Makalah[1].docx

MAKALAH ANALISIS KOMPLEK TRANSFORMASI EKSPONENSIAL DAN LOGARITMIK TRANSFORMASI 𝒘 = sin𝒛 dan 𝒘 = cos𝒛 TRANFORMASI KONFORMAL

Kelompok III : 1. 2. 3. 4. 5. 6.

IRFAN S ARBAN SITI RAHMAWATI JAMAL NUR ARIFAH ZAINAL UMMI LARAS AFDALIAH NUR WAHYUNI

: 606001160 : 606001160 : 60600160 : 60600116051 : 606001160 : 606001160

JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS TAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI ALAUDDIN MAKASSAR 2018-2019

1

KATA PENGANTAR Puji syukur kami panjatkan kehadirat Allah SWT yang telah memberikan rahmat serta hidayah Nya kepada kita semua, serta dengan karunia Nya lah penulis dapat

menyelesaikan

makalah

‘TRANSFORMASI

EKSPONENSIAL

DAN

LOGARITMIK, TRANSFORMASI 𝒘 = sin𝒛 dan 𝒘 = cos𝒛 TRANFORMASI KONFORMAL’ untuk memenuhi tugas ANALISIS KOMPLEKS. Terima kasih kami ucapkan atas semua pihak yang telah membantu kami, hingga makalah ini dapat diselesaikan dengan baik. Sangat disadari bahwa dengan kekurangan dan keterbatasan yang dimiliki penulis, walaupun telah dikerahkan segala kemampuan untuk lebih teliti, tetapi masih dirasakan banyak kekurangan, oleh karena itu dengan segala kerendahan hati penulis mengharapkan saran yang membangun agar makalah ini bermanfaat bagi yang membutuhkan. Harapan yang paling besar dari penyusunan makalah ini ialah, mudahmudahan apa yang kami susun ini penuh manfaat, baik untuk pribadi, teman-teman, serta orang lain yang ingin mengambil atau menyempurnakan lagi atau mengambil hikmahdari makalah kami, sebagai tambahan dalam menambah referensi yang telah ada. Demikianlah makalah ini dibuat semoga bermanfaat bagi kita semua

Samata, Gowa,

2

november 2018

DAFTAR ISI Sampul Kata pengantar Daftar isi BAB I Pendahuluan A. Latar belakang B. Rumusan masalah C. Tujuan BAB II Pembahasaan 1. TRANSFORMASI EKSPONENSIAL DAN LOGARITMIK 2.

TRANSFORMASI 𝒘 = sin𝒛 dan 𝒘 = cos𝒛

3. TRANFORMASI KONFORMAL BAB III Penutupan A. Kesimpulan B. Saran Daftar pustaka

3

BAB 1 PENDAHULUAN A. Latar Belakang Matematika merupakan salah satu ilmu yang sangat besar pengaruhnya dalam kehidupan manusia. Dalam kehidupan sehari-hari kita tidak lepas dari masalah-masalah yang berhubungan dengan matematika. Salah satu materi dalam matematika yang banyak digunakan dalam terapan adalah Analisis kompleks. Dalam analisis kompleks dibahas tentang fungsi kompleks atau transformasi kompleks, terdiri dari transformasi elementer,yaitu tranformasi linier, transformasi pangkat ,transformasi bilinear transformasi kebalikan beserta sifat-sifat pemetaan karakteristik untuk transformasi eksponensial,sin z,cos z. Pemahaman tentang konsep transformasi elementer diperlukan dalam membantu menganalisis suatu kurva secara geometris. . Istilah transformasi dapat diartikan sebagai fungsi atau pemetaan. Sebagaimana diketahui, fungsi dari himpunan A ke himpunan B diartikan sebagai suatu aturan yang mengkaitkan setiap unsur di A dengan suatu unsur disebut peta / bayangan dari di B secara tunggal. Suatu pemetaan w = f (z) yang bersifat tidak ada titik w yang mempunyai lebih dari satu prapeta dinamakan pemetaan satu-satu (one-toone); jika tidak dinamakan banyak ke-satu (many-to-one). Dengan mengambil istilah yang berbeda, suatu fungsi f adalah satu-satu jika titik-titik yang berbeda pada domainnya dipetakan ke titik-titik yang berbeda; jadi f adalah satu-satu bila z1 tidak sama dengan z2, maka f (z1) tidak sama dengan f (z1). B. Rumusan Masalah Adapun rumusan masalah dari makalah ini adalah sebagai berikut: 1. Bagaimana bentuk umum tranformasi eksponensil dan tranformasi logaritmik? 2. Bagaimana bentuk rumus untuk TRANSFORMASI 𝒘 = sin 𝒛 dan 𝒘 =

