Manual Matemática I-201201.pdf

Matemática I

2

CARRERAS PROFESIONALES

CIBERTEC

MATE MÁTICA I

3

Índice

Página

Presentación

5

Red de contenidos

6

Unidad de aprendizaje 1 1.1 Tema 1

: LOGICA PROPOSICIONAL

1.1.1

Lógica proposicional

1.1.2

Clases de proposiciones

10

1.1.3

Operadores lógicos

13

1.1.4

Jerarquía de los conectivos lógicos

24

1.1.5

Proposiciones equivalentes

27

1.2 Tema 2

9

: CONJUNTOS

1.2.1

Determinación de conjuntos

37

1.2.2

Relación entre conjuntos

39

1.2.3

Conjuntos numéricos

41

1.2.4

Intervalos

42

1.2.5

Conjuntos especiales

43

1.2.6

Operaciones con conjuntos

47

Unidad de aprendizaje 2 2.1 Tema 3 2.1.1 2.2 Tema 4

: MAGNITUDES PROPORCIONALES Razones y regla de tres

63

: TANTO POR CIENTO

2.2.1 : Regla del tanto por ciento, porcentajes y propiedades

66

2.2.2 : Descuentos y aumentos sucesivos

67

2.2.3 : Precio de venta, precio de costo, precio de lista, descuento y ganancia

71

Unidad de aprendizaje 3 3.1 Tema 5

: TEORÍA DE EXPONENTES

3.1.1 : Potenciación

78

3.1.2 : Radicación

81

3.2 Tema 6

: PRODUCTOS NOTABLES

3.2.1 : Productos notables

90

3.2.2 : Racionalización Casos de racionalización

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96

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4

3.3. Tema 7

: FACTORIZACIÓN

100

Casos de factorización

Unidad de aprendizaje 4 4.1 Tema 8

: ECUACIONES

4.1.1 : Ecuaciones lineales

108

4.1.2 : Sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas

112

4.1.2 : Ecuaciones de segundo grado

119

UNIDAD DE APRENDIZAJE 5 5.1 Tema 9

: INECUACIONES

5.1.1 : Inecuaciones lineales

125

5.1.2 : Inecuaciones racionales

128

5.1.3 : Inecuaciones cuadráticas

130

5.1.4

136

Inecuaciones con factor elevado a exponente para e imparinecuaciones de orden superior

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5

PRESENTACIÓN

Matemática I pertenece a la línea formativa y se dicta en todas las carreras de la Escuela de Gestión y Negocios de la institución. Todo aquel que se dedique a los negocios necesita contar con ciertas herramientas que le permita efectuar cálculos con rapidez y eficiencia. Por ello, el curso de Matemática I pretende que el estudiante maneje los conceptos básicos y fundamentales, así como los procesos aritméticos y algebraicos resolviendo problemas aplicativos, además de ecuaciones e inecuaciones de modelos matemáticos que les permitirán, en ciclos superiores, un mayor dominio en la resolución de problemas asociados al área de gestión y negocios.

El manual para el curso ha sido diseñado bajo la modalidad de unidades de aprendizaje, las que se desarrollan durante un periodo determinado. En cada una de ellas, se hallarán los logros que debe alcanzar el alumno al final de la unidad; el tema tratado, el cual será ampliamente desarrollado; y los contenidos que deben desarrollar, es decir, los subtemas. Por último, se encuentran las actividades que deberá desarrollar en cada sesión, lo cual le permitirán reforzar lo aprendido en la clase.

El curso es teórico–práctico. En tal sentido, en cada sesión, se ha contemplado la teoría necesaria para la aplicación en la solución de los ejercicios propuestos, y como modelo encontrará varios ejercicios resueltos que le servirá de guía. La solución de ejercicios, en algunos casos, la realizará solamente el profesor quien demostrará las definiciones, propiedades, teoremas, etcétera, que intervienen en la solución del caso; en otros, el profesor los resolverá con los alumnos. Sin embargo, con la práctica directa e indirecta, los alumnos estarán en condiciones de desarrollarlos por cuenta propia. Asimismo, hallará preguntas de prácticas y/o exámenes propuestos en ciclos pasados relacionados con la sesión que se está desarrollando, las mismas que permitirán la autoevaluación y preparación antes de asistir a las evaluaciones calificadas.

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6

RED DE CONTENIDOS

MATEMATICA I

Magnitudes proporcionales

Regla de 3 Porcentajes

Precio de compra Venta y ganancia

Fundamentos De conjuntos

Fundamentos de Algebra básica

Matrices, determinantes y operaciones

Operaciones y Cardinalidad

Potenciación Y Radicación

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Matrices

Factorización y Racionalización

Ecuaciones De 1 y 2 variables

Inecuaciones De orden superior

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8

UNIDAD DE APRENDIZAJE

1 TEMA

1 FUNDAMENTOS DE LÓGICA Y CONJUNTOS LOGRO DE LA UNIDAD DE APRENDIZAJE Al término de la segunda semana, el alumno, elabora el valor de verdad y simplifica los esquemas moleculares a partir de otro haciendo uso de las tablas de verdad de los operadores lógicos y de las leyes del álgebra proposicional. TEMARIO Enunciado y proposición. Proposiciones simples y compuestas. Operadores lógicos más utilizados en computación ACTIVIDADES PROPUESTAS Discusión general acerca de lo que es enunciado y proposición. Exposición dialogada. Trabajo de grupos. Como actividad para la casa, se propone desarrollar los ejercicios pendientes del manual.

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LÓGICA PROPOSICIONAL Definición Clásica Es una disciplina formal que tiene por objeto el análisis de la condición de los razonamientos, por lo que se comienza eliminando las ambigüedades del lenguaje ordinario. Se introducen símbolos y conectivos cuyo uso adecuado descarte las contingencias y aporte claridad y economía de pensamiento. Conceptos básicos: Enunciado: Es toda frase, oración o sentencia que usamos en nuestro lenguaje. Ejemplo: 1) La matemática es base de todas las ciencias. 2) ¿Aprobaremos el curso de Lenguaje de Programación? 3) ¡Arriba Perú! 4) El Perú es grande. 5) Te visitaré mañana. 6) X es un número par. 7) José estudia y canta. 8) 4x + 5 = 6 9) 2x + 5 < 8 NOTA: Todas las preguntas, las admiraciones y las órdenes, son “simplemente enunciados” no sufren ninguna transformación o modificación. Enunciado Abierto.- Es aquel enunciado o ecuación con una o más variables, en el cual no se conocen los valores específicos de las variables. Estos enunciados pueden ser modificados a “proposición”(asignándole cualquier valor a la(s) variable(s).

Ejemplo: 1) 2) 3) 4)

Algunos alumnos del Primer ciclo son más hábiles en álgebra: 3x + y = 10 x = ?, y=? x + 5 > 20 x=? Ella está estudiando “No se conoce quién es ella”

Proposición.Es todo enunciado, al cual se le puede asignar un valor de verdadero o falso; pero nunca ambos a la vez. Ejemplo: 1) 2) 3) 4) 5)

Ramón Castilla fue presidente del Perú El Perú produce plata 4x2=8 5<0 Todo hombre es mortal

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(v) (v) (v) (f ) (v)

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10

Notación.Las proposiciones se denotan con las letras minúsculas como p, q, r, s, t,...etc. Ejemplo: 1)

p: El Perú es hermoso q: 2 + 6 8 r: 6 +1 < 5 + 10

v (p) = v v (q) = f v (r) = v

Ejercicios Propuestos 1. Indique cuales de los siguientes 2) Escriba cuatro enunciados son proposiciones o enunciados abiertos. simplemente enunciados. a) Todo hombre es mortal

a) ….

b) ¿Cuántos años tienes?

b) ….

c) ¡Apúrate

c) ….

!

d) 18 es un número primo.

3) ¿Cuál simplemente abierto?

ejemplos

de

d) ……

es la diferencia entre 4) ¿Cuál es la diferencia entre una enunciado y enunciado proposición y un enunciado abierto?

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11

CLASES DE PROPOSICIONES a)

Simples.- Llamadas también atómicas o elementales. Son aquellas que tienen un solo sujeto y un solo predicado. No llevan conectivo lógico. Ejemplo: 1) 2) 3) 4)

b)

Cibertec es un Instituto líder en enseñanza. Electrónica es una especialidad. La pizarra es verde. Los animales mueren.

Compuestas.- Llamadas también moleculares o coligativas. Son aquellas que están constituidas por dos o más proposiciones simples, las cuales son enlazadas por algún conectivo lógico. Ejemplo: 1) César Vallejo nació en Perú y es poeta. 2) Alberto es técnico electrónico y practica deportes. 3) Si el cielo está despejado, entonces se ve celeste. 4) El sol es grande y emite luz.

Además, existen enunciados que no son proposicionales como por ejemplo: Exclamativos :

Socorro

Interrogativo :

¿Hasta qué hora dura la clase?

Imperativo

:

Fuera

Admiración

:

¡Oh!

Conectivos Lógicos.- Son aquellos símbolos que usamos para enlazar dos o más proposiciones simples. Son los siguientes:

,

: : : : :

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que se lee “y” que se lee “o” que se lee “o” pero no ambas que se lee “si ... entonces...” que se lee “si y sólo si”

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12

Ejercicios propuestos Simboliza los siguientes párrafos :

2) Escribe la forma correcta de leer las siguientes proposiciones.

a) Dos tiene sólo dos divisores entonces es primo, además es Sea p: 2 es primo par.

a) ~ p b) No es cierto que 5 es un número primo o cuatro no es un número b) cuadrado perfecto. c) No es cierto que 6 es un cubo perfecto, y que 13 sea un c) número par. d) 9 es un impar y si 6 tiene más de d ) 2 divisores, entonces es un número compuesto.

3.

Escriba tres ejemplos proposiciones simples y proposiciones compuesta

de 5) tres

;

q: 3 es impar

q :

~ p

q:

~ p

q :

~ p

q:

Escribe el significado de los siguientes conectivos:

: ................................................... : .................................................... : .................................................... : .................................................... : .................................................... : .....................................................

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13

OPERADORES LÓGICOS Negación de una proposición.- Negar una proposición consiste en cambiar el valor de verdad que tenía antes. Es el conectivo lógico que se usa para negar el valor de verdad de una proposición cualquiera. Simbólicamente se le denota por: ~p Lógica Clásica P

~p

V

F

F

V

Ejemplos: 1)

p: Las rosas no son rojas ~p: Las rosas son rojas

2)

q: 7 es mayor que 5 ~q: 7 no es mayor que 5

o

q: 7 > 5 ~q: 7 5

V(q) = V V(~q) = F

Conjunción Definición Es el conectivo lógico que se usa para afirmar simultáneamente la veracidad de dos oraciones componentes. Se le denota por:

Lógica clásica P

q

Ejemplo: Sean p: 4 es divisor de 20 V(p) = V q: 20 es múltiplo de 5 V(p) = V p q = pyq = 4 es divisor de 20 y 20 es múltiplo de 5. V(p q) = V Tabla de verdad # de combinaciones de los valores de verdad de las proposiciones simples es: #c = 2n,

donde

n = # de proposiciones simples.

Su tabla de verdad es: Lógica Clásica

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p

q

V

V

V

V

F

F

F

V

F

F

F

F

p

q

Disyunción Inclusiva Definición La llamada disyunción inclusiva o disyunción débil es un conectivo lógico que se usa para afirmar que, por lo menos una de las oraciones componentes, es verdadera. Se le denota por:

Lógica clásica pvq Ejemplo: P : 8 es menor que 5

V(p)

= F

q : 6 es mayor que 3

V(q)

= V

p v q: 8 es mayor que 5 ó 6 es mayor que 3

V(p v q) = V

Su tabla de verdad es: Lógica Clásica p

q

pvq

V

V

V

V

F

V

F

V

V

F

F

F

Condicional Definición Es una proposición recíproca, implicación u oración condicional. Una proposición

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condicional es falsa, cuando la proposición como antecedente es verdadera y la proposición como consecuente es falsa. En cualquier otro caso es verdadero. Se le denota por: Lógica clásica p

q

Ejemplo: 1)

Si Patricia consigue visa de turista, entonces viajará a Nueva York Si p = Patricia consigue visa de turista q = Patricia viajará a Nueva York

Entonces la proposición se simboliza por: p

2)

q

Si los hombres son inmortales, entonces la luna brilla. Si p = Los hombres son inmortales q = La luna brilla

Luego se simboliza: V ( p

3)

V(p) = F V(q) = F

q) = V

Explique por qué las condicionales siguientes tienen los valores veritativos indicados. a) 2 + 3 = 8  5 < 6 b) 3 – 1 = 42  29 <2 c) Si 5 es primo, entonces es un número par

(V) (V) (F)

Nota: Una implicación puede transformarse en una disyunción, así: p  q

~pvq

Su tabla de verdad es:

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16

Lógica Clásica p

q

Pq

V

V

V

V

F

F

F

V

V

F

F

V

Bicondicional Definición Es el conectivo lógico que se lee “....si y sólo si......”. En general una oración bicondicional es llamada también “equivalencia material” que se usa para afirmar los casos en que p = q en valores de verdad. Se le denota por:

Lógica Clásica p

q

Ejemplo: p: 2 > 4

V(p) = F

q: 2 + 6 > 4 + 6

V(q) = F

p

V(p

q: 2< 4 si y solamente si 2 + 6 < 4 + 6

q) = V

También se lee como: “p si y solamente si q” “p es una condición suficiente y necesaria para q”

Nota.- La diferencia que existe entre p q y p = q, está en que una bicondicional es una proposición, pero p = q es una declaración acerca de dos proposiciones más no es una proposición.

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Su tabla de verdad es: Lógica Clásica p

q

V

V

V

V

F

F

F

V

F

F

F

V

p

q

Disyunción Exclusiva Definición Es llamada disyunción excluyente o disyunción fuerte. Este conectivo lógico se usa para afirmar que sólo una de las oraciones componentes es verdadera. Además la disyunción excluyente es la negación de una bicondicional. Se le denota por: Lógica clásica p

q

Ejemplo:

p

q:

p: 3 < 5

V(p) = V

q: 2*3 < 2*5

V(q) = V

3<5

2*3 < 2*5

V(p q) = F

Su tabla de verdad es: p

q

V

V

F

V

F

V

F

V

V

F

F

F

p

q

Ejemplos:

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18

1) Sean p, q y r proposiciones tales que p = V, q = F y r = F. Indica cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas:

a)

p

q

(r

x)

b)

~ p

(q

c)

p

q

~p

~q

d)

~ p

q

w

~ t

t) ~ p y

q

~ q

p

z

Solución

a)

b)

c)

d)

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19

2) Sean p , q , r, s proposiciones tales que ¿Cuál de las siguientes proposiciones son falsas?

a) ( ~ p ~ q) (~ q ~ s ) b) ~ r q w q r c) p q p q ~ q

. Indica

s

Solución:

a)

b)

c)

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20

Ejercicios Propuestos

1) Si se cumple: p q r V ; p s F ; q s F Halla el valor de verdad de las siguientes proposiciones compuestas: a) p s b) r p q c) p q s r

R: a) V 2) Si

~ p

r

q p q s s ~ p q r ~ q

Halle el valor de:

p u

t p

b) V c) V

F

p

q

R: ( V ) 3) Si la negación de la siguiente proposición es verdadera:

~s

q

s

p

Halle el valor de verdad de:

r

~ p q p q r m

p

s

R: ( F ) 4) Si: p r q p q Δm Determina el valor de verdad de:

m p n p q r p

F r m

n

R: ( V )

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21

5) Si la negación de la proposición: verdadera, determine el valor de:

p r

~r s

~ p

p q ~ q

~ q es ~ p r

R: ( F ) 6) Si la proposición: p Determine el valor de :

q p

r t ~t

p r

F q

p

t

q

R: ( V )

s Halle el valor de : ~

7) Si la proposición

~q r ~ s ~r x

q s ~q

~r p t ~ p

V

R: ( V )

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22

Resumen

 Un enunciado es cualquier expresión.  La proposición es un enunciado que puede ser Verdad o Falsa.  Operadores Lógicos: p V

~p F

F

V

p V V F F

q V F V F

p

q V V V F

p q F V V F

p

q

p

V F F F

q V F V V

p

q V F F V

 Si desea saber más acerca de estos temas, puede consultar las siguientes páginas.  http://w3.cnice.mec.es/eos/MaterialesEducativos/mem2003/logica/ Aquí encontrará toda la información relativa a la lógica.  http://www.guiamath.net/ En esta página, hallará algunos ejercicios resueltos.

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JERARQUÍA DE LOS CONECTIVOS LÓGICOS Si en una proposición compuesta no aparecen los signos de agrupación como: paréntesis, llaves, corchetes, etc., los conectivos lógicos: “~”, “ ”, “ ” tienen igual jerarquía, y , tienen mayor jerarquía, avanzando de izquierda a derecha. Tablas de verdad La verdad o falsedad de una proposición se denomina validez (o su valor de verdad). La validez de la negación, de la conjunción, de la disyunción, de la condicional y de la bicondicional se pueden representar en tablas. En consecuencia, dadas dos o más proposiciones simples cuyos valores de verdad son conocidos, el valor de verdad de una proposición compuesta depende de la verdad de cada una de las proposiciones componentes y se determina mediante TABLAS DE VERDAD.

Tautología, Contradicción y Contingencia Tautología.- Es toda proposición simple o compuesta cuyo valor de verdad es siempre verdadero, para cualquier combinación de valores veritativas de sus componentes. Contradicción.- Es toda proposición que tiene como valor de verdad siempre falsa para cualquier combinación de sus valores veritativas de sus componentes. Contingencia.- Cuando la tabla de una proposición tiene al menos una V y una F. Ejemplos: 1)

La proposición: [(~p v q)

p

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q



~q]

~p

es una tautología.

