Maple 11

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL

Tema: APLICACIÓN DEL MAPLE AL ANALISIS MATEMATICO

CURSO:

ANALISIS MATEMATICO III

Aplicación del Maple al Análisis Matemático

INGENIERIA CIVIL

INTRODUCCIÓN En los últimos años los ordenadores han incrementado de forma drástica su capacidad para resolver grandes problemas procedentes de los más diversos campos de la Ciencia debido, de un lado al portentoso avance que ha sufrido el hardware (ordenadores más potentes y rápidos) y de otro al reciente desarrollo de software con un elevado nivel de sofisticación. Como parte de este software están los sistemas de Cálculo Científico que permiten llevar a cabo no sólo cálculos numéricos complicados sino manipulaciones analíticas y tratamientos gráficos de los problemas. Son múltiples los sistemas de este tipo, mencionaremos algunos como DERIVE, REDUCE, MACSIMA, Mathematica, Maple. MuPAD o AXIOM, que están entre los de propósito general. Citamos también otros, más dirigidos al cálculo numérico, como Mathcad o Matlab que han incorporado el núcleo algebraico de Maple para manipulaciones analíticas ¿Qué es el maple? Maple es un programa matemático de propósito general capaz de realizar cálculos simbólicos, algebraicos y de álgebra computacional. Fue desarrollado originalmente en 1981 por el Grupo de Cálculo Simbólico en la Universidad de Waterloo en Waterloo, Ontario, Canadá. Su nombre proviene de MAthematical PLEasure (Placer Matemático). Desde 1988 ha sido mejorado y vendido comercialmente por Waterloo Maple Inc. (también conocida como Maplesoft), una compañía canadiense con sede en Waterloo, Ontario. La última versión conocida es Maple 11. OBJETIVOS: · Entender lo que es el sistema Maple · Adquirir las nociones básicas del trabajo con Maple. · Manejar la ayuda y la interfaz del programa. · Formarse una idea global de las múltiples capacidades de este manipulador. HOJAS DE TRABAJO Cuando inicies una sesión de MAPLE aparecerá una hoja de trabajo (worksheet ) en blanco, en la que verás un signo mayor que precedido de un corchete abierto([> ). El corchete indica un área de trabajo y el signo > indica una zona de entrada. TIPOS DE REGIONES Hay varios tipos de regiones: Región de entrada de texto, como esta que estás leyendo, donde aparecen comentarios en negro. Puedes activar una zona de comentarios pulsando el icono T en la barra de comandos. Podrás escribir con diferentes formatos, tamaños, etc. Región de comando(input), como la que aparece al iniciar MAPLE. Se reconoce por el signo > y en ella el texto escrito aparecerá en rojo. Puedes iniciar una zona de comando pulsando el icono [> en la barra de comandos. Dentro de una zona de comando se pueden introducir comentarios aclaratorios. Para ello utilizamos el símbolo #, después se escribe el comentario. Región de salida (output), en la que aparecerá, en azul, la salida producida por un comando

2

Aplicación del Maple al Análisis Matemático

INGENIERIA CIVIL

AYUDAS Lo primero que debes saber es cómo llamar a la ayuda de MAPLE. Es tan sencillo como teclear ? en una línea de comando y pulsar [INTRO] >? Si lo que ocurre es que tienes dudas sobre cuál es la sintaxis de un determinado comando, teclea ? y detrás el nombre del comando, después pulsa [INTRO], por ejemplo:

nos dará información acerca del comando factor Se puede obtener una ayuda general de todas las posibilidades de MAPLE con el comando:

COMANDOS MAYÚSCULAS Y MINÚSCULAS MAPLE es case sensitive, es decir, distingue entre mayúsculas y minúsculas . Por esto deberemos tener especial cuidado al escribir variables. Por ejemplo: para MAPLE las variables Numero y numero son distintas. En general, los comandos se escriben en minúscula. Reservaremos las mayúsculas para las funciones y procedimientos definidos por nosotros. SINTAXIS GENERAL DE UN COMANDO Como norma general un comando consta de un palabra clave seguida de unos argumentos que se escribirán englobados en un paréntesis separados por comas. Por ejemplo:

El comando solve resuelve la ecuación del polinomio (igualado a 0) que aparace como primer argumento en el paréntesis despejando la variable que aparecere como segundo argumento en el paréntesis. Para ver con más detalle cómo se utiliza este comando teclea:

Hay comandos que no tienen este tipo de sintaxis, como son las operaciones básicas, la potenciación, el factorial.

3

Aplicación del Maple al Análisis Matemático

INGENIERIA CIVIL

FINALIZADOR DE UN COMANDO Para que el comando sea ejecutado será necesario escribir un finalizador y pulsar [INTRO]. Hay dos tipos de finalizador de comando: el punto y coma (;) ejecutará el comando y producirá una salida que se verá en pantalla en color azul. los dos puntos (:) que ejecuta el comando pero no producirá salida alguna. Es muy útil cuando sea necesario ejecutar una serie de comandos donde únicamente interese la salida del último de ellos. Por ejemplo, el comando para factorizar enteros es ifactor (i por integer y factor por factorizar):

Hay comandos que no tienen este tipo de sintaxis, como son las operaciones básicas, la potenciación, el factorial. Puedes ver algunos de ellos tecleando: > ?index,expression VARIABLES Una variable puede llamarse como queramos, siempre que no utilicemos como nombre de la variable el de un comando de MAPLE. Tampoco podemos empezar el nombre de la variable con números e interesa que no incluyamos códigos extraños (acentos, eñe, etc). Recordemos, también, que MAPLE distingue entre mayúsculas y minúsculas. ASIGNACIÓN DE VARIABLES Para asignar valor a una variable se utiliza la combinación dos puntos e igual :=, por ejemlo: > a:=13; que devuelve como eco la asignación a la variable a del valor 13.

Si no queremos el eco debemos usar el terminados dos puntos. > a:=25: Ahora no hay eco y, además a ha cambiado de valor. Esto podemos comprobarlo preguntando el valor de a: > a;

4

Aplicación del Maple al Análisis Matemático

INGENIERIA CIVIL

ELIMINACION DE VARIABLES Para eliminar el valor de una variable basta con igualarla a sí misma entre comillas simples: > a:='a';

Si lo que queremos es eliminar todas las variables asignadas podemos utilizar el comando restart > restart; "simplify " y "expand Dos comandos muy utilizados son simplify y expand. El comando simplify se utiliza para simplificar expresiones, como quebrados, potencias, etc. Por ejemplo: Simplificar:

El comando expand se utiliza para expandir expresiones. Por ejemplo: >

=

PAQUETES DE COMANDOS MAPLE guarda en su memoria los comandos más usuales, el resto se guarda en paquetes (packages) que será preciso cargar cuando vayamos a utilizarlos. Para ver el listado de paquetes disponibles teclea:

5

Aplicación del Maple al Análisis Matemático

INGENIERIA CIVIL

CARGANDO UN PAQUETE Si necesitamos cargar un paquete concreto utilizaremos el comando with indicando el nombre del paquete. El resultado por pantalla es distinto según el finalizardor: con punto y coma se listan los comando cargados, con dos puntos el paquete se carga pero no se nos indica nada.

