. l,t 520

13

a E

Sean las sucesiones

k?

62

@It:r

I

@

Analiza y resuelve.

sumatorias:

:

-

t=t

Aplica propiedades y expresa las siguientes

@

b,

{b,}=#fr

valor de la constante

(;. A

@It¿*2)3 oqor,¡rs @Izt¿(¿+ t)-k) k=t

_..!L

l8

ca si --

Determina el término general de a,, + b,, es

65

l=t 70

lqr?+zr<) k=l

@

si {a,,} = r-tt'k y

Calcula el resultado de las siguientes sumas:

48

r) OIr¿ l=t

-

r|,,t

n'+2

Escribe la serie correspondiente,

23

#r

c,,=2!9-2.¡arcura rint (u,, " ,,'*

-52

Determina 2a3+3a0. t3

fi,iriiru8a.t-6a2.

=

. = (co c.)

Traduce datos y cond¡ciones

justifica.

@ El noveno término de {c,,} =

="'i'!;o ,6,=16;*2n-21 ,

?DDek-c) @Si {a,,} =

Responde y

@ Sean las sucesiones {c,} = a,, - &,y {dn} = b,+ c,. Calcula la suma los tres primeros términos de {d,,} si a,= n2 + 3n -2 y b,,= 12 - n + 3. 26

@Seaa,,

-3.Calculaa. +ar.

Argumenta af¡rmac¡ones

Sandra trabaja en un banco y tiene un sueldo básico de S/ 2800 mensuales. Además, recibe dos gratificaciones al año de S/ 2800 y S/ 2000 por concepto de utilidades. Al término del año, ¿cuál será la retención mensual del impuesto a la relta? _,

I

56

un

triángulo equilátero, resulta otro triángulo equilátero. Si se repite el proceso con el segundo triángulo, resulta otro triángulo equilátero. Si se sabe que el lado del primer triángulo mide 9 m de longitud. y el proceso se repite indefinidamente, halla la suma de las áreas de todos estos triángulos más el original. 27v5 rrrr UNIDAD

2

Sucesionesy progresiones

123

LIBRO DE ACTIVIDADES

Eval uac¡ones nac¡onales

e internac¡onales tLibro

ACTIVIDADES PROPIAS DEL BACHILLERATO INTERNAC¡ONAL Argumenta afirmac¡ones: 1; 7 Pozo de agua

ll

@ La fundación benéfica "Federico Villareal"

Un padre de familia decide ahonar en un banco para la cuota inicial de un departamento, que es S/ 50 000. Si deposita S/ ¿lO 000 a una tasa de interés del 67o anual capitalizable mensualmente, ¿cuánto de interés le generar:á su ahorro durante 2 años? ¿Logrará su meta? ¿Cuánto debió depositar para alcanzar la meta? c) = 4o oooo

(, .

H)' '

Sugerencias evaluativas y metacognitivas

fraduce datos y condicione§: 2-ó

Ahorros a plazo f¡jo

I

construyó un pozo para abastecer de agua a Ia población de un asentamiento humano del distrito de Mi Peni. Se sabe que el primer metro de excavación costó S/ 70; el segundo, S/ 78; el tercero, S/ 88; el cuarto S/ l0O; y así sucesivamente. ¿Cuál fue el costo total si se excavó hasta los 25 m? si ¡i750

Diseño de estrategias para resolver un problema

14 (C14) es un isótopo radiactivo del carbono que tiene una vida media de 5730 años (tiempo en que el número de atómos de dicho isótopo del carbono habrá disminuido a la mitad). Unos arqueólogos determina¡on el contenido de C14 en un fósil de mamut, en un periodo de

@ El carbono

086,39 > I = 45 086.39 40 000 = 50¡i6,19 [-c generará S/ 501i6.39 de interés.

Cr = 45

-

50 0000 45 086.39 = 4913.61 No logró su meta. Le faltaron S/ 491 3,61

en microgmmos, por periodo: 100; 50; 25;

f

@ Al preguntar a un empleado cuánto tiempo tiene trabajando en una empresa, él contestó: "No lo sé, solo puedo decir que este año he cobrado Sl 27 9O0 y que mi sueldo fue variando: el primer año me pagaron S/ 14 400; el segundo, S/ l5 100; el tercero, S/ 16 000; el cuarto, S/ l7 100; y así sucesivamente". ¿Cuántos años trabaja el empleado en dicha empresa?

100 ló000 17 I(X) +9(X) +l 100 B.-+5(X) +700 -<-,5'\-j

C'-1.1900 1,14(X) JJ--.=-_s---=i

15

------S

A- +l(X) +100

+100

l9ol,¡+ l¡gtrtr ,, -¡{01,,:*1/stxl \ )1 " \)t d,,

=

100¿¡: + 400rr

17()(X)

Lucía acuerda pagar una deuda en cuotas mensuales durante un año. Si las cuotas son de S/ 2501 S/ 350; S/ 500; S/ 700; ... y así sucesivamente, ¿cuál es e[ importe de su deuda?

Préstamos

financ¡eros

I

En la situación 5, recuerde la fórmula para hallar el tiempo = log (C1/C6)/log (1 + r)) y haga notar que el capital final será el 110% del capital inicial (1,1 ' 20 000 = 22 000). Enfatice que para calcular los meses deben multiplicar la parte decimal de los años por doce y para hallar los dÍas deben multiplicar por 30 la parte decimal de los meses. En la situaciÓn 6, indÍqueles que determinen el capital final sumando el capital inicial más el interés (Cr = 20 000 + 5000 = 25 000). Luego, pida que reemplacen los datos en la fórmula del capital final para calcular la tasa de interés.

Amanecer le ofrece la misma cantidad a una tasa de interés anual del 327o capitalizable diariamente. Si en ambos casos el comerciante debe cancelar el préstamo en 5 años ¿qué financiera le conviene? I.ucerito tlcl Anltnt'cer

=

r)()0

'I'r'abaja c'n Ia crtr¡rrcsa l0 años.

l-1

los caños. u. l: u-.t: {).¡,

¡

.'.7 nr'

.

) i

:9

Proceso

Contenido

Contexto

1

Formular

Cambio y relación

Social

Construida cerrada

2

Interpretar

Cantidad

Social

Construida cerrada

3

lnterpretar

Cantidad

Social

Construida cerrada

4

Emplear

Cambio y relación

Social

Construlda cerrada

c

tr

Emplear

Cambio y relación

Social

Constru¡da cerrada

a c

6

Emplear

Cambio y relación

Social

Construida cerrada

N

@ En un estudio realizado por el Ministerio de Agricultura se llegó a la conclusión que un estanque de 28 800 m3 de capacidad se llena en dos horas media¡te cuatro caños cuyo caudales de agua (en m3/s) estan en progresión geométrica de razón 3. Determina el caudal de cada uno de

N N @

Tipo de respuesta

.e

+ l.i

situaciones problemáticas del contexto. (1-6)

(1

El estanque

+13 900

100¡¡r + -10(r¡

t¡)+Jt¡ l-10=O >r¡=l0vr¡=

124

s lo (lx)

@ La financiera Sol de Oro le otorga a un comerciante un préstamo de S/ 10 000 a una tasa de interés anual del 357a capitalizable mensualmente. La financiera Lucerito del

Realiza procedimientos para determinar el cap¡tal inicial, capital final, la tasa de interés y el tiempo en

En la situación 3, resalte que la tasa de interés anual y la devoluciÓn del capital que representa el tiempo están expresadas en meses y eso impl¡ca que deben pasar el tiempo a años (6 rTleses = 1/z año). Destaque que si el exponente de un número es una fracción, significa que deben extraerle la raíL. Para la situación 4, propóngales que transformen la tasa de interés mensual a una tasa anual, multiplicando por el nÚmero de meses que contiene un año (3% ' 12 = 36'/,) y, luego, que apliquen la fórmula del capital final para calcular el monto que se devolverá a la financiera. Pregunte: ¿Cómo se calcula et interés? (Restando al capital final el capital inicial).

Pago de deudas

[t

o

I

quedará en el fósil despues de 57 300 años ( 10 periodos de 5730 años)? 0.t95 r)ricr()grrrln)s

Sueldo de un empleado

Examina propuestas de modelos de interés y comparaciÓn de porcentaje que ¡nvolucran hacer predicciones. (2-5)

En la primera situación, haga notar que la tasa de interés está expresada trimestralmente, por lo tanto, deben convertirla a un periodo anual. Para ello, sugiera que lo multipliquen por 4, ya que en un año hay cuatro tr¡mestres. Recuerde la fórmula para hallar el capital final "C¡ = C0 (l + r)t", y afirme que, para calcular el monto del interés, se debe restar al capital final el capital inicial. En la situación 2, hágales notar que se trata de un préstamo, por lo tanto, se debe elegir la financiera que ofrece la menor tasa de interés.

;

...,y así sucesivamente. ¿Qué cantidad de C14

.

I

5730 años, obteniendo el siguiente contenido

+

50 000 = C,(1,005)2a C,,= tt,359,29 Para alcanzar la meta. debió deposilar S/ ¿l4 359,28

Tenga en consideración para evaluar las siguientes capacidades e indicadores usados en el marco PISA. Matematiza situaciones

carbono 14

Cr = '10 0000 ( I.(X)5)rr c/ = lo oooo ( 1.1 27 1 6)

de actividades (pá9. 125)

I p € e

!

o

(.) Corresponden a las capacidades matemáticas fundamentales usadas en el marco PISA. 20'l5.pdf http://recursos.perueduca.pe/seclmagenes/competencia-matemat¡ca

Éf

Iq o f

p _o =

§ a

@

TEXTO ESCOLAR

EVALUACIÓN

a

EVALUACIONES NACIONALES E INTERNACIONALES Comunica:1-2 Traducedatosycond¡ciones:3-ó Usestrateg¡asyprocedimientos:7-15 Argumentaafirmacions:1ó-20

,StlfU

Analiza y resuelve. Sea

ff

Si {a,,} =

{a,,} =

2".

¿","r-

{#,

CalcuJa

a, + arr.

ina 3la,o

{l;7:

l9r37:,..} lll-

}¡+ I

@ {2: l0r29',59:...)t} -

,,'-!,, +5

{;,1't'#, }f* l1/ sea {a,} = (-t), 2" -1, lb,\ = fi I 1",} = #. Analiza y resuelve.

o {+,*,+'+' },,.

@

.

Si {d,} = an+ cny {e,,} = c,- d,,halla la suma de los dos primeros términos de {e,}.

-l

@ si 141 = a,' b, y {e,,} = c, + b,' calcula el valor M = d¿ +

es

-

de

2c6. Bt4g/256

Calcula el resultado de las siguientes Jumas.

6 El

Ett'+

2)

e / -,

ror

@

58r/]5ro

Resuelve.

@ Si

y

sabeque I + 3 +5 +7 + ... +a=2809 + 22 + 32 + 42 + ... + b2 = 42 925, determina el

se 12

valordea-á.55 @

lB

+ 23 + 33 + 43 + ... + ./ = 2'78 784 y 2 +2' 3 + 3. 4+ ... + y. z-- 39 20O. Determina el valor de.r + y - z. -l I Se cumple

que:

13

l.

Sea

{2; 7; 16;29i 46; ... ; 4006} una

o

credicash fasa de interés anual de 3ó,33570.

ci

h I ¿Cuántos términos tiene la

Sea

{4; 8t 16',32',64;

@ Diana depositó un capital de S/

* I

80 000

en una

empresa

...

PA?

45

} una PG.

Calcula la suma de los 40 primeros términos de la progresión geométrica. lrr - 4

_o

o

&

@ Si el término general

§ .F c

@

de una progresión aritmética

'

-

de segundo orden tiene la forma a,, (3n l)2 + 6n, calcula la suma de los 90 primeros términos.2 223 675

a c

l6

la

87 trinrestrill es er¡uivalcnte al 327 arual. Por rlttrr: C,, = S/ 20 (XX); r - 321,, y t = 1 tño C¡=C,,(

37 rrrcnsual es eqrivalcnte al J67, anual. Por da«r: (1,, = S/ 20 000; r'= 367r, y I = 3 años Cr=C',,( l+r)' El

l+¡)'

c,=10(xx) (l +0.3?)l

C¡=l000(l(I +0.16)'

Ct) = 26;11¡1¡ > I = 16 400 20 000 = 6,100 Otiece cobrar S/ 64(X) dc intcrés.

C¡ = 50 -109.1

l

I = 50 109.I2 - 20 0(X) = ilO 109.I2 El interers ¡scicnde a S/ l0 -l()9- 12.

.l años y 6 nrcses

i'!.r,turltir

químico-farmacéutica. Por acuerdo con la empresa, desde el año pasado su sueldo bruto mensual se ha ¿En qué financiera le convendrla solicrtar en Rapisoles o Supercash?

incrementado a S/ 3500. Además, recibe dos gratificaciones anuales de S/ 3500 por Fiestas Patrias y por Navidad. Si este año recibe S/ 1500 por concepto de utilidades, ¿cuánto será la retención del impuesto a la renta al finalizar el año?

@ Camila compró una casa de dos pisos

e

préstamo:

urbana valorizada en S/ 780 000. ¿Cuánto de impuesto predial al año? S/ 661.5

',

Adrián hace la siguiente consulta a la financiera Supercash: "Si quiero pagar por concepto de interés el 10% del préstamq ¿en cuánto tiempo debo financiarlo?".

I=

Hallamt¡s cl i¡terés e¡ Supcrcash: El i% ntensurl es equivalentc al -16% anurl. Pordato: C,, = S/ 20 0(X); r = 36rlo y ¡ = | ¡¡q

",f'r'rg'á"* se pagará

lo(l(20(X)0)=2000

C/=C,,(l+r)' 22

000 = 20(xx). ( I +0.36)'I

C¡=C,,(l+r)' cr=200(x).0 +0.36)l

l.l = 1..¡rr' , r=

Ct=27 2(tO > I = 27 200 -

Debe fin¡nci¡rlo en 3 nrescs y 22 días.

20 000 = 72(X) Le conviene en Rapisoles porque se paga nrcnus interés.

¿Cuánto más revisé sitios de internet para complementar lo que aprendí en clase? ¿Cuánto más sé ahora sobre sucesiones?¿Comprendí el significado de las fórmulas o las escribl sin reflexionar?

É

Recuerda que si nos esfozamos un poco más en intentar resolver los problemas, hoy podemos lograrlo.

Pr

Adr¡án se decjde por la financ¡era Credicash y se compromete a cancelar el préstamo en seis meses, ¿cuánto de interés paSaría? Si

METACOGNICIÓN

¿Qué herramientas tecnoló8icas utilicé para comprobar m¡ aprendizaje?

o

p

existiera ia posibilidad de financiar el préstamo en financiera Supercash durante un periodo de 3 años, ¿a cuánto ascendería el interés?

Si

El

t'

¿Qué temas cornprendi con más facilidad? ¿En cuáles tuve dificu tades?¿Cómo las superé?

a) Determina el término cincuenta. 25i ir r

Pregunl¿r 4

1

¿Cuál es el interás anual que le cobraría la f¡nanciera Rapisoles?

institución financiera a una tasa de interés"nll'lll anual del4,9Vo. Si produjo un interés total de S/ 32 786, ¿cuánto tiempo estuvo depositado el dinero?

- a+I

f

f

de tasa de interés mensual.

Pregunta 3

a) Halla la fórmula del término general. 2r¡r

(B

de tasa de interés tnmestral.

3olo

.lt'8'.1'.1,' =o.-,¡1, } loEl ( l.-{ñ

PA de segundo

N @ j

oo

87o

Pregunta

orden.

¿ :9

Rapisoles Supercash

)l

En un círculo de'10 cm de radio se inscribe un cuadrado; luego, en este cuadrado, se inscribe un círculo; en este círculo, otro cuadrado, y así sucesivamente. Si S, es la suma infinita de las áreas de los círculos, y S, es la suma infinita de las áreas de los cuadrados, calcula el valor de S, + Sr.

@ Alejandro trabaja

\

», [¡fiJqs

(!

I

Adrián es comerciante y neces¡ta S/ 20 000 para ampliar su negoc¡o. por ese motivq ha decid¡do sol¡c¡tar un préstamo para pagarlo en un añ0. Las propuestas que t¡ene son las siguientes:

§

?.

6lorn -300

-

s

fr i. @ Una bacteria se reproduce según una ley geométrica: el primer día nacen 2; el segundo, 4; e[ tercero, 8; el cuarto, 16, y así sucesivamente. Si cierto día nacen I 048 576. halla la suma de los dígitos del total de bacterias que hay hasta ese día.

1792

Pré§tamo bancario

¡+¿

*s"

Resuelve los siguientes problemas:

(-lf * l'

HaIIa el término general de cada sucesión.

A

Tipo PISA

Desarrolla las actividades. Luego, intercambia tu cuaderno con un compañero(a) y revisa sus soluciones,

O

@

u¿

LIBRO DE ACTIVIDADES

e

á I 4

3

€

z

Pordarrr:(,.=S 1000{r¡ I=tr mcses= I C,=C. tl+tr' Ct = 20 0oo'

(

l-_¡= -_ )1 1§) §) '-'_-

I + 0,363-15)l

I = 23 352.52 - 20 000 = 3351.52 Pagaría S/ ..1-5:,51.

ll

@

¿,

EI 16.3.35 7, anual = 0.36135

I

=

ekxntir

Adrián evalúa su economía y dec¡de buscar una mejor opción. Si ahora qu¡ere cancelar el préstamo en 2 años y con solo S/ 5000 de interés, ¿cuál sería la tasa de interés anual que podria pagar?

ario

C¡=C,,(l+r)' 2looo=20ooo(t+r)r 1,25=(l+r)r t/ =v{¿5 - I =0.1t80 r = ll.8'k¡

La tasa rle interés anu¡l que podría pagar cs del I 1.8%

s a o LrNlDAD

2

Suces ones y progresiones

125

t

lntroducción a la programación lineal RECURSOS

PRESENTnc¡óru

B.

Esta unidad tiene como objetivo consolidar una parte importante del álgebra, ya que resume las estrategias para resolver situaciones del entorno relacionadas con la dependencia de dos magnitudes. Asimismo, inicia el tratamiento de la programación lineal, que es una técnica matemática útil para aprovechar al máximo los beneficios (ganancias) o reducir al

Biblioteca del docente Día a día en el aula (págs. 146-177)

mínimo los perjuicios (pérdidas), lo cual constituye un principio básico en las actividades de carácter económico.

#lSant¡llana Dioital p

fT ESQUEMA

S""r"ncia digital: lnecuaciones

O

Para empezar Breve introducción al tema

O

¿Qué aprenderé?

Aprendizajes y habilidades que logrará el estudiante lo que sé Actividad interactiva: Saberes previos sobre inecuaciones

O Compruebo

lntroducción a la programación lineal

O

Sistema de ecuaciones

Sistema de inecuaciones

Sistema de dos ecuaciones lineales

Sistema de inecuaciones lineales

Programación lineal

Sistema de ecuaciones lineales con parámetros

lntroducción a la programación lineal

Represento gráficamente una inecuación

Video: Procedimiento para representar gráficamente

B

una inecuación

O

Determinación de la región factible

Método gráfico

Animación: Resolución de un sistema de inecuaciones lineales

Determinación de la solución óptima

Sistema de tres ecuaciones lineales

El laboratorio

Tipos de soluciones

O

Represento la solución de un sistema de inecuaciones

Video: Procedimiento para representar gráficamente la solución de un sistema de inecuaciones

O Aplico programación lineal en problemas de transporte Procedimiento para resolver problemas de transporte

I Uso de sofrware matemático: PHP Simplex

Estrategia para resolver problemas:

Razonamiento matemático:

Comparación y suficiencia de datos

Hacer una tabla

Ficha de orientación didáctica:

Actividades ¡ntegradas,

Situación didáctica de Brousseau

prueba tipo PISA

deBly

Síntesis, recursos en la web y heteroevaluación

Actividad interactiva: Aplicación de los temas desarrollados en una situación cotidiana

Solucionario de las actividades

!

E

Solo Libro de actividades

c :9

e a

E o o

:

Actividad interactiva: Evaluación interactiva

po

Para finalizar

L

Actividad interactiva: I\/etacognición

sc a c

§ I

Solo Texto escolar

Compruebo mis conocimientos

O

Permiten desarrollar habilidades y destrezas matemáticas útlles para afrontar situaciones de contexto real. Texto escolar y Libro de actividades

Aplicamos lo aprendido

N N o j i

c ao

LibroMedia

r

Texto

escolar

r

Libro de actividades

@

PROGRAMACIÓN Competencias Resuelve problemas de

Desempeños o Traduce datos, valores desconocidos, regularidades, condiciones de equivalencia o variación entre magnitudes; con la regla de formación de una progresión geométrica, un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas, inecuaciones (ax+ b < cx + d, ax + b >cx + d,

regularidad, equivalencia y cambio

ax+b
.

¡ N N @ j

d i I

,

!o o o l

p

€ c

e

L

a c

§

c a rG)

plantear y resolver problemas. Evalúa si la solución cumple con las condiciones iniciales del problema y si otras expresiones algebraicas planteadas (modelos) reproducen mejor las condiciones del problema. Expresa el significado de: la regla de formación, la suma de términos y caracterÍsticas de una progresión geométrica; o de la solución o soluciones de un sistema de ecuaciones lineales, la ecuac¡ón cuadrática, e inecuación lineal; usando lenguaje algebraico y haciendo uso de conexiones entre representaciones gráf icas, tabulares y simbólicas. Combina y adapta estrategias heurísticas, recursos, métodos gráficos, procedimientos y propiedades algebraicas, para determinar términos desconocidos y la suma de términos de una progresión geométrica, simplificar expresiones algebraicas, la solución o soluciones de sistemas de ecuaciones lineales e inecuaciones.

Tiempo est¡mado: 4 semanas

Conocimientos

.

Sistema de dos

ecuaciones

.

lineales Sistema de

ecuaciones lineales con parámetros

¡ lt/étodo gráfico . Sistema de tres

Capacidades Traduce datos y condiciones a expresiones algebraicas.

¡ .

Examina propuestas de modelos referidos a sistemas de ecuaciones lineales. Examina propuestas de modelos referidos a programación lineal para resolver un problema.

.

o Expresa de forma gráfica

. ¡ .

Sistema de

inecuaciones

¡

o

comprensión sobre las relaciones algebraicas.

lineales

¡

.

Comunica su

ecuaciones

¡

Desempeños prec¡sados

lineales

Usa estrategias y procedimientos

lntroducción a la programación lineal

para encontrar reglas generales

Determinación

de la región factible Determinación

de Ia solución óptima Tipos de soluciones

Emplea la representación simbólica de un sistema de dos ecuaciones lineales para expresar otras representaciones equivalentes. un sistema de ecuaciones con dos incógnitas. Bepresenta gráficamente inecuaciones en el plano cartes¡ano. Elabora tablas de doble entrada que relacionan datos de un problema de programación lineal. Emplea expresiones algebraicas para representar las restricciones que presenta un problema de programación lineal.

.

Emplea procedimientos matemáticos y propiedades para resolver problemas de sistemas de ecuaciones lineales. . Emplea métodos para resolver problemas de sistemas de dos ecuaciones lineales. o Resuelve problemas de sistema de ecuaciones lineales por el método gráfico. . Emplea el método de Gauss para resolver problemas de sistemas de tres ecuaciones lineales. ¡ Determina la solución de un sistema de inecuaciones lineales con dos incógnitas. o Determina la región factible como el conjunto del plano que cumple las condiciones de un problema de programación lineal. . Emplea procedimientos matemáticos y propiedades para resolver problemas de programación

. ¡ .

lineal. Resuelve problemas de programación lineal que presentan una única solución o una solución múltiple. Resuelve problemas de programación que tienen una solución no acotada y una solución no factible. Emplea procedimientos matemáticos y propiedades para resolver problemas de programación lineal.

Argumenta afimac¡ones sobre relaciones de cambio y equivalencia.

o Justifica la obtención del conjunto solución de una ecuación e inecuación lineal.

r

Analiza y explica el razonamiento aplicado para plantear la función objetivo de un problema de programación lineal. o Analiza y explica el razonamiento aplicado para determinar la región factible y la solución óptima.

.

r

Analiza y explica el razonamiento aplicado para resolver un problema de programación lineal. Analiza y explica el razonamiento aplicado para resolver un problema de programación lineal con solución acotada y no factible.

TEXTO ESCOLAR

lntroducción a Ia programación Iineal lTextoescoiar (pág

23)

¡Librodeactividades(págs.

126-127)

3

Capacidades y desempeños precisados Usa estrategias

.

y procedimientos Argumenta afirmaciones

.

Emplea procedimientos matemáticos y propiedades para resolver problemas de sistemas de ecuaciones lineales. (5-6)

Introducción a Ia programación lineal Andrés üene una panadería. Dispone diarimente de 80 kg de masa y de 24 kg de frutas (secas y confitadas) para preparar dos tipos de panetones: especial ypremium. El panetón especial requiere de 1 kg de masa y 200 g de frutas. El premium necesita de 1 kg de masa y 400 g de frutas. Si el panetón especial se vende a S/ 18 y el premium aS/ 24, determina la región factible para que la ganancia sea la máxima.

Justifica la obtención del conjunto solución de una ecuación e inecuación lineal. (1-4 y 7-10)

Sugerencias didácticas Para iniciar

O

I

Haga referencia al valor de la laboriosidad. Comente que desarrollar este valor involucra trabajar con amor, aprovechando de la mejor manera el tiempo, trabajando con orden, con esmero, es decir, terminando todas las tareas indicadas en el tiempo establecido y procurando hacerlo de Ia mejor manera posible. Asimismo, indique que una persona con este valor se convierte en una fuerza fansformadora y de progreso que logra alcanzar todas sus metas propuestas. Centre la atención de los estudiantes en la imagen de la apertura. Pida que describan la actividad que vienen desarrollando los trabajadores. Pregunte: ¿Por qué los empleados se encuentran vestidos de esa manera? (Para evitar contaminar los espánagos y cumplir con las exigencias sanitarias internacionales). ¿Qué es lo que busca la empresa al desarrollar esta actividad? (Busca el máximo beneficio económico haciendo uso eficiente

de sus recursos). ¿En alguna oportunidad has consumido espárragos? (Respuesta libre).

ru U;nf:T

t 7

-F

d Ál -t

\

ilPTE

t

I

.

-

.t.

li*,-

.§-

3 Ét

"'.w

Para desarrollar

I

Promueva que den lectura al texto de la sección "Producción de espárragos", Luego, indague ¿Qué tipos de espárragos se produce en nuestro país? (El espárrago blanco y el verde). ¿Qué beneficios proporciona el consumo de espárragos?(Nos brinda nutrientes y vitaminas, además proporciona protección contra el cáncer y fortalece el cerebro). ¿Cómo es considerado en el mundo el espárrago peruano? (Es reconocido por su alta calidad). Resalte que en nuestro paÍs han empezado a surgir diversas empresas que se dedican a procesar los alimentos y comercializarlos; estas industrias, para ser rentables, buscan optimizar sus gastos y el manejo de sus recursos, y así maximizar sus ganancias. En este sentido, la programación lineal es una gran herramienta matemática que permite lograr lo anterior. lnvite a los estudiantes para que en equipos desanollen las actividades propuestas en la sección "Alcanza tus metas" y, luego, que socialicen sus productos. Revise conjuntamente con los estudiantes la sección "Aprendemos a...", con el fin de tener a la vista las metas de nuestros nuevos aprendizaies.

Para consolidar

I

Solicite que utilicen la sección "Buscamos en la web" para contribuir en la elaboración del trÍptico solicitado, el cual será compartido con sus compañeros(as). Además, remarque la importancia de la programación lineal

APRENDEREMOS A.,.

. .

lnterpretar y resolver sistemas de ecuaciones l¡neales con dos incÓSnitas aplicando diferentes métodos. Resolver sistemas de ecuac¡ones lineales con tres incÓsn¡tas aplicando el método de Gauss.

. .

0

VALORES Y ACTITUDES

Laboriosidad ¿Te

has dado el

gusto de trabajar esforzándote para conseguir tus objetivos sin rendirte?

. .

Calcular la solución de un sistema de inecuaciones lineales con dos incÓgnitas. Plantear problemas de programación l¡neal definiendo las incÓgnitas, determ¡nando ¡as restr¡cciones mediante un s¡stema de inecuaciones lineales y representando la función objetivo.

Determinar la reg¡ón factible como un conjunto de un plano cartesiano y la solución óptima como el punto que maximiza o min¡m¡za la función objet¡vo. Resolver problemas de programaciÓn lineal que t¡enen una única o múlt¡ple solución.

.

Discriminar gráf¡camente soluciones de programación lineal no acotada y no factible.

UNIDAD

3 htroducción

a la proSramación lineal

29

LIBRO DE ACTIVIDADES

É]

Introducción a Ia programación lineal

3

' SÉ EMPRENDEDOR

l)l

lfl

ü

Producción de espárragos En los últimos años, nuestro país ha venido mostrando un crecimiento paulatino en su economía, lo cual se ve reflejado en la aparición de múltiples empresas de alimentos de diferente envergadura.

5

I

'\v1l1v

:

Averigua lo que Ie cuesta a un comerciante 1 kg de espárragos y la ganancia que obtiene por venderlo.

o

Investiga sobre los costos de producción y de venta de una determinada cantidad de espárragos.

.

Reúnete en equipo y elabora con tus compañeros rm tríptico para dar a conocer a la población estudiantil los beneficios de consumir espárragos.

@

i

'6 !

auscamos en la web

Digita en algún buscador (Chrome, Firefox,

l

Edge, etc.) lo siguiente:

o o o

infografía + producción de

l

espárragos a

Luego, haz clic en "imágenes". Así obtendrás información y estadísticas respecto a la producción

! sc o L

de espárragos.

e"-*{

;

. . . .

.

t\

I

r"\ -¡l

-

8I

\

Plantear problemas de programación lineal

Determinar la reg¡ón fact¡ble como un conjunto de un plano cartesiano y la solución óptima como el punto que maxirniza o minimiza la función objetivo. Resolver problemas de programación lineal que tienen una unic¿ o multiple solucron. D¡scrim¡nar gráficamente soluciones de programac¡ón lineal no acotada y no factible.

REPASAMOS LO QUE SABEMoS

Resuelve las s¡gu¡entes ecuaciones:

/

I

oá.á-+, @*,;=9,, craf¡ca las siguientes ecuaciones con dos incógnitas:

lpl

t"

¡q¡!rr--

,-.ffi

Calcular la solución de un srstema de ¡necuaciones lineales con dos incógnitas.

definiendo las incógnitas, determinando las restricciones mediante un sistema de inecuaciones lineales y representando la función objetivo.

.

I

Resolver s¡stemas de ecuac¡ones lineales con

tres incógnitas aplicando el método de Gauss.

Y

I

lnterpretar y resolver sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas aplicando diferentes métodos.

I

(JY

N N @ j

ci

§.4..

.

¡

El Perú produce para la exportación dos tipos de espárragos: el espárrago blanco, usado principalmente para las conservas; y, en menor porcentaje, el espárrago verde, que mayormente se exporta fresco a distintos mercados.

.

,l

r t'. /

APRENDEREMOS A..,

I

Así, en la producción de espárragos, en varias ocasiones, se ha logrado desplazar a importantes países productores, como China y Estados Unidos. Además, el Perú ha sido reconocido mundialmente por la calidad de su producto.

7

r I

-! "!-

--.§ q

b/

I

y="rz

tO

Resuelve los sigu¡entes sistemas de ecuaciones con dos ¡ncógnitas:

EJto-x=sy ,

lxty=2

3?

.il

{

n

¡

t

y=zr*t

l.-1, Gt lx-7=-ty

tt.:'

ls-+y=-s-r

Resuelve las s¡guientes ¡necuac¡ones. Luego. represéntalas gráf icamente.

O 2x+8<4x+'lO Or+'12>5r-4 I,:-11 l: +'-¡

I

Escribe un par ordenado que haga verdad las siguientes ¡necuaciones con dos incógnitas.

f,f z.r-sy>-a (0:o) IE 3r-4<4y-ó ( t:t)

a c

-9

c a @

12ó

uillDAo 3

lntroducclón a la programac¡ón lineal

127

TEXTO ESCOLAR

Sistema de dos ecuaciones lineales lTexto

escolar (pá9.

30)

¡Libro

de actividades (págs, 128-131)

Capacidades y desempeños precisados . Comunica

Usa esfategias

.

y proced¡mientos Argumenta afirmaciones

¡

Emplea la representación simbólica de un sistema de dos ecuaciones lineales para expresar otras representaciones

Sistema de dos ecuac¡ones l¡neales. Método gráf¡co

equivalentes. (1-2)

Much¿rs srtuaciorrr.:s relacionaclas con la economÍa, el comercio y la producción exige n r-onsiderar srmultáneamenl€.var os c\ccnalos, posibilidades o

Emplea métodos para resolver problemas de sistemas de dos ecuaciones lineales, (1-3; 5-7)

cordrcrones. La búsqueda de estrateBias para f)iantear y resolver estas situaciones te corrcJur:rrá al estrrdro de un s¡stema de ecuacrones.

Analiza y explica el razonamiento para resolver un s¡stema de dos ecuaciones lineales con parámetros. (4; 3-4)

s¡stema de dos ecuac¡ones lineales

OTRA FORMA DE RESOLVER

Para hallar el conjunto soluc¡ón (C. S.) del s¡stema, estudiaremos cuatro métodos de resolución reducción, sustitución, igualación y gráfico.

Metodo de reducciirn

u-2y=-91x7)

Sugerencias didácticas

2s+7y=

Para iniciar

21x-14y=-63

I

y'19

Resalte que en diversos contextos se presentan situaciones problemáticas con dos incógnitas, lo cual implica plantear dos ecuaciones lineales formando un sistema lineal. Complemente con ejemplos sencillos como. Calos y su hijo pagaron 25 soles para entrar al cine, pero la entrada de Carlos costó 7 soles más que la de su hijo Calcula el valor de cada entrada. (16 y 9 soles).

I

EJEiVIPLO

Determina la solución del sistema de dos ecuaciones por el método de igualación: 3x - 2y = -§ ... @; 2x + 7y = -31 ... @

- -62

2.*=

.

125

En @: 3x Método de sustrtución

.

Despejamosr en r : 2v -9 ,=-T

.',

sustituimos

3.

en

.

,:

C. s.

=-9 ;2v

En @: 2x + 7y =

1t

-,

=-\J!

+2y

-31

=

-Para hallar

-7y

+ y = _3 y en @: 3x - 2(-3) = -9 + x = -5

_t8 + 4y = _93 - 2ty

el valor de -r, sustituimos

+

25y = -:75

Método gráfico

= {(-s; -3)}

las rectas se cortan en un punto, el sistema es compatible determinadq si coinciden es compatible indeterminadq y si son paralelas, el sistema es incompatible. S¡

n

(t);6)

\Y

Centre la atención en la definición de sistemas de ecuaciones lineales con parámetros y luego interrogue: ¿Cuándo un sistema lineal tiene parámetros?

EJEMPLO

\

x

Obtén gráñcamente la solución del sistema: Lr + y =

.

.

,"ÜF Pédi6.128-156

primer lugar, deben identificar las variables que intervienen en cada uno de los problemas. Para ello, pida que utilicen la técnica del subrayado. Besalte que si se tiene en las ecuaciones coeficientes fraccionarios se deben eliminar

fl

los denominadores. Para ello, sugiera que multipliquen a cada uno de los

orsnnnou-nrus

2x+y=6 ,, iO i3 y=6-x I 6 o

Para consolidar

l$

2x + 9y =

Í)

5x

-

30

y=J a

x:

.r-)=¡ ,, O. ¡ ,=r-3 Y.-3 0

1-3

Argumenta afirmaciones: 4 § 3

6y

=21

C.S. = {(3r

l2y = -94; -7x + 4y = --ll

lEl 9x + 4y =

-

usa estrate8ias y procedimientos:

cAPACTDADES

Sea 3.r

-12;3x -

x

Graficamos en el margen las rectas que representan a ambas ecuaciones. Observamos que las coordenadas del punto de intersección son ¡ = 3 y y = 0. Entonces, C.5. = {(3; 0)}

Resuelve.

términos de la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores, obteniendo un sistema equivalente con coeficientes enteros.

61

Despejamos los valores de y en ambas ecuaciones y damos valores

3)

Previo al desanollo de las actividades 5 a la 7 es importante destacar que, en

Consolide los aprendizajes invitando a resolver la siguiente situación: En un almacén hay dos modelos de lámparas: las Lumen que utilizan tres bombillas y las Bastón de seis bombillas. Hay en total 35 lámparas y 150 bombillas. ¿Cuántas lámparas hay de cada clase? (20 Lumen y 15 Bastón).

-,

)=-3+r=-5

determina el conjunto solución? (Evaluando el comportamiento del parámetro), Previamente a las actividades 3 y 4, enfatice que la división con el cero es indeterminada, es decir, no tiene solución. Complemente invitándoles a resolver y a socializar la actividad de la sección "Razona y argumenta",

I

-9

-+ c. s. = {(_5; _3)}

z(§).u=-u

MotÍvelos a leer la deflnición de sistemas equivalentes. Resalte que en los ejemplos 1 y 2 se obtienen sistemas equivalentes, sumando o restando una misma cantidad a ambos miembros de la ecuación o también se puede proceder dividiendo o multiplicando por una misma cantidad, dist¡nta de cero, a todos los términos de la ecuación. Haga notar que esta estrategia la aplicarán en las actividades 1 y 2.

2y =

-

Igualamos las dos expresiones, resolvemos y hallamos el valor de y:

-9

(Si uno de los coeficientes o el término independiente es una letra). ¿Cómo se

I

Despejamos la misma incógnita en las ecuaciones O y @:

¡= 5+)=-3

Para desarrollar

I

311"2¡

-Sl; llx -

2Oy =

5

-2)}

C.S. = {(

C.S. =

l0r I 2)}

{(-5: -3)}

-

ay

- l2i 9x - 6y = 18. Analiza

y responde.

El ¿,Qué valor debe tomar d para que el sistema sea incompatible? ¿,Qué cambios mínimos se podrá realizar para que el sistema se convierta en un sistema compatible indeterminado? 2: I ll carrhiarlo ¡lrr -i(r

e p €

§ I

E

L¡BRO DE ACT¡VIDADES

I

SISTEMA DE DOS ECUACIONES LINEALES

E TEN EN CUENTA Las ecuaciones que

tienen iguales sus coeficientes en las incógnitas y distintos términos ¡ndependientes no tienen solución.

SISTEMA DE DOS ECUACIONES LINEALES

Sistema de ecuaciones !¡neales con parámetros

,,rr"ma de dos ecuaciones lineales

En determinados sistemas de ecuaciones lineales, se sustituyen algunos de los coeficientes o térm¡nos independientes por letras, llamadas parámetros, que pueden tomar como valor cualquier número real. Para determinar si el sistema correspondiente es compat¡ble o no lo es, se debe analizar los valores de dtchos parámetros.

Un s¡stema de dos ecuaciones lineales o de primer grado con dos incógnitas se expresa de la

forma:

atx + bd azx + bzl

Donde.

c1

c2

a1, b1, a2y á2 son los coeficientes de la ecuación. -r y ) son las incógnitas. cr y c2 son los términos independientes.

Por ejemplo:

conjunto soluciÓn (c.s.) del sistema es el par de valores a las dos ecuaciones.

6r+5))=4 { óx+5y=7

Clases de s¡stemas lineales

El

EJEMPLO 3

k. J) que satisface simultáneamente

.

{ ar+3y-9

Sistema incompatible, si no tiene solución.

EJEMPLO

2r-r=5 '

.

Utiliza las operaciones de la adición y sustracción, y determina un sistema

.

2x

-

4y = -2... @ 3x + 2y = 13... @

.

N,

f Lr-4y+5=3 t

.i p¿ !

l

Determina un sistema equivale"*

siSt0rra

o

o o

-

eourvaief tr)

Así obtendrás información

p .o c

__;l {-oí 1 '1,

§ c

,muttiplicando y

§

E

é

@enÍe-2:

.'{il1il==-,.-,'lj],

'

I

o'{ -3x+6y=-12

p P=

-2x+4y=-$

Comprobamos que los sistemas P y Q tienen el mismo C. S. = (2;

I

-l).

128

=,24 6+a

a=lyb*l0,el

sistemaes incompatible. c + I, el sistema es compatible determinado. a= I y b= l0.el sistemaes compatible.

de comprobar que existe para

Para a = -6i el sistema es incompatible porque no podemos cero; es decir, no tiene solución.

-

Para a

e

lR

- {-6i;

dividir entre

el sistemaes compatible; es decir,tiene solución.

p

zy =

RECUERDA

z6 6

Para resolver un s¡stema de ecuaciones con dos incógnitas por el método de reducción se suman 0 se restan convenientemente la primera y la segunda ecuación, de tal forma que una de las ¡ncógnitas se elimine.

-

6x-4y=Jl

2y =26 (x 2)

5x+4y--14

llx=66+x=6 .

E

Para calcular el valor de y, sustituimos el valor de

En @: 5x + 4y

I

e {17

3

l' -

Para eliminar la variable y, multiplicamos por 2 la ecuación O y sumamos las ecuaciones resultantes:

=

14

+

Luego, el C. S. = k6;

I

t

[5x+4_v=14...@

{ 5r+4y=14

I

Multiplicamos O por3 y

fin

-

3x

ñ

@

ñ c

@ @

3

.

Por lo tanto, Q es un sistema equivalente de P @

"

j

.

G

r,

dividiendo por un mismo número cada ecuación

sobre sistemas equivalentes.

a

^

x

+'-lE-5¿ 6+a

(#,+#)a

obrén la solución del sistema:

.

Digita en algún buscador (Chrome, Edge, F¡refox, etc.) lo siguiente:

*

EJEMPLO 4

N N

EJEMPLO 2

x(6 + a¡ = 24

Este método consiste en hacer opuestos los coeficientes de una de las incógnitas y sumar las ecuaciones para obtener una ecuación con una incógnita.

Comprobamos que, al resolver los sistemas M y N, se obtiene el mismo conjunto solución (3; 2).

ENLACE WEB

,2( ,24 \-r'=5 \b+ql

Anaf izamos la solución

*

en O:

Método de reducción

3.x+2.y-3=10

Luego, N es un sistema equivalente de M.

-j

¡

Métodos de resolución

Sumamos 5 a ambos miembros de la ecuación O y restamos 3 a la ecuación @:

w,[»-+r=-, , l»-+t+5=-2+5 , {3x+2y- 13 [3x+2y-3= l3-3

3r-ay=5

6x-2y=[

todos los valores de ¿. Esto se llama discutir la solución del sistema en función del parámetro a. En este caso, el denominador es 6 + ¿. Por Io tanto:

1

equivalente a M:

@

{ ax+3Y=9 6¡ r, a¡ = 24

Reemplazamos el valor de

S¡stemas equ¡valentes

Discute la solución del siguiente sistema:

6x-3y= l§

sistema compatible determinado si tiene una ún¡ca solución.

Dos sistemas de ecuaciones son equivalentes cuando tienen las mismas soluciones. Dado un sistema, se puede obtener otro sistema equivalente realizando cualquiera de las cuatro operaciones básicas a cada miembro de cada ecuación del sistema.

v

ar+3y-9...@

Resolvemos el sistema por el método más adecuado y expresamos las soluciones en función de a.

2x-y=5(x3)

Sistema compatible indeterrninado s¡ tiene infinitas soluciones.

ARGUMENTA AFIRMACIONES

2x-y=5...@

Encuentra las soluciones de este sistema en función del parámetro a.

Un s¡stema de ecuaciones lineales se clasifica de tres maneras:

. . .

I

R"ru"lre:

3.r

5(6) + 4y =

14

+

4y

=

¡

-l$

en una de las ecuaciones: +y=

-4

-4)l

+ 8y = 34 ... @, - 5x + 2y

-

20 ... @

C. S. =

{(-2; s)}

@

UNIDAD

3

htroducción a la programación lineal

129

LIBRO DE ACTIV¡DADES

f

SISTEMA DE DOS ECUACIONES LINEALES

SISTEMA DE DOS ECUACIONES LINEALES

ARGUMENTA AFIRMACIONES

v

En el ejemplo 5: Si la

ongitud del listón de madera se duplica, ¿qué pasaría con las dimensiones del marco? Just¡f¡ca tu respuesta.

No existiría el valor del

I

EJEMPLO 5

DESARROLLA TUS CAPACIDADES

comunica:1-2 ArSumentaafirmaciones:3-4 usaestrateSiasyprocedimientos:5-7

Alberto ha hecho el marco de un cuadro con I 60 cm de listón de madera. Si la suma del largo del marco con el triple del ancho es I 20 cm, ¿cuánto mide el largo del marco?

Determina un sistema equivalente según las

. .

indicaciones dadas.

Resuelve las siguientes situaciones utilizando el método más conveniente:

O

E

.

Representamos con ,r la medida del largo y la medida del ancho con y.

Con las dos condiciones del problema. f 2r + 2) = ló0 O obtenemos el siguiente sistema: I x + 3y = 120... @

6.r+6y=480

ancho.¡= 180,"v=-20

{ x+3Y=120(x-2)

Suma -4 a la primera ecuación y resta 6 a la segunda ecuación, y obtén un equivalente a

M:

Resolvemos por el método de reducción:

3x+5Y={...'.¡ M

-Zx-6y=-24O

El sistema N

4x=24O.x=60

Pedro compra dos USB y cinco CD por Si 46 y Sandra compra cuatro USB y una docena de CD por S/ 96. ¿,Cuánto cuesta un USB?

{ -x+2y--2...?'

.r: Precio tle I

l.i+5r-4-4-,1 ) { -.r+2r-6= l-6 es

{

{ -.tt2r'-(r=-8 r{r, = -r)i! -1," 1 -lr+ llt=t)(r f

equivalente a M

El largo del marco mide 60 cm.

El Multiplica por -7 la primera ecuación y divide entre Método de susl¡tución

Planteam¡ento Sean

r: n.'de

y: n.'de motos Con las dos condiciones del problema, obtenemos el siguiente sistema:

3r+)=280

r

'

Sustiruimos en @ y resolvemos:

-

= 30

-

¡

= 80. Luego:

)

= 40

El

¿Y para qué valores de

EJEMPLO 7

n." de mujeres

con las dos condiciones del probiema, obtenemos el siguiente sistema:

lzr-y=l¿a )'1,,-{-or ('

5

'

Planteamos el problema en el margen. Resolvemos porel métodode igualación: Despejamos y de @: y = V¡

-

Igualamos y resolvemos: 2-\ En el avión hay 120 varones.

'130

168. De @: ), = 96 168 = 96

Resolvemos por el método de sustitución: Despejamos.r de @: -r = 8000 -.v En O: 25(ti000 -.r) + l20r' = 390 000 200 000 - 25-r + I 20y = 390 000 ,r = 2000 ¡ = 6000 En @: ¡ + 2000 = 8000 Se vendienm 6000 boletos de tribuna popular y

no tiene solución?

el sistema no tiene solución. Pra a e el sistema tiene solución.

En un avión, el doble de varones menos el número mujeres que viajan es 168. El número de mujeres aumentado en la quinta pafe del número de varones es 96. ¿Cuántos varones hay en el avión?

. .

¿r

-!+

!}

B

-t x = tZO

il lR

- {-3/4}

¿Qué cambio mínimo se puede realizar para que el sistema tenga infinitas soluciones?

E

8

I§

Analiza¡nos:

p

I0.r--1r'=10..

I

Para que el sistema tenga infinitas soluciones,

g

la ecuación @ debe ser un múltiplo de O; es decir el segundo miembro de @ debe ser 40. Luego,

Ep

§ a o

Rosa cuenla en su corral que el doble del número de cabezas de los conejos más el triple que el de gallinas es 280. Si la diferencia entre el número de patas de los conejos y las gallinas es 240, ¿cuántos animales hay en su corral?

ci

Resolvcrnos por el mékrdo de igualación:

o o o

J

debe

De

¿

cambia*. p.,

{.

N N @ j

,r: n.o rlc conc'.jos r': n.'dc gallinas Planteanlos: l.r + Jr' = 2110... rir 4.\ - 2r' = 240... (21

5¡+l¿r'=10... t

en el sisterna original,

o

+

2000 boleos de tribuna de occidente.

c

9

ll

12

¿/\

l

Este método consiste en despeiar a misma incÓgnita en ambas ecuaciones e igualar las expresiones obtenidas.

n." de varones

-r+r=li(XX).

+

l'+i-l )> 5rri,¡r.l(r l'\ .'=- r lltrr-ti=2l Il l0ll .lo.).,',,r,,,, (.s.={x:'t I+¿l+-i 4r/+ )/

Método de igualación

r: ):

P

el sistema tiene solución?

¿,Con qué valores de a

tr

Sean

r

r-T-'

3x

{'24 - 2!Q-}

n.' de boletos de tribunt popular r': n.'de bolctos de tribuna tlc'tlccidente 25.r + I l0.r = ]90 0(X)... Plantc'altos: .r:

l r ' '0\'-1 l v 2 lr |.3 l0 3

En el estacionamiento hay 80 autos y 40 motos.

Planteam¡ento

tti =]

l,-:'=-+-

Analiza el parámetro del siguiente sistema y responde:

Resolvemos por el método de sustitución: -r = 280

/)

El sislcnlir Q cs ec¡uivrlcnlc

Planteamos el problema en el margen.

r en la ecuación O:

se venden las entradas de tribuna popular a S/ 25 y las de occidente a S/ 120. En un pafido, se vendieron 8000 boletos entre las tribunas popular y occidente, y se recaudaron S/ 390 000. ¿,Curíntos boletos de cada tribuna se vendieron?

El En un estadio,

[5.-1,,,=-]0(=5) > (), ] t,

el estacionamiento?

Despejamos

Un USts cuesta S/ 18.

2.r+

'

- l0r = -20 ... : f I s. p,]tr+.1r=14(x

En un estacionamiento, el triple del número de autos más el número de motos es 280. Si la diferencia entre la mitad del número de autos y la cuafa parte del número de motos es igual a 30, ¿cuántos autos y motos hay en

. .

I -{ p: ) ix [ 5.r

EJEMPLO ó autos

l.r'=4+.1=l lO =z16 +.r = ltl

En q):

-! ... + :r'= ¡¿

Lr+5r'=46...1r, + l2_r = t)6. .Le

¿1.r

)Mcto.k,tl
5 la segunda ecuación, y halla un equivalente a

t'

Este método consiste en despejar una ¡ncÓ8nita en una de las ecuac¡ones y sustituir esta expresiÓn en Ia otra ecuac¡Ón.

LISB r': Precio del CD

Planteantos y resolvemos:

3.t+5r'-4=0

N:

'

r:.r=15]

lgualanros: -!

o. z:.r=lr-

ó

!

t20

l

!

7

I

I

r'= 40 = I 20

3 lntroducción

a la programaclón

f

p

2-r- 120+-r=lio

En : l(ll0) + -l.r = 2ll0 + Total dc animales: 80 +.10 UNIDAD

.o

<

a o c I

neal

131

c 0

o

LIBRO DE ACTIVIDADES

l\létodo gráfico r

Libro de actividades (págs. 132-133)

Capacidades y desempeños precisados .

Comunica

Usa estrategias y procedimientos

.

SISTEMA DE DOS ECUACIONES LINEALES

a

Expresa de forma gráfica un sistema de ecuaciones con dos incógnitas. (1; 5)

o

Traduce datos y condiciones

.

Examina propuestas de modelos referidos a sistemas de ecuaciones lineales. (6-7)

Este método consiste en hallar el punto de interseccjón de las dos rectas que representan a ambas ecuac¡ones. Según la posición relativa de las rectas en el planq podremos afirmar si el sistema tiene una solución, infinitas soluciones o ninguna solución.

Resuelve problemas de sistema de ecuaciones lineales por el método gráfico. (8; 9)

t

USO DE HERRAIVIIENTAS TECNOLÓGICAS

Sugerencias

d

idácticas

Accede a: lrttflS://WWW rl{lSntoS c0rn,i

Para iniciar

I

calculat0r

N N @ j c

I

!-

o a o f

p

€ o I @

c

§ c a @

AY

.\+ ,.'Yt

I +J

:i\¿ <--i,lt-I \"^x j)(+

';1 -v

Tiene una soluc¡ón. Su representación gráfica corresponde a dos rectas que se cortan en un único punto.

coincidentes.

/

/

-/

-zl/ /

\

T¡ene infinitas soluciones. Su representac¡ón gráfica corresponde a dos rectas

¡/

,l "/:/:/ ";/ *\r*f-t** "

, \.r,

x

V/

No t¡ene solución. Su representac¡ón gráfica corresponde a dos rectas paralelas.

EJEMPLO 8

Halla gráficamente la solución del sistema:

Pida que lean acerca del método gráfico y que evalúen las gráficas que

. X

.

Despejamos los valores de

b-Y =-s

I

Y=Lr+5

)

b - y = *5: 4x -

Zy -- 3

_y en ambas ecuaciones y damos valores a,r:

0t 57

4.r-2'-=3 - 1,5

J = 2¡

¡ 0 .y -1,5

-l 4,-5

Graficamos en el margen las rectas que representan a ambas ecuaciones. Observamos que las rectas no se intersecan en ningún puntoi es decir, son paralelas.

El sistema no tiene solución, es decir, es un sistema incompatible.

Iala5.

Al analizar el ejemplo 8, destaque que al despejar la variable y en las ecuaciones encontramos que los coeficientes de ¡ son iguales lo que implica que las gráficas de las ecuaciones serán dos rectas paralelas (sistema lineal incompatible). Señale que si al simplificar las ecuaciones, estas fueran iguales, entonces afirmaremos que las dos rectas serán coincidentes (el sistema lineal compatible indeterminado con infinitas soluciones). Al examinar el eiemplo 9; resalte que si existe un conjunto solución por ser rectas secantes, y que este conocimiento nos servirá en las actividades 6 y 7, Remarque la importancia que tienen las diversas fuentes de trabajo como son los diversos comercios que van creando las personas según las demandas que exige el mercado y que son fuentes de ingreso económ¡co. Luego, pida que respondan a la pregunta del ejemplo 9.

Y

Consolide indicando que si las rectas de las ecuaciones se cortan en un único punto, el sistema tendrá una única solución; si se superponen, tendrá infinitas soluciones, y si no se cortan, no tendrá solución.

tos ráp¡dos

1?)

La

net

fiempo (horas)

Camila tiene dos cabinas de intemet. En la cabina de internet Los Rápidos cobra S/ 8 por inscripción y S/ 0,90 por hora; mienrras que en la cabina La Ner cobra S/ 5 la inscripción y S/ 1,20 la hora. Si un estudiante tiene que navegar I 4 horas al mes, ¿qué opción le conviene?

. . .

Emprende creativamente. (Cestiona recursos para rcalizar su sueño).

Planteamos las ecuaciones: Sea,r las horas de navegación. Los Rápidos: -yn = 0,9¡ +

8

La Net: yN = l,2r +

ñ 5

Elaboramos sus gráficas en un mismo plano en el margen. Observamos que tiene una única soluciónl es decir, es un sistema compatibte determinado, y en las primeras l0 horas conviene la cabina La Net. pero por l4 horas, es mejor elegir la cabina Los Rápidos.

.9

t p E

e

Al estudiante le conviene elegir la cabina Los Rápidos.

fr, 132

;e emprendedor

EJEMPLO 9

Pago (S/)

Para consolidar

I

S¡stema ¡ncompatible

\IY

verif¡ca las gráficas de los ejemplos 8 y 9.

Recuérdeles que toda ecuación lineal (de primer grado) con dos variables se representa con una recta. Pregunte. ¿Cuántos puntos se necesitan para graficar una recta? (Bastará con dos puntos). Proponga el siguiente ejemplo: Realice la representación gráfica de -2x + y = 4 (Despelando y tendremos | = 2x + 4; luego, elaboramos la tabla para hallar dos puntos y, finalmente, graficamos). Remarque que las coordenadas de cualquier punto de la recta cumplen con la ecuación dada.

actividades

Sistema compatible indeterm¡nado

Y

representan las soluciones de un sistema lineal (determinado, indeterminado e incompatible). Pregunte: ¿En qué consiste el método gráfico? ¿Cómo reconocer en el gráfico que el sistema lineal es compatible determinado? (Se reconoce cuando las rectas se cortan en un único punto). ¿lndeterminado? (Si las rectas son corncidentes, es decir, se sobreponen). ¿Qué ocurre en la representación gráfica de un sistema lineal incompatible? (Las rectas que representan a las ecuaciones no se cortan, son paralelas). Compruebe el aprendizaje con las

I

Sistema compatible determ¡nado

I2.

Para desarrollar

I

Método gráf¡co

e É 3 o

Sistema de tres ecuaciones Iineales

LIBRO DE ACTIVIDADES

aTextoescolar (pág SISTEMA DE DOS ECUACIONES LINEALES

DESARROLLA TUS CAPACIDADES

B

Escribe V si

ll

es

Comunicar

verdadero o F si es falso.

Traduce datos y cond¡ciones:

tr

dos rectas coincidentes.

el sistema es compatible determinado. su

tr tr

gráfica son dos rectas paralelas.

@ Si la gráñca

son rectas coincidentes,

el sistema tiene infinitas soluciones.

Gl Si tiene una solución única, entonces su gráfica son dos rectas secantes.

.

#

0+

./I

deurarer,ta:y=ar+b

x

.

I

\

Hallamos la ecuación de la recta roja:

+6+a=-2

La ecuación de la recta es: y = -2x + 6. Hallamos la ecuación de la recta azul: C(0; -3): -3 = a(0) + b + b = -3

Fbrmamos el srstema:

I

En las actividades 1 a la 3 sugiera que inicien escribiendo la matriz rectangular aumentada. Luego, deben reconocer la diagonal pr¡ncipal y esto les permitirá identificar los elementos que se anularán para formar la matriz triangular. Para ello, deben aplicar los tres pasos del método.

t

Haga notar que en la act¡vidad 4 deben ordenar primero las ecuaciones haciendo que una misma variable se encuentre alineada en la misma columna y si hubiera denominadores deben eliminarlos multiplicando todos los términos de la ecuación por el mínlmo comÚn múlt¡plo de los denominadores. Pida que resuelvan la actividad propuesta en la sección "Usa estrategias y procedimientos" y que luego compartan sus procedimientos y respuestas con el resto de estudiantes; esto permitirá comprobar si han interiorizado el nuevo aprendizaje.

I

Enfatice que para resolver las actividades 5 a la 10, deben identificar primero las variables que intervienen en la situación problemática; luego, plantear el sistema con las tres ecuaciones lineales. lndique que si en una de las ecuaciones no están representadas las tres variables deben complementar sus coeficientes con cero en la incÓgnita faltante (esa situación se presenta en la actividad 9).

Rectaazul

Observa el gráfico y responde. 25

=2ti

s

20 I

l5

ll'=28 x lr'=r+2

(I

.l;

l5)

x

l0 X

Observamos que la gráfica

x

5 t0 t-5

son dos rectas secalltes

61

,l

2

y el punto de intersccción A( I 3; I 5) es la solución del sistema. Luego, Juan tiene S/ l3 y Pedro S/ I 5. Entonces. Pedro tiene S/ 2 más.

I

Figura

f,l @ El perímetro de una habitación rectangular mide 34 m. Calcula sus dimensiones sabiendo que la

Figura 2

I

¿Qué tipo de sistema forman las ecuaciones de las rectas de las figuras I y 2? S

istenra conrpatible deterrnintclo

diferencia de longitudes es de 7 m.

f,l

Scrn los lados del reclángukr r c r': eolonces, el pcrínrctro sefti Y ,.- tt

d .§

{

€ p E

interrección

I

s 3 o

+ lt = 4 Bf l: l): I =o( l)+-1+«=3

A(01 ¿1): 4 = «(0) + lt

.\\/)

,

Observamos que el punto de

¿Cuáles son los sistemas que forman las ecuaciones de cada par de rectas?

x

24

Sistema fomado:

3¡-r=-4

I

'r-Y=-2

I

solución del sistema. Lüego, la habitación mide I 2 m

delargoy5mdeancho.

+b+b=2 ) Y=¡+2 B(-l; I): 1 = u(-l) +2+ u = I

C(0:2): 2=((0)

l2;5)

2

(12;5)esla

),r=3,t+4

Rccta BC:

i 4

Para consolidar

I

l,igura l.RectaA[3:

2.r+2¡=34

Rcpetirnos el rnisrno proceso parn hilllar cl sisttnl¡ dc h h¡ura 1: .Jr lr = ,l

l'=

UNIDAD 3

Explique que si encontramos una situación problemátlca donde intervienen tres incógnitas su resolución exige que formemos un sistema lineal de tres ecuaciones de primer grado con tres incÓgnitas. Resalte que para resolver un sistema lineal de tres incógnitas se tiene que transformarlo a un sistema lineal escalonado.

Para desarrollar

- 3. Rectaroja l2x+Y=6 l

|.'-Y=3

sistemas de tres ecuaciones lineales. (f-5; 1'10)

Para iniciar

// \j:u)

tZ*,.,\

134-136)

Sugerencias didácticas

La ecuación de la recta es: y = x

Planteamos las ecuaciones

+

I\ ,/ I \rs,/

B(3;0):0=¿(3)+-3+a=l

cantidad. ¿Cuántos soles tienen cada uno? ¿Quién tiene más?

It - l=:

Sabemos que dos puntos determinan una recta. Sea la ecuación general

B(3;0):0=¿(3)

.

@ Entre Juan y Pedro tienen juntos S/ 28. Si Pedro le diera a Juan S/ l. ambos tendrían la misma

J.r+r

y procedimientos

o,u,o)$(' ,/

lLibrodeactividades (págs,

Capacidades y desempeños prec¡sados . Emplea el método de Gauss para resolver problemas de Usa estrategias

A(0;6):6=a(0)+b+b=6

Resuelve por el método gráfico.

Sea Juan: -t: Pedro: r'

usa eslrategias y procedimientos: 8-9

Construye el sistema de ecuaciones a partir de la gnífica.

.

son rectas secantes, entonces

@ Si tiene infinitas soluciones, entonces

ó-7

EJEMPLO 1O

La gráfica de un sistema incompatible son

@ Si la gráfica

1-5

'

31)

I

ntroducclÓn a la programciÓn

linea

133 I

Consolide indicando que el método de Gauss se utiliza para resolver un sistema de tres ecuaciones lineales y obtener las soluciones med¡ante la reducción del sistema dado a uno que sea equ¡valente y escalonado. En este nuevo sistema, cada uno de las ecuaciones tendrá una incógnita menos que la anterior. Plantee: Eliana, una madre de 35 años de edad descubriÓ que al sumar las edades de sus fes hijos obtenÍa su edad; pero, si sumaba la edad de su hilo mayor con el doble de la edad del hijo menor, obtenÍa 31 años. Finalmente, si sumaba la edad del segundo hilo con el doble de la edad de su hijo mayor y le restaba la edad del hijo menor, obtenÍa su edad disminuida en un año. Halla las edades de los hijos de Eliana.

(8; 12 y 15 años).

N N @ j

ci

i

)q

o l

ts

o E a

pG

€ E o L

@

c § .F

c a

@

TEXTO ESCOLAR

LIBRO DE ACTIVIDADES

.

SISTEMA DE TRES ECUACIONES LINEALES

Sistema de tres ecuac¡ones lineales

E

Al apl¡car las leyes de firchhoff a una red eléctrica se forma casi srempre un sistema de tres ecuaciones con tres incógn¡tas, en el cual dichas incógn¡tas son las intensidades de corriente. En la actualiclad, todos los problemas que se presentan en un sistema de redes se resuelven con un sistema de ecuac¡ones.

Una matriz es un arreglo

TEN EN CUENTA

EJEMPLO 3

Pasos para resolver un sistema de ecuaciones por el método de Gauss:

Resuelve el siguiente sistema:

Columna

sobre las fllas, transformamos ia matriz aumentada en una matriz e ementales

. -2 -2 2 suma 2 3 1 0 I 3

2.'Multiplicamos la [." fila

3.' Luegq escribimos este

por -3. Luego, el resultado se suma con la 3.o fila.

resultado como un sistema escalonadq y hallamos e

conjunto soluclón.

2.4 fila por 7 Luego, el resultado se suma con la 3.n fila.

x+y

o o p € c

€ E

o L §

orsannormrus

-

z=

-7

... @; y + 3z

B

2y + x = g; 2x + y +32

=

13:' 3x

+ 3y

-

7= 6

fill! jrt" @ -r + y - z = r; 2x + 3y + 47 =zr ":iá;'; -l']lt l§l x + 5y - 37 = ; Lx - 3y + 4z= -o!:t; i !!1 j:? @x*y

- z = -4; 3x + y + z,

= zt

q*l

7

@

-§

@

14 +

I

1

15

-3

156

+

C. S.

I 3

l: -4 2

15

) ll

3

un método numérico que sigue los sigu¡entes pasos:

Es

2

'L'

TEN EN CUENTA

3ol

N4atríz

Se escribe en los coeficientes de un sistema de ecuaciones como una matriz aumentada. tal que en cada columna se ubican los coeficientes de la misma incógnita y los térm¡nos

l

I

-t .l

0

26

I

l,os't

/

Luegq escribimos este resultado como un sistema escalonadq y hallamos el conjunto solución.

x-y-z=-i1

o

. i

.

I

31

134

f,

Transformamos a una matriz triangular:

[:

la 1.' fila por 5 Luego, el resultado se suma con la 2." fila.

I .' Multiplicamos

l.' fila

el resultado se suma con la 3." fila. 3." Dividimos la

2! fila

entre

2.

Luego, el el resultado se suma con la 3." fila.

De

Delaecuación Delaecuación

-l -l

2

-l t-11 *4i 34 113

5 -5 -5 -55+ I I I -ll -5 3-4 34> o 2-9 21 0 -2 -9 -21 32123 -3 3 3 33+ I I 1 -ll 3-2 l-23> 0-2 9 2t 01410 01410 0-|

912

01

o

212

+

1-l-1

4 10> 0-2-9

0 -U2 -U2

O

O

+ z -2:-2y-9z=-21 + -2y 9(l)=-21+)=6 l:,r ¡, ¡=-11 + x 6- l=-11+¡=-4

r¡ del sistema escalonado del margen:

1'l ..

2y 9. = 21 ... 1/2.= 1/2...

= {( t; 0; _2)}

lntroduccón a a programación linea

]' i=

z= -23

l-s

IMPORTANTE El método de causs consiste en transformar un sistema de ecuaciones en otra equivalente escalonada. De la última matriz se obtiene el sistema en forma escalonada:

+

sistema de ecuaciones.

2.' Multiplicamos la por 3. Luego,

)

-Zy

Escribimos la matriz aumentada del

z= 6

David compra I 10 helados: vainilla, chocolate y lúcuma. El precio de cada helado de vainilla es de S/ 4, el de chocolate S/ 5 y el de lúcuma S/ 6, y paga por todo S/ 540. Se sabe que entre los helados de chocolate y de lúcuma hay l0 más que de los de vainilla. ¿,Cuántos helados compra o;,illr1,r:P""Í,

3

-5x+3y-42=34 3x

[qo,l b',]

$61

3.'

Resuelve el siguiente sistema:

iiool

n=lo: u loa=l¿:

t.5

Mediante operaciones elementales sobre las filas, transformamos la matriz aumentada en una matriz equivalente tr¡angular.

EJEMPLO

una matriz cuadrada en la cual los elementos que están por encima o por debalo de la diagonal principal son nulos.

t-l -rl 1,, l3 ¡5 ln -75 sr ]

2.'

trrangular

Es

fr

x = 2 F C.S. = {(2; -3; 6)}

UNIDAD

drson los térm¡nos independientes.

Método de Gauss

I

I

,-,-r-l

lo

lo

d,,dry

independ¡entes.

Usa estrategias y procedimientos: '1-5

sistemas:

-

30]

0 0 26156

cAnACIDADES Resuelve.

x

2

0 7 21 105+ lr 1,, o-7 5 51

= 15 ... @;262=

Halla el conjunto solución de los siguientes

l§

,i

2l+

Luego,reemplazamos en @ y en O: y =

Pá48. 154-lóA

!

I

>

d,

conjunto solución (C. S.) del sistema es la terna de valores (r, y, z) que satisface sirmultáneamenre las tres ecuactones EI

De la última matriz se obtiene el sistema en forma escalonada:

,rryF

-o

.l

3 -42 30 o-7 5 5l

3.'Multiplicamos la

)Q

-1

l-+

.' Multiplicamos la l.u fila por -2 Luego, el resultado se con la 2.o

fila.

equivalente triangular.

ffi

r

a3x + bry + crz=

T¡ansformamos a una matriz triangular:

2.' l\,lediante operaciones

¿

tl lz

del sistema de ecuaciones.

1

ci

,!t

3x-4y+22=3O

matriz aumentada, de ta forma que en cada columna se ubican los coeficientes de la r¡isma incógnita y los términos independientes.

N N @ I

Fita (?)

Lr+3y+z=1

Escribimos la matriz aumentada

arx

ii.t A) o VV T (r> 11 -2 5

x+y-z=-7

.

a,x+b,y+c,z=d, Donde:a.,b.,cr,ar,br,cr,ar,bryc.sonloscoeficientesdelaecuac¡ón. + bry + crz=d2 ¿y,zson lasincógnitas.

rectangular ordenado de números en filas y columnas.

El método de causs consiste en transformar un sistema de ecuaciones con tres incógnitas en otra equivalente, tal que esta sea escalonada.

1.' Se escriben los coeficientes de un sisterna de ecuaciones como una

Un sistema de tres ecuaciones lineales o de primer grado con tres incógnitas se expresa de la forma.

RECUERDA

Método de causs

§istema de tres ecuaciones lineales

-ll2

z.

=

-112

-l/2

-21 t-112

a

1

p

§

El conjunto solución del sistema es: C. S = {(-41 6; 1)}

o

LIBRO DE ACTIVIDADES

SISTEMA DE TRES ECUACIONES LINEALES

¡

¡

SISTEMA DE TRES ECUACIONES LINEALES

fl

EJEMPLO 12 En un taller, se envasan bombones en cajas de 250 g,500 g y 1 kg. Se sabe que cierto día se envasaron 60 cajas en una hora. Además, había 5 cajas más de tamaño pequeño (250 g) que de tamaño mediano (500 g). Si el precio del kilogramo de bombones es S/ 4 y el importe total de los bombones envasados en una hora asciende a S/ I 25, ¿cuántas cajas de cada tamaño se envasaron?

. .

.

60.

Digita en algún buscador (Edge, Firefox, Chrome, etc.) o siSuiente:

> r+y+¿=60

Hay5cajasmásdetamañopequeño

"'] C).

El importe total de los bombones envasados asciende a S/ I 25.

'--- ' x-r=5

, r [fr -\0

Por Gauss

r-y+0¿=5

-

5

I )

Seirlr.\ : !:rl\co\l\..\

fxr > lo\-r L0 1\ f'r..t l:60 >lo\-r-ss io o>s37.s

-l

Pl¡nte¿rmos el sistema

65

Multiplicamos la segunda fila por 0.5 para luego sumarla con la tercera ñla y reemplazar el resultado.

§ 3

p € I

s

-

El sistema de forma escalonada: De la ecuación

(O. obtenemos: z

Reemplazamos el valor de z en Reemplazamos el valor de z

yy

)

@:'2y - z = -55 + y = )Q en Gr: -t +-v + z=6O + x=25

x-zt'

2O

¿*|.f

=

f | [-

a

ll: I6r

El

gaseosas,

1."

result¿rdo

¿Cuál es el sistema de forma escalonada?

se suma

con la 2." fi1a.

se suma con la 3." lila.

l-i

f

I

i

+

5

ie¿ol

t

0

lila

Multiplicamos la 1." fila por -l . Luego. el resultado

-l:=3

I0:=

ro

i'ql

i t t

0 0

,ru-l

I

I

I

4

0

I

i'ql

t

, lzol

4 0

i rool

I I

-l

i

i t60t

i-*l

irzo-l tll i rool 014 lrr 3 'fila 004 i 'rq] l)e liil dcl sisterra eseakrn«hr: 4: = l0 + : = l0 I)c r2): r, + 4: = 160 +r' + 4(30) = l(l) +-v = 40 l)c rr'.r+,r + : = 120 +.r + 40 +.10 = Il0+.r= -50 Sr¡marnos Ia

2.'fila

con

.

=5

I

4{0,25(25) + 0,2s(20) + 1(1s)} = l2s

I

y l5 cajas grandes.

lay 50 botellas dc gaseosr.

.1O

Marcela es

l6

años menos que la edad de Fernanda. una. \': I i. \l: I l. l : 15

Determina la edad de cada

O

La suma de tres números es 246. Si a la mitad del menor se le agrega Ia tercera parte del mediano y la mitad del mayor, la suma es 109. Asimismo, el mayor excede en 6 unidades a la mitad de la suma del mediano y el menor. ¿Cuáles son esos números? 76: ll4 y 116

tlc' agua y. -30 de aceitc.

f,) Un granjero tiene I l0 animales. De estos, l/8 del número de gallinas más l/9 del nÍrmero de cerdos. más l/5 del número de pavos equivalen a l5 animales. Además, la suma del número de gallinas con el de pavos es 65. ¿Cuántos animales de cada clase posee el granjero? (i: 40: (':'1-5: P: 2.5

N N @ j

(E Determina el año en el que falleció Johann Carl Friedrich Gauss, el notable matemático, si se da como dato que la primera cifra es I y que en las tres restantes se cumple: cinco veces Ia cifra de las unidades, más diez veces la cifra de las decenas, menos cinco veces la de las centenas es 35. También. la cifra de las unidades menos la cifra de las decenas. más cinco veces la de las centenas es igual a 4O. Además, el doble de la cifra de las centenas menos la de las unidades, más el doble de la de las decenas es

e

l0

Si al doble de la edad de Verónica se le suma la edad de Marcela, se obtiene la edad de Fernanda aumentada en l7 años. Además, si a la tercera parte de la edad de Marcela se le suma el doble de Ia edad de Fernanda. se obtiene la edad de Verónica aumentada en 39 años. Por último, se tiene que la tercera parte de la suma de las edades de Verónica y

rzo--l

unil nriltliz lriangular:

por 4. Luego, el

El precio del kilogramo de bombones es S/ 4 y el impofe total de los bombones envolsados de bombones es Si 125:

Se envasaron 25 cajas pequeñas,20 cajas medianas

120

Multiplicamos la

e f-_ .++

-

.r+,r+:=

matriz \i\l( nl¡r c(lr¿r(i.ttes:

'llanslbrmanlts

tz=s

.r-lr'

15 = 6O

Hay 5 cajas más de tamaño pequeño que de tamaño mediano- 25

=o

C.s.={(l0r12;6)}

[-zr*y*ez=-a

il,r+

+

(le

[3r+2y+;=-5

15

Se envasan en total 60 cajas: 25 + 20

y-x z=)- +- 2t

irurDcntrdt del

sea el sistema:

Comprobamos:

-

,-+-zlY

t.lscrihir¡os la

V

-2y-z=-55...@ (3) ,§,=17§ =

como los que aprobaron Comunicación. ¿Cuántos estudiantes aprobaron solo Matemática? ¿Cuántos solo Comunicación?¿Y cuántos solo Religión?

=r

,r+:=80

USA ESTRATEGIAS Y PROCEDIMIENTOS

r+)+¿=60...6)

-

-5)}

: :t¡ttir..': it rile

60

1

ro*f

5:

agua y aceite. La décima parte del número de botellas de gaseosas más la octava parte del número de botellas de agua, más la quinta parte del número de botellas de aceite equivalen a !6. Si la suma de botellas de aceite y de gaseosas es 80, ¿cuántas botellas de cada tipo hay?

60-l

Multiplicamos la primera fila por para luego sumarla con la tercera fila y reemplazar el resultado.

{( l:

Gl En una bodega, hay I 20 botellas entre

60-l

fr. l l > o\-r -ss Ll 2 '4. tzs

Multiplicamos la primera fila por -l para luego sumarla con la segunda fila y reemplazar el resultado.

]

S=

de

revisar los resultados obtenidos en Matemática, Comunicación y Religión, se notó que todos aprobaron un solo curso. Los que aprobaron solo Matemática más cuatro estudiantes son tantos como los que aprobaron Comunicación, y los que aprobaron Religión menos cuatro son tantos

Resuelve usando el método de Gauss.

I l 2 -{l2L

x+2y+42=125

t

C.S.={(l:-l:2)}

4(0.25r + 0,5y + z) = 125

Resolvemos el sistema de ecuaciones. Utilizamos el método más apropiado.

x+y+z=6O

.

[á.,-á=-if

GaUSS,

I

l -'

c'.

É.1.i=? o li-i..=# o

Así obtendrás informaciÓn sobre la vida y obra de

I

(250 g) que de tamaño mediano (500

[3x+2y+5¿=-5 ('. §. = {( 3; 2:0)}

ENLACE WEB

Gl En un salón de 5." hay 48 estudiantes. Luego

!;,-!-,, " {irii [3x-+y+32=-44

o[Tr:?,:',:=-:^

Planteamos las ecuaciones y formamos el sistema: un total de

Usa estrategias y procedim¡entos: 1-'10

cAPACTDADES

Resuetve los siguientes sistemas de tres ecuaciones empleando el método de Gauss:

Comprendemos el enunciado: Representamos con f, ) y Z el número de cajas de tamaño pequeño (250 g), mediano (500 g) y grande (10O0 g), respectivamente.

Hay3tamañosdecajasquehacen Í

orsannou-nrus

21. lx55

ci ñ j

ó q E

E

¿

:9 l

E o o

-

§

po _! E oI

3 o

a

-E

E

3

@

§c UNIDAD

3

lntroducciÓn a la programación lineal

135

13ó

c o a @

3

TEXTO ESCOLAR

Sistema de inecuaciones lineales lTexto

escolar (pá9.

32)

I

Libro de actividades (págs 137-139)

Sistema de inecuaciones lineales

Capacidades y desempeños precisados Comunica Usa estrategias y procedrmientos Traduce datos y condiciones

.

Representa gráficamente inecuaciones en el plano cartesiano. (1-6; 1-2)

. .

Los matemáticos suelen usar inecuaciones para aproximarse a cantidades cuyas fórmulas exactas no pueden ser fácilmente computadas. En la toma de decisiones de una empresa es en donde t¡enen su aplicación directa, ya que se deben obtener resultados dentro de un intervalo de productividad.

Determina la solución de un sistema de inecuaciones lineales con dos incógnitas, (7-12:3-a)

hecuación l¡neal con dos incógn¡tas

Examina propuestas de modelos para reproducir sistemas de inecuaciones a partir de un gráfico, (5-6)

una inecuaclón lineal con dos incógnitas es cualquier desiguaidad. Por ejernplo: 2x + y <3',3t y > -4; x + 5y < 6', 4J-3) > -10

EJEMPLO 4

Sugerencias didácticas

Representa gráficamente la inecuación 6x + 2y < 4

I

Fije Ia atención de los estudiantes en la definición de inecuación lineal que se presenta al inicio de la página. Enfatice que hay cuatro posibles formas de representar una inecuación lineal con dos incógnitas, las que variarán de acuerdo con la desigualdad (<, >, <, >) que se emplee. Su solución estará conformada por un conjunto de pares ordenados que pertenecen al producto cartesiano lR2; es decir, será una porción del plano.

.

Y

Para iniciar

Hallamos la ecuación de la recta asociada a la inecuación: 6x + 2y < 4

2

x

. .

+

)=

!¿

2y = -$1¡ a

!a

y = -3x + 2

3x + 2 y determinamos los semiplanos.

Como Ia recta no pasa por el origen de coordenadas, escogemos el punto (0; 0) y verificamos si cumple con la inecuación 6x + 2y < 4'. 6(0) + 2(0) < 4

6x+2ys4

6x + 2y =

Trazamos la recta

+

0 < 4 es verdadero. Entonces, (0; 0) es solución.

La representación gráfica de 6x + 2y < 4 incluye la recta y el semiplano que contiene al punto (0; 0), tal como se muestra en la gráfica del margen.

Para desarrollar

I

N @ I

ci ¿ .o 6 a D

I

e o o

p

s

(

o

a c -a

c a @

Revise con los estudiantes el desarrollo de los ejemplos 13 y 14, que servirán de soporte para desarrollar las actividades 1 a la 6 del texto escolar y las actividades 1 y 2 de libro de trabajo. Hágales notar que la resolución de la inecuación se realiza mediante una representación gráfica y, para ello, deben transformar la inecuación en una ecuación lineal. Luego se despeja la variable y obteniendo la ecuación de una recta (denominada recta asociada), la cual se grafica a partir del conocimiento de dos puntos. Esta recta divide el plano en dos regiones (semiplanos) uno a cada lado de la recta, por ello se le conoce como Ia frontera. Explique que si la inecuación es de la formaf(x fi > 0 o f(x; y) > O lasolución está por debajo de la frontera y si se diera el caso Oe f (x: y) < 0 o/(x; y) < 0, la solución está por encima de la frontera. Remarque que si la inecuación presenta la forma x> ao x> a, la solución está a la derecha de lafrontera (x= a) y si fuera de la forma x < ao x < a, la solución se encuentra a la izquierda.

Sistema de ¡necuac¡ones lineales con dos incógnitas Un sistema de inecuaciones lineales con dos incógnitas es la reun ón de dos o más inecuaclones

o

(2; l) 2

2x- y>2.

2x+y<3

@

P{U6. 157-159

ff

U-2y

>5

{ x-3y>-2 {4x+3y<-1

EJEMPLO 5

. .

Previo a las actividades 3 y 4, enfatice que para resolverlo primero deben calcular la solución de cada inecuación que conforman el sistema. Resalte que la intersección de los dos semiplanos es la solución del sistema. Sugiera que empleen diferentes colores para sombrear las regiones, esto facllitará la identificación de la intersección. Complemente invitándolos a que resuelvan la actividad propuesta en la sección "Comunica".

Plantee a los estudiantes la siguiente situación: Determine la región que es la solución del sistema de inecuaciones lineales con dos incógnitas: x + y<3;

lineales con dos rncógnitas. Por ejer¡plo:

Representa gráficamente la solución del sistema:

r

+ 2y > 412x + y > 5

Representamos gráficamente la solución de la inecuación obtenemos el semiplano .t'.

¡

+ 2y > 4 y

Representamos gráficamente la solución de la inecuación 2r + obtenemos el semiplano €.

La intersección de

orsnnnou-aruscAPACIDADEs

it-r

)

>5y

y O es la solución del sistema (figura del margen).

Comunica

1-ó

Usa estrategias y

procedimientos: 7'12 a

Representa gráficamente las siguientes inecuaciones,

Representa gráficamente la solución de los siguientes sistemas de inccuacioncs.

§! 2, +y > 2

. -r-2_y>3;3r+41'<-2 2x-)' 4 .l.r+r<-l:.r-5¡ >3 .r 4¡ <2:.r+2r>-3 5¡-_y > 0;3-r + 1< 2 2r +_r.'< 3;r- 6r <-l

@4.x+y<-4 §.t+3y>5

Para consolidar

&

(faLa

32

S 3x*4y <-1 §5"r*2y>3 m| Lr-5y<-2

I e

§ o

LIBRO DE ACTIVIDADES

SISfEMA DE INECUACIONES LINEALES

!l

.

'

SISIEMA DE INECUACIONES LINEALES

Sistemas de inecuaciones l¡neales con dos incógn¡tas

r,rr"ma de inecuaciones tineates

un sistema de inecuaciones lineales con dos incóSnitas es la reuniÓn de dos o más inecuaciones llneales con dos incógnitas, y t¡ene la forma:

lnecuación lineal con dos incógnitas

(

a,x+b,y
o

{ a¡+b¡>c,

una inecuación lineal con dos incógnitas es cualquier desigualdad que, directamente o medlante transformaciones de equlvalencia, se puede expresar como:

arx-b,y
la$+b1ycz { < las+b"t>c" l' ' Lasx+DÜ¿ca

ary b. son los coeficrentes de la inecuación. son las incógnitas, y 11, c2, c3 son los términos independientes.

Donde. o1, bj, a2, br,

ax + by + c > o; ar + by + c 0 o ax + by + c
,r,

)

Gráficarnente, sus soluciones son porciones del plano.

EJEMPLO 15 EJEMPLO 13 Representa gráñcamente -r -

.

)

>4

.

.

¿Cuántas incógnitas y cuántas inecuac¡ones tienen los sistemas?

Hallamos la ecuación de la recta asociada a la inecuación:

x-y>4 )-r-y=4 + y=x-4 .

Representa gráficamente la solución del sistema de inecuaciones Iineales con dos incógnitas: x + y <2; x - y > -2

COMUNICA

Trazamos una línea continua de la recta y = -r - 4, y el plano queda dividido en dos regiones llamadas semiplanos O y @; una formada por los puntos que están por encima de la recta, y la otra por los puntos que están debajo de ella. A (2:

Escogemos un punto cualquiera perteneciente a cada semiplano y verificamos si cumple con la inecuación x - y > 4'.

a)

3x+2y>5 4x-3y <-2

b)

x+2y>-1

l)

.

¡

+

Representamos gráficamente la solución de la inecuación ,r

-

Representamos gráficamente la solución de la inecuación obtenemos el semiplano I lfigura l).

<2

-r'

-y

y obtenemos- el semiplano z (figura 2).

y>

-2

2x+3y <4

5r-)

0

I

<0

El punto A(2; l), perteneciente al semiplano @, no satisface la inecuación, porque 2

-

I > 4 es falsa. Luego,A(2; l) no es solución.

B (3;

a) Dos incógnitas y dos lnecuactones b) Dos incógnitas y tres i necurciones

-4)

El punto B(3; -4), perteneciente al semiplano @, satisface la inecuación, porque 3 - (- 4) > 4 + 3 + 4 > 4 es verdadera. Luego, B(3; -4) es una

EJEMPLO I Representa gráficamente

. a

.

I

-8 )

{y

f

=

-$ -

3x

+

Trazamos una línea punteada de la recta y = -Z

-

.

Representamos gráficamente la solución de la inecuación x + y > 3 y obtenemos el semiplano z. Representamos gráficamente la solución de la inecuación x obtenemos el semiplano,s'.

Y

y = -2 (31 4)x,

-

Figura 3

.

3r + 4y < -8

-g +

2

EJEMPLo

.

3x + 4y =

Figura

Determina la región que es Ia solución del sistema de inecuaciones lineales con dos incógnitas: -r < 3i r + y > 3; ¡ - y > I Representamos gráficamente la solución de la inecuación ¡ < 3 y obtenemos el semiplano t..

Hallamos la ecuación de la recta asociada a la inecuación: 3x + 4y <

I

La solución del sistema es la figura 3, que es el resultado de la intersección :'. de los dos primeros semiplanos I

solución.

| . El semiplano @ del margen es el conjunto solución de.r - y > 4, ya que, así I como el punto B, cualquier punto perteneciente a este semiplano satisface I dicha inecuación. I Lu."pr.r.n,r.ión gráfica de.r-y > 4 es el semiplano @ incluidos los puntos I\ delarecta)=¡-4.

-l

-l Figura

(314)x

3

y determinamos

,1 ./ l, ;iI \,/,,'/

Y

,f

2

=3

lossemiplanos@y@. É

p !

E

.

-a-tÍ

Escogemos el punto A(-5;0) perteneciente al semiplano O, y verificamos que sí cumple con la inecuación 3x + 4y < -8l

3(-5) + 4(0) < -8

+ -l 5 + 0 < -8 +

-15 < -8

t2

-) -t

-1

-2

es verdadera.

I La intersección de los tres semiplanos I , 3 y ir es la solución se muestfa en el margen (región triangular) |\_ "o-o

La representación gráfica de 3x + 4y < -8 es el semiplano O. Ver margen. I UNIDAD

3 lntroducción

"

x

a---.----)----4 \)l

-t

N N @ j

-y>Iy

./t

-tx

/-z

I

2 l ,,

del sistema tal

d :9 f E

o

)

!

E

€

c a c

§

a la programación lineal

131

138

c @ a

o

E

LIBRO DE ACTIVIDADES

SISTEMA DE INECUAC¡ONES LINEALES

fl

oesnnnou-nruscAPACIDADES

Comunica:

Representa gráficamente las siguientes inecuaciones:

1-2

LJsa

3-4

estrategias y procedimientos:

t

fraduce datos y condiciones: 5-ó

mientras que en el segundo sistema suma 5 a la primera ecuación y resta 8 a la segunda y obtén un sistema lineal equivalente en cada uno de los casos.

EJEMPLO 17 Determina el sistema de inecuaciones lineales que representa [a región coloreada.

ff-r+3¡<-4 Y

.

a)[2x+y=!

-l

Hallamos la inecuación

y

-1!,1-

o

-2

-2

=

#'

(.r

-

o)

+

2.

4.r-

3y

>-6

Calculamos la inecuación cuya solución está encima de la recta que pasa por (0; 3) y (1; l):

.

a)

-

1y >

-6; 2x

+y

>

b)

3x+5y={5

{4x-y=14

la solución de los siguientes sistemas:

4x-3y = 17

b) J 5y-x=5

{ 2x+y=11

Observamos que la región coloreada está

Por lo tanto, el sistema de inecuaciones que representa la región coloreada es 4x

x+4y=14

{ -10x+9y=7

3. Halla gráficamente

limitadapory>1yx<3.

Y

lzr*dv=-1q

Resuelve las siguientes situaciones empleando el método que más domines. a)

y-3=3:r (.r-o)+ 2x+y>3

-3

@3x+5y>12

b) [3x-4v=12

l4x+8y=sz

cuya solución está debajo de la recta que pasa por (0; 2) y (3;6):

4

Actividades complementarias. 1. En el primer sistema, multiplica por tres la primera ecuación y divide entre cuatro la segunda;

I 4y- x-3

=0

4.

Construye el sistema de ecuaciones a partir de la gráfica:

5.

Resuelve usando el método de Gauss: Si al doble de la edad de Vera se le suma la edad de N/arÍa, se obtiene la edad de Luisa más 17 años. Si a la tercera parte de la edad de lVarÍa se le suma el doble de la edad de Luisa, se obtiene la edad de Vera más 39 años. Si la tercera parte de las sumas de las edades de Vera y MarÍa es 16 años menos que la edad de Luisa, ¿qué edad tiene cada una?

6.

Representa gráficamente las siguientes inecuaciones:

> l; x < 3.

3; y

Resuelve según se indica. X

@ Determina un sistema de inecuaciones que tenga como solución la región coloreada.

Determina la reprrsentación gráfica de cada uno de los siguientes sistemas de inecuaciones:

B 2r-y=5;¡+y>4 t2: 4 I

(0:

.1)

y (2: 3); r, = 3

+

r,<.1

(ll3)y(5i0): r= .r+5 +r'< -.r+5 Sislenlr: y<.3:.r + ! < 5: \.>0: \ > 0 N @ j

-5

ci

i

'6 a E

ó o o

N j

10

c) -x+ 7x<14

Encuentre la inecuación cuya solución está representada por la siguiente gráfica:

Glr'0;2y-x<2;x+y<3

q

p

p

I

I L

g

q

o

468

-8 -6

2

x

.o

t2

-2 -l -l

BCI:

y<2 AB:(0;2)y(-2;0)+¡ -4

AC: (0: -2) y (4:0) Sistema:

r'<.{

+ 2:

§c @ @

7

b) 2x+ 5y>

ó

,

c o

a) 3x-y<9

Gl Encuentra un sistema de inecuaciones que describa la región interior del triángulo ABC.

UNIDAD

2.r,

.r

>

-4:

3 htroduccón

Respuestas:

t, < 2

a la programaclón lineal

139

a)i6x+3y=27 b)J3x-4y

+5=17

5. Vera, María y Luisa tienen

15,12y 25 años, respectivamente

l-x+2y=B

l2x+3y-8=-22

2.a)(2;3) b)(s;6)

3. a) (5;

1)

b) (2;5)

6.-3x+y<6

4J3x+Y=6 l2x+3y=12

lntroducción a la programacron lineal tTextoescolar(pág

Usa estrategias y procedimientos

problema de programación lineal. (1; 1-6)

o

Determina la región factible como el conjunto del plano que cumple las condiciones del problema. (2)

I

En las actividades 1 y 2, destaque que el planteamiento de un problema de programación lineal consiste en establecer las restricciones mediante el planteamiento de inecuaciones y determinar la funciÓn objetivo.

I

Acompañe el desarrollo de la actividad 3 preguntando'. ¿Cuáles son /as variables que intervienen?(El número de cajas y el número de cilindros que debe transportar un camión) . ¿Qué se busca en el problema? (Se busca determinar las restricciones y la función objetivo). Asimismo, en la actividad 4 sugiera que deben establecer 4 restricciones y que la funciÓn objetivo debe estar en relación con el pago que recibirá cada equipo de trabaio. En este caso, se busca maximizar.

lnicie el diálogo acerca de las aplicaciones que tiene la programación lineal en diversos campos, como por ejemplo en la industria farmacéutica, la economÍa, la producción, entre otros, donde se busca optimizar (maximizar y minimizar) una función lineal denominada función objetivo. Enfatice que para resolver un problema de programación lineal se deben seguir estos pasos: el planteamiento, la determinación de la región factible y determinar la solución óptima.

I

Pida a los estudiantes que lean el texto referente a la introducción a la programación lineal y el planteamiento. Para comprobar si han comprendido, plantee las siguientes interrogantes: ¿Cuántos pasos presenta la fase del planteamienfo?(Presenta cuatro pasos). ¿Cómo se representan las restricciones? (Empleando inecuaciones). ¿En un problema de programaciÓn lineal que se debe optimizar? (La función objetivo, ya sea maximizándola o minimizándola). Refuerce invitando a que revisen la sección "Ten en cuenta", donde se detallan los pasos que deben seguirse para resolver un problema

de programación lineal.

Para desarrollar

I

Revise conjuntamente con los estudiantes el desarrollo del ejemplo 6, Previamente a las actividades 1 y 2, explique que primero deben analizar la información brindada en el problema para determinar los datos que servirán para resolver la situación. Luego, se debe elaborar una tabla de doble entrada para sistematizar toda la información (sugiera que coloquen en la parte superior horizontal las incógnitas y en las columnas deben ubicar las restricciones para

I

Para resolver la actividad 5, sugiera que organicen la información en una tabla de doble entrada; indique que deben ubicar en la primera fila superior los tipos de alimentos y en la primera columna los tipos de vitaminas que intervienen y el costo de los alimentos que servirá para calcular la funciÓn objetivo. De la misma forma deben proceder en la actividad 6.

Para consolidar

I

Resalte que para resolver un problema de programación lineal se debe iniciar analizando la información para establecer las variables y restricciones que

::::::11:'l:i"::

solución se encuentra en el cuadrante l.

I

Motive para que analicen el desarrollo del ejemplo 19. Para verificar si han comprendido, pregunte: ¿Cuáles son las incógnitas en el problema?

#

/

l:*:":li

Determina las restricciones y la función ob¡etivo.

1.

que en este ejemplo nos permitirá encontrar el máximo ingreso. Explique que optimizar es determinar la mejor manera de realizar una actividad buscando el uso eficiente de los recursos que se dispone. Matemáticamente, podemos indicar que optimizar es maximizar o minimizar (el primero de ellos consiste en determinar el valor del dominio que hace que la función tenga el máximo valor, mientras que en el segundo caso es encontrar el valor del dominio que haga que la función tenga el menor valor). Destaque que las restricciones de no negatividad significan que las variables r y y son mayores o iguales que cero y que esto también nos asegura que la

Destaque que la restricción de la negatividad se deduce a partir del contexto de las variables que interv¡enen.

Actividades complementarias

el planteo de inecuaciones). Finalmente, se establece la función lineal objetiva

I

140"142)

I

Sugerencias didácticas Para iniciar

lLibrodeactividades(págs

(El número de kilogramos de alimento concentrado, Vitatone y Creceplus). ¿Cuántas restricciones presenta la situación? (El problema está restringido por cinco inecuaciones). ¿En el problema se busca maximizar o minimizar? (Se busca minimizar la función objetivo). Sugiera utilizar esta misma estrateg¡a en las actividades 1 a la 6.

Capacidades y desempeños prec¡sados . Elabora tablas de doble entrada que relaciona datos de un Comunica

33)

Sonia y Carlos ganan 10 millones de soles en una lotería y les aconsejan que los inviertan en dos tipos de acciones, A y B. Las de tipo A tienen más riesgos pero producen un beneficio anual del 10%. Las de tipo B son más seguras, pero producen solo el 7% anual. Después de varias deliberaciones ellos deciden invertir como máximo 6 millones en la compra de acciones A y, por lo menos, 2 millones en la compra de acciones B, Además, lo invertido en A sea por lo menos igual a lo invertido en B. ¿Cómo deberán invertir los 10 millones de soles para que

el beneficio anual sea máximo?

2.

Una empresa de transporte ofrece asientos no reclinables al precio de .100 soles y asientos camas a 600 soles. A los que eligen asientos no reclinables se les deja llevar 50 kg de peso y a los demás 20 kg. Si el ómnibus de la empresa tiene 90 asientos y admite un equipaje de hasta 3000 kg ¿cuál será la oferta de asientos de la compañÍa para optimizar

el beneficio? Respuestas: 1. x

N N @ j

:

¿ :9

o

-

E

o I l

pa IE c a o c

§ .F y>0; x+y<10; x<6; y>2; x>y;

f(x; y) =0,.1x+0,07y y > 0; x + y < 90; 20x + 50y < 3000; f(x; y) = 100x + 600y

c o a

@

TEXTO ESCOLAR

¡

!ntroducción a !a programación lineal

INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL

E

:n un laboratoflo, la exper¡encia luega un papel rmportante en la toma d( lec¡s¡ones. Es más efectivo combinar esta con el análisis científico para )btener resultados lo más óptimos posibles, de manera que el proceso ie toma de decisiones sea más confiable.

f.

Determ¡nación de la reg¡ón factible. La solución debe estar en la región determinada por las distintas desigualdades.

TEN EN CUENTA

Determinación de la soluc¡ón óptima. Es aquella que max¡miza o minimiza la función objetivo F(-r, )). Se encuentra en la frontera de la regiÓn factible.

EJEMPLO

6

Se dispone de 600 g de un determinado fármaco para preparar pastillas grandes y pequeñas. Las grandes pesan 40 g, y las pequeñas,30 g. Se necesitan como

t2\

2 a *+,

Para resolver problemas

de programac¡ón lineal, debemos seguir los siguientes pasos:

l

U

grandes. y mínimo el doble de pequeñas que de grandes. mínimo tres pastillas Cada pastilla grande genera una ganancia de S/ 2, y cada pastilla pequeña, S/ L ¿Cuántas pastillas se deben preparar de cada clase para que la utilidad sea máxima?

m

Planteamiento:

.

Organizamos la información en una tabla:

Determinac¡ón de la solución óptima Evaluamos F(x;)/) en cada

F(3:16)=2.3+1ó=S/22 F(3:6)=2.3+6=Sl12 F(6.12)

=2.6

+ 12 =S/ 24

Pastillas

Pesos

punto

<Máx

. . .

'.

40

grandes

I

Pastillas pequeñas 30

g

,

Disponibilidad

Planteamos la función objetivo: F(r; -y) = 2'¡ a

3t

)

>

Para plantear la solución de un problema de programación lineal, debemos realizar lo siguiente:

I I I I I I

Organizar la informacaón mediante una tabla.

ldentificar y representar las incógn¡tas. Determinar las restricciones existentes. Plantear la función objetivo

EJEMPLo 18 En un taller se dispone semanalmente de 24kgde algodón y 15 kg de lana para la producción de dos tipos de tapices decorativos A y B, según los siguientes requerimientos:

fapiz e: 200 g de algodón y

100 g de lana Tapiz B: 200 g de algodón y 300 g de lana

.

Identificamos las incógnitas: ,r = Pastillas grandes y = Pastillas pequeñas

r>

Planteam¡ento

Si el tapiz A se vende a Si 40 y el tapiz B a S/ 60, determina las restricciones y plantea la función objetivo que expresa el máximo ingreso.

600 g

Determinamos las restricciones:40.r + 30y < 600;

2x:x>O:y>0

-y

Determinación de la región factible y óptima en el margen.

*ÜF

La máxima utilidad es S/ 24 y

se obtiene fabricando 6 pastillas grandes

.

y

Del análisis de la información del problema tenemos:

-

Dos cantidades de productos; algodón y lana. Dos tipos de tapices: A y B con distintas cantidades de cada producto. Un precio para cada tipo de tapiz. Se desea obtener el máximo ingreso por Ia venta de los tapices.

Organizamos la información en una tabla:

l2 pequeñas. Requerimientos por tapiz

Páds.140-145

Disponibilidad

AB

ffi

N N @ j

l!

ci

i

)Q J

!o o o l

I ts

p 9

p

€ c

a § L 3 o @

§c c a

oesannou-lruscAPACIDADES

comunim:

1

Us

Algodón (kg)

estrateSjas y proced¡mientos: 2

Lana (kg)

de acero paseo kgdealuminio,yen espera y vendida, y la

Una fábrica produce bicicletas de paseo y @ Ana confecciona pantalones y casacas del mismo montaña, para lo cual cuenta con 80 kg de material. Para la elaboración de un pantalón, y I 20 kg de aluminio. En cada bicicleta de requiere de 2 m de tela y 4 horas de trabajo al día, y paralacasaca,3 mdetelay 8 horasde trabajo empleará I kgdeaceroy 3 al día. La fábrica cuenta con 600 m de tela y las de montaña,2 kg de cada metal. Si ganar S/ 270 por cada bicicleta de paseo 1520 horas dc trabajo para todo el proceso. Si por cada pantalón obtiene una utilidad de S/ 450 por cada bicicleta de monlaña S/ l8 y por cada casaca, S/ 30, ¿,cuántos determina las restricciones del problema pantalones y casacas debe confeccionar para la función objetivo que le permita obtener ganancia obtener el máximo beneficio? 6l) v 160 .r + l¡ < tlO: 3r+ 2r < 120: -r>0: r'>01 t,(.t: r) = 27Or +,.150r

esperada.

lineal ftt

(maximizar o minimizar) una función lineal, denominada función objet¡vo, estando las variables sujetas a una serie de restricciones expresadas mediante inecuaciones l¡neales. El conjunto de todas las soluciones posibles se denomina conjunto solución factible.

Planteamiento. Se otganiza la información en una tabla, se identifica y representa las incógnitas, se determina las restricciones y se plantea la función objetivo.

r6)

htroducción a la programación

La programación lineal facilita la resolución de problemas de producción, economía, rendimiento, etc. Resolver un problema de programación lineal consiste en opt¡mizar

Para resolver problemas de programación lineal, se siguen tres pasos:

Determinación de la región factible

Él

LIBRO DE ACTIVIDADES

UilIDAD

3

lntroducc¡ón a la pro8ramación lineal

Precio (S/) ENLACE WEB Digita en algún buscador (Firefox, Edge, Chrome, etc.) lo siguiente:

proSramacon rnea AsÍ obtendrás información acerca del planteamiento de una pro8ramación lineal.

33 140

[" l(X) g = Q.l ¡* 40

200 g =

a.l

por semana 200 s = 0.2

k"

24 kg

300 g = Q.3

¡t

15 kg

60

Asignamos una variable a cada una de las incógnitas: y: número de tapices del tipo B

x: número de tapices del tipo

A

N d c

Determinamos las restricciones:

-

)

<24

De recursos: algodón O,2x +O,2y lana > 0,1.r+0,3y< 15 De no negatividad,,r y y son valores enteros no negativos: ¡ > 0; ) > 0

Como 40x es el ingreso total por [a venta de los tapices del tipo A y 60y por los tapices del tipo B, entonces la función objetivo que determina el máximo ingreso es: F(.r, _y) = 4Q¡ 1 §Qy

B

p € I

e 3 g

LIBRO DE ACTIVIDADES

INTRODUCCIÓN A L,A PROGRAMACIÓN LINEAL

'

¡

INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL

EJEMPLO 19

fl

Un veterinario debe suministrar al día un Vitatone Creceplus mínimo de 30 mg de vitamina B 12,20 mg de Bl2 4 3 vitamina A y 30 mg de vitamina C a través de los alimentos concentrados Vitatone y Creceplus A 4 2 que da a sus animales. El cuadro indica la C 5 6 cantidad de vitaminas, en miligramos, que conliene cada kilogramo de alimento concentrado. Si el kilogramo del concentrado Vitatone cuesta S/ l0 y del Creceplus S/ 12, encuentra las restricciones y plantea la función objetivo que determina el costo mínimo. o Del análisis de la información del problema tenemos:

-

Tres cantidades de vitaminas:

Dos tipos de alimentos concentrados: Vitatone y Creceplus.

Se desea obtener las restricciones y la función objetivo que detemina el

ARGUMENTA AFIRMACIONES

§

Vitatone

Creceplus

Bl2 (mg)

3

4

30

A (mg)

4

2

20

c (mg)

5

6

30

Costo por kilogramo (S/)

l0

l2

€ p

3¡+4.y<60

x: número de kilogramos de alimento concenlrado Vitatone y: número de kilogramos de alimento concentrado Creceplus

5¡+6,y<70

§ a o

2¡+Jrs l13:4r +3r,<24:-r>0: r'>0 @ Una empresa especializada en mezclar alimentos

hace dos tipos de vitrinas: con marco de madera y con marco de aluminio. La ganancia es de S/ 60 por cada vitrina con marco de madera y de S/ 30 por cada una con marco de aluminio. Solo se disponen de 48 pies cuadrados de vidrio por día y se pueden hacer máximo 6 marcos de madera al día y 4 marcos de aluminio al día. Cada vitrina con marco de madera usa 6 pies cuadrados de vidrio; y cada una de aluminio,8 pies cuadrados de vidrio.

No. porque suministrar un mínimo (>) y suministrar un máximo (>) son diferentes.

Los kilogramos de alimento concentrado son positivos: ,r > 0; y > 0

está tratando de seleccionar la combinación más

@ Una empresa maderera

2r +,y < 45

Determinamos las restricciones, a partir de los datos de la tabla:

Orllirnizarnos la intirrn¡ircitin cn una tabla:

La cantidad de vitamina Bl2 que se dispone para hacer cada alimento: 3-r + 4y > 30' la cantidad de vitamina A que se dispone para hacer cada alimento: 4x + 2y > 20 y la cantidad de vitamina C que se dispone para hacer cada alimento: 5x + 6y > 30

Vidrio Costo

lx>0:v>0

t

La empresa paga por una tarde de trabajo S/ 300 al equipo del tipo A y S/ 500 a[ equipo del tipo B. l'(.r.r') = 300r+ 500r'

Pl¿rntc¡rrros la firncirin ob jetivo: F(.\: r) = 2-5.r + 30,r

,t > 0l,t,> 0

[5x+6y>30

.

veterinario después de un año suministra al dia un máximo de ó0 m8 de vitamina 812, 90 mg de vitamina A y 70 mg de vitamina C, ¿cuáles serían ahora las restricciones?¿Son las mismas que en la situación original? ¿Por qué?

Identificamos las incógnitas:

]u+zy>zo tt

Tipo B: tres chicas y tres chicos.

Si el

Dieta mínima (en miligramos)

fx>0:v>0 tt | 3x+4y>30

j

Tipo A: dos chicas y cuatro chicos.

Determi namos las restricciones: .r > 01 y > Q; 2-5¡ + 30v < 600

Organizamos la información en una tabla:

-

una empresa encuestadora que contrata equipos de dos tipos:

Identifi camos las incógnitas: ¡: cantidad de ejemplares A .y': cantidad de ejemplares B

Un precio para cada tipo de alimento.

_l

o

cilindro, y una camioneta, dos cajas y un cilindro. Se requiere trasladar como mínimo 20 cajas y 7 cilindros. El costo del flete es de S/ 200 para el camión y Si 90 para Ia camioneta. 5.r+ lr> l0:.r + r> 7:.r>0: r >(): I'(.r. !)= 100.r+90r @ Las lb chicas y los 24 chicos de 5.'A del colegio Alfonso Ugafe organizan un viaje. Para financiarlo, deciden trabajar por las tardes en

Una librería tiene un presupuesto menor de S/ 600 para comprar ejemplares de dos nuevas novelas. Cada ejemplar A cuesta S/ 25 y cada ejemplar B cuesta S/ 30.

Organizamos la información: Solo se dispone de S/ 600. Existen dos tipos de ejemplares

---r--

o

El Un camión puede transportar cinco cajas y un

los siguientes problemas:

B12,Ay C.

Tipo de alimento

Comunica:1-ó

Determina las restricciones y Ia función objetivo de

O

costo mínimo.

.

orsannou-nruscAPACIDADES

| 3x+4y>30

Madera J

Aluminio

6

8

60

30

Total 48

barata de dos alimentos, que debe cumplir con ciertas necesidades diarias de vitaminas. Los requerimientos vitamínicos son por lo menos 40 unidades de vitamina M.50 unidades de vitamina N y 49 unidades de vitamina P. Cada gramo del alimento A proporciona 4 unidades de vitamina M, l0 unidades de vitamina N y 7 unidades de vitamina P; cada gramo del alimento B proporciona l0 unidades de M,5 unidades de N y 7 unidades de P El alimento A cuesta S/ 5 el kilogramo y el alimento B cuesta S/ 8 el kilogramo. 2.r+5r,>20

2r+r'> l0: r+r>7: t>0:¡ >0:F(r.-l)=5¡+8y Gl Una dieta puedé contener alimentos A y B. El'

kilogramo del alimento A cuesta S/ I 5 y contiene 5 g de carbohidratos, 6 g de proteínas y 5 g de vitaminas; mientras que el kilogramo deI alimento B cuesta S/ 7 y contiene 2 g de carbohidratos, 4 g de proteínas y I g de vitaminas. Cada persona necesita un mínimo de 60 g de carbohidratos, 80 g de proteínas y 50 g de vitaminas al mes. 5.r + 2¡'> (l) 3x+ > 40: 5.r + r > 50; ¡> 0; r' > 0: F(-r. r') = l5¡ + 7r'

N N @

)

ci

i

:Q f

ldentificamos las incógnitas: .r: c¿ntidad de vitrin¡s dc madcra r: car:titlrtl de r itrin¡r. tle alunlinio

l2x+y>to [5x+6-v>30

ó 3 E E

€

I)elenninamos las restricciones:

-r>0:_r>0:.r<6: r'<4 6-r+ti,f<48

Planteamos lafunción objetivo: El precio del kilogramo de Vitatone es S/ l0 y el de Creceplus es S/ 12; entonces, la función objetivo es: F(x, y) = 10x + l2y.

UI{IDAD

3

lntroducción a la programación lineal

141

E a

p

,9 3

E o

§

Planteamos la funcirin ob-jetivo F'(.r: .v)

E o

3 o

= 60¡ + 30.r'

a o c

§ 'F

142

-

c a 6

LIBRO DE ACTIVIDADES

Determinación de Ia región factible I

Libro de actividades (págs. 143-145) tNTRoDUccróN A LA pRoGRAMAoóN LTNEAL

Capacidades y desempeños precisados . Determina la región factible como el conjunto del plano que Usa estrategias y procedimientos

tr

cumple las condiciones de un problema de programación lineal. (1-4)

Para iniciar

I

@

c

* o

Si el panetón especial se vende a S/ l8 y el premium a S/ 24, determina la región factible para que el ingreso sea máximo.

.

Resalte que para encontrar la región factible deben graficar las inecuaciones que se establecieron a partir de las restricciones. Recuérdeles que deben transformar las inecuaciones en ecuaciones y luego tabular para determinar dos puntos y poder graficar las rectas. lndique que Ia solución factible es cada par ordenado que satisfacen al conjunto de restricciones mientras que la solución factlble básica es cada par ordenado que determina un vértice de la región factible. Para complementar invite a que revisen la sección "Ten en cuenta" donde se amplía aspectos relacionados con la región factible.

Organizamos la información en una tabla: Insumos por panetón

Especial lkg 200 g = a,l ¡g l8

Masa Frutas

Precio (S/)

I

Motive a los estudiantes para que evalúen el desanollo del ejemplo 20. Pregunte: ¿La región factible está acotada? (SÍ, porque se obtuvo un cuadrilátero). ¿Cuántos sistemas lineales se han establecrdo?(Seis sistemas lineales). ¿Para qué slrven?(Sirven para hallar los vértices de la región factible), Para las actividades 1 y 2 enfatice que deben simplificar las inecuaciones y luego hallar los vértices de la región factible resolviendo los sistemas lineales. Es importante promover el valor del emprendimiento para poder generar en ellos el deseo de implementar creativamente diversas actividades económicas como fuentes de ingresos económicos, luego invite para que den respuesta a las preguntas planteadas al pie del ejemplo 20. Enfatice que para determinar la solución óptima deben evaluar la función obletivo en cada uno de los vértices de la región factible hasta encontrar el par ordenado (-r; y), que logre que la función alcance el valor máximo o el valor mínimo, esto facilitará resolver las actividades 3 y 4.

Para consolidar

I

Como autoevaluación pida que desanollen la siguiente situación: Un sastre tiene 80 m2 de tela de algodón y 120 m2 de tela de lana. Un traje requiere 1 m2 de tela de algodón y 3 m2 de tela de lana, y un vestido de mujer requiere 2 m2 de cada una de las dos telas. Calcula el número de trajes y vestidos que debe confeccionar el sastre para maximizar los beneficios, si un traje y un vestido se venden al mismo precio. (20 trajes y 30 vestidos).

Disponibilidad por día

Premium

lkg 400 g =

Q,,{.

80 kg

¡g

24 kg

24

Identificamos y representamos las incógnitas:

¡:

n.o de panetones

especiales y:

Determinamos las restricciones:

-

o

premium. El panetón especial requiere de I kilogramo de masa y 200 g de frutas. y el premium de I kilogramo de masa y 400 g de frutas.

-

a ! o o

p € c

Andrés tiene una panadería. Dispone diariamente de 80 kg de masa y de 24 kg de frutas (secas y confitadas) para preparar dos tipos de panetones: especial y

Para desarrollar

_i c :9

EJEMPLO 20

Explique que la siguiente fase para resolver un problema de programación lineal es determinar la región factible que estará delimitada por todas las desigualdades de las restricciones y en ella encontraremos la solución al problema. Remarque que si la gráfica resulta un polÍgono cerrado, entonces la región factible está acotada, pero si no se forma un polígono significa que no se encuentra acotado.

I

N N @

.i

Determinación de la región factible

La soluclón de un problema de programación I nea debe estar en a reg ón determinada por las distintas inecuacrones. Esta rec be el nombre de reg¡ón factible, y puede estar acotada o no. Si ia regrón factible está acotada, su representación gráfica es un polÍgono con un número de lados menor o igual que el número de restricciones.

Sugerencias didácticas

I

!

n.o de panetones premium

) .r > 0; y > 0 diaria > x + y < 80 > O,2x + O,4y < 24

Las cantidades de panetones son positivas Respecto a la cantidad de masa Respecto a la cantidad de frutas diarias

Emprende creativamente (Gestiona recursos pila realizar su sueño).

Determinamos la región factible:

-

El sistema que se va a graficares:

Ix>0:y>0 '{ .r+y<80 lO.Z, + O.+y

80)

[.r>0ry>0 {x+y<80

TEN EN CUENTA

J>0;),>0indican


que la región está en el primer cuadrante.

40)

Determinamos las soluciones de los seis sistemas que se forman:

^{í=B A(0:0)

e

C p I

§ o

x=0

B{ x=0 ,r+)=80

La zona coLoreada pertenece a la región factible:

o)x

m4060

-

100

B(0; 80)

{ I+),=80

l) x=0 x+Zy=120

C(80;0)

D(0;60)

E

)=0

x+2y=l2O

E(120;0)

seSmentos por los que pasan las

rectasJ=0;)=0;

oJx+y=36

r+)=80Y

'lx+2Y=l2O

x+2Y=12O

-

F(40;,10)

Los vértices de la

región factible son los puntos A(0; 0), C(80;0), F(40; 40) Y

La solución es una región factible acotada. Su representación gráfica es el polígono ACFD.

@

Los lados son los

D(0; ó0).

ieuedes produc¡r panetones en tu colegio?¿Cuál seria la ganancra máx¡ma?

UNIDAD

3

lntroducción ¿ a programación lineal

143

LIBRO DE ACTIV¡DADES

.

INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL

INTRODUCCóN A LA PROGRAMACÚN LINEAL

Determ¡nación de la soluc¡ón óptima La soluciÓn óptima es aquella que maxim¡za en la frontera de la región factible.

B

Determina la región factible.

Determina la solución óptima.

O

Gl Un almacén tiene 400 sáor¡s,300 chompas y 240

En un taller se fabrican estantes y escritorios. En la fabricación de cada estante se requieren 5 pies de madera y 8 horas de trabajo; y en la de un escritorio, 15 pies de madera y 12 horas de trabajo. En el almacén del taller hay 420 pies de madera y las horas de trabajo disponibles son 480. Si se quiere obtener la máxima utilidad ganando en la venta de cada estante S/ 60 y de cada escritorio S/ I 10, ¿cuántos muebles de cada tipo deben fabricarse?

'

Or¡:anizrnros

x.' número de

estantes y: número

l.'(.r)

2"(r)

2

2

de escritorios

Frut¡ Escritorios

Estantes Pies de

obtendrás nformación acerca de programación

madera

5 pies

I

Horas de

8h

12h

lineal.

Precio

60

ll0

.

trabajo (S/)

480 h

20

Las restricciones son

Y

,t +.r

<

B (y)

2

?

400

I

l

100

Pantalones

2

I

240

Costo (SD

160

210

> 0l ) > 0; 2r+ 2J <400+¡ ay 3 2¡6; x + 2y < 300; 2x + y <240', F(r; )) = l60r + 210) Hallamos los puntos de a la región factible: A(0;0); B(0: 150): C(óO; 120): D(1201 0) -r

l(X):

.r+l.r< ll0 Hallan¡os la

rcgirirt ltctihle

+ l5y <42O + r +3) < 84 8x+ 12y<480+ Zx+3y<120

5x

80:

20

l0)

Determinamos la solución óptima: F(60: 120) = 160(60) + 210(120) = 34 800 Debe abastecer 60 a la tienda Ay 120 a B.

x

0

E

{ x+3y -84

0)}

c. s. = {(0;

28)}

Zx

+3y = l)Q

c. s. = {(0; a0)}

C)rsiurizrnros Ir intilrrnrcirin en una tabla:

lx+3y=84 ILr+3y=l2O c.s.={(36; 16)}

I

Cuademos

75

Precio (S/)

Determinamos la solución óptima: Evaluamos la función objetivo en cada vértice de la región factible.

2; o,¡

l0

l0 4

O

Una juguería prepara dos tipos de jugot "energizante" a S/ 8 y "vital" a S/ 6. El jugo vital lo hace con 2 zanahorias, I betarraga y 2 naranjas; y el jugo energizante,con 1 zanahoria, I betarragay 3 naranjas. Si lajugueía solo recibe en el día 80 zanahorias, 65 betarragas y 100 naranjas, ¿curíntosjugos de cada tipo debe vender para obtener la mayor ganancia? (

vit

2000 2500

60

55

)rs¡nizirrlos lr inlirr¡lreitin en ur¡ lrhlir:

ó ó

I

.r>0;r >0:

solucrón optrma (máx. u¡l daii)

En D: F(60;0) = 60(60) + 110(0) = 3600

La solucion óptima o máxima utilidad de S/ 3920 se obtiene en el véfice C(36; l6). Esto indica que deben fabricarse 36 estantes y l6 escritorios.

p

rJ0

[]etarraga

I

I

6-5

2

3

100

6

8

Y

.r > 0:

3.i+4rs2-500

g 3 o

I

I P

§ 3 o

¡

> 0; l.r +

r'<

lJO

+.r

N N @ j

d i

:9

1

!o o o

+ -r < 6-5:

+ 3r' < I00: F(.t. r) = 6r + [h'

)

Iall¡rnros los puntos dc la región factible

A(0: 0): B(0:

Hallanrrs la región ihctiblc.

e

(_y)

I

?.r

<

Ener

2

Naranja

l0.r + l0r,< 2(XX):

(.\)

Zanahoria

l-as restriccir»res son:

En B: F(0; 28) = 66ig¡ + 1 10(28) = 3080 En C: F(36; l6) = 6¡136; + I l0(16) = 392O

.' (.r)

Lapiceros

La región factible es acotada, y es el polígono ABCD del margen.

En A: F(0;0) = 60(0) + 110(0) = 0

Una librería tiene en total 2000 cuadernos y 2500 lapiceros, pero, por campaña escolar, se ofrecen dos paquetes básicos de útiles escolares. El primero contiene 6 cuademos rayados,4 cuadriculados y 3 lapiceros; y el segundo paquete,5 cuademos de cada tipo y 4 lapiceros. El costo de los paquetes es de S/ 55 y S/ 60, respectivamente.

¡=0

.r=0

0 0

Jx=0 Jy=Q lx+3y=34 )2x+3y=l2O c.s.={(8a;0)} C.S.={(60;0)} .

I20

.r>0:.r>0:

l

Determinamos la región factible: Resolvemos los seis sistemas.

6.5. = {(0;

x

A (¡) Shorts

Planteamos la función objetivo que permite obtener la máxima utilidad

r

l6)

Orgalizamos la inli¡rn¡citin en urra tablil:

l0o

420 pies

F("r,Y)=§¡¡a ¡¡6,

.

l5

Precio (S/)

¡>0; y>0 Determinamos las restricciones:

labla:

1

I

pantalones, y debe abastecer a dos tiendas. La tienda A ofrece 2 s,horfs, una chompa y 2 pantalones por S/ I 60; la tienda B ofrece 2 shorts, 2 chompas y 1 pantalón a S/ 210. ¿Cómo debe abastecer el almacén a las tiendas para lograr la máxima ganancia?

Chompas

Disponibilidad

5 pies

AsÍ

.

144

l¡ inlornraciii¡r cn un¡

Cercal

D

I

Una empresa oferta loncheras nutritivas de dos tipos. La primera contiene 2 bolsas con cereales y una fruta, y la segunda oferta contiene 2 frutas y 2 bolsas con cereales. Solo se dispone diariamente de 120 frutas y 200 bolsas con cereales, y el precio de la primera lonchera es S/ 15; y el de la segunda, S/ 20.

Identificamos y representamos las incógnitas:

gita en algún buscador (Firefox, Edge, Chrome, etc.) lo siguiente:

Usa estrategias y procedimientos: 'l-4

DESARROLLA TUS CAPACIDADES

o minimiza la función objetivo Fk, )). Se encuentra

EJEMPLO 21

ENLACE WEB

'

.11..1.3):

C(..15:

l0):

D(¿10:0r

p !

I)elenrriurrrnor lrr srrlr¡eiú¡r riptirnr. I-(-15: l0) = ó(35) + li( I0) = 290 X Ntxr

l)clrc rcnrler.l5 Jug,r'

{t)

E

I

L

ritrl ¡ l0 crergizrrrrtr

< @

t llpAD 3

lntroducción

a a prograr¡ac ón lneal

145

c -q c a

o

LIBRO DE ACT¡VIDADES

Uso de software matemático I

Libro de actividades (pá9. 146)

Gapacidades y desempeños precisados . Emplea proced¡mientos matemáticos y propiedades Usa estrategias y procedimientos

USO DE SOFTWARE MATEMÁflCO para resolver

PHPSimplex, para resolver problemas de programación lineal

problemas de programación lineal, (1-2)

trm

Sugerencias didácticas Para iniciar

I

Asegúrese que los estudiantes recuerden que el porcentaje se puede representar mediante números decimales. Para ello, presente ejemplos sencillos como: 30% = 30/100 = 0,3; 50% = 50/100 = 0,5. Esto les ayudará a comprender las restricciones del problema, luego invite a que den lectura a la situación problemática y que revisen el desanollo del paso 'l . Para verificar si han comprendido, proponga las siguientes interrogantes: ¿Cuáles son las variables que intervienen?(La cantidad de kg del producto nacional y del importado). ¿Cómo se representan |as variables? (Se realiza un cambio en la nomenclatura de las variables, donde x = \', | = xr). ¿Qué te pide en el problema? (Realizar el menor gasto posible, minimizar). ¿Cuántas restricciones se han establecido? (Se ha establecido cuatro restricciones).

"

I N N @ j

ci ¿

.o 'ó !

l

o o o f

p € =o I

f,f,!§fl

@

c

§ C

a

o

I

iv

Mínimo

0.1X,+0.2X,>tl 0.3Xr+0,2X.>12

l0Vc

29E:

¡t

Fósfo«r

3O9/

20%

t2

30

,10

X,>0;X.>0 F(Xr,X2)=30Xr+40X:,,l,,i

Accede a htl¡r://u'u u,,ph¡rsirn¡rlcx.conr/sinrpltr/sirn¡rlcx,htnr?l=es En la ventana "método" elige la opción "gráfico". Luego, escribe"2",yaque hay dos variables de decisión; y 4, ya que hay cuatro restricciones. Haz clic en "continuar", luego, digita "minimizar" y la información tal cual aparece en las restricciones y la función objetivo.

tr§[§

Pida a los estudiantes que accedan al software ingresando al vÍnculo que se indica en el paso 2. Haga que se familiaricen ingresando a las cinco ventanas, entre ellas tenemos a la ventana "teoría" donde se presentan los fundamentos del método simplex. También se tiene la ventana "ejemplo" donde nos muestran problemas desarrollados. Luego de ello invite a que ejecuten todas las acciones que se indican en el paso 2. Es posible que tengan dificultades en las dos últimas restricciones (x,>0', xr> 0), entonces sugiera que completen con ceros y formen la inecuación completa (x, + )xr> 0; 0x, + x, > 0). Otra manera de fabajar es no considerar estas restricciones de no negatividad porque el programa lo asume de manera automática.

Finalmente, haz clic en "continuar". Así obtendrás un gráfico y una tabla de resultados. Observa que en el casillero de color verde se encuentra la solucióni y en el de color rojo, los puntos que no pertenecen a la región factible.

54 48 42

Punlo

36

o

0

B

80

C D E

20

30

0 40

60 0

30

18 12

8 t62432 40 48 56 g

ffi

12

80

Un alimento A aporta 240 calorías por cada l0O g y otro 8,420. Si se recomienda que no se debe ingerir más de 50O g de ambos alimentos combinados, ¿',qué cantidad de los alimentos A y B debe ingerirse para obtener un máximo de calorías sabiendo, además, que no se debe ingerir más de 4O0 g del alimento A y más de 200 g del alimento B? l(X) s (lc A r lt)O g tlc B

146

40 0

IXJ

de la

f-

I

600

2400 I

800

2400 1200

Interpretamos: El menor gasto posible es S/ I 800, y esto sucede cuando se compra 20 kg de producto nacional y 30 kg de producto importado.

EXPLORA E INTERACTI'A

Resuelve las siguientes situaciones:

Il

Cmrdenada Y

0

C(20;30)

24

Proponga que verifiquen el paso 3, donde el programa ejecuta y nos muestra el gráfico y la tabla de resultados. Es necesario que interpreten dicha información; por ello, plantee las siguientes preguntas: ¿Qué puedes afirmar de la región factible? (La región factible obtenida no es un polÍgono cerrado, por lo tanto, no está acotado). ¿Qué nos muestra la tabla? (Los puntos, sus coordenadas y el valor que toma la función objetivo). ¿Cuáles son los vértices que nos permite evaluar la función factible? (Los vértices considerados para evaluar la función objetivo son B, C y D). ¿Qué representa la recta de color rojo? (Es la gráfica de la función objetivo, cuando toma el valor de 1800).

Resalte que este programa nos permite resolver de manera rápida los problemas de programación lineal; por ello, se puede emplear para comprobar nuestros procedimientos y resultados en otros problemas. Luego invitelos a resolver las actividades propuestas en "Explora e interactúa" haciendo uso del software.

lmportado (Xr)

Nitrcgeno

Costo (S/)

Para consolidar

I

Organizamos la información en una tabla y determinamos las restricciones y la función objetivo: Nacional (Xr)

Para desarrollar

I

Para abonar una parcela de huerta se necesitan por lo menos 8 kg de nitrógeno y l2 kg de fósforo. En el mercado se encuentra dos tipos de productos: nacional e importado. El producto nacional cuesta S/ 30 el kg y contie¡e lOVo de nitrógeno y 3oo/o de fósforo. El producto importado cuesta S/ 40 el kg y contiene 2OVo de nitrógeno y 20Vo de fósforo. ¿Qué cantidad se debe comprar del producto nacional e importado para abonar la parcela realizando el menor gasto posible?

Usa estrategias y procedimientos: 1,2

@ En el auditorio

de un zoológico se va a realizar un festival de danza y este tiene una capacidad máxima de 1500 personas, entre niños y adultos. El número de niños asistentes no puede superar los 600. La entrada de niño cuesta S/ 12, y la de un adulto, S/ 18. El número de adultos no puede superar el doble del número de niños. ¿Cuál es la cantidad máxima que se puede recaudar por la ven'ta de entradas? s/ 1.1 (xx)

ñ §

§ p e I

§ a o

TEXTO ESCOLAR

Tipos de soluciones lTextoescolar(pág

34)

rLibrodeactividades(págs

147'149)

Capacidades y desempeños precisados Usa estrategias y procedimientos

.

Resuelve problemas de programación lineal que presentan una única solución o una solución múltiple. (f-3; 1- )

Sugerencias didácticas

T¡pos de soluciones La progranrac ón I neal resuelve problerras de producción, de a nrentacrón, de transporles, elc., os cuales son €rstud ados con modelos dc optrmrzac on mediante func¡ones ineales en las var aiJles de dec srón. las so uciones dependen dr: la f uncLón oblet vo y dc la rogion factible.

Solución única y múltiple

Para iniciar

I

Una solución es ún¡ca, cuando la solución óptima se encuentra solo en uno de los vértices de la región factible. Una solución es múltiple, cuando hay infinitas soluciones que corresponden a los puntos del segmento que t¡ene por extremos dos vértices de la región factible.

Centre la atención en la definición de solución única y múltiple que está al inicio de la página. Explique que los problemas de programación lineal con dos variables pueden presentar distintos tipos de soluciones: El primero de ellos es la solución única. (Esto se da cuando la solución óptima se encuentra solo en uno de los vértices de la región factible) y múltiple. (Cuando está en un segmento, es decir, tienen infinitas soluciones).

tv1

M2

c]

o,8o

o,so

c2

o,2a

0,34

Total

I

rsoo 1200

Para desarrollar

!

I

I

Destaque que para resolver las actividades 1 y 2, solo deben determinar la región factible mientras que en la actividad 3 tienen que plantear las inecuaciones de las restricciones. Recuerde que si las inecuaciones presentan la forma/(¡ y) > 0 of (x y) > 0, la solución estará por encima de la recta; por el contrario, si presenta la forma/(.4 ñ <0 of (X y) < 0, Ia solución se encontrará por debajo de la recta. lnvite a que revisen el desarrollo del ejemplo 23y para corroborar si han comprendido plantee las siguientes interrogantes: ¿Cuándo un problema de programación lineal tiene solución múltiple2(Cuando presenta infinitas soluciones). ¿En qué vértices la función alcanza su máximo valor? (La función objetivo se maximiza en los vértices By C). ¿Qué caracteriza a estos vértices?(Que se encuentran contenidos en una misma recta, además, son los extremos de uno de los lados de la región factible). En las actividades 1 y 4, resalte señalando que si la función objetivo alcanza su máximo valor en dos vértices y estos a su vez están contenidos en una misma recta y forman uno de los lados de la región factible, entonces el problema presentará infinitas soluciones. Mientras que en las actividades 2 y 3 destaque que la región factible está acotada, y además al optimizar la función objetivo se encontrará una única solución.

Organizamos la información en la tabla del margen.

Hallamos las restricciones:.r > 0:.y > 0r 0,8x + 0,5y < I 800; 0,2x + 0,5y < 1200 Planteamos la función objetivo: F(x, y) = 3,5x

+ l,5y

Graficamos al margen la región factible. Calculamos el máximo valor en el vértice (1000; 2000): F(1000; 2000) = 3,s(1000)

7

+ l.s(2000) = 6s00

Para maximizar utilidades, deberá empacar l0O0 kg de la primera mezcla y 2000 kg de la segunda mezcla. La solución es única.

)

2

I

"r/ 123456789

Solución no acotada y no factible Una solución es no acotada cuando la función objetivo t¡ene un solo valor extremo y la región factible es, precisamente, no acotada. una solución es no fact¡ble, cuando no es posible determinar una región común a todas las restricciones.

)) = r - 2) con las siguientes restricciones: obtiene una región fact¡ble como la del margen, que se extiende infin¡tamente y cuya solución es no acotada. Por ejemplq al maxim¡zar la función objet¡vo FCr,

x +y Pá€s. l4?'151

ff

Motive a los estudiantes para que evalúen el desarrollo del ejemplo 24. Para comprobar si han comprendido plantee las siguientes preguntas: ¿Qué piden determinar en el problema? (Se debe determinar la cantidad

ft

orsannornrus

>7;x-y >3;r> 0;)

> 0 se

Usa estrategias y procedimientos: 1'3

cAPACTDADES

])

= .r + 2-v sujeta a las restricciones: x + 2y > 6t x - 2y > 3t

r>0;

Para consolidar 34

ñ l

Maximiza la función objetivo F(¡, .y) = Lr + 5y sujeta a las restricciones: x > 0l -y > 0l 2t +,y < 8; x + 3r- < 12.Indica el tipo de solución. l.'inica

@ Minimiza la función objetivo F(¡.

cada recta).

Enfatice que si el problema tiene una única solución óptima, esta se debe encontrar en un vértice de la región factible y si hay infinitas soluciones óptimas se encontrarán en un lado de la región factible.

David vende dos mezclas diferentes de café: una mezcla que contiene 80% de café de primera clase y 20Vo de segunda, y otra que resulta de mezclat 5OVo de cada clase. Cada quincena, acopia hasta 1800 kg de café de primera y hasta I 200 kg de segunda. Si los beneficios son de S/ 3,50 por kg de mezcla de mayor calidad y de S/ 1,5 por kg de mezcla de menor calidad, ¿cuántos kilogramos de cada mezcla deberá empacar para maximizar utilidades?

. . . . .

de hectáreas a sembrar con cada producto y la utilidad máxima que se alcanzará). ¿Cómo se determina los vértices de la región factible? (Se calcula formando sistemas de ecuaciones lineales, con las ecuaciones de

I

EJEMPLO 7

y

>0. Indica el tipo de solución.

No acotada

@ Una tienda dispone de 36 kg de maní y 24kg de pasas que se envasan en dos tipos de cajas. La caja de S/ 6 contiene 100 g de maní y 200 g de pasas, y la de S/ l0 contiene 100 g de maní y 300 g de pasas. ¿,Cuántas cajas de cada tipo se tendrán que preparar y vender para obtener el máximo ingreso? ( rr¡rr ti¡xrA. {):,¡rirti¡r, ll: 8l} Solr, iri¡r ¡rri.ir

§

I € E

!

g3 3

H

LIBRO DE ACTIVIDADES

TIPOS DE SOLUCIONES

E

'

I

TIPOS DE SOLUCIONES

solución múlt¡ple

T¡pos de soluciones

La solución es múltiple cuando hay infinitas so uciones que corresponden a los puntos del segmento que tiene por extremos a dos vértices de a región factrb e.

Los problemas de programación lineal pueden presentar distintos tipos de soluciones: solucrón única, múltiple, no acotada y no factible.

EJEMPLO 23

Solución única Solución múltiple (BC) La soluc¡ón es única cuando la solucrón óptima se encuentra solo en uno de los vértices de la región factible.

.

EJEMPLO 22

número de latas de salsa

Extra

Carne

L

Y comprueba la gráfica del ejemplo 22. USO DE HERRAMIENTAS

Utilidad (S/)

Accede a:

Salsa Goumet

25

http://wlv. ph psimplex. com/simplex/simplex. hlm?l=es.

Disponibilidad

4t=4000kc

= 0,025

,10

1,80

!2lt -

1?sg

!c

Y comprueba las gráficas de los ejemplos 23 y 24.

l

soluciÓn Única (c)

Determinamos las restricciones:

fx.0:y,0 [x>0:y,0 i 0.2r+0.15v<4000 ) { 4x+3v<80000 lo.ozsr+o.bsy
N N @ j

.

Y)

=

p o o o l

I € 9

p I =o L

a c

§ c @

o

§

número de hectáreas de espárrago sembrado.

.

Organizamos la información en una tabla:

y: número de hectáreas de trigo sembrado.

<

Trigo

Espárragos

10

x

. . . . .

50

Determinamos la solución óptima: En B: F(0; 25 000) = 1,80(0) + 2,30(25 000) = 57 500 En C: F(2000;24000) = 1,80(2000) +2,30(24OOO) = 58 800

r:

Asrsnamos vanatlles

20

Determinamos los vértices A(0; 0), B(0; 25 000), C(2000; 24 0O0), D(20 000;0), y graficamos la región factible (figura del margen).

En A: F(0; 0) = 1,80(0) + 2,30(0) = 0


.

1'80't + 2'30Y

c l

-

Un granjero tiene 480 hectáreas en la que puede sembrar ya sea espárragos o trigo. Calcula que dispondrá de 800 horas de trabajo durante la temporada. Los márgenes de utilidad para cada uno de los productos son S/ 40 por hectárea, y los requerimientos laborales para trabajar en la siembra de espárragos son 2 horas por hectárea y para el trigo, I hora por hectárea. ¿Cuántas hectáreas de cada cultivo debe plantar para maximizar su utilidad? ¿Cuál es la utilidad máxima?

Soluc¡ón múltiple (BC)

ci :9

EJEMPLO 24

000; 2,t 000)

Planteamos la función objetivo que permite obtener la máxima utilidad.

F(r'

.

La función objetivo alcanza el máximo valor en los vértices B y C, y también en cualquiera de los puntos de BC. Por lo tanto, tiene infinitas soluciones.

mplex/simplex. htm?l=es cotrr,/si

Organizamos la info¡mación en una tabla:

Tomate

.

http://wrywv. phpsimplex.

TECNOLÓGICAS

200 g=O,2kg

Calculamos el valor de la función objetivo en cada uno de los vértices.

F(0;0)=0+0=0 EnC: F(4; 1)=4+1=5 EnB:F(0;5)=0+5=S EnD:F(3;0)=3+0=3

y: número de latas de salsa Gourmet

Salsa Extra

Determinamos los vértices y la región factible: A(0; 0),B(01 s), C(4; 1) y D(3; 0).

EnA:

Accede a:

Asignamos una variable a cada una de las incógnitas:

¡:

.

.

USO DE HERRAMIENTAS

IECNOLÓGICAS

Una fábrica prepara salsas para tallarines Extra y Gourmet. La primera contiene 200 g de tomate y 25 g de carne por lata; la segunda, 150 g de tomate y 50 g de carne. Si se abastece de 4 toneladas de tomates y 1,25 toneladas de carne, ¿cuántas latas deben fabricase de cada tipo para obtener la máxima utilidad, ganando en la venta de cada una S/ 1,80 y S/ 2,30, respectivamente?

.

Maximiza [a función objetivo F(.r, y) = .r + ] para un problema donde las restricciones son: -r > 0; ly > 0; r + y < 5; x-y < 3

soluciónóptima

En D: F(20 000;0) = 1,80(20 000) + 2,30(0) = 36 000 La máxima utilidad se obtiene en el vértice C (2000; 24 000), solución única, que indica que deben preparar 2000 latas de salsa Extra y 24 000 latas de salsa Gourmet. En tal caso. dicha utilidad es de S/ 58 800.

Superficie

I

Requerimiento laboral

Utilidad (S/)

hectárea

4ll0 hec¡áre¡s

2 horas

I

hora

llt)O horas

40

40

Determinamos las restricciones:

¡>

,r+y

0; y > 0:

Planteamos la función objetivo: F(r, y) = 40

r

<

480;2r +y s 800

+ 40y

Graficamos, al margen, la región factible. Hallamos sus vértices: A(0;0), B(0;480), C(320; 160), D(400;0) Calculamos el valor de la función objetivo en cada uno de los vértices: En A: F(0; 0) = 40(0) + 4O(0) = 0

2N ---rz/ 200

En B: F(0; 480) = 40(0) + 40(480) = 19 En C: F1330:320) =40(320) + 40(160) = l9 En D: F(400;0) = 40(400) + 4O(0) = 16 000

di Co-p.r"bu que al maximizar F(x, y) = 3.r - y bajo las restricciones: ¡ > 0; y > 0; Lt + y < 13' x - 3y < 3, la solución es única. F(6; l) = tZ

Disponibilidad

I

hectárca

soluconesópt¡mas

La máxima utilidad se obtiene en los vértices B y C, y también en cualquiera de los puntos de Ee . En todos estos casos, su máxima utilidad es S/ 19 200.

B E

4

§ o

UNIDAD

3

lntrOducción a la prograr¡ac ón I neal

147

148

LIBRO DE ACT¡V¡DADES

Solución no acotada ¡ TIPOS DE SOLUCIONES

B

DESARROLLA TUS CAPACIDADES

O

Optimizamos mcrli¿rnte la fultcirin ott-ictivtt: A: F(48: 84) = 7(4lt) + 1,.5(84) = 402 B: F(90;0) = 7(90) + 1.5(0) = 630

uno de los vértices: En A: F(0i 0) = 2(()) + 0 = 0 En B: F(0: 13) = 2(0) + l3 = l3 En C: F(6: l) = 2(6) + I = 13

D:F(0: l(x))=7(0)+ 1.5(l(x))= 150 La funcirin objetiro t?0 se maxirti¿a en cl vértice B(90: O).

lo

ri n

2

ica.

f,) Bruno abrió una empresa donde

van a trabajar albañiles y pintores. La cantidad de pintores debe ser mayor o igual que los albañiles, y el número de pintores no debe ser más del doble de albañiles. En total, hay disponibles 60 albañiles y 40 pintores. La empresa recibe por honorarios de cada jornada

S/ 140 por albañil y S/ 150 por pintor. ¿Cuántos pintores y albañiles deben elegirse para obtener la máxima utilidad?

ldentificamos y representamos las incógnitas: -t: n." de albañiles:_t': n.' de pintores

Para desarrollar

p

A: l-(10:

E

e

§

Identificamos y representamos las inct'rgnitas: ,(: n.o hectáreas de camote; ): n,o hectáreas de papa

Deteminmos las restricciones: > 0;.r > 0; 2r +.r's ti00;

-r

< 60() Establecemos la

funcitin

objetivo: F(.r:1) =

l(l

5(}I+50\'

lx) 4(x)

rfi)

t00 :00.100

= 30 0ü)

li:

región factible. x 500

= l0 0ü) C: F(400: 0) = 50(.1(x)l + 50(0) = l0 (xX) D: F(0: 0) = 50(o) + 50(0) = 0 Puede senrbrar 6(X) Itectárcas tle papr solallretrte o 200 hectíueas dc canlot!'y 400 hecliireas tlc papa.

Es solucirin Lirrica.

Es solucirin rnúltiple.

=

Para consolidar

!

F(?00:.1{)0) = .50(2(X)) + 5(X4(X))

l-10(201+ I50(-10) = 1{1i00 B: F(¿10: .10)= l-10(:10)+ I5(X-10)= II (r00 Cl: F(0:0)= 1,10{0)+ 150(0)-o Dehct: elegirsr'41) irlbañilcs ¡ +l) litrtl()t(s -10)

Sugiera a los estudiantes que sigan los mismos procedimientos del ejemplo 26 para resolver la actividad 4. Haga notar que las rectas cuyas ecuaciones tienen la misma pendiente, son rectas paralelas; es decir, no se cortan. También destaque que si las inecuaciones presentan desigualdades diferentes entonces las regiones no se interceptan y en conclusiÓn no hay

maximizar su utilidad?

Determinamos los vértices t00 y optimizamos: 100 A: F(0; 600) = -50(0) + 50(600)

F(,r:,r) = I4(l.r + l50r' Deternrinrnros los \érticcs ) ()plinlizart)os:

I

I hora de tractor. Si durante la temporada dispondrá de 800 horas de trabajo y 600 horas de tractor, ¿cuántas hectáreas de cada cultivo debe sembrar para

¡ <1t:.r<(l):r's.i0

§

Pidan que lean la definición de "solución no factible" y, luego, acompañe la revisión del desarrollo del ejemplo 26. Destaque indicando que en ambas s¡tuaciones las regiones generadas por las inecuaciones no se intersecan, por ello, no se puede establecer la regiÓn factible. Lo anterior implica que no se puede optimizar la funciÓn ob.ietivo y, por lo tanto, los problemas carecen de solución. En la actividad 3, explique que en algunas ocasiones aparecen inecuaciones de la forma x > ft o bien y < k, donde falta alguna de las dos incógnitas. Estas inecuaciones corresponden en realidad a rectas horizontales y verticales, respectivamente. Pregunte: ¿Qué puedes afirmar de la inecuación x > 5? (Su solución es una reg¡ón delimitada por la recta vertical que pasa por el Punto x = 5)

de camote son 2 horas por hectárea y I hora de tractor; en la siembra de papa, I hora por hectárea y

.r + ,r

funcirin objclivo:

las que puede

I

sembrar camote o papa. La utilidad para cada uno de los productos es de S/ 50 por hectárea y los requerimientos laborales para trabajar en la siembra

l)ctcrminaoros las restriccioncs; r >0:¡ >0:.r >r': Establecernos In

Recuerde que un problema de programación lineal tendrá solución si se puede determinar la región factible y a partir de él establecer las coordenadas de un punto que maximice o minimice la función objetivo. En caso de incumplir una de estas cond¡ciones el problema no tendrá solución. Para complementar lo anterior, solicite que den lectura al texto inicial "Solución no acotada" y pida que lo comenten.

50

-20

46 8t0 @ Un agricultor tiene 480 hectí¡eas cn

)d

I

60

x

Analiza y explica el razonamiento aplicado para resolver un problema de programación lineal con solución acotada y no factible. (1-4)

Para iniciar

It{)

I'ie¡re sr¡lLtcitin

8

.

Sugerencias didácticas

C: F(0:0) =7(O)+ l.-s(0)=0

t2

tanto. tiene infinilas soluciones. Tiene solucirin múltiple.

ñ

no acotada y una soluciÓn no factible. (1-4)

Usa estrategias y procedim¡entos

l¡

F(x; ,v) = -r l,5y cuyas restricciones son: ,r > 0; ,r > 0; 2r +¡, < 180;¡+ 3) < 300.

Deteminamos los vértices y Ia región factible: A(0r 0), B(0: I 3). C(6r I ) y D(31 0) Calculamos el valor de la función objetivo en cada

La función objetivo alcanza el máximo valt¡r en los vértices B y C, y también en cualquiera de los puntos de BC. Por lo

Capacidades y desempeños prec¡sados . Resuelve problemas de programaclón que tienen una soluciÓn

El Maximiza la siguiente función objetivo:

Maximiza la siguiente función objetivo F(.r. r') = 2r + v. donde las restricciones son: ¡ > 0;y > 0; 2x +,y < l3;x- 3_y < 3.

EnD:F(3;0)=2(3)+0=6

¡

Usa estrateS¡as y procedimientos: 1-4

Resuelve e indica el tipo de solución,

Libro de actividades (págs, 150-151 )

I

o

En general, podemos concluir que en un problema de máximos no tiene solución si la región factible no está acotada super¡ormente y un problema de mÍnimos no tiene solución si la región no está acotada inferiormente.

Consolide resaltando que todo problema de programaciÓn lineal que no tiene reg¡ón factible tendrá solución no factible, podemos declr que carecen de soluciÓn.

N N @ j

ci

i

,o J

! o o

)

p ,o =I L a @

UNIDAD

3 htroducción

a la programación lineal

149

I

Motívelos para que realicen la metacognición respondiendo a todas las interrogantes propuestas. De esa manera podrán comprender cÓmo van

desarrollando sus capacidades.

§c c a

@

Él

LIBRO DE ACTIVIDADES

I

TIPOS DE SOLUCIONES

TIPOS DE SOLUCIONES

Solución no acotada

ff

Solución no acotada es cuando la función objetivo tiene un solo valor extremo y la región factible es no acotada.

Maximiza la función objetivo F(,r, y) = .x + 2y plra un problema cuyas restricciones son: -r > 0; y > 0; ¡ - 2y < 2: x - y > 4

.

bajo las restricciones

,-

2), < 4, la SoluciÓn es no acotada

En este caso. no está determinado un valor máximo para la función objetivo, por lo que puede decirse que el problema tiene solución no acotada.

Rcsolvcnrrls los sistenlils quc se lirrntan 1 r¡blcrcrnr¡s: (0:0). (0:4). (5: I ). (-11 1)). (5:0) (if¡¡li( rilr, )\ cr,ilsiLleraIrl{r lir\ r(.\tri\'c¡('ncs: C)bscrvrrnros qlre lo ex istL' rtgirin lircti [rlt-. T¡lllrrc,r urr r ¡rlor rlritint,r. l-ucgo. lr solución es no liretible.

Ohservarnos t¡ue solo existe un pur)lo de intersecci(ir en

A(3:

5 ).

5;

F(.r,))= l2r+ llY.

ll.

(iralierrrtrr. etllsitlclalrdo l¡r: lrstrlr'ci¡ llr's: 8

La región factible se extiende infinitamente y su único vértice está en A(6; 2).

,>o;)>0;r-)>o;

l¡

Co¡rsiderando las restricciones ¡ > 0; ) > 0; x > .t + y < 4; maximiza la función objetivo

Rcsolvenl¡s los sistemas que sc liunan y obtenernos: (0; 0). (0i 6). (0: I I ). ( I 8: 0). ( | | /2: 0). (3r 5)

Resolvemos los sistemas que se forman y obtenemos:

(0;0),(0;-l),(0;-4),(2:o),(4:o),(6;2).

FLr,y)=x+y

El

Maximiza la siguiente función objetivo F(,r,,y) = a , oara un problema cuyas restricciones son: r>0;)>0;r+3-y> l8;2r+J>

EJEMPLO 25

Comprueba que al maxitmizar

usa estrategias y procedim¡entos: 'l-4

Resuelve e indica el tipo de solución.

Il USA ESTRATEGIAS Y PROCEDIMIENTOS

orsnnnou-aruscAPACIDADES

'

No existe un valor rnii\irno. Pu' lo tanto.

la solucitin cs no acotada.

i('

4

il0 -8 ti

Conrprobación:

Solución no factible Soluc¡ón no factible es cuando no es pos¡ble determinar una región común 3

x

3.5) a

l2l-1

todas las

@

restricciones.

I

x

4561

X

EJEMPLO 2ó

34

a) Sea un problema donde las restricciones son: r> 0; )>0; "r+ ) >6lZr + y < 4. Maximiza la función objetivo F(x, y) = 4x + 3y

.

. .

E)

Resolvemos los sistemas y obtenemos: (6; 0), (0r 0), (0; 6), (01 4), (2;0), (-2; 8)

i

.

= E o o o

. .

:

p

€ < o

o

Observamos que no existe región factible, ya que no hay zona común entre las restricciones.

c a

o

Resolvemos los sistemas y obtenemos: (0;0), (2,s;0), (0; 5), (3,5;0), (0; 7) Graficamos las restricciones. Observamos que no existe región factible, ya que no hay zona común entre las restricciones.

Por lo tanto, queda comprobado que resulfa una solución no factible.

a c

-a ,-

Sea un problema donde las restricciones son: .r > 0; ) > 0; 6i -3r + 2-y > 8. Maximiza la

4r-y>

Grrflclrn ¡ rs rrnsirlcliurd() lils Ie\ttiL (i(ntei: Obsc'rviutrrs t¡uc'solo existe ul l)unto dc intcrsecci(it1 P(4: ll)) Nocrrstc urr rrrl,rrr¡rnirrr,.

Luc{o. I¡ soluei(ln e! no nc(f¡dil.

150

-4,.r -l

Y

{¡

:9

8r0

Rcsolvc¡¡lls los sisfenras quL'sc firrntail ¡ obtelelxrs: (O:O).(0: 6).(0:4) (-l/2:0).t-lt/3:O).(4:i0)

Graficamos las restricciones.

b) Comprueba que resulta una solución no factible cuando maximizamos F(x,y) = 2y bajo las restricciones: .Y > 0;y> 0; 2x + y >7; 2x + y < 5

Ci

3.y

(ll¡( \( J,,lnl,lj \ ()l)tere¡rl)\: l():0). (0: 5). ({): l). (5:0). (l:0) Cir.rf i;:t¡lt,'', r,il\iiI tiUlrl,r lil. tL'.tIi\( t(,ilc\ Obscrvrrrros (luc Io existc rcgirirr llrctible. No cxis(c ur) val()r rttíxinro. Por lo trrrto. h solucirin es no lircliblc. Rr'.,r11. ¡,,,,. lo..t.t(ntit-

siguiente función objetivo F(x, y) = J¡ 1 7y.

Este problema tiene solución no factible. N N @ j

Considerando las restricciones r > 0i y > 0; ,r + ]y > 5; + y <2i maximiza la función objetivo F(x, _v) = 2r +

r

2

\

I I

15

t5

ó e !

I

METACOGNICIÓN t0

I P(.li l0) Analizo m¡ aprendizaje y respondo las preguntas.

. .

_6

§

s

o

3 o

x

45

. .

¿Qué aprendÍ hoy?¿Para qué me servirá? ¿En qué otros campos del conocimiento puedo aplicar lo que aprendi? ¿Qué estrategia me ayudó a comprender los nuevos conocimientos? ¿Tuve dificultades? ¿Cómo las superé?

UilIDAD 3 lntroducc¡ón a la programación lineal

151

Estrategia para resolver problemas ¡

Capacidades y desempeños precisados . Emplea procedimientos matemáticos y propiedades Usa estrategias y procedimientos

que hagan una tabla para sistematizar la información. En la actividad 1, hágales notar que van a maximizar la función obietivo para poder obtener el máximo beneficio para la empresa. Explíqueles que se puede predecir si la región factible será acotada o no, para ello bastará con que despeien la variable "y'' en cada inecuación, teniendo en cuenta que si se multiplica o divide por un número negativo la desigualdad cambia de sentido. Si después de lo anterior se obtienen que todas las desigualdades "son menor que", entonces la región factible es acotada, pero si resulta que todas son "mayor que", la región factible es no acotada.

para

resolver problemas de programación lineal, (1-5)

Sugerencias didácticas Para iniciar

I

I

I

Recuerde a los estudiantes que la estrategia para resolver problemas, comprende desarrollar cuatro fases importantes que son: Comprende¡ planifica¡ resolver y comprobar y en este caso se complementará con el uso de una tablp. Resalte que una tabla de doble entrada permite organizar y sistematizar la información que presenta el problema facilitando su evaluación para sacar conclusiones. Es importante que los estudiantes se familiaricen con el problema para que lo comprendan; por ello, invite a que lean la situación problemática y sugiera que hagan uso de la técnica del subrayado para resaltar los datos que presenta el problema. Solicite que contrasten lo subrayado con lo que se expone en la primera fase del desarrollo de la estrategia.

Recuérdeles que para resolver un problema de programación Iineal se siguen tres pasos importantes, que son: El planteamiento de la situación, donde se hará uso de la tabla; Iuego, se debe determinar la región factible y, finalmente, se establece la solución óptima. lndique que las inecuaciones, si fuera posible, se simplifican porque esto facilitará el cálculo.

Para desarrollar

I

I

lnvite a los estudiantes a evaluar todo el procedimiento desarrollado para resolver el problema. Para verificar si han comprendido plantee las siguientes interrogantes: ¿Qué tipo de gráfica presenta el problema? (La gráfica no corresponde a un poligono, por lo tanto, no está acotada superiormente). ¿Se podrá maximizar la función objetivo? (No, porque no se podría establecer el valor máximo). ¿Qué pasaría si se cambia el sentido de las desigualdades en las tres últimas inecuaciones? (La región factible se acotarÍa, porque se formarÍa un polÍgono). ¿Qué ecuación corresponde a la recta que pasa por los puntos A - D; C - F y B - E? (Alaprimera recta, le corresponde la ecuaciÓn x + 2y = 80; a la segunda recta, le corresponde 5x + 2y = lQQy a la tercera, le corresponde 3x + 2y = 160). ¿Qué representa la recta de color rojo? (Es la representación gráf ica de la f unción objetivo). ¿Cómo se obtuvo las coordenadas de /os vértices I y G? (El vértice I se obtuvo al resolver el sistema lineal formado con las ecuaciones de las rectas CF y BE mientras que el vértice "G" fue el producto de resolver el sistema lineal formado con las ecuaciones de las rectas AD y CF). ¿Por qué no se determinó las coordenadas del vértice H? (No se determinó porque el punto "H" no pertenece a la región factible). ¿Qué otro punto no se consideró para optimizar la función objetivo? (A', B; F y G). Motive a los estudiantes para que resuelvan las actividades 1 a la 5. Sugiera que utilicen la misma estrategia desanollada en la situación inicial, es decir,

Libro de actlvidades (págs 152-153)

I

I

Previamente al desanollo de la actividad 2, es importante que promueva el diálogo sobre los beneficios que trae una buena alimentación para llevar una vida saludable. Luego, hágales ver que los datos referidos a las calorias y proteínas serán las que restrinjan el problema, mientras que la función objetivo se determinará en base a los precios de los alimentos. Pregunte: ¿La región factible será acotada? (No, porque las inecuaciones tienen el signo >). En la actividad 5, resalte que la región factible será un polÍgono, ya que el problema busca que se maximice el ingreso, y los datos que restringen al problema son la cantidad de lana y algodón que se empleará para fabricar las prendas de vestir. Recomiende que en la primera fila horizontal de la tabla se deben ubicar las variables que intervienen mientras que en la primera columna vertical se deben colocar los demás datos que permitirá establecer las restricciones y la función objetivo.

Resalte la rmportancia que tiene identificar las variables que lntervienen, ya que, a partir de ellas, podemos plantear las restricciones con inecuaciones y establecer la función objetivo.

^G

e,

Para consolidar

I

Promueva que en pequeños equipos intercambien y expliquen sus estrategias y razonamientos desarrollados para resolver las actividades propuestas y, luego, que lo socialicen con el resto de compañeros(as). Para que los estudiantes establezcan sus conclusiones pregunte: ¿En qué situación se puede maximizar una función objetivo? (Solo se podrá maximizar la función cuando la región factible es acotada).

Actividades complementarias 1. Un fabricante produce dos tipos de

cámaras fotográficas, convencionales y digitales. Durante la producción de las cámaras requieren del uso de dos máquinas A y B. El número de horas necesarias en ambos tipos se muestran en la siguiente tabla: Cámara fotográf ca

Máquina A

N/áquina B

Convencional

4 horas

6 horas

Digital

6 horas

4 horas

N N @ _-i

ci

i

:9

)

E o o o l

Si cada máquina se puede utilizar 48 horas al dÍa y las utilidades de los modelos son de 30 y 50 dólares, respectivamente, ¿cuántas cámaras fotográficas de cada tipo deben producirse por día para obtener una utilidad máxima? ¿Cuál es la utilidad máxima?

p !E o L a c

§ c o a

o

H

LIBRO DE ACTIVIDADES

ESTRATEGIA PARA RESOLVER PROBLEMAS Usa estrategias y procedimientos: 1-5

Hacer una tabla Resuelve los siguientes problemas. Utiliza la

Una empresa produce gaseosas de tres sabores: limón, naranja y piña en sus dos plantas A y B. La planta A produce al día l0O0 gaseosas de limón,3000 de naranja y 5000 de piña. La planta B produce diariamente 2000 gaseosas de cada uno de los sabores. La empresa se ha comprometido a entregar a sus clientes al menos 80 000 gaseosas de limón, 160 000 de naranja y 200 000 de piña. Si el costo diario de producción es de S/ 10 000 en cada planta, ¿cuántos días debe trabajar cada planta para que se cubran los objetivos comprometidos con el mínimo costo?

estrategia aprendida.

lf

comprende

Una empresa tiene dos plantas que fabrican gaseosas de tres sabores: limón, naranja y piña. cada planta produce por día una cantidad determinada de gaseosas de cada sabor. se conoce el costo diario de producción de cada planta. se pide calcular el número de días que debe trabajar cada planta para que se cubran los objetivos comprometidos con el mínimo costo.

Planifica

Realizamos la planificación de [a situación problemática, que comprende desde organizar la información en una tabla, identificar y representar las incógnitas, determinar Ias restricciones que se crean convenientes y plantear la función objetivo. Seguidamente, determinar la región factible, que es la representación gráfica del problema y, por último, determinff la solución óptima

Una empresa fabrica termas de gas y termas solares. Su fabricación comprende tres tipos de procesos sucesivos. El cuadro indica el tiempo que tarda cada uno de ellos. Por Ia venta de cada terma se proyecta un margen de ganancia de S/ 180 en la de gas y de S/ 2 l0 en la solar. Si la planta dispone de 60 horas semanales para cada proceso, ¿cuántas Iermas de cada tipo se deben fabricar para obtener el máximo beneficio?

I)r.ceso

-

Organizamos la infbrmación de la situación problemática en una tabla.

Gas

Solar

Pl

lh

+h

P2

3h

lh

P3

lh

5h

Organizamos la infomación de la situación problemática en una tabla.

Identificamos y representamos las incógnitas: -t: n.o de días que trabaja la planta A _y: n.'de días que trabaja la planta B

[.imón

80 000

(h/semanales)

PI

2h

4h

ó0h

2000

Naran ja

-l(xx)

2000

lí)

000

P2

3h

th

60h

Piña

.s000

2000

2(n 000

P3

th

5h

60h

Beneficio (S/)

r80

210

s/ l0 000 s/ l0

Costo

000

ldentificamos y rcpresentarrros las incógnitas r: n." de termas de gas _r': ¡r.o
¡>01 )>0; ¡+2,v>80: -5.r

Solar

1000

Determinamos [as restricciones: 3x + 2.y > I 6();

Disponibilidad

Gas

Entrega

ts

+ 2.t > 20{)

Planteamos Ia función objetivo: F(.r,

Resuelve N N @ j

-

ci ¿

:9

!o o a

-

p _§

E

o comprueba

C C

10 000¡

+ l0 000,y

Deteminilnos

Determinamos la solución óptima: La función se minimiza en G(zl0; 20): E 162432404856 72 80 F(40; 20) = l0 Om(.m) + l0 000(20) = 600 0o0 En la empresa, la planta A debe trabajar 40 días y Ia planta B,20 días, para que se cubran los objetivos comprometidos. El mínimo costo es S/ 600 000.

Verificamos la función objetivo en los vérrices de Ia región factible: En C: F(0; 100) = tq 66¡¡16; + l0 000 ( 100¡ = 1 666 666 En I: F(201 50) = ¡6 966126, + l0 000(50) = 700 000 En C: F(40: 20) = 16 000(40) + l0 000(20) = 600 000 < En D: F(80;0) = l0 000(80) + l0 000(0) = 800 000

152

las restricciones:

d

q

s

I p I §

§ a o

@ Una empresa

posee dos fábricas: A, que produce 80 pares de zapatillas, y B, que produce 100 pares de zapatillas. La empresa necesita abastecer a sus tres zapaterías: Zr,Zry Zr,que requieren 50;70 y 60 pares de zapatillas, respectivamente. El costo del transporte de cada par de zapatillas desde la fábrica hasta las zapaterías, se observa en el cuadro.

F:ihri¡a

ZaotÍtrr,

zl

z2

2r+4_y<60

r+l,r<J0

A

4

l0

9

B

l0

7

t2

3x+y<60

l.r +t'<60

r+5y<60

.r+5y<60

210-y

Deteminamos los vértices de la región factible: A(0; 0), B(0; I 2), C( l0; 10), D( I 8; 6), E(20; 0)

_p

E

ganancia?

.r>0:,r>0

F(r,)) = I80r+

d

de cuadernos: los de tapa dura, que se venden a S/ I 2,50 cada uno; y los de tapa blanda, que se venden a Si 4,50 cada uno. Los costos de producción unitarios son de S/ l0 y S/ 3,50, respectivamenre. Por día se producen de 2000 a 3000 cuadernos de tapa dura, y de 3000 a 6000 cuademos de tapa blanda; además, la producción diaria no supera las 7000 unidades. E[ gerente de producción necesita saber cuántos cuadernos de cada tipo conviene fabricar por día para obtener la máxima ganancia. ¿Cuál es dicha Si II 5(x)

r¿0;)>0

Planteamos la función objetivo: N

a o

a

a

=

,

L

§

-

_v)

Determinamos la región factible: Los vértices que delimitan la región factible son: C(0; 100), I(20; 50), G(40; 20) y D(80;0)

dos

tipos de alimentos: A y B. Cada unidad del alimento A contiene 250 calorías y 2O g de proteínas. Del mismo modo, cada unidad del alimento B contiene 300 calorías y I0 g de proteínas. La dieta requiere como mínimo 1200 calorías y 60 g de proteínas diarias. Si el precio de cada unidad del alimento A es de S/ 6 y del alimento B es de S/ 5, ¿,cuántas unidades de cada alimento debe contener la dieta para minimizar el costo? 1.7 unirlatles tle A ¡ l.(¡ uniclades cic Il.

@ Una papelería produce dos tipos

'l'ernla

Terma

-

@ Una persona desea programar una dieta con

Determinamos la solución óptirna: En D: F(18;6) = I80(18) + 210(6) =4500 Para obtener el máximo beneficio se deben fabricar I 8 termm de gas y 6 solares.

'

z3

¿Cuál es el costo mínimo del abastecimiento de las tres s/ lll0

zapaterías?

@ En un taller

se dispone semanalmente de 48 kg de algodón y 30 kg de lana para la producción de dos tipos de tapices decorativos, A y B. En el tapiz A se emplean 200 g de algodón y 100 g de lana, y en el tapiz B, 200 g de algodón y 300 g de lana. Si el tapiz A se vende a S/ 40 y el tapiz B a S/ 60, ¿cuántos tapices de cada tipo se deben vender para obtener el máximo ingreso? I'apiz A: 2 0 y tapiz IJ: .10 1

UNIDAD

3

htroducc¡ón a la programación lineat

153

LIBRO DE ACTIVIDADES

Razonam iento matemático ¡

Libro de actividades (pá9. 154)

Capacidades y desempeños precisados . Interpreta representaciones gráficas relacionadas con la región Comunica

Usa estrategias y procedimientos

factible de programación lineal. (l-3; 5)

.

Adapta y combina estrategias heurísticas, recursos gráficos y otros, para evaluar las condiciones en problemas de programación lineal. ( 4; 6-9)

Sugerencias didácticas Para iniciar

t

lnvite a que den lectura al texto de comparación cuantitativa. Para verificar si han comprendido realice las siguientes interrogantes: ¿En qué consiste la comparación cuantitativa? (Consiste en calcular dos cantidades y luego se debe proceder a compararlos). ¿Cuál es el procedimiento a seguir en estos casos? (Se inicia analizando la información brindada, y luego se calculan los valores solicitados según las condiciones establecidas en cada caso). Enfatice que

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO Comparación cuantitat¡va

suf¡ciencia de datos

calcular dos cantidades: una en la columna A y otra en la B. Compara ambas cantidades y luego escribe la clave.

En cada situación, se da un problema con dos datos. Identifica el dato o datos necesarios para solucionarlo y luego escribe la clave.

A partir de la información dada,

A B C D

Recuérdeles que para maximizar o minimizar una función objetivo se debe evaluar con todas las coordenadas de los vértices de la región factible. Explique que la pendiente de una recta viene a ser el coeficiente de la variable "1', después de haber despelado la variable "y''.

La cantidad B es mayor que A. Ambas cantidades son iguales.

Falta información para poder comparar. lnfomación

(0: 2)

El

I

Resalte que podemos usar los conceptos y propiedades aprendidas de la prooramación lineal oara evaluar diversas situaciones v lleoar a conclusiones válidas.

Ordenada de la solución óptima

F(¡,

F(x, Y) =

",

suficiente y el dato I no lo es.

Es necesario usar a la vez los datos

I y II.

Cada dato, por separado, es suficiente. Los datos no son suficientes.

El Halla las coordenadas del punto A. c

-v)

= 3x

-

'-r'

que maximiza

{¡

*,Y

Área 12 -Lx l.l,:y=-1e

S,:x+3y<9; 2r-3y<01

¡>0ly>0

s1

t!

s2

0,5r<4-y

¡>0;)>0

¿Cuál es el mriximo de F(x, y) = y + I. La región es no acotada.

@

Sea la función

objetivo F(¡,

-v) = &'-

6,v

2x?

Abscisa del vértice que maximiza F(x, -y):

A(3:2) B(4:0) C(0; 7)

I.

Abscisa del vértice que

maximiza F(r, "v): A(5; 0)

B(3:8)

C(l;9)

o

5¡ 1 3,

II.La función objetivo alcanza el máximo valor dos vértices. E B

O

(0;0), (2; 3), (5; l) y

factible

Ordenada mayor de los vértices de la región factible

en

ci

18

@ Obtén el valor m:íximo de F(.r,

:9

§

l E

€

y).

es F(x, y)

=

(l

p !

ó

o o

)

= € E

30x + 20y

II.Los vértices de la región factible son (0;0), (7;0), (6; 5), (4; 8) y (0; 7).

i

§

E

ll.Short: S/ 24; polo: S/ I I

I. La función objetivo

N N j

@

(l;

6) los vértices de una región factible en la que.r representa el número de Jlrorrs y y representa el número de polos. Determina Sean

I. Short: S/ 12;poloS/ Abscisa mayor de los vértices de la región

en

La región factible es acotada.

el máximo beneficio.

154

B

Se quiere maximizar la función objetivo F(.r, Y) =

Gl

l.12:y=7-1

II.El vértice que maximiza la función esá A(4;6).

Sr: 3r < 2y;

tener dos ecuaciones.

Para consolidar

Abscisa de la solución óptima que maximiza

El duto II

determinada

Resalte que en la actividad 1 se va a determinar la abscisa, es decir, el valor que toma ",{'y el valor de la ordenada que viene hacer el valor de "y''. lndique que evalúen las funciones objetivos en cada uno de los vértices de región factible. Previo a la actividad 2, explÍqueles que si multiplicamos o dividimos una inecuación por un número negativo, la desigualdad cambia de sentido. Enfatice que para determinar la región factible de cada caso deben primero despejar la variable "y''en las inecuaciones, lo cual les permitirá establecer las ecuaciones para graficar las rectas. Además, recuerde que para establecer la región de cada inecuación se deben evaluar las desigualdades (Si es "<" se tomará la región debajo de la recta, y si es ">"

File la atención de los estudiantes en la lectura de "Suficiencia de datos". Complemente explicando que en estos casos se van a evaluar los datos para determinar si son suficientes o no para dar solución a la situaciÓn presentada. Previamente a la actividad 5, explique que para determinar el punto de corte de dos rectas se debe formar un s¡stema lineal, lo que exige

Columna B

(3:

se considerará región sobre la recta). En las actividades 3 y 4 sugiera que utilicen la estrategia usada en el primer caso.

I

Columna A

II no lo es.

Bt ¿uto I es suficiente y el dato

o

Para desarrollar

I

R B C D E

La cantidadAes mayor que B.

en estos casos, primero se debe analizar la información para aplicarla en las condiciones dadas.

!

se deben

s

o d

a o

@

o c -9 c a

@

H

LIBRO DE ACTIVIDADES

Taller matemático r

Libro de actividades (pág. 155)

Capacidades y desempeños precisados ¡ Analiza y explica el razonamiento aplicado para resolver un Argumenta

Cosecha en Ia hac¡enda

problema de programación lineal. (1-3; 5-6)

afirmaciones Usa estrategias y proced¡mientos

SITUACIÓN DIDÁCTICA DE BROUSSEAU

o

Calcula los valores de la función objetivo en los vért¡ces que cumplen todas restricciones. (4)

Una hacienda dispone de 100 hectáreas para sembrar maíz y espárragos. La semilla del maíz cuesta S/ 40 por hectárea, y la de espiárragos, S/ 60 por hectárea. Los costos totales por mano de obra para la siembra son de S/ 200 y S/ 100 por hectárea, respectivamente. Se espera obtener una ganancia de S/ I 100 por hectárea cosechada de maíz y S/ 1500 por hectárea cosechada de espárragos. Si no se puede invertir más de S/ 4800 en semillas ni más de S/ 14 000 en mano de obra, ¿cuántas hectáreas de cada cultivo conviene sembra¡ para obtener la máxima ganancia?

Sugerencias didácticas Para iniciar

I

Accede al enlace http://recursos,perueduca.pe/rutas/documentos/ Secundaria/Matematica-Vll.pdf (págs. 68-72) para conocer el desarrollo de las fases de las situaciones didácticas de Brousseau y así puedas orientar adecuadamente el desarrollo de las actividades propuesta.

¿Sabes lo que es una hectárea? ¿A cudntos metros cuadrados es igual una hectuirea?

ff

Para desarrollar

I

I

I N @

j

ci c

:9 f

o o

-

Para consolidar

o I

I

sc <

q

c

§ @

@

@ ¿Describe el plan que propones para responder la pregunta de la situación problemática.

Consolide señalando que la estrategia de Brousseau nos permite resolver un problema de manera sistematizada. Asimismo se puede aplicar para resolver cualquier otro tipo de problema. Destaque que en la fase acción se busca que el estudiante comprenda e identifique los datos del problema, en la formulación deben diseñar un plan, en la validación deben ejecutar el plan y en la institucionalización deben establecer las conclusionqs para generalizarlos.

Ilealizlrr el l)lrnlcirnric¡rlo (lc lrr silu¡rt ii»r problcrriíticr (ort¡rri¿irr llr ilrfirrmireirirr co lrlir lirblir. itlt'ntificar y rcprescIlirr lrrs iDc
Resuelve una situación sin'rilar considerando un lncremento de S/ 5 en el costo de la semilla de maíz y de S/ 4 en el

lncentive el desarrollo de la fase "Formulación" a fin de que los estudiantes elaboren un plan ordenado de procesos o estrategias que los conduzcan a dar solución al problema. Recuérdeles que para resolver un problema de programación lineal se deben seguir tres pasos; el planteamiento, determinar la región factible y encontrar la solución óptima,

p

¿De qué trata la situación problemática? ¿Qué se pide determinar? Trrla sollrr u¡rr hlrciendir tle 100 lrtetlirelrr ¡lirlr sclrbrar ntriz ) esPiirrir-gr¡s. \ r¡btcnrl ur¡ -!irnlrnriil ( il eirrllr cosech¡: r's riecir. cr trn prrblcnlr rlc IrorLrntrreiLin lilcal. Se Iirle tieierlttir:ltr lrr ltcttlirt¡: clc cttltir,r tltt. \c (l('l)cn \!'nrbr¡r pirlr rrhlcrrcr ltr nlirirlr glrrtrntilr.

Solicite a los estudiantes que desarrollen las actividades propuestas en la fase "Acción". lncentive para que expresen con sus propias palabras la situación problemática planteada, asimismo deben identificar todos los datos que se presenta en el problema. Pregunte: ¿Cuántas restricciones presenta el problema? (Se observa cuatro restricciones; el costo de las semillas, la mano de obra y las restricciones de no negatividad), ¿cuáles son las variables? (La cantidad de hectáreas de maÍzy las de espánagos). Enfatice que para resolver un problema de maximización la región factible debe estar acotada.

Recuerde que en la fase de validación el estudiante debe ejecutar su plan aplicando el nuevo conocimiento a través de la representación simbólica. Acompáñelos paso a paso hasta el logro de la actividad. Resalte la importancia del lenguaje matemático que pueda ser comprendido sin la presencia de datos. Sugiera que elaboren una tabla para organizar los datos. Pida a los estudiantes compartir sus respuestas, de esta manera podrán interactuar con sus compañeros. Destaque que en la fase "lnstitucionalización" deben establecer sus conclusiones o generalizaciones. Resalte que para determinar la solución óptima debe evaluarse la función objetivo con cada una de las coordenadas de los vértices que pertenecen a la región factible.

F"{Ébfr

Nos preguntamos previamente

de espárragos.

¡(J.1 l1l

l().li lll

(l! ntril rl(.

!.\l)liI

§

rS()

Para resolver la situación problemática, ¿es necesario con lo que sabes o necesitas conocer algo más? Es suficiente conocer l¿s estrategias y procedimientos de prrrgrarnación lineal que consiste en optimizar la función objetivo.

.¡,

I

@ Escribe tus cálculos y anota lasjustificaciones de tus procedimientos. Organizar la información en una tabla

Maíz

Espánagos

40

Costo de semilla Mano dc obra

200

I

I

nversitin

rn)

.1ri00

(X)

I4 000

- Regi(nr lactible y solución óptirna: <,lllfxl f l.\ + .tr < l4{) Máxima ganancia: l(rl)r r I(ll)\ s ll (nx, > l\ + \ l-ll) F(.r.¡)= Il00r+ l5(X\' 1 1 F' (¿15: 50) = I (X)(.15 ) + 5{)0(-50) = It>{l;1>¡¡ [.t-f):rs{l Resl

ricciont:s:

f 4()\ + l)or

tt

,<

I

I

I

1.1 5(X)

s

s

€ p € I

§

Forma parejas y compara tus respuestas con las de tu compañero. ¿Son similares? Si no lo son, ¿a qué crees que se deba esto? Identifica el enor y corrígelo.

@ Luego

de aplicar la estrategia, compara los procedimientos y verifica las repuestas.

¿Puedes decir que una función lineal se maximiza o minimiza en una región factible?

§ o

Sí. en

rrl prohlenra tle prograrnacirin lineal la función lirreal o frrnciírn objetivo cr ula regirin tirctible.

se nrari¡uiua o nrinimiza

UNIOAD

3

lntroducción a la programac ón lineal

155

TEXTO ESCOLAR

Actividades i nteg radas I CIERRE

Análisis de las preguntas

I

Explique a los estudiantes cómo la capacidad "Comunica" se hace presente en las actividades 1 a la 4, donde deben analizar las expresiones simbólicas para tomar decisiones con base a sus conocimientos y comunicarlos mediante una expresión verbal, la que se sintetiza en verdadero o falso. Recuerde que dos sistemas lineales son equivalentes si presentan el mismo conjunto solución o cuando son proporcionales. Asimismo, señale que una mafiz aumentada se genera cuando se considera los términos independientes de las ecuaciones. Hágales notar que en las actividades 5 y 6 interpretarán una representación gráfica para expresarla de manera verbal. Becuérdeles que un sistema será compatible determinado cuando presenta una única solución, que el sistema es indeterminado cuando tiene infinitas soluciones e incompatible cuando no tiene ninguna solución.

I

Para las actividades 10 a la 14 correspondientes a la capacidad "Usa estrategias y procedimientos", sugiera que los estudiantes elijan uno de los métodos que más domine. Pregunte: ¿Cuántos métodos hay para resolver un sistema lineal de dos incógnitas? ¿Cuáles son?(Existen 4 métodos: el método gráfico, de reducción, de igualación y sustitución). Recuerde que para eliminar los denominadores en las ecuaciones se deben multiplicar a todos los términos por el mínimo común múltiplo de sus denominadores. (Se logra que

SINTETIZAMOS

Te

presentamos mediante un ortanizador gráfico los conceptos clave que has trabajado en esta unidad

Planteam¡ento Representar las ¡ncógnitas. determinar las restricciones y plantear la función objetivo

Determinac¡ón de la región factible Re8¡ón

S¡stema de dos ecuaciones

determinada por las distintas desigualdades.

\,4¿x T,7a o

Trn T 7a a 'uqc ó1 oo et vo.

Z\+y>4

{ 3r-5)=13

Y

lüétodo de reducción t\4étodo de sustitución

Método de iSualación

porc¡ones del plano.

fzr-¡v'¡

l

lineal

,+2)'-i=0

l-

c-.

.

los coeficientes sean números enteros). Para las actividades 15 ala21 sugiera que deben emplear la matriz aumentada, la que a su vez Ia deben transformar a una matriz tr¡angular anulando los tres elementos que se encuentran debalo de la diagonal principal formando un sistema lineal escalonado.

Gráficamente, sus soluciones son intersecclones de las porciones de planos.

Ar-2y+22.=-1 2r-3y+4a.=4 Soluc¡ón ún¡ca

Método de causs

.,/'

Transforma un sistema de ecuaciones en otra equivalente

,/

2J'<4

sistema de ¡necuac¡ones l¡neales con dos ¡ncógn¡tas

a la programación

S¡stema de tres ecuac¡ones

x

cráficamente, sus so uciofes sof

lntroducc¡ón

Método 8ráfico

escalonada.

lnecuac¡ón l¡neal con dos incó8n¡tas

Determ¡nac¡ón de la soluc¡ón ópt¡ma

2x+3y=-3

t,/ V

se encuentra en uno de los vértices de la re8ión factible.

I

soluc¡ón múlt¡ple

/

Hay infinitas soluciones que corresponden a los puntos del se8mento.

Soluc¡ón no acotada y no factible Cuando la función objetvo tene un solo va or extremo y la región fact ble es no acotada. Es no fact¡ble, cuando 10 es oos o e de'erminar L'a 'e8ron conun

I CONSULTAMOS Digita en el buscador de internet de tu preferencia el conjunto de palabras que se indica y accede a las primeras direcciones que aparezcan.

E

e

@ eara ampl¡ar la teoría . filetype:pdf libro de matemát¡ca + programac¡ón lineal

§

. .