~q]  ~p

[(~p v q)

V

V

F

V

F

V

F

F

V

F

F

V

F

V

V

F

F

V

V

V

T = tautología = V

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24

T

2)

La proposición: [(p

q)

q]

~q

es una contradicción.

p

q

V

V

V

F

F

V

F

F

F

V

F

V

V

F

F

F

F

F

F

V

[(p

q)

v q]

~q C = contradicción = F

C

La proposición: (~p

p

q

V

V

V

~q) v ~q

(~p

es una contingencia.

~q)

v

~q]

F

F

F

F

F

V

V

F

V

F

F

F

F

F

V

V

V

Contingente

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25

Ejercicios Propuestos 1) Por medio de Tabla, determine si los siguientes esquemas moleculares representa una Tautología, Contradicción o Contingencia

a) p

q

r

~ ~q

~p

~r

b) p

q

p

R: ( T )

c) p

q

r

p

q

~r

R: ( C )

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R: ( C )

d) p

q

q

r

p

r

R: ( T )

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26

p ~q

2) Si la siguiente proposición:

~p

m es Falsa.

Indique si las siguientes proposiciones representan una Tautología, Contradicción o Contingencia.

a) p

r

m

b) q

p

r

m

R: ( T )

c)

m

r

n

R: ( C )

r

n

R: ( T )

d)

~ q

m

s

n

R: ( C )

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27

PROPOSICIONES EQUIVALENTES

Proposiciones Lógicamente Equivalentes Dos proposiciones compuestas son lógicamente equivalentes si al ser unidas con el conectivo resulta una tautología; es decir, sus tablas de verdad son idénticas. La equivalencia se denota por “ ”. Se llama también proposiciones equivalentes. Se lee “ P es equivalente a Q” o “Q es equivalente a P”. Ejemplo: las proposiciones (p  q) y [(~q)  ~p] son equivalentes.

(p



q)



p

q

[~q

~p]

V

V

V

F V

F

V

F

F

V F

F

F

V

V

F V

V

F

F

V

V V

V

Idénticas

Inténtelo usted ahora, resolviendo el siguiente ejemplo. ¿La proposición p q q r es equivalente a cuál de las siguientes proposiciones? ( Use Tablas )

a) p

p

r

b) p

q

R: ( si es )

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q

p

r

q

R: ( Si es )

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28

GUÍA DE EJERCICIOS TEMA: Lógica clásica EJERCICIOS RESUELTOS: Si la proposición ~(~r v s) 

1)

[(p

q)

~ q ~ p

s

r]

F

Halla el valor de:

a) ~ r p b) q ~ s c) ~ ~ r ~ s

q r

~ s s q

~ q

Solución

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29

2) Si se sabe que:

s r q

p s p

V F F

Determina el valor de verdad de:

a)

~ r

b)

p

q ~ s

s r

p p

q

r

Solución:

Valores veritativos: s=V

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r=F

q =V

p= F

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30

a)

~r

q

F V V   F

s

p

b)

p

~s

r

V

F

V

   F

F F   

q

r

V F 

F F  F

 V

p

F F  V

 V

EJERCICIOS PROPUESTOS 3)

Si la negación de la siguiente fórmula lógica es verdadera:

p

s

p

r

~ q

s

Hallar el valor de verdad de:

~

r

s

~

p

q

~ s

Solución:

R: ( V )

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31

4. Si se sabe que:

s

t

F

r

s

F

q

r

V

p

q

F

Halla el valor de verdad de la siguiente proposición:

k

r

x

p

s

m

t

n

Solución:

La proposición es falsa.

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32

5. Sean las proposiciones p , q, r, y s tales que:

p s r

q es F p es V s es F

Determina el valor de las siguientes proposiciones:

a) r

x

~ p

b) (s

q)

c)

w

p

d)

p

q

p q

s

x x

s

V F

~ w

p

q

~p

r s V

r

F

Luego:

a

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33

b

c

d

p

q

V

s

F F

V

r

q

F

F

~p

V

F

? V

V

Es verdadero (Tautología)

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34

Resumen  Tipos de proposiciones 1. Tautológica: significa Verdad. 2. Contradicción: significa Falso. 3. Contingencia: significa que no es Verdad ni Falso.  Proposiciones equivalentes.- dos proposiciones son equivalentes cuando sus tablas de verdad sin idénticas.

 Si desea saber más acerca de estos temas, puede consultar las siguientes páginas. http://www.guiamath.net/ejercicios_resueltos/01_03_01_03-Logica_AlgProposiciones/0_algebra-proposiciones.html

Aquí encontrará ejercicios sobre álgebra de proposiciones.  http://w3.cnice.mec.es/eos/MaterialesEducativos/mem2003/logica/ En esta página, hallará algunos ejercicios resueltos.

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35

UNIDAD DE APRENDIZAJE

1

TEMA 2

TEORÍA DE CONJUNTOS LOGRO DE LA UNIDAD DE APRENDIZAJE Al término de la unidad, el alumno, considerando las propiedades y teoremas de operaciones entre conjuntos, y resuelve problemas mediante los diagramas de Venn.

TEMARIO Definición de conjunto: Determinación de conjuntos:

a) Por extensión b) Por comprensión Relación de pertenencia y de inclusión Conjuntos numéricos - Naturales - Enteros - Racionales - Irracionales - Reales - Complejos

Tipos de conjuntos - Conjunto vacío - Conjunto unitario - Conjuntos comparables - Conjuntos disjuntos - Conjunto universal

Operaciones: - Unión - Intersección - Diferencia - Diferencia simétrica - Complemento

ACTIVIDADES PROPUESTAS Los alumnos, en una exposición dialogada, discuten acerca de la definición de conjunto. Desarrollarán los ejercicios propuestos en el manual sobre el uso de y . Desarrollarán los ejercicios propuestos en el manual sobre conjuntos e intervalos.

Tema 3: Conjunto e intervalos

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36

La idea de conjunto es básica en el pensamiento humano. La idea es algo puramente intuitivo, algo no definido; pero sí entendido por cada persona como resultado de su propia experiencia. Es por eso que al referirnos al concepto de conjunto, intuitivamente pensamos o lo identificamos como una agrupación o colección de cualquier tipo de identidades u objetos. Estos objetos se llaman elementos, entes o miembros de un conjunto. NOTACIÓN Generalmente, se denota a los conjuntos mediante letras mayúsculas o encerrando entre signos de colección. A aquellos objetos que forman parte del conjunto se les denomina elementos del conjunto. Ejemplo: A = {a, b, 1, x, 2, , } A a

b x

2

1

n (A) = 7 # de elementos

RELACIÓN DE PERTENENCIA Se le denota por el símbolo “ ”. Se usa cuando el elemento está referido respecto a un conjunto. Así, respecto al ejemplo anterior: A 3 A

3.1 Determinación de conjuntos Todo conjunto se determina de dos maneras: Por extensión o forma tabular. Por comprensión o forma constructiva.

DETERMINACIÓN POR EXTENSIÓN Dado un conjunto cualquiera A, diremos que está determinado por extensión si al expresarlo o escribirlo enumeramos todos los elementos explícitamente. Ejemplo: A = {a, e, i, o, u}

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37

B = {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo} C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

DETERMINACIÓN POR COMPRENSIÓN Dado un conjunto cualquiera A, diremos que está determinado por comprensión si el conjunto A está dado mediante alguna propiedad única y común de sus elementos que los caracteriza. Ejemplo: A = {Las vocales del alfabeto} B = {x/x es un día de la semana} C = {x N / x

7}

Ejercicios: Dado el siguiente conjunto A = {3, 5, 12, 24, 41, 63} que está definida por extensión, transfórmelo a comprensión. Solución:

3 5 12 24 41 63  2

7



12



17



22



Como en la segunda diferencia sucesiva se encuentra el número constante, esto indica que el conjunto A lo define una ecuación de segundo grado. Así tenemos: x = an2 + bn + c Si

n=1  x=3

a + b + c = 3 ….................(I)

Si

n=2  x=5

4a + 2b + c = 5 …............(II)

Si

n = 3  x = 12

9a +3b + c = 12 …............(III)

De (II) – (I)

: 3a + b = 2 ….................. ( )

De (III) – (II) : 5a + b = 7 …...................( ) De ( ) – ( ) : 2a = 5

a

CIBERTEC

5 ; 2

b

11 ; 2

c

6

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38

A

x Z/ x

5 2 11 n n 6, 2 2

n 6

3.2 Relación entre conjuntos RELACIÓN DE INCLUSIÓN Se dice que A está incluido o está contenido en B, si todo elemento de A es también elemento de B, denotándose por: A

A

B que se simboliza.

B

( x

A

:

Si

x

A

x

B)

Por lo que decimos que A es un subconjunto de B, o que A es parte de B, o que B contiene al conjunto A.

El conjunto vacío ( ) es subconjunto de cualquier conjunto. DEFINICIONES Si A B, pero existe por lo menos un elemento de B que no pertenece al conjunto A, se dice que A es parte propia de B o A es subconjunto propio de B o que B contiene propiamente al conjunto A. Ejemplo: A = {6, 9, 12} B = {5, 6, 9, 10, 12, 15} A es un subconjunto propio de B.

RELACIÓN DE IGUALDAD Dos conjuntos A y B son iguales si y sólo si tienen los mismos elementos, sin importar el orden como se ubiquen, o la repetición de uno de ellos. A=B

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A

B

B

A

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39

Ejercicios propuestos para la clase

1) Dé 2 ejemplos de conjuntos determinados por comprensión

2) Determinar por comprensión los conjuntos mencionados en el problema 1

3) Determine por comprensión los siguientes conjuntos: A = { 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 } B = { 1, 4, 9, 16, 25, … , 100 }

4) Determine por extensión:

a) x / x

n2 4 , n n 2

0,1,3,4

b) x / x

n 2 , n n 1

0,1,2,3,4

c) x / x

n n , n n 1

0,8,27

6) Si A

2, 3 , x, y , B ; diga si es F o V c/u de las proposiciones siguientes:

3

a) B

A

b) y

A

( )

c) 2 A

( )

d) 3

A

( )

e) B

A

( )

( )

f ) x, y

A ( )

3.3 Conjuntos numéricos e intervalos

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40

Z+ = N

No

O -

Z

abc

Decimal Exacto: 0.abc

1000

abc

Decimal puro: 0.abc

999 abcde ab

Decimal mixto: 0.abcde =

Propios:

99900

2 , 3 , 5 , …....etc.

Trascendentales:

= 3, 141592654 …...... e = 2, 718281828 …...... n = 6, 0235 x 1023

N = {números naturales} N = {1, 2, 3, 4, 5, …....... + } Z = {números enteros} Z = {- , …........, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,…........+

}

Q = {números racionales) {x/x = m/n , m, n

Z, n

0}

I = {números irracionales} I = x/x tiene representación decimal no periódica} R = {números reales} R = {x/x es irracional o racional} C = {números complejos} Donde:

1 = i

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;

C = {x/x = a+ bi / a, b

R}

i2 = -1 ;

1

i3 =

= -i

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41

INTERVALOS Son subconjuntos de los números reales (R) que sirven para expresar la solución de las inecuaciones. Estos intervalos se representan gráficamente en la recta numérica real.

TIPOS

NOTACIÓN

a; b

Intervalos finitos

DESIGUALDAD

a

x

a

x

a;

a

x

b

a

b

a

b

b

x>a

x

a b

a; b a; b

GRÁFICA

b

Complete…

a

a; Intervalos infinitos

;b

x
;

x

3.4 Conjunto especiales a) Conjunto vacío.- Es aquel conjunto que se denota por es que no tiene ningún elemento.

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= { } y cuya característica

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42

Ejemplo: (i)

= {los hombres son inmortales}

(ii)

= {x

R/x

x}

a) Conjunto Unitario.- Es aquel conjunto que tiene un solo elemento. Ejemplo: A = {Satélite de la tierra}

B

x

Z /x

1

3

x 1

0

b) Conjunto Comparables.- Se dice que A y B son comparables si alguno de ellos está contenido en el otro. Es decir: A

B

B

A

c) Conjuntos Disjuntos.- Son aquellos conjuntos que no tienen elementos comunes. Es decir: Si x

A

x

B

Si x

B

x

A

d) Conjunto Universal.- Es aquel conjunto que se denota por “U”, siendo aquél que contiene todos los elementos que están siendo considerados para un estudio en particular. N = {Conjunto universal de los enteros positivos}

e) Conjunto Equivalentes.- Dos conjuntos A y B cualesquiera son equivalentes o coordinables si existe una correspondencia biunívoca (uno a otro) entre sus elementos, es decir, que ambos conjuntos tienen la misma característica, siendo para algunos casos de elementos diferentes. Se le denota por: “ ”. Ejemplo: Sea:

A = {2, , x} B = {2, 7, 9}

Se observa que: A

B, pero A

B porque ambos conjuntos tienen tres elementos.

Ejercicios resueltos 1. Si los conjuntos {3a + b – 9, 4a} y {5a + 2b, 4} son unitarios, pruebe que {6a + b, 2b + 8a – 3} también es unitario:

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43

Resolución: Si son conjuntos unitarios se cumple:

3a b 9

4a

a b

9

2 a 2b

18

5a 2 b 7a a 2 b

9

b

4 14 2 7

Entonces: {6a + b, 2b + 8a – 3} {6(-2) + 7, 2(7) + 8(-2) –3} = {-5, -5} = {-5}

2. Si A = {{0}, {$, #}, {*}, {@}, {a, b, 0}, B, e} Indique si es falso o verdadero. Justifique su respuesta en las siguientes expresiones: a) A es una familia de conjuntos. Falso, porque “e” es un elemento simple de A. b) {0}

A

Verdadero, porque {0} c) {0}

A.

{*}

Verdadero, porque ambos conjuntos son unitarios. d) {{$, #}, {e}, B} {$, #} B A {e} A

A

A verdadero verdadero falso

e) {{a, b, 0}, B, {e}}

Luego, es verdadero.

{{0}, {a, b, 0}, B, {e}}

Verdadero, porque es una partición del otro.

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44

Ejercicios propuestos para la clase

1) Si:

A

x

Z/ 1

B

x

N0 / 2

x

4 x

4

Determine por extensión. ¿Son iguales, equivalentes, disjuntos? ¿Por qué?

2) Qué conjuntos representan: unitario, vacío, universal. Explique.

A

x

Q/4

x

B

x

N/ x2

x

C

x

R

D

6 0

, , ,

3) Determin e el conjunto T por extensión, s i :

T

Z / x2

x

4) Si: R

4x 5 x2

2x 3

6; 7 ; 6;7 ;8 ¿Cuántas proposiciones son verdaderas?

a) 6

R

f) 7

b) 7

R

g) 9

c) 6

R

d) 6;7 e) 8

0

R

R

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R

R

h)

7

i)

7 ;8

j)

R R

R

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45

Problemas propuestos para la casa 1) Si: I

x

Z / x2

x 2

R / x3

2) Si: N

x

3) Si: S

2x 3 / 5

4x2

x

0

Determine: n I

4x 1

9; x

0

Determine: n N

Z

Determine: n S

4) Determine por extensión el conjunto : I

x

3x 1 5

N /2

8

5) Determine por comprensión el conjunto: T

4;8;12;16;20;...;100

6) Determine por comprensión el conjunto: B

2;6;10;14;18;...; 58

7) Dado T

2n 2 1 / 1

n

6; n

N determínelo por extensión

8) Determine la suma de elementos del conjunto: I 9)

Dados los conjuntos:

O R

2a 3

5 /1

a

3; a

x Z / x2 x 6 x 4 0 Calcule: n O x N/ 1 x 3

N

nR

10) Se tienen los conjuntos unitarios:

A

a 2 1;3a 1

B

3x y; x Determine el máximo valor de a x y .

y 8

Respuestas :

10 ) 6

Tema 4: CONJUNTOS. OPERACIONES CIBERTEC

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46

4.1 Operaciones con conjuntos a) UNIÓN O REUNIÓN Es el conjunto formado por todos los elementos de A y por todos los elementos de B. Si hubiera algún elemento común en A y B, lo representamos una sola vez. Se denota A

B, el cual se define así: A B = {x/x

A v x

B}

Ejemplo: 1)

A

Sea:

x Z / x 2 5x 6 0

Halla: A

B

Resolución: De A: x2 –5x + 6 = 0

x

3

x 2 ( x 3)( x 2) 0

x 3 0 v x 2 0

x

3

x

2

Luego : A = {2, 3}

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47

De B : x2 –8x + 15 = 0

-5

x

x -3 ( x 5)( x 3) 0

x 5 0

x

5

v x 3 0

x

3

Luego: B = {3, 5} A U B = {2, 3, 5}

b) INTERSECCIÓN Sean los conjuntos A y B cualquiera, la intersección es el conjunto formado por todos los elementos comunes a A y B. Se le denota por A B, el cual se define así:

A

B

x/x A x B

Propiedades de la Intersección 1. Uniforme : 2. Conmutativa : 3. Asociativa : 4. Idempotencia : 5. Elemento neutro

A A (A A :

B: Existe y es único B =B A B) C = A (B C) A = A A U = A

6. Definición de nulidad :

A A

= A| =

Ejemplo Sean:

A

x

N / x2 7x 12 0

B

x

R / x2 5x 6

Halla : A

CIBERTEC

y

B

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48

Solución: De A : x2 – 7x + 12 = 0

x

-3

x -4 ( x 3)( x 4) 0

x 3 0 v x 4 0

x

3

x

4

x 2 0

x

2

x

3

Luego: A ={3, 4} De B : x2 – 5x + 6 = 0

x

-3

x

-2

( x 3)( x 2)

v

0

x 3 0

Luego: B = {2, 3] Por tanto : A

B = {3}

c) DIFERENCIA ENTRE LOS CONJUNTOS Sean los conjuntos A y B cualesquiera, la diferencia entre estos dos conjuntos es todos los elementos que están en el primer conjunto, pero ninguna de ellas debe estar en el segundo conjunto. A – B = x/x

A y x

B

Diagrama de Venn Euler A

B

Propiedades:

1) A B

B A

2) A B

A

B'

3) A B C A B

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A-B

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49

d) DIFERENCIA SIMÉTRICA ( ) A B

x/x

A y x

A B

A B

B A

A B

A

A

B

B

x/x

B y x

A

B

Ejemplo:

A

2,5,7,9,11,13,15

B

2,3,7,11,15, 20

A B

Diagrama de Venn Euler

U

A B

B A

5,9,13

3, 20

A

3,5,9,13, 20

B

A

B

e) COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO Sea A un conjunto cualquiera, el conjunto “Complemento de A” involucra a todos los elementos del universo U que no pertenecen al conjunto A. Se le denota por: A c, A’, el cual se define así:

A

x U/x

A

Propiedades del Complemento de un conjunto 1. Uniforme: A’: 2. Ley de Complementación: 3. Propiedad de Nulidad: 4. Ley de Involución: 5. Propiedad de Inclusión: 6. Definición de Complemento:

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Existe y es único A A’ = U A A’ = (A’)’ = A Si A B B’ A’ = U U =

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50

Ejemplo: Dados los conjuntos

U

4, 3,

2 2, ,0.65, ,8 5

A

x U/x Q x

B

x U/x

R

R x Z

Halle: CAB = A - B Resolución A

2 4, , 0.65, 8 5

B

4, 8

CAB

A

2 , 0.65 5

B

Ejercicio: Halle A’ = B’ =

Ejercicios propuestos para la clase 1) Sean C Halle:

a) C

1,5,7,8,9 ; F

E

D

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D

1,8 ;

E

1,5,8,9 ;

b) E

C

F F

1,9,7 D

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51

2) Sean los siguientes conjuntos:

x2 /1

A

x

7; x.es. primo

n 1 /n Determine cuántos elementos tiene A B a) 3

3)

B

b) 5

c) 7

1;7 ; n

d) 9

Z

e) 11

Sean A

N

5,8

B

Z

7,24

C

N

22,40

Halla n B

20,25

C

A

a; b; c; d ; e A B a; b; c; d Determine: n A n B

A

a) 3

c) 5

4) Si: U

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b) 4

B

a; c

A B d) 6

b e) 7

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52

Ejercicios propuestos para la clase 1)

Se realiza una encuesta y en ésta se determina que: 78 prefieren escuchar música; 62 prefieren ver televisión. Si los encuestados son 100 y todos tienen preferencia. ¿Cuántas personas prefieren una sola cosa?

