Mat I (9-12)

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.

.

l

UNIDAD

III

LOS, NUMEROS REALES , ~

--

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~

./

Introduccl6n

La mayor porte ~el álgebra elemental está intimamente ligada al sistema

que formanlos númerosreales.

~

Los elementos de conjuntos y lógica de las dos unidades anteriores nos capacitaron para estudiar la "estructura" del sistema de números reales y comprender las propie9ades fundamentales que lo caracterizan como un campo, de manera que sin prescindir de las habilidades desarrolladas en aritmética las generalicemos y las perfeccionemos comprendiendo que siempre son válidas por "una razón", es decir que no solamentesimbolizamos y aprendemos ciertas técnicas sine;> que además justificamos los cambios o modificaciones que introduci'mos al desarrollar un razonamiento simbólico. Esta.forma de aprender las técnicas matemátic(]s justificando con la aplicación de la lógica en lo que llamamos demostración a dos columnas hace innecesario que memoricemos reglas y fórmulas al' principio, pues esto se logra,a tra\(és de la aplicación con-o tinua. y repetid.aque hacemos para justificar, de modo que si una regla . o fórmula se olvida,en el futuro, se puede deducir cuando se nepesite. No se desconoce la importancia de la mecanización para agilizar las operaciones con los números, pero ésta no nos enseña cómo aplicar las operaciones en los problemas de 'la vida real, es más bien el conocimiento de la estructura de los números lo que n'os permitirá aplicarlos a situaciones reales por analogia. '

'.

107

ObJetivos, gener..e.

\

,

\ .

Al. término de esta unidad el alumno: . 1.

Comprenderá el significado de "siste~a matemático" y de "campO".

2 . Distinguiráa los conluntos de los números naturales, enteros, raclo.

.

nal~s. irracionales y reales.'

3.

Operará cOf,'lnúmeros racionales en su forma ,decimal o dQ.fracci6n . común. y en forma combinada.

4.

Aplicará lá notación literal en la representac~6n de ~úmeros reales y valorará I(J utilidad de e~la en la generalizaci6n de ,las operaciones., aritméticas.

5.

1~

.

Aplicará el mecanismo del proceso de las demostraciones a dos cOlumnas en' la soluci6n ,de ecuaciones.

DI8gr8m8tem6tlco

.

estructural

I

Sistema matemático

I

Operació~ binaria,

] ]

Forma decimal de los números

I

Número racionol

]

Demostración. a dos columnas

I Propiedades de la igualdad . .

. Coniunto de números naturales .

.

I

Postulados de campo

ITeor~mas

3-1 a 3-10

f l.

]

Leyes de cancelación pora suma y multiplic.ación I

Ecuaciones

-) -

Teoremas sobre inversos Resta

., Factorizar

División, Teoremas sobre frác,ciones .

I

100

Glosario

Sistema matemótico. Es un conjunto de elementos y una o más operacio-

- nes con ellos. Operación binaria. Es una regla que asocia, a cada par de elementos de '

un conjunto con otro elemento único del mismo, conjunto.

- -

=-

Coniunto de números enteros. E 00 . .. - 3. 2. 1. O. + 1. + 2. + 3. + 4. . . . + 00 Coniul1to de números enteros positivos. Es el conjunto de los números en. teros mayoresque cero; es decir. N 1. 2. 3. 4. . ..

.

=

I

Coniúntode números e,nterosnegativos. Es el conjunto de enteros menores que cero; ~s decir. A

= {- 1. -

2. ~

3.

-

4. . ..}

Conjuntode númerosracionales.Es el conjunto de.los números que pue-

.a den representarse en la forma b con a y b enteros y b =1= O. Conlunto de núme'ros irraCionales. Es el conlunto--de tos números -que'no' ,

-

,

'

.

,

pueden representarse a la forma de un racional. es decir. son números con infinitos decimales en los cuales no hay repetición periódica

d~ dígitos en su' parte decimal.. Conlunto de los números reales. Es el formado por los cOl")juntos de los ,númerosrac'ionalesY los irracionales-R == D UD', , Propiedades de la igualdad. Son seis. las cuales son: reflexiva. de simetría. \

transitiva. de sustitución. aditivo y multiplicativa. Reflexiva: Todo número es' igual a sí m.ismo: si m e: R. m = m. De s'imetría: Si un número es igual a otro. entonces este es igual al primero. Sí m. n e: R y m = n entonces n = m. Transitiva: Si un' número es igual a un segundo número.. y éste. igual

a un tercer npmero. entonces el primero es igual al tercero. si m. n. 'p e: R. n;1= n y n =. p ~ m = po , De sustitución: si un número es Igual a otro. en cualquier expresión el primero bien' puede reemplazar al segundo sin. alterar el valor de '

,

la expresión (a = b Y a. b. e: R) ~ (b puede sustituir a la a). Aditivo o de suma: si a. b. c. y d e: R y a = b Y c =, d ~ a +

b + d.

'

c =

'

Multiplicativa: si a. b. c y d e: R y' a = b y c = d ~ ac = bd.' Postulados de campo. 1. Cerradura. 2. Conmutativo, 3. Asociativo, 4. Distributivo. 5. Identidad. 6. Inversos. Nota: Tqdos los conjuntos para los que se cÜmplan los seis postulados de campo enunciados, para la Adición y la Multiplicación. for'

'

man lo que se llama un campo. Ejemplo: El campo de los Números Reales.

'

"

','

Reciproco. Se dice que un número real es el recíproco de otro si se cumple la condici6n de que:

si a e: ,~ ya. ,

=1=

o, entonces:a. .

110

(2)

a

= 1, en .

- -..---------

.

Sistema

matemático y operaciones binarias

Un sistema matemático es un conjunto de elementos y una o más operaciones con ellos.

Al principiar este curso hablamos acerca del conj'untode los números

naturalesN,pues este conjuntoes un sistema matemáticova que exist~n

,

dos operaciones definidas con sus ~Iementos;.la suma (+) es una operacl6n familiar con los elementos de N, así como también la multiplicación (.). A cada par de nÚmerosnaturales se le puede asociar con otro número natural único mediante las dos operaciones mencionadas, por ejemplo: al 3 " al 4 la suma 10$asocia con el 7 y lo multiplicaciónlos asocia con el 12: . Por lo anterior decimos que ta'1tola suma como la multiplicaciónson operaciones binarlas en el conjunto N. Deflnicl6n.Una operación binaria en un conjunto es una regid. que nos a,socia a cada par de elementos del conjunto con otro

elementoúnico del mismoconjunt'o..

.

Cuando con la operación se asocia a un e1emento de un conjunto con

otro elemento '-nlco del mismo la operación se llama entonces unaria, ejemplo,de esta operación es la dé duplica~ la cual asocia al 3 c0r:-tel 6", al 4 con el 8, al 16 con el 32, etc. . '

las' operaciones de suma y multiplicación que nos son tan familiares en N, serán las únicas que consideraremos inicialmente y mós adelant,e nos servirán para definir las operaciones resta y división. las' propiedades fundamentales o postulados que caracterizan .0 un ' sistema matemático como el de los números reales las dividiremos en dos grupos. Al primer grupo lo llamaremos postulados de campo; cualq.uier sistema con dos operaciones binarias que cumpla con esos postulados se considera un campo; al segundo grupo lo llamaremos postulados de orden ylo trataremos en el próxi'mo texto. . los operaciones de 'sumar y multiplicar son operaciones blnarias 'tambien' en el conjunto de los números reales. Es decir que si tomamos dos números reales yo sean naturales como en e,l ejemplo que vimos antes o números racionales o aunirracionalés, la suma los asocia con otro nú,

mero real único y lo multiplicacióntambién los asocia con otro número'

real único.

.

.

Sean o y b dos números reales, a,b E, R lo suroo se~Q otro número real y se representa (a + b) ,la multiplicación da otro.'número real y se represéntd -(a . b) es decir (a + b.) e: R y (a . b) e:: R, en este caso los paréntesis nos indican que lo que encierran es un '010 número. . 113

I

El coniunto de los números reales El conjunto N es el primer conjunto numérico con el que tenemos contacto y fue durante muchos años el único, hasta que descubrimos que . algunas operaciones no' eran posibles con sus elementos, como el encontrar un número que sumado a otr:onos dé este mismo, ejemplo: 5 + a = 5, siendo.Q E N; hubo necesidad de inventar otro número, el O, formando así un' nuevo coniunto, pues ahora tiene un elemento más, a

este nuevo conjunto lo designaremos con la letra C.

.

"

Pero todavía había dificultades, aun en este conjunto no había un' , elemento que sumado al 5, por ejemplo, nos diera 3; para resolver este problema se definieron los números inversos aditivos o negativos y así se dice que por cada número natural "n" hay un inverso o negativo"

- n",

Este nuevo conjunto que llamaremos E, se define C0l')10el conjunto de

números enteros I positivos, negativos y cero, siendo N e E por definición. , ,También en la .multipllcaclón hubo problemas, pues ningún elemento de E, multiplicado por 8, digamos, nos da 4, lo ,cual dio lugar a que se definieran los números que resolverían el problema,' formándose otro

conjunto que llamamos el de los números racionales y que designaremos con una D, definiéndose sus elementos como sigue:

"

"Un número x es racional si se puede representar como el cociente de dos enteros, siendo el divisor diferente de O". a "x E D <=> x

= -b

'

y a, b e: E, b =1= O" ,

Existen números que no cumplen con la definición anterior, por 'lo que no son elementos del conjunto D: se les llama números irracional es: a éstos pertenece el número :n:que ya has usado antes en la geometría '01 resolver, problemas con circunferencias" , Al conjunto de los números irracionales lo designaremos' con la D', ya que su. unión con el conjunto D forma el conjunto de los números reales que será nuestro universo y que designaremos con la R¡ D U D' = R.

El número racional se. representa, como un~ división, y.así lo pode-' mos reconocer, pero ¿cómo reconocerlo cuando ten'emos el cociente o resultado de esa división? Tom~mos el nú~ero ~ , el' cociente es 0.5, ahora 2 7 el - su cociente nos da 2.3333 . . . (recue(da que los puntos suspensivos 3 significan que IQ parte decimal se sigue hasta' infinito). Con estos ejemplos se ilustra qtJa definición de los números racionales usando su presentación decimal y dice: ,

,

114

'

"Un número x es racional si SUparte decimal termina .(como en ~), 2 cuando es i~finita un dígito o. grupo de dígitos se' repite o es periódico (como el 3' en el número 2)". .

.

.

3

.

Ejemplos: Diga si los números siguientes son o no racionales, explique:

a)'

~3

Este . número es racional porque es el. cociente de dos en:teros,' 5 y. 3; su cociente es 1.6666. .. cuya parte. decimal es .peri.ódicat

b)

6 15 Este .número conocido como mixto en aritmético, es' en realidad '. 16

J

lo representación de la suma de 6 ~on 15, (en ólgebra no utllizo16 . re~os estos números porque ,se confundirían con el producto de 15-,11 ~q. . 6 por -; ) Ia suma es -, cociente de dos enteros que nos da .\

,

16 16 6.9375 cuya parte decimal .termina; por lo anterior, el número es " . . racional. Siendo N un conjunto infinito y N e R, entonces R también es infinito;' ,en seguida pr,esentamos algunos subconjuntos importantes de R:' , .

N

= {1,2, 3, 4,. . . }

C

= {Q,1,2,3,. . .}

,

E = {.'.., - 2,- 1,0,1,2,. . . }

Coniunto de números naturales~ Coniunto de números no negativos. Coniunto de números enteros.