Libro de actividades (págs, 156-157)

khan academy + sistemas

filetype:pdf método de causs

tr

ú

Para ver apl¡cac¡ones v¡deos + aplicac¡ones de s¡stema de ecuaciones

videos + programación lineal en la vida real

I

E Para ¡nteractua r onl¡ne . calculadora + sistema de ecuaciones

. .

thatquiz + método de gauss thatquiz + programaciÓn lineal

o UNIDAD

3 htroducc

ón a la programación iinea

35

En las actividades 22a\a25, pÍdales que intercambien el razonamiento empleado para establecer la estrategia (método gráfico). Plantee las siguientes interrogantes: ¿Cómo se procede en el método gráfico? (Primero, despejamos la variable y, luego, la representamos como una ecuación y graficamos la recta asociada y determinamos el semiplano). Del mismo modo, se procederá para resolver las actividades 26 ala 29. Para las actividades 30 a la 32, que pertenecen a la capacidad "Argumenta afirmaciones", propóngales que primero resuelvan el sistema lineal y, luego, deben analizar los valores del parámetro para determinar si el sistema lineal es compatible o no. Recuérdeles que la división con el cero es indeterminada. lndÍqueles en el caso de un sistema de inecuación lineal para que presente solución debe intersectarse los semiplanos de las inecuaciones que lo forman.

Para las actividades 38 a la 40 que pertenecen a la capacidad "Traduce datos y condiciones" deben pasar de una representación gráfica a una representación simbólica (inecuaciones). Explique que para hallar las inecuaciones deben reemplazar las coordenadas de dos puntos que pertenezcan a la recta asociada que tiene la forma: y = ax + b. De este modo, se hallarán los valores de a y b. Para determinar el tipo de desigualdad bastará con identificar donde está la región, si está debajo de la recta será "<" y si está encima de la recta será ">" y si la recta es vertical u horizontal su ecuación tendrá la siguiente forma x > k o y < k donde,t es el ñr rñt^ n^r ¡lnn¡la

naoa

la ra¡la

N N @ j

i o J E

o E

)

p -_!

E

I

L

(/)

o

c § .F c o

a/)

@

E

L¡BRO DE ACTIV¡DADES

ACTIVIDADES !NTEGRADAS Comun¡ca y representa Escribe V si es verdadero o F si

O

es

falso.

Un sistema compatible indeteminado tiene solución y es única.

4x+8y=$ -2Y =J

a

x

¿"lx+2Y=2

l3x-6Y=8

E

@ La matriz aumentada del sistema

x-l+22=-4 2x+3y-z=3 5x-2y+32=-l

I 2

es:

-l

Traduce datos y cond¡c¡ones

Analiza el parámetro del siguiente sistema y l -r-' + 4t¡ =)

Halla las restricciones que determinan las siguientes regiones factibles.

@?-1ot=+tx+zy=# @ L{-21 =4,?.1r, =#

3

¡D

o x 4

-2

La ecuación equivalente a 6¡-

4y -1

2x + 5y

6x- 3y = -l c) Z1c + 2y'=4

f}

l3x-2y=-t ^". l6x +9y = 12 "'

ci

I

p¿ !

C) (0r

3)

D) (3; a)

Observa el gráfico y determina la inecuación asociada al semiplano @.

=

A)5.r+2y> l0

p

€ c

B) 5x+2y< l0

o c

@s;+2y>10

a c

.rt}

4'"

{ (0;

vVL

-l;

@

{(l;2;3)}

D)5x+2y< l0

y responde.

Determina el sistema de inecuaciones que define la región interior del siguiente polígono.

x

solución del

sistema?

sistema?

.¡

4

ó o

s

p I

p € I


s

s

+ 5 < 2y

a I

a q

@ 5.r+8>-5+2y

I

Calcula gráficamente el conjunto solución.

@

¿Qué tipo de región factible representa el gráfico mostrado? l{cgi(rn firctible no acotada

@ En

la región factible mostrada,l',se puede maximizar o

minimizar la función objetivo F(-r,y) = 3¡ + 4y?¿Cuál es el valor del miíximo o mínimo? Mininrizar: 2ll

@ Si los vértices de la región factible fueran O, C, D y E, ¿se puede minimizar la función objetivo F(¡, -v) = 2r + 3-v? Si cn E.

r<2:r .r> 2;6r @ Rectángulo:

1

1,{;,1)

del hijo era el doble de la de su hermana, ¿qué edad tiene el hijo? I 5 lños

@,r >y;3"r

r=

(0i 8)

*

l0l x>yt2x-3y

r

Analiza la región factible y responde.

ED La suma de las edades de un padre, de ;l]"-i á"'su hija es 65 años. Si en diez años el padre tendrá el doble de la edad del hijo, y hace cinco años la edad

@Sy-a>-l5x+2

Rcera roja:

@ Si trasladas la recta roja dos unidades a la derecha paralelamente a la recta azul, ¿cuál es ahora la solución del Recrir rzul: l, = 4

del menor y el intermedio, y la diferencia entre el intermedio y el menor equivale al mayor disminuido en 22. ¿Cuáles son los números?

x+5y > 15;"r< 3 (9 "r, -2:Lr -3y> 6

r>l):r>0: 7t ,h<16: .r>0:r>O: .lr+lr>ll: 5r+-lr<.ll 5r -lrstr-r<8

(t

EB ¿Tiene solución el sistema de inecuaciones formadas por O y @? Indica la solución. No- Cl. S. = ¡ ED Si trasladas la recta azul dos unidades a la izquierda paralelamente a la recta roja, ¿1cuál es ahora la

es 74. El mayor disminuido en 8 equivale a la mitad de la suma

@

x

@ Triángulo ABC.

@ La suma de tres números

?Du-ly<+-y @-x+3y<12 x

12

realizar para que el

'-3

4- -5'-n

4

se puede

2))

323 )21 5'420 1)_O

Halla gráficamente el conjunto solución.

o

o o o

.l-rr=#

! r 4... @. Analiza Y

ll

Y

l

-rl5)}

x-

r + y -42=-9 6x-v+22= -C.S.= 5

@

sistema tenga infi nitas soluciones? ('¡r¡nbilu I orrr I crt h l. Lurlrciorr Se muestra los gráficos de x - y ZZ ...A y

sus estudios de bachillerato, se hace un test a los estudiantes con 30 preguntas sobre matemática. Por cada respuesta correcta se les da 5 puntos y por cada respuesta inconecta o no contestada se les quita 2 puntos. Un estudiante obtuvo en total 94 puntos. ¿Cuántas preguntas respondió correctamente?

o19:;?,==f

-l) @tr, -z¡

@

@

u* 12:t-

E) ¿Qué cambio mínimo

3x-4y +22=8

(.5.= l'tl. r. I i)i C.S.= Resuclve usando el método de Gauss.

Identifica el punto que satisface la inecuación

A) (-2;

1f 2 .,

Notient,solr¡cirin

3.r-4y>5. N N @ j

3/2;

) ,-( l*+(i]y=-r

,,Para qué valores de a el sistema tiene solución? ¿Y para qué valores de d no tiene solución?

@

lD Al comenzar

,1Y';?,==?

=4

6)}

c.S.={rt2:e)}

c.s. = {(

)-jt+tz=o

Marca la alternat¡va correcta.

O

3.r+4y-52=-10 5x+2y+32=8 _ a C. S. = {(-l: ::

¡D

.t

'l'icnc'solucitinúnicrr.

C.S ={(4;s)}

('.s={(-.1:

c s ={sel20: n/r5)}

2x-3y +22=-2

Observa las gráficas e indica si tiene sotución única, infinitas soluciones o no tiene solucitln.

o

'

resoonde:

Resuelve usando el método de Gauss.

J 1

5

Razona y argumenta

@Lr-5y=-17;7x-2y=18 Ox+2y=-15;6x-5y=ll @;.'.=9:x+y=21

I

E) Un sistema incompatible no tiene solución. @ Un sistema equivalente

Elabora y usa estrategias Resuelve los sistemas de ecuaciones por el método que creas más conveniente.

(

lly_
ll 2).(5: 2),(5i4ly tli4)

I < r s 5:

I s r < -1

@ Cuadrilátero: A(0;0), B(10; 0), C(6; l0) y D(0; l4) .r > 0: r'> 0: f.r + 3r <.12: 5r + Resuelve los siguientes problemas:

lv

< 50

!B

Se necesita una dieta que proporcione un mínimo de 2400 calorías y 330 unidades de proteínas al mes. Para preparar la dieta se requieren dos productos: A y B. El producto A cuesta S/ 12 el kilogramo y contiene 40 calorías y 3 unidades de proteínas, y B cuesta S/ l0 el kilogramo y contiene 30 calorías y 6 unidades de proteínas. Determina la cantidad de cada tipo de producto que debe mezclarse para que el costo sea mínimo. .l() [r tle A v ,10 kq dc lt @ Para satisfácer lás demandas de sus distribuidores, una fábrica deleans debe producir, por día, no menos de 300 y no más de 6OO jeans azules, y no menos de l0O y no más de 300jeans negros. Además, para mantener una buena calidad, no debe producir en total más de 8007eans por día. Sabiendo que se obtiene una ganancia de S/ 35 por cada jean azul y de Sl 25 por cadajean negro, ¿cuál debe ser la producción diaria de cada tipo de jean para maximizar la ganancia? 0,r,, u"l¿,iÍ,:]"";r.l

_§

c a @

15ó

UNIDAD

3

lntrodlrcción a la programac ón lineai

151

LIBRO DE ACTIVIDADES

Evaluac¡ones ¡

Sugerencias evaluativas y metacognit¡vas

ACTIVIDADES PROPIAS DEL BACHILLERATO INTERNACIONAL

I

Traduce datos y condic¡ones: 1'ó

ofertas por el Día del Padre

Premio a la me¡or escuela

O

@ El municipio

Una fábrica distribuye a dos de sus tiendas camisas y corbatas por el Día del Padre. La oferta A consiste en una camisa y dos corbatas, la oferta B en tres camisas y una corbata. El transpofe de la oferta A cuesta Si 0,90 y de la oferta B, Si I,50. La fábrica dispone de 200 camisas y 100 corbatas y necesita elaborar, por lo menos, l0 ofertas de tipo A y 25 de tipo B. ¿Cuántas ofertas de cada tipo debe elaborar para que los gastos de transporte sean los mínimos?

i: r."

rle olcrtrs

A. r: n.'rlc oli'ttas I]. Oferta A

Oferta

Camisa

I

3

Corbata

2

I

0.90

r.50

Transporte (S/)

t

t

f

: 15). D( l(l:

I

(X)

+r.

.r: l-atas pequerias J; Latas llrandes

Beneficio (S/)

Grande

Total

o.l

0.5

800

2000

1ofi)

I

1.80

I

Para la situación 1, pÍdales que elaboren una tabla de doble entrada y que organ¡cen en esta la informaciÓn. Sug¡era que evalÚen de forma independiente las propuestas. Para ello bastará con que determinen el nÚmero de carteras que se pueden elaborar con todos los insumos que se tiene, del mismo modo podrán proceder en el caso de las coneas. En la situaciÓn 2, hágales notar que deben establecer las resficciones y luego proceder a determinar la regiÓn factible y a partir de esta establecer los vértices. Pregunte: ¿La regiÓn factible será un polígono?(SÍ, porque al despejar "y''y evaluar las inecuaciones se observan que son <). lndÍqueles que la funciÓn objetivo deben plantearla en función de las ganancias. Para la situaciÓn 3, sugiera que se apoyen en el gráfico de la situación 2, asÍ podrán determinar los puntos que no pertenecen a la región factible. En la situación 4, es importante recordarles que para evaluar la función objetivo necesitan conocer las coordenadas de los vértices de la región factible. Enfatice que el donativo corresponderá a la máxima ganancia que se obtenga, que sería la soluciÓn Óptima. En la situaciÓn 5, resalte que

mesas de madera.

dejan una ganancia de S/ 50. Si cuentan con 600 m2 y 900 horas de trabajo, ¿cuántas mesas de cada tipo deben fabricarse para obtener la máxima ganancia? ¿A cuánto asciende la ganancia máxima? l-10 tle I rrr v I 80 ilc I mr. S/ 16 400

lnvers¡ones financieras El Carmen tiene S/ I 2 00O para invertirlos en la comercialización de dos productos, A y B. La inversión en B debe ser a[ menos de S/ 3000 y no se invefirá en A más del doble que en B. El producto A proporciona un beneficio del lOVo y el producto B del 5Vo. ¿Cuánto debe invertir en cada producto para maximizar el beneficio?

Función objetivo: F("t; .),) = r + 1,8) 0,5.y < 800; 0 s.r< 2000: 0 < y < 1000 Región factible acotada por: A(0: 0). B(2000: 0). C(0; 1000), D(1500; 1000), E(2000; 800). Beneficio: F(A) = 0; F(B) = 20001 F(C) = I 800:

0,2¡+

F(D) = 3300, F(E) = 3440. El máximo beneficio es S/ 3440 (E); es decir. debe envastrse 2000 latas pequeñas y 800 grandes.

la nueva información afectará al término independiente de las inecuaciones. Sugiera que apliquen el m¡smo procedimiento anterior.

Vitaminas para las mascotas a los perros vitaminas A y B. Existen dos compuestos con estas vitaminas. El compuesto Z, que contiene l0 mg de vitamina A y 15 mg de vitamina B, y cada dosis cuesta S/ 5. Por otro lado, el compuesto W, que contiene l0 mg de cada vitamina, y cada dosis cuesta S/ 3. Cada mascota debe tomar, por lo

t

@ Un veterinario recomienda darle

menos,60 mg de vitamina A y 90 mg de vitamina B; además, no debe tomar más de 8 dosis diarias. Calcula qué dosis debe tomar cada mascota para 2 de I ¡ 6 de W que el costo sea

mínimo.

Realiza proced¡mientos para determinar la regiÓn factible y optimizar la función objetivo en problemas de programaciÓn lineal. (2-4)

Promueva un conversatorio sobre la importancia de usar material reciclado, luego pida que lean la situación, verif¡que s¡ han comprendido planteando las siguientes preguntas: ¿A qué conocimiento pertenece la situación probtemát¡ca? (El problema corresponde a programaciÓn l¡neal). ¿Cuántas restricc¡ones presenta? (Se observan 4 restricciones). ¿Cuáles son las var¡ables? (Las variables son el número de correas y carteras a elaborar). Recuérdeles que, de ser posible, las inecuaciones se deben simplificar.

S/ 9(X)0 en A v S/ l0{X) c'n B

Pequeña

o

Usa modelos referidos a inecuaciones lineales para establecer las restricciones al plantear o resolver problemas de programación lineal. (1; 5)

I

construcc¡ón de mesas La fabricación de mesas de 2 m2 requiere t hora de trabajo y deja una ganancia de S/ 80, mientras que las mesas de 1 m2 requieren 3 horas de trabajo y

En una fábrica de conservas de atún se envasan dos tipos de latas; las pequeñas de 200 g y las grandes de 500 g. Se cuenta con 800 kg de atún y con 2000 latas pequeñas y 1000 grandes. Determina qué cantidad de latas se debe envasa¡ de cada tipo para obtener el máximo beneficio, teniendo en cuenta que las latas pequeñas dejan un beneficio de Si 1 y las grandes de S/ 1,80.

n.'latas

Diseño de estrategias para resolver un problema

Sí. sí. Sr ls(x)

@ Una empresa de muebles fabrica

Conse¡vas de atún

Atún (kg)

Matemat¡za situaciones

2(X)

l.'(A) = 46,-50 F(B) = 108 F(C) = 71.2-5 F(D) = 104 El mfuimo costo de transporte se alcanza en A: es dccir. deben elabomr l0 ofertas de ti¡ro A y 25 otertas de tipo B.

f)

.

de un distrito premia a la mejor escuela de su jurisdicción con un cheque de S/ I 6 800 para invefirlos en libros y juegos didácticos. Los libros cuestan S/ 80 y los juegos didácticos S/ 120. El municipio establece que el número de libros no puede superar al doble de número de juegos didácticos. ¿Es posible que la escuela ganadora pueda comprar I 20 libros y 60 juegos didácticos? ¿Y 70 libros y 70 juegos didácticos? Si sobra dinero, ¿cuánto le sobra a la

Total

Función objetivo; F(.r: I, = 0.9.r + 1.5.r .r+ 3,r < 200: 2.r+r's 100;.r> l0; .r > 25 Lr rcgión l)rclible cstii tcolir(h por: A{ l0: 15 ). Br10:6{)r.

Tenga en cuenta las siguientes capacidades e indicadores usados en el MATCO PISA.

escuela?

B

Libro de actividades (pá9, 159)

El siguiente

N N @ j

ci

cuadro de doble entrada muestra las dimensiones de la

¿

I

evaluación PISA.

!

I I p I

§ o

f

Io

Proceso

Contenido

Contexto

T¡po de respuesta

Emplear

Cambio y relación

Social

Construida cerrada

2

lnterpretar

Espacio y forma

Social

Construida cerrada

3

lnterpretar

Espacio y forma

Social

Construida cerrada

-ce

4

Emplear

Cambio y relacrón

Social

Construida cerrada

a

5

Emplear

Cambio y relación

Social

Construida cerrada

§

N, 1

158

(.) Corresponden a las capacidades matemáticas tundamentales usadas en el marco nró

ht^.//r^^,,rono

nnr',ai,

¡^¡ na/¡n¡/imaaanao/^^ñ^^l^ñ^ió

ñátóñefi^.

9ñ16, ndf

o J

§ E

c a

o

TEXTO ESCOLAR

EVALUACIÓN

EVALUACIONES NACIONALES E INTERNACIONALES

Comunica:1-4;13-14 L.lsaestrateSiasyprocedimientos:9.'12;15-'ló

D".u..oltu

ffi

El c. s. det sistema ¿r)

(l;3)

correcta. {

3x --2Y = 8

{

2x

-

3v + z =

@r<3;.r-3y>6

@ Triángulo de vértices (2;

dr (-l;3)

,¿

il

ci ¿

3

(f)0

Horas

4

{i

I

Canancia (S/)

l8

.10

I

as

.r: ¡t.o de

corcas

Sxndra: ó(X); 3 =

-3), (8; -3), (2; 5) y (8; 5)

.rj5:r>--l:r>l:.r
Pr

g

Si se recomienda que no deben ingerirse más de 500 g de ambos alimentos, ¿qué cantidad de los alimentos A y B deben ingerirse para obtener un máximo de calorías sabiendo que no debe ingerirse más de 400 g del alimento A y más de 200 g del alimento B? 300 g v ?00 g

la ecuación de la recta que delimita los 2-¡. ,r = -r + r semiPlanos .!

@ Determina

Total

Y

=

@ Halla la inecuación del semiplano @ 3ó

O.

r + r,<

?r. .r +

r'>

2

2

Determina las restricciones de la región ,il'. ¡ + r'> 2:.t > 0: r'> 0

ü

de la vida cotidiana puedo aplicar lo aprendido?

A(0; 200) y D(380;0) no pertenecen

a la región

factible

Pregunta 4

Sí. porque lankl cl tienrpo corno las botellas rlcanzarían para Ia protlucción.

¿A cuánto asciende el donativq considerando la máx¡ma ganancia?

eBL[rta

2

Scr la ti¡ncir'rn ohjerivo: I-(.r: r') = I tl.r + .1(h I'(0: 0)) = llt(0) + 3o(0) = 0 F(0: 190¡ = I 1i(0) + 3(X 190) = 570() Ij(..1(X):0) = l8(100) + l0(0t= 5.1(X) F(60; 160) = l8(«)) +.¡0(l«)) = 5u80 Considerando la m¿ixinlr ganancir. el rltrtativo

Determinantos las restricciones y graficamos: 3.y <600: 4t+ tly s 1520

rscie ndc'a S¡ 5lJtl0. 200. 190.

u

)d I

conocimientos? ¿En qué situación

@ Calcula la inecuación del semiplano

de la pregunta anterior. observamos que los puntos

,r': ¡r.o de carlcras 2O0 caneras

Pregunta r

comprender los nuevos

Teniendo en cuenta el grálico de la región lactible

520

I 520 * I.t = I 90 carter¡s. No. ¡rorque el tiempo no alcanzaría. Fcrna¡rdo: 6(X) + I = 100corrcrrs I 52() + ,l = 3u0 carterils.

METACOGNICIÓN

¿Qué estrategia me ayudó a

¿Cuáles son los puntos que no pertenecen a la región

.r>0: r>01 2,r+

¿Qué aprendí hoy? ¿Para qué me servirá?

f

§Mrt

factible?

¿Cuáles son los vértices de la región factible? ¿Cuál es la función objetivo que permite la máx¡ma utilidad?

y otro, B, tiene 42O calorías por cada 100 g.

@

-4

I

-q

Cartera

)

I

-64

-i)

c a

(lt -2).

@ Un alimento A tiene 240 calorías por cada I 00

Y

-q

5) y

!r-,-.

Pregunta 3

1

Correa

ll(fc

A(0; 0), B(25; 0),C(25; l2),D(l0r 2l) y E(0; l8). ¿Existe valor máximo o mínimo? Máximr. l0-50

soluciones

¡l

Pregunt¿r

Sandra propone hacer solo 200 carteras y Fernando solo 300 correas. ¿Son factibles sus propuestas? ¿Por qué?

lD3x+y>5;ys-2

(l; l), (-4;

aa-*

-3)}

30,r + 25,v en el polígono que tiene como vértices

¿Qué punto no es conjunto solución de la inecuación 3x - 2y < 5'!

N @

Asimismq la confección de una cartera requiere 3 botellas de plástico y 8 horas de trabajo al día. se dispone de ó00 botellas y 1520 horas de üabajo para toda la producción. por ta venta de una correa se obt¡ene una ganancia de S/ 18 y por la de una cartera, de S/ 30.

.r < l:.1.r + 5r < 9: 7t + 5r > -l @ Rectángulo cuyos vértices tienen por coordenadas

b) Dos soluciones

«0,

o

@ 5x+2y>3 -2y

il)

l) O

rF

Determina el sistema de inecuaciones lineales que define la región interior de cada polígono.

Observa la figura y determina lo que se pide.

a c

5

Resuelve.

hr (2;

H''.:

= {( I ; -2:

@ Evalúa la función objetivo F(-r,,v) =

Una única solución

s'

-3y = -16 c.s = {t-?: a)}

corresponde a dos rectas coincidentes, entonces el sistema t¡ene:

rt (t;2)

o c

-1)

Oi Lx

@ 3x-4y <2x+

tr 2 i 6l n,lz -3 t -21 Ir 2-2 rl

c) Notienesolución @ Infiritur

sc

C.S. = {(2r

C. S.

@ Si la representación gráfica de dos ecuaciones

p

5.r + 3y = 2;2.x

@

5

',o

Halla gráficamente el conjunto solución.

It -2 3 6l lt 3 6l r,rl2-23l-ll l-ll @lz-3 -l¡ z-z rl [¡ 2 z rl

a Io o

= 9; 4x + y =

fr\, ¡-{\ '

Las secciones A y B de 5.'de secundaria de un colegro han decidido realizar un proyecto: *Accesorios con material reciclado", que consiste en producir y vender carteras y correas La f¡nalidad es destinar los fondos a la ¡mplementación de una bibl¡oteca en una institución educativa de zona rural. La producción de una correa requiere 2 botellas de plástico y 4 horas de trabajo al dÍa.

2z = 5 - y + 3z = 7t 3x - ! +_li C.S. = {(0; 2)} @ 3x - y + 7 = 2; 3x -2y + x = 4; x - 2y - 3z = 14

ltx+2y-zz=t

t-236 I -3 l -l 3 t-2 2

9 3¡-y

.gltIU

lD x + 2y + z=

-l

¿cuál es la matriz aumentada del sistema?

O

Accesorios con material reciclado

sistemas.

.r,

Ix-2y+37=6

r)

Tipo PISA

Determina el conjunto solución de los siguientes

[-r+5Y=-3 c) (1; -2) tlr (-3; -2) tz; -tl @

Sea el sistema

El

Traducedatosycondic¡ones:5-8;'17-18 Argumentaafirmaciones:19-20

las actividades. Luego, entrégale tu cuaderno a tu profesor(a).

Marca la alternativa

O

E

LIBRO DE ACTIVIDADES

e p €

§

e

a

o

Aprender matemática es ingresar a un mundo de soluciones; practicala y tú aprendizaje será siSniflcativo.

100

3

Deterrninanros las restricciones: > 0: r' > 0: lr +.lr' < I200: 4.r + tl-r < 30,10 l,t¡s rcirtices dc la rcgirin tactihlc son: O(0: 0). B(0: 180). ('(6(X): 0) r' I1( Il0r .ll())

.r

q

E

5

se contara con el doble de botellas y el doble del tiempo, ¿cuánto se obtendría como máx¡ma ganancia?

S¡

60)

DX 366 .lliO I-or r'értices de la regirin factible son; O(0:0) B(0: 190), C(100: 0) y tr(60; 160) La tirnción objetivo c's F(¡:,r) = I lJ¡ + 3(h'

Si rccntplazrrnos eslos vértices cn la fulcir'rrr objclivo. obscn amos r¡ut corlo ganlnciir ¡niirimr sc obtendría el dotrlc: Ft

ll0:

120)

= ltl(120)

UNIDAD

3

+ 10(310)= S/ I I 760.

lntroducción a la programación lineal

159

I

rngonomelna RECURSOS

PRESENTncTóru Esta unidad tiene por finalidad proporcionar a los estudiantes las herramientas necesarias para que sienten las bases en el estudio de la trigonometría. Para facilitar el aprendizaje de este nuevo conocimiento, se explican de manera detallada las nociones elementales y se desarrollan paso a paso las actividades. Asimismo, se pretende lograr que los estudiantes modelen matemáticamente situaciones de su entorno a través de representaciones geométricas que corresponden a triángulos rectángulos u oblicuángulos.

B.

Biblioteca del docente Día a día en el aula (págs. 178-2Og)

¡t4"n,,',"na

fT

ESQUEMA

S""r"ncia

O

O

Trigonometría

Digital digital: Trigonometría

Para empezar Breve introducción al tema ¿Qué aprenderé?

Aprendizajes y habilidades que logrará el estudiante

O

trigonometría

Conceptos previos

Razones trigonométricas

Aplicaciones

Sistema de medidas angulares

RR.TT. de ángulos agudos

Resolución de triángulos

Arco y sector circular

RR.TT. inversas

Ángulos de elevación y de depresión

O

Resolución de triángulos RR.TT. de ángulos notables

oblicuángulos

Una situación a resolver

Actividad interactiva: Situación sobre trigonometría

rectángulos RR.TT. de ángulos complementarios

Compruebo lo que sé Actividad interactiva: Saberes previos sobre

O Arco de circunferencia Animacion: lnformación sobre los elementos del arco de circunferencia

._ _EJ

O Área del trapecio circular Animación: Información sobre el trapecio circular

Ley de senos, cosenos y tangentes

O Aplico ley de senos para resolver problemas Video: Procedimiento para resolver problemas utilizando la ley de senos

O Aplico ley de cosenos para resolver problemas Ficha de orientación didáctica: Dibujo y

construcción Plegado de papel

Estrategia para resolver problemas:

Hacer un gráfico

Razonamiento matemático: Comparación y suficiencia de datos

Uso de software matemático:

Geogebra

Actividades integradas,

deBly prueba tipo ECE

Video: Procedimiento para resolver problemas utilizando la ley de cosenos Síntesis, recursos en la web y autoevaluación

I

Solucionario de las actividades

Aplicamos lo aprendido Actividad interactiva: Aplicación de los temas desarrollados en una situación cotidiana

O Compruebo mis conocimientos Actividad interactiva: Evaluación interactiva

I Permiten desarrollar habilidades y destrezas matemáticas útiles para afrontar situaciones de contexto real.

Para finalizar

Actividad interactiva: [\4etacognición

M

l¡¡roru"oi"

PROGRAMACIÓN Competencias Resuelve problemas de forma,

Conocimientos

Desempeños

¡

movimiento y localización

.

l\rlodela las característ¡cas

y atributos medibles de los objetos con formas geométricas compuestas que resultan de combinar formas geométricas tridimensionales y cuerpos de revolución, relaciones métricas de triángulos. AsÍ también, la ubicación, distancias, alturas inaccesibles, y trayectorias complejas; con razones trigonométricas, mapas y planos de diferente escala, la ecuación de la parábola y circunferencia. Plantea y contrasta afirmaciones sobre relaciones y propiedades de las formas geométricas, a partir de experiencias directas o simulaciones. Comprueba, la vaildez de una afirmación opuesta a otra o de un caso especial, med iante contraejemplos, conocimientos geométricos, y razonamientos inductivo y deductivo.

o Sistema de

. . . . .

medidas angulares Arco y sector circular RR.TT. de ángulos agudos RR.TT. inversas RR.TT. de ángulos

Capacidades

Desempeños prec¡sados

Modela objetos con formas geométricas y sus transformaciones.

e Examina propuestas de modelos referidos a razones trigonométricas de ángulos agudos y notables, al

comprensión sobre las formas y relaciones geométricas.

. . ¡ .

Usa estrategias y

. . .

Comunica su

complementarios RR.TT. de ángulos notables

o Resolución

. .

de triángulos rectángulos Ángulos de elevación y depresión

plantear y resolver problemas.

procedimientos para orientarse en el espacio,

Resolución de triángulos

ldentifica la razón trigonométrica inversa de una razón dada y de ángulos complementarios. Expresa las propiedades de un triángulo rectángulo notable usando terminologías, reglas y convenciones matemáticas. lnterpreta representaciones gráficas y notaciones matemáticas. Esquematiza situaciones relacionadas con la aplicación de la ley de senos, cosenos y tangentes.

Aplica el teorema de Pitágoras para determinar longitudes de los lados desconocidos en triángulos rectángulos.

longitud de circunferencia y el área de regiones circulares.

oblicuángulos

o

Selecciona la estrategia más conven¡ente para resolver problemas que involucran razones trigonométricas de ángulos agudos. Resuelve ejercicios sobre razones trigonométricas inversas y de ángulos complementarios.

o Selecciona la estrategia más conveniente para resolver problemas que involucran razones trigonométricas de ángulos notables.

¡ Resuelve triángulos rectángulos conociendo las medidas de dos de sus lados, o de un lado y un ángulo. ¡ Selecciona la estrategia más conveniente para resolver problemas que involucran razones trigonométricas, ángulos de elevación y de depresión.

r

ci

i

:9

.

-

E o o o f

p

Argumenta

o L

afirmaciones sobre relaciones geométricas.

sc

@

c

¡

Selecciona la estrategia más conveniente para resolver problemas que involucran razones trigonométricas de ángulos agudos. Emplea estrategias heurÍsticas para resolver problemas relacionados con la ley de senos, cosenos y tangentes. Plantea conjeturas para determinar las medidas de los ángulos agudos en un triángulo rectángulo.

o Plantea conjeturas para determinar la longitud de un arco y área de regiones circulares.

r Plantea conjeturas sobre los ángulos de elevación y de depresión. . Justifica los procedimientos empleados para realizar las comparaciones de datos.

=C 6)

ldentifica las razones trigonométricas relacionadas con un triángulo rectángulo.

o Transforma ángulos a diferentes medidas angulares. o Selecciona la estrategia más conveniente para resolver problemas que involucran el cálculo de la

r

N @ j

@

Representa las medidas angulares en diferentes sistemas,

Tiamnrr aetimar{rr. I qomqnaq

cuantitativas y la suficiencia

TEXTO ESCOLAR

Tiigonometría t

Texto escolar (pá9.

37)

t

Libro de actividades (págs. 160-161)

Capacidades y desempeños precisados . Aplica el teorema de Pitágoras para determinar longitudes de los Usa estrategias y procedimientos Argumenta afirmaciones

Sugerencias

TFigonometría

lados desconocidos en triángulos rectángulos. (3-4)

. d

Plantea conjeturas para determ¡nar las medidas de los ángulos agudos en un triángulo rectángulo, (1-2)

Un cartógrafo se olvidó de anotar las medidas de los ángulos B y C al medir con el GPS el ancho de uno de los cauces del río Amazonas. Estas fueron sus mediciones sobre el terreno: AC = 63 m, AB = 96 m y mCÁB = 60". Ayuda al cartógrafo a hallar las medidas de los ángulos B y C.

idácticas

Para iniciar

O

I

Centre la atención de los estudiantes en la fotografÍa y pida que la describan. Luego de ello, promueva un conversatorio acerca del valor del respeto. Pregunte: ¿Qué es el respeto? (Es uno de los valores morales más importantes del ser humano, pues es fundamental para lograr una armoniosa interacción social). ¿Oué significa respetar? (Significa valorar a los demás por lo que son, sin importar si es pobre o rico, si es mujer o es hombre, o el color de su piel o su físico). Enfatice que el respeto abarca todas las esferas de la vida, empezando por el que nos debemos a nosotros mismos y a todos nuestros semejantes, hasta el que le debemos al medio ambiente, a los seres vivos y a la naturaleza en general, sin olvidar el respeto a las leyes, a las normas sociales, a la memoria de los antepasados y a la patria en que nacimos.

rñ

Es importante que los estudiantes relacionen el nuevo conocimiento y su aplicación en el contexto real; por ello, centre la atención en la imagen y pídales que describan la actividad que se desarrolla. Pregunte: ¿Qué instrumento está empleando la persona? (Está haciendo uso de un teodolito). ¿Para qué se utiliza este ¡nstrumento? (Para medir ángulos con una precisión elevada y calcular coordenadas rectangulares) . ¿En qué otras actividades se utiliza el teodolito? (En la construcción de carreteras, en la minerÍa y en toda actividad relacionada con la topografía).

HI-E APRENDEREMOS 4...

.

sexagesimal, centesimal y radial.

Para desarrollar

I

. . .

Es necesario que los nuevos aprendizajes se construyan a partir de los

conocimientos previos de los estudiantes para permitir una mejor fijación del nuevo conocimiento. Solicite que desarrollen las actividades propuestas en la sección "Aplica la ciencia". Recuérdeles que en todo triángulo rectángulo se cumple que el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos (c2 = a2 +b2). Revise conjuntamente con los estudiantes la sección "Aprendemos a..." y oriente respecto a las capacidades a desarrollar en esta unidad. Luego de ello, invÍtelos arealizar la actividad propuesta en la sección "Buscamos en la web", esto les permitirá ampliar sus conocimientos sobre estación total.

I

Para consolidar los aprendizajes, solicite que efectúen las actividades propuestas en la sección "Repasamos lo que sabemos" y que luego lo socialicen en un plenario con sus comoañeros.

Calcular la longitud de arcos de circunferenc¡as y el área de un sector circular.

Determinar las demás razones trigonométr¡cas a partir de una dada. Resolver elerc¡c¡os sobre razones trigonométricas inversas y de ángulos

complementarios.

0

. VALORES Y ACTITUDES

Respeto ¿Al vralar de vacaciones a algún lugar de nuestro paÍs, has

dejado limpio cada

Para consolidar

Aplicar estrategias de conversión de med¡das de ángulos en los slstemas

. . .

Formular y resolver problemas sobre triángulos notables justificando sus procedim¡entos. Resolver triángulos rectángulos conociendo dos de sus lados o un lado y un ángulo, y su aplicación en ángulos de elevación y de depresión. Resolver problemas de triángulos oblicuángulos que involucran leyes de senos, cosenos y tanSentes.

p

€ c

o &

Reconocer y valorar la utilidad de las representaciones geométricas y las medidas para transmitir informaciones precisas relativas al entorno

a

lugar vis¡tado?

@

UNIoAD

4

TrSonometria

37

§c 'p

c o

t/)

I

TFigonometría ! APLICA LA CIENCIA

v-

APRENDEREMOS

@) \-/

.

ángulos en los s¡stemas sexages¡mal, centesimal

Estación total

y radial.

.

La estación total es un instrumento que se utiliza en la construcción ciüI. Integra un teodolito electrónico con un distanciómetro, un microprocesador y las libretas electrónicas, que mide ángulos, distancias y calcula coordenadas rectangulares para el trazo y replanteo.

.

El levantamiento, trazo y replanteo se fundamenta en la triangulación. De esta forma, el aparato se ubica en el punto 1 y se orienta hacia el punto 2, ambos con

ltrt

El aparato realiza un giro para observar el punto 3 obteniendo un ángulo 0 y una distancia d.

l

.

N N @ j

Reconocer y valorar la utilidad de las representaciones geométricas y las medrdas para transmitir informaciones precisas relat¡vas

¿Qué instrumentos integra Ia estación total?

al entorno.

¿En qué se fundamenta el levantamiento, trazo y replanteo?¿Cómo se llaman los dos

Reúnete en equipo e investiguen sobre Ia historia de la estación total. Luego, elaboren con la información obtenida un papelógrafo para dar a conocer a los compañeros la importancia del tema.

\

i

@ art"uros

)Q f E

tr l. Coordenadas de estación

='

ci

Firefox, etc.) lo siguiente:

=

I

€

f¡letype:pdf + estación total

o

L

2. V¡sta

atrás

ll

En un

fiángulg

la

medida de uno de los ángulos

mide ó4" y el segundo mide 2" más que el tercer ángulo. Halla la medida del tercer ángulo. .s7"

El D¡stancia (d)

(0)

al

REPASAMoS LO QUE SABEMoS

Interpreta y resuelve.

A Angulo

Así obtendrás más información sobre la utilidad de la estación total en Ias construcciones

I- I

la

en la web

Digita en algún buscador (Chrome, Edge,

o o o

Formular y resolver problemas sobre fiángulos notables justificando sus proced¡mientos.

tangentes.

pmtos con coordenadas conocidas?

o

Resolver ejercicios sobre razones trigonomátricas inversas y de ángulos complementarlos.

Resolver problemas de triángulos oblicuángulos que involucran leyes de senos, cosenos y

r

A partir de esta información se realiza un cálculo matemático [algoritmo) para obtener Ias coordenadas del punto 3.

r o

Determ¡nar las demás razones trigonométricas a partir de una dada.

Resolver tr iángulos rectángulos conociendo dos de sus lados o un lado y un ángulg y su aplicación en ángulos de elevac;on y de depresrón.

l

coordenadas conocidas.

I

I

Calcular la longitud de arcos de c¡rcunferencias y el área de un sector circular.

. a

li

4...

Aplicar estrategias de conversión de medidas de

il

En un tr¡ángulo rectángulq uno de sus ángulos agudos mide 52'ó'. Halla la medida del otro ángulo agudo. 37" 5,1'

calcula el valor de,r

i'l

o

x

I

c¡t ,rz/

o 60' l2 cm

I

3. Observación

.ri

12

tE

20 cm

a

15

cnl

37' 25 cm

cm

a c

§ C

o

6

1ó0

UNIoAD ¡l Trigonomefía

161

TEXTO ESCOLAR

Sistema de medidas angulares t

Texto escolar (pá9.

38) ¡

Libro de actividades (págs. 162- 163)

Capacidades y desempeños precisados Comunica Usa estraiegias y procedimientos

t .

Representa las medidas angulares en diferentes sistemas. (1-5) Transforma ángulos a diferentes medidas angulares. (1-2; 6-11 )

Sugerencias didácticas

Sistema de medidas antu¡ares. Área del sector c¡rcular

'U b¿r#

Los sistemas de medidas angulares tienen su aplicación en todo objeto que tiene movimiento. Un buen ejemplo de esto lo tenemos en el ángulo que forma el tubo de dirección que sost¡ene el timón de una bicicleta con respecto al tubo vertical que sostiene la llanta delantera. La medida de este ángulo en las bicicletas de competición se encuentra entre 69" y 72.

Para iniciar

t

ml

S¡stema de med¡das angulares

OTRA FORMA DE RESOLVER

Es importante que los estudiantes descubran, a partir de la experimentación, los principios que rigen al nuevo conocimiento. Propóngales que dibu¡en los siguientes ángulos: 30o, 45',-90o, 50s y nl4 rad. Luego, invite a que socialicen sus respuestas. Pregunte: ¿Qué dificultades tuvieron? ¿En qué sistema de medida angular está el transportador?(Sistema sexagesimal).

Sean S, C y R los números que representan la medida de un mismo ángulq en los sistemas

lgualando a una

constante:f;=fi=k

sexagesimal, centesimal y radial, respectivamente. La relación entre los tres s¡stemas se exoresa

Se obtiene:

s=9¿yc=10¿

ast:rrl=ffi=* t r*Á=#=*

EJEMPLO

1

Reemplazamos:

9C-25=80

Sean S y C las medidas de un mismo ángulo en grados sexagesimales

Para desarrollar

e(l00-2(9t)=80

centesimales. Expresa en radianes la medida de dicho ángulo si 9C

I

eor-lst=so-t=#

'

Luesos=e(f;)=ro

I

Centre la atención de los estudiantes en la imagen y solicite que la describan Pregunte: ¿Qué aplicaciones tienen las medidas angulares? (En todos los objetos que tienen movimiento). ¿Cómo representarias si el ciclista gira a la derecha? ¿Y a la izquierda? (Con un ángulo negativo y en el segundo caso con un ángulo positivo).

f*q=*

9C-

.

t

Expresamosen radianes:

+r% =

r: radio

ft

+

y 25 = 80.

S.

=so*q/4s'l \v / -25 =80+10S-25 =80+S

La medida de dicho ángulo es

{

Haga notar que los tres sistemas se relacionan (m 1 vuelta = 3600 = 400s = 2n rad) y a partir de esta equivalencia podemos establecer una fórmula de conversión. lnvítelos a revisar la sección "lmportante", donde se presenta la fórmula general de conversión.

= lo

-+= f -* = #

radianes.

c:ángulo en rad¡anes

Antes de realizar las actividades 1 a la 5, explique que, a partir de la fórmula general, se puede establecer nuevas equivalencias. Para ello, bastará con despejarS CyR, obteniendo: S = 180k, C = 200kyR =nk, yel caso particular, S = 9 k y C = 10 k Haga notar que esta últimaequivalencia Ia usarán en las actividades 6 y 8 porque solo interviene el sistema sexagesimal y el sistema centesimal. Para la actividad 7, recuérdeles que si se tiene un número "k", diferente de cero, su inverso será 1/k y que al multiplicarlos da la unidad. En la actividad 9, indique que la expresión solo les permitirá determinar el valor de la constante "k" y este valor debe ser reemplazado en C = 200 k para hallar la medida del ángulo en el sistema pedido.

Área del sector (As)

Long¡tud de arco. Área del sector c¡rcular Las

fórmulas de la long¡tud de arco y el área del sector se muestran en el margen.

EJEMPLO 2

. ,s_ o -l:-q

El radio de un sector circular POQ mide 5 cm y la amplitud de su ángulo central es 1,4 radianes. Halla e[ perímetro y el iírea de dicho sector.

.¡''\--U

. .

2

2

. '5-2o o --11

.

'rÜ*

Graficamos y ubicamos los datos.

Hallamos el perímetro del sector:

P=2r +L= 2(5) + 5(1,4) = l0 + 7 =

17 cm

Calculamos el área del sector circular:

. 52- 1.4 n"= Z =l/.)cm' El perímetro del sector circular POQ es 17 cm y su área es 17,5 cm2

f

Pá€e.162-165

fl

Concluya destacando que la fó rmula general (S/180 = C1200 = R/n = k) se puede emplear en todos los problemas, pero principalmente cuando intervienen los tres sistemas; mientras que el caso particular (S/9 = C/l0 = k) se utiliza cuando intervienen solo los sistemas sexagesimal y centesimal. Proponga resolver la siguiente situación: Sabiendo que a y p son ángulos suplementarios y, además, se sabe que a mide (1xF y F mide (2x - 4)", halla la medida de cada ángulo en el sistema sexagesimal. (a =144" y P = 36")

25

TEN EN CUENTA

Para consolidar

I

fi,

.

-'=*

Long¡tud de arco (L)

I

deducimos sabemos 9ue 1*L $= "nton"", Despejamos y reemplazamos en la expresión dada:

-

orsannou-aruscAPACIDADES

I Usa

estrate8ias y prmedimientos

1-2

p € e

ff

Un arco mide 6,4 cm y pertenece a una circunferencia de radio 1,6 cm. Calcula el ángulo central que subtiende el arco. J nd.

@ El extremo de un péndulo

de 40 cm de longitud

describe un arco de 5 cm. Calcula el ángulo de oscilación en grados sexagesimales. 7. I 7'

g s

38

Unidad

4

L¡BRO DE ACTIVIDADES

I

SISTEMA DE MEDIDAS ANGULARES

SISTEMA DE MEDIDAS ANGULARES

E

fl

Sistema de medidas angulares

orsannou-nruscAeACIDADES

Comunica:

Escribe V si es verdadero o F si es falso. La med¡da de un ángulo se expresa en cualquiera de estos tres s¡stemas:

TEN EN CUENTA Angulo trigonométr¡co Es aquel ángulo c que se genera por la rotaciÓn de un rayo OA alrededor de su exfemo füo O (vért¡ce), desde una

posic¡ón inicial OA (lado inicial) hasta una posición final oB (lado f¡nal).

,/ 0

,/ ,/B

Sexagesimal (S)

centesimal (c)

Su unidad angular es el grado sexagesimal (19, el cual se obtiene al dividjr un ángulo de una vuelta en 3ó0 partes iguales.

Su unidad angular es el grado centesimal ('18), el cual se obtiene al dividir un ángulo de una vuelta en 400 partes iguales.

"" 1

A

vuelta 3¿ó pañes

1s

vuelta = 3ó0

1

-

vuelta ¿00 pañes 1

Equivalencias:

10=60';1'=60"

1c

10

= 3ó00"

l

Su unidad angular es el radián (1 rad). Un radían medida de un ángulo central que subtiende un arco de igual medida que el radio de la circunferencia que lo

= 100m;

1m

=

1 rad

lrud-ta '100s

1

_l

55-2C=200.

Relac¡ón entre Ios tres s¡stemas

Fórmula general de conversión

S

=

"

.

seoeouce:f=fi=t

O

Utilizamos las relaciones respectivas y resolvemos:

(sI * I=

lll9rÁ,I

l.ir rnedid¡r rlel árr$rrlo es

Despejamos S, C y R en función de k y reemplazamos en la expresión dada.

)q !

o o o l

180/<

p p

+ 200k + kn = 95 +

Q5+4

180+:r

t*

(380 +

n)t = 95 + f,

k=#=rrfir=j 'n=f

o

&

La medida del ángulo en radianes es R =

q o c c a

S= l80k C =200k R= kn

ito=z&=*=o'

J

§

lx(u, l{xrÁ- lti.a -"-l0 R=rl=ato

S+C+R =ss+f;.

.

162

'i=j

se cumple:

(.rr' l7)

,:'+ f5 rr'+ l7 -1('-lS=51 35 =

rad.

0

l

ó 'a

I p € I §

f;

Despejanros S y C. y resolvemos:

La suma de las inversas de los números que

Luego,6O8=54'=finrad.

S, C y R representan las medidas de un mismo ángulo en grados sexagesimales centesimales y radiales. Expresa en radianes la medida de dicho ángulo, si

¿

Rcslamos.l(' .lS: -1('- -lS =.rl'+ 15 -

rl(200t) =.1(180k) = sz

expresan la medida sexagesimal y centesimal de un ángulo es igual a l9 veces el número de radianes dividido entre l8¡. Halla la medida del ángulo en radianes.

EJEMPLO 2

)ci

-r5

- 27 y 4C = -r1' + 25. Halla el ángulo en grados sexagesimales.

4('-

I'lrtttlerur.sel -, or.blema: --"-

@

resolvr,nros:

:tlt, Lr=5o >( =i{)

@ Para un mismo ángulo

zz

Dcspejanros S y C. y resolremos:

N N

I

l.i¡ rrredirlrr rle'l álgulo cs 50!.

l-a rnedida de tlicho ángukr cs 72".

#=3*f3=$-s=s+ ,*g=+*#=§ * n =fr"

2fu

r«r({)=

¡ ('.

1

Expresa 608 a grados sexagesimales y a radianes.

SCR 180 200 n oe la relación:

s=

= 35, halla la medida del

35 = ¡2'

l)cspejanrrrs S y C. y resrrlvernos: 5l I80t) :(:001) = lr){)+ ( =;

.r!=¿&=-& 'rEo=2S=* EJEMPLO

t

S y C representan las medidas de un mismo ángulo en grados sexagesimales y centesimales. Expresa en

grados sexagesimales la medida de dicho ángulo, si

rÉ+

r/4 .16(X)L - 50r//i =.15 I 6(h( - 50r'7 =.15 7ll\t=li*'f-l

tr tr

Resuelve.

!l

-

:1u _,/:arrl ,/*-,^lu ! l()oL ll{ol I f

5

vuelta = 2n rad

ffi

I)cspejanros S

E

¿s'=56s=f;rad E ta'=zoc=ffraa

Sean S, C y R los números que representan la medida de un mismo ángulq en los sistemas sexagesimal, centes¡mal y radial, respectivamente. La relac¡ón entre ellos es la siguiente.

IMPORTANTE

si

Usa esüategiasy procedim¡ent$: ó-11

ángulo en grados centesimales.

ll

@

_r2tr

y1s=10@0s

El

o;=fi=E

contiene.

vuelta = 4008

Equivalencias.

y

c: medida del ángulo AOB.

'1

i'.L=r&=*

o B lso"=2008=¡rad

Radial (R)

O

1-S

¡

É

3 o

9 e p ! I

s

simptirica

fl,

rrrd.

* =fl-$:2e-,* ro

1'lR

t¡{n

lD Sean las siguientes ecuaciones:

*

=u

-

*

v l(x)k-

l¡{oÁ

*

fi= t * ff I

S lo - !, t6 (' s /,..16\ .,D+it¡_45 =. IU- }É='r,+ i'Dcspejamos S y ('. y resolvemos:

I

--¡l

A=

R".t,,,...

200(_ l80f_45

l(:(X)t)

+

Hatla la medida del ángulo en radianes.

r/l{ .. v=. lx0()

+

2ó0t = s2

La ¡nedida del ángulo es 36".

Despejarnos S y (1. y resolvemos:

''

+

s= rsok= rso({)=:o

20

-

36 -r , t) - 9()(lÁ= 1.5>^-n r llig

8rx)A

M=.-7@;=lsr... '' Y l(x,t-ilt{)* -'

R =

I)or lo l¡nk). M = 3.

La medida del ángulo es 9 radianes

/o\

rljl

=')

o UNIDAD

4

Trigonometria

1ó3

Arco y sector circular I Capacidades y desempeños precisados Usa estrateg¡as

y procedimientos

o

I

Para el ejemplo 4, recuérdeles que una ecuación con dos incógnitas tiene infinitas soluciones, por lo que se requiere plantear una segunda ecuaciÓn y con ello formar un sistema lineal para resolverla. Hágales notar que la longitud del arco se conoce y que el ángulo central es el mismo para ambas longitudes de arco.

I

Proponga a los estudiantes a que den lectura al texto "Área del sector circular". Verifique su comprensión preguntando'. ¿Qué es un sector circular? (Es una porción del cÍrculo delimitada por dos radios y por el arco). ¿En qué s¡stema de medida debe estar expresado el ángulo central? (En radianes). En el ejemplo 5, hágales notar que se relacionan las longitudes de los arcos con el área de los sectores y el ángulo central, por eso se decide usar la tercera fórmula.

I

En la actividad 1, resalte que la longitud del péndulo representa la medida del radio y deben calcular el ángulo.

I

Para la actividad 2, es importante que los estudiantes sepan interpretar los gráficos. Pregunte: ¿Qué información se puede obtener del gráfico? (Se conocen la longitud de los radios, de los tres arcos y además se observa que comparten el mismo ángulo central central). Hágales notar que pueden hallar Lr Y Lz Y reemplazarlo en la expresión L1 + L, = l0n, lo cual les permitirá determinar la medida del ángulo central y poder hallar la medida del arco L.

I

Previamente a la actividad 3, recuérdeles que el ángulo siempre debe estar expresado en radianes y en este caso oriente a que eliian la fÓrmula conveniente (la primera), porque se conoce el radio y la medida del ángulo central. Para la actividad 4, sugiera que empleen la misma estrategia desarrollada en el ejemplo 5.

I

En la actividad 5, sugiera que determinen el ángulo central empleando la fórmula de la longitud de arco y, luego, por una diferencia de áreas, que hallen el área sombreada. Explique que a esta área sombreada se le denomina trapecio circular.

Selecciona la estrategia más conveniente para resolver problemas que involucran el cálculo de la longitud de circunferencia y el área de regiones circulares. (1-5)

Sugerencias didácticas Para iniciar

I

lnicie recogiendo los saberes previos de los estudiantes. Para ello, pÍdales que tomen una moneda de un sol y que determinen la longitud de su circunferencia y el área de su superficie (diámetro: 25,5 mm, longitud de la circunferencia: 8 cm y el área de la superficie: 5,1 cm2, aproximadamente). Luego, invite a que socialicen su procedimiento y contrasten sus resultados. Pregunte: ¿Qué es un arco de circunferencia? (Es una porción de la circunferencia limitada por dos puntos de esta). ¿Qué diferencia hay entre el círculo y la circunferencia? (La circunferencia es una curva plana cerrada cuyos puntos equidistan de otro punto llamado centro que está situado en el mismo plano, mientras que el círculo es el área o superficie plana contenida dentro de una circunferencia).

I

lnvite a los estudiantes a dar lectura al texto "Longitud de arco" y, luego, solicite que comenten, Para comprobar si han comprendido, pregunte: ¿En qué sistema de medida debe expresarse el ángulo? (En radianes). ¿Oué es el ángulo central? (Es un ángulo que tiene su vértice en el centro de la circunferencia y sus lados están formados por dos radios). ¿Qué es la longitud de arco? (Es la medida de una porción de circunferencia). Hágales ver que la medida del ángulo central debe estar entre cero radianes y 2n radianes.

Para desarrollar

I

I

Solicite a los estudiantes que revisen el desarrollo del ejemplo 3. Hágales notar que el ángulo central que determina al sector circular está expresado en grados centesimales; por tal motivo, se realizó la transformación a radianes. Propóngales que determinen la longitud interna de la curva si se conoce que la carretera tiene un ancho de 10 metros. (La curva mide 3,14 m). Pregunte: ¿Qué conclusión pueden sacar de esta última situaciÓn? (Se concluye que cuando más larga sea la longitud del radio, el arco también tendrá mayor longitud; se dará la misma situación si el ángulo central aumenta). Enfatice que para determinar la longitud del arco se necesita conocer la medida del ángulo central y la longitud del radio.

Libro de actividades (págs. 164-155)

Para consolidar

I

Proponga desarrollar en pares las actividades complementarias

Actividades complementarias 1. En un parque, Eloísa encontró un columpio. Al tomar sus medidas, obtuvo que los brazos median 1,2 m de largo, y, además, podía describir como máximo un ángulo de 150". Calcula el espacio recorrido por el asiento del columpio cuando el ángulo descrito en su balanceo

Resalte el valor de cuidar los bienes comunes de la comunidad, como son las carreteras, para, de esta manera, promover en ellos el ejercicio ciudadano. Pida que respondan la pregunta propuesta al final del ejemplo 3. (Si se deteriora la carretera, genera retraso en la movilización de las personas, que se traduce en pérdidas económicas y calidad de vida; asimismo, se producirá mayor contaminación afectando al medioambiente debido a que

2.

loweiÍculos utilizarán más combustible emitiendo mayor cantidad de gases

Respuestas: 1, 3,14

N N @

)ci i

:9

éó5 o o =

pG

sea el máximo.

€ c

Un auto deportivo, en una pista circular, recorre una longitud de arco de 500n metros y barre un ángulo de 250". a) Halla el radio de la pista circular; b) Calcula el área del sector circular recorrido.

a

o

m

2. a) R = 360 m, área = 282 600 m'

É

§

c ao

4

LIBRO DE ACTIVIDADES

.

SISTEMA DE MEDIDAS ANGULARES

SISTEMA DE MEDIDAS ANGULARES

E

TEN EN CUENTA

O

En una circunferencia de radio r, un ángulo central de a radianes determina una longitud de arco L, que se calcula multiplicando el número de radianes por el radio de la circunferenc¡a.

L: longitud de arco AB la

dr número de radianes

Usa estrategias y procedim¡entos:

@ Del gráfico. calcula.r.

El extremo de un péndulo de 30 cm de longitud describe un arco de 5n cm. Halla el ángulo de oscilación en grados sexagesimales.

uoa¡ania§

> EJEMPLO 3

2L D

. .

B

I

Convertimos 20s a radianes:

o

.

#

,

-5¡ crlr

5rr

l0

Usatnos la fiirmul¿r cu respondiente:

St,,¡,=*+lS=+...(l) ;ii,r S1,,s=ff+6s=%^,) ...{ilr

30" o "=I=

Dividinros 1l¡ cntre (l¡):

* - * = frrad

2sr2¡2ottrtr:/.¡L rrs=1L /¡1,- I =+"'.*,-¡

@ Del gráfico, calcula L si Ll + L2 = l0rr cm.

Calculamos la longitud de la curva:

L = 20

Ejerce su ciudadanía. (Explica las relaciones entre los elementos naturales y smiales que interyienen en la construcción de los espacios

=

#

Reemplazamos los datos en la fórnrula:

J0 cm

Entre Cerro Negro y Yungaypampa, para disminut los accidentes, la municipalidad de Huallanca construyó una carretera que forma una curva con un ángulo de 2G y dos radios de 20 m (ver margen). Calcula la longitud de la curva. carretera

geográficos).

(-.1

cild¿[]o

(icr

nuestra5 carr0tuas?

4

(

i)rII)letirnros

. .

Sector AOB: 32 = o . (x +

Dividimos !t)entre

(zr:

5)

Lr

gnil icir:

El área del trapecio circular ABCD es 20 cm2. Calcula la medida del ángulo

3A

.l

Calcula x del gráfico del margen.

32

@

.

#="(*-;;t¡ -8¡

= 3x

+ t5

=.r. ot

L.

2) F-

3B

+ ¡ = I qri

('OD: Seclor AOB L=(l 6 Lr-{) 9 L=60 ¡.=t)0

Sector

FIC)F:

Área del sector - c¡rcular

l'r = tl l'r = 3tl

sector circular es la región limitada por dos rad¡os y el arco correspondiente. Para hallar su área y según los datos que tengamos, usamos una de las siguientes fórmulas:

[)or dalo: [-, + 1,,

-.t

EL

= l0¡

+

3{) + (){)

llH= lOr+(ll=5r

^"=+ EJEMPLO

c

:9

B

USA ESTRATEGIAS Y PROCEDIMIENTOS

o o

-

p

Un sector circular tiene un ángulo central de 3ó'y un

€ c

o &

área de

É

cmz. Halla el

radiodel círculo.

a c C

@

5

164

r=

5 cnr

. . .

En el

=

fi

)

j

(iraficrrnos segr'in los datos:

.§

I

s=6Q"={rarl

E

Dividimos las expresiones y hallamos el valor de ¡:

'# = {t:f& *

P

= eB

*

x

= t§E+ ¡

= e,e u

o

C

p !

Hallamos B' 20=

.

Calculamos el valor del ángulo B:

(Bt4). 4+

^

D

s a a

§ o

ll)

(r.:)r'I J

_62_18.,^ _42_g )ABoc-E-p

^ ^AoD-2F,p

0,5 radianes.

es

El El área del sector circular

área tle la región es 0.24n m2

N

24m

circular MNPQ.

o

t.14.{.l

A.=+q*4,=0,24¡¡¡l til

=(sm

§

NOP es 416 m2. Determina el área del trapecio O 1,2

tlsamos l¡ tó¡¡rula:

, t-'tt

,

(r*)

.

La medida del ángulo p

e

e.

Área del trapecio circular: A, =

que determina el borde

inferior de una puerta de "van y ven" al girar un ángulo de 60o, sabiendo que dicho borde mide 1,2 m.

sectorAOO:24=fi

ChD

ymÁE=4cm.

aÉ-ñ=r-p=jrad=o,5rad

Mc pidcn: L = (r0 = -5¡ crrr.

,2

-

En el sector BOC:

= l0¡

'A.=;

Las áreas de las figuras coloreada y no coloreada son iguales. Calculax.

5

a

;

o,=?

@ Hallar el área de la región

ci

§

t

4cm

psimBC=4cm

(_)

Sector COD: 12

Sectrr

N N @ j

ll.- t= l

EJEMPLO 6

.Que sucede si no cül¿tl)oran'ro!' rtn

EJEMPLO

cm

=

= 2n = 2(3,14) = 6,28 m

La longitud de la curva es 6,28 m.

6l

1'5

B

del ángulo central

--20n-

cAPACTDADES

L=4. a > L= r. a:0 rad I 0 s2nrAd 2T

c¡rcunferenc¡a

o

orsnnnou-nrus

Resuelve.

Longitud de arco

) r: radio de

ff

Arco y sector c¡rcular

'

En scckrr N
$ - ll6 +

EI scclt¡r MOQ: .r (r + 26) =

I rnrr. 2:,,]:f,=':i

j, NP :: l.i

t('

t,

> Arr¡r

¡rr:

=,!Jl

...

t

a

24...i-¿)

l i-' r,,=1--¡

- I l'l + l(') 16-5trr.r UN|DAD

4

Tr¡gonometria

1ó5

TEXTO ESCOLAR

Razones trioonométricas de ángulos águdos lTexto

escolar (pá9.

39)

¡Libro

de actividades (págs 166-168)

Razones trigonométricas de ángulos agudos

Capacidades y desempeños precisados Comunica Usa estrategias y procedimientos

o

¡

En sus inicros, la Lrgononretría se enfocó únrcanrente en la topografia, la navl.gación y la astronorrílr Con el ava[ce de la crencra, su aplrcaciórt se extend Ó a otros cantpos, corl¡o la arclu tcctura y a tnSe lr ei ¿l r:tv l. Ell ostos

ldentifica las razones trigonométricas relacionadas con un triángulo rectángulo. (1-5)

conlextos, el estlrdio cie l¿r trgonometrl¿l ofrece la posib lidad me d clas de lugares nacces bles.

Selecciona la estrategia más conveniente para resolver problemas que involucran razones trigonométricas de ángulos agudos. (f-5; 6-11)

Razones tr¡gonométr¡cas de ángulos agudos

C

Sugerencias didácticas

I

Para iniciar

o

cle calcular

Observa las razones trigonométricas del ángulo agudo referencia el f iángulo rectángulo.

Ct'

en el margen, tomando como

EJEMPLO 3

I

Es importante que inicie recuperando los saberes previos de los estudiantes

Cateto adyacente a

para tomarlo como punto de referencia y promover la construcción de los nuevos aprendizajes y desarrollar sus capacidades. Pregunte: ¿Cuál es la característ¡ca de un triángulo rectángulo? (La medida de uno de sus ángulos interiores es 90"). ¿Todos los triángulos presentan hipotenusa? (Solo lo encontramos en los triángulos rectángulos). ¿Qué teorema fundamental se cumple en los triángulos rectángulos? ¿Cuándo se aplica? (El teorema de Pitágoras y se aplica cuando se desea conocer uno de sus lados, conociendo los otros dos). ¿Qué es la razón? (Es el cociente entre dos números o cantidades comparables entre sí, expresados como fracción). Enfatice que el teorema de Pitágoras solo se puede aplicar en los triángulos rectángulos.

!

I

Para consolidar

I

Enfatice que las razones trigonométricas son cantidades numéricas que se determinan relacionando mediante el cociente las medidas de los lados de un triángulo rectángulo.

Sen

Coseno

COS0=

Tangente

.,n"=t

Cotangente

c.ot ¡L =

.

Trazamos la altura o mediana (AH) con respecto a la base: BH = HC = 48 cm Si tan C =

?-

AH = 3k,HC = 4k y AC =AB = 5k

HC=48+4k=48+k=12 Calculamos la longitud de AB:

I

AB=5k+AB=5(12)=60cm

b

-48cm

* H

-48cm

c0secante

Razones trigonométricas ¡nversas y de ángulos complementar¡os

TEN EN CUENTA

Para un mismo ángulo agudq el producto de dos razones trigonométr¡cas inversas es 1. En un triángulo rectángulq el seno de un ángulo o es igual al coseno del complemento de o.

R.

f. ¡nversas

Senc

CSCc=1

EJEMPLO

CoSo Secc=1

Destaque que las razones trigonométricas son cantidades numéricas o adimensionales, es decir, no poseen unidades. En el ejemplo 7, hágales notar que se desconoce la medida del cateto opuesto. Por ello, se emplea el teorema de Pitágoras para calcularlo. Previamente al ejemplo 8, recuérdeles el procedimiento para transformar un número decimal en fracción; emplee ejemplos como: 0,3 = 3l1O;2,3 = 23t10;0,0 = e/g; O,A = 32lSg. Para las actividades 1 a la 5, sugiera que, en primer luga¡ deben hallar la medida del lado faltante, empleando el teorema de Pitágoras y, luego, que verifiquen cada una de las afirmaciones aplicando los algoritmos, según sea el caso. En las actividades 6 y 7, sugiérales que apliquen la estrategia desarrollada en el ejemplo 7, mientras que, en la actividad 8, haga ver si se conoce el valor de una de las razones trigonométricas; las restantes se pueden calcular construyendo un triángulo rectángulo. En la actividad 9, propóngales que apliquen la misma estrategla del ejemplo 9; por ello, deben asignar variables a los lados del triángulo. En la actividad 10, resalte que la expresión a calcular está en función del seno y que para representarlo necesitamos conocer la hipotenusa. Sugiera que apliquen el teorema de Pitágoras.

.

c =6a-1

seno

Secante

Para desarrollar

En un triángulo isósceles ABC, la base BC mide 96 cm y tan C = 3/4. Calcula la longitud de AB.

0

4

-

tanq.cotq=1

a) Si cos (4x + 20') ' sec (x + 80') = 1, calcula el valor de "r.

de ángulos complementarios

.

R. T.

Si las razones son inversas entre sí y el producto es 4x + 20"

Sena=cos(90'-a) tanq=cot(90'- c) secc=csc(90"-o)

=x

+ 80'

b) Halla el valor de

. .

(4x+

l,

los ángulos son iguales:

3x= 60o +

x =2O" (4x si cos + 1 8") csc (24"

Despejamos cos (4-r cos

,rÜ*

¡

+

-

x) = l .

+ 18"):

18")=------l csc (24"

-

,r)

>cos(4x+ l8')=sen (24" -x)

Planteamos la ecuación y hallamos el valor de x:

4¡+ l8'+24" -x= 90"+3x=48'+x=

l60

Páds.166-171

ffi

oesannou-l rus

usa estrateg¡as y procedimientos:

cAPACTDADES

1

-5

e

I

E

f)

-E

@ Si § a o

f)

@ El perímetro de un triángulo rectángulo mide

En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, la hipotenusa mide 10 cm y sen C = 0,5. Calcula la medida del cateto mayor. 8.7 crn sen (2x

Halla 3x

-

+

5')'

csc (3x

-

10"), calcula 3r + 4"

25' si tan (r + 9") = cot (3x

-

.

3"). .rx'

360 cm. Si la tangente de uno de sus ángulos agudos es 2,4, ¿aÁnto mide el cateto menor? ¡Ly

@ Calcula el coseno del mayor ángulo "rrtt'iB un triángulo rectángulo, si se sabe que sus lados están en progresión

aritmética.

.ti5

UNIDAD 4 Trigonomefía

39

u

LIBRO DE ACTIVIDADES

r

RAZONES TRIGONOMETRICAS DE ANGULOS AGUDOS.

E

RAZONES TRIGONOIMEIRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS

Razones trigonométricas de ángulos agudos

Del gráfico, calcula el valor de P=cots. tan p + tan 0. cot 13

.

Llamamos razones f¡gonométr¡cas (RT) de un ángulo agudo cr a las razones obtenidas entre los lados de cualquier tnángulo rectángulo al que pertenece.

C

d

o

BCA Cateto adyacente a

seno

,"n.,=c9t:oP =g ntp. b

coseno

coscr=cf;#d

tangente

trno=cato9=qc'

s

cat.

=f

ad.

cosecante

.r.o=cal.ljpop.=44

secante

, =4(' =".o=cat. ad.

cotanSente

cot0_cat.ad._c4

El valor de P es

Cat

David, en su tiempo libre, trabaja con sus amigos en una tienda de carpas. La cara frontal de una carpa mostrada en el margen tiene forma de un triángulo isósceles. Si su base mide [60 cm y la tangente del ángulo de la base respecto a la altura es 0,75, calcula el prcrímetro de la cara frontal de la carpa.

OP

.

Halla las razones trigonométricas del ángulo c del triángulo rectángulo

.

Hallamos el valor de c aplicando el teorema de Pitágoras: c2 = b2

b=t1

.

15

-

a2

-

c2

=

172

-

152

+

c2 = 64

Hallamos las razones trigonométricas de

seno=f=fr

+

. .

EJEMPLO 8 ARGUMENTA AFIRMACIOhIES

deP=cscA+cotA.

En el ejemplo 8: Si ahora el triángulo ABc es recto en c, siendo cos A = 0,83, ¿se podría hallar el valor de P? lustifica tu respuesta.

^ c

:9

sí.cose=!=4 6( b=5yc=6 u1=62-52nu=Jll p

f E

o o o

=

+ -ÉJrr -L /il

. .

Graficamos y hallamos el lado desconocido aplicando Pitágoras:

-

c2

-

a2

=

52

-

42

-

a2

+

=9

€ E

. EJEMPLO 9

a

En un triángulo rectángulo BAC. recto en A, calcula el valor de (sen B + sen C)2 + (cos C - cos B)2.

e p € €

.

(

o

c

C

a

=

4Éf)

=

§

E

Graficamos y reemplazamos en la expresión dada:

(,. i)' * é - t)' = rl(*)' . efl

AC

- AB = 10O cm

.Que haces con tus ar'nigos en tu trempo libre?

4

E=il;;;;;e)?

P=cscA+cotA+P=

B

p

+

Un topógrafo ha realizado las mediciones correspondientes de los ángulos de un terreno como se muestra en el croquis. ¿Cuál es el valor de la expresión

=,rr

¡

6O2

100) = 360 cm

EJEMPLO 12

b=5

Reemplazamos en la expresión dada y hallamos el resultado:

+

5

c

a=3

AH=3ft=3(20)=60cm

Hallamos AC aplicando Pitágoras: AC2 = 802 + Calculamos el perímetro: 2(80

C

H

4

Expresamos cos A = 0,8 como una fracción: cos A = m

a2 = b2

.

@ 8

80cm+80cm-

El perímetro de la cara frontal de la carpa mide 360 cm.

En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, cos A = 0,8. Calcula el valor

v

Emprende creativamente. (Se compromete con el trabajo en equipo).

Expresamos tan C = 0,75 como una fracción y hallamos el perímetro:

HC=80+4k=80+k=20

=f

"'""=f

Graficamos e[ triángulo isósceles ABC, y trazamos la altura AH con respecto a la base: BH = HC = 80 cm.

"". =#=1=*É

tanc=f;=ft

,"""=f=l{

"otc=á=1sl

.

=8


"o."=f=.lf

ts

c

Sé

EJEMPLO 11

ABC del margen.

C

t.

hiP

EJEMPLO 7

N N @ j

u D

o

a=

Relacionamos los datos del gráfico y reemplazamos en la expresión dada:

P=+ #,** #=2.+=1

Las razones trigonométricas del ángulo agudo o, tomando como referencla el tr¡ángulo rectángulo del margen, son:

ód

'

EJEMPLO 1O

45) =,

P

Simbolizamos por x a los segmentos iguales de la base y resolvemos:

tano=*

I e

.

s

§

3 o

o

=

.f f * (

tuno=*

/ld

. +)t 4)

El valor de E es

='g;q6

"oto=f; :{EÁbM =

i

|.

C _q

c a

166

UNIDAD

4 Trgonometria

167

LIBRO DE ACTIV¡DADES

Razones inversas ¡

gonométricas r

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ANGULOS AGUDOS.

ff

oesannornrus

cAPACTDADES

Observa el siguiente gráfico. Escribe V si es verdadero o F si es falso.

comun¡ca:

O

El valor de o

es

oJT +

HallaM =a'

!l

secC+csc

csc B

-c'

Capacidades y desempeños prec¡sados . ldentifica la razón trigonométrica inversa de una razón dada Comunica

c

tan C.

,,t

Usa estrategias y procedimientos

b2

= ri i

+ft

2 i f=ro*¡r=¡n ¡/,=+

M

(-.L ILl -L =tL= -,.. =,¡. hltl,lrh l¡

Luego:M=á=4 F.

@ Calcula R =

sen2

A+

sen2

B+

sen2

C.

T

En un triríngulo recLángulo ACB recto en C, AB = y AC = 2. Calcula el seno del mayor ángulo.

riT2

/

3 I

Grafictrnros y aplicamos Pitiigoras: v'i 2 )r = (z): + (a):

333

,/t-l=1,'5 (=v€=2y'2 2

iingu lo:

B

C

,Jt

('

@

el

valor de 8

BC

O

Sea

ñ

Y.

3[

p=71

+1,

\v7l

111 \.1,

=

2 m

I

I

I

00Á

.,-lf

300m B' 300m C' 300m

D'

lallrmo. la¡ ocntlicrttes:

li-.r,;=

A'B'+ Il'C'+ C'D'= l00k + l(X)k + l(X)k =900 +

Además:

lil,r ),S,,

=,,,=,ó,,

900 k=l

hs=4k+2=4(3)+2 = l2+2=

I I !

€

Calculanros las alturas: '/1

C

ih,

hB

ruru=-lri .',j,,.,,,,,

4

tl

Aproveche el triángulo inicial para solicitarles que determinen las razones trigonométricas de los ángulos de 37'y 53"; pida que establezcan regular¡dades (sen 37" = cos 53o; cos 37o = sen 53oi tan 37'= cot 53", etc.). Pida una conclusión. (La razón trigonométrica de un ángulo agudo es igual a su co-razón). Refuerce con el inicio de la página 170. Plantee que hallen las co-razones de: sen 20" (cos 70'); cos ¡13 (sen c/6); tan 3x (cot (90" - 3x)).

l00k

4¿ r00t

lj

bt=Í-\y'?):+á=l

!

D ?k

C

halla el valor P = 7cot2 C . sec C.

Gralicam()s cl tr¡án!:olo rcct¿'ingulo y resolvcrnos:

lnvítelos a revisar el desarrollo del ejemplo 13. Hágales notar que el seno y la cosecante son recÍprocos porque su producto es 1, por eso, se igualan los ángulos. En el ejemplo 14, destaque que el producto de dos razones inversas es la unidad y pida que indiquen en qué casos se aplica esta propiedad; asimismo, pregunte: ¿Qué pasó con la sec (y + 22")? (Se transformó en l/cos (y + 22") por la propiedad sec p = 1/cos B). En el ejemplo 15, promueva el análisis en los estud¡antes planteando la siguiente interrogante: ¿Qué otra estrategia se pudo emplear para hallar a? (Se observa en la primera expresión que la diferencia de los cosenos es cero. Para que ocurra esto, los ángulos deben medir igual y esto permitió hallar o).

Se muestra un croquis de la instalación de tuberías de desagüe, en el cual el buzón A se encuentra a

el triángulo rectángulo BAC recto en A. Si

cos B = 4

Para desarrollar

respectivamente.

ll¡lllrnos cl ralor tlc r ir¡rlicirnrkr Pitiironr:: , =l/- X +, =lr Ilcertplazantos rrlotc. er lu crpre:irin drcla: x x x s .,1¡l/ ,I _\tlrr.,lS =\,.,=,.

14nr

hr.= 7k + I = 7(l) + I = ll + 2 = l-l rn hD = 9k + I = 9(..¡) + 2 = 27 + 2 = 2() ¡t l'ol lo tilnto; hB + h(. + hD = 14 + 2-l + f9 =

§ (16 nr

Presénteles empleando un papelógrafo el triángulo rectángulo de 53" y 37o, con todos sus elementos; solicÍteles que determinen las razones trigonométricas del menor ángulo. Luego, pida que analicen los resultados obtenidos y que establezcan regularidades. Previamente, recuérdeles que dos números son reciprocos (o inversos) si, al multiplicarlos, su producto resulta la unidad. Pida que identifiquen qué razones trigonométricas son recíprocas (seno y cosecante; coseno y secante; tangente y cotangente). Señale que los ángulos tienen la misma medida. Refuerce lo trabajado, planteando las siguientes s¡tuac¡ones: Calculen el recíproco del sen 30" (csc 30'); cos 50" (sec 40"); tan (x + 3") (cot (x + 3')); sen xo (csc x') y cos 2x" (sec 2x").

I

2 m de la superficie. Calcula la suma de las alturas a la que se encuentran los buzones instalados en B, C y D sabiendo que las pendientes de o, $ y 0 de las tuberías AB , BC y CD son 47o ,3Vo y ZVo ,

7

F=aGen0'ta¡Orec0

l

¡ ,',,-f:,t= !-*lr!=1 R=r L,+t '.rr5 " '.,.10J '.lrlr I0 5 I 5

A= zJi _-

El Observa el gráfico y calcula

+

Por Pitrirrrrrr:.r -.t. l¡); v =.11 j1 ; =.11 Hallanros el valor de R:

Calculamos el seno del mayor

sen

Resuelve ejercicios sobre razones trigonométr¡cas inversas y de ángulos complementar¡os, (11-17)

Para iniciar

I

l,

Resuelve.

(

y de ángulos complementar¡os. (1-10)

.

Sugerencias didácticas

de la conclicitin

Hallamos M:

GlsenB+senC+tanB=2

@

Libro de actividades (págs. 168-170)

Ab Aplicamos Pitágorns:

=+-#

s=J1

Usa estrate8as y procedimientos: ó-11

ft.

f)senB=cosC=tanB=f Ettanc=cotB

1-5

f,) En el gráfico se cumple que: a2 sen B'sen C tan B = 16.

b

l6

1ó8

tri

N N @ j

d i

:9 5 E

ó o o =

Para consolidar

p

I

c o c

a o

I

Consolide indicando que dos razones trigonométricas son recíprocas si sus ángulos presentan la misma medida y su producto es 1; asimismo, que dos co-razones son ¡guales si sus ángulos son complementarios. Para consolidar sus aprendizajes, proponga la siguiente situación: E/ perímetro de un triángulo rectángulo es 360 cm. Si la tangente de uno de g R Ánfl ina an rlnc oc 2 I ; rt Ántn mirlo ol aatatn mavnr? /fiilirlo I lrl nm'\

_o

a

§ c a (oJ

4

L¡BRO DE ACTIVIDADES

RAzoNES TRrcoNoMÉTRrcAS DE ANGULoS AGUDos

a

¡

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS

Razones trigonométricas inversas En

Razones tritonométricas de ángulos complementarios

el triángulo ABC, observa las razones trigonométricas de o: C sen cl

(I

cos

tan (r

al

C

a

b

b

C

Los ángulos en un tr¡ángulo rectángulo suma 90o. Observa los s¡guiente: COt

C¿

sec

C

RAZÓN

o

BCA

c0sen0

Razones inversas

Para un mismo ángulo agudq el producto de dos razones trigonométr¡cas inversas es jgual a Es

1

EJEMPLO 13 Si sen(2r

.

- 4') . csc(h - 19') =

1, .u¡.u¡u

"l

-

4" ='7x

-

190

+

5x

-

15'

+¡

l,

v

a

cotanSente

C

a

a

Calcula 2ys

.

8')'

b C

a

cosecante

b

bC

.

¿es verdad que

.

lustif¡ca tu respuesta.

sec (2y

- l0')'

c-os Cv

+

22')'

cot (3'r +

sen 17"

8')

= csc 17"

8') '

sec (2-v

-

10")

-

l0') = |

cos O + 22"') . cot (3r + 8")

sen l7o .csc 17" cos () + 22') ' sec (2y

=l

Igualamos los ángulos y resolvemos:

y + 22" = 2y

- l0' +

y = 32'

+

2y =

$!'

(f*zcr) "o.

*. (?

a

f

E

E o L

c § ,F c a

o

.

a o

F

85"

V

cot11"=tan89'

F

- "o. (J5. :")

.

-

a=

cos (9ü

tan o = cot

(9oo

-

-

a)

a)-

seco = csclgcrp- d).

l'

-

-

¡-

13'

12' = 4(13')

-

12' = 40

12' es 40".

+ 13")

deE = 2 sen

. sec (3y + 7")

2, . csc ({)+

*,

=

t, #áffi

= I, determina el valor

or.

Formamos un sistema de ecuaciones de las dos ecuaciones dadas: sen (2-t + l3')'sec (3y +7") = 1 sen (2¡ + 13') = cos (3y +7")

+

2x+13" +3y+'7' =90"+ L1c+3y=7Oo ...@ tan lx + l5') = I + tan (x+ l5') - cot (21, + 30")

. .

M

=o

Triángu¡o de

30' y ó0':

r + 15" + 2y + 30" = 90" +.r+ De O y @ obtenemos:

r=

¡ = 5"; E = 2 sen 2(5.) . csc

)

Reemplazamos

2y

= 45" ...

@

5"; y = ZO'

= 20o en la expresión E:

(+) . r"" 6 (5") = Zsen 10o . csc l0o + sen 30o

E=2 r +J=! z1 El valor de E es I. ¿

2k

k

=cos (1#.r")

* zo) . ,"" (Jfi. :") = r

2!+zo=24+3o-o=I 5JUÓ

P

50.

TEN EN CUENTA

=lrrl3

Sec

28'= csc 62'

tan 71" = cot '19' sen ó5' = cos 25"

> MN = 2.516 m

7l'.4

sec,2=8='.Jan cos 25' Simotifica r, sen 65o ' 6 csc 62' . cot 19' Reemplazamos su razón del ángulo complementario y resolvemos:

_J

Reemplazamos en el gráfico y calculamos MN:

MQ= 2k =50+k=25. Luego.MN

I

EJEMPLO 18 N

Si QM = PQ = 50, A PQM es isósceles: mfúq = mQftN = :O' Observamos que se forma un triángulo rectángulo MQN notable:

._¡

@

+ zo)

ó7"

tan 23'= csc

RECI,,ERDA

y PQ = QM, calcula MN. . Determinamos el valor de cr, de la condición dada:

ci

p

cos(f

Si sen (2t

sen 12'= cos 78" V

=f +

sen

ffi

EJEMPLO 15

sr

EJEMPLO 17

sec 5" = csc

d=*ycsc(9Cn- c)

Calculamos 1o que nos piden: 4x

CALCULO MENfAt

' .

f

- c) = f, y cot (90 - c) = f+

5x-40" + 9l'-Zr= 90" + 3x= 39+

¿Cuáles son verdaderas?

. .

sec

y cos (10

I 2" si tan (5¡ - 40") = cot (9 - 2r). Observamos que la tangente es igual a la cotangente, entonces la suma de los ángulos es 90o:

El valor de 4¡

No es verdad, porque se cumple solo para ángulos iguales.

¡¿n 6r =

f,

EJEMPLO 1ó Calcula el valor de 4x

Simplificamos la condición dada: tan (3r +

a

tan.r.coty = 1?

EJEMPLO 14

5s¡ c =

En un triángulo rectángulq el seno de un ángulo cr es igual al coseno de su ángulo complementario (90p - (}). Lo mismo se cumple entre la tangente y la cotangente, y entre la secante y la cosecante de dichos ángulos.

Sitanr.cotr=1,

= 3"

Luego: 3x + 5' = 3(3') + 5' = 14'

tan (3r +

secante

b

Y

los ángulos son iguales.

. . .

C

tangente

ARGUMENTA AFIRMACIONES

valor de 3¡ + 5o.

Si las razones son inversas y el producto es 2x

€

a

-a b

a b

C

b

decir:

o Sen(r.cscc=1 . coso,.sec(r=1 . tand.cot(r=1

N N @ j

E

b

a

t_J

o

C

C

sen0

b

a)

9CP

CSC CI,

a

a

(90"

0

.

3 csc 62''tan 71"'4 sen 65" sen 65o . 6 csc 62" .tan

71" =3.4 6 =,t-

s !

E

El valor de M es 2. @

UNIDAD

4

Tr

gonometria

169

170

LIBRO DE ACTIVIDADES

Razones tri gonométricas de án ulos notables RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS

ff

orsannou-afus

Escribe V si

cAPACIDADES

verdadero o F si

es

comunica:

@ sisec

falso,

es

$ senx=cscy+r+y=90o 8cos.'5ss¿= t+w=z @tan27" 12'=cot52'48' @ csc¡'sen23''sen¡= sen 23o O cot 13' 'csc32" =tan77'

ü)

.fl

+ l08B - 6n.

halla el valor de R = 244

Comunica

De las ecrt¿Lcioncs tladas:

Luego. R =

rl'

@ tan

f*r

@

sen

(2r +

I

.or

E' - r*

(l

-

+ 3y

y2

-

cot

54i

(¡-)+

8') =

20) = g6s flo" '

s,.r-l

sec

+ l0') =

tan

(5'-

-rrr+2p-

-

@

-r-l,l

3x + 5y) =

-

4' 3.t=-r 20"+4r=24'+.t=6' Nos pitlen: .lr = 3(6') = lll'

@ Si tan (x + 27' ) =

I

cor (Lr

24'

@

I

Proponga que revisen la tabla donde se presentan las razones trigonométricas. Explíqueles que si en el denominador de una fracción hay una raÍz se debe racionalizar. Evidencie que el procedimiento de la racionalización se empleó para hallar la tangente y la secante de 30'.

Sitan(9'-20)-cot

(7" +4P,)

Para desarrollar

=0yAD=CD,

I

En el ejemplo 19, hágales notar que se emplearán las relaciones establecidas en el triángulo rectángulo de 53" y 37" y que para resolver el problema solo se necesita conocer los catetos del triángulo porque se pide calcular la tangente. En el ejemplo 22, destaque que se inició a partir del triángulo de74" y 16", para luego aplicar el de 53" y 37'. Para reforzar sus aprend¡zajes, invitelos a desarrollar la sección "Razona y argumenta".

I

En la actividad 8, hágales ver que deben establecer triángulos rectángulos. (Sugiera que tracen una altura desde el vértice B); asimismo, indique que deben iniciar la resolución a partir del triángulo rectángulo del que se conoce la medida de uno de sus lados. Para la actividad 9, indague qué actividad se puede tomar como modelo (la actividad 6). It/ientras que en las actividades 10 y 11, sugiera que primero determinen las medidas de los ángulos; después de ello, recién deben establecer las medidas de los lados del triángulo en función de las relaciones métricas de los triángulos notables.

Analizamos la ecuación y hallamos p: tan (9" - 20) = cot (7' + 4p)

9"-zp+7'+4p=90' F=37'

Hallamos el valor de ¡: Observamos quc tl AAtX' e-s isrisce les: AD = CD nr('ÁD = ¡nAe ll = f 7'+

lff= 16l'

l6l'.

lB Determina el valor de Q =|he'1 + e I cos (20 + 3)2 sec (15 - 20)2 = 1.

p

Por razones inversrs: (2(l + 3)r = ( l5 .l0r + 120 + 9 = 225 - 60t) + 40r

120+60e=125-9+0=3'

Reentplazanros en la expresirin tladr:

e=Jzr:t,*3---4

t0

nru(''D = l(r"

En el triárrgub rectingulo CBI):

,'1

\/

Bl) - 7( -

si

71

1l

1)

='l'= )

l5t

=

l0

+

5.r, rrr

FI vakrr rlc t es 5.(r m.

-

20)r

Selecclona la estrategia más conveniente para resolver problemas que involucran razones trigonométricas de ángulos notables. (1-3; 6-11 )

Compruebe si han comprendido la lectura inicial a partir de las siguientes interrogantes: ¿Qué características observas en los triángulos? (Se conocen las relaciones de sus lados). ¿Por qué las medidas de los lados están multipl¡cados por k? (Debido a que la medida de sus lados presenta una proporcionalidad).

(A+ C) = cot l0o. CalculaA + B + C.

halla el valor de x.

). determina el valor

ó I

.

Expresa las propiedades de un triángulo rectángulo notable usando terminologías, reglas y convenciones matemáticas. (1-5)

[-rrcgo.A+B+( =9(r.

Por rrzo¡es rle ángulos corrrplenrcntarios: t+ 27' + 1r - 24' = 90" + 3r= 87o + r = 29' Recnrplazanros eu lr expresi(rn dacla:

P=5.r+ l6o=5(29")+

.

I

C

-

de

ángulos notables. (4)

Para iniciar

li'.

deP=5¡+ t6'.

El valorde l)es

ffil - o: = +r

A B+70'=90'+A B =10"..{l l('+ B 10"=('+ltl+.1{)'+C. Il=-10" A+ (l+ l0' =90" + A+ C= 1t0" ... 3 D(, 1) 3:('+ll=60'... + Dc 3 l 4 : ('--50'.A- -i{)" ¡ l3 = 10"

l.

Libro de actividades (págs . 172-174\

Sugerencias didácticas

Dc liis cctraciones:

20") =

40) ¡

:,

-

Si hs razones son inlers¡s cntre sí y el producto es l. los ángulos son igualcs:

El vrlor de J.r es

Usa estrategias y procedimientos

Sean las ecuaciones: sen (A - B) = 665 16", 10")' cos (C + 28 + 30') = I y sec (2C + B

tan 1

fs¡-- I + I I

3-x) . csc (x

+ losf

I

1

Resuelve.

Halla 3.r si sen (4'

]li +l

Texto escolar (pá9.

Capacidades y desempeños prec¡sados . Plantea conjeturas respecto a las razones trigonoméficas Argumenta afirmaciones

!l

csc 24" 23' 6" = sec l-65' t6'

a

=,,

Complet¿ para que se cumplan las igualdades.

O

I 3 a

(n B*#) =,,

sec(cr+28

1=« fi+fr +¡r11lfl=+ sen (5« + li + $l = co- {,, + :li + {l srr + [t + + « + 2[i + - { + lc + li = ] { $ l)r'r)?:rr=--ay¡i=1fi

@ cot

I

usa estrategnsy procedimientos:11-17

(:a+20-f)'cos

(s
tr M tr tr tr

1.10

T

@

SimprincaE=*2$*;#*ffi Tmsfomamos

a sus valores ec¡uivalentes

tl3'- l0 cos3l" 3cot38" 4csc83" 12El v¡lor de E es !. f) 2 cot

3tl'

cos

3l'

5 csc

y simplitrcamos:

5

6

UNIDAD

4

Trgonometría

111

N N @

_)

d pi

,

E o o E l

p !

Para consolidar

=o

t

@

Resalte que los triángulos rectángulos notables nos permitirán determinar el valor numérico de algunas razones trigonométricas; asimismo, indique que no es necesario memorizar dichos valores, bastará con recordar las* relaciones de las medidas de los lados en los triángulos rectángulos

L

o c

s.F c

@

6

TEXTO ESCOLAR

LIBRO DE ACTIVIDADES

.

RAZoNES TRIcoNoMÉTRICAS DE ÁNGULoS NoTABLES

Razones trigonométricas de ángulos notables

B

Inlal actual dad,paraol]tenere valordcunar-¿rzontrBonorltetr r.ralrJttrr da(io, siritplent0nte sc ul¡lrza una c¡lculJdora cn a (tr.r¿ll srl introdLrce el valor del árrgulo y se evalúa la relación trgonomótrica requelda. tos ¿lnSulos nota[]les ayudalr en aque¡las aplrcacroncs de la crenca e[ qLre se reclrieren valores exactos.

de

Lrn áng.rLo

Razones triSonométr¡cas de 30", ó0', 45',

I

IMPORTANTE

Tfiángulo 30'y ó0'

ll

\

37'y 53'

Razones tr¡gonométr¡cas de 30', 60', 45', 37" y 53'

cornp eta la tabla de las razones Íigonométricas de 37'y 53'.

observa la medida de los ángulos y la relación entre los lados de estos tr ángu os. rr¡ángulo de 30. y ó0"

Tr¡ángulo

37'y

53"

sen

-#

F

5k

tk

3k

k c0s

_l

u5k

estos pares de ángulos son

tk

4k

Halla el valor numérico de M = 8 sen 30" + 3 tan 45"

.

-

4 csc 53'

,

= t(+) + 3(r) -4(;) =4 + 3 -

5

=2 +M

=Z

)

csc

.L

Razones tr¡gonométr¡cas de 1 5', 75" , 8", 82" , 16" y 7 4" Tr¡án8ulo 15" y 75"

Triángulo

Iiqq9l9ly4

8'y 82'

4l3l sl5l ¡l¿l 4l3l ,lrl slal

t 5I 1"".1 1*-14l3

Reemplazamos en la expresión los valores de las razones y resolvemos:

_

!5

tt

I

EJEMPLO 5

complementarios.

5 3

(L

5

)

!2)k

7k

.

I

N @ j

-

24 cot74

.

fl

l

=zo(6ra).r(+) -^(*)

=

st+ - srD + s\o -7

= s\r6

-7

oesannou-lrus

cAPACTDADES

Us

estrategias y proced¡mientos:

1-3

Argumenta aftrmaciones: 4 a

o o o

Halla el valor numérico de las siguientes expresiones

-

¡¡

p p

B

-o

&

f!

@

A = 4 cos

6Oo

B = 4 csc 53' C = 24116 sec

-

-

3 cot 37" +

rá

sec

45"

7(^/6 + re,) tan 15"

-

Analiza el gráfico y resuelve.

c

a

1 2

2

ó0.

.3

1

2

2

45"

r'2

t'2

tan

cot

sec

csc

'33

\)-

2r3

2

-

3

,a

2t3

2

3

11

T

2

3

r2

r2

B

.V

|0/,

-1l,

Simbolizamos en el gráfico según los datos:

BC = 3ft, CD = 4k y BD = 5k. Por dato: AD = 2BD = lOk Calculamos lo que nos piden: tan

,,

,O

r"nf?i,

16'+ 40 cos 75o + 2 csc 8' .rs,'ii

,,

@ ¿Es posible calcular el valor del lado AB? Si es así, ¿cuál es el valor del lado? Síes posible:25,46

cm

O.

E

I

EJEMPLO 20 Observa la figura y calcula cot

.

A = cos 45' . sen 30" I = csc 30' + sen 45'

u=

*--3+Tf=

#=+

c = csc2 as'-

sec2 ó0"

3!5 _T

§ H

la hipotenusa mide 8 cm. Entonces, CP = 4 cm y BP = 416 cm.

cm

\ 112

'

Calculamos:

*,

"

=

ۃ

=+ =+

8

B


Prolongamos el lado AB para formar un triágulo rectángulo de 30" y 60":

lr 3 cr¡

l5(I' P

. EnelNBPC(30"y60"),

lcatculae*a*c.

@

40

USA ESTRATEGIAS

Y PROCEDIMIENTOS S

s

c

@

30.

\J

Páds.172-174

:9

§

cos

El valor de tan e = a. l4

ci

!

sen

Observamos que el triángulo rectángulo BCD es notable de 37' y 53':

Reemplazamos en la expresión los valores de las razones y resolvemos

N

razón

Calcula tan 0.

7k

l'* AIB

Calcula el valor numérico de N = 20 cos 75o + 7 sec 8"

.

4k

EJEMPLo 1e

EJEMPLO

,rÜ*

¡k

Con ayuda de los triángulos anter¡ores, completamos la tabla referida a las razones trigonométricas de los ángulos de 30', ó0'y 45'.

sy'2 k

l@

+

.3k

3'7"

En el gráfico AD = 2BD.

4k

(!6

¡k

,5i

4

l

5k

J2k

tk

5

(

E

Triángulo de 37o y 53'

Triángulo de 45o y 45o

37.

l

Triángulo 45" y 45"

CÁLCULo MENTAL

AlSunas razones

trigonornétricas del ángulo de 30' son iguales a otras razones triSonométricas del ángulo de 60'. Lo mismo sucede con las R. I de 37' y 53'. Ello se debe a que

Razones trigonométr¡cas de ángulos notables

4r5

Bt 2t3

cnr

\o

30"

a cm

4cm 8

cm 60'f

C

p I I

t50"

§ a o

L¡BRO DE ACT¡VIDADES

RAZONES IRIGONOMÉTRICAS

Razones tr¡gonométricas de 15',75",

8',82", 16' y 7 4'

lln

Triángulo de 80 y 82o

de

4k

B

(tG +

sen

cos

cot

tan

_t

| "/6 -,/2 --T-

nG

,|

8.

7

5tl

-

824

8'

tan

y 82'

sec

csc

+r2

7

f

7

1l saZ

4

?+s"2

1

s,/2

5\/2

7 I

Escribe V si

1

21

25

15

24 25

7 25

7 24

24

7

E

24

7

Resuelve.

a

2t

25

25

@ (cot 82' +

ángulos

'

25

Luego, tan e +

""t

o=

+

ffi ffi

=

a

csc

1^

I

80

= SO^D. +

s\/1k

C & = l0

N

lftB

80

ts

e

.

E

. * 0

Si M es punto medio de

Calculamos cot 0 en el

cot0=

(r+

cos

(c+ l0) = (#)t

y'sc.rr

3(r',. c'u 60"

_23

24k

t2

halla el valor de

DTKM

39Á

l9l

cot 8o

_+ _)4.1 -r__'n+': l: ll .(,-.1 r6,rl -'5 1...r_7 I 1 '"'-l-l 5rl 1rr rl

4

'¡-'l 1 r, r6-J

_

'/

lE En el gráfico, calcula AB

si CD =

49rO m.

B

s,l

24 k.

9 8

C

1kt

D

Conrplelanxls el gráfico y resolvcmos: En cl triingulo rectángulo BDC (li') lil"):

CD=7kr =19i7+k¡'ll?" lll) = I (r=7r/2

= sen245o y

En cl

riringulo rtctángulo BDAf

l6'y 7-l')

+Á,=.[ = 25 l. - l-5r l

BD=7 k.=7J2 AII

l,ucgo. AI] =

(«+ l0)={+
2-5/l

nr

20" de forma triangular. Si quiere construir un muro PQ dentro del terreno como muestra [a figura, calcula la longitud que tendría el muro.

=/;1

+

¡

r

=

^E

=+

C

B

\

zOG+

+11

cambiaría por 75'? lustifica tu respuesta.

Para C

l5'-

N @

"E)m

)

6(I',

Truamos la altura BH para fomar riánguhs trotables: En el triángulo rectángulo AHB(30'y 60"): AB = 2\. AH = .r y BH =.rll

Paru74':fi= t,ez BDC:

csc

75':

I-.rr

1.869

Perr. AC =

1.92- 1,869=0,051 4

Tf

gonometrla

cl triilnguk)

('tlB

(-15'):

+t

(irrnpletrnros el gráfic0 ¡- resolvemos: En el triringulo rcctiingulo CBQ ( l5' y 75"): BC = Il(\6 +,a:l= (r/a + /a),(r + Ár= 8 CQ =.1Ár = 4(8) = 12 En el triángulo rcctángrrlo CPQ (45'):

B

cQ =

2,r'

llH=(ll=.\v'3

La cot 0 variaría en:

UNIDAD

ci

BQ

Áe, entonces

N

- co¡74"'

@ Un agricultor tiene cercado un terreno

¿En cuánto variaria la cot o del ejemplo 22 si el ángulo de 74' se C

cos 8o ' sec 82o

_fl _ I ll.r'() (^ =-1

(c + 0)

sen

-

v

BDM (16" y'14"):

46k

l0')

de:

l6'

+t+l 2+-l+l

.t+.1

(a +

1

l6'+tan75o sec 15"-4cot74' )\

53' + 5 sen 37'

El Observa el gráfico y ARGUMENTA AFIRMACIONES

AM=MC=39t

I

Sean las ecuaciones: sen

B=

Si BD = 24k, entonces AD = 32k.

E

-'

L4

B-,/scrr l{I +4u r c..r:tL+,1r)

ff.

. EneINBDA(37'y 53"):

§

fil 2

ó-1

Reerrr¡rlazanros valorcs:

v

Reenr¡rlazanros en B:

AD = 7k =7(10) =7O

Si DM = 7k, entonces BD = 24t. j

-

tr

|

15'=

sec 6O' + 4 cot

sen C

EJEMPLO 22

En el

=

--/1-?) . r'r't+: t+l+i i.¿.f.s.l I 4'- 5

5\2

A partir de la figura, calcula cot 0 si M es punto medio de AC-.

.

5A

t"l

De las ecuaciones dad¿rs:

B y

'

sen

Reemplazamos los valores de las razones trigonornétricas de los ángulos notables:

25

sort

= l0

sec 8o)

sen 75") + sec

sen

margen.

E| Determina el valor numérico

cos (0 + 5") = sen 45". Calcula el valor de

En el triángulo ADB del margen hallamos k: 5tO * Reemplazamos y resolvemos: DB = ft

(csc75"

-

A

Realizamos los trazos auxiliares en el

F si es falso.

i

0

Con un teodolito se midieron los de un terreno, como muestra el gráfico. Calcula el valor de tan 0 + cot 0.

verdadem o

El Calcula el valor numérico de: o J3 cot 30" + 5 cos 53' + cot 45" + csc 30'

-T

24

es

Comuniü: 1-5 usa estrate8ias y proced¡mientos:

Otan4s" +sen30+2=l E)cos260. +sec237.-t=l Gt cos 53' csc 16" cos 74' = I5!

740

7

J!t

DESARROLLA TUS CAPACIDADES

160

2l

EJEMPLO

. .

t-

16 +lz -A | ---T 'Et/6+12 16-'/2 vó+vz 'lZ - ro 4 I 4 ,Gt,Dl,/6_JrlJ6+l2 l,tZ-!ZI 4 | 4 tG-Tzl,r6*'D.t'G-JZ 1J6+A

15.

.

sen

c0t

fazon

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ANGULOS NOTABLES

B

Completa la tabla de ias razones trigonométricas de 16y 74'.

24k

7k

Completamos la tabla referida a las razones tr¡gonométricas de los ángulos de '15', 75', con ayuda de los triángulos anteriores.

a

y 74o

7k

I

"D\u

160

25k

lk

I

.

'

CÁLCULo MENTAL

Observa la relacrón entre los lados de otros tr ángulos notables:

TriánBulo de 15" y 75'

DE ÁNGULOS NOTABLES

Atl

173

174

',2

t.+

A.=

+l

C

ó I

La longitrd del nruro nride 2f.63 m.

pl o o o

p

l

I

p

l6r'l

PQ=r.= l6t/?=22.63

+ HC

¡--]11=.¡a.11,.1 +r=l

32 =

¿ :9

-I

,-, P

s 0

L

a c

§

c o a (o

4

TEXTO ESCOLAR

Resolución de triángulos rectángulos ITexto

escolar (pág

41) a Librodeactividades

(págs, 175-177)

Resolución de triángulos rectángulos

Capacidades y desempeños precisados . Expresa los lados de un triángulo en función de la longitud de otro de sus lados y larazón trigonométrica de uno de sus ángulos,

Ir/odela objetos

(13-14)

Comunica Usa estrategias y procedimientos

. .

lnterpreta representaciones gráficas y notaciones matemáticas (1.4 y 1-5)

Resoluc¡ón de triángulos rectángulos

Resuelve triángulos rectángulos conociendo las medidas de dos de sus lados, de un lado y un ángulo. (5-B y 6-12)

A partir de dos Lados conocidos o un lado y un ángulo agudo de un triángulo rectángulo se hallan las medidas de sus dos ángulos agudos y la de sus tres lados.

CALCULADORA l.la a[ros el ár]gu o (» con l¿ ca clr adora

Su

9HIFI

gerencias d idácticas

I

Calcula mfi. y mF si

lñ1tEn la pantalla

Para iniciar

I

EJEMPLO 7

THII

. .

¿p:rece

59.036¿9lt{'1

Proponga que construyan un triángulo rectángulo con las siguientes caracterÍsticas: uno de sus ángulos agudos debe medir 23" y que sus catetos midan 5 cmy 12 cm, Luego, pida que determinen sus demás elementos. Explíqueles que han realizado la resolución de un triángulo rectángulo que consiste en determinar la medida de sus dos ángulos agudos y las longitudes de sus tres lados. Enfatice que para resolver cualquier triángulo se necesitan conocer tres de sus elementos y para un triángulo rectángulo bastará conocer dos, porque el ángulo recto es un dato implÍcito.

EntonCCs,0

-

N

)ci

@

¿

I !

l

o o o 1

p

€ o c q

§c c

Para las actividades de la 1 a la 9, sugiera que empleen la misma estrategia utilizada en el ejemplo 26. Pregunte: ¿Con cuál ejemplo se puede asociar la actividad 10?(Con el ejemplo 23, pues se conoce la medida de sus catetos). ¿La estrategia de qué ejemplo te ayudaría en las actividades 1 1 y 12? (La del ejemplo 26, porque se tiene como dato uno de los ángulos y la longitud de uno de los catetos). Haga notar la necesidad de hacer trazos auxiliares para resolver algunos problemas como en la actividad 13. (Se hará un trazo auxiliar que pase por el punto G, y de esa manera podrán generar triángulos rectángulos que pueden resolverlos para poder calcular la longitud de un lado del cuadrado). En la actividad 14, resalte que la longitud de AC estará en función de las tres variables, por lo que no es necesario calcular sus valores; para ello, deben establecer una expresión que relacione las fes variables, Mencióneles que, en este caso, también deben realizar un trazo auxiliar (la altura).

Para consolidar

I

Destaque que para resolver un triángulo rectángulo debemos conocer como mÍnimo dos elementos más. (Que recuerden que ya se conoce el ángulo recto). Pregunle: ¿Se podrá resolver un tilángdo rectángulo si se conocen cn/n cr rc Ann iln<2 IN¡ oq ncecsario ot tÉ | tno de los datos sea no anoular).

-

R

=59.04'

l0 cm

59,04" = 30,96"

R 6cm

-,U9IL.!'19.!,,

Q

Angulo de elevac¡ón y de depres¡ón

*

son ángulos formados por la línea horizontal y la línea de mira. En el de elevación el punto observado está por encima de la horizontal y en el de depres¡ón está por debajo.

-,

EJEMPLO

8 _

Desde un punto del suelo se observa una cometa atascada en la rama más alta de un iírbol. Si la cuerda que la sostiene mide 20 m y forma un ángulo de 40' con el suelo. calcula la altura del árbol.

Donde:

0 es el án8ulo de elevación.

.

p es el ángulo de depresión.

Sea h la altura del árbol:

sen40'=I-h=20sen40" ¿l)

Para desarrollar

I

=P* ó

Determinamos el ángulo P: P = 90'

59,04"

q9-"

Asegúrese que todos los estudiantes cuenten con una calculadora científica. Enséñele a calcular los ángulos sabiendo el valor de las razones trigonométricas. Para complementar, solicite que revisen la sección "lmportante", donde se dan las pautas para el uso de la calculadora.

se conocen sus dos catetos.

Calculamosel ángulo R: tun R

.

20

Resolvemos con ayuda de la calculadora: h = 20 sen

40' = 12,85575219...

La altura del árbol es 12,86. Págs.176-180

ffi

orsannou-nrus

cAPACTDADES

Comunica

Escribe V si es verdadero o F si es falso. j

§

! P

Il

NP = 20 . csc

62'

p

1¡;¡

!l |

l,tN = 20'cos 62' v

@

§

procedimientos: 5-8

Desde la pane más'alta de un faro de 30 m dé altura, una persona observa un automóvil con un ángulo de 28'. Halla la distancia entre el automóvil y la base del faro. 5(,.1 nr

@ Un topógrafo observa con

Resuelve. E

Usa estrate8ias y

@ Resuelve el triángulo rectángulo QRS si el cateto S mide 50". QR mide l2 m y el ángulo ()S : l§.r\a.lr. l(S - lorrT Q = -.lr)'

tr¡w = 20 . tan 62'(F)

ts ONP=20.sen62"(v)

1-4

Resuelve el triángulo rectángulo PQR si su hipotenusa mide l8 cm y un cateto l0 cm.

()R l.l.t)7(r)r:R

l.{-rs :P=5r'-15

un teodolito la cima de

un edificio con un ángulo de 36'. Si el teodolito mide 1,20 m y se encuentra a 50 m de la base del edificio, halla la altura del gdifisio. i7..s3 r»

UNIDAD

4 Trgonometria

41

LIBRO DE ACT¡VIDADES

RESOLUCIÓN DE TRIANGULOS RECTÁNGULOS

E

'

r

RESOTUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

Conocidos un lado y un ángulo

Resolución de triángulos rectángulos

EJEMPLO 2ó

CALCULADORA amos los catetos con la ca culadora: Hal

Resolver un triángulo rectángulo es hallar las medidas de sus dos ángulos agudos y las longitudes de sus tres lados, a partir de algunos elementos conocidos.

e5xslilt]

u=

En la pantal a aparece:

Conoc¡dos dos lados

Halla las medidas de los catetos del triángulo que la hipotenusa y un ángulo agudo.

.

16.069590¿t1

EJEMPLO 23 Resuelve el trirángulo rectíngulo ABC si su hipotenusa mide 20 m y un cateto,

.

l5 m.

Hallamos el cateto AB aplicando el teorema de Pitágoras: 0

Hallamos 0 con la calculadora (ver margen):

20m

Hallamos

a : a = 90' - 48.59" + o = 4l.4lo

.or ¿0,,=

OTRA FORMA

C

DE RESOLVER

El ladoAB mide 13,23 m, 0 = 48,590 y a = 41,41".

Calculamos la distancia

deN4aP:

'"""qro -- MP 12 1 =MP cos 52' 12 .a.

EJEMPLO 24 Resuelve el triángulo LMN del margen si se conocen sus dos catetos.

. .

t_

Calculamos la hipotenusa:

(LN)2=

t7z+92+

La hipotenusa mide 19,24 u,

-

62,1' =

BC = 25 cos 40"

+

BC = 19,15

16,07

C

Valora su cuerpo y asume un estilo de vida activo y saludable. (Desanolla sus capacidades físicas a través del.iuego, recreación y el deporte).

,9'

c = 27,9' y p -- 62,1".

V¡ve saludablemente

Hallamos la distancia entre M y N con ayuda de la calculadora: tun

-12-='tg.ts

¡¡p = cos 52"

17 u

27

AB =

En un momento de un partido de béisbol, tres jugadores M, N y P estuvieron en las posiciones que se muestra en el gráfico. ¿Cuál es la distancia que hay entre los jugadores M y N? ¿Y de M a P?

.

Hallamos el ángulo p, con la calculadora:

Hallamos e[ ángulo a: a = 90o

+

EJEMPLO 27

.

LN=r/370 =19,24u

tanB=l]-B=62.1' ,9 .

# -

sen 40o

AB = 25

Los catetos miden 16,07 cm y 19,15 cm, respectivamente

Entonces, o = 48,59" t5 m

-

25 cm

En a panta la aparece: r{8.s901'l'189

I B

Calculamos los catetos a partir de la hipotenusa y del ángulo agudo con ayuda de [a calculadora (ver margen).

,.n 46" = 4E

SITI

1E:rn-

si."ne=H*o=48,59" .

= 1ó,07 cm.

Hallarnos el ángu o con la calcu adora:

SHIFT

Rs = y'zo'z-t5'z = y't75 = 5J1 =13,2i m

.

Entonces, AB

CALCULADORA

se muestra, si se conocen

SZ'=

+ Yf t2

M

MN = 12 tan 52'= 15,36

Calculamos la distancia de M a P, aplicando el teorema de Pitágoras:

N

t2m

P

MP=,[tt +irs3af =9,a.s La distancia que hay entre los jugadores M y N es 15,36 jugadores M y Pes lt)..19 m.

m,y entre los

EJEMPLO 25 Femando, en el cercado de un terreno en lorma de rombo, ha utilizado I 20 m de malla metálica. En el interior del terreno realizó las mediciones de los ángulos con su teodolito, pero se olvidó de anotar el ángulo entre la diagonal mayor y el segmento que une un vértice del rombo y un punto que divide a la diagonal menor en cuatro partes iguales. Si la mitad de la diagonal menor del rombo mide l5 m, ¿cuánto mide dicho ángulo?

. . I p I I

Observamos que CD = 30 y OC es notable (30'y 60"):

CD= 30 y OC =

15

=

C

P

15, entonces el triángulo rectángulo COD DI

+ OD= 15y'3

ABCD '-l0Om-

Hallamos el ángulo cr con la calculadora:

ComoOC = 15 m y OE= 7,5 § =

a

Interpretamos el enunciado y graficamos en el margen.

Como

.

EJEMPLO 28 u

El ángulo que

se

.+,- o=#*+

t5v.3

cr

=

De cuatro barcos A, B, C y D que están alineados. B y C parten hacia el norte en forma paralela hasta finalizar su recorido en los puntos P y Q (PB < QC), respectivamente. Además. mBPD = 62', mCQD = 24" y mAPD = 90". Si la distancia inicial entre los barcos A y D es 100 m, ¿cuál es la distancia entre los barcos B y C al final de su recorrido?

. . .

ci § ó

mfRq = mPAD

Resolvemos en los triángulos APD y QPD: PD PQ =

PD

tan 38"

=

100 sen 62"

= I00

y

sen 62"

'tan 38" = 68,98 m

Al final de su recomido, la distancia entre los barcos C y D

olvidó de anotar mide 16,1'.

j

q q

a

I

.E

D

16,10

o

l

Interpretamos el enunciado y graficamos en el margen.

Aplicamos propiedades de ángulos: mSFO = mPDQ = 62'-24" =38'

N N

es 68.98 m.

€ 3 E

s o

@

UNIDAD

4 frigo¡ometfía

115

176

I f E

g

o E l

po 3 c L

o

o

§c c o

2

@

LIBRO DE ACTIVIDADES

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

ff

orsannou-arus

Actividades com plementar¡as cAPACTDADES

comunimi

usa estrategias y procedim,entos:

ó-12

[4odela objetos: 13-14

(D Un albañil ha construido una t2

pared de 8 m de alto como se muestra en la figura. Halla la longitud / de la cuerda y la distancia de P a la pared.

C

La medida de AC- es igual

El El valor

B

1'5

1.

Escribe V si es verdadero o F si es falso.

Il

T

de

AB

a

1ÁB¡+ Bat.

es igual a tangente de 37".

La medida de AC es igual

l,

r 12' sec 3'7" .

AC- es igual a cosecante de

53'

tan {5"

+¡/-

de

Graf icanros y lrallamos el área:

50 cm

C

5l'=49+ AB = 17.05 Jo 17 'i05 '1f) A=' =555.75nt- 4

t¡n

¡

C

C N

3.

Un radar, que tiene un alcance efectivo de 40 km, está colocado de tal manera que pueda girar sobre su eje un ángulo de 72" . ¿Cuál es el área de la superf icie terrestre dominada por el radar?

4.

Un carnero está amarrado a una estaca, de tal manera que puede pastar en un sector de 100' y la distancia más larga que puede andar estando la soga estirada es de 9 m. ¿Cuál es el área de la superficie en que el carnero puede pastar?

5.

En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, los lados están en progresión aritmética de tazón 2. Halla tt/ = tan A + csc C , sabiendo que el ángulo A es menor que el ángulo C.

| l.+.r nt

un triángulo rectángulo si uno de los catetos mide 30 m y el ángulo contiguo a este cateto mide 51".

60"

o

30 ¡r B

@ En el gráfico,

4m

lÁ a ranr=ii=J+\=5J" 7. cos 60'= + +.\ = 50.cos 60" = 25 ll^" + r: Ix,6/ ¡{. 5cr) +l)o - l.] I *.. scrr 40" lj l1^().lr¡rr¡"- *,r,=:.r .r lao /(r" ¿-

peipendiculares:

*

##*

sen 50 COS

/8

En la figura, se sabe que ABCD es un cuadrado. N es punto medio del lado AC y MN = AB

a I\,1

a

o

,i,

A

C

8.

cfrp=eGs+NMI,G,NAt1c:

En la figura, calcula H = 23 tan 0. Se sabe que E es punto medio de

rc

B

= FG + CE = 4 sen 65' + 2 cos 65" = 4.47 A. = (,1.47)r = I9.9ti rnr

CD =

-§9q+. ##fu B

ctn

Trazamos FE 1 AD, que pasa por G. Por propiedad de ánsulos de lados

R=

CalculaK=csc2B+cotB.

l\'1

B

halla el área del cuadrado ABCD

I)

6. Sabiendo que:20 + 10" = 25", calcula:

7.

E

I4

M

{.-^

ID Halla el área de un terreno que tiene la forma

l6cilr

o

-l.t.95lr

I

AA 2 cnl

1:

8.

r/ ¡,/=

adjunta, calcula la medida del ángulo p en grados sexagesimales,

+¿+

*.--+i se¡15'=1 1 >/= \tn i5" 1¡¡¡.15'=

Halla el valor de ¡.

O 4

2. Enlafigura

8m il

Calculamos la clistancia de P a Ir ¡rared:

G) El valor de ÁB es igual a I 2 . cot 53".

El El valor de

Hallamos la Iongitud

El número de grados sexagesimales de un ángulo más el número de grados centesimales del mismo ángulo es igual a 133. Calcula la medida de dicho ángulo en radianes.

I'-E

Luego, el área del cuadrado ABCD es I 9,9tt m2.

@ Miguel y Rosa juegan en un tobogán que tiene la forma de un triángulo rectángulo. Si las medidas de sus catetos son 3,7 m y 4,8 m, respectivamente, ¿cuánto mide la longitud del resbaladizo? ¿Cuál es el mayor ángulo agudo?

D

IE si m neo= so', halla el lado AC en función de m,n y 0.

A

,E

E E

!

s o

Graficamos y calculamos la hipotenusa:

Por propiedad de ángulos de lados perpendiculares: BCD = BAH = 0

7m

r = 6.06 nt Hallamos el mayor ángulo:

¿x ranC=fr+(

,1.f1

=52.37"

m

Trazamos la altura BH de I \ABC: BD = HC =¿rsen 0 y AH = ncos 0 AC =AH + HC =ncos 0 +n¡sen 0

UNIDAD 4 frgonometrÍa

1tl

C

9.

Para salvar un bananco de 84 m de profundidad, se quiere construir un puente. Desde cada una de las orillas se ve la misma piedra del fondo bajo ángulos de 45" y 37". Determina la longitud que tendrá el puente.

'10.

Una aeronave que vuela a 5600 m de altura, cerca al aeropuerto, desciende con un ángulo de 53" para llegar a una pista que se encuentra a 3600 m. ¿Será correcto el ángulo de descenso que usará el piloto y por qué? JustifÍcalo matemáticamente.

C

.rr=(3,7)r+(4.8)l

E

Bespueslas: 1.7nl20radianes

2.54'

3. 1004,8knr2 4.70.65rnr 5lvl

=2 6 R=4 7 21 B.i2

9. 196rn

10. Noi porque para descender con ese árrgulo se necesita estar como minimo a 4800 m del aeropuerto.

LIBRO DE ACTIVIDADES

Ánoulos de elevación y dé dep resión tLibro

de actividades (págs. 178-180)

¡ REsotucróN

DE TRTANGULoS

tr

Capacidades y desempeños precisados Usa estrategias

y procedimientos

.

Selecciona la estrategia más conveniente para resolver problemas que involucran razones trigonométricas, ángulos de elevación y depresión. (1-6)

Es un ángulo vertical formado por la lÍnea horizontal y la lÍnea de mira que pasa por el punto observado Este punto está por encima de la horizontal.

EJEMPLO 29 Ánsulo de elevaciril

Para iniciar

I

Proponga la siguiente situación y pida que identifiquen el ángulo de elevación y de depresión: Delia vive en un departamento que se encuentra en el tercer piso. Una mañana al salir a su balcón, observó una paloma en la cima de un edificio y, al bajar la mirada, vio en la base del mismo edificio a un gato sentado, con la mirada fija en el ave, (El ángulo de elevación se presenta cuando Delia mira a la paloma y también cuando el gato observa al ave, mientras que el ángulo de depresión se da cuando Delia observa al gato).

6-$r1-"'

I

]4

I

H(» izontal

B

Graficamos y calculamos BC: tan

le.=ffi-tun t9.=?3

o,¡¿¿¡=?3-BC=15,4e

.

ñ

La altura del edificio es BD: BD = BC +

f-

CD+ BD= 15,49 + 1,40 + BD= 16,89 m -45m

EJEMPLO 30 Desde un punto B del suelo, se observa el punto más alto C de una torre con un ángulo de 60'. Retrocediendo I 5 m, se ve el mismo punto con un ángulo de 30' Halla Ia altura de la torre. Ver margen.

(l

.

Analizamos cada triángulo formado: En el

'ffi;,,,

-

{tt /.tt L

l5

NCAB: tan 60" =

I*

h=

¡y$

r11

*rrf4'1, \J/ r y z;¡y3=f lS+rl(4) ,\ J / +3x=15 +x >x=7,5

EnelNCAp: ran30"=__=X_ (15+r) + h=¡5

P nr

. .

lgualamos

Calculamos la altura de la torre: h = x^,,5 =1,5^,5

-

h = 13 m

EJEMPLO 31

En la actividad 2, resalte que la lÍnea horizontal de referencia viene a ser el nivel del suelo y que el ángulo de elevación permite construir el triángulo rectángulo. Previamente al ejemplo 32, recuerde que los ángulos alternos internos son congruentes.

En el gráfico se observa desde un punto A del jardín, la parte superior de una tone de una iglesia de 20 m de alto con un ángulo de elevación de 60', y la parte superior de una cruz que se encuentra sobre la torre con un ángulo de elevación mayor en 3'. Calcula la altura de la cruz. Ver margen.

Es importante destacar que, en estos problemas, se buscan formar triángulos rectángulos, considerando una parte de la lÍnea visual como la hipotenusa y a la lÍnea horizontal como un cateto. Afirme que los ángulos de elevación y de depresión son congruentes porque son ángulos alternos internos. Proponga: Para sostener una torre de telefonía, se usaron tres cables de 22 m cada uno, los que se sujetaron de anclas que están en el suelo. Si los cables forman con la torre un ángulo de 37", ¿qué altura tiene la torre, si los cables lo sujetan del ertremo superior y además 2,4 m de la torre queda en la cimentación? (20 metros).

N N

-

.

Para consolidar

I

edificio.

.

Y9* \q

Para desarrollar

I

Un topógrafo observa con un teodolito la cima de un edificio con un ángulo de elevación de 19". Si el teodolito se encuentra a una altura de 1,110 m y se encuentra a 45 m del edificio, halla la altura del

«: Angukr de elevaciírr

Para complementa¡ invite a que den lectura a las definiciones de ángulo de elevación y depresión; fije la atención de los estudiantes en las figuras del margen, donde se muestra la representación gráfica de dichos ángulos. Enfatice que siempre se tiene que trazar una línea horizontal como referencia y que esta debe estar a la altura de la vista del observador.

Explique que estos temas corresponden a una parte aplicativa de la resolución de los triángulos rectángulos. lnvite a los estudiantes a que revisen al desarrollo del ejemplo 29. Resalte que, en este caso, se forma un triángulo rectángulo. En la actividad 1, hágales ver que se conoce un cateto y se pide calcular la longitud del otro cateto. Esta información nos permite deducir que las razones trigonométricas que pueden usarse son la tangente y la cotangente.

Ángulos de elevación y de depresión

Angulo de elevación

Sugerencias didácticas

I

REcrANcuLos

HallamosAB

en el

Calculamos BD en el tan 63'

.

=,PPt l.)5

-

¿ :9

NABC (30' y 60"):

,unoo.=#-en=ffi= .

)

@

ci

NABD

I

rr,ss

con ayuda de Ia calculadora:

BD = 11,55 . tan 63'

Hallamos la altura de la cruz: CD = BD

-

+

BD = 22,67

BC = 22,67

La altura de la cruz de la iglesia mide 2,67 m.

-

e

E

E

po c'-! &

f

^

2O

= 2,67 m

§ g

118

)

E o

o o c -g

c a

g

LIBRO DE ACTIVIDADES

RESOLUCIÓN DE IRIANGULOS RECIÁNGULOS

'

.

Ángulo de depres¡ón

ff

ángulo vertical formado por la línea horizontal y la línea de mira que pasa por el punto observado. Este punto está por debajo de la horizontal. Es un

Il EJEMPLO 32

.

Si PA // QB, entonces: mAPB = mpBQ =

'

En el

El barco

N

PQB: x =

se encuenfra

Zffi cot

de Ana al pie del

P

Gralicartlrs y rcsolvcmos.

.r = 16.81

200 m

es 26.13

I

rr

A¡B

m.

200

E) Desde un punto del suelo se obserr'a la cúpula de una iglesia con un ángulo de elevación de 53". Si Ia distancia del pie de la iglesia a ese punto es 6^,5 + T m, halla ta altura de la iglesia.

cot I 5"

l

resolvcrnos.

I)el grtilico: USA HERRAMIENTAS TECNOLÓGICAS

CD = 36.04 m

3k=6/i+3+k=2r/3+l AB=4k=,1(2y'..1 +t)

.1k

AB = ur/.1 + -l = l7.lt(r l.ir alttrra de la iglesir rnirle l7.tló rr

ultliza lu laptop o tableta para comprobar los resultados de los ejemplos 29 al 34.

6y'1+-j¡mC

a la parte superior de la torre?

ñ

)d

.

tun

.a

p e

t

§ a o

En el

.

ti00 m

C

-!D:=

...

h

ur 4.8 m

NACD, hallamos la altura CD: CD =AC

.fan17'

+CD=

(AB + BC).tan 17' ...

c

rll D

(¿)

DeI griitico sc observa que el triiilgulo ABD cs

Reemplazamos O en

cD = (800 El avión

. #%u)

se encuentra

@,r,

un faro con iíngulos de depresión de 41" y 70', como muestra la figura. Halla la distancia entre los puntos.

c = 490.3

342,3 c w lloo - sn 4|. c = 490.3 l-ey de cosenos

C

cDr = (490.3r)+ (342.1)r - 2(490.i) (.t42.i) cos 2(). CI) = 151.96 nr

D

@ Desde la parte superior

NBCD hallamos BC en función de la altura CD:

t7"=B-

k2= 6.32. EC= 24k.= t5t,6tl

Luego. EB = 6ll.-57 m.

(irirl icrrtlrs v rtsolvtrrtos

Graficamos en el margen según los datos del problema.

=

+

DE=7k: =44,25

Craficanxrs y resolvernos

superior de su casa con un ángulo de elevación de 30'. Luego, se acerca 4,8 m y vuelve a observar el anterior punto con un ángulo de elevación de 6O", Halla la altura de su casa.

El piloto de un avión observa la torre de control de un aeropuerto con un iíngulo de depresión de l7'. Después de avanzar 800 m, el nuevo ángulo con que observa la torre es de 52'. ¿A qué altura se encuentra volando el avión respecto

s6

Postc nlayor: 4¿1,25 nr

Dislancia eotrc Ios postes:

Ley de scnos:

EJEMPLO 34

-

7k, = l4ylj = 24.25 nl

dos puntos desde la parte superior de

G) Fernando mide r/7 m de altura y observa la parte

§B

B.---JiG-C

El David observa (iralicrnlos

La altura de la torre mide 49,96 m.

tun s2"=

24kl

L

ll

Hallamos la altura BD: BD = BC + CD = 13,92 + 36,O4 = 49,96 m

En el

24 k,=,lllvi3 + kt= 2/3 Altrra dcl l)oste nrenor:

7k.

NACB, hallamosAC y BC:

ffi -AC = 100. cos 8" = 99,03 m i6 * BC = 100 . sen 8' = 13,92 m . En el NACD, calculamos CD: tur 20'= #h -

. .

Del gráfico:

25m

La distancia de Ana al edifrcio

A' "or = ,"n a' =

.

observa las partes más altas de ambos postes en una misma dirección con un ángulo de elevación de 16". Halla la altura del poste menor y la distancia entre los postes.

43"

tan43'={+.r=-_]|.r ltiltr4l")

EJEMPLO 33

En el

t)

@ Un poste tiene 20 metros más de alto que otro. Un observador. que eslá a 4815 m del poste pequeño.

mIDCA=mZCAB=43'

15" =746,41

Observa el gráfico, y calcula la altura de la torre.

de depresión

edificio.

Craficamos y resolvenros. Por nlternr¡s inter¡ros:

(altemos intemos)

a746,41 m del pie del acantilado.

Usa esitrategias y procedimientos: '1 -ó

Camila observa a su amiga Ana desde la azotea del

p: Ángulo de depresión

a

.

cAPACTDADES

de 43". Si el ediñcio mide 25 m, halla Ia distancia

Hori¿ontal Áagulo de depresión

l5'

orsnnnounrus

edificio en donde vive con un ángulo

Angulo de depresión

Desde los alto de un acantilado de 200 m de altura sobre el nivel del ma¡, el ángulo de depresión con que se observa un barco es l5'. ¿A qué distancia se encuentra el barco del pie del acantilado?

ÁNGULos DE ELEVACIÓN Y DE DEPRESIÓN

y resolvemos:

' tan 17"

+

co

=

ffiffi \t-t*5Tl

=

is(rscelcs: AD = BD = 4-lt nr En el triángulo rectiingulo ISCD se cumple:

321,34 m

Corno lll) = 4.8 nr + B('-- l.4r l Hallamos la altura: h = 2.4vJ + v? = 5.57 nt Lr altura de la casa dc l,'ernando cs 5.-57 m.

volando a321,34 m.

de una torre se observan dos autos alineados en la pista, con ángulos de depresión de34" y 65". Si la distancia entre los autos es 15 m, ¿cuál es la altura de la torre?

Grrtlcamos y resolvemos.

+.{ ran -14'= - r!: 1+ l5 tan 6,5'= r!

¡l

Tngonometría

179

180

,E

8

.r=0.67(r'+ I-5)... a lgualando (!) y

"f

e

a¿):

2,lzty=0,67r'+

10,0-5

r'=6.11,1+.r= l4.l¡4 [-a altura es 14.6,1 m.

UNIDAD

C

= 2,14}... O

15mD l'

s s o

LIBRO DE ACTIV¡DADES

Dibujo y construcción-plegado de papel ¡ Libro de actividades (pág

1

B1

DIBUJO Y CONSTRUCCIÓN.PIEGADO DE PAPEL

)

Capacidades y desempeños precisados . Examina propuestas de modelos referidos a razones trigonométricas de ángulos agudos, notables, al plantear y resolver problemas. (1-3; 7)

Modela objetos Usa estrategias y procedimientos

El

.

doblez y las razones trigonométricas

La profesora Adriana ha pedido a cada estudiante que tome una hoja rectangular reciclada (de cualquier dimensión) y obtenga un cuadrado haciendo como máximo dos dobleces.

Selecciona la estrateg¡a más conveniente para resolver problemas que involucran razones trigonométricas de ángulos agudos. (4-6)

Luego, les ha indicado que recorten el cuadrado y hagan un doblez por una de sus diagonales.

Sugerencias

d

a)

idácticas

anota las medidas.

Para iniciar

I

¿',Obtuviste triángulos? ¿Curíntos? ¿Cómo son entre sí dichos triángulos? ¿Qué tipo de triángulos son? ¿Cómo lo sabes? Mide sus ángulos agudos y

b) Halla las razones trigonométricas de uno de estos triángulos especiales.

Acceda al enlace http://recursos.perueduca.pe/rutas/documentos/Secundaria/ Matematica-Vll.pdf (págs. 95 -98) para conocer acerca del recurso didáctico del plegado de papel o la papiroflexia.

Manos a la obra ¿Qué tienes que hacer? ¿Conoces las figuras obtenidas? ¿Por qué es importante realizar dobleces?

Para desarrollar

I

I

I

En la tercera fase, los estudiantes deben establecer y construir el conocimiento a partir de los datos recopilados en la fase anterior y, de esa manera, establecer generalidades. Pida que determinen la variación a las centésimas, que se produce en las razones trigonométricas del seno y coseno; para esto, sugiera que consideren los resultados obtenidos con la medición y el resultado teórico. Enfatice que la proporcionalidad de los lados del triángulo no cambia, a pesar del aumento de tamaño de la figura. lnvítelos a que desarrollen la actividad 7 y que, luego, compartan sus resultados y conclusión en un plenario con los demás estudiantes.

Consolide resaltando que, independientemente del tamaño que tenga el triángulo rectángulo, las razones figonoméficas no cambiarán porque ellas dependen solo de las medidas de los ángulos.

Toma una hoja de papel reciclado y realiza los pasos del problema. Dibuja las formas y los trazos que vas consiguiendo en cada paso hasta obtener el triángulo rectángulo especial.

@ Escribe las razones trigonométricas del ángulo de 45" con las medidas halladas. lR. M. hqa A-{)

'--- r.r.l

4 Cuadrado

l

Áneulo--_Jsen

45'

En la fase "Reproducción a partir de modelos" se inicia el proceso de análisis del modelo para recabar la mayor cantidad de información. Pregunte: ¿Cuánto miden los ángulos del triángulo? (Teóricamente, deben medir 45" y 90"). Luego, solicite que comprueben haciendo uso de sus transportadores. En la situación 3, señale que el triángulo rectángulo de 45" es isósceles y que la relación de sus lados están entre k y k lZ . Pregunte: ¿La medición obtenida de la hipotenusa es aproximada o exacta? (Es una aproximación, porque su medida matemática está en función del número irracional {2). ¿Cuánto es la variación si aproximas la medida al décimo? (29,83 - 29,80 = 0,03. La variación es de 3 centésimos).

Para consolidar

I

fl

En la fase "Representación de figuras y cuerpos", los estudiantes deben obtener el modelo. Pida que desarrollen las actividades propuestas. Sugiera que antes de iniciar con los dobleces deben planificar la estrategia que van a aplicar para poder cumplir con la restricción de obtener el cuadrado con solo dos dobleces. lndÍqueles que deben lograr construir el cuadrado que tenga mayor superficie.

2t

293

]

I

cos

tan

cot

sec

2t

21

2t

29,8

21.

2t

D§

-Tl

csc

,o

a

2t

@ Reúnete en equipo, comparen sus respuestas y elaboren una sola tabla entre todos R.1'. ,ngulo

45' Triángulo rectángulo

sen

cos

,5

J1

2

2

tan I

I

cot

sec

I

.,t2

csc

"to

I

@ Emite una conclusión relacionada con el tamaño del triángulo rectángulo y las razones trigonométricas de

45'. Indepsndientemente del tamaño de la figura. los ángulos miden lo mismo, y las razones trigonométricas. también.

§

€ p €

§

@ Mide con un transportador la abertura de los ángulos agudos de tu triángulo rectángulo recortado. Luego, anota las medidas en la figura.

N @ j

ci ó

@ Verifica tus conclusiones. Para ello, mide y aplica tus conocimientos sobre esta figura.

= E o o o

@ Mide los catetos con una regla.

l

¿Encuentras alguna relación entre ellos? Generaliza y determina el valor de la hipotenusa.

p _o

c

e

k

C

45'

a c

@

k LrNlDAD

4 TrSonometria

181

§ c

oo

4

TEXTO ESCOLAR

Resolución de triángulos oblicuángulos lTexto escolar (pág

42)

t

Libro de actividades (págs. 182-185)

Capacidades y desempeños precisados Comunica Usa estrategias y procedimientos

. .

Esquematiza situaciones relacionadas con la aplicación de la ley de senos, cosenos y tangentes. (1-5)

Resoluc¡ón de triángulos oblicuángulos En el Ltnlverso, tocios os obletos cstan sometldos a tnteracciones mLltlras, por lo clLrc sienrprc existc ontre cllos relaciones dc fLrerza y movirnrcnto.

Dent[o de

est¿.]s fuerzas

Emplea estrategias heurísticas para resolver problemas relacionados con la ley de senos, cosenos y tangentes. (1-2; 6-9)

de los respectivos ánguros c

a2=b2+é-2bc.cosA b2=a2+é-zac.cosB

lnvítelos a que den lectura al texto "Ley de senos y cosenos"; complemente el proceso solicitando que revisen la imagen que está al margen de la página. Para comprobar si han comprendido pregunte: ¿Se puede aplicar la ley de

é

, = a2 + b2 -2ab

cosc

senos en los triángulos rectángulos? (Sí, porque se cumple en todo triángulo), ¿cuándo se aplica la ley de senos?(se aplican cuando se conocen dos ángulos y un lado o cuando se conocen dos de ellos y un ángulo).

I

I N N @

)ci i

6

pf o o o

Para consolidar

I

o

Consolide enfatizando que para resolver un triángulo oblicuángulo se necesita como mínimo conocer tres de sus elementos, donde uno de ellos necesariamente no t¡ene que ser angular. Proponga: Un vecino con tristeza observa que en el parque de su barrio solo quedan 2 pinos y un ciprés, formando un triángulo al medir la separación de los pinos encontró que estaban distanciados 100 m y que sus ángulos median 40o y 50", determine

sen

= A =!sen ts sen C ----f

Ley de los cosenos: el cuadrado de un lado de todo triángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos. menos el doble del producto de estos por el coseno del ángulo

comprendido entre ellos. Ver margen.

EJEMPLO 9

. . .

c= l8cm

Hallamos m6,

-Á+-É +me= 180'+47' G*,

+mE +68'= 180"+ mE = 65"

Hallamos BC aplicando ley de senos:

=

;;,. -

a = BC

=

14,2 cm

Calculamos AC aplicando ley de los cosenos: b2

= 1t4,2¡2 +

182

-

2(14,2)(18) . cos 65'

+

b = AC

= I 7,6 cm

Ley de tangentes

B

¿¡=40u

En todo triángulq la suma de dos lados es a su diferencia como la tangente de la semisuma de los ángulos opuestos a dichos lados es a la tangente de la semidiferencia de los mismos

ánlulos'.fi=

tan tan

á=30u Según los datos tenemos:

A+B+C=180" A+B+ó0"=180" A+B=120"

lncentÍvelos a dar lectura al texto de la "ley de tangentes". Destaque que esta ley se puede aplicar en todos los triángulos incluidos los rectángulos. Haga notar que en las fórmulas hay una relación entre las sumas o diferencias de los lados con los ángulos; esto les ayudará a interiorizar la expresión. Motívelos a revisar el desarrollo del ejemplo 41 que servirá de soporte para la actividad 9; hágales notar que en este caso se necesita la suma de los ángulos y para calcularla basta con hallar el suplemento del ángulo conocido.

3

opuestos:--3-

En un triángulo ABC, AB = l8 cm, mÁ = 47' y me = 68". Resuelve el triángulo oblicuángulo aplicando ley de senos y cosenos. Ver margen.

MotÍvelos a revisar detenidamente las leyes de senos, cosenos y tangentes porque será un insumo vital para desanollar las actividades 1 a la 5; haga notar que el primer caso es falso porque el lado c no se relaciona con el seno de su ángulo opuesto. Resalte que en la actividad 6 y 7 se conocen un lado y los ángulos del triangulo, por lo tanto, esto les garantiza para que empleen la ley de senos para resolverlo. En el ejemplo 36, explique que el rumbo es la dirección del rayo a lo largo del cual recorre un móvil; esta dirección está dada por el ángulo agudo que forma este rayo con la recta norte-sur. Pida que identifiquen los rumbos en el gráfico (son los segmentos Pa y aR). Destaque que en la actividad 8 se conoce las longitudes de los tres lados, lo cual valida el empleo de la ley de cosenos, previo al ejemplo 39. Recuerde el desanollo del "binomio al cuadrado" (a + b)2 = a2 + 2ab + b2.

p ..o Eo L

os1ática, trene srl

Ley de los senos: las medidas de los lados de todo triángulo son proporcionales a los senos

Para iniciar

Para desarrollar

l¿r

Ley de senos y cosenos

Sugerencias didácticas

I

errequrlil¡rio que (rorrespof(ier a

rrt idad práct¡ca la ley de los seri-rs y ccsúnus

EJEMPLO 1O En el

.

A ABC,

se tiene que

me =

60

", a

=

4O,t y b

Aplicamos la ley de tangentes (ver margen):

#

=

Pá€s.184-185

-, ^-, (

fS=S

*'- 5!) ^# + (

)*

=30 u. Calcula tan

=

=

(5!)

ffi

=

a

B

DESARROLLA TUS CAPACIDADES

m ELun triángulo

oblicuángulo ABC, BC = 15 cm, mB = 52'y mC = 70'. Resuelve el triángulo aplicando ley de senos y cosenos. A = 5lt": AIi = 16.61 crn: A( = 1 1.94 crtt

42

Usa estrate8ias y procedimientos: 1-2

@ En un triángulo oblicuángulo ABC,

€ a

se tiene que

mC =74",a = 56 u y á = 40. Halla la tangente de la semidiferencia de los ángulos A y B. 2/9

§ o

LIBRO DE ACTIVIDADES

.

RESOLUCIÓN DE TRIANGULOS OBLICUÁNGULOS

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS

B C

b// /'3\

,4

Ley de cosenos

n"roluc¡ón de triángulos oblicuángulos Eü

todo triángulo, el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos, menos el doble del producto de estos por el coseno del ángulo comprendido entre ellos. Asi: En

Ley de senos

Y

'\

c

a2 = b2 + c2

En todo triángulq las medidas de los lados son proporcionales a los senos de los respectivos ángulos opuestos.

senA senB

-2bc'cos A

-2ac' c2 = a2 + b2 -2ab' b2 = a2 + c2

a_b-c

B

senC

TEN EN CUENTA

EJEMPLO 35

Ley de senos

En un triángulo ABC, BC = 20 cm, mÁ = 45" y mB = 60". Calcula AC.

EJEMPLO 38

. .

En un triánguloABC, las medidas de los lados son a

se conocen:

.

a =h _ b A sen B -20sen 45" sen 60'

b

_zo

sen 99" sen 4f-

=

cosC

TEN EN CUENTA

=

14

m.á = 9 m y

c

= 12m.

aplica para resolver tr¡ángulos en los cuales se conocen:

Conocemos los tres lados; aplicamos la ley de cosenos: 142

24.4g

=92 + lz2 _ 2(9)(12).

196=225

La medida del lado AC es 24.49 cm.

-

216cosA=

.

cos

.

A

l2

9 m

216 cosA

Ley de cosenos Se

Graficamos el triángulo ABC y ubicamos los datos.

«=20cm

sen

Dosladosyelángulo opuesto a uno de ellos.

C

Aplicamos la ley de senos:

Dosángulosyuno de los lados no comprendido por estos ángulos.

.

Dibu.iamos el triángulo y ubicamos lo datos.

cosB

B

c

Se aplica para resolver triángulos, de los cuales

t

m

Dosladosyelángulo comprendido entre ellos.

.

29'+cosA=ffi

14 m

Sus tres lados.

B

Para obtcner la nreclida del ringulo A. digitamos en la calculadora:

sHtFT

EJEMPLO 3ó

tus ¿ 9 + ¿ 1 6

=8¿.¿'ll¿lll'1

N

Un móvil recorre I 00 km con rumbo S 60" O y luego cambia

+E t\

El ángulo A r¡ide 82.28'.

rumbo S 70'E hasta un punto situado al sur del punto de partida. Calcula la distancia entre el punto de partida P y el punto de llegada R.

.

En el

A

EJEMPLO 39

PQR, aplicamos la ley de senos:

o sen 50" s

su dirección a un

l0O +

sen

70ps

"r =

l[X) sen 50' + rftfiffis

x=

8

Halla la distancia entre los puntos A y B si mÁ = 45', AC = 4OtD m y la diferencia de longitudes entre BC y AB es 10 m.

l'52

.

La distancia entre el punto de pafida y el de llegada es de 81,52 km.

R

Aplicamos la ley de cosenos: 62

c2

-

a2

=

b2 + c2

- 2bc'

cos

A

z1+onZ¡c' cos 45o

_

gOJ|r. -/-

Y * ", = 320O +.2 - 80. . Pordato: d -t'= l0+ a = lO + c . Reemplazamos €) en O: ( l0 + c)2 = 3200 + ,2 - }Oc a2 = 3200 + rz

Afilica la ciencra

EJEMPLO 37

C

= 140./7¡2 +

r

@

Para calcular la altura en la que se encuentra

20m

IJ

un globo, un ingeniero geográfico valida las medidas de los ángulos y las distancias de la figura mostrada con una estación total. ¿Cuánto dista el globo del punto A? ¿A qué altura está el globo?

.

sen

Aplica fundarnentos tle ciencia y tecnología. (Comprende y aplica concimientos científ icos).

20 + .^.20.senj3'=25.2m sen 4Y ^L = sen 45'

Calculamos la altura en la que se encuentra el globo:

".n75"=É2

+x=24,34m

tnvestiga con tlls companeros sobre la estac¡ón total. ¿Qué profesionales la utilizan?

2Oc + c2

= 3200 +

c2

- 80c+

r=

3l

31

m.

N N @ j

ci ¿

Adriana observa, desde la pafe superior 6 I € e

q

! !

de un faro, dos barcos con ángulos de

depresión de 73" y 50o, respectivamente. ¿Cuál es [a distancia entre los barcos?

.

E

§

o

0

rQ

C !

= (1,3F + (1,04)2

-

l

o

o o

Graficamos en el margen y resolvemos:

I

l.-l k¡n

2(r,3Xr,04) . cos 23o

i=1,69 + 1,0816-2,489 ?=0,282+,r=0,53km

El globo dista 25,2 m del punto A y estáes24,34 m de altura.

@

182

ó3" =

+

EJEMPLO 40

Hallamos lo que dista el globo del punto A:

AC .

lO0

La distancia entre los puntos A y B es

,3 km

f

o

i,04 km

_6

E o

La distancia entre los barcos es 0.53 km.

a UNIDAD

4

TrBononletria

183

4

LIBRO DE ACTIVIDADES

.

RESOLUCIÓN DE TRúNGULOS OBLICUANGULOS

Ley de tangentes

C

fl

todo triángulq la suma de dos lados es a su diferencia, como la tangente de la semisuma de los ángulos opuestos a dichos lados es a la tangente de la sem¡diferenc¡a de los mismos En

a-b

,*(4f) a+c _ a-c "^(+)

tan

a+b_

USA HERRAMIENTAS TECNOLÓGICAS

tan

B+ tan

En el

. b+c _ b-c tan B_

A ABC,

se tiene que C

= 74",a =39

ly

b

=25

u. Catcuta tan

1060

""(at) A-B

C

¿¿=39u

I 106"\

=i+=*

1_b -

€¿ 'o = oo o o

,

p

sE

c

E

+C= 120' ...

@

!

96+63 _

ó I

96-63

(q+) =o,35e482-==ei7i" ""

+C-B=3e,54.

....2:

B

B=-ll.{()'.

i

B + 50" = ItlO'+A+ B = I-10' ...lal obtcncmos: A = ll-5.73' y B = 44.)7" Las meditlas de A y tl son: 1t5.73' y 14.27".

De

61"

a

lt á= l0llm

sen 55"

¿=91.1.1

E

Perinretro= 100+97.31 +91.14= 28ti.45

§

= 0..r784.r1

p"ir, ,q*

c

rn

Altura BH: BH = 97.1 a o

-

"1''= ll).71'+A

B

€

obtcnenros: B =40.23" v C =79.7'1"

1a ¡r

I0 k¡r

(A+) ""

r)

y

:2r

nt

l(X) _

64''

,"rr(+) A-u --T

t7

T

Calcula el perímetro y el área de un terreno que tiene la forma de un triángulo ABC si mB = 64'; mA= 55'y á = 100 m.

sen

e

184

a

km

l0-7-. ,ilnl_ /A-B\ 1 ]

C'

se¡r

*

ro*z-"'n(A*) 4nr

13.39 ¡n

64"

Un barco que se encuentra en un punto A pide socorro. Se reciben sus señales en dos estaciones de radio B y C que distan 7 km entre sí. Si AC = l0 km y mC = 50', calcula las medidas de los ángulos

Av B.

(' sen 60"

100 _

*

4,36.

Gralicarnr¡s y aplicrtnos lcy clc lrngcltcs:

14,93 m

r'=97.31

es

cos B =

ti

Hallamos cl peri»etro:

Aplicamos ley de tangentes y resolvemos:

De I y r

a c c a

B

=

-

2(-5X3)cos t]

El valor de AQ

sen l()5"

14,93 sen 105"

sen

Ejerce su ciudadanía. (Maneja y elabora diversas fuentes de información y henamientas digitales para comprender el espacio geográfico).

o G

§

+

=

A ABQ: i = 5: + 3r .tr = l9 +.r = 4.-16

-

C

1",

Crafrcanros y aplicantos lcy de scnos:

b

*

c\

lA

El ELun triángulo ABC se tiene que a = 4 m, mB = 105", y mC = 60". Calcula c.

Graficamos en el margen el problema. 180'

Lrl

p

sen l-5"

B

7r =.5r + 8r En el

Resuelve.

tu ciudadanía

2(5xti). cos

t;

tun

,*(L+)=t

60'+B +C=

.

d

Qs

ll

t uá+=;#

)

losángulosByC.

_i

c

5cm

ley de cosenos para hallar cl cos B, cn el .\ ABC:

.cosB

ocfu= *fu=cie

Un cartógrafo se olvidó de anotar las medidas de los ángulos B y C al medir con el GPS el ancho de uno de los cauces del río Amazonas. Estas fueron sus mediciones sobre el terreno: AC = 63 m,AB = 96 m y mCAB =60'. Ayuda al cartógrafo a hallar las medidas de

.

-Zac

@#= tan

b=25u

Aplicamos la ley de tangentes:

tan

b2 = a2 + c2

*iE

I

tan

EJEMPLO 42

N N @

\

a

Craf icanos y aplicamos

(Af)

180"

ffi=#-+=ffi1-""(at)

A

&9

7cm

cln

B

Determina AQ.

@

Porlotanto:

-5

queBQ=3cm.

2

Según los datos tenemos:

f"

63m

se muestra se traza

una ceviana AQ, tal

Graficamos el triángulo ABC.

a+b a-b

ttsa esfaieg¡as y proc€dim¡entos:

Gl En un triángulo que

b

o ciÁ= *fu=

A+B =

1-5

B

A+ B + C = 180' +A+ B + 74"=

.

Cornunica:

C

EJEMPLO 41

Util¡zatu laptop o tableta para comprobar los resultados de las actividades de la ley de los senos, cosenos y tanSentes.

C

oesannoluruscAPACIDADES

Escribe V si es yerdadero o l,'si es falso.

ángulos.

Á

T

RESOLUCIÓN DE TRIANGULOS OBLICUANGULOS

A- loo :/9'71 -

I

sen

nr

55' = 79.71 m

39tt5.5 nrr.

El pcrímetro es 288.-i nr y el á¡ea.198-5.5 m:.

c IV]ETACOGNICIÓN ¿Qué parte de la s¡tuación me pareció más fácil de resolver? ¿Qué dif¡cultades tuve? ¿Cómo las superé? ¿tvle

fue útil hacer dibujos para visualizar el problema?

t ilÍrAD 4 TriSonometría

185

Estrategias para resolver problemas ¡ Libro de actividades (págs. 186-187) desde el eje vertical hacia el rayo que representa el rumbo y, en cada uno de los puntos se dibuja el eje de los puntos cardinales para representar los

Capacidades y desempeños precisados . Selecciona la estrategia más conveniente Usa estrategias y procedimientos

para resolver problemas relacionados con ángulos horizontales. (l-9)

rumbos.

I

Sugerencias didácticas Para iniciar

I

I

lnicie promoviendo el diálogo haciendo referencia al efecto invernadero: Señale que actualmente nuestro planeta a causa de Ia emisión de gases, principalmente el dióxido de carbono, viene incrementando su temperatura media y si esta situación se mantiene en el tiempo, seguirá aumentando el calentamiento global produciendo el cambio climático que modificaria las condiciones de vida habituales. Todo esto ha puesto en riesgo a los ecosistemas y especies. Pregunte: ¿Qué consecuencias traerá el calentam¡ento global? (Reducción de los glaciares, elevación del nivel de agua de los mares y océanos, inundaciones y sequías, que impactarían negativamente en la ganadería y agricultura). ¿Qué acciones vienes realizando para disminuir el efecto invernadero?(Respuesta libre). Explique que los ángulos horizontales son aquellos ángulos que se determinan en un plano horizontal que contiene las direcciones notables de la brú1ula y sirven para determinar los rumbos. Pregunte: ¿Cuáles son los puntos notables de la brújula? (Norte, sur, este, oeste). ¿Para qué sirve la brúiula? (Sirve para orientarse por medio de una aguja imantada que señala el norte magnético). lnforme que el rumbo es la dirección del rayo a lo largo del cual recorre un móvil y que su dirección se representa por el ángulo agudo que forma este rayo con la recta norte-sur. Enfatice que la lectura y escritura del rumbo siempre estará referida al norte o al sur.

Para desarrollar

I

Comente a los estudiantes sobre los pasos que deben seguir para resolver un problema que son: comprender, planificar, resolver y comprobar. Además, indique que, para la construcción de una gráfica, se debe partir de la traducción del enunciado para pasar al lenguaje simbólico y, luego, a la

representación gráfica,

I

I

lnvite a los estudiantes a dar lectura a la situación problemática y, luego, pida que comenten. Haga notar que para resolver el problema deben necesariamente realizar la representac¡ón gráfica. Plantee las siguientes interrogantes para verificar lo comprendido'. ¿Qué actividad motivó a Antonio para visitar la casa de sus compañeras? (Para coordinar el trabalo a realizar sobre el efecto invernadero). ¿Qué rumbo siguió para ir a casa de Beatriz? (Tomó la dirección N30"O). ¿Qué rumbo tomó para visitar a Camila? {omó la dirección S70"O). Resalte que en representación de estas direcciones se inicia con los puntos cardinales Norte o Sur, que es la forma correcta de representar los rumbos.

Centre la atención de los estudiantes en la fase de la planificación donde se les muesfa cómo se representa al rumbo, su lectura y su representaciÓn SimbóliCa. ReSalte Oue los ánor¡los nt tp rcnrc§cntan la dirpnniÁn eo nrafinan

Para la actividad 1, sugiera que sigan la misma estrategia del elemplo desarrollado. Además, destaque que cuando se señala la dirección sur significa que el rumbo coincide con el eje vertical. En la actividad 2, proponga que representen las diferentes direcciones mediante un gráfico. Diga que tomen en cuenta que el triángulo que construyan debe ser oblicuángulo y, como se conocen sus ángulos internos y la longitud de uno de los lados, puede aplicarse la ley de senos para calcular la distancia que hay de la casa de Pedro a la biblioteca. En la actividad 3, hágales notar que el gráfico que se va a construir debe corresponder a un triángulo rectángulo notable. Previamente a la actividad 4, explique que la notación NE equivale a la expresión N45"E así como NNE, que es equivalente a N22o30oE, esto les

facilitará que elaboren el gráfico del problema.

I

Recuerde el procedimiento que se sigue para representar un número decimal en forma de fracción. Resalte que deben simplificarlo si es posible. Sugiera que la longitud de los lados del triángulo debe estar representada en funciÓn de una misma constante. Esto les ayudará para resolver la actividad 5 y 6. Para la actividad 7, recomiende que tengan en cuenta las relaciones métricas del triángulo rectángulo notable de 37" y 53" (3 k; 4 k y 5 k). En la actividad 9, hágales notar que es similar a la actividad 2, por lo que recomiende que empleen la misma estrategia.

Para consolidar

I

Consolide indicando que la estrategia de hacer una gráfica es una henamienta esencial para resolver los problemas relacionados con los ángulos horizontales y, además, facilita el desarrollo de la imaginación y la creatividad en los estudiantes.

complementarias 1. Una persona observa, a 1200 m en la dirección N60'E, un edificio y a 1600 m en la dirección S30"E, un camión. Halla la distancia que debe recorrer el camión para llegar al edificio y poder entregar su carga. 2. Carlos observa a Ricardo en la dirección N45"E y a60l[2 metros de distancia. A su vez, Ricardo observa a Esteban en la dirección S53"E. Halla la distancia que debe caminar Carlos para entregarle a Esteban el celular que le prestó el dÍa anterior. Se sabe que Esteban se encuentra al este de Carlos. 3. Marcos se encontraba paseando con sus padres en el puerto y observó dos barcos anclados en las direcciones de N20"O y S70"O a las distancias de 400 y 900 m, respectivamente. ¿Qué distancia debe recorrer un bote que quiere ir de un barco al otro? 4. Desde un barco se divisan a dos lanchas deportivas en las direcciones S50"E y N40"E a una distancia de 5 y 6 km, respectivamente. ¿Cuál es la distancia que separa las dos lanchas?

N @

)ci c

:9 !

f

o

o o l

p _! =o I

a c

§ C

a

(o

H

LIBRO DE ACTIV¡DADES

ESTRATEGIA PARA RESOLVER PROBLEMAS Usa estrateSias y procedimientos: 1-9

Hacer un gráf¡co

Il

I

Antonio, Beatriz y Camila forman un grupo en el curso de Física, y deben realizar un trabajo sobre el efecto invemadero y el calentamiento global. Para ello, Antonio se dirige para coordinar a casa de Beatriz con dirección N 30" O, distante 500 m. Luego, visita a Camila y se desplaza en di¡ección S 58" O. Desde la casa de Camila, se orienta y deduce que está en dirección S 60" E con respecto a su punto inicial. Determina la distancia entre el punto final y el inicial.

Resuelve los siguientes problemas. Ayúdate de la estrategia de hacer un gráfico.

fl

te

Un automovilista recorre desde un punto P 140 km en dirección N 30' E, hasta un punto Q. Luego, a cierta distancia en dirección del sur, hasta un punto R. Desde allí observa su posición inicial en la dirección N 60' O. Halla la distancia entre el punto de partida y el punto de llegada.

fl

Fernando parte de un punto M con dirección N 30' E. Luego de avanzar 40 m, cambia de rumbo y se dirige hacia el sur. ¿Cuánto debe avanzar Femando para estar al este de M? 1.1.6.1 nr se desplaza al este y luego al SO. Desde esta posición observa que el punto inicial está al NO. ¿Qué distancia recorrió en el primer tramo si la distancia entre el punto final y el punto inicial

@ Rosa

es de 40

comprende

Antonio se dirige a las casas de Beatriz y Camila para coordinar sobre el trabajo de Física. Para llegar a la casa de Beatriz se desplaza con dirección N 30. O, distante 500 m. Luego, se dirige a la casa de Camila desplazándose S 70" O. Se pide calcular la distancia entre el punto inicial y el final.

orientarnos o localizar un lugar, Para

Planif¡ca

Comprende: Se pide hallar la distancia entre el punto de partida y el punto de llegada. Planifica: Representaremos Ios desplazamientos N

utilizamos los puntos cardinales que tienen una relación directa con los rumbos. Veamos la lectura y notación de algunos rumbos notables.

Rumbo

Lectura

Notación

NNE

Norte noreste

N 22'30' E

Ntj

Noreste

N 45'E

ENE

Este ¡oreste

N 67'30' E

ESE

Este suresk

s 67" 30', E

No

Noroeste

N 45'O

sso

slLt9i9919

s 22'30',O

SO

Suroeste

s45"O

30"F..S7"EyN60'O

,t

sen

62"

Ro.

Hallamos ta distancia de A a C,

;¡t¡" = ffi

-,

=

tt;ffit.tt'

é

Verificamos en el triángulo rectángulo AHB: AH = 50O sen 88' = 499,70

s< o L

En el triángulo rectángulo AHC: sen 62" =

comprueba

@

c

-

l41l.-r=Soxrkr»

R

\en til,"

Aplicamos ley de senos: = 565,94 m

La distancia del punto inicial al final es 565,94 m.

p

30'

%9 *, - 19q*

Q,lg.

."n o

.14 nr

=

fr

V

I € p €

.r _ 200 sen 73' sen 30o

I

¡ = 382,52

p

Conrprueba: Trazalnos una altura BH y verificamos la respuesta.

e

= 565.94 m. c

s

o

@

l9li2o ,

con dirección SO y el barco B con dirección S 15" E. Al mismo tiempo, el barco B es observado desde el barco A con dirección SE. Si la distancia entre el faro y el barco A es 6 km, ¿qué distancia separa a los barcos? 10.39 knr

67i

nt

BH = 200 sen 7.1'= 191.26

,.n ¡0. =

@ Desde la base de un faro F se observa el barco A

200 rn

d I

personas, A, B y C, se encuentran en un estadio. A observa a C en dirección S 37" E y a B en dirección sur, mientras que B observa a C al este. C se desplaza en dirección N 53" E avanzando la misma distancia que lo separaba de A, mientras que A se dirige al oeste avanzando la misma distancia que lo separaba de B. Con estos desplazamientos, A observa a C en dirección S o E. Halla [a cotangente de cr.

@ Tres

fr

Comprende: Se pide hallar la distancia entre la casa de Pedro y la biblioteca. Planitica: Representaremos los desplazamientos. Resuelve: Graficamos el triángulo oblicuángulo PBC

I

Ci

=

se dirige de su casa a su trabajo con dirección NE y después al instituto con dirección SE. En el instituto se orienta y se da cuenta de que está justo a[ este de su casa. Si el primer recorrido fue de 2014 km. halla la distancia entre su casa v el instituto. lo knr

¡¡

)

Resuelve

Q

@ Zuleika

se dirige desde su casa a la biblioteca con dirección N 37" O, ubicado a una cierta distancia. Luego, se desplaza a la Plaza de Armas en dirección S 40" O distante 20O m. Desde la plaza, después de descansar una hora, se orienta y deduce que está en dirección S 67" E con respecto a su punto inicial. ¿Cuál es la distancia entre la casa de Pedro y la biblioteca?

88"

)

cr E y luego de andar una cierta distancia, cambia a la dirección S 0 E. Si en total caminó 102 m y el punto de llegada está justo al este del punto de partida, halla

sg¡

@ Pedro

3

N N @

@ Alberto camina en dirección N

la distancia entre ambos puntos si

110

30' = 80.83 km

/ \

2

ho.

140 ta¡r

56.57 nl

P

N

C

=

Comprueba: Por ley de senos

Graficamos y observamos que el triángulo que se forma al unir los puntos del recorrido de Antonio, es acutángulo. Para su solución utilizaremos la ley de senos:

500 m

O

Resuelve: Craficamos el triángulo PQR (recto en P), además es notable-

m?

.r = 382.52 m.

sate de casa y se dirige hacia su trabajo con dirección N 53" E. Al cabo de un tiempo, decide recoger a Lucía en la dirección S 30' E y la encuentra justo al S 70" E de su punto de

@ Raúl

). C

partida. Si la distancia desde su casa a su trabajo es 30O m, ¿cuál es la distancia entre su trabajo y el punto de encuentro con Lucía? .tgl.4l u

_a

c @

18ó

UNIDAD

¡l

Tr¡gonometria

187

LIBRO DE ACT¡V¡DADES

Razonamiento matemático ¡

Libro de act¡vidades (pá9. 188)

Capacidades y desempeños precisados . Resuelve problemas sobre sistema de medidas angulares, Usa estrategias

longitud de arco, área de sector circular, razones figonométricas y resolución de triángulos rectángulos y oblicuángulos, (1-13)

y procedimientos

. afirmaciones

Justifica los procedimientos empleados para realizar las comparaciones cuantitativas y la suficiencia de datos. (1-13)

comparac¡ón cuantitativa

Suf¡c¡enc¡a de datos

A partir de la información dada, se deben calcular dos cantidades: una en la columna A y otra en la B. compara arnbas cantidades y, luego, escribe la clave.

En cada situación, se da un problema con dos datos. ldent¡fica el dato o datos necesarios para solucionarlo y, luego, escribe la clave.

o a

A l¿ cmtidad

i

Sugerencias didácticas Para iniciar

t

RAZONAMIENTO MATEMÁfl CO

Explique que la intención de estas actividades es desarrollar el razonamiento lógico de los estudiantes, así como la capacidad de argumentar sus respuestas.

ü o o e

A es mayor que B.

B La cantidad B es mayor que A.

e a a o

D

I

"r

rrfrciente y el dato Il no lo es.

C Es necesario usa

a

ü ü 0

Falta infomación para determinar las cantidades.

et Outo t

B El dato II es suficiente y el dato I no lo es.

,

C Ambm cantidades son iguales.

t t

fA

iD

a

la vez los datos I y II.

cu¿u ¿u,o, po. separado, es suficiente

E Los datos no son suficientes.

Para desarrollar

t

.1

lnvite a que lean las actividades y 2. Pregunte: ¿A qué tema corresponden los problemas? ¿Qué conocim¡ento te podrá servir para resolverlos? (La fórmula general de conversión). Resalte que una vez que determinen los valores de E y G deben utilizarlo para calcular las expresiones de las columnas; en la actividad 3 sugiera que primero hallen el área sin sombrear y luego que determinen por diferencia de áreas la regiÓn sombreada. Previamente a la actividad 4, recuérdeles acerca de las razones trigonométricas iguales (las co-razones); resalte que, en estos casos, se cumple que los ángulos son complementarios, es decir, suman 90o, mientras que para la actividad 5, sugiera que transformen el nÚmero decimal en fracción, lo simplifiquen y, luego, apliquen el teorema de Pitágoras para

Información

l.

En la actividad 7,haga notar que se genera un triángulo isósceles, por lo tanto, los dos ángulos agudos deben ser iguales. Esto permitirá determinar el valor del ángulo alfa. Resalte que si tenemos en un problema dos incógnitas para resolverlo necesitamos formar un sistema de ecuaciones lineales. Esta información ayudará para resolver la actividad 8; asimismo, pregunte: ¿Cuál es la característica de un triángulo equilátero? (Sus tres lados y sus tres ángulos tienen igual medida). Esto les favorecerá para desanollar la actividad 9. Previamente a las actividades '10 a la 12, recuerde que para resolver un f iángulo se necesita conocer como mínimo tres de sus elementos, donde uno de ellos necesariamente tiene que ser uno de los lados. Asimismo, explique que la razón trigonométrica seno es positiva en el I y ll cuadrante; en los demás cuadrantes es negativa; esto les ayudará para evaluar los datos en la actividad 13.

ColumnaB

-

256

Calcula (E

Reduce

^ 3DS-C u=! c-s

8)2

El valor

de


II.GD=9m

@ Halla el valor de los ángulos 0 y P. I. tan (30 - 35') - cot (90' - P)

4

G más 3.

zt1

Área de la región no coloreada.

El Calculatancr.

Área de la región coloreada

L EI triángulo ABC equilátero.

B

4. sen(¡+3')=cos2t 5.

C

II.2p-0= ls'

csc (x

+ l")

sen

(r +

es

C

II. BD = 4DC I

)

@ Halla el valor deff. L EI ángulo C es notable.

En el gráñco se

cumple:tanA=2,4

m

sec C

sen C

B

B

n

II. Medida del rángulo C es 18'30'.

C

fD Determina ED. I. ABCD es un cuadrado.

ILBE=k+5 ó.

Si se cumple la

d

§

condición: an

(Q)

= cot (36l,+ 30)

1Resalte que, en las situaciones de comparación cuant¡tativa, en primer lugar, deben resolver el problema. Este resultado tienen que reemplazarlo en las columnas y, luego, comparar las cantidades obtenidas. Enfatice que, en la suficiencia de datos; en primer lugar, deben evaluar con cada uno de los datos de manera independiente. Si no logran resolverlo, deben proceder a solucionar usando los dos datos simultáneamente.

A partir del gráfico mostrado, calcula csc

I.FD=ED

3.

Para consolidar

I

O

F-

l.

determinar la hipotenusa.

I

Columna A

-v

+ 2,68 C

lD Calcula el lado BC I. mÁ= 60"

lB Halla ) 188

20m

B

t.

el valor Oe sen

""ne=T

p I

ll.c=J6

c §

$.

II.O€IC

C

s

LIBRO DE ACTIVIDADES

Uso de software matemático I

Libro de actividades (pá9. 1BO)

Capacidades y desempeños precisados . Calcula razones trigonométricas de ángulos agudos Usa estrategias y procedimientos Argumenta afirmaciones

USO DE SOFTWARE MATEMÁTICO usando

Geogebra, para hallar las razones trigonométricas de ángulos agudos

software matemático. (1-O)

o

Plantea conjeluras respecto a las razones trigonométricas de ángulos agudos, recíprocas y de ángulos complementarios. (5-6)

tr[lp f[§f,}

Sugerencias didácticas

Accede a https://rvrvrr'.geogrhra.or/rn/1,'3KnrWrrrNlX

Explora el panel de animación y realiza las siguientes actividades:

) Utiliza el deslizador o para variar el valor del ángulo entre 0' y casi 90'. hl Ubicaeldeslizadorenlossiguientesángulos:30',37',45"y60',respectivamente.Luego,

¿r

Para iniciar

I

elabora una tabla y escribe los valores de las seis razones trigonométricas.

Recuerde acerca de las razones trigonométricas, señalando que son relaciones obtenidas entre los lados de cualquier triángulo rectángulo tomando como referencla uno de los ángulos agudos. Plantee las siguientes intenogantes: ¿Cómo se determina e/ seno?(Dividiendo la hipotenusa con el cateto opuesto). ¿Qué significa que las razones trigonométricas son adimensionales2 (Significa que no tienen unidades, es decir, que son números). ¿Será posible que el cos 0 sea igual a 2?(No, porque el coseno se obtiene dividiendo uno de los catetos entre la hipotenusa y este cociente siempre será menor que la unidad, debido a que la hipotenusa es mayor que el cateto). Rememore acerca de los triángulos rectángulos notables indicando que en el triángulo notable de74o y 16" las medidas de sus lados son proporcion ales a 24 k, 25 k y 7 k; mientras que en el de 53" y 37o son proporcionales a 5 k, 4 k, 3 k. Los ángulos agudos de estos dos triángulos son aproximados.

(

)

rl

t

r

)

Comprueba que la tangente de I 6" es igual a la cotangente de 74o. ¿A cuánto equivale el seno de 8'? ¿A cuánto equivale la secante de 82o? ¿Será verdad que el coseno de 15" es igual a la cosecante de 75o? i

fok'""*"^ . ca.

Razones trigonométricas de ángulos agudos

Mueve el botón azuly podÉs determinar las seis razones trigonométricas del ángulo

Loslo)=-=-=071 l{ 14 , d l0 \.¡('f) ,. _ = i¡lll -

Para desarrollar

I

I N N @ j

ci ¿ :q

¿Sus lados cumplen con la relación de proporcionalidad? (No, porque su hipotenusa mide 25,40 y el cateto mayor mide 24,42; es decir, se exceden). Resalte que este triángulo no es exacto, sino aproximado.

!=

o o o =

p € =o L

@

c _g

c @

Explíqueles que van a determinar las razones trigonométricas de ángulos agudos haciendo uso del software Geogebra. Luego, pida que accedan a la página web que se indica en el paso 1. Para que se familiaricen con el programa, pregunte: ¿Cuánto miden inicialmente los lados del triángulo? (a = 10; b = 10; c = 14,14). ¿Qué triángulo se muestra alinicio? (Triángulo notable de 45'). Resalte que este triángulo tiene sus medidas exactas. Pida que desarrollen el segundo paso, donde deben desplazar el punto "C". Para facilitar, indique que deben seleccionar el punto y con las teclas direccionales desplazarlo a lo largo del semieje positivo horizontal. Pida que asignen a "b" el valor de 7 y, que, luego seleccionen el ángulo de74'. Pregunte: ¿Qué triángulo se formó? (El triángulo notable de 74" y 16").

GEf}

ffi N

,§

E

Remarque que las razones trigonométricas no dependen del tamaño de la figura sino que está en función de la medida que tome el ángulo. Enfatice que solo existen dos triángulos notables cuyas medidas son exactas (son el de 60" y 30o y el de 45"; los demás triángulos notables son aproximados). Para consolidar los aprendizajes, solicite que desarrollen las situaciones

s a o

= 0.7

4.14

-'i6-

exnlona

M=2

sen

@ p= cos2

¡¡ v

.-,

Y

-

=

I

t0

lo

lit

t0

-

lil c=14.14

t4.t4 l0

1.4

'

E TNTERACTúA

Usa estrategias y proced¡mientos: 1,ó

Determina el valor de las siguientes expresiones:

O

a.

Mueve el punto C a la derecha o a la izquierda para comprobar que las razones no dependen del tamaño del triángulo utilizado, sino solo de la medida de su ángulo. Comprueba que para un ángulo determinado o, las razones trigonométricas no varían.

23'+

@ N = cos 12' . 4

Para consolidar

I

oq! .:

GeeGebro

ll"

tan 10" csc

tan sec

48'-

5l'+

-2tan27'lo

-

3 csc

+i

sec2

4'-

El

Si cos 17' ' sec cos

20" .cot2 89"

19'- I 80" ' cos 32'

2 cos 84o + 3 sec 2 sen

59' .cot

5'

5 cot 87o . sen 2o

Mueve el botón azul y responde. Justifica tu respuesta.

O

I

7' =

I , ¿se podría

afirmar que

l7'= -l;;?

Si sec 29" = csc 61", ¿es verdadera la ecuación sec 29o

'

sen 61"

=

1?

U¡¡IDAD

¡l

Tagonomefia

189

TEXTO ESCOLAR

Actividades integradas I CIERRE

Análisis de las preguntas

I SINTETIZAMOS

Te

presentamos rnediante un organ¡zador gráf¡co los conceptos clave que has trabajado en esta unidad.

Sistema de medidas angulares Long¡tud de arco. Area

del sector c¡rcular

Relación

enfe

los sistemas sexages¡mal (S). centesimal (C) y rad¡al (R).

S C R S C R[S C S C ñ= ñ= ñ. - 180 = 2oo = r I rao- =zoo-' s=16 Long¡tud de arco: L =

r.

Área del sector circular: Donde r es el rad¡q

c

I

a, donde r es el radio y a es el ángulo en radianes

. A, = f;a

. A,=

. A,

?

es el ángulo en radianes y

L

=

*

es la longitud de arco.

Razones trigonométricas de ángul0s agudos: C

Sen0=

Seno --Tb

Trigonometría

Razones

trigonométr¡cas

Coseno

Énq=¿

TanSente

a

b

Cosecante

csc

=a

secante

sec

o =7

Cotangente

cot

b

c

=a

o Cateto adyacente a

a

I

Razones trigonométricas inversas:

1

.Senct.CSCc[=

. COS(r.SeCa=1 .tana.COtct,=1

Razones trigonométricas de ángulos complementarios:

r sen c = cos (90.

-

a)

.

tan a = cot (90'

-

d)

.

sec tr = csc (90'

- a)

Resolución de triángulos rectángulos: conocidos dos lados y conocidos un lado y un ángulo. Resolución de triángulos oblicuángulos:

Levdesenos: o

C

sen

Resolución de

Ley de cosenos:

triángulos

B

.

b2 = a2 +

C

.

A. --1sen B a2 = b2 + c2

-2ac' cosB,

'

sen C

-2bc. s? =

A

cos

rz * 6z -2ab' cosC

I

CONSULTAMOS Digita en el buscador de internet de tu preferencia el conjunto de palabras que se indican y accede a las primeras

ó

direcciones que aparezcan.

I

€ ,-6

_§

Libro de actividades (págs, 190-191)

@ eara ampliar la teoría . khan academy + longitud de arco . filetype: pdf sector circular . filetype: pdf libro de matemática + razonestrigonométricas

Og rurrver

.

aplicaciones

"razones trigonométricas" + aplicaciones en la vida cotidiana

.

videos + ángulo de elevac¡ón y de depresión en la v¡da diaria

b I . . .

Para ¡nteractuat online

I

thatquiz + longitud de arco thatqu¡z + trigonometría geogebra search razones

trigonométricas

o UNIDAD

4

TrlSononrctr a

43

lndique que la capacidad "Comunica" se pone de manifiesto en las actividades 1 a la 5, donde se pasa de una representación simbólica (ecuación) a una representación coloquial, que se traduce en verdadero o falso. Para los casos anteriores, sugiera que apliquen la fórmula general de conversión, las propiedades de las razones trigonométricas recíprocas y las co-razones. En cambio, en las actividades 6 a la 10 deben pasar de una representación gráfica a una representación simbólica (razones trigonométricas). .Usa estrategias Para la actividad 15, correspondiente a la capacidad y procedimientos", sugiera a los estudiantes que primero establezcan una estrateg¡a. Pregunte: ¿Qué estrategia sería la más apropiada para aplicar? (Se observa que intervienen en la expresión los tres sistemas de medida angular, por la tanto, se puede emplear la fórmula general de conversión para expresarla en función de la constante). En la actividad 16, hágales notar que las áreas deben determinarlas en función del radio R y del ángulo 0, ya que estas dos variables se eliminarán al calcular el cociente. Asimismo, para las actividades 17 y 18, sugiera que apliquen las fórmulas de la longitud de arco y del sector circular. Recuerde previamente a las actividades 19 a la21 acerca de las razones trigonométricas de los ángulos notables y de los ángulos complementarios. En la actividad 22, destaque que los triángulos que se generan son oblicuángulos, por lo tanto, deben hacer uso de la ley de senos y la ley de los cosenos para resolverlos. En Ia actividad 23, se conoce la medida de uno de los ángulos y la relación de la longitud de los lados del triángulo oblicuángulo, y a esto se agrega que en la expresión solicitada se encuentra la tangente, lo que nos proporciona un indicio para emplear la ley de las tangentes. En la actividad 24, resalte que los ángulos son complementarios, por lo tanto, las razones trigonométricas de dichos ángulos son iguales. Para la actividad 25, que pertenece a la capacidad "Argumenta afirmaciones" sugiérales que deben transformar los ángulos a radianes para que determinen las longitudes solicitadas. Procure que en cada resolución fundamenten sus procedimientos. En la actividad 26, hágales notar que los triángulos rectángulos que se generan son notables, por lo tanto, se puede determinar las longitudes de sus lados. Pregunte: ¿Si en las actividades 27 a la 29 aparecen los ángulos de elevación y de depresión, qué se debe utilizar? (Iriángulos rectángulos). En la actividad 31 que corresponde a la capacidad "Modela objetos", resalte que se tienen que resolver los triángulos rectángulos aplicando las razones trigonométricas, mientras que en la actividad 32, hágales notar que deben emplear el triángulo rectángulo notable de 53" y 37", para determinar los lados de los triángulos. En las actividades 33 a Ia 35 sugiera que apliquen los ángulos de elevación y de depresión, por lo tanto, deben representarlos mediante un gráfico. lndique que en la actividad 36 deben realizar la representación gráfica del problema haciendo uso de los rumbos, y sugiera

N N

)ci @

c

'6

)

8

o o

¡

p IE

o

L

a o c

§ c a

gI

LIBRO DE ACTIV¡DADES

ACTIVI DADES INTEGRADAS comun¡ca Escribe V si

es

verdadero o F si

O

taO' +

O

Sen 25" + cos

@ tan @

§

r

200e +

sen (17" 28')

csc (2r

-

falso.

2 cos

csc 5" = sec

trl M

65'

85'

'csc (72" 32') =

y + 30") = sec (60"

Argumenta afirmac¡ones

Modela objetos

ID En un ángulo se cumple que

Resuelve y explica tus respuestas.

Resuelve las siguientes situaciones.

@ EI tramo de una carretera

@ Calcula DE en términos de rn y g.

t'

rad = 3n rad

65' + I =

8''cot 8o

es

Usa estrategias y proced¡mientos

-

,,ffi - r,e

2x + y)

racl

@ Observa el gráfico

tr

|

ángulo. f

del

está formado por dos arcos de circunferencia: el primero tiene un radio de I 8 km y un ángulo central de 40', y el segundo tiene un radio de 36 km y un ángulo central de 50'.

= l. Calcula en radianes la medida

Halla la Iongitud total de dicho trurno.

o

Vcalcula:Q=fi

2 3

@ Un jugador de billar golpea la bola

B

M

D

Observa la figura y completa la respuesta correcta.

perímetro de la región coloreada.

5

B

r

l-l

IA

lE Calcula el ¿í¡ea

C

de la región coloreada.

l¡

Glseno+sen0-cos0+l=

l.r

l( l'/

O)(ro-2ul

16m c(

24mi

@ Ada compró un tereno,

desde la

3m

()(rr))

O

cott)

E

meter la bola o fallará? Ten en cuenta que si una bola de billar rebota en una banda con un ángulo cr, sale después con el mismo ángulo cr. FalIrnl

a*

,¡cos0

l+ r.,,,

posición A con un ángulo de 30" hacia la banda. La bola rebota en el punto B y, luego, en el C. La intención del jugador es que la bola entre por el agujero de la esquina D. ¿Conseguirá el jugador

lD Determina el C

(, = f)

B

C

tal como se muestra [a figura. Si AC = 40 m, ¿,cuál es el área de la

t6'

parte coloreada? ,142. 19

rrrr

\53'

A

B

@ Los lados de un triángulo tienen longitudes,v, ar, 2a¡. Encuentra el valor de c necesario para que el ángulo opuesto al lado de longitud.r sea de 60'. r .l

@ El piloto

.¡

de un avión observa la cima de la torre

de control de un aeropuerto con un ángulo de

Otancr-cot0+secc cos«= @cscn cos0 -tantr'coto.= @ @

sen


sen2

a+cos2
a'tan o = sec

D

I

@ Simplifica la siguiente expresión: n

ii

c

@ carcura F =

tan

ED

-

:

C

lfi lD

o L

2ffi

¿=* y

6 = 2+i,

las siguientes medidas para hallar la altura de una montaña. ¿Qué

calcula el valor de

= l7(cos A-

cos C)

altura llegó a encontrar? .160.11 rI

Halla la distancia entre la casa y el

2aá

Elrao" _cl]

=lt)+ é -zac!*{l

¡to

0=51'Yla distanciadeAaD es 100

m.

L

sen C

§

.16.91 nr

d

@ En un triángulo ABC

se tiene que C

Bl. Calcula,un --" lA; "á = 2c. -"'--'--'\ 2 t' ' )

= 60' , a = 6c

.,

EB Si a

+

13

190

l00O m

ED Se desea medir la altura de una torre cuya base no es accesible y está situada en un terreno horizontal.

a=5O",n=74",

5

s p

p

I p P

= 90", simplifica:

p asec c+ ácsc p *^, _o2seno,-á2con - a sen c +7ioa0- r. se¡13óL p) .

g =

o

Desde un punto A, la tome se levanta 37" sobre el horizonte. Separándose l2 m más de A, se llega a un punto B desde el que la torre se levanta 28" sobre el horizonte. ¿Cuál es la altura de la torre?

