Mat I (5-8)

..

UNIDADII

ELEMENTOS DE LOGICA .

MA TEMA TICA .

.

,

_.a ~

'Introduccl6n

-,

Por muchOs'años el estudio de' la lóg'ica se consideró i'ndependiente de '10 matemática, siendo .así-que los lógicos eran. incapaces de simbolizar ,o seguir unraionamiento .simbólico y losmate~áticos ajenqs totalmente a. la ius~ificación de las técnicas que iban aprendiendo: los lógicos se remitían al estudio de los antiguos griegos Y ,los matemáticos a estudios de las ciencias. . \

. .Afortunadamente para

todos, la evolución de ambos estudios ha lIe-

o.gado.a tin punto en el que es imposible distinguir una frontera entre am, bos,. separar lo que sería solamente lógica de lo que sería solamente' matemática, a este respecto Bertrand Russell nos propone decidir,' en qué punto de las sucesivqs definiciones y' deducciones de su obra "Principia Mathematica" acaba la lógica y empieza la' matemática, siendo evidel1te que cualquier .respuesta. sería completamente arbitraria.. ' , Podemos considerar entonces a esta unidaq Gomo el primer y más importante paso en el estudio 10rmal d,e los fundamentos de la matemá.. tica, au.nque para cumplir nuestros' objetivos no profundicemos demasiado por ese camin,o. '.' .

55

Objetivos generales .,1

/

.

Al término de esta unidad, el alumno:

,.

1. -

Distinguirá los principales métodos de la lógica.

2.

Utilizará el lenguaje de conjuntos -visto en la unidad anterior-o para representar simbólica. y gráficamente las proposiciones del lenguaje

ordinario.

.

3.

Simbolizará proposiciones dadas en el lenguaje común.

4.

Traducirá proposiciones-en len~uOjesimbólico al °l~nguajecomún.

5.

Aplicará los conectivoslógicos en las operaciones de la 16gica.

6.

Interpretará.el valor de verdad de proposiciones compuestas con ayuda de diagramOas de Vet:'ln. .

t

56

"""'- --

Diagrama temático

estructural

.Razonamiento- deductivo Oración gramatic.al Y sus partes

Proposición Gráfi9a .de prop. , simples

Coniuntos y Diagramas de Venn

Razonamiento inducti,vo

Gróflca de proposición Abierta I

Operaciones con conjuntos y conjunto complemento

Conjunción, disyunción negación

,

Leyes de DeMorgan Cuantiflcadores Negación de proposición con cuantificadores Equivalencia lógica Implicación Conversa Contra positiva

Inversa

Doble Implicación Silogismo

Reglas de inferencia

Demostración a dos columnas.

57

I

Glosario ..

.

-

l'

Razonaml~mto Inductlvo. Es ~I proceso de encontrar un principio genera1 . basándose en la presentación de hechos o casos especificos. '

Razonamiento deCIuctlvo. Es el proceso mediante el cual se hace uso de un principio general, aceptado como verdadero, para obtener una,

conclusi6n en un.hecho .0 caso particular. ..' . Postulado. Proposición acerca de obietós. bi~n definidos, la cual se acepta

como verdadera. Los .postulados iunto a fas definiciones son los pi'lores y puntos de partida de una teoria. Proposicl6n~ Es la oración gramatical cuyo significado forzosamente ha .

,

.

de ser: "verdadero o falso". pero no ambos. a la vez.. Proposlcl6n simple. Es aquella que no, puede separ:(]rse en otras proposiciones ,un'idas por uno o más conectivos 16glcos. Proposición abierta. Es el. tipo de proPOsici6n que -contiene alguna variable y un coniunto de reemplazamiento para ella. Valor de verdad. Es la propiedad que tiene toda proposición: esto es: ser verdadera o bien, ser falsa. SI la proposlcl6n es verdadera decimos .

.

que su valor de verdades 1, y, si es falsa. su valor de verdades. O.

Conlunto de verdad.' Coniunto tomado por los elementos del conlunto de reemplazamientp de una proPOslci6nabiert(J y que la hacen verda-

dera. . .' Conectlvos í6gleos.Sirven para asociar dos o más' proposiciones. Estos coneqtlvosson "y", "0", "si. .. entonces". . . , Proposlcl6n compuesta.' Es una proposición form~da por dos o más 'pro... posicionesunidaspor.conectivos. Conluncl6n.'Proposici6n compuesta formada por 'dos proposiciones aso'.'

claaas por elconectivo

"y".

'

Dlsyuncl6n. Proposición compuesta formada por dos pro'posiclonesaso-. cladas por el. conectlvo'''o''.,

Cuantlflcador universal. Expresl6n "paro todo x", que se apll~a a proposiciones abiertas que con~lenenla variable x para Indicar referencia a una totalidad de suletos. Cuantlflcador exlstenclal. Expresi6n "existe un x tal que", que se aplica a proposiciones abiertas que contienen la variable x. para afirmar la exl~tencia de algún

suleto...

.

.

.

Hipótesis. Es una' proposici6n que se toma como punto de partida de una.. .

prueba.

, Prop~slclones

.',

'

equivalentes.

Son aquellasque tienen el mismovalor de

verdad o el mismo coniunto de verdad. Conversa. Si cambiamos el orden. de las pr9PQsiclonesd$lando en su lugar al conectivo, formamos una variante de la Implicación, a la . que llamamos "conversa". Contra positiva. q => p es ,la "contraposltiva" de p => q.

-

-

Inversa.,...,p => ,...,q es la "'inversa"de p => q. , Doble Impllcacl6n. OperaciQn binaria la cual con'ecta dos proposiciones . por el conectivo 16glco"si y s610 sf". Es decir, es lo mismo que una proposicl6n "Implica a la otra y-es implicada por ella".

~

'

M6dul~ &

.

OBJETIVOS ESPECIFiCaS

Al concluir el estudio de este módulo, el alumno:

1.

:

Disti.nguirá entre razonamiento en que se empleen los métodos induc-

tivo V deductivo. . 2. Definirá con sus palabras la idea de proposición. 3. Distinguirá entre un conjunto de oraciones dadas cuáles son proposiciones. '. 4. Construirá proposicio'nes 'simples V proposiciones abiertas dando su valor de verdad o conjunto de verdad. 5,

.

Graficará, mediante diagramas de Venn, proposiciones simples V abiertas identificando su valor de verdad o conjunto de verdad.

ESQUEMA RESUMEN Método~ de la lógica: .

- Inductivo. -

Deductivo.

-:- AnaI6gico.'

Proposiciones simples

-

V'

abiertas:

Proposiciones simples.

- Valor de verdad. . - Proposiciones abiertas. - Conjunto de verdad. - Gráficas de proposiciones.

59

Induccl6n y deduccl6n t

,

La lógica tiene por obleto facilitarnos el camino para llegar a la verdad, utilizando para ello el método raciona'l que procede en dos formas, la

formaInductlvay la formadeductlva.'

,

Lá forma Inductlva es el proceso de encontrar un principio general~ basándose en la presentación de hechos o casos especfflcos; tiene' su aplicación principalcomo método de descubrimi,ento.por elemplo: Eduardo fue enviado a la Dirección de la Escuela durante cuatro dios seguidos por llegar tarde a clase~Cuando llegó tarde el quinto dfa concluyó: "me. enviarán a la DlreccI6n". Usó un razonamiento Inductlvo al concluir que lo enviarfan a la Dirección por el hecho de que asf .habfa sido .durante cuatro dios. es decir. que basado en hechos. generalizó que asf sucederfa

siempre.

.

'

Sin embargo, eLrazonamiento Inductlvo no siempre Qonduce a resul. todos exactos y debe usarse con precaución; toma siempre como base una suposición por lo que. aunque sus conclusiones representan 'un. razona. miento .Inteligente, no son conclusiones probadas. .

La formadeductivoes el proceso medianteel cual una persona usa

un principio general. aceptado como verdadero. para obtener una con. clusión en un caso o hecho particular: algunas veces a la conclusl6n misma se le llama deducción; elemplo: Es principio general aceptado que a todo alumno que llega tarde a clase se le envio a la Dirección de"la Escuela: en un caso particular. Eduardo llega tarde a clase por 1.0que conCluye:"me van a enviar a la DlreccI6n". Ahora usó un .razonamlento deductl\to, pues aceptando el 'prlnclplo como verdadero. razoo6 a partir de él 'para sacar una conclusión en su .caso particular., "Deducir es razonar en Matemática". Efectivamente. el' razonamiento matemático es eminentemente deductivo y los principios en los que se apoya son de dos tipos: los.Postulados y las Deflnlclon,.. Tanto los POItulados como las Definiciones son Principios Generale. que aceptamos

comoverdaderos. . Proposicionessimplesy abiertas. . . En matemática,al Igual que en el lenguale coman,tenemosque tratar con oracionesen lasqueexistela posibilidadde decidirsi sonverdaderas . Q son falsas. Paraque esto sea posible,las orQclonesusan términoso .

sJmbolos que tienen un significado Canlcoy bien definido; cuando' se trata de un~ oración abierta, como se definióantes en conluntos. la oracl6n debese.ro falsa o verdadera,péro no ambascosas,con cada valorque s~ asigne a la variabletomadode su conluntode reemplazamiento. A las' oracionesde las quese puededecir sl.sonverdaderaso son falsas.'abler. tos o ne, se les .lIamaproposlclor.es.Ejemplode oracionesque 80n pro-

posiciones:

",

1.' '~xes un.número Impar:x E: N".Es proposiciónporquecon cada nCl. mero natural que se reemplacea la "x" la oracl6n seró, o falso-o , verdadera.

m

.

.

/

i'. 2. Un triángulo equllátero es Isósceles. (Falsa). 3. 3 + 9 = 6x~x e: N: (.proposición),por lo mismo que en el ej..No.l~ 4. 9 es un factor de 27. (Verdadera) Proposición. 5. Mont,rrey es' un estado de la República Mexicana: (Falsa}. Elemplode oraciones qu_eNO Ion proposiciones porq,ueno se puede decir' de ellas que sean falsas o verdaderas.,~ ,.' , a) 2x'+ 5 = x 1: (No. se da conlÚnto de reemplazamiento para 'la-va.

'"

-

.

rlable por lo que no hay modo de decidir cuándo sea falsa o cuándo

b)

Juan tiene 21 años. (No se define' de qué Juan se trata, por lo que no se puede decidir si es falsO o verdadero). , . "y" es un número Impar. (No se da conlunto de ~emplazamlento para la variable "y". Observando los elemplos anteriores, podemos clasificar a las propo-

sea verdadera). c)

-,

sl.clones e,n dos tipos.

.

"

A aquellas proposiciones de las que Inmediatamente se puede decir si son verdaderas,o son falsas las UamaremosProposlclonel Slmplelr De e,lIas se dice que tienen un valor de verdad,

Verdaderoo Falso.'

,.

