Mat I (1-4)

,.

,.

INDICE GENERAL

Prólogo, . . Instrucciones para el alumno Notación.

11 . 13 15

.

UNIDAD I CONJUNTOS

Introducción Obletlvos generales Diagrama temático estructural Glosario

19 20 21 .22

M6dulo 1 Obletlvos especfflcos

.24 . 24

.

Esquema resumen. . Contenido: Conjuntos. Notación. Oraciones abiertas, va-

r~ables, conjuntos de reemplazamiento, conjuntos de

verdad

.

Problemas para autoevaluaclón

25 .28

Objetivos especfflcos Esquema resumen

29 29

'

M6dulo 2 . ~

.

Contenido: Cardlnalldad. Conjuntos finitos e infinitos. .

Conjunto universal. Conlunt~ vacfo. Conjuntos equivalentes. Conjuntos Iguales .

Problemas para autoevaluaclón

30 . 32 I

M6dulo 3 Objetivos especfficos

Esquemaresumen

,

Contenido: SubconJuntos. Algunos subconiuntos Importantes de N Problemas para autoevaluaclón

34 34. 35 38

Módulo 4

"()bietivosespecfficos Esquema resumen Contenido: Operaciones con conjuntos. Complemento. Gráfica de un conjunto V de las operaciones con conJuntos. Uniónde conjuntos. Intersección de coniuntos. Conjunto'Complemento'

39 39

40

t'" I

44 46

Problemas para autoevaluación Paneles de verificación

UNIDAD 11

.

ELEMENTOS DE LOGICA MATEMATICA

55 56 57 58

Introducción Objetivos generales Diagrama temático estructural Glosario M6dulo 5

Objetivos especificas

i

Esquema resumen Contenido: Induccl6n y deducci6n. Proposiciones simples y abiertas. Gráfica de proposiciones

Problémas para autoevaluaci6n

.

59 59 60 63

Módulo 6 Objetivos especiflcos Esquema resumen. . Contenido: Proposiciones compuestas. Conjuncl6n. Disyunci6n'

Problemas para autoevaluaci6n

.

'64 64 65 69

Módulo 7

Ob~etivosespecíficos Esquema resumen Contenido: Negacl6n. Negación de proposiclon~s compuestas. Cuantlficadores Problemas para. autoevaluaci6n

70 70

Objetivos especificos Esquema resumen Contenido: Implicaci6n. Equivalencia lógica. Variantes de lalmpllcac16n. SlIogismos. Demostraciones Problemas para autoevaluaci6n . Paneles de' verificaci6n

79 79

M6dulo 8

UNIDAD

71 78

81 .91 94

111

LOS NUMEROS REALES Introducci6n Objetivos Generales Diagrama temático estructural Glosario

107 108 109' 110

Módulo 9 .

.

Obletlvosespecfficos Esquemaresumen

112

.

112

Contenido: Sl~tema matemático V operaciones binarlas. El conlunto de los números reales. Propiedades de la 113 iguaIdad . . " 117 Problemas para autoevaluaclón' /'

Módulo 10

118 118 Esqu~ma resumen Contenido: Postulados de campo. Algunos teoremas im119 portantes . 129 Problemas para autoevaluaclón Objetivos especfflcos

.

,

M6dulo 11 133 Objetivos especificos 133 Esquema resumen Contenido: Algunos teoremas Importantes sobre los inversos. La resta 134. 137 . Problemas para autoevaluacl~n

. Módulo

12

.

.

Objetivos especfflcos Esquema resumen. Contenido: La división.Teorema sobre fracciones Problemas para autoevaluaci6n Paneles de veriflcacl
UNIDAD IV APLlCACION ES

,

.

.

139 139 - 140 143 145

.

Introducción Obletivos generales Dlagra.matemático estructural Glosc2rlo

161 162 163 164

M6dulo 13 .

165 165

Objetivos especfficos Esquema, resumen

.

Contenido: Terminologfa.

. Suma IV resta de

algebraicas Problemas.para autoevaluacl6n Módulo14 .

.

. 166

179

.

171 171

Objetivosespecfficos Esquema resumen

~.-

expresiones

---

Contenido: M41tipllcaci6nde expresiones algebralcas.. Expqnentes. Divisiónde expresiones algebralcas. Poli172 nomios 180 Problemas para autoevaluaci~n ,,6dulo 15 182

Obletlvos especlflcos Esquema resumen Contenido: Productos notables. Factorlzaclón . Pr~lemas .

1.

183 189

para autoevaluaclón

M6clulo1. Obletlv08 especfflcos

Esquema resumen

.

Contenido: Simplificación de fracciones. Suma de frac. clones. Multlpllcacl6n y división de fracciones. Slmpll. flcaclón de fracciones complelas .

Problemas para autoevaluaci6n Paneles de verificación

180 190 191 . 199 -203

,.

Instrucciones para e' alumno

,

~

El presente texto ha sido elaborado tc;>mandoen cuenta los diferentesaspectos que car.acterlzan a los alumnos de Sistemas Abiertos de ,Ense~ ~m~ Eltexto ~a sido estructurado de tal forma que le facilite al máximosu estudio. Cuenta con varias unidades,-cada una de las cUQlescontiene: 1) Obl~lvos generales:,que le informanacerca dé to que se pretende lograr con er estudio de dicha unidad.. . 2) Una Introducción:independientemente de la que aparece dedicada al texto. . ' .3) Un glosario: que le indica el significado de los términos técnicos , .empleados en el desarrollo de la unidad. 4) Notación: en los textos referentes a las ciencias naturales y formales, tales como la Matemática, se encontrarán explicaciones relacionadas con la simbología empleada (f6rmulas, tablas, símbolos, ete.).' . Para el estudio del curso la unidad se ha divididoen partesUamadas' módulos. Cada texto consta siempre de 16 m6dulos. 'De esta manera, estimamos que es posible aprobar las asignaturas del plan de estudios de un semestre, en las 18 semanas. El m6dulode cada asignatura está programado para que lo estudie en un tiempo promedio de 3 a 4.30 horas por semana. Sin embargo, se le recomiendo que dedique a cada m6dulo, el tiempo que usted considere necesario, de acuerdo con sus posi!" .

bllldades~

El m6dulo cuenta con: 1.)Obletlvos especHlcos: que desglosan el obietivo general de la unidad. 2) Esquema-resumen: donde se le presenta el contenido de cada

m6dulo,en forma sinóptico.

.

3) Contenido: se refiere al desarrollo del tema o de los temas.' 4) Actividades complementarias: le servirán de refuerzo en el apten-

dizaje de una unidado un m6dulo~ específico.

.

5) Problemas para autoev'aluaclón:al.finalde cada m6dulo se le da"n una serie de preguntas 'de autocomprobaci6n,' para que pueda verificar por sf mismo, en qué grado ha logrado los obietivos (propuestos al principiodel m6dulo). Las respuestas correctas las encontrará al final de cada unidad o. en otros casos, al final del libro. '

13

En la parte final' del libra, podrá~encontrar, cuando se estime necesario, apéndices que le ayudarán o lo ampliación y profundizaclón de algún temo.

," . . , Además, se 'le da en las unidades o al final del texto. una bibliografia ,con la que puede' complementar sus estudios o ampliar su horizonte cultural, de acuerdo con sus inquietudes. ADVERTENCIA:

,

Le recomendamos la lectura cuidadosa y lo' comprensi6n de'los objetivos específicos oí empezar coda módulo, para que tenga, presente lo que se espera de usted, con el trabajo que relice con cada uno de ~lIos.

,.

14

Noble.6n

.

Un factor importantepara la comprensi6nde cualquier texto de ma-

.

tem6tica es la correcta interpretacipn de los srmbolos. pues en textos de autores diferentes es posible que a un mismo sfmbolose le den significados distintos: por tal raz6n se ofrece esta lista de los sfmbolos empleados en este curso y su interpretacl6n. Ellos son presentados en el orden de .

aparlcl6nen el libro.

SIMBOLO SIGNIFICADO

e:

elemento de . .. No es un elemento de

es un .

f} -

Conlunto Es Igual a Tal que

I +

.

