Mat Limites

Cap´ıtulo 2

Limites e Continuidade 2.1

Limites

2.1.1

Defini¸c˜ ao de Limite

Defini¸ c˜ ao: Seja I um intervalo aberto contendo a ∈ R, e seja f (x) uma fun¸c˜ao definida em I \ {a}. Dizemos que o limite de f (x) quando x tende para a ´e L, escrevendo lim f (x) = L, x→a

se o valor de f (x) se aproxima de L quando x se aproxima de a. Formalmente, ∀δ > 0, ∃  > 0 tal que 0 < |x − a| <  ⇒ |f (x) − L| < δ Nota: O c´ alculo do limite da fun¸c˜ao em a n˜ao tem em conta o valor da fun¸c˜ao em a. A fun¸c˜ ao tem que estar definida numa vizinhan¸ca de a, mas no ponto a pode, ou n˜ao, estar definida sem que isso altere o c´alculo do limite. Exemplo 2.1

Usando a defini¸c˜ao prove que,

a) lim (3x − 1) = 2 x→1

Temos de mostrar que para todo o δ > 0, existe um  > 0, tal que |(3x − 1) − 2| < δ sempre que |x − 1| < . As seguintes desigualdades s˜ao equivalentes: |3x − 1 − 2| < δ ⇔ |3 (x − 1)| < δ ⇔ 3 |(x − 1)| < δ ⇔ |(x − 1)| <

δ 3

Fazendo  = 3δ , vem que: |(3x − 1) − 2| < δ sempre que |x − 1| < , Logo, pela defini¸c˜ ao: lim (3x − 1) = 2. x→1

b) lim x2 = 16 x→4

Queremos mostrar que para todo o δ > 0, existe um  > 0, tal que x2 − 16 < δ sempre que 0 < |x − 4| < .

28

Primeiro, podemos ver que |x2 − 16| = |(x − 4)(x + 4)| = |x − 4||x + 4| Se escolhermos um  ≤ 1 temos que |x − 4| <  ⇒ |x − 4| ≤ 1, ou seja 3 ≤ x ≤ 5. Ficamos ent˜ ao com |x + 4| ≤ 9. Temos agora, se  ≤ 1, |x − 4| <  ⇒ |x − 4||x + 4| < 9 Como queremos que |x2 − 16| < δ, basta escolher  = 9δ (ou 1 no caso de 9δ ≥ 1). Assim, basta escolher  = min( 9δ , 1). Ent˜ao, para todo o δ > 0, fazemos  = min( 9δ , 1) e temos 0 < |x − 4| <  ⇒ |x2 − 16| < δ e portanto lim x2 = 16. x→4

Unicidade do Limite Se limx→a f (x) = L1 e se limx→a f (x) = L2 , ent˜ao L1 = L2 .

2.1.2

Propriedades dos Limites

Alguns limites simples Com a e c ∈ R, 1. lim c = c. x→a

2. lim x = a. x→a

Opera¸ c˜ oes com limites Sejam f e g duas fun¸c˜ oes reais de vari´avel real e a ∈ R. Se existirem os limites limx→a f (x) e limx→a g(x), ent˜ ao 1. lim [f (x) + g(x)] = lim f (x) + lim g(x) x→a

x→a

x→a

2. lim [f (x) − g(x)] = lim f (x) − lim g(x) se limx→a f (x) = L2 , ent˜ao L1 = L2 . x→a

x→a

x→a

3. lim cf (x) = c lim f (x), com c ∈ R uma constante. x→a

x→a

    4. lim [f (x) · g(x)] = lim f (x) · lim g(x) x→a

x→a

 5. lim

x→a

x→a



f (x) limx→a f (x) = , desde que lim g(x) 6= 0. x→a g(x) limx→a g(x) 29

h in 6. lim [f (x)]n = lim f (x) , com n ∈ N. x→a

7. lim

x→a

p n

x→a

f (x) =

q n

lim f (x), desde que lim f (x) ≥ 0 se n for par, com n ∈ N .

