Mat100_for_probl.pdf

LOGICA MATEMATICA TABLAS DE VERDAD NEGACIÓN (~) Se relaciona con la palabra “no (~p) Se lee “no p” Su tabla de verdad es:

DISYUNCIÓN O UNIÓN () Se relaciona con la Unión ( p  q) Se lee p o q Su tabla de verdad es:

p ~p V F F V

CONJUNCION O INTERSECCIÓN (  ) Se relaciona con la intersección ( p  q) Se lee p y q Su tabla de verdad es:

p

q

pq

p

q

p q

p

q

p q

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

F

V

V

F

F

V

F

F

F F

V F

V F

F F

V F

F F

F F

V F

V V

DOBLE CONDICIONAL () Se relaciona con la implicación doble ( p  q)

DISYUNCIÓN EXCLUSIVA

Se lee. p si y solo si q Su tabla de verdad es

(p  q). Su tabla de verdad es

( ) Se relaciona con la o exclusiva

p

q

p q

p

q

V

V

V

V

V

F

V

F

F

V

F

V

F F

V F

F V

F F

V F

V F

CIRCUITOS LOGICOS

Ley de dominación

Ley del neutro

Ley del inverso



2. EN PARALELO

 pq

pvq

V F F V p  p

p F  F p V  V p V  p pF  p p p

p F p V

Ley del idempotencia

pp p pp  p

Ley de conmutatividad

p q  q  p pq q  p

Ley de asociatividad

pq

1. EN SERIE

LEYES LOGICAS Ley de complemento

CONDICIONAL (  ). Se lee “Si entonces ( p  q) su tabla de verdad es:

p  q  r    p  q   r p  q  r    p  q   r

Ley de distributividad

Ley de la absorción

Ley de Morgan

p  q  r    p  q    p  r  p  q  r    p  q    p  r  p  p  q  p p  p  q  p

p  q  p  q 

p

q

p

q

Ley de implicación

p q  pq

Ley de la contra reciproca

p q  q  p p  q   p  q   q  p 

Ley de la bicondicional

Ley de la distribución excluyente

p  q  p  q   p q 

p q   p 

 pq 

q   q 

p q   p  q   p q 

q

p

p

p q

p  q

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ANAZA

E. CANAZA-MAT-100

Matemática Superior – ALGEBRA I

MATEMATICA SUPERIOR -

Walter Edwin Canaza Trujillo

CONJUNTOS TABLAS DE VERDAD UNION (  )

INTERSECCIÓN (  )

B

intersección B A B

A  B Se lee A

A  B Se lee A unión A

B

DIFERENCIA SIMETRICA () A  B Se lee A diferencia simétrica B

A

A

COMPLEMENTO (c)

A  B, AC

se lee A complemento B

B

DIFERENCIA (-) A-B Se lee A diferencia B

DIFERENCIA (-) B-A Se lee B diferencia A

B

A

B

EJEMPLO: hallar la relación que define la siguiente figura A B

C

B

A AC

Resp.

 B  C    A  B   C 

LEYES DE CONJUNTOS

U Ley de complemento

Ley de dominación

Ley del neutro

C

 0

C

U

0

A 

C C

Ley de distributividad

A

AO  O A U  U AO A A U  A

Ley de la absorción

Ley del idempotencia

A  AC  U

A  B  C    A  B    A  C 

A  A  B   A A  A  B   A

A  B  C A  B  C

Ley de Morgan

A  AC  O Ley del inverso

A  B  C    A  B    A  B 

Ley de la diferencia

 AC  B C  AC  B C

A  B  A  BC

AA  A AA  A

Ley de Diferencia simétrica

A B  B A Ley de conmutatividad

Ley de asociatividad

A B  B A A  B  C    A  B   C A  B  C    A  B   C

AB   A  B    A  B 

A A  O

 AB   C   A  C   B  C 

A O  A

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ANAZA

E. CANAZA-MAT-100

Matemática Superior – ALGEBRA I

MATEMATICA SUPERIOR -

Walter Edwin Canaza Trujillo

RELACIONES Para una relación R de A en B es cualquier subconjunto del producto cartesiano AxB, por tanto

AenB  R  AxB

CLASIFICACION DE RELACIONES RELACION INVERSA Para una relación R de A en B la inversa será R-1 de B en A definida por

y, x   R 1   x, y   R

x  A  xRx

Ejemplo:si

R  5,1 ,  2,4 , 1,2

RELACION ANTISIMETRICA R será un conjunto A, esta será simétrica si un par (x,y) pertenece a R y (y,x) pertenece a R entonces x=y

x y

RELACION SIMETRICA R será un conjunto A, esta será simétrica si un par (x,y) pertenece a R y (y,x) pertenece a R

RELACION TRANSITIVA R será un conjunto A, esta será transitiva si un par (x,y) pertenece a R y (y,z) pertenece a R por tanto (x,z) pertenecen a R

