Manual De Calculo Diferencial 11-07-09

Compilado por: Lic. Esp. José Francisco Barros Troncoso

Santa Marta 2009

Manual de Cálculo Diferencial – José F. Barros Troncoso

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CONTENIDO

1. Función Conceptos Básicos o Pareja Ordenada o Relación o Función o Dominios y Rangos Algebra de Funciones Notación Funcional Función Lineal Función Cuadrática Función Exponencial Función Logarítmica Función por parte o por trozos 2. Limite Limites Laterales Propiedades de los Límites Límites Indeterminados Continuidad en un Punto Limite de las Funciones Definida por Partes Límites Infinitos 3. La Derivada Formulas de la Derivada Regla de la Cadena Regla de la Potencia Máximos y Mínimos Relativos Prueba de la Primera Derivada Máximos y Mínimos Relativos Prueba de la Segunda Derivada Derivada de las Funciones Logarítmicas y exponenciales Derivada Implícita

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FUNCIÓN En la práctica se presenta situaciones en donde el valor de una cantidad depende de la otra. Ejemplo: Impuesto - Valor de la Mercancía Horas trabajadas – salario Distancia – Tiempo Dedicación – Rendimiento Mantenimiento – Tiempo de vida La relación establecida entre estas unidades se describe como función. Conceptos Básicos Pareja Ordenada Conjunto de números de la forma (a , b) con a, b ε R; donde a se denomina primera componente y b segunda componente. Relación Conjunto de parejas ordenadas o regla que determina la correlación entre los elementos de la pareja ordenada. También se puede definir por medio de una tabla, una gráfica, una ecuación o una desigualdad. Ejercicios: 1. Escribir 5 parejas ordenadas cuyas componentes tengan cada relación: a. b. c. d.

Que la primera componente sea el doble de la segunda. Que la segunda componente sea el triplo más uno de la primera. Que la primera componente sea un número par y la segunda un impar no consecutivo. Que la primera componente sea un número posterior no consecutivo de la segunda.

2. Escriba una oración que describa la relación de cada conjunto de parejas ordenadas: a. b. c. d.

(1,3),(3,5),(5,7),(7,9)(9,11) (1,-1)(-2,2)(3,-3)(-4,4),(5,-5) (1,7),(2,5)(3,9),(4,13),(5,17) (2,5),(3,10),(4,17),(5,26),(6,37)

3. Exprese cada relación de los encisos 1. y 2. por medio de una ecuación. Manual de Cálculo Diferencial – José F. Barros Troncoso

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Función Es una relación de parejas ordenadas el cual no hay dos parejas que tengan la misma primera componente. Si A y B son conjuntos una función f de A en B se denota f: A x

B y=f(x)

Indica que a cada elemento x de A le corresponde uno y solamente uno de los elementos y=f(x) de B. El conjunto A recibe el nombre de conjunto de partida o dominio y la variable que la representa se conoce como variable independiente, el conjunto B se conoce como conjunto de llegada, co-dominio, rango o recorrido y la variable que la representa se le conoce como variable dependiente. NOTA: Un número perfecto es aquel entero positivo que es igual a la suma de todos sus divisores propios positivos (partes alícuotas); por ejemplo, 6 (que es igual a 1 + 2 + 3) y 28 (que es igual a 1 + 2 + 4 + 7 + 14) son números perfectos. Un entero positivo que no es perfecto se denomina imperfecto y puede ser deficiente o superante según que la suma de sus divisores propios positivos sea menor o mayor que él. Así, 9, cuyos divisores son 1 y 3, es deficiente, y 12, cuyos divisores son 1, 2, 3, 4 y 6, es superante. Dominios y Rangos Las funciones reales tienen como dominios y rangos los números reales. Si no se especifican el dominio y el rango de una función, se supone que el dominio consiste en todos los números reales (valores de x) que dan como resultado salidas reales (valores de y), haciendo que el rango sea subconjunto de los números reales. En las funciones de estudio, si el dominio no está especificado, incluirá todos los números reales excepto: Valores que tienen como resultado un denominador igual a cero. Valores que dan como resultado una raíz par de un número negativo. Ejercicio: Encuentre el dominio y el rango de cada una de las siguientes funciones:

Algebra de funciones Si f y g son funciones se define: 1. Función suma: f(x) + g(x) = (f + g)(x) Manual de Cálculo Diferencial – José F. Barros Troncoso

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2. 3. 4. 5.

Función diferencia: f(x) - g(x) = (f - g)(x) Función producto: f(x) * g(x) = (f * g)(x) Función cociente: f(x) g(x) = (f g)(x) Función compuesta: f(x) g(x) = (f g)(x) = f [g(x)]

Ejercicio: Dados f(x) y g(x) encuentre: (f + g)(x), (g - f)(x), (g * g)(x), (f (g f)(x)

g)(x), (f g)(x) y

1. f(x) = 2x y g(x) = 3x + 1 2. f(x) = x2 y g(x) = (x + 1)2 3. f(x) = 2x y g(x) = 3x + 1 4. f(x) = x y g(x) = 1/x 5. f(x) =(x – 1)2 y g(x) = x2 + 1 6. f(x) =1/(x3 – 1) y g(x) =4 x + 3 Notación Funcional Para indicar que y es una función de x, la función se expresa con f y escribimos y=f(x). Esto se lee “y es función de x” o “y es igual a f de x”. Para valores específicos se x, f(x) representa los valores de la función (es decir la salida o valores de y), por lo tanto, si: 1. Si f(x)= 3x + 1 entonces a. f(2) = 3.2 +1= 6 + 1 = 7 b. f(-3) = 3.(-3) + 1 = -9 + 1 = -8 2. Si g(x) = 2x2 – 4x + 2 entonces a. g(1) = b. g(-2) = c. g(a) = d. g(a + b) e. g(a) + g(b) 3. Si f(x) = 3x2+2x+1 entonces a. f(2)= b. f(-1)= 4. Si f(x)= x2 -2x + 3 entonces encuentre f(x + h) – f(x) h Ejercicios 1. Si R(x) = 8x - 10 encuentre R(0), R(2), R(-3), R(1.6) 2. Si H(x) = 9x2 – 2x encuentre H(3), H(1/6) 3. Si f(x) = 100x –x3 encuentre f(-1), f(-3/2) 4. Si C(x) = x3 – 4/x encuentre C(-1/2), C(-2)

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Problemas 1. Suponga que el ingreso R (en pesos) de una compañía por la venta de x unidades de su producto se obtiene mediante R(x) = 215x y el costo total C (en pesos) de producir esas x unidades se obtiene por C(x) = 65x + 15000 a. Si la ganancia es el ingreso menos el costo, encuentre la función ganancia de la producción y la venta de x unidades. b. Encuentre el ingreso, costo y ganancia si se venden 1000 unidades. 2. El gasto del consumidor por artículo es el producto de su precio en el mercado p y el número de unidades demandadas. Suponga que para cierto artículo, las unidades demandadas están dadas por la función U(x)= 10 000 – 10p a. Encontrar una expresión que determine el gasto del consumidor b. Determinar el gasto del consumidor cuando el precio es $38. 3. El costo promedio por unidad de una compañía cuando se producen x unidades se define como: Suponga que el costo total de una compañía se obtiene a. Encuentre una expresión que determine los costos promedios b. Determine los costos promedios para una producción de 10 y 100 unidades. ¿Qué encuentra 4. El costo total de fabricar un producto se determina por medio de C(x)= 300x + 0.1x2+1200 , donde x representa el número de unidades producidas. Determine el costo de producir 10 y 100 unidades. 5. Suponga que el costo (en dólares) de eliminar p por ciento de la contaminación de las partículas de las chimeneas de una planta industrial se determina por medio de

C ( p)

7300 p 100 p

Encuentre los valores de eliminar el 45, 90, 99 y el 100 por ciento de la contaminación y haga un análisis de los resultados

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6. El costo (en dólares) de eliminar el x% de la polución del agua en cierto riachuelo esta dada por C(x)=

para 0≤ x ≤ 100

a. Hallar el costo de eliminar la mitad de la polución b. Evaluar el costo de eliminar el total de la polución 7. Suponga que el costo C de obtener agua de un arroyo que contiene p porciento de niveles de contaminación se determina mediante

Determine el costo de obtener agua con el 90, 100 y 0 por ciento de niveles de contaminación 8. Suponga que la ganancia de la producción y la venta de x unidades producidas en un día de un producto se determina por medio de P(x) = 180x - 0.01x2 -200. Además el número de unidades producidas en el día t del mes es x = 1000 +10t. Encuentre la ganancia obtenida el día 15 del mes. a. La función compuesta (P o q)(t) que expresa la ganancia como un función del día del mes es b. El número de unidades producidas y la ganancia del día 15 del mes es 9. Las ganancias anuales brutas de cierta compañía fueron dólares t años después de su formación en enero de 1993. ¿Cuáles ganancias brutas obtenidas en los años 1997 y 2008?

miles de fueron las

10. En cierta fábrica, el costo total de fabricar q unidades durante la jornada de producción diaria es . Con base en la experiencia se ha determinado que aproximadamente unidades se producen durante las primeras t horas de una jornada de producción. a. Escriba una expresión del costo total de fabricación respecto al del tiempo. b. Calcular el costo total de fabricación 1, 5 y 7 horas después de iniciada la producción. ¿Qué encuentra? 11. Cuando las licuadoras eléctricas se venden a p dólares cada una, los consumidores locales comprarán licuadoras al mes. Se estima que dentro de t meses el precio de las licuadoras será dólares. a. Escriba una expresión de la demanda mensual de licuadoras con respecto al tiempo. b. Calcular la demanda mensual durante 6, 12 y 18 meses. ¿Aumenta o disminuye la demanda?

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12. Un importador de aproximadamente

café

estima que los consumidores locales comprarán libras de café a la semana cuando el precio se p dólares

por libra. Se estima que dentro de t semanas, el precio del café será: dólares por libra. a. Escriba una expresión de la demanda semanal de café con respecto al tiempo. b. Calcular la demanda de café durante 1, 2 y 4 semanas? ¿Aumentará o disminuirá la demanda? 13. Cuando un determinado artículo se venda a p dólares por unidad, los consumidores comprarán unidades al mes. Se estima que dentro de t meses el precio del artículo será dólares por unidad. a. Escriba una expresión de la demanda mensual del artículo con respecto al tiempo. b. Calcular la demanda del artículo durante 1, 3 y 6 meses? ¿Aumentará o disminuirá la demanda? Gráfica de Funciones Es posible ilustrar geométricamente las relaciones y funciones al trazar sus gráficas en un sistema de coordenadas rectangulares o cartesianas (plano cartesiano) El plano Cartesiano es un área que permite representar gráficamente relaciones y funciones en dos dimensiones. Está formado por dos rectas perpendiculares denominadas ejes que se cortan en un punto llamado origen, los ejes dividen el plano en cuatro partes llamadas cuadrantes. La recta horizontal se denomina abscisa (generalmente eje x) y la vertical la ordenada (generalmente eje y), del punto de intersección hacia la derecha la abscisa es positiva y hacia la izquierda es negativa, del punto de intersección hacia arriba la ordenada es positiva y hacia abajo es negativa.