cos 𝒛? 3. Bagaimana bentuk umum untuk Transformasi Konformal? 4

C. Tujuan Adapun tujuan dari pembuatan makalah ini adalah sebagai berikut: 1. Untuk mengetahui bentuk umum tranformasi eksponensil dan tranformasi logaritmik 2. Untuk mengetahui bentuk rumus untuk TRANSFORMASI 𝒘 = sin 𝒛

dan 𝒘 = cos 𝒛 3. Untuk mengetahui bentuk umum untuk Transformasi Konformal

5

BAB II PEMBAHASAAN

A. TRANSFORMASI EKSPONENSIAL DAN LOGARITMIK 1. Transformasi Eksponensial Defenisi: Tranformasi eksponensial mempunyai bentuk w = ez = ex.eiy (z=x+iy). Dengan mensubsitusikan rumus euler eiy= (cos y+ I sin y), diperoleh w = ez = ex.eiy =ex (cos y+ I sin y), (z=x+iy).

Fungsi eksponensial 𝑤 = 𝑒z Bisa dipelajari melalui dua kasus khusus. Dari dua kasus ini kemudian digeneralisasi. Contoh 1 Tentukan bayangan garis mendatar 𝑦 = 𝑏 dibawah 𝑤 = 𝑒z

Penyelesaian : Jika 𝑤 = 𝑒z, maka |𝑤| = 𝑒𝑥 dan arg 𝑤 = 𝑦 . Setiap titik pada garis yang diberikan berbentuk 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑏, − ∞ <𝑥< ∞ Karena𝑥 berubah-ubah dari −∞ hingga +∞ , nilai 𝑒𝑥 berubah-ubah dari 0hingga +∞ sementara 𝑦 tetap pada 𝑦 = 𝑏 . Dengan kata lain, jika nilai 𝑥berubah-ubah dari −∞ hingga +∞ , |𝑤| berubah-ubah dari 0 hingga +∞sedangkan arg 𝑤 tetap arg 𝑤 = 𝑏.Hal ini berarti , jika 𝑧 berubah-ubah sepanjang garis yang diberikan, 𝑤menentukan suatu sinar yang dipancarkan dari pusat koordinat (tapi tidaktermasuk koordinatnya) dengan sudut inklinasi 𝑏 radial.

6

Gambar 2.1 ( Bayangan 𝑦 = 𝑏 dibawah 𝑤 = 𝑒𝑧) Contoh 2 Tentukan bayangan 𝑥 = 𝑐, −𝜋<𝑦<𝜋 dibawah 𝑤 = 𝑒𝑧

Penyelesaian : Setiap titik pada penggal garis tersebut berbentuk 𝑧 = 𝑐 + 𝑖𝑦,

− 𝜋<𝑦<𝜋

Jika 𝑦 berubah-ubah dari – 𝜋 ke 𝜋 , cos 𝑦 + 𝑖 sin 𝑦 menentukan suatu lingkaran lengkap. Sedangkan |𝑤| tetap tinggal pada 𝑒𝑐 . Dengan kata lain, jika 𝑧 berubah-ubah sepanjang penggal garis yang diberikan, 𝑤 menentukan suatu lingkaran berpusat pada 𝑤 = 0 dan berjari-jari 𝑒𝑐. Jika 𝑦 diperbolehkan untuk domain yang lebih luas dalam garis tegak yang sama, 𝑤 akan mengulangi jejaknya pada lingkaran yang sama. Jika diambil seluruh titik pada garis tegak 𝑥 = 𝑐, maka lingkaran |𝑤| = 𝑒𝑐akan terulang tak berhingga kali. Dari dua contoh diatas, bisa diikhtisarkan bahwa: “dibawah 𝑤 = 𝑒𝑥garis mendatar dipetakan ke sinar-sinar yang dipantulkan dari 𝑤 = 0 dan garis tegak dipetakan ke lingkaran-lingkaran yang berpusat di 𝑤 = 0”. Jika diambil semua garis mendatar dalam – 𝜋<𝑦 ≤ 𝜋, bayangannya merupakan semua sinar dengan sudut-sudut inklinasi yang berbeda-beda dari – 𝜋 ≤ arg 𝑤