21.67 m

@ En el centro

o

,n oun,o

i]* 't

'"

velocidad uniforme. Al cabo de 25

minutos, un observador situado a una distancia de 203 m de A, observa el globo con un ángulo de elevación de 74'. ¿Aqué velocidad en km/h se eleva el globo? I 6.701 knr/h

@ Un cartógrafo anotó

-2\e

sale de la Tierra desd.

se eleva con

m

- z-sr+*:

triángulo rectángulo ABC, recto en B, g5g

@ Un globo D

:¿?

§c (o

o2

-

""(a*) [Da-D

@

c a

c2 = a2 + b2

@c#=-fu=

p

s<

d::%.

58o

árbolsim=60",

N N @ j

!o o o

3' . tan 32" . sec 27" . tan

la siguiente expresión M

B

pc

I

5

ED En un

Completa el valor que hará que se cumplan las igualdades:

ci

sen 4o . cos

fil

0- I =

depresión de I 8". Después de avanzar 600 metros, el nuevo ángulo con que observa la torre es .10". ¿A qué altura se encuentra el avión en ese instante?

lm

de una plaza circular se encuentra una

pileta, y al borde una estatua. Se observa la parte más alta de la pileta con un ángulo de elevación de 53". Calcula la tangente del ángulo de elevación con el cual se observa la pileta desde lo alto de la estatua, si la altura de la estatua es la mitad de la altura de la pileta. t/.t

E§ Desde la base de un edificio de 40 m de altura, dos personas se alejan en direcciones diferentes, una al noreste y la otra al este. En determinado momento, miran la parte superior del edificio, la primera con un ángulo de depresión de 30" cuya distancia es de 50 m, y la segunda con un ángulo de elevación de 45'. ¿,Cuál es la distancia entre ambas personas en ese instante? 18.2(r ¡¡

@ En un cuartel del ejército entre la sierra y la selva construido una torre. Un soldado que es aficionado a la topografía realiza las mediciones que se muestran en la figura. ¿Cuál es la altura de la se ha

torel

')/ //rn 268,5 m

+

.-- "

245,5 m

UNIDAD

4

Tr¡Sonometria

191

LIBRO DE ACTIVIDADES

Evaluación ¡Texto escolar (pá9. 44) ¡Libro

ACTIVIDADES PROPIAS DEL BACHILLERATO INTERNACIONAL usa estrategras y procedimientos

La construcc¡ón de un

0

túnel

En la construcción de la carretera Huánucose encontró una montaña de 260 metros de altura, por lo que se decidió construir un túnel a través de ella. Desde un punto P situado en un extremo de la montaña se observa su pico con un ángulo de elevación de 48'. Desde otro punto R, en el otro extremo, se observa con un ángulo de 38'. ¿Cuál será la longitud del túnel?

el zPSQ: tan 4lJ' =

L.n

l"(l

.

nr

",, = ¡¡nlll)l8o

que se encuentra en un punto de observación A, avista el incendio de un supermercado en el bulevar Asia, en la dirección N 27" E. Otro bombero de la estación de Cañete que está en un punto de observación B, a l0 km al este de A, avista el mismo incendio en N 52" O. Calcula la distancia de cada uno de los puntos de observación del incendio.

?!0

rrr ll La

= 1?' ?x

.

. Resolver

tendría?

de un parque se encuentra inclinado 20o con respecto a la vertical y está por caer en

dirección a una casa que se encuentra a 15 m de la base del árbol. El dueño de la casa, que es un ingeniero civil, sale a la puefa y calcula con un teodolito que el ángulo de elevación desde un punto del piso hasta la parte superior del árbol es de 52". ¿Caeráel árbol sobre la casa? ¿Por qué?

Graficamos según los datos

9.-1-1 nr: 9.(r(r

La d¡stancia

El

-n-7 _sen 58" h

h = 1.3.94 m

l0'

rl=.

En la situación 1, hágales notar que deben hacer la representación gráfica del problema para visualizar mejor las condiciones que lo restringen. Destaque que la lÍnea visual va a partir de la posición del helicóptero, por lo tanto, deben usar el ángulo de depresión para ubicar ambas embarcaciones. Pregunte: ¿Se podrá apl¡car el teorema de Pitágoras? (No, porque solo se conoce la longitud de uno de los lados). ¿Qué estrateg¡a puedes apl¡car? (Como se conocen los ángulos y un lado, se puede hacer uso de la ley de senos). Previamente a la situación 2, resalte que el seno de 90" es 1, as¡mismo, indique que la distancia entre la patrulla acuática y la embarcación turística es AC. lnterrogue ¿Qué estrategia se puede apl¡car en este caso? (Se puede usar la ley de senos o el teorema de Pitágoras). Para desarrollar la situación 3, indique a los estud¡antes que deben lrazar la altura del triángulo para representar la altitud del helicóptero. Luego, deben evaluar con especial atención al triángulo rectángulo que se forma. Esto les permitirá elegir la estrategia que aplicarán. lndique que si se conoce un lado y dos ángulos del triángulo es condición suficiente para hacer uso de la ley de senos.

I

Para la situación 4, pida que realicen la representación gráfica del problema. Pregunte: ¿Qué tipo de triángulo se formó? (Un tr¡ángulo oblicuángulo). ¿Qué estrategia se puede aplicar?(Como se conoce las longitudes de sus tres lados, podemos aplicar la ley de cosenos para calcular el ángulo pedido). Asimismo, en la situación 5, hágales notar que nuevamente deben determinar el ángulo. Pregunte: ¿Qué estrategia puedes emplear en este caso? (Se conocen los lados y uno de los ángulos, por lo

entre dos barcos

Un barco sale del Pueno de Salaverry, ubicado en la ciudad de Trujillo, a las I 3:00 horas, con una velocidad de 10 km/h con dirección S 35' E. Una segunda embarcación sale del mismo puerto a las l4:00 horas, con una velocidad de l2 km/h con dirección S 20' O. ¿Qué distancia separa a ambos barcos a las 16:00 horas? 15..1()(r krrr

No, porque el árbol mide I 3,94 m y la casa encuentra a 15 m de la base del árbol.

ó I e

se

§ @

192

Emplea estrategias heurísticas, recursos gráficos y otros para resolver problemas relacionados con los triángulos rectángulos y obl¡cuángulos, (1-6)

I

Dr

p i

15 m

Expresa relaciones y propiedades de los triángulos rectángulos y oblicuángulos. ( 1-6)

Es importante que se familiaricen con la situación problemát¡ca. Por ello, propicie el diálogo sobre las caracterÍsticas que presentan las regiones selváticas, como es la abundancia de vegetación que origina que algunas embarcaciones se desorienten y se p¡erdan en la frondosa vegetación. Pregunte: ¿Alguna vez te perd¡ste? (Respuesta libre). Luego, pida que den lectura al problema y que apliquen la técnica del subrayado para resaltar la información relevante para su resoluc¡ón. Asegúrese que los estudiantes cuenten con su calculadora cientÍfica.

h

Aplicamos ley de senos:

Contrasta modelos basados en los triángulos rectángulos y obl¡cuángulos relacionando sus propiedades, (1-6)

I

construcción de una rampa se construirá una rampa para estudiantes con discapacidad. El ángulo adecuado para hacer estas rampas es de 15". Si ta altura que se quiere alcanzar es de 2,5 m, ¿a qué distancia debe comenzar la rampa y qué longitud

f,) Un árbol

.

.

lnterpretar

Gl En una institución educativa

árbol del parque

.

Tenga en consideración para evaluar las siguientes capacidades e indicadores usados en el marco ECE, asimismo, considera que el problema presentado corresponde a una situaciÓn extramatemática, es dec¡r, que se enmarca en un contexto real. lvlatematizar

(r.27 krn : ()J)[3 ktn

Por Io tanto. la longitutl del túnel es: Dt + il = 234.11 nr + -132.7¡t m = 56ó.ti9 nr

El

I

piso, a 15'a la derecha de la línea perpendicular al arco. El arquero se tira, por intuición, hacia el otro lado. Teniendo en cuenta que el largo del arco es 7,32 m. ¿Es gol o no? Sí es gol.

el IRSQ: tan 38' = ?é{l

ED

Sugerencias evaluativas y metacogn¡t¡vas

5

@ En el partido de la Final de la Copa Libefadores se cobra un penal. El jugador encargado de ejecutarlo ubica la pelota a I I metros del arco (punto penal). El jugador patea, sin mucha potencia, al ras del

R

',,,' = trn 48' =

Argumenta aftrmaciones: 2;

El Un bombero de Ia compañía de San Pedro de Mala

Trazamos la altura QS con respecto a la base

.

6

El penal

Graficamos según los datos

l(l)

3;4,

El ¡ncend¡o del supermercado

La Unión

.

: 1;

de actividades (pá9. 193)

tanfn

nnrlamno

anli¡ar

l^ l^,,

+^*h¡Á^ ^^

l^ l^' ' ¡^

^^^^^^^\

TEXTO ESCOLAR

gT

L¡BRO DE ACTIVIDADES

EVALUAC¡ÓN

EVALUACIONES NACIONALES E INTERNACIONALES dir

p

ripo

Embarcac¡ón turíst¡ca extrav¡ada

ne.arrolta las actividades y demuestra lo que sabes. Escribe V si

O tzo"= lsoe=?rad. I

cos
(F)

cos cr= sec o,

El

sen 37" + csc 53"

-

r, _ (tan

'' -

(v)

2 tan 45" =

-n 3

415

y

Una embarcación turística que se extravió cuando se d¡rigía al caserío de santo Tomás en lquitos fue ubicada por un patrullero acuático, que fue apoyado desde el aire por un helicóptero. Resuelve las siguientes s¡tuaciones, si el ángulo de depresión desde el helicóptero hasta donde se encuentra la embarcac¡ón turística es de 25", el ángulo de depresión hasta donde se encuentra el patrullero acuático es de ó5'y su distancia a este es de 25 m.

tan F = 3/4, calcula el valor de

sen (.r + 2y¡ = ses (2r + y), calcula el valor de la siguiente expresión: 4rl3

(v)

= !)tanc=cotF- c¿+p=90'

o=

@ Si

oq-

2

sen

2tan(o-p).7tt2

(F)

§

@A"=+-r=F f,)

(D Si

es verdadero o F si es falso.

(v)

3x + tan 3y)2

tan

-

(r

(tan 3x

+,

-

tan 3y¡2

O

@ A partir de la figura. calcula -P =:-9:g senc- l.5'

A

G) S, C y R representan las medidas de un mismo

(

3m

ángulo en grados sexagesimales, centesimales y radiales. Simplifica la expresión: 44

o
§l

@ En un A ABC, se tiene we$= el valor de Q =

4u

o
t0

Observa el gráfico y calcula el perímetro de la región coloreada en función de a y de c.

14

u

i f

o

a(

(E Halla el iírea de la región coloreada.

sE o L

D

a c

§ c @

m

44

24fr

I

E

q

192 cm2

+ ."n

f

l

6)t ot

AC Hrod

AC=

= z, ¿qu6 valores puede tomar

¡2 -3:

Gl

turística.

8,72,66" \Q)73,61"

25(sen 90') = 59.16 m sen 25"

ley tle cosenos:

(¡NA= I

El

I

e

¿Mefueút grafcare problemaparaencontrarsusoluc¡ón? lprender significativamente las matemát¡cas es entender y

@Zr,OO"

lt prcgunta.l y aplicarlos

(60)r = (.10)r + (62,25)r 2(30X62.25).cos A

,§

8

¿Qué dificultades se me presentaron durante el desarro lo de las activ dades? ¿Cómo as superé?

É

Calcula el ángulo formado por las líneas visuales entre el patrullero acuático con el helicóptero y la embarcación

(A,70.

af

calcula la altura a la que se encuentra sobrevolando el helicóptero.

A 20,66m

t.B

26,26m @ZZ,OO^ D.20,66m

ó METACOGNICIÓN

2(.10Xfi)).cos B

c,'sB=#-ll=8()"

t5

= *',1

-

Utiliza¡ros el ¡lrrif-ico de

N

.

D1

(ol.?5lr = (30)r + ((l))r

Determina la distancia entre el patrullero acuático y la embarcación turística.

lcY oe senos:

l0 + 9rr)

@

li

30 nr

l'in el gráfico. la distancia cntre el patrultero acuático y la cmbarcacirin turística es AC. Aplicanros

el mayor ángulo agudo. ¿Qué valores puede tomar E para que la igualdad 3E-l7sen (90" -0) = 3 seacorrecta? II:-1lll l.r

D 82'

= 53,61m

As9,ó'rm 8s6,9'rm c50,1óm @sr,ro.

se tiene que 0 es

= -16

25"

@ro'

B ó0.

61.15

@ En un triángulo rectángulo ABC, recto en B,

.

In

p

65')

u.

o

o o

SCN

70. raficarlrs:

=.i§"

aj'

25(se:n

i

Aplicanrcs ley de cnscnos:

iq

hay que aumentar al ángulo central dé dicho sector para que su perímetro no varíe si su radio es la mitad del anterior? l5/7 ratl

2u

:9

cotA secA'cscA

Calcula

f.;Cuanto

tD si

)d

'

l=f,.

(E §g tiene un sector circular de radio r y perímetro

5a N N @

A

Hallamos BC, BC =

Analiza y responde.

«= I rad

= 0.[J ratl

el helicóptero y la embarcación turística es de ó0 metros, y la djstancia entre el patrullero acuático y la embarcación turística es de ó2,25 metros; calcula el ángulo formado por las líneas v¡suales entre el hel¡cóptero y las dos emfiarcaciones.

50,ó'1 m

B

Aplicnnros ley rle senos:

b) 4m

D

si en c¡erto momento la distanc¡a entre el hel¡cóptero y el patrullero acuático es de 30 metros, la distancia entre

(

de o en radianes.

,2.

m

25m

Cinco veces el número de grados sexagesimales de un ángulo más tres veces el número de sus grados centesimales es 375. Determina el número de radianes de dicho ángulo. r/4 rad

a)

irafie¡¡ur¡s

52,61

JV-lm

( toR)2

El Halla el valor

c

@s¡,¿r,

59,1óm

O

65'

(2C-SXC-S)¡2

!

calcula la distancia entre el helicóptero y la embarcación turística.

Resuelve.

O

ECE

['ara dcterminrr la altura r la quc se r'Dcuenlril sr¡brcvola¡rdo el helicóptero. se traza la altura BD.

p

[in e I triángulo rectángulo ABD:

I

scn 65" =

§

§

0

o

lP t5 -

UO =

15

sen 65" = BD

Gl

I 175 r)6

l7t5

+A=i1.66"

Calcula el ángulo formado por la embarcación turistica con el helicóptero y el patrullero acuático.

@za,sa' \B)27,a2" c 29,36"

D 30,33'

t.ltilizarnos el gráfico de la activitlad 4:

- ll,(,(r rl

A+B+C=

I80"

71.66+80'+C= lti0' C = 2ll..l4'

valorar los espacios geométricos del mundo que nos rodea.

UN|oAo ¡l Tr¡gonometria

193

I

C¡ rcu

nferencia trigonométrica RECURSOS

PRESENTncTótrr El contenido de esta unidad es fundamental para la comprensión de las líneas trigonométricas y su relación con las funciones trigonométricas. Se inicia con un tema que ya se ha estudiado en el grado anterior, pero que esta vez se realiza con mayor profundidad: las razones trigonométricas de los ángulos en posición normal ubicados en el plano cartesiano.

Durante el desarrollo de esta unidad, se explican las razones trigonométricas de los ángulos orientados (horario y antihorario) y sus respectivos signos en los cuadrantes en que se determinan. Además, se incluyen temas relacionados con la circunferencia trigonométrica y su reducción al primer cuadrante.

D.

Biblioteca del docente Día a día en el aula (págs. 210-237)

,f§santillana Digital

lT

S""r"ncia digital: Ángulos trigonométricos

O

ESQUEMA

O

Para empezar Breve introducción al tema ¿Qué aprenderé?

Aprendizajes y habilidades que logrará el estudiante

Circunferencia trigonométrica

O Compruebo lo que sé Actividad interactiva: Saberes previos sobre ángulos

O

I

I

Ángulo en posición normat

Ci

Razones trigonométricas de un ángulo en posición normal

rcunferencia

tri

gonométrica

RB.TT. de ángulos cuadrantales

O Ángulo trigonométrico en posición normal

RR.TT. de ángulos complementarios, suplementarios y opuesto

Signos de las RR.TT.

Ángulos coterminales

Animación: lnformación sobre el ángulo trigonométrico

Reducción de ángulos al primer cuadrante RR.TT. de ángulos negativos

O Signos de las razones trigonométricas Animación: lnformación sobre el signo de las razones trigonométricas en cada cuadrante.

lfi) O

Uso de software matemático

Geogebra

Estrategia para resolver problemas: Generalizar áreas usando razones

trigonométricas

Ficha de orientación didáctica: Taller

matemático

Razonamiento matemático:

Actividades integradas,

Comparación y suficiencia de datos

deBly prueba tipo ECE

Una situación a resolver Actividad interactiva: Situación significativa sobre ángulos trigonométricos

Resuelvo operaciones con ángulos cuadrantales Video: Procedimiento para resolver operaciones con ángulos cuadrantales

O Aplicamos lo aprendido Síntesis, recursos en la web y autoevaluación

Actividad interactiva: Aplicación de los temas desarrollados en una situación cotidiana

Solucionario de las activldades

O Compruebo mis conocimientos Actividad interactiva: Evaluación interactiva

O Permiten desarrollar habilidades y destrezas matemáticas útiles para afrontar situaciones de contexto real.

M

Para linalizar Actividad interactiva: Metacognición

N N @ j

ci :9 f E

Io E

¡

po € co o co

§ r-¡o,o*¡"0¡a

F c

U)

PROGRAMACIÓN Desempeños

Competencias Resuelve problemas de forma,

movimiento y localización

N N @

.

lrlodela las características y atributos medibles de los objetos con formas

geométricas compuestas que resultan de combinar formas geométricas tridimensionales y cuerpos de revolución, relaciones métricas de triángulos. Así también, la ubicación, distancias, alturas inaccesibles, y trayectorias complejas; con razones trigonométricas, mapas y planos de diferente escala, la ecuación de la parábola y circunferencia. o Plantea y contrasta afirmaciones sobre relaciones y propiedades de las formas geométricas, a partir de experiencias directas o simulaciones. Comprueba, la validez de una afirmación opuesta a otra o de un caso especial, mediante contraejemplos, conocimientos geométricos, y razonamientos inductivo y deductivo.

)ci

. .

Razones

trigonométricas de un ángulo en posición normal Signos de las RR,TT. Ángulos

coterminales ¡ Circunferencia trigonométrica. RR.TT. de ángulos cuadrantales . RR.TT. de ángulos complementarios, suplementarios y opuesto o Reducción de ángulos al primer cuadrante . RR.TT. de ángulos negativos

Modela objetos con formas geométricas y sus transformaciones.

Comunica su comprensión sobre las formas y relaciones geométricas.

o o o

p n =o C

@

§

.

o

¡ ¡ r ¡ o

¡ o Usa estrategias y procedim¡entos para orientarse en el

espacio.

afirmaciones sobre relaciones geométricas.

l

. .

Representa matemáticamente situaciones de contexto que se relacionan con temas de trigonometrÍa.

ldentifica ángulos en posición normal. Reconoce el signo de una razón trigonométrica. Evalúa la existencia o no de determinadas razones trigonométricas de ángulos cuadrantales, complementarios, suplementarios y opuestos. Identifica las razones trigonométricas de un ángulo en posición normal.

ldentifica ángulos referenciales menores que una vuelta. Reconoce y expresa razones trigonométricas de ángulos de la forma 90'+ ldentifica por simple inspección ángulos de la forma 180' + a y 360' + o,. ldentifica por simple inspección ángulos de la forma 360o n + Halla por simple inspección el resultado de ángulos negativos.

Tiamnn aetirnadn. 3 qománás

cr

y 27Oo + a.

o,.

Aplica el teorema de Pitágoras para encontrar la distancia entre dos puntos en un sistema de coordenadas, con recursos gráficos y otros. ¡ Determina las razones trigonométricas de un ángulo en posición normal. o Resuelve situaciones relacionadas con las razones trigonométricas de los ángulos cuadrantales complementarios, suplementarios y opuestos. e Resuelve situaciones relacionadas con las razones trigonométricas reducidas al primer cuadrante utilizando software matemático, . Resuelve situaciones relacionadas con las razones trigonométricas de ángulos referenciales. o Resuelve situaciones de reducción al primer cuadrante de ángulos de la forma 90o+ a y 270o * a. ¡ Beduce al primer cuadrante ángulos de la forma 1 80o + o, y 360" t cr. ¡ Reduce al primer cuadrante ángulos de la forma 360" ' n + o. . Beduce ángulos negativos al primer cuadrante.

¡

Justifica el planteo de estrategias para resolver problemas que involucran razones trigonométricas de ángulos agudos, notables, complementarios y suplementarios. o Justifica conjeturas respecto a razones trigonométricas de un ángulo en posición normal. . Plantea conjeturas y situaciones relaclonadas con las razones trigonométricas de ángulos cuadrantales y complementarios. . Plantea conjeturas respecto a situaciones relacionadas con las razones trigonométricas de ángulos ref erenciales. . Plantea conjeturas respecto a razones trigonométricas de ángulos de la forma: 90o+ cr y 270o t a. ¡ Plantea conjeturas respecto a las razones trigonométricas de ángulos de la forma

180o+o,y360'ta.

c @

¡

Desempeños prec¡sados

Capacidades

Argumenta

¿ rq !

Conocimientos

I

TEXTO ESCOLAR

Ci rcu

nferencia tri gonométrica ¡

Libro de actividades (págs. 194-195)

Capacidades y desempeños preclsados Usa estrategias

y procedimientos Argumenta af irmaciones

Circunferencia trigonométrica

Aplica el teorema de Pitágoras para enconüar la distancia entre dos puntos en un sistema de coordenadas, con recursos gráficos y otros. (1-10) Plantea estrategia para resolver problemas que involucran

Se observa que la aguja del radar de un centro de observación espacial forma un ángulo c en posición normal cuando detecta un objeto en la coordenada (-6;8) y forma otro ángulo p cuando detecta otro objeto en la coordenada [6; -B). Calcula la suma de cos o y sec 0.

razones trigonométricas de ángulos agudos, notables, complementarios y suplementarios. (11-12)

Sugerencias didácticas :f

Hítrát rnrctar

I

File la atención de los estudiantes en los diversos ordenadores que se muestran en la imagen. lncentÍvelos a que opinen acerca de las funciones que realizan estas computadoras. Coménteles que se encargan de monitorear y controlar la posición

-:

C

a

-

de los radares variando sus ángulos de inclinación, con el propósito de hacer el seguimiento de las diversas misiones espaciales que realiza el hombre al espacio.

gl

Destaque el valor de la prudencia que nos ayuda a reflexionar y a considerar los efectos que pueden producir nuestras palabras y acciones. Por lo tanto, es nuestro mecanismo de control que nos obliga a actuar o hablar con precaución para evitar posibles daños o dificultades a los demás. Luego, pida que presenten situaciones donde se pone de manifiesto la imprudencia; por ejemplo, cuando se cruza una vía mientras el semáforo está en luz roja.

t

solicite que resuelvan la situación problemática que se presenta al inicio de la página; indique que representen los puntos en el sistema cartesiano y, además, deben establecer triángulos rectángulos para determinar el valor numérico de las razones trigonométricas (16/15).

I

Motívelos para que analicen la imagen de la apertura, pregunte: ¿Oué observan? (Una antena parabólica recepcionando señales satelitales). ¿Cómo está ubicada la antena? (Se encuentra orientada hacia el satélite con cierto

"-

t

/'q, J\ APRENDEREMOS A...

. . .

ángulo de inclinación).

I

lnvÍtelos a dar lectura al texto "Transmisión por vía satelital", inmediatamente después promueva un conversatorio sobre el campo temático leído. Plantee: ¿Qué diferencia hay entre el ángulo azimut y el de elevación? (El ángulo azimut permite fijar la antena en el plano horizontal mientras que el de elevación nos permite establecer la inclinación en el plano vertical). ¿Qué tipo de antena debes adquiir si deseas que transmitan y reciban información? (Antenas full dúplex). Resalte que en la parte inferior de la imagen se presentan los tres tipos de ángulos.

tra consolidar

I

Consolide señalando la importancia que tienen los ángulos trigonométricos en diversas situaciones, como en Ia astronomÍa, para establecer las posiciones de los cuerpos celestes y estrellas, en la ingeniería, para el levantamiento topográfico, en la telecomunicación, entre otros.

!

ñ

/

VALORES Y

nclruors

Prudencia ¿comprendes que debes ser selectivo en la información obtenida

acerca de la utilidad de los radares para

. . . .

Representar gráfica y simbÓlicamente ángulos en posiciÓn normal. Calcular las razones tr¡gonométricas de un ángulo en posic¡ón normal. Determinar el signo que corresponde a las razones tr¡gonométricas de ángulos en posición normal.

@

Resolver ejercicios sobre ángulos coterminales.

ci

Evaluar la existencia o no de determinadas razones trigonométricas de ángulos

:9

cuadrantales.

E o o o

N

) i

Resolver s¡tuaciones relacionadas con las razones trigonométricas de ángulos cuadrantales. complementarios, suplementarios y opuestos.

J

Reducir ángulos pos¡tivos y negativos menores o mayores que una vuelta al

E o o = L

primer cuadrante.

.

valorar la matemática como herram¡enta principal en la aplicac¡ón de la tecnologÍa moderna.

@

aplicarlo en tu entorno? UNIDAD

s

C¡rcunferencia

f

iSonométrica

45

§c c a@

LIBRO DE ACTIVIDADES

Circunferencia trigonométrica

5

APRENDEREMOS

. .

Transmisi
.

de la ciencia moderna para la recepción o transmisión por vía satélite.

r

. . .

h,

.

!R

Resolver ejercicios sobre ángulos coterminales. Evaluar la existencia o no de determinadas razones trigonométricas de ángulos cuadrantales. Resolver situaciones relacionadas con las

Reducir ángulos positivos y negativos menores o mayores que una vuelta al primer cuadrante. Valorar la matemática como herramienta principal en la aplicación de la tecnología moderna.

-

I 8 REPASAMOS

o

Investiga sobre los costos de Ia instalación de una antena parabólica en una casa.

.

Reúnete en equipo e investiga con tus compañeros para elaborar un proyecto de construcción de una antena parabólica

\

LO QUE SABEMoS

En el plano cartesiano, halla la distancia que hay desde el origen de coordenadas hasta cada punto dado.

O (3;4) El

casera,

(rz;

i

-s)

I

.r

E}

(-¡

-¡l i,:

[}

(-a;

o)

lo

Dibuja el plano cartes¡ano y determina el cuadrante al que pertenece cada uno de los siguientes

N N @ j

ángulos.

ci

$

¿

I !

Determinar el signo que corresponde a las razones

razones trigonométricas de ángulos cuadrantales, complementarios, suplementarios y opuestos.

.

¿Cómo se relacionan las medidas de los ángulos azimut con los ángulos que se pueden trazar en cada una de las partes de una circunferencia?

Calcular las razones trigonométricas de un ángulo en posición normal.

trigonométricas de ángulos en posición normal.

p

Para la instalación de una antena se debe tener en cuenta tres tipos de ángulos: El ángulo azimut, que indica el punto exacto en el que debemos fúar la antena en el plano horizontal. El ángulo de elevación, que indica la inclinación que debemos dar a Ia antena, con respecto al plano vertical, para orientarla hacia el satélite. El ángulo del plano de polarización, que se ajusta girando el conversor (LNB), con respecto al plano vertical, en el sentido de las agujas de1 reloj.

4...

Representar gráfica y simbÓlicamente ángulos en posición normal.

-o

,¡

Digita en algún buscador (Edge, Firefox, Chrome, etc.) Io siguiente:

o

¡nfografÍa + antenas parabólicas + satelital

f

p

€ c

a

B33o' tvc lD zss' rv

c:

Determ¡na el resultado de las s¡guientes expres¡ones:

I

Luego, haz clic en "imágenes". Así obtendrás más información sobre transmisión por vía satélite.

o L

0so'rc Elzlo'ruc El 1eo" ru c @ tao" rr c

euscamos en la web

. {P,

!h

L

\

a _ tan'17'.CSc 87" _ tan 45'.Sen sec 3'.cot cos 3ó'

73"

cos ó0' + cot B _ ien 99: + 9Z:'- csc

- - tan45'

@

54'

secóo"

o

53'

r

q. a4

a É -9 C

a

194

lrillDAf, 5

Circunferencia trigonométrica

195

Razones trigonométricas de un ángulo en posición normal r

Texto escolar (pá9,

46) ¡

Libro de aclividades (págs. 196-199)

Gapacidades y desempeños precisados Argumenta afirmaciones

. o

Comunica Usa estrategias y procedimientos

. ¡

TEXTO ESCOLAR

Justifica conieturas respecto a razones trigonométricas de un ángulo en posición normal, (3; 16-'17) ldentifica ángulos en posición normal. (1-5) Reconoce el signo de una razón tr¡gonométr¡ca. (6-f1) Determina las razones trigonométr¡cas de un ángulo en posición normal. (1-2; 12-15)

Razones trigonométricas de un ángulo en pos¡ción normal Los radares cumplen con tres funciones fundamentales según la necesidad detectar un objeto a la distancia, la velocidad que lleva y ubicarlo en un mapa. Para ubicarlo en un mapa, hace uso del sistema de coordenadas cartesianas y los ángulos en posición normal, base para determinar las coordenadas de un objeto en estudio.

Razones tr¡gonométr¡cas

Sugerencias didácticas

seno=-9I09!É!L=lr radro vector

Para iniciar

.o."=ffi¡=*

I

tana_oroengda_¿,

I

Inicie invitándoles a representar los siguientes puntos A(3; 5), B(-2; a), C(-a; -6), D(4; -3), E(8; ), F(-1 ; -3), G(-3; 1 ) y H(6; -1) en el plano cartesiano. Promueva para que socialicen sus resultados y establezcan conclusiones como: Los puntos ubicados en el primer cuadrante tienen sus coordenadas con signo positivo, los del segundo cuadrante tienen su abscisa negativa y su ordenada positiva; los del tercer cuadrante se caracterizan porque sus coordenadas son negativas y los del cuarto cuadrante tienen su abscisa positiva y su ordenada negativa.

aDscrM

Un ángulo trigonométrico está en posición normal si su vért¡ce está en el origen de coordenadas y su lado in¡cial coincide con el lado

))

positivo del eje X. Sea Pk, )) un punto perteneciente al lado final del ángulo QoP (o) en posicrón normal.

XQ

Las razones trigonométricas de Ct se definen en el margen.

abscisa _{ cota_oroenaoa y

Los signos de las razones trigonoméÍicas de un ángulo Cr dependen ún¡camente de los signos de las coordenadas del punto P

.."^_radiovector_l aDsctsa f,

G

:

radio vector

oc=r=ff*1t

..- ^ rad¡ovector r oroenaoa y

Centre la atención en la definición de las razones trigonométricas de un ángulo en posición normal. Luego, explique que la abscisa (x), en este caso, se comporta como el cateto adyacente y la ordenada (y) como el cateto opuesto y el radio vector (r) como la hipotenusa. Resalte indicando que los signos de las razones trigonométricas dependen únicamente de los signos de las coordenadas del punto.

Razones tr¡8onométr¡cas de un ángulo en pos¡ción normal. S¡tnos

EJEMPLO

1

Si cot o =

-f:f

. .

TEN EN CUENTA SicyPsondosángulos coterminales, se cumple

"

o e IV C. calcula M = rDT

Hallamos el módulo del radio vector:

.

I

sec

a + y'7

tlT,

=

+

sen cr.

(2)2

+

r=

rt

El ángulo cr se encuentra en el IV cuadrante, en que la secante es positiva y et seno, negativo,

quep-0=3ó0"u,donden representa el número de vueltas.

t;

-/-

r." o = * VJ

Calculamos el valor de

M:

y sen s =

¡yt --

-2\/ I

t/» (q\ - rf ' l-Z\

\r'3l

\

\/7 I

=7 - 2 =

5

Para desarrollar

Angulos coterm¡nales

I

Son aquellos ángulos trigonométricos en posjción normal que tienen el mismo vértice, el mismo lado inicial y el m¡smo lado final; solo se diferencian en su rnedida.

En el ejemplo 2, resalte que en la expresión a calcular está presente la cosecante, por lo que es necesario determinar el radio vector a partir de las coordenadas del punto "P". Señale que el radio vector tendrá siempre signo posrtivo porque representa la distancia del punto al origen de coordenadas. Haga notar que evaluando los signos de las coordenadas del punto se establece el cuadrante al que pertenece el ángulo (lll C). Pídales que anallcen el ejemplo 4 y después que identifiquen la estrategia utilizada para determinar el signo, (En primer lugar, se ubica el cuadrante al que pertenece el ángulo, después de ello se establece los signos de las coordenadas según elcuadrante l)(+; +), ll (-; +), lll (-;-)y lV (+;-)). Para elejemplo 8, sugiera que dividan el ángulo entre 360" o 2¡ radianes y, luego, deben comparar los residuos: si son iguales los ángulos son coterminales,

se cumple: R.I(a) =

Enfatice que los ángulos que están en posición normal y que su diferencia es un número múltiplo de un ángulo de una vuelta, son ángulos coterminales. Además, se cumple que sus razones trigonométricas son numéricamente iguales. Resalte que el signo de las razones trigonométricas dependen únicamente de los signos de las coordenadas del punto "P", asociado al lado final del ángulo que está en posición normal,

(p)

EJEMPLO 2 Calcula el valor de R

,.ÜF

. . .

cot2190"

=

cot2

2l9O' +

ff ff

orsannou-nrus

=cot(30'+360''6)=cot

2940'.

30o

=tE +cot219O'= 15O = l/2

+

cos 2940" --

ll2

@

Reemplazamos en R los valores de @ y @: R = cot2

2 r

e0. + cos2 2940"

=

6E)2 +

(il' =, . i

=

t-

n=

:f

N

6 8

cAeACTDADES

É p 2

Sea 4 tan cr = -2 con cos a < 0. Calcula el de la siguiente expresión: N = y'* 5 sen a

E| Calculael valorde Q = tan I837' 46

cos2

cos 29zl0" = cos (60' + 36O" ' 8) = cos 60'

P¡ígs. 196-199

Para consolidar

I

R. T.

-

valor -

cos

cos2o

() 5

+ l.

3660'.

l/,1

@ Si o,

B son coterminales y 0

deteminar el sipno de R ---

e IV C, ¿es posible

cos

«

sec

0'cot 0'cos B' 'Sí._

lan

0

csc

0,

E q

É

§ o

H

L¡BRO DE ACT¡VIDADES

¡

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL

E

Y Ph',

r)

RAZONES

. senc= oldenada -Yr raoto vector

vector

cos cr =

' .

.

+++ IVC

Trazamos una circunferencia de radio (radio vector) igual a 5 u, cuyo centro coincida con el origen de coordenadas. Ubicamos x = -2 y trazamos una paralela al eje Y en el III cuadrante. Luego, dibujamos el ángulo c en el margen.

' . . .

Si se sabe que el lado final de un ángulo 0 en posición normal pasa por el punto P(-3; -4), halla el valor de E = csc 0 - cot 0.

.

P

(-31

Graficamos en el margen y hallamos x y y:

P(-3;-4)+.r=-3yy=-q . .

-4)

Hallamos el módulo del radio vecror:,

=,tE]} * 14¡ +

Si cos

' .

:9

-

!o o o (-40;

p

€

.

-#, "e

196

o=f

y cot cr < 0, calcula: B = sec2 o

tan2

r5* =; "r" Por @ y dato: csc >0 y cot d < 0+ a € II C Hallamos el valordex: 68)2 = f + 22 x ¡l - = Despejamos csc ct: 2 csc

il

+

c=

I

+

COS

+

tan

+

+

c0t

+

+

sec

+

CSC

+

+

L

__.1

q ...

O

Calculamos el valor de B (ver margen): Como cot cr < 0

+.r

2

=

-

I

I

=5-4=t

"o,

o=

-fl.on

cos a =

.

-$§§!$- =:40

q =G

4CD'z

+

(yf + ) = + 9; tomamos ) = -9

q

por estar en el

III cuadrante.

Reemplazamos y hallamos el valor de F:

-

cos o)

+

F=

4l(# - ff)

€ e

n=

:r

e II C,calculael valordeG =65(sen

cr

-

tan

d)

216

s

I

p a I

§

§

0

o

E

*

Desarrollamos la expresión dada:

Sabemos que sec

I

Graficamos en el margen y hallamos el valor de y:

ARGUMENTA AFIRMACIONES

o € IV C y (i,tó§ld=)'"no = 1.". o¡'-", halla M = 7 cos c + 6 cot a. (i.6ós o)..oo = 1r".

III C,catculael valorde F=41(sen cr-cos o).

Relacionamos la condición

f Si."" "= -#tcr

q

c a

r)

)'

o=

F = 4l(sen .,

o L

§

.

EJEMPLO 3

c

I

+

EJEMPLO ó Si

ci

sen

Aplicamos la definición y hallamos el valor de E:

j -R 4_4= 4=__+L=_L

_i

r5

,=(S)'-&f

¡=J

E=csc0-cote=-5 _4-:3 _4= -5

N N @

IIC

EJEMPLO 5

EJEMPLO 2

2

IIIC

El signo de la expresión A es negativo.

Si 2 csc o =

Y

Signos en los d¡stintos cuadrantes.

(+)'(+)'(-) (-) ^ (-)'(-) (+) (+)

c = --3b§gi§L = +r = -] radio vector 5

-)

TEN EN CUENTA

IIIC

Colocamos el signo correspondiente a cada razón según el cuadrante en el que se encuentra y resolvemos:

-2l5.

Observamos la definición y relacionamos: cos

IC

csc 156' .tan76" .cos 290" cot342" 'sec 248' ' sen I l8'

posición normal si pertenece al tercer cuadrante y

-

UffiffifS

Identificamos el signo de la razón trigonométrica según la medida del ángulo:

abscisa _r . .^r^_ ""'*-oÍdenada-)

. cr en

el'igno a"e =

IIC

1

Grafica el ángulo

Pr(-:

aDSCtSa

áDSCtSa

EJEMPLO

Indica

Pr(+; +)

x

EJEMPLO 4

radio vector _ r . .." ^ _ ordenada -Y '""*. 5.. o = radio vgctor - At

. 665o= ábscisa -xr raoro vector . tana=orqenpda-)u

Pr(-; +)

Los signos de las razones trigonométricas de un ángulo o dependen únicamente de los signos de las coordenadas del punto q asoctado a dicho ángulo c[; es decir, de los s¡gnos de las coordenadas de un punto cLlalquiera del lado final del ángulo.

Sea P(r, .y) un punto perteneciente al lado final del ángulo QOp (o) en posición normal. Las razones trigonométricas de d se definen de la s¡guiente manera:

oe=r=Jf*f

I

S¡gnos de las razones trigonométricas

Razones trigonométricas de un ángulo en posición normal

,IQ

OP: radio

TRIGoNoMÉTRIcAs DE UN ÁNGULo EN PoSICIÓN NoRMAL

"

o¡'-''' , [,.o, or]]""

=

Para el ejemplo ó: Si mantenemos la

'... r."" ...¡' o

segunda condición y ahora cr € ll C, ¿qué pasaría con el valor de M? Justif¡ca tu respuesta.

c = (cos c)-¡, reemplazamos en O: senq

llttno

I

i(cosc¡r] =((coso)-r)' +1cosc)T=(coso)-7 'l Y send I sena=-7=; ^ +y=-3yr=t 3 =-1. Calculamos el valor de ¡: 72 = I + G3)2 + x = +2JlO ' Hallamos lo que nos piden: como c € IV C + x = 2rl10

*

=

r(+). .(+) + M =

2116

-

4./

to =

De la 2.'condición:

Y='3Y r=7 Como¡=t2a4O.entonces

d€lllolVC. No se puede hallar M.

-z/ñ UNIDAD

5

C

rc!nferenc¡a trlgonoméf¡ca

197

LIBRO DE ACTIVIDADES

.

RAzoNES TRrcoNoMÉTRlcAS oe uru

RAZONES TRIGONON4ÉIRICAS DE UN ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL

Ángulos coterminales

B

Son aquellos ángulos tr¡gonométricos en posición normal que tienen el mismo vértice, el mismo lado inicial y el mismo lado final; solo se diferencian en su medida. Si a y p son ángulos coterminales, se cumple que: p - c = n .3ó0', donde representa el número de vueltas. V¡ve saludablemente

G

lt

m

Ana y Pedro corren diariamente en una pista atlética circular. Ana recorrió un ángulo 0 = 135' y Pedro 0 = 1215'. Verifica que los ángulos son coterminales.

.

Graficamos y verificamos que: 0 = 1215'=

Valora su cuerpo y asume un estilo de vida activr¡ y saludable. (Practica habitualmente alguna actividad tÍsica para sentirse bien).

@

3'

360"

+ 135"

averigrra soljre los consejos bás1cos para Írr¡ctlcar atletismo

EJEMPLO 8

I Calcula el valor de E = 4 sen 2910'- l0 cos I I l7'

COMUNICA

v

'

verifica que los ángulos ó = -50'y'f = 1030" son coterminales.

Expresamos los ángulos según la definición: sen 2910" = sen (8 360" + 30") = sen 30" = I 2

t

.

p

IVC,p € IIIC

B y q están en posición

[u

lt] [t t¡ [,

^^ csc o' sen B'cot 0' sec cr tan o'cos B'csc I (-) (-) (-) (+) '^ (-) (-) {+) + ]

@cur.urur=fiffiffi;ffiffi sen -190'= sen (360'+ 30') = sen l0'= l/2 cot I 837' = cot (5 ló0 + 37o) = cot 37" = 413 csc 794" = csc (2 -160' + 74') = csc 74" = 25124 ]

sec 3653" = sec

1 "¡

r)

= l0lt0'

sec

124'--

E) cos 194" =

E) csc 109" =

+

@ tan 310" =

l3

+

Analiza y resuelve.

Reemplazamos en la expresión dada, y resolvemos

@ Si csc

O

=

-+y

cot225" =

0 e IV C. calcula el valor

deM=2cotl0-sec2e.

, t "1 I I 2-4 -: -l . .5-15+5-.lO-15 ¿+ t5 + .\'1 r4

Analiza y resuelve.

@ Dos ángulos positivos coterminales son entre sí como 2 es a I [. ¿,Se podrá determinar la medida del mayor de dichos ángulos si el menor se encuentra entre 90'y 180''?

EJEMPLO 9

de la siguiente expr"riOn tu =

.

Como cr y p e Como tan

t"no=# cotF=coto=l

TEN EN CUENTA

{fr{ffff.

III C, hallamos

" =! =Y7+

o = y p e III C, calcula el valor 3

.

lB

cosP=cosc=É seccr=sec

p=-+

§ I

E

Reemplazamos los valores en la expresión pedida:

0=n'3ó0"+c R.I(n.360"+d)=R.I(a) M

198

¡= 1ir 6)l - t-llr

«¡p

Jzs(A\ *1I

= +rei; - s'6

e p €

p !

e

=-r.Z=+ -M=+

=.l lr er¡trcsitin tllula:

./'r\' /'n\' ^, '' -t -\..1-

x = -2; y = -5 y r = J29

Sioy0sonángulos coterminales, se cumple:

De lrt ¡rtitttcrr,,,r,,lre,,,,t, .l:il_

Reenrplazanrrrs ctt

las razones trigonométricas pedidas'

§

3 o

o

(]

'

- I y o € III C, calcula el valor de N = fiO(cos cr - sen o). Pordak): (tan al'"'"=|¡ o I lll C (tan o)'"r' =$ft", "»''" = (+)' 1o¡q=1=d-r.=-l:.r=-J r

=,,/áij + t-.llr = rllO

x=,

vrltr

pcdido:

-l r\r lo -f lUi

rot

.r+

f =i

,r, q¡ ¡1,,

1p - q = r¡

<

I

8()"

-l(¡0'

p.

.. l

a = rr' 160" ...

li

cotclrtin¡lts:

o<

t p=ll.o . '

De la scgttndrt cr»tlicititr: 90' < q son

c¡trc

+

3

q = ll0'r¡

- I - > o= 130' (ro clrlplc) Si | =l +o= l60' (síeLrr¡plc) Sí.cl nrrrorcs: p= 'f= I I 16()l-q80' Si ¡i

Si (tan q)or o

Hallrmos el

-

« 1 13 árrrulos e()tcrnrirlales. tal

u- *y u i lVC. csce=-ú=lr+¡-16¡1=-1 Sabcrrursr¡tte...

l=3.-1ó0'

360" + 53') = sec 53' = 5/3

---,,

O

+

cos I I 17' = cos (3 ' 360" + 37") = cos 37" = 5

Sean los ángulos cr y p coterminales. Si tan

(l0

tl

Sclrn

)

y 0 e IIC,hallael signodel

Reemplaziunos en la expresión dadq:

sen 80" =

I

Argumenta afirmaciones: 'ló-'17

Completa el signo de la razón trigonométrica.

s=+.1:o.t=z-8+E=-6 y-b=1030' ( -50')

12.15

EN PoslclÓN NoRMAL

resultado de la siguiente expresión:

normal. El El ángulo P € IIICyQ €IIC. @ EI signo de csc e cot q es negativo. @ Los ángulos cr y 6 son coterminales. B Los ángulos B y 0 son coterminales. It

y procedimientos:

Comunica:1"1'1 Usa

(B si o e

Escribe V si es verdadero o [' si es falso.

r

EJEMPLO 7

DESARROLLA TUS CAPACIDADES

A¡lcuro

t=-l

lD Dado el cuadrado ABCD.

B(-

hallar el valor de csc e ' cot 0? ¿,Será posible

N N @ j 2l

Ci

p¿ o a

B

o o

l)el grálico las ctxrrdenad¿rs tlel punto [) son (2: -l ).

r=\l !---T +{-li =\) [-uego.csc e cot o = {'

=

]= 2"5

Sí es posible hallar. El valor es

UNIDAD

5

2r5

circunferencia

trigonométrica

199

5

TEXTO ESCOLAR

C i rcu

nferencia trigonométrica I

Texto escolar

(pá9

47) ¡

Libro de actividades (págs. 200-202)

Capacidades y desempeños precisados . Plantea conjeturas y situaciones relacionadas con las razones Argumenta tr¡gonométricas de ángulos cuadrantales y complementarios.

afirmaciones

o Comunica

Usa estrategras

o

y procedimientos

Circunferenc¡a tr¡gonométrica I

Evalúa la existencia o no de determinadas razones trigonométricas de ángulos cuadrantales, complementarios, suplementarios y opuestos. (1-11 )

ü' Una c¡rcunferenc¡a tritonométrica es aquella circunferencia dibujada con centro en el origen del sistema de coordenadas cartesianas y radi0 vector igual a la unidad.

Resuelve situaciones relacionadas con las razones trigonométricas de los ángulos cuadrantales complementarios, suplementarios y opuestos. (1-2;12-17)

Razones trigonométricas de ángulos cuadrantales Los ángulos cuadrantales son aquellos que están en posición normal y cuyo lado f¡na1 coincide con alguno de los semiejes del sistema de coordenadas caftesianas.

Calculamos los valores teniendo en cuenta el gráfico del margen.

seno=?=Í=ty

Para iniciar

t

(I

cosa=+=f=r

Es importante recuperar los saberes previos. Pregunte: ¿Qué es una circunferencia?(Es una curva plana y cerrada donde sus puntos equidistan de un punto fijo llamado centro). Luego, revise conjuntamente con los estudiantes la definición de la circunferencia trigonométrica y de los ángulos cuadrantales. Señale que la medlda de un ángulo cuadrantal en el sistema sexagesimal es de la forma 90o.n y en el radial es n. nl2rad donde n e z.

0" = 360'

=2nrud

90'=¡rl2rad

r)

180" =

¡

rad

sen (r

cos (I

0

I

I

0

_0

-l

-l

27O' = 3¡rl2 rad

tan c[

0

Plo;

sen90"=]= cos

-l)

sen 90o + cgs2 n sec2

I

.

180'=1=-l

-

seg 0o

o" + csc2

-

cot

¡/2

3¡l2

)

.i ¿

:9 a E o o o

p

¡ E o &

@

c ! c a

Resalte que si el ángulo es mayor que una vuelta se reduce dividiéndolo entre 360" o 2r rad, según el sistema; para establecer el residuo y establecer si es cuadrantal (90", 270" o 360"). Consolide, señalando que las razones de los ángulos complementarios son iguales a sus co-razones, mientras que las de lno ánn¡ ¡lno cr rnlomantarinc cnn inr raloc on rralnr ahsnlr rtn

No definida

No

No definida -l detinida -l

fafg+i r

+

+

(-r,

ze = )

+z=

|

Razones trigonométricas de ángulos complementarios .))

EJEMPLO 4

€

=

§

.tan

.

Sec(90"-a)=csca

.

Pá€6. 2OO-zoa

j g

+ p = 90'. ver margen.

cr. sec (90o - o) sen c ^ sen (90o - cr) Srmplttlcats=@ . Aplicamos R. T. de ángulos complementarios y simplificamos: o _ sen190o -o.) tan o'sec (90'-a) sen o _ coso..tan¡¡'csc o.sen c _ | tan a."sc o' sen c' coso -' " - @-

{qF 8

a

. sen(90.-a)=cosa . tan(90"-a)=cotd

F=s0'

Para consolidar

I

CSC CI

No

+ 2 cos 360.

Reemplazamos valores y resolvemos:

Dos ángulos o y F son complementarios si

N @

0

I

Halla el valor nunrérico de la siguiente expresitin:

Explique que para determinar las razones trigonométricas de un ángulo cuadrantal se toma un punto P(¡; y) de su lado terminal y se aplica la definición de las razones trigonométricas de un ángulo en posición normal. lnvítelos a leer la sección "Ten en cuenta" y con los estudiantes revise la tabla de valores de las razones trigonométricas de los ángulos cuadrantales principales, haga notar que algunas razones trigonométricas no están definidas, como la tan 90"=1/0 (la división con el cero no está definida),

En el ejemplo 11, resalte que se reducen los ángulos cuadrantales mayores que una vuelta dividiéndolos entre 360'o 2¡r rad, según sea el sistema. Además, destaque que los ángulos cuadrantales no pertenecen a ningún cuadrante, Comente que el sen o = cos (90" - o); es decir, que la co-razón del seno es el coseno; de la tangente es la cotangente, y de la secante es la cosecante o viceversa. Previamente al ejemplo 13, indique que las razones de los ángulos suplementarios tienen igual valor absoluto, pero distinto signo (excepto el seno y la cosecante que conservan el mismo signo). Destaque que si los ángulos son opuestos, sus razones trigonométricas solo variarán en el signo, a excepción del coseno que conserva su signo positivo.

sec

0 No definida No definida 0 No definida 0 No definida 0

EJEMPLO 3

,r60.

Para desarrollar

I

a

C (18-.f 9)

Sugerencias didácticas

I

+.o

ffi f)

orsannouarus

usa estrat{*ias y proced¡mientos: 1-2

cAPACTDADES

fl

Determina el valor numérico de: ( 5cn l7O' + cos I 80" I tr¡r 60' tirn 45" + eos 0o + sen 360o N = csc

810'-

sen

2790'-

sec

3780"

Sean
tan«'secl3, sec«

.r

o_senp'cscp ' - cos0 §c 0.;ot$

cscG

-¡scf

.

@

UNIDAD

5

C[cunferenc¡a

tr Sonométr ca

41

LIBRO DE ACTIVIDADES

¡

CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉfRICA

CIRCUNFERENCIA TRICONOMÉTRICA

E

Razones trigonométricas de ángulos complementar¡os,

Circunferencia trigonométrica

suplementarios y opuestos ay

Dosánguos,

Il, son complernentariossi su suma es 90", es decir, s

Observando la figura se tiene: Es aquella

Sen(9ü-o)=¡=cosc

v

Observa la circunferencia

tri8onoméfica y calcula el resultado en función de las coordenadas cartesianas.

coseno

E=cotc.seca.csca

o

f

cos 6¡ = + =

R. T.

-YAPBCBC ran((=r=oA=oB= I =b(

tangente c[

tan

Veamos las razones trigonométricas para estos ángulos:

r)

(-r

X

ffi

sen

0'= 360' =Znrad

0

(t 90.

9O"

180"

-l)

27O"

=3¡tl2rad

(t cos ct

tan (r

sec

cr

No delinida

c

I

csc

No definida

I

0

No definida

0

0

-l

0

No definida

-t

No deflnida

*1

0

No delinida

0

No definida

I

l

I

.

seno.=+=?=o

Halla el varor numérico de

57"=90'-33' .

sen

0'

.

=sen9O"=l

=cos¡=-l Sec

4320'=

sec

(12. 360')

= sec (360') =

"r"f 2ü)

I

(2.2"*l) ="'"f =-r

="r"

. .

, -]l/ -sen 0 Iant-Ct,)= =tane J = N

cr

180'-57'

57" 0.84 0,54 |.54

123

-I)

Y

'))

33'y otro ángulo: t47"= 180'-33"

t47.

-J-)

0,84

0,54

-0,54

-0.54

-0,84

0.84

-

+0,65

-0,65

1.54

Calcula el valor de P + 2Q si se sabe que: P =

EJEMPLO 11

aur.u,u

l3r= cos(6 2¡+ r)

x

lX

§ l

rn

147'=

sen

(180'- 33")

sen

147'=

sen

33' = 0.54

EJEMPLO 13

2

sen (90"

Cos

l

tangente

_(-l)2-t-t-n

5(0)+2(l)2 2(ll 2

450' = sen (360' + 90")

P(¡,.v)

c[

Observamos los valores de [a tabla y resolvemos:

,-0-0r+l

Sen

cr) =

-y = -sen cos(-cr)=¡=s65¡1

123'=

coseno

2¡ yz 2 sen 90' + 2 cos2 2n s cot f

= sen 3óO' = 0

de ánSulos opuestos

Calculamos lo que piden:

sen 0o -- tan2 n + sec

* -

(-

I

Expresamos cada ángulo como suma o diferencia de

seno

EJEMPLO 1O

sen

(180'-") =+=-.cos(l=-mn

Para 0" y 3ó0":

r=1;)=0yr=1

x

EJEMPLO 12 cot

0

I

P(¡, y)

Dados sen 33'= 0,54; cos 33'= 0,84 y tan 33'= 0,65; calcula el seno, coseno y tangente de los ángulos de 57", 123' , 147" y -33'.

(l

+ No definida

=til2rad

1800 = n rad Pa(o;

t_

ángulos cuadrantales son aquellos que están en posición normal y cuyo lado final coincide con alguno de los semieies del sistema de coordenadas cartesianas. Los

R. T.

R.

-cr) =) = 5g¡ tr cos (180'- cr) = -¡ = - s65 s

Razones trigonométricas de ángulos cuadrantales Observa la circunferenc¡a triSonométrica para los ánSulos cuadrantales.

de ángulos suplementar¡os

sen (180"

E=)-r TEN EN CUENTA

¡,

Observando los gráficos del margen hallamos las tres razones trigonométricas de ángulos suplementarios y opuestos:

x

abscisa = OA

=x=

P'(

X

tanlre-c¡=f =ffi=6o1s

vv =y=ordenada=AP sen«=7=T

seno cl

+ p = 90"

P(¡. y)

cos(90-c)=Y=senc En la circunferencia trigonométrica las razones trigonomótricas senq coseno y tangente quedan definidas así:

c

r)

circunferencia dibujada con centro en el origen del sistema de coordenadas

cartesianas y radio vector igual a la unidad.

USA ESTRATEGIAS Y PROCEDIMIENTOS

¡

*

_

(¿ +

á)2'

2ab'

sen

450'+ (a - á)2'99s l3n

sec 4320'

- ab "."

j

ll'

Reducimos a ángulos cuadrantales. Ver margen. Reemplazamos valores y resolvemos:

*,

_ (a2 + 2ub +

''-W3,tb

b2l. I +

El valor de N es 4/3.

(a2

-2ab

+ b2).

(-l)

_ 4ab

ñ

g

,9

6 p

e

4 3 o

_§

tan

cos (90"

-cr)

v-m-z

Calculamos P + 2Q: 2

* Z'

i=

Por [o tanto, el valor de P + 2Q es

2+ 5 1

)

Halla el valor numérico de:

o ''

correspondientes y simplificamos:

_ sen 20' ' 4 cos l0' ' (-tan 35') _ , ' - 2 ta¡ 35o sen 20' ' (-cos t0') -' cos q (-5 tan o) f-.r" o) sen o. ^-

N N @

v

cor 5" sec 122' . csc 179" sec 58' tan 8Y .csc .

f

i

:9 f

ó o

R=-l

o

. §

(180'-cr)'csc (-cr)

-cr)'5 ^ v-t . Aplicamos la relaciones

USA ESTRATEGIAS Y PROCEDIMIENTOS

ffiffi##ffi1#

5

p

€ E

o G

=7

.

I UNIDAD

5

Clrcunferencia trigonométrca

201

LIBRO DE ACTIVIDADES

.

CIRCUNFERENCIA TRIGONOMETRICA

fl

orsannoruruscApActDADES

Comunica:

Escribe V si es verdadero o F si es falso.

O

sen 90" + cos

1-11

Usa estrategias y procedimientos:

lE Si^x) = (.2m + l) el vato. a.

180'+ tan 0" = 0

El cot 270'+ sec 180o - csc 90o = I

Ocos¡r-sec2¡+cotI2 =-2 - cr) + sen (90" - o) = I

(¡- «r+ cot i*\¿

cri I

/(iril)

sen 450" =

@

"otf =

0

@ secT¡=

-l

O

@ tan 720" =

sen

70' = 0,94,

-s

Por p

' =

3 cos 180"

(d +

p s =o C

c @

242

-

ll

-

(a

-

á)J . cos

a##+#-

Si el punto P

lllc, determinael valorde 6M sabiendoque: M = [coto'seco]t"na5" J

yo€

o =-3-1

(-3; 1) pertenece al lado final del ángulo

_ 9[cot B + sec2B

B

.

en posición normal, determina el valor de:

- 3 tan p] + cot345'

\cll I l" x l¡il 7l' -l

t.¡lr-f."

\L

tl

ll '

8:ijr§qF

7

9¡

@

8.

9.

Sea cr un ángulo positivo cuadrantal menor que una vuelta. Además, sen o = 0 y sec o. = -1. ¿Cuál es el Dertenece g

eus n

,5

=

5ct +-l

6o'j

C)bscrr,¿u¡os tlue el llngLrlr rr quc cunr¡tlc las dos

0=

1560" e) 56 r/3 rad

1680" t) 52n13 rad

I ll0'. + t60" _

1060" _

- --5- - ",". "''

El ángulo pertenece al tercer cuadra¡te

840" g) 68 r/3 rad

h) 46

r/3 rad

Determina el valor de G y E, si:

10. Resuelve y calcula el valor de K:

6

-

I

§

180")

3(- cos 0" + sec sec 720"+ cos

j

360"

-

cos3 180" + g

¡ec 360. - coslEÓ"

11. Resuelve y determina el valor numérico de las siguientes expres¡ones:

nl2- [2cos

a) B

=

sec2n + 5 sen

b)o

=

8 cos2 1 080" + sec 1 2600 - 3 csc 9g0' 5 tan2 1g8o'+ 2 sen3 81oo

2n

-

csc 3nl2]

:E

contlicioncs es 5( 180")

h) P = [Sen 990"+ Csc 630"]3

a) G = sen2 90" + 2 sen 90o.sec 180o + sec2 180o b) E = cos2 (2n) + 2 cos 2n . csc ñ12 + csc2 nl2

I (sÍ cuilrple)

l,r' sclt {()0"r - (.t - /))i ^,' f *.L--V,i.* i0' ., (¡¡ + ál1 l {{/ - i,)r '( l ) ,r' l-.¡/,'t-lI ^, tt' + (¡ttl, + ,t' lrrlir: + .ll,j¡

325o

cos 130" . cos 250o.tan 970

Determina cuáles de los siguientes ángulos en posición normal son coterminales. b) c) d) 960"

a)

valor del ángulo a? ¿A qué cuadrante

]50" . cot

Determina el valor de las siguientes expresiones:

sec '- 1 125o --- 7500 +' tan -H= al " -' - sen =iI: csc 1 140o 780o.

l

r

-

sen 250" . sec

"o", "13" y "0" ángulos en posición normal, positivos, con lados terminales en d¡ferentes cuadrantes,tal queseno<0; tanB>0; sec0<0; o>0; 0>0yo>0,determinael signode N = cos 0.cot 0.cos p.

s(ll i{ l' ¡ \( rl x

Determina el signo de la siguiente expresión:lV =

6, Siendo 3 re"

Reenrplazanros valores y sinrpl ificarnos:

^

3.

5.

+

I0")

posición normal, determina el valor de

4. Si se cumple que: sen 0 > 0 y tan 0 < 0, ¿a qué cuadrante pertenece 0?

lflnf-secl80' 270t sc 2r

sen

r¡'lr¡ci(rn rlc'¿íngtrlos:

Irar¡.r = 170" .> csc 270" EI ¿ingulo es 170'.

,\= ¿-+.lá- =---¿¡¡ ¿ +\l¡

< a c

l$) \.1/

..t

Sca rittgLtkr r trrl c¡ue 0 <.r < i60.. Panr r = 90o csc 9Oo = I (n() curnplc)

_ t,r +

-

§

sen (8

+

cosecanteesiguala- l?

lD Calcula el valor de: b)r ' ., _ ,._ffi

B en

p'tanB.secB

Si sen

,

una vuelta y mayor que cero, y cuyo valor de la

- 2(-l) - 3(-l) 5(r)-7 (0) -1

ci

tan l5¡ - sec 1980' - senZa3o.=ecñ;

¿Es posible determinar un ángulo cuadrantal si se sabe que es un ángulo positivo menor que

M_01213_i_l :-(, N N @ j

-4) es un punto del lado terminal del ángulo

2.

Analiza y resuelve.

@ 2(0)

2,

'- -t 1-

Reemplazamos los valores en M:

M=

,..

[D Simplirica O =

lD Halla el resultado de la siguiente expresión:

-

(+)

"",

P:

(r-(-l) s I ^' 5(l)+0 4(-l)-l -l-t --5 '2 o- , - l--l

¿,qué otras

[1lr lr rclrcirin de lingrrkls co¡lplct¡tcnt¡rios: sclr 70' = r(): 10" = 0.()-1 l'r¡ lrr rclacirin tlr lirrgtrkrs sul)lenlenlari()s: scll 7{)' = \c0 | 10" = 0.()-1 eos 10" - cos I (l)' = 0.9u1

sen 270"

18¡+

Si P(-3;

K=

(lrr + I )(l ) + (/// + I )(-l) =r,

0

razones puedes obtener?

_2ta¡3ñ" -2 ,'.-@ ^,

1.

Reenrplazamos los valores en P:

Resuelve.

(D A partir de la razón

=

l7l0'-r.n /li') \¿l

4csc

= _I

"."f

la teorÍa,

rf4\

"\)l

5 sec

P=

[) cos5¡= -l

I

Transcribe en tu cuaderno los siguientes problemas, y después de resolverlos, compara tus procedimientos y respuestas con los de tus compañeros(as). Antes de resolverlos, revisa nuevamente

3r + (m + l) cos 2x, calcula

lD Halla el valor numérico de la expresión

=0

Completa correctamente en cada caso.

Gl

Actividades complementar¡as

.18-19

r(*) = r:, * rr t.n ($) + (,i + l) cos (3r)

@ cos (180" Gt tan

sen

12-17 ABumenta allmac¡ones:

! a o

c)R=

sen2

Respuestas:

l.

4

4Í.

cos 2760o + 4sen2 450o tan 765" 3 cos5 540" + sen 1 1rl2

2.

4

3.

-7lB 4. ll C 5. Positivo 6. Positivo 7..)44; f-h 9.a)0 b)4 10 7 11.a)3; b)5; c)-1

B.a-c; b-d; e-g;

u -s

LIBRO DE ACT¡VIDADES

Uso de software matemático ¡

Libro de actividades (pá9. 203)

USO DE SOFNMARE MATEMÁTICO

Capacidades y desempeños precisados . ldentifica las razones trigonométricas de un ángulo en posición Comunica.

Usa estrategias y procedimientos.

Geogebra, para interactuar con la circunferencia trigonométr¡ca

normal. (1-12) Resueive situaciones relacionadas con las razones trigonométricas reducidas al primer cuadrante utilizando un s oft ware malemático, (1 -1 6 )

Accede a http://tuhc.geogebra.org/stu«lcnt/ru5

t[llfl

Explora el panel de animación. Mueve el punto a la derecha o a la izquierda para ubicar el ángulo que deseas reducir al primer cuadrante en la circunferencia trigonométrica. Como ejemplo, reduce las razones trigonométricas de seno y coseno de I 27" al primer cuadrante. Para ello, mueve el punto a la derecha y ubica el ángulo correspondiente, y observa los resultados de las razones trigonométricas del seno y coseno de los ángulos de 53" y 127",

Sugerencias didácticas Para iniciar

I

l':l-1tll

IE!!!

Recuerde que la circunferencia trigonométrica es de mucha utilidad, pues con este elemento geométrico se puede determinar las razones trigonométricas de cualquier ángulo en posición normal.

rot¡d]@ *

C e n't,

e

x \ tuhgeogsra.orgl

,l

l

GeoGebro

.IR't]NFFRFNCIA !'RIGONOMETRICA

Para desarrollar

I

I

ctRcuNFERENctA TRtGoNoMETRtcA

Es importante que en el paso 1, los estudiantes se familiaricen con el software. Con ese propósito, plantee las siguientes interrogantes: ¿Oué representa la línea rqa? ¿Qué color de línea representa al coseno? ¿Cuál es el rango del deslizador?(De 0" a 360"). lnvÍtelos para que desplacen el punto hasta obtener un ángulo agudo. Luego, pida que describan los cambios que se producen en la circunferencia (se ha formado solo un triángulo en el lC. Además, se observa que el valor numérico del seno disminuye, mientras que el del coseno aumenta cada vez que acercamos el punto a 0"). Destaque que los triángulos se graficarán sobre el eje horizontal.

sen(53" _ 0.799

Para consolidar

I

799

or/enad;

Para reforzar lo aprendido, proponga que resuelvan las actividades de la sección "Explora e interactúa" haciendo uso del software matemático.

O.79 sen('127 tt--.1

0.799

-

=

0.799

en(53')

cr=53o

Relac¡ones si 90o< G < l8@:

En el paso 2, pregunfe: ¿Cómo son los ángulos dados?(Son complementarios, por lo tanto, sus razones trigonométricas son iguales en valor absoluto).

En el paso 3, pida que indiquen el valor de los ángulos reducidos en cada caso (60" y 16"). Motívelos para que evalúen las razones trigonométricas cuando los ángulos toman los valores de 90"; 18O';270' y 360'. (Los triángulos desaparecen obteniendo solo una lÍnea; esto se produce porque los ángulos son cuadrantales). Pregunte: ¿Cómo procederías si el ángulo es mayor que una vuelta? (Se debe reducir dividiendo el ángulo entre 360" o 2n rad, según sea el caso). ¿Qué estrategia utilizarías si se pidiera la tangente o la cotangente?(Se puede representar la tangente como el cociente del seno entre el coseno y en el caso de la cotangente sería el coseno sobre el seno). Enfatice que la cosecante del ángulo B es igual a la inversa del seno (csc B = 1/sen p) y que la secante del ángulo p es la inversa del coseno (sec p = 1/cos p).

,

1

¿Qué estrategia está aplicando el software para determinar la razón? (Para hallar el valor numérico, se reduce el ángulo al primer cuadrante considerando el signo según el cuadrante al que pertenece el ángulo).

I

ángulo=1 27"

0.602,0.

§l!!f|

sen('180"-o)=sen(

a

)

cos(1 80o-Cx)=cos(

CI,

)

CurnUla los valores a24C y 344' qte se encuentran en el tercer cuadrante y cuarto cuadrante, respectivamente. En cada caso, observa los resultados de los senos y cosenos de los ángulos reducidos al primer cuadrante. ¿Cómo son las coordenadas de los dos puntos que están ubicados en la circunferencia trigonométrica? N

)

@

ffi

usa estrategias y procedim¡entos: 1-1ó

EXPLORA E INTERACTUA

,6

j

§

sen 120' (l cos 210' 0 sen 300' @ cos 259'

I

§ a

a

¿Qué estrategia utilizarías en los siguientes casos?:

Calcula el resultado.

O 9

ci

E) cos 150"

El

sen 196"

@

Para determinar la tangente de 164" y 252" Para calcular la cotangente de 143' Para obtener la secante de I 10" y

Gl

sen

225'

Gl cos 254'

(E

O

cos 323"

E) sen 165'

lD

(D

sen 301"

lD cos 356'

(E Para hallar la cosecante 249' y 323".

y

342"

!o o o

.

)

.

p

€ ¡

286'.

o L

@

@

uNloAD 5 circunferenc a tri8onométr ca

203

c § .F É

a (6)

TEXTO ESCOLAR

Reducción de ángulos al primer cuadrante ! Texto escolar (pá9 48) I

Libro de actividades (págs, 204-2051

Reducción de ángulos al pr¡mer cuadrante

ffi

Capacidades y desempeños precisados Comunica

o

Usa esfategias

.

y procedimientos Argumenta afirmaciones

.

ldentifica ángulos referenciales menores que una vuelta. (1-15)

E

Resuelve situaciones relacionadas con las razones trigonométricas de ángulos referenciales. (1-2; 16-21)

Angulo referenclal

Plantea conjeturas respecto a situaciones relacionadas con las razones trigonométricas de ángulos referenciales. ( 3; 22-23)

x

Sugerencias didácticas

EJEMPLO 5

Para iniciar

I

I

Calcula el valor numérico de M = sen 127" + csc 344"

Promueva un conversatorio en relación con lo leído. Pregunte: ¿A qué se refiere el brto cuando se menciona plano horizontal? (Se refiere al plano que se establece tomando en cuenta los puntos cardinales). Centre la atención de los estudiantes en la definición del ángulo referencial y para comprobar si han comprendido, plantee las siguientes interrogantes: ¿El ángulo referencial está en posición normal?(Solo se cumple cuando está en el lV C). ¿Cuál es el rango de variación del ángulo de referencial? (Los valores que toma fluctúan entre 0" y 90").

.

127' r,

'

I N N @

)

ci ¿ :9

!o= o o

& q

§C c @

.144" E

lV

csc 3¿14o

('

> csc 344"

<0

= -csc 16' = -2517

Calculamos M reemplazando los valores hallados: 97

(270't o)

E'EMPLO ó

Proponga que evalúen el desarrollo del ejemplo 14. Luego, pregunte: ¿Qué conclusión puedes extraer del procedimiento aplicado? (Que el ángulo a reducir se debe representar de la forma 180' - o, si pertenece al llC, 180' + a si se ubica en el lllC y como 360o - o si está en el lVC, de esta manera se establece el ángulo referencial a). Haga notar que el ángulo referencial se grafica tomando como referencia al eje X.

Halla el valor numérico de la siguiente expresiiln: N _ cos 143o

IMPORTANTE Sea

a

'

un ángulo a8udo:

tan 315'

Reducimos cada ángulo al primer cuadrante:

cos 143' = cos (90' + 53") = -sen 53" = -4l5 tan 315" = ran (210' + 45") = -cot 45" = - I

(90" +

sen 233" = sen (270"

'

Hallamos

- 37") = -cos -4-4,I . -(-r, 5*, N: N - -g: -4-4-44"4

37" =

-4l5

5

s55

Pá18.2O4-2O7

B

-

sen 233o

a) = r coiazÓn (a) R.T. (270" - G) = 1 co{azón (c) R.l (270'+ q) = r co-razón (c) R. T.

Previamente a las actividades 1 a la 5, recuérdeles que deben dar forma a los ángulos según el cuadrante en que se ubique. Mientras que en las actividades 6 a la 9, enfatice que para graficar los ángulos referenciales deben tener en cuenta al eje "X" y el lado final del ángulo a reducirse. Para las actividades 10 a la 19, sugiera que, en primer lugar, establezcan el signo de larazón según el cuadrante en el que se encuentra el ángulo a reducir. Luego, recién deben acompañarlos de

Destaque que el ángulo referencial permite hallar el valor numérico de las R. T, de ángulos mayores que 90" (si está relacionado con 180o o 360" saldrá la misma función). Señale que si el ángulo es mayor que una vuelta se debe dividir entre 360'o 2n rad (asÍ se podrá determinar el residuo, que indicará el a¡ rorlranta an al nr ra aci4 al ánn¡ rln rr dolprminer pl ánnr lln rcfefcncial)

>0 4/5

sen 127"

Los ánSulos de (90' + a) y (270' + a) se reducen al primer cuadrante tomando como referencia los ángulos cuadrantales de 90'y 270'.

I

> ., r\ =

--I

Usa estrate8ias y procedimientos:

DESARROLLA TUS CAPACIDADES

1-2

Argumenta afimac¡ones: 3

j g

Halla el valor numérico de las siguientes

Resuelve y responde.

expresiones.

'-m o

Para consolidar

I

+

Reducclón de ángulos de la forma (90' + (r) y

larazón trigonométrica del ángulo referencial (esta precaución se debe tomar porque generalmente se equivocan en el signo).

l

p ! =o

ll C

4 25 28-125 97 ,n,=5-7=35=-35_.,vt=-35

Destaque que se cumple: RT(o) = t RT(B), cuando o es un ángulo en posición normal entre 90" y 360"; y B es el ángulo referencial, además, señale que el signo variará según el cuadrante al que pertenece el ángulo o.

.

Graficamos y hallamos el ángulo referencial de 127" y 344" en el margen.

sen 127" = sen 53" =

Para desarrollar

I

Es el ángulo agudo formado por el lado final de un ángulo positivo en posición normal con el lado positivo o negativo del eje X. Si c es un ángulo pos¡tivo en posición normal menor que una vuelta y B su ángulo referencial, entonces se cumple: R. I (c) = R. f (p); sl signo varía según el cuadrante al que pertenece a.

_ ) cos .100'

-

o _ 7 see 186'+ 25 'en 164'- 2 tan l2-5'

^=

cot (90o + c{'). sec (270'- a).sen o ^a"U-=.'. cos (270' + «) . sec (90" + tr)

crrl I.15' + -l csc 217'

2.r,120'-7cot

190'

posible simplificar la expresión dada? ¿Cuánto es el valor de cr? si: ¡o

I ! !

¿1Es (

s o

48

L¡BRO DE ACTIVIDADES

¡

REDUCCIÓN DE ANGULOS AL PRIMER CUADRANTE

REDUCCIÓN DE ÁNGULOS AL PRIMER CUADRANTE

B

ff

Reducción de ángulos al primer cuadrante

oesannou-nruscAPACIDADES

Escribe V si es verdadero o F si

Ángulo referencial

ff

La razón trigonométrica de cualquier ángulo r (0" < r < 3ó0') se puede obtener halLando la razón trigonométrlca de su ángulo referencial, que es el ángulo agudo formado por el lado final de un ángulo positivo en posición normal con el lado positivo o negativo del ele X.

y procedimientos:

16-21 Argumenta afirmaciones:22.23

Resuelve.

E E

@ Halla el signo del siguiente resultado: *, _ sen 324" cos 152" ' tan 243' ''r - cot t47" ' sec mFEc 298.

M

el III cuadrante.

@ El ángulo referencial de 305o se encuentra en el II cuadrante.

Halla gráficamente los ángulos referenciales de 150',240" y 320'.

¿En qué cuadrante se ub¡can los ángulos referenciales de los ángulos? y 1274

1-15 usa estrategias

f,) El ánguto referencial de 218" se encuentra en

.

falso.

El ángulo referencial de 120" es 60".

E) El ángulo referencial de 53'es 37'.

EJEMPLO 14 COMUNICA

es

Comunics:

'

Graficamos cada ángulo en el sistema de coordenadas cartesianas y hallamos los ángulos referenciales.

tr

G! La suma de los ángulos referenciales de232' y 320' es igual a 92'.

rur

=

1-) !-l t) =,-r (-).(-r'(-)

@ Calcula el valor de la siguiente expresión:

E

N = csc 150" + cot

315'-

sec2l'7"

Y

Dibuja el ángulo referencial correspondiente 50"

X

csc 150" = +csc 30" = 2

B

@

cot3l5'=-cot45o=-l

lll. lV y ll

sec

2t7" = -.ec 37" =

-i

x Reemplzamos valores en N

TEN EN CUENTA Si

El ángulo referencial

El ángulo referencial

El ángulo referencial

de 150'es 30".

de 240" es 60'.

de 320" es 40"

N=r- r-(?)=:

o

EJEMPLO 15

a es un án8ulo positivo

en posición normal menor que una vuelta y B su ángulo referencial, entonces se cumple:

Calcula el valor de A

.

-

=

cos2 225"

-

o

tana 300".

ED Determina el valor numérico de:

Y

x

"' x

x

ll5". lll( +cosll5"<0 cos225o=-cos 45"=-^f212

Expresa en función de su ángulo referencial.

=t_ @ cos 123" =tr*5rl lE sec 321' = F.f::I

-100" IVC+tan.100"<[)

tan300'=-tan60'=-r5

Calculamos A reemplazando los valores hallados:

^

=

(-+)' - e{lf = )-

s=

-E

-

o=

(D

sen 305"

@ tan

lE

=t-sn

192'=t

cot 295' =

F..t

-*

Si sen p

sen

135"

. .

-

P=(t/2)r/2*

(D

II C, calculamos

sen g

=f

,O

rll C'

sen 2B + cot (2Pl3)

II C (ver margen): sen

p>0)

Observamos que el ángulo referencial es 45n, entonces P Calculamos el valor de la expresión dada: sen 2B

204

(sen 30")""n3o y p e

Resolvemos la condición y ubicamos p en el

+ cot(2P/3) =

sen 270" + cot 90" =

- cr

sec 300" 2540 + sen 307.

-l

-l

53o + cot 45o

-tanl6'+csc

p I

=

e

I

135o.

p € I

o

= o

lD

74"

-*ñF

sec 60o

r,5"f

,

-,

l-1 ':,1

-8 =a=t) 5 :0

Analiza y resuelve. ¿Cuál es el ángulo a que pertenece al II cuadrante, tal que, al reducirlo, se obtiene cos c = -cos 65"?

¿En qué cuadrante

c € Il C+

el ángulo referencial de B? III cüadrante

d §

§

+0=

-cos

-ft\,,f= '''7254-t

7D

se encuenfra ubicado

=

27'+ cot 2250 -

Reemplazamos valores en M:

a5;l

tanr;l

Observa la figura y responde.

EJEMPLO 1ó

.

I

ta;144o

60"

300"

@ csc 100"

\/2

-

Graficamos y hallamos el ángulo referencial de 225" y 300'':

R.1 (0) = R. T. (P), el siSno var¡a según el cuadrante al que pertenece 0.

Y

_ cos ¡"r ^,

x

¿Qué signo tiene cosecante de

@ ¿Cuál

es

Q = cos

B? Negatiro

el signo del resultado de

F

tan

B'

cos o = -cos 65o

c=180"-65"=1t5" @ ¿Cuál

es el ángulo p que pertenece al

tal que, al reducirlo,

III cuadrante,

se obtiene sec P =

-sec 36'?

sec p?

Q=cos0 tanp secp Q=( ) (+) (-)=+

0ÉlllC+sec0=-sec3(r' 0= Ili0'+16'=216' UNIDAD

5

circunferencia trigonométrica

20s

Reducción de ángulos de la forma (90" + cr) y (270" ¡

E

LIBRO DE ACTIV¡DADES

r cr)

Libro de actividades (págs, 206-207)

I

REDUcctóN DE ANGULoS At pRtMER cUADRANTE

Capacidades y desempeños prec¡sados Comunica. Usa estrategias y procedimientos. Argumenta afirmaciones.

¡ o

.

Reducción de ángulos de la forma (90' + o) y (27O t. Reconoce y expresa razones trigonométricas de ángulos de la forma 90ot ay 270't o. (1-10)

t

Resuelve situaciones de reducción al primer cuadrante de ángulos de la forma: 90"t o y 270' x a. (11-14)

TEN EN CUENTA

Reducción de (90" + 0)

La co-razón de seno es su coseng de tangente es cotangente y de secante es cosecante, y viceversa.

Plantea conjeturas respecto a razones trigonométricas de ángulos de la forma: 90"+ 0 y 270" c. (15-16)

t

Reducc¡ón de (27o'

- d)

+

(2'7o"

x (27O" +

Para iniciar

I

R. T. (90o

Bevise conjuntamente con los estudiantes las definiciones y gráficas presentadas al inicio de la página. Resalte que, en este tipo de reducción, el ángulo referencial estará representado entre el eje vertical "Y" y el lado final del ángulo a reducirse. lnforme que el ángulo a reducirse se representa tomando como referencia los ángulos cuadrantales de 90o y 270' en el sistema sexagesimal, mientras que en el sistema radial será nl2y 3nl2 rad.

I ¿ :9

E) o o o =

€

E c o o

@

-§ c a

T.

(270" + c) = t co -rcZón (a)

al cual pertenece el ángulo que queremos reducir.

EJEMPLO 17 ARGUMENTA AFIRMACIONES

Calcula el valor de la siguiente expresión: u =

*"

'33;fo: l'J;;!fi"t"

Reducimos cada ángulo al primer cuadrante: Analiza y halla el resultado:

sen 330" = sen

sen (270" - r) + csc 90' sen (90 +.r) - cos 3ó0'

cos 127o = cos

-l

sec

(270' + 60") = -cos 60' = -l12 (90'+ 37') = -5e¡ 37" -- -315

tan 225" = ran (270"

-

sec

(270'

-

csc 254" = csc

(270'

-

240' =

45") = cot 45' = I 30") = -csc 30o = I

-2

6") = -sec 16" = -25124

Reemplazamos en la expresión E: Aplica fundamentos de ciencia y tecnología. (Comprende y aplica

E=

conocimientos científi cos)

-l_ -3 +l 2 5,

-e»+ff

-t _ 3 _ | lt l0 132 - t32 = 2'5" ,'2424 25 =T= 15 '¡= il5

Resalte que el ángulo referencial será representado sobre el eje vertical "Y", slempre que se relacione con 90" o 270" y será numéricamente igual a su se asisnará en base al cuadrante en que se ubica el

::]:Í_ó: -:l:igno

ADhca la crencla

EJEMPLO 18

Se observa que la aguja del radar de un centro de observación espacial forma un ángulo a en posición normal cuando detecta un objeto en la coordenada (-61 8) y forma otro ángulo p cuando detecta otro objeto en la coordenada (6; -8). Calcula la suma de cos cr y sec p.

(-6;8)

-

F

.

-6 -8

9 e

cos (f + sec p =cos 127" + sec 307' = cos (90 + 37') + sec (270 + 37')

E

= *sen 37o + csc 37' = -315 + 513

-8)

a

Interpretamos y graficamos la situación en el margen. Reducimos al primer cuadrante el ángulo que fonna la aguja del radar y resolvemos:

= 16l15

TF

Para consolidar

I

,t

Es posible que en el ejemplo 18 no comprendan cómo se determinó el ángulo

referencial; por ello, pregunte: ¿En qué relación están los lados del triángulo notable de 53" y 37"? (Están en la relación de 3 k; 4 k y 5 k), Luego, fije la atención de los estudiantes en la figura y hágales ver que se han formado triángulos rectángulos cuyos lados son 8 y 6. (Esta situación los inducirá a establecer que el ángulo referencial en ambos casos mide 37"). Coménteles que los radares son instrumentos de alta tecnología muy útiles para el control del espacio aéreo de un paÍs, porque permiten ubicar las aeronaves y otros objetos que se encuentran en el espacio. Después, invÍtelos a que desanollen las actividades propuestas al final del e.lemplo 12.

N @ j

T.(27e-d=+co-razÓn

LasR.Ide{90o+o),(27V-ct)y1270'+a)sonnuméricamenteigualesalasde(900-a), c. El slgno de la razón trigonométrica depende del cuadrante

Explique que en la reducción con respecto al eje "Y" se cumple que la R. T. de un ángulo mayor que 90o es numéricamente igual a la co-razón de su ángulo referencial, y su signo dependerá del cuadrante al cual pertenece el ángulo que deseamos reducir. Para complementar invite a que revisen la sección "Ten en cuenta". Enfatice que el ángulo debe estar en posición normal para reducirlo al I C.

En el ejemplo 17, mencione que los ángulos ubicados en el ll C se han expresado en función de 90o como una adición (90" + o). En los casos del lll C y lV C se han expresado en función de 270'(En el primer caso, como una diferencia (270' - a) y en el segundo caso, como una adición (270' + a), siendo o en todos los casos el ángulo referencial).

+ c) = rco-razÓn (a)

es dec¡r, a las co-razones de

Para desarrollar

I

Reducción de (270" + a) Y

Sugerencias didácticas

I

al

Los ángulos (90o + c) y (270" a) se reducen al primer cuadrante tomando como referencia los ángulos cuadrantales de 90" y 270".

o 246

Reducc¡ón de án g ulos de la forma (180 t cr) y ( 360" - cx,

LIBRO DE ACTIVIDADES

¡

Texto escolar

(pág

49) r

Libro de actividades (págs, 208-209)

Capacidades y desempeños prec¡sados Comunica Escribe V si

ff

es

verdadero o F si

cos 234' = cos (270'

es

l{rilrl.,

falso.

- 36') = -sg¡

36"

@ tan 154'= tan (90" + 64") = 1¿¡ 64'

@

t

csc 200' = csc

-

(270'- 70')

l7'

cot

= -sec

I

70'

@ cos (90'

+o) +

ll

sen

"*

(f

-")+"."

({ -

,nn

(f - ') =.o, .

(f -")=

(fi-")=

i

@ Si cot de tan

,

o

i,

_ cot 220'+ tan

-

{ot

I

l0'+

cot l40o

@

_

sen

(270' +

cd

*

@

- 0)' tan (270'-

scn (170'+ 0) = cos H cos (90' 0) = sen {) tan (170'- 0) = cot 0 cos (270'- 0) = -ser 0 sen (90'+ {)¡ = q,,r ¡¡

-r()s H \r'rr {) r0l H -se¡l {, ü()\ l) -cL[ [,

(f

l):

=0+

t¿t¡l

(r + I

0)

I

=0

se ubica

0?

*

I

-cot rt g) > 0. ¿en qué cuadrante

Resolvemos la segunda condicitín:

'.n (f Sabemrs que '

t", ($* Si cot0

$ 1'$

tl) > o +

<0y

360'* a. (3-4;

o

t

oy

oy

11-1a)

Plantea conjeturas respecto a las razones trigonométricas de ángulos de la forma 180" t c y 360" t a. (15-t6)

lnvite a que lean la situación inicial de la página 49. Luego, promueva un diálogo con relación a los horarios y su relación con el movim¡ento de la Tierra. Preguntei ¿Qué fenómeno es el responsable de los diversos horarios en el mundo? (El movimiento de rotación de la Tiena). ¿Cómo se determ¡na el horario? (En función al huso horario, que es cada una de las 24 áreas en que se ha dividido la Tierra, las cuales equivalen a una hora y m¡de 15").

Comente que en los gráficos que se presentan al inicio, el ángulo referencial está sobre el eje "X"; por esta razón, también se le denomina reducción con respecto al eje "X". Además, para reducir al I C, se toma como parámetros los ángulos cuadrantales de 180" o n rad y 360" o 2n rad. Enfatice que si el ángulo a reducirse está ubicado en el ll C significa que es menor que 1 80", lo cual impl¡ca que se lo exprese con una diferencia (1 80" - a); en el caso del lll C el ángulo es mayor que 180" por lo que se representa como una adición (180" + o) y en el caso del lV C el ángulo es menor que 360', entonces se le expresa como una diferencia (360 - o). De esta manera se determina el ángulo referencial "o".

No. la rrzrln trigononrétrica dcl iíngukl no cs igual a su co-razótr: Sea l) = 270" + tr scn [3 = se'n (270'+ rt) = -cos (r cos 13 = cos (270'+ (r) = scn (r tan p = 1¡¡ (270' +
Reduce al primer cuadrante ángulos de la forma 180"

t

Para desarrollar 2

a otro ángulo del primer cuadrante, ¿se podría decir que la razón trigonomótrica del ángulo es igual a la co-razón del otro? Justifica tu respuesta.

@ Si cot 0 < 0 y sen (* \L

tan (270' + 0) = -cot 0 Reenrplazanros cn N:

., '' -

,nn

@ Si un ángulo que excede en 270o

ru'

cos (90

") -

.

ldentifica por simple inspección ángulos de la forma 180" 360" r cr. (1-2; 1-10)

Para iniciar

I

_l

0.

(!

o

Sugerencias didácticas

({ - r) = cot.r

Analiza y responde.

20"

I

0)

tan

tirt¡r¿=-l

@ Simplifica: Nr

'.. ($ * ') =.'. '

tanl«+2tanrr+ I =0

ltn 5()'+ (-(ot l0o) + t-tarl 50'l

- -:¡tr().*!t

({ +.r) = -csc .t

l¡o ((

20o + tan 290'

cot (270'- 50") + tan (90'+ 20") + cot (90' + 50") -col 20" + tan (270' + 20") = cot 20'-

., -crrt l0' '"--lcot20'-l

sec

(+ - ") - ,- (+ - a) = 2. catcula et valor

(tan
i,

.r) = sec

-,,) = : taD 0 -cot rt = I +tan (1 +cot (1 = t,t,r+ | =-l

.,,r

@ Halla el resultado de la siguiente expresión:

§

Argumenta afirmaciones

Rctlucimos al primcr cuadrrntc:

Resuelve,

''r

.r

csc

D_secr'-csc.r'eotl cscr'-sL'cr'cotr

(270'- a) + 2 cos o

o *" (f +") *,

p e

Usa estrategias y procedimientos

Reemplazanxrs en Ia expresión dada:

."n c =l lo r.n,r'

= có' ,r +tan(90'+d)=r o O""(#-")

@

*'(t-4 *" (Í .4'""(*-l *.(?,., *"(:;-4.t""(#-,

... ($ - r) = -'...'

Completa cornectamente.

f,)

P=

sec 310" = sec (270 + 40") = csc 40"

@ cot 107'= cot (90'+ l7')

§

l,r 'trllt! irlc ! \lrh \r'rrl

+o)'tr

Previamente al ejemplo 19, pregunte: ¿Cómo se determ¡na el signo de la razón tr¡gonométrica? (El signo se determina a partir del cuadrante al cual pertenece el ángulo a reducir). Haga ver que primero se da forma a los ángulos a reducir en función de los ángulos cuadrantales; esto permite establecer el ángulo referencial. A continuación pídales que planteen los pasos a seguir (se determina el signo, se expresa larazón en función del ángulo referencial, se reemplaza y se resuelve). En el elemplo 20, pregunte: ¿En qué cuadrante está el ángulo que tiene la forma 180" - x? (Se deduce que es menor que 180", entonces pertenece al ll C). ¿Cuántos ángulos referenciales se establec¡ó? (Solo uno, que en este caso es "x").

son cotcrminales:

-sos o > o

+

Para consolidar

ct¡s o < o

t

cos 0 <0,entonces 0 e II cuadrante UilIDAD 5

Circunferencia tri8onométrica

201

Consolide indicando que para reduc¡r un ángulo al primer cuadrante con respecto al eje "X" se debe representar tomando como referencia los ángulos cuadrantales de 180" o rr rad y 3600 o 2¡ rad y se cumple que las R. T. de (180 - o), (180" + o)y (360 - o) son iguales en valores absolutos a lac roznnao triannnmÁ+¿i¡aó ,'l^l Á^^,,1^ ^

N N

)ci i

:Q

a

é o E f

po

€ c o L

o @

c -9 c

@

u

LIBRO DE ACTIVIDADES

TEXTO ESCOLAR

r

Reducción de la forma (f 80" y (3ó0" .r¡ + a)

t

REDUccróN DE ANGUros AL pRIMER CUADRANTE

o), (3ó0'- u)

Reducción de ángulos de la forma

(180't

t (r) y

Reducción de (180o

(3ó0'- a)

I

-

R. R.

I I

R. T.

Calcula el valor de A = tan 106o + cos 24O"

un ángulo agudo:

('180"

- c)

=

t

(180' + a) = r (360' - c) = +

R. T.

(o)

R. T.

fc)

R.

t

.

(

tio"

180"

+

(360'-

-

R. T.

csc 344"

=-t*

o=

-t

v Reduce al primer cuadrante:

t7' - Zt§gt-l§J3l¡-5.cos 2213'

sec (360"

'3

+ 37")

-

cot (360' ' 5

+74')

+ cos (36O"

'6

.

tl "_5-?+3-J=: 1Z

(360'- 37') -

=

s=:ulr%+

-

(c)

es

53') = -

falso.

g6s

53'1r,

tD ¡an254" = tan (180 + 60") = tan 6O0(Fl

.

@ C = csc 150'- cot 225o + cos 3N D = 5 sen

ll33'+

24 sec

l816'

5

-

sec 60" + tan 16' a7o _ cot 53o + sn 30e

cos 6O"

{sc

-3

c,o=t

z#;,t::rz#.,

hana el valor de

29M. -25

"

Reducimos cada ángulo al primer cuadrante:

csc

.

312

csc757"

Clrcunferencia trigonométr¡ca

- r)

=

(180' * x) =

sen

tan (360'

- ¡) = -tan

sec (360"

-

-r) = +sec

"r

r

sec(180"+,r)=-sss¡ sen

(360'

- ¡)

= -sen x

49

208

ó I p e 9

Reemplazamos en la expresión dada y simplificamos:

p_ seni (:tan,r)' (-csc.r)' (+sec.r) _ I + p= l. csc x' (-sec.r) tan.r' (-sen x)

24

o UNIDAO

=

29

"r -s5g, csc(180"-¡)=csc¡ tan (180' +;r) = 1¿¡ ,

Usa eslrateSias y procedimieñtos: 3-4

Resuelve.

B

16"

^ = sen ( 180' - -y) tan (360' - -r) ' csc ( 180" + .r) ' sec (360' - x)

sen ( 180"

cos 127" = cos (180"

T.

EJEMPLO

Slmpllllca

C0munica 1.2

60") + tan

1 _.» _ 7 -29 2 ''24 24 -, "-53r-2346 3 4'2 t2

E

§

(360'-

csc

¿i 5¡ ¡4

,s=:

DESARROLLA TUS CAPACIDADES

O

(3óff - c) = tR.

60o) + sec (180'- 60") + tan (180" + 16") cot (180'+ 53") - sen (180" + 30")

cos

cos 60" + (-sec -,\ =ffi

1

Escribe V si es verdadero o F si

R. T.

Reducimos cada ángulo al primer cuadrante y resolvemos:

.,

E

9 e

(a)

-

t-l

g

R. T.

El valor de N es 29146.

+ 53")

. t(3) t(i) - 24 cot74" + 5 cos 53.^ 4 sec 71"tan45o-sen30' '(*)

)

t7

Reducimos cada ángulo al primer cuadrante y hallamos B:

^ D=

'rÜF

T (180o + d) = r

valordeN=ffi

a) sen 16' b) cos 53" c) -cot 74" d) -csc 45"

EJEMPLO 8 4 sec I I Halla el resultado ¿" g =

Pá8s. 208-21

R.

Carcuraer

a) sen 1ó4" b) cos307' c) cot 10ó' d) csc 3't5'

Los ángulos r + o) se reducen al primer cuadrante aplicando la propiedad de las razones trigonométricas de ángulos coterminales.

.

(a)

cJEtvtrLU

COMUNICA

(3ó0" .

un ángulo agudo;

R. T.

que queremos reducir.

16') = -csc 16" = -25/7 Reemplazamos en la expresión dada y resolvemos:

Reducción de án8ulos de la forma (3ó0' .n + o) n é2. R.I (3ó0'. r + c) = R. T. (c) R.I (2fi.tr + a) = R.I (c)

- o) = t

-

o=# *(+) - (+) =+ - +.+ TEN EN CUENTA

(18tr

Las R. T de (18Ct" - q'), (180" r a) y (3óCr" - c) son numéricamente iSuales a las de c. El srgno de la razón trigonométrica depende del cuadrante al cual pertenece el ángulo

tan 106' = tan (180' - 74') = -tan74" = -2417 cos 240" = cos (180" + 60') = -cos 6O" = -ll2

(a)

.

c

- d)

Reducimos cada ángulo al primer cuadrante:

csc 344o = csc (360"

Sea

cr)

EJEMPLO 7

IMPORTANTE

c

-

Reducc¡ón de (3ó0o

Reducción de (180" + o)

cr)

Los ángulos (180'r a) y (3ó0" - ü) se reducen al primer cuadrante tomando como referencia los ángulos cuadrantales de 180'y 3ó0'.

Sea

y (3ó0"

cr)

Los ángulos (18Cr'I a) y (3óCro - a) se reducen al primer cuadrante tomando como referencia los ángulos de cuadrantes de 180o y 3ó0o.

?

,,

Los lror¿r'ros estárr rr:lacro¡ados con eJ ttentpo y el ttcrnpo corr e I movimien[o. CLrilndo laTierra se nrüeve alrcdeclcrr oel Sol, íorma dngulc)s que oscilan erltre 0" y 3ó0", l¡u( llas vcces lruerlcn krtn¡ar itngLtOs mas de lló0., pcro se sabe clue estos angulos licnen s gn ficado cuando se re(lUCen al pr mer cuad[ante.

t

Reducción de ángulos de la forma (180"

-,

s 3 o

LIBRO DE ACTIVIDADES

Reducc¡ón de la forma

(360"'n+cr)

I REDUCCIÓN DE ANGULOS AL PRIMER CUADRANTE

fl

oesnnnou-nruscApACtDADES

Comunica:

1-10

11-14 Argumenta

Usa estrategiasy proced¡mlentos:

'

O

verdadero o F si es falso.

es

csc 225" = csc

(

1

80'

E)

sen 323' = sen (360"

O

sec

344'=

sec (360"

-

37') = ss¡ 37'

-

16'¡ = ss.

lO tan254" = tan (180"

O

cos 164" = cos (180

lB Halla el resulrado

al¡rmaciones:15-'16

+74")=-¡a¡14"

-

16") =

-

tr tr tr tr

¡6'

-s6s 16"

f,)

=t

m

sec 315" =

240'

T

(180.

sec (360"

- 45')

s.'rr

[E Si

o_

E_

"-

sen 2l0o +tan323'- cot l35o --co;733' csc a44'

-ll2

cot l3-5' = ge1 (180',15') = -cot45' = -l cos 23-l' = cos ( 180' + 53") = -cos 53' = -3/5 csc 344" = csc (3(l)' I 6"¡ = -s.g 16' = -2517 Reemplazanos los r'¿rlores en R:

__L_l*,

4 _-To¡85-416 -ll4 -.r.5 "_ -2r-r5 ''-

(.lll)"

stn

tan

(r+r).

(Í + r)

cos

(2Í-.r)'

. csc (2fi

- r)

5 2

tan

(n-.r) - r)

. sen (2n

(¿

+

r)

g

tan (n

-

x) = -¡¿¡

€

csc

= -sen

(21- r)

ri

cos (2¡

= tan r = a5g .x; sen (2¡ - x) = -sen

¡;

tan

(r

+

§ a o

Reemplzamos los valores en (-sen J) . cos r .(-tan J) S= tan r' (-csc ,{)(-sen r)

s=#+=senr'cosx

(r)

> r=l

¿se podría

I

r)

p I

(170"

r seltrt=lscnrr valor cs l.

S

¡

Por d¡lo:.\ + r =

l¡+ r = l¡ -.r \ = .L I sel¡ L-'r r1

Re.'llltrlau ¡ttttrr' ett lr

'|

Iirrr-t - -\Cil.\ "ll.t. - _fiilr \ - IrI

5

r

i:

\

_

r

r

o

Sí sc pucrlc simplilical srr viLkrr

UNIDAD

I¡lrl llrn

crs

lnicie revisando conjuntamente con los estudiantes la información inicial con respecto a la reducción de ángulos mayores que una vuelta. Luego, pregunte: ¿El valor de "n" podrá ser un número decimal? ¿Por qué?(No, porque representa al número de vueltas). ¿Qué forma se le dará al ángulo en el s¡stema radial? (Tendrá la forma 2n . n + a).

En el ejemplo 22, es posible que los estudiantes no comprendan la estrategia de reducir el ángulo en el sistema radial. Explique que, para reducir un ángulo de la forma 37r¡l3 deben dividirlo y expresarlo como una adición 12r, + nl3. Finalmente, en esta expresión se da forma a la parte entera en funclón de "2x" , quedando expresada de Ia forma 2n.6 + xl3, donde ¡/3 representa al ángulo reducido.

podría

simnlificarF=ffi-J3{

-t) = cos.r

-

¿,se

\sen((=s!'n(l+scn(¿+

@ si * +y = 2n, además,r,y € I C, (r

sen

idácticas

I

=

rr) = cos(9()o (r) -. \ co§ (¿.cot (r .I c(r§ (I . l{n (r sLr

d

Como acción preliminar al ejemplo 21 , recuérdeles las razones figonométricas de los ángulos notables. Pídales que expliquen la estrategia aplicada. (Se dividieron los ángulos entre 360". Si el residuo resulta menor que 90", se concluye expresando las razones trigonoméficas, en func¡ón de este ángulo; pero s¡ el residuo es mayor que 90o, se cont¡núa reduciendo aplicando el método de reducción con respecto al eje X). Pregunte: ¿Se podrá emplear el método de reducción respecto al eje Y?(SÍ, ya que se obtendrá el mismo resultado).

= scn

Sí sc prrctle hallar t.

Reduce al primer cuadrante ángulos de forma 360o .n + o. (11-15)

I

0

a'

.

Explique que para reducir un ángulo al primer cuadrante pueden proceder dividiéndolo entre 360" o2nrad, según sea el sistema que se esté trabajando. Después se continúa analizando el residuo, si es mayor que 90" o nl2 rad se sigue reduciendo empleando cualquiera de los métodos ya estudiados anteriormente.

({ot 0) t sec 0) ({os 0) (*n e) fiec 0) rot 0

Si se sabe que sen (360'- cr) es igual a cos (90' - tr) - r cos co¡. (27O" - c), hallar el valor de,r? Justifica.

ldentifica por simple inspección ángulos de la forma

360o n+o.(1-10)

I

Analiza y resuelve.

lE

o

Para desarrollar

E= ll2

scn

sen

I

l

lrlcrprcl¡rnos y resolvenros:

1

ID Simplifica.

_

2(f + r¡ü0'

r) = !11!-Ll scn H = -.,,r ..no=l=!.rL r'5 h¡l) .rr =(r5)r - 22 +.r

sen 2l0o = sen ( Iti0o + 30') = -sen 30" = tan 323'= tan (3ó0'- 37') = -tan 37'= -3/4

c

I

sen l0o

E

-

)

Para iniciar

.0 < ¡. catcuta: 4.I \/5 ¿ 0). sec(n- or. *" (f -e) . _,un (;* - - 0). cot rn+ 0l (2¡sen el csc (f

de la siguiente expresión:

st

Sugerencias

sen g --

Resuelve.

'- -

-sen l0'+:cn l0'-

-sen l0' -'-lsenl0'-

=

lD Halla el valor

20"

Reenrplazanros valores en T:

t *l Iso" .l 6,» I = [---; 6f I @ cot 286' = fa-irt36,r - ?4) I = L-@ I

csc

- l0') = -sen

20') = -sen 20' sen 200'= sen ( 180'+ 20') = -sen 10" cos 290" = cos (270' + 20') = sen 20" sen 160'= sen ( ltlO'- l0') = sen 20'

-30"I=f*- 30. I D cos 196'-l=;os(l8o{ t6fl=t *.' lfll sen 150.

Usa estrategias y proced¡mientos

cos I 10" + sen 200'

sen

sen .140" = sen (160' cos I 10" = cos (90'+

Completa correctamente.

O

de:

,-m340'-

E

-s5s {Jo

+ 45o) =

1

Capacidades y desempeños prec¡sados Comunica

Escribe V si

Libro de actividades (págs 210-21

Previamente a las actividades I a la 5, pregunte: ¿Qué signo tienen las razones trigonométricas en el I C? (Todas son positivas). Asimismo, resalte que el residuo nos ¡ndica la ubicación del cuadrante en el que se encuentra el ángulo reducido.

Para consolidar

I

0.

Circunferenc¡a trigonométrica

2@

Enfatice que para reducir un ángulo mayor que una vuelta, se debe dividir entre 360" o 2nrad según en qué sistema se está trabajando. Destaque que el residuo será quien indique en qué cuadrante se ubica el ángulo a reducirse y, para asignarle el signo alarazón trigonométrica, se debe COnsiderar pl nt ladrantc on al n¡ ¡o oó 6ñ^r rÁñ+ró nl ¡^'i'1"^

N N @

)

ci

i

:Q !

l

o o o l

p _o

c o

a c -9 c @

L¡BRO DE ACTIVIDADES

¡

REDUCCIÓN DE ÁNGUtOS AL PRIMER CUADRANTE

REDUCCIÓN DE ÁNGULOS AL PRIMER CUADRANTE

Reducción de ángulos de la forma (3ó0o

.r + c)

fl

Los ángulos (3ó0' . n + o) se reducen al primer cuadrante aplicando la propiedad de las razones trigonométricas de ángulos coterminales. R.

I.

(3ó0" . n + a)

-

R. T.

(a) 0

R. T.

(2n. n + c) =

R.

2+74")=-cot74" El sec 1096" = sec (36O" ' 3 + 16') = sec 16' 0 cos 1477' = cos ( 360" ' 4 + 37") = cos 37" @ csc ll33'= csc (360''3 + 53') = -csc 53' 0 sen 1830'= sen (360" 5 + 30") = sen 30o

(3ó0' ' 2 + 53') = sen 53" = 4/5 b)tan 3555" =tan (360". 9 + 315') =tan 315' (IVC)

Reduce al primer cuadrante:

a) cos

390"

a) cos

30' 4

773' =

c) sec

f

sen

b) tan 780'

cscf; dlsen$

cl

a) sen

b) tan ó0" d) sen

= tan (360'

d)cosf

='"" (rzn+ f) =g6s

(2rr. 6

= sec

(r+n+f)=cos (2Í.

7

+{)

-

45") = -tan

= sec

{=

45' = -1

O

6

sen 1845" + cos 3 180"

ffi

-

.

cos 3180' = cos cot'7 417" = cot

(360''5 +45') = sen45o = (360" (360''

8 + 300') = cos 2O

.

t3

143'=."" 53'=

.' ' _ M ",

i

M=

l

Calcula el valor de l\¡:

:

sen{ tan$ J

' ;c=iotjr3l

i,

p

-

t""

(ryE. ")

E = sec [5998¡ + (¡r

-

cr)

' tu"

-

cr)] . tan

(l+

cr) =

fsooor

{-.""

+

(f

+

o)]

ñ j

E=

a

1470'- cot

sen

sec 21440 + tan

a6lo ffi+= *,,o

= tsc cr

+E

cr

13950 + sec I 133' cos 44400

Jlf

-

sen 30"

reL' 160 +

tan 362' = tan (360' + 2") = tan 2' Reemplazamos en P:

I

r. _- cos 89o csc 30o mi¡go § m".

tan 2o _ , ran 2" - '

I

1-cot 45") + sec 5.1" 3?o - (-cos 6(

tnr

- r)

sen (5n

^-

+ cos

-

tan 145n + xr

(? ., - sen (8¡ + ¡)

*, (f

- r)

+ tan (48n + x)

2 21 + (l - .t)] = sen (fr -.r) = sen .r z +r+ ({+.)] =cos (}+ t) =-sen.r sen (4 2¡+¡)=sen¡ sen

,)

|*r*f 55 o _la .r-trll24'4'2 ú 55

§

cot

N= ,E

§ p e

.,,r

N=

f,

6

f+

+.,rc

sec n

,-r-1 § a 0

§

''

t-l

+tan4ff

5r + COS

t+ sec

(-cot d)

= csc

sen (1441') = sen ( 1440'+ ló) = sen cos 89' sec (35 700") = sec (35 640" + 60') = sec 60'

3637L

sen 30o -cot + sec 5.lo sec 344' + tan -17o - cos 120'

I

r

cr) '

=f.*T6"

3!t *.." 22^ 6 * ----3 ".,9I4 ".. ¡DCalculaN=

lt2

o L

Reducimos al primer cuadrante: cos 809' = cos (720" + 89") = cos 89o csc 3270" = csc (3240' + 30') = csc 30' cot 88' = cot (90" - 88") = tan 2'

--l

?4'

de la siguiente expresión:

sec 1099¡

cr) .

Reducimos cada ángulo al primer cuadrante y simplificamos:

E = sec (n

s E

-

E]EMPLO 23

.

(360''5 + 16')

'cot 88'

cos

tan

2

122

cot

[tz.

(24

tan

n+ (r+.r)l

z"

= tan

(ff+r)

-l] = *, (]-')

*(5

= tan.r

=,un

.

2fr +.r) = tan.r

Reemplazamosen Q:

3

oo o o

-

r5

N N @

v

cos

l9

t o +.+-i =\i4 =Í=á -*=* -J*'Z''S -i*,

Simplifica E = sec (5999n

r=,

csc 3270'

sec a5700o ' tan 3620

lE Simplifica

xr

Reemplazamos en M y resolvemos:

M=

[

lI) Halla el resultado

2

+ 217") = cot 217" = cot 37" =

r-t=

Resuelve.

'v2

tan 18 240' = tan (360' ' 50 + 240') = fan 240' = cot 30' =

USA ESTRATEGIAS

sen(-160" 4+74'

300'= cos 60o = -L 2

csc l0 943'= csc (360" . 30 + I43') = csc

Y PROCEDIMIENTOS

1 I

@ cos 1816'=

Reducimos cada ángulo al primer cuadrante: sen 1845'= sen

M t4 M

809"

l44f

Ef

gcot765"-[co]fJjj--r+4s)l=f .-t4v_l

cot74l7"

Reducimos cada una de las razones trigonométricas al primer cuadrante

)

l-; (36ff --3'a= t ..*' .r¡" 40o = ftrrfii- i + 60'I = t tan 60'

El sen 1514'= EJEMPLO 22

d p

tan

cos sen

l'=

Gt csc 773' =

.I)="""t=+

{

Calcula el resulrado - de M =

D'

F]

Completa para reducir al primer cuadrante.

z

procedimientos: 11-15

Usa estrategias y

@ Calcula el resultado de:

Ocot794'=cot(360''

Determina las razones trigonométricas de los ángulos que se indican.

1-10

Comunicar

Escribe V si es verdadero o F si es falso,

f . (a); n € Z

EJEMPLO 21 COMUNICA

oesannou-lruscAPACIDADES

I

-

ttn f,

?

+.os

tan

{

lD Si tan

32o = a, calcula el valor de

cos 1470' . - tan 912'- tan 1320' sen 14700 .cot 16650

N

T

l

tan

R=

tan 32o

2 I

sen

4

-

sen

(-v-1 R=

)f

2'

^"

4

7

2

senx ||=-=-=Cos,I ^- sen¡-sen.r+sen.r tanx-tanr+tanr tanr

-

tan 240" ' cos 30"

-10" cot 225' tan 60" ' cos 30'

30o cot,l5'

o . tE

Ir-l )')

j,

2t-3 1

=

-

=r,¡-l

o

C

§ c @

210

UNIDAD

5

Circunferencia tr¡gonométr¡ca

211

Razones triqonométricas de ángulos ñegativos !Texto

escolar (pá9

50)

tLrbro

de actrvidades (págs 212-213)

Capacidades y desempeños precisados . Halla por simple inspección el resultado de ángulos negativos. Comunica

(

TEXTO ESCOLAR

Razones trigonométricas de ángulos negativos

1-10)

Usa estrategias y procedimientos

o

Reduce ángulos negativos al primer cuadrante. (1"{; 11-1a)

Argumenta afirmaciones

.

Plantea conjeturas respecto a ángulos negativos. ( 15)

Un ángulo negat¡vo es aquel ángulo en posición normal cuya rotación es generada en sentido horario. Si se sabe que d es un ángulo positivo en posición normal, es dec¡r. a > 0', entonces, el ángulo de la misma magnitud y sentido contrario es -o. Las razones trigonométr¡cas de un ángulo negativo se muestra en el margen.

Sugerencias didácticas

EJEMPLO 9 Reduce

Para iniciar

I

.

Comente que un ángulo negativo es aquel ángulo en posición normal cuya rotación es similar a las manecillas de un reloj. lnforme que el signo de las razones figonométricas de los ángulos negativos se resuelven como en el caso de los ángulos opuestos, es decir, que todas las razones cambian de signo a excepción del coseno y la secante, que conservan su signo positivo. lnvítelos a revisar la información presentada en la sección "Ten en cuenta", donde se amplía el tema.

2;

R

tan t-ot

=;:

sen

-tan a

= -COt

sen

(-150") = -sen

l50o

sen

(-150') = -sen

30o

Reducimos de manera analítica:

a

sec(-o¡=f=5s¡q

cscc"t=$=-(!) = -CSC

(-150')

Interpretamos: el valor de sen (-150') es igual al opuesto del valor de sen 30'; es decir, sen (-150") = -sen 30" = -ll2

= -[r¿J =

c

l"

Aplicamos la definición: sen

2.' 3.'

Reducimosal IC: -(sen 150') =-(sen 30')

4."

Establecemos la equivalencia: sen (-150") = -(sen 30') =

(-I50')

= -sen 150o

Calculamos el opuesto del seno del ángulo de 30": -(sen 30") = -1¡2

-l12

EJEMPLO

Resalte que la actividad 11 es semejante al ejemplo 24, por lo que deben aplicar la misma estrategia. En la actividad 12, pregunte: ¿Cómo son los ángulos? (Son mayores que una vuelta). ¿Qué procedimiento se aplica en eslos casos? (Se divide entre 360" para darle la forma 360' ' n + cr). Asimismo, en las actividades 13 y 14 resalte que los ángulos no están expresados adecuadamente, por lo tanto, sugiera que factoricen el signo de los ángulos para recién reducirlo dándole la forma. Recuérdeles el procedimiento para reducir los ángulos de la forma fraccionaria (309n12 rad): Deben dividirlo para transformarlo en adición (3O9nl2 = 154n + nl2 = 2n. 77 + O" manera, se reduce al I C.

Halla el valor de M = 5 cos (-53") - tan (-45") + 24 sec (-16') - csc (-30") . Aplicamos las razones trigonométricas de ángulos negativos en B y resolvemos:

M = 5 cos 53' - (-tan 45') + 24 sec 16" - (-csc 30") M = 5 cos 53' + tan 45" + 24 sec 16" + csc 30"

+25+2=3l +M=3l \5/ t+zqlá\+2=3+t \',¿4t

rt¿=sl9) +

'tÜF

ñ

Págs. 212-213

ff

".t,

S

Para consolidar Consolide señalando que las razones trigonométricas de los ángulos negativos cambian de signo excepto el coseno y la secante, que conservan el signo positivo. Asimismo, indique que los ángulos negativos se obtienen rotando en el sentido horario y que, para resolver una razón trigonométrica de un ángulo negativo, en primer lugar, deben determinar el signo aplicando la definición. Luego, recién se procede a reducirlo si es necesario

c

cotco=$=-(g)

eliminar el signo negativo de los ángulos. Mientras que en las actividades 6 a la 10, haga notar que aparte de aplicar la definición deben reducirlo al primer cuadrante, teniendo cuidado con el signo del cuadrante en que está el ángulo a reducir.

I

x

de ángulos negativos

= _sen

actividades 1 a la 5, sugiera que apliquen la definición para

ff),

T.

cosl-s¡=f=se5q

¿Qué estrategia aplicó en el pimer procedimiento? ¿Qué procedimiento utilizó en la segunda fase?

I

Y

..nc"r=l=-(|)

Para desarrollar lnvítelos a analizar el procedimiento aplicado en el elemplo 24. Pregunte:

En las

3.'

Y

TEN EN CUENTA

I I

-150" al I C y calcula sen (-150') de manera gráfica y analítica.

Reducimos de manera gráfica:

)d

oesannou-arus

Usa estrategias y procedim¡entos: 1 4

cAPACTDADES

Halla el valor numérico de la siguiente expresión: N = 2 sen

s .r",,"

r

(-30') =

4 tan(-37') + 25 cos

*, (-#

la;,Fi?,,Í _?

(-74")

Jé; ¿;.i", Í-

e

:1;]

§

Calcula el valor de sec (-780')

Q

Halla el resultado de la siguiente expresión:

-

cos (-120").

e

a §

p

5t2

sen (-,r) cos (-r) tan(-x) ^sen(180"-"r) cos(180'+¡) tanx -{

t€ E

3 o c

50

§ c U

EI

LIBRO DE ACTIVIDADES

.

RAZONES TRIGONOMETRICAS DE ANGULOS NEGATIVOS

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS NEGATIVOS

@ Razones trigonométricas

ff

t=]:

de ángulos negativos

Un ángulo negativo es aquel ángulo en posición normal cuya rotación es generada en sentido horario. Si se sabe que o es un ángulo posrtivo en posición normal, es decir. a > 0', entonces el

ángulo de la misma magnitud y sentido contrar¡o es

-o.

Las razones trigonométricas de un ángulo negativo están relacionadas con las razones trigonométr¡cas de su correspondiente ángulo pos¡t¡vo. Asi:

IMPORTANTE Los ángulos positivos

son aquellos que giran en sentido antihorario y los ángulos negat¡vos son aquellos que Siran en sentido horario.

cAPACTDADES

O

cos

@

tan

(-37") + I = cos 37" + I =915 (-74') - I = -fan 74o - 1 = -ll7

0

cot

(-45)" + 2 = -cot 45" +2 = I

@ sec (-6O')

-

2 = sec 60"

o ss¡1-s¡=l=-({)=-."n"

. csc(-o)=5=-(})=-cscc

E

r 695(-¡¿)={=695¿ . tan(-a)=]=-(])=-tr."

o 5s¡(-or)=!=596c(

Completa correctamente.

. cot(-a)=$=-(f)=-cot"

El

sec

(-225") =

B

tan

(-z8o') =

EJEMPLO 24

nú."¡"o

Haua el valor

.

*

(

¿"

r'',r

(-? 1i]],

1u! f ll") lot "ot(-30') =' csc =?19') sec (-3637') + 25 sen (-16') 3

=

=

Hallamos el valor numérico de M aplicando las razones trigonométricas de 53")

(-cot 315')

-

csc

-

1-10

tr tr tr tr tr

(-53') + 3 =-csc 53' + 3 = 714

sec

-tan (270" +

-csc (360"

-

cot

cos (90" + ó0")

-sen

C-csc

a0)

-

-{ + :(-{)

+

r-r

r

e2t-]+nl-*)

'-@

Csen 16)

sec a7o + 25

(-60') + 2 cot (-45') -

sen

@ Si

¡

csc (o - 270') = u, ¿cuá¡ es el valor de la expresión csc [3ó0" .n + (270" - a)]?

N N

@

_)

!

-cot I reñ + (Í -

o

o o f

.

L

d a c

"o. [zan

sen (180" +

o) = -sen

. (, -

")]

=

-"ot (] -

cos ") ] =

(] -

-tan

_ 2(-sen

-

q)'

3 tan

(-tan o.)'4

sen

a_6_

a - 4-

,_

.

J d

§

.g

p

p €

cr) = sen cr

3

V2

(-2107') -

sen

(-3915")

/J -

cos (-3750") csc

_§

s

g

o

(-lgn 307")

-y'2

sen

16cos 150' 315" - (-csc 254')

-

_ c(l!.17Ó- \ -l (-cos -10') F, -r/l (-se¡r 45') csc 74'

+. o l-llnE\

3 2

Simplificando, el valor de N es 3/2.

212

c,) =

tan

cr

Reemplazamos en la expresión dada y simplificamos:

^, "

-E

@

-

tan17200" + (180'+ ct)l = tan (180'+ ct) = tan ct

l

§c

(180'+ ct)] =

-c()s.r = \c(

rl

-.,1,

.\

=.,,'

t

r + (r -.r)l = -s!'n (r -.r) = -sen.\

(

rr ' (-ssc.r

-(o\

cos.r'

. sec (7020" - lP"') -.r) ¿ t (293* * 11 csc (x - 22tt¡ ' I "o, \'¿

,un

l* \

l5s, , I\2!'- ,ll - - lx, r,l-r \ j rr = cor r I /l scc [7200' +(,r- 180')¡ =scc (-r- 180') = see.r ,

-csc I20r + (2x

-.r)l = -csc (2r -.r) = -cse

.,,. itoor* f.tl-r* .ll

=.n'tlI

1-

.r

+,li=\cllf,

=+VJ J \l/ l./a\ )< -

t2 \+) fi

t7 6 I

24

.-

I _cos.r. sen.r co§ I

(-col.r) s (*csc.r) sc|.r

-<¡li-

s('ll

l

Analiza y resuelve.

@ Determina el valor numérico de:

Reducimos cada ángulo al primer cuadrante: sen [720" +

=

Reenrplazanros en N

., 2 sen (900" + cr) 3 tan in + 7380") srmprrrrca^=.o4o-39',¡cou(5Zl,*)

.i I

-... , ]

,ru

EJEMPLO 25

.

=

(r --r)

Reducirnos al primcr ctradrante cadr ángukr:

(- l6')

M _

Si

1904

.,

El valor numérico de M es 22141

ARGUMENTA AFIRMACIONES

= cos

tl - .t

e III C, calcula el valor de:

60o

\ee (llo + l(-(r)l 4-5or - (-scrt l6ot ( (.s( .¡{)") ( l¡[t 7,1") r errs 5.1.

't.

(r-ry)

l \ec.\ (-sel].r) setl J M = -Sfii = -ttt t' ttt ' r, '''

_11

-4-l _ 2_22 - 4t- 4l -2- -7 _T

"*

Reernplazarnos err M;

¡D Halla el resultado de la siguiente expresión. sec

Ar8umeota afinn¿ic¡ones: 15

-'.ult.t- * f.!I - ,ll' = -,", l! I j

Resuelve.

E

(x- 307n)

r + (r -.t)l

-csL [.]-s]r +

16o

csc 37"

1-14

Reducinos al prirrter cuadrante cada ártgulo:

f;5rl

37")

1

=@

eos l-1O6

-sec 4-5'

lff)

-sen(lliO"-53")

(- 150") =

fD Calcula M

-sen

(180'+ 4-5')

El csc (-323') =

-cos 60' + 3 (-tan 53") + (-cot 45") r¡ Ñr _

-

Usa estrateStas y proced¡m¡entos:

cos

-l

2=

0 sen (- 127") = @ cos

los ángulos negativos:

f,, _ cos 240 +3 (-tan M-@

Comun¡c¿:

Escribe V si es verdadero o l.'si es falso.

Y

x

oesnnnou-nrus

¡

(-36 254")

lD

€ III C, es positivo y mayor que una vuelta, pero menor que dos vueltas. posible determinar el Además: cos ¡ = -sen Se sabe que -r

fr.¿Es

valor de ¡? Dcl grál ico: r = 3¡ + cos.r = cos (-lr + (r) cos.r = {os (l ff \enJT= cosG+

lf,9f (¿+ll=r+(r=» .- . qa

« x sen

JI=c()s(r

(t

75r

UNIDAO

5

Circunferencia trigonométrica

213

LIBRO DE ACTIVIDADES

Estrategia para resolver problemas rLlbro

de activrdades (págs 214-215)

Capacidades y desempeños precisados . Resuelve problemas de áreas usando razones trigonométricas Usa estrategias y procedimientos

Sugerencias

d

ESTRATEGIA PARA RESOLVER PROBLEMAS en

trigonométr¡cas

idácticas

Guillermo trabaja en el aeropuerto como controlador de radar. En un papel dibuja una circunferencia trigonométrica e incluye Io que observa en el radar, en tres instantes, la ubicación de un avión al momento de ingresar al aeropuerto. Marca un punto P ubicado en el II C, y marca Q en el IV C. Y, por último, marca R en el semieje Y negativo a la mitad del radio. Determina una expresión matemática que permita hallar en la circunferencia trigonométrica, el área de la región triangular PQR. PQ pasa por el origen de coordenadas y nq lt e¡e X.

Para iniciar

t

I

Generalizar áreas usando razones

una circunferencia trigonométrica. (1-4)

Explique a los estudiantes que la razón figonométrica seno se define en la circunferencia trigonométrica como el cateto opuesto (coordenada Y) entre la hipotenusa y el coseno, como el cateto adyacente (coordenada X) sobre la hipotenusa. Pero, como la hipotenusa es igual 1, a partir de ello se puede concluir que el seno será igual a la coordenada"Y'y el coseno a la coordenada "X'. Resalte que la estrategia a estudiar está basada en el uso de estas dos lÍneas que permiten calcular las áreas y perÍmetros de diversas figuras que se construyen dentro de la circunferencia trigonométrica.

Interpretamos lo que

hace Guillermo en el papel. Sobre una circunferencia cuyo centro coincide con el origen de coordenadas ubica tres puntos que corresponden a los vértices de un triángulo PQR. Se pide determinar una expresión matemática Comprende que permita calcular el ¿írea de la región triangular

Enfatice en la importancia de familiarizarse con el problema para poder entenderlo. Esto se verifica si los estudiantes logran parafrasear la situación identificando los datos y la incógnita.

Para desarrollar

I

I

lnvite a los estudiantes a que evalúen el procedimiento desarrollado para resolver la situación problemática y que en pares se expliquen mutuamente. lnforme que si trazamos una perpendicular hacia el eje "X" desde cualquier punto de la circunferencia trigonométrica estaremos determinando la línea seno y si ellrazo se hace sobre el eje "Y" se obtendrá la línea coseno, pregunte: ¿Por qué se aplica el valor absoluto a las razones trigonométricas? (Porque se están determinando distancias y estas se expresan con números positivos). ¿Por qué las líneas seno en el problema se consideran que son iguales? (Porque al trazar estas lÍneas se forman dos triángulos rectángulos congruentes y eso valida la igualdad).

Plan¡f¡ca

En la primera actividad sugiera a los estudiantes que establezcan en primer lugar la base (Pa) y la altura del triángulo, trazando las líneas seno y coseno. Luego, pregunle: ¿Qué tipo de triángulo se formó? (El triángulo que se obtiene es isósceles). ¿Qué línea notable representa el eje "Y"? (La

Resuelve

En la circunferencia trigonométrica, desde el punto P trazamos un segmento perpendicular al eje X; este segmento es igual a lsen crl. De la misma manera trazamos desde el punto Q un segmento perpendicular al eje X que es el mismo valor. Luego, trazamos desde el punto Q un segmento perpendicular al eje Y. En el gráfico identificamos la base y la altura del triángulo PQR:

214

2

lsen

cl

lsen

cl

Base=b = lcos ol Altura= h=2'lsen cl Generalizamos el área expresada en función de las razones trigonométricas:

2

lsen

al

=cos CI.

N N @ j

ci

sen (1

Comprobamos la región triangular del III C al II C; se aprecia que completa un triángulo rectángulo. En total, se tendrían dos triángulos rectángulos congruentes (en II C y IV C) que al juntarlos forman un rectángulo de base lcos ol Comprueba y altura lsen ctl. Luego, A = cos o . sen cl.

Para consolidar Enfatice que para hallar el área o perímetro de una figura deben relacionar el valor absoluto del seno, coseno y el radio de la circunferencia trigonométrica. Además, indique que es indispensable conocer las expresiones o fórmulas para calcular las áreas de las diversas fiouras presentadas.

de la circunf'erencia.

Área=A= b-b= lcosol

mediatriz de Ia base). Además, haga notar que la altura estará en función del seno más el radio mientras que su base estará en función del coseno. Para la actividad 2, sugiera que el triángulo lo descompongan en dos triángulos más pequeños (AOB y COB). Remarque que estos triángulos comparten Ia misma base (OB) y, además, destaque que su longitud ya es conocida, pues viene a ser el radio de la circunferencia trigonométrica.

I

Relacionamos los elementos del triángulo PQR con dos razones trigonométricas. Sabemos que la razón trigonométrica seno se define en una circunferencia trigonométrica como el cateto opuesto (coordenada y) entre la hipotenusa y el coseno como el cateto adyacente (coordenada x) entre la hipotenusa, pero la hipotenusa es igual a I , puesto que es el radio

§ j E

§ P E

x (rl

l"o)

c

:9 l E

o

o o l

p _! c

§ 3 o

e

L

a c

§ c

oo

E

LIBRO DE ACTIVIDADES

Usa estrategias y procedim¡entos: 1"3

Actividades com plementar¡as 1.

!l

Resuelve los siguientes problemas. Utiliza la estrategia aprendida. El entrenador de básquet de la selección del colegio Francisco Bolognesi hace un bosquejo de los movimientos de tres jugadores en la cancha en el preciso instante de anotar una canasta, como muestra el gnáfico. ¿Qué expresión permite calcular el área de la región triangular formada por los puntos P, Q y R donde están ubicados los tres jugadores?

@ Desde un helicóptero,

los que viajan Sandra, César y Florencia en hora punta en el centro de Lima, cada uno de ellos en autos diferentes, como se observa en el gráfico. Determina el área del triángulo que forman las posiciones de los autos. cos U

0tan($-e)=cotg (

Y

á

de fútbol, cuatro jugadores estuvieron dentro del área confraria, pero ninguno de ellos metió gol. Uno de los asistentes del equipo dibujó en un papcl el gráfico que muestra la posición de sus cuatro jugadores. ¿Qué expresión matemáIica permite calcular el área del cuadrilátero que forman las posiciones de los jugadores? 2 - lcos Bl

-----

del triángulo PQR. Planifica: Relacionamos los elementos del triángulo con las razones trigonométricas senos y cosenos. Resuelve: Identificamos la base y la altura del

"..-X

Z

X

N N @ j

ci Ceneralizamos el área del triángulo: 2 ' lcos cl . (lsen ol + l)

l

p ,.o =o

p € I

4.

L

§

@

o

5.

.

lcos lcos

Luego, A = A, + A, =

1965

6. B)l

7

\ (lsen

r.n 6961 -

6s6

.

_

6 cos ( -60")

-3

tan(- 45)

'-7tañF36O -¡ec[6od)

¡360)

Simplifica la siguiente expresión:

_ -

(3nl2-13) 8tan (n + 0) seffi69e- B¡. 66112761 B¡

cos 2

¿Qué se obtiene al slmplificar la expresión R? o _ tan (360"- o) 3 sen(180o+ o) _ 4 cos(90 + x) -.ot(90-L sen x sen (-

O-

-

0)--

-Jl ,calcula 5M2. - 0) ' sec (nl2 + 0)' sen (n + e)

Sitan 0 = tan (n

Calcular el valor de 6K u _ d2. sen 450'- b2.csc 990" I\

t-'

cl

)

_

-

4 ab ' sen

390' ' cos 540"

Y

cl .(lsen ql + l) cl ' (lsen dl + I

3

tvt =

Cornprobación: Desc«rnponemos el triángulo PQR en dos triángukrs rectiingulos y verificanros.

^ ,'l-

)

2 cos (-180") + sen (-270")

r- =

''

@ En un estadio se tiene una pista atlética circular y otra pista rectangular como muestra el gráfico. Un atleta, todos los días, corre partiendo de B', y da dos vueltas a la pista circular y cuatro a la pista rectangular. Determina la expresión matemática que permite calcular la longitud que recorre diariamente el atleta. '1lr + l( I scr u + I eos

)

(

Determina el valor numerico de 4F + 2F si

y

q

9

2.

I

Y

(

¡)tan313r=-E* (

3.

x

-/s

1290'= cos 30o

i) cos

lsen pl

triángulo. Denotamos: Base = b = 2 . lcos ol

Altura=h=lsenal +

nl ,"n i¿0" =

@ En un partido

Comprende: En el gráfico, observamos una circunl'erencia trigonomét¡ica en la cual se anotan los tres puntos que son las posiciones de los jugadores de básquet en el preciso instante de anotar ura canasta. Se pide hallar la fómula general del área

)

g¡sen($-F)="orB ()

x

T

\

EscribeVoFsegúncorresponda.

a)sec(-270')=-1 ( ) b) sen (- 390') = sen 30o ( ) c)tan(o+n)=1¿¡o ( ) d)sec(360"-o)=-seca ( ) e¡sen(F-+)=-cos0 ()

se observan tres autos en

8.

-/-

Simplifica la siguiente expresión, luego determina el valor de (P + 3)3 sen170o' sen134o o cos1360'

secl45o ' - ----cs¿125ó- - ---cos Determina el valor de (R

^'

al +l)

-

lOcto

4XR + 4), si:

csc 5¡/6 ' tan 2nl3' cot3xl4 sen

3¡l4.cos 2nl3.

sec 5¡/6

c

§ c

?

UNIDAD

5

C rcunferenc a tri8onométnca

215

Respuestas: 1. FFVFVWVFF

5 3.-4 4.6 5.25 6.2(a+b)

7

B. 56

LIBRO DE ACTIVIDADES

Taller matemático I

Libro de actividades (pá9. 216)

TALLER MATEMÁTICO

Capacidades y desempeños precisados Comunica

ldentifica ángulos en posición normal. (1)

Argumenta afirmaciones

Analtzay explica el razonamiento empleado al reducir ángulos al primer cuadrante. (2-3)

La hora sin demora En el pueblo de San Antonio, para aprender ángulos en posición normal, los estudiantes del colegio secundario recurren al viejo reloj de la catedral para tomar como base el movimiento de las manecillas que marcan la hora, los minutos y los segundos. El reloj está dividido en I 2 partes, del 1 al 12.

Sugerencias didácticas Para iniciar

I

Acceda al enlace httplfuww.minedu,gob.pel r

utas- d e l - a p re n d iz aj e/ d oc u m e ntos/ Sec u n d a r i a/ ( págs. 7 7 -7 8) par a

Matematica-Vl.pdf

conocer el desanollo de las fases de un taller matemático. En correspondencia con dichas fases, las actividades que se muestran en esta ficha se distribuyen así:

I

Fase Familiarización

Ellos elaboran su circunferencia trigonométrica dibujando el reloj en el plano cartesiano con centro de las manecillas en el origen del sistema de coordenadas. Además, consideran el eje X como la recta que pasa por los puntos 3 y 9, y el eje Y como la recta perpendicular al eje X que pasa por los puntos 6 y I 2. Por último, toman a [a manecilla del minutero igual a la unidad.

Número de actividades

lntroducción

Traducción simple

1

Traducción compleja

2

lnterpretación, aplicación y validación

3

Del punto

I

al2hay 5 minutos, y un equivalente

It

No, porque el lado inicial no coincide con el lado positivo del eje X. . El ángulo está ubicado en el primer cuadrante. . El ángulo es negativo porque el sentido de giro es igual al sentido de giro de las agujas del reloj.

@ Si el minutero gira del punto 3 al 7 y denotamos por

Proponga la siguiente situación: Si las manecillas de un reloj a las 21 horas lK 2) forman unánqulo0, determineel valorde K 2sen2e

.

El ángulo está ubicado en el III C

. Calculanros ei vakrr de

I I I

E:

E = cos (-120') + tan (-120') = cos 120'- tan 120'

I si e es et ánguto que I forman las manecillas y mrnutero a las I horario '15:45

E=

horas. l.cuál es el valor de la expresrón

-cos 6u.

-

rirr t:o. =

-l . +

=

--llr2\4

cote+csce? 0.66tt

@

Sea p el ángulo que forman las manecillas horario y minutero a las l5:30 horas.

Con ayuda de tu calculadora, halla M =

2cscp-cosp+3tanp senp+secp

. Cuando el nrinutcro avanza

trigonométricas del ángulo de 75'y 15', por lo tanto, recuerde las relaciones de las longitudes de los lados de este triángulo (4K; (\/6 +\O)Ky 6/6- \/Z)K). Haga notar que cuando el minutero avanza hasta el punto 6, el horario solo avanza hasta la mitad de 3 y 4, es decir, 15". De esta manera, el ángulo .15". formado por las manecillas será el complemento de Sugiera que representen gráficamente la situación.

I

cr el ángulo de giro, ¿en qué cuadrante está ubicado el ángulo cr? ¿Cuál es el valor de E = cos cr. + tan a?

ARGUMENTA AFIRMACIONES

En la situación 3, asegúrese que los estudiantes conozcan las razones

Para consolidar

Si denotamos por a el ángulo de giro del movimiento del punto I al 3, ¿el ángulo trigonométrico formado está en posición normal? ¿En qué cuadrante está ubicado el ángulo? ¿El ángulo es positivo o negativo?

.

horario).

I

30'.

¿Cruínto crees que rniden los dngulos que lonnan el eje X y el eje Y? ¿Cúno se llaman estos ángulos? ¿Que ángulo se Jorma si la marccilla del horario gira del punto 2 al 6?

Es necesario que los estudiantes se familiaricen en el problema y puedan comprenderlo, por lo tanto, solicÍteles que lean la situación "La hora sin demora"; para comprobar si han comprendido, plantee las siguientes interrogantes: ¿En qué cuadrante se encuentra el minutero y el horario a las 1655 horas? (El horario en el I I C y el minutero en el lV C). ¿Qué ángulo generó el minutero si avanzó 2 minutos? (Generó un ángulo de 12o en el sistema sexagesimal). Pida a los estudiantes que den respuesta a las preguntas propuestas en la sección "Nos familiarizamos con la situación". (Los ejes son perpendiculares y forman un ángulo de 90o, se denominan ángulos rectos; la manecilla del horario genera un ángulo de 120").

Previamente a la primera situación, recuerde que un ángulo es negativo si se generó rotando en el mismo sentido de rotación que las manecillas del reloj y positivo si tiene sentido antihorario, Anime a los estudiantes a dar lectura a las interrogantes propuestas en la situación 2, luego pregunte: ¿Qué estrategia se puede utilizar en este caso? (Hacer una representación gráfica). ¿La situación presentada con cuál de los contenidos se puede relacionar? (Con las razones de ángulos negativos debido a que los ángulos se generan rotando en sentido

en el sistema sexagesimal de

Nos familiarizamos con la situación

Para desarrollar

I

)

1

hasta la nr¡tad

.

de.l

hast¿r

6. cl horario avanza -(90'- 15") = -7-5'

Recnrplazarttos fl = -75" cn M y resolvemos: Jrrcr -75or -rrrst-75'r r .1 1ilI(-75')

^, M

=

-l c*

§

y 4: es dccir. fl =

scr 1-75'¡ + see 1 -75't 75" --e3s {'_J^t¡r¡r 75' _.i.()r)7 = -scn /-¡" + sec /-\"

p €

I o

216

E

LIBRO DE ACTIVIDADES

Razonam iento matemático ¡ Libro de actrvldades

(pág.217)

Capacidades y desempeños precisados Comunica Usa estrategias y procedimientos

o

.

RAZONAM I ENTO MATEMÁNCO

ldentifica por simple inspección razones trigonométricas con ángulos que se reducen al primer cuadrante. (1-10)

Comparación cuant¡tat¡va

Suficiencia de datos

A partir de la información dada,

En cada sioación, se da un problema con dos datos. Identiñca el dato o datos necesarios para solucionarlo y, luego, escribe la clave en tu cuademo.

calcular dos cantidades: una en la columna A y otra en la B. Compara ambas cantidades y luego escribe la clave

Resuelve situaciones de razones trigonométricas con ángulos que se reducen al primer cuadrante. (11-14)

se deben

en tu cuademo.

@ El

Sugerencias d idácticas Para iniciar

I

[Á] La cantiaad A

es mayor que B.

fB- La cantidad B

es mayor que

!

lndique a los estudiantes que lean y analicen la información presentada en la situación inicial "Comparación cuantitativa" y "Suficiencra de datos". Asimismo, compruebe que han comprendldo. Para ello, pídales que verbalicen la dos situaciones. Pregunte: ¿Qué conocimiento se requiere para desarrollar las actividades propuestas en la primera situación? (Reducción de ángulos al primer cuadrante, razones de ángulos cuadrantales).

I

I N @

*i ci pc !

l

o

a o l

luego reducir larazón trigonométrica al primer cuadrante).

!

€ § o c

@

c

§ c

@

En la actividad 8, asegúrese que los estudiantes recuerden el método de reducción al primer cuadrante con respecto al eje "X" (ll C: 180" - 0; lll C: 180" + B y lV C: 360" - B). Mientras que en la actividad 9, pida que analicen los signos de las razones trigonométricas en el tercer cuadrante. (La tangente y la cotangente son positivas, el resto de razones son negativas) y en la actividad 10, resalte que elángulo dado (n/3)es notable (60"); por lo tanto, se puede calcular los valores numéricos de las razones trigonométricas y compararlos. En la actividad I1, haga notar que deben determinar el valor de dos incógnitas, por lo tanto, se necesita establecer un sistema lineal para resolverlo. Por ello, se deben usar de manera simultánea los dos datos. En la actividad 12, haga ver que el primer dato es suficiente para encontrar una relación entre los dos ángulos (o + 0 + 90" = 360") y, de esta manera, podrán reducir el ángulo 0 al primer cuadrante y asÍ podrán calcular el valor numérico solicitado. ltlientras que en la actividad 13, pregunte: ¿Qué estrategia se aplicará para resolverlo? (Encontrar una relación entre los ángulos o y 0, para

3.

Sea cr =

.1.

M=sec2l80'

6.

6

|

7.

b

I

IL

Cuau auto, por separado, es suficiente.

4

N = cos2 o"

-..r2

sen o.

cos

M

eo''

x ' csc (2y

-

13") = tan 15' . tan

II.senY=965(70'-3¡)

(-o")

45' . tan 75'

C

@ Observa la figura y s¿¡gu¡¿

§9!+

a

!4++

1'

§§+.

d

cos

N

I

SCN

E=Hfffi

CT

E2

a = 270'

tt. N=3'tan2l0"

Y=2.cot

sen

C

oy§e IC

Sea

@ Calcula el valor de x + y si: I.

3P

P2

t

_ l5rr

q

B

B ,,

cos E

a

ll sen c[

csco

N

Y

c

I. mAOS =

90'

II. a

120"

es agudo.

@ Calcula el valor de A si: tan (4a + 6e) . n^ _tan (60 + 48)

I.c>e

9. Sea:

sen (5cr + 48)

"o,.

1+o

+59,

I]

II.a+8=42

lE Calcula tan cr si:

x f,

sen ct

cot

€r

,9

p P

-4)

ll _§

I

a

que muchas veces podemos establecer conclusiones válidas sin necesidad de aplicar algoritmos, como en el caso de comparaciones.

Sea

-§. Si

Para consolidar Resalte la importancia que tiene el análisis para resolver los problemas, ya

ColumnaA Columna

q _ft

2.

I

El auto II es suficiente y el dato I no lo es.

E, ] I-os datos no son suficientes.

rr'1-cs24\renl-56" o_ cos 2l0" cos l50"

inversa del seno es la cosecante y que su producto es 1 (sen a . csc o = 1). lVientras que en las actividades 2 y 3, asÍ como en la 6, sugiera que apliquen la definición de las razones trigonométricas de los ángulos negativos.

suficiente y el dato [I no lo es.

nuttu información para poder comparar.

Información

Fije la atención en la actividad 1, hágales notar que para determinar el valor de "P" deben reducir el ángulo al primer cuadrante. Destaque que la razón

I

".

fC I Es necesario usar a la vez los datos I y

cantidades son iguales. 1

l!

Para desarrollar

I

cl R-bas

p

A.

duto I

l0.seaP={

sec p

cot B

C

L mCG=

mGB'

II.

mGE- = mEH

UNIDAD 5 C¡rcunferencra triSonométrica

217

TEXTO ESCOLAR

Actividades i nteg radas lLibro de actividades (págs

CIERRE

Análisis de las preguntas

I SINTETIZAMOS

Te

c¡rcunferenc¡a trlgonométr¡ca

Antulo tritonométrico

son positivas:

Y

I cuadrante

cuadrante

(+)

fr

x lll

Angulos coterm¡nales

Signos de las R. T.

en posición normal

IC Todas

Ilt c

lV cuadrante

cuadrante

IIC sencycscq

*

IVC cosqysecc

tanqycotq

R. T.

R. T. de los ángulos en posición normal

. cosq=f

.

(0;

secc=+

(-l

0)

. coto=f

taro={

(0:

R. T.

I

(P)

q

.

n.r (ff."*

.

R.T.

.

R.I (3ó0"n + 0) =

(§3:.i)

)

=tco n.rtcl =.R.T.(c) R.T. (a)

1)

Antulos cuádrantales sen

G

0" = 360" = 2¡ rad 90" = xl7 rad 180" =

¡

rad

270" = 3¡12 rad

c

0 I 0 t

cos

c

I 0 -l 0

c cot o sec 0 0 No delinida I No definida No definida 0 No definida -l 0 No definida 0 No definida tan

CSC

S€n

C

cos

No definida

(-q)

=

-59¡

s

(-o) = cos a

tan (-c) = -tan a

I

cot( q)=-cotc Sec (-a) = sec a

No definida I

csc

(-q) = -csc o

CONSULTAMOS D¡gita en el buscador de internet de tu preferencia el conjunto de palabras que se indican y accede a las primeras a

direcciones que aparezcan.

eara ampliar la teoría

S . khan academy

+ circunferenc¡a

og .

trigonométrica §

.

filetype: pdf libro de matemática + trigonometria

.

eur^ver

aplicac¡ones

videos + aplicaciones de la trigonometria v¡deos + c¡rcunferencia

trigonométrica

E

. . .

Para las actividades 27 ala30, de la capacidad "Usa estrategias y proced¡mientos para or¡entarse en el espac¡o", sugiera que determinen el y'), ya que están presentes radio vector en cada uno de los casos (r2 = el seno y el coseno en las expresiones dadas. En las actividades 31 a la 33, enfatice que es suficiente conocer el valor numér¡co de una de las razones trigonométricas para calcular el resto de las razones. En la

i*

Reducc¡ón al

c¡rcunférénc¡a triSonométrica

. csca=i

sena=i

(c) =

Explique que en las act¡vidades 1 a la 4 correspondiente a la capacidad "Comunica su comprensión sobre las formas y relaciones geoméficas"

deben pasar de una representación gráfica a una representación textual. Para esto, recurra a los gráficos y pida que establezcan el lado inicial de los ángulos; de esa manera, podrán identificar cuáles están en posición normal. Para las actividades 5 a la 9, propóngales que intercambien sus argumentos por los que afirman la verdad o falsedad de las proposiciones dadas y si fuera necesario refuten las afirmaciones de sus compañeros. Previamente a las actividades 10 a la 18, recuerde que si el ángulo es mayor que una vuelta deben dividir entre 360'o 2¡ rad. Para establecer el residuo que les permitirá ubicar el cuadrante al que pertenecen los ángulos. En las actividades 19 ala26, cerciórese de que recuerden las formas que deben darle a los ángulos para encontrar el ángulo referencial (180" - o e ll C; 180o + o e lll C y360o + oe IVC) y reducirloal primercuadrante.

presentamos mediante un organizador gráfico los conceptos clave que has trabajado en esta unidad.

II

218-219)

Para ¡nteractuar onl¡ne thatqu¡z + ángulos cuadrantales geogebra search trigonometría geogebra search cifcunferencia trigonométr¡ca

0 UI{IDAD 5 Clrcunferencia trigonométrica

5T

actividad 34, pregunte: ¿Qué signos tienen las razones trigonométricas de los ángulos negativos? (Son negativos a excepción del coseno y la secante). En las actividades 42 a la 44, perteneciente a la capacidad "Argumenta afirmaciones sobre relaciones geométricas", pida que establezcan los cuadrantes donde las razones trigonométricas cumplan la condición del signo. Finalmente, deben determinar la intersección de dichos cuadrantes para establecer el cuadrante en que se encuentra el ángulo. En las actividades 45 a la 47, sugiera a los estudiantes que primero elijan una estrategia (expresar los ángulos en función de los ángulos cuadrantales de 90'o 270"). Explique que si se tiene sec (2cr) = csc b, entonces se cumple que los ángulos son complementarios por la propiedad de las co-razones. Previamente a las actividades 48 a la 50, asegúrese recuerden que las razones trigonométricas de los ángulos coterminales son iguales. En la actividad 51, pregunte: ¿Qué significa que C dista 5u del eje X y 1u del eje Y? (Significa que sus coordenadas son (-1 ; 5)). Sugiera que determinen las coordenadas del punto "B", en función de las coordenadas del punto C. En la actividad 52, perteneciente a "Modela objetos con formas geométricas y sus transformaciones", explique que los dos primeros números de la cuadrupleta representan las coordenadas del punto que está ubicado en el |ado final del ángulo en posición normal, mientras que el tercer número representa la cantidad de vueltas dadas y, finalmente, en el último cuadrante se colocará el signo del ángulo. En la actividad 53, pregunte: ¿Qué signo tiene x? (Es positivo porque el punto pertenece al lV C). ¿Qué condición debe cumplir el punto para ser simétrico con respecto al eje Y? (Su abscisa debe ser opuesta mientras que su ordenada será igual).

N N @ j

ci c )Q

l t

so o f

p IE o L

< a/)

§c c a 6)

tr

LIBRO DE ACTIVIDADES

ACTIVIDADES I NTEGRADAS Comun¡ca

Usa estrategias y proced¡mientos

Argumenta af¡rmac¡ones

Indica si los ángulos están en posición normal.

Para cada gráfico, calcula lo que se pide.

Resuelve y

oo

@

No

sen0+2sece

SI

@ sen2É)+tan

cumple que cos

3rt -32 2

x

o

SÍ

IY

ED r3sen

-t 9-1-.'

---rw--_x

, #".j;t*¡

Y ln,N )

t\

(-3; -3)

Escribe V si es verdadero o F si es falso,

!t O

-4),

Si la coordenada del punto P es (2: entonces la abscisa de P es - r2.

-A)

@ Si la coordenada del punto

P es

E tr

(9; -12),

t.

E

Si la coordenada del punto P es (1; -r5), entonces el valor del ángulo es 300'.

rv @ f raa n lDf;rad rrl @zso" rv ¡E4oo' I @f rao I

N N @

)ci

¡D

2lo" n

@frad lD 1e2o

Expresa en función de un ángulo del primer cuadrante. f

p =o ._o

L

< @

lD cos 123' -cos 57' ED sec208" -sec 18' ED sen 485' scn.s.¡" ED cos 650" scnl{)'

c

§ c @

218

@ tan 340" -tan ED cot

l85'

@

-

l0'

cot5'

730' scn lo"

*1 ,

0 e IV C, calcula el

@ Si tan a = = csc o.

y sen

i *

f;

EB Q = sen 2lO'1"

"o.

c < 0. halla el valor .,

-

uDs .ot

o.

o*=*".ll?ri''.ffffi$ @

Sean cr y p dos ángutos cuadrantales positivos

2¡. Si sen c =

r=¡..n (f +r).

de

--l,J,i,lq

!p

sec

,

3 cos 18 180'

(rx+r)-#ffi

_ sen(-880"). sec 1280".tan(-3850"),

-^-m' ^

P=

+

) I

=Ht#-*_,""Í3:?ry' ' ."n f'"o. f' ,u, f t/8 @c= @ O=

y cos 0 =

19n

¡ t"n

6

!

."" 21' ó

csc

$

*

-1,

"o, $)-'.

+,,,

E

son coterminales, calcula el

cot (3c[

-

30 +

_6

llfi

+ cos

a

I

o

§ § f]

1,/)

la figura, ABCD es un cuadrado. Determina el valorde cot o si C dista 5 u del eje X y I u del eje Y.

{¡

Y

a

Cuadrupleta:

D

x

§ [.! §[!

b) Representa gráficamente las cuadrupletas (5; 4; 3; +), (5;4; 3; -), (-6; -6; 5; -), (5;

-4t

7; +) y

EB Sea un punto P(-r;

-E

§ a o

@

¿Qué cuadrupleta se debe ingresar para acertar en el siguiente juego?

-8F+

(t §

a)

uutoit",t*' 't'"

. sec p

n

3

* 2 cos 175¡t + 4 tan 30O0¡r

45')

@ En e

Cuadrupleta:

Se sabe que cos o = li3 y que cr está en el cuarto cuadrante. Halla sin usar la calculadora, el resto de las razones trigonométricas de dicho ángulo. Posteriormente, con ayuda de la calculadora, obtén la medida de o en grados, minutos y segundos.

@ sl ., y p

@B

cot

-l

son proporcionales a 9 y 7. Si el mayor de ellos es menor que 8200', pero mayor que 8000", ¿en cuánto, como máximo, excede el mayor al menor valor entero? I 8(Xl"

sen

di

-

los senos de dichos ángulos? 0

- ¡an (-45') + sen 330" -.1/t0

!r¡ c _ tan 3600'- 2 sen 7470'+ wJ-m-¡

,

Sí,

2-o

@ Dos ángulos coterminales

N=2seno+{coscr.*t

rv

+)

391r,

l9n)'sec2

la representación de la espiral que se forma, cuya frontera es el lado final que pasa por P Para ello, el participante debe ingresar una cuadrupleta (a, b, n, s) donde a y á corresponden a las coordenadas (a, á) de ubicación del punto P, que permite trazar la frontera de Ia espiral luego de haber recorrido n vueltas completas en sentido s. Así, para acertar la ubicación de P e interpretar la espiral del siguiente gráfico, el participante debe escribir la cuadrupleta (4; 3; 5l +).

@ Los menores ángulos cuadrantales positivos están en P A. y al sumarlos, resulta un número mayor que 70O', pero menor que 1000o. ¿Cuánto suman

1

csc a < 0, además a es un ángulo en posición normal. Determina el valor de

p

- o) . t", (" -

halla B = (z ."n

@ Si cot o = 2,4;

@ csc 141' csc.r9' EE sen

(E

-:

¿es posible determinar el signo de

ED Un juego de estrategia consiste en escribir la ubicación de un punto P colocado al azar sobre una pista de circunferencias concéntricas e interpretar

3)

Si cos2 a =

valordeM=§ef##

E

Ubica los siguientes ángulos en el plano cartesiano e indica el cuadrante al que pertenecen,

@:¿0"

II C,

cot (o

Resuelve.

E

entonces el valor del radio vector es 15.

0

Si cr e

menores que

Si la coordenada del punto Pes (-2t 3), entonces P se encuentra en el III C. Si la coordenada del punto P es (5; entonces la ordenada de P es -4.

(§

csc (7n

(-4; -3)

1

S¡ S tO' < cr < 900", ¿qué ie puede asegurar respecto del signo de sen o, cos o. y tan cr2 +:

.',., x_)ot11

-3)

<0. IV(l

@

(3;5)

x

+

E

y'3

x

o

o.sen

sen o,

extraer de dicho triangulo para calcular sen 120" a 965 llQo.

-5

NO

cr>0y

se

@ Considera el triángulo de vértices A(0; 0), B( l; 15) y C(- t; ,6). Ayúdate de los valores que puedes

-38/145

t2

B

Analiza y resuelve.

@ Determina el cuadrante al que pertenece a si

É)

Y

(1;fi

x

x

Modela objetos

justilica.

(-5; -5;

4;

-).

-1l3) en la circunferencia

trigonométrica. Determina el valor de.r siendo P un punto del IV C. Luego, indica los puntos simétricos de P respecto al eje de las abscisas. al eje d_e las ordenadas y al origen de coordenadas. Lrl UNIDAD

5 Cfcunferencia triSonométrica

219

LIBRO DE ACTIVIDADES

Evaluac¡ones lTexto escolar (pá9. 52)

I

usa estrateSias y proced¡mientos: 1-ó

Il

@ Julio solicita

Una mosca se para en la pared de una habitación de 5 m x 3 m. La esquina inferior izquierda de la pared se considera como el origen de coordenadas cartesianas en dos dimensiones. Si la mosca está parada en el punto que tiene por coordenadas (5; 2), que corresponde al lado final de un ángulo en posición normal o,, calcula el valor de la siguiente expresión: cot 0. ' sec (I

tanct,'cscG

.. '" -

Usa estrategias y procedimientos

El reto del reloj a Raúl: Un reloj señala las doce en punto, pero después de 50 minutos describe un ángulo p. ¿Cuál es el valor de la siguiente expresión:

senB+cscB

I

0.tilJ67

La rueda de una b¡cicleta de

ciclismo, las ruedas de las cot tan

c rt

sec csc

(l

rt -

5

^,5a

2

5

?

,/1a

-T

5

*=a=1

bicicletas dieron 2 880 000 vueltas. Se observó que las bicicletas tiene¡'7 2 rayos fabricados de acero. Si p es el ángulo

fomado

-5

desde el

"t

I

inicio

hasta el rayo 42, calcula el

valor de:

cscB'senp

La carretera c¡rcular a una gran ciudad tiene

3l kilómetros de radio. Suponemos que el centro de la canetera coincide con el origen de coordenadas. Si el ángulo p que ha girado un automóvil coincide con el desplazamiento del punto (3 l; 0) al punto (-3 l; 0), determina el forma circular de

varor de:

*-¿

v-l

^ v-tan0*"otP l

E) La carretera que rodea

sen.F + á20' cos P

á')

sec 2B

La carrera de automóv¡les son dos grandes pilotos de carrera de autos. En una carrera recoren 5 vueltas y media en una pista circular. Si se considera el ángulo cr descrito, calcula el valor de:

@ Antonio y Femando

"o -

50'o'" +

40ttto

cosct+secd

,rr0,,,,

El iingulrr li cs el ringu[r que ha girado el rutorn(ivil rl tles¡rlazarse del punto (-l l: 0) al punrl)

(-il:0):

lfio".

Reernplazarnos vrlorcs cn N:

ñ j

ñr (¡'Sen

I

I

80o + l¡20. cos I 80"

b

N= N

¿

(0) +

= /¡l('

sec

l¡lr)'t-¡

(l) r¡

2

=

-l,i

Emplea procedimientos y recursos para resolver problemas relacionados con las razones trigonométricas de los ángulos cuadrantales, (4-6)

Es de importancia que los estudiantes comprendan la idea principal de

I

En la interrogante 1, haga notar que para establecer las nuevas posiciones de las cestas solo deben sumar a los ángulos referenciales el ángulo de rotac¡ón de la noria (0" + 180" = 180"; 90" + l80o = 270"; 180" + l80o = 360o = 0o y 270' + 180" = 450'= 90"). Además, resalte que el ángulo de 360" es equivalente a 0". En el caso de la interrogante 2, sugiera que resten a los ángulos obtenidos en la situac¡ón anterior el nuevo ángulo de rotac¡Ón de la noria. IVientras que en la ¡nterrogante 3, pregunte: ¿Qué representa el ángulo'h"?Como acción prelim¡nar al desarrollo de la interrogante 4, asegúrese que los estudiantes recuerden las razones trigonométricas de los ángulos cuadrantales. Pregunte: ¿Qué ángulo forma la posiciÓn de Carmen con respecto a Pedro? (Forma un ángulo de 270"). Luego, sugiera que representen el ángulo que gira la noria (p) en función del nÚmero de vueltas que da (B = 369" '3 + 270"). Además, hágales notar que el ángulo p es equivalente al ángulo cuadrantal de 270". En la interrogante 5, resalte la posición en que se encuentra Pedro (0") y Carmen (270"); luego, sugiera que sumen a la posiciÓn de Pedro un ángulo que lo transforme a 270", En la interrogante 6, pregunte: ¿Qué significa que el ángulo de giro sea negativo? El siguiente cuadro de doble entrada, muestra las dimensiones de la

)

_¿1 =

p 2

b'' §

Capacidad

Contenido

Contexto

1

Comunica

Situaciones de forma, movim ento y loca ización

Extramatemático

2

Comunica

Situaciones de forma, movimiento y localización

Extramatemático

3

Comunica

Situaciones de forma, mov¡miento y localización

Extramatemát¡co

4

Usa estrategias

Situaciones de forma, movimiento y localizaclón

Extramatemático

5

Usa estrategias

Situac ones de forma, movimiento y loca ización

Extramatemático

Usa estrategias

Sltuaciones de forma, movimiento y localización

Extramatemátíco

N.'

6

N N

@

-i i

'6

)

E

evaluaciÓn:

180"

@

224

.

lnterpreta información relacionada con las razones trigonométricas de ángulos cuadrantales. (1-3)

la situación problemática. Para comprobar si han comprendido, plantee las siguientes preguntas: ¿Cuánto es el ángulo de separaciÓn entre dos ces¡as?(360'/48 = 7,5"). ¿Qué posición toman al inicio las cestas donde se encuentran los amigos? (La cesta 1 se encuentra en el punto más cercano al suelo. A esta posición lo representamos como el ángulo 0", siguiendo el sentido antihorario, la cesta 13 se ubicará a 90", la cesta 25 estará a 180" y finalmente la cesta 37 se encontrará a270'). ¿Quién estará al ¡n¡cio en la pos¡c¡ón más alta?(César -180'),

3c('sp+scorp -r--,------'I

Gl En una competencia (0: 0)

.

Comunica

@ Lucía le dice

P=

(s;l) .=/5r+Ur=v29

MATCO ECE.

a María que dibuje en la ci¡cunferencia

trigonométrica un ángulo o en el primer cuadrante, tal que sen cr = cos cr. Luego, le fomula la siguiente pregunta: ¿De qué ángulo se trata? 4-5"

Dibujamos la pared rcctangular:

-

Tenga en cuenta las siguientes capacidades e indicadores usados en el

oculto

El ángulo

Libro de actividades (pá9, 221)

Sugerencias evaluativas y metacogn¡t¡vas

ACTIVIDADES PROPIAS DEL BACHILLERATO INTERNACIONAL La mosca trav¡esa

r

ó o o l

po

€ c

o

il

a c

§ É 6 @)

TEXTO ESCOLAR

EVALUAC!ÓN

a

EVALUACIONES NACIONALES E ¡NTERNACIONALES Prueba tipo ECE

El

Desarrolla las actividades. Luego, intercambia tu cuaderno con un compañero(a) y revisa sus soluciones.

Observa el gráIico y resuelve. ¿Cuántos ángulos están

normal?

en posición

@ Reduce: o =

'[bdos

@

¿En qué cuadranre,"

30'y 59".

n

se desplaza desde A(0; 5) alrededor de una circunferencia de centro O(Oi 0) y se detiene en B(-3;4). ¿EsÁ68 un ángulo en posición

@ Un punto

Resuelve. É$ TU

(D

¡¡?¿

tu§

a x -5 -5

@

Sea sen F = -ll2; P € III C. Determina el valor de2Fsi F=2cosp+cot p + l. l

D

Si a y p son ángulos coterminales, calcula el valor

o.cor p.

g §

Sean dos ángulos, cr y F=

l¡rCarmen

Sea p el ángulo que gira la noria más el ángulo que forma la posición de Carmen, respecto a la posic¡ón de pedro Si la noria gira tres vueltas, calcula el valor de:

E)

(a)cesar iC'Ana'Drpedro

a2

I'cdro:ecstr I >0' r\¡a: ccsta l.l > 90.

de

la circunferencia trigonométrica las relaciones entre senos y - cosenos de estos dos ángulos? Sí. ¡crr ¡l = -eo' rt."eos ll = -\el (( @ En la siguiente gráfica, los puntos A y B son simétricos de P(l; 3) respecto de los ejes X y Y. Ademiís, C es simétrico respecto al origen de coordenadas. Si cr, p y 0 son los ángulos que forman el semieje positivo de las X, y los puntos finales B, C y A, respectivamente, ¿es posible calcular el valor de tan a + cot p - tan 0? Si es así, ¿cuál es ese valor? Sí. l/1.

('ésar: cesta 15 > 180' ( arulcn: cr'sla 37 > 170' ('('sar: Se ubica en Ia cesttr l. cc¡ta irl

\A)

Iil sLrelo.

íngulo0=I

sen

160" + 170"

scD ll = cos 170' t sc 0 = r:se l70o

,¡.e.. l-l).

E

1A

Pedro

iB

1

Q§5¿¡

c'

Ana

('lrrrc¡r

se ubic¿r e¡r la ccsta l . ccrca

+

/, ,.I llr)"

^

---G¡it

-la

I l,

,¡{-¡ ) +

(b+a)(b-o)

@carmen

Si giru cn el scntidrr dc las marrccilllrs tlel rcloj: I)crlro rc uhicrr en llr posicirin ric la ccsta l -1. X

v= bl-,i + l)

si ahora la norja girara en el sentido de las manecillas de un reloj, ¿quién se encontrará más cerca del suelo si (ealiza un giro de 270"?

rl

B

suclo.

¿Qué ángulo se debe recorrer para que Pedro ocupe la posición de Carmen? I

Ai

90.

i

B

I

1

8Oo (!)ZZO.

I

Dl 3ó0.

l)etlro ocupa la ¡rosici(rrr I, firrrna urr iingukr cle 0' con la posiciírn iuicial.

entre 1200o

y I 300', calcula en radianes la medida del ángulo menor. 3¡

aa6

á2.csc

BB ^, ' - Tlcsc plT. sen p \.C)2a \Dtb-a @"-b

..-'',,r:i.,i:j¡"-r' ... r7(f ,rr1-lr-/,rr lt

P

@ Dos ángulos coterminales son proporcionales a

¿Quién se encontrará más cerca del suelo si la noria realiza un g¡ro de 180'?

p,donde ct € I C y

3¡ - o. ¿Se puede establecer con la ayuda

s

se encuentra

O

"..-"i,:.

@ Del gráfico, calcula el valor de tan 0 + cot rr.4

7 y 3. Si el mayor de ellos

fff,ffi

trigonométrica y en posición normal. ¿Se puede hallar dicho ángulo en los cuadrantes que al dividir el seno entre el coseno, el cociente resulte.nirrÍi1É

' seS]191. ,-, Et Determina el signo de g = !aIJ9'

l¿l9+l'*,un \ cosp i

.

@ Dibuja un ángulo en la circunferencia

",","i1$;1ii[Jt1l3;'''" l19"y-330"? llCylc

=

''

Analiza y responde.

Escribe dos ángulos coterminales a

de A

-",!!t¡o-ri

giro de la noria

Play Land Park, el parque de divers¡ones más importante del país ttene como nueva atracción una noria de 48 cestas pedrq Ana, César y Carmen, que buscan pasar una experiencia con mucha adrenalina, compran entradas e ingresan al juego mecánico que g¡ra en sentido contrario a las manecillas del reloj. Pedro se encuentra en la cesta 'l que es el iniciq Ana en la cesta 13, César en la cesta 25 y Carmen en la cesta 37.

'

130

El

de

#Hffi - iff##S

@ carcura: E =

19.

x

ff

E

LIBRO DE ACTIV¡DADES

arnten ocrrpa la posicit'rn 37. li)nlt ul iirrgulo r la posieiiirr ir¡icirl. [)ebc rtc(»r.cr Lln iingulo de 270'.

C

rad.

tlc l7f)' co¡r rcspecto N @ j

f,)

ci

^

c

:9

-oo =

o

L

c @

o

389"'tan 96' 'tan 591' .csc 892" sec 284' ' sec 42' ' sec 34 I "

@

¿En qué cuadrante debe estar un ángulo cr si sen c y tan cr tienen signos II ('o III C

opuestos?

@

\

t

= +csci

to,-!

¿De qué manera

d I

encontré? ¿cómo las superé? influye lo que aprendí en mi deMrrol¡o personal?

¿Para qué situaciones de la vida diaria me puede servir lo que aprendí?

I

E,

sea la posición in¡cial de la cesta I donde se encuentra Pedro y a el ángulo que gira la noria. S¡ lanoriarcaliza2 ct vueltas, halla: rvt sen

=

METACOGNICIÓN

¿Qué dif¡cultades

/lsen3{++"os2zr\2 ¿ rl=i I

f

é

@r

iBro

S¿

&os

cl

-1

a

Si a es el iingrrlo que girr la noria. cntonces

c

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p €

Rcenrplrzarnos en la exprcsirirr cl va[» dc rcsolvcnros:

c

y

s

g

o

a o

6 É

I

^ = sen 1830'+ cos 2340'- tan 36 315' '+ L 3 sec I l33o: 25 cos

52

72160

ú

Ten en cuenta que el aprendizaje de las

matemáticas es interesante, y practicándola, se hace más fácil y útil.

., se¡r 7lO F .(,\ 72o" 0 + rvr=rccTl()' I -=l

Gl

¿En

qué posición se encontrará Ana si la noria realiza

un giro de -180'?

ó,2

I

@ Determina el valor de 38C + 5 si

a c

§

tan

@ Calcula el valor numérico de la siguiente expresión:

o

p sc

Sin hallar el valor de las razones trigonométricas, determina el signo de la siguiente expresión:

= 710"

A

C

Ana

CéSar

D

Pedro

La noria debe girar, en el sentido de las manecillas del reloj, I 80" comenzando de Ana. Entonces, se ubicará en la posición de Carmen, cesta 37.

UillI»D 5

Circunferencia trigonométrica

221

f

Líneas e identidades trigonométricas RECURSOS

PRESENTncTórrr Esta unidad se orienta al desarrollo de capacidades que permitan a los estudiantes identificar las líneas trigonométricas y a analizar las gráficas relacionadas con ellas. Además, se propicia la evaluación de expresiones que involucran razones trigonométricas y la aplicación de identidades y ecuaciones trigonométricas.

B.

B¡b!¡oteca de! docente

,§f

Día a día en el aula (págs. 238-265)

santlrnna Digital

ffi

ESQUEIVA

Secuencia digital: Funciones trigonométricas

O Líneas e identidades trigonométricas O

Para empezar Breve introducción al tema ¿Qué aprenderé?

Aprendizajes y habilidades que logrará el estudiante Líneas tri gonométricas

Álgebra de expresiones trigonométricas

EJ -

LÍneas trigonométricas: seno y coseno

I

Líneas trigonométricas: tangente y cotangente

Compruebo lo que sé

O

Una situación a resolver Actividad interactiva: Situación significativa sobre funciones trigonométricas

Razones trigonométricas de ángulos

compuestos

gonométricas: secante y cosecante

LÍneas

dentidades trigonométricas: recÍprocas, por cociente, pitagóricas

I

O

tri

tri

gonométricas

Línea seno

Animación: Gráfica de la línea seno en la circunferencia tri gonométrica

Ángulos múltiples. Ángulos doble, mitad y triple Ecuaciones

Actividad interactiva: Saberes previos sobre f unciones trigonométricas

I

Línea coseno

Animación: Gráfica de la lÍnea coseno en la circunferencia tri gonométrica

I Ficha de orientación didáctica: Situación didáctica de Brousseau

Estrategia para resolver problemas:

Razonamiento matemático:

Razonar

Comparación

lógicamente con ángulos compuestos

y suficiencia de datos

Uso de software matemático:

Geogebra

Actividades integradas, de Bl y prueba t¡po PISA

Síntesis, recursos en la web y autoevaluación

Solucionario de las actividades

I

T^"r^

ih,^

¡^

r''l

r-r

i

:9 f E

Io o f

Actividad interactiva: Evaluación interactiva

p €

Para linalizar

L

Actividad interactiva: l\4etacognición

a c

-o

§ c

MlLiurorvteoia ^

N N @ j

ci

Aplicamos lo aprendido Actividad interactiva: Aplicación de los temas desarrollados en una situación cotidiana

O Compruebo mis conocimientos

O Permiten desarrollar habilidades y destrezas matemáticas útiles para afrontar situaciones de contexto real

Línea tangente Animación: Gráfica de la línea tangente en la circunferencia trigonométrica

ror

PROGRAMACIÓN Competencias Resuelve problemas de

Desempeños

¡

regularidad, equivalencia y cambio

Traduce datos, valores desconocidos, regularidades, y condiciones de equivalencia o de variación entre magnitudes; a sucesiones crecientes o decrecientes, sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas, inecuaciones y ecuaciones lineales de dos variables, funciones cuadráticas con coeficientes racionales y funciones exponenciales; al plantear y resolver problemas.

Conocimientos

.

. .

ldentidades trigonométricas:

Traduce datos y condiciones

recÍprocas,

a expresiones

por cociente, pitagóricas

algebraicas.

Razones

trigonométricas de ángulos compuestos Ángulos

Comunica su comprensión sobre

Angulos doble, mitad y triple Ecuaciones

trigonométricas

las relaciones

¡ o

. Usa estrategias y proced¡mientos

para encontrar reglas generales.

afirmaciones sobre relaciones de cambio y equivalencia.

movimiento y localización N N @

-i ci i

:9 a ! o a o

-

p !c

N/odela las características y atributos medibles de los objetos con formas geométricas compuestas que resultan de combinar formas geométricas tridimensionales y cuerpos de revolución, relaciones métricas de triángulos. AsÍ también, la ubicación, distancias, alturas inaccesibles, y trayectorias complejas; con razones trigonométricas, mapas y planos de diferente escala, la ecuación de la parábola y circunferencia.

. . .

Líneas

Modela objetos

trigonométricas: seno y coseno

con formas

LÍneas

trigonométricas: tangente y cotangente Líneas

trigonométricas: secante y cosecante

geométricas y sus transformaciones.

Comunica su comprensión sobre las formas y relaciones geométricas, Usa estrategias y procedimientos para orientarse en el espacio.

o L

@ C

§ c a @

o

algebraicas.

Argumenta

¡

. .

múltiples.

.

Resuelve problemas de forma,

Desempeños prec¡sados

Capacidades

Argumenta afirmaciones sobre relaciones geométricas,

Formula situaciones a través de razones trigonométricas e identidades trigonométricas Evalúa si los datos y condiciones que estableció ayudaron a resolver el problema.

Expresa las propiedades de un triángulo de 30" y matemáticas.

60'y 45'

usando terminologÍas, reglas y convenciones

Discrimina identidades recÍprocas, por cociente y pitagóricas. Discrimina expresiones algebraicas relacionadas con ángulos compuestos. Presenta ejemplos de razones trigonométricas con ángulos agudos, notables, complementarios y suplementarios en situaciones de distancias inaccesibles, ubicación de cuerpos y otros.

¡ Diseña y ejecuta un plan de múltiples etapas orientadas a la investigación o resolución de problemas. . Aplica las definiciones de suma y diferencia de ángulos en el cálculo de razones trigonométricas. . Aplica las definiciones de ángulo doble, mitad y triple en la resolución de igualdades trigonométricas. . Aplica las definiciones de ángulos compuestos en la resolución de situaciones de la vida real. ¡ Plantea conjeturas al demostrar identidades trigonométricas. . Demuestra identidades trigonométricas. o

¡

Demuestra expresiones algebraicas relacionadas con la suma y diferencia de ángulos. Justifica sus conjeturas o las refuta basándose en argumentaciones que expliciten puntos de vista opuestos e incluyan conceptos, relaciones y propiedades matemáticas.

o Relaciona situaciones con líneas trigonométricas. o Evalúa si los datos y condiciones que estableció ayudaron a resolver el problema.

o ldentifica y representa gráficamente

. . . .

¡

senos y cosenos en la circunferencia trigonométrica. ldentifica y representa gráficamente tangentes y cotangentes en la circunferencia trigonométrica. ldentifica y representa gráficamente secantes y cosecantes en la circunferencia trigonométrica. ldentifica las lÍneas trigonométricas en una circunferencia trigonométrica.

Anal¡za el comportamiento de las representaciones gráficas de las líneas seno y coseno. Analiza el comportamiento de las representaciones gráficas de las líneas tangente y cotangente.

. Analiza el comportamiento de las representaciones gráficas de las lÍneas secante y cosecante. ¡ Calcula las lÍneas trigonométricas de ángulos entre 0o y 180'utilizando software matemático.

o Justifica sus conjeturas o las refuta basándose en argumentaciones que expliciten puntos de vista opuestos e incluyan conceptos, relaciones y propiedades matemáticas.

TEXTO ESCOLAR

Líneas e identidades trigonométricas lTexto

escolar (pá9.

53)

lLibro

de actividades(pá1s.222-223)

Líneas e identidades

Capacidades y desempeños precisados . Expresa las propiedades de un triángulo de 30" y 60" y 45" Comunica

trigonométricas

usando terminologÍas, reglas y convenciones matemáticas. (1-2)

.

Usa estrategias y procedimientos

Diseña y ejecuta un plan de múltiples etapas orientadas a la investigación o resolución de problemas. (3-6)

Para iluminar Ja pista ABB'A' se dispone de una fila de tubos fluorescentes PP', que están cubiertos por un portalámparas longitudinal. En la figura, las distancias

están en metros, Determina el ángulo con el que el portalámparas ha de dejar salir los rayos de luz para que se ilumine exactamente Ia pista.

Sugerencias didácticas

s\

Para iniciar

O

Muestre la imagen y comente que en los aeropuertos para una mejor iluminación se instalan una iluminaria con diferentes diseños, como por ejemplo en el aeropuerto Adolfo Suárez Madrid-Barajas se observará este tipo de sistemas de iluminación que dan al ambiente luz natural a todas horas del día. También se han instalado 44 tragaluces en plena área comercial, que permitirán que la iluminación de estos lugares sea 100% natural durante el dÍa cuando se tengan condiciones climáticas óptimas. Esto se consigue gracias a unas lentes de domo emplazadas en la cubierta del aeropuerto que

§

\\

rr

captan la luz del sol y la redirigen hacia los tubos reflectantes.

Para desarrollar

I

t

Haga referencia al valor de la laboriosidad que realizaron los encargados de la construcción, en especial los obreros que hicieron realidad este sistema de iluminación. Realice la pregunta sugerida: ¿Cómo podrías medir el esfuerzo que han realizado los constructores para construir este sistema de iluminación? Luego de escuchar sus repuestas, complemente indicando lo complejo de la construcción, las horas y días de trabajo que hay que dedicarle. A pesar de las máquinas, gran parte del trabajo requiere fuerza fÍsica. AsÍ que debemos valorar no solo a los creadores del proyecto, sino a quienes contribuyeron a hacerlo realidad. Solicite que lean la sección "Aplica la ciencia", pregunte: ¿Qué es Mach? (El sistema que se utiliza para medir la velocidad del avión). ¿A cuánto equivale? (1 Mach = 340 m/s). ¿A cuántos km/h equivale un Mach? l22aknh). Comente que, actualmente, el Boeing 747 es uno de los aviones comerciales de pasajeros más rápido y alcanza una velocidad de 912 km/h. Pregunte: ¿Cuál es su velocidad en el sistema Mach? (2,74 Mach).

Proponga las siguientes actividades complementarias:

L Si o, es un ángulo en posición normal,

tal que

(-8; -.15) pertenece

lado final, halla sec a. (-1718)

2. Calcula

Graficar razones trigonométricas en la circunferencia trigonométrica. Demostrar identidades trigonométricas y aplicarlas en la resoluc¡ón de ejercicios y problemas.

0xti?{,"'.I ¿Cómo podrías medir el esfuerzo que han realizado los constructores para construir una pista?

Deducir fórmulas trigonométricas de una suma de dos ángulos a partir de una circunferencia trigonométr¡ca. Resolver ejercic¡os y problemas de una suma o diferencia de dos ángulos. Relacionar y resolver situac¡ones fÍsicas del entorno que se modelan mediante ¡dentidades y ángulos compuestos. Resolver ecuaciones trigonométricas. Demuestra interés por conocer nueva informac¡ón.

sen 0 en posición normal, que pertenece al ll cuadrante si

cot0=-1 3.

a su

4,..

tdentificar las líneas trigonométricas en la circunferencia trigonométrica.

Laboriosidad

Para consolidar

t

APRENDEREMOS

(^l-212)

Calcula: M = (tan 749"lcot 1141') + (sen 1143"/cos 747'). (2)

UNIDAD

6

[íneas

e dent dades tfl8Onométricas

53

reT

LIBRO DE ACTIVIDADES

Líneas e identidades

trigonométricas

APRENDEREMOS

.

APLICA LA CIENCIA

/

Altas velocidades

.

)

Las identidades trigonométricas tienen múltiples

aplicaciones; una de ellas se relaciona con las diferentes velocidades que tienen los aviones al despegar o al volar en zonas tranquilas.

.

Por ejemplo, algunos aviones cuando superan la velocidad del sonido V, = 340 m./s, generan una onda de choque en.forma de cono en VY

producida en el aire. La veiocidad del avión se puede relacionar con ei ángulo formado por el cono mediante la siguiente expresión:

L

1 = t.,,\Z/ ^^- /cr\

Reúnete en equipo y averigua con tus compañeros la mÍnima velocidad que necesita un avión para despegar.

Deducir fórmulas trigonométr¡cas de una suma de dos ánSulos a partir de una circunferencia Resolver ejercic¡os y problemas de una suma o

.

Relacionar y resolver sltuaciones físicas del entorn0 que se modelan mediante ident¡dades y ánSulos compuestos. Resolver ecuacionestrigonométricas. Demuestra interés por conocer nueva informaciÓn.

¡ftg

¿Cómo se podría representar la ecuación en términos de otras razones trigonométricas?

.

L;

. .

Donde el número mach (M) hace referencia a la velocidad relativa que Ileva el aüón respecto a la velocidad del sonido. Cuando Ia velocidad del avión es de un mach, indica que tiene la misma velocidad del sonido.

Si un avión viaja a 2,5 mach, ¿cuál es su velocidad medida en m./s?

Demostrar ident¡dades triS0nométricas y aplicarlas en la resolucrón de ejercicios y problemas.

diferencia de dos ángulos.

