Mat Z Derivacije

ˇ RIJESENI ZADACI IZ MATEMATIKE

Ovi zadaci namijenjeni su studentima prve godine za pripremu ispitnog gradiva za kolokvije i ispite iz matematike. Pripremljeni su u suradnji i po uputama predmetnog nastavnika dr. Josipa Matejaˇs. Zadatke je izabrala, pripremila i rijeˇsila Ksenija Pukˇsec (demonstratorica iz matematike na EF). Materijale je pregledala i recenzirala Martina Naki´c (demonstratorica iz matematike na EF). Tehniˇcku realizaciju materijala u programskom paketu LATEX napravio je Kreˇsimir Bokuli´c (demonstrator iz raˇcunarstva na PMF-MO).

1

DERIVACIJE

1. Ovisnost cijene
p o vremenu t dana je sljede´com funkcijom 0.06t p(t) = 2.45 · 21 + 2.86. Ispitajte dugoroˇcno ponaˇsanje cijene. (Uputa: treba raˇcunati limes funkcije kada t ide u beskonaˇcnost.) Rjeˇsenje: Napomena:    0, a < 1 lim ax = 1, a = 1 x→∞   ∞, a > 1   0.06·∞  1 1 0.06t + 2.86 = + 2.86 = lim 2.45 · ( ) t→+∞ 2 2  ∞ 1 = 2.45 · + 2.86 = 2.45 · 0 + 2, 86 = 2.86 2

2. Ovisnost inflacije i o vremenu t dana je sljede´com funkcijom i(t) = 2.4e−0.02t + 3.56. Ispitajte dugoroˇcno ponaˇsanje inflacije. (Uputa: treba raˇcunati limes funkcije kada t ide u beskonaˇcnost). Rjeˇsenje: lim (2.4e−0.002t + 3.56) = 2.4e−0.02·∞ + 3.56 =

t→∞

= 2.4e−∞ + 3.56 = 3.56

2

−3 x

3. Nadite asimptote funkcije f (x) =

+ x.

Rjeˇsenje: x 6= 0 D = R\{0} Pravac x=a je okomita asimptota ako vrijedi: lim f (x) = ∞   −3 3 +x =− +0=∞ lim x→0 x 0 x = 0 ⇒ okomita asimptota. x→a

Pravac y = b je vodoravna asimptota ako vrijedi: lim f (x) = b   −3 −3 lim +x = +∞=∞ x→∞ x ∞ ⇒ nema vodoravne asimptote. x→∞

Pravac y = kx + l je kosa asimptota ako vrijedi: f (x) =k x→∞ x 2. lim [f (x) − kx] 1. lim x→∞

lim

x→∞

−3 x

+x = lim x→∞ x  lim

x→∞

−3+x2 x

x

−3 + x2 2x 0 = L H = lim =1=k x→∞ x→∞ 2x x2

= lim

−3 + x − 1x x



 = lim

x→∞

3

−3 x

 =−

3 =0=l ∞

y = kx + l y =1·x+0 y = x ⇒ kosa asimptota

4

4. Nadite prvu derivaciju funkcije f (x) = x3 + x + 215 Rjeˇsenje: f 0 (x) = (x3 )0 + (x)0 + (215)0 f 0 (x) = 3x3−1 + 1 + 0 f 0 (x) = 3x2 + 1

5. Nadi prvu derivaciju funkcije y =

x2 x+1 .

Rjeˇsenje: (x2 )0 (x + 1) − x2 (x + 1)0 y = (x + 1)2 2x2−1 · (x + 1) − x2 ((x)0 + (1)0 ) 0 y = (x + 1)2 2x · (x + 1) − x2 · (1 + 0) y0 = (x + 1)2 2x2 + 2x − x2 0 y = (x + 1)2 x2 + 2x 0 y = (x + 1)2 0

5

6. Nadite prvu derivaciju funkcije y = (x + 1)ex Rjeˇsenje: y 0 = (x + 1)0 ex + (x + 1)(ex )0 y 0 = ((x)0 + (1)0 )ex + (x + 1)ex y 0 = (1 + 0)ex + (x + 1)ex y 0 = ex + (x + 1)ex y 0 = ex (x + 2)

6

7. Nadi prvu derivaciju funkcije y =

√

√ √ 3 x3 − 2 x2 + 3 3 x −

2 x

Rjeˇsenje: 3

2

1

y = x 2 − 2x 3 + 3x 3 − 2x−1 3

2

1

y 0 = (x 2 )0 − (2x 3 )0 + (3x 3 )0 − (2x−1 )0 2 1 3 3 y 0 = x 2 −1 − 2 · (x 3 )0 + 3 · (x 3 )0 − 2 · (x−1 )0 2 1 3 2 2 1 1 y 0 = x 2 − 2 · x 3 −1 + 3 · x 3 −1 − 2 · (−1)x−1−1 2 3 3 1 −1 −2 4 3 y 0 = x 2 − x 3 + x 3 + 2x−2 2 3

