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Universidad de Guanajuato División de Ciencias e Ingenierías

Manual de laboratorio Fluidos, ondas y temperatura

Dr. Lenin Francisco Escamilla Herrera ·Agosto-Diciembre 2014 ·

Fluidos, ondas y temperatura

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Dr. Lenin Francisco Escamilla Herrera

Manual del Estudiante

Índice general

0. Introducción 0.1. Objetivos del laboratorio . . . . . . . . . . . . 0.1.1. Objetivos generales . . . . . . . . . . . 0.2. Descripción de las actividades . . . . . . . . . 0.3. Criterios de evaluación . . . . . . . . . . . . . 0.4. Detalles del proceso de evaluación . . . . . . . 0.4.1. Reporte grupal . . . . . . . . . . . . . 0.4.2. Sistema de composición de texto LATEX 0.4.3. Formato del reporte . . . . . . . . . . . 0.4.4. Bitácora individual . . . . . . . . . . . 0.4.5. Participación y asistencia . . . . . . . . 0.4.6. Proyecto Final . . . . . . . . . . . . . 0.4.7. Responsabilidades . . . . . . . . . . .

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Primera parte: Estática y dinámica de fluidos

1. Práctica 1: Densidad de una substancia 1.1. Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1. Objetivos particulares . . . 1.2. Introducción . . . . . . . . . . . . . 1.3. Equipo y materiales . . . . . . . . . 1.4. Procedimiento . . . . . . . . . . . . 1.5. Cálculos y resultados . . . . . . . . 1.6. Preguntas . . . . . . . . . . . . . .

9 9 9 10 11 11 11 11 13 14 14 14 15

17 . . . . . . .

19 19 19 19 19 20 21 23

2. Práctica 2: Presión de un fluido en reposo. Líquidos Inmiscibles y Densidad. 2.1. Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1. Objetivos particulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Fluidos, ondas y temperatura

Dr. Lenin Francisco Escamilla Herrera

2.2. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Equipo y materiales . . . . . . . . . . . . . . 2.4. Procedimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1. Construcción del tubo en forma de U. 2.4.2. Mediciones . . . . . . . . . . . . . . 2.5. Cálculos y resultados . . . . . . . . . . . . . 2.6. Preguntas . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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3. Práctica 3: Presión en un gas 3.1. Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1. Objetivos particulares . . . . . . . . . 3.2. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Equipo y Materiales . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. Procedimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1. Presión del aire encerrado en la jeringa. 3.4.2. Presión de succión . . . . . . . . . . . 3.5. Cálculos y resultados . . . . . . . . . . . . . . 3.5.1. Presión del aire encerrado en la jeringa. 3.5.2. Presión de succión . . . . . . . . . . . 3.6. Preguntas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.1. Presión del aire encerrado en la jeringa. 3.6.2. Presión de succión . . . . . . . . . . .

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47 47 47 47 48 50

4. Práctica 4: Principio de Arquímides 4.1. Objetivo . . . . . . . . . . . . . 4.1.1. Objetivos particulares . 4.2. Introducción . . . . . . . . . . . 4.3. Equipo y Materiales . . . . . . . 4.4. Procedimiento . . . . . . . . . . 4.5. Cálculos y resultados . . . . . . 4.6. Preguntas . . . . . . . . . . . . 5. Práctica 5: Teorema de Torricelli 5.1. Objetivo . . . . . . . . . . . . 5.1.1. Objetivos particulares 5.2. Introducción . . . . . . . . . . 5.3. Equipo y Materiales . . . . . . 5.4. Procedimiento . . . . . . . . . 5.5. Cálculos y resultados . . . . . 5.6. Preguntas . . . . . . . . . . . 6. Práctica 6: Viscosidad de un fluido 6.1. Objetivo . . . . . . . . . . . . 6.1.1. Objetivos particulares 6.2. Introducción . . . . . . . . . . 6.2.1. Ley de Stokes . . . . . 6.2.2. Ley de Poiseuille . . . 4

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Dr. Lenin Francisco Escamilla Herrera 6.3. Equipo y Materiales . . . . . . . 6.4. Procedimiento . . . . . . . . . . 6.4.1. Viscosímetro de Stokes . 6.4.2. Viscosímetro de Saybolt 6.5. Cálculos y resultados . . . . . . 6.5.1. Viscosímetro de Stokes . 6.5.2. Viscosímetro de Saybolt 6.6. Preguntas . . . . . . . . . . . .

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Fluidos, ondas y temperatura . . . . . . . .

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Segunda parte: Fenómenos ondulatorios

7. Práctica 7: El péndulo simple vs el péndulo compuesto 7.1. Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.1. Objetivos particulares . . . . . . . . . . . 7.2. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.1. El péndulo simple . . . . . . . . . . . . . 7.2.2. El péndulo físico . . . . . . . . . . . . . . 7.3. Equipo y Materiales . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4. Procedimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.1. Péndulo simple . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.2. Péndulo compuesto . . . . . . . . . . . . . 7.5. Cálculos y resultados . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5.1. Péndulo simple . . . . . . . . . . . . . . . 7.5.2. Péndulo físico . . . . . . . . . . . . . . . 7.6. Preguntas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.6.1. Péndulo simple . . . . . . . . . . . . . . . 7.6.2. Péndulo físico . . . . . . . . . . . . . . .

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8. Práctica 8: Oscilaciones en un sistema masa–resorte 8.1. Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.1. Objetivos particulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.1. El sistema masa–resorte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.2. Determinación de la constante de recuperación de Hooke . . . . . . . . 8.3. Equipo y Materiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4. Procedimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4.1. Determinación de la constante elástica de cada resorte . . . . . . . . . 8.4.2. Dependencia angular de los parámetros físicos del sistema . . . . . . . 8.4.3. Restricciones para considerar el sistema masa–resorte un oscilador armónico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5. Cálculos y resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5.1. Determinación de la constante elástica de cada resorte . . . . . . . . . 8.5.2. Dependencia angular de los parámetros físicos del sistema . . . . . . . 8.5.3. Restricciones para considerar el sistema masa–resorte un oscilador armónico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

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Fluidos, ondas y temperatura

Dr. Lenin Francisco Escamilla Herrera

8.6. Preguntas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9. Práctica 9: Oscilaciones armónicas amortiguadas 9.1. Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1.1. Objetivos particulares . . . . . . . . . 9.2. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3. Equipo y Materiales . . . . . . . . . . . . . . . 9.4. Procedimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.5. Cálculos y resultados . . . . . . . . . . . . . . 9.6. Preguntas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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10. Práctica 10: Ondas estacionarias y el tubo de Kundt 10.1. Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.1.1. Objetivos particulares . . . . . . . . . . 10.2. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2.1. El tubo de Kundt/Rubens . . . . . . . . . 10.3. Equipo y Materiales . . . . . . . . . . . . . . . . 10.4. Procedimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.5. Cálculos y resultados . . . . . . . . . . . . . . . 10.6. Preguntas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

III

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Tercera parte: Fenómenos Térmicos

11. Práctica 11: Ley de enfriamiento de Newton 11.1. Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.1. Objetivos particulares . . . . . . 11.2. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2.1. Transferencia convectiva del calor 11.2.2. Ley de enfriamiento de Newton . 11.3. Equipo y Materiales . . . . . . . . . . . . 11.4. Procedimiento . . . . . . . . . . . . . . . 11.5. Cálculos y resultados . . . . . . . . . . . 11.6. Preguntas . . . . . . . . . . . . . . . . . 12. Práctica 12: Dilatación lineal 12.1. Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.1.1. Objetivos particulares . . . . . . 12.2. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2.1. Coeficiente de expansión térmica 12.2.2. Dilatación lineal . . . . . . . . . 12.3. Equipo y Materiales . . . . . . . . . . . . 12.4. Procedimiento . . . . . . . . . . . . . . . 12.5. Cálculos y resultados . . . . . . . . . . . 12.6. Preguntas . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

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Fluidos, ondas y temperatura

13. Práctica 13: Determinación del calor específico 13.1. Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.1.1. Objetivos particulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.2. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.3. Equipo y Materiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.4. Procedimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.4.1. Construcción del calorímetro . . . . . . . . . . . . . . . . 13.4.2. Calibración del calorímetro . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.4.3. Determinación del calor específico de un sólido de muestra 13.5. Cálculos y resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.6. Preguntas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Fluidos, ondas y temperatura

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Manual del Estudiante

0 Introducción

0.1.

Objetivos del laboratorio

El objetivo del laboratorio de física es observar fenómenos de la naturaleza que solo pueden ser imaginados y visualizados durante el aprendizaje teórico. Una parte importante del proceso experimental consiste en aprender a interpretar y trasladar los resultados obtenidos mediante la experimentación y empatarlo con el marco teórico de los fenómenos estudiados. El curso de Fluidos, ondas y temperatura es una materia introductoria que tiene como objetivo conseguir que los estudiantes de las licenciaturas de la División de Ciencias e Ingenierías (DCI) aprendan a observar, describir y cuantificar los fenómenos de la naturaleza relacionados con la Estática y Dinámica de Fluidos, los fenómenos ondulatorios y los fenómenos térmicos. Otro objetivo primario consiste en lograr que los alumnos sean capaces de aprender a realizar análisis de los datos obtenidos y la presentación de los mismos utilizando las herramientas matemáticas adecuadas. El trabajo científico en la actualidad está caracterizado por el trabajo en equipo que debe ser realizado para alcanzar los objetivos buscados; otra competencia que se espera que el estudiante sea capaz de realizar trabajo en equipo y dividir la carga de trabajo hasta alcanzar los resultados deseados. En resumen, el trabajo desarrollado en este curso le permitirá al estudiante ser capaz de desarrollar el trabajo experimental que es fundamental conforme avance en los diferentes cursos a lo largo de sus estudios de licenciatura.

0.1.1.

Objetivos generales

Podemos extender las ideas presentadas arriba en los siguientes puntos: 1. La reproducción de fenómenos físicos y realizar un estudio detallado estos para ser explicado por las respectivas leyes y bases teóricas que se pretende reforzar. 2. La capacidad de aplicar los conocimientos en la práctica, capacidad de investigación y razonamiento crítico y autocrítico. 3. Diseñar y construir prototipos experimentales que faciliten el aprendizaje; los alumnos deben desarrollar las competencias relacionadas con la capacidad de organizar y planifi9

Fluidos, ondas y temperatura

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car, la toma de decisiones, la resolución de problemas, el compromiso ético y el trabajo en equipo.

0.2.

Descripción de las actividades

Durante curso de Fluidos, ondas y temperatura se deben realizar diferentes tipos de actividades para cubrir los objetivos del mismo; en la parte correspondiente al laboratorio, el alumno aprenderá a empatar los conceptos teóricos estudiados con los procesos que se observan en la naturaleza. Este objetivo se alcanza mediante la realización de un número tentativo de 15 practicas, divididas entre los 3 grandes tópicos que cubre el programa: Estática y Dinámica de Fluidos, los fenómenos ondulatorios y los fenómenos térmicos; en la FIG. 1, se muestra un diagrama de bloques de como están relacionadas estas disciplinas.

Figura 1: Diagrama de bloques de la red de conocimientos de la materia de Fluidos, ondas y temperatura. De este modo, para la realización de los diferentes experimentos, el grupo será dividido en equipos de entre 3 y 5 alumnos, mismos que trabajarán en conjunto durante todo el presente curso de laboratorio, para realizar 5 practicas por cada uno de los temas troncales que componen el temario del mismo. Asimismo, se realizará un proyecto final obligatorio con un tema de elección libre dentro de los tópicos considerados en el temario. La estructura de las actividades es la siguiente: 1. 5 practicas sobre la estática y la dinámica de fluidos. 2. 5 practicas relacionadas con los fenómenos ondulatorios. 3. 5 practicas en las cuales se analice fenómenos térmicos. 4. 1 proyecto final, cuyo tema será a elección libre. 10

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0.3.

Fluidos, ondas y temperatura

Criterios de evaluación

Los aspectos a evaluar, incluyendo su respectiva ponderación, para la parte de laboratorio son1 : Reporte grupal 50 % Bitácora individual 20 % Participación y asistencia 10 % Proyecto Final 20 %

0.4.

Detalles del proceso de evaluación

0.4.1.

Reporte grupal

Con el objetivo de evaluar los conocimientos obtenidos en la evaluación de cada práctica, cada equipo presentará un reporte único, el cual deberá contar con las siguientes características: El reporte deberá realizarse utilizando el sistema de composición de textos LATEX, utilizando para ello la plantilla REVTeX 4 a una columna, de los journals de la American Physical Society (APS) y que será proporcionado por el profesor2 . La entrega del reporte será semanal (salvo que se establezca lo contrario), entregando una copia impresa del archivo pdf generado por el compilador de LATEX. La entrega del reporte deberá realizarse únicamente el día y hora de la sesión de laboratorio. La entrega tardía del reporte, solo podrá realizarse durante el mismo día de la siguiente sesión y tendrá un valor reducido de 25 %, entregas posteriores tendrán valor cero. El trabajo presentado, deberá ser original, en caso de detectarse reproducciones y transcripciones, el reporte no tendrá validez.

0.4.2.

Sistema de composición de texto LATEX

LATEXes un sistema de composición de textos, orientado especialmente a la creación de libros, documentos científicos y técnicos que contengan fórmulas matemáticas. LATEXestá formado por un gran conjunto de macros de TEX, escrito por Leslie Lamport en 1984, con la intención de facilitar el uso del lenguaje de composición tipográfica, TEX, creado por Donald Knuth. Es muy utilizado para la composición de artículos académicos, tesis y libros técnicos, dado que la 1 Recuerde

que la parte de laboratorio es proporcional al 30 % de la calificación global de la materia. paquete también puede ser obtenido en la siguiente dirección electrónica: https://journals.aps.org/ revtex. 2 El

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calidad tipográfica de los documentos realizados con LATEXes comparable a la de una editorial científica de primera línea. LATEXpresupone una filosofía de trabajo diferente a la de los procesadores de texto habituales (conocidos como WYSIWYG, es decir, lo que ves es lo que obtienes3 ) y se basa en instrucciones. Tradicionalmente, este aspecto se ha considerado una desventaja, probablemente la única. Sin embargo, LATEX, a diferencia de los procesadores de texto de tipo WYSIWYG, permite a quien escribe un documento centrarse exclusivamente en el contenido, sin tener que preocuparse de los detalles del formato. Además de sus capacidades gráficas para representar ecuaciones, fórmulas complicadas, notación científica e incluso musical, permite estructurar fácilmente el documento (con capítulos, secciones, notas, bibliografía, índices analíticos, etc.), lo cual brinda comodidad y lo hace útil para artículos académicos y libros técnicos. Con LATEX, la elaboración del documento requiere normalmente de dos etapas: en la primera hay que crear mediante cualquier editor de texto llano un archivo o fichero fuente que, con las órdenes y comandos adecuados, contenga el texto que queramos imprimir. La segunda etapa consiste en procesar este archivo; el procesador de textos interpreta las órdenes escritas en él y compila el documento, dejándolo preparado para que pueda ser enviado a la salida correspondiente, ya sea la pantalla o la impresora. Si se quiere añadir o cambiar algo en el documento, se deberán hacer los cambios en el archivo fuente y procesarlo de nuevo. Esta idea, que puede parecer poco práctica a priori, es conocida a los que están familiarizados con el proceso de compilación que se realiza con los lenguajes de programación de alto nivel (C, C++, etc.), ya que es completamente análogo. Puede resultar extraño que hoy en día se siga usando algo que no es WYSIWYG, pero las características de LATEXsiguen siendo muchas y muy variadas. También hay varias herramientas o aplicaciones que ayudan a una persona a escribir estos documentos de una manera más visual (LyX, TeXmacs y otros). A estas herramientas se les llama WYSIWYM («lo que ves es lo que quieres decir»). Una de las ventajas de LATEXes que la salida que ofrece es siempre la misma, con independencia del dispositivo (impresora, pantalla, etc.) o el sistema operativo (MS Windows, MacOS, Unix, distribuciones GNU/Linux, etc.) y puede ser exportado a partir de una misma fuente a numerosos formatos tales como Postscript, PDF, SGML, HTML, RTF, etc. Existen distribuciones e IDEs de LATEXpara todos los sistemas operativos más extendidos, que incluyen todo lo necesario para trabajar. Hay, por ejemplo, programas para Windows como TeXnicCenter, para Linux como Kile, o para MacOS como TeXShop, todos liberados bajo la Licencia GPL. Existen además los editores multiplataformas (para MacOS, Windows y Unix) Texmaker y TeXworks, que también son liberados bajo licencia GPL. Para el sistema operativo windows, uno de los paquetes de LATEXde más amplio uso es MikTEX, el cual está disponible en http://miktex.org/. Mientras que para distribuciones de Linux y MacOS, los paquetes pueden ser descargados desde los repositorios de programas de las plataformas4

3 El

procesador de texto Word de Microsoft, es un ejemplo de WYSIWYG. ejemplo, para la distribución de linux Ubuntu en consola se debe teclear: sudo apt get-install texlive-full. 4 Por

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0.4.3.

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Formato del reporte

En general, el reporte deberá ser escrito en el siguiente orden e incluyendo cada una de las secciones siguientes5 : 1. Titulo. 2. Nombre de los autores, recuerde que solo pueden aparecer aquellas personas que participaron activamente en la elaboración tanto del experimento como del mismo reporte. 3. Nombre de la institución. 4. Resumen: Descripción breve del trabajo realizado en la práctica. 5. Introducción: Marco histórico del fenómeno estudiado, incluyendo datos relevantes y curiosos sobre el mismo. 6. Parte principal del reporte: a) Marco teórico: Discusión, presentación y derivación de los fundamentos teóricos relacionados al fenómeno estudiado. b) Montaje experimental: Descripción del dispositivo montado, los materiales utilizados y como se realizaron las diversas mediciones. Es ampliamente recomendable utilizar diagramas y figuras. c) Análisis de datos: Análisis y presentación de los resultados experimentales mediante gráficas, tablas, diagramas, etc. d) Conclusiones: Interpretación de los resultados experimentales, es necesario procurar que las discrepancias y similitudes con la fundamentos teóricos sean estudiadas y explicadas. 7. Agradecimientos: En caso de haber contribuciones especiales realizadas por personas externas al equipo, estas deben ser incluidas. 8. Bibliografía: Incluir las referencias de cada texto o articulo consultado en la elaboración del reporte, citando apropiadamente en el texto la mencionada referencia. En la FIG. 2 se muestra el estilo de la sección del titulo, nombre de los autores, nombre de la institución, el resumen y parte de la introducción que debe tener un reporte. 5 Un

archivo muestra le será proporcionado por el profesor.

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Figura 2: Ejemplo del estilo que debe tener el encabezado del reporte de cada practica realizada.

0.4.4.

Bitácora individual

Cada alumno deberá llevar una bitácora individual, en la que anotará los detalles relevantes de cada práctica, incluyendo figuras, montaje, materiales, problemas que se presenten en la realización del mismo, etc. Es importante que el estudiante anote los detalles relevantes y descriptivos, no debe hacer una transcripción del manual de la práctica. En caso de incurrir en esta situación, la calificación total de la misma puede ser reducida.

0.4.5.

Participación y asistencia

Estudiante que no participe en la sesión de práctica, no podrá ser incluido en el reporte; este mismo caso aplica cuando el estudiante no participe en la elaboración del reporte grupal. El estudiante deberá ser puntual, y en caso de no presentarse 15 minutos después del inicio de la sesión, no podrá entrar a realizar la practica. Únicamente en caso de que el alumno presente el justificante apropiado, puede ser incluido en el reporte de la práctica correspondiente, solo si participa en la elaboración del mismo.

0.4.6.

Proyecto Final

Cada alumno deberá realizar un proyecto final, tiene la libertad de realizar este trabajo individual o grupalmente (aunque lo segundo es lo más recomendado), como se menciono previamente, la elección del tema a estudiar es libre, siempre y cuando este dentro de los alcances del 14

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curso. Cualquier tópico a consideración deberá ser previamente aprobado por el profesor, y presentado para su revisión y aprobación a este con una antelación de 8 semanas previas a la fecha en la cual se mostrarán los resultados. El proyecto final será evaluado por personas ajenas al curso en una sesión especial, siguiendo la siguiente ponderación: Presentación de un poster 10 %. Funcionamiento del dispositivo 10 %.

0.4.7.

Responsabilidades

Del alumno: I.

Cumplir puntualmente con la entrega de cada uno de los reportes.

II. Participar activamente en el equipo de trabajo. III. Mantener el orden, disciplina y respeto, dentro y fuera del lugar de trabajo. Debe cuidar el equipo y las instalaciones del laboratorio, procurando no dañar ni causar desperfectos a la infrestructura. IV. Asistir puntualmente a cada una de las sesiones (Recuerde que un retardo de 15 minutos o una falta a clase, implica calificación cero en el reporte correspondiente). Del profesor: I.