2) De 80 estudiantes, 52 llevan el curso de Matemática I, 46 llevan el curso de Administración y 12 alumnos no llevan estas asignaturas. ¿Cuántos estudiantes llevan 2 asignaturas?

3) En un avión viajan 120 personas i) 2/3 de ellas no beben ii) 4/5 de ellas no fuman iii) 72 no fuman ni beben ¿Cuántas personas fuman y beben? ¿Cuántas personas sólo beben?

5) Un determinado colegio tiene 38 jugadores de fútbol, 15 de básquet y 20 de vóley. Si el número total de jugadores es 58 y sólo 3 de ellos figuran en los tres deportes, se pregunta: ¿Cuántos jugadores figuran en exactamente un deporte? ¿Cuántos jugadores figuran en exactamente dos deportes?

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53

Ejercicios desarrollados 1. En la editorial LÁSER, laboran 40 personas de las cuales podemos decir que: 3 mujeres tienen 19 años. 20 mujeres no tienen 20 años. 25 mujeres no tienen 19 años. 8 varones no tienen 19 ni 20 años. 2 varones tienen 20 años. a. ¿Cuántas personas tienen 20 años? b. ¿Qué porcentaje del total representa los que tienen 19 años? Solución: 19 años

20 años

a. 10 personas 3

8

17

mujeres

2

2

8

varones

b.

5 x100% 12.5% 40

2. Un estudiante salió de vacaciones por n días y observó que en ese lapso: -

Llovió 7 veces en la mañana o en la tarde. Cuando llovía en la tarde estaba clara la mañana. Hubo 5 tardes claras. Hubo 6 mañanas claras.

¿Cuánto duró el período vacacional? Solución:

mañanas

tardes 6

X

Y

5

llovió = 7

Como el Nº de mañanas es igual al Nº de tardes, se cumple: 6+x=y+5 pero : x

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x – y = -1 y 7 2x 6 y 4

x

3

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54

El período vacacional duró 6 + x = 6 + 3 = 9 días.

3. En una batalla campal, intervinieron 1200 hombres, de los cuales: -

420 fueron heridos en la cabeza. 430 fueron heridos en el brazo. 320 fueron heridos en la pierna. 80 fueron heridos en ambos miembros. 50 fueron heridos en la cabeza y el brazo. 60 fueron heridos en la pierna y la cabeza.

Si 200 no fueron heridos, se pide calcular: a. b. c. d.

¿Cuántos fueron heridos en los tres lugares? ¿Cuántos fueron heridos a lo más en dos lugares? ¿Cuántos fueron heridos por lo menos en dos lugares? ¿Cuántos fueron heridos en dos lugares solamente? Resolución:

ZONA ROJA + ZONA LILA + 430 + ( 320 - 80 ) + X = 330

X = 1200 – 200 X = 1000

a. Luego se tiene : en los tres lugares hay 20 personas C = 420

B = 430 30

330

320 20 40

60 200 P = 320

b. U – n (C

B

P) – n (C

B

P)’ = 1200 – 20 – 200 = 980 hombres

c. n (B C) + n [(C P) – (B C 50 + 40 + 60 = 150 hombres

P)] + n [(B

d. n [(B C) – (B C P)] + n [(C = 30 + 40 + 60 = 130 hombres

P) - (B

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C

P) - (B

C

P)] + n [ (B

P)] ) =

P) - (B

C

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P)]

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55

4. A una charla de los jueves institucionales de Cibertec, asistieron 240 estudiantes, de los cuales 140 estudian Computación y 100 estudian Administración. Si 40 estudian Computación y Administración. Se pide: a. b. c. d. e.

¿Cuántos estudian Computación y Administración? ¿Cuántos estudian Computación o Administración? ¿Cuántos estudian o Computación o Administración? ¿Cuántos estudian Computación, si y sólo si, estudian Administración? ¿Cuántos son los estudiantes que estudiando Administración, entonces desean estudiar Computación?

Resolución: U = 240 A= 100

C = 140 60

40

100

40

a. b. c. d. e.

n (C A) = 40 estudiantes. n (C A) = 100 + 100 = 200 estudiantes. n (C A) = 60 + 100 = 160 estudiantes. n (C A) = U – n (A C) = 240 - 160 = 80 estudiantes. n (A C) = n (A’) + n (C) - n (A’ C) = 140 + 140 – 100 = 180 estudiantes.

5. En el instituto Cibertec, muchos son deportistas; por ello, 150 alumnos entraron en competencia para definir al mejor de cada juego. De éstos, 45 juegan tenis, 70 juegan básquet y 90 juegan vóley. 10 juegan tenis y básquet, 25 juegan tenis y vóley y 30 juegan básquet y vóley. ¿Cuántos juegan los 3 deportes?

Resolución:

T = 45

B = 70 10 + x

10 - x 30 + x

U = 150 alumnos

x 25 - x

10 + x + 25 – x +35 + x + 70 = 150

30 - x

35 + x

x = 10 alumnos V = 90

6. En una ciudad de 100,000 habitantes adultos, el 70% escucha radio, el 40% lee periódicos y el 10% ve televisión. Entre los que escuchan radio, el 30% lee los periódicos y el 4% ve televisión. El 90% de los que ve televisión lee los periódicos y sólo el 2% de la población total lee periódicos, ve televisión y escucha radio. ¿Cuántos habitantes no escuchan radio, no leen periódicos ni ven televisión?

Resolución:

CIBERTEC

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56

U = 100 000 R = 70 000

R

70% 100 000

70 000

P

40% 100 000

40 000

T 10% 100 000

40 000

R

P

30% 70 000

R

T

4% 70 000

T

P

90% 1 000

R

T

P

48 200

12 000

2000 7000

800

21 000

209 10 800

2 800

T = 10 000

9 000

2% 100 000

Respuesta:

P = 40 000 19 000

2 000

100 000 – 70 000 – 12 000 – 7 000 – 200 = 10 800 habitantes.

7. En una encuesta realizada sobre las tres mejores marcas de computadoras, se obtuvo la siguiente información al entrevistar a 154 personas o usuarios: -

6 se deciden por las marcas IBM y DIGITAL, pero no COMPAQ. 5 se deciden por las marcas DIGITAL y COMPAQ solamente. 8 se deciden sólo por la marca COMPAQ.

El número de personas que se deciden por las 3 marcas es el séxtuplo de los que se deciden sólo por DIGITAL y el triple de las que sólo se deciden por IBM. Nadie declara decidirse por la compra de IBM y COMPAQ solamente. ¿Cuántas personas se deciden a lo más por 2 tipos de computadoras? Resolución: (I D) – C = 6 (D C) – I = 5 C - (I D) = 8

I

D

x

6

8

2x 6x 5

2x + 6 + x + 6x + 5 + 8 = 154 x = 15

8 C

Se deciden a lo más por: 2 computadoras: = x + 8 + 5 + 2x + 6 = = =

19 + 3x 19 + 3 (15) 64 personas.

“Sin duda alguna, la teoría de conjuntos es uno de los grandes aportes al desarrollo de la matemática. No obstante que el concepto de conjunto nació junto con el concepto de agrupación en los albores de la humanidad, fue sistematizado por primera vez por GEORGE CANTOR (1845 – 1918), desde entonces ha pasado a formar el punto de partida del estudio formal de la matemática y las ciencias que se sirven de ellas.”

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57

Problemas propuestos para la casa

1) Si: U

a; b; c; d ; e A B a; b; c; d Determine: n A n B

A

a) 3

c) 5

b) 4

B

a; c

A B d) 6

b e) 7

2) Sean los conjuntos:

A

Z / x2

x

C

x

2

a) 6

1 /x

3x 40 5; x

b) 2

0

B D c) 4

B A

2x 1 /1 C B

x

d) 3

6; x

Z

Calcule : n P D e) 5

3) ¿Qué operación representa la región sombreada? A

B

C

a) A

B A C b) A B C c) A C B d) A C A B e) A B C

4) Si U = {X N / 0 < X < 11} A = {1, 3, 5, 7} ; A C = {1, 3} B = {2, 4, 6, 8} ; A C = {1, 2, 3, 5, 7, 9} Halle n (B C) + n[(A C)’]

Rpta 13

5) En CIBERTEC, estudian 500 alumnos en primer ciclo. De éstos: 329 dominan Matemática, 186 Comunicación de Negocios, 295 Algoritmos; 83 Matemática y Comunicación de Negocios, 217 Matemática y Algoritmos, 63 Comunicación de Negocios y Algoritmos. Halle el número de alumnos que dominan los tres cursos.

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Rpta 53 6) Se reparten juguetes de tres tipos distintos: aviones, autos y trenes a 200 niños de manera que a… 70 niños se les entrega aviones. 60 niños reciben autos. 20 niños reciben autos y aviones. 27 niños reciben autos y trenes pero no aviones. 90 niños reciben únicamente trenes. 3 niños reciben aviones, autos y trenes. Se sabe además que los que reciben únicamente autos son tantos como los que reciben únicamente aviones. ¿Cuántos reciben aviones y trenes, pero no autos? Rpta. 40 7) En una encuesta a los alumnos de CIBERTEC, sobre la posible aprobación de los cursos de Matemática, Algoritmos y Comunicación de Negocios, se obtuvo la siguiente información: 78 alumnos aseguran que aprobarán Matemática o Algoritmos. 80 alumnos aseguran que aprobarán Matemática o Comunicación de Negocios. 82 alumnos aseguran que aprobarán Algoritmos o Comunicación de Negocios. 60 alumnos aseguran que aprobarán solo uno de los cursos mencionados. ¿Cuántos alumnos aseguran que aprobarán a lo más dos de los cursos mencionados, si 10 aprobaran los tres cursos? Rpta 150 8) En una encuesta sobre el consumo de cervezas Pilsen, Cristal y Cuzqueña, se obtuvo el siguiente resultado: 190 toman la cerveza Pilsen. 110 toman la cerveza Cristal. 150 toman la cerveza Cuzqueña. Los que sólo toman Cuzqueña son la mitad de los que sólo toman Cristal y la tercera parte de los que sólo toman Pilsen. Los que sólo toman Cristal y Cuzqueña son la mitad de los que sólo toman Pilsen y Cristal, si los que toman las tres cervezas son un tercio de los que sólo toman Pilsen y Cuzqueña ¿cuántos prefieren los tres? Rpta. 30 9) Si: A

B

x x

N/x 3 N0 / x 0

x x

C x Z/x 3 x2 Halla M B A C

5 6 x 6 Rpta {0,4}

10) En una ciudad de 10,000 habitantes adultos, el 70% de los adultos escuchan radio, el 40% leen periódicos y el 10% ve televisión, entre los que escuchan radio el 30% lee los periódicos y el 4% ve televisión, el 90% de los que ven televisión, lee periódicos y solo el 2% de la población total adultos lee los periódicos, ven televisión y escuchan radio. Se pide: a) ¿Cuántos habitantes no escuchan radio, no lee periódicos ni ven televisión? b) ¿Cuántos habitantes leen periódicos solamente?

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Resumen  Conjunto: intuitivamente es una reunión de elementos. Se representa por una letra mayúscula y sus elementos con letras minúsculas.  Determinación de conjuntos: 1. Por extensión.- Cuando se nombran uno a uno los elementos 2. Por comprensión.- Cuando se da una propiedad común a cada uno elementos

de los

 Relación de Pertenencia ( ) enlaza elemento a conjunto.  Relación de Inclusión (

) enlaza conjuntos.

 Conjuntos especiales: 1. 2. 3. 4. 5.

Conjunto vacío ( ): no tiene ningún elemento. Conjunto unitario: tiene un solo elemento. Conjunto comparable: si uno de ellos está contenido en el otro. Conjuntos disjuntos: no tienen nada en común. Conjunto universal (U): abarca a la totalidad de elementos que se encuentran definidos bajo una misma propiedad. 6. Conjuntos equivalentes: tiene la misma cantidad de elementos, pero algunos son diferentes.  Operaciones entre conjuntos; Características:  Unión (

).- Se toman a todos los elementos de un conjunto.

 Intersección (

).- Son los elementos comunes de los conjuntos.

 Diferencia (-).- Son los elementos que están sólo en uno de los conjuntos.  Diferencia Simétrica ( ).- Son los elementos no comunes de 2 conjuntos.  Complemento de un conjunto (A´).- Es lo que el falta al conjunto A para llegar a ser el universo.  Cardinal de un conjunto (n(A)).- nos indica la cantidad de elementos que tiene un conjunto simple o compuesto.  Si desea saber más acerca de estos temas, puede consultar las siguientes páginas.  http://www.sectormatematica.cl/ppt/conjuntos.ppt Aquí encontrará información referente a conjuntos.  http://www.guiamath.net/ejercicios_resueltos/01_03_03_01-Conjuntos_ExtComprens/0_conjuntos-extens-comprens.html Aquí se desarrollan ejercicios de determinación de conjuntos.

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UNIDAD DE APRENDIZAJE

2 MAGNITUDES PROPORCIONALES Y TANTO POR CIENTO LOGRO DE LA UNIDAD DE APRENDIZAJE Al término de la unidad, el alumno resuelve problemas de porcentajes y fracciones, aplicados a los distintos conceptos del precio, haciendo uso de la regla de tres simple.

TEMA



Magnitudes proporcionales



Regla de tres simple directa e inversa

 Regla del tanto por ciento

TEMA

 Descuentos y aumentos sucesivos  Precio de venta, de costo, de lista, Ganancia y Pérdida.

ACTIVIDADES PROPUESTAS Los alumnos aplican los conceptos de fracciones, razones y regla de tres simple. Los alumnos diferencian, de acuerdo con el enunciado de los problemas, si se trata de una regla de tres simple directa o inversa. Resuelven los ejercicios y problemas propuestos bajo la asesoría del profesor.

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2.1 TEMA 3: MAGNITUDES PROPORCIONALES 2.1.1Razones Una razón es la comparación que se establece entre dos cantidades, si dicha comparación se da por medio de una división será una razón geométrica Por ejemplo, si las edades de Carlos y Francisco son 12 y 15 años, entonces la razón entre sus edades es:

12 : 15 o

. Simplificando se observa que están en la relación:

Se denomina proporción a la igualdad de dos razones. Por ejemplo, la igualdad entre las razones anteriores:

Es una proporción, se cumple que el producto de términos extremos es igual al producto de términos medios: 12 • 5 = 4 • 15

Por lo tanto, la propiedad fundamental de las proporciones es: PROPORCIONALIDAD DIRECTA Dos magnitudes están en proporcionalidad directa si el cociente de sus valores correspondientes permanece constante:

Donde: k es la constante de proporcionalidad. El gráfico de dos variables en proporcionalidad directa es un conjunto de puntos que están sobre una recta que pasa por el origen del sistema de coordenadas. Analizando el gráfico se visualiza que si una magnitud aumenta, la otra también aumenta.

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Ejemplo: Un vehículo tiene un rendimiento de 16 km por cada litro de bencina. ¿Cuántos litros de bencina consumirá en un viaje de 192 km? Se forma la proporción entre las variables distancia – consumo de bencina (si aumenta la distancia, entonces se deduce que el consumo aumenta; por lo tanto, son directamente proporcionales).

Ocupando la propiedad fundamental de las proporciones obtenemos que:

Entonces, 16/1 = 16 (constante)

y

192/12 = 16 (constante)

PROPORCIONALIDAD INVERSA Dos magnitudes están en proporcionalidad inversa si el producto de sus valores correspondientes es una constante.