.

Sfmbolo de la operacl6n suma Cardlnalldad del conlunto A .Vasf sucesivamente Conjunto universal

n(a) .

Coniunto vacfo

'

I

Coniunto de los números naturales Sfmbolo de la operacl6n .multipllcacl6,n

.

:p e .g; e

No es Igual a Subconlunto

de

.

...

No es subconlunto de. ~. Subconiunto propio de Es mayor que

> <

.

'S ~ U

,Es menor que

Es m~nor.o Igual que Es mayor"o Igual que Unl6n con Intersecci6n con

,n Q:

Complemento de

.

No es subconiunto .proplo de

=> »

Sfmbolo de .Implicación

.

Sfmbólpde la operacl6n diferencia o. resta No es mayor que' .


...

.

-

No es menor que ., Sfmbolo para e.xpresar la operación divlsi6n: (también se usa á' el sfmbolo ~ comoen -) .

b.

Doble implicaci6no equivalencia No. es falso que "triángulo Angulo 15

R E D D'

Conjunto de Conjunto de Conjunto de Conjunto de

..

los .números reales. los números enteros los racionales los ¡rraclonales

7t

3.14159.

V

Símbolo de la operación rafz cuadrada Tanto,por ciento'

%

16

.

UNIDAD I I

CONJUNTOS

.'

,.

Introducci6n

I \

"Medir y contar fueron las primeras actividades matemáticas del hombre primitivo y ambas nos conducen a los números", Haciendo marcas en los troncos de los árboles lograban los primeros pueblos la medicióndel tiempo y el conteo de los bienes que poseían; así surgió la aritmética., - . Después de muchos siglos el hombre alcanzó un concepto r1'1ásabstracto. de los números y de los relaciones entre ellos, y fue hacia fines del siglo XIX cuando Georg Cantor creó la Teoría de Conjuntos, pero no fue sino hasta casi los años. veinte del presente siglo cuando se desarrolló como fundamento para el enfoque moderno de la matemótica, por Gottob Freg,e, siendo Bertrand Russell quien completó, desarrolló y dio amplio publicidad

a las aplicaciones de esta teoría.

.

Lo idea de conjunto o como también se le llama "clase" o "agregodo", es en sí., intuitivq y muy antiguo. En esta unidad conoceremos los principios generales de lo teoría de conj'untos y es muy importante su comprensión pues nos sirve como base pata unificar y dar cohesión 01 estudio de las unidades posteriores, proporcionando un medio intuitivo y gráfico par9 la introducción de conceptos abstractos y un "lenguaje" paro el ,estudio de la Unidad 11.No se espera la memorización de los ideas principales de lo teoría sino mós bien la comprensión y aprecio de su importancia a medida que las vayan aplicando. .

19

ObJetl~os lenera~es

Al'término de esta unidad el alumno: 1 .' Aplicará el lenguaje simbólico que se requiere en el trabajo y estudio de conjunt9s..

.

'

.2. '~epresentar.á gráfica,mente conjuntos, mediante' diagramas de Venn. 3.

Efectuará operaciones'con los conjuntos usando las representaciones enumerativay descriptiva. '

4.

20

Graficará, mediafite diagramos de Venn, operaciones combinada.s de conjuntos. '

.. Diagrama temático

estructural

Conjuntos. Variable. Notación para construir conjuntos. Coniunto de verdad.

Números naturales 4 operaciones aritméticas.

Cardinalidad.

Conjuntos finitos e infinitos.

.

Igualdad y equivalencia de conjuntos. I

Subconjuntos. Números primos. Múltiplos de un número. Divisibilidad. Operaciones con conjuntos. Conjuntos

complementos.

.

Diagramas de conjuntos.

biagramas de las operacionescon éonjuntos.

21

Glosario

. . Coniunto. Col'ección o ,agregado de ideas u 'Qbjetos de cualquier especie ,

.

siempre y cuando estos ,ideas u objetos estén tan cl~Hosy definidos

.como para decidir si pertenecen o ,no al' conjunto.-

Elemento. Las ideas u objetos que forrllan un conjunto se denominan elementos del conjunto. Oración abierta. Es toda oración en la que intervi~ne alguna variable. I

Coniunto de reemplazamiento. Conjunto que nos proporqiona los elementos para r~emplazar a la variable en una ora'ción abierta, . ' Coniunto de verdad. Los elementos del conjunto de reemplazamiento que hacen que la oración sea verdadera forman un conjunto que llamamos coni,unto de verdad. . Variable. Una variable es una letra usada para representar a cualquier

elemento de un conjunto. .

Cardinalidad. El núm'ero de elementos contenidos en un conjunto determina la cardinalidad del conjunto. Coniunto finito. Es ,aquel en que es posible determinar el' número de elementos que a él pertenecen, no obstante la dificultad que pueda presentarse.,

.

Coniunto infin'lIo. Es aquel, en que no es posible terminar de enumerar 'a . ' .' ' sus elementoS. . Naturales. Conjunto de los números enteros que nos sirven para contar 1, 2,3. . .) (N

=

,

Coniunto universal. Conjunto formado por la totalidad de los elementos considerados para una determinado operación. Es equivalente 01conjunto de reemplazamiento'.

,.,.

Coniunto vacío. Conjunto que no tiene elementos, también se le llama 'conj'unto nulo. '

.Coniuntos equivalentes. ,Son aquellos que poseen la misma cardinalidad, aunque sus elementos sean diferentes. Conluntos iguales. Dos conjuntos son iguales, si son equivalentes y, ademós, 19s 'elementos de uno son también los elementos del otro.

22

Subconiunto. Dados dos coniuntos A y B en que todos los elementos de A

pertenecen al coniunto B. entonces. decimos qUé el coniunto A es .subcon;untode B.

. Subconlunto propio. Dados dos coniuntos A y B.' decimos que A es sub. conjunto. pr-opiode B, si A es subconjunto de B y existe a lo menos' un elemento de B que no pertenece al conlunto A.

. . Número primo. Todo número natural que admite s610 dos divisores (la . unidad y él mismo), se denomina natural primo.

SI K e: N entonces, el contunto de los múltlplos = {K, 2K. 3K, 4K, 5K, . . . } Cada elemento del conlunto

Múltiple;»de un número. de K será: M

M es un múltlplo de K.

..

Número compuesto. Es aquel natural que admite por lo menos dQs divisores primos. Puede ser uno solo repetido: (EJ: 4 = 2.2). Correspondencia blunivoea entre dos conluntos. SI los elementos de dos conjuntos equivalentes pueden aparearse tal que a cada elemento'de cad.a conjunto se le haga corresponder uno y s610 un elemento del -

otro conjunto,entonc.esdiremosque existe unacorrespondenciabiunívoco (o uno a uno) entre .Ios elementos de esos.contuntos.

.Unlón'entre conluntos. Sean A y B dos conjuntos, entonces: A U B = {x I x e: A 6 x e: B}. Intersección. Sean A I Y B dos conjuntos, entonces: A () 8 = {x I x e: A V x e: B} Conlunto complemento. Sea U el conlunto universal y S un sub.conlunto cualquiera'de U. El conjunto de los elementosque faltan a S para completar U, es .el "complemento de S", ($'). . Diagrama de Venn. Son figuras cerradas en el plano que nos sirven para esquematizar o'peraclones entre - conluntos. Se considera que cada figura encierra a los elementos del conlunto al cU.alrépresenta. . Conluntos dlsluntos. A dos'conjuntos A y B se les denomino "dlsluntos" si no tienen element~ en c()mún, es decir: . A n B = ~.

23

M6dulo 1

OBJETIVOS ESPECIFICOS

Al terminar el estudio de este módulo Ud: 1. 2. 3.

Explicará con sus propias palabras, la idea de conluntos. Determinaró si un elemento pertenece o no a un conlunto dado. Discriminará entre una lista de "conluntos" dados a aquellos que est~n

- 4.

Construiró conluntos usando la tormo enumerativa o clescrlptlva en su notación.

bien determinadoso definidos.