'

O} Coniunto de números raciynales.' D = {x e: R Ix = ..!, b a,b e:, E, b =1= ,. Los cuatro conjuntos se relacionan entre sí 'i con el; conjuntb R de,

acuerdo con lo s.iguie~te:

NcCcEcDcR . Hemos definido al cónfunto de 10$números reales~ con cuyos elementos vam.os a trabajar, y mós adelante veremos los postulados de. campo en los que nos' basaremos para estructurar el "campo de los números

reales".

'

,

Propiedades de la igualdad En la Unidad 1 se ha introducido un símbolo, que como'los números naturales y el de la suma, ya' nos era familiar, el signo de igualdad (=), que ya fue definido en los conjuntos, y que ahora con los números 'nos dice

que siendo a,b e:. R y a

==

b, las letras ,nosestón representandoa un mis-

mo número. Para tener mós, elementos que nos ayuden a entender y apli. car los "postulados de campo", es conveniente antes de seguir adelante dar al'gunas definiciones acerco de los propiedades de la igualdad, yaun. . ,115

,

que algunas nos parecerán obvias o infantiles, es necesario,repetirlas y

tenerlas presentes porque nos servirán como razones o justificaciones en nuestras demostrqciones a dos columnas, sobre todo si consideramos que en álgebra los números los representamos con letras por lo que no siempre se "ve" la igualdad.

,

Postulado 3~1. Propiedad reftexiva: ,mismo.

todo n~mero es igua'l a sr

'

mE:R~'m=m Postulado 3-2. Propieda~ de simetría: Si un número es igual a otro, entonces éste es igual al primero. '

(m, n E: R Y m = n) ==> '(n = m) Po'stulad9 3-3. Propiedad transitiva: Si un número es igual a un

segundo número, y éste igual a un 30., ~nt~nces el 10. es

I

igual al 30. ,

(m, n, p E: R, m = n y n = p) ==>(m = p) , Postulado 3-4. Propiedad de sustitución:"Si un número es igual ,a otro', en cualquier e~presión en que aparezca el pri,mero puede reemplazarse .por el segundo sin alterar, el valor de

la expresión.

\

(a = b Y a, b 'E: R) ==>{bpuede sustituir a la a) Postulado 3-5. Propiedad Aditiva'o de Suma. Si' a, b, e y d son cuatro números reales y a =, b Y c = d. en,tonces .

,

-

a '+ e = b + d.

Postulado 3-6. Propiedad multipli~ativa: Si a, b.l e y d ,son cuatro elementos. de R y a = b Y e = d, entonces ac = bd. ',

'

r

Esta.s dos últimas propiedades de la igualdad, aunque se dan como postuladbs, s~ pued,endemostrar utilizando la técnica a dos column9s, proposición-razón. Demostrar: . , , (J, b,-'e, d E:: R, a

,

Proposición 1. o, b, e, d E: R 2. (a + e) E: R 3. o + e = a + e 4. a = b 5. o + e = b + e 6. e = d 7. 'o + c :::: b + d "

= b y. e == d,==> o + e = b.+ d Razón Dado Def.inición Propi~dad Dado Propiedad Dado Propiedad

.

,

de operación (binariá en; R reflexiva (postulado 3-1) . de sustitución (postulado 3-4) de sustitución

Por supuesto que ya se habrá dado cuento en la demostraci6n que algunos pasos pUéden combinarse (como el 3y el 5), para hacer más corta lo demostración; sin embargo, todavía no lo intentaremos paro ganar en, experiencia y claridad con esta técnica de demostración. Ahora usted demuestre el postulado 3-6, utilizando la misma técnico..

PROBLEMAS PARA AUTOEVALUACION 111.9

.

.

En los problemas del 1 al 15 'conteste Verdadero o Falso\ a la pro'. posición .dada. Las impticac.iones se pueden verificar usando diagramas .

de Venn 0- tas propiedades de la igualdad. En todo caso las razones o iustificaciones sólo deben ser .con lo estuqigdo hasta aquí.

1. E e D

2.

5. a e: E=> a E:N

De R

.

3.

1

N e D'

6. C U D = R

4.

a E: C ~

a E: D

7, N n c'= {O}'

8. . 10. 11. 12.

D UD'. = R 9, x ~ v'3 y 2 = Y~ x + 2 = y'3 + y Si x = y y 5 = 5, entonces x + 5 = Y + 5 Si 3 = x + 2 y 2.= .Z,entonces 3 . 2 = (x + 2) . Z Si x = 3, entonces 4 + x = 4 + 3 Indicación: De una igualdad no se deduce conclusión, como no . sea otr~ equivalente. 13. x + 5 = Y + 3 y Z = 2 => (x + 5)', z = (y'+ 3) ..2 14. Y = 4 => 2y = 2 ' 4 15. Si x = y + 3 y Y = 2,.entonces ~ =.~ + 3 ,

En tos probtemasdet 16 al 20 encuentre el número en forma decimal y conte.ste si es o no .racional. Dé sus razones. 3 7 7 16. 117. 18. 9 19, '10% de 1 4 . 11 20. '8 Nota: Et símbolo % se lee por ciento. "10% se lee 10 por ciento".

117

-~

M6dulo 10

OBJETIVOSESPECIFICOS Al conch,Jir-~I estudio de este módulo, el alumno: 1.

Recordará los postulados de campo y reconocerá su aplicación en

una dem'ostración dada.

.

-

. -

2.

.

Demostrará,proposiciones sencillas acerca de los números reales en que se utiHce~los postulados de campo. ESQUEMA RESUMEN

Postuf.ados de campo. .

-

, .'

.

Cerradura pata la suma y multipliqa.ción. . ponmutatividad para .10suma y multiplicación. Asociatividad para la suma y multíplicación. Distributlv,idadde la multiplicación respecto a la sum~. Identidad para la suma y multiplica9ión. Invetsos para la suma y multiplicación.

Algunos teoremas importantes. Problemas-ejemplos.

118

-~-. -

-

..,

.

- -

Postulados de campo

En la demostración de la. propiedad aditivo de (a igualdad, y en la de la propiedad multiplicotivaque usted hizo, hemos considerado sólo la suma y la multiplicación,.operaciones que considéramos las fundamentales y para las que se cumplen o son válidos los seis postulados de campo que

a continuaciónenunciamos.

.

"

Todo conjunto cuyos elementos cumplan con estos seis postulados para las dos operaciones que se mencionan, forma por ese motivo lo que 'se liorna un campo; los números real~s cumplen con los postulados y

por eso nos referimosal "campo de los númerosreales". .

Postulado 3-7. Cerradura. a) Para ta!iuma: Si a y b son elementos de R, entonces la su.ma también es elemento de R, y a los números a y b les llamamos sumandos. a, b e: R=> (a + b) e: R. Q) Para la multiplicación:Si a y b son elementos de R entonces el producto también es elemento de R, y a los números a . y b les llamamos factores, ,el sfmbolo que emplearemos para la muJtiplicaciónserá un punto a media altura,' con obleto de que no se confunda con la letra x. a, b e: R => (a . b) e: R. Ejemplos: a) 2, 7 e: R =>(2 + 7) e:. R b) 2, 7 e: R=>' (2 . 7) e: R Como siempre que. u~ilizamosnúmeros naturales., el resultado, de la suma o multiplicación nos es conocido (2 + 7

= 9 Y 2 . 7 = 14), podemos

aplicar '10propiedad de sustitución de la igualdad en aquellas expresiones en que aparezcan las operaclones,escribiend~ los resultados, sin que por esto cambie' el valor de la expresión" es decir que cuando apar~zca 5 + 8 se sustituirá por 13 o si es 5. 8 se sustituirá,' por 40. Con esto reducimos la expresión' haciéndola más fácil de manipular. Postulado 3-8. Conmutativo. "

a) Para ,la suma: Si a y b son números re,ales,el orden en que se sumen no afecta el resultado. a, be: R=> a + b =.b + a b) Para la multiplicación:Si a y b son números reales el orden en que se multipliquenno afecta al producto a. b é: R => a . b '= b' . a ' EjemplQs:a) 7, 3 e:,R => 7 + 3 ,=.3 + 1 b) 7, 3 e: R=> 7 . 3 =,3 . l 119

Post.ulado 3-9. Asociativo. a) Para la suma: Si a, b, e son tres númerps reales, es igual que a la suma de a yb se le sume el valor e, a que al valor o.

se le sume la suma de b y e. a, b, e E: R => (a + b) + e

=o +

.

(b + e)

.

b) Para la mul~iplieaeión: Si a, b y e .son elementos .de. R,' es igual que el producto de a con b se multiplique por c, ~ que.

.10a se multipliquepor el producto de b con e. a, b, e E: R => (o . b) . e = o . (b . e) , Ejemplos: a) 2, 3. 8 E: R =>(2 + 3) .+ 8 = 2 + (3 + 8) b) 2,.3. 8 E R => (2 . 3) . ~= 2 . (3 . 8)

.

.

Observe que en ~ste postulado el orden de los tres sumandos o. factores no se altera al aplicarlo, pero cada sumando o factpr puede escri'!" birse en el orden. que se. prefiera si aplicamos el postulado conmutativo y de ese modo en una aplicación combinada de ambos postulados, podemos representar a un mismo número real en muchas formas diferentes, por ejemplo, consideremos el número 12 representado por la suma de los . números reales 2, '3 Y 7. . 12 =;:(2 + 3) + 7 . Razones

Proposiciones .

1.

.

(2+ 3) + 7 = 2 ,+' (3 + 7)

2. 3.

2 + (3 + 7) = (3 + 7) + 2 (3 + 7) + 2 =. (7 + ,3)+ 2

4. 5.

.(7'+ 3) + 2 ;:::.2+ (7 + 3) 2 + (7 + 3) = (2 + 7) + 3

Postulado asociativo (no se. cambió orden)' I

Postulado conmutativo Postulado conmutativo sumando Postulado conmutativo Postulado asociativo

el

. en el pri.mer

Use lo.s postulados conmutativo y asociativo para escribir otras dos formas de representar el número 12 (la,6 y la 7) sin repetir ninguna de

las anteriores. \ 6.

~-------

7. --------

.

-----

,

Observe que tanto en el postulc;Jdoconmutativo','como en el asocia-. tlvo, siempre se cOhsideran dos factores o dos sumandos, razón por la

cual se introduceel paréntesis ( ) como.símbolode la asociación,es de-

cir, la suma de 3 mós 7 en el segundo paso del eiempló.anterior, representa a un nÚmeroreal, (el 10),,en donde 3 y 7 son los sumandos, pero para el 'número 12 'ambos representan un solo sumando., el 10, y el otro es el número 2; así considerados se conmutaron, es decir se cambió el orden entre dos sumandos, el 2 y el (3 + 7). El cambio el) el.tercer paso se efectuó aplicando el conmutativo a los sumandos que estón dentro del paréntesis, es decir los que forman al número 10. 120 '"

"

Postulado 3-10. Distributivo.

a) A la Izquierda: , Sean a, b, c e: R ==> a ..(b + c)' 'a. b + a . c b) A la derecha: . ,Sean a, b, c e: R ==>(a + b) . e a . c + b . c De acuerdo con esté postulado' podemos convertir un producto de sumas en una suma de productos. ,Eiemplo: El producto de sumas (a+ b) . (c + d), se puede convertir en lo sumo de cuatro productos (a . e + a . d) + (b . c + b . d):

=

Demostración: ~ 1.

2.

3.

.

.

Razones Dado , Postulado distribu(a + b)' . (e + d) '~, (a + b).. c + (a + b) . d tivo a la izquierda. Ja + b) . (e + d) (a . e + b . e) + (a '.d + b . d) Postulado distributivo a la derecho en. cado paréntesis. (Justificación para la modificación efectuada en el lado derecho de la igualdad).

