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Equivalˆ encia de Capitais Quando queremos substituir um determinado t´ıtulo por outro ou por v´arios, necessitamos fazer uma compara¸c˜ao dos t´ıtulos. De modo geral, essa compara¸c˜ ao ´e realizada com valores diferentes referidos a datas diferentes, considerandose um dada taxa de juros. Na pr´ atica, estas compara¸c˜oes s˜ao feitas utilizando-se o crit´erio de juros compostos. 1. Defini¸ c˜ oes Data focal: ´e a data que se considera como base de compara¸c˜ao dos valores referidos a datas diferentes. A data focal tamb´em ´e chamada data de avalia¸c˜ ao ou data de referˆencia. Equa¸ c˜ ao de valor: A equa¸c˜ao de valor permite que sejam igualados capitais diferentes, referidos a datas diferentes, para uma mesma data focal, desde que seja fixada uma certa taxa de juros. Exemplo: Para viajar daqui a um ano, Maria vende seu carro hoje eseu apartamento a 6 meses, aplicando o dinheiro no Banco Boa Viagem, que paga 40% a.a. O carro ser´ a vendido por R$ 30.000,00 e o apartamento por R$ 250.000,00, sendo que na viagem ela pretende gastar R$ 300.000,00. Que saldo poder´ a deixar aplicado?

Capitais Equivalentes Dois ou mais capitais, com datas de vencimento determinadas, s˜ao ditos equivalentes quando, levado para uma mesma data focal `a mesma taxa de juros, tiverem valores iguais. Seja o seguinte conjunto de valores nominais e suas respectivas datas de vencimento: Capital C1 C2 C3 .. . Cn

Data de vencimento 1 2 3 .. . n

Adotando-se uma taxa de juros i, estes capitais ser˜ao equivalentes na data focal 0 (zero), se: V =

C1 C2 C3 Cn = = = ··· = 1 2 3 (1 + i) (1 + i) (1 + i) (1 + i)n

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Valor Atual de um Conjuntos de Capitais Suponhamos um conjunto de capitais caracterizado pelo valor nominal e por sua data de vencimento: Capital C1 C2 C3 .. . Cn

Data de vencimento 1 2 3 .. . n

Se quisermos saber o valor da carteira, ou seja do conjunto de capitais numa determinada data, adotamos uma taxa de juros i e a data focal, vamos tomar a data focal zero. Nestas condi¸c˜ oes, o valor da carteira pode ser calculado descontando-se os t´ıtulos para a data zero e somando-se os valores obtidos: V =

C2 C3 Cn C1 + + + ··· + 1 2 3 (1 + i) (1 + i) (1 + i) (1 + i)n

Conjuntos Equivalentes de Capitais Sejam dados a taxa de juros i e dois conjuntos de valores nominais com seus respectivos prazos, contados a partir da mesma data de origem: 1o Conjunto C1 m1 C2 m2 .. .. . . Cn mn

2o Conjunto C10 m01 C20 m02 .. .. . . Cn0 m0n

Diz-se que os dois conjuntos s˜ao equivalentes quando, fixada uma data focal e uma taxa de juros, os valores atuais dos dois conjuntos forem iguais. Deste modo, ` a taxa i e na data zero, os conjuntos ser˜ao equivalentes se: V =

C1 C2 Cn C1 C2 Cn + +· · ·+ = 0 + 0 +· · ·+ 0 (1 + i)m1 (1 + i)m2 (1 + i)mn (1 + i)mn (1 + i)m1 (1 + i)m2

Exerc´ıcios 1. Quanto Dion´ısio deve aplicar hoje no BankCooper, que paga juros compostos de 1,59% a.m., para quitar uma d´ıvida de R$ 5.000,00, que vence daqui a trˆes meses, e outra de R$ 7.000,00, que vence dali a dois meses? 2. Jo˜ ao comprou uma enciclop´edia, sem dar nada de entrada sob a condi¸c˜ao de pag´ a-la em 4 parcelas quadrimestrais de R$ 1.000,00. Como op¸c˜ao, o gerente da livraria lhe porpˆos uma entrada de R$ 1.500,00 e o saldo para 1 ano. De quanto ser´ a esse saldo, se a taxa de juros for de 3 % a.m.? 2

3. Uma pessoa deve R$ 2.000,00 hoje e R$ 5.000,00 para 1 ano. Prop˜oe a seu credor refinanciamento de sua d´ıvida, comprometendo-se a liquid´a-la em 3 parcelas semestrais iguais, vencendo a primeira em 6 meses, De quanto ser˜ ao as parcelas, se a taxa contratada for de 20% a.a.? 4. O Sr. Carlos vendeu um carro para um amigo seu, pelo pre¸co de R$ 50.000,00. Quanto ` as condi¸c˜oes de pagamento, ele disse que o amigo pagar-lhe-ia na medida do poss´ıvel, sendo os juros de 40% a.a. Os pagamentos efetuados foram: R$ 5.000,00 (3o mˆes), R$ 10.000,00 (5o mˆes), R$ 20.000,00 (6o mˆes). No fim do 12o mˆes o comprador diz querer saldar seu d´ebito total. Qual ´e o valor do acerto final? 5. D’Alva deseja trocar seus quatro d´ebitos - de R$ 2.000,00 para daqui a trˆes meses, R$ 3.000,00 para seis meses, R$ 4.500,00 para nove meses e R$ 6.000,00 para daqui a um ano - por dois pagamentos iguais, um daqui a seis meses e outro daqui a um ano. A 2% de juros compostos ao mˆes, qual o valor desses pagamentos?

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