x→a

x→a



 8. lim ln (f (x)) = ln lim f (x) , com lim f (x) > 0. x→a

x→a

x→a

9. lim ef (x) = elimx→a f (x) x→a

Teorema do Enquadramento Sejam f , g e h fun¸c˜ oes que satisfazem f (x) ≤ h(x) ≤ g(x) para todo o x num intervalo aberto contendo a (com a poss´ıvel excep¸c˜ao de a). Se os limites de f e g em a s˜ao iguais, lim f (x) = lim g(x) = L

x→a

x→a

ent˜ao o limite de h em a tamb´em ´e igual, lim h(x) = L .

x→a

2.1.3

Limites laterais

Defini¸ c˜ ao Limite ` a direita Seja f uma fun¸c˜ao definida num intervalo aberto ]a, c[. Diz-se que f tem um limite ` a direita em a quando podemos calcular o limite de f em a com a restri¸c˜ ao x > a. Escrevemos ent˜ ao, lim f (x) = L1

x→a+

Defini¸ c˜ ao Limite ` a esquerda Seja f uma fun¸c˜ao definida num intervalo aberto ]d, a[. Diz-se que f tem um limite ` a esquerda em a quando podemos calcular o limite de f em a com a restri¸c˜ ao x < a. Escrevemos ent˜ao, lim f (x) = L2

x→a−

Exemplo 2.2 a) Dada a fun¸c˜ ao f (x) = (1 + caso existam.

√

x − 3), determinar limx→3+ f (x) e limx→3− f (x),

A fun¸c˜ ao dada s´ o ´e definida para x ≥ 3 logo n˜ao existe limx→3− f (x).

30

√ √ lim f (x) = lim (1 + x − 3) = lim 1 + lim x − 3 x→3+ x→3+ x→3+ x→3+ q = lim 1 + lim (x − 3) = 1 + 0 = 1 x→3+

x→3+

b) Calcule os limites laterais quando x → 0 de f (x) =

|x| x .

O dom´ınio de f ´e Df = R \ {0}. A fun¸c˜ao ´e dada por,   x se x > 0 x = 1, f (x) =  −x = −1, se x < 0 x Assim, os limites laterais s˜ ao, lim f (x) = lim 1 = 1

x→0+

x→0+

e lim f (x) = lim −1 = −1 x→0−

x→0−

Limites laterais e limite Seja I um intervalo aberto contendo o ponto a, e seja f uma fun¸c˜ao definida em I \{a}. Ent˜ao lim f (x) = L se e s´ o se lim f (x) = L e lim f (x) = L. x→a

x→a−

x→a+

Ou seja, se os dois limites laterais existirem e forem iguais, ent˜ao tamb´em existe o limite no mesmo ponto e tem o mesmo valor. Inversamente, se o limite no ponto existir, ent˜ ao os dois limites laterais tamb´em existem e s˜ao iguais.

2.1.4

Limites infinitos e ass´ımptotas verticais

Seja I um intervalo aberto contendo o ponto a, e seja f uma fun¸c˜ao definida em I \ {a}. Dizemos que o limite quando x tende para a+ (ou quando x tende para a− ) de f (x) ´e mais infinito se os valores de f (x) aumentarem de forma ilimitada quando x se aproxima de a pela direita (ou pela esquerda), escrevendo   lim f (x) = +∞ ou lim f (x) = +∞ , respectivamente. x→a+

x→a−

Por outro lado, dizemos que o limite quando x tende para a+ ( ou quando x tende para a− ) de f(x) ´e menos infinito quando os valores de f (x) diminuiem de forma ilimitada quando x se aproxima de a pela direita (ou pela esquerda), escrevendo   lim f (x) = −∞ ou lim f (x) = −∞ , respectivamente. x→a+

x→a−

Quando os dois limites laterais s˜ao iguais podemos concluir que o limite quando x → a ´e +∞ ou −∞. 31

Exemplo 2.3

Seja n um n´ umero inteiro positivo. Temos,

1 = +∞ xn   1 +∞, lim n =  −∞, x→0− x lim

x→0+

se n ´e par se n ´e ´ımpar

Se f tem um limite infinito quando x → a (`a direita ou `a esquerda), dizemos que o gr´afico de f tem uma ass´ımptota vertical, a recta x = a.

