Mat I (13-16)

.\

UNIDAD IV APLICACION,ES'

.'.

Introduce.6n

,

En la Unidad 111estudiamos la parte .mós importante de la estructura del conjunto de números reales con .el objeto de facilitar la aplicación de éstas' en situaciones reales, sin embargo, es indispensable cierto grado de mecanización para agilizar el desarrollo de las expresiones simbólicas. "

En esta unidad ya no exigimos justificación a cado paso,"siendo res-

ponsabiliqad del alumno haber" efectuado suficientes ejercicios como para memorizar postulados y teoremas y es tani~.ién su responsabilidad efec. ~

tuar los elercicios de esta unidad para adquirir la agilidad ,y destreza ne-

cesarias, para lo cual se proporciona la terminología que le facilitará aplicación de la teoría.

la

\

" 161

,.I

Objetivos l.n~r8Ies

Al término del estudio de esta unidad, el alumno:

.

1.

Conocerá lo que es un término y una expresión algebraica.

2.

Efectuará las' operaciones, suma, resta, multiplicación,división y potenclaci6n, con expresiones algebraicas con coeficientes racionales, aplicando los postulados y teoremas conocidos sobre ellas.

.3.

Empleará ellenguaie de la matemática 'como instrumento de abstracción y generalización para representar situaciones concretas.

, 4. Resolveráecuacionesde 1er.grado,sencillascon una variable.

162

Diagrama temático

estructural

Terminología

Propiedades de la igualdad, postulados de campo

Operacionef? con expresiones aJgebraicas Polinomio$ f

División de expresiones algebraicas~ Productos notables

.

Factorización de expresiones algebraicas Operaciones cón fracciones +, -, ., +

163

Aplicaciones Glosario

Expresión algebr,alca. Se. llama expresión algebraica al las combinaclone~ de números, literales, variables y signos de operación (+,. -, X, +). Término. Se llama término o monomlo a una expresil>nalgebraica la cual no estó enlazada por los signos de operación (+, -). Coeficiente. Es el factor o factores que indica el número de sumando~ . iguales. . Términos semeiantes. Se dice que dos o mós términos son semeiantes cuando difieren únicamente en el coeficiente, pero teniendo iguales el resto' de sus factores (o sea, que consisten de las mismas literales y

exponentes).

.

Potencia. Se 'lIama potencia a la representación de un producto de factores iguales entre sí. . Base. Se llama la base de uno potencio 01factor que se repite tontos veces como lo indica el exponente. Exponente. El exponente es el número que se escribe en lo porte superior de la base, y el cual indico.Iasveces que ella se repite como factor. Binomio. Es la e~presión algebraica que tiene dos ~érm.inos y estón relao cionado~ por un signo de operación. Trinomio. Es lo -expresióh. algebraica que contiene tres términos enlaza-

dos por I?s signos de operación.

\

Polinomio. Se llama o la 'expresión racional entero acomodado en orden descendente.'

Mfnlmocomún múltlplo. Cuando determinamos la suma de 2 o mós fracciones y las debemos cambiar por otras equivalentes con un denomi. nador común y e~cual sea mínimo. Fracción complela. /

. Factor común. Se llamo 01 mismo factor que aparece en codo uno de los términos de un polinomio.

164

M6dulo 13

OBJETIVOS ESPECIFICaS

Al término del estúdio'de este módulo,,el alumno: 1. Reconocerá t~rminos y expresiones algebraicas. 2.

.

3. 4.

Reconocerá en un término algebraico, 01coeficiente numérico o y lite-

ral respecto a algúnfactor o factores de ella.

.

Distinguirátérminos semej~ntes en ~na expresión algebraica. R~alizará las operaciones de suma y resta con expresiones alge. bralcas. ESQUEMA RESUMEN

Terminologfa: Expresiones algebraicas. Términos algebraicos. Términos semejantes.

Sumo y resto de expresiones algebraicas. Reducción de términos semejantes. Ejemplos.

.

.~

165

Terminología

Hemos visto algunos nociones fundamentales en el manejo de los números reales, y a medida que avancemos en la construcción de nuestro sistema' matemático, seguiremos empleando todos los postulados y teoremas hasta aquí vistos. Es muy importante la comprensión de todos esos postulados y teoremas, ya que esas mismas ideas las iremos aplicando en combinaciones de símbolos y letras coda vez más grandes y complicadas, pero que siguen representando a los mismos números .reales 'manejados en esos teoremas y postulados. Debemos tener presente que aunque nuestro sistema de los números reales es puramente abstracto es "modelo" de sistemas reales concretos ,

y que poro sacarle el móximo provecho debemos manejarlo con soltura y fluidez, por lo cual, además de lo comprensión de las ideas y conceptos de su estructura~ es indispensable la "mecanización" de algunasoperaclones. La mecanización mencionada se facilita con el uso de una termino-

,

Jogíaparticular para las expresionesde nuestro lenguaje ordinario después de que las hemos simbolizado y así: '

A las combinaciones de números variables y signos de qperaciones las llamamos expresiones algebraicas, y a las partes que las forman y están separadas por los signos de sumar (+) o restar (-) las llamamos términos. , ,

Elemplos: a) 2x3+

-35 x2 + 6ax -

5 mmos; 2x, ,-x, , 3 ,

3

b) 4x3

2

- -60x2 + 2x 5 60x2 2x 4x3,,5 ~, 02

'

forman uno expresión compuesta de 4 tér-

1502

.

-.

,',

2

6OX,-- 15o

'

'

es una expresló n aIgebralca con 3 té rmmos a sober: "

1'>

"

02

e)

166

-

+ 2(x 3), es una expresión con sólo 2 términos que son el 4 y el prQductó2(x - 3),Eneste caso, el segundo.término está'formado por dos factores, en donde uno de etlos a su vez constituye otra expresión algebraica de dos términos, x, - 3. 4

Los términos, entonces, están formados por factores, mismos que pueden ser numéricos o Iitera,les.Se dice que un factor o varios factores pueden ser el coeficiente del resto de los facto- , res que forman a ese término.

Eiemplo:

\

1) En el término 6ax del ejemplo a) anterior, 6 es el coeficiente para el producto ax 50 es el coeficiente para x 6x es el .coeficiente para a 2) En el término 1502del ejemplo a) anterior

-

- 1~ es el cQeficiente

para' a2-

'

Observe que al factor numérico, del ejemplo 2 le 'consideramos el signo' de restar o de inverso aditivo, es decir que consideraremos siempre que el signo forma parte del coeficiente, s610 que en el coso del signo positivo o de suma. éste no se escribe cuando sea iniciación de una expresión como se ve en los ejemplos a), b)' Y c) anteriores para, 2x3,4x3y 4 respec-

tivamente. .' I Generalmente se utiliza lo palabra coeficiente a secos para señalar al coeficiente numérico (incluyendoel signo) y se qcostumbra i~dicar el coeficiente para la literal que nos interese. Eiemplo: En.eltérmino - 5axy Elcoeficiente es: - 5 i

El'coeficiente para x es:. El coeficiente para y es:

- 5ay

--5ax 50

Elcoeficiente para xy 'es:

Se dice que dos o más términos son semeiantes cuando. difi~ren únicamente en el coefic;ente. el resto de los factores deben ser idénticos. '

Eiemplo 1): Los términos 3ax2 V 6Ox2 Los coeficientes son 3 y 6 respectivamente, entonces son térmJnos semejantes .para ax2 Eiemplo 2):. Tomemos los términos 2xy2, 4ax2r, 5bxy Coeficientes para x2: 4áy2 del 20. término por lo que no tiene términos

semejantes.

"

"

Coeficientes para x: 2y2 del 10. y 5by del' 30. por lo' que 10. y 30. son

términossemeiantes en x.

.

,

I

Coeficientes para r: 2x del 10. y 4ax2 del 20. por lo que 10. y 20. son términos semeiantes en y2. Coeficientes para y: 5bx en el 3er. término. 167

,.

Las expresiones algebraicas se naman en generalmultlnomlo cuando

.

tienen varios términos, pero a las más usuales se les llama por su número eje términos. Eiemplo: un término::;::) monomio dos términos => binomio

tres términos => trinomio

'

.

De este modo pOdremos i.dentificar a las expresiones cuando tengamos varias. .

Suma y

.

resta de expresiones algebralcas

Si consideramos que las literales de nuestras expresiones algebraicas representan números reales, entonces, cada expresión algebraica representa a.su vez un número real y por .esa razón debe cumplir como todo número real, con los postulados y teoremas vistos hasta aqui. Para determinar la suma o la resta de las exprésiones algebraicas, operación llamada también reducción de términos semelantes, aplicamos los postulados asociativo, conmutativo y distributivo.

-

Ejemplo a) Sumar 2x + 3y .

4 con x

-

(2x + 3y 4) +(x - y + 2) = = (2x + x) + (3y - y) + (- 4 + 2)

y

+ 2 Dado Postulado

~

.

conmutativo

y

. asociativo.

= '(2 + 1)x + (3 - 1')Y+ (- 4 + 2)

Postuladodistributivo:Nota: Observe que el coeficiente .

numérico de un término es la unidad cuando no apar~ce número escrito. El signo es parte del coeficiente

.

.

= 3x + 2y + (- 2) Propiedadde sustitución (2x + 3y ~ 4) + (x -.y -r 2).= 3x + 2y - 2 Teoremade la resta Elemplo b) Restórle a 2x3+ 3x - 2y2+ 3, la expresión2x - ;2 - 2, (2x3+ 3x - 2y2+ 3) - (2x- y2- 2) = Dado = 2x3+ 3x - 2y2+ 3 - 2x + y2+ 2 Teorema3-14[- (a+ b) = - a - b] = 2x3+ .(3x- 2x) + (- 2y2+ y2)+ (3 + 2) Postulado conmutativo y

.

.

asociativo'

= 2x3+ (3 - 2)x + (- 2 + 1)y2+ (3 + 2) Postulado distributivo = 2x3+ x + (- 1)y2+ 5 Propiedad de sustitución. ==2x3+ x.- y2+ 5 Teorel'!1asobre signos 3-12 De los ejemplos anteriores podemos considerar las operaciones de sumar y. restar condensadas en los siguientes pasos: .

\

1,0. Eliminar todo$ los paréntesis o simbolos de asociación aplicando lo.s teoremas sobre inversos. que correspondan. . 20. ,Identificar los términos semejantes y asociarlos aplicando el postulado conmutativo cuando sea necesario. 30. Operar sólo con los coeficientes de los términos semeiantes (esto corresponde en los ejemplos a la aplicación del' postulado distributivo).

168

.

.

,

'

-"

Elemplo: Efectúe las sumas y restas indicadas en la siguiente expresión:

4x-

;

[2x-3y- (x + 4y)]+ (x-S)

10. 4x-I2x-3y-x-4y] + x-S 4x- 2x + 3y + x + 4y + x - S

20. (4x- 2x + x + x) + (3y + 4y)- S 30. 4- 2 + 1 + 1 = 4 3+4=7

NOTA: Mientras se adquiere destreza. es. conveniente eliminar primero los paréntesis interior~s.

