Mat2 Etf Sk.pdf

 Redovi   Brojni redovi  Definicija 1: Neka e dadena niza {a n } od realni broevi i neka formirame nova niza od parcijalni sumi {S n } na sledniot na~in: S 0 = 0 , и S n = a n + S n −1 . Simbolot

∞

∑a n =1

n

= a1 + a 2 + ... + a n + ... se vika broen red, a n se

~lenovi na redot. Definicija 2: Brojniot red

∑a

velime deka konvergira ako

n

nizata od parcijalni sumi {S n } e konvergentna so granica S . Pri toa za brojot S velime deka e suma na redot. Primer 1: ∞ 1 1 1 1 = + + ... + + ... ∑ 1⋅ 2 2 ⋅ 3 n ⋅ (n + 1) n =1 n ⋅ ( n + 1) 1 1 1  1 1 1 1   1 1  + ... + =  −  +  −  + ... +  −  = 1− 1⋅ 2 n ⋅ (n + 1)  1 2   2 3  n +1  n n +1 lim S n = 1 = S ⇒ redot konvergira i ima suma 1 Sn =

n →∞

Primer 2: ∞

∑q

n

 geometriski red

n =0

S n = 1 + q + q 2 + ... + q n −1 =

1− qn 1− q

 1 qn  1 1  = lim ako q < 1 lim S n = lim  − ⋅ 1− qn =  → ∞ n →∞ n →∞ 1 − q n 1− q  1− q 1− q 

(

)

Geometriski red konvergira so suma

Neka

1 za q < 1 1− q

Tvrdewe 1 (potreben uslov za konvergencija na brojni redovi): ∑ an e broen red. Ako redot konvergira, toga{ va`i: lim an = 0 n →∞

Dokaz Formirame niza od parcijalni sumi lim S n −1 = S ; lim S n = S .

n →∞

Sn :

S0 = 0 ,

S n = a n + S n −1 ;

n →∞

1

lim S n = lim ( a n + S n −1 ) = lim a n + lim S n −1 = lim a n + S

n →∞

n →∞

n →∞

n →∞

n →∞

⇒ S = lim a n + S ⇒ lim a n = 0 n →∞

n →∞

Zabele{kaZa konvergencija na brojni redovi se koristi i Ko{ieviot kriterium za Ko{ievi nizi a n + p − a n < ε , ∀n > n0 , ∀p ∈ N Имено редот

∑a

n

конвергира ако и само ако за секое ε > 0 постои nε така што S n + p − S n < ε , ∀n > nε , ∀p ∈ N ,

каде што S n е низата од парцијалните суми на редот.

•

Osobini 1° ∑ k ⋅ a n = k ⋅ ∑ a n , ako 2°

∑ (a

n

∑a

n

e konvergentna

+ bn ) = ∑ a n + ∑ bn , ako i

∑a

n

i

∑b

n

se konvergentni

Zabele{ka Kaj redovite so isfrlawe na kone~en broj na sobiroci, prirodata na redot ne se menuva. Ako pak, ~lenovite, po nekoe pravilo si gi promenat mestata vo redot, toga{ prirodata na redot mo`e, no ne mora da se promeni (grupirawe ne e dozvoleno).

 Redovi so nenegativni ~lenovi  Нека е даден редот

∑a

n

. Ако an ≥ 0 тогаш дадениот ред се вика red so

nenegativni ~lenovi.

Redot konvergira ako nizata od parcijalni sumi e ograni~ena od gore. Sekoja monotono raste~ka i ograni~ena od gore niza e konvergentna S n = a n + S n −1 ⇒ S n −1 < S n ⇒ S n e raste~ka 1° Metod na majorirawe Neka ∑ a n i ∑ bn se dva reda so nenegativni ~lenovi. Ako a n ≤ bn , ∀n ∈ N ,

toga{

konvergencija na divergencija na Dokaz Neka

∑b

n

∑b

∑a

n

od n

konvergencijata

∑b na ∑ a

na

, a od divergencija

sledi

n

n

sledi

.

konvergira ⇒ Bn = b1 + b2 + ... + bn e ograni~ena od gore

(bidej}i nizata parcijalni sumi za redot

∑b

n

e konvergentna) t.e. ∃B

taka {to Bn ≤ B, ∀n ∈ N . Za nizata parcijalni sumi za redot

∑a

n

, so op{t

~len An = a1 + a 2 + ... + a n , }e va`i An ≤ Bn (a k ≤ bk ) ⇒ ∀n ∈ N , An ≤ B ⇒ {A ograni~ena od gore ⇒

∑a

n

}e

konvergira.