2.1.5

Limites no infinito e ass´ımptotas horizontais

At´e agora s´ o nos interess´ amos por limites `a volta de um valor a ∈ R. Muitas vezes, no entanto, estamos interessados em conhecer o comportamento da fun¸c˜ao quando x aumenta de forma ilimitada (x → +∞) ou quando diminui de forma ilimitada (x → −∞). Dizemos que o limite quando x tende para mais infinito de f (x) ´e L se os valores de f (x) se aproximarem de um n´ umero L quando x aumenta de forma ilimitada, escrevendo lim f (x) = L

x→+∞

e dizemos que o limite quando x tende para menos infinito de f (x) ´e L se os valores de f (x) se aproximarem arbitrariamente de um n´ umero L quando x diminui de forma ilimitada, escrevendo lim f (x) = L

x→−∞

Se o limx→+∞ f (x) = L (ou limx→−∞ f (x) = L), dizemos que o gr´afico de f tem um ass´ımptota horizontal em +∞ (ou −∞). A ass´ımptota horizontal ´e a recta y = L. Exemplo 2.4

Se n ´e um n´ umero inteiro positivo,

1 =0 xn 1 lim =0 x→−∞ xn lim

(2.1)

x→+∞

(2.2)

Nota: As propriedades dos limites que demos at´e agora mantˆe-se v´alidas quando substitu´ımos x → a por x → ±∞.

32

Limites infinitos no infinito Finalmente, se uma fun¸c˜ ao aumentar de forma ilimitada quando x → +∞, escrevemos lim f (x) = +∞. x→+∞

E de forma semelhante podemos ter, lim f (x) = −∞

x→+∞

lim f (x) = +∞

x→−∞

lim f (x) = −∞

x→−∞

2.2

C´ alculo de Limites

As propriedades dos limites (ver 2.1.2) permanecem v´alidas para os limites infinitos e no infinito. Mas ´e preciso cuidado ao fazer as opera¸c˜oes com infinitos, porque algumas express˜ oes s˜ ao indeterminadas e requerem que se levante a indetermina¸c˜ao. Podemos usar as seguintes regras, onde k ∈ R ´e uma constante e onde podemos ter x → a, x → a± ou x → ±∞. f (x) + g(x) lim f (x)

lim g(x)

lim [f (x) + g(x)]

+∞

k

+∞ + k = +∞

−∞

k

−∞ + k = −∞

+∞

+∞

+∞ + ∞ = +∞

−∞

−∞

−∞ − ∞ = −∞

+∞

−∞

+∞ − ∞ Indeterminado f (x) · g(x) lim [f (x) · g(x)]

lim f (x)

lim g(x)

+∞

k>0

(+∞) · k = +∞

+∞

k<0

(+∞) · k = −∞

∞

k=0

(∞) · k Indeterminado

+∞

+∞

(+∞) · (+∞) = +∞

+∞

−∞

(+∞) · (−∞) = −∞

33

f (x) g(x)

lim f (x)

lim g(x)

k

∞

∞

∞

k>0

0+

±∞

0+

k>0

0−

±∞

0−

0

lim

h

f (x) g(x)

i

k ∞ =0 ∞ ∞ Indeterminado k = +∞ 0+ ±∞ = ±∞ 0+ k = −∞ 0− ±∞ = ∓∞ 0− 0 0 Indeterminado

0

Nota: (0− ) indica que o limite ´e zero e a fun¸c˜ao se aproxima de zero com valores positivos (negativos), respectivamente. 0+

Limites de polin´ omios Se p(x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · a1 x + a0 ´e um polin´omio, e c ∈ R, o limite lim p(x) = p(c) = an cn + an−1 cn−1 + · · · a1 c + a0

x→c

Nos limites no infinito podemos pˆor a potˆencia mais elevada em evidˆencia. Exemplo 2.5 lim 5x3 − 2x2 + 3 = lim x3 (5 − 2

x→+∞

x→+∞

1 1 + 3 3 ) = +∞ · (5 − 2 × 0 + 3 × 0) = +∞ x x

Em geral, se p(x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · a1 x + a0 ´e um polin´omio, temos que lim p(x) = lim an xn

x→±∞

x→±∞

Exemplo 2.6 a) b)

lim (7x5 − 4x3 + 2x − 9) = lim 7x5 = −∞

x→−∞

x→−∞

lim (−4x8 + 17x3 − 5x + 1) = lim −4x8 = −∞

x→+∞

x→+∞

Limites de fun¸ c˜ oes racionais Quando queremos calcular o limite de uma fun¸c˜ao racional f (x) = temos trˆes casos distinctos. a) q(a) 6= 0, e ent˜ ao lim f (x) = f (a) = x→a

p(a) . q(a)