Asistir puntualmente a cada una de las sesiones.

II. Resolver las dudas de los estudiantes. III. Evaluar de acuerdo a los criterios establecidos en las secciones 1.3 y 1.4.1. IV. Retroalimentar y evaluar los productos entregados por los estudiantes. Cualquier aspecto que no haya sido considerado dentro de los lineamientos presentados en este manual, deberá ser presentado y discutido con el profesor. León Guanajuato, 02 de agosto de 2014. Lenin Francisco Escamilla Herrera.

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Parte I Primera parte: Estática y dinámica de fluidos

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1 Práctica 1: Densidad de una substancia

1.1.

Objetivo

En esta práctica el alumno buscará alcanzar los siguientes objetivos: Determinar la densidad de un líquido y un sólido.

1.1.1.

Objetivos particulares

Los objetivos particulares a conseguir en la práctica son: Determinar la densidad partir de la medición de su masa y su volumen.

1.2.

Introducción

La densidad de una substancia homogénea es una propiedad física característica de esta; la densidad puede ser definida simplemente como el cociente de la masa y el volumen de la substancia particular que se trate. La densidad es una propiedad termodinámica que depende de la temperatura y la presión, motivo por el cual al realizar una medición de esta se debe considerar la temperatura y la presión a la cual se realiza la medición. En el caso de substancias no homogéneas la densidad que se obtiene al dividir la masa entre su volumen es una densidad promedio. En esta práctica se determina la densidad de substancias homogéneas, determinando a su vez la incertidumbre asociada a las mediciones realizadas.

1.3. 1. 2. 3. 4. 5.

Equipo y materiales Balanza granataria con 0.1 gramos de resolución. Termómetro. Probeta de 100 ml. Pipeta de 10 ml. Vaso de precipitado. 19

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6. Agua. 7. Vernier. 8. Pedazos de aluminio, canicas u otros sólidos de forma regular y diferente tamaño.

1.4.

Procedimiento

1. Determinación de la densidad del agua a) Recuerde calibrar la balanza antes de comenzar a medir. b) Medir la masa de la probeta (debe procurar que este limpia y seca). c) Mida la temperatura del agua con el termómetro. d) Verter agua en la probeta hasta alcanzar la marca de los 10 ml, procurando que el menisco del agua quede muy cerca de las líneas de graduación de la probeta. Utilice la pipeta para que el menisco alcance la marca deseada1 . e) Con el volumen determinado, mida la masa del agua y la probeta. f ) Sin vaciar la probeta repita los incisos d) y e) tomando lectura al llenar cada vez la probeta2 aproximadamente 10 ml. Es importante que no olvide lo siguiente al hacer mediciones de fluidos en recipientes: El menisco del agua debe quedar tangente a la marca del volumen que se estudia. Cuide que los ojos del observador estén a la misma altura del nivel del líquido; lo cual debe minimizar los errores de medición.

Figura 1.1: Los dos tipos de meniscos A: Cóncavo y B: Convexo. La línea discontinua muestra el plano tangente que se debe considerar para hacer la medición.

2. Determinación de la densidad de un sólido regular a) Seleccione cinco muestras de un mismo material, ya sea madera, vidrio o metal, y que tengan una forma geométrica regular. b) Calcular el correspondiente volumen utilizando el Vernier. c) Mida la masa de cada muestra. 1 Procure

que el líquido no quede en las paredes tanto internas como externas de la probeta para no alterar la medición. 2 El valor no tiene que ser exacto, solo sea cuidadoso en reportar el valor que usted obtuvo.

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d) Verifique el volumen de las muestras, sumergiéndolas con cuidado en el vaso de precipitado con agua, para observar cual es el volumen desplazado de agua3 .

1.5.

Cálculos y resultados

I. Para el agua: 1. Llene la tabla 1.1 con los valores correspondientes obtenidos para el volumen y la masa del agua, incluya las incertidumbres asociadas a cada medida. 2. Determine la densidad del agua a partir de estos datos calcule asimismo la incertidumbre asociada a cada uno de estos valores. 3. Con los valores obtenidos obtenga: Densidad promedio del agua, ρ. Desviación media, δρ. Error relativo porcentual4 , ε. 4. Reporte estos resultados para la densidad del agua a partir de los datos obtenidos como: ρ = ρ ± δρ, incluyendo el error porcentual. 5. Con los datos obtenidos, realice la curva de masa vs volumen incluyendo barras de error; y a partir de esta realice un ajuste lineal para obtener la ecuación curva asociada5 . Medida Volumen V (ml) Masa M (g) Densidad ρ (g/ml) 1 2 3 4 .. . Cuadro 1.1: Resultados de la medición para el agua.

II. Para las muestras sólidas 1. Llene la tabla 1.2 con los valores de la masa y el volumen calculado geométricamente para cada una de las muestras de material, incluya las incertidumbres asociadas a cada medida. 2. Calcule la densidad ρgeo , a partir de los valores anteriores y llene la columna correspondiente de la tabla 1.2, calcule asimismo la incertidumbre asociada a cada uno de estos valores. 3 Obviamente

esto solo puede hacerse con objetos que no floten en agua. que el error relativo porcentual se obtiene mediante el cociente de la desviación y el promedio de la medida multiplicado por 100. 5 No olvide que debe escribir esta ecuación en su reporte y dar una interpretación física a los valores obtenidos para la ecuación de la forma y = mx + b. 4 Recuerde

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3. Llene la tabla 1.3 con los valores de la masa y el volumen obtenido mediante el volumen desplazado para cada una de las muestras de material, incluya las incertidumbres asociadas a cada medida. 4. Calcule la densidad ρdes , a partir de los valores anteriores y llene la columna correspondiente de la tabla 1.3, calcule asimismo la incertidumbre asociada a cada uno de estos valores. 5. Utilizando los valores de la densidad de las 5 muestras obtenidos en los pasos 2 y 4 obtenga: El valor promedio de cada uno de los valores de densidad ρgeo y ρdes . La desviación media de cada uno de los valores de densidad δρgeo y δρdes . El error relativo porcentual de cada uno de los valores de densidad εgeo y εdes . 6. Reporte estos resultados para la densidad del sólido a partir de los datos obtenidos en el punto previo como: ρgeo = ρgeo ± δρgeo y ρdes = ρdes ± δρdes , incluyendo el error porcentual de cada uno. 7. Con los datos obtenidos en cada una de las tablas, construya las gráficas de masa vs. volumen, para cada una de las densidades ρgeo y ρdes , no olvide incluir las correspondientes barras de error; y a partir de esta realice un ajuste lineal para obtener la ecuación curva asociada6 . Muestra Volumen V (ml) Masa M (g) Densidad ρgeo (g/cm3 ) 1 2 3 4 5 Cuadro 1.2: Resultados de la densidad para el sólido medido geométricamente.

Muestra Volumen V (ml) Masa M (g) Densidad ρdes (g/ml) 1 2 3 4 5 Cuadro 1.3: Resultados de la densidad para el sólido cuyo volumen se determina mediante el agua desplazada.

6 No

olvide que debe escribir esta ecuación en su reporte y dar una interpretación física a los valores obtenidos para la ecuación de la forma y = mx + b.

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1.6.

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Preguntas

Debe responder las siguientes preguntas en la sección de conclusiones del reporte a entregar. 1. ¿Cuáles son las fuentes de error más comunes que pueden presentarse en la medición de la densidad de un líquido por el método utilizado en la elaboración de esta práctica? Sea claro y conciso en su respuesta. 2. ¿Cuáles son las fuentes de error más comunes que pueden presentarse en la medición de la densidad de un sólido por el método utilizado en la elaboración de esta práctica? De los dos métodos utilizados para medir la densidad de un sólido ¿Cuál método presenta el menor error? Explique 3. ¿Qué diferencia presentan las gráficas de la masa contra el volumen entre ambas sustancias? 4. ¿Qué representa la pendiente de las gráficas de la masa contra el volumen? 5. En base a los resultados obtenidos para cada sustancia ¿Cuál es la masa de 1 litro de cada una de ellas? 6. ¿Qué limitaciones tienen los métodos que utilizó para medir la densidad del sólido?

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2 Práctica 2: Presión de un fluido en reposo. Líquidos Inmiscibles y Densidad.

2.1.

Objetivo

En esta práctica el alumno deberá alcanzar los siguientes objetivos: Estudiar el comportamiento de la presión en fluidos en reposo.

2.1.1.

Objetivos particulares

Los objetivos particulares a conseguir en la práctica son: Determinar la densidad relativa de un líquido mediante uso de fluidos inmiscibles1 . Construcción y utilización de un manómetro simple (tubo en forma de U) para comparar densidades.

2.2.

Introducción

Uno de los métodos más sencillos que pueden ser aplicados para comparar las densidades entre varios líquidos inmiscibles es el uso de un manómetro simple, el cual es simplemente un tubo de vidrio o plástico transparente doblado en forma de U. Este tipo de manómetros es conocido como de ramas abiertas, su funcionamiento se basa en la medición de la altura alcanzada por un líquido de referencia en uno de los extremos, mientras que el otro extremo está conectado y contiene otro fluido cuya presión se desea estudiar2 . Este fluido alcanza una altura característica al sufrir los efectos de la presión atmosférica, este valor es utilizado para calcular la presión en el fluido a estudiar. En la FIG. 2.1, se muestra el diagrama del dispositivo y sus partes. 1 Es 2 El

decir, que no se mezclan entre sí. cual puede ser un gas o un líquido.

25

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Figura 2.1: Diagrama de un manómetro de rama abierta. Los fluidos alcanzan una configuración de equilibrio a partir de la cual es posible determinar la presión del fluido bajo estudio, se sigue: p + ρgd = patm + ρm gh,

(2.1)

donde g es la aceleración de la gravedad, p es la presión del fluido bajo estudio y ρ la densidad del mismo, patm es la presión atmosférica y ρm es la densidad del fluido manómetrico. Si el dispositivo no tiene un contenedor en uno de los extremos, puede ser utilizado para comparar densidades entre dos líquidos, ya que al estar abiertos ambos extremos a la atmósfera, se satisface p = patm , de manera que la eq. 2.1 se reduce a: ρ1 gh1 = ρ2 gh2 ,

(2.2)

donde ρ1 y ρ2 son las densidades de los dos líquidos inmiscibles colocados en cada brazo del tubo y que se localizan a alturas h1 y h2 como puede ser visto en la FIG. 2.2. De este modo, al no mezclarse los fluidos las diferentes alturas pueden ser utilizadas para determinar la densidad de un líquido respecto a otro.

2.3. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

Equipo y materiales Tubo de vidrio3 . Tubo de vidrio en forma de U. Termómetro. Regla de 30 centímetros. Agua. Aceite para muebles. Pipeta de 10 ml. Probeta.

3 Opcional,

26

sólo en caso de necesitar construir el tubo en forma de U.

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9. Balanza granataria de 0.1 g de resolución. 10. Dos vasos de precipitado de al menos 100 ml. 11. Mechero de Bunsen, manguera de caucho y guantes de carnaza4 .

Figura 2.2: Diagrama del dispositivo a montar utilizando el tubo en forma de U.

2.4.

Procedimiento

2.4.1.

Construcción del tubo en forma de U.

La siguiente parte sólo se realizará en caso de ser necesario en caso de que no se tengan los tubos en forma de U. 1. Conecte el mechero Bunsen con la manguera de goma y con la toma de gas. 2. Con precaución, abra la toma de gas al mínimo y encienda con el mechero, ajuste la alimentación para tener una flama adecuada. 3. Con cuidado y utilizando los guantes de carnaza tome el trozo de vidrio por sus extremos y ubique el centro del tubo cerca de la flama; no olvide moverlo constantemente para evitar que el tubo se derrita. 4. Conforme el tubo se vaya calentando y se vuelva más flexible, comience a doblar el tubo por los extremos hasta alcanzar la forma en U. Tenga precaución al darle la forma, para evitar estrangular el tubo en la parte que se vaya a doblar. 4 Opcional,

solo en caso de necesitar construir el tubo en forma de U.

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2.4.2.

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Mediciones

En caso de ya tener construido el tubo con forma de U, pasar directamente a esta parte. No olvide verificar la calibración de sus instrumentos. 1. Mida cuidadosamente la densidad del aceite que usará, aplique el método utilizado en la práctica anterior para determinar la densidad promedio. Con esta última densidad es con la que trabajará. 2. Mida la longitud de los brazos del tubo de vidrio. 3. Verifique que el tubo en U esté limpio y seco5 . 4. Mediante la pipeta vierta agua en el tubo en el tubo en U, hasta que llegue hasta la mitad de los brazos del los tubos de vidrio; seque la pipeta. 5. Enseguida, con la pipeta agregue aceite por alguno de los brazos del tubo hasta que este alcance unos 10 centímetros de altura en el tubo. 6. Verifique que la superficie de los líquidos en ambos brazos del tubo en U se encuentran al mismo nivel. 7. Con la regla mida la altura de la columna de aceite y la altura de la columna de agua en el otro brazo del tubo, a partir de la prolongación del nivel de la superficie de separación aceite–agua, como se indica en el diagrama. 8. Agregue el aceite suficiente como para que la columna del mismo se incremente en 1 o 2 cm y vuelva a realizar las mediciones indicadas en el paso anterior. 9. Repita el paso previo agregando aceite hasta agotar la altura del tubo en U6 . 10. Cada miembro del equipo deberá realizar al menos una medición. No olvide medir la temperatura del aceite y la del agua. 11. Anote sus resultados de cada medición en las alturas h1 y h2 en la tabla 2.1.

2.5.

Cálculos y resultados

I. Calcule la presión7 en los puntos a y b de la FIG. 2.2 usando cada pareja de medidas tomadas en los pasos 8–9 de la parte anterior. Utilice la densidad del aceite que usted calculó en la sección 2.4.2 y la densidad del agua promedio que obtuvo en la práctica anterior; incluya las incertidumbres asociadas a cada medida. Anote estos resultados en la tabla 2.1. II. Obtenga la diferencia absoluta de ambas presiones y anote estos resultados en la tabla 2.1. 5 En

caso de haberlo construido espere que esté a temperatura ambiente. de obtener al menos 5 mediciones, regulando la cantidad de aceite que se vierte al tubo. 7 No tome en cuenta la presión atmosférica, ya que ésta no influye por ser igual para ambas columnas. 6 Trate

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III. Obtenga la diferencia promedio de ambas presiones y anote este resultado.

ρace = Medición 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

ha (cm)

hb (cm)

ρagua = Pa (g/cms2 )

Pb (g/cms2 )

d = |Pa − Pb | (g/cms2 )

Cuadro 2.1: Calculo de la presión en la interfase de cada fluido. La diferencia promedio es: g/cms2

d=

IV. Con los datos obtenidos, calcule la densidad relativa promedio del aceite respecto a la del agua. Con el valor de la densidad del agua obtenga la densidad absoluta del aceite. V. Compare el resultado con el obtenido en el punto 1 de la sección 2.4.2.

2.6.

Preguntas

Debe responder las siguientes preguntas en la sección de conclusiones del reporte a entregar. 1. Cuando se vierte agua en el tubo en U, ¿Cómo están los niveles del líquido en ambos brazos del tubo? 2. Una que vez que se ha vaciado aceite en el tubo en U ¿Cómo están los niveles de las superficies de los líquidos en ambos brazos?¿A qué se debe el comportamiento anterior? 3. A partir de observar el comportamiento de dos sustancias inmiscibles en el tubo en U ¿es posible saber cuál es más denso y cuál es menos denso? Explique. 4. En general ¿cómo son las presiones en los puntos a y b (ver diagrama), comparativamente? ¿La diferencia promedio obtenida es pequeña o grande respecto a los valores de presión en dichos puntos? 5. Los puntos c y d que se indican en el diagrama ¿se encuentran a la misma presión? ¿Por qué? 29

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6. ¿Cuáles son las condiciones para que, en un fluido en reposo, dos puntos se encuentren a la misma presión? 7. ¿Es importante la tensión superficial de los líquidos utilizados en la determinación de la densidad utilizando el tubo en U? ¿ Que sucedería si el tubo en U utilizado tiene un diámetro muy pequeño?

30

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3 Práctica 3: Presión en un gas

3.1.

Objetivo

El objetivo de esta práctica es que el alumno sea capaz de: Determinar la presión de un gas.

3.1.1.

Objetivos particulares

Los objetivos particulares a conseguir en la práctica son: Determinar la presión absoluta y manométrica del aire encerrado en una jeringa. Determinar la presión pulmonar que se produce al succionar un líquido.

3.2.

Introducción

Como ya se discutió en la práctica número 2, el manómetro de ramas abiertas es principalmente utilizado para determinar la presión de un fluido (líquido o gas) al compararlo con la presión atmosférica, mediante la relación (2.1). p = patm + ρm gh − ρgd. En base a esta ecuación, en esta práctica se buscara determinar la dependencia de la presión del aire de una jeringa con la diferencia de alturas en los brazos del manómetro. Recuerde que al medir la presión mediante el uso de manómetros, se debe hacer la distinción entre la presión manométrica y la presión absoluta. Mientras que la presión manométrica es la obtenida directamente por el manómetro, la presión absoluta Pabs es la presión medida respecto del vacío perfecto, y puede ser obtenida a través de la relación: Pabs = Pman + Patm ,

(3.1)

donde Pman es la presión manométrica y Patm es la presión atmosférica. Además, se buscará determinar cualitativamente la capacidad pulmonar de una persona. 31

Fluidos, ondas y temperatura

3.3.

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Equipo y Materiales

1. Alrededor de 8 metros de manguera de plástico transparente de 1/8 de pulgada de diámetro interior. 2. Flexómetro de al menos 3 m. 3. Regla de 30 cm. 4. Cinta adhesiva y ligas. 5. Manómetro (Tubo de vidrio en forma de U). 6. Vaso de precipitados de al menos 100 ml. 7. Agua. 8. Jeringa de 10 ml. 9. 10 cm de manguera látex. 10. Colorante (azúl de metileno o algún colorante orgánico). 11. Termómetro. 12. Pipeta de 10 ml. 13. Soporte Universal.

Figura 3.1: Diagrama del dispositivo a montar utilizando el tubo en forma de U conectado con la jeringa mediante la manguera de latex.

3.4.

Procedimiento

3.4.1.

Presión del aire encerrado en la jeringa.

Ver FIG. 3.1 para el montaje experimental correspondiente a esta parte. 32

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Dr. Lenin Francisco Escamilla Herrera 1.

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Vierta aprroximadamente 100 mililitros de agua en el vaso de precipitados y agréguele un poco de colorante. Vacíe agua coloreada al manómetro hasta que alcance aproximadamente la mitad del manómetro. Abra la jeringa hasta la marca de los 10 ml y conecte la jeringa con la manguera de látex. Hunda el émbolo de la jeringa hasta la marca de 6 mililitros y conecte la jeringa en uno de los brazos del manómetro. Bajo esas condiciones, saque lentamente el émbolo de la jeringa hasta la marca de 7 mililitros aproximadamente y observe que pasó con el líquido manométrico; mida la diferencia de alturas entre los niveles del agua en ambos brazos. Anote sus resultados en la tabla3.1; ¿cómo piensa usted que será la presión del aire en la jeringa respecto a la presión atmosférica? Coloque el émbolo en la marca de los 8 mililitros, mida la diferencia de alturas entre los brazos del manómetro. Anote sus resultados en la tabla3.1. Repita los pasos anteriores para las marcas de 9 y 10 ml. Enseguida, y sin desconectar su jeringa coloque el émbolo en la marca de 5 mililitros y observe qué sucede con el líquido manométrico. Mida la diferencia de altura entre los niveles del líquido en ambos brazos. ¿como piensa usted que que es la presión del aire encerrado en la jeringa respecto a la presión atmosférica? Posicione sucesivamente el émbolo en la marca de los 4, 3, 2 y 1 y 0 mililitros y en cada caso mida la diferencia de altura. Si el líquido manométrico asciende demasiado, realice las mediciones hasta donde le sea posible.

2. 3. 4. 5.

6. 7. 8.

9.

3.4.2.

Presión de succión

Para esta parte de la práctica será necesario tomar la manguera y sostenerla por la mitad desde alguna posición elevada, procurando que al menos uno de los extremos de la manguera quede prácticamente al nivel del suelo. Ver FIG. 3.2 para el montaje experimental correspondiente a esta parte de la práctica. 1.