7

8. Nadi prvu derivaciju funkcije y =

3x x

Rjeˇsenje: (3x )0 · x − 3x (x)0 y = x2 x 3 ln3 · x − 3x · 1 0 y = x2 3x (xln3 − 1) y0 = x2 0

8

9. Nadi prvu derivaciju funkcije y = b ·

1 xa , b

6= 0, a > 0

Rjeˇsenje: y = bx−a y 0 = (bx−a )0 y 0 = b(x−a )0 y 0 = b(−a)x−a−1 y 0 = −abx−a−1 1 y 0 = −ab · a+1 x −ab y 0 = a+1 x

9

10. Nadite prvu derivaciju funkcije f (x) = (1 + x2 )100 . Rjeˇsenje: f 0 (x) = [(1 + x2 )100 ]0 f 0 (x) = 100(1 + x2 )99 (1 + x2 )0 f 0 (x) = 100(1 + x2 )99 · 2x f 0 (x) = 200x(1 + x2 )99

11. Nadi prvu derivaciju funkcije f (x) = Rjeˇsenje:

√

1 − 3x4 .

1 · (1 − 3x4 )0 f 0 (x) = √ 4 2 1 − 3x 1 f 0 (x) = √ · (−12x3 ) 4 2 1 − 3x −6x3 f 0 (x) = √ 1 − 3x4

10

2

12. Nadi prvu derivaciju funkcije f (x) = 3x . Rjeˇsenje: 2

f 0 (x) = 3x ln3 · (x2 )0 2

f 0 (x) = 3x ln3 · 2x

√

13. Nadi prvu derivaciju funkcije f (x) = 4

1−x3

.

Rjeˇsenje: √

p ln4 · ( 1 − x3 )0 √ 1 3 f 0 (x) = 4 1−x ln4 · √ · (1 − x3 )0 3 2 1−x √ 1 3 f 0 (x) = 4 1−x ln4 · √ · (−3x2 ) 3 2 1−x f 0 (x) = 4

1−x3

11

√ 1−x 14. Nadi prvu derivaciju funkcije f (x) = e x+1 . Rjeˇsenje: √ 1−x r 1 − x f 0 (x) = e x+1 · ( )0 x+1 √ 1−x 1 1−x 0 f 0 (x) = e x+1 · q ) ·( x + 1 1−x 2 x+1 √ 1−x 1 (1 − x)0 · (x + 1) − (1 − x) · (x + 1)0 f (x) = e x+1 · q · (x + 1)2 2 1−x x+1 √ 1−x 1 −2 0 f (x) = e x+1 · q · (x + 1)2 2 1−x x+1 √ 1−x −e x+1 f 0 (x) = q 1−x 2 x+1 · (x + 1) √ 1−x −e x+1 f 0 (x) = √ 3 1 − x · (x + 1) 2 √ 1−x −e x+1 p f 0 (x) = √ 1 − x · (x + 1)3 √ 1−x −e x+1 √ f 0 (x) = √ 1 − x · (x + 1) · x + 1 √ 1−x x+1 −e p f 0 (x) = (x + 1) · (1 − x)(x + 1) √ 1−x −e x+1 √ f 0 (x) = (x + 1) · 1 − x2 0

12

15. Koriste´ci definiciju derivacije, nadite derivaciju funkcije f (x) = toˇcki x0 = 4.

√

2x + 1 u

Rjeˇsenje: f (x + h) − f (x) f 0 (x) = lim h→0 p p h √ √ 2(x + h) + 1 − 2x + 1 2(x + h) + 1 + 2x + 1 lim ·p = √ h→0 h 2(x + h) + 1 + 2x + 1 2(x + h) + 1 − (2x + 1) √ = = lim √ h→0 h( 2x + 2h + 1 + 2x + 1) 2x + 2h + 1 − 2x − 1 √ = lim √ = h→0 h( 2x + 2h + 1 + 2x + 1) 2 √ = lim √ = h→0 2x + 2h + 1 + 2x + 1 2 1 2 √ = √ =√ =√ 2x + 2 · 0 + 1 + 2x + 1 2 2x + 1 2x + 1 f 0 (4) = √

1 1 1 =√ = 2·4+1 9 3

13

16. Odredite stotu derivaciju funkcije y = e−2x . Uputa: odredite prvih nekoliko derivacija te uoˇcite pravilo za raˇcunanje slijede´cih! Rjeˇsenje: y 0 = e−2x · (−2x)0 = e−2x · −2 = −2e−2x y 00 = (−2e−2x )0 = −2 · e−2x · (−2) = (−2)2 e−2x = 22 · e−2x y 000 = ((−2)2 · e−2x )0 = (−2)2 · e−2x · (−2) = (−2)3 · e−2x y 0000 = (−2)3 e−2x · (−2) = (−2)4 e−2x = 24 e−2x .. . y (100) = 2100 · e−2x