2

∑a

Divergencija: противречност).

n

- divergira ⇒

∑b

n

-divergira (so метод на

2° Metod na koli~nici Neka ∑ a n i ∑ bn se dva reda. Ako ∃k, K taka {to ∀n ∈ N va`i

an ≤ K , toga{ redovite imaat ista priroda (истовремено bn konvergiraat ili divergiraat) односно k≤

Аko: lim само ако Ако lim 3°

an = q , q ≠ 0 i e kone~en broj, тогаш bn

∑b

n

∑a

n

е конвергентен ако и

е конвергентен.

an = 0 и редот bn

∑b

Dalamberov kriterium: Neka

n

е конвергентен, тогаш

∑a

n

∑a

n

е конвергентен

e red so nenegativni ~lenovi i neka

a n +1 = α . Ako α < 1 redot konvergira, a ako α >1 redot divergira. Za n →∞ a n

postoi lim

α=1 se potrebni drugi ispituvawa. 4° Ko{iev kriterium: Neka a n e red so nenegativni ~lenovi i neka postoi

∑

lim a n = α . Ako α < 1 redot konvergira, a ako α >1 redot divergira. Za α = 1 se n

n →∞

potrebni се drugi ispituvawa. 5° Рабеов критериум: Neka a n e red so nenegativni ~lenovi i neka postoi

∑

  a  lim n1 − n +1  = α . n →∞ a n    Ako α > 1 redot konvergira, a ako α < 1 redot divergira. 6° Кo{iev integralen kriterium: Нека f е позитивна, нерастечка, непрекината

функција, дефинирана на множеството

{f

: t ≥ 1} . Редот

n =1

само ако конвергира интегралот ∞

∫ 1

∞

∑ f (n) конвергира ако и

 n f (t )dt = lim  f (t )dt  .  n →∞  1

∫

3

 Naizmeni~ni(alternativni) redovi 

∑ a e red so proizvolni znaci. Ako ∑ a e konvergenten red, toga{ za ∑ a velime deka e apsolutno konvergenten red. Ako, pak, ∑ a e divergenten red i ∑ a e konvergenten, toga{ za ∑ a velime deka e uslovno (semi) konvergenten. Definicija 1: Neka

n

n

n

n

n

n

Definicija 2: Redot

∑a

n

velime deka e alternativen ako

a 2 n −1 ≥ 0, a 2 n ≤ 0 ili a 2 n −1 ≤ 0, a 2 n ≥ 0 . Primer: ∞

∑ (−1)

n

n =1

⋅

1 1 1 1 1 = −1 + − + − + ... 2 3 4 5 n

Teorema 1 (kriterium na Lajbnic): Neka Ako nizata

{a } n

∑a

n

e alternativen red.

monotono opa|a i ako lim a n = 0 , toga{ redot n →∞

∑a

n

e

konvergenten. Sumata S ima ist znak so a1 i va`i | S | < | a1 | . Primer: ∞ (−1) n ∑ n n =1

(−1) n lim = 0 ⇒ redot e n →∞ n ∞ 1 konvergenten no uslovno bidej}i redot ∑ e harmoniski i e n =1 n divergenten. 1    - monotono opa|a, n

• Osobini 1° Ako redot ∑ a n e apsolutno konvergenten, toga{ e i konvergenten. Dokaz Нека ∑ a n e apsolutno konvergenten. Spred Ko{ieviot kriterium: ∀ε > 0, ∃n0 (ε )

taka

{to

∀n > n0 , ∀p ∈ N

va`i

S n+ p − S n < ε

t.e.

a1 + a 2 + ... + a n + a n +1 + ... + a n + p − ( a1 + a 2 + ... + a n ) < ε ⇒ a n +1 + a n + 2 + ... + a n + p < ε

4

Od druga strana, nizata od parcijalni sumi za

∑a

n

}e bide

S n = a1 + a 2 + ... + a n i od neravenstvoto a n +1 + ... + a n + p ≤ a n +1 + ... + a n + p sledi dokazot: ∀n > n0 i ∀p ∈ N ⇒ a n +1 + ... + a n + p < ε Zabele{ka Kaj redovite dozvoleno bilo kakvo grupirawe.

koi

apsolutno

konvergiraat

e

2° (Riman) Ako redot ∑ a n e semikonvergenten, toga{ so izmena na redosledot na ~lenovite, mo`e sekoga{ da se dobie semikonvergenten red ~ij zbir (suma) e odnapred zadaden broj.

Mno`ewe na brojni redovi: Neka ∑ a n i ∑ bn se brojni redovi. Proizvodot mo`e da se definira na pove}e na~ini: Definicija 3: (Ko{iev proizvod): Neka Brojniot red

∞

∑c n =1

n

∑a

n

i

∑b

n

se dva reda.

velime deka e нивен Ko{iev prizvod ako: n

c n = a1 ⋅ bn + a 2 ⋅ bn −1 + ... + a n ⋅ b1 = ∑ a k ⋅ bn − k +1 . k =1

[ema:

c1 c2 c3 ck

1°

a1 ⋅ b1 a1 ⋅ b2 a1 ⋅ b3 . a1 ⋅ bk . Ako

a 2 ⋅ b1 a 2 ⋅ b2 a 2 ⋅ b3 . a 2 ⋅ bk .

∑a

n

i

a3 ⋅ b1 a3 ⋅ b2 a3 ⋅ b3 . a3 ⋅ bk .

∑b

n

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

se apsolutno konvergentni redovi, toga{ i

Ko{ieviot proizvod

∞

∑c n =1

C = A⋅ B

. a k ⋅ b1 . a k ⋅ b2 . . . . . a k ⋅ bk . .