Proposiciones (<:i+b).(c+'d)

=

La razón que se da justifica el cambio efectuado en el lado derecho de la igualdad con respecto a la igualdad establecida en el número 2 ¿Qué fustifica el que, esta igua.ldad sea iguat a la establecida en el número 2? , La propiedad de sustitución de la igualdad, o la transitiva, (a b en e por distributivo,entonces a t). el 20. paso; b Para abreviar las demostraciones a dos columnas en las igualdades, como se conserva inalterable el lado izquierdo para llegar a demostrar' lo propuesto, 'apoyados en la propiedad de sustitución de la igualdad, no lo escribiremos más que en la primero y última expresión o cuando se necesite para justificar algún cambio. E~to lo mostramos en la continua-

=

=

=

ción de la presente demostración.

.

-

Razones

Proposiciones

4.

=a . e +

5.

'= a . e + (a ..d .+- b . e) + b . d

(b . e + ,a . d) + b . d

6. (a + b) . (e

'

,

Postulado asociati-

,

vo (para, el cambio. del lado derecho).: . Postulado conmu-

tativo (con los sumandos asociados . .

por el paréntesis).

+d) = (a .-e + a . d) + (b . e + b . d) tivo. Postulado asocia. 121

"

En la expresión Inicial de esta demostración podemos notar Que los paréntesis. al asociarlos a dos números con su suma para representar as{

.

a un solo número, nos sirven también para indicar la multiplicación.. de modo que podemos suprimir el punto que .Ia simboliza y también ~s pOSible suprimir este símbolo. cuando lo~ factores que se multiplican, no provoquen confusión O' ideas' equivocadas. .por ejemplo: el producto o b puede escribirse simplemente ob; el producto 5 . x puede escribirse 5x. . Per~ en el producto de 2 3 no se puede eliminar el símbolo porque leer.íamos veintitrés (23). En seguida ,presenta'mos algunos ejemplos de la aplicación de los cuatro postulados vistos hasta aquí. con objeto de fijar' bien e~ ~uestra mente su aplic,ación y por tanto su comprensión., Ejemplo 1'. Demuestre: x, y e: R => (2 x) (3 y) = 6 (x . y)

.

.

. . .

Proposiciones

.

.Razones

1. x, y e: R 2 . 2. x, 3 . Y e: R

Dado Postulado de' cerradura para la multiplicación. . El' producto de dos números reales es

otro númeroreal.

3.

(2x) (3y) e: R

4.

(2x) (3y) = 2 (x . 3)Y

5.

'

.6.

7

.

(2x) (3y)

.

Postulado de cerradura (ya no usamos los puntos para la multiplica-

ción).

= 2 (3x) y = (2 . 3) (xy) = 6xy

I

,

.

Postulado asociativo. Postulado conmutativo. Postulado asociativo (nótese que el punto de la multiplicación lo usamos sólo cuando el suprimirlo causaría confusión) . Postulado 'de sustitupión de la igualdad (2 . 3, = 6).

Elemplo 2. Demuestre: o E: R ==> (20 + 5) + 3 (2 + o) = 50 + 11

Razones

Proposiciones

Postulado distributivo.' Postulado conmutativo en el paréntesis derecho. Propiedad de sustitución de la rgual-. 'dad (3 . 2 = 6). Postulado 'asociativo. 'Postulado conmu-

1.

'(20+.5) + 3 (2 + o) = .(20+ , 5) + (3 . 2 + 30) 2. = (20+ 5) + (30 + 3 . 2)

3.

= (20 + 5)' + (3CJ+ 6)

4.

=20 + (5 + 30) +. 6

5.

= 20 + (30 + 5) + 6

. 6.

= (20 + 30) + (5.+ 6)

tativo.

,

'Postulado

'

asocla-

t~o (el orden cambió).

122

no

7. 8. 9.

= (20 + 3a) +

11

= (2 + 3) a + (2a + 5) + 3 (2 + a) = 5a + 11

11

Propiedad de sustitución. Postulado dIstribu-

tivo.

.

Propiedad de sustitución (2 + 3 = 5).

NOTA IMPORTANTE: 'En el paso 8 de la demostración anterior' se efectúa una aplicación' del postulado distributivo pero leyendo el postu~ lado de derecha a izquierda Q justificando esto por la propiedad simétrica de la igualdad como se ve en seguida. (x + y) z = xz' + yz ~

xz + yz = (x +. y) z

Esta forma de apl1pcirel distributivo es tan frecuente que tiene un nombre especial. se llama factorlzaclón o también sacar factor común. Analice todos los cambios efectuados en las dos demostraciones anteriores y observe las razones o justificaciones para cada uno de ellos, de modo que pueda aplicar la misma técnica en los siguientes problemas para auto-evaluación. Siendo las operaciones de suma y.multiplicación asociativas y conmutativas con los .números reales, la suma de niás ee dos números o el producto de más de dos números, pueden representarse en. la asociación u orden que más convenga sin alterar el resultado, por lo que podemos '.

.

.

eliminarlos paréntesis hasta que nos interese señalar alguna asociación u orden en particular.Eiemplo: 1. a + b + e + d = a + (d + e) + b = (a + e) + (b + d) = etc. 2. abc = (ab) e = b (ac) = etc. "

Pos~ulado3-11. Identidad a) Para la suma: La suma de cualquier elemento de R y el cero es el mismo elemento, por lo .que al número cero le llamamos el elemento Identidad para la suma. ae:R~a+O=a. .

19) Para la multiplicación:

El producto

de cualquier

elemento

de

R y el uno es el mismo elemento, entonces el número uno es el elemento Identidad para la multiplicación. a e: R =:) a . 1 = a.

c)

.

El número cero es diferente del número uno.: O =1= 1. Como tanto el O como et 1, son números reales para los' que la .multlplicaclón y la suma son conmutatlvas, pode-

mos extender nuestro postulado como sigue: . si a e: R ~ a + O O + a = a, a . 1 = 1

=

. a = a.

En cada Inciso del anterior postulado de campo hemo~ utlllzS1doun solQ número como elemento Identidad; c,",andose presenta una sltuaci6n asf, decimos que ese elemento usado es unleo. 123

~eorema ~-1. El.elemento identidad para la suma es único, y es ,el O. Teorema 3-2. El elemento identidad para la multiplicaci6n es único, y

es el 1. A diferencia 'de I~S postulados, los teoremas son aflrmacione's que ~ se deben' demostrar, y p,ara utilizar sus conclusiones. en Qtras demostra-. ciones deben haber sido demos~rados; las demostraciones que hemos '

,

realizadohasta aquí, han'sido aplicacióndel razonamientodeductivo;em- .

pezandocon una proposición que es dada o ha sidq iustificada, hacemos luego modificaciones básándonos en ,postulados o propiedades para 'asegurarnps dé su validez, hasta llegar a la proposición'que queriamos demostrar. Ese método se conoce como el método Directo. Para la demostración de los teoremas anteriores utilizaremosun método Indirecto, mi$mo que se aplica a todos los teoremas ó problemas semejantes a éstos. Demostración del teorema -3-1. , . En primer lugqr..consideramos como verdadera la ,proposición que niega lo que se pretende demostrar (razón del nombre de indirecta para la demostración). sea la hipótesis Q e: R, otro elemento Identidad diferente . del O .fnegación de, que O sea único), a :1=O.

Razones, Dado "a" como otro elemento identidad, aJ sumario al Ovuelve a dar O. ,Dado. Postulado de ,identidad.a e: R=> a + 0= a. Postulado conmutatlvo para la suma. .Propiedad de sustltucjón de la-igualdad. La conclusión a la que llegamos contradice lo que aceptamos en el enun-

Proposición O +.0 ==O

a -:;éO a + O a' a+O=O+a ,

'

=

-

a=O

ciado como hipótesis, a :1=O.

=

Con~lusI6n: Es falso que a :1= OYpor lo tanto a Osiendo,entonces un elemento "único", es decir que no Importa cómo lIa1memosal elemento Identidad, Q, b, etc. siempre es -el cero. Emplee también el método indirecto para demC?strar el teorema 3..2. ,

Postulado 3-12. Inversos a) -Para la suma:- Para todo Q e: R existe otro ,eJementp de R; (.- a) llamado'el inverso para la suma de modo que la suma de, los dos es O. b) Para la multiplicación: Para todo a e: R, Q' :1= O,existe ,otro 1 . elemento de R, (-)a I llamado el Inverso de la multiplicación' ' , \ I

'

de modo que el producto de los dos es 1.

a e: R=> a + (- a) = O ,

124

-

1 Q e: R, a :1=O=> a ~(-) = 1 , . a '

En cada~aso e1 resultado es el elemento identidad correspondiente a la operación efectuada, y siendo estas operaciones conrnutativas nuestro postulado puede extenderse a: a

+ (- a) = (- a) + a =O 1 -a

= (-)a1

a . (-)

!

a

= ,1;a

=1=

O

Se p,ueqedecir que todo número rea'l tiene un inverso para la suma y otro para la multiplicación,con la excepción anotada del O;estos inversos también son elementos únicos.

"'

Teorema 3-3. El inverso para la suma de a e: R, es' (- a) y es único. Teorema 3-4.El inverso para. la multiplic~ciónde a e: R, a =1= o es .1. a y es "

único. Las demostraciones "indirecto.

de estos teoremas son también .por el

.método'

Demostración del teorema 3-~.. Aceptemos que el número representado por b es otro inverso aditivo

-

para el número a; b =f::

a.

.

a + b ::; O

a + (- a) :::; O a+ b

= a + (-

Dado "b" como inverso de "a" la

suma es O. Postulado de inversos. ~fl)riAdnd transitiva de la Igualdad a = b, b = c => a -= c.

a)

-a=-a - a +'(a + b)= - a + [a+ (- a)] (- a + a) + b = (-'0 + a) + (- a) O +"b = O + (- o)

C~nclusI6n: b"resultó s~r Igual a

-

Propiedad reflexiva de la i'Qualdad. Propiedad aditfv,ade la igualdad.," (a = b,C = d =>a + c = b + d) Postulado asociativo. Postulado de inversos. (Escogimos - a para agregorlo con objeto de conseguir estos' dos ceros). Postulado de identidad. a + O = a.

(- o), contradiciendo lo supuesto

b =f:: q, por lo que lo supu~sto debe ser falso, y en realidad sólo hay un inverso que es (- o). . "

"

Corolario: SI la suma de do& números es cero, entonces un número es el inverso aditivo del otro. a, b.e: R ya + b

= O=> b = -

a 6a

=-

b

D~muestre,utilizandoel mismo método, el teorema 3-4. . Corolario 01 teorema 3-4. $i el. producto de dos nCameroses 1, entonces un número es el inverso multlpllcativo del otro.

125 '-

a, b E: R; a y b =1= O, si a .

-.

.b

= 1 =::) b = 1.. ó a = 2. a b

Para evitar confusiones que nos lleven a cometer errores al usar los inversos de .Iosnúmeros reales, llamaremos de aquí .en adelante inverso de un número sólo al aditivo,y.al multiplicatjvo~ollamaremos el recíproco.

I

Algunosteoremas importantes Demostraremos ahora algunos teoremas que son una consecuencia di-recta de los postulados y teoremas demostrados hasta aquí. Los.teoremas que siguen complementan nuestro estudio y nos proporcjonan, junto con lo anterior, información suficiente acerca de los números reales y sus relacio.

nes, de manera que podamos resolver problemas con literales, es .deeir . generalizaciones planteadas como proposiciones abiertas, y que obtenga- -

mos los elerrentos que forman el conjunto solución.

.

Teorema 3-7. Ley de cancelación para la. suma . x + z V + ,Z ==> x y

=

=

NOTA:Observa que en la hipót~sis no se incluye X,V,Z E: R. En adelante, si no se menciona otra cosa, los elementos serán. números reales. Demostración Proposiciones 1. x+z=V+z 2. (x + z) + (- z) = (V+ z) + (- z)

.