{~x+7V-~

..

169

~-

.

PROBLEMAS PARA AUTOEVALUACION IV..13

~

Diga cuóntos términos tiene cada una de las ~iguientes expresiones

~

algebraicas. Ponga especia,latención cuando existan paréntesis..

"

3. (4x+2)(2x-3)

1'. 4x2+ 2xy - y2+ 5

2.4x:- [(2+ x)- 3]

4. 6 + 30+ (50-b)

,

En los ~siguientes problemas identifique los, coeficientes

en

cada expresión.

(numéricos)

.

5. 12p3- 8p2- 7p +

6. 2a-3b + 4c-d 7. -x2-2xy-x-7

4

En cada uno de los problemassiguie'ntes,

redúzcanselos términos semejantes.

elimínense los pa~éntesjs y .

8. x..,...(2y + 3x) - 2y ,

9. 3x- (2y- 4x)+ 6y + (y-4w) - (w- 3x) 11. 3x- [2x+ 3y- (2y~ 3x)] + 4y

10. (2x-3y)

12. 9x- (2y-3x) - [y- (2y-x)) - [2y + (4x-3y)] 13. (-2x3 + 7x2-x) + (4x3-8x2 + x-6) 14. [(2a-b) + (2a-c)) + (-40 + b + e)

15. 4a-

[0-

(2a + b)]

.

En los siguientes problemas, asocie los últimos tres términos de cada expresi6n precediendo el paréntesis con .un signo de: a) Sumar b) Restar

16.\2x2- 3r)+C6x -

3~-1

17.,'x2- 2r --(x - 3"'- 5

+ y~!2-4)+(3Y) 19.~;a+ rs + 2rs2~ S3

18.

.

20. x4-4x3y + 6x2y2_4xy3+r

\

110

- - -

--~-

----

.

M~dulo 14

OBJETI,VOS ESPECIFICOS - Al término del estudio de e'ste módulo, el alumno:

1.

Identificará potencio, base y exponente de uno expresi!>nalgebraica. . 2. Aplicará los postulados y teoremas conocidos sobre potenci~s o situoclones dad~s con expresiones algebraicas. . 3. Dividiráun multinomloentre un monomio., 4. Definirá con sus palabras, polinomio. 5. Calculará el grado de un 'polinomiorespecto a. uno letra,o variable. 6. Dividirádos pol1nomios'enuno misma'Ietra o variable. .

.

ESQUEMA RESUMEN

Multiplicación de expresiones algebraicas. Po te,n ci o s, definición

Teorema:am . an

.

y notación.

= am.+

n; (a e: Ry m, n e: N)

Teorema (am)n= amon ; (a e: R y m; n e: N) . Teorema:' {ab)n= an . bn ; (a, b e: R y n e: N). Eleml?los:

.

División de. expresiones algebraícas. Teorema: Si a e: R, a "* OYm, n, E: N

Entonces:

'

si, m

amen'

am

1

-an = -an-m ¡

1

Teorema:

a+b

e

>n

si, m < n si,' m

=n

= -ea

+-

b

e

; e "* O

División de un .multinomio entre un monomio.

Términoracionalentero . Expresiones raciondles entera.s (polinomios). Grado de un término racional. Grado de un .p~linomio. Elemplos. ' 171

Multiplicaciónde expresiones algebra,lcas. Exponentes

,

Llamamospotencia cilo representaciÓn de un producto de factores iguales,

,

al factor que' se repite le escribimos el número de, veces que '8e repite en la parte superior Elemplos:

'

derecho.'

,

'

=

a . a . a = a3;x . x = x2;(x + 2) (x + 2) (x + 2) (x + 2) (x + 2)4 Alfactor'lo llamamos lo base de lo potencio y 01númerpque indica las veces que se repite'lo llamamos expo'nente.Cuando el.exponente es la unidad no se escribe.

'.

.

De lo definiciónde potencia se deducen algunos teo~emas cuyas conclusi()nes nos simplifican lo multiplicación en géneral, y la multiplicación,

'

, de potencias en particular~

~

Teorema 4-1 a E: R, m, n e: N , Demostración: am . an =

(a. a, . a...a) (a ..o...a) ~~

m veces

=

=

Definición, de potencia

~

n veces

a,. a . a...o a . a...a (m

Postulado asociativo

---

,,-..

....

+ n) veces Definición de potencia

am+n

I

'Elemplos:

o) 32. 33 = 35 b) (x

-

1)2 (x

- 1)

=:= (x

-

e) (- 2)4(- 2)2= (- 2)6

1)3 ~

Teorema 4-2 a e:R; m, niE: N (am)n am . n Demuestre este, teorema, y dé un eiemplo numérico. Teorema 4-3

=

,

a, b e: R¡n e: N

Demostración (ab)D

=

ab. al:) . ab...ab ~~~~

n veces .'172

Definición de potencia'

'

= (a. o . 0...0) (b . b . b...b) ~ n veces

Postuladot conmutativo y asociativo.

n veces Defioición de potencia

Elemplos:

a) (2.. 6).2::;:: -22. 62 (2

. 6)2 '=

b) (2X)2 =- 22 . x2= (2X)2 (2x) (2x)

=

:

= 144

=

4 . 36 (12)2 = 144

4x2

=.4x2

Consideremos ahora las siguientes dos expresiones. algebraicas: (x'+ y) y (2x+ 3y), si' las multiplicamos,su producto quedaría indicado asi: (x + y) . (2x + 3y) aplicando el postulado distributivo se transformaria en (x + y) . 2x + (x + y) . 3y Yvolviendoa distribuir (x . 2x + y . 2x) + (x . 3y + y . 3y) que ~on la definición de potencia y.postulados conmutativo y asociativo se puede escribir como (2x2+ 2xy) +- (3~y + 3y2)y

reduciendotérminossemejantesqueda 2x2+ 5xy + 3y2.

.

La aplicación sucesiva det postulado distributivo hasta donde sea poy la reducción de términos semejantes conducen a la multiplicación de las expresiones algebraicas. Para fines prócticos esta operación se ef~ctúa siguiendo el procedimiento que se indica y que equivale a lo an~~~ . ,

"

sible,

10. Se escriben los,multinomios uno abajo del otro, ordenando lbs términos con la po~encia descendente de una letra. 20. Se multiplica cada término del multinomio inferior por todos los términos del multinomio de arriba, procurando ,que cada término se escriba inmediatamente abajo de su semejante para facilitar .10 reducción de términos semejantes. 30. Se reducen términos semejantes. Eiemplo:

(x2

+ 2xy + 3y2). (x - 2y)

Ya estón ordenados con las potencias de la x.

x2 + 2xy '+ 3y2 x-2y x3 + 2x2y + 3xy2 - 2x2y- 4xy2(x2 +

x3 + Ox2y

-

2xy+ 3y2). (x ~ ,

6y3

xy2- 6y3 2y) = x3

-

'

xy2

-

6y3

NOTA: El término con coeficiente cero, tiene valor cero independientemente de los valores que se asignen a la "x" yola "y", de modo que se omite en la respuesta por ei postulado de identidad.

1n

""

División de expresiones' olgebroicos. Polinomios , Para dividit las expresiones algebraicas es necesario antes, 'completar nuestros teoremas sobre los exponentes para conocer la división de potencias. . Teorema

4-4. o E R, o =1=OY ni, 'n E: N

si, m> n 1

--

'

si, m< n

1

.

si,

m=

n

Demostración:si m > n ==>(m - n) E N m veces

,-o . o . o . 0...0 . o . -o ~

--

o . o . 0...0

Definición de. potencia

~

n veces m veces .-.. nveces(m-n) veces ~I~' o . 0...0 '. o. o . o...o

reorema 3-1-9

.(1. o . o...a . 1

xz

-

=

yz y Postulado de identidad

~

n veces

Demostración:Sj, m < n =:) (n - m),E N m veces ~

o .o

-

. 0...0

o . o . a . 0...0 '0 --~

~

---

n veces.

,,

174

~

x

-

---

-

Definición de potencia

mveces ~

A...

o

~

. a...o . o . 1

-

o . a o. o. o . o...a ~

1 an-m

--~

,--mveces (n-m) vece~ "V' n veces

Po$tulado de identidad y

. xz x Teorema3-19- =yz y

.

Demostración: Si m e: n=> (m Inveces

-

n) e: N

~~----

o . a . o . a...a

--

OD

Propiedad de sustituci6n de

o . a . o . a...a ~~~~-----

la igualdad. m

m veces

=1

=n

Problema:si o = b :=).!.. = 1 b

.

Elemplos: a)

07 -a~ = 07-2= aS

c)

.

-dd = 1

Una vez vista la división de potencias podemos intentar la divisi6nde expresiones algebráicas para lo que no$ será útil el sigu'iente teorema: Teorema 4-5 o+b

-e =-ae

-Demostraci6n:

b

+ -,e:p e

o+b

e

= (a + b) .-e1 1

=o.-+b.e a b

=-+e e .

O

1.

e

. Teorema de la división

Postulado distributivo Teorema de la divlsf6n

En el teorema anterior -hemos-vistouna fracci6n en la que se representa la división de un binomio entre un monomio, comblándolo por la .división de cada término del blnomlo entre el monomio; este resultado, 175

..

junto con los postulados asocia.tivo y conmutatlvo. nos permite dividir cualquier expresión algebraica entre un monomio.

Elemplos: a)

Divídase 12x4y3+ 36x3y4 ;. 24x2y.eritre 3x2y2

12x4y3 + (36x3y4

-

24x2y)

3x2y2

=

36x3y4 + ---

. 24x2y

3x2y2' 3xV

==4x2y + 12xy2-

3x2y2

Teorema

3x2y2

- 3 . 4x4y3 + 3 . 12x3y4 - 3' Sx2y . 3x2y2

- 24x2y

36xV

. 3x2y2

12x4y3

3x2y2

= 12x4y3 +

4-5

Factorización

3x2y2

S

-

División de potencias teorema 4-4 , xz x

y

y teorema3-19- =yz

b)

Divídas~ 6~3

6x3 -

-

9x4y + 1'2xy2

3xy

y

9x4y+ 12xy2.entre 3xy 6x3

9x4y

12xy2

3x~ 2x2

3xy

3xy

=---+=

.' Y

- 3x3+ 4y.

Aplicación sucesiva de . teoremas 4-5 y 3-19

.

Teoremas de divlsl6n de potencias y simplificación de fracciones

En esta forma podemos concluir que para dividir un multiFlomio entre un monomio se divide cada término del multinomlo entre el monomio.

Decimos que todo término algebraico' es "racional enterQ" pQra una o varias letras, si está formado del producto de potencias positivas enteras de dichas letras y cualquie,r otro factor que no las contenga. .