Donde: k es la constante de proporcionalidad. El gráfico de dos variables que están en proporcionalidad inversa es un conjunto de puntos que están sobre una hipérbola.

Analizando el gráfico, se visualiza que a medida que una magnitud aumenta, la otra magnitud disminuye.

Ejemplo: Tres obreros demoran 5 días en hacer una zanja. ¿Cuánto demorarán 4 obreros? La relación entre el número de obreros – tiempo es de proporcionalidad inversa, ya que si trabajan más obreros, entonces se demorarán menos tiempo en terminar el

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trabajo. Aplicando la propiedad de las proporciones inversas, el producto entre las variables es constante:

entonces, 3 x 5 = 15 (constante)

y

4 x 3,75 = 15(constante)

Regla de tres simple: Directa e inversa La regla de tres es una aplicación de las magnitudes proporcionales; es un procedimiento basado en la relación proporcional de dos magnitudes. La regla de tres consiste en calcular un valor desconocido de una magnitud, mediante la comparación de dos magnitudes proporcionales.

a) Regla de tres simple directa: Cuando las dos magnitudes son directamente proporcionales (DP). Procedimiento: Magnitudes: M Supuesto: Pregunta:

(DP)

a c

Q b x

Como son DP constante. Luego:

su

a b

cociente

es

c x

b) Regla de tres simple inversa: Cuando las dos magnitudes son inversamente proporcionales (IP). Procedimiento: Magnitudes: M Supuesto: Pregunta:

(IP)

Q

a c

b x

Como son IP su producto es constante Luego:

a b

c x

EJEMPLOS

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1) Una persona puede caminar normalmente 9 kilómetros en 2 horas. En una caminata normal de 6 horas, ¿cuántos kilómetros puede caminar? Solución: Horas 2 6

x

km 9 x

6 9 2

Los kilómetros caminados son DP a las horas de caminata.

27 km

2) Se ha calculado que para construir un edificio se necesita 80 obreros y 60 días. Pero se cuenta solamente con 75 obreros. ¿Cuántos días se tardará en construir el edificio? Solución: # Obreros días El # de obreros que 80 60 intervienen en una obra y 75 x el tiempo que demoran en ejecutarla son IP. 80 60

x

75

64 días

Problemas Propuestos para la clase

1. Para pintar una pared de forma cuadrada se necesitan 14 tarros de pintura ¿Cuántos tarros de pintura se necesitará? Para pintar otra pared cuadrada cuya lado mida tres veces el lado de la pared anterior

2. La eficiencias de Juan y Pedro están en la relación de 2 a 3. Si Juan demora 15 días en hacer una obra. ¿En qué tiempo? realizarían la misma obra trabajando juntos.

3. 3. Las eficiencias de Juan y Luis están en la relación de 2 a 3 y juntos realizan una obra en 21 días. Si Juan triplicara su eficiencia y Luis redujera a su tercera parte su eficiencia ¿En qué tiempo harían la misma obra?

4. Se sabe que 10 obreros pueden realizar una obra en 22 días. Si al cabo de 4 días son despedidos 4 obreros ¿En qué tiempo se culminará toda la obra?

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Problemas propuestos para la casa 1. Las edades de Juan y Pedro (juntos) con las edades de Pedro y Luis (juntos) están en la relación de 8 a 7. Si las edades de Juan y Luis están en la relación de 5 a 3, halle ¿Cuánto tiene cada uno? , si las edades de los tres suman 57 años. Rpta 9 , 15 y 33 años 2. Las eficiencias de A y B están en la relación de 2 a 3. y se sabe que ambos pueden realizar una obra en 33 días. Si B reduce su eficiencia a la mitad y A lo duplica ¿En qué tiempo harían la misma obra? Rpta 30 días 3. Juan es el doble de eficiente que Enrique y ambos pueden realizar una obra en 32 días. Si Juan triplicara su eficiencia y Enrique duplicara el suyo ¿En qué tiempo ambos harían la misma obra? Rpta 12 días 4. Pedro realiza una obra en 55 días. Se sabe además que Juan y sus dos hermanos tienen el doble, triple y mitad de eficiencia que Pedro respectivamente. ¿En qué tiempo Juan y sus hermanos harían la misma obra? Rpta 10 días 5. Juan puede realizar un trabajo contable en 15 días. Julia es 50% más eficiente que Juan. Si juntos realizan el mismo trabajo contable ¿En qué tiempo lo terminarían?

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2.2 TEMA 4: TANTO POR CIENTO 2.2.1 Regla del tanto por ciento, porcentajes y propiedades Es una aplicación de la regla de tres simple. Se denomina “Tanto por ciento” porque es el número de unidades que se toman en cuenta de cada 100. Es decir:

Total : 100 partes ............................................

............... “ a “ partes Se toma “a” partes de “100” partes. Representación:

a por ciento a %

a 100

Ejemplo:  5% nos indica que tomamos:

5 de una cantidad cualquiera. 100

5%

5 100

0,05

2 2  % nos indica que tomamos: 5 de una cantidad cualquiera. 5 100

2 % 5

2 1 5 100

2 500

0,004

Se pueden sumar o restar porcentajes de una misma cantidad. NOTA

Ejemplo: a) 25% de A + 63% de A = 88% de A b) 58% de P +126% de P – 20% de P = (58+126-20) % de P = 164% de P

¡ATENCIÓN!: Las palabras “de”, “del” o “de los” matemáticamente significan Ejemplos: 1) Halle el 0,008% de 0,2 multiplicación y la palabra “es” significa igualdad. c) Mi edad más el 18% de ella me dará: 118% de mi edad. CARRERAS PROFESIONALES

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Problemas Propuestos para la clase 1. Hallar el 10% del 20% del 75% de 40000

2. Operar : 12% A + 13% (2A) - 5% (3A) + 18% (4A)

3. 3. Se tiene un deposito con dos tipos de líquidos: 7 L del primero y 28 L del segundo ¿Qué tanto por ciento representa cada uno de estos líquidos respecto al total?

4. Cierta empresa gasta primero el 20 % de su presupuesto, luego gasta el 25% de resto del presupuesto, quedándose con 12000 soles ¿Cuánto fue dicho presupuesto?

2.2.2 Descuentos y aumentos sucesivos Es cuando a una cantidad se le aplica más de un descuento o aumento, por lo cual se puede utilizar la siguiente fórmula: Descuento:

Du

100 D1 100 D2 100 D3 ... 100 % 100n 1

Donde: D1, D2, D3,… Son los descuentos sucesivos n: Es el número total de descuentos Du: Es el descuento único equivalente a todos los descuentos realizados.

Aumento:

Au

100 A1 100 A2 100 A3 ... 100 % 100n 1

Donde: A1, A2, A3,… Son los aumentos sucesivos n: Es el número total de aumentos Au: Es el aumento único equivalente a todos los aumentos realizados.

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Aplicaciones: 1. Dos descuentos sucesivos del 40% y 20% equivalen a un descuento único de:

Du Du Du Du

100 40 100 20 1002 1

2. Dos aumentos sucesivos del 20% y 30% equivalen a un aumento único de:

Au 100 %

Au

60 80 100 % 100 48 100 % 52%

Nota: El signo (-) nos indica el descuento, por lo que los descuentos sucesivos

Au Au

100 20 100 30 1002 1

100 %

120 130 100 % 100 156 100 % 56%

El signo (+) nos indica aumento, por lo que los aumentos sucesivos del 30% y 20% equivalen a un aumento único del 56%.

del 40% y 20% equivalen a una descuento único de 52%. 3.

Roberto compra un refrigerador y le hacen 3 descuentos sucesivos del 20%, 20% y 30%. En lugar de estos tres descuentos, pudieron haberle hecho uno solo. ¿De cuánto sería este descuento? Solución:

Du

100 20 100 20 100 30 1003 1

100 %

Du = [ 44,8 – 100 ]% = -55,2 % El descuento único sería de 55,2 %. 4.

El director del programa académico de Cibertec le dice a un profesor de la carrera de Computación: “Por tu esfuerzo, durante el año pasado, voy a sugerir que te otorguen tres aumentos sucesivos del 30%, 10% y 20% en el presente año”. ¿A qué aumento único equivale? Solución:

Au Au

100 30 100 10 100 20 1003 1 171,6 100 % 71,6 %

100 %

El aumento único equivale 71,6 %.

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2.2.3 Precio de Venta, precio de costo, precio de lista, descuento y ganancia a. Precio de venta Es la cantidad de dinero que paga un consumidor por los bienes y/o servicios que recibe. Su fórmula es:

Pv Donde:

Pc G

o

Pv

Pc Pe

Pc : Precio de costo del bien o servicio G : Ganancia Pe : Pérdida

b. Precio de costo Es el precio por la compra de una mercancía. Pueden ser de dos clases: Costo neto.- En el cual se incluye sólo el precio de compra de una mercancía. Costo Total.- Cuando al precio de costo neto se le incluye los gastos de transporte hasta el almacén, carga y descarga. c. Ganancia y pérdida Ganancia: Es la utilidad que se obtiene al vender un bien y/o servicio. Pérdida : Es el monto que se pierde al vender por debajo del precio costo.

Nota: La Ganancia o Pérdida generalmente se expresa como un tanto por del precio de costo Los aumentos o descuentos generalmente se expresa como un tanto por del precio de lista

Problemas de refuerzo teórico: 2. Si al vender uno de mis libros de matemática a S/.35.00, gano S/.10.00, ¿cuál es el porcentaje de ganancia? Sol: (i) Según fórmula: Pv Pc G , entonces :35 = Pc + 10, Luego

Pc = S/.25

(ii) Como G está en función de

Pc, luego:

%G

10 25

0.4 ;

por tanto %G = 40 %

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70

3. Calcule el precio de venta de un Televisor LCD, si costó S/.4 000 y al vender se perdió el 20%. Resolución: (i)

Calculamos la pérdida: 20%(4 000) = S/.800.00

(ii)

Según fórmula:

Pv

Pc Pe , se tiene: Pv = 4000 – 800

Por lo tanto, el precio de venta fue:

Pv= S/. 3 200.00

4. ¿A cuánto asciende la venta de un departamento que costó $60 000.00, si se quiere ganar el 25%? Resolución: (i) (ii)

Calculamos la ganancia: 25%(60 000) = S/.15 000.00 Según fórmula: Pv Pc G , se tiene: Pv = 60 000 + 15 000 Por lo tanto, el precio de venta fue:

Pv= S/. 75 000.00

5. Determine el porcentaje de utilidad o pérdida, conociendo el precio de costo e importe de la venta, si en el 2007 la empresa ATAJA obtuvo una utilidad de S/.50 000.00 y, al año siguiente, su utilidad se incrementó a S/. 80 000.00. ¿Cuánto fue el porcentaje de incremento? Resolución: Como el incremento es de S/. 30 000.00, entonces: 30000 %Incremento = 0,375 80000 Por lo tanto, el porcentaje de incremento es de 37.5%. 6. Calcule el costo de un artículo que se vendió en S/. 6 000.00, con un 20% de utilidad (ganancia) Resolución:

Pv

Pc G

(i)

Según fórmula:

, entonces : 6 000 = Pc

(ii)

Pc) Resolviendo: Pc = S/. 5 000.00

+ (20%

Precio de Venta, Precio de Lista y Descuento Precio de Lista. - Es el precio que figura en el catálogo al que debe venderse un bien y/o servicio. Su fórmula es:

Pl

Pv D

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Pl

: Precio de lista en el catálogo

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D : Descuento Pv : Precio de venta Prob 1. Si el precio de lista de un perfume de Ebel es de S/.65.00, calcule el precio de venta si el perfume tuvo un descuento del 30%. Resolución:

Pl

Pv D , entonces: 65 = Pv + (30% Pv)

(i)

Como:

(ii)

Resolviendo: Pv = S/. 50.00

Problemas propuestos para la clase 1. Compré un artículo a $54. ¿A cómo debo 2. Vendiendo un libro por $1.44 se gana el vender para ganar el 30% del precio de 20% del costo. ¿Cuánto costó el libro? costo más el 10% del precio de venta?

3. Un señor vendió dos casas en $15000 cada 4. una. En la primera ganó el 25% y en la segunda perdió el 25%. ¿En este negocio ganó o perdió?

Carmen quiere vender su escritorio que le costó $270 y ganar el 20% del precio de costo más el 10% del precio de venta más $81.

5. ¿A cómo debo vender mi computadora que 6. ¿Qué precio se debe fijar a un artículo que me costó $ 2 700 para ganar el 20% del costó $420 para que aún descontando el precio de costo, más el 10% del precio de 20% se gane el 40%? venta, más $180?

Problemas de aplicación: 1. La empresa “Exportación A” ha destinado el 22% de su presupuesto del

presente año en la reparación de su equipo automotor.

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Halle dicho

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presupuesto, si el resto del presupuesto que asciende a 11700 soles lo destina a sus otras áreas. 2. La corporación telefónica destina el 10 % de su presupuesto a su unidad de

negocio “cable mágico”, el 20% de lo restante lo destina a su unidad “Atento” y lo restante que asciende a 36000 soles los destina al resto de sus unidades de negocios. Halle dicho presupuesto. 3. Halle el 10% del 25% del 75% del 30% de 320000. 4. Perdí el 40% de mi dinero y luego recuperé el 25% de lo que perdí, con lo

cual tengo la suma de 490 soles. ¿Cuánto tenía al inicio? 5. Si del total de alumnos que llevan Matemática I aprobaron el 80% de ellos, y en un examen sustitutorio aprobó el 10% de los que habían desaprobado ¿Qué tanto por ciento de los alumnos han aprobado al finalizar? 6. En la venta de un producto se realizan 2 descuentos sucesivos del 20% y 30% y aun así se gana el 20%. Si el precio fijado y precio de costo suman 4400 soles, halle el precio de costo. 7. En la venta de un producto se gana el 30% a pesar de un descuento del 40%. Halle el precio de venta si el precio fijado y precio de costo se diferencian en 700 soles. 8. En la venta de un producto se gana el 20% del precio de venta. Halle el precio de costo si el precio de venta excede al precio de costo en 200 soles. 9. En la venta de un producto se hacen dos descuentos sucesivos del 20% y 20% respectivamente y aun así se está ganado el 30%. Halle el precio de costo si se sabe que el precio fijado y precio de costo suman 9700. 10. En la venta de un producto se gana el 10% del Pv , si el precio de costo y el precio de venta suman 3800 soles ¿Cuánto es el precio de costo?

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Problemas propuestos para la casa 1) No quise vender una casita cuando me ofrecían por ella $3840, con lo cual hubiera ganado el 28% del costo y algún tiempo después tuve que venderla por $3750 ¿Qué porcentaje del costo gané al hacer la venta?

Rpta. 17,19%

2) Compré un auto a $10 000. ¿A cómo debo vender para ganar el 25% del precio de costo más el 10% del precio de venta, más $1000 en trámites documentarios? Rpta. 15 000 3) ¿A cómo debo vender un televisor LCD que me costó S/. 840 para ganar el 20 % del precio de costo, más 10 % del precio de venta, más S/ 63 por gastos administrativos? Rpta. 1190 4) Un vendedor le hace a un cliente descuentos sucesivos del 15% y 20% sobre un producto de $200. ¿Cuánto pagó dicho cliente por su compra?

Rpta. 138

5) Gabriel desea comprar un auto usado y reclama un descuento. La tienda accede a su pedido y le otorga 3 descuentos sucesivos sobre el precio de venta del 20%, 10% y 5%. Él observa que el descuento efectivo ha sido de $ 316. ¿Cuál será el precio de venta de dicho auto?

Rpta. 1000

6) ¿Cuál es el precio de lista de un artículo, que tuvo un descuento del 10% al venderlo, si el costo del artículo es de $45 y la ganancia es el 20% del precio de compra más el 20% del precio de venta?

Rpta

75

7) Julio compró un objeto que vendió después a 300 nuevos soles y obtuvo una ganancia igual al 14% del precio de compra más el 5% del precio de venta. ¿Cuánto costó el objeto? Rpta

250

8) Se venden dos caballos en $9,600 c/u. En uno de ellos se gana el 20% y en el otro se pierde el 20%. ¿Se ganó o se perdió, y cuánto? Rpta.

Se perdió 8 soles

9) Un comerciante vende un artículo con un descuento de 30% del precio de lista, ganando así el 20% del precio de costo ¿cuánto es el precio de lista? si el precio de lista y costo suman 1900. Rpta 1200

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10) ¿A cómo debo vender mi computadora que me costó $ 1 450 para ganar el 20% del precio de costo, más el 10% del precio de venta, más $60 por gastos administrativos?

Rpta 2000

Resumen Regla de tres simple directa: Cuando las dos magnitudes son directamente proporcionales Magnitudes: M (DP) Q Supuesto:

a

b

Pregunta:

c

x Como son DP su cociente es constante:

a b

c x

Regla de tres simple inversa: Cuando las dos magnitudes son inversamente proporcionales Magnitudes: M (IP) Q Supuesto: a b Pregunta: c x Como son IP su producto es constante

Luego:

a b

c x

Precio de venta.- Es la cantidad de dinero que paga un consumidor por los bienes y/o servicios que recibe. Su fórmula es:

Pv

Pc G

Precio de costo.- Es el precio por la compra de una mercancía. Pueden ser de dos clases: Costo neto.- En el cual se incluye sólo el precio de compra de una mercancía. Costo Total.- Cuando al precio de costo neto se le incluye los gastos de transporte hasta el almacén, carga y descarga. Ganancia y pérdida  Ganancia .- Es la utilidad que se obtiene al vender un bien y/o servicio.  Pérdida .- Es el monto que se pierde al vender por debajo del precio costo. Precio de Lista.- Es el precio que figura en el catálogo al que debe venderse un bien y/o servicio. Su fórmula es:

Pl CARRERAS PROFESIONALES

Pv D CIBERTEC

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UNIDAD DE APRENDIZAJE

3 FUNDAMENTOS DE ÁLGEBRA BÁSICA LOGRO DE LA UNIDAD DE APRENDIZAJE Al término de la unidad, el alumno, calcula el valor de una variable a través de la simplificación de las expresiones algebraicas Para ello, debe aplicar las teorías de exponentes, los productos notables, racionalización y los procesos de factorización.