Razones

\

Dado Propiedad aditivo de la igualdad. Nosotros escogimos una segun-

do igualdad ~ z = - z a nues'tra conveniencia, pero sin escribirla, teniendo en mente' la conclusión a la que queremos llegar; x V. 3. x + [z + (- z)] V + [z + (- z)] Postulado asociativo Postulado de inversos = V+ O 4. x + O Postulado de Identidad 5. x V

= =

=

Es tan frecuente el uso del artificio empleado en el segundo paso de la demostración, que lo concretaremos en una definición con la que justificaremos ese paso en el futuro, incluyendo la aplicación multiplicatlva. Definición: Una igualdad no se ciltera si sumamos o multiplicamos en ambos lados de la igualdad por -un mismo número. . Teorema 3.8. Ley de cancelación para la 'multiplicación. xz = yz, z =1= O==>x = y 126

-,

Demuestre este teorema aplicando la misma técnica. considere la definici6n que acabamos de dar. y que es consecuenc,a de la apUcaci6n de la propiedad multiplicativa de la igualdad y de la p~opiedad r.eflexiva. Teorema 3-9. Si x

= y<=>-:- X =

-

y

Demostraci6n.Escriba las iustificaciones a cada paso. . Demostrar: x = y==>- x = - y .. x= y x + (-- x) = y + (- x)

O= Y + (- x) - y + O= - y + [y + (- x)) . - y = - y + [y + (- xlJ - y = (- y + y) + (- x) - y -:-O+ (-- x)

-y=-x. -x=-y

Como la flecha nos indica una d~ble implicaci6n debe demostrarse también en el otro' sentido. Demuestre que - x = - y ::=) x = y. El teorema ya demostrado no~ señala que dos números son iguales, si y s610 si sus inversos son iguales. .

Teorema

3-10_~

Si x = y

1. <=>

~

x

.

=

1

-. x.y #: y

O

Demuestre. el teorema anterior que nos enseña que dos números son iguales. si y 's610'si sus reciprocos son iguales. . Las proposiciones abiertas. que mencionamos, se definieron como aquellas proposiciones que tenian una variable en su estructura .y un coniunto de reemplazamiento para ella. En ólgebra, cUándo en estas proposi-. ciones interviene la igua~dad, las conocemos con el nombre de ecuaciones y al coniunto de 'verdad se le lIoma simplemente "la soluci6n de la ecuacI6n". En otras palabras, la ecuac1ón es una igualdad concUcionada s610 para ciertos valore.s de la variable. los que forman un coniunto-lIamado la solución, consideramos. como yd se dHo. que el coniunto de reemplazamiento es el de los números reales. Tenemos entonces los elementos necesarios para encontrar la soluci6n de. ecuaciones sencillas, s610 que por el momento disponemos únicamente de dos operaciones. la' suma y la multiplicaci6n. -

Elemplo a).'Sea 3x + 5

.

~

Soluci6n: Proposici6n 3x+5=23

23 una ecuaci6n con una variable, x e: R.

3x + S = (18+ i)

3x + J = 18+.J 3x=3.6

Razones I

Dado . Propiedad de sustituci6n de la igualdad,' 23 = 18 + 5 Ley de cancelaci6n parp la suma. I

Propiedad de sustitución de la igualdad, 18 = 3 . 6 .

127

.

Ley de cancelación para la multiplicación.

.

x=6

¡

-Coniunto

= {6}

solución

El conjunto solución,en este caso, o también el conjunto 'de verdad de

la proposiciónabierta,tiene sólo. un elemento,el número6. .

Eiemplob). Resolver 7x + 2

Solución:

= 5x +

----

7x + 2 = 5x + 10 (5 +.2) x + 2 = 5x + 10 (5x + 2x) + 2 = 5x + 10 5x + (2x + 2) =,Sx + 10 2x + 2 ='8 +2 2x +:2'= 8 +.2' 2x-=2.4 ,x ~4

solución

= {4}

---

---

-----

----'

Eiemploe). Resuelva 3x + 5x Solución: 3x+ 5x 15 (3+ 5)x = 15 8x = 15

= 15. Proporcione las razones.

=

1 8 1 (- ~ 8) x 8

- - - -- -- --

-----

1 ) . -15 - 8, 1 (-) . 15 8 1 .

(-) (,8x)=(-

1 .x

=

= (-)8,

. 15

= ,(~)1

. 15

x'

.

'8

-Coniunto solución ''\ .

(

, 128

'

.

= {(.2.. 15)} 8

....

'

---

,2'x = ,2' . 4 Coniunto

10.Proporcione las razones.

-----

'

'

'

'

PROBLEM~S PARA AUTOEVALUAC.ION 111-10

1. Proporcione las razones para la demostración de la siguiente proposición:'

I .

1.

2.

.'.

.

o.,b, X,y,E R => (xa+,ya) + (xb +- yb) = (x + y) (a + b) :

(xa + ya) + (xb + yb) = (x + y) a + (x + y) b

3. = (x + y) (a + b). . 2', Demuestre a dos columnas Que:(x + 2) + a = 2 + (a + x) 3. Demuestre o dos .columnas que: x [(a + b) + c] = xa + (xl;)'+ xc) 4. Consideraremos conocidos los tablas poro sumar los 'números del 1 019 únioamente.y que estos dígitos tienen un'valor de acuerdo con su posición o lugar que ocupan en un número (unidades. decenas. centenos. etc.); ejemplo: el 3 en primer lugar,vale 3. en segundo vale '3 . 10 = 30. en tercero vale '3 . 100 = 300; entonces podemos justificar con los postulados vistos hasta aquí la suma de dos números,cualesquiera. Ejemplo: demostrar 27 + 36 = 63 (Proporcione las razones después de lo primera).' .'

Proposiciones 36 = (2

1. 27

2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

.

+

. 10+ 7) +

(3 . 10 +' 6)

=[2.10+(7+3.10)]+6 = [2 . 10+ (3 . 10+ 7)] + 6 = (2 . 10+ 3 . 10).+ (7+ 6) = (2 + 3) . 10 + (7 + 6) :::;

5

. 10 ¡f-

Razones Definiciones del valor de los dígitos dé acuerdo con su posición y sustitución de laigualdad" (27

= 20

-~--------

+ 7.

f

36

,-

= 30 + ~)

13

= 5 . 10+ (1 . 10 + 3) = (5 . 10+ 1 .' 10)+ 3 = (5 + 1) . 1-0+ 3

'10. 1'1.

= 6 . 10 + 3 ' . = 60 + .3

12. 27 + 36.::='63, 5. Utilice el problema ánterior como modelo poro justificar la siguiente suma: 21 + 36 = 57. . Justifique cado una de las proposiciones dadas con algún postulado

de campo o alguna propiedad de la igualdad. .

6. (8 + 5) . O= 8 . O + 5. O 7. 7(3 y'2) = (7 .3)v'2

8.

OX'

.

1

+ ay == a (x + y)

.

9. x + y = z ==> (x + y) + z = z 10. -=x=>x=3

1

.'

.

l

+z

"

..3

129

,i

Llene los espacios en blanco. de modo 'que la proposición cumpla con uno y s610,uno de los postulados de campo, dé el nombre del postulado. . 1 .

11. (2 + ~) + (3+ -) = [(2+ ~) +

]+

.' .. 2 12. (7.,3).2=~(-.~) 13. (8+3).4.=_(~+---J. 14. [2(5 + 7)] ft = ~[(-l ] Demuestrea dos columnas las siguientes proposiciones:

15. [(x + y) + 5J+ z = (x + 5) + (y + z)

.

16. (x + 3) (y + 5) = (xy + 3y) + (5x + 15) 17. Escriba 10 formas diferentes de la suma (2 + 3) + 5, y 5 formas diferentes del producto (2 . 3) 5, usando los postulados de .campo que lus. tifiquen los cambios que introduzca.

.

Escriba,cuál o cuáles de los postulados o teoremas ya demostrados

.

justifican la proposición dado en los problemas del 18 al 43. No debe ser necesariamente sólo un P?stulodo o t~orema, pueden ser más de ,uno. \

18. 3 + O = 3'

.

1

19. (~o) + O=-0

20. 21. 22. 23. 24.

32..

1. 1 ==1 (-1). 1 = -1 1.6 = 6 O+ O= O (- v'2) + v'2 = O

-

,

1 . 25.3("2).=1 . 1 1 26. -.:... - = 1 5 '1 (-) .

3.¡2.x.'

36.0+2=0=>0=-2 37.0+0=-2=>0=-2 1 38. o. b = 1 => a ~ (-) . b

5

. .

.

27".(- 5) + [-- (- 5}) = O 28. it + (- 7tT= O 29. x + y = x. 1 + y. 1. . 30. . 0.+ 1 . (x +. y)

31. (v'2 + 7) .

. (-4) = 1

(- 4) 33. (xy) + xy = O 34.- [x, + (O+ y)] ',+ (x + yj = O .1 . 35. 3 v'"2. x = 1; x :1=,O

t

x

39; a. 3= 1=> '..

'.

(--) 3

.40. x + =3= O=> x =-3

+y

V2 + 7;

1 a,'

41. 3. x = 3 => x = 1

= '1

42. x + 2x = 3x

.

43. 2a = 2 => a = 1

44. Complete la demostración'qel siguiente teorem~, dando las fustificaciones. Teoremo 3-S.EI producto de cualquier número'rebl y cero es cero x e: R => x O = O . x = O .

.

Demostración:

0+0=0 x = x x(O + O) = x . O x . O+ x .10 = X . O .

x . Oe: R=> -(x. O)e: R -(x. O)= -(x. O)

--~---

-------

-,--

130 -....-

I

\

-

-(x.. O)-+ (x . o + x . O)= -(x. [--:(x '0) +' x . O] + x. O= -(x.

.

.

-

---

O)+ x " O O)+ x . O

O+ x . O=.(}

---------

x.O=O O.x=O x.O=O.x=O

.

---

45. Justifique la demostración-quesigue: ",EI inverso del inverso de un x E: R => - (Demostración: x +- ((- x) + .

núm~ro es el mismo número". x) = x --x) ~ O --x, = O --x = - (- x)

46. Demuestre que: "El recíproco del recíproco de ~un número es el mis-.

.

1 '.

mo número" x E: R, x =1=O=>:

1 (-) x

. \

!

= X

47. Complete la demostración del siguiente teorer:na: Teorema 3;.6. El producto de dos números reales es c.ero, si y sólo si. el primer factor es, cero o el segundo fa9tor es cero.

x, Ve: R,xV= O<=> x =.0 ó V= O xV = O~x

= OÓV-= O

Demostración: Si x :f:. O,entonces tiene u'n reciproco ..

XV

'.

(~)

x

--_:

= O

1

1

x

x..

---

-;;;;;;;;;;;;;;-

---

1 1 (-) (XV) :;: .(~) . O

x

Conclusión: .

x =1=O => V =

x

-.--

.

O.

La contrapositiva de la i.mplicaciónanterior es también verdadera y dice: y :f:. O:=) x = O . . Como el símbolo del teorema representa una doble implicación debe entonces probarse en ambos sentiqos, esta otra demostración la justifica un teorema ya demostrado.

..'

.

X=OÓV=O=>x.y-.O Demostración:

----------

-x,y e: Rx = O '-. O.V=O x, y e: R, V = O . x.O=O

Conclusión:x = OÓV = O~

--.

xV = O

l.

131

Resuelva , para la. variable.