14

17. Za funkciju ukupnih troˇskova T (Q) = graniˇcnih troˇskova.

p

ln(3Q2 ) odredite pripadnu funkciju

Rjeˇsenje: 1 T 0 (Q) = p · (ln(3Q2 ))0 = 2 ln(3Q2 ) 1 1 = p · · (3Q2 )0 = 2 2 2 ln(3Q ) 3Q 1 1 · 6Q = = p · 2 ln(3Q2 ) 3Q2 1 = p Q ln(3Q2 )

15

18. Primjenom diferencijala pribliˇzno izraˇcunajte 1.00110 . Rjeˇsenje:

Traˇzimo ono ˇsto lako izraˇcunamo, a da pribliˇzno bude jednako. 110 , bazu smo promijenili, ono ˇsto smo promijenili oznaˇcimo s x.

x=1 ∆x = 0.001 = dx x + ∆x = 1 + 0.001 = 1.001 y = x10 y 0 = 10x9 y(x + ∆x) ≈ y(x) + y 0 (x) · dx y(1 + 0.001) ≈ y(1) + y 0 (1) · dx y(1.001) ≈ 110 + 10 · 19 · 0.001 y(1.001) ≈ 1.01

16

19. Izraˇcunajte prirast i diferencijal funkcije Q(L) = ako je L = 0, ∆L = 0.001.

√

L, te relativnu pogreˇsku,

Rjeˇsenje: Prirast funkcije: ∆y = y(x + ∆x) − y(x) ∆Q = Q(L + ∆L) − Q(L) ∆Q = Q(9.001) − Q(9) √ √ ∆Q = 9.001 − 9 ∆Q = 0.000166662 Diferencijal funkcije: dy = y 0 (x) · dx dL = ∆L = 0.001 1 1 dQ = Q0 (L) · dL = √ · dL = √ · 0.001 2 9 2 L dQ = 0.000166667 Relativna pogreˇska: ∆y − dy · 100 ∆y ∆Q − dQ 0.000166662 − 0.000166667 · 100 = · 100 = −0.003000084% ∆Q 0.000166662

17

20. Odredite jednadˇzbe tangente i normale na graf funkcije f (x) = s apscisom 2. Rjeˇsenje: t . . . y − f (x0 ) = f 0 (x0 )(x − x0 ), T (x0 , f (x0 )) −1 n . . . y − f (x0 ) = 0 (x − x0 ), T (x0 , f (x0 )) f (x0 ) T (x0 , f (x0 )) T (2, f (2)) = T (2, 1) 8 8 f (2) = = =1 2 4+x 4+4 −16x 8 0 ) = f0 = ( 4 + x2 (4 + x2 )2 −16 · 2 −1 f 0 (2) = = (4 + 4)2 2 −1 (x − 2) 2 −1 y−1= x+1 2 −1 x+2 y= 2

t...y − 1 =

n . . . y = 2x + 2

18

8 4+x2

u toˇcki

21. Izraˇcunaj: √ x− 2−x lim x→1 x−1

Rjeˇsenje: √ √ x− 2−x 1− 2−1 0 lim = = = L0 H = x→1 x−1 1√− 1 0 0 (x − 2 − x) = = lim x→1 (x − 1)0 1 1 − 2√2−x · (2 − x)0 = lim = x→1 1   1 = = lim 1 + √ x→1 2 2−x 1 1 3 =1+ √ =1+ = 2 2 2 2−1

19

22. Odredite podruˇcje rasta i pada funkcije f (x) = −3x4 + 6x2 − 15. Rjeˇsenje: D=R f 0 (x) = −12x3 + 12x −12x3 + 12x = 0 −12x(x2 − 1) = 0 −12x = 0 ⇒ x = 0 x2 − 1 = 0 ⇒ x=1 x = −1 −∞, −1 -1, 0 0, 1 1, +∞ f’(x) + + % . % .

Npr: ako za interval < −∞, −1 > uzmemo toˇcku -2, tada je f 0 (−2) = −12 · (−2)3 + 12 · (−2) = 24. Funkcija pada na < −1, 0 >i < 1, +∞ >, a raste na < −∞, −1 > i < 0, 1 >.

20

23. Odredite podruˇcja konveksnosti i konkavnosti funkcije y = xex . Rjeˇsenje: D=R y 0 = ex + xex = ex (1 + x) y 00 = ex (1 + x) + ex = ex (2 + x) ex (2 + x) = 0 x = −2

y

00

−∞, −2 −2, +∞ − + ∩ ∪

Funkcija je konkavna na < −∞, −2 >, a konveksna na < −2, +∞ >.