. . . . . .

n

e apsolutno konvergenten. Va`i:

( A, B, C  sumi na redovite)

5

 Funkcionalni nizi  Brojni nizibrojni redovifunkcionalni nizifunkcionalni stepenski redovi redovi furieovi redovi (trigonometriski redovi) Definicija 1: Neka e dadena niza od funkcii f1 ( x), f 2 ( x),..., f n ( x)... so ista definiciona oblast. Нizaта од функции ја оznaчуваме со { f n (x)} и ја нарекуваме funkcionalna niza.

Funkcionalnite nizi imaat pove}e vidovi na konvergencija: • to~kasta konvergencija • ramnomerna (uniformna) konvergencija

•

Ako x0 e to~ka od definicionata oblast taka {to brojnata niza

{ f n ( x0 )} e

konvergentna so granica a 0 , toga{ velime deka funkcionalnata niza to~kasto kоnvergira kon a 0 za x = x0 . Mno`estvoto od site to~ki vo koi funkcionalnata niza konvergira to~kasto se vika oblast na konvergencija. Funkcijata definirana na toa mno`estvo (oblast na konvergencija) so vrednost ednakva na granicite na soodvetnite brojni nizi se vika grani~na funkcija na funkcionalnata niza.

f ( x0 ) = a 0 = lim f n ( x0 ) n →∞

………………………... f ( x k ) = a k = lim f n ( x k ) n →∞

t.k.

Oznaka f ( x ) = lim f n ( x ) . n →∞

•

Ako f (x) e grani~na funkcija za

{ f n (x)} ,

toga{ toa zna~i deka

∀ε > 0, ∃n0 (ε , x) , ( x - fiksno) taka {to ∀n > n0 va`i f n ( x) − f ( x) < ε .

Definicija 2: Ako f (x) e grani~na funkcija za { f n (x)} , x ∈ E (oblast na konvergencija) i ako ∀ε > 0, ∃n0 (ε ) taka {to ∀n > n0 va`i

f n ( x) − f ( x) < ε , ∀x ∈ E , toga{ velime deka funkcionalnata niza ramnomerno

(uniformno)

konvergira

kon

f (x)

na

E

{ f n (x)}

(bitno

-

r.k.

konvergencija na mno`estvo, a ne vo to~ka) и оznaчуваме: lim f n ( x ) = f ( x ). n →∞

Kaj to~kasta konvergencija n0 zavisi od x i e razli~no za sekoe x∈E .

6

Prимер: Нека е дадена функционалната низа со општ член f n ( x) =

x , на n

x 1 .  , f ( x) = 0 , ε = 10 ε 

множеството (0,1) ≡ E , n0 = 

1 ⇒ n0 = 30 3 1 x0 = ⇒ n0 = 80 8 ............................ Kaj ramnomerna konvergencija n0 e fiksno i edinstveno za sekoe x ∈ E (ne zavisi od x ∈ E ). x0 =

za

•

Osobini kaj ramnomerno konvergentni funkcionalni nizi 1° Ramnomerna konvergencija i neprekinatost r.k.

Ako f n (x) se neprekinati na E i lim f n ( x ) = f ( x ) na E , toga{ n →∞

f (x) e neprekinata na E . 2° Ramnomerna konvergencija i integrirawe r.k .

Ako f n (x) se neprekinati na [a, b] i lim f n ( x ) = f ( x ) za sekoe n →∞

x

x

a

a

x ∈ [a, b] , toga{ lim ∫ f n (t )dt = ∫ f (t )dt za sekoe x ∈ [a, b] . n →∞

3° Ramnomerna konvergencija i diferencirawe t.k.

Ako lim f n ( x ) = f ( x ) na [a, b] , ako f n' ( x) se neprekinati na (a, b) n →∞

r.k .

r.k.

i ako lim f n' ( x ) = ϕ ( x ) na [a, b] , toga{ lim f n ( x ) = f ( x ) na [a, b] i n →∞ '

n →∞

ϕ ( x) = f ( x) . Primer: sin nx 1 sin nx sin nx sin nx , −0 ≤ < <ε lim =0, f ( x) = 0 , n →∞ n n n n n 1 1 n0 =   ⇒ ramnomerno konvergira, bidej}i n0 =   i ne zavisi od x . ε  ε  f n ( x) =

x x , < ε ⇒ x < n ⋅ ε , f ( x) = 0 , n n x mo`e da se zeme dovolno golemo, a da ne va`i x < n ⋅ ε

Primer: f n ( x) =

x ne konvergira ramnomerno zna~i n0 zavisi i od x : n0 =   . ε 

7

Prvata osobina za neprekinatost ka`uva deka: lim f (t ) = f ( x) = lim f n ( x) t→x

n →∞

lim lim f n (t ) = lim lim f n (t ) t → x n →∞

n →∞ t → x

Primer:

lim n(1 − x) x n →∞

f n ( x) = n(1 − x) x n −1

Нека n −1

се

neprekinati

funkcii,

тогаш

= 0 = f ( x) , za x ∈ [0,1] , grani~nata funkcija f ( x) = 0 na

x ∈ [0,1] е neprekinata funkcija. Нizata { f n (x)} ne e ramnomerno konvergentna na [0,1] . Dokaz f n ( x) − f ( x) = f n ( x) − 0 , x ∈ [0,1] . Za ovie razliki zemame max za x ∈ [0,1] .