Cada punto en el plano se forma con la intersección de una coordenada de la abscisa con una de la ordenada y se representa con una pareja ordenada (a,b), donde la primera

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componente representa la coordenada de la primera y la segunda la coordenada de la segunda. Ejercicio. Dibuje un plano cartesiano y ubique cada uno de los siguientes puntos: A(-3,5), B(-1,-4), C(5,-1), D(4,3),E(0,-2),F(4,0) La grafica de una función es la imagen que resulta cuando se trazan los puntos cuyas coordenadas (a,b) satisfacen la ecuación. Grafica una Función con Tecnología Con Excel 2007 1. Entre a Excel 2. En la celda A1, Digite la variable independiente (x) 3. En las celdas B1 y C1 digite dos valores cualesquiera para el dominio. Entre más valores digite podrá obtener un mejor gráfico. 4. En A2 digite la variable dependiente (y) 5. Despeje la ecuación en función de y y digítela B2 como fórmula Excel, debe tener en cuenta que donde va x en la ecuación debe ir B1. 6. Cópiela para obtener el o los demás valores para el co-dominio. 7. Seleccione el rango 8. Del menú Insertar seleccione el tipo de gráfico Línea y escoja la opción línea. 9. Seleccione el gráfico, pulse el botón derecho del mouse y seleccione Seleccionar datos. 10. En la ventana Etiquetas del eje horizontal (Categorías), pulse el botón Editar, seleccione los datos de x, y pulse Aceptar. 11. En la ventana Entradas de leyenda (Series) escoja x y pulse el botón Quitar, pulse Aceptar. 12. Para ubicar el gráfico en otra hoja pulse el botón Mover gráfico (Ubicación) y escoja Hoja nueva. 13. Para modificar cualquier área (de gráfico, de línea de trazado o la de serie de datos) seleccione el área a dar formato, pulse el botón derecho del mouse y escoja la opción de formato. Con Excel 2003 o anterior Repite los procedimientos de 1 al 7 de la versión 2007 1. Del menú Insertar seleccione la opción Gráfico 2. Seleccione el tipo de gráfico Líneas y el subtipo Línea y pulse Siguiente 3. Abra la carpeta Serie, en la ventana Serie, pulse Quitar para eliminar la serie1, que corresponde al dominio de la función, abra la ventana de Rótulos del eje de categoría x y seleccione el dominio de la función, pulse el botón de aceptación y pulse siguiente 4. Escriba los títulos correspondientes, abra la carpeta Leyenda y desactive la opción Mostrar leyenda y pulse Siguiente 5. Active la opción En una hoja nueva y pulse Finalizar.

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Con el Maletín del Estudiante de Microsoft Encarta 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Entre al el Maletín del Estudiante de Microsoft Encarta De la opciones de Área de Conocimiento seleccione Matemáticas De Matemáticas seleccione Matemática Microsoft De Matemática Microsoft escoja Calculadora Gráfica Científica Seleccione la carpeta Gráfica En la carpeta funciones verifique que las opciones 2D y Coordenadas Cartesianas estén activadas. 7. Haga un clic en la ventana para digitar la ecuación (la ecuación debe estar despejada en función de y o en función de x), en la ventana entrada de datos, digite la ecuación despejada, pulse Intro y para finalizar pulse gráfica 8. Para una mejor visualización de la gráfica en la carpeta de Controles de Gráfica seleccione el botón Mostrar u Ocultar Marca Exterior 9. Para imprimir la gráfica del menú Archivo seleccione la opción Imprimir y Aceptar. Con el Derive de la Calculadora Ti-92 Plus de la Texas Instruments 1. Pulse Ctrl + w (Y=) 2. Digite la ecuación despejada en función de y y pulse ENTER. 3. Pulse Ctrl + R ( GRAPH) Con en el Winplot 1. Del menú Ventana seleccione 2-dim 2. Digite la ecuación en la ventana y=f(x) 3. Pulse ok

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Función Lineal Toda función de la forma y= mx +b, es una función lineal donde b es la ordenada en el origen (coordenada donde la recta corta al eje y ) y m se denomina la pendiente y es el ángulo de inclinación de la recta respecto al eje la abscisa (x). La pendiente de una recta que pasa por dos puntos (x1,y1) y (x2,y2) está dada por: m = y2 – y1 x2 – x1 Se pueden presentar las siguientes situaciones: m > 0: La recta esta inclinada hacia la derecha. m < 0: La recta esta inclinada hacia la izquierda m = 0: La recta es paralela al eje de la abscisa. Si m es indeterminada la recta es paralela al eje de la ordenada. Dos rectas son paralelas si sus pendientes son iguales y dos rectas son perpendiculares si el producto de sus pendientes es igual a -1. La ecuación de la recta que tiene como pendiente m y pasa por el punto (x1,y1) es: y – y1 = m(x2 – x1) La ecuación de la general de la recta está dada por: ax + by + c = 0

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TALLER Tema: Función Lineal 1. Encuentre los interceptos (b) y las gráficas de las siguientes funciones: a) 3x + 4y = 12b) 2x – 3y = 12c) 3x + 2y = 0 2. Encuentre la ecuación de la función que pasa por los puntos: a) (2,1) y (3,-4)b) (3,2) y (-4,2)c) (3,4) y (3,-1)d) (1,-5) y (-3,-4) 3. Encuentre la pendiente y los interceptos de de las funciones dadas: a) y = 7 x - 1 b) y = 3c) x = -8d) 2x + 3y = 6 3 4 4. Escriba la ecuación y trace la gráfica de cada función que: a) Tiene como pendiente ½ e intercepto 3 b) Tiene como pendiente -2 en intercepto ½. c) Pasa por el punto (2,0) y tiene pendiente ½. d) Pasa por el punto (-1,3) y tiene pendiente -2. e) Pasa por el punto (-1,1) y la pendiente es indefinida. f) Pasa por los puntos (3,2) y (-1,-6) g) Pasa por los puntos (7,3) y (-6,2) 5. Determine si los siguientes pares de rectas son paralelas, perpendiculares o ninguna de las anteriores: a) 3x + 2y = 6 ; 2x – 3y = 6b) 5x – 2y = 8 ; 10x – 4y = 8 c) 6x – 4y = 12; 3x – 2y = 6d) 5x + 4y = 7; y= 4/3x + 7 6. Escriba la ecuación de la recta que: a. Pasa por (-1,2) y es paralela a 3x + 2y = 1. b. Pasa por (2,-4) y es paralela a x - 4y = 2. c. Pasa por (1,3) y es perpendicular a 3x + y = -1. d. Pasa por (-2,-7) y es perpendicular a x = 4y - 3.

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Aplicaciones de las funciones Lineales 1. El propietario de una construcción de 36 millones de pesos, la deprecia. El valor y (dado en millones de pesos) de la construcción después de x meses de uso es y= 36 –0. 15x. a. ¿Cuál será el valor de la construcción transcurridos 60 meses? b. ¿Cuánto tiempo pasa hasta que la construcción se deprecie por completo? 2. El volumen en pesos de las transacciones en los cajeros automáticos ha aumentado conforme al número de máquinas se ha incrementado. Podemos describir esta relación con y= 0.1369x – 5.091255 donde y son los miles de millones de pesos de las transacciones y x es el número de terminales (en miles) a. ¿Encuentre la pendiente y el intercepto de y de esta ecuación? b. ¿Qué interpretación se le podría dar al intercepto de y? ¿Qué interpretación se le podría dar a la pendiente? 3. La relación entre las ganancias anuales promedio de hombres y mujeres con distintos niveles de escolaridad se puede modelar por medio de la función F = 0.518M + 2.775, donde M y F representan las ganancias anuales promedio (en miles de dólares) de hombres y mujeres respectivamente. a. Considerando F como una función de M, ¿cuál es la pendiente de esta función? Interprete la pendiente como tasa de cambio. b. Cuando las ganancias anuales promedio de los hombres alcanzan $30 000, ¿qué pronostica la ecuación para las ganancias anuales promedio de las mujeres? 4. El porcentaje de empresas que reclutaron activamente empleados en Internet entre 1998 y 2000 se puede modelar con P(x)=26.5x - 194.5 por ciento, donde x es el número de años que han pasado desde 1990. Explique porque el modelo no es válido hasta 1998. Encuentre P(7), P(8) y P(9) y piense en lo que significa. 5. Suponga que un fabricante de calculadoras tiene la función costo total C(x) = 17x + 3 400 y la función ingreso total R(x) = 34x. a. ¿Cuál es la función de ganancia para las calculadoras? b. Grafique la función ganancia c. ¿Cuál es la ganancia de 300 unidades? 6. Suponga que un fabricante de computadoras tiene la función costo total C(x) = 85x + 3 300 y la función de ingreso total R(x) = 385x. a. ¿Cuál es la ganancia de 351 unidades? b. ¿Cuántas unidades debe vender para evitar perder dinero? 7. La carga tributaria per cápita T ( en cientos de dólares) se puede describir por medio de Donde t es el número de años que han pasado desde 1980. Determine la carga tributaria en el 2007 ¿En qué año la carga tributaria llegaría a los 75.39? Grafique la función

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8. Un fabricante de cortinas de regadera tiene una función de ingreso de R(x) = 81.50 x y una función de costo de C(x) = 63x + 1 850. Encuentre el número de unidades que se debe vender para tener el punto de equilibrio. 9. Una empresa pequeña recubre y vende llantas. Si un juego de cuatro llantas tiene la función de ingreso R(x) = 89x y la función de costo C(x) = 1 400 + 75x. Encuentre el número de juegos de llantas recubiertas que se deben vender para tener el punto de equilibrio. 10. Encuentre el punto de equilibrio de mercado para estas funciones de demanda y oferta: Demanda p= -2q + 320; Oferta p= 8q + 1. 11. Desde 1960 ha habido un crecimiento lineal en el porcentaje de alcohólicos en la población un país europeo. El porcentaje en 1990 fue de 15.6%. En el 2000 se elevó el porcentaje al 21.2%. Llama p al porcentaje de alcohólicos de la población y representa con t el tiempo, medido en años, desde 1960 (t=0). a. Determina la función p=f(t) b. Calcula el porcentaje de alcohólicos proyectados en el 2008 c. Calcula el año en el porcentaje de alcohólicos llegara al 50% 12. Un grupo minorista comprará a un mayorista 45 teléfonos inalámbricos si el precio de US $ 10 cada uno y comprará 20 si el precio es de US $ 60. El mayorista ofrece 35 teléfonos a US $ 30 cada uno y 70 a US $ 50 cada uno. Suponiendo que las funciones de oferta y demanda son lineales, encuentre a. Las ecuaciones de oferta y la demanda. b. El punto de equilibrio. 13. El precio promedio p de los televisores de plasma se puede expresar como una función lineal del número de aparatos vendidos N (en miles). Además, conforme N aumentaba en mil, p caía US$10.40 y cuando se vendían 6485 aparatos (en miles), el precio promedio por aparato era de US$504.39. Escriba la ecuación de la recta determinada por esta información. 14. Suponga que el costo de una propiedad comercial es de 96 millones de pesos y una compañía quiere utilizar un programa de depreciación total en línea recta para un periodo de 20 años. Si y es el valor de la propiedad después de x años, entonces el programa de depreciación de la compañía será la ecuación de una línea que pasa por los puntos (0,96) y (20,0). Escriba la ecuación del programa de depreciación 15. El número de familias vinculadas al a un proyecto apícola en la sierra nevada de Santa Marta inicio en el 2005 con 128 familias y en el 2006 contaba con 253 familias. a. Escriba una ecuación lineal de la situación (considere a y como el número de familias y x el número de años que ha pasado desde el 2005. b. Interprete la pendiente como una tasa de cambio c. ¿Cuántas familias estarían vinculadas al proyecto en el 2010?