El otro tipo de 'proposición es aquella que tiene arguna variable y un conl'unto de reemplazamiento par(l ella. A éstas las llamaremos.Propollclonel Ablertal, y de ellas se dice que tienen un conlunto de verdad, el cual es un subconlunto de su conjunto de reemplazamiento.El conlun.o de verdad lo forman los elementos que,hacen que,la proposición sea verd~dera. De acuerdo con lo anterior, a cualquier proposición abierta se le convierte én' proposición simple al asignar para la variable un elemento del conlunto de reemplazamiento.

Elemplo:

.

..

,

"x es un n~mero Impar; x e: N". Esta es una Proposlcl6n abierta y tiene un conlunto de,verdad q4e es ,el de los n~meros Impares, el cual es un subconlunto del conlunto de .Ios números naturales, su conjunto, de reemplazamiento.SI tomamos de "N'~ el número 7 para 'reemplazarla x, la proposlcl6n queda como "7 es un número Impar" de la que Inmediatamente podemosdecir que es Verdadera.SI tomamosel 28,dlrfa "28 es un namero 'Impar".

Falsa.

-

. -

' .

,

",

NOTA:Númeropar es aquelqueal dtvldlrloentredosda residuo= O. NúmeroImpar,es aquelqueaJdlvldlrloentredos da un residuo= 1. Gr6tlca de propollclone. ,-

Los proposiciones simples son oraciones declara~lvasque tlenén un sujeto' . y un predicado,.No tienen'componentes unidos por conlunclones'como "V", "0", "sl .. ,.entonce.s", Yf generalmente usan el verbo ser:: esto último facilita que se puedan re-escribir o modificar 'para decl,rque un 'suje~o,es 81

.'

o no' es, elemento de cierto conjunto, y representar esto por medio de un diagrama de Venn. Es decir, podemos emplear el lenguaje de conjuntos tonto simbólico como grófico visto en lo Unidad I poro nuestros proposi-

ciones en el lenguaje ordinOrio.

.

.

Eiemplo a): "6 es "un número por" puede reescribirse como "6 es un elemento del conjunto de números ,

pares"

y.

graficar lo. proposición como se muestro

en lo figuro.

Eiemplo b): "Todo hombre es mortal" se. re-escribe como "El conjunto de todos los hombres es un subconjunto del conjunto de todos los mortales".

Lo gráfico de lo proposición abierto es el diagrama de Venn representando 01 conjunto de reemplazamiento y su subconj'Unto el coniunto de verdad; también llamado conlunto solución.

Elemplo a): "x es un número por; x E: N'\

Elemplo b):-/Ix es un múltiplo de 4; x e: N".

62

-- - - -

'...

PROBLEMAS PARA AUTOEVALUACION H-5

Use el razonamiento inductivo para establecer un principio general,: 1..Un estudiante de nuevo ingreso observó duranté varios lunes conse.

.

cutiv()s que se teunfa a todos los alumnos para hacer el saludo a la

Bandera

.

conCIUSI~n:~

,

.

r

.

.

('1,:./~~"~, 1. rJt\O..f\.,~

: ~ ~.

'.

.. 011. ~ .~.'

. i"

;

.

,. )

. ','...

.

, . ..

'.

¡ <

Use el razonamiento deductivo para establecer un princif)ioparticular:

2. Todos los iugadores de las Ligas Mayores tienen buen salario. Si .

Garcfa es un iugador de Liga Mayor entonces.

." Conclusl6n:

(\ f

L... ~Ct .

..

_t'

En.Io~ siguiente's problemas diga si la conclusión se obtuvo por Induc-

ción o por deducción:

.

.'.

.

3. Hoyes marte$,mañana será miércoles.el c:..l_..

~

I

..

4. Lloverá esta Navida~, p'lesto que cinco años con~ec.utivos ha llovido

en Navidad. '. 1" 5. Si el perfmetro de un cuadrado mide 4ccm, cada lado mide un cm. I

..

C\~ el ~C\

-

,

.

.

'-i

~

En los siguientes elercicios clasifique IQsoraciones. diciendo si son o no, proposiciones y en caso afirmativo, si éstas son simples o abiertas dando . su valor de verdad o su conlunto de verdad según . sea el caso. .

8. "5' es un número Impar"..

7. "2x + 1 = 5". 8. "3 + 9 = 2x; x e: N".

9.

.

'.

,,1

"x es un número par; )Ce: Ñ.":

Utilicéel lenguale de conluntos para modificar las siguientes proposic,io~es y.asf pod~r graficarlas. . ' .' . ' 10. "Todos los múltiplos de 8 sOfJ números pares". 11. "3 < 5". I . r ...,.,

63

M6dulo 6

. '

OBJETIVOS ESPECIFICOS Al concluir .el estudio de este módulo, el alumno: 1.

Dada una lista de proposiciones

compuestas.

qiscrlminará

las simples de las

.'

2.

Dará ejemplos de prbposicion~s expresadas en lenguaje común, unidas por el correctivo conjunción.

'3.

Encontrará el valor de verdad o conjuhto solución en la conjunción de p~oposiciones simples o abiertos respectivamente.

4.'

R'epresentará mediante diagrQmasde la conjunción de dos proposiciones.

5.

Distinguirá entre IQ disyunción inclusivo y la exclusiva:

6.

Encontrará el valor de verdad o conjunto solución en la disyunción de dos. proposiciones dados.

7.

Representará, mediante diagramas de Venn el conjunto solución de la disyunción de dos proposiciones abiertas.

8.

Graficará, utilizando, diagramas de Venn, proposiciones compuestas que llevan los "conectivos lógicos": y, o, encontrando el coniunto de verdad de ellas.

,

Venn el conjunto de verdad de "

ESQUEMA RESUMEN' ProposIciones-compuestas. Conectivos

.

.

lógicos:

- Conju~ción. - Valor de verdad o conjunto de verdad. - Representación gráfico mediante diagrómas de Venn. - Disyunción inclusivo: Disyunción-exclusiva.

-

- Valor de verdad o conjunto de verdad. - Re'presentacióngráfica mediante diagramas de Venn. 64

.

1/

~

"

c.,

Proposiciones compuestas I

""

.'

.

t 'f'

-...

,.,

.. Las proposiciones simples, y abiertas son los elementos básicos en el ma1-

nejo de nuestro lenguaje, y partiendo de 'ellas .pueden "cc;mstruirseotras

r

cada vez más complejas, asociándolas mediante conectivos que llamaremos eonectlvós lógicos. Estos conectivos son: "y", "o", "si . . . entonces". Usaremos también la partícula ".no" aunque hablando eón propiedQd no es un conectivo ya que sólo afecta a una proposición. A las proposiciones así asociadas las. llamaremos Proposiciones Compuestas y su valor de verdad o su conJunto de verdad dependerá de los valores de verdad o ,conluntos de verdad de .las proposicionea componentes. .

Conlunción

'

Si' asociamos dos proposiciones usando el.conectivo lógico "y", formamos una proposición compuesta llamada proposición eon,

luntiv~ o simplemente coniunclón.

La co'nlunciónde dos proposiciones simples es verdadera sólo si ambas proposíciones son- verdaderas, -ya,que 'estamos afirmando las dos declaraciones; si una de ellas es falsa o si ambas lo son, entonces la conluneión es falsaó .' . '. ' D~bemos tener presente que ,una proposición simple tiene un valor' de verdad (verdadero o falso) ,.mientras que una proposición abierta tiene un ,conlunto 'de verdad o coniunto solución formado por los 'elementos del' conjunto universal O' de reemplazamiento que hacen de .10 proposición abierta una proposición simple y verdadera. Por lo anterior la coniunción' de dos proposiciones simples' tiene un valor de ~rdad como vemos ep los siguientes ejemplos: '"

'

,

Elemploa): "4 es '1;.10. número par y 4 es numero natural". Vp.rdadera, ambas proposiciones lo son. ,

'.

,

Elemplo b): "3 es un número natural y 3 es un número par". Falsa, - porque Ja segunqa proposición "3 es número par" es falsa. Elemplo e): "Yo soy alumno del ITESMy no sé leer". Falsa, la segunda

proposición "Yo no sé leer" es falsa. '. . La conlunción de dos proposiciones abiertas es sólo ver:daderapara aquellos elementos del c:bnjunto de reemplazamieñto que hagónque ambas proposiciones ,abiertas sean verdaderas; si un elemento hace que alguna de las proposici,ones o que ambas sean falsas, la conjunción '

se'rá,falsa para ese elemento.

"

"

,\

Como ,cada proposición abierta tiene su conjunto de verdad tendre.; mos dos conjuntos de verdad y el conjunto de verdad de la conjunción lo formarán los elementos comunes., es decir, los que pertenezcan a Id intersección de los dos conjuntos de. verdad. Elemplo: "x >- 5 Y x es un número par; x 'E: N". Esta eonluneión sólo será verdadera para elemen~os de N que siendo números pares sean a la 65

vez mayores que 5. El conjunto solución o de verdad se 'podría escribir

como:

.

¡

{x e:'N Ix>

.

5 Y x ~s par}. Este conjunto c~)rrespondea la intersec-

ci6n 'del conjunto A = fx e: N Ix>

par}.

5} con el con;unto B = {x e: N I x es '

N

A

B

En estos casos es partic~larmente útil la' gráfica con los diagramas de Venn. donde N es el, conjunto universal o de reemplazamiento y la ',solución de la proposición coniuntiva queda graficada p~r la intersección de A y B.

En'las siguientes coniunciones encuentre el valor de verda,d o el con¡unto solución con su gráfica. según sea la coniunción de proposiciones simples o abiertas respectivamente. . . 1.'

Cinco veintes hacen un peso y dos veintes hacen un tostón.

2.

x es un número par y x es menor que'5; x E: N..

'\ .

Si sus respuestas son acertadas siga adelante.

Respuestas'

'.

.

1.. Falsa. La segunda proposición es falsa lo que hace falso a 'la coniunción.

2.

'

,

Conjunto solución = {x e: N Ix < 5 Y x es par} = {4. 2}. N

Disyunción,

Cuando dos proposiciones se asocian con el conectivo lógico "o". la proposición compuesta que se forma s.e llama proposición I

disyuntiva o disyunción.' .

.