48. 2x + 3 = 5 49. 3x + 1 = 4 1 . 50. ~ = 2

.

x 51.' -x = 6. . 52. 7x + V'l = 14 + ..J2 53. x + 2 = O 54. - x + (- 8) = O .

! 55. ~ (x + 2) = OIndicación:aplique~I Teorema 3-6 xy 56. (x-+'4) x = O' 57. [x + (- 1)] (x + 2) = O

,.

132

..I

= O(:::)

x O6

Y

=O

I

M6dulo 11 l

/

OBJETIVOS ESPECIFICaS. Al término del estudio de este m6dulo, el alumno: . 1. \,

.

,

ApUcar6 los postulados' de las operaciones binorias suma, multiplicaci6n y resta en expresiones algebrarcos enteras.

2.

Ju'stificará el establecimiento de proposiciones en que se utilicen pro.

piedadesde los inversos.

.

ESQUEMA RESUMEN

Algunos teoremas importantes sobre los inversos. - El inverso aditivo del número cero es el mismo cero (- ~) . b = "'7 ab -; (a y b e: R) ("7 a) . (- b) = ab .; (a y b e: R) - (a + b).= (~ a) + (- b) ; (a y b e: R) .La Resta. Definlci6n ynotaci6n.. Teorema de la resta.

"

133

Algunosteoremas importantes sobre los inversos

Hemos definido ya el inverso aditivo de cualquier número real y al sí~mbolo' con, el que lo representamos (-). y sólo en ese sentido utilizamos el signo (-:-). Veamos ahora algunos teoremas que nos serán muy útiles para manejar 'las relaciones entre los números, reales. Teorema' 3-11. El inverso' aditivo del número cero es el mismo cero. -0=0. ' DemostraCión:

, Postulado de identidad. a + O= a PostulQdode inversos.a + (- a) = O

0+0=0 O+ (- O)= O . O+ O= O+ '( 0= -'O -0=0'

-

"

Teorema 3-12.(- a) , b = Demostración: ,

[a+(-a)]=O

[a + (

Propiedadtransitiva

O)

-

(ab) Postulado de inversos Propiedad multiplicativa

'

a)] b = O. b

ab + (- a) , b ab + (- a) b (- a) b

,

Postuladp de identidad para la suma Propiedad simétrica de igual~ad

dad

= O. b =

'1de la, igual'

'Postulado

distributivo

Teorema, de multiplicación por O Corolario del teorema 3-3 que dice:

O,

'

= - (ab),'

á+b=O=>a=-b

'

,

Deacuerdoconi"elteoremaanteriorlas expresiones(- a) b" 6

son equivalentes y pueden escribirse como

{- 2) 3 '~ - (2 ' 3)

= 2 (-

3)

Teorema 3-13.(- a) (- b) = ab -Demuestre

=-

6

- ab. Elemplo:

,

- (ab)

'

este teorema utilizando pasos semejantes a,,los de la de-

mostraciónanterior.

"".

=

,Los dos leoremos ,anteriores junto con la identidad (a) (b) ab. man lo que ,lIamQmQslas reglas de los signos 'para la multiplicación. Reglas de los signos.

=

(a) (b) ab:positivo por positivo. producto positivo. e (- a) (- b) == ab negativo por negativo. producto positivo.

for-

.

'

(~ a) b = a (- b) = - ab' negativo por positivo o positivo por negativo. producto negatJvo. En forma condensada .podemosdecir que: El producto de factoproducto de ,factores de sig-

res del mismo signo es positivo. Y'el nos contrarios' es negativo., '\

134

.

,

'

Teorema

3-14.

- (a + b) = '(- a) + (-

D.emóstrac!ón':.Escribo los justificaciones , ,

b). poro codo poso.

(a + b)+ [~ (a

'

+ b)J:::; O

I

.

[(- a) + (~b)] + {(a+ b) + [-,(a + b)]} = O+ [(- a) + (- b)] ,([(- a) +,(- b)] + (a'+ b)} + [- (a + b)] = O+ [~- a) + (- b)] ,

{[( -- a)

+ (- b)] + (a + b)} + [- (a + b)] = (- a) + (- b)

{[(~ a +' a] + [( ,

- b) + b]} + [(O +0)

+,[-

-

(a + b)] = (- a) + h- b) (- a) + (~b)

(a,+ b)] = (a + b) =

(- a) + (- b)

,

.

Este teorema, justifico que cambiemos todos los su'mandos por su inverso aditivo que correspondo 'cuando lo asociación, precedido de un signo negativo, quiero eliminarse. Elemplo:

o) - [2 + (3+ a)] = (- 2) + [- (3+~)] = (- 2) + H- 3) + (- q)) ,

l"

.

,.

.

Los, conjuntos de problemas anteriores nos proporcionan, o través ,de lo continuo ,y repetido aplicación de los postul(1doS y teoremas, la habilidad necesQria poro que en el,futuro, 01brincarnos posos, no se pierda la noción ,

1

de lo qt,Jeestamos,buscando y abreviemos los problemas sin,equivocarnos. '

Insist.o en la importancia de desarrollar los proble'mas como lo venimos haciendo, para gradualmente irlos simplificando o acortando, esto tiene por objeto también, que se aprenda los postulados y -teoremas a través de su aplicación repetida y no ,con su lectura'repetida o memQrización. " Laresta Hemos considerado hasta aquf sólo dos operaciones con los nÚmeros reales, la suma y la multiplicación, de manera que los postulados, de campo se cumplen como se ha demostrado sólo' paro esas operaciones: por esta razón las operaciones de',resta y división se definen en tér,minos de las dos. (mteriores. .

-

'

~ ,

I

La resta se define' como: la operación blnarlal'que asocio o dos' .nÚmeros, reales x, y, con otro número real único llamado la r~sta o la diferencia "r", de manero que x - y = r <=>x' = y + r. Elemplo: 7 -:' 2 = 5; ya que7 = 2 + 5. ',,'.

Como con~ecuencia de lo ,anterior vemos que el signo (-) tiene dos usos diferentes, uno paro indicar el inverso aditivo y el otro para 'represen-

'tar la. operación ,

de restar.

.

,

Teorema 3-15. La operación de restar un número es equivalente. a sur:nar , el inverso de ese número, ,a~ b = CI+ (- b) = r , 135

~

,

. "

Demostración: /.

"

Definición de restar a-b,= r<=:>a= b + r a + (- b) = (- b) + (b + r) Propiedad aditiv~ de la igualdad a + (~b) = (- b + b) + r Asociativo

a + (~b) = O+ r

a + (- b) = r a- b

=a +

Inversos . . . Identidad Propiedad de sustitución de la igual-

.

.

(- b)

. .

dad

'

Este último teorema trene una gran Importancia ya que al transformar la resta en .una suma, nos permite utilizdr todos los 'postulados de campo ya definidos para la suma, en la operación de restar y lo llamaremos Teorema de la resta. Elemplos: (x + V) z = (x + V)+ - z), siendo ya una suma se le puede aplic~r .

-

'.

el conmutativoy asociar$e como meior

.

convenga. (- z) + y =. (- z) + x + y =x-z+V=-z+x+y

=x +

Teorema 3:16. a (b - e)

-

Demostración: C!I(b . . a [b +

e)

= ab -

=

Dado' Teorema de la resta

(- e)] =

. ab + a(- e) = ab + [-(,ac)] = ab-ac

ac

= ab-ac

.Distrib.utivo .

.

Producto de factores con signos contrarios. Regla de los signos Teorema de la resta

Este teorema nos enseña la forma' de distribuir un factor sobre una res~. .

.i 136

/'~

./

PROBLEMAS

PARA

AUTOEVALUACION

111-11

.

;/

~"

_//

En los problemas del 1 01 16 diga cuál es la razón que justifica cada proposición. '

,

1

'1.0+0=0

1

'

10. 1-) .(-) = 1. 15 1

2. (- 3) + - (- 3) = ó

3~ (- 2).+ (- 6) = - 8 4. (- 3) [- (2 + x)] =.3 (2 + x) 5. -14= (-4) + (-10) 6. -(2x) ,=,14=> 2X= -14 7. x(- 2y}= - [x(2y}] 8. (-3)x = 12=>3x = -'12

15

11. -x

,

=.3==>x =-3

12. ~y=(-1)y

I

13. z = (- 1) (--- z) 14. (-2)(-4)=8 15. (- 3) (6) = - 1'8-

9. -. x = -4' , => x = 4

16. ~5

= (-4)

+ (-1)

Utilizando los' teoremas y postulados hasta aquí vistos re.suelva para "x" las siguientes ecuaciones. Hágalo por pasos asegurándose que conoce la iustificación para cada cambio que introduzca, pero no es nece~orio que escriba estas iustificaciones. ,

'

17. - 7x = 10+ (- 2x) Solución:(- 7)x = 10+(- 2x) (- 7) + 2x = [10+ (- 2x)] + 2)( (- 7)x + 2x = 10,.+ [(- '2x +' 2x)] (; 7)x + 2x = 10 + O ' (- 7}x + 2x = 10, [(-7)' + 2]x = 10 [-(5 + 2) + 2]x ==10 {[(-S) + . (- 2)] + 2}x = 10 >

.[- 5 + (- 2+ 2)]x = 10 ,

Y,

(- 5 + 'O)x= 10. (-

5)x = 10

.

(- 5)x= (- 5) (- 2)

(- ,/5)x

= (- (5) (- 2)

x=~2

-ab =. (-.;..a)b Propiedad aditiva de la Igualdad Asociativo 'Inversos Identidad Distributivo Sustitución . -(a + b.) = (- a) +: (- b) Asociativo

Inversos

¡

Identidad Sustitución y Teorema I (-

a) (~

b)

= ab

Canc~lación' para la multipllcC?ción '

18. 7x + 3 = - 18 19. -6x=-ax+4

20. -3x=27 21. 15x= ~4X + 38 '

137

..

~ .

~ ~

o;::

''''

Ellcuentre el númer.o que se represento en codo probiemo. Efeotúe los ,co",blos. y escribo lo iustiflcoclón como se muestro en el número 22. ,

22 4 + 2(7-12) Solución: = = = = =

4 + [(2 . 7) - (2 .'12)] Teorema a(b -lo e) = ,ab- ac 4 + (14- 24) 'Sustitución'.' 4 + .(.14+ (-24)] Teorema de lo resto .(4 + 14)+ (- 24) Asocio~ivo 18 + [-(18 ;.: 6)] Sustitucion ~ . (24 = 18 + '6,A + 14 = 18) = 18 + '[(- 18) +'. (- 6)] Teorema .

-(a + b) == = [18 + (- 18)]. + (- 6) Asociativo'

4 + 2(7-12} 23. 24. 25. - 26. 27. 28.

=0 + (- 6) . =

-

Inversos

6

I

-

(~a)

+ (-b)

.'

\

.

Identidad

(5~2) (-15-8) [-15 ..:..01-9)] 2- (3-7) 2- [5 + (3~5)] 15-

[6-3

(4

+ 2)]

29. 3 + [2- 2 (5- 8)]. . .

I

. 30. Dem.uestrela siguiente. implicación:

x

+a =

b~

.

.

x = b -' a (Esto e,suna propiedad m~y uso.

do en lo solución de ecuociones).

138.

...

M6dealo 12

'OBJETIVOS ESPECIFICOS Al término del estudio de este módulo, el alumno: 1. 2.

Demostrará algunas propiedades sencillas de la división usando propiedades conocidas de la división y los inversos. Expr.esaráun número racional de la forma decimal a frac.ción común Iy

, 3.

4.

viceversa.

.

..

.

'"

.

Escribirá el recíproco de un término algebraico dadó.

Simplificará expresiones algebraicas -fraccionarias.

ESQUEMA RESUMEN La División. Definición y nota.ción.

...

