Mate

Programa şcolară a fost aprobată prin Ordinul Ministrului educaţiei naţionale cu nr. 4740 / 25.08.2003.

MINISTERUL EDUCAŢIEI, CERCETĂRII ŞI TINERETULUI CONSILIUL NAŢIONAL PENTRU CURRICULUM

PROGRAMĂ ŞCOLARĂ REVIZUITĂ

M ATEM ATI C Ă CLASELE A VII-A – A VIII-A

Bucureşti, 2003

NOTĂ DE PREZENTARE Studiul matematicii în învăţământul obligatoriu îşi propune să asigure pentru toţi elevii formarea competenţelor de bază în rezolvarea de probleme implicând calculul algebric şi raţionamentul geometric. Învăţarea matematicii în şcoală urmăreşte conştientizarea naturii matematicii ca o activitate de rezolvare a problemelor, bazată pe un corpus de cunoştinţe şi de proceduri, dar şi ca o disciplină dinamică, strâns legată de societate prin relevanţa sa în cotidian şi prin rolul său în ştiinţele naturii, în tehnologii şi în ştiinţele sociale. *** Prezentul document conţine Programele şcolare revizuite de Matematică pentru clasele a VII-a – a VIII-a, care se vor aplica în sistemul de învăţământ începând cu anul şcolar.2003-2004. Revizuirea curriculum-ului de Matematică a avut în vedere următoarele aspecte: - necesitatea de a răspunde nevoilor specifice ale învăţământului obligatoriu, în contextul prelungirii duratei sale la 10 ani începând cu toamna 2003; - necesitatea de a valida achiziţiile absolvenţilor de clasa a VIII-a, în vederea opţiunii pentru continuarea studiilor obligatorii într-una din filierele liceului sau în şcoala de arte şi meserii; perspectiva construirii, în acest scop, a standardelor naţionale de evaluare ale disciplinei pentru clasele terminale ale ciclului gimnazial de învăţământ; - menţinerea şi în perioada următoare a structurii şi alocărilor orare din actualul plan-cadru de învăţământ (aprobat prin O.M. 3638/11.04.2001);

-

utilizarea modelului de proiectare curriculară centrată pe obiective şi dezvoltarea unei strategii didactice pornind de la obiective; asigurarea continuităţii şi a progresiei de la o clasă la alta; asigurarea posibilităţii de a se utiliza auxiliarele curriculare existente (manuale şcolare, caiete ale elevului, ghiduri ş.a.m.d.).

În acest context, programele şcolare revizuite de Matematică pentru clasele a VII–a – a VIII-a: - respectă modelul de proiectare şi forma de prezentare, consacrate prin Curriculum-ul naţional, asigurând, astfel, continuitatea demersului propus şi unitatea conceptuală a studiului acestei discipline în învăţământul obligatoriu; -

oferă, pentru fiecare an de studiu, seturile de obiective de referinţă, cu exemplele de activităţi de învăţare aferente, şi conţinuturile o b l i g a t o r i i , procedând la eliminarea obiectivelor de referinţă şi a temelor prevăzute la extinderi – marcate în textul vechilor programe cu asterisc (*), în condiţiile în care planul-cadru de învăţământ în vigoare nu prevede plajă orară la disciplina “Matematică”;

-

adaptează ansamblul obiectivelor de referinţă şi al exemplelor de activităţi de învăţare la schimbările din structura învăţământului obligatoriu, prin reformulari şi prin adăugarea unor precizări de conţinut care să asigure premisele pentru ameliorarea calităţii actului didactic;

-

asigură corelarea standardelor curriculare de performanţă cu modificările efectuate la nivelul obiectivelor de referinţă, oferind reperele necesare pentru elaborarea standardelor naţionale de evaluare ale disciplinei pentru clasele terminale ale învăţământului gimnazial.

Programele şcolare reviziute de Matematică pentru clasele a VII-a – a VIII-a sunt construite astfel încât să nu îngrădească – prin concepţie şi prin modul de redactare – libertatea profesorului în a decide succesiunea temelor prevăzute la capitolul Conţinuturi, precum şi în a alege metodele cele mai adecvate pentru realizarea obiectivelor de referinţă şi însuşirea conţinuturilor propuse obligatorii. Criteriul de asigurare a calităţii actului de predare-învăţare este reprezentat, astfel, de realizarea obiectivelor de referinţă, la sfârşitul fiecărui an de studiu, precum şi de atingerea standardelor curriculare de performanţă la sfârşitul învăţământului gimnazial.

Matematică – Clasele a VII-a – a VII-a

2

OBIECTIVE CADRU

1.

Cunoaşterea şi înţelegerea conceptelor, a terminologiei şi a procedurilor de calcul specifice matematicii

2.

Dezvoltarea capacităţilor de explorare/investigare şi rezolvare de probleme

3.

Dezvoltarea capacităţii de a comunica, utilizând limbajul matematic

4.

Dezvoltarea interesului şi a motivaţiei pentru studiul şi aplicarea matematicii în contexte variate

Matematică – Clasele a VII-a – a VII-a

3

CLASA A VII-A OBIECTIVE DE REFERINŢĂ ŞI EXEMPLE DE ACTIVITĂŢI DE ÎNVĂŢARE 1. Cunoaşterea şi înţelegerea conceptelor, a terminologiei şi a procedurilor de calcul specifice matematicii Obiective de Exemple de activităţi de învăţare referinţă La sfârşitul clasei a Pe parcursul clasei a VII-a se recomandă VII-a elevul va fi următoarele activităţi: capabil: 1.1 să scrie, să citească, - exerciţii de comparare şi ordonare a numerelor să compare şi să reale de forma a b (a, b ∈R, b>0), folosind axa reprezinte pe axă numerelor, valoarea absolută a unui număr real numere reale sau utilizând alte metode; - scrierea unui număr raţional în forme echivalente, prin: amplificare şi simplificare; transformarea din fracţie ordinară în fracţie zecimală şi invers; scrierea unui număr ca radical din pătratul său; - scrierea unor numere iraţionale în forme echivalente, utilizând introducerea şi scoaterea unor factori de sub radical: - exerciţii de reprezentare a numerelor pe axă, recurgând, acolo unde este cazul, la aproximări sau folosind relaţii metrice în triunghiul dreptunghic; - exerciţii de poziţionare a unor numere din R\Z între doi întregi consecutivi; - exerciţii de recunoaştere a numerelor naturale, întregi sau raţionale, dintr-o mulţime de numere dată; - exerciţii de determinare a naturii unui număr zecimal (raţional sau iraţional), fiind dată o regulă de succesiune a zecimalelor (ex: 0,101001000100001...); - exerciţii de scriere a unui număr real în forme echivalente; trecerea dintr-o formă de scriere în alta; - exerciţii de calcul cu numere reale de forma a b 1.2 să efectueze calcule (introducerea factorilor sub radical, scoaterea cu numere reale, factorilor de sub radical, înmulţire, ridicare la utilizând proprietăţile putere, împărţire, adunare şi scădere); operaţiilor amplificare (pentru raţionalizarea numitorului) şi simplificare de rapoarte de numere reale; Matematică – Clasa a VII-a

4

Obiective de Exemple de activităţi de învăţare referinţă La sfârşitul clasei a Pe parcursul clasei a VII-a se recomandă VII-a elevul va fi următoarele activităţi: capabil: folosirea în calcule numerice a formulelor de calcul prescurtat; - exerciţii de extragere a rădăcinii pătrate din numere raţionale pozitive; - exerciţii de anticipare a naturii unui număr rezultat dintr-un şir de operaţii; - evidenţierea legăturii dintre o putere cu exponent negativ şi inversul unui număr; - exerciţii semnificative, care să scoată în evidenţă avantajele folosirii proprietăţilor operaţiilor cu numere raţionale; 1.3

să aproximeze - exerciţii de estimare a rezultatelor unor adunări, numere reale, pentru a scăderi, înmulţiri, ridicări la putere, împărţiri, verifica validitatea extrageri de rădăcină pătrată, înainte de unor calcule efectuarea calculului; - exerciţii de aproximare a rezultatelor unor calcule cu o eroare dată, prin lipsă sau adaos; - calcule folosind atât calculatorul (de buzunar, PC etc.), cât şi algoritmii învăţaţi, punând sistematic în evidenţă eroarea datorată rotunjirilor; - exerciţii de aproximare a soluţiei unui sistem, folosind reprezentarea grafică; - refacerea unor estimări deja făcute îmbunătăţind marja de eroare;