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16. Una compañía aseguradora que inicia labores en 1990 con 2902 afiliados y en 1998 contaba con 15230 a. Grafique la función b. Interprete la pendiente como una tasa de cambio 17. Una compañía que construye la gráfica de sus ganancias se da cuenta que la relación entre el número de unidades vendidas entre el número de unidades vendidas, x, y la ganancia p (en millones de pesos), es lineal. a. Si 200 unidades vendidas dan una ganancia de 6,2 millones de pesos y 250 unidades vendidas dan una ganancia de 12 millones de pesos, escriba la función de ganancia de esta compañía. b. Interprete la pendiente como una tasa de cambio 18. Debido al costo de la materia prima una fábrica se vio precisada en aumentar el precio de sus artículos de $2250 a $2500 lo que hizo disminuir las ventas de 400 a 280 artículos. Suponiendo que la demanda es lineal, determine cuántos artículos venderá si decide fijar un nuevo precio de $3000. 19. A un precio de $17 500 el kilo, la demanda de cierto artículo es de 450 kilos, mientras que a $15 000 por kilo la demanda es de 500 kilos. Suponiendo que la demanda es lineal a. b. c. d.

Encuentre la ecuación de la demanda. Interprete la pendiente con la tasa de cambio El número de kilos demandados a un precio de $19 000. ¿Cuál debe ser el precio para vender 550 kilos?

20. Se puede hacer una aproximación del número de hombres en la fuerza laboral (en millones) para las décadas seleccionadas de 1980 a 1990 mediante el modelo lineal determinado por la línea que conecta (1980,18.1) y (1990,18.5). a. Escriba la ecuación de la línea que conecta estos dos puntos para encontrar el modelo lineal para estos datos. b. Interprete la pendiente de esta recta como una tasa de cambio 21. Desde 1960 ha habido un crecimiento lineal en el porcentaje de alcohólicos en la población un país europeo. El porcentaje en 1990 fue de 15.6%. En el 2000 se elevó el porcentaje al 21.2%. Llama p al porcentaje de alcohólicos de la población y representa con t el tiempo, medido en años, desde 1960 (t=0). a. Determina la función p=f(t) b. Calcula el porcentaje de alcohólicos proyectados en el 2008 c. Calcula el año en el porcentaje de alcohólicos llegara al 50%

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Modelación de Función Lineal 1. Los datos de la tabla muestran el número de familias vinculadas a un proyecto apícola en la Sierra Nevada de Santa Marta desde 1999 Año 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 Nº de 128 familias a. b. c. d.

253

378

503

628

753

878

1003

1128

Escriba una ecuación lineal de la situación. Grafique la función ¿Determine el número de familias que se pronostica estarían vinculadas en el 2010? ¿Determine en qué año aproximadamente se pronostica se tendrían 2000 familias vinculadas al proyecto?

2. Debido al costo de la materia prima una fabrica se vio precisada en aumentar el precio de sus artículo, lo que repercutió en las ventas, la siguiente tabla muestra la variación de las ventas con respecto al precio Costo

2250

2300

2350

2400

2450

2500

2550

2600

2650

Venta

400

376

352

328

304

280

256

232

208

a. Suponiendo que la demanda es lineal escriba una ecuación lineal de la situación. b. Pronostique cuántos artículos venderá a un precio de $3000. c. Pronostique a qué precio no venderá nada

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Función Cuadrática La ecuación general de una función cuadrática tiene la forma y = f(x) = ax2 + bx + c, donde a, b y c R y a 0. La gráfica de la función cuadrática tiene una forma distintiva llamada parábola. Si a > 0, la parábola abre hacia arriba y si a < 0, abre hacia abajo. La línea vertical que pasa por el vértice de una parábola recibe el nombre de eje de simetría porque una mitad de la gráfica es un reflejo de la otra mitad a través de esta otra línea. La ecuación del eje de simetría es

x

b 2a

El valor óptimo (ya sea máximo o mínimo) de la función se alcanza en x

b b y es f . 2a 2a

El vértice, es el punto donde la parábola da la vuelta, es el punto mínimo si a > 0 y un punto máximo si a < 0. La función cuadrática tiene su vértice en b b ,f 2a 2a

Los interceptos de x de la gráfica de una función y = f(x) son los valores de x para los cuales f(x) = 0 llamados los ceros de la función. Los ceros de la función cuadrática son las soluciones de la ecuación cuadrática que se obtienen

x

b

b2 2a

4ac

Ejercicio-1. Encuentre el vértice, el valor óptimo y determine si hay un valor máximo o mínimo, y halle los interceptos de las siguientes funciones. 1. y=x2 + 4x + 4 2. y=x2 - 6x + 4 3. y=x2 – 4 4. y=x - x2 5. 2 y=-2x2 +18x Ejercicio-2 Determine las ecuaciones cuadráticas que pasan por los puntos indicados: 1. (1,8) (3,20) y (-2,5) 2. (1,-1) (-3,33) (2,-8) 3. (0,-4) (3,5) y (-2,0) Manual de Cálculo Diferencial – José F. Barros Troncoso

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Problemas de Aplicación de Función Cuadrática Resuelva cada uno de los siguientes problemas: 1. La función ganancia por la venta de x unidades producidas de un producto está dada por g(x) = 180x + 0.012-200. ¿Qué nivel de producción maximiza la ganancia? ¿cuál es la máxima ganancia posible? Grafique la función. 2. En cierta fábrica, el costo total de fabricar q unidades durante la jornada de producción diaria es ¿Qué cantidad de unidades maximiza el costo de producción? ¿cuál es el máximo costo de producción posible? Grafique la función. 3. Con base en la experiencia se ha determinado que aproximadamente unidades se producen durante las primeras t horas de una jornada de producción. ¿A qué hora se maximiza la producción? ¿cuál es la máxima producción posible? Grafique la función. 4. Se determine la ganancia diaria de la venta de un producto por medio de P 16 x 0.1x2 100 dólares. ¿Qué nivel de producción maximiza la ganancia? ¿cuál es la máxima ganancia posible? 5. La ganancia diaria de la venta de x unidades de un producto es P 80x 0.4x2 200 ¿Qué nivel de producción maximiza la ganancia? ¿Cuál es la máxima ganancia posible? 6. Si la ganancia de la venta de x unidades de un producto es P=90x-200-x2 determine: a. El número de unidades que maximizará la ganancia (Eje de simetría) b. El valor óptimo (¿máximo o mínimo?) c. Grafique la función 7. La función oferta para un producto está dada por la ecuación , donde f(p) es la cantidad ofertada y p es el precio. a) Grafique la función. b) ¿Cuál es la máxima cantidad que se puede ofertar? c) ¿Qué cantidad debe ser ofertada a un precio de $100. 8. Supóngase que una empresa ha descubierto que la cantidad demandada de uno de sus productos depende del precio. La función que describe esta relación es , donde q es la cantidad demandad en miles de unidades y p indica el precio en dólares. El ingreso total R logrado con la venta de q unidades se formula como el producto p por q. a) Grafique la función. b) Determine el ingreso total correspondiente al precio de $10. 9. El rendimiento de un huerto de árboles de naranja se determina mediante y 800 x x 2 , donde x es el número de árboles de naranja por acre (40 hectáreas) ¿cuántos árboles maximizarán el rendimiento?

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10. Si se utilizan 100 pies de cerca para cercar un patio rectangular, entonces el área resultante se determina por medio de A x 50 x , donde x pies es el ancho del rectángulo y 50-x pies es la longitud. Determine la longitud y el ancho que dan el área máxima. 11. La dueña de un edificio de departamentos puede rentar el total de 50 departamentos si cobra $600 por mes, pero renta un departamento menos por cada incremento de 20 pesos en la renta mensual. a. Elabore una tabla que de el ingreso generado si cobra $600, $620 y $640 b. ¿Su ingreso derivado de la renta de departamentos aumenta o disminuye conforme incrementa la renta de $600 a $640? c. Escriba una ecuación que de el ingreso por la renta de departamentos si amplia x incremento de $20. d. Encuentre la renta que debe cobrar para maximizar su ingreso. 12. El propietario de una pista de patinaje renta la pista para fiestas en $600 si asiste 50 o menos patinadores de modo que el costo por persona es de $12 si asisten 50. Por cada 5 patinadores sobre 50 reduce $0.50 por patinador. a. Elabore una tabla que del ingreso generado si asisten 50, 60 y 70 patinadores. b. ¿El ingreso del dueño derivado de la renta de la pista se incrementa o se reduce conforme aumente el número de patinadores de 50 a 70? c. Escriba una ecuación que describa el ingreso de las fiestas con más de 50 patinadores. d. Encuentre el número de patinadores que maximizara el ingreso. 13. Trace las gráficas en el primer cuadrante de lo siguiente, en el mismo sistema de ejes. 1 2 q 10 a. La función oferta cuya ecuación es: p 4 b. La función demanda cuya ecuación es p 86 6q 3q 2 c. Identifique el punto de equilibrio en el mercado (demanda igual a la oferta). d. Determine algebraicamente el punto de equilibrio para las funciones de oferta y demanda 14. Si en un mercado de monopólico, la función de demanda de un producto es p= 175 – 0.50x y la función ingreso es R=px, donde p es el precio y x es el número de unidades vendidas. Determine. La función ingreso y el precio que maximizará el ingreso. 15. La función oferta f(p) para un producto es cuadrática. Tres puntos que se encuentran en ella son (60,2750), (70,6000) y (80,9750) a. Determine la ecuación de la función b. Determine y calcule el valor máximo o mínimo relativo c. Calcule e interprete la intersección con x d. ¿qué cantidad se ofrecerá a un precio de $75? 16. La función oferta f(p) para un producto es cuadrática. Tres puntos que se encuentran en ella son (30,1500), (10,3600) y (50,6300)

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a. b. c. d.

Determine la ecuación de la función Determine y calcule el valor máximo o mínimo relativo Calcule e interprete la intersección con x ¿qué cantidad se ofrecerá a un precio de $60?