ESQUEMA RESUMEN

Conjunto

- Noción Intultlva. ...;...Definición.

-

.

Oraciones abiertas. - Conjunto de reemplazamiento.

- Conluntode verdad.. Notación.

24

.

.

Conlunto8

Desde sus origenes la sociedad humana ha tenido la idea de agrupacIones o conjuntos: la familia, los clanes, las tribus fueron los primeros coniuntos humanos, y sus bienes, sus armas, fueron conjuntos de satisfactores

de sus necesidades.

.

\

,

Todos estamos acostumbrados a tratar con conjuntos: así, escribimos .usando un conlunto de .letras llamado abecedario, efectuamos operaciones de conteo y medición usando un conlunto de números, participamos socialmente en conluntos llamados clubes, ete., sin embargo, el significado del término conlunto no es fácil de explicar o entender pues generalmente en el Intento usamos términos que a su vez han de ser definidos. El cuento de nunca acabar.

Para nuestros fines podemos considerar un conjunto como la colección o agregado de ideas u objetos de cualquier especie, siempre y cuando estas ideas u objetos estén tan claros y definidos como para' decidir si pertenecen o no al conjunto.

.

Los ideas u obietos que forman un conjunto se denominan elementos

del coniunto.

'

Elemplos de Conluntos:

o) ,b) c) d)

Los Estados de la República Mexlca'na. Los dios de la semana. Los alumnos de la preparatoria abierta. Los artfculos de la Constitución Mexicana.

e) Los autoresde este libro. f) . Las vocalesdel alfabeto.

.

Notación

.

Generalmente usamos las letras mayúsculas para denotar conjuntos y las '.

minúsculas para sus elementos. En el ejemplo b) podemosllamar A al con.

lunto dfas de la semana y x 01 dfa lunes. , Para 'simbolizar que un objeto es elemento de un conjunto escribimos x e: A que se lee "x es elemento del conjunto A" o por el contrario m g A que se lee "m no es elemento del conjunto A".' ' Otra forma utilizada para denotar un conjunto es la de escribir los nombres de los elementos que lo forman entre un par de llaves o corche-. tes, por eiemplo el mismo inciso b). {lunes, martes, miércoles, jueves. viernes', sábado. domingo} forma conocida con el nombre de enumeratlva, .0' de extensión, aunque este último nombre no parece muy significativo.

25

También se usa en algunas ocasiones otro formo, que para algunos

coniuntos es la única posible, se llama por descripción o también por comprensión: en esta forma se encierro entre los llaves o ~orchetes lo condición para pertenecer al conjunto o la descripción de los elementos que lo forman, en el primer caso un ejemplo es: {pers'onas mayores de 18 años}

el ejemplo b) quedaria, {dios de la semana}. ' Observe que las 'llaves y corchetes simbolizan un conjunto y lo qu~ encerramos con ellas son sus elementos o uno descripción de ell~s, ,

Oraciones abiertas, variables, conluntos de reemplazamiento' y conluntos de verdad.

,"

"

.

"

,

Otra notación para los conjuntos es uno variación de la formo llamado, por descrlpcl6n,y que llamaremos la notacl6n para construir conluntos, ésta.

I

-nos permitirá más adelante abreviar lo representación de los conjuntos o enumerar los elementos que los forman (rozón del nombre que le hemos dado),' Ejemplo:

' . '

.

.

,-

El conjunto de las estaclone$ del año. Lo podemos representar-por lo letra mayúscula E, pero esto sirve de muy poco cuando se trate dé Identificar los elementos de E por lo que

usamosla siguientenotación:'

\

E = {x I x sea Una.de las e'staclonesdel año}

.

Lo anterior se lee "E ~s Igual 01conjunto formado por elementos x, tal que x 'sea una de las esta.clonesdel año'''.'La Ifnea vertical se lee "tal .que",

.

"

La letra x se ha utilizado para determinar cua,quler elemento que satisfaga la condlcl6n dada, es decir, representa a cualquiera de los: nombres primavera, verano, otoño; Invierno, por consiguiente podrá variar en este caso cuatro veces. Por--to anterior' a la letra x empleada en este

ejemplose le llama variable. ' - , La condlcl6n"x sea unad,elasestaclone$del áño", en que interviene ,

la variable la llamamos una oraci6n abierta en virtud de que es una. oración que tanto puede ser falsa-como verdadera, dependiendo del nombre con q~e se reemplace a la variable x. Una oracl6n abierta es, pues, toda oraci6n en'la que interviene alguno variable y al conjunto que nos proporciona los elementos para reemplazar a lo variable lo, llamamos el conluntode reemplazamiento. Eiemplo:

Sea E -= {x

I x.. es una de las estacionesdel año} y el conjuntode

r~emplazamiento para 'x el conjunto M:, M

= {Prtmavera,

verano, otoño, invierno, lunes, abrií~ frio}

" .

~

"

--- ----

entonces sólo elementos de M se pueden usar para reemplazar a la va..

riable x de la oración abierta.

.

x es uno de las estaciones del año Pri~avera es una de las estaciones dél año Verano es una de las estaciones del año Otoño es }lna de las estaciones del año Invierno es unQde las estaciones del año Lunes es una de las estaciones del año Abril es una de las estaciones del año Frío es una de las estaciones del año

.

Observamos que algunos elementos de M al reemplazar a la variable x forman una oración verdadera y otros una oración falsa.

Los elementos d~1coni~nto de reemplazamientoque hacen que la oracióh sea verdadera, forman un conjunto. que llamamos el coniunto de verdad. Notación para construir conjuntos: E Conjunto

de reemplazamiento

lunes, abril, frío} Conjunto

-

=

{A ~

M I x es una estación del año}

M =' {primavera,

verano,

otoño"

Invierno,

,

de verdad

E = {primavera, verdno, otoño, invierno} observar que al considerar una oración abierta debemos cOQocer previamente. el conjunto de reemplazamiento para poder

Es conveniente

determinar el coniunto d~ verdad. Ejemplo: .

-

.

.

P = {x.eA I~ sea un .númerq}.

. . para determinar el conjunto de verdad P es necesario conocer los .elementos que forman el conlunto de reemptazomiento A, así, si A = {botón, 3, papel, -2} entQnces P = {3, 2} .

27

---

- ----

\ '

PROBLEMAS PARA AUTOEVALUACION 1-1

1. ,Completar los espacios $iguientes con la palabra adecuada..

'

a) A un conjunto de jugadores de beisbol se le llamaE e f: 1-'. b) A un conjunto formado por tres guitarristas se le lIama:.z:.......

2.

.c)

A un conjunto de monedas antiguos se.le llama (nI

d) e) f)

~rngr~;>1'd~~a~u~~osl'~~~ termina Una carrera profesional se ,denoUna sala que reúne una gran variedad de libros forma un~ La reunión de soldados de un país forma,n un ~ . \.

.

.

= {Clavel. rosa,

perfume. violeta. gardenia}

.

Sí Ll GJ tEI

a) ¿Es "margarita" un elemento de F? . b) ¿Pertenece "clavel" al conjunto F? c) ¿Es "perfume" un ~Iemento de F? d) ¿Es "hermosa" un elemento de F?

r

I

.~'T'.

.

Marque en la casilla correspondiente su respuesta' F

p'e

No !SI O c.;

D.E!J

e) ¿Está bien definido el conjunto F? O BJ 3. Expliquepor qué considera que el conjunto F está bien definido. 4. Sea J = {x Ix sea únaflor.} Sí No a) ¿Es a e: J? , O ~

5.

b) c) d) e)

¿Es "aroma" elemento de J? ¿Es "gardenia" elemento de J? ¿Es "margarita" EJ? . ,¿Está bien definido el conjunto?

~

O

D

t:J D Sea R el conjunto de los meses del año que tienen la letra "r" en su nombre. Marque la casilla que indique la 'respuesta correctQ. .

I

b) Abril E R c) Diciembre E R d) Agosto e: R e)' Febrero e:. R. Sea M {1. 2,3. 4. 5. 6} el conjunto

=

Si

No

o

I:J

D . D D lE) de reemplazamiento.