Si utilizamos un comando de un paquete no cargado MAPLE no hará nada, simplemente devolverá un eco del comando escrito. OPERACIONES NUMÉRICAS BÁSICAS SUMA, RESTA, MULTIPLICACIÓN, DIVISIÓN Y POTENCIACIÓN Se utilizan los signos comunes: +, - , *, / y ^ además de los paréntesis (reiterados si es necesario). MAPLE respeta la prioridad de las operaciones. Por ejemplo: >

;

Para operaciones básicas no se utilizarn corchetes ni llaves, únicamente paréntesis: >

;

FACTORIALES El factorial se indica con el signo admiración cerrada< ! > 45!;

6

Aplicación del Maple al Análisis Matemático

INGENIERIA CIVIL

OPERACIONES Las operaciones básicas con conjuntos son la union, intersección y diferencia, que en MAPLE se hacen con los operadores union, intersect y minus, respectivamente: > A:={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} : B:={2,3,5,7,11,13}: > A union B;

> A intersect B;

> A minus B;

RADICALES Para obtener la raíz de un número vamos a las paletas de Expression y seleccionamos el símbolo de raíz. Y si se quiere el resultado aproximado se escribe

RACIONALIZACIÓN Utilizaremos el comando rationalize: La función rationalize intenta racionalizar la expresión dada, eliminando todas las raíces del denominador. La función no opera dentro de una función trascendental como lo son: exp, sin.

7

Aplicación del Maple al Análisis Matemático

INGENIERIA CIVIL

NÚMEROS ESPECIALES EL NÚMERO PI En MAPLE se escribe Pi o lo obtenemos desde la paleta y podemos obtenerlo con la precisión que deseemos con evalf, por ejemplo con 50 decimales: >

EL NÚMERO e El número e es, posiblemente, el número más importante en matemáticas superiores. Aparece en muchos procesos de crecimiento, en la desintegración radiactiva, en la fórmula de la catenaria, etc. Podemos obtenerlo desde la paleta expression a través del siguiente límite:

Para conseguir todos los decimales que queramos damos, como segundo argumento de c el número de decimales requerido.

LOGARITMOS Y EXPONENCIALES MAPLE calcula de forma directa los logaritmos neperianos con ln() ó log(). Para que se evalué hay que utilizar evalf:

8

Aplicación del Maple al Análisis Matemático

INGENIERIA CIVIL

Para calcular logaritmos en otra base utilizamos el comando log[base](número) :

Podemos utilizar los comandos expand o simplify para desarrollar expresiones con logaritmos y potencias:

TRIGONOMETRÍA MAPLE conoce todas las relaciones entre líneas trigonométricas. Podemos utilizar los comandos simplify y expand para desarrollar una expresión trigonométrica:

SENO Y COSENO DE LA SUMA Y LA DIFERENCIA Ahora podemos calcular el seno de la resta y coseno y seno de la suma pidiendo a MAPLE que expanda a la expresión con el comando expand: >

9

Aplicación del Maple al Análisis Matemático

INGENIERIA CIVIL

NÚMEROS COMPLEJOS LA UNIDAD IMAGINARIA I En MAPLE la unidad imaginaria (raíz cuadrada de -1) se escribe con I mayúscula. Sus potencias son: FORMAS DE REPRESENTAR UN COMPLEJO Ya sabemos que los elementos del cuerpo de los números complejos, isomorfo con RxR, se pueden escribir en diferenes notaciones (binómica, polar, exponencial, trigonométrica). FORMA BINÓMICA En forma binómica el número complejo se escribe:

Para obtener su forma polar utilizamos el comando convert:

FORMA POLAR (MÓDULO-ARGUMENTO) Para obtener el módulo y el argumento de un complejo se utilizan los comandos abs y argument, respectivamente:

Si lo que queremos es pasar un complejo en forma polar a forma binómica usamos evalc (evalue complex):

10

Aplicación del Maple al Análisis Matemático

INGENIERIA CIVIL

FORMA EXPONENCIAL-TRIGONOMÉTRICA Utilizando la Fórmula de Euler (que podemos obtener utilizando series):

Podemos relacionar la forma trigonométrica de un complejo Z con su forma exponencial:

Para obtener la forma exponencial y trigonométrica de un complejo utilizaremos exp y evalc, respectivamente.

POLINOMIOS DEFINICIÓN Y GRADO Para definir un polinomio basta con asignarlo a una variable:

Para ver el grado del polinomio q, se utiliza degree:

Si queremos ver el grado del polinomio podemos hacerlo globalmente o por cada una de sus variables:

Podemos pedir a MAPLE que ordene un polinomio en el grado de la variable que deseemos, por ejemplo:

11

Aplicación del Maple al Análisis Matemático

INGENIERIA CIVIL

OPERACIONES BÁSICAS SUMA, RESTA Y MULTIPLICACIÓN Basta con usar los operadores habituales. Por ejemplo, sea:

Sin embargo al hacer la múltiplicación únicamente la dejará indicada siendo necesario expandirla:

POTENCIA DE POLINOMIOS Con la potencia ocurre igual que con el producto de polinomios, MAPLE se limita a dejarla indicada siendo necesario pedirle que la expand a:

FACTOR COMÚN Para extraer factor común se utiliza el comando collect, indicando sobre qué polinomio actuar y qué queremos sacar factor común:

12

Aplicación del Maple al Análisis Matemático

INGENIERIA CIVIL

DIVISIÓN DE POLINOMIOS Si realizamos la división de polinomios utilizando el operador / no obtendremos los resultados deseados, por ejemplo sean los polinomios p y q:

Vamos a realizar la operacion p/q e incluso a pedir que la expand a:

Como podemos ver no hace la división entera de polinomios, para ello tenemos que usar los comandos quo y rem que nos devolverán el cociente y el resto de la división, respectivamente. Como parámetros hay que dar el polinomio dividendo, el polinomio divisor y la variable respecto de la que dividimos:

13

Aplicación del Maple al Análisis Matemático

INGENIERIA CIVIL

FRACCIONES ALGEBRAICAS Las fracciones algebraicas son aquellas cuyo numerador y denominador son polinomios. Una de las operaciones básicas que podemos hacer con ellas es simplificarlas, si es posible. Para ello utilizamos el comando simplify:

Fracciones Simples MAPLE es capaz de descomponer fracciones algebraicas complejas en fracciones más simples. Esto puede ser muy útil en el cálculo de ciertas integrales. Para hacer esto utlizamos en comando convert, que recibe como primer parámetro la fracción a simplificar, como segundo parámetro la palabra clave parfrac y como último parámetro la variable:

>

FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS Para factorizar un polinomio utilizamos el comando factor:

14

Aplicación del Maple al Análisis Matemático

INGENIERIA CIVIL

ECUACIONES E INECUACIONES. SISTEMAS ECUACIONES El comando para resolver ecuaciones es solve poniendo entre paréntesis dos parámetros: la ecuación a resolver y la variable que queremos hallar. Por ejemplo: Sea la ecuación:

Si lo que queremos es hallar soluciones reales aproximadas, el comando es fsolve (float solve):

MAPLE también encuentra soluciones imaginarias (hay que recordar que I es la unidad imaginaria):

ECUACIONES NO ALGEBRAICAS MAPLE puede resolver diferentes tipos de ecuaciones no algebraicas (recordemos que las ecuaciones algebraicas son aquellas que se pueden resolver efectuando operaciones algebracias: suma, resta, multiplicación y división). ECUACIONES CON RADICALES En el caso de raíces cuadradas, estas ecuaciones se pueden convertir en algebraicas elevando al cuadrado ambos miembros las veces que sea necesario. De todas formas MAPLE resuelve estas ecuaciones sin incluir soluciones falsas (lo que si ocurre al convertirlas en algebraicas). El comando sqrt indica raíz cuadrada. Por ejemplo:

ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS MAPLE resuelve las ecuaciones trigonométricas dando la solución para el primer periodo. Hay que recordar que las funciones trigonométricas en MAPLE se escriben: sin(), cos() y tan() para el seno, coseno y tangente, respectivamente. Por ejemplo:

15

Aplicación del Maple al Análisis Matemático

INGENIERIA CIVIL

ECUACIONES EXPONENCIALES MAPLE resuelve ecuaciones exponenciales recurriendo a logaritmos neperianos.

Si queremos la solución real aproximada debemos usar el comando fsolve:

Podemos incluso plantear ecuaciones "curiosas", como: ¿qué número elevado a sí mismo da 2?

ECUACIONES CON VALORES ABSOLUTOS MAPLE utiliza el comando abs para indicar valor absoluto. Podemos resolver ecuaciones de este tipo con el comando solve: >

También lo podemos hacer desde la paleta expression ;

16

Aplicación del Maple al Análisis Matemático

INGENIERIA CIVIL

INECUACIONES Se resuelven utilizando el comando solve. En la solución se indica si el intervalo es abierto con Open.

Puede ocurrir que no tengan solución:

SISTEMAS SISTEMAS DE ECUACIONES Para resolver un sistema de ecuaciones se utiliza el comando solve dando dos argumentos. El primero es el conjunto de las ecuaciones, y el segundo el conjunto de las incógnitas. Ejemplo: Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

17

Aplicación del Maple al Análisis Matemático

INGENIERIA CIVIL

 En el caso de ser sistema compatible indeterminado, la solución se expresa con parámetros:

 En el caso de que el sistema sea incompatible, MAPLE no devuelve nada:

SISTEMAS DE INECUACIONES Para resolverlos utilizaremos el comando solve con dos parámetros: el conjunto de inecuaciones y el conjunto de incógnitas. En caso de no aparecer respuesta es que el sistema no tiene solución Por ejemplo: SISTEMAS DE INECUACIONES CON UNA INCÓGNITA Basta con utilizar el comando solve, dando la inecuación entre llaves y la incógnita entre también entre llaves.

SISTEMAS DE INECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS El comando

simplifica el conjunto de inecuaciones.

En este tipo de sistemas es más útil pintar las soluciones. Para ello necesitamos cargar el paquete , y utilizar el comando Este comando tiene como argumentos el conjunto de inecuaciones, el rango en X, el rango en Y y la posibilidad de indicar el color de las diferentes zonas. Interesa ver las diferentes opciones del comando:

> inequal({2*x-y<=3,2*x+y<3},x=-3..3,y=-5..5);

18

Aplicación del Maple al Análisis Matemático

INGENIERIA CIVIL

En este ejemplo hemos pedido: - La zona solución en color verde; - La zona excluida en color amarillo; -Las fronteras abiertas en color azul; - Las fronteras cerradas en color rojo. MATRICES Y VECTORES VECTORES Para definir un vector utilizamos el comando forma de lista:

, dando las componentes del vector en

OPERACIONES CON VECTORES En general se puede hacer cualquier operación con vectores pidiendo que se evalúe con el comando

La suma, resta y multiplicación por un número real se expresan con los operadores habituales (+,-,*):

19

Aplicación del Maple al Análisis Matemático

INGENIERIA CIVIL

PRODUCTO ESCALAR El producto escalar se calcula a través del comando previamente activando el paquete , que recibe como parámetros los dos vectores que se multiplican. Está definido considerando que los vectores pueden ser complejos. Esto quiere decir que de los vectores u y v, devuelve el producto escalar de u por el conjugado de v (esto permite calcular el módulo de un complejo):

Entonces:

Norma o módulo de un vector El módulo de un vector se puede calcular como la raíz cuadrada positiva del producto escalar de un vector por sí mismo. Recordemos que para calcular el producto escalar se utiliza el comando del paquete

Cálculo del vector unitario Calcular el vector unitario de otro dado, esto es, el vector de módulo 1 de la misma dirección y sentido que el primero, se denomina normalizar un vector. Para obtener el vector unitario dividimos el v1 sobre el modulo con el comando

>

20

:

Aplicación del Maple al Análisis Matemático

INGENIERIA CIVIL

PRODUCTO VECTORIAL El producto vectorial se consigue con el comando

del paquete

Como podemos ver, el vector resultante es perpendicular al plano definido por los otros dos vectores. MATRICES Para definir una matriz en este caso tenemos una paleta en de donde podemos insertar una matriz, aunque también se puede hacer con el comando matrix Usando la paleta: para insertar se despliega la paleta matrix y se elige el numero de filas y columnas de la matriz y luego se da Insert Matrix. Rows: numero de filas Columns: numero de columnas

Usando el comando: para insertar una matriz se escribe el comando matrix y luego se indica escribe los elementos como se ve en la a continuación en la figura:

21

Aplicación del Maple al Análisis Matemático

INGENIERIA CIVIL

OPERACIONES CON MATRICES Podemos hacer las operaciones básicas con matrices (suma resta y multiplicación por un número) utilizando los operadores normales (+, - ,*), y después evaluar la matriz resultado con el comando

>

22

Aplicación del Maple al Análisis Matemático

INGENIERIA CIVIL

MULTIPLICACIÓN DE MATRICES Para multiplicar dos matrices es necesario utilizar la combinación de símbolos &*, dado que este producto no es conmutativo. Tenemos que recordar que, para que dos matrices se puedan multiplicar, es necesario que el número de columnas de la primera coincida con el número de filas de la segunda. Para evaluar el resultado utilizaremos el comando evalm. >

FUNCIONES MAPLE permite dibujar funciones en el plano y en el espacio, para ello utiliza los comandos plot y plot3d, respectivamente. FUNCIONES EN EL PLANO DEFINICIÓN A PRIORI Para definir una función a priori se utiliza el operador -> > f:=x->x^2-2*x+1;

> g:=t->1/2*9.8*t^2;