. Teorema de la división. ~

Teoremas sobre fracciones.

.

x

z

=-

V w x .-=-

xz yw xz

vz a e - = - <=>ad = be b d V.

1

a

-- b. a

I ;

(~, y, z, w

~

R con V;

; (x, V, Z, E: R con. V, z

~

*" O)

*" O)

.

; (a, b, e, d, e: R con b y d *" O) ; (a y b' e: R con a. y b *" O)

b

139

-

~

--- A - - -

,La división

La división es una operación blnarla Que asOcia a dos ,números r~ales' x~ y, con un número real, único lIamado.el cociente "R" .

.

x

.

.

de modo que si y' #= O,x + y -, ,- = c (=::)x = c y .

.y

.

Lodivisiónes una operación definida en términos de la multiplicación, de modo que los postulados válidos poro lo multiplicaciónlo son también para la división a través del siguiente teorema; se emplean dos símbolos y los números que intervienen toman diferentes nombres según la nota.

cián empleado, o saber: COl')'el primer símbolo (+) el pri.mer número se llama dividendo- y el segundo divisor; con el segundo,' llamado ¡formo

de fraccióny el.másusado, 01númerode arriba le llamamosnumeradory

01de abajo denominador¡ en 'ambos casos e,l resultado único es el cocien:' te "R". .

Teorema 3.17.,Lé operación de dividirdos n"meros reales es equivalente o multipUcarel numerador por el recíproco del denominador.

-ba '= a . -b1 = c¡ b #= O .

.

Nótese que tonto en lo definición de la operación, 'éol:'loen el teorema. anterior que llamaremos ~I Teorema de la División, ésto quedo definidq sólo si el denominador es diferente de cero. \

Demostración: .

.

a

-b = e

<=>

= bc

a

Definición de División

Como b #= O'existe ,

1 (-)

b

1

.

.

'

-b1

Inversos.

.

1

"

a

=- . (bc) b.

.

I

.

Propiedad Igualdad

Mul~ipliéativa de

1

(-)-a = (-b . b)c b,

Postulado Asociatiy~

1

(-) a = 1 . c b

, 140

Postulado de Inversos

la

,

-r

I

1

I

=c

a

(~)

b

a

Postuiado de Identidad 1

-=-.a b b a.

,.

b

b

-=a.-

Propiedad Transitíva Postulado Conmutativo

Teoremas sobre fracciones Presentamos. a continuación algunos teoremas básicos sobre fracciones que 'se demuestran directamente de la 'definiciónY'teorema de la división. Son muy importantes en el mohejo de los fracciones y'algunos ya los hé'mas empleado de manera' intuitivo. pero no nos debe engañar la forma

inofensivo'y simplecomo se presentan para su mejor comprensión.ni

.

por esto se debe 'restarleimportancio a, su es~udio. cemprensión y apli-,!

.caoión,

.

x

.

¡

Teorema 3-18. _.~, ~ . Y w. 'x

Demostración: .

.

1.

; (y,

z

. 1

=f:. O)

Teorema de la División

= (xz) (-y . -)w

Asociat~vo y Contnutativo

.

111

= [(xz) (-y , -)]w

[(yw) (-)]

'1 [(xz) (-:-)]

1 1 . [(- , -) (yw)]

==

~

1

.

.

yw 1

;1

Corola..io: x .

.

sos

.

,AsociQtivoy Conmutativo

yw

11'

1

y

w

.'

[(- . y) (- . w)J

= [(xz) (-)] y~ xz -yw

Postulaqos. Identidad e Inver-

yw

.

yw

=, [(xz)(-)] ,

w

Dado

\

(z . -) w 1 1

.

,

.

-Y .-w

= (x .' -)y ,

xz =-yw

Asociati~o y Conmutativo

Postulados. 'Inversos e Iden-

tidad

'

Teorema de la División 1

1

,,; '

y= xy 141

x

,

Teorema

xz

- = -;

3-19.

y

yz . X 'z

xz

.

I

(y, z, :;6.0)

- = (-)(-)

Demostración:

.

yz.

=

Teorema 3-18

y z . x 1 (-) (z . -) y z x

Teorema de la Divis'ión

--

Postulado Inversos e Ide'nti-, y dad. Como puede notar hemos empezado a abreviar las demostraciones y lo mismo empezaremos a hacer en los problemas; efectuar .cambios en un paso que se justifican con dos o' más 'postulados y teoremas. Si ha seguido las indicaciones anteriores ya- debe haber adquirido experiencia en la .aplicación de la teoría, lo que. le permitirá abreviar ,"brincándose" pasos iy aplicando algunas reglas que nos ayudan a mecanizar operaciones repetitivas, sin perder por esto la comprensión del problema a resol,ver. El teQrema 3-19 es de gran utilidad en la simplificación de fracciones. Eiemplo: 143/169 se puede simplificar como se muestra en seguida: 143 11 13 11 169

= (13) (13) = 13

a c Teorema3-20.- = -(:::) ad = bc; (b, d =1= O)

b d Demostración: Escriba las justificaciones, que correspondan segÚn los cam:.. ,

bios introducidos.

a

.

==>

<==

-b =-d a

(bd) 1

(a

ad

c

.

-b

. -)b

ad

. (-1 .-)1

e

=-d

(bd)

ad

bd

.1

(-b . b) ad

= ¡(e. -)d 1

= be (.

b

1

a (d .-)

bd

.

. d)

d

a

d.

-

1

d

b.

--

1

1

1

-b = e (b-)b -d .

.-b1 = e-d1

.

d

. =1=

O) la- demostración es el problema 3.

b

142

- --- -

.1

= be (~ . -)

b

b

Teorema3-21.-a = -;a (a, b

"-

= be

a -=-

= be 1

a

.

1

'

'

-

- - - --

~

PROBLEMAS

PARA AUTOEV ALUACION

111.12' . .

Q'

1. . Demuestre.que: - = l' =:::) a = b¡ (b '* '0) . b ' 2. Demuestre que:

o '. = -; b '* O (recuerde que b . b. -b . 3. Demuestreel teorema 3-21.

--

o

=

-o

-

.

4.. Escriba

1

o.

(~) = ~ (o. .-) b'. b

t.

.

el recíproco de cada uno de los números que se dan a con-

tinuación.

.

b)8

0)36 ;1 d)

e} x

-

.

2

x é)-

2x'+ 3

f) 2 + x

y

En los problemas del 5'01 9 utilice los teoremas vistos' hasta aquí para s1mpliticar las fracciones que se dan. El postulado distributivo nos sirve para factorizor si lo escribimos ab + ac o(b + e) por la propiedad si-

métrica de la igualdad. . . 323

5. -

8..

.

380 3x-

=

i

6.

15'xy .

6y

9."

12x~ 24y .

.

7.

3y

.

2.(0-b)

ox + ay

bx + by

(x-y) .'

6 (o + b) (x - y)

10. Demuestre que: ox =,-b, o '* O =:::) x = . . * . >

b -..:.. o'

(Esta es uno .

prop'iedad muy. úsada en la solución de ecüaciones).' . .

11.. Exprese en tormo decimal las siguientes fracciones: 40" 3 a) b) e) 80 4

-

-

8

d)

-5

12

.

'. . '

e)

-

1000.

1

1-3

3

fj

2. 100

12. Exprese en forma fraccionario los números decimales siguientes: a) 0.035

b) 2.1

C?)0.75

d) 0.0001

e) 10.34

f) 0.80

RESUMEN Los números reales los manipulamos durante muchos años. aunque probablemente sólo nos aprendimos la mecanizacióh de algunas operaciones con ellos. sin comprender las. relaciones. que tienen con situacIones reales, ni las leyes que,gobiernan esas relaciones. esos conocimientos nos permiten sacar grandes ventajas en la aplicación que de los números reales hacemos frecuentemente en' la vida' diaria. No se 'dtisconoce la importancia de la mecanización O' habilipad para desarrollar los operociones entre los números, pero éstos por sí solos no nos enseñan cómo

ar:;>licaresas operaciones en los problemas prácticos y se ve entonces. . cfuees más bien la,comprensión de la "estructura" de los números reales

lo que nos permite aplicárl~ y para estudiar esa estructunJ introd,ucimos nuevos términos como:

Sistema matemático Campo Operación binaria

Número racional, ' Propiedades de la igualdad Postulados' de campo Inverso aditivo Recíproco

-

Ecuación Solución de. una ecuación Regl.a de signos Factorizar Teorema de la resta Teorema de la división

'.

Insisto en que más que poder repetir las deficiones de los términos an-

teriores, es la co~prensión de esos términos la que facilitará el desarrollo

de la habilidad y destreza en las evaluaciones numéricas, tema-que trata-

remo~ en la siguiente unidad.

144

Paneles

de Verlllcaci6n

\ '-- CONJUNTO

-

DÉ' PROBLEMAS 111-9.

1. ,Verdadero 2. Verdadero 3. Falso (ningún elemento en común)--

. 4, a

e: e ~

a E: D

5. a e: E ~

a e: N

\

(0)

~ \S!:J)

Verdadero

F.also,"es posible ser elemento de E sin se; elementQ de N. Ejemplo: -- 4 E: E. ~ 4 rt N,

6. Falso, porque siendoC e D ==>e l) D = D.. '.

7.

,

.

1

Falso por~ue

rJ:\

\/l))

=> (N n e

8. Verdadero(definición).' ,

= NJ .

9. Verdadero (postulado de suma de igualdades). 10. Verdadero (igual que anterior). 11¡ Verdadero (postulado de multiplicación de igualdades).'

--

12, No se' puede demostrar su validez a menos que agreguemos otra

igualdad.

'-

13. V~rdadero (postulado de.multiplicación de igualdades). 14. No es demostrable su validez cc;m los elementoshasta aquí vistos. 15. Vérdadero (postulado de sustitución de la. igualdad). . 3' 3 16. 1,- = 1 + = 1 + .75= 1.75 Es racional porque su parte decimal 4 4 termina

-

,

7

-

17. - = 0.636363... . 11 18.9=9.0

Es racional porque es el cociente de dos enteros 'o también porque su'par- ,

te decimal siendo infinita se 'repite o es periódica. .

Es racional porqu'esu parte decimal termina o porque puede representar9 se como ,1 145

'

10

19. 10%-1 =..

100

= O.' 1

Es racional, su parte decimal termina . 10 .

o puede representarse .

7. -

como -_o .

.

.

20. - = 0.875'

. CONJUNTO DE PROBLEMAS 111-10

.

1. a, b, x, y e: R::::) (xo + ya) + (xb + yb) == (x + y) (a + b) 1. a,' b, x, y e: 'R.

2. (xo + ya) + (xb,+ yb) = fx + y) a + (x + y) b -

\

,

Es racional, es.el cociente de d.os enteros (7, 8)

8

. 3.

100

'

= (x +

y) (a + b)

.oodo

.

Distributivo a la derecha Distributivo aJa izquierda (factorización)

2. (x +.2) + a = 2 + (a + x) 1. (x + 2) + a (2 + ~),+ a Conmutativo. 2. ,= 2 + (x + a) . .Asociativo 3. (x + 2) + a '= 2 + (a + x) Conmutativo Para' que su respuestá sea correcta. no es indispensable 'que ~enga exactamente ',Ios''mismos tres paso,s anteriores, 'puede tener muchos mqs, lo que es indispensable es que las iustificacion~s correspondan

=

realmenteal cambiointroducido.

3. x [(a + b) + el x [(a + b} + e]

.

=,xo + (xb + xe) = x (a + b) + xe = (xo+ xb) + xc

=xo + (xb+ xc).

,

4. 1. 27+ 36= .(2'.,10 + 7) + (3 . 10 + 6)

.

= [2 . 10 +

2. 3. 4. 5. 6.