f n' ( x) = n(n − 1)(1 − x) x n − 2 − nx n −1 = 0 , I. n(n − 1)(1 − x) − nx = 0 ⇒ x1 = 0 , II. x 2 =

za x1 = 0 ⇒ f n ( x) = 0 , za x 2 =

n −1  n − 1  n − 1  ⇒ f n ( x ) = n 1 −   n n  n  

n −1

n −1 n

n −1

n −1

1  1  1 nemame ramnomerna lim1 −  = ≠ 0 ⇒ ⇒ max f n ( x) = 1 −  ; n → ∞ x∈[ 0 ,1] e  n  n konvergencija. lim M n = 0 , kade M n = max | f n ( x) − f ( x) | e eden od kriteriumite za n →∞

x∈E

ramnomerna konvergencija.

8

 Funkcionalni redovi  Definicija 1: Neka {U n (x)} e funkcionalna niza definirana na E . Дefinirame funkcionalna niza parcijalni sumi {S n (x)} so S1 (x ) = U 1 (x ) и S n (x ) = U n (x ) + S n −1 (x ), za n ≥ 2. . Izrazot

∞

∑U n =1

Redot

∞

∑U n =1

n

( x)

konvergira

n

( x) se vika funkcionalen red.

(to~kasto

ili

ramnomerno)

ako

konvergira (to~kasto ili ramnomerno) funkcionalnata niza од parcijalni sumi {S n (x)}. Grani~nata funkcija na funkcionalnata niza ∞

{S n (x)}se vika suma funkcija za funkcionalniot red ∑ U n ( x) . n =1

Teorema 1 (Vajer{trasov kriterium za ramnomerna konvergencija na funkcionalen red): Neka e daden funkcionalniot red ∑ U n (x) . Ako ∀x ∈ D

(D-

definiciona

oblast)

va`i

U n ( x) ≤ a n , ∀n ∈ N

i

ako

soodvetniot broen red ∑ a n e konvergenten, toga{ funkcionalniot red ramnomerno konvergira na D . Dokaz Нека ∑ a n e konvergenten ⇒ {S n } e konvergentna ⇒ S n e Ko{ieva

niza

za

koja

∀ε > 0, ∃n0 (ε ) taka

va`i

{to

S n+ p − S n < ε ,

∀n > n0 ( ε ),∀p ∈ N . Neka S n (x) e op{t ~len na funkcionalnata niza od

parcijalni sumi. Toga{ S n + p ( x) − S n ( x) = U n +1 ( x) + ... + U n + p ( x) ≤ U n +1 ( x) + ... + U n + p ( x) ≤ ≤ a n +1 + ... + a n + p < ε , ∀n > n0 , ∀p ∈ N

Bidej}i n0 ne zavisi od x ⇒ ovaa funkcionalna niza

{S n (x)}

e

ramnomerno konvergentna na D ⇒ ∑ U n (x) e ramnomerno konvergenten na D. Posledica 1 Neka

∞

∑U n =1

n

( x) e funkcionalen red definiran na

[a, b] . Ako U n (x) se neprekinati na [a, b] i ako redot ramnomerno konvergira na [a, b] so suma funkcija f (x) , toga{ f (x) e neprekinata na [ a, b] .

Posledica 2 Neka

∞

∑U n =1

n

( x) e funkcionalen red definiran na

[a, b] . Ako U n (x) se neprekinati na [a, b] i ako redot ramnomerno

konvergira na [a, b] so suma funkcija f (x) , toga{

∞ x

∑ ∫U 1

n

(t )dt ramnomerno

a

9

b

∫

konvergira na [a, b] i pri toa

a

b

∞ b

a

1

f ( x)dx = ∫ (∑ U n ( x) )dx = ∑ ∫ U n ( x)dx (t.e. so a

ramnomerna konvergencija redot mo`e da se integrira ~len po ~len). Posledica 3 Neka

∞

∑U n =1

n

( x) e funkcionalen red definiran na

[a, b] . Ako U n (x) se neprekinati na [a, b] , ako U n' ( x) se neprekinati na ∞

∑U n ( x) konvergira to~kasto na [a, b] kon f (x) , ako

(a, b) , ako

n =1

ramnomerno konvergira na [a, b] kon ϕ (x) , toga{

∞

∑U n =1

n

∞

∑U n =1

' n

( x)

( x) ramnomerno

f ' ( x) = ϕ ( x) (t.e. redot mo`e da se

konvergira na [a, b] kon f (x) i diferencira ~len po ~len).

Dve klasi funkcionalni redovi (koi naj~esto se koristat) • Сtepenski redovi (Tajlorov red) • Furieovi redovi (trigonometriski redovi) Prимер: Tajlorov red f ' ( x0 ) f ( n ) ( x0 ) f ( x) = f ( x0 ) + ( x − x0 ) + ... + ( x − x0 ) n + Rn ( x) = Pn ( x) + Rn ( x) . 1! n!