Llene de agua el vaso de precipitados y colóquelo en el suelo. Sumerja en el líquido el extremo de la manguera que llega hasta el suelo. Marque el nivel del agua en la manguera que está dentro del agua. Esto puede hacerlo con un marcador o con un pedazo de cinta adhesiva; procure que la manguera quede fija dentro del vaso. Bajo esas condiciones, uno de los miembros del equipo debe succionar por el extremo libre lo más fuerte que pueda, tratando de sostener el máximo nivel alcanzado por unos segundos, para que uno de sus compañero coloque una marca de la máxima altura alcanzada en ese lugar de la manguera1 . Una vez que se ha marcado la máxima altura, mida con el flexómetro la altura que existe entre ambas marcas. Cada miembro del equipo deberá realizar la operación indicada en el paso anterior.

2.

3.

4. 5. 1 Si

por alguna razón no se pudo sostener el nivel del líquido, sóplese por la manguera para sacar el agua que haya quedado atrapada en la misma y luego succione tal como se indicó.

33

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Figura 3.2: Diagrama del dispositivo a montar utilizando para medir la presión de succión de los integrantes de cada equipo.

3.5.

Cálculos y resultados

3.5.1.

Presión del aire encerrado en la jeringa.

I. Con la diferencia de altura medida en la sección 3.4.1, calcule la presión manométrica y absoluta del aire encerrado en la jeringa. Para los cálculos que realice tome la presión atmosférica2 igual a 100000 Pa y la densidad del agua como 1000 Kg/m3 . Medición 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

h (m)

P Manométrica (Pa) P Absoluta (Pa)

Cuadro 3.1: Presiones para el gas en la jeringa. 2 Si

quiere obtener un resultado más exacto puede buscar el pronostico del tiempo para determinar la presión de la ciudad de león en el día en el que realice la práctica.

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II. Determinar el comportamiento de la presión manométrica con la altura, al graficar la presión como función de las diferencias de altura. ¿Cuál es el comportamiento observado? Señale las posibles fuentes de error. III. Realice una regresión lineal para la presión como función de la altura en la misma gráfica.

3.5.2.

Presión de succión

I. Calcular la presión absoluta y manométrica de los pulmones en la máxima succión de cada uno de los miembros del equipo, utilizando la altura medida. Escriba sus resultados en la tabla 3.2. Nuevamente, considere que la presión atmosférica del lugar es de 100000 pascales y que la densidad del agua es 1.0 kg/m3 . II. Se recomienda que para hacer el cálculo de la presión pulmonar se haga un análisis del sistema, particularmente de la presión en los puntos A y B que se indican en la FIG. 3.2.

Miembro

Altura Máxima

h (m)

Presión Manométrica Pulmonar P (Pa)

Presión Absoluta Pulmonar P (Pa)

1 2 3 4 5

Cuadro 3.2: Presiones pulmonares.

3.6.

Preguntas

Debe responder las siguientes preguntas explícitamente en la sección de conclusiones del reporte a entregar.

3.6.1.

Presión del aire encerrado en la jeringa.

1. ¿Cómo es la presión del aire encerrado en la jeringa conforme se va expandiendo el émbolo?¿A qué se debe este comportamiento del aire? 2. ¿Cómo es la presión del aire encerrado en la jeringa conforme se va hundiendo el émbolo?¿Cómo se explica el comportamiento del aire en este caso? 3. En el experimento de la jeringa ¿Qué hubiera sucedido si en vez de agua, se usa mercurio como líquido manométrico? 4. ¿En qué casos es conveniente usar mercurio como líquido manométrico y en cuáles un líquido menos denso? 35

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Fluidos, ondas y temperatura

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5. En la gráfica de la presión respecto a la altura, para el experimento de la jeringa, ¿Encuentra similitud con la ley de Boyle para los gases ideales? Explique. ¿Podría graficar la presión del aire encerrado en la jeringa respecto a los diferentes volúmenes obtenidos al recorrer el émbolo de la jeringa?

3.6.2.

Presión de succión

6. ¿Fue posible hacer ascender el agua a cualquier altura o se observó un límite? 7. ¿Qué determinará la altura máxima que una persona puede hacer ascender un líquido? 8. Si una persona pudiera hacer vacío perfecto en sus pulmones y succionara un líquido por la manguera ¿podría elevarlo a cualquier altura o también tendría un límite? Si tiene un límite ¿cuál es? 9. Suponga que se utiliza mercurio en lugar de agua en la manguera ¿Se hubiera podido elevar la misma altura que el agua succionando? Argumente3 . 10. ¿Cuál es la presión en el punto A que se indica en la FIG. 3.2 y cuál es la presión en el punto correspondiente, B dentro de la manguera? Argumente la respuesta. 13. A partir del análisis de la presión de los puntos A y B, deduzca la expresión general para la presión P.

3 Este

36

experimento nunca debe intentarse, ya que el mercurio es una sustancia altamente tóxica.

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4 Práctica 4: Principio de Arquímides

4.1.

Objetivo El objetivo de esta práctica es que el alumno comprenda y aplique el principio de Arquímides, importante principio de la estática de los fluidos.

4.1.1.

Objetivos particulares

EL objetivo particular a conseguir en la práctica es: Estudiar la fuerza de empuje que ejerce un fluido contra un cuerpo.

4.2.

Introducción

El principio de Arquímedes establece que todo cuerpo total o parcialmente sumergido en un fluido experimenta una fuerza ascendente, también llamada empuje hidrostático E, que es igual al peso del fluido desplazado; esto puede ser escrito como: E = ρgVd ;

(4.1)

donde Vd es el volumen de fluido desplazado, ρ es la densidad del fluido que se desplaza y g es la aceleración de la gravedad. Al analizar las fuerzas que intervienen cuando un cuerpo sólido se suspende de un hilo y se sumerge en un líquido se obtiene que en equilibrio, W = T + E,

(4.2)

donde W es la magnitud del peso del sólido, es decir, la fuerza que ejerce la Tierra sobre el cuerpo y T es la tensión que ejerce el hilo sobre el cuerpo.

4.3.

Equipo y Materiales

1. Balanza granataria, preferentemente de 0.01 gramos de resolución. 2. Dinamómetro. 37

Fluidos, ondas y temperatura 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

Dr. Lenin Francisco Escamilla Herrera

Pinza con gancho. Soporte Universal. Piezas de alumino de forma regular1 . Vernier. Alcohol. Hilo. Un vaso de precipitado de 200 ó 250 ml. Agua.

Figura 4.1: Diagrama del montaje experimental para el principio de Arquímides. a) Medición del peso real del objeto al colgarlo del dinamómetro. b) Medición del peso aparente del objeto al medir su peso después de sumergirlo en un fluido.

4.4.

Procedimiento

El montaje experimental se muestra en la FIG. 4.1. 1.

Verifique la calibración de la balanza para que marque cero cuando no exista ningún objeto sobre ella. Verifique la calibración del dinamómetro. Amarre un hilo a la primera pieza de aluminio, procurando que éste no sea demasiado largo. Cuelgue la pieza del dinamómetro en el soporte universal y mida su peso (Ver FIG. 4.1.a). Vierta agua en un vaso de precipitado y colóquelo en la la balanza2 .

2. 3. 4. 5. 1 El

experimento puede realizarse con otros materiales. Lo importante es que tengan mayor densidad que los líquidos que se usarán y que su volumen sea relativamente sencillo de medir. 2 Procure que el agua ocupe alrededor de las tres cuartas partes del vaso.

38

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Fluidos, ondas y temperatura

Sin descolgar el sólido del dinamómetro, sumérjalo totalmente en el agua3 . Tome nota de la lectura que indica ahora la balanza. Para disminuir las posibles fuentes de error, evite derramar agua en el plato de la balanza (Ver FIG. 4.1.b). Repita los pasos 4 y 6 en varias ocasiones, teniendo el cuidado de calibrar a cero la balanza. Descuelgue la pieza y mida sus dimensiones con el Vernier. Determine ahora su volumen y analice cuál fue el volumen de líquido desplazado por la pieza al sumergirla. Repita todos los pasos anteriores para la segunda y tercera piezas de aluminio. Repita este procedimiento para todas las piezas, pero ahora utilizando el alcohol.

6.

7. 8. 9. 10.

4.5.

Cálculos y resultados

I. Utilizando los valores medidos de los pesos de los distintos objetos calcule el empuje que actúa sobre cada uno de ellos. Considere que el empuje está dado por la diferencia entre el peso medido en el aire y el peso medido en el agua4 . II. Con las dimensiones de las piezas, calcule su volumen y con ello el volumen de líquido desplazado. Puede organizar sus datos en una tabla como la que se indica a continuación:

Objeto 1 2 3 4 5

Peso real W (N)

Peso aparente W 0 (N)

Empuje E (N)

Volumen desp. Vd (m3 )

Cuadro 4.1: Datos del empuje producido por el agua sobre el cuerpo, W denota el peso real del objeto y W 0 el peso aparente al estar sumergido en agua.

III. Una vez obtenido el empuje, describa su comportamiento mediante una gráfica de esta cantidad contra el volumen de líquido desplazado5 . IV. A partir de la gráfica observe cómo varía el empuje y el volumen desplazado de líquido, determine de su observación si el empuje puede expresarse como una función dependiente del volumen de líquido desplazado. Realice la regresión del tipo necesario y obtenga la expresión matemática de dicha función. V. Ahora para el alcohol, con los valores medidos de los pesos aparentes de los distintos objetos calcule el empuje que actúa sobre cada uno de ellos. Nuevamente, considere que el empuje está dado por la diferencia entre el peso medido en el aire y el peso medido en el alcohol. VI. Exprese los valores obtenidos para los empujes en agua y alcohol en la siguiente tabla: 39

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Fluidos, ondas y temperatura Objeto 1 2 3 4 5

P. R. W (N)

P.A. 1 W 0 (N)

Dr. Lenin Francisco Escamilla Herrera P.A. 2 W 00 (N)

Empuje E (N)

V. desp. Vd (m3 )

Cuadro 4.2: Datos del empuje producido por los fluidos sobre el cuerpo, W denota el peso real del objeto, W 0 el peso aparente al estar sumergido en agua y W 00 el peso aparente al estar sumergido en alcohol.

VII. Una vez obtenido el empuje, describa su comportamiento mediante una gráfica de esta cantidad contra el volumen de alcohol desplazado. VIII. A partir de la gráfica observe cómo varía el empuje y el volumen desplazado de líquido, determine de su observación si el empuje puede expresarse como una función dependiente del volumen de alcohol desplazado. Realice la regresión del tipo necesario y obtenga la expresión matemática de dicha función. IX. Observe si existe evidencia que muestre que el empuje ejercido sobre las piezas sólidas depende de la densidad del líquido en donde fueron sumergidas y si es así, exprese la forma matemática general que tiene esta dependencia. Argumente sus conclusiones. X. Ahora, considerando el volumen de líquido desplazado, así como la densidad del mismo, calcule el peso Wd de dicho volumen. Haga esto tanto para el agua como para el alcohol. Compare el resultado anterior con el valor correspondiente del empuje. XI. Para cada uno de estos fluidos, obtenga la razón entre el empuje y el peso del volumen desplazado; exprese esta razón porcentualmente. XII. Asimismo, calcule la diferencia d y la diferencia promedio d para cada uno de ellos. Exprese sus resultados en las siguiente tablas:

Objeto 1 2 3 4 5

W (N) W 0 (N) Empuje E (N) V. desp. Vd (m3 ) P. desp. Wd (N) d = |E −Wd |

Cuadro 4.3: Comparación del empuje producido por el agua sobre el cuerpo y el peso del volumen desplazado Wd , W denota el peso real del objeto, W 0 el peso aparente al estar sumergido en agua. 3 Tenga

el cuidado de que la pieza quede completamente sumergida y que la misma no toque el fondo del vaso ni sus paredes. 4 No olvide realizar la propagación de errores para obtener la incertidumbre. 5 Recuerde que esto implica que el empuje es una función del volumen desplazado.

40

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Dr. Lenin Francisco Escamilla Herrera Objeto 1 2 3 4 5

Fluidos, ondas y temperatura

W (N) W 0 (N) Empuje E (N) V. desp. Vd (m3 ) P. desp. Wd (N) d = |E −Wd |

Cuadro 4.4: Comparación del empuje producido por el alcohol sobre el cuerpo y el peso del volumen desplazado Wd , W denota el peso real del objeto, W 0 el peso aparente al estar sumergido en alcohol.

XIII. De la comparación entre el empuje ejercido sobre el objeto sólido y el peso del líquido desplazado indique si puede establecerse una relación entre estas cantidades. Exprese su conclusión y argumente la misma en la sección de conclusiones.

4.6.

Preguntas

Debe responder las siguientes preguntas explícitamente en la sección de conclusiones del reporte a entregar. 1. ¿Cuáles son las principales fuentes de error al determinar el empuje mediante la medición de los pesos en el aire y en el líquido? Sea claro y concreto al señalar dichas fuentes. 2. Según el resultado obtenido, ¿qué tipo de curva describe el comportamiento del empuje en función del volumen de líquido desplazado? ¿Será el mismo tipo de curva la que describe el comportamiento del empuje en función de la densidad del líquido? Argumente. 3. ¿Cuál fue la diferencia porcentual obtenida al comparar el empuje con el peso del líquido desplazado? ¿Es posible despreciar esa diferencia? Explique por qué sí o por qué no. 4. Se puede afirmar que todos los cuerpos que están en la atmósfera se encuentran sumergidos en un fluido que es el aire. ¿Significa esto que el aire ejerce un empuje sobre esos cuerpos? Si es así, ¿cómo podría calcularse ese empuje? ¿Sería grande, comparado al empuje de un líquido? Argumente.

41

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Fluidos, ondas y temperatura

42

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5 Práctica 5: Teorema de Torricelli

5.1.

Objetivo

El objetivo de esta práctica es que el alumno comprenda y aplique el teorema (o principio) de Torricelli.

5.1.1.

Objetivos particulares

EL objetivo particular a conseguir en la práctica es: Determinar el caudal y la velocidad de salida de un líquido a través de un orificio en la pared de un recipiente.

5.2.

Introducción

El Teorema de Torricelli es una expresión matemática que nos indica la velocidad de salida v de un líquido a través de un orificio practicado en la pared de un recipiente abierto a la atmósfera. Esta expresión puede obtenerse a través de la aplicación de la ecuación de Bernoulli para estudiar el flujo de un líquido contenido en un recipiente, para lo cual se consideran dos puntos en este: uno de ellos está colocado en la superficie libre del líquido y el otro en el orificio de salida, en la FIG. 5.1 se muestran los puntos a medir en el recipiente. La forma explícita de esta relación es: s   v20 (5.1) v = 2g · h + 2g donde h mide la distancia entre la superficie del líquido y el orificio; además v0 es la llamada velocidad de aproximación, la cual mide la velocidad con la que el nivel del líquido baja dentro del recipiente y g es la aceleración de la gravedad. La relación (5.1) es una ecuación general, sin embargo puede simplificarse aún más al considerar el caso en el que nivel dentro del recipiente baja con una velocidad despreciable; en este caso la relación anterior se convierte en: p v = 2gh. (5.2) 43

Fluidos, ondas y temperatura

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Esta situación puede verse en la FIG. 5.1. En esta práctica se trabajará con esta relación para determinar la velocidad de salida del líquido.

Figura 5.1: Representación del líquido escapando por un agujero en un recipiente, para ejemplificar el teorema de Torricelli.

5.3. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

Equipo y Materiales Un recipiente de 2 litros, con su tapadera correspondiente1 . Un recipiente con capacidad de al menos 2 litros para contener el agua que salga. Clavo de 2 pulgadas. Taladro con broca delgada (Opcional). Mechero Bunsen (Opcional). Regla de 30 cm. Cinta adhesiva. Agua.

5.4.

Procedimiento

El montaje de esta sección puede ser consultado en la FIG. 5.2. 1.

2.

Realice tres perforaciones en el recipiente (botella); procure que el diámetro de los orificios sea de aproximadamente 2 a 3 mm y que estén alineados de manera vertical. Se sugiere que las posiciones de cada orificio sean aproximadamente las siguientes: el primero colocado a 5 cm desde la base del recipiente, el segundo ubicado aproximadamente en su parte media y el tercero a unos 8 cm del anterior (Ver FIG. 5.2). Para hacer los orificios utilice un clavo calentado con el mechero de Bunsen2 , o mejor aún, con un taladro y la broca del diámetro adecuado. Procure que al momento de efectuar 1 Puede

ser por ejemplo, una botella de refresco de 2 litros. pinzas para tomar el clavo y evitar quemarse.

2 Utilice

44

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3.

Fluidos, ondas y temperatura

los orificios el clavo o la broca estén perpendiculares a la pared del recipiente. Verifique también que los orificios queden limpios de material del propio recipiente y alineados entre sí. Tape los orificios con cinta adhesiva y llene el recipiente con agua; ponga el recipiente con agua cerca del balde para que al destapar los orificios, el agua caiga en este, tal y como se muestra en la FIG. 5.2.

Figura 5.2: Representación del líquido escapando por un agujero en un recipiente, para ejemplificar el principio de Torricelli.

4. 5.

6. 7. 8.

Destape el orificio situado en la parte media y observe lo que ocurre con la velocidad de salida del agua conforme el nivel en el recipiente desciende. Vuelva a llenar el recipiente con agua y ahora destape los tres orificios y observe el comportamiento de la velocidad de salida del líquido, así como el alcance horizontal que tiene cada uno. Vuelva a tapar los orificios y llene nuevamente el recipiente con agua. Coloque la tapa del recipiente, procurando que quede bien cerrado para evitar la entrada o salida de aire. Bajo esas condiciones, destape únicamente el orificio del fondo y observe lo que sucede con el líquido al salir por esta abertura. Intente explicar el fenómeno que observa. Tape el orificio y vuelva a llenar el recipiente con agua sin colocarle la tapadera, enseguida destape el orificio de la parte media y observe su velocidad de salida. Ahora, sople fuertemente hacia el interior del recipiente por su abertura superior de modo que se produzca una presión sobre el líquido y, bajo esas condiciones, observe la nueva velocidad de salida del líquido ¿Se observa alguna diferencia en la velocidad de salida sin soplar y soplando aire hacia el interior del recipiente? 45

Manual del Estudiante

Fluidos, ondas y temperatura 9.

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Tape el orificio y llene nuevamente el recipiente sin colocar la tapadera. Bajo esas condiciones, destape el orificio de la parte media. Usando un procedimiento similar al del punto anterior, succione al máximo posible el aire del interior del recipiente y observe si se producen cambios en la velocidad de salida del líquido por el orificio. Trate de ser sistemático en sus observaciones para determinar el comportamiento de la velocidad de salida de un líquido por un orificio practicado en la pared de un recipiente.

10.

5.5.

Cálculos y resultados

I. Describa el resultado obtenido cuando se realizó el experimento señalado en el paso número 4 de este objetivo. II. Sintetice el resultado que se obtuvo cuando se realizó el experimento indicado en el paso número 5. III. Explique el resultado que se obtuvo cuando se realizó el experimento descrito en el paso número 8. IV. Describa el resultado obtenido cuando se realizó el experimento indicado en el paso número 9. V. Describa el resultado obtenido cuando se realizó el experimento indicado en el paso número 10.

5.6.

Preguntas

Debe responder las siguientes preguntas explícitamente en la sección de conclusiones del reporte a entregar. 1. Si en el recipiente utilizado se sustituye el agua por mercurio3 , ¿cómo considera que sería la velocidad de salida del líquido, comparada con el caso en el que se usó agua? Explique su respuesta. 2. Utilizando la ecuación de Bernoulli, obtenga la velocidad de salida de un líquido a través de un orificio practicado en la pared de un recipiente abierto a la atmósfera. Para ello tome en cuenta el diagrama de la FIG. 5.1. 3. Los orificios realizados en el recipiente pueden tener distinta forma y tamaño. ¿Considera que esto afecta a sus resultados? Explique.

3 Recuerde

46

que el uso de este metal debe ser muy cuidadoso, dada su alta toxicidad.

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6 Práctica 6: Viscosidad de un fluido

6.1.

Objetivo

El objetivo de esta práctica es que el alumno estudie y comprenda: El concepto de viscosidad en los fluidos.

6.1.1.

Objetivos particulares

Los objetivos particulares a conseguir en la práctica es: Determinar la viscosidad de un fluido a partir de la aplicación de la ley de Stokes. Determinar la viscosidad en un fluido mediante el empleo de un viscosímetro capilar.

6.2.