D D EZJ D Determine

el conjunto de verdad que corresponda a cada conjunto que se da en la notación para construir 'conjuntos o descripción. Use .10formo

enumerativa. a) b) c)

7.

D D

.

a) Mayo e: R

6.

D .121'

r

=

S {xe: M Ix es. menor que 5} L = ;{xe: M Ix + 1 -es igual a 5} T {x§='.M Ix +'es mayorque 4}

~

- , 1: 1",

= U =. {xE

.

d) M rx es diferente de 2}"" ,.. '1.,. ~ En los siguientes problemas se dan conjuntos usando 10 formo enUmerativa, cámbielos a la forma descriptiva usando sus palabras para la condición. a) A {Tamaulipas. Vera9ru~.Tabasco. Campeche, Yucatán, Quin\

.;

.

=

b) 28

I

E =

tana Roo} {1. 2. 3, 4. 5, 6}

( .~ \'" \,..'

-

"Í

J

t .'

--

,

M6dulo 2

OBJETIVOS ESPECIFICOS

Al concluir el estudio de este módulo,el alumno: ,

.

1 . Encontrará .Ia cardin'alidad de ,un coniunto finito.

2.

Reconoceró coniuntos finitos e infinitos de una lista dé conjunto,s '

dados.

'

,

3. Dará"eiemplos que muestren al coniunto universo. 4. Dará eiemplos que muestren fJlconiunto vacío., 5. Dados dos coniuntos, mediante el uso de locorrespondenciCfbiunívoca establecerá la relación>, = o < para -las cardinafidades de esos coniuntos. 6. Expresará simbólicamente la iguQldadde coniuntos. 7. Distinguiráentre ,igualdady equivalencia entre coniuntos. '

ESQUEMA RESUMEN , ,Cordincílidad

Correspondencia biunívopa Coniuntos equivalentes, Coniuntos iguales Coniuntos finitos

,

Coniuntos infinitos

Conlunto u'niversaI Conjunto vacfo

29

Cardinalidad

El, número de elementos contenidos en un conjunto determina la cardinalidad del, coníuntQ. En el coso del conjunto V = {a, e, i, o, u} . su cardinalidad seró 5 y la expresamos n(V) = 5 que se lee cardinalidad

de V igual a 5.

'

En el conjunto P: P = '{1, 2, 3; 4, 5, 6l ,la cardinalidad será 6 y la expresamos co'mo n(P)

= 6.

Conluntos finitos e infinitos En los ejemplos anteriores hemos podido determinar con precisión el nú. mero de los elementos que los integran, pero en otros casós no será fácil esto; sin embargo, cuando, no obstante la dificultad que se presente, sea posible determinar el número de elementos de un conjunto, diremos que se trata de un conjunto finito.

Por ejemplo:

r

,

Los conjuntos formados por los astros que forman el sistema solar; el número de ediciones que se han hecho de "El Quijote de la Mancha", son conjuntos que.. como los primeros que hemos menciQnado, son finitos,ya que están formados por Un número preciso de elementos, aun cuando no sea fócil determinar su número.~Si no cumple con esta condición decj-

,mos que el conjunto es infinito.

\

Por ejemplo:l:.o~ números naturales que son aquellos números enteros que nos sirven para contar, y formar un conjunto, el número de ele.,

mentos de este conjunto es infinito, ya que, no es posible terminar de enumerarlos, ,puesto que siempre podremos añadir uno más al que consi-

deramos como último elemento.

.

.

.

Otros conjuntos como el de los puntos contenidos en una recta, el de los fracciones en que puede dividirse la unidad, tienen un número de elementos que tampoco es posible terminar de enumerar, por eso se denominan conjuntos Infinitos. Estos conjuntos generalmente se mencionan usando las oraciones abiertas, y para presentarlos en forma enumerativa escribimos únicamente algunos de sus primeros elementos y a continuación tres puntos suspensivos que debemos entender como la sucesión de elementos que cumplen

el modelo de los pri.~eros. Así, si tenemos A '= {1, 3, 5, .7,, . .} se nos está expresando el conjunto de números naturales impares, que es un conjunto infinito: {Números naturales impares} Si se da: B =

{5, 10, 15,

...}

se ha querido expresar una serie ordenada de números que van aumen-I 30

,

.

. 1"

'"

~

l' . tando de cinco en cinco a partir del cinco,.y la cual es también un con junto Infinito.Convenimos, pues, que los puntos suspenslvos después de algunos elementos en un conjunto, representan lo continuacl6n con un m~smopatrón hasta el Inflnlt,o. ,

Ji.)

Conlunto universal. La tQtdndad-de los elementos considerados para"'determinada operacl6n se denomina conlunto universal. Asi, el conjunto de los números enteros formaró el conlunto universal. para. las operaciones que tengan lugar con ellos: el conlunto'de los libros de una biblioteca será el conjunto universal poro las agrupaciones que se hagan de los mismos; la población mundial será el conlunto universal para cualquier relación humana que s~ produzca. Por su deflnlcl6n.entonoes, el conlunto universal equivale. al conlunto d.' reemplazamiento, es.

decir, significanlo mismo.Su sfmboloes U.. Conlunto8vacfo8 -

I

.

gran utilidad en las operaciones con conluntos es ei'concepto ~del con. De junto que no tiene elementos. Los conjuntos para los cuales ningún elemento satisface la condlcl6n .

dada. se conocen.camo'c9nluntosnulos o vacfo8y se representan por 4o bien po~{}.Por elemplo,el conluntode mexicanosque han Ido a la .Lu-

no, el de las-ciudades mexicanos con una población superior' a lOs-diez millonesde habitantes, el de los meses del año cuyo nombre comienza con e, son. conluntos vac(08.'La éardlnalldad d. ... O.pc)rconsiguiente n(+) = O.Es Importante hacer '.notarque los términos conlunto vaclo y nCamero cero son dos cosas totalmente diferentes y que se considera que el conlunto vacfo es finito. Conluntos equivalentes SI dos conluntos poseen 'la misma card~nalldad,se dice que son conluntos equivalentes. ya que tienen 'el mismo número de elementos, y puede .establecerse entre ambos una correspondencia d. uno a uno. o blunlvoca. Son conjuntos equivalentes el conlunto de sillas de una clase y el del nCamero de alu_mnos~ si todas las sillas están ocupadas y no hay alumnos de pie. Asflos conluntasC {verde,blanco, rolo} y .' F {5,4, 3,} .

= =

son equivalentes, ya que se puede establecer la correspondencia blunfvoca ..

"'\

{verde, bla,nco,rolo} {5,

t

t

4,

i

3 }

Conluntos Iguales Se dice que los conjuntos ~ y e son Iguales cuando cada elemento d, A es a la vez elemento de B y cada elemento de B es también elemento de 31

A. En'otras palabras A y B son dos representaciones distintos del mismo conjunto. Se simboliza A = B que se lee "A es Igua,lo BU. Ejemplo: A represento 01conjunto formado por los letras o, ,o, e, u, i. . B represento al conjunto de vocales del alfabeto A

= {o, e, i: o, u} o también {o, o, e, u, i}

esdecirA = B 6 {o, o, e, u, i} = {o, e, i, o, u}

.B

.

Observe que el orden en que se enumeran o enllstan los elementos no tiene importQn.cio poro comparar los conjuntos. Es muy importante que se entiendo lo. diferencio entre

iguales y coniuntos equivalentes; dos conjuntos

son

conluntos

equivalentes

'cuando tienen lo mismo cordinolidad aunque sus elementos $e(.1n diferentes, mientras que dos conjuntos iguales siempre son también equivalentes, pues teniendo los mismos elementos tendrán

lo mismo cordinolidad.

PROBLEMAS 1.

c)

2.

e)

~aturales

¿Es N un conjunto infinito? ¿Por qué? .~'e,t Si P= (x E: N I x es menor 'qué 9}¿E~P un conjunto finito? ¿Por qué?