, ,

En español el conectivo lógico "0" tiene dos significados. uno es el

llamado "0 exclusivo') que se entiende como "0 uno o el otro. pero NQ ambos"; y -el otro se llama el "0 Inclusivo'" que se entiende como "0 uno d el otro. o ambos". En Matemática. como en la Lógica. es este último signl-, ficado el que se utiliza siempre. . . La disyunción de dos proposiciones simples es verdadera si cualquiera de las proposiciones es verdadera y sólo será falsa cuando ambas sean falsas. pues er:"este caso se afirma cualquiera de las proposiciones. Ejemplo a): "6 es factor de 35 o 6 + 2 = 8". Verdadera; porque la segunda es verdadera. aunque 1<:1 primera "6 es factor de 35" es fals~. 66

II

,

Eiemplob): "Yo estudio preparatoria o tengo más de 10 años". Verda-

dera; .ambas proposiciones son verdaderas., ' Eiemplo e): "Monterret estó en FranciQ o estó en Brasil". Falsa: am-

bas proposiciones son falsas. . Lq disyunci,6nde dos proposiciones abieatos es verdadera paJa los elementos del coniunto de reemplazamiento que hagan verdade~a a cualquiera de las dos proposiciones abiertas que la,componen, o para aquellos elementos que hagan verdaderas a las dos. Esto en coniuntos corresponde a la unión de los dos conjuntos solución. ~

N

D

Elemplo: "x> 5 o x es un número par: 'XE: N". Esta disyunción es verda-' dera poro elementos de N que cumplan una cualquiera de las dos afirmaciooes, es decir que dichos elementos pertenecen ,al conjunto solución de x> 5 0\ pertenecen al coniunto ,solución de x es por, o pertenecen a ambos. Puede observarse por lo antes dicho que lo solución corresponde Q la unión de un conjunto D = {x E: N Ix> 5} con un

E

D u El: Gráficade la Disyunción

=

,

,

conjunto E {x e::: N Ix es par}. La grófica de las proposiciones abiertas en un"mismo conjunto de reemplazamiento nos da una, mejor y mós clara

ideo'de la solución. Sólo 1, 3, 5 no pertenecen a la solución. En las siguientes disyunciones encuentre el valor de verdad'o el conjunto solw;;ióncon su grófica, según corresponda: 1 . El número 9 es primo o el número 9 es impar. 2." x es me.norque 6 o.x es por: x e: N. Si sus respuestas son correctos sigo adelante, coso contrario repose '

,

la disyunción.,

'

Respuestas: 1,. Ve~dadera; aunque la primera proposiQión,es falsa la segunda es

ver~adera.

N

2.

{xe: N Ix < 6 o.x es par} {1, 2,3,4,5,6,

=

8, 10, 12, 14, 16, . . .}

Las proposiciones pomp'uestas que hemos analizado son las mós elementales ya que los formamos al conectar dos proposiciones simples o dos proposiciones abiertas, pero en muchas ocasiones conectamos proposiciones simples con proposiciones compuestas o aún mós"conectamos dos proposiciones compuestas haciendo que la proposición resÜltante sea coda vezmós, compleja y por lo mismo más difícilpara determinar su valor de verdad'o su conjunto de verdad, pero siempre será posible determinarlo si procedemos' metódicamente como en los ejemplos que siguen: Elemploa) "El 7 es un número nqtural primo y además es impar". '

67

¡;¡:f' a~.----

'

En este caso tenemos tres proposiciones ~imples en conluncl6n que

podemos simbolizar usando letras minúsculas:

'

p: El 7 es número natural q:. El 7 es número primo r: El 7 es número i~par (p y q)' y r El valor de verdad es verda~ero, porque siendo p verdqdera y q tam-

bién, su\coniunción es verdadera; como r es verdadera la conjunción de la conjuncion p y q con r será también verdadera.

'

.

Eiemplo b)

,

Considerando U-' '{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} co~o universo de la variable ¿cuál' será~el conjunto de verdad de "x es un múltiplo de 2 menor que 9 o es un número divisible entre 3 mayor que 5"7 Primero necesitamos saber' cuántas proposiciones diferentes de (as llamadas básicas tenemos y vamos a simbolizarlas. a: '''x es múltiplo de. 2" c) "x es 'divisible entre 3" b: "x -<,9" d) "x > 5" . Identificamos en seguida los conjuntos .de verdad de cada proposición considerando que U es el conjunto de reemplazamiento. A {2, 4, 6, 8, 10} B {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, a}

=

,

= e = {3, 6, 9l D

= {6, 7, 8, 9,

'

10}

Ahora simbolizaremos las relaciones entre las proposiciones; a, b 'forman una conjunción aunque podemos observar 'que no se mencionó el conectivo "y" Este se encuentra rmplícitoal decir que'''x es múltiplode 2

.

menor que 9" (a y b) , . e, d también están en conjunción (c y d) y las dos, eonrunciones forman una disyunción (a y b) o (c y d) '-

Po~lo que el conjunto de verdad de esta compleja proposición será:

a y b; A

nB

c y d; C

nD

{2,4,6,8}

C

D 6

{5,'9}

7

CID 3

8

9 '10

'(a y b) o (c y d); (A n B) U (C n D) {2, 4, 6, 8} U {6,9} = {2, 4, 6, S, 9}

68

--

-- -

/

i

PROBLEMAS

PARA AUTOEV ~LUACION

'Use el lenguaje de conjuntos 1. 2. 3. ,4. 5.8.

p~'rp .reescrittir

11-6

las siguientes

oraciones:

Todos los múltiplos de 6 son números pares. 3 es un número impar. . ' x es un número natural y es menor que 4.. El triángulo T es equilátero. Los problema's 5, 6,' 7.y 8 grafíquelos. Utilice los primeros cuatro res-

pectivamente.

-

.

En los problemas siguientes ilu,stre con diagramas de Vef1n, los proposjciones simples que se dan, considerando al conjunto N como el

.

9. 10. 11. 12. 13.

conjunto universal.

.

'

El conjunto de todos los números primos mayores que 2 es un subconjunto del conjunto de números impares. Todos los múltiplos de 2 son números pares. Ningún número primo es múltiplo de ~ Para los problemas siguientes considere que M = {1. 2. 3, 4, 5,6,7, 8,' 9, 10} es el conjunto de reemplazamiento. . Con las siguientes proposiciones .forme la disyunción y escriba una lista de los elementos que pertenezcan al. conjunto solución, HX es - menor que 8"" "x es múltiplo de 3", . Forme Ja disyunción de ,"x es múltiplo de 3" con la disyunción entre ','x es número par" y "x es menor que e-". Escribo una listo de los

elementos del conjunto solución.

.

14.

Con cualquiera de las proposiciones utilizadas en el problema anterior forme una proposición compuesta cuyo conjunto solución es {3, 6}. Indicación: Puede formar la proposición compuesto usando otras ya compuestos como en el problema anterior. .15. . Con las proposiciones usadas en los problemas .anteriores forme una ,que tenga como conjunto solución {2, 3, 4, 6}. .Sean A,- B, C los conjuntos solución 'de tres proposiciones abiertas o, b, c, respectivamente. (Ninguno de los tres es conjunto disiunto). Dibuje los diagr.amas de Venn para las siguientes proposiciones compuestas, sombreando 'el área que representa la solución de la proposición compuesto.

16. o o b 17. b Y e -

-.

18. (b Y e) o a 19. b Y (c o a) '\ 20. . b Y (c y Q)

89

-~

~

-~-

M6dulo

'7

OBJETIVOS ESPECIFICOS Al concluir el estudio de este módulo~ el alumno:

1. Expresará ,la negación de una proposición dada. 2. Enqontrará, graficará el conjunto de verdad de la negación de una proposición.

3. Construi.rá la negación de una coniunción~ 4. Construirá la negación de una disyunción. 5. Representará gráficamente utilizando diagramas de Venn y aplicando I

la3 leyes de De Morgan la negación de proposiciones conjuntivas o disyuntiyas. Discriminará entre un cuantificador uni.versal y un (fuantificador existencia!. Construirá proposiciones con cuantificadores. Negará proposiciones con cuantificadores. Representará gráficamente mediante diagramas de 'Venn la negación de' proposiciones que cont,engan un cuantificador universal o el cuantificador existencial. '

6.

'

'

7. 8. 9.

ESQUEMA RESUMEN Negación de proposiciones:

-

Negación de una proposición abierta.

~

Conjunto

de verdad.'

,

- Representacióngráfica mediante diagramas de Venn.

- Negaciónde,proposiciones compuestas. .

-

Negación qe una conjunción.

- Conjuntode verdad.

-

-

. Cuantificadores

.,

-

.

.

Representación gráfica mediante diagramas de Venn. Negación de una disyunción. Conjunto'de verdad.' Representación gráfica mediante'diagramas de Venn. Leyes de DeMorgan. lógicos:

Cuanttficador univer~al, y su negación. . Cuantificador existencial, y su negación. - Representación. gráfica mediante diagramas de Venn.

70

'

Negación'

Ya mencionamos que aunque la partícula "no" afecte sólo a una propo-

,

sición, consideraremos qu~ la negación de una proposiqión datfa forl11a una propo~ició{l compuesta. El'valor de verdad de la proposición así compuesta..es el opuesto del valor de verdad de la proposición dada. Conjuntos

de todos los' días

Conjuntos de todos los días. nublados

Conjuntos de todos los días claros

,

Eiemplo: Al pensar 'la negación de la oración "Hoyes un, día nublado". Escribimos~ "Es falso que hoyes un día nubl'ado" 'o también "Hoy no es un día nublado".

Puedeobservarse que si la proposición dada' es verdadera 'entonces la negacit,Snes falsa, y viceversa. La representación, de la proposición dada en ~n ,diagrama de Venn se mue~tra a la izquierda; eh él se observa que la solución o representa.ción'gráfica de la negación es precisamente el conjunto complem.ento.

Si la proposiciórí dada es abierta. los di"agramas de Venn so~ todavía' más valiosos, para determinar el conjunto de verdad' de la negación. En el ejemplo siguiente tenemos la proposiciól1 "x es múltiplo de .4; x 'E N". cuya. y~~ N

negación sería "x"esno falso que x de sea4; múltiplo de 4; x E N".o es, múltiplo x E N".

.

De acuerdo a lo antes dicho la proposición es verdadera para los elementos del conjun. to de reemplazamiento que hagan falsa a la proposición original. En seguida presentamos., el diagrama de V~nn. La parte sombreado representa la solución. ,Un error muy común es el, de considerar que la negaciQn .de una proposición es otra pfo~osición, que afirma al'go Conjuntos de todos los días contrario o algo diferente. Por ejemplo algu~ .~

nos pretenden

negar la proposidón

"Hoyes

,lunes", diciendo "Hoyes ,jueves". El diagrama de Venn para" "Hoyes ,

100 "

lu-

nes", ~i el conjunto ~e ree~pI9z<:J"!1iento es el conlunto de todos los diOS, sena el que se muestra a la derecha; e"l él se pyede notar que el complemento sena el con'lunto de' martes, miércoles ' jueves, viernes, S y domingos. Por lo que la negaciónábadoS consi':.

~ ~

W

...

~

...%'/!-%~r~

.~'~-¡§§ ~~

~~,~~~~ t

.§~1~.~~.~~'E~~~~ ~ ~ ~~ ~~ ~'~o~~~.s :~:~:~:~:~:¡~... .g%c0c~c~.§~c~.g

.

0L"///~/~//h: ~t~~~~~~~~~~ dera que hoy pOdría ser uno cualquiera de los otros días de fa- semana. Se sqmbrea la negación.' . El error antes mencionado es más frecu~nte cu~ndo la proposición es .