Por ejemplo: 6ax2y2 , 2x3y3 . 3y2/3 , son tres términos racionales enteros' en "x" pero no en "y"; observe que el último térmihon9 contiene a "x" pero, de todas formas, se considera raclonQI entero en "x". 176

A las 'expresiones cuyos términos son racionales enteros para alguna tetra, se les llama "expresiohes racionales enteras o polinomlos" y la forma polinomlal se les da 0.1a'comodar los térmi-' nos, empezando con el de la potencia mayor .de esta letra siguiendo en orden descendente. Para ser prácticos le llamaremos, a la expresi6n racional entera acomodada en orden descendente,

simplementep~linomio.

'

Elemplos: 1) 5ax4+ 2bx3y- ax2y3+ 7a2by2.Polinomioen "x". Se acostumbra re-

presentar a los polinomios con una letra mayúscula y en seguida entre

paréntesislo letra para la cual es polinomio. P(x): 5ax4 + 2bx3y- ax2y3 + 7a2by2.Recuerde que la P V la "x" no están multiplicando,es s610una notaci6n. se lee p enx. '

,

'

-

2) P(y): ax2y3 + 7a2by2 + 2bx3y+ 5ax4.Es la misma P por tratarse . de, la misma expresión, sólo que ahora con respecto a "y". \ ,

'

Se acostumbro representara las cantidades constantes en un problema con las primeras letras del alfabeto dejando las últimas sólo para

variables.

'

.'

es

En la operación de dividir multinomios o expresiones algebraicas

muy conveniente el uso de polinomios, ya que, junto con la división de po'tencias ya vista, su uso simplifica bastante la operación de dividir. Los ,siguientes. tres definiciones nos proporcionón la 'terminología adecuada pa,ra manejar Jos polinomios.

10. Definición: "El grado de un término racional entero en una

letra es el exponentede esa letra". El primer término del ejemplo

.

1 anterior es de 40. grado en "x". El segundo término es de 1er.

,

grado en' ':y".

,

20. Definición:.

"El

grado de un térmi'no racional entaro en dos o

más letras es la,suma de los expon.ntes de esas letras". El se-

ogundo término del ejemplo 1) anterior es de 40. grado en "x" e "y", porque "x" tiene un tres como exponente y "y" un uno, que suman 4. .'

.

30. Definición: "El grado de' un polinomioen una letra,es el grado del1er. término, es decir que el polinomio toma como grado 'el del término qlle lo tiene más alto". El grado de P(x) .es 40. y el grado .

de P(y) es 30.

.

,.'

.

. Ahora consideraremos la división de dos polinomios en una misma letra; el procedimiento es semeiante al de la división .aritmétlca.

. 177

1. Divídase el primer término del dividendo entre el 1er. término

,

del divisor.

:

"

2. Multiplíquese el cociente 'obtenido, por cada término 'del divisor y réstese el producto obtenido del dividendo. 3. Divídase el primer término del resultado. de la resto para obtener el.segundo término del cociente y con él repítase la opera-

ción indicada en el número 2.

.

,

4. Continúese el proceso hasta que el resuUado de la resto seo cero o un polinomio de menor grado que el polinomio divisor.; a este resultado se le llama residuo de la di'visión.

Eiemplos: ,

r-

entre y - 1

4y2 + 5y ~ 2 4y2 + 5y 2 'D(y) y 1 'f 3y + 2 (cociente)

1) Divídase Dividendo P(y)

Divisor, ,

Divisor y

;,

-

-

= ys

=

-

-

Ir-4r

1

de 3er. ,grado de 1er. grad~ ,

'1

:

Paso 1)- = y2 Y

+ 5y-2

,

'Paso 2) y2 (y

- y3+ y2(resta),

- 1) =y3 -

esto, se resta -3y2 Paso 3)

, 3y2- 3y (resta)

-

.

Paso 41

2y--2

-

- = 2, 2y. .'tI'.

- 2yo+(residuo) 2 (re~ta) Si llamamos

.

3er. término' del cociente 2(y-1).=

C(y) al polinomio del cociente

se pOdría representar c9mO sigue:

= C (Y) D(y)

2y-2

y R al residuo, la división,

.

I

P(y)

cuando el residuo es O -

y3-4y2 + 5,-2 .

,-1

3y, 20.

Y término del cQci'ente Paso 2) 3y (y 1) '= 3y~ + 3y que se resta

\

,

=-

:::y2-3Y+2

2) Divídase -..:..6x3 + ,t2, -:. 12xy2-

y2

'

6'1

entre 2x

- 3y'

--~

-----

178

.En este caso la división se representa ,

,-

P(x)

,

= C(x) +

D(x)',

x2y- 12xy2- 6r

6x3 +

Cuando

2x-3y,

= -3x2 -4xy-12y2

/

-

6)(3 + x2y

-

6x3

3)

+

-

9x2y

12xy2 -

- 42y3 2x-3y

La multiplicación de cada término del cociente la hacemos como en aritmética y le cam,biamos el signo para restar.

6y3

- 24xy'l- 6y3 24xy2- 36y3,

= - 4xy

2x - 24xy2 2x

O'

- 8x2y- 12xy2- 6y3 8x2y- 12xy2

-6x3 -=-3x2 2x '- 8x2y

=1=

-.

.-3x2-4xy-12y2

2x - 3y

R

D(x)

.

'\

-

Residuo

-:..42y3

(residuo)

-12y2

~

Divídase 5x3-

14x + 3 entre x -

2

Observemos que el polinomio en "x"del dividendo no tiene el término de 20. grado; para hacer la división consideraremos siempre todos los términos en orden descendente, escribiendo los que no contenga el polinomio con un coeficiente cero, ya que por el postulado de identidad y teorema de la multiplicación por éero, no cambiamos en nada el valor de la expresión.

.

(divisor) x

,.

-

5x3 ::;: 5x2 X

-10x2 x

10x

2

,

5x2+ 10x + 6 (cociente) /5x3 + Ox2-14x + 3 (dividendo) - 5x3+ 10x2 En esta ocasión no's acerca, mos mós a la división oritmé10x2- 14x tica, ,escribiendo de la resta , -'1Ox2 + 20x sólo los términos indispensables. 6x + 3

-

6x +

12

15 (residuo)

6x =.6 x

, 15 5x' -

x-2 14x +

3

= 511'+ 10x + 6 + x

2

179

.'

PROBLEMAS PARA AUTOEVALUACION IV-14

Efectúe las operacion~s ,indicadas. Use teoremas ~e exponentes. .

,

1.

y13. y11

2. 3. 4. 5. 6.

(- 2)2(- 2)5 (5X.)4 (2X2)3 3xy (x2y3) a(a + 2)2a3(a + 2)4

7. 4x3y2(5xy2+ 4x2y)

)

,

-

Efectúe las operaciones indicados escribiendo la respuesta en la for.

me .mós simple.

.

8. 2ab (3a2 + 3ab -5b2) 9. (3x +2) (x+ 5) 10. (x -2) (x2 + 5x - 3) 11.- (x - 2y)2 12. (x2- 2y2) (x4+ 2x2y2+ 4y4) 13. (x - 2) (x + 3) (x + 2) '14" (xn- ynp \

~5. 2xy(3y- x -1)2 En los problemas del 16 al 20 escriba l'Os-multiriomios. dados en la forma polinomial diciendo el grado del polinomio: La letra se indica en

la notación para polinomios., \

16. 2ax + 5y2-

.

,

.

3x2y + a3x3;P(x)

17. 4x4- 2x3y+ y3- 3x2y2;P(y) 18. 3x2y.- 4xy2 + '6x4y3;P(x) '19. 7x3y2-14x5y3 + 28x8y5,- 21x7y6¡P(y) .

20. 4z3x + '5y + 4Z2X2 - 3xyz¡ pez) Efectúe las siguientes divisiones de potencias, usando los 1:eoremas

sobreexponentes. 21.

22.

(x + y)12 (x + y)4 10m6n

'

24. 25.-

24 (x + y)3(x- ,y)2 30'(x + y)2(x - y)3 (a + b)3 (ab)3

180

Efectúe la división del multinomio y el monomio que se indica.

26. (6x3- 9x4y)+ (3xy) 27.

(703b2 + 28a8b5-

2107b8-

1405b3) !:- (7a3b2) .

Efectú.e las divisionés de polinomios que se indican.

28. (04-'203 - 302-. 40 - 8) + (O+ 1) 29. (Z4+ Z3+ 2z + 15) + (2z2-6z + 4) P(x)

30. -., si P(x)= 3x5+ 11x4-15x2 + 7x + g'y D(x)= x~+ 2~-1 D~) ,.

I ! \

,. . 181

M6dulo 15

OBJETIVOS ESPECIFICaS

. Altérmino del estudio de -este m6dulo,el alumno: 1. Operará con facilidad alguno~ productos de binomioscon coeficientes racionales llamados "productos notables", tales como: 'cuadrado de-

un binomio,cubo de un binomio,binomiosconjugados.

.

-

2. Aplicará sus conocimientos sobre "productos notables" a factorizaciones que los involucren. .

3.

Factorizará expresiones algebraicas sencillas y valorará la utilidad de llegar a factorizaciones completas.

.ESQUEMA RESUMEN

Productos notables. Produ.ctode binomios conjugados. ' Cuadrado de un binomio. Cubo de un binomio. Suma o diferencia de cubos. Factorizaci6n.

.

Factor común. . Diferencia de cuadrados. Trinomios. Suma y difer.enciade cubos. Factorizaci6n por agrupaci6n.

182

Productos not.18.

En las multiplicacionesde las expresiones al'gebraicas, algunas se repiten con mucha frecuencia y otras, aunque no iguales; pueden tomar la misma forma de ellas. de modo que los productos que resultan se repiten constantemente. Es por esta razón que a esos productos los llamamos PRODUCTOSNOTABLES, y su memorización nos permite encontrar los productos efectuando las multiplicaciones mentalmente. uLas letras usadas en las fórmulas nos representan a cualquier expresi6n algebroica y su presentación en esta forma es sólo para facilitar su memor:izaci6n".El alumno debe comprobar las fórmulas'efectuando las multiplicaciones.

Multiplicaciónpor Inspección. .

,

.

/acxXbd",

(~~~Cj adx/'

; ¡= ac~ + (be + ad)x + bd

(bc + ad) x Dos binomios con términos semejantes se pueden multiplicar usando s610 los coeficientes, .10 que en la mayoría de los casos puede hacerse mentalmente. . , términos semeiontes .

.

I~

Ejemploa) (~a + 3)~a'. . termmos semelantes. .

~

5)

...

Ejemplo b)

72X~x-6a2b2

,

(-,x +

- 3ab). \

2Gb) (211

\ "--- 4abx . 3Gbx.

/

. . -2x~ + 7abx,-6cJ2b2

.

\

. 183

Diferenciade cuadrados. (a +. b) la

- b) = a2-'b2

Este producto éle dos binomios es el único caso en que no resulta .un trinomio. A 'los factores que sólo difieren en un signo' se les llama BINO-

MIOS CONJUGADOS.