34

p(x) q(x)

quando x → a,

´ preciso estudar o sinal da fun¸c˜ao `a b) q(a) = 0 e p(a) 6= 0, o limite vai ser infinito. E esquerda e ` a direita de a para saber onde ´e +∞ e −∞ (podem ser os dois limites laterais +∞, os dois −∞ ou um de cada). c) q(a) = 0 e p(a) = 0. isto significa que os polin´omios p e q tˆem um factor em comum que ´e preciso eliminar. Vamos estudar isso em detalhe na pr´oxima sec¸c˜ao. Exemplo 2.7

f (x) =

lim f (x) = f (2) =

x→2

5x3 +4 x−3 .

Calcule o limite de f (x) para x → 2 e x → 3.

5 × 23 + 4 44 = = −44 2−3 −1

porque q(2) = 2 − 3 = −1 6= 0. Quando x → 3 temos q(3) = 3 − 3 = 0, mas p(3) = 5 × 33 + 4 = 139. O limite ser´a infinito. Como p(3) = 139, numa vizinhan¸ca pequena de x = 3 temos p(x) > 0. Por outro lado, se x > 3 (` a direita) q(x) = x − 3 > 0. Enquanto que se x < 3 (`a esquerda) q(x) = x − 3 < 0. Temos assim, 139 5x3 + 4 = + = +∞ + x − 3 0 x→3 3 139 5x + 4 = − = −∞ e lim − x−3 0 x→3 lim

Os limites laterais existem, mas s˜ao diferentes, logo o limite limx→3 f (x) n˜ao existe.

2.2.1

Indetermina¸c˜ oes

Quando aplicamos as regras de c´alculo de limites, podem aparecer as seguintes express˜oes indeterminadas, 0 ∞ , , ∞ − ∞ , 0 × ∞ , 00 , ∞0 e 1∞ 0 ∞ Nada se pode definir ` a priori sobre o limite das express˜oes indeterminadas. O limite pode assumir qualquer valor real, ir para infinito ou n˜ao existir. Exemplo 2.8 Considere as fun¸c˜oes f (x) = x4 , g(x) = x2 . Temos que limx→0 x4 = limx→0 x2 = 0. O limite de f (x)/g(x) ´e dado por, limx→0 f (x) 0 f (x) = = x→0 g(x) limx→0 g(x) 0 lim

35

uma indetermina¸c˜ ao. Mas tamb´em, x4 f (x) = lim 2 = lim x2 = 0 x→0 x x→0 x→0 g(x) lim

Por outro lado, o limite de g(x)/f (x) ´e lim

x→0

g(x) limx→0 g(x) 0 = = f (x) limx→0 f (x) 0

a mesma indetermina¸c˜ ao. Mas agora, g(x) x2 1 = lim 4 = lim 2 = +∞ x→0 f (x) x→0 x x→0 x lim

Alguns exemplos para a indetermina¸ c˜ ao

0 0

Exemplo 2.9 a) Fun¸ c˜ oes racionais Seja f (x) = p(x) omios e a ∈ R. Se q(x) com p(x) e q(x) polin´ tivermos p(a) = q(a) = 0, ent˜ao o limite quando x → a ´e uma indetermina¸c˜ao 0 omios serem zero em a significa que tˆem uma ra´ız 0 . Mas o facto de os dois polin´ comum, e que podemos factorizar os dois por (x − a).

x3 − 3x + 2 0 = 2 x→−2 x −4 0 lim

Para o denominador temos x2 − 4 = (x − 2)(x + 2). Para o numerador, podemos factorizar a express˜ ao x3 − 3x + 2 por x + 2 usando a regra de Ruffini, x3

x2

x

x0

1

0

−3 2

−2 4

2

1

−2 1

0

x2

x

-2

x0

resto

donde se vˆe que x3 − 3x + 2 = (x + 2)(x2 − 2x + 1). Assim, temos x3 − 3x + 2 (x + 2)(x2 − 2x + 1) x2 − 2x + 1 9 = lim = lim =− x→−2 x→−2 x→−2 x2 − 4 (x − 2)(x + 2) x−2 4 lim