,

71

~

...'-

- - ..; -

.

abierto. Por ejemplo, Jo. negación de "x > 5; x E: N" sería x ::t>5; x e: N" o también ",es falso que x :> 5; x e: N", pero' muchos escriben o interpretan lo negaCióncomo "x < 5; x e: N".Los diagramos de Venn nos proporcionan un método más sencillo de acertar en la .

solución. Usando el ejemplo anterior'

.tendremos el diagrama que se muestro

'~

paro. la proposición dada. en él se som. brea la' solución para la. negación y como se ve es e,l complemento; SI A {x E: N 1.x > 5}. la negación será A' {x'e: N Ix ::t>5}.- . ,

"

=

.

".

=

Negación'de proposiciones compuestas . Hasta aquí hemos tratado sólo con la negación:de' una proposición. Consideraremos ahora, la negación de Ilroposiciones compuestas, y para hacerlo empezaremos por analizar la misma, negación./ " Eiemplo: Al pensar la negación de la proposición compuesta "x no es número impar; x e: N" cuyo conjunto solución es

,

el que se muestra sombreado en lo figuro; la ne-

gación de lo proposición dada serp "Es falso que x no es número impar; x e: N" y su gráfica será sombrear el complemento, de la gráftca ',dado, lo que significa que la proposición es, equivalente a decir /Ix es J:1úmeroimpar; x e: N". De todo esto podemos deducir que la negación de lá negación de una, proposidón es, la proposición misma o también que negar una propo-, sición negativa es igual' a' enuric1ar la proposición afirmativa. Analicemos ahora la negación de una coniunclón o través de otro ejemplo.'

.

a) Sea "~ > 3 Y x < 10; x e: N" cuyo conjunto solución se muestra en .el primer dia~rama dé esta página y que en ellenguaie de coniu.ntos es la inter.sección de {x e: N Ix> 3'}con {x e: N I x < 10}.La negación de la proposicióriconjuntiv.aserá entonces "Es falso que x,> 3 Y x< 10;x e: N". , Y el conjunto solución es el complemento del conjunto solución de la pro-

'se Ve ~n el siguiente diagrama deVenn. Este diagrama nos sugiere otra forma de escribir la negooión utilizando, los

posición original. como

complementos de cada conjunto solución; como puede comprobarse, en los diogramas de Venn la unión de los complementos es igual 01complementó de laeintersección. (A' U B') = (A n B)' entonces lo negación quedaríacomo {xe: N Ix ::t>3} unido,con {x e: N I x
comúnsería {xe: ,N Ix ::t> 3,0

x
, A

B

EE

Gráfica de conjunción

72

,;¡,,---~--

..

. .

Gráfica de la negación de la conjunción"

/ (A

.

n B)'

.

/ .

.

/

.'-'l'

A'

X

---/..., < 10

B'

Lo combinación de los dos.cuadros. N anteriores en' uno solo nos sugiere el '/7f. ,// resultado de negar uno conjunción y .... '//, x< 10 también nos da un método poro manipux. > lar los proposiciones compuestos usan- A' U B' do diferentes sombreados poro determinar un resultado final de lo co~posi.ción~ b) Escribo lo negaéión de "x e$ n(¡meropor y x es menor que 5;'x E: N" Y encuentre su conjunto de verdad. Utilizando lo notación de conjuntos obtenemos y graficamos ,el conjunto solución ~e lo conjunción dada {x.e: N I x es por} n {xe: N Ix < 5} {2,4}. El'conjunto complemento del anterior es igualo lo unión del complemento de codo conjunto solución. Lo negación será pues "x no es poro x no es menor que 5; x e: N".

I

=

N

"x no es par"

"x no es menor que Stt

73

~

~2

~

Conjuntos de todos los días

"x no es por. o x no es menor que S"

Analicemos ahora la negaci6n de una dIsyunción y su diagrama de Venn. "Hoyes iueves o es I:Jn día nublado". La negaci6n de la propo-

sición será "Es falso que hoy sea iueves o esté

nublado". El diagrama de esta proposición será

el compl~mento del diagrama de la disyunción dada.

.

'

Si consideramos la negación de cada uno de las proposiciones que forman la disyunción anterior ¿cuál 's~r¡a la proposición compuesta que tenga el mismo coniunto soluci6n?Llcime "a" a la primera proposición y "b" a la segunda. A y B serán los coniuntos soluci6n de' cada una respectivamente. Si puede acertar en su respuesta significa que ha cQptad9 perfectamente la' idea de la negación de las proposiciones compuestas,

en caso contrario repásela de nuevo.' . Respuesta Sea la' proposición compuesta~ a o 'b cuyo diagrama se muestra en seguida sombreando el complemeoto. . Conjuntos de todos los días

-74IKEI:~ (A U B)'

..

I

Con.siderando la negación de o y de b los coniuntos solución serian A'

y B' respectivamente. La combinación que me dará la misma área som-. breada que tenía, será el área cuadriculada que corresponde a la Intersección de A' y-8', por lo tanto la soluci6n es: no o y no b: "Hoy no es 'iueves

. .Yno es un día nubladO". (A U B)' = A' n B'...

,.

.

I

A' nB'.

- :.........

Después de acertar en el problema anterior puede entender perfecta-

mente las Leyes de De Morgan que nos dicen: ¡

.

.10. La negación de una. conjunción, es la disyunción de las n,egciciones. 20. La ~egación de 4na disyunción, es la coniunción de las ne.gaclones. . l. . En otros palabras para negar una conjunción cambiamos el conecti'lo lógico "y" por un "o" y negamos las proposiciones componentes; para negar una disyunción cambiamos el conedtivo "0" por un ".v", negando las proposiciones componentes. . Eiemplos:.

a

a)

-ab. = c y b =1=O.

Negación:

b)

ab:f:- ac 6.0 = O

Negación: ab

-b

=1=

c o b =O

= ac y o

=1=-

O

Cuantificado res H.emos considerado un tipo de proposiciones simples en las que se menciona la cantidad de suietos que intervienen, como por ejemplo "Todos los múltiplos de 6 son números pares", al decir todos estamos cuantificando, es decir, hablamos de cantidad de múltiplos en este ejemplo. Para graficar una proposición de este tipo usamos el lenguaje de conjuntos diciendo. . que el conjunto de sujetos es 'un subc()niunto del conjunto que formo el predicado. Ejemplo: "El conjunto de todos los múltiplos de 6 es un subconlunto del conjunto de los números pares".

Diagrama de universal af"mnativo

¿C6mo consideraría el cuantificador ninguno? Dibuie la gráfica de la siguiente proposición: "'Ningún múltiplo de 6 es. número par". La gráfiéa de la proposición nos sugiere la modificación de lo proposici6n..diciendo "Todos los mÚlti'plosde 6 no son números pares", que en 75

el lenguaje de' Qonjuntos. quedaría como "El conjunto de todos los múltiplos de 6 es disiunto del conjunto de números pares". La gráfica se muestra en seguida para que compruebe su resultado.. .. Por lo anterior podemos decir 'que "n'ingu.no" es equivalente a: "todos.. .no. . .".

Diagrama de universal negativo

Todos y ninguno son. entonces cuantificadores que considera.n la, to. tolidad de los sujetos, y los llamamos cuantificadores. universqles, sólo que el primero es afirmativo y el segundo es negativo. . .la negación de este tipo de proposiciones simples es un caso particular y muy frecuente en Matemática, razón por la que lo consideramos separadamente. la negación de "A. es subconiunto de B" sería "A no es subconiunto de S", que de acuerdo con la definición de subconiunto, "aquel'

.

.

cuyos elementos (todos) lo son también del

"

otro conjunto", se puede escribir o interpretar como "por lo menos un elemento de A no es elemento de, S,". Estas proposiciones en los que no se consideran' la totalidad de los sujetos emplean cuantificadores lIa'mados particuloro existencia l. Ejemplo: Escriba la negación y dibuje la gráfica de "Todos los hombres son mortóles". La proposición se podría modificar: Diagramade particularnegativa "el conjunto' de todos los hombres ,es subcon, ju~to del' conjunto de los mortales" y 19negación será decir que no es subconjunto, lo cual escribimos como "Por lo menos un hombre no es mortal". Su diagrama de V,enn se presenta a lo

izquierdo.

.

<1

Al negar la. proposición universal afirmativa hemos obtenido una proposición particular negativa, (por lo menos uno. . ,no es. . .) el ~antificodor particular lo encontramos también, como, . algunos o algún. ¿La négación de la proposición Diagramadeparticularafirmativaparticular. negativ,a,
88 '

,

El valor de verdad de la negación de una proposición es verdadero si la proposición 8$ falsa, y viceversa, esto se aplica a las proposiciones con' 76

.

los cuantificaqores universal o particular, pues son proposiciones 'simples.' ¿Podría escribir unas regios para la negación de las proposiciones con

cuantificadores? .

.

.

.

Complete la lista con los tres reglas que faltan. 1. Lal.negaCiÓn de la universal afirmativa es. la particu lar ne2. La negación de la universal negatiya es la , oA.¡ 3. gatrva. . es 'f ,."'¡hve.f CA) La negación de la particular afirmativa 4; La negación de I~ particular f'egativa es la ll1h .reu~ .

.~

Estas reglas nos muestran a nosotros que' la negación, tanto en la Lógica como eh la Matemótica, es la contradicción móxima ya qÜe aparte denegar lo que se afirma. o sea .cambiar la calidad de la proposición. también se cambia la cantidad. si es universal. a. particular y si es particular ti universal. . 1

!'

77

,

PROBLEMAS DE AUTOEVALUACION 11'-7

En los siguientes problemas escriba la 'negación, de las propo$iciones que sean simples y dé' su valor de verdad. Dibuj.e .el diagrama de Venn, sombreando 10 negación en las que sean proposiciones abiertas. ,1

.

11 es un número

pr,imo.

,\,

\

2. x + 3 = 10;x e: N 3. 6 < 8 4. No es verdad que 3 < 5 5. x es un múltiple.de 3; x e: N 6. Hoyes sóbado; hoyes un día de la semana. En los problemasdel 7 al 10,dibuje los diagramas de Venn y sombree el conjunto solución para la negación.Aplique las leyes de DeMorgan para

escribir dich~ negación. 7. "x es por o x > 5; x e: - N" 8. "Hoy es martes y 'es un día lluvioso", Hoy e: Conjunto de todos los días 9. "x > 3 y x < 10; x E: N", 10. "2x = 6 o x =F O;x E: N" , " En los siguientes problemas escribo .10negación y dibuje el diagrama de Venn. Observe el cumplimiento de los reglas de negación para los pro'posiciones con cuontificadores. 11: El conjúnto de números primos no es subconjunto del, conjunto de números impares; ,U = conjunto de números racionales.12. Todos los húmeros naturales son enteros. U = racionales. 13. Los rectos paralelos no se corta,n. U= conjunto de todos los rectas. ,14. Por lo menos un r:¡úmero entero no es raciQnal. U = conjunto de nú- , ,meros reales. 15. Algunos triángulos equiláteros no son isósceles. U = coniunto de todas las figuras geortlétricas. 16. Ningún día lluvioso es claro. U = conjunto de todos los días. '

.

'

,

de ,

,,-

5

)

,

,

'

Múltiplos

.