= [2 . 10 +

::=.

.

7. 8. 9.

(7 + a,' 10)] + 6

(3. 10 + 7)] + 6

2 . W + 3 .10) + (7 + 6)

= (2 + 3) . 10 4- (7 -+ 6) = 5 . 10 + 13 = 5 . 10 + (1'. 10 + 3) = (5 . 10 + 1 . 10)'+ 3

= (5 + 1) . 10 + 3

10.

=;::6

. 10 +

3

.

'.

..

Distributivo Distributivo Asociativo Definición del valor de los digitos por s'u posi, c,ión y propied(]d de sustitución Asociativo

Conmutativo Asociativo Distributivo (factorización) Sustitución ( 2 + 3 = 5,7 + 6 = 13) Igual que en el pri'mer '

\paso

'

Asociativo DistribuUvo (factorlzaclón) . Sustitución (5 + 1 = 6)

146

.-

- ---

-- '-- -.

---

"

= 60 + 3

11.

Sustituciór{ (6 . 10

Sustitución

12. 27 + 36.= 63 '

los dígitos. por su posición. y propiedad. de sus-

titución

7

=

=50+7 21 + 36 = 57 6. Distribu~ivo 7. As.ociativo 8. Distributivoo factorizaCión ,. .4 '

9. Aunque la conclusión hemos visto teorema, 1'0.' Propiedad

2

12..' (7.3) ,.2 =1'

.....~...

.

.

<;feesta implicación es demostrable, todavía' no postulado o definición que la justifique.

simétrica de la igualdad 1,

,11. (2 + -J3T + (3+ ,-)

'

Asociativo Conmutativo Asociativo Distributivo (factoriza'ción) . Sustitución 5,'1 + 6 = 7) .(2 + 3 Sustitución Sustitución

{2. 10 + (1 + 3 ~10)] + 6 [2 . 10 + (3 .10 + 1)] + 6 (,2. 10 + 3 . 10) + (1 + 6) (2 + 3) . lO + (1.+ 6)

= 5 . 10 +

.

Definición' dE!!val0r de

. 5. 21 + 36 = (2 . 10 + 1) + (3 . 10 + 6) = = = ,~

= 60)

1

= [(2 + vm + .3] + -2

Asociativo Conmutativo Conmutativo

'(3.' 2)

13. (8 + 3) . 4 =::.1 (~ + ~) . ~[(~)gJ 1.4. [2(5 + 7)] ..¡3 1.5. [(x + y) + 5] + z =( x + 5) + [(x + y) + 5] + z = [x + (y + = [x + (5 + " '= (x + 5) +

Asociativo

=

(y + z) 5)] + z y)] + z

(y + z) 16. (x + 3) (y.+ 5) = (-xy+ 3y) + (5x + 15) (x + 3) (y + 5) = (.x+ 3)y + (x + 3) . 5 = (xy + 3y) + (x . 5 + 3 . 5) = (xy + 3y) + (5x + 3 . 5) (x + 3) (y + 5) = (xy + 3y) + (5x + 15)

Asociativo Conmutativo Asociativo Distributivo Distributivo Conmutativo

. = 5x)

(x 5

Sustitución (~ . 5 ~ 15)

17. (2 + 3) + 5 en diez formas diferentes .

1.. (2+ 3) +. 5 = 2 + (3 + 5) 2. = 2 + (5+ 3) 3.

.

4.

= (2 + 5) + 3

= (5 + 2) + 3

,

Asociativo Conmutativo Asociativo Conmutativo . 147

.

5. 6. 7.= 8;

9. 1,0.,

.

= 5'+ (2 + 3)

.:-.5 + (3+ 2) (3+ 2) + 5 = 3 +(2

+ 5)

I

= 3,+ (5 + 2) = (3 + 5) + 2

-

Asociativo Conmutativo Conmutativo .Asociativo Conmutativo Asociativo

(2. 3).:5 en cinc.o formas' diferentes 1. (2. 3) . 5 ~ 2 . (3 . 5)' 2. ==2 . (5 .(3) . 3.

4. 5.

Asociativo ConmiJtativo Conmutafivo Asociativo Conmutativo

"

= (5 . 3)'" 2

.= 5 . (3.,2) = (3. 2) . 5,

,.

18. Postulado d~ id~ntidad par.a la suma.

'.

19. Postulado de identidad para la suma.

20. Postulado de identidad para la multiplicación; '

21 .Postulado

I f.

de identidad parÓ la multiplicación. .

'22, Postulado de identidad para la rhUltiplic~CiÓI1', 23. Postulado de Jde~tidad para la suma. 24. Postulado de inversos para la suma. 25" Postulado de inversos para la multiplicación. ,26. Postulado de inversos par~ la multiplicación. ,27. Postul,ado de inversos para la suma. , 28, 'Postulado de inversos para la suma. 29. Postulado de identida,d para la multiplicación. 30. Postulado de iden'tidad para la suma y la ,multiplicación. 31. 'Postu.lado de 'inversos para la multiplicación. 32. Postulado de inversos para la multiplicación. ~3. Postulado de 'inver$os para la suma. 34. Postulado de identidad para la suma versOs pa,ra la suma.

(O + y

35. Postulado de inversos para la multiplicación. 36. COrolario al teorema 3-3,.,

,

37. ,Postulado de identidad ,para la~uma. . 38. Corolario al teore'ma 3-4. ¡ 39. Corolario al teorema 3-4. ,40. Corolario al teorema 3-3. 148

= y) y postulado de in-

,

.

41. Postulado de,identidad para I!J'multiplicacióny.teorema 3-2. 42. Postulado distributivo y propiedad de sustitución de la igualdad (1 + 2 3) . 43. Postulado de identidad 'para la multiplicación y 'teorema 3-2. 44. Teorema 3-5 x e: R, x . O = O . x = O

=

,

=O

Q+ O

Postulado de identidad para la suma (el primer número O,se escogió bus,-

"

cando el producto x por O)

x=x I

'

,

= x .'0

x(O + Q)

x. O+ x . 0'= x . O .

.

-

Oe: R:=) (x . O) e: R ~(x . O) -(x. O)

x. .

=

.

'[-(x . O)+ x . O]+ x . O= -(x. Or+ x .,O O+x.p=O x.O=O Oe.X = O x.O=O.x=O

Propiedad reflexivo de la

Inversos Conmutativo ,

x= - (- x) Corolario al

.

.

46. x E: R, x =1= O::::) -

1

1.

\

igualdad. Propiedad aditivo de la igualdad Asociativo Inversos para 'la suma Identidad Con'muiativo Propiedad transitiva'

-(x. O)+ ,(x.0 + x . O);:: -(x. O)+ x . O

45. x e: R. ::::) -(- x) ='x . x + (~x) '= O (- x) + x = O

.

Propiedad reflexiva de la igualdad. Propiedad multiplicativa de la, igualdad Postulado distributivo Postulado de inversos

teorema 3-3

= x

(-)

x

,

l'

x . (-) x

Inverso~

1

==

1

(-) x =1 x'

x=-

.

Conmu.tativo

1.

Corolario al teorema 3-4

1

(-) x. 47., Teorema 3-6. x, V e:' R xV 1 x =1= O=:) existe ,

-x.

= O <=> x = OÓ V=

.

x.V=O

.

.

O

.

Postulado de inversos. .Dado.

I

149

-

-x11.

1 -x

(xy) .

1 Propiedad reflexiv'a de laigúaldad

x

= -x . O

Propiedad ~ultiplicativa de la igualdad

'1

(-x . x)y=O

Asociativo y teorema de la multiplicación por' cero (x . O = O) Inversos' Identidad

.

1.y=0. y=O

Queda deméstrado que para xy

=

O, X =#=O ==> Y = O es una proposipor 'lo que la contra positiva , su proposición equivalente también es verdadera, para x .y Q, y =#=O ==> x = O. . ción verdadera 48. 2x'+ 3

=

=5

.

(2x + 3) + (- 3) = (2'+ 3) + (- 3)

PropIedad de sustitución aditivo de la igualdad

Y'

(5 = 2+ 3) 2x +' [3 + (- 3)] = 2 + [3 + (- 3)] Asociativo Inversos . 2x +~O~ = S + O Identidad de la suma y de la ,.ex= ~ . 1 . .

x == 1

. {1}

multiplicación. Cancelación

49. 3x + 1 = 4 (3x + 1) + (- 1) = (3+ 1) + (- 1) Propiédad de sustitución y aditivo de la igualdad'

= 3 + 1) Asociativo

{4

.

3x + [1 + (.: 1)] = 3 + [1 + (- 1)] Inversos 3x +.(0=. ~+ O Identid.ad.de la suma y de la lSX =P . 1 multiplicación x=1 {1}

1 50. -=2' x

x=x 1 -.x=2.x x 1= 2. X' /11 -=2 2 1

150

Reflexiva

1 . ,

-' 1= - . (2x) 2. 2 1 . 1 - . 1= (- . 2)x 2

Propl~dad ~eflexiva de la igualdad Propiedad multiplicativ.a' de. la igualdad Inversos

.2"

Propiedad multiplicativéJ Asociativo

1

-.1==1.x 2

Inversos.

1 -=x 2

Identidad 1

x=-

Simétrica

2

1 {-} 2

51.-

x= 6 x= 6 {- 6}

-

,

Teorert1a 3-9. Si dos números \son iguales, sus in-

versos son iguales.

.

.

52. 7x.+ V'E = 14 + v'2

7x +

ff-

14

+ ...;;-

Cancelación para la suma Sustitución... ; ,Cancelación para. la multiplicOCiÓri'.

7x = 7 . 2 x.= 2 {2}

53. x + 2 = O x=-2

'. .".

{-- 2} 54. x + (- 8)'= O

x=

x"= . {8} .

'

-8

(---:8)

~

.

'J ,

Corolario al teorema 3-3 Problema 45 de este ~iercicio

,

55. x{x + 2) = O

1

)(=Oóx+2=0 "

,..

Corolario al .teorema 3-3, si do.s nú-' . merps suman cero, uno es el inverso -. del otro

'Teorema 3-6 Corolario al teorema 3-3 El coniunto solución de una disyunción es la unión de los con¡untos de los proposiciones componentes

X'=-2

{O}U {- 2} = {a.- 2} 56. (x + 4) x = a . x + 4 = O'óx = a X=-4óx=0 {- 4} U {O} = {- 4. O}

Teorema 3-13 Corolario al teorema 3-3 l.

57. tx + (- 1}) (x + 2) = a . x + (1) = Oó x + 2 = O x = ~ (':-1) ó x = - 2' x=1óx=-2 {r} U {-2}. = '{1.~ 2}

\

(

Teorema 3-6 ,

Corolario al teórema 3-3

)',

Problema 45 de este eiercic,io

, 151

,.

CONJUNTO DE PROBLEMAS

111-11

1. Postulado de identidad para la 'suma

2. Postulado de inversos para la suma

'

3. Teorema 3-14 y propiedad de sustitución de la igualdad (2 + 6 =" 8)

4 . Teorema 3-1,3o regla de signos

I

, 5. Propiedad

6. 7. ~. 9. 10.

de sustitución

=4 +

(14

' 10) y teorema 3-1'4

Teorema 3-9 Teorema 3-12 Teorem,as 3-12 y 3-9' Teorema 3-9 PostUlado de inyersos para la multiplicación

'

'

\,11. Teorema

3..9

.

12. Postulado de identidad para la multiplicación y teorema 3-12 13. Postulado' de identidad y teorema 3-13 14. Teorema '3-,13 y propiedad de sustitución de 'la igualdad (2.4 15. Teorema

3-12 y propiedad, de sustitución ' 16. Propiedad de sustitución (5 4 +, 1) Y teorema 3-14

=

= 8)

'

.

