Marzo 23 29

Problemas Semana Marzo 23 - 29 Jose G. Acevedo

Primer Nivel 1. Dada una recta l y dos puntos A y B al mismo lado de l, encuentre un punto P sobre l tal que el recorrido A − P − B (es decir, AP + P B) sea m´ınimo. 2. Ana escoge un n´ umero entero entre 1 y 1000. Boris tiene que adivinar qu´e n´ umero escogi´o Ana y para eso tiene que hacerle a lo m´as 10 preguntas a las que Ana contestar´a ’S´ı’ ´o ’No’. Si se asume que Ana es honesta, demuestre que Boris siempre puede adivinar el n´ umero escogido por Ana. 3. Se tienen 6 n´ umeros impares. ¿Es posible que el cuadrado de uno de ellos sea igual a la suma de los cuadrados de los 5 restantes?

Nivel Intermedio 1. Dados 10 n´ umeros de dos d´ıgitos, demuestre que se pueden pintar algunos de ellos de rojo y otros de azul, de modo que la suma de los rojos es igual a la suma de los azules. Nota: Un n´ umero puede ser rojo ´o azul ´o no tener color. 2. Sea n > 6 un entero positivo. Demuestre que si los n´ umeros naturales menores a n y primos relativos con ´el forman una progresi´on aritm´etica entonces n es primo o potencia de 2. 3. Sea Γ el circunc´ırculo del 4ABC. Una circunferencia de centro O es tangente al segmento BC en P y al arco BC de Γ que no contiene a A en Q. Si ∠BAO = ∠CAO, demuestre que ∠P AO = ∠QAO.

Nivel Superior 1. Sea h la mayor altura de un 4ABC, R y r su circunradio e inradio respectivamente. Demuestre que h ≥ R + r. 2. Sea x ≥ 2 un n´ umero real. Demuestre que Y

p ≤ 4x−1

p≤x

donde el producto es sobre todos los primos menores o iguales a x. 3. Sea n un entero positivo. Po (n) es el n´ umero de formas en las que se puede escribir n como suma de impares positivos y Pd (n) es el n´ umero de formas en las que se puede escribir n como suma de enteros positivos distintos. Demuestre que Po (n) = Pd (n). 4. (Bono) Demuestre que la ecuaci´ on   n = ml k no tiene soluciones en enteros con l ≥ 2 y 4 ≤ k ≤ n − 4. Demuestre que hay infinitas soluciones para k = 2 y diga cu´ antas soluciones hay para k = 3.