,

En el diagrar:na de lo izquierda tenemos tres conjuntos solución de tres proposiciones . o, b, c, que son: A = conjunto de múltiplos de 3; 8 = conjunto de números'porás, y C = conjunto de mÚltiplos de 5, respectivamente. En un dibujo igual al mostra~o escriba el número de la proposición en el órea adecuada para que la proposición sea verdadera. ,

Ejemplo: 1) Es falso que 45 no sea~m(jl-

. tiplo de 3 o no sea n;túltiplo de 5. Usando Leyes de DeMorgon lo proposición quedo: 45 esmúltiplo de 3 y es múltiplo de 5. 17. 2) 40 es múltiplo de 5 y es número par, pero no es múltiplo de 3. 16. 3)' 30 es número par y. múltiplo de 3 y también múltiplo de 5. 19'. 4) 28 no es múltiplo de 5 ni de .tres, pero es por. 20. 5) 45 es múltiplo de 3 y 5, Y es número impar.' 21. . 6) es falso que 121 es. múltip'lo de 3 o múltiplo de 5 o número par.. . . ','

,

,

78

-. - -- -

--

8'

'

M6dulo 8

-

OBJETIVOS ESPECIFICOS

Aí concluir el estudio de este m9d~lo, el alumno: 1. Identificará la suposición o hipótesis de la implicación y la conclusión de ella. -', 2. Determina-ráel valor de verdad de una implic,aciónconociendo el valor de verdad o conjunto de verdad de su hipótesis y el de su conclusión. 3. Identificará las proposiciones equivalentes mediante sus coniuntps,de ~~d .4. Graficará, mediante diagramas de Venn, el coniunto de verdad de una impllcacI6n-.

.

"

5. Expresará en diferentes formas una implicación.

'-

'6. Obtendrá la conversa de una implicación y determinará su valor, de verdad. 7. Hará una lista de formas diferentes de expresar una doble implicación. . 8. ~raflcará el coniunto de verdad de una - pror;!osici6n blcondicional I

(doble implicación).

'.

~9. Determinará el valor de verdad de la contrapositiva, una Implicaci6n.-

10. 11. 12. 13. 14.

.

la inversa de

"

Distinguirá las partes de un silogi'smo~ . Graficará utilizando diagramas de Venn, un silogismo válido. . Expresará con sus propias palabras lo que es inferenciaJ6gica. Aplicará en ca~os sencillos las reglas de inferencias más usuales. Diferenciará entre pensamiento cotidiano y el pensamiento matemático.

,

,

ESQUEMA RESUMEN Implicácl6n. ,

,

Estructura y significado de la implicación.

El conectivo lógico "si. .. entonces..."

,

Formas de expresar una implicación: ,

Notación.

Valor de verdád. Equivalencia lógica," Proposiciones equivalentes. Valor de verdad., Representación gráfica. 79

'Vqriantes de la implicación. Proposición conversa. Conjunto de verdad. Doble implicación. Conjunto de verdad. Contrapositiva de una proposición.

,

Representación gráfica y valor de verdad.

.'

Silqgismo. 'Estruc.tura d,eun silogismo. Reglas de la inferencia. I

Representación gráfica, utilizando diagramas de Venn, para mostrar ' . la validez de un silogismo.

Demostraciones a problemas.

/

i,

80

-- MI - -

-- . --

11:

" {

,

Implicación. Equivalencia \Iógica

Cuando asoci(Jmos, dos proposiciones utilizando el conectivológico "si. . . entonces. . .", formamos la proposición compuesto más .importante en f.o Matemática. Esta proposició.n compuesta se llama Implicación y se considera formada en dos portes: la primera es la proposición que se precede

~

. por

lo partícula "si" y..Iollamaremos suposición o hipótesis de la implica-

ción, la segunda porte está" constituida por .10otra p'roposición precedida por la palabra "entonces" y la l'Iamaremos la conclusión de la implicación. . Hay muchos. modos diferentes de expresar una implicación y en 01-. guoos de ellos no aparece el cone~f¡vo lógico "si. .. entonces" razón por '10 que se debe desarrollar ha.bilidad para expresar tales implicaciones en la forma en que se expresa el conectivo;. en seguida se ven algullos' de las formas. más frecuentes, entre las que se incluye el símbolo o nota, .ción aceptado en la r;\1(Jyoríade. los. text9s; considerando que "p" representa la suposic'ión y "q" la conclusión. tendríamos: ."

si p entonces q. .

,¡

,

P'=> q.(La ,forma simbólica que se lee como "si p entonces q"), P 's610 si q.. p implica q. .

q si 'p. (Esta forma es frecLiente y debemos observar que la hipótesis y la conclusión aparecen en orden invertic;to.razón de .frecuentes errores)..,'

.

Veamos algunos ejemplos. en donde se cambiQ a la formo tradicional,

si p entonces q.

.

a) "x > ~ Implicax > '4". I "si x > 5 entonces x > 4". b) "x = 1 si '3x - 1 = 2x" (Esta, es la. forma q'si p) "~I3x'- 1 2x entonces x. =;= 1". . c~ IIDos círculos con radios iguales.'tienen áreas iguales".

=

.

!

d)

"Si d
El último ejemplo nos da una forma de proposición con. cuantificado81

res; sabemos que ese tipo de proposiciones son simples y se les puede asignar un valor de verdad de inmediato, lo que nos sugiere la idea de considerar a las implicaciones como otra forma especia1 de las proposiciones simples, sÓlo que su hipótesis y su conclusión pueden ser proposiciones abiertas. Atialicemo~ otro ejemplo: "Si x es múltiplo de 2, entonces es un Qúmero par; x e: N"; .en el lenguaje de conjul1tos quedaría como "x es elemento del conjunto 'de múltiplos de 2, y x es elemento del con\ junto de números pares"; esto, como se púede observar, es ,una conjunción,. por lo que x pertenece a ambos conjuntos, lo que significa, que el conjunto de todos los múltiplos de 2 es un subconiunto del conjunto de números pares; "es decir que "si al pertenecer al primer conjunto entonces ,pertenece al segundo", el primer, conjunto debe necesariamente estar contenido en el segundo, y como ya vimos antes, decir" A es un subconjunto de B" es una proposición simpl\ y su valor de verdad se puede ex- '

presar de inmediato.

,

De acuerdo con lo anterior, podemos decir entonces que e!, valor de verdad de una Implicación puede da,rse de inmediato,' y sólo es verdadera si el conjunto', de verdad de su hipótesis es subconjunto del conjunto de verqad de su' conclusión; de otro modo la implicac~ón será falsa. También' pOdemos observar de lo ,anterior que las siguientes proposiclQne$ son

fo;mas diferentes de decir una misma cosa. ,

'

'

Todos los áng'ulos rectos son de la misma medida..

Si los ángulos son rectos entonces tienen la mi'sma medida. El conjunto de ángulos rectos es un subconiunto del conjunto de ángulos con la misma medida. ' , Tenemos entonces tres proposiciones que' por decir lo mismo tienen' el mismo valor de verdad o, el mismo conlunto de verda~.

Las proposiciones G1uetienen el mismo valor de verdad o el mismo conlunto de verdad las llamamos pr~posiéiones equivalentes.

Una proposición universal afirmativa es entonces lógicamente equlvale~te a' una implicación. ,

,

Eiemplos: 'a)

"S'i x < 6, entonces

x < 10,

x e:

conjun'to de números enteros';.

Para

determinar su valor de verdad recurrimos al lenguaje de conjuntos

,y

sus ,diagramas. La proposición equivalente seria "El conjun.t~ de nú, meros enteros menores que 6 <8Ssubconlunto del conjunto de números enteros menores que 1'0". U = Conjunto de núm~ros enteros. A

= {1,2;3,4,5}

= {1,2,3,4,5,E?, A~B

B

82' I

7,8,9}

.

Enteros

Gráfica de Implicaci6n Verdadera

Compare esta gráfica con la del universal afirmativa b.) "Si ,una figu.r.a eS.ijn cuadrado, entonces ea un paralelogra.mo". Conjunto de. cuadrados es' subconjunto del conjunto de paralelogramos, conjunto de reemplazamiento el conjunto de todas las figuras geométricas. Se cumple lo que se afirma, por lo que la implicación es verdadera.

Todas

ms FtgUrQS

t geométricas

Gráfica de Imp~cación Verdadera c)

"Si una figura es un triángulo, entonces es un triángulo equilátero". El conjunto de tpdos los triángulos es un sub- . conjunto del conjunto de triángulos equiláteros.' Conjunto de reemplazamiento el conjunto. de todas las figuras geométricas. Podemo~ ver en la . figura que esta última afirmación no se cumple por lo que la implicación es falsa. Gráfica de la implicación

83

A

,

B

(]) '~

x A nB

(

... .

d)

"Si x és un elemento de' A n S, entonces' x es un elemento de S". Esta propoSición ya e$tó en el lenguaje de conjuntos, y en el diagrama. de Venn se, muestra que el conjunto A n S es un subconjunto del conjunto S, luego la implicación es verdadera.

"Todos los .rnúltiplos de 15 son múltiplos de 5". Como se había hecho;

e)

,

notar, las proposiciones con cuantificadores

son una 'de las formas de decir que un conjunto es subco'njunto de otro, al igual que las implicaciones, por lo que puede escribirse la proposición lógicamente equivalente "Si un número es múltiplo de ,15, entonces es un m,últiplo de 5", o en ,lenguaje de, conjuntos, "El conjunto de múl-' tiplos de 15 es un subconjunto del conjunto ,de , m,últiplos de 5". La implicación es verdadera como se muestra en la,figura.,

Para comprobar la valiQez de nuestra afirmación, usamos lo que se liorna un "'contraoejemplo": es -decir, un ejemplo que no cumpla la implicación, es decir, en este caso una figura que siendo trióhgulo no sea equilótero. "Trióngulo isósceles" es elemento de ,la suposición o hipótesis, pero no es -eleoment-o.de la conclusión y su figura' se muestra a la izquierda. El conjunto de la hipótesis no es subconiunto de la conclusión y la imx representa un triángulo lsósceles

plicación es falsa.

'

-Variantes de la implicación La Implicación da lugar al mayor problema en la búsqueda de la verdad, ho solamente por el hecho de que existen tantas y tan diferentes formos de enunciar una implicación,' pues aun usando' el conectivo lóg:ico ".'si . . . entonces. . .", pequeños cambios en las proposiciones o en el orden en que se dicen, cambian el valor de verdad de la implicación. , ,

Si cambiamos el orden de las proposiciones Cteiandoeo su lug~r al

conectivo, formamos una variante de la implicación, a la que llamamos Conversa o recíproca de lo implicación. Ejemplo: Cambiemos el orden de las proposiciones de la siguiente implicación "si un número entero es 84

-

,

I

múltiplo de 8, entonces es número par".' "Si un

,

número entero es-par, entonces es múltiplode 8".