Matematică – Clasa a VII-a

5

1.4

Obiective de Exemple de activităţi de învăţare referinţă La sfârşitul clasei a Pe parcursul clasei a VII-a se recomandă VII-a elevul va fi următoarele activităţi: capabil: să utilizeze elemente - exerciţii de identificare a ipotezei şi a concluziei de logică şi elemente într-un enunţ matematic; punerea în evidenţă a de teoria mulţimilor rolului diferit al ipotezei şi al concluziei; pentru a stabili - analiza unor enunţuri ce folosesc operatori 1 valoarea de adevăr a logici; formularea unor astfel de enunţuri; unor enunţuri - construirea unor exemple de mulţimi finite şi de mulţimi infinite (ex.: mulţimea divizorilor naturali ai unui număr natural; mulţimea multiplilor naturali ai unui număr natural); - analiza unor exemple de mulţimi întâlnite în studiul altor discipline; - scrierea mulţimii divizorilor întregi ai unui număr întreg; compararea cu mulţimea divizorilor naturali; - scrierea mulţimii multiplilor întregi ai unui număr întreg; compararea cu mulţimea multiplilor naturali;

1.5

să identifice elementele unor dependenţe funcţionale şi să utilizeze reprezentări ale acestora în caracterizarea unor situaţii concrete

- analiza unor exemple de dependenţe funcţionale întâlnite în studiul altor discipline; - construcţia unor exemple de dependenţe funcţionale; exerciţii de scriere a formulei care defineşte o dependenţă funcţională definită pe o mulţime finită (în cazul unor formule simple); - stabilirea unor corespondenţe simple între elementele a două mulţimi; - identificarea si exprimarea, cu ajutorul unei formule, a unor legi de asociere/dependenţe funcţionale simple întâlnite în situaţii cotidiene; - exerciţii de completare a termenilor unui şir; explicarea regulei de formare a unui şir dat; utilizarea de reguli date pentru a construi şiruri; - exerciţii de descriere a poziţiei unui punct în plan utilizând coordonatele întrun sistem de axe ortogonale; - exerciţii de identificare a unui punct în plan cunoscând coordonatele;

1.6

să utilizeze elemente

- exerciţii de aplicare a formulelor pentru calculul

1

Fără a folosi termenul “valoare de adevăr”.

Matematică – Clasa a VII-a

6

Obiective de Exemple de activităţi de învăţare referinţă La sfârşitul clasei a Pe parcursul clasei a VII-a se recomandă VII-a elevul va fi următoarele activităţi: capabil: de calcul algebric mediilor aritmetică şi geometrică, al ariilor, al pentru simplificarea volumelor; interpretarea geometrică a mediilor; unor calcule, precum rezolvarea unor probleme în care apar medii; şi pentru rezolvarea exerciţii de comparare a mediilor aritmetică şi unor ecuaţii şi geometrică a două numere (pe exemple inecuaţii concrete; eventual: demonstraţie algebrică; demonstraţie geometrică); - exersarea operaţiilor cu numere reale reprezentate prin litere (adunare, scădere, înmulţire, împărţire, ridicare la putere cu exponent întreg); - aducerea la o formă mai simplă a unor numere în a căror scriere intervin fracţii, paranteze, radicali etc.; - exerciţii de descompunere a numerelor reale reprezentate prin litere: în sumă sau diferenţă; în factori, folosind diferite metode; restrângeri în pătrate de sume; - rezolvarea de ecuaţii de forma ax+b=0, a,b,c ∈ R şi reductibile la acestea; - studiul unor ecuaţii de forma ax+by+c=0, a,b,c ∈ R, prin utilizarea reprezentării grafice a acesteia într-un sistem de coordonate; -

-

-

-

Matematică – Clasa a VII-a

exerciţii de identificare a două sau mai multe perechi de numere care verifică ecuaţii de forma ax+by+c=0, a,b,c ∈ R, observarea coliniarităţii acestor puncte prin reprezentarea punctelor întrun sistem de axe ortogonale; reprezentarea grafică a dreptei soluţiilor unei ecuaţii de forma ax+by+c=0, (cu a, b, c ∈ R, nu toate nule), pornind de la două puncte ale acesteia; rezolvarea unor sisteme de două ecuaţii cu două necunoscute, folosind: metoda grafică, metoda reducerii, metoda substituţiei; rezolvarea unor inecuaţii de forma ax+b<0 (>, ≤, ≥), a,b ∈ R, punând sistematic în evidenţă legătura dintre inecuaţie, soluţia sa şi 7

Obiective de Exemple de activităţi de învăţare referinţă La sfârşitul clasei a Pe parcursul clasei a VII-a se recomandă VII-a elevul va fi următoarele activităţi: capabil: reprezentarea pe axă a acestei mulţimi de numere (sub forma unei semidrepte); - rezolvarea unor probleme cu ajutorul ecuaţiilor; - utilizarea metodelor aritmetică şi algebrică pentru rezolvarea aceleiaşi probleme; compararea rezolvărilor; - probleme care se pot rezolva cu ajutorul sistemelor de ecuaţii; 1.7

2

să deseneze figuri geometrice în diverse configuraţii şi să utilizeze proprietăţi calitative şi metrice ale figurilor geometrice2 în rezolvarea unor probleme

- evidenţierea unor figuri geometrice cunoscute, într-o configuraţie dată; - folosirea instrumentelor geometrice (riglă, compas, echer, raportor) pentru a desena diferite configuraţii; - calculul unor lungimi de segmente, utilizând teorema lui Thales, asemănarea triunghiurilor şi relaţiile metrice în triunghiul dreptunghic (teorema înălţimii, teorema catetei, teorema lui Pitagora) şi sin, cos, tg, ctg; rezolvarea unor probleme cu conţinut practic; - calculul lungimilor unor arce de cerc şi cercuri, utilizând formule şi regula de trei simplă; - calculul unor măsuri de unghiuri şi arce de cerc, utilizând proprietăţile figurilor (suma măsurilor unghiurilor unui triunghi sau patrulater; unghi la centru; unghi înscris în cerc; triunghi şi patrulater înscris în cerc) şi sin, cos, tg, ctg; - construirea unor grafice circulare, care să reprezinte ponderea procentuală a părţilor unui întreg (ex.: procentele reprezentate de elevii de diferite vârste, în cadrul mulţimii elevilor unei şcoli); - calcul de arii, folosind decupări, descompuneri, pavaje, reţele, formule, raportul ariilor a două triunghiuri asemenea; construirea unor pavaje, pornind de la o anumită figură geometrică sau de la o altă condiţie dată; - calcul de laturi, apoteme, arii în poligoane regulate (triunghi, pătrat, hexagon regulat);

Se vor utiliza figuri geometrice situate într-un plan de referinţă dat sau pe feţele unor corpuri geometrice.

Matematică – Clasa a VII-a

8

Obiective de Exemple de activităţi de învăţare referinţă La sfârşitul clasei a Pe parcursul clasei a VII-a se recomandă VII-a elevul va fi următoarele activităţi: capabil: - calcul de arii laterale şi totale ale unor poliedre (paralelipiped dreptunghic, cub, prismă triunghiulară regulată, prismă patrulateră regulată, piramidă triunghiulară regulată, piramidă patrulateră regulată), pe desfăşurări date; - calculul sin, cos, tg, ctg pentru unghiurile ascuţite ale unui triunghi dreptunghic; întocmirea tabelului pentru unghiurile de 30°, 45° şi 60°; rezolvarea unor triunghiuri dreptunghice, isoscele sau cu un unghi de 30°, folosind acest tabel; 1.8

să determine, folosind metode adecvate (măsurare şi/sau calcul), lungimi de segmente, măsuri de unghiuri şi arii; să estimeze lungimi, măsuri de unghiuri şi arii

- probleme în care intervin operaţii cu măsuri şi transformări de unităţi de măsură; - exerciţii de alegere a celei mai potrivite unităţi de măsură, pentru un anumit context dat; - exerciţii de calcul a unor lungimi de segmente, măsuri de unghiuri, perimetre ale unor configuraţii; - descompunerea unei figuri date în figuri ale căror arii pot fi calculate direct; - calcularea ariilor unor figuri plane (triunghi, dreptunghi, paralelogram, romb, trapez) utilizând reţele de pătrate; - exerciţii de estimare a unor măsuri: dimensiuni direct măsurabile; măsuri rezultate din calcul, prin estimarea măsurilor componente; - exerciţii de măsurare a unghiurilor cu ajutorul raportorului; - calculul mediei aritmetice a mai multor măsurători ale aceleiaşi mărimi; - determinarea practică a unei aproximări a numărului π;