23

Aplicación del Maple al Análisis Matemático

INGENIERIA CIVIL

En el caso de haber varias variables se escriben todas entre paréntesis: > h:=(x,y,z)->x^2+y*z-1;

Es posible especificar el tipo de variable independiente, por ejemplo: > f:=(x::integer)->x;

FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS Para definir funciones a trozos utilizamos en comando piecewise, inidcando el primer intervalo, la primera función, el segun inervalor, la segunda función, etc: > f:=x->piecewise(x<=0,x^2+2*x+1,x<4,1,x>=4,x-3); > plot(f(x),x=-4..6,y=-1..3);

FUNCIONES CON VALORES ABSOLUTOS El comando abs calcula el valor absoluto de una expresión. > g:=x->abs((x-1)*(x+1));plot(g(x),x=-3..3);

24

Aplicación del Maple al Análisis Matemático

INGENIERIA CIVIL

A POSTERIORI Podemos tomar el resultado de un cálculo anterior y convertirlo en función con el comando unapply, que tiene como primer argumento la candidata a función y como segundo argumento la candidata a variable independiente. > a:=expand(2*(x-1)^2+3); > f:=unapply(a,x);

OPERACIONES CON FUNCIONES SUMA Y RESTA DE FUNCIONES A partir de dos o más funciones podemos definir la función suma y resta: > f:=x->2*x-4:g:=x->x^2-4: > suma:=x->f(x)+g(x);resta:=x->f(x)-g(x);

> with(plots): > p:=plot({f(x),g(x),suma(x),resta(x)},x=-2..4,color=[yellow,red,green,blue]): > t:=textplot([[4,f(4),'f(x)'],[4,g(4),'g(x)'],[4,suma(4),'f+g'],[4,resta(4),'f-g']]): > display(p,t,title=`Suma y resta de funciones`);

25

Aplicación del Maple al Análisis Matemático

> restart:

PRODUCTO Y DIVISIÓN DE FUNCIONES Para definr el producto o división de dos funciones hacemos: > f:=x->x-1 : g:=x->x^2-4: > m1:=x->2*f(x); m2:=x->f(x)*g(x); m3:=x->f(x)^2 ; d1:=x->f(x)/g(x);

> plot(m3(x),x=-4..4);

26

INGENIERIA CIVIL

Aplicación del Maple al Análisis Matemático

INGENIERIA CIVIL

COMPOSICIÓN DE FUNCIONES Para componer dos funciones podemos hacer: > f:=x->x-1 : g:=x->x^2+1: > h:=x->g(f(x));

> with(plots): > p:=plot({f(x),g(x),h(x)},x=-3..3,color=[red,green,blue]): > t:=textplot([[-3,f(-3),'f(x)'],[-3,g(-3),'g(x)'],[-3,h(-3),'g(f(x))']]): > display(p,t,title=`Composición de funciones`); > restart:

TRASLACIÓN DE FUNCIONES Vamos a tratar aquí cómo podemos trasladar matemáticamente una determinada función horizontal y verticalmente. TRASLACIÓN VERTICAL Para trasladar una función verticalmente basta con sumar, o restar, un valor a la función: g(x)=f(x)+k Vamos a ver cómo se traslada verticalmene la función f(x)=x^2-3: > f:=x->x^2-3: > with(plots):

27

Aplicación del Maple al Análisis Matemático

INGENIERIA CIVIL

> animate(f(x)+t,x=-3..3,t=-3..3); > restart:

Como podemos ver, el comando animate (que está en el paquete plots) permite ver la secuencia de movimientos. Como parámetros tiene la función (con dos variables: la x y el paso de tiempo), el rango del eje x y el rango de tiempo. Si hacemos click sobre la figura aparecerá un menú con las opciones clásicas de un video. Únicamene tenemos que probar. TRASLACIÓN HORIZONTAL Para trasladar una función horizontalmente basta con sumar, o restar, un valor al argumento de la función: g(x)=f(x+k) Vamos ver cómo se traslada horizontalmente la función f(x)x^2-3: > f:=x->x^3: > with(plots): > animate(f(x+t),x=-6..6,t=-3..3); > restart:

28

Aplicación del Maple al Análisis Matemático

INGENIERIA CIVIL

INVERSA DE UNA FUNCIÓN La función inversa de otra dada se puede obtener así: > f:=x->x^(1/2);solve(y=f(x),x);g:=unapply(%,y);

> plot({f(x),g(x)},x=0..4,y=0..4,scaling=constrained);

GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN EL COMANDO PLOT Con el comando plot podemos dibujar una o varias funciones. Además de la función indicamos el intervalo de valroes en los que se pintará la función (obligatorio) y el intervalo de valores del eje Y (opcional). > f:=x->(x-1)^3: > plot(f(x),x=-1..3);

29

Aplicación del Maple al Análisis Matemático

INGENIERIA CIVIL

Si hacemos click sobre el cuadro de la función veremos cómo se activa un nuevo menú que nos permitirá colocar los ejes, cambiar el aspecto de la función, etc. Ánimo... la curiosidad es la mejor baza. Si lo que queremos es representar varias funciones a la vez también podemos usar el comando plot, pero ahora debemos pasar un conjunto de funciones (entre llaves, aunque también podemos pasar una lista de las funciones, entre corchetes). Podemos elegir los colores de cada una con la opción color y el nombre de los colores en inglés: > f:=x->x : g:=x->x^2 : h:=x->x^3: > plot({f(x),g(x),h(x)},x=-2..2,color=[red,green,blue]);

Podemos utilizar más opciones de plot. Lo mejor es acudir a la ayuda y experimentar: > ?plot TEXTOS EN LAS GRÁFICAS Se puede rotular una gráfica utilizando el comando textplot. Como argumentos se dan listas que se forman con las coordenadas y el texto, entre comilla simple, que queremos escribir: Para ver el resultado necesitamos el comando display. > ?textplot EL COMANDO DISPLAY El comando display está en el paquete plots, y permite pintar varias gráficas juntas, con rótulos e incluso título: > ?plots,display Si queremos pintar varais gráficas y rotularlas, la mejor opción es ir definiendo cada gráfica con el comando plot y guardarlas como variables. Los rótulos se definen con textplot y se guardan en otra variable. El comando display permite recoger todas estas variables y pintar la gráfica.

