Makalah Vektor.docx

MAKALAH VEKTOR MATA KULIAH FISIKA

Disusun oleh : AGENG RYAN FIRMANSYAH ALFIAN NUR HIDAYAT

JUSURAN TEKNIK MESIN PRODI D-IV TEKNIK OTOMOTIF ELEKTRONIK KELAS 1A POLITEKNIK NEGERI MALANG

KATA PENGANTAR Puji syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa, karena atas berkat danrahmat-Nya penulis mampu menyelesaikan makalah ini.Makalah yang penulis beri judul “Vektor” dibuat dengan tujuan untuk memenuhi tugas mata pelajaran Fisika POLITEKNIK NEGERI MALANG. Dalam penulisannya, penulis mengalami beberapa kendala.Namun, makalah ini dapat selesai berkat arahan dan bimbingan dari Guru Mata Pelajaran serta pihak yang membantu kelancaran penulisan makalah ini.Oleh karena itu, penulis ucapkan terima kasih kepada segenap pihak yang telah membantu penulis. Penulis sadar bahwa makalah ini masih memiliki kelemahan dan kekurangan.Oleh karena itu, penulis memohon maaf atas kekurangan tersebut.Penulis juga senantiasa membuka tangan untuk menerima kritik dan saran yang membangun agar kelak penulis bisa berkarya lebih baik lagi. Harapan penulis, semoga karya kecil ini bisa bermanfaat bagi kita semua.Semoga pula makalah ini dapat berfungsi sebagaimana mestinya. Malang,

Oktober 2018

Penyusun

i

ARTI, LAMBANG, DAN SINGKATAN 1. Arti Vektor Vektor adalah besaran dalam fisika yang memiliki nilai dan arah. 2. Lambang Vektor

a   Suatu vektor A dapat dilambangkan dengan A dan dinotasikan dalam bentuk  b  c    

dimana a,b, dan c merupakan elemen-elemen dari vektor. 3. Singkatan 

= Vektor dari A

A 







A  B = Penjumlahan dari Vektor A dan Vektor B A  B = Pengurangan dari Vektor A dan Vektor B  

A . B = Perkalian dari Vektor A dan Vektor B 

A

= Panjang dari Vektor A

ii

DAFTAR ISI KATA PENGANTAR ....................................................................................................

i

ARTI, LAMBANG DAN SINGKATAN .......................................................................

ii

DAFTAR ISI...................................................................................................................

iii

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang ...............................................................................................

1

1.2 Rumusan Masalah ..........................................................................................

1

1.3 Tujuan Penulisan Makalah .............................................................................

2

1.4 Manfaat ...........................................................................................................

2

1.5 Sistematika Penulisan .....................................................................................

3

BAB II

LANDASAN TEORI DAN TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Sejarah Vektor .................................................................................................

5

2.2 Pengertian Vektor dan Skalar .......................................................................... 11 2.3 Penulisan dan Notasi Vektor ........................................................................... 11 2.4 Kesamaan Vektor ............................................................................................ 12 2.5 Penjumlahan dan Selisih Vektor ..................................................................... 13 2.6 Besar Suatu Vektor Hasil Penjumlahan dan Pengurangan .............................. 17 2.7 Hukum yang berlaku pada Aljabar Vektor...................................................... 19 2.8 Vektor Posisi ................................................................................................... 19 2.9 Vektor Satuan .................................................................................................. 20 2.10 Vektor Basis .................................................................................................. 20 BAB III PEMBAHASAN 3.1 Soal dan Pembahasan Vektor .......................................................................... 22

iii

BAB IV PENUTUP 4.1 Kesimpulan ...................................................................................................... 26 4.2 Saran ................................................................................................................ 26 DAFTAR GAMBAR ......................................................................................................

v

DAFTAR PUSTAKA ..................................................................................................... vi

iv

DAFTAR GAMBAR

Gambar 1.William Rowan Hamilton ..............................................................................

5

Gambar 2.August Ferdinand Mobius ..............................................................................

6

Gambar 3. Herman Grassman .........................................................................................

7

Gambar 4.Benjamin Peirce .............................................................................................

8

Gambar 5.Bentuk dan Notasi Vektor ..............................................................................

11

Gambar 6.Penjumlahan Dua Vektor ...............................................................................

14

Gambar 7.Penjumlahan Dua Vektor dengan aturan Jajaran Genjang.............................

14

Gambar 8.Pengurangan Dua Vektor ...............................................................................

16

Gambar 9.Pengurangan Dua Vektor dengan aturan Jajaran Genjang.............................

17

Gambar 10. Besar Vektor Hasil Penjumlahan dan Pengurangan ...................................

17

Gambar 11. Besar Resultan Dua Vektor .........................................................................

18

Gambar 12. Arah Vektor Hasil Penjumlahan dan Pengurangan.....................................

18

Gambar 13. Arah Vektor Posisi di R2 .............................................................................

19

Gambar 14. Arah Vektor Posisi di R3 .............................................................................

19

Gambar 15. Uraian Gaya-Gaya pada Sumbu Koordinat ................................................