36

b) Fun¸ c˜ oes com radicais Limites com quocientes de radicais que dˆem uma indetermina¸c˜ ao 00 podem ser levantados multiplicando pelo conjugado. √ lim

x→0

x+2− x

c) limh→0

√

2

(x+h)2 −x2 h

√ √ √ √ ( x + 2 − 2)( x + 2 + 2) (x + 2) − 2 √ √ = lim = lim √ √ x→0 x→0 x( x + 2 + 2) x( x + 2 + 2) 1 1 √ = √ = lim √ x→0 x+2+ 2 2 2 = 00 . Para obter o limite temos que expandir o numerador,

(x + h)2 − x2 x2 + 2xh + h2 − x2 2xh + h2 = lim = lim = lim 2x + h = 2x h→0 h→0 h→0 h→0 h h h lim

Alguns exemplos para a indetermina¸ c˜ ao

∞ ∞

Fun¸ c˜ oes racionais No infinito, podemos calcular o limite de fun¸c˜oes racionais considerando apenas os termos de maior grau do numerador e denominador. Ou seja, se f (x) = p(x) q(x) com n m p(x) = an x + · · · + a1 x + a0 e q(x) = bm x + · · · + b1 x + b0 , temos an xn + · · · + a1 x + a0 an xn = lim x±∞ bm xm + · · · + b1 x + b0 x±∞ bm xm

lim f (x) = lim

x±∞

Exemplo 2.10 3x + 5 3x 3 1 = lim = lim = x→+∞ 6x − 8 x→+∞ 6x x→+∞ 6 2

a) lim

4x2 − x 4x2 4 4 = lim = lim = =0 3 3 x→−∞ 2x − 5 x→−∞ 2x x→−∞ 2x −∞

b) lim

5x3 − 2x2 + 1 5x3 5x2 = lim = lim = +∞ x→−∞ x→−∞ 3x x→−∞ 3 3x + 5

c) lim

Fun¸ c˜ oes com radicais No caso de fun¸c˜ oes com radicais, pode ser u ´til dividir o numerador e denominador pela maior potˆencia de x no denominador (ou, eventualmente, no numerador). Exemplo 2.11

37

a) Determinar limx→+∞

√2x+5 . 2x2 +5

Vamos dividir o numerador e o denominador por x. Como estamos a calcular √ o limite quando x → +∞, podemos assumir x > 0 e portanto x = |x| = x2 . Assim, 1 (2x + 5) 2x + 5 lim √ = lim 1x√ = lim 2 2 x→+∞ x→+∞ x→+∞ 2x + 5 x 2x + 5

2 + x5 2 + x5 √ q = lim √1 2x2 + 5 x→+∞ 2x2 +5 2 x

x2

√ 2 + x5 2+0 = lim q = 2 =√ x→+∞ 2+0 2 + x52 b) Determinar limx→−∞

√2x+5 . 2x2 +5

Como no exemplo anterior, vamos dividir o numerador e o denominador por x. Mas √ agora, como x → −∞, temos que assumir x < 0, e portanto x = −|x| = − x2 . Temos ent˜ ao, 1 (2x + 5) 2x + 5 lim √ = lim 1x√ = lim x→+∞ 2x2 + 5 x→+∞ x 2x2 + 5 x→+∞

2+ = lim − q x→+∞ 2+

5 x 5 x2

x→0+

x2

√ 2+0 =− 2 = −√ 2+0

Exemplo 2.12 Determinar os limites limx→0+ Se x > 0, temos |x| = x, e assim lim

1 √ − x

2 + x5 2+ 5 √ = lim − q x 2x2 +5 2x2 + 5 x→+∞ 2

|x| , x2

limx→0−

|x| x2

e limx→0

|x| . x2

|x| x 1 = lim 2 = lim = +∞ 2 x x→0+ x x→0+ x

Enquanto que se x < 0, temos |x| = −x, donde lim

x→0−

−x 1 |x| = lim 2 = lim − = −(−∞) = +∞ 2 x x x→0− x x→0−

Logo, lim

x→0+

|x| |x| |x| = lim 2 = +∞ e o limite em zero existe, lim 2 = +∞. 2 − x→0 x x x→0 x