Ejemplo a) (2x + 5) (2x 5) :- (2x)2 _(5)2 = 4x2 25 Ejemplo b) (a + 'b + 3) (a +.b ~ 3)' Este, aunque no es producto de bl~

~

[(a + b) + 3] [(a + b) - 3] = (a + b)2

nomios, su producto puede conse- . guirse dándole eso formo mediante el postulado asociativo. .

-

-9

=. (a + b)2

(3)2

\

Cuadr-adode un blnomlo o trinomio cuadrado perfecto (o + b)2= d :i: 2ab +, ~2 Con el doble signo consideramos las dos posibilidades en un binomlo y los signos en el producto se corresponden con los del factor, al 'positivo en el factor, le corresponde el positivo en el producto" por' lo que están escritos en el mismo orden de arriba,abajo. ' (x + y)2= x2 + 2xy + y2 Ejemplo b)

(20

- 3)2 = (2q)2 - 2 (20) (3) + = 4a2.- 120+ 9

(3)2

=

,

Cubo de un blnomlo. (a + b)3 a3 + 3a2b+ 3ab2+ b3 Ejemplo a) (2x + y)3= (2X)3+ 3 (2X)2y+ 3 (2X)y2+ ya == 8x3+ 12x2y.+ 6xy2 + ya . Ejemplo b) (a 3b)3 = g3 3 (a)2(3b) + 3(a) (3b)2 (3b)3 03 - 9a2b + 27ab2 27b3

-

=

-

-

-

=

Suma o diferencia de cubos. (a + b) '(a2 :¡: ab + b2) a3 + b3 Ejemplo a) (x 3) Ex2+ 3x + '"9)= x3- (3)3= x3 ~ 27 Ejemplo b) (a + 2) (02- 2a + 4) = 03+ ,(2)3= a3+ 8

-

-

Atención: El segundo factor de este producto es muy parecido al trinomio cuadrado perfecto. Cuídese de no confundirlos. Foctorizacl6n En.10primera unidad.definimos lo que es un número compuesto y un número primo, y al proceso de descomponer un número en sus fáctores primos lo llamamos factorización completa de los números enteros. Las expresiones algebralcas nos representan números reales y si invertimos el proceso de' encontrar un producto, que vimos en el tema anterior, estaremos factorizando las expresl.onesalgebraicas, pero como en las' expresiones algebraicas tenemos literales no podemos determinar los factores primos de los números que representan, ya que ni siquiera sabemos si son números enteros, por lo que en el futuro y hasta que se .diga otra cosa consideraremos que las literales son números enteros. ' .

184

Factorizamoscompletamentecuando llegamosa una expresión en que cualquier factorización posterior produce números fraccionarios. Ejemplo: 2x + 6y -.:.2 (x + 3y) distributivo. Si se factoriza usando el 3 desconociendo el número representado por x \

quedorfa 2 . 3 (~ x + y), interviene'una fracción p~r lo que 'la factoriza.

3

'

ción ya era completa.

'

.'

No existen fórmulas para la factorización, pero siendo el proceso Inverso de' la multiplicación,la experiencia en la aplicación de las fórmulas recién vistas nos per.mitiráreconocer cuando una expresión algebraica es el producto resultante de factores conocidos. Es sumamente importante la práctica intensa para dominar este proceso tan importante. Factor común

I

,

Ejemp,lo 1) Descompóngase-en factores 2ax2 -. 4ay2 + 8a2x El polinomio tiene un factor común en todos sus términos (2a). Aplicando el distributivo; 2ax2 '7' 4ay2+ 8a2x = (2a)x2,- (2a)2y2+ (2a)4ax = 2a(x2 2y2+ 4ax) Ejemplo 2) 4x2 + 8x Esta expresión tiene un factor común (4x) y puede escribirse como

-

=

(4x)x+ 4x(2). 4x(x + 2)' Ejemplo 3) a(x + 2y) 3(x + 2y) Un factor común, (x + 2y), está distribuido a(x + 2y) - 3(x + 2y) = (x + 2y) (a '3),

"

-

-

Diferencia de cuadrados Ejemplo 4) 4x2.- 9y2 Esta expresión puede reconocerse como una diferencia de 'cuadrados (2X)2 (3y)2 producto de. binomios conjugados. , 4x2- 9y2= (2X)2 (3y)2 = (2x + 3y) (2x 3y) Ejemplo 5) 27ax2 - 75a3 Reconocemos un factor distribuido en esta expresión, (3a) 27ax2 75a3 = (3a) (9x!) (3a) (25aí?) 3a (9x2 25a2) El 20. factor puede reconocerse como uno diferencia de cuadrados (3J()2 ~ (5a)2, por lo que puede seguirse factorizando.

-

-

-

-

-

-

=

'

30 (9x2,.;-.25a2) = 30 [(3X)2- (5a)2] = 3a (3x + 50) (3x - 50)

Trlnom'los . Ejemplo6) x2- 8x - 20

.

Los trinomios son generalmente producto de dos binomios con términos semejantes y su multiplicación puede hacerse por inspección. En este caso, con el1 como coeficiente de x2, la factorización se concreta a buscar dos factores cuyo producto sea 20 Yla suma 8; encontramos que 10 Y + 2 cumplen~

-

-

-

185

. x'-ax-20=

!X-20~ {x'~ ?) = (

~~ lJ ~ X

()(X

-10X/ . 2x

? x x

-ex

l

1U +

.

-8x

Eiemplo7) 12x2+ 7xy- 10yZ Este trinomiopuede descompo.,erse por aproximación sucesiva o tanteo para encontrar los factores de 12 V -10 c-.rvosproductos inferiores de la multiplicación por -inspección nos suman + 7. aex2~ 12x2bdr = - 10y2

.~

(, 'adxy~ +C:' +71 .

Jad + be) xy

ac

bd

= 12

=- 10 =7

(ae + be)

= 7xy

Es el problema más difícil de los vistos hasta aquí V sólo el desarrollo de la intuición a través' de la experiencia nos puede facilitar las soluciones. factores de 12: 4 . 3. 6 . 2. 12 . 1 I J

factores

de 10: 5

r2l ,xv.fiOly

. 2. (!Q:]]

=-

UJ x/'\.l..1Jy

10xy

12xy 2xy

Escogemos primero los factores en círculos V los acomodamos. de modo que $e formen dos binomios, uno sobre otro; con los combinaciones que don' los factorel1.Los signos para ob10 deben ser opue$tos. pero tener ninguna combinoción puede sumar +7

-

=- 2 -10 -10 12. + 12 = 2

Lo combinación de 15 V 8 que nos

do + 7 es. + 15V - 8. luego los bi-

4X~5Y. = + 15xy 3x ,- 2y=8xy

-

nomios deben ser (4x + 5y) V (3x 2y) 12x2+7xY-10y.2=(4x + 5y) (3x - 2y)

7xy

-

Eiemplo8) 6r + 7x2y2 factores de 6: 6 . 1, 2 . 3 factores de 3: 3 . 1 186

3"

6x2

3y2 = 3x2y

1x2

1. r

X

,

= 6x2y2

-

,

Los factores de 3 deben tener signos opuestos, ninguna combinación nos dará + 7 -3+6=3.3-6=-3 tampoco obtendremos con estos números el + 7 '

para obtener + 7 necesitamosl + 9

y - 2 luego los binomios 'serán

-

(2x2.+ 3y2} Y (3J.(2 y2)

-

6x4 + 7x2y2

Eiemplo 9) 9x2

-

48x + 64

3(

.

-

= (2x2+ 3y2)(3x2'

y2)'

.

Este trinomio podrfa ser el cuadrado de un binomio ya ,que + 9)(2y

+ 64 son los'cuadrados exactos-de 3x y 8. Lo único que debemos comprobar es que 48x'sea el doble producto de 3x y 8. (3x) (8)=24x, (24x). 2 ~ 48x. 9x2 48x + 64 (3x 8}2

(3x)

(8)'

=

-

Cuando un trinomio es el cuadrado de un binomio le. llamamos TRI. NOMIO CUADRADO PERFECTO. Suma y

diferencia de cubos

, Ejemplo 10) 8y3+ 1 Esta expresión es una suma de cubos (2y)3+ (1)3 8y3+ 1 = (2y)3+ (1)3operación mental = (2y+ 1) [(2y)~- (2y) (1) + (1)2]operación mental . = (2y + 1) (4y2- 2y + 1)

Eiemplo 11) 03 03 -.;...27

-

27 Diferencia de cubos

= a3 - (3}3mental' = (a -~) [02 + (a)(3) + (3)2]mental

= (0-3)(02

+ 30 + 9)

Factorlzoción por agrupación Eiemplo 12) ax

-

ay ~ bx + by

Esta expresión con cuatro términos no la podemos factorizar en dos binomios con términos semejantes; el procedimiento a seguir es aplicar

. primero. el postulado asociativo' entre los términos

que a 'nuestro. iuicio

puedan factorizarse, y donde den con su factorización un factor común que nos permita lograr lo factorización completa. Recuerde los eiercicios 16 a 20 del conjunto

~V-1.

1~

.

-

(ax a(x

ay)

-

-

'" y)

'(bX

b{x

-

by)

-

y)

-;;: factor común

(ax

-

bx)

(a.~

.

-

(ay

-

,- ~

faqtor común

(a - ~) (x - y)

by)"

b)y

(a - b}(x ~ y)

.

,

Recordemosque cuando lo factorización es completa.los factores son siempre los mismos,-no importa en qué orden hayamos factorizado. Ejemplo 13) 4x2-12xy + 9r + 4x-6y-3

.

(4x2:-12xy + 9'¡2)+ (4x- 6y)- 3

(2x- 3y)2+ 2(2x- 3y)- 3 Esto factorizoci6n no es' completo, yo que tenemos unas sumas de productos. pero el polinomio tiene la forma del polinomio x2 + (b + d)x + . + bd:quees el productode (x + b) (x + d) por lo quese puedefactorizar la expresión anterior tomando a: bd =, 3 b +' d = 2 x = 2x - 3y .

de donde b = 3 Y d = (x + b)

[(2x

-

(2x

3y)

-

-

1

(~ '+ d)

+-3] L(2x- 3y)'-1]

3y + 3)-{2x- 3y-1)

188

- -~---

--

.

I

PPROBLEMAS PARA AUTOEVALUACION IV~15

En los siguientes problemas encuentre el producto mentalmente. Use las fórmulas vistas y postulado distributivo.

11. (2x + 5)2 1. - 20 (3a- 4a2) 2. (- 2xy) (- 3x2y3) 12. (x-2Y-Z)2 3. -a3b2 (a3- 8b3) . 13. (x - 1) (x2+ x + 1)

4. 5. 6. 7. 8. 9.

(2k- 3).(k- 7) (a +.b) (e + d) (x- y) (x + y) (y-.8) (y + 3), (x- 2) (x + 5) [(x- 2y) + 4]2

.