7

≤ 𝜋 . Secara keseluruhan semua sinar-sinar itu menghabiskan semua titik pada bidang 𝑤 kecuali𝑤 = 0.

Gambar 2.2 ( Garis ke sinar dibawah 𝑤 = 𝑒𝑧) Jika diambil semua penggal garis tegak yang termuat antara – 𝜋<𝑦<𝜋, bayangannya merupakan lingkaran lingkaran yang berpusat di 𝑤 = 0. Lingkaran itu akan menutup 𝑤 kecuali 𝑤 = 0.

Gambar 2.3 (Garis ke Lingkaran dibawah 𝑤 = 𝑒𝑧)

8

2. Transformasi Logaritmik Fungsi log(𝑒𝑧) = 𝑧𝑧 Berlaku untuk semua 𝑧. Sifat ini menyatakan kenyataan bahwa fungsi log 𝑧 merupakan invers fungsi 𝑒𝑧. Jika ditentukan 𝑒𝑧 untuk setiap 𝑧 dan diterapkan fungsi 𝑙og pada 𝑒𝑧 , diperoleh kembali 𝑧. Secara singkat dapat disimpulkan bahwa “log 𝑧𝑧 meniadakan apa yang dikerjakan oleh 𝑒𝑧 untuk sebarang 𝑧”. Dari fungsi diatas dapat diperoleh : 𝑤 = ln|𝑧| + 𝑖 arg 𝑧 Artinya 𝑢 = ln|𝑧| dan𝑣 = arg 𝑧 Jika 𝑧 berubah-ubah pada semua nilai kecuali nol, |𝑧| berubah-ubah antara 0 dan +∞; jadi ln|𝑧| berubah-ubah dari −∞ ke +∞, oleh karena itu −∞ <𝑢<∞. Selain itu karena argumen pokok mempunyai syarat yaitu berada pada – 𝜋<arg 𝑧 ≤ 𝜋 didapatkan – 𝜋<𝑣 ≤ 𝜋. Dengan menggabungkan 𝑢 dan 𝑣diperoleh lajur pokok pada bidang 𝑤.

Gambar 2.4(Lajur pokok dibawah 𝑤 = log 𝑧)

9

Dari berbagai paparan di atas, maka pada bagian ini dapat dikerucutkan dalam beberapa kesimpulan sebagai berikut. a. Dibawah 𝑤 = 𝑒𝑥 garis mendatar dipetakan ke sinar-sinar yang dipantulkandari 𝑤 = 0 dan garis tegak dipetakan ke lingkaran-lingkaran yang berpusat di 𝑤 = 0. b. Transformasi logaritma log 𝑧𝑧 meniadakan apa yang dikerjakan oleh 𝑒𝑧 untuksebarang 𝑧.

B. TRANSFORMASI 𝒘 = sin𝒛 dan 𝒘 = cos𝒛 1. Transformasi 𝒘 = sin 𝒛 Pada fungsi 𝑤 = sin 𝑧 dan 𝑤 = cos 𝑧 sin 𝑧 dapat diuraikan menjadi sin 𝑧 = sin 𝑥 cosh 𝑦 + 𝑏 sinh 𝑦 cos 𝑥 Sehingga diperoleh persamaan 𝑢 = sin 𝑥 cosh 𝑦dan𝑣= sinh 𝑦 cos 𝑥

Persamaan diatas dijadikan pedoman untuk mengenal sifat-sifat pemetaan fungsi sinus. Dimulai dengan beberapa contoh Perhatikan interval berikut : −