 Stepenski redovi  Definicija 1: Funkcionalniot red so ~lenovi stepenski funkcii se vika stepenski red. Op{t vid na stepenski red:

∞

∑a

n

⋅ ( x − x 0 ) n , a n е koeficient.

n =0

Naj~esto koristen vid: ∞

∑a n =0

n

⋅ x n = a 0 + a1 ⋅ x + a 2 ⋅ x 2 + ... + a n ⋅ x n + ... → ( x0 = 0)

Ako x = 0 ⇒ ∑ a n ⋅ x n to~kasto konvergira vo x = 0 Teorema 1 (Abel): Ako

∑a

n

x n konvergira to~kasto za x = x0 ≠ 0 ,

toga{ redot apsolutno konvergira za sekoe x za koe va`i x < x0 . Ako redot divergira za x = x0 , toga{ toj divergira za ∀x za koe x > x0 .

10

Definicija 2: Neka R > 0 e najgolemata po apsolutna vrednost od site to~ki (vrednosti) za koi redot ∑ a n x n to~kasto konvergira. Toga{ R se vika radius na konvergencija, a intervalot (− R, R ) se vika interval na konvergencija. Teorema 2 (Ko{i-Adamar): Neka

∑a

n

x n e stepenski red i neka

postoi grani~na vrednost α = lim sup n a n . Toga{ radius na konvergencija n →∞

na stepenskiot red e R = Spored

1

α

Ko{ieviot

. kriterium

1

R=

,

a

so

pomo{

na

lim n a n n →∞

an n →∞ a n +1

Dalamberoviot kriterium se dobiva formulata: R = lim

• Osobini 1° Ako R e radius na konvergencija na stepenskiot red ∑ a n x n , toga{ toj ramnomerno konvergira na segmentot [−r , r ], ∀r < R . Zbirot na redot e neprekinata funkcija na segmentot [−r , r ] . 2° Ako ∑ a n x n e divergenten za x = R , toga{ na [0, R ] ne mo`e da bide ramnomerno konvergenten. 3° Ako ∑ a n x n e konvergenten za x = R , toga{ na [0, R ] e ramnomerno konvergenten. 4° Sekoj stepenski red mo`e da se integrira i diferencira ~len po ~len, na [0, x], x < R . Pri toa dobienite stepenski redovi imaat ist radius na konvergencija. Primer: ∞

∑ (−1) n−1 ⋅ n =1

xn x2 x3 = x− + − ... n 2 3

1 an (−1) n −1 = lim n = 1 , lim R = 1, a n = n → ∞ n a n +1 n→∞ 1 n +1 n −1 ∞ (−1) 1 1 1 za x = 1 se dobiva: ∑ = 1 − + − + ... 2 3 4 n n =1 Spored Lajbnic ovoj red konvergira ⇒ na [0,1] imame ramnomerna konvergencija (spored 3°)

11

•

ln(1 + x) e neprekinata funkcija i vo x = 1 − 0 1 1 1 lim ln(1 + x) = 1 − + − + ... = ln 2 x →1− 0 2 3 4

Primer: ∞ 1  stepenski red (−1) n x 2 n . ∑ 2 1+ x n =0 2 ako q = − x  dobivame geometriski red ∞ 1 , a n = (−1) n q n = 1 + q + q 2 + ... + q n + ... = ∑ 1− q n =0 1 1 Ko{iev kriterium: R = = = 1 ⇒ (−1,1) -interval lim n a n 1

1 − x 2 + x 4 + ... + (−1) n ⋅ x 2 n + ... =

na

n →∞

konvergencija. Ako x = 1 i x = −1 se dobiva ist broen red 1-1+11+1.... koj divergira bidej}i lim a n ≠ 0 ∞ dx , za redot arctan x = x < 1 (−1) n x 2 n e mo`no da se ∑ ∫0 1 + x 2 n =0 integrira ~len po ~len. x3 x5 x 2 n +1 arctan x = x − + − ... + (−1) n ⋅ + ... 3 5 2n + 1 Primer: ∞ 1 R = 1, (−1,1)  interval na konvergencija = ∑ xn 1 − x n =0

x

•

se bara:

∞

∑n⋅ x

n −1

= ? (zbirot na ovoj red=?)

n =1 n −1

⇒ so diferencirawe ~len po ~len na prviot red se (x n )' = n ⋅ x dobiva vtoriot red, pa zbirot na ovoj red }e se dobie ako se diferencira zbirot na prviot red:

∞

∑n⋅ x n =1

'

n −1

1  1  =  = 2  1 − x  (1 − x )

12

 Tajlorovi redovi  Funkcijata ∞

∑x

n

1 e definirana za x ≠ 1 i e zbir na stepenskiot red 1− x

, koj za x < 1 konvergira.

n =0

1 e definirana na R , a soodvetniot red 1+ x2

Zbirnata funkcija ∞

∑ (−1)

x 2 n konvergira za x < 1 .

n

n =0

∑a

⋅ x n → S (x) Koi uslovi treba da gi zadovoluva odnapred dadena funkcija za da mo`eme da najdeme soodveten stepenski red ~ija zbirna funkcija e dadenata funkcija? Odgovorot go davaat Tajlorovite redovi. Dadeno f (x) se bara ∑ a n ⋅ x n = f (x) n

