Makalah Sag .docx

MAKALAH STRUKTUR ALJABAR DAN GRUPOID

Makalah ini disusun untuk memenuhi Tugas Struktur Aljabar Grup Pengampu : Dra Sri Sutarni M.Pd

Disusun oleh : 1. Yulia Andiana I.D.S

(A410140134)

2. Arum Tyas Tiwi

(A410140143)

3. Amalia Shinta Devi

(A410140164)

4. Zaki Ahmada

(A4101402..)

5. Viky Dyan

(A410140212)

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH SURAKARTA 2017

KATA PENGANTAR

Puji syukur senantiasa penulis panjatkan kehadiran Allah SWT yang telah memberikan rahmat dan hidayat-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan makalah yang berjudul Struktur Aljabar Dan Grupoid dengan semaksimal mungkin. Makalah ini disusun untuk memenuhi tugas mata kuliah Struktur Aljabar Grup. Makalah ini telah disusun dengan maksimal dan mendapatkan bantuan dari berbagai pihak sehingga dapat memperlancar pembuatan makalah ini. Untuk itu penulis mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah berkontribusi dalam pembuatan makalah ini Penulis menyadari bahwa dalam penyusunan makalah ini masih jauh dari kesempurnaan. Oleh karena itu, penulis mengharapkan adanya saran dan kritik yang bersifat membangun. Penulis berharap semoga makalah ini pada nantinya dapat bermanfaat bagi pembaca.

Surakarta, 10 September 2017

Penulis P KL

Penulis

i

DAFTAR ISI

Kata Pengantar ................................................................................................... i Daftar Isi ............................................................................................................ ii BAB I PENDAHULUAN .................................................................................. 1 A. Latar Belakang ............................................................................................. 1 B. Rumusan Masalah ........................................................................................ 2 C. Tujuan .......................................................................................................... 2 BAB II PEMBAHASAN ................................................................................... 3 A. Operasi Biner Dan Contohnya ..................................................................... 3 B. Contoh Operasi Biner Yang Menggunakan Sifat-Sifatnya .......................... 3 C. Grupoid, Semigrup Dan Monoid Serta Contohnya ...................................... 4 BAB III PENUTUP ........................................................................................... 6 A. Kesimpulan .................................................................................................. 6 B. Saran ............................................................................................................. 6 DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................ 7

ii

Bab I Pendahuluan A.

Latar Belakang Pendidikan penting bagi anak bangsa demi tercapainya generasi penerus bangsa yang berkualitas. UU RI No. 20 Tahun 2003 tentang Sistem Pendidikan Nasional, Pendidikan adalah usaha sadar dan terencana untuk mewujudkan suasana belajar dan proses pembelajaran agar peserta didik secara aktif mengembangkan potensi dirinya untuk memiliki kekuatan spiritual, keagamaan, pengendalian diri, kepribadian, kecerdasan, akhlak mulia, serta keterampilan yang diperlukan dirinya, masyarakat, bangsa dan Negara. Matematika adalah salah satu mata pelajarn yang dapat memajukan kehidupan bangsa, arti matematika menurut KBBI adalah ilmu tentang bilangan, hubungan antara bilangan, dan prosedur operasional yang digunakan dalam penyelesaian masalah mengenai bilangan, sedangkan dalam pelajaran matematika sendiri terdapat materi Struktur Aljabar dan Grupoid . Struktur Aljabar adalah suatu himpunan S yang dilengkapi dengan satu atau lebih operasi biner yang tertutup. Apabila himpunan S dilengkapi dengan satu biner *, maka struktur aljabar tersebut dinyatakan dengan (S, *). Apabila himpunan S dilengkapi dengan dua operasi biner * dan o; maka struktur aljabar tersebut dinyatakan dengan (S,*,o) atau (S,o,*). Di dalam Struktur aljabar dan Grupoid ada operasi biner . Operasi biner menurut kamus matematika adalah opersi yang melibatkan sepasang bilangan. Maksudnya setiap operasi hanya memiliki 2 unsur yang dapat diselesaikan, bila ada 3 unsur, 2 unsur dikerjakan lebih dahulu baru kemudian dikerjakan unsur yang ketiga. Operasi biner memiliki sifat- sifat yaitu tertutup, jika a  b = c, untuk setiap a, b ϵ Z, komutatif, jika a  b = b  a, untuk setiap a, b ϵ Z, assosiatif, jika (a  b)  c = a  (b  c), untuk setiap a, b, c ϵ Z, identitas, jika terdapat e sedemikian hingga a  e = e  a = a, untuk

setiap a ϵ Z, identitas kiri jika terdapat

e1 sedemikian hingga e1  a = a, untuk setiap a ϵ Z, identitas kanan, jika terdapat e2 sedemikian hingga a  e2 = a, untuk setiap a ϵ Z, dan mempunyai sifat invers, jika untuk setiap a ϵ Z terdapat a-1 ϵ Z sedemikian hingga a  a-1 = a-1  a = e, dimana e adalah elemen identitas untuk operasi . a-1 disebut invers dari elemen a. Makalah ini akan membahas tentang operasi biner dan struktur aljabar beserta sifat- sifatnya. 1

B.