25

v

0

BAB I PENDAHULUAN

1.1

Latar Belakang Vektor merupakan salah satu materi yang diajarkan pada siswa SMA, terutama bagi

siswa program IPA. Vektor disajikan dalam dua mata pelajaran yaitu Fisika dan Matematika, dua mata pelajaran yang biasa dianggap sebagai mata pelajaran yang dianggap sulit oleh siswa. Bicara tentang fungsi vektor, ada baiknya jika kita tahu terlebih dahulu apa itu vektor. Kita mengenal vektor sebagai sebuah besaran yang memiliki nilai dan arah.Sedangkan dalam matematika, vektor adalah anggota dari ruang vektor.Secara geometris, vektor dapat disajikan dengan ruas garis berarah.Panjang ruas garis menyatakan besar vektor dan anak panah menyatakan arah vektor. Pada dasarnya, setiap bagian dari matematika memiliki fungsi masing-masing.Baik fungsi matematisnya, penerapannya dalam kehidupan maupun kaitannya dengan ilmu agama.Tidak terkecuali dengan vektor. Secara matematis, kita kadang-kadang menyatakan bahwa sebuah fungsi vektor A (x,y,z) mendefinisikan suatu medan vektor karena mengaitkan suatu vektor dengan setiap titik di suatu daerah. Sementara dari aplikasi vector banyak diterapkan dalam Fisika. Dalam makalah ini akan dibahas lebih lanjut mengenai sejarah, pengertian, penulisan, operasi, serta aplikasi yang berkaitan dengan kajian vektor. 1.2

Rumusan Masalah Berdasarkan latar belakang masalah di atas, penulis dapat merumuskan beberapa

rumusan masalah sebagai berikut :

1

1.

Bagaimanakah sejarah munculnya vektor?

2.

Apakah pengertian dari besaran skalar dan besaran vektor dan bagaimana notasi penulisannya?

3.

Apakah yang disebut dengan kesamaan 2 vektor, vektor posisi, vektor satuan, dan vektor basis?

4.

Bagaimana mengoperasikan penjumlahan, pengurangan dan selisih dalam vektor?

5.

Apa yang dimaksud dengan tiga titik segaris dan letak pembagiannya dalam vektor?

6.

1.3

Apa yang termasuk aplikasi vektor pada Fisika?

Tujuan Penulisan Makalah Adapun tujuan penulisan dari makalah ini adalah untuk : 1. Mengetahui dan memahami bagaimana sejarah munculnya vektor. 2. Dapat memaparkan hubungan kesamaan 2 (dua) vektor, vektor posisi, vektor satuan, dan vektor basis. 3. Dapat mengetahui dan memahami operasi penjumlahan, pengurangan dan selisih dalam vektor. 4. Mengetahui pengertian dari besaran skalar dan vektor, serta notasi penulisan vektor. 5. Mengetahui dan memahami tiga titik segaris dan letak pembagiannya dalam vektor serta mengetahui aplikasi vektor dalam kehidupan sehari-hari.

1.4

Manfaat Adapun manfaat dari makalah ini : a. Bagi Penulis, melalui penulisan makalah ini secara tidak langsung penulis mengerti dan memahami pengertian dari besaran vektor, operasi vektor, kesamaan dua

2

vektor, vektor posisi, vektor satuan dan vektor basis, sejarah munculnya vektor, serta aplikasinya dalam kehidupan sehari-hari. b. Bagi Pendidikan, menambah pengetahuan dan memberikan informasi kepada para pelajar tentang manfaat dari vektor dalam kehidupan sehari-hari. c. Bagi Pembaca, menjadi sumber pengetahuan dan dapat mengkaji lebih baik untuk pengembangan makalah ini selanjutnya. 1.5

Sistematika Penulisan Sistematika penulisan makalah ini terdiri dari : BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang 1.2 Rumusan Masalah 1.3 Tujuan Penulisan Makalah 1.4 Manfaat 1.5 Sistematika Penulisan BAB II

LANDASAN TEORI DAN TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Sejarah Vektor 2.2 Pengertian Vektor dan Skalar 2.3 Penulisan dan Notasi Vektor 2.4 Kesamaan Vektor 2.5 Penjumlahan dan Selisih Vektor 2.6 Besar Suatu Vektor Hasil Penjumlahan dan Pengurangan 2.7 Hukum yang berlaku pada Aljabar Vektor 2.8 Vektor Posisi 2.9 Vektor Satuan 2.10 Vektor Basis

3

BAB III

METODE PENELITIAN

3.1 Waktu dan Tempat Penelitian 3.2 Teknik Pengumpulan 3.3 Analisis Data BAB IV

PEMBAHASAN

4.1 Soal dan Pembahasan Vektor BAB V

KESIMPULAN DAN SARAN

5.1 Kesimpulan 5.2 Saran

4

BAB II LANDASAN TEORI

2.1 Sejarah Vektor Vektor mengalami perjalanan panjang sebelumnya akhirnya dikenal sebagai konsep keilmuan. Konsep mengenai vektor sendiri sangat tertutup bahkan asal-usulnya pun tidak banyak diketahui.Hal ini menjadi penyebab utama Isaac Newton menciptakan sebuah karya yang berjudul “Principia Mathematica”. Dalam Principia, Newton mengemukakan vektor secara luas dengan apa yang sekarang dianggap benar adanya (misalnya, kecepatan, kekuatan), tetapi hal ini bukanlah konsep dari sebuah vektor. Vektor lahir dalam dua dasawarsa pada abad ke-19 dengan gambaran geometris dari bilangan kompleks. Caspar Wessel (1745-1818), Jean Robert Argand (1768-1822), Carl Friedrich Gauss (1777-1855), dan setidaknya satu atau dua orang lainnya menyatakan bahwa bilangan kompleks berfungsi sebagai titik dalam bidang dua dimensi yaitu sebagai vektor dua dimensi. Matematikawan dan ilmuwan bekerja sama lalu menerapkan bilangan-bilangan baru dalam berbagai cara. Misalnya, pada 1799 Carl Friedrich Gauss mengungkapkan pentingnya dari bilangan kompleks untuk membuktikan teorema dasar aljabar. Pada 1837, William Rowan Hamilton (1805-1865) menunjukkan bahwa bilangan kompleks dapat dianggap abstrak sebagai pasangan terurut (a,b) bilangan real. Ide ini merupakan bagian dari langkah matematikawan, termasuk Hamilton sendiri. Mereka mencari cara untuk memperluas "bilangan" dua dimensi Gambar 1.William Rowan Hamilton