Ejemplo:si

x y  A

R  1,1 ,  2,2 ,  3,3 

 xRy  yRx

x y z  A  xRy  yRz  xRz

Ejemplo:si

Ejemplo:si

RELACION NOREFLEXIVA existe uno por lo menos RELACION ARREFLEXIVA no existe ninguna

R  1,2 ,  2,1

R  1,2 ,  2,3  , 1,3 

A  1,2,3

R 1  1,5 ,  4,2 ,  2,1

x y  A  xRy  yRx

RELACION REFLEXIVA R será un conjunto A, esta será reflexiva si cada elemento x de A se relaciona consigo mismo

RELACIÓN DE EQUIVALENCIA Serán las que son: *reflexiva *simétrica *transitiva

A  1,2,3

A  1,2

RELACION RELACION NO SIMETRICA NO TRANSITIVA existe uno por lo menos existe uno por lo menos RELACION RELACION ASIMETRICA ATRANSITIVA no existe ninguna no existe ninguna GRÁFICA DE RELACIONES Y FUNCIONES 1. Dominio 2. Rango 3. Intersecciones 4. Simetría 5. Asíntotas 6. *Tabulación (si es necesario) 7. Graficar

FUNCIONES Es una relación R de A en B es cualquier subconjunto del producto cartesiano AxB, por tanto

AenB  R  AxB que cumpla  x, y   f   x,z   f  y  z

CLASIFICACION DE FUNCIONES FUNCION INYECTIVA Si un elemento de f tiene una única imagen

y  f x 

f  x1   f  x 2   x1  x 2

FUNCION SURYECTIVA (SOBREYECTIVA) Si al menos dos elementos de f generan una única imagen

FUNCION BIYECTIVA Se generara si y solo si este sea inyectiva y sobreyectiva

FUNCIÓN INVERSA Se genera si y solo si sea biyectiva y f(x) f

FUNCIONES ESPECIALES VALOR ABSOLUTO Definición  x x   x

si

x 0

si

x 0

y

PARTE ENTERA Definicion

 1  y  Sgn( x )   0  1 

y

si

1

FUNCIÓN IMPAR

f ( x)   f ( x)

x  x

x 0

si x  0 si x  0

y

1 2 3 4 -2 -3

1

Definición

3 2 1

x

f ( x)  f ( x)

SIGNO

x  n  n  x  n 1

-4 -3 -2 -1

FUNCIÓN PAR

45°

x

-1

x

FUNCIÓN PERIÓDICA

f (T  x)  f ( x)

1.De f(x) despejar x 2.Cambiar y por x y x por y 3.Sera f-1(x) DOMINIO DE OPERACIÓN DE FUNCIONES

D f  g  D f  Dg D f  g  D f  Dg D f / g  D f  Dg Df

g

  x / x  Dg  g ( x)  D f 

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ANAZA

E. CANAZA-MAT-100

Matemática Superior – ALGEBRA I

MATEMATICA SUPERIOR -

Walter Edwin Canaza Trujillo

Walter Edwin Canaza Trujillo

Matemática Superior – ALGEBRA I

WALTER EDWIN CANAZA TRUJILLO 

LOGICA:

1. Siendo el valor de verdad de la proposición p es verdadera y el valor de verdad de la proposición q es falsa. Hallar el valor de verdad de la proposición compuesta:

{~𝑞 ∨ (~𝑞 ∧ ~𝑝)} → (~𝑝 ∧ 𝑞).

Resp. El valor de verdad es falso. 2. Simplificar: {~(𝑞 ∧ ~𝑝) → (~𝑞 ∧ ~𝑝)} ∨ (~𝑞 ∧ 𝑝) Resp: (~𝑝 ∨ ~𝑞)

E. CANAZA

PRACTICA 1ER PARCIAL- ALGEBRA I (MAT-100)

Resp: V 4. Simplificar: {(𝑝 → ~𝑟) → 𝑝} ∧ {~𝑝 → ~(𝑝 ∨ ~𝑞)} Resp: p 5. Dado el circuito lógico, expresar la proposición lógica a la que corresponde y luego simplificar:

~p

r ~p

p q

q ~p

~q

r

~r

Resp: ¿ 

CONJUNTOS:

6.

Usando leyes o propiedades de conjuntos, demostrar la equivalencia de la siguiente ley: [𝐴 − (𝐵 ∪ 𝐶 )] ∪ (𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∩ 𝐶 ) = 𝐴

7.

Usando leyes o propiedades de conjuntos, demostrar la equivalencia de la siguiente ley: {(𝐴 ∪ 𝐵) ∩ [(𝐵 − 𝐴) ∪ (𝐴 ∩ 𝐵)]} ∩ [𝐴 ∪ (𝐴 ∪ 𝐵)𝐶 ] = 𝐴 ∩ 𝐵

8.

