Mapas Mentales

APLICACIÓN

•

Es

útil

para

resolver

DEFINICIÓN Sea f una función definida para , la transformada de Laplace de f(t) se define como:

ecuaciones

diferenciales que involucran funciones , periódicas, funciones discontinuas a trozos o deltas.

• • •

Útil para el análisis de sistemas dinámicos lineales. Permite resolver ecuaciones diferenciales lineales mediante la transformación en ecuaciones algebraicas Es posible convertir funciones tales como senoidales, exponenciales, en funciones

La transformada de Laplace toma su nombre en honor a Pierre- Simon Laplace.

TRANSFORMACI ÓN DE LAPLACE

PROPIEDADES •

Linealidad

VARIABLES

EJ: L { df(t)/dt} = sF(s) - lím f(t) = sF(s) - f(0)

•

Diferenciación

•

Desplazamiento en la frecuencia

•

Multiplicación por

EJ;

1. Lím f(t) = Lím s F(s)

•

Teorema de valor inicial

Ej:

La letra s representa una nueva variable, que para el proceso de integración se considera constante

2.

La transformada de Laplace convierte una función en t en una función en la variable s 3. Condiciones para la existencia de la transformada de una función:

 

De orden exponencial. Continua a trozos

•

Teorema de valor final

•

Convolución

•

Desplazamiento en el tiempo

•

Derivada

•

Integral

F(s)G(s)

Ej:

APLICACIÓN

DEFINICIÓN Una función es periódica si los valores de la variable dependiente se repiten conforme se añade a la variable independiente un determinado

En la vida diaria existen muchos casos De funciones periódicas:

PERIODO

-

Cuando la variable es el tiempo; . Situaciones como el movimiento de las

- Donde P es el período.

manecillas de un reloj muestra un comportamiento periódico . Las funciones trigonométricas, tales como la función seno, o coseno son

La función f que devuelve la parte fraccional de su argumento: EJEMPLO Si una función f es periódica con período P, entonces para todo x en el dominio de f y para todo n entero:

En el ejemplo anterior, el valor de P es 1, dado que:

FUNCIONES PERIODICAS

Una función es periódica si su gráfica, o las imágenes de los valores de x, se repiten cada cierto intervalo.

PROPIEDADES

Las funciones propiedades:

periódicas

tienen

ciertas

Sen ( x + 2k ) = sen x ; cos ( x + 2k ) = cos x Esto no implica que el período de una función tenga que recibir el menor valor posible que satisfaga la expresión anterior, sino que podría tomar cualquier otro.

APLICACIÓN

Sec ( x + 2k ) = sec x ; cosec ( x + 2k ) = cosec x Tan ( x + k ) = tan x ; cot ( x + k ) = cot x Donde k es cualquier número entero.

DEFINICIÓN

Tiene aplicaciones en:

Es una función discontinua cuyo valor es 0 para cualquier argumento negativo y 1 para cualquier argumento positivo

+ Ingeniería de control + Procesamiento de señales + Se utiliza para presentar variables que:

Se interrumpen en algún instante de tiempo, para esto se multiplica la función escalón unitario por la función que define la variable en el tiempo.

FUNCIÓN ESCALÓN

PROPIEDADES

La función escalón unitario toma su nombre en honor a al matemático Oliver Heaviside.

+ Cambio de signo del argumento.

+ Límites. + La derivada en el sentido de las distribuciones es la delta de Dirac.

+ Es la integral de la función delta de Dirac. + Transformada de Laplace.

ESTUDIO DE LA FUNCIÓN

DEFINICIÓN

- Corte en el eje y

Se llama función cuadrática a una función polinómica real de variable real, que tiene grado dos.

- La función corta el eje y en el punto y = f(0), es decir, la parábola corta el eje y cuando x vale cero (0): - Lo que resulta:

VARIABLES - Corte en el eje x -La función corta al eje x cuando y vale 0:

-Las distintas soluciones de esta ecuación de segundo grado, son los casos de corte con el eje

FUNCIÓN CUADRATICA

Donde a, b y c son constantes y a es distinto de 0

IMPORTANCIA En matemáticas y física

- Forma factorizada - Toda función cuadrática se puede factorizar en función de sus raíces. Dada: - Se puede factorizar como:

PROPIEDADES

- Extremos relativos

- Forma canónica Puede ser expresada mediante el cuadrado de

Puede ser expresada mediante el cuadrado de

un binomio:

un binomio:

APLICACIONES Siendo a el coeficiente principal y el par ordenado (h;k) las coordenadas del vértice de la parábola.

Siendo a el coeficiente principal y el par ordenado (h;k) las coordenadas del vértice de la parábola.

El dominio de f es el conjunto de todos los números reales. 2. Si a > 0, la parábola se abre hacia arriba, y si a < 0, hacia abajo 3. El vértice de la parábola es 4. El eje de simetría de la parábola es

5.

Se aplica en aquellos casos donde es necesario medir la rapidez con que se produce el cambio de una magnitud o situación. Es una herramienta de cálculo fundamental en los estudios de Física, Química y Biología, o en ciencias sociales como la Economía y la Sociología.

1.

Las intersecciones con el eje x (si existen) se determinan resolviendo f(x)=0. DEFINICIÓN

La intersección con el eje y f(0)=c Dada una función y = f(x), la derivada mide la variación de y, cuando hay una pequeña variación de x

Derivada de la función y=f(x), es:

LA DERIVADA Inventada por Newton y Leibnitz.

DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO

FUNCIÓN DERIVADA

Representa el valor de la pendiente de la recta tangente en dicho punto. La pendiente está dada por la tangente del ángulo que forma la recta tangente a la curva (función) con el eje de las abcisas, en ese punto.

Mide el coeficiente de variación de dicha función

La derivada es una función de x, puesto que un valor de f'(x) corresponde a cada valor de x.

EJEMPLO

CLASES

Si tomamos la velocidad de algo, su coeficiente es la aceleración, la cual EJEMPLO mide cuánto cambia la velocidad en un tiempo dado. Una ecuación de primer grado con dos incógnitas es aquella que se puede expresar de la forma: donde (incógnitas) y reales).

y

e

son variables

constantes (números

    

TEOREMA Si una función es derivable, entonces es continua. - f es derivable en x=a. - f es continua en x=a.

Derivada direccional Derivada parcial Derivada fraccional DEFINICIÓN Derivada funcional Derivada en el sentido de las distribuciones Se llama solución de una ecuación con dos incógnitas a todo par de valores que hacen cierta la igualdad.

2x + 3y = 5 5x + 6y = 4

Si sólo tenemos una ecuación con dos incógnitas, Tendremos infinitas soluciones.

METODOS Una ecuación de primer grado con dos incógnitas soluciones.

tiene

infinitas

Para cada valor que le asignemos a la variable , podemos encontrar un valor de la variable , despejándola en la ecuación

ECUACIONES CON 2

- Reducción Se busca que en ambas ecuaciones una de las variables tenga coeficientes opuestos (mismo valor, pero con diferente signo) para que sea eliminada al sumarlas.

- Sustitución Se debe despejar una de las variables en una de las ecuaciones, y reemplazar la expresión obtenida en la otra ecuación.

- Igualación Este método consiste en despejar la misma variable en las dos ecuaciones y luego igualarlas.