21

24. Odredite ekstreme funkcije f (x) = 6x4 − 8x3 − 10. Rjeˇsenje: D=R f 0 (x) = 24x3 − 24x2 24x3 − 24x2 = 0 24x2 (x − 1) = 0 24x2 = 0 ⇒ x = 0 x−1=0⇒ x=1 f 00 (x) = 72x2 − 48x f 00 (0) = 0 f 000 (x) = 144x − 48 f 000 (0) = −48

U x = 0 nema ekstrema. f 00 (1) = 72 · 12 − 48 · 1 f 00 (1) = 24 > 0 min(1, f (1)) f (1) = 6 · 14 − 8 · 13 − 10 = −12 min(1, −12)

22

25. Izraˇcunajte maksimum funkije dobiti ako je zadana funkcija ukupnih troˇskova C(Q) = Q3 − 6Q2 + 140Q + 750 i funkcija ukupnih prihoda R(Q) = −7.5Q2 + 1400Q, gdje je Q koliˇcina proizvodnje. Rjeˇsenje: D = Q ∈ [0, +∞ > D(Q) = R(Q) − C(Q) D(Q) = −7.5Q2 + 1400Q − (Q3 − 6Q2 + 140Q + 750) D(Q) = −Q3 − 1.5Q2 + 1260Q − 750 D0 (Q) = −3Q2 − 3Q + 1260

Q1,2 =

−(−3) ±

p

(−3)2 − 4 · (−3) · 1260 2 · (−3) Q1 = 20

D00 (Q) = −6Q − 3 D00 (20) = −6 · 20 − 3 = −123 < 0 max(20, D(20)) D(20) = 15850 max(20, 15850)

23

26. Pronadite minimum funkcije prosjeˇcnih troˇskova ako su ukupni troˇskovi T (Q) = 4Q2 + 112Q + 100, gdje je Q koliˇcina proizvodnje. Rjeˇsenje: D = Q ∈ [0, +∞ > T (Q) 4Q2 + 112Q + 100 = Q Q 2 4Q 112Q 100 A(Q) = + + Q Q Q 100 A(Q) = 4Q + 112 + Q 100 A0 (Q) = 4 − 2 Q 100 4− 2 =0 Q Q=5

A(Q) =

200 Q3 200 A00 (5) = >0 125 min(5, A(5)) A(5) = 152 min(5, 152) A00 (Q) =

24

27. Zadana je funkcija prosjeˇcnih prihoda AR(Q) = −Q+200, gdje je Q koliˇcina proizvodnje. Izraˇcunajte maksimum funkcije ukupnih prihoda. Rjeˇsenje: D = Q ∈ [0, +∞ > R(Q) = AR(Q) · Q R(Q) = (−Q + 200) · Q = −Q2 + 200Q R0 (Q) = −2Q + 200 −2Q + 200 = 0 Q = 100 R00 (Q) = −2 < 0 R(100) = 10000 max(100, 10000)

25

28. Zadane su funkcije ukupnih prihoda i prosjeˇcnih troˇskova 100 P (Q) = 460 − 3200 Q , T (Q) = 2 + Q . Za koji opseg proizvodnje Q se ostvaruje najve´ca dobit i koliko ona iznosi? Koliki su tada ukupni prihodi i troˇskovi? Rjeˇsenje: D(Q) = P (Q) − T (Q) T (Q) = T (Q) · Q 100 ) · Q = 2Q + 100 T (Q) = (2 + Q 3200 − (2Q + 100) D(Q) = 460 − Q 3200 D(Q) = 360 − − 2Q Q 3200 D0 (Q) = −2 Q2 3200 − 2 = 0 ⇒ Q = 40 Q2 −6400 Q3 D00 (40) = −0.1 < 0 ⇒ max(40, D(40)) D(40) = 200, max(40, 200) P (40) = 380 T (40) = 180 D00 (Q) =

26

29. Odredite domenu i toˇcke infleksije funkcije f (x) = 21 x2 + lnx. Rjeˇsenje: x>0 D = x ∈< 0, +∞ > 1 x 1 f 00 (x) = 1 − 2 x 1 1− 2 =0⇒ x x1 = 1 f 0 (x) = x +

f 000 (x) = 2x−3 f 000 (1) = 2 · 1−3 = 2 6= 0 I(1, f (1)) 1 1 1 f (1) = · 12 + ln1 = + 0 = 2 2 2 1 I(1, ) 2

27

30. Zadana je funkcija troˇskova T (Q) = Q3 − 2Q, gdje je Q koliˇcina proizvodnje. Izraˇcunajte koeficijent elastiˇcnosti troˇskova u odnosu na proizvodnju na nivou proizvodnje Q=2. Interpretirajte rezultat. Rjeˇsenje: Q Q · T0 = 3 · (Q3 − 2Q)0 = T Q − 2Q Q Q = 3 · (3Q2 − 2) = (3Q2 − 2) = 2 Q − 2Q Q(Q − 2) 3Q2 − 2 = 2 Q −2 ET,Q =

3 · 22 − 2 ET,Q (2) = 2 =5 2 −2

Kada Q na nivou Q=2 pove´camo za 1%, onda ´ce se T pove´cati za 5%.