17. La función oferta f(p) para un producto es cuadrática. Tres puntos que se encuentran en ella son (40,600), (50,3300) y (80,15000) a. Determine la ecuación de la función b. Determine y calcule el valor máximo o mínimo relativo c. Calcule e interprete la intersección con x d. ¿qué cantidad se ofrecerá a un precio de $100? 18. La función demanda f(p) para un producto es cuadrática. Tres puntos que se encuentran en ella son (10,2700), (20,1200) y (30,300). Determine la ecuación de la función correspondiente a la función demanda. ¿qué cantidad demandará a un precio de $25? 19. La función demanda f(p) para un producto es cuadrática. Tres puntos que se encuentran en ella son (5,1600), (10,900) y (20,100). Determine la ecuación de la función correspondiente a la función demanda. ¿qué cantidad demandará a un precio de $15? 20. La función demanda f(p) para un producto es cuadrática. Tres puntos que se encuentran en ella son (10,3800), (30,1000) y (15,2800). Determine la ecuación de la función correspondiente a la función demanda. ¿qué cantidad demandará a un precio de $25? Modelación de Función Cuadrática 1. La siguiente tabla da los ingresos totales de una empresa de comunicaciones para años seleccionados Año 1992 Ingresos 63.13 (millones)

1993 69.9

1994 60.53

1995 61.1

1996 62.19

1997 63.08

1998 64.9

1999 67.15

a. Encuentre la ecuación b. Use la función para encontrar el año en que el ingreso fue mínimo y encuentre el ingreso mínimo. c. Compruebe los datos contra los datos de la tabla d. Trace la gráfica

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2. Los datos de la tabla dan los ingresos de las ventas así como los costos de un empresa para varios años

Año Ingreso x venta Costos y gastos

1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2.6 2.7 2.9 3.3 3.9 4.5 4.8 5.1 4.9 4.7 2.41

2.44

2.63

2.94

3.53

3.81

4.25

4.87

4.9

4.9

a.Encuentre las ecuaciones: De ingreso por venta con respecto al número de años De costos y gastos con respecto al número de años b. Use la función para: Determinar el año en que ocurre el ingreso máximo y la ganancia máxima que se pronostica c.Trace la gráfica de la función Costos y Gastos d. A lo largo de los años 2000 al 2010 ¿La función proyecta ganancias crecientes o decrecientes? Funciones con Tecnología Utilice la hoja de cálculo Excel para representar, tabular y graficar cada una de las siguientes funciones:

f(x) = 2x2+1

f(x) = 3x2+ 2x

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f(x)= x2+2x-1

f(x) = 2x + 1 2

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Función Exponencial Si a es un número real talque a >0 y a ≠1, entonces la función f(x)= a exponencial.

x

es una función

Consideremos la gráfica de la función y=2x, que modela el crecimiento de diversas aplicaciones

Una función especial que se presenta con frecuencia en economía es número irracional fijo (aproximadamente 2.71828…).

, donde ℮ es un

Las funciones exponenciales de base e con frecuencia aparecen de manera natural, el crecimiento del dinero que se capitaliza continuamente se obtiene mediante la fórmula , donde P es el capital original, r la tasa de interés y t el tiempo en años. El número e aparecerá como la base de la mayor parte de las funciones exponenciales que puedan encontrarse. Las funciones de la forma exponencial.

f(x)=a-x y f(x) = e-kx representan funciones de decaimiento

Ejercicios 1. Emplear la calculadora para hallar las potencias indicadas de e (aproximar la respuesta en 3 decimales) 100.5 e2

8-2.6 e-2

31/3 e0.05

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5-2/3 e-0.5

2 x 5-2/3 1 – e-0.5 + 1.2

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Aplicación 2. Interés compuesto capitalizado Si se invierten P dólares a una tasa de interés anual r (expresada en decimal) y el interés se capitaliza k veces por año, el saldo B(t) después de t años será

Supóngase que se invierten us$5 000 a una tasa de interés anual del 10%. Calcular el saldo después de 10 años si el interés se capitaliza: Anualmente, Semestralmente y diariamente (365 días) ¿Qué encuentra? 3. Interés capitalizado continuamente Si se invierten P dólares a una tasa de interés anual r (expresada en decimal) y el interés se capitaliza continuamente, el saldo B(t) después de t años será Supóngase que se invierten us$5 000 a una tasa de interés anual del 10%. Calcular el saldo después de 10 años si el interés se capitaliza continuamente 4. Supóngase que se invierten 5 millones de pesos a una tasa de interés anual del 7%. Calcular el saldo (en millones) después de 10 años si el interés se capitaliza: Anualmente, Semestralmente, diariamente y continuamente (365 días) ¿Qué encuentra? 5. Si se prestan P dólares durante N meses, con capitalización mensual a una tasa de interés anual r (expresada en decimal), el préstamo puede pagarse con cuota mensual de

, donde i es el pago del interés por periodo. Determinar la cuota mensual para comprar un automóvil nuevo que cuesta 35 millones de pesos, si la cuota inicial es de 10 millones y el resto se financia a un periodo de 5 años a una tasa anual de 6% capitalizada mensualmente (nótese que i= ) 6. Para comprar una casa se hace un préstamo de 150 millones de pesos al 9% de interés anual, capitalizado mensualmente durante 30 años ¿cuánto debe pagarse mensualmente para amortizar la deuda. 7.

Si se invierten $10.000 con una tasa de interés del 6% compuesto mensualmente, entonces el valor futuro de la inversión después de x años esta dado por . Encuentre el valor futuro de la inversión después de 5 años y de 30 años. 8. El poder adquisitivo P de un ingreso fijo de $30 000 anuales (como pensión) después de t años, con una inflación de 4% puede modelarse por medio de la fórmula Encuentre el poder adquisitivo después de 5 años y 20 años Manual de Cálculo Diferencial – José F. Barros Troncoso

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9. El número de fondos mutuos N, excluyendo los fondos del mercado monetario, para los años seleccionados de 1978 a 2000, se pueden modelar por medio de Donde t es el número de años que han pasado desde 1975. a. Use el modelo para calcular el número de fondos mutuos en 1990 b. Use el modelo para calcular el año en que el número de fondos mutuos llegará a 20 000. 10. Si se invierte p dólares a un de interés compuesto continuamente r, el valor futuro s en un periodo t (en años) está dado por

S

r t p100

¿Cuál sería el importe S del $1 000 000 con la misma tasa de interés en 30 meses 11. Se proyecta que dentro de t años la población de cierto país será P(t)=50e0.02t millones de habitantes. ¿Cuál era la población al iniciar el estudio? ¿Cuál será la población después de 10 años? 12. Cierta máquina industrial se deprecia de manera que su valor después de t años es Q(t) = 20 000 e-0.4t dólares. ¿Cuál será el valor de la máquina después de 5 y 10 años? ¿Qué encuentra? 13. La demanda de consumo de cierto artículo es D(p) = 3 000 e-0.01p unidades por mes cuando el precio de mercado es p dólares por unidad. Encuentre la demanda con respecto para p=100 y p=200. ¿Qué significa? ¿qué encuentra? 14. Después de terminar una campaña publicitaria, las ventas de un producto están dadas por S = 100 000 e-0.5t, donde S representa las ventas semanales en dólares y t es el número de semanas desde el final de la campaña. Encuentre la venta 1 mes después de culminar la campaña publicitaria. 15. Suponga que el costo total en dólares de producir x unidades de un producto se determina por medio de C(x) = 10 000 + 20x ex/600. Encuentre el costo de producir 600 unidades. 16. Un editor de una casa editorial estima que si distribuyen x miles de ejemplares de cortesía a maestros, las ventas de un libro nuevo durante el primer año serán aproximadamente f(x) = 20 – 15e-0.2x miles de ejemplares. Encontrar las ventas si se distribuyen 1000 ejemplares de cortesía. 17. La función del ingreso para cierto producto está dada por la función R(x) = 25xe(1-0.01x) donde R(x) es el ingreso en miles de dólares por la venta de x productos. Encuentre el ingreso cuando se venden 75 mil unidades y explique lo significa. Manual de Cálculo Diferencial – José F. Barros Troncoso

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18. Cuando cierta maquinaria industrial tenga t años, su valor de reventa será V(t) = 4 800 a. ¿Cuál era el valor de la maquinaria cuando estaba nueva? b. ¿Cuál será el valor de la maquinaria después de 10 años? 19. Un fabricante de juguetes descubrió que la fracción de sus buques petroleros de juguetes de pilas, que se hunden en menos de t días es aproximadamente f(t)= 1-e-0.03t. a. ¿Qué fracción de los buques petroleros puede esperarse que flote al menos 10 días? b. ¿Qué fracción de los buques petroleros puede esperarse se hundan entre el día décimo quinto y vigésimo? 20. Un estudio estadístico indica que la fracción de tostadores eléctricos fabricados por determinada compañía, que aún están en condiciones de trabajo después de t años de uso es f(t)=e-0.2t. a. ¿Qué fracción de tostadores puede esperarse que funcionen al menos 3 años? b. ¿Qué fracción de tostadores puede esperarse se dañen durante el tercer año? c. ¿Qué fracción de tostadores puede esperarse se dañen antes de un año de uso?

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Funciones Logarítmicas Los logaritmos fueron introducidos en las matemáticas con el propósito de facilitar, simplificar o incluso, hacer posible complicados cálculos numéricos. Utilizando logaritmos podemos convertir: productos en sumas, cocientes en restas, potencias en productos y raíces en cocientes. Se llama logaritmo en base a del número x al exponente b al que hay que elevar la base para obtener dicho número.

Donde a Є R, a > 0 y a ≠ 1, a se denomina base del sistema de logaritmos. que se lee : "el logaritmo en base a del número x es b" , o también : "el número b se llama logaritmo del número x respecto de la base a " . Un logaritmo no es otra cosa que un exponente. Propiedades

Tipos de Logaritmos Logaritmos Comunes: También llamados decimales o vulgares son los que tienen por base el número 10. Se escriben log10 x = log x Logaritmos Naturales: También llamados Neperianos o hiperbólicos tienen por base el número e. Se escriben loge x = ln x Ejercicio-5 Escriba cada ecuación en forma exponencial 4 = log2 16

4 = log3 81

Despeje x escribiendo las ecuaciones en forma exponencial

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Escriba cada ecuación en forma logarítmica 25 = 32

53 = 125

4-1 =

91/2 = 3

Escriba cada expresión como la suma o diferencia de dos funciones logarítmicas que no contienen exponentes Ln (x + y)(4x + 5)

Use la calculadora para determinar

Aplicación 1. Digamos que la función demanda para un producto está dada por

a. ¿Cuál será el precio si se demandan 19 unidades? b. ¿Cuántas unidades serán demandadas si el precio es de 29. 4? 2. Suponga que el costo total (en dólares) para un producto está dado por C(x) = 1500 + 200 ln(2x +1) , donde x es el número de unidades producidas a.¿Cuál será el costo de producir 200 unidades? b.¿Cuántas unidades se producirán con 3000 dólares? 3. El ingreso total en dólares por la venta de x unidades de un producto está dado por R(x) = Encuentre el ingreso cuando se venden 100 y 200 unidades e interprete el resultado 4.