Neka

e

daden

stepenski

red

∞

∑a

n

( x − x0 ) n

so

radius

na

0

konvergencija

R

i interval na konvergencija

( x0 − R, x0 + R) . Neka

∞

f ( x) = ∑ a n ( x − x0 ) n e zbirnata funkcija na ( x0 − R, x0 + R) . Neka formalno 0

postojat site izvodi na f (x) i neka go diferencirame redot ~len po ~len (redot ramnomerno konvergira na ( x0 − r , x0 + r ), 0 < r < R ). f ' ( x) = a1 + 2a 2 ( x − x0 ) + ... ; f ' ( x0 ) = a1 ; f " ( x) = 2a 2 + ... ; f " ( x0 ) = 2a 2 ;..... ⇒ an =

f

(n)

( x0 ) n!

f ' ( x0 ) f '' ( x 0 ) f ( n ) ( x0 ) ( x − x0 ) + ( x − x0 ) 2 + ... + ( x − x0 ) n + ... 1! 2! n! Teorema 1: Za edna funkcija da ima Tajlorov red (da mo`e da se razvie vo stepenski red) treba da ima izvodi od koj bilo red vo intervalot na konvergencija na redot (analiti~ki funkcii). ⇒ f ( x) = f ( x0 ) +

x2 x3 • ln(1 + x) = x − + − ... 2 3 f ( x) = ln(1 + x) - ima izvodi od koj bilo red, no za x ∈ (−1,1) D.O. 1 + x > 0 t.e. x > −1 , R = 1 . •

f ( x) = e x - dadeno

13

x x2 x3 xn e = 1+ + + + ... + + ... 1! 2! 3! n! f (0) = 1; f ' (0) = 1 = ... = f ( n ) (0) = ... = 1 x

an 1 a n = , R = lim = lim n →∞ a n →∞ n! n +1

1 n! = lim(n + 1) = ∞ n →∞ 1 (n + 1)!

 Trigonometriski redovi   Furieovi redovi  a0 ∞ + ∑ (a n cos nx + bn sin nx ) , e zadaden 2 n =1 trigonometriski red, kade a n , bn se koeficienti na toj red, a sumata S ( x ) na ovoj red, ako postoi, e periodi~na funkcija, i toa so period 2π .

Definicija: So formulata

Problem: Neka f ( x ) e dadena funkcija. Koi uslovi treba da gi zadovoluva za da bide suma na nekoj trigonometriski red? Re{enie: ]e pretpostavime deka f e apsolutno integrabilna na

[− π , π ]

π

, t.e.

∫π f ( x)

2

dx < ∞ (odnosno postoi ovoj integral). Sega sleduva

−

formalno da se najdat a 0 , a n i bn . Formalno mo`e da se zapi{e: ∞ a f ( x) = 0 + ∑ (a n cos nx + bn sin nx) , и нека претпоставиме дека ovoj red 2 n =1 ramnomerno konvergira na [− π , π ] , pa mo`e da se integrira ~len po ~len: π

∫

f ( x)dx =

−π

π π ∞   a0 π dx a nxdx b cos + +  n∫ ∑ n ∫ sin nxdx  ∫ 2 −π n =1  −π −π 

π nπ  nx = t  dt 2 nπ dt   nx dx nxdx cos 2 cos 2 cos t = sin t 0 = 0 = = = ∫−π ∫0 ∫ n n dx = n  0

[

π

]

π

∫π sin nxdx = 0 ⇐

zatoa {to sin x e neparna funkcija

−

π

∫π

−

f ( x)dx =

a0 1 2π ⇒ a 0 = 2 π

π

∫π f ( x)dx .

−

14

Dokolku se napravi istoto ako prvin f (x) i redot se pomno`at so sin kx , odnosno cos kx , a potoa se integrira, se dobiva: an =

1

π

π

∫

f ( x) cos nxdx, bn =

−π

Pri ova, se koristat ravenstvata: π

∫ sin nx cos kxdx = 0 ,

1

π

π

∫ f ( x) sin nxdx

−π

π

π

−π

−π

∫ cos nx cos kxdx = 0 ; π

π

2 ∫ cos nxdx = π ;

za k ≠ n ; i

−π

∫ sin nx sin kxdx = 0 ;

∫π sin

−π

2

nxdx = π .

−

Vaka presmetanite koeficienti se vikaat Furieovi koeficienti, a soodvetniot red - Furieov red (ako postoi) za funkcijata f (x) . Se postavuva pra{aweto koga taka dobieniot Furieoviot red to~kasto }e konvergira kon f ( x ) na [− π , π ] . Odgovorot go davaat Dirihleovite uslovi. Teorema 1 (Dirihleovi uslovi): Neka f (x) e dadena funkcija koja e po delovi neprekinata (ima prekini vo kone~en broj to~ki), zaedno so svojot izvod, na (−π , π ) . Toga{ postoi nejzin Furieov red koj konvergira (to~kasto) na [− π , π ] i zbirnata funkcija S ( x ) e ednakva na: • samata funkcija f (x) , vo site to~ki vo (−π , π ) , vo koi f (x) e neprekinata f ( x0 + 0) + f ( x0 − 0) • , vo to~kite na prekin x0 ∈ (−π , π ) 2 f (−π + 0) + f (π − 0) • vo krajnite to~ki na segmentot [− π , π ] , t.e. 2 f (−π + 0) + f (π − 0) S (−π ) = S (π ) = 2 (vrednostite vo krajnite to~ki od osnovniot period na periodi~na funkcija se ednakvi.) Primer: f ( x) = x , na (−π , π ) . Da se najde soodvetniot Furieov red.