Y.

M

o

Graficar razones fiSonometr¡cas en la circunferencia trigonométr¡ca.

trlgonométrica.

.

la parte trasera, debido a la perturbación

.

.

4...

ldentificar las líneas trigonométr¡cas en la c¡rcunferencra trigonométrica.

neeesovros Lo euE sABEMos

Resuelve.

O a= I -(sen2 30'+cos23o')

A

B = sen

0

ó0' . csc óo' + cos 37' . sec 37'

Observa el gráfico y resuelve.

r.r5\ /\-1'2)L

/t. r5\ \1'-T) x

@ ert*ros

en la web ñ

Digita en algún buscador (Firefo>r, Chrome, Edge, etc.) lo siguiente: infografía + av¡ones más veloces

Así obtendrás información respecto a algunos modelos de aviones más veloces del mundo, su estructura y funcionamiento.

q

/l '/j\ \1'- 2 I

/ l. "5\ l) l1'-Tl

ó § E

p e

E

O

¿Cuánto es el valordel ánguloAOB?

@

catcula ¡¡ = cosÁ6c- + senÁ6D

O

Halla el valor

Gl

oetermina p =

de

N=

15.

/3'sen

(cos e

(e +

{)

60'

* secÁG -

tan

t

0) l/2

+ cos (o +

})

t

o 222

UNIDAD

ó

Lineas e identidades triSonométricas

223

TEXTO ESCOLAR

Línea trigonométrica seno y coseno !Texto escolar (pá9.54)

¡

Libro de actividades (págs.224-225)

Línea trigonométrica seno y coseno

Capacidades y desempeños precisados Comunica Usa estrategias y procedimientos

o

ldentifica y representa gráficamente senos y cosenos en la circunferencia trigonométrica. (1-9; 1-12)

o

Analiza el comportam¡ento de las representaciones gráficas de las líneas seno y coseno. (1314)

Línea tr¡gonométrica seno La línea o segmento vertical es la que representa al seno en la C.T

LÍnea seno

Sugerencias didácticas

EJEMPLO

Para iniciar

I I

1

Grafica sen

lt/otive a los estudiantes con el texto introductorio, con la finalidad que conozcan la aplicación de este tema, en situaciones de entorno real.

{,

*"(- r),'"n f

c.r.

r l

e.r,

Pida a los estudiantes que construyan una circunferencia trigonométrica casera. (Recuerde pedir el material en la sesión anterior). para ello, indique que realicen lo siguiente: 1.o Recorten dos cÍrculos, uno de 40 cm y el otro de 8 cm de diámetro. 2." Recorten hasta la mitad el círculo pequeño y peguen una flecha que dará la idea de radio vector. 3.o Forren el circulo mayor (pueden utilizar papel contact) y hagan un corte. Pasen por delante la flecha y dejen por detrás el cÍrculo menor. 4.o Al girar la flecha, se verá por delante parte del círculo menor, el cual representará al ángulo girado.

v sen(-f;) en ra

TEN EN CUENTA

T

4

Todo ángulo en pos¡ción

normal será representado en la circunferencia tri8onométr ca por un arco diri8ido medido a partir de (1;0).

ft/encione que esta circunferencia es una herramienta práctica para el manejo de varios conceptos de trigonometrÍa.

C, T,

Línea tr¡gonométrica coseno La línea

Línea coseno

eJ,

B'

osegmento horizontal es a que representa al coseno en la C.T

EJEMPLO 2

Para desarrollar

I t

Destaque que la lÍnea seno se relacionará con la línea vertical o cateto opuesto del triángulo que quedará determinado entre el lado final y el eje X al momento de girar la flecha. lnicie el giro, deténgase en algunos lugares y destaque para esa posición el triángulo de referencia y la lÍnea seno,

I

C, T,

fJ

x

Haga notar que, a medida que va girando la flecha, esta lÍnea va creciendo desde 0 hasta 1, cuando el ángulo pasa de 0" a 90o; decreciendo desde l hasta 0, cuando el ángulo pasa de 90" a 180"; decreciendo desde 0 hasta -1, cuando el ángulo pasa de 180" a270" y creciendo desde hasta 0, cuando el ángulo pasa de 270" a 360".

Pá,8i8.

8

2n _T

cApACtDADES

Comunica

Escribe V si es verdadero o F si es falso.

lf

La línea cos 210'es vertical

1u

6. 1. (ti)

"n @ La línea trigonométrica sen 180'está contenida en el eje X negativo. (F)

Brinde las orientaciones respectivas a fin de que realicen un tratamiento similar para la lÍnea trigonométrica coseno.

@ La línea trigonométrica de

Para consolidar Pida que resuelvan las actividades

I

a 9 de la sección "Desarrolla tus

capacidades" para aftanzar el aprendizaje.

54

cl-.

C, T.

324,e26

ff orsnnnou-arus V-

Asimismo, comente que la lÍnea queda por arriba del eje X cuando el ángulo se encuentra en los cuadrantes I y ll; y queda por debajo del eje X, cuando el ángulo se encuentra en los cuadrantes lll y lV por ello, decimos que el seno es positivo en el primer y segundo cuadrantes, y es negativo en el lll y lV cuadrantes.

x

l5r

,.?F

sen 60o es igual a Ia

línea trigonométrica de sen 300".rvr

I

Y

3n

-i

f,

Y

a

1-9

ñ l

Grafica en la circunferencia trigonométrica.

e

o *" (-*) @ *, (-Í)

E

o

*'(-*)

E

cosf;

€

E E

E senf

g

"osf

g3

,

a o

LIBRO DE ACTIVIDADES

.

ríNEAs rRrGoNoN¡ÉTRrcAS

LÍNEAS TRIGoNoMÉTRIcAS

E

E

Líneas trigonométricas

fl

orsannou-nrus

cAPAcTDADES

líneas trigonométr¡cas de un ángulo son segmentos referldos a las razones

trigonométricas de dicho ángulo en una circunferencia trigonométrica.

Línea trigonométr¡ca seno

Línea seno

El

seno en la circunferencia trigonoméúica (c.

l')

Gráf¡co del seno en la c.

T.)

está indicado por la ordenada de

Osen$

B

0senfr

O

O

P

*, (-?)

C

I

Y

trl2

1f

1

0

3rrl2

*'(-5)

B

@

Y

"o'f

2Í

f

x

0

1

EJEMPLO 2 Var¡ación

Ángulo

x

'.no={={=r

O
ll

ñ< a <3TJ2

-t

3¡r/2 < s

<2n

0 < sen

c<

1; es

Si sen 0 e

creciente

]ff,

l.

'l < sen d < 0; es decreciente

.

4.

Y

Graficamos en la circunferencia trigonométrica.

-1 < sen a < 0, es creciente

6 x

x

<Send<1

Ú2

El

P( \:

coseno en la circunferencia trigonométrica (C.r) está lndicado por la abscisa de

cráfico del coseno en la

r')

C.

;"t+

P

Y

0 cos

0

xr

rrl2

c

0

3xr/2

2rr

0

1

-1

6.

5.

Angulos cuadrantales y variación

T.

Y

*"(-?

cos

i

+

T 3

.

Reemplazamos en el intervalo.

x

l/2 <

sen e

<

I

<

x

variación

Angulo

senc=f={=r

0

N N @


< ¡t/2

c

ItJ2
-'1 < cos

c

< 0; es decreciente

-i

c

< 0; es creciente

< 3TJ2

< cos

0 < cos

R

< 1; es decreciente

ñ< d

3x/2
)ci

0 < cos

o<

1; es

Escribe V si

O

creciente

l

o o o

La lÍnea vertical es la que representa al seno en la

crafica

c.r

La lÍnea horizontal es la

que representa al coseno en la c. T.

o

c

@

.

y

La línea vertical es el t.n

(-f;).

f

,

V la horizontal

p e

224

lE

§ É

e

-r 4

§

lB

El

La medida de la línea trigonométrica que representa el cos 60o en la circunferencia

g @

I

de la línea trigonométrica que representa a cos 45o es igual a la medida

@ La medida

de la línea trigonométrica de sen

45'.

121.

+.halla

Si

ae

13.

tr

u.

el intervalo I I l;

los valores S¡ o e III C y sen "= enteros de k para que la igualdad sea cierta.

]f; "[. r,rlh ", qué intervalo está P 2 cos o 3.

comprendido

una línea vertical. 3

unitaria es

@

_9

c

a 3 I

f *. (-f) en la C. r. . Graficamos ro. anguror f r (-f,). sen

es et cos

o c

--

1

se encuentra en

Resuelve,

La medida de la línea trigonométrica

@ La línea trigonométrica que corresponde a sen 30' se representa en la C. T. como

i

'ó EJEMPLO

es verdadero o F si es falso.

que representa a sen 210" es 1i3 u.

a€lR+-1
Sumamos5aambosmembros Multlplcamospor2.

< sen 0 + 5 < 6 { 1l<2(sen0+5)<12 11/2

I

en qué intervalo

+ 5)

T

Línea tr¡gonométrica coseno Línea coseno

a"t*.i"a

f[,

se encuentra R = 2 (sen 0

0 < sen (r < 1; es decreciente

d€lR+-1

) p s s

x

2

-l

!

Y

x

sen G

9

a

Sen

seno y coseno

de su respectivo ángulo.

O cos{

Angulos cuadrantales y variac¡ón

T.

Usa estrategias y procedimientos: 13"14

Grafica sobre las C. T. las líneas

Grafica en la circunferencia trigonométrica. Las

1-12

Comunica:

I

-

=

180'
14. -l
< 2cos

<2

c-3 <-3+2

UNIDAD

ó

coss<0 cos

o-3 e l-5; -3[

Lineas e identidades triEonométricas

225

TEXTO ESCOLAR

Línea trigonométrica tangente y cotangente I

Texto escolar (pá9.

55)

l

Libro de actividades (págs. 226-227)

Línea trigonométrica tangente y cotangente

Capacidades y desempeños precisados . ldentifica y representa gráficamente tangentes y cotangentes en la Comunica

En el cálculo de drstancias en Lrn globo terráqueo, en ei cual se e strlclian y analrzan os paralelos y merrcl anos, a aplicacrón cle la lÍnea tr g.jnornétnca tangente y cotangente en u¡a crrcunferencta nos puede ayudar a delrmitar los calculos entre las drstancias e|tre paralelos y meridiarroS.

circunferencia trigonométrica. (1-9; 1-17)

Usa estrategias

y procedimientos

.

Anal¡za el comportamiento de las representaciones gráficas de las líneas tangentes y cotangentes. (18-20)

t-

Línea trigonométr¡ca tangente La lÍnea tangente de un ángulo c o p es un segmento vertical y tangente a la c.

LÍnea tangente

T.

en el

punto (1; 0). Y

Sugerencias didácticas

EJEMPLO fl

Para iniciar

I

tan (r

Destaque la utilidad de las líneas trigonométricas tangentes y cotangentes en los cálculos entre las distancias entre paralelos y meridianos, indicando que es un ejemplo de su apficación en situaciones de entorno real.

I ¡

I I

5il4 P R

""(+)

Línea trigonométrica cotangente punto (0;

ytangenteala C.T.enel

1).

EJEMPLO

4 _ f y cot(-{)

Grafica cot

c,r

t,

.

en ra

C.r.

Identificamos a S como el origen del arco de dicho arco Prolongamos el radio OT hasta V. Luego,

Y

Z

5d4 y a T como el extremo

el segmento WV representa,

.

ffi p €

§

es yerdadero o Ir si es falso.

La línea tan 315" es un segmento vertical y tangente a la C. T. en ( l; 0). t\')

Q Lalínea cot240o

es un segmento horizontal y tangente a la C. T. en (-l;0).tl't

§ a o

B

x

f.

-trl3

"

S

*t(-t).

oesannouaruscAeACIDADES

Escribe V si I

"o,

Repetimos el proceso para el arco (-nl3). Si S es el origen y U, el extremo del arco, el segmento WZ representa

PáEB.22A-2e?

Utilice el e¡emplo 3 para comprobar su comprensión sobre la definición de lÍnea tangente; complemente con la actividad sugerida y, luego, proponga la actividad sugerida en la sección "Comunicación".

Concluya pidiendo que discriminen entre la ubicación de la línea tangente y la línea cotangente.

$.

LalÍneacotangentedeunángulooopesunsegmentohorizontal

Ut¡lice la gráfica de linea tangente, para verificar que en ella identifican a R, como el punto de intersección entre la tangente que pasa por S y Ia prolongación del radio o diámetro que pasa por el punto p. Haga lo propio con la definición de lÍnea cotangente, pregunte: ¿Cómo defines F?(punto de intersección entre la tangente que pasa por T y la prolongación del radio o diámetro que pasa por P). Es importante también que reconozcan la diferencia entre ambas lÍneas.

Para consolidar

I

Linea cotangente

o

Repetimos el proceso para el arco (-5rl4). Si M es el origen y N el extremo del arco, et segmento MR representa a

Para el kabajo con la tangente y cotangente, deje señalizado el origen del arco (S), el extremo del arco (P) y el origen de complementos (T), así como la ubicación de la recta tangente que pasa por T y S.

al punto de origen de los arcos). En el ejemplo 4, haga notar que bajo esa misma estrategia se obtienen V y Z, como los puntos de intersección.

9, )' ,url-I,) \ 4t en ta C. T.

Identificamos a M, como el origen del arco 6nl5 y a P como el extremo de dicho arco. Prolongamos el radio OP hasta Q. Luego, el segmento MQ representa u tun

Mencione que el signo de las líneas tr¡gonométricas de cualquier ángulo depende de los signos de las coordenadas de un punto cualquiera del lado terminal. AsÍ, en el primer cuadrante, ambas coordenadas son positivas, por lo tanto, seno y coseno son positivas y, como consecuencia, todas las demás líneas también lo son. Pida que deduzcan y elaboren una tabla con los signos que le corresponden a cadarazón en los cuatro cuadrantes.

En el ejemplo 3, pregunte: ¿Cuál es la intención de protongar Op hasta e? (Encontrar el punto de intersección entre el radio o diámetro con la tangente

.

.

Para desarrollar

I

Grafica tan

La línea tan 37' es diferente de cot 37'. (v)

comunim:

1-9

Grafica en la circunferencia trigonométrica.

6 tanf

o

O

B *(-E)

"ot$ O tanS

cot(-+)

o co{-+) UilIDAD

ó

Líneas e identidades trigonométr cas

55

6

LIBRO DE ACTIVIDADES

.

Línea tr¡gonométrica tangente

Linea tangente

r)

fi

La tantente de un ángulo es la ordenada del punto de ¡ntersecc¡Ón R entre la recta tanSente que pasa por el origen de arcos (punto S) y la prolongaciÓn del radio o d¡ámetro que pasa por el extremo del arco (Punto P).

I

=ns

\ Recta tmgente que pasa por el origen de ucos

It

t

orsannorLnruscAPACIDADES

Comun¡ca:

0

Escribe V si es verdadero y F si

@ Si cr e al intervalo [0; ¡/2], la tan ct es positiva y decreciente.

tan (r

0

No

dei

0<s
tan a < 0; es creciente

rr
tan a rel="nofollow"> 0; es creciente

3rrl2
tan 0 < 0j es creciente

"

. o -{go+u},

n

€z

+

tan

es negativa y decreciente.

es negativa y creciente.

ff sen p gtanp

d€

ar\

B @cotS

@ cos

R(r: l)

es negativa y creciente.

jt' Ordena en forma creciente los siguientes valores.

tR

Identifica y completa las razones trigonométricas

@ tan

d0 a

cot

No

dei

xf/2 0

X

¿

Recta tangente que pasa por el origen de complementos

t_ gráfico, ¿qué segmento representa a (I? cot En el

E-

o o o

O NO

xú2<ü
cot « < 0; es decrec¡ente

Í,
<3fi,/2

cot 0 rel="nofollow"> 0; es decreciente

<2n

cot ü < 0; es decreciente

3rl2

t_


oe

lR

-{nn},

n€

Z+

cot d €

o .(r, ,,

\cr)

O Oa

et» l)

f-ffC+l¡n<0

OQO

,,¡,{r

o

cot

r¡,

<0

Grafica en una circunferencia trigonométrica las líneas trigonométricas de los ángulos que se indican. [D cot 140'

Representa sobre la circunferencia trigonométrica las líneas trigonométricas tangente y cotangente de p.

cot

1,10'

¡E

ll

x

t) tan [i

lR

.

ts

EF

c

! sc o &

EF' @

c

226

tan

En el gráfico que se muestra, ¿qué segmento representa a tan cr?

-

c a

O ON

variación

0
rel="nofollow">trrn>0

f.

EJEMPLO 3

V

)Q

§

fi 31V2 2T. del 0 No def

cot 0 > 0; es decreciente

To, r,un

COMUNICA

j

ci

No

?,""

o *a , ,u ('+ ff,. rlr t'+ trn f < t, f.,",, f. t",, {

=rn Ángulo

@

tan

(a, >

Angulos cuadrantales y variación

C. T.

0

cot"=ffi=S=f

{,

I, l(

La cotangente de un ángulo es la abscisa del punto de intersecciÓn R entre la recta tanSente que pasa por el origen de complementos (puntoT) y la prolongaciÓn del radio o diámetro que pasa por el extremo del arco (punto P).

Gráf¡co de la cotangente en la

t.

lD Si o e al intervalo l3nl2:2tr'l,latancl

óPl

de las líneas del ángulo 0.

T

ct

lE Si a e al intervalo [0; n/2], la tan o

Línea trigonométrica cotangente

Línea cotangente

I

lD Si a e al intervalo [¡r; 3¡l2], la cot a

x S

tan 0 > 0; es creciente

falso.

es negativa y decreciente.

Variación

Angulo

es

@ Si c € al intervalo [¡/2; ¡], la cot

rr 3rrl2 2x. 0 Nodef 0

n/2

Usa estrategias y procedimientos: 18'20

las R. T. del ángulo P. P

c

'l-17

Identifica y completa las líneas trigonométricas de

Angulos cuadrantales y var¡ación

Gráf¡co de la tangente en la c. T.

tana=ffi=§=f

T

LíNEAS IRIGONOMETRICAS

LíNEAS TRIGONoMÉTRICAS

F

li

J

Por definición de línea tangente, identificamos a D como el origen de arco y a G como el extremo de arco. Prolongamos el radio OG hasta E. Luego, el segmento DE corresponde a la línea tan cr.

ó §

I

I

e

I

8

¡D

*@ cot

@

",

(-r)

T

p

E

P

I

!

ti

I

DE- representa a tan c[.

gráfico, ¿qué segmento representa a cot ü7 Considerando el mismo

c?

Alt

o

3

tunffi

tan l'i

@

UNIDAD

6

Líneas e ldentidades triSonométr cas

227

TEXTO ESCOLAR

Línea trigonométrica secante cosecante I

Texto escolar

(pág

56)

I

Libro de actividades (págs, 22B"Z3O)

Capacidades y desempeños precisados r ldentifica y representa gráficamente secantes y cosecantes Comunica

Línea trigonométr¡ca secante y cosecante en la

circunferencia trigonométrica. (l-9; 1-13)

Usa estrategias

y procedimientos

¡

Analiza el comportamiento de las representaciones gráficas de las lÍneas secante y cosecante. (14-19)

L¡nea secante

Línea tr¡gonométrica secante La linea secante de un ángulo o o p es un segmento horizontal que está contenida en el eje x.

Sugerencias didácticas

EJEMPLO 5

R

Para iniciar

I

q

Leonhard Euler, fundador de la trigonometría moderna, introdujo el estudio de las líneas trigonométricas, descubriendo las relaciones entre arco y los lados del triángLilo rectángulo que se forman en la circunferencia tri8onométrica, y cuya aplicación se aprecia en el análisis matemático.

Dé lectura a la parte introductoria e indique que para el análisis es importante que identifiquen los elementos de una circunferencia trigonométrica. para cerciorarse de ello, en su cuaderno, trace una circunferencia trigonométrica de centro O y pida voluntarios que ubiquen: 1) A, origen de los arcos; 2) B, origen de los complementos; C) 0, arco en posición normal; D) p, extremo del arco 0; E) T1, tangente que pasa por el extremo del arco (p). Mencione que el reconocimiento de los elementos nos facilita el trabajar con la CT.

fr

Grafica sec 3f; v sec (-f) * r. c.r. . Identificamos a P como el extremo del arco 3n/4. Luego. la rangente que pasa por P es Pe.

.aL

Entonces.

.

IMPORTANTE La línea secante o cosecante es un se8mento que es igual a la hipotenusa del triángulo rectángulo que se forma.

óQ

, r""

represenra

Y P

f;.

Repetimos el proceso para el arco (-5r/6). La tangente, entonces, OS representa

u.." /-5II. \ ó/

x 5n/6

R

Para desarrollar

!

I I I I

Analice junto con los estudiantes el marco teórico y, luego, pida que verifiquen que se cumple en un ángulo de 30". para ello, pida que tracen las lÍneas correspondientes y realicen la medición de cada una de ellas, luego de calcular el valor de sec 30o comparen este valor con la hipotenusa del triángulo que se forma.

Línea cosecante

I

X

Muestre el ejemplo 4, y en él asegúrese que reconocen al extremo del arco (A)y a la tangente que pasa por A (CG). Esto facilitará que comprendan mejor el resto del proceso de solución.

Grafica csc

. c.

T.

y

f , "." (-f)

en ra C.

.

r.

Identificamos a T como el extremo del arco 4trl3. Lwgo.la rangente que pasa por T es TU Entonces OU- representa u

Analice junto con los estudiantes el proceso de solución del ejemplo S y la información dada en la sección "Ten en cuenta,'. Luego, proponga las actividades sugeridas al final para comprobar su comprensión. A su vez, pida que den solución a la actividad 17.

"r. f

.

x

Repetimos el proceso para el arco (-nl4).

yW.la

Si Z es el extremo del a¡co -nJ4 tangente, entonces, ÓW representa a csc (-nl4).

Dé lectura a la actividad de la sección "Argumenta afirmaciones', y pida que expresen oralmente sus propuestas de solución. si lo considera necesario, propicie un plenario.

',

/7.

Pá4is. 228-230

!

Proceda de forma similar con la línea cosecante, analice junto con ellos el marco teórico y, luego, proponga utilizar el ángulo de 30" para demostrarlo.

oesannou-nruscAeACIDADES

Escribe V si

ft

Consolide con la lectura de los ejemplos b y 6; esto complementará su comprensión y les facilitará el desarrollo de las actividades 1 a la g de la sección "Desarrolla tus capacidades". Concluya pidiendo que tracen una circunferencia trigonométrica y en ella, utilizando colores, tracen las diferentes lÍneas trigonométricas que representan a cada función; esto permitirá que afiancen sus conocimientos sobre este tema, y comprueben su comprensión.

cosecante de un ángulo c o p es un segmento vertical que está contenido en el eje

» E-'EMPLO ó P,

Para consolidar

I

Línea trigonométrica cosecante La línea

Comunica:1,9

es verdadero o F si es falso.

La línea sec l35o es un segmento horizontal que está contenido en el eje X.(V)

@ La línea csc 307"

es un segmento

está contenido en el eje

@ La línea

vefical que no

Y.rfr

sec 74o es igual a la sec (-286.).1V)

Grafica en la circunferencia trigonométrica.

@secf

o*"(-t)

6"scf;

a *" (-?)

o'*+

s'*(-f

I

€ !

)

§ g

5ó

LIBRO DE ACTIVIDADES

.

LíNEAS TRIGoNoMÉTRIcAs

LíNEAS TRIGoNoMÉTRICAS

Línea trigonométrica secante

Línea secante

La

secante de un ángulo es

la abscisa

Línea trigonométr¡ca cosecante

del punto de intersecciÓn

R

entre la recta tangente que

La

pasa por el extremo del arco (punto P) y el eje X.

Linea cosecante

cosecante de un ángulo es la ordenada del punto de intersecclÓn v entre la recta tangente

que pasa por el extremo del arco (punto

P)

T

V(0:

y el eje Y

r)

[-Ínea

Gráfico de la secante en la c.

R(u

Angulos cuadrantales y variación

T.

«0 sec o,

seca¡le

seca=ffi=3É=+=oR

¡f/2 1

No

¡tJ2
3il2
"

.

o

No

1

Ángulo

0
31(2 2fi

fi

def.

Angulos cuadrantales y variaciÓn

Gráfico de la cosecante en la C. T.

del

o0 csc c

1

No

del

:t\/2 n 3xr/2 2T 't No def -1 No del

Var¡ación sec

c rel="nofollow">

'l; es creciente

Angulo

sec 0 < -1; es creciente

X

sec ü < -1; es decrec¡ente sec

-{gI;e},

d>

n.

z

1j es

decreciente

sec

-

r€

rR

-l

-t-1;

0
ifJ2
csc

rf
csca<-'1;escreciente

31V2< d <27

1[

csc"=*aP=S=f

Variación csc 0 rel="nofollow"> 'l; es decrec ente

a>

1;

=vo

es creciente

csc 0 < -1; es decreciente

oe lR-{nn},n €z+cscd €lR-l-1;1[ ARGUMENTA AFIRMACIONES

L

EJEMPLO 4 Observa el gráfico e identifica el segmento que representa a sec cr. Por definición de línea secante, identificamos a A como el extremo de arco. Luego, la tangente que pasa por A es GC.

¿Existe la línea secante

para 90" y 270'?

No, porque para valores que se acercan a 90" y 270" las líneas tienden al int'inito.

EJEMPLO ó

D

Observa el griífico e identifica el segmento que representa a csc 0

La cosecante cambia de siSno según el cuadrante donde se ubica el ángulo.

Por definición de línea cosecante. identificamos a P como el extremo de arco. Luego, la tangente que pasa por P es UR.

EnNoAC:.."o=O§=oCI Entonces, OC- representa a sec

TEN EN CUENTA

E

ct,.

lc:+ c: -

ilt

llc:

+

tvc:-

EnNOPII:csce=O.U=OU I

f TEN EN CUENTA La secante camb¡a de siSno se8ún el cuadrante donde se ubica el ángulo.

+ lil c: lC:

N N @ j

llC:tv

c:+

.

{J

-

f

I L

@

o c

228

f;

b) sec

normal en la circunferencia trigonométrica.

f.

8

p

c) sec

f

p E

9

Por definición de línea cosecante, identificamos a S como el extremo de arco. Luego, la tangente que pasa por S es RS. Entonces, OR representa u

§ 3 o

R

Y

Trazamos el segmento RS tangente en el punto S.

§

43'

ff

Grafica en una circunferencia trigonométrica la línea trigonométrica de csc

x

Grafica una circunferencia trigonométrica de las siguientes razones trigonométricas: a) sec

EJEMPLO 7

Graficamos el ánsulo 4 en oosición

Trazamos el segmento MN tangente en el punto M.

Entonces, ON representa a sec

€ t

f.

en posición normal en la circunf'erencia

Por definición de línea secante, identificamos a M como el extremo de arco. Luego.la tangente que pasa por M es Ñiñ.

Io o

c a

Graficamos el ángulo

tngonometflca.

.

l

-§ ,F

f;l taentifica los segmentos de las otras razones trigonométricas de 0.

Grafica en una circunferencia trigonométrica la línea trigonométrica de sec

'6

po

Entonces, ÓÚ representa a csc 0.

EJEMPLO 5

i

!

Identifica los segmentos de las otras razones trigonométricas de a.

=

"."

x

4. ó

@

UNIDAD

ó

LÍneas

e dentldades trigorométrcas

229

LIBRO DE ACTIVIDADES

ldentidades trigonométricas ¡Texto

.

escolar (pág

57) r

Libro de actividades (págs. 231-233)

tíNEAs TRIGoNoMÉTRICAS

Capacidades y desempeños precisados

ff

oesmnolu rus

cAPACTDADES

Comunica:

1-13

Usa estrategiasy procedimientos: 14-19

Comunica

Identifica y completa los segmentos qu€ representan

Observa la ligura y responde. Argumenta afirmaciones

las líneas trigonométricas del ángulo cr.

o Discrimina identidades recíprocas, por cociente y pitagóricas. (1-6; 1-12)

. .

Plantea conjeturas al demostrar identidades trigonométricas. (13)

Demuestra identidades trigonométricas. (7-9; 1a-19)

Sugerencias didácticas C

Osenn r PQg tancr JGl

sec

a

es

es el valor aproximado de sec o?

Para iniciar

lD ¿Cuánto IE ¿Cuánto

es el valor aproximado de sec p?

I

Comente que una identidad es una igualdad que se cumple para todos los valores permisibles de la variable.

I

Propicie la deducción de estas identidades a partir del estudio y de las definiciones de las razones trigonométricas de un triángulo rectángulo. Recalque que no es necesario memorizarlas, sino conocer cómo es que va surgiendo cada una de ellas. Utilice la gráfica de la circunferencia trigonométrica para que deduzcan las identidades recÍprocas y por coclente.

es el valor aproximado de sec y?

Elcoso'

I oa- l Ocor*, IEF ttcsco. I óE I

14. see rr = 15. scc 13 =

]

oc'

Escribe V si

@ ¿Cuánto

verdadero o

I,-

16. scc y

si es falso.

3.4/l = 3.4

-1ll

=

-2

= l.7ll =

1.7

Grafica en la circunferencia trigonométrica. [D

sec 3¡rl4

Para desarrollar Y

I

Antes de presentar los ejemplos 8 y 9, aclare que demostrar una identidad implica reducir el primer miembro al segundo miembro o viceversa, o que cada miembro por separado se pueda reduc¡r a una misma expresión. Luego, en el ejemplo 8, pregunte: ¿Cuál fue la estrategia utilizada? (Reducir el primer miembro al segundo miembro). ¿Alguno de ustedes tiene otra propuesta de solución? lnvite a la pizarra a quien desee compartir una nueva propuesta. Oriente si es necesario. En el ejemplo 9, recalque que la expresión dada es una ecuación tr¡gonométrica; haga que identifiquen qué t¡po de identidades utilizaron para sustituir en el segundo paso (identidades reciprocas y por cociente), y recalque que en el proceso se aplican también las propiedades de los números reales. Motívelos a dar solución a la actividad propuesta en la secc¡ón "Usa estrateg¡as".

I

Para el caso de la obtención de la identidad pitagórica, presente un triángulo rectángulo de hipotenusa 1 u y pida que escriban la longitud de cada cateto a partir del seno y coseno de los ángulos agudos (cateto opuesto = sén o, cateto adyacente = cos o). lndique que apliquen el teorema de Pitágoras. Reitere que la expresión que se obtiene se conoce como relación fundamental de la trigonometrÍa o identidad fundamental.

I

l\4uestre el cuadro de la sección "lmportante" con las otras identidades pitagóricas, para que las evalúen y busquen Ia manera de deducirlas y no memorizarlas. Luego, podrán verificarlas en su libro de actividades.

x

PR. Mñ. cosecante es ÓS.

El La línea trigonométrica

O

seno es

La línea lrigonomélrica secante es

E) La línea tr¡gon()métr¡ca

V I

[D csc (-7d4)

{ ts

\

Identifica y completa las líneas trigonométricas del ángulo p que representan los segmentos dados.

t-

Analiza y responde. se sabe que el ángulo 0 está en posición normal y pertenece al tercer cuadrante, ¿cómo hallarías la

@ Si

X

línea secante? ¿Y la cosecante?

@

ñiñ

lB F'r 234

baa ".tp

l I

lD oM

cos

lB sR

-.p

Construyendo un triángulo rectángulo AOC, con AC tangente al punto B. Entonces

I

la secante es OA- y

I

la cosecante es OC-.

N l

§

€ I

E

§ o

Para consolidar

I

Consolide el aprendizaje con las actividades 1 a la 9 de la sección

.LIBRO DE ACTIVIDADES

TEXTO ESCOLAR

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS'

ldentidades trigonométricas

E

Establecemos las siguientes relaciones con los datos de la circunferencia trigonométrica del margen.

Circunferenc¡a

trigonométrica

. Senc,CSCo=1... r

.tanc.COto-1...

.COSq.SOCc=1... i

. tanu=ffi.. , Demuestra que sen2 cr . cot

.

COSa=r

so=1

.

auro=*

Coto=I

IMPORIANTE

CoS2q='l-Sen2d

EJEMPLO 8

sec2o-tan2d=1 csc2e-cot2a='l

Demuestra que (sec

l D

o

c(

=coscr

sabemos que sen

<

Propiedades de números reales

<

ldentidadesoyo

<

Propiedad€s de números reales

ffi

orsnnnou-nrus

c

t

o

- p€ I

< =o L § a 0 c

Escribe V si

+ tan

o- l)(l

+ sec

o-

['si

I Comprueba que

.Cot2tr+1=CSC2q... r

<

<

(a-b)'?=a'-2ab+Y

<

ldentidad

<

Operaciones en R

Comunica

Et

cos2 cr

= I + sen2 o{F)!t

sq¡2 c( = qss2

c¿

tnt tt,r

-

l(V)

SenG=-y

.

csco=$

.

COS0=x

.

seco=]

. taro=] .

¿61s=r{

¿ tenemos: Deducimos: r

Sena.CSCo=1 COSq SeCo=1

#fios'

tano.cota=1

1-6

I @

cot sec

a'

t

@

ArSumenta afirmaciones: 7-9

ñ

cr-

sen

o'

sen cr E

tan (r = cos o.

glffis * ,ffita=r","o

§ a o

¡

Ecuación tr¡gonométrica dada

'

<

ldentidadesOy@

<

Propiedades de números reales

<

tdentidad

(

""r

rl-)

(

""r

r--L)

sen2

x = tan .r

@

USA ESTRATEGIAS

sec]¡*taq¡-r,rnz, r col f . secl** @Á=2¡¡¡2¡ < Ecuación trigonométrica dada csc, t cot.{

-l-

Y PROCEDIMIENTOS

csc,

x

¡ csc2,r sen-.r I

<

ldentidades

<

Propiedades de números reales

o, o. o y 6

tan2

sen.tr

. senlx*..ni*=2,unr, cos- r cos- r . tan2 x+tan2 x=2tan2 x , 2fan2 x=2tan2:t

veritica que:

tlr". I

sen,r

Y*ffi=z,un', ) sen-

d=

x = tan

<

Dcrnrrc:tra qrrc

§

sec
sec ,r . csc -r . sen2

. secr' csc¡' sen2¡= tan¡

. tanr=tanr

Demuestra.

Osena=ujo (v) Bseca=rj, Bcotc=ffi (v) 6 seno=¿ol o

y cos c[ =

'H*=*,

Propiedades en R

{ (a*bxa-b)=a'-b'

2fancr=2tan.u

es falso.

y

.oto=$=#i8 +cotc=

tan cr) = 2 tan cr

cAeACIDADES

es verdadero o

=

: trn"={=ffi+tanc=ffi...

j

§

a

.

EJEMPLO

. [sec(r+(tanc- l)][seco-(tand- l)=2tano . sec2 o, - (tan cr - l)2 = I 1¿¡ ¡¡ . sec2 c-(tan2c-2 tancr + l) = 2 tan cr . tan2 o + I -tan2 a +2tana- I = 2tan cr

Págs. e31-255

@

rQ

.csc o) s65 =

identidades por cociente se caracterizan por relacionarse solamente con el seno

y cosen0.

. Sgn2d+CoS2o=1... r . tan2otl =S0C2a... .

j

c

0'cot. o (sen c

. csc o, cos ct =

sen2o=l-cos2a

N

ci

Las

c

tdentidades pitagór¡cas

pitagór¡cas

. . .

sen

. senc'ffi'l . cosc'=coso

v

otras identidades

.

ldent¡dades por cociente

§cc=1

= seD (l

deflniciones de las razones trigonométricas, podemos establecer Ías siguientes relaciones del margen.

7 _

EJEMPLO

.

-!

con los datos que nos muestra la circunferencia trigonométr¡ca y con el conocim¡ento de las

.cota=ffi

= COS (r

r

ldentidades reciprocas

Son ident¡dades recíprocas aquellas cuyo producto de las razones trigonométñcas que las componen es igual a 1.

i!

ldent¡dades por coc¡ente X

TEN EN CUENTA

ldentidades recíprocas

ldent¡dades recíproGas Y=Sen((

ldent¡dades tr¡gonométricas

Las identidades tritonométr¡cas son igualdades que se establecen al relac¡onar las razones trigonométricas unas con otras. Son útiles siempre que se necesite s¡mplif¡car expresiones que incluyen razones trigonométricas.

^ TEN EN CUENTA

6

=

sec2

¡

cos_.{ sen-.r

I. cos- -r

<

ldentidad

<

Propiedad de números reales

@

y propiedad en

lR

_§

c a @)

UNIDAD

ó

Líneas e identidades trgonométricas

51

UNIDAD

ó

Lineas

e dentid¿des trgofoméü cas

LIBRO DE ACTIVIDADES

.

IDENTIDADES TRIGONOMÉIRICAS

IDENTIDADES TRIGONONlÉfRICAS

ldent¡dades p¡tagóricas Las

ff

ident¡dades p¡tagóricas se deducen a partir de la aplicaciÓn del teorema de Pitágoras en

el triángulo rectángulo que se genera con un ángulo en posición normal sobre a circunferencia

Escribe V si es verdadero o F si

unitaria.

O

aplicamos el teorema de Pitágoras en el tr¡ángulo rectángulo formado por los puntos oQe tenemos: Si

TEN EN CUENTA

Desen2c+cos2c=1 se deduce:

. sen2c=1 cos2o . cos2o=1-sen2o

(PQ)2

y2 +

+ (oQ)2 = (oP)2

Í

=

12

+sen2c+

La expresión ,

cos2c ='1 ...,

se conoce como ident¡dad pitagór¡ca fundamental y se caracteriza porque

relaciona el seno con el coseno a través del teorema de Pitágoras. IMPORTANTE

EJEMPLO

otras ¡dentidades pitagóricas

tan2o+1 =SeCa...

?

De r y

r

sededuce:

sec2c-tan2o=1 csc20-cot2d =1

csc

o,=

+csc

1

[E

-

(sec x

I

senax

sen2cr+cos2o=l

<

¡dentidad p¡tagórica fundamentál

'

o *;7; cos2 cr =;JI "or, "

<

Se dlvide

'(#*)'*'=(-k)'

<

Prop¡edad de los números reales

. tan2o,+l=sec2o

{Seapticatana=ffiVsec*=-.oL

sen2

I = tanl.r

d=

sen2 cr + cos2

c+I=

1

c t cos2 cr-nn *il c[-

I

sen2

sen'z

..

I ), . 'r+/cosc\2=¡/ \sen 0/ \sen (t/

. I +cot2o,=csc2cr . cot2 cr + I = csc2 cr

(sen2.r + cosl.r)(senl.r

<

Se divide

o; sen q + o

<

Propiedad de los números reales

{

se aplica cot

<

Propiedad connrutativa de la adición

entre sen2

c

=

ffi

V

csc

o = a6n

cos: .r

-

cos:

iel\.¡il c()\ f

a) Verifica que se cumpla la igualdad (csc tr)(

lD

tan2 x

=l

I-

A=

cos2 ct)(sec cr) = tan o.

(senza*cos2a)2,5

A:(1)'z+5+A:6

(**")t*.'

")(*o)

=

,",

"

("o{¡)

=

H*

= tun

(l -

sen2.r) = sen2 sen_ -r

,"n2x=sen2-"

Simplifica Ias expresiones:

@*if#@

=

sec2

c

(cot2

o) =

-- I

o'

E

o-

4A---L-= §o#-(r sen'(t sen'c[

l, eos

A= 20)?.5+ A--7

9 I sec2 o, = sec2 ct (csc2

(-k-,)

Zoido

'

N N @ j

-t

ci

[D

c

- l)

e p e

I

Jorge; porque aplicó coÍectamente la identidad pitagórica tundamental.

Si sec2 p + csc2 p = 64, calcula el valor de

M

§

e

a o

o

!

)

+ cot p

o o

r"clp+cr.:¡,i=lr4 ran2f]+l+cotr¡l+l=64

p

=.üffiF

l

ds[;

d= (sen] c + cosl o.¡: + 5 A= lr+5= l+5=6

t

csc2 o,

(l

SEñ-d

:9

q

sec2

-secc

I .senc

(N-' -r r-

c

Utilizamos las identidades trigonométricas. sec2 ct = csc2

I

A = 2(sen2c* cosza)2 * 5

)

(36fo *l .,)'- .""' ct -

cscc'tan0-l-

A = (sen2o*coszr¡)z*5

I orge

¡

o

Se verifica que se cumple la igualdad.

sec cr)2

I

cos- ,r

Zaida lo resuelvan. Ambos muestran su ejercicio resuelto en una hoja. ¿Quién crees que lo hizo correctamente? ¿Por qué?

oL

=cosl.r(l -2cos:.¡)

I

sen2, cos-.f =

@ Francisco plantea un ejercicio para que Jorge y

Expresamos el primer miembro en función de senos y cosenos:

o

cosl -r)

l=l

Comprueba cada desarrollo y responde,

EJEMPLO 11

(csc

-

LN=l

@l ,.rt,, l+cos2o = I

@ csc2o.-leotln

r)

/cosl -r

lD sen"r'cotx'secx=

@ r".:1 -tan2o=l

<

)(l

t

f,}tancr' colrr =l

csc2 cr. rdentrdad pitagórlca frndamental

(I

@j rora ].seccr=l

entre cos2 o; cos c * 0

Hollo sl volor de A.

.

por identidatl pitagórica

-c-osa¡=cos2¡(l -2cos2x)

Hollo el volor de A.

b) Simplifica

{

I +tan2r

I

Osencr' r'sr(r =I

"-

b) Demuestra la identidad cot2

.

= tan2.r

+rec.a-aea.a I =tanl.r

secr,r

6

¡ + l)

lXsec

,cc]

Completa cada identidad con sus expresiones correctas.

+ I = sec2 o.

.

.

o'

Demuestra las siguientes identidades.

falso.

sec2 -t

1O

a) Demuestra la identidad tan2 a

cot2o+1=csc2o...:-5,

sen

es

Comunicar'1-12 Argumenta afirmaciones: 13-19

"=#z El cos o' sec c¡ = I + sec =s6,,.. " Et tan o' cot o = 1 + cot cr = rak lO y2 + i = I + 56¡2 cl + cos2cr = I @ x= tan cr + tanz o + I = sec2 ct t! cotct=l + cot2 q + I = csc2 cr

x

+ f +* =f

oesannou-nruscAPACIDADES

t

trn

l3 + ,u,rt ll

P E cI

tl = ti'

FlnM=r¡l=l

a c u|¡tDAD

ó

Líneas e identidades trigonométricas

233

§ c o a @

LIBRO DE ACTIVIDADES

f

RAZONES TRIGONOMÉIRICAS

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS COMPUESTOS

DE ÁNGULOS COMPUESTOS

Tangente de la suma de dos ángulos

.

TEN EN CUENTA

larr

l«

+

(

^.

tan c 1

+ tan

r l<\=

p)l =

sen (Ct I

cos (c sen

tan0+tan( p) 1 -tanc.tan(-fl)

-

0) ' [])

o.cos p

'

cos

0.sen

cos 0..cos B

-

sen

a.ser

sen

(t.cos B

.

cos

a.sen

p p

cAPACTDADES

14-1ó

/^

cos

- l(\

.

Expresa cada operación como la razón trigonométrica de un solo ángulo.

Calcula el valor de las tangentes de los siguientes ángulos.

+

sen 45' ' cos 53" + cos 45o sen 53o El cos 90'' cos45' + sen90o sen45o El cos 53''cos 37o - sen 53o sen 37'

O

@

sen 50" ' cos

30'

Si tan

. .

7'

30' =

¡, expresa tan 67' 30'en función

de

¡.

Descomponemos 67o30'en dos ángulos: 67" 30'=

l.

60'+ 7"

(zt5'+ 51") 2. cos (90' - 45") 3. cos (53' + 37') 4. sen (50' - 30")

30'

Reemplazamos y resolvemos: tan (60"+

z' ro'l

cos 50'

-

EJEMPLO 1ó

=fffiffiffi, f#

sen

= sen = cos

'

sen

30'

B

tan t05"

I

2

l,rn

= sen 20'

I

J-¡

sen

67'

O

tu ciudadanÍa

sell

Para iluminar la pista ABB'A' se dispone de una fila de tubos fluorescentes PP', que están cubiertos por un portalámparas longitudinal. En la figura del margen las distancias están en metros. Determina el ángulo con el que el portalámparas ha de dejar salir los rayos de luz para que se ilumine exactamente la pista.

8'

sen

= sen 37' --^ 4 + lJ3 o/'= l0

6. sen 8o = seu (53' = sen

,a, t"

P

7.

formado en el triángulo

sen

se cumple la siguiente

B

cos

30'+

cos

sen

37'

I

98'

igualdad.

tan 0

[3) -(cos o cor i]- sen c ser (r seil []) + (sen o cos 0 - cos (r' scn !!sJ¡.--«rsñ+ sen o seD B - g»+
(cos

sen 30'

c c

cos

[3

cos

f:!

+ scn + cos

o'scn

fl) 0)

45')

-

53" cos,15'

cos

53"

sen 45o

(45' + 53') = sen 45o cos 53' + cos,l5o

«

p¡;;¡o:¡j=

.;n 1o+

=$

98' =

+

rans'=#H$i*ffi=+

Yerifica si

(sen

EJEMPLO 17

rectángulo.

t.

4s'

Halla el valor de los senos de un ángulo.

| - ^/3x

@ tan 8'

60:l lfln 4l'-- I + J.l - | ran - tan 60" tan 45'- I Jl ' 5. = -!!I 1rl' - lrI 45" - /.1 I + t¡rn fi(l" liln 4¡"

I

I

15"

cos(ct-pl-cos(cr+p)_ o, @

r.. lEj4.

Representamos el ángulo

@ tan

= cos 90'

5. sen 67' = sen (37' + 30")

.

105"

tan

13

98'

=

La tan 67o 30' en función d.

B'

1-13 Argumenta afirmaciones:

usa estrategias y procedimientos:

ll

B

p

c cos 0 cos o. Los tan 0. tan B ^. coso.coslS !v¡\u P/ senc.senP -1-tano.tanP co§A {o§F co§o .cofp

tzn

- tan «.tan

orsnnnou-arus

Aplicamos identidades fundamentales y simplificamos: lrn/d

_

ff

¡

Analiza y resuelve.

lD Si tan (o + p) = 4 y tan cr = -2, calcula el valor de tan (o

sen

h5

sen 53'

-

p). + tan tl

4=.| -2-(-2)-- trn' .+4+ Srrnli=-l+tanll tanlt=-617 ^ / ()\

t0

11

o

. N N @ j

.

¿ :9 !

r,

8.

7

o = 70 + tan o =

o L

@

236

cos

",*

70188

-

rr¡

E) cos 7' 97' =

cos

= cos

= 38,5'

q7'

=

37'

B

I €

p a

-^ = 4r/l + -l cos¡ l0

i

s

o

s

-

-

cos 30" + sen

¡¡E u" u' , 4

60"

lE se¡r

37'

Si tan o + tan B = 3, calcula el valor de:

sen(a-0) +2-i| o- cos (I'cos

30')

10. cos 105' = cos (60' + 45') = cos ó0" cos 45' e.rs 105'=

sen

D

= cos

§

cos 37o

ti/rto

I I

lE cos 105"

(60' + 37")

60"

9. cos 7' = cos (37'

El ángulo debe ser de 38,5'.

-

@

_

t-Jtan.,.

Reducimos la expresión.

88 tan

p €

c

1*tun,

13 -l ' + 71"tan or==>ll++9 lrnor=91 -19tanril / Jtan0) I

-

o o o

§c

=+-

rrn((¿-rr)=ffi=+

Calcula el valor de los cosenos de un ángulo.

El cos 97'

Resolvemos aplicando la identidad de tangente para la suma de ángulos

tan(0+úr)

.i

l0

37'

sen 30'

sen (« - p) cos (¿ ' cos sen (1 c()s ((

-

se¡

60'

sen 45'

cos c()s

+2tanfl fl fl

eos cos

tr'sen B - l+1l.nll tt (o\ [ -

H*-ffi{*''^" tan 0

-

P

tan [] + 2 tan 0 = tan

UNIDAO

ó

c +tan

Líneas e identdades

0=3

fgofométricas

237

Angulos múltiples. Ecuaciones trigonométricas I Capacidades y desempeños precisados Comunica Usa estrategias y procedimientos

. .

Discrimina expresiones algebraicas relacionadas con ángulos compuestos. (1-10)

Aplica las definiciones de ángulo doble, mitad y triple en

I

Para la actividad sugerida al final del ejemplo 20, sugiera que reemplacen en función de seno toda la expresión.

I

Esté atento a la estrategia empleada para resolver la actividad 13. Es probable que quieran utilizar los valores de 60" y reemplazar en la ecuación. Oriente y hágales notar que, en la primera parte de la expresión, se puede identificar a la expresión equivalente a tan 3o; en este caso, de tan 3(60"). lndique que mientras más familiarizados estén con las fórmulas, les será más fácil reconocerlas. Esto, en muchos casos, les hará más simple y corto el proceso de solución.

la

resolución de igualdades trigonométricas. (11-16)

Sugerencias didácticas Para iniciar

§

I

Organice equipos de trabajo para que deduzcan las fórmulas de ángulos múltiples, A manera de ejemplo, desarrolle sen 2x: sen 2x= sen (x+ x) = sen cos x+ cos x'ser x= 2 sen x.cos x

Presente el marco teórico del tema "Ecuaciones trigonométricas". Resalte la diferencia con las identidades.

I

Para el tema "Ecuaciones trigonométricas", comente que primero se resuelve la ecuación trigonométrica para casos generales y, luego, se hallan los valores que satisfacen la relación.

Puntualice que es muy importante tener presente el dominio propuesto, y que cuando no se especifica el dominio, las soluciones se pueden expresar como ángulos que fluctúan entre 0o y 360o.

I

x

§l

&ñ Tenga en cuenta la representación gráfica de las razones trigonométricas, ya que es de gran ayuda en el momento de determinar los ángulos que satisfacen la ecuación trigonométrica. Si lo cree conveniente, pida que representen un ángulo o, cuyo coseno es 4/5, o un ángulo p, sabiendo que su seno es 1212.

I

¡

I

I

I

Para desarrollar

I

Libro de actividades (págs, 238-240)

Pida que verifiquen que la deducción de sus fórmulas corresponden a las que se muestran en el cuadro del marco teórico. Caso contrario, deben revisar los pasos empleados para detectar el error u omisión. Para familiarizarse con estas fórmulas, proponga que den respuesta a las actividades 1 a la 5. Esto les permitirá verificar si reconocen los términos y signos de la expresión equivalente. lndique que en caso de que su respuesta sea falsa, deben encontrar la expresión que la hace verdadera.

Utilice el ejemplo 18, y haga notar la necesidad de elaborar un gráfico de un triángulo rectángulo donde se cumpla larazón trigonométrica dada. Luego, pida que mencionen cuál de Ios ángulos múltiples reconocen en la expresión dada (ángulo doble). IVencione que estos pasos les facilitarán comprender el resto del proceso de solución, En el ejemplo 19, pregunte: ¿Qué dato extra nos dan? (El cuadrante al que pertenece il. ¿Qué nos indica este dato? (Los signos de todas las razones trigonométricas de p son positivas). ¿De qué manera podemos comprobar

que el valor de la hipotenusa que se muestra es correcto? (Aplicando el teorema de Pitágoras). Pida que lo comprueben. Luego de completar el análisis del proceso de solución, proponga que den solución a la actividad sugerida. Cerciórese que distinguen y diferencian cuál de estas dos expresiones representa un ángulo doble: 2 tan2 xo tan2 2x. Este dato les y: i:r; g' q u e p o n s a n e n p r áct c a e ste

l1'.[1i :'^ti::::,"^,1'^:]

.1

:'t'

i

:

En el ejemplo 21 , haga notar cómo el uso de la circunferencia trigonométrica y del segmento que representa al seno del ángulo, facilitan Ia resolución de este tipo de problemas. En el ejemplo 22, uliliza la sección calculadora para que hallen arc sen (-1l2) Comente que la interpretación de x = arc sen 1, "Se trata de buscar la medida de un ángulo x, de manera que el seno de x resulte 1". En este caso, ser X = 1, por lo tanto, x = 90". Pida que interpreten x = arc sen (*1/2). Analice junto con ellos el proceso de solución del ejemplo 23 y, luego, pida que representen en la circunferencia trigonométrica las expresiones o + 360'k (cada vuelta); p + 180" k (cada media vuelta) y P + Znradk (cada vuelta).

Para consolidar

§

Concluya indicando que el dominio se puede dar en el sistema sexagesimal o en el sistema radial. Proponga las siguientes actividades complementarias:

1. Calcula

en radianes la menor solución positiva de sen x

x e [0"; 90"J

2.

Nalla la menor solución positlva para y, si se sabe que

sen2y+cosy=0 3.

2 sen2

x-

4 sen3 x = 0;

N N @ j

.i i

'6 l E

o o o

-

Se resuelve las siguientes ecuaciones:

a)

-

pG

cos 2x = 2; x e [0"; 90"]

€ E

b) tan(x + 30") = 1¿¡139"

o G

c)

o

sen2x+

- 2x)', x e [0"; 90"] sen x= cos2x; x€ [90"; 180"J (en radianes)

o

§c Respuestas: 1.

¡/6rad

2.

90'

3, a)

60'

b)

0

c) 5:r/6

c 6

o

Unidad

6

TEXTO ESCOLAR

Razones trigonométricas de ángulos óompuestos ¡

Text0 escolar (pá9.

i

58)

Libro de actividades (págs. 234-237)

Capacidades y desempeños precisados Usa estrategias y procedimientos

. o

Argumenta af irmaciones

Aplica las definiciones de suma y diferencia de ángulos en el cálculo de razones trigonométricas. (1-8; 1-13)

Razones trigonométricas de ángulos compuestos La fórmula de De N/oivre perrnite obtener de forma sencilia fórmulas trigonométricas que expresan el seno y el coseno de un ángulo múltiple en función del seno y coseno del ángulo srmple. Su aplicacion se da drrectamente en expresiones de potenciación de números complelos.

Demuestra expresiones algebraicas relacionadas con la suma y diferencia de ángulos. (14-'16)

Suma y diferenc¡a de dos ángulos

TEN EN CUENTA Angulos múlt¡ples

Sugerencias

d

. .

Para iniciar

I

p p p

sen (o + f3) = sen o,+ sen cos(o + F) = cosd + cos

tan

(o+

p)

=tano+tan

cos (« sen (cr

tan(o-

sen2r=2senJ cosr

= sen a - sen B B) = coso - cos B 0) =tano-tan B

-cosx

. ...r_*./1 -"-2 -\

+cos¡

.

2

.

.

1

cos3r=4cos3J 3cos.f

-€ c o L a c

§

1

c @

Sen

cos (C[- B) = cos

P

tan0+tanB

1

tan

= sen

tan((I-lj)=

o. tañtt

21'=

cos

(74'- 53')

= cos

0.

cos

0.cos

p-cos0.

sen 0

(t

sen F

B + sen

tanCI-tanB '

74"

cos 53' + sen

1

24

-5

25

4= 2t 5 n5

+

74"'

2l'

sen

=74" 53'

96

111

t25

n5

-

53'

observa en el margen los ángulos doble, mitad y triple.

-3Iantx

Por ejemplo: 2 sen 4r . cos 4r = 0,5

-

+

sen &r = sen (Í,/ó)

+

Valor prin cipal.

f - xfl 48

EJEMPLO 1O

5i -t e III C, halla hnf. "r", =;f;, "on . Graficamos el triángulo rectángulo con el dato. . Como x € III C, entonces consideramos anl> . Aplicamos ángulo mitad y reemplazamos:

,rÜF

3 O

/5

*";=l#=fr*^^;=+

Páes.234-240

37') (-0,5 y -0,8)

2

.14,

ff It B

Deje establecido que a partir del seno y coseno de la suma de dos ángulos se pueden determinar la tangente, la cotangente, la secante y la cosecante de la suma de dichos ángulos.

oesnnnou-,a rus cAPAcTDADES

usa estrategias y procedimientos: 1-B

Detemina el valor de sen 46". l4 + 7r 50

Calculael valorde cos

@ Halla el valor

Ot". 119

de tan 14".

@ Determina el valor

Para consolidar

50

24 lJj

1;ritl

de cos 8'.'7^/2

t0

l

E

Calcula el valor de sen

Gt Si

sec "t =

!,na[a

f,

si,r € I C y

el valorde tan

tan

3x.

r

=

^/5.

I

12

441t17

a

€ E

¡: !

D

Halla la primera solución de

§

Calcula x entre 0 y n: cos .r = sen

5s¡

¡.

¡

' ges a = Q,J. n/ 1 2

¡/.1

§ o

las actividades

14y

15. En la 14, pida efectuar

el desarrollo de cada ángulo suma o diferencia, luego, simplifiquen, En la antirlidad 6 nrnnr rrón ra tndn ca 6vñróoó an fr rn¡iÁn Aa lo +an a -1

cl.

Son ecuaciones en donde la incógnita es el argumento de una razón trigonométrica.

necesario.

W Sugiera que trabajen con

13-Sen

Ángulos múltiples

. ¡¿¡3,=3tanl-ta!31

proponga que resuelvan las actividades el ejemplo .15, 8 a la 10. Luego, en el ejemplo cerciórese que comprendan cómo se ha llegado a establecer que HD = 4 cos xy BH = 6 sen x. Oriente en caso

§

CoS

sen

7 25

12y 13, mencione que la idea al sumar o restar

Pregunte: Halla el valor de sen (n + 30") y cos (n

o

CI.

((r-p)

Sen 0

sen3r=3senr 4sen3r

dos ángulos, es descomponer el ángulo dado en dos ángulos conocidos, -15"; para que los expresen como la suma o Proponga los ángulos: 8o; 23"; diferencia de ángulos conocidos (Por ejemplo: 8" = 53" - 45'',23' = 53o - 30o; 15o = 45o - 30"). Pida que pongan en práctica este aprendizaje, realizando las actividades 5 a la 8, Oriente la actividad sugerida en "Argumenta afirmaciones".

o o

0+CoSd,

Ecuaciones tr¡gonométricas

§§l Antes de revisar los ejemplos

!=

CoS

Angulo triple

las deben comparar con las fórmulas y podrán simplificarlas rápidamente.

.O '-

COS

¡¡

Descomponemos 21o como una diferencia de dos ríngulos: cos

§§ Resalte la información en "Recuerda" para que comprendan mejor la forma como se deduce la fórmula de sen (o - p) Pida que las actividades 1 ala 4

§* Después de revisar

(cl + P) =

-Sen

Determina el valor de cos 21'.

2

Para desarrollar

_i ci

CoS

P)

EJEMPLO 9

. .""¡--./t """2--\

. tan{=*,/ffi 2 lll+CoSJ

Después, pida que realicen lo propio con las expresiones que muestra el cuadro de suma y diferencia de dos ángulos, Propicie un plenario de conclusiones. En estos casos sÍ son verdaderas.

N @

(cr+

tan(a +fJ)=

Ángulo mitad

f3)

Sen

coszx=cos2J-sen2J

. ¡¿¡2r- 'l2tan! t¿nz x

Proponga las siguientes igualdades para que los estudiantes verifiquen con su calculadora. Sugiera que den a o y B los valores que crean convenientes. Luego de realizada la actividad, propicie un plenario para que compartan sus conclusiones. Una conclusión es que todas son falsas o no son igualdades.

Dilerencia de dos ángulos

Suma de dos ángulos

Ángulo doble

idácticas

58

LIBRO DE ACTIVIDADES

.

RAzoNES rRrGoNoMÉTRrcAS DE ÁNGUros coMpuESTos

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ANGULOS COMPUESTOS

B

coseno de la suma de dos ángulos

Razones trigonométricas de ángulos compuestos

. .

larnos os va ores OS y

Ha

Seno de la suma de dos ángulos En la figura del margen observamos dos ángulos

(ÍóM y M6ñ)

cuya suma es mÍÓÑ =

yaquemñv=-cymÚoÑ=p.

. .

observamosqueNP=SR+NQ.sen(0+B)=NP+sen(c+B)=SR+NQ...

S

Nr.roa-Norv:ffi Nosn,Norv

TM=SOna

OT=COSa

oN4=r=1

ON-r=1

NR=sen0

oR=cosp

.

Nruon-Norrv: + 0,

.

Reernplazarnos

=

¿Hi

y en

:sen (« +

f.l)

sen (a + fl) = sen

(o

R.

(-c)

y

SR = sen

o.

NQ = cOs

cos p

c.

...

sen B

c

o

sen

(G

0) = sen

cosG

+

0.

cos 0

-

+

...,r

cos (o

-

fl) = cos [c + (-[])l = cos

cos (0

[3

sen 105' = sen (60' + 45") = sen

Sen ((r + r) = -Sen

0

.

=sen« cosl+cos«.senfr

234

a.

.

cos

c.

. sen 0

0.

sen

-

0)

sen

c.

sen

Nruen,Nosn-Norv

sen 0

-sen

TM=Sen«

OT=cosa

OIV=r=1

ON=r=1

trtR

(

\..# 0)

fl

oR=cosp

= sen 0

0

- cosa. cos 0 + sen c.

sen B

Descomponemos 82o como una suma de dos ángulos: 82' = 45" + 3'7" cos 82' = cos (45" + 37") = cos

45'

-

cos 37"

sen

45'

sen 37"

_4^/, _3\O _\ry. 10 10 l0 b) Determina el valor de cos

.
y B.

60' ' cos 45" +

cos

60' '

sen

Descomponemos

I

cos 15o = cos (45"

45'

1

5'.

5o como una diferencia de dos ángulos: 15' =

-

++st=§

+.+

45'

-

30'

30") = s6s 45" 'cos 30o + sen 45o ' sen 30o

,',5 ^16

+=6+A

4

.6 2

2

I2

.E ^/6 + nD +t= 4

-+2(f +

A panir del gráfico. hatla el valor de G = cos

16o.

. .

Descomponemos 16o como una diferencia en dos ángulos cr y p conocidos: 37"

+ a=

53' y 0 = 37'

Aplicamos el seno de la diferencia de los ángulos o y B. sen 16'= sen (53" - 37") = sg¡ 53' cos 37o - cos 53' . sen 37o Reemplazamos los valores de las R. T. de ángulos notables:

(0)

sen

B-

N N @ j

EJEMPLO 15

Calcula el vaior de sen

-

cos

a) Calcula el valor de cos 82".

EJEMPLO 13

sen (c + n)

= sen «. (-l) + cos = -sen 0

ro5'=sen(60'

16" = 53'

s.

c. cos ( P) +

Reemplazamos los valores de las R. T. de ángulos notables:

Demuestra que la identidad:

PS

EJEMPLO 14 sen (-fl)

a = 60" y 0 =45"

Aplicamos el seno de la suma de los ángulos

.

sen 0

=12.t_J7.1" 25 25

105' =60" + 45o

ARGUMENTA AFIRMACIONES

«.

Coseno de la diferencia de dos ángulos

Descomponemos 105' como una suma en dos ángulos o y B conocidos:

sen

coslt...

eR = ps = sen

2

cos

cos P + Cos

+ os=cosu

: en , : cos (c + p) = oS

Determina el valor de sen 105'

0 cos (-a) = cos 0 tan (-0) = tan ü = -Sen

I

- #="P -

EJEMPLO 12

T cle argu 0s negativos

Sen

Reemplazamos

=¿H

= SR + NQ

kr+ (-fl)l =se¡ s.cos (-fl)

p) =sen

sen

RECUERDA

ffi

- uos«

!

Seno de la diferencia de dos ángulos sen

os,,

'0§l1

cos(c + p) = ¡65

* - a** "?t =áfi * ** =So *

=

PS:

-No-v: Pl =!^, UH UM-

Hallamos los valores SR y NQ:

\osn -Norv:

NueR -

c

TEN EN CUENTA

ObservamosqueOP=OS PS:cos(c+ p)=OP+cos(o+13)=OS-PS...

NosR TEN EN CUENTA

a

16o=sen(53"-

3n=+.i-i i=*-*=*

B

9 !

:

I p !

§

'

Trazamos ED-

I

AB y

DH-

-

]y)

c

:9

BC en el margen.

J.

!oo o

ResolvemosNAEDyNCHD tan ), =

u4-99§-x

-+

ffi

=

:

.",r

f r:¿!9§J

cos.f'cos)_3 C sen.f'sen)-2 ^ cos(x y) cos,r'cosy+senx'sen) 3+2

uD

C LI

u

6u

p ._o

co c

HD=4cos¡ ED=BH=6sen¡

- cos(r+J) cosr'cosJr'-senr'seny 3-2

<

a c UNIDAD

ó

Líneas e ident dades trigonométricas

23s

_q

c o

@ @

LIBRO DE ACT¡VIDADES

¡

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS COfMPUESTOS

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ANCULOS COMPUTSTOS

Ángulos múlt¡ples

Ecuac¡ones trigonométricas

Ángulos doblq m¡tad y triple

Las ecuaciones trigonométricas son ecuacrones en las que la incógn¡ta es un ángulo que aparece como argumento de alguna razÓn tr gonométrica. Las identidades trigonométricas se cumplen para cualquier valor de la incógnita, en cambiq las ecuaciones trigonométricas se cumplen para algunos valores de la lncógnita.

Ángulo doble

Ángulo mitad

Ángulo triple

sen2J=2sen-r.cosr

¡ fl - cosr setrr=ttl 2

senSr=3senJ 4sen3J

,TrCoSf ^^^r Lo>r=r\ 2

cos3¡=4cos3,r 3cos¡

cos 2J = cos2J - sen2.r En función del senoi cos

2r = '1 - sen2J - sen2J c.os2x = 1 - 2 se,n2 x

tan2x= 2tan!

1-lan'x

f"^

",á=.1-1;ffi*

i-

3 tan .lr 1

-

.

tanl jr

.

Si tan x = 3. calcula el valor de A = sen 2r 3

. .

3

!'lo

El valor

l0

r

de A es

¡ - (l - 2

f

- r.

igtal

a 7 15.

sen2

x) = 2

x'

sen

cos.r

-

1

+2

sen2

r(#)'=,(+) -'.,(+) =Í

.

=,/A.confl c IC.

halla sen

!.

. .

Como p

c

I C. entonces consideramos

,.n

!,

. u

2

=

.

p

q

=

,

n"au"" l(2

1u

o c

c § .F c @

o

238

.

lf'g1'

214")

conc u mos que .\ = 21O'.

zn +

[;

zn

- [;

+n +

[...]

=

{nn

+

(-t)'

I t, e z]

run

l;x e ll80';270'1.

I +2sen2

x-

1

=

sen"r+2 sen2;- senx- 1 =0 (senx- lX2 sen¡+ l)=0

que cumple con la condición es 210"

EJEMPLO 23

- "",+= F_lr ran2

x)(2

+

rrn2

Lif

+

(

=

1 + tana

rF,

x)

-*" tan2

g=

Resuelve:

+

.

zr

:o=l|ffi

§

p !

é 6 9 I

'',nru=lH',un3u=fr#',,,

(sen
a

-

cos2

cr)

2 ,en «

"o.

*

- 214!J-

I + tanrx

= 0;

x*

90" + 180" k.

Expresamos [a tangente en función de seno y coseno. Luego, factorizamos:

, senJ '"*{ =0 =0+ "o...- ,tr"o;rsenz.{ '.or..---*j9!fsen'x + cos- x cosx cos x- 2 sen¡' cos¡ = 0 + cosx (1 -2 sen,r) - 0

Aplicamos ángulo triple y reemplazamos:

$ Simplifica @

2fr

o.

Graficamos en el margen el triángulo rectángulo, donde sec 0 = 15 y. por el teorema de Pitágoras, completamos la medida de todos sus lados.

0

€ c

r

Aplicamos ángulo mitad y reemplazamos:

Si se sabe que sec 0 = 15, determina tan 30.

/5

x

o

T

Factorizamosyresolvemos igualandoacero:

El valor

EJEMPLO 20

5 E o o o

Como resulta (-30') a condic ón es que

y

sen I +¡= 90" 2 senx+ I =0+ r"nr=-J**=u.. r., l-1) + x=21o" 2 \¿)

j

¿

x-nl6

Expresamos en función de seno y eliminamos denominadores: 2 senx-""nr--L=

@

'ó

{}; x - ft

Hallax en la ecuación: 2 senr- csc¡ =

Graficamos en el margen el triángulo rectángulo donde fan p = 1Q[ t. por el teorema de Pitágoras, completamos la medida de todos sus lados.

.",

.i

1

EJEMPLO 22

x

.

$l

5n t-]

lrl--an

senx- I =0+ sen¡= 1 +¡=¿¡'g

Si se sabe que tan p

N

SHIFT

Todos los ángulos coterminales con n/6 y 5nl6 son las soluciones de la ecuación:

c. s. =

.

t

r

¡ = l/2

en la ecuación: sen

Este tipo de ecuaciones las podemos resolver usando la circunferencia trigonométrica. Los valores de ¡ menores que 2n son:

3

=

EJEMPLO 19

rt24

Para el cálcu o de x a expresión = arc Sen (-1l2), con a calcu adora, procedemos asi:

en

Aplicamos ángulo doble y reemplazamos:

^=,(#)

l0

.,/l¡

cos 2r.

Graficamos en el margen un triángulo rectángulo donde tan

A = 2 sen ¡' cos

I

-

¡

r ["=30"=ri6 senr=i+{ ¿ lr-- 150"=¡- nt6=5n16

- 3lan'x

EJEMPLO 18

,'iO

CALCULADORA

EJEMPLO 21 Determina el valor de

!

3o=ñ §

§

o

o

.

cos.r- 2 sqnr cosr I

-g 30'

lgualamos cada factor a cero:

cosr=0+r=90'+ 180"ft I -.. 2 sen¡ =0 + senr = ll2 +

x=

30" + 360' k

{

150' +

360'k

Los ángulos que satisfacen la ecuación tienen las formas 30' + 360' k y 150" + 360" k, donde k e Z.

UNIDAD

ó

Lineas

e

dent dades trlgonoméf cas

239

LIBRO DE ACTIVIDADES

¡

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS COMPUESTOS

ff

orsannou-nrus

Actividades complementar¡as cAPACTDADES

es

verdadero o F si es falso.

@ H"n" M =

Ocos2,r=cos2x-2sen2x

tr

Elsen3¡=3sen¡-4sen3¡

M

o,"n{=r1ffi*,",,

tr tr

g,ur;=*1ffi tan

:¡ = 1&L¿:*¡1¿

27"

'

cos 27" + sen

¿ !m

+

o1ry 6

3 tan i

54' =

3p-cos9

2. Verifica la identidad:

tan 13" + I

M=0+l=l+M=l

I

-l=t)t'r.

r

= I

¡/-l

M=2son-r'cos-t (l M=

2/

14. Reduce E = (sen 15. Calculacos(o

cstar cn cl prirner o segundo cuadrante.

Calculanros el ángulo 2_r

*=r(t)-,.r(+) 3

=

r,= {

1z

195'; ...}

IJI menor valor positivo de

l

V cr

€ IC, determina el valor de cos

5

r

0

240

(p Halla la menor so_lución positiva de r sen2¡-cos2x=1

coso)(cos

p), si cos

13

-

sen

-

13)

-

tan 20").

sen (o + p).

a= -12113',c€ ll CycotP

= 5/12 B e lll C

Reduce: F =

S+

-

cos COS

30, Cx

B

en:

,.¿

3 I

(l cosl.r)-coslx- l/2 2 cosz r=- I/2+cosr¡= l/4

.r {/It *!:

d .lJto cos, = lt)

f.

senl-r cosl¡= l/2

/l+ñ 1 =v 1

'''l-Y

= -3.

18. De la figura mostrada, halla el valor de x,

(r cos _..

4lan2 x

será I 5''.

5

..

-

16. Calcula el valor de tan 8"; cot 75" y sen 83'.

M=Z (D Si sen c = J

-

o-

_r:

{30'i I 50': 390': ...)

l5':75':

l-cos7t=cor¿x

13. Calcula el valor de tV = sen 600 . tan 40o (tan 70"

cos.t,) I = 0

Bl sero tlei irngulo 2r es positivo. Puede

l\ /-r-\r+:lj\r l()/ \r'10/

2 cos 3x = 0.

12. Resuelve las siguientes ecuaciones: a) (cos x + '1)/ (cos x -3) = -3l5; x e 10"; ¡l2l b) 2(sen x+ cos x) = sec x; xe [0";90"]

de y en:

21sen2,r) I =0 sen 2l'= l/2

\\ l0/ \\

-

11. Halla el valor de sen 2o, si sen o = 2/3.

4senl cosr l-0

2scnr.x)

lj#ffi

10. Si x e [0"; 2¡], halla la suma de los tres primeros valores que cumplen con tan4x

r¿rtl.

2(2 sen -r '

= 0.

rad

No..ri.tr'

sen2,y=2senv.cosJr

de

=

"l'

2x- I

sen 4x

9. Demuestra que

4seny cosy-1=0

lD Si cot r = +, calcula el valor M = sen 2¡ - cos 2¡.

= 2 sec A

positivas,

@ Determina la menor solución positiva

Resuelve,

#**L. t'*fu

7 Simplifica R = (2 sen2P - 1)2 + 4 sen2B .cos213. 8. Si sen l0x sen 8x= cos 10x cos 8x, halla la suma de las dos primeras soluciones

0

l-3¡an'12"

sen 0 = cos 0.

6. Halla la suma de las tres primeras soluciones pos¡tivas de xen 1

I-a tttenor st¡lución posiliva ilc la ccuacirin es

0

5. Demuestra que (tan o + sec

en radianes la menor solución positiva

e,,' r

tan

4. Calcula la menor solución positiva de tan

2cos.r- l=0cos.r= l/2 .r = ¡rr cos l/2 x - 60" = ¡/3

]

-

3. ¿Cuál es el ángulo menor de 90" cuyo triple de su tangente es igual al doble de su coseno?

(fcos-r l)(cos¡+2)=0

I -cos7'

tan3 2" _ tan 36.=

-

+ sen eo'

211 cos2-r) 3cost=0 2cosl.r+3cos,t 2=0

2 sen 54'

p=i_ t

-2cos'7" +1=

2'

¡;!"á;;60'

de2sen2;=3cos¡

sen2 6o + cos2 6o =

@ 4cos33B-3 cos

'T_63

Aplicamos ángulo triple: M = tan 3(60") + sen 90' M = tan I 80' + sen 90"

@ Calcula sen

3

Determina lo que se pide.

Completa correctamente.

@2

Usa estrategias y proced¡mientos:11-16

1. Demuestra que sec 0

Escribe V si

E

1-10

Comunica:

4

Dcspejamos e iguaiarnos a cero: cosr r= l/4+(cos-t+ l/2)(cos,r t/2)

cos-r+ cos¡ -

§ p !

¡

= 60'

+ l¡t0'(0)

= 60'

C

=0

l/2=0+cos.r= l12+r= 120"+ luO'Yt l/2=0+cos-r= l/2+,r=ó0"+ 180"k

Para li = 0l

2

I

X

I

Respuestas:

1.co§8=costi 2.2secA=2secA 3.30' 4.223A' 5 I +senc/1 -senn=l+sencrll-sencr 6.260" 7.1 8.20" 9.colZx=ctQ2x 10.225' t1 4r5i9 12.a) r/3 b) 67,5" 13 f3 r4.-cos(u-F,) 15.0 16 1t7:2-

v.,aÍ#

ú

2

r8

2v5

LIBRO DE ACTIVIDADES

Situación didáctica de Brousseau a

Libro de actividades (pá9. 241)

S¡TUACIÓN DIDÁCTICA DE BROUSSEAU

Capacidades y desempeños precisados . Aplica las definiciones de ángulo doble, mitad y triple en la Usa estrategias Sugerencias

Generador de corriente

resolución de igualdades trigonométricas. (1-5)

y procedimientos

d

Un generador de corriente es un dispositivo capaz de transformar en energía eléctrica desde otro tipo de energía creando una diferencia de potencial. La gráfica muestra el compofamiento de un generador de corriente alterna. El voltaje está dado por V = Vo sen (trlt + d). Si V0 = 1 l0 voltios, to = 120(csc2 o, - cot2 o,) n rad/s y a = -n16, ¿clánto tiempo transcure para que

idácticas

Para iniciar

I

I

Acceda al enlace http://www.minedu. gob. pe/Del nteres/pdf/documentossecundaria-matematica-vii.pdf (pág. 68) para conocer el desarrollo de las fases de la situación didáctica de Brousseau para el aprendizaje de las matemáticas. En correspondencia con dichas fases, las actividades que se muestran en esta ficha se distribuyen así: (Ver cuadro)

Fase

Número

de actividad

Acción

1

Formulación

2

Validación lnstltuciona ización

+lciclo+

Nos preguntámos previamente se usa en los datos del problema? ¿Corutces un generador cle corriente eléctrica? ¿Qué tipo de representación Averigua en el m.ercado el voltaie de un generador para el alumbrado de una castt.

3v4 5

¡l

Evaluación

Promueva un clima de confianza, organice el trabajo en pares y solicite que lean Ia situaciÓn problemática, Pregunte: ¿Con que otro nombre se conoce la diferencia de potencial? (Voltaje) ¿Para qué sirve? (Para medir, cuantificar la tensiÓn eléctrica entre

@ Describe el plan que propones para responder la pregunta de la situación S Vo = 220 voltios,

N N @

a

§

ci i rQ

:

Eo o o a

!! Eo & a c

§ c @

§

problemática.

u,= l5o(5ec/G tan':0)rlad/s

Para desarrollar

§

c

= -n/3 rad, ¿cuánto tiernpo transcurre Para que V = 0? y

En la actividad 1 , de la fase "AcciÓn", es importante que el estudiante dé lectura al problema y analice los factores que definen el problema como tal. Pida que expresen oralmente de qué trata la situaciÓn, pregunte: ¿Cuáles son los datos? ¿Es factible resolver la situación planteada?

t

= l/450

Realizar el planteamiento de la situación problemática (reemplazar la información proporcionada en la fómula del voltaje).

segundos

§

Para la actividad 2, dela fase "FormulaciÓn", pida que trabajen en equipos para que reconozcan ideas, hagan planteamientos, discutan y lleguen a acuerdos sobre qué procedimientos, estrategias o recursos van utilizar para resolver la situación. En la fase "Validación", desarrolle las actividades 3 y 4. En la actividad 4 promueva un plenario donde pongan a prueba sus diversas soluciones' discutiéndolas y eligiendo la que consideran la mejor soluciÓn, Esté atento a intervenir para orientar en caso de que detecte algÚn error en el desarrollo. En la fase de "lnstitucionalizaciÓn", motívelos a que en el desarrollo de la actividad 5 formalicen sus conceptos y procedimientos matemáticos, Pregunte: ¿Crees que tu propuesta es capaz de funcionar como herramienta

eficaz en otras situaciones?

Para consolidar §& Pida que realicen la validación de la evaluaciÓn. Para ello, indique que cada uno debe realizar una autoevaluaciÓn y luego una coevaluaclÓn del trabajo en nnnctanni¡ do crr anrondizaie

¿De qué trata la situación problemática? ¿Qué se pide detetminar? Trata sobre la gráfica del comportamiento de un generador de corriente alterna. Se pide calcular el tiempo cuando el voltaje del generador es 0.

dos puntos).

§

i'i

e[ voltaje sea 0?

Escribe tus cálculos y anota las justificaciones de tu procedimiento I l0 sen [ | 20(csc2 0 = Vu scn (o)t + d) + Pcro: csc2 u-cotrtr= I + sen (120 rt120

rt - ¡/6-0+

120¡t

=

¡/6+ t=

c - cot: a) rt

r/6)=0

-

n/6] = 0

l/720 segundos

respuestas con la de tu compañero. ¿Son similares? Si no lo son, ¿a qué crees que se deba esto? Identifica el error y corrígelo.

@ Forma parejas y compara tus j I

E

s

§

Luego de aplicar la estrategia, compara los procedimientos y verifica las respuestas. ¿Puedes decir que el tiempo l/720 segundos se cumple para la corriente altema 0 Hz?

Al reemplazar el valor del tiempo

se

comprueba que la ecuación trigonométrica

satisface el resultado de la coriente alterna.

o UNIDAD

ó

Llneas e ldentidades triS0nométricas

241

Estrategia para resolver problemas r

Capacidades y desempeños precisados .

Usa estrategias y procedimientos

Sugerencias

d

transformarla en la tangente de la suma de dos ángulos: a y B. Resalte que para efectuar la demostración, debemos recurrir a utilizar correctamente los ángulos compuestos. Cerciórese que reconocen a tan (cr + B) como un ejemplo de ángulos compuestos.

Aplica las definiciones de ángulos compuestos en la resolución de situaciones de la vida real. (1-4)

idácticas

§

En la fase "Resuelve", resalte cada uno de los pasos empleados, de manera que los comprendan y puedan utilizarlos en situaciones similares. Es importanle que consideren que en muchos casos pueden recurrir a las propiedades de los números reales, para efectuar las operaciones y simplificar las expresiones.

&

Finalmente, en la fase "Comprueba", haga notar cómo se puede realizar al proceso inverso, ya que, al tratarse de expresiones equivalentes, en este caso se llegará a la expresión original.

Para iniciar

&

Indague sobre los conocimientos en relación con el sector minero en nuestro país. Comente que el sector minero en nuestro país es uno de los pilares de la economía peruana a través de las exportaciones. La minerÍa aporta un 20% de los ingresos fiscales. La mayoría de las minas se concentra en los Andes. Los productos mineros del Perú son la plata, el cobre, el cinc, el estaño, el teluro y el bismuto. Ir/lencione, a manera de información y motivándolos a considerarlo una opción para su futuro, que la carrera de ingenierÍa minera, metalurgia y petróleo es considerada una de las carreras universitarias mejor pagadas en nuestro paÍs.

§

§ Solicite que expliquen la situación planteada reconociendo sus datos, esto contribuye a que se familiaricen con la situación problemática y la

Analice junto con los estudiantes los datos del problema, como: ,,la fuerza que utiliza para mantener el carrito en la rampa, está dada por la expresión F = w(sen a + p cos a)/(cos a- ¡L senrr)",esto les permitirá reconocer que la expresión está dada por la relación entre las razones trigonométricas de los ángulos o y p; "wes el peso, 0 el ángulo de incljnación y = Ian e,,, esto ! indica a qué corresponde cada una de estas expresiones. En el caso de 0, inclusive, podrán identificar el ángulo en la imagen que se muestra.

§§ Indique que den lectura a la estrategia: "Bazonar lógicamente con ángulos compuestos" y asegúrese que la han entendido. para ello, pida que identifiquen los ángulos compuestos que intervienen en la situación y encuentren la expresión equivalente a la expresión F = wtan (cr + 13) & Haga notar que la imagen que se muestra es solo referencial y no les facilita visualizar la situación que se plantea, por lo que es necesario utilizar la estrategia para facilitar la comprensión de la situación.

Para desarrollar

*

Destaque las fases de la estrategia: Comprende, planifica, Resuelve y Comprueba. Indique que con ellas se pretende ordenar el proceso de solución, de manera que este proceso se realice de la forma más completa. lVencione que cada una de las fases es lmportante por lo que se debe realizar.

§

*

Analice junto con los estudiantes cada una de las fases. En la fase de "Comprende", resalte que la expresión que representa alaluerza que ejerce Andrés, está en función de senos y cosenos.

::l::::

g: qI' :l

1lsl'

9?'

iy"I"!,gr

v der

En la actividad 1, pregunte: ¿Qué conceptos físicos hay que considerar en la situación planteada? (la pelota alcanza la altura máxima cuando la velocidad en el eje Y es cero). ¿Qué otros conceptos matemáticos vas a aplicar en la resolución de esta situación? (ldentidades trigonométricas y ángulos compuestos). Insista en hacer uso de las fases de la estrategia. Puede pedir que expresen oralmente lo que han considerado en las fases

de "Comprende" y "Planifica" e invitar alapizarra para que desarrollen sus propuestas de las fases "Resuelve" y "Comprueba".

comprendan.

&

Libro de actividades (págs 242-243)

&

En la actividad 2, pregunte: ¿Qué nos sugiere el dato que "cae sobre un plano inclinado 45'con respecto a la horizontal"? ¿Es relevante ese dato? ¿Lo vamos a utilizar? En la actividad 3, pregunte: ¿En qué parte det problema se sugiere el uso de ángulos compuestos? (En la pregunta, calcula el ángulo que se quiere

reducir: cr - p).

&

Proponga realizar la actividad 4, compartiendo sus propuestas de solución en un plenario. lndique que seguirán las fases de la estrategia, por lo que deberán brindar sus aportes en cada una de las fases. Tome nota en la pizarra de sus alcances y pida que manifiesten su acuerdo o desacuerdo con ellas.

Para consolidar

&l

lt/otívelos, mencionando que para ser eficaz resolviendo problemas, es conveniente tener en cuenta las siguientes recomendaciones: L La actitud inicial con que enfrentas el ejercicio: ¡Acepta el reto! ¡Tú puedes! 2, Ten confianza en tus capacidades, con frecuencia no es necesario saber mucho para resolver un problema, basta con pensar correctamente. 3, Sé paciente y constante, no abandones a la menor dificultad, piensa en un nuevo enfoque del problema. 4. Concéntrate en lo que haces, recuerda que resolver un problema es una actividad mental compleja. 5. Busca el éxito, no importa cuánto te demores, al final sentirás una gran satisfacción,

N @

-.i

ci

i

:9

¡

!o o o f,

po ! =e L

{& Concluya pidiendo que mencionen los pasos generales que se recomiendan

a o c

para resolver un problema. (Comprende, planifica, resuelve y comprueba). lnsista en que les serán de qran avuda.

o@

-9

c

LIBRO DE ACTIVIDADES

ESTRATEG¡A PARA RESOLVER PROBLEMAS Usa estrategias y procedimientos: 1-4

Razonar lÓgicamente con ángulos compuestos Resuelve los siguientes problemas.

Andrés estudió explotación de minas en un instituto, y actualmente trabaja en una empresa minera. Todos los días debe llevar con un carrito los minerales seleccionados al laboratorio. En cierto momento, la fuerza que realiza para mantener el carrito en la rampa está dada por la expresión:

-'-

o(sen

cr

tf

.y

+ ¡r cos cr)

cosct-psencl

0

Donde o es el peso,0 es el ángulo de inclinación Y F = tan 0. Demuestra que la fuerza que ejerce Andrés sobre el carrito es F = ol tan (o + 0).

Sandra practica golf una vez cada semana. Al golpear la pelota. la trayectoria que sigue es una línea parabólica. Las ecuaciones de la velocidad y su trayectoria se definen como:

vy=Vo'sen0n-g't st2

y=-7+vo

comprende

Andrés trabaja todos los días llevando minerales seleccionados al laboratorio. En ciefo momento, la fuerza que realiza está expresada en función de senos y cosenos de un ángulo o,, el peso <», siendo 0 el rlngulo de inclinación de la rampa y p = tan 0. Se pide demostrar que la fuerza que ejerce Andrés sobre el carito es F = trr tan (a + 0).

Planifica

(D!::"d"=*oll#t#),

Para demostrar cuá1 es la fuerza ejercida por Andrés, debemos partir de la expresión dada rrrl§en o + rr cos c). Mediante un razonamiento lógico y utilizando ángulos al inicio F = --¡6ilr=iTEñE

o

alcanza la altura máxima cuando la velocidad en el eje Y es cero, y las definiciones de ángulos

t\,, ,t:rr,,,tir

{

Sc tliriLlc rlttlltt'r¡rlol

tan(I+tan0 =r( 1-tano tan0

{

Pr¡ tlefili.it,n (lr t¡u),r = i.f,']f, . r,,,,,

=úrtan((r+0)

{

,i

=-üqÑt

Planifica: Para realizar esta demostración se utilizarán los conceptos físicos de que Ia pelota

úl tan (Ct + 0).

{

ltun^0 ,::',1) 'F ='(ttn cos cr - tan 0 sen ct / sen cr tan 0 cos c\ "'\cos0' cos0 Resuelve

-

¡,r,,t.tL rrr.r

\

compuestos e identidades trigonométricas. Resuelve: Por dato se tiene que la velocidad en el eje Y en cualquier instante se determina con la fórmula v, = vn sen 0o g ' t. Como piden la altura máxima, la velocidad en el eje

{ltrrotrrin¡1l()r err{rc c()r rr'

cos (l

cos ct

Por deñnición de

sen 0o/g...O vo. sen 0o-g t=0+t=vo' Reemplazmos O en la ecuación de la trayectoria:

tan (o + 0) = -!l9l-14IL9-' I tan cr'tan 0'

-

1

Comprobamos siguiendo el proceso inverso, partimos de F = o tan (a + 0) y llegamos a la expresión dada al principio.

Ci

¿ :Q !

F = o¡ tan (o +

0)

/ tancr+tan0 *\l-tanü'tanUi

o o o

\

o tan 0'cos o\ cos0 I cos cr tan u' sen o, cos0- cos(I

{

Prr rl¡lo d¿l ¡roblcrlr.

.l

por definición de rm (a + 0)

i'1#|t1ia3

€ o L

(t)-\cosd o(sen

cr

+ p'cos o)

cos(I-l,l'senct

@

§ @

6

242

v,rl

e p

/sen

comprueba

p

{

Por rleflnición ¿s 1¿¡ ¿ =

(

Se multiplica numeratlor y deromirador por cos

ffi.

ta, 0 =

v.

. sen

U.\:

2

,g

=

cos 0 {sen 0

d

v?'Ji =.:2

v,,2

sen2 0,,

sen2 0,,

2g

e p

+

v +v sene +

sene

t02

o

2(

l0)

cos 20

- l)

@ Un cierto tramo de carretera tiene una subida del 0,8 % (al avanzaf 100 m en

horizontal 0,8 m). p Como esta subida es excesiva, se la quiere reducir al 0,5%. Calcula el ángulo que se quiere reducir. 0.17' @ El tiro parabólico es un movimiento rectilíneo uniforme en el eje X y un movimiento uniformemente variado en el eje Y. Otro tipo de movimiento sencillo es cuando se patea una pelota en un paftido de fútbol formando un ángulo con la horizontal. La componente horizontal de la velocidad inicial permanece constante lo que hace que la pelota se desplace a velocidad constante en dirección horizontal hasta que alcanza el suelo. La trayectoria es una parábola, y =

-T * vn ' sen 0o ' t.

I

29 ' csc2 0,,

= l0 m/s,

trayectoria: § a o

-

,o'

_

0. = 30' y g = I 0 m/s2. Dcterminatnos cl valor de la

u.

cos 0).

,o2 ,"n2 ou

Clonrprueba: Sean los siguientes datos vu

#*

-

(sen 20

Y. en esa altura. es igual a cero.

- ::ll3

@

j

---l/ozg ' csc2 oo'

Comprende: Sandra golpea una pelota de golf que sigue una trayectoria prabólica. Se pide demostrtr que la altura máxima que puede alcanzar se determina por h que está en función de vo, sen 0 y g.

I-tan([

compuestos, llegaremos a la expresión F

senUo't

por la expresión: h =

debemos analizar el numerador y

v7' Jl -9*-

Demuestra que la expresión es equivalente a:

Demuestra que la altura máxima que puede alcanzar la pelota de golf se determina

el denominador de la expresión para que se transforme en la tangente de la suma de dos ángulos a y 0. En la deducción para llegar a la fuerza pedida debemos partir de la expresión dada y tan o, + tan 0 utilizar correctamente ángulos compuestos, como, por ejemplo, tan (o + 0) = tan0

@ Un objeto se impulsa hacia arriba con un ángulo 0 (nl4 < 0 < nl2) conrespecto a la horizontal a una velocidad inicial vo y cae sobre un plano inclinado 45' con respecto a la horizontal (despreciando la resistencia del aire), a una distancia d determinada por la expresión .l =

Donde v, es la velocidad en el eje Y. Además, vo es la velocidad inicial, y 0u es el ángulo entre vo y la horizontal.

Como en cierto momento, la fuerza que realiza Andrés para mantener el carrito en la rampa está dada por la expresión F =

Utiliza

la estrategia aprendida.

csc2 30'

l=2,5,r-,y=2.5.

Si v, = vo ' sen 0o - g ' t, donde v, es la velocidad en el eje Y. Además, v. es 1a velocidad inicial y 0o es el ángulo entre v" y la horizontal. Demuestra que

.

el alcance horizontal es: x = UNIOAD

6

20o l-v^2 sen g

Líneas e ¡dent dades trigonométr cas

243

LIBRO DE ACTIVIDADES

Razonam iento matemático t

Libro de actividades (pá9.244)

Capacidades y desempeños precisados . Evalúa si los datos y condiciones que estableció Traduce datos

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO ayudaron a

resolver el problema. (1-8)

.

Aplica las definiciones de ángulo doble, mitad y triple en

Ia

resolucrón de igualdades tr¡gonométricas. (J-8)

o Justifica sus conjeturas o las refuta basándose en Argumenta ideas

Comparación cuantitat¡va

Suficiencia de datos

A partir de la información dada, se deben calcular dos cantidades: una en la columna A y otra en la B. Compara ambas cantidades y luego escribe la clave.

En cada situación, se da problema con dos datos. Identifica el dato o datos necesarios para solucionado y luego escribe la clave.

argumentaciones que expliciten puntos de vista opuestos e incluyan conceptos, relaciones y propiedades matemáticas. (9-i7)

ITI La cantidad A es mayor

que B.

, ' 1 "

lE-l La cantidad B es mayor que A.

Sugerencias didácticas

IEI Ambas cantidades

son iguales.

l-ñl pultu info.-ación para poder comparar.

Para iniciar

I

I

Presente la sección "Comparación cuantitativa" indicando que en ella deberán estimar las diferencias y semejanzas entre cantidades de una misma especie. Mencione la ley de tricotomÍa para que recuerden la relación de orden de números reales: Dados dos números reales a y b, solo puede haber entre ellos lasiguiente relación de orden: a < b v a > b v á = b.

Información

O

Columna A

@

o.á

C

@

G < 90", tal que el triple de su tangente es igual al doble de su

@

@ Halla la solución

!l

20'

G

Enfatice que las respuestas deben darse bajo la clave establecida, es decir, no basta con hallar el valor de la incógnita, sino que hay que comparar la cantidad A con la cantidad B. Mencione también que notarán que en algunas de las actividades no existe conexión entre ambas columnas y que las cantidades A y B se obtienen por separado, según la información dada, como en la actividad 2.

5

senf-sen)/

a6§rm§,

cosr+cos) 'senr+seny

B

rrtaru

+

l¡rct ¡

@

Se

Concluya con las siguientes preguntas de afianzamienlo. ¿eué finatidad tienen las actividades planteadas en la sección "Comparación cuantitativa?,' (Evaluar la comprensión matemática que tiene una persona al comparar dos cantidades). ¿Qué estrategia utilizas para resolver problemas de suficiencia de datos? (Se analiza el resultado y todos los datos conocidos que en él existen).

LA<90"

-!

r-

tan tan

¡.

32'

58' '

sec sec

J2' 58'

El valor de

¡

EI valo¡

de)

sen

2r

I B

sea J

;J;."'f-;=5 244

C sen b)2

N N @ j

lI.a+b=nl3

ci :Q

lI.a+b=xl3

o

B

ó

Se cumple

COS'IX

B

@cutcuraffifffi I.Elvalordea

csc¡+sec¡=0,3 G!

B

tr

D

I.a-b=nl6

3senx-tany=1§

A

c

64 65

E!¡,r,eIC

@

=0

I. ABCD es un cuadrado

@ Halla (cos a + cos b)2 + (sen a + senx+tany=15

¡

sec

A

B

Il.A=nil3rad figura, A

II.AM=MB

cumple que:

sen 32' _ sen 58" 8

de 2 sen

. sec

carcura#+j*ffi calcula tan

4

Para consolidar

I

@

cot 2A

sea 14

¡

II.¡+y=90'

@ A partir de la

tanr+cotx=

cos A =

lD A= r. cosx' seny,B =r. cosr. cos) y C = r . sen ¡. Halla (A2 + B2 + C2)2

C

90").

I

A.msA= 1

-

I. x se encuentra en el I cuadrante. II. ¡ se encuentra en el II cuadrante. t)

l.r=4

Se cumple que: 2 sen

Para que se convierta sec A en una identidad.

I.x=1-senA II.¡=sen2A.

cos 2A'

Para desarrollar

Oriente algunas de las actividades con preguntas o sugerencias, por ejemplo, en la actividad 1: ¿Qué valor podría tomar A? (Cualquier ángulo menor de

Cuau au,o, por separado, es suficiente.

Columna B

Valor de x en: cos 2A - cos2 2A 2 sen2 A

Luego, presente la segunda sección "suficiencia de datos" e indique que se trata de precisar la relación entre dos situaciones y reconocer los datos que son necesarios e imprescindibles para llegar a la resolución de un problema. Esto les permite afianzar conceptos matemáticos.

Antes de iniciar el desarrollo de las actividades de la sección "Comparación cuantitativa", mencione que la comparación entre las dos cantidades la puede hacer mediante una aproximación, un cálculo mental o sentido común. lndique que para la realización de estos cálculos no se permite el uso de calculadoras.

lñl

I E I Los duto. no son suficienres.

coseno.

I

E dato I es suficiente y el dato II no lo es. ", E dato II es suficiente y el dato I no lo es. ", § n. necesario usar a la vez los datos I y II.

tan

2r

U2

@ Calcuta el valo¡ de P. P= sen2x. tan¡ + cos2¡. cot¡

I.tan¡+cotr=4 II.tanx=3 3= @Halla: M= 4=+ cos p sen p I.tanP=0,75 II.5n
E

p I D

(l

f b

p o o l

po

€ c §

o L

@

@

§c c a

LIBRO DE ACTIVIDADES

Uso de software matemático ¡

Libro de actividades (pág 2a5)

USO DE SOFTWARE MATEMÁTICO

Capacidades y desempeños precisados r ldentifica las líneas trigonométricas en una circunferencia Comunica

Usa estrategias y procedimientos

.

trigonométrica. (1-6)

Geogebra, para dibujar líneas tr¡gonométricas

Calcula las líneas trigonométricas de ángulos entre 0" y 180" utilizando un software matemático. (7-9)

&E!§§§ 4"""d"

l!§&l

Sugerencias

d

idácticas

a

hltps:/lwrtt'"geogehra.org/rn/I'(ikTrCt{s

oxptora el panel de animación y realiza las siguientes actividades: a

i

Utiliza el deslizador o para variar el valor del ángulo entre

Para iniciar

0

Como GeoGebra ya es un software conocido y utilizado por los estudiantes, motívelos pidiendo que mencionen qué actividades han realizado utilizando este programa y qué conocimientos matemáticos les fue de ayuda

§

Invitelos a dibujar líneas trigonométricas utilizando GeoGebra. Mencione que hoy descubrirán y aprenderán una utilidad más de este programa.

r¡

Comprueba que la línea trigonométrica de seno de 60" es igual a línea trigonométrica de seno de 1 20". Asimismo, la línea trigonométrica de coseno de 60o es opuesto a la línea trigonométrica de 120'.

d) l.Cuánto mide la línea trigonométrica

En el paso 1, pÍdales

§ @ j

ci

i

:9 !

,

o

o o

,

I

Pida que dejen activadas las casillas correspondientes a seno, coseno y tangente y motÍvelos a representar en la circunferencia |as líneas de los ángulos sugeridos en las actividades 1 a la 6. Recuérdeles hacer uso del deslizador. En cada caso, puede preguntar: ¿Cuál es el ángulo cuya línea de seno es iguatT ¿Se cumple que la línea de coseno de ese mismo ángulo es opuesta?De esta manera, podrán reconocer el ángulo que cumple con estas

caracterÍsticas para cada caso.

€

Para consolidar

o

§§ Haga notar que cada segmento que se representa en la gráfica está

c

@

s @

acompañado de su respectivo valor. Proponga que anoten estos valores en las actividades 7 ala9. Aproveche para que comprueben la veracidad de las propiedades de las lÍneas. Para ello, pida que con el deslizador ubiquen el ángulo de 53', anoten los valores del segmento que representan cada una de

r

I

/ o.EB-t

-o.lSeno Coseno

0.87

/:

Cotangente

./

m

G

B

Secanre

Cambia los valores del ángulo cr a 45' y 120' .En cada caso, observa los segmentos de las líneas trigonométricas representadas de colores en el grrífico. ¿Cómo son las líneas trigonométricas coseno y cotangente?

Comun¡ü:

1'ó

Us estrategiasy proced¡mientos:

7-9

a

e t

p

gente

NEAs TRIGoNOMETRICAS

el

enlace que han digitado, han ingresado a la página del programa que les permite trabajar con líneas trigonométricas, que es diferente al que utilizan cuando trabajan geomefía o algebra. En el paso 2, anímelos a explorar el panel de animación. Cerciórese que identifiquen el deslizador (lÍnea verde en cuya parte superior indica o =, y va tomando el valor del ángulo segÚn lo marque en el deslizador). Resalte los colores que representan a cada funciÓn trigonométrica para que las identifiquen en la gráfica. Por ejemplo, la lÍnea verde es el segmento que representa al sen o. lndique que ellos deberán activar las casillas de cada función y que lo hagan una a una para que puedan observar en la gráfica, la línea que aparece. En el paso 3, motívelos a manifestar oralmente sus conclusiones. Para poder observar más claramente el coseno y la cotangente, sugiera que dejen activadas solo las casillas de ambas funciones. N

Ta

D

Lf

que ingresen al sitio web. Hágales notar que con

de tangente de 60'? ¿Y curánto la tangente de 120"?

(r=600

Para desarrollar

I

0' y 1 80'.

b) ubica el deslizador en los siguientes ángulos: 53",60',74' y 120" respectivamente. Luego, observa las líneas trigonométricas que son los segmentos coloreados de diferentes colores.

s

Representa en Ia circunferencia las líneas seno, coseno y tangente de los siguientes ángulos.

B:0.

tseo"

§ 110'

Gr

lso'

Bso'

E

180'

Anota la medida del segmento que representa:

§¡ La línea cotangente del ángulo de 100'.

§ 0

La línea secante del ángulo de 130'. La línea cosecante del ángulo de 170".

o UNIDAD

ó

Líneas e identidades trgonométricas

245

TEXTO ESCOLAR

Actividades integradas 3

Libr.c de activtCe.les (páüs. 2di:l l:

ti

l

CIERRE

Análisis de las preguntas SINTETIZAMOS

Te

&

Para las actividades de la capacidad "Comunica su comprensión sobre las formas y relaciones geométricas", motÍvelos a expresar de forma oral o escrita sus respuestas. Es así que en las actividades 1 a la 8, mostrarán a partir de la gráfica de una circunferencia trigonométrica el segmento que representa a la línea trigonométrica. Para las actividades 9 a la 12, pida que utilicen diferentes colores para anotar en la gráfica el segmento que identifican para cada función, lndique también que escriba con el mismo color dicho segmento; esto les facilitará relacionar sus respuestas con la gráfica. En las actividades 13 a la 16, sugiera la misma estrategia que para las actividades 9 ala12. En las actividades 17 y 18, pida que expresen oralmente sus respuestas y anótelas enlapizarra., indlque al resto de la clase que manifieste su acuerdo o desacuerdo; propicie un plenario en caso de que lo considere necesario.

&

Presente la capacidad "Usa estrategias y procedimientos para orientarse en el espacio". lVotívelos a diseñar y ejecutar un plan de múltiples etapas orientadas a Ia investigación o resolución de las situaciones planteadas y, luego, a luzgar la efectividad de Ia ejecución o modificación de su plan al resolver el problema. En las actividades 19 y 20, pregunte: ¿eué estrategia utilizarían para hallar los intervalos de m y n, respectivamente? pida a un voluntario que exprese oralmente su estrategia y, luego, indague si

¡lresentamos mediante un organizador gráfico los conceptos clave que has trallajaclo en esta unidad.

Líneas e ¡dentidades

trigonométr¡cas

Lineas tr¡goñométr¡cas

ldentidades trigonométr¡cas

Son segmentos de las R. T de un ángulo en una circunferencta trigonométrica.

Reciprocas

T

Por cociente

Pitagór¡cas

Senc CSCc=T

L¿

q= rasE

Sen2q+COS2o=1

COSo SeC0=1

coto=auno]ry

táfl2a+1=S€C2o

tand.coto=1

ll

r

CI

R.

I

COt2a+1=CSC2o

de ántulos compuestos

CT

Suma de do8 Sen (o + P) =Sen

o.

Diferenc¡a de

CosP + COSd. Sen B

COS(d+P)=COSo CoS13 Send Sen0

.

Ian(d+i3l=

tano+t¿nts

t-tak.tañ0

Sen(d 0)=Send CoS0 CoSa.Senp

cos(o p)=cosd cosp+seno

senp

alguien tiene otra propuesta de solución y pídale que la comparta. para las actividades 21 ala26, haga que identifiquen los conceptos matemáticos que deberán aplicar para dar solución a las situaciones planteadas. De esta forma, se facilitará la elaboración de Ia estrategia.

. tan d-tan 6 l¿n(o-P)= Ela-ñA.tañE

Ángulos múltiples Doble

m@-l Sen

cf

L!

!

COS

Tr¡ple

2¡ = 2 Sen i.COSr

."nf==1@

sen3r=3sen¡

2r = COS2¡ 50112¡

¡l.t:m ---r Lusr=r1

COS3¡=4COS3¡-3COS¡

fan2,= 2tanI

t-

Mitad

1

- t¿n'r

2-

tan;=*1m

§

4sen3¡

3tanr-tanrr

1

3tan,r

CONSULTAMOS Digita en el buscador de internet de tu preferenc a el conjunto de palabras que se indican y accede a las primeras direcciones que aparezcan. 'ñ

p € I

@ nara ampliar la teoría . filetype: pdf libro de matemática .

§

tr

ú

Para ver aplicaciones

ó I

&

Para ¡nteractua r on lin e

+ trigonometría

videos + discovery channel + trigonometrÍa

thatquiz + test de identidades trigonométricas

khan academy + identidades vigonométricas

filetype: swf + líneas trigonométricas

geogebra search lÍneas trigonométricas

o UNIDAD

ó

Lineas e identidades tr¡gonométr cas

59

En las actividades 38 a 58 de la capacidad "Argumenta afirmaciones sobre relaciones geométricas", motívelos a utilizar su capacidad argumentativa y de razonamiento. Es así que en las actividades 38 a la 43 deberán realizar demostraciones. Cerciórese que conocen las identidades trigonométricas. lndique que en el esquema de la página de "Cierre", hay un cuadro que les puede ayudar a recordarlas. Para las actividades 43 ala 47, haga notar que se pide demostrar que no se cumple la igualdad, pregunte: ¿eué estrateg¡a utilizarán para demostrar que no se cumple? (Efectuar si hay algún producto notable y, luego, aplicar las identidades trigonométricas). Presente las actividades de la capacidad "lVodela objetos con formas geométricas y sus transformaciones". Resalte que en las actividades 59, 61 y 62 utilicen la gráfica de una circunferencia trigonométrica para el desarrollo de cada actividad. En la actividad 60, cerciórese que conocen los conceptos sobre segmentos que representan a las lÍneas

trigonométricas, ya que utilizarán este conocimiento para dar respuesta a esta actividad, En la actividad 63 y 66, resalte la relación entre las situaciones reales y la matemática, que se destaca en esta capacidad, Y finalmente, en las actividades 64 y 65, cerciórese que conozcan las razones trigonométricas de ángulos compuestos y ángulos múltiples que deberán aplicar para llegar a la solución.

N N @ j

ci c f ! o o o f po _o

c

I C a

§C c ao

Unidad

6

LIBRO DE ACTIVIDADES

ACTIVIDADES INTEGRADAS Comun¡ca

Usa estrateg¡as y proced¡m¡entos

Argumenta afirmac¡ones

Modela objetos

Grafica en la circunferencia trigonométrica las siguientes líneas trigonométricas.

Resuelve.

Demuestra las siguientes identidades.

Analiza y resuelve.

(-150) O sec 5¡¡l2 E cot (-345') O csc (-7n12)

ll

@ Halla el intervalo de z Además,
E) cos 220'

tan

@

csc

5

.

5/21

@ Calcula el ¡ntervalo de, .i ,.n 0 = #. Además,0 € III C. I-3; 4l

400'

@ tan (-¡go") @

o=2-3

si cos

de las R. T. del ángulo 0.

g senot i ¡q @tan0>

@cosot[g-

]

@coto>Loqo_

BE

-".t"e-*"tu \t""e;.rTfJ 2tarlr+l

Identifica y completa las razones trigonométricas de las líneas del ángulo

lsec2o+.r.2el'.0

2

sec2¡)

(=-+^ I secf

13.

I+

m

= se¡J- -

EE Halla el valor de n si C =

D.

lB oE- >

sec fi

@oB>ELl

Sea la siguiente N N @

circunferencia trigonométrica,

2r

3n 4

Í

ci

i

T

3

a

rQ

¡6

'ó{

0

4

-oo

lln '1ñ

6

Ldrir

s o c @

f,;.ur

@ Indica los ángulos que representan los segmentos O.

"y

c q 246

I I

\;!

f;

r"n

f

sen

0'

sec0 +

(D La ecuación

-2

cos

-

sen

las líneas seno

y coseno de 0 y Luego, calcula

x

1

_r5\

2t

315

e identifica el nombre de la línea trigonométrica que representa cada segmento.

b)

a)

R

=2sen0+sec

X

0

1

@ Grafica en la circunferencia trigonométrica

¡

un ángulo en el tercer cuadrante cuya tangente

seaiguala3unidades.

¡].

"os2

¡-

@ Calcula el valor de la distancia

¡

nunca es mayor que 50'

¡ - 4 sen3 r

@fffi,u,rs'

§p Halla la suma de las tres primeras soluciones positivas de ¡ si I - 2 cos 3¡ = 0. 26()'

si sen

Además,¡ € [0';180'l 30'y

nlzl \

!

€ !

rt r e lxl2;

z

p !

d en el ,1,73 m

d

I

[!

.g

figura.

tl

"s

6 = 0 no tiene soluciones

Elfffi-{ffi,n,s:'

Calcula el valor de

estacionamiento de la

V

Analiza y determina el resultado.

tan8'

seaiguala2unidades.

0 siempre es igual

- I = 0 no tiene solución

[n;2n].

la circunferencia trigonométrica

un ángulo en el segundo cuadrante cuya secante

V

F

sen 0

ED La ecuación sen2 reales. V

@ Grafica en

= 3 tiene dos soluciones

sen2 0 +

en el intervalo

?5'

nl + @ tanar-4 tan2-r = -3t ¡ e lO nl\ !; \ ¡{ ED 2t sen r + cos ,{) = sec r: r . l0: r/2 | ED sen lOx' sen 8x = cos lOx'cos 3¡ r = $: I '

/2;

cos 0) = cos2 0

tan2

@ La ecuación 4

sen

cos2

I

I

@#Hnq"3r

x + sen r =

[3.

los valores de a y á

@ La expresión tan2 cr + sen2 tt + cos2 o. [-'

sen2

!,5/¡\

@ Observa

en el intervalo [0;

45"

sec

tan o +cot fl

asen0+cos0.

'

x=

53" sen 37o cos 16' cos 1 10" sen 70" sen 40' sen 1 10" cos 70 ED -

@ @ Indica las líneas y el ángulo que representan las líneas roja, anaranjada y verde.sen

sen 30o

l)

@ La expresión

@ 2 sen2,r-cos Zr --2; x e lO

f

p

'cos 30'+

costcr- 0) « sen -

cos

sen

verdaderas? Justifica tu respuesta.

Resuelve las siguientes ecuaciones.

4

o

sen 45"

csc, + cos3¡' secx = I

¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son

secr

@ cos 53''cos 37" +

q

2

3

I

@

[...1q]

r'

!D sec2o-csc2o=

Expresa cada una de las expresiones como Ia razón trigonométrica de un solo ángulo.

senI

sen3

- I =fanz r

Y

Grafica en la circunferencia trigonométrica

EEsen2o-cos2o=2

¡

-CSCX I +CSCI D=n'csc-2¡'cos 3x

GIED> ¡D OC >

@

(D cos 0 ' (sec 0

EB Halla el valor de ru.

cosx'13 + tanr-

cscx)2

@

]

]

(tanx

@ (tan2o+ l)2=tan1o+

@ Reduce la siguiente expresión: 1r

@

ED

Explica por qué cada una de las siguientes expresiones no es una identidad.

JsenH-4sen"U

/, -.*,1 *.n.oo

cotr cosr= senr

*

-f, halla sen 2cr.. -8t17 .FB /r @ Si p e III C y sen p = -)1. halla tan i. A= 1 cos10 -:lcosi q ..,,r I H E) simptifica E) Si a e II C y tan t[ =

Identifica y completa las líneas trigonométricas

tan2x'

E) (tan ¡ + cot -r)

Calcula lo que se pide.

sec (5¡rl3)

ED

@ Las razones trigonométricas del ángulo de 53' sen 53" = 0,8; cos 53' = 0,6 y tan 53" = 413.

= 0.

l-50'

Redacta una estrategia que te permita calcular las R. T. de 143' 3/4: 3/5

@

ED ¿Se puede determinar el ángulo menor de 90' cuyo triple de su tangente es igual al doble de su coseno?

EB Calcula el valor de la menor solución si sen 2y + cos ) = 0. 90o

p.ritir:r¡¿$

HaUa la menor solución positiva de la ecuación

@

!

tan2r-l=0

@

o

¿Cuál es el valor de sec 0 si tan 0

22'30'

= 1?

o = 0,41 y que « es un ángulo del segundo cuadrante. Sin hallar el valor det ángulo cr, escribe las tres razones trigonométricas del ángulo o/2. 0. 97u ; 0, 209; 0.2 Se sabe que sen

@ Adriana va al cine y

[! §

l[:

son:

v'2

I

5

se sienta en una butaca central

que dista I 1 m de la pantalla. Para ver mejor, se acerca a la pantalla hasta conseguir un ángulo del doble del inicial. ¿A qué distancia d se pone de la pantalla? Ánguto inicial igual a 30'. I l/3 UNIDAD

ó

Lineas e lde¡t dades trl8onométrlcas

241

LIBRO DE ACTIVIDADES

Evaluación I ACTIVIDADES PROPIAS DEL BACHILLERATO INTERNACIONAL Usa estrategias y proced¡m¡entos: 2;4;

5

Argumenta afirmaciones:

Energía en un mov¡m¡ento armón¡co

O

Gl En un movimiento armónico simple,la oscilación

En et gráfico siguiente se observan los vectores

lal=.,lil

= b ylA

*il=

R. Demuestra que

R=la+;l=

B

a+b

D

Aa

o

0

Del gráfico: Br = 1a + AC)r + BCr ... AC = á cos 0 y IIC = D sen 0 ... (¿) Rcenplazantos €) en G): ft2 = (a + á cos 0)r + (á sen 0)2

pl

I

R)=i+2¿¡l¡cos0+.4: Rl=n2+ál+2¿rácos0 R--

ro= E

!l

E) La cantidad

I f-^,,=f

P=r.,, Ro

1000/ú

-

Ec

+ Er=

lmalAz

Un cuerpo está en equilibrio si la tensión que

define con la fórmula T =

YcT!

¿on¿"

I

y¡

representa el peso del cuerpo; O el ángulo de la cuerda con el techo y T = 150 N. ¿Cuál es el ángulo con el que se deben colocar las cuerdas para

Rad¡ac¡ón solar

Alsureste:p=45'y0=60" R = Ro cr¡s 60' sen 45"

= jmo2A2sen2tor

hace cada una de las cuerdas amarradas al techo se

de luz solar que ilumina la pared de una construcción puede afectar la eficiencia energética del edificio. La radiación solar que llega a un muro vefical que va hacia el este es R = &) . cos 0 . sen p, donde Ro es la radiación solar máxima posible,0 es el ángulo que forma el Sol con la horizontal, y B es la dirección en el cielo, siendo I = 90" cuando el Sol está en el este y 13 = 0' cuando está en el sur. ¿Qué porcentaje de Ru llega a la pared cuando 0 = 60' y el Sol se encuentra al sureste?

lmofl

Cuerpos en equil¡br¡o

+2¿á.cos0

+

I

Demuestra que la energía total es:

1¿¿l

sen2o+cos20=

Diseño de estrategias para resolver problemas

ar=|mv2 =lma2ñcos2at

+ 2 aD cos 0 + á: cos: 0) + á2 senl t) R2=a2 + 2 «á cos 0 + á2 iserr 0 + cos2 0) Por identidad pitagcirica: =

Comunicación

Las energías cinética y potencial están dadas por las siguientes ecuaciones: Gr

sostener una lámpara de 250

El

N?

56^.14'

trabajo de un motor

G) Si la fuerza constante no actúa en la dirección del movimiento, el trabajo que se realiza es debido a la componente "r de la fuerza en la dirección paralela al movimiento. La ecuación para hallar el trabajo está dada por la siguiente expresión: W = F sen
I

§

recorre 3 km? 3 750 (XX).joulcs § !

.

Evalúa si los datos y condiciones que establec¡ó ayudaron a resolver el problema. (1-O) Presenta ejemplos de razones trigonométricas con ángulos agudos, notables, complementarios y suplementarios en situaciones de distancias inaccesibles, ubicación de cuerpos y otros. (l-6) Diseña y ejecuta un plan de múltiples etapas orientadas a la invest¡gac¡ón o resoluc¡ón de prob¡emas. (1-6)

Comente que en la astronomía clásica se rcalizan una serie de cálculos a la hora de pos¡c¡onar estrellas o los objetos que vemos en el c¡elo sobre la bóveda celeste, es decir, todo aquello que podemos ver desde la Tierra. Para ello, se ut¡lizan cálculos basados en tlgonometría esférica (parte de la geometría esfér¡ca que estudia los polÍgonos que se forman sobre la superficie de la esfera, en especial los triángulos. Por ejemplo, permite determinar la posición de un buque en altamar mediante la posición de los astros). It/otívelos a investigar más sobre el significado de trigonometría esférica ut¡lizando el buscador de la web.

Antes de realizar las actividades 1 a la 5, asegúrese que los estudiantes reconozcan las caracterÍsticas de la circunferencia trigonométrica. Realice una gráfica de ella y pida que definan seno, coseno y tangente. Para la actividad 6, pida que ub¡quen los puntos en una c¡rcunferencia trigonométrica, ello les permitirá visualizar con mayor facilidad qué estrateg¡a utilizar para ca¡cular los valores de x y y, Puede orientar indicando que observen qué f¡gura forman el radio, xy y. Para que consoliden lo aprendido, indíqueles que elaboren un cuadro de doble entrada como el que se muestra siguiendo los criterlos de las categorías dentro del marco PISA.

N @

N,"

Proceso

Contenido

Contexto

Tipo de respuesta

_i,

l

Emplear

Espacio y forma

Científ ico

Construida cerrada

:9

2

Emp ear

Espacio y forma

Científico

Construida cerrada

!

3

Emplear

Espacio y forma

Científ ico

Construida cerrada

4

Emplear

Espacio y forma

CientÍf ico

Construida cenada

5

Emplear

Espacio y forma

Científ ico

Construida cerrada

L

6

Formular

Cambio y relaciones

Científico

Construida abierta

@

€

Ro+

ci

i f

o o o l

p ,_t

,=R"É

-

248

. .

E=Ec+Ep

C

Libro de actividades (pá9.249)

Tenga en cuenta las siguientes capacidades. e indicadores usados en el

It4atematizaclón

Las fuerzas involucradas en un movimiento amónico simple son fuerzas conseruativas y centrales. Por tanto, se puede definir un campo escalar llamado energía potencial (Eo) asociado a la fuerza, que sumado con la energía cinética (E") permanece invariable al moverse es una constante del movimiento:

+2ab'cos0

+

t

marco PlsA.

es regular y la partícula invierte su trayectoria siempre en puntos equidistantes respecto al centro.

se cumple:

60)

Sugerencias evaluativas y metacognitivas

1;3

I

Suma de vectores no col¡neales

Textc escoiar (pág

100 = 35,25 7o

4 o

t

(.) Conesponden a las capacidades matemáticas fundamentales usadas en el marco plSAt http:/irecursos.perueduca.pe/sec/imagesicompetencia_matematica,20l 5.pdf

o

C § 'F

c o a

TEXTO ESCOLAR

LIBRO DE ACTIVIDADES

EVATUACIÓN

EVALUACIONES NACIONALES E INTERNACIONALES comunica:

ffi

1,1 5;

1

8-21

1

7

22-27

Argumenta afirmaciones:

a

¿,Qué segmento

o?

E

a tan

o? ¡4;

es el segmento que representa a cot o.? AB-

¿Cuál es el segmento que representa a sec

@ ¿Cuál es el segmento que representa

a csc

a?

g¡

o? O{l

c + 1 = sec2

ct

¿,Qué razón

P

trigonométrica

representa OM-? csc

(ll

=

fa¡2 o'

sec2

coso'csccr= 1 -coscr=csccr-

@

sen

(o+

o'

0) = sen

o'-

M

1

G)

1

cos B +cos
(F)

..r1,r1.¡

¡=

Y

@

cot.t' secr' tanr'

@

sec

x' cscx'

(1

-

cos2.¡ =

-

P

cos¡

cos.r) = sen r

sen2.t) =

96¡¡

@ ¿Cuál

fi)

¿Cuál es la R. T. que representa a PS? ran

@ Determina el valor

@ Calcula el valorde tan

É

@ ¿Cuál es la R. T. que representa a OR? ,ec

rJi-

de cos

l)

ED Si

cscx=

rfu

yr

Grafica en una circunferencia trigonométrica. N N j

ci ¿

:Q !

-. (-+) v run! (-+): ,." f r .* (-+ oD "or 6 6

-o

o o

cos

f;

*, (-?)

@ Si « c Il C y o L

@ Si c e

c -a @

y

"."

='oi'.

Jf;

2n[, halla en qué intervalo está

ó0

1.

2 sen 55"' sen sen2

+ 1. lt; 4[

llana cos ll.

traza una circunferencia trigonométrica, ¿cómo se llama a razón trigonométr ca cuyo segmento se traza de punto Q perpendicular al eje X?

Si se

Y

P

¡

.l17tl25

L¡

La razón trigonolnétrica se llama cos c.

se llama serr p.

PN="oso

QS = scn fl

l0'.rfzz

= 3 cos

r- ..l'.a

r. r/3

¿Qué aprendí hoy? ¿Para qué me servirá?

§

¿Qué hetramientas tecnológicas utilicé para comprobar mi aprendizaje?

É

¿Cuánto más sé ahora sobre identidades trigonométricas y sus fórmulas? Entender e s gnificado de las fórmulas üigonométrlcas es aprender e mundo abstracto de la matemática; practicala y será sign f catvo.

9 !

a E

razón trigonométricil

rrrilj'rtl:;r ll

,

traza una recta tangente al punto I punto de intersección de dicha recta con e ele X. Además, se prolonga e segmento oP hasta el punto R, punto de ntersecc ón de dicha prolongación con la recta tangente. ¿Cómo se larna a razón tr gonométrica del seBmento RT? Se

@,qree!§qr

É

se

x

)

$

comprendido M = 3 cos cr

@

tan x =

@ Halla la menor solución de 2

sen o halla los valores enteros de k para que la igualdad sea cierla. 2; 3

sc

65'+

Qn = cos ll

H

sen{:

Resuelve,

!

@ Calcula M = cos

Y

€ IC,halla cosLr. t/1tz

@ Halla el valor de cos 3* si

PM=seno :i

,r". tg'

58"

La raz(nl trigonométrica

.....:

@ Hallael valorde sen 76".24\r]-+7

es la R. T. que representa a ÓT? c,,s ¡i

La razón trigonométrica se llama sen o.

En la circunferencra tÍgonométr ca, ¿córno se llama la razón trigonométñca cuyo segmento se traza de punto P perpendicular a ele Y?

l'i

¿Cuál es la R. T. que representa a NP-? cot fl

1i

circunferencia trazada cuyo radio es 1, ¿cómo se llarna la razón trigonométrica, cuyo segmento se traza del punto Q perpendicular al eje Y? En la

1

Analiza y resuelve.

f,)

flü¡iür'itú

En la circunferenc a tr gonométrica, ¿cómo se llama la razón tr gonométrica cuyo segrnento se traza del punto P perpendicular al ele X?

Demuestra las siguientes identidades: cos

t.r r;,..t:...t.

(\)

B

@tan(o-pr=#?i#Tfu @ tan x'csc.r'

rr

conza o trabaja en un centro observatorio astronóm co. Después de largos meses de observación constante a var¡os puntos fjos, en su panta la ha captado dos puntos P(1/2; l) y Qk, -3l5), que están situados en una clrcunferencia tr gonométrica de centro o, y representan a dos estrellas. A la del punto P la lamó Linux y cactius a la del punto Q. Además, P es el punto final de ángulooyQe puntoflnal del ángulof.l.

@ffi-t^nr="ot, A S** * f-s* = "r.', ' ,"",

:r)

¿Qué razón trigonométrica

representa TU? sen

+

@

@ csc.r' (1 + cos,v)(1

Analiza el gráfico y responde.

@

Tipo PISA . ir.

tu profesor(a)

@ tan2

CF

¿Qué segmento representa cos o.? p6

@ ¿Cuál

B

tlsa estrategias y procedimientos: 28-34

Escribe V si es verdadero o F si es falso.

B

@ ¿Cuál es el segmento que representa

§

ó-

:

representa sen

E)

1

D"ra."ottu las actividades. Luego, entrégale tu cuaderno

Observa el gráfico y responde. §§

l\¡odela objetos:

Y

se ha observado en la pantalla dos puntos P(1/2;.)') y Q(r; -3l5), que están situados en una circunferencia trigonométrica de centro o, y representan a dos estre las llamadas Linux (punto P) y Cactius (punto Q). Determina el valor de la siguiente expres¡ón E = 25x2 + 4y2.

Prrrrel¡rrtrl,'P;rl'r

-r

,I

.r-t,'

N

x

Pxr¿r

el punto Q:

r *t-.1 5) l+.r'+q15=l+.r=45 §

_p

o

La razón trigonométrica se llama tan u.

RT-ltnq

Luego, 251 + 4y2 = 25(16125) + 4(314) = 19

UNIDAD

6

Líneas

e

dentidades tr¡gonométricas

249

Geometría PRESENTACIÓN

RECURSOS

Al inicio de esta unidad, se establecen las relaciones entre las rectas y planos en el espacio y se enuncian las propiedades y teoremas pertinentes. Luego, se desarrolla el estudio de los cuerpos geométricos, (pirámides y cuerpos de revolución). En una segunda parte de la unidad se presentan actividades que permiten a los estudiantes relacionar el álgebra con la geometría plana para dar solución a problemas geométricos de manera algebraica. Para alcanzar estos propósitos, se presentan actividades relacionadas con las ecuaciones de la recta y con el estudio de la representación gráfica y ecuación de las cónicas: circunferencia, elipse y parábola. El logro de todo ello hará que los estudiantes puedan desenvolverse adecuadamente en contextos relacionados con la lectura de mapas, la interpretación de coordenadas, las telecomunicaciones, la astronomía, la ingeniería, entre otros.

B.

Biblioteca del docente Día a día en el aula (págs. 266-313)

§,!santitlana Digital

br

'Secuencia digital: Geometría analítica

I

Para empezar

Breve introducción al tema

ESQUEMA O

¿Qué aprenderé?

Aprendizajes y habilidades que logrará el estudiante

Geometría

B

Geometría del espacio

Geometría analítica

Rectas y planos en el espacio

Distancias

La circunferencia. Ecuaciones

Área y volumen de un tronco de

Ecuaciones de la recta

La elipse. Ecuaciones

Centro de gravedad

La parábola. Ecuaciones

Perímetro de figuras poligonales

li/apas y planos

pirámide Cuerpos de revolución

Secciones cónicas

I

Compruebo lo que sé Actividad interactiva: Saberes previos sobre plano cartesiano y la recta

O

Una situación a resolver Actividad interactiva: Situación significativa sobre geometrÍa analítica

O

O

Distancia entre dos puntos en el plano cartesiano Animación: lnformación sobre distancia entre dos puntos en el plano cartesiano Ecuación principal

Animación: lnformación sobre la ecuación principal de la recta

O Ficha de orientación didáctica:

Estrategia para resolver problemas:

Modelación matemática

Hacer un gráfico

Razonamiento matemático: Comparación y suficiencia de datos

Uso de software matemático:

Geogebra

Actividades integradas,

deBly prueba tipo ECE

Síntesis, recursos en la web y autoevaluación

Solucionario de las actividades

J

Ecuación cartesiana Animación: lnformación sobre la ecuación cartesiana de la recta

N N @

Aplicamos lo aprendido

rq

Actividad interactiva: Aplicación de los temas desarrollados en una situación cotidiana

O

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O Compruebo mis conocimientos Actividad interactiva: Evaluación interactiva

Permiten desarrollar habilidades y destrezas matemáticas útiles para afrontar situaciones de contexto real.

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Para finalizar

Actividad interactiva: I\/etacognición

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r I il-rrn do antir¡idadoc

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PROGRAMACIÓN Competencias Resuelve problemas de forma,

Desempeños o lVodela las caracteristicas

.

y atributos medibles de los objetos con formas

.

movimiento y localización

geométricas compuestas que resultan de combinar formas geométricas tridimensionales y cuerpos de revolución, relaciones métricas de triángulos. Así también, la ubicación, distancias, alturas inaccesibles, y trayectorias complejas; con razones trigonométricas, mapas y planos de diferente escala, la ecuación de la parábola y circunferencia. lnterpreta enunciados verbales, terminologÍas y gráficos que describen las propiedades de los cuerpos de revolución, compuestos y truncados; expresa su entendimiento usando lenguaje geométrico, dibujos o construcciones con regla y compás. Plantea y contrasta afirmaciones sobre relaciones y propiedades de las formas geométricas, a partir de experiencias directas o simulaciones. Comprueba la validez de una afirmación opuesta a otra o de un caso especial, mediante contraejemplos, conocimientos geométricos, y razonamientos inductivo y deductivo.

.

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Conocimientos

/

. .

Rectas y planos en el espacio

Áreay volumen de un tronco de pirámide Cuerpos de revolución Geometria analítica, Distancias

o Ecuaciones

.

Modela objetos con formas geométricas y sus transformaciones.

o

. .

la recta Centro de

¡ . .

circunferencia. Ecuaciones La elipse. Ecuaciones

o

. . . o

. .

PerÍmetro de figuras

.La

.

comprensión sobre las formas y relaciones geométricas. de

poligonales

.

Comunica su

gravedad

o

Desempeños prec¡sados

Capacidades

Usa estrategias y procedimientos para orientarse en el espacio.

Utiliza gráficos como modelos para resolver situaciones problemáticas de superficie esférica y el volumen de la esfera así como de las secciones esféricas. Usa formas geométricas, sus medidas y propiedades al explicar objetos del entorno. Relaciona puntos del plano cartesiano con las coordenadas dadas mediante un par ordenado. ldentifica la pertenencia de los puntos a una recta. lnterpreta y representa gráficamente las posiciones relativas entre rectas y planos en el espacio, Nombra e identifica los elementos de un tronco de pirámide. lnterpreta enunciados de distancia entre dos puntos. Reconoce y diferencia las ecuaciones de una recta. Representa en el plano cartesiano perímetros y el centroide de figuras planas. Beconoce y discrimina entre las ecuaciones canónica, ordinaria y general de una circunferencia. Discrimina la posiclón de la elipse en el plano cartesiano con respecto a su vértice en el origen. Reconoce los elementos de la parábola en el plano cartes¡ano.

o Calcula el área de figuras planas.

. .

Aplica el teorema de Pitágoras para calcular la medida de los lados de un triángulo. Resuelve problemas que involucran el cálculo de áreas y volumen de troncos de pirámides, conos, cilindros y tronco de cilindros.

o Selecciona la estrategia más conveniente para resolver problemas de tronco de cono. o Calcula la superficie esférica y el volumen de la esfera y de las secciones esféricas. o Calcula la distancia entre dos puntos, entre un punto y una recta y entre rectas.

La parábola. Ecuaciones N/apas y planos

. ¡ . . .

o

¡ Argumenta afirmaciones sobre relaciones geométricas.

.

Determina las ecuaciones de la recta. Calcula el centroide de figuras planas en el plano cartesiano. Calcula perÍmetros de figuras poligonales. Resuelve situaciones problemáticas de áreas de figuras planas utilizando coordenadas cartesianas. Resuelve problemas aplicando las ecuaciones canónica, ordinaria y general de una circunferencia. Resuelve problemas aplicando las ecuaciones de la elipse y de la parábola.

Adapta y combina estrategias heurísticas relacionadas con medidas, y optimiza tramos al resolver problemas de desplazamiento, altitud y relieve. Plantea conjeturas respecto al área y volumen de conos.

o Justifica sus conjeturas basándose en la distancia entre dos puntos, entre un punto y una recta y entre rectas

. .

Plantea conjeturas respecto a las ecuaciones de la recta, los centroides de figuras planas en el plano cartes¡ano, y perimetros de figuras poligonales.

Justifica la obtención de las ecuaciones ordinaria y general dadas sus coordenadas.

TEXTO ESCOLAR

Geometría lTexto

escolar (pá9

65)

t

Libro de actividades (págs 250-251lr

Capacidades y desempeños precisados

ldentifica la pertenencia de los puntos a una recta. (11-12) Usa estrategias

y procedimientos

. .

Geometría

7

Relaciona puntos del plano cartesiano con las coordenadas dadas medlante un par ordenado, (7-10)

Comunica

Marcela vive en el Cusco y toma durante el día 8 vasos con agua para cuidar su salud. El vaso tiene forma de cono truncado cuyos diámetros miden 8,4 y 5,6 cm, y la capacidad del vaso es 0,498 lltros. ¿CuáJ es la altura del vaso?

Calcula el área de figuras planas. (1-3)

Aplica el teorema de Pitágoras para calcular la medida de los lados de un triángulo. (4-6)

I

Sugerencias didácticas

r§

Para iniciar

I

Centre la atención en la situación inicial. Pregunte ¿Qué elementost¡ene el cono? (Base, radio, altura, generatriz y cúspide). ¿Cuál es la diferencia entre un cono y el tronco de cono? (El tronco de cono tiene dos bases, no tiene cúspide) . ¿Cuál es la diferencia entre el cilindro y el tronco de cono? (El cilindro tiene dos bases iguales, el tronco de cono tiene una base mayor y otra menor). ¿Qué nos indica la capacidad? (El volumen). ¿A cuántos cm3 equivale 0,495 L? (A 498 cms). ¿Cómo se determina el volumen del conú (V = (n . r'z . hy3). lnvite a los estudiantes a que observen la imagen y

mencionen figuras planas y del espacio; aproveche para recordar la diferencia entre la geometrÍa plana y la geometría del espacio. Comente que en esta unidad se trabajará la geometría del espacio y la geometrÍa analítica.

Para desarrollar

O

I

Haga referencia al valor de la bondad. Comente que una persona bondadosa está siempre dispuesta a ayudar a quien lo necesita; se muestra compasiva con las personas que se encuentran sufriendo por distintas circunstancias y también porque mantiene una actitud amable y generosa hacia los demás. Comparta las respuestas referidas a la pregunta propuesta en la secclón "Valores y actitudes". Solicite que mencionen las formas que utilizarían para elaborar una maqueta del complejo arqueológico. Pregunte: ¿Qué objetos puedes emplear para representar las chullpas? (Vasos descartables, una balde pequeño, un cono de helado sin punta, eIc ). ¿Qué figuras geométricas se necesitan para elaborar el molde de un cono truncado?(Un cÍrculo para la base menor, otro para la base mayor y un trapecio circular para la superficie del tronco). Realice una puesta en común de los proyectos realizados, incida en el correcto uso de los nombres de los elementos de los cuerpos empleados.

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I

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APRENDEREMOS 4..,

.

Resolver problemas sobre rectas y planos en el espaciq aplicando ei teorema de Tales.

. .

OXti?{,T,I Bondad ¿Alguna vez regalaste una botella o varias

Para consolidar

cajas de botellas con agua a la gente

§

que la necesita?

tvlotive a que utilicen en el colegio o en casa el cuadro "Buscamos en la web" Así observarán las diferentes chullpas que se encuentran en el complejo arquitectónico, y que la cuarta moneda de la serie numismática "Riqueza y orqullo del Perú" es alusiva a las chullpas de Sillustani,

III

. o

. . .

Calcular el área y el vofumen de un cilindro recto, un cono y una esfera. Resolver problemas sobre el área yvolumen del tronco de una pirámide. un crlindro y un cono.

Determinar e interpretar el signif¡cado de distancia y las ecuaciones de una recta en ei plano cartesiano. Calcular el centro de gravedad y el perímetro de figuras poligonales. Representar y calcular la ecuación de la circunferencia, la elipse y la parábola. Diseñar mapas y planos a escala. Reconocer en la geometría una forma de representar el mundo que nos rodea.

UNIDAD

7

Geometr

a

61

Z

LIBRO DE ACTIVIDADES

Geometría APRINDEREMOS

AFIRMATU IDENTIDAD

.

4...

Resolver problemas sobre rectas y planos en el

espacig aplicando el teorema de Tales.

Las chullpas de Sillustani

.

A 34 kilómetros de Puno, en una península de la laguna Umayo a 3900 m sobre el nivel del mar, se erige Sillustani, un cementerio que alberga misteriosas e impresionantes tumbas o chullpas con formas cuadradas y de cono invertidos. Las chullpas son casi 90 y están diseminadas

en un área de 150 hectáreas. Muchas de ellas superan los 12 m de altura y tienen un diámetro en Ia pafte superior que es mayor que ia base. Todo un reto a las leyes de la gravedad, y un detalle que las hace únicas en el continente. Los cadáveres eran momificados en posición

. . . . . .

Determinar e interpretar el signlficado de distancia y las ecuacrones de una recta en el plano cartesiano. Calcular el centro de gravedad y el perímetro de figuras poligonales. Representar v calcular la ecuaciÓn de la circunferencla, la eiipse y la parábola. Diseñar mapas y planos a escaia. Reconocer en la geometrÍa una forma de representar e mundo que nos rodea.

¿Se podría decir que las chullpas de

Sillustani tienen formas de cono truncado? ¿Por qué?

N N

Resolver problemas sobre el área y volumen del

tronco de una pirámide, un cilindro y un cono.

fetal. Junto a los cuerpos se colocaban sus pertenencias, en algunos casos objetos de oro y plata, utensilios de cerámica y alimentos. En el lugar se aprecian diferentes tipos de entierros y mausoleos con piedras de muchos ángulos.

.

Calcular el área y el volumen de un cilindro recto, un cono y una esfera.

Calcula el área de las sigu¡entes figuras planas:

.

Investiga sobre el volumen en metros cúbicos que puede contener estas chullpas.

.

Reúnete en equipo e investiga con tus compañeros para elaborar un proyecto de elaboración de una maquela con varias chuilpas.

)

o Calcula el valor de

o

Eoo

Digita en algún buscador (Edge, Firefox,

A

Chrome, etc.) lo siguiente:

Resuelve.

s o

L

ffi;.,

c _9

c

a

.l,uego,haZClicen,,imágenes,,.ASíobtendrásmá información sobre las chullpas de Sillustani.

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@ @

auscamos en la web

hfografía + chullpas de sillustani

,,:

250

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7u.59

en cada caso.

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u

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p

I30.5

50,24 m2

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8u 6 t/21 2y'lo Dibuja en un plano cartesiano los s¡gu¡entes puntos:

CJ

:Q

mO

a

A(-r

;o)

O

B(o;-r)

g c(-r;-i)

@

D(3;5)

lD

¿cuáles de los puntos N/('1 ; -'l), N(2; 1) y p(4; 5) pertenecen a la gráiica b( -y -3 = 0? Todos

¡B

sean A(1; - !6),

perlenecen

aP

e();Jf)v cl*;!)

*j?l + orl

.oue ountos

¡3,,

i UNIDAD

7 Geomefía

251

TEXTO ESCOLAR

Rectas y planos en el espacio ¡Texto escolar (pág

62)

r

Libro de activrdades (págs. 252-254)

Capacidades y desempeños precisados . lnterpreta y representa gráficamente las posiciones relativas entre Comunica

Usa estrategias y procedimientos

Argumenta af irmaciones

rectas y planos en el espacio, (1-6)

.

Resuelve situaciones aplicando rectas y planos y teorema de Tales

(1-2,7-10)

o

Rectas y p¡anos en el espac¡o En las construcciones de casas y edificios, las rectas y planos en el espacio te permitirán realizar los cálculos cuando hay que determinar los precios de los materiales que se van a utilizar. Los ingenierOs c¡viles aplican estos conocimientos para calcular las áreas de cada departamento en cada piso de un edrficro.

Plantea conjeturas respecto a rectas y planos y teorema de Tales.

Rectas y planos en el espacio

(11 )

Las rectas pueden pertenecer a determinados planos, pudlendo ser secantes o paraielas. En el margen, por ejemplo AB i/ DC, y pertenecen al mismo plano ABCD. También los planos pueden ser secantes como los pianos EFGH y FUG.

Sugerencias didácticas

EJEMPLO

Para iniciar

I

Desde un punto M exterior al plano B se trazan, a 12 cm de é1, una perpendicular dos oblicuas MA y MB, de modo que MB = 13 cm y MA foma un ángulo de 53' con el plano P Calcula mAB si ANB es recto.

M

Centre la atención de los estudiantes en la información presentada. Pregunte: ¿Cuáles son los elementos básicos de la geometría plana? (Punfo, recfay plano). ¿En la geometría del espacio, se considera al punto, recta y plano como elementos báslcos?(Sí). Comunique que la geometría del espacio estudia las propiedades de las figuras cuyos puntos pertenecen al espacio tridimensional y se basa en los conceptos de la geometrÍa plana.

1

MN y

. . .

l3 cm

N MNB: NB2 = 132 - 122 + NB = 5 cm AN = 3k = 9 cm AN2 = 52 + 92 = 106 *- AB = 10,30 cm

Graficamos en el margen y resolvemos. En el

NAMN: 4k =

En el

N

12

+

ANB: AB2 = NB2

k=3 +

Para desarrollar

Teorema de Tales en el espac¡o

&

Este

& &

§

Pida a los estudiantes que observen la caja que se solicitó en la clase anterior y respondan las siguientes preguntas: ¿Qué elementos de la caja nos dan la idea de punto, recta y plano? (Las caras dan la idea de plano, las aristas dan la idea de recta y los vértices dan la idea de puntos). ¿Qué planos son paralelos?(Las caras opuestas). ¿Qué planos son secantes?(Las caras contiguas). Haga hincapié en las notaciones de los elementos.

teorerna es apl cable en el plano y en el espac q considerando rectas para elas o planos para elos que forman segmentos proporc onales al ser cortados por rectas secantes. ver margen

EJEMPLO 2 Se tienen tres planos paralelos

dos rectas paralelas y una V

de EH + CF.

.

Luego de leer la sección "Recuerda", recalque que un plano se determina por 3 puntos colineales, mientras que el espacio se determina por cuatro puntos no colineales y que se encuentran en planos distintos.

.

,rÜ$

Para una mejor comprensión sobre las posiciones relativas de rectas y planos en el espacio, interrogue: ¿En qué casos la tntersección es nula?(Cuando una recta es paralela a un plano o cuando dos planos son paralelos). ¿En qué caso la inÍersección es un punto? (Cuando la recta es secante a un plano). ¿En qué casos la intersección es una recta? (Cuando una recta está contenida en un plano, cuando los planos son secantes).

.

ffi

=

{,

"ulcula

el valor

Las rectas paralelas cortadas por los planos paralelos determinan segmentos de igual medida BE = 12 = CF. Aplicamos el teorema de Tales en las rectas

AD BE 4K 12 ffi=ffi- jr= Éft+EH=e

ié

v EÉ,

Reemplazamos y hallamos: EH + CF = 9 + 12 = 21 cm F EH + CF = 21 cm

P¡igs. A5e-e54

fl §

Realice una revisión del teorema de Tales. Pregunte: ¿En qué casos se utiliza el teorema de Tales? (Cuando se trabaja la proporcionalidad geométrica). ¿Qué elementos serán necesarios para transferir el teorema de Tales al espacio? (fres planos paralelos y tres rectas secantes).

Pida realizar las actividades 1y 2 de la sección "Desarrolla tus capacidades" Invite a compartir los procesos realizados y las dificultades que se presentaron durante la resolución.

(B Q y R) cortados por = I 2 ..

secante, como se muestra en el margen. Si BE

Para consolidar

I

+

oesnnnou-n rus

usa estrategias y procedim¡entos 1-2

cAPAcTDADES

En la figura mostrada, AB es perpendicular al plano P. Además, mACO = 53" y mOAB = 30". Determina la medida de la suma de los segmentos AO y AB 43,09 cm

El 25

q

Se muestran los tres

niveles de un almacén a escala. ¿Cuántos centímetros mide la tubería con gas que une los puntos EF?

3

I

4 r¿

26

€ p I

+3 §

-52 crD @

62

LIBRO DE ACTIVIDADES

.

FIGURAS GEOMÉTRICAS EN EL ESPACIO

B

FIGURAS GEOMÉTRICAS EN EL ESPACIO

Rectas y p¡anos en el espacio

Recta secante al plano

EJEMPLO 3 B

Halla la longitud del segmento AB de la figura BC = 6 u; DE= 8 u y EF= 2(AB) + 4.

Una recta contiene por lo menos dos puntos.

-. Un plano contiene por lo nrenos tres puntos no

-

El espacio existe y contiene por lo menos cuatro puntos no coplanares (que no están en mismo plano) y no colineales.

Cuando todos los puntos de la recta pertenecen al plano.

ABN P=AB

Cuando la recta y el plano tienen un solo punto en

Cuando la intersección entre la recta y el plano es nula.

común.ABn P={O}

ABN P=A

Cuando su

intersección

¡ntersección es

es nula.

una recta.

EJEMPLO

Si un segmento AB es

perpendicular a un plano Q, ¿cuál es la proyección del segmento AB sobre el plano Q?

.

La proyección es un punto.

€

R;

r.

=0

es 4 u.

EJEMPLO 4 USA ESTRATEGIAS

Tres planos paralelos determinan sobre una recta L,, los segmentos AG y GB y sobre otra recta L, secante,los segmentos CF y FD. Si AB = 12 m, CD = 16 m y FD - GB = l, calcula la longitud del segmento CF.

. . .

25 c¡r

Graficamos y trazamos AD perpendicular a BB' y se forma el N ADB.

Pordato:

FD-GB =

+

GB = Aplicamos el teorema de Tales y

AB_Cp* GB FD

Aplicamos el teorema de Pitágoras para hallar AD: 252 = 72 + (AD)2 +AD = 24 Pero A'B' = AD proyección de AB sobre P

sobre

Graficamos y representamos CF = 1

Y PROCEDIMIENTOS Para el ejemplo 4: + 2 = GB, ¿cuál es la

Si FD

r.

longitud de CF?

LI

15-¡.

24m

resolvemos:

"-T

' 30"-

t2 _ t6 -¡ 16-x

15

l5

3(16*¡)=4(15-x)

48-3x=6O-4x+x=12

P mide 24 cm.

El valor del segmento CF es 12 m.

Ci

EJEMPLO 2

'ó

En la figura del margen, dos puntos P y M están situados a diferentes lados de un plano R. Las distancias de estos puntos al plano son 4 u y 5 u, respectivamente, y la proyección del segmento PM sobre el plano R mide 12 u Calcula la medida del segmento PM.

i .o

Qil

//

= AB = 4

Luego, la longitud del segmento AB

1

La proyección de AB

N N @ j

¡= -6. se descafta+r

Un segmento AB de 25 cm de longitud se proyecta sobre el plano P, tal que sus proyectantes miden AA' = 23 cm y BB' = 30 cm. Calcula la proyección de AB sobre el plano P.

.

P

Aplicamos el teorema de Tales y

AB-DE-*¿= 8 RC EF 6 2x+4 x(Lx + 4)= 48 + Zf + 4x - 48 = O (.r+ 6)(-r- 4) = 0 + "t + 6 = 0 v ¡-4

PN Q=AB

Q=a

Graficamos y representamos AB =

si

resolvemos:

Planos secantes

Cuando su

Pn

V

. .

Dos pianos diferentes en el espacio pueden ocupar las siguientes posiciones:

Planos paralelos

COMUNICA

cuando tres o más planos paralelos determinan sobre una recta secante seSment0s conSruentes, dicl'ros planos determinan segmentos congruentes sobre cualqu er otra recta secante.

EJEMPLO 5

!= o o o f

.

= €

o I

12M

.

En la figura del margen se observa que el cuad¡ilátero SP'M'M es un rectángulo. Luego, SP' = 5 y SP = 9.

Aplicamos el teorema de Pitágoras en el

La medida de PM es 15 u.

@

'

Recta paralela al plano

Postulados

colineales (que no están en una m¡sma recta).

o .nás planos p¿r¿lelos determinan, sobre dos o más rectas secantes a ellos, segmentos proporcionales.

Pil Qil *-#=BF

Una recta y un plano en el espac o pueden ocupar las siguientes posiciones:

-

TEN EN CUENTA

les

Pos¡ciones relativas de rectas y planos en el espacio

Recta contenida en el plano

Teorema de Tales en el espacio

N

SPM: 12 = 92

+

122

+

x=

15

a

I

I

I

p a

p

s

§

C

En la figura del margen, los planos M y N son paralelos. Si se sabe que CD = 3 cm, DE = 5 cm y AE = 8 cm, halla la medida del segmento FE.

. . .

Graficamos y representamos FE =

¡. Por dato: AE =

Aplicamos el teorema de Tales: CB = 3a y AB =

8

+

AF = 8 -

5ct

En el AACE, al trazar las tres cevianas estas son concurrentes, aplicamos el teorema de Ceva: 5a = (8 - r)' 5' 3a x=4

¡' 3

La medida del segmento FE

+

3cm

il¿l

¡

t/ /

CID

\

es 4 cm.

§c C

@ @

252

UNIDAD

7

Geometria

253

LIBHO DE ACTIVIDADES

volumen de un tronco Áreav ,J, , de pilámide ¡

FIGURAS GEOMÉTRICAS EN EL ESPACIO

ff

orsnnnorurus

Escribe V si

$

es

ITexloescolar(pág

cAnACTDADES

comunica:

verdadero o F si es falso.

1-ó

usa estrategias y procedimientos:

Determina

¡

Argumenta afirmaciones:

Comunica

IE

los sólidos geométricos.

El Una recta es paralela al plano cuando

P

su

intersección es nula.

@ Una recta

está contenida en el plano cuando

un punto de la recta no

[f

10

tr

pertenece.

Usa estrategras y proced mientos

D

E

/Q

Lx3

Sugerencias

no colineales.

@ Dos planos

.,

li(2¡

f =j5-(r+s)(r

lo

Sea el plano M y un segmento exterior AB que mide l0 m. Si la distancia de A al plano M es de 16 m y de B al plano es de 8 m, halla la longitud de la proyección de AB sobre el plano M.

SC

I AA.

x2-25=75

+l=

I-a medida de

§l

100+¡=

l0

es arquitecta y está trabajando en un proyecto donde se aprecia que los pisos de un edificio forman tres planos paralelos. Ellratraza una secante L, que determina los segmentos AB y BC y 91!1a secante L2 que determina los segmentos DE y EF. SiAC = 8 m,DF= 12 m y EF-BC = 2 m, ¿se podrá hallar mDE?

lfR

es

0¡n 8rn

tl

C

6m

mM

Para desarrollar

Interpretamos y graficamos según Desde un punto C exterior al plano P se trazan a 16 m de é1. una ¡rrpendicular CH y dos oblicuas CA y CB de modo que CB = 20 m ) CA foma un ángulo de con el plano P. Calcula m AB si AfrB es recto. Graficamt¡s scgún los clatos. Aplicamos Pit¿igoras para hallar BH: (BH)2 = ZO: - 16r + BH = 12 rn

\agc'+t=r6+k-4 AH=12nr

Como AH = HB- ertonces AB = l2J2 nl

254

Recuerde las propiedades y elementos de los trapecios. Proponga algunos problemas sobre trapecios rectángulos e lsósceles en que tengan que calcular la altura o la longitud del lado oblicuo.

s)=7s

[D Camila

Observamos

queAC=8VBC=Ag. Por Pitágoras en el \ABC: 102=82+BC2+BC=6

53'

[_l

los datos. Sea DE-

L,

I

lndique que la pirámide, al ser cortada por el plano, se divide en dos partes: una pirámide menor, denominada pirámide deficiente y el tronco de pirámide. Además, recuerde que se puede aplicar el teorema de Tales en el espacio; pregunte: ¿Cómo son las pirám¡des V - ABCDE y V - A'B'C'D'E'? (Son semejantes).

I

Para una mejor comprensión de las fórmulas presentadas, pregunte: ¿A qué es igual la altura de una de las caras del tronco de pirámide? (Ala apotema). ¿En función de qué fórmula se encuentra expresada el área lateral? (En función del área del trapecio). ¿Qué representa h'? (La altura del tronco). Resalte que existen dos formas para calcular el volumen del tronco de pirámide: restando los volúmenes de la pirámide mayor con la pirámide deficiente y la otra es la fórmula presentada en el texto que permite calcular directamente el volumen del fonco. Para ello, se necesita conocer el área de cada base y la altura del tronco.

=x

PeroEF-BC=2

12 x-BC=2 BC=10 ¡

t2

Aplicamos Tales:

C

l0-

I _12 'x 12 x

l0 tn

idácticas

I

-l)

Analiza y resuelve. Graficamos y trazamos

d

Resuelve problemas mediante el cálculo de áreas y volumen de troncos de pirámides. (1-3; 7-11)

Previamente a la lectura de la información inicial, comente con los estudiantes acerca de manifestaciones arquitectónicas de la antigüedad, como las pirámides de Egipto; y de la actualidad, como la pirámide del N/useo de Louvre. Pregunle. ¿Qué elementos tiene una pirámide? (Base, apotema de la base, altura, apotema de la pirámide y vértice). ¿Cuál es la diferencia entre la pirámide y el tronco de pirámide?(El tronco de pirámide tiene dos bases, no tiene vértice, sus caras son trapecios, las caras de las pirámides son triángulos). Pida que mencionen objetos o lugares que tienen forma de tronco de pirámide, por ejemplo, en los cines se ut¡l¡zan envases que tienen esta forma y que son ut¡lizados para depositar la canchita (pop corn).

l6x-24+x=4

lOx=

intersección es otro plano.

B

l0 t=

t+-=9-

son secantes cuando su

Resuelve.

(1-6)

.

I

es determinado por un plano

y un punto exterior ai plano.

255-256)

Para iniciar

El espacio contiene al menos 4 puntos

@ El espacio

ILibrodeactividades(págs

Capacidades y desempeños prec¡sados . Nombra e identifica los elementos de un tronco de pirámide.

11

si los planos son paralelos.

0

La geometría del espacio solo estudia

7-10

63)

8(12 r) = l2(10

.r)

96 llr = 120 l2r 4.t =21+ x =6 La medida del segmento DE es 6 m. Luego, sí se puede hallar la medida.

!

:

Para consolidar

I

Solicite a los estudiantes que realicen en su cuaderno las actividades de la sección "Desarrolla tus capacidades". Luego, invite a intercambiar los cuadernos para su correcciÓn.

I

Pregunte: ¿Qué nuevo conoc¡miento aprend¡mos hoy? ¿Qué conocim¡entos les resultó fácil recordar? ¿Y cuáles les resultó difícil? ¿Por qué?

N N @

)ci c

:9 !

f

o

o o I

p

sc o L

a o c § .F c a @

E

LIBRO DE ACTIVIDADES

TEXTO ESCOLAR

I

FIGURAS GEOMETRICAS EN EL ESPACIO

Area y volumen de un tronco de pirámide.

Área y volumen de un tronco de pirámide

Actualmente, la arquitectura moderna demanda una gran creat¡v¡dad en los diseños de propuestas innovadoras. El conoctmiento de los troncos de pirámides te permitirá crear modelos de construcciones muy originales. Los arquitectos aplican los elementos de estos troncos diariamente al

si se corta una plrámide recta por un plano paralelo a la base, se obtiene un tronco de pirámide. su desarrollo plano está compuesto por dos polÍgonos semelantes y por ,? trapecios conSruentes como lados tenga la base.

) TEN EN CUENTA _--.\ Tronco de pirám¡de

real¡zar sus diseños.

T

Area y volumen de un tronco de p¡rám¡de traza un plano paralelo entre ia base de la pirárnide y su vértice, se formará un tronco de piramide. tl volümen se carcLla asr. v 1¡", *a",+.,4;:Ag,'\

Si se

=4

TEN EN CUENTA

\

't

'

Tronco de pirám¡de regulal

Area lateral (AL) h

Area lateral

n(l+l'l

^ AL=----.A/

" n(l +2 I') ^t=

1

^

H

1.

,

. A4vcor --C .+t¡psp'' = n' Aaacor H' Vr- agcor H3

CM

. .

. .

¡área

.

Ao'".'

42

-'}fr!=fu

+A¡,'sc

+Ar,

+rÁu; A"J *v=+(s6+

3.s

+/5o' :s)

§§ El área de la base mayor de una pirámide cuadrangular es 80 cm2 y su altura es de 20 cm. a la base a Ia mitad de su altura. Calcula

volumen del tronco de pilímide cm

p

p

s

I

o L

< @

c ,q c a

0

6 cm

§ @

Ar = 375

I I

ffi

§ (e",

+

er, *

/Áq=4,

)-

v

=$

r:o +

B'

+

nTt4)=

+

ñ

. .

El volumen de una piriámide es 640 cm3. Se traza un plano paralelo a la base que pasa por la quinta

€

s @

7

*q

GeometrÍa

Por dato: Altura de la pirrámide es el doble de [a altura del tronco. Establecemos relación entre los volúmenes:

ffi

ó3

=

Vu o,e,c, h3 Vv -¡,a,c t- ]"ü* =# - :# á + vu -o"'.= =

Vy-¡g¡ -Vv-¡,n,c,

§ sml

USA ESTRATEGIAS Y PROCEDIMIENTOS volumen de una pirárn de es 540 cm3. Se traza un plano para e o a la base que pasa por la tercera parte de su altura partiendo desde su vértice. calcula el vo umen del tronco que se forma. El

)

-

, oLro

r!

520 cm3

Vr = 40 - 5 = 35 cm3

El volumen del tanque 35 cm3.

.

l

C]

Calculamos el volumen del tronco de pirámide:

Va =

634. illl crn'

UNIDAD

.

E

parte de su altura partiendo desde su vértice. Calcula el volumen del tronco que se forma.

cm2 At = 464,47

)

7

Vu o,e,c, h3

el

determinado.466,7 cnrr

B

138,67 cm3

una Raúl estudia mecánica en un instituto, pero los fines de semana trabaja empresa metálica. En la empresa tiene que fabricar un tanque para almacenar agua de forma de un tronco de pirámide triangular de tal forma que el volumen de la pirámide completa tenga 40 m3. Si traza un plano paralelo a la base por la mitad de la altura de la pirámide, ¿cuál es el volumen del tanque?

Se traza desde el vértice un plano secante paralelo

!

=

> EJEMPLO

Usa estratogias y procedimientos 1-3

cAPACTDADES

Daniel dibuja en el plano el desarollo de un tronco de pirámide regular. Halla el área lateral y el área total del siguiente desarrollo de tronco.

o á a o e

,

|

h3

- H3

Calculamos el área de la base menor:

=294cm3

Páés. 255-256

ffi

Vu ot"ot

|

o

El tronco de pirámide tiene un volumen de 138,67 cm3.

El tronco de pirámide tiene un volumen de 249 cm3.

orsnnnou-nrus

Vv-qe'c'or'-

Representamos en el margen los datos del problema.

v

=3'5cm-

Hallamos el volumen del tronco de pirrímide:

v=,(Ar,

.

A¡acor^ H2

A¡ s c' 42 Ao". H2 36 -.A-cB.C.=4Cm2 12) -=.-+ el volumen del tronco de pirámide: . Calculamos

Calculamos el área de la base menor:

aou:=ii,

An'e'c'o'e'

Ao'e'c' h2

Graficamos en el margen según los datos del problema.

Ao'*'c' h2

B

I

h2

.

determinado.

de la base mayor de una piriímide triangular es 56 cm2 y su altura es de 16 cm. Se traza un plano secante paralelo a la base que pasa por la cuarta parte de su altura partiendo desde su vertice. Calcula el volumen del tronco que se forma.

El

4

¿

Poligonoa.B c D E// PoligonoABcDE

El área de la base mayor de una pirámide triángular es 36 cm2 y su altura es de 12 cm. A la tercera parte de la altura se traza, pafiendo del véfice, un plano secante paralelo a la base. Calcula el volumen del tronco de pirámide

EJEMPLO 3

,i.

:Q

+ AB2 + y'ABr 'AB2 )

EJEMPL.o

polÍgonoAB,cD,E //PoligonoABCDE

ffi

v = i(Ae,

h'

Ar=A¡+As,+A6,

)ci

41=A¡+As,+As,

T

Area total

N N @

Ap'

volumen (v)

Area total (Ar)

lo {l!-re to sr¡1;lílri,l ef;tu{.liar L)il ftitllr (i :'

Emprende creat¡vamente (Se compromete con el

trabajo en equipo). UNIDAD

7

Geometria

255

LIBRO DE ACTIVIDADES

Cilindro. Are a y volumen ¡Texto

¡

fi

orsannouarus

Escribe V si

lf

es

cAeACIDADES

Comunica:

verdadero o F si es falso.

§) En la figura

Un tronco de pirámide se obtiene al cortar la pirámide por un plano paralelo a la base.

@ Las

M

bases paralelas de un tronco de

tr

pirámide son dos polígonos congruentes.

Gl Las

caras laterales de un tronco de pirámide

M

son trapecios congruentes.

B

La altura del tronco de una pirámide múltiplo de la altura de la pirámide.

es

Gl El

rírea total de un tronco de pirámide es su área lateral más el área de sus bases.

O

El volumen de un tronco de pirámide es mayor que la pirámide que lo contiene.

Usa estrategias y procedimientos: 7-1

Argumenta af irmaciones

un plano paralelo a l0 m de la base. Calcula el área de la base menor formada.

Libro de actividades (págs 257,259)

E

Au,

E

o",

2l

As, I ll .-= 24' 2l'

I

m

t11

l2l 576- 441

24ñ

=I#P=

158,04m2

@ Un tronco

de pir¡ímide con bases paralelas tiene como base mayor un cuadrado de lado 2 m. Si la altura del tronco es 3 m y su volumen 7 m3, determina Ia medida del lado de la base menor.

V=frAo,+AR.+/ABr

;=Jrl+ 2'*r/?j, -i

a'02

.r=-3sedescarta+¡=

=M§2 =62 422

a'n=J4Í=6,32-

Se sabe que la apotema de un artefacto electrónico

Graficamos con los datos: 12 cmr /'= 8 cm Hallamos el área lateral:

1g¿a tj) . ts

t¡

!

Haga notar la propiedad que hace diferente un cilindro recto de uno oblicuo: el segmento que une los centros de las bases no es perpendicular a estas. Una semejanza es que siempre mide igual que la generatriz.

I

Con ayuda de bloques lógicos circulares, indique que armen una torre. Pregunte: ¿Cómo se puede determinar su volumen? (Conociendo el área de la superficie circular de uno de ellos y multiplicándola por su

I

es 800 m3. Se traza desde su vértice un plano paralelo a la base que pasa por la cuaÍa parte de su altura. Halla el

altura). Luego, haga que inclinen lentamente la torre. Pregunte: ¿Cómo es el volumen respecto a la torre anter¡or? ¿Tiene ¡gual, mayor o menor volumen? (lienen igual volumen). Concluya que la fórmula para hallar el volumen de un cilindro, ya sea recto u oblicuo, es la m¡sma. Aproveche la actividad para destacar que en el c¡lindro recto la generatriz y la altura tienen la misma medida y, en el oblicuo, la generatriz será mayor.

volumen del tronco de pirímide determinado.

rl' lrirmu¡¡r'\ v\ _ \B(.-

h' H.

lnterpretamos el problema, como el plano pasa por la cuarta pane de su altura: H - 4h

Ar = 600 cml

A", =S2=64.rr2 AB, = l2 = 144 cm2 Ar = 600 + 64 + 144 = 80{l cmr

Pida que recorten un rectángulo y lo peguen en un lápiz. Háganlo girar de modo que los estudiantes aprec¡en que el movim¡ento del rectángulo describe un cil¡ndro, el cual es llamado cilindro de revolución.

@ El volumen de una pirámide triangular

lr \iPlti(rttc _

Rcemplazamos los datos: c¡n

g

€ p

Vr rBr h' Vv au, tl0(l = (,thr' - 800 =_¡! 64 h'

u,

n.n,

=tT -

tt.5 nr'

Realice un breve repaso de los saberes previos. lnterrogue: ¿Cómo se halla la longitud de la circunferenc¡a? (zfi,r). ¿Y et área del círculo? (nr2). ¿En qué cons¡ste el teorema de Pitágoras? (La hipotenusa al cuadrado es igual a Ia suma de los cuadrados de los catetos). Complemente con una lista de objetos del entorno que tengan forma cilíndrica indicando su utilidad. Solicite que mencionen otros objetos. Pregunte: ¿Por qué en la mayoría de casos se emplean envases de forma cilíndrica para almacenar y transportar sustanc¡as? (Porque son fáciles de apilar, por lo llamativo del diseño, ya que permite colocar las etiquetas con facilidad, etc.).

I

Resolvcmos en fbrma analítica usando

a7 = l5 cml I = Ar. =

tn

A'

La medida dei laclo menor es I m.

en forma de tronco de pirámide cuadrangular es de 15 cm y los lados de las bases miden 8 cm y 12 cm, respectivamente. Determina el área total del tronco.

Infiere conclusiones sobre la variación del área V volumen. (3)

Para desarrollar

.AB,

7=12+4rt4rr ?+4+2x=7+l+2r-¡=0

Aplicamos Pitágoras en et N MPN:

.

Para iniciar

m

Graficamos con los datos y hallamos la apotema de la pirámide: PM = 6 m; PN = 2

volumen de cilindros y tronco de cilindros. ('l-2,1-7)

Sugerencias didácticas

24m G¡aficamos con Ios datos y hallamos el área de la base menor:

Graficamos con los datos y ballamos el lado de la base menor:

+

v,,,,,., =7x7.s m'

El volurnen del tronco de pirámide es 71J7,-5 mr. 256

:

m

apotema?

@

6a)

Capacidades y desempeños prec¡sados . Resuelve problemas que involucran el cálculo de áreas y Usa estrategias

1

y procedimientos

Ar, hl Ae, -=-+..H-

La altura de un tronco de pirámide cuadrangular regular es 6 m y los lados de las bases miden 4 m y 8 m, respectivamente. ¿Cuál es la longitud de su

1-ó

se traza

E

Resuelve.

[)

esc0lar (pág

FIGURAS GEOMÉIRICAS EN EL ESPACIO

I

En el ejemplo 8, resalte que se pueden presentar soluciones con valores negativos que no responden a la naturaleza del caso, pues no existen

N N j

@

ci

i

:9

) e o o

p

med¡das negativas.

_E

o

4

Para consolidar

o

0 Concluya colocando

c

tarjetas en la pizarra con los distintos términos empleados, como por ejemplo: altura, generatr¡Z, cil¡ndro, etc., y pida a los estudiantes que los jerarquicen y relacionen a través de flechas y palabras rlo anlana nnnclrr rrronrln ací rrn nrneniu cr.lnr

rricr ral

§c C

a

(o

LIBRO DE ACTIVIDADES

TEXTO ESCOLAR

ü

CUERPOS DE REVOLUCIÓN

Cilindro. Área y volumen

E

Un cilindro es un cuerpo mixto, es decir, combina una superficie plana y otra superficie curva. Son muchos los objetos que tienen esta forma: baldes de pintura, productos enlatados, etc. El estudio del cilindro te permitirá calcular el material necesar¡o para la elaboración de estos objetos, así como su costo.

Área lateral:

\=2n

c

c¡l¡ndro recto. Área y volumen

Cilindro recto

También conocido como un cuerpo de revolución, porque se puede obtener al rotar un rectángulo sobre uno de sus lados.

El

E

EJEMPLO 4

cilindro recto es un sólido de revolución generado por un rectángulo que gira alrededor de uno de sus lados, llamado generatriz (g). Su desarrollo está compuesto por un rectángulo de altura (h) y dos cÍrculos de radio (r) congruentes que forman las bases (ver margen). Area lateral (AL)

Halla el volumen del cilindro hueoo de 10 cm de altura en cuya base se aprecian dos radios de 2 cm y 4 cm que lo delimitan.

volumen:

.

V=¡f.h

ambos cilindros:

Y

Tronco de c¡lindro recto

V=Vz_Vr - y-

=(n. 42.10)-(n

. 22.

(nrl

.

es 376.8 cm3.

. .

lr,

V=

Si

+ h,\ ^ /h.LZj) ñt'\

a un cilindro recto se le corta con un plano oblicuo a su base, obtendremos un tronco de

cilindro recto. El área total es: AT = n r (n,

. hr+r +

,,

*ln,

n,)'

.'7

N @ j

=-33 cm

.

r

CM

aÉF

d c

:9

Prá€is.

Identificamos que el pofalapiceros tiene la foma de un tronco de cilindro. Como debemos hallar el área lateral más el ¡írea de la base, restamos a la fórmula del ¿írea total el valor 37,63 cm2, que corresponde a Ia elipse de la parte superior.

14

7+10+3,3+ /. .' / ro27\'\ // 1r.r*\

Ar =

3,

Ar =

1O,362 (20,3 +

3,3

3,625)- 37,63 = 21O,28

.

p s =o

f!

Halta e1 área lateral de un cilindro cuyo radio mide 12 cm y una altura igual a su diá*i,],á8.,,*

§

Calcula el volumen de un cilindro si su radio mide l0 cm y su altura 14 4J96 crnl

@

§C C

a

64

usa estrategias y proced¡mientos :

cAPAcTDADES

? + 10r-56=0

'r

(10 + r)

+ rt= 4 v 12= -14 +r=4

§ .n,.

Si duplicamos las alturas del portalapicero del ejemplo 5, ¿se duplicará su área total?. Si el área de la parte hueca del portalapicero es ahora 46,24 cmz ¿se podría hallar la medida de su volumen? No. ill6..1ll cmr. Sí. 5lJ 1.3 I cnrr

cm

At = 2nr' g + Ar, = )' 3,14 4' 1O = 251,2 cm2 V=nr2 h+V= 3.14'42 10=502,40cm3

v

El volumen de un vaso que tiene forma cilíndrica es 157 cm3. si el radio de a base del vaso mide 2.5 cm, ¿_cuánto mide su altura?

8cm

tu ciudadanía

C' B'

,

-

E E

§

s

Aplicamos el teorema de Pitágoras: AC2 = 62 + 82 + AC = 10 cm Aplicamos el teorema de Poncelet: AB + BC = AC + 2r

.

-

Área de la base: Au = ¡r2

+

B

Ae = 3,14 ' 22 = 12,56 cm2

Calculamos el volumen del cilindro:

V

=As' h +V = 12,56' 12 =

l5O,'72 cm3

El volumen del recipiente es 150.72 cm3.

o

l2 cm

6+8=10+2r+r=2cm

a

1-2 Argumenta aftrmaciones: 3

€

cm.

-

=2

3,14

Calculamos el radio de la base y luego el área de la base:

ñ a

ff

L

12

351,68

Calculamoselvolumen:

-

=

-

= l0r+

+

Calculamos el área lateral:

37,63

cm2

257 259

oesnnnou-nrus

(E + r)

USA ESTRATEGIAS

Y PROCEDIMIENTOS

El círculo (base del cilindro) está inscrito en el triángulo rectángulo (base del prisma).

Para forrar cada uno, se utilizará, aproximadamente,2l0 cm2 de papel

o o o

l0 cm

En la región Loreto, para no afectar el medioambiente por el derrame de petróleo, los pobladores han decidido recogerlo del río con varios cilindros inscritos en un prisma recto de madera, como el de la figura del margen que ellos elaboraron. Si se sabe que las bases son triángulos rectángulos de catetos 6 y 8 cm y arista lateral ig:ual a 12 cm, determina el volumen de petróleo que recoge cada poblador con dicho recipiente.

Si el área de la superficie que comesponde a la parte hueca del portalapicero del margenes 37,63 cm2, ¿cuánto papel se utilizará para fomar externamente cada portalapiceros?

\lÜ

v=¡rr2.h

EJEMPLO 9

EJEMPLO 5

,."r'

Ar=2Ír(g+r)

Calculamos el radio del cilindro partiendo del área total:

56

Tronco de cilindro recto t'

I

Volumen (V)

Calcula el radio de la base, el área lateral y el volumen de un cilindro de de altura si su área total es 351,68 cm2.

\.=2ñr lr,

(Ar)

EJEMPLO 8

.h)-(nri.h)

l0) V= 160¡-40¡ = l20n=376,8cm3

El volumen del cilindro hueco

Area total

At= 2nt ' g

Se observan dos cilindros de 10 cm de altura, pero de distinto radio en sus bases (rl = 2 cm y rz - 4 cm). El volumen del

cilindro hueco resulta de la diferencia de los volúmenes de TEN EN CUENTA

I

2cm

Area total:

A =2¡r(g+r)

I

Cuando una figura plana gira alrededor de un eje se obtiene un cuerpo de revolución. Estudiaremos el cilindrg el cono y la esfera.

RECUERDA C¡lindro recto

Cuerpos de revolución

I

0

¿ilas particip,rdo ¡lgilr'la vez en la solLrcrirn de alÍlllrl .icsa:ltre

L'n

tu di:;trito?

Ejerce su ciudadanía. (Evalúa situaciones de riesgo y propone acciones para disninuir la vulnerabilidad fiente a 10s desastres). UNIDAD

7

Ge0metrla

257

LIBRO DE ACTIVIDADES

I

CUERPOS DE REVOLUCIÓN

CUERPOS DE REVOLUCIÓN

Tronco de cilindro recto

fl

corta un cilindro por un plano oblicuo a su generatriz, se obtiene un tronco de cilindro cuyas bases son un cÍrcu'o y una elipse. Si se

Tronco de cil¡ndro recto

(Ar)

,rl A,

h,

=,.

volumen

r, ih,-h,\2 (*\-)

hr+hr+r+

cAPACTDADES

Usa estrategias y

Resuelve.

__l Area totat

orsnnnorurus

ll

(v)

v=n.r(!L1:-)

es el volumen del tronco de cilindro regular recto que se muestra en la figura si OA = 4m y O es centro?

Calcula el volumen de un cilindro de revolución de 10 m de altura. Además, el desarrollo de su superficie lateral tiene por rárea 100¡ m2.

j

EJEMPLO

r=5nr

El volumen

V = 250¡ ml

iill

I

.

16 cm

=,r',(\*) *

aor,:s = 3,14. r2(&t1§)

-

¿=e

+

//.-i

*,

Ar=3.r4 :( ro*

+

/l.

+

En un cilindro rectq las

medidas de la generatriz y la altura son iguales. Esto no sucede en un cilindro oblicuo.

Cilindro oblicuo

V = fir2.h

B

ll

En el trapecio ABCD por teorema de Pitot:

C 2

i^

6+2=2r+BC BC=8-2r

D

En el triangul,r reetángrrlo BhC por tcorernr cle

Pitigoras:

,

r=3/2cm; h=3m _. la\z 3=tr¡f - 11 v

=

t8 2n2=42+r2rt:.+ r= |

"(])', (o;

2)

=

o,r,'

3

=r\í)

B

Y = 21,2 m1

Calcula el volumen del tronco de cilindro de revolución de la ñgura si BD = 8/7 m y CD = 5 m.

fl$ Se inscribe un prisma regular hexagonal en un cilindro. Determina en qué relación están el radio y la altura del cilindro si su área es n veces el área lateral del prisma. §

Reemplazamos los valores en la fórmula de volumen:

+ v = 3,14 (0,8)2 . 7,5 = 15,07 cm3

El volumen del cilindro oblicuo es 15,07

N

C

@

j

CJ

i

D

:9

Graficamos el problema:

cm3.

i{ La inclinación de un cilindro oblicuo con la horizontal

E

p e I

§

a

e p !

I

su volumen es 108¡ cm3. Si su generatriz mide 15 cm, o 258

Grafi camos y resolvemos:

volumen del cilind¡o:

(N :O' y 60'):

h -v5 -h-7<^a.662

0,: ángulo de inclinación

l

=4

B

Calculamos ta altura

Y = nr2 .h

o*3Ér

datos y hallamos el

Calcula el volumen de un cilindro oblicuo cuya inclinación con la horizontal es 60o, su generatriz mide 8,66 cm y el radio de la base mide 0,8 cm.

.

=

Cralicar¡os con los

Un cilindro oblicuo es un cuerpo que t¡ene como bases dos caras circulares paralelas (cuyos centros pasan por un segmento de recta que no es perpendicular a los círculos) y está rodeado por una superficie que ajusta a los círculos, como muestra la figura del margen. para resolver problemas con estos cuerpos, por lo general, se construye un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es la generatr¡z del cilindro y un cateto es su altura.

.

r-u"so,f

E! Determina el volumen de un cilindro de revolución inscrito en un cubo cuya arista mide 3 m.

.

I EJEMPLO 11 Cilindro oblicuo

3

Vr=r.32.4=36r Yr=¡.42.3=4gn

Ar= 313,t2 cm2

El radio de la base del tronco de cilindro mide 3 cm y su área total es 313,12 cr*

TEN EN CUENTA

tronco de cilindro de revolución, si se sabe que se puede inscribir una esfera y que la generatriz menor mide 2 m y la mayor,6 m.

4 4

z2) = 9,42(29 + 4,24)

ü! Halla el volumen de un

3

ro.3.fn(-l!;-t-0)')

Ar=9.42\zs + Jl2 +

Luego,V=96rml

(irafic¿rmos ambas situaciones:

(E+)',}

./C+g\ v=nrl-z:/

v= r(2"a)'?(1010)

cilindros que genera un rectángulo de 3 m y 4 m de lados, cuando gira alrededor de uno de sus lados.

r = 3 cm

6

Graficamos con los datos y hallamos el volumen del tronco:

¡R

El Halla la relación entre los volúmenes de los

Calculamos el iárea total:

er= rr' r(¡, * t,

t0

o

Calculamos el radio de la base del tronco de cilindro tomando como dato su volumen:

v

100¡

h=10

V=r.52.10

=

- =

l0

2r'(10)=100n

.

proced¡mientos: 1,7

El ¿Cuál

Graficamos con los datos y hallamos el volumen del desarrollo:

de un tronco de cilindro es 367,38 cm3. Calcula su radio y área total si la altura mayor es 16 cm y la menor, 10 cm.

'

o

A"i¡¡,,¡.,,=

1

A,,,¡'n^

.

(iraficanos con

. (l)

-¿

Pero. A.jti,,.t,., = 2;r r(h + r)

f

,?.

están en relación de 2 a

I

darcs y hallamos el

o C

I

AD=AB=8m+r=4m V=¡.4r'l815\= lo¿,-' \2t

p 2

BD= 8rDm

Reemplazarnos en ú): + r) = 6¡ r' h

2¡r(h

=

€a

B

volumen del tronco: En el N BAD:

Ap,i.,,"=Pa'h=6r'h

r-uego.

los

I)

A

e

L

UNIDAD

7 ceometria

259

a o c .F

§ C @

o)

TEXTO ESCOLAR

Cono recto I

Texlo escolar (pág

65) r

Libro de activ¡dades (págs. 260-261)

Capacidades y desempeños precisados . Resuelve problemas utilizando el cálculo de áreas y volumen de Usa estrategias y procedimientos Argumenta afirmaciones

cono. Esfera. Área y volumen Las formas geométricas de un cono y de un tronco de conq s¡n base, t¡enen cierta ventaja sobre las formas de otros cuerpos geométrtcos, ya que se apilan con facilidad y, por lo tantq ocupan poco espacio. Además, sus formas han motivado a los artesanos a fabricar d¡ferentes objetos similares.

conos. (1-2; 1-4)

.

Plantea conjeturas respecto al área y volumen de conos. (5-7)

Cono recto y tronco de cono

Sugerencias didácticas

Si

Para iniciar

I

I

RECUERDA

lnicie preguntando: ¿Qué objetos de tu entorno tienen forma de cono? (Los barquillos de helado, los conos de prevención , elc.). ¿Qué ventajas tienen los objetos con forma de cono? (Son fáciles de apilar y ocupan menos espacio). Comente que el cono también es un cuerpo de revolución. Pregunte: ¿A partir de qué figura geométrica se genera el cono? (El triángulo rectángulo). Verifique que los estudiantes identifiquen los elementos principales de un triángulo rectángulo, tales como catetos e hipotenusa.

I

I

AL=¡ú"I

N N @ j C;

¿ .o

'ú 3 ! o a o ! !

sc o

tu

Area total:

,\=Er(8rr)

.

a c

§

c 6

I

Solicite que realicen las actividades 1 y 2 de la sección "Desarrolla tus capacidades". Luego, pida que investiguen si al girar un triángulo rectángulo sobre cada uno de sus catetos se pueden generar dos conos distintos de iouel voh rmen

. .

TEN EN CUENTA Tronco de cono

Hallamos la generatriz aplicando el teorema de Pitágoras.