5

atau tiga dimensi, tetapi dengan tetap mempertahankan sifat-sifat aljabar dasar dan bilangan kompleks pada kenyataanya tidak ada yang mampu mencapai hal ini. Pada 1827, August Ferdinand Möbius menerbitkan sebuah buku pendek dengan judul “The Barycentric Calculus”, dimana ia memperkenalkan segmen garis yang diarahkan dan dilambangkan dengan huruf abjad. Dalam studinya mengenai pusat gravitasi dan geometri proyektif, Möbius mengembangkan aritmatika segmen garis ini dengan

mengarahkan, menambahkan dan

menunjukkan

bagaimana untuk melipatgandakan segmen garis aritmatika

Gambar 2.August Ferdinand Möbius

dengan bilangan real. Karena pada kenyataannya tidak ada orang lain yang peduli untuk memperhatikan betapa pentingnya perhitungan ini. Hingga akhirnya Hamilton menyerah untukmencari sistem "bilangan" tiga dimensi tersebut dan sebagai gantinya ia menciptakan sebuah sistem empat dimensi yang ia sebut dengan quaternions. Dalam quaternions Hamilton menulis, q = w + ix + jy +kz dimana w, x, y, dan z adalah bilangan real. Hamilton menyadari bahwa quaternions miliknya terdiri dari dua bagian yang berbeda. Istilah pertama, ia disebut skalar dan x, y, z untuk tiga komponen persegi panjang, ia merasa dirinya telah terdorong untuk menyatakan lambang trinomial serta baris yang mewakili sebuah vektor. Untuk mengembangkan quaternions miliknya Hamilton menggunakan rumus dasarnya dimana: 𝑖 2 = 𝑗 2 = 𝑘 2 = – i j k = –1, ia pun mengetahui bahwa produk miliknya, 𝑞1 𝑞2 = –𝑞2 𝑞1 tidak komutatif. Quaternions (1866), secara terperinci bukan hanya aljabar quaternions tetapi juga bagaimana formula ini dapat digunakan dalam geometri.Pada suatu kesempatan, Hamilton menulis, “Saya harus menegaskan bahwa penemuan ini tampaknya menjadi sama pentingnya pada pertengahan abad kesembilan belas serta sebagai penutupan pada abad ketujuh 6

belas.Ini juga merupakan penemuan yang akan mengalami perubahan secara terus menerus.” Dia juga memiliki seorang murid yang bernama Peter Guthrie Tait (1831-1901) yang pada tahun 1850-an mulai menerapkan quaternions untuk masalah listrik dan magnet dan masalah lain dalam fisika. Sampai akhirnya pada pertengahan abad ke-19, quaternions mendapatkan reaksi keras baik positif maupun negatif dari komunitas ilmiah lain. Pada

waktu

yang

bersamaan

saat

dimana

Hamilton

menemukan Quaternions, Hermann Grassmann (1809-1877) juga telah menyusun The Calculus of Extension (1844) yang sekarang dikenal dengan judul Jermannya yakni Ausdehnungslehre. Pada 1832, Grassmann mulai mengembangkan “Kalkulus Geometris Baru" sebagai bagian dari studi tentang teori pasang surut, dan ia kemudian

Gambar 3.Hermann Grassmann

menggunakan alat ini untukmenyederhanakan bagian dari dua karya klasik yakni Mekanika Analitik dari Joseph Louis Lagrange (1736-1813) dan Mekanika Celestial dari Pierre Simon Laplace (1749-1827). Dalam Ausdehnungslehre, pertama, Grassmann memperluas dari konsep vektor yang telah dikenal yaitu dua atau tiga dimensi, n-dimensi, ini sangat memperluas ruang daya pikir. Kedua bahkan lebih umum, Grassmann mengembangkan banyak matriks modern, linear aljabar, vektor dan analisis tensor. Sayangnya, Ausdehnungslehre memiliki dua kelemahan akan hal itu. Pertama, teorinya sangat abstrak, kurang jelas dalam contoh dan ditulis dalam gaya notasi yang terlalu rumit. Bahkan setelah ia memberikan studi yang serius, Möbius tidak dapat memahami sepenuhnya. Kedua, Grassmann adalah seorang guru sekolah menengah tanpa reputasi ilmiah besar (dibandingkan dengan Hamilton). Meskipun karyanya diabaikan, Grassmann mempromosikan karyanya pada 1840-an dan 1850-an dengan aplikasi untuk elektrodinamika dan geometri kurva dan permukaan, tetapi tanpa banyak mendapatkan pengakuan dari publik. Pada tahun 1862, Grassmann menerbitkan edisi revisi kedua 7

dari Ausdehnungslehre, tapi itu terlalu samar-samar tertulis dan terlalu abstrak untuk matematika pada waktu itu, hingga mengalami nasib yang serupa seperti edisi pertama.Dalam tahun-tahun terakhir hidupnya, Grassmann berpaling dari matematika dan meluncurkan karier penelitian kedua hingga meraih sukses dalam ilmu fonetik dan linguistik komparatif. Akhirnya, pada akhir 1860-an dan 1870-an, Ausdehnungslehre perlahan mulai dipahami dan dihargai, sehingga Grassmann mulai menerima beberapa pengakuan yang menguntungkan untuk matematika visioner. Edisi ketiga dari Ausdehnungslehre diterbitkan pada tahun 1878, setahun setelah itu Grassmann pun meninggal dunia. Selama pertengahan abad kesembilan belas, Benjamin Peirce

(1809-1880), seorang

matematikawan

yang

paling

menonjol di Amerika Serikat, bahkan ia disebut sebagai titisan Hamilton. Peirce adalah seorang guru besar matematika dan astronomi di Harvard pada 1833-1880, dan ia menulis sebuah sistem besar Mekanika Analitik pada 1855 hingga edisi kedua ditulis pada 1872, secara mengejutkan temuannya ini tidak

