Mat Exe Revisao

Cap´ıtulo 3

Revis˜ oes Exerc´ıcios 3.1 Indique, justificando, o dom´ınio das seguintes fun¸c˜oes e determine as respectivas fun¸c˜oes inversas. a) f (x) = 5ex+2

b) f (x) =

2x x+3

c) f (x) =

x+5 x−1

3.2 Dadas as fun¸c˜ oes Oferta Qs = 120 − 6P e Procura Qd = −45 + 5P , determine o pre¸co e quantidade de equil´ıbrio. Represente gr´aficamente as fun¸c˜oes Qs e Qd . 3.3 Uma firma produz computadores port´ateis (P) e servidores (S). A Curva de Possibilidade de Produ¸c˜ ao ´e dada pela equa¸c˜ao P 2 − 7P + 6S = 198. a) Qual ´e a produ¸c˜ ao m´ axima de servidores, sabendo que se produzem 6 computadores port´ ateis? b) Qual ´e a produ¸c˜ ao m´ axima de computadores port´ateis, sabendo que se produzem 23 servidores? 3.4 O lucro de uma empresa ´e dado, em fun¸c˜ao da quantidade produzida, pela express˜ ao π = −Q2 + 32Q − 175. Para que valores de Q ´e que esta empresa tem lucro? 3.5

Calcule o valor dos seguintes limites (caso existam).

b) lim 2x5 − 3x3 + 2x2 + 7x a) lim −3x3 + 2x2 − 5 x→+∞ x→−∞

−2x4 + 3x3 − x2 − 2x − 20 x→−∞ 4 − 2x2 + 3x4 2 x −x−6 f) lim − x−4 x→4 x−2 e −1 h) lim 2 x→2 x − 2x   1 x j) lim 1+ x→+∞ 3x

3x3 + 4x − 20 x→−∞ −2x − 5 3 x − 3x2 − 13x + 15 e) lim x→5 x−5 √ x+6−3 g) lim x→3 x−3 e2x−6 − 1 i) lim x→3 x−3

d) lim

c) lim

1

3.6 Indique para que valores de p ´e que a seguinte fun¸c˜ao ´e cont´ınua no ponto x = 2.   ln(x + 2), se x 6= 2 f (x) =  p ln 2, se x = 2 3.7 Indique para que valores de p ´e que a seguinte fun¸c˜ao ´e cont´ınua no ponto x = 3.   x2 −9 se x 6= 3 x−3 , f (x) =  p2 − 10, se x = 3 3.8 Resolva a seguinte equa¸c˜ao matricial em ordem a X, simplificando o mais poss´ıvel e sabendo que C ´e uma matriz sim´etrica. 2(X − A)T + 4B + C T = C 3.9 Resolva a seguinte equa¸c˜ao matricial em ordem a X, simplificando o mais poss´ıvel e sabendo que B ´e uma matriz antisim´etrica. X − A + (BC)T = −C T B 3.10

Determine a caracter´ıstica das seguintes matrizes, e calcule o produto AB.     1 2 3 2 5 0 1      a) A =  b) B =  3 0 −3 −2 −4  10 32  2

3.11

−8 −6

−3 −18 −3 −3

Para que valores de a ´e que a caracter´ıstica da matriz A ´e igual a 2, onde



1

6

1



    a −16 −3   A=   3a −14 −3   −9 −20 −3 3.12

Para que valores de a ´e que a caracter´ıstica da matriz A ´e igual a 2, onde





0

2

2

5

 A= 6

4

4

 12  

a −2 −2 −3

2

3.13 Obtenha, por condensa¸c˜ao, as solu¸c˜oes dos seguintes sistemas de equa¸c˜oes lineares.     2x + 2y − 2z + 2t = 8    x + 4y − 3z = −4     −2x + 4z = 0 b) a) −2x − 6y + 15z = 15     −4x − 2y + 7z − 2t = −6     x − 18z = −15  −6x − 2y + 11z − 2t = −6     4x − 2y − 4z = 10 c) y + 2z = 7    4x − y − 2z = 23 3.14 Discuta os seguintes sistemas de equa¸c˜oes lineares para os diferentes valores de a e b.       ax − 3y − 3z = 3  2x + 2z = −3 a) b) −x − y + z = b ax − 9y − 4z = 3       −3x − 3y + z = 4 −3y + 2z = b 3.15 Calcule a inversa da matriz,   2 −2 4    A= 4 1 0 0 −2 3 3.16 Resolva o seguinte sistema de equa¸c˜oes lineares com recurso `a inversa.     −2x − y − 3t = 2 5y − 4z = 1    −x + 4y − 5z = 2 3.17 Recorra ao Teorema de Laplace para calcular o determinante das seguintes matrizes. Use o resultado para verificar se as linhas e colunas da matriz considerada s˜ao linearmente independentes.     −2 1 −8 2 0 −2      b) B =  a) A =  1 2 0  3 2 3 1 −1 3 −4 2 0   0 2 0 4     −1 −1 3 −4   c) C =   2  2 −1 2   0 1 0 5 3