Considerando el diagrama de Venn para la implicación dada,' podemos apreciar que es verdadera, ya que el conjunto de múltiplos de 8 es subconjunto del de números pares, pero no sucede lo mismo con las proposiciones invertidas; por lo que la conversa es falsa. Contra-ejemplo: el 4 es par pero np es múltiplo de 8. Por lo anterior podemos . concluir lo siguiente: "Aun cuando una implicación sea verdadera su conversa puede no serio". En otras palabras, de la verdad de una implicación no se puede concluir la . verdad de .10conversa de.Ja implicación. Sin embargo, puede darse el caso de que la, conversa también sea verdaderCJ. Ejemplo. "Si todos los 6ngulos de un triángu10 son iguales, entonces el triángulo es equilátero"; su proposición c'onversa "Si ,un triángulo es equilátero, entonces todos sus ángulos son iguales" Ambas proposiciones son verdaderas, es decir, el con-junto de triángulos con sus ónglJlos iguales es subconjunto del de trióngulos equiláteros, y viceversa; por lo tanto, se trata de conjuntos iguales, y se dice qu.e las proposiciones representan esencialmenté lo mismo. Estas proposiciones cuyo coniunto de verdad o val.or de verdad es el mismo, ya vimos que son proposiciones equivalentes; cu"ando se trata de una implicación y su conversa se pueden combinar en una proposición más . compleja usando el conectivo "y", con lo que se forma una doble implicación,

cuyo 'símbolo es ,la flecha con. doble punta. Ejemplo: . . 2' 5, entonces 5 + 2 = 7". Simbolizada esta implicación quedaría: "(7 2 5) ::::::) (5 + 2 7)". Loaproposición conversa sería "Si 7 -.

-= =

=

=

"(5 + 2 = 7) ::::::) (7 ~ 2 5)". Con nuestros conocimientos de esos números pOdemos comprobar que ambas proposiciones son Verdaderas y combinadas en una doble implicación quedan, "(7 - 2 5) <=:)(5 + 2 =7)" 5 si y sólo si 5 + 2 7". Siendo su conjunto que se lee "7 - 2 de verdad ,el mismo, ambas son verdaderas o ambas son falsas, demostrando una, se demuestra también a '10 otra. Veamos otro ejemplo.' "Si un tnáng~lo es rectángulo, entonces el cuadrado de su lado mayor es igual a la s~ma de los cuadrados dej,sus otros dos lados". . Conversa: "Si el cuadrado del lado mayor de u'n triángulo es' igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados, entonce$ el triángulo es rectángulo". ' . . Combjnadas en una proposición conjuntiva las dos implicaciones ante- . riores
=

útil en las demostraciones.

=

'

=

.

Veamos con un ejemplo el' valor de verdad de una implicación y de su contrapositiva. "Si una figura geométrico es un rectángulo, 'entonces es f 85

un paralelogramo."En lenguajede conjun-

..

'.

Todaslasfiguras geométncas .1 tos diríamos: "Si una figura geométrico es elemento del conjunto de rectángulos, entonces es elemento del conjunto de poralelogramps!'; en seguida se. muestra el diagrama de Venn donde se ve .que lo implicación es verdadero.' . : Formemos lo contrapositivo de ICJimplicación poro lo cual formamos primero' lo converso y luego negamos los proposiciones, quedándonos ,"Siuno 'figura geométrico no .es un paralelogramo, entonces no es un r.ectángulo". Haga un diagrama de Venn poro esto último proposición y demuestre que son equivalentes.

Consideremos dos proposiciones "p" y "q" formando uno implicación, y llamemos P y a o sus conjuntos de verdad respectivamente; tomando la implicación como verdadera repasemos la implicación y sus variantes uti.lizando sólo símbolos. El símbolo" "," ante~. de uno proposición indico su

negación.

.

Implicación: p ==> q es verdadero siempre que ,

.

como se muestro en el diag'ramade Venn,P e a.

Convetsa: q ==>p su valor de ,verdad no se

deduce del valor de verdad de lo implicación.

= a yo que se formó con lo conjunción de una 'implicación

Doble implicación: p <=) q es verdadera siempre que P

y sU conversa (p ==> q) y (q ==> p). ' . Contrapositi~a: Nq ==> --p .es una proposición equivalente a la implicaI

Inversa:

'-

p ==> -- q,

ción por lo cual tiene el mismó valor de verdad P e a equivalente o a' e PI. esta proposición es equivalen~ede la cO,nverso, 'rozón por lo que no es muy frecuente su aplicación. .

Silogismos. Demostraciones .

En cualquier sistema matemático los postplados y las definiclo.nes son las

.bases para las demostraciones~ En álgebra se hacen ciertas suposiciones acerca de las propiedades de lo igualdad, de la desigualdad y del conjunto de los números 'reales; estas suposiciones se aceptan como verdaderos y forman los postulados con los que.s'e construye un conjunto,de conclusiones acerca de los números paro formar el sistema matemático. utilizando para el-lo el razonamiento deductivo. Los conclusiones o deducciones se expresan generalmente en lo forma de implicaciones usando .el "si'. . .entonces. . .", y sus enunciados constituyen lo que conocemos comúnmente con el nombre de Teoremas, los que una vez demostrados. sirven también 86

..-- -

-~---

--

.

¡unto con los postulados y definiciones, como bases' para nuevas construcciones y nuevas demostraciones. Los teoremas son generalmente expresados en.la forma ."si . . .entonces..." por lo que la implicación es una, parte importante

en el proceso

de razonamiento

deductivo.

,

'

'

La hipótesis la constituimos con' postulados o' definiciones, y las relaciones ~ógicamente vólidas que establecemos entre diferentes proposiciones simples o compuestas, nos lIeyan a admitir la validez de la conclusión al aceptar. la hipótesis; esto es Lbqlle constituye una demostración. Estas relaciones también llamadas argumentación, toman el nombre de Reglas

de Inferencia o Siloglsmos, según su estructura.'

Las reglas de inferencia, son argumentaciones válidos en la forma de impUcaciones y existen infinidad de ellas', por lo que sólo mencionarem'os una de las de mó~ frecuente aplicación, conocida como la ,Regla de la Ca-

o

dena.

'

'

I

Elemplo: Tómense dos implicaciones. a)

,

Si x es elemento del conjunto R, entonces x es elemento del conjunto S. Simbólicamente (r ==> s)., . Si x es elemento del conjunto S. entonces x es elemento del conjunto

b)

T. Simbólicamente (s => t).

'

En la primera implicación decimos que' R ,c S, y en la segunda que S c T, po'r lo, tanto cualquier elemento de R lo es también de S, y por to tanto también de T. En el lenguaje de conjuntos la, conclusión q~e obtendríamos con las do's implicaciones verdaderas

sería "Si x es elementode R, entonces x es elemen-

'

to de T" (r => t). Esta sería una conclusión válida como se puede ver en el diagrama de Venn que se presenta a la izquierda. Regla de la cadena en' símbolos:

í (r => s) .- ~

.

y (s

=> t) ~ '==> í (r ==>' t) ~ j tconclusión'j

hipótesis

El silogismo es ,la otra unidad básica en las demostraciones, se forma con tres proposiciones. La primera, llamada 'Premisa mayor es una implica- . cl6n aceptada como verdadera. .La segunda, llamada Premisa menor, es una proposición también aceptada como verdadera y nos, dice en. un término, algo que es elemento del conjunto que se menciona en la hipótesis de la premisa mayor; a éste se le llama término medio porque inter~iene en ambas premisa$ o proposiciones pero nU,ncaaparece en la conclusión del silogismo. La tercera proposición o conclusión se forma suprimiendo el término medio, conjunto que aparece en ambas premisas y tomando el término de la premisa menor como elemento del confunto de la premisa

mayor.

.

Silogismo' simbolizado p ==>q Premisa mayor P e Q x.

'x

e: p

Premisa menor P es el término

E! Q

Conclusión.

.

\

,

medio.

87

'

El diagrama de Venn paro un silogismo válido o correcto presenta

,

la gráfica de dos conjuntos. el .de lo hipótesis P y el de lo conclusión a. el primero siempre es subconjuntodel segundo (P e a)-; presento también 01 elemento x del término medio el que por estor contenid.o-en P forzoso~ente

estará contenido en a. Ejemplo:

'

,

'

'

Premisa Mayor: Si un nÚmero es ry,1últiplode 6, entonces es mOltiplode 2.

'

{múltiplos de 6} e {múltiplos de 2} Premisa Menor: 18 es múltiplo 18 e: {múltiplos de 6} Conclusión e 18 es múltiplo de 2 18 e: {múltiplbs

G

de, ,6 ,

"

de 2}

.,

El siiogismo ant~rior' 'está ~imboJizado usond9 el lenguaje' de con-

juntos..Qtraforma es lo siguiente:,

'

Premisa Mayor: Si, x es elemento del conjunto de múltiplos de 6. entonces x es elementod~1 conjunto de

múltiplos de 2.

.

Premisa Menor:.18 es elemento del conjunta de múltiplos, de 6. Conclusión: ,18, es elemento del conjunto de' múltiplos' '

de 2.

.

Diagrama del silogismo

Tanto en 'las reglas de inferencia como en los silogismos la validez no depende del valor de verdad de los proposiciones componentes. sino de la forr:na en que se emplean. pues si no se siguen los reglas de 1,0lógico. la conclusión no seró uno deducción de las premisas; y del razonamientó o argumentación se dice' que no tléne validez o que es falaz. Lo anterior significa que lo conclusión .puede' ser verdadera o falsa. : pero su valor de' verdad depende de una informaci(m diferente o adicional a la 'que' proporcionan las premisas. ' Ejemplos: a)

P '. ( Si un animal es un oso entonces' le gusto la miel remisas t A mi animal preferido le gusta la miel '

Conclusión:.... Este silogismo es ,invólldo independientemente de que la conclusión pueda ser verdadera o falso porque de lo que se afirma en las premi~as no se puede obtener una conclusión. ya que no se (lfirma que sólo a los' osos les guste la miel por lo que mi, animal preferido pudiera ser un oso o pudiera no serio. ' 88

---

'"

b) P

'.

remisos

(: es múltiplo de 4 entonces es divisible entre dos t ~iEl un'número número 14 es divisible entre dos. ..

Conclusión: El número 14 es múltiplo de 4. . Lo conclusión es notoriamente falso, el silogismo es Invólido pues no siguió los reglas de lo lógico. c) '.. ( Si un número es múltiplo de 4'entonces es divisible entre dos P

.

"

remisos

t El número 16 es divisible entre 2

'

.