1.9

să utilizeze simetria, translaţia, rotaţia, localizări şi poziţii relative în rezolvarea de probleme

- exerciţii de identificare a coordonatelor unui punct într-un sistem de axe ortogonale, - exerciţii de reprezentare a unui punct într-un sistem de axe ortogonale, cunoscând coordonatele;

Matematică – Clasa a VII-a

9

Obiective de Exemple de activităţi de învăţare referinţă La sfârşitul clasei a Pe parcursul clasei a VII-a se recomandă VII-a elevul va fi următoarele activităţi: capabil: - construcţia imaginii unei figuri prin translaţie, rotaţie, simetrie (intuitiv, fără a defini transformările ca funcţii); - folosirea reţelelor de pătrate pentru a recunoaşte imaginea unei figuri prin una din transformările de mai sus; - justificarea proprietăţilor unor configuraţii geometrice, pe baza simetriei; - analiza şi construcţia unor figuri cu simetrie axială sau centrală; - identificarea axei (centrului) de simetrie al unei figuri (intuitiv sau/şi prin demonstraţie); - analiza unor configuraţii în care intervin puncte, drepte, cercuri etc. - construirea unei figuri aflate într-o anumită poziţie relativ la o altă figură dată; 1 .10

să utilizeze elemente de organizare a datelor, de statistică şi de probabilităţi în rezolvarea unor probleme date

Matematică – Clasa a VII-a

- analiza unor criterii de sortare a elementelor unei mulţimi: criterii care împart mulţimea în clase; criterii care determină submulţimi nedisjuncte (fără a folosi această terminologie); - analiza şi rezolvarea unor probleme de numărare cu caracter combinatorial; - discuţii privind alegerea celei mai potrivite forme de reprezentare; - reprezentarea unor date în tabele cu una şi două intrări; reperarea unei informaţii dintr-un tabel sau listă; interpretarea unei informaţii extrase dintr-un tabel (listă); - exerciţii de transpunere a unei relaţii dintr-o formă de descriere în alta (text, formulă, diagramă); - construirea unor diagrame; interpretarea unor diagrame; - analiza unor seturi de date pentru a determina un mod mai potrivit de reprezentare grafică; - reprezentări prin grafice circulare şi grafice cu bare; - analiza unor exemple de evenimente întâmplătoare din domenii diferite ale 10

Obiective de Exemple de activităţi de învăţare referinţă La sfârşitul clasei a Pe parcursul clasei a VII-a se recomandă VII-a elevul va fi următoarele activităţi: capabil: matematicii (divizibilitate, geometrie etc); - calculul probabilităţii unor evenimente. 2. Dezvoltarea capacităţilor de explorare/investigare şi rezolvare de probleme Obiective de referinţă Exemple de activităţi de învăţare

2.1

La sfârşitul clasei a VII-a elevul va fi capabil: să exploreze modalităţi de descompunere a numerelor, folosind operaţiile studiate şi să identifice modalităţi eficiente de organizare a unui calcul folosind scrierea numerelor în forme variate

Pe parcursul clasei a VII-a se recomandă următoarele activităţi: -

-

-

2.2

să identifice situaţiiproblemă, să le transpună în limbaj matematic şi să organizeze eficient modul de rezolvare a acestora

Matematică – Clasa a VII-a

exerciţii de scriere a unui număr real ca: sumă, produs, diferenţă, cât, putere de două sau mai multe numere reale; exerciţii de scriere a unui număr real (raţional sau iraţional) în forme echivalente; exerciţii de recunoaştere a naturii numerelor naturale, întregi, raţionale sau iraţionale dintr-o mulţime de numere date; determinarea naturii unui număr real prin scriere în forme echivalente; trecerea unui număr dintr-o formă de scriere în alta; compararea unor modalităţi diferite de a organiza efectuarea unui calcul;

- identificarea unor situaţii-problemă care pot fi transpuse în limbaj matematic adecvat; - exerciţii de transcriere a unei situaţiiproblemă în limbaj matematic utilizând calcul algebric sau metode geometrice; - selectarea, din mulţimea datelor culese, a unor informaţii relevante pentru rezolvarea unei probleme; - exerciţii de transferare a soluţiilor unor probleme pentru rezolvarea altor probleme sau a unor situaţii-problemă; - exerciţii de culegere de date şi de organizarea datelor în forme variate;

11

Obiective de referinţă

2.3

La sfârşitul clasei a VII-a elevul va fi capabil: să formuleze cât mai multe consecinţe posibile, care decurg dintr-un set de ipoteze date; să construiască generalizări şi să investigheze valoarea de adevăr a unor enunţuri

Exemple de activităţi de învăţare Pe parcursul clasei a VII-a se recomandă următoarele activităţi: - identificarea unor consecinţe posibile ce decurg dintr-un set de ipoteze; întrebări deschise de tipul: "Ce s-ar întâmpla dacă modificăm ipoteza?" (situaţia descrisă putând fi una din cotidian, o situaţie matematică, un experiment etc); - exerciţii de verificare a validităţii unor afirmaţii, pe cazuri particulare sau prin construirea unor exemple şi contraexemple; - formularea unor enunţuri generale, pornind de la unul sau mai multe enunţuri de acelaşi tip; verificarea validităţii enunţurilor formulate; elaborarea unei argumentaţii (demonstraţii) în sprijinul afirmaţiilor formulate; - exerciţii de completare a unor şiruri de numere, întocmite după o regulă aditivă, multiplicativă, de tipul an=a/n etc.; identificarea regulii de formare a unui şir de numere şi exprimarea ei (în cuvinte sau printr-o formulă, desen etc.); alcătuirea unor şiruri, pornind de la o regulă dată; inventarea unor reguli de alcătuire a şirurilor;

2.4

să identifice reguli de formare a unor şiruri de numere

2.5

să selecteze, în mulţimea datelor de care dispune, informaţii relevante pentru rezolvarea unei probleme

- analiza datelor problemei pentru verificarea noncontradicţiei, suficienţei, redundanţei şi eliminarea informaţiilor neesenţiale; - exerciţii de sortare şi clasificare a unor informaţii pe baza unor criterii date; formularea unor criterii de sortare;

2.6

să analizeze veridicitatea unor rezultate obţinute prin procedee diverse (măsurare, calcul, raţionament)

- exerciţii de verificare a rezultatului unui calcul, folosind modalităţi variate ( măsurare, estimare); - exerciţii de verificare a unei rezultate obţinute prin măsurare sau estimare prin calcul sau folosind diferite metode matematice; - identificarea rezultatului plauzibil dintr-o listă de răspunsuri posibile;

Matematică – Clasa a VII-a

12

2.7

2.8

Obiective de referinţă

Exemple de activităţi de învăţare

La sfârşitul clasei a VII-a elevul va fi capabil: să construiască probleme, pornind de la un model (grafic sau formulă)

Pe parcursul clasei a VII-a se recomandă următoarele activităţi:

să utilizeze instrumente geometrice (riglă, compas, echer, raportor) pentru a reprezenta diferite configuraţii geometrice

- exerciţii de desenare folosind instrumente geometrice a unor configuraţii care satisfac ipoteze date; - exerciţii de utilizare a instrumentelor geometrice adecvate pentru a reprezenta prin desen figuri geometrice; - exerciţii de utilizare a instrumentelor geometrice pentru a reprezenta prin desen relaţii între elementele unor figuri sau configuraţii geometrice(congruenţă, paralelism, perpendicularitate).

- formulări de probleme, pornind de la o schemă, grafic, formulă, configuraţie geometrică; - formulări de probleme pornind de la un set de informaţii; analiza unui set de informaţii pentru verificarea suficienţei acestora; - formularea consecinţelor posibile care decurg dintr-un set de informaţii; - compararea unor probleme create pornind de la acelaşi element de sprijin;

3. Dezvoltarea capacităţii de a comunica utilizând limbajul matematic Obiective de referinţă

3.1

3.2

Exemple de activităţi de învăţare

La sfârşitul clasei a Pe parcursul clasei a VII-a se recomandă VII-a elevul va fi următoarele activităţi: capabil: să identifice şi să - identificarea ipotezei şi a concluziei unei diferenţieze etapele unui probleme; raţionament matematic - sesizarea greşelilor dintr-o succesiune de prezentat în diverse argumente; forme să prezinte în mod coerent soluţia unei probleme, utilizând modalităţi variate de exprimare (cuvinte, simboluri matematice, diagrame, tabele,

Matematică – Clasa a VII-a

redactarea rezolvării unei probleme date; - argumentarea orală a demersului de rezolvare a unei probleme; -

13

construcţii din diverse materiale) 3.3

să argumenteze logic în cadrul unui grup, idei şi metode matematice, să utilizeze diferite surse de informaţie în verificarea şi susţinerea opiniilor

-

-

-

discutarea în grup a metodei de rezolvare a unei probleme; argumentarea metodei alese pentru rezolvarea unei probleme; discutarea în grup, analiza şi compararea unor metode diferite de rezolvare a unei probleme; găsirea, în grup, a unor metode alternative de rezolvare; elaborarea în grup a unor referate sau proiecte pe o temă dată.