Indicación: Use postulado asociativo

14. (y3+ 7) (y3-.2)

15.. (2m- n + 3)3 16. (5x- 3y)3 17. (2x + 3y)3 18. (x + 3y + 2z- 4w) (x + 3y - 2z + 4w) 19. (4x-2y~3z + 3w) (4x + 2y + 3z + 3w) 1 2 20. (~x + _y)2 2 3 10. [2(x.- 3y) + 5] [3(x- 3y)- 2] . Sugerencia:'

Para memorizar las fórmuias, utilice su significado y no

las letras con que se presenta, pues éstas cambian en los problemas.. Eiemplo: (o + b)2= 02+ 20b + b2 El cuadrado en un binomio es igual' al cuadrado del primer término, más el doble del producto del primer término por el segundo, mós el cuadrado del segundo término. Procure usar sus propias palabras. Factorice completamente 21. 3x2-9x 22. y3+ 4y

36. a2b2~ ab

-

20

. 37. (x + y)2-7(x +'y) + 10

38. 64 + 144k + 81k2 39. 313-15t2 + 12t . 40. 52- (a + b)2 (2x + 5) 41. x~- 4x (a + b) + 4 (a + b)2 42. .x8-17r + 16 43. ax-oy-.by + bx. .44. 20-6-ab2 + 3b2. 29 . 169x2":'- 225y2 30. t2-5t-66 ' 45. r-10x2 + 9 31. x2- 5x- 14 . 46. 7t2- 421+ 63 . 32., (x + 2y)2- Z2 47. xy3+ 2y2-xy-2 33. 8xen...,..27yan 48. 2(x + 2)2(x - 3) + 3(x + 2) (x - 3)2 34. x2-8x + 16 49. x2 + .2xy + y2- Z2+ 2zw-vr 50. x8-7x3~8 35. 5x2- 30xy + 45y2 23. .a2x2+a2

. 24. 25. 26. 27. 28.

9- 02 22508- 64b2 3y (2x + 5) -4x x2-9 x2- a2

189

M6dulo 16

OBJETIVOS ESPECIFICOS

Al estudiar este módulo, el alumno: 1. 2:

Efectuará las cuatro operaciones fundamentales con expresiones 01gebraicas fraccionarias. .

Aplicará sus conocimientos.anteriores para simplificar expresiones olgebraicas dados hasta transformarlas en irreductibles.

3.

Expresará en lenguaje simbólico matemático, proposiciones y situaciones problemáticos en lenguaje común.

ESQUEMA RESUMEN

Simplificación de' fracciones. Suma de fracciones. Mínimo común múltiplo. Multiplicación y división de fracciones. Simplificación de fracciones complejas. Ejemplos.

190

Simplificación de fracciones .

En el maneio de las fracciones es conveniente tener presente el teorema

x

xz

3-19- = - (y,z #: y

yz

.

O~

pues nos permite: .

xz 1er. Caso. Aplicado de derecha a izquierda

x

-XV = -Y

simplificar las'

fracciones, es decir, reducirlos a términos más simples, simplificando. un factor repetido en el numerador y denominador. Elemplos: .

54 a) b)

27. 2

27. 9 . 3

48 = 24. 2 = 24 = 8 . 3 = x2-4

(x

=

9

8

+ 2)(x-2) .

6x2+ 12x 6x (x + 2) x2-6x + 9 (X-3)2 c) = x2-9 (x + 3) (x-3)

=-x-2ex x- 3 x+ 3

=-

20. Caso. El teoremc;J aplicado tal como está nos permite modificar una tracción modificando sus términos a nuestra conveniencia. x

xz

Y

yz

(- = !

Elemplos: 9

¡

, y, z =FO) .

a)

-8

hagamos que su denominador sea 48 .

9.6 '"-=8.6

54

.

.48

3a + 1 b)

'. hagamos que su denominador sea (2a 2a-3 3a

+ 1

2a-3

-

.

3) (a + 1)

(Sa+ 1)(a + 1) (2a-3)

(a + 1)' 191

I

2x x-2

c)

.

hagamos que su denominador sea x2 .

'..

+ 2) =

-

4

2x2+ 4x (x- 2)(x'+ 2). x2- 4

2x -=

2x (x

x- 2

;

Aunque las operaciones efectuadas en los eiemplos anteriores son sencillas, es muy fácil confundirnos en la aplicación del teorema 3-19.

Eiemplos: .

.

3 + X'

a)

\

.

~2-6x +" b\ ~2- ~

=-

.

r-'6x

+9 =

x2-9 ~ + 02

c\

3+ 7

= 3 Incorrecto.

~ + b2

7

10

= -7 =1= 3

6x Incorrecto.

(x-3)\ .

(x + 3) (x~3)

02

x2 +. 02

b2

x2 + b2

= - Incorrecto.

.

= x-3.

x+ 3

Correcto.

Notienesimplificación u

.'

x

Elteorema justifica la simollficaciónde factores únicamente. (- =-) . yz y debemos insistir en el hecho de que esos factores lo son de toda la expresión; de todo el numerador y todo el denominador y no sólo factores en un término de la ~xpresión. . ElelJlplo: .

al

\x2-20

=

x2-20

ilncorrecto! pues el 4 del numerador mÚltlplica sólo ax2.

4x (x b)

~ 5)

4 (x ~ 5)

\x"

I

= ""\ = x Correcto. pues 'xl

(x. 5) .y 4 son factores del

numerador y denominador a la vez. Suma de fracciones' La suma algebraica .de dos o más fracciones con el mismo denominador' es una fracción con este denominador común y la suma de todos los numeradores como numerador. El teorema 4-5 nos.señala y iustlfica la opea+b a b + si de acuerdo a la propiedad de slmetrfa de la .ración (

c

192

= -c -). c

.

a

EI~los: 5

.

7

a) -+-=

b

= b => = ci)lo escribimos como -e + -e =

igualdad (a

5+ 7 .

2a. 2a, 2x2

2a 5

12

3x

b) x-4 + x-4

2 .6

=-=-=2a 2 .a x-4 =

a+b e

6

~ ~x2 + 5-3x

x-4 '=

2x2-3x

. x-4

+ 5

Con frecuencia nos encontramos factores o denominadores que sólo difieren en el signo por lo que un cambio en la posición del signo (Problema 2 de 111-12) en la fracción nos presenta el mismo denomin~dor.

Elemplo: .

.

3x-2y

5x.--;. 3 ='

3x

+

- 2y +

2x-y 3

-

5x

-

2x-y

Teorema3-14- (a + b\ = - a - b 5x- 3 - (-3 + 5x) - 3x.- 2y + - (2x- y) (- a = ~)- a y Conmutativo 5x-3

.5x-3

-b

b

,

. (3x-2y) - (2x-y) 5x-3 - 3x-2y-2x + y 5x-3

- x-y 5x-3

Para determinar la suma de,dos o más fracciones con diferentes denominadores ,debemos cambiar las fracciones por otras equivalentes y con un denominador común, preferentemente el mínimopara que el resultado sea lo más simple posible, al que llamaremos el MínimoComún Múltiplo (MCM);para efectuar esto utilizamos el 20. caso visto al principiar ~ste tema pa~a modificar los términos de las fracciones. El Mfnlmo Común Múltiplo (MCM)de un conjunto de números o expreslones' algebra~cas lo encontramos con el siguiente procedlmien~~: 1 . Factorice totalmente.todos los números y expresiones. '2. Forme un producto con cada uno de los factores positivos diferentes, e$coglendo el que tenga el exponente más grande. 193

.

Ejemplos: o)

MCM de 75, 15, 36, 6, 75 ...:.. 52 3 Factores positivos diferentes 5, 3, 2, escogemos cada

.

'

15 -' 5 . 3

uno de ellos con el exponente

36 = 32. ~2 6=3.2

ganoMCM = 52. 32. ~2= 900

más grande

que ten'

b) MCM de 6x - 12,16- 4x2,x2 + 4x + 4 Factore's positivos diferen= 6(x 2) = 2 . 3(x:"'" 2) tes 2, 3, (x - 2) Y (x + 2): 16-4x2 = 4(4-x2) = 22(2-x) (~ + x) (2 - x) es el factor negax2+ 4x .+ 4 = (x + 2)2 ,tivo de (x - 2) que ya fue , considerado'y s610se toma una vez cada factor

-

6x,-"12'

,

.

MCM = 22 3 (x

-

2) (x + 2)2= 12(x":'-'2) (x +' ~)2

a 9a 15 Ejemplo a) Sumar algebralcamente : necesitamos cam- . . 3b 2b b , blar las fracciones por otras equivalentes con' un común der,¡ominador que será el MCM de 3b, 2b, b; MCM = 2 3 . b ,

- +- - -

.

a.2

-+3b,.2 2a

9a.3

2b. 3 27a 90'

-+---6b 6b' 6b-

15 . 2. 3

b.2.3 2a + 27a- 90

,6b

-

(2x 3)7. '20x-30

+

-.8x + 5'

3" 7(2x -' 3) es 7(2x -

(28x..; 35) + (- 8x + 5) ==

7(2x -'3)

3)

-

7(2x ~,3)

,10(2x-3)

= 7(2x,-3). =

90

6b

'

Elemplo b) 4x-'5 -8x + 5+ EL MCM de 2x .14x-21 (4x- 5)7'

- 29a -

10,

7(2X-3)'="7

El procedimiento' se puede concretar en el siguiente ejemplo c)

Elemplo e) 3x

2

x2-4 ,x2-5x + 6 .(x + 2) (x - 2), (x .2) (x

-

-

3)

Denominadores factorlzados

.

MCM= (x + 2) (x- 2) (x- 3)

'-

- - ---

3x (x -l 3) (x

+ '2) (x -

2) (x - 3)

2 (x + 2) (x

-

2) (x

-

Denaminador común

3) (x + 2)

- 3x (x - 3) - 2 (x

-

-

+ 2)

Suma de. los numeradores

--

(x + 2) (x - 2) (x 3) (3x2- ex) - (2x + 4)

Multiplicación

(x + 2)(x- 2) (x ;.; 3) 3x2-11x -:. 4

-

(x + 2) (x - 2) (x

Suma de numeradores

3)

Numerador resultante' factorizado para ver la posibilidad de reducir más la fracción.

(3x + 1) (x-4) . (x + 2) (x - 2) (-x-- 3)

Eie~plo d) 3x 5x2, . , + x2-4x + 4 3(x2- '4) (x- 2)2 3(x + 2) (x MCM

=

.

-

2

+ 2x2,- x - 6 2)

3(x

(x - 2)23(x + 2) (2x + 3) 5x2 (x

=,

'

3x . 3(x + 2),(2x.+ 3)'

.

-

)

(2x + 3) (x - 2)

Denominadores factorizados'

2)2 (x + ~) (2x + 3)

+

,

2) (2x + 3) .

3(x + 2,)(x - 2) (x - 2) (2x + 3)

+

en él numerador

. -.

2 3(x

+

2) (x + 2)

(2x + 3) (x - 2)3(x - 2) (x'+ 2)

Denominador común

-' ex(x + 2) (2x+ 3) + 5x2(x~ 2) (2x+ 3) + 6(x - 2) (x + '2)

,

.