Suponga que la oferta de x unidades de un producto a un precio p de dólares esta dado por P = 10 + 50 ln(3x + 1). a. Encuentre el precio de oferta cuando el número de unidades es 33. b. ¿Cuántas unidades se ofrecen a un precio de 300 dólares

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5. La función demanda de un producto está dada por p =

donde p es el precio

unitario en dólares cuando se demandan x unidades. Encuentre el precio con respecto al número de unidades vendidas cuando se venden 40 y 90 unidades ¿qué encuentra? 6. El decaimiento de las ventas para un producto se obtiene por medio de , donde S es la venta semanal (en dólares) y x es el número de semanas que han transcurrido desde que terminó la campaña publicitaria. Determinar a. Las ventas dos meses después de culminar la campaña publicitaria. b. El número de semanas que deben pasar después de culminar la campaña publicitaría para que las ventas caigan por debajo de los US$15 000. 1. Las Naciones Unidas han pronosticado la población mundial de 1995 a 2150. Usando estas proyecciones se puede modelar la población mundial (en millones) con la ecuación Donde x es el número años transcurridos desde 1990. a. Suponga que en 1990 la población mundial fue de 4 155 millones de habitantes. Use este modelo para encontrar cuántos años pasaran antes de que se duplique la población de 1990. b. Según el modelo ¿cuál será la población en el 2008? 2. El valor V de un objeto a los t años de su adquisición se puede modelar con la expresión , 0 ≤ t ≤ 10 Determine el valor del objeto 5 años después de adquirido. a. Cuánto tiempo debe pasar para que un objeto disminuya su valor en $10000 3. El producto interno bruto (PIB) de cierto país (dado en millones de dólares) de us $ 100 millones en 1980 a us$165 millones dólares en 1990. Suponiendo que el PIB crece exponencialmente ¿cuál será el PIB en el año 2000? 4. El número total de hamburguesas vendidas (dad en millones) por una cadena nacional de comidas rápidas crece exponencialmente. Si se vendieron 4000 millones en 1986 y 12000 en 1991. ¿cuántas se venderán en el 2008? 5. Si se invierte p dólares a un de interés compuesto continuamente r, el valor futuro s en un periodo t (en años) está dado por

S

r t p100

¿En cuánto tiempo se duplica una inversión de $1 000 millones con una tasa de interés del 8.5%?

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TALLER DE CÁLCULO DIFERENCIAL TEMA: Función Exponencial y Función Logarítmica 21. Calcule el valor de la potencia y exprese en forma logarítmica Potencia

Logarítmica

Potencia

Logarítmica

54

22. Escriba cada ecuación en forma exponencial Logarítmica log3 27=3

Exponencial

Logarítmica log3 243=5

Exponencial

= 23. Indique el valor de x escribiendo las ecuaciones en forma exponencial Expresión

Valor de x

Expresión

Valor de x

24. Escriba cada expresión como la suma o diferencia de dos funciones logarítmicas que no contienen exponentes Expresión

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Equivalencia

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25. Use la calculadora para determinar Expresión

Resultado

Expresión

Resultado

26.El decaimiento de las ventas para un producto se obtiene por medio de , donde S es la venta semanal (en dólares) y x es el número de semanas que han transcurrido desde que terminó la campaña publicitaria. Determinar: a. Las ventas dos meses después de culminar la campaña publicitaria. b. El número de semanas que deben pasar después de culminar la campaña publicitaría para que las ventas caigan por debajo de los US$15 000. Funciones con Tecnología Utilice la hoja de cálculo Excel para representar, tabular y graficar cada una de las siguientes funciones: f(x) = 2(x3) f(x) = 3-2x f(x)= e-x f(x) = 50(1+e10x) f(x)=

f(x)=14.1 ln(x)

f(x)=ln (x-3)

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f(x)=

f(x)=

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FUNCIÓN POR PARTES O POR TROZOS Algunas funciones por su estructura difiere su criterio para ciertos valores de la variable independiente (variable “x”), esto hace que en muchos casos se necesite hacer un estudio particular de las mismas. Por estas variaciones en su criterio se les define como funciones por partes o a trozos. Ejemplo

a. g(x) =

(x + 2)3 + 1 Si x ≤ -1 3

b. f(x)=

Si x > -1

4 – x2 Si x < 2 x – 2 Si x ≥ 2

Aplicación 1. El cargo mensual en dólares por x kilowatio/hora de electricidad se obtiene por la función C(x )=

10 + 0.094x Si 0≤ x ≤ 100 19.4 + 0.075(x – 100) Si 100 < x ≤ 500 49.40 + 0.05(x-500) Si x < 500

Calcule el cargo mensual si se consumen: a. 30 kilowatio/hora b. 150 kilowatio/hora

c. 1200 kilowatio/hora

2. Los fondos presupuestales para los programas educativos (en miles de millones de dólares) entre 1965 y el 2000 se modelaron con la función P(t)=

1.965t – 5.65

cuando 5

t

0.095t2 – 2.925t + 54.15

cuando 20< t

20 40

Donde t es el número de años que han pasado desde 1960. Determine el presupuesto para los programas de educación en 1980 y el 2007. 3. Los cargos mensuales (en dólares) de x kilowatts hora(Kwh) de electricidad usada por un cliente comercial se determina por medio de la siguiente función: 7.52 + 0.1079x 19.22 + 0.1079x C(x) = 20.795 + 0.1058x 131.345 + 0.0321x

si 0 x 5 si 5<x 750 si 750<x 1500 si x>1500

Encuentre los cargos mensuales para los siguientes consumos. a. 800 Kwh b. 2750 Kwh c. 5 Kwh d. 6 Kwh

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LIMITE ¿Qué se entiende por límite? De ordinario hablamos del precio límite, de la velocidad límite, del límite de nuestra propia resistencia, los límites de la tecnología moderna o de estirar un muelle hasta el límite. Todas esas frases sugieren que el límite es una especie de cota que a veces puede no ser alcanzable y otras no sólo es alcanzable sino superable. A través del límite se pueden visualizar los cambios en el rendimiento por pequeños números de unidades, podemos obtener acerca de la tasa de cambio instantánea, se convierte en el puente matemático de las tasas de cambio promedio a las tasas instantáneas. Se ha utilizado la notación f(c) para indicar el valor de una función f(x) en x=c. Si se tiene que analizar un valor al que se aproxime f(x) conforme x se aproxime a c se usa la idea de de limite Si f(x)= x2-x – 6 = (x – 3) (x + 2) = x + 3 x+2 x+2 x = -2 no está en el dominio de f(x), es decir f(-2) no existe, si tomamos valores próximos a -2 x f(x)

-3 -6

-2.5 -5.5

-2.2 -5.2

-2.1 -5.1

-2

-1.9 -4.9

-1.8 -4.8

-1.5 -4.5

-1 -4

Suponga que f(x) es una función definida en un intervalo abierto que contiene a c excepto quizás a c, entonces: Lim f(x) = L x c Se lee “el límite de f(x) cuando x tiende a c es igual a L”. El limite L existe si podemos hacer que valores de f(x) estén tan cerca de L como lo deseemos, eligiendo valores de x suficientemente cercanos a c. Si los valores de f(x) no se aproximan a solo valor finito L cuando x tiende a c decimos que no existe el limite Límites Laterales Limite por la derecha:

Lim f(x) = L x c+

Significa que los valores de f(x) se aproximan al valor L cuando x Limite por la izquierda

c, aunque x > c.

Lim f(x) = M x c-

Significa que los valores de f(x) se aproximan al valor M cuando x

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c, aunque x < c.

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Consideraciones Especiales El límite de una función cuando x tiende a c es independiente del valor de la función en c, cuando existe Lim f(x) = L cuando x c, el valor de la función en c puede ser: Igual al límite, Indefinido o definido pero diferente al límite. Se dice que el límite existe solo si L es un valor finito (número real) Propiedades de los Límites Si k ε R, Lim f(x) = L x c

y Lim f(x) = M x c-

Lim k = k x c-

Lim [f(x) . g(x)] = L . M x c

Lim x = c x c Lim L x M

Lim [f(x) ± g(x)] = L + M x c f(x) =

c

,M ≠ 0

x

c

x

c

g(x)

Ejercicios-1 Utilice las propiedades de límite y métodos algebraicos para encontrar los límites existentes

Limites Indeterminados Si Lim f(x) = Lim g(x) =0 cuando x tiende a c, entonces la expresión racional que tiene la forma en x=c. Podemos factorizar x – c en f(x) y g(x), simplificar la fracción y después encontrar el límite de la expresión resultante. Si Lim f(x) ≠ 0 y Lim g(x) =0 cuando x tiende a c, entonces

no existe. En este caso,

los valores de f(x) / g(x) son ilimitados cerca de x=c. Ejercicio Calcule cada limite si existe

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Continuidad en un punto La función f es continua en x = c si se satisfacen todas las condiciones siguientes 1. f(c): exista 2. Lim f(x) cuando x tienda a c exista 3. Lim f(x) = f(c), cuando x tienda a c exista Si no satisface una de las tres condiciones decimos que la función es discontinua en c Toda función polinómica es continua para todos los números reales. Toda función racional es continua en todos los valores de x excepto en aquello cuyo denominador es cero. Ejercicio-1 Encuentre los valores de x donde las siguientes funciones son discontinuas

Ejercicio-2 Determine si cada función es continua o discontinua en el de x dada

x + 2, >0

4x - 7, x >2

Límite de las Funciones Definidas por Partes El límite de una función por partes o por trozos f(x) existe, si el límite de f(x) cuando x tiende a c por la izquierda es igual al límite f(x) cuando x tiende a c por la derecha. Es decir:

Lim f(x)== L x c+

=

Lim f(x) = M x c-

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Determine si los límites de cada función existen (x + 2)3 + 1 Si x ≤ -1 a. f(x) =

4 – x2 Si x < 2 b. g(x)=

1-x

Si x > -1

x–2

Si x ≥ 2

Ejercicios

Problemas de Aplicación 1. El costo total de la producción de x litros de un determinado producto viene dado por a.Encuentre ) b.¿Cuál es el significado de cada expresión? c.Compare los resultados e interprételos 2. Como resultado de los avances tecnológicos en la producción de calculadoras cada vez más poderosas y compactas, cae el precio de las que existen en el mercado hoy en día. Si suponemos que dentro de “x” meses, el precio de cierto modelo será , dólares. a.Encuentre ) b.¿Cuál es el significado de cada expresión? c.Compare los resultados e interprételos 3. Durante los primeros cuatro meses en su empleo; las ventas mensuales S (en miles de dólares) de un vendedor nuevo dependen del número de horas x de capacitación de la siguiente manera: ,x≥4 Manual de Cálculo Diferencial – José F. Barros Troncoso

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a.Encuentre , b.¿Cuál es el significado de cada expresión? c.Compare los resultados e interprételos 4. Las ventas y ( en miles de dólares) se relacionan con los gastos de publicidad x ( en miles de dólares) según , x ≥ 10 a.Encuentre , b.¿Cuál es el significado de cada expresión? c.Compare los resultados e interprételos 5. Suponga que la demanda de q unidades de un producto cuyo precio es $p por unidad se describe por medio de

a.Encuentre , b.¿Cuál es el significado de cada expresión? c.Compare los resultados e interprételos 6. Suponga que la demanda de q unidades de un producto cuyo precio es $p por unidad se describe por medio de

a.Encuentre , b.¿Cuál es el significado de cada expresión? c.Compare los resultados e interprételos 7. Suponga que la demanda de q unidades de un producto cuyo precio es $p por unidad se describe por medio de

a.Encuentre , b.¿Cuál es el significado de cada expresión? c.Compare los resultados e interprételos 8. Suponga que el precio p (en dólares) de un producto se determina, mediante la función , donde x son las unidades demandadas. a. Encuentre , b. ¿Cuál es el significado de cada expresión? c. Compare los resultados e interprételos