30

Aplicación del Maple al Análisis Matemático

INGENIERIA CIVIL

> with(plots): > g1:=plot(ln(x),x=0.1..7,color=red): > g2:=plot(exp(x),x=-5..2,color=blue): > g3:=plot(x,x=-4..5,color=green): > t:=textplot([[6,ln(6)-1,'ln(x)'],[3,exp(2),'exp(x)'],[6,5,x]]): > display(g1,g2,g3,t,title=`Funciones inversas`,scaling=CONSTRAINED); > restart:

MOVIMIENTO EN LAS GRAFICAS: animate El comando animate del paquete plots permite animar gráficas. Es necesario dar tres parámetros: la función, que debe depender de dos variables (la variable independiente normal y otra variable que indique el paso temporal para la animación), el rango de variación de la variable independiente y el intervalo de variación del paso temporal. Es recomendable ver qué otras opciones tiene animate: > ?plots,animate Una vez pintada la gráfica, al hacer click sobre ella quedará seleccionada y aparecerá un menú, parecido al de un video, en la barra de menús: la curiosidad es la mejor recomendación: > with(plots):animate(sin(t*x),x=-Pi..Pi,t=-10..10);restart:

31

Aplicación del Maple al Análisis Matemático

INGENIERIA CIVIL

GRÁFICAS EN DIFERENTES COORDENADAS Además de la representación en forma explícita clásica, que se realiza con el comando plot. También podemos representar curvas implícitas, en paramétricas y en coordenadas polares. REPRESENTACIÓN IMPLÍCITA Para representar una función con ecuaciones implícitas se utiliza el comando implicitplot del paquete plots. Al comando implicitplot hay que darle la función implícita, el intervalo de variación de la variable independiente y el intervalo de variación de la variable dependiente. > with(plots):implicitplot(x^2-y^2=2,x=-3..3,y=-3..3,scaling=CONSTRAINED);restart:

Haciendo click sobre la figura, ésta queda seleccionada y se activa un menú (en la barra de menús) con diferentes opciones para probar.

32

Aplicación del Maple al Análisis Matemático

INGENIERIA CIVIL

REPRESENTACIÓN PARAMÉTRICA Para representar una curva en ecuaciones paramétricas se utiliza el comando plot. El conjunto de ecuaciones paramétricas se le da a plot en forma de lista ordenada: primero x(t), luego y(t), junto con la variación del parámetro t. El resto de opciones de plot siguen siendo válidas. Una de las conocidas curvas de Lissajous se puede obtener así: > plot([5*sin(1/4*t),7*sin(t),t=-2*Pi..8*Pi]);

La curva locura de Stanley S. Miller ilustra de una forma excelente la representación de curvas a través de ecuaciones parametrizadas: > plot([sin(0.99*t)-0.7*cos(3.1*t),cos(1.01*t)+0.1*sin(15.03*t),t=0..50],color=blue);

33

Aplicación del Maple al Análisis Matemático

INGENIERIA CIVIL

COORDENADAS POLARES MAPLE puede representar curvas dadas en coordenadas polares utilizando el comando polarplot del paquete plots. Este comando recibe dos parámetros: la función polar r=r(theta) y el intervalo de variación del argumento. > with(plots):polarplot(5,theta=0..Pi/2,scaling=CONSTRAINED);restart:

> with(plots):polarplot(cos(6*alpha),alpha=0..2*Pi,scaling=CONSTRAINED);restart:

También podemos dar el módulo y el argumento en forma paramétrica, utilizando también el comando polarplot dando una lista ordenada con la ecuación del módulo y la del argumento en función de un parámetro, y dando el intervalo de variación del parámetro. > with(plots):polarplot([t,t,t=0..4*Pi],color=blue,scaling=CONSTRAINED);restart:

34

Aplicación del Maple al Análisis Matemático

INGENIERIA CIVIL

GRÁFICAS A TRAMOS Podemos representar una curva poligonal haciendo una lista de los vértices por los que pasa. Los pares ordenados se ponen entre corchetes, como las listas, para indicar precisamente que están ordenados. > p:=[[-3,1],[-1,0],[1,3],[2,4],[4,5],[6,2]]: > plot(p,x=-4..7);

SUPERFICIES Y CURVAS EN EL ESPACIO Además de la representación en forma explícita, que se realiza con el comando plot3d. También podemos representar superficies dadas de modo implícito, en paramétricas y en coordenadas esféricas y cilíndricas. EL COMANDO plot3d MAPLE puede representar superficies en el espacio con el comando plot3d, al que hemos de darle la función explícita de dos variables y el intervalo de variación de cada una de ellas > f:=(x,y)->x^2-y^2;

35

Aplicación del Maple al Análisis Matemático

INGENIERIA CIVIL

> plot3d(f(x,y),x=-8..8,y=-8..8,grid=[50,50]);

Si hacemos click sobre la imagen se activará un menú en la barra de menús que nos permitirá elegir el tipo de grid, los ejes y la escala, así como rotar la función alrededor de los ejes. Si hacemos click sin soltar el botón sobre la función podremos moverla para verla desde diferentes ángulos. El comando plot3d tiene muchas opciones con las que podemos cambiar el aspecto de la gráfica (como la opción grid utilizada en el ejemplo. Es recomendable acudir a la ayuda de MAPLE para ver estas opciones: > ?plot3d[option] Con el comando plot3d podemos pintar varias funciones a la vez, basta con pasar como parámetro al comando plot3d el conjunto de las funciones a representar. > f:=(x,y)->sin(x)-cos(x); > g:=(x,y)-> cos(x*y); > plot3d({f(x,y),g(x,y)},x=-Pi..Pi,y=0..Pi,axes=BOXED);

36

Aplicación del Maple al Análisis Matemático

INGENIERIA CIVIL

SUPERFICIES EN PARAMÉTRICAS Para representar una superficie dada en forma de ecuaciones paramétricas basta con utilizar el ç comando plot3d dando como primer argumento la lista de las ecuaciones paramétricas y después el intervalo de variación de los parámetros: > x:=-(3+sin(u))*sin(v):y:=(3+sin(u))*cos(v):z:=cos(v): > plot3d([x(u,v),y(u,v),z(u,v)],u=-Pi..Pi,v=-Pi..Pi,axes=BOXED,orientation=[137,72]);

Si hacemos girar una circunferencia definida en el plano YZ, en torno al eje X, obtendremos un toro: > x:=10*cos(u)+3*cos(u)*cos(v):y:=10*sin(u)+3*sin(u)*cos(v):z:=3*sin(v): > plot3d([x(u,v),y(u,v),z(u,v)],u=0..2*Pi,v=0..2*Pi,axes=NORMAL,labels=[X,Y,Z],scaling=CONSTRAI NED);

37

Aplicación del Maple al Análisis Matemático

INGENIERIA CIVIL

SUPERFICIES EN FORMA IMPLÍCITA Para representar superficies dadas en forma implícita necesitamos el comando implicitplot3d del paquete plots. Como primer argumento damos la función en forma implícita y después el intervalo de variación de las tres variables. Aquí tenemos la representación de un paraboloide hiperbólico: > restart:with(plots): > implicitplot3d(x^2-y^2-z=0, x=-5..5, y=-5..5,z=5..5,orientation=[68,51],grid=[20,20,20],axes=BOXED); > restart:

Y aquí la de un hiperboloide (de una hoja): > with(plots): > implicitplot3d(x^2+y^2-z^2=1, x=-4..4, y=-4..4, z=4..4,orientation=[59,67],grid=[20,20,20],axes=BOXED); > restart:

38

Aplicación del Maple al Análisis Matemático

INGENIERIA CIVIL

CUÁDRICAS Las llamadas superficies cuadráticas, o simplemente cuádricas, se definen mediante ecuaciones de la forma: > f:=Sum(a[ij]*x[i]*x[j],ij=i..3)+Sum(b[i]*x[i],i=1..3)+c=0;