𝜋 𝜋 ≤ 𝑥 ≤ ,𝑦 = 0 2 2

Jika 𝑦 = 0, maka cosh 𝑦 = 1 dan sinh 𝑦 = 0, sehingga untuk sebarang titik pada interval yang diberikan diperoleh : 𝑢 = sin 𝑥dan 𝑣 = 0

10

Karena 𝑥 berubah-ubah antara – π/2 dan π/2 maka nilai sin 𝑥𝑥 berubahubahantara −1 dan 1 . Akibatnya, dibawah 𝑤 = sin 𝑧 , interval yang diberikandipetakan ke : −1 ≤ 𝑢 ≤ 1, 𝑣 = 0

Gambar 2.5 (Transformasi 𝑤 = sin 𝑧) Dari gambar diatas, pada bidang w Menggunakan penalaran yang sama, dapat ditunjukkan bahwa sumbunyata bidang 𝑧 dipetakan ke interval yang sama dengan contoh diatas yaituinterval −1 ≤ 𝑢 ≤ 1, 𝑣 = 0 Pada bidang 𝑤 . Pemetaan sumbu nyata bidang 𝑧 menutup interval tak berhingga kali. Pada contoh selanjutnya akan ditunjukkan bahwa sumbu khayal 𝑥 = 0 dipetakan ke sumbu khayal 𝑢 = 0, dibawah pemetaan sinus. Bila 𝑥 = 0, maka 𝑢 = 0 dan 𝑣 = sinh 𝑦 Karena 𝑦 berubah-ubah dari −∞ ke ∞ pada sumbu khayal, maka 𝑣 = sinh 𝑦berubah-ubah dari −∞ ke ∞. Sedangkan 𝑢 tetap berada pada 0. Artinya sumbu𝑥 = 0 dipetakan ke sumbu 𝑢 = 0 .

11

2. TRANSFORMASI 𝒘 = cos𝒛 Pada transformasi 𝑤 = cos 𝑧, cos 𝑧 dapat diuraikan menjadi: cos 𝑧 = cos 𝑥 cosh 𝑦 − 𝑏 sin 𝑥 sinh 𝑦 Dengan menggunakan identitas :

Dapat diketahui sifat-sifat pemetaan cos 𝑧 . Yaitu melalui gabungan pemetaan

Contoh : Tentukan bayangan interval 𝑇 ∶ −𝜋 ≤ 𝑥 ≤ 0,

𝑦=0

Di bawah pemetaan 𝜋 𝑤 = sin (𝑧 + ) 2 Penyelesaian: Interval 𝑇: 𝜋 ≤ 𝑥 ≤ 0,

𝑦=0

Dibawah pergeseran 𝜁 =𝑧+

𝜋 2

Di petakan di 𝑇′: −

𝜋 𝜋 ≤ 𝑅(𝜁) ≤ , 𝐼(𝜁) = 0 2 2

12

Selanjutnya di bawah 𝑤 = 𝑠𝑖𝑛 𝜁 T’ di petakan ke 𝑇" ∶ −1 ≤ 𝑢 ≤ 1 ,

𝑣=1

Akhirnya disimpulkan bahwa dibawah 𝑤 = cos 𝑧, 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙 − 𝜋 ≤ 𝑥 ≤ 0, 𝑦 = 0 dipetakan ke −1 ≤ 𝑢 ≤ 1, 𝑣 = 0 berbagai paparan di atas, maka pada bagian ini dapat dikerucutkan dalam beberapa kesimpulan sebagai berikut: 1. Sin z dapat diuraikan menjadi sin 𝑧 = sin 𝑥 cosh 𝑦 + 𝑖 𝑠𝑖𝑛ℎ 𝑦 cos 𝑥 Sehingga diperoleh persamaan 𝑢 = sin 𝑥 cosh 𝑦 𝑑𝑎𝑛 𝑣 = sinh 𝑦 cos 𝑥 𝜋