Alguns exemplos da indetermina¸ c˜ ao ∞ − ∞ Exemplo 2.13

a) Determinar limx→+∞ (3x5 − 4x3 + 1) = +∞ − ∞ + 1

J´ a vimos na sec¸c˜ ao anterior que para polin´omios os limites em infinito se obtˆem com o limite do termo de maior grau, lim (3x5 − 4x3 + 1) = lim 3x5 = +∞

x→+∞

x→+∞

38

Isto acontece porque se pode por em evidˆencia esse termo, lim (3x5 − 4x3 + 1) = lim x5 (3 − 4

x→+∞

x→+∞

b) Determinar o limite limx→+∞ x3 −

√

1 1 + 5 ) = +∞ × (3 − 0 + 0) = +∞ 2 x x

x+

1 x2

= +∞ − ∞ + 0.

De forma semelhante aos polin´omios, nestes casos devemos pˆor o termo de maior grau em evidˆencia. lim x3 −

x→+∞

2.2.2

√

x+

1 1 x1/2 1 3 1/2 3 = lim x − x + = lim x (1 − + 5) x2 x→+∞ x2 x→+∞ x3 x 1 1 = lim x3 (1 − 5/2 + 5 ) = +∞(1 − 0 + 0) = +∞ x→+∞ x x

Casos not´ aveis

Podemos usar o limite de algumas fun¸c˜oes como casos not´aveis que nos permitem levantar indetermina¸c˜ oes para fun¸c˜oes semelhantes. 1.

1 x ) = e, onde e ´e o n´ umero de Neper. x Em geral podemos dizer para uma fun¸c˜ao f onde limx→a f (x) = ±∞, que lim (1 +

x→±∞

 lim

x→a

1+

1 f (x)

f (x) =e

ex − 1 =1 x→0 x Em geral podemos dizer para uma fun¸c˜ao f onde limx→a f (x) = 0, que

2. lim

ef (x) − 1 =1 x→a f (x) lim

ln x =1 x−1 Em geral podemos dizer para uma fun¸c˜ao f onde limx→a f (x) = 1, que

3. lim

x→1

lim

x→a

ln(f (x)) =1 f (x) − 1

Exemplo 2.14

39

a) Calcular limx→0

ax −bx x .

x

!  x ln(a/b) − 1 ( ab )x − 1 e = lim bx x→0 x x ! ! (ex ln(a/b) − 1) ln(a/b) ex ln(a/b) − 1 x x = lim b = lim ln(a/b)b x→0 x→0 x ln(a/b) x ln(a/b) a = ln(a/b) × 1 × 1 = ln( ) b

bx ( abx − 1) ax − bx = lim = lim bx lim x→0 x→0 x→0 x x



us´ amos f (x) = x ln(a/b) −→ 0 com o caso not´avel 2. x→0

b) Calcular limx→1

ex−1 −ax−1 x2 −1

.

 x−1  ex−1 − ax−1 1 e − 1 + 1 − ax−1 ex−1 − ax−1 = = x2 − 1 (x + 1)(x − 1) x+1 x−1 !  x−1  x−1 e −1 1−a 1 1 ex−1 − 1 e(x−1) ln a − 1 = + − = x+1 x−1 x−1 x+1 x−1 x−1 ! 1 ex−1 − 1 (e(x−1) ln a − 1) ln a = − x+1 x−1 (x − 1) ln a Agora temos, limx→1

1 x+1

= 12 . Enquanto que,

ex−1 − 1 ex−1 − 1 = lim =1 x→1 x − 1 x−1→0 x − 1 lim

e ainda (e(x−1) ln a − 1) ln a e(x−1) ln a − 1 = ln(a) × lim = ln a x→1 (x − 1) ln a (x−1) ln a→0 (x − 1) ln a lim

E assim, ex−1 − ax−1 1 lim = lim x→1 x→1 x + 1 x2 − 1 =

2.3 2.3.1

ex−1 − 1 (e(x−1) ln a − 1) ln a − x−1 (x − 1) ln a

!

