Makalah Sistem Persamaan Linear.docx

Matakuliah: Fisika komputasi

PENYELESAIAN PERSAMAAN LINEAR DENGAN METODE ELIMINASI GAUSS

DISUSUN OLEH:

Kelompok 6 AISYAH (8176175001) DEWI RATNA PERTIWI SITEPU (8176175004)

PENDIDIKAN FISIKA REGULER A 2017

PROGRAM PASCASARJANA UNIVERSITAS NEGERI MEDAN 2017

KATA PENGANTAR Puji syukur kehadirat Tuhan Yang Maha Esa atas segala rahmatNya

sehingga

makalah ini dapat tersusun hingga selesai. Tidak lupa kami juga mengucapkan banyak terimakasih atas bantuan dari pihak yang telah berkontribusi dengan memberikan sumbangan baik materi maupun pemikirannya. Dan harapan kami semoga makalah ini dapat menambah pengetahuan dan pengalaman bagi para pembaca, Untuk kedepannya dapat memperbaiki bentuk maupun menambah isi makalah agar menjadi lebih baik lagi. Karena keterbatasan pengetahuan maupun pengalaman kami, Kami yakin masih banyak kekurangan dalam makalah ini, Oleh karena itu kami sangat mengharapkan saran dan kritik yang membangun dari pembaca demi kesempurnaan makalah ini.

Medan,

Februari 2018

Kelompok VI

i

DAFTAR ISI Kata pengantar .................................................................................................................... i Daftar isi.............................................................................................................................. ii Bab I

Pendahuluan 1.1 Latar Belakang ................................................................................................. 1 1.2 Rumusan Masalah ............................................................................................ 1 1.3 Tujuan Penulisan ............................................................................................. 1

Bab II

Pembahasan 2.1

Sistem Persamaan Linear ............................................................................... 2

2.2

Metode Eliminasi Gauss ................................................................................ 2

2.3

Contoh Penyelesaian Sistem Persamaan Linear ............................................ 2 2.3.1

Kalkulasi Manual ............................................................................... 3

2.3.2

Penyelesaian Dengan Matlab ............................................................. 6 2.3.2.1 Metode Eliminasi Gauss ...................................................... 6 2.3.2.2 Metode Iterasi Gauss-Seidel ................................................ 11 2.3.2.3 Metode Eliminasi Gauss-Jordan .......................................... 14

2.4 Bab III 3.1

Aplikasi Dalam Fisika ................................................................................... 18 Penutup Kesimpulan ................................................................................................... 24

DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................................ 25

ii

i

BAB I PEMBAHASAN

1.1.

Latar Belakang Pada saat teknologi informasi belum maju pesat, para praktisi dan profesional di

bidang rekayasa teknik dan sains menganalisa dengan perhitungan manual. Simplifikasi digunakan dimana struktur yang sangat kompleks disederhanakan menjadi struktur yang lebih sederhana. Hal ini dilakukan untuk menghindari kesulitan dalam analisa. Sering kali permodelan matematika muncul dalam bentuk yang tidak ideal, sehingga tidak dapat diselesaikan dengan menggunakan metode analitik untuk mendapatkan solusi sebenarnya (exact solution). Dengan menggunakan metode numerik, solusi dari persoalan yang dihadapi tidak akan diperoleh. Metode numerik hanya bisa memberikan solusi yang mendekati atau menghampiri solusi sejati sehingga solusi numerik dinamakan juga solusi hampiran (approximation solution). Pendekatan solusi ini tentu saja tidak tepat sama dengan solusi sejati, sehingga ada selisih antara keduanya. Berdasarkan uraian di atas, maka penulis tertarik untuk membuat makalah mengenai Metode Numerik untuk Solusi sistem persamaan linear menggunakan metode Eliminasi Gauss menggunakan Bahasa Pemograman Matlab.

1.2

Rumusan Masalah Adapun rumusan masalah dalam makalah ini adalah 1. Bagaimana cara menyelesaikan persamaan linear dengan menggunakan metode eliminasi Gauss? 2. Bagaimana membuat program MATLAB dalam menyelesaikan persamaan linear dengan metode eliminasi Gauss ?

1.3

Tujuan Adapun tujuan dalam makalah ini adalah 1. Mampu menyelesaikan persamaan linear dengan menggunakan metode eliminasi Gauss? 2. Mampu membuat program MATLAB dalam menyelesaikan persamaan linear dengan metode eliminasi Gauss ?