2. Karena cos 𝑧 = 𝑠𝑖𝑛 (𝑧 + 2 ) sifat-sifat pemetaan 𝑤 = cos 𝑧 dapat melalui gabungan pemetaan 𝜁 =𝑧+

𝜋 𝑑𝑎𝑛 𝑤 = sin 𝜁 2

C. Transformasi Konformal Konsep pemetaan konformal dapat dipikirkan sebagai interpretasi geometrik pada analitisitas. Aspek geometrik utama pada keserupaan ialah kesamaan sudut dalam besar dan arahnya. Misalkan fungsi 𝑤 = 𝑓(𝑧) analitik pada titik 𝑧0 dan andaikan bahwa𝑓’′(𝑧) ≠ 0 , maka menurut definisi 𝑓 analitik pada suatu lingkungan 𝑧0 misalkan 𝑁. Pengembangan berikut berlaku didalam 𝑁. Andaikan suatu kurva mulus (yaitu kurva yang dapat dinyatakan secara

13

parametrik oleh dua fungsi yang dapat dideferensialkan 𝑥 = ∅(𝑡), 𝑦 = 𝜑(𝑡) pada interval 𝛼 ≤ 𝑡 ≤ 𝛽) 𝐴 melewati 𝑧0 dan bahwa suatu titik berubah-ubah 𝑧 mendekati 𝑧0 sepanjang 𝐴. Dibawah 𝑓, 𝐴 mempunyai bayangan 𝐴′ pada bidang 𝑤, dan karena 𝑧 mendekati 𝑧0 sepanjang 𝐴, 𝑤 = 𝑓() mendekati 𝑤0 = 𝑓(𝑧0) sepanjang 𝐴′. Maka karena 𝑓′( 𝑧0) ada, diketahui bahwa :

Yang dapat diungkapkan dengan :

artinya :

Implikasinya :

Hubungan terakhir ini berlaku bagi kelipatan 2𝜋

Gambar 2.6 (Pemetaan ∅ = 𝛼 + arg 𝑓′ (𝑧0))

14

Dari gambar 2.6 di atas jika z

z0, garis sekan s menujuh T, yang

merupakan garis singgung A pada z0, yang kehadirannya dijamin oleh defenisi kurva mulus. Dengan melambangkan sudut inklinasi T dengan α, terlihat bahwa Jika z

α

z0 , arg (z-z0)

Sedangkan pada bidang w Jika z

z0 , w

w0

Maka garis sekan S’ menujuh T’ , yang merupakan garis singung A’ pada w0. Dengan melambangkan sudut inklinasi T’ dengan Ø terlihat bahwa Jika z

z0 , arg(w - w0 )

Ø

Sehingga dengan mengganbungkan persamaan – persamaan diatas diperoleh Jika z

z0 , arg(Ø - α )

arg f’ (z0)

Dengan menggunakan limitnya diperoleh Ø = α + arg f’ (z0)

Teorema andaikan bahwa f (z) analitik pada z0 dan bahwa f’(z0) ≠ . misalkan A adalah suatu kurva mulus melewati z0 dan misalkan A’ menunjukan bayangan A di bawah f. maka, jika sudut inklinasi A pada z0 adalah α. Maka sudut inklinasi A’ pada f(z0) adalah α + arf f’(z0). Dengan istilah yang berbeda,toerma diatas mengatakan bahwa setiap kurva mulus yang melewati zo diputar dengan sudut samadengan arg f’ “pada zo akan tetap dalam besar dan arahnya oleh suatu pemetaan f yang mmeiliki analitik pada zo dan yang turunanya tidak nol pada titik itu.hal inilah yangdi maksud dengan kesamaan sudut yang di tunjukan di awal,suatu fungsi yang di miliki sifat dinamakan transformasi serupa atau pemetaan serupa.

15

Akibat Teorema Andaikan bahwa f(z) analitik pada zo dan bahwa f’ (zo) ≠ 0. Misalkan A dan B adalah dua kurva mulus yang berpotongan pada zo dan membentuk sudut θ

diukur dari A ke B.maka,bayanganya, A’ dan B’, dibawah,

memmbentuk sudut yang diukur dari A’ ke B’ sebesar θ. Secara singkat, bahwa f , sudut perpotongan antara A dan B adalah tetap tak berubah dalam besar dan arah. Akibat teorima ini terlihat jelas pada gambar 2.7 berikut:

Gambar 2.7 Pemetaan serupa

Aspek geometri pemetaan serupa bisa di lihat dari fungsi z

z0,

𝑤−𝑤0 𝑧−𝑧0

f’ (z0)

Artinya

16

Hal ini berarti, dalam limit |𝑤-w0| merupakan kelipatan konstan |z-z0|. Dimana konstanta tersebut adalah bilangan nyata positif |f’ (z0)|. Kostanta kesebandingan |f’ (z0)|.dinamakan rasio pembesaran pada z0. Jadi setiap panjang dalam lingkungan z0 yang kecil di perbesar dengan faktor positif yang sama. Akhirnya f dikatakan sebagai pemetaan yang memelihara skala pada z0 dalam pengertian infinitsimal.