Usando leyes o propiedades de conjuntos, simplificar: {[(𝐴𝐶 − 𝐵) ∪ (𝐵𝐶 − 𝐴𝐶 )]𝐶 ∪ [𝐴∆(𝐴𝐶 ∪ 𝐵)𝐶 ]}∆(𝐵 − 𝐴)𝐶

Resp: (𝐴 ∩ 𝐵)𝐶

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ANAZA

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MATEMATICA SUPERIOR -

3. Simplificar: {(𝑞 → 𝑝) ∧ ~𝑝} → ~𝑞

Walter Edwin Canaza Trujillo 9.

Matemática Superior – ALGEBRA I

En cierta competencia , todos los alumnos gustan de Aritmética, algunos de Física y otros

Si 350 gustan Aritmética y Física , y 470 de Química o Aritmética, cuantos no gustan de Física? Resp: 120 10.

Para estudiar la calidad de un producto se consideran tres tipos de defectos A,B y C como

los mas importantes. 120 productos con los siguientes resultados: 49 productos tienen el defecto A, 48 productos tienen el defecto B,49 productos tienen el defecto C, 61 productos tienen los tres tipos de defectos, y el resto de los productos no presentan ningún tipo de defectos. Determinar:

E. CANAZA

de Química.

b) Cuantos no tienen defecos? Resp: 32,20 

ALGEBRA DE BOOLE:

11.

Para la función booleana simplificar:𝑓 (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑢) = 𝑥𝑦𝑢 + 𝑥̅ 𝑦𝑢̅ + 𝑦𝑧𝑢 + 𝑥𝑧 + 𝑦𝑧̅

Resp: xz+y 12.

Considerando la función booleana de tres variables: 𝑓 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥(𝑦̅ + 𝑧) obtener:

a) La f.n.d y f como ∑ 𝑚 b) La f.n.d y f como ∏ 𝑚 Resp: ∑ 𝑚(4,5,7), ∏ 𝑚(0,1,2,3,6) 13.

Para las redes lógicas, exprese la salida f en términos de las variables de entrada. Luego

utilice la expresión de la salida para simplificar la red dada.

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ANAZA

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MATEMATICA SUPERIOR -

a) Cuantos productos tienen dos tipos de defectos?

Walter Edwin Canaza Trujillo

Matemática Superior – ALGEBRA I

x

E. CANAZA

y

f z

Resp: 𝑦𝑥𝑧 ̅̅̅ 14.

Para el ejercicio construya un mapa de Karnaugh para la función cuya tabla de valores se

x

y

z

u

f(x,y,z,u)

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

1

0

1

0

0

1

1

0

0

1

0

0

0

0

1

0

1

0

0

1

1

0

1

0

1

1

1

0

1

0

0

0

0

1

0

0

1

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1

0

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1

0

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1

1

0

0

0

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ANAZA

MATEMATICA SUPERIOR -

dan a continuación. Luego exprese f como una suma minimal de productos.

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0

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0

1

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0

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1

1

1

1

Para el ejercicio use un mapa de Karnaugh para encontrar una representación como suma

minimal de productos. 𝑓 (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑢) = ∑ 𝑚 (0,1,2,3,6,7,14,15) Resp: 𝑥̅ 𝑦̅ + 𝑦𝑧 

RELACIONES Y FUNCIONES:

16.

En ℕ se define la siguiente relación, mediante: 𝑥𝑅𝑦 ⇔ 𝑦 = 2𝑛 para algún 𝑛 𝜖 ℤ

a)

Verifique que la relación es de equivalencia

b)

Determine las clases de equivalencia

17.

Sea el conjunto 𝐴 = {2,3,6,12,15}. En A se define las siguientes relaciones 𝑥𝑅𝑦 ⇔ 2|𝑥 −

𝑥

𝑦; 𝑥𝑆𝑦 ⇔ 3|𝑥 − 𝑦 a)

Probar que la relación R,S y R∩S son de equivalencia

b)

Obtener la partición correspondiente a R,S y R∩S

18.

Si la función: 𝑓 (𝑥 ) = 𝑥+1 calcular: 𝑓(𝑓 ⏟ (𝑓(… … 𝑓 (𝑥 )))

19.

Realizar un análisis completo y graficar:

20.

9 − 4𝑥 2 1 − 25𝑥 2 Hallar la gráfica de la función y su inversa de:

𝑥

2017 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠

𝑦2 =

𝑥>1 3 + √𝑥 + 3 𝑓 (𝑥 ) = { 𝑥 2 + 4𝑥 ; −2 < 𝑥 ≤ 1 𝑥 ≥ −2 −𝑥 2

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ANAZA

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E. CANAZA

15.

Matemática Superior – ALGEBRA I

MATEMATICA SUPERIOR -

Walter Edwin Canaza Trujillo