Conclusión: El número 16 es múltiplo de 4 Ahora lo conclusión es verdadero,. pero el silogismo sigue siendo Inválido, el valor de verdad de lo conclusión lo obtengo de conocimientos de los relaciones entre los números, diferentes de los que se proponen en las premisa$.Lo conclusión entonces no se deduce de los premisas. En los demostraciones se utilizan uno o va.rios silogismos, r,)rinciplando con los hechos enunciados o dados por el problema., o por hechos yo conocidos. como los postulados, hasta llegar o nuevos hechos o conclusiones; siempre usando el razonamiento deductivo. Lo 'demostración matemático exige apoyar ~on uno o varios razones caQa afirm'Qci6n que se hago. esto I

rozón puede ser un postulado, uno definici6n o lo conclusión de un teorema que ya fue demostrado. Para este.tipo de demostraciones utilizaremos dos col,umnas, uno para los hechos dados en el problema y los afirmaciones que iremos deduciendo .hasta llegar o lo conclusión que se quiere demostrar. y la otro columna en donde darem.os los razones de cado. afirmación que. se hago. Ejemplo: Supongamos que ya conocemos que los siguientes hechos son verdaderos; "Si un número es múltlplo de 9 y también de 5. entonces es múltiplo de 45". "Si lo' suma de los dígitos que formQn un número es : múltiplo de 9, entonces el número es múltlplo de 9". "Si un número tert1)ino en O o. en 5. entonces es múltiplo de .5.".

.Pruebeque 33.210es múltiplo de 45. Razones Proposiciones (Si un número termino en O) => (es 33,210es múltiplo de ti 3 +.3 + 2 + 1 + 0=9 33,210 es 'múltiple de 9

CQnciusi6n: 33,210es múltiple de 45

mÚltiplo de 5). Hechos de lo sumo. (Si lo su'ma de los dígitos de un número es múltiplo de 9) => (el número es múltiplo de 9).

(Si un n~mero es múltiplo de 9 y también de 5 entonces es múltiplo de 45).

89

-',

,

).

'En ía demostración ante~lor hemos utilizado tres slloglsmos durante nuestros razo.namlento~,sólo :que por razones prácticas no los escribimos en la,forma como los definimos y que a continuación se presenta. y en' su . lugar utilizamos las dos columnas. omitiendo la ,premisa menor'quegene-

ralmente'es evidente.

'

Premiso Mayor: (La razón que justifica nuestra afirmaciÓn). Si un número termina en 0:0 en 5, entonces es múltiplo de':5. Premisa Menor: (Omitida) 33;210 termina en -O. '.

¡ Conclusión:

afirmación) 33,210 es múltlplo de.5.

(~uestra

,

.

Premisa Mayor: Si la, suma de digitos que forman un número es múltiplo de 9, entonces.el número es.múltiplo de 9.

,

Premisa Menor: Los digitos que forman el número 33,210 sumanunmúltiplo de 9. (No omitida). '\ . 1 Conclusión: 33,210es múltiplode 9. .

,

.

'

pr~";isa Mayor: ',~i ~n nú~ero es múltiplo de 9 y también de

entonc~s es multlplo de 45. . Premisa Menor: 33,210 es múltiplo de 9-y de 5. ¡ Co~clusión: 33,210 es' múltiplo de 45.

.

" .

o

'5,

.

,

.

Con el ejemplo ante~ior, se ve lo práctico que resulta el uso de las

dos co.lumnas 'en las demostraciones, por lo que a lo largo de este' curso continuará empleándose. La prem'isa menor se omite para simplicidad ya 'que general.mente es una información dada o consegu.tda en el mismo :problema. .. .'. .

..~

"

I '\. 90

.

PROBLEMAS PARA AUTOEVALUACION 11.8

En los siguientes problemas diga cuál es la suposición y cuál es la conclusión. y reescriba la proposición usando la forma "si. . . entonces. . .",

si corresponde.

.

1~ Si llueve,entoncesse pospondráel juego. eo r ~\,-' 2. Un número enter~ es múltiplo de 8 sólo si es par. 1 3. Para toda x > O,x > - , x e: N. 'x

4.

\

.

Que x sea .múltiplo de 9 implica que sea múltiplo de 3; x e: N.

5. El equipo gana si Pablo iuega. 6. Si se acepta como verdadera la proposición "si a = 5. entonces 02 = 25". ¿Cuál de las cuatro proposiciones siguientes es una deducción co. rrecta? . a) Si 02 = 25,entonces a = '5 c) Si 02=1= 25, entonces a =1= 5 b) Si a =1=5, entonces 02,=1=25 d) 02 = 25. sól~ si a = 5 7. En los problemas que siguen dibuje el 'diagrama' de Venn después de reescribir la proposición en lenguaje de conjuntos, de modo que se . . vea que la implicación es verdadera. 0), "Si un número es divisible entre 6, entonces es número par". b) "Si ~ < 10, entonces x < 15; x e: N".

,

8'. Usando las dos proposiciones que se dan, forme una ir:nplicación verdadera. '

a x2

= 4: x = 2.

b) Triángulo isósceles; triángulo equilátero. 9. Reescriba las siguientes implicaciones usando el lenguaje de con¡untos. Use diagramas de Venn para demostrar ~i la .implicación es o no verdadera. a) Si un número es divisible entre 4, entonces es un número par. . b) Si x es un número entero que no es menor que 10, entonces no

es menor que 6.

.

10. Cambie la proposición universal verdadera que se da, por su equivalente lógica. una implicación en donde use primero el conectlvo lógico "si. . . entonces. . ." y luego escríbdla usando "sólo si" para observar la impresión que se produce eñ el valor de verdad que no se ha 'cambiado.

.

'

a) Todos los días lluviosos son nublados. b) Todos los múltlplos de 6 son múltiplos de

3. 91

-= -- ""- -

---.-

Considerandoo n > 5 como "p", y a n = 4 como "q", 'escriba los siguientes implicaclones en lo forma "si... entonces. . .", recuerde, que ,el símbolo-.- representa la negación y también que n E R.

11. p=>q

.

12. q=:>.-p

13. q==>p

14. .- q => , p ,15. ; 'p => -".q 16. -.; p => q Diga qué variante de la ,implicaciónrepresentan los símbolos. 17. q =>p 18.' ,...,q=>.-

"

p q

19. .- P=>,..., 20. Utilice los diagramas de Venn para determinar el valor de verdad'en ~os ejercicios

del 11 01 16,.

'

,

21. ¿Cuál de las propoSiciones siguiéntes es equivalente a "si r, entonces

s"?

"

,

t1) r, s610si ~ b) s, sólo si r c) r, si sólo si s 22. Complete las siguientes oraciones de, modo que el significado no cambie y que el valor de verdad sea Verdadero. a) -Dador =>~s;' sólo si b) Dado p => q; si c) Cuando p =>q y q ==> p son implicaciones verdade'ras, a "p" y "q" se les llama proposiciones. . , En los problemas del 23 al 28, compruebe si los silogismos que se don son o no válidos, explicando por 'qué. Dibuje un diagrama de Venn para cada problema. Recuerde que no estamos analizando la validez de

coda atrrmación.

-,

23: Si un número es mÚltiplo de 10, entonces es múltiplo de 5. 20 es

múltiplo de 10. Por lo tanto, 20 es un múltiplode 5. 24. Si una ciudad está ~n Nuevo León, entonces está en América. Mon.. '

terrey está en América.

-

Por lo tanto, Monte.rreyestá en Nuevo .León. 25. Si un número es múltiplode 10, entonces es múltiplode 5. 75 es múltlplo'de 5. Entonces, 75 es múltiplode 10. 26. Todo burro tiene orejas. Tú tienes orelas.

Por lo tanto, tú eres un burro.

,

27. Dos ángulos de un triángulo són iguales, si y sólo si los lados opuestos o esos ángulos son 19uales. ~ASC, (léase triángulo .ASC) AS = BC Entonces, el ángulo C es igual al ángulo 'A. 28. Todos lo,sángulos rectos tienen igual medida.

Los'óngulosA y S son rectos.

Por lo tanto, el ángulo A es Igual al ángulo B. 92

'

'.

29. Si aceptamos como postulado la" siguiente propostcióri "Los ángulos opuestos por el vértice tiÉmen ,la mismo medida" ¿Cuáles de las

siguientes proposiciqnes se pueden "deducir" de este postulado y por

qué?'

,

,

",

a) Dos 'ángulos que no tienen la misma medida no pueden ser 'ángulos opuestos por el vérticé. , b) Algunos ángulos que tienen la misma medida, son ángulos opues-

tos por el vértice.

'

c) Dos ángules que tienen la misma medida son opuestos por el vértice, d) Dos ángulos que no son opuestos por el vértice, no pueden' tener ,

la

misma

medida.,

,

',

'..

'

Escriba una conclusión basada en la información que' se da. ' 30'. 'El Sr. González recibirá un ascenso si termina su preparatoria. . El Sr. González termina su preparatoria.., . ' \

31. .Todo número pares

divisible .entre dos, x es un número par. RESUMEN

Hemos utilizado los términos que ,se introdujeron en la unidad anterior. y han sido una gran ventaja, no sólo por facilitarr:tos la sirnbolizaci6n de nuestro lenguaje ordinario siho también porque nos han permitido expresarnos d~ una forma más clara y precisa, evitando así las amb.gü~d(]des propias

del lenguaje

ordinario.

'

"

,

..

En esta Unidad 11definimos nuevos términos para precisar aún m6s

nuestras expresiones e ideas, así como también nuestras argumentacio,;. fles o demostraciones, los más importantes son: Deducción Silogismo . '

Valor de verdad Negación, Cuantificador particu'lar Equivalencia ,lógica Conversa de una implicación Demostración a dos columnas Proposición abierta. Disyunción

\.

Proposici.6n sj'mpl~ ' Conjunción Leyes de DeMorgan Implicación, Cuantiflcador univer.sal 'Doble implicación . Contrapositiva d~ una imp'licación '

93

'

"

Panele. de verlflcacl6n.

CONJUNTO

DE PROBLEMAS.

11-5

1. Todos los lunes se lleva a cabo el saludo a la bandera. 2. García obtiene un bueo salario. . 3.. Deducción: al aceptar que es martes. I 4. Inducción: se generalizó lo sucedido cinco años consecutiv.os. 5. Deducción: al aceptar que los cuatro lados iguales midan 4 cm. dedujo la medida de cada lodo.. .

6. Sí; proposición simple, verdadera. 7. No tie.neconjunto de reemplazamientopor lo tanto, no es proposición. 8. Sí; proposición abierta {6}. 9.. sr; proposición abierta {x e: N I x es par}. 10. "EI conjunto de los múltiplos de 6 es subconjunto del de 'números pares". ,

11. "3 es elemento del conjunto de números menores que 5"

CONJUNTO DE PROBLEMAS 11-6

1. El conjunto de múltiplos.de 6 es un .subconjunto del conjunto de números pares. 2. 3 es un elemento del conjunto de números impares. 3. x es elemento del conjunto de números naturales y del conjunto de . números menores que 4. 4. El triángulo T es, un elemento del conjunto de triángulos equiláteros. ,

6.

5. .

7.

B . Impares

".

3

I

94

8.

9. 11 N

10. N

N

12. Disyunción ,

< 8" o "x es múltiplode3" x e: M Conlunto de verdad

'''x

{1, 2, 3. 4, 5, 6. 7} U {3, 6, 9} 13 .