28

31. Odredite podruˇcja elastiˇcnosti i neelastiˇcnosti funkcije potraˇznje q(p) =

9500 3p2 + 675

u odnosu na cijenu p. Rjeˇsenje:

Eq,p

D . . . 3p2 + 675 6= 0 3p2 6= −675 ⇒ uvijek p≥0 q≥0  0 p 0 p 9500 −6p2 = · q = 9500 · = q 3p2 + 675 3p2 + 675 3p2 +675 6p2 6p2 |Eg,p | = | − 2 |= 2 3p + 675 3p + 675 6p2 > 1/ · 3p2 + 675 2 3p + 675 6p2 > 3p2 + 675 3p2 > 675/ : 3 p2 > 225 p > 15 Pel =< 15, +∞ > Pneel =< 0, 15 >

29

32. Ispitajte homogenost funkcije q 2 f (x1 , x2 , x3 ) = x1 · x2 · ln xx12 +x +x3 . Rjeˇsenje: r

λx1 + λx2 f (λx1 , λx2 , λx3 ) = λx1 · λx2 · ln = λx2 + λx3 s λ(x1 + x2 ) = λ2 x1 · x3 · ln = λ(x2 + x3 ) r x1 + x2 2 = λ · x1 · x3 · ln = x2 + x3 = λ2 · f (x1 , x2 , x3 ) Funkcija je homogena stupnja α = 2.

30

33. Ispitajte homogenost funkcije f (x, y) =

√

x · y2.

Rjeˇsenje: √ √ λx · (λy)2 = λ · x · λ2 · y 2 = √ 5 5 = λ 2 · x · y 2 = λ 2 · f (x, y) √

f (λx, λy) =

Funkcija je homogena stupnja α = 25 .

31

34. Ispitajte homogenost funkcije 3x2 + 2y 2 f (x, y) = log xy

Rjeˇsenje: 3(λx)2 + 2(λy)2 = f (λx, λy) = log λxλy 3λ2 x2 + 2λ2 y 2 = log = λ2 xy 3x2 + 2y 2 λ2 (3x2 + 2y 2 ) = log = f (x, y) = = log λ2 xy xy = λ0 · f (x, y)

Funkcija je homogena stupnja α = 0.

32

1

35. Zadana je Cobb-Douglasova funkcija proizvodnje Q(L, C) = 3.6L 2 C t , gdje je L koliˇcina rada, a C koliˇcina kapitala. Odredite parametar t ∈ R takav da su u pitanju rastu´ci prinosi u proizvodnji. Rjeˇsenje: 1

1

1

Q(λL, λC) = 3.6(λL) 2 (λC)t = 3.6λ 2 L 2 λt C t = 1

1

1

= λ 2 +t 3.6L 2 C t = λ 2 +t Q(LC) 1 +t>1 2 1 t>1− 2 1 t> 2 1 t ∈< , +∞ > 2

Napomena: α > 1 ⇒ prinosi su rastu´ci. α = 1 ⇒ prinosi su konstantni. α < 1 ⇒ prinosi su opadaju´ci.

33

1

36. Zadana je Cobb-Douglasova funkcija proizvodnje Q(L, C) = 2.5Lt C 4 , gdje je L koliˇcina rada, a C koliˇcina kapitala. Odredite parametar t ∈ R takav da su u pitanju opadaju´ci prinosi u proizvodnji. Rjeˇsenje: 1

1

1

Q(λL, λC) = 2.5(λL)t (λC) 4 = 2.5λt Lt λ 4 C 4 = 1

1

1

= λt+ 4 2.5Lt C 4 = λt+ 4 Q(LC) 1 t+ <1 4 1 t<1− 4 3 t< 4 3 t ∈< −∞, > 4

34

37. Kako se promijeni vrijednost funkcije s √ √ x y+z+y z+v f (x, y, z, v) = x + 2y + 3z + 4v ako sve varijable istovremeno: a) pove´camo 256 puta? b) smanjimo za 34.39%? Rjeˇsenje: a) f (λx, λy, λz, λv) = λα f (x, y, z, v) f (256x, 256y, 256z, 256v) = 256α f (x, y, z, v) s √ √ λx λy + λz + λy λz + λv f (λx, λy, λz, λv) = = λx + 2λy + 3λz + 4λv s s √ √ √ √ 3 λx λy + λz + λy λz + λv λ 2 (x y + z + y z + v) = = = λ(x + 2y + 3z + 4v) λ(x + 2y + 3z + 4v) 1

= λ 4 · f (x, y, z, v) 1

f (256x, 256y, 256z, 256v) = 256 4 f (x, y, z, v) f (256x, 256y, 256z, 256v) = 4f (x, y, z, v)

Kada sve varijable istovremeno pove´camo 256 puta tada ´ce se vrijednost funkcije pove´cati 4 puta.

35

b) 34.39 x = x(1 − 0.3439) = 0.6561x 100 1 f (0.6561x, 0.6561y, 0.6561z, 0.6561v) = 0.6561 4 f (x, y, z, v) f (0.6561x, 0.6561y, 0.6561z, 0.6561v) = 0.9f (x, y, z, v) x→x−

Ako sve varijable istovremeno smanjimo za neki postotak p tada ´ce se vrijednost funkcije smanjiti za 100(1 − λα )%. 100(1 − λα )% = 100(1 − 0.9)% = 10% Kada sve varijable istovremeno smanjimo za 34,39% tada ´ce se funkcija smanjiti za 10%.