+

6,25 + 144 = 150,25

Calculamos el volumen:

y

+

g

= 12,26 cm ttz\

(2.5)2

=xl'h 3 =3'14 3

78.5 cm3 = -'"'-

Expresamos el volumen en unidades de capacidad (litros):

lfX)O

8cm

122 =

v--Zefig1l-L=0.08 L b

¡

es

cm

sz = 12,5¡2

,,'3 (rr2.h)

Pregunte: ¿Cómo se obtiene el área total del cono? (Sumando el área lateral y su base). ¿Cómo se obtiene la fórmula del área total presentada?(Extrayendo el factor común, nr, del área lateral y del cÍrculo). Para explicar el volumen del cono, presente un cono y un cilindro hechos de cartulina, que tengan igual base y altura. Vacie tres veces el contenido del cono (puede ser de bolitas de tecnopor o arena) en el ciljndro, y observará que lo llenan en su totalidad.

Para consolidar

EJEMPLo ó

Un cono de barquillo tiene 12 cm de fondo y 5 cm de diámetro superior. ¿Cuál la capacidad (en litros) del cono de barquillo?

volumen:

Presente un triángulo rectángulo y hágalo girar sobre uno de los catetos, para que vean cómo se origina el cono. Supervise que asocien los elementos del triángulo rectángulo con los elementos del cono: hipotenusa (generatriz), altura (cateto) y radio de la base (el otro cateto). Aclare que la generatriz siempre será mayor que la altura en un cono recto.

En el ejemplo 12,haga notar la aplicación del teorema de Pitágoras para calcular, en este caso, la altura del cono y recuerde reemplazar el valor de n, como 3,I 4. En el eiemplo 1 3, pregunte: ¿Con qué datos se cuenta? (El área total y el producto de la generatriz y el radio). ¿Qué datos necesitas conocer para hallar el volumen?(El radio y la altura). Para el análisis del ejemplo 14, interrogue: ¿Cuál de las fórmulas se debe emplear para dar solución al problema?(Area lateral). ¿Qué características tiene el segmento que representa la distancia entre el centro de la base y la cuerda? (Es perpendicular a la cuerda y la divide en dos partes iguales). Previamente al desanollo de las actividades de Ia sección "Desarrolla tus capacidades", revise los principales fiángulos notables y pitagóricos, ya que serán demandados en la resolución de estos.

. Ar = n [B'(r + R) + 12 + R2] . v = qryr'41l8 3

cono recto Area lateral:

Para desarrollar

I

cortamos el cono con un plano paralelo a la base se formará un tronco de cono. Las fÓrmulas

para el área total y el volumen son:

EJEMPLo

cm'

JDo

t2 cm

g

.dro,-o.o

7 *

Los diámetros de las bases de un tronco de cono miden 8 iírea total y su volumen si la generatriz mide 13 cm.

y

. .

+

Calculamos la altura del tronco de cono: (h')2 =

132

-

52

18 cm. Calcula su

h' = I 2 cm

Calculamos el iárea total y el volumen del tronco de cono:

+ Ar = 3, 14u3 (4 + g) + 42 + 92f = 835,24 cm2 nh'(r2+R2+r'R) ., ., 3,14 12142+*+4'91 =1670.48cm' " "' V="""'; '\=-3

Ar = n [g'(r + R) + I + R2]

18 cm

Esfera. Secciones esféricas

aÜF

Para hallar la superficie esférica y el volumen de una esfera usamos las siguientes fórmulas:

'

Asuperficie estérica

=

4d2

'V".r"ru =

{rr3

Págs. 260 265 a

É

-E @

ffi '

orsannorrArus

Usa estrategias y procedim¡entos

cAPACTDADES

¿Cuánto debe medir la altura de un cono de 8 cm de radio para que su área lateral sea de 314 cm2.

Detemina la superficie y el uoi*.r., a" r, oJ¡Jiá"' de forma esférica cuyo diámetromirle,39r"ffi,, _,

1

-3

Calcula el área total de un tronco de cono cuyo radio menor mide 5 cm y el radio mayor es su doble. Además, la medida de su altura es de igual medida que el diámelro menor.

.,,,.

UNIDAD

7

Geometría

ó5

LIBRO DE ACTIVIDADES

.

CUERPOS DE REVOLUCIÓN

CUERPOS DE REVOLUCIÓN

Cono recto

fl

cono es el cuerpo que se genera al girar un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos que es la altura (h), a hrpotenusa es la generatrlz (g). su desarrollo plano está compuesto por un sector circular y un circulo de radio r (ver margen). El

Al

=

Área totat 1A.,.¡

volumen

(v)

,,,= ][r2.h l

Ar=¡rr(g+r)

frr' I

cAPACTDADES

Usa estrategias y procedimientos;

Analiza y resuelve.

Il Area lateral (AL)

orsnnnou-nrus

O

Si el á¡ea lateral de un cono de revolución es igual a^/1 veces el área de su base, determina el ángulo que forma la generatriz con la altura. Por dato:

A. = 12

1-4

'

Argumenta afirmaciones: 5'7

Determina el volumen del cono engendrado al girar un triángulo rectángulo isósceles cuyo perímetro mide 2 m. Por dato, el peímetro es 2 m:

x+¡+x^/?=2+¡=0.59

A0.,,"

Reemplazarnos:

EJEMPLO 12

B

=,./1

Calcula el área total y el volumen del cono que se muestra en el margen.

. 25 cm

Calculamos la altura: h2 =252

+h=24

-72

.

cm

EJEMPLO

+

-r230,88+V=

3

f) Ar = 703,36

cm2

Calcula el área total de un cono de 12 cm de radio y I 6 cm de altura. Pordato:

1230,88cm3

.

g

I3

Por dato:

Ar = fir(g + r) = 300¡

Además:

g'r

= 200 ... @

Reemplazamos @ en @:

.

NABC:

g.

12

+

10 = 2OO

-

2OO

+

12

h2

+

102

=202

+

Hallamos lo que nos piden: V =

=300

+

r = l0 m ...

g= )Q ¡¡

102. (10a5)

=5//,-J5nm-

que se forma el

5k=30

l

= 42 +32

En el NAOC: g2 = 52 + 42

+r=5 -

g=

Nos piden determinar la cantidad de material que se utilizó. Para ello, calculamos su área lateral: Ar. = r¡r. g =3,14 (5) . (6,4) = 100,48 m2

cnr

=l/./¡Cnl-

I

v.,,,,,,

-

V,,,,',,,,,0"

= 33,4g

21

'11=

-5'78 cml

Hallamos el área total: 27 12,96 t¡2

D del cono es 65 cm2. Halla el volumen del cubo.

h\

.¿ a

m

"/+t = 6,q m

Jl

¿¿r E ^ P = 0.2./3 =ovicm AB= 2 2 ..vpi,imjdt= tJ¡.8 ^--.

ABC notable:

@ En la figura, el volumen

centro de la base a la cuerda mide 3 m. ¿Cuál es la cantidad de material que se utilizó para revestir su local?

12

= 33,49 cnrl

Ar=r¡ 18'(30+l8)=864r

de cono de 4 m de altura y está revestida con un plástico especial. Se sabe que la longitud de una cuerda frazada en la base del cono circular recto mide 8 m. Además. la distancia del

eINAMO:

N

A.22.8

Calculamos el volumen de la pirárnide: El N OBA es notable: AB = I + a,, =

4k=24+k=6 A¡ =

Si la cuerda AB mide 8 m. entonces AM = MB = 4 m

3

C)bservamos con los tlatos

h = 1600 = 10rB m

n.

Hallamos el volumen del co¡ro: r = AB = 2 cm

G) La altura de un cono mide 24 m, y la razón del radio de la base y la generatriz es 3:5. Halla el iírea total del cono.

@

El local de la heladería "El Buen Frío" tiene forma

En

2cm

Ar =n l2 (20 + l2)= llll4rcml Ar = 1205,76 cm2

+ rg = 300 ... @

EJEMPLO 14

. . . .

los volúmenes de ambos cuelpos.

ti=20..

Ar=¡[r(g+r)

Graficamos con los valo¡es hallados en el margen y calculamos h. En el

g=r[o'*

Hallamos el área total:

Luego, @ en @:

.

@ Una pirámide hexagonal regular de 8 cm de altura y 2 cm de lado de la base está inscrita en un cono. Halla la diferencia entre

Recrnplazamos:

Halla el volumen de un cono si su iírea total es 300¡ m2. Además, el producto de su generatriz y el radio de su base es 200 m2.

.

r= 12cmyh= l6cm

= 0,215 mr

3

Observanros que el N ABC es notable. entonces 0 = 45'

Calculamos el iárea total y el volumen:

Y= 3 +r=

!

I

9

Hallamos el volulnen del cono:

p

,.

I

!

La cantidad de material que utilizó es 100,48 m2. o 260

n(0,59)2(0,s9)

g=rDr+h=r

La altura del cono mide 24 cm; su generatriz,25 cm y el radio de su base,7 cm.

Ar = ar (g + r) + At = 3,14' 1 (25 + 7) = 703,36 '' ¡r2'h '' 3'14'72'24

C

Hallamos el volumen del cono:

Jf r'g=a? fi rl

§ o

3.14.r2.h

=

=§-5+r'.h=62.10 Del gráfico: ¡ = Zr- Zrl = 62,10 + rr = 31,05 V.,,* = (2r)3 + V",,6n = 8rl V.,u, = 8 (31,05) + V.,,n" = 248,4 cmr

Se funde un cilindro de metal de radio r y altura h. Con el metal se hacen conos cuyos radios miden 1a cuarta paÍe de la del cilindro, y las alturas, Ia mitad. ¿Cuántos conos se obtienen?

G

ll,l tll

Lt9 /1\ (- L:)

.,

) p

o o

I.12.h _./I\r.h '' \4i 2 32 ¡.12.h .l-l16=

Ci

:9

h

V.ir,no^, n 12 h

v.";

j

i

Graficamos y calculamos los volúmenes del cilindro y el cono:

V",,',,.r.=r'l

N @

f

p

V.,,n..,

=e6con.s

't-l

i;:;

96

-

o c a c

Se obtienen 96 conos. UNIDAD

s

7

Ceometria

261

§ E

a @

LIBRO DE ACTIVIDADES

Tronco de cono I

Libro de actrvidades (págs. 262-263)

a

cuERPos DE REVoLUctóN

Capacidades y desempeños precisados . Selecciona la estrategia más conveniente para resolver Usa estrategias y procedimientos Argumenta afirmaciones

Tronco de cono Tronco del cono

problemas de tronco de cono, (1-5)

o

Al cortar un cono por un plano paralelo a la base, se obtiene otro cono mas pequeño que el anterior y un tronco de cono. En este se distinguen, como elementos principales, los radios de las bases (r y R), la gereratriz (g') y la altura (h').

A

Plantea conjeturas respecto a las situaciones problemáticas de tronco de cono. (6-8)

Área total

Sugerencias didácticas

(Ar)

Volumen (V)

.,n= :rh'(l+R2+r'R) l

Ar=nlg'(¡+R)+12+R2l

Para iniciar

§

4.2 cm ,

Para desarrollar

&

§

N @ j

ci i

En el ejemplo 15, interrogue: ¿Cómo se obtienen las medidas

de

los radios?

2,8

§

-

Valora su cuerpo y asume un estilo de vida activo y saludable. (Adquiere hábitos de alimentación saludables y cuida su cuerpo).

ARGUMENTA AFIRMACIONES

v Con los datos del ejemplo 1ó, ¿se podria hallar el área que ocupa la duna si la circunferencia de la base mide 1ófi m? Justifica tu respuesta. Sí se puede.

En el ejemplo 16, haga notar que para calcular la generatriz se debe formar

At=412,45

E §

§

o L

@

§c c @

§

+

V

= 498 cm3

Reemplazamos los datos en la fórmula de volumen del tronco de cono:

,, "

¡;h'11+R2+ r. JJ 498. 3.14.

3

R)

1494

37.24 il6.93

+

498=A;tr12.4': + 4,22 + 2,8. 4.2)

= lf

7R

La altura del vaso mide - 12,78 cm.

@

¿.Cuantos lrtros de agua ton]as diariamente? Averigua s¡ es suiicrente

EJEMPLO 1ó En la región Áncash, en la provincia de Casma, se ha formado una duna en forma de tronco de cono de revolución como muestra la figura. Las longitudes de las circunferencias son 8n m y 4r m. Calcula el área que ocupa la cantidad de arena que tiene la duna en metros cuadrados

. m2

Calculamos los radios del tronco con los datos:

2nr=4n+t=2m

.

2¡R=8n+R=4m

Hallamos la generatriz utilizando el teorema de Pitágoras: e2

=d3212

+22 . g=

v46

*

g

=6

m

Aplicamos la fórmula para hallar e[ área total del tronco de cono:

Ar = ¡[g'(r + R) + I + R21 4, = nt6(2 + 4) + 22 + 42] Ar = n[36 + 4 + 16] + A, = 1':.5,84 m2

Como actividad de extensión, organice equipos para que construyan troncos de cono. Los estudiantes deberán estar en la posibilidad de establecer las dimensiones de las bases, ya que no se trata de dar cualquier medida. Realice la puesta en común, explicando los procedimientos para realizar la plantilla del tronco de cono. Formule las siguientes preguntas: ¿Qué dificultades tuvisfe en la clase? ; (lámn lcc ct tnarocta2

0,498 litros = 0,498 dm3 = 498 cm3

.

.

Para consolidar b

Graficamos con los datos en el margen: R = 4,2 cm; r = 2,8 cm Realizamos la conversión de los litros a unidades de volumen:

U=

un triángulo rectángulo, en donde uno de los catetos es la altura del tronco de cono, y se traza una lÍnea paralela a la altura; el otro cateto resulta de la diferencia del radio mayor y el menor de las bases.

a o

cln

\*¡¡r

(Dividiendo entre 2 la medida de los diámetros). lnvite a los estudiantes a dar a conocer sus respuestas referidas a la pregunta planteada en la parte inferior. Comente que el consumo de agua en cantidades necesarias, ocho vasos diarios, es un hábito de alimentación saludable, ya que permite desintoxicar nuestro cuerpo e hidratarlo.

:9 !

Realice el desarrollo del tronco de cono, Previamente, realice un repaso sobre el área de sector circular, Iongitud de la circunferencia y el área del cÍrculo para comprender el área lateral y total del tronco de cono. lt/otive a los estudiantes a expresar verbalmente las fórmulas presentadas y el orden en que deben resolverse las operaciones.

Marcela vive en el Cusco y toma durante el día 8 vasos con agua para cuidar su salud . El vaso tiene forma de cono tnrncado cuyos diámetros miden 8 ,4 y 5 ,6 cm, y la capacidad del vaso es 0,498 litros. ¿Cuál es la altura del vaso?

. .

§ Solicite que recorten un trapecio rectángulo y lo peguen a su lápiz o lapicero (a lo largo del lado perpendicular a las bases), y que lo hagan girar. Pregunte: ¿Qué sólido se genera? (fronco de cono). ¿Qué elementos del cono representan las bases del trapecio? (Los radios de las bases).

Vive saludabiemente

EJEMPLO 15

Apóyese de la imagen que se encuentra en el margen y pregunte: ¿Oué elemento geométrico corta al cono?(Un plano paralelo alabase). ¿Qué sólidos se obtienen? (Un cono de menor altura y un tronco de cono), ¿Qué diferencia existe entre el cono y el tronco de cono? (El cono tiene una base y una cúspide, el tronco de cono tiene dos bases paralelas y de diferente tamaño; no t¡ene cúspide).

El

I

e €

e iírea que ocupa la cantidad de arena es 175,84 m2. o

262

LIBRO DE ACTIVIDADES

Esfera ¡ CUERPOS DE REVOLUCIÓN

Libro de actividades (págs. 264-265)

T

Capacidades y desempeños precisados

fl

orsannou-arus

cAPACTDADES

Us

Analiza y resuelve,

O

La altura del tronco de cono mide l0 m. Halla el área total del tronco de cono cuyos radios miden 2 m y 6 m. respectivamente.

estrategias y procedimientos:

= t0

Reemplazamos los datos

@ La generatriz del tronco

-r

de cono mide 15 m. Halla

l0m

h2

R r

= f 5:

- 2l +

h=

del tronco de cono que se muestra en la figura.

-r Reemplazamos los datos en la fórmula:

(3.14).(12).(lo2+ 6r+ lo.6)

Un cono cuya base tiene 10 cm de radio y de altura 36 cm, es cortado por un plano que pasa a 24 cm de su base y genera una base menor de 8 cm de diámetro. Halla el iírea total del tronco de cono resultante. Graficamos y hallamos la generatriz del tronco:

l2 crr

g=\84 cnl

+ l0) \ Ar= l45l'8lcm2 = n124.7 4(4

+ 62 =2a,7a

,R

En la clase anterior, recuerde a los estudiantes traer papel de seda, goma, tijera, una esfera dividida por la mitad, pabilo o lana,

§

Pida que recorten varios cÍrculos del mismo tamaño y doblen cada uno de ellos por la mitad. Luego, indique que coloquen los semicírculos uno sobre otro y los peguen en forma intercalada, de tal manera que, al unir el último con el primer semicírculo, se genere una esfera. Solicite la participación de los estudiantes para que indiquen lugares, objetos o situaclones en las que aparezcan conceptos o ideas relacionadas con la superficie esférica y la

rlR r+r -R.rr

r)r- R.rl +y ='-9.(s,-

I

t)

-J

>\=t5arlr

¿Cuántos baldes de agua se deben sacar del tanque para vaciarlo completamente? V.;¡¡,,¿,u

v",r"

=

=

esfera. 25

p.,,..

lill cm

l4 cm

ll6

3'14 (20.5)r'

88

=

(3.14X20X7'?

+

12.52

J.

.

Destaque permanentemente que las secciones de la superficie esférica son "huecas", mientras que las de la esfera son "sólidas" y que, por ello, se calculan sus superficies y volúmenes, respectivamente. Ayúdelos a notar la diferencia entre superficie esférica y esfera. Para ello, comente que una pelota de playa puede dar la idea de superficie esférica, mientras que una bola de bowling,la de una esfera,

I

Proponga la siguiente actividad para deducir la fórmula de la superficie esférica: Enrolle una pita alrededor de la superficie de la semiesfera y mídala. Enrolle otra pita desde el centro del círculo máximo y compare ambas medidas. Concluya que la cantidad de pita utilizada para enrollar la superficie de la semiesfera es el doble de la cantidad de pita utilizada para enrollar el círculo máximo.

12.5)

= r8,e5 = re bardcs

Gl Si el volumen

l9 baldes.

de

tronco de cono es 700fi cm3, halla

el iírea total del cono pequeño.

I

l0 cm Reemplazamos V = 700f y hallamos r:

en la fónnula del área:

r +lt)r-75=0 >r=-l5vr=5

>r=5

S del crrnu pequ(ñr,: g = /sl a Calcularnos el rrea del crrrr pequerio:

Hrll¡mr,.

l0rl

I

Vsr¿" = 6128,23 cm¡

7119¡=' !12).1¡02 + l0r+ 12¡+ I75 = t00 +t0r+ rl

+ 42 +

Para desarrollar

123,48 cmr

+1

Reemplazamos los datos 6em

o

l(R +

Se deben sacar del tanque

p I I

§

-1

"'= ':1j3,1í'

V = 2461.76 cmr

4

§

41 cm

ül

6

El Calcula el volumen

a

V=

rlh.

V=¡¡t5l)

V = 56ó5.27 nrr

!l

v=r,¡lrR -R r+r r=.-l' {J

Reemplazamos los datos en la tórnrula:

v=1.(3.r4) '(14.87).(102 + l2r + 10. 12)

v=+

bases es 8 y su producto es I 1. Calcula el volumen del tanque.

nDlt =t+.Sl

Calcula la superficie esférica y el volumen de la esfera y de las secciones esféricas. (2; 4-5, 7-B)

Para iniciar

l5)=5966crnr

de petróleo en forma de tronco de cono tiene 9 m de altura. La suma de los radios de sus

l¿ ¿l¡s¡¿dsl 1¡s¡1¡s

.

Sugerencias didácticas

Craficamos y hallamos

l5nr

l0

hl= l3l-51+¡=r/144 = 12s¡n Reemplazamos los datos en la fórmula:

Gl Un tanque

el volumen del tronco de cono cuyos radios miden 10 m y 12 m, respectivamente.

-

Usa estrategias y procedimientos

deltronco:

v={ f:.r+i (12) (l0r+ l5r+ l0

= 396,t4 m2

problemáticas de superficie esférica y el volumen de la esfera y de las secciones esféricas, (1; 3-6)

Craficamos y hallamos la altura

=¡j

en la fórmula: 221

o Utiliza gráficos como modelos para resolver situac¡ones Modela objetos

respectivamente.

g=\\G+4=10,77

Ar = nl 10,77(2 + ó) + 62 +

Ar8umenta afirmaciones: 6-8

El Calcula el volumen de un tronco de cono si su generatriz mide l3 cm. Además,las medidas de los radios de las bases son l0 y I 5 cm,

Graficamos y hallamos la generatriz del tronco:

-r

1-5

1¡2

= ?.8

Para consolidar

Ar=m 5 (7,8+5)=200,96cml UNIDAO

Haga mención a las circunferencias y círculos máximos presentes en la superficie esférica y en la esfera, respectivamente. Compare la Tierra con una esfera, en donde la línea ecuatorial y el meridiano de Greenwich nos darÍan la idea de circunferencia máxima; mientras que los paralelos, la de c¡rcunferencias menores.

7

Geometria

263

§

Formule las siguientes preguntas: ¿Qué dificultades tuv¡ste? ¿Cómo las superaste? ¿Qué actividades propuestas cons¡deras interesantes? ¿Por nt tÁ2 ¡ ñt tá anrondízaioc fi Frnn rlacarrnllarlnq?

N N @

)d i

.o '6 !

l

o o o l

po

!'E

o

L

a o c

§ .F c

U)

LIBRO DE ACTIV¡DADES

r

CUERPOS DE REVOLUCIÓN

CUERPOS DE REVOLUCIÓN

Esfera La esfera

ff

esfera es el cuerpo que se genera al girar un semicírculo alrededor de su diámetro. A diferencia del cilindro y del conq la esfera no tiene desarrollo plano. Para calcular la superficie esférica y el volumen de una esfera, usamos las siguientes fórmulas:

orsnnnou-arus

Resuelve,

A.up"m.¡. ""r¿.i.u

v.,t * = {nr3

= 4fif2

El Calcula el área

Al cortar una esfera de 40 cm

EJEMFLO 17 Una esfera tiene I 13,04 cm2 de superficie. Calcula su volumen.

.

Calculamos el radio de la esfera usando la fórmula de superficie esférica: Asuperricie esférica

.

= 4n

f

113,04 =

-

Calculamos el volumen: V.,.." =

zona esfér¡ca (ze) y segmento esfér¡co de dos bases (se)

4'

{ rÉ

3,1

=

4' ¿ +

t' l+

casquete esféf¡co (ce)

=

I 1 3,04 cm3

[}

Huso esférico (he) y cuña esfér¡ca (cuña)

y segmento esférico de una base (se(b))

llecrnplazamos los clntos e¡r la tijrnrula;

Reemplazamos en la fórmula: A"¡*,r,, = 3,1'1 (32)2

V.*6=.j : 5 (t 8'I l ll)r

= 1215,36 cm:

Un recipiente cúbico de l0 m de arista está lleno de agua. ¿Cabría el doble del volumen de agua en uno esférico de l0 m de radio? V",,1,,,=

v,,-

f2-

6

I0r-

.

N N @ j

1"

ror =.xt8(¡.67

.

i

r9

= E o o o

\/

"setbt

nr

_ h2:rt3r, ---:1-

-

h)

vcuña

=

de una cuña esférica de

. li

40' si

5oon=nf:40' +r=

(lraficamos y recmplazanros los datos en la f(rrmuh: Ass=4 ¡ r:

2700

2m

esferas de metal de radios 2a y 4a se

500¡

cm3.

O

15cm

AsF.=4.¡.(l)2=4x

2

si el diámetro mide I 8 cm y

-A *=Y#§=t2t,t7

-

t020,5cm2 e 45"

v.r

{r¡:,,.; ltt

fr,4,,1' - { rr.'.1'

+

= rr + ., . ir:,,'= :i.r,,

lJal +

72¿rl

6,1¿¿r

El radio cle Ia

=,r'

nLreva ester¿r cs 2V§¿¿.

.

E

I

La altura de un segmento esférico de dos bases es 5 cm. Calcula su volumen si tiene radios de 4 y 6 cm, respectivamente. 473,62 cmr

de una base.

Hallantos cl radio de la csf'era de la que firrma parte rl.. lrr cr¡ira: lrr2r =

! 4

§

(roo

>r-

t) ( rn

Calcularnos su ál€a total:

ql rlr, ,. I ll I

n

-.1.14rr0'

a

Reemplazamos los datos en la ftirmula;

A""=2 g

,rt r;¿

tt'

='lltQrrrt'

de

Hallarnos el árca cle Ia cúpula:

9

cm2

esférica de 60o es

de I 62¡ cm3. ¿Cuál es su área total?

casquete esférico. La altura mide 5 m y el radio 3 m. Halla la cantidad de pintura para cubrir toda la cúpula si con 4 litros se cubren 20 m2.

segmento esférico a

a=

es

@@ vr v.

@ La cúpula de un observatorio tiene forma

Halla el área del y el volumen del

área de la superficie de una cuña esférica es igual a la suma del área del huso esférico correspondiente y el iárea de dos semicírculos máximos:

calculamos:Ar,.=!f

rlrr=4¡

casquete esférico

+2.3.14-'152

frnden

Graficamos:

V=4, I9nr3

El

40'

= 1.152.¡¡.,n'

juntas para hacer una esfera mayor. ¿Cuiíl el radio de la nueva esfera?

O El volumen de una cuña

de altura.

nr2o 90.

nalc,

su volumen es

+ 5j1

inscrito en un tanque cilíndrico de petróleo de 2 m

v=4.¡ 11

b) Halla el área del huso esférico

.9

@

4""= 2nth

lsl A =rI.'-s *r.n.l ^roral 90o T¿ 2 --l.lq 90.

!

c

^ 4nr2a ,'he 360.

crn2

Rcernplazanros en : V, + V. = V.,.

Gl Calcula el áreay el volumen de un tanque esférico

r

Hallamos el radio de la esfera de la que forma parte la cuña esférica:

v"uou=S-

CJ

@

@ Dos

1000nlr

EJEMPLO 18

a) Halla el área total

§C

Y

ht@

4,, = 2xrh hn(3r,2+zr]+h2¡

a

segmento esférico de dos bases.

A,,"=2 x 10 5=ll,1

C'orrx): 2V(1,1,(, = 2(XX) rnl Pr¡ lo 1¡rrto. sí catrríir crt cl rccipicnte cstérico.

'

L

el volumen del

Hallanrcs el volunren del rrcipicntc e'slérico:

h

=o

de

la zona esférica y

402=242+/+¡=12

84,78 cm2

=

Usa estrategiasy procedimientos:2; 4-5, 7-8

Calcrrlrrnros cl volurnen del recipiente cúbico:

La altura de un segmento esférico de una base mide 3 cm. Halla su volumen si su radio mide 4 cm.

Cuña esférica

3-ó

Gmficanros y hallarnos el radio cn ct Noo'A:

A.¡.ut

r = 3 cm 33

de radio mediante

un plano cuya distancia al centro de la esfera es de 24 cm, se forma un círculo. ¿Cuál es el área de dicho círculo?

Volumen (V)

Superf¡cie esférica (AsE)

17

Modela objetosr 'lj

La

Il

USA ESTRATEGIAS Y PROCEDIh¡IENTOS

cAPACTDADES

'

n7

.r

3= l3l,llticm2

V .. = 1 n 3: r.r.5 -.lr=

a

l13.04 cm'

ar.l.§-r)4.lnr'

Aplicarnos rcgla dc tres sirnple: 4 litros 20 rnr

-

, =!:2!.t

94.2 ml

] = r8.n4

lirros

@

264

UNIDAD

7

Geometria

265

TEXTO ESCOLAR

Distancia entre dos puntos I

Texto esco ar

(pág

66)

I

Libro de actividades (págs. 266-267)

Capacidades y desempeños precisados Comunica Usa estrategias y procedimientos

Argumenta af irmaciones

. . .

lnterpreta enunciados de distancia entre dos puntos. (1-5) Calcula la distancia entre dos puntos, entre un punto y una recta y entre rectas. (6; 10-11; f-2)

D¡stanc¡a. Ecuaciones de ¡a recta Un profesional en la ingenierÍa, en la mayoría de los casos, caicula la distancia entre dos puntos según sus coordenadas en un plano cartesiano. Esto perm¡tirá comprender la realidad, ya que sabremos una aproximación de cuán lejos o cerca se encuentra un objeto respecto a un punto de referencia.

Justifica sus conjeturas basándose entre distancia entre dos puntos, entre un punto y una recta y entre rectas. (7-9;12)

Distancia entre dos puntos Es

Sugerencias didácticas Para iniciar

I

Complemente la información solicitando a los estudiantes que mencionen algún lugar conocido y que expliquen cómo llegar a ese lugar. Destaque la importancia del sistema de referencia y el sistema de coordenadas cartesianas. Pregunte: ¿Cómo está formado el plano cartesiano? (Eslá formado por dos ejes perpendiculares y graduados). ¿Cómo está determinado cada punto del plano? (Por las coordenadas cartesianas). Solicite que construyan un sistema de coordenadas cartesianas con regla y escuadra; luego, ubiquen los puntos P (3; 5) y a (7; 6). lntenogue: ¿Cómo podemos calcular la distancia entre P y Q?

I

Resolvemos: d,o.r, =

De la ecuaciÓn general de la recta

Ar,+Br,+Cl , 'ref= ,6:*g,

Ar + By

Ecuacton

cl d--tLt.lz)= lc'

Princrpal

s=s

pendiente u y un punto P(r1; ]yj) perteneciente a la recta. Ecuación

) Y-m:r+b

punto pendiente

) )-)r =m(x

simerrica

Dos puntos P(r1; )1) y Q[r2;

y,

xt)

cualesquiera.

Ecuacion Yr - Ir ;i;riu;, > )-)r =ffi

Ecuacion -

*m,=m,

v ) á*i=1

Lr r¡)

.f *r,..,=-t

Para una mejor comprensión del ejemplo 19, pregunte: ¿Por qué se suma 4 y 8? (Porque al restar 4 con -8 el signo queda reducido a positivo). ¿La distancia puede tener valor negativo? ¿Por qué? (La distancia siempre será

EJEMPLO 9

Halla la ecuación general de la recta L, que pasa por el punto (7; 8) y a la recta L2 que pasa por los puntos (-2; 2) y (3;4).

. .

,rÜF

Por dato, Lr //

Ir,

entonces mL = m:. Hallamos m ,,

^r= Íá=

es paralela

-*

Como m, = mz, hallamos la ecuación de la recta L,:

J

v-8

;=fr+

-6x+42=5y

4O

+6x+5y-82=0

Pá€s. e66-270

ff

Refuerce la idea de distancia entre un punto y una recta; para ello, marque un punto en lapizarray una recta alejada de este, y pida que midan la distancia enfe dicho punto a distintos puntos de la recta. Oriente la actividad para que lleguen a la conclusión de que la menor distancia entre un punto y una recta se obtiene identificando la perpendicular a la recta que pasa por dicho punto exterior.

Solicite a los estudiantes que desarrollen las actividades 1 y 2 de la sección "Desarrolla tus capacidades". Luego, indique que creen una situación en donde se aplique lo aprendido.

r/F;? =.Flo+

Su

Los puntos de corte con cada eje: (aj 0) y (0, b)

.f

=

+82

TEN EN CUENTA

l. // l,

I

+ C = 0 se deducen otras ecuaciones.

Su pendiente m y el punto de corte con el eje Y de coordenadas (0; á).

Distancia entre rectas

.

I

Ecuac¡ones de la recta

Distancia de un punto a una recta

JA2

/t2 -r-2)l * (4

La distancia entre los puntos A y B es 5 cm.

IMPORTANTE

Apóyese de la imagen del margen e intenogue: ¿Cómo se forma el triángulo rectángulo? (Trazando una paralela al eje X que pase por el punto A y luego otra paralela al eje Y que pase por el punto B). Solicite que parafraseen la fórmula de distancia entre dos puntos.

l) y B(2; 4), si el sistema de

coordenadas tiene por unidad de medida el centímetro.

d1o.u,=lrr*,f * 6,-}f

orsannou-nrus

Usa estrateSias y procedimientos

cAPACTDADES

S

Halla la distancia entre los puntos cuyas coordenadas son C(8; 0) y D(-2; 5). I l. ls

§

Halla la ecuación general de una recta que pasa porlospuntos(4;-l)y (-2;6). l-, +6-r' 22=0

§f

Determina el perímetro del cuadrilátero cuyas coordenadas son los puntos A(-3; 4), B(-3; -2),

(!

Halla la ecuación de la recta que pasa por P(2; I ) y es perpendicular a la recta que pasa por los puntos

C(5; -2) y D(5;

Para consolidar

I

Determina la distancia entre los puntos A(-2;

.

positiva porque las diferencias de las abscisas y ordenadas se elevan al cuadrado). Recuerde la secuencia de los procedimientos que se deben considerar para evitar que se cometan errores operativos. lndique a los estudiantes que resuelvan el ejercicio que se encuentra en la parte inferior del ejemplo 19 y realicen la gráfica correspondiente. Relacione lo aprendido con las actividades 1 a 7 de la sección "Desarrolla tus capacidades".

I

EJEMPLO 8

v)

c

t,',1

Para desarrollar

I

b.

/

determinar la medida del segmento que une los dos puntos.

10).

n = .to u

1

-4

s

p

I

A(0;3)yB(2;6). 2r+3r 7=0 @

66

LIBRO DE ACTIVIDADES

.

GEOMETRíA ANALÍTICA

E

o.oretría

ffi

anatítica

ff

oesannou-nruscAPACIDADES

Escribe V si

Distancia entre dos puntos La d¡stanc¡a

B

!2

ll

entre dos puntos, A(rj; )r) y B(r2, )'2), se ca cula aplicando el teorema de

- ]rl

)l

a,o,r, =

P

tágoras:

verdadero o F si

*

Cr,

- y1f

f,l

falso.

es

di¡.

M

dos puntos que

se encuentran en el eje

X

Los puntos A, B y C son colineales si

tr

es cero.

dos puntos es el valor absoluto

,I9

Calcula la distancia entre los puntos A(-8; 2) y B(4; -6). ' Aplicamos el teorema de Pitágoras con xr = -8t xz = 4i y t = 2; yz =

d,o,",

= 1@ * 8)' * C6 - 2f

=

vtlrt;l-sP

=

La distancia entre los puntos A y B es 14,42t.

A(0; 4),B(2;0)

está sobre una recta, la distancia del punto a la recta es cero.

= q'ryt

"ñ

E

Por dato. A. B y C están sobrc unr rec[a:

,---t,t -

Ar+B,y+C=0

lC'

0)r + (0 + 4)2 = a? + l(, = v'20 = 2v5

/(2

,t,n..., =

{: - Of * 1Z +-+f = ¡.

4,u..,

=/{: -

zt' *

-rlÉ =r,/i

1z

tr

Uf1 y

IE Calcula la distancia del punto G(2; -3) a la recta

l:4x -

5y + 12 =O.

Reenrplazamos los d¿rtos en la ftirmula:

14,2rrr.5rr -.lrrl2l , '¡r''/ V4

, -¡5 'r'" ,*,

l5J4l

ji'=s'+t

La clistancia del punto

(i

1

l2

_i

La distancia que separa P de

b) Halla la distancia entre

ci

. .

¿ :9 !

x

f

o

2

o o

p

D

L

f

a c

@

=

a7:

rsüE

Aplicamos la fórmula de distancia: = (r- 2)2 + (3 + l¡2 + 25 =.1 - 4x + 4 + 16 (r- 5)(r+ l) =0 +.r = 5 v r = *l

las rectas paralelas

Identificamos valores: C = 4; C'

266

y

12:2t-y+8=O.

3x

-

las rectas paralelas

4y + 8 = 0 y /z: 3x

-

Aplicanros la tiirrnula cle

4y + 12

l¿l

+

4=Oy

12:3x

-y-4

dist¿urcia entre rectas.

La distancirr cltre las reclas es 0.8.

I

I

€ p !

p

Encuentra la ecuación algebraica si el punto P(x; y) equidista de Q(a; -l) y R(-2; 3). Por clato tl,o u, = d,,,. *,

\(-t

2x

-y-

6=0

5y

-

8 = 0 al punto F

es 3. Si la abscisa de F es 4, halla su ordenada.

=O

El

11:

=0.

, -, lll-xl a .1-0.s tt, "' , ¡ra4- r25 5

@ La distancia de la rccta l: Lt +

l¡3x-y

=*4

las rectas paralelas

l¡

Luego,5+-l =4.

es 4,16 u.

Reemplazamos en la expresión y hallamos la distancia entre las rectas pafalelas:

uullu lu dirtuncia entre

Halla la suma de los valores de ¡ si la distancia entre los puntos A(.r; 3) y B(21 -1) es 5.

52

= +.ro

La distancia entre las dos rectas es 2,53 u.

Eo

c

7

=

A - l-4-41 - 8 -4v{O-r<1 "rf.f,-r/,r,2+(_l)2 /m- 5 -''""

l

§

=

a la recta es 537.

Se concluye que es un triángulo rectaügulo.

Reemplazamos en la expresión y hallamos la distancia de P

d,n7,

lx+l5rl2l rl6+ls

+ (-5)

r/5 +r/45 =r/50 >50-50

a) Halla la distancia que separa P(6; -5) de la recta l: Lr + 3y - 12 = 0 . Identificamos valores: A= 2; B =3;C=*12l,tr = 6;yr = -5

l:§ffilJl H # *

=:uE

=r,5

Entonccs. los puntos son colinealcs.

@ Calcula la distancia entre

o,*r, =

+4

= r'¿.s

A, B y C son cr¡li¡cales si se cumple: drs,t:r=drc.<:r+216+ /5 = 3v5+ ¡r/5 = -¡rF

Aplicamos el teorema de Pitágoras:

-CI

EJEMPLO 20

.

:f,

drr.Hr a

JLr.rr \{4 2r lt0 lr -r4rl-r5 J,,.., 115 4t t t7-ilr'=r I++q=rsl-) lr-\q+lrr=!4§ ,1,^, /,i rir',t

Ar+By+C'=0,secalculan

'tl'.

-

cli^.e, =

Hallarurs la tlistancia de cada lado:

empleando las s guientes expresiones:

, =lAr, +By, +Cl vf-A2 + Bi2

Si las rectas coinciden, la distancia entre ambas rectas es uno.

@ Determina qué clase de triángulo se forma con los puntos A(2; l), B(4; 0) y C(5; 7).

distancia de un punto P(r1;)1) a una recta / de ecuación Ax + B-y + C = 0, asi como

t,P.7,

M

Resuelve.

D¡stancia de un punto a una recta y d¡stancia entre rectas ladistanciaentredosrectasparalelasl,:Ar+B-y+C=0y/z:

y C(3;2) son colineales.

@ Si un punto

-6.

f7 Halla el perímetro del triríngulo cuyos vértices están sobre los puntos M(4; 6), N(-2; -8) y O(-4; s).

La

E

de la diferencia de sus coordenadas.

se cumple:

s¡ + d1s,61 = d1e, c¡. Comprueba que los puntos

@ En la recta real, la distancia entre EJEMPLO

?(x¡; )1)

es

comun¡ca:1-5 Usaestrategiasyprocedimientos:ó;10'11 Argumentaafrmaciones:7-9;12

La distancia entre dos puntos es una aplicación del teorema de Pitágoras.

E) La distancia entre

{r, *,f

x x2

N N @

ANALíTICA'

GEOIVIEfRfA

§

§

o

o

=\,,*a, -,1): + (r +l)r =

(.r + 2)r +

^' l2l4r+5lrl-xl

,lf *s2

*t(,r'

5r= l\2q *,

3)r

-rl 8,r+r,l+2-r,+ l7 -¡r +.1,r+-r'2 6,r,+ La ecuación algebraica es: 3-r 2¡ I = 0

Ioterpretamos los datos: F(4;,v) y d,,, 7, = 3. Hallamos la ordenada utilizando la tórmul¿r de la distancia de un punto a una recta:

=

^ lr+S,-xl '/z{)

l/al'l + r l.ll =

13

La ordenada es 3.21.

UNIDAD

7

Geometría

2ó1

LIBHO DE ACTIVIDADES

Ecuaciones de la recta I

Libro de actividades (págs. 268-270)

¡

Gapacidades y desempeños precisados Comunica

.

Reconoce y diferencia las ecuaciones de una recta. (1-5)

Usa estrategias

.

Determina las ecuaciones de la recta. (6-9)

y procedimientos Argumenta af irmaciones

GEoMETRíA ANAIITICA

Su

pend¡ente m y el punto de corte con el eje Y de

Ecuaciones de la recta

coordenadas (0; á).

La recta es el lugar geométrico de los puntos cuyas ordenadas que lo conforman están relacionadas con sus respectivas abscisas mediante una ecuación de primer grado con dos variables.

(0;

.

C)rcleilada

La

ecuación de la recta queda determinada si se conocen:

Plantea conjeluras respecto a las ecuaciones de la recta. (10-13) Los puntos de corte con cada eje:

Dos puntos P(rr, y1)y Q@z;yz)

\a;0)y Q;b)

cualesquiera.

Sugerencias didácticas Para iniciar

I

Solicite que dibujen tres puntos A, B y C en cualquier lugar de la superficie de una hoja. Luego, que tracen una recta que pase por A y otra recta que pase por B y C. Pregunte: ¿En qué casos han tenido dificultad para trazar las rectas? ¿Por qué? (Al Irazar la recta que pase por A, porque no se puede definir el sentido de la recta). ¿Cuántos puntos como mínimo son necesarios para determinar una recta? (Dos puntos). Comente que, asÍ como es suficiente conocer dos puntos paratazar una recta, existen otras formas que permiten trazar rectas que no dependen del conocimiento de dos puntos, sino de algún otro dato,

I

I

recta. Ecuación

>

simétrica

P(¡

i.i=,

;?ij§;"¿

r-r,=ffi

r,-,,r

r

a) Halla la ecuación

de una recta que pasa por el punto un ángulo de 60" con el eje X.

En la ecuación simétrica, pregunte: ¿Qué datos se necesitan para hallar la ecuación simétrica de una recta? (Los puntos de corte de cada eje), ¿Qué representan a y b? (El valor de la abscisa por donde pasa la recta es a y el valor de la ordenada por donde corta la recta es b). En la ecuación cartesiana: ¿Qué datos se necesitan para hallar la ecuación cartesiana de una recta? (Dos puntos pertenecientes a la recta). ¿Qué representa yz- ytl xr- xr? (La pendiente de una recta). Para la ecuación principal, formule las siguientes preguntas: ¿Qué datos son necesarios para hallar la ecuación principal? (La pendiente y el punto de corte con el eje Y). Haga notar que al punto de corte con el eje Y también se le llama ordenada en el origen.

. .

EcuaciÓn punto-pendiente

17

y-)r= m(r-r1) + y-

.

Pendiente de una recta Dados los puntos P(rj; )r) Y Qkr; )r), hal amos su pendiente m: v,

.

v. n=l=

Presente en la pizarra la ecuación y = 2x + 3 para que identifiquen el tipo de ecuación de la recta. Pidaque grafiquen la ecuación 2x- y +3 = 0 y la anterior. Pregunte: ¿Cómo son las rectas? (lguales).

-

nE)

-

y=

tE x + 5

tt ti

rr )l

xz lz

Expresamos la ecuación en su forma cartesiana: s=

-]-$'

(-r-

1)

+ y - 8 = 3(¡-

1)

+y

=

l¡

a5 N N

@

-j

Calcula el área de la superficie triangular limitada por los ejes de coordenadas y 1a recta de ecuación 2t + 5y 10 = 0.

.

-

Expresamos la ecuación en su forma simétrica

2r+5y-10=0 +2x+5y=10

21 5v lo I0 t0 l0 .

{+ 5 t=,

,

+ | = l: *ub

Calculamos el área de triángu lo,

ci

¡=b* u2.

*

i

§

:9

I

!

€

a=5Yb=2

El área de la superficie triangular es 5

268

@

ilEMPtO 22

l,:2r+5y l0=0 b

nE

Por dato tenemos dos puntos P( 1; 8) y Q(-1 ; 2).

I-

La pendiente de una

Y

8=

de una recta que pasa por los siguientes puntos

P(1; 8) y Q(-1; 2).

TEN EN CUENTA

m=tanc

8), y que forma

Hallamos la pendiente de la recta: m = tan 60'= r/3 Como conocemos el punto M(rE; 8) y la pendiente m= ^/1,

b) Determina la ecuación

recta equivale a la tangente del ángu o q que forma con el ele x posititivo.

M(r6;

reemplazamos en la ecuación punto-pendiente:

)-Yr=m(r-rr)

Pida que ubiquen en un sistema de coordenadas el punto P (2; -7) y, a partir de dicho punto, cuenten una cuadricula hacia la derecha (punto Q) y dos hacia abajo (punto R). Relacione este procedimiento con la definición de pendiente (m = -2, por ir "hacia abajo") Luego, pinte el triángulo PQR y trace la recta que pasa por P y recorre toda la hipotenusa del triángulo pintado. Concluya que ese es el procedimiento que permite lrazat ona única recta cuando se conoce un punto y la pendiente y que, por ello, la ecuación de esa recta recibe el nombre de ecuación punto pendiente. Refuerce con las actividades 1 a la 5.

Organice a los estudiantes en equipos para que realicen un cuadro resumen en el que se muestre una relación de las condiciones necesarias y suficientes para cada una de las ecuaciones.

)

EJEMPLO 21

Para consolidar

I

r)

fr)

P(rr;

Su pendiente m y un punto P[r1; ]1) pertenec¡ente a la

Para desarrollar

I

e(¡¿;

(0:

ilffiiJ:i > v=rnx+b

E e

l

Io o f

p _§

A=15;21 =

5 § a o

c o L a c

§

c a

o

E

LIBRO DE ACTIVIDADES

GEOMETRíAANALíTICA

Ecuac¡ón general de la recta

'

t

GEOMETRíA ANAL¡TICA

ff

COMUNICA

geometrÍa analítica, toda recta viene representada en forma general como A{ + By + c = 0, donde A y B no pueden ser simultáneamente nulos y, además, A, B y C representan números

orsannou-nrus

cAPACTDADES

Comunica:

1'5

Usa estrategias y procedimientos:

ó-9

Argumenta af¡rmaciones: 10'13

En

Dada la ecuación general de la recta, se presentan los siguientes casos: - si A = 0 y

I

Escribe V si es verdadero o F si es falso.

Halla la pendiente de la ecuación:

reales.

fl

l:5x 2y-12=0

+ 0, entonces la recta es paralela al eje x.

- Si A É 0 y B = 0, entonces la recta es paralela al eje Y

M

@ La ecuación punto-pendiente de la recta se determina si se conocen m y (a;0).

m=512

'

ysuordenadaenel EnlaecuacióngeneralAr+By+C=0, lapendientedelarectaesm=-+ B'

orrsenesa=-la

La ecuación principal de la recta queda determinada si se conocen m y (0; á).

trl

E) La ecuación simétrica de la recta queda

M

determinada si se conocen (¿; 0) y (0; á). EJEMPLO 23

Y

-

3y

Los valores de A y B en la ecuación general son: A = 4 y B =

-J

Determina el ángulo de inclinación de Ia recta de ecu ación 4x

. . .

Reemplazamos los valores.n

* = -#,,"=á

Hallamos el ángulo de inclinación sHfFI Tñff

q + 3 *

c¿

-

!l

12 = 0.

§

3

-rn =1

con Ia calculadora:

O

EJEMPLO 24

a) Determina la ecuación general de la recta l, que pasa por el punto A(-2; y es paralela a la recta /, de ecuación 3x - y - 1 = 0.

5)

11:

3x-Y-1=0+Y=3x-l+m,=l . Co oT, I i, sus pendientes son iguales: mr = m2 = 3 . Hallamos la ecuación de la recta l, que pasa por A(-2; 5): ! - ! t = rnz(x - x1) { rcuaciÓn punto pendiente y-5 = 3(,r+ 2) + y - 5 = 3x + 6 + 3.t-y + 1l = 0 La ecuación general de la recfa

12

es 3"r

IT

Hallamos l¡r ecrr¿rci(» pcdida de la rccta:

-y+

1

1=

Cuando dos rectas son parale as, sus pendlentes son iguales: 11

§|

ll lr+mr=¡,

Halla la ecuación cartesiana de una recta que pasa por (1; 4) y (-2; -2).

perpendiculares, el producto de sus pendlentes es -1:

7 r

L lr+mt'mr=-l

¡ lr=

r¡,

ar

>r+l=

)¡r

1r

).-r l+1.-t 'l .1 4

e _y

,1

4=fit,

,l

b) Determina la ecuación general

de la recta /1, tangente a la circunferencia en el punto P(4; 8), cuyo centro está en C(2; 5).

. .

N @ j Ci

pi !

, a o f

p

=o L

a c

§ ,F c

@ @

.

a

Hallamos la pendiente de Pt= (radio):

^*= #

Como el radio es perpendicular a la recta tangente, hallamos su pendiente:

¡ _=_l _._=_? mrc'm-=-l ,''mt, t, J

e a

t - s = -liir -

+

3y

-

24 =

-Lt

+8

+

La ecuación general de la recta l, es Lr + 3y

f

2x + 3y

32 = o

8)

C(2;5)

Sabernos que cl radio (CiH) cs pcrpcndicular a

l¡ng( rle / cr¡ srr

¡rrrrrl,r rle

o-( 4)

nt(iH= h= rrt,',,

rrr..

r + 4r

+ l8

_L

recta

4

l-+ - | >4 rr..

l¿r

lr

liilrr-(r¡r iir:

t + rrr., I

ecuacirin de la recta:

=0

> Ecurciiin

ID Determina la ecuación general de la recta que pasa por el vértice B del triángulo ABC y es paralelo al lado AC.

t- .l'

general

I

l

A(-1 2)

-l)

Para determinar la ecuación principal de la recta /

por B se necesitan la pendiente m y un punto.

necesitan la pendiente m y un punto. Tenemos el punto C(3;5) y hallamos la pendiente def dato: l,: y = 2r ¡ ! + ¡, = ) Como son paralelas: m = mr = 2

T'enemt¡s el punto B(41 2) y hallamos la pendiente

Hallamos la ecuacirin pedida de la recta: 2(.r-l)+ y-5 = 2r 6

_v--5 =

tl

centro se encuentra en H(-1; 0).

Para hallar la ecuacitin general de la recta 1 quc pasa

-

32 = 0. Hatta [a ecuación general de la recta que pasa por el punto (8; 9), y es paralela a la recta que pasa por los puntos A(-3; 3) y B(4; + 127 =O

de la recta I tangente

G(-2; -4) y cuyo

a la circunferencia en el punto

y-2x-4=0 se

-

lD Determina la ecuación general

pasa por el punto C(3; 5) y es paralela a la recta /¡:

radio de una circunferencia es perpendicular a la recta tangente en su punto de tangencia. El

=m('-'l) +)

I

( 2)l+6(-1 4)=7(¡+2) "-+=]l-' 7.r 6¡, +3ll=0 > Ecuacitín general

@ Determina la ecuación principal de la recta I que

RECUERDA

Hailamos la ecuación dada la pendiente m = -2l3 y el punto P(4; 8):

)-Yl

g

=Z

r+rl-o

=

1

r r 4r- .1lr r' r 2rl .,'-

x.'1

0.

/ (¡\ rtt \7]=

Hallarnos

6._r=2¡+3

cuando dos rectas son

11

Calcula la ecuación punto-pendiente de una recta cuyo pendiente es -2 y pasa por B(2; -1).

Gl Encuentra la ecuación simétrica de una recta que corta a los ejes en (3;0) y (0; -4).

TEN EN CUENTA

rr-( il

tr

@ Determina la ecuación principal de la recta cuya pendiente es 2 y pasa por A(0; 3).

51.J1ülüü9

Hallamos la pendiente de

La ecuación general de una recta esta representada por A,r + By + C = 0.

Para cletermirar la ecuaci(rn -{eueral de la rcct¡ / se ncccsit¿n la pendiente nr y un punto. Tenemos el punlo l)(-2:4) y halllrnos la pendientc de la recta 1L que corrtiene a E( l;.1) y (6: 2): 24 6 ntr = =7

Cornt¡/ esperpentlicularal.entoncesm mt

Resuelve.

Aproximadamente, el ángulo de inclinación es 53'.

.

La ecuación cartesiana de una recta se determina si se conocen m y (x'; r2).

@ tt¿la la ecuación general de la recta que pasa por D(-2; 4) y es perpendicular a la recta que contiene a los puntos E(-1; 4) y F(6; -2).

,v=2-r 6+5+,y=2.r

PC

[ > Ecuación principal

de la recta /l que pasa por cl lado AC.

.9

_ 5_5 ,. ''' _ I t-4 ( l) I Corno 1 es paralelo a ll, entonces m = mt Hallamos ll ecuación pedida de la recta: 2=5-t 20 r' 2=5(¡-4)+y 5x-_v Itt =0 > Ecuación general

ñ

!

-

5.

§ o

UNIDAD

7

Geometría

269

210

LIBRO DE ACT¡VIDADES

lVlodelación matemática ñ

Lrbro de actrvidades (pág1 2711

Capacidades y desempeños precisados . Usa formas geométricas, sus medidas y sus propiedades It/odela objetos

Usa eslrateg¡as

al

Mi cuerpo es geométrico

explicar objetos del entorno. (1-4)

o

y procedimientos

Sugerencias

d

Resuelve situaciones problemáticas utilizando el volumen de esferas y fonco de conos. (1-4)

Muchos objetos que nos rodean se aproximan a formas geométricas conocidas. Por ejemplo, una pelota de fútbol se asemeja a una esfera, un pino se asemeja a un cono, etc. Así, también, algunas partes de nuestro cuerpo se aproximan a formas geoméúicas, lo cual es muy útil para que los artistas hagan bocetos de personas. Observa en la figura que se muestra cómo el torso, la cabeza y las extremidades se componen de formas conocidas. Si el boceto corresponde a una persona de tu edad, ¿qué volumen aproximado tendrá el torso?

idácticas

Para iniciar

I

Acceda al enlace http://www.minedu.gob.pe/rutas-del-aprendizaje/documentos/ Secundaria/Matematica-Vl.pdf (págs 85-90) para conocer el desarrollo de las fases de la modelación matemática. Resalte que esta estrategia consiste en entregar a los estudiantes un problema vinculado con una situación en contextos diversos y, a partir de ello, desarrollar un modelo matemático.

Estudiamos la realidad

figuras geométricas observas en el boceto del cuerpo ltumano? ¿Podrías estimar los volúmenes de cada parte del cuerpo humano? ¿Qué

lf

Para desarrollar

I

I

I

I

Sí, el cuerpo [rurnano tiene la lbrma aproximrda dcl dibujo. Adenrís. este clibujo a la realidtrd.

@ Para verificar

tus

resultados, compara tus respuestas con las de tus compañeros.

¿Qué forma geométrica tiene el torso humano? ¿Qué fórmulas te permiten calcular el volumen de los cuerpos geométricos que has mencionado en la

pregunta anterior? Tiene fbma cilíndric¿ o de tronco de cono. Las fórmulas son: V"1¡¡,,¿,,,

a9

En la fase "Hacer suposiciones o experimentar", motive a que realicen la gráfica de la figura geométrica con sus respectivos datos. Pregunte ¿Cuál sería el volumen aproximado del tronco de un hombre que mide de hombro a hombro 48 cm; de extremo a extremo de la cintura, 45 cm y cuya altura de torso es 42 cm? (El volumen aproximado seria71314,l 1 cm3 o 0,071 m3).

Pida que grafiquen en una hoja el cuerpo humano completo con sólidos conocidos o parte de ellos. Luego, que midan a uno de sus compañeros y calculen el volumen aproximado de su torso. Besalte la importancia de describir los procesos realizados en forma ordenada y clara,justificando cada uno de ellos. Realice las correcciones pertinentes. Desarrolle la fase "Validación de la solución", a partir de la actividad sugerida por el personaje que se encuentra al maroen.

¿Consideras que el cuerpo humano tiene la forma del dibujo mostrado?

es cl quc mirs sc aproxirna, y los c¿ilcukrs lurnéricos de volú¡nenes se acerca¡l

lndique a los estudiantes que se organicen en pares para apoyarse en el trabajo y pida que den solución a las actividades de la sección "Concretar una finalidad problemática y reconocer cómo resolverla". Pregunte: La medida del diámetro de la base mayor del tronco de cono con mayor altura que se observa en el boceto, ¿qué parte del cuerpo representil (La distancia de hombro a hombro). Si mides el ancho de tu cintura, ¿con qué datos se relacionan? (El diámetro de las bases menores de los troncos de cono con el Ióraxy la cadera).

En la fase "Realizar la formulación matemática", pregunte: ¿Qué pasaria si una persona tiene la medida entre los hombros y la medida de los extremos de la cintura de igual tamaño? (El sólido que representa el tronco serÍa un cilindro).

T

¿,Qué opinas?

En la fase "Reconocemos un problema muy vinculado a la realidad", soliciten que parafraseen el problema para que puedan responder con mayor facilidad las preguntas propuestas. Pregunte: Al tener todos diferentes rasgos en la forma del cuerpo, ¿crees que el bosquejo es universal?

Para consolidar

I

MODELACIÓN MATEMÁTICA

I

=

lr2' h y

Vnnu"o¿"..no"* =

Ildtfg

@ Al medir a un hombre adulto de hombro a hombro, se obtiene una medida de 44 cm,y de extremo a extremo de la cintura, una medida de 34 cm. Si la altura del torso es 40 cm, ¿qué cuerpo geométrico representa el torso? ¿Qué datos de dicho cuerpo geométrico se tendrían?

cono dato se tendrían su diámetro superior de 44 cm y su diámetro int'erior de 34 cm, con una altura de 40 cm. Representa un lronco de cono recto, y

: .§

p e

§

!l

N N @ j

.i i

¿Qué tendrías que hacer para calcular el volumen del cuerpo humano?

'a a

Representar geomélricamentc cada parte del cuerpo humano, calcular sus volúnrenes y luego sumarlos.

v..,,,,,.,.-

(,,,

ó o o 3 o

1., *,,, 1rr. *,,, {-r,'+...)

p = =o r

frt,1r,'+R,'r -¡ r, R,¡+ trl!,(r, r R, +r. R.l *./ \ +\-r

@

@

UNIDAD

7

Geometrla

271

c -§ .F É

a 6

LIBRO DE ACTIVIDADES

Centro de oravedad o centroide de figuras planas §

Líbro de actividades {pá1s 272-2'13)

t

GEOMETRíA ANALÍTICA

centro de gravedad o centroide de figuras planas

TEN EN CUENTA

Capacidades y desempeños precisados .

Comunica

-

Sean

o

.

Argumenta af irmaciones

Y

B(&;y2) extremos de un segmento. El centroide o punto medio es:

Representa en el plano cartesiano el centroide de figuras planas. (1-5)

Usa estrategias y procedimientos

A(rj; )j)

nr/{1+¡!. }r + }z\

'''\2

Calcula el cenfoide de figuras planas en el plano cartesiano (6-e)

2t

y Sean A(xr; )j). B(r2; c(x3; )J vértices de un triángulo. El centroide o baricentro es:

Plantea conjeturas respecto a los centroides de figuras planas en el plano cartesiano. (10-12)

+J2 + &. yl +],)2 + lf3\

^/Ir

3

"\

'

3

/

Sugerencias didácticas Para iniciar {§ Trabaje con

ci c rq

§fó o o

) !

s =o L a

§C C

a @

§

.7)

B(-3

l)

x

t2

Aplicamos la fórmula para hallar el P(0;

El centro de gravedad de AB es P(0;

-

I

).

B(

2;

-l)

3)

EJEMPLO 2ó Sean A(l; -3), B(-31 5) y C(5; 7) las coordenadas de los vértices de un triángulo. Calcula y representa las coordenadas del baricentro.

x

'

Apricamos G

('l!l','t!{O)

O(-lá1á, j€af)

*qr;3)

<

coordenadasdet bar¡ceftro

-3) EJEMPLO 27 Dados los puntos A(-2; -l ), B( I ; 2), C(5; 2) y D(4; paralelogramo, calcula su centroide.

Previamente al análisis de los ejemplos25y 26, solicite que parafraseen las fórmulas propuestas en la sección "Ten en cuenta" que se encuentra en

-l

) vértices de un

Ecuaciones

de las diagonales

t^cy

-2=t+$

3x

-7y = 1 ...

, .., r

En el ejemplo 27, interrogue: ¿En qué ecuación se reemplazaron los datos para determinar la ecuación de cada recta? (En la ecuación cartesiana). ¿Cómo se determinaron las coordenadas del centroide? (Resolviendo el sistema de ecuaciones formado por las ecuaciones de las rectas).

s)

\.

3,r 5)= 7

..

r,

y: seobt¡ene: 3x ]y=1... ' -3x 5y = -7 12r=-6 '

Y

Y

C

A,

De ,

un

Hallamos las ecuaciones de las diagonales del paralelogramo (ver margen):

/a6:3x-7y=1...@

1 2t-

:r

sistema cartesiano al plano de una ciudad. Dos patrulleros se encuentran en una avenida a igual distancia de un banco ubicado en la misma avenida. Si el primer patrullero se ubica en A(-1 ; -3) y el segundo en B(5; 5), halla las coordenadas del punto donde se ubica el banco (lV(2; 1)).

A(2:

*(L*'+)=(o;-r)

Presente figuras irregulares que tengan dos ejes de simetría y motive a los estudiantes a que las reproduzcan, las recorten y realicen dobleces, de modo que obtengan dos mitades congruentes. Luego, que facen las lÍneas marcadas, solicite que repitan el procedimiento por segunda vez, de manera que las dos

Para consolidar §* A modo de cierre, presente la siguiente situación: La policía asocia

Graficamos el segmento AB en el plano cartesiano. centro de gravedad:

el margen. Sugiera trabajar con papel milimetrado para que comprueben de manera práctica y precisa las coordenadas de los puntos medios y del baricentro.

@ j

Sean A(2; 1) y B(-2; -3) extremos de un segmento. Detemina el centro de gravedad del segmento AB.

.

lÍneas trazadas correspondan a los ejes de simetría de la figura. Finalmente, concluya que el centroide es el punto de intersección de los dos ejes,

N

tres medianas de triángulo.

EJEMFLO 25

los estudiantes algunas actividades previas sobre el punto de

Para desarrollar

K

centro de G o barlcentro de

las

.

equilibrio en algunos objetos para despertar la curiosidad sobre el tema, Por ejemplo, proponga la elaboración de un péndulo. Pida que recorten en cartulina gruesa un triángulo cualquiera y que ubiquen su baricentro. Luego, que perforen dicho baricentro con un alfiler y que pasen un hilo por é1. Frnalmente, que hagan un nudo en uno de los extremos del hilo, dejen caer el fiángulo y lo sostengan por el otro extremo del hilo. Pregunte: ¿El triángdo se inclina hacta un lado o se mantiene en equilibrio? (Se mantiene en equilibrio). Comente que aquel punto es el centro de gravedad y que, a su vez, visto geométricamente, es su centroide.

§

El

un triángulo se encuentra en el punto en el que se intersecan

y,

-

EL centroide O de un segmento se encuentra en su punto medio.

r=1/2 x=3/2

lu¡: -3x

-

5y =

-7

... Q:

Hallamos el centroide que es la intersección de las rectas

diagonales'

De@y@:

o

. 2" ,\

g

p I

x=312;y=ll2

El centroide del paralelogramo es el pt:nto E(312;

ll2)

s @

212

LIBHO DE ACT]VIDADES

Perímetro de figuras poligonales GEOMETRIA ANALíTICA

ff

orsannornruscAeACIDADES

Escribe V si es verdadero o F si

O

es

Comunica

El El centro

medio.

V

ortocentro.

F

i

@ El centroide de un triángulo equilátero se encuentra en su

B

ba¡icentro.

V

El centro de $avedad de un cuadrado está situado en el cuarto

vértice.

F]

se encuentra en la intersección

{). si

a*

Sea (.¡; ¡')

¡l tcrccr vúilice.

cf2r,t

+ (.

-l

+-'1

*rl

-1

/

.

cl1, \t

Usa estrategias y procedimientos Argumenta afirmaciones

1r !/

-l+ l+ r 7 -l+-1 +r / ¡1+1=zl ¡¡=l =j I

-r

diagonales

]

Gl

Sean A(2; 4) y B(-l; 5) extremos de un segmento. Calcula el centroide.

B

Dados A(1i -3), B(4; 7) y C(-2; -4) vértices de un triángulo. Determina el centro de gravedad.

(lraficamos y resolvemos: Y C

1

SeanA(1; 1),8(1;5),C(5;5) y D(5; 1) vértices de

z.

c(r *'l -

fi. Grrfiearn,rs

))

¡

--t +.r - a)

=

cr l:or

el cuarto vértice. Sabemos que E es

E(4; 2) =

E(?:

$) -,=

s,r=

Para el ejemplo 29, intenogue: ¿De qué polígono se trata? ¿Cómo deben ser las d¡stancias de los puntos para que el polígono sea regular?Solicile que establezcan algunas var¡ac¡ones en las coordenadas de los puntos para que el polÍgono sea un pentágono regular.

@ Halla la ecuación general de la recta / que pasa por

Hallamos la intersección de las tliagonales:

3

.r=3;1.=3

I

El centroidc cs E(3; 3)

el centro de gravedad de un paralelogramo que tiene por vértices A(-5; 0), B(-4; 4').C(4t 4) y D(3;0) y forma con el eje X un ángulo de 45'.

I

3

5X

Dcterniranros las ecu¿tcir¡les tle Ias diagonalcs:

>'lit7r-ll

/¡¡: r-l=!*1,.,'4, N l .§

f,l

El centroide de un segmento es M(2; 4). Si uno de los extremos es (1;2), halla el otro extremo. Sea (-t;,y) el otrl) cxtremo del seEltnento.

p I

s @

norcrao:

l+.r '2'

-l

v(!,!) tt=l: .l+r

=rr,*i

l)c

=4

>r=6

r

.¿

I

y i?l hallanros el centro de gravetlad dcl paralelograrlo: i1:r

J 4\

r)r'

=

-lr, ..

l-4r - 7t = -12 ...

-l(N I

,

,,\ - 1o...

/,,:r-4={:1)1,-1,+-1.\ ¿Lt5

r

2

12 + !=2+-r=-l/2

lallamos la ecuacirin gc'neral tlc

lr

rccla /:

r' 2=t¿In45'(.r+l/2)+) 2-|

lnicie preguntando: ¿Que forma tiene el terreno limitado? (Forma triangular). Si se quiere cercar el terreno con alambre, ¿cómo podemos hallar el total de alambre utilizado? (Calculando el perÍmetro del terreno). ¿Cómo se puede hallar la medida de cada lado? (Aplicando la fórmula de distancia entre dos puntos). Comente, también, que muchos de los programas 2D, como por ejemplo, Qcad o Autocad, basan sus diseños a partir de un sistema de referencia y del manejo de coordenadas para comenzar a modelar sus animaciones.

I

o

tle las diagonales.

/¡a:r r=0 /,rr: r+r=6

Plantea conjeturas respecto a perímetros de figuras poligonales. (10-11)

En el ejemplo 28, pregunte: ¿La distancia de A a B será la m¡sma que de B a A? (Si, porque al elevar al cuadrado los resultados siempre son positivos). Pida que comenten sobre la importancia de la realización de la Feria Gastronómica lnternacional "Mistura" para nuestro pais. Haga especial énfasis en la difusión y empleo de productos naturales y orgánicos en los diferentes platos importantes para una alimentación saludable. Refuerce lo aprendido a través de las actividades I a la 7 de la sección "Desarrolla tus capacidades".

El cuarto véñice es D(8;0).

lrallamo. la' ceua. iorre'

.

Calcula perímetros de figuras poligonales. (1-2; 7-g)

I

el prrnto medio tle h rliagonrl tsD. 2,

.

Para desarrollar

x D(rl

tLibro de act¡vidades (págs.274-275)

Para iniciar

@ El centro de gravedad de un rectángulo es E(4; 2). Si tres de sus vértices son A(0; 0), B(0; 4) y C(8; 4), halla el cuarto vértice.

Sea

67)

Sugerencias didácticas

un cuadrado. Halla el centroide.

,, N4122,,!f)=r,(l,l)

escolar (pá9,

Capacidades y desempeños prec¡sados . Representa perímetros en el plano cartesiano, (1-6) Comunica

I

Resuelve.

0

Argumenta afirmaciones: 10-12

El tcrcer r,értice es (6: I )

Gt El centroide de un paralelogramo de sus

6.9

lTexto

A(-2; -1) y B(3; 4), determina

de sus vértices son el tercer vértice.

de gravedad de un triángulo

se encuentra en su

Usa estrategias y procedimientos:

@ El centroide de un triánsulo es c(J;

falso.

El centroide de un segmento está situado en su punto

'l-5

¡

(.¡+l/2)

/:2-r-2r+-5-0

El otro exlrcmo cs ( 3, ó).

lndique que realicen la actividad propuesta en la sección "Usa estrategias y procedimientos" que se encuentra al margen. Tenga en cuenta que algunos estudiantes comprenden mejor un problema de geometría analitica ubicando los puntos en un sistema de cuadrÍculas; mientras que para otros, les es suficiente tener una referencia de la ubicación de dichos puntos. Solicite la participación de estudiantes que practican estas dos estrategias para que evalúen las ventajas o desventajas de cada uno.

Para consolidar UN|DAD

7

Geometría

2t3

I

Solicite a los estud¡antes que realicen en su cuaderno las actividades de "Desarrolla tus capacidades". Luego, invite a intercamb¡ar los cuadernos para su corrección.

N N @ j

ci

i .o

6

!

l

o o o

) p _§ =I c

<

a c -q C

a @

.

GEOMETRíA ANALÍTICA

Centro de gravedad. Perímetro de las figuras pol¡gonales

Perímetro de figuras poligonales un lado en el plano cartesiano está determinado por dos puntos que son los extremos del segmento que lo contiene. E uso de las coordenadas nos perm¡tirá halar los perímetros relacionando cada lado como una distancia entre dos puntos.

Dentro de la crencia y tecnologÍa, gracias a los satél¡tes y a las herramientas tecnológicas, podemos conocer, en tiempo real, las coordenadas y ubicación de lugares y olrjetos, de tal forma que nos pernrite dete rmrnar su centro de Sravedad o perÍrnetro en forma exacta

plano

punto en e que se concentra el peso de un cuerpo, de forma que si e cuerpo se apoyara en ese puntq permanecería en equilibrio. Ver margen.

para

EJEMPLO 1O

C(rr,

),

^ /xr +f2 +Ir. fr +y2 +l/:\

3

"\

3

/

Determina las coordenadas del centro de gravedad del triángulo, cuyos vértices son los puntos P(-3; 2), Q(4t 6) y R(8; -2).

.

Resorvemos:

o(l!=11!,

4!ia)="8,

+ 5)

.

Ge;2)

.

El centro de gravedad está ubicado en el punto G(3: 2).

2f)

Perímetro de figuras poligonales en un plano cartesiano

saludable. (Adquiere hábitos

3)

de alimentación saludables

EJEMPLO 11

Al-3: -l r -?

y cuida su cuerpo).

Debe colocarse un protector en el contorno de una pieza de automóvil, cuyas dimensiones están en centímetros y según las coordenadas mostradas en la imagen del margen. ¿Cuál es la longitud del protector que se utilizará?

. .

USA ESTRATEGIAS Y PROCEDIMIENTOS

Hallamos las longitudes de cada uno de los lados del triángulo:

=

(-l-(-3»'z+(7-(-1))2 =,,12'+8' =r/68 =8.25

Halla el perÍmetro de

a,r,.¡=r(6-{-tf * {: zf =lV¡ é)'z =165 - s,06 d,o,., = ú6 - r-3ry' * r3 - rJ rf ="/e;4 =/s7 = s.ss .

un terreno que t ene

formaoctogona,ycuyos vértices son A(-5; 0),

Calculamos el perímetro del triángulo: 8,25 + 8, 06 + 9, 85 = 26,

l6

La longitud del protector de la pieza triangular metálica es 26,16 cm

ci

. .

¡i9

ffi

orsnnnorraruscAPAoDADES

coordenadas medidas en centímetros son

§ c a

puntosP(8; 9),Q(2;

-

20t'

*

t0

= 44.72

l)yR(8; l).

C((r:

B

= rD600 = 50.9e m

- 30t' = y'tsoo

=42.43

m

Calculamos el perímetro del triángulo: Perímefro = 44,72 + 50,99 + 42,43 = 138,14 m

rFIi.rn

rcalrzattr íll¡iL!r'til vc1 iln¡ lolra il:rSlr()rli-rnicil

{lilr

tll coluBlol

Graficamos usando los datos en el plano cartesiano. Hallamos las longitudes de cada uno de los lados del pentágono.

fii-

2f

+

21*

13

- of

- 3f

d,o,r, =

32,98 u

d1r."¡=r@-)'*(2-#

13

=

=5

3

A(-2;3)

3)

2)

:l

a,..o,=1[{t - +f * {-a

los

.1.67).I'=24cm

Se debe cercar un terreno de cultivo, cuyas coordenadas medidas en kilómetros están dadas por los puntos A(-1; 4)l B(3; 4); C(3; -1); D(-1; -1). ¿Cuánto medirá la cerca que se

d1¡,r) =

.

deberáponer? P= llJkrn

-zf

§

-2-l

3

+(0+

7

Geometrla

61

214

l: -3)

e e

d¡¡.E¡="/18 = 4'24 Calculamos el perímetro: P = 3 + 5 + 1,41 + 5,83 + 4,24

El perímetro del pentágono ABCDE es 19,48 u.

UNIDAD

I

m

drc,or=/3=5,83

dE .E <E aa c

50liiso - 0f

H(-4; -4).

Usa estrategias y procedimientos 1"2

Determina et centro de gravedad y el perímetro de una placa triangular de metal cuya aleación está formada por hierro y zinc, cuyas

--

30t' = vñ

d@,¡¡= ^/2 = 1,41

-eE

&

- 20f * t5o -

d¡r,o, = 1[1-2 +

-4), G(0; -s) y

:Qd O: !É óa

I

Calcula el perímetro del polígono que se muestra. Redondea el resultado final al centésimo.

Píds. 272 2?5

i^

I

EJEMPLO 29

B(-4; 4), C(0; s). D(4j 4), E(s; 0), F(4;

i

La distancia que recorrerán los visitantes es de 138,14 m.

@

Vemos que se trata del perímetro del triángulo ABC.

d1¡, a)

N N @ j

d,o.r, = rI50

.

i

Hallamos las longitudes de cada uno de los lados del triángulo.

d,".., = ú60 -

60

Valora srr cuerpo y asume un estilo de vida activo y

Para determinar el perimetro de una figura, debemos medir su contorno; si son lados rectos, podemos proceder realizando la adición de los lados; a suma será su perímetro.

246

40 B

I

Observamos que el circuito de estas tres zonas se asocia con el perímetro del triángulo ABC.

d,o,., = /Go

B(-l;7)

I

Este año, la Feria Gastronómica Internacional de Lima contará con un mercado de productos naturales y orgánicos. Además, se ha asegurado la panicipación de la India, Mamrecos y México. Los organizadores asocian el lugar con el cartesiano, y han dispuesto que dentro de la feria, la India se ubique en el punto cuyas coordenadas son A(20; 30), Manuecos en la posición B(50r 0) y México en C(60; 50). Si los visitantes a la feria deben seguir el recorrido ABCA visitar estas tres zonas, determina la distancia en metros que recorrerán los visitantes al completar el circuito.

Es el

B\xz,l)

--*----"",*--:1, f

E¡EMpL6

centro de Bravedad o centro¡de de figuras planas

)r)

V

ACTIVI DADES

TEXTO ESCOLAR

=

19,48 u

E

LIBRO DE ACTIVIDADES

Estrateg¡a para resolver problemas GEOIVIEfRiA ANALíTICA'

ff

orsnnnou-nruscApACtDADES

Comunica:1-ó Usaestrategiasyprocedimientos:7-9 Argumentaafirmaciones:10-'11

Observa la figura que se muestra, Luego, escribe V si es verdadero o F si es falso.

ff

D

5

N BoA es 15,07 u. del N BOA es igual al

El perímetro del

@ El perímetro perímetro del

N

@ EI perímetro del AADC

es diferente

el cuádruplo

l+

+ (3

-

2¡2 =

/(1

-

r)2 + (o

-

3)2

0R =1,t0

-

4)'] +

P

F

El perímeho del cuadrilátero ABCD

\(-2 +.1)r +i¿ * ¿l = \

¡aP = r(rl +4r'

io

]

es

detNBOC.

i

r

]

ÍD

=v{¡

(-3

_of

=

+(-l

+ 2.¡:

='

= +.2+

"D5=

-4.¡.

¡7

Para desarrollar

Y B

y AC = r40 m, halla el perímetro del

I

En la fase "Comprende", indique a los estudiantes que lean el problema con tranquilidad, sin presión; luego, pida que lo describan verbalmente. Asegúrese de que empleen la terminologÍa adecuada. Pregunte: Si la posición de una de las estacas es 300 al este y 50 al sur, ¿en qué cuadrante se encontrará? (En el lV cuadrante). Si la posición de la estaca fuese 200 al oeste, 50 al norte, ¿cuáles son sus coordenadas? ¿En qué cuadrante se encuentra? ((-200; 50) se encuentra en el ll cuadrante).

t

En la fase "Planifica", motive a que den a conocer las posibles formas de calcular el área del triángulo; evalúe en forma conjunta la pertinencia de cada una de ellas teniendo en cuenta los datos que se presentan.

I

Previamente a la fase "Resuelve", haga hincapié en la estrategia utilizada. Comente que hacer un dibujo sirve para evidenciar conceptos e imágenes visuales internas, asÍ como propiedades geométricas que sirven de base a la intuición, la inducción y deducción. Presente diferentes gráficos y solicite que hallen el área sombreada a partir de la resta o suma de áreas de figuras que la conforman. Pregunte: ¿Cómo se identifica el sentido antihorario? (Según el orden alfabético de los nombres de los puntos). Observen que en el esquema hay 4 filas y 2 columnas y que en cada fila se colocan las coordenadas de cada purio. ¿Cuál es el orden en que se colocaron las coordenadas? (Punto A, B, C y A). ¿Por qué se repite las coordenadas del punto A? (Poryue se debe formar un triángulo que es una figura cerrada).

triángulo ABC. I

C(¡;0) Para hallar el perímetro. debemos encontrar

el valor de.r.

Pe¡o.AC =

cl,,r. o,

= r/3: + 62 =

ll0 +

-

l)2 + (0

-

l)'z = r/lO

(-r- 1)2+(0- l)r= l0+¡2-2r-u=0

Graficamos y hallamos el perímetro del triángulo ABC.

(¡ -,1 X,t + 2) = 0 +.r =,1 v ¡ = -2 descartatlo Hrllrm,,r el perrnclro: en = vl '' I +' = ,[l

,!§

BC = 1,['+ .1 = GT Pcrímetro = r40 + r¡17 +

a,"., =1t'a4=y45 ti,o..., = /¡11 11¡2 = 6

P=2JE +6

(S Los vértices

19,12 u 2

rEl = 13.69 m

de un paralelogramo se escriben en

forma ordenada así: A(-2; 0), B(0; y), C(6; 3) y D(4; 0). Halla el perímetro del triángulo ABD.

El Dados M(4;2), N(0; a), P(4; l) y Q(-2; 4). ¿Cuál es el perímetro de la figura que se forma al unir

los puntos MNQP? La figura c¡ue se tbnna cs un cuaclrilátcro. Hall¡mos su pcríntctro:

,1,r.*, = s p I

o

= ¡/20

-

- /:i + ¡ = 2 u d,*,1, =í(" * -lr = v$ -

l

1,47

a,*.,,,

d,, !

/4t * t'

,',

=

y'{)r

1

1r

=

Observamos que:

AB=CD=vil3 AD=BC=6

vhl-t;¡ -¡,

(0+2)2+(r-0)2= l3+ 4+y2= 6.7¡

u

¡

= 4.11 + 2 +6.71 + I - 14.llJ u El perímet«r de la fi-gura que sc fi)rnla es I 4. I E u. P

Graficamos y hallamos el valor de y:

AB =

Pregunte: ¿Qué elementos debes tener en cuenta para elaborar el diagrama? (El punto de referencia y las coordenadas de la posición

de cada estaca). ¿Cuáles son las coordenadas donde se encuentran ub¡cadas las estacas?(A (0; 0), B (300; 50), C (100; 150)). ¿Cuál es el punto de referenc¡a para ub¡car las esfacas? (Los puntos B y C). Pida un voluntar¡o para que indique con su cuerpo los puntos cardinales.

s

= 4,11 + 3,16 + 4,24 + 5 + 4,12 = 20,99 m

Sean A( I ; 1), B(0; 5)

@ Un triángulo está determinado por los siguientes vértices A(-3; 0), B(0; 6) y C(31 0). Determina el perímetro del triángulo ABC.

=

I

,td = :,to

Resuelve.

P

2tt = 1,41

es

AADC.

el doble del perímetro del

O

Para iniciar

=

V

AABC.

El perímetro del cuadrilátero ABCD

utilizando coordenadas cartesianas. (1-4)

ñl\

V24,14

y procedimientos

Sugerencias didácticas

NP=

Llbro de actrvldades (págs.276-277)

Capacidades y desempeños prec¡sados . Resuelve situaciones problemáticas de áreas de figuras planas Usa estrategias

Hallamos el perímetro del teneno:

PQ =

tt.

es

§

i.l

DOA.

@ El perímetro del AADC al perímetro del

Un terreno tiene forma pentagonal. Los vétices de dicho polígono son: M(-4; -2), N(-2; 2), P(l; 3), Q(a; 0) y R(0; -3). Si los lados se miden en metros, determina el perímetro del temeno.

¡

ci :9

)

E

o E

13

Para consolidar

= Q a¡, = I v ) = -3 descartado +) = 3 Hallamos el perímetro del triángulo ABD: BD =./(4 - 0l + (0 - 3)'? = vDi = s

,y2

I

Perímetro=AB + BD +AD = r4J+ 5 + 6 = 14.61 El perímetro del triángulo ABD es 14,61 u. UNIDAD

N N @ j

7

Geometria

275

En la fase "Comprueba", recuerde que esta fase es considerada principal, ya que es aquÍ en que el estudiante toma conciencia de sus potencial¡dades e identifica sus debilidades, convirtiéndolo en un ser responsable y crÍtico de su propio proceso ante tareas matemáticas. Pregunte: ¿Qué clase de cuadrilátero se forma al un¡r los puntos EFBC? (Un trapecio rectángulo). ¿Qué clase de triángulos se forman en AEC y AF B? ,Triánoulos rectá noulos).

l

po € É o L

@

o É -9 .F c G

U)

@

LIBRO DE ACTIVIDADES

ESTRATEGIA PARA RESOLVER PROBLEMAS Usa estrate8ias:y procedimientos: 1-4

Hacer un gráf¡co Raúl es topógrafo y trazó su lote triangular para su const¡ucción.

Resuelve los siguientes problemas. Utiliza la

Para mandar hacer el plano, elaboró el diagrama y la tabla de datos que se muestran (en metros).

l!

t50

§.

,

Estaca

Posición relativa a A

B

300 al este.50 al nofte

C

|

Bd

50

x

p

estrategia aprendida.

00 al este | 50 al norte

¿Cuál es el área del tereno que ocupa el lote'? Sabemos que el terreno tiene la forma de un triángulo y que dos de sus vértices B y C se relacionan respecto a la ubicación del tercer vértice A. Además, al observar la tabla, interpretamos que "300 al este" significa "300 metros a la derecha de la estaca A". Debemos hallar la medida de la superficie (m2) que ocupa el lote ABC.

Eduardo es fhnático de 1a geometría analítica. Para hallar el área de cualquier figura plana utiliza coordenadas cartesianas. Para esta semana, su grupo debe elaborar para el tema de seguridad vial una docena de triángulos de madera de triplay. Cada triángulo debe ser equilátero cuya medida de su lado se muestra en la figura. Si el metro cuadrado del material que utilizará cuesta S/ 30, ¿cuánto gastará el grupo de Eduardo para elaborar dichos triángulos?

Comprende

of

-.&,, o nra

d%fP

x

ocupan las tres bolas de billar en cm3. 365.20 cnrl

@ En la feria de ciencias, en la sección de

Observamos que se dan coordenadas de ubicación de dos estacas respecto a una estaca fija A. Por ello, nos ayudaremos de un plano cartesiano cuyo origen coincida con A. Además, B y C deben corresponder a la posición relativa respecto de A. Luego, calcularemos el áreadela Plan¡fica

El juego de billar de carambola a tres bandas se juega solamente con (1 tres 3 bolas en una mesa que, en contraste con las mesas de billar pool no tiene huecos (troneras). Además, la mesa de billar de tres bandas es más grande que la de paol con una dimensión de 5 pies 10 pies (las mesas de pool profesional miden solamente 4% pies x 9 pies). Las bolas son de color amarillo, blanco y rojo y son un poco más pesadas que las bolas de billar pool.Las bolas amarilla y blanca son, por lo general, las bolas tiradoras y cada una es usada por un jugador diferente. Una bola de billar mide 61,5 mm de diámetro. Determina el volumen que

matemáticas, se presentaron maquetas dc figuras planas, como se muestra en la figura. Además,los listones son iguales y de triplay delgado. ¿,Cuál es el área ocupada por las tres maquetas de polígonos regulares? 454,15 crrl

40 cm

región triangular ABC.

Comprende: Sabemos que Eduardo para hallar el área de cualquier figura plana utiliza coordenadas cartesianas. Se pide el gasto que realizará al elaborar

Graficamos y usamos coordenadas para ubicar A, B y C

Ios triángulos.

En el esquema de ordenamiento, la primera fila la forman las coordenadas del vértice A; la segunda, los del vértice B y la tercera, los del vértice C; es decir, en sentido antihorario.

150)

50)

F(300; 0)

Planifica: Observamos en la figura que la longitud del triángulo equilátero es 40 cm. Calculamos la altura del triángulo pam obtener el tercer vértice. Resuelve: Graficamos y usamos coordenadas para ubicar los vértices en el plano cartesiano. La altura l2

del triángulo es 2OJ1 cm.

Utilizamos un esquema de ordenamiento y calculamos: Resuelve

Area ABC

N N @ j Ci

7

= \
u... 'o 100-\ \-50

Y

+s 000 + 0

x

-0-

5000

-

)

Respondemos: El área que ocupa el lote es 20 000 m2.

B(40; 0)

0) = 20 000 Rou., =

Calculamos el área sumando las áreas de AEC y EFBC, y restando el área de AFB: I I 00 x I 50 Área or,. = + (.100 I 00) 502+ 50 - -roo

-

Á."uor"=7596+200 100 7500=20000

sE o I

comprueba Verificamos que el área resulta 20 000

@

m2

"f

I € p 4

!

p

j

o-=.-

l40<;

ol ol

l':?fl

[(0. o +40. 2o/J+ 20. o)

AArr. = (800a8) +

Gastó=0.069

a

o

o

de

Mauricio?

st

j

t

= 4ool3 =

6s2,8zcm2 = 0,069 m2

30 12=S/24.84

Comprueba: Calculamos el árca como el semiproducto de su base por su altura.

§

Para cada cometa utiliza dos listones de caña delgada de 30 y 80 cm y un pliego de papel cometa de 70 cm x 100 cm que cuesta S/ 3. Si en otros materiales gasta S/ 20 para elaborar todas las cometas, ¿cuánto gasta en total el papá

(4u.0r20 0+u 20"8)l

a

= p.

I Aora = á

o\o

Área or"

o o o

c(zt:;zot5)

,/\ !0+300.1-50+ 100.0-300.0 ,100.50-0.150) roo-_)rso -7'" |

i

:9 !

,I

cm

@ Mauricio ayuda a su papá a construir un ciento de cometas para vender en su librería.

AAB(. =

+

+

(40 . 2¡¡uTy = +00y'3

Gastri =0O69 '

30

12 = Sl

60 cm

24,84

c

§ C

@

o

216

UNIDAD

7 Geometra

271

LIBRO DE ACTIVIDADES

La circunferenc¡a tTexto escolar (pá9.

68)

f

Libro de actividades (págs, 278-280\

Capacidades y desempeños precisados

Actividades com plementarias 1. Calcula el área total de un tronco de pirámide con bases cuadradas si la arista de la base menor mide 5 cm, la de la base mayor, 8 cm y su apotema, 4 cm.

Comunica

2. Halla el volumen del tronco de pirámide de bases paralelas si estas son triángulos

Usa estrategias y procedimientos

o

Argumenta afirmaciones

o Justifica

3. Observa el vaso que tiene forma de cono truncado, Si su capacidad es 0,468 L, ¿cuánto mide su altura?

equiláteros.

o Reconoce y discrimina entre las ecuaciones canónica,

ordinaria

y general de una circunferencia. (1-5) Resuelve problemas aplicando las ecuaciones canónica, ordinaria y general de una circunferencia. (6-10) la obtención de las ecuaciones ordinaria y general dadas sus coordenadas. (11-12)

CM

C

B

Sugerencias didácticas

5

Para iniciar E

4.

l2

cm

F

I

r=2,8cm

En una esfera de g cm de radio se trazan planos paralelos: uno a 2 cm del centro y otro a 5 cm del centro. Calcula lo que se pide.

a) b)

El área de la zona esférica. El área del casquete esférico menor.

c)

volumen del segmento esférico de una base y el del segmento esférico de dos bases.

2cm Plano

EI

1

3cm

Plano 2

4cm

5. Una pelota de fútbol tiene una circunferencia máxima de 69,4 cm. Estima las medidas de su superficie y volumen.

6. La diferencia entre los volúmenes de dos esferas concéntricas es 84n cm3. Si la menor tiene 1 cm de radio, halla el radio de la mayor.

7

Pedro asocia un sistema de coordenadas al plano de su localidad, tal que su casa se ubica en el punto A (-6; 3) y la de su amiga en B (a; -3). Halla las coordenadas del punto donde se ubica la academia si esta se encuentra a igual distancia de ambas casas, sobre la línea imaginaria que las une.

8. Los vértices de un cuadrilátero están sobre los puntos A (-6; a), B (-6; -3), C (2; -3) y D (2,4 Calcula su perímetro.

Para desarrollar

I

Analice la ecuación canónica a partir de las siguientes preguntas: ¿Cómo se halla la fórmula de la medida del radio? (Aplicando la fórmula de distancia entre dos puntos). ¿Cómo se obtiene la ecuación canónica? (Elevando al cuadrado ambos miembros de la fórmula del radio). Relacione la ecuación canónica con el teorema de Pitágoras.

I

Comente que no siempre el centro de la circunferencia se encuentra en el origen de coordenadas; por ello, las coordenadas de su centro pasan de C (0; 0) aC (h, k). De este modo, la expresión 12 = x2 + y2 pasaa r2 = (x- h)2 + (y- k)2, llamada ecuación ordinaria. lnterrogue: ¿Qué representa h y k? (Las coordenadas del centro de la circunferencia, donde h es la abscisa y k es la ordenada). Antes del análisis del ejemplo 31, solicite que desarrollen la actividad propuesta en la sección "Usa estrategias y procedimientos". Resalte que las coordenadas del centro de la circunferencia se obtienen hallando los valores opuestos de los presentados en la ecuación ordinaria.

9. Halla las coordenadas del baricentro de los triángulos cuyos vértices son: a) IV (-1; 5), N (4; 2) y Ñ (0; -4) b)A (5; 8), B (-2; 3) y c (3; a)

c)P(-5;8),4(2;-3)yR(3;a)

d)O(-a; -2),P(1;7)yQ(6;a)

10. Existe una relación entre la estatura (x) de las personas y la longitud (y) de sus huesos húmeros. Halla la ecuación general aproximada de esta relación si se sabe que para dos personas se representa mediante los puntos P (160; 31,7) y a (180; 38,9). 11. Calcula el perímetro de los polÍgonos a partir de sus vértices.

cm

Para consolidar

Hespuestas: 1. 193 cmz 2. 131 cm? 3. 12 4. a) 54n cmz b¡ 72n cm2 c) 98,7n cm3; 204n cms 5. Su superficie mide 1519, 76 cm2 y su volumen, 5572,45 cm3 6. 4 7 (*1 ; 0) 8,30u 9. G (1; 1) G (2;5), G (0;3) G 10 3,6x* 10y-259= 0, 11. a) 14,78 u b) 15,39 c) 30,34 d) 14,44 u

u

u

(]t3)

Aclare la información presentada solicitando a un estudiante que se ubique en una posición fija y, posteriormente, llame a otro y dígale que se ubique a 2 m de su compañero. Repita este proceso con varios estudiantes, de tal manera que se encuentren alrededor del estudiante inicial. Destaque la forma que se obtiene y pregunte: ¿Cómo se formó la circunferencia? (Ubicando a los estudiantes a una misma distancia de una persona). ¿.4 qué elemento de la circunferencia corresponde la medida de 2 m? (Al radio). ¿Es lo mismo circunferenciay círculo?(No, circunferencia es una curva plana, cerrada, cuyos puntos son equidistantes de otro, el centro, situado en el mismo plano, y cÍrculo es el área o superficie plana contenida dentro de una circunferencia).

cm

I

tt/otive a los estudiantes a averiguar sobre la existencia de construcciones de forma circular que el ser humano ha realizado a través del tiempo, como por ejemplo, el anfiteatro romano. Formule las siguientes preguntas: ¿Cómo podemos demostrar matemáticamente esas líneas circulares tan nraaiqeq2 (l ih,ra\

N N @ j C'

'6 f

ó o o 3 o

p 2 !

o

&

< a o

§c c a

o

TEXTO ESCOLAR

DADES

LIBRO DE

.

ü

GEOMETRíA ANALiTICA

La circunferencia. Ecuaciones

B

La circunferencia es la lÍnea curva formada por todos los puntos que se encuentran a la misma distancia de otro punto llamado centro. Con el avance de la tecnologÍa esta característica se aplica, por ejemplo, en la recepción de señales wifi que son campos electromagnéticos.

,,

c¡rcunferencia

Ecuación canónica Para obtener la ecuación canónica de la circunferencia,

RECUERDA

ecuac¡ón de la c¡rcunferencia puede expresarse de d¡ferentes modos, dependiendo de su ub¡cación en el sistema de referencia. Así tenemos: La

Cuandoelcentroestáenel

origenlO;O),*+y2=r2

<EcuaciónGnón¡ca

Halla la ecuación canónica de una circunferencia si su radio mide 6 cm.

Cuando el centro es C(¿, ¿):

(r-

<

x2+y2=62

r

c(h, k)

ubicamos un punto cualquiera Pk, )) de la circunferencia con centro en el origen C(0;0) y calculamos la distancia entre ambos. Es decir:

COMUNICA

Lá c¡rcunferenc¡a. Ecuac¡ones

La

I +f

ecuación

+

h)'?+

O

-k)'=f

Ecuación ordinaria

r: Rad¡o

Determina la ecuación general de la recta tangente a la circunferencia de

IMPORTANTE

. .

Tangentes inter¡ores

-2x -

Hallamos el centro:

4

*

=O,qte + y2

-

2x

=0

+

(¡

-

l)2 + y2 =

=f, + +2y x -*V-Z¡ -6=O

Determinamos la pendiente de la recta:

Dedonde:y-2=

x

pasa por el punto P(2; 2).

-4

mn

5i

4

=2

d

(-r'

- 0f

-,

=

+

^ft

á

h Ecuacióndelarect¡

d
d<12

x

¡

-

=f

+yz

-?

=22 +

42 >r - 14+16 >r=Ao

Determinamos la ecuación:

.tmz

La ecuación de la circunferencia es

=

i

i

+ y2

+2O = f

+ y2

+ y2 = 29.

Ecuación ordinaria Para obtener la ecuación ordinaria de la circunferencia con centro c(h, k), identificamos un punto cualquiera Pk, y) de la clrcunferencia y calculamos su distancia al centro C. Es decir:

d>r.+r,

d=lt+lz

0)' *

Calculamos el radio. Para ello, reemplazamos P(2;4) en la ecuación canónica: 12

.

Exteriores

Tangentes exter¡ores

.

c(r; o) centro

Pos¡ciones relat¡vas de dos circunferenc¡as no concéntr¡cas

d=lz-(t

f1i -

Halla la ecuación de la circunferencia de centro C(0; 0) y que pasa por P(2; 4)

4)

EJEMPLO 12

+ y2

=

EJEMPLO 30

P: Punto de tangencia

f

=.

Ecuación canónica: 12 = x2 + y2

D¡ + Ex + F = 0 es la ecuación general de la circunferencia.

l: Recta taSente

erl:rrción

,i16.p¡

P(¡.

rl

d¡¡,p, = r

EJEMPLO 13

=/(r -

h)2 +

§-

k

k)2

Ecuación ordinaria:¡2 =

x

¡¡,

h)2 + (y

-

h.r

k)2

Determina [a posición relativa de las circunferencias cuyas ecuaciones son: Cr: 3xz +

.

,;ÉF

N N @

)ci

.

3y2

-

12 = O

y

*

C2:

+ y2 + 2y = 0.

Hallamos el centro y el radio de las ci¡cunferencias: Cr:

yrt=2.DeCz'. - (x-0)2+§+ 1¡2= Calculamos d = r'O +

I

=

1

+

r,

1+C(0;-l)

- ¡, = 1 = d.

>

* +f

=4

y12= I

-

USA ESTRATEGIAS

C(0; 0)

Y PROCEDIMITNTOS

Tangetrtes rrter ores

Halla la ecuación ord¡naria de una circunferencia sl su centro es C(-2; -3),,y su radio mide 7 cm

P¡i€s. 274-243

¿ :Q

3

ff

!=

o

o

orsannou-aruscAPACIDADES

Escribe V si

ü$ En la ecuación 12 + y2

punto (16;

@

o

es Verdadero o F si es falso.

*6

(x + 2)2 + (y + 3)2 ="12

+y2-5 =0

el radio mide

circunferencias: €9 i @C,:l +¡/-4x=OyC2:l+y2 +6¡=0 llll!¡llIt \ ¡I¡¡l'lr )lr\ Determina la posición de las

= 0, el centro está en el

-rG).6,)

'.1 En la ecuaciónl

r5.rr,

p C,: I

+ y2 + 4x

-

4y

=8 y Cr:

I

I

+y2

-

6-i = 0 s.,n,,r.,

l6 @C,:l +y2+lLr+ j2=OyCr:l+y2+6x= 'lirlt:L

óB

Dada la circunferencia de ecuación (.t - 3)2 + 0 + 4)2 = 25, grafica y obtén las coordenadas de su centro y el radio.

. .

Identificamos las coordenadas del centro C(h, k) de la circunferencia:

h=3,k=-4+C(3;-4) Calculamos el radio: l=25 +r=5

El centro de la circunferencia es C(31 y el radio mide 5 u.

278

C(3;

-4) I

u p p

-4)

de ecuación (; + 5)2 + b) -z)2 = 64. t'i Dudu lu Halla las"ir"rnferencia coordenadas de su centro y su radio. C(-5; 2): r =

"

;

¡ll. s iltl, lfi'lL'

@

c § .F

5 !

q

) o L

1'2 Usaestrategiasyprocedrmrentos: 3

E

-

.E

Comunicar

EJEMPLO 31

! 8

o

LIBRO DE ACTIVIDADES

¡

GEO|llETRíA ANALITICA'

GEOMETRíA ANALíIICA

Ecuac¡ón general de la circunferencia

ff

Para hal ar la ecuación general de la circunferenc¡a, desarrollarnos os binomlos de su ecuación ordinarla.

(¡

h)2

+ (y - k)'?=

x2 + y2 + (-2h)x + (-2k)y + h2 +

=

2h,

f

= -2ky F = h2 + k2 a ld eLuac o'geTe'¿ oe ra c rcurlere-cia. E

k2-

12

fl

=0

para obtener la expresión que corresponde

USA ESTRATEGIAS Y PROCEDIMIENTOS

?+y2

El

.

[f

f .

+ y2

+(12)x+ (0)y +

11

=0

+x2+

y2

+ lLt +

6

[|

O

-4

de una circunferencia es

6. x2 +

-6

8.

(-3; 4) y

4)2=62

I +6¡+9+y2-8'y+ I6=36 -l +¡2+6r-8y-ll=0

= 0, su centro es

f,} Escribe la ecuación de cada circunferencia EJEMPLO 33

. .

Como el centro C(h, k) está en

"orno

.

VC + 8P + G-41- = vG

I

§

"*p."sión

sení: ll: -3h

k

- -

4=

Gr

h=

-2

+ -3(-2) - k- 4= 0 + radio: r= Vi-8llI;lt-r'.=,40

Calculamosel

=0

Y

64

Centrl): Cl( 5:,1); radio = U u

@ Determina la ecuación general de la circunferencia que pasa por los puntos A(7;0), B(a; 3) y C(.4t -3). Identifica su centro y calcula su radio. Reemplazamos cada punto en la ccuación general. A(7: 0): 72 + 02 + D(7) + E(0) + F =0

7D+F=

49...í1)

su radio

4D + 3E +

C(41

F'=

F=0

2-5 ... (¿l

3):4r+( 3)r+D(4)+E( 3)+F=0

4D lE + F = 25 ... t.¡) De las ecuaciones (¿ y Q) obtenemos: 6E=0+E=0 D= lJyF=7 Reenrplazaruos estos v¿rlores en la ecuaciór ccncral

y cornpletarnos cuadrados para hallar la ecuacirin ord inaria: .rl+-r,2 8.r+7 =0 > Ecuación geleral (r 4)2 + (-\'- 0)r = 32 Hl ccntro es C(4;0) y el radio 3

-

2y

-

16 = O. 1,

N N

la nueva expresión

o j

serál:1h 2k 16=0 Ct) Cqle t4_y gEsü radios: CA = CB /(h - 2)':+ (k,3F = y'(h 6)'z + (k + t)'?

@

ci

i

:Q

h k=3+h=k+3...@

-8

x

k=2

-6-4

2

A pafir de la ecuación ordinaria, hallamos la ecuación general:

Cr:(r+5)2+)2=42

+y'+4x 4y-32=O -f general de la circunferencia es I + y2 + 4x 4y - 32 = O. (x+2)2 +(y-2)2 =40

La ecuación

-

4): = 8r > Ecuación r¡rdinaria

Como el centro C(h, k) está en

l1

-Tfulklf +

,l)2

su centro en la recta /: 1x

0

Reemplazamos la expresión @ en O y calculamos las coordenadas del cento:

3h-k-4

. .

nu"uu

6¿- y CB son radios: drc.e) = qc,el

9 !

i],lu

(t' (y

@ Halla la ecuación general de la circunferencia que pasa por los puntos A(2; 3), 8(6; -l), y que tiene

C

Detemina la ecuación general de la circunferencia que pasa por los puntos A(-8; 4) y B(4; 4), y que tiene su centro en la recta 1, : -3.r - y - 4 = 0.

(rr+ l0r+25)+(-r2-8-r+ 16) 23 25 l6=0

(.r + 5)r + (-t + 5)2 +

De las ecuaciones O y €) obtenernos:

=22

(r+3)r+0,

Cornpletam0s cuadrados: (.rr + lO.t) + (tr 8tJ- 23 = 0

B(41 3): 4r + 32 + D(4) + E(3) +

7.(x-3)2+(y+5)2=42

y2 + lZx + 11 + 36 - 36 =0 +l + 12x + 36+y2 + ll - 36 = 0 + lLr + 36 + y2 - 25 = 0 + (r + 6)2 + ¡,2 = 52 + C(-6; 0) y r = 5u

ll

1?

de una circunferencia, su centro y la medida de su radio si su ecuación general es 'I2 + y2 + lO-t 8y 23 = 0.

de una circunferencia

mide 6 cm. Halla su ecuación general.

=O

+y2+ 12¡ +

M

+ y2 + D.r + Ey + F = 0

EI radio de una circunferencia mide 4 cm y su centro (3; -5). Calcula su ecuación ordinaria.

El El centro

,2 +

es 12

I

cuyo radio mide 2 cm.

4

completando cuadrados y factorizando:

La ecuación general de la circunferencia C(-6; 0) y su radio mide 5 u.

tr

La ecuación general de la circunferencia

Gl Halla la ecuación canónica

2D+3E+F=-13 3D+48+F=-25

Para determinar el centro (C) y el radio (r), llevamos a la forma ordinaria

x2

M

Resuelye.

-D+F=-l

ll

Si el centro de la circunferencia es (h, k) y su radio r, obtengo la ecuación ordinaria.

tiene la forma:

Como A, B y C pertenecen a la circunferencia, deben satisfacer su ecuación. Reemplazamos cada par ordenado (x, y) en Ia ecuación general:

Luego de resolver el sistema de ecuaciones, obtenemos D = 12,8 = y F = 1 1. Reemplazamos estos valores en Ia ecuación general:

tr tr

se deduce de Ia ecuación canónica.

Determina la ecuación general de la circunferencia que pasa por los puntos su centro y calcula su radio.

C(-3; 4): (-3)2 + (4)2 + D(-3) + E(4) + F = 0

[E Halla la ecuación ordinaria

@ La ecuación general de la circunferencia

4x+lOy+13=0

A(-1;0), B(-21 3) y C(-3;4). Identifioa

A(-1; 0): (-l)2 + (0)2 + D(-l) + E(0) + F = 0 B(-2;3): (-z)2 + (3)2 + D(-2) + E(3) + F = 0

falso.

La ecuación canónica de la circunferencia se determina por C(01 0) y su radio.

se determina por C(h; 0) y su radio.

c¡rcunferencia, determina su ecuación Seneral.

EJEMPLO 32

es

Comunica:1-5 Usaestrategiasyprocedimientos:ó-10 ArSumentaaf¡rmacrones:11-12

@ La ecuación ordinaria de la circunferencia

Silx-2)'z+(y +5)2=1ó es la ecuación dea

Ecuaclón genera :-r2 +y2 + D-t + Ey + F = o

.

cAPACTDADEs

Escribe V si es verdadero o F si

r'?

(x2 zxh + h2) + (y2 - 2yk +k2) = rz Denotamos por D

orsannornrus

C2'.

C¡:

UNIDAD

7

GeOmetTia

279

280

xz + y2 = 42

(¡-6)2+0+4)2=42

I

Reemplazamos @ en (!): 7(k +3)-2k- 16=0+ k =-1 ...€] Reemplazamos €) en (g: h = 2 H¿ll¿mos el radio de la circunlerencia:

r=lQ-2)2 +(-t - 3)2 =1 Hallamos la ecuaciírn general:

,r2 4¡+4+,1:+2y+ l= x2+-y2 4¡+2-r, ll=0

(x

2)2 +

I p e I (_r

+ I )r = .tr

§

!

l

e o f

= 7o L

16 @

6 c

§ c

@

o

Unidad

7

LIBRO DE ACTIVIDADES

Recta tangente a una circunfereñcia I

cEoMErRíA ANALírcA

Litrro de actividades (págs 281-283)

Recta tangente a una circunferencia

Capacidades y desempeños precisados . Reconoce y discrimina las posiciones relativas de dos Comunica

Una recta es tangente a una circunferencia cuando ambas se intersecan en un so o punto, llamado punto de tangencia. La recta tangente a una circunferencia tiene la propiedad de que es perpendicular al radi0 en el punto de tangencia. Esta propiedad nos permite encontrar la ecuación de la recta tangente.

circunferencias no concéntricas. (1-5)

Usa estrategias y procedimientos

.

Resuelve problemas aplicando la recta tangente a una circunferencia y posiciones relativas de dos circunferencias no concéntricas. (6-11 )

. .

.

&* Asegúrese que los estud¡antes no tengan dificultad en el cálculo de la pendiente de una recta y determinen su ecuación en los diferentes tipos de presentación. Presente los puntos A (-2; 3) y B (5; -8) Pregunte: ¿Qué tipo de presentación de la ecuación se puede emplear para obtener la ecuación que pase por estos puntos? (la ecuación cartesiana o punto pendiente). ¿Cuál es la ecuación de la recta? (y - 3 = -1117(x + 2)). ¿Cuál es la pendiente de la recta? (-1117). ¿Cómo se determina si una recta es perpendicular a otra? (Por la pendiente, el producto de las pendientes debe ser igual a 1). ¿Cuál será la pendiente de una recta perpendicular a la presentada? (7/1 1) Realice un repaso de cómo determinar la ecuación ordinaria y general de una circunferencia,

.

)

:Q !

!

o o o

-

p

-= o C

@

§c c a

7

m-'m/=-l *-J PC'I

m,=-t +mt=7

C(4;5)

Hallamos la ecuación de la recta tangente con P(-3; 6) y m, =

+7x-y+27

6=7x+21

l;

t2

=O

- y + 27 = O.

Determina la ecuación de la circunferencia que es tangente a la recta 2y + 2=0 enel punto P(8; 5) y que pasa porQ(l2t 9).

r .

El centro C(h, k) de la circunferencia debe estar sobre la recta / que es perpendicular a la recta dada y que pasa por P. Como la recta dada tiene pendiente l12,larecta / tiene pendiente -2; por lo tanto, su ecuación será: y

.

-

5 = -2(x

-

8)

+

y

-

5 = -2x + 76

+

2x + y

-

21

=0

Entonces las coordenadas del punto C(h; k) satisfacen la ecuación:

2x+y 2l=0+2h+k .

21

=0...(!)

Como la distancia de C(h, k) a P(8; 5) debe ser igual a la distancia de C(h, k)

4 8

a Q(12; 9), entonces:

rG - 8)'zlik_sf

.

=

/o Jr'+lk -¡i+

h+

k-

17 =

E

9

. .

12

16

0 ... @

Formamos con O y @ un sistema y resolvemos:

2h+k 2l =t) h+k-17=0 h-4=0+h=4vk=13

USA ESTRATEGIAS Y PROCEDIMIENTOS

v

Hallamos el radio que es 1a distancia de (4; 13) a P(8; 5)

Determina la ecuación de la recta tanSente a la circunferencia

r=

en el punto P(2; 2).

Entonces las coordenadas de C son C(4; 13).

(4

-

B)2

+ (13

-

Laecuación general de

x2

s)'z= VTO

La ecuación ordinaria de la circunferencia es: (r §

Para consolidar

r: Radio

EJEMPLO 35

lndique que se apoyen en la imagen del margen para una mejor

lnvite a describir cada una de las posiciones relativas de dos circunferencias no concéntricas. Resalte que el término "no concéntricas" se refieren a circunferencias que no tienen el mismo centro, Haga notar que, para determinar las posiciones, es necesario hallar la medida de los radios, Pida que representen las distintas posiciones entre pares de circunferencias para que diferencien cada posición relacionando la distancia entre sus radios. Oriente arealizar las construcciones con ayuda de instrumentos de dibujo y evalúe en ellas la precisión y exactitud de los trazos y las medidas. Refuerce con las actividades 1 a la 7 y la 9.

l: Recta tangente P: Punto de tanSencia

Como la recta tangente es perpendicular al radio, entonces:

La ecuación de la recta tangente es 7 x

comprensión del elemplo 34, luego interrogue: ¿Por qué es necesario hallar las coordenadas del centro de la circunferencia? (Porque es necesario conocer dos puntos para determinar la pendiente del radio). ¿Cómo se halla la pendiente de la recta tangente? (Hallando el opuesto del inverso de la pendiente del radio). ¿Qué datos se utilizaron para determinar la ecuación de la recta tangente? (las coordenadas del punto de tangencia y la pendiente).

ci i

Hallamos la pendiente del radio que une P(-3; 6) con el centro de la circunferencia C(4; 5):

y-6=7(x+ 3)+y

Para desarrollar

§

Hallamos las coordenadas del centro de la circunferencia: C(4;5)

-"F¡_)z-)r_5-6__l xz-xt 4+3

Para iniciar

N N @

RECUERDA

EJEMPLO 34

Determina la ecuación de la recta tangente a una circunferencia de ecuación (x - 4)2 + Cv - 5)2 = 50 en el punto P(-3; 6).

Sugerencias didácticas

&

¡

-

4)2 + 0,

lacircunferenciaesl+y2

8¡

-

13)2 = 80

+y2 2x 4=o

x+2y-6=0

26-v+ 105 = 0.

&§ Consolide con las actividades 10 y

1 1 . Pregunte: ¿Cuándo una recta es tangente a una circunferencia? (Cuándo ambas se intersecan en un solo punto llamado punto de tangencia). ¿Qué propiedad se cumple? (La recta

t.ñ^añló

ac narnanÁinrlor

ol ronin

nn nl n,n+n

l^^^^^^i^\

UNIDAo

7 Geometra

281

LIBRO DE ACT¡VIDADES

I

GEOMETRÍAANALíTICA

GEOMETRíA ANALíTICA

Pos¡ciones relativas de dos circunferencias no concéntricas Segú

n

a dl sta ncia entre sus centros y la relación errre r 1 y 12, dos

Tangentes exteriores

Exter¡ores

cl

rcu nfere ncias

fl

pueden ser:

orsannotaruscAPAcIDADES

Escril¡e V si es verdadero o F si es falso.

Tangentes

hteriores

interiores

Secantes

O

d=r:-rr

d=rl*rz

d<12-r¡

d<11+r,

Cl Dos circunferencias son

*-

O

-

Determinamos la ecuación ordinaria de cada circunferencia por el método de completar 19 + 64 - 6t + 52

cuadrados:

-8

-t2

cr

C.,: x2

-16

Cr:

-14x+y2 + 16y+61

?-

Lx + y2

-

2y

-

11 =

=0+ (¡2Q +

(x-7)2 + Cy + S)2 = 1¡2 - Lr + 1) + §2 (x

. ARGUMENTA AFIRMACIONES

En C,: C

.

Si la circunferencia

(r

6)2+y2=9s5 secanteax2+y2=

(¡-6)2+)2=4

-

l)2 + (J

-

l)'z=

8) y I = 52 + r =Zt[B + C'(l; l) y r'2 = 73 + r'= ^/13

(h,k)+ C(7;

Calculamos la distancia entre ambos centros:

d=

16,

¿cuá es el mín¡mo cambio que se puede realizar para que sean tangentes exteriores?

si

2y

+

I

)

l3 = 0

secantes si

I

M

@ El centro lj:

E

+y2 = 8', Cz: x2 + y2 + 4y =Q C,: r: + -r2 = (2¿)2 + Cl(0i0) ! t t = 2tD C,: (¡-0)2 + (.v+ 2)r = 2r + C(0; -2) y r. =

¡l +

+ rr=2vQ

rl + rl >

¿/

>

2

EJEMPLO 37

',,,-2lt 2l

.

Ci:

[!

En C,:

(,t

2)2 + (y

En C2: ("r + 3)2 +

. -6 -4 -2

6 2

Resuelve.

Expresamos las ecuaciones en su forma ordinaria, determinamos sus centros y calculamos la longitud de cada radio:

-

§-

1)2

= 9; centro (2; 1) y radio 3

5)2 = 4; centro

(-3; 5) y radio 2

:

/12 + 3)2+

radios: 5 u

(l-5)2 +d='/41 =6,4tr

La distancia entre ambos centros es mayor que 1a suma de las longitudes de sus radios; esto indica que C, y C2 son circunferencias exteriores. f7 Determina la posición relativa entre las circunferencias de ecuaciones: C¡ i + y2 = 4 y Cr: 12 + 2x + y2 = g

-

en el punto P( l; a

€ €

a

€ p !

§

§

o

o

(l -

a una 3)2 + (y + 3)2 = 5

( rlr tllrtlltrr.

lrt ¡elt,licttle rle P( :

ntr,

=

(lorno la rect¿t tangente es perpenclicular r PC: ln"l,(: tll=-l +ttl=2 llallanros la ccuacirin de l¡ rccla lrrgcnle;

r'+2=2(t l)+2.t

-t 4=0

2)r +

(r'

5)r = 29

Desde la parte superior de un faro se observan dos líneas curvas formando dos circunferencias. Después de relacionar sus centros y radios se llegó a la conclusión de que sus ecuaciones son: ¡,2

Cr:x2+y1

-3)

-,'*-it

is,,,+l//= tr/- 3yr=-l

+ 8r

-

N N @ j

4Y + 4 = 0

ci

-6r-4y+4=o

:9

Comprueba que las dos circunferencias son tangentes exteriores.

-2).

I lall¿rmos cl ccntlo (lc la circrrnferencia: C(31

{.t

C,: 'r2 +

galla la ecuación de la recta tangente circunferencia de ecuación

Suma de

Calculamos la distancia entre ambos centros: ¿=

O

I =0

r=1125+4+¡=¡,'29

yr = 2r

11

Determina la posición relativa entre las circunferencias de ecuaciones: Cr: x2 + y2 - 4x - 2y - 4 = Q y C2: (x + 3)2 + (y - 5)2 = 4

larecta

L:r+¡-7=0 ,¡¡ 1,. ., --' , l5r¡ 5¡¡ = ll ()

secantes

+ (,(0;0) y ¡, = l l) y r. = I Cl.: (.r-0)r + (,r+ l)r= lr+C,(0: ¿/=r/'Ó+l=l+r r.=l=d rI r. = > lrrrrgerrles i[lerir,rcs C :.rr +

-7 =0.Si

l1:y-2r-

E c,: :l +3y2-12=o;C2:i+y2+2y=Q

que C1 y C, son circunferencias tangentes exteriores.

x +y

l,:5-r+2,r+9=0

-r2

r1

La distancia entre ambos centros es igual a la suma de sus radios; esto indica

=0y/z:

(nl

+d=3/13

+(-8-l

1

Graficamos según los datos:

rl=J0+4=2

C(7;-8) y C'(l; l)

de una circunferencia es la intersección de

1- Zx

5x + 2y + 9 = 0 es tangente a dicha circunferencia, determina su ecuación ordina¡ia.

las circunferencias de ecuaciones:

3y'13 u

6=0

I-rs rlu. citL u¡tfr'rr'r('i¡r..('rl r\lcriorc..

si la distancia entre sus centros es igual a la diferencia de sus radios.

@ C,:

(r.r+ 2r+

r +t-.=6+r,+r.<11

Determina la posición relativa entre

13

+r'l

C,:1.r 31r+i.r'+ l)2=2: -+Cr(i:.1)y r =2 C,: rl + r,l + 6.r ,1-r' -l = 0 fi,: (r +3)2+(.\' 2)r=4r+Clr( l: 2)y r,=,tr .i=.,3(,+9=./4{=6.7

lr:

Suma de radios:

:

C,:.rl

ril

Dos circunferencias son exteriores si la distancia entre sus centros es menor que la suma de los radios.

,r2+-v2+fu-4y-3=0

¿Cómo son las dos circunferencias según sus posiciones relativas?

Gl Dos circunferencias son tangentes interiores

SZ

Identificamos las coordenadas del centro y el valor del radio de C, y Cr: En C,: C'(h', k')

!7

-LI 14x+49)+Qt2 + 16y+64)-52=O

Usa estrategias y procedimientos: ó-11

Sean las ecuaciones de las circunferencias:

Cr:

tr

la distancia entre sus centros es menor que la suma de sus radios.

Determina la posición relativa entre las circunferencias de ecuaciones: Cr: l4x + y2 + 16y + 61 = 0 y Cr: x2 -2x + y2 - 2y 11 = O

1-5

C,:x2+-v2 6x+2y+6=0

la distancia entre sus centros es mayor que la diferencia de sus radios.

EJEMPLO 3ó

.

El

Una recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio en su punto de tangencia.

@ Dos circunferencias son interiores

d>r, +r,

Comunica:

'

C,:.rl +,rl + E.r

l

-0 C,:(.r+,1)r+(r' 21r=,1r3C,( 4:2)y C.: -J + r'r 6-r ,h +.1 = 0 C.:

(.r

-1)r

+

(,r

l

E

o o

:1r'+ 4

l)r

= 3r

+

C.(3: 2)y

r-.

r, =,1

5

=.1

p _o c o L

r/=",'4t¡*1¡ = i19=j

f-L+l-,=7+Ít+1,-l

a

l-as circr¡rrtérenci¿rs son t¡ngcDtes cxteriorcs.

C

282

UNIDAD

7

Geometria

283

_9

c a @

TEXTO ESCOLAR

La elipse !

Texto escolar (pá9.

69)

t

Libro de actividades (págs.284'287)

Capacidades y desempeños precisados Comunica Usa estrategias y procedimientos

o

.

La elipse y la parábola. Ecuaciones En la construcciÓn de puentes y viaductos, Seneralmente se toma en cuenta la forma elíptica. Esto se realiza teniendo en cuenta dos factores. por la estética, que da la forma, y por sus propiedades fisicas, las cuales permitirán soportar mayor peso al momento de su utilizacion

Discrimina la posición de la elipse en el plano cartesiano con respecto a su vértice en el origen. (1-5) Resuelve problemas aplicando las ecuaciones de la elipse

(14; 6'12)

Sugerencias didácticas Para iniciar

I

I

I N

La La

" tv,

Presente un vaso de base circular y llénelo por la mitad con agua. Pida que observen la circunferencia que se forma si el vaso está colocado sobre la superficie. Luego, incline el vaso, formando un ángulo de 30" y pregunte: ¿La figura que se forma en la supeficie es una circunferencia? (No, porque no todos los puntos equidistan del centro. La figura que se forma es una elipse).

C(h, k); F(h, k a

ci

I

i :Q

-oo a

o

,

! € co c

< @

§ c @

C¡ + Dy +

E

= 0.

-L = T, a t b 7 0 4 at b'

Ecuación ord naria:

(x h)2 r u' -k)2 = I ) v¡ r" a' b'

>

c{0,0)

a)

Jl =A

De la ecuación deducimos los valores: b =

Hallamos el valor de c:

t:2 = 4

Las coordenadas pedida: son:

-2 -,

Ct ó:

-51.

qf

ya

*0

tt

'' =

,

.

=2

Fr(-ó: 5 ,2t.

F2t t : -S + nDl

IMPORTANTE Ecuaciones de la parábola: Eje focal co¡ncide o es paralelo al eje Y

La parábola

Ecuación genera:

La ecuación general cuando el eje focal coincide o es paralelo al eje

l+Ax+By+C=0

y2 +

Ecuación canónica:

Ecuación

Ecuación ordlnaria:

k-h)'?=4p0

x es.

Ay + B-r + C = 0. Deducimos ias s¡guientes ecuaciones:

Ecuación canónica:y2

Í =a2l

Resalte la importancla de saber identificar todos los elementos de la elipse y su ubicación en cualquier representación. Para ello, indique que repasen cada uno de los elementos en la elipse que consfuyan. Esto facilitará la posterior solución de ejercicios y problemas.

=4pr

ordinaria: (y

kf

>

c(o;o)

= 4p0r-

h) > c (h, k)

k)

vértice: v(h, k);

EJEMPLO 15

Foco:F(h,k+p)

Determina las coordenadas del vértice, foco y directriz de la parábola cuya ecuación

Directriz:d:y=k-p

es:i-Lx-4y+5=O.

Comente que cuanto más se aproxima la excentricidad a cero, tanto más se parece la elipse a la circunferencia; y cuanto más se aproxima la excentricidad a 1, más alargada o achatada es la elipse tendiendo a confundirse con el eje mayor.

Como actividad de extensión permita relacionar la elipse con situaciones reales; para ello, solicite que averigüen la longitud del semieje mayor y la excentricidad de la Tierra, de manera que puedan determinar la ecuaciÓn de su trayectoria elíptica suponiendo que el centro de dicha trayectoria es el oriqen de coordenadas.

Bl+

Ecuacion canónica

. .

. .

'tü-

i*2x+l=4y-5 + 1+(x- l)'z=4Cv- t) h= l,k= 1 y 4p = 4 + p = I son: V(l; 1),F(l; 2),y=k-p +y= | - 1 =0 +)=0

Completamoscuadra
Determinamos los valores:

Lascoordenadaspedidas

Págs. 284-e91

ffi

orsnnnouATUS

9 4

Halla las coordenadas del centro y focos de

¡Iins11.,,,,.,,

-r r5r. l,,r r:

o15{+Lv+-4)'-, s

Us

cAPACTDADES

a

€

Para consolidar

I

+

+

calcula las coordenadas del centro y focos rle la elipse

Oriente a los estudiantes a construir una elipse mediante cualquiera de las formas que pudieran conocer. Proponga una de ellas donde se emplee compás y escuadra; para ello, indique que tracen, con centro C, una circunferencia cualquiera con el compás y que dibujen un punto S en algún lugar del diámetro. Desde cualquier punto Q de la circunferencia, pida que tracen la perpendicular al segmento QS. Recomiende que, cuando la construyan, realicen los pasos cuidadosamente. Prevea todos los materiales posibles para su construcción. Sugiera que realicen la actividad en pares.

Refuerce la ecuación canónica con las actividades 6 y 7 de la sección "Desarrolla tus capacidades". En la ecuación ordinaria haga que los estudiantes reconozcan cuándo el e.le focal de la elipse coincide o es paralelo al eje X o, en su defecto, al eje Y Recalque que eso va a depender de los denominadores de las fracciones de la ecuación. Si es mayor el denominador de x2, es paralelo con el eje X, en caso contrario, es paralelo al eje Y

,..,2- k

.); V(h, k

Al

Ecuaciones cuando el eje focal coincide o es paralelo con el ele X.

EJEMPLO 14

@

j

elipse

ecuación general es:

.,2

H';=' (r h)'? (Y-f)' D' A'

Para desarrollar

I

TEN EN CUENTA cuando el eje focal co¡ncide o es paralelo con el eje Y

-,

la

1-8

Determina el vértice, el foco y la directriz de las

+-\5)r-': rr.r,tr. -'.:,,,.8{íP9ffc6}asecuacionesson:

aqi#*o-u=,

,

r,ri,.{.i,f,:01,.,=

I

0¡t_0F _ a.l_l,,lllrlt,r,1;1, *o _?)' ry(xrst'z* ( 4:-.2).F,( 4l l).F:(-.1:5) 1 5: 6).F,(-5 v.l: 6).I'r(-5+r/:li 6)

*e{tr

estrategias y proced¡mientos:

Eflrflr/,.,?;9,

_pt'¡3;¿1i

i:ip

UNIDAD 7 GeometrÍa

69

L¡BRO DE ACTIVIDADES

I

GEOIV]ETRíA ANALiTICA

cEoMErRiA ANALíIcA

E

Ecuac¡ón ordinaria

La elipse

Existen dos casos en los cuales el centro de la elipse se encuentra en un punto de coordenadas C(h, k) y su eje focal se halla paralelo a uno de los ejes cartesianos.

Ecuación canónica

cuando el eje focal es paralelo al eje x

Existen dos casos en los cuales el centro de la elipse se encuentra en el origen de coordenadas C(0;0) y su eje focal coincide con uno de los ejes cartesianos.

TEN EN CUENTA

Cuando el eje focal coincide con el eje X

Elementos y

F2:

focos

vr y

v2:

véftices

F1

,2 + 1 a'

Cuando el eje focal coincide con el eje

t =l,ct ¡ b*O

.)

semieje menor

(x - h)2 (y - k)2 ..._-¡...-+t= o' b'

y

entre ¡r. /) y

P(¡, r")

a,

,.2b2 t)

C(h, k); F(h, k

Determina e[ centro y los focos de la elipse de ecuacrun

.

(.

.

a2 = b2+ c2

t

c); V(h, k

t

a)

(¡

__812

*

(y j-312

. F,(-c, 0);

F2(c, 0);

V,(-a, 0); Vr(a, 0)

F,(0,

-c); Fr(0,

c); V,(0,

-a); Vd0, a)

.

Por ser mayor el denominador de la expresión que contiene a y, el eje focal es paralelo al eje Y

,2 = a2

F2(h,k

.

Formamos la ecuación con los semiejes hallados:

+ a=8

v2

. .

**,r¡sf=l -o+*r='_r,,2 *l + fi

=

t

- + + c) + c)

Determina la ecuación de la elipse con centro en el origen, focos en los puntos (0; 4) y (0; -4) y eje mayor igual a 12 u.

.

Como los focos están sobre el eje Y, la ecuación

".

¿" ta

to.-r 4

Deducimos que la distancia del centro al foco es: c = 4 u Hallamos la medida del semieje mayor: 2a = 12 a=6u

+

calculamos á2. o2 =

b2 + ,2

Determinamos la ecuación:

La ecuación de la elipse es

-o

-

62 = b2 + 42

I

+

b2

#-5= - $+ f v2

+ fu ja = t.

2O

+

c= 4

-4 -6

- + Fr(8; -3 + 4) + F¡(8; -3

4)

F,(8; -7) Fr(8; 1)

4)2

ly + 81

¿Se podria hal

"

ar

as coordenadas de sus vértices? Si es así, ¿cuáles son esos vért ces?

Sí,

V, = (2; -

I

3);

V, = (2;

5)

-8

=zo

,)'

+

4 a'

c= 4

-

a2

-

b2

= 16 ... @

=+-+=4-*,=b2...@ @ en

L

X N N j

O

@

l6=0+ ta-61(a+9) .' -',\- 3/ =0*a2=Jo a2 - b2 = 16 + 36 - b2 = 16 + b2 = 2o o2-b2=16-a2 -PrJ

=t

. I 6 !

p

.

.i '6

Determinamos el centro, hallado el punto medio de F,Fr:

crh. kr = (+ +_tz.

B

I

=

=12 - al = 8 +

-3),

Calculamos a2 y á2:

Sustituimos

. . . .

-

f

a2 = b2 + c2

EJEMPLO

2a

=36

Calculamos la longitud del centro al foco:2c

LR Y

c2

Determina la ecuación de la elipse cuyas coordenadas focales son F,(4; Frt I 2: -3 ) y la medida de su lado ..",o .

Y2 ,2

La ecuación canónica de Ia elipse

+

b2

- 2)'z

27

EJEMPLO 41

82=b2+52+b2=39+b=rE§ ,2

x

Determinamos los focos

La distancia entre los focos de una elipse mide 10 cm. Halla la ecuación canónica de la elipse si la longitud del eje mayor es l6 cm. Pordato: 2c = 10 + c = 5 y 2a= 16

-

ecuación de una e ipse l.x

Determinamos c, siendo a2 = 36 y b2 = 20

Fr(h, k

Por la relación entre a, b y c, hallamos a:

La ES:

Hallamos las coordenadas del centro:

EJEMPLO 38

. .

ARGUMENTA AFIRMACIONES

=,

c(h, k) = c(8; *3)

e=i

284

t

E lado recto (LR) de una elipse es el segmento perpendicular al eje mayor en uno de sus focos. Su rnedida es:

EJEMPLO 40

Excentflc¡clad:

t)

lia>b

C(h, k); F(h + c, k); V(h

c: distancia del centro a uno de los focos. Reiac¡ón

Cuando el eje focal es paralelo al eje Y

TEN EN CUENTA

,2

i+1;=1;atb+O b" a'

b2

a:semieje mayor

,:

r

-t *r,A)

Hailamos la ecuación

f E

_

Y

c(8: 3r (x v + 3 )2 de la e" [pse: - 8 )2+ -=ñ-=,

o o l

(

36

r

p

sE

f7 Calcuta et lado recto de un objeto que tiene forma elipsoidal cuya ecuación g o

§

(¡-9)2 tv--5t2 es 49- *=loú= t.

o L

os

@ UNIDAD

7

Geometria

§c

E c 6

@

LIBRO DE ACTIVIDADE§

!

GEOMETRfA ANALíTICA

GEOMETRÍA ANALíTICA

Ecuación general de la elipse

B

Partiendo de a ecuac ón anter or y sigu¡endo un proceso sirnilar al realizado para obtener la ecuación genera de la circunferenc a, se ega a la ecuacrón general de la elipse donde los coef cientes A y B deben tener e m smo s gno.

A,t2+By2+C,r+Dy+E=0

La ecuación canónica de una elipse y su ecuación general.

.

Ax2+By2+Cr+Dy+E=0

.

Se demuestra a partir de la ecuación ordinaria.

* + . + = l. Determina su excentricidad

Calculamos los semiejes mayor (a) y menor (á).

El

c:9 = 4 +

c2

Desarrollando la ecuación canó ni"u,

t{

Determinamos el valor de

La ecuación general es 4r2 +

9y2

-

+

c=

E

"/5

36 =

=

1

+ 4l

+ %?

-

O

-

12y + 6 = 0.

+ 2x

+

4y2

-

l2y = -6

- (*

+ 2x + 1) + 4§2

-

3y + 914) =

cv --3/2)'z +=]-tr' (x+l)2 (v-312)2 . t. Laecuacrónordrnanaes 4..:+

(x+

Halla la ecuación general de la elipse con centro en C(0, -3), en que la distancia entre los focos es 14 u y el eje menor es 8 u. Además, el eje focal

N N @

_i

ci ¿

I

!o= o o

I

12

+

4(y- 3

t2t2

=4

I

+

96y

-

16y

+

(.r

896 = 0

1

).

.

1 + 4St2

-

4y + 4) = -13

+I+

ñ.!-'

C (1;2)

§l .q

I

Determinamos el centro: C(h, k)

+

a

€ !

l¡: g

!

l.¡

+ t=2

l ',=l+it=i

,

Hallanos E

o 286

"

De la distancir enlrc lbcos: 2L = 1

ectrrr.'i,,tt

-

rl.

b) + 4 lrr

+

rlip.r .t

b=

i

*

Ji l, -

2l

=

|

lD Determina la ecuación general de la elipse con centro en el origen, focos en los puntos (0;4) y (0; -4) y eje mayor igual a l0 u. 2¿¿ - l0 -> ¡¡ = 5; F,(01 4) y F,(0; -4) Distancia entre k¡s lircos: 2r'= 8 + r'=,1

Sean

llalhmos

b:25=É + 16+l¡=-l

I-i)rm¿lmos la ecuaciírn caltinica:

>l5r +r)r.225

I9)\+1.=l

La ccrtación general es: 25rr + 9_rr 225 = 0.

Determina la ecuación general de ta elipse si C(2; 3.), el eje menor = 4 u, la distancia entre los focos 4rl3 y su eje focal es paralelo al eje Y.

Pordato:2á=4

+b=2

Distancir entrc los lbcos: 2, = 4vE + c = 2tE Ilallamos u: «2 = 2: + (2t/1)) + u - 1

l'oImillll(l\ h t.r

- l)l

4.rl +

r'l

(v

e. ulrr'idn

-.1)l

l6

t,rtlirlrlil:

- I +4(.r

l)l+{\ .l)- lt'

16.r-(r-v+ 9 =0

las longitudes del eje mayor. cjc mcnor. las coordenadas del foco y los véfices de la elipse

lD Halla

de la ecuación

Determina la ecuación canónica de la elipse con focos F¡(2; 0) y Fr(-2; O) y =?.

A,lelnas;

C(1; 2)

C(l; 2).

.':¡,-='r

,S /¡ rr¡-1,:=4 ,,\_-+la-t b¡ b = tI=2,+ i - 2 y u. = t4Jl + u2 = 48

16

4tv - 2\2 - 1)2*T=I 4

Entonces, el centro de la elipse es a c

r.\ l) (r. +S -*'ltl

LilL'L'Ulr\'lr,ll(.

B

=r{11

Encuentra la ecuación canónica de la elipse que satisface las condiciones dadas.

Irl.¡

I

o I

+ ¡-+¡r + r/tir+,1r =2u + i - 15 Hallamos b: 45 = É + 25 + b2 = 2(i

2vll)

F,(-r/lo; o) y F.(/lo;0)

=a

/zr

Ejc mcnor: 2b =2^/2

h) Eje menor 2rD u y vértices en (+4r5; 0).

+ 3 = 0.

! e

sc

o

2x

* -u+qb¡2 -4y)=-lz

p

c a

-

13=0

=

§

O

4y2

(x-l)2+40-2)2=4 ó5x2 + 16y2 +

I,ocos

I

Ordenamos, factorizamos y completamos cuadrados de los términos en -r y

Í -X

F,(01

4J3 ./Tt='f2)+,,r-,

¿) Vértices en (0t +5) y focos en (0; +3).

Determinamos el centro de la elipse de ecuación

l-2x+4y2 - l6y+

-2vT) y

b) Eje nrayor: 2a =

. 1,r' - f t *,2 2)+ F:(-4; 2)

-5:

D(P. F,) + d(P. l'',) = 2«

- 8 lijc rncnor: 2á = 4 r, -lr/.r

I-ocos: F,(0t

*6 + | + 9

-=

EJEMPLO 44

.

tr tr tr

a) Eje rnayor: 2«

Ordenamos convenientemente y factorizamos completando cuadrados:

I

Halla la ecuación ordinaria de la elipse que pasa por el punto P(4; 6), si su centro está en C(1; 2) y uno

tlt,. l-,r

Encuentra las longitudes de los ejes mayor y menor, y Ias coordenadas de los focos de las siguientes elipses. ..) ,,2 ' .2

.l =ll+,1

Usa estrate8ias y procedimientos ó"'12

Sabenros lxrr definicirir:

,,rro+fn=r ufi+)r=t

Determina su ecuación ordinaria.

1-5

de sus focos es F,(6; 2).

E]

Resuelve.

36 = o

O.

Sea la ecuación general de una elipse ;2 + 4y2 + 2x

v

La medida del eje mayor es mayor que la distancia entre los focos.

EJEMPLO 43

USA ESTRATEGIAS Y PROCEDIMIENTOS

La excentricidad en una elipse siempre es mayor a 1.

Luego.e=i1 =9.75

.

O

l'r( I -

Gl Cuando a < ú, la elipse tiene el eje mayor paralelo al eje Y.

a2=9*a=3.,b2=4+b=2

.

La ecuación canónica de una elipse tiene su centro en el origen de coordenadas.

G) La ecuación ordinaria de la elipse tiene su centro en el punto (0; k).

EJEMPLO 42

Dernuestra que la ecuación genera de una elipse tiene la forma:

comunica:

Escribe V si es verdadero o F si es falso.

Il

ARGUMENTA AFIRMACIONES

DESARROLLA TUS CAPACIDADES

'

I + 2y2 + 2x

16y + 17 = 0.

Complctamos cuadr¿rdos: (xr + 2.r) + (2¡r- 16.r) + 17 = o

l)+2(r2 8r-+l(r+ 17 I 32=0 r.rrlri+.)r,- 4rl=ln >rt1,l r:*"^ ^t', =, t2. 2 l' Eje tnr)1'r; ',¡ = X: Ei, rnerlor: 2h = 4r l Hallanxrs c: 16 - 8 + L) + t =2rt (,r2+2.r+

F,( I - 2r'2:4)yF.( I +212;4)

,

V

r(-51 4) y V.(-l; 4) UNIDAD

7

GCOMCITÍA

281

La parábola I Capacidades y desempeños precisados Comunica Usa estrategias y procedimientos

o

Reconoce los elementos de la parábola en el plano cartesiano. (1-7)

o

Resuelve problemas aplicando las ecuaciones de la parábola. (8-13)

Sugerencias didácticas

eje X; además, podemos identificar si p es positivo o negativo). ¿Y cuándo las ramas de la parábola están hacia arriba o hacia abajo? (Que el eje focal es paralelo al eje Y; si las ramas están hacia arriba, p es positivo, y si están hacia abajo, p es negativo).

I

Proponga graficar las ecuaciones ordinarias obtenidas en los ejemplos 49 y 50 para que identifiquen gráficamente los datos presentados inicialmente. Relacione lo aprendido a través de las actividades 8 y 9.

I

Para realizar la actividad propuesta en la sección "Argumenta afirmaciones", sugiera desarrollar el binomio y el producto de una ecuación ordlnaria cuando el eje focal es paralelo al eje X. Si el eje focal es paralelo al eje Y se parte de la expresión (x + h)2 = 4p (y - k).

I

En el ejemplo 51, interrogue: ¿Por qué se emplea la ecuación ordinaria presentada? (Porque el eje focal es paralelo al eje X). ¿Cómo se obtiene la ecuación general? (Desarrollando la ecuación ordinaria e igualando a cero). En el ejemplo 52, ¿por qué es necesario completar cuadrados? (Para formar un trinomio cuadrado perfecto, factorizarlo y obtener un binomio al cuadrado). Asegúrese que los estudiantes recuerden la factorización completando cuadrados. En el ejemplo 53, invite a que presenten los diversos procedimientos empleados para hallar los valores de A, B y C.

Para iniciar

I

Proponga a los estudiantes la construcción de una parábola: lndique que tracen una recta vertical d (la que será la directriz). Sobre ella tome un punto D y tracen una recta perpendicular DH. Sobre DH ubiquen el punto F, Luego, ubiquen el punto A (A es de la parábola) tal que sea punto medio del segmento DF. Sobre la semirrecta AH (de A hacia la derecha) tomen un punto variable V y para cada posición de V tracen:

-

Rectas que pasen por V que sean paralelas a

Libro de actividades (págs. 2BB-2S[

d

Circunferencia de centro F y radio de longitud DV Unan los puntos P en los que se cortan las anteriores rectas y las circunferencias trazadas.

Para desarrollar

Para consolidar

I

I

Solicite a los estudiantes que realicen la metacognición a partir de las siguientes preguntas: ¿Qué estrategia personal facilitó mi aprendizaje? ¿Qué me gustó más de la clase? ¿Cómo fue mi participación en clase? ¿Para qué me servirá lo que aprendí?

I

lndique que elaboren una lista de lugares donde observen la forma geométrica de la parábola, tales como la caída del agua de piletas o fuegos artificiales.

§

I

I

A partir de la gráfica realizada que identifiquen los elementos de la parábola. Logre que deduzcan a partir de la medición que el eje focal de la parábola es eje de simetria. Concluya con los estudiantes que el vértice es el punto de Ia parábola que coincide con el eje focal (llamado también eje de simetrÍa). El foco es el punto fijo de referencia, que no pertenece a la parábola y que se ubica en el eje focal al interlor de los brazos de esta y a una distancia p del vértice. La directriz es una línea recta perpendicular al eje focal que se ubica a una distancia p del vértice y fuera de los brazos de la parábola. Comente que p es el parámetro que indica la magnitud de la distancia entre vértice y foco, así como entre vértice y directriz (ambas distancias son iguales) y el lado recto (LR) es la cuerda focal que es perpendicular al eje focal. En la ecuación canónica, pregunte: ¿Cómo se puede determinar gráficamente si el eje focal de la parábola coincide con el eje X o eje Y? (Si las ramas de la parábola están a la derecha o izquierda, su eje focal es el eje X; si las ramas están hacia arriba o hacia abajo, su eje focal esY). ¿Cuáles son las coordenadas del vértice en ambos casos? ((0; 0)).

Pida que realicen la actividad propuesta en "Usa estrategias y procedimientos" que se encuentra al margen. N4otive a los estudiantes que elaboren las gráficas de las parábolas presentadas en los ejemplos 46y 47. Sugiera el uso de papel milimetrado o el empleo de programas graficadores. Para una mejor comprensión de la ecuación ordinaria, interrogue: ¿Qué representan h y k? (Las coordenadas del vértice, donde h es la abscisa y k la ordenada). ¿Qué infornación se obtiene al observar que las ramas de la oarábola están hacia la dereche o izot icrda? (O r re sr r eie fonal cs naraloln al

Actividades complementarias

1.

Determina la ecuación de cada parábola que tiene vértice en el origen y que satisface la condición dada.

a)

F (3;

0)

b) d: x

= 3/5

c) F (0; 2/3)

2. Lalla la ecuación 3.

N

)

ordinaria y grafica la parábola de vértice (3; -1), que pasa por (2, -2), cuyo eje focal está sobre L1: y + 1 = 0.

ó

Halla la ecuación general y grafica la parábola de vértice (2; 3), eje focal paralelo al eje Y, y que pasa por (O; 5)

Élo

4.

Determina la ecuación general y grafica la parábola cuyo eje focal es paralelo al eje X y pasa por P (1;2), a (-1; 3) y R (-8; a).

5.

Determina la ecuación general y grafica la parábola cuyo eje focal es paralelo al eje Y y pasa por P (6; 2), a (a; -1) y R (-2,2).

c rq

o l

p

.s ! o

L

a;

§c c @ @

LIBRO DE ACTIVIDADES

.

GEOMETRíA ANALíTICA

GEOMETRíAANALíT'CA

6

Ecuación ordinaria

La parábola

Existen dos casos en los cuales el vértice de la parábola se encuentra en un punto de coordenadas V(h, k) y su eje focal se halla paralelo a uno de los eles cartesianos.

Ecuación canón¡ca TEN EN CUENTA F:

y2

foco

i':

recta directriz

V:

vértice

+

=

cuando el eje focal co¡nc¡de con el eje Y x2

APx

lY/ \t/ \ lr,/

=

x

cuando el

focal es paralelo al eje Y

e.ie

x

x

--T -

= l4pl

Escribev si es verdadero o F si es falso.

a) 5ip>0yelejefocal es paralelo al eje X, la parábola se abre hacia a derecha. V

x

b) sip<0yelejefocal

p>o

I

V(h, k); F(h + p, k);

F(p,0);d:x=-p

F(0, p); d: y

=

p>o

p
V(h,k)t F(h,k + p); d: y =

k-p

EJEMPLO 48

Halla la ecuación canónica de la parábola si su foco

.

es

I

p=6:i=4(6)y+x2=24y La ecuación de Ia parábola es

I

c)

cuando el ele focal es paralelo al eje Y la recta directriz tiene la forma:

y=k-p. v

Determina la ecuación ordinaria de una parábola con eje focal paralelo al eje X, cuyo vértice es el punto V(3; -5) y p =

-¡.

F(0; 6).

.

Por dato: et vértice V(0; 0) y el foco es F(0; 6), el eje focal coincide con el eje Y. Luego, el valor de p = 6.

Hallamos la ecuación de la parábola

es paralelo al ele Y, la parábola se abre hacia arriba. F

p
p

EJEMPLO 45

.

COMUNICA

(-r-h)2=4p(y-k)

Cy-k)2=4p(r-h)

4py

\

d V(0; 0).

Longitud del lado recto LR

cuando el eje focal es paralelo al eje

Cuando el eje focal co¡ncide con el eje x

Elementos

'

.

= 4py. Reemplazamos el valor de

La ecuación ordinaria de una parábola se determina si se conocen su vértice y el valor de p. Por dato: V(3; -5) y p = -3. Reemplazamos los datos: Cv+ 5)2

La ecuación de la parábola es

Cy

=4(-3X¡- 3)+ §+ »2=-D(x-

+ 5)2 = -12(x

-

3)

3).

= 24y. EJEMPTO 49

USA ESTRATEGIAS Y PROCEDIMIENTOS Si la parábola tiene por

ecuaciónl=28),halla su focq la recta directriz y el lado recto.

EJEMPLO 46

La distancia del vértice V(-1; -4) de la parábola al foco mide 5 u y se abre hacia arriba. Halla su ecuación ordinaria.

El eje focal de una parábola coincide con el eje X. Si la ecuación de su recta directriz es x = -4, halla la ecuación canónica de la parábola.

. .

= -4 + p = 4. Hallamos la ecuación canónica: y2 = 4(4)x + y2 = l6x La ecuación canónica de la parábola es y2 = 414¡¡ t J2 = 16x. Como la ecuación de la recta directriz

es

¡

E: o

.

o o

.

p g

= 4px

+ p=-4. Luego,

. F

x

a

F(-4;0).

a 288

a

€

Determinamos la ecuación de la directriz:

E

d;a=-p+d:x=4

-Lo @ @

-l6x

las coordenadas del foco:

,

§É

Hallamos p:

Reemplazamos los datos: (r + 1)2= 4(5)C/ + 4)

Analiza la parábola de ecuación

d

Analiza la parábola de ecuación )2 = -16¡. . La ecuación es )2 = 4p¡. Entonces, su vértice es V(0;0) y su eje focal coincide con el eje X.

¿ :9

.

-

+

(,r

+ l)2 = Zolv + 4)

EJEMPLO 50

EJEMPLO 47

Ci

Por dato: V(- 1 ; -4) y lp | = 5. Como se abre hacia arriba, el eje focal es paralelo al eje Y, entonces p = 5.

La ecuación de la parábola es (¡ + 1)2 = 20(y + 4).

F(0; 7); d: y = -7; LR = 28 N N @ j

.

.

Calculamos el lado recto: LR = l4(-4)l

.

Como laparábolaesy2 =-16¡,entonces

=

16 se abre hacia la izquierda

§

E

. . . .

0 + 6)2 = -4(x

-

312)

y grafícala.

La ecuación es de la forma § - k)2 = 4p(.r - h). Su vértice es V(h,k) =V(312', -6) y su eje focal es paralelo al eje X. Hallamos p: 4p

d

=_4+ p=-1

Determinamos las coordenadas del foco: F(h + p, k) = Determinamos la ecuación de la directriz d: Calculamos el lado recto: t-R = l4pl

*

¡

LR =

=

F(ll2t -6) d: x=512

h-p+

l4(-1)l+

LR = 4

La parábola de ecuación § + 6)2 = -a@ - 312) tiene concavidad hacia la izquierda, V(312; -6),F(112; -6), d: x = 5/2 y la longitud de su lado recto es = 4 u. UNIoAD

7 Geomefia

289

LIBRO DE ACTIV¡DADES

¡

ANALÍIICA

GEOIVIETRiA

GEOMEIRÍA ANALÍTICA

Ecuación genera! de la parábola

ARGUMENTA AFIRMACIONES

ff

Partiendo de la ecuación anterior y dependiendo del paralelismo de su ele focal con respecto a los ejes, ia ecuacrón general de la parábola queda expresada así:

Demuestra que las ecuaciones generales de una parábola tienen las formas sigu¡entes:

Ay + Ax

Br

+ C = 0 (eje focal paralelo al ele X)

y2 +

+

,t2

+ By + C = 0 (ele focal paralelo al ele Y)

Ejefoca paralelo al eje X:

y2+A¡+Br+C=0

Se demuestra a partir de las

.

4p=-f)¡

ecuaciones ordinarias

.

-

5)'z =

4(-8)(¡ + 3) + §

-

5)2 =

-32(x + 3)

es paralelo con el eje

-

X,

k)2 =

tq

4x.

Lrl

Resuelve.

D

. . .

Simplificamos la ecuación, completamos cuadrados y factorizamos:

f -8xHallamos

0+¡2 - 8¡ + 16 =24v p: 4p = 24 + p = $

24y + 88 =

-88 +

16

+

Hallamos la ecuación de la directriz: d: y =

¡-O

t

d: y = 3

-6 t

d: y =

J2 = 4p-r

7.

F(-2;0)

+

p=

= 4(-2),r

EJEMPLO 53

= 4p,y

+ ¡r = 4(5),r'+

Como los puntos

P, Q

y R pertenecen a la parábola, deben satisfacer

V(7:

Pordab: V(7: 1)+ h = 7 y k= El eje fbcal es paralelo al eje Y.

1) y el foco

I

Comoel locoes: F(h,k+p) =F('7:-4)

4 >l+¡=.4+p 5 (.r h)'] = +p¡1 ¡1 (.r 7)2=4( 5)(r'- l)+(r 7)2=-2¡ir Reemplazamos en:

.tl

X

su 2

+ 68 + C = 0 QQ;1):22 +A(2) +B(7) +C =0+ 2A+78+C= 4 R(4; 4): 42 + A(4) + B(4) + C = 0 + 4A + 48 + C = -16 Resolvemos el sistema y obtenemos:

A=-3,B =2y C=-12

¡¡

de

4-r +.1 =

2-y

6

+ -r2 41

(r

2r,

2): =

2(.r

3)

+ l0 = 0

é e €

Luego,V(3/2;

P

+ 57 18) y 4p = -2 +

-

p=

-U2

B

!

9.

Hallamos las coordenadas del foco: F(h, k + p) F(312; 5318) e o

g

En el gráfico. observamos que la parábola tiene su véfiice en V(2; 2) y p

¡. Hallanr,rs la cr'uaciú¡r ordilraria. (,r -2)'?=+12¡1, 2) + (y 2)2 = 4Q

@ Una parábola pasa por los puntos P(1; 2), Q(-1: 3) y R(-8; 4). Si el eje focal es paralelo al eje X, halla la ecuación general de la parábola.

N N j

@

En el gráfico, obsewamos que la parábola tiene su vértice en V(-2; -2). Además, lpl = d1y ¿, = 1 Como se abre hacia abajo, entonces p = -l . Hallamos la ecuacion ordinaria: (r + 2)2 = 4(-lX) +2) + (x + 2)2 - -40, +2)

ó

Reemplazamos A, B y C en la ecuación general y la expresamos en su forma ordinaria: ? - 3x + 2y 12 = O (x 312)2 - -26t - 57 1g¡

El foco de la parábola es F(3/21 5318). 294

es

Por ser el eje focal paralelo al eje Y, la ecuación de la parábola es de la forma

-

.

)

-4), halla la ecuación ordinaria de la parábola.

(,r 2f = 4(l l2)(l -i ) + Deternlirlulos la ccuacirin general:

P(0; 6): 02 +A(0) + 8(6) + C = 0

5

F(7;

Luego,

o

ecuación. Reemplazamos cada punto en su ecuación:

. .

I

Corno V(2; 3) y el cJC lbcrl es paralelo al cjc Y. Ia ecuacitin tienc h li¡rna: (r 2)l = 4pi-" 3¡ Hallamos p: (0 2)r = 4p(5 - 3) + p = 1/2

¡2 = 20y

*+1lx+By+C=0.

.

+ F( 2: h p+ r=l

cuyo eje focal es paralelo al eje Y.

Determina la ecuación correspondiente a cada gráfica de la parábola.

o

eje X.

@ Determina la ecuación general de la parábola vértice V(2; 3) que pasa por el punto (0; 5) y

+ )r = -8¡

Como_y=-5y¡=-p+p=5 ,r2

rl

Las coorde¡¡arlas dcl tirco: F(h + p; k)

-l

la ccuacirin (anünica:

+,y2

El eje fbcal es paralclo

krp-

Hall¡rrnos l¡ et uaei,i¡r cr¡nóniel:

-3

Una parábola pasa por los puntos P(0; 6), Q(2; 7) y R(4; 4). Determina el foco de la parábola cuyo eje focal es paralelo al eje Y.

.

Por dato:

Hrllrmos

-3\

Determinamos el vértice y el foco: V(h, k) = V(4; 3);F(h, k + p) = F(4; 9)

que

Si la ecuación de la recta directriz de una parábola es ) = -5, determina su ecuación.

6.

(x-4)2 =24(v

Hallanros la ccuacirin ortlinaria complctando cuadratlos: -r2 + 2,r'+ ll.¡ + I = 0+ (-r + 1)2 = -¡¡.¡ I)c dontie p = -2 y el vértice V(0; -l).

lD Si el vértice de la parábola

Determina el vértice, el foco y la directriz de la parábola de ecuación

de

+2y+ 8¡+ 1 =0

lll

k)2.

grafica.

laparábola: y2

Laccuaciór de l¡directriz:-t=

Si el eje focal es paralelo con el eje Y, la ecuación general de la parábola tiene la forma (x - h)2 = 4pó/ -

@ Halla la ecuación canónica de una parábola tiene como foco F(-2; 0).

.

I

=4py.

EJEMPLO 52

Zl -24x-lZy +264=Oy

2

l¡

la ecuación de la parábola es (y

y2- 10y+ 25=-3Zx-96+y2-10y+ 32x+121 --0

2

de una parábola

Si el eje focal coincide con el eje Y,

@ Si el eje focal

§

kl

V(h;O).

laecuacióndelaparábolaes x2

Hallamos la ecuación general a partir de la ecuación ordinaria: Cv

P

Analiza y resuelve.

E

p= -$

Usa estrategi¿s y procedimientos: 8-13

(E Determina el vértice, el foco y la directriz

La ecuación canónica de una parábola tiene como vértice el origen del sistema. tiene como vértice

Como la parábola se abre hacia la izquierda: LR = l4pl = 32

1-7

Escribe V si es verdadero o F si es falso,

El La ecuación ordinaria Halla la ecuación general de una parábola si su vértice es V(-3; 5) y la longitud de su lado recto es 32 y se abre hacia la izquierda.

Comun¡ca:

O

EJEMPLO 51

Eje focal paralelo al eje Y:

x2+Ar+By+C=0

orsnnnou-nrus cAeACIDADES

'

=

ci

Como el eje local es paralelo al eje X, la parribola tiene la forma: ¡l + A,r + B¡ + C - 0 Reemplazamos las coorilenadas de cada punto:

P(l;2) + 2A + B + C = ,1 ...,¡i,r Q( I;3)+3A-B+C= 9...@ R (-8; 4) + 4A llB + C = 16 ... (:) Resolvemos el sistema: A= 2l15; B = 2/5 y C -

¿

:9

)

o o o

-

po

4

€ E

Reemplazamos y lrallamos la ecuacitin general:

o d

,2 41"+J'+4=tt --)5 -

2)

51,2 2l-r + 2r + 20

-

0

UNIDAD

7 Geometrl¡

291

ó o c § .F c U)

I

TEXTO ESCOLAR

lVlapas y planos I

Texto escolar (pág

i0) t

Libro de activrdades (págs. 292-294)

Capacidades y desempeños precisados . Adapta y combina esfategias heurísticas relacionadas Usa estrategias y procedimientos

Mapas y planos a medidas,

y optimizar tramos al resolver problemas con mapas o planos, con

recursos gráficos y ofos. (1-2y 'l-7)

Gracias a las representaciones a escala, podemos visualizar en una hola de papel grandes extensiones; por ejemplo, los cont neftes, paises, etc., asÍ como estrulcturas microscóp cas, corno la de una cé Ltla, la estrltctLlra del mitocondrias, de los ribosomas, etc.

Diseños de regiones y formas bidimensionales

Sugerencias didácticas

La superficie terrestre o construcciones pueden representarse en dos dimensiones, obteniéndose, de esta manera, los mapas o planos.

Para iniciar

I

lnicie interrogando: ¿Las dos figuras presentadas inicialmente son mapas o planos? (La primera es un mapa y la segunda es un plano). ¿Por qué

EJEMPLO 1ó I

es importante realizar mapas o planos? (Porque permite identificar las distribuciones del luga¡ asÍ como sus dimensiones). ¿Cuál es la diferencia entre un mapa y un plano? (Los planos son dibujos que representan una ciudad, un barrio o una casa vistos desde arriba; en ellos se indican calles, plazas y avenidas. Por su parte, los mapas representan espacios mayores que los de un plano, como son el de una provincia, un paÍs o el mundo, por lo tanto, no tienen tantos detalles).

I

Se muestra el plano del departamento de Ana. dormitorio mide 3 cm de largo en el plano?

.

¿,A qué escala fue hecho si su

De la figura del margen se obtiene el largo real que es 3 m. Luego, resolvemos:

3cm I o-Medidaenelplano-3cm- 3 m 300 " cm= I00 Medida real Desplazamiento, altitud y rel¡eves

fEN EN CUENTA

Pida con anterioridad a los estudiantes que traigan al aula un plano de su distrito. lndique que midan en el plano con una regla, la distancia que hay entre el municiplo y su casa. Luego, indique que determinen la distancia real. Recuerde que, para hallar la distancia real, deben utilizar la escala que proporciona el plano.

pLaescaaesr .r:ro0

Para e cálculo de las distancias, puedes eÍrp ear e teorema de Pitágoras.

E relieve

de1

terreno sc puede mostrar en los mapas trazando las curvas de f ivel.

S

Distancia, geométrica (AB)

40m

Sistema en tres

30m

dimensiones

20m

l0m

Para desarrollar

I

N

I

@

j

ci

p¿ .-

!

I q o

I

f

p

€ c

o r a c

§ c

o

'li\l¡

Los estudiantes pueden tener problemas en el cálculo de escalas. Por ello, es necesario destacar que tanto la medida real como la medida en el plano deben estar expresadas en la misma unidad de medida. lndique que el valor numérico de una escala de reducción es menor que 1 y una escala de ampliación es mayor que 1. Por ejemplo, si la medida real es 6 m (600 cm) y la medida en el plano es 12 cm; la escala es 121600 = 1/50.

D

cstl superÜcia l0 m de ¡llitud.

¡

[,a ciDra eslii x 40 m de al(itr¡d.

Sist€ma de dos

h

I440 m

,rÜF Páds. 292-e97

Toda esta superñcic está a 30 m de allilud.

Toda esta está a 20 m

2400

En el ejemplo 54, pregunte: ¿Qué profesionales realizan los planos? (Los ingenieros y los arquitectos). Comente que actualmente se realizan diseños modernos de planos de departamentos y casas en lo concerniente a la distribución de ambientes y en la integración del diseño de interiores con el arte. Proponga la actividad que se encuentra en la parte inferior.

EJEMPLO 17

2l

km y la distancia Si la distancia geométrica de un pueblo a otro es de reducida de 1440 m. Determina la altura que separa ambos pueblos.

.

Resolvemos aplicando Pitágoras: 24ggz

=

] 4402 + h2

+

h = 1920 m

La altura que separa ambos pueblos es de 1920 m. á

Previamente al análisis del ejemplo 55, interrogue: ¿Cuál es la diferencia que existe entre la escala de un plano y de un mapa? (La escala de los planos es menor que la de los mapas). ¿Qué método o regla se aplica para la conversión de metros a centímetros? (La regla de tres simple).

Presente la siguiente situación: Un explorador tiene un mapa a escala 1 :10000 y observa que la distancia entre dos montañas es de 3 cm. ¿Cuál es la distancia entre esas montañas? Si la escala f uera 1 :15000, ¿cuál será la distancia entre estas dos montañas? (300 m, 2 cm).

eilá

dimensiones

ff ffi

Para consolidar

I

stancia reducida (A'B')

orsnnnou-nruscAPACrDADES Calcula 1a escala utilizada para hacer un plano donde una pared mide 6 m en la realidad y 2 cm en dicho plano. l:ift)

Usa estrategias y

ffi

procedim¡entos: 1-2

6 p e

Un pueblo respecto a otro tiene una diferencia de altitudes de 600 m. Si su distancia reducida es de s 800 m, ¿cuánto mide la distancia geométrica? l(xx) ¡¡ @

70

LIBRO DE ACTIVIDADES

T

MAPAS Y PLANOS

MAPAS Y PLANOS

E

Diseños de regiones y formas bidimensionales

Mapas y planos

Los mapas son representac ones bid mensionales a esca a de a superflcie terrestre.

EJEMPLO 55

relación matemática que permite la representación de un objeto en un plano variando su tamaño real, pero manteniendo sus proporciones. La escala es una

TEN EN CUENTA

Detemina la escala utilizada en el el plano de una ciudad si 100 m en la realidad se representan por 1 cm en el plano.

se interpreta

se lee

NotaciÓn

E.""r" _ Nledida en el plano I\,'ledrda real

fr.

Escala numérica

en la escala de 1 a 500.

Un segmento de 1 u en el dibujo equivale a un segrnento de 500 u en realldad.

Está

o r:soo

Representamos los datos:

.

Expresamos los valores en la misma unidad, convirtiendo 100 m a cm.

0

5

m =--100 m --I

lnteractúa con el afte

EJEMPLO 54

10cm

.

David dibuja un plano de su casa con habitaciones de igual ancho. Después de realizar las mediciones se da cuenta de que cada centímetro que mide en el plano equivale a 2 m en la realidad. ¿Qué escala usó en el plano?¿Y cuál es el iírea real de cada habitación?

.

USA ESTRATEGIAS

\p. Una hormlga de un jardin

La escala q ue se

mide aproximadamente 0,ó cm de largo. Si se la

dibuja en una cartullna a escala 100:1, ¿cuánto debe medir como mínimo el largo de una cartu ina?

60 cm

. .

L

. Medida en el planoern*I cm t só es: = -I\4=Aia*al:] I tiene 4 cm

Co(ina

I

=

:

.

200

800 cm

sentimientos a través de

Área del dormitorio 2:

Ar,

El área del dormitorio

1

] -,

=

AOO

1

tiene 3 cm

Convertimos 500 000 cm a kilómetros:

cm

mOLffi

=5

"-

h

Hallamos la distancia real entre las dos ciudades:

cm

----

40

x

cm' 5 km cm

+I

= 200 km

EJEMPLO 57

"*.

El mapa que

. = g 6 = 48 m2

.

Área de la sala-comedor = Área del dormitorio

los diversos lenguajes).

El

Y PROCEDIMIENTOS CAVELICA

(

Laescalaes 1:2500000.Esdecir. I cmenel

C;

2 500 000

J

I

1.2

§

Long. mapa

(cm)

p e

OCEANO

p e

!

t

11

z soóooo ='"-

PAC¡FICo

N"y

>x= 3000000cm

convirtiendo:¡=30km

0

25

p

€ c

50km

o C

_§

iri)os {le Ésr-¡ll,t

La distancia real en línea recta entre Chincha Alta y Pisco es de 30 km. o

292

)Q

J ! o o o f,

rcA

B

área del dormitorio 2 es igual que el área de la cocina:

Área de la cocina = Área del dormitorio 2 = 36 m2

N N j

@

42.5 knr Long. real (cm)

1 = 48 m2

Mide en el mapa la distancia entre lca y Pisco. ¿Qué distancia real seoara las ciudades?

mapa representa 2 500 000 cm en la realidad.

. = 6 6 = 36 m2

producciones artísticas de

USA ESTRATEGIAS se muestra corresponde a la región

Ica. Si cada centímetro en el mapa equivale a 25 km, ¿cuál es la distancia real en línea recta entre Chincha Alta y Pisco?

es igual que el iírea de la sala-comedor:

@ lvcrr¡,1ll sol]!e io! rliierarr]1.r,j,

Medida en el mapa . I cm datos: Medida real = 5b0año..

Entre ambas ciudades hay una distancia real de 200 km

Observamos en el plano que el dormitorio 2 tiene igual ancho que largo: 7 - 4 = 3 cm. En la realidad, tiene 600 cm = 6 m. lnteractúa con el arte. (Comunica ideas y

10000cm

largo: 800 cm = 8 m

El dormitorio 1 tiene en realidad 600 cm de ancho: 600 cm = 6 m

Ar,

¡=

-

t..--1§!l0 000 cm= -l0 000

1cm *--'5km

Hallamos el área de cada habitación: Área del dormitorio l:

Representamos los

40

Como las habitaciones son de igual ancho, el dormitorio

,*L

l00 cm m

Deteminamos la escala:

500 000

de largo.

l:2OOL=f,+r=

1 tiene en realidad 800 cm de

en el plano. Hallamos el ancho real:

.

-
> 1 cm Medida real > 2 m = 2ü) cm

Hallamos el largoreal del dormitorio

m'

En un mapa a escala 1:500 000, dos ciudades se encuentran separadas por 40 cm. ¿Qué distancia real, medida en kilómetros, hay entre ellas?

' .

Observamos en el plano que el dormitorio

El dormitorio

.

u

l00

x

fbffi

EJEMPLO 5ó

t

Relacionamos las medidas:

Medida en el plano

100cm

=

La escala utilizada es l: l0 000.

Sala

Y PROCEDIMIENTOS

yffi**+f;*

.

1:500 Escala gráflca

¡

a c UNIDAD

7

Geometr

a

293

§ .E c

o

LIBRO DE ACTIVIDADES

¡

MAPAS Y PLANOS

Actividades complementar¡as

ff

orsannouarus

cAPACTDADES

Usa estrategias y procedimentos: 1-7

1.

Observa el plano a una escala de 1:5000 de la Plaza Mayor de Lima y sus alrededores. Analiza y resuelve. L- . ,

f'ñ

-Z::=--*

rr

9 PALACIO OE GOB]ERNO

f-

I

B "o¡'.'3"*

\

§l

7\.

",.§i"'

cñi'd

O

ti

¿Cuál es la distancia real entre la Catedral de Lima y el Palacio de Gobiemo si en el plano mide 2,8 cm? (Considera los centros de los círculos de referencia).

E

La dislaneia en el plarto es 2,8 cm. Según la escala indicada, la distancia real es: 2,8 5000 = 14 000 cm + 14 000 cm = 140 m.

El

Si te encuentras en el Archivo Arzobispal del Episcopado Peruano del Jr. Lampa y te diriges al Palacio Municipal de Lima. El recorrido total mide 6 cm. ¿Qué distancia real debes recorrer?

ci ¿ :9

E

!o o o

cn

recorer. Ruta

-o

l:Jr.Carabaya Jr.Junín J¡.DelaUnión.

Distarcia en el plano: 4,9 cm. Distancia real: 245 m Ruta 2: Jr. Carabaya - Jr. Callao - Jr. De la Unión.

&

Distancia en el plano: 4,8 cm. Distancia real: 240 m

a c

§ C

a

o

Y

4

?9!lE =I r 2.5 mm

G,

x,

a)f +¡?t+=t b)f +(y+2)2t4=1 c)(y+2)2+(x-2)214=1 4.

Determina la ecuación de cada parábola. Y

a)

b)

,Y

4

2

dimensiones son 4 m de anchoy 7 m de largo. Si en el plano el largo mide 5 cm, ¿cuál es la escala que se utilizó?

2

-2 -1

Si el largo real mide 7 rn y en el plano equivale a 5 cm, la escala es:

5.

ffi=fr-r,r+o O

En un mapa de América del Sur, construido a escala 1:84 000 000,la mayor distancia de este a oeste corresponde a dos puntos situados a 60 mm. ¿Cuántos kilómetros representa en la realidad esta distancia? Utilizando la escala l:84 000 000. hallamos la distancia de 60 mm:

I 84 000

60 rnm

000 .\

d)(x-2)214 +(y-2)2 =1

t

Se ha construido una habitación rectangular, cuyas

- ''' = 5 040 000 000 mm.

5 040 000 000 mm = 5040 krn 294

Y

¿Cuál es la escala empleada en la representación de las hormigas?

l

p €

Escribe en la casilla la letra de la ecuación que corresponde a cada elipse Y

Resuelve las siguientes situaciones.

= 300 nr.

Grafica dos rutas para ir desde la Catedral de Lima hasta el Palacio Municipal sin atravesar la Plaza Mayor, indicando la distancia real que se debe

3.

I

5000=30000cm.

30 000

¿Cuál es la medida real de la hormiga reina que tiene 1,25 veces de largo que la obrera, si la medida de [a hormiga obrera en la foto es 20 mm? ¿Cuál es la medida real de la homiga soldado si mide los 315 de la medida de la foto de las reina?

realitlatl. La escala.r'

Según la escala indicada. la distancia real a recorrcr N N @ j

Según los datos dados en el gráfico, determina: a) Las coordenadas del centro de la circunferencia. b) El radio de la circunferencia. c) La ecuación ordinaria de la circunferencia.

La escala empleatla es de ampliación, donde l4 mm en la imagen represeutan 2,5 mm en la

La ruta indicada mide 6 cm en el plano.

es6

-lol.

En la lbto, la horrniga obrera mide 20 mm y la hormiga reina 25 mm, por taoto su medida real I .2-5 veces de la obrera,4,375 nrm. Hallamos la medida real de la hormiga soldado: 315 4.375 = 2.625 mnr

@

d

2.

Soldado

obrera

1l

n

* f f f

fr§,

==:l

Determina el valor de verdad de las afirmaciones.

* -6 = 0, el centro es tlO; a) En laecuación * - 5 = 0, el valor del radio es 15. b) En la ecuación c) El punto fijo de una circunferencia se denomina centro. d) En (x- 2)2 + (y + 5)2 = 10, el centro es (2; 5). e) Los puntos (-2; 0) y (3; -5) pertenecen a la circunferencia cuya ecuación es (x- 3)2 + ¡? = ZS

Se muestran los tres tipos de hormigas que hay en un nido. Ten en cuenta la medida real de la obrera y

Resuelve los siguientes problemas:

esf + + 4x-6y+ 8 = 0 Hallala pendiente de la recta tangente en (-1 ; 5) a dicha circunferencia. b) Un satélite viaja alrededor de la Tierra describiendo una órbita elÍptica, donde la Tierra es un foco y la excentricidad es 1/3. La distancia más corta a la que se acerca el satélite a la Tierra es 2000 km. Halla la distancia máxima a la que se aleja el satélite de la Tierra. c) Calcula la ecuación de la elipse cuyos vértices son los puntos V, (7 ; -2) y Y, (-5', -2) y pasa por el punto P(3; 2). d) Halla el valor de la excentricidad de una elipse si la distancia entre sus directrices es el triple de la distancia entre sus focos. e) Determina la ecuación general de la parábola de vértice en (3; 2) y foco en (5; 2). a) Laecuación general de unacircunferencia

I

B

p ! I

+

Flr:sDr-ri,,sia-s:

f

!;r,i 2)''-.4 ]l-D,ALl 4.r.¡¡=?:rl:j.x"-4y IF]VFIV '2.a)12 11 'rllr.)(( 5. a) 1/2 f.)) 4000 km c) (,r 1)?136 )'\y + 2)211¿ = 1 d) i3/3 a) y' 4v- 8.{ r 2E -. 0

LIBRO DE ACTIVIDADES

Relieves, altitudes y desplazamientos I

MAPAS Y PLANOS

Llbro de activldacies (págs. 295-297)

Relieves, altitudes y desplazamientos

Capacidades y desempeños precisados Usa estrategias y procedimientos

.

TEN EN CUENTA

Las curvas de nivel perrniten representar relieves tridimensionales en olanos bidirnensionales.

Adapta y combina estrategias heurísticas relacionadas con medidas, y optimizar tramos al resolver problemas de desplazamiento, altitud y relieve, (1-7)

EJEMPLO 58 En el relieve que se muestra, se har:ín instalaciones sanitarias colocando un tanque para agua en la cima (A), desde donde abastecerá a dos edificios ubicados en diferentes niveles (B y C).

Sugerencias didácticas

40m

Presente una torre formada por 3 cilindros de diferentes alturas y medidas de las bases. Luego, solicite que dibujen la imagen de la vista de frente, y de aniba. lnvite a que lo representen en la pizana. Relacione esta actividad con la imagen del margen y pregunte: ¿En qué tipo de vista se presenta la imagen? (Yista de arriba). ¿En cuántas dimensiones se encuentran las v¡stas obtenidas? (Dos dimensiones). ¿En cuántas dimensiones se encuentran los lugares y objetos en la realidad? (Tres dimensiones). ¿En qué tipos de planos se observan los relieves de los lugares? (En los planos topográficos). Comente que las curvas presentadas en la imagen se llaman curvas de nivel. Complemente la definición indicando que son IÍneas imaginarias que conectan puntos de igual elevación, y es el método más común para representar la topografÍa de un área.

Sistema en tres

30m

dimensiores

20m

l0m 'Ibda cstn supedicic ¿st¡i i I0 D dc altinrd

La ci¡na está

a

40 m

de

ahitud

Sistema de dos

dimensiones Toda esta supe¡ficie está a 30 m de altitud.

T«ta eslá a 20 m

altitud

a) ¿A qué altura se encuentra el tanque y los edificios? ¿Qué altura separa el tanque de los edificios B y C?

.

Para desarrollar

Realizamos las lecturas de las curvas de nivel mostradas y determinamos las alturas respectivas:

I

El tanque para agua está

I

En el ejemplo 58, pregunte: Si se ubica un punto en cada una de las curvas nivel B y C, ¿la altura que las separa será la misma? (Sí, porque todos los puntos ubicados en una misma curva de nivel se encuentran a la misma altura). Relacione lo aprendido con las actividades 1 y 2 de la sección "Desarrolla tus capacidades".

.

I

Haga énfasis en la información que se encuentra en la sección "lmportante"; para ello, solicite previamente a los estudiantes que traigan la imagen de las regiones naturales del Perú, donde se observen sus respectivas alturas. Proponga calcular la distancia geométrica y la reducida entre dos regiones cualquiera.

A partir del ejemplo 60, inicie el diálogo sobre la importancia de que al realizar diferentes obras o proyectos se debe realizar un estudio muy pormenorizado de sus efectos, a fin de adoptar las medidas correctoras que tiendan a eliminar o minimizar los efectos negativos para la comunidad.

a 40 m de altura.

El edificio B

se encuentra a 30 m de altura.

El edificio C

se encuentra a 20 m de altura.

IMPORTANTE La distancia reduc da se obtiene al medir

directamente sobre el rnapa. La distancia geométrica tiene en cuenta los desniveles Distanc¡a geométrica (AB)

La separación del tanque respecto a cada edificio es:

Edificio B: 40

Para el ejemplo 59, realice las siguientes preguntas: ¿Cómo se obtiene la medida del segmento B8'? (Restando las alturas de B y A). ¿Qué teorema se

-

30 =

l0

m

Edificio C: 40

-

2O = 20 m

b) ¿Cuál es la diferencia de altura que separa a los edificios B y C? . La separación entre las alturas de los edificios B y C: 30 - 20 = 10 m

aplicó para calcular la distancia reducida? (El teorema de Pilágoras). ¿Cuál es la diferencia entre distancia geométrica y distancia reducida? (La distancia geométrica se obtiene uniendo los puntos extremos tomando en cuenta los desniveles y la reducida se obtiene de medir la distancia horizontal entre estos puntos, es decir, se obtiene directamente de medir sobre el mapa).

ll

Los planos reales son como esta lmagen y permlten ahorrar materiales y tomar decisiones atendiendo a la geografia real.

Cima

Para iniciar

I

I

Distancia reducida (A,8,)

EJEMPLO 59 N N j

La distancia geométrica entre dos pueblos, A y B, es de 3ü)0 m. Si estos pueblos se encuentran a 650 m y 975 m de altihrd, ¿,cuál es la distancia reducida que los separa?

.

CJ

Graficamos y colocamos Ios datos. Luego, calculamos AB'. (97s m)

g

I

BB'

É ! !

A (650

§

m) l9*l

nr

-

325 m

c :9

(AB)'z= (AB)'z- (BB)2 (AB')2 = (3ooo)2 (32s)2

!

USA ESTRATEGIAS Y PROCEDIMIENTOS

AB'= vg 000{00- 105 625 AB'= 2982.34

La distancia reducida que separa los pueblos A y B es de 2982,34 m, aproximadamente.

o

@

Pida que a partir de un plano topográfico de un lugar del Perú, elaboren dos problemas donde ouedan determinar la distancia redricida v la oeométriea

UNIDAD

7

Geometria

o o o a

p

¿Cuá eselvaordel ángulo que forman la distancia geométrica y la distancia reducida de ejempio ó0? 6.2'

s o

I

<

a

Para consolidar

I

l

295

§É c (o

untdao

7

LIBRO DE ACTIVIDADES

¡

I\4APAS Y PLANOS

MAPAS Y PLANOS

USA ESTRATEGIAS Y PROCEDIMIENTOS

v

Si un observador situado

en B observa A, ¿cuál

eselvalorde ánSulode depresión que forman la horizontal y distancia

geométrica?

lt,3t"

Ejerce su ciudadanía. (Explica las relaciones entre los elementos naturales y sociales que intervienen en la construcción de los espacios geográficos).

tu ciudadanía

EJEMPLO óO

B

La comisión de obras del dist¡ito de Yuracmarca ha presentado un proyecto de cableado eléctrico entre los pueblos A (Pachma) y B (Quitaracsa). Para ser aceptado este proyecto, se debe calcular la distancia 400

000

ll

Graficamos y colocamos los datos. Luego, calculamos AB.

m)

AB = ./a ooo ooo + I 60 ooo

El

AB = 2040

-

¿Cuánto medirá la tubería recta que debe instalarse para llevar el agua de P a Q? La altura QR = 150 m; por dato: RP = 260 m. Aplicando Pitágoras: QP2 = 2602 + I 502 + QP = 300,1 7 m Las tuberías deben medir 300.17 m.

120 = 80 m

¿En qué pueblo se recibirá mejor señal?

Gl

El pueblo con mejor señal es el que está más cerca de [a antena, el pueblo B ubicado a 200 m de altüra.

La distancia geométrica que separa los puntos A y B es próxima a 2040 m

S

E

¿Qué altura separa ambas pueblos?

Diferencia de alturas: 200

=4OOm

B'

est¿i a 200

El pueblo ubicado en B a mayor altura (200 m). y el de menor altura A está a 120 m.

(AB)2 = (AB')2 + (BB')2

(ABl=(20001+(400)2

A(1000m) AB'=2000m

Toda esta supeúicie m de altitud.

Toda esta está a 120 m de altitud.

Por el dato de las curvas de nivel, el pueblo A (Pachma) se encuentra a 1000 m de altitud, y el punto B (Quitaracsa), a 1400 m de altitud.

(l,1oo

Para reforestar una zona ubicada a una altura de 150 m (Q) se va a utilizar agua del río (P). Si la distancia reducida RP = 260 m, halla PQ.

La cima está a 320 m de altitud. (Antena) I

I

.

Usa estrategias y procedimientos: 1-7

En cierto lugar, se va a instalar una antena en una cima para amplificar la señal de los teléfonos celulares. El plano muestra las curyas de nivel de dos pueblos A y B a diferentes alturas.

geométrica de separación entre dichos pueblos. Si en las curvas de nivel que se muestra la distancia reducida es 2 km, ¿cuál es el valor de esa distancia?

.

DESARROLLA TUS CAPACIDADES

'

Se debe reforestar a un 20 % de meno¡ altura. ¿Cuánto medirá ahora la tubería recta?

l-aaltura QR = 150 m disminuye un 207,,cs clccir

aConoces algLrn proyecto parecido (lue h¿t¡t presentado en tLl t-ltsüito?

h=20(150/100)+h=30nt

El andén del nivel A está a 3400 m de altura y el andén del nivel B a 3460 m.