TEMARIO Factorización Teoría de exponentes -

Potenciación

-

Radicación

Productos notables -

Propiedades

- Factor común - Agrupando términos - Método de identidades - Evaluación binómica

ACTIVIDADES PROPUESTAS Los alumnos aplican las leyes del álgebra básica Los alumnos identifican qué ley van a utilizar y explican cada paso realizado. Por equipos, trabajan los ejercicios y se comprueban los resultados obtenidos.

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3.1 Tema 5: TEORÍA DE EXPONENTES 3.1.1 Propiedades de potenciación, aplicaciones

Potenciación

Radicación

exponente raíz

índice base

radicando

potencia

bn = b b b b .......... b " n" veces n n

n n b  b Kb = b .......... b n

" K " veces

Leyes de potenciación: 1.

a0 = 1 ,

2.

am . an = a m + n

am 3.

an

4.

a- n =

6.

R,a

a m n ,a 1 an

a 5.

a

b

n

, a

0,

0

0

b

n

a

,a

0,b

0

(a . b )n = an . bn

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a 7.

8.

b

n

an b

n

,b

0

(am )n = am n = (an )m

Ejemplos:

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Ejercicios propuestos para la clase

1) Realice lo siguiente: a) Efectúe:

M

216.353.803 154.149.302

2 ) Halle: R

1

4

16

3

3

3) Efectúe: (a) S

2

50

6

2

5

40 2 x

4

1

3 2x 22 2 x 1

3

2x 3 2x

2

2x

5

4.2 x

4.2 x

2

1 1 2

1

23

3

2x

b) Simplifique: P

10

1

12 2 x 2x

2

2

.

32

3

5

64

1 3

1 3

N (b) Calcule el valor de: M

M

4) Si

2

5x

x 5

2 x 4 36(2 x 2 ) 2 x 4 4(2 x 1 ) 6(2 x 1 )

5x 3 7 y , Calcule el valor de: y 1 7

CARRERAS PROFESIONALES

y

N

7y 5x

x

92 x 138x 69 x 46 x

2 1

CIBERTEC

MATE MÁTICA I

79

3.1.2 Propiedades de la radicación n

a

n: índice a: radicando b: raíz

b

: operador Leyes de Radicación:

n

9.

1 an

a

m n m

an

a

10.

a p .n b

11.

n

12.

13. n

ab

n

a .n b

a

n

a

b

n

b

m n

14.

a pn .b

n

,b

mn

a

0

a

Problemas propuestos para la clase 1) Halle X + M si:

12

X

48 75

300 147

;

32

M

3/ 5

64

1/ 3

1/ 3

2) ( a ) Halle A – S

A

3

x2

( b ) Halle :

CIBERTEC

12

x x3 ; S

E

a b

a a b x xb

3m a 4m a

b bc x xc

b b

c ca x xa

4m 2 a 3m 2b

CARRERAS PROFESIONALES

80

3 ) Calcule:

9n

4

a)

2n 1

1

31

3 3

2 3

1 27

b)

1 32

n a b

1

1 2

4 5

n

3m a 4m a

b

4m 2 a 3m 2b

b

7n 7 n

2

5n 5 n

4 ) Halle P + Q si:

P

x 5 x 57 75 x

3x 5 35 x

;

4a 26 3 8

Q

2 44 a

Problemas propuestos para la casa 1) Efectúe:

E=

2)

2n n

n

4n

4n

20 n 1 2 22n

2

3

2 5

2

4 11

1 1/ 2 x 1

3 6x 9 3x

1

23 x 3 4 22 x

Halle el valor de A si

A 4)

4

n

Simplifique la siguiente expresión:

1 3 3)

2

1

16 4

50

5

5n 3 5n

1

5n .5

m

m 12 n 4n

n m

15m n 5n m

Reduzca la siguiente expresión:

CARRERAS PROFESIONALES

CIBERTEC

MATE MÁTICA I

81

2 9 4

64 8

5)

2n

3

3

3

2n 22 2 2n 2

a5

a

3

3 3

a

. 1259

70 4 2

a

5

92x 138x 69x 46x

x

Simplifique la siguiente expresión:

5

8)

64

5

1 3

1 3

Reduzca:

a2

7)

32

3

Calcule B si:

B 6)

1/ 2

6

1/ 3

50

x5

3

x2

4

x4

4

x3

3

x3

5

x4

x2

. 8116

0 , 25

x5

Calcule el valor de E + F, si:

2

E

3

27

05

2

9

125

8

0 , 333...

9) Simplifique:

E

x

2 x 1.4 2 x 1 2 x.4 2 x 23.4 x 4 x

4

2

20

5

4

2 2 2 21 / 2

2

1

10 ) Reduzca

x y

CIBERTEC

5 x y .4 x 5 2 x.4 y

5 y .4 x y 5 x.4 2 y

CARRERAS PROFESIONALES

82

Resumen de Potenciación y Radicación Potenciación  a0 = 1 ,

a

R,a

0,

Radicación 

n

1 an

a

 am . an = am + n 

am

a

an

 a- n =



1 an n

a b

m n

m

,a



0

 , a

b a

a b

n

an bn

,b

an

a

a p .n b

n

a pn .b

0 

n

,a

n

0,b 0 n

 (a . b )n = an . bn 

n m

0

 

ab

n

a .n b

a

n

a

b

n

b

m n

a

,b

mn

0

a

 (am )n = am n = (an )m

 Si desea saber más acerca de estos temas, puede consultar las siguientes páginas.  http://espanol.geocities.com/jefranco_2000mx/EXPONENTES.htm Aquí encontrará información de la Teoría de Exponentes.  www.sectormatematica.cl/ppt/Raices.pps En esta página, encontrará ejercicios sobre potenciación, radicación y racionalización.

CARRERAS PROFESIONALES

CIBERTEC

MATE MÁTICA I

Problemas variados de tanto por ciento, exponentes

83

conjuntos y teoría de

Problemas sobre tanto por ciento 1. Luis hace limonada con 12 litros de agua y 8 litros de zumo de limón. ¿Qué tanto por ciento de zumo de limón hay en la limonada? 2. En una granja, la peste porcina mata al 18 % de los cerdos, y quedan 164. ¿Cuántos han muerto? 3. Si depositamos 300 euros en una cuenta y el banco nos ofrece un 2,5 % anual sobre la cantidad que hay al principio de cada año, ¿qué ganancia obtendremos al cabo de un año? ¿Y después de 4 años? 4. Una botella de aceite sube su precio un 20 %. La botella cuesta finalmente 4,08 euros. ¿Cuánto costaba antes de la subida? 5. Una mercancía se encareció en un 10 % y luego se abarató también un 10 %. ¿Cuándo vale menos: antes o después de todo el proceso? 6. En la venta de un producto se ganó el 25% del precio de venta a pesar de realizar dos descuentos sucesivos del 10% y del 20%.respectivamente. Hallar el precio fijado del producto si este costó 540 soles. 7. En la venta de un producto se hacen dos descuentos sucesivos del 10% y 20%, respectivamente, y aún así se está ganado el 35%. Halle el precio de costo, si se sabe que el precio fijado y precio de costo suman 23000 soles. 8. En la venta de un producto que costó 4800 se realizan dos descuentos sucesivos del 20 % y 25 % respectivamente y así se obtiene una ganancia del 20% del precio de venta. Calcula el precio fijado para la venta.

9. Un comerciante compra pantalones en Gamarra a S/. 45 cada uno. ¿A cómo deberá vender cada uno de ellos si desea ganar el 20% del precio de costo más el 10% del precio de venta? 10. Una persona vende dos televisores a 990 soles cada uno. En una de ellas gana el 10% y en el otro pierde el 10%. Al final ¿ gana o pierde y cuánto?.

CIBERTEC

CARRERAS PROFESIONALES

84

Problemas de Conjuntos 1. De un grupo de 40 personas, se sabe que 15 de ellos no estudian ni trabajan, 10 estudian y 3 personas estudian y trabajan. ¿Cuántos de ellos realizan sólo una de las dos actividades? 2. Para ir a trabajar en una fábrica de un grupo de 100 obreros, 30 viajan en ómnibus, 40 en bicicleta y 60 en ómnibus o bicicleta. ¿Cuántas personas no usan ni bicicleta ni ómnibus? 3. De las 60 alumnas que componen el especial, 32 juegan tenis y 25 juegan basketball. ¿Cuántas juegan exclusivamente un deporte si 10 no practican ninguno? 4. En una sección de 70 estudiantes de una universidad, 40 de ellos toma el curso de álgebra, 35 toman el curso de cálculo y 15 toman ambos cursos. Se desea saber: ¿Cuántos estudiantes toman uno sólo de los cursos? ¿Cuántos estudiantes toman, por lo menos, uno de los cursos? ¿Cuántos estudiantes no toman ninguno de los cursos? 5. Un club consta de 78 personas. De ellos, 50 juegan fútbol; 32, básquet y 23, vóley. Además, 6 figuran en 3 deportes y 10 no practican ningún deporte. Si x es el total de personas que practican exactamente dos deportes siendo y el número de personas que practican un sólo deporte, halle x – y. 6. De 120 personas de cierta universidad, se obtuvo la información: 72 alumnos estudian el curso A 64 alumnos estudian el curso B 36 alumnos estudian el curso C 12 alumnos estudian los tres cursos ¿Cuántos alumnos estudian exclusivamente dos cursos? 7. Un club deportivo consta de 79 socios, de los cuales 52 practican fútbol; 36, básquet; 49, vóley; 63, fútbol o básquet. Si 15 practican solamente fútbol y básquet, y 16 solamente vóley: a) Cuántos socios practican los tres deportes. b) Cuántos socios practican por lo menos dos de los tres deportes. 8. La Oficina de Secretaría Académica de CIBERTEC proporcionó lo siguientes datos respecto a un grupo de 300 estudiantes de primer ciclo 200722. 155 están inscritos en el curso Matemática I, 170 en el curso Comunicación I y 110 en el curso Administración. 85 están inscritos en Matemática I y Comunicación I, 70 en Comunicación I y Administración, 50 en Matemática I y Administración, 35 en los tres cursos. Determine el número de inscritos: a) En el curso Matemática I pero no en Administración b) En ninguno de los tres cursos 9. De un grupo de turistas, algunos visitaron Arequipa; otros, Cusco; y otro grupo, Iquitos. Si se sabe que:  Los turistas que visitaron solamente Iquitos es la mitad de los que solamente fueron a Cusco.  Los que visitaron solamente Arequipa es el triple de los que solamente fueron a Cuzco e Iquitos.  Los que viajaron a Arequipa e Iquitos fueron 28.  Todos los que viajaron a una sola ciudad suman 102.

CARRERAS PROFESIONALES

CIBERTEC

MATE MÁTICA I

85

¿Cuántos fueron a Iquitos, pero no a Arequipa? y ¿cuántos visitaron Iquitos? 10. De una encuesta a 60 personas sobre el consumo de los productos A, B y C, se recogió la siguiente información : 7 personas consumen sólo Ay B. 6 personas consumen sólo B y C. 3 personas consumen sólo Ay C. 10 personas no consumen ningún producto. 20 personas no consumen el producto B. ¿Cuántas personas consumen sólo uno de estos productos o consumen los tres productos?

Teoría de exponentes y radicación N 1.- Calcule el valor de: M

M

2

2 x 4 36(2 x 2 ) 2 x 4 4(2 x 1 ) 6(2 x 1 )

x 5

N

x

92 x 138x 69 x 46 x

2.- Encuentre A+B

1 3

A=

3

2 5

2

4 11

1 1/ 2

16 4

5

B=

50

5n 3 5n 5n 1 5

3.- Halle K

4932

K

1

1 25 2

x2

21 35

x2 x

12

2

20

x2 x2

4.- Halle E, aplicando propiedades de potenciación y radicación:

E

1 243 1 3

125

m 3 2

2

5

5.- Halle el valor de :

CIBERTEC

4

2

A

m

2x

5

2 x 4 36 2 x 2 2 2x 3 4 2x 1

6 2x

1

CARRERAS PROFESIONALES

86

6.- Halle el valor de M si:

M

81

2 1

2 1 16 4

16

1

243 1 27

0, 2

1

3 1

7.- Reducir:

6n 2 6n 5n 3 5n 2 + 3n.2n.5 5n

+

2a 5 4.2a 4.2a 2

8.- Simplifica :

40.2 x 3 3.2 x 1 12.2 x 2 22.2 x 1 2 x 2 9.- Simplificar:

10.-

Calcula el valor de M :

M

CARRERAS PROFESIONALES

n 1

32 2 2 n 3 12n

16n

CIBERTEC

MATE MÁTICA I

3.2

87

TEMA 6:

PRODUCTOS NOTABLES RACIONALIZACIÓN 3.2.1 Productos notables, propiedades CUADRADO DE UN BINOMIO SUMA a

b

2

a2

2ab

b2

EJEMPLOS: 1.

x

7

2.

3x

3.

x

2

x2

2 5

2

(3x ) 2

2

2

72

2( x ) (7)

2 (3x )

2 2 (x )

3

x2

2 5

14 x

49

2

2 5

12 x 5

9x 2

2 2( x ) ( 3 )

( 3)

2

x

4 25

4

2 3x

2

3

EJERCICIOS DE APLICACIÓN PARA EL ALUMNO Halle el binomio que da origen a cada trinomio cuadrado perfecto. 2

1.

x2

1

x

4

x2

2

2 2 x 2 CUADRADO DE UN BINOMIO DIFERENCIA 2.

a

b

2

a2

b2

2ab

EJEMPLOS: 1. 2.

y

3.

x2

CIBERTEC

12

x

1 2

x2

2( x ) (1)

2

7

y2

2 ( y)

2

( x 2 )2

1 2

x2

1

1 2 2x 2 7

2x

1

2

y2

7

1 4

y

2

x4

2 7x2

7

CARRERAS PROFESIONALES

88

EJERCICIOS DE APLICACIÓN PARA EL ALUMNO Halle el binomio que da origen a cada trinomio cuadrado perfecto: 1.

2

x2

2 3x

2.

2

x2

4

x2

2x

2

3.

3

3

4

x

9

1 2

PRODUCTO DE LA SUMA DE DOS TÉRMINOS POR DIFERENCIA (a

b)

(a

a2

b)

….

b2

(Diferencia de cuadrados)

EJEMPLOS:   

x

8 x

x

6

x2

8 x

6

3 2

(4

64

6x y ) ( 4

x 6x

3

2

6 2

y )

16

36x 6

y4

EJERCICIOS DE APLICACIÓN PARA EL ALUMNO: Observe y escriba directamente el producto de los binomios 1. y 2. y 3. 3x

0.2 y 3 2

y

y

______________________________________________ ______________________________________________

0.2 3

1 3x 2

y

_____________________________________

1

CUBO DE LA SUMA DE DOS TÉRMINOS (a + b )3 = a3 + 3a²b + 3ab² + b3

EJEMPLOS:

1. (x 5)3

2

x3

3 x

x3

15 x 2

3 x 25

x3

15 x 2

75 x 125

CARRERAS PROFESIONALES

5

3x 5

2

53

125

CIBERTEC

MATE MÁTICA I

89

3

2. x

3 x

3

3x

2 3

2

3x

2 x

x

3. (x 0.5)3

2

9 2 x 2

3

2

3x

9 2 x 2

3

27

27

4

8

x3

1.5 x 2

3 x 0.25

x3

1.5 x 2

0.75x 0.125

3 x 0.5

3

27

x

8 2

3 x

3 2

9

4

x3

0.5

2

3

0.5

3

0.125

CUADRADO DE UN TRINOMIO a

b

c

2

a2

x2

y2

b2

c2

2ab

2ac

2bc

EJEMPLOS: 1.

x

2.

2x

y

4x

2

2

3

4y

2 xy

2x

2 xz

2y

2y

2

3

2

9

8xy

1 2

2

z2

2 yz

2

32

2y

2x

3.

2

z

2

3

3

2

1 4

5

1 4

2 6

2

2 2x

2y

12 x

12 y

2

2

2

3

1 2

2

6

3

3

2 2x

3

2

2y

2

2 3

2

2 3

3

1 2

2 2

1 2

2

2

PRODUCTO DE BINOMIOS QUE TIENEN UN TÉRMINO COMÚN

a

b a

c

a2

b

c a

bc

EJEMPLOS: 1. 2.

x x

CIBERTEC

7 x 6 x

x2

9 5

x

2

16x 11x

63

30

CARRERAS PROFESIONALES

90

3.

y3

1 y3

6

y3

y

2

5y 3

6

6

5y

3

6

EJERCICIOS DE APLICACIÓN PARA EL ALUMNO Observe y escriba directamente el producto de los binomios: (x – 1) (x + 8)

= _______________________________

(x – 5) (x – 2)

= _______________________________

CUBO DE UNA DIFERENCIA (a - b )3 = a3 - 3a²b + 3ab² - b3

EJEMPLOS: 1.

3 2

x

3

x

3

x3 x3

z

2.

3

3

3x 9 2 9 2

3

2

3x

2

x2

3x

x2

27 4 2

2

3 2 27

4

8 27 8

z3

3z

z3

3 3z 2

9z

z3

3 3z 2

9z 3 3

3

3

2

9

x

3

3z

3

2

3

3

27

Desarrolle:

1. y

1 2

3

____________________________ 3

2.

1 2 m 2

1

3.