3(x

-

2)2(x + ;2)(2x + 3)

(18x3+63)(2 + 54x) + (10x4- 5x3- 30x2)+ (6x2- 24) '3(x

;. 2)2(x + 2) (2x+

3)

Suma de fracciones.

Suma de numeradores, multiplicando, y reduciendo términos semejantes. . , '195

10x4+ 13x3+ 39x2+ 54x "3(x

-

24

- 2)2'(X+ 2) (2x + 3),

Multiplicación y división de fr~cclones La multiplicación de dos o más fracciones es una a'plicaci6ñ directa del x I XI' .

teorema3-18(- . :.= Y

.

Elemplo a)

w

y, w ::p 0)-

yw

34 . 39 -. = ' '6585 65.85 34 '39

.

,

Antes de efectuqr las multiplicaciones en numerador .ydenominador. obteniendo números y expresiones muy'grandes, es conveniente factorlzar totalmente- cada. factor, Indicar los' productos 34 39 (17 . ?)(13. 3) 6 ...65. 85 =. (13. 5) (17. 5) ='25,

.

Elemplo b)'. 3x3 5y

_e_-

3x3. 5y

4y2 x2

~

. ..

-

3-. 5x

4y2.x2 -

y simplificar

--, 15x

4y - 4y

Elemplo e)

-

x2"";'9 5x + 20 . [(~ + 3) (x 3)] [5(x+ 4)] 3x2+ 11x - 4 '. X2- 4x + 3 -'[(3x- 1)(x + 4)] [(x - 3)(x 1)] . 5(x + 3) 5x + 15

-

'.

= a

- 1) (x - 1)

= 3x2-

4x

+1

Para 1,0dlvl$16nde dos. fracciones aplicamos el teorema' de la dlvlsl6n 1 1 b a .-) y el teorema 3-21 (- = -) Ejemplos:

(- = b

(3x

'

b

.

:

a/b

a

3Elemplo a)

3

13

7" + 11

(?")

= (13) = 11 3 =......-11 7 13 33 91

=-

-- - - - ---.-....

3 (7")'

1

Teorema de '10 dlvlsl6n

13 (:¡:¡) Teorema 3-21

Elemplo b) 6 8 "7 + '9

6

9

= "7 . "8 =

(2 . 3) (32) 7 . (23)

33

=

7 . 22

= -27

Siempre

28

simplifica

.todo lo posible

Elemplo .c) x2 x3

-r

.:..

- ya .

x+y x

XZ

-"

x3

~

-r. -

x

(x + y) (x - y) . X

-

-

y3 X + y.

(x - y) (x2 + xy + y2)(x + V) x. x2

.

Elemplo d) Xi

-

+ xy +

r

.

- 9y2

3ax + 6ay

..:..Xi- 3xy

. ax + ay

(x - 3y) (x + 3y)

-

(x - 3y) (x'+. 3y) ..:..x(x - 3y) 3a(x + 2y) . ci(x+ y)

-

(x - 3y) (x + 3y) (x.+ y)a a(x + y). 3a(x + 2y.)x(x - 3,y) x(x -- 3y) - (x + 3y) (x + y) 3x(x + 2y)

3a(x + 2y)

SImpllflcacl6n d,e fracciones. complelas A una fracción que contiene en su numerador o en su denominador, C)en ambos, más fracciones, le llamamos una fracción complela.

3 .Elemplo8: -4 2

2

1+-3

1

-5

4--2

.

x2

--1x

x

+-x

-

, -

1

Este tipo de fraccl6n debe slmplificarse a una 'fracción con enteros o polinomlos en su numerador y denominador, antes de poder efectuar operaciones con ella. Veremos dos métodos para reducir las fracciones completas y la aplicacl6n de cualquiera de ellos nos la. dictará la -experiencia.

.

'.:

1

Método1. x2- -

Consisteen efectuar las operacionesde suma en numeradory denominadorhasta tener la divlsi6n

x

.

1

x + 1 + -. x

de dos fracciones ala que le aplicamos el pro-

cedlmlentoya visto.

.

197

x3

1

x

x ......

-

(x

......

x

x(x + 1) + 1 x

x(x + 1)

+1

- 1) (x2+ x + 1) . x =x-1 -

x(x2+ x + 1)

Método 2. Consiste en usar como factor el MCMde todos los denomino-

x

.

xz

'dores an lo expresión aplicando el teorema -3-19 -= Y tribuir ese factor. MCM x.

=

I

1 (x2-.-)x.

X

1

(x + 1 + -) x x Eiemplo: 1

......

......

(x

-, ~

(y, Z=1= O) Y dis7

- 1).(x2+ x + 1) =x-1 .

(x2+ x + 1)

x2+ x + 1

,

1

-+a Z3

1-

---+Z3

1

1

2z2

4z

Método 1 Z3+ 8 az3 .4

...;..

2z + Z2

4z3 'Z3+ a 8z3 4-.2z + Z2

.4z3 ...... (Z'+

4z3

2) (Z2- 2z +- 4) (Z2

(~ + 2) 2 . 4z3 2

-

2z + 4)

Método 2 \

MCM = '8z3

1

1

8

Z3.

(- + ~)8z3 .

,Z3 ......

1

(-r

1

1

2z' + -18z' 4z .

a

-

+ 8

2z + 4)"

2(Z2- 2z + 4)

4z + 2z'

.198

--

-

(z + 2) (Z2

---

=-z + 2 2

"

t .

. PROBLEMAS

PARA AUTOEVALUACION IV-16

Conteste si la proposición es corre1cta o. incorrecta~'

~(a + b) -'-a + b

f-,I =0 1.1.-,1

3

7X+1--1 2. 1+ ]X-

4. . ,tx-ay.

.

(x

+ y) j

JI x2 X

-x+y

x-ay

= a2y2

x2

-f ay

= (x + ay) (x-fay)

-

Q2y2

1

=.x + ay

Reducira términosmás simpleslas siguientesexpresiones: 28 5. -' Q3 143

6. 7.

195 '187 ~

391 x2+2x 8. x2- 4x

9. '10.

a2x-- a2y

ax2- ay2 y2- y -6

y2+ 2y~15 14x-24-2x~ 11. x2+ x - 20 x2-36 12. . x3- 216 2x2-14x + 20 13. 7x-2~2_6

En los siguientes problemas determine el MCM.

.

(

Efectúe las surt:'asalgebraicas, de las fracciones que se indican. 253

19.- + _..:-. 3 6 10 199

3

-11

20'.-+2x,

27.-

'x

, 3(5x - 7) 2x(4x +' 37) 21. ' , (x + 7)2 (x + 7)2 2x + 3 4x .: 7: :

22.'

-

6 x+1

.,

23. ~-x+

9

x+3

2

x

"

x2

,

7

x-x

Indicación - =~

x-3 3-x x+5

-y

x2+ 7x + 10 t-6

-

+

y

x-1 x2+ 5i + 6 2t t+1

2t2- 121 t2- 7t + 6 1 x +" x3-1 1-x2

- 2f - 2t

1 1-x

- y Considera -x +1 y .

31.

a2+4

a3-27 2xy 32.'

,x---9

.

+-

Indicación:

-6x

25. x +

29. 30.

"X

24. x + y + -

28.

5,

26. 8x + x + i

x3+r

+ --

7

3-a

a-5

a2+3o+9

x - x2-xy+'f .

Efectuar las operaciones indicadas. .7

33

33. .:-.-.-

22 35

,

4

34. .

. 35.

7 5

+

16,

-21 9

(

7

)

16 + 64

15

9ax2 18xy2 36.-.10by 150b

37.' 38.

3x ...:...5 .

7xy a4- b4 (o

39.'

+

-

2x + 3 14x2 b2

b)2

x2_y2-x

,

X+ 2y

02

o-b + b2 ab + b2

+y

+-

x-y x- 2y,

200

..

"" -

---

-'

Simplifique las sfguientes fracciones complejas por ambos métodos.. \

o ---

3 40. ',.1~'..

b'

2 ---

b o

42.

x 4

,2,. ~.

¡-+3"' En los siguientes problemas utilice el método que juzgue más conve-

niente paro reducir lo fracción complejo.. x y --- Y'.' .x + y,.

\

o

---1

.

. 43.

.,X

.

-

x

x + '.y

+

.

y

... o.'

;.

x- y

""""...~ 1 44. 2a.

0--

4

'o

. 45.

x'-2

---2 x-3

2 .x-1 3

x-2

,46. ' Expresar en lenguaje simbólico matemático las situaciones dadas ~n lenguaje común y que se dan a continuación: . . a) El doble de un número es 25. b) La suma de dos números es 36. c) El producto de dos números es 120. d) El cociente de dos números es 101. e) El cO~,ie~te d~ dos nÚn1e~ose~: 15 y el resto o residuo es 3. f) El. cinco por 'ciento de una cantidad es Igual a' las dos terceros

- part~s de otra.

.

g) El cuadrado de un número más el doble de él es igualo de otra. .

un medio

h) CalcÜlar el largo y el ancho de un rectángulo cuyo superficie es 3200 m;! y sabiendo que. el largo es el doble del ancho.

201

\

RESUMEN

Ya decíamos en la unidad anterior, de la necesidad de comprender el significado de la terminología' y de los símbolos, con objeto de poderlos aplicar en las dif,erentes situaciones de la realidad, sin réstar importancia a la "mecanización" de algunos operaciones. Es en esta unidad en donde completa,mos 'la terminología algebraica poro establecer los fundamentos de los cuatro operaciones entre los expresiones algebra'icas, iniciando así un cierto grado de "mecanización"; es responsabilidad del. alumno efectuar los ejercicios suficientes para desarrollar la habilidad que le permitó concentrar sus mejores esfuerzos en el planteo de problemas y en la aplicación efectiva de la teoría asimilada. más que en el desarrollo de los, op~raciones. ' -L,ostérminos aquí introducidos son': Expresión algebraica Término Coeficiente Términos semejantes Potencia Base de la potencio Exponente Polinomio Mínimo común múltiplo Fracción complejo

202

.

-

-

..

----

- -- -

Penel.. de Verlflcaci6n

CONJUNTO DE 1. 2. 3. 4.

PROBLEMAS

IVM1'3

Cuatro. 4~2,2!y, - !l, 5 Dos. 4~, -[(2 '+ ~)~~] Uno. (4~ + 2) (2~- 3) Tres. 6. 30, (50- b)

5. 12,- 8,- 7,4 -

6. 2,--3,4,-1 7. -1, -2, -1,-7 8. x~ (2y + 3!) 2y = x-

-

,

-

2y- 3!- 2y' = - 2~:- 4y

pa~a x: (1 3)x para y: (-_2 ~ 2)y

9. ~! - (2y- 4~)+ 6y==3! - 2y + 4! + 6y . = 7! +-4} . 10. (2!-31) .