Por sernejanza relacionarnos las altur¿rs con las medidrs

dc las tuberías:

Un pueblo P se encuentra a 950 m de altura y otro pueblo M a 2050 m de altura. Si la distancia geométrica es de 1,5 km, ¿,cuál será la distancia reducida entre M dichos pueblos en kilómetros?

. .

Por dato: MN = 2050

-

950

=

1100 m

=

1,1 km

La distancia reducida entre los pueblos

fl

p

P

y M es de 1,02 km.

EJEMPLO ó2 En un terreno agrícola que se encuentra en A, a 300 m de altura, se va a instalar un sistema de riego por aspersión que captará agua de un reservorio situado en C a una altitud de 550 m. Si la distancia reducida (AB) es de 187,5 m, ¡,cuál es la distancia geométrica del terreno?

¿

:9 !

l

o o o

.

l

El reservorio está

a una altura de 550

p ! o

Luego. AC =

L

§ c LOJ

296

§

p !

é

t 75

60 rr

s

g

o

o

En un pueblo de la sierra (C) se van a instalar dos paneles solares a diferentes alturas; uno en A a 180 m y otro en B a 100 m de altura. Ambos lugares tienen igual distancia reducida respecto a C y el ángulo ADH mide 30'. ¿Qué cantidad de cable se utilizará? B

45m

E

C

El

C

É

I

250 m

187,5 nr

>f,'::4ul+nl

Considerando la misma inclinación, y que C está a 20 m de altura sobre B, ¿cuál es la distancia geométrica de B a C? ¿Y de A a C?

5

AC = 312.5 m

La distancia geométrica dcl tereno es 312,5 m.

a c @

r,[sonl¡r.f +

O

m,

entonces la altura del tereno agrícola al reservorio es de BC = 550 - 300 = 250 m.

¿Cuál es la distancia reducida que existe entre A y B, sabiendo que la distancia de AB = 75 m? Considerando los datos del problema, tenemos que Ia altura: h = 3460 - 3400 = 60 m Aplicando Pitágoras: 7 52 = 602 + I + x = 45 m La disraneia rerlucida es de 45 m.

__i,

ci

7

Resuelve.

O 1,1 km

1,02

l

La rnetlida de la trrboría debc scr solo de 240.14 nl B

1,5 km

Deteminamos la distancia reducida:

(1,5)2=(1,1)2+NP2+NP=

N N @

s0 .r0().1 I¡1)= .

L

EJEMPLO ó1

AABE

-

ABC]D

=!=?!l-r=2: /5 6{) La distancia geométrica

AC=AB+BC=100m

N

AHC es norable de 30" y 60"

s6¡ 36" =

ffi +

CH = I 8016 es la distancia reducida

Aplicmos Pitágorar, NAHC, AC2 =

1802

+ (l 80aA)2

Entonces AC = 360. En el otro triángulo reclángulo: CB2 = 1002 + (180y'5)2 =327 Al La cartidád de cable es: 360 + 257 = 68741 m

+CB

UNIDAD

7 Geometra

291

LIBRO DE ACTIVIDADES

Razonam iento matemático t

Libro de actividades (pá9. 298)

Capacidades y desempeños precisados Usa estrategias y procedimientos

.

Resuelve problemas aplicando las ecuaciones de la circunferencia, la elipse y Ia parábola. (1-11)

Sugerencias didácticas

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO Comparación cuant¡tativa

Suficiencia de datos

A partir de la información dada, se deben calcular dos cantidades: una en la columna A y otra en la B. Compara ambas cantidades y luego escribe en tu

En cada situación, se da un problema con dos datos. Identifica el dato o datos necesarios para solucionarlo y luego escribe la clave.

cuademo la clave correspondiente.

Para iniciar

!

lT]La

A modo de recuperar los conocimientos previos, pida la participación de los estudiantes para que completen un cuadro comparativo donde dibujen la circunferencia, la elipse y la parábola, identifiquen sus elementos y expresen la ecuación canónica, ordinaria y general de cada una de ellas. Pida que los estudiantes identifiquen a qué gráfica conesponde cada una de las siguientes ecuaciones generales: A:3x2 + 3y2 + 8x + 9y - 200 = 0; B:

3x2+5y2+8x+9y-200 =0

C:

lE-lLa cantidad B

Información

3x2+8x+9y-200=0. ¿Cómopuedo

es.

I y II.

IEI

Es necesario usar a la vez los datos

lEl

Cudu duto, por separado, es suficiente.

, lEl Lor datos no son suficientes.

Columna B

Dada la

mínima de1

La distancia mínima del

circunferencia

punto (5: 8)

punto (-5;

l+f

Realice en forma conjunta el ejercicio 1. Para esto, invite a dos estudiantes; uno de ellos debe realizar el ejercicio con la información propuesta en la columna A y el segundo estudiante con la condición propuesta en la columna B, Compare los resultados y asígneles la clave que corresponda. Realice la misma actividad con el ejercicio 5. Oriente el trabajo individual en los ejercicios restantes.

ül

OUtén las coordenadas del centro de una

-4:r-81+

11

=0

ala

I.

La circunferencia esta circunscrita al triángulo ABC, de vértices A(-3; 4), B(4; 5) y C(1; -4).

II.

La circunferencia está inscrita en un triángulo A de baricentro (5; -5).

-8)

ala

circunferencia.

2. Desde el punto P(4;2) se

Et Determina la ecuación de la circunferencia

han trazado

El ángulo fomado

tangentes a la

por estas

circunferencia

tangentes.

l+y'=

Para la suficiencia de datos, interrogue: ¿Cuát es la diferencia entre las alternativas B y D? (En la alternativa B, se necesitan ambos datos para resolver el ejercicio y, en la alternativa D, con cada dato por separado puede resolverse el problema). Para una mejor comprensión de las claves pregunte; ¿Cuál es el valor numérico de x + y? l. x= 2 ll. y= 5. Si consideramos la afirmación (l), vemos que x + = 2 + y,lo cual no nos da un valor numérico, o sea, no nos servirá para obtener la solución. Si trabajamos ahora con la afirmación (ll) y nos "olvidamos" de la (l) queda x+ y= x+ 5,lo que tampoco nos permite dar respuesta a la pregunta. Si juntamos las afirmaciones (l) y (ll), entonces x + y - 2 + 5 =7,entonces, la alternativa es la B.

han trazado tangentes a la

circunferencia

l:+Ir-br+lf+5=ll 4. La distancia de P al foco de la parábola de ecuación

I

-

rcy

circunscrita al triángulo de vértices A, B y C. 45"

19.

3. Desde el punto P(4; -4) se

-«=o

./lo

Sea la

paábola

de ecuación:

y2+6r +81+1=0

6.

Para consolidar

298

Las coordenadas de los puntos medios de los lados del t)

triángulo.

de la circunferencia.

I.

La pendiente de /,

II. Elvalordeu C

D

@ Determina el valor La distancia

de m en la parábola mostrada

(7;

16t

dePal vértice.

La abscisa del véI1ice.

El área de una

de ecuación:

región cuadrada

..2

inscrita en

4,

la elipse.

L

EI vértice es (1;

II.

El eje focal

es

N N @

-2).

:ci

r = l.

D

l\

ñ

¿ :9

§

f oó

(D Determina la ecuación de la elipse. La ordenada del véfice. A

Sea la elipse

r,!) j,

Las coordenadas de los vértices A, B y C.

II.

lr:w y-4=

u

t 5.

L

E! Determina la ecuación

La longitud de la cuerda que une los puntos de tangencia.

es5u.

Recuerde que es necesario justificar cada una de las respuestas presentando el proceso de solución o el gráfico que corresponda a cada dato propuesto. Luego de realizar los ejercicios en forma individual, forme parejas para que comparen los procesos y respuestas obtenidas.

Organice equipos de tal manera que la mitad de los estudiantes elaboren preguntas aplicando la comparación cuantitativa y la otra mitad aplicando la suficiencia de datos con su respectivo solucionario. Luego, elija uno de los equipos para que propongan los ejercicios a sus compañeros y los resuelvan Bealice la misma actividad con cada uno de los eorrinos

",

II no lo

suficiente y el dato I no lo es.

circunferencia.

|

I

ColumnaA La distancia

Para desarrollar

I

A.

IEI Fult^ info.-ación para poder comparar.

l.

3

es mayor que

dato I es suficiente y el dato

lE-l El duto II

§ e-Uu, cantidades son iguales.

diferenciar si corresponde a una circunferencia, elipse o parábola?

f

ITIEI

cantidad A es mayor que B.

L II.

AB=10uyCD=8u Su centro es

I 6 É

(-4; 5).

*", C

o o a o

I

p _¡ =

g

L

3 o

a c

_a

c a (6)

LIBRO DE ACTIVIDADES

ü

Uso del software matemático I

Libro de actividades (págs 299)

USO DE SOFTWARE MATEMÁTICO

Capacidades y desempeños precisados . Resuelve situaciones problemáticas para hallar las ecuaciones Usa estrateg¡as y procedimientos

Geogebra, para hallar ecuación ordinaria y general de la circunferencia

ordinaria y general de una circunferencia aplicando un software matemático. (1-6)

§ffi&e

t.g**gr:hr*.tr'3rrr!*lhra

ffi§§§,§ Digita los puntos A(3,6), B(S,

Sugerencias didácticas

ordinaria y la ecuación general

Para iniciar

ffi

Accede a hr l pr:;'/tr'*

ff:§§m

Organice a los estudiantes en pares e ingrese al recurso "Enlace web". Sugiera que también se puede acceder a través del enlace https:/lwww. geogebra.org/graphing. Pida que exploren los elementos de la pantalla, haga notar que este software presenta diferentes vistas, las que permitirán realizar diferentes representaciones en varios campos de la matemática. Pida que exploren y reconozcan los elementos de la pantalla de una de las vistas. Pregunle. ¿La barra de herramientas en cada caso es la misma? (Solo en las vistas "Gráfica" y "Geometría"). En la vista "Gráfica", ¿qué se puede realizar? (Graficar funciones o determinar lugares geométricos). ¿Cuáles de los botones utilizaremos para determinar las ecuaciones de la circunferencia? (Los botones: circunferencia por tres puntos y alejar).

1) y

C(12,3) en la sección entrada, para determinar la ecuación

de la circunferencia.

Haz clic derecho en el plano carlesiano para activar la cuadrícula. Usa la herramienta

Q

r;«urfer.:r,ra ror rr,r p.nbr . Selecciona los tres puntos y se dibujará una circunferencia.

Selecciona la herramienta

Q ,ri,,;,,

que se encuentra en el menú.

Luego, obtén la ecuación ordinaria de la circunferencia. g

6

"

www.géogébr¿org

iilri0-lr.cr.4j

h

&lB@

o o

4+

DÉ!r)l¿2,

Q

aproirmar

Q

ate;ar

vltt, ar¿¡(,r

O

Para desarrollar

§

§

N @ j

d c )q

&

Ia o

L

a c

§ c @

lndique que GeoGebra es un software matemático que ofrece la oportunidad de graficar y efectuar cálculos precisos con gran facilidad y en forma dinámica. Pregunte: ¿Qué pernitirá conocer las coordenadas de los tres puntos? (Delerminar la ecuación ordinaria y general de la circunferencia).

-16 -14 -12

10

t¿r

etqnelr

¡

(opi¿..!tih viru¿l

I

Lr,ilLi¡!1r

2

4

6

8

l0

11

12

-2

En el paso 2, haga notar el uso del signo igual para la correcta escritura de los puntos en la sección entrada, por ejemplo el punto A (3 6) debe escribirse A = (3 6), el punto B = (8,1) Pregunte: ¿Qué observas al seleccionar dos puntos? (Se traza una recta).

En la sección "entrada" haz clic derecho sobre la ecuación ordinaria hallada, seleccionamos la ecuación general, luego obtenemos la ecuación general de la circunferencia.

En el paso 4, explore las opciones que se obtienen al realizar clic derecho, Pregunte: ¿Qué acción se puede realizar en la opción "Renombra"? (Cambiar el nombre de la circunferencia). ¿Qué opción permite cambiar el color de la gráfica? (Propiedades: Color). ¿Cómo se puede modificar el grosor de la línea de la circunferencia? (En propiedades: Estilo).

ffi ñ a

Promueva en los estudiantes la investigación. Para ello, solicite que a partir de las henamientas que presenta el programa escriban los procedimientos para calcular el centro de la circunferencia, sus coordenadas y la medida del radio a través de GeoGebra. Realice la comprobación a partir del método

algebraico.

i§

Si se tienen dos puntos A y B, ¿se podrá determinar la ecuación ordinaria de la

circunferencia?

E

I

EXPLORA E INTERACTUA

Analiza y responde.

I

Para consolidar

§

'o Morr¿r/o.r1Lr¡ ¡bjrto AA Motr.¿rtr.!

(rn enraaa...

§§ Recuerde hacer clic en el botón "Deshace" para eliminar alguna acción incorrecta. En el paso 3, pregunte: ¿Cuál es el centro de la circunferencia? (8;6). ¿Cuál es la medida del radio? (5 cm), Escriba en la pizarra la forma de la ecuación ordinaria y de la ecuación general.

f !

p € =o

o

§l

Se dice que tres puntos determinan un plano, ¿es verdad que tres puntos determinarán la ecuación general de una circunferencia?

usa estrateg¡as y procedimient0s 1-5

Determina la ecuación general y ordinaria de la circunferencia que pasa por los siguientes puntos:

§! e(-z; 2),8(1;2)

& a(-o;9),

§

A(e;

-3)

8(6; l) y c(6; -9)

-lo),

& a(-s;

y C(-2;

B(3; 8) y

o); B(2; 4) y

c(-3;6)

c(3;6)

o UNIDAD

7

Geometria

299

TEXTO ESCOLAR

Actividades ntegradas i

I

Libro de actividades (págs 300-301)

C!ERRE

Análisis de las preguntas

I SINTETIZAMOS

Te

presentamos mediante un organizador gráfico los conceptos clave que has trabajado en esta unjdad 6EOMETRfA

Ecuac¡ones de la Teore¡ta de T¡

eS

ef e espacio

D

Sean

A(ri, ),j) y B({2;

},

dqo,u¡=lG-4f nly, y,)' Distancia de un punto a lna recta y distancia entre rectas

^(q r) tP //tQtt ta+t:9=DE BC

lAx, + By, + Cl ,,/A2 +82

d--=E t,) + uj,

,,/A2

82

t,.At=2ñt.E . V=¡r2.h .&=2fir(g+r) ] cono:

.A=4xr2 r: radio g: generatriz

.v={nr3 h: a tura

I.+)'+DI+ty+l

0-

=U

Ejemplo:

4P(,-

h)

I

f+Ay+Bx+C=0 Ejemplo:f+2)+3{+4=o

(f+4x)+ f+óy)+8=0 +

k)'?=

Ecuación general:

f+)?+4x+6y+8=O (x+2)2

4P,

Ecuación ordinaria:

Ecuación general:

0,+1)2=-3(r+1)

ly+3)2 =las)z

Y=mx+b = rn(r-¡r)

Ecuación canónica:

h

xY" ab

,,-v, Y-Y=?;+ tt-xt

Esfera:

12 =

P=k-h)2 +(y-k)2

Eje Íocal coincide o es paralelo al eje x.

Ecuación simétr ca y cartesiana

.A\=2fir(8+t)

Ecuación canónica:

Ecuación ord¡naria:

Ecuación principal y punto-pendiente:

)-)r .V=firz

rz=*+f

Ecuaciones de la elipse

cilindro recto:

.AL=2fir.g

Eje focal coincide o es paralelo al eje x.

Ecuación canónica:

EF

Cuerpos de revoluc¡ón ]

Ecuaciones de la parábola

circunferencia

Stafc a efirc al0s plntos

Ecuación general:

Ar+B)+c=0

-. A__ /B^B

C

Mapas y planos

I

rt),2

a'D'i Ecuación

ordinaria:

k-h),0-k)' -T---p-='

I

"

Ecuación general:

Al+Bv2+C¡+Dv+E=0 l

Eiemplo: O _212 § +3)2 " 916-

l I

-

FSCa ¿ =

Ivedlda en e ol¿no lvled da re¿l

CONSULTAMOS

I DlSita en el buscador de internet de tu preferencia el conjunto de palabras que se indican y accede a las primeras direcciones que aparezcan.

a p €

I

@ eara ampl¡ar ta teoría . filetype: pdf libro de maternática

n -ú Para ver aplicac¡ones . videos + cuerposgeométricosen

+ geometría N4oise

.

khan academy + geometría del espacio

b I

Para ¡nteractuar online

.

thatquiz+testde área yvolumen

el mundo

.

filetype: swf + geometrÍa analítica + cónicas

de cuerpos geométricos

.

geogebra search geometria analÍtica

o UNIDAD

7

Geometría

71

En la capacidad "Comunica" se proponen actividades que buscan que los estudiantes comuniquen su comprensión de las caracterÍsticas de los sólidos geométricos y de la identificación de los elementos de la circunferencia, de la elipse y parábola, a partir de expresiones algebraicas, como en las actividades 1 a 5; también busca establecer relaciones entre elementos y definiciones geométricas, usando lenguaje geométrico

y representaciones gráficas o simbólicas, a través de las actividades 6 a la 9. En la actividad 6, recuerde las proyecciones de un segmento en diferentes posiciones; destaque el uso de instrumentos de dibujo en la actividad 7. En la actividad 8, pregunte: Dados un cono y un cilindro de igual altura y la altura es menor de 10 cm, ¿cómo será el volumen del cono? (\liayor que el cilindro). Complemente la actividad 9 solicitando que expliquen los procesos realizados. Enfatice en el uso correcto de la simbologÍa matemática; sugiera realizar un vocabulario matemático que contenga una lista de términos con sus respectivas definiciones. En las actividades propuestas en la capacidad "Usa estrategias y procedimientos", los estudiantes deben seleccionar, adaptar, combinar o crear, una variedad de estrategias, procedimientos y recursos para construir formas geométricas, medir o estimar distancias. Para la actividad 10, pida que describan los procesos realizados para hallar la superficie. Pregunte: ¿Cómo son las caras y qué forma tienen? (Son trapecios congruentes). En la actividad 11, ¿qué formas geométricas conforman el depósito? (Un cilindro y un cono). ¿Qué tienen en común? (Labase). En las actividades 19 ala27, se desarrolla la capacidad "Argumenta afirmaciones'', las cuales buscan que los estudiantes elaboren afirmaciones sobre las posibles relaciones entre los elementos y las propiedades de los lugares geoméficos y formas geométricas, con base a su exploración o visualización. Asimismo, justificarlas, validarlas o refutarlas, según su experiencia, ejemplos o contraejemplos y conocimientos sobre propiedades geométricas, usando el razonamiento inductivo o deductivo. Para esto pida que al terminar de realizar las actividades 19 ala25, intercambien sus cuadernos y así validen los procesos y respuestas halladas. En la sección "Modela objetos", los estudiantes construirán un modelo que reproduzca las características de los objetos, su localización y movimiento mediante formas geométricas, elementos y propiedades y la ubicación. Para una mejor comprensión sugiera a los estudiantes parafrasear cada una de las situaciones propuestas. En la actividad 28, pregunte: ¿Qué teoremas se aplican? (feorema de Pitágoras y de Poncelet). Para la actividad 29, interrogue: El esquema realizado, ¿con qué modelo matemát¡co se relaciona? (Con dos rectas perpendiculares). ¿Qué característica tendrán las pendientes de las rectas? (Son opuestas e inversas). En la actividad 30, interrogue: ¿Qué representan los puntos M y N? (Los focos de una elipse). ¿Con qué eje coincide el eje focal? (Con el eje X). Para la actividad 31 pregunte: ¿Con qué eje coincide el eje focal? (Con el eje Y). ¿Qué ecuación podemos emplear para hallar la medida de ta altura? (* = 4py). ¿Cuál es el ,

N N

)ci @

i

:Q

,

E o q E

-

p

€ E o I

<

o o

É -9 c 6 (o

LIBRO DE ACTIVIDADES

ACTIVI DADES INTEGRADAS comunica Escribe V si

fl

es

verdadero o Ir si

es

falso.

)

+-

emnleada? es

ll

l0

-'1721.96

EE Si la recta

El vértice de la parábola y = (r V (0; 5).

-

E

5)2

'-40cm"si la altura de la sección cónica

@ OiUuja un segmento AB oblicuo y exterior al plano Q. La proyección del segmento AB sobre el plano Q es 40 cm, además la distancia del punto A al plano es 20 cm y la distancia del punto B al plano es 30 cm. CalculaAB. l0/17 nr

@ Dibu;a tres planos paralelos B Q y R. Traza una recta /t que corta en los planos en los puntos A, B

lB

-2)yn(+;a). r=f

puente colgante mostrado es semielíptico. Calcula

la distancia del centro del puente al punto del cable

Determina las coordenadas d;,B,i

sucentroeslá sobreC(-2:5).

4

p

o

a c

gravedad del

§

c a

300

g

ID

rectángulo?

(5; -l)

x

-8-ó4-2 49i

+ 64y2+ 39Lr

-

448¡ + ?84 =

0

I6x2

+

25y2

-

64x

+ 200y + 64 = 0

@ Demuestra que en una parábola = 4p) el lado recto tiene una longitud igual al cuádruplo del parámetro p.

e p a

@ Una antena parabólica ! € tiene un diámetro de 8 m 9 y 1,4 m de profundidad en

§

§

Dibu.;a en el plano cafiesiano un rectángulo de 6 cm de altura y l0 cm de base tal que un vértice coincide con el origen. ¿Cuál es el punto centro de

c

.rr

I

l-4x+4y=g

y2+9r=0

del volumen y de la altura. Interpreta.

sc

larectax=J. ,:= -rlrr-.lr: rr-4rr=.lrr

V¡lumen lcmr)

@

su centro. ¿A qué distancia del vértice debe ubicarse el

receptor? 2.U6

m

' 'l t n*=l

.l\-

rr+l)r, tr .5rr _, 4 tl

E§ Halla la ecuación ordinaria de la parábola si se sabe que pasa por A(-7; 2) y su eje focal es paralelo al eje X, el lado recto es 0,4 u y su véfice pertenece a

X

perro?

,_t

fii,á5i'?,

@ Un extremo del eje menor de una elipse se encuentra en el punto P(-4; 5) y pasa además por el punto Q(-3; 8). Halla la ecuación de dicha elipse si

IE

fa

2ll =O:Q(.221173,92173) de una pared se han fijado

desplazamiento del

Cr:f+y2-2x-24y+20=0 n1

Ci

3v

los extremos de una cuerda, a la que, con una argolla, está sujeto un perro muy peligroso. ¿Cuál es la ecuación que describe el alcance máximo del

está inscrito y circunscrito a

Cr:*+y2 +4x- 16y+48=0

86,6 m

)

=

ABC

las siguientes circunferencias:

que está colgado a una altura de 30 m.

¡D

p

'P(2;4)

&r+ EB El triángulo

@ El

N @ j

Elabora una tabla que relacione algunos valores

r,.1

Y

@ A los puntos M y N

=0.

Halla la ecuación general en cada gráfico.

!= o o o

cilindro si

l0 cm

200 m

2

P se va a abastecer de agua conectándose a la troncal AB. La toma se hará en el punto Q donde, por obvias razones económicas, la distancia PQ deberá ser mínima. Halla la ecuación de la recta PQ y las coordenadas de Q.

26 cm

la ecuación ordinaria de la parábola de vértice (3; -l) que pasa por el punto (2; -2) y cuyo eje focalestásobre1,:y+ I (_r+ l)r=-(.r-3)

Altura (cm)

i

@ El pueblo

+f

una misma cantidad de arena en un cono y en un

:9

Sobre la base menor de un tronco de pirámide cuadrangular regular de 6 cm de altura, se construyó un ortoedro de 3 cm de arista lateral. Calcula el área total del cuerpo formado si los lados de las bases del tronco miden 2 y 7 cm. 194 cm)

lB Halla

de

cilindro.

,iqli?f:fj'

Determina la ecuación principal de la recta que pasa

porlospuntos A(-3;

y C, luego otra recta 12 no paralela a /, que corta a los mismos planos en D, E y F. Si BC -2AB y DE = 12 cm, halla EF. 24 c¡r

a la

I

ED Determina el volumen del tronco de OA = l0 cm. 203,1.72 cmr

de l0 m y el radio de la base circular mide 8 m. 3 483 3 l0 litros es

Dibuja y resuelYe.

@ La gráfica relaciona la altura del contenido

T

@ Calcula la capacidad del depósito

M

el volumen del cilindro inscrito en un prisma recto, si se sabe que las bases del prisma son triángulos rectángulos y las diagonales de las caras laterales relacionadas con los catetos m\den2t/57 cm y 16 cm. Además, se sabe que la diagonal que mide 16 cm forma con la arista de la base un

ED Calcula

+ y2 - 4* + 6y - 39 = 0, ¿qué valores debe asumir k? k = t 26

E

@ Con la escala 3: l, el objeto en el plano tiene el triple de tamaño que el real.

/r: 3r + 2y + k = 0 es tangente

circunferencia

es el punto

Resuelve.

crrr-

45 cm

= I tiene como

Modela objetos de los

puntos del plano, ta] que la suma de los cuadrados de sus distancias a los puntos de coordenadas P(3;0) y Q(0; 2) sea 12 u. 2.r2 + 2f - 6r - 4r'+ I = 0

60 cm

.,2

to

centro el origen de coordenadas.

B

@ Determina la ecuación del lugar geométrico

indica la figura. ¿Cuál es la superficie de madera

mayor que la generatriz del cono.

@ La elipse

Argumenta af¡rmac¡ones

Resuelve las siguientes situaciones problemáticas.

@ Un ebanista fabrica papeleras con forma que

El área total de un tronco de pirámide es menor que el área total de la pirámide.

@ La generatriz de un tronco de cono

Usa estrategias y proced¡m¡entos

l;;:'l

ED

Un puente colgante tiene forma de una parábola. Las columnas que sostienen el puente están separadas 400 m entre sí. El punto más bajo de los cables está a 100 m desde el extremo superior de las columnas y los cables llegan al suelo. Halla la longitud que debe tener un puntal que esüí a 20 m de la columna. il 1 nr 400 ¡r Pu¡tal 100 m

M UNIDAD

7

Geometría

301

LIBRO DE ACTIVIDADES

Evaluac¡ón ITextoescolar(pá9

ACTIVIDADES PROPIAS DEL BACHILLERATO INTERNACIONAL

I

Latas de conserva

O

@ La empresa "Linus" produce y comercializa

Un bebé pesa 2,8 kilos al nacer y 3 años después su peso es de 8,5 kilos. Supongamos que el peso p (en kilos) y la edad t (en años) están relacionados linealmente:

a) ¿Cuál

a)

¿Qué cantidad de metal se necesita para su construcción? 130.85 m2

b)

¿Qué cantidad de papel se necesita para la etiqueta? 85,45 m2

cumpleaños?

b) ¿A qué edad el niño pesará 25 kilos? 2,8) y B(3; ti,5) Hallamos la ecuación de la rccta;

El

matrimonio de Carlos y María

?R n 2.8=8.s-ñ(r-r))

@

Para el brindis del matrimonio de Carlos y María se

Razonamiento

El peso serri de 12,3 kg. b) p - 2S: 25 = l,9t + 2.U t = I 1.68 A los I I años y 8 meses. pcsarií 25 kg.

+

Comunicación matemática

es la ecuación ordinaria de la elipse que describe la forma del túnel?

b)

¿,Qué ancho tiene el

túnel a la mitad de su

altura?

En la pregunta 1, oriente remarcando que el eje de la parábola es el eje Y y que, para hallar la altura de la parábola, tenemos las coordenadas del vértice, Motive a los estudiantes a graficar y a dar a conocer los procesos realizados. En la pregunta 2, interrogue: ¿Qué nos permite hallar el ancho de Ia parábola? (Los puntos de corte con el eje X).

I

En la pregunta 3, destaque que la medida del lado recto es menor que el ancho de la parábola. Pregunte: ¿Cómo se traza el lado recto? (Trazando una línea que pase por el foco, paralelo a la directriz). En la pregunta 4, proponga situaciones similares con cantidades conocidas para que los estudiantes refuercen cómo se determina el foco; haga notar que el foco se encontrará cerca al vértice. En la actividad 5, pregunte: ¿Qué datos se neces¡tan para hallar la directriz? (k,la ordenada del vértice y p, que es la concavidad). En la actividad 6, fomente la creatividad solicitando que elaboren situaciones similares, y que las resuelvan para comprobar la pertinencia de los datos y procesos empleados.

2q= 40 + a=2O Semiejemenor:á=

I

El siguiente cuadro de doble entrada muestra, para cada pregunta, los criterios de categorÍa mencionados en el marco ECE,

Actualmente tiene una altura de 137 m, y la base

18

a) Ecuación ordinaria

40m

de la elipse que describe la forma del túnel: y = Altura del túnel x = Ancho del túnel

r

#-

..1

r

..1

t+ri,o+fi=

302

l-r=,5tto

= tz,rz

Med¡das de la cuerda

I una bola que tiene

18 mm de radio.

a) ¿Qué longitud tendrá la cuerda? I 13.04 nrrn b) Si con una cuerda que es un 30 7o más larga se

ñ.*=r+*+#=r

ñ.+=r-ffi=r ]

es un cuadrado de 230 m de lado. ¿Cuál será su volumen? 2 4|l5 7(¡6.67 ¡t.

Gl Si rodeamos con una cuerda

t

'F=

b) Ancho del túnel a la mitad de su altura:

;=(4oo)

La Gran P¡rámide de Guiza Et Gran Pirámide de Guiza es la más antigua de las Siete Maravillas del Mundo y la única que aún perdura, además de ser la mayor de las pirámides de Egipto. Las medidas más detalladas que tenemos hoy en día son gracias al arqueológo británico Sir William Matthew Flinders Petrie.

Graficamos según Ios datos: El eje focal coincide con el eje X. Eje mayor:

*

hace una circunferencia, ¿cuál es la diferencia entre los radios de las dos circunferencias? 5.,1 mrn

p €

ldentifica los elementos de la parábola en los datos propuestos. (2)

I

*r'

a) ¿Cuál

.

lvodela matemáticamente situaciones relacionadas con fórmulas de geometrÍa analít¡ca. (1)

lnvite a los estudiantes a leer la situación presentada; luego, formule preguntas para que el estudiante se familiarice con la imagen presentada: ¿Qué forma tiene el arco? (Forma parabólica). ¿Hacia dónde se dirigen las ramas de la parábola? (Nacia abajo). ¿Dónde se encuentra el vértice de la parábola? (En la parte más alta del arco).

Para favorecer el paso fluyente, continuo y

seguro de vehículos se construirá un túnel en una montaña. El arco para dicho túnel debe tener forma semielíptica, con el eje mayor horizontal de 40 m, y la parte más alta de l8 m por encima de la car:retera.

.

Resuelve problemas que implican la ecuación de la parábola. (3-6)

I

Un túnel muy especial E)

.

y demostración

cuenta con 10 litros de vino. El recipiente cónico de cada copa tiene una altura interior de 9,5 cm, y un radio interior de 4,8 cm Si todos tienen una copa, ¿.cuántas personas asistieron a la boda? R,espucsta rnodelo

12,3

Tenga en cuenta las siguientes capacidades e indicadores usados en el

Resolución de problernas

Por dato: A(0;

p= l.9t+2,8 a) t=5: p= 1,9(5) +2,8 =

303)

MATCO ECE.

conservas de duraznos. Una lata tiene 0,16 m de altura y 0,085 m de radio de la base. Si la empresa debe producir en total 1000 latas.

será el peso del niño en su quinto

ILíbrodeactividades(pá9.

Sugerencias evaluativas y metacognitivas

usa estrateg¡as y procedimientos: 1-ó

El peso de un niño

72)

N N

)

@

¿

N."

Capacidad

Contenido

Situación matemática

Trpo de pregunta

:9

1

lVodela

Geometría y medición

Extramatemática

Selección múltiple

E

2

lnterpreta

Geometría y medición

Extramatemática

Selección múltiple

p o o

3

Resuelve

Geometría y medición

Extramatemática

Selección múltiple

p

4

Resuelve

Geomefía y medición

Extramatemát ca

Selección mú tip e

5

Resuelve

Geomefía y medición

Extramatemátrca

Selección múltiple

6

Resuelve

Geometría y medición

Extramatemática

Selección mú tip e

s o

) 3

€ c o L

.i

o 6 c

-g

c a

o

Z

LIBRO DE ACTIVIDADES

TEXTO ESCOLAR

EVALUACIÓN Tipo

Comunim:1-5 Usaestrate8¡asyprocedim¡entos:ó-8 Argumentaafirmaciones:9-14 lvlodelaobjetos:15'1ó

"

Desarrolla las actividades. Luego, intercambia tu cuaderno con un compañero(a) y revisa sus soluciones. Escribe V si es verdadero o F si

§ B

es

Dos planos son paralelos cuando intersección es nula.

falso,:

Analiza y resuelve.

suI

@ Un pintor cobró Si 200 por pintar la pared exterior (\

Tres o más planos paralelos determinan, sobre dos rectas, segmentos iguales.

(F)

@

@ En un cilindro recto, la generatriz es igual a la altura.

(}

es la ecuación

§

(v)

La ecuación canónica de [a circunferencia

I

(F)

= 4py.

Cuando el eje focal es paralelo al eje la ecuación ordinaria de una elipse rx - h)2 (v - k)2

es

+

I

ü

Fue construido en honor a los l¡éroes de Guerra del Pacif¡co, como e alrn¡rante N,4iguel Grau y e coronel Francisco Bolognes¡. Está contru da con piedra de cantería de co or rosáceo. Al centro de la explanada se encuentra el plato de bronce de la llama vot¡va clecorado con sallles y anc as. Se inaugurÓ el 28 de agosto de 1959 slendo presidente don l\,lanue Prado ugartecne.

(sin las bases) de un depósito cilíndrico de 8 m de altura y 4 m de diámetro. ¿Cuánto cobrará por pintar un depósito esférico de 2 m de radio? s/ I t)i)

i

ABC cuyas coordenadas de sus vértices son A(1i 4),8(-2; -8) y C(6; 3). Calcula la altura relativa al lado BC. h = 4,63 u Sea un triángulo

,.--d§-_,

@ Determina la ecuación general de las circunferencias que se muestran.

X,

:.:

(v)

A y2 = 4p(r- 18) (c)x'?= apg - ral B f = 4p(y 12) D y2 = 4p(x 1z)

C(-3; -4)

o

C(2;0)

l+yz-4x=o

\u,.

) 14 u

l3

A

(:--212=-11,

20u

u

Determina el valor de.r

si:

IIu

AB=6u

DE=x-2

EF=21

§

_i

r\r

:9 !

u

o o o =

p

€ E

§

L

< @

.,,,

--)

72

iÁ,

,

F(0;

E

-8)

@

rto;

rol

lc) F(0;8) lÓl

r(o; -ro)

Ci»ro cl eje 1'ocal es el cje Y. cnlonces el lbco tlc la pariibola es: ¡ih; k + p)

es paralelo al

?."]¡,

a.r.

a

t2

§! 2,1 rrr

(.r-0)r=:¡pi,1 l8¡+.tr=4p(r'

=,,

Ul

Una cisterna de agua está ubicadu u unu ultu.u de 240 m, respecto a un edificio. Si la distancia reducida es de 24O,8 m, ¿ct:iínto mide la distancia geométrica? 480 nr

dificultades?¿Cór¡o las superé?

A r

I

I

p 4

p 4

Te en cuenta que aprender fórmulas en Seometría no es

suficrente; tenemos que entenderlas y su aplicación está en la vida cotidiana.

Se

abre hacia la

derecha. c

se abre hac¡a la izquierda.

@

Se

Observamos que el punto ( I 2; 0) pcnerece a la parábola. Hallarnos p reemplazando las cooriienatlas en la ccuación: ( I 2)r = ,1p19 I 8)

t,14=4p(

lti)+p=

2

Ciorno p < 0. etttLrnces es ctincava hacia abaio tr se

abre hacia abajo.

O

¿a qué altura sobre la base tiene Ia parábola un ancho de 1ó metros?

A.

§

o

@

1óm

B

i2m (Qrom

D.8rn

Conro la parábola es simétrica, la altura requerida es la ordenatla del punto (ll; l'): 8r = 4( 2X,v l8) = -8(t'- lll) + 6,1

6.1

It¡'= §

\B'',y=12 'c'.y=td iilly=6

Como cl e.ie fbcal es el eje Y. cntonces la ecuación dc la recta dircctriz d es l = k - p. Reernplazarnos valort's: r= l8- (-2) = l8 + 2 = 20+-r' = 20

abre hacia arr,ba.

se abre hacia abajo.

calcula la ecuación de la recta directriz.

@y=20

l8)

l-Qué concavidad tiene el Arco Parabólico de Tacna? Argumenta tu respuesta.

IB

encontrar su soluciÓn?

¿Qué temas ya conocía de años anteriores y qué nuevos temas he aprendido ahora?

É

2

ReernpIrzarnos valores: F(0: lti 2) = F(0: 16)

¿l!4e fue útil graficar el problerna para

se

-

lo] rom

¿Cuáles son las coordenadas del foco de la parábola?

1

l'50

¿Tuve

En un cilindro de revolución de 1 8 cm de altura,

(i

Luego, la ecuación es: 2

METACOGNICIÓN

i;.1,1

c c

,,

traza un plano no paralelo a la base. Si el volumen del tronco del cilindro determinado es 2/3 del volumen tofal, halla la medida de las generatrices mayor y menor,las cuales están en.t-Tiil

o

§

Halla el valor de J en cada cilindro. V = I 801 cnrr il ) A¡ = IQQ q¡2

ll(-

f

2

@u.

t.R=la(-2)l=8nr

@ Un monumento tiene una altura de 15 m. Si se desea que el dibujo mida 30 cm, ¿qué escala debe usarse?

.,11,G>

ci c

4

2,

R(-2:2) y, además,

[! N N @

d

qm

Reernplazanros en la liírmula:

Además, observamos que el eje de la parábola es el eje Y. Por dato: V(0; I 8) es el vértice.

(S Determina la ecuación general de la parábola cuyo eje focal pasa por los puntos P(6; 2), Q(a; -1) y

:Pll tQll tR BC=¡+3

l+¡,2+6r-+8y=0

@ Determina la ecuación ordinaria de la parábola.

G)

t_ado recto = t_n = lapl De la scgunda pregunta: p

l8)

Observamos la foto y grafica

Halla el valor de,r en cada caso: b) a)

oetermina la longitud del lado recto de la parábola.

fiir om

función de p?

Resuelve.

E

Gl

Sielarcotiene 18 mdeaturayunanchode24 m, ¿cuál es ia ecuación ordinaria que representa la parábola en

X

b)

Y

a)

=t.

ECE

'-:-:::

l.l4 64+y=

-

l0

8) +

144

nt

UNIDAD

7 Geomefía

303

Funciones PRESENTACIÓN

RECURSOS

Esta unidad, referida a las funciones, tiene por finalidad desarrollar el pensamiento analítico y algebraico, considerando como estrategia principal la modelación matemática de situaciones reales. Se realiza una revisión de las principales características de las funciones, lo que permitirá analizarlas, describir su comportamiento y hacer proyecciones. Asimismo, se destaca el estudio de las funciones exponenciales y logarítmicas y sus aplicaciones en distintas situaciones de la vida cotidiana.

§

eio',o,"ca det docente

.

Día a día en elaula (págs. 314-359)

ffisantillana

En una segunda parte de la unidad se desarrollan temas relacionados con las transformaciones en el plano.

Digital

Secuencia digital: Funciones

O

ESQUEI\IA O

Para empezar Breve introducción al tema ¿Qué aprenderé?

Aprendizajes y habilidades que logrará el estudiante

Funciones y transformac¡ones geométr¡cas

O Compruebo lo que

sé

Actividad interactiva: Saberes previos sobre funciones

Funciones por tramos y de segundo grado Función valor absoluto Función máximo entero

@

Función cuadrática

Transformaciones geométricas

Funciones especiales Función exponencial

Composición de traslaciones

Función logarÍtmica

Composición de rotaciones

Funciones trigonométricas

O

I

Represento una función por tramos

Video: Procedimiento para representar una función

Composición de simetrÍas Composición de homotecias

por tramos

O Analizo y represento funciones máximo entero Video: Procedimiento para representar funciones

Sistemas de mecanismos

máximo entero

articulados

I Ficha de orientación didáctica:

Estrategia para resolver problemas:

Situación

Elaborar una

didáctica de

tabla y un gráfico

Brousseau

Represento funciones cuadráticas y hallo su rango Video: Procedimiento para representar funciones

cuadráticas Razonamiento matemático:

Comparación y suficiencia de datos

Uso de software matemático:

Geogebra

Actividades integradas,

deBly prueba tipo PISA

Permiten desarrollar habilidades y destrezas matemáticas útiles para afrontar situaciones de contexto real.

activiclacles ñ S.,^

Tpvfn

eqenl:r

ñ *^,^ I ihrn rta a¡tir¡irtnriac

N N @ -j

Síntesis, recursos en la web y autoevaluación

Solucionario

I

Aplicamos lo aprendido Actividad interactiva: Aplicación de los temas desarrollados en una situación cotidiana

de las actividades

O Compruebo mis conocimientos

O

Texto escolar v Libro rle

Una situación a resolver

Actividad interactiva: Situación significativa sobre funciones

pi a

ó

o E l

Actividad interactiva: Evaluación interactiva

p

Para linalizar

o c

Actividad interactiva: Metacognición

@

:M Librotrledia r

ci

Texto

escolar x Libro de actividades

€ c

c § 'F

c q

o

PROGRAMACIÓN Desempeños

Competencias Resuelve problemas de

.

regularidad, equivalencia y cambio

.

\

Conocimientos

Expresa el significado de la dilatación y contracción de una función cuadrática al variar sus coeficientes, y el crecimiento de la función exponencial; sus desplazamientos horizontales y verticales. Combina y adapta estrategias heurÍsticas, recursos, métodos gráf icos o procedimientos para hallar términos desconocidos de una sucesión creciente o decreciente, solucionar un sistema de ecuaciones lineales, una ecuación cuadrática y exponencial asÍ como determinar los parámetros de la funclón cuadrática, analizar la gráfica y la variación de los mismos cuando los coeficientes varían.

.

.

Funciones por tramos: Función valor absoluto y máximo entero

o Funciones

especiales

.

y condiciones a expresiones

algebraicas.

Comunica su comprensión sobre las relaciones al gebraicas.

Funciones

exponencial y logarítmica

.

Traduce datos

Función

cuadrática

Funciones

trigonométricas

Usa estrategias y

procedim¡entos para encontrar reglas generales.

;

Resuelve problemas de forma,

movimiento N N @ j

ci ¿ )q f E

o d o

) p

¡

=o C

@

C

=c @ @

y localización

. Expresa el significado de las propiedades de los cuerpos de revolución o compuestos, asÍ como la conservación y los cambios en las medidas de las figura luego de una combinación de transformaciones geométricas; usando lenguaje geométrico, diversas representaciones o construcciones con regla y compás. Clasifica las formas geométricas por sus caracterÍsticas y propiedades comunes o distintivas.

Tiemoo estimado: 4 semanas

rotaciones, simetrÍas y

homotecias o Sistemas de

mecanismos articulados

o Reconoce

. . . . . o o

. ¡

las funciones cuadráticas a partir de sus descripciones verbales, sus tablas, sus gráficas o sus representaciones simból icas. Describe propiedades de la función inversa. lnterpreta y representa gráficamente la función exponencial y la función logarÍtmica.

Determina el dominio y rango de una función, así como su perlodo. Evalúa y relaciona tablas y gráficos de la función valor absoluto y máximo entero. Determina el conjunto de números que cumplen las condiciones de las funciones valor absoluto y máximo entero. Determina la inversa de una función y evalúa sl dos funciones son inversas. Establece diferencias entre crecimiento lineal y crecimiento exponencial. Elabora modelos matemáticos de situaciones reales empleando funciones exponenciales y logarítmicas.

¡ . .

Modela objetos con formas geométricas y sus transformaciones.

o

Examina propuestas de modelos para reproducir movimientos de acuerdo con un propósito contextualizado.

Comunica su

o Describe caracteristicas de transformaciones geométricas sucesivas

relaciones de cambio y equivalencia.

geométricas: Composición de traslaciones,

. Selecciona un modelo referido a funciones cuadráticas al plantear o resolver un problema. . Reconoce la pertinencia de un modelo referido a funciones cuadráticas al resolver un problema. . Examina modelos referldos a funciones trigonométricas que expresen una situación de cambio periódico. ¡ Evalúa si los datos y condiciones que estableció ayudaron a resolver el problema. . Describe y representa la función valor absoluto y la función máximo entero.

Generaliza, utilizando el razonamiento inductivo, una regla para determinar las coordenadas de los vértices de Ias funciones cuadráticas de la forma f(x) = a(x - p)2 + q, Va + 0. Demuestra analÍticamente el crecimiento y periodicidad de una función. Describe las características de una función inyectiva, sobreyectiva y biyectiva. Justifica que el valor de cada razón trigonométrica de un ángulo agudo (y la amplitud respectiva) es independiente de la unidad de longitud fija.

Argumenta afirmaciones sobre

o Transformaciones

Desempeños prec¡sados

Capacidades

.

comprensión sobre las formas y relaciones geométricas. Usa estrateg¡as

y procedimientos para orientarse en el espacio.

Argumenta afirmaciones sobre relaciones geométricas

Genera nuevas relaciones y datos basados en expresiones analíticas para reproducir movimientos rectos, circulares y parabólicos. de formas bidimensionales empleando

terminologías matemáticas.

. . ¡

Realiza proyecciones y composición de transformaciones de traslación, rotación, reflexión y homotecia al resolver problemas relacionados a sistemas dinámicos y mosaicos, con recursos gráficos y otros. Diseña y ejecuta un plan de múltiples etapas orientadas a la investigación o resolución de problemas.

Explica las razones de sus procesos, respuestas y estrategias aplicadas en la resolución de problemas que demandan las transformaciones en el plano. o Justifica sus conjeturas o las refuta basándose en argumentaciones que expliciten puntos de vista opuestos e incluyan conceptos, relaciones y propiedades matemáticas.

TEXTO ESCOLAR

Funciones I

Texto escolar

(pág

73)

t

Libro de actividades (págs. 304-305)

Capacidades y desempeños precisados o Traduce

cantidades

¡ .

Usa estrategias y procedimientos

. ¡

Funciones

Selecciona un modelo referido a funciones cuadráticas al plantear o resolver un problema. (Situación principal del Texto escolar) Examina modelos referidos a funciones trigonométricas que expresen una situación de cambio periódico. (Situación principal del Libro de Actividades)

Un agricultor tiene un cerco de 120 metros de largo y necesita cercar tres lados de un terreno rectangular. Calcula la longitud y el ancho del terreno que permitan abarcar Ia mayor superficie.

Determina el punto de intersección entre dos rectas o los puntos de inlersección de una recta con los ejes coordenados. (1-3) Calcula el valor numérico de una función. (4-12) Determina el dominio de una función. (13-18)

Sugerencias didácticas Para iniciar

I

Centre la atención de los estudiantes en la situación planteada y converse con ellos sobre la necesidad de cercar los terrenos. Pida que den algunos motivos por los cuales es necesaria esta acción, en este caso, terrenos agrícolas. Luego, indique que por equipos sugieran las medidas que puede .120 tener el terreno. Enfatice que tengan en cuenta que el cerco tiene metros y debe servir para cercar tres lados del terreno. Sugiera que utilicen un gráfico de referencia para que visualicen mejor la situación. Propicie un plenario para que expongan sus propuestas y resalte que el cálculo de la longitud y el ancho del terreno pretenden que abarque la mayor superficie. Pida que establezcan conclusiones. Haga notar cómo la medida de una de las magnitudes va variando en función de la otra.

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I

"ffi t

lndique que den lectura a la sección "Aplica la ciencia". Pregunte: ¿El osciloscopio es un dispositivo de visualización gráfica? (SÍ). ¿Muestra señales vailables en el tiempo? (Sí). Mencione que es un dispositivo que se presenta en forma analógica y digital y enfatice su importancia ya que permite visualizar fenómenos transitorios asÍ como formas de ondas en circuitos eléctricos y electrónicos. N/otÍvelos a desarrollar la sección "Repasamos lo que sabemos". Asegúrese que conocen los temas de: punto de intersección de dos rectas, puntos de intersección de una recta con los ejes de coordenadas, valor numérico de una función y determinar el dominio de una función. Temas que necesitarán aplicar para el proceso de solución, Oriente si es necesario.

Para consolidar

I

Proponga: La altura h, en metros, alcanzada por un cohete está relacionada con el tiempo t en segundos, trascurrido desde su lanzamiento por la función h(t) = 39¡ -5¡, f > 0. Halla la altura máxima alcanzada por el cohete. (320 m).

¡t

-rl-Ül

Para desarrollar

I

,á-

!r

ffi".¿

ffi lr. i#,1

.|!-

.\

1*

PlT:ii-

APRENDEREMOS 4...

. . . . .

lnterpretar algebraica y 8ráf¡camente la funciÓn valor absoluto, máximo entero y cuadráticas. Def¡nir y describir una función inyectiva, sobreyectiva y biyectiva.

lnterpretar la relación entre una función y su inversa. Anal¡zar funciones exponenciales y logarítmlcas. Resolver problemas que demanden la aplicaciÓn de modelos exponenciales

y logaritmicos.

0xti?{,""I sol¡dar¡dad ¿De qué manera has part¡cipado en la

agricultura para que el Perú sea grande y fuerte?

. . .

Evaluar las caracterist¡cas y propiedades de las funciones seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante. Resolver s¡tuaciones problemáticas que requieren la aplicac¡Ón de transformaciones de traslación, rotación, simetría y homotec¡a.

valorar la matemática como herram¡enta principal en la apl¡caciÓn de la tecnología moderna.

I,NIDAD

8

FLIIC ones

13

LIBRO DE ACTIVIDADES

Funciones

I

APLICA LA CIENCIA APRENDEREMOS A,. Sistema de visualización del osciloscopio

lnterpretar algebraicamente y gráficamente la func¡ón valor absolutg máximo entero y

El osciloscopio es un equipo que slrve para visualizar formas de onda de tensión de un circuito. Las formas de onda se representan en dos ejes: el eje de abscisas representa tiempo (escala horizontal) y el eje de ordenadas representa tensión (escala verticaL). Las escalas de ambos ejes son modificables por el usuario. La pantalla está diüdida en cuadrículas y lo que el usuario elige es el valor de cada una de esas cuadrículas.

cuadráticas. Definir y describir una función inyectiva, sobreyectiva y biyectiva. lnterpretar a relaciÓn entre una funciÓn y su inversa. Analizar funcrones exponenciales y logarítmicas.

w'

Los osciloscopios son de gran utilidad para Ios técnicos que reparan equipos electrónicos, como los televisores o los radios. Támbién es aplicado en el área de la medicina puesto que su funcionamiento se aplica en los equipos de electrocardiograma Ielectrocardiógrafo) para detectar las señales del ritmo cardiaco.

. .

secante y cosecante.

xrnqlrü d

.

I

¡lg

¿.Qué gráficas de funciones trigonométricas puede obseryarse en

neeasaruros Lo euE sABEMos

Haz el

too

el osciloscopio? Investiga sobre los profesionales que

utilizan los osciloscopios.

N N

valorar a matemática como herramienta principal en la aplicación de la tecnología moderna.

m transductor que permite convertir una magnitud física en señal eléctrica.

.

Resolver situaciones problemáticas que requieren la aplicación de transformaciones de traslaclón. rotación, simetría y l¡omotecia.

I

de fenómenos, gracias a

.

Evaluar las características y propiedades de las

funciones seno, cosen0, tangente, cotangente,

.

El osciloscopio puede medir un gran número

.

Resolver problemas que dernanden la aplicaciÓn de modelos exponenciales y logarítmicos.

Reúnete en equipo y elabora con tus compañeros un proyecto de ciencias en donde puedas utilizar el osciloscopio.

ffi

I

8ráfico de 4 : x + y = 3; lr: 2¡ - y =

ó,

y responde:

¡l

¿Cuáles son los puntos de intersección de los ejes coordenados? (3:0). (0; 3)

A

¿Cuáles son los puntos de intersección de 12con los ejes coordenados? (3;0), 6)

@

arn qué punto se intersecta

11

con

(o;

üy

12? Q..0\

_i

@

Evalúaf(ñ=f+u-4. x=0 -4 @ -r= 1 -l

@

¿ :9

[.r=3 ll

§)x=1/2-1t14

@

.i !

SJ

l

o o

:

Así obtendrás más información sobre el funcionamiento y el manejo de los osciloscopios.

& @

c @ @

q

Filetype: pdf + osciloscopio digital

p s =o

304

É

p € I

p e I

'it

'

I

=

-3/4

-:79116

Determina el dom¡nio de cada función.

lB./k)

=arnzlR

¡Ai@)=2Í-Ax+s

tR

lD,fco=;33rn-{:} @/crl =16-z¡ l--; :l

lgfa= "

Gl¡=-44

@ x =-1/2 -t9t4 a¡ x=a5 :76l2sfa x

Digita en algún buscador [Edge, Firefox, Chrome, etc.) lo siquiente:

o

c § .F

euscamos en Ia web

x=-2 -a

fr*r*,sl @"/m=Y n-ror UNIDAD

8

FUNC ONES

305

TEXTO ESCOLAR

Funciones por tramos lTexto

escolar (pá9.

74) ¡

Libro de actividades (págs. 306"308)

Capacidades y desempeños precisados . Describe y representa la función valor absoluto y la función máximo Comunica entero. (1-17)

o Usa estrategias y procedimrentos

o

.

Evalúa y relaciona tablas y gráficos de la función valor absoluto y máximo entero. (18-20)

Funciones por tramos Cuando nos trasladamos de un iugar a otro, podemos avanzar o retroceder. En cualquiera de los casos recorremos distancias y esta se refleja en la función valor absoiuto. Mientras que cuando pagamos un servicio, este puede estar supeditado a condiciones y ello se refleia en la función máximo entero.

Determina el conjunto de números que cumplen las condiciones de las funciones valor absoluto y miiximo entero. (5{; 18-20)

Función valor absoluto Está derinida eor

Diseña y ejecuta un plan de múltiples etapas orientadas a la investigación o resolución de problemas. (14;21-22)

EJEMPLO

. .

1

2

.

Para desarrollar

§!

-

+

-l

y R(/) = to,

+-r

+,r

- I con los ejes )

= 0.

-l +,

=

-5

Calculamos el punto de intersección con el eje Y. Hacemos -r = 0. y = l0 + 4l 1 ) = 3 > Punto de intersección con el eje Y (0; 3)

- +

Hallamos el punto mínimo de la función. Hacemos

+ ¡ = -4. Ordenada:

Luego, el punto mínimo es

l"r

+ 4l = 0.

y = lx + 4l -1

+ ) = 0- 1+

y = -1

(-4t -l).

Función máximo entero La

función máximo entero es una función con dominio en n < x < n + 1, n c7.R(f) -2. = [¡n - n

lR,

€

/(¡)

cuya regla de correspondencia es

EJEMPLO 2 X

Analiza y grafica la función/(x) = [r + ll Consideramos solo algunos puntos de la función y graficamos en el margen.

.

-3

eol)

*2si-2<x+ I <-1 +-3 <x<-2

I

Para el tema de función máximo entero, presente la siguiente situación: Un supermercado entrega a cada cliente un cupón para un sorteo por cada

/("r) =

[-r

+ 1] =

S/ 50 de compras. ¿Cuántos cupones recibieron unos clientes cuyas cuentas fueron 110; 180; 200; 105,69 y 217?Pida que elaboren una tabla y un gráfico.

&

rR

1

Abscisa: x + 4 = 0

lntroduzca al tema función valor absoluto con la siguiente situación: E/ terminal de una agencia de transporte se encuentra en el kilómetro 290 de una carretera; desde allí, se comunica con dos ómnibus que transitan por la misma carretera, uno de ellos se encuentra en el kilómetro 103 y el otro en el kilómetro 879 ¿A qué distancia del terminal se encuentra cada ómnibus? ¿Cómo se puede determinar la distancia que existe entre el terminal y un ómnibus ubicado en el kilómetro x? (La distancia de un ómnibus al terminal se determina a partir del kilómetro del ómnibus en la carretera menos 290. Distancia del ómnibus 1 al terminal: 1103 - 2901 = 187; distancia del ómnibus 2 al terminal: 1879 - 2901 = 589 y distancia de un ómnibus a cualquier kilómetro lx

j , 3, donde D(/) =

lt + 4l = 1 > x + 4 = 1 =0 = -3 o x + 4 = Puntos de intersección con el eje X: (-3; 0) y (-5; 0)

Realice una lluvia de ideas acerca de lo que entienden por "Funciones por tramos". Anote las ¡deas en la pizarra y luego dé lectura al texto introductorio.

x

_i:l

Hallamos los puntos de intersección con el eje X, hacemos lx + 4l

Para iniciar

§

{

Calcula los puntos de intersección de la función/(x) = lx + 4l cartesianos y halla las coordenadas de su punto mínimo.

Sugerencias didácticas

I

-E

:f(x)

-l si-1 <.r+ 1< 0+-2<¡<-l 0si 0<.x+1< 1+-1 <¡<0 lsi 1<¡+1< 2+ 0<¡<1 2si 2<x+ 1< 3+ l<x<2

Págs. 506-508

En los ejemplos 3 y 4, mencione que una escalera nos da idea de la gráfica de la función máximo entero. Proponga que formen equipos para desarrollar las actividades y luego compartan sus procesos en la pizarra.

fl

orsennou-nrus

cAPACIDADES

usa estrategias y procedimientos 1-8

§

I

€

Halla los puntos de intersección de cada función con los ejes cartesianos y halla su punto mínimo.

Para consolidar

I §!

Consolide el aprendizaje con las actividades tus capacidades",

I

O/(r)=

a la 8 de la sección "Desarrolla

Organice a los estudiantes y pida que elaboren dos situaciones: una relacionada con la función valor absoluto y otra con la función máximo entero,

tx*21-t

il 0,v{¡:t)).t2:_l)

lx+71-2 ts,f(¡)= (..1:t)) (l:o)

.(-l;-ll \ il-2 El,ftrr;lx@ f(xl= h +21 _,| ( l;0)y(3;0),(l;-2) (-t;0) y (-3; 0), ( 2; -l ) 14

Analiza y grafica las siguientes funciones. Luego, halla su dominio y rango.

ts"(x)= [¡-2n

B,rG)=[x+2f

L R;z R:

@

/(r)= [.t+3]

= =

R:z

§l fQ)=lx-4nRtz

s o

o

LIBRO DE ACTIVIDADES

I

FUNCIONES POR TRAMOS

FUNCIONES POR TRAI\¡OS

B

Función máx¡mo entero

Funciones por tramos

función valor absoluto se define por:/0r) = lxl =

Donde: D(/) = lR y Rú) = I0;

USA ESTRATEGIAS Y PROCEDIMIENTOS

v

sea/8)=-l3r-ól+3.

.

Halla los puntos de intersecc¡ón con los ejes cartesianos y las coordenadas de su máximo.

Intersección: (l ; 0), (3;0)

Máximo: (2:2)

La

EJEMPLO

+-t

-2si-2<x <-1

xsi¡>0 { -xsi¡<0

f(x)

-l =0 -l2x+31

=

En

general:/x)

.

(-1;0) y (-2;0)

r

Para hallar el punto de intersección con el eje Y, establecemos

y = l2(O)+ 3l - I

Abscisa: l2t + 3l = 0

+y

=3- I

+

Y

',f(x)

+

Zr + 3 = 0

+

x = -312

x

0

b)

(-3t2t -l) -l

i

¡-3=3v¡-3=-3

:9

x=6v x=O

a o

Ia

Puntos: (0; 0), (ó; 0)

o

.

a

.

= L

a c -9 'p c @

1,

n

eZY

RV) = Z

-

I n.

/(r)=[x-l]=

-2si-2<x- I <-l -l si-1 <x- I <0 Osi 0<x-1
¿Para qué valores

de¡, /(.r) =

-2

+-1 <¡<0 + 0<¡< I + l<x<2 + 2=x<3 + 3<x<4

[r- lI es igual a-5?

["r

-

1n

=

-5 para los valores

-r del

intervalo [-4;

-3[

EJEMPLO 4

-

3l

-

x

-l

0

f(x)

I

0

6

7

-2 -3

0

I

2

3

.

. 4

(3;3)

.

2

x

0

2

4

6

7

8@)

0

2

z

0

-l

Observamos que se ha formado un cuadrado, cuya diagonal es d = 6 u.

-4 g(r)

N l

-2 -2

I

-3)

ó §

a

E

€

!

€

é

§

s

o

o

Calculamos el área del cuadrado:

-t

=6;6

=fiu,

Entonces, el área formada por la intersección de las funciones es

l8

USA ESTRATEGIAS

Analiza y grafica la tunción g(,r)

3y

Elaboramos la tabla de valores de cada una de las funciones y las graficamos en un mismo plano cartesiano.

e=drd

=

n<x
/(r) = [x- 1n =-5 si -5 <x- I < -4 + -4 s x < -3

g(¡)=-lx-31 +¡.

2F-31=ó lr-31 =3

5X

Consideramos solo algunos puntos de la función y graficamos en el margen '

/(x) =

Calcula el rírea determinada por la intersección de las funciones/("r) = tr

_i

4

-,-a

-1

EJEMPLO 2

F-31 +l.r-31 =3+3

é

Y

t=l2x+ 3l -l +y=Q- 1+)=-l El punto mínimo es (-312; -l).

l.r-31-3=-[-31 +3

pc\ = n

=2

Ordenada:

@

-

= 0.

Pa¡a hallar el punto mínimo de la función establecemos l2x + 3l = O.

N N

2

4

1si 1<x<2 2si 2sx <3

a) Analiza y grafica la función/(r) = [r

1

Puntos de intersección con el eje X:

.

-lsi-'1 <,<0 0s¡ 0
=

EJEMPLO 3

»*z= I +¡=-l l2x+3=-l +x=-2 I

I

Punto de intersección con el eje Y: (0; 2).

Hallamos los puntos de ¡ntersección de ambas funciones:

lx\

Pa¡a hallar los puntos de intersección con el eje X, establecemos y = 0.

lZr+31

.

=

1

Halla los puntos de intersección de la función/(r) =lZx + 3l -1 con los ejes cartesianos y determina las coordenadas de su punto mínimo.

.

función máximo entero es una funciÓn con dominio en lR, cuya reSla de correspondencia es Está def¡nida por

/-r) = [rl.

Función valor absoluto La

u2

= [-2r + l].

Y PROCEDIMIENTOS

Aplicamos la definición para establecer las condiciones de g(.r) según los valoresdex: g(x) = [-2r+ ln =, o n=-2)t+l
.-n * l. " =:4 n- I =- LX
Ordenamos: g{x¡

= l-Lr-+ ln =,

o

7.- =E

siflx)=lu-sl=-2, qué intervalo pertenece "r? ¿a

te0l2'.21

Establecemos las condiciones de g(x) y hallamos algunos valores para realizar el gráfico de la función. El valor máximo entero u = 2 se relacionará con los valores x que cumPlan

-2, si l< x < 312

-l,si 1/2<x< g(.r) =

[-2r + l] =

I

0,si0<-r< l/2

-1.

l,si-1/2<¡<0 2,si -1

<x

<-

-?-r0

Il2

2

con:

-2.".L{

-i.*'t

-1 <x<-1/2 UNIDAD

30ó

'

I

Func¡ones

307

LIBRO DE ACTIVIDADES

Función cuadrática I

ITexto escotar(pág

fl

orsannorrnrus

Escribe V si

lf

es

cApACtDADES

Comun¡ca:1-17 Usaestrategiasyprocedim¡entos:18"20

¡Librodeactividades

(págs. 309-311)

verdadero o F si es falso.

Capacidades y desempeños prec¡sados . Reconoce las funciones cuadráticas a partir de sus

Argumentaafirmac¡ones:21-22

El dominio de la función valor absoluto

Interpreta el gráfico. Luego, halla el dominio y el rango de la función.

es el conjunto de los números reales.

,!!

Comunica

Usa estrategias y procedimientos

@ El rango de la función valor absoluto es el conjunto de los números enteros.

@ El dominio

I

de la función máximo entero

es el conjunto de los números reales.

@ El rango

I

-3 -2 -l

de la función máximo entero

H

es el conjunto de los números naturales_

2

Argumenta s¡tuaciones

3x

-l

Su

está formado por dos semirrectas.

-2si

l+

-2<,r+l<

3sx< 2<.r<

lsi -l s.t+l<0+

Halla el resultado. G' t-st

otJSt

9)

r-9,4r

G) rs,er

lD

[3,6n

@

@[+]

E

I

lsi2s.r+

I

@[.2,]

I

Resuelve.

@ Halla los puntos de intersección con 6. I 5l =5 9. r2.

rs

l-9.41 = 9,4 {3.6tr

=3

[]l=:

7. l\/51=2,24 r0.

i.

Ir.e] =

ro

[-!]l= [ )]l

r

li.

t5.9t = 5.9

r

[-r.rl=

rz ll¿lil [ 5]l

¡

= 3,5

13,51

r. t-/il r= 3.3

r4.

I

2

=¿

los ejes cartesianos y el punto mínimo o máximo de la función /(x) = lx - 2l - 5. Hallarnos los puntos de intcrsecci(in eon los

.t=0+l.r

Representa gráficamente. Luego, halla el dominio y rango de cada función.

t

(D,f(¡)=¡-t¡l l)(l)= R R{l)=|:+zl

llr

ll =5+r=7v.r=

I

[-os pLrltos son: (7:0) y ( i:0) Ilrll¡r¡os cl punto rnínirno: l-r 2l = 0

r.ll

@"/(r)=lrl +

Emplea procedimientos y estrateg¡as, recursos gráficos y otros al resolver problemas relacionados con func¡ones cuadráticas. (6-10)

.

Generaliza, utilizando el razonamiento inductivo, una regla para determinar las coordenadas de los vértices de las funciones cuadráticas de la forma f(x) = a(x- p¡z + q, Va + 0. (11)

ll 5 >r-

ies:

5 >P,,,,,,,,.=rJ:

I

=2 5r

Y 7)

I ./(¡) §

l9

I

B(x)

¡¡1.¡¡ =

tR

R(./)=l--:ll

5

^ (/,1 =-=1313 /1=

!

|)

§ ljll-

2f

f)r(x)=x2-2.

Presente la definición y características de la función cuadrática y destaque que la parábola de vértice V (m; n) tiene en la recta x = m su eje de simetría; además, el signo del coeficiente de xy el valor de n permitirán determinar el rango de la función. Proponga enunciados de funciones y pida que con este único dato, determinen su vértice, el rango y la ecuación del eje de simetrÍa.

Utilice el software libre Desmos para poder graf¡car funciones que respondan a cada uno de los tres casos de parábolas a fin de analizat sus características. Realice en una misma pantalla distintas gráficas de funciones para cada caso. Para las parábolas del tipo f (x) = sf , grafÍquelas con valores para"a" entre -3 y 3. Destaque la abertura del gráfico según el valor absoluto de " a". Para las parábolas del tipo f = a* + c, grafÍquelas con valores posit¡vos o negativos en " a" y en "c". Destaque que el valor de "c" determina la ubicación del vértice sobre el eie y en el punto (0; c). En el ejemplo 6, pregunte: ¿Cuál de /os dos tipos de funciones cuadráticas mencionados modela la situación? (af + Q.

Antes de analizar los ejemplos 7 y 8, mencione que si partimos de la gráfica d^e la parábola f(\ = sf ,las gráficas de las parábolas del tipo + bx son iguaies en forma, pero su eje de simetría y su véitice se f (x) = encuentran desplazados.

sf

E

t3

.l

(-2:

I

é

x

-'7

-¡2 Qrg)=f¡2

(i

Crallcamos las lilnciones: (-2i

Organice a los estudiantes en equipos y asigne a cada uno las siguientes funciones cuadráticas para que las grafiquen en un papelógrafo: a) f(x) = b) (x) = c) f (x) =

Para desarrollar +.t

@ Calcula el área determinada por la intersección de las funciones/(.r) = lx + 2l - I y g@) = -lx + 2l + l

\

gerencias didácticas

¡a2 d)r(x)=-2*

| g.r<2

<3+

D(.f) = Ri R(f \ =Z

¡E [-1,1n

@[-2,]

.

Para iniciar

2 I

/1.ü=[.r+ln= 0si0s.r+ I < I +-l <.r<0 I si I s,r+ | <2+0<.r< I

r3,sr

lD l-vliTl

[re]

descripciones verbales, sus tablas, sus gráficas o sus representaciones simbólicas. (1-5)

I

@ El gráfico de la función valor absoluro

308

75)

FUNCIONES POR IRAMOS

I

a o

En el ejemplo 9, pregunte: ¿Les parece familiar esta situación?Esla situación de la página inicial del texto escolar.

Para consolidar

I

Afiance el aprendizaje con las actividades 1 a la 8 de la sección "Desanolla tus caoacidades".

N N @

:

^ ¿

:9

o l

E

o o f

po

€ c L

o c § '€

c ao @

LIBRO DE ACTIVIDADE§

TEXTO ESCOLAR

¡

FUNCIÓN CUADRATICA

Función cuadrát¡ca f"

af

¿l

+ bx + c, donde a, b y c son Se llama función cuadrática a toda función de la forma/[r) = valores reales y a + O. Si a = 1, b = c - O, entonces se obtiene y =

,

TEN EN CUENTA

Func¡ón cuadrática

EJEMPLO

Función cuadrática D(f) = lR y el rango

Lafuncióndelaformaflr\=af+bx+c,sedenominafuncióncuadrática,dondea,áyc€lR

Estudia la funciónf(x) =

y además ¿ + 0. Su gráfica es una curva llamada parábola. En ella se observa el vértice

. . .

.

v

déoende clel vertice

v(-fi:-tt' ¡*q*)y

s i=o.entonces

/(x)=et'+cy Eje de simetría: Sl

('=

0,

V(0;c).

r

et eie de simetna cuya ecuacrón es -r =

.E

,'2a4a vtL'.-!l

x

f(¡)

1

0

6

0

1

2

este ele oasa por el vértice,

\II¡Y \tt

Y .g

entonces

.ft¡l=al+bx

Ele0eSlmetrla x=-;

-fi.

y es paralela al eje de las ordenadas.

=0

Vértice

B

X

2

3

0

6

tr

El ,rn.ión cuadrática

Las empresas, grandes, medianas o pequeñas, realizan mov¡m¡entos económicos en transacciones comerciales, en los que se busca obtener ganancias. Estas están en funciÓn del número de trabaladores, por ejempio, entre otras variables. En el anál¡sis del r¡tmo de las ganancias se utilizan Ias funciones cuadráticas.

E

I I e -¡ verticel ¡9 x ._i§ --9**. Áu*. i= istt\ I / \ P

.

\'./rmrr ,

Y

i,s¡ya

El dominio de la función es

lR

O6fica se muestra en el margen.

7

y es continua en todo su dominio.

Lafunciónespar:/(¡)=/(-x).Porello,sugráficaessimétricarespectoalejeY El vértice se encuentra en el eje de ordenadas (eje Y). En este eje,,r = 0; luego, y = I = 0; por lo tanto, el vértice es el punto (0; 0), que es su mínimo. Construimos una tabla con valores que están alrededor del vértice:

-3 2I0 94101

J

f(x)

Func¡ón cuadrát¡ca del t¡po.f (.r) =

isll\

l.

2

t

(0;0)

TEN EN CUENTA

af y Í(xl = a.f + c

Lasramasdelasparábolasy=alseabrenhaciaarribasia>0yhaciaabajosia<0;yserán tanto más abiertas cuanto menor sea el valor absoluto de ¿.

§

,l

'lJlr,t

r)

Las parábolas del tipo

;

. .

N N @ j

,rÜu

lR

a>O

\

I

I

o o o 5

.9

ó p

! I sc o L s o -a

c

@

ffi

su

y=ai+c

y=a*+c

a>O

a>O

c>0

c<0

2:0)

X

-2 tplr nrded0r

a) ¿Cuántos animales murieron el día que se detectó el mal? p¡y¡ ¡ =Q +f (0) = 02 + 169 = 169'l N"dc po os muertos

¡ = -2

orsnnnouATUS cAeACIDADES

Usa estrategias y procedimientos 1-8

q

e

flt =,i,fi \,?, , , t E lÍ{)oj {v! f.-6.r+ El/irr=2i+Lr O /ix)= -3;

E4'?olf;'Ir;1,o 6/jx¿¡,-f -,r+

o

t

.4:41

¡

Calcula el vértice y la ecuación del eje de simetría de las siguientes funciones:

y el rango de las siguientes funciones:

I

O

ttíi

tt*)=i -t

(0:-3);-t=0

§

( ll2: 3/4):.r=-ll2 I

Funciones

b) ¿Cuántos pollos murieron hasta el día 4? Día 1:/(1) = -12 + 169 = 168 Día2:f (2)=-22 + 169 = 165 Día4:f(4) = 42 + 169 = 153 Día3:f(3) = -32 + 169 = lñ Total de pollos muertos: 169 + 168 + 165 + 160 + 153 = 815

c)

t

@l1xt=3i +Lx UNIOAD

€

200 169

Andrés tiene una granja. Cía pollos para el sustento de su familia. Cierto día un sector de su günja fue atacado por una epidemia. A partir del instant€ en que se detectó el mal, empezaron a morir los pollos diariamente, según la siguiente función f(t) = -t2 + 169, donde ¡ son los días y/(l) es la mortalidad diaria.

Observamos que la ecuación del eje de simetría es igual a la primera

Halla las coordenadas del vértice, el dominio

7

véÍtice es v(0; c).

lj(

h--b - 4 - a,, r--!' ¡+u, =a')+!!!tta)=0o v( ,,-2o__2\|)__Ll^_-4a_-40_"-

(l/2:-ll2).R,1-t12:+,7 (l:4).R, |

ai,y

EJEMPLO ó

:Q f E

Y

x

v R(,f) = [-2;+ o1

Pá€s. 609-515

¿

+ c es el mismo que el de la parábola y =

v=al

Sea g(x) = ¡2 + 4x + 4. Calcula el vértice y la ecuación del eje de simetría. . Hallamos las coordenadas del vértice utilizando las fórmulas. Ver margen

.

ai

Observamos el gráfico, y hallamos el dominio y el rango:

D(D =

a*, c

Y

b2 t4t2 ¡ v(r:-r) k=-ia=-i;=-2

componente del vértice:

ci

parábola ly =

Elaboramos una tabla de valores en el margen.

I il t\ll -2

ty

+ c se obtienen trasladando verticalmente la paábola y =

Cuanto mayor es la , más cerradas están las ramas de la parábola.

unidadeshacraarribasic>0ycunidadeshaciaabajosic<0.Porlotanto,elejedela

Grafica la función f(x) = )¡2 - 4r. Luego, halla el vértice, el dominio y el rango . Hallamos las coordenadas del vértice utilizando las fórmulas:

, -h (4) h=-*=-'ñ;=

) = al

x

-4

4

o 15

Y

X 50

-50

¿Cuánto tiempo duró la epidemia desde el día que se detectó?

Para/(t)

=O; -? + 169=0 +t=13

1S t rr,lilt,i.; ktl,rilr,lIrrr (l|

lr.rll(r

r r1,a')


(lll| i r¡r'iilntii illlit filttttlt¡

Emprende creativamente. r,tl litr frt{1i¡

((iestiona recursos para realizar su sueño). UNIDAD

8

FUnC

ones

309

LIBRO DE ACTIVIDADES

.

FUNCIÓN CUADRATICA

Función cuadrática del x

-1

-1/2

0

1o

1/2

0

La

2

t

6

tipoír)

=

a*

+ bx

función cuadrática del tipo/h) = ¿f + br tiene como vértice al punto V(h, k), donde n =

=

-f.

fl

-t

de la paráboia es una recta paralela al ele y cuya ecuación-Lt

et ele Oe simetrÍa

Y

, = -*,

Escribe V si

Grafica la funciónf(x) = X

.

-¡|

*f /, =-zll-1r) -\" 2"1*, = -z(-\''? -!"* 2^ ' -l-) t6l '

,-*=r(, *)'*r(1,{) -4

verdadero o F si es falso.

>

@ El rango de una función cuadrática

l

@ Cuanto mayor

E E

es

se

es lal, más abierta están

las ramas de la parábola.

Elaboramos una tabla de valores en el margen.

@ El eje de simetría de una parábola

Observamos el gráfico, y hallamos el dominio y el rango:

D(/) = lR y R(/)

la recta de ecuación x =

= l-@; l/81

EJEMPLO 8

funciónf;)

es

f(r) bf[x)

= 2t2 -

b)x=516

c)x=-1

tr

En siete días. el fbco consume S/ ó.20. 5,13 = 0,025¡ + 2 = I25 horas r = n.' horas diarias rr.' de dias y = 5 )5 horas en promedio. 125 =r.25

=9.925

'168+2=6,2

+x

+

@ Determina la ecuación del eje de simetría,

las

coordenadas del vértice y el rango de cada función .'r(')

s1x!=-|x'z-2

7.

@

Sea la

función g(x) =

eje de simetría. Y

-l

f',:

,=

-l

X

Eie:.r=|:

+ 4x. Determina las coordenadas del vértice y la ecuación del

Eje:.r=-l

(2:4): x =2 3;

+o[

¡

el ancho y 120

-

2t el largo del terreno. La función/(x) = x(l10

representa el área del terreno en términos de Desarrollamos:

f(r) =

¡1129

-

2*¡ = l21x

En la función cuad¡ática tenemos: a --

Lr2 = -2x2

-2, b =

,éni.", ,

=

D(s) = lR; R(g) = ]-m; -21

El ancho del teneno mide 30 metros y el largo, l2O

El largo del ter¡eno mide 60 m y el ancho 30 m.

-

funciones/(r) =

f - 4x y g(x) = -f ¡ 6¡

(ir¡ficanros las frrncio¡es Hrl lamos el vertice de f

+ l2Ox

; vértice

V( l:t))

ffi=

rO

B

9

u>0 (a=2)

€

$allamos el vefice de g:

§

I

c

s

@

o

l-ú;

8l

@ Si el arco parabólico fue modelado mediante la ecuación/(x) = - 0O5l + 1,5"x, ¿a qué altura sobre

ío está el auto? (Sitúa el origen de coordenadas en el lugar señalado con 0).

el nivel del

)

@

V(3;9)

CJ

s(x)

ll

¿

m

:Q l E

30

o

o o

9,6 m

u'l=,..o, f2(-l)u.' 4(-l)/

a

\

es un máximo. puesto

2(3O) = 60 metros.

y R(s) = [0: +ú[

Ejc: -r = 2: vértice V(2; ti) y R(¡) =

es un míninro. puesto que a

¡ |; +-¡

N

ñ

ó I

y n1¡¡ =

2m

L..\ I ( 4, ( 4)-l=¡t. )r /lr)

el valor máximo de la

=

*

las

y calcula sus rangos.

-2x)

120 y c = 0.

Para halla¡ la mayor superficie, necesitamos saber parábola, es decir, el valor de x en su

.

-

¡.

@ Grafica

"(+'-+)

Para la función /r:

Resuelve. Un agricultor tiene un cerco de I 20 metros de largo y necesita cercar solo tres lados de un terreno rectangular (ver gráfico del margen). Calcula el largo y el ancho del tereno que permitan abarcar la mayor superficie. Sean

l:

vértice

Para la funciírn g:

EJEMPLO 9

. . .

x Para la función

¡ = -1. D(/) = lR; R(/) = [

.

310

con/(-r) = Q,Qf5r + 2, donde x representa el número de horas que el foco está encendido. ¿Cuál es el consumo del foco si se queda encendido en un clóset por 7 días? ¿Cuántas horas al día, en promedio, permaneció encendido un foco si luego de 25 días su consumo fue de S/ 5,13?

x

Las coordenadas del vértice es (-1; 3) y la ecuación del eje de simetría es

-Í-zt

a)x=ll4

6.

Observamos que la ecuación del eje de simetría es igual a la primera componente del vértice: ¡ =

x

=5r-3f

c)f b) =

g

soles que ocasiona tener encendido

Determinamos las coordenadas del vé¡tice utilizando las fórmulas:

. a)

11

L_ b _ l4\ _ | ..y r.K=-4cr=r7,\, __(4f _1>v( r:31¿l n=-2a=-zt\)=-r

COMUNICA

Determina el eje de s¡metría usando la fórmula:

Argumenta afrmaciones:

x=24'7 = 168 + l(168)

E

-3. ¿a

@f(i=zl -t

-Zi -

6¡. Determina las coordenadas del vértice y la = ecuación del eje de simetría.

.

ó¡0

M

Grafica las siguientes funciones. Luego, halla su dominio y rango. Sea la

Usa estrategias y procedimientos:

un foco se obtiene

detemina por a y por y en el vértice.

r",,o0",,.,,o,,

1'5

E¡ El costo en

igual al conjunto de los números reales.

Hallamos las coordenadas del vértice completando cuadrados:

. .

es

El vértice de una parábola es un mínimo

@ El dominio de una función cuadrática

+ x. Luego, halla el dominio y rango.

8

-3

Comunica:

sia<0yunmáximosia>0.

EJEMPLO 7

-1

orsennou-aruscAPAcIDADES

V

lf

-2

¡

FUNCIÓN CUADRÁTICA

a<0(rz=-1) R(/) = f-2¡

R(s)=l *;

+rl 9l

y

que

3

5

l; 12)

x

p De la figura:x= 30 +

2=

Sir= 15+)=-0,05

_¡ c

15 m

o

(15)2+ 1,5(15)= 11,25

G

<

Hallamos la altura sob¡e el nivel del río: 9,6 + 11,25 +2=22,85 m UNIDAD

8

FunCiOneS

311

a c -q c

o

LIBRO DE ACT¡VIDADES

Funci ón suadrática del tipo x axz+ bx + c ¡Texto escolar (pág

75)

I

Libro de actividades (págs 312-313)

Capacidades y desempeños precisados Modela objetos

o

. Comunica

Usa estrategias y proced¡mientos

.

Reconoce la pertinencia de un modelo referido a funciones cuadráticas al resolver un problema. (7; 9)

¡ FUNC|óN cuaonÁrrca \101 ./i.r ó ({\) 3

2 I 0

3 0

2 1

Función cuadrática del tipoflx) = a* + bx + c Lafuncióncuadráticadeltipofr"x)=af+br+c,donde¿,áyc€lR;r¡+Otienecomovértice al puntov(h, lO,donde

Reconoce las funciones cuadráticas a partir de sus descripciones verbales, sus tablas, sus gráficas o sus representaciones simbólicas. (1-5)

Grafica/(.r)

.

y

+3

Sugerencias didácticas 3

-1 -1

s@=f

-u

. .

=

i -»

+ 3. Luego, halla et dominio y el rango.

Hallamos las coordenadas del vértice completando cuadrados: y=

(1-8; 6; 8)

Presente la función cuadrática del tipo f(x) = ¿f + bx + c e indique que, tanto en la ecuación de su e1e de simetría como las coordenadas de su vértice, se pueden determinar con los valores de a, by c.

ejedesimetríadelaparábolaesunarecta

EJEMPLO 1O

Y

Emplea procedimientos y estrategias, recursos gráficos y ofos al resolver problemas relacionados con funciones cuadráticas.

Para iniciar

n=-fivu=-!lllt.El r = -+. 2A

paralela al eje Y cuya ecuac¡ón es

=i-

!

i

(i -

-2

2-r) + 3

= (x

+

y=

1i - 2t + l) + 2

- 1)2+ V(l; 2)

>

Eiede simeüiar-r=

1

Elaboramos una tabla de valores en el margen. Observamos el gráfico, y hallamos el dominio y el rango:

Df)=nyRf)=[2;+o[ .

La gráfica de la función/(x) = i s@) =

- » + 3 se obtiene I - 2x,tres unidades hacia a¡riba.

al traslada¡ la gráfica de

rdentidad

EJEMPLO 11

Para desarrollar

t

para completar cuadrados, lndague sobre cómo lo hacen. Si lo considera necesario, proponga algunos ejercicios adicionales para que practiquen. Por ejemplo, É - 4x + 1, É + 3x - 2. Haga notar que usamos el procedimiento de completar cuadrados para escribir la función de segundo grado de la forma (y- k) = a(x- h)2, donde hy kson las coordenadas del vértice. Enfatice que el eje de simetrÍa de la parábola es una recta paralela al e1e Y, que en este caso pasa por x = 1. Pida que verifiquen en la gráfica la tabla de valores. Analice junto con ellos el dominio y el rango. Haga notar que partiendo de la gráfica de la parábola 08) = x2 - 2x,la gráfica de la parábola f(x) = + 2x + 3, es igual en forma y eje de simetría, pero su vértice se desplaza.

f

I N N @ j

d ¿

:9

,

!o o o f

p

sc o c < a c

s c @

o

Sandra y su familia ven en la televisión "Danzas del PenÍ", que tiene un tiempo de duración de 30 minutos diariamente, y está modelado según la función

En el ejemplo 10, asegúrese que los estudiantes recuerdan el procedimiento

En el elemplo 11, muestre cómo se interpreta la situación formando primero un sistema de ecuaciones de dos incógnitas, de donde obtenemos los valores de ay b. Revise junto con ellos el resto del proceso de solución y pregunte: ¿Qué paso es necesario para determinar las coordenadas del vértice? (Expresar la f unción en su forma general (y - k) = a(x - h)2). Es importante que los estudiantes relacionen el vértice con la máxima audiencia. Aproveche la situación planteada para conversar con los estudiantes sobre las danzas folclóricas que practican en su colegio o si alguno de ellos realiza esta actividad de forma particular. Enfatice que es una forma de afirmar su identidad como peruanos y que tenemos la suerte de tener diversos bailes,

/("r)

a los 20 minutos de comenzar el programa se alcanza el índice de audiencia l0 y que el programa se inicia con un índice de audiencia 6, ¿a los cuántos

minutos alcanza la máxima audiencia? ¿Cuál es la cantidad de audiencia a los 15 minutos de empezar el programa?

t

Consolide el aprendizaje de esta sesión indicando que utilicen el programa Desmos y realicen la actividad sugerida en la sección "Uso de herramientas tecnolóqicas".

.

TECNoLÓGICAS

Interpretamos el problema y formamos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:

Accede a:

,f(0) = 6

USO DE HERRAMIE

https://www.desmos. com/calculator Y ver¡flca las gráflcas de los ejemplos 10 y '11.

*

a(0)2 + b(O) + c = 6

f (20) = 19 + ,f

(30¡ = 6

-

1120)2 +

+

c= 6

b(20\ + 6 = l0

+

r,r0)2 + á(30) + 6 = 0 +

Formamtrs la función cuadrárica: /("r) --

.

Completamos cuadrados: y

DeO y@obtenemos:

a=-)V

b

=f(4

=

=

400 a

T.

-) I

+x+ e

-* e -

25x) + 6

§ M¿x

rd

O

aJo

encrd e- '2.) T -

Hallamos la cantidad de audiencia a los l5 minutos:

/(15)=+(l5F+ 15+6= 12+/(15)= l2 (Se valora a sí mismo)

-6 ...@

I

,-+=-+(--+)'-u(?,3)

\

Afirma su identidad.

+ 20b = 4 ...@

9O0¿ + 30á =

. .

t2:4t

muchos de ellos conocidos y valorados a nivel internacional.

Para consolidar

ai

+ D.r + c ; 0 < "r < 30, ¿ * 0, donde a, á y c son constantes. Además, es el índice de audiencia evaluado en una escala de 0 a 13. Sabiendo que

¡1x¡ =

¿trr 1ir coleBro Draclrc¡n aigilll¡ (l¡nza folclr-rr ici¡

¡

p e


§ o

LIBRO DE ACTIVIDADES

Funciones especiales I

ff

oesannormrus

Segla,f($ = 2f o Fsi es falso.

- lZr

cApActDADES

Comun¡ca:

+ 13. Escribe V si

es

verdadero

1-5

Usa estrateSias y procedimientos: ói

ta intersecciónde la paníbolacon el eje Yes @ El glífico de la parábola se abre hacia

13.

Y

I

es

-5).

V(3;

'

v

-5. +@[.

por la expresión algebraica.r =

Argumenta situaciones

El rango de la función es [-5i

\

4x + 2. Luego, halla las coordenadas del vértice y la ecuación del eje de simetría y el rango.

itr

4-2

5X

[

2:

+zl

f,)

@ Luis y Aldo

se retan a una carera. Luis le da una ventaja de I 8 segundos a Aldo. [¿s ecuaciones de la

distancia recorrida por cada uno son d = 20(t - 18) yd= *rpectivamente. ¿A qué distancia

(#)1,

del lugar de partida y en qué tiempo alcanza uno al otro? Elabora la gráfica. llcsolverttrs cl sislcrrra tilrltrtlo prtr lts ecuaciorrcs rle cnda urro ¡ clitbo¡¡ntos lr gtil'ica:

,'=

t) =g6t 96t

-

+

lo(r

-

d

l8)

(72;1080)

t'128 t728 --O

t000

tt=24sv t1=12s E

9 €

Calculamr¡s las distancias:

¿t=zo(tt -

Luis alcmza a o

(24; I20)

d.=ZO(t"-18) d, = 20(71

§

l8)

,lt=20Qq- l8)= l20rn 18) a

=

¡1¡¡¡g

Aldo

a

I

,

bs 24 rgundos a

120

m

de la partida. Luego, AIdo alcanza a Luis a los 72 segundos. a I 080 m del punto de pafida.

|

(1{;

6-13)

Determina el período de una func¡ón.

(7{;

1a-15)

Descr¡be las características de una función inyectiva, sobreyectiva y biyectiva. (1 6)

Demuestra analíticamente el crecim¡ento y periodicidad de una función. (17)

11

-1

Para desarrollar

(S0 Abonados Ingrcso (S/) 95 60 000 95 . 60 000 ()0 (X)0 6(X) I r()5 + I xrl) ()(X) r)r)() I 95 + I 95+2 60(X}() 600 I (9.5+l)(«)0006()(i.l)

I

En el eiemplo 12, muestre cómo aplicando la definición se comprueba que la func¡ón es biyectiva, luego complemente con la actividad sugerida al final. Proceda de ¡gual forma en el ejemplo 13 y proponga la actividad suger¡da al final para que pongan en práctica sus aprendiza¡es.

I

En el ejemplo 14, haga mención a la información de la sección

"lmportante". Haga notar que al descartar que no es inyectiva, deja de ser biyectiva también. En cambio, en el ejemplo 15, pregunte: ¿Qué pasa si se traza una recta paralela al eje X? (La corta en un solo punto). Reitere nuevamente que al comprobar que es inyectiva y sobreyectiva se cumple que es biyectiva.

Ta¡ifa

ril,rfx)

(till

I

,.¡:-

\l,lJl(llr0tJltt.

)

+t

r,rxlt

los ingrcsos. lir (ornprñíir tleber¿i rrrr¡rentrr ¡ir tirrif¡ cn Si 1.50.

I

Funciones

En el marco teór¡co de la función periódica, proponga distintas formas para determinar el periodo sobre un mismo gráfico. Luego, pida que respondan a la sección "Comunica".

Para consolidar

I

313

N N

@

-j

ci

i I

o

E o

Complemente las observaciones en el ejemplo 17, preguntando: ¿En dónde corta al eje Y? (y = 1). ¿En dónde corta al eje X? (En todos los x1 = 5 + 102 y =7 + lOziz-2. ¿Escont¡nua?(sl,entodosu recorrido). ¿T¡ene máx¡mos relat¡vos? ¿Cuáles son?(Sí,2 + 102) ¿Y mfn¡mos relativos? (Sí, en 6 + l0z). Mencione el texto de la sección "Ten en cuenta". Aproveche el contexto de la situación para conversar con los estudiantes sobre la importancia de tener una v¡da saludable, haciendo deporte, comiendo saludablemente pero no descuidando los chequeos que como

*

nlarir¡iz¡r

UNIDAD

t

\)

l;r lunciri¡r irgrcsocs: /(.r) - (lX)rr + -l(l(l{)r+5 7(X)(XX) lrfnr ll',ll,,l¡1,'-l:r.,,'L,l(l(rlir\l.l:(l(l \ürll!ü // - ]: ].rfnil)r = i.) l(llr(l I -I (nllrr{i 7(,{rtf,(Jr . i 7{t¡ 7i{t A= I.rrc-rr¡. \1(1.5:5 701 7-50). I)¡rir

Haga referencia a la sección "Ten en cuenta" antes de presentar el marco teórico de las funciones especiales. Luego, en la pizarra escriba los siguientes con¡untos: M = { 1 ; 3; 5; 7}; N = l2; 4; 6; 10); P = l-2; -1 : 0; 1 ; 2l; O = {0; 3}; g = {1; 2; 3; a}y S = {-'l;-1; 0}y defina las funciones: f M --+ N/(x) = 2x, g:P --- rel="nofollow"> Q/g(x)= - l; n: R --+ S/h(x) = x- 3. Pida que determinen cuál de ellas sirve como ejemplo para cada clase de función. (f(x) inyectiva, E(x) sobreyectiva y h(x) biyectiva).

f

Una compañía de teléfonos, que tiene 60 000 abonados y cobra S/ 95 mensuales, ordena un estudio de mercado para decidir el aumento que aplicará en sus ta¡ifas. Los resultados indican que la empresa perderá 600 abonados por cada nuevo sol que aumente la tarifa. ¿Cuál deberá ser el aumento p¿ua maximiz¿u el ingreso de dinero? Completa la tabla y responde.

95+J

[-uis

r)

¿

Eje:x=2

RÍrngo: R(./) =

I

- ()t + tt = r'+9=(r l)r+/(1¡= rr l, E I)lrrir (: r + O = ¿¡(.r + l)l C(,nlo((): -l)a (+,1 -1tt +tt-1 r=(r +f)l >ra(r) =rl+¿1r+¿1 I'rrr /¡: .r I = r¡( t .lrl)l C(nr)o(0:0)(=r+ l=9¿/,-1 >r/= l!"() r' l= 8/9(r .l/2)l .r(\)= 8.rl/()+¡i\/l I'lrra ¡: r +.i = «(r + Itl)l C()ll)o ( lili (,) e +.1 = r/ + = r+.l =l(\ + l/2¡l- > il\)= l\r+ l.r ()/.1 Conro(.1:0) l: I +

,tr

. 14) "- 2-t-' ^ . i-4t1 +4.1.2 " 4.1 k = -2 +Y(2; -7)

.

sus característ¡cas.

Para iniciar

l'ltr¡/:r +(.)=¿/(.\ l)l

?-

Hallamos el vértice:

Libro de actividades (págs, 3-14-316)

Sugerencias didácticas (l;-9)

@ Grafica/(.r) =

I

iF

Resuelve.

á

r(xl

lt \2',

@ La recta del eje de simetía está dada

. .

F

@ El vértice de la parábola

t)

Usa estrateg¡as y proced¡mientos

,tl

(1

0.

abajo, ya que a <

I-l) \ 4.ó/

Tladuce datos y cond¡ciones: 7; 9

@ Determina la función cuadrática para cada

Y

76)

Capacidades y desempeños prec¡sados . Determ¡na el dominio y rango de una función. (1-5) Comunica . ldentif¡ca funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas según

parábola de la figura.

lf

ft

8

Texto escolar (pá9

¡

FUNCIÓN CUADRATICA

o

p6 _o

co d at)

6 c

§ .F c

a o

TEXTO ESCOLAR

LIBRO DE ACTIVIDADES

Funciones especiales Drrrante las conrpetencras de at etisnro observamos clue a r:ada parlicrpante lo correspondc Ln carri Srn ernDarg.l, durantc e recorr do llgunos r¿ll carnb ánclose dc carril con la f nalidad de ganar d stancia Al firalrzar, a cacla p¿rrtic paf te le corresponderá Lrn [lnlco lL.rgar de llegacla.

Func¡ón ¡nyectiva, sobreyectiva y biyectiva

TEN EN CUENTA Una func¡ón/k) es periódica, de periodo si /E) =/{,t + z.I) para todo r en el dominio deifk).

Una

Anal¡za el gráfico y determina su periodo.

ii

Df

tal que/(¿)

),

=flá)

función¡x)

LJLrvrrLv

. .

,

Verificamos que/(x) es inyectiva: /(a)

elementos del rango le corresponde una y sola una preimagen.

entonces a = á.

Sobreyect¡va, si todo elemento del rango son imágenes de, al menos, una preimagen.

--

f(b)

-

3a

que/x)

=r(+)

=

{f)

-

5 = 3b

-5+

2:i(s)

un,

=

#,

-s = r

Cuando a la gráfica de una función, una recta paralela al eje x la corta en dos puntos, la función no es inyectiva.

Función inversa

+

Dada la func¡ón b¡yect¡va/k):A

Luego, el periodo es 12.

fl

IMPORTANTE

I la tunción inversa de g(x) = -4x + 3 I CAcuU . Corno todu función lineal es biyectiva, entonces g(x) tiene inversa. |

4

-

B,

es- decu,a cada (a, b)

se llama función ¡nversa

deír)

,"ÜF

birmos las letras x

W I

Págs.514-319 N N

fl

) d

@

i

:9 !

f

o o a

'-c a

I

s-t

ftz)=3 \=2

X

a

o

2

p € I

I

,r,=r,,7

-

Por definición: Si 3

Por lo tanto,/1 x) = 2

l,

-

I

)

un x

€ D(/) tal que/(¡) = 3

no es sobreyectiva 2-?'.

f:

lR

+

lR. no es sobreyectiva.

EJEMPLo 14

I - I no es biyectiva. función/(x) = * - t. que al trazar una recta 7 paralela al eje X, esta recta corta a la

Graficamos en el margen la

Observamos gráfica en dos puntos (2; 3) y

(-2;3) ) /(¡) = I - I no es biyectiva.

X

/tr)

no es rnyeclva

EJEMPLo 1s

/:

[0; l]

+

[0;

l].

. Si¿,á€t0; ll,tal que f(a)=f(b)+lT-7 =,/r-F | - a2 = I - b2 * a2 = b2 + a = b > /lr)estnyect¡va. . Si y € R(/) = [0;l] + 0 < y < l, existe un ¡ = y't - I e ¡O,t¡,

ñ a

p

l

que¡(y't -

y2J =

t

- (/t -l)-

§

periódica.T=4.

b.

deñnida de lR en lR, no es sobreyectiva.

e RU) no existe

0 Comnrueba cueÍ.r) = I -

tal Es

(a) =

es b¡yect¡va si es inyectiva y sobreyect¡va a la vez.

Sea ta función/(:) =^/T= definida en Verifica que la función es biyectiva.

Y .Q

2 ,

) 1

E "/(¡)=sr-¿ . , ,@ f(x)=6x+7 /,,,,='ri

Por lo tanto, la función /(-r)

No es peritidica o

16

.

. .

3

2

inversas,

.f(x)=-4r;,3, ,,'

entonces ¿ = á.

aeD(fl,lf,lquef

Verifica que la función/(.r) =

1x¡=3-t

Identilica la función periódica y determina el periodo.

/

)

Y

+ t--3-Y --

Comprueba que las siguientes ftrnclones üneales son biyectivas. Luego, halla sus funciones

,.,O

[

usa esúateSias y procedim¡entosr 'l-8

Y

f(a) =/(á),

EJEMPLo 13

Luego,

oesnnnouaruscApActDADEs

€, f(*)=-2r*,1,,

<

a c -9

pory,y=!-

s¡

| ,-f=3 -*=-r..r(tR

'esg-r1x¡=3-¡

0,f(¡)=1-,r,,., -, E),f{x)=rr}?,,,,,,

o I= o L

|

le corresponde (b,a) enf-1 l.xl.

r:-^^lr^r^. ..t, Despejamosxde la función lineal dada: y=-4x+3 ^-

| ' | . tnt"r.u

función/k)

Verifica que/(-r) = 2

ETEMPLo

Toda función l¡neal def¡n¡da en R es biyectiva, por lo tantq siempre tiene inversa.

una

)

de/(r) a la func¡ón

f(31=fl3+2.121

h): B

que

función/(.r) es sobreyectiva si á € Rf), entonces, existe un

IMPORTANTE

=2,

f(3) =fl3 + t'12l,

e Df),tal

tunción/k) es inyectiva

Una

EJEMPLo 12

a=b

En el gráfico, obseruamos

queÍ(3) =

y solo s¡ ¿ , b

Una

I

Luego, como/(x) es inyectiva y sobreyectiva a la vez,/(-r) es biyectiva.

f (27) = 2: es deü,

ESpEcTALEs

I I Comprueba que la función lineal/(-r) = 2x - 3 es inyectiva. | . Por definición: Si ¿, á € D(/) tal que f(a) =f(b) + 2a - 3 =2b -3 I 2a=2b+ a=b. I au"*o, f(x) =2x'3es inyectiva. I 97 V"rin." qu" la función linealflx) = -]¡ a 2 es inyectiva.

5 es biyectiva.

Verificamos que/(x) es sobreyectiva: Si y e R(fl, existe tar

0

-

es:

hyectiva, si a ¡os

J

= 3¡

funciónÍr)

,r*.roNEs

Función inyectiva, sobreyectiva y b¡yect¡va

TEN EN CUENTA Una

es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva a la vez.

r Verifica que la función lineal/(x)

FUNCIONES ESPECIALES

E

/(.r) es sobreyectiva si ¿ € R(/), entonces existe un c € D(f),fal quefla) = b.

I

l,t) llI li ititt

es inyectiva si y solo si a, á e

í.Í)

Func¡ón per¡ód¡ca

E

.

314

-\)

=[=

=

y >/(r)es sobreyectrva. g

es biyectiva. §

LIBRO DE ACTIVIDADES

FUNCIONES ESPECIALES

¡

.

Func¡ón per¡ódica Una

función/es periód¡ca, de per¡odo

T,

si

Esto significa que:

f

Lr) =

f tx + 1 = f

t

f6) = Í8

x + 2f) = ...

=

+ z. T) para

Í E. + z \,

todo,

en el dominio

de/

fl

COMUNICA

v a) La func¡ón valor

I

Quiere dec¡r que, conoc¡do el valor de una func¡ón periód¡ca en un ¡ntervalo de periodo se puede construir el resto de la gráfica trasladándola hacia la derecha y hacia la ¡zquterda por todo el dominio de la fünción. por ejemplo:

oesnnnou-nruscAPAcIDADES

Escribe V si es verdadero o F si

¿Cuáles son funciones periÓdicas?

con z un valor entero.

FUNCIONES ESPECIALES

O

/(¡)

@

/(.r)

es

función seno. c) La función máximo

B /(x) @

Í(4's],

t2

14

I

M tFl

es biyectiva si y solo es inyectiva.

M tFl

es lR.

¿Cuáles de las siguientes gráficas define funciones inyectivas?

Observa que la parte resaltada se repite en cada interualo de longitud 2. El per¡odo esT = 2. Además, se verifica que:/(4,5) =/(4, 5 + 1 . 2) = f @,5 + Z. 2\ = il4,S + z. 2)

a)

T=2

a

oY

W

AA / \,/\. /.\A

x

6. 7. 8. 9.

TEN EN CUENTA

Seandyádosvalores de un intervalo I que pertenece al D(/). una

8 I012 T

ó p e

. .

g @

@

Observamos que hay una parte de la gráfica que se repite en cada intervalo de longitud 10. Entonces, la función es periódica, de periodo T = 10.

La función es decreciente en [2 + l0z; 6 + 102] U [8 + 102; l0 + l0z] y es creciente en ll0z1'2+ 10zl U [6 + l0z:8+ l0z);zeZ.

x

Cona en un punto, lafunción/es inyecliva.

Valora su cuerpo y asume un estilo de vida activo y saludable. (Aplica sus conocimientos y el uso de la tecnología para mejorar su calidad de vida).

P()r lo tanto.

ll.

.

I-

.. =

f]

.

Cumplc /i.r) = .!.

es biyectiva.

@ Determina el crecimiento y la periodicidad

de la

siguiente función: N N @

lDs(,r)=..f+6 @

ConroD(/)=[0i+,,1 CornoD(rt )=

¡r*l=*:_

yR(/)=

_i

j

CJ

i

rq 16: +,1. e

10:1*l y ll (q )= 16;+rl.

¡

=101

+zl

y

tl - \l12). lt ( r) no es sobreyccliva. ¡¡=[0:+.[ ) R(¡)= l.li]:+,1.

) = ll): +

Conxrpl

cnloDces ¡ (.r) es ro s()breyectiva.

315

31ó

Obseruamos que hay una parte de la gráfica que se repite en un intervalo de longitud 6, entonces T = ó. La función es decreciente en [3 + 6¿; 6 + 6zl, La función es creciente en [6¡; 3 + 6¡], ¡

€ Z.

aEZ.

!

l

E

o o o

9 6

p

I

(t)lt,tlCes ( i I I c\ \r,hf(.\Cr li\t

I2. ClrrnoD( l.t

ll.

FunC ones

/

r*

É¡tlrll(c. / r r, (. .,)hrL)CLti\il.

Averigua sollrr: las razones qLre una persona delle ser sornetida a Lln electrocardiograma.

8

* l/l

cntonces .\

q1

UNIDAD

/ cs sobreycctiva: Sl

Corta en dos puntos. la función i no es inyectiva.

10.

{+}

.,¡i/,i ltttt=ttht+ ñ= tl ü (rr 3)(l +2á)=tá 3¡1¡ *,", ,t 6h-.1' f¡tt >7d=11¡ >,t=lt

Corta en un punto, la función lr es inyectiva.

@/(.r)=f+o lD irtxl=f

¡,o- {-+}- --

#t

/ cs inyectiva: Si /(a) = /lá¡. c'ntonccs a = á

Cona en dos puntos, la función g no es inyectiva.

Indica cuáIes de las siguientes funciones son sobreyectivas de [0; +o[ en [6; +o[.

función/(.r) es: Crec¡ente,sia<á. entonces/(a) /(á)

=

Comprueba que/(x) es biyectiva.

T¡azamos una recta a cada uno de los gráficos de las funciones. si:

Vive saludablemente

Camila es deportista y mensualmente se hace un chequeo al corazón. La función que modela el resultado del electrocardiograma es el gráfico que se muestra. Determina el crecimiento y periodicidad de la función.

9

@ sea/(.r) I

Las funciones a) y b) son periódicas; sus periodos son 2 y 5.

EJEMPLO 17

Resuelve.

oY

T=5

\ 2

X

una función periódica. Si es así, indica su

b)

Obserumos <¡ue hay una parte de [a gnífica que re repite en un interualo de longitud 2, entonces T = 2.

15. Obrcruamos que hay una pafe de la gráfica que re repite en un interyalo de longitud 4, enfonces T = 4.

I EJEMPLO 1ó Determina si estas gráficas corresponden periodo.

I

[4.

OY

@Y

Y

¡D

/(x) es periódica, de periodo T, si f (x)=f (x+ z'T),V xeD(f ),zeZ.

@ El rango de la función periódica

8.5 10

tr

¡E

es sobreyectiva si todo elemento

del rango son imágenes de al menos una preimagen.

entero b) La función seno es periódica

8

Halla el periodo de las siguientes funciones.

falso.

es inyectiva si a los elementos del

rango les corresponde dos preimágenes.

absoluto Dl La

'l =2

0

Comunica:1-5 Usáestrategiasyprocedim¡entos:6-15 Argumentaafrmac¡ones:1ó-17

3

g 3

o

l

sE o

L

a c

§ c o @

L¡BRO DE ACTIVIDADES

Situación didáctica de Brousseau I

Libro de actividades (pá9.3.17)

SITUACIÓN D¡DÁCNCA DE BROUSSEAU

Capacidades y desempeños precisados Reconoce las funciones cuadráticas a partir de sus descripciones verbales, sus tablas, sus gráficas o sus representaciones simbólicas. (1 )

Comunica Usa estrategias y procedimientos

Argumenta afirmaciones

. .

Aumento en la televisión por cable Actualmente, la compañía de televisión por cable Plus cuenta con 20 000 abonados y cobra S/ 35 mensuales por el servicio. Los

Emplea procedimientos y esfateg¡as, recursos gráficos y okos al resolver problemas relacionados con funciones cuadráticas. (2-3)

resultados indican que la empresa perdería 4O0 abonados por cada sol que se aumente a la tarifa mensual. Se sabe que si la ta¡ifa es (35 +.r) soles, la cantidad de abonados sería (20 000 - 400x) y el ingreso mensual de la empresa sería/(r) = (35 + .r)(20 000 - 400x). ¿Cuál deberá ser el aumento de la tarifa mensual para maximizar el ingreso de dinero? ¿Cuál sería el máximo ingreso mensual?

Justifica sus conjeturas o las refuta basándose en argumentaciones que expliciten puntos de vista opuestos e incluyan conceptos, relaciones y propiedades matemáticas. (4-5)

Sugerencias didácticas

Nos preguntamos previamente ¿Conoces alguna empresa dedir:ada a brindar seruicio de cable? ¿Sabes cuúl es su tarifo mensual?

Para iniciar

I

Acceda al enlace http://www. Fase

minedu. gob.pe/Del nteres/

pdf/documentos-secundariamatematica-vii. pdf (págs. 68-71 ) para conocer el desanollo de las fases de una situación didáctica de Brousseau. En correspondencia con dichas fases, las actividades que se muesfan en esta ficha se distribuyen asÍ: (Ver cuadro)

Número de

Acción

1

Formulación

2

Validación

3

lnstitucionalización

O

actividad

De analizar el incremento de la tarifa que «rbra una etnpresa de televisión por cable, teniendo en cuenta que mientras más se incremente, menos clientes se tendrán. Piden calculr el incremento adecuado para obtener el nráximo ingreso.

@ Anota el plan que seguirás para resolver la situación planteada.

4yS

Evaluación

I N N @ j

I

d i rQ

a-

o o o

abonados por cada sol que aumente, ¿cuál serla el máximo ingreso mensual?

) -q

5 E

o

L

a c

§ C

a @

s/ I

En la actividad 2, motívelos para que elaboren su propio plan de solución, diseñen sus estrateg¡as e identifiquen los recursos que utilizarán para llevarlo a cabo. Hágales recordar que si este plan no funciona pueden cambiarlo, en pleno proceso, ya que la intención es llegar a la meta.

r- 4rxr'r' t5r*f §l

f

§tt1+7{r){¡oo+r-

.lr){){

.r

,;'1

*z::s,r,

[rl vclrticc iic la pauitrola permitir;i resolvcr la situaciírrr problcrrriitier.

t52 00t)

las coordenadas de los vértices de los siguientes modelos. ¿Qué forma tienen las representaciones gráficas? ¿Encuentras alguna relación con la función de la situación problemática? l,rr¡btilicrs. [Jl prinrcr nxxickr

@ Observa

f(x)=-2(x+3

f(x\

3

3)2+ 2

"f(¡) =

ó

V(-3;4) 2

§

t

p

€

Consolide el aprendizaje de esta sesión comentando sobre otras aplicaciones prácticas de las parábolas. Por ejemplo, mencione que la trayectoria de un proyectil es una parábola si se considera que el movimiento está en un plano y se deprecia la resistencia del aire. Pida que investiguen acerca de otras aolicaciones.

9 a o

3)

-4

§

E

V(l:

-6

d

Proponga que realicen en pares la primera parte de la actividad 4. Luego, proponga un plenario para dar respuesta al resto de preguntas de la actividad 4 y la actividad 5,

V(3: 2)

2

Para consolidar

!

Conrplctrr crra(lrir(l()s y oblc¡rer la liirnrrla r¡iiinrri¿r de lir parírbollr. >¡ = . -l()()rr+(l)()()r +7(X)(IX)

4

En la actividad 3, luego que menc¡onen que son de forma parabólica, recálqueles que es la forma gráfica de las funciones cuadráticas. Pida que fundamenten la relación que encuentran con la función de la situación

problemática.

I

Plirrr:

/{.i)-135 + \)(10(X)0 -100t)

5C0

Procure que en la pregunta 1 de la fase de "Acción" se familiaricen con Ia situación. Parta de que reconozcan los datos e identifiquen las variables.

¿Qué elemento

de la gráfica te permitirá resolver la situación problemática?

La compañía cuenta con 30 m0 abonados y cobra S/ 3ó mensuales por el servicio. Si p¡erde

Para desarrollar

I

¿De qué trata la situación problemática? ¿Qué se pide calcular?

@ Forma parejas y verifiquen

a qué modelo corresponde nuestra gráfica. Compara tus respuestas con las de tus compañeros. ¿Son similares? Si no lo son, ¿a qué crees que se deba esto? Identifica el error y corrígelo.

@ Luego

de realiza¡ las actividades, compara los procedimientos y verifica las respuestas. ¿A qué conclusiones puedes llegar? ¿CuáI será la solución del problema?

UNIDAO

8

FUNC ONES

317

LIBRO DE ACTIVIDADES

Función inversa ¡Texto escolar (pág

76)

t

Libro de actividades (págs, 318-319)

.

FUNCIONES ESPECIALES

Capacidades y desempeños precisados Comunica

o

Usa estrategias

.

y procedimientos Argumenta af irmaciones

.

Función ¡nversa

Describe propiedades de la función inversa. (1-5; 9-12)

Dada la func¡ón biyectiva/:A

Determina la inversa de una función y evalúa si dos funciones son ¡nversas. (16; 6-9; 11-13)

EJEMPLO 18

.

.f

I

"{

_T .r+

Presente una tabla de valores para x = -1', 0', 1 y 2, defina la función y = 3x + 1. Pida que completen la tabla y realicen la gráfica conespondiente con una recta de color azul.

I

I

2

x

3

s(¡)

5 3 -t -2-10

Por ello, g(.r) =

f

sí es la función inversa =

f

1

2

de/.

(x\

Yerifica si las funciones/(.r) = 3.r + 5 y gfxl

Analiza si la función:/(-r) = 3¡ +

x

. .

=

t'

son inversas.

l;

,al-*r l]; es biyectiva. de f y f-t

-7

Si es afirmativo

.

Sabemos que toda función lineal es biyectiva. Despejamos el valor de

)=3r+ t

*'=#*

¡

e intercambiamos las letras x por y:

y="ár

*f'

G)=+

»,,,=l-tr,+)*n, = [-]; ",=l-tr'r]*nr= l-l;+l;

/2

. Graficamos/y/-len

ftiene su correspond¡ente

r]

el margen.

ARGUMENTA AFIRMACIONES

v

EJEMPLO

Analiza la función:

h(xl=2Í-1u+zo. ¿En qué dominio t¡ene inversa?¿Cuál es su

.

Calcula la función inversa para g(x) =

.

+ol

n-G¡=.,[4*3

Zy g: [ 0; + o [ + [-2; + m I

N N @

_)

ci

+ a2 -2 = b2 -2 + a = b g es sobreyectiva: Si y € R (il = Í-2; a o1 + y > -2, existe un , = ly *2 E [0; + ó], tal que s(1§Tl ) = (r/liZ)' - z = y.

.

i - 2*

*

=,,lyi| *

Luego, la función inversa de f7

pi

j

B E

Despejamos el valor de x e intercambiamos las letras x por y:

y=

318

I -

Verificamos que la función es biyectiva: g es inyectiva: e @) = S (b)

inversa? lustifica tu respuesta.

D(/r) = l3:

Forme equipos para desarrollar las actividades 6 a la 14.

Pida que verifiquen que la inversa de la función f(x) = 2x + 3 está definida por la ecuación f -1(i &-3\12

J

EJEMPLO 19

Para consolidar

I

-2 -53

0

. Los valores de x y y de la primera tabla están invertidos en la segunda tabla. . Graficamos ambas funciones: /(.r) de color rojo y g(:) de color azul. . Al trazar la recta ) = ¡ y doblar [a figura por dicha recta, las dos gráficas

fi

1/2

En el e.iemplo 20, pida que tapen el proceso de solución y oriéntelos para que ellos lo realicen. En primer lugar, deben verificar si la función es biyectiva, es decir inyectiva y sobreyectiva alavez. Luego, que lo hayan hecho, pida que despejen x e intercambien las letras x pot y. Refuerce con la actividad sugerida.

A.

,"=(.r+l)12 I

Simbólicamente: g(x)

lndique los pasos para obtener la expresión de la función inversa en el ejemplo anterior; para ello, indique que primero se despeja x En y = 3x + 1, x = (y - 1 )i3. Luego, se intercambian las letras x \ f: | = (x - 1 )i3. Utilice el ejemplo 18, para que comprueben los pasos que llevaron a cabo en el ejemplo dado para iniciar. Refuerce con la actividad sugerida.

actividadeslala5.

+

,on inversas

halla su inversa, dominio, rango y hazla gráfica

l-1 siempre y cuando i sea biyectiva; por ejemplo, las funciones lineales de la forma (x) = mx + b con m * 0. Analice junto con los estudiantes el proceso para calcular su dominio y rango. Relacione la gráfica a partir de la gráfica que hicieron en la actividad inicial. Proponga que den respuesta a la actividad de la sección "Argumenta afirmaciones". Luego, que efectúen las

I

f(x)

.

Pida que tracen una tercera recta, la gráfica de la función )z = x (función identidad). Haga notar que en ambos casos, cada valor de xtiene un valor distinto para y no hay puntos distintos con la misma ordenada. La recta roja conesponde a la función inversa (f-1) de la función f: y = 3v * 1.

En el ejemplo 19, enfatice que toda función

B

coinciden, es decir, son simétricas con respecto a la bisectriz trazada.

Planteen que inviertan los valores de ambas filas y los representen y unan en una gráfica. Pregunte: ¿Qué obtienen?(Otra recta). lndique que la pinten de color rojo.

Para desarrollar

I

- | y g1r1 = f

1

-a

a la funciÓn/r:

_

Y=Lt-1

\,:

de/

Elaboramos la tabla de valores de cada función:

I

Para iniciar

I

se llama función inversa

B,

Comprueba si las funciones/(x) = 2¡ Formula modelos de función inversa. (10; 14)

Sugerencias didácticas

I

+

+

g-t (x¡

"/, + Z g es g- t@) = Jx + 2. y=

Hala lafunción inversa para/r(.r)

=

i

€ €

=''/r + 2

+ 1y h: [0; + o [

E

) Eo E f

po

€ ¡

o

+

[1;

+o[ h-r(-r) =

I E

v?-

I

a o

o c § ,F

É

ao

o

LIBRO DE ACTIVIDADES

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

ff

orsannouaruscAPACIDADES verdadem o F si

es

es

@ Halla la tunción inversa de/(x) =

falso.

Un función tiene inversa si es biyectiva.

@ El dominio de

ry.1

Ia función inversa de una

@ Si la función valor absoluto de l0:

está definida

M

+oI en [0] +o[. tiene inversa.

@ EI rango de la función inversa de

una

tr

función cuadrática es [0; +@[.

@ Las gráficas de dos funciones inversas una el reflejo de la otra respecto a y =

son

? - L s: [0; o [ Determina la función inversa.

@ Seag(¡) =

r.

Calcula la función inversa.

@f(r)=u+t -, *

lE) hlx¡ =

4

os(¿)=;-3 9 ¡("¡) = -2x + 5

inversaen |

I=¡l-2 I

6.

Despejamos ,t: .y = 2r + ? t -1 1 ,r.rl

-

\.=;+l

=i 7. D"rpjon*,.-.,.r, = - :--,, ; r=2t+ó+8-l(¡)=2r+6 li. Despejamos,r: t = -,r + 4 + )= .t+4+/rr(r)=-.¡14 9. Despejanrosr: )

v= -.t+-5 --+r

,. =

:l

ntercanr bi amos

+l-2;a

4.

l.

,¡,

=f#

de

{(s;

-l),

¿ :9

l

I I

< o I

@

r

-2

f(x)

_J

-l -l

-t

x B(r)

-312

0

I

3

I

3

7

0

2

I

3

H

+ -y2 si se sabe que la función

(-3; 2),(Lr

-

y;

(x; 2)}

-l),

5.

(irrno:/(5)=/(2.r-r')=

v=.5

/(

.i) = /(.r) =

I

l

+f.t >.r = -l

I

I

t?.

0

t/2

I

@

Determina el vértice y rango de cada función

6.

Escribe la ecuación del eje de simetría, las coordenadas del vért¡ce y el rango de cada función.

=2r+ I

--r=*

r( r) =./'r(.r¡

o /1.r) = ,e

las funciones/("r) = 3¡

-

5 y S(¡) =

x+5

son inversas. Sabenos que/ y,g: R

+

3

!

R

Comt' s,n luneiones lincales sr¡n biyectivas.

+. r(.r)

=q1.r¡

=r+

Verificanros que g(-r) es inversa def-t):

Y+5 1,=.1-r-)+ [=11

¿Podrán ser/y g una la inversa de la otra?

.r

@ Verifica si

Intercambianros

+

r.=+j¡ -1-t'

-y

por

r1a¡

r:

=IiI

x

= g¡.r¡

Recíprrreanrenlc se prucba que:

f'(r)=.{r

2.alxl4b)-3x

5=l(f)

@

§ C

--1

a) (x) = (x -1 )(x + 2) b) g(x) = (2x- 1)2

c

q

a

H

entonces tienen inversas.

Sí, porque /(.r) = 2.r+ l. además se cumplc: §

2

_I

lt ll r = 5: r'= I I r-r+ rr-( l)r+( ll)r= 130

! !

._o

I

0

funciones/ y g desconocidas.

p

H

Estas tablas corresponden a los valores de dos

N N @ j

§

b) H

l.

li(h(

Resuelve.

o o o

lnterpreta las gráficas, determina el dominio y define la función máximo entero.

por -r:

I

-1xl3

Halla las coordenadas del vértice, la ecuación del eje de simetrÍa y los puntos de corte con los ejes de las siguientes parábolas.

a)

Reernplazanr,,.:

!

b)

a)(x)= x2-2x+1 b)g(x)=2x2+x-1

5r lr lllrJi'il / (. hi\(.lr\il.(il1oil(c. inversa: /(r,) = lllt) + rt -- lt

Adcnuis:

l

4x

tiene inversa.

/=

r = -,r + 4

-2¡ + 5 -,. r.rr,=-,-r+-5

2.4 0,r' [+[ t.r=v5 +2

@ Calcula el valor

/

=

a) f(x) =

3.

b) S(x) = -3x17 -213

Encuentra la inversa de la función y traza ambas gráficas sobre un mismo plano

r="6+z+el(.r)=/r'+1 Adenrás.¡ r: | 2l -l + l0: .l

i'

zt, *

=

2. I

-$Y-4

2 * r,* 2 = (.r 0)l: V(0; 2) "l Sc prueba quc (t \ ) es hilcctivn. c[l()nccs lier¡r'

),=

-u

a) f(x) =

*+

l)espejrrrrrr'.r' = i':, | + ltr +.r =l-2.rt - :, =-'f'-'l '+.rrJ1 2l= r _r, .l ' 2v l Cambianrcs l por.r: ,.r r+l -t-l t/t,,=ltl f'=1.. : .rl

tr

función lineal es l-o;01.

@

Actividades complementar¡as

1-5i9-12 UsaestrateSiasyprocedimientos:ó-9i11'13 Argumentaafirmaciones:10;14

1. Halla la inversa de cada función

Escribe V si

ff

Comunica

'

UNIDAD

8

FUNCiONES

319

3.a) V(1;0) ejedesimetría: x=lPasa Respuestas: 1.a) -x-415b)-21x19-1a19 por (0;l)y (1; 0) b) V(-lla; -9/B) eje de simetr¡a: X= fl14Pasa por (0; 11), (1/2; 0) y (f1; 0) 5 a) R(f) = l-914, +*[ V (-1l2; -9/4) b) R(f) = [0; + -[V(1/2; 0) 6.f: eje: x=112,Y(112;1/2) R(i) =[-112; +-[; g:ejex=-1,V( 1;0),R(0=[0; +-[,h: ehex=2 V(2; 8)' R(h)=

l--;

Bl

TEXTO ESCOLAR

Función exponencial y logarítmica rTexto escolar (pá9.

77) ¡

Libro de actividades (págs.320-323)

Función exponenc¡al y Iogarítmica

\

Capacidades y desempeños precisados Traduce datos Comunica

. .

Evalúa si los datos y condiciones que estableció ayudaron a resolver el problema. (7)

lnterpreta y representa gráficamente la función exponencial y la unción logaritmica. (1-6)

Funcaón exponencial y función logarítmica

Establece diferencias entre crecimiento lineal y crecimiento exponencial. (1-6; 7-8)

la forma f6) = log¿-r. En ambos casos

f

. Usa estrategias

y procedimientos

o

La

función exponencial tiene la forma/(¡) = ¿l y la función logaritmica, siendo su inversa, es de

Para iniciar Presente algunos ejemplos de expresiones de la forma d > 0, siendo x un número racional. 1e4 = et; z-3 = (112)3 = 118; 1251t3 = 5i (145 = 1132; (zsl+o¡1r2 = 5¡7¡.

,L

-1

J'G)

1/3

.r

1/9

(.r)

-2

1

1

1/3

1

-1

0

log¡¡.

Elaboramos las tablas para algunos valores en el margen. Luego, graficamos.

i@=

i 3

f(x) = tt'

23

-l

x

-t

2

5€

=

1'1,

Función exponencial natural y función logarítmica natural

I

y la función logarítmica natural es función exponencial natural presenta la forma/h) = = log, = ln x, donde e = 2]183 es la base del sistema de logaritmos naturales. Como fLt) = d y f8\ = lnr son funciones inversas, sus gráficas serán simétricas con respecto a la recta y = r. Ver margen. La

flr)

|

-f(¡) = ln

Modelos exponenciales y logarítmicos

¡

EJEMPLO

Para desarrollar

I

ya+

É

3

I

I

= 1;6n= 278,3775778... lndique que se necesita tener un significado para a'cuando x sea cualquier número real. Para ello presente los siguientes teoremas: 1.o a >1 y m < n --> a'< an, por ejemplo si a = 3, entonces g1l2 .g2l3r2.o O < a< 1 y m < n --> a'> an, por ejemplo si a = /2, entonces (1 l2)2 > l2)3; 3.' a' > 0; Va e R + y Vx e R, porejemplo si5-3 = 11125y 1t125 > 0, entonces5-3 > 0

I

0

-t Con ayuda de la calculadora, pida que resgelvan lo siguiente:

-J3 = 2,589399902...; 9,738517742...;13

I

>

Representa gráficamente/(-r) = 3* y S(x) =

Sugerencias didácticas

I

c

EJEMPLO 7

Elabora modelos matemáticos de situaciones reales empleando funciones exponenciales y logarÍtmicas. (9-12)

.

I

t

\, I

Explique las características de la función exponencial y sus propiedades. Para ello, haga referencia a la sección "Ten en cuenta" y muestre los ejemplos 21 y 22. Resalte que la curva se mantiene por encima del eje X.

crecimiento poblacional está deteminada por/(r) = 3¿0ol 'millones, ¿al cabo de cuiínto tiempo - aumentará en 6 millones? (r: tiempo en años)

Mencione que los ejemplos 23y 24 están relacionados con el crecimiento exponencial. Resalte en cada caso el modelo exponencial que se ha formado y la gráfica que representa los datos. Comente que la definición de la función logarítmica se relaciona con la potenciación y que a partir de allí se demuestra las propiedades de los logaritmos. lndique que dicha definición se basa en la suposición de que a' existe si "a" es cualquier número real positivo y cualquier número real, de aquí tenemos que a'= N, donde "a" es un número positivo diferente de 1 y N cualquier número positivo. Al despejar X tenemos que x = logaN.

¡

. .

,.ÜF

+

t

Pordato:fl1) = 6 millones 3e0ol' = 6 eoat' - 2 Tomamos logaritmo natural a ambos miembros y resolvemos:

.¡=ln2+t=ln2i 0,01 0,01 +t=69,31

La población de bacterias aumentará en 69 años. P¿í€s. 52O-527

a

ffi

orsnnnou-nrus

cAPACTDADES

9

Grafica las siguientes funciones:

Resueh e.

E

Il.f(¡) = ¡'

ts /(,) = (+)'

B

El"f(¡) = logz¡

Gl ,f(¡) =

6

@

Para consolidar

§

I

o

Proponga que comprueben gráficamente que las funciones f(x) = 2x y g(x) = logex son inversas entre sÍ. Motive a los estudiantes a investigar acerca de otras aplicaciones de las funciones exponenciales y logarítmicas, por elemplo, en modelos financieros.

8

Una población de bacterias fue descubierta en e[ año 20 10. Si su tasa de

f@)=

"b

Í(r)

logr¿¡

=tnu

Un frírmaco se va eliminando poco a poco del organismo. Sea una dosis inicial de l0 mg y la

cantidad/(l) que queda t horas después

es

l0

(0,8)/. Halla la cantidad de fármaco en el organismo 8 horas después d" ," Oo.t. i"l,."rri,l;

./(¡) =

Ut{lOlO S ¡unc oncs

71

LIBRO DE ACTIV¡DADES

.

FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARiTI\4ICA

!l Func¡ón exponencial

. .

J6t-d

El

dominio

deír)

=

a'

es lB.

.

es el intervalo l0; El punto (0; 1)

.

deÍt¿d =

+-[.

d.

La función/k) = ¿l pasa por el punto (1; a). La

foÍnafLi = or,

donde a > oy

a+

1.

EJEMPLO 23

TEN EN CUENTA

El crecimiento de un cultivo de bacterias es tal que a cada hora duplica su número. Escribe la función que represente el número de bacterias luego de x horas si se inicia el cultivo con 1000 bacterias.

En el planteamiento

.

Registramos el experimento en una tabla:

condición establecida sobre la base (¿ > 0 y d + 1) hace posible que el exponente pueda tomar cualqu¡er valor, por lo tantq el dominio de la función es lR y su rango lR' = l0; +6[. La

Í(t)

que la base sea mayor o menor que 1 va a condicionar que la función sea creciente o decreciente. En los casos de base mayor que 1, cuando mayor sea la base, más rápido será el crecimiento de la función. El

Elrangode/r)=dt Pertenece al 8ráfico

.

,rn.iones exponenc¡a! y logarítmica

Una func¡ón exponencial es una función de la

TEN EN CUENTA

.

FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARITMICA

func¡ónÍr) = ¿r es

I

2

1000

2(XX)

4000

,+5 8000

ló 000

de una s¡tuación problernática, el registro de los datos en una tabla de doble enfada nos permite deducir la fórmula general de una función exponencial.

32 000

Expresamos el número de bacterias de la siguiente forma:

l00O'20; 1000 2r; 1000'221 1000'23; l00O'24;... EJEMPLO 21

Analiza los gráficos de las funcionesfx) = 2' y B@) =

.

(ll2\'

Luego de.t horas habrá 1000 ' 2* bacterias. .

f7 ¿Al cabo

Elaboramos la tabla de valores de cada una de las funciones y las graficamos

de cuántas horas se tendrán más de 2 millones de bacterias?

a> |

continua.

Lafunción/r)=dres crecientepara¿>

.

0

'

T

-/

1

U4 t/2

f(x)

y decreciente para

0
l

I

EJEMPLO 24

t2

Las amebas son seres unicelulares que se reproducen por bipartición. Supongamos que las condiciones de un cultivo son tales que se duplican,

8(r)

aproximadamente, cada hora. Si al inicio hay una ameba, ¿cuántas habrá al cabo de 6 horas? ¿Y al cabo de l0 horas?

8

... -2 -t 0 r 2 ... 4 2 1 U2U4

f

.

Y 8(r)

l0

0<¿<

.

-l

6

.

,4

Como podemos observar, las representaciones gráficas de/(.r) y g(x) son simétricas con respecto al eje Y.

24

-6

Nos ayudamos de una tabla para algunos casos paficulares y representamos gráficamente.

x

/0lll45 .fot24ll1632

La curva siempre se mantiene por encima del eje X, porque las funciones exponenciales siempre toman valores positivos.

.

7

Analizamos:

f(o)= | =2o Í,r)=2=21 ÍQ)=4=22 EJEMPLO 22 CALCULADORA Valor de 1.4

-y

= 2', para J = 1/4

forma

2.4

_i c

.

Analizamos la evolución que sigue la población de bacterias:

0

En panta la aparcce:

15=1 30=2

Ll89¿011

I 000 000

s000 15 15

2r . 5ooo .l

= lo

ooo

5000 = 20 000

-r' l5

2',. 5000

f

&

a c

§ .F c @ @

1024 amebas.

¿Cuántas amebas habrá en :undí^? 16717 216

l

El distrito de Huallanca, en el callejón de Huaylas, tiene 1200 habitantes. Si su población crece anualmente en ún 4qa, ¿cüá¡ttos habitantes tendrá

P(¡) = 2'

800 000

p

aproximadamente dentro de 8 años?

600 000

.

«n

I

000

p

200 000

Como cuatro horas equivalen a 16 periodos de l5 min, calculamos la población de bacterias:

Prc=216. 5000

+

Pro = 65

Y PROCEDIMIENÍOS

EJEMPLO 25

.@

o

o

34

N.o de bacterias

l

€ c

/(10) = 2t0 = lO24

USA ESTRATEGIAS Tiempo (min)

¿xt1atuy=

I

p

l0 horas,

$

y

de 6 horas, habrá 64 amebas y al cabo de

faffrta

:9 !

=23 fQ) =2' Hallamos:/(6) =26 =64

Í(3) =8

Al cabo

habrá al cabo de cuatro horas?

2 xt 91/x = N N @

.

Algunos tipos de bacteria tienen un crecimiento muy rápido de su población. Labacteria Escherichia coli puede duplicar su población cada l5 minutos. Si se hace un cultivo en el que inicialmente hay 5000 bacterias de este tipo, ¿cuántas

a

§

-

.

Observamos que interpretando el problema se trata de un crecimiento poblacional, que es una función exponencial. Por dato: Po = 1200 P

=

P"(

I + l)¡ +

P

=

1200(

Se

deposita en un banco

2400 soles. El banco

paga una tasa de interés compuesto del 4,5% de capitalización anual. ¿En cuánto se convertirá después de año y medio?

I + 0,04)8 = 1642,28 habitantes.

Dentro de 8 años tendrá, aproximadamente, 1642 habitantes.

0 l'l:Rl()il)S l)l: l5 MlNlrl()S

536. 5000 = 327 680 000 bacterias

s

!

@

o

s/ 2563.81

4l Si su población crece en un 37o, ¿cuántos habitantes tendrá el distrito de Huallanca dentro de l0 años? I 6 I l. 7

UNIDAD

8

F!NCiONCS

321

LIBRO DE ACTIVIDADES

t

FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA

FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARíTMICA

Función logarítmica Una func¡ón logarítmica es una función de la forma finida para todo r rel="nofollow"> 0 y se verifica que/k) = y = 164

Í8) = lo&x,donde ¡ e ¡ = 6!.

a > Oy a

t

1. Está

ff

de-

Representa gráficamente la función/(.r) = lsg.

.

Función logarítm¡ca

.

Jk)

= tog,x

. .

dominio de = log, ¡ es el intervalo l0; +-[. El

. . .

Elrangode/x)=lo&r F, punto (1;0) pertenece al gráfico de eS

-r ... ll& l/16 ll4 )...-3-210123...

.

¡.

)

4

16

,f 64

es de la forma F

lv

@ La función exponencial para

I

funciónÍr) = log,r funciÓn/Í) = lo8a.f

-t

0
¡

Grafica las funcionesflx) = log:

.

y g(x) = log,,,

r.

Elaboramos la tabla de valores de cada función y las graficamos.

r

12 4 0 I ? f(x)=lc¡gzx -2 -l 0,25 0,5

4 2 t0.5 g(x)=log,o¡ -) I 0 | x

x

f(x)

0

4

I

8

2

l6

-l

2 I

05

-3

V

Gl,f(.r) =

2los..r

2

6

4

x

f(x)

058

-l

I

0

|;73

I

3

2

)t

3

5

7.

I

234

-t

234

-l

4

5

=tolr ,\

ll. Asírk)ta:

Asíntota: r'= 0 Corte OY: (0:4)

.r = C) Corte OX: ( l;0) Crcciente

Crcc iente

= logrn¡

D() = lt).+a[ RU)=rR

DU') = lR

R{/) = ll).+zI Observamos que las funciones

f(x)

y g@) son simétricas con respecto al eje

X

EJEMPLO 28 USA ESTRATEGIAS Y PROCEDIMIENTOS

s¡flr) = log5 [ogr^ (lo82r)], determina el D(/).

D(r=ll;UI

c

Si &(.r) = loga [og172(lo83r)], determina el dominio de la función l¡.

. .

B

La función es real si y solo si log¡72 (log3,r) rel="nofollow"> 0.

Como l/2 € l0; 1[: 0 < log3

-x

<

1/2

+

log,

¡ ¡' g

.r>30 Entonces, D(á) =

l1;16t.

tr log3 x

¡¡<

<

3tt2

p e I

112

* x> | ¡ x
§l d I

I

§ p

En un laboratorio se tiene un cultivo bacteriano que su masa se duplica cada día. Si su masa inicial es de 3 gramos, ¿cuál será esta después de una semana?

El m<üelo de la función tiene la forma: y = /t

x

3

I

5ll.-19

se duplican cada minuto. Si hay l0a bacterias al comienzo, da una fórmula par¿ el número de bacterias en el tiempo t.

/(¡nin)

0

I

Bacterias

101

2.

Después de

I hora

2

habr¿i

3

4.

to1

260.

104

101

8.104 2t .lÚ

bacterias.

es:/(/)=2'.101 2'. l0r = l0 240 {}00 = 2r('.

Observilnros quc: r = l0

104.

l.tabrá l0 240 000 bacterias después dc' l0 minutos.

lD En

1950 la población de una ciudad era de 50 000 habitantes. En el año 2000 había 100 000 habitantes. Asumamos que el número de habitantes estiá dada por la fórmula exponencial P(r) = ¡¿r' donde r y k son constantes. ¿Cuál fue la población en el 2016 ? ¿En qué año la población será de 200 000 habitantes? l'ara / = {) tercrlos 50 000 habilantes.

l'(0) =(

¿.(r0)

=

r

0

I

2

3

6=3'21

rl-t.¡l

24

§

§

"f(t)

o

a o

Después de 7 tlías es:

3

27

= J84 Etranros

.

d

l'( 50 )

-

l)()r(lú

50 000 . c¡'ü

,'"

=

l

+

l = 50

d ¿ 9

()0 {xlo

1 >Á ltt] -50

I'rra cl ¡ño l0 I 6 h¿rn tr¡¡rscun I r trr¡ti.l¡rl t[ ltrrbitrrrtr'r e:: /:4,,,

l'{(,ór=\il(r(l(r.' l-ln

N @ j

= 50000.

l'ara el arjo 2(XX) han lrirnscu[-iclo 50 rños

Resuelve. §

-19

[-a funcirin exponencial t¡ue da la cantidatl de bacterias

,(¡) = Iogz¡

¡

f)l()lr' - i(xxxtrl I

r,i,r

¿Cuántas bacterias hay después de una hora? ¿Después de qué tiempo habní 10 2¿lO 000 bacterias?

-4 = logr

(.-r,11

@ Las bacterias en una solución

4

I

lil moclclo res¡ronrle a t¡nlr funeirin er¡rortcncial tle la li¡nrlr dc interés cornpueslo cort periotlos rlc capilrlizlrción no lntlrl:

F

es creciente

@JQ)=a.r EJEMPLO 27

¿curínto recibiná anual después de 5 años?

l)es¡lrtis tle 5 ¡ños rccibir¿i S/ -19 151t..+9.

Analiza las siguientes funciones. Luego, halla su dominio y rango.

1

procedimientos: 7-12

es decreciente

1.

@ La función logarítmica paraa> l.

2 3 4 5 6 't)(

es cont¡nua.

a>

Usa estrategias y

Si Juan deposita S/ 30 000 en una cuenta de ahonos que le

=

rango de la función logarÍtrnica es elconjunto de

los números reales.

pasa por el punto (¿, 1).

es creciente para d > y decreciente para

Lul

(¡) = d, donde a > 0.

@ El

1-6

da un interes del loqo amnJcapitalizable trirnestralmente,

de la funcion exponencial.

Representamos gráficamente la función.

ftxl =log"x. Lafunción/k)=lo&,r

La

@

@ La función logarítmica es la inversa

El

La

Comun¡ca:

El dominio de una función exponencial es el conjunto de los números reales.

@ La función exponencial

Damos valores a la variable x y determinamos y.

l¡)

cAPACTDADES

Escribe V si es verdadero o F si es falso.

f)

EJEMPLO 2ó TEN EN CUENTA

orsnnnou-nrus

¡

=

iLL¡

!

6l¡ irños.

ll,\\t(r}i

f

p .o E

cl rño / hilbni 200 0(X) hrbil¡ntes. cs (lecir 1t¡.

=3'23

l{X) 0(f) = 50 OO0r

lii ''

+

¡

=

l

l

o o o

e

O0 atios

c

l,a ¡roblrrcitin ser:í tlc l(X) 0(X) c¡r el rño l()50.

@ c UNIDAD

8

_9

FUnciones

323

C

a @

GI

LIBRO DE ACTIVIDADES

Funciones exponencial y logarítmica natural r

Libro de actividades (págs. 324-325)

a

FUNCIoNES EXpoNENctAL

Funciones exponencial y logarítm¡ca natural

Capacidades y desempeños precisados Usa esfategias y procedimientos

Su

gerencias

.

d

el uso cotidiano de las funciones exponenciales y logarÍtm¡cas existen dos casos especiales: llamada función exponencial natural, y la defin¡da función deflnida por la expresión/x) = por = log"x = ln.r, llamada función logarítmica natural.

En

l,

la

fh

Diseña y ejecuta un plan de múltiples etapas orientadas a la investigación o resolución de problemas. (l-4)

La importancia de estas funciones especiales radica en la var¡edad de apl¡caciones que tiene en la vida real el número irracional s, cuyo valor aprox¡mado es 2,7183.

idácticas

IMPORTANTE El

número e

Este número irrac¡onal se obtiene dando valores muy grandes a n en la

Para iniciar

tr

y LoGARíTt\flcA

Complemente el marco teórico con la información de la sección "lmportante". / 1 + 1\" Escriba la expresión: |. en la pizarra y pida que reemplacen valores en ella para comprobar que su valor aproximado es 2,7183. Oriente en el uso de la calculadora si es necesario

EJEMPLO 29 Representa gráficamente las funciones/(x) --

.

expresión:

(,**)'

fJ"

Para desarrollar

I

I

I

N N @

:

d i

:Q

!o= o o 3

p ! E o & @

§c c @ @

En el ejemplo 29, resalte la importancia de elaborar una tabla de valores que facilite el trazo de la gráfica. Enfatice que, a más valores, la gráfica podrá realizarse con mayor exactitud. Pregunte: ¿Cuál es el eje de simetria? (La gráfica de la función identidad). Analice las características de las funciones para determinar su dominio, rango, los puntos por los que pasa, si es continua, en qué tramos es creciente, en cuáles decreciente.

USA ESTRATEGIAS Y PROCEDIMIENTOS

Forme equipos y reparta las 4 actividades. Entregue un papelógrafo a cada equipo e indique que realicen en él su proceso de solución. Recuérdeles que antes de escribir algo deben ponerse de acuerdo en la estrategia y recursos que utilizarán para darle solución. Dé un tiempo prudencial y, luego, invite a los equipos que realizaron la primera actividad a salir al frente y presentar sus propuestas. Motívelos a manifestar sus acuerdos y desacuerdos para que brinden sus aportes o despejen sus dudas. Llegue a un consenso sobre el procedimiento que consideran más apropiado para la solución.

Concluya indicando que sea y una cantidad cuya razón de cambio (con respecto al tiempo) es proporcional a la cantidad presente en el valor tiempo (t); entonces, yes de la forma y = C. ekt, donde C es el valor inicial y k, la constante de proporcionalidad. Si k > 0 indica un crecimiento exponencial, si k < 0 indica una disminución exponencial. Proponga la siguiente situación: Supongan que una población experimental de hormigas aumenta de acuerdo con la ley de crecimiento exponencial. Si hay 100 tras el segundo día de experimento y 300 al cuarto día, ¿cuántas hormigas tenía la población o rigi nal? (33 hormi gas aproximadamente).

f(x) = ¿

Y

4

54,60

6 4

3

20,09

2

'7,J9

I

)11

0

I

2

f(x) =

d

-ó41

4

0,37

2

0,t4

_J

0,05

4

0,02

-4

0i Representa gráficamente la función h(t) =

Haz el gráfico de la función

g(x)

y'*r =

y su inversa.

I

ry

= ln x

f(t)

su inversa.

EJEMPLO 30

-

Adriana está interesada en la cantidad de habitantes de su país, y observa que desde el año 1990 está modelada por P(r) = Po ' e0p2', donde f representa al tiempo después del año 1990. Si en el año 1990 había 5 millones de habitantes. ¿Cuándo se dupücaná la población? ¿En qué año la población alcanzará los 20 millones de habitantes?

. .

Pordato: Para

.

r=0

+

P(0) = 5 g0O 000.

El tiempo /, cuando la población eofu'

Para consolidar

I

x

I

En el ejemplo 30, presente una situación de contexto real relacionada con la función exponencial natural y logarítmica natural. Haga notar que se debe dar respuesta a dos situaciones, la primera averiguar en qué año se duplicará la población y la segunda en qué año alcanzará los 20 millones de habitantes. En ambos casos deben calcular t.

e' y J@) = l¡¡ ¡.

Elaboramos una tabla para algunos valores de x, de modo que las imágenes /(,r) permitan esbozar la gráfica. Como hemos visto en los ejemplos 2l y 26, las funciones de la forma/(x) = d y f(x) = log" x son funciones inversas. De igual manera, las funciones/(x) = e' y i@) = ln x son funciones inversas. Así, una forma de trazar la gráfica de/(x) = ln ¡ es reflejando Ia gráfica de f(x) = d al otro lado de la recta y = ¡.

=2

*, =ffi =34ó

se

duplique es 2Po=

> 1ee0..l¿

Po ¿o§2r

)

2024(¿ño2024)

é

Hallamos t para una población de 20 millones de habitantes: 20 000000 = 5 000 000e002,

-

4

=

e0§2,

*, =ffi

La población alcanza¡á los 20 000 00O > reql t 6e = 20!)e

=

AO,l

(.rrr(r 20se)

,d Si en el año 1990 había 2 millones de habitantes, ¿en qué año la población alcanzará los l0 dllor".? 1,,7,,

324

€ € ñ = <

§ a o

LIBRO DE ACTIVIDADES

Modelos exponenc¡ales y Iogarítmicos FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARíTI\4ICA

fl

orsannounrusCAeACIDADES

Usa estrategias y procedimienios: 1-4

Resuelve.

fl

@ La empresa "Fénix" determina que los

gastos semanales G en publicidad (en nuevos soles) por

En un país llamadoArgentum. en los años 1996, 1997 y 1998,la población era de l4 4 l9 000; 14 622 00O y l4 822 000 habitantes. Además, para el censo del año 2002 se supo que la población aproximada fue de 15,5 millones de habitantes y creció a una tasa anual de 1,37o. a1 ¿Cuál es la población después de l0 años?¿,Y después de 20 años'/

bt

vender ¡ unidades de su producto están dados por G = 1350 ln (1000/(1200 -:r)), donde x > 180. r) Calcula el gasto en publicidad por vender 1000 unidades. h

) Si existe un gasto de S/ 3 108,49, ¿cuáles serán las unidades producidas?

a) Halhrnos cl rirsto prrr vender I (X)0 unirlades: L;= t.¡5ol', \tt(,o-\, /.-1,91)r) l.t'cro.\= tt)()o

Si suponemos que la tasa de crecimiento cae a la mitad desde el 2O02, ¿cuál es Ia población después de

l0

G=

años?

I)1)rdato: Parr¡=0. Pr= 1.5.5 ntilloncsesl¡ ¡rohlrrcirin inicirl cn cl ario l(X)2.

=

1.3?

+ I = ,S-O.Of:

lrsr rrnal

crccintiL'nto. l-rrcgo. P(¡)

P(

r

I0) =l 5.-5.(ir =

Para I =

h)

lo:

.c

6 p i e 3 o

=

7.(r-51

0)

=

P(

I

P(

I0)=

l -5.5('(''r)ft'5(

Por dato: (i = 3 l0lt.-i9 soles. H¿rlhtnos r: 3101t.,1e = lf50

roo0 r r''" = trrni;: Para uil

1r

I

sr\to d!'Sr

lo¡

y

se

O

,f(¡)=y".¿e', k <0.

bi

il)

¿,Después de cuántos años el torno costará Ia mitad de su precio?

Ilrllanros L'l viil()r(lcl tonl() (lcspr¡ús dc V( l0) = 20 (xX)(' r)rr r{r) \¡alor : S/ 170(r.70

h, f\'.¡r¡¡{. (jL i i,¡,,. ( l l,\r¡r, !'(,.l.rfir Si l0 000. Ilrrll¡nros ¡: o rr I 0 000 = lO 0(X)r,

,rnl/t\ r, ,=- 0.:

Para desarrollar Pregunte: ¿Cómo se denom¡nan las funciones inversas a las exponenc¡ales? (Funciones logarítmicas). Comente que durante siglos los logaritmos fueron instrumento esencial a la hora de realizar cálculos compllcados. Los logaritmos varían muy lentamente lo que les hace ser escala numér¡ca adecuada para medir fenómenos naturales que implican números muy grandes, tales como la intensidad del sonido, los movimientos sísmicos, la datación de restos arqueológicos, etc.

I

En el ejemplo 8, pida que lean la situación y observen cómo la evolución de la población se define med¡ante una función exponencial. Luego, anal¡ce junto con ellos el proceso de solución.

I

Presente la situación del ejemplo 3'1, para dar respuesta a la actividad "a"; pregunte: ¿Qué valor debemos considerar para t, si se trata de una elefante recién nacida? (t = 0). Para la actividad "b", haga notar que lo que deben calcular es el tiempo.

l0 rños:

exponencial decreciente de la forma

¿Cuál es el valor de yo? ¿Y de k?

hl Halla el número

('ostrrá la nrillrrl después tlc i.-17 rllos.

E

dados restantes al

2468r012

tirar 5 veces. a) Hallamos

r',,:

b)

Á

=

I

¡,t

UNIDAD

8

FUnciones

)

En el ejemplo 32, revise junto con los estudiantes el proceso de solución y luego muestre la otra forma de resolver que se detalla en el margen.

¿ .o

I

En el ejemplo 33, asegúrese que recuerdan y aplican correctamente las propiedades para pasar a la forma logarÍtmica. Complemente la actividad pidiendo que den solución a la sección "Usa estrategias y resuelve".

o o

l0 = 60¿,8( lrt l¡6r = -0.124

Para.r = -5:/(5) = «)¿,{ lll'5'= 19.6 Se apnrxirna a 20 dados restantes.

N @

I

Para.r = 0: .f(0) = ó0 = _1.0 De la grritica.l(8) = l0 +

Halhrnos Á: =.1.r/ilnr)§.

e

de

Mencione que los fenómenos en los que una cierta magnitud tiene un ritmo constante de variación pueden describirse mediante rectas y que la pendiente de recta indica el ritmo de cambio. Pero, si el ritmo al que varÍa con el tiempo una magnitud es proporcional a su cantidad presente, entonces el cambio será tanto más rápido cuanta más cant¡dad haya disponible, con lo que el proceso se acelera más y más. Las funciones que dan cuenta de este tipo de sucesos son las exponenciales. Sirven de modelo a fenómenos tan dispares como la evolución de poblaciones, desintegración radlactiva, interés de capital, etc.

I

Se realiza un experimento con dados del siguiente

modo: Sesenta dados se agitaron en una caja y se echaron sobre una mesa. Todos los dados que cayeron en cinco se quitaron de la caja y los restantes se echa¡on de nuevo en la caja, que se agitó de nuevo. Se echa¡on sobre la mesa y se sepañlron los que cayeron nuevtunente en cinco, y así sucesivamente. La función de este experimento es una

Libro de actividades (págs. 326-327)

Para iniciar

I

15.5¿0rrrlrl0)

se compra a S/ 20 000

)

l0S.-19 se produci[in

¡

Sugerencias didácticas

)

nrilkrnes

l(,.5-1t milk)nc\

V( l0) = 2706.7

i

ln(12(lilQ

(pág.77\

funciones exponencial y logarítmica natural. (7; 1-6)

lllll)

l(X) ulitl¡des.

deprecia de manera continua desde la fecha de compra. Su valor después de r años está dado por la fórmula V(r) = 20 000¿{'2'. a) Determina el valor del tomo después de [0 años

¡)

>r

escolar

Capacidades y desempeños prec¡sados . Resuelve problemas de contexto real relacionados con las Traduce datos

l]50'"*#11*

1ll;l'

de

I,(10) = l0.l rnilloncs Ptra ¡ - 10. r'r¡ltsider¡lnos l¡ ntitarl dc lr titsa rrteri(n . es (leeir: k = 0. (X165

@ Un torno no digital

j

lr(20)

I

b)

r/

= | 5.5(,r)r) ir) Parir¡= l(): P(l0)= I5.j,,rtttlI

¡Texto

C = l-150 ln (5) = 21 71.7,1 El grsto ¡ror 1000 rnirlrtlcs es S/ 1171.7.1.

lrl crccimicnto poblacional cstil rlrtlo por un crccintieoto e\l)()oclrcial P(/) = l,r) . (J'

k

I

o J

E f

po _! E

Para consolidar

C

I

q

Consolide el aprendizaje recalcando que los modelos funcionales que se rigen por funciones exponenciales tienen una gran importancia en la vida cotidiana, y si observamos la función logarÍtmica como inversa de la exponenc¡al, podemos comparar los modelos inversos que conllevan.

§c c

o@ @

L¡BRO DE ACTIVIDADES

.

FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARfTMICA

FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA

Modelos exponenc¡ales y logarítmicos

DESARROLLA TUS CAPACIDADES

¡

Traduce datos y condiciones: 1-ó

EJEMPLO 31

cráflco de a)

w(0

w (k8)

a) ¿Cuánta masa tiene

.

+ 15«l

@ Un cultivo de bacterias crece de acuerdo con la fórmula y = 10 000¿0ó', donde r es el tiempo

= 2600(l -0,5¿{'075 ')3

expresado en dlas. ¿Cuál es el número de bacterias que habni después de una semana? ¿Cuánto tiempo se necesitará para que se triplique el cultivo de bacterias?

una elefanta recién nacida?

Determinamos W(0):

w(0) = w(0) =

- 0,5¿0)3 16661 1 - 05' I )3 = 2600(05)3 = 2ffi ' o,125 266611 -0,5¿-0'075 53 =

l€m

.

0.5ero7s, = t

.

,,(i3#3)=0,6,+,=

-0,075'

=

- ffi -r+ozs,-

I

I

-

' 210

@ El isótopo radiactivo Bi

-i9l3

tiene una vida media

de 5 días; es decir, el número de partículas

radiactivas se reducirá a la mitad del número original en 5 días. En l0 días, otra mitad de la anterior y así sucesivamente. La masa se reduce 2r0 en exponencialmente y existen 100 mg de Bi un inicio (, = 0). ¿Cuál es la función que gobiema el experimento?¿Qué cantidad de pafículas queda

§l B + l¡ r-o.07s. r - _ 1,466547 ... ,uj t )ré = -l ;466547 ... + t = (-l 46654'l ...y(-O 075) |

=h

20

Su edad estimada es de 20 años.

@ Florencia ahorra en una financiera.

¿Cuántos años necesitará para duplicar su dinero si se

deposita a un interés compuesto del l07o anual de capitalización mensual? El monto es cr= c.( t + f,)" ', c. es el capital inicial, r es la tasa anual, n es el número de periodos y I es el número de años.

después de 50 días? OTRA FORMA DE RESOLVER De la ecuación

4¿qu

'= eou t=5/4 5,

obtenemos:

o,ozt = loge 5/4 Reemplazamos lo& 5/4 por ln 5/4.

El modelo de crecimiento de una población está dado por f(t) = 4eo§2 'millones desde el año 2000. ¿En qué año la población alcanza los 5 millones?

0,O2t

.

N N @ j

!

o

USA ESTRATEGIAS Y PROCEDIMIENTOS

o o a

p

Para el ejemplo 33, ley de enfriamiento de NeMon. ¿Cuál es el tiempo para una temperatura de 25"c?

€ E

I

L

c a @

1,25

La funci(rn cs

+

169, 1,25 = Op2.

t

33 minutos 326

0

5

t0

t5

r00

50

25

12.5

l(r) = 100' 2 "s.

Realizamos el cambio de base:

100.2 5 =0.0977.

Después de 50 días quedan 0.098 granros tle Bi2l0

@

En el año 201 1, la población alcanzó los 5 millones de habitantes.

ciertas condiciones, la temperatura T (en "C) de un objeto en t (en horas) esT = 75e-2' . Expresa / como función de T.

. . .

Partimos de la ecuación T = 7 5e-2', y luego despejamo

"

"-'', "-''

# - bg" fr = -2¡ Consideramos que log" * = ln x: -2t -- h fi * t = -i. " E El valor de , se expresa com -i' " ^t Pasamos a la forma logarít oir"u,

"4'

=

el =

t

Se compró un equipo de cómputo para el laboratorio que costó S/ 55 000. Antes de la compra se consideró que el equipo tendía una vida útil de 5 años. Si la

devaluación está dada por c(r) = kea el costo después de 5 años?

a

j d e

p !

p €

momento

I

6

I

lall¡mos cl ralor ile

¡r",¡ 7 = 0: c(0) =

§

0

a o

, Lctál será

Á:

r.ilrrr+ ( 55 000 =

I Iirllamos cl costo (lcsprrés dc 5 años:

l)r'ro.( (1) = 55 0(X). §

2s'

55 (XX)

55 (X)0 = c(O) = k¿,

'r

lr'

r= 5: ( (/) = 55 (xx)drr])']'= l5 757.76 I'il costo dcspués dc 5 años cs S/ I 5 757.76. [)¡rr¡

, {llr.. l(',,=c,, lr+¡;/ '-l-

C',,i

I + ll"

'

l,'¡'l

¡

lr r,,¡lr*Ll) :6ttt

Sc rlrr¡rlicarii tlcs¡rués rlc 7 rños. irl)r()\irur(lan)L'nle. P = ó9( I O I I )res la fórmula de la población mundial, donde , es el número de años después del 201 I y P es la población mundial en billones de personas, ¿después de cuántos años se duplicará la población con respecto al 201 I ? ¿En qué año la población será el doble de la población con respecto il año2Ol7?

Gt Si

¡!)

Para¡=-50:

_

¿

§C

r-

EJEMPLO 33 I La ley de Newton para el enfriamiento se emplea para demostrar que, bajo

I

o

¿0o2

= 11,16

ci

!

-5 +

(/)

El nronto ¿rcu¡rullclo es: ( / =

trbl¡r:

t +o,223r =o§2't+r= ll,16 Jte.l?llog ¿;l IAJ =s,s2'

=lñ5/4

.ln5/4 0.2231 '=T,u = qo2

Partimos de la función/(t): 4eo§z- t

Despejamos:

cr un¡

Itcgish-arnos los datos

EJETúPLO

.

\.

---=. \^,,

r,83

Se necesitará I,U3 días.

0,5¿{,07s

.f

Por dato: A = | 00 000Au, reemplazando valores: / t00 000A^\ "l = log r 100 000t = 5 R = krgf I En l¿ escala de Richter tue de grado 5.

I0 000e0r"

ISOO:

- m=

r.c(f,),aore u"

La ecr¡ación dc Richrer n = log/

= l0 (D0¿06(7)= 666 863.3 bacterias Al inicio hay l0 000 bacterias, el triple seía

Utilizamos logaritmos y aplicamos .u, propi"d"d"., ln e-{.07s r

en la escala de Richteres R =

t,

= 32s

30 000. Hallamos r: 30 000

I80o = 2600(I -0,5¿-o,07s )3

--500

onda más pequeña detectable. Si la ecuación

Después de una semana:

hembra adulta es de 1800 kg, estima su edad

Hallamos I sabiendo que W(l) =

amplitud de las ondas durante un temblor reciente. La medida fue l0O 00O veces más grande que Ao, la

alto fue el terremoto en la escala de Richter?

2600(l

Una elefanta recién nacida tiene 325 kg de masa.

b) Suponiendo que la masa de una

Gl Una estación de monitoreo de terremotos midió la

Resuelve.

La masa W, en kilogramos, de elefantes africanos hembras está relacionada con la edad ¡, en años, mediante la función:

Para cl lrño birsc

l0

I I . cnlonccs l = 0:

P= 6.9(lf)l I )o =6.9 billones+ l((r.9) = Ilalla¡noscl vakrrde /: ll.ll = 6.9( l.oll)I ,

l,rs,2 =i,,,,i,1, = r,.t.t5t)i

r'¿l

ll.ll

¡¡rx,\ (S(' rlrrplieirrrrr.

l0l7: P = 6.9( I.0ll l" - 7.37 Hallarnt¡s cl rakrr de I pirr¡ que se dLrpiiquc: Para cl rño

. / r4.74\

t,-.17,=n,rl.{rrr, >,=,,,1,,1;;',) =6,i,ú\,. En cl año 201 7 + ó9 = 20tJ6. la pobhción ¡tLndial sc hahr ii rluplicrikr con r!'\peck) al ario f0 I 7. UNIDAD

8

FUnC¡oNES

327

TEXTO ESCOLAR

Funciones seno y cosecante I

Texto escolar

(pág

78)

I

L¡bro de actividades (págs. 328-331)

Capacidades y desempeños precisados Usa estrategias y procedimientos

Argumenta afirmaciones

o

.

Función trigonométrica seno y cosecante

Resuelve problemas considerando una gráfica de función seno y coseno y otros recursos. (1-12; 1-9)

Justifica que el valor de cadarazón trigonométrica de un ángulo agudo (y la amplitud respect¡va) es independiente de la unidad de longitud fija. (10)

Función tr¡gonométrica seno y cosecante

RECUERDA

Sugerencias didácticas

en radianes:

30'a rad¡anes

Para iniciar

I

I

I

I

Complemente el texto introductorio, mencionando que las primeras aplicaciones de la trigonometrÍa se hicieron en el campo de la navegación, la geodesia y la astronomÍa en las que el principal problema era determinar distancias inaccesibles como de la Tierra a la Luna o una distancia que no podÍa ser medida de forma directa. Luego, fueron apareciendo otras aplicaciones, en su gran mayoría relacionadas con todas las ramas de la ingenierÍa, sobre todo en el estudio de fenómenos periódicos como el sonido, el flujo de corriente alterna, la modulación AM y FM, entre otras.

ruego:0"=

.r f,.

Analizamos la representac¡ón gráfica de las funciones seno y cosecante:

Para graficar una

función

/(r)=Asen(B¡+C)+D

Mencione que una función trigonométrica, llamada también circular, es aquella que se define por la aplicación de una razón trigonométrica a los distintos valores de la variable independiente, que ha de estar expresada en radianes.

-

-

=

senx >

/(.r)

=

cscx > D(/) =

La

Sic>0setraslada hacia la izqu¡erda C unidades del eje vertical. Si C < 0, se traslada hacia la derecha C unidades del eje vertical.

Haga notar en la tabla de valores que si invertimos los valores de la fila sen x, obtenemos los valores de la fila csc x Además, resalte que para graficar las funciones trigonométricas nos ayudaremos de la tabla y de la circunferencia trigonométrica. En la tabla, asignamos en la primera fila los valores angulares, de preferencia los correspondientes a los ángulos notables y cuadrantales, y en las siguientes filas, los valores de las razones trigonométricas de dicho ángulo.

/k)

DUo = R, Ru) = t-1i R

1)y't =2n

- {nr}, n eZyT =2x

Func¡ones de la formaflr) = A sen (Br + C) + D seanA, B,CyD € lRydef¡nida en D(/) = lR. El periodode la funciÓn esT = 4, 4 ,0. ó

TEN EN CUENTA

I

Si D > 0 se traslada hacia ar¡ba D unidades del ele

horizontal.SiD<0se traslada D unidades hacia abajo del eje horizontal.

ampl¡tud determinada por lAl y el desfase o desplazamiento de fase es C B

EJEMPLo e

Grafica la función/(x) = 4 sen ¡ + I Luego, calcula el periodo, la amplitud, el desfase y el rango.

.

I

Calculamos el periodo: A _ LJ\_

. . .

)=4se¡¡+

-*

Hallamos la amplitud: lAl

=4

Determinamos el desfase:

$=o

Hallamos el rango: Como -l< sen -r < I

En el ejemplo 34, analice también junto con los estudiantes, la relación entre los colores de los cuadrantes y las franlas verticales (ayudan a determinar el crecimiento o decrecimiento de la curva en un intervalo). Así, para la función seno podríamos decir que el primer cuadrante (color amarillo en la circunferencia trigonométrica), la curva crece (se observa en la Íranja vertical de color amarillo que la curva sube de izquierda a derecha), en el segundo y tercer cuadrantes (color anaranjado y celeste en la circunferencia), la curva decrece (se observa que en las franjas verticales de colores anaranlado y celeste la curva baja de izquierda a derecha) y en el cuarto cuadrante, la curva crece nuevamente.

Haz el gráfico. Luego, halla la amplitud y el rango.

Haz el gráfico. Luego, halla el periodo y el desfase.

O"f(¡) = sen ¡ + I

Complemente el ejemplo 35, con la sección "Usa estrategias", para el cálculo del rango de una función.

O,(rl=senr+2 lr:r) g,(*l=3sen(2r- I)

E,f(¡) =5 senx+

,.ÜF ff

I

<5

-3<JQ) <5 Luego, R(/) =

t-3

;51

oesnnnou-nruscAPAcrDADEs

Usa estrate8iasy procedimientos: 1-'12

/(x) = 2 sen ¡

- ra, |,,, l 0"f(¡) = 3."n,l, 21,, B /{r) = + t"n,+ 1, :, r,l r, I

: l{): 2l@

I

3 B"f(x)= 6sen.r-3)- I 6:17:5 -5: ll:ttl

78

Afiance el aprendizaje con las actividades 1 ala 12 de la sección "Desarrolla tus capacidades".

-3<4sen.r+

rus.3e8-55I

Para consolidar

I

CSC.t

m r 30.r =6r * lso-= 180

Para desarrollar

I

Construimos la gráfica de la función seno y cosecante util¡zando los valores de las razones trigonométricas de ángulos notables tales como: 30'; ó0'; 90'; 120"... expresados en radianes.

Para expresar un án8ulo

fl "f(x)=2sen2r-2

§ E _ñ

,,

@ Í(x\=4sen(3x+2) r. l' lrl lr (D,f(¡)=4sen(3¡+3)- I @ ,f(¡)=sen(4x*8)+ I 2rll: I r/l: l

! 3

o

LIBRO DE ACTIVIDADES

.

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS'

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

5

I

Funciones trigonométricas

Funciones de la ,l'

TEN EN CUENTA

Func¡ones seno y oos,ecante

Para graficar las funciones

Construimos la tabla y graficamos las funciones.

tr¡gonométricas nos ayudamos de una tabla y de la circunferencia

figonométr¡ca. En

6

la

tabla, asignamos en la primera fila los valores anSulares, de preferencia los correspondientes a los ángulos notables y cuadrantales, y en las siguientes filas, los valores de las razones trigonornétricas de dicho ángulo.

0

=/(r) =Asen

NO

lTl T lZlT

l-Tlo'

. .

2

.r

esI=

+,

donde B >Oy la amplitud es lAl.

6

IMPORTANTE Y

x

En paficular, el valor máximo de g(,r) = 3 sen ¡ es 3 y el valor mínimo es -3. Luego, la amplitud de S(.t) = 3 sen ,r es 3, y lr

(x) =

4

sen

f.

El

x

0

Halla la amplitud y el periodo. 4:

4r TEN EN CUENTA Para graficar una función

Realiza las gráficas de g(.t) = sen (x + n) y á(x) = sen (.r

fr

. -1

3[

'

2

La gráfica de ft(.r) = ss,

I

(t-*) *

¡. tal como

Paridad N N

)cio

USA ESTRATEGIAS Y PROCEDIMIENTOS

¿

Crecimiento y decrecimiento

J

a)/r)=3senr-2 b)/Lr)=2cscr+3

-

a) Rf ) = [-5; l]

b) R(/)=R-11;5t

c o

@ @

8(.r) = sen

T =2¡¡, sen .r = -sen

*n

(r

- j)

(¡ +

arriba D unidades del eje

hor¡zontal.S¡D<0se

[)

(-.r)

(-.r)

Crece para valores x del II y III cuadrante.

-

l<

sen

x<

Grafica la función g(-r) = 4 sen (3.x + 4) + 2. . La amplitud de la función es 4 y su periodo es

Decrece para valores x del I y IV cuadrante.

EJEMPLO 35

a) y =/(-r) = 2 sen ¡ + 3: Como lsl(r)<5
4 §en(3¡ + 4) + 2

EJEMPLO 38

Crece para valores ¡ del I y IV cuadrante. Decrece para valores ¡ del

I

§

+

I < 2 sen ¡ + 3 <

¡>

I

= 4 SAn3r

f

en el que la función tiene un ciclo completo es §

I

3

I 6 9 €

e p e

3csc¡-2<-5o3csc¡-2> 1
c>0

Función impar:

b) y=/(.t) =3 cscx-2'. Comocsc¡s- I ocsc

a c

§

- l-lr ll

Determina el rango de las siguientes funciones:

po o L

lR

=AsenB.r.Si

se traslada hacia la izquierda C unidades del eje vertlca . Si C < 0, se traslada hacia la derecha C unidades del eje

traslada D unidades hacia abajo del eje horizontal.

Determina el rango de:

o o o

Ic

[-lrl]

II y III cuadrante.

'6 !

I

lR-{nx},neZ

/h)

siD>0setrasladahacla trrrl =

)'=cscJ

R

caracterÍsticas de

vertical.

I

Periodo

se muestra

en la siguiente figura.

)=sen.r

=Asen(Br+C) +D

se mantienen todas las

obtiene trasladando hacia

unidades la gr:ífica de"f(¡) = sen

Analiza la representación gráfica de las funciones seno y cosecante.

Rango

/k)

- {).

La gráfica de la función g("r) = sen (, + n) se obtiene trasladando hacia la izquierda n unidades la gráfica de la función/(¡) = sen ¡.

la derecha EJEMPLO 34

I

es un

elperiodoesT=T--r".

EJEMPLO 37

Dominio

+

desplazamiento horizontal de las funciones seno y coseno, el cual se denomina desfase o desplazamiento de fase.

-3

r

Sen

número

3

A partir de los valores de la gráfica defl-t) = sen.r, multiplicamos cada valor de sen -r por 3.

(7 Sea la función

f 3

5r

(B.r+ C) + D

Realiza la gráfica de la función g(r) = 3 sen Luego, halla la amplitud y el periodo.

ll

def

= A sen (B.r + C) + D

EJEMPLO 3ó

5 l2l T lól'

11

0

forma/(¡)

sean A, B, C y D números reales y definida en D(/) = R. El periodo de la función

e

5

.

§

a I

a 0

El intervalo fundamental

2\

l-+t";l

3

En la figura del margen, se observa la nueva gráfica que resulta al desplazar la gráfica de la función/(x) = 4 sen 3¡ hacia la izquierda según el desfase -4l3, y 2 unidades hacia arriba.

l)I + 3. Determina el valor de la amplitud, el periodo y el desplazamiento de fase. A = 5; 'l' = 6¡:

{7 Sea la funcióm /r(.r) = S sen

§

.

l* \J -

l

5;tl UÍ!úIDAO

I

Funclones

329

L¡BRO DE ACTIV¡DADES

I

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

FUNCIONES TRIGONOMEfRICAS'

Compresión y alargamiento de la función trigonométrica seno Sea

y =/(-r) =Asen


B.r. Si 0

de/k)

ff

es una compresión vertical. SiA rel="nofollow"> 1,la

de/lr) es un alargarniento vertical. Si 0 < B < 1, la gráfica de/(x) es un alargamiento hor¡zontal. si B > 1, la gráfica de/k) es una compresión horizontal.

oesnnnou-nruscAPACIDADES

1-9

Usa esüategias y procedimientos :

ArSumenta afirmaciones: 10

gráfica

Determina el rango de las siguientes funciones:

Z ts l¡(x) = 4csc¡- 3 O"f(.r) = 5 sen.r+

EJEMPLO 39 COMUNICA

Realiza la gráfica de la funciónflx) = sen 5-x. Luego. analiza si la gráfica es una { compresión o alargamiento horizontalo vertical.

v Halla la ampl¡tud y el

periodo de: a)

/(r)

br

/r) = t

= 2 sen

3r

sen

+:

a) lAl =2,r=2{

b)

. .

.

En la funcióny

=J

sen 5.r identificamos los

valoresAy S:

e=

=3

Ampritud: tAt =l3l

Periodo:

r =?

=

Como el periodo es

f,

la gráfica cofa el eje

x

"n

-f;

]

sen 5x,

-1y;

f vf

.

-1

Determina la amplitud, el periodo y el desfase de cada función trigonométrica. Y

<5scn.r+3<7

e.i'

Y=sen¡

r=sc¡r.r: tA =[t= Desthsc =

E,f(r)=2sen(-5r+t) n

.

Gt s (-r) =

!

< r^r-r)t-,

También, como B = 5

> l, la gráfica

¿se podria hallar el desfase para ambas funciones del elemplo 40? .Justifica tu respuesta.

es una compresión horizontal

6. r¡l

a..rurr"r§=$=0.

.

Observamos que la función 8 (x) = sen (-3.r) se obtiene al reflejar/(f) = sen 3¡ con Si doblamos el papel alrededor se observa que los dos gráficos coinciden.

del eje Y

330

y=3sen2¡

=(r.r

ir)

(-r)

=

trigonométricas?

=,9ht

¡)

-

I

; DU )

¿,En cuánto se

= l-nl4', R(./) =

,y

=

-r

I

,5

= wn (3¡)

c

)

¿Se puede hallar el desfase de la funcií¡n

respuesta.

n14)

[

Dc.lrse:

,\/

a

il) I r.l

3: -¡l

r¡\ l1i -l

I

x E

p e

p € x I

s

s

@

I

R(s)=[-3; ll Desfase:

f

\!-ll lr:

-r'= .l sen =

;

N N

,\ = l-l =.1 lAl - l.ll = 3

o

)ci

2.r {:

Sor igtt¡lcs.

tr

:9

h)r-r\cnlr: f =*=n ¡=.rrenll.i 11, Dili.rcncia: r r=0'-¡-c)

p

I

diferencian los periodos de las

funciones trigonométricas?

trigonométrica de color azul? .Y de la función trigonométrica de color rojo? Justifica tu

(2. - {); D0r) = R

2 sen (4x +

¿,Cómo son las amplitudes de las funciones

/

respecto al eje Y.

.

I

X

partir del (.r) = sen 3,t. (-3/)

(,,-:)

2

I

-l-rr =.r: I /lrt\

0 /(,) = -¡ *" El s

sen

-y=3sn

3

Realiza el gráfico de las siguientes funciones. Luego, halla su rango y su desfase,

EJEMPLO 40

Elegimos el eje Y como la línea recta que nos permitirá realizar la reflexión.

1

rN,,ti.n..

@ Analiza el gráfico y responde.

l

La gráfica de la función ), = -A sen B,r se obtiene al reflejar la función y = A sen Bf con respecto al eje X, mientras que la gráfica de la función .y = A sen ( B"r) se obtiene al reflejar _y = A sen Br con respecto al ele Y

.

l: I - l'a - -lr

,'l

I

a-Jl-lr R-i-

¡¡"r¡xr" =.3a

Ref¡ex¡ón de la función tr¡gonométr¡ca seno

a

No tiene. r

9=t,

Y

\r,

{

Realiza la gráfica de y = g (¡) = sen (-3,r) Sí, porque el valor del

Desfrse=

lAl

-

1

./(r)=-lsen(5.r-d;1)

l)cslrsr- != 1 B)lLl

si la gráfica de g("x).= 2 sen es una compresión o alargamiento horizontal o vefical. Fs rrn rrlrrrsrmiárlrr \crti(nl \ hori¿()r¡tal

ARGUMENTA AFIRMACIONES

?=o

t:r=#=T=,.

,,I

la gráfica de.flx) es una compresión vertical

lli lnaliza

=

,¡ sc¡i.t:

-: ."n (J " + :n)

5

comoA=3 < l,

f,

una de las siguientes funciones.

= -,lsen 5.r

-l

-senlzr

-t

Calcula la amplitud, el periodo y el desfase de cada r

y=

I

2. l<sen.tl+-lcscr -l< 7 o-lcsc.r--l>l )Rl /¡)=lR l7: ll -1. csc-t< locsc.\>l+l -1 csc.r>-5 r¡2-lcsc.r< I >R(()= lR I l:51

t -tr o;

f,)

-.r R(/ )= J .r: 7l

S

?

Luego, para realizar el bosquejo de la gráfica de la función y =

=4-2

Ok(¡) = 2-3 cscr

L l<scn.r
Determinamos la amplitud y el periodo:

ubicamos en el eje Y el valor máximo y mínimo, es dec O,1

rA=;,r=,

yS=

3

@ s(¡)

Resuelve.

senx

r = .1 \en l.r: l)r'sf¡sc =

l

I

l

B o E

= (l

f

+ No tienc r:Ir -t' {,I

po

€

\ "' - :

l\crtlr

]t,l)..1,,..

I-¡ clc ct¡krr rrzul es cenr tlc cok» rrjo srt vrrlt» es d(r.

Sc prretlc lralllrr rL- lrnrbos()

ro licrc y

la

UNIDAD

8

FUnC

ones

E o c

a o c

s

c ao @

TEXTO ESCOLAR

Función trigonométrica coseno y secante ¡Textoescolar(pág

79)

tLibrodeactividades(págs.

332-33a)

Función trigonométrica coseno, tangente y sus Inversas

Capacidades y desempeños precisados . Resuelve problemas considerando una gráfica de función seno y Usa estrategias y procedimientos Argumenta afirmaciones

Para los arquitectos, es ¡mportante el uso de la trigonometría, especialmente las funciones triBonométricas cosenq tangente y sus ilrversas, pues estas

permiten hallar fácilmente ias fuerzas (vectorcs) de las vigas, lo cual es útrl para el diseño de estructuras antisismrcas.

coseno y otros recursos. (1-6; 1-9)

.

Justifica que el valor de cada razón trigonométrica de un ángulo agudo (y la amplitud respectiva) es independiente de la unidad de longitud fija, (10)

Función coseno y secante Para construir la gráfica de la función coseno y secante se utiliza los valores de ias razones trigonométricas de ángulos notables tales como: 30'; 60'; 90' , 120'; ... expresados en radianes.

Sugerencias didácticas Para iniciar

I

I

Capte la atención de los estudiantes con el texto introductorio y aproveche de comentar con los estudiantes que el encargado del diseño de estructuras antisísmicas es el ingeniero estructural. Pregunte: ¿Por qué es necesario que las edificaciones en nuestro pais sean antisísmicas?(Porque vivimos en un pais con riesgo sísmico). Mencione que por ello, las construcciones en nuestro país son más caras comparadas a otros países, ya que una estructura antisísmica requiere de un reforzamiento.

IMPORTANTE

EJEMPLO 1O

Sear=Acos(BJ+C)

Analiza la representación gráfica de las f'unciones coseno y secante.

Amplitud:lAi

.

Periodo:

f

Desrase:

t¿

=

? .

De la gráfica de coseno observamos que:

-

lR

y

Y

R(fl = [-l;

1] cos

El periodo es T = 2n.

,f 1

z

o(.f) = R _ {Q, ;t)"1,, e n(,f) = lR - l-l; lt El periodo

es

r

sec

De la gráfica correspondiente a la secante obseruamos que:

* -

Pida que expresen en radianes los ángulos notables: 30"; 60"; 90o y 120" (¡/6; ¡13; ¡,12;2il3) e indique que los valores de las razones trigonométricas de estos ángulos notables son los que utilizaremos para construir la gráfica de la función coseno y secante.

D(,0 =

T = 2n.

Func¡ón tanSente y cotangente En la gráfica se usan los valores de las razones trigonométricas de ángulos notables

Para desarrollar

I

I N N @ j

ci

i

:Q

!o= o o

I

=

p *o E o &

I

Muestre la sección "lmportante" y en ella destaque que el número -ClB es un desplazamiento horizontal de las funciones seno y coseno. En el ejemplo 10 haga notar que la gráfica de la función cos x está en color rojo y que la de la función secante en color azul. lndique que analizarán con más detalle y con ayuda de una tabla y gráfico ambas funciones en el libro de actividades. Para analizar el ejemplo 41, utilice la tabla y el gráfico que lo anteceden. Haga notar que por ser funciones inversas en la tabla se aprecia que los valores se invierten. Pregunte: En el gráfico, ¿qué nos ayuda a determinar el crecimiento y decrecimiento de la curva en el intervalo? (La relación entre los colores de cada uno de los cuadrantes y las fran.jas verticales). Pida voluntarios que expliquen esta relación.

Forme equipos y pida que den respuesta a las actividades 9 y 10. Luego, propicie una puesta en común para que compartan, corrilan y comprueben

sus resultados. @

§c

Para consolidar

c a 6

¡

Utilice las actividades 1 a la 6 de la sección "Desarrolla tus capacidades" para que los estudiantes se autoevalúen.

EJEMPLO 11

= tan (Br + C). El periodo esta deÍnido de la siguiente manera: T = n/B

Analiza la representación gráfica de las funciones tangente y cotangente

)

.