3x

2

____________________________ 3

____________________________

CARRERAS PROFESIONALES

CIBERTEC

MATE MÁTICA I

91

SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS a3 + b3 = (a + b) (a2– ab + b2)

Suma de cubos

a3 – b3 = (a – b) (a2+ ab + b2)

DIFERENCIA DE CUBOS

EJEMPLOS:

x3

27

y3

8

3 )( x 2

(x

2 )( y 2

(y

3x 2y

9) 4)

Problemas propuestos para la clase1

1

. Simplificar:

A=

2. Efectúe:

R

3. Simplificar

4.

5

m

m2

5

n10 . m

m2

n10

(x + y)² (x² - xy + y²) – (x – y)² (x² + xy + y²)²

(a + 2) (a – 2) (a² - 2a + 4) (a² + 2a + 4)

Simplificar

5. Reducir:

k

CIBERTEC

a b

2

a b a b

a b

2

aa b

ba b

2b 2

CARRERAS PROFESIONALES

92

(3a 2b) 2 (3a 2b) 2 10a 2 (a b)(a b) 2b 2

6. Simplifique:

7. Simplificar :

8. Simplificar

9. Simplificar

Problemas propuestos para la casa 1.

Siendo x = 2 + Calcule:

3;

y=2-

3

A = (x – y) (x² + xy + y²) + y (3x² + 3xy + 2y²)

2.

Sabiendo que:

3.

Simplifique:

x y

y x

3 3

A

CARRERAS PROFESIONALES

2x3

2

11 7

calcule:

3 2

x y 3x y

3 .3 3 121 2x3

7

3 2

33 : 4x 6

2x y x y

3

9 49

CIBERTEC

MATE MÁTICA I

93

a

E

4.

Simplifique:

5.

Sabiendo que:

a

x y

x3

3

3

Halle el valor de:

6.

7.

9.

3

a b b a b

a

y3

2

3xy x 3

3

3

a

b

2

y

3

2

Si la suma de dos números es 5 y la suma de sus cuadrados es 21, halle la suma de sus cubos.

Si: a

2 yb

M

8.

2

b

3

b

8 , halla el valor de:

a b a3

Determine el valor de E , si

b3 [ a b a4 b4 a

2.

2

2

E

a 1 a 1a

Reduzca:

x2 5x 5

CIBERTEC

2

1 a

2

2

1

3

a b

2

]

1 3

x 1 x 2 x 3 x 4

CARRERAS PROFESIONALES

94

Resumen de productos notables  Productos Notables: 2

a, b, c

a2

b2

I.

a

b

II.

a

b

III.

(a

b)

IV.

(a b ) 3

a3

V.

(a - b )3

a 3 - 3a²b 3ab² - b3

VI.

a

2

2ab

a2 (a

b

b2

2ab a2

b)

b2

b3

3a²b 3ab²

2

c

R

a2

b2

c2

2ab

2ac

2bc

VII. a3 + b3 = (a + b) (a2– ab + b2) VIII. a3 – b3 = (a – b) (a2+ ab + b2)

a

IX. 3

X.

a

b 3

b

3

a a2

b 3

a.b

a b 3

b2

a b

Legendre: 

( a b) 2

( a b) 2

2 a2



a b

2

(a b) 2

4ab

b2

 Si desea saber más acerca de estos temas, puede consultar las siguientes páginas.  http://www.sectormatematica.cl/ppt/Productos%20notables.ppt Aquí encontrará ejercicios relativos al tema.  http://es.wikipedia.org/wiki/Productos_notables Aquí encontrará ejercicios relativos al tema.

CARRERAS PROFESIONALES

CIBERTEC

MATE MÁTICA I

3.2.2

95

RACIONALIZACIÓN

Es la transformación de denominadores Irracionales en Racionales.

DENOMINADOR “IRRACIONAL”

Es decir:

DENOMINADOR

FACTOR RACIONALIZANTE

(D. I)

RACIONAL

(F.R.)

(D.R.)

Casos: 1. Cuando el denominador es un monomio: Ejemplos: Racionaliza

F .R  3

a)

4

b) 3

Sol :

x

8

4

3 4

3 x3

x 4 x3

Sol : 3

27xy 2

4

x3

x 3

8 27xy 2

23

3

2

3 3 3 xy 2

x2y

33 xy 2 3 x 2 y

23 x 2 y 3xy

2. Cuando el denominador es un binomio de índice PAR * El F.R. es la conjugada que produce una diferencia de cuadrado Ejemplo: Racionaliza

F .R  a b a b

a b

a b2

a b

Sol :

a b

a b

a b

a b

x

a b

a b

a b

a2

a b

a b a b

a b

a b a b a b

2

a b a b

2

b2

2b

3. Cuando el denominador es un binomio cuya raíz es de índice 3 * El F.R. será el trinomio que, al multiplicarse, produce una suma o diferencia de cubos. Denominador 3

A.3

B.-

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x2

x

3

3 xy

Factor Racionalizante 3

y 3 y2

x 2  3 xy 3 y 2 3

x 3y

Resultado

( 3 x )3

( 3 y )3

( 3 x )3  ( 3 y )3

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96

Ejercicios Propuestos 1) Racionaliza: a) E

7 4 6

c

b4

2) Racionaliza:

a)

x

2

1

5 2

3

4

5

2

3

a

b)

1 4

x

4

y

x 1

3) Racionaliza:

a)

b) 4

1

7 3

5

3

2

b)

2 3

49

3

35

3

25

3) Racionalizar denominador y denominador :

R: ( -6/7 )

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97

EJERCICIOS RESUELTOS 1) Racionaliza: 1 4

x3

y

Solución: 1 4 3 x

1

x

4 3 x

y

4

x3

=

y x3

4 3 x

FR 1

y

4 x3

x3

y2

x3

y

y

FR 2

x

y2

x3

y2

y4

2) Racionaliza:

1 8

x5

y3

Solución: 8

1 8

x

5

y

3

8

x5

8

x

5

3

8

x5

y3

y

4

y3

=

x

5

8

x5

x5

4

=

x5

x5

4

3

x

5

FR 2

y

4

3

x5

y3

FR 3

y6

y3

y3 x

y

x x5

x5

FR 1

1

y3

y6

x5

y6

y 12

3) Racionaliza:

1 3

x2

3

y

Solución: 1 3

x2

3

y

3

x2

3

FR 2

1 3

y

3

x4

3

x2 3 y

3

y2

x4

3

x2 3 y x2

3

y2

y

4) Racionaliza:

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98

7 3

81

3

3

18

4

Solución: 7 3

81

=3 9

3

3

18 3

3

4

81

3

18

739

FR 1

7 3

4

3

9

3

2

3

9 2

2

3

739

2

7

2

EJERCICIOS PROPUESTOS 1) Racionaliza:

75 3

64

3

56

3

49

Solución:

2) Racionaliza:

4 5

3

10

6

Solución:

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99

Resumen

 Racionalizar.- es eliminar toda raíz del denominador Casos: 1) Denominador monomio.- su F.R. es lo que le falta al dato para eliminar el radical. 2) Denominador binomio cuya raíz tiene índice Par.- su F.R. es el mismo número pero con signo de enlace opuesto (Conjugada) que al multiplicarse con el dato resulta una “Diferencia de Cuadrados”. 3) Denominado binomio o trinomio de índice Tres.- su F.R. es un trinomio o binomio según sea el caso; que al multiplicarse con el dato resulta “Suma o diferencia de cubos”.  Si desea saber más acerca de estos temas, puede consultar las siguientes páginas.  www.sectormatematica.cl/ppt/Raices.pps Aquí hallará ejercicios sobre racionalización y otros.  http://www.rena.edu.ve/TerceraEtapa/Matematica/TEMA21/Racionalizacion.html Aquí encontrará la historia y casos de racionalización.

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100

3.3 TEMA 7: FACTORIZACIÓN Definición. Es un procedimiento por el cual se transforma un polinomio dado en un producto indicado de sus factores.

Métodos de factorización: a) Factor común: Ejemplo: Factorice: 3x3 y + 9x² y² + 6 xy3 Sol:

3 x y x 2 3x y 2 y 2   Factor Común

Se puede factorizar es otro caso.

b) Por agrupación de términos: Ejemplo: Factorice: a 2 b b 2 c c 2 a a 2 c b 2 a c 2 b 2abc Sol : = (a² b + b² a ) + (c² a + c² b ) + c (a² + 2 ab + b² ) * = a b ( a + b ) + c² (a + b ) + c ( a + b ) (a + b ) = ( a + b ) a b c 2 ca cb = (a + b ) [ a ( b + c ) + c ( b + c ) ] = (a + b ) ( b + c ) ( a + c ) c) Por identidades o por productos notables en forma inversa: Ejemplos : a) ( a² + 2 a b + b² ) = ( a + b)² = (a + b ) ( a + b ) b)

(a - b ) ( a² + a b + b²) = a3 - b3

c) x 2

4x 4

d) x

y x2

e) y ²

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x 2 y2

xy

4 y²

2

4

x 2 x 2 x3

y4

y3

16

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101

Problemas propuestos para la clase 1) Factorice: a) 3x2y2-6x2y = b) (3a – b) (a – b – 1) + (a + b) (a – b – 1) – (2c – 3b) (a – b – 1) =

c) 2p (p – 1) + q(1 – p) + 2 (p – 1) =

2) Factorice: a) xa2 + y2b + y2a2 + xb = b) x4 + x2y2 + y4 = c) 4xz + 2yz – 2xp – yp = d) x3 – 4x2 + x – 4 =

3) Factorice: a) x2 + 10xy + 25y2 = b) 4y2 – 9x2 = c) 8x3 – 27y3 = d) 9m2 + 6m + 1 = e) 4x2 – 12xy + 9y2 =

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102

d) Por aspa simple:

Trinomio de la forma x2n + bxn + c = (xn + k1) (xn + k2) n donde:

N

k1 . k2 = c k1 + k2= b

Ejemplo: Factorice

x² - 6x + 5 = 0

k1 + k2x= b

5

x

1

Vemos que: (-5) (-1) = 5 (-5) + (-1) = -6

x² - 6x + 5 = 0

ok ok

(x - 5 ) ( x - 1) = 0

NOTA: Este trinomio se puede factorizar sólo cuando su Discriminante (D) es un cuadrado perfecto (ie, tiene raíz cuadrada exacta) Trinomio de la forma ax2n + bxn + c = (a1 xn + k1 ) (a2 xn + k2 ) donde :

a1 . a2 = a k1 . k2 = c a1 k2 + a2 k1= b

Ejemplo: Factorice:12 x² - xy - 6y² = 0

3x 4x

2y 3y

Vemos que:

( 3 ) ( 4 ) = 12 ; ( 2 ) (-3 ) = - 6 ; (3x) (-3y) + (4x) (2y) = -9xy + 8xy = -xy 12x² - xy - 6y² = 0

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(3x + 2y ) (4x - 3y) = 0

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103

f) Por división de binomios: Permite factorizar polinomios en una sola variable. Consiste en formar una serie de binomios que admitan como término común a la variable y como segundos términos a los divisores del término independiente. De dichos binomios se tomarán aquellos que den división exacta empleando RUFFINI. Ejemplo: Factorice: x4 + 6x3 - 5x² - 42x + 40 Posibles factores:

divisores de:

(x 1) (x 2) (x 4) (x 5) (x 8) ….….. …………………………………………… ……………………………………………

40

1 +2 +4 5 8 10 20 40

En forma práctica: Ruffini 1 1 1 2 1

6

-5

-42

40

1

7

2

-40

7

2

-40

0

2

18

40

9

20

0

x² + 9x + 20

x x

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5 4

(x - 1) (x - 2) (x + 5) (x + 4)

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104

Problemas propuestos para la clase 1) Factorice: a) x2+5x-6 b) x2-5x-14 c) 3x2-21x+18 d) 45x2-38xy+8y2

2) Factorice: a) t3-6t2+11t-6 b) x4-6x3-x2+54x-72 c) 2x5-17x4+51x3-58x2+4x+24

EJERCICIOS DESARROLLADOS COMPLEMENTARIOS Simplifique: 1)

E=

2)

E

4x 2 1 8 xy 4 y

Re solución

x 11 y 1 x y 1

sol

E

E

2x 1 2x 1 4 y 2x 1

2x 1 4y

y 1 x 1 x 1 y 1

1

Efectúe:

3)

E

3x 1 x 3 3x 1 x 3 Re solución E 5x 2 5x 2 5x 2

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3x 1 x 3 2 x 4 5x 2 5x 2

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4)

105

E=

xy 2 y 2 x 2 2xy y 2 . x 2 xy x 2 2xy

y x 2y x y 2 . Resolución : E = x x y x x 2y

y x 2y x y 2 x x y x x 2y

yx y x2

Problemas propuestos para la casa Simplificar: 1)

x2 x y 3

2)

m3 m 2 5 x 5 x

3)

x 2 36 x 4

4)

2y 6 x

2

2x 3 x2

x 6 x 6 2x 8

6m 10m p

2

2m

8p 16

5)

m 2 2m m 1

6)

m10 5x 50

7)

Factorice:

25

m2

p 4 m 1

m

2

4

x 10 m3

2

m 5m 10

m4 25

E = (x + 3) (x + 2) (x + 1) + (x + 2) (x + 1) + (x + 1)

8)

Factorice: a)

x8 - 82x4 + 81

b) (x2 - y2)9 - (x + y)7 (x - y)11 9)

Factorice: E = ( x + y )9 ( x - y )5 - (x2 - y2)7

10)

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Factorice:

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106

a) E = 64 x12 y3 - 68 x8y7 + 4x4y11 b) x3 + (2a + b)x2 + (a2 + 2ab ) x + a2b

11)

Factorice: a) x8 - y8 b) x6 - y6

12. Halle:

x 2 ² 4 x x 4

E=

2 x x 2 9 x 14

x2 2x 4 x 2 49

x2 7 x 2x 4 x3 8

13. Halle:

E

2 x 3 3x ² 1 3x3 11x² 13x 5

14. Halle :

E

x3

x² 16 3x² 7 x 20

3 3x 2 4

4x 1 ² 4x 1 ² 12x 20

x2 x x 4 5x 2 4

x x3 4 x .

15. Halle E:

E

5 x3 17 x ² 8 x 12 x3 x ² 8 x 12

4 x ² 7 x 15 x² 9

3X

5 ² 3X 4 x 12

5

2

16. Halle E:

E

3x 3 13x² 3x 45 2 x 3 13x² 24x 9

17. Si: A

2( x 3 y 3 ) x y

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(x3 x

8x² 14x 5 16x² 40x 25 4 x² 1 2x 1

y3 ) y

2 32x² 4x 2

( x 3 xy 2 ) y x2 y2

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B

C

107

x 2 3x 18 x 2 10x 24 x y

y x

2

x2 9 x 2 7 x 12 Halle el valor de K = C – 4B - A

xy

18. Halle E:

a2 x2

a 2 x 6a 2

x2

x 6

a2 1 x 3

E= 19.. Simplificar :

E

4 x 4 4 x 2 y 2 4 x 3 y 4 xy3 2x y x y

y2 x2

y4

20. Simplificar :

a6 b6 2 a b a b

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a b 2

4b 2

2

2

3ab

a b

2

a b

2

a b

2

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108

Resumen  Factorizar.- Es modificar un polinomio a productos de factores.  Métodos de Factorización: 1. Factor común.- Cuando los términos de un polinomio tienen algo en común. 2. Por Agrupación.- Esta técnica va de la mano con factor común. Consiste en juntar 2 o más términos con algo en común. 3. Por identidades.- Es lo mismo que productos notables. Ejemplo: Un trinomio cuadrado perfecto se convierte a un binomio cuadrado. 4. Por aspa simple .- Será por aspa simple en todos los casos cuando la suma de sus coeficientes del polinomio da cero 5. Ruffini.- Sirve para factorizar polinomios de grado tres o mayor. Para usarla, se debe tener presente que el polinomio debe ser ordenado y completo.

 Si desea saber más acerca de estos temas, puede consultar las siguientes páginas.  http://sipan.inictel.gob.pe/av/ Aquí encontrará casos de factorización y otros.  http://www.matematicastyt.cl/Algebra/Polinomios/Factorizacion/pag1.htm Aquí encontrará ejercicios desarrollados de factorización y otros.

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109

UNIDAD DE APRENDIZAJE

4 ECUACIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS LOGRO DE LA UNIDAD DE APRENDIZAJE Al término de la unidad, el alumno, resuelve ecuaciones, de primer y segundo grado, así como sistemas de ecuaciones lineales, con dos variables, aplicando propiedades y métodos algebraicos.

TEMARIO Ecuaciones lineales y sistemas de ecuaciones Ecuaciones lineales Sistemas de ecuaciones lineales 2x2

Ecuaciones de segundo grado y propiedad de las raíces Ecuaciones de segundo grado; métodos de solución

ACTIVIDADES PROPUESTAS Los alumnos desarrollan, por equipos de tres integrantes, los ejercicios propuestos en el manual. Verifican los resultados.

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110

TEMA 8: ECUACIONES LINEALES Y SISTEMAS DE ECUACIONES 8.1 Ecuaciones lineales Forma general:

ax + b = 0 ; a

0

Solución: x = - b/a Tipos: a.

Ecuaciones lineales o enteros: Ejemplo: Halle el valor de x: a) 5x - (4x + 3) = 7x - (2 + 3x) + 25

Solución:

b)

5x - 4x - 3 = 7x - 2 - 3x + 25 5x - 4x - 7x + 3x = 3 - 2 + 25 - 3 x = 26 x = 26/-3

7x² + 15 = (5x - 2) (3x + 7) - (4x - 1) (2x + 11) x = - 18/13

b)

Ecuaciones fraccionarias: Se obtiene el MCM cuidando que el denominador nunca sea cero. Ejemplo: Halle el valor de x: 3 2 2x 1 (3x 1) a) Resuelva: 2 3

2x

1 6

Resolución : M.C.M ( 2 , 3 , 6 )= 6 Divide el MCM entre cada denominador y su resultado multiplica a su respectivo numerador: - 9 (2x + 1) - 4(3x - 1) = 12x + 1 - 18x - 9 - 12x + 4 = 12x + 1 - 18x - 12x - 12x = 9 - 4 + 1 - 42 x = 6 x = - 1/7 b)

23b x 5

x b 7

4b x 4

5b

Resolución: M C M( 5 , 7 , 4 ) = 140

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111

x=8b

Problemas desarrollados:

a) A un alumno le preguntaron la hora y responde “son los 5/7 de lo que falta para terminar el día”. ¿Qué hora es?