36

38. Nadi sve prve parcijalne derivacije funkcije f (x, y) = 3x2 + xy + Rjeˇsenje: √ fx = (3x2 )0 + (xy)0 + ( y)0 = = 3 · (x2 )0 + y · (x)0 + 0 = = 3 · 2x2−1 + y · 1 = 6x + y

√ fy = (3x2 )0 + (xy)0 + ( y)0 = 1 = 0 + x · (y)0 + √ = 2 y 1 1 =x·1+ √ =x+ √ 2 y 2 y

37

√

y.

39. Nadi sve prve parcijalne derivacije funkcije f (x, y, z) = e2xz − ln(yz) + 1. Rjeˇsenje: fx = e2xz · (2xz)0 − 0 + 0 = = e2xz · 2z · (x)0 = e2xz · 2z · 1 = 2ze2xz

fy = 0 −

1 1 · (yz)0 + 0 = − · z · (y)0 = yz yz 1 1 =− ·z =− yz y

1 · (yz)0 + 0 = yz 1 = e2xz · 2x · (z)0 − · y · (z)0 = yz 1 ·y·1= = e2xz · 2x · 1 − yz 1 = 2xe2xz − z

fz = e2xz · (2xz)0 −

38

40. Nadi sve prve parcijalne derivacije funkcije u(x, y) =

2x−y x+y .

Rjeˇsenje:

ux =

(2x − y)0 · (x + y) − (2x − y) · (x + y)0 = (x + y)2 2(x + y) − (2x − y) 3y = = (x + y)2 (x + y)2

(2x − y)0 · (x + y) − (2x − y) · (x + y)0 = uy = (x + y)2 −1 · (x + y) − (2x − y) · 1 3x = = (x + y)2 (x + y)2

39

41. Nadi sve prve parcijalne derivacije funkcije f (x, y) = xy . Rjeˇsenje: fx = yxy−1 fy = xy lnx

42. Nadi sve prve i druge parcijalne derivacije funkcije z(x, y) = y 2 2x . Rjeˇsenje: zx = y 2 · 2x ln2 zy = 2x · 2y = y · 2x+1

zxx = y 2 · ln2 · 2x ln2 = y 2 (ln2)2 · 2x zxy = 2x ln2 · 2y = y · 2x+1 ln2 zyx = y · 2x+1 ln2 · 1 = y · 2x+1 ln2 zyy = 2x+1 · 1 = 2x+1

40

43. Za funkciju f (x, y, z) = z · y x izraˇcunajte

d3 f dxdydz .

Rjeˇsenje: fz = y x · 1 = y x fzy = xy x−1 fzyx = 1 · y x−1 + x · y x−1 lny · 1 = = y x−1 + x · y x−1 lny = y x−1 (1 + xlny) = fxyz

41

p 44. Izraˇcunajte koeficijente parcijalne elastiˇcnosti funkcije f (x, y) = x − y 2 u odnosu na varijable x i y te interpretirajte rezultat na nivou x = 25, y = 3. Rjeˇsenje: Ef,x =

x x 1 x · fx = p · p · (1 − 0) = f 2(x − y 2 ) x − y2 2 x − y2 25 25 = Ef,x (25, 3) = 2 · (25 − 9) 32

Kada x na nivou 25 (y ostaje konstantno) pove´camo za 1% onda ´ce funkcijska vrijednost porasti za 25 32 %. Ef,y

y y 1 −y 2 = · fy = p · p · (0 − 2y) = f x − y2 x − y2 2 x − y2 −9 −9 Ef,y (25, 3) = = 25 − 9 16

Kada y na nivou 3 (x ostaje konstantno) pove´camo za 1% onda ´ce funkcijska 9 vrijednost pasti za 16 %.

42

45. Zadana je funkcija potraˇznje robe A, q1 (p1 , p2 ) = 3p−1 1 lnp2 , gdje su p1 cijena robe A i p2 cijena robe B. Odredite koeficijente parcijalne i ukrˇstene elastiˇcnosti te interpretirajte dobivene rezultate. Rjeˇsenje: Eg1 ,p1 =

p1 p1 −3lnp2 · q1p1 = −1 = −1 · q1 p21 3p1 lnp2

Kada p1 pove´camo za 1% (p2 ostaje konstantno) tada ´ce se q1 smanjiti za 1%.

Eg1 ,p2 =

p2 p2 1 1 · q1p2 = −1 = · 3p−1 1 q1 p2 lnp2 3p1 lnp2

Kada p2 pove´camo za 1% (p1 ostaje konstantno) tada ´ce se q1 pove´cati za 1 lnp2 % jer je lnp2 > 0 zbog q1 > 0 pa su A i B supstituti.