Gambar 4. Benjamin Peirce

termasuk dalam quaternions. Sebaliknya, Peirce memperluas pada apa yang ia sebut "Keindahan Ruang Aljabar" dalam menyusun Linear Associative Algebra (1870), karya aljabarnya benar-benar abstrak. Padahal kabarnya, quaternions telah menjadi subjek favorit Peirce . James Clerk Maxwell (1831-1879) adalah pendukung cerdas dan kritis pada quaternions.Maxwell dan Peter Guthri Tait’s adalah warga Negara Skotlandia dan pernah belajar bersama di Edinburgh dan di Cambridge University, mereka berbagi pengetahuan dalam fisika matematika. Dalam apa yang disebut "klasifikasi matematika dari kuantitas fisik", Maxwell membagi variabel fisika ke dalam dua kategori, skalar dan vektor. Kemudian, dalam hal stratifikasi ini, ia menunjukkan bahwa menggunakan quaternions dibuat transparan 8

analogi matematika dalam fisika yang telah ditemukan oleh Lord Kelvin (William ThomsonSir,

1824-1907)

antara

aliran

panas

dan

distribusi

gaya

elektrostatik. Namun dalam catatan-catatannya dan terutama dalam Treatise on Electricity and Magnetism (1873) Maxwell menekankan pentingnya apa yang ia sebut sebagai “Ide quaternions atau doktrin vektor” sebagai metode matematika sebuah metode berpikir. Pada saat yang sama, dia menunjukkan sifat homogen dari produk quaternions, dan ia mengingatkan para ilmuwan dari menggunakan "metode quaternions" dengan rincian yang melibatkan tiga komponen vektor. Pada dasarnya, Maxwell menunjukkan analisis murni vektor. William Kingdon Clifford (1845-1879) menyatakan kekaguman yang mendalam pada Ausdehnungslehre

milik

Grassmann

yang

ia

sebut

sebagai

langkah

lebih dari quaternions. Dalam Elements of Dinamis (1878), Clifford membagi produk dari dua quaternions menjadi dua produk vektor yang sangat berbeda, yang disebut produk skalar (sekarang dikenal sebagai dot product) dan produk vektor (hari ini kita menyebutnya cross product). Untuk analisis vektor, ia menegaskan "keyakinan prinsip-prinsip yang akan memberikan pengaruh besar terhadap masa depan ilmu Matematika”. Meskipun elemen dinamis berada pada urutan pertama dari catatan-catatannya, Clifford tidak pernah memiliki kesempatan untuk mengejar ide-ide ini karena ia meninggal pada usia muda. Perkembangan

aljabar

vektor

dan

analisis

vektor

seperti

yang

kita

kenal sekarang ini pertama kali terungkap pada sebuah catatan luar biasa yang ditulis oleh J. Willard Gibbs.Gibbs mendapatkan prestasi ilmiah utamanya berada dalam fisika, yaitu termodinamika.Maxwell sangat mendukung pekerjaan Gibbs dalam termodinamika, terutama presentasi geometris hasil Gibbs itu. Gibbs diperkenalkan ke quaternions ketika ia membaca risalah Maxwell tentang Listrik dan Magnet, dan Gibbs juga belajar Grassmann Ausdehnungslehre. Dia menyimpulkan bahwa vektor akan memberikan alat yang lebih 9

efisien untuk karyanya dalam fisika. Jadi, mulai tahun 1881, Gibbs mencetak catatan pribadinya mengenai analisis vektor untuk murid-muridnya, yang didistribusikan secara luas bagi para sarjana di Amerika Serikat, Inggris, dan Eropa.Buku pertama pada analisis vektor modern di Inggris adalah Analisis Vektor (1901), catatan Gibbs disusun kembali oleh salah satu mahasiswa pascasarjana terakhirnya, Edwin B.Wilson (1879-1964). Ironisnya, Wilson menerima pendidikan sarjananya di Harvard tempat ia belajar tentang quaternions dari dosennya, James Mills Peirce (1834-1906), salah satu putra dari Benjamin Peirce. Buku Gibbs dan Wilson ini dicetak ulang dalam edisi singkat pada tahun 1960. Kontribusi lain dengan pemahaman modern dan penggunaan vektor dibuat oleh Jean Frenet (1816-1990). Pada 1890-an dan dekade pertama abad kedua puluh, Tait dan beberapa orang lainnya mencemooh vektor dan membela quaternions sementara banyak ilmuwan lain dan matematikawan merancang metode vektor mereka sendiri. Oliver Heaviside (1850-1925), seorang ahli fisika otodidak yang sangat dipengaruhi oleh Maxwell. Dalam makalah dan teori elektromagnetik

(tiga

jilid,

1893,

1899,

1912)

ia

menyerang

quaternions

dan

mengembangkan analisis vektor sendiri. Heaviside telah menerima salinan catatan Gibbs dan ia

berbicara

sangat berlebihan dalam memperkenalkan teori Maxwell tentang listrik dan

magnet ke Jerman (1894), metode vektor dan beberapa buku tentang analisis vektor dalam bahasa Jerman yang menganjurkan untuk diikuti. Hingga pada akhirnya metode vektor ini mulai

disebarluaskan

pada beberapa

negara misalnya

1887, 1888, 1897, Rusia pada 1907, dan Belanda (1903).