-

= 2~--31 + 'y--4~-~ = 5x-2y-5w

+ (I-4~J-(!!-3!) -

+ 3!

11. 3x- [2x+ 3y- (2y- 3x)]+ 4y = 3x - (2x + 3y - 2y + 3x) + 4y = 3x-2x-3y + 2y-3x + 4y =-2x+3y

12. 9x- (2y- 3x)- [y- (2y- x)]-,[2y + (4x- 3y)] =

= 9x -

-

2y + 3x

= 9x-:-2y = 7x,

- (y -

2y + x)

-

(2y + 4x - 3y)

+ 3x- y + 2y:- x -2y-~x

-+3y

En el siguiente problema identificamos con rayas a los términos semejantes y eliminamos (postulado de identidad para la suma). aquellos con coeficiente cero.

13. (- 2x3+ 7x2-x) + (4x3- 8x2+ x - 6) =-2x3 + 7x2- x + 4x3-

-8x2 + x-6

= 2x3 - - 6 + b + e) = 2a-b + 2-a-c)(2

14. [(20-b)

+ (2~-cn

+ (-40

=0 - 15. 40-

[0-

(20 + b)] = 40-

(o-20-b) .'

= 40-a

4a + +b+c

+ 20 + b -

=50+,b

.

203

j I

I

16. a) 2x'_'3y2 + (4x- 3y- 1) 17. a) x2-2y2 +.(-x-3y-5) 18. a) x+y+ (-x2-4+

19. a) r3+ (rs + 2rs2+ 53)

20. a) x4- 4x~y+ (6x2y2-

3y2) .

4xy3+y4)

b) 2x2- 3y2- (-'4x + 3y + 1) b) x2- 2y2- (x + 3y + 5) b) x + y ~ (x2 + 4 3y2)

b) r

- (- rs -

--

2rS2

53)

b) x4-4x3y - (-6x2y2+ 4xy3- y4)

CONJUNTO DE PROBLEMAS IV-14

1. y'3. y" = y'3+11= y24

.

.

2. (- 2)2(- 2)5=(- 2)2+5= (- 2)7= -128

3. 4.' 5. 6. 7.

(5X)4= 54 . x4 = 625x4 (2X2)3~ 23 . (X2)3= 8X2.3= 8x6 3xY(X2y3)= 3X'+2. y'+3 = 3x3( ¿'(a + 2)2 . a3 (a + 2)4 = a'~3 (a + 2)2+4 ;:::04(0 + 2)6 4x3y2(5xy2 + 4x2y) = 4x3y2(5xy2) + '4x3y2(4x2y) = 4 . 5X3+'. yt+2 + /f. 4X3+2.y2+1

= 20x4(

8. 20b (302 + 3ab -

+ 16x5y3

.

5b2) = 2ab (3a2) + 2ab (3qb) + 2ab (- 5r:»2)

= 6a3b+ 6a2b2- 1Oab3 9. (3x + 2) (x + 5) = 3x2+ 17x+ 10 \

Teorema 3-12

3x + 2

x+5 3x2+ 2x 15x + 10 3x2+ 17x + 10

10. (x- 2)(x2+ 5x- 3)= x3+ 3x2-13x + 6'

-

x2+ 5x 3 x-2 x3+ 5x2-3x. -2x2 - 1Ox'+ 6

x3+ 3x2- 13x + 6 11. (x- 2y)2= (x- 2y) (x- 2y) = x2- 4xy + 4y2 x-2y x-2y

x2- 2xy - 2xy+ 4y2 x2-4xy

+ 4yt

x4 + 2x2y2+ 4y4 x2- 2y2

-

x6+ 2x4yt+ 4x2r

x6

- 4x2r-

2x4y2

.

8y'

-Sr

204

.-. ---..

-

13. fx 2) (x + 3) (x + 2) x-2 ,x+3' ~-~ ~-6.

= x3 + 3x2,- 4x

.

j(n

Xli

--

x2n.-

= x~n -

x3+ x2- 6x . 2x2+ 2x - 12 x3+ 3x2- 4x - 12

yn) (xn- yn) (xn- yn)

-

3x2nyn+ 3xny2n

y3n

-

yn

yn xnyn.

x3n-

y~n

3x2nyn+ 3xlly:>1I - yJn ,

2xnyn+ y2n

= 18xy312x2y2 3y - x -- 1

2~

2x2nyn+ xlly2n x2nyn+ 2xny2n-

-

.

-

.

2xnyn -+ y'ln

x3n-

15. 2xy (3y-x-1)2 ~

-

x2n

xn- yn.

- xnyn+ y2n x2n

12

"x+2

~+~-6 14. (xn- yn)3= (xn-

~

~+x-6

~

= 2xy (3y-x-1) (3y~.x~ 1) = 12xy2+ 2x3y+ 4)(2y+ 2xy

-

6xt. ~ 2~2y- 2xy

.

-

6xy2 2x2y ay-x-=-1 18xy3-

;

6!,2y2-

.

2xy 6xy2

. - 6x2y2 + 2x3y+ 2x?y - - - 6xy2 2x2y+ 2xy

18xy3- 12x2y2- 12xy2+ 2x3y+ 4x2y+ 2xy

.

I

NOTA:En este problema (2xy) no se puede distribuir hasta que se elimine la potencia.. .

-

3~2y+ 2a! + 5y2..tercer grado 17. P(y): 13- 3!2y2- 2X3'y+ 4~4. Tercer grado 18. ~(~):oX"y3+ 3x2y.- 4xy2.Cuarto grado

16. !»(~): a3!3

19.!»fj):

20. !»(~):4z3x+ 4Z2X2 -3xyz + 5y. Tercer gradq 21.

22.

(x + yp2 '.

= (x + y)12-4'=

.

.

(x +y)8

(x + y)4 10m6n J . 2m6-3,.ri 2m3

=

fl.

15m3n

23.

.

21x7y6+ 28x8y5-14x5y3 + 7x3y2.Sexto grado

(2x2y)4

{- 3xy)4

=

3JÍ

24x2' 4y

=-

3

24x8

=-

16

= - X8-4 Teorema

(- 3)4x4y4. 81x4 81 '16 =-x4 81

3-12 (-a) = ab paro (- 3)4 -

(-b)

-

=

. ~5

24. 25.

26. 27.

24(x + y)3(x - V)2

30(x+ y)2(x- y)3

+ y)3-2 4(x + y)

%. 4 (x

.

=

=.

. 5 (x -

%

y)3-2

'

5(x

-

y)

(a + bJ3 (a + b)3 Los potencias no tienen lo mismo base, (a + b) ab, por lo que no se aplico la 'resta de ex(ab)3'. ..:.. a3b3 . y ponentes. 6x3- 9x4y .6x3 9x4y 2x2 '

.

3xy

=---=--3x3 3xy

3xy

7a3b2+ 28a8b5-

21a7b6 ' 703b2

y

-

14a6b3

14asb3

,

+ Oa -

a3 - 3a2

28. a + 1 /a4 - 2a3 - 3a2

-

-

4

Coci~nte

4a

-

Como el primer término de coda .resta siempre es cero, pruebe omitiéndolo po ra

8

03

,

3a3 -

7a3b2

sitnplificar más la operación

302

+ 3a2 --oci2 - 4a

0.!

. 00 -40-8 4 - 4" ResiduQ 4

o'

- 20' -0+130'-

4a - 8 = o' - 3cJ2"":' 4 - 0+1

29. Observamos que al dividendo le hace falta el término de la potencia dos, por lo que se agrega con coeficiente cero. l' -¡Z2

2

2Z2-6z+4

+ 2z +

. .

.

5 Cociente

/Z4 + Z.3+,OZ2 + 2z + 15

3z3- 2z2 4z3- 2z2+ 2z 12z2- 8z

Z4

1'Z2.1

2z~

2

_=_=-Z2

2

4z3 -=2z 2z2

10z2- 6z+ 15 30z 20

-

24z-

5 Residuo

10z2 -=5 , 2z2

,

. .

-

Z4

+ Z3 +

2z + 15

2z2- 6z + 4

-21

-=

Z2

+

3x5 + 11x4 - 15x2+ 7x + 9 30',

x2

'

+ 2x - 1

'24z

2z + 5-+

-5 . 2z2~ 6z + 4

-

= 3x3+ 5)(2 7x,+ 4 +

3x3 + 5x2 - 7x +

-

8)(

+ 13

x2+ 2x

-1

4

x~'+ 2x - 1 /3x5 + 11x4+ ax3- 15x2+ 7x + 9 - 6x4+ 3x3, 5x4 +

,

3x3 - 15x2

1

- 10x3+ 5x2 7x3-10x2 + 7x 14x2- 7x 4x2+ Ox+ 9 -8x+ 4

j

I j

- 8x+ 13

CONJUNTO DE PROBLEMAS IV.15

-

1. - 20(30 - 402)= '- 6a2+ 803 2. (- 2xy)(- 3x2y3)= 6x3y4

4, (2k-3)(k-7)=2k2-17k+21.,' 5. (a + b) (e + d) ==oe + ud + be + bd

-

6, (x.- y) (x + y) = x2

y2,

7, (y - 8) (y + 3) = y2 ~ 5y - 24

= x2 + 3x - 10 2y) + 4F = (x - 2y)2 + 2

8. (x -' 2) (x + 5) 9, ((x -

-

10, [2(x

(x - 2y)' 4+ 42 . = ~2+ 2x( - 2y) + 4y2 + 8(x - 2y) + 16 '

= x2- 4xy + 4y2+ 8x - 16y + 16

- 3y) + 5] [3(x -

3y) - 2] ;::: 6(x 3y)2 + 11(x

- 3y) - 10 6(x2 - 6xy+ '9y2)+ 11(x- 3y),

'=

10

= 6x2- 36xy + 54y2,+ 11x- 33y - 10

207

',i<

11.

(2x ,+ 5)2

= 4x2+ 2(2x) (5) + 25

= 4x2+ 20x + 25

'

12. (x - 2y - Z)2= [(x - 2y)- Z]2~ (x- 2y)2- 2(x :- 2y)z + Z2 : . = x2-4xy + 4~-2xz + 4yz + Z2 ,

13. (x - 1) (x2+ x + 1) = x3- (1)3= X3- 1 , l4. (y3+ 7) '(y3- 2) ~ y6+ 5y3- 14 15. (2m - n + 3)3= = = =

[2m - (n - 3)]3= . (2m)3- 3(2m)2(n - 3) + 3(2m)(n - 3)2-. (n - 3)3 8m3- 12m2(n- 3) + 6m(n -' 3)2- (n - 3)3 8m3- 12m2n+ 36m2+ 6m(n2- 6n + 9) - [(n3 - 3n2(3)+ 3n(3)2- (3)3] = 8m3- 12m2n + 36m2+ 6mn2- 36mn+ 54m-- (n3- 9n2+ 27n - 27) = 8m3- 12m2n+ 36m2+ 6mn2- 36mn + 54m"

-

n3

+ 9n2.- 27n + 27

16. (5x - 3y)3 = (5.X)3- 3(5x}~"(3y)+ 3t§Jtr(3y}2.- (ay)3~.,; , .<. ":.'. ,.,:.~. . = 125x3- 225x2y + 135xy2- 27y3 17. (2x + 3y)3 ==(2X)3+ 3(2x)2 (3y) + 3(2x) (3y).2+ (3y)3 = 8x3 + 36x2y + 54xy2 + 27y3 18. [(x + 3y) + (2z - 4w)] [(x + 3y) - (2z - 4w)] = = (x + 3y)2 - (2z - 4W)2

= (x2+ 6xy + 9y2)- (4z2- 16zw + = x2 -F"6xy + 9y2 - 4z2'+16íw

19. [(4x + 3w)

~

161M2)

- 16w2.