1

BAB II PEMBAHASAN

2.1

Sistem Persamaan Linear Di dalam matematika, sistem persamaan linier adalah kumpulan persamaan-

persamaan linier yang memiliki variabel-variabel yang sama. Bentuk umum dari sistem persamaan linier dengan n peubah dinyatakan sebagai berikut: a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2 a31x1 + a32x2 + ... + a2nxn = b3 :

:

:

=:

an1x1 + an2x2 + ... + annxn = bn Bila semua b1, b2, b3 ....bn = 0 maka sistem persamaan (1) dinamakan sistem persamaan yang homogen , begitu sebaliknya jika b1, b2, b3 ....bn ≠ 0 disebut persamaan non homogen 2.2

Metode Eliminasi Gauss Penyelesaian persamaan linier dalam bentuk matriks dapat dilakukan melalui

beberapa cara, yaitu dengan eliminasi Gauss atau dapat juga dengan cara eliminasi GaussJordan. Namun, suatu sistem persamaan linier dapat diselesaikan dengan eliminasi Gauss untuk mengubah bentuk matriks teraugmentasi ke dalam bentuk eselon-baris tanpa menyederhanakannya. Cara ini disebut dengan substitusi balik. Eliminasi Gauss adalah suatu cara mengoperasikan nilai-nilai di dalam matriks sehingga menjadi matriks yang lebih sederhana. Caranya adalah dengan melakukan operasi baris sehingga matriks tersebut menjadi matriks yang eselon-baris. Ini dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks.

2.3

Contoh Penyelesaian Persamaan Linear dengan Metode Eliminasi Gauss. Selesaikan Persamaan Linear Berikut 4X1 + 5X2 + 0X3

=4

P1

2X1 – 2X2 + 3X3

=8

P2

2X1+ 1X2 + 5X3

= 12

P3

2

2.3.1. Kalkulasi Manual Tahap Pertama : Eliminasi Maju Langkah pertama adalah dengan mengeliminasi x1 dari persamaan P2 dengan syarat a11 ≠ 0 Rumus : P2  P2  m21  P1 , dimana '







m21 

a 21 a11

a  a21 '  a21   21   a11  a11  2 a 21 '  2     4 4 a21 '  0 a  a22 '  a22   21   a12  a11  2 a 22 '   2     5 4 9 a 22 '   2 a  a23 '  a23   21   a13  a11  2 a 23 '  3     0 4 a23 '  3



a  b2 '  b2   21   b1  a11  2 b2 '  8     4 4 b2 '  6 b2 '  6

Langkah kedua adalah dengan megeliminasi maju x1 dari P3 dengan syarat 𝑎11 ≠ 0. Rumus: P ' 3  P3  m31  P1 , dimana

m31 

a31 a11 3



a  a31 '  a31   31   a11  a11  2 a31 '  2     4 4

a31 '  0 

a  a32 '  a32   31   a12  a11  2 a32 '  1     5 4

a32 '   

3 2

a  a33 '  a33   31   a13  a11  2 a33 '  5     0 4

a33 '  0 

a  b3 '  b3   31   b1  a11  2 b3 '  12     4 4

b3 '  10 Setelah mengeliminasi x1 pada persamaan P2 dan P3, maka persamaan linear tersebut menjadi: 4X1 + 5X2 + 0X3 9 0 − 2X2 + 3X3 0

3

− 2X2 + 5X3

=4 =6

P1 P2

= 10

P3

Langkah selanjutnya adalah mengeliminasi x2 pada persamaan P3, dengan cara : Rumus: ' P3  P3  m32  P2 dimana m32 



a32 a 22

a  a32 '  a32   32   a22  a22  4

 3    3  2   9 a32 '         2   9   2    2

a32 '  0 

a  a33 '  a33   32   a23  a22   3   a33 '  5   2   3 9     2

a33 '  4 

a  b3 '  b3   32   b2  a22   3   b3 '  10   2   6 9     2

b3 '  8 Setelah mengeliminasi x2 pada persamaan P3, maka persamaan linear tersebut menjadi: 4X1 + 5X2 + 0X3 9 0 − 2X2 + 3X3 0 − 0 + 4X3

=4 =6 =8

P1 P2 P3

Tahap Kedua : Substitusi Mundur 

4 x3  8 8 x3  4 x3  2



9  x 2  3 x3  6 2 9  x 2  32   6 2 x2  0 5



4x1  5x2  4 4x1  50  4 x1  1

Metode Eliminasi Gauss Jordan

2.3.2.3

Eliminasi Gauss-Jordan (EGJ), prinsipnya: mirip sekali dengan metode Eliminasi Gauss, namun dalam metode ini jumlah operasi numerik yang dilakukan jauh lebih besar, karena matriks A. mengalami inversi terlebih dahulu untuk mendapatkan matriksidentitas (I). Karena kendala tersebut, maka metode ini sangat jarang dipakai, namun sangat bermanfaat untuk menginversikan matriks. Dasar Teori : Metode ini merupakan pengembangan metode eliminasi Gauss, hanya saja augmented matrik, pada sebelah kiri diubah menjadi matrik diagonal sebagai berikut:

2.4

Aplikasi Dalam Fisika HUKUM II KIRCHHOFF

Contoh 1



Berdasarkan hukum II Kirchhoff maka diperoleh, I1 + I3 = I2 => I1 = I2 - I3



. . . . . (1)

Berdasarkan hukum II Kirchhoff, untuk loop I maka diperoleh: Ʃε + ƩIR = 0 -4 + (0,5+1+0,5)I1 + 6I2 = 0 -4 + 2I1 + 6I2 = 0 I1 + 3I2 = 2

. . . . . (2)

6



Berdasarkan hukum II Kirchhoff, untuk loop II maka diperoleh: Ʃε + ƩIR = 0 -2 + (2,5 +0,5)I3 + 6I2 = 0 -2 + 3I3 + 6I2 = 0 3I3 + 6I2 = 2



. . . . . . (3)

Dengan mensubstitusikan persamaan (1) ke persamaan (2) maka akan diperoleh: I1 + 3I2 = 2 - I3 + 4I2 = 2 I3 = 4I2 – 2



. . . . . (4)

Kemudian substitusikan persamaan (4) ke persamaan (3) maka diperoleh: 3I3 + 6I2 = 2 3(4I2 – 2) + 6I2 = 2 12I2 – 6 + 6I2 = 2 18I2 = 8 I2 = 8/18 I2 = 4/9 A atau 0,44 A



Dari persamaan (4) akan diperoleh: I3 = 4I2 – 2 I3 = 4(4/9) – 2 I3 = 16/9 – 2 I3 = 16/9 – 18/9 I3 = – 2/9A atau – 0,22 A



Dari persamaan (1) akan diperoleh: I1 = I2 - I3 I1 = 4/9A – (– 2/9A) I1 = 6/9A atau 0,67 A



Bentuk Persamaan : I1 - I2 + I3 = 0

. . . . . (1)

I1 + 3I2 = 2

. . . . . (2)

6I2 + 3I3 = 2

. . . . . (3)

Contoh 2

7

Gunakan metode Eliminasi Gauss untuk menentukan arus i1,i2 dan i3 yang mengalir pada rangkaian berikut ini:



Berdasarkan Hukum Kirchhoff: I1  I 2  I 3

 14  6 I 1  10  4 I 2  0 

10  6 I 1  2 I 3  0 Lalu kita susun ulang ketiga persamaan di atas menjadi seperti ini: I1  I 2  I 3  0 6 I 1  4 I 2  24



6 I 1  2 I 3  10 Kemudian dinyatakan dalam bentuk matriks: 1 1 1 0 6  4 0 24 6 0 2 10

8

BAB III PENUTUP 3.1

Kesimpulan 1) Eliminasi Gauss adalah suatu metode untuk mengoperasikan nilai-nilai di dalam matriks menggunakan operasi baris elementer (OBE) sehingga menjadi matriks yang lebih sederhana lagi. Matriks yang diperoleh menggunakan metode ini biasanya berupa matriks segitiga atas atau biasa disebut matriks eselon-baris.

2) Eliminasi Gauss-Jordan adalah pengembangan dari eliminasi Gauss yang hasilnya lebih sederhana. Caranya adalah dengan meneruskan operasi baris dari eliminasi Gauss sehingga menghasilkan matriks yang Eselon-baris tereduksi. Ini juga dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks. Caranya dengan mengubah persamaan linear tersebut ke dalam matriks teraugmentasi dan mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks Eselon-baris tereduksi, maka langsung dapat ditentukan nilai dari variabel-variabelnya tanpa substitusi balik.

3) Metode ini merupakan salah satu metode penyelesaian sistem persamaan linear dengan menggunakan matriks. Caranya dengan mengubah sistem persamaan linear 9

tersebut ke dalam bentuk matriks ter-augmentasi dan mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks eselon-baris, lakukan substitusi balik untuk mendapatkan nilai dari variabel-variabel sistem.

DAFTAR PUSTAKA

Alatas,Husin.Buku Pelengkap Fisika Matematika.Derpartemen Fisika FMIPA Institut Pertanian Bogor Munir, R. 2003. Metode Numerik. Informatika. Bandung. Sahid. 2005. Pengantar Komputasi Numerik dengan MATLAB. Andi. Yogyakarta. Sahyar.2014.Komputasi Sains Fisika.Medan: Unimed Press. Suparno, Supriyanto.2014. Komputasi untuk Sains dan Teknik Menggunakan Matlab.Depok: Departemen Fisika FMIPA Univ

10