La cordinolidad de P será n{P)

=

')

correspondiente

Finito D Los puntos de una recto, Los islas de todo el mundo .~ Los pelos de un gato EJ El conjunto de los números enteros impares D mayores de 5' El conjunto de los números enteros D

Infinito GJ D

~

3 W

Seo R = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} Exprese en formo enumeratlva los elementos. de los conjuntos que se proponen ,o continuación. ~,

a)

b) )( c)

d)

32

.

1-2 ,

Poro codo conjunto que se nombro marque el cuadro según seo finito o infinito. . o) b) c) d)

3.

PARA AUTOEVALUACION

Si lIam,amQs N' 01 conjunto. de números

a) b)

,

'

Seo M ={x e: R I x menor que 1} {x E: R Ix, x 64}

S T V

= = = {x E: R I x + 7 = 25} = = .

fx E: R Ix + 3 = 7} =

'. ,'~'

= ~" ~

\,

,

4.

Señale en la casilla correspondiente si el conJuntopropuesto es o no vacío. Vacío No Vacío a)

El coniunto de los- números impa~es que

b) c)

El conjunto de los.,números parés {xe:NI7,x='12}

terminan en 2

d) - e)

{a,e,i,o,u} El coniunto de números pares comprendidos en {1, 2, 3,5, 7} {O}

f)

g) El conjunto 5.

-

.p

lE

o

CiJ. ls:J

o D-

o D. Ud'

G3l ¡:¡;l'

o

Mencione la cardlnalidad de los siguientes conj',mtos completando los espacios a) b)

,

Á ={2, 3, 6, 5} nCA)B = {11, 12}' n(8) .=

c) C = {O} d)D = {.p} e) E = { } -

-

n(C) = n(D) = n(E) =

- j-

.

+

J,

'- .1'

~

6. ConsiderandoqueA-= {1,2,3l. 8 = {2,3, S} YC = {3, 1,2}

Complete la oración llenando el espacio en blanco con el símbolo correcto, escogiendo entre -:-' =1=(igual, diferente).

a) d)

----

A ~ 8 B t. {5, 2, 3}

b) e)

BI C c::-- A

'c)

{2,5.3}j'

A

¡;;,

M6clulo 3

OBJETIVOS ESPECIFIC~S'

Al concluir este módulo, el alumno: {

1 ~ Aplicará la simbologia. de ¡hclusión o contención a conjuntos.

2. Construirásubconjun,tos propiosde un conjuntodado. .

3.' 4.

.

Identificará al conjunto de los números naturales! Defini'rá número primo; .'

5. Definirá múltiplo .de un número. 6., ' Reconoceráa los números,primos de un conjunto dado. 7.' 'Construirá el conjunto de los múltiplos de un natural arbitrario k. 8., Desc,ompondráun número compuesto en sos 'factores primos;' es . decir, realizará una factorización completa.

ESQUEMA RESUMEN Subconjuntos importantes de N

múltiplo de un número divisibllidad entre un número ,conjunto de lo~ múltiplos de K; con ke: N

, ,

número natural

primo"

conjunto de ,los números primo$

... ..

,34

'

.

.

.

Subconiuntos

Al conjunto R que estó forma.do por elementos que también pertenecen al conjunto P se le llama un subconlunto de P. Considerem9s el conjunto P como un patio de estacionamiento de automóviles en el que se encuentran coches de diversos modelos, marcas y colores, y como conjunto R todos los coches rojos estacionados en ese patio. Podremos decir qÜe R es un subconiunto de P. El símbolo e se lee "es subconjunto de. . ." y ~ "no es subconjunto de...". Entonces R e P. . Otros subconjuntos de. P pOdrían ser W,.si W, es el conjunto de Volkswagen estacionados en el patio; o S, si S es el conjunto de coches modelo setenta estacionados. ahí mismo. Así podremos escribir W e P y S e P. Cuando décimos que un conjunto es subconjunto de otro, estamos da~do la idea de pertenencia o también la de partición, por ejemplo: A ~. B significa A es subconjunto deB o también A pertenece a B; A estó incluido en B. Esta idea es muy útil pues nos conduce a la conclusión de que si un elemento pertenece al conjunto A debe, por esa razón, pertenecer también al coni.unto B.' Pue~e también considerarse que toGo conjunto es un subconjunto de sí mismo, e igualmente el conjunto vacío seró un subconjunto de cualquier otro conjunto A e A, f/J e A. Ejemplifiquemos con algunos conjuntos que nos son familiQres. Sea V = {vocales del alfabeto} y A, = {todas las letras del alfabeto} podemos decir que: V e A . es decir, cualquiera vocal es elemento del alfabeto, pero: A ~ V porque en .el alfabeto hay letras que no son vocales y por tanto no son elementos

d~ V.

.

.

.

Con lo anterior podemos precisar lina idea mós adecuada de pertenen-

cia o partición.

.

Sien.do V e A péro A tiene además elementos que no pertenecen a V; se dice .que V es un subconlunto propio de A. :No s610 V estó incluido en A síno que es-sólo unq parte d~ él, nunca tiene la misma caréiinalidaCl. .

Ejemplo:. Sea M' = {a, ~, c,. dJ {b, c, d, a} e M"pero no es subconjunt~ propio 35

.

{a} ~ M pero como M.tiene además otros elementos, entonces {a} es subc,onlunto propio de M, esto lo representamos asf c. {a}c: M. Escribe .todos los subconluntos propios que tenga M (deben ser 15): La idea de subconlunto propio nos sirve también para establecer entre. los oonjuntos Ips .Ideas de ~'mayorque" y '~menorque" pues si el conjunto Ves subconjunto-prop'lo.deA (V e A).entonces V está contenldosn A, y A tiene por lo menos un elemento más y podemos decir con seguridad que..el conjunto A es mayor que el conjunto V.lo.cual slmbollzamos A> V o también que el c.onjuntoV es menor que el conjunto A (V< A)., - . . Dijimostambién que .10cardinalidad nunca e~ la misma entre dos conjuntos relacionados por la idea de subc;onjuntopropio~con lo que podemos también acaptar que n(A)> n(V)6 n(V)< n(A).Siendo las cardlna'l1dades nú~eros naturales estamos estableciendo el sentido de la' desigualdad entre los números naturales, ejemplo: Sean M

= {a, b, c, d} y L = {a, b, c} dos

/

conjuntos; 4 y. 3 respectlva-

me,nteserran sus cardinalidades L e M por lo tanto n(l) < n(M) es decir ,3 < 4 ¿C6mo podrfamos comparar dos conjuntos con elementos totalmente diferentes? No podemos decir que~uno sea un subconjunto del otro. Sean K {r, s, t} y.M {a.,b, c,d} los dos conjuntos., En estos casos podemos emplear la correspondencia blunfvoca entre

=

\

=

los conjuntos

'.

.

n(M)= 4 M = {a, b,-c, d.}

;;;; = {r~, s, t}, n(K) =3

.

K

de este modo nos damos cuenta de que aunque K Q: M existe un elemen,to de M que no encuentra 'su correspondiente en' K, n(K) <. n(M-),en otras palabras. cuando al establecer la correspondencia blunfvocá existe 0'1me~ nos un elemento .de un conjunto que no tiene correspondiente entré los , elementos de un segundo conjunto, el primer conjunto es más grande que el segundo,.10cardlnalldad del primero es mayor que la del .segundo. t . .' . Algunos subconluntos Importantes de N Hemos definido ya el conjunto de números naturales N como el conlunto de números enteros que nos sirven paroconfar. A partir de 'aquf usaremos . .Ialetra N, excluslvament~ para designar a ,esté conlunto. .

N

= {1, 2,,3; 4¡'5,

'}

,

Observemos ahora algunos subconjuntos Impor.tantes .de N, éean: a) . El conjunto de mÚltlplos de kJ siendo k e: N. b) El conjw,to de .núméros primos y c) El conjunto de números compuestos. . . 38

. ,

..

a) Conlunto de mCaltlplosde k. SI k e: N entonces, M,= {k, 2k, 3k, 4k, 5k" mCaltlplosde ~" ,

'.

'

,

"

. .}será el con~untode los

..'

'.

.

.