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9. El cargo mensual en dólares por x kilowatio/hora de electricidad se obtiene por la función 10 + 0.094x Si 0≤ x ≤ 100 C(x )= 19.4 + 0.075(x – 100) Si 100 < x ≤ 500 49.40 + 0.05(x-500) Si x < 500 Encuentre el límite del cargo mensual cuando el consumo tiende a 100 y a 500 Kilowatio/hora 10.Los fondos presupuestales para los programas educativos (en miles de millones de dólares) entre 1965 y el 2000 se modelaron con la función P(t)=

1.965t – 5.65

cuando 5

t

0.095t2 – 2.925t + 54.15

cuando 20< t

20 40

Donde t es el número de años que han pasado desde 1960. Encuentre el límite del presupuesto cuando se aproxima a 1980. 11. Los cargos mensuales (en dólares) de x kilowatts hora(Kwh) de electricidad usada por un cliente comercial se determina por medio de la siguiente función: 7.52 + 0.1079x 19.22 + 0.1079x C(x) = 20.795 + 0.1058x 131.345 + 0.0321x

si 0 x 5 si 5<x 750 si 750<x 1500 si x>1500

Determine si los límites del cargo mensual cuando el consumo tiende a 5, 750 y 1500 existe. Limites Infinitos Al evaluar la función f(x) = 1 / x, para valores de x muy grandes, f(x) nunca se vuelve negativo, aunque ningún valor de x hace que 1 / x sea igual a cero, es fácil ver que 1 / x se aproxima a cero a medida que x se hace más grande, lo anterior se denota Lim x

∞

1=0 x

Propiedades Si c es cualquier constante entonces Lim

c=cy

Lim

c=c

x

+∞

Lim

c =0, donde p>0 p +∞ x

x

x

-∞

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Lim x

-∞

c =0, donde n>0 xn

Ejercicio-3 Evaluar cada límite

Problemas de Aplicación 1. Suponga que el número promedio de minutos M que requiere un empleado nuevo para ensamblar una unidad de un producto está dado por

, donde t es el número de días en el trabajo. a. Encuentre b. ¿Cuál es el significado de la expresión? c. Interprete el resultado. 2. Suponga que la demanda de un producto se define mediante Donde p es el precio y q es la cantidad solicitada a. Encuentre b. ¿Cuál es el significado de la expresión? c. Interprete el resultado. 3. El número de estudiantes por computador en las escuelas públicas de Estados Unidos se puede modelar con la función

, donde x es el número de años que han transcurrido desde el año escolar que finalizo en 1981 a.Encuentre b.¿Cuál es el significado de la expresión? c.Interprete el resultado.

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4. El volumen de ventas, y (en miles de dólares), se relaciona con los gastos de publicidad x(en miles de dólares) según

a.Encuentre b.¿Cuál es el significado de la expresión? c.Interprete el resultado. 5. El porcentaje p de impurezas que se puede eliminar de las aguas residuales de un proceso de fabricación con un costo C dólares se obtiene mediantes Encuentre a.¿Cuál es el significado de la expresión? b.Interprete el resultado. 6. Suponga que el costo C de eliminar el porcentaje p de impurezas de aguas residuales de un proceso de fabricación se obtiene con

a.Encuentre b.¿Cuál es el significado de la expresión? c.Interprete el resultado. 7. Como resultado de los avances tecnológicos en la producción de calculadoras cada vez más poderosas y compactas, cae el precio de las que existen en el mercado hoy en día. Si suponemos que dentro de “x” meses, el precio de cierto modelo será

, dólares. a.Encuentre ) b.¿Cuál es el significado de cada expresión? c.Interprete el resultado 8.

Si el costo total de producción de “q” artículos en una empresa está dado por C(q) = 7,000 +10q en dólares, determine el costo promedio, cuando el nivel de producción crece continuamente.

9. Una compañía fabricante de computadoras contrató a un aprendiz para enseñarle a evaluar cierto modelo de computadora personal, después de salir de la ensambladora. La curva de aprendizaje para un aprendiz promedio está dada por

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, donde “N” es el número de computadoras evaluadas por día, después de “t” días en el trabajo. ¿Cuántas computadoras pueden ser evaluadas por una persona, cuando el tiempo tienda al infinito? 10. Una compañía está intentando dar a conocer, un nuevo producto a tantas personas como sea posible, mediante comerciales de televisión, en una gran área metropolitana, con 2,5 millones de posibles espectadores. Un modelo del número de personas “N”, en millones, quienes conocen el producto después de “x” días de publicidad, se encuentra con ¿A cuánto tiende la cantidad de personas conocedoras del producto, cuando el tiempo tienda a infinito?

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TALLER DE CÁCULO DIFERENCIAL TEMA: LÍMITES 1. Determine el límite de cada función tabulando los datos a. b. 2. La gráfica muestra la función y= x3 - 1, use la gráfica para calcular el límite de f(x) cuando x toma valores próximos a 1 y a 0

3. La gráfica muestra la función y=x2+2x , Use la gráfica para calcular el límite de f(x) cuando x toma valores próximos a -2, -1 y 0

4. Calcule cada uno de los siguientes límites a. b. c. d.

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2x+1, Si x>3 e. 10-x, Si x 3

, Si x<2 f. 10, si x

g. h. Problemas de Aplicación 1. Suponga que las ventas diarias S (en dólares), t días después de terminar una campaña publicitaría son a.Encuentre b.¿Qué significa cada expresión? c.Compare los resultados e interprételos 2. Suponga que el volumen de ventas semanales (en miles de unidades) para un producto está dado por

, donde p es precio unitario en dólares a. Encuentre b. ¿Qué significa cada expresión? c. Compare los resultados e interprételos Limites con Tecnología Use el Excel para tabular, graficar y calcular el valor de cada límite.

4.

5.

6.

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LA DERIVADA La derivada de una función se puede utilizar para determinar la tasa de cambio de la variable dependiente con respecto a la variable independiente. A través de la derivada se puede obtener la ganancia, el costo y el ingreso, dadas las respectivas funciones de ganancia, costo total e ingreso total, además de otras tasas de cambio como de la tasas de cambio de las poblaciones y de la velocidad. También se puede utilizar para hallar la pendiente de una tangente a una curva en un punto sobre la curva. Además la derivada es utilizada para minimizar el costo promedio, maximizar el ingreso total y maximizar la ganancia. La tasa de cambio promedio de una función y=f(x) de x=a a x=b está definida por:

Según la figura la tasa de cambio promedio es igual a la pendiente del segmento (a , f(a))y (b , f(b)) Ejercicio-1 Suponga que el costo total en dólares de una compañía por producir x unidades esta dado por C(x)= 0.01x2+25x+1500. Encuentre la tasa de cambio del costo total para: Las primeras 100 unidades producidas (x=0 a x= 100) Las segundas 100 unidades producidas Tasa de cambio instantánea Suponga que un objeto que se mueve en línea recta tiene su posición y en un momento x dado por y=f(x). Entonces, la velocidad del objeto en el momento x es:

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,si este límite existe Ejercicio-2. Suponga que se lanza directamente hacia arriba una pelota de modo que su altura f(x) (en pies) se obtiene mediante la ecuación f(x)=96+64x-16x2 Encuentre la velocidad promedio de x=1 a x=1+h DERIVADA Si f es una función definida por y=f(x), entonces la derivada de f(x) para cualquier valor de x, denotada f`(x), es

Si este límite existe. si f`(c) existe, decimos que f es diferenciable en c. Ejercicio-3 Encuentre la derivada de cada función f(x) = 2x

b. f(x) = x2

c. f(x) = x3+1

d. f(x) = 3x2-2x+1

Ejercicio-4 La función ingreso total de un producto está dada por R=R(x), donde x es el número de unidades vendidas. Entonces el ingreso marginal para x unidades es:

Suponga que el ingreso de una compañía petrolera (en miles de dólares) está dado por

Donde x es el número de miles de barriles de petróleo que se venden diariamente. Encuentre la función que da el ingreso marginal para cualquier valor de x. Encuentre el ingreso marginal cuando se venden 20 000 barriles, es decir x=20. La Pendiente de la Tangente A la gráfica y=f(x) en el punto A(x1,f(x1) es

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Si ese límite existe. ES decir, m=f´(x), la derivada en x=x1. Ejercicio-5 Encuentre la pendiente de y=f(x)=x2 en el punto (2,4) Fórmulas de la Derivada Si f(x)=k, k ЄR entonces f´(x)=0 Si f(x)=x entonces f´(x)=1 Si f(x)=kx entonces f´(x)=k Si f(x)=xn entonces f´(x)=nxn-1 Si f(x) = [g(x) ± h(x)] entonces f´(x)=g´(x) ± h´(x) Si f(x) = [g(x).h(x)] entonces f´(x)=g´(x).h(x) + g(x).h´(x) Si Problemas de aplicación 1. El costo (en dólares) de producir x unidades de cierto artículo es C(x)=5000 + 10x + 0.05x2. Halle el costo marginal (Es decir la razón de cambio de C con respecto a x, cuando x=100. 2. El costo, en dólares, para producir x pares de jeans es C(x)=200 + 3x + 0.01x2+0.0002x3 a.Encuentre la función costo marginal. b.Halle C`(100) y explique su significado. ¿Qué pronostica? c.Calcule C(101) – C(100) d.Compare los resultados de los encisos b y c. ¿Qué encuentra? 3. La función costo de un artículo es C(x)=84 + 0.16x – 0.0006x2 + 0.000003x3 a. Encuentre la función costo marginal. b. Halle C`(100) y explique su significado. ¿Qué pronostica? c. Calcule C(101) – C(100) d. Compare los resultados de los encisos b y c. ¿Qué encuentra? 4. El costo, en dólares, para producir x pares de jeans es C(x)=920 + 2x – 0.02x2+0.00007x3 a. Encuentre la función costo marginal. b. Halle C`(100) y explique su significado. ¿Qué pronostica?

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c. Calcule C(101) – C(100) d. Compare los resultados de los encisos b y c. ¿Qué encuentra? Aplicación de la Derivada 1.