De la gráfica de la tangente observamos que:

_ o(.f)

.

,rÜ,

=R

_{Q,

-

corJ

tan

,t

;t)"}., ez

nCf) = lR y periodo es T = n De la gráfica de la cotangente observamos que:

- D(,f)=lR-{nn},neZ - nCf) = lR y periodo es T = n

Pá€s. 552-567 § ! I

Complemente el ejemplo 42 con la sección "Usa esfategias y procedimientos". Luego, pida que realicen las actividades 1 ala4.

TEN EN CUENTA Sea

E

ffi

oesannoru rus

Calcula la amplitud, el periodo y el desfase.

O"f(¡) § ,, o

cAPACTDADES

ts/(rl

+ I t: 2r: 0 B/(x) = 2 h,,1r, n "o. q"or]134*,,2),, = 3.o, (4,*., D @ ftr¡ =

= cos.r

B.r(x) = s,:rilÍi

1;] Gt"/(x) = 6 ""' (tf,l?Jn

Usa estrategias y procedimientos:

'1-ó Argumenta

afirmac¡ones: 7

Observa las gráficas de la tangente y de la cotangente. Luego, analiza y responde.

@

e [0;2n],¿para qué valores de -r dichas funciones tienen el mismo 1r Si :r

lalor? r l+ UNIDAD

8

ir l r).,r

FUIC OneS

19

L¡BRO DE ACTIVIDADES

.

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS'

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

Funciones tr¡gonométricas coseno y secante

EJEMPLO 43

Construimos la tabla y graficamos las funciones.

Halla la amplitud y el periodo.

x cos

0

¡

1

sec.r

1

Í

fi 6

3

v3

1

2

2

2\/3 J

2

1f

2rr

2

3

0

-2

1f

'/3 --T

1

L

4fi

3T

5fi

11n

6

3

2

3

6

1

,/3

--T

-2 1

^l -'l---r 2J3

--T

def

7ñ

VJ

-1

2J3

NO

sec

2ñ

T

5T 6

0 NO

del

.

2rr

Hallamos el valor de la amplitud y el periodo:

2

2

---l

Seay=Acos(Br+C) Amplitud: lAl

]y=4cos

Periodo: T

oesfase:

A=4rB=+

1

2

IMPORTANTE Y

=

?

f

y=4cos!+ r=rff=+í

_l

2,/3 t

" '

.r

EJEMPLO 44

3

En el gráfico se muestra que a partir de y = f (x\ = 2 cos ,f,r se obtiene la función y = g(.r) = 2 cos (¡rx + ¡). Halla la amplitud, el periodo y el desfase de esta última función.

sea r, =

2ñ cos

Y

r

USA ESTRATEGIAS Y PROCEDIMIENTOS

-a cos ( zrur *

f).

Halla la amplitud, el periodo y el desfase.

)=2cos(ü+r)

-t lAl

=4tT=l

Desfase:

x

-l14

4

EJEMPLO 41

!=2wtr

Analiza la representación gráfica de las funciones coseno y secante.

y=cosx

-1

1

IR

Rango

t-l; ll

2 lR-l-l; ll

Periodo

T =2n

T =2n

Función par:

Paridad

decrecimiento

SeC

I

.t

Hallamos la amplitud: lAl =l2l

l.ntL

=2

f =4 f; = -l

Determinamos e[ periodo: Calculamos el desfase:

=

Z

Función par:

cos¡=cos(-x)

Crecimiento y

=

,tñ-\f(2n+l)rl

Crece para valores -r del III y IV cuadrante. Decrece para valores I y II cuadrante.

¡

EJEMPLO 45

sec .r = sec (-,r)

del

Realiza las gráficas de g(x) = cos

Crece para valores .r del I y II cuadrante. Decrece para valores III y IV cuadrante.

r + 1 y h(x) = s¡s ¡ -

2.

Las gráficas de g(¡) = cos¡+ 1 y l¡(¡) = cos¡-2 se obtienen trasladando hacia arriba I unidad y hacia abajo 2 unidades la gráfica de la función ,f(.r) = cos x, respectivamente.

¡ del

N N @ j

.i

Y

USA ESTRATEGIAS Y PROCEDIMIENTOS

v

. /(r)=4cosf

o l

EJEMPLO 42

§

Determina el rango de las siguientes funciones:

Determina el rango de:

-3

2 cos

¡ + 1: Como -

1 < cos

¡ < | + -l

s < 2 cos "r

+I<

3

É

-1 <.f(x)<3
. f&)=2-3secx a) R(l)=[-7¡ ll b) R(/) = lR - | -l:

a) y =/(,r) = b) ) 3

5l

=fr)

¿ :9

=3

-2

sec

x:Como sec¡

E

o

I

E

E

€ I

-2n

f

"f(¡) = cm 't

p

€ E

d

<-

I o sec¡> I

-2 secx>5 o3-2 sec¡< 1
§ 3 o

§

h(x)=¿6¡-2

L

z a o

0 UNIDAD

8

FUNC|ONCS

333

É § ,F

c ao @

LIBRO DE ACTIVIDADES

.

FUNCIONES TRIGONOMÉfRICAS

fl

Actividades complementar¡as oesannou-aruscAnACIDADES

Usá estrategias y procedimientos :

Determina el rango de las siguientes funciones.

I E á(¡) = 2secx-4 O,f(x) = 3 cos¡-

tsS(.r) =

3

Bk(x) =S

l:,

El Determina la fórmula funcional de las gráficas

-]r"",

t/' -l

Color azul:

-t Desfase

=

r,. l\.i1,

BC

=

l.¡.l:r

I)cslirsc= ,r,

,r = cos

+=+="

? =-n ill \5/

7.

y=3cos.t-l

¿Se puede hallar el desfase de las funciones

l-]

R(./) = l_ 4; 2l Dcsfase:

( rl.r

f

=0

4, 8.

rrr:r

r.rr t

=

,/\

/\

¡1,s¡=l-2,21

-

c -q

Irr

l

=

l-

rlilirencirr tlt ¡olL¡r rrzttl r rrr¡rt-rrr:

¡=-ir

J6 =

1r

rgorrLrrnótr iclrs:

t

,,1,'r :rzrl:

l]

tr

!1

I p e

p

t

,'1.,r

r,'t,,

l,l

b) s(x) =

(0,5)x

c) h(x) = (0,5)-x

Halla la inversa de cada función:

s(4

=

@15)x

b) h(x) = (3/7)'

Halla el dominio y el rango de f(x)

=

169,¡

- t,

t.,1,,,,,,,,,,,,,' " -fl tl Los clcslrrsts sr¡r il,tlrlcs lr r'ero. o scl¡. r¡o lrlrv tlcslirses

Encuentra una tabla de valores para /(x) = l¡

¡

Dada la función f (x) = lsgr^, determina los siguientes valores:

(1/8)

b)2f(128)-8f(11128)

En un laboratorio se inicia un experimento con 15 000 bacterias que se duplican cada día. Escribe una fórmula para hallar el número de bacterias luego de x dÍas.

10. Un medicamento se elimina del cuerpo a través de la orina. La dosis inicial es de 10 mg y la cantidad que queda en el cuerpo thoras después está dada por A(0 = 10. 0,81 a) Calcula la cantidad del medicamento restante en el organismo, 3 horas después de la ingestión inicial. b) ¿Después de qué tiempo queda en el organismo 2 mg del medicamento?

r

I

-x Dorf¡re

@

L

= rr

]¡

(lz)x

a)(16)+

]l= l,

e) H¿llrurros lo: rlrsfascs rle lls liureiores

_r=2cos(3x-¡l2)

o L

@

c)

ht llrlllr:ro:

sc

8.

¿En cuánto se diferencian los periodos de las funciones trigonométricas azul y marrón?

(i,l{,r r(,r\,: 'I I =

-

c a

7

(irkrr irzul:

b)s(x)= 2^*1,x€ ]-a;3[

3

trigonométricas? Justifica tu respuesta.

!o o o

p

6.

b|

rr)

b)g(x)= 2r's;xel-a;11

Para cada función, halla su rango.

a)

=.nrj

lioo (lil¡r(-nlts.

f

5.

trigonométricas?

Bfx) = cosx- l; D(l) = lR Et s(x) = 2 cos(3r - r); D(/) = tR

Construye las gráficas de las siguientes funciones:

a) f(x) =

a) ¿Cómo son los periodos de las funciones

3

1x

en cuenta las bases de las siguientes func¡ones, indica si son crecientes o decrecientes.

].1

=],

c) (x) =

4. Teniendo

I

2r

b) g(x) = e) h(x) = (-2)x

a)f(x)= 3', xe[- 1;3[ c)h(x)= 3(2\, xe l-2;31

-t

Realiza el gráfico de las siguientes funciones. Luego, halla su rango y desfase.

d i 9

3.

?

.r

= cos

(1/3)'

(3,2)x f

alf(x)=2x

\

-x

5

N N @ j

2.

@ Analiza el gráfico y responde

(?,-")

s. t^t =r.l=r:'r'=

,v

lndica cuáles de las siguientes funciones son exponenciales y menciona por qué algunas no Io son. a) f(x) = dl g(x) =

de

Hallamos las funciones de las gráficas de las líneas de color verde y azul: Obseruamos que h gráfica verde se obtiene trasladando verticalmente I /2 u (hacia arriba) la función y = cos.r. y la gráfica azul -l u (hac¡a abiüo) Color vertle:1'= cos,t + .L

1][-

(zt+{) "os

s@)=-2"",

\

xf

una de las siguientes funciones.

@

1.

las líneas de color verde y azul.

Calcula la amplitud, el periodo y el desfase de cada

E,f(x)=3

Argumenta afirmaciones: 10

Resuelve.

-2 cos¡

l. llir/t=l l: ll l. ll<.1 lcos.r<-5 I s ( (\r si > l{(rl) = | l:-51 >lscer .4< (r -1. sccr< loscct>l olscri -1 > l>R(//)-lR l6: ll ..1. sccr< I oscc r> I +5 l r". r- lrl

,,s I,ec,.l>n,r,-rri

1-9

g3 o

11. ¿Qué debes agregar a la función y = senx para que la curva que Io representa se desplace 6 unidades hacia arriba? ¿Y para que se desplace 4 unidades hacia abajo? 12. Determina la amplitud y el periodo de las siguientes funciones:

a\y=2cosx Respuestas:

b\y=¿coslox

1 a) Si b) Si c) No porque a base + 1 d) No porque base * variable e) No porque la bast número negativo 3. a) [1/3; 271 bl )1lB; 161 cl l3l4;24] 4. a) creciente b) decreciente 9.2x(15000) c) crec¡ente 5.a) logox b) logrx 6.Df=10; +*[; Rf=RB.a) 1b)

70

334

10.a) 5,12mq b)

7h

'1 l.r"nx7+ 6; senx-4 12.a) A=3,T=21 5¡ A=4,T=rl5

Funciones tri gonométricas tangellq y cotangente. tVlodelos con Iu ncrones tr¡gonometrrcas ¡ Texto escolar (pág 79) I

Capacidades y desempeños precisados o Comunica

situaciones. Mencione las que indica el marco teórico e indague entre los estudiantes si ellos conocen alguna otra aplicación más.

Vincula datos y expresiones a partir de condiciones de cambios periódicos al expresar un modelo referido a funciones

I

Antes de dar lectura a la situación del ejemplo 48, muestre el gráfico del margen que le conesponde y haga que identifiquen en él las posiciones que tiene, de manera que distingan tres posiciones A, O y A'. Esto para que puedan comprender mejor el texto de la situación. Luego, analice junto con los estudiantes el proceso de solución. Haga notar que la respuesta se da en función de la posición del punto O, ya que la expresión que representa la posición de la masa está dada a partir de é1.

I

En el ejemplo 49, indique que tapen el desarrollo y pida que pongan en práctica sus conocimientos a partir de su capacidad de observación y deduzcan en la gráfica cuál corresponde al sonido de mayor volumen. Oriente indicando que el volumen está relacionado con la amplitud. Pregunte: ¿Cuál de las líneas de la gráfica tiene mayor amplitud? ¿Cómo la reconocen? (La azul, porque va desde lo más alto hasta lo más bajo). lndique que descubran el contenido para que puedan comparar sus propuestas con las que presenta el libro.

I

Dé lectura al ejemplo 50 y capte el interés de los estudiantes pidiendo que se reúnan en pares y tomen el tiempo de su compañero de su ciclo completo de respiración, es decir, que incluye aspiración y espiración. Anote en la pizarra los tiempos calculados y saque un promedio, compare con el presentado por el libro, indicando que según los estudios el tiempo promedio de respiración completa es de 5 segundos. Resalte en la expresión la información dada en la sección "Ten en cuenta" con respecto a la forma como están dados los

figonométricas. (7; 5-6)

o

Usa estrategias y procedimientos

Resuelve problemas considerando una gráfica de función seno y coseno y otros recursos. (1-4)

Sugerencias didácticas Para iniciar

I

Para que se familiaricen con la gráfica pida que la reproduzcan sobre papel milimetrado, prolongando el eje de las ordenadas hacia aniba y hacia abajo para continuar con las gráficas de las funciones: tangente y cotangente.

I

Utilice el ejemplo 46 para analizar la gráfica de ambas funciones. Sobre el dominio de la función tangente, haga notar que la podemos escribir también como los números reales menos los múltiplos impares de ¡/2. Con respecto al dominio de la cotangente, pregunte: Una de estas dos expresiones no existe: cot 2n o cot 2, 2n, ¿cuál es? (La primera). Sobre el rango, pida que observen la gráfica que realizaron en el papel milimetrado y enfatice que en ambas funciones puede tomar cualquier valor del conjunto de los números reales. 1

Para deducir el periodo de ambas funciones, utilice los datos de la tabla o pida que visualicen la gráfica, de ahi podrán afirmar que el periodo es de rad. Para la paridad, pregunte: ¿Qué se evalúa en la paridad de una función? (Se evalúa f en -x, para saber si se cumple f(x) = ¡1-y¡ o f(-x) = -f(x) o ninguna de las anteriores). Resalte que en ambas funciones se cumple que es impar, por lo tanto, es simétrica respecto al origen.

¡

Pregunte: ¿La función tiene máximos y mínimos dentro de su dominio? (No, porque siempre crece en el caso de la tangente y decrece en el caso de la

cotangente).

Para desarrollar

I

En el ejemplo 47, muestre los pasos a seguir para resolver problemas

relacionados con el rango de la función tangente. Para calcular su periodo, tenga en cuenta la definición de periodo de la sección "lmportante".

I I

Indique que este elemplo les servirá de ayuda para resolver las actividades 1 a la 4. Forme pares para su desarrollo. Luego, propicie un plenario para que compartan sus procesos, comprueben y corrijan sus respuestas. Capte la atención de los estudiantes al presentar el título "tr/odelos con funciones trigonométricas", indicando que en este tema estudiaremos cómo las funciones trigonométricas sirven de modelo para expresar matemáticamente fenómenos periódicos que aparecen en múltiples

Libro de actividades (págs. 335-337)

ángulos en problemas que se modelan a partir de funciones trigonométricas, en el sistema radial. Proponga que desarrollen la actividad sugerida al final.

Para consolidar

I

Forme equipos y distribuya entre ellos las actividades 5 y 6 de manera que a cada equipo le toque una de ellas. Entregue un papelógrafo por equipo e indique que plasmen en él su propuesta de desarrollo, para luego exponerla a los demás compañeros. Dé un tiempo prudente y, luego, invite al frente a los que realizaron la actividad 5 para la respectiva exposición, propicie un plenario sobre las propuestas dadas y elijan un procedimiento y lleguen a una respuesta por consenso. Luego, proceda de igual forma con la actividad 6.

Actividades complementarias 1. Cierto añ0, en una ciudad, la temperatura media diaria, medida

)ci @

i

o ! o o o

en

grados Celsius, estuvo dada por la siguiente función: I= 5/9 t13 -23cos 211365 (¿- 32)1. Donde tes el tiempo en dÍas, correspondiendo ¡ = 1 al 1 de enero y el ángulo está medido en radianes. Halla la temperatura correspondiente al 1 de enero y el 10 de

,

po IE o G a c

§

agosto. Resp,rt:-stas:

N N

1

-?.78 Cy19.9

C

c 6 @

LIBRO DE ACTIVIDADES

FUNCToNES rRrcoNoMETR|cAS

r

¡

FUNcToNES TRTGoNoMETRTcAS

Funciones trigonométr¡cas tangente y cotangente

Modelos con funciones trigonométr¡cas

Constru¡mos la tabla y graficamos las funciones.

funciones trigonométricas sirven como modelo para expresar matemáticamente las características de fenómenos periódicos que aparecen en múltiples situaciones: ondas sonoras, de luz, de microondas, de radar, de telefonÍa móvil. de televisión, de ultrasonidos, etc.

JT

x tan

641

r

'J3

0 NO

def

'.3

l

JI

--T3fi t5f

:JI

IT I--3'tz

4

. T

fi

rl l-n

No

-1

def

Las

7xr

5r

6

4

V5

'

I

z3fi

-1

drf

4

ll11

NO

0

1-l

I

11ñ _T

7xf

IMPORTANTE

EJEMPLO 48

--t3 \,/

-',

'

2xr

1^

) = tan (Bf + C). El oeriodo está definido de ia siSuiente manera:t = Sea

NO

del

f

f*t

I

3r

trt

cot;

_1

4I 64

,

Observa en el margen el dibujo de un resorte que suspende una masa de I kg (bola amarilla). La posición de la masa respecto al punto O está dada por la expresión y = 5 cos (20 t), donde el tiempo , está expresado en segundos y la posición y, en centímetros. Cuando r = 0, el resorte está comprimido en la posición A. Obtén el valor de A y calcula la posición de la masa después de 20

o-

. A

obtener ) = 5 cos (20 ¡) elvalorA )=5cos(20.0)=5.cos0= 5. I =5cm para obtener y = 5 cos (20 ¡) elvalorA' y=5cos(20'20\=5'cos400=5 (0,766)=3,83cm

n

A los 0 segundos, la masa

está a 5 cm por encima de está a 3,83 cm por encima de O.

3r 2

.y

= tan .r

.Y

,^ tñ \l(2n+2 l)rlI'n(L

Dominio

¡..

= cot -t

lR-{nn).neZ

.

Rango

IB

IR

T=n

T=¡

Paridad

Función impar: tan,r = tan (-.r)

Función impar:

Crece en todo su

Decrece en todo sl

TEN EN CUENTA

EJEMPLO 50

dominio.

Los valores de los

El proceso rítmico de la respiración consiste en periodos alternos de aspiración y espiración. Normalmente, un ciclo completo tlura 5 segundos (s). Si/(f) representa la corriente o flujo de aire en el momento 1 (en litros por segundo) y la fórmula para hallar este flujo está representada por f (f ) -- O,6 sen (2nt 15),

y

cot .r =

-cot (-"r)

N N @ j

EJEMPLO 47

l

p

§

II

E

o

L

o

_§

o

Si

.

x e t0;

ff

ángulos presentes en las situac¡ones problernátrcas se modelan rnediante funciones triSonométr¡cas, y están dados en el sistema radial.

USA ESTRATEGIAS

t, iralla el rango

de/(x) = ¡¿¡

Reemplazamos en la condición

3x

+ l. Luego, calcula su periodo.

$V hallamos el rango: tan0 R\f) =)i;21 ' Calculamos su periodo: r= #=i *T=5 (7 Si r e [0; ft [, calcula el rango de g(x) = tan 6r + 3. Luego, determina séxtuplo de su periodo. [3: vT + 3[: r O

v sir € Io; *

<x <

t,

c @ @

halla el flujo de aire a los 32 segundos.

.

halla el

.

rango de/(-r) = tan 2r + 1 Luego. calcula su per¡odo

el

R(,1)

'l'

=

ll; r5l

=

f(t)

=

O

d sen (2ntl5)

+ Í(t) = O,6 sen (2n' 3215)

Resolvemos:/(/) = 0,6 sen (2n '3215) es de 0,353

+,/(¡)

= 0,353

litros por segundo.

f7 Si la fórmula para hallar el flujo de aire del proceso rítmico de la respiración de un ave está dada por/(t) = 0,4 sen (2xtl3),l¡,allael flujo en l3 segundos. 0.346 litros ndo

il2 UNIDADS FlnCo|es

g

Reemplazamos el valor de t = 32 s en la fórmula:

El flujo de aire

c

§ ,F

Por conocimientos físicos se sabe que cuanto mayor es la amplitud de una onda de sonido, más intensamente golpean las moléculas el tímpano y más fuerte es el sonido percibido. Identificamos en las gráficas la onda de sonido que tiene mayor amplitud (aquella que va desde lo más alto hasta lo más bajo): corresponde a la onda de color azul.

Periodo

decrecimiento dominio.

I I

a los 20 s,

El gnífico de un sonido puro corresponde a una función del tipo y = a sg¡ 1¿*¡. físicos expresan estas funciones como/(t) = a 59¡ (n,t), donde a está relacionada con el volumen, y la frecuencia se calcula como lwll2¡. Observa al margen las ondas asociadas a sonidos puros. ¿Cuál corresponde al sonido de mayor volumen?

Analiza la representación gráfica de las funciones tangente y cotangente

J

Oi mientras que

EJEMPLO

EJEMPLO 4ó

ci

Reemplazamos valores en la expresión trigonométrica: Para

o A

2

Crecimiento

s

(posición A').

335

33ó

§ H

p e € g a o

LIBRO DE ACTIVIDADES

Estrateg¡a para resolver problemas I

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS'

fl

orsannou-nruscAPACrDADES

Halla el rango de cada una de las funciones:

O

Si

¡€

t0;

ff

/Ct) = tan 6-t

El Si ¡ e

[, determina el rango de

-

l. Luego, halla

t*, #t,

su periodo.

determina el rango de

gG) = 2 cot 4x + I . Luego, halla su periodo.

l. ()s6.r< "l )4 .tur 0
0.r


l
Periodrr:

1

l:0{ I

=

1-4

usa estrate8ias y procedimientos:

fr = [

-. t]a<'¿a....-¡<J,.¡ - -l] 6- -r c,l -'
lladuce datos y condiciones:5-ó

las podemos ver. pero cuando escuchamos un sonido, significa que este se ha transmitido desde la fuente que lo produce hasta nuestros oídos mediante la vibración de las moléculas del aire, a través de ondas. Es raro escuchar el eco de un sonido, pero nos encanta provocarlo cuando nos encontramos en un lugar donde se produce. La función ,f(¡) = 4 sen.r + 1 representa las ondas que determinan el sonido antes de llegar a una montaña y la función g(x) = l12 (cos x - 2), el sonido después de reflejarse en dicha montaña (eco). Grafica cada función en un mismo sistema de coordenadas. Luego, halla el rango de las funciones.

@ Las ondas sonoras no

t<1*1=l;/.¡+.¡,,1*,1 r-lJ Hallattro.

rl

oerirxl,r: T =

I ='I.l

Halla el periodo y la función de las siguientes

f(r)

ti2

0

=(

Sugerencias

Asegúrese que hayan comprendido la estrategia "Elaborar una tabla y un gráfico". Recuérdeles la importancia de una tabla de valores que facil¡ta la real¡zac¡ón de la gráfica.

I

Sugiera que trabajen en radianes. Para ello, recuérdeles cómo se cambia a la opción RAD en cada uno de los tipos de calculadora científica.

I

Solicite que analicen el problema desarrollado. Previo a ello, mencione cada una de las fases que intervienen en el proceso: comprende, planifica, resuelve y comprueba, de manera que las identifiquen.

I

En la fase "Comprende", pida que tapen el contenido e indique que expresen oralmente de qué trata la situación planteada. Luego de escuchar algunas propuestas, pida que destapen para comparar con la propuesta del llbro, Resalte la importancia de esta primera parte, ya que es la base sobre la cual se va a construir el resto del proceso de soluciÓn.

[-1,*]

I

En la fase "Planifica", haga notar que así como el libro propone una estrategia, cada uno de ellos es libre de diseñar su propio plan y llevarlo a cabo utilizando los recursos que considere necesario, recordando que puede modificarlo o cambiarlo en caso vea que no obtiene los resultados esperados. En este caso, se plantea como estrategia Ia elaboraciÓn de una tabla y su respectiva gráfica.

I

Analice los pasos de la fase "Resuelve" y destaque las dos columnas de la tabla e indague su comprensión sobre cómo se calcularon los valores de f(x). Luego, enfatice que en la gráfica deben considerar la variable independiente en el eje X y la variable dependiente en el eie Y lndique que para poder entender la interpretaciÓn deben hacerlo observando la gráfica.

I

Dé lectura a la fase "Comprueba" y pregunte si están de acuerdo con lo que ahí se indica o si tienen alguna otra propuesta

se puede calcular, aproximadamente, mediante

r= -1.

Obse¡varlos la griíIica y hallanros cl pc'riodo:

,=f-(-1)=á La función tiene lr tbma

§

Currc'l

r'= /l.r)

+e=:

,1.

Para

[-a funcitin tiene Ia lirr¡ra

s

ComtrI=I=I+B=3. tJ

a o

Luego. r'= /("r) = tafl 3.r.

el I

-

l8,donde restáen

de marzo: T = 59

'r=:0."u (*(se

Obse¡r'arnos la grifica y hallarnos el

.,. r / n\ r ' 6 \ 6i I

101))

días, y t = 0 corresponde al I de enero. Calcula la temperatura el I de marzo y el 23 de julio.

= tanBx

L.uego. r = /(.r) = trn 2.r

E

p !

=#=1

(#,,-

36 sen

peri{)do:

r'=./l.r) = tan

B.r

lol))

l8=-lri.45

T=-111.,15'C Para el 23 de julio:'l- = 204

'r=:o T

=

'en(*tzo+

16,119

tot))

-

18=

idácticas

Para iniciar

Gt Con base a años de registros climatológicos, la temperatura mínima esperada T (en "C) en Alaska,

I

I

d

I

4 R(lr = l-3; s¡ y nrrr =

y coseno y otros recufsos. (1-5)

y procedimientos

(cos.r-2)

ll2 nl2

B

Capacidades y desempeños prec¡sados . Resuelve problemas considerando una gráf¡ca de función seno Usa estrategias

Para desarrollar

li.r) =4sen,r+ | ,1

gráficas.

Libro de actividades (págs. 338-339)

16.8e

"C

Para consolidar

-r

I UilIDAD

8

Func ones

337

Comente que muchos son los fenómenos fÍsicos que nos rodean que siguen cierta regularidad, es decir, que cada cierto periodo de tiempo se vuelven a repet¡r, tal es el caso de las ondas sonoras, olas marinas, ondas eléctricas. ritmos resoiratorios, ondas sÍsm¡cas, etc.

LIBRO DE ACTIVIDADES

ESTRATEGIA PARA RESOLVER PROBLEMAS Usa estrate8ias y procedimientos: 1-5

Elaborar una tabla y un gráfico Al inyectar un determinado

fiármaco sobre una muestra de laboratorio,

se observa que esta presenta variaciones de temperatura, en grados

Celsius ('C), en su sistema intemo y se logra establecer que dichas variaciones se modelan mediante la función:

Resuelve los siguientes problemas. Utiliza la

rw

e _l/,

"f(¡)=3- ll2sen(2x-n) Donde ¡ es el tiempo (en minutos) transcurrido desde que se inyecta el fármaco. y/(.r) son las variaciones de temperatura en grados Celsius ('C). Grafica e interpreta la información.

@ Rosa estudia meteorología y durante

Planifica

-ñql \

ffr)=ll+5cos9 I Donde/(.r)

-¡fl2

3

-xr.l4

2,5

0 TJ4

t5

TJ2

3

3r,J4

Resuelve

o

j

i

:9

3ru

2

2¡

5¡

T

o o o =

Interpretamos: En el contexto del problema, debemos considerar x > 0. Observamos que

Comprobamos la situación problemática elaborando una tabla de dos columnas en la que en la primera se registran los valores diferentes. Luego, con esos valores realizamos la gráfica de la función trigonométrica dada. Observamos que al realizar la gráfica, obtenemos el mismo Comprueba gráfico o hacemos uso de algrÍn soJhr¿re libre para ingresar la función trigonométrica/(-r).

p

€ É

o c

@

Resuelve: lllaboranros unn tabla y rcaliz¿r¡lrr¡s la grificr. l.uego. qucda reprcserrtada así: Observarnos t¡ue la lir nción lrigrrronrétrica coscno lie|e una anrplitud tlc l0 nr:

3¡

¡

l E

l(r 6= l0nr

§ d

§

338

a

3

I

p I I

p

e

e

o

§c

o

I 24 !fu n 4

al inyectar el fármaco hay una variación de temperatura de 3 'C. Luego, esta variación comienza a aumentar hasta llegar a 3,5 oC pasados ¡rl4 minutos (0J85 min = 47,1 s); este valor corresponde a un máximo relativo. A partir de ese instante, la variación de temperatura decrece, obteniéndose un valor mínimo relativo pasados 3¡¡l4 minutos (2,355 min = 141,3 s). En ese momento, la variación de temperatura aumenta de 25 a 3 "C, cuando han pasado ,[ minutos. Este comportamiento comienza a repetirse a intervalos de longitud . Observamos que existen infi nitos extremos relativos.

N N

c o a

)5

_,n

!}

=

o

*l

('onrprueba: Clonrprrbamos la situacitin problem:itica elabora¡rdo una (abla dr¡s column¿rs en que en la prirnera se rcgislrln k¡s valores dilercntes o hacemos uso de algútn so/iurrre libre donde in-rresanros

/{.r).

en se

orrr=4."n?4,, I JÓ5' -7gt+lz

[xxiltilflililflftrilffiffiililililil

Además. en la gráfica se puede observar que la marea llega por la parte superio¡ a una altura de I 6 m (pico máximo de la función coseno) y por la parte inf'erior alcanza los 6 m (mínirno).

'l = I1l

determinada época del año en una ciudad puede calcular mediante:

'1

-r -r I ' :

V,,,

¿Cuál es el periodo de la función?

@ El número de horas D(l) de luz diurna

3

Mínimo relativo

b)

ondas del voltaie sinusoidal? - tiene forma E. stttlilltr.t l¡t llltl. i0lt selltr. ¿Cuál variable de dicha ecuación indica la

amplitud?

Planifica: Observamos que para graficar la función dada. debemos construir una tabla de dos columnas: en la primera registramos valores.r en minutos: y en la segunda, los coffespond¡entes valores de la alrura/(.t) en metros. Luego, con los datos de la tabla, gmficamos la función trigonométrica./(r) y la interpretamos.

Máximo relativo

¿Por qué se dice que la representación de las

c)

Cornprende: Sabemos que Rosa estudia meteorología y debe presertar un informe sobre las mareas. Se pide graficar la función trigonométrica ¡le la situaci
Elaboramos una tabla y realizamos la gráfica. Luego, queda representada así:

at

es la altura en metros que alcanzala

marea y x el tiempo de registro en minutos. Grafica e interpreta los resultados.

Observamos que para graficar [a función trigonométrica dada, debemos construir una tabla de dos columnas: en la primera registramos valores -r (en radianes) y en la segunda, los correspondientes valores/(x) en grados Celsius ('C). Luego, con los datos de la tabla graficamos la función trigonométrica/(-r) y la interpretamos.

J ("C)

esta

en el litoral peruano. Al presentar su informe lo resumió en la siguiente información: La marea es el cambio periódico del nivel del mar producido principalmente por la fuerza de atracción gravitatoria que ejercen el Sol y la Luna sobre la Tierra. La variación de la marea en cierto pueto se modela matemáticamente mediante la función:

interpretafla.

.r'(rad)

de onda de la corriente alterna más comúnmente utilizada es la onda senoidal o sinusoidal, es decir, similar a la onda formada por la función seno. El voltaje puede expresarse matemáticamente según sus parámetros como una función del tiempo por medio de la función: V(t) = V. sen (2n/t), donde V. es la amplitud en voltios,/es la frecuencia en hercios (Hz) y t, el tiempo en segundos. Realiza la gráfica y responde:

semana se dedicó a investigar sobre las mareas

Sabemos que al inyectar un determinado fiírmaco sobre una muestra, se observa las va¡iaciones de temperatura en grados Celsius ("C), la cual se modela mediante una función trigonométrica. Con la función trigonométrica que modela la situación problemática, se pide graficarla e Comprende

@ La forma

estrategia aprendida.

\

Donde ¡ está en días, y ¡ = 0 corresponde al I de enero. La constante k determina la variación total de la duración de luz diurna y depende de la latitud de la localidad. Grafica y responde: ¿Cuándo se tiene la duración máxima de luz diurna?;.Cuándo se tiene la duración mínima? Virin¡¡r:-l8 ir¡nio: nrlrinr¡r: l(, (l( rnrr/(,. En la teoría común del biorritmo se utilizan las gráficas de tres funciones sinusoidales simples para predecir el potencial físico, emocional e intelectual de un individuo en determinado día. Las gráficas están expresadas por y = a ssn 6¡, donde I está en días, correspondiendo ¡ = 0 al

nacimiento, _y a = I indica el potencial de l0OVo. Realiza el gráfico y calcula el valor á:

a)

Para el ciclo físico, el cual tiene un periodo de

23 días. 7¡¡13

b)

Para el ciclo emocional, el cual tiene un periodo de 28 días. ¡r1.1

c)

Para el ciclo intelectual, el cual tiene un periodo de 33 días. l¡,111

@ La corriente alterna, que

se diferencia de la directa por el cambio constante de polaridad. La corriente I (en amperes) que fluye en un circuito de corriente alterna por un tiempo de / segundos es:

t = ¡0 sen(5Onr -

f).

cruri"a y determina el

valor mínimo de I para el cual I =

15

UNIDAD

amperes. l/10 8

Funciones

339

s

TEXTO ESCOLAR

Transfo rmacion es oeom étricas.

Composición de tráslaciones lTexto

escolar (pá9.

80)

I

Libro de actividades (págs. 340-341)

Transformac¡ones geométricas

Capacidades y desempeños precisados ¡

Traduce

Examina propuestas de modelos analÍticos para reproducir

movimientos de acuerdo con un propósito contextualizado. (4-6)

cantidades

. Usa estrategias

y procedimientos

Realiza proyecciones y composición de transformaciones de traslación, rotación, reflexión y homotecia al resolver problemas relacionados con sistemas dinámicos y mosaicos, con recursos gráficos y otros. (1; 1-3)

Transformac¡ones geométricas fEN EN CUENTA Homotecia

H(o

Traslación

Ti

G

Para iniciar

Compos¡ción

k=2

I

I

I

Una traslación T- y

pueden ampliarse si la

una rotacton

R(o'(d.

razónk>loreducirsesi

0
IIVIPORTANTE La gata es un

mecanismo articulado que sirue para

/:

I

fl It,p

r'

,-\d

5^

B

B

&.

I

Presente la composición de traslaciones enfatizando que se trata de realizar traslaciones sucesivas. En el ejemplo 51, pida que ubiquen los puntos A, B, C y D en el sistema de coordenadas y apliquen las dos traslaciones según los vectores v y u .Haga que los estudiantes simbolicen la composición de 'w. estas traslaciones sucesivas con el vector Luego, pida que comparen sus propuestas con la sección "Ten en cuenta". Pida que pongan en práctica este aprendizaje y realicen la actividad sugerida al final.

e

Una simetrÍa de eje y una traslación T-.

Cornposición especial que recibe el nombre de deslizamiento.

Una rotación R(o o) y una simetria cuyo eje pasa por el

Una simetrÍa cuyo ele pasa por el centro de rotación O y ha girado un ángulo de -cl2.

o

él \-

I

/

\' lF(

centro de rotación o.

{l Una rotación R(o o) y una simetria cuyo ele no pasa por el centro de

'rÜ*

Antes de dar lectura al eiemplo 52, resalte cómo en una traslación mediante un vector, los vértices de un punto se transforman en su homólogo resultante. Pregunte: ¿Es posible conocer las coordenadas del vector, conociendo las coordenadas del punto original y del punto resultante? (Sí). ¿Y es posible calcular las coordenadas del punto original conociendo las del vector y las del punto resultanteT(SÍ). tt/uestre los pasos a seguir para ello en el ejemplo 52.

rotación

una simetría con desl¡zamiento cuyo eje ha girado -ol2.

)l ((

O.

Páée.640-34'l §

ff fl

lndique que realicen las gráficas respectivas para las actividades 1; 3; 4 y 5 para visualizar mejor las situaciones planteadas. Forme equipos para el desarrollo de las actividades.

Resalte que luego de realizar las traslaciones o una composición de ellas, la figura resultante tiene el mismo sentido que la figura anterior.

Una rotac¡ón de amplitud u y centro de giro O (punto de intersección de las mediatrices de los segmentos que unen dos puntos homólogos de la figura inicial F y la figura final F").

levantar cargas.

ectores equivalentes).

Para consolidar

I

\A I tA " l----r \ \--1 \ l.! \ \-\

Movimiento único que se puede realizar

entre...

hor¡otecias, el tamaño de la figura varía; En las

Utilice la figura de la sección "Recuerda" para analizar junto con los estudiantes las caracterÍsticas de la figura inicial y de la trasladada. Por ejemplo, que los segmentos son congruentes y paralelos, los ángulos correspondientes son congruentes. Destaque que, generalmeng se denotan los vectores por una letra minúscula con una flecha sobre ella ( á ). Pregunte: Cuando los vectores tienen igual dirección, magnitud y sentido, ¿cómo los ll amamos? (Y

Simetria central S^

Simetría axial SE

Compos¡c¡ón de transformaciones

lndague sobre saberes previos acerca de las transformaciones geométricas. Oriente a que los describan como un movimiento en el plano aplicado a una figura que origina otra congruente a ella. Pregunte cuáles conocen. Luego, pida que comparen sus respuestas con las presentadas en el texto escolar y expliquen brevemente de qué trata cada una.

Para desarrollar

I

,,r

o",r§

Sugerencias didácticas

I

Rolación R{o

\É

k)

orsannou.a rus

cAPACTDADES

véfices son A(0; 7), B(0; 0), C(5;0). Si le aplicamos una traslación mediante el vector i = (3;4), determina las coordenadas del triángulo homólogo. Sea el triángulo cuyos

" \ri:ll,.Tirl ll.r rx lr

80

usa estrategias y procedimientos: 'l-2

@

Sea el segmento PQ de coordenadas P(-2; 5), Q(4; 8). Si le aplicamos una simetría axial respecto a la recta ) = 0 (eje X), determina las coordenadas delnuevosegmento. l''( li 5).Q(-1: s)

e p I

s o

LIBRO DE ACTIVIDADES

.

TRANSFORMACIONES GEOMETRICAS

TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS

tr

ff

Transformaciones geométricas

orsnnnorurus

cAPACTDADES

Usa estrateS¡as y

Analiza y resuelve: RECUERDA Traslac¡ón T-

Una transformación geométrica es una operac¡ón geométrica que permite deducir una nueva figura, llamada homóloga, a partir de una figura dada, llamada or¡ginal.

O

v

traslada cada punto A de la fiSura según un vector de traslación ü . Se

T-. Ti.=Ti,i

Composición de traslaciones:

í

Una composición de traslaciones es la aplicación sucesiva de dos o más traslaciones. Si sobre una figura se aplica una traslación T- con respecto al vector = (r, ),), y sobre la homóloga se . aplica otra traslación T, con respecto al vector 7 = (m, n), el resultado es una traslación

L L

de la figura original coñ respectoa un

TEN EN CUENTA

i+ i

=á-z:z+

ü+i=ñ=(s;:j)

se observa que el triángulo con vértices A(6; 6), B(0; 8) y C(6; l0) se traslada

A"(-3' 8)

t)

Los véfices son

fl

i

l

i

o o o

=

(l;

s)

- (:;-z¡

=

i

p It

§l

B

I e E

!

s

e p I

de una circunferencia de centro (1.,2) y r = 3 El centro O( I I 2) se transforma en un nuevo centro:

O'= O + i =

@

c

(l;2) + (-2;7)= (-ll

9) y se conservar,=

r=

(0:

2)

A'( l: 2))A"( 2 -l: 2+7)=( (r: 5) U (0: l) > U"(0 4: I + 7l= t-.1:.5r (''(0: 0))(1"(f) -4:0+7)=( .+r7) I)'( l:0)>l)"( 2 .1:0+7)=( 6:7)

E

§ a

@

@

3.

Si en un plano cartesiano el punto A(3; 2) se traslada

El vector que hace el traslado de A a B es:

= (2 -3., 4 -2) =

B hacia C es

i

(-l I Z),y el rraslado

-

2; ? + 5l =

(l: 4) > B" (3 -2:4

>

C"

+ 5)

(7;7\

=(l:9)

(9-2; 6+ 5)=(7: I I)

i

Realizamos la traslación de purtos. Trasladamos el centro según los vectores de tras¡ación li + i ( tl-z). Luego. O (3;5) >O" (3 l 5 - 2) = (2i 3)

@ Un tablero

de

= (-4; -5).

La traslación única será:

Una circunferencia tiene como centro el punto O(3; 5). Si los vectores de raslación de este punto son = (-5i I ) y = (4; -3), ¿cuál es el centro de la circunferencia trasladada?

i

.§

b) La transformada

o I

) A'(6 +.1:6 4) = (9:2) ) B' (0 + 3: tl - 4) = (314) I0)) C'(6+3: l0-4)=(9;6)

C' (9; 6)

11)

-l) =

l: .l) > D'( I -l:.1 .l)= ( l:0)

ri+i=t

B'

(-4;

I -ll= t l: -ll

nuevos r,érticrs del crrrclrado son:

i

Calculamos las cot¡rde¡radas de A". B" y C":

(a;7)

Entonces el vector B(-2;4) se transforma en otro punto B': B'= B + = (-2; 4) + (-2;7)=

l)(

-l:

> tl' (.1 l: I

B(0: lt)

A' (9; 2) > A" (9

Como el punto A (3; -2) se transforma en A' ( I ; 5), el vector se obtiene:

i

!

B'

B(-2:4).

:9

l: l) > A'( I

tJ(3t I)

At6:61 C(6;

a) El transformado del punto

)

.l).

aB(2; 4),y luego a C(-2; -1), ¿cuál es el vector traslación que se debe emplear para traslada¡ en un solo paso el punto A a la ubicación del punto C? C'

vectorí-1-2;5¡.

EJEMPLO 52

Ci

A{

@ All

Hallarnos las coo¡denadas de A'. B' y C':

N N @

=( -j:

l,as coorrlenarl¡s tlel cuaclrad0 lraslatlatkl seriiD:

l=1:;-4)yse

Si se consideran los mismos vértices del cuadrilátero y se trasladan respecto a los vectores = (¿;3) y = 1-t;2), ¿cuáles son las coordenadas de los vértices homólogos? A"( t: t0). B"( 4.5). C"(0:9). D',( lr 3)

En una traslación mediante el vector i, un punto A(3; -2) se transforma en un punto A' (l; 5). Calcula:

('(3: .l) ) C'(0:0) [:l rectordelrrsl¿1ci(ir]esi=C C

'--\,

obtienen los vértices A', B'y C'. Calcula las coordenadas de los vértices A", B" y C" si se traslada según el

A"(-3; 8), B"(-6t 3), C"(-2; 7) y D"(-3; l).

i

l), B(3; l),C(3; 3) y

de modo que el vértice C quede

i

según el vector

B(-1; 0)

T;.T¿=T;*¡ +ú

A"(2+ (-5); 5 + l)

4ó

se traslada según el vector = Ca; T. ¿Cuáles son las coordenadas de los nuevos vértices?

= (3: -2) + (-ll.l) = (2: l) 5) > A'(-8 + 2; 5 + l) = (-6: 6)

@ En el gráñco

= + B"(-1 + (-5); 0 + l) = B"(-6 3) C(3; 4)+ C"(3 + ( 5); 4+.1)=C'(-2 7) D(2; -2) + D"(2 + (-s); -2 + l) = D"(-3; 1)

=Fa,z)yú =t¿,tJ, Vector resultante ñ:

Modela objetosi

I lallanrrs los vérticcs dcl cuatlrado c¡r la segrurtlr trasl¡ci(in segrin i = (-J:7). l,rs crxrrtlen¡drs de los

Para determinar las coordenadas del homólogo resultante, se procede así:

A(2: 5)

composición de

de vérticesA(1;

l; 3) es trasladado

1-3

en el origen. Después, el cuadrado con estos vértices

Las cr¡ordenadas de la t¡aslacirin de A es (-6: 6).

coordenadas de dichos vértices homólogos?

i i

A(-lil

Los vértices de un cuadrilátero corresponden a A(2; 5), B(-1; 0), C(3; 4) y D(2: -2). Se programa una máquina computarizada de textilería moderna para obtener los vértices del homólogo del cuadrilátero al trasladarlo respecto al vector i = (-3; 2) y, luego, respecto al vector il(-2; l). ¿Cuáles son Ias

.

i

Hallanros las coordenadas de la traslación dc A:

vectorñ= k +m,y tn't.

EJEMPLO 51

También pliedes hallar un vector ñque sea el resultado de la

D(

Observamos que es una composición de traslaciones de krs vectoresi= (3; 2) y i = (-l ; 3).

i

A

@ El cuadrado

Traslada el punto A(-8; 5), primero mediante un vector = (3; -2), luego con el vector = (-l I 3). ¿Cuáles son las coordenadas de la traslación de A?

procedimientos:

!

I l: I 5)=(-5:

.l)

de ajedrez está formado por cuadrados

ordenados en 8 columnas identificadas con las letras A, B, C, D. E, F, G y H (de izquierda a derecha) y 8 filas, identificadas con los números l;2;3;4;5t6t7 y 8 (de abajo hacia arriba).,',Qué vector de traslación se debe aplicar a un caballo que parte en la posición B 1 para que llegue a la casilla C3? Y ¿cuál será el

vector de traslación si la reina se mueve en diagonal de la posición H8 a Al ? La casilla B I = (l: I ). lr casilh C3 = (.1: -i) E,l vcctor cle lraslacitir: para el caballo cs:

a'=(3 l:

3 t)=(t:2).

La casilla H8 = ( 8; 8) y lacasillaAl = El veclor de traslación para la reina es:

i=(r -8r I *8)=( 7:

(ll l)

7).

§ C

q @

340

UNIDAD

8

FUnCiones

341

Composición de rotaciones. Composición de simetrías r

Libro de actividades (págs. 342-343)

Capacidades y desempeños prec¡sados Angulo

r

movimientos de acuerdo con un propósito contextualizado. (s-6)

I/odela objetos

o Usa estrateg¡as

y procedimientos

Punto

Examina propuestas de modelos analíticos para reproducir

Realiza proyecciones y composición de transformaciones de traslación, rotac¡ón, reflexión y homotec¡a al resolver problemas relacionados con sistemas dinámicos y mosaicos, con recursos gráficos y otros. (2; 1-4)

A(x, v)

I

Antes de estudiar las rotaciones, cerciórese de que los estudiantes usen correctamente el transportador: plantee actividades que le ayuden a detectar y subsanar estos inconvenientes.

I

Parta mencionando las caracterÍsticas de la rotac¡ón, la simetría axial y la simetrÍa central en la sección "Recuerda". Destaque que en una rotqción se debe verificar que las distancias desde un punto P y su imagen P' al centro de rotación son iguales. Pregunte: ¿En qué sentido ha girado la figura? (Antihorario). Recuerde que los sentidos de giro son horario y antihorario y que de ello depende el signo del ángulo de giro. Pida que los describan. En la simetrÍa axial, destaque que el eje de simetría es mediatriz de cualquier segmento. En la simetría se transforma la figura en una inversa. En la simetría central pregunle: ¿Es la simetria central un caso especial de rotación? (SÍ, cuando el ángulo de rotación es de 180").

Para desarrollar

! I

Presente la composición de traslaciones indicando que si los dos centros coinciden, la composición es un giro del mismo centro que tiene como ángulo la suma de los ángulos de giro que intervienen en la composición. En el ejemplo 53, haga que los estudiantes analicen los giros sucesivos o

I

Por ejemplo, si el punto A(5;

270"

-8) gira

(v,

-x)

360' (x, y)

180o, sus nuevas coordenadas son

I

Mencione que al aplicar sucesivamente dos simetrías axiales, se pueden presentar estos casos: 1. Si las dos simetrías tienen eies paralelos, se obtiene una traslación. 2. Si las dos simetrías tienen ejes secantes, se obtiene un giro cuyo centro es el punto de intersección de los eies.

I I

Utilice los ejemplos 54 y 55 para explicarlo con mayor detalle.

I I

Para la actividad 4, proceda de igual forma que para la actividad 3.

Proponga que realicen la actividad 3, en ella oriéntelos para que partan hallando las coordenadas de los vértices originales. Pregunte: Si /as coordenadas del punto A son (x, y), ¿cuáles son las coordenadas del reflejado del punto A con respecto al eje X? (A'(x -y)).

Forme equipos y solicite que desarrollen las actividades 5 y 6. Luego, pida voluntarios que compartan sus procesos en la pizarra.

Para consolidar

I

Realice la actividad 2 aparli de un plenario y desarróllelo junto con ellos. con (2; -3), pregunle: ¿Hay que Oriéntelos a que relacionen el par (x reemplazar 0 por 45'? (Sí).

/

Actividades complementarias 1. Dado el punto de coordenadas (1;

1), halla su simétrico respecto del eje Y y a continuación, halla el simétrico respecto al ele X, La transformación resultante transformará P en el punto...

2. Al aplicar al punto

P una simetrÍa de eje e1 y luego una simetrÍa de eje e2, resulta el punto P . ¿Cuál es el ángulo de giro que transforma

directamente P en P"?

N N

)ci

@

i

e1

rQ

P

P'

!

5

o o o f

p

Proponga que realicen la actividad 1 en la pizana a partir de un plenario, con los aportes de todos. Sugiera que todos realicen la gráfica en sus cuadernos para que visualicen mejor la situación y a partir de ella diseñen su estrategia de solución. lndique que tengan en cuenta que si el punto A(x; y) gira con respecto al origen en 90', 1 80", 270" o 360" se trasforma en otro punto cuyas coordenadas se indican en la siguiente tabla:

80'

(-v, -x)

(-v, x)

composiciones de una figura. Resalte que, al lgual que las traslaciones, luego de aplicar las rotaciones, las resultantes tienen el mismo sentido que la figura inicial. Pida que grafiquen un cuadrilátero ABCD de coordenadas A(1 ; 1), B(7; 2), C(6; 5)y D(3; a)y lo transformen mediante la composición de los giros R,(P; 60') y R2(P; 90"). Pida que simbolicen la transformación de rotaciones.

I

1

A'(-5; 8)

Sugerencias didácticas Para iniciar

900

_c P'

e2

o

L

@

§c Respuestas: 1 (-1;

-1)

2. 90

c ao

o

L¡BRO DE ACTIVIDADES

.

TRANSFORMACIONES GEOMEIRICAS

TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS

Compos¡c¡ón de rotac¡onesi

R16,

o¡. R16

RECUERDA

EJEMPLO 53

Rotac¡ón H(o a) Se mueve cada punto de la figura según el punto de rotación O y el ángulo de giro a.

En la ñgura mostrada determina (R, o Rr) (A).

.

I

.rr.1g.

..1'

o

eje e.

R1o, o

,

p¡ =

ff

.

se

tl LI

. B'

.

o

vértices del paralelogramo ABCD reflejado

I I C

origen.

F(1,-l)

S.,

x

E(6.-r)

En la rotación tlc 270' se currrple: (,r:

. S,

e.

el

l

)

@ F'

F

Si S,, es la composición de una simetría

(t: -.r)

e2. 52

(F') = F". Luego, la

Sea (r; y) las coordenadas de un punto antes de girar. Si giran los ejes coordenados un ángulo 0 en sentido antihorario, las nuevas coordenadas son: r = J'cos0 -y' sen0 ; y = ¡'sen0 + y'cosO.

P()I (lirl(): (.\: r) =

(l:

i).

:=, (r,r) .f "i),

I

lrrllrrrttos.r .

s

vúrticesA(l:-5).8( I:2).C(2:.1)y D(4:6) ¡l r¡i¡:en:

Hallrrnrrs el rellcirr con respcckr

6).

Y

@ Al triángulo ABC de la figura se le aplica una reflexión

x

respecto al eje Y.

Determina coordenadas del punto (2; -3) cuando los ejes coordenados giran un ángulo de 45".

(/¡ = F

Los

e

A'( l: 5).8'(l:-2).C'( 2:-3)yD'( 4i +

C(l:6)+C'(6: l)+C"( l: 6) D(6:6) + D'(6: -6) + D"(-ó: -6) E(6: -l ) + E'(-l: -6)+ t1"(-6i I ) F( l: -l) + F'(-l: l) + F"( l: -l)

(D.

Si S, es la composición de una simetría de eje composición resultante es: Sl . 52 = T-

24

-l

El punto A" se obtiene aplicando sobre A una rotación con centro

La composición de una simetría de eje e, con otra de eje er, paralelo al

de eje e,. S,

Modela obietos: 5-ó

El rtlle'.jado de A(,u r') respccto al origcn A'( .\: -l):

2i

se asocia a cada punto A de la figura otro punto simétrico A' respecto a un punto o.

4

@ Calcula los

Halla los vértices del rectángulo ABCD cuando se realiza una rotación con respecto al origen con un ángulo de 270" dos veces en forma antihoraria.

Oyánguloc+p

anterior, es una traslación de vector siendo 7 el vector perpendicular que une los dos ejes e! y e2 en ese sentido.

S¡metría central Sc

Usa estrategias y prmedim¡entos: 1-

o

A"

muestra determina (S, o Sr)

cAPACTDADES

Y

EJEMPLO 54 En la figura que

oesnnnou-nrus

respecto al

Composición de simetrías (reflexiones): ,l

c*p)

l)

Una composición de rotaciones es la aplicación sucesiva de dos o más rotaciones. Si a una figura se le aplica una rotación R, con centro O y ángulo o, y luego a la homóloga obtenida se le aplica otra rotación R2 con el mismo centro y ángulo B, la figura resultante de R¡ o R: se puede obtener aplicando una rotación a la figura inicial de centro O

Luego. (R, o R2) (A) =

= R{o;

Analiza y resuelve.

yánguloo+B. s¡metrÍa axial s? Se asoc¡a a cada punto A de la A' respecto a un

B)

¡

r:

Determina las coordenadas del del triángulo reflejado

El Lci lejado dc A(.r: )) respecto a¡ e.jc Y cs A'(-.r: r'): Al inicio krs vértices son:A( :li 4). B(-.1: 3)

)

C(.1:

-2).

Detcr¡ninamos las cot¡rdenadas con rcspeclo al eje Y: A'(4; -4). U'(3: 3) y C'(-3: -2)

,=.(5).rl+l

B

Rc.,rl\([¡()\:.r'

EJEMPLO 55

.= ,j,r =

En la figura dada determina (S, o Sz) (D.

.

N N @ j

de eje e, con otra de eje er, que concurren en un punto O, es un giro de centro 0 y amplitud igual al doble de [a amplitud del ángulo que forman los dos ejes et y e2 en ese sentido.

pi J E

Io E

-

(S, . S) (F) = R,u ,n, = F"

p

Ll

La composición de una simetría

!2

El Determina

o &

c a

o

j

§

o

Luego, podemos decir que se cumple la propiedad conmutativa.

a c

§

el

54"

342

I

t' 1 '.1,

r rr-

lr]

@ Femando le pide a Lucía que refleje la figura con respecto al origen. Si O es el origen de sistema,

determina las coordenadas del reflejado de los vértices A, B, C, D y E, respecto a O.

t\l ,

Y

[-a ret-lexirin con respecto ¡l origcn es

las D

coordenadas del cuadrilátero ABCD reflejado respecto al eje X.

una rotrcitin dc I tiO

grados. Si A(.r; lJ su retlejado scrá (-.r: -r').

C

o

F

p

! 4

§

s

El rellcjrdo de A(x: y) respeck) al eje X rs A'(.1 -r'). Al inicio. los vénices son: A( 5: 5). B(-5: I ) . C(l: l) y D(l: 5). Deterninanros las crxrrdenadas clel reflc'jado con respccto al eje X: A'(-5: 5).

a o

o

B

Si la composición de esta simetría se empieza con el eje q,luego con el eje e, observamos que se cumple S, o S ¡ = R(o,:o).

€ c

¡,rrrrt,r r.t,rrl,r

r -,.i. 5{2

r 5:

lr. C'{

I: lt ¡ D'r l:

5t.

E

A(-l:4)+ A'(-l: -.1) B(-7: l)+B'(7:-l) C(-l: l)+C'(l: l) D(-3: l)+ D'(l: l) E(-3: -6) + E'(.1:6) UilIDAD

8 Fufciones

343

Homotecia. Com posición I Capacidades y desempeños precisados . Modela objetos

Examina propuestas de modelos analÍticos para reproducir movimientos de acuerdo con un propósito contextualizado.

I

Proponga que den solución a las actividades 1 a la 3. Pida voluntarios que compartan sus procesos en la pizana,

a

Utilice la sección "Usa estrategias y procedimientos" para que comprueben la composición de homotecias que se muestra en el ejemplo 57. Becalque que la composición de dos homotecias de distinto centro es otra homotecia cuyo centro está alineado con los anteriores, y cuya razón es el producto de las razones de las homotecias dadas.

I

En la actividad 4, pregunte: ¿Cómo obtenemos el valor de k1?(0 + 5); indique que conociendo ese valor ya es posible calcular las dimensiones de B'C' y A'B',

(4-6)

. Usa estrategias

y procedimientos

Realiza proyecciones y composición de transformaciones de traslación, rotación, reflexión y homotec¡a al resolver problemas relacionados con sistemas dinámicos y mosaicos, con recursos gráficos y otros. (1-3)

¿Cómo calculan ks? (2 x 1/4). Pida que expresen oralmente los resultados para verificar las respuestas.

Sugerencias didácticas Para iniciar

I

Rescate saberes previos sobre la homotecia. Resalte que es la transformación geométrica que no tiene una imagen congruente sino que es más bien considerada una aplicación de la semejanza, ya que a partir de una figura dada se obtienen una o varias figuras en tamaño mayor o menor que la

figura dada.

¡

I

Utilice la sección "Recuerda" para que identifiquen en é1, el centro de homotecia. Pregunte: ¿Cuántos segmentos de recta se trazan desde el centro de homotecia? (Tantos como vértices tenga la figura que se va a transformar). ¿Qué significado tiene la constante de homotecia? (Es la escala en la cual se va a realizar la reproducción). ¿En una homotecia se conserva la forma? (Sí). ¿Cómo son las longitudes correspondienfes?(Son proporcionales). En la gráfica que se presente haga notar que una homotecia de centro O y razón k es la transformación que hace corresponder a cada punto A otro punto A', alineado con O y A de forma que OA' = k. OA. Haga referencia a la información a la otra sección "Recuerda", indicando que la proyección de una pelÍcula en una pantalla es un buen ejemplo de dilatación en el espacio. Para que lo entiendan mejor, realice el siguiente experimento: Utilice la pared como pantalla de fondo, coloque un objeto, por ejemplo, una taza, a 1 m de distancia de ella. llumine dicho objeto con una lámpara a 50 cm de distancia de ella y en lÍnea recta, de forma que proyecte la sombra. lndique que midan las distancias entre la lámpara y el objeto, y entre este y la sombra. También pida que midan la longitud del objeto y la longitud de la sombra. Destaque que la razón entre las dlstancias es igual a larazón entre las longitudes del objeto y su sombra.

Libro de actividades (págs .344-345)

I

En la actividad 5, motívelos a poner en práctlca su aprendizaje, y a realizar solos la actividad. lndique que las actividades anteriores le facilitarán su desarrollo.

Dé un tiempo prudencial y luego invite a la pizarraa un voluntario para que comparta su propuesta de solución.

Para consolidar

I

Comente que ya conocen las similitudes entre semejanza y homotecia. Pida que ahora encuentren las diferencias.

I

Recomiende utilizar el programa Geogebra para comprobar las relaciones que existen al aplicar una homotecia a una figura.

complementarias 1. Aplica al ABCD la

H1e; z).

C

Ao D

2.

Dado el siguiente polÍgono. Aplica la H(r, y, y la

H1r; z).

ct

i

'6 l

! o

F 1

Para desarrollar

I

dilatación D(o,2).

E

p p

En el ejemplo 56, haga notar que la primera transformación se trata de

una dilatación ya que la figura se hace más grande y la segunda de una contracción ya que se hace más pequeña; pregunte: ¿Conociendo el valor de la razón, se puede determinar si la figura se dilata o se contrae? (Sí). Destaque la proporcionalidad de los lados correspondientes, lndique que otra forma de expresar la dilatación de la primera figura serÍa: Aplica al AABC la

N N @ j

-1

3. SiM

y N están alineados. Sean H, (lvl;3)y H, (N;1/3). Calcula larazón de H, o Hr. uestas:3.

l

E

o c a c

§

c a @

LIBRO DE ACTIVIDADES

I

TRANSFORMACIONES GEOMETRICAS'

TRANSFORTÚACIONES GEOMETRICAS

Homotecia. composición

B

Una homotecia es una transformación del plano en sí mismo. Una homotec¡a de centro O y razón k se denota con H(o; l).

Homotecia

ff

EJEMPLO 5ó H(o k)

Se mueve cada punto A de ia figura según el centro de homotecia O y la constante de homotecia k, que viene a ser la escala en la cual se realiza la reproducción.

Se trazan Ios segmentos

On. OB y OC y

. K=2

Iz¿¿

oD. oF.'= -! oF..

oF'=

Composición de homoteciasr

Cuando una figura se hace más grande, se dice que es una dilataciÓn y si se hace más pequeña es una contracción.

A'li-. Á Alt+b5=1,(l.ll >I =5 B (" =tBC+60=5(BC)+BC=

DC,

h\

I 12

I

I)fl.-\

p

lV.'' Y.-

" H1o2;x¡ =

H(o3;k1 .k2)

-o

o

Á:

@

I

a

-ó.

j q

Sean los puntos P y Q del plano, que se transforman por Ht en P' y Q'. Estos últimos se transforman a su vez en P" y Q" por H2. Se verifica que P" y Q" se

obtienen mediante una homotecia H, de razón

/Í 344

P"

Sean

k,'

3

e p

)d

regla, verifica si las figuras son homotéticas, en

s

caso afirmativo

§

).

B'

---:',.()

Para tres figuras homotéticas, se tiene que los

Dcterminamos las coordenrdas dr' A:

o

§ a

Á

6

+.rr= ¡,tl

A(llll

r¡"='Lr:+2= -Ló .\+ l5= lll ts'=,t¡¡ + I = I6 ls+\'i=6

24)

E(12;6)

J

Deteminamos las coordenadas de A':

t.

En la tigura sc cunrple : OA'= Á OC y OD'= ÁOD

OC'=

1 .r

.t,"=(¡, al=

't,' = lt, + t',' = t-t', +

s

A" C" = 2,5 cnr

.rl'=kt'r+4= 6 r,+y,=¡4J

kr.

Calcula la razón de Hr o H2. 3/2

2

+

(2)+B"C"=lcm

1

p

[, = P''gt

H,(0,; 3) y Hl0r;

halla su razón

1

-3

@ Utilizando una

o¡.

C'

A" B" = J,5 c¡r

véfices de la tercera figura A" (3; 4), 8 ", C", D" y E" (2; l) son imágenes de la primera figuraA, B, C, D y E. Si k, -- 116y kr= l/3, determina las coordenadas de los puntos A, E, A" y 8".

t/.1

A'B'=+(r2)=4

.I o2

Luego, H¡ o H2 =

a c a

P

.

A'' C" = (5) 1

+

o

6=((It)+Á= (e) =

A,=f +=+

I

u

Hallanros el valor tle

c,= +

+ B' C' =.1 cnr 2(7)+ A'Il'= l4 cm

A'' B" = -L (7) 2

lli cnl

oA'= I OA

k, = ); la. = l/5 y k, = ),/§

€

§

C

cm

.

A,

AC

Calculamos los lados del A A' B'C":

ll

En [a figura mostrada determina H, o Hr. La composición de dos homotecias de distinto centro es otra homotecia cuyo centro está alineado con los anteriores, y cuya razón es el producto de las razones de las homotecias dadas.

(r

('' = 2(2)

('unroA,=A

@ Completa el triángulo A' B' C' homotético al triángulo ABC de centro O. y tal que A' le

=

C¡lculamos los rlcnrás latlos del A A'B'C": U'

-''

(,: A C

l0=Ar(5)+i(r=2

corresponda al vértice A.

O¡

y ¿.?

Hallamos cl valor de

A' B =

EJEMPLO 57

USA ESTRATEGIAS Y PROCEDIMIENTOS Mide con una reSla los segmentos del ejemplo 57. ¿Cuál es el valor

l2

A('=5

B'c'=+05)=s

c

c¡n

llF->'E->'E

oF

H1o1;k1)

Por l)il¿igoras: A' C' = 25 A'('' = A A('+ 15 = 5(AC)+

P'

t,

y las medidas de los lados del

B'

del triángulo DEF. rrazamos los segmentos OÓ. OE y OF, para luego reducir a la mitad cada una de ellas De esta forma, hallamos la figura homotética del triángulo DEF:

RECUERDA

aproximado de k1;

A' B' C'

AA"B"C'.

Hallanros la razón dc'hornotecia.

Para graficar la figura homotética de razón

oD'=

pl o o o

A

De esta forma, hallamos la figura homotética del

oA-=2oAr 0e =26Eyóc =zot.

ci c 'o

Modela objetos: 4-5

B

triángulo ABC:

N N @ j

-3

@ La razón de transformación del A ABC al A A' B' C' es k, y la razón de transformación del A A'B' C'al A A" B'C'es kz= ll4.Halla la razón de transformación k¡ del AABC al

ó5

se

'l

o

consideran tales distancias como unidades, para luego duplicar cada una de ellas.

A,

,

En la figura se tiene un triángulo rectángulo ABC y su homotético A' B' C'. Halla la razón de la homotecia, y calcula las longitudes de los lados de los dos triángulos que faltan.

Dados los triángulos ABC y DEF, y el punto O. Halla la homotecia de centro O, y de razón2 parael triánguloABC. Luego, la homotecia de centro O y razón l12 para el triangulo DEF.

.

tjsa estrategias y procedimientos:

Analiza y resuelve.

Para toda homotecia se cumple; La imagen de una recta es una recta paralela a ella. La imagen de un segmento es un segmento paralelo a él y que tiene k veces su longitud. La imagen de un ángulo es un ángulo que tiene su misma ampiitud.

RECUERDA

DESARROLLA TUS CAPACIDADES

' OA: OB

=

Luego. las figuras son homotéticas y Á = 2.

Á

OB:

.ra'

= Lr,

t'.'=

f,t-,

+

¡,'

=

ta)

o

-..,' = ri r',' = j {z+) - -,,'= la' = {{tzt-r.'=+

+ 1','=

{

{

A'(6r 8)

E'(4t2)

{ro)-,r,'=2

@

UNIDAD

8

FUNCiONES

345

Sistemas de mecanismos articulados t Capacidades y desempeños precisados . Genera nuevas relaciones y datos basados en expresiones N¡odela objetos

analíticas para reproducir movimientos rectos, circulares y parabólicos, (1-6)

Sugerencias didácticas

I

I

I

Comente que el ser humano necesita realizar tareas que sobrepasan su capacidad física e intelectual, elevar coches para repararlos, transportar personas u objetos a grandes distancias, cortar árboles, etc. Para ayudarlo con ello, se inventaron las máquinas, cuya función es reducir el esfuerzo necesario pararealizar un trabajo. Como ejemplos de máquinas, tenemos las grúas, la excavadora, la bicicleta, el cuchillo, las pinzas, los montacargas, las tejedoras, los ordenadores, los robots, etc. Todos ellos con una finalidad común: Reducir el esfuerzo para realizar un trabajo.

Continúe diciendo que toda máquina contiene uno o varios mecanismos que le sirven para controlar o transformar el movimiento producido por el elemento motriz. Los mecanismos son las partes de las máquinas encargadas de transmitir o transformar la energía recibida del elemento motriz (una fuerza o un movimiento), para que pueda ser utilizada por los elementos receptores que hacen que las máquinas funcionen. Para que se familiaricen con el tema, plantee las siguientes preguntas: ¿Qué es un sistema articulado? (Un mecanismo articulado es un ensamblaje de palancas diseñadas para transmitir movimiento y fuerza). Mencione que

existen diferentes clases de sistemas articulados. Dé lectura a la información de la sección "Ten en cuenta" para que consideren los tipos según el movimiento que transmite el mecanismo. Pida que mencionen un ejemplo para cada tipo de movimiento, por ejemplo, para el movimiento circular oscilante puede mencionar un péndulo. Complemente con la información en la sección "lmportante", destaque como un ejemplo de piñón, la cremallera, el elevalunas del automóvil y algunas cerraduras, como la de los cajones.

Para desarrollar

I

I

En el ejemplo 58, detalle en el texto las caracterÍsticas del mecanismo, Resalte que se trata de un mecanismo de banas o eslabones; indique que usualmente en este tipo de mecanismos las barras se numeran de la siguiente manera: barra que proporciona movimiento al mecanismo, barra superior, barra que recibe el movimiento, Pida que identifiquen cada una. Resalte que el movimiento que describe el desplazamiento del punto C, corresponde a una traslación, ya que se desplaza de izquierda a derecha según lo indica la flecha. Pregunte: ¿Qué tipo de movimiento describiría una rotación? (Que alrededor del punto C, gire p).

Para una mejor comprensión del ejemplo 59, se sugiere mostrar la situación utilizando material concreto. Puede reproducir el mecanismo con ayuda de sorbetes, asÍ podrán visualizar mejor los movimientos de la máquina.

I

Analice junto con los estudiantes, de manera que deduzcan la rotación y la traslación en este movimiento.

I

Aproveche de comentar sobre el tema transversal "Aplica la ciencia". Para ello, proponga la pregunta al final de la actividad y propicie un conversatorio sobre otros mecanismos que hayan propuesto.

I

Para la actividad 1, indague sobre sus conocimientos acerca de la forma y utilidad de un telar, y aproveche de mencionar que es una técnica aún utilizada en muchas partes de nuestro paÍs. Sugiera que realicen una gráfica de la situación para que compruebe el movimiento que describe.

I

En la actividad 2,haga notar que en ambas figuras describen dos para P y Q, respectivamente. Pida que expresen oralmente sus observaciones y propicie una puesta en común para que lleguen a un consenso.

I

En la actividad 3, pregunte: ¿El movimiento es de derecha a izquierda o de izquierda a derecha? (De derecha a izquierda).

I

Para la actividad 4, haga notar que la barra s es fila y las otras tres l, p y q son móviles. lndique que analicen la estructura del sistema para que puedan deducir qué tipo de movimiento pueden realizar.

I

En la actividad 5, indique que tal como el nombre lo sugiere, el elipsógrafo sirve para dibujar elipses; es llamado también compás elíptico. En este dispositivo, el extremo de la varilla va a describir una elipse. Modificando la distancia entre los puntos de unión de la varilla con las piezas deslizantes obtenemos diferentes elipses.

Para iniciar

I

Libro de actividades (págs. 346-347)

I

Para la actividad 6, propicie una lluvia de ideas para dar respuesta a esta

actividad. lndique que es aquel movimiento en el que un movimiento giratorio origina uno lineal continuo. Oriente si es necesario.

N N @ j

Para consolidar

ci

I

:9

I

Concluya indicando que muchas máquinas utilizan mecanismos articulados para funcionar. Un mecanismo articulado es un ensamblale de palancas diseñadas para transmitir movimiento y fuerza. Proponga la siguiente actividad complementaria: La excéntrica es una rueda que tiene una barra rígida unida en un punto de su perímetro, ¿Qué tipo de movimiento describe? (Transforma el movimiento circular en alternativo y viceversa).

Y o o f

§ € E

cI

o

G

§c .E

c G a @

LIBRO DE ACTIVIDADES

r

TRANSFORMACIONES GEOMÉIRICAS'

TRANSFORMACIONES GEOMETRICAS

S¡stemas de mecanismos art¡culados

fl

Un mecanismo es un conjunto de elementos rigidos, móv¡les unos respecto de otros, unidos entre sí mediante abrazaderas, pernos, pasadores, etc, cuyo propósrto es la transmisión de movimientos y fuerzas.

TEN EN CUENTA Se8ún el movirniento que transrnite, un mecanismo puede ser lineal,

de movimiento rotatorio o circular, de movim¡ento alternativo y de movimiento oscllante.

EJEMPLO 58

El mecanismo que

se muestra consiste

ll C

formando un ángulo recto. La tercera bana p, se puede desplazar a lo largo de z, a la que está unida por uno de sus

p

transformación pueden, a su vez, aSruparse en: N.4ecanismos de transformac ón

circularlinea.

q

un movimiento pmabólico y V

Se observa que la barra movible se desplaza hacia la izquierda y derecha

trasladándose de un lado a otro. Se trata de una traslación respecto al vector de módulo gC: = (0; BC).

i

.

realizat al mover las barras móviles?

telar w comprueba que E describe

a lo largo de una bana fija, por lo cual describe un movimiento alternativo IMPORTANTE

de cuatro barras,llamado cuadriláte¡o articulado, es una estructura especial formada por tres barras móviles (1, p y q) y una cuarta fija (s). ¿Qué tipos de movimientos se puede

@ Este mecanismo

Una de las partes del mecanismo de un telar está compuesto por tres banas ¿uticuladas que forman un triángulo. De las tres barras, la que se encuentra en la base es de longitud variable, y las otras dos tienen longitud fija. Cuando se alarga o se acorta la base, el vértice superior V se sihia a distintas alturas. ¿Qué movimientos realizan los puntos E y V?

mecmismo de un

desplazamiento del punto C?

Los mecanismos de

lvlodela objetosr 1-ó

Respecto al

extremos C, manteniéndose paralela a m. ¿Qué movimiento describe el

.

CAPACTDADES

Analiza y resuelve.

ll

en tres barras. Dos de ellas, ¡z y n, están rígidamente unidas por un extremo B

orsannorlrus

Por la estructura del sistema. al mover las banas móviles y manteniendo una fija, se puede realizar un movimiento de rotación.

un movimiento oscilmte.

i

@ Dados los mecanismos articulados de la figura describe el movimiento de P y Q en cada uno de ellos. Señala con flechas sus direcciones.

Si el punto C permitiera rotar a Ia barra p, se produciría una rotación de p alrededor del punto C. Aplica la ciencia

EJEMPLO 59

Piñón

ll

Una máquina para hilar lana tiene un mecanismo conformado por dos barras: una que gira en torno a uno de sus extremos O, unido a un punto móvil P, y la otra que tiene uno de sus extremos articulado al extremo móvil Pde la primera barra,

P

n

@ El elipsógrafo

es un aparato atribuido a Leonardo da

Vinci. Este consiste en dos baras rígidas unidas con dos ranuras por las que se deslizan dos pivotes de una tercera barra. Si ubicamos un punto ígidamente unido a esta tercera barra, ¿qué tipo de movimiento dibujan los puntos A y C?

y el otro de sus extremos Q que se mueve en línea recta. ¿Qué transformaciones geométricas se puede observar en los movimientos de esta máquina?

Cremallera

transforrnac¡ón circular-alternativo Las levas

N N o j

En la primera ñgum. de acuerdo con el mecanismo, el nrovimiento de P es circulu de manera horuia y el de

/

l\4ecan¡srnos de

o

Q es un movimiento recto de izquierda a derecha.

a

a

En la sgunda figüm, el movimiento de Q es veniml de miba hacia abajo, y el de P hace un giro horario.

\i

I

@ En la secuencia de los mecanismos, ¿qué tipos de movimientos realizan P y Q?

lt

p¿

ñ

o

f E

P

g o

-./

E

.

!

p@ =o c

a c

=c o a @

Aplica fundamentos de ciencia y tecnología. (Diseña alternativas que resuelvan el problema). 34ó

Observamos que, respecto al mecanismo, P efectúa una rotación con centro en O, mientras que Q efectúa una traslación. Este es un ejemplo de cómo los elementos de un mecanismo describen diferentes movimientos que, en su conjunto, hacen que se transforme un movimiento circula¡ en uno lineal.

(9 ,¡lsirn¡';rr,rl l)r(l:ielrlir¡lr'eir Iilr¡

i(lr l,r rirI

illtr|,lrrr"lll() l),il('( riio

ir rlsl.i

llr(lrltlilla'

)

J d

q

§

s

3

E

4

e 3

§

E

3 o

a o

k J[: -Z: Cuando se mantiene fijo el pivote. los P y Q realizan movimiento de r¿slación en línea recta P de izquierda a derecha y Q de derecha a izquierda,

La figura que se origina entre los puntos A y C. al hacer el movimiento, es un elipr. Un cálculo elemental con coordenadas pmeba que se dibuja la elipse centnda en O con smiejes BC y AC.

@ El mecanismo piñóncremallera tiene por fi nalidad la transformación de un movimiento de rotación o circular (piñón) en un movimiento rectilíneo (cremallera) o viceversa. ¿En dónde se aplica este mecanismo?

Piñón

+

Cremallera

En la bicicleta. Ilave del caño. e¡ el rnec¿urismt¡ tle la

míquina tle coser. etc.

UNIDADS Funcones

347

LIBRO DE ACTIVIDADES

Razonam iento matemático I

Libro de actividades (pá9, 348)

Capacidades y desempeños precisados . Evalúa si los datos y condiciones que estableció ayudaron a Traduce resolver el problema. (8-16)

cantidades Usa estrategias y procedimientos

o

Juzga la efectividad de la ejecución o modificación de su plan al resolver el problema.(1-7)

Sugerencias didácticas Para iniciar

I

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO Comparación cuantitat¡va

Suficiencia de datos

A pafir de la información dada,

calcular dos cantidades: una en la columna A y otra en la B. Compara ambas cantidades y luego menciona la clave.

En cada situación, se da un problema con dos datos. Identifica el dato o datos necesarios para solucionarlo y, luego, menciona la clave.

A La cantidad A es mayor

que B.

A El dato I es suficiente

B La cantidad B es mayor

que

C Ambas cantidades

se deben

-

A.

D Falta información para poder comparar.

E Los datos no Información

O

B

'

sea f(x) =

Sea/(x)

+l u-t

Columna A

Columna B

f(3)

f(4)

]

=-5x+2

Pendiente

de/

II no lo es. I no lo

I. D(r=lR

II.

Pendiente

de./ '

Gl Halla el rango de la función/(r) =

al.

Para desarrollar

I

I

I

Oriente algunas actividades a través de preguntas o sugerencias como, por ejemplo, en la actividad 1, pregunte: ¿Para cuál de los valores de x se obtuvo el mayor valor numérico? (f(3)). En la actividad 2, pregunte: ¿Cómo obtenemos la pendiente de la ecuación de la recta? (y = mx + b). En la actividad 3, haga notar que se proponen tres situaciones. Para la actividad 4, resalte que en la columna A se refiere a la inversa de la función. En las actividades 5 y 6, haga notar que se definen dos funciones diferentes; complemente la actividad pidiendo que comparen ambas cantidades definidas en la misma función. Para la actividad 7, pregunte: ¿Cuál es la clave de respuesta? (A). Para las actividades de la sección "suficiencia de datos", indique que prueben primero utilizando solo el dato I, luego, si no llegan a un resultado, incluyan el dato ll. Eso les facilitará determinar qué datos son necesarios para resolver la situación planteada

Para consolidar

I

B

Sean,

Antes de iniciar el desanollo de las actividades de la sección "Comparación cuantitativa", mencione que el cálculo de ambas cantidades, inclusive la comparación entre ellas, la pueden hacer mediante una aproximación, un cálculo mental o sent¡do común. Recuérdeles que para la realización de estos cálculos no se permite el uso de calculadoras.

Concluya con las siguientes preguntas de afianzamienlo: ¿Cuál sería tu estrategia para comparar cantidades desconocidas expresadas en variables? (Probar diferentes valores y ver cómo varíala relación entre las columnas). ¿Qué estrategia utilizas para resolver problemas de suficiencia de datos? (Se analiza el resultado V todos los datos conocidos que en él existen).

h(-2)

Suma de la abscisa y ordenada del vénice de./.

g es

biyectiva. t)

g es inyectiva y sobreyectiva.

u

Abscisa del punto de intersección de g con el eje X.

@

O

Sea

/(-r)

Sean

=+

f'(4)

Sean

/(x) = Z1' v lr (+)

fx)

=

x+ysi

f(2)

I. m=6

II.

;l-

4¡

g(x) = log,

,r(0)

D

-r¿

simetría.

r)

pertenecen

ah.

B

Ordenada del punto de intersección de ft con el

ejeY

A

I.

de A

La gráfica de la función es una parábola.

rr. /(3)

=/(-3)

@ Indica si la función g es periódica. L s(6) = s(ll) =s(16) =s(21)

II. s(I)

= s(2) = s(4)

E

=s(8)

lD Encuentra la expresión algebraica de la función

lineal.

f(V4)

E

L La gráfica no pasa por el punto II. La pendiente es negativa. [D Indica si la función lineal

8(0)

I.

@ Determina

e(l12)

si/y

(0; 0).

es decreciente.

La gráfica pasa por el punto

II./(4)=lyl(l1)=-6 1691

-

./([3) no existe

@ Determina si la función/tiene eje o centro

(¡; o) y

u

rr= El

h(-z) + s(3)

1or

n

II. a=6

@ Halla el dominio de la función/(.r) = e@) +

es.

son suficientes.

El Determina si la función l' s@)=Lx+2

I

respuesta.

y el dato

es suficiente y el dato

C Es necesario usar a la vez los datos I y II. D Cada dato, por separado, es suficiente.

son iguales.

En las actividades correspondientes a la sección de "Comparación cuantitativa", destaque que deben efectuar el cálculo de dos cantidades

para luego poder compararlas; recuérdeles que para dar su repuesta deben utilizar la clave de letras que se muestra. Pida que lean con atención lo que signlfica cada una. Para las actividades conespondientes a "Suficiencia de datos", resalte que deben analizar la situación propuesta e identificar si los datos I y ll que se proponen son necesarios para poder darle solución. lgualmente, hágales notar que deben utilizar la clave de letras para su

B El dato II

u

ci

(-3; -Z).

c

g son funciones inversas entle sí.fl

t.f(4)=7ysQ)=4

f, D

II.

/

N N @ j

y g son simétricas respecto al eje y =

¡.

s

:9

d

l E

a e ,E

p <

O

Sean

/(r)

= 3r y

g(¡) = log,3 348

/(2) *

861)

/(-')

+

8(+)

[D Indica si la función lineal

I. II.

es creciente. A

Pasa por los puntos

La función es inyectiva.

(3;2) y (-l; -5)

o o o l

p

-p

D_

e

-

c

0

a

§C c

G

o

LIBRO DE ACTIVIDADES

Uso de software matemático I

Libro de actividades (pá9, 349)

USO DE SOFTWARE MATEMÁTICO

Capacidades y desempeños precisados Usa estrategias y procedimientos

r

Resuelve problemas considerando una gráfica de función seno y coseno y otros recursos. (1-4)

Ut¡lizo ceogebra, para graficar funciones tr¡gonométr¡cas

G[!!!

Sugerencias didácticas

Accede a https://www.geogebra.org/rn/zF5GzAKV

GÉFñEI g¡1r1o.u el panel de animación y realiza las siguientes actividades:

Para iniciar

t

Utiliza el deslizador c para variar el valor del ángulo entre 0' y 360'. .1

Pida que accedan a la página de Geogebra sugerida en el paso . Destaque del texto introductorio que en este enlace se muestran las gráficas de la funciones trigonométricas seno, coseno y tangente, Además, que en el primer caso el deslizador permite variar el ángulo entre 0" y 360' indicando su valor en grados y radianes; en el segundo, el ángulo varía desde -3¡/4 hasta 9¡/4 expresado solo en radianes

Activa la función trigonométrica seno, valores y circunf'erencia goniométrica. Desliza más de 180' y casi 360'. ¿Qué signo tiene el valor de la función seno'l

Desactiva la función seno y activa la función coseno. Luego, desactiva la función coseno y activa la función tangente. Desliza a. ¿Entre qué valores sus valores son negativos?

Verifica que seno de 34" es igual a coseno del complemento de 34". r

N N @ j

I

Funciones trigonométricas

ci

i

J E O

o o

p

I

E o

& q

Comente la definición de circunferencia goniométrica, trigonométrica, unitaria o cÍrculo unidad, que es una circunferencia de radio uno, normalmente con sus centro en el origen (0; 0) de un sistema de coordenadas cartesianas. Para interpretar y extender las definiciones de las razones trigonométricas a cualquier ángulo y no únicamente a los ángulos agudos, se representan las razones trigonométricas en la circunferencia goniométrica. Cualquier punto P(¡ y) de la circunferencia unidad nos define el ángulo formado por la semirrecta OX y la semirrecta positiva del eje X, recorriendo el ángulo en el sentido inverso a las agujas del reloj. Si nos fijamos en el primer cuadrante, entonces x y y son las longitudes de los catetos de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa tiene longitud 1, con lo que obtenemos que x es el coseno del ángulo o y y es el seno de o,. Este resultado nos permite extender la definición del seno y coseno a cualquier ángulo. Para ello, definimos como seno de cualquier ángulo a la ordenada del punto (y) y coseno a la abscisa del punto (x) en la circunferencia goniométrica. Resumiendo cualquier punto de la circunferencia trigonométrica, tiene como coordenadas (cos o; sen o). lnvítelos a explorar el panel de animación en el paso 2. Verifique que identifiquen correctamente el deslizador o. Para ello, indÍqueles que se encuentra en la parte superior izquierda del margen. Pida que activen la función trigonométrica seno, valores y circunferencia goniométrica. Para ello, solo deben hacer clic en los recuadros correspondientes, Soliciten que deslicen o, entre más de 180" y casi 360", realice la pregunta y pida a varios estudiantes que expresen oralmente sus respuestas.

Continúe indicando que desactiven la función seno y activen la función coseno. Luego, desactiven la función coseno y activen la función tangente, Recuérdeles que deben utilizar el deslizador de o para ver entre qué valores son negativos,

Para consolidar

c

8

@

o

Resalte la utilidad del programa Geogebra paralarealtzación de gráficas de f

unciones trigonométricas.

GeoGebro

ee+

f a

5

rffz

¡.r , !l1ll

AVabrcs ZCnc.sonDñ

liEFñ

ffi

Activa las tres funciones trigonométricas y determina en la gráfica sen 212' ,cos 212' y Ordena en forma descendente estos valores.

EXPLORA E INTERACTÚA

tan2l2'

Usa estrategias y procedimientos 1-4

.g

p €

Determina el valor de las siguientes expresiones:

Activa cada par de funciones trigonométricas.

ff A= sen l3o + cos 101" *

Luego, observa las gráficas y responde.

OB=zsen s @

c

§ .E

appgeogebE.orgl

€

:9

=

C t¡rq¡

Para desarrollar

I

q. entre

O

125"

C = 7 sen 90"

-

tan 162'

-3cos262" +5tan327' 2 cos 180"

-4tan

360'

Gl

¿,Cuáles son las intersecciones de cada función

con los ejes coordenados? ¿,Cuáles son las intersecciones de sen« y cos (r; tan (r y cot (r: y seccr y cscc? UNIDAD

8

FUNCiOneS

349

TEXTO ESCOLAR

Actividades nteg radas i

r

Libro de actividades (págs, 350-351 )

CIERRE

Análisis de las preguntas

I

Presente las actividades de la capacidad "Comunica su comprensión sobre las relaciones algebraicas" como aquellas que nos permiten comprender el significado de las ideas matemáticas y expresarlas de forma oral y escrita usando el lenguaje matemático. Esto se evidencia en las actividades 1 a la 5 al tener que expresar el valor de verdad de las proposiciones. Para las actividades 6 y 7 tendrán que determinar a partir de la gráfica si la función es inyectiva. En el caso de las actividades 8 a la 11 deben establecer una relación entre la representación gráfica y analÍtica de cada función, para lo cual deben reconocer las características gráficas de cada tipo de función.

I

Enfatice en cómo la capacidad "Usa estrategias y procedimientos para encontrar reglas generales" les permite elaborar un plan de solución para Ias distintas situaciones problemáticas, pudiendo incluso reformularlo en plena ejecución con la finalidad de llegar a la meta. Tamblén mencione que les permite valorar la estrategia, procedimientos y recursos utilizados.

I

Haga notar que los planes que propongan para el desarrollo de cada actividad son variados, ya que cada uno diseña o escoge el que considera más apropiado para realizar cada actividad.

I

Para las actividades de la capacidad "Argumenta afirmaciones sobre relaciones de cambio y equivalencia" insista en las diferentes formas de razonamiento: deductivo, inductivo y abductivo para plantear supuestos, hipótesis y conjeturas, las cuales pueden verificar y validar haciendo uso de su capacidad argumentativa. Hágales recordar las demostraciones

SINTETIZAMOS

Te

presentamos mediante un ortanizador gráf¡co los conceptos clave que has trabajado en esta unidad.

Func¡ón cuadrát¡ca

Forna'.Í(i

=af

donde a, b,

c elR,

+

br

a*

Vértice el punto v(á,

+ c,

o

r):

oondeh=-*,k=-¿iPFunc¡ones por tramos

Funciones especiales

Aedesimetría:x=-fi

Función inyectiva, sobreyectiva y biyectiva

Función valor absoluto f(x) =

'

H=fx

six

>0

l-Jsir<0

D(/) =

lR

y R(/) = I0;+

Func¡ón periódica: ÍOc)

€l

=Í&

zeZ

x eD(f\

+ z.T),

Func¡ón máx¡mo entero

Función inversa:

/r)=[E]l=non
SealA

D(f)= R.n éz.y Rlf) =z

La func¡ón inversa es

+

jf¡: B -,>

Bybiyectiva.

A

Func¡ones

Función exponencial y logaritm¡ca

Transformaciones geométricas

Función exponencial:

Composición de traslaciones

trabajadas durante esta unidad.

fOO=d,dondea>oyaxo

Composición de rotaciones

Pida que para las actividades 24 y 25 analicen los datos a partir de la función que se define y realicen la interpretación que permite determinar el

D(/)=rRyR(/)=rR-

Composición de simetrias

Función logarftmica:

Func¡ones trigonométr¡cas

Composición de homotecias

. . .

Sistemas de mecanismos

articulados

Función seno y cosecante

f(x) =

Función coseno y secante

D(/)=

logo

máximo valor.

x, donde a > 0 y a + 0

lR- y

R(/) =

Proponga que, en las actividades 26 ala28, justifiquen sus conjeturas o las refuten basándose en argumentaciones que expliciten puntos de vista opuestos e incluyan conceptos, relaciones y propiedades matemáticas.

R

Función tangente y cotanSente

I CONSULTAMOS

)

DiSita en el buscador de internet de tu preferencia el conjunto de palabras que se ¡nd¡can y accede a las primeras direcciones que aparezcan. §

g

€ p

$ . .

E

a o

eara ampliar la teoría flletype: pdf libro de matemát¡ca + funciones khan academy+func¡ones

tr¡gonométricas

Ag

.

apl¡cac¡ones

""ruver videos + aplicaciones de las

funciones cuadráticas

.

f¡letype: svvf f unciones

+

gráf¡ca de

tr¡gonométricas

E . . .

Para interactua

r

ont¡ne

thatquiz + funciones cuadráticas thatquiz + transformaciones

En la actividad 29, enfatice que se desea saber el volumen en función del radio, lo que sugiere calcular f(r). En la actividad 30, pida que describan qué representa x en la gráfica y qué dimensiones hay que tomar en cuenta para calcular el volumen de la caja.

geogebra Search funciones trigonométricas

UNIDAD

Resalte que la relación entre las situaciones reales y la matemática se destaca en la capacidad "Traduce datos y condiciones a expresiones N N @ algebraicas". Cerciórese que conozcan la función cuadrática, funciones especiales: inyectiva, sobreyectiva, biyectiva, inversa; función exponencial ci ¿ y logarítmica; funciones trigonométricas, funciones por tramos y :9 o transformaciones geométricas, temas que deberán aplicar para dar solución pf, o a las actividades de esta capacidad. Mencione la importancia de evaluar si o o los datos y condiciones que estableció ayudaron a resolver el problema. f

8

Funciones

8'l

En la actividad 31 , pregunte: ¿Las características de la situación sugieren una función de qué tipo? (Cuadrática). ¿Cómo la identifican? (Por la forma

parabólica).

po c_o o d

a o c -9

c (¡t @

LIBRO DE ACTIVIDADES

ACTIVIDADES INTEGRADAS Comun¡ca

Usa estrategias y procedim¡entos

Argumenta afirmaciones

Escribe V si es verdadero o F si es falso.

Determina la función inversa en cada caso.

Resuelve y

fl

fDf(x)=4-3xl'r.'r=ff

El rango de una función cuadrática es igual al conjunto de los números reales

E) La función máximo entero no

Una función logarítmica es la inversa de la función exponencial.

@ El dominio de la función

I.

@ El periodo de la función tangente y

o

\t\ 11 I

l3

entrada. ¿Cuánto tendría que cobrar por cada entrada para obtener el máximo beneficio? s/ I 7.50

¡t

¡

t,1.,r

r=l

fD - -f(x¡=l+6x+4 Vr lr 5r:r= @ "/trl=21 +8x+5 \'r-l:

I

.]t:.r-l

\'I / -T$ftn )+

delsuelo?

c)

I

-*+ No tr iltrttlirrr

\r a\ iil\(alr\lt Relaciona cada gráfica con su correspondiente función.

15

I horir r

il

@ Un objeto

rr¡inurt¡s

Y

0

sanguínea de una persona varía como se muestra en la figura. El cambio periódico en la

7rl2

presión es producido por los latidos del corazón. ¿Cuál es el valor del periodo? 0.75 \

-- 4 cos 2x lR:

Y

R()=l-3;3l lAl=3 1= 2"

-

EB Indica el periodo y la amplitud de la función cuya gráfica se muestra a continuación.

@

Y

f(x)=3'-t

E

§

2r

f(x) =

sen

80

f

2

e p e

p

't'= 2¡: Al= I

o

ED

Siy=Asenk¡

E

es la función de

-

de la gráfica que se muestra. calcula eI valor

a o

deA+k.

Sobre el suelo, la distancia entre los extremos es de 12 m y la altura del monumento a I m de cada uno de los extremos es de 1,5 m. ¿Cuál es la altura máxima de dicho monumento?

r,

,,,

de bacterias que hay en cierto cultivo en

hrrrir,

3 Tiompo G)

8 E

ED En la entrada de un coliseo hay una escultura en forma de arco parabólico cóncavo hacia abajo.

un tiempo , está dado por Q(¡) = 2 ' 3', donde I se mide en horas y Q(l) en miles de unidades. ¿En qué tiempo habrá 316 mil bacterias? 0.-i

,t0

2x -5

'l 30 cm

@ El número

a

o

?

t.,r,

t20

I

350

20cm

-

se enfría en

@ La presión

Df)=

l.r' I{llr\ r ll)tl\

70cm

encuentra rodeado por aire a 75 oC de temperatura, entonces puede mostrarse que su temperatura/(t) después de f horas es igual a/(r) = 50' 2-2' + 75. Si / = 0 corresponde a la I p. m., calcula la temperatura alas2:'3 y 4 p.m. ri7-s:7lt.l15 y 75Jttl15 "('

lafunción)=3sen¡.

5Tl2

una pieza rectangular de cartón, cortando en las y doblando esquinas cuadrados idénticos de fuea los lados hacia arriba, tal como se muestra en la figura. Expresa el volumen V de [a caja en función

forma directamente proporcional a la diferencia de temperaturas entre el objeto y el medio que lo rodea. Si un objeto pasa de 125 'C a 100 'C en 30 minutos cuando se

ED Determina el dominio, rango, periodo y amplitud de

f (x)

Se quiere elaborar una caja sin tapa a partir de

dex.7,.rr .

l50cm

,

s

inicial en gramos. ¿Cuánto tardariín 2500 gramos en

-f(¡) = log:¡

r50 c¡rr

*

lslcs

1250?

cr,:

20 cm

E

de gramos de una sustancia radiactiva

reducirse a

funciónder.,.,, .,r,'r'

@

después de ¡ horas se encuentra con la ecuación q = qo . ea'asrdonde Qo representa el número

o

Para almacenar gas propano, se desea fabricar un tanque de acero en forma de cilindro horizontal de 3 metros de largo con tapas semiesféricas. Expresa el volumen V (en metros cúbicos) del depósito en

posición del dibujo. Halla sus dimensiones para que el volumen de la caja sea el -*:r:;,

¿En qué tiempo la piedra inicia el descenso? "l

@ El número

@

ED La maletera de un auto tiene la forma que se muestra. Se quiere introducir una caja en la

Resuelye.

a) Calcula la altura de la piedra en I = 3 s. 7-5 nr b) ¿En qué tiempo la piedra se encuentra a 60 m

I

I

-3 -t

=ffi

eje de simetría de las siguientes parábolas.

=U;J/,r.r

es lanzada con un movimiento parabólico. La piedra obedece la fi¡nción h(t) = 4Ot - Si,siendo ñ la altura en metros y t el tiempo en segundos.

Indica si las funciones son inyectivas.

Analiza y determina el resultado.

EE El director de un teatro estima que si cobra S/ 30

@ Una piedra

cotangente es igual a n.

3

=+

fbftx)=i-qx+l Vrl:ll:r-l

f@

@ttl=-l+u " \rl:ll:

secanre y

cosecante es igual al conjunto R.

@

r(.r)

Halla las coordenadas del vértice y la ecuación del

función biyectiva.

ft

=$

=ffi

I

por entrada, podía contar con 500 espectadores, y que cada reducción de S/ l, le supondría 100 espectadores más. Expresa el ingreso obtenido en función de la reducción en el precio de cada

rD

es una

lD f(x)=5x+6

Traduce datos y condiciones

justifica.

EB El caudal en la desembocadura del río Orinoco, en Sudamérica, se puede calcular en forma

aproximada mediante la expresión: F(,) = 26 0O0 . sen[fl rr - 5.5)l + ]4 000 Donde ¡ es el tiempó en meses y F{r¡ es el caudal en m3/s. Aproximadamente, ¿cuánto es el flujo del caudaldel ríoalos meses? +07l9.lnr',s

ll

s UNIDAD

8

Funciones

351

LIBRO DE ACTIVIDADES

Evaluación ¡ ACTIVIDADES PROPIAS DEL BACHILLERATO INTERNACIONAL

I

El

virus de la gripe

Árboles frutales pequeños

El centro poblado de Yungaypampa de la región Ancash es atacado por el virus de la influenza (gripe). A partir del instante en que se detectó, se tomaron medidas para controlarlo. La ecuación que permite calcular el número de personas enfermas es: f(fi = -f ¡ & + 27 ,en la que , es el tiempo

@ Si no disponemos de un ampliojardín, podremos disfrutar de los árboles frutales pequeños plantados en contenedores. No necesita un espacio muy amplio, de modo que podremos cultivarlos en espacios más reducidos. El crecimiento (altura = á) de un rírbol frutal pequeño está dado por la siguiente función l¿(t) = 3,5 ' log (0,75 t + 1) + 125. Donde ¡ es el tiempo en meses y ft altura en centímetros.

en días. ¿Qué día se observa el número máximo de personas enfermas de gripe? ¿Cuántas son?

a) ¿Cuál

Analizamos la función: Como a = abajo.

-l

< 0, entonces la parábola se abre hacia

c)

Hallamos el punto mínimo: V(h; k)

Calculamos el valor de k: k =/(3) = -(3)r + 6(3) + 27 = 36 Luego, el vénice es V(3; 36) > punto mínimo

I

z.s cnr

¿Cuál es el tiempo que pasará para que la altura del árbol sea l8 cm? -1¡i nreses I I dias

paciente y se debe distribuir por todo el organismo para llegar a la zona en que debe realizar su actividad farmacológica. La concentración en la sangre está dada por la función -v = 100 . (094y, donde _v es la concentración en mg y t el tiempo en horas.

a) ¿Cuál es la dosis inicial del medicamento? b) ¿Qué cantidad del medicamento tiene el paciente

O

El ciclo cardiaco (sístole y diástole) se repite en el hombre adulto normal alrededor de 70 a 80 veces por minuto, que es la frecuencia cardiaca normal. El ciclo cardiaco tiene, en consecuencia, una duración promedio de aproximadamente 0,8 segundos, de los cuales 0,3 segundos conesponden al sístole y 0,5 al diástole. La función cuya gráfica se muestra a continuación, sirve para hacer un modelo de ciclo completo de este proceso.

al cabo de 5 horas? Flujo (//min)

a) Hallamos Ia dosis inicial:

t=0 +r'=

100. (0,94/r = l(ru

_y

=

a'

sen(ál)

La dosis inicial del medicantento es 100 mg.

b) Calculamos la cantidad de

-5

cle

medica¡nento al cabo

horas:

+ r'=

100 . (0.94)5 = 73.39 Al cabo de 5 horas, el paciente tiene 73.39 mg

I = -5

de medicamento.

0,25

tiemp
Si para la fase sistólica le corresponde una intensidad máxima de 8 litros por minuto, ¿cuál es la función que lo representa? ¿Qué valor tiene el flujo en 0,25 segundos? r = 8 sen .{ ¡r:0

I

Propicie que se familiaricen con la idea principal de la situación. Pida que reconozcan qué tienen que aver¡guar y qué datos tienen. Motive para que mencionen si conocen empresas de taxi que se preocupan por tener una flota de autos en óptimas condiciones y qué les transmite esto.

I

Pregunte: ¿Qué tipos de problemas podría presentar un auto, destinado serv¡c¡o de taxi, luego de sers años de uso? Plantee la pregunta de manera que analicen los cuidados que se deben tener en cuenta, como el mantenimiento de la unidad.

I

En la pregunta I, haga notar que tiene definida una función costo del automóvil y saben que al quinto año se vendió en US$ 6500, por lo que se puede reemplazar el valor de t por 5 para calcular el valor del prec¡o original. Pregunte: ¿Qué diferencia hay entre el prec¡o inicial y el precio en el que se vend¡ó luego de 5 años? (US$ 1 1 180). En la pregunta 2, plantee una situación similar pero para calcular el valor del auto al segundo año. En la pregunta 3, resalte la función depreciación y su apl¡cación paral = 2. En las preguntas 4 y 5, haga notar que partimos de un supuesto valor que hay que relacionar con la función de costo del automóvil, En la pregunta 6, ut¡l¡zamos nuevamente el costo inicial dado en la situación or¡ginal.

I

Para que consoliden lo aprendido, indíqueles que elaboren un cuadro de doble entrada como el que se muestra siguiendo los criterios de categorÍa mencionados en el marco PISA. N.

Proceso

Contenido

Contexto

Tipo de respuesta

1

Emplear

Cambio y relaciones

Personal

Construida cerrada

2

Emplear

Cambio y relaciones

Personal

Construida cerrada

3

Emplear

Cambio y relaciones

Personal

Construida cerrada

4

Emplear

Cambio y relacrones

Personal

Construida cerrada

5

Emplear

Cambio y relaciones

Personal

Construida cerrada

6

Emplear

Cambio y relaciones

Personal

Construida cerrada

I

N

:

@

.i i

:9 E=

p o E f

p

po _§

E

o

L

e 3 o

Situaciones de forma. movirniento y lcrcalización. Traduce datos y condiciones: Vincula datos y expresiones a partir de condiciones de carnbios al expresar un modelo relerido a tunciones.

Diseña y eiecuta un plan de múltiples etapas orientadas a la investigación o resolución de problemas. (1-6)

Proponga a los estud¡antes que lean todas las preguntas y, luego, mencionen qué conocimientos necesitan para darles solución.

f

diiisk)lc

sístole

.

Evalúa si los datos y condiciones que estableció ayudaron a resolver el problema. (1-6)

I

después de

El c¡clo card¡aco de un

.

Diseño de estrategias para resolver problemas

El costo de producción de una maquinaria para moler quinua orgánica está expresado por C(.r) = I I 500 - 3.rl + 2000, donde x es la cantidad de maquinarias fabricadas. Halla la cantidad de maquinarias para moler quinua orgánica que minimice el costo de producción. 5(X) rnaquinarias

de

Tenga en cuenta las siguientes capacidades* e indicadores usados en el

Matematización

una maquinar¡a moledora

!l

pereonas enfermas de gnpe. y son 36.

Una dós¡s de medicamento @ Un medicamento se encuentra en la sangre

inicial del árbol?

Libro de act¡vidades (pá9. 353)

marco PlsA.

\

.b-6

Al tercer día se observa el núme¡o máximo

es la altura

b) ¿Qué altura tendrá el árbol l6 meses? 16.4 cm

82) ¡

Sugerencias evaluativas y metacognitivas

fraduce datos y condiciones: 1-5

¡)

Texto escolar (pá9.

(-) Corresponden a las capacidades matemáticas fundamenlales usadas en el marco PISA: htlp://recursos.perueduca.pe/sec/images/competenc¡a_matematica-201 5.pdf

o

§E E G a

o

TEXTO ESCOLAR

LIBRO DE ACTIVIDADES

EVALUACIÓN

NACIONALES E INTERNACIONALES ¡tos y condrcion€

(B ».o""oltu

falso. f) El rango de la función valor absoluto es igual al conjunto de los números reales. F es

@ Calcula la amplitud y el rango de las siguientes

funciones'

l: l-2:0l

tttf(x)= sen¡-

I

h)/(r)

@Elgráficode/(x)=a.*+bx+cseabrehaciaarriba c)/(x)=lsenr+3

V

@ Una función

inyectiva

es sobreyectiva si es

F

jt 3

'__'')-t' 'u1'^

ti

El administrador de la empresa de tax¡s "Damas Car" realiza la evaluac¡ón de uno de los autos. Para ellq cons¡dera los ingresos, la cantidad asignada para la devaluac¡ón, su vida útil estimada para ó años y los problemas de funcionamiento que presenta desde el cuarto año de uso. Además, que al final del quinto año se vendiÓ en usD ó500 por el alto costo de mantenimiento.

§

= 2 sen"r+ 2 2:[0.41

fl)/(-r)={5s¡¡-2t:l-6:21

3:[0:6]

ybiyectivaalavez' @

Un negocio rentable

las actividades. Luego, intercambia tu cuaderno con un compañero(a) y ¡evisa sus solucio4es.

Escribe V si es verdadero o F si

si¿>O.

Tipo PISA

v

@ El dominio de la función logarítmica conjunto de los números reales. F

es igual

al

lD Determina el periodo y el desfase de las siguientes

C(t\ = Co. ea'2t,y la función de depreciación por año: D(r) = C0

funciones.

Donde: C(t) = costo del auto para cualquier tiempo /; C(0)

@Elperiododelafunciónsenoes2rr.v

Frotsunt¡

r

siguientes funciones:

lR:¡:+-l a)/(x)=l"r+31 + I lR:Zct h(x) = ["r + 4]

[¡-

Cur= ( r,. e r''ll+ (l5r 6500 =

5il2

§l

3n lR: Z

lt)y-x-7

ll

1l

;r)y=f+4I-l

{l:-5}: .\= l:l-s:+,1 1't

tl:

_i

ci c

P=51,7 logA+31,4

p

€

-

lu

o L

) ¿Qué porcentaje de su estatura de

un niño a la edad de 8 años? h

@

82

?

I ¿Cuánto medirá de adulto un niño de 7 años que mide 1,05 m? l.li4 m

§c

78

adulto tendrá

1r'l¡ir

Al firurl del (luirto ilño sc vcndcrír a t.lSD 9196,99.

PreSunta 2

Pregunta 5

¿Cuál es el costo del auto al final del segundo año de uso?

Si se

c

t

@

lf,

Determina el desfase y el rango que se observa en el gráfico. 5: [-7: --]l

METACOGNICIÓN dificultades? ¿Cómo las superé? conocimiento puedo apl¡car lo que

aprendí? ¿Para qué situaciones de la vida diaria me pueden servir las f unciones trigonométricas?

t

c12) =

a

€ E

§

I p ¿

I

hubiera vendido el auto al final del cuarto año en costo inicial?

USD 8000, ¿cuál sería su

Por (lrro: c(.1) = t_lsD lt(xx)

(:t¡) = C0.

C,, c{)i'r)

(,

0l¡+

u-5

1.26.

[:l costo inicial es USD

:

§

o

o

(,41r1)

l7110,1..j-1.

Pregunta 3

Pregunta ó

Determina la depreciación del auto al f¡nal del segundo año de uso.

Halla la diferencia al vender al auto al f¡nal del quinto año no al sexto

Determinamos la depreciacirin al final del segundo año: D(2) = Co Vr Pcro. C, = V,, entonces D(2) = C¡ - C2

D(2)= l7 680

tl

{i4ll2ó

=5U211.74

l,a depreciacirin al final del 2.' año es USD 5ti21t.74.

Al final C(5)

y

de c¡uinto ario:

= l7 6lt0 er':rs)=

6504.1

I

5325,1

1

Al final de sexto allo: C(6)

= l7 6tl0 ¿¡)r'6'=

Diferencia: 6504.1 I Recuerda que estud ar matemática es ingresar a un mundo lleno de abstraclones, y que al salir a la superficie tienen grandes aplicaciones.

c(4) = c0.

, '''t t,.=8ORl (10 lt000 ,l''¡ + Co = I7 1t0.1..1-l = llO(X,=(..

El cos«r al finrl del 2." año cs USD I I

¿Cuál es la expresión algebraica que da como resultado el gráfico mostradoJ .r = 2 scn.t 5

¿Tuve

+

(l(2)= I7680 ('r)r ('(2)= Il 851.?ó

Calcula la amplitud y el periodo de la función

¿En qué otros campos del

Donde A es la edad del niño en años, P es el porcentaje de la estatura cuando sea adulto.

=

¿'

c I +C(5) =9196.99

.

Halla¡nos el costo al linal tlel 2.'año:

_¡r

crecimiento en los niños entre 6 y l6 años puede ser aproximado por la función:

= !o o o

C

hrv=l-6x+5 13:{¡:5-,.1 1-l;+,[ - 6r- 5 t l:-3r lr: r = l: l-,: ll

rlr

@ Datos experimentales han demostrado que el

:Q

a

=-Ltz + 8i + 4 llr: r = 3: l- ,: lll

y

+_ C,. *rr = n.t¡<. r. + t,,- l7 668.8.1

c'Úl = ('0. ar):/ que se muestra. 2:

hl

las coordenadas del vértice y la ecuación del

eje de simetría y el rango. N N @

r'r

SabemosqueCl,,= l7ó80 -8

@ Halla

¿.

C(-5) = l5 (XX) C(5) = l5 (XX)

-6100

4

ll)Y=¡-{ r=.t+4 A,y=4x+3 ¡=.!l

d)y=4r+

Calcula¡uos cl precio al Iinal del quint() año: Por dato: C,, = 2§ QQQ

= CL,. e "'l'5'

rr'r'\ j

El costo inicial es USD l7 66tt.83

Verifica que son funciones inyectivas en lR.

a)y=r+6 c)y=3r-8

C,.

('r,=65rll

@ Calcula la función inversa en cada caso.

¿llY=¡+2)=r-2 ct y =b( -i'={f

el costo inicial del auto hubiera sido de usD 25 000, ¿a qué precio se vendería al final del qu¡nto año?

Por dato: C(5) = USI) 6500

h)g(r)=l-t-21 -llR:[-lr+-l (l) ¿(.r) =

Pregunta 4 sa

Hallamos el ct¡sto inicial tlel auto:

Y

Determina el dominio y rango de cada una de las

I

Calcula el costo inicial del auto.

@ Analiza el gráfico y resuelve.

[)

Vr

presentados:

g6s ("t + 3) 2r: -3 b) y

Observa cada situación y resuelve.

-

costo inicial del auto

= depreciac¡ón en cualqu¡er tiempo f de uso; vr = valor de recuperac¡ón (valor en que se vendió el auto al final del último año de uso). A partir de los datos

I - 3 cos (2x - 1) n: I tz t)y=4cos(t';*r|).-0,, tl)v=§965(8x-2)t/4:2/5 y=

-

D(r)

2¡l'r: -l'r lE Calcula el periodo y el desfase de las siguientes funciones. a)

<

Sobre la base de esta información, el administrador determinó la función de costo del automóvil para cualqurer f años de uso:

a))=2sen(.r- l)2r: I b)y=2sen(2r+3) r:-l/2 Eldominiodeunafuncióninversaesigualalrango cty-3sen(3xt l) .,- rl)y=4 sen(4.;r-5) r/2;5/4 de la función dada.

!p

-

5325.1

I=

I

179

[-a diferencia es USD I I 79.

UNIDAD

8

FUnciones

353

f

Estadística y probab¡lidad RECURSOS

PRESENTncTórrr Esta unidad tiene como propósito desarrollar en los estudiantes sus capacidades relacionadas con la organización e interpretación de datos, de modo que les permita elaborar encuestas y analizar los cambios cuantitativos de una o más variables. Para ello, realizarán actividades referidas a la estadística (muestreo, encuestas, números índices, IPCN), las probabilidades (condicionada y total, teorema de Bayes, esperanza matemática) y el análisis combinatorio (recursividad). Estos aprendizajes les serán útiles para tomar decisiones responsables en situaciones de la vrda cotidiana.

§

t,o,,oa"ca de! docente

.

Día a día en el aula (págs. 360-361)

ilsantillana

lT

S""r"ncia digital: Medidas de dispersión

O

ESQUEMA

O

Estadística y probabilidad

Digital

Para empezar Breve introducción al tema ¿Qué aprenderé?

Actividad interactiva: Aprendizajes y habilidades que logrará el estudiante

O Compruebo Estadígrafos

Análisis combinatorio

It/edidas de central ización

Variaciones

tVedidas de localización

Permutaciones

It/edidas de dispersión

Combinaciones

Probabilidad de sucesos

compuestos

ffi

O Una situación a resolver

Probabilidad condicionada

Actividad interactiva: Situación significativa sobre medidas de dispersión

Probabilidad compuesta Probabilidad de sucesos independientes

Distribuciones simétricas y asimétricas

O Calculo e interpreto medidas de centralización Video: Procedimiento para calcular las medidas de dispersión

Probabilidad total

Correlación. Recta de regre-sión

Teorema de Bayes

ltrluestreo. La encuesta

O

Esperanza matemática

Números Índices. IPCN

lo que sé

Actividad interactiva: Saberes previos sobre estadística

Resuelvo problemas de probabilidad

Video: Procedimiento para resolver problemas de probabilidad

Ecuaciones de recursividad compleja

O

Resuelvo problemas de probabilidad total Video: Procedimiento para resolver problemas de

probabilidad para resolver

Ficha de orientación

Razonamiento matemático:

Uso de sofiware

problemas:

didáctica:

matemático:

Elaborar un gráfico

Taller

Comparación y suficiencia de datos

Estrategia

matemático

Hoja de

cálculo

Actividades integradas, de Bl y prueba tipo PISA

O Apllcamos lo aprendido Síntesis, recursos en la web y heteroevaluación

Actividad interactiva: Aplicación de los temas desarrollados en una situación cotidiana

Solucionario de las actividades

O Compruebo mis conocimientos Actividad interactiva: Evaluación interactiva

O

Permiten desarrollar habilidades y destrezas matemáticas útiles para afrontar situaciones de contexto real.

Para finalizar

Actividad interactiva: lr/etacognición I

Librofr/edia i T^.,+^

r I ihr^ .la antir¡ir{adoe

PROGRAMAC¡ÓN Competencias Resuelve

Desempeños

.

problemas de gestión de datos e

lncertidumbrc

.

N N @ j

ci ¿

I

pa o o

po s I

c

6 -9 c 6

o

.

Representa las caracterÍsticas de una población, según las variables pertinentes, a partir del estudio de una muestra representat¡va; con medidas de tendencia central, desviación estándar, o gráficos estadísticos. Analiza y representa la ocunencia de eventos independientes y dependientes, y los representa con la probabilidad como valor racional desde0a1. Expresa el significado de la mediana o los terciles en una distribución de datos, asÍ como la relación entre media y desviación estándar, para caracterizar una población; o la probabilidad de sucesos dependientes e independientes en base a las condiciones en que ocurren. Describe las caracterÍsticas más representativas de una población, a partir de la comparación de distintas representaciones. Elabora, interpreta e infiere información contenida en textos informativos, gráficos y tablas, que contengan medidas de tendencia central, dispersión y posición, así como la probabilidad de sucesos aleatorios. Plantea y contrasta afirmaciones sobre la caracterÍstica o la tendencia de una población, así como de eventos aleatorios de una situación aleatoria; lustifica sus predicciones con ejemplos y con base a la información obtenida y sus conocimientos estadísticos.

Tiempo est¡mado: 3 semanas

Conocimientos

. ¡

¡ ¡

. .

Medidas de centralizaclón y localización lVedidas de dispersión Distribuciones estadísticas

Representa datos con gráficos y medidas estadísticas o probabilÍsticas.

Correlación. Recta de regresión

comprensión de los conceptos estadÍsticos y probabilísticos.

Muestreo. La encuesta

Comunica la

Números

Índices

¡

¡

.

Análisis

combinatorio Probabilidad de sucesos compuestos

Desempeños prec¡sados

Capacidades

Usa estrategias y procedimientos

para recopilar y procesar datos.

Esperanza matemática.

. o

Examina propuestas de modelos de probabilidad condicional que involucran eventos aleatorios. Representa las caracterÍsticas de un conjunto de datos con medidas de centralización.

o Representa

las medidas de tendencia central y de localización para datos agrupados y no agrupados en tablas y

gráficos.

. Representa el sesgo de una distribución de un conjunto de datos. . lnterpreta y comunica la importancia de las medidas de dispersión para dar validez a las medidas de centralización . Expresa en un gráfico la nube de puntos y la recta de regresión para visualizar la conelación entre dos variables. ¡ Describe la información de investigaciones estadísticas simples que implican muestreo. . Expresa la verdad o falsedad de afirmaciones relacionadas con una encuesta. . lnterpreta tablas relacionadas con el lPC. . lnterpreta los datos de las tablas de los Índices de precios al consumidor. . ldentifica situaciones de conteo relacionados al análisis combinatorio (variaciones, permutaciones, combinaciones). . Expresa conceptos sobre probabilidad, teorema de Bayes y esperanza matemática, usando terminologias y fórmulas. . Determina marcas de clase y frecuencias correspondientes a intervalos. . Determina probabilidades de eventos simples. . Determina medidas de centralización y localización apropiadas a un conjunto de datos al resolver problemas. r Bealiza procedimientos justificados al calcular la desviación media, la varianzay la desviación estándar de un conjunto de datos agrupados en intervalos.

o

Ecuaciones

¡

de

recursividad compleja

. . . ¡ ¡ o

.

Determina la simetrÍa o asimetría de una distribución estadÍstica. Escribe la ecuación de la recta de regresión y la usa para establecer predicciones e interpreta la pendiente de la línea en el contexto del problema. Reconoce la pertinencia de un gráfico para representar una variable en estudio al resolver problemas. Determina medidas de centralización, apropiadas a una tabla de datos al resolver problemas. Determina la muestra representativa de un conjunto de datos, usando criterios aleatorios y pertinentes a la población al resolver problemas. Elabora y evalúa preguntas relacionadas con una encuesta.

Determina los números índices de una población. Determina el Índice de precios al consumidor.

Aplica las fórmulas del análisis combinatorio al resolver problemas.

o Selecciona Sustenta conclusiones o

decisiones basado en información obtenida,

la estrategia más conveniente para resolver problemas de probabilidades.

o

Determina el espacio muestral de eventos compuestos e independientes al resolver problemas de probabilidad.

¡ ¡ ¡

Justifica decisiones que necesitan del conteo de diversas formas (variaciones, permutaciones, combinaciones). Justifica propuestas de modelos de probabilidad que involucran eventos aleatorios. Justifica propuestas de modelos referidos al teorema de Bayes y esperanza matemática,

.

Justifica el espacio muestral de eventos compuestos e independientes para determinar la probabilidad condicional

TEXTO ESCOLAR

Estad ística y probabilidad ¡Texto escolar (pág

83) ¡

Libro de actividades (págs 354-355)

I

Capacidades y desempeños precisados . Representa las características de un conjunto de datos con Comunica

medidas de centralización. (1)

. Usa estrategias

y procedimrentos

Determina marcas de clase y frecuencias correspondientes a intervalos. (2)

.

Estadística y probabilidad En una competencia de proyectos de mecatrónica, hay 428jóvenes inscritos. Los organizadores quieren realizar un estudio sobre el razonamiento de dichos jóvenes, para lo cual aplicarán un test a una muestra representativa, de modo que los resultados se puedan extender a los 428, con un margen de error del 5%, y un nivel de confianza de1 99%. ¿Cuántos y quiénes conformarán la muestra?

Determina probabilidades de eventos simples. (3)

Sugerencias didácticas Para iniciar

I

I

Centre la atención de los estudiantes en la situaclón inicial. Pida que identifiquen los conceptos estadÍsticos que intervienen (test, muestra, margen de error, nivel de confianza). Comente que estos conceptos serán estudiados en la unidad. Destaque cómo se relacionan con otros conceptos como el tanto por ciento. Pida que observen la imagen y que describan lo que ven. Luego que lean el texto "Sé emprendedor", pregunte: ¿Qué efectos ha originado el desarrollo

de la gastronomía?(Respuesta libre). Con los datos dados, ¿qué cantidad de peruanos dedicados al negocio de la comida aumentaría en un año? (32 000). Solicite su opinión de cómo la estadística es importante para mejorar el emprendimiento. Comente que la estadística se toma como base para planifica¡ diseñar planes, programas en los diferentes sectores de la sociedad, en lo económico, ambiental, tecnológico, etc.

I

I ¡

t

I

I

se halla con la semisuma de los valores extremos de cada intervalo. Para la actividad 3, considere para que hallen todos los casos posibles y los casos favorables al hecho considerado.

Para consolidar

! I

Remarque que un buen sistema estadístico nos permite conocer más de cómo se comportan las distribuciones de las diferentes poblaciones que aparecen en los diferentes sectores: salud, comercial, educación, vivienda, etc.

I

-t -

tl

F

{rl

\

t H

l-J

Tomando en cuenta las respuestas a las preguntas, proponga otras: ¿Qué comidas son las que aparecen con más frecuencia en las ferias gastronómicas? (Respuesta libre). Asocie el término de mayor frecuencia con la moda. ¿Se podría predecir cuántos comensales irían el año siguiente, si conocemos los que han venido los dos últ¡mos años? (SÍ, porque podrÍamos calcular la cantidad de comensales que se incrementó de un año a otro y hallar a qué tanto por ciento equivale). lnvite que resuelvan las actividades de "Repasamos lo que sabemos". En la actividad 1, pregunte: ¿Cuántos datos tenemos? (36). ¿Cuáles son los valores máximo y minimo? (29 y 10). En la actividad 2, oriente que la marca de clase

,,jl

*

\

I t

t

I

APRENDEREMOS 4,..

Calcular e interpretar medidas de tendencia central y de dispersión. Reconocer si el gráfico de una distribución de frecuencias es simétrico o asimétrico.

Determinar la correlación y la ecuación de una recta de regresión de una distribución bidimensional.

0

VALORES Y ACTITUDES

Hum¡ldad ¿Has sido humilde

cuando en una competenc¡a ganaste el pr¡mer puesto y te

Calcular el tamaño de una muestra mediante una fórmula, a través de la interpretación de una tabla de muestreo. tdentificar, calcular e interpretar números índices. Resolver problemas de anális¡s comb¡nator¡o. Resolver problemas de probabil¡dad condicional, de sucesos independientes,

total, teorema de Bayes y esperanza matemática. Mostrar objet¡vidad e imparcial¡dad frente a resultados que son producto de ¡nvest¡gac¡ones estadísticas.

dieron una medalla? uNl0A0

Proponga que averigüen las principales aplicaciones de la estadÍstica y luego las comenten.

I,

\,h

¡

Para desarrollar

I

-q

¡

I

Estadística y probabilidad

83

I

LIBRO DE ACT¡VIDADES

I

Estadística y probabilidad

t7

t-

.4

r

consigo un inmenso potencial para el desarrollo económico del país tanto en la generación de empleo como en Ia demanda de productos agropecuarios, recursos hidrobiológicos, productos envasados, utensilios de cocina, etc. El impacto del acelerado crecimiento de nuestra gastronomía se refleja también en el explosivo auge de los institutos, carreras universitarias y técnicas de formación en cocina. As¡mismo, en el vertiginoso desarrollo de publicaciones gastronómicas y en el protagonismo culinario en Ia publicidad.

1

I

I

i

f

J

El poder de la gastronomía peruana La gastronomía peruana üve un boom que trae

aG

cletg

T

r . . .

Determinar la correlación y la ecuación de una recta de regresión de una disüibución bidimensional.

ldentificar, calcular e interpretar números índices.

. .

\ I

.

I

i ',¡

\ ¡13

@

Mostrar objetividad e imparcialidad frente a resultados que son producto de investigaciones estadísticas.

euscamos en la web

neensnrvros Lo QUE sABEMos

-

21: 17;23; 13; 18; 14: 10: 13;21; 17;22: 28

Il

\(

\

'tq*

E)

agrupa los datos en cuatro intervalos de amplitud 5 y construye una tabla estadísttca. ¿cuál es la marca de clase que corresponde tercer intervalo?¿Qué frecuencia absoluta corresponde al segrndoinrarrlo? al

,a.5, l,)

¡nfografía + gastronomÍa peruana en el mundo

Anal¡za y resuelve.

f

Luego, haz clic en "imágenes". Así obtendrás información y estadísticas respecto a la gastronomía peruana.

\ _§

o o c

Resolver problemas de probabilidad condicional, de sucesos independ¡entes, total, teorema de Bayes y esperanza matemática.

25; 20; 10:24; 26; 18; 12; 29; 2s; 24: 'ts; 22; 14;25; 17; 18; 21; 15;20; lq 24:21; ',t7;20;

etc.) lo siguiente:

§

Resolver problemas de análisis combinatorio.

Las s¡gu¡entes son horas de estudio que 3ó estudiantes de 5.' ded¡caron a la preparación de un examen de Física.

Investiga sobre el aporte nutritivo de nuestros platos típicos, conversa con tu familia acerca de ello.

Digita en algún buscador (Edge, Firefox, Chrome,

_¡ < c

Reconocer si el gfáf¡co de una distribución de frecuencias es simétr¡co o asimétrico.

¿Qué ferias gastronómicas has üsitado?

'ó

o o o

Calcular e interpretar medidas de tendencia central y de drspersión.

Calcular el tamaño de una muestra mediante una fórmula, a través de la interpretación de una tabla de muestreo.

I

l

.

&t'

¿Cómo crees que aporta cada región del paÍs en el crecimiento porcentual de la gastronomía peruana?

ci

!

.

¿Qué alimentos consumes con frecuencia?

N N @ j

i

APRENDEREMOS A,..

Z

Datos estadísticos nos informan que unos 320 000 peruanos trabajan directamente en el negocio de la comida, que hay aproximadamente 66 mil restaurantes en nuestro país y que ese número se incrementa en 10% cada año.

rT t ':

a

I

..N*

Gl

\ \

Una bolsa contiene dos bolas rolas, ües verdes y c¡nco blancas. S¡ se extrae una bola al azar, ¿cuál es la probabilidad de que la bola sea ,oju,

=,r,,

o

§

c a @

354

UNIDAD

9

Estadística y probabi idad

TEXTO ESCOLAR

idas de central izactón y localización tMed

lTexlo

escolar (pág

Ba)

¡

Libro de act¡vidades (págs.356-359)

Capacidades y desempeños precisados Comunica Usa estrategias

. .

y procedimientos

Representa las medidas de tendencia central y de localización para datos agrupados y no agrupados en tablas y gráficos. (1-5; 1-5)

Med¡das de centralización y Iocalización La gente de negoctos corlsiclera que la cstad si ca es esencial en e p«lceso de toma de clec¡s¡ones para r-.1 control de cal dad, nl nil¡ z¿lclÓn (lc' costos y corlbinac ón r1c proclLtctos. La nt0clia, ntedt¿|ra y rltocla, as col'tlo os cuartiles y los pe rcenl¡les, perm¡trrán interpretar esta iltfoilrracion.

Determina medidas de centralización y localización apropiadas a un conjunto de datos al resolver problemas. (6; 6-9)

TEN EN CUENTA

Med¡das de centralización y localización

i ='t',2;3 ...

Med¡das de central¡zación. cálculo para datos agrupados en intervalos

n: Total de datos

Sugerencias didácticas Para iniciar

I

c,: Ampl¡tud

f:

Frecuencia absoluta

Aif¡-f¡-t áz:f¡-f¡+t /o : frecuencra de la clase

'cuartílica.

'percentilica.

Para desarrollar

INIPORTANTE

lnvite a que analicen el ejemplo 1 y que hagan hincapié en cómo se hallan las medidas de centralización. ¿Cuál es la mínima y maxima estatura? ( 160 cm y 172 cm). ¿Qué frecuencias se muestran en la tabla que se encuentra al margen? (Frecuencia absoluta, frecuencia acumulada). ¿Oué representa x,.f ,? (El producto de la estatura con Ia frecuencia absoluta). ¿Por qué se multiplica la estatura con la frecuencia absoluta? (Porque una determinada estatura se repite un número de veces y para hallar el total de centÍmetros son necesarias ambas cantidades). ¿Cómo se halla la media aritmética? (Sumando los productos de cada dato por su correspondiente frecuencia absoluta y dividiendo el resultado entre el número total de datos). En la mediana, ¿por qué se divide el total de datos entre 2? (Porque la mediana es el dato que se encuentra en el centro). ¿Qué representa el cociente obtenido? (El lugar de ubicación de la mediana). ¿Cómo hallamos la moda? (Observando la estatura que tiene mayor frecuencia absoluta). Refuerce el aprendizaje con las actividades 1 a la 6.

I

EJEMPLO

1

La tabla muestra las edades de 60 personas que asisten a un taller de danza. Determina las medidas de centralización, el cuartil 3 y e[ percentil 70.

.

-

Para datos aSrupados

Edad (años)

I t2o-24¡ I pq -zst a a\?A I pz-zej

Calculamos la media aritmética:

22. 14+26' 18+30 12+34'

X¡ .l¡ lt r+

P'¡ r.1

26 llt i0 lt j.1 6

.12

++

(l)

I

f#=rt+¡=28años

16

OU

Cuartiles

o,=,"*r|[f

-r,_,]

percentites {p,)

E'+H-"il

.

Hallamos la mediana: Ue = 2a +

.

Hallamos Plo: i = 7O; n = 60

ff = 27,55... + Me = 27,56 años ' calculamos la moda: Mo=24- (of6 ) '4=25,6+ Mo=25,6 años . Hallamos Q.: i = 3; n = ñ i' nl4 = 45. Además: L, = l!1 ci = 4,fo1 = 18 YF¡-r=14 vF.,=32 p'o= 28 +

'iÉF

#Gz -

32) --

+ ¡' r¡ 1gg = 42; L, = )$; s. = 4,' frro= 12

31,33...

+

Pro

= 31,33 años

Ri€s. 556-359

ff

orsannou-arusCAPACIDADES falso.

A veces se necesitan ubicar ciertas partes de una distribución y asociarlas con porcentajes. Para esto, informe que se recurre a las medidas de localización (cuartiles y percentiles). Utilice el análisis del ejemplo 4 para la comprensión de cómo se calculan estas medidas. Besalte que el procedimiento es semejante al que han usado para hallar la mediana.

Escribe V si es verdadero o F si

Considere la sección "Ten en cuenta" para que identifiquen con claridad los elementos usados en cada fórmula. Pida que resuelvan la actividad 8 para afianzar el cálculo de las medidas de centralización y de localización. Complemente preguntando: ¿Qué signlfica que la mediana sea 184,4 cm? (Que la estatura del 50% de los turistas es igual o menor que 184,4 cm).

@ El cuartil 3 es igual al percentil 75. \'

Pida que resuelvan la actividad 10 y que además interpreten los resultados.

uo=L¡+ñiA.c

Med¡das de localizac¡ón. ver margen.

Medidas de loÉlizac¡ón

Para consolidar

I

r"=t,-rTo

____l

A,

acumulada anterior.

/p-: frecuencia de la clase

I

l

del intervalo.

F,_1: Frecuencia

r\40da

N4ediana

__2(fi.xi)

inferior

Li: Llmite

Centre la atención en el texto inicial y comente que, para poder llegar a la toma de decisiones, se hace un estudio previo basado en el recojo de datos (a veces a través de encuestas), Luego, se busca organizar los datos para obtener valores representativos de estos (se hace referencia a la media, moda y mediana).

t\¡ed¡a aritmética

xi: Marca de clase

$ B

El cuartil 2 es igual a la mediana. v

@ El percentil

§

es

La media aritmética es igual a la moda. F

15 es igual a la moda. F

La mediana es igual al percentil 50. rt

Comunica:

usa estrateg¡as y proedimientos:

6

La tabla muestra las estaturas de 60 niños. @ Halla

las de

medidas

(cm) f, F¡ - 96t 1 4

Estatura

.fi ' xi

t80

352

centralización, 196 I l2t

tz l6 1248 elcuartill, Ill2_128t 15 jl 1800 cuartil 3, ItzB _ t44l 24 55 3264 percentil 30 y | 144 - t60l 5 60 7fl) percentil 90. Total 60 r = lli.7i: \lc = l(r. ().r: l\'lrr - l.¡.]. ll (.)r = ll0.(, Q,= Ii7.lr l,.rj= 1r0.(,1 1,,,,,, ll.i..\ I

84

1-5

a

I

e a €

q

3 o

LIBRO DE ACTIVIDADES

t

ESTADÍSIICA

ESÍADíSTICA

E

'

Medidas de centralización. Cálculo para datos agrupados con ¡nterualos

=rrroígrafos

Estos valores usados son:

Med¡das de centralización Media antmét¡ca

medidas de centralización son estadígrafos de resumen que nos indican los valores más representativos de un conjunto de datos. Las principales son la media aritmética (r), la mediana (Me)y la moda (Mr). Estudiaremos cada una teniendo en cuenta si los datos están agrupados en una tabla estadística sin intenr'alos o con intervalos.

Med¡ana

Moda

Las

=

»lf¡.X¡J

Me =

n

Li+

-'c

EJEMPLO 3

I

6¡)

f¡

1ó0

7

x¡'f¡

Fi

't120

162

l

i 64 1

1

66

4I

a) Media aritmética

1

1

1

-l

,3

1

24

160

172

La estatura media de los integrantes del equipo de básquet es 164,33 cm.

7

Z4

enf = 7: Mo =

16O

barras del margen.

S

¿ :9 !

k)

o

o @

15

l

p

16

_! <

17

e

C

i¡

Edad

f,

i

q o É

"I

".r.n

Aguilas

I

3

#

W

+

sport

tÁguilas

=

c)

-

ispon

= 16,66

años

3

l

5

t/

n =25

n =32

Z( f,.

)s1

80

=3'16875

Si se ordenan por edad, las que están ubicadas en el centro tienen: en el equipo Águilas y 16 años en el equipo Sport.

c,

T0tal

n=80

+i=3,2

l

ó

l7

a

de la clase mediana.

Fi_j:

-1.

8

años

c) Moda (Mo) En el equipo Águilas son más las integrantes que tienen 17 años, mientras que en el equipo Sport son más las que tienen l8 años.

§ E

I

Reemplazamos ¿i = 1,5 y

/A,\

u'= tt+,,1¡fu;)*

E

c¡

=

15= l1 y L2=26

1,5

+

r,s(nll6)

clase modal.

g

§

3 o

o

G)

de la clase modal. A1 y A2: diferencia entre la frecuencia de la clase modal y la frecuencia de la clase anterior

y posterior, respectivamente.

uo=z,s

La comunidad Fénix consume con mayor frecuencia 2,5 kg/semana de pescado.

(Mo)

cl: amplitud del intervalo

-20=6

-

suma de todas las frecuencias absolutas anteriores a la clase mediana.

¿i:límite inferior de a

1,5 en:

ru"=

frecuencia absoluta de la clase mediana.

En la moda

Me=2,e

Ubicamos la clase modal en la mayor frecuencia absoluta, en este caso 26.

yAr: Ar=26-

la

ci: amplitud del intervalo

Calculamos e interpretamos la moda:

2. CalculamosA,

M¿)

clase mediana.

15 en:

o,-J- ue=,,r.f lry- $)-

13

6

jf.ed,ana:

= 1,5;r{r"o,"nr= 26 y F,-r =

20

TEN EN CUENTA

253,5

s

15

[ó,0 - 7,5]

¿i:lÍmite inferior de

¿i= 1,5

t,***li-

ñ 4

b) Mediana (M¿)

6

"Ét

1a,s - o,or

j +

4

El 50Vo de la comunidad Fénix consume como máximo 2,9 kg/semana de pescado y el otro 507o consume más de 2,9 kg/semana.

16,76 años

En promedio, las integrantes de ambos equipos tienen la misma edad.

11

12

=

=

7

Bp

|

Ubicamos la clase mediana en la primera frecuencia absoluta acumulada que contenga el valor de2f/2. Para el ejemplo, la primera frecuencia acumulada que contiene a 8012 = 4O es 41, por lo que dicha clase será la clase de la mediana.

u,=

Calculamos e interpretamos cada medida de centralización:

prrrt

!6l

I

e

2. Reemplazamos

Elaboramos la tabla estadística correspondiente.

a) Media aritmética (.r)

tr

15

b) Calculamos e interpretamos la mediana:

cm.

Halla e interpreta la media, la mediana y la moda de los datos del gnáfico de

ci

Fi

La comunidad Fénix consume en promedio 3,2 kg de pescado por semana.

l.

t¡r,,,,.

6

Xi\ lamediaaritmética: ¡=-=?-,=ff

EJEMPLO 2

Edad

l3

interpretamos

c) Moda (Mo)

N N @ j

[0- 1,5t

En la mediana

a) Calculamos

Dividimos el total de datos entre dos (n + 2 -- 12\. Observamos en la columna F, que el dato l2 conesponde a la estatura 164 cm¡, Me = 164 cm. La estatura que se repite más veces está

xi .f¡. X¡ 0,75 tI,25 z.z¡ ¡s,5ó 3.75 75,00 5,25 68,25 6,15 40,50

80

b)Mediana (Me)

. .

saludablemente

[1,5 - 3,0[

Agregamos a la tabla las columnas que necesitamos para calcular e interpretar las medidas de tendencia central de la situación:

+t62'4+t64'4 +166.1+168'4+17O.3Lü2:_L _rc4,33

=

Edad de las inteSrantes de dos equipos de vóley

_l

medidas de tendencia central.

(t)

519

=3944

n.c

El alcalde de la comunidad Fénix ha registrado el consumo semanal de pescado de cada familia cuyos datos están en la tabla del margen. Calcula e interpreta las

Ordenamos los datos en la tabla del margen y calculamos:

I

1

A,

L,+¡¡

Consumo (kg/sem)

1

Las estaturas de los 24 integrantes del equipo de básquet, medidas en centímetros, son 160; 168; 1641. 1701. 162; 1661' 172; 1681, 164; 162¡' 160; 168; 170; 160; 162t 1641' 160; 170; 16O; 164; 1 68; 162: 160 y 160. Ordénalas en una tabla estadística. Luego, calcula e interpreta [a media, la mediana y la moda.

.

Mo=

¡,

I

Cálculo para datos agrupados sin interualos EJEMPLO

n/2-F.,

Valora su cuerpo y asume un est¡lo de vida activo y saludable. (Adquiere hábitos de alimentación saludables y cuida su cuerpo).

§ c a @

35ó

ut{tDAD

9

Estadistica y probabi ¡dad

357

LIBRO DE ACT¡V¡DADES

¡

ESTADíSTICA

ESTADíSTICA

Medidas de localización TEN EN CUENTA En los cuartiles

i:

(Q,

y 3, según el cuartil que se pida. 1; 2

ll

clase cuarlítica. frecuencra absoluta de la clase cuarlitlca.

fj

suma de las frecuencias absolutas de todas las c¡ases anteriores a la clase cuarlÍtica.

_ 1:

En los

percentiles (P¡)

i: 1j 2j

... ; 99, según el Percentil que Se pida.

¿,: límite inferior de

la

Los cuartiles son valores que dividen al conlunto de datos 0rdenados en cuatro partes iguales (en %)y se denota por Qi,

F, -

(l ,]

E

EJEMPLO 4

[0 -

suma de las frecuencias absolutas de todas las clases anteriores a la clase percentílica.

(

lrrsc

¡t'rcerrlílicl

La mediana divide al grupo de datos en dos partes, cada una es un 507o.

Determ¡nación gráfica de

O

Fi l-5

t3,0 -

4,5t

4l i 6l:l

t4.s -

6.01

t3

74

l\.lcrlia aritr¡rótica:

t6,0 - 7,51

6

80

r 164 r=-=4tt1;tn()\

iClasecua¡tílica

q,=

=

1,5; c,

t,*

óo

a, = r,s *

#[?

-

rs]

25

p,

Peso (kg)

Qz= Me = 2,9 kg = 3,5 kg

-

= ¿,

c,= l,5tfo*=20 y F¡- I = 41, calculamos

190

es,1f.l3¿rños.

40

1

2lto

42

4

ll lf

I

2-5

196

5

30

ana:

u

Corrcspontlc rL -11 rnos + Mc = -11 años

46

.1,

E

*/:[íd

- F,-,]

*r*

=,. #[

ut#o

P6¿: E

-

+r

]

-

e*

= :,s

El 6O7o de la comunidad Fénix consume hasta 3,5 kg/semana. El 40 7o restante consume más de 3,5 kg/semana. Ú7

5

=

()

+

Considera los datos del ejemplo, calcula la diferencia del percentil 74

y el percentil

24. P r, = 1.3115 P:¡ = I.7,136: Pr, -

P.., = 2.62 ¡.1

p €

É

e

I l-I

2s , 3ol

351 135 - 401 130

-

I

30

230 1264

90

4

t0 -11.5

r7.i

ll +0

t8 8

40

Total

Media aritmética:

§

§

Metliana: M¿ = 30 +

g

o

Moda; Mo = 30 +

i

=

= 31.25

20lglrt

El-lo-

585 100 I

-125Q

5

+

5

+

I \

'_"f

296

al Las medidas

de tendencia central de la talla de

los turistas.

l)l El tercer cuaftil y el percentil 75. lil ir)\= irffi=I//.-lÜr)l 1/, l7l r llsSJ *6 l(, t l/i = lltt .r1.,,, ll.^ lu > ,4/i, l\+.) (rr lxl . .+t .- + = t16 ^t,, (le

L¡s nrcrlirllrs tlt

tcrrrieneilr cenlr¡l

l()s luri\tirs sr¡rr

i'=

la tirllr dc

177.1 crn: su ¡lr!'dianir cs l7t.)..111 cr¡

el rnisrro vakrr r¡trc el pcrcentil 75: por clkr:

l5{)

.¡, Mc = 34,4 min

Mo = 32.2 min.

l70l+Q = lt6.l.rerrr

I'.=Q,= lEr+#llrr

l.ll tcrcer crrrrlil ! rl per(crtil 7-5 licncn kls nrisnros rltloLcs t son igrrrlcs a lli6.l-3 ctl.

§l Al inicio de las clases

escolares, se registró la altura en centímetros de un grupo de estudiantes. Completa los datos de la tabla si el intervalo de la clase es constante e igual a 16. Determina e interpreta las medidas de tendencia central.

Completa la tabla de los tiempos que tardaron 40 estudiantes en leer una obra. Halla la media. la mediana y la moda.

I

9

Toral

t6lt

Mo = ,14 rttios

Determinamos la clase percentílica en la primera frecuencia acumulada que contenga el valor de (i .r)/100: (60 ' 80/100 = 48) > 6l

2. Si L, = 3¡

1,534,567,5

5

Mrrlr:

ez=2,e

l¡) Calculamos el percentil sesenta (P66):

l.

358

-

15, calculamos Qz:

El507o de la comunidad Fénix consume como máximo 2,9 kg/semana. El 507o restante consume más de 2,9 kg/semana.

'75

P«r

?l#-

Je,t *

4-,1l

f¡

-38

i

Usa estrategias y prmedimientos: ó-9

:\

'\¡.f¡

(r,)

En pronrerlio la edad

l0=l=15+F,-t()

-5

¡ su nlrch l8'1.5 enr bl Sr del¡c lcner el¡rt¡ c¡rre cl lcrctr .urrlil licr]e

Edad

-(,

N4ctl

= 1,5'70, =26y Fi- r =

tabla. Determina:

Los datos corresponden a las edades de los pacientes que asistieron a un hospital: 38; 40; 44; 42:38; 4O 46:' 42; 44:' 4O 38:' 46:, 4O; 44:' 40:' 46;38: 42; 44:' 44:. 40:' 44t 42:, 46t 40:, 38:, 44t 46:, 44t44.Ordénalas en una tabla. Luego, halla la media aritmética, mediana y la moda.

Determinamos la clase cuartílica en [a primera frecuencia absoluta acumulada que contenga el valor de (l ' n)14: (2' 8014 = 40) > 4l

2. Si ¿i

Qz Y P¡o

H,9t

tr tr

En un mismo conjunto de datos existen cuatro cuartiles.

a) Calculamos el cuartil medio (Q2):

l

están

1

De un grupo de turistas que hacían windsurf se obtuvieron los datos que aparecen en la siguiente

u u

En un mismo grupo de datos el p€rcentil 25 es menor que su mediana.

1,5[

T","1 fr=aq.

lFr

Resuelve.

Calcula el cuartil medio y el percentil sesenta del consumo de pescado de la comunidad Fénix, con los datos de la siguiente tabla. Consumo

O

en el mismo interualo.

Pt=Lt*ll#-.,

L

Comun¡c¿:

La media aritmética se halla teniendo en cuenta la mayor de las frecuencias.

@ La mediana y la moda siempre

i = 1,2,3;... ,99.

frecuencia absoluta de la clase oercentilica. 1:

?)

percentiles

son valores que dividen al conjunto de datos ordenados en cien partes iguales (en %) y se denota por Pi, donde Los

dondei=1;2y3.

clase percentilica.

6.'

Percentiles (o cent¡les)

cuartiles

orsannou-nruscAPAcrDADES

Escribe V si es verdadero o F si es falso.

percentiles.

¿i: lÍmite inferior de la

Á:-'

ff

Son medidas de tendencia no centrales que permiten determinar la proporción de la población de una variable estadÍstica cuyos valores estadísticos son menores o iguales que un valor tomado como referencia (generalmente con la media). Los más usados son los cuart¡lesy

'

Altura (cm) LS0

9(,1

le6 I ltl I I llr

Total

.f¡ .1

12.

I llrl - 144[ Il 1-1 lr,0l

I

xi 88

+ 16

f¡

X¡

352 I

N N

l.rs

@

[0

15

I

liil)l)

ci

r3ó

?4

55

3264

l5l

c :9

5

60 l7ñ

jg

-

-j

l E

o

1421

o o

i:

l-a altura promedio del grupo es I 23,7 cm Me: El 50?a ¡Jel grupo de alumnos tiene como máximo I 2ó.9 cm de altura y el otro 507¿ tiene

l

§

E

7 I L

más de l2ó.9 cm de altura.

Mo: Dentro del grupo de alumnos la altura con a o c

mayor frecuencia es 133,1 cm. UNIDAD

9

Estadistca y probablidad

359

§ c ao @

TEXTO ESCOLAR

lMedidas de dispersión ¡Textoescolar(pág

85)

¡Librodeactividades(págs,

360-361)

Capacidades y desempeños precisados . lnterpreta y comunica la importancia de las medidas

Medidas de dispersión

de dispersión para dar validez a las medidas de centralización.

Comunica

(1-5; 1-s) Usa estrategias

-y procedimientos

.

Realiza procedimientos justificados al calcular la desviación media, la varianza y la desviación estándar de un conjunto de datos agrupados en intervalos. (6;6-9)

Cálculo para datos agrupados en intervalos TEN EN CUENTA

Sugerencias didácticas

i = 1;2:3 ...

Para iniciar

xi:

I

f:

Frecuencia absoluta.

t:

Media aritmética

lotal de datos

¿:

Presente la situación: Dos estudiantes que juegan básquet tienen el mismo promedio de puntos en 5 partidos (18 puntos). Si debe elegir a uno de ellos para que vaya a la selección, ¿por quién se decidiria? (No hay suficientes datos para tomar una decisión). lnforme que se han hecho estudios que concluyen que para comprender el comportamiento de un con.lunto de datos no es suficiente con determinar las medidas de tendencia central; es

Desviación media

l\4arca de

DM

.

formúla es:

^.. o x

.

Cuando es menor o iSual a 25%, se considera que la dispers¡ón es baja; cuando es mayor del 25% y no excede el 60%, es media; y si supera este valor es alta.

r=

1625150

.

N N o j

ci c

:9 !

'rÜF ffi

Hallamos Ia desviación media:

p

I

f)

a c

§ ,F c o a

o

I

Calculamos la varianza:

I

Destaque el significado de las medidas de dispersión, estas nos indican la distancia promedio de los datos respecto a las medidas de tendencia central. El coeficiente de variación representa el número de veces que la desviación estándar contiene a la media aritmética y, por lo tanto, cuanto mayor es, mayor es la dispersión y menor la representatividad de la media.

i¡.l/.i-1)

30,5

2

2

31,5

I

7

1'

5

0

0

1¡

S

l9 l8

Total

= 20150 = 0.4

'»(x, _¡), f,

.

Calculamos la desviación estrándar: o =

.

Hallamos el coeficiente de variac ión: Cv =

.

I =9-4

F-

Comunica:

si es falso.

Las medidas de dispersión son valores numéricos que ayudan a analizar el grado de separación de los valores de una serie estadística con respecto a la media aritmética. \'

=

,[fn =

.

lttr,To

lol = o.atzt

=l,9vo>

$§oersron

La desviación media es igual que la varianza.

@ La desviación estándar

es iglual

§ @

@ El coeficiente de variación

es igual al cociente de la desviación estándar y la media aritmética. V

@ Si el coeficiente de variación excede al ñVo, entonces la dispersión es baja. I'

@ Determina

Usa

strateSis

y proced¡mientos:

ó

las medidas de dispersión.

xi

Intervalo

F

alaraíz cuadrada

1-5

La tabla muestra el número de pulsaciones de 300 personas después de una actividad flisica.

L6s

del valor de la varianza. V 9 e

interpretaciones con respecto a la dispersión de los datos.

=o

c

Para consolidar, pida que resuelvan con argumentos las actividades 1 a la 5 y que en la actividad 6, además de resolverla, planteen algunas

= 18/50 = 0.36

oesannou-aruscAPAcrDADEs

Escribe V si es verdadero o

f| Para consolidar

l

P¿i€s.560-361

f,

o o a

[30-3rl [3] - 321 7 [32 - 3.]l 33 [33 - 34] 9

=32.5

.l

xi lx¡.il

Capacidad (onzas)

Calculamos la media aritmética:

p¡a = :lx¡ - tl n

Para desarrollar Reafirme el concepto de dispersión con la lectura del texto y presente las diferentes medidas de dispersión. Pida que pongan especial cuidado en el significado de cada sÍmbolo de las fórmulas. Luego, invite a examinar el ejemplo 5. Marque la importancia de la tabla paraorganizar los datos y los cálculos necesarios. Pregunte: ¿Qué pasaría si no considerásemos el valor absoluto de las desviaciones? (La suma sería cero). Resalte que en el cálculo de la varianza se elevan al cuadrado las desviaciones con respecto a la media, por lo que no hay necesidad de tomar el valor absoluto (todo cuadrado siempre es positivo). Para interpretar el significado de la dispersión a partir del coeficiente de variación, conviene que tomen en cuenta el criterio establecido al final del ejemplo.

O=

n

Una máquina dispensadora de gaseosas está programada para llenar un envase con 32 onzas de bebida. A partir de una muestra de prueba realizadas sobre 50 envases, se diseñó la tabla de frecuencias del margen. Halla las medidas de dispersión.

2,l¡-l-)2'f¡

I

Desv¡ación estándar (o)

EJEMPLO 2

IMPORTANTE

necesario, además, conocer que tan alejados están esos datos respecto a ese punto de concentración, Si conociera que los puntos obtenidos por los jugadores han sido, para el primero 12; 15;22;21 y 20; para el segundo: 32; 9; 8; 6 y 35, ¿cuál sería su decisión? ¿Por qué? (Por el primero, porque los valores que ha obtenido no se alejan mucho de la media).

M

,, z(Xi-x)2'fi

_¿lxi _it. Íi

clas

Coef¡ciente de variación La

Varianza

(DN4)

t

70[

170

751

[75

801

[80

85t

[8-5

e0[

[90

esl

Total

36

f¡' ¡

5

2325

95 +_ 285

82.5

6930

87,5

7875

300

a?§

1387,-5

11

I

90 t5

24 2tO

300 53

)A)

\

30

DM = 6.27r V =

X¡

2430

67,5

.76. t¡

-

7

.332; CV = 9.011%

UNIDAD

9 EstadÍstcay probablidad

85

LIBRO DE ACTIVIDADES

I

ESTADÍSTICA

ESTADISTICA

Medidas de dispersión medidas de dispersión son valores numéricos que ayudan

fl

a analizar el grado

de separación de los valores de una serie estadística con respecto a las medidas de tendencia los datos c0n respecto a el alejamiento o dispersión de central consideradas. Para caracterizar la media calculamos los siguientes valores: Las

Desviación media (DM)

DM=

>lx,-zl'f,

>(xi- ñ2'fi -. v -- --------ñ-

I

n

o=

(X¡-

cAPACTDADES

Escribe V si es verdadero o F si

I!

Desv¡ación estándar (o)

vatianza (V)

oesannolurus

es

Comunica:

falso.

@

fl

Edad (años)

f¡

l0

2l

12

4f

5ó

l4-61

29

tó-81

28

18

39

Calcula las medidas de dispersión de la siguiente situación: " En un hospital se registraron las edades de los niños atendidos por enfermedades bronquiales en una semana". Los datos aparecen en la tabla del margen.

. .

Calculamos la media

TEN EN CUENTA Considerando los valores que se obtengan a calcular las rnedidas de dispersión, podemos caracterizar al grupo como homogéneo, si son cercanos a la media o heterogéneos cuando se alejan de esta.

xi

-;l lx¡-¡l f¡

t0-2t

39

I

t24,02

10,n24

394,3836

12-41

56

3

l,l8

66,08

r,3924

77,9744

t4-6t

29

5

0,82

23,78

0,6724

t9,4996

)

78,96

7,9524 )7 ) 71?1

222,6672

16-8t

28

7

L8 l0l Total

l8

I

170

q'.)

4,82

89,76 379,6

4 1 8,1

I

DM

_>tx,-nxt. li

+

DM

[70u20 -

-

-2201 L22O -2701

832

132,708

DM=

DM =2,2

-

175.41.40 +

[l45

- l7s.4l

b) Calculamos la varianza:

V = 4970;7

.,

l,

O=

-

20

l7 +

... + 1295

15

O

32J08

d) Calculamos el coeficiente de variación: )Á cv= 4.1ú :-1"Á . ltJoqo,cv=9,622. loo?o, cY =62.2o¡o

ñ

175.4)r'15

p €

p

Estatura

de Ingeniería.

.E

8

§ 6

Observamos el gráfico: (4b - 4) + 18 + 28 + 3b = 70

+

b=4

(ló0

p

E

a o

+ a o

= 9-65 La estatura de los estudialtes de ingeniería se dispersa 9.65 cm con respeeto al vakrr prome'dio. <¡

8

tz 34

66 1,3

l8

75

562.5

4

n

98

26

6

3

30

l53

688.5

19,5

2013.3

()()

3

'.f,

.

docentes de un centro educativo. Completa los datos de la tabla adjunta. Si el intervalo de la clase es constante e igual a 4. determina las medidas de dispersión e interprétalas.

Í,

x,

ts-el , 13[

5a+1 l8

il

t13 - 17t - 211

4a

l5

l0

N N

ltl

l9

-5,9_

22

99

445,s

_)

121 - 251

l8

23

111

100{

Total

104

5?O

3434.O

(años)

te

«=5.r=

lX,-

7

*l-1, tx,-i;

1e5

63

' [,

t462,5 200,5 @

i

:9

of

Iq

14.5

DM = 5. El tiempo de servicio de los docentes

70 E

Así. con respecto al ejemplo, el valor 62.2V0 es una variación alta.

(cm) fi ll55 - l65L 4b - 4 [16s - 1751 l8 ll75 - 185[ 28 u8-5 - r951 3b

Determina e interpreta

ó I

10

7.5

5

Se registró el tiempo de servicio de un grupo de

...r'i.io

J

§

t4

Tiemoo de

la desviación estándar de la estatura de un grupo de 70 alumnos de la Facultad

Las edades de los niños con enfermedades bronquiales se dispersan en un promedio de 2,6 años con respecto al valor central.

@

- l7 l.ll !¡

V=4920.1 ytr=70,5

+o=z.o -o=1/ 170 /ri t

uo

17

Las medidas de dispersión son DM = 62.23,

=o.i

5

lx, _rll f, (X,-,)2

V = 19.l t¡ = 5.4. EI ticrnpo trlilizado ¡rt» los alututtos para clesrrrollar llr lilrL'a sL'ilispersr cl ¡tronrctlitr 5.rl llinutos (()n respccto al vrkrr centrrl. CV = 2 l, 2rl . lisle valor nos indica quc cxiste ttttll disptrsirín brjr respcclo al vrl()r ceolral.

28

tr=vV+t¡=70,5

Calculamos la desviación típica o estándar:

xi

= 25.5 Dlvl = 1.6. El ticmpo ulilizado p(n los ¡lutrrnos palr desarrollar la tareir ic dis¡crsa en ¡xrtnedilr -1.6 nrinutos (on respeclo al ralrrrcenlral.

40

-32(\l

t20

DM = 62.?3 (95 - IZs.-t)r'+O +... + (:95

Cuando el coeficiente de variación es menor o igual al 257o, se considera que la dispersión es baja; cuando es mayor del 25Vo y no excede el 6070, es media; y si supera este valor, es alta.

3ó0

9s

Las edades de los niños con enfermedades bronquiales se dispersan en un promedio de 2,2 años con respecto al valor central.

f¡

120[ 170[

l17O

1270

=!2É

Í¡

r sobre el precio del alquiler de

a) Calculamos la desviación media:

(Xi-

1oo%

7)2

-

Total

una habitación en el distrito de Jesús María se obtuvieron los datos de la tabla adjunta. Determina las medidas de Precio (USD) f¡ dispersión e interprétalas.

(X¡-7")2 ' f¡

lx, 3,t8

IMPORTANTE

cv = g. x

-

de variación es del 407o

Resuelve.

@ En una encuesta

f¡

-

c)

coeflciente de variación (CV), el cual se exDresa en porcentaje.

(X¡

es más

se considera una dispersión media.

l0 >r=4.18

Edad (años)

>(xt-x\2.f, + ,, 1132,709 ,, v =___-_nt. =___rril+ Una medida relativa de la dispersión es el

7

Agregamos a la tabla las columnas que necesitamos para calcular e interpretar las medidas de dispersión:

s_l

- 1ol

x'

- 2 'f'' aritmétl ica:x=#+x=iié

(min)

161 u6 - 20[ Í20 -241 [24 -281 t28 - 321 112

homogéneo.

Gl Si el coeficiente

ó-9

Se registraron 69 observaciones referentes al

Tiempo

Pa¡a calcular las medidas de dispersión

@ A mayor dispersión, el grupo

estrate8ias y proced¡mientos:

Determina las medidas de dispersión e interprétalas.

necesitamos de la mediana. EJEMPLO 5

Us

para desarrollar la misma tarea.

vl

separación entre los valores analizados.

B

-5

tiempo que utilizan 69 alumnos de la misma edad

Las medidas de dispersión permiten analiza¡ el grado de separación de datos.

@ A mayor desviación estándar mayor

fi

1

'

se dispcrsa

o

en pronredio 5 años con r('specto ítl valor central.

y=.33

po

(, = 5,7. El tiempo de servicio de los docerrtes se dispe'rsa cn promedio. CV =.19..rro. Eslc valur nr)s indiea que errste unr dispersi(»r media respecto al valor central.

_! E o d

UNIDAD

9

Estadistlca y probabll dad

361

<

o

o

§c

c ao

o

o

TEXTO ESCOLAR

D istri

buciones estad ísticas ¡ Texlo escolar

(pág

BO)

I

Libro de actividades (págs. 362-364)

Capacidades y desempeños precisados Comunica Usa estrateg¡as y procedimientos

Sugerencias

. o

Bepresenta el sesgo de una distribución de un conjunto de datos. (1-s) Determina la simetría o asimetría de una distribución estadística. (1-2; 6-9)

d

Distribuciones estadíst¡cas Son indicadores que perm¡ten establecer el grado de simetría (o asimetría) que presenta la distribución de una variable. La distr¡bución gaussiana se aplica, por ejemplo, en la biologÍa; si medimos el tamaño de las hojas de una planta, veremos que tiende a d¡stribuirse en forma Saussiana.

idácticas

Distribuciones s¡métr¡cas Cuando una variable cont¡nua tiene distr¡bución normal, su gráfica tiene forma de campana de causs, y es simétrica con respecto a la media. Se cumple: Mo = l\4e = i.

Asimetría poslt¡va

EJEMPLO 3

Pida que lean la información inicial. Agregue que las medidas de distribución estadísticas nos ayudan a identificar el modo cómo se concentran (se separan o se aglomeran) los valores de acuerdo a su representación gráfica, Destaque que estas medidas describen cómo los datos tienden a reunirse según su frecuencia obtenida. Las principales medidas de las distribuciones estadísticas son la asimetría y la curtosis.

Consideremos el corte artesanal de fierros de construcción, los cuales deben tener una longitud promedio de 50 cm. Por cuestión de trazos y precisión en los cortes, no se puede garantizar que los fierros midan exactamente 50 cm de longitud (algunos medirán más y otros menos), pero sí que la mayoría tenga longitudes próximas a ese valor. Representamos gráficamente en el eje X los valores de la longitud de los fierros, y en el eje Y, la frecuencia relativa. ¿Qué tipo de distribución representa la gráfica? D¡str¡bución asimétrica neSativa

Para desarrollar

I

TEN EN CUENTA D¡stribución asimétr¡ca pos¡tiva

Mo<Me
Para iniciar

I

Observamos que la gráfica representa una distribución normal y es una campana de Gauss.

r<Me
fi¡e ta atención de los estudiantes en las "Distribuciones simétricas".

Asimetría ne8ativa

Observen cómo en la curva simétrica la mayorÍa de los datos se distribuyen aproximadamente la misma cantidad de valores a ambos lados de la media.

I

I

N @ -..i

ci ¿

:9 !

I

f

o o o a

o E 7 o 0

<

q

Pida que analicen el ejemplo 6. Resalte el procedimiento utilizado (organizar los datos en una tabla, elaborar un histograma y su polígono de frecuencias). Haga notar cómo se distribuyen los porcentajes de los datos a ambos lados de un ele vertical que pasa por la media. Puede contrastar con la información inicial.

@

sesga hacia la izquierda.

Longitud (cm)

I

En una distribución asimétrica, la media, la mediana y la moda no coinciden.

,.ÜF PáEE. 3AA

El gráflco de una distribución describe una as¡metrÍa positiva cuando una de sus ramificaciones t¡ende hacia la derecha o hacia los valores mayores de las variables. El gráfico de una distribución describe una as¡metria negativa cuando una de sus ramificaciones t¡ende hacia la izquierda o hacia los valores menores de las variables.

364

TUS CAPACIDADES

It

Determina el valor de las medidas de tendencia

Al resolver la actividad 6, observe que los valores de la media, mediana y moda son iguales, lo que nos permite afirmar que la distribución es simétrica. En cambio, al resolver la actividad 7, encontramos que la media es mayor que la moda, lo que determina que la distribución tiene asimetrÍa positiva. Pregunte: ¿Cuándo la asimetría es negativa? (Cuando la media es menor que la moda). lnvite para que realicen las actividades 8 y 9, y verificarán la asimetría negativa,

-q c a

0 102030«)50 60708090

Dlstrlbuc¡ones aslmétricas

Me MO

Enfoque la atención en "Distribuciones asimétricas". Observen que los datos no se distribuyen de forma uniforme alrededor de la media. Remarque que la asimetría es positiva cuando la mayoría de los datos se encuentran por encima del valor de la media aritmética, mientras que la asimetría es negativa cuando la mayor cantidad de datos se aglomeran en los valores menores que la media. Sugiera que examinen los ejemplos 7 y 8, empleando el mismo procedimiento anterior y que, luego, contrasten sus histogramas y polígonos de frecuencias.

En conclusión: Se acepta que la distribución es simétrica si existe la misma cantidad de valores a los dos lados de la media. Es de asimetrÍa positiva cuando su gráfica se sesga hacia la derecha y es de asimetrÍa negativa, si se

f,

Por lo tanto. es una distribución simétrica.

Intervalo

central, grafica el histograma correspondiente, y luego indica el tipo de distribución.

M

= 47.1: Me =

4lt.l: Mo =.19J

f¡ 2

l4o - 441

6

- 1ril

8

148 - 521

l4

E

Los datos del gráfico representan los ingresos mensuales de un grupo de personas en miles de nuevos soles. Determina el tipo de distribución. j d

40

9 1.14

Total

i

Usa estrategias y procedimientosr 1-2

I36 -.101

[52 - -56]

Para consolidar

I

\

3

33

I

24 20

É

12.

{

8

§

0

Asimútrica

negativir

Ingresos en miles

o

LIBRO DE ACT¡VIDADES

.

ESTADÍSTICA

ESTADÍSIICA

El r,rrribuciones estadíst¡cas TEN EN CUENTA Eie de

simetría

D¡str¡buc¡ones asimétricas Cuando la representac¡ón gráf¡ca de una distribución de frecuencias no guarda simetría con respecto a un eje, se trata de una d¡str¡bución asimétrica. Esta presenta dos casos:

Distribuciones simétr¡cas As¡metría pos¡tiva (derecha)

d¡stribución normal o campana de Gauss es una distr¡buc¡ón simétr¡ca con respecto a la media arjtmética (centro de la serie). con un grado de dispersión bajq ya que la mayoría de los valores están comprendidos dentro del valor de la desv¡ac¡ón típica o. La

Asimetría negat¡va (¡zquierda)

r,

l,

uo

i<Mo ¿Cómo influye el valor de la media y la moda en las distribuc¡ones de datos y la asimetría?

I

i=Me=Mo toda d¡stribución simétrica, la media aritmética, la mediana y ¡a moda coinciden.

I

sugráficaz

x-ú i i+a

i-2o i i+2o

7-oy-r-+ose

Entret - 20 y, + 20 s€ encuentran el 95,5% de los datos.

)

aerunlo

350 35 I 360 365 370 380 381 385 39O 390 395 4O0 400 ¿Í0s 405 410 4

.

50

-

1m%

) ¡= --5r

32. 1mg6

U-x Entonces:

r

= ó4%

Emprende creativamente. (ldentifi ca oportunidades y establece una red de personas). %2

)

UEMPLo hterva¡o

Con los datos de la tabla del margen, elabora y analiza el gráfico.

.

Calculamos el valor de

lamedia:.Í = 47,2

l0

420 425 425 42s 425 425 425 430 430 435 435 435

4ñ 4ñ

465 470 475 480 490

5m

f¡

x¡ 365

1380

- 4l0t

5

l0

395

l4to

- 440f

20

425

l44O

-

47OI

l0

455

5

1470

-

5001

5

485

0

380t

.

r5

50

)

-32,9 + i - a =392,1 +32,9 + x + a = 457,9 ) 7 -2a = 425 - 65,8 + x - 2a = 359,2 i +2a = 425 + 65,8 + i + 2o = 49O,8 ) 7 -3a = 425- 98,7 + i - 3o =326,3 i +3a = 425+ 98,7 + 7 + 3a = 523,7 ) 7 - s = 425 7 + a = 425

500 Ingresos (S/)

¡Ctt.tleS t'l (,)prt'li ,'rlrlrrl:, l,tll.¡ rilier,lr UI ncL

Se encuentra el 647o de los datos.

1007o de los datos

8 6

f4

I18

9?t [s2 - só]

l0

4 2

moda

/

f

0 Observamos que la es mayor que la media, por lo tanto, la curva describe una asimetría negativa

lamedia:Í=l5l,l

l§

t;

t: t:

Calculamos el valor de la mediana: Me = l5O ó

Calculamos el valor de la moda: Mo = 148,6

p

)É

§

a8!

36 40

./1

44

52

6 8 14 .t

Total

33

lntervalo

.[¡

n4o - 14sl

?

56

Me

UEMPLO 8

Ubicamos en el gráfico estas medidas de tendencia central:

lá el

Calculamos el valor de la moda: Mo = 49,4

Calculamos el valor de

tÉ IE Se encuentra

TÑ YL

Obserua y analiza la distribución de los datos. Luego, elabora el gráfico con los datos de la tabla del margen.

350 380 4t0 440 470

Calculamos el porcentaje de los datos en cada interualo con la media aritmética (Í) y la desviación estándar(o):

t2

f¡

[3ó - 40[

f¡ t4

Calculamos el valor de la mediana: Me = 48,1

Ubicamos las medidas de tendencia central:

T¡

Ingreso (S/)

La comparación de ambos estadígrafos detemina el tipo de asimetría correspondiente.

I

Elaboramos la tabla de frecuencias y el gráfico (histograma), para determinar si la distribución es simétrica.

Total

El

Así, para e¡ primer caso, hay 32 datos que se encuentran en el intervalo [392,'1 - 457,9]

o hacia los valores mayores de variables.

**,,@

4t5 4t5 415 420 420

EI grafico de una distribución de frecuenc¡as describe una as¡metría negat¡va cuando una de sus ram¡ficac¡ones tiende hac¡a la izquierda o hacia los valores menores de la var¡able.

Enüet-30yt+30se encuentran el 99,7% de los datos.

Los datos que se muestran a continuación son las propinas anuales en nuevos soles que recibió un grupo de estudiantes de 5." de secundaria con el propósito de crear una panadería. Determina los porcentajes en cada intervalo y si el gráfico de distribución de frecuencia es simétrico.

l3s0

porcentaje en cada intervalo se calcula con los datos de la situac¡ón.

t 3(, x Í+3o

o

435 440 440 445 445 450 450 455 iguales y su gráfica es simétrica. L<¡s datos deben ser

)

Mo Me

encuentran el 68,2% de los datos.

| ¿Qué características I defEntenerlosdatos I gara Que yta media, ta I mediana la moda I coincidanr ¿Cómo es

COMUNICA

I

En

ARGUMENTA AFIRMACIONES

t

.

f,

[14s - 150[

t2

[1s0 - 155[

l0

[155 - 1ó0[

8

6

4

N N

l,rl

@

-.i

8

ci

i I

4

[1ó0 - 1ó5]

2

Total

28

)

E

o o

2

o

l

r¿ro As Mísi 155 160

po p co d

t65

Me Observamos que la moda es menor que la media, por lo tanto, la curva describe una asimetría positiva.

a c

o UNIDAD

9

Estadist¡ca y probabilidad

3ó3

-9 .F

c 6o @

LIBRO DE ACTIVIDADES

¡

ESTADíSTICA

ff

Actividades com plementar¡as orsnnnou-aruscAPAcIDADES

Cmunica: '1-5 Usa estrateg¡as y procedimientos: ó'9

1. Se realiza la experiencia de soltar una regla para que otro la detenga con dos dedos, con

Escribe V si es verdadero o F'si es falso.

O

El Detemina el tipo

Si la media, mediana y moda coinciden, se trata de una distribución simétrica.

O

El gráfico de una distribución simétrica positiva tiende hacia Ia derecha.

E

En el gráfico de una distribución simétrica, la media se ubica en el centro.

Gl Si la media

es menor que la moda, la asimetía es negativa.

E

Si todos los datos son iguales, se forma una distribución simétrica.

tr tr

si el intervalo de clase

f¡

4eÍ

8

t49 - s6t

t2

t56 - 63t t63 - 70t

20

tlc tendcnci¡ ccntral.

t2

obteniendo:

8

.r = 59.-5

Í7o -

x,

f¡

2

-5

771

tlr

las nredidas

cle

t2Á

u=5

l0

26

l60

l:1

58

812

lli

30

540

lir r)lo(l¡. sc

lr¡l¡

N N @ j

Edad (años)

f¡

136 - 421

20

-

c

142

481

24

)

[4r] - 54[

2l l8

:Q

!o o o

t54 - 6Ot t6o - 661

f

p

r0

Parr deternrinar el tipo de asimetría, calculanros krs valores de las medidas de tendencia central. ohtenientlo: r = 49.3 M¿ = 48.1 Mt¡ = 45.4

sÍ o C

(irrttt¡ la mcdir ts rrayor quc

<

tlc una asinrc-trírr ¡rositira.

o

2.

c

3ó4

18

19

20

15

16

18

23

8

25

26

27

28

29

30

16

14

22

25

12

16

7

t (centésimo de segundo)

12

18

15

I

19

22

10

estudiante

11

12

13

14

15

16

t (centésimo de segundo)

16

19

25

18

16

estudiante

21

22

24

t (centésimo de segundo)

12

11

15

19

la media, mediana y moda. el cuartil 3 y el percentil 25.

c)

Halla el rango de la distribución.

d)

Elabora el histograma y el poligono de frecuencias. el tipo de asimetría que tiene.

El entrenador de básquet recogió las tallas de los 50 estudiantes que gustaban de este deporte. Luego organizó los datos obten¡endo Ia tabla siguiente:

Estatura (cm) 24

[1

60-1 64[

l3579il

xi

f1

162

8

68[

10

1168-1721

15

1172-1761

12

76-1 80]

5

[ 1 64-1

ItrgÉsos en miles (S/)

Determina el tipo de asimetría.

[1 Elaboramos la tabla correspondiente:

_ 5'16 '= ilr=:

x¡

f'

x,.f,

2

24

4lt

ltl

Mo=5+\12110\'2

6

-10

2,li)

Mo = 5.6

8

l2

96

l0

8

lr( )

Como la ¡nedia es nrenor que la rnoda, se trala de una asinretría negativa.

4

l+

I

a) Completa

€

b) ¿Cuál es la clase modal?

p

c) g o

§c @ @

la moda. se trata

17

6

e) Determina

datos del gráfico representan los ingresos mensuales de un grupo de personas en miles de soles.

El [,os

Determina el tipo de asimetría que corresponde a los datos de Ia tabla y construye el gráfico (utiliza papel milimetrado).

16

5

b) Determina

Mc = 59.5 Mt¡ = 59.\

D

9

4

a) Calcula

tlrtir lisirnetríir rlcglLtir a.

Como las medidas de tendencia central son iguales, se trata de una distribución simérrica.

20

J

6a

l0 42

_ lh()+ _ r i l ' llr, Mt¡=l)+ (32i60) -1 = 1.1.1 Conro ll rrctlir cs nrenor(lr¡(

l)ilril detcrnlilnr el tipo de rlislribucirin. crlculanros Ios valores

lOa + tl

10

2

.\¡ f¡

'7

6

@ Determina el tipo de distribución que corresponde a los datos de la tabla y construye el gráfico (utiliza papel milimetrado).

142 -

I

lr,

lol

o

1

estud¡ante

26

12[

Completamos la tabla y Ios intervalos a + a + 2 +26 + l0¿ + 8 +ó¿ = 126 +

tr

Peso (kg)

a+Z

8l

Totál

Resuelve.

el fin de encontrar el tiempo de reacción. Se realizó la experiencia con 30 estudiantes, obteniéndose los valores s¡guientes, expresados en centés¡mas de segundo:

f¡ a

14 s Lll | 1.,

permanece constante.

E E

(min)

Tiempo

de asimetría que comesponde a los datos de la tabla y elabora el gráfico,

las marcas de clase.

Elabora el histograma y el polígono de frecuencias.

d) Calcula

la mediana.

e) Determina

el tipo de asimetría que posee la distribución

Bespuestas: 1. a) 16,2; 16; 16 b) 19; 12 c) 17 e) Tiene asimetría positiva. 2. a) 1 66; 170: 174; 1 78 b) [1 6B-1 72[ d) 1 68,8 e) Es aproximadamente simétrica

TEXTO ESCOLAR

Correlación. Recta de regresión I

Texto escolar

(pág

87) ¡

Libro de actividades (págs. 365-367)

Capacidades y desempeños precisados . Expresa en un gráfico la nube de puntos y la recta de regresión Comunica

Correlación. Recta de regresión

para visualizar la correlación entre dos variables, (4; 1-5)

Usa estrategias

o

y procedimientos

Escribe la ecuación de la recta de regresión y la usa para establecer predicciones e interpreta la pendiente de la línea en el contexto del problema. (l-3; 5; 6-12)

correlación

Sugerencias

d

idácticas

Es el

grado de dependenc¡a estadistica de dos variables. Se denota por

r_\- ,.r,Jt _?.i ' r

Para iniciar

I I

n1¿-'t ,=--%,.",

Centre la atención de los estudiantes en el párrafo inicial. Resalte que uno de los objetivos de la estadÍstica es poder determinar si existe alguna relación entre las variables. Para esto se busca si existe dependencia entre las variables.

t=!=r,az t_

=

",

a,=

I

),

r

Motive para que se autoevalúen resolviendo las actividades 1 a la 6. Al finalizar, propicie que en un plenario compartan los resultados para hacer las correcciones correspondientes.

La siguiente tabla muestra las temperaturas máximas y mínimas de una ciudad del Penj, durante los doce meses del año. A partir de los datos de la tabla del margen, halla el índice de conelación, grafica la nube de puntos y trazalarecta

./G;

de regresión.

.

x,.v,=zsss

29,281s

d

'á

p

€ I

a o

S

I

-y

2

Comunica:4 Usa estrategias y procedimientos: 1.3,5

La edad promedio en los matrimonios de un país durante el periodo de 2ü)7-2016 ha sido:

34 44678

El coeficiente de correlación.

Año 07 08 09 l0 ll t2 13 14 l-5 v 2.6 21 27 27 11 28 28 28 28

J

l6 28

M 242425252525252526

r = 0.91J3

@ Laecuación de larectade regresión. r = l.l7.i +

§

12

Hallamos el índice de correlación: r = 0998 (ver margen).

oesnnnouaruscApActDADES

r

123456789101112 l t] 2t 26 2't 29 24 l8 t6 6 5 7 813t7lUl916lll07

tt l2).

Con los datos de la tabla calcula: N

Mes

Trazamos la recta de regresión que pasa por el punto G dejando aproximadamente el mismo número de puntos de la nube por encima y por debajo.

Págs. 565-367

ffi

la Para valor

Reoresentamos M¿ix' t2 t4 nu;e de Duntos: Mín' ello ubicamos el de las medias aritméticas de las variables

G(I, r) = (1892;

=O,98

,"ÜF

§

I

EJEMPLO 4

6'075

*tzgssl -zto,ot

'

Examinen el ejemplo 9, Resalte la necesidad de calcular las medias aritméticas, asÍ como las desviaciones estándares para hallar el valor del coeficiente (r). Ponga especial cuidado en el procedimiento para trazar la recta de regresión. Befuerce el aprendizaje pidiendo que realicen las actividades 1 alal de "Desanolla tus capacidades".

Para consolidar

I--z--

o!= 4,82

Cuando se grafican los valores de dos variables en un sistema cartesiano, se obtiene un conjunto de puntos (nube de puntos). Pida que se enfoquen en "lmportante" y haga notar que esa nube de puntos puede adoptar una forma muy concentrada (r cerca de -1 o +1), algo dispersa (pero con alguna tendencia) o no visualizarse ninguna tendencia (r = 0 o muy cerca de cero). A partir de esto, podemos inducir que existe una tendencia que se puede representar por medio de una recta, la que se denomina recta de regresión.

El ejemplo 10 nos ayuda a entender cómo se determina la ecuación de la recta de regresión, que tiene la forma general: y = mx + n. Recuérdeles que la pendiente m se halla por lyr- y)l(xz- x,) y que n es el intercepto Y También considere la información de "Ten en cuenta", para que se pueda hallar la pendiente utilizando la tangente. Motive a reafirmar lo aprendido a través de las actividades 8 ala 12,las que deben ser resueltas en pares.

,l»-k - xY

"r=l-É

Para desarrollar

I

Dados dos puntos, la recta que pasa por ellos es única. Si los puntos son P(r, ],) y Qk', y), la ecuación de la recta será y = mx + b, donde m es la pendiente de la recta PQ y b, su ordenada en el origen.

t=!=rc,e2

I

t

:re l-l:+ ll

Ecuac¡ón de la recta de regresión

TEN EN CUENTA

Pida que lean la definición de "Correlación". Destaque que se mide por medio del índíce de correlación, que varÍa entre -1 y +1. Haga notar que la correlación nos indica si dos variables están relacionadas o no (podríamos decir el grado de relación que tienen). Es decir, que cuando una variable cambia, la otra también. Por ejemplo, si una variable aumenta, la otra aumentará (conelación positiva) o disminuirá (correlación negativa).

r.

1.07

Las coordenadas del centro de gravedad. (i(.1.5;5,2)

Q

Representa la nube de puntos.

B

Estima la edad de la mujer, si el varón tuviera 30 años. lll arios

UNIDAD

9

Estadística y probabilidad

87

LIBRO DE ACTIV¡DADES

EsrADísrcA

Correlación

+D',)¡-r']. r e [-l;+ t]

-----q=o"

Sir=1or=-1,ex¡ste una correlación perfecta entre las dos variables.

y oy son las desviaiiones típicas

de,

Si-1
Si r = 0, no existe correlac¡ón entre

grado de correlación.

las dos variables.