1 1 − ln a × (1 − ln a) = 2 2

Continuidade Defini¸c˜ ao

Quando calculamos o limx→a f (x), analisamos o comportamento da fun¸c˜ao f (x) para valores de x pr´ oximos de a, mas o valor da fun¸c˜ao em a ´e ignorado. O limite de 40

f (x) quando x → a pode existir, mesmo que f n˜ao esteja definida para x = a. Por outro lado pode dar-se o caso de f estar definida em a, mas os dois valores, f (a) e limx→a f (x), serem diferentes. Quando os dois resultados coincidem, dizemos que a fun¸c˜ao ´e cont´ınua. Defini¸ c˜ ao: Uma fun¸c˜ ao f ´e cont´ınua no ponto a dadas as seguintes condi¸c˜oes: a) f est´ a definida em x = a (ou seja, f (a) existe). b) lim f (x) existe. x→a

c) lim f (x) = f (a) x→a

Exemplo 2.15

Verificar a continuidade de f , g e h nos pontos indicados.

2

−1 a) f (x) = xx−1 no ponto a = 1. O dom´ınio da fun¸c˜ao ´e Df = R \ {1}. Como tal a fun¸c˜ ao n˜ ao est´ a definida em a = 1 e por isso n˜ao ´e cont´ınua em a = 1.   x2 −1 se x 6= 1 x−1 , b) g(x) = no ponto x = 1.  1, se x = 1

Agora o dom´ınio da fun¸c˜ ao ´e Dg = R e temos g(1) = 1. Por outro lado, temos x2 − 1 (x − 1)(x + 1) = lim = lim (x + 1) = 2 x→1 x − 1 x→1 x→1 x−1

lim g(x) = lim

x→1

e o limite existe. Mas 1 = g(1) 6= limx→1 g(x) = 2, e portanto a fun¸c˜ao g n˜ao ´e cont´ınua em x = 1.   x + 3, se x ≥ −1 c) h(x) = no ponto x = −1.  1 − x, se x < −1 A fun¸c˜ ao h tem como dom´ınio Dh = R, e portanto est´a definida em −1 onde temos h(−1) = 2. Os limites laterais de h s˜ao, lim h(x) = lim x + 3 = 2

x→−1+

x→−1+

lim h(x) = lim 1 − x = 2

x→−1−

x→−1−

e como os dois limites s˜ ao iguais, temos limx→−1 h(x) = 2. Assim, temos h(−1) = limx→−1 h(x) = 2 e h ´e uma fun¸c˜ao cont´ınua em x = −1.

2.3.2

Propriedades

1. Sejam f e g duas fun¸c˜ oes cont´ınuas em x = a. Ent˜ao, (a) f + g ´e cont´ınua em a. 41

(b) f − g ´e cont´ınua em a. (c) f · g ´e cont´ınua em a. (d)

f g

´e cont´ınua em a, desde que g(a) 6= 0.

2. Um polin´ omio ´e cont´ınuo para todos os valores de x ∈ R. 3. Uma fun¸c˜ ao racional ´e cont´ınua em todos os pontos do seu dom´ınio. 4. A fun¸c˜ ao exponencial e a fun¸c˜ao logaritmo s˜ao cont´ınuas em todos os pontos do seu dom´ınio, R e ] 0, +∞ [ respectivamente. 5. Sejam f e g duas fun¸c˜ oes tais que limx→a f (x) = b e g ´e cont´ınua no ponto x = b. Ent˜ ao,   lim g (f (x)) = g lim f (x) x→a

x→a

6. Se f ´e cont´ınua no ponto a e g ´e cont´ınua em f (a), ent˜ao a fun¸c˜ao composta g ◦ f ´e cont´ınua no ponto a. 7. Seja y = f (x) uma fun¸c˜ ao definida e cont´ınua num intervalo I. Seja J o conjunto imagem de f . Se f admite uma fun¸c˜ao inversa g = f −1 : J −→ I, ent˜ao g ´e cont´ınua em todos os pontos de J.

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