Suponga que un mayorista espera que su ingreso mensual por la venta de televisores pequeños sea , donde x es el número de unidades vendidas. Encuentre su ingreso marginal e interprételo cuando la cantidad vendida es 300 y 600

2. Suponga que el ingreso de una compañía petrolera (en miles de dólares) está dado por la ecuación R(x) = 100x – x2, x ≥ 0 , donde x es el número de miles de barriles de petróleo que se venden diariamente. Encuentre el ingreso marginal cuando se vende 20 000 barriles (es decir x=20) 3. Suponga que el fabricante de un producto sabe que dada la demanda de este producto, su ingreso esta dado por R(x) = 1 500x – 0.02x2, c0n ≤ x ≤1 000 , donde x es el número de unidades vendidas y R(x) está en dólares. Encuentre el ingreso marginal en x=500, interprete el resultado. 4. La producción semanal de cierto producto es Q(x)= 200x + 6x2 , donde x es el número d trabajadores en la línea de ensamble. En la actualidad hay 60 trabajadores en la línea. Encuentre Q`(x) y calcule el cambio en la producción ocasionada por la suma de un trabajador, interprete el resultado 5. Suponga que la función costo total para la producción de x unidades de un producto está dada por C(x) = 4000 + 55x + 0.12 Entonces el costo promedio de producir x artículos es a. Encuentre la tasa de cambio instantánea del costo promedio con respecto al número de unidades producidas en cualquier nivel de producción. b. Encuentre el nivel de producción donde esta tasa de cambio es igual a cero c. Con el valor identificado en b., encuentre la tasa de cambio del costo y del costo promedio. ¿Qué observa? 6. La demanda q de un producto depende del precio p (en dólares) de acuerdo con la fórmula

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Encuentre y explique el significado de la tasa de cambio instantánea de la demanda respecto al precio cuando p=50 y p=100 7. Suponga que el costo C de procesar gases de escape en una zona industrial para asegurarse que solo escape el p por ciento de la contaminación de partículas se obtiene con a. Encuentre la tasa de cambio del costo C con respecto al porcentaje de contaminación de partículas que se escapa cuando (p=2 por ciento) b. Escriba una oración que interprete la respuesta 8. Una agencia de viajes planeará una excursión para grupos de 25 o más personas. Si el grupo consta de 25 personas, el costo es de US $ 300 por persona, Si el costo de cada persona disminuye en US $10 por cada persona por cada persona adicional cuando son más de 25, entonces el ingreso esta dado por

, donde x es el número de personas adicionales cuando son más de 25. Encuentre el ingreso marginal si el grupo contiene 30 personas 9. Suponga que el ingreso (en dólares) por la venta de x unidades de un producto se obtiene por medio de Encuentre el ingreso marginal cuando se venden 49 unidades. Interprete el resultado 10. Suponga que la función ingreso para un producto está dada por , donde x es el número de unidades vendidas y R se da en dólares a. Encuentre la función ingreso marginal b. Encuentre el ingreso margina cuando x=15 c. Interprete el resultado 11. El ingreso en dólares por la venta de x unidades de un producto se obtiene por medio de Encuentre el ingreso marginal cuando se venden 149 unidades. Interprete el resultado 12. Las ventas de un producto S (en miles de dólares) dependen de los gastos de publicidad (en miles de dólares) según

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Encuentre e interprete la tasa de cambio de las ventas respecto a los gasto de publicidad cuando x=10 y x=20 Regla de la Cadena Si f y g son funciones diferenciables donde y=f(u) y u=g(x), entonces y es una función diferenciable de x, y

O su equivalente

Ejercicio. Derivar

Regla de la potencia Si

, donde u es diferenciable de x, entonces

Ejercicios. Derive cada una de las siguientes funciones

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Aplicación de la Regla de la Potencia 1. La demanda de x cientos de unidades de un producto esta dada por , donde p es el precio unitario en dólares. Encuentre la tasa de cambio de la demanda con respecto al precio cuando p=24 2. El importe en dólares del ingreso por la venta de un producto es , donde x es el número de unidades vendidas. Encuentre el ingreso marginal cuando se venden 100 unidades. Interprete el resultado. 3. Suponga que el volumen de venta semanal, y (en miles de unidades vendidas), depende del precio unitario del producto de acuerdo con , donde p se da en dólares. ¿Cuál es la tasa de cambio en el volumen de venta cuando el precio es de $21? Interprete el resultado. 4. Las ganancias anuales brutas de cierta compañía fueron miles de dólares t años después de su formación en enero de 1993. ¿A qué razón aumentaron las ganancias brutas en 1997 y 2008? 5. En cierta fábrica, el costo total de fabricar q unidades durante la jornada de producción diaria es . Con base en la experiencia se ha determinado que aproximadamente unidades se producen durante las primeras t horas de una jornada de producción. Calcular la razón a la cual cambia el costo total de fabricación con respecto al tiempo 1 hora después de iniciada la producción. 6. Cuando las licuadoras eléctricas se venden a p dólares cada una, los consumidores locales comprarán licuadoras al mes. Se estima que dentro de t meses el precio de las licuadoras será dólares. Calcular el ritmo al cual cambiará la demanda mensual de licuadoras con respecto al tiempo dentro de 25 meses. ¿Aumenta o disminuye la demanda? 7. Un importador de aproximadamente

café

estima que los consumidores locales comprarán libras de café a la semana cuando el precio se p dólares

por libra. Se estima que dentro de t semanas, el precio del café será dólares por libra. ¿A qué ritmo cambiará la demanda semanal de café con respecto al tiempo dentro de 10 semanas? ¿Aumentará o disminuirá la demanda? 8. Cuando un determinado artículo se venda a p dólares por unidad, los consumidores comprarán unidades al mes. Se estima que dentro de t meses el precio del artículo será dólares por unidad. ¿A qué razón porcentual cambiará la demanda, mensual del artículo con respecto al tiempo dentro de 4 meses?

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9. Una inversión a 20 años, con una tasa de interés variable de r por ciento anual compuesto mensualmente, tiene un valor futuro S, para una inversión inicial de $1000 dado por

¿Cuál es la tasa de cambio de S con respecto a r y que nos indica si la tasa de interés es de r=6% y r=12%. 10. Si se invierten 10 000 dólares a una tasa anual r (expresada como decimal) acumulada semanalmente, la cantidad total (capital C más interés) acumulada después de 10 años está dada por la fórmula A = 10 000(1 + )520 a. Hallar la razón de cambio de A con respecto a r. b. Hallar la razón de cambio porcentual de A con respecto a r cuando r=0.05 (es decir 5%) Máximos y Mínimos Relativos Prueba de la primera derivada. Para encontrar los máximos y mínimos relativos de una función realice los siguientes procedimientos: Nº Procedimiento Ejemplo 1 Encuentre la primera derivada de la función. 2

3

4

Iguale la derivada a 0 y despeje los valores de x que satisfacen f`(x)=0. K. Estos se denominan valores críticos. Entonces si 6x=0, x=0 Los valores que hacen que f´(x) sea Si x – 4 = 0, x = 4 indefinida también son valores críticos. Los valores críticos son 0 y 4 Sustituya los valores críticos en la función original para encontrar los puntos críticos Los puntos críticos son (0,6) y (4,-58) Evalúe f`(x) en algunos valores de x a la f´(-1)=18 y f`(1)=-18 izquierda y a la derecha de cada punto Hay un máximo crítico para construir un diagrama de f´(3)=-18 y f`(5)=30 signos Hay un mínimo Si f`(x) > 0 a la izquierda y f`(x) < 0 a la derecha del valor crítico, el punto crítico es un punto máximo relativo Si f´(x) < 0 a la izquierda y f´(x) > 0 a la derecha del valor crítico es un punto mínimo relativo

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Ejercicio. Determine los máximos y mínimos relativos de cada función, utilizando la prueba de la primera derivada

y= x3 – 3x - 4

y = 1 – 3x+ 3x2-x3

Máximos y Mínimos Relativos Prueba de la segunda derivada Para encontrar los máximos y mínimos relativos de una función realice los siguientes procedimientos: Nº Procedimiento Ejemplo 1 Encuentre la primera derivada de la función. 2

3

4

Iguale la derivada a 0 y despeje los valores de x que satisfacen f`(x)=0. K. Estos se denominan valores críticos. Entonces si 6x=0, x=0 Los valores que hacen que f´(x) sea Si x – 4 = 0, x = 4 indefinida también son valores críticos. Los valores críticos son 0 y 4 Sustituya los valores críticos en la función original para encontrar los puntos críticos Los puntos críticos son (0,6) y (4,-58) Evalúe f´´(x) en cada valor crítico para el f´´(x)=12(0)-24=-24 cual f`(x)=0 Ocurre un máximo relativo Si f´´(x0) <0, un máximo relativo ocurre en x0 f´´(x)=12x-24 Si f´´(x0) > 0, un mínimo relativo ocurre f´´(-4)=12(4)-24=24 en x0 Ocurre un mínimo relativo Si f´´(x0) = 0 ó f´´(x0) es indefinida, la prueba de la segunda derivada falla; use la prueba de la primera derivada

Ejercicio. Determine los máximos y mínimos relativos de cada función, utilizando la prueba de la segunda derivada

y = 1 – 3x+ 3x2-x3

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Taller Tema: La Derivada 1.

Encuentre las derivadas de cada función. Simplifique y exprese el resultado usando únicamente exponentes positivos f(x) = 4 x4

f(x) = 5x3 + 4 x

f(x) = 3x2 + 4√x

f(x) = (x2 – 2)(x – 4)

f(x) = 1 – x2 - 4x

f(x) = 1 + x4

f(x) = 5 (3x4 – 6x2 + 2)3 2

2. Suponga que la función ingreso de ciertos productos está dada por:

, donde x esta en miles de unidades y R(x) en miles de dólares. Encuentre el ingreso marginal R´(x) cuando se venden 20 000 unidades, es decir x = 20 ¿Qué significa? 3. Suponga que la función ingreso total para una mercancía es R(x) = 25x – 0.05x2 a. b. c. d.

Encuentre R(50) y R(51) ¿qué representa cada expresión? Encuentre la función ingreso marginal, es decir R´(x) Encuentre el ingreso marginal en x = 50 Compare los resultados ¿Qué encuentra? ¿Qué significa?

4. Encuentre los puntos críticos y determine si son máximos o mínimos relativos 1. f(x) = x3 – 3x - 4 2. f(x) = 1 – 3x+ 3x2-x3 PROBLEMAS DE APLICACIÓN Resuelva cada uno de los siguientes problemas 1. Suponga que las ventas diarias t días después del final de una campaña de publicidad se determina por medio de

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¿S aumenta para todos los t≥0? Explique. ¿Cambia de dirección en algún punto? Explique. 2. Suponga que una cadena de estaciones de servicio automotriz ha encontrado que su volumen de ventas mensuales y se relacionan con el precio p de un cambio de aceite mediante

¿Es y creciente o decreciente para todos los valores p>10? explique 3. Un estudio de tiempo mostró que, en promedio, la productividad de un trabajador después de t horas en el trabajo se puede modelar por medio de Donde P es el número de unidades producidas por hora a. Encuentre los valores críticos de esta una función b. ¿Qué valores críticos tienen sentido en este problema? c. Encuentre los puntos críticos d. Determine los máximos o mínimos relativos si existen ¿Qué significa? 4. El análisis de producción diaria de una empresa muestra que, en promedio, el número de unidades por hora y producidas después de t horas de producción es

a. b. c. d.

Encuentre los valores críticos de esta una función ¿Qué valores críticos tienen sentido en este problema? Encuentre los puntos críticos Determine los máximos o mínimos relativos si existen ¿Qué significa?

