Mat Exe Limites

Exerc´ıcios de Limites e Continuidade 2.1 Mostre, usando a defini¸c˜ ao de limite, que existe o limite de f (x) = 4x − 5 em x = 3 e que ´e igual a 7. 2.2

Calcule os seguintes limites, usando as propriedades de limites. x+4
b) lim a) lim 3 − 7x − 5x2 x→2 3x − 1 x→0 2 2x2 − x t − 5t + 6 d) lim c) lim √ 3x t→2 t−2 x→ 2 1

f) lim (2x + 3) 4

e) lim (ex + 4x)

x→− 31

x→4

2.3

Seja f (x) = |x − 4|. Calcule os limites seguintes se existirem.

a) lim f (x)

b) lim f (x)

2.4 2.5

c) lim f (x)

x→4−

x→4+

x→4

1 existe. x→1 x − 1
x2 − 25 Seja f (x) = . calcule os seguintes limites x−5 Verifique se lim

a) lim f (x)

b) lim f (x)

c) lim f (x)

d) lim f (x)

x→−5

x→5+

x→5−

2.6

x→5

Calcule os seguintes limites.

√

x3 + 1 a) lim 2 x→−1 x − 1 √ √ 1+x− 1−x c) lim x→0 x

b) lim

t→0

Calcule os seguintes limites. 3x5 − x2 + 7 a) lim x→−∞ 2 − x2 p p c) lim x2 + 1 − x2 − 1 x→+∞   2 x e) lim 1+ x→+∞ x

a2 + bt − a , com a > 0 t

2.7

2.8

f (x) =

t+1 t→+∞ t2 + 1 10x−2 − 1 d) lim x→2 x−2 e−ax − e−bx f) lim x→0 x b) lim

Investigue a continuidade em x = 2 de  

x3 −8 , x2 −4

 3,

se x 6= 2 se x = 2 1

 

ln (x + 1) , se x ≥ 1  −x, se x < 1 Fa¸ca o gr´ afico e analise a continuidade de f (x).

2.9

2.10

f (x) =

Seja f (x) =

Calcule p de modo que a seguinte fun¸c˜ao seja cont´ınua.  

e2x ,

se x 6= 0

 p3 − 7,

se x = 0

x . (x − 3) (x + 7) Determine, se existirem, os pontos onde f (x) n˜ao ´e continua.

2.11

Seja f (x) =

2.12 Diz-se que uma fun¸c˜ ao tem uma descontinuidade remov´ıvel em x = a se o limx→a f (x) existe e ´e finito mas ´e diferente de f (a). Neste caso podemos remover a descontinuidade definindo f (a) de forma a ser igual ao limite. Nos casos em que f (a) n˜ao estava definida de todo, diz-se que a fun¸c˜ao foi prolongada por continuidade. Determine, para as seguintes fun¸c˜oes, em que pontos ´e que n˜ao s˜ao cont´ınuas e veja se podem ser prolongadas por continuidade. a) f (x) =

x2 +3x x+3

b) f (x) =

x−2 |x|−2

2.13 1000 euros s˜ ao investidos numa conta que rende um juro de 7%, repartidos em n pagamentos anuais. O pagamento efectuado ´e acrescentado `a conta como um 10n na conta. reinvestimento. Ao fim de 10 anos v˜ao estar 1000(1 + 0,07 n ) Qual ´e o valor que vai estar na conta se houver pagamentos trimestrais (n = 4)? E mensais (n = 12)? E di´ arios (n = 365)? Estime o valor que estaria na conta ao fim de 10 anos se os pagamentos fossem efectuados continuamente, isto ´e quando n → +∞.

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