Introducción

La viscosidad para un fluido es en cierta medida un concepto análogo al de fricción para los cuerpos sólidos. De manera muy informal podemos decir que la viscosidad es una medida de la facilidad con la que un fluido adquiere la forma de un recipiente contenedor. Una definición mucha más formal que podemos establecer acerca de la viscosidad es que esta no es otra cosa más que una medida de la oposición que presenta un fluido a ser deformado cuando es sometido a esfuerzos cortantes o tangenciales. Dicha oposición es consecuencia de las fuerzas de cohesión entre las partículas que se deslizan en el fluido. Un modelo que sirve para explicar este comportamiento, se muestra en la FIG. 6.1; en esta figura podemos ver como un cuerpo sólido se deforma al aplicar una fuerza tangencial. Si el objeto objeto es rígido FIG. 6.1.a, y este es sometido a una fuerza tangencial como se muestra en FIG. 6.1.b, razón por la cual el objeto se deforma en proporción con su rigidez. Si se considera al cuerpo original como formado por diferentes cuerpos laminares, como se muestra en la FIG. 6.1.c entonces, la deformación resultante puede ser vista como resultado del desplazamiento entre las diferentes capas laminares provocado por la fuerza tangencial, este movimiento provoca además un rozamiento entre capas. En el caso de los fluidos se presenta una situación similar cuando se tiene un flujo laminar, lo 47

Fluidos, ondas y temperatura

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que implica que el movimiento del fluido es suave, ordenado y estratificado; para este tipo de flujos el pequeño rozamiento que existe entre las diferentes adyacentes capas del flujo al existir fuerzas tangenciales; este rozamiento produce en los fluidos un cambio de velocidad dv con la que se desplaza la capa de fluido de ancho dy el cambio dv/dy determina la deformación que sufre el fluido. Esta es la causa de la existencia de la viscosidad en los fluidos.

Figura 6.1: a) Objeto sólido no sometido a fuerzas tangenciales a su superficie; b) El cuerpo ofrece resistencia debido a su rigidez, y c) si el objeto es visto como un conjunto de cuerpos laminares, la deformación es debida al movimiento entre laminas adyacentes.

La viscosidad de un fluido está determinada por la deformación que sufra el fluido a ser sometido a esfuerzos cortantes, medido a través del llamado coeficiente de viscosidad η, el cual se define como la razón entre el esfuerzo cortante sobre el fluido F/A y la deformación del fluido dv/dy; donde F es la fuerza externa tangencial aplicada al flujo laminar, A es el área de la superficie tangencial a la fuerza, es decir: η=

F/A ; dv/dy

(6.1)

si suponemos por simplicidad que la capa superior del flujo se mueve a una velocidad v y la capa inferior a v = 0, el gradiente de la velocidad entre las capas no es otra cosa que v/D, donde la distancia entre la capa superior e inferior es D. De modo que la eq. (6.1) se reduce a, η=

FD . vA

(6.2)

En el sistema internacional, la unidad utilizada para medir la viscosidad es N·s/m2 , aunque también es muy utilizado el poise, el cual puede ser escrito como 1 poise = 0.1 N·s/m2 .

6.2.1.

Ley de Stokes

Una manera posible de determinar la viscosidad de un fluido es mediante el estudio de la llamada ley de Stokes, la cual se refiere a la fuerza de fricción que experimentan objetos esféricos al moverse por un fluido viscoso bajo un flujo laminar y que debe tener un valor pequeño en su número de Reynolds1 ; esta ley es simplemente un caso particular de las ecuaciones de NavierStokes y se puede considerar valida en el movimiento a velocidades bajas de cuerpos esféricos pequeños. 1 El número de Reynolds Re, es un parámetro adimensional cuyo valor indica si el flujo sigue un módelo láminar

o turbulento.

48

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Fluidos, ondas y temperatura

La ley de Stokes es la base para el viscosímetro de esfera en caída libre, en el cual un cuerpo esférico desciende verticalmente sobre una columna de fluido viscoso. Al caer verticalmente por una columna de fluido laminar, el cuerpo esférico experimenta 3 diferentes fuerzas actuando sobre él: La fuerza de gravedad, el empuje hidrostático2 y la fuerza de arrastre, como se puede ver el diagrama de cuerpo libre mostrado en la FIG. 6.2.a; la primera de ellas es simplemente el peso W = mg, mientras que el empuje hidrostático E, está dado por la ecuación (4.1), y puede ser escrito para la esfera como: 4 E = ρgVd = πr3 ρg; 3

(6.3)

donde ρ es la densidad del fluido y r es el diámetro de la esfera.

stokes.png

Figura 6.2: Diagrama de la aplicación de la ley de Stokes. a) Diagrama de las fuerzas a las cuales está sujeto el cuerpo esférico. b) El objeto desciende verticalmente por la columna de fluido viscoso.

La fuerza de arrastre Fr , mientras tanto, solo se considera para cuerpos esféricos en fluidos que fluyen de manera suave (i.e., no tubulenta). Esta fuerza se opone a la atracción gravitacional y es dependiente de la viscosidad del fluido η, el tamaño de la esfera r, y la velocidad v con la que esta cae a través del fluido. De manera que: Fr = 6πηrv.

(6.4)

Si asumimos que el cuerpo esférico esta cayendo a una velocidad constante (es decir no hay aceleración) en un fluido en reposo, se puede asumir que la suma de fuerzas es igual a cero, de manera que se puede calcular la viscosidad del fluido por este método, ya que se tiene, E + Fr −W = 0. 2 También

(6.5)

llamado fuerza boyante.

49

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Fluidos, ondas y temperatura

6.2.2.

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Ley de Poiseuille

Otra relación importante en la determinación de la viscosidad de un fluido es la llamada Ley de Poiseuille, la cual es utilizada para determinar el flujo laminar estacionario Q de un fluido incompresible y uniformemente viscoso3 que pasa a través de un tubo cilíndrico de sección circular constante. Esta ley determina el cambio en la presión en un fluido que fluye a través de un tubo cilíndrico. Además de asumir que el fluido bajo estudio es newtoniano, la ley de Poiseuille, considera que el flujo es laminar a través de un tubo que tiene una sección transversal circular constante, la cual es sustancialmente mayor que su diámetro, y el fluido no tiene aceleración dentro del tubo. Bajo estas condiciones se tiene:   πr4 dP πr4 ∆P dV (t) 2 = vliq πr = − = ; Q= dt 8η dz 8η L

(6.6)

donde V (t) es el volumen del fluido transferido en el tiempo t, vliq es la velocidad media del fluido a lo largo de la longitud L del tubo, r es el diámetro interno del tubo y ∆P es la diferencia de presiones entre los extremos del tubo. Esta ley es la base para la construcción de los llamados viscosímetros capilares, en los cuales un fluido cae de un contenedor pasando por un tubo con cierta longitud, de manera que al conocer la velocidad de salida del fluido, es posible determinar su viscosidad al considerar que el volumen transferido en el tiempo es constante: η=

6.3. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 3 i.e.

π∆Pr4t . 8lV

(6.7)

Equipo y Materiales 3 Balines del mismo material pero diferentes diámetros. Probeta de plástico con capacidad de 250 ml. Pinzas para sostener los balines4 . Balanza digital. Vernier. Regla de 30 cm. Cinta adhesiva. Cronometro. Soporte universal. Anillo de hierro. 250 ml de jabón líquido. 250 ml de glicerina o aceite de cocina. Agua. Termométro. 3 recipientes de plástico u otro material y de al menos 250 ml de capacidad. Encendedor. un fluido newtoniano. hacer un gancho con alambre para poder soltar los balines en la probeta.

4 Puede

50

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Dr. Lenin Francisco Escamilla Herrera 17. 18. 19. 20. 21. 22.

Fluidos, ondas y temperatura

Clavo, cutter o broca y taladro. Una hoja de lija de agua (para lijados muy suaves). 1 paquete de plastiloka u otro adhesivo a prueba de agua. 3 trozos de tubo de vidrio delgado. 1 Vaso de precipitado de al menos 250 ml de capacidad. Cámara y tripie (Opcional).

6.4.

Procedimiento

Nota: Esta práctica esta dividida en dos partes, la primera consiste en determinar el coeficiente de viscosidad de un fluido por medio de la ley de Stokes, mientras que la segunda consiste en construir y utilizar un viscosímetro capilar con el mismo propósito. Ya que la construcción del viscosímetro capilar implica la utilización de pegamentos que deben secarse, es altamente recomendable proceder primero a realizar la fabricación del mismo y proseguir posteriormente con la realización del viscosímetro de Stokes para tener tiempo de realizar la práctica completa.

6.4.1. 1. 2. 3. 4.

5.

6. 7. 8. 9. 10. 11.

Viscosímetro de Stokes

Mida la masa de cada uno de los balines de acero, utilizando la balanza digital. Utilizando el Vernier, mida el radio de cada uno de los balines de acero. Mida la temperatura del sistema. Espere alrededor de 5 minutos para que el sistema alcance equilibrio térmico. Vuelva a medir la temperatura. Llene la probeta con agua ycon precaución; utilizando la cinta adhesiva para indicar el punto inicial y final, mida la distancia que considerará para medir el tiempo de caída del balin5 . Con cuidado y utilizando las pinzas suelte cada balín lo más cerca posible de la superficie del líquido, y con el cronómetro comience el tiempo que le tarda recorrer al balín la distancia que marco previamente tal y como se muestra en la FIG. 6.2.b. Si desea mayor precisión puede utilizar una cámara digital para tomar el vídeo del evento y posteriormente realizar el análisis del mismo utilizando el software Tracker6 . Tenga cuidado de que el balín no toque las paredes de la probeta en su caída. Realice el paso anterior para cada uno de los balines. Anote sus resultados en la tabla 6.1. Repita los pasos 3–6 llenando la probeta ahora con el jabon líquido. Anote sus resultados en la tabla 6.2. Repita los pasos 3–6 llenando la probeta ahora con la glicerina/aceite de cocina. Anote sus resultados en la tabla 6.3. 5 Trate de que esta distancia sea lo mayor posible para disminuir los errores aleatorios asociados con la medición

a ojo que realizará. 6 Recuerde que este software de análisis de vídeo es libre y puede ser descargado desde el sitio https://www. cabrillo.edu/~dbrown/tracker/.

51

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6.4.2. 12. 13. 14.

15. 16.

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Viscosímetro de Saybolt

Tome los recipientes de plástico y con cuidado realice una perforación en el fondo y al centro de cada uno utilizando el clavo caliente, el cutter o el taladro7 . Mida el diámetro interno del trozo de vidrio utilizando el Vernier, tenga cuidado de lijar los bordes irregulares de los tubos. Utilice la plastiloka o cualquier otro adhesivo adecuado para pegar el tubo de vidrio al fondo del recipiente; el extremo del tubo debe estar lo más cerca al fondo del recipiente. El pegamento debe sellar bien la abertura hecha en el recipiente, de modo que no pueda escapar el fluido. Permita que el pegamento seque apropiadamente. En general debe esperar alrededor de una hora para poder verter algún fluido en el recipiente.

Figura 6.3: a) Montaje experimental para el viscosímetro de Saybolt. b) Descripción del proceso de vaciado en el viscosímetro. 17.

18. 19.

20.

21.

una vez seco el pegamento de su viscosímetro, tape el orificio del tubo inferior con cinta o una bolita de plastiloka. Procure que quede bien sellado para que no pueda escapar el fluido a través de este. Mida la longitud del tubo de vidrio que sobresale del fondo del recipiente. Monte el recipiente en el anillo de hierro sobre el soporte universal; asimismo ponga un vaso de precipitados por debajo, de modo que quede alineado con el tubo del recipiente (Ver Fig. 6.3.a). Con este montaje, vierta con precaución un volumen de 100 ml de agua en el recipiente, espere un par de minutos. No olvide medir la altura de la columna de agua respecto al fondo del recipiente utilizando el Vernier y la temperatura del fluido. Cuando este listo destape el tubo y al mismo tiempo con el cronometro tome el tiempo que le lleva al fluido salir por completo como se muestra en FIG. 6.3.b. Debe parar 7 Tenga

52

cuidado de que el orificio sea lo más limpio y regular posible trate de retirar rebabas

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el cronometro en cuanto vea el primer corte en el flujo del fluido, ya que en este momento se vuelve turbulento. Repita el paso anterior pero para 150, 200 y 250 ml. Anote sus resultados en la tabla 6.4. Verifique que su viscosímetro esté limpio y seco. Repita el proceso anterior para el jabón líquido. Anote sus resultados en la tabla 6.5. Verifique que su viscosímetro esté limpio y seco. Repita el proceso anterior esta vez para la glicerina. Anote sus resultados en la tabla 6.6.

22. 23. 24.

6.5.

Cálculos y resultados

Ya que en la realización de sus cálculos es necesario conocer la densidad del fluido laminar bajo estudio, utilice las fuentes bibliográficas8 a su disposición para obtener estos valores y el resto de las constantes necesarias. No olvide citar las fuentes que utilice.

6.5.1.

Viscosímetro de Stokes

I. Con los datos tomados para cada uno de los balines en el agua, encuentre el coeficiente de viscosidad del agua y su incertidumbre asociada; anote el resultado correspondiente en la tabla 6.1. II. Encuentre la fuerza de arrastre Fa para el agua obtenido en cada valor, anote el correspondiente valor en la tabla 6.1 III. Obtenga el coeficiente de viscosidad promedio para el agua ηagua , así como su desviación media δσagua y el error porcentual. IV. Obtenga la fuerza de arrastre promedio para el agua Fa , así como su desviación media δFa y el error porcentual. V. Construya la gráfica de ηagua vs velocidad y realice la regresión adecuada. Balín 1 2 3

r (m) m (Kg) T (o C) t (s) Vel. v (m/s2 ) ηagua (N·s/m2 ) Fa (N)

Cuadro 6.1: Datos obtenidos para la medición de la viscosidad del agua por el viscosímetro de Stokes. VI. Repita los pasos I–V para el jabón líquido. VII. Repita los pasos I–V para la glicerina. VIII. Construya la gráfica η vs velocidad incluyendo cada uno de los datos para los tres fluidos. Utilice 3 simbolos diferentes para indicar cada fluido en esta gráfica. 8 La

aplicación Wolfram Alpha es excelente para proporcionar este tipo de información.

53

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r (m) m (Kg) T (o C) t (s)

Balín 1 2 3

Vel. v (m/s2 )

ηjabon (N·s/m2 ) Fa (N)

Cuadro 6.2: Datos obtenidos para la medición de la viscosidad del jabón líquido por el viscosímetro de Stokes. Balín 1 2 3

r (m) m (Kg)

T (o C) t (s)

Vel. v (m/s2 )

ηgli (N·s/m2 ) Fa (N)

Cuadro 6.3: Datos obtenidos para la medición de la viscosidad de la glicerina por el viscosímetro de Stokes.

6.5.2.

Viscosímetro de Saybolt

IX. Con los datos tomados del tiempo de vaciado de cada volumen en el viscosímetro de Saybolt, encuentre el coeficiente de viscosidad del agua y su incertidumbre asociada; anote el resultado correspondiente en la tabla 6.4. X. Obtenga el coeficiente de viscosidad promedio para el agua ηagua , así como su desviación media δσagua y el error porcentual. XI. Construya la gráfica de ηagua vs volumen y realice la regresión adecuada. Medición 1 2 3 4

t (s) V (m3 ) T (o C) ∆P (Pa) t (s)

ηagua (N·s/m2 )

Cuadro 6.4: Datos obtenidos para la medición de la viscosidad del agua por el viscosímetro de Saybolt.

XII. Repita los pasos IX–XI para el jabón líquido. XIII. Repita los pasos IX–XI para la glicerina. XIV. Construya la gráfica η vs volumen incluyendo cada uno de los datos para los tres fluidos. Utilice 3 símbolos diferentes para indicar cada fluido en esta gráfica.

6.6.

Preguntas

Debe responder las siguientes preguntas explícitamente en la sección de conclusiones del reporte a entregar. 54

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Dr. Lenin Francisco Escamilla Herrera Medición 1 2 3 4

Fluidos, ondas y temperatura

t (s) V (m3 ) T (o C) ∆P (Pa) t (s)

ηjabon (N·s/m2 )

Cuadro 6.5: Datos obtenidos para la medición de la viscosidad del jabon por el viscosímetro de Saybolt. Medición 1 2 3 4

t (s) V (m3 ) T (o C) ∆P (Pa) t (s)

ηgli (N·s/m2 )

Cuadro 6.6: Datos obtenidos para la medición de la viscosidad de la glicerina por el viscosímetro de Saybolt.

1. ¿Qué balín tomo más tiempo en alcanzar el fondo de la probeta? 2. ¿Por qué cree que es necesario verter los fluidos con precaución en ambos viscosímetros? 3. ¿Por qué cree que es necesario esperar un tiempo prudente antes de comenzar las mediciones? 4. ¿Cuál es el efecto de la turbulencia en un viscosímetro? 5. ¿Cuál de los dos viscosímetros considera usted que es más apropiado utilizar? 6. ¿Qué efecto cree que tiene la temperatura en la viscosidad?

55

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56

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Parte II Segunda parte: Fenómenos ondulatorios

57

7 Práctica 7: El péndulo simple vs el péndulo compuesto

7.1.

Objetivo

El objetivo de esta práctica es que el alumno estudie y comprenda: Comprender el origen físico de la ecuación diferencial del oscilador armónico simple. Estudiar dos diferentes sistemas oscilatorios cuyo comportamiento es el de un oscilador armónico: El péndulo simple y el péndulo físico.

7.1.1.

Objetivos particulares

Los objetivos particulares a conseguir en la práctica es: Estudiar las oscilaciones del péndulo simple y determinar las simplificaciones que deben hacerse para que dichas oscilaciones puedan ser descritas como un movimiento armónico. Estudiar las oscilaciones del péndulo compuesto y determinar las simplificaciones que deben hacerse para que dichas oscilaciones puedan ser descritas como un movimiento armónico. Determinar la dependencia del periodo de oscilación del péndulo con los parámetros físicos del sistema. Determinar experimentalmente el valor de la gravedad, al medir el periodo de oscilación del sistema.

7.2.

Introducción

7.2.1.

El péndulo simple

El péndulo simple es uno de los sistemas físicos más sencillos que se pueden estudiar, y a la vez muy útil para comprender diversos fenómenos. Este consta solo de una masa puntual m, la cual suele de forma esférica con el objeto de minimizar las pérdidas de amplitud en ola 59

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oscilación causadas por la fricción con el aire; la masa esta suspendida por extremo inferior de una cuerda de longitud fija. Al retirar la masa de la posición de equilibrio y se deja bajo acción del campo gravitacional, esta inicia un movimiento oscilatorio alrededor del punto de equilibrio, el cual corresponde al punto de mínima energía. El modelo más simplificado del sistema supone que las únicas fuerzas que actúan sobre el cuerpo de masa m son el peso y la tensión en la cuerda, ignorando la fricción y la reacción de posibles ondas de presión emitidas al aire circundante. También a medida que el péndulo oscila, la fuerza ejercida por la masa en el extremo inferior cambia, se supone entonces que todos los puntos de la cuerda perciben simultáneamente este cambio, aunque en realidad lo que ocurre es que cualquier perturbación requiere un tiempo finito para propagarse de un punto a otro. Entonces al comparar datos experimentales con predicciones teóricas es necesario tener presente que nuestro modelo es simplificado y por tanto limitado. Ecuación de movimiento Considerando el diagrama de cuerpo libre mostrado en la FIG. 7.1, si se analizan las fuerzas actuando sobre el sistema, tenemos que la segunda ley de Newton establece que: m

d 2~r = m~g + ~T ; dt 2

(7.1)

esta relación es complicada de estudiar utilizando coordenadas cartesianas, por lo que usualmente suele tratarse el sistema utilizando coordenadas polares (r, θ), las cuales son naturalmente más adecuadas dado el tipo de movimiento que se presenta en el sistema. Entonces, para cada componente en estas coordenadas:  dθ 2 = T − mg cos θ (7.2a) Fr = m · ar = m · l dt d2θ Fθ = m · aθ = m · l 2 = −mg sin θ; (7.2b) dt estas ecuaciones son ecuaciones diferenciales no lineales, que en está forma completa no son triviales de resolver. Es posible sin embargo, simplificar las ecuaciones (7.2) al considerar que el péndulo oscila solamente con una apertura angular pequeña, de modo que la contribución de las funciones sin θ y cos θ pueda ser reducida al considerar que la expansión en serie de Taylor de estas funciones está dada por: θ3 θ5 θ7 sin θ = θ − + − + . . . 3! 5! 7! x2 x4 x6 cos θ = 1 − + − + . . . 2! 4! 6! Para ángulos pequeños, es obvio de las relaciones anteriores, que la mayor contribución al seno y al coseno proviene del primer término de la expansión, ya que los términos de orden superior serán mucho más pequeños comparados con el primero de ellos. De este modo, la ecuación diferencial (7.2.1) correspondiente a la parte angular puede ser escrita como: d2θ g = − θ; 2 dt l 60

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es decir, θ¨ + ω20 θ = 0.