S ( x ) e periodi~na funkcija koja e definirana na Ρ. S ( x ) = f (x) , soglasno Dirihleovite uslovi, na (−π , π ) a0 = an =

1

π 1

π

π

∫π xdx

−

π

∫π x cos nxdx = 0;

−

⇒ S ( x) = 2(

bn =

1

π

π

∫π x sin nxdx = (−1)

−

n −1

2 ; cos nπ = (−1) n n

sin x sin 2 x sin 3 x − + − ...) 1 2 3 15

f ( x) = S ( x) , za (−π , π ) bidej}i f ( x) = x nema to~ki na prekin na (−π , π ) , no f (−π + 0) + f (π − 0) − π + π S (−π ) = S (π ) = = = 0 , {to zna~i deka S ( x ) ima 2 2 to~ki na prekin, {to se gleda ako se prika`e grafikot na ovaa funkcija. (iako soodvetniot red ima ~lenovi neprekinati funkcii

y

2 ?3

π -3π

0

-π

x

2π

-2π

π

3π

-π Grafik na S (x)

Od

to~kastata konvergencija konstatirame π π  π  x = ⇒ S   = f   , a so zamena vo redot se dobiva: 2 2 2 1 1 1 π 1 1 1 π  π π  ⇒ 1 − + − + ... = 2(1 − + − + ...) = S   = f   = 3 5 7 4 3 5 7 2 2 2

deka

za

Primer: Da se najde Furieov red za funkcijata f ( x) = x , za (−π , π ). S ( x ) (zbirnata funkcija na Furieviot red) e definirana na f (−π + 0) + f (π − 0) . (−∞, ∞) i e periodi~na (S ( x + 2π ) = S ( x) ) i S (−π ) = S (π ) = 2 π 1 a 0 = ∫ f ( x)dx = π

Uslovi:

π

−π

π

[

]

2 (−1) n − 1 , za parno n, (n = 2k ) ⇒ a n = 0 a n = ∫ f ( x) cos nxdx = π −π n 2π 1

bn =

1

π

π

∫ f ( x) sin nxdx = 0 , zatoa {to sin nx e neparna funkcija

−π

16

π

cos(2n − 1) x 2 (2n − 1) 2 n =1 bidej}i f (x) e neprekinata na (−π , π ) , za x ∈ (−π , π ) S ( x ) = f (x) f (−π + 0) + f (π − 0) π + π S (−π ) = S (π ) = = = π = f (π ) = f (−π ) . Vo op{t slu~aj, 2 2 kako {to vpro~em i uvidovme od prethodniot primer, vrednostite na po~etnata funkcija f (x) ne mora da bidat ednakvi vo krajnite to~ki od intervalot (−π , π ). ⇒ S ( x) =

−

4

∞

∑ π

y

2 ?3

π -3π

x

-π π

0

-2π

2π

3π

-π

f ( x) ≡ S ( x) Vo ovoj slu~aj S ( x ) e i neprekinata funkcija. 1 π 4 ∞ Za x = 0 se dobiva brojniot red: S (0) = − ∑ , 2 π n =1 (2n − 1) 2 1 π2 . = ∑ 2 8 n =1 ( 2n − 1) Od ovde mo`e da se uvidi deka preku Furieovite redovi mo`e da se najdat sumite na nekoi brojni redovi. • Osobini a od druga strana pak, S (0) = f (0) = 0 , od {to sledi deka

∞

1° Ako f (x) e parna funkcija, toga{ bn = 0 a0 =

2

π

π

∫

an =

f ( x)dx

0

2

π

π

∫ f ( x) cos nxdx 0

2° Ako f (x) e neparna funkcija, toga{ a n = a 0 = 0 bn =

2

π

π

∫ f ( x) sin nxdx 0

3° Ako pri re{avawe na integralite, se dobie izraz kaj kogo vo imenitelot se pojavuva izrazot n − 1, n − 2 i sli~no, toga{ posebno se presmetuvaat a1 , b1 , a 2 , b2 , za n = 1 odnosno za n = 2 i.t.n..