10

diperkenalkan

ke Italia pada

2.2

Pengertian Vektor dan Skalar Besaran skalar adalah besaran yang hanya memiliki besar (panjang atau nilai) saja atau

besaran yang tidak memiliki arah. Misalnya: waktu, suhu, panjang, luas, volum, massa, dan sebagainya. Besaran vektor adalah besaran yang memiliki besar (panjang atau nilai) juga memiliki arah. Misalnya: kecepatan, percepatan, gaya, momentum, medan magnet, medan listrik, dan sebagainya. Pada besaran skalar berlaku operasi-operasi aljabar, tetapi pada besaran vektor, operasioperasi aljabar tidak berlaku. 2.3

Penulisan dan Notasi Vektor Penulisan besaran vektor secara internasional disepakati dengan Vektor dinyatakan

dengan huruf latin, misalnya u, u, u (huruf yang ditebalkan) atau u (huruf yang dimiringkan). Sedangkan untuk besaran skalar dicetak biasa. Disamping hal ini, besaran vektor digambarkan dengan anak panah.Panjang anak panah menyatakan nilai besar vektor, sedangkan arah mata panah menyatakan arah vektor.

Gambar 5. Bentuk dan Notasi Vektor

11

Ekor dari panah disebut titik pangkal vektor dan ujung panah disebut titik ujung vektor.Jika v menyatakan ruas garis berarah dari A ke B, maka ditulisdengan lambang v = AB. Dalam aplikasinya vektor selalu menempati ruang.Untuk menjelaskan fenomena vektor di dalam ruang dapat digunakan bantuan sistem koordinat untuk menjelaskan besar dan arah vektor. 𝒂 Vektor u dapat dinyatakan sebagai pasangan bilangan, misalnya u = ( ), atau u = 𝒃 (a,b) dengan a = komponen mendatar dan b = komponen vertikal. Panjang Vektor Vektor di R2 𝒂 Misalkan u = ( ), maka panjang (besar, nilai) vektor u ditentukan dengan rumus: 𝒃

| u | = √𝑎2 + 𝑏 2 Vektor di R3 𝒂 Misalkan u = (𝒃), maka panjang (besar, nilai) vektor u ditentukan dengan rumus: 𝑪

| u | = √𝑎2 + 𝑏 2 + 𝑐 2 2.4

Kesamaan Vektor Vektor di R2 Dua buah vektor dikatakan sama, bila besar dan arahnya sama. 𝑎 𝑐 Misalkan u = ( )dan v = ( ) 𝑏 𝑑 Jika u = v, maka |u| = |v | dan arah u = arah v, sehingga a = c dan b = d.

12

Vektor di R3 Dua buah vektor dikatakan sama, bila besar dan arahnya sama. 𝑎 𝑐 Misalkan u = (𝑏)dan v = (𝑑) 𝑐 𝑒 Jika u = v, maka |u| = |v | dan arah u = arah v, sehingga a = c, b = d, dan c = e

2.5

Penjumlahan dan Selisih Vektor Vektor Di R2 1. Penjumlahan Vektor a. Penjumlahan Vektor secara Geometri Jika dua vektor 𝑎⃗ dan 𝑏⃗⃗ dijumlahkan hasilnya vektor 𝑐⃗ ditulis 𝑎⃗ + 𝑏⃗⃗= 𝑐⃗. Vektor 𝑐⃗ sebagai vektor resultan dari vektor 𝑎⃗ 𝑑𝑎𝑛 𝑏⃗⃗ . Secara geometris , penjumlahan dua vektor dapat dilakukan dengan menggunakan aturan segitiga atau dengan aturan jajaran genjang. 1.

Menentukan Jumlah Dua Vektor Dengan Aturan Segitiga Jika diketahui dua buah vektor , misalnya vektor udan vektor 𝒗, maka akan

didapatkan penjumlahan dari kedua vektor tersebut. Jumlah dua vektor 𝒖dan 𝒗 atau u + v = w dapat ditentukan dengan memindahkan vektor (tanpa mengubah besar dan arah) sehingga pangkal vektor v berimpit dengan ujung vektor 𝒖. Vektor w = u + v diperoleh dengan menghubungkan titik pangkal vektor u dengan ujung vektor v yang telah dipindahkan tadi. Perhatikan visualisasi berikut ini!

13

Gambar 6. Penjumlahan Dua Vektor

2.

Menentukan Jumlah Dua Vektor Dengan Aturan Jajaran Genjang Pada aturan jajargenjang, Jumlah dua vektor 𝒖dan 𝒗 atau u + v = w dapat

ditentukan dengan memindahkan vektor (tanpa mengubah besar dan arah) sehingga pangkal vektor v berimpit dengan ujung vektor 𝒖. Kemudian dibuat jajargenjang yang kedua sisi berimpit dengan kedua vektor udan v. Vektor w = u + v adalah vektor yang berhimpit dengan diagonal jajargenjang yang terbentuk dengan pangkal berhimpit dengan pangkal kedua vektor terakhir, sedang ujungnya terletak pada titik pojok yang berhadapan dengan titik pangkal. Perhatikan visualisai berikut ini!

Gambar 7. Penjumlahan dua vektor dengan aturan Jajaran Genjang b. Penjumlahan Vektor secara Aljabar Secara analitik (aljabar), penjumlahan dua vektor u = (𝑥𝑦𝑎) dan v = (𝑦𝑥𝑏 ) dapat 𝑎

𝑏

dilakukan dengan menjumlahkan komponen- komponen vektor yang seletak. Jika vektor w merupakan jumlah dua vektor u dan v atau w = u + v, maka vektor 𝒘 ditentukan dengan: 14