43

46. Za funkciju q 4 5 f (x, y, z) = 3 xzy2 , izraˇcunajte xfx + yfy + zfz . Rjeˇsenje: xfx + yfy + zfz = α · f f (λx, λy, λz) = λα f (x, y, z) s r r 4 (λy)5 4 x 4 λ5 y 5 9 4 5 (λx) λ 3 3 λ x y 3 = = = f (λx, λy, λz) = (λz)2 λ2 z 2 λ2 z 2 r 4 5 √ 7 3 3 x y = λ7 = λ 3 · f (x, y, z) 2 z 7 α= 3 r 7 3 x4 y 5 xfx + yfy + zfz = · 3 z2

44

1

1

47. Dana je funkcija proizvodnje Q(L, C) = 3.4L 4 C 2 , gdje je L koliˇcina rada, a C koliˇcina kapitala. Izraˇcunajte zbroj parcijalnih elastiˇcnosti funkcije proizvodnje u odnosu na rad i kapital. Rjeˇsenje: EQ,L + EQ,C = α 1

1

1

1

1

1

Q(λL, λC) = 3.4(λL) 4 (λC) 2 = 3.4λ 4 L 4 λ 2 C 2 = 1

1

1

1

3

λ 4 + 2 3.4L 4 C 2 = λ 4 Q(L, C) 3 EQ,L + EQ,C = 4

45

48. Dana je funkcija −1   t+1 zx 1 f (x, y, z) = t+1 − y z Odredite parametar t ∈ R, t 6= −1, tako da zbroj svih parcijalnih elastiˇcnosti dane funkcije bude jednak nuli.

r

Rjeˇsenje: Ef,y + Ef,y + Ef,z = α ⇒ α = 0 t∈R t.d. Ef,y + Ef,y + Ef,z = 0 f (λx, λy, λz) = λα f (x, y, z) s −1   t+1 λzλx 1 t+1 − = f (λx, λy, λz) = λy λz " # −1   t+1 r √ −1 zx 1 t+1 = λ t+1 − (λ−1 ) t+1 · = y z # " −1   t+1 r 1 1 zx 1 = λ t+1 t+1 = − λ t+1 · y z ! −1   t+1 r 1 1 zx 1 = λ t+1 t+1 = λ t+1 f (x, y, z) − y z 1 =0 t+1 1 = 0 ⇒⇐ 6 ∃t ∈ R t.d. α = 0 (Ne postoji t ∈ R takav da je α = 0)

46

49. Funkcija potraˇznje za proizvodom A homogena je stupnja 1.1, te ovisi o cijeni proizvoda A i cijeni porizvoda B. Ako je koeficijent elastiˇcnosti te funkcije potraˇznje u odnosu na cijenu proizvoda A jednak -0.4, izraˇcunajte vrijednost koeficijenta elastiˇcnosti te iste funkcije potraˇznje u odnosu na cijenu proizvoda B, te ga interpretirajte. Rjeˇsenje: α = 1.1 EfA ,pA = −0.4 EfA ,pB =? EfA ,pA + EfA ,pB = α −0.4 + EfA ,pB = 1.1 EfA ,pB = 1.1 + 0.4 EfA ,pB = 1.5 Kada pB pove´camo za 1% (pA ostaje konstantno) tada ´ce se fA pove´cati za 1.5%.

47

50. Izraˇcunajte ekstreme funkcije f (x, y) = x2 − 4x + 2y 2 − 8y

Rjeˇsenje: fx = 2x − 4 2x − 4 = 0 x=2 fy = 4y − 8 4y − 8 = 0 y=2 D1 = fxx fxx = 2 D1 = 2 > 0 D2 = fxx fyy − f xy 2 fyy = 4 fxy = 0 D2 = 2 · 4 − 02 D2 = 8 > 0 ) D1 > 0 ⇒ min(2, 2, f (2, 2)) D2 > 0 f (2, 2) = 22 − 4 · 2 + 2 · 22 − 8 · 2 = −12 min(2, 2, −12) 48

51. Izraˇcunajte ekstreme funkcije 2

f (x, y) = ex

+y 2 −4x

Rjeˇsenje: 2

fx = ex 2

ex

2

+y 2 −4x

· (2x − 4)

+y −4x

· (2x − 4) = 0 2x − 4 = 0 x=2 2

fy = ex 2

ex

+y 2 −4x

· 2y

+y 2 −4x

· 2y = 0 2y = 0 y=0

D1 = fxx 2

fxx = ex fxx

2

2

+y −4x

2

· (2x − 4)2 + ex +y −4x · 2   2 2 = ex +y −4x (2x − 4)2 + 2 fxx = 2e−4 D1 = 2e−4 > 0 2 D2 = fxx fyy − fxy 2

fyy = ex

+y 2 −4x

2

· 4y 2 + ex

2

2

+y 2 −4x

fyy = ex +y −4x (4y 2 + 2) fyy = 2e−4

49

·2

2

2

fxy = (2x − 4) · ex +y −4x · 2y fxy = 0 −4 D2 = 2e · 2e−4 − 02 = 4e−8 > 0 ) D1 > 0 ⇒ min(2, 0, e−4 ) D2 > 0