17

4° Ako f (x) e zadadena kako inicijalna funkcija samo na intervalot (0, π ) , toga{ mo`e da se dobijat dva razli~ni Furieovi redovi, edniot po sinusi, a drugiot po kosinusi, vo zavisnost od neparnoto ili parnoto prodol`uvawe na f (x) na intervalot (−π ,0) . Primer: Da se najde Furieoviot red po kosinusi, ako e zadadena f ( x) = sin x , za x ∈ (0, π ) . Bidej}i }e presmetuvame po kosinusi, funkcijata parno }e ja preslikame , t.e. }e zememe deka ϕ ( x) = sin x , za x ∈ (−π , π ) . 2 ?3

y 1 x -3π/2

-π

0

-π/2

π/2

π

[

]

3π/2

-1

ϕ (x) a0 =

2

π

π

∫ sin xdx = 0

a 2 k −1 = 0 , a 2 k =

4

π

, an =

2

π

sin x cos nxdx = π∫ (n 0

2

2 (−1) n −1 − 1 → samo za n > 1 , − 1)π

−4 ; bn = 0 , spored osobina 1°. (2k − 1)(2k + 1)π

Spored 3°, za n = 1 , posebno se presmetuva a1 : ⇒ S ( x) =

2

π

−

4

∞

1

∑ (2n − 1)(2n + 1) cos 2nx , π

a1 =

2

π

π

∫ sin x cos xdx = 0 , 0

S (−π ) = S (π ) = 0 .

n =1

∞

1 1 1 + + ... = . 1⋅ 3 3 ⋅ 5 2 π n =1 Ako pak se bara furieov red po sinusi toga{ ϕ ( x) = sin x , za x ∈ (−π , π ) -(neparna funkcija) . Toga{ S (x ) = sin x , t.e. furieoviot red ima samo eden ~len.

Za x = 0, S (0) = ϕ (0) = 0 ⇒ 0 =

2

−

4

1

∑ (2n − 1)(2n + 1) π

⇒

Zabele{ka Mo`e da se zaklu~i deka ako e dadena periodi~na funkcija, toga{ soodvetniot Furieorov red e istata taa funkcija.

18

Primer: f ( x) = sin 2 x cos 2 x , x ∈ (−π , π ) sin 2 x sin 2 x 1 − cos 4 x 2 2 sin x cos x = ⇒ sin x cos x = = → ova e Furieoviot 2 4 8 1 1 red, i toj ne mora da se presmetuva po integrali t.{. S ( x) = − cos 4 x . 8 8 Zabele{ka Dokolku po~etnata funkcija f (x) e dadena na intervalot (−l , l ) i gi zadovoluva Dirihleovite uslovi na (−l , l ) , toga{ Furieovite koeficienti se presmetuvaat po formulite: l l l 1 1 nπx 1 nπx a 0 = ∫ f ( x)dx, a n = ∫ f ( x) cos dx, bn = ∫ f ( x) sin dx l −l l −l l l −l l i zbirnata funkcija e periodi~na so period 2l .

 Sredna kvadratna aproksimacija (Metod na najmali kvadrati)  Neka Pn ( x) =

α0 2

n

+ ∑ (α k cos kx + β k sin kx) e trigonometriski polinom. k =1

π

Se baraat α k i β k odnosno Pn (x) taka {to:

∫π[ f ( x) − P ( x)] dx , 2

n

da ima

−

najmala mo`na vrednost (optimum vo odnos na nepoznatite α k i β k , kade f (x) e dadena funkcija na [− π , π ]. Vo ova se sostoi su{tinata na metodot na najmali kvadrati. Teorema 1: Me|u site trigonometriski polinomi so stepen n , najmalo sredno kvadratno otstapuvawe od f (x) ima onoj polinom ~ii koeficienti se vsu{nost Furieovite koeficienti α k = a k i β k = bk . Sredno kvadratna aproksimacija na f (x) so Pn (x) na [− π , π ]. •

Osobini na Furieovite koeficienti:

1° lim an = 0 , 2° lim bn = 0 , n →∞

n →∞

π

n a 02 3° ( ) (a k2 + bk2 ) - Beselovo neravenstvo f x dx ≥ + ∑ ∫ 2 k =1 π −π

1

2

π

a0 ∞ 2 + ∑ (a n + bn2 ) - ravenstvo na Perseval ∫ 2 n =1 π −π Ako ovaa ravenstvo e to~no toga{ velime deka furieoviot red 1

f 2 ( x)dx =

19

konvergira na [− π , π ] vo smisol na sredna kvadratna aproksimacija ( f (x) e samo integrabilna funkcija). Teorema 2: Ako f (x) e neprekinata funkcija so ograni~en i integrabilen izvod f ' ( x) na (−π , π ) i f (−π + 0) = f (π − 0) , toga{ soodvetniot Furieov red ramnomerno konvergira kon f (x) na [− π , π ]. Ojlerovi formuli: e inx + e − inx cos nx = ; 2

sin nx

Primer: Furieov red e i od vid

e inx − e − inx ; 2i

∞

∑C e

n = −∞

Cn =

1 2π

π

∫π f ( x)e

−inx

inx

n

e ix = cos x + i sin x e −ix = cos x − i sin x

, daden vo kompleksen vid, kade

dx, n ∈ Z .

−

Primer: Vo elektrotehnikata: i

nπx l

→ pretstavuva vi{i harmonici nπ αn = → pretstavuva branovi broevi za f (x) l {α n } → se narekuva spektar na f (x) , Cn → kompleksna amplituda. e

Primer:

Ako:

An = a n + bn , tgϕ n = 2

2

an , bn

тогаш

Furieoviot

red

e:

a0 ∞ + ∑ An sin( nx + ϕ n ) - kaj prosti harmoniski oscilacii (vibracii); 2 n=1 An - amplituda; n - frekfencija; ϕn - faza

20