5. Suponga que el costo promedio, en dólares, para producir un embarque de cierto producto es Donde x es el número de máquinas usadas en el proceso de producción a. Encuentre los valores críticos de esta una función b. ¿Qué valores críticos tienen sentido en este problema? c. Encuentre los puntos críticos d. Determine los máximos o mínimos relativos si existen ¿Qué significa? 6. Suponga que el costo promedio de una operación de minería depende del número de máquinas usadas y los precios promedios, en dólares, según

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, donde x es el número de máquinas usadas a. Encuentre los valores críticos de esta una función b. Encuentre los puntos críticos c. En que intervalo disminuye el costo promedio d. ¿Cuántas máquinas dan el costo mínimo? e. ¿Cuál es el costo promedio mínimo? 7. Un negocio pequeño tiene costos promedios semanales, en dólares, de

, donde x es el número de unidades producidas cada semana. a. Encuentre los valores críticos de esta una función b. Encuentre los puntos críticos c. En que intervalo disminuye el costo promedio d. Determine los máximos o mínimos relativos si existen ¿Qué significa? 8. Un fondo de inversión genera rentabilidad que depende de la cantidad de dinero invertida, según la fórmula R(x)=-0.002x2+0.8x-5, donde R(x) representa la rentabilidad generada cuando se invierte la cantidad x ¿Cuál es la máxima cantidad que se puede invertir? ¿cuál es la máxima rentabilidad que se puede obtener? 9. Los ingresos semanales de una película reciente se determinan mediante

Donde R se da en millones de dólares y t en semanas a. Encuentre los valores críticos b. ¿Para cuantas semanas se incrementará el ingreso?

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Derivada de las Funciones Logarítmicas y Exponenciales La función logarítmica

y la función exponencial

Derivada de la función logarítmica

tienen derivadas sencillas

para x> 0

Regla de la cadena para las funciones logarítmicas Ejercicios. Encuentre la derivada de cada una de las siguientes funciones: f(x) = 4 ln (x)

f(x) =ln (8x)

f(x) = ln (x) – ln(x- f(x)= 1) f(x)= f(x)=

f(x) = ln (4x + 9) f(x)=ln(x-1)+ln(2x+1) f(x)=ln[t3(t2-1)]

f(x) = ln (8x3-2x) – 2x f(x)=ln[(x-1)(2x+1)] f(x)=

Ejercicios. Encuentre los máximos y mínimos relativos de cada función si existen f(x) = x ln (x)

f(x) = x2 ln (x)

f(x) = x2 8ln(x)

f(x) = ln (x) – x

Aplicación 1. Suponga que el costo total (en dólares) para un producto está dado por C(x) = 1500 + 200 ln(2x +1) , donde x es el número de unidades producidas a. Encuentre la función costo marginal (es decir C´(x)) b. Encuentre el costo marginal cuando se producen 200 unidades e interprete el resultado 2. El número t de años que una inversión tarda en duplicarse es una función de la tasa de interés r compuesta continuamente, de acuerdo con t a. Con que tasa cambia el tiempo requerido respecto de r si r = 10%, compuesto continuamente b. Que sucede con la tasa de cambio si r se hace muy grande o muy pequeña 3. El ingreso total en dólares por la venta de x unidades de un producto está dado por R(x) = a. b.

Encuentre la función ingreso marginal Encuentre el ingreso marginal cuando se venden 100 unidades e interprete el resultado 4. Suponga que la oferta de x unidades de un producto a un precio p de dólares esta dado por P = 10 + 50 ln(3x + 1) Manual de Cálculo Diferencial – José F. Barros Troncoso

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Encuentre la razón de cambio del precio de oferta cuando el número de unidades es 33. 5. La función demanda de un producto está dada por p =

, donde p es el precio

unitario en dólares cuando se demandan x unidades. Encuentre la razón de cambio del precio con respecto al número de unidades vendidas cuando se venden 40 y 90 unidades ¿qué encuentra? 6. Un fabricante determina que se venderán x unidades de cierto artículo de lujo cuando el precio sea p(x) = 112 – x ln(x3) cientos de dólares por unidad a.Encuentre la función ingreso (x*p(x)) y de ingreso marginal (p´(x)). b.¿Determine el ingreso marginal obtenido al producir la quinta unidad? 7. En un negocio se estima que cuando se emplean x miles de personas, su utilidad será p(x) millones de dólares, donde P(x) = 10 + ln -12x2, para x > 0 ¿Qué nivel de empleo maximiza la utilidad? ¿cuál es la utilidad máxima? 8. Entre los años 1976 y 1998, el porcentaje de madres que regresaron al trabajo un año después de haber dado a luz se determina mediante w(x) = 1.11 + 165.94 ln (x) donde x es el número de años después de 1970. Si este modelo es preciso después de 1998¿ con que razón cambiara el porcentaje en el 2009? 9. Encuentre la función ingreso marginal si la función de demanda es 10. La función costo total está dada por costo marginal si q=6.

. Encuentre e interprete el

11. La función en dólares del costo promedio de un fabricante, esta dada por Encuentre e interprete el costo marginal cuando q=50. 12. La oferta de q unidades de un producto al precio de p dólares por unidad está dada por q(p)=25 + 10 ln(2p+1). Encuentre e interprete la razón de cambio de la oferta respecto al precio,

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Derivada de : ex = ex Regla de la cadena para

: eh(x)=h’ (x) eh(x)

Ejercicios. Encuentre la derivada de cada una de las siguientes funciones: f(x) = 4 ex

f(x) = e5x

f(x) = 3e4x

f(x) = 3e4x+1

f(x) = e^(x2+2x-1)

f(x)=x2 ex

f(x)=(x2+3x+5) e6x

f(x)=(1 - 3ex)2

f(x)= e(-1/2)x

f(x)= ex ln(x)

f(x)=

f(x)= eln(x)

Ejercicios. Encuentre los máximos y mínimos relativos de cada función si existen f(x) = x ex

f(x) = x e2-x

f(x) = x2 e-x

f(x) = ex + e-x

Problemas de Aplicación 1. Si se invierten $p durante n años con una tasa de interés r (dado en decimales) compuesto continuamente, el valor futuro después de n años esta dado por la función 2. S= p℮0.1n Calcule la tasa de crecimiento del valor futuro de una inversión de 2 millones de pesos a 1 año. 2. Cierta máquina industrial se deprecia de manera que su valor después de t años es Q(t) = 20 000 e-0.4t dólares. ¿A qué ritmo cambia el valor de la máquina con respecto al tiempo después de 5 y 10 años? ¿Qué encuentra? 3. La demanda de consumo de cierto artículo es D(p) = 3 000 e-0.01p unidades por mes cuando el precio de mercado es p dólares por unidad. Encuentre la tasa de cambio de la demanda con respecto para p=100 y p=200. ¿Qué encuentra? 4. Después de terminar una campaña publicitaria, las ventas de un producto están dadas por S = 100 000 e-0.5t, donde S representa las ventas semanales en dólares y t es el número de semanas desde el final de la campaña. Encuentre la razón de la caída de las ventas 1 mes después de culminar la campaña publicitaria. 5. Suponga que el costo total en dólares de producir x unidades de un producto se determina por medio de C(x) = 10 000 + 20x ex/600. Encuentre el costo marginal cuando se producen 600 unidades. 6. Un editor de una casa editorial estima que si distribuyen x miles de ejemplares de cortesía a maestros, las ventas de un libro nuevo durante el primer año serán

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aproximadamente f(x) = 20 – 15e-0.2x miles de ejemplares. Utilice el análisis marginal para estimar el incremento de las ventas en el primer año si se distribuyen 1000 ejemplares de cortesía. 7. La función del ingreso para cierto producto está dada por la función R(x) = 25xe(1-0.01x) donde R(x) es el ingreso en miles de dólares por la venta de x productos. Encuentre el ingreso marginal cuando se venden 75 mil unidades y explique lo significa. 8. Para los años seleccionados de 1978 a 200, el número de fondos mutuos N se puede modelar por medio de N = 276.1e0.135t donde t es el número de años que han pasado desde 1975. Encuentre e interprete la razón de cambio del número de fondos mutuos en el 200. 9. Para una empresa, la producción diaria en el día t de una corrida de producción está dada por Encuentre la razón de cambio de la producción q con respecto a t en el décimo día. 10. El ahorro S de un país (en miles de millones de dólares) está relacionado con el ingreso nacional I (en miles de millones de dólares) mediante la ecuación a. Encuentre la propensión marginal al consumo como una función del ingreso b. ¿Cuál es el ingreso nacional cuando la propensión marginal al ahorro es de Derivada Implícita La diferenciación implícita es una técnica para derivar funciones que no están dadas en la forma usual y=f(x). Una ecuación de la forma F(x,y) = 0, expresa a y como función de x en forma implícita. Se usa la palabra implícita puesto que ya y no está dada de manera explícita como función de x. sin embargo se supone o queda implícito que la ecuación define a y por lo menos como una función derivable en x. Procedimiento para derivar implícitamente Para una ecuación que supuestamente define a y de manera implícita como una función derivable en x, la derivada puede encontrarse: 1. Derivar cada termino de la ecuación respecto a x y y. Cuando se deriva respecto a y se le agrega . 2. Despeja

, y tenga en cuenta las restricciones.

Ejercicio. Encuentre

mediante diferenciación implícita e indique las restricciones si existen.

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1.

La ecuación se restringe en y=0 2. La ecuación se restringe en y=0 3. , la ecuación se restringe en x=0 4.

5.

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7. 8. 9. 10. 11. Los ahorros S de un país se definen implícitamente en términos de su ingreso nacional I por medio de la ecuación , donde S e I están dadas en miles de millones de dólares. Encuentre la propensión marginal al consumo cuando I=16 y S=12 BIBLIOGRAFÍA Harshbarger Ronald, Reynolds James. Matemáticas Aplicadas a la Administración, Economía y Ciencias Sociales. Editorial Mc Graw Hill. Séptima Edición Louis Leithold. El Cálculo con Geometría Analítica. Editorial Mexicana. Quinta Edición James Stewart. Cálculo Trascendente Temprano. Ed. Thompson Learning. Cuarta Edición Hoffman Laurence D., Bradley Gerald l. Cálculo Aplicado a la Administración Economía y Ciencias Sociales. Editorial Mc Graw Hill. Sexta Edición. Soler Fajardo Francisco, Núñez Reinaldo y Aranda Silva Moisés. Fundamentos de Cálculo con aplicaciones a las Ciencias Económicas y Administrativas. Ecoe Ediciones. Jagdish C. Arya, Robin W. Lardner. Matemáticas Aplicadas a la Administración y a la Economía. Pearson, Prentice Hall. Tercera Edición Roland E Larson, Robert P Hostetler. Cálculo. Editorial Mc Graw Hill Ernest F. Haeussler – Richard S. Paul – Richard J Wood. Matemáticas para Administración y Economía. Editorial Pearson Prentice Hall. Decimosegunda edición Soo Tange Tan. Matemáticas para Administración y Economía. Editorial Thomson. Tercera Edición. 2005

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