4. Dezvoltarea interesului şi a motivaţiei pentru studiul şi aplicarea matematicii în contexte variate Obiective de referinţă

4.1

4.2

Exemple de activităţi de învăţare

La sfârşitul clasei a VII-a elevul va fi capabil: să identifice utilizări ale unor concepte şi metode matematice studiate, în rezolvarea unor probleme practice

Pe parcursul clasei a VII-a se recomandă următoarele activităţi:

să manifeste perseverenţă şi interes pentru găsirea de soluţii noi în rezolvarea unei probleme

- abordarea unor situaţii-problemă; - utilizarea unor metode variate în rezolvarea problemelor; - compararea diferitelor metode utilizate în rezolvarea unei probleme.

- analiza, prin activităţi de grup sau individuale, a unor metode matematice utilizate pentru rezolvarea unor situaţiiproblemă sau a unor probleme practice; - analiza, prin activităţi de grup sau individuale, a unor situaţii-problemă sau a unor probleme practice pentru identificarea metodelor adecvate de rezolvare;

CONŢINUTURI ALGEBRĂ 1. Mulţimea numerelor întregi Mulţimi Noţiunea de mulţime; relaţii (apartenenţă, egalitate, incluziune); operaţii (intersecţia, reuniunea, diferenţa, produsul cartezian). Numere întregi Mulţimea numerelor întregi; reprezentare pe axă; operaţii; ordinea efectuării Matematică – Clasa a VII-a

14

operaţiilor; divizibilitate în Z: definiţie, divizor, multiplu; ecuaţii; inecuaţii. 2. Mulţimea numerelor raţionale Mulţimea numerelor raţionale (Q); reprezentarea pe axă a numerelor raţionale, opusul unui număr raţional; valoarea absolută a unui număr raţional (modulul). Incluziunile N⊂Z⊂Q. Scrierea numerelor raţionale sub formă zecimală sau fracţionară Adunarea numerelor raţionale, proprietăţi Scăderea numerelor raţionale Compararea numerelor raţionale Înmulţirea numerelor raţionale, proprietăţi; ordinea efectuării operaţiilor Împărţirea numerelor raţionale; ordinea efectuării operaţiilor Puterea unui număr raţional cu exponent număr întreg. Reguli de calcul cu puteri Ordinea efectuării operaţiilor şi folosirea parantezelor Rezolvarea în Q a ecuaţiilor de forma ax+b=0, cu a∈Q*, b∈Q Probleme care pot fi rezolvate cu ajutorul ecuaţiilor Rapoarte; proporţii; proporţii derivate; procente; raport procentual; şir de rapoarte egale Media aritmetică şi media aritmetică ponderată. 3. Numere reale Rădăcina pătrată a unui număr natural pătrat perfect. Rădăcina pătrată a unui număr raţional pozitiv; algoritmul de extragere a rădăcinii pătrate. Aproximări. Exemple de numere iraţionale; iraţionalitatea lui 2 (demonstraţia - facultativ); mulţimea numerelor reale; modul; ordonare; reprezentare pe axă prin aproximări Reguli de calcul: a × b = ab ; a / b = a / b , a>0, b>0. Introducerea factorilor sub radical. Scoaterea factorilor de sub radical Media geometrică. 4. Calcul algebric Calcul cu numere reale reprezentate prin litere: adunare, scădere, înmulţire, împărţire, ridicare la putere cu exponent întreg; reguli de calcul cu puteri Formule de calcul prescurtat: (a±b)2 = a2 ± 2ab + b2; (a-b)(a+b) = a2 - b2 Descompuneri în factori, utilizând regulile de calcul în R. Rezolvarea ecuaţiei de forma x2 = a, unde a∈Q. Aplicaţii numerice.

Matematică – Clasa a VII-a

15

5. Elemente de organizare a datelor Sistem de axe ortogonale; reprezentarea punctelor în plan cu ajutorul sistemului de axe ortogonale; distanţa între două puncte din plan; rezolvarea unor probleme simple de geometrie pornind de la reprezentarea punctelor într-un sistem de axe ortogonale; reprezentarea unor numere reale pe axă, folosind rigla şi compasul. Reprezentarea prin tabele, diagrame şi grafice a unor dependenţe funcţionale. Calculul probabilităţii unor evenimente. 6. Ecuaţii şi sisteme Proprietăţi ale relaţiei de egalitate în mulţimea numerelor reale. Ecuaţii de forma ax+b=0, a, b ∈ R; mulţimea soluţiilor unei ecuaţii; ecuaţii echivalente; rezolvarea ecuaţiilor. Inecuaţii de forma ax+b>0, (<, ≤, ≥), a, b ∈ R. Scrierea mulţimii soluţiilor. Ecuaţii de forma ax+by+c=0, a, b, c ∈ R. a1 x + b1 y = c1 a2 x + b2y = c2 Sisteme de două ecuaţii cu două necunoscute, de forma: ; rezolvare , prin metoda reducerii şi prin metoda substituţiei. Rezolvarea unor probleme simple cu conţinut practic, cu ajutorul ecuaţiilor, inecuaţiilor şi al sistemelor de ecuaţii. GEOMETRIE 1. Recapitulare şi completări Unghiuri opuse la vârf. Congruenţa triunghiurilor. Linii importante în triunghi. Condiţii necesare şi suficiente ca un paralelogram să fie dreptunghi, romb, pătrat. Centru de simetrie şi axe de simetrie pentru poligoanele studiate. Trapez, clasificare; trapez isoscel, proprietăţi. Arii (triunghiuri, patrulatere); calculul ariilor unor suprafeţe, folosind decupări, pavaje, reţele, sau cu ajutorul formulelor. Calculul ariilor laterale şi totale ale unor poliedre, pe desfăşurări date. 2. Asemănarea triunghiurilor Rapoarte şi proporţii formate cu lungimi de segmente; segmente proporţionale. Teorema paralelelor echidistante. Teorema lui Thales. Teorema reciprocă a teoremei lui Thales. Împărţirea unui segment în părţi proporţionale cu numere (segmente) date. Linia mijlocie în triunghi; proprietăţi. Centrul de greutate al unui triunghi. Linia mijlocie în trapez; proprietăţi. Triunghiuri asemenea. Teorema fundamentală a asemănării. Criterii de asemănare a triunghiurilor. 3. Relaţii metrice în triunghiul dreptunghic Matematică – Clasa a VII-a

16

Proiecţii ortogonale pe o dreaptă. Teorema înălţimii, teorema catetei. Teorema lui Pitagora; teorema reciprocă a teoremei lui Pitagora. Rapoarte constante în triunghiul dreptunghic: sin, cos, tg, ctg; folosirea tabelelor trigonometrice; întocmirea tabelului pentru unghiurile de 30°, 45° şi 60°. Rezolvarea triunghiului dreptunghic. 4. Cercul Cercul: definiţie; elemente în cerc: centru, rază, coardă, diametru, arc; interior, exterior; discul. Unghi la centru; măsurarea arcelor; arce congruente. Coarde şi arce în cerc (la arce congruente corespund coarde congruente, şi reciproc; proprietatea diametrului perpendicular pe o coardă; proprietatea arcelor cuprinse între coarde paralele; proprietatea coardelor egal depărtate de centru). Unghi înscris în cerc; triunghi înscris în cerc; patrulater înscris în cerc; poligonul regulat: construcţie, elemente. Poziţiile relative ale unei drepte faţă de un cerc; tangente dintr-un punct exterior la un cerc; triunghi circumscris unui cerc. Poziţiile relative a două cercuri. Calculul elementelor în poligoane regulate: triunghi echilateral, pătrat, hexagon regulat (latură, apotemă, arie, perimetru). Lungimea cercului şi aria discului; lungimea arcului de cerc; aria sectorului de cerc.