Resolución:

x

5

24 x 7 5 5 x x ( 24 ) 7 7 7x 5x 120 12 x x

120 10

son las 10 a.m.

b) Las edades de una madre y 2 hijos suman 60 años. Halle la edad del menor de los hijos, sabiendo que el mayor tiene 3 veces la edad del menor y la madre el doble de la suma de sus hijos. Resolución : Madre Hijo mayor Hijo menor

= M = H1 = H2

M + H1 + H2 = 60

H2 = 5 años

c) Una persona tiene S/ 20 000 y otra S/ 7 500. Cada una ahorra anualmente S/. 500. ¿Dentro de cuántos años la fortuna de la primera será el doble de la segunda? Resolución: Sea “x” el de años que ahorra cada persona. -

Ahorro total de cada persona 500x capital + ahorro de la 1ra persona: 20 000 + 500x capital + ahorro de la 2da persona: 7 500 + 500x

Entonces 20 000 + 500x = 2 [7 500+500x] 20 000 + 500x = 15 000 + 1000x 5 000 = 500x 10 años = x

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112

Problemas propuestos para la clase 1) Resuelva los siguientes ejercicios: a) 5x – (7x – 4) – 2 = 5 – (3x + 2)

b) 2 x

3x

2

x 1 2

4

4x 1 3

2) Resuelva

x 2 x 12 x 2 49

x2 x2

x2

x 56 x 20

5 x 24 x 5

1 5

3 ) Resolver :

2 3x 5 4

3 4x 5 12

51 x 3

4x 5 18

4) Resuelva la ecuación:

2 x 4 3x 3 6 x ² 5 x 6 x 4 x 3 3x ² x 2

2x 1

2

3 x 2x 2

2x 1

2

x 1 x 2

23 x . x 3x 10

8x

5) Resuelva la ecuación:

x 2 64 x 2

x 3 2x 2 4x x 2 16x 64

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x 4 8x x 2 6 x 16

2

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113

8.2 Sistemas de ecuaciones lineales 2x2 Sistema:

Se llama así a un conjunto de ecuaciones que se verifican para un mismo valor de las incógnitas. Ejemplo:

x + 3y = 10 ... (I) 4x - y = 1 ... (II)

Métodos de resolución: a) Por eliminación (Adición algebraica) Ejemplo: Resuelva el sistema: x + 3y = 10 ……………. ( a ) 4x - y = 1 ……….…… ( b ) Resolución : La ecuación ( a ) queda igual La ecuación ( b ) por 3

x=1 Así, en

:

x + 3y = 10

:

12x - 3y = 3 13x = 13

Este valor se reemplaza en cualquiera de las ecuaciones. ( a ):

1 + 3y = 10 3y = 9

y=3 b) Por sustitución: Se despeja cualquier variable de una de las ecuaciones y se reemplaza en el otro. Ejemplo: Resuelva el sistema: x + 3y = 10 ……………..( a ) 4x - y = 1 …..…………( b ) Resolución : De la ecuación ( a ) : x = 10 - 3y reemplazamos en ( b ) 4 (10 - 3y) - y = 1 40 - 12y - y = 1 - 13y = - 39 y=3

Reemplazando en la ecuación ( a )

Así, x + 3 (3) = 10 x+9 = 10

x=1

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114

c)

Por igualación: Consiste en despejar la misma variable en ambas ecuaciones y luego se igualan (pueden ser también constantes). Ejemplo:

Resuelva el sistema: x + 3y = 10 …………… ( a ) 4x - y = 1………………. ( b )

Resolución:

De (a) x = 10 - 3y De (b) 4x = 1 + y x

=

10 - 3y

=

Son iguales

1 y 4 1 y 4

40 - 12y = 1 + y - 13y y

= - 39 =

39 13

y=3

en (a):

x + 3 (3) = 10

x=1 Nota: Al resolver, por cualquiera de los 3 métodos, el resultado no cambia.

Ejercicios desarrollados: 1. Juan ahorra en billetes de S/. 50 y S/. 100. Para hacer un obsequio a su madre por su cumpleaños, abre la alcancía y logra contar 200 billetes que hacen un total de S/. 14 000, suma con la cual compra el presente. Después de agradecer la madre tan noble gesto, le pregunta: Juanito, ¿Cuántos billetes de S/. 50 y cuántos de S/. 100 ahorraste? Resolución: a) Representación Número de billetes de S/. 50 : Número de billetes de S/. 100 :

x y

x + y = 200 Sistema 50x + 100y = 14 000

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115

b) Solución del sistema: Valor de y: -100x – 100y = -20 000 50x + 100y = 14 000 -50x = - 6 000

x + y = 200 120 + y = 200

x = 120

y = 80

Respuesta: Ahorró 120 billetes de S/. 50 y 80 billetes de S/. 100. 2. El resultado de una prueba escrita de Matemática Discreta I es como sigue: los 2/3 de alumnos aprobados son igual al triple de los desaprobados más 4. Si al número de aprobados se quita el quíntuplo de desaprobados, resulta 2. ¿Cuántos alumnos aprobaron la prueba y cuántos desaprobaron? Resolución: a) Representación Número de alumnos aprobados : x Número de alumnos desaprobados : y 2/3x = 3y + 4 Sistema x – 5y = 2 b) Resolución del sistema: Valor de x: 2x x – 5y 2x – 9y -2x + 10y y en ( ):

= 9y + 12 = 2 ..................... ( ) = 12 = -4 = 8

x – 5 (8) = 2 x = 40 + 2 x = 42

Respuesta: Aprobaron 42 alumnos y desaprobaron 8.

Problema propuesto 1. Por ventas del día de una bodega, se contabilizó 160 billetes por un monto de 5000 soles entre billetes de S/.10, S/.50 y S/.100. Si la mitad del número de billetes de S/.10, más la cuarta parte del número de billetes de 100 es igual a los 11/8 del número de billetes de 50, ¿cuántos billetes de cada denominación se contabilizó? Respuesta: 100 de S/.10, 40 de S/.50, 20 de S/.100.

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116

Problemas propuestos para la clase 1) Resuelva el siguiente sistema 2x + 3y = 7 5x - 7y = 3

2) Resuelva el siguiente sistema

1 1 x 4 y 3 4 4x 3y

3) Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones : a)

2x 5

4y

3

2 5

3x 5

y 3

4

6

x

b)

2 x 3y

5b a

3x 2 y

a 5b

y

5) Resuelva el siguiente sistema 4) Resuelva:

1 x

1 y

x

1 x

y 1

y

x

y

a

3

2

b

1 x 5 1 x

1 y 3 1 y

12 1

6) El perímetro de un rectángulo es 56 m. Si el largo disminuye en 2 m. y el ancho aumenta en 2 m, la figura se convierte en un cuadrado. Halle el lado mayor.

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117

7) Juan dice a Pedro: “Dame S/ 18 000 y así tendré el doble de dinero que tú”. Y Pedro le contesta: “Más justo es que tú me des S/ 15 000 y así tendremos los dos igual cantidad”. ¿Cuánto tenía Pedro?

Problemas propuestos para la casa

I. Resuelva:

1)

13 5 2x 4 3 5

7 24

x

1 2

x

x

2)

1 2

1 4

3

5 2x 6

3)

x m 2

x 2m 3

x

x m n

4)

mx m n

nx m n

2m 2

x

II. Resuelva cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones

5x 4 y 5) x y

7)

2 1

4x 5 y 7 10x 3 y 8

1 3 9) 5 2y 3 7x

CIBERTEC

6)

5 x 29 7 y x y 0 3 2

8)

2x 7 y x 2y 7 3

2 x 2y

5y 7 10)

x

41 79 21

2 x 4,5 y

35

2 x 7y x 10 y

1 2

CARRERAS PROFESIONALES

118

ÓN

1 11) Resuelva el sistema:

x

3 y

x

4 x

5 3

y 5

y

x

11 6

y

5 2

12) Resuelva el sistema de ecuaciones:

13) Resuelva el sistema de ecuaciones:

CARRERAS PROFESIONALES

x

10 2 x

3

2

x y

x y

5

1

x y

x y

13 y 3 1 y 3

6 3

7 5 2

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MATE MÁTICA I

119

Tema 9: ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO 9.1 Ecuaciones de segundo grado; métodos de solución Forma general es:

ax² + bx + c = 0

donde a, b, c son constantes y a

0.

Ejemplo: 2x² + 3x - 5 = 0 ; vemos que a = 2 b=3 c = -5 Además, toda ecuación de segundo grado tiene 2 raíces o soluciones. Métodos para hallar dichas raíces: M1) Fórmula general:

x1 , x 2 

b

b2 2a

4ac

raices o soluciones

Para ver si las raíces o soluciones son reales o imaginarias, se analiza el DISCRIMINANTE ( = b² - 4ac) Casos: 1. Si

> 0 ; las raíces serán reales y diferentes.

Así;

x1

2. Si

CIBERTEC

b 2 4ac ; 2a

x2

b

b2 2a

4ac

= 0 ; las raíces serán reales e iguales.

Así;

3. Si

b

x1

x2

b 2a

< 0 ; las raíces serán complejas conjugadas. (No tienen solución real)

CARRERAS PROFESIONALES

120

Ejemplos desarrollados: Resuelva: Solución:

2x² + 3x - 5 = 0 a = 2 , b = 3 , c = -5

Analizando discriminante ( ) = b2 - 4ac = 3² - 4(2) (-5) = 49 estamos en el primer caso.

>0

3

x1

49

3 7

2( 2 ) 3

x2

4

49

1

3 7

5

4

2

22

El conjunto solución es { ( 1, -5/2) }

M.2) Por factorización: Método ya conocido Ejemplo: Resuelva: 2 x² + 3x - 5 = 0 Sol. 2 x² + 3x - 5

x

1

2x

5

x 1 0 ( x 1)( 2x 5 ) 0

2x 5

x 1 0

x

5 2

M.3) Completando cuadrados: Para aplicar este método, el coeficiente de x² siempre debe ser UNO. Ejemplo: Resuelva: x² + 4x - 6 = 0 Solución: x

4

2

2

4x 2

x

22

x 22

CARRERAS PROFESIONALES

4

10

4

2

6 0

2

6 0

x 2

10

x1

2

10

x2

2

10

CIBERTEC

MATE MÁTICA I

121

Problemas propuestos para la clase De las siguientes ecuaciones indicar como son sus raíces : a)

b)

c)

2) Resuelva empleando la fórmula general. ;

3) Resuelva empleando factorización. ;

EJERCICIOS DESARROLLADOS:

1

Halle el valor de m para que la ecuación:

x ( x 1) (m 1) ( x 1). m 1

x tenga raíces iguales. m

Resolución: m [ x² - x - m - 1] = x (xm - x - m + 1) m x² - m x - m² - m = m x² - x² - mx + x x² - x - (m² + m) = 0 Como las raíces son iguales el discriminante es cero, se obtiene

2.

Si en la ecuación el valor de “a”. Resolución :

m = -1/2.

se conoce que sus raíces son iguales, halla

Al tener raíces iguales su discriminante es igual a cero

Factorizando :

De donde se tiene a = 4.

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122

Problemas propuestos para la clase

1 Determine los valores de “a” si se sabe que la ecuación tiene raíces iguales. 2

Determine

el

valor

de

“”, si se sabe que tiene una sola solución.

la

siguiente

ecuación

3 Determine el valor de k sabiendo que la ecuación tiene solución única. Además, halle sus raíces: 4x² - 1 = 6kx² - 3kx

4

En la siguiente ecuación 7. Halle dichas raíces.

5 En la siguiente ecuación sus raíces es igual a -1/3. Halle dichas raíces.

CARRERAS PROFESIONALES

, la suma de sus raíces es igual a

, se cumple que el producto de

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123

Problemas propuestos para la casa ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Resuelva: 1)

x 2 x 4 x 3 x 5

5 12

2)

(3x - 1) (3x + 1) = x²

3)

5x² + 3x = 0

4) I.

Resuelva x factorización. a) x² - 8x – 9 = 0 b) x² + 3x + 2 = 0 c) 2x² - 5x + 2 = 0 d) 4x² - 12x + 9 = 0 e) 3x² + 19x + 6 = 0

II. Resuelva completando cuadrados. a) b) c) d) e)

x2+6x-8 = 0 4x2-5x-1=0 3x2-6x-1=0 3x2+5x+1=0

8x 3

x2

16

3

5) En cada una de las siguientes ecuaciones, determine los valores de k para los cuales la ecuación tiene una sola solución: a) kx2 - 6x + 1 = 0 b) x2 + x + 2k = 0 6) Encuentre el valor de “n” para el cual la ecuación: x2 - 2 (n-3)x + 4n = 0 tiene raíces iguales 7) Determine el valor de k sabiendo que la ecuación tiene una sola solución real. Además, halle las raíces. 7x2 - 1 = 8kx2 - 2kx 8) ¿Qué valores debe tomar “k” para que las raíces de la ecuación 1)x2 - (k+3)x + 2m + 1 = 0 difieran en 3?

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(k-

124

Resumen  Ecuación Lineal.- Es un polinomio de grado uno y, por lo tanto, tiene una sola solución o raíz. Esta puede ser: a) Entera .- Cuando los términos no tienen denominadores b) Fraccionaria.- Cuando los términos tienen denominadores iguales o diferentes. Para resolverlas se halla el MCM.  Ecuaciones de segundo grado.- Es un polinomio de grado dos igual a cero; por lo tanto, tiene dos soluciones o raíces. Las forma de resolverlas son las siguientes: a)

Por fórmula general.- Esta resuelve cualquier trinomio de grado dos, está dado por:

x1 , x 2 

b

b2 2a

4ac

raices o soluciones

b) Por Factorización.- Cuando el Discriminante es un cuadrado perfecto. c) Completando cuadrado.- Se utiliza cuando el coeficiente de la variable de mayor grado es UNO. Consiste en sacar la mitad del coeficiente del término lineal y a éste resultado elevarlo al cuadrado. En todos los casos, primero se agrega y luego se quita. Por esta razón, algunos autores a este método lo llaman “pon y quita”.  Si desea saber más acerca de estos temas, puede consultar las siguientes páginas.  http://www.portalplanetasedna.com.ar/Ec2Grado.htm Aquí encontrará información sobre ecuaciones de 2do grado.  http://www.vitutor.com/ecuaciones/2/p_e.html En esta página encontrará información relativa al tema.

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125

UNIDAD DE APRENDIZAJE

5 DESIGUALDADES E INECUACIONES LOGRO DE LA UNIDAD DE APRENDIZAJE Al término de la unidad, el alumno, resuelve inecuaciones mediante el empleo de las gráficas del conjunto solución en la recta de los números reales y el método de los puntos críticos. Para ello, deben aplicar teoremas sobre desigualdades y las propiedades de los factores de potencia y factores cuadráticos. TEMARIO Desigualdades :

- Definición - Clases :*Absolutas *Relativas - Propiedades

Usar las propiedades de las inecuaciones lineales Operaciones entre inecuaciones Inecuaciones de segundo grado: - Teoremas - Inecuaciones factorizables y no factorizables - Factor elevado a potencia par e impar - Inecuaciones de orden superior ACTIVIDADES PROPUESTAS Los alumnos, por medio de exposiciones dialogadas y la resolución de ejercicios por parte del profesor, trabajarán de manera grupal y obtendrán los resultados a los ejercicios propuestos para la clase. Los alumnos resolverán ejercicios propuestos para que lo desarrollen en su domicilio y se revisará en la próxima clase.

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126

Tema 10: DESIGUALDADES E INECUACIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS 10.1 Desigualdades, propiedades Una desigualdad es una relación que existe entre cantidades que tiene diferente valor. Esta relación puede ser: “mayor que” (>) ; “mayor o igual que” ( ) “menor que” (<) ; “menor o igual que” ( )

Clases: a) Absolutas.- Aquellas que se verifican para cualquier número real.

Ejemplos : i) x 2 4 0 ii) 45 10 b) Relativas.- Aquellas que se verifican sólo para determinados valores que se asignan a sus incógnitas.

Ejemplos : i ) x 5

20

ii) 2 x 3

10

Propiedades 1) Si a > b y

b > c entonces

R entonces a c > b c

2) Si a > b y c 3) Si

entonces

a>c

a b c

también:

d

entonces

a+c>b+d

a b c d a+c>b+d

4) Si a > b y c > 0 entonces a.c > b.c Si a > b y c < 0 entonces 5) Si a > b y c > 0 entonces

Si a > b y c < 0 entonces

a.c < b.c

a b c c a b c c

6) Si a > b donde a > 0 y b > 0 entonces a n

bn (

n par o impar positivo)

7) Si a > b donde a > 0 y b > 0 entonces a n

bn (

n par o impar negativo)

8) Si a > b donde a < 0 y b < 0 entonces a n

bn (

n impar positivo)

n 9) Si a > b donde a < 0 y b < 0 entonces a

bn (

n par positivo)

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127

10.2 Inecuaciones lineales de una sola variable. Son desigualdades que presentan una sola variable ( incógnita ) y estas tienen como máximo exponente a la unidad. Pasos para su resolución:

1) Se cancelan los denominadores, multiplicando el MCM de dichos denominadores. Considerando que si es una cantidad (+), la desigualdad no cambia de sentido. En cambio si es una cantidad ( - ) el sentido cambia.

2) Se realizan las operaciones indicadas transponiendo términos de un miembro a otro. Para ello, se aísla en uno de los miembros a todos los términos que contienen a la incógnita y en el otro a los que no la contienen.