Los casos no triviales se pueden llevar a uno de los seis siguientes: 1.- Elipsoide: > with(plots): > ec1:=x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=1;a:=5:b:=4:c:=3: > implicitplot3d(ec1,x=-5..5,y=-4..4,z=3..3,axes=BOXED,scaling=CONSTRAINED,title=`Elipsoide`,orientation=[68,73]); > restart:

39

Aplicación del Maple al Análisis Matemático

INGENIERIA CIVIL

2.- Hiperboloide de una hoja: > with(plots): > ec1:=x^2/a^2+y^2/b^2-z^2/c^2=1;a:=5:b:=4:c:=3: > implicitplot3d(ec1,x=-10..10,y=-10..10,z=6..6,axes=BOXED,scaling=CONSTRAINED,title=`Hiperboloide de una hoja`,orientation=[61,73]); > restart:

40

Aplicación del Maple al Análisis Matemático

3.- Hiperboloide de dos hojas: > with(plots): > ec1:=x^2/a^2-y^2/b^2-z^2/c^2=1;a:=5:b:=4:c:=3: > implicitplot3d(ec1,x=-15..15,y=-15..15,z=10..10,axes=NORMAL,scaling=CONSTRAINED,title=`Hiperboloide de dos hojas`,orientation=[115,74]); > restart:

4. - Paraboloide elíptico: > with(plots): > ec1:=x^2/a^2+y^2/b^2-z=0;a:=5:b:=4: > implicitplot3d(ec1,x=-20..20,y=20..20,z=0..17,axes=NORMAL,scaling=CONSTRAINED,title=`Paraboloide elíptico`,orientation=[81,69]); > restart:

41

INGENIERIA CIVIL

Aplicación del Maple al Análisis Matemático

INGENIERIA CIVIL

5.- Paraboloide hiperbólico: > with(plots): > ec1:=x^2/a^2-y^2/b^2-z=0;a:=5:b:=4: > implicitplot3d(ec1,x=-10..10,y=-10..10,z=6..6,axes=BOXED,scaling=CONSTRAINED,title=`Paraboloide elíptico`,orientation=[69,64]); > restart:

42

Aplicación del Maple al Análisis Matemático

INGENIERIA CIVIL

6.- Cono cuádrico (x,y,z><>(0,0,0): > with(plots): > ec1:=x^2/a^2+y^2/b^2-z^2/c^2=0;a:=5:b:=4:c:=3: > implicitplot3d(ec1,x=-10..10,y=-10..10,z=6..6,axes=BOXED,scaling=CONSTRAINED,title=`Cono cuádrico`,orientation=[52,81]); > restart:

SUPERFICIES EN COORDENADAS ESFÉRICAS MAPLE puede representar superficies dadas en coordenadas esféricas usando el comando sphereplot del paquete plots. > with(plots): > r:=(theta,phi)->5*theta*phi; > sphereplot(r(theta,phi),theta=0..2*Pi,phi=0..2*Pi,axes=BOXED,style=LINE,orientation=[137,36]); > restart:

43

Aplicación del Maple al Análisis Matemático

INGENIERIA CIVIL

SUPERFICIES EN COORDENADAS CILÍNDRICAS MAPLE puede representar superficies dadas en coordenadas cilíndricas usando el comando cylinderplot del paquete plots. > with(plots): > r:=(theta,z)->2*theta; > cylinderplot(r(theta,z),theta=0..5*Pi,phi=0..10,axes=BOXED,style=LINE); > restart:

44

Aplicación del Maple al Análisis Matemático

INGENIERIA CIVIL

TEXTO EN LAS GRÁFICAS. COMANDO display Se puede incluir texto en las gráficas con el comando textplot3d del paquete plots indicando, en forma de lista, las tres coordenadas y el text. El proceso es el siguiente: 1) definimos la gráfica (con plot3d o implicitplot3d) y la guardamos en una variable 2) usando textplot3d definimos los textos y los guardamos en otra variable 3) por último utilizamos el comando display, del paquete plots, para pintarlo todo. display recibe en forma de conjunto las variariables que guardan las gráficas y los textos. Además display puede recibir muchas opciones. Conviene visitar la ayuda de MAPLE y tener curiosidad. > with(plots): > ec1:=x^2/a^2-y^2/b^2-z=0;a:=5:b:=4: > c:=implicitplot3d(ec1,x=-10..10,y=-10..10,z=6..6,axes=BOXED,scaling=CONSTRAINED,title=`Paraboloide elíptico`,orientation=[139,57],style=PATCHNOGRID): #hemos guardado la grafica en la variable g > t:=textplot3d([0,0,0,`Punto de silla`], font=[COURIER,BOLD,14],color=black): #hemos guardado los textos en la variable t > display({c,t},title=`Punto de silla en un paraboloide hiperbólico`); > restart:

45

Aplicación del Maple al Análisis Matemático

INGENIERIA CIVIL

CURVAS EN EL ESPACIO Para representar curvas en el espacio se utiliza el comando spacecurve del paquete plots. Este comando recibe las ecuaciones paramétricas de la función en forma de lista, y el intervalo de variación del parámetro. > with(plots): > x:=t->2*cos(t):y:=t->2*sin(t):z:=t->t: >spacecurve([x(t),y(t),z(t)],t=0..6*Pi,axes=NORMAL,labels=[X,Y,Z],orientation=[96,63],title=`HE LICE CIRCULAR`); > restart:

El comando tubeplot, del paquete plots, permite realzar la curva con la opción radius, que permite dar grosor, en forma de tubería, a la curva. Para ello incluiremos la opción radius=a un número que será el grosor de la tubería: > with(plots): > x:=t->20*cos(t):y:=t->20*sin(t):z:=t->t: > tubeplot([x(t),y(t),z(t)],t=0..6*Pi,axes=NORMAL,labels=[X,Y,Z],orientation=[32,67],radius=2,scaling=UNCONSTRAINED,title=`Tubo en forma de hélice circular`); > restart:

46

Aplicación del Maple al Análisis Matemático

INGENIERIA CIVIL

ANIMACIÓN EN TRES DIMENSIONES: animate3d MAPLE permite animar gráficas en el espacio con el comanod animate3d del paquete plots. Es necesario dar la función con un parámetro, que indicará el paso temporal. También es preciso dar los intervalos de variación de las variables de la función y del parámetro temporal. > with(plots): > f:=(x,y)->cos(t*x)^2+sin(t*y): > animate3d(f(x,y),x=0..Pi,y=0..Pi,t=1..2); > restart:

Una vez dibujada la gráfica hacemos click sobre ella. Entonces aparecerá un menú, similar al de un video, en la barra de menús. Basta con pular el play...