Matematică – Clasa a VII-a

17

CLASA A VIII-A OBIECTIVE DE REFERINŢĂ ŞI EXEMPLE DE ACTIVITĂŢI DE ÎNVĂŢARE 1. Cunoaşterea şi înţelegerea calcul specifice matematicii Obiective de referinţă La sfârşitul clasei a VIII-a, elevul va fi capabil: 1.1 să înţeleagă noţiunea de număr real şi relaţiile dintre mulţimile de numere studiate

1.2

conceptelor, a terminologiei şi a procedurilor de Exemple de activităţi de învăţare Pe parcursul clasei a VIII-a, se recomandă următoarele activităţi: - exerciţii de comparare şi de ordonare a numerelor reale, folosind axa numerelor, valoarea absolută a unui număr real, sau utilizând alte metode; - exerciţii de poziţionare a unor numere din R\Z între doi întregi consecutivi; - exerciţii de recunoaştere a numerelor naturale, întregi sau raţionale, dintr-o mulţime de numere dată; - exerciţii de determinare a naturii unui număr zecimal (raţional sau iraţional), fiind dată o regulă de succesiune a zecimalelor (ex.: 0,101001000100001...); - exerciţii de recunoaştere a unor numere iraţionale dintr-o mulţime de numere date; - exerciţii de folosire a terminologiei aferente noţiunii de număr real (semn, modul, opus, invers, parte întreagă, parte zecimală), pe cât mai multe exemple, punând în evidenţă: (1) faptul că: modulul unui număr real este întotdeauna un număr pozitiv; numerele opuse au semne contrare; (2) ce fel de numere sunt partea întreagă, respectiv partea zecimală a unui număr real; (3) scrierea unui număr real ca sumă dintre partea sa întreagă şi cea zecimală;

să înţeleagă - exerciţii de calcul (adunări, scăderi, înmulţiri şi semnificaţia şi împărţiri, ridicări la putere cu exponent număr proprietăţile operaţiilor întreg) cu numere reale; exerciţii de anticipare cu numere reale şi să le a naturii unui număr rezultat dintr-un şir de aplice operaţii; în calcule variate - exerciţii de extragere a rădăcinii pătrate din

Matematică – clasa a VIII-a

18

Obiective de referinţă Exemple de activităţi de învăţare La sfârşitul clasei a Pe parcursul clasei a VIII-a, se recomandă VIII-a, elevul va fi următoarele activităţi: capabil: numere raţionale pozitive; - exerciţii semnificative, care să scoată în evidenţă avantajele folosirii proprietăţilor operaţiilor cu numere reale; - exerciţii de calcul cu radicali (introducerea factorilor sub radical, scoaterea factorilor de sub radical, înmulţire, ridicare la putere, împărţire, adunare, scădere); amplificare (pentru raţionalizarea numitorului) şi simplificare de rapoarte de numere reale; - exerciţii de calcul, urmărind respectarea semnificaţiei parantezelor şi a ordinii efectuării operaţiilor în mulţimea numerelor reale; exerciţii de aşezare a parantezelor pentru a obţine un rezultat dat; - exerciţii de descompunere a unui număr real în: sumă, produs, diferenţă, cât, putere de două sau mai multe numere reale; - creare, analiză, rezolvare de probleme cu text care conduc la formule de tipul a±b=x; a±b±c=x; a·b=x; a:b=x (x necunoscut), în mulţimea numerelor raţionale; - compararea unor modalităţi diferite de a organiza efectuarea unui calcul; folosirea formulelor de calcul prescurtat, inclusiv pentru calcule numerice;

Matematică – clasa a VIII-a

19

1.3

Obiective de referinţă La sfârşitul clasei a VIII-a, elevul va fi capabil: să aproximeze numere reale şi soluţii ale unor ecuaţii sau sisteme de ecuaţii, pentru a verifica validitatea unor calcule

Matematică – clasa a VIII-a

Exemple de activităţi de învăţare Pe parcursul clasei a VIII-a, se recomandă următoarele activităţi: - utilizarea aproximărilor prin lipsă sau adaos pentru a compara numere întregi, raţionale sau reale; - rotunjirea până la cea mai apropiată zece, sută etc., sau zecime, sutime, miime; - exerciţii de evaluare a rezultatelor unor adunări, scăderi, înmulţiri, ridicări la putere, împărţiri, extrageri de rădăcină pătrată, înainte de efectuarea calculului; - calcule folosind atât calculatorul (de buzunar, PC etc.), cât şi algoritmii învăţaţi, pentru a obţine aproximări diferite ale rezultatului unui calcul; evidenţierea erorii datorate rotunjirilor; - exerciţii de aproximare a soluţiei unui sistem de două ecuaţii de forma ax+by+c=0, a,b,c ∈ R, folosind reprezentarea grafică;

20

Obiective de referinţă La sfârşitul clasei a VIII-a, elevul va fi capabil: 1.4. să aplice în rezolvarea problemelor elemente de logică, precum şi elemente de teoria mulţimilor

Matematică – clasa a VIII-a

Exemple de activităţi de învăţare Pe parcursul clasei a VIII-a, se recomandă următoarele activităţi: - exerciţii de identificare a ipotezei şi a concluziei într-un enunţ matematic; - exerciţii ce vizează punerea în evidenţă a rolului diferit al ipotezei şi al concluziei într-un enunţ matematic; - analiza unor enunţuri ce folosesc operatorii logici: "şi", "sau", "nu", "implică", "echivalent" şi a termenilor "toţi", "cel mult", "cel puţin", "oricare", "există"; formularea unor astfel de enunţuri; - exerciţii de folosire a terminologiei aferente logicii matematice (ipoteză, concluzie, demonstraţie, teoremă, axiomă, definiţie, teoremă directă, teoremă reciprocă, implicaţie, exemplu, contraexemplu), în contexte variate (algebră/geometrie, scris/ oral, context cotidian/matematic etc.); - exerciţii de folosire a terminologiei aferente teoriei mulţimilor (mulţime, element, diagramă etc.), în contexte uzuale şi matematice; - construirea unor exemple de mulţimi finite şi de mulţimi infinite (de exemplu: mulţimea divizorilor naturali ai unui număr natural; mulţimea multiplilor naturali ai unui număr natural); analiza unor exemple de mulţimi întâlnite în studiul altor discipline; - exersarea operaţiilor cu mulţimi (intersecţie, reuniune, diferenţă, produs cartezian) în forme variate de reprezentare, în contexte uzuale şi matematice; - analiza unor exemple de mulţimi care să ilustreze relaţia de egalitate, respectiv de incluziune între mulţimi; - scrierea mulţimii divizorilor întregi ai unui număr întreg; compararea cu mulţimea divizorilor naturali; - scrierea mulţimii multiplilor întregi ai unui număr întreg; compararea cu mulţimea multiplilor naturali; 21

1.5

1.6

Obiective de referinţă Exemple de activităţi de învăţare La sfârşitul clasei a Pe parcursul clasei a VIII-a, se recomandă VIII-a, elevul va fi următoarele activităţi: capabil: să identifice funcţii de - analiza unor exemple de dependenţe tipul f: R→R, f(x) = funcţionale întâlnite în studiul altor discipline; ax+b (a, b ∈ R) şi să le construcţia unor exemple de dependenţe funcţionale; exerciţii de scriere a formulei care reprezinte grafic defineşte o dependenţă funcţională definită pe o mulţime finită (în cazul unor formule simple); - analiza şi construcţia unor exemple care să ilustreze noţiunile de: funcţie, diagramă, funcţie definită pe o mulţime finită, funcţie definită pe o mulţime infinită, grafic; - aflarea mulţimii valorilor unei funcţii pe o mulţime finită; - analiza unor exemple de funcţii întâlnite în ştiinţele naturii etc.; - exerciţii de reprezentare a graficului unor funcţii: (1) definite pe mulţimi finite, sau (2) definite pe R cu valori în R, f(x)=ax+b, a,b ∈ R, într-un sistem de axe ortogonale; - exerciţii de determinare a unei funcţii de forma: f:R→R, f(x)=ax+b, al cărei grafic conţine două puncte date; exerciţii de investigare a coliniarităţii a două sau mai multe puncte, cunoscând coordonatele acestora; să utilizeze elemente - exerciţii de transcriere a unor situaţii problemă de calcul algebric în limbaj matematic, înlocuind numerele pentru a rezolva ecuaţii necunoscute cu litere; şi inecuaţii, precum şi - exerciţii de aplicare a unor formule (pentru pentru a aplica formule calculul mediilor aritmetică şi geometrică, al de calcul ariilor, al volumelor); interpretarea geometrică a mediilor; rezolvarea unor probleme în care apar medii; exerciţii de comparare a mediilor aritmetică şi geometrică a două numere; - exersarea operaţiilor cu numere reale reprezentate prin litere (adunare, scădere, înmulţire, împărţire, ridicare la putere cu exponent întreg) utilizând proprietăţile operaţiilor şi formule de calcul prescurtat; evidenţierea greşelilor tipice; aducerea la o