𝑥𝑎 𝑥𝑏 𝑥 + 𝑥 w = u + v = (𝑦 ) + (𝑦 ) = ( 𝑦𝑎 + 𝑦𝑏 ). 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 Contoh : Tentukan hasil penjumlahan dua vektor berikut : 4 5 p = ( )dan q = ( ) 9 3 Jawab : 4 5 𝒑 = ( )dan q = ( ) 9 3 4 5+4 5 9 p + q = ( )+ ( ) =( ) =( ) 9 3+9 12 3 c. Sifat-Sifat Penjumlahan Vektor Misalkan u, v, dan w adalah vektor-vektor sembarang, pada operasi penjumlahan vektor berlaku sifat-sifat : 1. Sifat komutatif : u + v = v + u 2. Sifat asosiatif : u + ( v + w ) = ( u + v ) + w 3. Terdapat unsur identitas , yaitu vektor 0 sehingga u + 0 = 0 + u = u 4. Setiap vektor mempunyai invers jumlah. invers jumlah vektor 𝒖ini adalah lawan dari 𝒖, yakni –𝒖, sehingga berlaku u + (-u) = (-u) + u = 0

2. Pengurangan Vektor a. Pengurangan Vektor secara Geometri 1. Menentukan Hasil Pengurangan Vektor Dengan Aturan Segitiga Sebelumnya, telah dibahas mengenai ‘dua vektor yang berlawanan’yaitu dua vektor yang mempunyai besar sama, tetapi arahnya berlawanan. Sebagai contoh, 15

vektor –umerupakan lawan dari vektor u dan vektor –vmerupakan lawan vektor v. Sementara itu, pada bilangan real berlaku hubungan u – v = u + (-v), dengan v merupakan invers tambah dari v. Berdasarkan pengertian diatas, jika diketahui dua buah vektor , misalnya vektor udan vektor 𝒗, maka u – v artinya sama dengan𝐮 + (−𝐯). Pengurangan vektor udan vektor 𝒗, atauu – v dapat ditentukan dengan cara : a. Tentukan lawan vektor v yaitu −𝒗 b. Pindahkan vektor −𝒗 (tanpa mengubah besar dan arah) sehingga pangkal vektor −𝒗 berhimpit dengan ujung vektor u. Vektor w = u + v diperoleh dengan menghubungkan titik pangkal vektor u dengan ujung vektor −𝒗 yang telah dipindahkan tadi. Perhatikan visualisasi berikut ini!

Gambar 8. Pengurangan dua vektor 2. Menentukan Pengurangan Vektor Dengan Aturan Jajargenjang Pengurangan vektor udan vektor 𝒗, atauu – v dapat ditentukan dengan cara memindahkan vektor −𝒗 (tanpa mengubah besar dan arah) sehingga pangkal vektor −𝒗 berhimpit dengan ujung vektor u, kemudian dibuat jajargenjang yang kedua sisi berhimpit dengan kedua vektor udan vektor 𝒗. Vektor w = u + v adalah vektor yang berhimpit dengan diagonal jajargenjang yang terbentuk dengan pangkal berhimpit

16

dengan pangkal kedua vektor udan vektor −𝒗, sedang ujungnya terletak pada titik pojok yang berhadapan dengan titik pangkal. Perhatikan visualisasi berikut ini!

Gambar 9.Pengurangan dua vektor dengan aturan jajarangenjang. b. Pengurangan Vektor secara Aljabar

Contoh : Tentukan hasil pengurangan vektor (𝒖 − 𝒗) jika diketahui : 4 5 𝒖 = ( ) dan 𝒗 = ( ) 9 3 Jawab : 4 1 5 5−4 𝒖 -𝒗= ( )−( )=( )=( ) 9 −6 3 3−9 2.6

Besar suatu vektor Hasil Penjumlahan dan Pengurangan

Gambar 10. Besar vektor hasil Penjumlahan dan Pengurangan

17

Gambar 11. Besar resultan dua vektor

Gambar 12. Arah vektor hasil penjumlahan dan pengurangan

18

2.7

Hukum yang berlaku pada Aljabar Vektor JikaA, B, Cadalah vektor dan m, n adalah skalar maka:

a. A + B = B + A

(komutatif terhadap penjumlahan)

b. A + (B + C) = (A + B) +C

(asosiatif terhadap penjumlahan)

c. mA=Am

(komutatif terhadap perkalian)

d. m(nA) = (mn)A

(asosiatif terhadap perkalian)

e. (m+n)A=(mA)+(nA)

(distributif terhadap perkalian)

2.8

Vektor Posisi

Vektor di R2 Vektor posisi dari suatu titik adalah vektor yang titik pangkalnya di titik O (pangkal koordinat) dan titik ujungnya di titik yang bersangkutan. Perhatikan gambar berikut :

Gambar 13. Arah Vektor Posisi di R2 Vektor di R3

Gambar 14. Arah Vektor Posisi di R3

19

2.9Vektor Satuan Vektor satuan adalah vektor yang besarnya satu satuan. Vektor satuan u yang searah vektor a dinyatakan dengan:

u=

𝒂 |𝒂|

2.10 Vektor Basis Vektor di R2 Vektor sebagai kombinasi vektor satuan. Vektor u dapat dibentuk menggunakan vektor satuan i dan j, misalkan u = ai + bj Vektor di R3 z

20

BAB III PEMBAHASAN

3.1

Soal dan Pembahasan Vektor

1. Posisi suatu benda pada saat t = 0 dinyatakan dengan r0 = 2i−3j+k. Dalam selang waktu ∆t = 3 s perpindahan yang dialami benda adalah ∆r = −3i + 4j + 2k, maka posisi benda pada saat t = 3 s adalah.... Jawab: r(t = 3) = r0 + ∆r = (2i − 3j + k) + (−3i + 4j + 2k) = −i + j + 3k 2. Sebuah gaya F = i + 3j bekerja pada benda sehingga benda bergerak lurus sejauh 2 m sepanjang sumbu x. Besar usaha yang oleh gaya F terhadap benda adalah... Jawab: W=F·r = (i + 3j) · (2i) = 2 joule Sudut antara gaya F dengan arah perpindahan adalah

cos 𝜃 =

=

𝐹. 𝑟 |𝐹||𝑟| 2

(√12 + 32 )(√22 )