= {1, 2, 3, 4,5,6,

Disyun~ión

7, 9}

'

"x es múltiplo de 3" o "x. es número par o es menor que 8". x e: M

'Coniuntosolucl6n_,

=

=

{3.6. 9} U [{2.4, 6. 8,.10} U {1,2. 3, 4, 5. 6, 7}] {3. 6. 9} U ,{1, 2, 3, 4. 5, 6. 7. 8, 10} {1. 2. 3, 4,~. 6, 7.8. 9. 10} M

=

'

-, '

I

=

, 14. Primer paso

"x es mÚltiplo,de 3"

A = {3, 6; 9}

"x es par",'

B ::;: {2, 4. 6. 8. 10} e = '{1. 2-,3. 4, 5. 6,7} .. M = {1. 2. '3.4,5, 7, 8, 9, 10}

"x es menor' que 8" '

.

"

"

Segundo paso. M A

I

,

' B

95 ,'

Resp~esta. "A

n c"

"x es' múltipl~ <;te3 y es menor que 8"

15. Wsando los pasos 1 y 2 del operaQión entre los conjuntos Solución (A U B) n e que corresponde "x es múltiplo de 3 o es par"

problema anterior buscamos ahora. la que nos dé {2, 3, 4, 6} a: y "x es menor que 8"

Sean A, B, e no disiuntos 16.

aób

(b Ye) ó a

b'yc

,. A

B

A

A

19. b Y (c ó a).

B.

20. b Y (e Y a)

A

lB

A

CONJUNTO DE PROBLEMAS 11.7

1. Es una proposición slmpre. Negación. 11TlOes un número primo. Falsa.

~ LA

2. .Proposición abierta. Negación. x + 3 10; x e: N. El área sombreado contiene los elementos que cumplen con la negación. =1=

.

3.

Proposición

simple.

.

Negación. 6 4: 8. Falsa. 96 - - -- - -

--

--.

4.

Proposición simple N'egación. 3 <. 5. Verdadera .

5.

6.

..

Proposición abierta.

.

-

Ne.gación. "x no es un múltiplo de 3; x e:. N"

Proposición simple.

.

Negación. "Hoy no es só.bado". Valor de verdad contrario del -que tengo la afirm.ación. .

7.

Negación. 20. Ley de DeMorgdn.

Todos los días

8. . Negacló",. 10. Ley de DeMorgan "Hoy no es martes o no es un d(a lluvioso. 9. Negación. "x :t>3 Óx
10. Negación. "2x =F 6 Y x

N

N .

= O; X E: N" r

11. El cohjunto de números primos ,e~ subconjunto del de números ;mpares

Racionale~

97

12. Algunos númerqs naturales no son enteros.

13. En este problemó se afirmo que los rectos p~rdlelas no se corta'n, V aunque no se menciono el cuantificador no se da lugar a' excepciones , por lo que se considero que se afirmo que todas los r89tas paralelas no se cortan. Este es el lenguaie. ordinariamento empleado, por lo que . debemos desarrollar capacidad poro transformár ~o que se nos dice a lo formo simbólico que aquí aprendemos a manipular- (esta trans-, , formación se puede hacer sólo mentalmente) poro así comprender V asimilar el significado o semántica de lo que' se nos dice.

Negación: Algunos rectos paralelos se cortan. Observar que esto formo de simbolizar nos permite eliminar un error frecuente dé la negación 01.trotar de negar lo proposición en lo formo siguiente: . Los rectos paralelos se cortan. Formo equivocada y además frecuente.

,

14. Todos los números enteros son ra~iona~es. Reole.

15. Todos los tri~ngulos equiláteros son is6sceles. Figura. Geom~triCtl.

16.. Algunos días lluviosos son claros. Todo. 10.' dÚl'

98

A

B

e

= {múltiplos:de = {pares}

3}

= ,{múltiplos de ~}

17.

2) 40 es múltiplo de-5 y es par, pero no es r{1últiplode 3.

18.

,19.

20.'

21. Falso que (121 múltiplo de 3 o mÚltiplo de 5) o par. Es falso que (121 múltiplo de 3 o múltiplo de 5) y no es par. (121 no es múltiplo de 3 y no es múltiplo de 5) y no es par.

99

CONJUNTO DE PROBLEMAS 11.8

1.. Suposición: Que llueva. Conclusión: Posponer el ju~go.

2.

Suposición: Ser número entero múltiplo de 8. Conclusión: Ser par. .

.

..'

Implicación: Si un número entero es múltiplo de' 8. entonces es par.

3. Suposición:x >

x e: N 1 1Conclusl6n:x > -,. X E: N . x O.

1 Implicación: Si x > O, entonces x > -, x e: N x .4.

5.

Suposición: x mÚltiplo de 9. Conclusión: x múltiplo de 3. Impllcacl6n: si x es múltiplo de 9. entonces es múltiplo de 3; x e: N. Suposición: Que.Pgblo juegue. ' Concl.usI6n:El equipo gana. . Impllcacl6n: Si Pablo juega. entonces el equipo gana.

6~ a)' 02= 25=> a = 5 Incorrecto porque a podrfa ser - 5. b) a#-5 => 02,* 25 Incorrecto por la,'mlsma razón que antes. c) Si 02'* 25.entonces a '* 5 Correcto porque si no .se cumple la . conclusión. no se cumple tampoco la hipótesis. '

d) 02 = 25 => a = 5 Incorrecto es la misma proposición que en inciso a) pero en. otra forma.

7.

100

a) Si un número es 'divisible entre '6,' enton-. . ces es par. " 'El conjunto de números divisibles entre 6 es subconjunto del conjunto de números pares. '

b) SI

x < 10. entonces' x < 15. x e: N. El con-

lunto de números naturales menores que. 10 es subconlunto del coniulito de núm9ros naturales menores que 15.

8. al Xl = 4: x = 2. x e: N. Impllcaci6n x = 2 => x2 ==40 b) 6. Is6sceles, 6. equilóteroo '1l'J1Pllcoci6n. Si un 6. es equilátero ==> 'es Is6sceles.

'

8. a) El conlunto de números divlsibles entre 4 es subconiunto de los pares. Por definicl6n "Los números divisibles . J

por 4 son múltlplos de 4"

El 4 es múltlplode 2 Por tanto es par

. '

Todos los múltlplos de 4 son pares

A

B

Verdadera b) El.conlunto' de números enteros no menores que 10 es subconjunto del conlunto de números ~nteros no menores que 6. {Conlunto'de "número~ no menores que 10} {10, 11, 12, 13. 14,.. . o}

=

= {Conluntode números no menores que 6} =={6, 7, 8. 9, 10,11,12,

o. o}.

ACB

Verdadera

10. -a) "SI un dIo'es lluviosoentonee. es nublado". b) "Un .dIoes lluviosos610 si es nublado". c) "SI un número es múltlplode 6. entonces es múltlplode 3". HUn,número es múltlplode 6 s610 si es múltiplode 3"0 Analice detenidamente estas impllcaolonesy compárelas con las orl.. glnales. Las tres f()rmas nos dicen exactamente lo mismo. pero no siempre nos damos cuenta, el lenguale ordinario nos presenta mu.. chas dificultades para encontrar la verdad V esto es una oportunidad de analizar lo que decimos o nos dicen para poder luzgar. , 11. SI n > 5. entonces n = 4 n e: N (p => q). . 12. SI n = 4. entonces n :J>5 n e: N (q => - p)o 13. SI n = 4. entonces n > 5 n e: N (q => p).

101

14. -Si n:# 4, entonces' n )::-5 n E: N (-- q =:) -- p). 15. Si n ,)::-5, entonces n :# 4 n E: N (-- p =:) -- q). 16. Si n:1> 5, entonces n 4 n E: N (~p =:) q). 17. La proposición q =:) p es lo conversa. q =:) -- P es la contrapositiva. 18. La proposición

=

~

,19.

La proposición

,~, p ==> ~ q eS la invérsa.

'

20. Una proposición .equivalente a n)::-5 sería n <,5; (n)::-5 <=>n < 5) en muchos casos esm6s conveniente usar el diagrama de u!naproposición afirmativa en lugar de la proposición negativa como lo 'haremos,en al'gunos de los. problemas.que siguen. '

Sombre'aremos las hipótesis con rayado a la dere~ha

y las conclusiones con rayado a la izquierda

1. Implicación falsa

2~Implicación verdadera

s

3. Implicación falsa

.:>-

n'<"'S (\ 4

4. Implicación falsa

S. ImpUcaclón

.

faba

6. Implicación falsa

21. a) r s610 si s, equivale a r::::) s. ,

22. a) r => s; r s610 si' 8 b). P => q; q si p'

,

c) Cuando p => q y. q => p son Implicaclones verdaaeras, a "p" y "q" s~ le~ lIam~ proPoSiciones.equivalente., 102

- -.- --

23. Diagrama del Silogismo -{múltiplos de 10}c {múltiplos de 5} .

20 E: {múltiplos de 10}

,

20 E: {múltiplos de5} Razonamiento Válido

24. {ciudades. de Nuevo León} e {ciudades de América} . MonterreyE: {ciudades de América} 7 -I . ~Monterrey E: {ciudades de Nuevo León}.

-

,

Razonamiento ',Inválido

,

Independientemente de que lo conclusión seo

verdade-ra.

.

.

25. {múltiplos de 10} e {múltlplos de 5} 75 E: {múltiplos de '5} -7 15 E: {r.núltiplos de 10} ;

Inválido

26. "Todo burro tiene orejas" es equivalente o "Si es burro => tiene orejas" V o {burros} e {ani'males con orejas} Tú E: .{an.malescon

Tú ~ {burros}

-'

orejas} -? .

I

Inválido

27. {Triángulos con dos ángulos iguales} = {triángulos' con dos Iodos .iguales}

.

{triánguloscon dos Iodos-igualés} ~ ASC E: {triángulos con dos ángulos iguales} Observación: No se pretende demostrar los pre'misas, sino que se aceptan como verdaderos, sólo verificamos que lo conclusión se derive ~ ASC.E:

de o esté contenido en los premisas.

7'rl41wu1o.

COIIdo, ~ /IutIln 1rl4".u1o ASO. trliíngulo, 'COIIdo. bloI igwJ",

Válido 103

"

28 . {ángulos rectós} c{ ángulos con igual medida}
29. a) Esta proposición es equivalente a la proposición dada porque es la contrapositiva. b) Esta proposición es la particular afirmativa que se' puede deducir del' Universalafirmativo que nos dan "Todos los ,ángulos opuestos por el vértice tienen la misma medida". '

'

"

I

"

c) Esta proposición es la conversa' por. lo que no se "d~duce" de la

implicación.

.

d) Esta proposición es la conversa equivalente a la conversa del in-

ciso anterior.

'

.

30. Cambiamos a la forma si . . .entonces.. . de modo que identifiquemos ,

"

sin error la hipóte,sis y la conclusión.

'

, Si termina su preparatoria el Sr. GonzÓlezentonces recibirá un ,Premisas ascenso. ' . El Sr. Gonzátez termina su preparatoria. { .

.

(

Conclusión: El Sr. ,González recibirá un ascenso 31. Si un número es par entonces es divisible entre dos; x es número par. Conclusíón: x es' divisible entre dos. ,

104

'