(2y+ 3z)] [(4x + 3w) + '(2y+ 3z)] = (4x+ 3W)2- (2y.+ 3Z)2

,

= (16x~+ 24xw + 9w2)~ (4y2+ 12yz + 9z2)

= 16x2+ 24xw'+ 9w?1

20.: (-x

-2

2

1

l'

2

4y2

-

12yz

~

2.

+ _y)2 = (-X)2 + '2(-x) (-y) + (_y)2 3 2 2 3 '3 122 = (_)2X2+ x(-y) + (_)2y2 2

\ 3

3

1 2, . 4 =.-x2 + -xV + _y2 4 3 9 .

t~,~,

,;~;..~

, I

:.f .'

21. 3x2-- 9x = 3x(x - 3) 'o,

22. y3 + 4y = y(y2 + 4) 23. 02X2+ 02 == 02X2,+ 02 .

208

,.

= 02(X2+ 1)

9z2

24. 9-

a2 "= (3)2

25. 225a8

-

- a2= (3 + a) (3 -

a)

~"

64b2= (1504)2- (8b)2= (15a4 + 8b) (15cr - 8b)

26. 3y(2x + 5) - 4x(2x + 5) = (3Y-;- 4x) (2x + 5) 27. x2- 9 28. x2

= (x +

-

3) (x

- a2 = (x + a) (x -

3)

a)

29. 169x2- 225y2= (13x)2 -

.30. r -

5t - 66 = (t

(15y)2

= (13x +

15y) (13x - 15y)

~ í 1) ,(~+ 6)

31. x2:'"5x - ~4 = (x ~ 7) (x + 2)

32: (x + 2y)2 Z2= [(x + 2y) + zJ.[(x + 2y) - z] ~

-

.

= (x + 2y + z) (x + 2y -

z)

=

33. 8x6n + 27y3n = (2x2n)3+ (3yO)3= [(2x2n) + (3yO)] [(2x2n)2" '."-~;" .., (2x2n)(3yn) + (3yn)2] = (2x2n+ 3yn) (4x4n- 6x2nyn+ 9y2n)

34. r - 8x + 16 = (x- 4) (x - 4) = {x- 4)2 ,

"

35. 5x2- 30xy+ 45y2= (5x...:.15y)(x - 3y) = 5(x - 3y)2 36. a2b2- ab - 20"= (ab - 5) (ab + 4) 37. (x + y)2- 7(x :f:y) + 10 ~ [(x + y) - 5] [(x + y) - 2] 38. 64 + 144k+ 81k2= (8 + 9k)2 "

~.

313

\

- 15t2+ 12t= 3t(t2- 5t + 4) = 3I(t - 4) (t --1)

40. 52- (a + b)2= [5 + (~ + b)] [5 - (~ + b)] = (5"+ a .+ b) (5 '7 a - b) 41. x2- 4x(a + . b) + 4(a + b)~= [x~ 2(0 + b)]2 42. x8 17x4+ 16 = (X4)2 - 17(x4) + 16 = (x4 ~ 16) (x4- 1) = (x2+ 4)(x2 4) (x2+ 1) (x2- 1) = (x2 + 4) (x + 2) (x - 2) (x2+ 1) (x + 1) (x - 1) "

-

-

"

+ (bx-by) = a(x - y) + b(x - y) = (a + b) (x-y) = (ax-ay)

43. ax-ay-by

+ bx

44. 2a-6-ab2 "

+ 3b2 ==(2a-6).-(ab2-3b2) = 2(a-3) -b2(a-3) "= (2-b2) (a-3) 209

45. x4- 10x2+ 9 = (X2)2 - 10(x2).+ 9 = (x2- 9) (x2-1) .

.

=.

l'

(x + 3) (x

-

I

H

3. (x + 1~ (x _M-

46. 7t2- 42t + 63 = (7t- 21) (t - 3) =. 7(t - 3)2 47. xy3+ .2y2- xy- 2 = (xy3+ 2y2)- (xy + 2) = y2(xy+ 2) - 1'(xy+ 2) = (y2- 1)(xy + 2)

= (y + 1)(y-1' (xy + 2)'

48. 2(x + 2)2(X- 3) + 3(x + 2)(x- 3)2=

= (X + 2) (x '.

3) [2(x + ~) + 3(x

= (x + 2) (x-J.-3) (5x= 5(x + 2) (x - 3) (x 49. x2 + 2xy + y2-z2

+.2zw-w2

.

-

3)]

.

1)

.

= (x2+ 2xy + y2)- (Z2-;- 2zw + w2) = (x + y)2- (z- W)2 ==[(x + y) + (z-.-w)] [(x + y)- {z-w}}

= (x +. V +

50. x6-7x3-

5)

z - w) (x + y - z + w)

8 = (X3)2 -7(x3) - 8 = = (x3- 8) (x3+ 1)

= (x- 2)(x2+ 2x + 4) (x + 1)()(2-

X

+ 1)

I

CONJUNTO DE PROBLEMAS IV-16

i

x2- 02

1. Incorrecta.--

x2

-

02

=1

2.

.

7x + 1 =1 1 + 7x

Incorrecta.

3(0 + b) - o + b 3. .Correcta. (x + y)3 - x + y

o'(ox- y) .d(ax, - y) 02y2 a2(x2 - y2) cr(x + y) (x- y) = ox-y

02X- oy

4.. Incorrecta.

02X2-

a(x + y) (x ~ y) 28

;1.4

5. -=-=63 ;t.9.

143 6. --=--=-1,3,11 195 1,3'. 15

4

9

187 17. 11 11 7. -=~=391 17.23 -23

8.

x2+ 2x

x2- 4x

-

11 15

x(x + 2)

x(x- 4)

=-x+2

x-4

. 210 ~

--~-

~

---

i

4

16

4

21

5

. 3) --

~t)

34 -..: . 7 . 21- 7 16-

3

7(tf') - 4

J 4i 7 28 =(-. -)- =15 42', 32 3. % 27

9,

7

35. (- + -). 16

64

9ax2

36

18xy2

(~..x2) (9 '.2XY1

--

27x3y

. 10by 15ab -. (5 . .2b~) (,á. 5pb) - 25b2

37. ,3x- 5 + 2x + 3 = (3x- 5) 14x2= 2x(3x":'"5) .

7xy

38.

14x2

a4-b4

.

b2

.

7xy(2x + 3) a-b

.

=

(a

- b)2 a2 + b2 ab + b2

x2

+y

.39.

~ X

- y2 -

x + 2y

=

+

x -- y

.

(~ + y"':" 1). (x.-

x

-

2y

y(2x + 3)

(a2+b2)(a+b)(a-b)2b.1

-

(a

b)2(a2 + b2) (a + b)b

= (x + y - 1). (x':'- y) (xex

+ 2y) (x - y)

=b 2y) -

2y)

x + 2y 3

40.

,3,

3+8

-+-. 4 3 ,

--12

(3)

1

b 41..-; a .

3

1236

11

1

1'1

-12

12 36 -=~=-

2 12

11

36,

3+ 8

(-4 + -) 3 a ---

3

=--=-'=-'-=-

11

b o

---

ab -=

-

(o

'

+ b)

(o

-

b)

ob

02b2

ob

a2b2

(a2 + b2) .(o + b) (a a b .

(-b - -) a

a2b2

-

-

a3b

b)

02

\

+ b2

- ab3 -

ab(a2- b?) (a2 + b2) (a2 -

f.

o

.. .:..

'o, ..

-

ab

b2)

213

,

-2 - -4x

42.-x2 .

x2 +

(x2+ 2x t

2x + 4

1

2

(x2

(

x

43. (

-

x-y x'

y x...,.. y

1

Q--4a

1 45.

x+y.

2x + 4) .

8

-

- x3

,

- (x - 2) (x2+

,

4x2(x2+ 2x + 4f

(

'x-2

. 4x2,(x'-+_.2x+ 4).

) (x + y)(x- y) (x + y)(x - y) '/

-

= 20-

1 -02-a 4

2 x-1

) (x

= .20-

a (o + 2) (o -. 2) -

- 1) (x - 2) (x -

3)

.

23.

(

2x + 4)

{x2+ XV)- (xy - r) - x2+ y2-1 (x2- XV)+ (xy + y2)- x2+ y2-

44. 20-

.

y

+.)

~+y

-

4x2

+ 2x + 4) 4x2

x

4)

4x2(x2+ 2x + 4)

+ '2x+ 4 =

(-x2 - -)4

(x3- 8)

'

- (x - 2) (x2+

1 x2

--

x..:.. 3

= (x-

.-

x-2.

-

) (x.- 1) (x - 2) (x - 3) .

1)(x- 3)- 2(x- 2)(x3) .

2(x-1 ) (x- 2) - 3.(x- 1)(x.- 3) - x2+ 6x- 9 . (x- 3)2 ' t = - x2+ 6x - 5 = (x- 5)(x- 1)

214 -

- -

- --~C"";III

=

~-~

----

.

x~2 4x~

...

46. a) b) e) d)

2x

Sea J(el número', entonces: Sea x uno de los números e y el otro, entonces: Sea x uno de los factores e y el otro, entonces: Sea x el dividendo e y el divisor, entonces:

e) Sea.x el dividendo e y el divisor, entonces:

.

:::!;

x+ y= xy = i) x + y = u) 101 y =

25

36 120 101 x

15y + 3 = x

(Sobemos que el dividendo debe ser igual al pro-

ducto del divisor por el cociente más el voto) f) Seo x la primera cantidad e y la segunda, entonces:

g) Sea)( el primer número e y el segundo, entonces:

2 i) 5%x = -y 3 5x 2y u) -. 100 - 3 1 x2+2x=-y 2

h) Sea I el largo y o el ancho del rectángulo (ver fig.). Sabemos que el largo es igual al doble del ancho, o sea L = 20. Y la superficie es el producto del largo por el ancho'. . Entonces, tenemos:

Por condición del problema 1 = 2p Entonces reemplazando, nos queda: - - 3200 = 20 . o = 202 Como: 202 = 3200

cr.=

-3200 = 2

1600

0=40m Ya que a

.o

:r:

40 m X 40 m =

1600 m2

Luego, el largo del rectóngulo es 80 m y el ancho 40 rn. 215