21

=

1 √10 10

= 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 (

1 √10) 10

=

2 2√10

3. Benda titik bermassa m = 2 kg bergerak sepanjang garis y = 2x + 3 dalam arah kuadran satu pada bidang koordinat xy dengan laju v = 3 m/s. Arah gerak benda dapat dinyatakan menggunakan gradien persamaan garis tersebut. Maka vektor satuan dalam arah garis tersebut adalah: 𝑣̂ =

1 + 2𝑗 √5

Vektor kecepatan benda tersebut adalah... Jawab:

𝑣 = 𝑣𝑣̂ =

3 √5

(𝑖 + 2𝑗)

4. Momentum sudut terhadap suatu titik tertentu didefinisikan sebagai L = r × p dengan p = mv adalah momentum linier benda dan rnadalah vektor posisi benda dari titik acuan yang dimaksud. Misalkan posisi awal benda adalah r0 = 3j, maka posisi benda tiap saat dapat dinyatakan sebagai 𝑟(𝑡) =

3𝑡

6𝑡 𝑖 + ( + 3) 𝑗 √5 √5

Sehingga momentum sudut terhadap titik pusat koordinat O adalah 𝑙=𝑟𝑥𝑝 3𝑡 6𝑡 3 (𝑖 + 2𝑗)) = ( 𝑖 + ( + 3) 𝑗) 𝑥 (𝑚 √5 √5 √5

22

18𝑡𝑚 18𝑡𝑚 9𝑚 =( − − )𝑘 5 5 √5 9𝑚 = ( )𝑘 √5

5. Sebuah benda bermassa m bergerak dengan kecepatan yang dinyatakan dengan v = v0xi + v0yj. Energy kinetik tersebut adalah.... 1

𝑇 = 2 𝑚(𝑣. 𝑣)

Jawab:

=

1 𝑚(𝑣0𝑥 𝑖 + 𝑣𝑜𝑦 𝑗) 2 1 = 𝑚𝑣 2 2

6. Diberikan dua buah vektor gaya yang sama besar masing-masing vektor besarnya adalah 10 Newton seperti gambar berikut. Jika sudut yang terbentuk antara kedua vektor adalah 60°, tentukan besar (nilai) resultan kedua vektor!

Jawab: Dengan F1 = 10 N, F2 = 10 N, α adalah sudut antara kedua vektor (α = 60°). dan R adalah besar resultan kedua vektor.

Sehingga:

23

7. Dua buah vektor masing-masing F1 = 15 satuan dan F2 = 10 satuan mengapit sudut 60°. Tentukan arah resultan kedua vektor!

Jawab:

Yang dimaksud arah resultan adalah sudut β pada gambar di bawah:

diperoleh arah resultan:

8. Dua buah vektor kecepatan P dan Q masing-masing besarnya 40 m/s dan 20 m/s membentuk sudut 60°.Tentukan selisih kedua vektor tersebut!

24

Jawab :

9. Dua buah vektor gaya masing – masing 8 N dan 4 N saling mengapit sudut 120°. Tentukan besar resultan kedua vektor tersebut!

Jawab:

10. Perhatikan gambar berikut!

Jika satu kotak mewakili 10 Newton, tentukan resultan antara kedua vektor!

Jawab: Cari jumlah resultan pada sumbu x dan sumbu y, cukup dengan menghitung kotak dari masing-masing vektor, F1 adalah 30 ke kanan, 40 ke atas, sementara F2adalah 50 ke kanan, 20 ke atas, kemudian masukkan rumus resultan:

25

11. Diberikan 3 buah vektor F1=10 N, F2 =25 N dan F3=15 N seperti gambar berikut.

Tentukan: a. Resultan ketiga vektor b. Arah resultan terhadap sumbu X [Sin 37° =(3/5), Sin 53° = (4/5)] [Cos 37° = (4/5), Cos 53° = (3/5)]

Jawab: a. Ikuti langkah-langkah berikut: 1. Uraikan semua vektor ke sumbu x dan sumbu y (kecuali vektor yang sudah lurus pada sumbu x atau y seperti F2). Lihat gambar di bawah! 2. Cari jumlah vektor pada sumbu x ( kanan +, kiri -) 3. Cari jumlah vektor pada sumbu y (atas +, bawah -) 4. Masukkan rumus resultan

Vektor yang dalam perhitungan selanjutnya tidak digunakan lagi karena sudah diuraikan tadi, dihapus saja, agar kelihatan lebih bersih, sisanya seperti ini:

26

Jumlah komponen vektor-vektor pada sumbu x dan y :

b. Mencari sudut yang terbentuk antara resultan vektor R dengan sumbu x tan θ = ΣFy /ΣFx tan θ = −7/−1 = 7 θ = arc. tan 7 = 81,87° 12. Sebuah perahu menyeberangi sungai yang lebarnya 180 m dan kecepatan airnya 4 m/s. Bila perahu diarahkan menyilang tegak lurus dengan kecepatan 3 m/s, tentukan panjang lintasan yang ditempuh perahu hingga sampai ke seberang sungai! Jawab: Asumsikan bahwa perahu bergerak lurus beraturan menempuh lintasan AD dan resultan kecepatan perahu dan air adalah 5 m/s (gunakan aturan Phytagoras).

27

Dengan membandingkan sisi-sisi segitiga ABC dan ADE :

13.

Perhatikan gambar gaya-gaya di bawah ini!

Besar resultan ketiga gaya tersebut adalah.... Jawab : Untuk dua buah vektor dengan besar yang sama dan membentuk sudut 120o maka resultan kedua vektor besarnya akan sama dengan besar salah satu vektor" Berikut ilustrasinya:

Dua buah vektor dengan besar yang sama yaitu 10 N membentuk sudut 120o maka nilai resultan kedua vektor juga 10 N.