. 17. - 7x = 10 + (- 2x). Fue resuelto como ejemplo, pero se le agregaron' las razones I

'

=-

,

18. 7x + 3 18 (7x + '3)+ (- 3) ::; (- 18)+ (- 3) 7x + [3 + (- 3)] = (~ 18) + (- 3)

7x + O= (- 18) + (- 3) 7-.,= (- 18)+(- 3) 7x =- (18 + 3) ,

.

7x ,7x

-

==

.21

=7(-3) x=-3'

=-

(7

. 3)

" 19. - 6x = - 2x + 4.

.

.

- 6x+ 2x= (- 2x)+ 2x+ 4

, (- 6)x + 2x = [(- 2x) + 2x] + 4 ,

(- 6)x + 2x = O+

4

[(~ 6) + 2]x = 4 [-(4 + 2) + 21x= 4 {[(- 4) + (~2)] + 2}x = 4 {(- 4) + [(- 2) + 2]}x = 4 [(- 4) + O]x= 4 ,(-'4)x = 4 1 1

f- -)4' (- 4)x= (- -)4 4 ,

1

.x =

- (1.. . 4) 4

=- ('1) x =-1

'

)(

NOTA: En la solución de estas ecuaciones ex~ste'nvarias alternativas que nos llevan al mismO resultado, sólo que c.omo cada persona ve en 'for.

152 '

I

ma diferente los mismos problemas, cada quien escoge el camino que su experiencia le dicta como el más expedito o efectivo. Eiemplo: Puede usarse la ley de cancelación para la multiplicaciÓn o la propiedad multiplicativa

de 'la igualdad.

,

E~ por estas razones que se insiste en la necesidad de practicar con estos eiercicios la aplicación de las definiciones y postulados vistos, aun-

q~e a veces nos parezca algo aburrido e intrascendente.

~

20.

- 3x = 27 -3x=3.9 . - 3x = (- 3) (- 9) (.- 3)x = (- 3) (- 9) x= -9 21. 15x= - 4x + 38 15x + 4x ="'4x +

[(

-

4x} + 38]

15x+ 4x = {4x + (- 4x)].+ 38

15x + 4x = O + 38 (15 + 4)x = 38 19x=38 1 1 1 (-) (19x) = (-) 38 = (-) (19 . 2) 19 19 19

'

,

1,.

1

(- . 19)x = (- . 19)2 19 19 1.x=1.2 x=2 22. Resuelto en el texto 23-.-.5 -

2 = 3

Resta aritmética. Propiedad de susti-

tución

24. (- 15- 8) = (- 15)+ (-,8) =

-

'(15 + 8)

= - (23) (- 15- 8) = - 23

25.' [- 15- (-- 9)] = [- 15+ {- (-'9)}] = [- 15+ 9]

,

{-15-(-9)]=,-6

= [- (6 + 9) + 9] = [{(- 6) + (- 9)} + 9] = [( - . 6) + {( - 9) + 9.}] = [( -. 6) + O]

26. 2 - (3 -7) = 2 + [- (3 + {- 7})] , = 2 + [( - 3) + {- (- 7)}] ,

= 2 4- [(- 3) + 7]' = 2 + [7 + (- 3))

.

.

Teorema de la resta 3-15. Teorema 3-14 Propiedad de sustitución Teorema de la resta Problema 45 del ejercicio. 111-2que dice(- a) = a Sustitución Teorema 3-14 A.sociativo Inversos Identidad Teorema de la résta

Teorema (a+b)= (-a) +(-b) Problema 45 del ejercicio 111-2 que dice - (~ a) = a 'Conmutativo. Ver nota al final.

-

'

153

.

,

2 + -(7- 3)

==

Teorema de la resta' Sustitución (7 - 3 resta aritmética

~2+4

2 -' (3 - 7) = 6 -

,

= 4)',

Sustitución

NOTA: La aplicación' del postulado conmutatiyo nos permite representór la suma, otra vez como resta, sólo que-ahora a un núm~ro mayor ,se le resta otfo menor. Este ,procedimiento es alterno del que sustituye al número por dos sumandos para utilizar el postulado de inversos como se ve

a contlnuaci6n.

'

(- 3) + 7 = (- 3)

,

= [,(-

=0+4 =4

+

(3 + 4) 3) + 3] + 4

'

27. 2 - [5 + (3 - 5)]-= 2 - [5 + {3 + (- 5)}] Teorema de la resta = 2 - [~ + {( 5) + 3}] Conmutativo ~

= 2 - [{5 + (-5)} + 3)] Asociativo = 2 - [O+ 3] " Inversos = 2- 3 Identidad

"

=, 2 +,( -, 3)

= I

,

2

+ [-

Teorema éte la resta

;(2+ 1)],

Sustitución

1)

I,nversos

=,2 + [(- 2) + (- 1)] Teorema 3-14 = [2 + '(- 2)] + (- 1) ,Asociativo ~ 0+

2 - [5 + (3 - 5)] = - l'

(-

Identidad

'28. 15"~ [6 - 3(4+ 2)] =15 - L6- 3(6)] ,

15 - [6

',=

-

Sustitución(4 + 2:= 6)

Sustitución (3 . ~ = 18)

18] ,

= 15- [6 + (- 18)] Teoremade la resta Sustitución = 15 - [e+' {- (~ + 12)}] = 15- [6 + {(- 6) + ( : 12)}] Teorema3-14 = 15- H6+ (- 6)} + (-,12)) Asociativo = 15- [Ot (- 12)] Inversos = 15-, (- 12)' Identidad = 15+ [- (- 12)] ,Teorema de la resta' = 15+ 12 Problema45. Etercicio 111-3.

15

-

[6

-

3(~

+ 2)]

=27

,

,

'

Sustitución

29',3 +\[2 - 2(5- 8)] = 3 + [2- (2. 5 - 2'.8)], ,

'

El I"yerso del inverso de un número es, ese mismo número

Teorema3~16

= 3 + [2 - (10 - ~6) 'Sustitución. = 3 + [2 + {- (10- 16))]. Teoremade la resta =3 + [2 + {- (10+ [- 16])}l Teoremade ,

,

154

.' - - ~-

'a resta

.

= 3 +' [2 +,f(-

-

10) + [-'(16))}] Teorema (a + b) = t a) + (-b)

-

"

t

=3 +

[2 + {.(-, 10) + 16}]

= 3 + [2 + {16 + (- 10)}] .= 3 + [2 + (16 - 10)] = 3 + [2 +

3 + [2

-

2(5

(6)]

=3+8

-

8)]

= 11

30. x+o=b=>x=b-o

x+o=b

.

(x + o) + (- o) = b + (.x + [o + (- o)) = b +. (x + O= b + (= b +' (,

x=b-a

Problema 45. Elerciclo 111-2 Conmutativo .

Teorema de la resta Sustitución Sustitución Sustitución

Dado Propiedcldaditivo de la igualdad Asociativo Inversos Identidad Teorema de la resta '

o)

o)

a) a)

f

IMPORTANTE: La demostración de esta implicación nos permitirá en el futuro utilizar su conclusión sin necesidad. de volver a. dar todos los . pasos aquí presentados generalizando como sigue:

.

"Un número (a) que está sumando en un ledo de una igualdad, se puede cancelar si sumamos su inverso en el otro lado de la igualdad (- o)". Eiemplos: o) x + 3 = 5 . x = 5 + (- 3) = 5 - 3 .b; x-4 = x + (-r-4)= 2'

x = 2 + [-(- 4)]= 2 + 4

,CONJUNTO

a

= 1 => o =

1. -b

o

-= b 1 '0 .~= b 1

(o . -)b b

'

1

Dado

1

Teorema 3-17, de la división

=1 .b

1

a. 1 = 1 .'b (=

¡

b, (b =1= O) ,

0(- . b) = 1 . b b .

DE PROGLEMAS 111.12 .

b.

Propiedad multiplicativa de la igualdad 1

Asociativo, Inversos Identidad 155.

I

..

-

o

o

2. --=-=-(b=l=O) b b. -

o b

.

,o

,

10'.Parte-o

--

b

=-

-

o

.

b 1

= - (o.-)b

b

.

Teorema de la división 3-17

1

.

= (- o)(-) ~ b o' --=-

o --'=b

Teoremade la división

o

=-

b

1

o

-b, 1 (0'-)b

-

Teorema de la división

-1

Teorema 3-12, Y.la 10.' porte de esta demostración'

= o (b)

= o (--¡;)

- 1 (- 1).] = o (-)1 = -o

.

. ~-1)

3 . .2. - ~ a - a' (-) b 1 a

(o b

=1=

.=--1

-O)

.

El reciproco de una fracción es otra fracción.

cuyo nÜmerador es el denominador de .10fracción dada y su denominador es el. numerador de la fracción dada.

b 1

a 1 b

.

'1

1

1

Corolariodel teorema 3-18.-. - =x y xy

1

'=-b o

Teoremas 3.17, 3-18 Y 3-19.

-b.-b

'Teorema de la división

1

0'-

(-) b

.

1

-

'

b

20.Parte--

a[

3-12

- ob = (- o)b= o(- b)

-o

b."

I

Teorema

.

I

-

1

.

Problema 46, Eierciclo 111-2que dice .1'

(-)

a

I

"

o (-) b

--

b o

Corymutatlvo y teorema de la división

156

--

-

=a

1 1

1 d)

.

-

4. a) 36

1 b)--'

2x+:3 y e)x

S

\

=2x+ 3

1 c)x-2

f) x +

2

)

5

323 ~. 380 -

15xy 6 --

19 17

17 -19. 20 - 20 .

, 3. 5xy

5x -~-5x

. 3y - 3y. 1 - 1 ~

ax + ay ,a(x',+ y) a 7 ' -

i

.'

bx + by -

8 9.

3(~-2y)

-

. 12x-24y .

b

b'(x+ y) -

3x-6y.

==

6(0 + b) (x~ y)

2

.

? (a-b) 3 (o + b)

b

10.

1.'3

1

~ 4.3 -

-12,(x-2y)

2(0-b)(x-y)

.

4

o .

a-b-

==

3 (o+ b)

.

ox == b =>x ~..:-.

o

ax=b

Dado

'1 (ax) -

o

I

1 =

1

(-

Propiedad

b (~).

.

o'

dad

,1

o

. o) ,x

multiplicativa de .

.

= b .-a

.

la igual-'

\

Asociativo, conmutativo

1 .1.x=b.-. o 1 x=b.o

Inversos'

Identidad

b

x=o 40

Teorema'

.

11. a) - == 40 + 80 == 0.5 80. . . 1 '4. . e) 1== ~ == 4"+ 3 == 1.33...

3

e)

-12 1000

I

3

b) -

, d) -

de

3.

4. 8' 5

la di~isjón

== 3 + 4 ==0.75 . =='8 + 5 == 1.6 3

== 0.012

f) 2-

100

'. .

==2.03

157

35 .

1 b)2-

'12. a) 1000 1

,

10 34

e) 10 100

d) 10000 ,

,

75

c) 100 80 f) 100

'IMPORTANTE:Arigual que en ~I problema 30 del conjunto de ejercicios anteriores, la demostración flOS permitirá brincarnos muchos pasos .

en lasoluciónde ecuacionas,generalizandocomose indicaa continuación: '''Si un número ata =1= O) es factor de todo un lado de una igualdad, se puede cancelar ,si mul~!p!i~amostodo el otro lado por su ,

'

'1

"'"

"

reciproco (-)". a Eiemplos: a) 3x x b)

=6

1

6

= 6 (-)3 -3 :::;:

-x2 = x (-)21

=5

1 x=5.-=5.2

1 ' (-) 2

158

-

.