Elemplo:El conlunto de múltlplos.de 7-será: {7,14,21', 28, 35,. . ..}. . . Se dice que un' número es divisible ent.re otro cuando su cociente es . un nCameroentero y el residuo es' O.Siempre que un número.es múltiplo de otro, es divisible'entre éste;asf, .15 que e~ múltlplode 3 y de 5,.por lo tanto es dlvls.rbleentre 3 y entre .5. '. b) El coolunto de nCamerosprimos.

= {2, 3,5, 7, 11, 13, 17,.., .}

P .

.

Estos elementos pueden defln,lrsecomo aquellos números que no tienen mós divisores que ellos mismos y la unidad. Debemos observar que el número 1 'no se define como número primo, para evitar tener que hacer excepciones en estudios matemótlcos de más

alto nlv,el.

.

c) El conlunto de númerds compuestos; e :::¡:(4, 6, 8J), to, 12,14, 15, 16, 18,. . .}

Este conlunto está formado por números que no son primos. Se exceptCaael 1. '. '. Los números compuestos son múltiplosde i 3" aquellos que son sus factores; asr, 12es un . i': ",últ~plo de 2..de ~, contenidos de 4 y de 6,exactamel"ya que esntlmeros'están , 4:: .J tos ( , I 6 I I I \ te 'en 12, como podemos observar en la' figura. ,

:

J

También podemos decl.r que 2,-S, 4 ,y 6' SOl')factores

de '1~.

Se d,ce que se factorlza un número, cuando se expresa como producto de SLlSfactores. Una factorlz~cl6n se considera comple~a cuando s610 te-

nemosfactoresprimos,en su factorlzac,16n. En cambio son factores de 5,7,8,9 12 Va que no nlngu. no de ellos estO contenido nCamero exac to de ve. ces ,un en 12 como se Ve en la figura ,.

.

.

~.

.'

~

\'

-. '11.. LLLI"

I I I l.

'

.

I I. r

[!]:::[]:I::::::-_:::: :.:~J. ----..-----------,

I I I I I ItI I . I I I I I D:.I:I:iIaJ I I I l.

I

J

.

I.

37

--~

-

PROBLEMAS P~RA AUTOEV!'LUACIQN 1-3

.

.

1.

Considerando el conjunto M = {a. b. c dJ forme un conjunto con todos los subconluntos de M que tengan: a) b) c) .d)

Cardinalidad Cardinalidad Cardinalidad Cardinalidad

4' y 3 y Oy 1'.y

lIámelo lIámelo lIómelo lIámelo

T. U. S. W.

2.

Si A = {O. 2. 5. 7} .decimos que 5 e: A. o que {5} e A; pero no se puede decir que 5. e A porque 5 es un elemento. Aclarado lo anterior. diga cuáles de las siguientes oraciones son verdaderas y cuáles falsas: a) 4>e:A' e) 7 ~ A b) O e: A f) 7 e A '.c) {O.5} e A g) O e:.4> d).2e:A

3.

Considere como A = {1. 2. 3}, B = {1. 3. 5. 6} Y C {1. 2. 3. 4, 5. 6}.. Complete la 0~aci6n llenando el espacio en blanco con el símbolo correcto. escogiendo entre e 6 ct: a) B . C . e) A B b) {2. 3. 1} ~A. f) B ..B c)' A ,C g) {3. 2. 1} A d)" 4>" B

4.

d) ¿Cuál es la cardinalidad del conjunto W del .problema17 1 b) ¿y la del conjunto S7

.'

c) Compare la cardinalidad .de W con la de

(>. <) en caso de desigualdad.

d) Compare n(T) éon o(S).. e) Compare n(W) con n(U). 5.

S. Use símbolo

adecuado

'

Establezca la correspondencia biunfvoca entre dos conjuntos de modo que demuestre que la cardinalldad del conjunto días de la semana D.

es mayor que la del conjunto de estaciones del año E.

.

6. .

Escriba si los números siguientes son primos o compuestos y si son compuestos escriba de qué número son, múltiplos. a) 37 1" b) 21 ~ . c) -19!1' d) 72 e) 27 ~ f) 15~"~ g) 51 f

7..

Realice la factorizaci6n completa, es decir, descomponga en sus factores primos los siguientes números: a) 18 'b) 21 c) 34 d) '100 e) 36 f) 64 g) 75

~

'i

,..,~ :-' '1-1 J

i ~,'t

;. JII. I~'

i

j

.-¡ > 1

. 1

~-

M6dulo 4

.

OBJETIVOS ESPECIFICaS

- . Al concluir el estudio de este módulo, el Qlumno: I

1. Definirá con palabras y simbólicamente la unión entre dos conluntos. 2. Encontrará el-conjunto que resulta de la unión de dos conluntos.

3. Representarágráficamente'un conjuntoconsideradoal conjuntouni. .

verso.

.'.

4. Representará

,

gráficamente

entre conjuntos.

.

,.

5. 'Definirá con palabras y simbólicamente la Intersección de dos conjuntos. 6. Encontraró el.conjunto que resulta de la intersecci6n de dos coniuntos. .

.

'

(mediante diagramas de. Venn) la unión

.

.

'

7. Representarógróficamente-mediante diagramasde Venn~ -laintersección de dos conjuntos cualesquler.a.

8. Expresará-con palabras y en lenguajesimbólico- complementode

~

un conjunto arbitrario, dado su conjunto universo. . 9. Encontrará el complemento de. un conjunto arbitrario dado su conlunto universal.

,

.,'

,

10. Representará gráficamente el complemento de un conjunto dado. 1,.. Rep~esentará gráficamente la relación e inclusión y operaciones com-

binadas entre conjuntos.

'

ESQUEMA...RESUMEN

.

Operaciones con conluntos:'

Unión de conjuntos. Intersecci6n de coniuntos. Conluntos dlsluntos! Representación gráfica de un conjun10y d.e las op~raclones '

".

con conjuntos.

I

.

"

,

.

Conlunto complemento'de un conlunto dado. 39 ,/

Operaciones con conluntos

Si reunimos los elementos de un conjunto A con los elementos de otro conjunto B obtendremos un tercer conjunto y la operación efectuada la llamaremos unión; los elementos de este tercer conjunto pertenecerán al conjunto A, al conjunto B o bien, a ambos.

Elemplo a): .

Si A es un conjunto de canicas azules y B ,es un conjunto de canicas'

blancas y efectuamos la unión de A con B reuniendo estas canicas, habremos producido un tercer conjunto de canicas que serán azules o .blancas. (Recuerda que no hay canicas que sean azules y blancas, es decir,ude colores m'ezclados, de modo que los elementos del' conjunto formado con la

.

unión serán canicas, o azules o blancas). La unión de dos conjuntos se señala con el símbolo" U" de manera podremos definir: A U B =. {x E A 6 x E B} que leeremos: "x sea elemento de A o sea elemento de B". .

. . que

Elemplq b): p = {1, 2, 3, 4, } Q = {3, 4, 5, 6, 7} P U Q = {1, 2,3,4,5,6,

7}

I .Como ve.mos, cualquiera de los elementos de la unión podría ser elemento de P, elemento de Q ó bien elemento de ambos, .como el 3 y el 4. Si en lugar de reunir los conjuntos A y B de nuestro primer ejemplo, b.uscamos ahora los elementos comunes a ambos, estaremos. efectuando la Intersección de. los conjuntos.

Una intersección se señala con el símbolo"

n

tI,

y se'-define co-'

mo la operación entre dos conjuntos para obtener un tercero, cuyos elementos son los que simultáneamente pertenecen a 10$ dos conjuntos dados. En el caso de nuestras canicas azules y blancas, diremos que nuestra intersección es el conjunto vacfo porque nuestros conjuntos no tienen elementos comunes. Cuando dos conjuntos no tienen elementos comunes se denominan conjuntos dlsluntos. Su intersecci6n es un conjunto vacío (~). .