14. 2 buah vektor (gaya) masing-masing 3 N membentuk sudut 120o, sehingga resultan kedua gaya juga 3 N. Resultan kedua gaya ini akan segaris dengan gaya 6 N, namun 28

berlawanan arah. Sehingga dengan mudah soal ini bisa dijawab resultan ketiga gaya adalah 6 N dikurangi 3 N hasilnya adalah 3 N. Diberikan dua buah vektor masing-masing vektor dan besarnya adalah A = 8 satuan, B = 10 satuan. Kedua vektor ini membentuk sudut 37°. Tentukan hasil dari: a) A⋅ B b) A × B jawab : a) A⋅ B adalah perkalian titik (dot) antara vektor A dan vektor B Untuk perkalian titik berlaku A⋅ B = A B cos θ Sehingga A⋅ B = A B cos 37° = (8)(10)(0,8) = 64 satuan

b) A × B adalah perkalian silang (cross) vektor A dan vektor B Untuk perkalian silang berlaku A × B = A B sin θ Sehingga A × B = A B sin 37° = (8)(10)(0,6) = 48 satuan 15. Sebuah gaya F = (2i + 3j) N melakukan usaha dengan titik tangkapnya berpindah menurut r = (4i + aj) m dan vektor i dan j berturut-turut adalah vektor satuan yang searah dengan sumbu x dan sumbu y pada koordinat kartesian. Bila usaha itu bernilai 26 J, maka nilai a sama dengan... jawab : Soal ini adalah soal penerapan perkalian titik (dot product ) antara vektor gaya F dan vektor perpindahan r dengan kedua vektor dalam bentuk i dan j atau vektor satuan. Besaran yang dihasilkan nantinya adalah skalar (usaha termasuk besaran skalar, hanya memiliki besar, tanpa arah). Usaha dilambangkan dengan W dari kata work. W=F⋅r 26 = (2i + 3j)⋅ (4i + aj)

Cara perkalian titik dua vektor dalam bentuk i,j adalah yang i kalikan i, yang j kalikan j, hingga seperti berikut 29

26 = 8 + 3a 3a = 26 − 8 a = 18/3 = 6 i dan j nya jadi hilang karena i kali i atau j kali j hasilnya adalah satu. 16. Diberikan dua buah vektor masing-masing: A = 4i + 3j − 2k B = 7i + 2j + 5k Tentukan hasil dari A × B

jawab : Perkalian silang, A × B Cara pertama: Misal : A = (Ax i + Ay j + Az k) dan B = (Bx i + By j + Bz k)

maka :

A × B = (Ay Bz − Az By) i + (Az Bx − Ax Bz) j + (Ax By − Ay Bx) k

↑ Rumus Perkalian Silang Dua Vektor (cross product ) dalam i, j, k

Data : A = 4i + 3j − 2k B = 7i + 2j + 5k

Ax = 4

Bx = 7

Ay = 3

By = 2

Az = − 2

Bz = 5

30

maka A × B = (Ay Bz − Az By) i + (Az Bx − Ax Bz) j + (Ax By − Ay Bx) k A × B = [(3)(5) − (−2)(2)] i + [(−2)(7) − (4)(5)]j + [(4)(2) − (3)(7)] k A × B = (15 + 4)i + (−14 − 20)j + (8 − 21)k A × B = 19 i −34 j − 13k Cara Kedua: A = 4i + 3j − 2k B = 7i + 2j + 5k Susun dua vektor di atas hingga seperti bentuk berikut:

Untuk mempermudah perkalian, tambahkan dua kolom di sebelah kanan susunan yang telah dibuat tadi hingga seperti berikut:

Beri tanda plus dan minus, ikuti contoh berikut:

Kalikan menyilang ke bawah terlebih dahulu dengan memperhatikan tanda plus minus yang telah dibuat, lanjutkan dengan menyilang ke atas, A × B = (3)(5) i + (−2)(7) j + (4)(2)k − (7)(3)k − (2)(−2) i − (5)(4) j A × B = 15 i −14 j + 8 k − 21k + 4 i − 20j A × B = (15 + 4) i + (− 14 − 20) j + (8 − 21) k A × B = 19 i − 34 j − 13 k

31

BAB IV PENUTUP

4.1 Kesimpulan

Vektor adalah besaran yang mempunyai nilai dan arah, sedangkan skalar adalah besaran yang hanya mempunyai nilai saja.Penulisan vektor dapat dengan huruf kecil dan di garis bawah, atau huruf kecil tebal, huruf kecil dengan tanda panah di atas dan juga huruf kapitak dengan tanda panah diatasnya.Konsep kesamaan dua vektor adalah jika keduanya mempunyai panjang dan arah yang sama.Penjumlahan atau pengurangan dua vektor dapat dilakukan secara geometri dan juga analitik.

4.2 Saran Adapun saran yang dapat penulis berikan adalah perlunya pengaplikasian dari pengetahuan tentang vektor ini di masyarakat luas, untuk memudahkan pekerjaan masyarakat pula tentunya, sehingga secara tidak langsung akan meningkatkan taraf hidup bangsa

32

DAFTAR PUSTAKA

Kariadinata, Rahayu. 2011. Pengantar Aljabar Linier. Bandung: CV. Intan Mandiri. Wirodikromo, Sartono. 2007. Matematika SMA kelas XII. Jakarta: Erlangga. http://klompokku.blogspot.com/2013/09/makalah.html https://lovemathstory.wordpress.com/2012/03/03/analisis-vektor/ http://tomatalikuang.blogspot.com/2013/10/sejarah-vektor.html https://www.pdfcoke.com/doc/178697539/Makalah-Matematika-Vektor http://alansileo.blogspot.com/2012/09/makalah-vektor.html http://fisikastudycenter.com/fisika-x-sma/5-vektor

vi