3) Despejar la incógnita, considerando que si la cantidad que pasa al otro miembro a multiplicar o dividir es ( - ), el sentido cambia. En cambio, si es (+), el sentido se conserva.

4) Graficar en la recta numérica el intervalo solución. Ejemplo: Halle el conjunto solución de:

x 1 x 3 4 5

x 3 ( x 4) 2

Solución: M.C.M = 20 5x + 5 - 4x + 12 > 10x + 30 - 20x + 80 5x - 4x -10x + 20x > 30 + 80 - 5 - 12 11x > 93 x > 93 11

-

0 S=x

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93/11 < 93/11 ,

+ >

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128

Problemas propuestos para la clase

1) Determine el conjunto solución de las siguientes inecuaciones: a)

2x 5 3

3x 7

b)

x 2

x 1

3

4

5x

c)

x

1

2

4

2x

1 3

2) Halle el conjunto solución de: a) 4 (7 – x) – 3 (1 – x) > 5 ( x + 2 ) b) 3 (x - 5) – 4 (4 – 3 x )

2(7–x)–3(x–5)

3) Resuelva las siguiente inecuación: 5 x - 2 < 10 x + 8 < 2 x - 8

4) Resolver :

5) Resolver

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129

INECUACIONES RACIONALES (lineales) P( x ) Son de la forma:

Q( x ) <

0

donde P(x) y Q(x) son polinomios de primer grado.

Ejemplos: Resuelva:

a)

2x 1 x 3

0

Resolución: Se recomienda usar el método de los puntos críticos. Para ello se iguala a cero cada factor: 2x+1 = 0

y

x-3=0

De donde se observa que “x” puede ser -1/2 ó 3 (denominados puntos críticos). Graficando: Se ubica en la recta real solo los puntos críticos obtenidos (los cuales son abiertos) y la recta se divide en 3 partes limitadas por dichos puntos críticos

Como la expresión es menor que cero , el conjunto solución será el intervalo que tiene el signo menos.

C.S. : ]-1/2 , 3[

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130

Problemas propuestos para la clase

1) Halle el conjunto solución de: a)

b)

c)

2)

3x 9 6x 3

1

x2 9 x 3

0

2x 8

0

4 8x

Halle A B si :

A

3)

x

R/x

x2 x 1

;B

x

R/ 2

2 3x 7

4

Halle P Q si:

P

x

R/

x 1 2

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3x 2 1 ;Q 6x 1

x

R / 2x 6x 5

3x 2 4 x 1

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131

5.1.3 Inecuaciones cuadráticas Son inecuaciones que tienen la siguiente forma: ax 2

bx c

0 o

ax 2

bx c

0

; Teorema: Si “x” es un número real pero diferente de cero entonces

Corolario: Sea x R entonces

x2

a 0

x2

0

0

a) INECUACIONES CUADRÁTICAS FACTORIZABLES Ejemplo: Resuelva: Resolución:

x2

4x 3 0

Factorizamos la expresión:

( x–3)(x–1)

0

Empleando el método de los puntos críticos: 3 y 1 ( puntos críticos cerrados )

Como la expresión es mayor o igual a cero, entonces el conjunto solución está dado por la unión de los intervalos que tengan el signo más: C.S. = [- , 1] U [3 , +

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]

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132

Problemas propuestos para la clase 1) Halle el conjunto solución de:

2x 2

x 10

0

2) Resuelva:

3x 2

x 2

3) Halle A

A

x

0

B si :

R/ 3 x 2

2 x2

x2

37 ; B

x

R/ x 1 2

x 22

x 32

4) Halle P Q si:

P

x R/ x 1 2

x 22

CARRERAS PROFESIONALES

2x 3 x 3

Q

x R/ x 1 2

5x 3

30

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133

b) INECUACIONES CUADRÁTICAS NO FACTORIZABLES Para resolver este tipo de inecuaciones, se emplea el método de completar cuadrados, pero teniendo en cuenta las siguientes propiedades: 1)

R entonces x2 0

Si x

Ejemplos:

a) b)

32 2 5

0

9 0

0

5 0

c) x 1 2

0

d) x - 3 2

0

Para cualquier valor de x resulta que x 1 2 es positivo o igual a CERO, luego el conjunto solución : R. No hay ningún valor real x tal que x - 3 2 sea negativo (es decir, menor que x-3 2

CERO) pero sí para x 3 e) Resolver : x 2

0. Luego, el conjunto solución será 3 .

14x 49 0.

Solución : Factorizando x 7 2

0 ¡ Falso! No existe ningún número real x tal que x 7 2 dé como resultado un número negativo o menor que CERO. C.S : Φ

2)

Si x 2

m siempre y cuando m sea positivo.

Entonces : - m

x

Ejemplo: Resuelva:

m x2

25 debe ser positivo.

Solución: Si x 2

m entonces

m

x

m

Si x 2

25 entonces

25

x

25

5 x 5

C.S.

3)

Si x 2

x

m siempre y cuando m sea positivo.

Entonces : x

m

Ejemplo: Resuelva: x2

CIBERTEC

5,5

x

m

49

CARRERAS PROFESIONALES

134

Solución:

Si x 2

m entonces x

m

x

m

Si x 2

49 entonces x

49

x

49

x 7

x

Gráficamente:

-

-7 CS

+

7

x

, 7

7

7,

Ahora, aplicaremos el método de COMPLETAR CUADRADOS. Aquí se recomienda que el coeficiente del término cuadrático sea UNO. Ejemplo: Resuelva 2x 2

x 4

0

Resolución: 2x 2

x

2

x 4 0

2

x

1

x 2 0 2 Completando cuadrados : 2 2 1 1 1 2 x x 4 2 4  

x

1 4

2

1 2 16

CARRERAS PROFESIONALES

x

1

2

33

4 1

16 2

0

33

4

x

16

x

2

0 x

0 CS

x

,

1

33 4

1

33

4

16

1

33

4

4

1

33

x x x

4

1

33 4

1

33

4

16

1

33

4

4

1

33 4

,

CIBERTEC

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135

Problemas propuestos para la casa

1) Halle el conjunto solución de la siguiente inecuación:

x2

x 72

0

2) ¿Cuántos valores enteros satisfacen a la siguiente inecuación?

x2

2x 2

0

3) Sean los conjuntos:

Halle A

CIBERTEC

A

x R / x 2 2x 15 0

B

x R / 3x 2 x 4 0

B

CARRERAS PROFESIONALES

136

4 . Resuelva: 1. 2x + 5 > 4x -7

2.

2

5

x 1

x 5

1

Rpta

x

,6

Rpta

x

5, 1

3. 3(x –2) + 2x(x +3) > (2x - 1)(x + 4)

4. 2x +7 < 6x - 5

5.

1 3x 4

5

Rpta x

1 x 2

Rpta

6. 3x2 - 11x + 5 > 0 ;

7. Determine: A A=

20, 7

Rpta x

x

Rpta x

B, A 4,15

CARRERAS PROFESIONALES

B , A-B y B-A 30, 47

y

2,5

1,

3,

1 514,

,

11

61 6

11

61 6

,

, sabiendo que : B=

12, 0

7, 30

40, 50

CIBERTEC

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137

Tema 11: INECUACIONES CON FACTOR ELEVADO A POTENCIA PAR, IMPAR Y CUADRÁTICA. INECUACIONES DE ORDEN SUPERIOR a) Factor lineal elevada a potencia PAR

(ax b)PAR

Son de la forma:

Para simplificar o eliminar el exponente, se debe tener en cuenta el siguiente teorema:

Si x

R

x2

0

Lo que quiere decir que el factor es mayor o igual a cero. Ejemplo: Resuelva:

x 2 2 x 1 100

0

x 1 50 Solución: +

2

x 2

+

x 1 100

0

x 1 50

; Restricciones: x x x

+

-2 -1 1

valores que no puede tomar x porque haría CERO el factor y la pregunta es MAYOR que CERO.

CS

x R

2, 1,1

b) Factor lineal elevada a potencia IMPAR

Son de la forma

(ax b)IMPAR

; para simplificar o eliminar el exponente, se

copia solamente la base y se saca los puntos críticos para graficarlo y resolverlo.

Ejemplo: Resuelva:

x 2 31 x x 2 65 2x 3 101

0

Solución: Se copia solamente la base de cada factor:

CIBERTEC

CARRERAS PROFESIONALES

138

x 2 x x 2

0

2x 3

3

P.C. = 2,0, 2,

+

2

-

-

+

-2

CS

-3/2

x

3

2,

2

-

+

0

+

2

0, 2

c) Factor cuadrático 2

bx c 0 ; a 0. Este caso ya lo hemos estudiado en la que Son de la forma ax establecimos que se debe factorizar en todos los casos. Ejemplo: Resuelva:

3x 2

5x 2 x 2 8x

2

1

0

x 7

Solución: Factorizando el numerador y denominador:

3x 2 x 1 x 1 x 1 8x 7 x 1 2 , 1, 3

P.C.

+ -

1,

x

x

+ -7/8

, 1

CARRERAS PROFESIONALES

1

7 8

-1

CS

Re stricción

0;

2/3

7 2 , 8 3

+ 1

+

1,

CIBERTEC

MATE MÁTICA I

139

x 4 20 x 2

Ejemplo: Resuelva:

4x 3

x 5 69 x 2

40

x 12

4x 5

0

Solución: +

x 4

+

20

x 3

+

40

x 1 40 x

Re striccione s :

1 2

x 4

0

x 5 69 x 2 4 x 5

x 3 x 1

+

x

2 x 5

P.C.

1 2

0

, 5

se descarta este factor.

+

-

-

-5

CS

CIBERTEC

El factor cuadrático x2-4x+5 siempre es positivo para cualquier valor de x. Además su determinante es < 0.

1

x

+ 1/2

5,

1 2

+

1,3,4

CARRERAS PROFESIONALES

140

Problemas propuestos para la clase

1) Resuelva:

x 1 10 x 5 3 x 2 x 3 19 x 6 20 x 8

x 1 x 3 20 x 2 31 x 2) Resuelva:

3) Resuelva:

4) Resuelva:

CARRERAS PROFESIONALES

1 3

0

x 4 40 x 3 50

x2

4 x 1 x 5 60

x2

4 x 9 x 3 21

x2

5x 4 x 2 4 x 3 x x 2 6 x 10

0

0

50

x2

9

61

0

CIBERTEC

MATE MÁTICA I

141

5.2.2 Inecuaciones de orden superior a0xn

Son de la forma:

Donde n

a 1x n 1 ....... a n 1x a n > <0

3 y pertenece al conjunto de los Naturales.

Para resolver estas inecuaciones, se debe factorizar en todos los casos, aplicando los métodos ya conocidos. Ejemplo: Resuelva: x 5

5x 4

7x 3

x2

8x 4

0

Solución: Factorizamos utilizando Ruffini:

1

5 1 6 -1 5 -1 4 -2 2 -2 0

1 1 -1 1 -1 1 -2 1 -2 1

x5

5x 4

7x3

x2

8x

7 6 13 -5 8 -4 4 -4 0

4

-1 13 12 -8 4 -4 0

x 1 x 1 x 1 x

-8 12 4 -4 0

2 x

-4 4 0

Divisores

4

1 2 4

2

En el ejercicio:

x 1 x 1 +

2

x 2 +

2

0

;

Restricciones x -1 x -2

x–1>0 x>1

CS

CIBERTEC

x

1,

CARRERAS PROFESIONALES

142

Ejemplo: Resuelva:

x 3 13x 12 3x 4

5x 3 17x 2

0

13x 6

Solución: Factorizando: numerador:

1

0 1 1 3 4 -4 0

1 1 3 1 -4 1

-13 1 -12 12 0

denominador:

12 -12 0

3

5 6 11 -3 8 -9 -1 1 0

2 3 -1 3 -3 3 1/3 3

(x – 1) (x – 3) (x + 4)

-17 22 5 -8 -3 3 0

-13 10 -3 3 0

6 -6 0

(x – 2) (x +1) (x + 3) (x – 1/3)

En el ejercicio:

x 1 x 3 x 4

0

x 2 x 1 x 3 x 13

P.C. = 1, 3, -4, 2, -1, -3, 1/3

-

+ -4

CS

x

-3

, 4

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+ -1

3, 1

1/3

1 3,1

+ 1

2

+ 3

+

2, 3

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143

Problemas propuestos para la clase 1) Resuelva:

2) Resuelva:

3) Resuelva:

4) Resuelva:

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2x 4

x 3 8x 2

x 6 0

4x 4

9x 3

2x 2

x4

5x 3

6x 2

x

x3 x4

3

x

x2

2

9x 2 0

4x 8

9x 9

x 1 2x 2

2x 3

3x 2

0

x 10 8x 4

0

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144

Problemas propuestos para la casa

I. Inecuaciones de primer grado 1. Si se tiene: A={x

R / 1 -2x

[ -11, 11> }

B={x

R / 6x + 2 + 4

4x + 1 8 + 3x }

2 C={x

R / (x + 1)2 > ( x - 1)2 }

D={x

R/x+7

2 + 2x + 16 } 3

Halle:

K

A

D

B

C

2. Si se tiene: A={x

R/ 2 <1,2] 2x + 3 4

B={x C={x

R / 2 x + 5 2 + 3x + 6 } 3 2 R / 6x - 7 = 9x - (7 + 3x )

D = {x

R / (x + 1 )2 - 9

(x + 2)2

(x - 1)2 + 4x + 7

Halle el conjunto solución de: I = [( C’

D)’ U (B - C)] - A

II. Inecuaciones de grado superior 3. Inecuaciones polinómicas Resuelva: a) (x-2)3 (x+3)5 (x-1) (x-5)4 (x-1)

0

b) (x2-1) (x4-1) (x3 - 27)3 > 0 c) (x2 + 4x +5) (x-3)2 (x) (x+1) < 0 d) x5 + 5x4 + 7x3-x2 - 8x - 4 > 0 e) (x3 - 1)3 (x4 - 1) (-x2 + x) (-x - 2)2 < 0

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4. Inecuaciones racionales: Resuelva: a)

(x-8) (x-5) (x+ 3) (x+2) (x-10 (x + 5) (x - 2) (x -11)

b)

(x-2)3 (x+1)2 (x-1) > 0 x3 -3x2 + 3x - 1

c)

(x2 + x - 6) (x2 - x- 6) (x2 + 4) (x2 -16)

d)

2x + 1 x+3

0

0

2x - 3 x+1

5. Resuelva: (x2 - 1)3 (x3 - 13x + 12) _ (x + 4)5 (x3 + 8x2 + 4x –48)

0

6. Resuelva: (x + 5)3 (x + 1)4 (x + 2) (x2 - 7x + 12) (8 - x)4 (x + 7)6 ( x - 8) (x3 - 8) (x2 - 14x + 48)

0

7. Un carpintero hizo cierto número de mesas. Vendió 70 y le quedan por vender más de la mitad. Hace, después, 6 mesas más y vende 36, por lo que le quedan menos de 42 mesas por vender. ¿Cuántas mesas ha hecho el carpintero?

8. Si al doble de la edad de Tovar se le resta 17 años, resulta menor que 39; pero si a la mitad de la edad se le suma 3, resulta mayor que 15 ¿Cuál es la edad de Tovar?

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146

Ejercicios adicionales x2

1) Resuelva:

x

2

x 6 x3 4 x

2

13x 12

4 x 3 x 2 100

x 2 69 x 1 90 9 x 2

2) Resuelva:

x3

3x 2

3 ) Sea : A

x

R / 2 2x

B

x

R/

x2

0

3x 1

2, 2 2x 1 x 2

x

0

2

2x 2 x 2

2x x 1

4

x 2

3

1

0

Halle A – B

4) A

x

Z / 4 2x

B

x

Z/

C

x

3x 2

N/ x

Halla A

B

5

2, 2

2x 2 2x

4

4x 1

x 2

3 0

C

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147

Resumen  Desigualdades.- Es una relación que existe entre dos cantidades.  Tenga presente, para realizar operaciones con desigualdades, estas deben cumplir ciertos requisitos (propiedades).  Inecuaciones Lineales.- Para resolverlas, tenemos que tomar en cuenta las propiedades. Estas nos permiten mantener o variar el sentido de la desigualdad. Al resolver una inecuación obtenemos un conjunto infinito de respuestas.  Inecuaciones Cuadráticas.- Son de la forma ax2 bx c 0 . Estas pueden ser: a) Factorizables.- Aquellas que se convierten en producto de factores; proceso: obtener sus puntos críticos, ubicarlo en la recta real y, finalmente, sombrearlo para obtener el conjunto solución. b) No factorizables.- Para resolverlas, tenga presente:  Completar cuadrados  Aplicar uno de los siguientes teoremas, según sea el caso: m x m Si x 2 m Si x 2

m

x

m

x

m

 Factor elevado a potencia PAR e IMPAR: a) PAR.- Para eliminar la potencia, tenga presente si x R x2 0 b) IMPAR.- Toda potencia impar se elimina la potencia y se copia la base, y se sigue los pasos ya conocidos.  Inecuaciones de Orden Superior.- Por regla, toda inecuación de grado dos o mayor se factoriza y se sigue los pasos ya conocidos. Es decir:  Factorizar empleando cualquier método  Si hay factores comunes, se suman exponentes o se cancelan con su restricción respectiva.  Sacar puntos críticos (PC)  Los PC ubicarlos en la recta real  Finalmente, sombrear el signo resultante obtenido por la regla de signos y este será el conjunto solución.  Si desea saber más acerca de estos temas, puede consultar las siguientes páginas.  http://valle.fciencias.unam.mx/~lugo/bach2/DesigCuad/index.html Aquí hallará información sobre el tema. http://www.unapiquitos.edu.pe/intranet/pagsphp/docentes/archivos/inecuaciones.pdf En esta página, hallará información sobre el tema.

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