Matematică – clasa a VIII-a

22

Obiective de referinţă Exemple de activităţi de învăţare La sfârşitul clasei a Pe parcursul clasei a VIII-a, se recomandă VIII-a, elevul va fi următoarele activităţi: capabil: formă mai simplă a unor numere (în a căror scriere intervin fracţii, paranteze, radicali etc.); - exerciţii de descompunere a unor numere reale reprezentate prin litere: (1) în sumă sau diferenţă; (2) în factori, folosind diferite metode; exerciţii cu restrângeri în pătrate de sume; - rezolvarea unor ecuaţii de forma ax+b=0, a,b ∈ R şi reductibile la acestea; 2 - rezolvarea unor ecuaţii de forma ax +bx+c= 0, a,b,c ∈R, a ≠ 0, prin descompunere în factori sau în sumă de pătrate; - exerciţii de reprezentare grafică, prin puncte, a dreptei soluţiilor unei ecuaţii de forma ax+by+c=0, (cu a,b,c∈R, nu toate nule): (1) identificarea a două sau mai multe perechi de numere care verifică ecuaţia; (2) reprezentarea punctelor corespunzătoare, într-un sistem de axe ortogonale şi observarea coliniarităţii acestor puncte; (3) reprezentarea grafică a dreptei, pornind de la două puncte ale acesteia; (4) explicitarea mulţimii soluţiilor; rezolvarea unor sisteme de două ecuaţii de forma ax+by+c=0, a,b,c ∈ R, folosind: metoda grafică; metoda reducerii; metoda substituţiei; rezolvarea unor sisteme de două ecuaţii cu două necunoscute, reductibile la sisteme de forma precizată; - rezolvarea unor inecuaţii de forma ax+b<0, ax+b>0, ax+b≥0, ax+b≤0, a,b∈R, punând sistematic în evidenţă legătura dintre inecuaţie, soluţia sa şi reprezentarea pe axă a acestei mulţimi de numere (sub forma unei semidrepte), ca şi legătura cu interpretarea grafică a funcţiei f(x)=ax+b; rezolvarea unor inecuaţii simple, reductibile la acestea; - rezolvarea unor probleme cu ajutorul ecuaţiilor sau al sistemelor de ecuaţii studiate; utilizarea metodelor aritmetică şi algebrică pentru -

Matematică – clasa a VIII-a

23

Obiective de referinţă Exemple de activităţi de învăţare La sfârşitul clasei a Pe parcursul clasei a VIII-a, se recomandă VIII-a, elevul va fi următoarele activităţi: capabil: rezolvarea aceleiaşi probleme; compararea rezolvărilor; 1.7. să utilizeze proprietăţi ale figurilor şi corpurilor geometrice în probleme de demonstraţie şi de calcul

Matematică – clasa a VIII-a

- exerciţii de identificare, diferenţiere şi denumire a figurilor geometrice (triunghi, patrulater, pătrat, dreptunghi, paralelogram, trapez, romb – cerc, linie curbă, dreaptă, segment, semidreaptă, linie frântă, unghi, poligon) aparţinând unei mulţimi de figuri; exemple de figuri geometrice pentru fiecare categorie, exerciţii de identificare, diferenţiere şi denumire a corpurilor geometrice (cub, sferă, paralelipiped, piramidă, cilindru, con, trunchi de piramidă, trunchi de con) aparţinând unei mulţimi de corpuri; analiza unor exemple de corpuri geometrice pentru fiecare categorie; exerciţii de reprezentare în plan a corpurilor geometrice; - exerciţii de identificare a elementelor figurilor plane pe corpuri geometrice (vârfuri, unghiuri, muchii, feţe) sau pe desfăşurări ale acestora; - descrierea în cuvinte, verbal sau în scris, a unei configuraţii geometrice întâlnite într-o problemă de geometrie; formularea unei probleme, pornind de la o configuraţie dată; - exerciţii de clasificare şi comparare a unor corpuri după criterii ca: numărul de muchii, feţe, vârfuri; forma feţelor; - exerciţii de aplicare a metodei triunghiurilor congruente şi a metodei triunghiurilor asemenea;

24

1.8

1.9

Obiective de referinţă La sfârşitul clasei a VIII-a, elevul va fi capabil: să recunoască şi să utilizeze în diverse contexte, inclusiv în cotidian, proprietăţi simple ale corpurilor geometrice; să deseneze reprezentarea plană a unor corpuri geometrice cunoscute.

Exemple de activităţi de învăţare Pe parcursul clasei a VIII-a, se recomandă următoarele activităţi: - exerciţii de reprezentare a figurilor geometrice prin desen, utilizând instrumente geometrice; exerciţii de identificare a unor figuri plane pe corpuri geometrice sau pe desfăşurări ale acestora; - exerciţii de recunoaştere a unor proprietăţi ale figurilor plane pe corpuri geometrice; - evidenţierea unor figuri geometrice cunoscute intr-o configuraţie spaţială dată; - folosirea instrumentelor geometrice (riglă, compas, echer, raportor) pentru a desena diferite configuraţii; - calculul unor lungimi de segmente folosind relaţii metrice în plan în rezolvarea unor probleme cu conţinut practic;

să utilizeze localizarea - exerciţii de identificare a coordonatelor unui figurilor geometrice în punct într-un sistem de axe ortogonale; plan exerciţii de reprezentare a unui punct într-un şi în spaţiu, precum şi sistem de axe ortogonale, cunoscând elemente de coordonatele; transformări geometrice - construcţia imaginii unei figuri prin translaţie, rotaţie, simetrie (intuitiv, fără a defini transformările ca funcţii); folosirea reţelelor de pătrate pentru a recunoaşte imaginea unei figuri printr-una dintre transformările de mai sus; justificarea proprietăţilor unor configuraţii geometrice, pe baza simetriei; - analiza şi construcţia unor figuri cu simetrie axială sau centrală; identificarea axei (centrului) de simetrie al unei figuri; - analiza unor configuraţii în care intervin puncte, drepte, cercuri etc.; construirea unei figuri aflate într-o anumită poziţie relativ la o altă figură dată; - analiza unor configuraţii spaţiale, inclusiv a unor corpuri geometrice înscrise sau circumscrise;

Matematică – clasa a VIII-a

25

1 .10

Obiective de referinţă La sfârşitul clasei a VIII-a, elevul va fi capabil: să utilizeze în situaţii practice metode adecvate de calcul pentru lungimi, unghiuri, arii şi volume, precum şi transformări ale unităţilor de măsură

Matematică – clasa a VIII-a

Exemple de activităţi de învăţare Pe parcursul clasei a VIII-a, se recomandă următoarele activităţi: - rezolvarea unor probleme în care intervin operaţii cu măsuri, utilizând multiplii şi submultiplii unităţilor principale din sistemul internaţional de măsuri (pentru lungime, arie, volum, masă, timp); utilizarea transformărilor; - exerciţii de alegere a celei mai potrivite unităţi de măsură, pentru un anumit context dat; exerciţii de estimare a unor măsuri: dimensiuni direct măsurabile; măsuri rezultate din calcul sau din estimarea măsurilor componente; - măsurarea ariilor folosind reţele de pătrate; exerciţii de măsurare a unghiurilor cu ajutorul raportorului; exerciţii de citire şi interpretare a rezultatului măsurării cu diverse aparate; - calculul mediei aritmetice a mai multor măsurători ale aceleiaşi mărimi; - exerciţii de calcul a lungimilor unor segmente, utilizând: teorema lui Thales, asemănarea triunghiurilor şi relaţiile metrice în triunghiul dreptunghic; rezolvarea unor probleme cu conţinut practic; - exerciţii de calcul al lungimilor unor arce de cerc, utilizând formule sau regula de trei simplă, - exerciţii de calcul al unor măsuri de unghiuri şi arce de cerc, utilizând proprietăţile figurilor şi sin, cos, tg, ctg; - calculul ariilor şi volumelor, folosind decupări, descompuneri, pavaje, reţele, formule, raportul ariilor, raportul volumelor; - calculul măsurilor unor elemente (laturi, apoteme, arii) ale poligoanelor regulate (triunghi, pătrat, hexagon); evidenţierea legăturii cu raza cercului circumscris, - calculul ariilor laterale şi totale ale unor poliedre (paralelipiped dreptunghic, cub, prismă triunghiulară regulată, prismă patrulateră regulată, piramidă triunghiulară regulată, piramidă patrulateră regulată), pe desfăşurări date; 26