(7.3)

Donde , ω20 = g/l,

s 2π l T= = 2π ; ω g

&

con ω0 es la frecuencia de oscilación; además el periodo T es el tiempo que le toma al péndulo en completar una oscilación. Esta es la llamada aproximación de pequeñas oscilaciones para el péndulo simple, y no es otra cosa que la ecuación diferencial que describe el movimiento de un oscilador armónico, un sistema de gran importancia dentro de la física. Esta ecuación puede ser resuelta para θ(t) encontrando, θ(t) = A sin(ω0t + δ);

(7.4)

en la que las constantes A y δ son determinadas por las condiciones iniciales del problema: ˙ = 0). θ(t = 0) y θ(t

Figura 7.1: Diagrama de cuerpo libre del péndulo simple; en esta relación ur y uθ representan los ejes instantáneos en coordenadas polares.

7.2.2.

El péndulo físico

Otro sistema oscilatorio bien conocido, pero menos idealizado que el péndulo simple, es el llamado péndulo físico o compuesto. Un péndulo físico no es otra cosa que un sólido rígido de forma arbitraria que puede oscilar bajo la acción del campo gravitacional, en un plano vertical alrededor de un eje perpendicular a ese plano que contenga a su centro de masas. El punto de intersección del eje con dicho plano es el punto de suspensión O. La posición de equilibrio es aquella en que el centro de masas se encuentra en la misma vertical y por debajo del punto de suspensión. En la FIG. 7.2 se presenta esquemáticamente un sólido plano de pequeño espesor utilizado como péndulo físico. 61

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En este tipo de sistemas, se producen oscilaciones como consecuencia de desviaciones de la posición de equilibrio, ya que entonces el peso del cuerpo, aplicado en su centro de masas, produce un momento respecto del punto de suspensión que tiende a restaurar la posición de equilibrio. El momento respecto del punto de suspensión O es: ~ = d~ × (m~g). ~τ = d~ × W

(7.5)

Donde d es la distancia entre c.m. y el punto de suspensión y m es la masa del cuerpo. El módulo de este momento puede escribirse como: τ = −mgd sin θ,

(7.6)

El signo negativo en la relación (7.6) indica que se trata de un momento recuperador, es decir, un momento que actúa en sentido opuesto a las variaciones angulares. Este momento puede relacionarse con la aceleración angular ~α del péndulo y su momento de inercia I respecto al punto de suspensión, a través de la fundamental de la dinámica de rotación, que está dada por: ~τ = I~α; de modo que para (7.6) se tiene, Iα + mgd sin θ = 0.

(7.7)

Figura 7.2: Sólido plano empleado como péndulo físico. El punto de suspensión es O, su centro de masas es c.m., y la distancia entre ambos se representa por d. En la posición indicada, formando un ángulo θ con la vertical, el peso produce respecto a O un momento de inercia que se opone al aumento del ángulo.

Si recordamos que la aceleración angular α es la derivada segunda del ángulo θ respecto al tiempo y que como se hizo en el caso del péndulo simple, al considerar oscilaciones de pequeña amplitud se tiene que sin θ ≈ θ, la ecuación (7.7) puede reescribirse como una ecuación diferencial de segundo orden que corresponde a un movimiento armónico simple: d 2 θ mgd + θ = 0; dt I 62

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es decir, tal y como se hizo para el péndulo simple, θ¨ + ω20 θ = 0.

(7.8)

En donde para el péndulo compuesto, la frecuencia w20 y el periodo T quedan determinados por, mgd ω20 = , I

7.3.

s &

T = 2π

I . mgd

Equipo y Materiales Hilo delgado inextensible1 . Cronometro. Soporte universal. Nuez. Diferentes masas. Balanza granataria. Péndulo físico. Prensa en C. Varillas. Masa ajustable. Flexómetro. Vernier. Transportador. Cámara digital y tripie. Tracker

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.

7.4.

Procedimiento

Nota: Esta práctica esta dividida en dos partes, la primera consiste en determinar la aceleración de la gravedad utilizando un péndulo simple, mientras que la segunda consiste en utilizar con el mismo propósito un péndulo físico. Opcionalmente puede utilizar el software de captura de vídeo tracker para registrar sus oscilaciones, aunque dada la la duración de los eventos los vídeos, serán demasiado largos; sin embargo al aumentar el ángulo de oscilación es necesario utilizarlo, ya que el periodo se vuelve muy corto.

7.4.1.

Péndulo simple

Dependencia de la frecuencia angular de los parámetros físicos del sistema. 1.

Monte el péndulo simple como se muestra en la FIG. 7.3.a, midiendo la longitud de la cuerda y la masa del objeto que pende de esta cuerda. 1 Preferentemente

hilo cañamo.

63

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Fluidos, ondas y temperatura 2.

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Para estos valores de l y m, saque el péndulo del equilibrio al jalar la masa de modo que la cuerda tenga un ángulo respecto a la vertical, que satisfaga la condición de linealidad del péndulo simple2 y déjelo caer libremente, registre el ángulo inicial, la masa y la longitud de la cuerda en la tabla 7.1. Tome la medición del tiempo que tarda el péndulo en realizar 5 oscilaciones completas, tenga cuidado de que la oscilación sea solo sobre un eje, es decir, que no exista movimiento circular. Repita la medición anterior por lo menos cinco veces para el mismo ángulo inicial, anote sus resultados en la tabla 7.1. Repita los pasos 1–4 para la misma longitud y el mismo ángulo inicial, pero dos masas diferentes una de ellas menor y la segunda mayor que la masa inicial, anote sus resultados en las tablas 7.2 y 7.3. Repita los pasos 1–4 para la misma masa y el mismo ángulo inicial, pero dos longitudes diferentes de la cuerda una de ellas menor y la segunda mayor que la longitud inicial, anote sus resultados en las tablas 7.4 y 7.5.

3.

4. 5.

6.

Figura 7.3: a) Montaje experimental para el péndulo simple. b) Medición del periodo del péndulo simple a partir del ángulo inicial. Restricciones para considerar el movimiento del péndulo simple un m.a.s. 7.

Utilizando la misma masa y longitud que las consideradas en el paso 1, saque la masa de su posición de equilibrio en un ángulo de 60 grados, y para este ángulo tome la medición del tiempo que tarda el péndulo en realizar 5 oscilaciones completas; en este paso puede ser realizado utilizando tracker. Repita la medición anterior por lo menos cinco veces para el mismo ángulo inicial, registre en la tabla 7.6.

8.

2 Recuerde

de

15o ,

64

que la condición de ángulos pequeños es válida para valores de alrededor de 5o , aunque para valores la aproximación no es del todo mala.

Manual del Estudiante

Dr. Lenin Francisco Escamilla Herrera 9. 10.

Fluidos, ondas y temperatura

Saque la masa de su posición de equilibrio en un ángulo de 5 grados, para este ángulo, tome la medición del tiempo que tarda el péndulo en realizar 40 oscilaciones completas. Repita la medición anterior por lo menos cinco veces para el mismo ángulo inicial, registre en la tabla 7.7.

7.4.2.

Péndulo compuesto

Dependencia de la frecuencia angular de los parámetros físicos del sistema. 1. 2.

3. 4. 5. 6. 7. 8.

Mida la longitud y la masa de las varillas del péndulo físico. Asimismo, mida la masa de la pesa que usará en su respectivo montaje de este sistema. Fije el mecanismo de torsión a la orilla de su mesa de laboratorio utilizando una prensa en C, como se muestra en la FIG. 7.4.a-b. Tenga cuidado de que el mismo esté bien asegurado para evitar bamboleos. Conecte tres varillas al balero del péndulo, verifique la longitud total de la nueva varilla. Coloque la pesa en el extremo inferior de la varilla conectada al mecanismo de torsión, tal como se muestra en la FIG. 7.4.a. Ponga a oscilar el péndulo en un ángulo inicial pequeño cercano a 5o . Dé inicio a la medida tras unas cuantas oscilaciones del péndulo. Registre entre cinco y diez oscilaciones completas del péndulo. Repita este procedimiento al menos 5 veces, anote sus resultados en la tabla 7.8. Repita el procedimiento descrito en los pasos 5–7 dos veces más, cambiando la la posición de la pesa, localizando esta entre la conexión de dos trozos de varilla, tal y como se muestra en la FIG. 7.4.c-d. No olvide medir la longitud de los trozos de varillas. Anote sus resultados en las tablas 7.9 y 7.11

Restricciones para considerar el movimiento del péndulo simple un m.a.s. En esta parte del procedimiento es necesario utilizar tracker, ya que el periodo se vuelve muy pequeño al aumentar el ángulo considerablemente.

9.

10. 11. 12.

13.

Utilizando la misma configuración masa y longitud que las consideradas en el paso 1 para el péndulo físico, ponga a oscilar en una pequeña amplitud el péndulo en posición vertical, con un ángulo cercano a 0o . Dé inicio a la medida tras unas cuantas oscilaciones del péndulo. Registre el tiempo que le toma completar diez oscilaciones completas del péndulo; anote sus resultados en la 7.11. Aumente el ángulo del plano de oscilación del péndulo a 10o y repita el paso 9. Repita este procedimiento variando en 10o la inclinación de la barra del péndulo hasta llegar a un ángulo de inclinación de 80o ; anote sus resultados en la 7.11. Considerando que la varilla tiene una densidad homogénea, mueva la pesa desde el extremo libre de la varilla 5 cm hacia arriba, mida el periodo de 5 oscilaciones, escriba sus resultados en la tabla 7.12. Repita el paso anterior al menos 5 veces más. 65

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Fluidos, ondas y temperatura

7.5.

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Cálculos y resultados

No olvide que para estos péndulos, la pesa es considerada una masa puntual, además en el péndulo simple, la cuerda tiene una masa despreciable. En el caso del péndulo físico no olvide calcular los momentos de inercia de cada uno de los elementos y el centro de masas correspondiente en cada situación, considere que la pesa es un disco con un agujero en el centro.

Figura 7.4: Montaje experimental del péndulo físico. a) Vista lateral y b) vista frontal del péndulo con la pesa sujeta al extremo libre. c) Vista lateral y d) vista frontal del péndulo con la pesa sujeta más arriba de la varilla.

7.5.1.

Péndulo simple

I. Con los datos de la tabla 7.1, determine el promedio de periodo de oscilación del péndulo y compárelo con el valor calculado a partir de la ecuación P = 2π/ω y calcule el error porcentual3 entre ambos valores. II. Repita el análisis anterior para los datos de la tablas 7.2–7.5. III. Realice una gráfica del cuadrado del periodo como función de la longitud de la cuerda (T 2 vs l) y utilizando regresión lineal determine el valor de la aceleración de la gravedad g en el laboratorio, utilizando para esto la pendiente de esta recta. IV. A partir de los datos obtenidos en la segunda parte, analice que aproximación se está violando o que condición física deja de cumplirse y como se ve esto reflejado en los 3 Recuerde

que el error relativo porcentual se obtiene al tomar el valor absoluto de la diferencia entre el valor medido y el valor calculado, al ser dividido entre el valor medido y multiplicado por 100, es decir ε = |Tmed − Tcal | ∗ 100/Tmed .

66

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Fluidos, ondas y temperatura

porcentajes de error entre el periodo de oscilación determinado experimentalmente y el predicho por el modelo de pequeñas oscilaciones.

Medición

l1 =, m1 =, θ1 =

Tiempo de 5 oscilaciones (s)

Periodo (s)

1 2 3 4 5 Promedio

Periodo calculado (s)

Cuadro 7.1: Datos para la oscilación del péndulo simple con la configuración inicial de longitud y masa.

Medición

l1 , m2 , θ1

Tiempo de 5 oscilaciones (s)

Periodo (s)

1 2 3 4 5 Promedio

Periodo calculado (s)

Cuadro 7.2: Datos para la oscilación del péndulo simple con la configuración inicial de longitud, pero cambiando la masa a m2 .

Medición

l1 , m3 , θ1

Tiempo de 5 oscilaciones (s)

Periodo (s)

1 2 3 4 5 Promedio

Periodo calculado (s)

Cuadro 7.3: Datos para la oscilación del péndulo simple con la configuración inicial de longitud, pero cambiando la masa a m3 .

7.5.2.

Péndulo físico

No olvide que en su reporte debe presentar los resultados de los momentos de inercia I y la distancia al centro de masas d, de cada una de las configuraciones del péndulo físico. 67

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Fluidos, ondas y temperatura Medición

l2 , m1 , θ1

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Tiempo de 5 oscilaciones (s)

Periodo (s)

1 2 3 4 5 Promedio

Periodo calculado (s)

Cuadro 7.4: Datos para la oscilación del péndulo simple con la configuración inicial de masa m1 , pero cambiando la longitud a l2 . Medición

l3 , m1 , θ1

Tiempo de 5 oscilaciones (s)

Periodo (s)

1 2 3 4 5 Promedio

Periodo calculado (s)

Cuadro 7.5: Datos para la oscilación del péndulo simple con la configuración inicial de masa m1 , pero cambiando la longitud a l3 . Medición

l1 , m1 ,

θ = 60o

Tiempo de 5 oscilaciones (s)

Periodo (s)

1 2 3 4 5 Promedio

Periodo calculado (s)

Cuadro 7.6: Datos para la oscilación del péndulo simple a un ángulo de 60o . Medición

l3 , m1 , θ = 5o 1 2 3 4 5 Promedio

Tiempo de 40 oscilaciones (s)

Periodo (s)

Periodo calculado (s)

Cuadro 7.7: Datos para la oscilación del péndulo simple a un ángulo de 5o . 68

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Fluidos, ondas y temperatura

I. Con los datos de la tabla 7.8 para el péndulo compuesto, determine el promedio de periodo de oscilación del péndulo y compárelo con el valor calculado a partir de la ecuación P = 2π/ω y calcule el error porcentual entre ambos valores. II. Repita el análisis anterior para los datos de la tablas 7.9–7.10. III. Realice una gráfica de la cantidad k = I/md en función del periodo cuadrado T 2 y utilizando regresión lineal determine el valor de la aceleración de la gravedad g en el laboratorio, a través de la pendiente de esta curva. IV. Con los datos de la tabla 7.11, encuentre el periodo de oscilación del sistema para cada ángulo de inclinación y realice un gráfico Periodo vs. ángulo. Interprete cualitativamente el comportamiento de esta gráfica. V. Ahora, linealice la gráfica anterior graficando ln ω vs ln cos θ. Realice una regresión lineal para esta curva. VI. Con los datos de la tabla 7.12, grafíque la variación del periodo como función de la distancia del centro de masas d. Interprete cualitativamente el comportamiento de esta gráfica.

Medición

d1 =, I1

=, θ = 5o

Periodo (s)

Tiempo de 10 oscilaciones (s)

1 2 3 4 5 Promedio

Periodo calculado (s)

Cuadro 7.8: Datos para la oscilación del péndulo físico al tener la pesa en el extremo libre de la varilla, con d1 e I1 .

Medición

d2 =, I2

=, θ = 5o

Periodo (s)

Tiempo de 10 oscilaciones (s)

1 2 3 4 5 Promedio

Periodo calculado (s)

Cuadro 7.9: Datos para la oscilación del péndulo físico al tener la pesa recorrida hacia arriba en la varilla, con d2 e I2 .

69

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Fluidos, ondas y temperatura

Medición

d3 =, I3

=, θ = 5o

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Tiempo de 10 oscilaciones (s)

Periodo (s)

1 2 3 4 5 Promedio

Periodo calculado (s)

Cuadro 7.10: Datos para la oscilación del péndulo físico al tener la pesa aún más arriba de la varilla, con d3 e I3 .

Ángulo θ (o )

Periodo T (s)

Frecuencia angular ω (s)

k = I/md (m)

1 10 20 30 40 50 60 70 80 Cuadro 7.11: Variación de los ángulos de oscilación para el péndulo físico.

Medición

Tiempo de 5 oscilaciones (s)

Periodo (s)

Centro de masas (m)

1 2 3 4 5 6 Cuadro 7.12: Variación de los ángulos de oscilación para el péndulo físico.

70

Manual del Estudiante

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7.6.

Fluidos, ondas y temperatura

Preguntas

Debe responder las siguientes preguntas explícitamente en la sección de conclusiones del reporte a entregar.

7.6.1.

Péndulo simple

1. ¿Hasta que ángulo se considera apropiada la aproximación de pequeñas oscilaciones?¿Comó puede medir la precisión de esta aproximación? 2. ¿Cómo se obtiene la solución de la ecuación diferencial del oscilador armónico simple? 3. ¿Qué sucede con el periodo de oscilación del péndulo simple cuando es considerado el segundo orden de aproximación en la serie de Taylor? 4. ¿Qué concluye sobre la dependencia del periodo de oscilación del péndulo con la masa del cuerpo oscilante y la longitud de la cuerda?

7.6.2.

Péndulo físico

5. ¿Cómo afecta el valor de la distancia de la masa el valor del centro de masa? 6. ¿Cómo afecta el valor de la distancia el valor del centro del momento de inercia? 7. ¿Cómo afecta el valor de la distancia el valor del centro de la gravedad?. 8. ¿Qué factores cree que influyeron en las mediciones realizadas? 9. ¿Qué tipo de péndulo de los dos estudiados, es el mejor para realizar una determinación de la aceleración de la gravedad g? ¿Por qué?

71

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Fluidos, ondas y temperatura

72

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8 Práctica 8: Oscilaciones en un sistema masa–resorte

8.1.

Objetivo

El objetivo de esta práctica es que el alumno estudie y comprenda: La dinámica del movimiento armónico simple. El comportamiento de sistemas de masa–resorte.

8.1.1.

Objetivos particulares

Los objetivos particulares a conseguir en la práctica es: Determinar la dependencia del periodo de oscilación en un sistema masa–resorte con los parámetros físicos del sistema. Estudiar las condiciones bajo las cuales el movimiento del sistema masa–resorte puede modelarse como un movimiento armónico simple.

8.2.

Introducción

8.2.1.

El sistema masa–resorte

Después del péndulo simple, el siguiente sistema en simplicidad cuyo movimiento oscilatorio es sencillo de estudiar es el sistema masa–resorte. Este sistema consiste únicamente de una masa unida con un resorte por uno de sus extremos; además el resorte se encuentra en su régimen elástico. Este régimen elástico es aquel donde las deformaciones producidas en el cuerpo son tales que una vez retirada la fuerza externa que las produjo, el cuerpo recupera su forma inicial. La teoría de deformaciones es estudiada por la llamada mecánica de medios continuos, en donde se establece que existen cuatro régimenes claramente diferenciados en las que un cuerpo bajo una tensión se encuentra: a) elasticidad lineal, b) deformación elástica no lineal c) plásticidad y, d) fractura. En el primero de ellos las deformaciones son proporcionales a las tensiones aplicadas, mientras 73

Fluidos, ondas y temperatura

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que en el segundo estás deformaciones ya no son proporcionales a las tensiones aplicadas; para el caso del régimen de plasticidad, el cuerpo ya no recupera su forma inicial, mientras que en el caso de fractura el cuerpo no soporta la tensión aplicada. El resorte es un modelo muy apropiado para la región de elasticidad lineal de los cuerpos; cada resorte está caracterizado por una constante elástica conocida como constante de restitución k o modulo de Hooke. La fuerza restauradora del resorte F, en forma escalar está dada por la relación: F = −kx; (8.1) donde x es el cambio en la longitud del resorte al ser sometido a una tensión. Esta expresión es llamada ley de Hooke en honor al físico que describió esta relación por primera vez. En un sistema de masa–resorte, el resorte al ser sometido a una tensión, produce una fuerza restauradora proporcional y en dirección opuesta al desplazamiento. Esta fuerza genera oscilaciones, las cuales serán armónicas simples si la masa del resorte es despreciable a comparación de la masa m que produce la tensión y si el resorte no es deformado fuera de su régimen de elasticidad lineal. Bajo estas consideraciones podemos determinar el comportamiento de las oscilaciones aplicando la segunda ley de Newton al movimiento de la masa m. Tomando la dirección x como la dirección de las deformaciones tenemos: d2x F = ma = m 2 = −kx, dt

(8.2)

de donde se puede obtener la ecuación diferencial d2x k = − x, 2 dt m la cual no es otra que la ecuación del oscilador armónico: x¨ + ω20 x = 0. En donde, ω20 = k/m es la frecuencia de oscilación del sistema y T = 2π oscilación.

8.2.2.