17

BAB III PENUTUP A. Kesempulan Adapun kesimpulan dari pembuatan makalah ini adalah sebagai berikt: 1. Adapun Bentuk umum dari tranformasi eksponensil dan tranformasi logaritmik  Bentuk umum tranformasi eksponensial Tranformasi eksponensial mempunyai bentuk w = ez = ex.eiy (z=x+iy). Dengan mensubsitusikan rumus euler eiy= (cos y+ I sin y), diperoleh w = ez = ex.eiy =ex (cos y+ I sin y), (z=x+iy).  Bentuk umum tranformasi logaritmik Fungsi log(𝑒𝑧) = 𝑧𝑧 Berlaku untuk semua 𝑧. Sifat ini menyatakan kenyataan bahwa fungsi log 𝑧 merupakan invers fungsi 𝑒𝑧. Jika ditentukan 𝑒𝑧 untuk setiap 𝑧 dan diterapkan fungsi 𝑙og pada 𝑒𝑧 , diperoleh kembali 𝑧. Secara singkat dapat disimpulkan bahwa “log 𝑧𝑧 meniadakan apa yang dikerjakan oleh 𝑒𝑧 untuk sebarang 𝑧”. Dari fungsi diatas dapat diperoleh : 𝑤 = ln|𝑧| + 𝑖 arg 𝑧 Artinya 𝑢 = ln|𝑧| dan𝑣 = arg 𝑧. 2. Adapun bentuk rumus untuk TRANSFORMASI 𝒘 = sin 𝒛 dan 𝒘 =

cos 𝒛  bentuk rumus untuk TRANSFORMASI 𝒘 = sin 𝒛 Pada fungsi 𝑤 = sin 𝑧 dan 𝑤 = cos 𝑧

18

sin 𝑧 dapat diuraikan menjadi sin 𝑧 = sin 𝑥 cosh 𝑦 + 𝑏 sinh 𝑦 cos 𝑥 Sehingga diperoleh persamaan 𝑢 = sin 𝑥 cosh 𝑦dan𝑣= sinh 𝑦 cos 𝑥  bentuk rumus untuk TRANSFORMASI 𝒘 = cos 𝒛 Pada transformasi 𝑤 = cos 𝑧, cos 𝑧 dapat diuraikan menjadi: cos 𝑧 = cos 𝑥 cosh 𝑦 − 𝑏 sin 𝑥 sinh 𝑦 Dengan menggunakan identitas :

Dapat diketahui sifat-sifat pemetaan cos 𝑧 . Yaitu melalui gabungan pemetaan

3. Adapun bentuk umum untuk Transformasi Konformal Maka karena 𝑓′( 𝑧0) ada, diketahui bahwa :

Yang dapat diungkapkan dengan :

artinya :

Implikasinya :

Hubungan terakhir ini berlaku bagi kelipatan 2𝜋.

19

B. Saran Dalam pembuatan makalah ini kami sadar bahwa makalah ini belum sesempurna mungkin dan masi terdapat beberapa kekurangan, jadi kami mengharapkan kritik dan saran dari pembaca makalah ini, agar dalam membuat makalh selanjutnya dapat semaksimal mungkin.

20

DAFTAR PUSTAKA Freitag,eberhaed,dan busam,Rolf.Complex Analisis Heldlberg: Springer,2005. Placulars.john

D,Perubahan

Kompleks

untuk

Ilmuwan

dan

Insinyur.Jakarta:Eelangga,1987. Saff, E.B and A.D Snider – Fundamentals of Comlex Analisis with Aplication to Englneering and sience, New jersey:Pearson Education inc, 2003.

21