1 .11

Obiective de referinţă Exemple de activităţi de învăţare La sfârşitul clasei a Pe parcursul clasei a VIII-a, se recomandă VIII-a, elevul va fi următoarele activităţi: capabil: să utilizeze elemente - exerciţii de clasificare a unor obiecte concrete sau de organizare a datelor, matematice (de exemplu, într-o mulţime de de statistică şi de ecuaţii, de exerciţii de calcul cu radicali sau de probabilităţi în probleme de divizibilitate), după criterii date; modelarea unor formularea unor criterii de realizare a unei fenomene clasificări; - analiza şi rezolvarea unor probleme de numărare cu caracter combinatorial; - exerciţii de înregistrare a rezultatelor unor observaţii prin desene şi tabele; extragerea unor date din tabele, liste, diagrame etc. şi interpretarea lor; reprezentarea unor relaţii prin diagrame; - construirea unor diagrame statistice (de tipul grafice cu bare, grafice circulare etc.); interpretarea unor diagrame; analiza unor seturi de date pentru a determina un mod mai potrivit de reprezentare grafică; - analiza unor exemple de evenimente aleatoare legate de domenii diferite ale matematicii (divizibilitate, geometrie etc.); exerciţii de apreciere a şansei de producere a unor evenimente, în raport cu altele şi reprezentarea lor pe o scală (de exemplu: eveniment sigur, foarte posibil, probabil, imposibil); compararea şanselor de realizare a două evenimente ale căror probabilităţi sunt cunoscute; - calculul probabilităţii unui eveniment ce constă din reuniunea unor evenimente elementare egal probabile, utilizând raportul: nr. cazuri favorabile/ nr. cazuri posibile.

Matematică – clasa a VIII-a

27

2. Dezvoltarea capacităţilor de explorare/investigare şi rezolvare de probleme Obiective de referinţă Exemple de activităţi de învăţare La sfârşitul clasei a Pe parcursul clasei a VIII-a, se recomandă VIII-a, elevul va fi următoarele activităţi: capabil: 2.1 să exploreze modalităţi - exerciţii de recunoaştere a numerelor întregi, de variate de scriere a raţionale, iraţionale, scrise în forme variate, numerelor reale şi să dintr-o mulţime dată; identifice modalităţi - scrierea unui număr raţional în forme eficiente de organizare echivalente, prin: amplificare şi simplificare; a unui calcul transformarea din fracţie ordinară în fracţie zecimală şi invers; scrierea unui număr pozitiv ca radical din pătratul său; - scrierea unor numere iraţionale în forme echivalente, utilizând introducerea şi scoaterea unor factori de sub radical; - exerciţii de reprezentare a numerelor pe axă, recurgând, acolo unde este cazul, la aproximări sau folosind relaţii metrice în triunghiul dreptunghic; - exerciţii de comparare a unor modalităţi diferite de organizare şi de efectuare a unui calcul; 2.2

să identifice situaţiiproblemă, să le transpună în limbaj matematic şi să organizeze eficient modul de rezolvare a acestora

- culegerea şi organizarea unor date; - identificarea unor consecinţe posibile ce decurg dintr-un set de ipoteze; - identificarea unor situaţii-problemă care pot fi transpuse în limbaj matematic adecvat; - exerciţii de transcriere a unei situaţii-problemă în limbaj matematic, utilizând calcul algebric sau metode geometrice;

2.3

să construiască generalizări şi să investigheze valoarea de adevăr a unor enunţuri

- exerciţii de verificare a validităţii unor afirmaţii, pe cazuri particulare sau prin construirea unor exemple şi contraexemple; - formularea unor enunţuri generale, pornind de la unul sau mai multe enunţuri de acelaşi tip; verificarea validităţii enunţurilor formulate; elaborarea unei argumentaţii (demonstraţii) în sprijinul afirmaţiilor formulate;

Matematică – clasa a VIII-a

28

2.4

Obiective de referinţă Exemple de activităţi de învăţare La sfârşitul clasei a Pe parcursul clasei a VIII-a, se recomandă VIII-a, elevul va fi următoarele activităţi: capabil: să identifice reguli de - exerciţii de completare a unor şiruri de numere, formare a unor şiruri şi întocmite după o regulă aditivă, multiplicativă formule de definire a etc.; identificarea regulii de formare a unui şir unor funcţii de numere şi exprimarea ei (în cuvinte sau printr-o formulă, desen etc.); alcătuirea unor şiruri, pornind de la o regulă dată; inventarea unor reguli de alcătuire a şirurilor; - exerciţii de identificare a formulei care defineşte o funcţie de tipul f:R→R, f(x)=ax+b, a,b∈N;

2.5

să extragă dintr-un set de date informaţii relevante pentru rezolvarea unor probleme sau pentru a crea probleme

-

2.6

să analizeze veridicitatea unor rezultate obţinute prin procedee diverse (măsurare, calcul, raţionament).

- exerciţii de comparare a unor rezultate obţinute prin metode variate( calcul, măsurare); - utilizarea aproximărilor pentru a verifica validitatea unor calcule; - exerciţii de verificare a unei rezultate obţinute prin măsurare sau estimare prin calcul sau folosind diferite metode matematice; - identificarea rezultatului plauzibil dintr-o listă de răspunsuri posibile;

Matematică – clasa a VIII-a

analiza datelor problemei pentru verificarea noncontradicţiei, suficienţei, redundanţei şi eliminarea informaţiilor neesenţiale; - exerciţii de sortare şi clasificare a unor informaţii pe baza unor criterii date; exerciţii de identificare a unor criterii de sortare a datelor;

29

2.7

2.8

Obiective de referinţă La sfârşitul clasei a VIII-a, elevul va fi capabil: să construiască probleme, pornind de la un model (grafic sau formulă);

Exemple de activităţi de învăţare Pe parcursul clasei a VIII-a, se recomandă următoarele activităţi: - formulări de probleme, pornind de la o schemă, grafic, formulă; - compararea unor probleme create pornind de la acelaşi element de sprijin; - generalizarea unor scheme, grafice, formule, situaţii matematice şi aprecierea validităţii şi utilităţii generalizărilor făcute;

să utilizeze instrumente - exerciţii de desenare folosind instrumente geometrice pentru a geometrice a unor configuraţii plane sau construi diferite spaţiale care satisfac ipoteze date; configuraţii geometrice - exerciţii de utilizare a instrumentelor geometrice adecvate pentru a reprezenta prin desen corpuri geometrice.

3. Dezvoltarea capacităţii de a comunica utilizând limbajul matematic Obiective de referinţă Exemple de activităţi de învăţare La sfârşitul clasei a VIII-a, elevul va fi capabil: să extragă informaţii cu caracter matematic, din diverse surse, şi să înţeleagă semnificaţia globală a acestora

Pe parcursul clasei a VIII-a, se recomandă următoarele activităţi:

3.2

să prezinte în mod coerent soluţia unei probleme, corelând diverse modalităţi de exprimare (cuvinte, simboluri matematice, diagrame, tabele, grafice, construcţii din diferite materiale)

- redactarea rezolvării unei probleme date; - argumentarea orală a demersului de rezolvare a unei probleme;

3.3

să discute în cadrul unui grup avantajele şi dezavantajele utilizării unei metode de rezolvare sau a unei

- discutarea în grup a metodei de rezolvare a unei probleme; - găsirea, în grup, a unor metode alternative de rezolvare; - elaborarea unor referate sau proiecte, care

3.1

Matematică – clasa a VIII-a

- corelarea informaţiilor dobândite în diverse moduri; - decodarea informaţiilor conţinute în reprezentarea plană a unui obiect spaţial;

30

modalităţi de prezentare a unui demers matematic

presupun utilizarea unor surse suplimentare de informaţie.