(8.3) p m/k es el periodo de

Determinación de la constante de recuperación de Hooke

Es posible de manera simple conocer el valor de la constante de recuperación de un resorte k al considerar la ley de Hooke en el caso estático, al considerar a un resorte colocado horizontalmente como se muestra en la FIG. 8.1.a, al conocer la longitud natural del resorte x0 , y si se agrega una masa m, el resorte se elonga a un tamaño x1 ; bajo el supuesto de que la masa del resorte es despreciable, así como la fricción en el mismo, la suma de fuerzas sobre el resorte está dada por: W + F = 0, donde W = mg es el peso de la mas que pende del resorte con g la aceleración de la gravedad, por lo tanto: mg = kx1 ; 74

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de modo que: k=

mg . x1

(8.4)

Figura 8.1: Montaje experimental para determinar la constante de restitución del resorte k. a) El resorte en equilibrio tiene una longitud natural x0 , mientras tanto en b) al ser elongado bajo acción de una masa m, el resorte alcanza una nueva longitud x0 + x1 .

8.3. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

Equipo y Materiales 3 Resortes con diferentes constantes elásticas. Cronometro. Soporte universal. Nuez con gancho. 4 masas cilíndricas. Balanza analítica. Regla de 30 cm. Vernier. Cámara digital y tripie (opcional). Tracker (opcional). 75

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8.4.

Procedimiento

8.4.1.

Determinación de la constante elástica de cada resorte

1. 2. 3. 4. 5.

6.

Escoja alguno de los resortes y mida su longitud natural utilizando el Vernier. Mida la masa de cada una de sus pesas utilizando la balanza analítica. Monte su dispositivo en el soporte universal como se muestra en la FIG. 8.1.a. Coloque una de las pesas en el resorte y espere hasta que alcance el punto de equilibrio; mida la nueva longitud del resorte bajo tensión, tal y como se muestra en la FIG. 8.1.b. Repita el procedimiento anterior con diferentes masas. Si no tiene suficientes masas diferentes, conecte las pesas y utilice la masa combinada como una nueva masa. Es necesario que repita este procedimiento para tener al menos 6 valores de longitud para diferentes masas. Anote sus resultados en la tabla 8.1. Repita los pasos 1–5, para cada uno de sus resortes. Anote sus resultados en las tablas 8.2 y 8.3.

8.4.2.

Dependencia angular de los parámetros físicos del sistema

Nota: Si considera que las oscilaciones son demasiado rápidas para poder medir el periodo en el que se completa una oscilación completa en su sistema masa–resorte, se recomiendo utilizar tracker para una medición más precisa. La desventaja es que al tomar varias mediciones tendrá que analizar muchos vídeos, mismos que en su mayoría serán de longitud considerable.

Figura 8.2: Montaje experimental para la oscilación del sistema masa–resorte. 7.

Para uno de sus resortes, seleccione alguna de las masas disponibles y monte el sistema

76

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como se muestra en la FIG. 8.1.b, espere a que el sistema alcance el equilibrio y enseguida saque el sistema de equilibrio al extender en una distancia pequeña de alrededor de 5 % de la longitud natural del resorte. Deje oscilar el sistema y tome el tiempo total que le toma al sistema completar 5 oscilaciones y encuentre el periodo de cada oscilación. Repita este procedimiento hasta tener 5 tiempos promedio para determinar su periodo de oscilación. Anote sus resultados en la tabla 8.4. Repita los pasos 7–9 con dos diferentes masas oscilantes; llene las tablas 8.5 y 8.6.

8. 9. 10.

8.4.3. 11.

Restricciones para considerar el sistema masa–resorte un oscilador armónico

Seleccione el sistema–masa resorte que tuvo el comportamiento más cercano a un oscilador armónico1 . Saque el sistema de equilibrio al extender en una distancia de alrededor de 30 % de la longitud natural del resorte. Registre el tiempo de 5 oscilaciones. Anote sus resultados en la tabla 8.7. Detenga la oscilación y saque el sistema de equilibrio al extender en una distancia pequeña de alrededor de 5 % de la longitud natural del resorte; registre el tiempo que le toma al sistema realizar 40 oscilaciones, anote sus resultados en la tabla 8.7.

12.

13.

8.5.

Cálculos y resultados

8.5.1.

Determinación de la constante elástica de cada resorte

I. Determine teóricamente el valor de la constante de restitución k1 para el primer resorte y anote sus resultados en la tabla 8.1. II. Con los valores previamente obtenidos, construya una gráfica de peso2 contra longitud bajo tensión (W vs x1 ). III. Realice una regresión lineal sobre sus datos y obtenga la recta aproximante. IV. Con lo anteriore obtenga: La constante de restitución teórica promedio, k1 . La constante de restitución obtenida de la regresión lineal, k1reg . La razón porcentual entre ambas cantidades. V. Repita los pasos I–IV para los dos resortes restantes. 1 Es

decir aquél, con oscilaciones regulares que no presentaba bamboleos y donde el periodo no varia considerablemente a lo largo de sus oscilaciones. 2 Utilice un valor para g que encuentre en la literatura.

77

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Masa m (kg)

Medición

con x0 = 1 2 3 4 5 6

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m

Longitud bajo tensión x1 (m)

Modulo de Hooke teórico k1 (N/m)

Cuadro 8.1: Determinación de la constante de restitución para el resorte 1.

Masa m (kg)

Medición

con x0 = 1 2 3 4 5 6

m

Longitud bajo tensión x1 (m)

Modulo de Hooke k2 (N/m)

Cuadro 8.2: Determinación de la constante de restitución para el resorte 2.

Masa m (kg)

Medición

con x0 = 1 2 3 4 5 6

m

Longitud bajo tensión x1 (m)

Modulo de Hooke k3 (N/m)

Cuadro 8.3: Determinación de la constante de restitución para el resorte 3.

78

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8.5.2.

Fluidos, ondas y temperatura

Dependencia angular de los parámetros físicos del sistema

Nota: Para los cálculos de esta sección, utilice la constante de restitución del resorte seleccionado que obtuvo a partir de la regresión lineal que llevo a cabo en la primera parte. VI. Con los datos datos de la tabla 8.4, determine el promedio del periodo de oscilación del sistema masa–resorte y comparelo con el valor calculado. Calcule el error porcentual entre ambos valores. VII. Realice las siguientes gráficas: Periodo contra las masas m1 , m2 , m3 (T vs. m) Periodo contra constante de recuperación (T vs k). Obtenga conclusiones a partir de estas gráficas. VIII. Repita los pasos VI y VII para los datos de las tablas 8.5 y 8.6.

Medición

con k = y m1 =

Periodo (s)

Tiempo de 5 oscilaciones (s)

1 2 3 4 5 Promedio

Periodo calculado (s)

Cuadro 8.4: Datos para la oscilación del resorte de constante k del cual pende una masa m1 .

Medición

con k = y m2 =

Periodo (s)

Tiempo de 5 oscilaciones (s)

1 2 3 4 5 Promedio

Periodo calculado (s)

Cuadro 8.5: Datos para la oscilación del resorte de constante k del cual pende una masa m2 .

8.5.3.

Restricciones para considerar el sistema masa–resorte un oscilador armónico

Nota: Para los cálculos de esta sección, utilice la constante de restitución del resorte seleccionado que obtuvo a partir de la regresión lineal que llevo a cabo en la primera parte. 79

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Fluidos, ondas y temperatura Medición

con k = y m3 =

Dr. Lenin Francisco Escamilla Herrera Tiempo de 5 oscilaciones (s)

Periodo (s)

1 2 3 4 5 Promedio

Periodo calculado (s)

Cuadro 8.6: Datos para la oscilación del resorte de constante k del cual pende una masa m3 . IX. A partir de los datos recabados sobre las restricciones para considerar el sistema masa– resorte como un oscilador armónico, obtenga el periodo sobre cada una de las deformaciones porcentuales. X. Calcule: El periodo utilizando el modulo de Hooke k y el valor de la masa que pende del resorte m. El error porcentual entre el periodo calculado y cada uno de los periodos medidos. XI. Analice que aproximación se esta violando o que condición física deja de cumplirse y como se ve esto reflejado en los porcentajes de error entre el periodo de oscilación del sistema masa–resorte determinado experimentalmente y el predicho por el modelo de pequeñas oscilaciones. Deformación

con m = y k = 5% 30 %

Tiempo de 40/5 oscilaciones (s)

Periodo (s) Periodo calculado (s)

Cuadro 8.7: Determinación de la constante de restitución para el resorte 3.

8.6.

Preguntas

Debe responder las siguientes preguntas explícitamente en la sección de conclusiones del reporte a entregar. 1. ¿Qué consideraciones son necesarias para asumir que el sistema masa–resorte se comporta como un sistema que realiza oscilaciones armónicas simples? 2. ¿Por qué una fuerza directamente proporcional y en dirección opuesta al desplazamiento produce un m.a.s? 3. ¿Comó son las curvas de energía cinética y energía potencial como función del desplazamiento para la masa oscilante?

80

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9 Práctica 9: Oscilaciones armónicas amortiguadas

9.1.

Objetivo

El objetivo de esta práctica es que el alumno estudie y comprenda: La dinámica de las oscilaciones armónicas amortiguadas.

9.1.1.

Objetivos particulares

Los objetivos particulares a conseguir en la práctica es: Determinar la dependencia del periodo de oscilación en un sistema masa–resorte con los parámetros físicos del sistema al ser sometido a una fuerza de fricción.

9.2.

Introducción

En las prácticas previas sobre el oscilador armónico hemos supuesto que no existen fuerzas de fricción actuando sobre el oscilador; esta hipótesis implica que, por ejemplo en el caso de un péndulo simple la masa oscilaría perpetuamente sin ninguna intervención una vez comenzado su movimiento armónico. Sin embargo, es obvio que esto es solo una idealización, ya que cualquier sistema físico real sufre una pérdida continua de energía como consecuencia de su interacción con el medio que lo contiene. Esta interacción se pueden identificar de manera genérica con la fricción. El efecto que la fricción produce sobre el oscilador armónico es una progresiva y gradual disminución en la amplitud de la oscilación, hasta que esta se detiene completamente; este efecto es llamado amortiguamiento y el tipo de movimiento armónico que está caracterizado por este efecto es llamado movimiento armónico amortiguado. Si se estudia el caso particular de un sistema masa–resorte como el utilizado en la práctica 8, para este sistema podemos analizar la suma de fuerzas actuando sobre el cuerpo cuando está presente el amortiguamiento, a partir de la segunda ley de Newton, i.e. ∑ ~F = m~a. Considerando que el resorte tiene una constante de restitución k, de modo que la fuerza restauradora que actúa sobre él es: −k~x; mientras que la fuerza disipativa puede ser modelada de diversas maneras. En este caso supondremos que esta fuerza es proporcional a la velocidad con 81

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la que se mueve el sistema, es decir: −b~v; donde b es una constante positiva que depende de las propiedades del ente que provoque el amortiguamiento; por ejemplo en el caso de que se utilice un fluido tal y como se muestra en la FIG. 9.1, la constante dependerá de las propiedades de este, tal como la densidad, su viscosidad y asimismo, de la forma y dimensiones del objeto sumergido.

Figura 9.1: Sistema masa–resorte con un embolo sumergido en un fluido, mismo que provoca el amortiguamiento del movimiento armónico.

Aplicando la segunda ley de Newton a este sistema unidimensional, se tiene: −kx − bvx = max

(9.1)

lo cual puede ser escrito como, d2x dx + b + kx = 0; dt 2 dt lo que no es otra cosa que la ecuación diferencial del oscilador armónico amortiguado: m

x¨ + 2γx˙ + ω20 x = 0.

(9.2)

Donde ω20 = k/m es la frecuencia angular natural del oscilador y γ = b/2m es el factor de amortiguamiento. Es posible probar que la ecuación (9.2) tiene una solución1 de la forma, x(t) = Ae−γ·t cos(ω1t + δ),

(9.3)

con A la amplitud del movimiento periódico y ω21 = ω20 − γ2 . El factor Ae−γ·t representa la amplitud del movimiento. Es posible distinguir 4 casos diferentes para la frecuencia ω1 de este oscilador: 1 Esta

82

√ solución es válida para b ≤ 2 km.

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1. γ = 0; oscilación armónico sin fricción. 2. γ < ω0 ; amortiguamiento débil. 3. γ > ω0 ; sobreamortiguamiento. 4. γ = ω0 ; críticamente amortiguado. El primer caso mostrado es simplemente el oscilador armónico usual; mientras que para los tres restantes casos que se muestran en la FIG 9.2, la amplitud del movimiento decae con el tiempo; cada uno de diferentes maneras. Para el amortiguamiento débil, como el mostrado en la FIG. 9.2.b, la amplitud del movimiento decae exponencialmente a cero, el movimiento oscilatorio tiene una envolvente dada por las curvas ±A exp[−γt]; mientras que para el tercer caso, ilustrado en FIG. 9.2.b, no existe oscilación y la masa retorna al punto inicial en un tiempo teóricamente infinito. El cuarto y último caso corresponde al movimiento críticamente amortiguado y es ilustrado en la FIG. 9.2.c; para este movimiento el desplazamiento tiende a cero exponencialmente, pero sin oscilación. Este tipo de amortiguamiento es utilizado comúnmente en la industria y la ingeniería al diseñar sistemas en los cuales se desea que las oscilaciones desaparezcan en el menor tiempo posible.

Figura 9.2: Curvas para el a)movimiento armónico amortiguado, b) movimiento armónico sobreamortiguado y c) movimiento armónico críticamente amortiguado.

La llamada vida media de la oscilación τ, es el tiempo que tarda la amplitud de la oscilación en decaer en 1/e de su valor inicial; se puede demostrar que para la oscilación críticamente amortiguada τ = 1/ω0 y es la menor de los 3 casos donde hay amortiguamiento. Otro punto de discusión importante es como disminuye la energía en el sistema, por acción de la fuerza disipativa ~Fd = −b~v. En el caso del amortiguamiento pequeño2 , se puede aproximar el valor instantáneo de la energía E, mediante la ecuación para el oscilador armónico: 1 1 1 2 E = K +U = mv2 + kx2 = kxm ; 2 2 2 2 Es

(9.4)

decir, cuando ω1 ≈ ω0 .

83

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donde K = 1/2mv2 es la energía cinética, la cual es cero en el desplazamiento máximo, ya que el sistema deja de moverse. Mientras que en la posición de equilibrio, la energía potencial será 2 , con x la amplitud del movimiento. 1/2kxm m En el caso del las oscilaciones amortiguadas de forma pequeña, la amplitud xm se reemplaza por el valor instantáneo de la amplitud A exp[−γ · t], por lo cual, 1 1 E = k[A exp(−γ · t)]2 = kA2 exp[−bt/m]. 2 2

(9.5)

Figura 9.3: Envolvente del movimiento armónico débilmente amortiguado con una fase δ = 0.

9.3. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.

9.4. 1.

Equipo y Materiales Hilo delgado inextensible3 . Vaso de precipitado de plástico de al menos 250 ml de capacidad. 1 Resorte. Soporte universal. Nuez con gancho. 4 masas cilíndricas. Balanza analítica. Regla de 30 cm. Vernier. 350 ml de Agua. Cámara digital y tripie. Tracker y computadora.

Procedimiento Determine la constante elástica del resorte mediante el procedimiento explorado en la práctica 8. Es decir:

3 Preferentemente

84

hilo cañamo.

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e)

2.

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Mida la longitud natural del resorte utilizando el Vernier. Mida la masa de cada una de sus pesas utilizando la balanza analítica. Monte su dispositivo en el soporte universal como se muestra en la FIG. 8.1.a. Coloque una de las pesas en el resorte y espere hasta que alcance el punto de equilibrio; mida la nueva longitud del resorte bajo tensión, tal y como se muestra en la FIG. 8.1.b. Repita el procedimiento anterior con diferentes masas. Si no tiene suficientes masas diferentes, conecte las pesas y utilice la masa combinada como una nueva masa. Es necesario que repita este procedimiento para tener al menos 6 valores de longitud para diferentes masas. Anote sus resultados en la tabla 9.1.

Una vez realizada la medición para determinar la constante de restitución del cuerpo, seleccione una de sus masas cilíndricas y utilizando el hilo inextensible, ate el extremo superior de la masa con el extremo inferior del resorte; verifique que la longitud del hilo sea de al menos 5 cm, tal y como se muestra en la FIG. 9.4.a.

Figura 9.4: Montaje experimental para el sistema masa–resorte amortiguado a) Resorte atado con el hilo a la masa b) El sistema es puesto a oscilar con la masa sumergida en el fluido. 3. 4. 5. 6.

Llene 2/3 del vaso de precipitados con agua. Sumerja la masa colgante en el vaso de precipitado tal y como se muestra en la FIG. 9.4.b, tenga cuidado de que el resorte no toque el líquido. Con cuidado, haga oscilar el sistema al elongar el resorte en máximo un 20 % de su longitud natural. Al mismo tiempo capture el vídeo del evento hasta que el resorte se detenga para su 85

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análisis con el software tracker4 . Masa m (kg)

Medición

con x0 = 1 2 3 4 5 6

m

Longitud bajo tensión x (m)

Modulo de Hooke teórico k (N/m)

Cuadro 9.1: Determinación de la constante de restitución para el resorte.

Cuadro

Tiempo t (s)

Posición x (m)

0 1 2 3 .. .

0/ f 1/ f 2/ f 3/ f .. .

.. .

n

n/ f

Energía E (J)

Cuadro 9.2: Datos relativos al movimiento amortiguado para el agua.

Medición

Tiempo t (s)

1 2 3 4 .. .

.. .

Amplitud máx. A (m)

n Cuadro 9.3: Datos de la amplitud máxima para el agua.

9.5.

Cálculos y resultados

I. Siga el procedimiento de la práctica 8 para obtener la constante de restitución del sistema, es decir: Determine teóricamente el valor de la constante de restitución k para el resorte y anote sus resultados en la tabla 9.1. 4 Es

recomendable que tome un par de vídeos adicionales solo por precaución en caso de que la masa sea difícil de rastrear en tracker.

86

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Con los valores previamente obtenidos, construya una gráfica5 W vs x1 y realice la regresión lineal sobre estos datos. Obtenga la constante de restitución teórica promedio, k; la constante de restitución obtenida de la regresión lineal, k1reg y la razón porcentual entre ambas cantidades. No olvide que debe utilizar el valor de la constante k obtenido de la regresión lineal en sus cálculos posteriores. II. Utilizando el software de análisis de vídeo tracker, obtenga la posición de la masa en cada uno de los cuadros que tomo en el vídeo, así como los valores de la energía instantanea. Anote sus resultados en la tabla 9.2, recuerde que debe determinar el tiempo transcurrido entre cada cuadro al dividir el numero de cuadro entre el framerate de la cámara6 . III. Construya la gráfica de posición vs el tiempo. Es conveniente colocar el origen de coordenadas a la mitad de la distancia de la máxima oscilación. IV. Con ayuda de la tabla 9.2 y la gráfica de posición contra el tiempo encuentre los puntos que marcan los valores de la amplitud máxima en cada oscilación para construir la envolvente de la oscilación amortiguada; anote sus resultados en la tabla 9.3. V. Con los valores obtenidos en el punto anterior, construya la gráfica de la envolvente al gráficar amplitud máxima vs tiempo, realice una regresión exponencial para determinar el valor de la constante de disipación b correspondiente al agua, no olvide anotar este valor en su reporte. VI. Con los datos de la tabla 9.2 construya la gráfica de la energía vs el tiempo.

9.6.

Preguntas

Debe responder las siguientes preguntas explícitamente en la sección de conclusiones del reporte a entregar. 1. ¿Qué fluido tiene la mayor constante de disipación?¿Por qué? 2. ¿Por qué es importante que los amortiguadores de los automóviles presenten un movimiento críticamente amortiguado? 3. ¿Qué otros ejemplos de sistemas con oscilaciones amortiguadas conoce? Mencione al menos 3 de ellos. 4. ¿Cómo podría plantear el mismo experimento para un péndulo?

5 Utilice

un valor para g que encuentre en la literatura.

6 Sí la tabla es demasiado grande en el reporte solo incluya los valores máximos y mínimos de la amplitud, pero

SI debe usar todos los valores en sus calculos.

87

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88

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10 Práctica 10: Ondas estacionarias y el tubo de Kundt

10.1.

Objetivo

El objetivo de esta práctica es que el alumno consiga desarrollar: El estudio de ondas mecánicas estacionarias.

10.1.1.

Objetivos particulares

Los objetivos particulares a conseguir en la práctica es: Estudio de ondas longitudinales (acústicas) estacionarias. Análisis del perfil de amplitudes alrededor de una frecuencia de resonancia. Comparación de las ondas estacionarias en el tubo cerrado y abierto por un extremo. La determinación de la velocidad del sonido en el aire y comparación con el valor esperado.

10.2.