40

"

En el casq del ejemplo b, la intersección fa formará el conjunto {'3, 4}, formado por element9s que pertenecen tanto a P como a a. . Podemos entonces definir esa int~rsección como sigue:

p n a ~ {x E: P Y x E: a} = {3, 4} Elemplo c):

sea V = {a. e. i. o. u} sea M.= {a, b, C,d. e, f} V n M = {a, e} I ~omplemento ,Hemos dicho antes (pág. 31) que en las operaciones con conjuntos la totalidad de los elementos que participan forma un coniunto llamado conlunto Ur:-iversal o de reemplazamiento (U) del cual todos' los demás son subconjuntos. Un conjunto muy útU en las operaciones con conjuntos es el complemento 'de un ~ubconjunto S cualquiera. , I

o

'

'

,

Si consideramos S e U el conjunto formado por los elerrrentosque a

,

S le faltan para completar-U es el complemento de,$ y lo señalaremos comó' S', que se lee "S prima" o "complemento de S". 'Otra manera de definir a S' sería decir que es el' conjunto formado por los elementos de U que no: están en S,' ' ,

Ejemplo:,Sea U = {todasI,asletras del alfabetof y V = {vocalesdel alfa-

beto}, V e U.

.'

V',= {consonantes del Qlfabeto} ,

'

po~que son 'las letras del alfabeto que no están en V o también las letras que a V le faltan para completar el universo U. ~

,

Nptese que por definición cualquier conjunto y su complemento

son disluntos, (Vo,n V' = cp)y t!:Iue la unión da por resultado el universo

(VU V'

. Gráfica

= U).

'

I

I

de,un conlunto y de las operaciones con' coniuntos '

Es muy útil ilustrar las relaciones entre conjuntos mediante diagramas o figuras cerradas q.ue indican que los elementos comprendidos dentro de esas áreas pertenecen al conjunto. A estos diagramas se les conoce como Diagramas de Venn, en honor "

del matemático inglés John Venn (1834-1883). : Nosotros los emplearemos' y también usaremos algunas variantés, aunque'los llamaremos en general DlagrCimas de Venn. Elemplo: El rectángulo nos indica el conjunto universal o de reemplazamiento, los círculos A y S muestran coniuntos disiunt~s ya que no tienen elementos'comunes. Los elementos 1. 2, 3 son elementos de A: 4, 5, 6, 7 ,son elementos de S y 8, 9, 10 no son de A ni de S, pero sí son del universo. ' o

,

41

8

Unión de conlunto8

.

.

Los conjuntos V\y M Que se presentan en la siguiente figura están for-

mados por: V - {l. ~JN. A. E} . \. . M - {A. e: B. evG. C. F} . : luego,V U.M :;:: ll. O. W. A/E'. a. D. G. c.. F} y en el.'diagrama,se.presenta .V U M. somt;>reando el área. corre~pondiente.'

.'

.

. VUM:' 1

Intersección de conluntos

\

Con íos mismos conjuntos V y M present<;Jmosel siguiente diagrama que representa la intersección; de .los conjunlo$ V n .M. Su intersección será la zona superpuesta que encierra a los..elementos que pertenecen a ambos simultáneamente y que aparece sombreado. V M =. {A. E}. . .' . , '.

n

u

~

Conlunto complemento El conjunto S está indicado por el círculo. S' seró su complemento que, como hemos definido antes, será el conjunto de todos los elementos. d~1 42

¡I.~universoque no están comprendidos en S. La parte sombreado nos reo

presenta a S'. Los diagramas de Venn presentan upa gran. ventaia para representar los conjuntos de' verdad, porque a través, de ellos podemos "ver" los conjuntos de verdad, es por esta razón qu~ los empleamos como "Lenguaje" ,pues como se aprecia en Iq figura sigui~nte no es necesario enumerar los elementos.

.J

I

'",

I

I

I

Ejemplos:

u

.

a) La figura en ,la izquierda nos habla de dos conjunto~ A V B que claramente se ve q~e son disjuntos sin necesidad de saber qué elementos los forman.

'OO. ...

A

I

b) Ahora tenemos. ,~res conjuntos A, B V C. La int~rsección entre A y B 'forma un conjunto , que se representa sombreado V la unión de ese conjunto resultanfe con e se representa por el área ence~~a~a con la 'línea gruesa. ,

u

Cuando se combinan más de dos conlunt6s como en el' eiemplo anterior. .se hace necesario señalar el orden en que se efectuaron las operaciones V para ello se .usan los .símbolos llamados paréntesis,así del ejemplo b tendrfamos .

(A n B) U e primero obtuvimos la intersección A con B V ese conjunto ,. '. se unió con C. , t -43

A

,-,

B

e)~IAU J3j.n (8 n C).10. S$form6 el conlunto de

lb unlon' de A con '8 y en la gráfica se 80m- . bre6 horizontalmente; 20. se form6 el conlunto de la Intetseccl6n de 8 con C, V se sombre6 verticalmente y 30. se busca la Interseccl6n entre dichos conjuntos resultando ser el área'

cuadriculada.

.

PROBLEMAS PARA AUTOEVALUACION 1-4 1.

Tome el conjunto U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} como el conlunto

universal y si A = {1,'2,3.,4, 5,6}

"

C = {4,5, 6, 7} . = {7,8, 9, 10}

8, =. {2, 3, 4, 5} .D determine los conjuntos que se indican y represente .10operación gráficamentesombreando el resultado,

a) A U O' b) D U B e) B n O d) A n D 2.

e) A U 8' f) B U ~ g) c' n D h) (A n B)'

i) '(O UD)' DO'U (A n D) -~) (B n D) U (B -n C) 1)(O U D) n (A U 8)

\ '. Utilice una figura' como la que se muestra en seguida'y sombree. únicamente el área que represente al conjunt9 que se da. En caso de que sea conjunto vacío no sombree y escriba por un lado su sfmbolo.

"

a) A U B b) B n O

.

c)(A n '8) U 'O d) A' n, B'

I

.

.

,.

.3. 'Escriba con palabras la 'descripción del conjunto que se da y represéntelo con un diagrama de Venn: considere que ,U = {x es un estudiante}. A = {x E: U.I x estudia matemáticas} y B = {x e: U I x estudia ffsica}. Además Qceptamos que A n B '* 4>(es decir que no son . . '. ~ disjuntos): ". a) A n 8 b)' (AU B)' 4.

44

Explique.cuóles son las condiciones necesarias que deben~cer los conjuntos D y E para que se cumpla la igualdad que se propone'" en cada inciso de los siguientes: '

,

a) D

n e= D

c) D n E = 4> d) D U E = D

b) D U E = U 5.

Dlbule un diagrama s;leVenn de manera de que se cumplan las condiciones dadas.en cada Inciso. a) A e B, e e B, A n O = 4-. b) A S; e, A :p e, B n e = 4> . c) A e (B n C)..C e B, C -:1= B, A -:1= C

6. SeanlosconluntosU = {1, 2, 3, 4, 5, 6~7, 8,9, 10}: A = {x e: U Ix

múltlplo de 3}; B = {x e: U I x es número par}: C = {x "e:.U I'x < 7} Escriba una operacl6n en que participen cualquiera de los conjuntos A B C o sus complementosde maneraque el conjunto solución o res'ultante sea el que se da, unas veces en la forma enumeratlva y otras con diagrama. de Vehn.Slmpllflque al máximo su respuesta, el diagrama patr6n es el que se da en seguida.

a) d)

{3, S"} I A

.

, b)

B

~ {6} e) "

c) A

B

{2, 3,4, 6, 8. 9, 10} f) {2, 3, 4, 6} ,

e

e

RESUMEN

Esta unidad en la que se exponen ios elementos fundamentale.s de .10

Teorfa de Conluntos nos sirve para unificar y darle cohesión a todas las unidades posteriores apoyándonos en las Ideas y conceptos de dicha teorfa, de los cuales no se espera que los memoricen, s'lno más bien que' los vayan comprendiendo y apreciando su importancia a medida que los van utilizando. De todos los términos empleados es verdaderamente importante lo c~mprensi6n de:

Conjunto Elemento Variable' Conjunto de verdad Conjuntos iguales Conjuntos equivalentes. , Conjunto vacfo Correspondencia blunivoca Subconjunto propio

"

"

.