4. Dezvoltarea interesului şi a motivaţiei pentru studiul şi aplicarea matematicii în contexte variate

4.1

4.2

Obiective de referinţă

Exemple de activităţi de învăţare

La sfârşitul clasei a VIII-a, elevul va fi capabil: să identifice utilizări ale unor concepte şi metode matematice studiate, în diferite domenii

Pe parcursul clasei a VIII-a, se recomandă următoarele activităţi:

să manifeste perseverenţă şi gândire creativă în rezolvarea unei probleme

Matematică – clasa a VIII-a

- brainstorming: care dintre metodele matematice studiate sunt utilizate, de exemplu, în studiul ştiinţelor naturii; - activitate-proiect: concepte şi metode matematice necesare într-un anumit domeniu practic de activitate; - abordarea unor situaţii-problemă; - utilizarea unor metode variate în rezolvarea problemelor; - determinarea mai multor soluţii pentru o problemă dată.

31

CONŢINUTURI ALGEBRĂ Numere reale∋ N⊂Z⊂Q⊂R. Forme de scriere a unui număr real. Reprezentare pe axă. Aproximări. Valoarea absolută a unui număr real. Intervale. Operaţii cu numere reale de forma a b , b>0, (adunarea, scăderea, înmulţirea, ridicarea la putere, împărţirea). Raţionalizarea numitorului de forma a b , a ± b , a , b ∈ N. Calcul cu numere reale reprezentate prin litere: adunare, scădere, înmulţire, împărţire, ridicare la putere cu exponent întreg. Formule de calcul prescurtat: 1.

( a ± b )2 = a 2 ± 2ab + b 2 ; ( a + b )( a − b ) = a 2 − b 2 ;

( a + b + c )2 = a 2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac .

Descompuneri în factori. Rapoarte de numere reale reprezentate prin litere. Operaţii cu acestea (adunare, scădere, înmulţire, împărţire, ridicare la putere). 2. Funcţii Noţiunea de funcţie. Funcţii definite pe mulţimi finite, exprimate cu ajutorul unor diagrame, tabele, formule, reprezentare grafică. Funcţii de tipul f: R→R, f(x)=ax+b (a, b ∈R); reprezentarea geometrică a graficului. Funcţii de tipul f: A→R, f(x)=ax+b (a, b ∈R), unde A este un interval sau o mulţime finită; reprezentare grafică. 3. Ecuaţii şi inecuaţii Ecuaţii de forma ax+b=0, unde a şi b sunt numere reale. Ecuaţii de forma + b1 ynumere = c1 ax+by+c=0, unde a, b, ac1 xsunt reale. a2 x + b2y = c2 Sisteme de ecuaţii de forma: , unde a1 , b1 , c1 , a2, , b2 , , c2 sunt numere reale; rezolvare prin metoda substituţiei şi prin metoda reducerii; interpretare geometrică. Rezolvarea în R a ecuaţiei de forma ax2+bx+c=0, a, b, c ∈R, a≠0, prin descompunere în factori sau în sumă de pătrate. Formula de rezolvare. Inecuaţii de forma ax+b>0, (≥,<, ≤) unde a şi b sunt numere reale. Rezolvarea unor probleme cu ajutorul ecuaţiilor, inecuaţiilor şi al sistemelor de ecuaţii. GEOMETRIE Matematică – clasa a VIII-a

32

1. Relaţii între puncte, drepte şi plane Corpuri geometrice cunoscute: cub, paralelipiped dreptunghic (cuboid), piramidă, cilindru, con, sferă (descriere, reprezentare în plan, desfăşurare; prezentarea corpurilor rotunde drept corpuri de rotaţie). Puncte, drepte, plane: convenţii de desen şi notaţie. Determinarea dreptei; determinarea planului. Tetraedrul. Piramida. Poziţii relative a două drepte în spaţiu (exemplificare mai întâi pe corpurile studiate); axioma paralelelor; relaţia de paralelism în spaţiu. Unghiuri cu laturile respectiv paralele (fără demonstraţie); unghiul a două drepte în spaţiu; drepte perpendiculare. Poziţii relative ale unei drepte faţă de un plan.. Dreapta perpendiculară pe un plan; distanţa de la un punct la un plan; înălţimea piramidei. Poziţii relative a două plane. Plane paralele; distanţa dintre două plane paralele. Prisma; înălţimea prismei; prismă dreaptă. Secţiuni paralele cu baza în corpurile studiate; trunchiul de piramidă. 2. Proiecţii ortogonale pe un plan Proiecţii de puncte, drepte, segmente. Unghiul unei drepte cu un plan; lungimea proiecţiei unui segment. Teorema celor trei perpendiculare; calculul distanţei de la un punct la o dreaptă. Unghi diedru; unghi plan corespunzător diedrului; unghiul a două plane; plane perpendiculare. Calculul unor distanţe şi măsuri de unghiuri pe feţele sau în interiorul corpurilor studiate. 3. Calcul de arii şi volume Aria şi volumul unui corp geometric. Aria laterală, aria totală şi volumul prismei drepte cu baza triunghi echilateral, pătrat sau hexagon regulat. Aria laterală, aria totală şi volumul piramidei triunghiulare regulate, al piramidei patrulatere regulate şi al piramidei hexagonale regulate. Aria laterală, aria totală şi volumul trunchiului de piramidă triunghiulară regulată, al trunchiului de piramidă patrulateră regulată şi al trunchiului de piramidă hexagonală regulată. Cilindrul circular drept: descriere, desfăşurare, secţiuni paralele cu baza şi secţiuni axiale; aria laterală, aria totală şi volumul. Conul circular drept: descriere, desfăşurare, secţiuni paralele cu baza şi secţiuni axiale; aria laterală, aria totală şi volumul. Trunchiul de con circular drept: descriere, desfăşurare, secţiuni paralele cu baza şi Matematică – clasa a VIII-a

33

secţiuni axiale; aria laterală, aria totală şi volumul. Sfera: descriere, aria, volumul.

Matematică – clasa a VIII-a

34

STANDARDE CURRICULARE DE PERFORMANŢĂ OBIECTIVE CADRU

STANDARDE

1.

Cunoaşterea şi înţelegerea conceptelor, a terminologiei şi a procedurilor de calcul specifice matematicii

S.1. Scrierea, citirea, compararea şi reprezentarea pe axă a numerelor reale S.2. Efectuarea corectă a operaţiilor cu numere reale (eventual reprezentate prin litere) S.3. Utilizarea estimărilor şi a aproximărilor de numere şi măsuri (lungimi, unghiuri, arii şi volume) pentru a aprecia validitatea unor calcule S.4. Utilizarea unor elemente de logică şi de teoria mulţimilor pentru a stabili valoarea de adevăr a unor enunţuri Utilizarea relaţiilor, funcţiilor, şirurilor în rezolvarea problemelor şi pentru caracterizarea unor situaţii concrete S.5. Rezolvarea de ecuaţii şi inecuaţii şi efectuarea de calcule algebrice, utilizând algoritmi, formule şi metode specifice S.6. Utilizarea unor proprietăţi metrice ale figurilor şi corpurilor geometrice în probleme cu conţinut practic S.7. Stabilirea şi utilizarea proprietăţilor calitative ale figurilor şi corpurilor geometrice în probleme de demonstraţie şi de calcul S.8. Utilizarea localizării figurilor geometrice şi a unor elemente de transformări geometrice S.9. Înregistrarea, prelucrarea şi prezentarea datelor utilizând elemente de statistică şi probabilităţi

2.

Dezvoltarea capacităţilor de explorare/investigare şi rezolvare de probleme

S.10. Identificarea unei situaţii-problemă şi organizarea eficientă a modului de rezolvare a acesteia S.11. Utilizarea unor modalităţi de variate de scriere a numerelor reale pentru organizarea eficientă a unui calcul S.12. Utilizarea unor reprezentări şi metode variate pentru clarificarea şi justificarea unor enunţuri

Matematică – clasa a VIII-a

35

S.13. Identificarea şi colectarea dintr-un set de date a informaţiilor relevante pentru rezolvarea unor probleme sau pentru crearea de probleme; S.14. Utilizarea de instrumente geometrice pentru reprezentarea unor configuraţii geometrice în contexte variate 3.

Dezvoltarea capacităţii de a comunica utilizând limbajul matematic

Matematică – clasa a VIII-a

S.15. Înţelegerea semnificaţiei globale a informaţiilor cu caracter matematic extrase din diferite surse documentare S.16. Expunerea coerentă, orală sau scrisă, a propriilor demersuri de rezolvare a unei probleme corelând diverse modalităţi de exprimare (cuvinte, simboluri matematice, diagrame, tabele, grafice, construcţii din diverse materiale) S.17. Angajarea de discuţii în cadrul unui grup privind avantajele şi dezavantajele utilizării unei metode de rezolvare sau a unei modalităţi de prezentare a unui demers matematic

36