Introducción

El concepto de onda estacionaria surge al considerar el caso cuando dos ondas viajeras cuyas componentes amplitud y frecuencia son iguales entre ellas, pero ambas se mueven en direcciones opuestas. De este modo, una onda estacionaria se forma por la interferencia de dos ondas de la misma naturaleza con igual amplitud, longitud de onda o frecuencia, y que avanzan en sentido opuesto a través de un medio; en concreto, tienen una diferencia de fase correspondiente a media longitud de onda. Las ondas estacionarias, permanecen confinadas en un espacio definido, como lo es por ejemplo, una cuerda, un tubo con aire o una membrana. La amplitud de la oscilación para cada punto depende de su posición, la frecuencia es la misma para todos y coincide con la de las ondas que interfieren. 89

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De la superposición de estas ondas resulta una característica particular: existen ciertos puntos a lo largo del medio llamados nodos, en los cuales el desplazamiento es nulo en todo momento; además existen otros puntos entre los nodos, en los cuales se tiene una amplitud de vibración máxima y se tiene asimismo una energía máxima, estos puntos son llamados antinodos; la distancia que separa dos nodos o dos antinodos consecutivos es λ/2, donde λ es la longitud de onda.

Figura 10.1: Representación de una onda estacionaria, en la que se muestran los nodos y los antinodos. El nombre de onda estacionaria proviene de la aparente inmovilidad de los nodos.

Se puede considerar que las ondas estacionarias no son ondas de propagación sino los distintos modos del medio donde se propaga la onda, como lo es la cuerda, el tubo con aire, la membrana, etc. Para un medio determinado, sólo hay ciertas frecuencias a las que se producen ondas estacionarias, estas son llamadas frecuencias de resonancia. La más baja se denomina frecuencia fundamental, el resto de las frecuencias de resonancia, tambien llamados armónicos es un múltiplo entero de esta frecuencia fundamental. Pasemos ahora a analizar matemáticamente a la onda estacionaria. Considerando las ecuaciones que describen a las dos ondas que viajan por el medio en direcciones opuestas, pero con la misma amplitud y longitud de onda, y1 (x,t) = ym sin(kx − ωt), y2 (x,t) = ym sin(kx + ωt).

(10.1a) (10.1b)

donde k = 2π/λ es el número de onda y ω = 2π/T = 2πν es la frecuencia angular; además λ es la longitud de onda, T el periodo y ν es la frecuencia de la onda. De este modo, la onda superpuesta está dada por : y(x,t) = y1 (x,t) + y2 (x,t) = ym [sin(kx − ωt) + sin(kx + ωt)];

(10.2)

utilizando la propiedad trigonométrica, sin A + sin B = 2 sin 21 (A + B) cos 12 (A − B) se obtiene la ecuación de una onda estacionaria: y(x,t) = [2ym sin kx] cos ωt.

(10.3)

Donde el factor [2ym sin kx] es la amplitud de la onda, puesto que esta no es dependiente del tiempo. Esta ecuación no representa una onda viajera, ya que una característica de estas es que aparezca la combinación x ± vt. 90

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Figura 10.2: Armónicos sucesivos de una onda estacionaria. Para conocer los puntos donde se forman los nodos o los antinodos en una onda estacionaria, podemos buscar aquellos valores en los que la amplitud de la onda sea un máximo en el caso de los antinodos o un mínimo en el caso de los nodos. El valor máximo de la amplitud se encuentra cuando está vale 2ym , puesto que el valor máximo del seno es la unidad. Además, es necesario recordar que el valor máximo de la función seno se alcanza cuando el argumento de la función es (2n + 1)π/2 para n = 0, 1, 2, . . . ; de manera que la amplitud es máxima cuando, π 3π 5π kx = , , , . . . 2 2 2 o bien en términos de la longitud, λ 3λ 5λ x = , , ,...; (10.4) 4 4 4 estos son los puntos donde se pueden localizar los antinodos de la onda estacionaria, es de notar que la distancia que separa a cada antinodo del adyacente, como se había mencionado antes, es λ/2. Mientras que el caso de los nodos, el mínimo de la función seno se presenta cuando el argumento de la función es nπ para n = 1, 2, 3, . . . ; por lo cual los nodos están localizados en: kx = π, 2π, 3π, . . . o bien en términos de la longitud, 3λ λ x = , λ, , . . . ; (10.5) 2 2 asimismo los nodos están separados a una distancia de λ/2. Como podemos ver de las relaciones (10.4) y (10.5), la distancia entre un nodo y un antinodo adyacente es siempre λ/4. 91

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10.2.1.

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El tubo de Kundt/Rubens

Un método para producir ondas estacionarias de manera sencilla es a través de un dispositivo conocido como tubo de Kundt. El tubo de Kundt es un cilindro largo y estrecho en el que se pueden generar sonidos si se hace vibrar la columna de aire de su interior. Una perturbación inicial hace propagarse una onda longitudinal que desplaza a las moléculas alrededor de su posición de equilibrio. Esto origina una variación de la presión a lo largo del tubo. Hay zonas donde hay una presión en exceso (compresión) y otras en las que hay baja presión (enrarecimiento). Al llegar a un extremo del tubo, sea abierto o cerrado, la onda se reflejará, interferirá con la incidente y formará ondas estacionarias para determinadas frecuencias propias. Cabe indicar que se aproxima la columna de aire como unidimensional, sin tener en cuenta efectos de volumen y contorno lateral.

Figura 10.3: Presentación de la frecuencia fundamental y los siguientes 3 armónicos en el tubo de Kundt.

Este dispositivo puede tener cerrado o abierto uno de los extremos del tubo; en el caso de que la onda llegue a un extremo cerrado del tubo, en ese punto el desplazamiento de las partículas ha de ser siempre nulo, y se producirá una reflexión de la onda con inversión de fase que interferirá con la onda incidente. En el caso de que se forme una onda estacionaria, tendremos un nodo para la onda de desplazamiento y un antinodo para la onda de presión. En nuestro caso, no estudiaremos tubos con extremos abiertos, baste con mencionar que en este caso la reflexión es más compleja y está relacionada con la estrechez del tubo utilizado; en nuestro caso de interés, es decir el tubo con ambos extremos cerrados, cuando se forma una onda estacionaria hay un nodo en ambos extremos, con lo que el modo fundamental será un solo antinodo en el centro del tubo. Por tanto, la longitud del tubo corresponderá a una semilongitud de onda. El modo armónico siguiente tendrá tres nodos y dos antinodos, con lo que la longitud del tubo corresponderá a tres semilongitudes de onda, y así sucesivamente. Se puede relacionar, por 92

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tanto, la longitud de onda con el número de nodos (incluidos los extremos): L=

nλ ; 2

para

n = 1, 2, 3, . . .

(10.6)

La situación del tubo cerrado en ambos extremos está representada para los primeros 3 armónicos en la FIG. 10.3. Sin embargo, en todos los casos arriba presentados, la longitud de onda depende de la velocidad de propagación de la onda v y la frecuencia ν, con lo que conociendo la longitud del tubo y la frecuencia, es posible calcular la velocidad de propagación a través de la relación usual, ν=

nv v = . λ 2L

(10.7)

En este experimento se considerá el uso de una variante del tubo de Kundt, el llamado tubo de Rubens, el cual consta de un tubo de metal con un numero de perforaciones, el tubo se conecta a una alimentación de gas LP por un extremo, mientras que en el otro extremo se coloca una bocina o amplificador conectada con un generador de funciones. Una representación del tubo de Rubens, se muestra en la FIG. 10.4.

Figura 10.4: Montaje experimental usando el tubo de Rubens.

10.3. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

Equipo y Materiales Tubo de Kundt/Rubens. Nivel. 2 Soportes para el tubo. Generador de funciones. Manguera de latex. Flexómetro. Encendedor. 93

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10.4.

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Procedimiento

Nota importante: Ya que utilizará fuego y gas LP, por favor tenga mucho cuidado al manipular el dispositivo; no se acerque a la flama y tenga precaución para no tocar directamente el dispositivo cuando se encuentre encendido y a una temperatura alta. Procure que al menos una ventana del laboratorio se encuentre abierta, pero que no sea alguna que pueda afectar directamente sus observaciones. 1. 2. 3. 4.

5. 6.

7.

Mida la longitud del tubo y mida la longitud de la sección del tubo que contiene los orificios. Monte el sistema como se muestra en la FIG. 10.4, asegure bien el tubo a las bases con sus respectivos tornillos, las cuales deben ser colocadas en ambos extremos del tubo1 . Verifique que el tubo esté perfectamente horizontal para asegurar que la salida del gas sea uniforme. Abra la alimentación del gas solo una parte y encienda cada uno de los orificios del tubo. Procure que la salida de gas sea uniforme a lo largo del tubo y que las llamas no sean demasiado altas. Encienda el generador de funciones, debe verificar que el generador este programado para emitir ondas sinusoidales. En el rango de frecuencias audibles por el ser humano (20–20000 Hz), varíe la frecuencia con el generador de funciones hasta hallar las frecuencias armónicas2 . Anote estas frecuencias en la tabla 10.1. Con precaución, mida la distancia entre nodos para obtener la longitud de onda (Recuerde que la distancia entre nodo y nodo es λ/2). Anote sus resultados en la tabla 10.1.

Armónico n

Frecuencia ν (Hz)

1 2 3 4 .. .

.. .

Longitud de onda λ (m)

Cuadro 10.1: Datos de las frecuenncias resonantes en el tubo de Rubens.

10.5.

Cálculos y resultados

I. Obtenga el correspondiente valor del número de armónico n para cada uno de las frecuencias resonantes utilizando el valor de λ y la longitud del tubo. Anote sus resultados en la tabla 10.1. 1 Por debajo de las 2 bases y a lo largo del tubo debe colocar tablas para evitar que la mesa de trabajo se deforme

por acción del calor. 2 Por la construcción del dispositivo no es seguro que pueda encontrar demasiados armónicos, aún así intente encontrar al menos 3 de ellos.

94

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Fluidos, ondas y temperatura

II. En la tabla 10.2 anote los valores de λ, 1/λ y ν. III. Calcule los valores de la velocidad del sonido para cada frecuencia resonante y su longitud de onda correspondiente y encuentre el valor promedio de esta. Anote sus resultados en la tabla 10.2. IV. Construya una gráfica de la frecuencia contra el inverso de la longitud de onda (ν vs 1/λ) y realice una regresión lineal para obtener la pendiente, la cual corresponde con la velocidad del sonido. V. Obtenga el error relativo porcentual entre el promedio calculado y el valor obtenido con la regresión lineal. VI. Construya una gráfica de la frecuencia contra la longitud de onda (ν vs λ). Longitud de Onda

λ (m)

1/λ (m−1 )

Frecuencia

ν (Hz)

Velocidad del sonido calculada vson (m/s)

vson (m/s) Cuadro 10.2: Datos para determinar la velocidad del sonido en el tubo de Kundt.

10.6.

Preguntas

Debe responder las siguientes preguntas explícitamente en la sección de conclusiones del reporte a entregar. 1. ¿Qué ocurriría si el tubo tuviese un embolo móvil? 2. Describa a detalle la diferencia en el experimento del tubo de Kundt si este estuviese abierto por un extremo. 3. ¿Cambia la velocidad del sonido con la temperatura del aire? 4. ¿Por qué la velocidad del sonido en un sólido es mayor que en el aire? 5. ¿Comó podría mejorar el dispositivo utilizado (tubo de Rubens) para obtener un número mayor de armónicos? 6. ¿Qué relación existe entre ciertos instrumentos musicales como lo son las flautas o guitarras, con las ondas estacionarias? 7. ¿Qué fenómeno cree usted que observaría si en lugar de utilizar un generador de funciones, emplea melodías musicales basadas en un solo instrumento? 8. ¿Por qué son relevantes las ondas estacionarias en el mundo cotidiano? 9. ¿Cuál es la importancia de las ondas estacionarias en la construcción y en la aeronáutica? 10. ¿Cómo se relaciona el tubo de Rubens con la llamada Sound Sculpture?

95

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Fluidos, ondas y temperatura

96

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Parte III Tercera parte: Fenómenos Térmicos

97

11 Práctica 11: Ley de enfriamiento de Newton

11.1.

Objetivo

El objetivo de esta práctica es que el alumno consiga desarrollar: El estudio del cambio de la temperatura de las sustancias mediante la ley empírica propuesta por Newton.

11.1.1.

Objetivos particulares

Los objetivos particulares a conseguir en la práctica es: Estudio de la medición del cambio del agua en función del tiempo, cuando ésta se enfría libremente desde una temperatura mayor que la temperatura ambiente. Estudio de la transferencia convectiva del calor en fluidos.

11.2.

Introducción

11.2.1.

Transferencia convectiva del calor

La transferencia convectiva del calor, usualmente llamada solo convección, es la transferencia de calor de un lugar a otro por el movimiento de fluidos. El mecanismo de convección es la forma dominante de transferencia de calor en líquidos y gases; la convección involucra los procesos combinados de conducción (difusión de calor) y advección (es decir, transferencia de calor por medio del flujo de un fluido en bulto). La convección puede ser forzada por el movimiento de un fluido por medios diferentes al empuje hidróstatico1 , por ejemplo, el bombeo de agua como enfriador en el motor de un automóvil. La expansión térmica de los fluidos también puede forzar la convección. En otros casos, el empuje hidrostático natural de los fluidos es el único responsable del movimiento dentro del fluido cuando el fluido es calentado; este proceso es llamado convección natural. 1 También

llamada fuerza boyante.

99

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En la convección natural, un incremento en la temperatura produce una reducción en la densidad, la cual en consecuencia produce un movimiento en el fluido debido a la presión causada cuando fluidos de diferentes densidades son afectados por la atracción gravitacional. Por ejemplo al calentar agua en una estufa, el agua caliente del fondo del recipiente asciende, desplazando al líquido frío más denso, el cual cae al fondo. Cuando el calentamiento se detiene, el mezclado y la conducción de esta convección natural, resulta en una casi homogénea densidad, e inclusive casi homogeneidad en la temperatura. En ausencia de fuerzas gravitacionales, esta convección natural no ocurre. La transferencia de calor convectiva se compone de un mecanismo; además de la transferencia de energía debida al movimiento molecular específico (es decir, difusión), la energía es transferida por el movimiento en bulto2 del fluido. Este movimiento se asocia con el hecho de que en cada instante de tiempo, un gran número de moléculas se mueven colectivamente, también llamados agregados; tal movimiento, cuando se da en presencia de un gradiente de temperatura, contribuye a la transferencia de calor. Dado que las moléculas en agregados retienen su movimiento aleatorio, el calor transferido total se debe entonces a la superposición del transporte de energía por el movimiento aleatorio de las moléculas por el movimiento en bulto del fluido. Se acostumbra a usar el término convección cuando se hace referencia a este transporte acumulativo y el término advección cuando se habla del transporte debido al movimiento en bulto del fluido.

Figura 11.1: Simulación computacional de la convección térmica. Una capa de material caliente (en rojo), menos densase mueve hacia arriba, mientras que el material frío (en azul) se mueve hacia abajo. Esta imagen es tomada de un modelo de la convección en el manto de la tierra.

11.2.2.

Ley de enfriamiento de Newton

El enfriamiento convectivo es a veces llamado ley de enfriamiento de Newton, en aquellos casos donde el coeficiente de transferencia de calor es independiente o relativamente independiente de la diferencia de temperatura entre el cuerpo y el entorno; lo cual no siempre es cierto. La ley de enfriamiento de Newton, que requiere un coeficiente de transferencia de calor, establece que la tasa de perdida de calor de un cuerpo es poroporcional a la diferencia de temperatura entre el cuerpo y su entorno. 2 Es

100

decir, macroscópico.

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La ley de enfriamiento de Newton es una solución a la ecuación diferencial que describe la ley de Fourier3 , también conocida como ley de conducción del calor; esta ley establece que la tasa de calor transferido Qtrans a través de un material es proporcional al negativo del gradiente de la temperatura y al área. en ángulos rectos a ese gradiente a través del cual fluye el calor. En su forma diferencial, puede ser escrita como: dQtrans = hA[T (t) − Tent ] = hA∆T (t); dt

(11.1)

donde Qtrans es el calor transferido o energía térmica, h es el coeficiente de calor transferido (el cual se asume independiente de T ), A es el área de la superficie donde se transfiere el calor; T (t) es la temperatura de la superficie y el interior del cuerpo la cual cambia en el tiempo, Tent es la temperatura del entorno, medida a una distancia prudente del cuerpo bajo estudio; y ∆T (t) = T (t) − Tent es el gradiente térmico entre el entorno y el objeto. Esta ecuación puede ser rescrita para medir el gradiente de temperatura entre el entorno y el cuerpo con el cambio de temperatura respecto al tiempo, de este modo, dT (t) = k[T (t) − Tent ] = k∆T (t); dt

(11.2)

con k una constante. La solución a esta ecuación diferencial está dada por: ∆T (t) = ∆T (t = 0) exp[−kt].

(11.3)

En donde ∆T (t = 0) = T (t = 0)−Tent es el gradiente de temperatura entre el cuerpo y el entorno al tiempo t = 0.

11.3. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

Equipo y Materiales Un vaso de precipitados de vidrio de 250 ml. Termómetro. Cronómetro. Mechero de Bunsen. Manguera de latex. Anillo de hierro. Malla de Asbesto. Pinzas. Soporte Universal. Agitador de vidrio.

11.4.

Procedimiento

Nota importante: Ya que utilizará fuego y gas LP, por favor tenga mucho cuidado al manipular el vaso de precipitados; no se acerque a la flama y tenga precaución para no tocar directamente el vaso de precipitados cuando se encuentre sobre la flama y a una 3 La

muy conocida ley de Ohm es el análogo eléctrico de la ley de Fourier.

101

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temperatura alta utilice en su lugar las pinzas. Procure que al menos una ventana del laboratorio se encuentre abierta, pero que no sea alguna que pueda afectar directamente sus observaciones.

Figura 11.2: Montaje experimental para comprobar el enfriamiento del agua. 1.

2. 3.

4. 5. 6.

102

Vierta 200 mililitros de agua en el vaso de precipitados y caliéntela con el mechero de Bunsen bajo el soporte universal utilizando el anillo de hierro y la malla de asbesto tal y como se muestra en la FIG 11.2. Espere hasta que el agua alcance aproximadamente 80 grados Celsius, Utilice el agitador periodicamente para revolver con cuidado el agua dentro del vaso para que la temperatura de esta sea uniforme. Una vez que el agua dentro del vaso alcance la temperatura deseada apague el mechero y coloque el vaso en un lugar donde las condiciones sean uniformes, es decir que no haya cambios bruscos de temperatura o demasiado viento. Utilice una tabla con azulejo para evitar quemar la mesa. Al mismo tiempo, mida la temperatura del medio ambiente Tent . Utilizando el termómetro que el profesor tendrá en su poder en el centro del laboratorio. Enseguida, mida la temperatura inicial del agua T (t = 0), simultáneamente ponga a funcionar el cronómetro. Esa será la temperatura inicial del agua para el tiempo t = 0. Deje correr el cronómetro y mida el tiempo t que le toma al agua alcanzar los 75, 70, 65, 60, 55, 50, 45, 40 y 35 grados Celsius. No es estrictamente necesario que la medición se lleve a cabo de cinco en cinco grados, solo recuerde reportar el valor exacto que usted obtuvo. Anote los correspondientes tiempo para cada temperatura T (t) en la tabla 11.1. No detenga en ningún momento el cronómetro, si tiene disponible la función de tiempo parcial en el cronometro de su smartphone utilícela para marcar el tiempo de manera precisa.

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Dr. Lenin Francisco Escamilla Herrera Medición

con Tent = 1 2 3 4 5 .. .

Tiempo t (s)

Fluidos, ondas y temperatura

Temperatura

T (t)

.. .

(o C)

∆T (t) = T (t) − Tent (o C) ∆T (t = 0) =

.. .

.. .

ln[∆T (t)] kcalc (ln[o C])

.. .

.. .

n Cuadro 11.1: Datos de la temperatura y el tiempo para el enfriamiento del agua.

11.5.

Cálculos y resultados

I. Llene la tabla 11.1 con los valores de tiempo, temperatura del agua y diferencia de temperatura. II. Con estos datos determine el valor de la constante kcalc y anote el resultado obtenido en la tabla 11.1. III. Obtenga el valor promedio de la constante kcalc y su desviación estandar δkcalc . IV. Obtenga la gráfica de la diferencia de temperatura contra el tiempo (∆T (t = 0) vs t). Realice la regresión exponencial correspondiente y obtenga el valor de la constante kexp . V. Calcule el error entre el promedio de la constante kcalc y la obtenida de la regresión exponencial kexp . VI. Obtenga la gráfica del logaritmo de la diferencia de temperatura contra el tiempo (ln[∆T (t = 0)] vs t). Realice la regresión lineal correspondiente y obtenga el valor de la constante klog . VII. Calcule el error entre el promedio de la constante kcalc y la obtenida de la regresión lineal klog .