Rumusan Masalah 1. Apa yang dimaksud operasi biner dan contohnya? 2. Bagaimana contoh operasi biner yang menggunakan sifat-sifatnya? 3. Apa pengertian grupoid, semigrup, dan monoid serta contohnya?

C.

Tujuan 1. Menjelaskan tentang operasi biner dan contohnya. 2. Menjelaskan contoh operasi biner yang menggunakan sifat-sifatnya. 3. Menjelaskan pengertian grupoid, semigrup, dan monoid serta contohnya.

2

Bab II Pembahasan A. Operasi Biner Dan Contohnya Operasi Biner adalah misalkan s adalah suatu himpunan sebarang yang tidak kosong, maka pemetaan s x s ke s disebut operasi biner. Notasi yang digunakan untuk menyatakan operasi biner adalah +, ×, *, • ,  ,  , dan sebagainya. Contoh : 1. Diketahui N himpunan semua bilangan bulat positif. Didefinisikan * dengan aturan x*y = x - y. Karena 3, 5 dalam N dan 3*5 = 3-5 = -2 tidak berada dalam N maka N tidak tertutup di bawah operasi * sehingga * bukan operasi biner pada N. 2. Didefinisikan # dengan aturan x # y = x + 2y dengan x, y dalam N = {1, 2, 3, … } Akan ditunjukkan bahwa # merupakan operasi biner. Jelas bahwa # terdefinisikan dengan baik karena rumus x + 2y memberikan hasil tunggal untuk setiap x, y dalam N. Untuk sebarang x,y dalam N maka jelas bahwa x + 2y masih merupakan bilangan bulat positif. Lebih jauh 2y + x > 0 jika x > 0 dan y > 0. Berarti hasil dari x + 2y masih merupakan bilangan positif dan akibatnya P tertutup di bawah operasi #.

B. Contoh Operasi Biner Yang Menggunakan Sifat-Sifatnya Misalkan suatu himpunan yang tidak kosong Z+ adalah himpunan bilangan bulat positif, didefenisikan x * y = |x – y| bila x ≠ y dan x * x = x untuk setiap x,y ∈ Z+. Tunjukan apakah operasi binernya tertutup, komutatif dan asosiatif. Penyelesaian : a. Tertutup Misalkan x = 2 dan y = 3, x*y=2*3=1 x*x=2*2=2 x * y dan x * x tertutup tehadap Z+, sehingga x, y ∈ Z+

3

b. Komutatif x, y ∈ Z+, misalkan x = 2 dan y = 3 x * y = 2 * 3 = |2 – 3| = 1 y * x = 3 * 2 = |3 – 2| = 1 x * y = y * x komutatif c. Assosiatif x, y, z ∈ Z+, misalkan x = 2 dan y = 3, z = 4 (x * y) * z = (2 * 3) * 4 = |2 – 3| * 4 = |1 – 4| = 3 x * (y * z) = 2 * (3 * 4) = 2 * |3 – 4| = |2 – 1| = 1 (x * y) * z ¹ x * (y * z) tidak assosiatif.

C. Grupoid, Semigrup, Dan Monoid Serta Contohnya GRUPOID Adalah struktur aljabar yang paling sederhana yaitu himpunan G yang dilengkapi dengan satu operasi biner * yang bersifat tertutup, ditulis (G, *). SEMIGRUP Adalah grupoid (G, *) dikatakan semigrup terhadap operasi biner jika bersifat assosiatif. MONOID Adalah grupoid yang bersifat assosiatif dan mempunyai unsur satuan atau unsur identitas. 1. Contoh Grupoid Himpunan dengan operasi penjumlahan. Diketahui : Himpunan bilangan bulat Z = (…,-2,-1,0,1, 2,…) terdapat operasi binner penjumlahan (+). Penyelesaian : a,b ∈ Z → a + b ∈ Z = 4 + 2∈ Z = 6∈ Z (tertutup) Maka, penjumlahan himpunan bilangan tersebut dikatakan grupoid karena mempunyai syarat tertutup. Dalam pengoperasian pembagian pada bilangan cacah hal ini tidak berlaku, karena tidak memenuhi syarat grupoid, yaitu tertutup.