27

92

B

28

90

C

21

77

21 20 16 18 18 'r5 15

7l

F

recta de regresión es la recta que mejor se alusta a la nube de puntos. El aluste será mejor cuanto más fuerte sea la correlación (r).

G H

La recta de regresiÓn tiene como características:

I

Resume la nube de puntos.

G(t;r)

)

que tiene por coordenadas la media aritmética de las variables.

L

EJEMPLO 9

A partir de los datos de la tabla del margen, halla el índice de correlación, grafica la nube de puntos y traza la recta de regresión.

#,, lOs,sg

:zii2

t¿¿t¿¿ ,

(; =

=T#!#fr-

(,

15,59); y: puntaje

92 + 28 '90 + ... + 12'

+

*(ls,ss

-9)1

4l

+

9'

= 57,59). Hallamos r: 33)

-

15,59 ' 57,59

[qn,ss -sz¡z + ...+ (57,59 -

33)2

s

r=o,e77

:D

(

Graficamos la nube de puntos y trazamos la recta de regresión, con los datos de la tabla del margen. N N @ j

.

^i

.

'6 a

E o o o f

p

j a

e E

I

E c

I

L

§

@

0

Graficamos la nube de puntos. Pafidos ganados (x) y puntaje Sobre la nube de puntos, colocamos las coordenadas del

punto G:

.

i

= 15,6;

t

-- 57,6

o

Puntaje

4

D

77 7

64

5ó

16

5ó

to

5ó

t)

53

V]

14

51

ñ

50

ó3

L

K

5ó

o

50

P

50 49

1'

44

+

I

'a

(15,6:57,6)

ó.

l0:4l

)

5 l015 Pafidos

30

ganados

Partidos perdidos

Calculamos la pendiente con los puntos A y G: m

50

*=ffi*m=2,e6

50

Sustituimos el valot de m en y = mr + n:

y=2,96x+n

=y;+

^=ffi-m=-Z,3e y=n-2,39x+n

17

49

18

48

23

45

20

44

Escribimos la ecuación de la recta de regresión aproximada:

43

y = 2,96x +

25

41

27

33

43

Calculamos con el punto A, el valor de n

n=41-2,96' l0+n=11,4

ll,4

- y - 2,96x: n--71+2,39' lO+n=94,9 y -- -2,39x + 94,9

De los dos gráf¡cos del ejemplq observamos:

. Cuandor>0esm>0 .

41

Cuandor<0esm<0

Por lo que podemos establecer que el coeflciente de correlac¡ón y la pend¡ente de la recta

tienen siempre el mismo signo.

Est¡mac¡ones a part¡r de una recta TEN EN CUENTA tangente es una razón trigonométrica que te permite determinar también la pendiente de una recta. La

L

Determinamos las coordenadas del segundo punto (A) en forma aproximada 0 colocando una regla transparente sobre 5 l0 t5 Partidos Smado§ el punto G, y dejando aproximadamente el mismo número de puntos de la nube por encima y por debajo.

(15,ó;57,6) il

_5_L

48 45

l

(10;71)

(

'15

I*

ó3

7',\

r = -0,932

r =0,977

14

G

64

77

ln

71

conjunto de puntos que representan las variables estadíst¡cas se llama nube de puntos.

a

EJEMPLO 1O

Hallamos la ecuación de la recta de regresión de los dos gráficos

92

C

El

§).

Dados dos puntos, la recta que pasa por ellos es única. Si los puntos son P[r, )) y Q[r', y), la ecuación de la rccta seá y = mr + ,i, donde m es la pendiente de la recta PQ y n su ordenada en el origen.

90

N

14 11 12 13 12 12 13 11 12 12 933

Partidos

IMPORTANTE

r =0,9'17

estimación a partir de la recta de regres¡Ón es buena cuando más se acerque el coeficiente de correlación a '1 o a -1 y solo será válida para valores prÓximos a los datos. La

EJEMPLO 11 Tomando como referencia el ejemplo anterior, ¿qué puntaje habría obtenido un equipo si hubiera ganado 30 partidos?

. x

Luego, trazamos la recta de regresión que pasa por los dos puntos.

Estimamos el puntaje obtenido con la ecuación de la recta de regresión: y=2,96x+ lt,4=2,96(30) + 11,4= 100,2

g

9 e e

§

Con 30 partidos ganados, estimamos que alcanzaría 100 puntos.

Estatura

@

§C c o a

Equipos

K

punto G es llamado centro de gravedad.

Sean x: partidos ganados

).

A

La

Pasa por el punto

y

Distribución bidimens¡onal de partidos perdidos y puntaje de var¡os equipos

Partidos Puntaje Equipos ganados

Recta de regresión

.

ESTADÍSTcA

Ecuación de la recta de regresión

o,

Distribución b¡d¡mensional de partidos ganados y puntaje de var¡os equipos

'

hterpretac¡ón del coeficiente de correlación

El

a

TEN EN CUENTA,

grado de dependencia estadística de dos variables. Se denota con r (índice de correlación) yse def¡ne a paftir de la srguiente expresión: ES eI

. . .

¡

UNIDAD

9

Estadistica y probabilidad

3ó5

3óó

LIBRO DE ACTIVIDADES

Estrategia para resolver problemas ESIADiSTICA

ff

oesannou-nruscApActDADEs

comunica;

Escribe V si es verdadero o F si es falso.

ff

tr

relación entre dos vriableses la recta que

E

mejor se ajusta a la nube de puntos.

@ Una correlación es alta cuando su valor seacercaa l-

@ Una correlación

tr tr

es baja cuando se

acercaa-l@ La pendiente de la recta de regresión siempre tiene el mismo signo que el coefi ciente de correlación.

MesEFMAM H 15t416t516 M l-5 ll 15 14 15 §) Dibuja

y44566

I

A l5

5

I

7

Gl pi¡uja la nube de puntos correspondiente Y 8

Para iniciar

t4 l3 t2

I

Enfoque la atención de los estudiantes para que observen cómo dentro de una estrategia se plantea otra estrategia. La estrategia mayor consiste en cons¡derar cuatro pasos para resolver un problema: Comprende, planifica, resuelve y comprueba.

I

lnforme que la estrategia que acompaña es hacer un gráfico que facilite la resolución del problema.

I

En la fase "Comprende" se debe parafrasear el problema, identificar qué tipo de variables intervienen, porque esto nos ayudará a elegir el gráfico que nos puede facilitar el traba.¡o.

i+

t.r.5 14 t4.5 15 t5.5 16

16.5 H

Considerando Ias cantidades de nacimientos calculamos el H = 15,5 tarnbiér M = 14.5 Formamos G( 15.5: 14.5 i. Dctcrnrinarros l¡. dcsr i¡reir¡tcr lipiirrs de.r: o\ = 0.645 (r, = 0.645

I

Reernplazarnos en la tiirmula: lr"'--111

6

r=

4 2

0 0

4

2

f

8X

o.645

0.6¿15

+r=OX

@ Determina la ecuación de la recta de regresión

(,rr¡sitIrirrrrl,rr- 15.5 lrnthi.inV= l].5 @ Determina el coeficiente Calculanrr¡s el

¡

de correlación

=,1..1 también v = -5.3

Dr'tcrtltilt¡tlllos lrts dcsr iaci, rrcs tiprcrs dc.r: (r. = 0,943 (r, = 1,106 llccrnplazalrros en la lórntrrla: 0.¡Jti()

t= {).941 lJ06

- 11 -'--E 16-t55 05

*,,,

15

=

t

I

En l¡ ccuacirin r = nr r + Ó. rccrnplazrllos las ctxrrdelatlas del punto P y lclemos:

l5=ltl6l+b+b=-l

+ ¡=u'rJ5i

La ccuacití¡l dc la recta es:

t=I

-

l

@ Calcula la ecuación de la recta de regresión ,§

p

P

I

( irlculanrrs la pcndicnte dc lir rccta eonsiderlnclo rkrs punt()s P(-l: -1) ) Q(5:6)

///=6--1 --+///= En la ecuacitin r'- llr + ¡ rccnlplarantos |

ias coorticrtrdas dcl punto P 1 tertcnros:

s

.l-3(1)+h+b-l

o

I r ,, ur. i,in rle la

rt.L

lir

(\: \ = \ -

En la fase "Planifica" es donde debe decidirse por cuál gráfico. De todos modos, se elige el histograma porque la variable es cuantitativa. Si hubiera sido una variable nominal se habría elegido un d¡agrama de sectores. No se elige un diagrama de barras porque la var¡able cuant¡tat¡va es continua. AquÍ es donde se recupera la información de cómo se realiza el gráfico elegido.

Para desarrollar

I--i»rranros (i( 15.5; l-1.5) llahujarenros con cl ¡rtrntn P{ I6: I5) Hallrnros la prndicltc ije I¡ rcct¿t

,,' =

Determina medidas de centralización, apropiadas a una tabla de datos al resolver problemas. (2-4)

Sugerencias didácticas

la nube de puntos correspondiente.

[E Determina el coeficiente de correlación

I

variable en estud¡o al resolver problemas. (1)

.

l5 t4 t4

t6

tr

Usa estrategias y procedimientos

l6 t6 t6 l6 l6 l5 l5 t5

Libro de actividades (págs. 368-369)

Capacidades y desempeños prec¡sados . Reconoce la pertinencia de un gráfico para representar una

D

S

I5

4

4

ó-12

M

Dada la siguiente distribución bidimensional: 4

Usa estrategias y proced¡mientos:

Los nacimientm en miles por sexo durante un año han sido expresados en la siguiente tabla.

La correlación es cuando no existe una

@ La recta de regresión

1-5

I

'

lD ¿Cuántas mujeres nacieron si nacieron l8 mil varones?

I

Considerando la ecuacirin tJe la recta dcl cjercicio

anteriorr=.r l. Reemplazarnos para.\ = 18. tendrernos:

t=lli-l=17

Utilice la fase "Resuelve" para reforzar y consolidar la forma de elaborar un histograma y, a partir de este, cómo se calculan las medidas de centralización (moda y mediana). Pregunte: ¿Qué diferencia ex¡ste al calcular la med¡ana y la moda a part¡r de un gráfico?(La mediana se calcula a partir del histograma de frecuencias absolutas acumuladas y empleando semejanza de triángulos, mientras que la moda se calcula a partir del histograma de frecuencias absolutas y corresponde a la abscisa del punto orig¡nado por la intersección de los segmentos de la clase modal). En el caso de la moda, por lo general se hace una estimación para hallar su valor. Recuérdeles las fórmulas para calcular la mediana y la moda para datos agrupados, con las cuales harán efectiva la fase "Comprueba". Destaque la importancia de esta fase porque aumenta la confianza en los conocim¡entos aprendidos o permite despelar las dudas para sol¡dificar el aprendizaje.

Naciero¡r l7 (X)0 muje res. I

UNIDAD

9

Estad¡st¡ca

y probab¡lidad

%7

N N @

=i

ci

pi !

l

e o o

p 2 c o c

Para consolidar

@

I

_q

Pida que resuelvan la actividad 1, pasando por todas las fases y empleando la estrategia de elaborar un h¡stograma para luego ubicar gráficamente el valor de la mediana y el valor de la moda.

c

c a

o

LIBRO DE ACTIVIDADES

ESTRATEGIA PARA RESOLVER PROBLEMAS Usa estrateg¡as:y proced¡m¡entos: 1 5

Elaborar un gráf¡co

lE"«,ñ"9 I f I 13-!6[ I ¡ro-ret

I t-t*J

8

F¡

I

t7

I

2t

38

l6

54

I

ffiDi

8

|

I r"rl

Elabora un histograma, luego, estima el valor de la mediana y de la moda.

comprende

f¡

rr rrü

La tabla estadÍstica muestra las edades de las personas que fueron a una institución financiera para realizar su depósito correspondiente al programa "Mi primera cuenta de ahorros"-

Resuelve los siguientes problemas. Utiliza la estrategia aprendida.

§

ha realizado un examen físico a sus empleados para comprobar la capacidad de esfuerzo que poseen. Una de las pruebas del examen consiste en registrar el número de pulsaciones después de realizar una determinada actividad física similar a las que se llevan a cabo durante una jornada laboral. Elabora un histograma, luego, estima la mediana y la moda.

n=54

N

N." de pulsaciones

ffica

Sabemos que un histograma es una representación en forma de barras. Elaboramos un histograma con las ftecuencias absolutas y absolutas acumuladas de la tabla estadística. Luego, realizamos trazos auxiliares y estimamos los valores.

l36

36

uo - 7s¡

45

t7s - 80t

t00

t80 - 851

59

I

Elaboramos un histograma con las frecuencias absolutas acumuladas.

l.

En el eje Y ubicamos nl2 -- 27 y trazamos una paralela al eje X hasta AC. Luego, bajamos una perpendicular al eje X.

.

"*

-

I

las

Elaboramos un histograma con frecuencias absolutas e identificamos la barra de mayor

altura.

Trazamos, sobre Ia barra más alta, dos segmentos en aspa, tal como se indica.

I

Resuelve

,#

lo t3

N N @ j Ci c

.

p

t6

l

t9

22

lt

t0

.

Identiflcamos los triángulos semejantes ABC y ADE, y calculamos M¿:

BC DE 38-17 27-t7 AB AD 3 Me-16

l

oo o o

Respuesta: Me

= 17,4 años

N." de estudiantes (fl)

l5

t5

Conprende: Observanxrs quc en la tabla se dan datos. Se pitle elaborar un histo.qrama. luego. estimar el valo' de la nrediana y de Ia nrodr.

t4o - 4st

20

35

t4s - s0[

30

I'lanilica; Elaboramos un histogranlfl. Lucgo. realizamos

t50 - 55t

25

,r0

tss -

l0

100

i I I

I

l6

922

jt

-

Comprueba

a c

=

#*

YLrtj\

=

601

Trazamos una paralela al e¡e V qr" pase por la intersección de los segmentos anteriores y estimamos el punto en que dicha paralela corta al eje

#+

X.

R..pu".,"' Ma =

12-41

18

años

el

18,12 años, aproximadamente igual a la que se obtuvo gráficamente-

59 45

ol

I I

I

75

lJ5

ó5

15

85

b) Elaboramos un histograma con las frecuencias absolutas

I

g

§

e

identificamos la bama de mayor altura. Traamos dos

segmentos en mpa. tal como se indica. Trazamos una

i

p I

§ o

§ o

paralela al eje Y que pase por la intersección de los segmentos anteriores y estimamos el punto en el que dicha paralela corta al eje X. Mo = 78 p Comprueba: Reemplazamos valores en las fómulas de la mediana y la

rcda,

y obtenemos valores aproximados.

§

de familias

v)

l8

,r

- l0l

24

tr¡

t8

]E

46

t6-8t t8

36 65

i,,"

14-6f

+

401

Fi

Una empresa de alimentos realizó una investigación de mercado sobre el consumo de came de res en

Consumo (kg/semana)

60

I

kilogramos por semana por cada familia del distrito de Santa Rosa. Completa la tabla y estima Ia mediana y la moda. Mc = 5.131 kg/senr.l Mrr = 5.33 kg/setn.

100 +

l]0

Comprobamos reemplazando los datos de la tabla estadística en las fórmulas de la página 357, correspondientes a la mediana y la moda, y verificamos que la mediana es 17,43 años y la moda

c

ffi

200

!

€

@

l-uego. Mc = 76.95 pulsaciones

l

p

I

(,)

t0

tolu

ir,

l

t5

tr

s8 80l

')')

t3s - 4ot

ejc Y ubicamos ¡/2 = 98 y tr¡zamos una ptrralela rl cje X hrsta,.1C. Luego. bajarnos una perpcndicular al e'je X. Identificanns los 1r¡ángulos senrejantcs ABC y ADII.

l6

4ri

l0

Tiempo (minutos)

y calcu latnos Me:

tt l,/

36

los tiempos que tardan los estudiantes en resolver un examen de comunicación. La tabla muestra estos tiempos. Complétala y estima la mediana y Ia moda. Mt = 11.5 rtl¡rulos: Mr) = .11i..13 lttit¡tttos

En el

i

t,,

)

@ Lucía realiza una investigación sobre

Resuelve: a) tlallanlrs la nrediana: Elahrr¡mos un

I

(f

t2

l2o

lr*l

hislograma con las fiocuercias absolutas acunruladas. I

de pacientes

t troror -24t l-t ^-rt

trazos auxiliares y estinanros los valorrs.

__l 20

sr

N.'

lr2 - l6t

lrsrl

Plan¡f¡ca

Veamos el procedimiento para elaborar el gráfico y hallar la mediana y la moda:

Edad (años)

t*ryEqsiDl-,-]]

t6s - 70[

tabla muestra a los pacientes de uno de los dentistas

segin su edad que asistieron durante una semana. Completa la tabla. Luego, estima la mediana y la moda. l\4t - l().1 I rñ,rs: M,¡ = l7.t)l ¡rñtr:

@ Una empresa

Observamos que la tabla estadística muestra las edades de las personas en una tabla de frecuencias absolutas (l) y absolutas acumuladas (F,), en las cuales las edades se encuentran en un determinado intervalo. Se pide elaborar un histograma, luego, estimar el valor de la mediana y de la moda

Mediana

@ [a

ll

96

ll()

En Ia tabla se registran las estaturas de los integrantes de la preselección de un equipo de tÍtbol de un colegi«r. Completa la tabla: luego. e stima la mediana y la rnoda. 1/, = llS.i,rrr:1/,, llS l--.irr

(cm) N." de estudiantes fi) 5 1169-1141 tf) t19l It14 9 lr79 - ln4t I llrJ4-1891

Estatura

Fi

i 15

'r

,

28

_!g

C @

o

3ó8

UNIDAD

9 Estadíst,c

y probab¡l¡dad

3ó9

TEXTO ESCOLAR

[\4uestreo I

Texto escolar (pá9.

BB)

¡ Libro de actividades (págs. 370-372)

Capacidades y desempeños precisados . Describe la información de investigaciones estadísticas simples Comunica

Usa estrateg¡as

y procedimientos

que implican muestreo. (1-4)

o

Determina la muestra representativa de un conjunto de datos, usando criterios aleatorios y pertinentes a la población al resolver problemas. (1 y 5-10)

Muestreo. Encuesta Determinar el tamaño de una muestra representa una parte esencial de la estadÍstica. La muestra debe procurar ser representativa, pues esto proporciona ventajas de índole económica y práctica, por ejemplo; cierta cantidad de productos producidos en una fábrica tomados aleator¡amente, para revrsar su calidad.

t

Tamaño muestral

Sugerencias didácticas

TEN EN CUENTA

Decidir cuál es el mejor tamaño para una muestra es una de las preocupaciones principales relativas al muestreo. La expresión del margen nos ayudará a obtener dicho tamañ0.

Tamaño muestral

Para iniciar

I

N

o52

(N-1).E' -

Centre la atención de los estudiantes en la imagen; observe que parece ser una fábrica. Cualquiera que fuera lo que produce, se necesita saber si el producto es de calidad. Si la producción es alta, no sería posible analizar todos los productos (incluso hay pruebas de calidad que implican la destrucción del producto). Pregunte: ¿Qué se podría hacer? (Se tendría que tomar una muestra para inferir las conclusiones a la población). ¿Qué características debe tener la muestra? (Debe ser representativa, es deci¡ los elementos de la muestra no deben tener atributos diferentes de la población. Debe ser aleatoria, es decir, sus elementos son seleccionados al azar). Sugiera que propongan ejemplos de la muestra que tomarÍan para saber el rendimiento en matemática en su colegio.

Se quiere realizar una encuesta a los asistentes de Ia Feria Castronómica tr: Tamaño

I

I

E: lvlargen de

conlranza del 99Vo, ¿cuántos comensales deben elegir?

error

. .

C: Nivel de confianza

Identificamos datos: N = 50 00O; E =

3Vo = O,O3;

(. = 2,JB

(99Vo\

Reemplazamos los datos en la fórmula y resolvemos: 50 000 . 0.52

'-_--j-- l) . 0.032

(50 ff)o

2.58'

=+#=nl3,1i =til3 +u.5.

Por lo tanto, se deberán escoger 1783 comensales.

Encuesta encuesta es un método de investigación que se realiza sobre una muestra o población con el fin de conocer estados de opinión. característ¡cas o hechos especÍficos. Generalmente, se La

lnvite a los estudiantes que lean "Tamaño muestral". Remarque que al aplicar esta fórmula se busca que cumpla con las condiciones de una muestra estadística. Enfatice en el margen de error y el nivel de confianza y cómo están relacionados (menor error, mayor nivel de confianza). Refuerce el aprendizaje con las actividades 1 ala 4.

lleva a cabo por medio de algún cuestionario.

I

l.

Conjuntamente con los estudiantes, analicen el ejemplo 12. Pida que identifiquen el procedimiento realizado (se leyó el enunciado para identificar los datos, luego, se aplicó la fórmula para hallar el tamaño de la muestra y finalmente, se interpretó el resultado obtenido).

'rÜF

Pá6s.3?0-374

Solicite que revisen la sección "lmportante" en donde, a través de un e.jemplo, destaca la interpretación del tamaño muestral (322) de una población (2000) en relación con el margen de error (3%) y al nivel de confianza (95o/"). Y que cuando se considera que existe un 7 % que ha elegido un determinado producto, esto se interpretarÍa como 70 % t 3 % (entre el 67 'A y 73o/o de la población pueden elegir dicho producto, con un nivel de confianza del 95%).

Exponga que existen ofas formas de determinar el tamaño muestral, como en el ejemplo 14 que se hace con el apoyo de una tabla. Pida que verifiquen los resultados de los eiemplos 12 y 13 por medio de la tabla.

EJEMPLo Teniendo en cuenta el evento gastronómico, redactamos algunas preguntas:

v(|ff

Para consolidar

I

Mistura 2016 el segundo día, que sumaron, en total, una asistencia de 50 mil comensales. Si se quiere obtener un margen de enor del 37o y un nivel de

de la muestra

N: Total de la población

Para desarrollar

I

EJEMPLO 5

.

88

¿Cómo calificarías la atención al cliente?

Excelente b) Buena 2. ¿Qué comida le gustó? a)

orsennorrnruscAPACIDADEs Antonio es periodista de una revista internacional de investigaciones cinematográficas y debe realizar una encuesta a 1500 personas asistentes a una sala de un conocido cine limeño. Si se quiere que los resultados tengan un margen de error del 3olo y un nivel de confianza del 959o, ¿atántas personas deben ser elegidas como muestra? 6l.s

c)

<

Pre€unt¿cerada

Regular

d) Mala

<

..::aL'!:f:a-:a',

Preguntaabena

1

J"),'t.:^"a

:

",',.,

B

Construye un cuestionario con preguntas solo abiertas.

!

f,t

Etabora un cuestionario con preguntas solo cerradas.

e e

@ Redacta algunas preguntas cerradas y otras abiertas para conocer la frecuencia de uso del Facebook por estudiantes del nivel secundaria.

§ 3 o

LIBRO DE ACTIVIDADES

.

ESTADíSTICA

ESTADíSTICA

El

Cálculo del tamaño muestral med¡ante tablas

rt¡uestreo

Para obtener el tamaño de una muestra, además de aplicar una fórmula, se puede recurrir al uso de tablas, hojas de cálculo o programas estadísticos. Asi, la siguiente tabla permite identificar el tamaño de la muestra para una determinada población según el margen de error y el nivel de confianza con el que se desee trabajar. En ella podemos verificar el tamaño de muestra obtenida en el ejemplo 13.

Tamaño muestral TEN EN CUENTA Una población no necesariamente se refiere solo a personas, s¡no a otros elementos que Se Pueden ¡nvestjgar, como objetos, animales, etc. Una Parte de ellos es la muestra.

El muestreo es una herramienta de la investigacrón científica. Su función básica es determinar qué parte de una población debe examinarse con la f¡nalidad de hacer inferencias sobre dicha pobiación.

La sigu¡ente

Total

de la población

expresión ayudará a obtener dicho tamaño: N

de error 3%

52

100

+U,5'

500 800

l

1000

N:Total de la poblaclón

950k

88

91

301

340

388

457

431

51ó

C: Nivel de confianza. Representa el porcentaje de segurjdad que existe para generalizar en toda la población los resultados obtenidos de la muestra. Generalmente, está relacionado con dos valores: 1,9ó si queremos un nivel de confianza del 95% y 2,58 s¡ queremos un n¡vel de confianza del 99%.

N. 0.52

se obtiene una muestra n de 322 personas con un nivel de confianza C del 95% y un margen de error E del 3%. y el 70% eliSe la marca furbo. se afirma que se puede tener un 95% de certeza de que entre el ó7% y el 73% de las 2m0 personas que conforman la poblac¡ón elegiría la marca Turbo. Si

N N @ j

ci

€i6 l

o o o

p

s

-

67% 70y"

o L

-3%

a c

§ c a

o

370

.

+3'A

73%

95

73

79

87

176

217

286

ssr

203

260

364

ó4,

214

278

400

-Goo-

+ 0,52

_

800'0,52 D

.o,oP + 0,52

sza

230

305

461

rg5o

258

357

587

. EJEMPLO 13

s03

¿Cuántos estudiantes deberá elegir Doris si desea que los resultados tengan un margen de error del3%o y w nivel de confianza del 99o/o'!

ñ

.

g

@

Doris deberá elegir a 556 estudiantes.

0,52

200

+0,52

p

= 556

cuántas personas se deben

624

l.t]8 | zlo

30s

46t

Determinamos el tamaño muestral aplicando la fórmula:

Entonces:

j

ó E

0,ll

la info¡mación

Aplica la ciencra

N = 428r E =

_

5 9o,

En una competencia de proyectos de mecatrónica, hay 428 jóvenes inscritos. Los organizadores quieren realizar un estudio sobre el razonamiento matemático de dichos jóvenes para lo cual aplicarán un test a una muestra representativa de modo que los resultados los puedan extender a los 428 con un margen de error del 57o y un nivel de confianza del 99Vo. ¿Cuántos y quiénes conformarán dicha muestra?

0.52 + 0,5¿

5 7o.

E=3Vo =O,03tC =2,58 (997o) 800. 0.52 200 n=-= (800 - I x0.03)r (?99X0,03)2 ": + u-5' + 2.58'

¿,a

EJEMPLO 15

20o __2«)

Identificamos datos y reemplazamos en la fórmula: N = 800 estudiantes;

mayor al

pierde confiabilidad.

Se deben elegir 828 personas

1,962

del 95Vo y un margen de error del

Si el magen de emor es

Identificamos en la tabla la intersección de la columna y fila conespondiente:

l50o

Doris deberá elegir a 260 estudiantes, de manera que los resultados que obtenga de ellos los pueda generalizar a los 800 estudiantes con un nivel de confianza

IMPORTANTE

879

¿Qué pasaría si el margen de error fuese superior al 5% con respecto al n¡vel de conflanza?

9970

sp¿

error del 3olo y un nivel de confianza del 99Vo, elegir para la encuesta?

Identificamos datos: N = 800 estudianteqE= 5Vo = 0,05; C = 1,96 (95Vo) Reemplazamos los datos en la fórmula y resolvemos: (N

624

657

I I T I I

9svo

Se va a realizar una encuesta y se desea que los resultados se extiendan a las 1500 personas que confoman la población. Si se quiere obtener un margen de

Doris es nutricionista y debe analizar una población de 800 estudiantes de una institución educativa. Ella ha decidido trabajar con una muestra, de modo que los resultados obtenidos sobre el estudio de la dieta tengan un margen de error del 57o y un nivel de confianza del 95 7o. ¿Cuántos estudiantes deberá elegir?

- l)'82 ---T

503

90%

99o/o

EJEMPLO 14

EJEMPLO 12

. .

500

s000

1

Es el error que se prevé cometer cuando las medidas de cemralización o dispersión obtenidas de la muestra, se general¡za hacia toda la población. Se expresa en porcentaje y se escribe en la fórmula el número decimal que lo representa.

E: Margen de error o intenr'alo de confianza.

ARGUMENTA AFIRMACIONES

de error 5% N¡vel de confianza

90%

n:Tamaño de la muestra

D

'

P

5 Vo

r-

§

t p

.

I

I

a o

o

(428

428'o'52, - r) 0.05',

=26l

Aplica fundamenkrs de ciencia y tecnología. (Conrprende y aplica conocimientos científicos).

2.58', Para elegir a los que conformarán la muestra, recurrimos a la técnica de

muestreo aleatorio simple. Para ello, introducimos 428 papelitos dentro de una bolsa (cada papelito contiene el número de inscripción de cada participante) y elegimos al azar 261 papelitos.

E

§

= O,O5; C = 2,58 (99Vo)

-rv,J

@

tnvestrg,r

:jolIlt

l,r ilt(,aaltrorlr':i. sLl, ori!y,r]{)s y,rl)lic¡( r()lli':l

UNIDAD

9

Estadística y probabilidad

311

LIBRO DE ACT¡VIDADES

La encuesta ¡ .

fl

orsmnou-aruscAPAcrDADEs

Comunica:

1-4

Capacidades y desempeños prec¡sados . Expresa la verdad o falsedad de afirmac¡ones relac¡onadas

Usa estrateSias y proced¡mientos: 5-10

Comunica

Escribe V si

S

es

verdadero o F si es falso.

@ Halla el número

La muestra es mayor que la población

tr

en una misma investigación.

@ [.a muestra puede estar formada por todos los elementos de la población.

E E

@ Cuando el margen de error disminuye, el tamaño de Ia muestra disminuye.

@ Si el nivel de confianza aumenta, el tamaño de la muestra aumenta.

tr

Resuelve.

f,l

Libro de actividades (págs. 373-374)

ESTADÍSTICA

El dueño de un gimnasio desea conocer la opinión de las 230 personas inscritas, respecto al servicio que reciben. Para ello, aplicará una encuesta a un grilpo rcpresentativo, tal que los resul¿ados estadísticos obtenidos se relacionen con la población según un margen de enor del 57o y un nivel de confianzadel959o. ¿Cuántas personas conformarán la muestra?

I 96 57 5 = (22eLLo_.ggzsL

irfrrr'rJ)trfsl *

-

* ,,=6ffi5-r¡= '

Usa estrategias y procedimientos

una muestra, tal que los resultados estadísticos obtenidos tengan, sobre las 1500 personas que conforman la población, un margen de error del 57o y un nivel de confianza del 907o. (C = I ,65) 500x0,25)

(l

il

(

l

c42(o,P?5)*6,25 375 _ - !{ 1499)r0.0025)

_

2i725-+0'25

l')('57

o §7r§

rxñ

+

1 14"1\

I

Comparta con los estudiantes la inquietud del alcalde por saber los deportes que pref¡eren, las edades, los pesos, la experiencia que poseen en estos deporte, etc. en su localidad. Pregunte: ¿Qué recomendarían hacer para poder tener esta información? (Realizar una encuesta). Solicite que lean el párrafo inicial. Refuerce af¡rmando que es una herramienta que permite recoger información para diagnosticar la s¡tuación y poder diseñar políticas y programas económ¡cos, ambientales, soc¡ales. Comente que su uso se hace muy evidente en la época de elecciones.

I

Recuérdeles que las encuestas hacen uso de las preguntas y que el contenido de estas debe ser pert¡nente a lo que se está investigando.

I

También tomen en cuenta que las preguntas pueden ser: cerradas, que por lo general, se dan con opciones y son ráp¡das de contabilizar y codificar haciendo más sencillo su análisis y abiertas, es dec¡r de respuesta libre, que toman más tiempo en contabilizar y codificar, siendo menos fácil analizarlas, pero tienen la ventaja de enriquecer el conocimiento sobre lo .16 y la sección "Ten en cuenta" investigado. Pida que analicen el ejemplo para aclarar la diferencia entre estos tipos de preguntas.

ffi+0.15

,,=i¡#t-rs ',=z:o La nruestra estará confirrnrada por 230 personas

G) Considerando la tabla sobre el tamaño de la muestra de la página anterior, comprueba los resultados de la actividad anterior.

('r»sidcnndo lus pariimetros petlidos. poblaci
@ ¿En curinto aumenta la muestra si el nivel de confianza fue¡a del 994o'! Si es

o':5

t

143.75

La rttueslr¡ estarii (-onli)rnradr por

1.1,1

Elabora y evalúa preguntas relacionadas con una encuesta. (6-11 )

Para iniciar

375

lr r¡isnrr población de l5(X) y error:57,. ¡rirel de conli¡nza ilcl 99'¡,.1a rlru!'str¡ dcbe scr clc 46 I pcrsonas: e¡rlonccs. la dil'crencir scrÍ tlc; -t6 t.r0 - t3 I l-a mrrcstra sc incrcrrcntil ctr 23 I personirs.

5

con una encuesta. (1-5)

.

Sugerencias didácticas

500x0.25)

(230X0.2-5)

It.l0l(o.15l

,:¡o f ,,0Lrsi

de personas que conformarán

persrrnas

@ Una compañía quiere contratar los servicios de una Gl Calcula el número de individuos que conformarán una muestra, tal que los resultados estadísticos obtenidos tengan, sobre los 2500 individuos que conforman la población, un margen de error del 57o y un nivel de confianzadel959o. (2500x0.25)

1.96r

+ 0,25

625

6.1415

I 84lrr

*ff,.r, La mueslra

'

=

(1163)(0.25) (tt63x0.25) (862)(0,0009) (863 - rX0,0l)r _n )< + I \"

(2500x).2s)

- (2499)0.00a,

+ (, 15

n -- 332 45

estará conformada por 333 personas.

Para desarrollar

empresa de alimentos. Con la finalidad de ver si senán del agrado de sus 863 colaboradores, decide hacer una consulta previa a un grupo representativo de ellos. Si se desea que los resultados se extiendan a la población con un margen de error del 3?o y tn nivel de confianz a del 99Vo , ¿crántos deberán ser consultados?

I

2.582

2,581

-

2

15,75

(862)(0.0009)

66564

m;; 2

+ u'25

1

t

I ó

é

5.75

p

P

I

P

n = 51i8.597 La muestra estará conformada por 589 personas

§

Utilice el ejemplo 17 para destacar la importancia del uso de una buena técnica de conteo y cómo estos datos contabilizados se pueden transformar en un gráfico. En este caso se ha hecho uso de un diagrama de sectores que fácilmente se puede expresar en valores porcentuales. En el ejemplo 18, haga notar que se han usado los dos tipos de preguntas (cerradas y abiertas). Motive para que re¡teren las diferencias entre los tipos de pregunta y las ventaias que ofrecen cada una. Refuerce con las actividades 'l a la 5.

Luego de resolver las actividades 6 a la 11, forme pares para que cada uno proponga 8 preguntas relacionadas con la alimentación y luego dialoguen para elaborar una encuesta con l0 de estas preguntas. Si considera conveniente, puede tomar en cuenta otros temas más.

ci

pi

)

!o o o l

p

Í

._!

o c @

o 372

N N @ j

o c

Para consolidar

_9

¡

c o a

Pida que apliquen la encuesta elaborada y que la procesen. Finalmente, propongan la secuencia rcalizada.

o

LIBRO DE ACTIVIDADES

ESTADfSTICA

La

'

.

encuesta

fl

encuesta es un método de investigac¡ón que se real¡za sobre una muestra o poblac¡ón con el fln de conocer estados de opinión, caracterÍst¡cas o hechos especificos med¡ante la aplicación de procesos de observación, interrogación y registro de datos. La

EJEMPLO 1ó

TEN EN CUENTA

Redacta algunas preguntas cerradas y otras abiertas como pafe de una investigación que busca conocer la frecuencia y utilidad del correo electrónico.

En las preguntas ab¡ertas, las respuestas son dadas

.

Redactamos las preguntas con un lenguaje sencillo, fácil de entender y sin errores de redacción ni ortografía: 1) ¿Tiene usted correo

( )Sí

electrónico?

{

( ) ( ) ( )

( ) ( )

Diario Interdiario

PreSunta m xta

Resuelve.

El Observa la pregunta mal planteada y reformúlala

Las preguntas abiertas en una encuesta permiten libertad en las respuestas.

Las preguntas cerradas limitan la pos¡bilidad de

El

Gl La encuesta

h)

c

EJEMPLO 17

E

lnterdiar¡o (10)

.*

¡E Completa

¿Cómo se llama el personaje que admiras?

3

( )r

2

( )l

( )l

¡,Cuál es tu estado civil

( )Casado ( )Viudo

Observamos que del total de la muestra, más del SOVo accede diariamente a su correo electrónico y son pocos los que rara vez acceden a é1. En el margen se muestra el griífico de sectores circulares-

)

¿Cuál es tu estado civil? ¿Qué obra te fascinó al leerla?

.,('uiintos hernrarros tiencs'.)

Dos veces a la semana (ó)

Una vez a la semana (3)

Diario (33) Rara vez (2)

D

)M¿isde3

-

!o o E

a

f,

p

P

'l'eror

c

§

a c

o

-9

c o @

deporte practicas?

¿Cómo se llama el personaje que admiras'l

Ficción

Otra:

Gl Realiza un cuestionario con preguntas mixtas. ,.( tt:ittf,,. lt, rIrl.r[o. llcilr'''.

No

(

¿Por qué?

=o

.

l-¡r:q!qr¡tt-

c)

( ) sÍ

-

¿Cuál es su grado de instrucción?

( )Primaria ( )Superior

( ) Sacundar'íl ( ) l4q¡il

@ Plantea de manera correcta los siguientes ítems de un cuestionario.

Comedia 2) ¿[,e interesan las novedades tecnológicas? Sí

,o

( )

b) ¿Utilizaría nuevamente nuestra agencia?

( )No )Soltero )Divorciado

I ) ¿Qué tipo de película prefiere ver? (Marque una sola opción) I

a) ¿Cómo calificaría la atención al cliente? ( )Mala ( ) Bqgür

i

( (

Construye un cuestionario con pregunfas solo abiertas.

¿,Qué

El grupo de David elaboró una encuesta como se muestra, sobre el tipo de película que ven los estudiantes de su colegio, y las novedades tecnológicas que le interesan. ¿Qué tipos de preguntas se plantearon?

Ci

las distintas opciones de respuesta, de modo que la pregunta sea cerrada.

( )!\,"uu (

EJEMPLO 18

pc

) Que la cornirla se sirvr calicrrte. ) Qtrt cl scrvicio sea ntis rápido.

) Qtre se inclrrya rnás virricdirtl en el ntelri scnta¡rrl.

cerradas.

¿Con qué frecuencia accede a su correo electrónico?

N N @ j

Si contestó afirnrativanrcnte, ¿,(lué aspcctos cree t¡ue dehcrían nrejorar'l

¿Cuántos hermanos tienes? ¿Qué deporte practicas?

El Elabora un cuestionario con preguntas solo

Observa la tabulación que se hizo respecto a la pregunta 2 del cuestionario del ejemplo anterior. ¿Qué interpretación puedes dar?

.

aplicar siempre

Analiza las preguntas formuladas y resuelve.

d)

.

se debe

Refonnulamos la pregunta: ¿,Cree Lld. que los servicios dc cornetlor clcberíarr nrejorrr'i Sí o No

de abiertas y cerradas.

Pregunta abierta

ll

¿Por qué?".

G, La preguntas mixtas es la combinación

Rara vez

)Unavezalasemanalll

correctamente: "Con relación al funcionamiento del servicio de comedor, su valoración es negativa-

M

población.

a toda la

Una vez a la semana

)Raravez

ó-11

Las preguntas cerradas se caracterizan

por ser dicotómicas.

il)

( (

Usa estrategias y proced¡mientos:

Escribe V si es verdadero o F si es falso.

c)

) Dia¡io llll hl lN llll il{ ill{ lll + 33 + l0 ) Interdiariolfff llff ) Dos veces a la semana llf[ | + 6

1-5

O

Dos veces a la semana

3) ¿Qué utilidad le da a su correo electrónico? <

Comunica:

con total l¡bertad.

Las preguntas mixtas son combinaciones de ambas.

( )No

oesnnnoruruscAPAcIDADES

E) La encuesta puede tener solo preguntas abiertas y cerradas.

respuesta a unas cuantas opciones.

PreSunta cerrada

2) ¿Con qué frecuencia accede a su correo electrónico, <

ESTADÍSTICA

l,as preguntas son cerradas y abiertas. El grupo de David planteó las preguntas mixtas.

tl

¿1Qué

(

)l

( )l

( )Nlri'rlc-l

obra te fascinti en tu vida al leerla'l

a) No debe permitirse el ingreso con mascotas. b) Usted ingirió alguna medicina, ¿cuál?

c)

La emisora de radio La Voz Culta tiene mucha audiencia. ¿Sabe por qué? ,q

a) ¿Qué opina sobre el ingreso con mascotas? p b) ¿Ha ingerido alguna medicina? ¿Cuál?

c)

¿,Qué opina sobre la audiencia de la emisora de radio La Voz Culta?

g a o

UNIOAD

9

Estadís1ica y probabilidad

373

374

Números índices ¡Texto

Capacidades y desempeños prec¡sados Comunica

Usa estrategias

y procedimientos

o

. .

lnterpreta los datos de las tablas de los índices de precios al consumidor, (1-5)

I

Comente que el lNEl mensualmente determina, por un estudio de mercado, cómo van variando los precios; esto nos permite ver los indicadores del aumento del valor de la canasta básica. Para esto, se recune a los denominados números índices, que justamente se han desanollado para el estudio de las variaciones de precios que experimenta un producto o un servicio (se denominan números índices simples). Proponga un ejemplo: En el mes de enero de este año, en una línea de transporte se cobraba S/ 1,20 por el pasaje, Al cabo de dos meses, se subió a S/ 1,50 el pasaje: ¿Cuánto aumentó? (Sl 0,30). ¿Qué porcentaje subió? (0,3011,20 = 0,25 = 25'/"). ¿Qué relación guarda el nuevo pasaje con el del mes de enero? (1 ,5011,20 = 1,25). A este valor 1,25 lo reconocemos como el número Índice de los pasajes en este momento (sería en el mes de marzo). ¿Cuál sería el número índice en el mes de diciembre si el pasaje costase S/ 1,80? (1,8011,20 = 1,50). En los números Índices se toma como base el precio en un determinado momento. De este modo, podemos comparar por ejemplo, los índices de los meses de matzo y diciembre. Observen que se pueden expresar en tanto por ciento (1,25 = 125'/"', 1,50 = 150%).

Para desarrollar

I I

Motive para que den lectura a la información de "Números índices". Enfoque la atención en la fórmula y reitere como se expresa en tanto por ciento. Para mayor aclaración, refuerce con el análisis del e¡emplo 19. Destaque que el periodo base corresponde al año 2009 (se le hace conesponder el 100%) y que los demás años se expresarán como un porcentaje de dicho año. Pregunte: ¿Cuál es el número índice del año 2011? (102,6L). ¿Cuál es la variación del número índice del año 2015? (109,6 - 100 = 9,6%).

Libro de actividades (págs, 375-377)

I

lnforme que existen diversos números índices y que hay uno especial denominado índice de precios al consumidor a nivel nacional (IPCN) relacionado directamente con la canasta familiar. En el IPCN pueden apreciarse porcentajes que corresponden a los productos y servicios básicos (Todos estos porcentajes deberán sumar 100%).

I

Enfoque la atención de los estudiantes en el ejemplo 21 para que se informen cómo está estructurada la canasta familiar (ocho grupos de consumo). Pregunte: ¿En qué rubro se consume más?(Alimentos y bebidas). ¿En qué rubro se consume menos? (Cuidados y conservación de la salud). Si en una familia sus ingresos fueran de S/ 1500, ¿a cuánto ascendería lo correspondiente a la alimentación? (Aproximadamente, S/ 617).

!

Propicie el refuerzo del aprendizaje efectuando las actividades 1 a la 5. Pregunte: ¿Qué significa ENAPREF? (Encuesta Nacional de Presupuestos Naclonales). Sugiera que cada respuesta debe estar acompañada de los argumentos correspond¡entes.

I

Pida a los estudiantes que analicen el ejemplo 22y que observen cómo, a partir de la fórmula, se pueden calcular algunos números Índices.

I

Para reforzar el aprendizaje, indique a los estudiantes que en pares resuelvan la actividad 6. Pregunte: ¿Cuánto le correspondería al año 2012? (100"/"). ¿Por qué?(Porque se ha tomado este año como el año base). ¿En qué años la población estudiantil disminuyó? (En los años 2014 y 2015). ¿Cuánto fue la disminución? (En el 2014 disminuyó 8,376'/. y en el 2015 disminuyó 12,56'/., pero siempre en relación con el año 2012).

I

Analice la tabla en la que se aprecia el IPCN tomando como base el año 201 1 . Pregunte ¿En qué mes y año se observa el menor índice? (Febrero de 2013). ¿En qué mes y año se aprecia el mayor indice? (Diciembre de 2015). ¿Qué tendencia, en el tiempo, tiene el /PCN? (Su tendencia es de aumento continuo). Refuerce con la resolución de las actividades 8 y 9.

Determina el Índice de precios al consumidor y la variación porcentual. (8-10)

Enfoque la atención de los estudiantes en el párraÍo inicial sobre "Números Índices". Después de la lectura, pregunte: ¿Qué entienden por canasta familiar? (Escuche y concluya que la canasta familiar hace referencia a los productos de primera necesidad que permiten subsistir a una familia promedio durante un mes. También rncluye los servicios básicos. Esto implica que está en relación con los precios de los alimentos, vestidos, transporte, vivienda, salud, etc. En lo económico, se toma como criterio para filar el sueldo mínimo).

!

lnviten que examlnen el ejemplo 20 para afianzar el aprendizaje. Observe que al cambiar el año base, también cambian los números indices.

Para iniciar

I

Bg)

I

Determina los números índices de una población. (1-2,6-7)

Sugerencias didácticas

escolar (pág

Para consolidar

I

I I

Concluya afirmando que el IPCN tiene como objetivo medir cómo evolucionan en el tiempo los precios de un conjunto de productos y servicios adquirido para el hogar y que la encuesta se realiza con informantes representativos y de forma aleatoria. Para consolidar el aprendizaje solicite que individualmente resuelvan las actividades 7 y 10 de "Desarrolla tus capacidades".

Utilice las actividades 1 y 2 de la sección "Desarrolla tus capacidades" para que los estudiantes se evalúen. Recuérdeles que siempre hay que elegir un año base y, luego, expresar todo en función a dicho año. Al término de la evaluación, pida que en pares compartan sus procedimientos y resultados. Oriente la coevaluación y realice las conecciones necesarias.

N N @

_)

ci

i

:9 5 E

ó o o

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o

= _c

o c

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a

_9

c a @

TEXTO ESCOLAR

LIBRO DE ACTIVIDADES

ESÍADíSTICA

Números índices

'

Números índices

U¡

Los números índices son números que nos muestran los cambios de una variable entre dos situac¡ones temporales: una llamada periodo de referencia (x,) y otra denominada periodo base

kJ.

.l'" = !. m.

Para calcular un número Índ¡ce, se aplica la siguiente fórmula

número índice nos ind¡ca el aumento (lo que excede a 100) o la d¡sm¡nución (lo que falta para llegar a 100) en porcentaje de una determinada variable. El

Número índice

/"=!

P¡ra calcu ar el nrmero indice, se al)l ca la sigu¡eilte fórrilrla: TEN EN CUENTA

EJEMPLO 7

El número de estudiantes de dicho instituto, en el año 2015, creció en un 3,ó% y en el año 201ó,4,3%, con respecto al año 2014.

La tabla muestra la cantidad de estudiantes matriculados en 3 años en un instituto de idiomas. Determina los números índices, tomando como base el año 2014.

1.

I

.

'zott--2124 2124

vó

'lo0,o0

- 22OO 'zota211[ ,zots

Alimentos y bebidas

47

, v*td" i..tr.doT74, ---------+ Alquil. de viv 8,84

-l

Determina los números índices de la población en el Peni, con los datos de la tabla del margen y tomando como base el año 2009, año en que se realizó uno de los censos estadísticos de población.

'zot¿ ;zorc

100

=

100

l0o = 103ó

2215 100 = 2124

lM,3

A-ño

Estudiantes

Índice (7o)

2014

2t24

r00

2015

2200

r03.6

2016

2215

t04.3

-

. .

comb. elect.

índice de prec¡os al consumidor a n¡yel nac¡onal (IPCN)

4. Muebles, enseres

4,95

5.

cuidados de la salud y servicios médicos

ó.Transportes y

comunicaciones

rurp".lm,eat", cultura y divis¡ón

l

I

a¡tror

y serurcios

Ci

P¿í€s.

¿ :9 l

o o

p

s

q o -E

c @

I

tlr,ul l

En la tabla al margen se presenta las ponderaciones nacionales de los ocho grupos de consumo de Lima Metropolitana que constituyen la canasta básica familiar peruana, obtenidas con base al año 2014.

.

r ;3¿á

ffi

I

0

100

29 959 330 28 821 806

100

103.9

=

r8la#?;ffi

=

. roo = 106,7

l-

fiO =

63,16Vo

>

En el año 201ó

es l)ó,84olo menor

QUe

e

I

)

Usa estrateSias y

2013 2014 Técnicos 800 2000 Profcsionales 2500 3200 I

leicnicos; l0l)'/i: I I l.l¡;i : llll-l(',7: l'}r(,ir\r()Ill(\: ll)l)', I ¡li', : l(,S'¡:

2015

2016

2500

3000

4200

6000

166.7',i

p) El precio de un modelo

de tablet es comparado

E

€

en cuatro años: S/ 2750 en el año 2013; S/ 2500, en el 2Ol4; S/ 2100 en el 2015 y 1800 en el 2016. ¿Cuál es el índice de precios de dicha tablet en 2016 tomando como base el año 2Ol4'! l ln el ¡Íit¡ l0 l 6 c\ ll'i/{ rrenor i¡Lrc cl 10 1.1.

-l-10', UNIDAD

I

Estadística y probabilidad

28 467

2AA9

28821 806

roe,5

2014

?:87 60!

2009

28 821 806

100

201'1

2?

2412

299593§

2013

303ó2 115

2012

29 959 330

I03.9

20t4

30 769 305

106.7

2016

3l 586

r

106

09,5

2015 2016

Vo

;

89

I

s66168_

30 7ó9 305

31 114909

E'"@

Fuente: lNEl, 201ó

USA ESTRATEGIAS Y PROCEDIMIENTOS

Determina el índice de variación de la población en los años 2013 y 2Ol5

.

¿cuál es el índice de variación de la población del Perú en el año 201ó respecto al año base 2013?

Determinamos los números índices del año 2013 y 2015 tomando como base el año 2010.

-i¿=*##'r00=

104,02 t31i¿=*#Hi

r00= 106,8

e

En el año 201 3 hubo un incremento del 4,02Vo y en el año 2015,6,8Va con respecto al año base 2010.

g

0 Obs"*a

o

48

UEMPLo

prmdimientos: 1-2 B

Hatla el índice de sueldos respecto al año 20 t 3.

28121 363

2008

Población

con respecto al año base 2010 teniendo en cuenta la tabla del margen sobre la población del Peni.

2014.

ó

cAPACTDADES

PoblaciÓn

Año

-

. flir=ffi

t

AñO

2001

Índice de población (7o)

La población del Peni en el año 20 12 creció en m (1O3,9 7o lN 7o) 3,9 en el año 2014,6,7 Vo y en año 2O16,9,5o/o respecto al año 2009.

EJEMPLO 9

2014? Interpreta.

orsnnnou-a rus

100=

t

2014

El precio de un modelo de computadora es comparado en tres años distintos: S/ 3800 en el 2014; Si 2800 en el 2015 y S/ 2400 en el 2016. ¿Cuál es el índice de precio de dicha computadora en el 20 I 6 tomando como periodo base el año

575-37?

28 821 806 I 806

r:SS=;Hr+#.roo=

Observamos en el cuadro que de cada S/ 100 gastados, aproximadamente S/ 48 fueron en alimentos y bebidas, y S/ 12 en transportes y comunicaciones.

I p €

zo

a

a.az

2009

ñ

o I l

I

2.eo

,.ÜF

N N @ j

!

o**

tt ['l] I

:0 r2

EJEMPLO 8

cu¡dados del

Poblac¡ón del Perú total y proyectada

Calculamos los números índices de la población de los años 2012:'2014 y 201ó tomando como base el año 2009. Luego, completamos la tabla. ,:oos

y

llvl

2009 '""

Calculamos el número índice de la población de cada año con respecto a 2009, dividiendo el número de la población de cada año entre el número de la población del año 2009 y multiplicando por 100.

' ¿«¡t -- 7E-82

3.

aSua

ooblación en el año ¡

t¡ ':oou -¡ población en el

Calculamos el número índice de la población de cada año con respecto

al2Ol4. ¿ou

Descr pc¡ón INDICE GENERAL

i

EJEMPLO 19

rco.

t04.030/(

la tabla del margen y calcula el índice de variación de la población en el año 2016 respecto al año 2012. lo5.13tk,

UNIDAD

9

EstadÍstlca y probabi idad

375

LIBRO DE ACTIVIDADES

r

ESTADfSTICA

ESTADíSTICA

índice de prec¡os al consum¡dor

ff

Los primeros días de cada mes. el lNEl (lnst¡tuto Nac¡onal de Estadística e lnformát¡ca) publ¡ca un índice importante para la economía de nuestro país Se trata del índice de Precios al Consum¡dor a N¡vel Nac¡onal (IPCN).

Escribe V si

Il

El IPCN es un ¡ndicador estadístico que m¡de el comportam¡ento promed¡o de precios, de un per¡odo a otrq de un grupo seleccionado de bienes y serv¡cios. se determina mediante el seguimiento mensual de los prec¡os.

A partir de diciembre del 2011, el IPCN toma como referenc¡a el periodo base 201 'l , producto de la Encuesta Nacional de Presupuestos Fam¡liares

) EJEMPLO 21

O

Para un mejor estudio estadístico, la canasta básica familiar peruana se ha organizado en ocho grandes grupos de consumo cuya distribución porcentual se muestra en el cuadro teniendo como base el año 201 l. Realiza algunas interpretaciones respecto al IPCN.

ÍNorcscsxener 1.

5,68ó

3. Alquiler de vivienda, combustibles y electricidad

8,392

4. Muebles, enseres y mantenimiento de la vivienda

5,353

5. Cuidados y conseruación de la salud

3,398

6. Trmspones y comunicaciones

15,599

7. Esparcimiento, senicios cultuales y de enseñmza

13,758

8. Otros bienes y seruicios

De cada S/ 100 gastados, aproximadamente S/ 15.60 fi¡eron en transportes y comunicaciones.

Por dato:

I$'t'-r* -

Idi"i".b*

loq,4vo elamt= 48,5vo

Reemplazamos valores:

r,084=+ffi

" Idi"i"*b* = 1,O84 ' 48'5Vo = 52,67o

El índice de precios en diciembre del

09,738

tr

I

10,4865

Abril

103,8

t

l 10,8906

M

Mayo

103,9755

107.9342

I I 1,361 I

Junio

1o4,2258

108,0763

n1,6344

Julio

t04,77UJ

108,5079

l l2,l 130

105,3489

108,4459

|2,5744

108,6453

fi2,6698

I

l4

l 12,8196

109,0529

113,2637

09, I 965

n3,7nz

enseres y

\

Noviembre

l

Diciembre

105,8r00

Núm-ero

:0 r3

20t1

,

132.1

t242

. ¡lor¡-

ll-18

_

1086

. ¡lotn'r0[ -

1285

'2nt1- l)4)

t242 |

de

indice (gol

estudlmtes

2Ol2 2Ol3 2Ol4 2015 2016

24)

1242 1324 ll3tt 1086 128.5 100

=

t00

to6 (¡()l

()t 6a6

\ /. t,,.i

F

uente:

O

1NE1, 201

.

.

O §

.

-

.

103.4627

¿Cuál es el índice de variación del número de estudiantes matriculados en el año 2016 respecto al año 2014? Hallamos el índice del número de estudiantes matriculados el 2016 respecto al 2014. r

g

§

2O16 es 52,6Vo o

i3iÍ =

I

285

| 138

100

=

a

De lir lrblncn cl nres dc clcroilrl l0l5 es 09.-ll't r en clieicnrbrc rlcl l0 l ¡ el vrrlr¡r cr

tle I 1.1.717. I-¡ r rriacirin porccntual c\:

¡.1.71?

N N @

I01).:11¡1 =-1.19¡l

@ La variación del índice de precios

_i

ci

de enero del

€io

2016 a noviembre del 2016 es 118,57o. Si el índice de precios enero fue l4,l8Vo, ¿clál es el Índice de precios en noviembre del2O16?

lili:li,"r'"= I ls.-s'7i Rcerrplazrrruos lrlores: Por dato:

)

1""",,,=

J E

ó o o

)

l-l.ltl';

po

€ E

I ltxi_ , \sr.

I 12.917

En el año 2016 se ha incrementado

I 10.;19'1.

l-a r rrriaciiin porccnlLral cs: llO.19')1, 10.1.557 = (r.()l%

1

5 p e

6.

diciembre del 2015.

100 = 87 .41c/c

=

09, t4

E) La variación porcentual mensual de enero

l0ó.602%

l0O =91.6267c

100

I

07,686

l)L' l¡ tilbla. cr) el r¡cs clc nr¡rzo dcl l0 l.l es 101.55',, r cl nr¡r1() dcl lOl5. cl útdiec cs

tlc

1.1

1,.'

05,57 l 3

1

l

La variación porcentual mensual de marzo del 20 I 3 al mismo mes del 2015

I

a

I

Agosto

t59

105,6353

Año

o 376

r

107,21(x)

Septiembre

-

-1",

106.6217

103,5479

Octubre

6,673

Utilizamos Ia fórmula del número índice. Idi'T-b* =

102,7360

Marzo

índices, tomando como base el año 2O12.

La variación del índice de precios de alimentos y bebidas de abril del 20 I 6 a diciembre del 2016 es 108,47a. Si el índice de precios en abrtlfiie 48,5Vo, ¿cuál es el índice de precios en diciembre del 2016?

. . .

Febrero

Completa la tabla del número de estudiantes matriculados en un colegio durante 5 años con los

20t

Observa en el cuadro del ejemplo 21, luego

109,4221

E}¡APREF considera ocho grupos de consumo para determinar el IPCN.

t0r

EJEMPTO 22

20r5

106,0662

O

Observamos en el cuadro que, de cada S/ I ü) gastados, aproximadamente S/ 4 I fueron en alimentos y bebidas; S/ 6, en vestido y calzado y S/ 8, en alquiler de vivienda, combustibles y electricidad.

COMUNICA

zot4

toz,1757

105,5849

4t,t4l

2. Vestido y calzado

Índice general

Enero

E

El grupo de consumo vestido y calzado coresponde al conjunto servicios.

lffi)

2013

Analiza y resuelve.

100.m0

Alimentos y bebidas

Mes

mantenimiento de vivienda se considera para determinar el IPCN.

P':9=g!?

Grandes gnrpos de consumo

r

tFl

es un indicador estadístico que

@ El conjunto muebles,

usa estrateSiasy procedimientos: ó-10

IPCN (base diciembre del 201I =

son números que

mide el comportamiento promedio de precios, de un periodo a otro.

B

1-5

Observa la tabla y resuelve.

verdadero o F si es falso.

t os números índices

E! El IPCN

-

(ENAPRER.

es

comunica:

nos muestran los cambios de una población.

A este conjunto de bienes (alimentos y beb¡das, vestido y calzado, muebles, enseres y mantenim¡ento de la viv¡enda) y serv¡c¡os (alquiler de v¡v¡enda, combustibles y electric¡dad. cuidados y conservación de la salud, transportes y comunicaciones, esparc¡mientos, servicios culturales y de enseñanza) que habitualmente consumen las famil¡as se le conoce como canasta básica famil¡ar. TEN EN CUENTA

orsnnnou-lruscAPACIDADES

'

el

12,97o

I,,,'',.,u¡,"

t+.ls'r = I lli5

o G

ll lri"i = l(r'39i

Fll úrtlice tlc prccios en rtovie¡rhre tlcl

l0

I

6

ts I 6.ll'l

uNloAD 9 Estadistica y probabilidad

.

317

a c § .F

c a

o

I

TEXTO ESCOLAR

Análisis combinatorio ¡ Texto escolar

(pág

90) ¡

Libro de actividades (págs. 37&381)

Capacidades y desempeños precisados . ldentifica situac¡ones de conteo relacionados al análisis Comunica

combinatorio (variaciones, permutaciones, combinaciones). (1-5)

Usa eslrategias y procedimientos

Sustenta conclusiones o decisiones

. .

Aplica las fórmulas del análisis combinatorio al resolver problemas. (1-3; 6-12)

Anál¡s¡s comb¡natorio

Efectuar un análisis combinatorio consiste en aplicar proced¡m¡entos y técnicas para determ¡nar el número de ordenamientos que pueden formarse con los elementos de un conJunto dado según ciertas instrucc¡ones

variac¡ones s¡n

repetición

.., GlTi

Variación y permutac¡ón

v,.r =

Sugerencias didácticas

Las var¡ac¡ones se conocen tamb¡én como arreglos, d¡spos¡ciones, ordenac¡ones, distribuc¡ones ¡mporta el orden y la repet¡c¡ón de los elementos.

Var¡ac¡ones con

Para iniciar

I

I

Enfoque la atención en la imagen y pregunte: ¿Qué observan?(Piezas de lego). ¿Qué es Lego?(Es un sistema de bloques de plástico que se utilizan para armar diferentes objetos o estructuras). Con tres bloques (azul, rojo y verde), ¿de cuántas formas se puede construir una torre de tres bloques? (Primero las identificamos: VRA; VAR; AVR; ARV; RAV; RVA. Es decir, podemos construir 6 tones). Recuérdeles el principio básico de conteo: Si dos sucesos ocurren de n formas y el otro ocurre de m formas, ambos simultáneamente ocurrirán de m x nformas. Para el ejemplo se aplicarÍaasÍ: 3 x 2x 1 =6 formas diferentes. Motive para que lean la sección "Ten en cuenta". Reitere que el análisis combinatorio estudia las diferentes formas o aneglos que se pueden hacer con los elementos de un conlunto, de modo que las variaciones, permutaciones y combinaciones son subconluntos del con.junto formado por todos los aneglos posibles.

repetición VRr,

Son variaciones en las que ¡ntervienen todos los elementos del conjunto. Cada ordenam¡ento difiere de los otros solo en el orden de ubicac¡ón de los elementos

¿ = 2t

EJEMPLO 1O

[=,.---@ l Permutaciones sin

repetición

e,,r=fu-kll p"*rt .r*ió¡re";l rúos

N @ j

ci c

p !

I

,

o

o o

p

I

E o & @

c _!g

c @ @

- P52

)

Pa

-

P5,2 = 4!

-

(5

t,

- 2)l

= 2a

- 6 = 18

por Io menos, un elemento diferente. ]

=

(n

c,,,=ci=u*t'

1)! I

r;">*

EJEMPLO 11 Entre Pedro, Juan, Carlos, Antonio y Jorge se debe elegir un comité formado por 3 personas. ¿De cu¡intas maneras distintas se puede elegir dicho comité?

'tÜF P{i€s. 578-381

ff

.

Aplicamoscombinaciones: cl=

Se puede elegir de

arcl-cf

+

t)P4-P5.218

uS'c!

usa estrategias y prmedim¡entos:

r"

Sustenla conclusiones o dtr¡siones: 4-5

se va a elegir una comisión para organizar las olimpiadas anuales. Si asisten 20 personas, ¿de ctu'íntas maneras se pueden elegir a 5 personas para dicha comisión? I 5 504

{l)V8.5-V?.458ti0

VR"." valordeffi.

1'3

@ En un club 36

@ ¿Cuántas variaciones sin repetición de tres en tres puedes obtener del conjunto A = {a, b, c, d}? ?4

@ Calculael

n

fr=ff/=

l0 maneras distintas.

orsannou-nfuscAPACIDADES

@ Calcula:

En las combinaciones apóyese en "Ten en cuenta" para destacar que

no interesa el orden de los elementos y basta con que haya un elemento diferente para que las combinaciones también lo sean. En el ejemplo 29, haga notar que al no haber establecido una jerarquÍa en la comisión, da lo mismo; por ejemplo, para el caso de los varones, la comisión formada por Carlos y Juan, es equivalente a la formada por Juan y Carlos. Esto indica que es una combinación.

b) Calcular el valor de Po

=

6.=52

Las combinaciones se obt¡enen al seleccionar ordenamientos de * elementos de un conlunto de n elementos, de modo que cada ordenamiento es diferente de los demás solo si contiene,

permutacionescirculares

Haga notar que las permutaciones son variaciones en las que se toman en cuenta todos los elementos del conjunto. Examinen los elemplos 25 al 28 para comparar las diferentes clases de permutaciones.

Para consolidar

ur,r=

Comb¡nac¡ones

,-*tru l

PÍdales que parafraseen la definición de "Variaciones ordinarias o sin repetición". Destaque que la condición necesaria es que el orden de los elementos establece diferentes variaciones. Por ejemplo: En un triángulo rectángulo de catetos (a y b) e hipotenusa (c), ¿cuántas razones trigonométricas se pueden formar? (Significa que con 3 elementos vamos a formar arreglos de 2 elementos; no es lo mismo a/b que b/c. Habría Vs.z = 3 x 2 = 6).

-

)

]

-Patrrt

t!

a)Calculael valorde Vo2

I

a¡"""aa"

Para desarrollar

I

ra

donde distintas maneras de agrupar un número flnito de elementos tenga importanc¡a. Tiene importantes aplicaciones en el diseño de computadoras, en la química, en la teoría de Ia incertidumbre de Luis de Brogl¡e, y en las ciencias sociales. Es de gran ut¡lidad en todas aquellas áreas

Justifica decisiones que necesitan del conteo de diversas coordinaciones (variaciones, permutac¡ones, combinaciones) (4-5)

,hh.

§

En un pafido de ñitbol, el arquero y el centro delantero son los únicos que no pueden cambiar de posición. ¿Cuántos ordenamientos se pueden realiza¡ al cambiar el resto del equipo? :62 ltstt

j ,9

p

P

g o

90

L¡BRO DE ACTIVIDADES

.

ANALISIS COMBINATORIO

ANALISIS COMBINATORIO

!!

Permutaciones

onr,,s¡s comb¡nator¡o

Permutaciones sin repetición TEN EN CUENTA En cada problema de análisis combinator¡o es ¡mportante analizar

El número total de elementos (n).

número de elementos del grupo (¿). Si pueden o no repetirse. El

Si interesa o no el orden.

El análisis

combinatorio estudia las var¡aciones, las permutaciones y las comb¡naciones.

variaciones ordinarias o sln repetición

P, =

se llaman var¡aciones ordinarias (o sin repet¡ción) de los n elementos de un conjunto tomados en Srupos de ¿ (siendo t < n). todas las agrupaciones que se pueden formar de & elementos que se diferencian por el contenido de los elementos o por el orden de colocación. La fórmula para determinar las variaciones ordinarias d¡stintas susceptibles de formarse en un grupo de ,¡ elementos tomados de fr en & es:

¡

n(n

-

t)(n

- 2\...tn

-

k

*

D=

ffi.,

k

v,.,

=

nl

C:T.=

6i

+

I

I

P",t=(n-k)!

Permutac¡ones con repet¡ción

L

Variaciones con repetición

o- r ñ+ ;r

El caso particular de variaciones de n elementos, tomados en grupos de k, en el que ¿ = k, se denomina permutac¡ón.

Cada agrupación difiere de las restantes solo en el orden de colocación de los elementos, y en cada grupo intervienen todos los elementos del

Permutac¡ones circulares

en una permutación de n elementos hay un elemento repetido o veces, otro p veces... y otro 0 veces, el número de permutaciones con repetic¡ón es:

PR.'P

.

sea un conlunto de n elementos donde /< elementos t¡enen lugares fijos; el número de permutaoones que se puede forma con los demás elementos es:

P, = nl

S¡

=,

TEN EN CUENTA

Permutaciones con lugares f¡ios

Las permutaciones sin repet¡c¡ones son un caso particular de var¡aciones en las cuales entran todos los elementos; es decir, de ,? elementos se toman de n en n. nl.

Variaciones

Y,.

t

Cuando en una permutación de ,, elementos no hay primer ni último elementq se trata de una permutación circular; el número se calcula fjando la pos¡ción de uno de ellos.

conjunto.

pC,=(z_l)!

EJEMPLO 25

Cuando en una variación de,l elementos tomados de k en t se admite que en cada grupo formado se repitan elementos, se refiere a var¡aciones con repetic¡ón, cuyo número se calcula

Halla el número de palabras de cuatro letras, con o sin sentido, que formar con las letras de la palabra amor.

conlasisuienteformLld

. .

vR .=n.n .n..-n=ilt t

veces

se pueden

Algunos palabras de cuatro letras son: roma, roam, mora... Es una permutación sin repetición; hallamos el número total de palabras:

Pn=nl- P1=4l=4 3.2.l=24 >24 palabras EJEMPLO 23 USA ESTRATEGIAS Y PROCEDIMIENTOS

A=Ia,b,c,dl

En un colegio hay cuatro secciones de quinto de secundaria con una población estudiantil de 100 alumnos. Se va a elegir lajunta directiva de la promoción. conformada por un presidente, un secretario y un tesorero. ¿De cuántas formas se puede elegir a la junta directiva?

Calcula el número de variaciones con repetición de 4 elementos tomados

. .

Dado el conjunto

de2en2. au, ab. ac, ad, ba. bb, b(. bd, ca, tb, < t. t'¡l, da, db, dc. d¡l.

.

EJEMPLO 2ó

fila ocho alumnos de la promoción para tomarse una foto de grupo, si dos alumnos se colocan fijos en los extremos? ¿De cuántas maneras se colocan en

.

Para presidente hay 100 posibilidades: secretario,99. y tesorero,98.

P''r- (, -

Se trata de una variación sin repetición, porque tomados tres alumnos las agnrpaciones pueden ser: l-2-3: 2-l-3l'3-2- I ..., es decir, el alumno I ; 2 o 3 puede ser presidente o secretario o tesorero. Por tanto, interesa el orden.

.

2)l = 6t =72O > 720

maneras

FifArhrftila¿lAslAófprl P8;2=(8-2)!=6!

Y PROCEDIMIENTOS

F 0-

n!

-

pR,,3,2,2

¿Cuántos arreglos diferentes se pueden formar con todas la letras de la palabra

l

=T#=T-

663 200 aneglos

2;4; 6 y 8.

Aplicamos la fórmula y calculamos: VR,.¡ = tt l

+

VR

t:t=

43 = 64

ci ¿

'o

EJEMPLO 28 .§

p

Como las cifras se pueden repetir e interesa el orden, se trata de una variación con repetición: 222; 444;666; 888; 246 * 264...

N N @ j

Pomabamba? 15 l2o

ñ

Si se elaboran placas de los automóviles utilizando cifras pares y los números formados son tres cifras, ¿cuántas placas se podrán hacer?

378

-

Es una permutación con repetición, porque a se repite tres veces, y dos y p dos:

pRÍ

EJEMPLO 24

Podrán fabricarse 64 placas.

P8'2 = (8

USA ESTRATEGIAS

100: _ 100.99. 98. 97! = e7o 2oo + .,vroo,r = Giñln

Las cifras que se utilizan son:

+

¿Cuántos aneglos diferentes se puede formar con todas las letras de la palabra Yungaypampa2

Se podrá elegir la junta directiva de 970 200 formas.

. .

k)!

EJEMPLO 27

Usamos la fórmula y calculamos:

nt tt v, , =G:il

Permutación con dos lugares fijos

Dos lugares frjos son ocupados por los dos alumnos de la directiva, entonces:

p

a

9

¿De cuántas maneras cuatro parejas de esposos se pueden ubicar en una mesa circular para jugar cafas, si las parejas juegan juntas?

E

.

g

s

3 0

s

E o o

Calculamos agrupando por separado cada pareja y luego todos juntos:

IIIII

N = 2! x 2l x 2! x 2! x PC. = 2 x 2 x 2 x 2 x

3!

+

po E E d

N = 96 maneras

a o c

o

UNIDAD

9

Estadistica y probab¡lrdad

379

-g .F

c a

@

LIBRO DE ACT¡V¡DADES

¡

ANÁLISIS COMBINATORIO'

ANAUSIS COMBINATORIO

Combinaciones

TEN EN CUENTA Las combinaciones se obtienen al seleccionar

de un conjunto de n e¡ementos grupos de f, de tal forma que cada grupo es diferente de los demás si y solo si contiene algún elemento diferente, sea cual fuere su orden de colocación en el grupo.

fi

Comb¡naciones s¡n repet¡ción

combinaciones con repetic¡ón

número de combinaciones de n elementos tomados de k en t tal que dos agrupaciones cualquiera del mismo número de elementos se diferencien, por lo menos en un elementq se calcula con la srguiente fÓrmula:

Si en una combinación de n elementos tomados de ¿ en ¿ se repiten los elementos en una agrupaciÓn, se le llama combinaciÓn con repet¡ción y su número se calcula con la sigu¡ente fórmula:

El

^nl Li=L,.1=i{r-¿¡ '*=' nt\n - l\(n - 21... 1n - k + I) _ -il vk1.2.1-.k

orsnnnoruruscAPACIDADES

Escribe V si es verdadero o F si

ll

es

cmun¡G: 1-5

f)

falm.

En las permutaciones importa el orden de colocación de los elementos.

E E E

E) En las variaciones no importa el orden de colocación de los elementos.

Ci=CR,,,=,í,h!-,ii,

B

C?=CR,.* =Cn+k-t.k

En las combinaciones no importa el orden de colocación de los elementos. son un caso particular de las variaciones en las cuales participan todos sus elementos.

. .

f,l

ci

= 2!(4 _---L,.n,

,re+,

=6

x lo

En las variaciones con repetición

tr

se obtienen 64 grupos.

Resuelve.

Calculamos el número de comisiones de cinco personas que se pueden formar. compuesta por dos varones y tres mujeres:

La comisión

Gl Cuatro turistas llegan a una ciudad donde hay

siete

hoteles. ¿De cuántas maneras pueden ubicarse si cada uno debe estar en hoteles diferentes'?

= 6o

¡=

fa, b,c, dl Halla las comb¡naciones de los 4 elementos tomados de 3 en 3.

EJEMPLO 30

inr¡rnando el ordcn. sc trata dc una variación

Se sortean tres calculadoras científicas entre los diez mejores alumnos de

v, =-4=7.6.5.4=ri4o tt -4t!

un salón. Si no importa que uno de ellos se lleve los tres premios, ¿de cuántas formas se pueden distribuir los premios?

.

Como no importa que uno de ellos se lleve los tres premios, combinación con repetición: cRx =

aaa, dab, auc, odd, abb, ab<:. abd. o<'<'. a«|. add. bbb, bbc, bbd, bcc, bcd, btld, <'<'< , <'c<1, cdd , dcld.

El

ci

i2+

cR,g =

!!!-l:-lLl

=

#+

-CR,!

E = 226

!

J

9 o a

.

Aplicamos la fórmula y calculamos:

r-= cf cl +

p _o c L

L= 15x I-=

cj. c! + c!. cl + cf cl .

126+2O

1890 +2520

x 126+ 15x84+6x36

+

1260 + 216 = 5886

La junta directiva se puede seleccionar de 5886 maneras.

@

¿Cuántos números de cuatro cifras se pueden formar con las cifras l: 2: 3: 4:, 5: 6 y 7'?

= ,,,

li, = ,,,:

A=50.10 t65=Iilt

@ ¿De cuántas maneras diferentes pueden ubicarse alrededor de una fogata cinco parejas de esposos si los varones y mujeres quedan altemados?

trrtr

(lc rrna permutacirin circulrr. Asunit:¡os

c a

@

380

u11

elcntc¡rto.

= 2.11 pcro. además cadr ¡rarejr prede pcrnlut¿rl por lo trnlo sería: P = 24 5! = 2880 Ptrtrle¡r rthicrrr.e de l8R() r:rrlt rrs P

se pueden formar con todas las letras de la palabra Coracora'!

Gt ¿Cuántos arreglos diferentes d § g

p e I

.9

3

é p

€ I

Sc observa r¡ue es una palabra que ct»rtiene letras

repctidas. Entonces se trata de un¿r pernrutacirin cor repetición.

p= ' 1t,

<

§

E

a o

@

8!

)r. rt, )r. 1l

Se pueden

=rsrn

fomar 2520 aneglos

de matemática compuesta por cinco varones y tres mujeres de un grupo de diez varones y siete mujeres? Se trata rlc combinaciones. p,rrque no impona

el orden de colocación de los estudiantes en la seleccirin:

l0! all -r . r.r -r * .5!.5! 10.9. (r11

7!

4! ..1!

8.7.6 . 7.6.5 1)

= 8820

La selccciLin tlc rnatemritic¡ sc ¡ruede lirrnrrr tlc 8fi20 ¡rlneras.

§

-E

600

Sc prrcrlt rt scnlar dc ll-l I (lX) rna¡reras.

lD ¿De cuántas maneras puede formarse una selección

Se pueden formar 2401 números dc cu¿rlro cifias.

se reunieron seis varones

Por las características del problema. se trata de una combinación. Los grupos son de la forma: Cfl Cfl, donde M > 4 y V + M =8. .

(..

enk)ncescsP=41

crlcula¡nos: 7t =1.1.1.1=)40t

EJEMPLO 31

.

Ade ¡.r¡..

(irnsiderando quc las cilias se puerlen rupctir.

integrada con cuatro mujeres por los menos?

c

9

circulrr con ocho asientos. calcuhmos: P=(fl l)l=50-10

Se

y nueve mujeres. ¿De cuántas maneras distintas se puede seleccionar unajunta directiva mixta de ocho personas

_i

Trrtrntkrsc rlc un otdcilililticnl(, cil ulla illc\il

quc cacla pareia se tonla lomo

se trata de una

Los premios se pueden distribuir de 220 formas.

En un club,

¿De cuántas maneras diferentes se pueden sentar once personas en una mesa circr¡lar de ocho asientos, si tres quedan en espera?

Se puetJen ubicar de li40 maneras.

N

§

P=4 +P=24 Se pueden lbrmar 24 nÍimeros mayores que 9() (XX).

se puede escoger de 60 maneras. C'onro se trata de 7 hoteles y 4 turistas. no

Dado el conjunto

¿Cuántos números mayores que 90 000 se pueden forma¡ con los dígitos l: 3; 5t 7 y 9? Como los números deben scr mayores de 90 000. el 9 debe estar tijo. Permutamos los dígitos l: 3i 5l 7

lE

de 5 elementos tomados de 3 en 3

Escogemos: dos varones de un grupo de cuatro varones (C1) y tres mujeres de un grupo de cinco (Cl).

cj,

v

ó- 12

@ Las permutaciones EJEMPLO 29 ¿De cuántas formas se puede elegir una comisión compuesta por dos varones y tres mujeres de un total de cuatro varones y cinco mujeres?

USA ESTRATEGIAS Y PROCEDIMIENTOS

estrategias y prmedimientos:

Usa

t

flDAD 9

EstadÍstica y probabil¡dad

381

Probabilidades de sucesos compuestos I Capacidades y desempeños precisados . Selecciona la esfategia más conveniente Usa estrategias y procedimientos Sustenta conclusiones o decisiones

para resolver

Examina propuestas de modelos de probabilidad que involucran eventos aleatorios. (1-2)

Sugerencias didácticas Para iniciar

I

Es importante que inicie recuperando los saberes previos de los estudiantes.

Centre la atención de los estudiantes en el texto que hace referencia a la probabilidad condicionada. Pregunte: ¿Cuándo estamos frente a una probabilidad condicional? (Cuando la probabilidad de ocurrencia de un evento se ve afectado por la ocurrencia de otro evento relaclonado). Complemente presentando ejemplos como: Será muje¡ si se sabe que es policía (el condicionante es ser policÍa); será gerente si se sabe que es varón (el condicionante es ser varón).

Antes de que analicen los e.jemplos 36 y 37, explíqueles que el teorema de Bayes permite calcular probabilidades después de que se haya realizado un experimento (probabilidad a posteriori). Asimismo haga notar que el uso de los porcentajes facilita la resolución de situaciones relacionadas con este teorema. Enfatice que la suma de los porcentajes en cada una de las ramas es igual al 100% y para calcular la probabilidad en el primer caso bastará con dividir la probabilidad de que haya sido atendido por Fernando y que se olvidó de limpiar entre la suma de las probabilidades de no limpia¡ mientras que, en el segundo caso, deben dividir la probabilidad de copias defectuosas hechos por la máquina A entre la suma de probabilidades defectuosas.

I

En la actividad 1, resalte que se trata de una probabilidad condicional. Sugiera que para hallar el espacio muestral consideren la cantidad de números que inicien en la centena con una cifra impar (1; 3; 5; 7; 9). Recuerde que para calcular la cantidad de números que hay entre 100 y 199 bastará con restar los extremos y añadir una unidad ((199 - 100) + 1 = 100). También haga notar que el espacio muestral será 500 y los resultados favorables al evento serán los que corresponden a los números comprendidos entre 100 y 199. Pida que procedan del mismo modo en el caso "b". Destaque que en la actividad 2 se presentan dos sucesos independientes; pida que determinen la probabilidad de cada evento, luego, deben multiplicar dichos resultados para calcular la probabilidad.

I

En la actividad 3, haga notar que se trata de una probabilidad condicional, debido a que se afirma que la primera bola extraída es rola. Sugiera que apliquen el método simplificado, es decir, deben dividir la cantidad de bolas amarillas (4) entre el total de bolas que quedan (19). Para el desarrollo de las actividades 4 y 5 sugiérales que empleen el diagrama de árbol. En el caso 5, sugiera el uso del porcentaje para el cálculo de la probabilidad ya que se trata del teorema de Bayes.

Explique que la representación simbólica P(B/A) significa probabilidad de que ocurra el evento B, habiendo sucedido el evento A. Enfatice la exigencia de que P(A) sea mayor que cero para evitar la indeterminación; además, resalte que no existe probabilidad negativa.

Para desarrollar

I

lnvítelos a revisar el desarrollo del elemplo 32. Resalte que el evento condicionante en este caso es que la primera bola que se extraiga resulte blanca, además destaque que la probabilidad de este evento es 0,6. ExplÍqueles que también pueden obtener la probabilidad a partir del análisis de las bolillas que quedan después de la primera extracción. En el ejemplo 33, resalte el uso del diagrama del árbol donde se parte de un punto y se va ramificando, colocando en cada rama la probabilidad del evento. Pregunte: ¿Por qué varía la probabilidad en la segunda rama? (Yaría debido a que en el ánfora solo quedan 7 bolas, ya que una bola azul se extrajo alinicio). ¿Cuál es el condicionante en este caso?(Que la primera bola extraÍda sea azul). Pida a los estudiantes que comprueben el resultado aplicando el método

Para consolidar

I

simplificado.

I

Previamente al análisis del ejemplo 34, recuerde que dos eventos son independientes si la ocunencia o no ocurrencia de uno no afecta la

) ¡ Libro de actividades (págs. 382-385)

I

Para ello plantee las siguientes interrogantes: ¿Cómo se determina la probabilidad de un eventd? (Se calcula dividiendo el número de resultados favorables al evento entre el número cardinal del espacio muestral). ¿La probabilidad de un evento podría resultar 1,5?(No, porque la probabilidad varía entre 0y 1). ¿Qué significa que la probabilidad de un evento resulte cero?(Evenlo imposible, nunca se dará). ¿Y si resulta 1?(Evenlo seguro, ocurre el evento de todas maneras).

I

1

probabilidad de ocurrencia del otro, como el caso de lanzar una moneda y un dado, ya que el resultado del dado no afecta en absoluto al resultado de la moneda. Señale que P(A U B) significa probabilidad que ocurra A, ocurra B o ambos y P(A n B) significa probabilidad de que ocurraA y B a lavez. Asimismo, destaque que la probabilidad se puede expresar como fracción, número decimal o porcentaje; esto último se logra multiplicando al número decimal por 100%. En el ejemplo 35, resalte que se elige la tercera rama que relaciona dos bolas de colores diferentes porque la condición del problema lo exige. Además destaque que la probabilidad de estas ramas se obtiene multiplicando las probabilidades que se relacionan con ellas y, para hallar la probabilidad total, bastará con sumar dichas probabilidades.

problemas de probabilidades. (1-5)

o

Texto escolar (pá9. 9

I

Consolide destacando que si dos eventos A y B son independientes, entonces la probabilidad de que ocurran ambos eventos es igual al producto de las probabilidades individuales; además, señale que la probabilidad se puede expresar como fracción decimal o porcentaje. Resalte que el teorema de Bayes permite calcular probabilidades después de que haya sido realizado un experimento.

N N @

-i) CJ

i

:9 !

l

o o o

p

-o

.-o

I

< @

§c c @

o

TEXTO ESCOLAR

L¡BRO DE ACTIVIDADES

I 's

Probab¡l¡dad de sucesos compuestos

L

.

PROBABILIDAD

t,

E

a

Probabilidad de sucesos

compuestos E¡

Probab¡lidad cond¡c¡onada y compuesta Probabilidad condic¡onada

IMPORTANTE

Probab¡lidad condicionada

Probabilidad compuesta

La probabilidad condicionada se determina por: e1474¡ =

P(A

n

ljA !-Q,

donde p(A) > o.

B) = P(A). P(B/A)

La probabilidad de sucesos independientes:

P(B/A) = P(B)o P(A/B) = P(A)

P(AnB)=P(A).P(B)

P(B/A)=§P.P(A)>o

Probab¡lidad compuesta y de sucesos independ¡entes Observa las defin¡c¡ones de ambas probabilidades en el margen.

. IMPORTANTE

SUSTENTA CONCLUSIONES

total

Dados n sucesosAr,A2. ...

A, incompatibles con

A1

uA2u...uA,=O,y c Q conoc¡das P(Aj), P(&) ... P(A,); P(B/A1), P(B/A'... P(B/A,), la probabil¡dad de B. llamada probabilidad total esi

'

+

una bola, devuelve y saca otra vez una bola. S¡ la primera bola extraÍda fue blanca, ¿cuál es la probabilidad de que la segunda bola extraída sea neSra?

P(Á) = 3/5

B: Lucía gana la competencia: P(B) = 3/8

+

P(AUB)=

<

B

P(B)=P(A1).P(B/A1) + P(A2) . P(B/A2) + ... + P(A,) . P(B/A")

Para el ejemplo 32.

Paficia saca de la bolsa

Sucesos independientes: A: Ana gana la competencia:

P(A) =2ts

-]=]=1ZSV" '-3 ;= t

P(B¡ =

579

Probab craddeBanarluntas

Probabil¡dad total

)

EJEMPTO 32 Patricia tiene una bolsa con tres bolas blancas y dos bolas negras. Saca de la bolsa una bola y, sin devolverla, saca la segunda. Si la primera bola extraída es blanca, ¿cuál es Ia probabilidad de que la segunda bola extraída sea negra?

.

,rÜF rus.

_i

c' i

E

R

!

ffi

l

o o o

0,6'0,3 + 0,4'0,5

+

P(G) =

0,38 <

orsnnnou-e rus

cAPACTDADES

- p€

p ._a

c o L s

Un equipo de fútbol tiene 5/10 de posibilidades de ganar, 4/10 de empatar y l/10 de perder. Si juega 2 encuentros, ¿qué probabilidad tiene de ganar en ambos encuentros? ¿Si las posibilidades de perder es ahora l/5, qué probabilidad tiene de ganar? 15 i : ll )' i ¿

c @

9

Estadíst¡ca y probabilidad

BN

BN

BN

BN

P(B/A) =

NN

P(BIA) =214 = tl2 =O,59 -- 5¡oro La probabilidad de que la segunda

BB

N

NB

NB

NB

N

N

NB

NB

NB

NN

En forma simplificada: Si la primera bola extraída es blanca, quedan dos blancas y dos negras.

\:99 l9!: ":gra!

bola extraída sea negra es 507o.

Construimos el diagrama de rírbol y calculamos la probabilidad compuesta:

,/t13fl\a

518/

(

en la otra, luego se extrae una de la segunda bolsa. ¿Cuál es probabilidad de que las dos bolas extraídas sean de igual color? 5s. .i ,;

UNIDAD

BB

BB

Y-"

Se tiene una bolsa con 2 bolas rojas y 3 azules, y otra con 3 rojas y 4 azules. Se selecciona al azar una bolsa, se extrae una bola y se deposita

,t'' \a< zn\"

@ o

§c ,F

N BN

B

[].|$ffi§ -

Sustenta conclusiones o dec¡s¡ones:1-2

@

N RN

Del ánfora de Luis se extraen dos bolas sin devolución. Si en el ánfora hay cinco bolas rojas y tres azules, ¿cuál es la probabilidad de que la primera bola sea azul y la segunda roja?

Probabilidadqueganeelsorteo:38%

.q

f!

P(B/A)=§P =w=+

B

I EJEMPLO 33

Aplicamos la fórmula de probabilidad total: P(G) = P(A) . P(GIA) + P(R) . P(GIR) P(G) =

B: Segunda bola extraída negra

ltB

C C I

ó

.

:9

B

T

E]EMPLO 13

BB

B

A: Primera bola extraída blanca

extracción

B

l.'

10t,1

x

.

68e-585

Construyendo la tabla de extracción sin devolución y calculamos la probabilidad condicionada. 2.,

Una urna contiene fichas amarillas y rojas. Al extraer una al azar, las probabilidades son las siguientes: amarillas (0ó) y roja (09). Según el color de la ficha extraída, Daniel podrá participar en diferentes sorteos. Si obtiene una ficha de color amarilla: participa en un sorteo con una probabilidad de ganar del 307o. Si obtiene una de color rojo: partic¡pa en un sorteo con una probabilidad de ganar del SOVo. ¿Qué probabilidad tendrá Daniel de ganar en el sorteo?

N N @

probabilidad de que se real¡cen dos sucesos A y B s¡multáneamente es igual a la probabil¡dad de que se realice A, por la probab¡lidad de que se realice B. habiéndose realizado el primero. La

P(AnB)=P(A)'P(B/A)

EJEMPLO ,I2 En una competencia de vóley, Ana y Lucíatiener.2l5 y 3/4 de probabilidades de ganar, respectivamente. Si participan juntas, ¿qué probabilidad tienen de ganar?

Probab¡l¡dad

Probab¡lidad compuesta

probabilidad de que se real¡ce el suceso B habiéndose rea¡¡zado el suceso A es una probabilidad condicionada. La

91

382

tr#

A: Primera bola extraída azul

d E

B: Segunda bola extraída roja P(A n B) = P(A) .P(B/A) =

5

3 1=

l5 56

La probabilidad de que la primera bola la segunda roja es 277o.

26 ,7go/o

I € p €

I

sea azul

y

I o

LIBRO DE ACTIVIDADES

PROBABILIDAD

Probabil¡dad de sucesos independientes

+

P(A n B) =

Teorema de Bayes

P(A)

41,42, A3 ... A¡ son incompatibles si y solo si las intersecciones dos a dos son vacias.

A no influye

P(B)

Dados ¿ sucesos Ar. A2, ..., A,, incompatibles con Ar u A2 u ... u A, = Q, y B c Q conocidas P(Al), P(Ar), ...,P(A,,);P(B/A1), P(B/Ar), ...,P(B/4"), la probabilidad de B, llamada probabilidad total, es:

v &

(

si §¿ se divide en 41, y A3; y B es un suceso cualquiera. ¿A qué es igual P(A3lB)?¿cuál es la expresión de P(B)?

A2 A3

p1¿,¡ P(B/AI) + P(A2)' P(B/A, + ". + P(4,)'P(B/A,,)

.

P{A nB)

P(A,lB)=1fu)

EJEMPLO 34

P(B) = P(Ar).P(BlAr) + P(A2).P(BlAr)

Las probabilidades que tienen David y César de resolver un mismo problema son 2/3 y 3/8, respectivamente. ¿Cuál es la probabilidad que juntos resuelvan el problema?

.

+ P(Ar). P(BlAl)

P(Au B) = r

-á *=,

P\A) = 2t3

- *=X=0,7e

Notac¡ones para el diagrama de árbol:

J:

.lorge

.

Y PROCEDIMIENTOS

v

2.¡ Extrm. cn B

oy3/d\

)/

^)"--

I

I

B

:B->"----

B

p e en

B

P(bolas de diferente color)

=

l.'Exhrc. § 3 I

,r ':7 4il1

I/I

r2oo .^2!i,/'

n+ll2'215'319=l/15

'z(

b+ ll2'315 519=116

+

1/6

D+

+ ll2' 518'6lll = 15188 b+ ll2 3l8'4lll =3144

0,0048

ND

D +0,0076

'76% ee». ND

b

L NL

+

P(J

n NL) = 0,04 <

Nr_r =

.

Probabilidad de que haya sido atendido por lorge y que se olvldara de limPiaI

I€ffi

$Q =,,FiHi, = --t*q-ou = ffi

= o.ss = ss z"

+ I 5/88 + 31 44 = 0,48 = 48Vo

I

200 + 3800 = 5000 equivale al 1007o

I

200 equivale al 241o mientras que 3800 equivale al 76Vo

ó

Calculamos lo que nos piden utilizando el diagrama del margen:

PrA n

ffi

D)

=

c

;9 l

E

e E

0.0048

ffi

-- o.387

=

oo o o =

p

E E

38.7vo

La probabilidad que haya salido de A es 38,77o.

La probabilidad de que las dos bolas extraídas sean de diferente color es 48olo.

N N @ j

Hallamos el porcentaje de copias que ha hecho cada fotocopiadora.

- = P(A/D)

A

9

Probabilidad de que haya sido atendido por Fernando que se olvidara de limpiar Y

Un bazar cuenta con dos fotocopiadoras: A y B. Ayer A produjo 1200 copias y B, 3800 copias. Por situaciones pasadas se sabe que el 2Vo de las copias de A y el l%o de B salen defectuosas. Si se tiene un reclamo de una copia fallada, ¿,cuál es la probabilidad de que haya salido de A?

.

UÍ{IDAD

<

EJEMPLO 37

n

'-rr=.-ir=-.-

5

ozi>

38ñ B2-

n

2.¡ Extrac. en

P(F O NL) = 0,06

Probab¡lidad de que haya s¡do atendido por DieSo y que se olvidara de limpiar

La probabilidad de que lo haya atendido Fernando es del 557o.

52,80k

b

P(D ñ NL) = 0,01 <

Calculamos la probabilidad de que el cliente haya sido atendido por Fernando sabiendo que su auto no fue limpiado:

«q

Para el ejemplo 35. calcula la probabilidad de que las dos bolas extraidas sean de igual color.

Construimos un diagrama de árbol y calculamos Ia probabilidad total:

A

x ,ff

NL: No limpia

y se deposita en la otra bolsa. Luego, se extrae una bola de la segunda bolsa. Calcula la probabilidad de que las dos bolas extraídas sean de diferente color.

+

"lu=- NL +

L: Limpia

USA ESTRATEGIAS

NL

eilLl L

D: Die8o F: Fernando

--7evo

Se tiene dos bolsas: una con cuatro bolas blancas y seis negras y otra con cinco bolas blancas y tres negras. Se selecciona al azar una bolsa. se extrae una bola

Extrac. en

Nos ayudamos con un diagrama de árbol y de las variables del margen:

,Z ol-

EJEMPLO 35

I .¡

Tres empleados de una estación de servicio deben Iimpiar las lunas de los autos de los clientes. Diego atiende el 20Vo de los autos y, por lo general, se olvida de limpiar uno de cada 20 autos; Fernando atiende el 600lo de los autos y olvida limpiar uno de cada l0 autos, y Jorge atiende el 2O7o delos autos y olvida limpiar cuatro de cada 20 autos. Si un cliente se queja de que las lunas de su auto no fueron limpiadas, ¿cuál es la probabilidad de que lo haya atendido Fernando?

¡

La probabilidad de resolverjuntos el problemas es 797o.

.

EJEMPLO 3ó

t9t2D/ L

+ P1Á¡ = 73 P(B) = 3/8 + PtS) = StS P(AuB)= I -P(AJB)= I -P(Ár- Bl= I -P(Á)' P(E)

+ B: César resuelve un problema.r + -r

'roJ"r=&iI#Q=+t2

.

Con los siguientes sucesos independientes hallamos P(A u B):

A: David resuelve un problema

espacio muestral Q en un conlunto de14 sucesos incompatibles A1, A2, A3, ..., A,, donde Q = A1 U A2 U ... U A,,, y se considera un suceso cualquiera B, conocida la probabilidad de B (que ha de ser distinta de cero), la probabilidad a posteriori para cada A, (con i = 1j 2; ...; n) se obtiene mediante el llamado teorema de Bayes. Si se divide el

COMUNICA

a

Probab¡¡¡dad total

P(B) =

PROBABILIDAD

TEN EN CUENTA

Dos sucesos A y B son lndependientes cuando el resultado obtenido en el suceso en el resultado de suceso B. Para estos sucesos se cumple:

P(B/A) = P(B) o P(A/B) = P(A)

.

'

E

o

I

L

3 o

@

<

§c Estadistica y probabilidad

383

384

c @ @

LIBRO DE ACTIVIDADES

PROBABILIDAD

ff

orsannou-l,TUS

cAPACTDADES

@

Se efectúa un sorteo para elegir un número

a) Supongamos que, sin decirnos cuál ha sido el resultado del sorteo, alguien nos informa de que la cifra de las centenas es impar. ¿Cuál es la probabilidad de que el resultado del softeo sea un número menor que 300?

2.

...

( )Taxi

Blanca

5/l

Negra Blanca

P(A/B)=100/500=l/5

S

b) Si

nos informan de que el resultado del sorteo es múltiplo de 2, ¿cluál es la nueva probabilidad de que sea un número menor que 300?

48y2N

Ctmsiderando que se trata de un rnriltiplo de 2. tcndrcm()s:

Hallamos la probabilidad de que sea blanca:

P(A/C)= r50/500-r/r0 Ll probabilitlad es tle l/10.

Prbra,rear-

t,

A: nrinrcro

¡rar

13;

nrrilti¡rlo tlc 5

t1A)= lu/36= l/2 I'](ll)=6/.16= l/6 Son sucesos indcpentliellcs: I'](A rI U) - (l/2)( l/6) - l/12 =0.0t1 = 8.37 l.a probabilitlad es |i.37 .

O N N @ j

d i

)9

!o

,!

o o f

p

p !

§C C

a @

P(B/A) =

Njle

b!14! 4!!q4l!4c

PtBtA\=a=0.1t t9

o

@

A: Bola extraída roja B: Bola extraída amarilla

sc &

David tiene una bolsa con diez bolas rojas, seis blancas y cuatro amarillas. Saca de la bolsa una bola y, sin devolverla, saca la segunda. Si la primera bola extraída es roja, ¿cuál es la probabilidad de que la segunda bola extraída sea amarilla?

§ o

=2tat,

La probabilidad es 217,.

La tabla muestra la producción en toneladas, de papayas y melocotones de una hacienda durante los últimos 4 años. ¿Cómo y cuánto var¡ó la producción total de cada año con relación al año 2013? Papaya

lMelocotones

BIanca

2013

1

1

Negra

2014

0,84

1,22

2015

1,04

1,ll

2016

1,16

089

lr,: : lr: ; !r') : t

= 0,15 + 0,19 + 0,1I +0,17 =0,62 La probabilidad de que sea blanca es 627o.

Rolando lanza dos dados. ¿Cuál es la probabilidad de que en el primer lanzamiento obtenga un número par y en el segundo un múltiplo de 5?

3.

Negra

S

)

)Otros

Blanca

48y5N S

( )N4icrobús (

)Combi

¿Qué tipo de preguntas se plantearon?

Negra

La probabilidad es de | /5.

(

b) ¿Qué opin¡ón tiene acerca del transporte en la ciudad de Lima?

1il

500 números

Un docente, al revisar las encuestas de los estudiantes, encontró las siguientes preguntas:

a) ¿Qué tipo de vehÍculo utiliza para movilizarse a su coleg¡o?

Nos ayudamos con un diagrama de irbol: l." lanzaniento 2." lanza¡riento Extr¿cción de la bola

Se observa números de la fbrma

I ...;3 ...;5 ...,7 ....9

pero en última instancia dec¡de tomar una muestra representativa, de modo que los resultados lo puedan extender a todos sus clientes con un margen de error del 5% y un nivel de confianza del 95% ¿Cuántas personas se deben elegir para la encuesta?

Se lanza una moneda. Si sale cara, se ponen 7

bolas blancas en una urna y si sale sello, se ponen 4 blancas. Se vuelve a lanzar la moneda y se ponen 5 o 2 bolas negras, según salga cara o sello, respectivamente. Si luego se saca una bola de la urna, ¿cuál es la probabilidad de que sea blanca?

desde 000 hasta 999.

B

Actividades comp¡ementar¡as

Usa estrategias y procedimientos: '1"5

1. Una tienda comercial ha decidido aplicar una encuesta a sus l 1 564 clientes registrados,

Resuelve.

ll

'

4.

En una urna, se tienen bolas numeradas del 1 al 9 y se extrae una bola al azar. Determina la

probabilidad de que sea impar mayor que 6.

§

Tres máquinas, A, B y C, fabrican la misma pieza con una producción aceptable delTl%o,80Vo y 90Vo, respectivamente. Del total de la producción, el 40% corresponde a la máquina A, el 451a alaB y el l5vo a la C. Calcula la probabilidad de que una pieza defectuosa proceda de la máquina C.

loEo

40c/,,

/

^a Noaceptable + /:u)/

(r%

\

- Aceptable +28c/r

so,,

Ra

. Aceptable

90ryo.

<,

Aceptable +

r0»\ No aceptable +

97o

En una maratón organizada por la municipalidad de Lima, se registraron 50 participantes. ¿De cuántas formas podran ser prem¡ados los tres primeros puestos si no hay empate?

7

Esmeralda ha preparado una anfora conteniendo 9 bolas verdes, 3 bolas azules y 2 bolas rosadas. Se extraen 3 bolas, una por una y sin reposición, ¿Cuál es la probabilidad de que la tercera bola extraida sea rosada, sabiendo que las dos primeras bolas extraidas fueron de color verde y de color azul, en ese orden?

8.

Los laboratorios Químico Peruano y Sanidad Nacional producen un mismo tipo de vacuna. La probabilidad de que QuÍmico Peruano produzca una vacuna defectuosa es de 1 %; mientras que Sanidad Nacional produce una vacuna mala con una probabilidad de 2%. De un gran lote de vacunas producidas se extrae una vacuna al azar, determina la probabilidad de que sea fallada si el lote cont¡ene el 50% de vacunas producidas por el laboratorio Químico Peruano y 50% de las vacunas producidas por el segundo laboratorio.

9.

Elena desea preparar una ensalada que contenga exactamente cuatro frutas. Si dispone de 10 diferentes frutas, ¿cuántas ensaladas puede preparar?

13.5% 1,57o

f-a probabilidad de que una pieza dcfectuosa proccd¿r de la máquina C cs 6.77r,. 9

6.

l2ol,

t.5q ,,"1.,=P(CñD)_ P(D) l2'l iq'; + 1,5'; -0061'6

ut{IDAD

lVarcos y Camila, dos estudiantes del cuarto grado de primaria, decidieron contabilizar todos los apretones de mano que se dan los adultos que asistieron a una reunión. Ellos llegaron a contabilizar un total de 91 apretones de manos. Determina cuántos adultos asistieron a la reunión, si todos los adultos demostraron su cortesÍa a los demás.

+364/¡,

,n)- No aceptable +

'rr\\\c

5.

Estadística y proballil dad

385

i,l'!:1ij 'l:

.i.-li-1

],, : i.;,lalll¡rs

C iiiirrir

7:1,lij.i

4:.':',.

Esperanza matemática I

II I I

Capacidades y desempeños prec¡sados . Expresa conceptos sobre probabilidad,

Sustenta conclusiones o decisiones

I

¡

Determina el espacio muestral de eventos compuestos e independientes al resolver problemas de probabilidad. (2; 6-10)

.

Examina propuestas de modelos referidos al teorema de Bayes y esperanza matemática. (1)

I

Sugerencias didácticas

I

I E

I

I

I

En las actividades I a la 5, sugiera que revisen la teorÍa relacionada con la esperanza matemática y las ecuaciones de recursividad compleja. De esa manera, podrán los estudiantes validar las diferentes proposiciones

propuestas.

It/otÍvelos para que den lectura al texto referido a "Esperanza matemática" y luego solicite que lo comenten. Complemente explicando que la esperanza matemática está relacionada históricamente con el concepto de equidad de un juego; es decir, es lo que se espera ganar en un fenómeno aleatorio en el que se participa un gran número de veces. Asimismo, resalte que para calcular la esperanza matemática, se deben establecer las variables discretas que intervienen y sus respectivas probabilidades.

Resalte que la actividad 6 corresponde al contenido referido a la esperanza matemática; además, haga notar la presencia de dos variables aleatorias gana (2 soles) y pierde (5 soles); luego, indíqueles que determinen sus probabilidades respectivas. Recuerde que el espacio muestral de las dos monedas será igual al producto de sus espacios muestrales (2 x 2 = 4). Enfatice que si el valor numérico de la esperanza es negativo, el luego será desfavorable al jugador.

I

Resalte que la esperanza matemática se representará simbólicamente con la letra griega "y''. Destaque que si el valor numérico de "y'' es mayor que cero, se confirma que el juego es favorable al jugador, pero si es menor que cero, el juego perjudica al jugador y, finalmente, si el resultado es igual a cero, se afirma que el juego es equitativo.

Pregunte en la actividad 7: ¿Cuántas y cuáles son las variables aleatorias que intervienen? (Dos variables, ganancia 1800 soles y pérdida 500 soles). ¿Se conoce la probabilidad de cada variable? (Si, en el primer caso es 0,3 y en el segundo caso es 0,7). Pida que apliquen la sumatoria para determinar el valor numérico de la esperanza matemática.

I

En la actividad 8, haga notar la presencia de tres eventos o situaciones. (Sacar un as o una carta mayor que 1 0; sacar un 1 0 y sacar cualquier otra carta). Becuérdeles que una baraja de naipes está formada por 52 cartas, por lo tanto, su espacio muestral será 52.

I

En las actividades 9 y 10, haga notar que estas situaciones conesponden al contenido de ecuaciones de recursividad compleja. En el primer caso proponga que hallen el término pedido reemplazando los valores de "n" en la ecuación hasta alcanzar el término pedido, mientras que en el segundo caso, pídales que elaboren una tabla para que formen los códigos binarios que deben estar formados desde un dÍgito hasta cuatro dÍgitos y, luego, deben

Para desarrollar

I

Libro de actividades (págs. 386-388)

I

Para iniciar

!

I

se cortan en un solo punto. Destaque el empleo de la gráfica como una estrategia resolutiva. Pregunte: ¿Se podría determinar de manera directa el número de regiones en que queda dividido el plano por 20 recfas? (No, ya que es necesario establecer primero los casos anteriores a esta). ¿Cuántas rectas como máximo deben concurrir en un punto? (Dos rectas). Para consolidar los aprendizajes, invítelos a que revisen la sección "lmportante" y, luego, pida que desarrollen la actividad propuesta en "Usa estrategias y procedimientos".

(1-5) Usa estrateg¡as y procedimientos

92)

dos rectas son paralelas si no se cortan y las rectas son concurrentes si

teorema de Bayes y esperanza matemática, usando terminologías y fórmulas.

Comunica

I

Texto escolar (pá9.

lnvite a los estudiantes para que analicen el desarrollo del ejemplo 38, luego, para comprobar si han comprendido, plantee las siguientes preguntas: ¿Cuántas variables aleatorias intervienen? (Dos variables). ¿Cómo se determina la probabilidad de extraer una bola roja y ganar? (Dividiendo los resultados favorables al evento entre el espacio muestral). ¿Qué signos se dieron a las variables aleatorias? (Signo posit¡vo, si gana; negativo, en caso de perder). En el ejemplo 39, destaque que el espacio muestral correspondiente al lanzamiento de los dos dados se halló multiplicando sus espacios muestrales de cada uno (6 x 6 = 36), y los resultados favorables al evento se determinaron considerando aquellos sucesos donde la suma de las caras de los dados resultaron siete. Haga notar que las variables aleatorias son la ganancia (200 soles) y la pérdida (100 soles), además, señale que a partir del resultado se puede concluir que se espera que el iugador pierda 50 soles.

Recuerde que si se presentan problemas de conteo que no se pueden solucionar con las técnicas estudiadas, se debe recurrir a aplicar estrategias recursivas que consisten en emplear una definición de manera reiterativa. Previamente a la evaluación del eiemplo 40, recuérdeles que

establecer la recurrencia (sumar dos términos anteriores).

N N @

_i

ci

i .o 'o l

Para consolidar

{§ Consolide resaltando que para determinar

la esperanza matemática se debe identificar las variables aleatorias que intervienen y hallar sus respectivas probabilidades; además, señale que pueden tomar valores negativos, positivos incluidos el cero.

3

Para consolidar los aprendiza.jes, plantee: Sobre un velador se encuentran tres sobres iguales que contienen 100 soles, 180 soles y 350 soles. Pedro elige uno de los sobres y gana el dinero que contiene. Halla la esperanza de la ganancia de Pedro. (S/ 210).

o o l

p E

I

L

@

§C c q

o

TEXTO ESCOLAR

LIBRO DE ACTIVIDADES

.

PROBABILIDAD

Teorema de Bayes. Esperanza matemát¡ca Esperanza matemát¡ca

La probabilidad de que ocurra un evento, del que se conocen las IMPORTANTE

probabilidades condrcionales, depende de un sister¡a completo de eventos previos incompatibles. En algunos casos, lo importante es reconocer la situación como tal y aplicar el teorema de Bayes. TEN EN CUENTA

Teorema de Bayes

Esperanza matemática

S¡

Si E > 0, el juego es favorable al jugador Si E < 0, el al jugador

juego perjudica

nombre "esperanza matemática" procede de los iuegos de azar. Para que un juego sea equitativo, la esperanza de todos los luSadores debe ser la m¡sma;es deciI si se prolonSara el juego de modo que el número de iugadas fuera muy e¡evadq todos los jugadores deberían tener las mismas gananc¡as e iguales pérdidas. El

se divide el espacio muestral O en un conjunto de n eventos incompatibles Ar. A2. A3, ..., A,, donde Q - Ar u A2 u ... u A,, y se cons¡dera un evento cualquiera B, conoc¡da la probabilidad de B (que ha de ser distinta de cero), la probabilidad a poster¡or¡ parc cada Aircon i = 1;2, ...: n\ se obtiene med¡ante:

P(4lB) =

s¡ E = 0, el juego es

P(Ai)

.P(BIA¿)-P(4ñB)

P(B)

P(B)

equitativo.

EJEMPLO 14 Una fábrica cuenta con 2 máquinas: A y B. Ayer, A produjo 1920 piezas y B, 6080 piezas. Por situaciones pasadas se sabe que el 2Vo de las piezas de Ay el lo/o de B salen defectuosas. Si se tiene un reclamo de una pieza defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de que haya salido de la máquinaA?

2%/.D+O,ú48

'lgZO

^

z/

zay' qs\¡¡ zox\

. .

1V'D+o'ú76

¿oao\ e ¿'

,X",

*

+

o prA/D)=t-*í,=ffi=o..rs

¿

cuyos valores son las ganancias

La esperanza matemática (p de la variable aleator¡a, representa el benef¡c¡o medio que se obtrene en cada jugada cuando se juega un número elevado de veces.

. . .

Si la

esperanza matemática es mayor que cero, se dice que el juego es favorable al lugador.

S¡

la esperanza matemática es menor que cerq se dice que el juego perjudica al jugador.

S¡

la esperanza matemática es cerq se dice que el juego es equitativo.

Generalizandq la esperanza matemática (p) la expresamos y calculamos con la siguiente fórmula:

p=

Ér,

'

P¡ =

rr ' P, + x, ' P, + ... + x,,' Pn

EJEMPLO 38

+ 1920 = 8000 1OO Vo 6O8O <> 7 67o y l92O <> 247o Representamos en el diagrama de árbol en el margen y resolvemos: Por dato: 6080

Podemos as¡gnar a un juego de azar una variable aleatoria (o pérdidas) correspond¡entes a los pos¡bles resultados.

s

Elvira le dice a Luis: "Esta urna contiene 70 bolas rojas y 30 bolas blancas. Extrae una de ellas; si es roja, te doy S/ 5 y si es blanca, tú me das S/ 15". Si Luis acepta el reto, ¿qué puede esperar si juega muchas veces?

Í.fi

,l&*,

que la pieza fue fabricada porAes del 397o.

.

Analizamos ambas situaciones: La probabilidad de extraer una bola roja y ganar S/ 5 es: P(R) = -1& = La probabilidad de extraer una bola blanca y perder S/ 15 es: P(B) =

IMPORTANTE

Esperanza matemát¡ca

Ecuaciones de recursividad compleja

Sea La

La ecuac¡ón recursiva de F¡bonacc¡ se def¡ne así:

F,=Fo-1*

Fn_2

Donde:¿>3yFr=Fr=1

,;t N N @

)ci i

fl

:9

-

E o o o

ffi

l

s

o c

§c c @

92

»,= I ,i

probabil¡dades p1, p2, ..., pn.

'

aleatoria

Func¡ón de probab¡l¡dad

r

En un estante hay 20 libros de matemática y 35 libros de comunicación. Sandra extrae una de ellas al azar: Si es de matemática gana S/ 6 y si es de comunicación pierde S/ 3,50. ¿Es equitativo este juego?

. ,o-l

-

M: matemática

b

2O155 y

xr: gana S/ 6

(fl).r-:,sor(S)=-oos

Sustenta conclusionés o dec¡sionesr

p

t lt tl

1

Usa estrategias y procedimientos: 2

Ana le dice a Esteban: "Esta caja contiene 20 USB rojas y 50 USB aales. Extrae una de ellas; si es roja, te doy S/ l0 y si es azul, tú me drs S/ I 8". Si Esteban acepta el reto, ¿el juego perjudica o favorece al jugador? Si ahora contiene 30 USB rojos más y 25 USB azules menos, ¿qué puede esmra¡ ahom?

' llt: l\.filJi, r:ri

irr,:rr,l,'r

tt.r' : lir\rrr!.\\.lrl llr'¡l,l,,r

, t

#

=

+

Calculamos la esperanza matemática (p):

Esto quiere decir que si Luis juega muchas veces, se espera que pierda S/ I .

Como la esperanza matemática es menor que cero (negativa), decimos que el juego no es equitativo y que perjudica al jugador.

EJEMPLO 39

C: comunicación p' 35/55 y xr: pierde S/ 3,50

Hallamos la esperanza matemática: E = (6) . Como la esperanza no es cero. no es equitalivo

.

F=s.+*(-,s) +=#-Í3= 13=,

n-s-*

Pi

6 '---t5 -'

Tres máquinas fabrican bolsas: Ml y M2. Estas producen, respectivamente, el 75Va y 25Vo del total de bolsas. Además, los porcentajes de bolsas defectuosas producidas por estas máquinas son3Vo y 5 7o. Si se selecciona una bolsa al azar, ¿c.uál es la probabilidad de que esta esté 0.0.15

xily

EJEMPLO 15

orsannou-aruscAPAcrDADEs

defectuosa?

@

una var¡able aleator¡a con valores x1, x2, ...,

esperanza matemática de -r, se def¡ne: E6) =

. . .

P'i,gs. 584-588

r

Variable

+

-

Para disuadir a sus compañeros de trabajo de participar en apuestas, Pedro

m

analiza un juego con dados: "Cada vez que se juega, la casa hace una apuesta de S/ 100. Si el participante lanza dos dados y la suma es 7, gana el doble". ¿Es

equitativo este juego?

.

Representamos el espacio muestral: Q =

{(1; l), (1; 2),(l;3),..., (6;6)}

Entonces: ¿(O) = 36

.

a

I

Analizamos las posibilidades de obtener 7: A=

.

{(l

; 6), (6;

t), (2; s), (s; 2), Q; 0, @;3)}

Laesperanzadeljugadores:

+

P(A) =

(2' 100)'$+ (-rOO)

*

33=-tO

Como la esperanza matemática es menor que cero, podemos decir que este juego no es equitativo. La casa gana.

§ o

€ ! 4

s o

38ó

LIBRO DE ACTIVIDADES

PROBABILIDAD

¡

¡

Ecuaciones de recurs¡y¡dad compleja

fl

Cuand0 algunos problemas de conteo no pueden resolverse con las técnicas estudiadas anteriormente, usamos estrategias recurslvas que consisten en emplear de manera repetitiva una definición en la cual está presente la misma definición.

I)

EJEMPLO 40

Graficamos para algunos primeros casos particulares: @

@

Figura

Figura

2

Figura

3

Figura 4

Sea R, el número buscado (máximo número de regiones en que queda dividido el plano por n rectas). Se puede verificar fácilmente que R, = 2, Rz = 4, R¡ = 7 y Rq

.

=

Re=Ra-r+8=Rz+8

lOor r=n- 1,n> I generanúmeros

valores negativos.

R5=Ru ,+§=.lQoa§

Gl La sucesión de Fibonacci es una fórmula de recursividad.

Sabemos que R¿ = 1 1. Entonces, regresamos:

Resuelve.

Analizando estos 4 casos particulares, vemos que:

Rt= Ru+7 =22+7 =29

-

Rs=Rj+8=29+8=37

La recta enésima interseca a las (r? - 1) rectas anteriores en (fl - 1) puntos diferentes. Así, la cuarta recta agregada en la figura 4 interseca a

Gl Alberto lanza

La recta enésima queda dividida en fl segmentos y cada uno de estos segmentos divide a cada subregión en 2; es decir, se incrementa en n regiones. Así, la cuarta recta agregada en la figura 4 queda dividida en 4 segmentos y cada segmento divide a cada subregión en 2,

Obtenemos así una relación de recunencia: "El máximo número de regiones en que queda dividido el plano por tr rectas es igual al número de regiones en que queda dividido el plano por (,? 1) rectas, aumentado en n".

C=(c,c)+P(C)=

Un camino de 2 metros de ancho y n metros de largo será pavimentado con losetas de dimensiones I x 2 m. ¿',De cuántas formas diferentes se puede realizar

Para

la pavimentación?

!

. p p I

Para

Para

P,,

-,

formas. Así, por el principio de adición se tiene:

Pr= Pn t+ P,,_2iparatodon>3

@

lrr{IDAD

I

Situaci(rn B: perder en la inversiól P(B) = 0,7 Determinamos la esperafl za matemática: $= 1800. 0,3-500.0.7 + tr= 190 Observamos el resultado, Fernando gana en

3..

Estadistica y probabil dad

ft=5 4/13+2 l/13 I P= l4lll= l'08

la acciones S/ 190.

387

388

ti/13

de integrantes de una agrupación juvenil crece según la ley de recursividad: a,*r= (2n2 + n) + a,,n €Z ,n> l,ar=Q. Calcula el valor de ¿6.

f,| El número

l:a,=12 l) + l)+a,+a.-3 0:-12 22 +2)+r¡.+¿,= lj Parar¡ = J: a.=(2 3r+ 3) +«¡+ «r= 34 Par¿r r¡ = 4: ur= 12. 42 + 41 + d,t+ q\ = Par¿r ¡r = 5: a,, = (2 5l + -5) + d5 + (1, = 125 "7O

@ Determina una ley de recurrencia de la cantidad de códigos binarios (usando el 0 y 1) que se pueden formar con un dígito, dos dígitos, tres dígitos y cuatro dígitos en donde no se toma en cuenta los códigos que tengan dos ceros consecutivos. Construinros una tabla para r = 4, ¡ dcterrrrinlnros la ley de ret rrrreneia:

ol

l

2 I

D04{:H@; 0l0l: 0l l0;01 I l; )0€(; )0(; l0l0; l01l;

DtrL ll0l; lll0;

llll

az=

3

ci

N@:F{:@({: 110;1ll

at=2

N N @ j

4

D(;ol; lo; ll

P(A) = 0,3

n =2.

Wffi ffi

caso se puede completar de P, _ , formas, mientras que en el segundo se

C: Sacar cualc¡uicr otra carta P(C) = 32152 = 8/ I-l Calcular¡os Ia esperanza mate¡l¿itica:

I

Ortlenantos la inform¿rció¡r: Situación A: obtener ganancia er un año

n=

Detelninamos la probabilidad cle cada suceso: A: Sacar u¡r as o una c¿lrt¿ mlyor que 10 P(A)= l6/s2 =4/13 B: Sacar un l0 + P(B) = 4/52 - I/13

l/4

1.

ffiW

Para un camino de 2 x n, la pavimentación puede comenz& con una loseta a todo lo ancho o con dos losetas juntas que cubran dicho ancho. En el primer

l12

en ciertas acciones, Fernando puede tener una ganancia en un año de S/ 1800 con probabitidad de 0,3 o tener una pérdida de S/ 500 con probabilidad de 0,7. ¿Gana o pierde Femando?¿Cuánto?

W \I

{

Supongamos que denota el número de pavimentaciones diferentes del camino de 2 x n. Claramente observamos que P, = I, ya que solo hay una forma de pavimentar el camino. Además, P, = 2 formas y P¡ = 3 formas.

puede completar de §

n=

=

O Al invertir

Número de formas de pavimentaciones

tiene que pagar Si 1. ¿Cuál es la ganancia esperada de una persona que participa en el juego?

Parat=2:

Calculamos la esperanza matemática: $=2 114+ l' ll2 5 ll4 + p"=-)14=-0,25 No es rentable, se espera que Alberto pierda S/ 0,25

56 regiones EJEMPLO 41

@ En un juego, una persona recibe S/ 5 cuando saca un as o una carta mayor de 10, y recibe S/ 2 si saca un 10 de una baraja. Si saca cualquier otra carta

P¿ra¡¡=

Situación C: Obtener dos sellos

¿cuál es el número de reSiones en que queda dividido el plano por 10 rectas?

usa estrateg¡as y procedimientos: ó'10

l.a ganancia espemdr cs de S/ 1,08.

Situación B: Obtencr una cara B= (c, s). (s. c) + P(B) =214 USA ESTRATEGIAS Y PROCEDIMIENTOS

1-5

dos monedas. Gana S/ 2 si salen dos

Detcrminamos la probabilidad de c¿rda suceso: + n(O) = 4

R =R ,+n

.

tr

Q = {(c, c). (c, s), (s. c). (s. s)} Situación A: obtener dos caras A = (c, c) + P(A) = l/4

obteniéndose 4 regiones más.

.

E

caras, S/ I si sale una cara y pierde S/ 5 si salen dos sellos. ¿Le es rentable el juego?

las 3 rectas anteriores en 3 puntos.

-

tr tr

naturales pares.

ñ5=fl4+§=11+5=1ó R6=Rr+$= 16+6=22

11. Pero ya no es tan simple para Rr, Ru...

esperanza matemática es cero,

el juego es equitativo.

R6=R. ,+g=ftu19

G)

@)

I

@ La esperanza matemática puede tomar

R7=Rr,+l=ftu¡f

G)

o

observa cómo aplicamos la recursividad para calcular el número de reSiones en que queda dlvidido el plano por 8 rectas.

@ Si la

Comunica:

es verdadero o F si es falso.

El valor de la esperanza matemática

varíaentre0yl.

IMPORTANTE

@

orsannou-nruscAPACrDADEs

Escribe V si

Supongamos que en el plano se trazan n rectas en posición genérica (no hay dos de ellas paralelas ni tres concurrentes en un punto). ¿Cuál es el máximo número de regiones en que queda dividido el plano?

.

PROBAB|LIDAD

as=

5

d¿=8

ñ

l ,9

s € I

e

Para¿ = 5; 6; 7... se tienea, = l3', uu=21:, s, = f4... Otrseryamos una relación de recurencia, ya que cada término, a partir del tercero, se obtiene sumando los dos anteriores: a, = au - t + an - r, para n > 3.

c '6 a !ó

o o a

po

€

=o §

I

3

a

o

LIBRO DE ACTIVIDADES

Taller matemático I

Libro de actividades (pág 3Bg)

Capacidades y desempeños precisados r Examina propuestas de modelos de probabilidad Representa

TALLER MATEMÁTICO condicional que

Eltaller mecán¡co de Raúl

involucran eventos aleatorios. (2-3)

datos

.

Argumenta afirmaciones

Determina el espacio muestral de eventos compuestos e independientes para determinar la probabilidad condicionai. (1-3)

En el taller de Raúl asisten por la mañana tres clientes cuyos automóviles tienen problemas eléctricos, ocho con problemas mecánicos y tres con problemas de chapa, y por la tarde dos con problemas eléctricos, tres con problemas mecánicos y uno con problemas de chapa.

Sugerencias didácticas Para iniciar

§

Nos familiarizamos con la situación

Acceda al enlace http://www. minedu. gob.pe/rutas-delaprend izajeldocumentos/ Sec

und

Fase Familiarización

ar ai [t/ ate m ati ca-V l. i

pdf (págs. 77-78) para

Traducción simple

conocer el desarrollo de las Traducción compleja fases de un taller matemático, nterpretación, aplicación En la tabla se muestra la y valoración correspondencia entre las fases y las actividades del taller, I

I

¿Conoces algún taller de mecánica? ¿Cuáles de kts tres problemas difícil cle resolver? ¿,Es más probable o menos probable que un automóvil tenga problemas eléctricos?

Número de

actividades

te parece mds

"Nos familiarizamos"

It

1

Elaboramos una tabla con los datos de la situación problemática:

3

Es necesario que se familiaricen con el problema y puedan comprenderlo, por lo tanto, solicíteles que lean la situación "El taller mecánico de Raú|"

TEN EN CUENTA

I

:d c rq

)

!o o o p

a

=o L a C

§ c a

o

En la situación 2,haga notar que el condiclonante para ambos casos es el problema mecánico, por lo tanto, el espacio muestral a considerar para el cálculo probabilístico son los resultados favorables a este evento. Luego, sugiera que dividan los sucesos favorables al evento entre el espacio muestral anteriormente hallado. lndiqueles que las probabllidades las expresen en porcentaje. Para ello, deben multiplicar al decimal por 100%. En la situación 3, pida que den lectura a la nueva situación presentada, y, a partir de ella, solicite que elaboren una nueva tabla de contingencia insertando los nuevos datos. Asimismo, resalte que el condicionante, en el primer caso, es la falla elécfica, mientras que en el segundo caso son los problemas de chapa.

Para consolidar

I

Para consolidar señale que la probabilidad condicional se caracteriza porque la ocurrencia de un evento se ve afectado por la ocurrencia de otro evento relacionado. Por ello es importante reconocer si dos eventos son independientes o dependientes para facilitar la aplicación de la estrategia.

) §

§ o

'lbtal

3

t4

Tarde

2

3

I

6

lbral

5

lt

4

20

Por equivocación asisten por la mañana un cliente más cuyo automóvil tiene problemas eléctricos, dos menos con problemas mecánicos y tres más con problemas de chapa. Si por la tarde asisten los mismos clientes, ¿cuál es la probabilidad de que un cliente asista por Ia mañana si su automóvil tiene problemas eléctricos? ¿Y cuál es la probabilidad de que el cliente asista por la tarde si su automóvil tiene problemas de chapa?

.

E

Chapa

8

Observamos la tabla y aplicamos probabilidad condicional: Pltrrde/mecánieos ) = ll | 1 = 0.27 3 = 27.\o/a P(mañana/mecánicos) = 8/l I = 0,727 La probabilidad de que un cliente asista pot latarcle es 27 ,3o/a y por la mañana, 72,77c (problemas mecánicos).

§

I e

Mecánicos

3

de un cliente tiene problemas mecánicos, ¿cuál es la probabilidad de que asista por la tarde?¿Y por la mañana?

son tablas en cuyas celdas figuran probabilidades, y en la cual podemos detern¡inar unas probabilidades conociendo otras de la tabla.

Previamente a la primera situación, recuerde que las tablas de contingencia

Eléctricos Mañana

@ Si el automóvil

Tablas de contingencia

son esquemas en cuyas celdas figuran probabilidades que servirán de soporte para poder determinar otras probab¡lidades. Además, explique que la probabilidad condicional se presenta cuando la ocurrencia de un evento es afectada por la ocurrencia de otro evento relacionado. Anime a dar lectura a las interrogantes propuestas en la situación 1; luego, pregunte: ¿Cuántas filas y columnas tendrá la tabla de contingencia? (4 y 5), N N @

Analiza la situación problemática. Luego, elabora una tabla de contingencia con los datos dados.

2

Para desarrollar

I

tt

Elaboramos una tabla con los datos de la situación problemática: Eléctricos

Mccrinicos

Chapa

Total

Mañana

4

6

6

t6

Tarde

2

3

I

6

TotaL

6

9

7

22

.

Observamos l¿r t¿rbl¿r y hall¡mos lo que nos piden aplicando probabilidad condicional: P(mañana/eléctrict)s) = 4/6 =213 =0.667 = 66.1a/o P(tarde/chapa) = 1l'l =0.113 = l4,3qo La probabilidad de quc un cliente as¡sta por Ia mañana es 6ó.7%, (problemas eléctricos) y de que asista por la tarde, 1,1,3% (problcmas de chapa). uillOAD 9 Estadístlca y prollabll dad

389

LIBRO DE ACTIVIDADES

Razonam iento matemático I

Libro de actividades (pág 390)

Capacidades y desempeños precisados Usa estrategias y procedimientos

. .

RAZONAMIENTO MATEMÁT¡CO

Expresa conceptos sobre probabilidad condicional usando terminologÍas y fórmulas. (1-11)

comparac¡ón cuantitat¡va

Suficiencia de datos

Plantea conjeturas relacionadas al estudio de muestras

A partir de la información dada, se deben calcular dos cantidades: una en la columna A y otra en la B. Compara ambas cantidades y luego escribe la clave en

En cada situación, se da un problema con dos datos. Identifica el dato o datos necesarios para solucionarlo y luego escribe la clave.

probabilísticas.

(1-11 )

tu cuaderno.

Sugerencias didácticas

I

Para iniciar

I

lnvite a que lean la actividad 1. Pregunte:

qué tema corresponde el problema? (Probabilidad). ¿Qué conocimiento te podrá servir para resolverlo§? (La fórmula para hallar la probabilidad condicional). Resalte que deben aplicar, para este caso, la estrategia simplificada.

I.E-l A-bur

@

I

En la actividad 2, sugiera que hallen primero el espacio muestral (6) y luego que determinen los resultados favorables para los eventos indicados. Previamente a la actividad 3, recuérdeles que una baraja de naipes contiene cuatro ases, y que trae trece cartas de tréboles que serán los resultados favorables a los eventos pedidos. En la actividad 4, destaque que la totalidad de bolillas que contiene la urna será el espacio muestral, y para calcular la probabilidad de que la bolilla no sea de color negro, bastará restarle a la unidad la probabilidad de extraer una bolilla negra. Para la actividad 5, sugiera que empleen la estrategia del diagrama del árbol. Mientras que en la actividad 6, pida que, en primera instancia, establezcan los resultados que favorecen a los eventos y, luego, determinen el espacio muestral.

O

A.

son iguales.

irfo.-ación para poder comparar.

Información

ColumnaA

Columna B

Se extraen 2

Probabilidad de que la segunda bola extraída también sea roja.

Probabilidad de que la segunda bola extraída sea

se lanza un

Probabilidad de

Probabilidad

par de dados y la suma de las caras resulta 8.

que una de las caras del dado sea número par.

de que una de las caras del dado sea

De una baraja de 52 cartas, se elige una al

Probabilidad de obtener un as.

Probabilidad de obtener un trébol.

390

I.

La probabiüdad de no llevar Matemática ni Física es 0,27.

II.

Los que llevan solo Matemática son el 517o.

[l

La probabilidad de un suceso contrario de A es 1/3 y la probabilidad de un suceso B es 3/4. ¿Cuál es la probabilidad de que no ocurra A y no ocurra B?

I.

Laprobabilidaddeunsucesocontrario de B es l/4.

II. La probabilidad

B

de que ocurran a la vez

B

es la probabilidad de obtener un

4? D

Probabilidad

Probabilidad

E) ¿Cuál

hay 8 bolas negras y 5 bolas blancas. Se extrae una bola al azar.

de que sea de

de que no sea de color

I.

Se lanzan dos dados simuláneamente.

II.

Se lanza un dado.

Se lanzan 3

Probabilidad

@ En una uma

@

y la probabilidad de que no lleven el curso de Física es 53 7o. Determina la probabilidad de que lleven solo uno de los cursos. D

los sucesosAy B es 5/8.

azaf.

Gl

de estudiantes, la probabilidad de que no lleven el curso de Matemáicaes 49Vo

C

(l

El

@ De un gmpo

verde.

número primo_.

En la actividad 7,haga notar que, para calcular la probabilidad, se puede usar los datos por separado. Asimismo, resalte que, en la actividad 8, el dato I es insuficiente porque solo hace referencia a un evento, mientras que el dato ll complementa la información para determinar la probabilidad pedida mediante una diferencia entre la unidad y el valor numérico de la probabilidad que ocurran ambos eventos simultáneamente. En la actividad g, destaque que se puede determinar la probabilidad de los eventos pedidos de manera independiente con ambos datos. En la actividad 10, resalte que la información complementaria que se brinda es insuficiente para determinar la probabilidad de los eventos, todo lo contrario ocurre en el actividad 11, donde cada dato nos permite calcular de manera independiente las probabilidades de los eventos.

Besalte que en las situaciones de "Comparación cuantitativa", en primer luga¡ deben resolver el problema. Dicho resultado tienen que reemplazarlo en las columnas y luego comparar las cantidades obtenidas. Enfatice que en la "Suficiencia de datos", deben evaluar con cada uno de los datos de manera independiente; si no logran resolverlo de esta forma, deben proceder a utilizar los datos simultáneamente.

"antidades

que

primera es roja.

Para consolidar

I

Fultu

bolas de una bolsa con 3 rojas y 2 verdes. La

El

lE Et duto I ". suficiente y el dato II no lo es. @ fl auto I es suficiente y el dato I no lo es. lTl Es necesario usar a Ia vez los datos I y II. lDl Cudu duto, por separado, es suficiente. [El Los datos no son suficientes.

La cantidadAes mayor que B.

lE-l La cantidad B es mayor

A

Para desarrollar

I

Al

color negro.

negro.

N N @ j

@ En una uma se tienen m bolas rojas, z bolas

monedas al aire.

de no obtener 3

Probabilidad de no obtener

sellos.

3 caras.

En una clase hay 12 chicos y 4 chicas. Se escogen al azar 3 estudiantes.

Probabilidad de

Probabilidad

que todos sean

de que todas sean chicas.

chicos.

,_.

blancas y p bolas negras. Si se extraen 3 bolas al azar, determina la probabilidad de obtener 2 bolas blancas y I negra. E

l. m+n+p=25

tr. n +p=

16

personas, A y B, se ubican al azar en tres oficinas numeradas con 1 ; 2 y 3. ¿Cuál es la probabilidad de que la oficina 2 se quede vacía? D

@ Dos

I. II.

Pueden estar ambos en una misma oñcina. Siempre estián

juntos.

ci

i I d

§ I a p I

l E

o o @

) po g c

§ 3 o

L a c -9 c a @

LIBRO DE ACTIVIDADE§

Uso del software matemático §

Libro de actrvidades (pá9. 391 )

Capacidades y desempeños precisados . Calcula la probabilidad de un evento haciendo Usa estrategias y procedimientos

USO DE SOFTWARE MATEMÁTICO uso del software

Ho¡a de cálculo, para aplicar el teorema de eayes

matemático. (1-2)

En la provincia de T
Su gerencias didácticas

§,§§&

Para iniciar

&l

Es importante que los estudiantes se familiaricen con la situación problemática planteada. Para ello, invítelos a dar lectura al problema. Pregunte: ¿Qué piden determinar en la actividad? (Se pide calcular la probabilidad de elegir una mazorca del lote A que esté sana). ¿Con qué información se cuenta para resolver el problena? (Los porcentajes de producción de los tres lotes y las probabilidades de encontrar mazorcas infectadas en cada lote). Resalte que los porcentajes deben expresarse como números decimales para el cálculo operativo.

ABCDÉFG 7

p(produccron este 2

@üE§

Pídales que abran una hoja de cálculo y reproduzcan el procedimiento

indicado en el paso 1. Explique que toda fórmula se ingresa anteponiendo el signo igual y luego se debe seleccionar o digitar las celdas donde se encuentran ubicados los datos con que se realizarán los cálculos respectivos. Destaque que la suma en la celda C6 debe ser igual a 1 ya que representa el todo o el 100% de la producción de cacao, además explíqueles que para determinar el porcentaje de las mazorcas sanas en cada lote se debe restar al todo, que en este caso es la unidad, el porcentaje que representa las mazorcas infectadas de cada lote.

I

ci ¿ :9 a E o o o 3

I

I

€

o

& 6

Para consolidar

C § .F

§

c @ @

N/otÍvelos para que desarrollen las actividades propuestas en la sección

"Explora e interactúa" y luego invÍtelos a que socialicen sus respuestas y procedimientos.

Produ.ción

B

5 6 7

Tótál

o,o) o01

o

o)6

nqq

Puru d"terminar la producción infecta
2

ABCDEFG p(proouccron este Lotes

Producción

o5¿

4 5 6 7

W§l

p(producc¡ón

p(infectada)

c

o)6

Seleccione las celdas G3 a G5 y haSa clic en p(producción

IArtoru.u'

p(infectada)

3

En el paso 2, recuérdeles que el asterisco (-) representa la multiplicación, asimismo señale que para determinar la probabilidad de la producción

Previo al paso 3 explique que para determinar la probabilidad del evento "seleccionar una mazorca sana y que sea del lote A" deben proceder dividiendo el valor numérico de los resultados favorables a este evento entre la sumatoria de las probabilidades que representan a las mazorcas sanas, además indique que al resultado que está expresado con número decimal lo multiplicamos por 100% para expresar la probabilidad en porcentaje.

4

r

o01 o05

oqq nqq

n no54 o 011 ñ ñ))n

1

o.196 o s?¿6

Repita el procedimiento para las celdas F3 a F5.

o

rara determinar que sea del lote A y que se encuentre sana, en la celda B I0 digita P(Lote A y Sana) y en la celda D10 digita =(G3/G6)* 100. Observamos que el resultado es 2O,O5Vo. Elimina los datos coruespondientes y responde: ¿cuál es la probabilidad de que una mazorca del lote B elegido al azar esté infectada? ¿Y cuál es la probabilidad de que una mazorca del lote C elegido al

infectada deben multiplicar los porcentales de producción de cada lote con el porcentaje de mazorcas malogradas que se da en el lote, del mismo modo se debe proceder para calcular la probabilidad de mazorcas sanas, es decir se debe multiplicar el producto del porcentaje de producción de cada lote con su porcentaje de mazorcas sanas.

N @ j

Lotes

al

Para desarrollar

I

Accede a una hoja de cálculo. En la celda C6 digita =SLJMA(C3:C5) y presiona ENTER. Para determinar la probabilidad de mazorcas sanas, digita en la celda E3=1-D3. Repite el procedimiento para las celdas E4 y E5.

azar esté sana?

ffi j

§ € p

É

§

EXPLORA E INTERACTÚA

Resuelve las siguientes situaciones.

ll

Tres tomos A, B y C fabrican la misma pieza con una producción aceptable del ñVo;lo%o y SOVo respectivamente. Del total de la producción, el 35% le corresponde altomo A,el4O%¡ al tomo B y el25%o a la C. ¿Cuál es la probabilidad de que una pieza defectuosa proceda del torno B?

Usa estrategias y procedimientos: 1-2

@

g

ZOT o de los empleados tle una empresa son ingenieros y el 3OV" son economistas. El 757o de los ingenieros ,el 50o/o de los economistas y el 2oo/o que no son ingenieros ni econom¡stas ocupan un puesto directivo. ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado directivo elegido al azar sea íngeneiro? ¿Y cuál si no es ingeniero ni economista?

0 UNIDAD

9

Estadística y probabilidad

391

TEXTO ESCOLAR

Actividades nteg radas i

r Libro de actividades CIERRE

Análisis de las preguntas

I

Resalte en cómo la capacidad "Comunica" se hace evidente en las actividades 1 a la 5, al pasar de una representación coloquial a una representación simbólica (aplicación de la media, moda, mediana). Recuérdeles que las medidas de localización para datos agrupados son los cuartiles y percentiles, mientras que las medidas de dispersión son lavartanza,la desviación media y estándar. Además, en la actividad 4 destaque que el número índice nos indica el poder adquisitivo real del dinero con respecto a la canasta familiar. En las actividades 6 a la 8, expiÍqueles que la representación simbólica de la frecuencia absoluta es "fi" y que en el histograma se ubica en el eje vertical; mientras que en el eje horizontal se encuentran los intervalos de clase que tienen la misma amplitud. Asimlsmo, haga notar que la moda se encuentra en el intervalo que tiene mayor frecuencia absoluta.

I

Para la actividad 12, conespondiente a la capacidad "Usa estrategias y procedimientos", sugiérales que completen la tabla de frecuencia. Luego, explíqueles que la expresión "precio más frecuente" hace referencia a la moda, el "alquiler medio" a la media y "el precio en la mitad de la oferta" a la mediana. Señale que para establecer los porcentajes deben hallar las frecuencias relativas en la tabla. En la actividad 13, pregunte: ¿Cómo se calcula la varianza? (Dividiendo la sumatoria del cuadrado de la diferencia de la marca de clase con la media multiplicado por la frecuencia absoluta entre el tamaño de la población). ¿Cómo se determina la homogeneidad? (Calculando el coeficiente de variación). En la actividad 14, destaque que la situación presentada conesponde a un ordenamiento donde no se presenta

SINTETIZAMOS

Te

presentamos mediante un organizador gráfico los conceptos clave que has trabajado en esta unidad. EsTADÍsÍcA Y PRoBABII.IDAD

a

i\ied¡das €§tad¡sticas

. .

De centralización: media

Muestreo

aritmética.

obtener una muestra representativa mediante:

. . Formula: n=- N.0.52 (N-1).E2 ^-, ----F- + uic. Tabla de muestreo" . Prograrnas estadísticos

il'f ii

.

Es un

método de investigación

que se realiza sobre una muestra o población con eL fin de conocer las caracteristicas de una variable estadíst ca. Se ayuda de los cuestionarlos

y las entrevistas.

An¡lisrs comllrnatúrio

El índice de precios al

consumidor a nlvel naciona es un lndicador económico que mlde a varlación de precios de un conjunto de bienes y seryicios consumidos habitualmente por los hogares de los d versos estratos socioeconómiCoS.

ñ.-tt",''r*

permiten determinar el número de formarse a partir de un conjunto dado según c¡ertas instrucciones, as cua es deben nd car la diferencia entre dos subconjuntos. un problema de análisis combinatorio puede ser resuelto de dos maneras: Empleando los métodos de conteo conocidos: variación, permutación ;

y técnicas que

r

.

o combinación. procesos recursivos.

i . Aplicando

Probabil¡dad cond¡cionada

Teorema de Bayes

rrrlol=@",^, ;r(o),0

P(A/ B)

Probab¡l¡dad total P(B)

a encuesta

.

Se puede

mediana y moda. De dispersión: desviación media, varianza, desviación estándar y coeficiente de variación.

]\.-'

= P(A1). P(BIA, + P(Ar. P(BIA, + ... + P(A¿).

lI

P(B A¿)

=

B) T(Bf

P(A,) . P(BIA,) p(B)

P(Ai

Esperanza

f,=r,

¡r=},.

ñ

l

matemát¡ü

. P1 +

repetición de los elementos. En la actividad 15, pida que apliquen la estrategia del diagrama del árbol (recuerde que deben ubicar en cada rama las probabilidades respectivas).

I

x2. Pz+... + xn. P,

I

l

CONSULTAMOS Digita en el buscador de ¡nternet de tu preferencia el conjunto de palabras que se indican y accede a las prirneras direcciones que aparezcan.

!

.a

I e p p

§

@J rara ampliar la teoría

Eg r^ruver

.

.

.

(págs. 392-393)

filetype: pdf libro de matemática + estadÍstica khan academy + estadÍstica y probabilidad

.

apl¡caciones

videos + aplicaciones de la estadística filetype: swf + estadística y probabilÍdad

b I . . .

Para interactuar online

thatquis + probabilidad geogebra search estadística y probabilidad

I

@

9

Estadística y probabil dad

En la actividad 21 , propóngales determinar en primer lugar el nuevo

promedio; después de ello recién deben proceder a establecer la nueva varianza. Para la actividad 22, indíqueles que deben identificar en la gráfica todos aquellos puntos que están sobre el parámetro establecido (103). Además explíqueles que un factor que genera variación al IPCN es la mayor demanda de bienes y servicios que, por lo general, se dan en fechas festivas.

thatquiz + estadística

ut{rDAD

En la actividad 16, sugiérales que tomen como referencia los datos de la tabla presentada en la actividad 13; además, señale que para disminuir la dispersión se debe incrementar de forma homogénea los sueldos de los trabajadores. Para Ia actividad 17, propóngales que determinen primero el espacio muestral, luego que establezcan la probabilidad de extraer dos bolas, una por una y sin reposición, tal que ambas bolas no sean de color rojo. Destaque que la actividad 18 corresponde a una combinación de l0 elementos con los que se deben formar grupos de cuatro elementos.

93

En la actividad 23 pida que determinen el tamaño de la muestra aplicando la expresión correspondiente, y que calculen la cantidad de socios a considerarse de cada grupo. Para ello, solicite que multipliquen los porcentajes por el tamaño de la muestra.

N N @ j ¿

'6 l

Io E a

p Eo &

o

o

sc

c ao

o

L¡BRO DE ACTIVIDADES

ACTIVIDADES I NTEGRADAS Usa estrategias y procedim¡entos

comun¡ca Escribe V si

Il

es verdadero o F si es falso.

Las medidas de localización son la media aritmética, la media y la moda.

tr

E) Las medidas de dispersión son la varianza, Gl Si el coeficiente de correlación es I, entonces la comelación es perfecta. que hay entre dos poblaciones.

@ Si la esperanza matemática

Analiza y determina el resultado.

@ Una empresa inmobiliaria alquila departamentos. Los precios y el número de ellos aparecen en la siguiente tabla:

@ Para fijar los sueldos de 2016, el administrador

@ El sueldo promedio en una compañía es de S/ 1 100, con una varianza de 200. Calcula la nueva media y nueva varianza si se efectúan los siguientes

Precio

E E

@ El número índice indica la probabilidad es cero, se

tr

dice que el juego es equitativo. Observa el gráfico y responde. f¡

(s0

Número de depiltamentos

[600 - 650[

10

[650 - 700[

1Z

[700 - 750[

t4

[7s0 - 800[

6

[800 - 8s0]

8

propuso estas tres alternativas:

a) Elevación de los sueldos los trabajadores en un 5

/

12,,/,,

0

Gl La máxima frecuencia absoluta

A)t2

B)14 c)16 @"

@ La amplitud de los intervalos

@+ Dz c)3

@ El intervalo donde

N N @

) -o

8)Í20-24)

@rzo-z+t

D) tz8-321

Números de veces que ha ocurrido

o o

p s =o L

a c

está ubicada la moda es:

Lanzamientos que se hicieron

c )q

-

Técnico

D)5

2

t2

El ¿Cuántos lanzamientos

26

3

4 1u

se hicieron en

5

O

Sueldo

de emp.

medio (S/)

20

3000

Administrativo

50

2450

Operario

130

t5«)

o 70

1Z

total?

26ll

^,

el conjunto de la empresa. S/ 1926.5: 21 I 062,75

se

¿Cuántos lanzamientos se hicieron como mínimo para obtener 38 caras? 64

se muestra

el IPCN en cada mes

de un determinado año.

caja A contiene 3 pelotas rojas y 2 azules,

en tanto que una caja B contiene 2 pelotas rojas y 8 azules. Andrea lanza una moneda, si obtiene cara, saca una pelota de la caja A y si obtiene sello, saca de la caja B. Halla ta probabilidad de que saque una pelota roja. 2/5

EFMAMJJASOND ¿,En cuántos meses

b)

¿A qué crees que pudo deberse que el IPCN aumentara tanto en diciembre?

11,9,7(, b)

@ En una tienda, trabajan g

€ p

e p

e

e

s

s

o

o

l0l

a)

c) Por correspondencia

.9

103

9.1

Porteléfono l7%

57,

3 cajeras: Fabiola, Verónica

y Silvana. Fabiola realiza el50Va de los cobros, Verónica el 30 7o y Silvana el 207o. Cuando Fabiola cobra hay 1 7o de probabilidad de que 1o haga mal; cuando lo hace Verónica hay un 27o de que cobre mal, y si cobra Silvana hay un3Vo de probabilidad de que se equivoque. Un cliente se quejó con el dueño porque le cobraron lo que no debía. ¿Cuál es la probabilidad de que el mal cobro lo haya hecho Fabiola? 29'l.

el IPCN fue -uyo.

@

q?r",,1"0.?:

rn¡rlilIrl( nr¡[)(lr,l, hrerr,. ¡ r'rririrrr distribución porcentual de la edad de los socios de un club. En total son 1576 socios. A l,r

ED Observa la

Más de 25 años

Menos de

247o

l0 años

267o

219

296

320

253

De lli a 25 años -29%

De 10a l'7 años - 2lVo

La junta directiva del club ha decidido conocer la opinión de un grupo representativo de socios respecto a los cambios que tiene proyectado realizar. Si quiere que los resultados estadísticos obtenidos puedan ser extendidos al 1007o de los socios con un nivel de confianza del 95Eo y tn margen de enor del 37o, ¿cuántos de cada grupo deben conformar la muestra?

@ Pedro analiza

un juego con dados: "Cada vez que

se juega, la casa hace una apuesta de S/ 50.

Si el participante lanza dos dados y la suma es 8, gana el doble". ¿Es equitativo este juego? No es ct¡tritativtr

§

c 6

S/ 22001 800

cuántas maneras puede hacer la elección si quiere llevar al menos una novela? ¡95

a)Personalmente

una carrera de atletismo participan 20 corredores.

@ Una

@ Enla gráfica

sueldos.

@ Una persona que se va de viaje desea llevar 4 libros para leer. Si dispone de 4 novelas y 6 cuentos, ¿de

una correspondencia. Las probabilidades de que los morosos realicen algún pago al aplicar estos tres métodos son 0,75;0,60 y 0,65, respectivamente. Si el gerente acaba de recibir el pago de una de las cuentas vencidas, calcula la probabilidad de que la petición de pago se haya hecho:

an<

Teniendo en cuenta que no es posible llegar al mismo tiempo, ¿de cuántas maneras podrán llegar a la meta los tres primeros? (1840

hicieron 3 lanzamientos de la moneda hasta obtener cara? 24

@ ¿Cuántas veces

Número

b) ¿En qué categoría existe mayor homogeneidad en los sueldos? Arlrrrir¡istrarivu

@ En

Se duplican los

7/15

@ EI gerente del depafamento de crédito de un banco utiliza tres métodos para obligar a pagar a los morosos. De los datos que tiene registrados, el 70 7o de los deudores son visitados personalmente, al 2OVo se le llama por teléfono y el resto se le envía

a) Calcula el sueldo medio y lavaianzapata

Observa los resultados aI lanzar sucesivamente una moneda y se anota el número de lanzamientos hasta obtener por primera vez cara.

CJ

!

Categoría

es:

tl6-201

A)

se encuentran

clasificados entre tres categorías según los datos de la tabla.

es:

b)

decolorrojo?

llegue a S/ 750 al mes, ¿a qué porcentaje del

@ En un laboratorio, los empleados

c) Aumento de tn

105

total de departamentos tiene opción? Edad (años)

a) SeaumentaSi 81 atodos. S/ llSl:2t)0

@ De una uma que contiene 3 bolas blancas,4 verdes y 3 rojas, se extraen aleatoriamente 2 bolas. ¿Cuál es la probabilidad de que ninguna de las bolas sea

b) Si una persona no desea que el gasto en alquiler

\

cambios:

b) Incremento lineal de S/ 300.

¿Cuál de ellas reduce más ia dispersión inicial de los sueldos para dicho conjunto? La rrltcrnaliva b

el precio más frecuente y el precio que se sitúa en la mitadde laoferta. S/ 715: S/ 710.71 S/ 7t0

\

de todos

Vo.

lOVo del sueldo a los operarios, un 8 7o a los administrativos y un 4Vo a los técnicos.

a) Halla el alquiler medio por departamento,

/

Representa datos

Resuelve y

M

desviación media y la desviación estándar.

Sustenta conclusiones justifica.

Resuelve.

392

UNTDAD

9

Estadístca y probabi dad

393

LIBRO DE ACTIVIDADES

Evaluac¡ones ¡Texto

ACTIVIDADES PROPIAS DEL BACHILLERATO INTERNACIONAL Sustenta conclus¡ones:

Ensamblando computadoras

Un hospital pediátrico

O

E

En cierto centro de ensamblaje de computadoras, tres operarios, Q, R y S, ensamblan el 257o;487o y 27 Vo de las computadoras, respectivamente. Se sabe por experiencias pasadas que el l7o;27o y 39o delas computadoras ensambladas por cada operario, respectivamente, tiene defectos. Si se selecciona al azar una computadora y se encuentra defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido ensamblado por el operario R?

l1-D

+ .a< \ND zs,t / 2-,-D

,/^"", < *"" \

",x '" \

R< qsEi-ND 31-f) 's<e7fi-

erntor = ernlo, =

P(Ri;,35oln)

+

I

En la sala de pediatía del hospital "Nuestra señora de las Mercedes" ,el 6OVo de los pacientes son

Ff

P{S

-

f,

D, =0.00R1

f-a probabilidad es el 4'7,5

i'.!i!

=

O

U

+;.s,,

a/r,.

Pieza defectuosa

Compras en el supermercado

?l

!l

En un supermercado,el'1O?o de las compras las realizan las mujeres. De las compras realizadas por las mujeres, el 80 7o supera los S/ 300 mientras que las compras realizadas por los varones, solo el 30 7o supera esa cantidad. Si se elige un ticket de compras al azar, ¿cuál es la probabilidad de que las compras no supere los S/ 300?

M=

mujer, V = varór,S = supera los S/ 300 NS = no supera los S/ 300 Sean

SOqa/

M<

S+P(MrrS)=0.56

204\ NS+P(MnNS)=0,14 30 a/,:-- S+P(VaS)=0.09 v{ -NS+P(VaNS)=0,21 707

Hallamos la probabilidad de c¡ue no supere los S/ 300:0,14 + 0,21 = 0,35. La probabilidad que no supere S/ 300 es 357o

Una fábrica metalmecánica produce piezas de automóviles de las cuales hay grandes, medianas y pequeñas. Según datos estadísticos de la fábrica; del total de su producción mensual,el25%o son piezas grandes , el 45Vo son piezas medianas y el resto son piezas pequeñas. De acuerdo con su control de calidad se sabe que de las piezas grandes, medianas y pequeñas; estrín defectuosas el 157o, lOTo y 2OVo respectivamente de cada producción. Si se ha encontrado una pieza defectuosa, ¿cuál es la probabilidad que sea una pieza mediana? 3l .6'[.

Bomb¡llas espec¡ales @

Se dispone de tres cajas con bombillas de diferentes modelos y colores. La primera contiene 10 bombillas, de las cuales hay cuatro fundidas; en la segunda hay seis bombillas, estando una de ellas fundida, y la tercera caja hay tres bombillas fundidas de un total de ocho. ¿Cuál es la probabilidad de que al tomar una bombilla al azar de cualquiera de las cajas, esté fundida? 31.39c/o

o

Exam¡na propuestas de modelos de probabilidad condic¡onal que involucran eventos aleatorios. (1-3)

Determina el espacio muestral de eventos compuestos e independientes al resolver problemas. (4-6)

¿De qué trata la s¡tuación problemát¡ca? (Se busca recabar información mediante una encuesta sobre las act¡vidades deportivas que practican los socios de una asociación deportiva). ¿Cuál fue la población encuestada? (La población encuestada fue de 15 300 personas) . ¿Cuántas mujeres fueron encuestadas? (8516).

=lfrP ¡r,es ¡ =

de actividades (pá9. 395)

e Para que se familiaricen con la situación, pregunte:

ND

6¡6¡;ffffi

.

Diseño de estrategias para resolver problemas

1I

I

tLibro

Tenga en consideración las siguientes capacidades e indicadores usados en el marco PISA. [/atematización

P(QnD)=0,0025

-P(R -D)=0.00qó

94)

Sugerencias evaluativas y metacognitivas

1-ó

niñas. De los niños. el 35Vo son menores de 7 años. El 20Vo delas niñas tienen menos de 7 años. Un pediatra especializado en neumología en una universidad del extranjero ingresa a la sala selecciona un infante al azar. Determina el valor de la probabilidad de que sea menor de 7 años. Si el infante resulta ser menor de 7 años, ¿cuál es la probabilidad de que sea una n1ña? 260/,,: 461n,

Sean D: del'ectuoso ND: No defectuoso

escolar (pá9,

'ó

p E

Previamente a la pregunta 1, pida que completen los casilleros en blanco la tabla (los totales verticales y horizontales deben coincidir con 15 300). lnterrogue: ¿Qué probabilidad se pide determinar?(La probab¡lidad de que una mujer elegida al azar participe de una actividad deportiva) ¿Cuántos resultados favorecen al evento?(Se tienen 85.16 resultados favorables). Enfatice que el espac¡o muestral "O" en este caso será la totalidad de la población encuestada. Además, indÍqueles que expresen la probabilidad en porcentajes. Para resolver la situación 2, haga notar que deben determinar la probabilidad de que una persona elegida al azar practique atletlsmo y además sea varÓn. Pida que determinen la intersección de la columna de los varones con atlet¡smo (son los resultados favorables) y el espacio muestral es la población encuestada. En la situación 3, pregunte: ¿Qué se p¡de calcular en esta act¡v¡dad? (Se solicita establecer la probabilidad de elegir una persona al azar que practique fútbol y sea mujer). ¿Cuántos resultados favorecen al evento? (Se tiene 1632 resultados que favorecen al evento). Pídales que expresen la probabilidad en porcentaje. En la situación 4, haga notar que corresponde

de

a la probabilidad condicional (debe ser elegida una mujer). En la situación 5, intenogue: ¿Qué conocim¡ento se requ¡ere para desarrollar la actividad? (Conocer la probabilidad condicional). ¿Quién es el cond¡c¡onante para el evento? (La persona elegida tiene que ser varón). Resalte que el espacio muestral será el total de varones encuestados. En la situación 6, enfatice que el condicionante es que practique ciclismo.

ci c :9 l E

o o o

N."

Proceso

Contenido

Contexto

Tipo de respuesta

1

Emplea

Incertidumbre y datos

Social

Construida abierta

p

2

Emplea

Incertidumbre y datos

Social

Construida abierta

o L

3

Emplea

Incertidumbre y datos

Social

Consfuida abierta

4

Emplea

Incertidumbre y datos

Social

Consfuida abierta

5

Emplea

lncertidumbre y datos

Social

Construida abierta

6

Emplea

Incertidumbre y datos

Social

Conskuida abierta

e e

N N @ j

§ o

394

._!

q

§c c o

@ @

TEXTO ESCOLAR

LIBRO DE ACTIVIDADES

EVALUACIÓN

EVALUACIONES NACIONALES E INTERNACIONALES

Com un ica:

foln

n*."-U"

1

-ó

U sa estrateS¡as y procedimientosr 7-1 1 ;

1

3

Representa datos: 1 2,

>(x, -'

x24

-1')2 n

'

se cumple

se obtienen con

siguiente fórmula C,. r =

@ La probabilidad de se expr€sa

(v)

(§

(F)

la

(v)

sucesos independientes

rt l0 lr t2 9 lr

F¡

12

llj

@ La edad de los estudiantes que

2015

20t6

328

42ll

476

450

@tt,z se repite con mayor

Ciclismo

il02

1429

2531

2512

25

l.l

5025

t_

Natación

792

llt0 lsll

Total

6784

s5

Karate

Pregunta

850

l6

I

l

l,o

4

960

t6: l I

5 .r0()

Pregunta 4

1

Estima la probab¡l¡dad de que una mu.ler, elegida al azar, participe en cada una de estas actividades deportiva§

Se realiza un sorteo de 4 /¿plops entre los

se sabe que la persona que hace deporte es muler, ¿cuál es la probab¡l¡dad de que practique natación?

S¡

N: Natación M: Persona elegida mujer

@

-

P(NIM\=N!-A=ffi=o,zrs

lt5 t6/ | 5 -3(X) = 0.557

l0 I.a prohrbilidad cs 55.7'l

Se tienen dos bolsas A y B: una con tres bolas rojas

y cuatro amarillas, y otra con cinco bolas rojas y tres amarillas. Se selecciona al azar una bolsa, se extrae una bola y se deposita en la otra bolsa. Luego, se extrae una bola de la segunda bolsa. Halla Ia probabilidad de que las dos bolas sean de diferente color. 45.¡r7.7

La probabilidad es 2 1,5

.

¿Cuál es la probabilidad de que una persona elegida al azar realice el deporte del atlet¡smo y sea varón?

39

es:

-l

I Atletismo

mejores puestos del concurso de matemáticas. ¿De cuántas formas se pueden distribuir los premios si está permitido que una persona se lleve uno, dos, tfes o los cuatro premios? 7 I 5

18

50

t632

satle que la persona que hace deporte es varón, ¿cuál es la probab¡lidad de que practique karate?

Si se

A: Atletismo: V: Persona elegido varón

K: Karate V:

PrA¡Vr=

nrrln=

I'?5=l?= -J(X)

5

%

=o.164

La probabilidad es 16.4%,.

Persona elegida

vrón

r? Y=ffi=o,rzs

La probabilidad es I 2,5 %

frecuencia es:

ci

a)

c

ll,l

lt¡

@ El percentil

a)

ll,l

@ El grado

12,3 Oll,4

tl)

12

4O de la edad es:

@ 10,3

c)

ll,3

¿tl

de dispersión de los datos con respecto a la

2,15

ttt

2,67

c)

l,9l

@

@ El coeficiente de variación de las edades

¡l 201o

a c

94

ltt

22Vo t) 269o

@

METACOGNICIÓN

¿Qué aprendí hoy? ¿Para qué me serv¡rá?

d) l1

media aritmética es:

c a

2014

Mujeres

1528

t) (M.)

@

30

50

c)

2013

Total

Varones

Fúrbol

M: l)crsrlr¡ elegida nru.jcr Poblacirin

l0

@ La mediana de la edad de los estudiantes

ltt

20

.lcl.l

Año

11

t7

se muestra la población del caserío de Yungaypampa. Determina el número índice de la población del año 2016 respecto al año 2013. l -17.17

La tabla muestra la edad de los estudiantes que pertenecen al tallcr de fútbol del colegio Alfonso Ugarte. Resuelve y marca la respuesta correcta.

il)

t4

@ En la tabla

(v)

como P(A n B) = P(A) ' P(B).

(años) X¡ 7 16-81 e 18 r0l | lr0-12[ 13 lt2 - t4l t5 Ir4 16l Total

ll

Actividad

81012

De una población de 500 niños, Ana ha decidido trabajar con una muestra de un grupo de niños que tengan un margen de error del 3Vo y un nivel de confianza del 99Vo. ¿Ctántos estudiantes debe

elegir?

ñlü..

Edad

Una asociac¡ón deport¡va realiza una encuesta entre sus soc¡os mayores que ó años respecto a su part¡c¡pación en algunas actividades deport¡vas. La población total fue 15 300, de los cuales ó784 eran varones y el resto eran mujeres Completa la tabla en la que se muestra el número de part¡cipantes en cada deporte, y responde:

.

=i.

@ Las combinaciones

_9

o 5

""

6

v58

(t)

.li

Activ¡dades deportivas

q

de correlación. 0.999

(v)

.c.

c J,

@ La encuesta es una estrategia que nos da conocer el tamaño de una muestra.

E co L

2

r

resuelve.

til){-) plSA

5-'l ó

rt¡.

.tN qts' a§_ '

@ Con los datos de la tabla calcula el coeficiente

La mediana para datos agrupados en n , - Fr.,

que Me = Mo

f

lusiones o decis¡ones:

$

@ En una distribución simétrica

o o o

c

Analiza y

en intervaloses DM =

f E

Sústenta con

Escribe V si es verdedero o F si es falso.

@ La desviación media para datos agrupados

I

4

Luego,en@ale tu cuaderno aI profesor.

las actiüdades.

intervalosesM¿=Li+a

N N @ j

1

'1

Z,S4 es:

@Z+V"

¿Qué estrategia me ayudó a comprender los nuevos conocimientos?

¿Cuánto más reviÉ en s¡tios de internet para complementar lo que aprendí en clase?

ü

Ten en cuenta que la matemát¡ca cuando

a

a

acabamos de ver a una persona pract¡cando en bicjcleta, ¿cuál es la probabil¡dad de que sea mujer?

S¡

I

p !

€ F':

F'titbol M: Persona

elegida mujer

E P

s

la comprende bien y se le apl¡ca en ¡a vida diaria, no solamente contiene la suprema belleza, s¡no tamb¡én la verdad.

Calcula la probab¡lidad de que una persona eleg¡da al azar reafuce el deporte del tutbol y sea mujer.

§

I

0

0

(F r'r M) =

I5

0. 107 300 =

I-a probabilidad es 10,7 7o,

C:

Ciclismo M: Persona

p(Mtq=t4r!=j{f

elegida mujer

=o,ru,

La probabilidad es 56,5 %.

uilloAo 9 Estadisticayprobabilidad

395

zz8

I.c

.uorrcnpordar ns eprqrqord

v s euellrlues o

Ul

o

c .9

o d +, o C

¿28

¡:

+*" §E ¿19 ñr= ji{ ; ;:* ¡f *:j Y:¡ :§ 36 ñ=S ,I;

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I

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UNIDAD 3

progrramaclón llneal

1.2ñ+2

z3r-1 3.3.(-uz)'-t 4.5 s.2

6.-3116:2 7.18 8.2 9.3:2i413i8/9 l0.8ll2:

27l4i9l8i3ll6i ll32 Pág. 109 1.81380208 2.153595 7.12 4.2,25 s.256 6.1/12 7.3+213+2131 +2135 +... t,4'l 9.2 10.7 174 452

l'ág.

I'ág. I l5 t.st 841292

meses

2.St 49 461;78 -r.S/ 52 10423

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Pág.

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34.321370 -15.5 36.2560 37.2 Jt. I 048 575 39. 1093,5 ¡0.5/289,83 41. 13 ,12. l5 4J-Co¡veryenÉ 44. ar y a,i no 45. l¡venir en u¡ oeg@io ,fó. [a cuenh de ahorcs 47.3,7años 48.3034 49.S/90,33 íO.ar=3n - 4 5l.an= n2 + n + 2

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de tipo A

2. Máximo beneficio:

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4.240 de

l.C.S.={(-3: 2:0)} 2.C.S.= {(-3;s;-s)} 3.C.S. = {(1i -l; 2)} 4.C.s. = {(10; 12; 6)}

y 25 ofe6 de tipo B / 3440: z0c0 law

S

gmdes -1. Sí; sí: S/ 28m y l80 de 2 m2; S/ 26 400

1 m2

5. S/ 9000 en A y S/ 3000 en

5.50 de gaseosa; 40 de agua y 30 de aceite 6. 12: l6i20 7.V:l5i M:12; F:25 E,76; 84; 86 9.G:«):C:45: P: I0. 1855

5

B ó.2

de

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de

l.Sf 2.F(ri)) = l8r+ 30) 3.4(0; 200) y D(380;0) 4. S/ 5880 5. S/ ll 7«)

ó.) <¡ + 2;

Thlgonometría

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Pás.142

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1.57" 2.37" 54' -l.24cm ¡. 15cm

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Pág. 163

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l.V 2.V 3.F 4.Y 5.F 6.72' 1.illorad E.3 9.508 10.36' ll.9rad

F(¡:

Pág. 165

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F(¡ y) = l5¡

3.60 a la üendaA y 120 a B 4. l0 e¡e¡gizmte

35

jugos vital y

2.5trcm 3.o24nm2 4.2JtU3 m2

Pág. 16ll

3. IJnica

Páe.

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l.F 2.V 3.F 4.V 5.F 6.65" 36',54' 7.x - y + 8' 8. ll0' -2x-3y 9.5' -3r+

Pág.149 l.Mríltiple 2.Única

l.30' 5.520

l.v 2.F 3.V 4.V S.F 6../6t3 7.At5 A,D 9.4 10.4/5 ll.66m

+ ?y

Pág. 145

4.Mriltiple

10.80.-l+l ll.t8. t2.16r. 13.4 lS.m" 16.5,6m

5y 14.4n

17.5/6

Pág. 15l

Pá1g.174

l.No eohda 2.No rcotada 3.No fetible

,.v 2.F 3.V 4.\ 5.F 6.9t8 1.tD a.l g.-AAn rc.?S.á6 ¡.22§3n

4. No

fadible

W

l'ág.159

UNIDAD 4

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2.

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Pág. l-16

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3.O:715:

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3.F 4.V 5.V

8. Sistema compatible deteminado

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F-{-4l3} 4.2/3 por4/3 5.S/ 18 6.6000 de populú y 2000 de @cidente 7. 120

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I

35. Región factible

Pág.131

l.F 2.V

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Pág. 139

l2l

1.1078 2.375750 3.421 4.130681 5.2rot ó.20 300 ?.64000000 t.2440

l. l;

Pág.127

Pág. 133

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Inüroducclón a la

l'írg. 107

B

l'ágs. 156- 157 l.F 2.V .1.V 4.F 5.Soluciónúnica ó.Notiene$lución 7.D 8.8 9.C

Pág. 125 l.S/ 64.00 2.Rapisoles 3.S/ 335252 4.S/ 30 309,12 5.3 meses y 22dís 6.

l'ág. l0Ll

de

A y 2ó de

5.Tapiz A: 210 y Tapiz B: 30

7.0,1;03;0,9 y 027 mr/s

8.30 díes

l5-1

397

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LIBRO DE ACTIVIDADES

Anotoc[ones I

RESPUESTAS Pis. t77

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Pág. 180

l'ág.209

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ll.

7.617

f

0)

10.-19t4

t.v 2.F 3.V 4.F s.V 6.s 7.22 A.35 9.9,4 10. s9 tt.3j 12.3 13. I 14. -2 15. 5 16.-3 17.4 lt.R;u;+o[ 19.R;]-o;3¡

Aldo a Luis: 72

9.

u 9.20,99 m 10. 13,69 m

-

m =O

2,B 3.45m 4. lmm 5.300ñ

7.y+t=-2(x-2\ t.á-i= r -, _a - l) l0.y=2¡- I 9. y -4 = -#(t ll. 7¡-6)+ 38=0 l2.r+4)+ l8 =0 13.5¡-r- 18=0

=

3. (3:

Pág. -108

9.

-l):¡=2

- 4¡ -2y +

6.2ññ

9.-llt4

t.l6ns t2. -19n6 13. R 14. R 15. R - {3} 16. l¡: 31 17. l-@: 9t 12. R - {0}

2O- R;

Pá9.291

l.v

A.4

l'ás.3tl

l.V 2.F 3.V 4.F 5.V 6.)=2r+3

E. 14,18

o

f -

0)

;

ltt,25(+9t=22.s=0

- 6y Fr(-l - 2,/T; gtF:Gl Vl3; a) +

0): F,(y'to

o,$.{

=,

(3;0),(0; -6)

2.

5.-l 6.-4 7.il

Pás.270

§

§

UNIDAD 8

Funclonec

l.V 2.F l.V 4,V 5.F 6.RetÁngulo 7.4 3¡ - 2y - I = 0 10. 5,47 ll. 0,t 12. 3,23

Pás.275

Ío

c

O

= 29

4 =

Pág.291 l. l,l0m 2.3«)m 1.245ñy240ú 4.4375m;2,625m 5.8: I 6. l: l¡O 7. $,l{)1ú

j

p 9

;

10.vG -l); r(-2:

t.

)

Fl-y'ld

1.3215,36cm2 2. Sí -1.4,19 mr ,t. I13.04 cmr 5. 1352,82 cmr 6, 2T9a 7.423,9cm2

lE,t4

-

5)2

Fr(o: 216 )

8.(x+2f =-'.4lJ+2) 9.O-2f

l'ig.267

o o o

- 2/');

Fr(o;

Pá9.265

t.

y

l. (3;0),(0; 3)

tv -2)2 - l)2 t:m-=l e. 45

6. 5,78 cm3 ?. 96

-

5. V

(¡

1.396,14m2 2.5«5,27 ñ' 3.246tJ6m3 4. l45l,8l cm2 5.596ócm! 6,159ññ3 i.tg

t.

V 4.F

.1.

4,,/i: 2,,/7

l. i

-t--+

I'ág. 305

6. a)

m2

k

+ O/-

Tmge¡t6 exErioB

2.F

Pág.263

f, E

ll.

(¡-2)2

30-3

6.S@útes

interims 8.

9. Exteriorcs 10.

l.v

4, 248,4 cm3 5.0,215

pi

l.V 4.F 5.V

2,F

l. V 2. F .3. V 4.F S.V 6.F 7.632ñ t.toEcm2 9.130ót m2 10. I m 11.787,5m3

1.45' 2. |205,76cñz 3.2112,

Ci

l.V

Pá9.287

l'á9.261

N N @ j

l.c 2.D 3.C 4.8 5.A 6.C

L

H

l-.H

l'ág.

I

-t-f

6.a) lt304mn

b) 5,4 mm

12.i+f-4x+2y-ll=O

Pis.256

5.96¡m3 6,9¡ml 7. lo4rml

u

Pág. 2tl-1 7. Tegentes

l.F 2.V 3.F 4.V 5.V 9.4 10. ¡0 ll.óm

b) 85m2 4.43 5.241576óó?mr

H I ttII

¡.V

r:O

.12.1

2.F

3.V,l.v 5.F 6.V

E.l0;+-[;R 9.384g l0.S/49

7.R; l0;+o[ 15E.49

ll.20

lO¡brctcrid; lO minutos 12, t24 E33 0551 2050

399

LIBRO DE ACTIVIDADES

Anotoc[ones RESPUESTAS t6.

l'ág. 325 l.

Sl 2'106,70.

I

(2t 3)i x =

2 I7. V(-3; -5);

x =

3

m;

25,583 cml25

150

m

:6iaL5'C

t. 666 8633 bacreri6: I E3 díN 2..fO= 100 2'5:0098 g 3. S/ t5 757J6 4. Cñdo 5 5. 7 años ó.64 años; 2086

-10./(¡)=4-a- 100¡+600¡ -lt.491 I'rig.

2.12t61 3.

lR

-

1-7;

lt

)

*n 4¡t:0

=8

Me = 42 aiñst Mo = 44 años 7. i = 3l 25 min; Me = 34.4 ñi¡t Mo = 322 min t. a) = 172 m: Me = 179 ,38 cñ: Mo = 184 5 cñ b) Qi = Pi5 = 186,13 cm; 9.r=123J cm;

i

similüa la tunción seno b) Vm c)T= l/f l8 dejunio; mfnima: 20 de múzo

Me

126

=

I

cm: Mo

=

133 ,1

cn

3. Máxima:

4. at 21123 b)

rl

c)

14

2il33 5. I l2o

l.V 2.V.¡.F 4.F 5.V

l'ág. -l4l l. (-ó; ó) 2. A"(7; 7). B"(1; 9), C'(71 1 1) -1. (2; 4. A"(- 6: 5). B"(4i 5),C'(-41 7), D"(-6;7) 5. (-5: -3) 6. (-?: -7) Pá9.

3)

l. C"(-l: - 6); D"(- 6i - 6); E'(-ó; 1); F'(l;

, (+, D'(l; -s)

+) A'(-l;

l);

5. A'(4;

B'(7:

A(-s; -s); B(-5;

r),c(r;-r);

-s),8'(l; -2), C'(-2; -3),

4.

-6)

D'(-4t

ó. A'(3;

-r.

l)

-4), B'(3; 3), C'(-3; -2) C'(3; -1), D'(3; 3), B'(3; 6)

-l),

Pág.3.15 l. k=

5;

BC= 12;AC = 5;A'C'=25 3.k= 2 = 1/2;A"B" =35 cm;4"C" =25 cm;

4. k, = 2; k3

B'C' = I cm 5.A(18;24);E(12:6);A'(6;

Págs. 350-35 I

l.F

2.V 3.V 4.F 5.V 6.Sf 7.No

rz.¡t t4. 400

I I¡ I

8);

LV

¡x¡ =41x

Í-t til

n./-r

(¡) =

+

=i!;É. Í' 1,1=ffi¡

4ó;

l0.an=a, rao,-,,r*na3 -1.V 4.F 5.V 6.D 7.A 8.C

ltl, 24 ll. 64

12. a) S/ 715; S/

7l0JI;

St'ttO bl't2% ts.alSt 1926,5,211 O62Js b)

Adminismtivo 1,1.6840 15, 2y5 t6. b

l?.7/15 18. 195 19.a)139% b)17% c)9,15Ío 20.29% 21. a) S/

I

l8l;

200 b) S/ 2200; 800 22. a) 9

mess

b) A mayor demanda de bienes y sewicios

23. Mas de 25 años: 279i Menos de l0 años: 2961 De l0 a l7 añosr 253; De 18 a 25 años: 320 es

equitativo

Pág.394 1.415% 2.35% 3.26%.46% 4.31§% s.3t 39%

Pág.395 -16.1

2.

F

.1.

V

4.

V 5. F 6. Simérica

7. Asimetría positiva 8. Asimería negativa

1.55:l% 2.16.4 1.t03% 4.215%

5.t25% 6.565%

9. Asimetúa negativa

N N @ j l

ltág. i67

l.F 2.V l.V

4-F 5.V 7.r=0,852

8.y=r+ I l0.r=0,8 ll.)=x- I

c

12.17000

mujeres

s

I'ág.

!

l.

-1ó9

pulseiones: Mo = 77 pulsaciones áñosi Mo = 1792 años 3- Me = 41 5 minvtos : Mo = 48 J3 ñinut6 4. Me = 583 kg*ñi Mo = 533 kglem Me = 76,95

2. Me

E'(4i2\

6.DM=6223;

V = 4970.7r o = 705 7. o = 9,65 t. DM = V = 292: o = 5.4: CV= 21.2% 9. DM = 5: V =33to=53:CV =39,3%

l'ág.

l{-l

2.F 3.V 4.v 5.F 6.W7.2401

24. No

Pág..161

s

t.v

9. 268

s.

2. a) Es

V 7. 129% 4.694%

E.2520 9.24 ¡0. 831 ó00 11.2880 12. 8820

l.F 2.V

2.225:10 3.2ovo

3.39

5.

l'írgs. .192--19.1

l':ig..j55 I'rig. .159 l.F 2.V -r.F 4.V 5.F 6.t=42,13añosi

l'ág.

V

l':ig. .1lttl l.F 2.v f,-V 4.F 5.v 6.No;pierde5/0,25 7. Gana 5/190 t. S/ LOE 9. 125

r. [-r:oli ,r/ó 3. nl2: f (f) = w

2i 4. r13: f (xt = tu k R(/) = [-3; 5]: R(s) = [-U2; l/21 6. 1 de m@o: -41,8'Ci 23 de julio: 17;26 "C

4.

1O.t68%

r. a) l/s b) 3/10 2.83% 3.21% 4.62% s.6,7%

l1 85126

2. USD

@

t.lúia:z{i * tl; t

Pág.377 t. F 2. V l. F

Pág.3fl5

Estadístlca y probabilidad

-1-17

l.v2.Fl.v4.F5.V

Pág.3tll 100

usD 5828,74 4. USD 9196,99 5. USD l? 80433 6. USD ll79

iguales a @m

Páry.374

9.429

.¡.

r-

56

m

P/rg. -153

3. lR-l-6;-2t 4. R - l9l2; lll2l 5. 3; ü -nl4 6. 2i 5n: 5rl2 7. 14. 2\ O A. L-2i 2), 116 9. Color verde: y = cos x + l/2: colo¡ ¿ul: ) = cos I 10. a) Son difeEntes. Color ml: G color rcjo: Sí;

t rl

-152

l. usD 17668.83

@lo matrón: 4r b) 3r c)

¡1t1 = zn?+

7293 m3/s

3.1.40

4.500 maquinúias 5.

I'ág. 334 l. [4;2] 2. u:51

Pírg.

ho6

».

o

mg b) 7339 mg -r. a) 125 cm b) ¡ó,4 cm c) 48 mess y 12 di6

lR-l-l;5[

4.

».

27. OJ5 s

l. Tercerdía;36 2. a)

5-2i2nl5inlm 6. 3i 6,8 -9tr 7. l-3131; 116 E. [-3; U; -rl4 9. l; 2ñ;0y l;4tr;0 l0.a) Son iguales a 3 b) 0 c) Sí; 0; r/6

2Jc

OJ

-12,

3-11

t.f-3:7)

r0. 589

26.81,5"Ci18,125 "C:

Pág.327

Pág.

peso¡as 7. 230 persons 9. 231 pesond

-3

v(l; l):i= t 19.Y(-7¿-3):x=-2

m.a)75m b)2y6sc)4s 21. I hony32minub 22. R; [-3; 3]: 3: 2ñ 23.2n; 5 A. SllT §o

3. a) S/ 2172J4 b) A7 ^) ^ños 100 unidades 4, a) @: - 0 224 b\ 2l

2.

Y

18.

b) 16541 millones

a) 20,1 millones

5- Me

= l9.ll

I € p

€ I

= 1785 cm, Mo = 178,17 cm

Pág. -172 l. F 2. v 3. F

§ 4.

V 5. l,l4

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