Mat 214 - Calculo Iii.doc

Trabajo Práctico N°1 UNIDAD 1: CONCEPTOS BÁSICOS Y OPERACIONALES CON LOS NÚMEROS COMPLEJOS 1) Dados los números complejos z = (3, 2) y w = (-1, -4) , halle: (a) z + w , (b) z w , (c) 3 z - 4 w , (d) (-1, 0)w , (e) (0, -2)z . 2) Muestre que (0, 0) es el elemento neutro para la suma de números complejos. 3) Muestre que (1,0) es el elemento neutro para la multiplicación de números complejos. 4) Calcule: (a) i 3 , (b) i 4 , (c) i 5 , (d)

1 1 , (e) 2 . i i

5) Calcule: (a) i 4n , (b) i 4 n +1 , (c) i 4 n + 2 , (d) i 4 n + 3 . 6) Dado el número complejo ( x, y ) halle el par (u, v) tal que ( x, y ) (u, v) = (1, 0) . Al par se le llama inverso multiplicativo de ( x, y ) . Concluya que el par (u, v) es único y que el (0, 0) no tiene inverso multiplicativo. 7) Verifique que z = z . 8) Verifique que uv y uv son conjugados. 9) Calcule: (a)

3 + 3i 1 - 3i , (b) . 2 - 4i -2 - 2i

10) Resuelva la ecuación (-2 + i) z = 3 + i . 11) Halle z tal que (2 + i )(1 + i ) = 2 + z i . 12) Calcule y represente en el plano complejo los números z = x + yi , tales que: (a) z = 5 , (b) z �5 . 13) Calcule y represente en el plano complejo los números z = x + yi tales que: 2 (a) z - 2 �5 , (b) z - i �z + i , (c) z + z = z .

14) Resuelva la ecuación cuadrática x 2 + 3 x + 3 = 0 . 15) Resuelva la ecuación cuadrática 2 x 2 + 4 x + 5 = 0 .

1

16) Resuelva la ecuación cuadrática x 2 + 3 x + 8 = 0 . 17) Resuelva la ecuación x 4 + 13 x 2 + 36 = 0 . 18) Represente: (a) en la forma polar o trigonométrica el número complejo -3 + 3i . (b) en la forma binómica el número complejo 2 ( cos p - i sin p ) . 19) Represente: (a) en la forma polar o trigonométrica el número complejo -2 - 2i . � �p � � �p � cos � �+ i sin � � (b) en la forma binómica el número complejo 2 � �. �3 � � �3 � � 20) Multiplicando el mismo número complejo n veces, efectúe y emplee identidades trigonométricas para comprobar que si z1 = r1 (cos q1 + i sin q1 ) , z2 = r2 (cos q2 + i sin q2 ) , ………….…, zn = rn (cos qn + i sin qn ) Entonces: 2 2 (a) z1 = r1 ( cos(2q1 ) + i sin(2q1 ) ) n n (b) z1 = r1 ( cos(nq1 ) + i sin( nq1 ) )

(c) z1 z2 ... zn = ( r1r2 ...rn ) cis ( q1 + q2 + ... + qn ) .

Extienda el resultado a las potencias enteras negativas. 21) Calcule:

(

)

9

(a) -1 - i 3 ,

(b)

1

( 2 + 2i )

7

22) Dados u = 2 + i 2 y v = 2 - i 2 , emplee la formula de Euler o forma exponencial para hallar: (a) uv , (b) u v . 23) Dados u = 2 + i 2 y v = 2 - i 3 , emplee la formula de Euler o forma exponencial para hallar: (a) uv , (b) u v .

2

24) Halle

(

3+i

)

4

( -1 + i 3 )

6

.

( 1+ i) 9 ( -1 - i ) 84

25) Halle

26) Halle las raíces cuadradas de -1 y verifique que son i y -i . 27) Halle las raíces cúbicas de 1. 28) Halle las raíces cúbicas de -1 . 29) Halle las raíces cuadradas del número 1 + 3 i y expréselas en la forma binómica. 30) Halle las raíces cúbicas del número -1 - i 3 y expréselas en la forma binómica. 31) Halle las raíces cuadradas de -2 - 2i y represéntelas en el plano complejo. 32) Muestre que log(-1) = pi . 33) Halle: (a) log(e) , (b) log(i ) , (c) log(-ei ) . 34) Muestre que log(1 - i ) =

1 p ln 2 - i . 2 4

3

Respuestas 1) a) (2, -2) , b) (5, -14) , c) (13, 22) , d) (1, 4) , e) (4, -6) � x -y � , 2 6) ( u , v ) = � 2 2 2 � �x + y x + y � 9) a)

-3 + 9i 10

11) 3 + i 2 13) a) ( x - 2 ) + y 2 �25 , círculo de radio 5 centrado en (2, 0) y su interior.

1 15) -1 � i 2 17) �2i , �3i �3p � 18 a) 3 2 cis � � �4 � 22) a) 2, b) i 24)

1 -103 i e 4

28)

1 3 � i 2 2 4

10

16

30) 2ei 9 p , 2ei 9 p , 2ei 9 p p 33) a) 1 + 2k p i , c) 1 - i 2

4