11.6.

Preguntas

Debe responder las siguientes preguntas explícitamente en la sección de conclusiones del reporte a entregar. 1. ¿Qué pasa con los intervalos de tiempo conforme la sustancia se aproxima a la temperatura ambiental? 2. ¿Cómo explica el comportamiento anterior? 3. Con los resultados encontrados en forma gráfica, ¿en qué tiempo la temperatura del agua alcanzará la temperatura del medio ambiente? 103

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4. ¿De qué factores depende el valor de k? 5. El agua se enfría porque está transfiriendo energía en forma de calor al medio ambiente ¿Cuáles son las formas concretas mediante la cual se da esa transferencia? 6. Si se empleara un calorímetro, ¿gráficamente cómo sería el comportamiento que tendría? ¿Cómo sería el valor de k en comparación con la obtenida con la del agua? 7. Considere la siguiente situación hipotética: Al tener prisa, tenemos 5 minutos para salir de casa y el café está muy caliente, ¿qué podemos hacer para acelerar el enfriamiento del café: echar leche fría primero y esperar cinco minutos antes de tomarlo, o esperar 5 minutos antes de añadir la leche fría?

104

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12 Práctica 12: Dilatación lineal

12.1.

Objetivo

El objetivo de esta práctica es que el alumno comprenda: El comportamiento de los sólidos al presentarse cambios en la temperatura.

12.1.1.

Objetivos particulares

Los objetivos particulares a conseguir en la práctica es: El fenómeno de la dilatación térmica que se presenta en los sólidos al aumentar la temperatura en este.

12.2.

Introducción

Antes de hablar acerca de la expansión o dilatación térmica es conveniente hablar un poco acerca de la temperatura en sí. Podemos establecer que la temperatura es una propiedad de bulto1 que aparece como una consecuencia de la energía cinética molecular promedio que tienen las diferentes sustancias; la temperatura tiene además la propiedad de ser una función monótona, lo que implica que esta siempre conserva el orden y no presenta cambios en la concavidad de esta. Por ejemplo, cuando una sustancia es calentada, la energía de sus moléculas se incrementa; y lo opuesto ocurre cuando la temperatura en esta sustancia disminuye. Considerando el caso cuando la temperatura aumenta, podemos decir de un modo muy simplista que al aumentar la energía cinética de las moléculas que conforman a la sustancia, estas comienzan a moverse más y en general tendrán una mayor distancia de separación promedio que para una temperatura menor, tal y como se muestra en la FIG. 12.1; este aumento en la energía cinética se ve por tanto reflejado en un aumento en el tamaño del sistema, este es el fenómeno conocido como expansión térmica. Este efecto solo ocurre dentro de ciertos rangos de temperatura. 1 Recordemos

que con esto queremos decir macroscópica.

105

Fluidos, ondas y temperatura

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Figura 12.1: Expansión producida en una sustancia debido al aumento en la energía cinética promedio en las moléculas del sistema.

12.2.1.

Coeficiente de expansión térmica

El coeficiente de expansión térmica describe como el tamaño de un objeto cambia con un gradiente de temperatura. Específicamente, mide el cambio fraccional por grado de cambio en la temperatura bajo presión constante; hay diferentes tipos de coeficientes de expansión térmica: volumétrico, de superficie y lineal; cada uno depende de la aplicación particular que se desee realizar. En el caso de los sólidos el más importante es el que involucra cambios en la longitud, es decir, el coeficiente de dilatación lineal. En general, las sustancias se dilatan o contraen en todas direcciones cuando su temperatura cambia. Aquellas sustancias que se expanden a la misma tasa en todas direcciones son llamadas isotrópicas. Para las sustancias de este tipo, los coeficientes de dilatación lineal y de superficie pueden ser calculadas a partir del coeficiente volumétrico. Los fluidos generalmente cambian su tamaño cuando se presentan con gradientes de temperatura mientras la presión es mantenida constante. En el caso de los sólidos, la presión no afecta significativamente el tamaño de los cuerpos. En el caso general de un sistema arbitrario (sea sólido, líquido o gaseoso), el coeficiente de expansión volumétrica esta dado por:   1 ∂V (12.1) αV = V ∂T P donde el subíndice P indica que la presión se mantiene constante, asimismo el subindice V indica que la expansión es volumétrica. En el caso de los gases, es importante que la presión sea mantenida constante, ya que cambios en la presión provocan variaciones importantes en el volumen, como puede ser notado en la ley general de los gases.

12.2.2.

Dilatación lineal

Considerando que en un sólido el efecto de la presión es despreciable, el cambio fraccional en la longitud por cada grado de cambio en la temperatura puede ser medido a través de el coeficiente de dilatación lineal, puede ser escrito como:       dL d ln L 1 ∆L αL = = ≈ ; (12.2) dT P dT P L ∆T 106

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Fluidos, ondas y temperatura

donde ∆L = L − L0 es el cambio de longitud en alguna dirección en el que se realiza la medición, al considerar un gradiente pequeño y uniforme de la temperatura ∆T = T −T0 en el cuerpo.

12.3. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13.

Equipo y Materiales Barra de aluminio u otro material. Regla de 30 cm. Vernier. 2 Soportes Universales. 2 Nueces. Pinza de tres dedos con corcho. Pinza de tres dedos. Cerillos o encendedor. 1 Vela. Cinta de aislar o masking. Micrómetro de reloj. Multímetro. Termopar.

12.4.

Procedimiento

Nota importante: Ya que utilizará fuego, por favor tenga mucho cuidado al manipular el sistema; no se acerque a la flama y tenga precaución para no tocar directamente la barra de metal cuando se encuentre en la flama. Procure que las ventanas del laboratorio se encuentren cerradas; asimismo NO EXPONGA DIRECTAMENTE al termopar y al micrométro al fuego. 1. 2. 3.

4.

5. 6.

Utilizando el Vernier o la regla de 30 cm mida la longitud que tiene la barra de aluminio, esta será su longitud inicial L0 . Monte la barra de aluminio utilizando el soporte universal con una nuez y una pinza de tres dedos con corcho, tal y como se muestra en la FIG. 12.2. Utilizando otro soporte universal, una nuez y una pinza monte el micrométro de reloj, colóquelo junto a la barra de aluminio de manera que toque apenas uno de los extremos de esta, pero de modo tal que este aún indique cero, tal y como se indica en la FIG. 12.2. Conecte las puntas del termopar al multímetro, asimismo fije el extremo del termopar al extremo opuesto de la barra de aluminio utilizando cinta de aislar, tal y como se muestra en la FIG. 12.2. Una vez montado el sistema mida la temperatura con el multímetro, debe esperar hasta que el sistema alcance la temperatura de equilibrio; esta será su temperatura T0 . Una vez medida la temperatura y la longitud iniciales, coloque una vela a una distancia aproximada de un tercio de la longitud de la barra en el extremo cercano al micrómetro2 , como se puede ver en la FIG. 12.2. 2 Trate

de que el termopar este a dos tercios de la longitud de la barra para evitar dañarlo, nunca lo exponga al fuego directo.

107

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Fluidos, ondas y temperatura 7.

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Encienda la vela y comience a medir simultaneamente los cambios en la longitud y la temperatura; trate de tomar alrededor de 8 o 10 lecturas de cambio de longitud con sus correspondientes temperaturas. Anote sus resultados en la tabla 12.1.

Figura 12.2: Montaje experimental para determinar el coeficiente de expansión lineal αL . Medición

T0 = L0 = 1 2 3 4 5 .. .

Temp. T (o C)

.. .

∆T (o C) ∆L (cm) αcalc

.. .

.. .

.. .

Desviación δcalc

.. .

n Cuadro 12.1: Datos de la temperatura y el tiempo para el enfriamiento del agua.

12.5.

Cálculos y resultados

I. Para cada cambio de longitud de la varilla que haya medido, obtenga el gradiente de temperatura correspondiente ∆T = T − T0 y anote sus resultados en la tabla 12.1. II. Con la longitud inicial L0 , cada cambio de longitud y los cambios de temperatura correspondientes, halle el valor del coeficiente de dilatación lineal del material αcalc utilizando la relación (12.2). 108

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Fluidos, ondas y temperatura

III. Utilizando el conjunto de coeficientes de dilatación obtenidos, calcule: a) b) c)

El coeficiente de dilatación lineal promedio calculado αcalc . La desviación promedio δ. La razón porcentual entre la desviación promedio y el coeficiente de dilatación lineal promedio.

IV. Construya una gráfica que muestre los cambios de longitud de la varilla en función de los cambios de temperatura experimentados (∆L vs. ∆T ). V. Realice la regresión correspondiente para obtener el coeficiente de dilatación lineal αreg y su correspondiente desviación δreg . VI. Compare los valores calculados del coeficiente de dilatación lineal promedio αcalc con el obtenido mediante la regresión αreg y obtenga su error porcentual. VII. No olvide reportar el coeficiente de dilatación térmica αreg y αcalc con su incertidumbre, es decir, su correspondiente desviación.

12.6.

Preguntas

Debe responder las siguientes preguntas explícitamente en la sección de conclusiones del reporte a entregar. 1. A simple vista ¿Se nota la expansión de la varilla? ¿Por qué se tiene que usar un micrómetro para medir los cambios de volumen? 2. ¿Cómo es la incertidumbre obtenida en el experimento? ¿Cuáles son las principales fuentes de error? Sea claro y concreto al señalar dichas fuentes de error. 3. Considerando que el material del cual está hecha la barra es isotrópico, ¿cuál es el coeficiente de dilatación volumétrico del material, según el resultado que obtuvo para el coeficiente de dilatación lineal del mismo? ¿y su coeficiente de dilatación superficial? 4. ¿Qué tipo de curva obtuvo al gráficar el cambio de longitud en función del cambio de temperatura? ¿Qué representa la pendiente de tal curva?

109

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110

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13 Práctica 13: Determinación del calor específico

13.1.

Objetivo

El objetivo de esta práctica es que el alumno comprenda: Determinar el calor específico de algunos materiales sólidos.

13.1.1.

Objetivos particulares

Los objetivos particulares a conseguir en la práctica es: Construcción y calibración de un calorímetro. Determinación del calor específico usando el calorímetro y agua como sustancia cuyo valor de calor específico es conocido.

13.2.

Introducción

La calorimetría se trata acerca de la medición de la transferencia de energía en forma de calor entre diferentes materiales. La medición de esta transferencia de energía hace uso de un calorímetro y una sustancia de referencia, de la cual se conocen sus propiedades térmicas constitutivas; esta sustancia de referencia suele ser agua, cuyas propiedades son muy bien conocidas. Dicha transferencia de energía puede ser utilizada para diferentes propósitos, tales como determinar los cambios en las variables de estado de una sustancia, tales como la presión, la entalpía o la energía interna. Existen diferentes tipos de calorímetros, dependiendo de las propiedades de las sustancias en las cuales se este interesado en encontrar; algunos ejemplos son los calorímetros de reacción (como el mostrado en la FIG. 13.1), los calorímetros adiabáticos, los de presión constante, etcétera. Otra cantidad que se puede obtener con la utilización de un calorímetro es la determinación de una de las propiedades materiales termodinámicas, el calor específico. El calor específico de una sustancia c se puede definir como la cantidad de energía en forma 111

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de calor, ya sea en joules o calorías, necesaria para elevar la temperatura de 1 gramo de esta sustancia en 1o Celsius; es decir: Q ; (13.1) c= m∆T donde Q es la cantidad de calor, m la masa de la sustancia y ∆T el gradiente de la temperatura. calorimetro1.jpg

Figura 13.1: Diagrama ejemplificando un calorímetro de reacción. El uso del calorímetro para determinar el calor específico de una sustancia parte del hecho de que si se transfiere la misma cantidad de energía en forma de calor a diferentes materiales de la misma masa, el cambio de temperatura es diferente en cada material, es decir los cambios observados en cada material dependen de su capacidad calorífica. Si se utiliza agua como sustancia de referencia, al conocer el calor específico del agua, es posible conocer el calor específico de otra sustancia, al conocerlos en otro material. Dichas sustancias se aíslan en el calorímetro y son puestos en contacto térmico, por lo que al medir las masas de las respectivas sustancias y determinar los cambios de temperatura cuando se alcanza el equilibrio térmico entre sustancias, es posible determinar el calor específico de un material, mediante un análisis de las transferencias de energía en forma de calor. Por ejemplo, si en un proceso de intercambio de calor intervienen 3 distintas sustancias a, b y c, en donde la sustancia a transfiere calor y no hay perdida alguna de esta energía calórica con el medio, de modo que la energía transferida se absorbe completamente por b y c, entonces, Energía cedida por a = Energía absorbida por b + Energía absorbida por c; Relación que podemos expresar como: Qa = Qb + Qc .

(13.2)

Lo cual puede ser reescrito utilizando la ecuación (13.1), es decir: ma ca ∆Ta = mb cb ∆Tb + mc cc ∆Tc .

(13.3)

De modo que si se conocen las masas y los cambios de temperatura, así como los calores específicos de algunas de las dos sustancias, es posible determinar el calor específico de la otra, al despejar las variables conocidas. En esta práctica, se calculará el calor específico de alguna sustancia, mediante la construcción y calibración de un calorímetro de presión constante los cuales son los más simples de construir. Cada equipo deberá construir su respectivo calorimetro.

13.3.

Equipo y Materiales

1. Materiales para construir un calorímetro de presión constante: Vaso de unicel de 1 litro con su tapa. 112

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Lata de aluminio o botella de plastico resistente al calor1 . Algodón. Pegamento. Cinta adhesiva y de aislar. Unicel. Tijeras y cutter. Un palito de madera o plástico resistente al calor. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.

2 Termómetros. Balanza de 0.1 g de precisión. Un vaso de precipitado de 250 ml. Una pieza del material al que se desea medir el calor específico. Parrilla eléctrica. Guantes de carnaza. Soporte universal. Nuez. Pinza para termómetro. Hilo.

Nota: Para obtener mejores resultados en este experimento, se recomienda que la pieza de la sustancia que se utilizará para determinar el calor específico, tenga una masa tal que la temperatura de equilibrio entre dicha pieza y el agua con la que se podrá en contacto, quede cerca de la mitad de las temperaturas iniciales de ambas sustancias.

13.4.

Procedimiento

El procedimiento de esta práctica está dividido en tres partes, la construcción del calorímetro, seguida de la calibración del mismo para concluir con las mediciones del calor específico de alguna sustancia.

13.4.1.

Construcción del calorímetro

Es muy importante que al construir su calorímetro verifique que quede bien cerrado y que no tenga posibles aberturas por donde pueda escapar el calor en el mismo. 1. 2.

3. 4.

Para la elaboración del calorímetro es necesario cortar con cuidado la parte superior de la lata de aluminio. Mida la masa de la lata una vez cortada mcal . Utilizando el unicel, corte un trozo circular que pueda ser pegado en el fondo del vaso de unicel. Fije este trozo de unicel al fondo de la lata de aluminio de modo que la parte superior de la lata quede solo unos cuanto cm por debajo del borde del vaso de unicel. Realice un par de agujeros a la tapa del vaso de unicel; estos agujeros no deben ser cercanos entre sí, y deben ser justos para que entren el termómetro y el agitador. Utilizando nuevamente el unicel, corte otro trozo circular de unicel con un diámetro ligeramente menor al de la tapa del vaso de unicel. Para aumentar el aislamiento en la parte superior del calorímetro. Realice los mismos agujeros del paso anterior a la misma altura. 1 Este

recipiente debe caber dentro del vaso de unicel.

113

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Fluidos, ondas y temperatura 5. 6. 7. 8.

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Pegue este trozo de unicel junto a la tapa y verifique que la lata y la tapa ajusten apropiadamente y se produzca un buen sello. Una vez fija la lata a la base del vaso de unicel, llene el espacio restante entre la lata y el vaso utilizando ya sea algodón o unicel, que quede bien distribuido. Utilice la cinta para formar un aspa que permita agitar el agua dentro del calorímetro. Introduzca el agitador por uno de los agujeros que recien realizó. Utilizando la cinta de aislar, enrolle una capa alrededor de todo el calorímetro para mejorar el aislamiento térmico; el producto final debe ser parecido al mostrado en la FIG. 13.2.

Figura 13.2: Diagrama del calorímetro de presión constante utilizado para la realización de esta práctica. a) Montaje para la calibración del dispositivo. b) Determinación del calor específico de la sustancia muestra.

13.4.2.

Calibración del calorímetro

Una vez que el pegamento este seco, puede proceder a calibrar su calorímetro para determinar el calor especiífico del dispositivo. 9. 10. 11. 12. 13.

114

Mida la masa de 100 ml de agua a temperatura ambiente (m1 ); agregue esta al calorímetro y cierre el sistema, introduzca el termómetro por el otro agujero. Utilice el soporte universal y la pinza de tres dedos para fijar el termómetro y no manipularlo directamente con las manos. Agite hasta que la temperatura del termómetro se estabilice. Esta será la temperatura inicial del agua fria Ti . Al mismo tiempo, mida la masa de 100 ml de agua (m2 ) en la parrilla hasta alcanzar aproximadamente 80o C; esta será la temperatura inicial del agua caliente Ti0 . Vierta el agua en el calorímetro y cierre el sistema, utilice el agitador hasta que el sistema alcance el equilibrio térmico. Esta será la temperatura final del sistema T f . Manual del Estudiante

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Fluidos, ondas y temperatura

Con esta información es posible encontrar el calor específico del dispositivo CCal utilizando la relación (13.3), junto con el hecho de que el calor específico del agua es cagua =1.0 cal/g o C.

13.4.3.

Determinación del calor específico de un sólido de muestra

Una vez calibrado su dispositivo, abra y seque el sistema, debe dejar que el calorímetro termalice antes de proseguir con su procedimiento experimental. 14. 15.

16. 17.

18. 19.

Seleccione una muestra de algún solido y mida su masa mobj . Este será el cuerpo del cual se desea determinar su calor específico. Utilizando el vaso de precipitados, mida la masa de 200 ml de agua del glifo magua . Coloque en el calorímetro, y homogeneice la temperatura con el agitador, hasta que se alcance la temperatura de equilibrio T0 . Al mismo tiempo, coloque en el vaso de precipitados el objeto de prueba en el vaso de precipitados cubierto con agua. Caliente el sistema hasta que alcance 80o C, Tobj , con cuidado retire el objeto del vaso, abra el calorímetro y coloque el objeto dentro del mismo; cierrelo y deje que el sistema alcance el equilibrio térmico. No olvide, utilizar el agitador para que la temperatura sea homogénea. Una vez que el sistema alcance el equilibrio, tome la temperatura final TF . Anote sus resultados en la tabla 13.1. Repita el procedimiento 2 veces más con objetos del mismo material, pero diferente masa. Anote sus resultados en la tabla 13.1.

13.5.

Cálculos y resultados

I. Con las datos que tomó de la masa del agua y el recipiente de aluminio, obtenga el calor específico del calorímetro ccal , utilizando para ello la relación (13.3). II. Una vez conocido ccal , las masas de los objetos mobj y temperaturas correspondientes obtenga: a) b) c) d)

El calor específico cobj , para cada una de las mediciones hechas. Anote sus resultados en la tabla 13.1. El calor específico promedio cobj . La desviación promedio δcobj . La razón porcentual entre la desviación promedio y el calor específico promedio.

III. No olvide reportar todas las cantidades con su correspondiente incertidumbre. IV. Compare el valor obtenido promedio del calor específico de su muestra con el valor reportado en la bibliografía. V. Obtenga el error porcentual entre ambas cantidades.

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Fluidos, ondas y temperatura Medición

Dr. Lenin Francisco Escamilla Herrera

T0 (o C) Tobj (o C) TF (o C) mobj (g) cobj (cal/g o C)

1 2 3 Cuadro 13.1: Datos de la temperatura y el tiempo para el enfriamiento del agua.

13.6.

Preguntas

Debe responder las siguientes preguntas explícitamente en la sección de conclusiones del reporte a entregar. 1. Diferentes materiales tienen valor diferente de calor específico, esto determina en gran medida las aplicaciones que pueden ser hechas con el material. Investiga los valores del calor especifico de tres sólidos y tres líquidos y su uso, con base en esta propiedad termodinámica. 2. ¿Cuáles son las principales fuentes de error en este experimento? Sea claro y concreto al señalar las fuentes de error. 3. ¿Por qué la temperatura final de equilibrio no quedó muy cerca de la temperatura ambiente del agua? Explique su respuesta. 4. ¿Por qué en el experimento se tiene que tomar en cuenta el vaso interior y no así el vaso exterior del calorímetro? 5. Conocido el valor del calor específico del material ¿Cuánta energía en forma de calor se necesita transferirle a 100 gramos de este material para elevar su temperatura en 10o C? ¿Y al agua?

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