Oración abierta Conjunto de reemplazamiento Conjunto universal Número primo. , Múltiplo de un número Unión de conjuntos Intersección de conjuntos Conjunto complemento Diagrama de Venn

45

-,-

Paneles de verlflcacl6n

CONJUNTO DE' PROBLEMAS 1-1

1 . a) A un conjunto de j'ugadores de beisbol se le llama Novena. b) A un conjunto formado por tres guitarristas se le llama Trío.

c) A un conjunto de monedas antiguas se le llama Colección.

,

d) A un grupo de alumnos que termina una carrera, profesional se le

denomina Generación.

.

e) Una sala que reúne una gran variedad de libros forma una Biblioteca..

.

f) La reunión de soldados de un país forma un Eiército. 2. . . ,

3. 4.

Sí

No

a) b) c) d)

O IR! I&J D

[8] D D !El

e)

I&J

D

Porque lo~ elementos que lo forman están enumeradQs., Sí No O 1&] a) O ~ b) IBJ D e) ~ D d) ~ D e) Sí

5.

a) b)

D .,

c) d) a)

6. 7.

.

a)S={'.2.3.4}

= b) E' =

¡g]

~

D

~ D [&J

D I&J O

T={2,3.4.5.6} {1.3.4.5.E$} {Estados de la República Mexicana 'en la' costa del Golfo de México} {Números nat,urales menorés que 7}

b) L = {4}

a) A

No '

'c) .

d) U

=

CONJUNTO DE PROBLEMAS 1

.

46

1-2

a) Es inf'inito porque no importo qué ton grande sea el número hasta el que contemos, siempre le seguirá otro. .

b) Es un eoniulito finito, porque podemos contar los ele~ñtos lo forman. e) n(P)

2.

:;::

8.

Finito O IKI' l5iI O O

,a)

b) e) d) e)

3.

b) S

a)M'=,p={} Vacío

4. a) b)

e)

,

d)'

5.

que

Infinito liiJ CJ

= {8}

=

d) V 'e) T ,p Vacío NoVacío

No Vacío

1m

O

o'

ria, ' ~,'

a) ,n(A).=, 4'

d) n(D)

e) f) g):

.

[8JD O

=1

.'

D6iI 'IR)

=2

b) n(B)

.

.0

1m

O tia

e).n(E)

= {4}

6iJ O

=O

"

e) n(C)

=1

'

En el inciso e) el eoniuntó tiene' un solo elemento que..es el O. En el inciso d) el conjunto tiene,un solo elemento,que es él eoniunto vacío. 6.

a) A :¡é:B b)'B :¡é:e d) B = '{5,2, 3} (eJ orden no .se considera)

e) {2, 5,' 3} :¡é:A

e) C .-:A

CONJUN,TODE PROSLEMAS 1-3 ,

,,-

1. a) T =Ha, b, e, d}1

'

..

= _{{a,b, e}, {a, b, d}, lb, e"d}, (e, d, o}JCada eoniunto de eordinolidod 3 es un elemento e) S = {4>} d) W = {{aL lb}, {e},',{d}} b) U ,

1';

-'

,

"

del, eonlunto

U

,

,

2.

3.

a) Falsa b) Verdadera e) Verdadera d) Ver~adero

e) Falsa f) Falsa g) Fol~a '

e) A ct:B . f) B Q: B(E1 símbolo' e significa

a) B cC b) {2, 3; 1} Q: A

-

e) A e e d) ,pe B 4.

a) n(W)= 4 d) n(T) = n(5)

,

subeoniunto propio) g) {~, 2, 1} Q: A

b) n(5) e) n(U)

=

1,

= n(W)

e} n(W)

>

n(5)'

47

5.

D = {lunes, martes, miércoles, jueves,' viernes, sábado, dor:ningo} ~ ~ ~ ~ ,+ J. + E = {primavera, verano, otoño, invierno}

n(D) > n(E)

T

6.

0),37 es número prilT)o,sólo es divisible entre sí mismo o ,lo unidad. b) 21 es número compues~o, sus factores primos son 3; 1'. c) 19 es número primo. ' d)'72 compuesto; factores primos son 3. 2. Existen mós factores paro formar 72, pero son números compuestos como 9, 36, 4, 6, etc." , e) 27 'compuesto; factores primos 3. f) 15 compuesto; factores pri.mos 3, 5. g) 51 compuesto; factores, primos, 3, 17. ,

1,

o) 18 = 2 'b) 21 = 3 c) 34 = 2 d) 100 = 2 e) 36 = 2 f) 64 = 2

.3 .3 =

2 . 32 .7 .'17 ' . 5 . 2 . 5 = 22. 52 . 2 . 3 . 3 = 22. 32 " 2 ~2 . ~ . 2 . 2 = 26

g) 75'= 3 . 5 . 5 :;::: 3

. 52

CONJUNTO DE PROBLEMAS 1-4

U'

.

1.

o) 'A U ,VV\I~

e=

'

{1, 2, 3, 4~5, 6, 7}

~')

.

7

S~.

3

A

,

AUC

4

2

.

6

'C

'

b) D U B = 1{2,3, 4, 5, 7, 8,'9, 10} }.JiH'O'"'

D

8

DUB

B

U

c) ,B n e = {4,5}' In\ "r"''O(úor"

([) B.

3

.. S

6 7

' C

48

~

-

., U

d) A

0 (8 1 2 3

nD={ }

'7

4 5 6 A

8 9 10

AnD

,

"D

u ~' t~

, El>

A U 8'

=u

= {1,2,3,4,5',e,

7,8,9, 10}

A U B',

.

u f) ,8 U= B

8

~

BU

B

g} c' n D = {S,9, 10}

c' n D

h) (A n 8)' == {1, e, 7, 8, 9, 10}

(An B)',

1) (C U D)'

= {1, 2, 3}'

j)

9 U (A n u

D}= C U= e A ,.

D ~ ."\

, '49

'u ,

,

~) (B

n D) U'(B

n C) = q,'U {4,5} = {4~5}

BnD=q",

,

'~

B n C == {4,5}

n (C U D) n (A U B) , C U D '= {4, 5, 6, 7, 8, 9" 10} AUB=A {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} n A == {A, 5,,6} 2.

~

a), A

~B

~

e

AUB'

c)

BnC

d)

An B=~

e

A'=

..

C=~'

B'~

(A n B) U e lodo lo sombrea~o

.

,

A

n -B =' '-

n B' =

{x. e:. l:J I x. estudia

,"..

matemáticas

,

V

'

física}

u ~

B

~

I

cuadrfcula.

,

-

~~

que tenga,

,~ '~

{x..~ U'¡, x estudia matemáticás}' () {x-e: Ú I x estudia

"ffsicaf

~

Todo lo

A~

3. ,a)

@j

b) (A U B)' en este caso conviene primero dibujar el diagrama.

{x E: U Ix no estudia matemáticas ni física}. También

{x E: U

I es falso que x éstudia

.

matemáticas o física}

= Todo lo sombreado con cualquier rayado.

c) A' U B'

{x E: U I es falso que x estudie ambas, matemáticas y física} "

B

A .

.

4. a) Para que la intersección nos dé ese resultado es

necesario que: D e E es decir que D esté contenido en E

"

.

8 E

.I

U

produzca el Universo es suficiente que un c.on-. .

junto sea complemento del otro

D=~6E=~

D

I

.

.

.

bl Para que la unión de dos C~':Iiuntos.cualquiera I

e) En este caso los conj~ntos deben ser disjuntos. d) Como en el inciso a) s610que ahora es E el subconjunto propio

de D

el CuandoE = U

.

.

65.

5. a)

51

b) . De 1as dos primeras

condlc.lones

se saQa'en conclusl6n que. la In';'

formacl6n completa seria A c;::

e

.

.

c,)

6.

.

a) A

ne

b) A

v

nB

d)

~

ArJ5::)B ..

'V e

. c) A U B

.Aai:)B

(AUB) nc- Ve

.

.

~n~nc

f) (AU Sr n e

52 -