4

2. Contoh Semigrup Selidikilah (W,+) Penyelesaian : W = { 0,1,2,3,..) a, b ∈ W → a + b ∈ W =3+2∈W = 5 ∈ W (tertutup) a, b, c ∈ W → (a + b ) + c = a + (b + c ) ∈ W (3 + 2) + 1 = 3 + (2 + 1) 6 = 6 (assosiatif) Maka, terbukti bahwa himpunan bilangan cacah merupakan semigrup karena memenuhi syarat tertutup dan assosiatif.

3. Contoh Monoid Himpunan bilangan bulat Z = {.., -2,-1,0, 1, 2,..} terdapat operasi binner perkalian (*). Penyelesaian : a,b ∈ Z → a*b ∈ Z = 4*2 ∈ Z = 8∈ Z (tertutup) a, b, c ∈ Z →(a*b)*c = a*(b*c)∈ Z (4*2)*1 = 4*(2*1) ∈ Z 8 = 8 ∈ Z (assosiatif) a, e ∈ Z →a*e = e*a = a∈ Z 4*1 =1*4 = 4 ∈ Z (unsur identitas)

5

BAB III PENUTUP A. KESIMPULAN

Operasi biner dimisalkan s adalah suatu himpunan sebarang yang tidak kosong, maka pemetaan s x s ke s disebut operasi biner. Notasi yang digunakan untuk menyatakan operasi biner adalah +, ×, *, • ,  ,  , dan sebagainya. Sifat- sifat operasi biner yaitu tertutup, jika a  b = c, untuk setiap a, b ϵ Z, komutatif, jika a  b = b  a, untuk setiap a, b ϵ Z, assosiatif, jika (a  b)  c = a  (b  c), untuk setiap a, b, c ϵ Z, identitas, jika terdapat e sedemikian hingga a  e = e  a = a, untuk

setiap a ϵ Z,

identitas kiri jika terdapat e1 sedemikian hingga e1  a = a, untuk setiap a ϵ Z, identitas kanan, jika terdapat e2 sedemikian hingga a  e2 = a, untuk setiap a ϵ Z, dan mempunyai sifat invers, jika untuk setiap a ϵ Z terdapat a-1 ϵ Z sedemikian hingga a  a-1 = a-1  a = e, dimana e adalah elemen identitas untuk operasi . a-1 disebut invers dari elemen a. Struktur aljabar adalah suatu himpunan S yang dilengkapi dengan satu atau lebih operasi biner yang tertutup. Apabila himpunan S dilengkapi dengan satu biner *, maka struktur aljabar tersebut dinyatakan dengan (S, *). Apabila himpunan S dilengkapi dengan dua operasi biner * dan o; maka struktur aljabar tersebut dinyatakan dengan (S,*,o) atau (S,o,*). Macam dari struktur aljabar yaitu grupoid. Grupoid adalah struktur aljabar yang paling sederhana yaitu himpunan G yang dilengkapi dengan satu operasi biner * yang bersifat tertutup, ditulis (G, *).Semigrup adalah grupoid (G, *) dikatakan semigrup terhadap operasi biner jika bersifat assosiatif. Monoid adalah grupoid yang bersifat assosiatif dan mempunyai unsur satuan atau unsur identitas.

B. SARAN Menyadari bahwa penulis masih jauh dari kata sempurna, kedepannya penulis akan lebih fokus dan details dalam menjelaskan tentang makalah di atas dengan sumber - sumber yang lebih banyak yang tentunya dapat di pertanggungjawabkan.

6

DAFTAR PUSTAKA

Bramasti, Rully.2012. Kamus Matematika. Surakarta: Aksara Sinerga Media http://annawalyeni.blogspot.co.id/2012/10/matematika-5a1-grupoid-semigrupmonoid.html ( Di akses tanggal 8 September 2017 oleh Yulia ) http://annawalyeni.blogspot.co.id/2012/10/matematika-5b2-grupoid-semigrupdan.html ( Di akses tanggal 8 September 2017 oleh Yulia ) http://ielhien15.blogspot.co.id/2013/06/struktur-aljabar-operasi-biner.html ( Di akses tanggal 8 September 2017 oleh Yulia ) Indarti Dina . Operasi Biner. Pdf ( Di akses tanggal 7 September oleh Amalia ) Indarti Dina . Struktur Aljabar. Pdf ( Di akses tanggal 7 September oleh Amalia )

7