47

Aplicación del Maple al Análisis Matemático

INGENIERIA CIVIL

ASÍNTOTAS DE UNA FUNCIÓN Podemos encontrar las asíntotas de una función mediante la utilización de límites. ASÍNTOTAS HORIZONTALES Las asíntotas horizontales (AH) se calculan de la siguiente manera: > restart: > AHd=Limit(f(x),x=infinity); También podemos ver las AH hacia la izquierda: > AHi=Limit(f(x),x=-infinity);

La siguiente función tiene AH en y=0 por la derecha y por la izquierda: > f:=x->x/(x^2+1); > AHd=limit(f(x),x=infinity); > AHi=limit(f(x),x=-infinity); > plot(f(x),x=-100..100);

48

Aplicación del Maple al Análisis Matemático

INGENIERIA CIVIL

La siguiente función tiene AH en y=0 únicamente por la izquierda: > f:=x->exp(x); > AHd=limit(f(x),x=infinity); > AHi=limit(f(x),x=-infinity); > plot(f(x),x=-4..4);

ASÍNTOTAS VERTICALES Una función tiene asíntotas verticales (AV) en x=k si el límite cuando x tiende a k de la función es infinito (más infinito o menos infinito) o indeterminado. El comando discont de la librería general devuelve puntos anómalos candidatos a ser AV:

49

Aplicación del Maple al Análisis Matemático

INGENIERIA CIVIL

> readlib(discont): > f:=x->x^2/(x^2-1); > discont(f(x),x); > limit(f(x),x=-1); > limit(f(x),x=1); > plot(f(x),x=-2..2,y=-10..10,discont=true,color=blue);

ASÍNTOTAS OBLICUAS Las asíntotas oblicuas (AO) son rectas (y=mx+n) cuya pendiente y ordenada hay que determinar. Para determinar la pendiente efectuamos el límite: > restart: > m=Limit(f(x)/x,x=infinity);

50

Aplicación del Maple al Análisis Matemático

INGENIERIA CIVIL

Si este límite se va a infinito no hay AO. Si el límite se anula es probable que haya una AH. Para determinar la ordenada en el origen (n) de la AO se calcula el siguiente límite: > n=Limit(f(x)-m*x,x=infinity);

> f:=x->x^2/(x-2); > m:=limit(f(x)/x,x=infinity); > n:=limit(f(x)-m*x,x=infinity);

> AO:=x->m*x+n;

> plot([f(x),AO(x)],x=-3..10,y=-5..20,color=[blue,red]);

DERIVADAS MAPLE es capaz de realizar cualquier cálculo con derivadas: derivación implícita, logarítmica, derivada parcial, etc. Para ello utiliza los comandos diff y D. El comando diff ofrece la forma inerte si lo escribimos Diff:

51

Aplicación del Maple al Análisis Matemático

INGENIERIA CIVIL

EL COMANDO diff Para hallar la derivada de una función se utiliza el comando diff, que en su forma Diff da la expresión inerte de la derivada. diff tiene dos argumentos: la función a derivar y la variable respecto de la que se deriva. > f:=x^2*sin(x): > Diff(f,x) = diff(f,x);

diff puede aplicarse sobre una expresión, como en el caso anterior, o sobre una función: > f:=x->x^2*sin(x): > Diff(f(x),x) = diff(f(x),x);

Podemos preguntarle a MAPLE las diferentes reglas de derivación: ¡se las sabe todas! (incluso con la aplicación de la regla de la cadena): > restart: > Diff(sin(x),x)=diff(sin(x),x);

> Diff(cos(f(x)),x)=diff(cos(f(x)),x);

> Diff(arctan(f(x)),x)=diff(arctan(f(x)),x);

52

Aplicación del Maple al Análisis Matemático

INGENIERIA CIVIL

DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR Para hacer una deriva de orden superior ponemos la variable a derivar tantas veces como sea el orden de la derivada. Por ejemplo, para hallar la derivada quinta de la función f=sin(x^2), hacemos: > diff(sin(x^2),x,x,x,x,x);

Aunque también podemos escribir x$5 en vez de x cinco veces: > diff(sin(x^2),x$5);

DERIVADAS PARCIALES Cuando una función tiene varias variables se deriva respecto de una de ellas, considerando constante a las demás: > f:=(x,y,z)->x^2+4*x*y-y^2*z^3+5: > Diff(f(x,y,x),y,x) = diff(f(x,y,z),y,x);

DERIVACIÓN LOGARÍMICA Para hacer derivadas de funciones potencial exponenciales recurrimos al logaritmo neperiano. > y=x^x; > ln(y(x)) = x*ln(x); > diff(ln(y(x)),x) = diff(x*ln(x),x); > diff(y(x),x) = y(x)*diff(x*ln(x),x);

53

Aplicación del Maple al Análisis Matemático

INGENIERIA CIVIL

MAPLE no tiene por qué realizar todo este proceso. MAPLE realiza estas deriadas de forma automática: > diff(x^x,x);

FUNCIÓN DERIVADA Para obtener la función derivada (no la expresión de la derivada) se utiliza el operador D. Este operador únicamente actúa sobre funciones. > f:=x->x^2; > F:=D(f); > plot({f(x),F(x)},x=-3..3,title=`Una función y su función derivada`);

APLICACIONES DE LA DERIVADA La derivada se utiliza en multitud de cálculos matemáticos, como pueden ser los desarrollos de Taylor y en serie de potencias, el cálculo de máximos y mínimos, la determinación de ciertos límites de funciones, etc. PROBLEMAS DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS Hallar los máximos y mínimos relativos de la función: y = e^x·sen(x)

54

Aplicación del Maple al Análisis Matemático

INGENIERIA CIVIL

> y:=x->x^4*exp(-x^2);

Hallamos la derivada primera y la derivada segunda de la función: > Diff(y(x),x)=diff(y(x),x);

> dp:=rhs(%);

> Diff(y(x),x$2)=diff(y(x),x$2);

> ds:=rhs(%);

Igualamos a cero la primera derivada y resolvemos la ecuación, así encontramos la abscisa de un punto singular, pero no sabemos si es un máximo o un mínimo: > p:=solve(dp=0,x);

Probamos los valores obtenidos en la segunda derivada: > DS:=unapply(ds,x);

> p[1],DS(p[1]);

55

Aplicación del Maple al Análisis Matemático

INGENIERIA CIVIL

> p[4],DS(p[4]);

> p[5],DS(p[5]);

Como la derivada segunda en p=0, es 0 sería necesario analizar el comportamiento de f' La derivada segunda en p=+sqrt(2) da negativo, luego la función tiene un máximo en +sqrt(2) La derievada segunda en p=-sqrt(2) da negativo, luego la función tiene otro máximo en -sqrt(2) INTEGRALES MAPLE puede calcular integrales con el comando int. Si escribimos el comando Int obtendremos la expresión interte de la integral. En el paquete student hay comandos referidos a la integración. Conviene, por lo tanto, mirar la ayuda: > ?student INTEGRAL INDEFINIDA Podemos integrar expresiones con el comando int dando como primer argumento la expresión, y como segundo argumento la variable con respecto a la cual integramos: > int(2*x*sin(x),x);