50

52. Zadana je funkcija ukupnih prihoda P (Q1 , Q2 ) = −Q21 − Q22 + 18Q1 + 14Q2 − 5 i ukupnih troˇskova T (Q1 , Q2 ) = 8Q1 + 8Q2 za dva proizvoda. Izraˇcunajte maksimum funkcije dobiti. Rjeˇsenje: D(Q1 , Q2 ) = P (Q1 , Q2 ) − T (Q1 , Q2 ) D(Q1 , Q2 ) = −Q21 − Q22 + 10Q1 + 6Q2 − 5 DQ1 = −2Q1 + 10 −2Q1 + 10 = 0 Q1 = 5 DQ2 = −2Q2 + 6 −2Q2 + 6 = 0 Q2 = 3 D1 = DQ1 Q1 DQ1 Q1 = −2 D1 = −2 < 0 2 D2 = DQ1 Q1 DQ2 Q2 − DQ 1 Q2

DQ2 Q2 = −2 DQ1 Q2 = 0 D2 = −2 · (−2) − 02 = 4 > 0 ) D1 < 0 ⇒ max(5, 3, 29) D2 > 0

51

53. Odredite ekstreme funkcije f (x, y) = x2 − xy + x2 , uz uvjet x − 2y = 0. Rjeˇsenje: f (x, y) = x2 − xy + y 2 x − 2y = 0 x = 2y f (y) = (2y)2 − 2y · y + y 2 f (y) = 4y 2 − 2y 2 + y 2 f (y) = 3y 2 f 0 (y) = 6y 6y = 0 y = 0 ⇒ x = 2y x=2·0⇒x=0 f 00 (y) = 6 > 0 ⇒ min(x, y, f (x, y)) min(0, 0, f (0, 0)) min(0, 0, 0)

52

54. Odredite ekstreme funkcije f (x, y) = x2 − xy + y 2 , uz uvje x + y = 1. Rjeˇsenje: x+y =1 y =1−x 2 f (x) = x − x · (1 − x) + (1 − x)2 f (x) = x2 − x + x2 + 1 − 2x + x2 f (x) = 3x2 − 3x + 1 f 0 (x) = 6x − 3 6x − 3 = 0 6x = 3 1 x= ⇒y =1−x 2 1 1 y =1− = 2 2 f 00 (x) = 6 > 0 ⇒ min(x, y, f (x, y))    1 1 1 1 min , ,f , 2 2 2 2   2  2  1 1 1 1 1 1 1 , = − · + = f 2 2 2 2 2 2 4   1 1 1 , = f 2 2 4   1 1 1 , , min 2 2 4

53

55. Odredite ekstreme funkcije f (x, y) = x4 + y 4 , x > 0, y > 0 uz uvjet x2 + y 2 = 8. Rjeˇsenje: y 2 = 8 − x2 f (x, y) = (x2 )2 + (y 2 )2 f (x) = (x2 )2 + (8 − x2 )2 f (x) = x4 + 64 − 16x2 + x4 f (x) = 2x4 − 16x2 + 64 f 0 (x) = 8x3 − 32x 8x3 − 32x = 0 8x(x2 − 4) = 0 8x = 0 6 x =6 0 x2 − 4 = 0 x=2 6x=−62 p √ √ y = 8 − x2 = 8 − 4 = 4 = 2 f 00 (x) = 24x2 − 32 f 00 (2) = 64 > 0 min(2, 2, 32)

54

56. Dane su funkcija ukupnih troˇskova T (L, C) = L + C i proizvodnje √ Q(L, C) = LC, gdje je L koliˇcina rada, a C koliˇcina kapitala. Izraˇcunajte minimum funkcije ukupnih troˇskova na nivou proizvodnje Q=4. Rjeˇsenje: √

LC = 4/2 LC = 16/ : L 16 C= L 16 = L + 16L−1 L T 0 (L) = 1 − 16L−2 16 1 − 2 = 0/ · L2 L 2 L − 16 = 0 L2 = 16 L1 = 4 6 L62 = − 6 4 16 C= =4 4 T 00 (L) = 32L−3 T 00 (4) = 0.5 > 0

T (L) = L +

min(4, 4, 8)

55

57. Dana je funkcija ukupnih troˇskova T (L, C) = L2 − LC + C 2 i funkcija proizvodnje Q(L, C) = LC, gdje je L rad, a C kapital. Nadite kombinaciju rada i kapitala uz koju se na nivou proizvodnje Q = 1 ostvaruju minimalni troˇskovi. Odredite minimalne troˇskove. Rjeˇsenje: Q(L, C) = LC LC = 1/ : L 1 C=  L2 1 1 T (L) = L2 − L · + = L2 − 1 + L−2 L L 0 T (L) = 2L − 2L−3 2 2L − 3 = 0/ · L3 L 4 2L − 2 = 0 2L4 = 2 L = ±1 L≥0 L=1 T 00 (L) = 2 + 6L−4 T 00 (1) = 2 + 6 · 1−4 = 8 > 0 min(1, 1, 1)

56