Para integrar funciones basta con que el primer parámetro sea la función a integrar: > f:=x->x*exp(x);Int(f(x),x)=int(f(x),x);

MAPLE conoce todas las reglas de integración, por ejemplo: > Int(sin(x),x)=int(sin(x),x);

56

Aplicación del Maple al Análisis Matemático

INGENIERIA CIVIL

MAPLE es capaz de integrar por diferentes métodos: cambio de variable, por partes y por fracciones simples, aunque para el usuario el procedimiento no se ve, basta con utilizar el comando int. De todas formas podemos forzar a MAPLE a integrar por partes con el comando intparts del paquete student, dando como primer parámetro la expresión de la integral y como segundo parámetro la función u (de int(u·dv) = u·v-int(v·du)): > with(student):intparts(int(x^4*exp(x),x),x^4);restart:

INTEGRAL DEFINIDA Para evaluar una integral definida también se utiliza el comando int, dando como primer parámetro la expresión o la función a integrar, y como segundo argumento el intervalo de variación de la variable. Recordemos que Int devuelve la expresión inerte: > Int(x*sin(x),x=0..Pi)=int(x*sin(x),x=0..Pi);

> f:=x->1/sqrt(a^2-x^2): > Int(f(x),x=0..a)=int(f(x),x=0..a);

ÁREA BAJO UNA CURVA Utilizando los comandos letbox, rightbox y middlebox del paquete student podemos ver la interpretación geométrica de la integral definida: como parámetros damos la función, el intervalo del eje X y el número de rectángulos que queremos que aparezcan. También podemos pedir direrentes colores, etc. Incluso podemos pedir que se calcule la suma de las áreas de los rectángulos (interpretación de la integral de Riemann) > f:=x->10*x/(x^2+4): > with(student):

57

Aplicación del Maple al Análisis Matemático

INGENIERIA CIVIL

> rightbox(f(x),x=0..5,10);Suma1:=evalf(rightsum(f(x),x=0..5,10));

> middlebox(f(x),x=0..5,10);Suma2:=evalf(middlesum(f(x),x=0..5,10));

> leftbox(f(x),x=0..5,10);Suma3:=evalf(leftsum(f(x),x=0..5,10));

Podemos ver cómo estos tres valores convergen cuando el número de rectángulos crece.

58

Aplicación del Maple al Análisis Matemático

INGENIERIA CIVIL

INTEGRALES IMPROPIAS MAPLE calcula automáticamente integrales impropias, sean de la especie que sean, con el comando int.Como primer argumento se da la expresión a integrar y como segundo argumento el intervalo de integración, poniendo el infinito como infinity > f:=x->x/(sqrt(x^4+1)): > Int(f(x),x=0..infinity)=int(f(x),x=0..infinity);

> f:=x->exp(-x^2): > Int(f(x),x=0..infinity)=int(f(x),x=0..infinity);

> Int(f(x),x=-infinity..infinity)=int(f(x),x=-infinity..infinity);

> f:=x->sin(p*x)^2/x^2: > Int(f(x),x=0..infinity)=int(f(x),x=0..infinity);

> f:=x->exp(-a*x^2): > assume(a>0):Int(f(x),x=0..infinity)=int(f(x),x=0..infinity);

59

Aplicación del Maple al Análisis Matemático

INGENIERIA CIVIL

> assume(a=0):Int(f(x),x=0..infinity)=int(f(x),x=0..infinity);

> assume(a<0):Int(f(x),x=0..infinity)=int(f(x),x=0..infinity);

INTEGRALES MÚLTIPLES Podemos hacer integrales múltiples reiterando el comando int. > f:=(x,y,z)->x^2+y^2+z^2: > Int(Int(Int(f(x,y,z),z=0..1),y=0..1),x=0..1)=int(int(int(f(x,y,z),z=0..1),y=0..1),x=0..1);

> Int(Int(Int(x^2+y^2+z^2,z = 0 .. 1),y = 0 .. 1),x = 0 .. 1) = 1;

También podemos utilizar los comando Doubleint y Tripleint del paquete student, siendo necesario evaluar luego la salida de estos comandos: > with(student): > f:=(x,y,z)->x*y*z+x^2: Warning, new definition for D

60

Aplicación del Maple al Análisis Matemático

INGENIERIA CIVIL

> Tripleint(f(x,y,z),z=0..1,y=-2..2,x=-1..1);

> %=value(%);

En este último comando hemos utilizado el comodín. ECUACIONES Y SISTEMAS DIFERENCIALES Para trabajar con comandos relativos a ecuaciones y sistemas diferenciales es necesario cargar las siguientes librerías:

Los comandos más importantes de Maple que resuelven ecuaciones y sistemas diferenciales son los siguientes:

Resuelve simbólicamente la ecuación diferencial ordinaria para la función La solución suele venir en forma implícita como una ecuación en , en y en las constantes . Se considera como variable independiente y como variable dependiente.

Resuelve la ecuación diferencial expr = 0. Resuelve la ecuación diferencial deqn sujeta a las condiciones inciales dsolve(deqn, fnc(var), explicit=true); Da la solución en forma explícita de la ecuación diferencial deqn, si es posible. Resuelve el sistema de ecuaciones diferenciales dado, para la variable independiente var y las dependientes fnc1,...,fncn. dsolve({deqn1,...,deqnn, cond1,...,condm},{fnc1(var),...,fncn(var)}); Resuelve el sistema de ecuaciones diferenciales dado, para la variable independiente var y las dependientes fnc1,..., fncn y las condiciones iniciales cond1,..., condm. Encuentra soluciones exponenciales de una ecuación diferencial lineal deqn. odeadvisor(ode,[help]); Nos indica el tipo de la ecuación diferencial ode.

61

Aplicación del Maple al Análisis Matemático

INGENIERIA CIVIL

Encuentra un factor integrante para la ecuacion diferencial deqn. Muestra un gráfico bidimensional para el resultado de la ecuación diferencial deqn, que satisface las condiciones iniciales, con variable dependiente vardep y con variable independiente varind variando entre a y b ( la variable dependiente varía por defecto entre -10 y 10. Dibuja las soluciones del sistema de ecuaciones dado verificando las condiciones iniciales. El comando admite las mismas opciones que ecuaciones diferenciales. TRANSFORMADA DE LAPLACE Para trabajar con la transformada de Laplace es necesario cargar la librería:

Algunos comandos importates relativos a la transformada de Laplace son los siguientes:

Calcula la transformada de Laplace de expr con respecto a t. La transformada es de variable s.

Calcula la transformada inversa de Laplace de la expr con respecto a s. La transformada inversa de Laplace es de variable t.

Fuerza al uso de la transformada de Laplace en la resolución de la ecuación diferencial edo..

Fuerza al uso de la transformada de Laplace en la resolución del sistema de ecuaciones ecu1,..., ecun en las variables var1,...,varn. Representa a la función Gamma. Representa la función escalón en la expresión de la variable independiente

Representa la función delta de Dirac en la expresión de la variable

BIBLIOGRAFIA: Manuales bajados de paginas de internet:

62